Численное моделирование вязкого отрывного обтекания тел

УДК 532.526.048.3

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЯЗКОГО ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ

А.В. КОЗЛОВ, О.В. ЯКОВЛЕВСКИЙ Статья представлена доктором технических наук, профессором Ципенко В.Г.

Рассматривается двумерное стационарное обтекание кругового цилиндра поперечным потоком вязкого несжимаемого газа. Численное моделирование основано на решении уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса методом контрольного объема на неструктурированных сетках с использованием алгоритма расчета давления SIMPLE. Для конечноразностной аппроксимации уравнений использовалась противопоточная схема, имеющая второй порядок точности. Проведено сравнение расчетных и экспериментальных данных по обтеканию цилиндра при разных числах Рейнольдса.

Многообразие численных методов расчета вязких течений приводит к необходимости верификации их на известных задачах. Можно считать, что обтекание цилиндра весьма полно изучено как теоретически [1], так и экспериментально [2]; поэтому данную задачу целесообразно использовать для тестирования расчетных алгоритмов.

В последнее время для решения задач вязкого обтекания тел все чаще применяются неструктурированные сетки. Их можно легко подстраивать под любую геометрию, они не требуют большой оперативной памяти. Алгоритмы расчета на неструктурированных сетках можно легко применять в случаях треугольных и четырехугольных ячеек, что позволяет создавать гибкие схемы аппроксимации граничных условий.

В работе рассматривается стационарное двумерное обтекание кругового цилиндра потоком вязкого несжимаемого газа. Течение принимается либо полностью ламинарным, либо полностью турбулентным без учета переходной области. Рассматривается обтекание только одной половины цилиндра с постановкой граничных условий симметрии потока на плоскости симметрии, что в натурных условиях соответствует обтеканию цилиндра с установленной сзади пластиной.

Уравнения Навье-Стокса и Рейнольдса можно представить в виде обобщенного дифференциального уравнения:

Э— Э—У Э Ф Э Ф ч

— + — = Sc, Jx = иФ - ГФ —, Jy = УФ - ГФ —;

-ч -ч Ф? X Ф Л ’ У Ф Л 5

Эх Эу Эх Эу

где: Jx , Jy - суммарные конвективно-диффузионные потоки; Ф - обобщенная зависимая переменная (U, У); ГФ - коэффициент диффузии; £Ф - источниковый член.

Все уравнения записываются в безразмерном виде, все переменные отнесены к своему характерному параметру: скорости - к скорости невозмущенного потока (Ц»), координаты - к

диаметру цилиндра (D), давление - к удвоенному скоростному напору (pU2m).

Источниковый член и коэффициенты диффузии выбираются в зависимости от переменной

Ф и решаемых уравнений (табл. 1); здесь v = —-----безразмерный коэффициент вязкости.

Re

Для отыскания составляющих тензора рейнольдсовых напряжений в уравнениях Рейнольдса используется модель турбулентности Ментера [3]. Эта модель является комбинацией к- w модели Вилкокса, хорошо описывающей пристеночные течения, и стандартной к-e модели, лучше описывающей свободные сдвиговые течения.

Согласно модели Ментера, тензор рейнольдсовых напряжений имеет вид:

^ Эи Эи. 2 Эи ^

tj=- и и = vt

.+ -j -- ^ §

Эх] Эх 3 Эхк J

2

-3щ,

Таблица 1

ф Гф Sф

Уравнение неразрывности

1 0 0

Уравнения Навье-Стокса

U n dP dx

V dP

n dy

Уравнения Рейнольдса

U n dP d , —f—f. d , - — + — (-u U ) + — (-U V ) dx dx dy

V n dP d , d , 1 (-V и ) + (-V V ) V / \ / dy dx dy

к

где - символ Кронекера = 1 при / = у, ^ = 0 при / ^у); V, =------коэффициент турбулентной

ю

вязкости.

Для составления дискретных аналогов уравнений используется метод контрольного объема на неструктурированной сетке. Основой метода является подход, согласно которому вся расчетная область разбивается не некоторое число непересекающихся контрольных объемов и каждое уравнение интегрируется по конкретному контрольному объему.

ЭФ'

\\фу„ - г—К=II ^dS.

£ у V у £

Не менее важным является принцип построения сетки. Для цилиндра строится разнесенная сетка, в которой точки вычисления скоростей находятся в центре ячейки, в вершинах которой вычисляются давление и параметры турбулентности, что позволяет точно вычислять потоки через грани контрольного объема.

Используя противопоточную схему аппроксимации зависимой переменной между сеточными узлами, имеющую второй порядок точности, получаем дискретный аналог обобщенного уравнения:

Г арфр = 2 акФк + 8Ф № +

a,

= Z Гф (е'Я) к DLk + max(0,'-Vnk )ALk

к

S, = £Гф(e-n)k(Фj- -ФД DL,

к

=z<

a

a

где Vnk - нормальная к k-й грани скорость; DLk - длина k-й грани; DS - площадь контрольного элемента; Sф - член, содержащий производные вдоль грани контрольного объема; (е ]п) - произведение на нормаль j-ого вектора ковариантного базиса.

Таким образом, система дифференциальных уравнений в частных производных сводится к системам линейных алгебраических уравнений. Системы линейных уравнений решаются итерационным методом Г аусса-Зейделя. Для расчета градиентов давления в уравнениях изменения количества движения метод контрольного объема необходимо дополнить методом вычисления давления SIMPLE [4].

k

k

Для расчета ламинарного обтекания цилиндра была выбрана сетка с общим количеством сеточных узлов 45 000, при этом на поверхность цилиндра приходилась 181 точка.

На рис. 1 приведено сравнение распределения коэффициентов давления по поверхности цилиндра с результатами расчета [1] для числа Рейнольдса Re = 40. В работе [1] использовалась шахматная сетка в полярной системе координат (62*100 узлов).

Рис.1. Распределение коэффициента давления на поверхности цилиндра при ламинарном обтекании Re = 40.

Рис. 2. Зависимость коэффициентов сопротивления цилиндра от числа Рейнольдса

при ламинарном обтекании.

Сравнение по интегральным характеристикам проводилось для нескольких чисел Рейнольдса. На рис. 2 приведены зависимости коэффициента сопротивления трения коэффициента сопротивления давления Cxp и суммарного коэффициента сопротивления Cx от числа Рейнольдса.

Изменение положения точки отрыва на поверхности цилиндра с ростом Яе также показало хорошее соответствие результатам расчетов других авторов (рис. 3).

130

1£0

А:

" ^ ПО

100

90

О 200 +00 600

РЗ?

Рис. 3. Положение точки отрыва потока на цилиндре от числа Рейнольдса

при ламинарном обтекании.

Для турбулентного течения был выбран тот же тип сетки, но с сильным (в четыре раза) сгущением в области пограничного слоя. Сравнение проводилось с экспериментом Рошко [2] для обтекания цилиндра с установленной сзади пластиной при числе Re = 14 500. На рис. 4 приведено распределение коэффициента давления на поверхности цилиндра.

О Работа [2]

------- Расчет данной работы

ООО о

030 „___________

О 40 80 120 160 200

Рис. 4. Распределение коэффициента давления на поверхности цилиндра при турбулентном обтекании. Re = 14 500.

Погрешность расчетных данных коэффициента сопротивления для данного режима с экспериментом составила примерно 7 % (Сх эксп = 0.76, Сх = 0.81), что удовлетворяет требованиям точности инженерных расчетов. Эти результаты, по-видимому, можно улучшить путем дальнейшего измельчения расчетной сетки.

Таким образом, в результате настоящей работы разработаны алгоритмы численного моделирования вязкого обтекания тел на основе уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса.

Проведено тестирование алгоритмов на примере стационарного двумерного обтекания кругового цилиндра потоком вязкого несжимаемого газа. Получено вполне удовлетворительное совпадение расчетных данных с расчетами других авторов и с экспериментом.

ЛИТЕРАТУРА

1. Белов И.А., Кудрявцев Н.А. Теплоотдача и сопротивление пакетов труб. Ленинград: Энергоатомиздат,

1987.

2. Roshko A. Experiment on the drag and shedding frequency of two-dimensional bluff bodies. NACA Tech. Note. 1954. № 3169.

3. Menter F.R. Zonal two equation k-ю turbulence models for aerodynamic flows. AIAA-93--906, 1993.

4. Patankar S.V., Spalding D.B. A calculation procedure for heat, mass and momentum transfer in three-dimensional parabolic flows. Int. J. Heat Mass Transfer. 197-. Vol. 15. N 10.

COMPUTATIONAL MODELLING OF VISCOUS SEPARATED FLOW AROUND BODIES

Kozlov A.V., Jakovlevsky O.V.

Two-dimensional stationary flow of viscous incompressible gas around circular cylinder is considered. Computational modeling is based on Navier-Stokes and Reynolds equations decision by the control-volume method with unstructured mesh and SIMPLE-algorithm for pressure calculation. Finite-difference approximation of differential equations is based on back-flow scheme of the second order approximation. Computational and experimental results for flows around circular cylinder are compared for various Reynolds numbers.

Сведения об авторах

Козлов Антон Викторович, 1978 г.р., окончил Московский авиационный институт (ГТУ), инженер филиала ФГУП ЦАГИ «Московский комплекс ЦАГИ», область научных интересов - численное моделирование турбулентных течений.

Яковлевский Олег Васильевич, 1933 г.р., окончил Московский физико-технический институт (1955), кандидат технических наук, профессор кафедры аэродинамики летательных аппаратов Московского авиационного института (ГТУ), автор более 120 научных работ, область научных интересов - турбулентные струйные течения, аэродинамика летательных аппаратов и промышленная аэродинамика.