Определение линий контакта зубчатых колес прецессионной передачи при многопарном зацеплении

УДК 621.833

С. Н. Хатетовский, П. Н. Громыко, Д. С. Галюжин, М. А. Галюжин

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНИЙ КОНТАКТА ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС ПРЕЦЕССИОННОЙ ПЕРЕДАЧИ ПРИ МНОГОПАРНОМ ЗАЦЕПЛЕНИИ

UDC 621.833

S. N. Khatetovsky, P. N.Gromyko, D. S. Galiuzhin, М. А. Galiuzhin

DETERMINATION OF CONTACT LINES OF GEAR WHEELS IN PRECESSIONAL TRANSMISSION WITH MULTIPAIR TOOTHING

Аннотация

Рассмотрена методика аналитического определения параметров линий контакта центрального колеса и сателлита прецессионной передачи при многопарном зацеплении. Данная методика может быть использована как альтернатива твердотельного моделирования систем автоматизированного проектирования. Разработан алгоритм расчета параметров линий контакта для математического программного пакета.

Ключевые слова:

прецессионная передача, линия контакта, уравнение контакта, многопарное зацепление, коэффициент перекрытия.

Abstract

The methodology to analytically determine the parameters of contact lines of the central gear and the satellite in the precessional transmission with multipair toothing is considered. This technique can be used as an alternative to solid modeling of the CAE-systems. An algorithm has been developed for calculating parameters of contact lines for the mathematical programming package.

Keywords:

method of aerodynamic sound hardening , hard alloys, aerodynamic sound hardening method, wear.

Расчет прецессионной передачи [1], в которой центральное колесо имеет зубья в виде цилиндрических роликов (рис. 1), может выполняться при помощи средств автоматизированных систем проектирования (САПР). При этом геометрический и кинематический расчеты выполняются достаточно эффективно [2, 3], а силовой и прочностной расчеты могут вызывать трудности, если следует учитывать многопарность зацепления зубчатых колес, т. к. не всегда известно, сколько пар зубьев необходимо моделировать в условиях ограниченности ресурсов ЭВМ. Также при определении в среде САПР сил и напряжений в контакте твердотельные

компьютерные модели колес изменяются в соответствии с деформацией, которая не всегда позволяет определить характер контакта соответствующих абсолютно твердых тел.

Поэтому актуальной задачей силового и прочностного расчетов прецессионной передачи является аналитическое определение линий контакта в случае многопарности зацепления.

Линия контакта представляет собой совокупность точек, каждая из которых задается следующими параметрами (рис. 2): пп - передаточное отношение рядовой зубчатой передачи с ведущим центральным колесом и ведомым сателлитом; гс - радиус центров

© Хатетовский С. Н., Громыко П. Н., Галюжин Д. С., Галюжин М. А., 2019

роликов; 0 - угол нутации прецессионной передачи; г^ - аппликата точки

контакта в системе координат \iyizi, жестко связанной с центральным колесом; ф - полярный угол, определяющий положение точки контакта на цилин-

дрической поверхности ролика; ф1 -угол поворота центрального колеса в рассматриваемой рядовой передаче, равный по модулю и противоположный углу поворота входного вала прецессионной передачи.

Рис. 1. Кинематическая схема прецессионной передачи: 1

вал; 4 - выходной вал

центральное колесо; 2 - сателлит; 3 - входной

3

Рис. 2. Параметры точки контакта зубьев центрального колеса и сателлита прецессионной передачи: 1 - зуб центрального колеса (ролик); 2 - контур сателлита; 3 - ось сателлита; М - точка контакта; О - центр прецессии

Параметры Щ2, гс и 0 являются константами, а параметры г^, ф и ф1 -

варьируемыми.

Вышеперечисленные параметры связаны уравнением контакта центрального колеса и сателлита

Г л, _

_ гс  (12 - соб 0) • ф в1п(ф1 +ф)-8Ш 0

Таким образом, точка контакта зубьев центрального колеса и сателлита определяется двумя независимыми параметрами, в качестве которых удобно

взять ф и ф1.

Очевидно, что линии контакта центрального колеса и сателлита будут зависеть от их относительного положения, определяемого углом ф1, и от формы и размеров тела, ограничивающего сателлит и определяющего предельные значения полярного угла ф, от которого зависит длина линии контакта на цилиндрической поверхности ролика.

В зависимости от размеров тела, ограничивающего сателлит, можно получить разные по характеру рабочие поверхности на зубе этого колеса (рис. 3).

1

2

Рис. 3. Модель зуба сателлита при увеличенной высоте зуба: 1 - вогнутый участок; 2 - выпуклый участок

Контакт выпуклой поверхности зуба сателлита с поверхностью ролика не всегда желателен, т. к. приводит к повышенным контактным напряжениям. Поэтому, если коэффициент перекрытия можно сохранить большим 1, стремятся частично исключить выпуклые участки на зубе сателлита (рис. 4).

Таким образом, форма и размеры тела, ограничивающего сателлит, могут быть заданы при помощи следующих

параметров (рис. 5): г2z2mm, Г2z2mt,

г 2^ тах - минимальное, промежуточное

и максимальное расстояния от центра прецессии до нормальных сечений (алгебраические величины); Я2т^, Я2^,

Я2тах - минимальный, промежуточный и максимальный радиусы.

Данные параметры задаются в системе координат X2y2Z2, жестко связанной с сателлитом.

Рис. 5. Параметры сателлита: 1 - зуб центрального колеса (ролик); 2 - сателлит; 3 - ось сателлита; О - центр прецессии

Уравнения линии контакта центрального колеса и сателлита в системе координат \1y1Z1, жестко связанной с центральным колесом, включают (1), а также следующие уравнения [4]:

Г1хх =р-ф ;

г1у = гс -Р-с°8Ф,

где р - радиус ролика.

Если представить координаты точки контакта в системе координат Х1уш в виде вектор-столбца

Г1 _

Г1хх

Г1у1

г1z1 1

то можно получить в матричной форме уравнения линии контакта в системе координат X2y2Z2, жестко связанной с сателлитом:

Г _

соб ф2 бш ф2 0 0" "1 0 0 0" соб ф1 - бш ф1 0 0

- бш ф2 соб ф2 0 0 0 соб 0 бШ 0 0 бш ф1 соб ф1 0 0

х х

0 0 1 0 0 - бШ 0 соб 0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

х Г1,

где угол поворота сателлита

Ф1

Ф2 _

412

При заданном угле поворота центрального колеса ф1 длина линии контакта на ролике ограничивается минимальным значением фтт и максималь-

ным значением фтах параметра ф, которые в свою очередь определяются параметрами сателлита г 2 z2mm, г 2 z2mt,

Г2z2 тах , Я2тт, Я

2int и Я 2 тах .

Согласно рис. 5 условие С(ф, ф1) принадлежности точки контакта на ролике зубу сателлита можно выразить следующим образом:

С(Ф, Ф1) _ ((Г2Z2 >Г2Z2min ^^2Z2 ^2Z2int )';

ЛКО

2 2 „ Г 2z2 г 2z2mm Г2 х2 + г2 у2 <-2-

((2тах - Я2int)н Я

г 2 Z2 int г 2 Z2 min

ОЯ((г 2 ^ >Г 2 z2 int )ЛЖ>(г 2z2 <Г 2z2 тах )ЛШ;

2int

ОЯ;

JJ

ЛК0

2 . г 2 z2 г 2 z2int

2 , 2 , '2z Г2 х2 + г2 у2 <

г 2 z2 тах г 2 z2 int

(( 2int- Я 2тт ) +Я 2min

JJ

где Г2Х2, Г2у2, Г2Z2 - компоненты вектор-столбца Г2.

В случае многопарности зацепления необходимо проверять условие (7) одновременно для следующих значений угла поворота центрального колеса:

2л „ 2л

ф1, ф1 н--, ф1 + 2---н..., где Z1 - ко-

Z1 Z1

личество зубьев центрального колеса (роликов). Выполнение условия (7) для п членов вышеприведенного ряда значений угла поворота центрального колеса означает, что одновременно контактируют п пар зубьев центрального колеса и сателлита. При этом для каждой пары существуют свои фтт и фтах.

Если цилиндрическую поверхность ролика развернуть на плоскость, то линию контакта можно представить в виде графика функции z = fx) в соответствии с уравнением (1):

rc  (cos9 -u12)• si

sin

z = -

sin

Ф1 +

P.

sin 9

Пример такого графика представлен на рис. 6.

Процедура определения фтт и фтах (рис. 7) может быть реализована в среде математического программного пакета.

Исходными данными для процедуры являются параметры прецессионной передачи; параметры сателлита; массив Ф1 углов поворота центрального колеса, в который входят значения, отличающиеся на угловой шаг роликов; массив Фтп минимальных значений параметра ф; массив Фтах максимальных значений параметра ф.

Рис. 6. График линии контакта

x

Размерность вышеперечисленных массивов принимается равной некоторому числу п, которое заведомо больше коэффициента перекрытия.

Исходные минимальные значения параметра ф принимаются равными к

углу —, а исходные максимальные значения параметра ф равны 0.

Заключение

Разработана методика аналитического определения линий контакта центрального колеса и сателлита прецессионной передачи при многопарности зацепления. Данная методика может быть использована для силового и прочностного расчетов прецессионной передачи как аналитическим способом, так и в среде САПР.

Рис. 7. Схема алгоритма поиска предельных значений параметра ф

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хатетовский, С. Н. Влияние погрешности звеньев прецессионной передачи на кинематическую погрешность / С. Н. Хатетовский, П. Н. Громыко // Вестн. Белорус.-Рос. ун-та. - 2017. - № 4. -С. 107-115.

2. Компьютерное моделирование планетарных прецессионных передач: [монография] / П. Н. Громыко [и др.]; под общ. ред. П. Н. Громыко. - Могилев: Белорус.-Рос. ун-т, 2007. - 271 с.: ил.

3. Gromyko, P. N. Modeling of eccentric transmission opera tion in presence of elastic deformations of contacting links / P. N. Gromyko, S. N. Khatetovsky // Proceedings of the International Conference «Aviame-chanical Engineering and Transport» (AviaENT 2018). - 2018. - Vol. 158. - P. 160-164.

4. Зубчатые передачи и трансмиссии в Беларуси: проектирование, технология, оценка свойств / В. Б. Альгин [и др.]; под общ. ред. В. Б. Альгина, В. Е. Старжинского. - Минск: Беларуская навука, 2017. - 406 с.

Статья сдана в редакцию 5 июня 2019 года

Станислав Николаевич Хатетовский, канд. техн. наук, доц., Белорусско-Российский университет. E-mail: mechlab@yandex.ru.

Петр Николаевич Громыко, д-р техн. наук, проф., Белорусско-Российский университет. Даниил Сергеевич Галюжин, канд. техн. наук, доц., Белорусско-Российский университет. Михаил Александрович Галюжин, студент, Белорусско-Российский университет.

Stanislav Nikolayevich Khatetovsky, PhD (Engineering), Associate Prof., Belarusian-Russian University. E-mail: mechlab@yandex.ru.

Petr Nikolayevich Gromyko, DSc (Engineering), Prof., Belarusian-Russian University.

Daniil Sergeyevich Galiuzhin, PhD (Engineering), Associate Prof., Belarusian-Russian University.

Mikhail Alexandrovich Galiuzhin, student, Belarusian-Russian University.