Численное моделирование восприимчивости гиперзвукового пограничного слоя к энтропийным и вихревым волнам

Том ХЫУ

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2013

№ 2

УДК 532.526

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОСПРИИМЧИВОСТИ ГИПЕРЗВУКОВОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ К ЭНТРОПИЙНЫМ И ВИХРЕВЫМ ВОЛНАМ

В. Г. СУДАКОВ

На основе численного решения уравнений Навье — Стокса для двумерных нестационарных течений исследована восприимчивость гиперзвукового (число Маха набегающего потока М„ = 6) пограничного слоя на плоской пластине с острой передней кромкой. Рассмотрены физические механизмы восприимчивости к двумерным монохроматическим энтропийным и вихревым волнам в широком диапазоне углов наклона к поверхности пластины. Малые возмущения, вводимые в набегающий поток, сначала проходят через ударную волну. Это взаимодействие генерирует акустические волны вниз по потоку за скачком, которые в свою очередь попадают в пограничный слой наравне с прошедшими энтропийными или вихревыми волнами. При этом акустические волны образуют там неустойчивые колебания существенно большей амплитуды, чем остальные возмущения.

Ключевые слова: гиперзвуковой пограничный слой, восприимчивость, энтропийные и вихревые волны, акустика.

При малых возмущениях набегающего потока ламинарно-турбулентный переход на аэродинамически гладкой поверхности летательного аппарата включает в себя: фазу восприимчивости; линейную фазу, связанную с экспоненциальным ростом амплитуды неустойчивой моды; нелинейный переход к турбулентности. Под восприимчивостью обычно понимают механизм, посредством которого внешние возмущения проникают в пограничный слой и образуют неустойчивые волны [1]. Процесс восприимчивости недостаточно изучен, особенно при сверхзвуковых и гиперзвуковых скоростях потока. Это затрудняет разработку метода предсказания ламинарно-турбулентного перехода, связывающего параметры области перехода с параметрами внешних возмущений, что позволило бы избежать эмпирики еы -метода [2].

В однородном потоке сжимаемого газа существуют три типа малых возмущений: быстрые и медленные акустические волны, волны энтропии и волны завихренности. В условиях эксперимента в аэродинамических трубах в набегающем на модель потоке обычно доминируют акустические волны, генерируемые турбулентным пограничным слоем на стенках трубы. Наоборот, в условиях полета в набегающем на летательный аппарат потоке присутствуют слабая турбулентность и температурная неоднородность, которые связаны с вихревыми и энтропийными возмущениями соответственно. Для создания неэмпирического метода предсказания положения перехода необходимо знать механизмы восприимчивости ко всем трем типам малых возмущений.

Восприимчивость гиперзвукового пограничного слоя к акустическим возмущениям неоднократно исследовалась аналитически [3 — 5], численно [6 — 9] и в экспериментах [10]. Восприимчивость к другим типам возмущений исследована существенно меньше.

В [11] проведено численное моделирование восприимчивости гиперзвукового пограничного слоя около параболы при М х = 15 к волне энтропии с нулевым углом наклона. В [12] для этого же случая рассмотрена вос-

СУДАКОВ Виталий Георгиевич

кандидат физико-математических наук, начальник сектора ЦАГИ

приимчивость пограничного слоя около параболы к волне завихренности с нулевым углом наклона. В [13] численно исследована восприимчивость пограничного слоя на плоской пластине к волнам энтропии и завихренности с несколькими положительными углами наклона 0 = 0, 22.5°, 45°, 67.5° при = 4.5 . При этом возмущения набегающего потока сначала проходят через скачок. Такое взаимодействие приводит к образованию вниз по потоку от скачка всех типов малых возмущений [14]. В пограничный слой проникают не только энтропийные или вихревые, но и акустические волны.

В данной работе выполнено численное моделирование восприимчивости пограничного слоя на плоской пластине с острой передней кромкой при числе Маха набегающего потока = 6 к волнам энтропии и завихренности. При этом решаются уравнения Навье — Стокса для двумерных нестационарных сжимаемых течений с помощью алгоритма, описанного в [15]. Подробно рассмотрен широкий диапазон изменения углов наклона этих волн (от -80° до +80° с шагом в 10°). Проанализировано влияние угла наклона набегающих волн и головного скачка на процесс восприимчивости. Исследовались в том числе и отрицательные углы наклона, не рассматривавшиеся ранее.

Двумерные нестационарные течения вязкого сжимаемого газа моделируются уравнениями Навье — Стокса. Уравнения решаются в безразмерной форме. Параметры течения обезразмерены с использованием параметров набегающего потока: (и, V) = (и*, V*) / и* — продольная и вертикальная компоненты скорости; р = р* /— плотность; р = р* /(р^и*2) — давление; Т = Т* /Т* — температура. Координаты обезразмерены как (х,у) = (х*,у*)/Ь* ; время — ^ = 1*и* /Ь* . Здесь индекс «да » обозначает параметры набегающего потока; « *» — размерные величины; и* —

модуль скорости набегающего потока; Ь* — длина пластины.

Рассматривается совершенный газ с отношением удельных теплоемкостей у = 1.4 и числом Прандтля Рг = 0.72 . Динамический коэффициент вязкости зависит от температуры по степенному закону ц = Т0 7. Численное моделирование выполнено для случая обтекания пластины при числе Маха Мда = 6 и числе Рейнольдса Яеда = р^и*Ь* / ц* = 2 • 106 .

Расчетная область представляет собой прямоугольник, нижняя сторона которого на отрезке 0 < х < 1 совпадает с поверхностью пластины. Здесь ставилось условие прилипания, а пластина считалась теплоизолированной дТ№ / дп = 0 . Высота прямоугольника выбрана так, чтобы ударная волна, образующаяся на передней кромке из-за вязко-невязкого взаимодействия, попадала на правую границу (рис. 1). При этом на правой границе используется линейная экстраполяция зависимых переменных, а на левой и верхней границах ставятся условия набегающего потока (рис. 1). Передняя кромка пластины считалась острой. Это условие приемлемо в случае, когда радиус притупления много меньше длины волны рассматриваемых возмущений.

Численно задача решается с помощью неявного метода конечного объема второго порядка аппроксимации, детально описанного в [15]. Конвективные слагаемые аппроксимируются с помощью WENO-схемы третьего порядка. Расчетная сетка составляет 2001 х 301 узлов и имеет сгущение в области пограничного слоя по нормали к поверхности, так что около 50% всех ячеек сосредоточено вблизи поверхности тела. Задача решается в два этапа. Сначала находится стацио-

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

у

0.15

0.05-

0

0.2

0.4

0.6

0.8

х

Рис. 1. Расчетная область и изобары

Рис. 2. Схема восприимчивости гиперзвукового пограничного слоя к энтропийным или вихревым возмущениям:

1 — головной скачок; 2 — волны в набегающем на тело потоке; 3 — волны в пограничном слое

нарное решение для продольного обтекания пластины. На втором этапе, после того, как стационарное решение обтекания плоской пластины рассчитано с достаточной точностью, в набегающий поток вносится плоская монохроматическая волна энтропии или завихренности (рис. 2) с помощью возмущений зависимых переменных:

(и', V, p',T')) = (|u'|, |v'| ,| p'\, \T 'I)) exp [ (kxx + kyy-/t)],

где |u'|, V '|, |p '|, |T'I — безразмерные амплитуды возмущений продольной и вертикальной скорости, давления и температуры, связанные соотношениями:

а) для волны энтропии

б) для волны завихренности

Здесь 0 — угол наклона фронта волны (рис. 2); 8 — малый параметр, характеризующий амплитуду волны; kx = kx cos 0, ky = -kx sin 0 — компоненты волнового вектора; ю = ю*Z*/U^ —

безразмерная частота; kx = ю / cos 0 .

Следует отметить, что волны энтропии и завихренности сносятся потоком вне зависимости от угла наклона фронта волны, т. е. движутся вместе с потоком, а фазовая скорость этих волн в однородном потоке cx = 1. Возмущения давления в них отсутствуют.

Возмущения температуры на поверхности пластины T'(y = 0) = 0, т. е. в нестационарной задаче температура стенки была равна температуре теплоизолированной стенки, полученной при решении стационарной задачи: Tw (x, t) = Tad (x).

В набегающем потоке возмущения имели малую амплитуду 8 = 5 -10-4, обеспечивающую линейный процесс восприимчивости, и безразмерную частоту ю = 260, соответствующую частотному параметру F = ю/Re = 1.3 • 10-4 . Заметим, что амплитуда возмущений должна быть много больше погрешности численного решения стационарной задачи. Следовательно, для малых амплитуд возмущений решение стационарной задачи должно быть получено с большой точностью (на два порядка меньше, чем 8). Это сильно увеличивает время, необходимое для расчета невозмущенного поля течения. Уравнения Навье — Стокса интегрировались до момента, когда нестационарное решение выходит на установившийся периодический режим.

2. ЭНТРОПИЙНЫЕ ВОЛНЫ

Сначала было проведено численное моделирование восприимчивости гиперзвукового пограничного слоя к энтропийным волнам с различными углами наклона 0. При 0 = 0 фронт

Рис. 3. Мгновенное поле возмущения температуры (а) и давления (б), индуцированные энтропийной волной с 0 = -40°

волны в набегающем потоке перпендикулярен пластине. Типичные картины мгновенных полей возмущений температуры и давления, индуцированных энтропийной волной при 0 = -40°, представлены на рис. 3, а, б соответственно. Поле возмущений определяется как разность между решениями нестационарной (в заданный момент времени) и стационарной задач.

Видно, что скачок слабо меняет картину температурных возмущений вне пограничного слоя: угол наклона волн изменяется на несколько градусов, амплитуда возмущений за скачком немного подрастает (5 — 10%). Такой эффект взаимодействия малых возмущений с ударной волной согласуется с результатами линейной теории [14]. Наиболее сильные возмущения видны около поверхности, где прошедшие через скачок возмущения взаимодействуют с пограничным слоем.

Картина возмущений давления (рис. 3, б) показывает, что вверх по потоку от скачка их практически нет (согласно линейному приближению волны энтропии не вызывают возмущений давления в однородном потоке). Однако вниз по потоку от скачка видны осцилляции давления, связанные с акустическими волнами. Это также согласуется с линейной теорией [14]: за скачком образуются все три вида малых возмущений, включая акустические. Наиболее сильные осцилляции давления наблюдаются внутри пограничного слоя в области х > 0.8 . Между зоной внешних акустических волн и пограничным слоем существует зона «молчания», в которой возмущения давления практически отсутствуют.

Развитие возмущений удобно иллюстрировать диаграммой фазовых скоростей сх (х) для различных мод (рис. 4). Прямые 1 и 2 показывают фазовую скорость быстрых звуковых волн в однородном потоке (сх^ = 1 +1 / ) и медленных волн (с^ = 1 -1 / М) с углом наклона 0 = 0 .

Кривые 3 и 4, рассчитанные по линейной теории устойчивости [5], показывают фазовые скорости быстрой моды (Б) и медленной моды (8) пограничного слоя. Такая терминология обусловлена тем, что при х ^ 0 фазовая скорость быстрой (медленной) моды стремится к предельной фазовой скорости сх^ быстрой (сХ5 медленной) акустической волны. Данная классификация предложена в [5]. В отличие от классификации Мэка [16], она позволяет однозначно определить моды дискретного спектра во всей области течения. В рассматриваемом примере мода 8 синхронизуется с модой Б (см. рис. 4) около точки х « 0.7. Вверх по потоку мода 8 соответствует первой моде, а ниже по потоку — второй моде по терминологии Мэка.

Фазовые скорости, полученные в ходе численного моделирования, приближенно вычислялись по формуле сх (х) = юДх/п , где Ах — расстояние между нулями функции возмущения давления на стенке р'№ (х).

Рассмотрим случай, когда возмущения внутри пограничного слоя индуцируются энтропийной волной с 0 = -40°. Попавшие в пограничный слой возмущения около передней кромки возбуждают моду 8. Во всей рассматриваемой области фазовая скорость возмущений в пограничном слое (кривая 6 на рис. 4) близка к фазовой скорости моды 8, полученной на основе линейной тео-

1.2

1.1

0.9-

0.8-

\.Р 1

5

б .1

2

0.25

0.5

0.75

Рис. 4. Диаграмма фазовых скоростей в случае внешней энтропийной волны с 0 = -40°:

фазовые скорости быстрой

Рис. 5. Возмущения давления на пластине, индуцированные энтропийной волной с 0 = -40°

рии устойчивости [5], что означает доминирование возмущений моды 8 в пограничном слое. Это говорит о том, что образовавшиеся за скачком акустические волны генерируют в пограничном слое более сильные возмущения, чем энтропийные или вихревые волны.

Вниз по течению при x > 0.7 мода 8 соответствует второй моде по терминологии Мэка и становится неустойчивой, а ее амплитуда растет. Максимальная амплитуда возмущений достигается при x « 0.9 . Это хорошо видно на рис. 5, где показана зависимость возмущения давления на пластине от координаты x в заданный момент времени.

Доминирование моды 8 также подтверждается наличием веретенообразной структуры в поле возмущений температуры и двухъячеистой структуры в поле возмущений давления (рис. 6, а, б). Такие картины характерны для второй моды [15].

При всех рассмотренных 0 взаимодействие энтропийных волн с головным скачком ведет к образованию акустических возмущений вниз по потоку от скачка, которые и вызывают наибольшие возмущения внутри пограничного слоя. Однако в зависимости от 0 взаимодействие происходит по-разному. За скачком образуются как быстрые, так и медленные акустические волны. При отрицательных 0 (как и в рассмотренном случае 0 = -40°) за скачком доминируют медленные акустические волны, фазовая скорость которых близка к моде 8.

При положительных 0 вниз по потоку от скачка доминируют быстрые акустические волны. Их фазовая скорость близка к фазовой скорости моды Б пограничного слоя. Это можно видеть

Рис. 6. Веретенообразная структура в поле возмущений температуры (а) и двухъячеистая структура в поле возмущений давления (б), индуцированные энтропийной волной с 0 = -40°, 0.85 < х < 0.95

Рис. 7. Диаграмма фазовых скоростей в случае внешней энтропийной волны с 0 = 40°; обозначения те же, что на рис. 4

Рис. 8. Возмущения давления на пластине, индуцированные энтропийной волной с 0 = 40°

на рис. 7, где приведена диаграмма фазовых скоростей при 0 = 40° . Кривая 6, обозначающая полученную в расчетах фазовую скорость возмущений давления на пластине, в области х < 0.7 колеблется около фазовой скорости моды Б (кривая 3 на рис. 7). Эти осцилляции вызваны тем, что здесь присутствует несколько типов возмущений (акустические волны, возмущения моды Б) с примерно одинаковой амплитудой, которые являются устойчивыми. Это подтверждается распределением давления на пластине, показанным на рис. 8, где возмущения при х < 0.7 не растут.

В области х « 0.7 мода Б синхронизируется с модой 8 и возбуждает последнюю через механизм межмодового обмена [17]. Поэтому при х > 0.7 присутствуют возмущения моды 8, которые растут вследствие неустойчивости и являются доминирующими. Фазовая скорость, полученная в численном моделировании, при х > 0.7 близка к фазовой скорости моды 8 (кривая 6 на рис. 7 близка к кривой 4), а возмущения давления на стенке в этой области растут (рис. 8).

Таким образом, в зависимости от угла 0 происходит разное взаимодействие внешних возмущений с головным скачком. Оно ведет к образованию за скачком акустических волн с разной амплитудой и фазовой скоростью. В результате зависимость амплитуды возмущений в пограничном слое от 0 носит немонотонный характер. На рис. 9 приведена зависимость максимальной

амплитуды возмущений давления на стенке р'№тах = тах(р'№ (х)) в зависимости от 0 . Максимальное значение р'ктах достигается при 0 = -50° .

Следует отметить, что при приближении 0 к ±90° длина волны возмущений Ху в вертикальном направлении в набегающем потоке стремится к нулю. Поэтому при увеличении 0 уменьшается количество ячеек, приходящихся на Xу . Таким

образом, при > 60° результаты расчетов носят качественный характер, а амплитуда возмущений вычисляется с ошибкой, которая увеличивается с ростом 0. При этом не меняется количество ячеек, приходящихся на длину волны в продольном направлении Xх, а волна сно- Рис. 9. Максимальная амплитуда возмущения давления на пластине,

индуцированная энтропийной волной с различными углами сится набегающим потоком вдоль оси х. наклона

3. ВИХРЕВЫЕ ВОЛНЫ

Было проведено численное моделирование восприимчивости гиперзвукового пограничного слоя к вихревым волнам с различными углами наклона 0. Схема течения соответствует рис. 2. Картины мгновенных полей возмущений аналогичны рассмотренным в п. 2. В набегающем потоке присутствуют волны завихренности, но нет возмущений давления и температуры. При прохождении через головной скачок волны завихренности слабо меняют угол наклона и амплитуду. Однако из-за этого взаимодействия вниз по потоку от скачка образуются все виды малых возмущений, в том числе и акустические волны. Акустические волны проникают в пограничный слой и генерируют там возмущения.

Рис. 12. Максимальная амплитуда возмущения давления на пластине, индуцированная вихревой волной с различными углами наклона

Рис. 10. Диаграмма фазовых скоростей в случае внешней вихревой волны с 0 = -30°

же носит немонотонный характер. На рис. 12 приведена зависимость р'м значение р'к тах достигается при 0 = -3О°.

Рис. 11. Возмущения давления на пластине, индуцированные вихревой волной с 0 = -30°

На рассмотренных режимах за скачком присутствуют медленные акустические волны, поэтому фазовая скорость возмущений в пограничном слое колеблется около фазовой скорости моды 8. Типичный пример распределения сх (х) приведен на рис. 10 для 0 = -30° . Распределение возмущений давления на стенке для этого случая представлено на рис. 11. В целом можно считать, что сценарий восприимчивости схож с представленным на рис. 4 и 5. Такая же ситуация наблюдается и при других 0. Сценарий, указанный на рис. 7 и 8, для волн завихренности на исследованных режимах не реализуется.

В зависимости от угла 0 происходит разное взаимодействие внешних возмущений с головным скачком. В результате зависимость амплитуды возмущений в пограничном слое от 0 так-

от 0. Максимальное

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выполнено численное моделирование восприимчивости гиперзвукового пограничного слоя на плоской пластине с острой передней кромкой к энтропийным и вихревым возмущениям. Рассмотрены физические механизмы восприимчивости к двумерным монохроматическим медленным и быстрым волнам в широком диапазоне положительных и отрицательных углов наклона к пластине.

Скачок уплотнения, образующийся около передней кромки, оказывает значительное влияние на процесс восприимчивости. При прохождении через него волны энтропии или завихренности слабо меняют угол наклона и амплитуду. Однако из-за этого взаимодействия вниз по потоку от скачка образуются все виды малых возмущений, в том числе и акустические волны. Акустические волны проникают в пограничный слой и генерируют там наибольшие возмущения по сравнению с возмущениями, генерируемыми прошедшими волнами энтропии и завихренности.

Существенными являются следующие факторы: интенсивность акустического поля вниз по потоку от скачка из-за интерференции набегающей внешней волны со скачком, проникновение акустической волны в пограничный слой, синхронизация падающей волны с неустойчивой модой в пограничном слое. Их взаимодействие ведет к немонотонной зависимости уровня восприимчивости от угла наклона внешней волны при заданных параметрах пограничного слоя.

Оказалось, что в случае внешних волн энтропии с отрицательными углами наклона в пограничном слое генерируются возмущения моды S, а с положительными углами наклона — возмущения моды F. В случае внешних волн завихренности внутри пограничного слоя генерируются возмущения моды S при всех рассмотренных углах наклона. При этом максимальные возмущения в пограничном слое достигаются при 9 = -50° в случае энтропийной волны и при 9 = -30° в случае вихревой волны.

Автор выражает глубокую благодарность Федорову А. В. и Егорову И. В. за помощь и обсуждение работы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 10-01-00516).

ЛИТЕРАТУРА

1. Reshotko E. Boundary-layer stability and transition // Ann. Rev. Fluid Mech. 1976. V. 8, р. 311 — 349.

2. Malik M. R., Z a n g T., Bushnell D. Boundary layer transition in hypersonic flows // AIAA Paper 90-5232. 1990.

3. Mack L. M. Linear stability theory and the problem of supersonic boundary layer transition // AIAA J. 1975. V. 13, p. 278 — 289.

4. Гапонов С. А. Взаимодействие сверхзвукового пограничного слоя с акустическими возмущениями // Изв. АН СССР. МЖГ. 1977. № 6, с. 51—56.

5. F e d o r o v A. V. Receptivity of a high-speed boundary layer to acoustic disturbances // J. Fluid Mech. 2003. V. 491, p. 101 — 129.

6. Ma Y., Z h o n g X. Receptivity of a supersonic boundary layer over a flat plate. Part 2. Receptivity to free-stream sound // J. Fluid. Mech. 2003. V. 488, p. 79 — 121.

7. Егоров И. В., Судаков В. Г., Федоров А. В. Численное моделирование восприимчивости сверхзвукового пограничного слоя к акустическим возмущениям // Изв. РАН. МЖГ. 2006. № 1, с. 42 — 53.

8. Malik M. R., Balakumar P. Receptivity of supersonic boundary layers to acoustic disturbances // AIAA Paper 2005-5027. 2005.

9. Судаков В. Г. Численное моделирование влияния угла наклона акустических волн на восприимчивость гиперзвукового пограничного слоя // Ученые записки ЦАГИ. 2010. Т. XLI, № 3, с. 31 — 41.

10. Ma s l o v A. A., Shiplyuk A. N., Sidorenko A., Arnal D. Leading-edge receptivity of a hypersonic boundary layer on a flat plate // J. Fluid Mech. 2001. V. 426, p. 73 — 94.

11. Zhong X. Receptivity of hypersonic boundary layers to freestream disturbances // AIAA Paper 2000-0531. 2000.

12. Zhong X. Leading-edge receptivity to free-stream disturbance waves for hypersonic flow over parabola // J. Fluid Mech. 2001. V. 441, p. 315 — 367.

13. Ma Y., Zhong X. Receptivity of a supersonic boundary layer over a flat plate. Part 3. Effects of different types of free-stream disturbances // J. Fluid. Mech. 2005. V. 532, p. 63 — 109.

14. Дьяков С. П. Взаимодействие ударных волн с малыми возмущениями. 1 // ЖЭТФ. 1957. Т. 33, № 4 (10), с. 948 — 961.

15.Egorov I. V.,Fedorov A. V., Soudako v V. G. Direct numerical simulation of disturbances generated by periodic suction-blowing in a hypersonic boundary layer // Theoret. Comput. Fluid Dynamics. 2006. V. 20, № 1, p. 41 — 54.

16. Mack L. M. Boundary layer stability theory // JPL Rep. 1969. № 900-277. Part B.

17. F e do r o v A. V., Kho kh lo v A. P. Prehistory of instability in a hypersonic boundary layer // Theoret. Comput. Fluid Dynamics. 2001. V. 14, № 6, p. 359 — 375.

Рукопись поступила 20/IV 2012 г.