Критерий возвратности случайного блуждания в случайной среде на полосе

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 519.21

А.В. Лётчиков

д-р физ.-мат. наук, профессор, кафедра математических методов экономики, ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет»,

г. Ижевск

Н.А. Неклюдова

аспирант,

кафедра математических методов экономики, ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет»,

г. Ижевск

КРИТЕРИИ ВОЗВРАТНОСТИ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ НА ПОЛОСЕ

Аннотация. В статье рассмотрен процесс случайного блуждания в случайной среде на полосе с ограниченными прыжками. Для такого процесса выписан критерий возвратности в терминах показателей Ляпунова соответствующей последовательности трансфер-матриц.

Ключевые слова: случайное блуждание в случайной среде, трансфер-матрица, мультипликативная эргодическая теорема, показатели Ляпунова.

A.V. Letchikov, Udmurt State University, Izhevsk

N.A. Nekludova, Udmurt State University, Izhevsk

RECURRENCE CRITERION FOR RANDOM WALK IN RANDOM ENVIRONMENT ON THE STRIP

Abstract. We consider the process of random walk in random environment on the strip with bounded jumps. The recurrence criterion for such process is written in terms of the Lyapunov exponents of corresponding sequence of transfer matrices.

Keywords: random walk in random environment, transfer matrix, multiplicative ergodic theorem, Lyapunov exponents.

В настоящей статье мы изучаем поведение дискретных случайных блужданий в случайных средах. Случайное блуждание является общепризнанной моделью, используемой для описания различных процессов, например, распространения тепла или диффузии вещества в какой-либо среде. Однако во многих практических задачах среда, в которой происходит движение системы, может быть нерегулярной вследствие различных дефектов, наличия примесей, неустойчивости структуры и т. д. Такие «неоднородности» было бы естественно моделировать, рассматривая локальные характеристики движения как случайные, соответствующие определенному вероятностному распределению, что приводит нас к процессу случайного блуждания в случайной среде. Под таким стохастическим процессом принято понимать некоторую цепь Маркова, переходные вероятности которого являются случайными.

Как показывают результаты многочисленных научных исследований (см., например, обзор [1]), предельное поведение случайного блуждания в случайной среде достаточно разнообразно, а сами исследования требуют применения специальных методов теории вероятностей, теории разностных уравнений и математического анализа. Хотя сам процесс случайного блуждания в случайной среде не является цепью Маркова, как правило, для почти каждой среды он обладает некоторым свойством характерным для цепи Маркова, например, свойством возвратности. Необходимое и достаточное условие возвратности для одномерного случайного блуждания в случайной среде было выписано в различных терминах в работах Ф. Соломона [2], Э. Ки [3], А.В. Лётчикова [4].

Введение

Существенно более сложной является задача исследования на возвратность случайного блуждания в случайной среде на полосе. В настоящей статье под полосой понимается множество У = Ъдвумерных точек с целочисленными координатами. Для такого случайного процесса возвратность была исследована Э. Болтхаузеном и И. Гольдшейдом в работе [5]. Ими была построена последовательность положительных случайных матриц, определяемых случайной средой. В терминах старшего показателя Ляпунова ими был выписан критерий возвратности для случайного блуждания в случайной среде на полосе, когда переходы за единицу времени возможны только в соседние вершины.

Целью настоящего исследования является доказательство критерия возвратности случайного блуждания в случайной среде на полосе с ограниченными прыжками в терминах среднего показателя Ляпунова, соответствующего последовательности так называемых трансфер-матриц, построенной на пространстве случайных сред. Показано, что данный критерий обобщает результаты, полученные ранее, и позволяет получить условие возвратности случайного блуждания в случайной среде на двух линиях, при котором на первой линии имеется линейный снос вправо, а на второй - линейный снос влево.

Построение случайного процесса

Пусть случайная среда определяется вероятностным пространством (О,Т,Р), которое в дальнейшем будем называть пространством сред. Будем предполагать, что на пространстве сред задан автоморфизм Т: О  О, сохраняющий меру Р: для любого

а(*1)(у1)() = Лх-1/)(у-11)(Тю) Р(ТА) = Р(Т^А) = Р(А). Преобразование Т определяет динамическую систему на пространстве сред. Будем полагать, что она является эргодической.

Пусть Я , I, d - натуральные числа. Обозначим й = {1,2,...,^}, С = {-Ц+ 1,...,Я}. Пусть на пространстве сред задано семейство измеримых функций

а

удовлетворяющих следующим условиям: для любых /,V е й, к е С , юеО

для любых / е й , юеО

а

XX а

V=1 к=-1

Для каждой фиксированной среды ю преобразование Т и семейство функций а(ю) определим процесс случайного блуждания в среде ю на полосе следующим образом. Пусть полоса У = Ъхй является пространством состояний однородной цепи Маркова

{х(/) = (х (/),Х2 (/)), х (/) е Ъ, Х2 (/) е й, t е Т} , Т = {0,1,.}.

Предполагается, что х(0) = (0,1). Матрица вероятностей переходов А(ю) случайного блуждания в среде ю на полосе определяется следующим образом: для любых (х,/)е У и

(У, V) е У

Га(/,у - х,у,Тхю), если -1 < у - х < Я,

А

[ 0 иначе.

Заметим, что условия (2-3) гарантируют стохастичность матрицы А (ю). В силу (4) легко

увидеть, что рассматриваемое случайное блуждания в среде ю имеет ограниченные прыжки за единицу времени.

Пусть X = Ут - пространство траекторий случайного блуждания на полосе, X - о -алгебра его подмножеств, порожденная цилиндрическими множествами. Обозначим через тю вероятностное распределение случайного блуждания в среде ю, заданное на измеримом пространстве (X,X). Для любого события В е X определим вероятность

т

где Е означает математическое ожидание по мере Р. Тогда т является вероятностным распределением на измеримом пространстве (X, X). Такое распределение определяет некоторый случайный процесс на фазовом пространстве (X,X) и временном пространстве Т = {0,1,...}.

Построенный процесс назовем случайным блужданием в случайной среде на полосе У .

Необходимо подчеркнуть, что построенный таким образом процесс случайного блуждания в случайной среде не является цепью Маркова, поскольку т в общем случае не удовлетворяет марковскому свойству. Однако нетрудно заметить, что если для события В е X т(В) = 1, то его т-вероятность также равна единице для почти всех ю (по вероятности Р). Следовательно, мы можем говорить, что случайное блуждание в случайной среде обладает некоторым свойством, характеризующим цепь Маркова, если для почти каждой среды ю это свойство выполнено для случайного блуждания в среде ю. Например, случайное блуждание в случайной среде возвратное, если возвратным является случайное блуждание в почти всех средах.

Пусть О0 с О - множество сред, в которых случайное блуждание неразложимо, и вся полоса У принадлежит одному классу сообщающихся состояний. Это означает, что частица, блуждающая в среде ю, достигает любую точку (О,Т,Р) из любой точки (х,)) е У за несколько переходов с положительной тю -вероятностью тогда и только тогда, когда юеО0. Поскольку п -ая степень Ап (ю) матрицы А(ю) определяет вероятности перехода за п шагов, для любых (х,/),(у,})е У существует натуральное п такое, что ААХх))(уу) (ю) > 0 .

Для любой неразложимой цепи Маркова имеют место только одна из двух возможностей: все сообщающиеся состояния являются возвратными, либо все сообщающиеся состояния являются невозвратными. Поэтому множество О0 неразложимых сред можно представить в виде объединения двух непересекающихся подмножеств О0 =О1 иО2, где О1 - подмножество возвратных сред, О2 - подмножество невозвратных сред.

Очевидно, что свойства неразложимости и возвратности сохраняются под действием преобразования Т, поскольку матрица А(Тю) получается из матрицы А(ю) сдвигом строк:

А(х/)(у;) (ю) = А(х_1/)(у_1 ])(Тю). Следовательно, построенные множества О0, О1 и О2 инвариантны относительно Т: ТО, = О,, ) = 0,1,2. Поскольку преобразование Т эргодично, справедлив следующий закон «нуля и единицы».

Теорема 1. Для построенного случайного блуждания в случайной среде на полосе возможен только один из трех следующих случаев:

1) (вырожденный случай) Р(О0) = Р(О1) = Р(О2) = 0,

2) (возвратный случай) Р(О0) = Р(О1) = 1, Р(О2) = 0 ,

3) (невозвратный случай) Р(О0) = Р(02) = 1, Р(01) = 0 .

Цель настоящей работы - выписать достаточные условия на распределение случайной среды, при которых Р (О0 ) = 1, а также найти необходимые и достаточные условия возвратности, когда Р (01) = 1.

Трансфер-матрица

Матрица А(ю) является марковским оператором случайного блуждания в среде ю на полосе, действующим стандартно на пространстве числовых последовательностей {и(х,/), (х,/) е У}: обычным образом

й Я

у=1 к=-1

Далее под гармонической функцией и = {и(х,/), (х,/)е У}, соответствующей случайному блужданию в среде ю, будем понимать неподвижную (необязательно положительную) точку Марковского оператора А(ю)и = и. Другими словами, гармоническая функция

и = {и(х,/), (х,/)е У} является решением следующей бесконечной системы уравнений:

й Я

и

у=1 к=-1

Последовательность и = {и(х,/), (х,/)е У0} является гармонической функцией на подмножестве У0 с У , если равенства (7) выполнены для всех (х,/)е У0.

Перепишем (7), используя свойство (3):

й Я

Ё Ё а

у=1 к=-1

Представим разность и (х + к, у)-и (х,/) в виде суммы приращений по каждому аргументу:

и (х + к, у)- и (х, /) = (и (х + к, у)- и (х, у )) + (и (х, у)- и (х, /)).

Подставляя в (8), получаем

Ё ЁЁ а(/,к,у,Тхю)(и(х + к,у)-и(х,у)) +

у=1 к=-1

+Ё Ь (/, у,Тх ю) (и (х, у)-и (х,/)) = 0,

у=1

где

Ь

Обозначим приращения гармонической функции и (х,/) по каждому аргументу следующим образом:

V(х,/) = и(х +1,/)-и(х,/), хе Е, / е О,

ж (х,/) = и (х,/ +1)-и (х,/), х е Е, / е О* ={1,к,й -1}.

В случае если й = 1, приращения по второму аргументу отсутствуют. Из (11) следует, что

к=-1

u (х + к, i)-u (х,/) =

XV (x + п,/), если k > 0,

п=0 -1

-X V (х + п, /), если к < 0,

к

¡-1 /-1 и ( х,} )-и ( х, /) = X М ( х^ )-X™ ( х,5 ) .

5=1 5=1

Я

Рассмотрим каждую из сумм X а(/,к,1,Тхю)(и(х + к,1)-и(х,1)) по отдельности. Под-

к=-1

ставляя (12) и меняя порядок суммирования, получаем

Я

X а(/,к,],Тхю)(и(х + к,1)-и(х,1)) =

к=-1

Я к -1 -1 -1

= Xа(/,к,1,Тхю)XV(х + п,1)- X а(/,к,1,Тхю)XV(х + п,1) =,

к=1 п =0 к=-1 п=к

Я-1 -1

= Xс(/,к,¡,Тхю)v(х + п,1)- X с(/,к,¡,Тхю)v(х + п,1),

п=0 п=-1

где для любых /,1 е й и п е {-£,..-1}

Я

Xа(/,к,¡,ю), если 0 < п < Я -1,

к=п п

X а(/,к,¡,ю), если -1 < п <-1.

и

Используя (13-15) можно записать (9) через приращения V (х, /) и м (х, /) гармонической функции и (х,/):

с (/,п, ¡,ю) =

й / Я-1

XI Xс(/,п,¡,Тхю)V(х + п,1)- X с(/,п,¡,Тхю)v(х + п,1) | +

1 =1 V п=0

1=1

п =-1

й (1 -1 /-1 I

X Ь (/, 1,Тх ю) IX™ (х,5)-X М ( х,5 )| = 0.

ч Э=1 Э=1

Введем некоторые обозначения. Пусть

' V ( х,1) 1 ' М (х,1) "

V (х ) = е Кй, м (х) =

ч V (х,й) ) ч М (х,й -1) у

е Кй-1.

Обозначим через Ек единичную матрицу размерности кхк, к = й -1, й. Пусть С(п,ю) = |с(/,п,1,ю)} и В(ю) = |Ь(/,¡,ю)} - матрицы размерности йхй. Определим матрицу Н = |Л(/, 1)} размерности (й- 1)хй и матрицу Р = |^(/, 1)} размерности йх(й-1) по следующим формулам:

для / = 1,...,й -1, 1 = 1,...,й

1, если 1 = / +1,

-1, если 1 = /, .

0 иначе.

Л (/, 1 ) =

для / = 1,...й, 1 = 1,...,й -1

' (/,1 )={1;

1, если 1 < /, 0, если 1 > /.

Перепишем (16) в векторной форме

Я-1 -1

п=0 п=-Ц

По определению V(х,/) и w(х,/) для любых / = 1,...^-1, хе 2

w

или в векторной форме

w

где матрица Н = {Л (/,у)} определяется (17). Рассмотрим вектор

' w(х + 1) " г(х) = (х + * -1) е К-, ч V (х -Ц + 1) ,

где М = d (Я +Ц)-1. По формулам (19) и (21) можно записать

г

где V: О а(М,Я) - измеримая матричная функция, состоящая из следующих блоков {V{Ш '(ю), к,1 = 0,1,...,Я +Ц -1} разной размерности:

V

V(0Я )(ю) = -Н

, размерности

V(0J>(ю) = 0, если у ф 0,Я] '

V(/0)(ю) = 0, если / ф 0,Я +Ц -1 , ^

, ,п, , , размерности dх^-1),

ИЯ+ц-1'0)(ю) = С-1(-Ц,ю)(В(ю) - Е(1 )F Н 1 ;

V(//+1) (ю) = Ед, если 0 < / < Я +Ц -1,

-d >

-1/

размерности d х d .

V(Я+1-х')(ю) = С-1(-1,ю)С(Я - у,ю), если 0 < у < Я, V (я) (ю) = с-1 (-ц, ю)(С(0, ю) - (В(ю) - Еd )FH) V(Я+ц-1у)(ю) = -С-1(-Ц,ю)С(Я - у,ю), если Я < у, V(/-у)(ю) = 0 иначе.

По построению V (ю) зависит только от заданного семейства функций (3), а значит, каждая среда ю определяет последовательность обратимых матриц V(Тхю). Индуктивно продолжая (22), получаем

( ) = ¡V(Т 1+хю^(Т2+хю)-^(ю)г(0,ю), если х > 0, х,ю = ¡^(Т"ю)V_1(Тх-1ю)• -V_1 (Тю)г(0,ю), если х > 0.

Координаты вектора г(х,ю) определяются парой функций (V(х,/),w(х,/)), удовлетворяющих соотношениям (16) и (20). Поэтому для любой фиксированной среды ю существует взаимно-однозначное линейное отображение М -мерного пространства решений (16) и (20) в пространство 1КМ начальных векторов г (0,ю).

Согласно (11) любое решение и(х,/) системы (7) определяет единственное решение (V(х,/(х,/)) уравнений (16) и (20), а значит, вектор г(0,ю)е КМ. Покажем, что верно и обрат-

ное, т. е. что любой начальный вектор г(0,ю)е однозначно определяет решения и(х,/) системы (7) с точностью до константы. Как отмечалось выше, существует взаимно-однозначное соответствие между векторами г (0, ю) и решениями (V (х, / ),м (х,/)) уравнений (16), (20). Далее,

обозначим Уа (х) (а е Ъ) й -мерный вектор

иа (х) =

Рм(х) + XV(у), если х > а,

у=а

Рж(х), если х = а,

а-1

Рж(х) - X V(у), если х < а.

у=х

Функции {иа(х,/) + Г} удовлетворяют (11) для любой постоянной Г и, следовательно,

являются решением (7). Более того, возможны и бесконечно большие значения параметра а в следующем смысле. Предположим, что среда ю такова, что найдется некоторое положительное у, для которого

1 и и

Птэир—!п|\г(-п,ю)|| < -у < 0.

Л+™ П 1

В этом случае неравенство Птэир—!п|V(-п)|| <-у< 0 также выполнено. Отсюда следу-

П+™ П

х-1

ет, что суммы и(х,/) = X V(у,/) (/ е й) сходятся и определяют гармоническую функцию и(х,/),

У =-¥

соответствующую случайному блужданию в среде ю. Критерий возвратности

В начале этого раздела мы выпишем достаточные условия неразложимости случайного блуждания в случайной среде на полосе.

Пусть Вп (ю) = |Ь(п) (/, 1,ю), /, 1 е й} - п -ая степень матрицы В(ю), определяемой (10).

Для любых / е й и юе О обозначим

&>(ю) = {к ф 0, а(/, к,/,ю) > 0}.

Предположим, что выполнены следующие условия.

(С1) 1) для любых /, 1 е й существует натуральное п такое, что

Ь(п)(/, 1,ю) > 0 Р - п.н.

2) для любого / е й

&)(ю) п[1,Я]ф0, в(/)(ю) п[-1,-1]ф0 Р- п.н.

3) для любого / е й найдется неслучайное подмножество С(/) с О (0й 0(1)) такое, что НОД О) = 1 и О) с О(/)(м) Р-п.н.

Теорема 2. Если условия (С1) выполнены, то для почти всех ю (относительно Р) случайное блуждание в среде ю неразложимо и полоса У составляет единственный класс сообщающихся состояний.

Доказательство приводится в приложении.

Сформулируем известную мультипликативную эргодическую теорему Оселедца [6] применительно к построенной последовательности случайных матриц {У(Тхю)}.

Мультипликативная эргодическая теорема (Оселедец). Пусть (О, Т,Р) - вероятностное пространство, заданное вместе с эргодической стационарной динамической системой Т.

Пусть V(ю) - измеримая функция V : W  GL(M,R) такая, что

Тогда найдутся неслучайные числа

< 11 < 12 < ... < 1M < +¥,

называемые показателями Ляпунова, и неслучайная последовательность строго возрастающих индексов

1 = i1 < i2 <... < iN+1 = M +1 таких, что l, < 1(. (k = 1,...,N -1) и l, = 17 при ik < i < 7 < ik+1 (k = 1,...,N), а также единственное (P-п.н.) случайное разложение RM на подпространства

W1  W2 8...8 WN = RM

такое, что dim Wk = ik+1 - ik, и если r e Wk, то

1 и ii

lim —rln \v(T1+xw)V(T2+xю)...\(ю)г = 1. P - п.н.,

X-¥ ^ " II 'k

1

lim —ln \V~1(TXw)V-\TX-1m)...V~1(Tm)r = -1 P- п.н.

X-¥ x У II lk

Предположим, что выполнены также следующие неравенства.

(С2) Eln||c~1(R-1,ю)|| <+¥, E ln||с -1(-L,ю}ц <+¥ , где элементы матриц C~1(R-1,ю), C^1(-L,rn) определяются по формуле (15).

В этом случае теорема Оселедца может быть применена к матричной функции V (ю).

Следующее утверждение является основным результатом настоящей работы. Теорема 3 (Критерий возвратности). Предположим, что выполнены условия (С1-С2). Пусть 11 <12 < ... <1(R+L)d-1 - показатели Ляпунова последовательности {V(TXю)} трансфер-

матриц (23-26). Тогда имеет место один из трех случаев.

1. Если 1Rd > 0, то случайное блуждание в случайной среде на полосе невозвратно и

m{ lim x1(f) = +¥} = 1.

2. Если 1Rd = 0, то случайное блуждание в случайной среде на полосе возвратно и

m{ lim inf x1(f) = -¥, lim supx1(t) = +»} = 1.

U +¥ t +¥ J

3. Если 1Rd > 0, то случайное блуждание в случайной среде на полосе невозвратно и

l^lim x1(t) = -¥} = 1.

Таким образом, 1Rd = 0 является необходимым и достаточным условием возвратности случайного блуждания в случайной среде на полосе.

Замечание 1. Пункт 2 условия (С1) позволяет блуждающей частице перемещаться по каждой линии как угодно далеко влево или вправо с положительной mw -вероятностью (P -п.н.), т. е. гарантирует отсутствие отражающих барьеров. Вместе с пунктом 3 условия (С1) это обеспечивает неразложимость на каждой отдельной линии i e D. Согласно пункта 1 условия (С1) блуждающая частица может перемещаться с одной линии на другую. Интуитивно ясно, что при выполнении условий (С1), P(W0) = 1, где W0 - множество неразложимых сред, введенное ранее.

При этом условия (С1) не являются необходимыми для того, чтобы P(W0) = 1. Можно показать

множество примеров, когда Р(00) = 1, но условия (С1) не выполнены.

Замечание 2. Существуют более простые условия на случайную среду, при которых (С1-С2) выполнено. Например, (С1-С2) следуют из того, что Я и £ взаимно просты и выполнены следующие неравенства:

для любого / = 1,...,С

Е 1па(/,Я,/,ю) > -¥, Е 1п а(/,-Ц/,ю) > -¥,

для любого / = 1,...,С -1

Е 1п а(/,0,/ + 1,ю) > -¥, Е 1п a(d,0,/, ю) > -¥.

Доказательство критерия возвратности. Введем следующие вероятностные характеристики случайного блуждания в среде ю. Для целых чисел а,Ь,х (-¥< а < х < Ь <+¥),

/ е й через к+ь (х,/), (каЬ (х,/)) обозначим тю -вероятность того, что частица, блуждающая в среде ю выйдет из области {а,а + 1,...,Ь}хй через ее правую границу (левую границу, соответственно). Из строгой марковости случайного блуждания в среде ю следует, что эти функции являются решениями системы уравнений (7) на области {а,а +1,...,Ь}хй со следующими граничными условиями

к+Ь(х,/) = 1 - каЬ(х,/) = 0, если а - £ < х < а -1, / е й,

каЬ(х,/) = 1 - каЬ(х,/) = 1, если Ь +1 < х < Ь + Я, / е й.

Обозначим

(

к±Ь (х) =

к±Ь

к±Ь

е .

/

либо

Выпишем некоторые свойства введенных вероятностей, доказательство которых вынесено в приложение.

Лемма 1. Пусть выполнены условия (С1-С2). Тогда возможны только два случая: (Ы) найдется неслучайное число у1 > 0 такое, что

1 и и

Птэир—1п к10(-п) < У1 Р-п.н.,

П+™ П

(Ь2) для любого (х,/) е (-¥,0] х й

к-+¥,0(х,/) = 1 Р - п.н.

Лемма 2. Пусть выполнены условия (С1-С2). Тогда возможны только два случая: (М) найдется неслучайное число у2 > 0 такое, что

1 п - и Птэир—1п к-^п) <-у2 Р-п.н.

П+™ П

(К2) для любого (х,/) е [0, +¥)хй

к0-+¥ (х,/) = 1 Р - п.н.

Для доказательства критерия возвратности нам потребуются также следующие утверждения. Предложение 1. Пусть выполнены условия (С1-С2). Тогда

Кс < 0 ^

либо

Доказательство. Необходимо показать, что если 1Rd < 0 , то

1 и и

limsup-ln kl,o(x) £lRd P-п н.

П+¥ П

В соответствии с теоремой Оселедца, мы можем выбрать Rd линейно независимых случайных начальных вектора {г(k )(0, ю), k = 1,...,Rd] для которых

1 и и

где г(k )(x, ю) определяются через г(k )(0, ю) по формуле (27).

Пусть v(k\x,i) - ((R- 1)d + (i- 1))-ая координата вектора r(k)(-п,ю). Из (32) следует, что для любого (x,i) е Y, x < 0 , сумма бесконечного ряда

x-1

u

y = -¥

сходится. Как было показано ранее, в этом случае функция u(k )(x,i) является решением системы уравнений (7), а значит, и гармонической функцией. Более того, из (32) следует, что

1 и Ii

lim sup^ln|u

где u{k)(x) = {u(k)(x,i),iе D]e Rd. Поскольку {v(k)(x,i),(x,i)е Y} линейно независимы, полученные решения u(k )(x,i) также линейно независимы.

Теперь для каждого юе W рассмотрим набор Rd векторов

q

Предположим, что с положительной P -вероятностью эти векторы не образуют линейный базис Rd -мерного пространства. Покажем, что это предположение противоречит линейной независимости гармонических функций u(k)(x,i).

Пусть (a1,..., aRd) - набор отличных от нуля чисел таких, что

Rd

X akq{k) = 0.

k=1

Рассмотрим последовательность

Rd

ak

u(x,i) = Xaku(k)(x,i), u(x) = {u(x,i),i е D]е Rd.

k =1

В силу однородности уравнений (7) она является решением (7) на бесконечном прямоугольнике (-¥,0]хй с граничными условиями и(х,/) = 0 для (х,/)е[1,Я]хй.

Воспользуемся следующим следствием принципа максимума для субгармонической функции на конечном графе, доказанным Ю.И. Любичем и М.И. Табачниковым [7].

Принцип максимума. Пусть и(х,/) - гармоническая функция на [а,Ь]хй, соответствующая случайному блужданию в среде ю, т. е. решение системы (7) на [а,Ь]х й. Тогда

эир{|и(х,/)|,(х,/')е [а-1,Ь + Я]хй} = = эир{|и(х,/)|,(х,/)е [а- 1,а-1]хйи[Ь + 1,Ь + Я]хй}.

Этот принцип показывает, что максимум абсолютной величины гармонической функции в области [а -£,Ь + Я]хй достигается на ее границе.

Поскольку и(х,/) = 0 на правой границе прямоугольника [а,0]хй , из принципа макси-Т4 № 6-1 (46) - 2015

мума следует, что

Бир{||и(х)||,хе [а-1,И]}эир{|и(х,/)|,(х,/)е [а- 1,а-1]хО}. Устремляя а к -¥ и используя тот факт, что по (33) ||и(х)||  0 при а -¥ р-п.н., находим, что эир{|и(х)||,х е (-¥,Я]} = 0 и, следовательно, и(х,/) ° 0 на [-¥,И]хО. Однако последнее утверждение противоречит линейной независимости гармонических функций {и(к)(х,/)}. Значит векторы q(k) линейно зависимы Р -п.н. Следовательно, найдется набор чисел

(а1,...,аЯЙ) таких, что £а^(к) = е, где е - вектор, состоящий из единиц. Это значит, что если

к=1

положить и(х,/) = £аки(к)(х,/), то и(х,/) = 1 при (х,/)е[1,И]хО.

к=1

Рассмотрим разность и(х,/) - к+0(х,/). Во-первых, для любого целого а < 0 она является гармонической функцией на [а,0]хО и удовлетворяет принципу максимума. Во-вторых, эта разность тождественно равна нулю на правой границе [1,И]хО. Следовательно, из соотношения (30) и принципа максимума имеем

эир{и(х,/)-к+0(х,/),(х,/)е [а- ]хО} = эир{|и(х,/)|,(х,/)е [а- 1,а-1]хО}. Как и ранее устремим а к -¥ . Используя (33), получаем

к-¥,0(х,/) ° и(х,/) = £ аки(к)(х, /).

Отсюда из (33) следует, что неравенство (31) выполнено.

Покажем теперь, что утверждение, обратное Предложению 1, также справедливо. Предложение 2. Пусть выполнены условия (С1-С2). Тогда

(11) ^ < 0.

Доказательство. Из теоремы Оселедца следует, что для доказательства этого утверждения достаточно построить Иб начальных случайных вектора {г(к)(0,ю)}, для которых

1

Пт-!п г

П+¥ П II II

где г(к )(х, ю) определяются через г(к )(0, ю) по формуле (27).

Введем следующие обозначения. Пусть и(у,у)(х,/) - тю -вероятность того, что частица, блуждающая в среде ю и начавшая движение в точке (х,/)е (-¥,И]хО, достигнет множества [1,И]хО в точке (у,у). Обозначим и(у,у)(х) = {и(у,у)(х,/),/ е О}е . Очевидно, что

к+„0

-¥,0

у =1 у=1

Нетрудно увидеть, что и(у,у)(х,/), а также к+^0(х,/) являются гармоническими функциями на бесконечном прямоугольнике (-¥,И ] хО с граничными условиями! при (х,/) е [1,И]хО

(уУ)(„:л í1, если (х,/) = ^ У),

и

[0 иначе.

Повторяя рассуждения предыдущего раздела, мы можем построить начальные векторы г(к )(0, ю), линейно зависимые от гармонических функций и(у,у )(х,/) (здесь к = (у - 1)б + у). Координаты этих векторов г(к )(0,ю) определяются следующим образом: для к = (у - 1)б + у

V

где Н определяется (17).

Предположим, что г(к )(0, ю) линейно зависимы с положительной Р -вероятностью. Это

означает, что существует ненулевой набор чисел (а1,...,) таких, что Xакг(к)(0,ш) = 0 . Но это

к=1

б И

возможно в единственном случае, когда XXа(у-1^+;и(у,;)(х,/) °а является константой. Отсюда

1=1 у=1

из (37) и (38) следует, что для любого к ак = а и, следовательно, для любого (х,/)е (-¥,0]хй к-+¥0(х,/) = 1 с положительной Р -вероятностью. Последнее утверждение противоречит условию (И) Леммы 1. Следовательно, начальные векторы г(к)(0,ю) линейно независимы Р-п.н.

Осталось доказать, что начальные векторы соответствуют отрицательным показателям Ляпунова и выполнено (36). Нетрудно увидеть, что из (37) и (39) следует

||ш(к)(х +1)| < 21 и(у,1)(х +1)| < 21 к-¥,0 (х +1)||. Отсюда можно сделать вывод, что (И) влечет за собой (36) и, следовательно, < 0. Предложения 1-2 рассматривают поведение случайного блуждания в случайной среде на левой части полосы У. Аналогично доказывается утверждение о поведении случайного блуждания в случайной среде на правой части полосы У .

Предложение 3. Пусть выполнены условия (С1-С2). Тогда < 0 ^ (И1). Доказательство. Достаточно повторить аргументы доказательств предложений 1-2 для последовательности обратных матриц Vи(Тхю).

Доказательство критерия возвратности. Следующие утверждения являются очевидными следствиями предложений 1-3 и лемм 1-2:

< 0 (И),(И2),

> 0

= 0 (12),(И2).

Пусть < 0. Тогда согласно (40) выполнены (И) и (К2). Поскольку Т по определению сохраняет меру Р, к-¥Ь(х) и к-¥0(х-Ь) имеют одинаковое распределение. Поэтому мы можем заменить индекс 0 в (И) на произвольный конечный Ь. Мы получим, что с Р -вероятностью 1

1 и и

Птэир—1п к-+¥,ь

П+™ П

Аналогично, из (К2) следует, что с Р -вероятностью 1 для любого целого а и

Зафиксируем типичную среду ю такую, что (41-42) выполнены. Мы покажем, что

т„||1т х^) = -¥} = 1.

Выберем произвольно Ь < 0. Рассмотрим событие X(а) (а < Ь), состоящее в том, что блуждающая в среде ю частица достигнет множества (-¥,а -1]хй , а затем покинет множество (-¥,ь]хй . Ясно, что

mm (X(a)) £ sup{|,b (x)||,X e [a - L,a -1}.

b

Тогда из (41) следует, что £ (X(a)) < +¥.

В соответствии с леммой Бореля - Кантелли найдется случайное число a0 такое, что для любого a £ a0 событие X(a) не произойдет -п.н. Поскольку согласно (42) -вероятность того, что блуждающая частица достигнет множества (-¥,a0 -1]хD равна единице, мы получаем, что x1(t) £ b для t > t тю -п.н., где t = inf{t > 0 : x1(t) < a0} - момент первого выхода случайного блуждания из [a0, +¥хD. Следовательно, (43) выполняется. Несомненно, в этом случае случайное блуждание в среде ю невозвратно. Итак, третья импликация в критерии возвратности доказана.

Если повторить эти аргументы симметрично для правой стороны, несложно показать, что из (L2) и (R1) следует, что

m{ lim x1(t) = +«>} = 1

и, значит, доказана первая часть критерия возвратности.

Наконец, если 1Rd = 0, то (L2) и (R2) выполнены. Это означает, что для почти всех сред

ю (по мере P) с тю -вероятностью 1 блуждающая частица достигает любой далекий бесконечный прямоугольник как справа, так и слева. Следовательно,

u {liminf x1(t) = -¥,iimsupx1(t) = = 1 p - п.н.

l ' +¥ t +¥ j

В этом случае с -вероятностью 1 (P-п.н.) блуждающая частица бесконечно часто возвращается в некоторое конечное множество. Вместе с неразложимостью это доказывает возвратность случайного блуждания в случайной среде. Теорема доказана.

Примеры

1. Простое случайное блуждание в случайной среде на прямой. Пусть d = 1, R = L = 1. Легко видеть, что в этом случае рассматриваемая нами модель является моделью случайного блуждания в случайной среде на прямой с переходами вправо или влево на единицу. Возвратность такого процесса в случае, когда T - сдвиг Бернулли, исследовалась Ф. Соломоном в работе [2]. В этом случае трансфер-матрица V (ю) имеет вид:

a

V (ю) =

a

Единственный показатель Ляпунова 11 последовательности {и (Тх ю)} равен

следствием теоремы 3.

2. Случайное блуждание в случайной среде на прямой с конечными переходами. Пусть d = 1, Я и £ - в общем случае. Существует два различных, но эквивалентных критерия возвратности одномерного случайного блуждания в случайной среде с конечными скачками. Первый принадлежит Э. Ки [3] и записан в терминах показателей Ляпунова последовательностей трансфер-матриц, соответствующих гармоническому уравнению (7). Второй доказан в работе [4], является частным случаем теоремы 3 и использует соотношение (8) приращений гармонических функций.

3. Простое случайное блуждание в случайной среде на паре прямых. Пусть d = 2,

Я = £ = 1. Рассмотрим модель случайного блуждания в случайной среде на полосе, состоящей из двух линий. Пусть переходы возможны только в соседние точки. Это означает, что блуждающая частица, находящаяся в вершине (х,/), может перейти только в одну из трех соседних

вершин (х ± 1, /) или (х,3 - /). Распределение вероятностей переходов в этой модели случайного блуждания в случайной среде определяется шестью функциями

а

удовлетворяющими (3):

а(/,-1,/,ю) + а(/,+1,/,ю) + а(/,0,3 -/,ю) = 1.

Предположим , что

Е 1па

Как было отмечено (см. Замечание 2), эти неравенства обеспечивают выполнение условий (С1-С2). Следовательно, по теореме 1 случайное блуждание в случайной среде неразложимо.

Наложим на функции (44) следующее ограничение: найдется действии тельное число Р > 0 , что для любого ЮёО .

а

а

= Р,

= -Р.

а

Заметим, что случай Р = 0 является тривиальным, поскольку тогда вероятности перехода влево и вправо совпадают, случай Р < 0 аналогичен рассматриваемому.

Поскольку разность

а(/,+1,1,7хю) - а(1,-1,1,7хю) = ра(1,0,2,Тхю) > 0

является средним сдвигом блуждающей частицы, находящейся в точке (х,1), по горизонтали, на первой линии имеется линейный снос случайного блуждания в случайной среде вправо. Аналогично на второй линии имеется линейный снос влево. Однако легко видеть, что вероятность блуждающей частицы переместиться с одного уровня на другой прямо пропорционально среднему сносу частицы на соответствующей линии. Это означает, что чем сильнее линейный снос, тем чаще блуждающая частица переходит на соседнюю линию. Другими словами, мы имеем следующую картину. На первой линии блуждающая частица движется вправо до тех пор, пока она не перескакивает на вторую линию. В соответствии с (46) среднее смещение этого движения равно р . После смены уровня она движется влево, пока вновь не возвращается на первую линию. Среднее смещение во время обратного движения равно -р. Таким образом, итоговый снос равен нулю. Эти нестрогие аргументы подтверждают справедливость следующего утверждения.

Предложение 4. Пусть выполнены условия (45-47). Тогда случайное блуждание в случайной среде на полосе из двух линий возвратное и

|{|1тП х^) = -^Цтэир х^) = = 1.

I > +¥ г +¥ J

Доказательство. Мы докажем это предложение как следствие критерия возвратности. Для этого достаточно построить соответствующую трансфер-матрицу V (ю) размерности 3*3 и показать, что ее показатель Ляпунова 12 равен нулю.

Пусть и (х,/) - гармоническая функция, разрешающая (7) для построенной модели случайного блуждания в случайной среде. Рассмотрим ее приращения:

V(х,/) = и(х +1,/)-и(х,/), / = 1,2 ш(х) = и(х,2) - и(х,1), х е г. Тогда уравнения (16) и (20) принимают следующий вид:

ш (х) = ш (х +1) + V (х,1) - V (х,2), • V (х -1,1) = р(1,Тх ю^ (х,1) + 9(1, Тх ю)ш (х), V(х-1,2) = р(2,ТхюУ(х,2)-9(2, Тхю)ш(х), хе г,

где

р(/,ю) =

а(/,1,/,ю) а(/,-1,/,ю)'

9(/, ю) =

а(/,0,3 - /,ю) а(/,-1,/,ю) '

/ = 1,2.

Если положить

г ( х ) =

и г(х-1) = V(Тхш)г(х), получим

1

ш

V

V

1

е К3

-1

-д

V

Согласно (45) к этой функции можно применить теорему Оселедца и выписать три показателя Ляпунова 11 < 12 < 13.

- М - -

Пусть г = 1 . Проверим, что V(w)г = г . Действительно, если ш(1) = -р и

I 1 J

V (0,1) = V (0,2) = 1, то по (48) ш(0) = -р и, значит,

V(-1,1) = р(1, ю) - р9(1,ю), V(-1,2) = р(2, ю) - р9(2,ю).

Но в силу

р

Итак, V(-1,1) = V(-1,2) = 1. Следовательно, для любого ю вектор г является собственным вектором V(ю), соответствующим собственному числу 1.

Если принять г(0) = г , тогда для любого х е г г(х) = г(0) = г . Поэтому, для любого

юе О

1

Ит —г(х) = 0 .

х±¥ х

В соответствии с теоремой Оселедца найдется хотя бы один нулевой показатель Ляпунова среди 11 < 12 < 13.

Покажем, что это не 13. Для этого докажем, что 13 > 0 . Сделаем следующую замену: У(х,/) = рv(х,/) + ш(х), / = 1,2 . Умножая (48) на р и пользуясь (49), находим, что У (х -1,1) = р(1, Тх ю)У (х, 1) + ш (х -1) - (р(1, Тх ю) - р 9(1, Тх ю)) ш (х) = р(1,Тх ю)У (х,1) + ш (х -1) - ш (х),

У (х -1,2) = р(2,Тх ю)У (х,2) + ш (х -1) -(р(2,Тх ю) -р9(2, Тх ю)) х) = = р(2, Тх юУ (х, 2) + х -1) - ш (х).

Однако

1

п

Пусть * (0,1) = * (0,2) = 1. По индукции докажем, что для любого целого х < 0

*

у=1+х

*

База индукции очевидно выполняется. Предположим, что для х = -п неравенста (52-53) выполнены. Тогда можно видеть по (51) и (53), что п (х -1)-п (х )> 0. Отсюда из (50) и (52) следует, что

*(-п -1,1) > р (1,Т-п ю) *(-п -1,1) > ] р (1, Тую),

у =-п

и таким образом, (52) справедливо для х = -п -1. Рассмотрим разность уравнений (50), положив х = -п -1:

*(-п -1,1) - *(-п -1,2) = р(1,Тю)*(-п,1) - р(2,Т-пю)*(-п,2) = = (р(1,Тю) - р(2,Тю))*(-п,1) + р(2,Тю)(*(-п,1) - *(-п,2)). Первый член последней суммы положителен, поскольку по (52) * (-п,1) положительно и по (49) р(1,Т~пю) > 1 > р(2,Т~"ю). Второй неотрицателен в силу (53) и тривиального факта, что р(2,Тю) > 0. Следовательно, для х = -п -1 (53) также выполнено. Таким образом, неравенства (52-53) справедливы для всех целых х < 0 .

Выберем г

* (х, /) = (1 + Р) V (х,1) - V (х,2) + п (х )< <(1 + Р) V (х,1)| + V (х,2)| + (х )|<(3 + Р)| |г (х |. В этом случае из (52) вытекает, что

1 10 У(-п и> * )а Др (Т ю).

Отсюда

1 10 Ит —1п г (-п) > Пт — У 1п р(1, Тую).

11 11 у=1-п

По эргодической теореме Биркгофа-Хинчина последний предел существует и равен

Е 1пр(1,ю) = Е 1п(1 + Рд(1,ю))> 0.

Следовательно, 13 > 0 .

Повторив те же аргументы для правой стороны, мы получим, что наибольший показатель Ляпунова, соответствующий последовательности обратных матриц {и_1 (Тхю)}, больше нуля. Но

согласно теореме Оселедца, он равен -11. Отсюда 11 < 0 . Таким образом, 11 < 12 = 0 < 13. Остается применить критерий возвратности для окончания доказательства предложения. Приложение

Доказательство теоремы 1. Доказательство основывается на аргументах замеча-

ния 1. Выберем типичную среду ю такую, что для любого х е 2 условия (С1) выполнены для Тхю. Далее мы покажем, что для любых (х,/), (у,})е У найдется натуральное п такое, что

А*')

Этим доказывается, что юе О0, где О0 - множество неразложимых сред. Из этого и (С1) следует, что Р(О0) = 1.

Сначала положим / = } и рассмотрим блуждание по / -ому уровню. В соответствии с пунктом 3 условия (С1) найдется множество отличных от нуля целых чисел О(/) ={п,,...,пк}с О таких, что наибольший общий делитель чисел {п.,,...,пк} равен единице, и для всех хе 2

а

Рассмотрим два множества О(/) I [1,Я] и О(/) I [-^,1]. Одно из них не пусто. Пусть это

будет О(/) I[1,Я]. Тогда мы можем использовать простой факт теории чисел: существует натуральное N такое, что для любого г > N можно найти набор целых неотрицательных чисел р.,,..., рк, для которых

к

X рп =г.

j=1

Отсюда и из (55) следует, что для любого г > N с положительной тю -вероятностью блуждающая частица достигает точки (х + г,/) из точки (х,/) на / -том уровне.

Поскольку согласно пункта 2 условия (С1) блуждающая частица может двигаться произвольно далеко влево, для любого / е й и любых х,у е 2 найдется натуральное п такое, что

Ах,,)

Рассмотрим случай / ф j. В силу пункта 1 условия (С1) существует натуральное р такое, что Ь(р)(/, j,Txю) > 0. Следовательно, существует последовательность индексов /0 = /,/1,...,/р = j такая, что для любого к Ь(/к,/к+1,Тхю) > 0 . По (10) мы можем найти гк е О , для которых а(/к,гк,/к+1,Тхю) > 0 . Но это вероятность перехода из (х,/к) в (х + гк,/к). Отсюда из (56) следует, что найдется натуральное пк такое, что

АПк)(УЛ+,)И>

Перемножив эти значения, получим

Ах/)(„ )(ю)>ггА(гк )(ул+,)(ю)> ^ к=1

Р

где N = X пк.

к =1

Если воспользоваться (56) снова, мы докажем, что для любых (х,/), (у, j)е У для некоторого натурального п выполнено (54). Теорема 1 доказана.

Доказательство лемм 1-2. Докажем лемму 1, доказательство леммы 2 аналогично. Обозначим прямоугольник У(х) = [х +1-Я,х]хй и рассмотрим случайную величину

Х(ю) = зир{!пк-+¥,0 (у,}), (у,}) е У (0)},

где к-¥0 (у,1) - вероятность, определяемая материцей вероятностей перехода А(ю). Используя (5), получаем

Х

Сначала покажем, что из ЕХ = 0 следует (Ь2). Очевидно £(ю) < 0. Тогда ЕХ = 0 означает, что Х(ю) = 0 (Р -п. н.) Зафиксируем среду ю, для которой Х(ю) = 0. По определению £(ю) существует точка (у,1)е У(0) такая, что к-¥0 (у,1) = 1. Мы докажем, что из этого следует к-¥0 (х,/) = 1 для любых (х,/)е (-¥,0)хй . Предположим, что это не так. Тогда для некоторого (х,/)е (-¥,0)хй к-+¥,0 (х,/)< 1.

Пусть РУ (у,1) - тю -вероятность того, что блуждающая частица достигнет множества У с У , выйдя из точки (у,1), 2РУ (у,1) - тю -вероятность достигнуть У из точки (у,1), не попадая в 2 с У. Тогда

РУ (н)( У, 1 )= к-+¥,0 (У, 1 ) =1.

Очевидно, что тогда 1 = РУ у,1 )< РУ(Н )У{(х/)}( у, 1 ) = 1. Последняя величина может быть представлена как сумма двух вероятностей

1 = РУ(Н)и{(х,/)} (у, 1 ) ={(х,/)} РУ(Н) (У, 1 ) +У(Н) Р{(х,/)} (У, 1 ).

В силу неразложимости У(Н)Р^х.)}(у,1)> 0, строгая марковость случайного блуждания в среде ю дает нам, что

1 = к-+¥,0 (У, 1) ={(х,/)} РУ(Н) (У, 1) +У(Н) Р{(х,/)} (У, 1) к-+¥,0 (х,/) < <{(х,/)} Ру(Н)(У,1 )+У(Н) Р{(х,/)}(У,1 ) = 1

Это противоречие. Следовательно, к-¥0 (х,/) = 1 для всех (х,/)е (-¥,0)хй . Таким образом, (Ь2) выполняется.

Теперь покажем, что из ЕХ< 0 следует (И). Разложим множество (-¥,0)хй на следующие прямоугольники:

(-¥,0)х й = Ц|У ((1 - п) Н).

п=1

Пусть

К„ = зир{к-+¥,0 (х,/), (х,/)е У ((1- п)Н)} и рассмотрим к-¥0 (х,/) для (х,/) е У((1-п)Н). В соответствии со строгим марковским свойством

к-+¥,0(х,/)=( у))у((2-п)Н)\{(у,])}Р{(у,Л}(х,/)к-+¥,0(у,1 )<

У ((2-п)Н)\{(у,у)} '{(у,у)} Кл,')кП-1~ к1(1-„)Н'

< У У((2-п)Н)\{(у, 1)} Р{(у,У)}(х,' ) Кп-1 = к-¥,(1-п)Н (х,/) Кп-1.

п-1

Тогда по (57) Кп < Кп-1 ехр(х(Т(1-п)Ню)). Следовательно, !пКп < у Х(Т~кНю).

к=0

С другой стороны,

зир{| |к-+¥,0 (х )||, х е [1 - пН,(1- п) Н ]}<^Кп.

Отсюда

1 и II

limsup—rin k-^oCх) <

1 ( 1 ^

< limsup---— I inK„ +—ind I <

-1) R | n 2 J

л n-1

< lim ' УX(T-kRw). n+¥(n -1) Rk=0 1 '

По эргодической теореме Биркгофа-Хинчина последний предел существует и ра-

1

вен — E X = g1 .Таким образом, из EX < 0 следует (L1). Список литературы:

1. Sznitman A.S. Ten Lectures on Random Media. Lectures on random motions in random media // DMV Seminar. 2002. Vol. 32.

2. Solomon F. Random walks in a random environment // Ann. Prob. 1975. Vol. 3, No. 1. P. 1-31.

3. Key E.S. Recurrence and transience criteria for random walk in a random environment // Ann. Prob. 1984. No. 12. P. 529-560.

4. Letchikov A.V. Localization of one-dimensional random walks in random environments // Soviet Sci. Rev. Sec. C: Math. Phys. Rev. 1989. Vol. 8. P. 173-220.

5. Bolthausen E., Goldsheid I. Recurrence and transience of random walks in random environments on a strip // Communications in Math. Physics. 2000. Vol. 214, No 2. P. 429-447.

6. Оселедец В.И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем // Труды Московского математического общества. 1968. № 19. C. 197-231.

7. Любич Ю.И., Табачников М.И. Субгармонические функции на ориентированном графе // Сиб. мат. журн. 1969. Т. 10, № 3. C. 600-613.