Формирование исследовательских качеств у школьников в процессе решения математических задач

3. Давыдов, В.В. Проблемы развивающего обучения: Опыт теоретического и экспериментального психологического исследования [Текст] / В.В. Давыдов. - М.: Педагогика, 1986. - 239 с.

4. Зимняя, И.А. Научно-исследовательская работа: методология, теория, практика организации и проведения: Экспериментальная учебная авторская программа [Текст] / под научной ред. Н.А. Селезневой. - М.: Исследовательский центр проблем качества подготовки специалистов, 2000. - 28 с.

5. Кедров, Б.М. Логико-психологический анализ открытий [Текст] // Наука и жизнь. -1965. - № 12. - С. 8-10.

6. Копнин, П.В. Задачи и основные понятия логики научного исследования [Текст] / под ред. П.В. Копнина, М.В. Поповича. - М.: Наука, 1965. - 107 с.

7. Савенков, А.И. Исследовательское обучение и проектирование в современном образовании [Текст] // Исследовательская работа школьников. - 2004. - № 1. - С. 22-32.

8. Савенков, А.И. Психология исследовательского поведения и исследовательские способности [Текст] // Исследовательская работа школьника. - № 2. - 2003.

9. Савенков, А.И. Психологические основы исследовательского подхода к обучению [Текст]: учебное пособие. - М., 2006. - 480 с.

10. Обухов, А.С. Исследовательская позиция и исследовательская деятельность: что и как развивать? [Текст] // Исследовательская работа школьников. - 2003. - № 4. -С. 18-21.

ББК 22.143 УДК 517.957

В.И. СЕДАКОВА

V.I. SEDAKOVA

ФОРМИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ КА ЧЕСТВ У ШКОЛЬНИКОВ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДА Ч

THE PROCESS OF FORMING OF STUDENTS' RESEARCH CHARACTERISTICS WHILE SOLVING MATHEMATICAL PROBLEMS

Развитию сознания, мышления, мировоззрения, творческих способностей у учащихся в процессе обучения математике способствует исследовательская деятельность учащихся. На развитие исследовательских умений, формирование познавательного интереса наиболее успешно влияют самостоятельные работы поискового и исследовательского характера, нестандартные математические задачи. Одним из средств формирования навыков поисково-исследовательской деятельности является решение нестереотипных заданий, при решении которых развиваются сообразительность, изобретательность, смекалка и другие качества.

Research activity facilitates development of conscious, mentality, world outlook, creative abilities of the students while instruction in mathematics. Independent research works, unstandardized mathematical problems influence successfully the development of research abilities, forming of cognitive interest. One of the means

of research skills' forming is solving mathematical problems which develop wit, inventiveness, gumption and other features.

Ключевые слова: исследовательские задачи, репродуктивные задания, исследование ответа задачи, выдвижение гипотез.

Key words: research tasks (problems), reproductive tasks, answer's investigation, hypothesis's bringing up.

Очень часто под основной целью математического образования подразумевают овладение суммой знаний в области математики. Но не менее важно воспитать в человеке способность понимать смысл поставленной перед ним задачи, умение правильно, логично рассуждать, усвоить навыки алгоритмического мышления, отчетливо выражать свои мысли, развивать воображение и интуицию.

Одним из путей совершенствования учебного процесса является привлечение всех учащихся к поисково-исследовательской деятельности. Студентам педагогических вузов, будущим учителям математики, необходимо иметь представление о степени использования заданий исследовательского характера, методах и приемах проведения исследовательской деятельности в процессе обучения математике в школе.

Одним из средств формирования исследовательских качеств является решение исследовательских задач. Исследовательская деятельность - самостоятельная деятельность обучаемых, но преподаватель может управлять процессом появления и преодоления затруднений, прогнозировать их появление.

Решая исследовательскую задачу, человек познает много нового: знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые теоретические разделы математики, необходимые для решения задачи. Правильно поставленное обучение решению исследовательских задач воспитывает у учеников честность и правдивость, настойчивость в преодолении трудностей, уважение к труду других участников.

Исследовательские задачи создают условия для проявления творческой активности учащегося, выражающейся в стремлении познать объективно новые факты, используя теорию научных исследований. При решении исследовательских задач ученик обучается самостоятельно добывать знания, применять математические знания к практическим нуждам.

Как было сказано, навыки самостоятельной и исследовательской работы способствуют более глубокому пониманию математики. Однако исследования ученых показали, что на самостоятельную работу учащихся отводится не более 13% всего времени урока [1]. Причем абсолютное большинство самостоятельных работ на уроках математики приходится на закрепление изложенного учителем материала непосредственно после его изучения и на проверку знаний учащихся. Таким образом, преобладает репродуктивный вид деятельности школьников.

В исследовательской деятельности главной целью является получение объективно новых знаний. При этом оцениваются не только знания, но и рассматриваются другие показатели:

- участие в дискуссиях;

- умение высказывать свою точку зрения;

- сбор материала из различных источников;

- активность при обсуждении вопросов;

- умение задавать вопросы;

- возможность выразить свое отношение к изучаемому материалу.

При решении исследовательских задач у учащихся часто возникают затруднения, поэтому учителю следует задавать наталкивающие вопросы. Уметь задавать вопросы - одно из важнейших умений учителя, так как умело заданный вопрос обеспечивает правильный и конкретный ответ учащихся.

По характеру ответов вопросы могут быть [1]:

- репродуктивные (воспроизведение знаний; например, перечислить компоненты процесса обучения);

- реконструктивные (требующие применения знаний в нестандартной

ситуации: например, чем отличаются ..., какова основная мысль ...);

- творческие (требующие осмысления и творческого подхода).

Для активизации мыслительной деятельности, для самостоятельного поиска ответа помогают конструкции-подсказки, например: почему .; какова причина ...; в чем суть явления ...; что изменилось бы, если ...; чем отличается . и т.д.

Установлено, что в традиционных учебниках встречается недостаточно упражнений исследовательского характера. Как показывает практика, даже потенциал развивающих задач, имеющихся в учебниках, используется слабо.

Задания исследовательского характера существенно отличаются от традиционных заданий уже своей формулировкой. Так, большая часть заданий школьных учебников звучит следующим образом: «Решить уравнение», «Доказать, что выражение ... больше выражения ...», «Упростите ...» и т.п.

В формулировках исследовательских заданий нет явного ответа, его необходимо самим найти и обосновать. Формулировки заданий могут быть такими:

«Исследовать ...».

«Верно ли, что если ..., то ...».

Определить, какое из выражений больше 1611 или 199».

«Найти необходимое и достаточное условие, при котором обе последовательности стремятся к нулю».

«Существуют ли такие значения Ь, при которых квадратный трехчлен

2х + Ьх - 7 имеет два корня, один из которых является положительным числом, а другой отрицательным?».

«Существуют ли такие значения с, что множеством решений неравенства ... является:

а) числовой промежуток .; б) множество всех чисел».

«Верно ли, что функция ... при любом а убывает в промежутке ... и возрастает в промежутке ...?».

После решения задач исследовательского характера необходимо, чтобы учащиеся осуществляли исследование ответа, вывода (т.е. ставили вопрос о существовании решения, о числе решений, об особых случаях, какие могут представиться) при рассмотрении каждой задачи, особенно такой, которая предлагается в общем виде.

Для развития творческого мышления нужно постепенно формировать у учащихся умение определять, какие частные случаи необходимо выделить в последствии.

Для сравнения представим в таблице 1 задания, используемые при традиционном обучении, и задания исследовательского характера.

Таблица 1

Примеры традиционных и исследовательских заданий

Традиционные задания Исследовательские задания

1. Доказать, что 1611 > 199. 2. Если в треугольнике сторона и два угла одного треугольника равны какой-то стороне и каким-то двум углам другого, то докажите, что эти треугольники могут быть неравными? 3. Докажите, что не существует треугольник со сторонами: а) 1 м, 2 м и 3 м; б) 1,2 дм, 10 см и 2,4 дм? a. Что больше 1611 или 199? b. Сторона и два угла одного треугольника равны какой-то стороне и каким-то двум углам другого. Могут ли эти треугольники быть неравными? с Существует ли треугольник со сторонами: а) 1 м, 2 м и 3 м; б) 1,2 дм, 10 см и 2,4 дм?

В качестве подготовки учащихся к проведению исследовательской деятельности можно использовать следующие приемы работы [4]:

- решение задачи несколькими способами;

- решение задач, имеющих несколько верных решений;

- разбиение задачи на подзадачи;

- конструирование вспомогательной задачи, ее решение и возвращение к основной задаче;

- постановки системы вопросов решения, составление плана исследования, аргументация своих действий;

- формулирование более общей задачи по окончании решения данной

задачи.

Рассмотрим пример задачи исследовательского характера из курса алгебры и геометрии [3].

Задача 1. Сколько вершин, ребер и граней имеет п-угольная пирамида?

О т в е т: п + 1 вершин, п + 1 граней, 2п ребер.

Задача 2. Какое основание может иметь пирамида, у которой все ребра равны?

Р е ш е н и е. Плоские углы при вершине пирамиды равны 600, так как каждая боковая грань - равносторонний треугольник. Следовательно, боковых граней меньше, чем 3600 : 600 = 6, т.е. в основании может быть равносторонний треугольник, квадрат или пятиугольник.

Задача 3. Боковые ребра пирамиды равны. Может ли ее основанием быть: а) прямоугольная трапеция, б) ромб?

О т в е т: а) не может, поскольку такую трапецию нельзя вписать в окружность; б) может только в случае, если основание - квадрат.

Задача 4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 6, один из катетов равен 2. Является ли длина второго катета корнем уравнения

4^2 • х = 32.

2

О т в е т: да, поскольку х = 4л/2 , а (4^/2) + 4 = 36.

Задача 5. Является ли треугольник со сторонами л/2й, 4 и 2 прямоугольным? Почему?

О т в е т: да, по теореме, обратной теореме Пифагора.

Задача 6. В параллелограмм вписана окружность. Что это за параллелограмм?

О т в е т: ромб, на основании теоремы о том, что если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противолежащих сторон равны.

Задача 7. Докажите, что биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Задача 8. Основания равнобокой трапеции равны а и 3а, боковые стороны равны 2а. Найдите: а) косинус угла при большем основании трапеции; б) высоту трапеции; в) установите, существует ли окружность, вписанная в эту трапецию?

О т в е т: а) 1, б) , в) окружность, вписанная в данную трапецию,

2

существует, поскольку суммы ее противолежащих сторон равны.

Задача 9. Серединный перпендикуляр к одной из сторон ромба проходит через один из концов противолежащей стороны. Чему равен косинус острого угла ромба?

О т в е т: 1.

2

При решении исследовательских задач ученик обучается применять математические знания к практическим нуждам. Покажем это на примере следующей задачи.

Задача 10. Где выбрать место для строительства нового стадиона, чтобы расстояние от него до четырех школ было одинаково?

Решение этой задачи используется при изучении темы «Вписанные четырехугольники» и связано с выводом теоремы о центре окружности, описанной около четырехугольника.

Возникает учебная проблема о возможности проведения окружности через четыре данные точки. В процессе обсуждения этой проблемы устанавливается, что множество точек плоскости, удаленных от данной точки этой плоскости, есть окружность, а поэтому в соответствии с условием задачи точки принадлежат окружности, положение центра которой неизвестно.

Приступая к решению проблемы, учащиеся с помощью учителя обсуждают известные факты:

1) проведение окружностей через одну точку всегда возможно и центром их является любая произвольная точка плоскости;

2) если даны две точки А и В, то через них всегда можно провести сколько угодно окружностей и их центры располагаются на серединных перпендикулярах отрезка АВ;

3) для трех точек, не лежащих на одной прямой, существует единственная окружность, проходящая через эти точки (теорема о вписанном треугольнике).

Далее выясняется, какому условию должны удовлетворять четыре точки, не лежащие на одной прямой, чтобы через них можно было провести окружность. Вписав четырехугольник в окружность, рассмотрев сумму внутренних углов этого четырехугольника, выясняется новое свойство вписанного че-

тырехугольника: сумма величин противоположных углов вписанного четырехугольника равна 2d.

Учитель просит сформулировать обратную теорему, доказать или опровергнуть ее. После доказательства справедливости этой теоремы формулируется необходимое и достаточное условие для того, чтобы четыре точки принадлежали окружности.

Чтобы решить вопрос о нахождении центра описанной окружности около четырехугольника, учащиеся вспоминают алгоритм нахождения центра окружности, проходящей через три точки как пересечение двух серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника. Затем исследуется вопрос о том, применимо ли это для нахождения центра окружности, проходящей через четыре заданные точки.

Будет ли при этом четвертая точка лежать на окружности. После исследования учащиеся устанавливают, что четвертая точка может лежать вне окружности, внутри окружности или на окружности. Рассматриваются случаи построения вписанных окружностей для частных видов четырехугольников.

Можно ли, так рассуждая, провести окружность через пять, шесть и т.д. точек?

После решения задач исследовательского характера необходимо, чтобы учащиеся осуществляли исследование решения, делали выводы (т.е. ставили вопрос о существовании решения, о числе решений, об особых случаях, какие могут представиться) при рассмотрении каждой задачи.

Так, при изучении новой темы «Теорема Пифагора» вначале может быть предложена задача, при решении которой учащиеся сами выдвигают версии об отношении между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника [2].

Задача 11. На охоте с двух отвесных скал два охотника заметили козла и разом в него выстрелили, причем стрелы достигли цели одновременно. Охотники одновременно начали спуск к добыче с одинаковой скоростью. Кому достанется козел, если известно, что высота одной скалы 40 м, второй 20 м, а расстояние между скалами 100 м?

Проблемная ситуация возникает при построении математической модели практической задачи (рис. 1).

D

Рис. 1

А

С

М

Учащиеся ставят вопросы к данной ситуации: можно ли на данном этапе решить задачу, если нет, то почему. Таким образом, возникает проблема: существует ли зависимость между гипотенузой и катетами в прямоугольном треугольнике и, если она существует, то как она формулируется. Для решения этой проблемы учителем может быть организован поиск формулировки, для чего было предложено учащимся класса задание по рядам: построить прямоугольные треугольники с катетами 3 см и 4 см; 12 см и 5 см; 6 см и 8 см; 8 см и 15 см и измерить гипотенузу. Результаты заносятся в таблицу 2.

Е

Таблица 2

Соотношения между сторонами прямоугольного треугольника

Стороны треугольника Случай 1 Случай 2 Случай 3 Случай 4

а 3 12 6 8

Ь 4 5 8 15

с 5 13 10 17

Далее выдвигаются и обсуждаются различные гипотезы: 1. Ве го случая?

1. Верно ли, что а + 2 = с , если это справедливо для первого и третье-

„ ^ Ь + с

2. Верно ли, что а =-, если это справедливо для четвертого случая?

4

Если обучаемые не увидят существующей зависимости между длинами катетов и гипотенузы, то учитель может предложить дальше заполнять таблицу, находя квадраты соответствующих значений.

Следующая проблема возникает при доказательстве данной теоремы. После доказательства учащиеся возвращаются к исходной задаче.

При формировании исследовательских навыков полезно проводить уроки-исследования. Примером фрагмента такого урока может быть решение следующей задачи.

Задача 12. Определить, какие сечения бывают у куба? Бывают ли правильные сечения?

В процессе поиска решения задачи учащиеся устанавливают, что в связи с тем, что у куба шесть граней, то в сечении может лежать треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник, но невозможно построить семи-, восьми-, девяти- и т.д. угольники. Далее решается вопрос о том, каким условием задается правильное сечение?

В процессе решения устанавливается, что можно построить в сечении правильные треугольники (их вершины принадлежат ребрам куба, выходящим из одной вершины куба), квадраты (их стороны параллельны одной из граней), шестиугольники (стороны попарно параллельны и лежат в параллельных гранях), но невозможно построить правильный пятиугольник, так как стороны пятиугольника не параллельны.

Рассмотренные примеры позволяют сделать вывод о том, что в процессе решения исследовательских задач учащиеся испытывают эмоциональные переживания, творческие задания готовят к решению практических задач.

Используя задания исследовательского характера, следует придерживаться следующих советов.

Совет первый: перед каждой темой проводить вводные уроки, открывающие перспективу ее изучения, а после изучения темы - уроки систематизации, обобщения, углубления математических знаний.

Совет второй: постоянно включать в контрольные работы задачу по любому из ранее изученных разделов, практиковать систематически работу с задачами из многих направлений.

Совет третий: искать и использовать разнообразные основания для обсуждения и объединения разнородных направлений в одну укрупненную дидактическую единицу.

Совет четвертый: использовать принцип отсроченной строгости. Он состоит в следующем: с помощью правдоподобных рассуждений выдвигаем гипотезу. Если ее доказательство сложное и требует много времени, откладываем его на будущее. Полагаем, что гипотеза истинна. Исследуем, какие следствия из этого вытекают. Наблюдаем, не приходим ли к какому-либо противоречию, и отмечаем, что принятие гипотезы в качестве истинного утверждения резко расширяет круг решаемых задач.

Литература

1. Далингер, В.А. Методика работы над формулировкой, доказательством и закреплением теоремы: Книга для учителя [Текст] / В.А. Далингер. - Омск, 1995. - 196 с.

2. Седакова, В.И. Дидактические основы взаимосвязи школьного курса математики и методических дисциплин педвуза [Текст]: дис... канд. пед. наук / В.И. Седакова. - М., 2000. - 187 с.

3. Семенов, Е.Е. Принцип систематизации в преподавании математики [Текст] / Е.Е. Семенов // Математика в школе. - 2004. - № 4. - С. 28-32.

4. Совертков, П.И. Проектирование поисково-исследовательской деятельности учащихся и студентов по математике и информатике [Текст] / П.И. Совертков. - Сургут: РИО СурГПИ, 2004. - 167 с.

ББК 74.100.53+88.892.51 УДК 37.018.2+159.922.7

Л 79

Р.Р. ЛОСКУТОВА

R.R. LOSKUTOVA

МУЗЫКАЛЬНАЯ ПСИХОТЕРАПИЯ КАК СРЕДСТВО ЭМОЦИОНАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ ДЕТЕЙ ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА

MUSIC THERAPY AS A MEANS OF EMOTIONAL DEVELOPMENT OF PRESCHOOL CHILDREN

В статье представлен теоретический и практический материал из опыта работы педагогического коллектива муниципального дошкольного образовательного учреждения № 92 «Искорка» г. Йошкар-Олы. Рассматриваются значение, возможности, условия и методы эмоционального развития детей средствами музыкальной психотерапии; показаны виды и формы приобщения детей к музыкальному искусству в условиях ДОУ и семьи.

The theoretical points and practical procedures presented in the article are based on the related practice of municipal preschool educational institution Kindergarten № 92 «Iskorka» of Yoshkar-Ola. The importance, possibilities, conditions and methods of emotional development of children by means of music therapy are considered. Types and forms of making children accustomed to music in kindergarten and family setting are presented.

Ключевые слова: музыкальная психотерапия, эмоциональное воспитание.