Краевая задача для одной гибридной системы дифференциальных уравнений

УДК 517.98

© А.Д. Мижидон, С.Г. Баргуев

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОЙ ГИБРИДНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ1

В статье рассматривается краевая задача для гибридной системы дифференциальных уравнений, содержащих сингулярности типа S - функций. Такого класса гибридная система дифференциальных уравнений имеет место при описании динамики механических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, представляющих собой упругий стержень с закрепленными краями и прикрепленными на нем с помощью пружин твердыми телами. В качестве теоретических основ исследования предлагается единый подход к построению частотных уравнений таких систем.

Ключевые слова: гибридная система дифференциальных уравнений, краевая задача, обобщенное решение, частотное уравнение.

©A.D. Mizhidon, S.G. Barguev

BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR ONE HYBRID SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS

The article is devoted to the boundary value problem for hybrid system of differential equations containing S - functions. This class of hybrid systems of differential equations takes place in the description of dynamics of mechanical systems with lumped and distributed parameters. These mechanical systems are an elastic rod with fixed edges and solids attached at it by springs. As a theoretical basis of research a unified approach to the construction of frequency equations of such systems has been proposed.

Keywords: hybrid system of differential equations, boundary value problem, generalized solution, frequency equation.

Введение

При исследовании механических колебаний элементов различных конструкций, деталей и механизмов во многих случаях расчетными схемами исследования является твердое тело (или система твердых тел), соединенное упругими связями со стержнем [1-6]. Для вывода уравнений движения систем используется вариационный принцип Гамильтона, который справедлив как для систем с сосредоточенными, так и для систем с распределенными параметрами. Полученные на основании принципа Гамильтона уравнения движений для приведенных выше механических систем являются гибридными системами дифференциальных уравнений [1-6]. Под гибридными системами дифференциальных уравнений понимается система дифференциальных уравнений, состоящая из обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Для примера рассмотрим механическую систему, состоящую из массы m, установленной с помощью двух пружин жесткости с и с2 на упругом стержне, длины I (рис. 1). Масса m может перемещаться поступательно в направлении оси Oxz и совершать угловые отклонения <р. Перемещение точек стержня описывается функцией u(x, t) .

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 12-08-00309 а

130

Рис. 1. Расчетная схема механической системы, состоящей из массы, установленной на упругом стержне

Полученные на основании принципа Гамильтона для этой механической системы уравнения движений имеют вид

ті + с (z - d1 р - и(аг, t}) + с2 (z + d2р - u (а2,t)) = 0,

< 3рр - (z - d1р-и(аг, t}) + с2^ (z + d2 р-и (а2, t )) = 0,

д2и д4и

р¥ —- + Е3 —- = с (z - d1 р - и(х, t})£(х - а ) + с2 (z + d2р - и (х,і))£ (х - а2), дt дх

где 3 - момент инерции твердого тела относительно центра масс, при повороте на угол <р; ^ -

расстояние от центра масс до оси пружины, закрепленной в точке а ; ^ - расстояние от центра масс до оси пружины, закрепленной в точке а2 ; р - плотность материала стержня; ¥ - площадь поперечного сечения; Е - модуль упругости стержня; 3 - момент инерции поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси сечения, перпендикулярной к плоскости колебаний.

На функцию и(х, і), необходимо наложить граничные условия, соответствующие условиям, накладываемым на правый и левый конец стержня. В случае жесткой заделки граничные условия имеют вид

д- ди

и

дх дх

В данной работе рассматривается краевая задача для одного класса гибридных систем дифференциальных уравнений, описывающих в общем случае динамику механических систем, представляющих собой упругий стержень с закрепленными краями и прикрепленными на нем с помощью пружин твердыми телами. Под краевой задачей понимается задача нахождения обобщенного решения гибридной системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющей краевым условиям (4).

1. Постановка задачи

Рассмотрим гибридную систему дифференциальных уравнений

Аі + Bz + С (Dz - и} = 0,

д2и д4и т

к —т (х, і} + Ь —Т (х, і} = 2 д (і} - и( х, і ))£ (х - аі),

ді дх '=1

где г (і) - п - мерная вектор-функция; и( х,і) - скалярная функция; и (і) - т -мерная вектор-функция с компонентами и(а, і),---, и(ат, і); А, В - заданные, постоянные п х п - матрицы; С - за-

данная, постоянная п х т - матрица; О - заданная, постоянная т х п - матрица; $ - п - мерный вектор, составленный из строк матрицы О; к, Ь, а, ^, 0' = 1, т ) - заданные постоянные, причем

0 — а — I; штрих ()' - здесь и ниже операция транспонирования.

Отметим, система (4)-(5) является общей математической моделью механических систем, представляющих собой упругий стержень с закрепленными краями и прикрепленными на нем с помощью упругих связей системой твердых тел, соединенных между собой упругими связями.

Введем понятие обобщенного решения гибридной системы дифференциальных уравнений (5), удовлетворяющего краевым условиям (4).

Для этого рассмотрим множество вектор-функций

К = {

где О = {(х, I) е Л2: 0 — х — I, 0 — I — Т} - прямоугольник.

Отметим, в случае рассмотрения краевой задачи для механических систем, представляющих собой упругий стержень с закрепленными краями и прикрепленными на нем с помощью пружин твердыми телами, класс основных функций можно трактовать как допустимые вариации обобщенных координат в принципе Гамильтона.

Потребуем, чтобы любая вектор-функция из множества функций К удовлетворяла условиям

у(0) = у(Т) = 0,

у

у(0, Г) = у(1, ^ = 0, ^ (0, Г) = ^ (I, Г) = 0.

их их

Введенные вектор-функции назовем основными.

Определение 1. Вектор-функцию г(•) е С^г^, скалярную функцию и(•, •) е С22В назовем обобщенным решением краевой задачи (4)-(5), если для любой основной вектор-функции (у(-), у(^, •)) е К имеет место тождество

Т

- ... „ _ ' 'ч '‘ +

|(Az + Bz + C(Dz - u), y(t))dt -

0

reí ñ 2u ñ 4u m ^

+ffl k^2 + b üx4 -^ q

• v( x, t )dxdt = 0

2. Вспомогательная краевая задача

Подставив в систему (5) z(t), u(x, t) в виде

z(t) = Z sinot, u(x, t) = V(x) sin ot, где o - собственная частота, Z - n- мерный вектор амплитуд колебаний масс, V(x) - амплитуда колебаний точек упругого стержня, после преобразований получим

d 4V( r) m

-a>2kV

dx i=l

где V - m -мерный вектор с компонентами V(a ),•••, V(am) .

В силу граничных условий (4) функция V (x) должна удовлетворять условиям

V

dx dx

Рассмотрим вспомогательную краевую задачу (9)-(10).

Определение 2. Скалярную функцию V(•) є С4 ^ назовем обобщенным решением краевой задачи

(9)-(10), если для любой компоненты у(-, •) основной вектор-функции (у(-),у(^,^))є К, имеет место

тождество при любом X є [0, Т ]

\ ( - V (г) т Л

Ц -а>2кУ (г) + Ь-------X Ч (-г - V(г))3(г - а) • ^(г,х)-г = 0 .

-X Ч -г - V

о у -г ,=1

Теорема 1. При любых значениях О и Z функция

V (г) = X О, (г - а )ч г - v (аі»

является обобщенным решением краевой задачи (9)-( 10), где функции Gi(х), (г = 1,...,т) - обобщенные решения уравнения

-о2кОі(г) + Ь - 04(г) = Я(г), (г = 1,...,п),

-г

удовлетворяющие краевым условиям

О, (-а,) = О, (1 - а1) = 0,

^ , -О ч п

-Г (-а) = -г (I - а) = о,

-г -г

Доказательство: Для функции (11) справедливость выполнения краевых условий (10) непосредственно следует из краевых условий (13) для функций Gi(х), (г = 1,...,т) .

В том, что (11) является решением уравнения (9) убедимся непосредственной подстановкой (11) в исходное уравнение (9).

Для этого представим (11) в виде

ті/

V(г) = ХДо, (г - 4)ч, (а'г - V(4) я (4- ^) -4.

,=1 о

Подставим (14) в левую часть уравнения (9), умножив на у(х, X) из класса основных функций, проинтегрируем по х в пределах от 0 до I. Далее, меняя порядок интегрирования и учитывая (12), получим

-ка2Ог (г -4) + Ь

- О

а.х‘4

Л

ч,

1 т

IX

_0 г=1

т 1 1 I

XI Ч,(-'г - V(4))S(4-аг) -П -ко2Оі(г-4) + Ь

,=1 о _ о V х

т 1 1

XI ч, (-' г - V(4))Я(4 - а) v(г, хжг - 4)-г

- АОг (г 4

у( г, х)-г = у( г, X )-г

1=1 о 1

т іЛ р -і п г-

XIIЧ,

,=1 о [ ^ ,=1 “

Аналогично, подставив (14) в п

1

I

завую часть уравнения (9), после преобразований получим у( г, X )-г =

X Ч,

,=1

т 1 т XIЧ, (-'' г - V(г))8(г - а гМг,X)-г = X[Ч, (-г - V(а,))v(a ,,X)],

1=1 о

,=1

-ю2кО

т.е. в результате проделанных преобразований левая и правая части исходного уравнения тождественно совпадают. Таким образом, выражение (11) является решением уравнения (9) в обобщенном смысле.

Теорема доказана.

Замечание 1. Для нахождения функций Ц(х),О2(х),...,Ст(х), входящих в (11), имеем т краевых задач для уравнения

У 4О( х) йх4

с условиями (13).

Общее решение О(х) уравнения (15) можно найти в виде суммы общего обобщенного решения О0 (х) однородного уравнения

й 40

йх4

и некоторого обобщенного решения О (х) неоднородного уравнения (15), т. е.

О

Общее решение О (х) однородного уравнения (16) можно записать в виде О0 (х) = сД (Дх) + с2 £2 (Дх) + с3£3 (Дх) + с4£4 (Дх), где с, С, С, С - произвольные постоянные; ^ (Дх), Я2 (Дх), £3 (Дх), £4 (Дх) - функции Крылова, которые определяются следующим образом:

£

5 = еЬ

-а2 кО

Здесь Д = 4 а_2к . Отметим, что выражение для обобщенного решения О0 (х) совпадает с класси-V Ъ

ческим решением.

Частное обобщенное решение О (х) неоднородного уравнения (15) можно определить в виде [6]

О

где в(х) - функция, определяемая следующим образом:

П, х > 0, в(х) = ^ ’ ’

[0, х < 0.

2. Частотные уравнения

Для нахождения функций Ц(х),О2(х),...,Ц(х), согласно представлению (17), определим произвольные константы с, с2, С, С из условий выполнения соответствующих граничных условий.

Далее, принимая в

т т

1=1, ¿=1

3

Используя матричные обозначения, систему (19) можно записать в виде

МУ = N1,

где М - матрица системы размерности т х т :

М —

( 1 + °1(0Н С2(а1 -а2)д2.........СтЦ -ат)дт >

ві(а2 - а1)д1 1 + 02 (0)^...........От (а2 - ат ^т

О^т - а1)Ч1 О2(ат - а2)Ч2..............1 + От (0)Чт

N - матрица размерности т х п

( т т т

Е 0 (аі- а Е о, (а1- а,^2 Е О (а1- а )ч

N —

т т т

Е 0 (а2- а )ч& Е 0 (а2- а,2 Е (а2- а, к,1

т т т

Е 0 (ат - а, № Е 0 (ат - аг №2...Е 0 (ат - а, №

І=1 і=1 ,=1

V - т -мерный вектор с компонентами V(а),У(а2)...,У(ат) .

Таким образом, решение линейной системы алгебраических уравнений (17) представим в виде

У — М ^N2

Подставив (20) в систему (8), получим систему линейных, однородных алгебраических уравнений относительно вектора амплитуд 2

Система (21) имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю. Приравняв определитель системы (21) к нулю, получим уравнение собственных частот

Отметим, уравнение собственных частот (22) является трансцендентным, содержащим периодические тригонометрические функции, а также монотонные гиперболические функции, в силу чего появляется бесконечный дискретный набор собственных частот.

3. Сравнительный анализ предложенного подхода

Применение предложенного подхода для построения частотного уравнения механической системы, состоящей из массы т , установленной с помощью двух пружин жесткости с и с2 на упругом стержне (рис. 1), привело к уравнению вида

где

„_МЛ -^2$ _Г1$2 -Г2$ .. _аМ -а2М .. _а1^2 -а2^1

а — , у — , ^ — , г —

А

А Л А

А — аф2 - а2Д, а = 1 + еі0 (0), а2 — е^ (а - а),

$1 — Є202(а1 - а2), $2 — 1 + Є202(0),

М — е1^1 (0) + ^2 (а - а2), М — е1^1 (а2 - а) + ^2^2 (0), г — -еДО (0)+е2ё202 (а - а), г — -еДО (а - а)+е2ё2о2 (0),

Замечание 2. В данной задаче для нахождения Ц (х), Ц (х), согласно замечанию 1, принимается к = р¥ и Ъ = ЕЗ .

Для проведения сравнительного анализа, с целью проверки адекватности предлагаемой методики получения собственных частот, был произведен расчет собственных частот согласно уравнению (23). Для этого были взяты данные из работы [7], в которой для получения собственных частот автором был использован метод допускаемых мод или форм, разработанный в [8]. Полученные им результаты сравнивались с результатами, полученными в работе [9], где авторы использовали аналитико-численно-комбинированный метод (АЧКМ) и метод конечных элементов (МКЭ).

Данные для стержня: модуль упругости Е — 2,069 х10п N • тГ2, плотность материала стержня р —15,3875 kg • т~х, момент инерции поперечного сечения 3 — 3,0679 х 10-7 т4, длина I —1,0 т . Для упруго присоединенной упругой системы: масса твердого тела т —1,53875kg, момент инерции

твердого тела относительно центра масс ./ —1,53875kg • т2, жесткость пружин

с — с2 — 6,34761 х106 N • т- , координаты точек крепления пружин а, а2 соответственно расстояния от точек крепления пружин до центра масс Д — 0,06667т, ё2 — 0,13333т соответственно.

В таблице 1 приведены результаты проведенного расчета согласно уравнению частот (23), а также результаты расчета тремя методами, приведенными в [7]. Из таблицы видно хорошее совпадение полученных результатов.

Таблица 1

О, гаё • я“1 АЧКМ МКЭ Подход Philip D.Cha [7] Предлагаемый подход

о 273.8904 273.8565 273.8892 273.8564

о2 1388.6244 1388.5937 1388.6073 1388.5914

о3 2880.5511 2879.7694 2880.0323 2879.7628

о4 4222.2172 4221.9181 4221.9610 4221.8472

о5 7837.1068 7837.4548 7836.9696 7836.9522

Заключение

Предложен единый подход к построению частотных уравнений для одного класса динамических систем, описываемых гибридной системой дифференциальных уравнений. Рассматриваемая система дифференциальных уравнений является общей математической моделью механических систем, представляющих собой упругий стержень с закрепленными краями и прикрепленными на нем с помощью упругих связей системой твердых тел, соединенных между собой упругими связями. Сравнительный анализ численных расчетов, проведенных предложенным методом с расчетами, проведенными другими способами, известными из литературы, показал достоверность и универсальность предлагаемого подхода.

Литература

1. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г. О вынужденных колебаниях механической системы, установленной на упругом стержне // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2004. -№1. - С. 32-34.

2. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г., Лебедева Н.В. К исследованию виброзащитной системы с упругим основанием // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2009. - №2(22). -С.13-203.

3. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д. Определение собственных частот простейшей механической системы на упругом основании // Вестн. Бурят. гос. ун-та. - Вып. 9. Математика и информатика. - 2009.

- С. 58-66.

4. Исследование возможности гашения колебаний п масс, установленных на упругом стержне / С.Г. Баргуев, Е.В. Елтошкина, А.Д. Мижидон, М.Ж. Цыцыренова // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2010. - №4(28). - С. 78-84.

5. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д., Цыцыренова М.Ж. О пределах применимости классической схемы расчета собственных частот в виброзащитной системе с двумя защищаемыми объектами // Вестн. Бу-

рят. гос. ун-та. - Вып. 9. - Математика и информатика. - 2010. - С. 135-144.

6. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г. О собственных колебаниях механической системы каскадного типа, установленной на упругом стержне // Вестн. Вост.-Сиб. гос. технологического ун-та. -2010. - № 1.

- С. 26-33.

7. D. Cha Philip, Free vibrations of a uniform beam with multiple elastically mounted two-degree-of-freedom systems, Journal of Sound and Vibration 307 (2007), P. 386-392.

8. Meirovitch L., Fundamental of Vibrations, McGraw-Hill Companies, New York, 2001.

9. Wu J.-J., Whittaker A.R., The natural frequencies and mode shapes of a uniform cantilever beam with multiple two-DOF spring-mass systems, Journal of Sound and Vibration 227(1999), P. 386-392. 361-381.

Мижидон Арсалан Дугарович, доктор технических наук, заведующий кафедрой ВосточноСибирского государственного университета технологий и управления, тел. (902-5) 633204, e-mail: miarsdu@esstu.ru

Баргуев Сергей Ганжурович (Гавриилович), кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой Бурятского филиала Сибирского государственного университета телекоммуникаций и информатики, тел. (950-3) 808172, e-mail: barguev@yandex.ru

Mizhidon Arsalan Dugarovich, doctor of technical sciences, professor, head of applied mathematics department, East-Siberian State University of Technology and Management., ph. (902-5) 633204, e-mail: miarsdu@esstu.ru

Barguev Sergey Ganzhurovich (Gavriilovich), candidate of physical and mathematical sciences, head of the department, Buryat Branch of the Siberian State University of Telecommunications and Informatics, ph. (950-3) 808172, e-mail: barguev@yandex.ru