Учет психологических закономерностей устройства понятийного опыта как фактор повышения качества математического образования

УДК 373.1.013

Э. Г. Гелъфман, И. Г. Просвирова, М. А. Холодная, С. Н. Цымбал

УЧЕТ ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ УСТРОЙСТВА ПОНЯТИЙНОГО ОПЫТА КАК ФАКТОР ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Обсуждаются проблемы формирования понятийного опыта учащихся при обучении математике. Выявление типичных ошибок и причин их возникновения позволяет сделать выводы о том, что в процессе обучения математике не всегда учитываются закономерности устройства понятийного опыта.

Анализ исследований в области психологии дал возможность разработать модель устройства и функционирования понятийного опыта. Эта модель легла в основу разработки учебных текстов и заданий по математике для учащихся основной школы.

Ключевые слова: понятийное мышление, способы кодирования информации, когнитивные схемы, семантические структуры, метакогнитивный опыт.

Одной из важнейших целей современной школы является развитие личности учащегося на основе освоения им универсальных способов деятельности.

В связи с этим актуальной является задача усовершенствования процесса обучения, направленная на повышение его развивающих, воспитывающих функций.

Для того чтобы организовать процесс обучения именно таким образом, учитель должен быть вооружен средствами управления познавательной деятельностью учащихся. В первую очередь это относится к процессу формирования понятий.

Известно, что понятийное мышление обеспечивает возможность теоретического осмысления учащимися соответствующего учебного материала и применения его в различных ситуациях. В ходе формирования понятий имеет место усвоение средств, способов «родового» мышления, - следовательно, процесс формирования понятий обеспечивает развитие интеллектуальных способностей учащихся. С другой стороны, особенности усвоения понятий оказывают непосредственное влияние на характер и степень осознания учащимися своего отношения к действительности, т. е. на формирование мировоззренческих установок личности.

Однако в учебном процессе не всегда учитываются психологические закономерности усвоения математических понятий. Об этом, в частности, говорят допускаемые учащимися ошибки при усвоении математических понятий.

Проведенный нами анализ особенностей познавательной деятельности учащихся при усвоении математических понятий показал, что основными типичными ошибками являются:

I. Ошибки, вызванные отсутствием у обучаемого образов, адекватных соответствующему математическому понятию. Здесь возможны следующие варианты:

а) структура возникшего образа не соответствует содержанию исходного математического понятия, т. е. имеет место неправильная образная интерпрета-

ция понятия, в результате чего формируется его неадекватная образная модель;

б) отсутствуют необходимые преобразования в структуре возникшего образа - косность, адинамич-ность образной системы;

в) в процессе оперирования математическими понятиями образы вообще не возникают.

II. Ошибки, связанные с недостатками в организации содержания данного математического понятия. Здесь наблюдались два варианта ошибок:

а) отсутствие в содержании данного понятия у учащегося полного набора требуемых свойств;

б) требуемые свойства представлены в содержании понятия в полном объеме, однако эти свойства не систематизированы, не иерархизированы.

III. Ошибки, связанные с недостаточной активностью операции конкретного анализа.

В этих случаях у учащихся отсутствует внутренняя установка на анализ условий задачи, на выделение и соотнесение отдельных компонентов в реальной структуре задачи. Задача, таким образом, встает перед учащимися как нечто фиксированное, нерас-члененное.

IV. Следующий тип ошибок связан с раздвоенностью понятия.

В случае разного способа введения одного и того же понятия на разных этапах обучения, вместо углубления сформированного понятия, расширения системы его экстраполяционных свойств, нередко имеет место раздвоенность понятия.

V. Ошибки, вызванные отсутствием связи математических понятий с содержанием соответствующего предметно-конкретного опыта ребенка.

а) Понятие интерпретируется примерами, неадекватными содержанию понятия.

б) Учащиеся затрудняются соотнести практическую задачу со своими теоретическими знаниями из области математики.

VI. Ошибки, связанные с отсутствием системности в знаниях, т. е. каждое математическое понятие

существует изолированно, оно не включено в общую систему понятий.

VII. Ошибки, связанные с ориентацией ребенка не на содержание соответствующего математического понятия, а на его словесную оболочку, т. е. реакция на слово, а не на содержание понятия как таковое.

На аналогичные затруднения в усвоении понятий указывают А. В. Усова, С. И. Шапиро, З. И. Слепкань, Ю. М. Колягин, В. А. Оганесян, В. Я. Саннинский, Г. Л. Луканкин и др. Так, А. В. Усова отмечает, что «определенные трудности в усвоении понятий возникают при отсутствии меры в соотношении образного, словесно-теоретического и практически-действенно-го компонентов при формировании понятий. В одних случаях делается акцент на демонстрационный эксперимент и применение разнообразных средств наглядности, недооценивая роль слова (объяснений, рассуждений, сравнений, сопоставлений и т. д.) в раскрытии содержания понятия. В других, наоборот, недооценивается роль наглядно-образного компонента» [1, с. 61].

С. И. Шапиро описывает феномен раздвоенности мышления: «...отсутствие единого начала в аналитических и наглядно-образных представлениях одних и тех же понятий. В ряде случаев имеет место “несовместимость” геометрических представлений со словесными (символическими) формулировками соответствующих понятий» [2, с. 143].

Во многих исследованиях отмечается неумение учащихся работать с признаками понятий. Так,

З. И. Слепкань, описывая трудности в усвоении понятий учащимися, отмечает, что они проводят неправомерные обобщения, используя несущественные признаки. Автор пишет: «Существенными для них становятся яркие признаки, которые выступают на передний план в конкретных фигурах, если к тому же они изображаются стандартно, в одном положении» [3, с. 31].

В работе Ю. М. Колягина, В. А. Оганесян, В. Я. Саннинского, Г. Л. Луканкина [4] выделен специальный параграф «Типичные ошибки учащихся при овладении математическими понятиями».

Это говорит о том, что особую актуальность в этой связи приобретает вопрос о требованиях, лежащих в основе организации познавательной деятельности учащихся при формировании у них математических понятий.

Выяснение такого рода требований должно строиться с учетом психологических свойств понятийного мышления учащихся.

В психологической литературе большое внимание уделяется анализу важнейших свойств понятийной мыслительной деятельности (П. П. Блонский, Дж. Брунер, Л. М. Веккер, Б. М. Величковский, Е. К. Войш-вилло, Л. С. Выготский, П. Я. Г альперин, С. И. Гессен, В. В. Давыдов, Е. Н. Кабанова-Меллер, Ж. Пиаже,

Н. А. Подгорецкая, С. Л. Рубинштейн, Н. Ф. Талызина, М. А. Холодная, Н. И. Чуприкова и др.).

Проблемы формирования понятийного мышления в процессе обучения нашли свое отражение в работах Э. К. Брейгигам, Э. Г. Гельфман, В. А. Далинге-ра, Г. В. Дорофеева, Ю. М. Колягина, И. Г. Липатни-ковой, О. С. Медведевой, Н. В. Метельского, В. В. Никитина, Е. Н. Перевощиковой, В. В. Репьева, К. А. Ру-пасова, Г. И. Саранцева, 3. И. Слепкань и др.

Как подчеркивает М. А. Холодная, «усвоение понятий (как внешних ребенку единиц научного знания) и образование понятий (как когнитивных структур) -это не тождественные явления. С психологической точки зрения образование понятий - это процесс превращения определенных единиц объективно существующего знания в субъективные ментальные структуры, существующие уже “внутри” опыта человека в качестве психических новообразований» [5, с. 226].

Таким образом, основной задачей нашего исследования стало выяснение психологических закономерностей устройства понятийного опыта. Остановимся на некоторых из них.

Знание на понятийном уровне - это всегда знание свойств объекта (А. А. Ветров, В. С. Козьмин). «Когда человек имеет знание в форме понятия, - пишет

А. А. Ветров, - то это означает, что он способен указать, назвать, перечислить признаки предметов, подводимых под понятие. Знание же в форме представления характеризуется тем, что признаки предметов даны нерасчлененно, без их перечисления. В образе налицо признаки предметов, но они еще не выделены, не названы» [6, с. 302].

Понятийное знание отличается от уровня представлений тем, что в последнем признаки объекта присутствуют, во-первых, в чрезвычайно ограниченном объеме, во-вторых, слитно и недифференцированно, в-третьих, отсутствует осознание связей между ними.

Еще одной стороной понятийного мышления является его системный характер: усвоение каждого отдельного понятия определяется характером его взаимосвязей с другими понятиями, и только в системе понятийных взаимодействий отдельное понятие приобретает качество осознанности и произвольности. Л. С. Выготский пишет: «Природа каждого отдельного понятия предполагает уже наличие определенной системы понятий, вне которых оно не может существовать» [7, с. 259]. В свою очередь, возможность включения понятия в систему отношений общности с другими понятиями зависит от того, насколько организованы признаки в содержании отдельного понятия.

Понятия могут находиться в разных отношениях и связях. Например, между двумя понятиями могут быть такие отношения, как равнообъемность, перекрещивание, внеположенность, подчинение (подчиненность) [8].

В работе Н. В. Метельского [9] показаны отношения между понятиями, которые характеризуются как сравнимые, несравнимые, совместимые, несовместимые, равнозначащие, перекрещивающиеся, подчи-

ненные, подчиняющиеся, соподчиненные, противоположные и др.

В. А. Далингер выделяет содержательные, операционные, методические и организационные внутри-предметные связи между понятиями. Им рассмотрены логико-математические связи между различными понятиями алгебры [10].

Методические связи, по словам В. А. Далингера, должны обеспечить усвоение логико-математических связей. Они выполняют чисто дидактические функции. Примерами установления таких связей являются одновременное изучение сходных понятий, взаимнообратных действий, использование геометрических образов при изучении алгебраических понятий, привлечение физических понятий для мотивации введения нового алгебраического понятия или показа его применения и т. д.

Содержательное усвоение понятий - это развернутый во времени процесс, в котором могут быть выделены определенные фазы (или этапы) движения мысли (Я. И. Груденов, Г. Л. Луканкин, И. Г. Липат-никова, Г. И. Саранцев, З. И. Слепкань, М. А. Холодная и др.). Например, в работе М. А. Холодной [5] были выделены пять фаз движения мысли, в том числе: мотивировка, категоризация, обогащение, перенос, свертывание.

В исследовании М. А. Холодной [5] рассматриваются условия, способствующие формированию понятийного мышления: активизация различных форм кодирования информации о содержании математических понятий и формирование способности переходить от одной формы кодирования информации к другой; развитие семантических структур; формирование когнитивных схем. Остановимся на каждом из этих условий.

В информационном обмене человека с окружающей средой участвуют четыре способа кодирования информации: словесно-речевой (в виде знаков), визуально-пространственный (в виде образов), предметно-практический (в виде двигательных действий), сенсорно-эмоциональный (в виде ощущений и переживаний) [11, с. 150].

Изучение математических понятий предполагает, что учащиеся должны овладеть математическим языком. А. Сфард подчеркивает, что сегодня одной из важнейших задач обучения математике является изучение математического языка как средства коммуникации. При этом предполагается развитие умений «использовать математический язык не только как носитель существующих значений, но и как «”строитель-ный материал” для поиска этих значений» [12, с. 86].

Успешность овладения школьной математикой во многом зависит от организации работы по изучению значений математических терминов. В связи с этим большое значение в обучении математическим понятиям имеет формирование семантических структур.

Семантические структуры - это индивидуальная система значений, каждое из которых описывается

посредством некоторого набора семантических признаков и связей с другими значениями. Семантические структуры характеризуются устойчивой системой связей различных семантических единиц в виде «семантических полей», «ментальных пространств», благодаря чему знания оказываются представленными в умственном опыте конкретного человека в дифференцированном и систематизированном виде. Семантическая структура - это многомерное (многослойное) образование, причем наиболее отчетливо это проявляется на сложных, абстрактных понятиях, какими являются математические понятия.

Одним из показателей развития понятийного мышления является наличие у учащегося адекватных когнитивных схем. Под когнитивными схемами понимается такая форма организации и хранения прошлого опыта, которая позволяет учащимся активно включать его в решение возникающих проблем.

Когнитивная схема, с одной стороны, дает школьникам возможность хранить в памяти устойчивые, типичные характеристики изучаемых математических явлений, воспроизводить типичный пример данного класса объектов. С другой стороны, когнитивная схема должна стать основой для опознания нового понятия, создавать контекст для приобретения новых знаний. Наконец, когнитивная схема должна быть гибкой, чтобы интеллектуальное поведение могло адаптироваться к новым условиям деятельности.

Проблеме выделения разных видов когнитивных схем и их описанию посвящены исследования Дж. Брунера, Б. М. Величковского, М. С. Минского,

У. Найссера, Ж. Пиаже и др. Анализ этих работ показал, что в качестве когнитивных схем могут выступать когнитивные карты, прототипы, предвосхищающие схемы, фреймы, сценарии и т. д.

Для оценки уровня сформированности понятийного опыта важно знать, каким репертуаром схем владеет ребенок, насколько эти схемы являются гибкими и какое количество релевантных когнитивных схем может быть реализовано в данный момент времени с учетом требований учебной ситуации.

Наконец, необходимо иметь в виду, что образование понятий осуществляется не только за счет усвоения некоторой нормативной системы знаний об окружающей действительности, но и на основе интеллектуальной самодеятельности ребенка. Ученик должен иметь возможность самостоятельно формулировать правила, выделять существенные признаки понятий, искать области применения понятий и т. п.

Учебная деятельность, направленная на формирование понятий, должна позволять ученику мысленно участвовать в процессе рождения нового понятия, пересматривать его содержание по мере углубления представлений о соответствующих математических объектах вплоть до самостоятельного выстраивания нового понятия на базе некоторых исходных понятийных знаний.

Иными словами, необходимо проводить работу по обогащению метакогнитивного опыта, который включает в себя опыт планирования и контроля учебной деятельности, развитие открытой познавательной позиции.

Кроме того, необходимо, чтобы в процессе обучения понятиям учитывались индивидуальные склонности учащихся, личные убеждения, сомнения, эмоциональные оценки и т. д.

Особое внимание уделяется актуализации интуитивного опыта детей. Учащиеся должны поощряться к высказыванию своих догадок, «опережающих» идей, своих житейских впечатлений и эмоционального отношения к изучаемому.

Иными словами, учебный процесс, направленный на формирование понятий, должен способствовать обогащению интенционального (эмоционально-оценочного) опыта, т. е. должен сочетать дискурсивные (понятийные, формально-логические) и интуитивные приемы в представлении и структурировании учебного материала.

В свою очередь формирование понятийного опыта влияет на другие формы умственного опыта учащихся.

Именно благодаря формированию понятийного мышления (владению понятиями) содержание мышления становится внутренним убеждением учащегося, его интересом, желанием и намерением. Перепле-

таясь со сложными внутренними моментами личности, содержание мышления становится «достоянием личности, начинает участвовать в общей системе движения этой личности» [13, с. 71].

Понятийный опыт - это основа самопознания, ибо, по словам Л. С. Выготского, «только с образованием понятий наступает интенсивное развитие самовос-приятия, самонаблюдения, интенсивное познание внутренней действительности, мира собственных переживаний» [13, с. 65].

Иными словами, мышление в понятиях обеспечивает возможность нового типа понимания объективного мира, возможность понимания других людей и, наконец, возможность понимания самого себя. Неудивительно, что задача формирования понятийного мышления - это одновременно задача развития личности и ее отношений с окружающим миром, это условие повышения качества математического образования.

Таким образом, анализ исследований в области психологии понятийного мышления дает возможность предложить теоретическую модель устройства и функционирования понятийного опыта, центральным элементом которого являются понятийные психические структуры (концепты) (см. рисунок).

Данная модель может стать основой для разработки учебных текстов и заданий, способствующих формированию понятийного опыта учащихся.

Теоретическая модель устройства понятийного опыта — 58 —

Список литературы

1. Усова А. В. Формирование у школьников научных понятий в процессе обучения. М.: Педагогика, 1986. 176 с.

2. Шапиро С. И. От алгоритмов - к суждениям (эксперименты по обучению элементам математического мышления). М.: Сов. радио, 1973. 288 с.

3. Слепкань 3. И. Психолого-педагогические основы обучения математике: метод. пособие. Киев: Рад. школа, 1983. 192 с.

4. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: учеб. пос. для студ. физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов /

В. А. Оганесян, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, В. Я. Саннинский. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Просвещение, 1975. 368 с.

5. Холодная М. А. Психология интеллекта. Парадоксы исследования. 2-е изд., перераб. и доп. СПб.: Питер, 2002. 272 с.

6. Ветров А. А. Природа понятия и общественная практика // Практика и познание. М.: Наука, 1973. С. 296-338.

7. Выготский Л. С. Собрание сочинений: в 6 т. Т. 2. Проблемы общей психологии / под ред. В. В. Давыдова. М.: Педагогика, 1982. 504 с.

8. Психолого-педагогические условия развития понятийного мышления / сост. Э. Г. Гельфман, С. Н. Цымбал. Томск: Изд-во ТГПУ; Изд-во Том. ун-та, 2003. 240 с.

9. Метельский Н. В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы: учеб. пос. для вузов. 2-е изд., перераб. Минск: Изд-во БГУ, 1982. 256 с.

10. Далингер В. А. Совершенствование процесса обучения математике на основе целенаправленной реализации внутрипредметных связей. Омск: ОМИПКРО, 1993. 323 с.

11. Гельфман Э. Г., Холодная М. А. Психодидактика школьного учебника. Интеллектуальное воспитание учащихся. СПб.: Питер, 2006. 384 с.

12. Sfard A. Symbolizing Mathematical Reality into Being: How mathematical Discoure and Mathematical Objects create each Other // In P. Cobb, E. Yackel, K. McClain (Eds.) Symbolizing and communicating in mathematics classrooms, USA. 2000.

13. Выготский Л. С. Собрание сочинений: В 6 т. Т. 4. Детская психология / под ред. Д. Б. Эльконина. М.: Педагогика, 1984. 432 с.

Гельфман Э. Г., доктор педагогических наук, профессор.

Томский государственный педагогический университет.

Ул. Kиeвскaя, б0, г. Томск, Томская область, Россия, б340б1.

E-mail: bgelfman@edu.tomsk.ru

Просвирова И. Г., учитель математики.

Средняя общеобразовательная школа № 4.

Ул. Cyтopминa, 1б/1, г. Мегион, Ханты-Мансийский автономный округ, Россия.

E-mail: prosvirova@mail.ru

Холодная М. А., доктор психологических наук, профессор.

Российская академия наук.

Ленинский просп., 14, г. Москва, Московская область, Россия, 119991.

E-mail: kholod@umail.ru

Цымбал C. Н., кандидат педагогических наук, доцент.

Томский государственный педагогический университет.

Ул. Kиeвскaя, б0, г. Томск, Томская область, Россия, б340б1.

E-mail: CmbalSN@tspu.edu.ru

Материал поступил в редакцию 26.10.2009

E. G. Gelfman, I. G. Prosvirova, M. A. Kholodnaya, S. N. Tsymbal

OBSERVATION OF PSYCHOLOGICAL REGULARITIES OF CONCEPTUAL EXPERIENCE STRUCTURE AS A FACTOR OF

INCREASE OF MATHEMATICAL EDUCATION QUALITY

The article considers the problems of formation of conceptual experience of students by teaching mathematics. Revelation of typical mistakes and the causes of their origins allow to make conclusion that regularities of conceptual experience structure are not always taken into consideration during the process of teaching mathematics.

Analysis of researches in the filed of psychology gives an opportunity to develop a model of structure and functioning of conceptual experience. This model is the basis of development of educational texts and mathematics tasks for the students of school.

Kew words: conceptual thinking, ways of information encoding, cognitive schemes, semantic structures, metacognitive experience.

Gelfman E. G.

Tomsk State Pedagogical University.

Ul. Kievskaya, 60, Tomsk, Tomskaya oblast, Russia, 634061.

E-mail: bgelfman@edu.tomsk.ru

Prosvirova I. G.

Secondary Comprehensive School № 4.

Ul. Sutormina, 16/1, Megion, Khanty-Mansi Autonomous Area, Russia, 628681. E-mail: prosvirova59@mail.ru

Kholodnaya M. A.

Russian Academy of Sciences.

Pr. Lenina, 14, Moscow, Moscow oblast, Russia, 119991.

E-mail: kholod@umail.ru

Tsymbal S. N.

Tomsk State Pedagogical University.

Ul. Kievskaya, 60, Tomsk, Tomskaya oblast, Russia, 634061.

E-mail: CmbalSN@tspu.edu.ru