Векторные уравнения некоторых простейших преобразований плоскости

мическими каталогами и моделирование различных процессов в звездах и Вселенной.

Главный элемент учебного процесса в технологии ТОГИС -решение деятельностно-ценностной задачи. При этом центральный акцент в задачах делается на способах их решения [10]. Деятельностно-ценностная задача включает три компонента: познавательная задача (содержание, условие, цели, требования); информационная задача (поиск, обработка информации); коммуникационная задача (коллективная деятельность, вырабатывающая систему ценностей).

Примером деятельностно-ценностной задачи в курсе астрономии может быть наблюдение солнечной активности по числу пятен на Солнце. Учащиеся учатся наблюдать за изменением солнечной активности и делать соответствующие выводы, воспользовавшись компьютерной моделью «Солнечная активность» в мультимедийном компьютерном курсе «Открытая астрономия». С помощью Интернет на специальных сайтах, анализируют фотографии, полученные из космоса, сравнивают свои данные из наблюдений с научными фактами.

Библиографический список

В результате организованного таким образом процесса обучения учащиеся учатся критически оценивать и интерпретировать информацию с разных позиций, распознавать и фиксировать противоречия в информационных источниках, приводить аргументы, как в отношении собственных умозаключений, так и в отношении действий и суждений оппонента.

Как утверждает В.В. Гузеев, ТОГИС прекрасно соответствует российским образовательным стандартам, что и не удивительно в силу деятельностного характера этих стандартов [10]. Использование ТОГИС при обучении астрономии гарантирует реализацию всех требований к результатам, прописанным в ФгОс ООО: личностных, метапредметных, предметных [11, с. 8 - 10].

Проникновение ТОГИС в сферу астрономического образования позволит качественно и эффективно реализовать основную стратегическую цель Государственной программы РФ «Развитие образования» на 2012-2020 годы -обеспечить высокое качество российского образования в соответствии с меняющимися запросами населения и перспективными задачами развития российского общества и экономики.

1. Румянцев А.Ю. Методические основы формирования системы астрономических знаний в курсе физики средней общеобразовательной школы. Диссертация ... доктора педагогических наук. Челябинск, 2000.

2. Шефер О.Р. Методика изучения элементов астрономии в курсе физики основной и средней (полной) школе. Монография. Челябинск, 2010.

3. Левитан Е.П. Дидактика астрономии. Издание 2-е. Москва, 2010.

4. Шаронова Н.В. Методика формирования научного мировоззрения учащихся при обучении физике: учебное пособие для студентов педвузов. Москва, 1994.

5. Государственная программа Российской Федерации «Развитие образования» на 2012-2020 годы. Available at: http://programma-obrazovaniya.blogspot.ru

6. Роберт И.И. Современные информационные технологии в образовании: дидактические проблемы; перспективы использования. Москва, 2010.

7. Машбиц Е.И. Психолого-педагогические проблемы компьютеризации обучения. Москва, 1988.

8. Шолохович В.Ф. Информационные технологии обучения. Информатика и образование. 1998, 2: 5 - 13.

9. Пащенко О.И. Информационные технологии в образовании: Учебно-методическое пособие. Нижневартовск, 2013.

10. Гузеев В.В. Образовательная технология ТОГИС - обучение в глобальных информационных сетях. Школьные технологии. 2000, 5: 243 - 248.

11. Страут Е.К. Астрономия. Базовый уровень. 11 класс: рабочая программа к УМК Б.А. Воронцова-Вельяминова, Е.К. Страута: учебно-методическое пособие. Москва, 2017.

References

1. Rumyancev A.Yu. Metodicheskie osnovy formirovaniya sistemy astronomicheskih znanij v kurse fiziki srednej obscheobrazovatel'noj shkoly. Dissertaciya ... doktora pedagogicheskih nauk. Chelyabinsk, 2000.

2. Shefer O.R. Metodika izucheniya 'elementov astronomii v kurse fiziki osnovnoj i srednej (polnoj) shkole. Monografiya. Chelyabinsk, 2010.

3. Levitan E.P. Didaktika astronomii. Izdanie 2-e. Moskva, 2010.

4. Sharonova N.V. Metodika formirovaniya nauchnogo mirovozzreniya uchaschihsya pri obuchenii fizike: uchebnoe posobie dlya studentov pedvuzov. Moskva, 1994.

5. Gosudarstvennaya programma Rossijskoj Federacii «Razvitie obrazovaniya» na 2012-2020 gody. Available at: http://programma-obrazovaniya.blogspot.ru

6. Robert I.I. Sovremennye informacionnye tehnologii v obrazovanii: didakticheskie problemy; perspektivy ispol'zovaniya. Moskva, 2010.

7. Mashbic E.I. Psihologo-pedagogicheskie problemy komp'yuterizacii obucheniya. Moskva, 1988.

8. Sholohovich V.F. Informacionnye tehnologii obucheniya. Informatika i obrazovanie. 1998, 2: 5 - 13.

9. Paschenko O.I. Informacionnye tehnologii v obrazovanii: Uchebno-metodicheskoe posobie. Nizhnevartovsk, 2013.

10. Guzeev V.V. Obrazovatel'naya tehnologiya TOGIS - obuchenie v global'nyh informacionnyh setyah. Shkol'nye tehnologii. 2000, 5: 243 - 248.

11. Straut E.K. Astronomiya. Bazovyj uroven'. 11 klass: rabochaya programma k UMK B.A. Voroncova-Vel'yaminova, E.K. Strauta: uchebno-metodicheskoe posobie. Moskva, 2017.

Статья поступила в редакцию 15.09.18

УДК 514

Proyaeva I.V., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), senior lecturer, Orenburg State Pedagogical University n.a. V.P. Chkalov; senior lecturer Russian Presidential Academy of national economy and public administration under the President of Russia (Orenburg branch) (Orenburg, Russia), E-mail: docentirina@mail.ru

Safarova A.D., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer. Orenburg State Pedagogical University n.a. V.P. Chkalov (Orenburg, Russia), E-mail: docentirina@mail.ru

VECTOR EQUATIONS OF SOME ELEMENTARY TRANSFORMATIONS OF A PLANE. The article studies one of the most relevant and at the same time difficult questions for teaching geometry, and to be mastered by students - geometry of transformations of a plane. The authors focus on the development of the original method of introducing the basic facts of the geometry of the plane transformations using the elements of vector algebra. The characteristic features of the introduction of these concepts are distinguished and described. Considerable attention is paid to the methodical scheme of derivation of vector equations of various particular types of plane transformations. The technique of introduction of the basic concepts of transformations of the plane presented in the article was implemented in a specific educational process at optional classes on transformations of the plane and allowed to increase the efficiency of mastering the studied material.

Key words: geometry of transformations of plane, parallel translation, rotation, axial symmetry, central symmetry, homo-thety.

И.В. Прояева, канд. ф.-м. наук, доц., Оренбургский государственный педагогический университет

имени В.П. Чкалова; Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ

(Оренбургский филиал), г. Оренбург, Е-mail: docentirina@mail.ru

А.Д. Сафарова, канд. пед. наук, доц., Оренбургский государственный педагогический университет имени В.П. Чкалова, г. Оренбург, Е-mail: docentirina@mail.ru

ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ

НЕКОТОРЫХ ПРОСТЕЙШИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПЛОСКОСТИ

В данной статье рассмотрен один из самых актуальных и в тоже время сложных вопросов для преподавания геометрии, а также для усвоения обучающимися - геометрия преобразований плоскости. Основное внимание в работе авторы акцентируют на выработке оригинальной методики введения основных фактов геометрии преобразований плоскости с использованием элементов векторной алгебры. Выделяются и описываются характерные особенности введения данных понятий. Значительное внимание уделяется методической схеме выведения векторных уравнений различных частных типов преобразований плоскости. Представленная в статье методика введения основных понятий преобразований плоскости была реализована в конкретном учебном процессе на факультативных занятиях по преобразованиям плоскости и позволила повысить эффективность усвоения изучаемого материала обучающимися.

Ключевые слова: геометрия преобразований плоскости, параллельный перенос, поворот, осевая симметрия, центральная симметрия, гомотетия.

Программой по геометрии для средней школы предусмо- центральной и осевой симметрий, поворота, гомотетии. Тем са-трено изучение элементов векторной алгебры (понятия вектора, мым достигается одновременное изучение двух понятий геоме-линейных операций над векторами, скалярного произведения трии - преобразования и векторов [2].

векторов и его свойства) [1]. Для вывода некоторых уравнений мы воспользуемся косым

В настоящей статье мы покажем возможность использова- произведением векторов, которое может быть сведено к скалярному. ния элементов векторной алгебры для вывода уравнений про- Материал этой статьи может быть использован при проведе-

стейших преобразований плоскости: параллельного переноса, нии факультативных занятий по преобразованиям плоскости [3].

Для вывода некоторых уравнений мы воспользуемся косым произведением векторов, которое может быть сведено к скалярному.

Вектором называется направленный отрезок. Вектором с началом А и концом В обозначают АВ.

Понятие вектора можно связать с параллельным переносом на этот вектор. При этом нуль-вектор определяет тождественное преобразование плоскости. Один и тот же параллельный перенос может быть задан с помощью многих векторов, которые считаем равными вектором.

Два ненулевых вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Множество всех равных между собой векторов называют свободным вектором.

Отметим на плоскости некоторую точку О, которую назовём полюсом. Пусть А - произвольная точка плоскости. Построим вектор ОА. На плоскости ему соответствуют множество векторов, равных вектору ОА. Вектор ОА является представителем указанного множества векторов. Если в точку О перенести по одному представителю каждого свободного вектора, то получим множество связных векторов. Векторы ОА, ОВ, ОС,... называются радиус-вектором точек А, В, С,... При заданном полюсе О каждый радиус-вектор вполне определяется своим концом. Поэтому ОА, ОВ, ОС,... будем обозначать А, 15, С,.

Таким образом, между множеством всех связных векторов плоскости и множеством точек плоскости установлено взаимно-однозначное соответствие. Поэтому можно вывести векторные уравнения точечных преобразований плоскости.

В дальнейшем мы будем оперировать только связанными векторами.

Косым произведением векторов А и 15, расположенных в ориентированной плоскости называется число, равное произведению длин этих векторов на синус угла между ними. Обозначение А х В и по определению АхВ = |А|^|в|^т^ (а,в) .

Повернем вектор А против часовой стрелки на 90°.Он займёт положение А]_.

Тогда А х 15 = |УА1_| • |в| • cos z (в,/^ = 15 • А1; где В • А*5 - скалярное произведение

векторов I5 и А^Таким образом, АхВ = В •А^А^В и УА1_х15 = —A •I5.

Выведем векторные уравнения некоторых преобразований плоскости. 1. Параллельный перенос.

Параллельным переносом на вектор р называется преобразование плоскости к, при котором каждой точке М е к ставится в соответствие точка М' е к такая, что

ММ' = р .

Способы задания параллельного переноса:

1) с помощью вектора параллельного переноса р.

2) с помощью двух соответственных точек М и М', а именно прообраза М и образа М'.

Обозначим через М' = Пр М). Выберем на плоскости систему координат и вектор. Пусть параллельный р(а, ^} перенос переводит точку М (х, у) в

точку М'(',у'), т.е. ММ' = р . Тогда

x' = x + a У' = У + Р'

Параллельный перенос есть частный случай движения первого рода.

, ч x' = xcosp - sy sinp + x0

Рассмотрим формулы движения (*) .Если положить:

y' = y sin p + sy cos p + y0

p = 0, х0 = a, у0 =P,e = 1, то из этих формул получаются формулы параллельного

x' = x + a переноса: ,.

y' = y+P

Свойства параллельного переноса. При параллельном переносе:

1. точки переходят в точки;

2. прямые переходят в прямые (параллельный перенос есть движение, а движение переводит прямые в прямые). При этом образ прямой l либо параллелен прямой l , либо совпадает с ней.

При параллельном переносе инвариантными прямыми являются прямые, параллельные вектору переноса. Параллельный перенос на вектор p Ф 0 не имеет инвариантных точек. При p = 0 параллельный перенос является тождественным преобразованием.

Пусть Тд - параллельный перенос на вектор т и Tm(X) = Y. По определению Тд, имеем XY = т. Так как xy = y — x и т = ОМ, то Y — x = м. Следовательно, Y = x + М - векторное уравнение параллельного переноса. Пусть даны два параллельных переноса Тщ>(Х) = Y и Тmj(Y) = Z. Тогда t^ft^iOx) =z и Y = x + Мъ Z = Y + ~ñ2. Поэтому Z = X + (м[ + ~м?). Обозначая w1 + w2 через М, получим

z = x + ЛЛ. Это означает, что композиция двух параллельных переносов есть параллельный перенос на вектор, равный сумме данных векторов.

2. Центральная симметрия.

Пусть Sp(X) = y, где Х - произвольная точка плоскости, sp - центральная симметрия с центром в точке Р. По определению центральной симметрии PY = —px.

Так как р9 59 -р и РХ 5 Х -Р, ть 9 -Р 5~р - Х. Тогда 95-9я; + 2Р (2) - вектьррье уравнерие центральной симметрии.

Пусть есть две центральные симметрии 5Р1, 5Рг. В результате последовательного выполнения данных иреьбразьварий плоскости иьтучим 5Р1 (Х) 59 и 5Рг (9) 51, 5Рг°5Р1(Х) 5 1. Сьгтасрь (2) 9 5 -Х + 2Р1 1 5 -9 + 2Р^. Тьгда 1 5 х + 2 (Р21 - Р). Таким ьбразьм, композиция двух центральных симметрий с центрами в точках Р1 и Р2 есть параллельный перенос на вектьр 2/32Р^1.

3. Осевая симметрия.

Осевьй симметрией SJ с ьсью Ы называется преобразование итьскьсти, при кьтьрьм:

1. каждой тьчке М е Ы ставится в соответствие сама тьчка М ;

2. каждой тьчке N £ Ы ставится в соответствие тьчка N' такая, чть NN' ± Ы, и ести тьчка О = Ы о NN', ть ON = ON'.

Ести ьсь абсцисс прямоугольной декартьвьй системы координат совпадает с ьсью Ы, ть фьрмуты ьсевьй симметрии имеют вид х' = х,

г

У = - у.

Осевая симметрия есть частный случай движения втьрьгь рьда.

Все тьчки ьси ьсевьй симметрии инвариантны. Других инвариантных тьчек ьсевая симметрия не имеет.

При ьсевьй симметрии инвариантными будут ьсь симметрии и все прямые, перпендикулярные к ьси.

Прямая называется ьсью симметрии геьметрическьй фигуры, если при ьсевьй симметрии итьскьсти относительно этьй ирямьй фигура переходит сама в себя.

Пусть на плоскости задана осевая симметрия с осью I. Обозначим через Е -единичный вектор прямой I, а через В - нормальный вектор прямой I, длина которого равна 1 и угол Е,В) был положительно ориентирован.

Х - произвольная точка плоскости и Б^Х) = У. Из определения осевой симметрии следует, что ХУ II В и ХМ = МУ, где М = ХУП1. Тогда У — Х = аВ, где а ЕР. То есть У = 9 + аВ, ХМ = МУ, то есть М — Х = У — М. Так как М Еа, то М 11Е и М = рЕ,р ер.

Тогда 29 = 2рЕ — аВ. Чтобы найти а и р умножим обе части последнего равенства справа косо на вектор Е. 29 х Е = 2рЕ х Е — аВ х Е. Отсюда а = 2Х х Е. Тогда У = Х + 2(ХхЕ^В - векторное уравнение осевой симметрии.

Зная, что композиция двух осевых симметрий с пересекающимися осями и 12 есть поворот, можно получить векторное уравнение поворота У = Х — 2 [(х, В^М + Д (х • Д)], где В - единичный вектор нормали прямой 1Ъ Д единичный вектор нормали

прямой 12, М - образ В при осевом отражении относительно прямой ОД, О = 1± П12.

4. Гомотетия.

Гомотетией на плоскости Н° с центром в точке О и коэффициентом гомотетии к ф 0 называется преобразование, при котором точка О переходит в точку О, а любая другая точка М переходит в точку М' такую, что ОМ ' = кОМ .

Условие AM' = kAM означает, чти точки А, М н М' лежат на ияний о-ямой. Если точки М и М' лежат оо одну сторону от точки А, то коэффициент гомотетии k > 0. Если точки М и М' лежат оо разные стороны от точки А, то коэффициент гомотетии k < 0 .

Гомотетия полностью ооиеяеляется заданием: р) центра А и коэффициента гомотетии k; 9) цент-. А и о.-ы соответственных точек М и М'; в) явух о.-соответственных точек на ояной о-ямой.

Г4Р4тетн9 Н^ есть подобие с К4эффнцнент4Р оодобия |k|. П-и г4Р4тетнн

о-ямые, оиоходяшне через цент- г4Р4тетнн, оеиехояят сами в себя. Прямые, не оиохояящне через цент- г4Р4тетнн, оеиехояят в оа-аллельные о-ямые.

Гомотетия сох-аняет оа-аллелизм, т. е. ое-евояит оа-аллельные о-ямые соответственно в оа-аллельные о-ямые. Г4Р4тетн9 к.жяый луч оеиевоянт либо в сонаправленный луч (если к > 0), либо в противоположно-направленный луч (если к < 0).

При гомотетии угол переходит в угол с соответственно направленными сторонами (к > 0 ), либо в угол с противоположно-направленными сторонами (к < 0 ).

Гомотетия сохраняет величины углов и форму фигуры.

Пусть O(x0, y0) - центр гомотетии, к - коэффициент гомотетии, М(x, y) и М' (x ', y') - соответственные точки. Тогда формулы гомотетии плоскости имеют вид:

У -У0 = к(У - У0).

Если центр гомотетии находится в начале координат, то формулы гомотетии записываются в виде:

X = кх, У ' = ky.

Пусть на плоскости задана гомотетия HSk с центром в точке S и коэффициентом k ф 0. Х - произвольная точка плоскости, отличная от S Hsk(X) =Y. По определению гомотетии SY = kSX, SY = Y—S и SS:^ = XX — S3. Тогда Y —S = k(X —S) и Y=kX +

S(1 — k) - векторное уравнение гомотетии. Если k = —1, то получаем y = —X + 2S - это уравнение центральной симметрии с центром в точке S.

Библиографическийсписок

1. Прояева И.В., Сафарова А.Д. Организация самостоятельной работы студентов по подготовке к ГИА курсу «Геометрия». Оренбург: ИздательствоОГПУ, 2016.

2. Прояева И.В., Сафарова А.Д. Об особенностях преподавания раздела геометрических преобразований в школьном курсе геометрии (статья ВАК). Мир науки, культуры и образования. 2017; 1 (62): 150 - 152.

3. Прояева И.В. Об организации компетентностно-ориентированного подхода самостоятельной работы бакалавров по математическим дисциплинам на технических специальностях ВО. Реализация компетентностного подхода в сфере инженерной подготовки: авторская монография. Уфа: ООО АЭТЕРНА, 2017: 101 - 106.

References

1. Proyaeva I.V., Safarova A.D. Organizaciya samostoyatel'noj raboty studentov po podgotovke k GIA kursu «Geometriya». Orenburg: Izdatel'stvo OGPU, 2016.

2. Proyaeva I.V., Safarova A.D. Ob osobennostyah prepodavaniya razdela geometricheskih preobrazovanij v shkol'nom kurse geometrii (stat'ya VAK). Mir nauki,kul'turyiobrazovaniya.2017;1 (62):150-152.

3. Proyaeva I.V. Ob organizacii kompetentnostno-orientirovannogo podhoda samostoyatel'noj raboty bakalavrov po matematicheskim disciplinam na tehnicheskih special'nostyah VO. Realizaciya kompetentnostnogo podhoda v sfere inzhenernoj podgotovki: avtorskaya monografiya. Ufa: OOO A'ETERNA,2017:101 -106.

Статья поступила в редакцию 22.09.18