Моделирование процессов управления, устойчивость и стабилизация

Р. Г. Мухарлямов, О. В. Матухина МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ, УСТОЙЧИВОСТЬ И СТАБИЛИЗАЦИЯ

Ключевые слова: управление динамикой, устойчивость, численное решение, стабилизация, программные связи.

Приводится анализ и решение системы линейных алгебраических уравнений с прямоугольной матрицей коэффициентов. Результат исследования используется для составления уравнений динамики систем, содержащих элементы различной физической природы. Определяются необходимые условия устойчивости решений уравнений динамики, и предлагается алгоритм построения уравнений возмущений связей, гарантирующий стабилизацию связей при численном решении. Некоторые результаты решения прикладных задач иллюстрируют эффективность описываемых методов.

Keywords: dynamics control, stability, numerical solution, stabilization, program constraints.

The analysis and the solving of the linear algebraic equations system with a rectangular matrix of coefficients are stated. Results of researches are used in dynamics modeling of the difficult systems containing different physical elements. Necessary stability conditions of the dynamics equations decisions are defined, and the algorithm of the constraints perturbations equations construction, guaranteeing constraint stabilization is offered at the numerical solution. Some results of the applied problems solution illustrate efficiency of describe methods.

1. Основные этапы решения задач моделирования и обратных задач динамики

Еще в середине прошлого столетия было отмечено [1], что задачи моделирования и обратные задачи динамики входят в число важнейших направлений развития прикладной математики. Для решения этих задач могут быть разработаны общие подходы. Динамика систем различной физической природы обычно описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка и уравнениями связей, содержащими обобщенные координаты и скорости системы. Для описания динамики широкого класса систем, состоящих из элементов различной физической природы, и экономических объектов успешно могут быть использованы уравнения классической механики. Уравнения движения механических систем следуют из принципов механики с учетом возможных перемещений системы, совместимых с уравнениями связей.

Поскольку число уравнений связей, как правило, оказывается меньше числа переменных, определяющих состояние системы, то построение уравнений динамики сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно возможных перемещений системы с прямоугольной матрицей коэффициентов. Дифференциальные уравнения движения системы, полученные из принципов механики, допускают инвариантные соотношения, иначе говоря, имеют частные интегралы, определяемые уравнениями связей. Задача построения дифференциальных уравнений по заданным интегралам имеет не единственное решение, что позволяет решать задачи управления с учетом дополнительных условий.

В целом исследование задач моделирования динамики управляемых систем включают следующие основные этапы:

- решение систем линейных алгебраических уравнений с прямоугольной матрицей коэффициентов;

- построение систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные частные интегралы;

- определение условий устойчивости интегрального многообразия, соответствующего уравнениям связей;

- построение уравнений динамики систем раз-

личной физической природы, обеспечивающих стабилизацию связей при численном решении систем дифференциально-алгебраических

уравнений.

2. Решение систем линейных алгебраических уравнений с прямоугольной матрицей коэффициентов

Решение системы уравнений

Бу = Ь, Б =

I = , к = 1..п > т,

когда число неизвестных превосходит число уравнений, не является однозначным. Можно привести разнообразные примеры систем линейных уравнений с прямоугольной матрицей коэффициентов. Например, уравнения химических реакций, исследованные еще Д. Д. Сильвестром. Если взять молекулы нескольких веществ с неопределенными коэффициентами ук, то из закона сохранения вещества следуют т уравнений (2.1) для определения их значений.

1) Пусть, например, имеются шесть соединений: н2о - вода, 02 - кислород, СН4 - метан, С02 - углекислый газ, С2Н6 - этилен, С6Н6 - бензол, участвующие в химической реакции. Опреде-

12 3 4 5 6

лить целые числа V , V , V , V , V , V - стехиометрические коэффициенты в записи химической реакции

^Н20 + V202 + V 3СН4 +

2 2 4 . (2.2) + V 4со2 + V 5С2Н6 + V 6С6Н6 = о

Элементы матрицы Б, т = 3, п = 2 соответствующие числу атомов каждого вещества: Н -водород, О - кислород, С - углерод в соответствующем соединении определяются из таблицы 1.

Таблица 1 - Элементы матрицы Б, соответствующие числу атомов каждого вещества (водород, кислород, углерод) в соответствующем соединении

Н20 <ч о Н о <ч о о С2Н6 СбНб

Н 2 0 4 0 б б

0 1 2 0 2 0 0

С 0 0 1 1 2 б

Из (2.2) следует система линейных алгебраических уравнений, соответствующих закону сохранения вещества:

2у1 + 4у3 + 6у5 + бу6 = 0,

Б<!

V1 + 2у2 + 2у4 = 0,

V3 + V4 + 2у5 + буб = 0.

2) Пусть ч\...,чп - обобщенные координаты, определяющие положение механической системы, и

^

.к

А р^1,..^",^ + А р (^...^М) = 0,

р = т + 1,...,т + г < п,

связи, наложенные на нее. Тогда возможные перез? к ^

мещения ОЧ механической системы должны удовлетворять системе линейных уравнений

к Е

5^°чк=^ V=Ст, V=V '=1,...,т+г.

сц

3) Задача линейного программирования. Алгоритм симплекс-метода решения задачи состоит в замене неравенств

э|кук < Ь1, I = 1,...,т, к = 1,...,п, системой линейных уравнений

/"+^ = Ь|, ] = 1,...,т, с произвольными коэффициентами Б|п+^ и дополнительными переменными у"+J > 0 .

Теорема 1 [2]. Множество всех решений линейной системы (2.1) с прямоугольной матрицей £, ранг которой т, определяется выражением

V = су1 + Vу,

где с - произвольная постоянная, Vу = Б+Ь, Б+ = Бт(ббт)"1, V1 = (V11 + V7") - векторное произведение [БС]= [Б1...Бтст+1...сп-1] векторов-строк матрицы Б и произвольных векторов ст+1,...,с" 1. Составляющая V1 векторного произведения [БС] вычисляется как определитель, первая строка которого состоит из нулей, за исключением одной единицы,

соответствующей столбцу с номером j , 5к = 0,

j Ф к, 5j = 1, остальные строки представляют собой

элементы матрицы Б и векторы ст+1,...,с"1. В [3] показано, что выражение (2.7) содержит любое решение системы (2.1).

1) Так, подбирая соответствующим образом произвольные две последние строки определителя,

соответствующего решению системы (2.3), можно получить уравнения известных химических реакций

202 + СН4 = С02 + 2Н20,

702 + 2С2Н6 ^ 4С02 + 6Н20 ,

1502 + 2С6Н6 ^ 12С02 + 6Н20 .

2) Представим систему уравнений (2.6) для определения возможных перемещений механической системы в виде системы

СЕи , р __а[р С^к , к = С]к . к

Ер = АР^,...^,^ + Ар

Множество возможных перемещений системы определяется как общее решение

5чк = vk 5э + Е+к5уК, где 5э -произвольно малая величина, 1К+к — элемент матрицы Р+= Рт(РРт)-1, Рт-

ЕкК5дк = 5уК, 1* = ^-, Гкр = С-,

матрица

транспонированная к матрице Р = Екк).

3. Построение дифференциальных уравнений

Кинематика системы, на которую наложены связи, описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений

х = v

определяющей зависимость составляющих скоростей от положения системы и рассматриваются обычно совместно с начальными условиями х(10) = х0. Пусть на систему наложены голоном-ные связи

Е(х,1) = 0, Е = (!,,...,и, т < п. (3.2) Обычно предполагается, что начальные значения координат при 1 = 10 также абсолютно точно удовлетворяют уравнениям связей

Е

Кинематические соотношения

Это оказывается возможным, если для определения правой части v(x,t) уравнения (3.1) вместо (3.4) воспользоваться соотношением [4]

^ + Е = а

Из (3.5) следует, что вектор V определяется как решение системы т линейных уравнений с п неизвестными:

Бv = Ь, Б = 1х, Ь = а -1Г

Имея общее решение системы уравнений (2.4), требуемое множество систем дифференциальных уравнений можно представить в виде:

x = c[fxC] + fx+

Равенство (3.2) определяет частные интегралы системы (3.7). Если функция c(x,t) и матрица C(x,t) определяют величину и направление скорости v = х движения изображающей точки по многообразию Q(t), определяемому уравнением (3.2), вектор-функция a(f,x,t) соответствует отклонениям движения от многообразия Q(t) и при соответствующем выборе позволяет обеспечить устойчивость движения по отношению к многообразию Q(t).

4. Устойчивость интегрального многообразия

Равенство (3.5) может быть рассмотрено как система уравнений возмущений связей

а = a

и построено в соответствии с условиями устойчивости многообразия Q(t), соответствующего невозмущенным уравнениям связей: f(x,t)= 0 . Если в пространстве переменных x1,...,xn расстояние от точки х до многообразия Q(t) определяется равенством

p(x,Q(t)) = VfT(x,t)f(x,t) , то условия асимптотической устойчивости многообразия могут быть сформулированы теоремами 2,3 для постоянной матрицы A и теоремой 4 [5] в случае, когда A = A(x,t):

Теорема 2. Если действительные части корней характеристического уравнения

det(A - AEm) = 0 системы a = Aa отрицательны,

то многообразие Q(t) устойчиво асимптотически.

Теорема 3. Многообразие Q(t) устойчиво асимптотически, если все определители Гурвица соответствующего характеристическому уравнению det(A - AEm) = 0 положительны.

Теорема 4. Если для системы уравнений возмущений связей a = A(x,t)a существует определенно-положительная функция V(a,x,t), допускающая бесконечно малый высший предел, производная которой V = (a, x, t) вычисленная в силу этих уравнений, является определенно-отрицательной функцией, интегральное многообразие Q(t) устойчиво асимптотически.

В частности, если 2V = aTLa, L - const, то 'V = aTLAa и для определения условий устойчивости может быть использован критерий Сильвестра.

5. Стабилизация связей

Для успешного численного моделирования динамики управляемых систем оказывается недостаточно асимптотической устойчивости движения по отношению к функциям, задающим уравнения связей, траекторию движения или закон движения. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 5. Если для решения уравнений динамики используется разностная схема +1 = ^ + ^ т, ^+1 = ^ + т, ^ =

т = +1 -к = О,1,2,...

х < £, матрица тА и остаточный член (т2 / 2)х(2) разложения хк+1 в ряд ограничены величинами

Е + Ат||к< в < 1, (т2 / 2)||х(2)|| < (1 - р)е, то выполня-

ется неравенство ||х + < е.

Пример 5.1. Решение системы дифференциальных уравнений

>с1 = 4cx2 -

Xx1 (x? + 4x2 ~ 4) x2 + 16x2

. 4х

х2 = -сх1-----Ч,-----^—’-, X > 0 ,

2 1 х? + 1бх2

асимптотически устойчиво по отношению к уравнению связи Е(х1,х2)ее-1 ( + 4х? -4)= 0 , так как

V = I72, V =-XV . Положим |х^ < 2,1, |х2| < 1,1,

х? + х? > 0,81, с = 1, е = 10-4, 10 = 0, х? = 2 ,

х? = 0 . Очевидно, Е(х10,х?) = 0 < е . Построим

численное решение системы, используя разностную схему:

хк+1 = хк + ™к, хк = х(1к), vk = V (хкДк), х = (х1,х2) 1к+1 = 1к + т, т = 0,0025.

Численное решение оказывается неустойчивым при X = 1, ЕX5, х? )= 0,00015 > е , и X = 900 : Е(х9,х?)= 10-30,128 > е. Графики изменения величины Е = Е(х1,х2) представлены на рис. 1 и рис. 2.

Рис. 1 - График изменения величины f = f(x1,x2) при X = 1

ІІ.І. IiI j u и, ,11,1 1. J .1 , 1 .1

IV Tn f ,тл'р » 'ir np^ip'irr- Т7»Г

1 51 101* 151 201 251 301 351 401 451 501

1

Рис. 2 - График изменения величины f = f(x1,x2) при X = 900

n

n

Из условий точности численного решения следуют неравенства, накладываемые на 1: 4 < 1 < 796 . На рис. 3 и рис. 4 представлены кривая

dfl і dфk

Е(х1 ,х2) ее — (х^ + 4х2 - 4) = 0 и график

изменения

погрешности V = Е , соответствующей значению 1 = 300 .

V 0.С0С07 0,00006 0,00005 0,00004 0,00003 0,00002 0,00001

Рис. 4 - Изменение погрешности

6. Построение уравнений динамики сложных систем

Анализ динамики и синтез управления современными динамическими объектами связан с исследованием многомерных нелинейных нестационарных систем, которые могут содержать элементы различной физической природы: механические, электрические, электронные, гидравлические, пневматические и другие устройства. Для моделирования динамики таких систем вводится унифицированный набор переменных, через которые определяются динамические показатели системы, уравнения динамики и уравнения связей:

Л

d (51. ^ Л г м к

I яТ" 1-^ = ^' -^~т + Е' + ЕЬ'ки ,

dt ) 5д' ст к=1

Г'

у = 1,2,...,п ; ' = 1,2,...,г; э = г + 1,г + 2,...,т.

В случае М = т и Ь'к =3фк/5Т, дф'/сТ = сЕ7 управления ик совпадают с множи-

телями Лагранжа Хк, и обеспечивают движение по многообразию, соответствующему уравнениям связей или по траектории. Возможно также управление движением вдоль многообразия или траектории. При определении управлений ик = Хк из условий

= V

• = ф , dt

= 0 , к = 1,2,...,т

решение неустойчиво по отношению к уравнениям связей. Для стабилизации решений вводятся уравнения программных связей

Р1(д'д) = Е, фр(д'Уд)= фр, р = 1,2,...,т, (6.4) и множители Лагранжа Хк определяются из уравнений

dt

= Ф'

д

к

+------= РкXі, р,д,Vі,О

ді V >4. /

" д2Ь і " д2Ь dvj

і —:—^ + і —:—:------------------+

ддід^ дvjдvl dt

д2І_ дЬ _ дР , ™ д к .

---:---- — --:-+ 0|---г + Е + і---------— Ак

дvlдt дд1 1 дvl 1 Р( д^ к

Рк

Вследствие условий (6.7) уравнения связей (6.2) соответствуют инвариантным множествам или частным интегралам системы дифференциальных уравнений динамики (6.1). Надлежащий выбор правых частей Рк уравнений (6.5) позволяет обеспечить желаемые свойства движения:

- устойчивость и стабилизацию численного решения, оптимальность по заданному критерию качества;

- инвариантность по отношению к внешним возмущениям и динамическим свойствам переходного процесса;

- устойчивость при случайных воздействиях;

- и другие.

7. Иллюстрация примеров решений

Результаты фундаментальных исследований сочетаются с решением прикладных задач динамики и управления. Часть прикладных задач являются модельными и иллюстрируют возможности разработанных методов. Решение части задач явилось результатом сотрудничества с промышленными предприятиями и научными учреждениями.

Пример 7.1. Управление дискретной адаптивной оптической системой. Разработаны принципиальные схемы и составлены программы решения задачи управления элементом дискретной адаптивной оптической системы, моделируемой твердым телом с шестью степенями свободы и тремя управляющими приводами [6], [7]. На зеркала элементов системы падает свет звезды, проходящий через атмосферу, оптические свойства которой меняются во времени. Целью управления является обеспечение попадания в заданную точку фокальной плоскости лучей, отраженных от каждого элемента мозаичного зеркала. Управление элементом зеркала осуществляется тремя параллельными силами, приложенными к трем точкам твердого тела, на котором закреплено зеркало, совершающим

движения по направляющим.

Пример 7.2. Управление электромеханической системой. В системе привода кривошипношатунного механизма блок питания обеспечивает подачу электрической мощности двигателю постоянного тока. Переменный ток через выпрямитель подается в двигатель, который, в свою очередь, управляет работой механизма, расположенного в однородном поле силы тяжести. Для решения задачи управления динамикой системым построена система дифференциальных уравнений, разрешенных относительно старших производных, которая содержит девять уравнений с девятью неизвестными. Решение системы дифференциально-алгебраических уравнений и построение фазовых портретов осуществлено с использованием системы компьютерной математики Maple [8].

Пример 7.3. Управление движением колесной системы с обходом подвижных препятствий. Для построения множества траекторий используется решение обратной задачи качественной теории дифференциальных уравнений. Задача моделирования сводится к решению системы семи уравнений динамики и трех уравнений программных связей. Для построения уравнений, решения задачи управления и численного моделирования использована система компьютерной математики Maple [9].

Заключение

Результаты фундаментальных исследований и численных экспериментов свидетельствуют об эффективности изложенных методов стабилизации связей при использовании простейших численных методов решения систем дифференциально-

алгебраических уравнений, описывающих динамику системы и связи, ограничивающие изменение координат и скоростей.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, номер проекта 10-01-00381.

Литература

1. Себехели, В.Г. Уравнения для составления программы

тяги / В.Г. Себехели // XI Конгресс Международной Федерации Астронавтики. - Стокгольм, 1960.

2. Мухарлямов, Р.Г. О построении дифференциальных уравнений оптимального движения по заданному многообразию / Р.Г. Мухарлямов // Дифференц. уравнения.

- 1971. - Т. 7. N 10. - С. 1825-1834.

3. Мухарлямов, Р.Г. Об уравнениях движения механических систем / Р.Г. Мухарлямов // Дифференц. уравнения. - 1983. - Т. 19. N 12. - С. 2048-2056.

4. Еругин, Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую / Н.П. Еругин // ПММ. - 1952. - Т. XXI. В. 6. - С. 659-670.

5. Мухарлямов, Р. Г. О построении множества систем дифференциальных уравнений устойчивого движения по интегральному многообразию / Р. Г. Мухарлямов // Дифференц. уравнения. - 1969. - Т.5. N 4. - C. 688-699.

6. Мухарлямов, Р.Г. Управление программным движением адаптивной оптической системы / Р.Г. Мухарля-мов // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информатика. - М.: Изд. РУДН, 1994. - № 1. - С. 22-40.

7. Kolesnikov, A.P. Control in Adaptive Optical Systems / A.P. Kolesnikov, R.G. Mukharlyamov, R.G. Ibragimov // IFAC Workshop on Evaluation of Adaptive Control Strategies in Industrial Application. - Tbilisi, USSR, 17-21 Oct. 1989. - N 7. - Pergamonpress. Oxford. - P. 301-306.

8. Шемелова, О.В. Управление динамикой электромеханических систем / О.В. Шемелова // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ. - 2003. - № 1. -С. 63 - 71.

9. Ибушева, О.В. О построении уравнений динамики механических систем с программными связями / О. В. Ибушева, Р.Г. Мухарлямов // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2010. - №1. - С. 75-80.

10. Махмутова Д.И. Математическая модель оптимизации процесса удаления растворителей из полимерных элементов на стадии вымачивания/Д. И. Махмутова, О.Т. Шипина, А.В. Косточко, А.П. Кирпичников, Д.И. Басырова//Вестник Казан. технол. Ун-та. - 2012. -т. 15, №8. -С. 187-191.

11. Басырова Д.И. Об одном подходе к моделирванию функционирования дискретно-информационных химико-технологических систем/Д.И. Басырова, О.М. Матренина, А.П. Кирпичников, О.Т. Шипина, А.В. Косточ-ко// Вестник Казан. технол. ун-та. - 2011. -№8. -С. 146-151.

© Р. Г. Мухарлямов - д-р физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой РУДН, rmuharliamov@sci.pfu.edu.ru; О. В. Матухина - канд. физ.-мат. наук, доц. каф. информационных систем и технологий НХТИ КНИТУ, ovmatukhina@gmail.com.