Сравнительный анализ расчета фундаментных конструкций на базе модели полупространства и вариационного метода В. З. Власова

Проблема теории упругости

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РАСЧЕТА ФУНДАМЕНТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА БАЗЕ МОДЕЛИ ПОЛУПРОСТРАНСТВА И ВАРИАЦИОННОГО МЕТОДА В.З. ВЛАСОВА

В.К. ИНОЗЕМЦЕВ, д-р техн. наук, профессор О.В. ИНОЗЕМЦЕВА, канд. техн. наук, ассистент A.C. ЗИНОВЬЕВ, аспирант

Саратовский государственный технический университет

Расчет фундаментных конструкций в виде фундаментных балок и плит предполагает численный анализ системы «фундаментная конструкция - основание». Расчет оснований обычно базируется на моделях оснований, которые по-разному распределяют контактные напряжения между массивом грунта и фундаментными конструкциями конечной жесткости. Значительное распространение при расчете конструкций конечной жесткости получила модель местных деформаций с одной характеристикой основания - коэффициентом постели. Вместе с тем модель местных деформаций не позволяет учесть распределительные свойства грунтового основания. Расчет оснований с учетом распределительных свойств возможен на базе моделей основанных на фундаментальных соотношениях механики деформируемых сплошных (линейных, нелинейных, реологических и др.) сред. К таким моделям основания относится модель, предложенная для слоя основания ограниченной мощности В.З.Власовым [1]. Дальнейшее развитие эта модель получила в работах H.H. Леонтьева [2]. Модель Власова-Леонтьева учитывает не только работу слоя основания на обжатие, но и работу на сдвиг. Это позволяет более полно учесть распределительные свойства основания. Модель Власова-Леонтьева нашла применение при расчете оснований с учетом физически нелинейных свойств [3]. Здесь оказались возможными и более сложные постановки задачи, когда наряду с физической нелинейностью учитывается изменение деформационных свойств основания, возникающее вследствие внешних воздействий техногенного или природного характера [4]. Такой вид нелинейности носит название наведенной неоднородности. Для учета физической нелинейности и наведенной неоднородности деформируемых сред применение находит инкрементальная теория наведенной неоднородности [5]. В основе ее лежат гипотезы деформационной теории пластичности. Одним из основных положений инкрементальной теории наведенной неоднородности является понятие о пошаговом процессе решения задачи, когда для перехода к следующему шагу по параметру процесса необходимо знание о напряженно-деформированном состоянии в точках объема деформируемой среды, накопленном за все предыдущие шаги процесса деформирования. Это обстоятельство накладывает определенные требования к модели основания конструкций. Если ставится задача учета физической нелинейности и наведенной неоднородности деформируемой среды основания, то необходимым условием применимости инкрементальной теории наведенной неоднородности к описанию работы физически нелинейного основания с наведенной неоднородностью является использование такой модели основания, которая позволяет определить напряженно-деформированное состояние в точках объема деформируемой среды основания. В качестве такой модели может быть использована модель основания Власова-Леонтьева. Несомненным ее достоинством является то, что в основе дифференциальных уравнений модели основания лежат фундаментальные соотношения механики сплошной среды. Другим достоинством является вариацион-

ный метод решения, позволивший построить систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Вместе с этим проблемным для этой модели является учет горизонтальных перемещений. Дело в том, что задать аппроксимирующую эти перемещения функцию по толщине слоя основания гораздо сложнее, чем аппроксимировать вертикальные перемещения. Эпюры горизонтальных перемещений по толщине слоя основания оказываются гораздо более изменчивыми по сравнению с эпюрами вертикальных перемещений. В связи с этим при численных исследованиях обычно вводят гипотезу о малости горизонтальных перемещений по сравнению с вертикальными перемещениями при действии строго вертикальной нагрузки. Это снимает проблему аппроксимации горизонтальных перемещений по толщине слоя. Как показывают расчеты, при достаточно незначительной толщине слоя основания пренебрежение горизонтальными перемещениями мало влияет на расчет вертикальных осадок основания. Однако характер напряженно- деформированного состояния в точках объема основания, особенно для зон концентрации

TinnnftW^TVTTtí А * ГТ1АПГТ¥ТаТТТГа1 в ТЛ ГТТТТТХТ ТТ ¥ Л1ТЛП ЛТО1ТЛП11ТЛ ГГ ПЛА Йл ТТ ОО \1Г* Г1АО Ut Tli Т—lo _

naiipA/iwnmi« v у ovJii'inwni'ivivi хиащгшо! wiv/л viuavuruvA uvv vwiw j vavmiunu. * ш

пряженно-деформированное состояние при этом по прежнему удовлетворяет принципу возможных перемещений Лагранжа в части равенства нулю суммы работ на любом возможном перемещении всех внешних и внутренних сил, приложенных к выделенному элементу. Однако в части наряжено- деформированного состояния для точки объема среды основания получаемый результат не может быть использован. Причина этого очевидна, это пренебрежение горизонтальными перемещениями при возрастании толщины слоя основания. Ведь модель в этом случае представляет собой систему связанных пружин. Ее отличие от модели местных деформаций в этом случае лишь в связности пружин, то есть в учете работы касательных напряжений. В работе [2] даются рекомендации по аппроксимации горизонтальных перемещений. В данном случае аппроксимирующие функции «должны выбираться в соответствии с конкретным содержанием задачи и с нашими представлениями о возможном характере распределения перемещений по высоте основания» [2]. Так для упругого слоя основания небольшой мощности, когда вертикальные перемещения по подошве этого слоя отсутствуют, вертикальные перемещения по толщине слоя аппроксимируются по линейному закону. Горизонтальными перемещениями обычно пренебрегают. Если горизонтальными перемещениями пренебречь нельзя, то для достаточно тонкого слоя, закрепленного от горизонтальных перемещений по подошве, также рекомендуется принимать линейную аппроксимацию горизонтальных перемещений. Таким образом, принимая различные виды аппроксимирующих функций, можно получить различные приближенные модели упругого основания. Основным для этих моделей является то, что характер напряженно-деформированного состояния по толщине слоя основания априорно задан принятым видом аппроксимирующей функции. Точность описания характера напряженно- деформированного состояния по толщине слоя основания обусловлена как удачным выбором аппроксимирующих функций, так и априорным представлением о характере распределения перемещений по толщине слоя. При малой мощности слоя это сделать проще. Но если толщина сжимаемого слоя достаточно велика, то выбор аппроксимирующей функции по линейному закону будет «весьма схематически характеризовать работу упругого основания», так как в этом случае уже нельзя считать, что вертикальные напряжения по всей высоте слоя сохраняют постоянную величину [2]. Качество принятого вида аппроксимации и толщину слоя, для которого эта аппроксимация удовлетворительно описывает напряженно-деформированное состояние в точках объема слоя основания необходимо подтверждать сравнением с результатами расчета по модели свободной от влияния введенных аппроксимаций 12

для функций перемещений. В качестве такой модели может быть использована модель полупространства. Используя модель Власова-Леонтьева и модель полупространства, проведем сравнительный анализ результатов расчета системы «фундаментная конструкция - основание». Для подобных задач желательно построить модель системы, объединяющей фундаментную конструкцию и основание, свободную от необходимости задавать возможный характер распределения перемещений по объему основания. Примером такой модели может служить модель основания, объединяющая уравнения равновесия Навье и уравнения равновесия фундаментной конструкции (рис.1).

а) б)

Рис. 1. Расчетные схемы плоской задачи а - плоская деформация; б - плоское напряженное состояние

В основу технической теории расчета оснований сооружений с учетом наведенной неоднородности положим геометрические (1) и статические (2) уравнения для плоской задачи, следующие из фундаментальной системы уравнений механики деформируемого твердого тела, которые записываются относительно приращений:

Де„ = — " 2

дх<

ад и, дА и,

дх, \ }

ада, дх,

0\У = 1,3),

= 0; (/,;= 1,3).

Граничные значения для функций перемещений в случае односвязной области равны нулю по всему контуру области за исключением границы поверхности основания. На поверхности основания задаются граничные условия для приращений касательных и вертикальных нормальных напряжений. Величина вертикального давления, передаваемого на поверхность основания со стороны балки, будет равна вертикальному отпору Яхз(х1). В данном случае будем пренебрегать трением, и считать поверхность контакта балки и основания гладкой (^¡(х/) = 0), а реакции контакта направленными по нормали к этой поверхности. Полагаем также, что вертикальные перемещения поверхности основания и нижней поверхности балки происходят совместно без отрыва. Тогда функция вертикальных перемещений поверхности основания и линия прогиба оси балки тождественны и решение находится из совместной системы уравнений равновесия основания и уравнения изгиба балки в приращениях, входящего в систему уравнений через граничные условия, записанные для участка поверхности основания, контактирующего с балкой (3):

34Д£/3

АЯ^(х]) = Ад(х1)-Е1

дх*

где: - приращение реактивного вертикального отпора на части поверхно-

сти основания, взаимодействующей с нагруженной фундаментной балкой, связанное условием равновесия балки с величиной ее изгибной жесткости {КГ) и характером приращения нагрузки £щ(хх). В итоге модель системы «фундаментная конструкция - основание» представляется дифференциальными уравнениями в частных производных и отпадает необходимость во введении аппроксимирующих функций.

Модель Власова-Леонтьева получается выделением из объема среды основания элементарного элемента в виде столбика-полоски шириной с!х\ = 1 (рис.2).

Я

L

ШМ

-Xi -

П р^

—" I -rit».. \

dx, ==1_4_

г

Рис.2

Применяя принцип возможных перемещений Лагранжа, приравняем нулю сумму работ на любом возможном перемещений "приращений всех внешних и внутренних сил приложенных к этому элементу:

V - /Астзз^;^ + |А/г,3

р ЯСХ р р

Здесь с1Р = &1у - дифференциал площади поперечного сечения пластинки, б- толщина пластинки; ЧJJ - система аппроксимирующих линейно независимых

безразмерных функций, подлежащих выбору в соответствии с кинематическими условиями задачи. Для анализа работы системы «фундаментная конструкция - основание» на основании модели Власова-Леонтьева (4) решается совместно с (3). При этом функции приращений перемещений Д(73(хрхз) определяются следующим образом:

™ • Н-х,

/=1

Я

Граничные условия системы уравнений модели Власова-Леонтьева задаются на функции приращений перемещений AW.. При этом для поверхности слоя основания при решении уравнения (4) необходимо удовлетворить двум граничным условиям на границах области интегрирования (рис. 3):

при хх = -Lx АW0 = 0; при хх = L + L2 АW0 = 0.

Выполнение данных граничных условий обеспечивается автоматически, если заданы границы области интегрирования и принято допущение, что перемещения поверхности основания в этих точках равны 0. Размеры области интегрирования в каждом конкретном случае зависят от характера решаемой задачи и требуемой точности расчета. Кроме того, необходимо задать условия по концам фундаментной конструкции (балки), которые имеют смысл так называемой «сшивки» граничных условий на границах областей I, II и III (рис. 3).

Для балки свободно лежащей на основании полагаем, что приращение изгибающего момента равно нулю и имеет место неразрывность эпюры приращений обоб-

щенных поперечных сил и эпюры приращений вертикальных перемещений балки и

основания:

А Ж

балки

I х4

Рис. 3. Гранины областей интегрирования I

'/', /', / .' V/'/1 'У//'.'.'/V/'.-'/'/'/' Рис. 4. Расчетная схема балки, свободно лежащей на однослойном основании

Для построения разрешающей системы уравнений на базе этих моделей необходимо конкретизировать физические соотношения. Уравнения трехмерной задачи пластичности для компонент тензора деформаций e¡ (¡=1,2,3) имеют вид:

сг,

а

20. 2^

а а(

+ — + —-

3 К 3 к

2Сс сг,

2а

а а, +— +—-

ък ък„

+ + ^ , (8) " 20с Жс ЪК ЪКС

где в случае плоской деформации: е2 = 0; а2 ~(а] +аъ)цс - Есо, /(ЗАГС). Здесь (?с - модуль сдвига, объемная деформация является суммой упругой объемной деформации, связанной с первым инвариантом тензора напряжений (е = сг/(3К), К - объемный модуль упругости), и нелинейной объемной деформации дилатан-сии, связанной со вторым инвариантом девиатора напряжений (еср0 = сг, /(3Кс),

Кс - секущий модуль нелинейной диаграммы дилатансионного деформирования).

Уравнения равновесия модели полупространства (2) и уравнение принципа возможных перемещений модели Власова-Леонтьева (4) в качестве неизвестных содержат приращения компонент тензора напряжений. Такое представление соотношений называется инкрементальной моделью. В этом случае искомыми величинами являются приращения компонент тензоров напряжений и деформаций, а полные тензоры напряжений и деформаций получаются суммированием найденных на предыдущих этапах нагружения приращений напряжений и деформаций. При этом на шаге процесса деформирования приращения могут получать не только фазовые переменные процесса (напряжения или деформации), но и параметры состояния деформируемой среды, описывающие ее физико-механические свойства.

При построении соотношений инкрементальной теории зависимость между компонентами тензоров приращений напряжений {Л(ТЦ) и деформаций

получается путем линеаризации соотношений: Асгц - Лег у {Ле1}, е(>, (Ту ).

где «/,у>гу - функции переменных состояний (параметров деформи-

В линеаризованном виде данные соотношения записываются следующим образом

Аа^^Ае^Щ или Де^/^Д^+Л,,,

руемой среды основания, являющихся постоянными на данном шаге). Приращения в инкрементальных теориях отсчитываются от текущих значений переменных состояния.

Принимая для дискретизации моделей системы «фундаментная конструкция - основание» метод «сеток» определим вертикальные и горизонтальные компоненты (ДС/] (х,, х3), Л£/3 (х,, х3)) вектора приращений перемещений по модели основания в виде полупространства и сопоставим их с результатами расчета по модели Власова-Леонтьева. Рассмотрим численный пример о деформировании системы «основание - плита». Допустим, что основанием плиты служит линейно упругий однородный достаточно тонкий слой. Отношение мощности слоя к длине области загружения примем 0,1. Например, если длина области нагружения 1 = 2а = 10 м, то И = 1 м . Модуль упругости материала плиты примем 2,1x107 кН/м2; толщина плиты 0,5м; ширина вырезанной полосы - 1м; модуль деформации слоя 1,8x104 кН/м2; коэффициент Пуассона - 0,5. Плита нагружена равномерно распределенной вертикальной нагрузкой интенсивностью 1 кН/м2.

рсь симметрии ___|

ось симметрии

¡¡а»

а = 5 м

НЬ - толщина плиты' НЬ=0.125м I

уиз*10 м

Рис. 5.

НЬ=0.5 М/ ^11зх10"3м толщина слоя Не = 5 м Рис. 6.

Результаты расчета вертикальных осадок приведены на рис. 5. Там же приведены результаты расчета вертикальных осадок для слоев основания толщиной 2,5 м и 5 м. С увеличением толщины слоя основания фундаментная конструкция приобретает все более изогнутую форму. Аналогичные результаты расчетов для плит толщиной 0,25 м и 0,125 м при толщине слоя 5 м приведены на рис. 6.

Для сравнения результатов расчета по модели полупространства (2) и на основе уравнений принципа возможных перемещений модели Власова-Леонтьева (4) рассмотрим систему «балка - слой основания» со следующими параметрами: модуль упругости балки примем 2,1хЮ7кН/м2; толщина балки 0,5 м; ширина балки - 1м; длина балки 2а = 10 м; модуль деформации слоя 2х Ю4 кН/м2; коэффициент Пуассона - 0,5. Балка нагружена равномерно распределенной вертикальной нагрузкой интенсивностью 1 кН/м. Ширина области интегрирования Ь = 20 м, толщина слоя основания Н = 2.5 м. Область интегрирования разбиваем сеткой с шагом 80 узлов по длине и 20 узлов по толщине.

На рис. 7 показана левая половина эпюры вертикальных перемещений (до оси симметрии системы). Под левым концом балки эпюра имеет характерный «излом». На поверхности основания свободной от действия балки осадки быстро затухают.

Изменение вертикальных перемещений по глубине слоя основания имеет до-16

о

Рис, 7

Рис, 8

статочно простой характер, показанный на рис. 7. Вертикальные перемещения убывают с глубиной по закону близкому к линейному. Значительно более сложный характер имеет эгоора горизонтальных перемещений основания.

На рис. 8 показана левая часть эпюр горизонтальных перемещений до оси симметрии системы. Результаты расчета перемещений показывают, что для принятого в расчетной схеме отношения толщины слоя основания к длине области нагружения Н/1а = 1/4 величина максимальных значений горизонтальных перемещений примерно в 4-5 раз меньше максимальных вертикальных перемещений. Этот известный факт послужил основой для построения на базе вариационного метода В.З.Власова расчетных моделей оснований и фундаментных балочных конструкций, взаимодействующих с основанием, в которых горизонтальными перемещениями пренебрегают.

Сопоставим результаты расчета вертикальных перемещений, полученные с использованием модели полупространства с аналогичными, полученными по модели основания Власова - Леонтьева.

При малой толщине слоя результаты расчета перемещений хорошо согласуются на большей длине балки (рис. 9). Погрешность в центральной части балки составляет не более 1,5 %. Исключение составляет область под концом балки. Здесь горизонтальные перемещения достигают своего максимума, и расхождение результатов составляет 30 %. Большего расхождения результатов следует ожидать при большей толщине слоя основания. Рассмотрим результаты расчета для слоя основания толщиной, соответствующей отношению Н12а = 1 (рис. 10). В этом случае вертикальные перемещения в центре балки по модели Власова- Леонтьева больше на 10 %, а под концом балки они меньше на 33 %. Таким образом, сравнение результатов расчета осадок по модели полупространства с результатами по модели Власова-Леонтьева показывает, их сопоставимость по характеру и по величине, при этом учет горизонтальных перемещений в модели полу-

0.002 0.004 0.006 0.008

0.01

0

Рис.9

Рис.Ю

пространства позволяет более точно описать НДС в зонах концентрации напряжений.

Литература

1. Власов В.З. Избранные труды: в 3 т / В.З. Власов. М: Наука. 1964. Т. 3. 407 с.

2. Власов В.З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании / В.З. Власов, Н.Н. Леонтьев. М.: Физматгиз, 1960. 324 с.

3. Петров В. В. Теория наведенной неоднородности и ее приложения к расчету конструкций на неоднородном основании / В.В. Петров, В.К. Иноземцев, Н.Ф. Синева. Саратов: СГТУ, 2002. 156 с.

4. Иноземцев В.К. Математическая модель деформирования геомассивов применительно к деформационным процессам в основаниях сооружений / В.К. Иноземцев, В.И. Редкое. Саратов: СГТУ, 2005. 412 с.

5. Иноземцев В.К. Инкрементальная модель упругопластического основания фундаментных конструкций в условиях развития наведенной неоднородности / В.К. Иноземцев, А.С. Зиновьев // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. М.:

руттм Ofinv Vni Г' 7л — хй

X J «.VVUi .Ui. Vi ' I WVi

COMPARATIVE ANALYSIS OF CALCULATION OF FOUNDATIONS ON A BASE OF MODEL OF HALF-SPACE AND VARIATIONAL METHOD OF V.Z. VLASOV

Inozemtsev V.K., Inozemtseva O.V., Zinoviev A.S.

Concise description of models of foundation based on a base of model of half-space and variational method of V.Z. Vlasov is given. Article contains results of calculations of foundation derived using model half-space and a comparison this results with similar derived using variational method of V.Z. Vlasov.

ДИНАМИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБОПРОВОДОВ С ЖИДКОСТЬЮ ПРИ ДЕЙСТВИИ ВНУТРЕННИХ ИСТОЧНИКОВ

П.Ф. САБОДАШ, д-р техн. наук, профессор А.И. ВАСИЛЬЕВ, канд. техн. наук, доцент

Московский государственный университет природообустройства

Решена начально-краевая задача гидроупругости о радиальном взаимодействии гидродинамической волны сжатия с внутренней поверхностью цилиндрического трубопровода большой протяженности (плоская деформация).

Внутренний объем трубопровода целиком заполнен идеальной сжимаемой жидкостью. В жидкости происходит взрыв линейного заряда детонирующего шнура, расположенного на оси гидроупругой системы. В начальный момент времени в зоне оси симметрии возникает зона повышенного давления, которая генерирует цилиндрическую гидродинамическую волну сжатия, распространяющуюся по направлению к стенке конструкции (тонкостенной цилиндрической оболочки большой протяженности).

Фронт этой волны, отражаясь от деформируемой преграды (упругой оболочки), распространяется к оси (сходящаяся гидродинамическая волна). При этом тонкостенная конструкция совершает малые радиальные колебания, вызывающие в срединной поверхности напряжения растяжения-сжатия. Геометрия задачи и система цилиндрических координат представлена на рис. 1.

В стандартных обозначениях свойства трубопровода определяются набором