О вынужденных колебаниях вязкой несжимаемой жидкости в полубесконечном канале

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XIII 19 8 2

MS

УДК 533.6.12

О ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ

КАНАЛЕ

Е. В, Богданова

В рамках теории свободного взаимодействия рассмотрены малые вынужденные возмущения вязкого несжимаемого потока в канале, образованном двумя полубесконечными пластинами. Исследуется устойчивость течения по отношению к симметричным и антисимметричным колебаниям. В области устойчивых частот строится решение для функции давления. Показано, что решение внешней задачи о вынужденных возмущениях пограничного слоя на пластине получается из решения рассмотренной, внутренней задачи, если в качестве параметра подобия взять расстояние от входа.

В рамках линейной теории свободного взаимодействия [1, 2] изучаются возмущения вязкого несжимаемого потока, которые индуцируются гармоническими осцилляторами, помещенными на противоположных стенках канала. Предполагается, что источники возмущений расположены в достаточно удаленной от входа области, где осуществляется взаимодействие первоначально независимых друг от друга пограничных слоев через потенциальное ядро потока [3, 4]. Исследуется устойчивость течения по отношению к симметричным и антисимметричным вынужденным колебаниям. В области устойчивых частот строится решение для функции давления. Показано, что решение внешней задачи о вынужденных возмущениях пограничного слоя на пластине естественным образом. получается из решения рассмотренной внутренней задачи, если в качестве параметра подобия взять расстояние от входа (или, что то же самое, толщину пограничного слоя).

1. Постановка задачи. Предположим, что на входе в канал, образованный двумя полубесконечными пластинами, имеет место равномерный поток вязкой несжимаемой жидкости со скоростью Uq — const. Тогда в окрестности входа течение состоит из невязкого ядра и двух пограничных слоев, начинающихся независимо друг от друга с носика каждой пластины. Число Рейнольдса определим обычным образом по ширине канала Ь*, скорости Ul и кинематической вязкости v*, полагая его заведомо большим единицы, что

позволяет ввести малый параметр Е = 1?е 5 . На расстоянии порядка О (е~3 Ь*) от входа поместим на противоположных стенках два вибратора с характерным продольным размером О (Ь*), амплитудой колебаний порядка О (ег Ь*) и частотой О (е1 £Уо

Для описания движения воспользуемся пятислойной моделью течения [3], включающей невязкое потенциальное ядро толщины О (Ь*) и примыкающие к нему с обеих сторон области невязких (но завихренных) пограничных слоев толщиной О (е Ь*), а также два узких, существенно вязких слоя толщиной О (е* Ь*) у каждой из стенок. В такой схеме основной интерес связан с построением решения в пристеночных областях, так как оно позволяет выписать параметры течения в остальных трех промежуточных слоях в явном виде [3, 4].

Пусть I* — время, — декартовы координаты, —Ь*

—уравнения верхней и нижней стенок канала соответственно,

— составляющие вектора скорости, р* — давление, р*— плотность. Введем следующие безразмерные независимые и зависимые переменные:

= Ь* и0 Е-1 I, X* = Ь* (е_3 Л0 + ЛГ>, у* = Ь* ^ -|- —+ еЭ 3,!,2 и* = Оо 5 иЬ2, V* = и"о VI,2, р* — р1 = р* и? е2 р1Л ;

здесь х0 и р1 — константы, а индексы 1, 2 указывают на принадлежность параметра нижней или верхней области соответственно.

Подстановка соотношений (1.1) в уравнения Навье—Стокса ведет к двум системам уравнений для нестационарного пограничного слоя с самоиндуцированным давлением

дц1,2 . ^1.2_____ /Ч др 1,2

дх дУ\л~ ’ дУ1,г~~ ’ да1,1 , да\,2 , да\я дР\л , ^“l.S

Необходимые граничные условия определяются требованием сращивания решений во всех областях между собой [3, 4]

^ *0 1/2 У1,2 ^ i4i,2

Неизвестные функции А\'Ъ имеют простой смысл мгновенного смещения линий тока; Х = 0, 3321 —постоянная из решения Блазиуса для пограничного слоя на пластине.

Связь функций />1,2, А\$ задается через решение в потенциальном ядре течения, для которого

у* - Ь*у, и* = ul (1 + £2 a), v* — ul е2 V, р* — pi = р* Ul2 е2 р .

Нетрудно убедиться, что р и v удовлетворяют уравнению Лапласа и являются гармонически сопряженными, причем

p(t, *.+4*). v (Ч +

Непосредственно на стенке должно быть задано условие прилипания:

«1,2 =

а при х -*—оо все возмущения должны затухать:

*0 7/2 У 1,2 0, Vl,2 - 0, Pl,2 - 0.

Зададим уравнения движения вибраторов следующим образом:

где «в — безразмерная частота.

Малость параметра о позволяет линеаризовать задачу (1.2)—(1.7) путем разложения искомых функций в ряд по степеням а.

2. Линейное приближение. Пусть

(«1,2 + ^ ХоУ2 Уиъ V\,v, jPl,2, A1,2) = a(uU2, v\,2i р\,2, А[,2) .

Временную зависимость исключим, полагая

(«1,2, ^1,2, Pi, 2, ^1,2) = («1,2, ^1,2, А],2) в1 ш (.

Тогда для функций с двумя штрихами возникает следующая задача:

, а ^ п ^Р\ 2 j 2 .

t  ui,2 zt -г1- + l^o i’i,a=-+ ТТ~ »

дх — дх ду\ 2

Йй. п ди I п п

—У _|___Ь? — О — = 0 •

дх дУи2 и>

И],2 0 (х -» — оо), #1,2 ± Ро ^1.2 (У 1,2 -» + со) 5

ц1,2 = -Ь /1,2 (*) (З'иг = 0)? Ро = ^ *0 1/2-

Исключая функции г^.г и используя преобразование Фурье по продольной координате вида

А (А. .У) = Iн" (х> У) йх ,

оо

найдем соотношения для образов Фурье функций давления и смещения линий тока

Ио/3 Ф

оо

Здесь Ф (С) = ^^ [] Лг (я) ^]-1; Лг (С) —функция Эйри первого

рода; С = / ш (г цо £)~2/3. Выражения (2.2) рассматриваются в комплексной плоскости А с разрезом по мнимой положительной полуоси (—Зге/2 < а^ А < ти/2), что обеспечивает однозначный выбор регулярной ветви функции Эйри и сходимость всех интегралов, возникающих при решении задачи [2, 5[.

Обратимся теперь к центральной части потока. Здесь решение для образов Фурье параметров течения с исключенной зависимостью от времени имеет вид

у) = [ _ I

Из краевых условий при у = +1/2 следует

_ к к _ __й_ іріл = Ве+ 2_— £>/2, —йМі,а=Яе 2 +Ое~2 ,

откуда находим

Я = е2 (р1-М1) = у- е 2 (^3—£Л2); .

к , &

0=>—~е 2 (/>, + 4^)=— е2 (/?2 + йЛ2) .

Уравнения (2.2), (2.4) образуют замкнутую систему'со следующими решениями:

к -

Р„ =

Ds (С. к) >о3 ф(0 СЬ

^Я5 (*’ ік т

і

~4

А^=~

ИЙ ф(ї)АЬ— Л

(*Г ф С) *ь -у 7Д,

Я = -£- ^/3 Ф

0 = --?- Ро3Ф(0

+

{»> ^аз (:

~ Л

I ял:

о, с:, а)

Л_1 •

*)] ’

і_______________Л 1

. к) Оа, С, А)]

Здесь (/*в,_Л„ А)=_1/2(р, + рг, Л, + Л2, Л+/2), (/?„, Ла,, /в1) = =1/2 (/7Х —/?2, Л1 — л2, /. — /2), а через £>, (С, А) и Оа4. (С, А) обозначены следующие выражения: .

О, (С, к) = ^'3 Ф (С) 8Ь ±[- к{ік)'і* СЬ ± ; Д» (С, *) = Ро'3 ф (С)-сь-|—к {іку чь А .

Переход к решению в физической плоскости осуществляется с помощью обратного преобразования Фурье, причем основные свойства поля возмущений в жидкости при различных частотах и фазах работы осцилляторов могут быть установлены путем анализа частотно-волнового спектра задачи.

Я. Свойства спектра. Приравнивая к нулю функции £>Д£, к) и Ци (^1 £)> можно получить два дисперсионных соотношения для частот и волновых чисел свободных симметричных и антисимметричных колебаний соответственно. Основные свойства корней уравнений £^—0 и 0а5=0 в комплексной плоскости А (—Зя/2<лг£АО/2) устанавливаются на основе аналогичных результатов для пограничного слоя на изолированной пластине [6].

В соответствии с этими результатами каждое из дисперсионных соотношений всегда обладает бесконечной последовательностью корней £;- в окрестности луча агg £ =— -™1 сточкой сгущения

в начале координат. Природа этих решений обусловлена осциллирующим характерохм . функции АІ (С) на оси аі^^ = п. Наличие в рассматриваемых уравнениях гиперболических функций (отсутствующих в задаче о пограничном слое на изолированной пластине) приводит к появлению в плоскости к еще трех бесконечных последовательностей нулей, две из которых расположены вдоль берегов разреза аг^А = я/2 и аг% к — —а одна — в окрестности по-

Пусть /= — 1,0,1, тогда собственное волновое

луоси aтg к = число с номером я Зї> 1 задается соотношениями

<й^,,~(2я + 1)' ё

_ і ^

+ 2кпе

,И)

і т.

(О

* « 1, (Х,)^ = 2|4;3 ф (0)е1 <т~т) (2п + 1) , Ы =

= 2[іо/3 Ф (0) е(2л)-

X—4/3

для симметричных и антисимметричных возмущений.

Оба уравнения (£>^ = 0 и Оаз = 0) решались численно при различных фиксированных значениях ш. На рис. 1 и 2 показаны траектории, вычерчиваемые несколькими корнями в плоскости к соответственно для симметричных и антисимметричных возмущений с изменением <и. Направление возрастания |<о] укачано стрелками.

-4

У

! 1 . .1 !

\--о Г <-с> т-О 1

Рис. 2

Легко видеть, что каждый тип возмущений обладает модой, которая пересекает действительную полуось при некотором критическом значении

Согласно [4] критические значения «,>0 и £*<0 можно найти простым пересчетом по имеющимся данным для несжимаемого пограничного слоя на изолированной пластине. Так, для симметричных колебаний (од* = 0,5736, (£^)# = —0,1248, а для антисимметричных (ши)4=2,9270, (£а,)*= —1^4382 при |*0=1, причем К)*<К5)* для всех ц0.

4. Свойства решения задачи в физической плоскости. Для

вычисления обратных преобразований Фурье от выражений (2.5), являющихся мероморфными в плоскости й функциями, проведем два контура. Для л<0 выберем контур интегрирования С", лежащий в нижней полуплоскости с обходом точки О по дуге окружности радиуса г 0. Для л>0 выберем контур интегрирования С+, лежащий в основном в верхней полуплоскости и включающий два бе-

рега разреза вдоль мнимой оси с обходом точки О. На основе теоремы Коши о вычетах и леммы Жордана имеем для всех <а<(а^)4:

- г 2 Геэ ЧР" {к*т) е**”1* (х < 0) ;

т \ткт<^

±

+ *2 геэ^ Ф (к*п) е4™* (X > 0),

т 1ш4т>0

где ¥ (к) обозначает любую функцию ps, pas> As, Aas, а /+, /_ есть интегралы вдоль берегов разреза.

Пока частота осцилляторов остается меньше критического значения («^)*, в течении возможно существование как симметричных, так и антисимметричных возмущений, представляющих собой дуги волн, распространяющихся вверх и вниз по потоку. При приближении значения (в к (а^)* затухание симметричных колебаний становится все более слабым. Согласно линейной теории устойчивости [7], при симметричные возмущения должны нарастать

вниз по потоку. Построить соответствующее решение только в рамках приведенного анализа нельзя. Отметим, что аналогичная ситуация имеет место для антисимметричных возмущений, когда ш становится больше {waJ),.

Существует некоторый интервал частот {о^)в < ш < (<DaJ&, на котором течение может быть устойчивым, еслн фаза колебаний осцилляторов выбрана так, что симметричные волиы просто не возникают (/ej==0). Если же ш > (<oaj)*, то течение неустойчиво всегда.

На рис. 3 и 4 соответственно показан вид действительной и мнимой частей pas (ji0 = 1) при двух различных значениях вынуж-

СО

W" (х) = у j1 e+ikx Т (k) dk = —00

л ==/*=/=

дающей частоты (кривая I—ш = 2,0; кривая 2—<и = 2,9), Треугольные осцилляторы колеблются в фазе, так что ps~0:

0, лг<0, х, 0 < х < 1,

2 — х, 1<л:<2,

^0, л >2.

При Ро = 1 область частот, в которой возможно существование как симметричных, так и антисимметричных затухающих возмущений, очень мала. Однако она расширяется при смещении в сторону входа в канал, что соответствует увеличению ji0. Так, для ц0=1,7 К)* = 2,7012, (АЛ=“ 0,9821, (<»„). = 4,2594,^J* = - 3,0123. Вид действительных и мнимых частей функций р" и p"as. для случая, когда возмущена только одна стенка, причем форма вибратора задается выражением (4.2), (ш = 2,6, р0=1,7), показан соответственно на рис. 5 и 6 (кривая 1—pas, кривая 2—ps). Видно, что вннз по потоку доминирующую роль играют симметричные возмущения, в то время как влияние вверх по потоку осуществляется в основном через антисимметричные волны.

Являясь характеристикой расстояния от входа в канал и будучи тем самым жестко связанной с толщиной основного пограничного слоя, [а0 может рассматриваться в качестве некоторого геометрического параметра подобия трехслойных структур, формирующихся при различных режимах течения. Фактически это означает, что линейные решения для вынужденных возмущений как в изолированном пограничном слое, так и в области начального устанавливающегося вязкого течения должны получаться из решения, построенного выше, в результате предельных переходов fi0^-oo, р0->0 соответственно. Покажем, что это так, если р0 -+оо.

Пользуясь соотношениями (2.5), (4.1), выпишем в явном виде функцию давления на нижней стенке в физической плоскости при х < 0:

п-0

є ап (^ол ('’Оп) ] ,

где {£„} и {С}, лежащие в нижней полуплоскости полюса функций р& и ра1 соответственно, а и Ла!; задаются следующими выраже-

ниями:

5/3

^о!

'' й Ф 1 АТ4 ,,, к

— -^7+ - -ф (’>СЙ1 - т(№) сШ Т ~1/2

„5/3

ї*0

2 : лф і 4 і

---------------{-— Ф(£)1Ь— —

3 Л сС„ 2 2]

4 ця Ь

з т

-1/2* (/£)1/3

Пусть

Ро » 1) А — рГР, ^ = !,о 5/4 Е,  = *7 />"

Дх) = !Л0-3'4 ? с = г со (г (V, й)-№ = і 2 (* р)-2;з . (

Выясним характер решения /М;), получающегося из /?!(*) путем преобразований (4.5).

Разобьем каждую из последовательностей {&*„} и й/г} НЗ ДВ6 части: в первую включим полюса, расположенные в конечной о к-рестности начала координат плоскости /г, с номерами от 0 до N, а во вторую—полюса с номерами от N до оо. Число N выбирается достаточно большим, чтобы для всех полюсов с номерами п > N можно было пользоваться соотношениями (3.1), когда 1 — 0. Преобразуем теперь выражение (4.3) с учетом (4,4) к переменным (4.5). В новых переменных расстояние между соседними полюсами из последовательности (3.1) стягивается к нулю. Сохраняя только главные члены по ц0 и заменяя возникающую сумму интегралом,, находим

Р і

Ь2 ” -2к|5и Ф

---цо \ Є -;---------- ,

1/2Ф о г (5)+ -у (2^)4'3

где появляющаяся в результате преобразования гиперболических

л

тангенса и котангенса функция £ (я) ведет себя как ЇФ(0) (2тг^) 3,

если $-*оо, и как 1, если 5 -»0. Ф(С)~Ф0, если я -*-с6, и Ф (С)----С,

если 5 0.

Выражение (4.6) позволяет оценить асимптотическое поведение функции Р[ (!) в разных пределах:

ds, i -+—0 ,

А {%)'——4тг J s cpj (s) ds, \ -* — со.

0

При &-*-—0 существенную роль играет гладкость функции ^(5). Если в качестве 9, (Е) рассматривать треугольную форму (4.2), то Ч>! 5~(2я я)-2, еслн я^оо, и <р, (в)~ 1, если й 0. В этом случае, как видно из (4.7), разрыв в нуле будет терпеть третья производная функции давления йгР\ (Е)/£^3~Г(1/3)Фг (О)'*-1 (Е)-1-3. На минус бесконечности функция давления будет затухать как и-1 Е-2. Такой результат в точности совпадает с соответствующим асимптотическим поведением решения задачи о малых вынужденных возмущениях несжимаемого пограничного слоя на плоской пластине [8]. Это справедливо и в случае Е-»+0, в чем можно убедиться, рас-

смотрев решение р\ (л:), выраженное через вычеты в полюсах верхней полуплоскости и интегралы по разрезу.

Что касается решения в области невязкого потока, задаваемого соотношениями (2.3) с учетом (2.5), то несложно показать, что переход к масштабам (4.5) ведет к его размыканию на два независимых друг от друга решения для каждой стенки, причем условие затухания этих решений в поперечном направлении осуществляется автоматически.

Действительно,

Центральное ядро течения, соответствующее ^2 —с0! в этом случае остается невозмущенным.

Автор благодарит О. С. Рыжова за полезные обсуждения.

1. S t е w а г t s о п К. On the flow near the trailing edge of flat plate. 11. Mathematika, vol. 16, N 31, 1969.

2. P ы ж о в О. С., Терентьев Е. Д. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением. ПММ, т. 41, вып. 6,

1977.

3. Smith F. Т. On entoy-flow effects in bifurcating, blocked or constricted tubes. ,J. Fluid Mech,‘, vol. 78, pt. 4, 1976.

4. Smith F. Т., Bodonyi R. J. On the stabibiiy of the developing flow in a channel or circular pepe. Quart. „J. Mech. Appl. Math.“, vol. 33, pt. 3, 1980.

5. Терентьев E. Д. Расчет давления в линейной задаче о вибраторе в сверхзвуковом пограничном слое. ПММ, т. 43, вып. 6,

1979.

Р~~ i ^ Р { е** + тт е~^'> Re Р > 0 >

фп ф1

~ е-Ъ + е*ъ , Re р < 0 ,

Ъ = 4 (У~1/2), Ъ = (у + 1/2), = ф (С) + [3 (i Э)1--3.

ЛИТЕРАТУРА

6. Ryzhov О. S., Zhuk V. I. Internal waver in the boundary layer wtttr the self-induced pressure. „J. de M6canigue“, vol. 19, N 3,

1980.

7. J1 и н ь Ц. LI, Теория гидродинамической устойчивости. М., .Наука", 1958.

8. Smith F. Т. Laminar flow over a small brump on a flat plate. ,J. Fluid. Mech.“, vol. 57, pt. 4, 1973.

Рукопись поступила 23jXl 1981