Частотно-временной корреляционный анализ цифровых сигналов

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тихонов А.Н. Математическая модель // Математический энциклопедический словарь. - М.: Изд-во «Советская энциклопедия», 1995. - С. 343-344.

2. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления. - М.: Иностр. лит-ра, 1947. - 408 с.

3. Баранов В.А., Чекалин А.С. Система цифрового томосинтеза для неразрушающего контроля // Дефектоскопия. - 1988. -№ 5. - С. 30-36.

4. Baranov V., Chakhlov V., Kroning M., Morgner W. High speed computerized tomography on thickwalled steel and concrete components using a portable 6 MeV betatron // 6th European Conference on Non-destructive testing: Collect. of papers. - Nice, France, 1994. - № 2. - P. 1287-1291.

5. Baranov V.A., Temnik A.K., Chakchlov V.L., Chekalin A.S. Betatron tomography with the use of nonlinear backprojection techniques // International Symposium on Computerized Tomography for Industrial Applications: Collect. of papers. - Berlin, 1994. - P. 271-277.

6. Baranov V.A. Convex projections reconstruction algorithms on the basis of non-linear backprojection approach // International Sym-

posium on Computerized Tomography for Industrial Applications: Collect. of papers. - Berlin, 1994. - P. 88-95.

7. Ewert U., Schümm A., Nockeman C., Baranov V.A. Fortschritte auf dem Gebiet der digitalen Laminographie // Deutsche Gesellschaft fur Zerstörungsfreie Prüfung e.V., Jahrestagung 1995 (100 Jahre Röntgenstrahlen und die heutige Vielfalt Industrieller ZfP-Praxis), Aachen. - 1995. - P. 471-475.

8. Baranov V.A. A Variational Approach to Non-Linear Backprojection // Computerized Tomography: Collect. of papers / Editor-in-Chief: M.M. Lavrent'ev. - Utrecht, Netherlands, 1995. - P. 82-97.

9. Ewert U., Baranov V., Borchard K. Cross-sectional imaging of building elements by new non-linear tomosynthesis technique using imaging plates and Co60 radiation // NDT & E International. -1997. - V. 30. - № 4. - P. 243-248.

10. Baranov V., Ewert U. A group-theoretical approach to ill-posed problems // Computer Methods and Inverse Problems in NDT and Diagnostics: Book of abstract to 3rd Intern. Scient. Conf. (CM NDT -2001). - M., 2002. - P. 11-12.

Поступила 30.09.2009г.

УДК 519.2:519.688

ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННОЙ КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ

В.С. Аврамчук, В.Т. Чан

Томский политехнический университет E-mail: tranvietchau@yahoo.com

Предложен и проанализирован способ расчета частотно-временной корреляционной функции, позволяющий выявить взаимосвязь сигналов на различных частотах.

Ключевые слова:

Частотно-временной корреляционныэй анализ, корреляция, спектральный анализ. Key words:

Time-and-frequency correlation analysis, correlation analysis, spectral analysis.

Цифровая обработка сигналов в настоящее время используется для фильтрации, спектрального анализа, свертки и корреляции. Корреляция также может быть использована для установления сходства одного набора данных с другим.

На практике в основном используют быструю корреляцию, основываясь на соответствующей теореме [1]. Этот широко используемый и эффективный способ анализа сигналов обладает существенным ограничением - по его результатам невозможно определить, в каком частотном диапазоне сигналы коррелированы. Предлагаемый способ расчета частотно-временной корреляционной функции позволяет детализировать информацию об общих свойствах двух сигналов.

Положим, имеются дискретные сигналы x¡ и у, взаимную связь которых, если она существует, следует выявить. Задача состоит в обнаружении взаимной связи этих сигналов и частотного спектра, на котором она проявляется.

Рассмотрим взаимно-корреляционную функцию

г12 = ^-'[ ^

где Р - прямое дискретное преобразование Фурье первого сигнала, К - комплексно-сопряженное значение результатов прямого дискретного преобразования Фурье второго сигнала, - обратное дискретное преобразование Фурье. Идея предлагаемого способа состоит в следующем. Прежде чем подвергнем произведение Р(х;)Р*(у;) обратному преобразованию Фурье, составим т его копий Мк, к=0,...,т-1, предварительно обнулив весь спектр, кроме к-ой части. В результате обратного преобразования Фурье каждой из этих копий получим взаимно-корреляционную функцию на соответствующих частотах. Совокупность всех результатов обратного дискретного преобразования Фурье дает частотно-временную корреляционную функцию. Формульная запись будет иметь следующий вид:

Ы* =

г = гк

12 ^г '

г* = ^ _1[Ы* ],

р к <-Л—

р т 2п-1 +1 0, иначе.

к +1

БФС

мк

БПФ"1

2к

БИ

1 г

ются обратному преобразованию Фурье Ик=¥~1[Мк]. По результатам обратного преобразования Фурье в блоке интерпретации определяются частотно-временная корреляционная функция

где

г12( /к, и) = г*,

[^тт,^тах];/к^ ^шш/шахЬ

Р] = ^ (X,. ) ^ (У; ),

где х! и у - отсчёты входных сигналов, , = 0,1,..., 2" -1, у = 0,1,..., 2И-1 +1, к = 0,1,..., т -1, т = 0,1,..., п = 2,3,...

Блок-схема вычислений, соответствующих условию (2), приведена на рис. 1.

=,•-!-; Г, = ^

т

тах

Л

2п-1 -1 Л

и . =--

тт /-

. г = . г = .

> тт 2П ' тах 2 '

У - частота дискретизации сигнала. По полученным результатам можно построить график частотно-временной корреляционной функции г12(У,0, который визуально иллюстрирует корреляцию гармонических составляющих исследуемых сигналов XI и на различных частотах.

Для демонстрации предложенного способа рассмотрим несколько тестовых примеров. Исходные данные и результаты расчета приведены в таблице, графическое представление результатов дано на рис. 2-4. Частота дискретизации в тестовых примерах равна 44,1 кГц. Размер выборки 213=8192 отсчетов. Количество формируемых копий т=281.

Таблица. Исходные данные и результаты расчета.

Ампл.=1 отн.ед.

'12

Рис. 1. Блок-схема вычисления взаимной частотно-временной корреляционной функции. БПФ - блок быстрого преобразования Фурье, БПФ* - блок получения комплексно сопряжённых чисел, БФС - блок формирования сигналов, БПФ-1 - блок быстрого обратного преобразования Фурье, БФС - блок интерпретации

Прямое и обратное преобразования Фурье реализуются в форме быстрого преобразования Фурье. На входы блоков вычисления прямого преобразования Фурье поступают сигналы XI и У1 размерностью 2". Из полученного произведения р в блоке формирования сигналов БФС формируются т сигналов Мк, где у=0,1,...,2"-1+1; т=2,3,...,2"-1; к=0,1,...,т-1. Полученные сигналы М подверга-

Сиг- Часто- Расчётная Задержка, Расчетное значение Номер

нал та, кГц частота, Гц отсчёт задержки, отсчёт рисунка

7 7008,75 0 0

1 10 10001,25 0 0

15 15041,25 0 0 2

7 7008,75 0 0

2 10 10001,25 0 0

15 15041,25 0 0

7 7008,75 0 0

1 10 10001,25 0 0

15 15041,25 0 0 3

7 7008,75 0 0

2 10 10001,25 2000 1997

15 15041,25 0 0

7 7008,75 0 0

1 10 10001,25 2000 1998

15 15041,25 2000 1997 4

7 7008,75 0 0

2 10 10001,25 0 0

15041,25 0 0

Выводы

1. Предложен способ расчета частотно-временной корреляционной функции, позволяющий выявить взаимосвязь сигналов на различных частотах.

2. Способ может быть использован для нахождения корреляции звуковых сигналов из двух источников с высоким уровнем шумов и широким частотным спектром, в частности, для обнаружения утечек в трубопроводных системах.

Рис. 4. Частотно-временная корреляционная функция для тестового примера № 3

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

3. Айфичер Э.С., Джервис Б.У. Цифровая обработка сигналов: практический подход. 2-е изд. - М.: Вильямс, 2008. - 992 с.

4. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. - М.: Мир, 1990. - 536 с.

5. Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления свертки. - М.: Радио и связь, 1985. - 248 с.

6. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры / Под ред. проф. А.М. Трахт-мана. - М: Советское радио, 1980. - 224 с.

Поступила 08.07.2009 г.

УДК 004.02.21

ИСПРАВЛЕНИЕ ОШИБОК СТАФФИНГОВАНИЯ В СИСТЕМАХ СВЯЗИ С ПЕРЕСПРОСОМ

А.Н. Шкердин, О.Ф. Юдин*

Академия Федеральной службы охраны России, г. Орёл *ФГУП «НИИ «Квант», г. Москва E-mail: uof@rdi-kvant.ru

Рассматривается аналитическая модель канала и статистика ошибок при передаче данных, приводится оценка эффективности метода повышения достоверности приема информации на основе расчета вероятности ошибок в стандартном пакете HDLC.

Ключевые слова:

Исправление ошибок, переспрос, системы связи, модуляция. Key words:

Error correction, negative acknowledgement, communication systems, modulation.

В современных системах передачи данных применение переспроса для обеспечения необходимой достоверности передачи информации является обязательной процедурой. Однако, при ведении мониторинга не всегда можно отследить канал обратной связи (ОС), а наличие ошибок приводит к потере информации, передаваемой в канале. Су-

ществующие методы исправления ошибок в каналах систем связи с переспросом в настоящее время не удовлетворяют возросшим требованиям к качеству приема. В [1] предложены методы повышения достоверности приема информации при ведении мониторинга, которые используют её избыточность и компенсируют отсутствие канала ОС. Для

теоретического обоснования предложенных методов рассмотрим аналитическую модель канала и статистику ошибок, а также оценим их эффективность на основе расчета вероятности ошибок на длине стандартного пакета HDLC.

В канале, описываемом гауссовской моделью, в соответствии с рекомендацией ITU-T V.29 для передачи факсимильных сообщений (ФС) четвёртой группы используется относительная фазовая модуляция (ОФМ) [2]. Известно [3], что информация в этом случае содержится в парах последовательно передаваемых элементарных посылок и, вслед -ствие этого, ошибки на выходе канала имеют тенденцию к группированию. Указанные особенности необходимо учитывать при исправлении ошибок в кадрах ФС. Так, например, при передаче со скоростью 9600 бит/с по рекомендации ITU-T V.29 используется восьмипозиционная относительная амплитудно-фазовая модуляция. Исходя из того, что для гауссовского канала наиболее вероятными будут ошибки, соответствующие минимальным по расстоянию в евклидовом пространстве переходам, существует возможность перебора наиболее вероятных ошибочных векторов [1]. Поскольку имеется 8 позиций фазы и 2 позиции амплитуды для каждой фазы, ошибки следует разделить на «амплитудные» и «фазовые». «Амплитудные» ошибки, например, замена 0011 на 1011, не размножаются на следующем такте демодулятора. «Фазовая» же ошибка размножается, то есть приводит к искажению следующей комбинации, поскольку используется ОФМ. «Фазовая» ошибка всегда будет иметь «чётный» характер, т. е. однократное искажение фазы может привести только к двукратной, четырёхкратной или шестикратной ошибке. Причём две подряд «фазовые» ошибки будут определённым образом налагаться друг на друга, давая в результате также «чётные» ошибки - двукратные, четырёхкратные, шестикратные или восьмикратные. Для доказательства рассмотрим модель канала с ОФМ [4].

Аналитическая модель канала с ОФМ

Множество дискретных значений фазы сигнала образуют циклическую абелеву группу Ф={(0, (,..., (М-1}, порядок которой M=2m (m -кратность модуляции). Например, при двукратной фазовой модуляции (ФМ) M=4, а множество фаз Ф: (0=0, (=п/2, (2=п, (3=3п/2. Это множество удовлетворяет всем аксиомам группы:

• замкнутость (+(=(к^Ф, у,к=1,2,...,М-1;

• ассоциативность (•+(((+()=((+(()+(*;

• коммутативность (+(=(+(•;

• единичный элемент группы Ф есть (0, так как

(+(0=(;

• элемент ( обратен (3, а (2 обратен самому себе.

В рассматриваемой группе определена операция сложения по модулю 2 п. Группа Ф является циклической, так как (k=k( (при М=4, (2=2( и

(3=3(1).

Полагаем, что перескоки фазы при формировании опорного колебания происходят достаточно редко. На интервале рассмотрения фаза опорного колебания считается постоянной, выбранной случайным образом, из множества возможных значений фазы сигнала Ф. Поэтому демодуляция в отсутствие помех производиться с постоянной ошибкой. Все варианты неоднозначности образуют циклическую группу подстановок /. Порядок этой группы равен М.

Подстановки

( (2 (з ^ (о (1 (2 /

(1 (2 (3 "

(2 (3 (0 у

соответствуют расхождению фаз принимаемого сигнала и восстановленной несущей на углы 0, п/2, п и 2 п/2 соответственно. Группа подстановок ¥ изоморфна группе Ф, при этом канал с М-пози-ционной ФМ и неоднозначностью порядка М можно представить в виде схемы, рис. 1.

т

Mod M

Рис. 1. Схема работы системы

Алгебраическая модель канала с ФМ позволяет заменить операции над векторами с начальными фазами ( алгебраическими операциями над М-ич-ными символами [3].

Представим последовательность М-ичных символов и, передаваемых по каналу, в виде формального степенного ряда

и

г=-со

где ЯМ - кольцо классов вычетов целых чисел по модулю М. Аддитивная группа кольца изоморфна группе Ф. Неоднозначность, обусловленная скачком фазы в канале в момент времени г=0, вносится сумматором по модулю М, на один вход которого поступает передаваемая последовательность (1), а на другой - последовательность идентичных символов /, отображающих расхождение фаз

/

г=0

В [3] показано, что/Д)=//(1-Д). Пусть И(П) - передаточная функция относительного декодера. Последовательность символов на его выходе имеет вид

их (О) = ^ (О) Н (О) = КО) + / (О )]Н (О) = = у(О)Н(О) + / /(1 - О)Н(О),

где знак + означает сложение по модулю М. Если положить И(£)=1-Д то при поступлении на вход относительного декодера полубесконечной последовательности идентичных символов неоднознач-

/о = '(о (1 (2 (з У , /1 = (о

(о (l (2 (зу (з

/2 = '(о (l (2 (зЛ , /з = '(о

(2 (з (о (l у

кривых, рис. 6, где показаны зависимости вероятностей P(t,n) для M=2, 4, 8 и различной длинны блока. На этом рисунке вертикальная шкала про-градуирована с шагом, кратным 10'; Es/N0=8 дБ.

Расчет вероятности ошибки, при исключении

одно- и двукратных ошибок на длине пакета

Вероятность ошибки после канального декодера изменяется от 10-4 до 10-5, а для успешного декодирования сжатого сообщения необходимо, чтобы эта вероятность находилась в пределах от 10-10 до 10-12. В системах с переспросом такая вероятность достигается путём автоматической повторной передачи данных.

Для решения данной проблемы при отсутствии канала обратной связи в [1] предлагается использовать контрольную проверочную последовательность (FCS). Необходимо оценить эффективность данного метода при исправлении однократных и двукратных ошибок на длине пакета.

Для оценки эффективности данного метода предлагается оценить вероятность ошибки символа, при исключении одно- и двукратных ошибок на длине пакета. Условимся, что длинной пакета будем называть количество бит между флагом начала и флагом конца, включая первый и исключая второй. Таким образом, длинна пакета будет составлять 2104 бита. Произведём расчёт для вероятности ошибки после канального декодера 10-5. Событием «A» (или испытанием) будем называть приём одного бита с ошибкой. Событием «Л» соответственно, приём одного бита без ошибки. Тогда в качестве_ исходных данных имеем: P(A)=p=10-5 (10-4), или P(A)=q=0,999 (0,999). Для сравнения результатов параллельно производится расчёт для вероятности ошибки после канального декодера равной 10-4 (результат будет указываться в скобках). Необходимо наложить условие, что испытания независимы, и в каждом испытании вероятность наступления определённого события одна и та же. Исходя из этого, приём одного пакета сообщения будет представлять собой 2104 независимых испытания. Из теории вероятности известно, что последовательность таких испытаний называется испытаниями Бернулли. По теореме Бернулли, при произведении n независимых испытаний, в каждом из которых P(A)=p - вероятность того, что событие проявит себя к раз, равна:

Pn (к) = Ck • рк • (1 - p)n-к,

где Спк - число сочетаний без повторений.

Рассчитаем вероятность того, что пакет будет принят без ошибок. Это событие произойдёт тогда, когда в ходе_210_4 испытаний_возникнет следующая ситуация: «_, _, _, ..., _, _, _» - 2104 раза. Т. е. п=2104, к=0, получим:

ршм = ^2Ю4 = 0,979

Следующим шагом необходимо рассчитать вероятность того, что на длине 2104 будет любая однократная ошибка - при 2104 испытаниях, событие А проявит _ебя 1 _аз, _ с_быти_2_03 раз_, т. _: (А, А, А, А,..., А, А)_(А_А, А, А, ..., А, А), (А, А,А, А, ..., А, А), ..., (А, А, А, А, ..., А,А). Следовательно, в формуле (21) п=2104, к=1.

Pi

• P • q

Вычислив, получим: Р221о°Ш =0,021 (0,0188).

Аналогично рассчитаем вероятность того, что на длине 2104 возникнет любая двукратная ошибка, т. е. в результате испытаний событие А проявит себя 2 раза. В формуле (1) п=2104, к=2:

р 2104 = с 2 . 2 . 2102 У2_ ош 2104 И Ч

Вычислив, получим Р2210Ш =0,0002 (0,0018). Так как все три рассмотренные события независимы, то их вероятности складываются. При их сложении получается вероятность правильного приёма пакета при исправлении в нём всех однократных и всех двукратных ошибок

P

2104 пр _ обр

= р2104 + р2104 + р2104 пр 1 ош 2 ош

Подставив значения, получим: Р™ф=0,999 (0,9986). Из формулы (8) для вероятности ошибки, приходящейся на один символ, зная вероятность ошибки на длине пакета, получим Р4А)=7,275.10-10 (6,6.10-7).

Из проведённого расчёта можно сделать вывод о том, что при вероятности ошибки после канального декодера 10-5 достаточно исправлять все одно-и двукратные ошибки для успешного декодирования сжатых сообщений. Эффективность предложенного в [1] метода очевидна. При большей вероятности ошибки необходимо применять более сложные методы локализации и исправления ошибок. Продолжение исследований предполагается в направлении разработки комплексных процедур восстановления данных.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хабибулин Н.Ф., Шкердин А.Н. Возможность исправления ошибок при использовании полиномиальной проверки // Сб. матер. научно-техн. конф. Военной Академии связи. - СПб.: НТК ВАС, 1997. - С. 142-144.

2. Петрович Н.Т. Передача дискретной информации в каналах с фазовой манипуляцией. - М.: Советское радио, 1965. - 263 с.

3. Зюко А.Г. Помехоустойчивость и эффективность систем передачи информации. - М.: Радио и связь, 1985. - 272 с.

4. Банкет В.Л., Дощечкин А.Е., Савчук А.В. Сверточные коды, прозрачные для неоднозначности фазы в канале // Труды НИИР. - 1981. - № 3. - С. 86-94.

Поступила 05.11.2009 г.