Применение модифицированного метода Галеркина к уравнению смешанного типа

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2014. Том 21, № 4

УДК 517.633

ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА ГАЛЁРКИНА К УРАВНЕНИЮ СМЕШАННОГО ТИПА И. Е. Егоров, И. М. Тихонова

Аннотация. Рассматривается частный случай краевой задачи В. Н. Врагова, когда уравнение смешанного типа принадлежит гиперболическому типу вблизи нижнего основания и гиперболо-параболическому типу на верхнем основании цилиндрической области. Для исследования краевой задачи используется модифицированный (нестационарный) метод Галеркина с привлечением метода регуляризации. Для данной краевой задачи построено приближенное решение с помощью решения системы ОДУ третьего порядка. При этом получена оценка погрешности модифицированного метода Галеркина через параметр регуляризации и собственные числа задачи Дирихле для оператора Лапласа по переменным х £ М^.

Ключевые слова: уравнение смешанного типа, априорная оценка, метод Галер-кина, неравенство, регуляризация.

Исследования краевых задач для неклассических уравнений физики начались с работ Трикоми и Геллерстеда [1-3] в 1920-30 гг. Тогда впервые были поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа: в одной части области определения — эллиптического типа, а в другой — гиперболического. Такие задачи называются задачами Трикоми и Геллерстеда [4]. Следующим этапом развития теории краевых задач для уравнений математической физики стали работы М. А. Лаврентьева, И. Н. Векуа, С. А. Хри-стиановича, С. А. Чаплыгина, К. Г. Гудерлей [5] и др. В этих работах указана важность изучения проблемы неклассических уравнений математической физики при решении задач, возникающих в трансзвуковой газовой динамике, а также в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака и во многих других прикладных задачах механики. В 1970-х гг. В. Н. Врагов [6, 7] начал построение общей теории краевых задач для уравнения смешанного типа второго порядка с произвольным многообразием изменения типа. К исследованию краевых задач для уравнений смешанного типа применялись теория сингулярных интегральных уравнений [1, 2,4, 5, 8, 9], функциональные методы, метод регуляризации, нестационарный метод Галеркина [6, 7,10-13]. Метод Галеркина широко применяется к решению краевых задач для уравнений математической физики (см. [14-17] и др.). В [16,17] получены оценки погрешности метода Галеркина для эллиптических и параболических уравнений.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках базовой части государственного задания (проект №3047).

© 2014 Егоров И. Е., Тихонова И. М.

В [18] стационарный метод Галёркина применен к решению первой краевой задачи для уравнения смешанного типа, когда уравнение принадлежит эллиптическому типу вблизи оснований цилиндрической области. В [19] получена оценка погрешности стационарного метода Галеркина через собственные числа оператора Лапласа по переменным х € К" и Ь.

В данной работе рассматривается частный случай краевой задачи В. Н. Вра-гова, когда уравнение смешанного типа принадлежит гиперболическому типу вблизи нижнего основания и гиперболо-параболическому типу на верхнем основании цилиндрической области. Для исследования краевой задачи будем использовать модифицированный (нестационарный) метод Галеркина [20] с привлечением метода регуляризации. Для данной краевой задачи построим приближенное решение с помощью решения системы ОДУ третьего порядка, получив при этом оценку погрешности модифицированного метода Галеркина через параметр регуляризации и собственные числа задачи Дирихле для оператора Лапласа по переменным х € К№.

Пусть О С К" — ограниченная область с гладкой границей Б, ( = О х (0, Т), Бт = Б х (0, Т), О4 = О х {Ь}, 0 < Ь < Т.

Рассмотрим уравнение смешанного типа

Ьи = к

коэффициенты которого являются достаточно гладкими функциями. Положим

Р0± = {(х, 0) : к(х, 0) ^ 0, х € О}, РТ± = {(х, Т) : к(х, Т) ^ 0, х € О}. Краевая задача. Найти решение уравнения (1) в области ( такое, что

и^т = 0,

и^=о = 0, щ\-р+ = 0, щ\-р- = 0.

р 0 р т

Отметим, что краевая задача (1)—(3) впервые была изучена В. Н. Враговым [7] с помощью метода регуляризации.

Для целого к > 1 через || • ||к будем обозначать норму пространства Соболева ((), при Этом

(и,у) = J и{х,Ь)у{х,Ь) <Щ, 1М1 = \/(и, и), и, V £ ¿2(<5).

я

Пусть Сь — класс гладких функций, удовлетворяющих краевым условиям (2),

(3).

Лемма 1 [6, 7]. Пусть выполнены условия с(х) > со > 0, а — > 6 > 0. Тогда существует константа А > 0 такая, что имеет место неравенство

(Ьп,е-2АЧ) > С1||п||2, Сх = в-2хт ш1п{^/2,А,Асо},

для всех функций и € Сь.

Теорема 1. Пусть с(ж) ^ со > 0 и выполнены условия к(х, 0) > 0, к(х, Т) > 0, ж€ П,

1

1

а+-Ь>6> 0, а--кг>5> 0, /,ЛеЬ2(<2), /(ж, 0) = 0.

Тогда краевая задача (1)-(3) имеет единственное решение и(ж, Г) из и

справедлива оценка

М2 < С2(У/у + Ш|), С2 > 0.

Доказательство. Для е > 0 положим = — еиш + Ьи. В качестве базисных функций берем (ж), являющиеся решением спектральной задачи

—Д^ = А^, ж е О,

0.

При этом функции (ж) образуют ортонормированный базис в Ь2(О), а соответствующие собственные числа таковы, что 0 < Ах ^ А2 ^ ... и Ак —^ при к — то.

Рассмотрим случай к(ж, 0) > 0, к(ж, Т) > 0. Приближенное решение и^£(ж, Г) краевой задачи (1)-(3) ищем в виде

N

Л ж

(ж, Г) = ^ (ж), N > 1, е > 0,

к=1

N,£/.4

в котором Ск (г) определяются как решение следующей краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка:

N,£1 _

-I к=о

= 0, Ас

.N,£1

К=0

= 0, = 1=

Умножим (4) на е 2А*с^'£ и просуммируем полученное равенство по к от 1 до N:

/ N,£ — 2А^

е / е

« + = / /и-е—2А<

д д

Из (6) в силу леммы 1 вытекает неравенство

е/е—2А'«")2 ^—2Ае/е—2«

д

где

+ СЩ^-Ц <

I /^£е—2А ¿д

^111 =

N

( N,£)2 . V' ( N,£)2 , / N,£42

К ) + 2^ К;) +

С = е ш1п{^/2,А,Асо}.

Используя неравенство Коши |аЬ| ^ 7ха2 +^-Ь2, а, Ь, 71 > 0, из (7) получаем

д

+ С

N

]т«,£)2 + (^,£)2

I е-2¿д

71 =

откуда с помощью неравенства Коши при 71 = ^ имеем

£ и.

Ы,е\\2

^ С2

С2 > 0, 0 < £ < £о =

4А2

Оценка (9) гарантирует существование единственного решения краевой задачи (4), (5). Следовательно, приближенные решения ий,Е однозначно определяются задачей (4), (5) и € Ж3(0,Т).

Умножим (4) на — .О3^'5 и просуммируем полученное равенство по к от 1 до N:

я я

Проинтегрируем по частям левую часть полученного равенства:

—Ь

1

А;(ж, 0)(щг'е)2 в,х + ^ I (1х

+

^ \ / 7,е)2 N

N'5 N'5

и

Преобразуем правую часть равенства (10) с учетом условий теоремы 1:

/,

N'54

/и7'5

В силу неравенства Коши из (10) следует оценка

£\\и75\\2 + \\и75\\2 < Сз(||/||2 + ||/1|2), Сз > 0.

Умножим (4) на Акс,7'5 и просуммируем полученное равенство по к от 1 до N:

Аи7'5) — (Ьи7'5, Аи7'5) = —(/, Аи7'5). Интегрируя по частям в последнем равенстве, имеем

| / Е №0* + I [(Ли7'5)2 - + ащ'е + сим'е)Аи"'е] Щ

Пт 1=1 я

= — У /Аи7'5 я

откуда с учетом неравенств (9), (11) получаем

яя

В силу неравенств (9), (11), (12) и второго основного неравенства для оператора Лапласа [14] для приближенных решений справедлива оценка

Из оценки (13) следует утверждение теоремы 1, так как единственность решения краевой задачи (1)—(3) обеспечивается леммой 1 из [7].

2

2

а

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда для погрешности модифицированного метода Галёркина справедлива оценка

1к -^'Ъ < С6

Доказательство. В пространстве Ь2(д) введем линейное многообразие

Нк = |??(М) =^аг(%г(ж) -.щеЦ^^О^), аг(0) = а[(0) = 0,

Из равенств (4) нетрудно получить соотношения

(Ь^, е—2А^) = (/, е—2А*^), (Ьи, е—2А^) = (/, е—2АЧ), П е ffN.

Отсюда

(Ь(и — и^£),е—22АЧ) = -еи^£,е—2А^), П е ^.

Положим п = ^ — с произвольной функцией ад из :

/7-/ N,£4 — 2А^ / — 2А< N,£( 7/"л

— и ' )е (и — ] йд = — е е — ] йд

+

|(/ — Ьи^£)е—2— йд = е| е—2АЧ"'£[(ш« — и£,£) — 2АЦ — и^)] йд д д

+ У(/ — Ьи^£)е—2А*К — и*) йд. (15) д

В силу теоремы 1 краевая задача (1)-(3) имеет единственное решение из Ж^д) такое, что

Щ е Ж^д), и = Е ск Ск )о,

к=1

и имеет место оценка т

12

к=1 о д к=1

N

При ш = Р^и = Ск (ж) справедливо равенство

к=1

У ^ — ад^2 йж :

Ск(Г)^к

k=N +1

k=N +1

Тогда

^ л ^ л

Н12 = Е — Е |4(4)|2^.

k=N +1

В силу леммы 1 с учетом неравенств (16), (17) из равенства (15) получаем оценку (14) погрешности модифицированного метода Галеркина. Теорема 2 доказана.

2

ЛИТЕРАТУРА

1. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М.: Гостехиздат, 1947.

2. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: Изд-во иностр. лит., 1957.

3. Gellerstedt S. Sur un probleme aux limites pour une équation lineaire aux derivées partielles du second ordre de tipe mixte. Uppsala: These, 1935.

4. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

5. Гудерлей К. Г. Теория околозвуковых течений. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

6. Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1983.

7. Врагов В. Н. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 6. С. 1098-1105.

8. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970.

9. Салахитдинов М. С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент: Фан, 1974.

10. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995.

11. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Введение в теорию уравнений смешанного типа второго порядка. Якутск: Изд-во Якут. ун-та, 1998.

12. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во МГУ, 1988.

13. Ларькин Н. А. Об одном классе нелинейных уравнений смешанного типа // Сиб. мат. журн. 1978. Т. 19, № 6. С. 1308-1314.

14. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.

15. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

16. Джишкариани А. В. О быстроте сходимости метода Бубнова — Галеркина // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1964. Т. 4, № 2. С. 343-348.

17. Виноградова П. В., Зарубин А. Г. Оценка погрешности метода Галеркина для нестационарных уравнений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2009. Т. 49, № 9. С. 1643-1651.

18. Егоров И. Е., Тихонова И. М. О стационарном методе Галеркина для уравнения смешанного типа второго порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, № 2. С. 41-47.

19. Егоров И. Е., Тихонова И. М. Применение стационарного метода Галеркина для уравнения смешанного типа // Мат. заметки ЯГУ. 2012. Т. 19, № 2. С. 20-28.

20. Егоров И. Е. О модифицированном методе Галеркина для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Узбек. мат. журн. 2013. № 3. С. 33-40.

Статья поступила 15 ноября 2014 г.

Егоров Иван Егорович, Тихонова Ирина Михайловна Научно-исследовательский институт математики

Северо-Восточного федерального университета им. М. К. Аммосова, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000, Республика Саха (Якутия) ivanegorov51@mail.ru, IrinaMikh3007@mail.ru