Индикатор дельта-субгармонической функции в полуплоскости

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 4 (2011). С. 86-94.

УДК 517.9

ИНДИКАТОР ДЕЛЬТА-СУБГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

В ПОЛУПЛОСКОСТИ

К.Г. МАЛЮТИН, Н. САДЫК

Аннотация. Дельта-субгармонические функции вполне регулярного роста в верхней полуплоскости были введены в совместной работе авторов, опубликованной в Докладах РАН (2001). В этой работе, опираясь на развитую в начале этого века первым автором этой статьи теорию коэффициентов Фурье дельта-субгармонических функций в полуплоскости, были получены критерии принадлежности дельта-субгармонической функции в верхней полуплоскости к классу функций вполне регулярного роста. Настоящая работа является естественным продолжением этих иеследований. В работе вводится понятие индикатора дельта-субгармонической функции вполне регулярного роста в верхней полуплоскости. Доказывается, что индикатор функции вполне регулярного роста в верхней полуплоскости принадлежит классу Lp[0,n] (1 < р ^ 2). Доказательство основано на лемме о пиках Пойя и теореме Хаусдорфа-Юнга.

Ключевые слова: дельта-субгармонические функции вполне регулярного роста в верхней полуплоскости, коэффициенты Фурье, индикатор, пики Пойя, теорема Хаусдорфа-Юнга.

1. Введение

Теория целых функций вполне регулярного роста (в.р.р.) относительно функции 7(г), близкой к степенной, созданная в конце 30-х годов XX века независимо друг от друга Б. Я. Левиным [1] и А. Пфлюгером [2], [3], занимает видное место в комплексном анализе. Исследования по этой теории продолжаются, одновременно расширяется круг ее приложений - от теории характеристических функций вероятностных законов и аналитической теории дифференциальных уравнений до теории краевых задач, представления аналитических функций рядами экспонент и теории субгармонических функций. А. Ф. Гришин [4] перенес теорию Левина-Пфлюгера на субгармонические функции в комплексной плоскости. Используя метод рядов Фурье, А. А. Кондратюк [5], [6], [7] обобщил теорию Левина-Пфлюгера целых функций в.р.р. на мероморфные функции произвольного 7-типа. Эти обобщения были сделаны им в двух направлениях: 1) рост функций измерялся относительно произвольной функцией роста 7(г); 2) были введены и исследованы классы меро-морфных в комплексной плоскости функций в.р.р. Заметим, что теория Левина-Пфлюгера включается в теорию Кондратюка как частный случай, когда 7(г) = гр(г\ где р(г) — уточненный порядок [8], р(г) = р > 0.

В частности, теория коэффициентов Фурье позволила Кондратюку ввести понятие индикатора мероморфной функции в.р.р., которое в случае целых функций совпадает с классическим определением индикатора в смысле Фрагмена и Линделефа.

K.G. Malyutin, N.M. Sadik,The indicator of a delta-subharmonic function in a half-plane.

© Мллютин К.Г., Садык Н.М. 2011.

Работа поддержана Министерством образования и науки, молодежи и спорта Украины (грант 101.02.01.11-13).

Поступила 10 июня 2011 г.

Параллельно с этими исследованиями развивалась теория функций в.р.р. в верхней полуплоскости комплексного переменного С+ = {г : > 0}. В 60-е годы XX столе-

тия, независимо друг от друга, А.Ф. Гришин [9], [10] и Н.В. Говоров [11], [12] развили теорию Левина-Пфлюгера для функций конечного порядка в полуплоскости При этом, если теория Говорова относится к аналитическим функциям в.р.р. относительно функции 7(г) = гр (р> 0 - фиксированное число), то теория Гришина охватывает субгармонические функции в.р.р. в полуплоскости относительно функции 7(г) = Гр(г\ где р > 0, включая классы субгармонических функций нулевого порядка.

Развитая в начале этого века первым автором этой статьи теория коэффициентов Фурье дельта-субгармонических функций в полуплоскости [13], позволила в совместной работе К.Г. Малютина и Н. Садыка [14] ввести понятие дельта-субгармонической функции в.р.р. в полуплоскости относительно достаточно произвольной функции роста. В этой работе, как и в работах А.А. Кондратюка, обобщения сделаны в двух направлениях: 1) рост функций измеряется относительно произвольной функцией роста 7(г); 2) введены классы дельта-субгармонических функций в.р.р. в полуплоскости. В настоящей работе уточняются и дополняются некоторые результаты работы [14].

2. Мероморфные функции вполне регулярного роста

Мероморфные функции вполне регулярного роста относительно достаточно произвольной функции роста были введены А. А. Кондратюком. Основным инструментом его исследований явился разработанный Л. Рубелом и Б. Тейлором [15] метод рядов Фурье целых и мероморфных функций, который является весьма эффективным при изучении функций бесконечного порядка и функций нерегулярно растущих в окрестности бесконечности.

Строго положительная, непрерывная, возрастающая и неограниченная функция 7(г), определенная на полуоси [0, +го), называется функцией роста.

Порядком и нижним порядком функции роста 7 называются величины:

р[7] = Ишвир , Р*[7] = ИшЫ .

1п Г 1п Г

Далее через 7(г) всегда будет обозначаться некоторая (как правило, фиксированная) функция роста. Кроме того, следуя Титчмаршу, будем пользоваться следующими названиями и обозначениями. Если в некотором рассуждении встречается число, не зависящее от основных переменных, то оно называется постоянной. Для обозначения абсолютных положительных постоянных, не обязательно одних и тех же, мы пользуемся буквами А, В. Может встретиться утверждение вроде "|/(г)| < А7(Вг), следовательно, 3|/(г)| < А7(Вг) которое не должно вызывать недоразумений.

Определение 1. Мероморфная функция f (г) называется функцией конечного 7-типа, если существуют положительные постоянные А и В такие, что Т(г,/) ^ А7(Вг) для всех г > 0.

Здесь Т (г, /) - характеристика Неванлинны функции £ (г).

Класс данных мероморфных функций при фиксированной функции 7 обозначим через М(7(г)). Через Е(7(г)) обозначим класс целых функций конечного 7-типа.

Предположим, что условие

7

выполняется при некотором К > 0 и всех г > 0.

При условии (1) А. А. Кондратюк ввел понятие мероморфной функции в.р.р.

Определение 2. Функция f е М(7(г)) называется мероморфной функцией в.р.р., если для всех rq и р из [0, 2ж] существует предел

Иш —[ ln |/(гегв)| dB .

г^ж 'у(г) J V

Класс мероморфных функций в.р.р. обозначим через М°('у(г)). Через Е°('у(г)) обозначим подкласс целых функций из М°('j(r)).

Обозначим через

2ж

ck (r,f) = 2tj е-гкв ln I/(re%e )l d°, к е Z 0

коэффициенты Фурье функции f.

Теорема 1 (Кондратюк). Пусть f — мероморфная функция, f (0) = 1. Следующие утверждения эквивалентны:

(i) f е М°(ф));

(ii) f е М(7(г)) и для каждого к е Z существует предел

Т ск

11Ш ----- = ск ;

Г^Ж 'У

(iii) N(r,f) = 0(^f(r)), г ^ то, и для каждой функции ф из х существует конечный предел

2ж

11ш —^ [ ф(д)1п |/(гегв )| dd,

г^ж 'у(г) J 0

где х - любое из пространств С[0, 2ж], Lp[0, 2ж], р> 1.

А.А. Кондратюк ввел понятие индикатора мероморфной функции в.р.р.

Определение 3. Если f е М°(^(г)), то функция

+ Ж

h(0, f) = £ ctе™

к=-ж

называется индикатором функции f.

Он показал, что для любой функции роста 7

hm t) 1- 1п |/(ге1в)|

h(6, j) = 11ш sup----—----.

г^ж 7

А. А. Кондратюк развил теорию мероморфных функций в.р.р., аналогичную теории Левина-Пфлюгера, одним из достоинств которой является тот факт, что если f е Е°(гр(г')), то f является целой функцией в.р.р. в смысле Левина-Пфлюгера. Таким образом, теория Левина-Пфлюгера включается в теорию Кондратюка.

3. Дельта-субгармонические функции вполне регулярного роста в

полуплоскости

3.1. Дельта-субгармонические функции конечного 7-типа в полуплоскости.

Будем пользоваться терминологией работы [13]. Пусть J8 = .18 — Зв — класс 8-субгармонических функций в С+. Для фиксированной меры А положим

dXk

sin р V /

ж sin п п

где функция ---------- для р = U, 'к определяется по непрерывности. В частности,

sin р X(r) = Х(С (0, г)).

Коэффициенты Фурье для функции v Е J8 определяются формулами:

'К

ск(г,у) = — J ь(гегв) sin kOdO, к Е N . о

Пусть v = v+ — v- и А — полная мера функции v. Пусть А = Х+ — А- — жорданово разложение меры А. Положим

'К Г

1 í í ^ W

m(r,v) := — v+(re%lf) sin pdp, N(r, r0, v) := N(r,v):= —-— dt,

r J J t¿

0 ro

T(r, r0,v) := T(r, v) := m(r, v) + N(r, v) + m(r0, —v) ,

где r0 > 0 - произвольное, фиксированное число, r0 < г; можно считать г0 = 1.

Далее предположим, что функция роста удовлетворяет условию:

liminf ^ > 0 .

Т

Определение 4. Функция v Е J8 называется функцией конечного 7-типа, если существуют константы А,В> 0 такие, что

А

Т(r,v) ^ — 7(Вг), г > г0 . г

Обозначим соответствующий класс ^-субгармонических функций конечного 7-типа через J8(^(г)). Через JS(7(г)) обозначим соответствующий класс субгармонических функций конечного 7-типа.

Замечание. Если условие (2) не выполняется, мы используем другую характеристику для описания роста функций

Т(г, v) := m(r, v) + N (r,-,v^ + m{^, —.

Все утверждения и в этом случае сохраняют силу.

Определение 5. Положительная мера X имеет конечную ^-плотность, если существуют положительные константы А и В такие, что

Г

N

J t¿ г

го

для всех г > г0.

Определение 6. Положительная мера X в полуплоскости называется мерой конечного 'у-типа, если существуют положительные константы А и В такие, что для всех г > 0,

Х

Следующая теорема получена в работе [13].

Теорема 2. Пусть 7 - функция роста и пусть V Е .15. Тогда следующие два утверждения эквивалентны:

0) V Е .18(ч(г));

(11) мера Х+(у) (или Х-(ь)) имеет конечную 7-плотность и

\ск(г,ь)\ ^ А'у(Вг), к Е N ,

для некоторых положительных А, В и всех г > 0.

3.2. Дельта-субгармонические функции вполне регулярного роста в полуплоскости.

Определение 7. Функция V Е .15 называется функцией вполне регулярного роста относительно 7(г), если для всех ц и р из отрезка [0,^] существует предел

Пт —^ [ у

г^х 7(г) J V

Обозначим соответствующий класс ^-субгармонических функций в.р.р. относительно 'у(г) через J5('y(r))0. Через JS(7(г))° обозначим класс истинно-субгармонических функций в.р.р. из 15(г'((г))°.

Пусть ¿х[0, ж] - банахово подпространство ¿х[0, ж] порожденное семейством характеристических функций всех отрезков из [0, ж]. По теореме Кантора о равномерной непрерывн-сти С[0,^] С ¿х[0,^]. Обозначим через £[0,^] любое из пространств С[0,^] или ¿х[0,^]. Следующая теорема получена в [14].

Теорема 3. Пусть V Е .15. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

0) V Е ^(7(Г))0;

(II) V Е J8('y(г)) и для всех к Е N существует предел

У Ск

11т —= ск ;

г^х 'У

(III) мера Х-(ь) имеет конечную 7-плотность и для любой функции ф из £[0,^] существует предел

'К

11т ^ [ ф(в)у(гегв) в1п 0 (10 .

г^х гу(г) J

0

Здесь Х(у)=Х+(у) — Х-(у) - полная мера, соответствующая функции V, а ск(г, у) - коэффициенты Фурье функции V.

Заметим, что если V из класса .18(7(г))°, то ограничение на меру Х-(у) в (111) отсутствует (Х-(у) = 0).

3.3. Индикатор дельта-субгармонической функции вполне регулярного 7-

роста. Следуя Кондратюку, введем следующее определение.

Определение 8. Пусть V Є J8('y(г))°, а ск определены равенствами (5). Тогда функция

h(9, v) = ck sin кв

k=1

называется индикатором функции v.

Нам понадобится следующая лемма о пиках Пойя [16].

Лемма 1. Пуст ф]_, ф2, Ф - положительные непрерывные функции от г на луче [г0, то) такие, что отношение ф2(г)/ф1(г) возрастает и

v Ф(г) v Ф(г) п

lim sup , , = то, lim sup = 0.

фх

Тогда существует такая последовательность [гп], гп ^ то (п ^ то), что при г = гп выполняется

ФИ) ^ Ф(Гп) ^ ^

Фх(г) ^ фх(гп), 0 ^ ^ П}

^ ^ тп ^ Кто.

ф2(Ь) ф2(гп), п

Из (1) следует, что порядок ß := р[у] < то. Сформулируем это предложение в виде следующей леммы.

Лемма 2. Пусть строго положительная, непрерывная, возрастающая и неограниченная функция 7(г), определенная на полуоси [0, +то), удовлетворяет условию (1). Тогда существуют числа р Е N и В > 0 такие, что

7(г) ^ Вгр

для всех г Е [0, то).

Доказательство. Выберем р Е N такое, что К ^ 2Р.

Докажем вначале, что

7

для всех п Е N. Действительно, для п =1 это следует из условия (1). Пусть это неравенство выполняется для некоторого п Е N. Тогда

7(2га+1) ^ К^(2п) ^ Кп+11(1).

Пусть теперь г Е [2™, 2га+1]. Имеем

7(г) ^ l(2n+1) ^ Кп+11 (1) ^ (2га+1)р7(1) = (2™)р2р7(1) ^ Вгр,

где В = 2р7(1).

Теорема 4. Пусть функция v принадлежит классу J8(^f(г))° и 7(г) удовлетворяет, условию (1). Тогда индикатор h(9,v) принадлежит Lp[0,^] (1 <р ^ 2).

Доказательство. Тогда limr^x 7(r)/rk = 0 для всех k > ß. Из неравенства

Ick(t,v)I ^ А7(г) и формулы для коэффициентов Фурье [14] при г > г0

с, (г,„)= с (*,„)( + ^/ Ш dt, к Є N.

KJ t2^1

Г0

получаем

те

Ск

Г

Применяя формулу интегрирования по частям к интегралу в

-кгк 77 -к 7 7 тк

С+

^( г, V) := / М М.

Из теоремы 2 следует, что мера А имеет кончную 7-плотность. Из (7) получаем неравенство

Г С©

1 (г> ^ ^ п^Гк ¡¡к 1 ¿А(*) + Г~/ , к>[.

0 г

Применяя формулу интегрирования по частям в правой части этого неравенства, получаем для всех > [

Г

( к + 1)гк [ А(*) к — 1

1 ^ (г, ^ ^ '-г ] ¡^й- J 1к 2А(1)<И =

г 0

сю г

= №+!£ j <тш — к_± /«

г 0

= (к-—211/(7)Ч(*)<Й +1 (;)4(*)<й| - ^1(г).

Пусть 11ш8ирЖ1(г)/г13-8 = то для всех £ > 0. Применяя лемму ?? к функциям

г^те

ф(г) = Ж1(г), ф1(г) = г/3-£, ф2(г) = г/3+£, находим последовательность {гп}, гп ^ то

(и ^ то), такую, что

/ ¡\Р-Е / I \р+£

^

п п

Используя

I ( М / 2 к АТ( \\ к +[ - £к Л / |с * (гп,,)К -М (Гп)|(к - е)2-[ 2 - «

,Ак . Г к2 + [ - ек ,

« п^(к - ,)2- [2 - ^

Из последнего неравенства следует, что при > [

|ск(г, г>)| г 1ск(Гп, ь)\ Ак ( к2 + [ - ек 1

1 ск 1 = Иш------г— = Иш --------^ — ^7;------------------ 1 >

7

Так как е > 0 любое число, то

~,„1 <  ,

- \ к2 - [

Теорема 4 полностью доказана.

Теорема 5. Пусть v Е Jó(j(r))°. Тогда для любого k Е N существует конечный предел

-к -к

lim —[ v(rегв)sinfcв dd = í h(9, v) sin кв dO .

7(r) J J

0 0

Это равенство получается путем разложения в ряд Фурье подынтегрального выражения в правой части, его почленного интегрирования и предельного перехода в левой части равенства.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Левин Б.Я. О росте целой функции по лучу и о распределении ее нулей по аргументам // Матем. сб. T. 2, № 6. 1937. C. 1097-1142.

2. A. Pfluger. Die Wertverteilung und das Verhalten von Betrag und Argument einer speziellen Klasse analytischer Functionen I // Comm. Math. Helv. No 11. 1938. P. 180-213.

3. A. Pfluger. Die Wertverteilung und das Verhalten von Beitrag und Argument einer speziellen Klasse analytischer Functionen II // Comm. Math. Helv. No 12. 1939. P. 25-69.

4. Гришин А.Ф. О регулярности роста субгармонических функций I// Теория функций, функц. анализ и их прил. T. 6. 1968. C. 3-29.

5. Кондратюк А.А. Метод рядов Фурье для целых и мероморфных функций вполне регулярного роста // Матем. сб. T. 106, № 3. 1978. C. 386-408.

6. Кондратюк А.А. Метод рядов Фурье для целых и мероморфных функций вполне регулярного

роста II // Матем. сб. T. 113, № 1. 1980. C. 118-132.

7. Кондратюк А.А. Метод рядов Фурье для целых и мероморфных функций вполне регулярного

роста III // Матем. сб. T. 120, № 3. 1983. C. 331-343.

8. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М: ГИТТЛ. 1956. 632 с.

9. Гришин А.Ф. О регулярности роста субгармонических функций II // Теория функций, функц. анализ и их прил. T. 7. 1968. C. 59-84.

10. Гришин А.Ф. О регулярности роста субгармонических функций III // Теория функций, функц. анализ и их прил. T. 8. 1969. C. 126-135.

11. Говоров Н.В. Об индикаторе функций нецелого порядка, аналитических и вполне регулярного роста в полуплоскости // Докл. АН СССР. T. 162, № 3. 1965. C. 495-498.

12. Говоров Н.В. Об индикаторе функций целого порядка, аналитических и вполне регулярного роста в полуплоскости // Докл. АН СССР. T. 172, № 5. 1965. C. 763-766.

13. Малютин К.Г. Ряды Фурье и ö-субгармонические функции конечного j-типа в полуплоскости // Матем. сб. T. 192, № 6. 2001. C. 51-70.

14. Малютин К.Г., Садык Н. Дельта-субгармонические функции вполне регулярного роста в полуплоскости // Докл. РАН. T. 380, № 3. 2001. P. 1-3.

15. L.A. Rubel, B.A. Taylor. Fourier series method for meromorphic and entire functions // Bull. Soc. Math. France. No 96. 1968. P. 53-96.

16. G. Polya. Bemerkugen über unendlichen Folgeundganzen Functionen // Math. Ann. No 88. 1923. P. 169-183.

Константин Геннадьевич Малютин, Сумской государственный университет, ул. Римского-Корсакова, 2,

40007, г. Сумы, Украина E-mail: malyutinkg@yahoo.com

Nazim Sadik,

Istanbul University,

Fen Fakultesi, Matematik Bolumu, 34134, Vezneciler, Istanbul, Turkey E-mail: sadnaz@mail.ru