Неортогональный амплитудно-частотный анализ сложных сигналов (начасс): динамика и тонкая структура солнечной активности

УДК 621.391.822

В.А. Тобоев

канд. физ.-мат. наук, д-р биол. наук, кафедра высшей математики, ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова», г. Чебоксары

НЕОРТОГОНАЛЬНЫЙ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫЙ АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ (НАЧАСС): ДИНАМИКА И ТОНКАЯ СТРУКТУРА СОЛНЕЧНОЙ АКТИВНОСТИ

Исследование выполнено в рамках базовой части государственного задания Министерства образования и науки России

Аннотация. Основной целью данной работы является изложение основных принципов метода неортогонального амплитудно-частотного анализа сложных сигналов (НАЧАСС), основанного на использовании линейного принципа для сильно-коррелированных сигналов, а также демонстрация возможностей НАЧАСС при анализе данных, связанных с динамикой и тонкой структурой солнечной активности.

Ключевые слова: сложный сигнал, спектр, гармоническая аппроксимация, метод Прони, солнечная активность.

V.A. Toboev, Chuvash State University, Cheboksary

NON-ORTHOGONAL AMPLITUDE-FREQUENCY ANALYSIS OF COMPLEX SIGNALS (NAFASS):

DYNAMICS AND FINE STRUCTURE OF SOLAR ACTIVITY

Abstract. The basic aim of the given paper is presentation of the basic principles of the new method defined as Non-orthogonal Amplitude Frequency Analysis of the Smoothed Signals (NAFASS). The new method is based on linear principle for the strongly-correlated variables. We demonstrate the possibilities of the NAFASS approach on analysis of real data related to dynamics and fine structure of the Solar activity.

Keywords: complex signal, spectrum, the harmonic approximation, Prony's method, Solar activity.

В настоящее время традиционные способы определения спектра коротких сигналов (процессов) основаны на использовании Фурье- и вейвлет-разложений, а также в континуальном приближении интегралами Фурье с применением систем базисных ортогональных функций [1-5, 7, 12, 16, 17]. Для приближенного определения спектра короткого сигнала можно использовать известный способ разложения действительной функции с ограниченной дисперсией в ряд с конечным числом гармонических слагаемых и апериодическую компоненту, для которой определяется непрерывный спектр с несчетным числом гармоник, но с малыми амплитудами [2, 4]. В частном случае, если априорно известно, что рассматриваемый сигнал состоит только из гармонических составляющих, то возможен точный расчет их параметров с использованием различных вариантов метода Прони (метода линейного предсказания) [11, 12].

Однако эти методы не всегда эффективны при гармонической аппроксимации и обладают существенными недостатками, вытекающими из предлагаемых способов определения гармоник. Кроме того, ни один из них не обеспечивает приемлемого значения ошибки аппроксимации коротких сигналов ограниченным набором гармоник. Главная причина состоит в том, что в них искусственно навязывается поведение сигнала на концах и вне анализируемого интервала. Характерной особенностью спектральных разложений, основанных на методе Фурье и его модификациях, является тот факт, что сигнал, существующий на конечном интервале, искусственно разлагается на гармонические составляющие, определенные до начала и после конца сигнала [9, 17]. Это существенным образом сказывается на показателях, характеризующих колебательные свойства сигнала внутри самого интервала, а самое главное - в спектре не отображаются корреляционные свойства процесса, что не позволяет использовать его, например, для экстраполяции (прогнозирования). Кроме того, спектры на основе разложений Фурье обладают значительной избыточностью по количеству гармоник. Традиционный метод Прони

применим только при условии, если анализируемый сигнал априорно состоит из гармонических составляющих и, кроме того, не допускается наличие в его составе гармоники с нулевой частотой (постоянной составляющей). В случае отсутствия периодических компонент применять данный метод нельзя, поскольку заложенные в нем алгоритмы численного решения трансцендентных уравнений становятся трудно реализуемыми.

Постановки задачи

Потребность в применении специальной обработки именно коротких сигналов можно обосновать, рассмотрев процесс анализа шумов и шумоподобных сигналов различной природы [10, 14, 15, 18]. Он включает в себя три основных этапа. На первом выделяются особенности анализируемого процесса, его структура, и по ним определятся оптимальная длина участков разбиения на временные интервалы. На втором этапе осуществляется кластеризация выделенных участков конечной длительности по признаковым особенностям. Кластеризация основана на нахождении статистически однородных участков [15]. На основе использования элементов структурного моделирования процесса возможно выявление и классификация его внутренней структуры по сравнительно коротким фрагментам, которые дают представление об исследуемом процессе. На третьем этапе возможно изучение полученных закономерностей выделенных фрагментов шума и визуализация найденных кластеров методами, упрощающими понимание полученных результатов. Информативные составляющие процесса наиболее просто определяются из гармонических спектров (амплитудно-частотных характеристик) выделенных фрагментов ограниченной длительности.

Поэтому актуальной является постановка и решение следующей практически важной задачи, которую можно разбить на три составляющие:

1) выбор оптимальной функции аппроксимации Р

к

Р С) = А 0+ X [А,соз

к=1

короткого непрерывного сигнала хЦ), определенного внутри интервала [0, Т], и

к

Р ) = А о + £ АсозКпТ /N) + В кзтКпТ /,

к =1

если сигнал задан последовательностью {хп } = х(^), х(^),..., х(^). Здесь tn = п At, t0 = 0; tN = Т , At = Т/N, N - число отсчётов выбранного фрагмента длительностью Т;

2) определение минимального количества гармоник, в сумме образующих на интервале [0, Т] непрерывный х(0 или дискретный {хп} по времени короткий процесс, а также вычисление параметров гармоник - А0,(А 1,В 1,ю1),...,(АК,ВК,юк);

3) экстраполяция (прогнозирование) исследуемого процесса по его выделенному фрагменту.

Поставленная в данной работе задача спектрального анализа коротких сигналов может

возникнуть при изучении детерминированных и случайных процессов и оценки их характеристик; при обработке низкочастотных сигналов (акустических, речевых, ультразвуковых, сейсмических и т.д.); интерполяции и экстраполяции колебательных и апериодических процессов различного происхождения; разработке и использовании радиотехнических устройств цифровой обработки для обнаружения и выделения полезного сигнала из зашумленных данных и т.д.

Описание метода

Основная идея предлагаемого метода связана с введением линейного принципа для сильно-коррелированных систем [13, 22] и нахождением для таких систем оптимальной аппроксимирующей функции Р (^ при минимальном количестве гармоник К, которые однозначно определяют информационно-значимую полосу частот ю^П < ф< < Отах. В отличие от спектров, рас-

считываемых с использованием интегралов и рядов Фурье, новый спектр не является предопределенным множеством гармоник, а зависит от конкретного вида сигнала.

Для сильно-коррелированных систем частоты определяются из следующих соотношений [24]:

к -1

+ ^

к-1

О \

""" ' , к = 1,...,К .

тах

В качестве ошибки представления дискретного сигнала предлагается выбрать среднеквадратичное расстояние между заданным сигналом х

3 =

1 ы-1 К ( пТ пТ^ 2

^ х(^)-X IА+вк

-У

п=0 -

а для непрерывного сигнала точность представления сигнала оценивается выражением

3 =

ТI

' 0

К

х

к=1

2

61.

Амплитудно-частотная характеристика сигнала (АЧХ) определяется величинами А 0,(А 1,В 1,#1),...,(АК ,ВК ,юК), которые находятся методом наименьших квадратов, с учётом выполнения дополнительных условий, связывающих параметры К и б.

В зависимости от выбранной задачи аппроксимации возможны три варианта оптимизации АЧХ:

а) выбирается минимальное число гармоник К при заданной точности аппроксимации б;

б) выбирается минимальная ошибка аппроксимации б при заданном значении К;

в) выбирается минимальное значение К при б=0.

Для выделения сильно-коррелированных участков в анализируемом сигнале выберем пробный интервал ^к+ т\, при этом tk + т< Т , где tk = к Дт, к = 0,1,2,3.... Здесь tk - моменты времени, отделённые друг от друга фиксированными интервалами Дт = ^ (6 - частота дискретизации). Временные интервалы т и Дт определяются характерными временами, наиболее важными для динамики изменения исследуемого процесса.

Для реализаций случайной переменной х^) из выбранного интервала [^ + т\ определим абсолютный момент порядка р выражением:

1 т Л 1\Р

Др &, т ) = ^ §

Здесь ( х^ обозначает среднее значение случайной переменной в интервале [^ +т\, хк+] = х^к + }  Лт),} = 0,1,...,т, где временной сдвиг т выражен через время дискретизации (т = т  Лт).

Для того чтобы выразить все моменты в одних и тех же единицах, определим функцию обобщенного среднего (ФОС):

, . 1/

Ср ^к, т) =

В терминах ФОС два фрагмента одного и того же процесса определяются как сильнокоррелированные, если выполняется соотношение [18, 24]

Ср ^,т) ^ аСр

Для количественного описания сильно-коррелированных систем удобно ввести функцию

нестационарности:

Y & ,т ) =

1Л &+1,т)1/р Ср &+1,т)

Др & ,т) | Ср (,т)  Здесь tk - моменты времени, отделённые друг от друга фиксированными интервалами равной длины. Задав границы изменения этой функции (например, 0.9 < Y,т)< 1.1) можно

выделить сильно-коррелированные участки процесса, при оптимальной длине участков фрагментации, и оптимизировать начала выбранных фрагментов tk. Кроме того, можно расширить понятие коэффициента корреляции, введя обобщенную функцию корреляции Пирсона (ОФКП), зависящую от величины момента [15, 23]:

К (^^,т) = -

1 т

т-1,-. .-,

ХЦ (х+1 -(х/>)(хк+1 - (х)) ] 1=0

Л т-1,

1 Х (х+

т

1=0

-

2р

2 р

т

т-1

х

2р

1=0

2р

где tl и tk - начала сравниваемых участков, соответствующих выделенным участкам с номерами / и к.

Введение статистических параметров Y,т) и Кр (t/,т) позволяет установить тип нестационарности сигнала и исследовать его спектральные свойства.

Для нахождения полосы частот [ютп Отах] мы предлагаем применить следующую процедуру. Допустим, что заданный пробный интервал, определённый во временных точках (1 1=1,2,...,т), может быть приближенно аппроксимирован функцией /0(0, содержащей только одну частоту юц. Эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

СХ^)

сй2

+ /) °(02 + ю2

) / 9) = С0,

решение которого выразится в виде следующей функции:

fo

Заметим, что дифференциальное уравнение (12) с помощью двукратного интегрирования может быть преобразовано в базовое линейное соотношение (БЛС) вида [23]:

У ^) = С1X ^) + С2 Х2

где

У ^) = ^) - (...),

X1(t) = }(t- и)/0(и)сСи - (...), С1 =-ю2,

Х2Ц) = t2 - (...), Xз(t) = t - (...).

Выражения для констант С2, С3, фигурирующие в (14), не так важны для дальнейшего рассмотрения и могут быть опущены. Применяя выражение (14) для подгонки изначального сегмента х(0, с помощью гипотезы (13) можно найти частоту юц, которая близка к значению ютт. Допустим теперь, что подгоночная функция /(?) содержит линейную комбинацию периодических функций с двумя независимыми частотами юо и ю1:

/ = /0 + /1, &0 + = 0, & +ю2/ = 0 .

Если частота ю0 предполагается известной, то БЛС для функции /(0 выразится в виде

р

р

1

У

k=1

где функции, входящие в (17), записываются в виде

У (t) = f (t) - (...),

t

Xi(t) = {(t-u)f(u)du-(...), Ci = -w2, ti

X2

2 2 w -w

X3(t) = cos(wt)-(...), C3 = ЛС3,

w

22

X4(t) = sin (wt)-(...), C4 = AS3.

Как и ранее, константа С2 не является информативной, и поэтому её конкретное выражение не приводится. Применение выражения (18) к аппроксимируемому сигналу x(t) показывает, что первая вычисленная частота всегда оказывается меньшей по сравнению со второй юо < ю1. Результат близкий к этим вычислениям мы получим также в случае, если применим выражения (17) к остаточной функции, которая определяется выражением Rm(t) = f(t) - x(t). Эти предварительные результаты могут быть легко объяснены, если заметим, что интегрирование выражения (2) всегда подавляет вклады в подгоночную функцию с наибольшими частотами. Именно операция интегрирования, входящая в БЛС вида (14), (17), помогает приближённо рассчитать минимальную частоту. Поэтому использование метода собственных координат (МСК) [21, 22] для вычисления неизвестных частот даёт возможность найти частоту w1, близкую к минимальной w1»wmin. Сходные результаты мы получим для дифференциального уравнения четвёртого порядка, содержащего уже две неизвестные частоты. Разумеется, для достижения глобального минимума в пространстве подгоночных параметров необходимо получить для него БЛС и величины уже двух искомых частот:

,2 , Г,2 , ^ f (t) = с„, d ° —

dt

Мы не приводим БЛС для уравнения (19) ввиду его громоздкости. Предоставляем возможность получить его потенциальному читателю и проверить близость вычисленных частот, реализованных двумя способами. Для вычисления величины максимальной частоты Wmax мы представим зависимости (3) и (4) в виде

k -1

w (b) = wmin + KH (wb -wmin ), k = 1,...,K,

f

w (b) = wm

w1b

k-1 K-1

Здесь Ю1> юо определяет затравочную частоту, которая вычисляется из выражений (20). Рассматривая Ь как неизвестный подгоночный параметр, можно применить функцию (1) для приближенной замены сегментированного сигнала х(Т). Проверка на модельных файлах показала, что относительная ошибка, определенная выражением

Err (K, b) =

stdev

л

• 100%

твап\х(( )|

и рассматриваемая как функция двух независимых переменных Ь и К, всегда обладает, по крайней мере, одним локальным минимумом. Существование этого минимума функции (21) основано на явлении частотного насыщения, когда увеличение числа высокочастотных компо-

нент приводит к уменьшению величин их соответствующих вкладов в Ak, Bk. Поэтому вклад высокочастотных компонент в функцию F(t) становится пренебрежимо малым. Выбор этой функции обусловлен тем, что она обладает свойством насыщения по отношению к увеличению величины подгоночного параметра b. Поведение функции Err(K,b) по отношению к подгоночному параметру b при заданном числе гармоник характеризует длину частотной полосы [rnmin, Wmax]. Минимальная величина первого локального минимума bopt функции Err(K,b), отсчитанная от

величины wmin, определяет искомое значение Qmax=w-|bopt.

Таким образом, для сильно коррелированных переменных, удовлетворяющих выражению (9), мы впервые представили произвольный сегментированный сигнал функцией вида (1) (или (2)), содержащей конечный набор неортогональных тригонометрических функций и совокупностью частот (определяемых выражениями (3) или (4)), некратных друг другу.

Для практического применения предложенного метода предлагаем следующий алгоритм представления ограниченного сигнала конечным числом гармоник.

1. Задаем ошибку аппроксимации сигнала конечным числом гармоник.

2. Задаем минимальное число гармоник K=2.

3. Применяя метод собственных координат [21], определяем минимальную частоту wmin.

4. Для вычисления величины максимальной частоты Wmax минимизируем поверхность относительной ошибки Err(K,b) по двум параметрам b и K (формула (21)).

5. Методом наименьших квадратов находим амплитуды гармоник {Аз,Ak,Bk} для частот wk , связанных между собой соотношением

W+1 = W + K-1 (Wmax - Wmin ) , k = 1,.,K - 1.

6. Проверяем ошибку аппроксимации сигнала при заданном числе гармоник K.

7. Если ошибка представления сигнала превышает заданную в п. 1 величину, то увеличиваем число гармоник на единицу K=K+1 и повторяем пункты 3-6.

8. При достижении заданной величины ошибки аппроксимации последний найденный набор А 0,(А 1,B 1,w1),...,(AK ,BK ,wK) будет определять искомую АЧХ сигнала.

Если количество частот известно заранее, то алгоритм аппроксимации упрощается и сводится только к нахождению локального минимума функции Err(K,b) по параметру b.

В случае, если известны некоторые гармоники анализируемого сигнала, то задача сводится к нахождению минимального числа гармоник при ошибке аппроксисации ö @ 0.

Временно-частотный анализ рядов солнечной активности

В качестве исходных данных, для отработки расчетных процедур НАЧАСС и заложенных в них алгоритмов, использованы ежемесячные значения Цюрихских чисел Вольфа, начиная с января 1834 по июнь 2014 года. Эти числа определяются как W = k(f + 10g), где W- число Вольфа; f - количество наблюдаемых пятен; g - количество наблюдаемых групп пятен (начиная с двух пятен); k = 1 - нормировочный коэффициент. Несмотря на внутреннюю неоднородность относительных чисел солнечных пятен, а также чисто наблюдательный характер самих чисел Вольфа, этот ряд представляет интерес с точки зрения наличия хаотических колебаний динамики солнечной активности, которые реально связаны с существующей цикличностью. Данные взяты с сайта World Data Center for the Sunspot Index, Royal Observatory of Belgium [25].

Характер нестационарной динамики чисел Вольфа можно проследить по функции нестационарности y (tk ,т) (формула 10). Эта функция представляет собой отношение функций обобщенного среднего (ФОС) для различных циклов и в случае их сильной коррелированности близка

к единице (рис. 1). Важной особенностью функции Y (tk ,т) является не только возможность определения длительностей отдельных циклов по ее скачкам, но и возможность сравнения отдельных циклов между собой. Из представленной на рисунке 1 временной зависимости следует, что сильно коррелированными можно считать одиннадцатилетние циклы 9, 11, 15, 17, 18, 21, 22, 23 (для сравнения полученных в данной статье результатов с результатами других авторов, мы сохранили принятую в литературе нумерацию циклов, начиная с 1749 года). Еще одну группу сильно коррелированных циклов составляют чётные циклы 10, 12, 14, 16, 20. Поведение функции нестационарности в целом подтверждает известное правило Гневышева-Оля [8], учитывающее корреляции между суммами за цикл чисел Вольфа в комбинации чётный-нёчетный. Аномальными являются циклы 22 и 23, для которых, подмеченная закономерность, не сработала.

Рисунок 1 - Функция нестационарности ряда ежемесячных Цюрихских чисел Вольфа с января 1834 по июнь 2014 гг. Функция Y (tk, т) построена по отношению к девятому циклу, для которого начало цикла соответствует 1843.66, а конец - 1855.92 году

Оптимизация начала выбранного цикла и его длительности показана на рисунке 2. Зона минимальных значений чисел Вольфа для 8-го цикла выбрана из максимума ОФКП (формула (11)). При этом зона минимума восьмого цикла начинается с 1842.1 года и заканчивается 1845.1 годом, т.е. длительность этой зоны составляет 3 года. За начало девятого цикла принято среднее значение начала и конца этой зоны, а ветвь его роста заканчивается максимумом, алгоритм нахождения которого аналогичен нахождению минимума 8-го цикла. Длительность отдельного цикла выделяется как интервал между двумя последовательными минимумами двух соседних циклов. Длительность девятого цикла составляет 12.26 года (рис. 2б). Найденные участки роста и спада циклов, а также зоны максимальных и минимальных значений чисел Вольфа позволяют детально исследовать тонкую структуру как отдельных циклов, так и сравнивать их между собой, что важно при прогнозировании солнечной активности.

На рисунке 3 отдельно представлены зоны минимумов восьмого и десятого циклов. Ко-

У(^-Д) г 1.75

1834 1854 1874 1894 1914 1934 1954 1974 1994 2014

Годы

личественно эти зоны сравнивались по близости ФОС (рис. 4а) и ОФКП (рис. 4б). Из сравнения зон минимумов остальных циклов выявлена сильная коррелированность следующих групп циклов: 11-15-19-20; 8-10-12-18. К зонам «затяжного минимума» солнечной активности можно отнести циклы 13, 14 и 23. Их длительность составляет от 3.2 до 3.5 года. Аналогично для зон максимумов коррелированными оказались циклы: 10-20; 11-17 и 12-17. Средняя длительность зон максимумов равняется 2.5 года.

Рисунок 2 - Оптимизация начала, конца и длительности отдельного цикла (показан 9 цикл) по обобщенной функции корреляции Пирсона [15]

Рисунок 3 - Зоны минимумов восьмого (1) и десятого (2) циклов солнечной активности

G2

0.1J,——,——,——,——,——,——, 0.65J.....................

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

G{(P) L

Рисунок 4 - Сравнение зон минимумов восьмого и десятого циклов солнечной активности: а) по функции обобщенного среднего

Изучение временной структуры циклов солнечной активности на основе новых параметров y (tk,т) и Kp (ti, tk,t) показывает наличие слабых взаимосвязей между отдельными циклами, а нестационарность динамики изменения чисел Вольфа делает несостоятельным их прогноз в силу относительно «короткой» памяти у такого рода данных, полученных по реальным наблюдениям. Поэтому не удивительно, что использование вероятностных оценок и корреляционно-регрессионных методов приводят к существенным ошибкам в прогнозе даже для текущего цикла (например, в оценке значения амплитуды в максимуме и времени его наступления), не говоря о долгосрочных прогнозах [6, 19].

Более информативна частотная структура рассматриваемого ряда солнечной активности. На рисунке 5 представлены сглаженные методом оптимального линейного сглаживания [15] и аппроксимированные методом НАЧАСС значения чисел Вольфа. Найденная минимальная частота равна 0.043, что соответствует периоду 145.89 лет. Максимальная круговая частота Qmax=1.25 определялась из поведения функции Err(K,b) при оптимальном выбранном значении гармоник Копт

(рис. 6). Ошибка аппроксимации сглаженного ряда чисел Вольфа составила 3.19%. Большое количество гармоник (К=35) связано со значительным разбросом длительностей циклов, охватывающих период 1834-2010 гг. Основная круговая частота составила 0.58 (10.91 лет).

W 225 -,

1834 1854 1874 1894 1914 1934 1954 1974 1994 2014

Годы

Рисунок 5 - Сглаженные методом ПОЛС с окном 0.416 года (1) и аппроксимированные методом НАЧАСС (2) значения чисел Вольфа

Рисунок 6 - Выбор оптимального количества гармоник К и максимальной частоты ^тах для ряда солнечной активности: 1 - зависимость ошибки аппроксимации от количества гармоник; 2 - изменение максимальной частоты от выбора предельной моды К

Прогноз до 2022 года получен продолжением аппроксимирующих функций для сглаженного ряда ежемесячных чисел Вольфа и остатка ряда, который определяется выражением 13т(Г) = Р(£) - х(£) (рис. 7). Расчеты проводились по найденным частотам ф™п= 0.59 (10.62 лет) и ^тах=10.31 (0.61 года) при оптимальном числе гармоник К=47. Прогнозируемое максимальное число Вольфа в 24-ом цикле приходится на середину 2013 года, общая продолжительность цикла - 10.92 года.

Рисунок 7 - Прогноз солнечной активности на 24-й цикл (3).

Здесь же показаны ежемесячные (1), а также аппроксимированные и экстраполированные методом НАЧАСС (2) числа Вольфа

Важно подчеркнуть закономерности в поведении прогноза, полученные традиционными методами и методом НАЧАСС. Как традиционные методы, так и метод НАЧАСС не позволяют предсказать крайне низкие значения чисел Вольфа за период 2008-2010 гг., соответствующие началу 24 цикла. Но, тем не менее, НАЧАСС даёт сходное поведение чисел Вольфа на остав-

шемся участке этого цикла, согласующихся с общепринятыми (считающимися в настоящее время наиболее надёжными) методами прогноза [20].

Выводы

Предварительный анализ результатов расчёта спектров НАЧАСС позволять сделать следующие выводы относительно аппроксимации и экстраполяции процессов и сигналов.

1. Для сильно коррелированных систем нами предложен метод НАЧАСС, который позволяет найти АЧХ (или дискретный линейчатый спектр) произвольного случайного сигнала. В общем случае спектры НАЧАСС и спектры, построенные на основе любого разложения Фурье, несут в себе принципиально разное физическое представление о рассматриваемом сигнале. Если mmin в соотношении (3) совпадает с одной из частот сетки Фурье, а максимальная частота связана с длительностью и количеством гармоник соотношением Qmax=2n(K-1)/T+rnmin, то спектры, построенные с помощью преобразований Фурье, являются частными случаями НАЧАСС.

В плане поставленной задачи наиболее близким к предложенному методу НАЧАСС является метод Прони, который также позволяет находить АЧХ сигналов ограниченной длительности. Однако он недоработан применительно к непрерывным сигналам и область его применения существенно ограничена. При соответствующем выборе частот этот метод также является частным случаем НАЧАСС, когда сигнал дискретный, содержит гармоническую составляющую и количество гармоник удовлетворяет условию 3K<N.

Вейвлет-спектр отличается от НАЧАСС набором базисных функций (кстати, несущих мало физического смысла) для аппроксимации короткого сигнала, поэтому эти спектры трудно сравнивать между собой, можно говорить только об их относительной эффективности при аппроксимации случайных сигналов.

2. Метод НАЧАСС позволяет обеспечить приемлемую точность аппроксимации (максимальная относительная ошибка не превышает 5-7%) случайных последовательностей с числом точек N < 1000.

3. Предварительные результаты показывают, что метод НАЧАСС позволяет произвести достаточно надежную экстраполяцию сигнала, хотя формулировка общего критерия надежной экстраполяции пока затруднительна. Для его нахождения предстоит проанализировать случайные сигналы самой различной природы и выявить некоторые общие закономерности, влияющие на точность прогноза.

Список литературы:

1. Айвазян С.А. Статистическое исследование зависимостей. М.: Металлургия, 1968.

227 с.

2. Безручко Б.П. Математическое моделирование и хаотические временные ряды / Б.П. Безручко, Д.А. Смирнов. Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005. 320 с.

3. Бендат Дж. Применение корреляционного и спектрального анализа / Дж. Бендат, А. Пирсол. М.: Мир, 1983. 312 с.

4. Боровиков В.П. Statistica. Статистический анализ и обработка данных в среде Windows / В.П. Боровиков, И.П. Боровиков. М.: Филинъ, 1997. 608 с.

5. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. М.: Мир, 1980. 536 с.

6. Витинский Ю.И. Цикличность и прогнозы солнечной активности. Л.: Наука, 1973.

257 с.

7. Волков И.К. Случайные процессы / И.К. Волков, С.М. Зуев, Г.М. Цветкова. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 448 с.

8. Гневышев М.Н. О 22-летнем цикле солнечной активности / М.Н. Гневышев, А.И. Оль // Астрономический журнал. 1948. Т. 25. С. 18-20.

9. Дьконов В.П. MATLAB. Обработка сигналов и изображений: специальный справочник / В.П. Дьконов, И.В. Абраменкова. СПб.: Питер, 2002. 608 с.

10. Еськов Е.К., Тобоев В.А. Анализ статистически однородных фрагментов акустических шумов, генерируемых скоплениями насекомых / Е.К. Еськов, В.А. Тобоев // Биофизика. 2010. Т. 55, вып. 1. С. 113-125.

11. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1973. 832 с.

12. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: пер. с англ. М.: Мир, 1990.

13. Нигматуллин Р.Р. Универсальная функция распределения флуктуаций сильно коррелированных систем // Нелинейный мир. 2007. Т. 5, № 9. С. 572-602.

14. Нигматуллин Р.Р., Тобоев В.А. Новый подход к анализу сильно коррелированных акустических последовательностей: детектирование состояния пчелиной семьи / Р.Р. Нигматуллин, В.А. Тобоев // Нелинейный мир. 2009. Т. 7, № 1. С. 14-27.

15. Нигматуллин Р.Р., Тобоев В.А. Неинвазивные методы выделения значимых информационных составляющих и кластеризация акустических шумов произвольной природы / Р.Р. Нигматуллин, В.А. Тобоев // Нелинейный мир. 2009. Т. 7, № 5. С. 348-354.

16. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. Топология выборки. М.: Университетская книга, 2005. 847 с.

17. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. СПб.: Питер, 2005. 325 с.

18. Тобоев В.А., Толстов М.С. Расчёт гармонических дискретных спектров коротких сигналов / В.А. Тобоев, М.С. Толстов // Нелинейный мир. 2011. Т. 9, № 9. С. 611-618.

19. Чистяков В.Ф. Солнечные циклы и колебания климата. Владивосток: Дальнаука, 1997. 156 с.

20. Li K.J., Gao P.X., Su T.W. The Schwabe and Gleissberg Periods in the Wolf Sunspot Numbers and the Group Sunspot Numbers // Sol. Phys. 2005. V. 229 (1). P. 181-201.

21. Nigmatullin R.R. Eigen-Coordinates: New method of identification of analytical functions in experimental measurements // Applied Magnetic Resonance. 1998. V. 14. P. 601-633.

22. Nigmatullin R.R. The statistics of the fractional moments: Is there any chance to «read quantitatively» any randomness? // J. Signal Process. 2006. V. 86. P. 2529-2547.

23. Nigmatullin R.R. Strongly Correlated Variables and Existence of the Universal Distribution Function for Relative Fluctuations // Physics of Wave Phenomena. 2008. V. 16 (2). P. 119-145.

24. Nigmatullin R.R., Osokin S.I., Toboev V.A. NAFASS: Discrete spectroscopy of random signals // Chaos, Solitons & Fractals. 2011. V. 44, Issue 4-5. P. 226-240.

25. SIDC - Solar Influences Data analysis Center [Electronic resource]. URL: http://sidc.oma.be/html/sunspot.html (date of treatment: 07.08.2014).