Разработка матрицы жёсткости физически-нелинейного конечного элемента с композитной структурой

УДК 001.891.573; 519.6

А. С. Васильев, Н. А. Тарануха, В. П. Назарова

РАЗРАБОТКА МАТРИЦЫ ЖЁСТКОСТИ ФИЗИЧЕСКИ-НЕЛИНЕЙНОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА С КОМПОЗИТНОЙ СТРУКТУРОЙ

Известно, что несущую способность льда можно значительно увеличить путём внедрения армирующих элементов. В работе предложена математическая модель матрицы жёсткости для композитного конечного элемента, сочетающего в себе совместную работу двух и более материалов. Полученные зависимости могут быть применены при расчётах элементов конструкций с учётом их армирования. Предложены аппроксимирующие функции для диаграмм деформирования. Предложен алгоритм разрушения композитного материала, представленный в форме блок-схемы.

Ключевые слова: матрица жёсткости, конечный элемент, арматура, композит, математическая модель.

Введение

При осуществлении работ на Арктическом шельфе возникает необходимость изучения прочности и несущей способности льдов. Преобладание низких температур на шельфе даёт возможность использовать лёд в качестве строительного материала, дополнительно укрепляя его стальными стержнями. Для изучения несущей способности армированного льда необходима разработка математической модели для расчётов напряжённо-деформированного состояния [1]. Известно, что льду свойственно трещинообразование. В результате образования трещин его механические характеристики изменяются. Для учёта изменения модуля упругости льда используются аппроксимационные зависимости, характеризующие диаграммы деформирования материала. При этом разработку математической модели целесообразно осуществлять на основе метода конечных элементов, применяя двухсредный композитный конечный элемент, сочетающий в себе совместную работу льда и стали [5]. На основе данного алгоритма разработаны программные комплексы [4], [6], [7], [8].

Васильев Алексей Сергеевич — кандидат технических наук, старший преподаватель (Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема, Биробиджан); e-mail: vasil-grunt@mail.ru.

Тарануха Николай Алексеевич — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой кораблестроения (Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет, Комсомольск-на-Амуре); e-mail: taranukha@knastu.ru.

Назарова Вероника Павловна — студент (Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема, Биробиджан); e-mail: student.nika1661@mail.ru.

© Васильев А. С., Тарануха Н. А., Назарова В. П., 2018

28

1. Учёт нелинейности физических свойств материалов

При расчётах конструкций из композитных материалов по нелинейной деформационной модели используются диаграммы растяжения и сжатия, определяющие связь между напряжениями и относительными деформациями. В расчётах учитывалась физическая нелинейность, обусловленная непропорциональной связью между деформациями и напряжениями [2], [3]:

Здесь а и £ соответственно напряжения и деформации в материале, О — матрица механических характеристик материала [2], [3]. Таким образом, вектор напряжений в конечных элементах конструкции на г-ом шаге нагружения вычисляется согласно следующей формуле:

где [О(е]]' — матрица механических характеристик материала на г-ом шаге нагружения.

В данной работе речь идёт именно о кратковременном нагр ужении. При этом будут рассмотрены несколько зависимостей, связывающих относительные деформации с напряжениями (а - аь) при одноосном сжатии и растяжении. В данной работе при учёте совместной работы льда и стали будут использоваться зависимости деформирования бетонов в предположении похожести работы под нагрузкой двух хрупких структурно-неоднородных материалов: бетона и льда.

1.1. Модель прочности материалов на основе диаграмм деформирования

Рис. 1. Диаграмма деформирования материала

На рисунке 1 аЬ1 — напряжения, после которых начинается ползучесть материала. Упругая часть диаграммы сжатия при 0 < £Ь < £Ь1 харак-

29

теризуется прямой с координатами (0; 0), (0,55 ЯЬ/Ео; 0,55 КЬ). Отрезок £Ь1 < £Ь < £Ь0, где материал проявляет свойства ползучести и нелинейности, можно интерполировать с помощью полинома:

Для определения коэффициентов полинома необходимо решить систему из следующих уравнений:

„„„, „0.55 КЬ , 0.55Rb =üTj *-

0.55 Rb

v Еа

+ с,

0.55 Rb

+ d,

0.55 Rb

0 - иу + 2Ь1кь шш+3

+ Ad.sl

1 b raax /

где й1, Ь1, С1, й\ — коэффициенты полинома. На промежутке £Ь0 < £ь < £ы связь £ь - оь аппроксимируется прямой с координатами (£ь_тах, КЬ), (0,0035, КЬ).

Аналогично для диаграммы растяжения упругая часть на промежутке 0 < £ы < £ьí1 характеризуется прямой с координатами (0; 0), (0,55 КЫ/Е0; 0,55 Ш).

Отрезок £Ьд < £ы < £ы0, где материал проявляет свойства ползучести и нелинейности, интерполируется полиномом:

,2 3 J 4

&bt \Sbt) ~ a2Sbt + b2Sbt + C2Sbt + d2Sbt '

Е(£Ы)=

Для этого необходимо решить систему из следующих уравнений:

0.55iiAf а, *-

0.55Rbt ,

- + K

ёГ +ci~ J

E. 1 '

2eht

= +2 ¿l

£» J+ 4 £„ J

+ 4 rf,

J

30

где й2, Ь2, С2, ¿2 — коэффициенты полинома, которые находятся из решения системы уравнений (9), (10), (11), (12) аналогично коэффициентам при сжатии.

На промежутке £ью < £ы < £Ы2 связь £ы - аы аппроксимируется прямой с координатами (£ы_ ВЫ), (0,00015, ВЫ).

Рис. 2. Диаграммы деформирования образцов при сжатии по модели автора

На рисунках 2 и 3 приведены диаграммы деформирования при сжатии и растяжении, построенные по модели авторов для каждого из трёх образцов материалов с различными механическими характеристиками. Данные аппроксимационные зависимости могут применяться для различных материалов, в том числе для льда. Для построения диаграмм деформирования льда по данной модели необходимо знать его прочность при одноосном сжатии, одноосном растяжении, начальный модуль упругости, максимальные деформации при сжатии и растяжении.

Прочность и деформативность арматурных сталей характеризуется диаграммой аБ - £й. В работе [2] предлагается использовать кусочно-линейные функции.

31

Рис. 3. Диаграммы деформирования образцов при растяжении по модели автора

Рис. 4. Диаграмма деформирования арматуры

Здесь аяу — временное сопротивление арматуры, Я — её расчётное сопротивление, Бг — модуль упругости арматуры, £В/у = 0,02. Диаграмма на рисунке 4 используется только для мягких сталей. Для твёрдых сталей ограничиваются только линейным участком диаграммы.

2. Матрица жёсткости композитного нелинейного конечного элемента

2.1. Комбинирование механических характеристик материалов

Объединим в одном конечном элементе несколько материалов, входящих в состав композита. В этом случае модуль упругости и коэффициент Пуассона рассматриваются как некоторые приведённые характеристики, зависящие одновременно от соответствующих характеристик

32

обоих (всех) материалов, входящих в состав композитной конструкции. Для определения этих приведённых характеристик используется идея комбинированных объёмов, о сути которой будет рассказано далее.

Композитный конечный элемент представляет собой совместную работу материала матрицы и «размазанной» по объёму конечного элемента арматуры, при этом сохраняется свойство сплошности материала. Для вычисления упругих характеристик композитного КЭ применимо комбинирование объёмов материалов, из которых он состоит. При этом приведённый модуль упругости Бпр с учётом диаграмм деформирования материалов для композитного КЭ вычисляется по следующей формуле:

F =

Yip

E{Ex\V, +E(zx)1V1 v, + v2

где Б1, Б2, соответственно — нелинейные модули упругости материалов в составе композитного КЭ; У1, У2 соответственно — объёмы каждого из материалов в составе композитного КЭ. Аналогично вычислим приведённый коэффициент Пуассона Цпр:

М +Мг^2 +- + М„К Vl+v2+... + ¥„

где ^1, и ^п соответственно — коэффициенты Пуассона для каждого материала в композитном КЭ.

Подставляя (14) и (15) в матрицу [О], получим матрицу упругости для композитного объёмного конечного элемента, сочетающего совместную работу различных сред:

2.2. Композитный конечный элемент в виде параллелепипеда

Матрица жёсткости элемента также блочная. При этом каждый из блоков может быть вычислен по формуле:

W -^mrmjBrdv

33

здесь В — матрица деформаций, предложенная [2], [3].

Произведя замену переменных и имея в виду, что элементарный объём равен:

получаем выражение для вычисления матрицы жёсткости конечного элемента в виде параллелепипеда:

При этом каждый элемент матрицы жёсткости [К\кц состоит из подматрицы третьего порядка:

№ -

Кгл

K2l K21 K2 J

Ki,l Ki,2 Къ,ъ

В результате получим матрицу жёсткости для КЭ в виде параллелепипеда, которая будет иметь размеры 24*24.

Учитывая, что в прямоугольном элементе в виде параллелепипеда 8 узлов, вводя переменные к = 1:8 и ] = 1:8, после взятия определённого интеграла (19), имея в виду постоянство [0]пр по объёму элемента, получим:

А'

К,

К,

24 24

Dm,Hi}ji}k + 3)^ D^b(tijt}k + 3)^Д

24

24

. DnPl, +А Аp4:„ +

24

24

K.

D„p,, Ы.4А + 3)37 fik D a{4 £k + 3)gvk

24

24

. D^fiiVj'h +3)сД + + 3

24

24

34

Dm, + 3)gflk Dm ^ а(д/к + 3)т]]дк

В результате преобразований имеем:

К,

1 -в „ n 1 Vl , ] 1-2// —^ ъ , (1 + - ^ )(1 + - С^О) +-Y^- *

У WjQ + J XI + J <TtiT, ) + Л" fffcf,

32(1 + « XI 2« >

1 1 4

Ztfj +м„„

l+«,2+m

32(1 + ^X1 "2aJ

A',

K,

32(1 +/0(1-2/0

„ 1 „„ V1 1 , J 2/i Лj0 i i i cAc.

a J Je j J

32

Л)

32(1 + /0(1-2/0

35

Здесь п = 1 + 3(/ — 1); т 1 + 3(к -1). В результате получаем матрицу жёсткости КЭ размером 24*24. После расчёта матрицы жёсткости композитного конечного элемента в виде параллелепипеда составляется матрица индексов, а затем и общая матрица жёсткости системы. Затем, используя вектор сил и общую матрицу жёсткости, находим вектор перемещений по формуле:

где Нч

— обратная общая матрица жёсткости системы.

3. Алгоритм разрушения композитного материала в конструкции

Данный алгоритм предназначен для расчёта конструкций при простом напряжённом состоянии, т. к. использует диаграммы деформирования материала при одноосном растяжении и сжатии. При постоянном увеличении нагрузки на конструкцию происходит постепенное её разрушение вследствие изменения механических характеристик материала. В результате происходит изменение механических характеристик матриц жёсткости каждого КЭ в дискретной модели конструкции. Характеристики меняются согласно зависимостям £ - а, предложенным автором. На рисунке 4 приведён механизм разрушения при наличии двух материалов в составе композита: связующего и арматуры.

Данный алгоритм характеризует разрушение конструкции с ориентированным расположением арматуры в составе композита. Композитный материал представляет собой совместную работу двух материалов: связующего (льда) и армирующего. При постепенном разрушении связующего (льда) основную нагрузку начинает принимать на себя арматура. Один из наиболее распространённых вариантов исчерпания прочно-

36

сти конструкции является разрушение вследствие превышения предела прочности (текучести) арматуры в составе композита.

Для учёта прочности арматуры при разрушении связующего материала и уменьшении объема КЭ на величину объёма связующего (льда) в конечном элементе используется следующее выражение:

здесь Уг — объём связующего в КЭ, У2 — объём арматуры в КЭ, ах — нормальные напряжения в конечном элементе, Я — расчётное сопротивление арматуры.

Д искрет н ая мод ел ь конст рукци и

Композитные КЭ в виде параллелепипеда D = Dnp

Однородные КЭ материала № 1 (лада) в композите

Изменение модуля упругости материала №1 (льда) на участках: £а1 < е0 < еа0 и еЯ1 ^ ^ ещо, соответственно

Е(£ь) = = + Ъ]гь 4- с^ + при сжатии;

Е{еы) = °ы =а1 + Ь1£ы +с2еы2 + при растяжении

I

Уменьшение объема КЭ на величину объема материала № 1 (лада) в этом КЭ

Разрушение материала № 1 (лада) Разрушение однородного КЭ

£й0 - £о- £ь шах При СЖЭТИИ Ею - Ей — Ец щах,

И £дга - Ещ - % max при растяжении £аго - - шах

i / 1

Полная потеря жесткости КЭ в конструкции,D = О

Разрушение (текучесть) материала № 2 (арматуры):

>R

Рис. 5. Механизм разрушения материалов

Выводы:

Разработан нелинейный композитный конечный элемент, учитывающий совместную работу двух материалов (льда и арматуры) в своём составе.

Представлен механизм разрушения композитного конечного элемента, укреплённого арматурой.

37

Список литературы

1. Ипатов К. И., Земляк В. Л., Козин В. М., Васильев А. С. Исследование напряжённо-деформируемого состояния ледяного покрова от воздействия на него движущейся нагрузки // Вестник Приамурского государственного университета им. Шолом-Алейхема. 2017. № 1 (26). С. 103 — 113.

2. Клованич С. Ф., Безушко Д. И. Метод конечных элементов в расчётах пространственных железобетонных конструкций. Одесса: Изд-во ОНМУ, 2009. 89 с.

3. Клованич С. Ф., Мироненко И. Н. Метод конечных элементов в механике железобетона. Одесса, 2007. 111 с.

4. Программа для расчёта конструкций из композитных материалов: программа для ЭВМ № 2015618400 RU /А. С. Васильев, Н. А. Тарануха. № 2015615161; заявл. 16.06.2015; зарег. 07.08.2015; опубл. 20.09.2015.

5. Тарануха Н. А., Васильев А. С. Численное исследование конструкций из гетерогенных сред на основе метода конечных элементов / / Вестник Приамурского государственного университета им. Шолом-Алейхема. 2017. № 1 (26). С. 90 — 102.

6. Composit: программа для ЭВМ № 2015610761 RU / А. С. Васильев, Н. А. Тара-нуха. № 2014661694; заявл. 19.11.2014; зарег. 16.01.2015; опубл. 20.02.2015.

7. Strength: программа для ЭВМ № 2015610762 RU / А. С. Васильев, Н. А. Тарануха. № 2014661692; заявл. 19.11.2014; зарег. 16.01.2015; опубл. 20.02.2015.

8. Ultimate State: программа для ЭВМ № 2015618399 RU /А. С. Васильев, Н. А. Тарануха. № 2015615160; заявл. 16.06.2015; зарег. 07.08.2015; опубл. 20.09.2015.

•Jc -Jc -Jc

Vasilyev Alexey S.,1 Taranukha Nikolay A.,2 Nazarova Veronica P.3 DEVELOPMENT OF THE STIFFNESS MATRIX OF A PHYSICALLY NONLINEAR FINITE ELEMENT WITH A COMPOSITE STRUCTURE

i1, 3 Sholom-Aleichem Priamursky State University, Birobidzhan; 2 Komsomolsk-on-Amur State Technical University, Komsomolsk-on-Amur)

It is known that the carrying capacity of ice can be significantly increased by the introduction of reinforcing elements. The paper proposes a mathematical model of the stiffness matrix for a composite finite element that combines the joint work of two or more materials. The obtained dependences, dependences can be applied in the calculation of structural elements taking into account their reinforcement. The proposed approximating functions for the deformation diagrams. The algorithm of composite material destruction presented in the form of a block diagram is proposed.

Keywords: stiffness matrix, finite element, reinforcement, composite, mathematical model.

References

1. Ipatov K. I., Zemlyak V. L., Kozin V. M., Vasilyev A. S. Investigation of the stressstrain state of the ice cover from exposure to a moving load [Issledovanie napryazhyonno-deformiruemogo sostoyaniya ledyanogo pokrova ot vozdejstviya na nego dvizhushchejsya nagruzki], Vestnik Priamurskogo gosudarstvennogo universiteta im. Sholom-Alejhema, 2017, no. 1 (26), pp. 103—113.

2. Klovanich S. F., Bezushko D. I. Metod konechnyh elementov v raschyotah prostranstvennyh zhelezobetonnyh konstrukcij (The finite element method in calculations of spatial reinforced concrete structures), Odessa, Publishing house ONMU, 2009. 89 p.

3. Klovanich S. F., Mironenko I. N. Metod konechnyh elementov v mekhanike zhelezobetona (The finite element method in reinforced concrete mechanics), Odessa, 2007. 111 p.

38

4. Vasilyev A. S., Taranukha N. A. Programma dlya raschyota konstrukcij iz kompozitnyh materialov: programma dlya EVM № 2015618400 RU (Program for calculation of structures made of composite materials: computer program No. 2015618400 RU), registered on 08/07/2015, published on 09/20/2015.

5. Taranuha N. A., Vasil'ev A. S. Numerical research of constructions from heterogeneous media based on the finite element method [Chislennoe issledovanie konstrukcij iz geterogennyh sred na osnove metoda konechnyh elementov], Vestnik Priamurskogo gosudarstvennogo universiteta im. Sholom-Alejhema, 2017, no. 1 (26), pp. 90-102.

6. Vasilyev A. S., Taranukha N. A. Composit: programma dlya EVM № 2015610761 RU (Composit: computer program No. 2015610761 RU), registered on 01/16/2015, published on 02/20/2015.

7. Vasilyev A. S., Taranukha N. A. Strength: programma dlya EVM № 2015610762 RU (Strength: computer program No. 2015610762 RU), registered on 01/16/2015, published on 02/20/2015.

8. Vasilyev A. S., Taranukha N. A. Ultimate State: programma dlya EVM № 2015618399 RU (Ultimate State: computer program No. 2015618399 RU), registered on 08/07/2015, published on 09/20/2015.

•Jc -Jc -Jc

39