Зависимости между деформациями и напряжениями в наполнителях композиционных материалов

ления процессами, протекающими на границе «покрытие - основа» и, как следствие, уровнем механических свойств покрытий путем изменения режимов обработки, задающих температуру нагрева и время существования ванны расплава.

Результаты исследований позволяют применить лазерное оплавление покрытий, в первую очередь, на тех деталях - крупногабаритных, длинномерных, тонкостенных, где не может быть использовано объемное оплавление по причине возникающих больших остаточных напряжений и недопустимых изменений структуры основы. Разработана технология оплавления таких деталей, как рабочие колеса маги-

стральных нефтяных насосов, штоки плунжерных насосов и др. Данная технология внедрена на ряде предприятий нефтяной и нефтехимической промышленности со значительным экономическим эффектом.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Теория и практика нанесения защитных покрытий / П. А. Витязь [и др.]. - Минск: Беларуская навука, 1998. -583 с.

2. Хасуй, А. Техника напыления: пер. с яп. / А. Ха-суй - М.: Машиностроение, 1975. - 288 с.

Поступила 6.06.2006

УДК 539.374

ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ДЕФОРМАЦИЯМИ И НАПРЯЖЕНИЯМИ В НАПОЛНИТЕЛЯХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Докт. физ.-мат. наук, проф. ВАСИЛЕВИЧЮ. В., канд. физ.-мат. наук, проф. САХОНЕНКО В. М., САХОНЕНКО С. В.

Белорусский национальный технический университет

В современном производстве для композиционно-волокнистого материала (КМ) в основном применяют наполнители, получаемые на основе прядей (нитей, изготовленных из волокон), а также тканей. В первом случае КМ создается путем послойной укладки семейств однонаправленных нитей. В результате получается слоистая структура (она может представлять собой взаимно перпендикулярные семейства нитей), у которой отсутствует взаимное переплетение. Во втором случае рассматриваются ортотропные структуры из композиционных материалов, которые представляют собой многослойные среды на основе тканей, имеющих упорядоченное расположение волокон. Все слои КМ сориентированы в одном направлении, которые пропитаны полимерным связующим.

Технологический процесс изготовления изделий из композиционно-волокнистых материалов состоит из трех стадий: формирования поверхностей заданной геометрии, т. е. получения полуфабрикатов в виде слоистой структуры семейств волокон (ткани), пропитанных связующим; отверждения связующего; механиче-

ской обработки поверхностей изделия до требуемой точности. Особый интерес представляет стадия получения полуфабриката, когда связующее композита неотверждено (такой материал называют препрегом). На этой стадии материал конструкции позволяет целенаправленно создавать напряженное состояние, дающее при эксплуатации положительный эффект, т. е. дает возможность снять или уменьшить остаточные напряжения, которые имели бы место в материале изделия в случае отсутствия принятых мер по их устранению.

Кроме зависимостей между перемещениями точек каждого семейства нитей препрега и напряжениями, в них существуют зависимости между перемещениями и напряжениями в точках разных семейств нитей. Эти связи существуют благодаря переплетению нитей ткани. Найдем их.

Пусть точка О в координатной системе 01Х1 У имеет координаты (х, у) и представляет собой точку пересечения двух взаимно перпендикулярных нитей из слоя ткани (рис. 1). Предположим, что одна из нитей принадлежит семейству «1», совпадает с осью ОХ и находится

на расстоянии у от оси 01Х1; вторая нить принадлежит семейству «2», совпадает с осью ОУ и находится на расстоянии х от оси О1 У1. Пусть точки М и Р, лежащие на рассматриваемых нитях, после деформации сходятся в точке М1. Обозначим: через НМ = у0; ЕР = х0; МК = и2; КМ1 = у2; РЯ = м1; ЯМ1 = у1. Здесь величины и1, у1, и2 и у2 совпадают с модулями компонент векторов соответствующих перемещений. Н -точка, лежащая на нити ОУ, обозначает границу деформации нити (такой точкой может служить точка жесткого закрепления нити). На рис. 1 кривые т1п1 и т2п2 представляют собой нити семейств «1» и «2» после деформации.

Рис. 1. Нити препрега и их взаимное расположение после деформации

Координаты точки М1 в системе 01Х1У1 можно выразить через соответствующие компоненты перемещения двумя способами по формулам:

или

х1 = х0 - и1 Б1п а 1- у cosа 1; у1 = у + и1 соб а 1-у1 sinа 1,

X = х-и2Б1п а 2+У2ео8а 2; у1 = £0 - у0 + и2соБ а 2+ у^па 2,

где 50 = £0(х) - расстояние между точкой Н и осью 01Х1; а1 и а2 - углы, которые составляют касательные к соответствующим нитям семейств в точке М1 с осью 0Х.

В [1] показано, что компоненты перемещения и1, у1 зависят от переменных а1 и у, а компоненты перемещения и2, у2 - от переменных а2, х. При этом между компонентами перемещений имеют место зависимости:

ди ду

—1 - у = 211Я1б1п а1; —1 + и 1 = -Я1 + 71ЛЯХ ео8а1;

^-VI -^^Я =-я0 + 212Я10соба1; (3) да1 ду

^ + и -^1Я — -^12б1па1; да1 ду

ди

да-

дУ2

да

- и2 = Я + 722Я2 Б1п а2;

ди

да_

ди

+ У2 +-2 7 21^20 = Я + 72ЛМп а 2; (4) дх

ду2 дУ2 V п0 V г)0

— и2 + “Г 721Я2 = -721Я2 С0Б а2;

да дх

1 -У2Г

-; йх0 = 711Я1йа1;

7 --

’ Л12 “

йу - -1п Я0 й а1.

1+*+Iй-

-*^11

1-У12 -

5а1

5а1

Здесь у12, у21 и у11, у22 - относительные

неупругие удлинения при сжатии в условиях переплетения нитей и при растяжении семейств нитей соответственно; Е1Ь Е22 и Е12, Е21 - коэффициенты жесткости на растяжение и сжатие (в условиях переплетения нитей) семейств нитей; с11, а22 - растягивающие напряжения; с12, с21 - сжимающие напряжения в условиях переплетения семейств нитей в точке М1; Я1, Я2 -

радиусы кривизны нитей; Я10, - радиусы

кривизны ортогональных кривых к соответствующим нитям в точке М1.

Перейдем из точки М1 в положение М2, двигаясь по кривой т2п2 в положительном направлении. За положительное направление на линии семейства «2» принято направление движения от точки т2 к точке п2. Тогда если в точке М1 пересекаются нити т2п2 и т1п1, то в точке М2

пересекаются нити т2п2 и т 1 п 1. В исходном

положении, т. е. до деформации, эти нити пересекаются в точке Q, которая имеет координаты (х, у + йу). Как и координаты точки М1, координаты точки М2 выразим двумя способами: используя для этого компоненты перемещения и1 и у1, а также и2 и у2. На основании (2) коор-

21

динаты точкиМ\ выражаются через параметры: и2, v2, х, у, х0, у0, а2. Рассмотрим, как они изменяются при перемещении точки Мі вдоль кривой т2п2. Очевидно, что значение угла а2 в точке М2 на кривой т2п2 будет другим. Пусть он а!, = а2 + dа2. Вследствие этого компоненты перемещения и2 и v2 будут другими, т. е. вычисленными при значении угла а2, равного

значению а!,. Координата у0 тоже имеет другую величину, равную у0 + dy0. Как было установлено в [2], между dy0 и da2 имеет место зависимость

dyQ =-

R2da 2

= R2 Z22da2.

1 + У 22 +

22

22

Координата х не изменяется при изменении положения точки М1 на кривой, так как она характеризует расположение нити т2п2 в исходном положении до деформации. Координата у изменяется при изменении положения точки М\, так как она характеризует нить семейства «1», которая впоследствии пересекается с нитью т2п2. В точке М2 нить т2п2 пересекается с

нитью m'Wj, которая в исходном положении находится ниже нити т1п1 на расстоянии (-dy). Поэтому координата у станет равной у + dy. Величина S0 - у0 характеризует координату точки на нити т2п2, которая в результате деформации перемещается в точку М1, а в точке М2 становится равной S0(х) - у0(а'2, х). На основании описанного выше и формул (2) координаты точки М2 будут иметь вид:

х2 = х - u2 (a2, x)sin а'2 + v2 (а'2, x)cos а'2;

У2 = So (х) - Уо (а2, х) + U2 (а2, х)cos а2 + (5) +v2(a'2, x)sin а'2.

Координаты точки М2, выражаемые в компонентах перемещения и1 и vb определяются формулами:

х2 = хо (а J, у + dy) - u (а J, у + dy) в1па{-

-v1

у2 = у + dy + иДау + dy)cosaj--Vl(aу + dy) sin аj.

Здесь а1 = а1 + da1; а'2 = а 2 +

. Расстояние

между нитями т1п1 и m1 n1 в исходном положе-

нии составляет (-іу). После деформации в результате поперечного сжатия семейства нитей оно становится равным (-іу)ІХі2. Поэтому с учетом того, что нить т2п2 пересекает эти две нити под углом а = а1 - а2, найдем

dy = -R2 Z12 sin ada2.

С точностью до бесконечно малых первого порядка, если воспользуемся формулами (1) и (6), найдем:

д)

діїс

da1 +—Q dy - cosa1

дУ

Dv1

Vдa і

da 1-

-sin a

дм1

Vдal У

-v

Dv1

dy

da1--------1 cos a1---------da2 -

дУ

da2

дц . dy ,

—1sin a1----------da9

Dy da2

дv1

У2 - Уі = dy - sin ai

да1

+cos a

Du1

дa1

- v,

Du,

+-----L cos a

дУ

ду .

1------L sina1

дУ

1-d^da 2.

2

Подставляя в предыдущие равенства выражения для и1 и у1 из (3), получим окончательно

x2 - x1 = R1 cos a1da1 -

Z11R1 sin a1 R1

J12

Z12 Ri

Q cos aQ

dy 8xQ

х--------------da2 +^- dy;

da2

3y

y2 - yQ = Rq sin a1da1

cos a

R

V Z12

Z12 Ri

1 Qsin aQ - і

dy

dan

da2 + dy.

Аналогично, воспользовавшись зависимостями (2) и (5), найдем:

x2 - xQ = R2 cos a2da2; y2 - y = R2 sin a2da2.

Приравняем соответствующие выражения правых частей равенств (8) и (9). Разделим каждое из полученных равенств на йа2. Затем перейдем к пределу при йа2 ^ 0. Тогда с учетом зависимости (7) получим:

x2 xi _

da1 R2 R2 . dx0 Z11 R1 ,,„ч

—L = —— cos а + —2-sma; —- = 11 1.

da2 R1 R1 ду Z12 R1

Перейдем из точки M1 в точку М3, двигаясь

по кривой m1n1. Расстояние между нитями m2n2

и m2 П, находящимися в исходном положении, обозначим через dx. Тогда координаты точки М3 выражаются через соответствующие перемещения по формулам:

хз = х0 (а1, у) - U1 (а1, у )sina1 - V1 (а1, у) cosa1; у з = у + щ (а1, у) cosa1 - V1 (а1, у) sina1, или

х3 = х + dx - и2(а12, х + dx)sina12 + v2 (а1-,, х + dx) cosa^; у3 = S0 (х + dx)-у0 (а2, х + dx) +

+u2 (а^, х + dx) cos а^ + v2 (а^, х + dx) sin а^.

Здесь х0, у0, а1 и а2 имеют тот же смысл, что и при выводе зависимостей (5) и (6). Искомые зависимости между параметрами а1 и а2, если рассматривать их на кривой, представляющей собой одну из нитей семейства «1», получим при рассмотрении выражений х3 - х1 и у3

у 1:

или

х3 - х1 = R1 cos a1da1; Уз - y1 = R1sin a^a,

х3 - x1 = R2 cos a2da2 + dx -

(du2 . dv2 ^ dx ,

-I —2sina2-----2cosa2 I-----da;

V dx dx | da1

r>  A (dU2 dv2 . ^

y3 -y1 = R2sina2da2 +I —2cosa2 +—2sina2 Ix I dx дх )

x-^x-da +fdS0-5У0 U

da1 V dx dx)

Здесь следует иметь в виду, что dx = R1Z 21 sinada1.

Приравнивая соответствующие выражения

для х3 - х1 и для у3 - у1 , получим:

da9 R R1 . dS0 dy0 = Z22 R2

dx dx Z21 R0

2 =J M da1 R2

cos a + —1- sin a:

R

.

21 2

Найденные выражения имеют смысл, если установлена функциональная зависимость всех

параметров от переменной а1. Параметры а1 и а2 непрерывны и кусочно-монотонны в области их изменения, поэтому между ними существует зависимость [3]

йа, йа2

—1-----2 = 1.

йа2 йа1

Таким образом, на основании первых соотношений (10) и (11) предыдущее равенство можно записать в виде

(

R1R2 R10 R20

Л

-1

(

sin a-

R2 , R1 R

Л

cosa = 0.

Полученные выражения (10)-(12) соответствуют решению поставленной задачи: найдены зависимости между параметрами, определяющими перемещения точек разных семейств нитей материала препрега и форму деформированных нитей (х0, у0, £0, х, у, Я10, Я°, Я1, Я2, а1, а2), и напряжениями, возникающими в результате этих перемещений (с11, с12, с21, с22 входят в выражения для 711, Х12, 721, 722 соответственно). Необходимо также отметить, что предложенная математическая модель приближает препреги к пластическим средам, точнее, к средам, которые автор [4] назвал как обобщенные линейные среды.

В Ы В О Д

Для композиционных материалов, представляющих структуру взаимно перпендикулярных семейств нитей, пропитанных связующим, найдены зависимости между перемещениями нитей разных семейств армирующего материала и напряжениями, возникающими в результате их деформации.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Сахоненко, С. В. Зависимость между напряжениями и перемещениями армирующего материала препрегов на стадии формования изделий / С. В. Сахоненко. - Деп. в ГУ «БелИСА» 10.03.2005. - № Д200515.

2. Сахоненко, С. В. Процессы растяжения и сжатия в материале препрегов при проколе отверстий / С. В. Сахоненко. - Деп. в ГУ «БелИСА» 10.03.2005. - № Д200576.

3. Кудрявцев, Л. Д. Математический анализ / Л. Д. Кудрявцев. - М.: Высш. шк., 1973.

4. Егер, Дж. К. Упругость, прочность и текучесть / Дж. К. Егер. - М.: Машгиз, 1961.

Поступила 29.09.2006