Задача декомпозиции сигналов в измерительной технике

А.Г. Кан, Г.В. Смирнов

Задача декомпозиции сигналов в измерительной технике

Показана перспективность методов на основе вейвлет-преобразования для выделения полезной информации в сигналах измерительной техники, а также возможность дальнейшего совершенствования подобных методов анализа.

Система цифровой обработки сигналов является неотъемлемой частью практически любого современного измерительного прибора. Помимо предварительной фильтрации, позволяющей максимально очистить сигнал от помех и выделить полезную составляющую, на систему цифровой обработки по мере развития вычислительной техники возлагаются все более интеллектуальные функции, требующие применения сложных алгоритмов и больших вычислительных мощностей [1]. Подобная тенденция уменьшает объем работ для человека, который будет эксплуатировать данный прибор, но увеличивает объем работ при создании систем цифровой обработки сигналов.

Одной из задач, эффективное решение которой широко востребовано в цифровой обработке сигналов, является разложение исходного сигнала сложной формы на суперпозицию отдельных выбросов — пиков. Многие физические процессы характеризуются суперпозицией независимых эффектов, в частности процессы электрохимии, когда суммарный ток образуется совокупностью токов ионов различных веществ. Для раздельного анализа этих эффектов как раз и требуется подобное разложение.

Существует множество подходов к решению данной задачи. Многие из них основываются на использовании заранее известных предположений относительно обрабатываемого сигнала. Так, например, широко используется подход, когда точно известно количество пиков в сигнале, их форма и примерно известно их расположение. Алгоритм в этом случае работает следующим образом: синтезируется искусственный сигнал, содержащий требуемое количество пиков, расположенных в местах, где предположительно находятся пики исследуемого сигнала. Затем вычисляется разница между искусственным сигналом (моделью) и реальным сигналом. Далее, на основе данных по разности значений модели и реального сигнала, система немного изменяет параметры пиков модели (ширину, высоту, расположение, коэффициенты несимметричности формы и т. д.) в сторону уменьшения сигнала ошибки и вновь повторяет сравнение. Рано или поздно система приходит в стационарное состояние, когда параметры модели от шага к шагу не изменяются и разница между моделью и реальным сигналом составляет неизменную величину. Недостаток этого метода в том, что он имеет вероятностный характер получения адекватной модели. По требованиям современной измерительной техники сумма разностей отсчетов реального сигнала и модели (площадь ошибки) не должна превышать 1 % от площади сигнала. Когда параметры реального сигнала не согласуются с исходными предположениями модели, в стационарном состоянии площадь ошибки будет составлять существенную величину. Более того, даже при верности исходных предположений есть вероятность, что система попадет в локальный минимум и не сможет прийти к идеальному соотношению оптимизируемых параметров. Это недостаток всех градиентных методов.

Другой подход к решению данной задачи, который пользуется большой популярностью в последнее время, основан на применении вейвлет-преобразования [2]. Этот подход привлекателен тем, что вейвлет-преобразование является математически точным (при соответствующем порядке вейвлет-дерева) способом разделить сигнал на совокупность базисных функций, положенных в основу данного вейвлет-преобразования. В отличие от преобразования Фурье, где разложение происходит на бесконечные во времени, но строго локализованные по частоте синусоидальные компоненты, базисными функциями вейвлет-преобразования являются функции, имеющие определенную локализацию как по частоте, так и по времени. Это позволяет подобрать базисную функцию таким образом, чтобы она максимально совпадала с искомыми компонентами, на которые требуется разложить сигнал, и результатом разложения в таком случае станет модель сигнала как суперпозиции искомых компонентов.

В процессе работы по созданию алгоритма разделения пиков на основе вейвлет-ана-лиза выяснилось, что вейвлет-анализ для дискретных сигналов не совсем корректен по

отношению к сигналам измерительной техники. Дело в том, что сигналы измерительной техники являются непрерывными, но становятся дискретными в системах цифровой обработки, так как представлены в них линейными массивами оцифрованных мгновенных значений. Разрешить сложившуюся ситуацию удалось модификацией вейвлет-преобразования для соответствия условиям задачи.

Вейвлет-преобразование состоит из совокупности скалярных произведений сигнала на базисные функции с варьируемой шириной (или частотой, так как частота обратно пропорциональна длительности) и варьируемым положением относительно анализируемого сигнала. Классическим примером базисной функции для вейвлет-преобразования является функция Гаусса и ее производные различного порядка, которые благодаря своей волнообразной форме и называются вейвлетами (от англ. ^аме\ес.х).

Вейвлет-преобразование для дискретных сигналов предполагает обратную зависимость между шириной базисной функции и количеством вариаций расположения данной базисной

функции относительно сигнала. Например, базисная функция с шириной одна вторая от ширины сигнала будет иметь лишь два варианта положения, с шириной одна четвертая от ширины сигнала — четыре положения и т.д. Это обеспечивает минимальное достаточное количество информации о сигнале для его обратной сборки — сумма всей совокупности использованных базисных функций, помноженных на соответствующие им коэффициенты, будет давать первоначальный сигнал. Однако этого недостаточно для точного анализа сигнала. Ограниченность вариаций по координате приводит к неточности соответствия синтезированных пиков и возможных реальных пиков, которые содержатся в сигнале. В итоге максимальная величина скалярного произведения, которая бы могла служить показателем наличия в сигнале пика определенной величины, формы и расположения, «размазывается» между скалярными произведениями близких по координате пиков с различной шириной.

Избавиться от этой особенности удалось при помощи использования независимой от ширины пика вариации его расположения — по аналогии с вейвлет-преобразова-нием для непрерывных сигналов. Однако возникли трудности с определением формы пиков исходного сигнала — скалярное произведение мало зависело от формы пика, но напрямую зависело от его площади. Частично решить проблему соответствия формы удалось введением дополнительного множителя — косинуса разности между углом наклона базисной функции и углом наклона сигнала, а также вейвлет-анализом для производных первого, второго и третьего порядка от исходного сигнала.

Ниже приведены результаты использования разработанного алгоритма (рис. 2, 3). На рис. 2 показано, что по мере увеличения ширины базисной функции реакция на широкие выбросы исходного сигнала (слева) возрастает и затем незначительно убывает, в то время как реакция на узкие выбросы (справа) стремительно убывает.

На рис. 3 видно, что выбросы, которые трудно различимы на вейвлет-преобразовании исходного сигнала, удалось разрешить на вейвлет-преобразовании от первой производной сигнала.

Таким образом, удалось создать алгоритм обработки, позволяющий производить декомпозицию сигнала на отдельные выбросы, используя всевозможные способы вариаций параметров базисных функций. И хотя подобные алгоритмы уже существуют и успешно применяются [3], есть круг задач, для решения которых методы на основе вейвлет-преобразования еще не освоены. К таким задачам, например, относится анализ сигналов в инверсионной вольтамперометрии, для которого и разрабатывается описанный алгоритм.

Однако по-прежнему остаются нереализованными многие возможности. Например, на основе данных предварительных исследований большой интерес представляют алгоритмы параллельного сравнения производных исследуемого сигнала и производных базисных функций различных порядков, позволяющие создать интегральную картину корреляции между

1

2 с

3 с

4 с

5 с

6 с

с Рис. 1 — Пример базисных функций для вейвлет-анализа: 0 — функция Гаусса; 1,2,3,4,5 — производные функции Гаусса соответствующих порядков

Рис. 2 — Тестовый сигнал и результат его анализа в виде поверхности: Х — координата центра пика; Ч — ширина пика; Ъ — величина скалярного произведения исходного сигнала и пика с текущими параметрами

Рис. 3 — Сигнал и результаты его вейвлет-анализа: 1 — исходный сигнал; 2 — вейвлет-преобразование для исходного сигнала; 3 — вейвлет-преобразование для первой производной сигнала

сигналом и пиками с различными параметрами, а также алгоритмы, сравнивающие между собой разложения с использованием различных по форме базисных функций.

1

2

3

Литература

1. Гольденберг Л.М. Цифровая обработка сигналов : справочник / Л.М. Гольденберг [и др.]. — М. : Радио и связь, 1985. — 312 с.

2. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: Основы теории и примеры применения / Н.М. Астафьева // Успехи физических наук. - 1996. - Т.166, № 11. - С. 1145-1170.

3 Теория и практика вейвлет-преобразования [Электронный ресурс] : интернет-страница АВТЭКС. - СПб. : [б.и.], [2006]. - Режим доступа : http://www.autex.spb.ru/wavelet/.