Об определении перемещения точек границы упругого полупространства при равномерном нагружении прямоугольной области

Об определении перемещения точек границы упругого полупространства при равномерном нагружении прямоугольной области

Казей И. С.

Казей Игорь Сергеевич /Kazei Igor Sergeevich - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики, факультет фундаментальных наук,

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего профессионального образования

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, г. Москва

Аннотация: в статье предложен способ вычисления перемещений точек равномерно нагруженной прямоугольной области, лежащей на границе упругого полупространства. Получены точные формулы для перемещения внутренних точек прямоугольника и построена функция влияния.

Abstract: this paper proposes a method of calculating the displacements of points uniformly loaded rectangular area, which lies on the boundary of an elastic half-space. Also considered a special case of the displacements for the internal points of the rectangle under the action of a single force, on the basis of which the constructed function of influence.

Ключевые слова: прямоугольная область, упругое полупространство, равномерное нагружение, функция влияния.

Keywords: rectangular area, elastic half-space, uniform load, functions of influence.

Опираясь на работу А. И. Лурье [1, стр. 102], рассмотрим алгоритм вычисления вертикального перемещения W точек равномерно загруженной прямоугольной области. Подобный способ применим и для точек вне загруженного прямоугольника. Для внутренних точек прямоугольника получим формулу для определения осадки плоскости основания в произвольной его точке. Пусть равномерное нагружение прямоугольной области имеет интенсивность p. Расположим начало координат в центре прямоугольника и направим оси x и y параллельно его сторонам, как это показано на Рис.1.

Для того чтобы найти перемещение W в точке С(X, у), поместим её, например, в первый квадрант системы координат с осями параллельными сторонам прямоугольника (d = 2a = L / m, b0 = 2b) и

началом в его центре. Соединим С

перпендикуляры на каждую из его сторон. В результате, рассматриваемая прямоугольная область разделится на восемь прямоугольных треугольников пронумерованных так, как показано на Рис. 1.

В каждом треугольнике естественным образом острые углы и высоты при вершине C (X, у) получают наименования Я, и h (i - 1....,8):

К = z acb2 , к = zbca , К = z Асвз, К = zBCA; h = h = cb4 , h = h = cb1 , к = h = cb2 , к = к = cb3 .

Перемещение точек основания в перпендикулярном к плоскости рисунка направлении (Рис. 1) определяется формулой:

m — 1 8

w

2n mG ,=i

д/,ч 1, 1 + sin К ..

Л(К) = - ln

2 1 — sin К

i

где m - число Пуассона, G - модуль сдвига,

По Рис. 1 и с учетом принятых обозначений находим

h = h = a — x = a(1 — f) = ay, h2 = h = b — y = b(1 — ц) = bsx, h4 = h = a + x = a(1 + f ) = ay, h6 = h7 = b + y = b(1 + ц) = bs2, где yx = 1 — f, y2= 1 + f, s1 = 1 — ц, r2 = 1 + ц, f = x / a, Ц = y / b. Снова обращаясь к Рис. 1, найдем при (X = b / a, что

sin К

К

bs,

as,

л1К + К JaW+Щ У+aGf

JYi + a2 Sj2 +as,

.... 1,1 + sin К1 1,

л(К) = -h----г-p = ~ln 1-22 1 — sin К 2 Л y2 +

22 a s

1 = In

as,

yjy2 + a2 Sj2 + asx

Yi

Обозначив aik = -Jy? + a2s2k (i = 1,2, к = 1,2), h •ЛК) = ay In

получим

an + asx

Yi

Совершенно аналогично найдем, что

*

aii + Yi

h2 •Л(К2) = bS1ln h4 •Л(К4) = ay2 ln

as,

a21 + asx

, h • Л(К) = bsx ln 2 a21 +Y2

asx

h •ЛК) = ay ln

a22 + as 2

Y 2 Y 2

К6 •Л(К6) = bs2ln a22 +Y2 , к • Л(К) = b^ ln ai2 + Yi

as2 as2

h8 •Л(К8) = aYi ln

ai2 + as 2

Yi

Прежде чем подставить эти величины в определяющую формулу (1), преобразуем ее к удобному виду. Очевидно, что

r=m—L=1—м=4—^=ZZ, p=2bdp,

2nmG 2nG

f E л

n

1 + By

nE

где po - равнодействующая давления. Тогда формула (1) примет вид

w( x, у) = R ЩУР. •Z к Л(К) = Rp h, Л(К).

2bd i=i d i=i 2b

Полагая po = 1, получим прогиб, вызванный единичной силой:

R 8 1

w = - £—Hi Л(Л) =

d i=i 2b

_R_

2d

71 ln a

a u +asy

7i

+ ln

an + 7

as,

+ s ln

a21 +Г2

as

+ ^ln a

a 21 + as

Г2

+

+ ^ln

a

a22 + aS 2

72

+ s, ln

a22 + 72

as

+ s ln

ai2 + 7l

as

+7l in

a

ai2 +aS2

7l

Далее удобно положить Ь = 7 la, тогда

aik = ayl(7,la)2 + sl = aylt- + s\ = aa*, где aik =y[t2+

В этом случае

2 2 2  s2k.

w =

—

2d

7 ln

an + Sj

+ s ln

an + 7

+ s ln

a21 + t2

+ t2ln

a21 + S1

+

+ 7 ln

a22 + S2 + S2 ln a22 + t2 + S ln a12 + t1 + 7 ln a12 + S2

7 S2 S2 t1

Для точек, расположенных на оси х имеем:

7 = 0, г/ = 0, si = S2 =1 alk =ylt2 +1

Следовательно,

R

a .

1

w =

2d

7 ln

a+1

t

+ln a + 7 + ln a2 + 7 + 7 ln

a2 +1

+

+12ln

a2 + 1

7

+ln a + 7 + ln a + 7 + 7 ln

a +1

t

Приведя подобные и используя свойства логарифмов, получим:

R

w = — d

a +1 a +1

7 ln + t2ln + ln

t1 12

.

С учетом того, что a + 7 > 0 и a + 7 > 0 имеем формулу для перемещений для точек, расположенных на оси х внутри прямоугольной области:

w=—F=— d d

a +1 a +1

7 ln +12ln + ln

7 t2

В формуле (3) обозначено:

F = t ln

a +1

+12ln

a2 + 1

7

+ ln(a! + t1)(a2 + 12 ) .

Функция F - функция влияния, на основе которой в [2, стр. 6] строится матрица влияния. Вопрос о построении матрицы влияния требует отдельного рассмотрения и в данной статье не затрагивается.

Литература

t

t

S

S

1

1

2

t

2

1. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: ГИТТЛ, 1955. 492 с.

2. Казей И. С. Применение матрицы влияния при расчете балки на упругом основании. // Вестник науки и образования. 2015. № 4 (6). С. 6-8.