Об одном способе приближения области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных систем

6. Hofbauer J. Evolutionary games and population dynamics / J. Hofbauer, K. Sigmund. - Cambridge :

Cambridge University Press, 1998. - 351 p.

7. Kazkurewicz E. Matrix diagonal stability in systems and computation / E. Kazkurewicz, A. Bhaya. -

Boston ; Basel ; Berlin : Birkhauser, 1999.

8. Liberzon D. Basic problems in stability and design of switched systems / D. Liberzon, A. S. Morse //

IEEE Control Systems Magazine. - 1999. - Vol. 19, No. 5. — P. 59-70.

9. Liberzon D. Switching in systems and control / D. Liberzon. - Boston, MA: Birkhauser, 2003. -

243 p.

10. Redheffer R. Solution of the stability problem for a class of generalized Volterra prey-predator systems / R. Redheffer, W. Walter // Journal of Differential Equations. - 1984. - Vol. 52. - P. 245-263.

11. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov's second method / T. Yoshizawa. - Tokyo : The Math. Soc. of Japan, 1966. - 233 p.

IIocmyniLAa 26.10.10.

ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ

ОБЛАСТИ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ

У. П. Зараник, А. П. Жабко

В статье рассмотрена нелинейная стационарная система дифференциально-разностных уравнений с одним запаздыванием. Найдено приближение решения дифференциально-разностной системы решением разностной системы уравнений. На основе полученных оценок построено приближение области асимптотической устойчивости системы с запаздыванием. Предложены способы описания области асимптотической устойчивости дифференциально-разностной системы. Приведен иллюстративный пример. На основе полученных оценок построено приближение области асимптотической устойчивости системы с запаздыванием в функциональном пространстве.

Введение. Для построения области асимптотической устойчивости дифференциально-разностной системы уравнений запаздывающего типа был разработан подход, состоящий из двух этапов. Первый этап заключается в приближении решений диффереициально-разностной системы уравнений решениями разностной системы и оценки близости полученных решений. Второй этап состоит из построения области асимптотической устойчивости разностной системы уравнений и описания приближаемой области асимптотической устойчивости дифференциально-разностной системы,

используя оценки приближения соответствующих решений, полученных на первом этапе.

Рассмотрим дифференциально-разност-ную стационарную систему вида

¿ = /

с начальной функцией Ь £ [—Т;0], где /(ж(£),х(£ — Т)) - непрерывная функция своих аргументов. Будем предполагать, что система (1) имеет нулевое решение /(0,0) = 0 и линейное приближение

у{1) = Ау

экспоненциально устойчиво по Ляпунову.

© У. П. Зараник, А. П. Жабко, 2010

Схема метода Адамса. Предположим, найдено несколько значений х$ в моменты

времени х^ = ж(^), э = = ¿о + 3А.

Требуется получить правило для Х{+1 ~ х(и+г) на следующем шаге.

Интегрируя правую и левую части системы (1) по промежутку [£» ,£»+].], получаем:

х

и

Попытаемся адаптировать алгоритм метода Адамса [1] для построения решения дифференциально-разностных уравнений. Заменив подынтегральную функцию интерполирующим ее многочленом Рк&), будем считать дискретные приближенные значения

1з — 1(хЬхТз) ~ —Т)) известны-

ми. При интерполировании назад из узла и имеем

Рк(Ь) = Рк{и -I- дК) = и + дА/г-1 +

2!

3!

+

9(9+1) ...•(« + *-!) а*

к\

А К1г-к,

а из узла £*+1

Ркф = Рк(и+1 4- дк) = /¿+1 4- дМг +

2!

3!

+

д(д + 1) • (д + к- 1) лк

к\

А /г-Ь+1-

Подставим многочлены Рк{£) в ра-

венство

Жг+1

Хг+1

/ РкфсИ, и

На основании формул (3), (4) получаем два семейства многошаговых методов Адамса.

Рассмотрим первое семейство методов (3). Сделаем замену переменных Ь = и + дН в ин-

и+1

теграле / Рк (Ь)Ш

и

1

/ Рк(Ь)<И = h¡ Рк(и + дк)<1д.

и о

Тогда формула (3) может быть переписа-на в виде

А

£¿+1 = XI + Ык,

где

4

+ дК)(1д

9

4

+ <?3 + <?2) А3/г-з4-

ш3

Зд2)А4Л-4 + ...

о

. А/,-! 5А2/г - 2

/г "Г —Г--Ь

2

12

4- ^А3/г~3 + ^А4Л-4 +

б

720

» •

Ограничиваясь методом Адамса четвертого порядка, получаем

Х{+1

XI + Л (Л + + ¿д2/г-2 + ^Д3/*-з + §5д4/г-4).

г

Сделаем аналогичную замену в (4) получаем равенство и+г+дк и, подставляя выражение Рк(£), где

Хг+1

XI + Ык,

и

Тк = J Рк{и+\ + яЬ^

-1

3 2

6 4

Д2/<-1 +

хД3/<-2 +

1

£ + + + Л»

5 2 3 У

24

Д4/г-3 + ..-

О

/г+1

А/г Д2Я - 1

2

12

-1

1 24

Д3/г-2

19 720

Д4/г-3 4- . .

Следовательно,

Жг+1

г +

1 -2/ 1 лЗ

Можно заметить, что первое семейство методов (5) является явным, а второе (6) -неявным.

Основные утверждения и свойства области асимптотической устойчивости.

Предположим, что правые части уравнений к+1 раз непрерывно дифференцируемые функции. Тогда ошибка на шаге составляет

Як

(А; 4- 1)!

ф

д(д+1)х--х(д+к)к

1

Таким образом, локальная погрешность метода, вычисляемая по формуле 1

к f Я,к{х1 + дк)йд, составляет величину по-о

рядка 0(кк+2), а глобальная - 0(кк+г). Величина погрешности для второго метода

В*{х)

О) (к-1)!

д(д+1)х--х(д+к)к

к-1

Следовательно, справедливо следующее

утверждение.

Утверждение. Локальная погрешность

и 0(кк) соответственно.

Рассмотрим семейство разностных уравнений

У(Ь + Ы) = у(г)+

Линейное приближение системы (7) экспоненциально устойчиво, т. е. справедливо предельное соотношение

ун(г, (р) #(£, <р) при к -> 0, ге [0; Г], где уи{Ь,ф) ~ решение системы (7) при £ > 0.

19 720

А

Л-») .

Лемма 1. Для любого 0 < к < ко существует ко такое, что линейное приближение системы (7) является экспоненциально устойчивым по Ляпунову.

Далее будем предполагать, что х{Ь,(р) -решение дифференциально-разностного уравнения с начальной функцией у>(£о + •) и У (О ~ решение разностного уравнения.

Рассмотрим приближение области асимптотической устойчивости разностного Л£ и дифференциально-разностного уравнения

А

В область асимптотической устойчивости разностного уравнения Ае входят кусочно-непрерывные функции с ограниченной пер-

вой производной 1| </?(£) || < 5 > 0, для которых вьшолнено условие у(Ьк) = где Ьк € [—Т;0) - точки разбиения отрезка

[-Т; 0).

Лемма 2. Пусть 6 £ > 0 такое,

что Аеч ф 0. Тогда для любого 6 > 0 существует кг й Я > 0 такое, что справедливо неравенство

1ЫЯ,¥>)||т <<*, 0<к<кг.

6

Доказательство. 3 Я : ||х(£, у>)|| < - при Ь > Я. Тогда \\ун(Я, <р)\\< \\уь(Я, у>) - *(Я, <р)\\+

Если Ккк + 2^ < то ||ун(Н, <р)\\ < 6.

Теорема. V е > 0, Зк2 > 0 такое, что 0 < к < /12 справедливо включение,

Хс/

Доказательство. V 0 < h < ho система (3) экспоненциально устойчива, следовательно 3 р > 0 такое, что

{<Р = Ml <p}CAh

По лемме 2 6 = р, h2 = min{/io, /11}, следовательно ||уь(Д,уО||т < р при vh{rj<p) е

Рассмотрим свойства области асимптотической устойчивости дифференциально-

разностного уравнения л :

1. Положительная инвариантность €

6 Л => у?) определено при £ > 0 и

(р) -> 0 при £ —> +оо.

2. Л - открытое множество.

3. л - связное множество V^ и <р G А=> 3 <px(t) еС([-Т; 0)) при Л Е [0; 1] такая, что </?а(£) 6 Д при Л € [0; 1], <po(t) = (p(t) и ^i(t) = ip(t).

Методы описания области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных систем.

Так как область асимптотической устойчивости содержится в некотором функциональным пространстве, то возникает проблема ее описания в этом пространстве. Предложим некоторые способы описания области асимптотической устойчивости:

1. Сечение области асимптотической устойчивости при t = 0.

2. Сечение области асимптотической устойчивости при t = —Т.

3. Огибающая области асимптотической устойчивости:

{(з/ьУг, —, Уп) | Уз = трах \<pa(t)\, s = 1 ,n}.

t€(-T; 0]

4. Пространство среднеквадратичных

о

значений <^2,• </>п) | <ps

-т

5. Эмиттанс p(t

где

D

= у? 6 .А, <£*(£) = 5 = 1, п.

Пример. Рассмотрим реактор, состоящий из двух активных зон [2]. Будем считать, что реактивность в 1-й и 2-й активных зонах реактора зависит только от уровня мощности

в этой зоне. Уравнения динамики имеют следующий вид

I

dx 1 ~dt

i/xi(*)[! + xi(t)] -axi(t)+

I

dx 2 dt

+ax2{t~T), vx2(t)[l + x2(t)] -ax2(t)+ +axi(t-T),

где I - время жизни нейтронов; а - коэффициент, характеризующий связь между 1-й и 2-й активной зонами; и = х^, где х ~ величина отрицательного мощностного коэффициента реактивности; N - мощность; Т - время запаздывания (у > О, I > 0, а > О, Т > 0). Исследуем данную систему уравнений на устойчивость двумя различными способами.

Первый способ заключается в аналитическом исследовании корней квазиполинома линейной части рассматриваемой системы, который имеет вид:

2 1ХТ

ос е

Получаем следующий результат: при а > имеем абсолютную устойчивость, при а <

устойчивость для Т £ [0,Т), где

0 0

Т

1(-2(р + 2тг) 2yJ-v(v 4- 2a)'

где (р

J-v{y + 2a) \ 1

arctan I —- и а < --v.

а + i/ I ~ 2

Второй способ заключается в построении области асимптотической устойчивости системы с запаздыванием с помощью вышеизложенного метода Адамса в среде МАТЬАВ. Построение графиков и их анализ подтверждают существование зависимости области асимптотической устойчивости от параметров системы.

Построение графиков и их анализ показывают, что существует зависимость области асимптотической устойчивости от параметров системы Т, а, и, I. Так на рис. 1 продемонстрирована зависимость а — и.

Рис. 1. Зависимость параметров системы а--v

Результаты первого и второго способа согласуются между собой и уточняют данные, полученные в [2], где показано, что область асимптотической устойчивости имеет следующий вид:

^(О)2 + ж2(0)2 < л/2, который не зависит от параметров системы.

На рис 2. изображено сечение области 'асимптотической устойчивости системы (8), где множество В - проекция области асимптотической устойчивости дифференциально-разностного уравнения без ограничения на производную и множество С — проекция области асимптотической устойчивости дифференциально-разностного уравнения с

9

ограничением на производную : ||у>(£)|| = 1,

ш

600L

500'

-400

bcgn riBtf ПгнХоо, Oftytfivt "T

Г4

£

* 300

с

зро m

V pg

ж

ж

ш

Рис. 2. Сечение области асимптотической устойчивости при t = —Т

На рис. 3 представлена огибаю- начальной функции (p(t) в точке щая области асимптотической устойчивости, t = —Т. Множества точек В и С опре-по осям Xi (— Т), Хг (—Т) - координаты деляются также ip (t).

T5D

100

50

Р

-50

•100

begin mrtal fif>c0on. denvibve

• •

В

I

• I

• «

• , » . • , - . j • * .* .-••

• • • ч V • • I

• * •

• в

^ч

• V Г* . ШЕШ ч • "

. • . -г-v. : i4'. v: • « v • •

• ' •W ft »i • !'•»•.

;. - - x .* • .. . . • i

« л vV- • •

* V v„v •• i Лг "*. г *p / . • • ; •

V 1 • V rV •>. •

. . . tr * •• .. . . _ 1 j'* • ; / • • • • 9 t

•:.•• •.• V:' .: V • ... к-* - ч » •• :

• /* • e . . . • • • ч • •

• « » — •  • < • • • • ^ a.

-lISXL

-iQ-

JJOfl.

-LiA

Puc. 5. Огибающая области асимптотической устойчивости

На рис. 4 изображен эмиттанс, который показывает распределение плотности точек на поверхности области асимптотической

устойчивости. Чем светлее поверхность, тем больше плотность точек, которые принадлежат области асимптотической устойчивости.

# • •

д "епй" Х,

"ёпсГ

09

К-ХуНО 8

{'¿/".•У.

у.-ьу.

Г- о 'у » . ..ф .

яж

0.6

05

04

03

0.2

,0 1

Рис. 3. Эмиттанс

Второй способ построения области асимптотической устойчивости был реализован в среде МАТЬАВ. Таким образом, подтвердился результат, полученный при аналитическом исследовании квазиполинома системы. Приведенные способы

описания области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных систем в функциональном пространстве дают более полную картину для исследования системы дифференциально-разностных уравнений.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. - М. Наука, 1987. - 600 с.

2. Горяченко В. Д. Методы теории устойчивости в динамике ядерных реакторов / В. Д. Горя-ченко. - М. : Атомиздат, 1971. - 264 с.

Поступила 28.10.10.