Скорость и эффективная теплопроводность суспензии при термокапиллярном дрейфе

мы, использование которой позволяет формализовать процесс калибровки, содержащий многократные переустановки и выставки системы, путем описания соответствующей задачи оценивания стандартным образом. На базе "телескопической" системы предложен новый алгоритм оценивания параметров задачи, основанный на фильтре Калмана; точность этого алгоритма превосходит точность исходного. Разработанная математическая формализация привносит методическую ясность в задачу калибровки и может быть применена как для модификации рассмотренных алгоритмов, так и для исследования других алгоритмов стендовой калибровки.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 11-08-00004-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Браславский Д.А., Поликовский Е.Ф., Якубович А.М. Метод калибровки трехосного блока акселерометров. Заявка на изобретение № 2422425/23 с приоритетом от 24 ноября 1976 г.

2. Бобрик Г.И., Матасов А.И. Оптимальное гарантирующее оценивание параметров блока ньютонометров // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 1993. № 5. 8-14.

3. Гусинский В.З., Лесючевский В.М., Литманович Ю.А., Столбов А.А. Алгоритм калибровки трехосного блока акселерометров, предназначенного для использования в БИНС // Гироскопия и навигация. 2000. 4 (31). 86.

4. Ермаков В.С., Дунаев Д.А., Широков А.А. и др. Калибровка бесплатформенных инерциальных систем навигации и ориентации // Вестн. Перм. гос. техн. ун-та. Аэрокосмическая техника. 2004. № 18. 25-30.

5. Парусников Н.А., Тихомиров В.В., Трубников С.А. Определение инструментальных погрешностей инерциаль-ной навигационной системы на неподвижном основании // Фунд. и прикл. матем. 2005. 11, № 7. 159-166.

6. Syed Z. F., Aggarwal P., Goodall C., Niu X., El-Sheimy N. A new multi-position calibration method for MEMS inertial navigation systems // Measurement Sci. and Technol. 2007. 18. 1897-1907.

7. Измайлов Е.А., Лепе С.Н., Молчанов А.В., Поликовский Е.Ф. Скалярный способ калибровки и балансировки бесплатформенных инерциальных навигационных систем // Сб. мат-лов Юбилейной XV Санкт-Петербург. конф. по интегрированным навигационным системам. СПб.: Изд-во ЦНИИ "Электроприбор", 2008. 145-154.

8. Голован А.А., Парусников Н.А. Математические основы навигационных систем. Ч. II: Приложения методов оптимального оценивания к задачам навигации. М.: Изд-во МГУ, 2008.

9. Болотин Ю.В., Деревянкин А.В., Матасов А.И. Итерационная схема калибровки блока акселерометров при помощи гарантирующего подхода // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2008. № 3. 48-61.

10. Вавилова Н.Б., Парусников Н.А., Сазонов И.Ю. Калибровка бескарданных навигационных систем при помощи грубых одностепенных стендов // Современные проблемы математики и механики. Прикладные исследования. Т. 1. М.: Изд-во МГУ, 2009. 212-223.

11. Парусников Н.А. Задача калибровки бескарданной инерциальной навигационной системы // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2009. № 4. 3-9.

12. Деревянкин А.В., Матасов А.И. Методика калибровки блока акселерометров при грубой информации о его угловом положении. 2-е изд. М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2010.

13. Сазонов И.Ю., Шаймарданов И.Х. Калибровка бесплатформенной инерциальной навигационной системы на микромеханических датчиках акселерометров и гироскопов // Вопросы оборонной техники. Сер. 9: Специальные системы управления, следящие приводы и их элементы. 2010. 3 (244)-4 (245). 73-82.

14. Голован А.А., Парусников Н.А. Математические основы навигационных систем. Ч. I: Математические модели инерциальной навигации. 3-е изд. М.: Изд-во МГУ, 2011.

Поступила в редакцию 18.04.2011

УДК 536.25:537.36:538.4

СКОРОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ СУСПЕНЗИИ ПРИ ТЕРМОКАПИЛЛЯРНОМ ДРЕЙФЕ

Е. В. Тимохин1

Рассматривается термокапиллярный дрейф однородной суспензии сферических капель с постоянными свойствами несущей и внутрикапельной жидкости. Получены формулы для скорости дрейфа и эффективной теплопроводностисуспензии.

1 Тимохин Евгений Владимирович — асп. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tjenia@mail.ru.

Ключевые слова: термокапиллярный дрейф, эффективная теплопроводность, суспензия.

The homogeneous suspension thermocapillary drift of spherical drops with the constant properties of a carrier fluid and the fluid inside the drops is considered. Several formulas are obtained for the drift velocity and the effective thermal conductivity of the suspension.

Key words: thermocapillary drift, effective thermal conductivity, suspension.

Введение. Существуют различные подходы к решению задач о расчете скорости осаждения суспензии, скорости движения жидкости через пористые среды и эффективной теплопроводности Ле для композитных сред с разной структурой, но неподвижными фазами. В данной работе избран подход, заключающийся в совместном решении задачи о самодвижении (термокапиллярном дрейфе (ТКД)) суспензии капель с переменным поверхностным натяжением, зависящим от температуры границы раздела, и задачи о расчете Ле этой суспензии с учетом относительного движения фаз. Следует отметить, что задача о ТКД суспензии не сводится к внешне аналогичным задачам об осаждении или фильтрации жидкости через неподвижный твердый скелет [1-3]. При ТКД капель не существует внешней силы, действующей на капли, в отличие от других указанных процессов. За счет ее отсутствия реализуется потенциальный поток в вязкой среде, как в идеальной жидкости [4], что делает невозможным прямое аналитическое сравнение выражений для скорости осаждения и фильтрации с выражением для скорости ТКД той же суспензии.

Задача о ТКД для одиночной сферической капли в вязкой жидкости решена в [4-6], где получены выражения для полей скорости u, давления p и температуры T. По ним можно построить модель однородной суспензии сферических капель, помещенной в аналогичное одиночной капле поле постоянного градиента температуры. Детали метода построения суспензии, выбранного в настоящей работе, изложены в работах его создателей — А.М. Головина и Е.В. Чижова [1, 7-9]. Результаты, получаемые этим методом, хорошо согласуются с известными результатами исследования суспензии сферических частиц [3]. При объемной концентрации частиц c < 0,2 метод дает значения, отличающиеся от последних менее чем на 20%, что лежит в пределах оцененной в [3] погрешности.

Постановка задачи. В жидкость с коэффициентами кинематической вязкости л и теплопроводности Л помещены малые сферические капли радиуса a другой жидкости с соответствующими характеристиками ¡Л, Л'. Если на бесконечности имеется постоянный градиент температуры VT = A, то на поверхности капель возникают локальные изменения поверхностного натяжения y вследствие его линейной зависимости от температуры T [10]. Это вынуждает элементы жидкости в области поверхности испытать "толчок" от меньшего поверхностного натяжения к большему. По сути, возникает тангенциальная сила на единицу поверхности, называемая термокапиллярным напряжением, поскольку она зарождается из градиента температуры и капиллярных эффектов [4-6, 11]. Далее под действием напряжения жидкость около поверхности капель приходит в движение. Напряжение, передаваемое жидкости от капли, не могла бы вызвать какая-либо внешняя сила, действующая на каплю. Поскольку капля воздействует на жидкость, то и жидкость воздействует на каплю напряжением, равным по величине и противоположным по направлению. В результате капля начинает движение в направлении силы реакции. В связи с тем что поверхностное натяжение y во многих системах понижается с ростом T [10], наблюдается движение капель из менее нагретой области в более нагретую. Так как в абсолютной системе отсчета скорость жидкости в каждой точке пространства меняется со временем, то процесс не является стационарным и для него требуются соответствующие уравнения. Скорость каждой частицы — случайная величина, среднее значение которой и есть искомая скорость ТКД суспензии U.

Дальнейшее рассмотрение задачи о скорости осаждения разбивается на два этапа. На первом этапе, согласно [1, 8], задача о системе капель заменяется задачей обтекания пробной частицы радиуса a жидкостью, содержащей распределенные точечные силовые мультиполи, имитирующие прочие частицы. Исследование на этом этапе проводится в системе отсчета, связанной с центром пробной капли. В ней капля покоится, а на нее натекает поток жидкости в системе точечных частиц. Скорость жидкости в этой системе отсчета в каждой точке пространства будет постоянной, что позволяет считать процесс стационарным и рассматривать стационарные уравнения. На втором этапе осуществляется переход от системы точечных мультиполей, окружающих пробную частицу, к системе частиц конечного радиуса. Скорость ТКД суспензии определяется относительно системы отсчета, в которой среднеобъемная скорость равна нулю.

На первом этапе за основу берутся стационарные уравнения движения несжимаемой жидкости в приближении Стокса [11, 12] и уравнение теплопроводности при малых числах Пекле (чтобы в первом приближении можно было пренебречь конвективным переносом тепла) [4-6], что приводит к уравнению

Лапласа для температур. Влияние внешних сил и моментов на капли не учитывается. Предполагается осевая симметрия относительно оси, проходящей через центр пробной капли параллельно градиенту температуры. Обозначим через Ue скорость потока, натекающего на пробную частицу. Она равна по величине и противоположна по направлению скорости ТКД в системе точечных частиц.

С помощью аппарата обобщенных функций и путем осреднения бинарной коррелятивной функцией по ансамблю возможных конфигураций [1, 8] уравнений для ТКД одиночной капли [4-6] получается система уравнений для осредненных величин скорости (u), давления (p) и температуры (T) внутри и вне пробной капли:

r< 1: A(u') = V(p'), div(u') =0, A(T') = 0;

1 <r< 2: A(u) = V(p), div(u) = 0, A(T) = 0;

r > 2 : rot rot(u*) + V(p*) = 6cAig(r)k, div(u*) = -3cL>i ^(k-n),

V(T*) = 3c/3^(k-n), dr

где для переменных величин выбраны следующие размерности: [г] = a, [u] = Uei [р] = [Т] = Аа.

Граничные условия в центре пробной капли, на ее поверхности, на границе разрыва r = 2 бинарной коррелятивной функции g(r), учитывающей неточечность частиц [9], и на бесконечности имеют следующий вид:

r — 0: \V(T')\ < ж, ju'j < то, \V(p')\ < ж;

r = 1: (Т) = (Т'), ^ = (иг) = (и'г), (ив) = (и'в),

(Prr) - /J.*(p'rr) = -2Ма((Г) +7о), (Ргв) - 1л*(р'гв) = Ма r = 2: (u*) = (щ), rot(u*) = rot(u) = 0, (p*) = (p), (u*) - (ur) = -3cDig(2)(k • n), {T*) = (T), ^-^=3C/%(2)(k.n);

r -ж: (u*) = k, V(T*) = (1 + 3св)k, k = er cos в - ee sin в.

Уравнения и граничные условия выписаны в безразмерных переменных и в сферической системе координат (r, в, ф) для системы отсчета, связанной с центром пробной капли, с учетом осевой симметрии вдоль градиента температуры и безразмерной скорости натекающего потока k.

Введены обозначения: ц* = ц'/ц, А* = А'/А, Ma = —AaY/ fUe — число Марангони, j = dj/dT = const. Остальные обозначения являются общепринятыми [11, 12]. Коэффициенты Ai, Di и в, зависящие от с, неизвестны и подлежат определению в результате полного решения поставленной задачи. Их появление обусловлено основным допущением метода А.М. Головина и В.Е. Чижова [8]. Предполагается, что поля скорости, давления и температуры в окрестности пробной частицы имеют тот же вид, что и соответствующие поля для случая одиночной капли. Для последней поля скорости и давления определяются видом гидродинамической функции тока Стокса [1, 12]

Ф = ^А4г4 + А2г2 + Air + sin2 в, ( в \

а распределение температуры имеет вид [8] Т = ( ar -\—^ J cos в.

Результаты. Интегральным результатом полного решения поставленной задачи является выражение для скорости ТКД Ue суспензии точечных частиц. После осуществлен переход к системе частиц конечного радиуса и вычислена скорость дрейфа капель конечного размера:

2AaY ( 22 + 17А*

U =--7~--:—гтт--—г 1-е

^(2 + А*)(2 + 3^*) \ 4 + 2А*

Поскольку во многих системах 7 < 0 [10], то имеет место одинаковое направление скорости ТКД и и градиента температуры А, что говорит о том, что движение капель происходит из менее нагретой области в более нагретую.

После определения эффективной теплопроводности Ле суспензии как коэффициента пропорциональности между среднеобъемными потоком тепла и градиентом температуры было найдено выражение для эффективной проводимости суспензий:

Л(а* - с(а + в)) + Л'са' / о Л - 5/3 Ле = —-;--г-:- ~ Л 1 + ЗС

а* - с(а + /3) + са' \ Л* + 2

где последнее равенство есть линейное приближение формулы по объемной концентрации с.

Следует отметить, что полученное значение Ле отличается от соответствующего значения работы [8] из-за учета эффекта осредненного поля на бесконечности, при котором капли вносят тепловой вклад во внешний градиент температуры. Установленной возможностью решать тепловую часть задачи отдельно от гидродинамической объясняется совпадение результатов без рассмотрения дополнительного эффекта. Такая же возможность отмечалась и для ТКД одиночной капли [5]. Можно заключить, что подвижность суспензии не влияет на коэффициент эффективной теплопроводности в первом приближении по числу Пекле.

Форма, в которой учитывается тепловой вклад от капель, получена в задаче, описывающей внешне аналогичный процесс электрокапиллярного дрейфа однородной суспензии сферических капель [13]. В этой работе результат получен на основе вклада во внешнее электрическое поле поляризации среды.

Приведем выражения для U и Ле/Л, полученные для объемной концентрации капель с < 0,2, в случае, когда несущая фаза является водой, а вкрапления частиц — пузырьками воздуха, теплопроводность которых много меньше теплопроводности воды (Л* ^ 1), и f* ^ 1:

Сравнивая значение Ле с результатом работы [8], можно заключить, что учет теплового вклада капель ведет к уменьшению коэффициента эффективной теплопроводности относительно теплопроводности несущей фазы Л на величину 2с/(2 + Л*). Таким образом, когда Л* ^ 1, величина Ле/Л будет на с меньше, чем было бы без учета соответствующего эффекта.

Результаты работы анонсированы в тезисах докладов ряда международных конференций [14-16].

Автор выражает благодарность В.Л. Натяганову за постановку задачи и А.М. Головину за полезные обсуждения.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 08-08-00712.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Головин А.М., Чижов В.Е. К расчету скорости осаждения однородной суспензии // Прикл. матем. и механ. 1978. 42, вып. 1. 105-113.

2. Batchelor G.K. Sedimentation in a dilute dispersion of spheres //J. Fluid Mech. 1972. 52, N 2. 245-268.

3. Механика. Новое в зарубежной науке. Т. 22: Гидродинамическое взаимодействие частиц в суспензиях. М.: Мир, 1980.

4. Братухин Ю.К. Термокапиллярный дрейф капельки вязкой жидкости // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1975. № 5. 156-161.

5. Натяганов В.Л., Суворов А.А., Тимохин Е.В., Чайка А.А. Электротепловая аналогия в задачах термо- и электрокапиллярного дрейфа жидких капель // Сб. докл. IX Междунар. науч. конф. "Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей". СПб.: СОЛО, 2009. 135-138.

6. Натяганов В.Л., Суворов А.А., Тимохин Е.В. Аналогия в задачах термо- и электрокапиллярного дрейфа жидких капель // Тез. докл. Всерос. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды", посвященной памяти акад. Л.И. Седова в связи со столетием со дня его рождения. М.: НИИ механики МГУ, 2007. 128-130.

7. Чижов В.Е. Об эффективной вязкости суспензии сферических капель // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1976. № 4. 67-74.

8. Головин А.М., Чижов В.Е. Об эффективной теплопроводности суспензий // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1978. № 1. 89-94.

9. Головин А.М., Чижов В.Е. К расчету бинарной коррелятивной функции в двухфазной системе // Прикл. матем. и механ. 1977. 41, вып. 6. 1138-1144.

10. Subramanian R.S., Balasubramanian R. The Motion of Bubbles and Drops in Reduced Gravity. Cambridge: Cambridge University Press, 2001.

11. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физматгиз, 1959.

12. Слезкин Н.А. Динамика вязкой жидкости. М.: Физматгиз, 1955.

13. Натяганов В.Л., Орешина И.В. Электрогидродинамика монодисперсных эмульсий. Ч. 1, 2 // Коллоид. журн. 2000. 62. 90-100.

14. Тимохин Е.В. Обобщение формул Максвелла и Эйнштейна для эффективных характеристик суспензий сферических капель при термокапиллярном движении // Мат-лы Междунар. конф. "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ акад. В.А. Садовничего. М.: Университетская книга, 2009. 303.

15. Натяганов В.Л, Тимохин Е.В., Чайка А.А. Эффективные характеристики суспензий сферических капель с переменным поверхностным натяжением // Тез. докл. Междунар. конф. "Современные проблемы газовой и волновой динамики", посвященной памяти акад. Х.А. Рахматулина в связи со 100-летием со дня его рождения. М.: МГУ, 2009. 76-77.

16. Тимохин Е.В., Чайка А.А. Электротепловая аналогия в задачах расчета эффективных характеристик для суспензий сферических капель с переменным поверхностным натяжением // Мат-лы 9-й Междунар. школы-семинара "Модели и методы аэродинамики". М.: МЦНМО, 2009. 156-157.

Поступила в редакцию 16.05.2011