Система компьютерной математики Maple как средство повышения эффективности обучения по квантовой теории

— Физика —

УДК 53:372.8

Ю.М. Григорьев, В.И. Михайлова, С.Н. Еремеев, В.И. Сивцев, Б.В. Яковлев, Е.П. Шарин

система компьютерной математики maple как средство Повышения эффективности обучения по квантовой теории

Внедрение в учебный процесс компьютерной техники позволяет существенным образом изменить методику изучения некоторых вопросов физики, связанных с осуществлением громоздких вычислительных процедур. В статье рассматривается решение задач по дисциплине «Квантовая теория» с использованием математического пакета Maple. Показано, что пакет Maple помогает, не вникая в математические тонкости задачи, понять суть сложного физического явления.

Ключевые слова: информационные технологии, система компьютерной математики Maple, волновой пакет, потенциальный барьер.

Введение

Информатизация образования является одним из основных направлений реализации современного образовательного процесса. Умение в полной мере использовать возможности информационных технологий в профессиональной деятельности становится одним из важнейших качеств, и в наибольшей степени это касается подготовки будущих специалистов. В процессе перехода от традиционных методик преподавания к обучению с использованием информационных технологий возникает задача не только поиска эффективных методов формирования профессиональных умений студентов, но и выявления проблемного поля научного изучения информационных средств обучения, оптимальных в отношении организации и результатов дидактического процесса.

Использование систем компьютерной математики (СКМ) при решении физических задач не является новым. Имеется ряд публикаций, в которых рассмотрена возможность применения СКМ для сопровождения различных учебных дисциплин [1, 2, 3, 4]. Для решения физических задач мы используем СКМ Maple, которая относится к достаточно распространенной системе, имеющей мощный математический аппарат, позволяющий

ГРИГОРьЕВ Юрий Михайлович - д.ф.-м.н., профессор ФТИ ЯГУ

E-mail: grigyum2@sitc.ru

МИхЛИЛОВА Валентина Ивановна - старший преподаватель ФТИ ЯГУ

E-mail: mvi-kmpf@mail.ru

ЕРЕМЕЕВ Степан Николаевич - к.ф.-м.н., доцент ФТИ ЯГУ

E-mail: esharin@yandex.ru

СИВЦЕВ Василий Иванович - к.ф.-м.н., доцент ФТИ ЯГУ

E-mail: vasiliy_sivtsev@mail.ru

ЯКОВЛЕВ Борис Васильевич - д.ф.-м.н., профессор ФТИ ЯГУ

E-mail: b-yakovlev@mail.ru

ШАРИН Егор Петрович - к.ф.-м.н., доцент ФТИ ЯГУ

E-mail: esharin@yandex.ru

выполнять символьные вычисления, операции с векторами и матрицами, решать системы алгебраических и дифференциальных уравнений, писать программы, строить графики, поверхности и т.д.

Графические возможности современных СКМ позволяют достигать заметных упрощений при решении сложных физических задач. Сочетание традиционных подходов к их решению с визуализацией подготовительных, промежуточных и результирующих этапов анализа дает студенту дополнительную информацию, способствующую снижению априорной неопределенности и достижению обоснованных результатов. Такой подход иллюстрируется примерами задач из курса «Квантовой теории». В настоящей работе мы рассматриваем две задачи: свободное движение гауссовского волнового пакета и падение частицы на прямоугольный потенциальный барьер.

1. Эволюция гауссовского волнового пакета

Следуя З. Флюгге [5], рассмотрим волновой пакет, локализованный в начальный момент времени t = 0 внутри малой области пространства около точки х = х0. При этом будем считать, что частица движется с импульсом р0 = М0. Этого можно добиться, положив

^ ( x,0) = exp

(x-Х0)2 +Р 0x

2а2 Й

Действительно, в этом случае плотность вероятности найти частицу около точки х = х0

W (x,0) = (x,0)|2 = exp

(x - Х0)2

2a2

отвечает частице, локализованной в области |х0| < а.

Волновую функцию (1.1) можно разложить по плоским волнам

Ю.М. Григорьев, В.И. Михайлова, С.Н. Еремеев, В.И. Сивцев, Б.В. Яковлев, Е.П. Шарин.

СИСТЕМА КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MAPLE КАК СРЕДСТВО ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОБУЧЕНИЯ ПО КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

¥ (x,0) = І C(p)exp(i )dP .

Но этот интеграл есть интеграл Фурье, обращая который получаем

С(р) = 2- |у (ж,0)ехр(-|=

П Іexp

2п

a exp

- — г------------------

2a2

a2(P - Po)2 г (P - Po)xo

- — г---------------

Определив амплитуду С(к) по начальному состоянию при t = 0, мы можем теперь перейти к вычислению волновой функции для любого момента времени:

¥(xt)=^2пй ІC (P)exp

-г

,Et - px Й

dp —

exp

(x - xo) -

2 2ia2 p0 x 2 p0 x0t ip0 a 2t

Й

+

m

Йm

2a 2

ma2

l+

Ш

ma

В этом довольно сложном выражении нетрудно разобраться, снова рассмотрев плотность, но теперь уже для любого момента времени t.

exp

W (x, t) = ¥ (x, t )|2 =-

(x - xo -^)2

m

2Л Й 2t2 a

ma

22

l +

Й 2t m 2a4

a = a

l+fA

Й

t

ma

чисел имеет ширину Ak и 1 / a, то скорости отдельных волн разбросаны в области шириной Av = (й/та).

Ниже приведем решение поставленной задачи с помощью СКМ Maple.

> restart;

> assume(a>0,h>0,m>0,t>0); assume(x, real, p, real, x0, real, p0, real);

> psi_0:=exp(I*p0*x/h-(x-x0)^2/(2*a^2));

> C:=1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-I*p*x/h)*psi_0, x=-infinity.. infinity);

> C:=simplify(C);

> En:=p^2/(2*m);

psi:=1/(sqrt(2*Pi)*h)*int(C*exp(I*(p*x/h-En/

h*t)),p=-infinity..infinity);

> psi:=simplify(psi);

> rho1:=psi*conjugate(psi);

> rho:=simplify(rho1);

> psi3:=eval((rho),{a=10, h=1, m=1,x0=-10,

p0=1,t=0});

> plot(psi3,x=0..1500);

> psi3:=eval((rho),{a=10, h=1, m=1,x0=-10,

p0=1,t=150});

> plot(psi3,x=0..1500,y=0..0.6);

> psi3:=eval((rho),{a=10, h=1, m=1,x0=-10,

p0=1,t=450});

> plot(psi3,x=0..1500,y=0..0.6);

> psi3:=eval((rho),{a=10, h=1, m=1,x0=-10,

p0=1,t=850});

> plot(psi3,x=0..1500,y=0..0.6);

> psi3:=eval((rho),{a=10, h=1, m=1,x0=-10,

p0=1,t=1250});

> plot(psi3,x=0..1500,y=0..0.6);

> psi3:=eval((rho),{a=10, h=1, m=1,x0=-10,

p0=1,t=1500});

> plot(psi3,x=0..1500,y=0..0.6).

На рис. 1 представлены результаты работы програм-

мы.

Как функция координаты х она все еще имеет форму колоколобразной кривой, однако максимум ее теперь сдвинут из точки х = 0 в точку х = (йк0/т). Следовательно, максимум группы волн описываемого соотношением (1.3), перемещается со скоростью у0 = йк0 / т . В то же время знаменатель в экспоненте (1.4) показывает, что ширина волнового пакета увеличилась от значения а при t = 0 до значения

при t = t. Этот эффект легко объяснить исходя из вида спектральной функции (1.2). Так как спектр волновых

'jj

Й

Й

2

Рис. 1. Свободное движение волнового пакета соответственно в моменты времени 150, 450, 850 и 1250 в безразмерных единицах

2. Прохождения частицы через потенциальный барьер

В этом разделе мы рассмотрим пример использования пакета Maple для изучения падения частицы на потенциальный барьер вида (рис. 2):

V (х) =

0, если х < 0 их > a V0, если 0 < х < a

Vo У

1 2 3

Рис. 2. Вид потенциального барьера

Для того, чтобы определить волновые функции, нужно решить стационарное уравнение Шредингера

Ну

где Н - оператор энергии, Е - энергия системы.

Рассмотрим случай, когда Е < V0. Из рисунка видно, что поток частиц, падая на барьер слева направо, проходит три области. Уравнение Шредингера в первой и третьей областях имеет вид:

х < -а и х > а

^2у 13(х) 7 2 / Ч ; 2 2т Т?

, - + ^у 13 (х) = 0, =— Е

dx

й2

Уравнение Шредингера во второй области 0 < х < а

- к2у 2(х) = 0, к22 = 21(уо - Е). ах й

Требование непрерывности волновой функции на

границе областей приводит к следующим граничным

условиям

у 1 (0) = у 2(0); у 2 (а) = у 3 (а);

d z-m d d d

—¥i

dx dx dx dx

Программа решения задачи представлена ниже.

> restart;

> assume(a>0,h>0,m>0,t>0); assume(x, real, p, real, x0, real, p0, real);

> psi_0:=exp(I*p0*x/h-(x-x0)^2/(2*a^2));

ЮМ. Григорьев, В.И. Михайлова, С.Н. Еремеев, В.И. Сивцев, Б.В. Яковлев, Е.П. Шарин.

СИСТЕМА КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MAPLE КАК СРЕДСТВО ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОБУЧЕНИЯ ПО КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

> C:=1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-I*p*x/h)*psi_0, x=-infinity.. infinity);

> C:=simplify(C);

> En:=p^2/(2*m);

> psi:=1/(sqrt(2*Pi)*h)*int(C*exp(I*(p*x/h-En/h*t)), p=-infinity..infinity);

> psi:=simplify(psi);

> rho1:=psi*conjugate(psi);

> rho:=simplify(rho1);

> psi3:=eval((rho),{a=10, h=1, m=1,x0=-10, p0=1});

> with(plots):

> animate(plot, [psi3,x=0..1500],t=0..1500, питроМ&=200).

Для численных расчетов нужно задать значения высоты потенциального барьера У0, его ширины а, величину энергии частицы Е . Примем массу частицы т = 1 и постоянную Планка й = 1. Результат работы программы при V0=2 и а =1 (численные значения даны в безразмерных единицах) показаны на рис. 3, 4, 5.

Рис. 3. Прохождение частицы через потенциальный барьер в момент времени t—30

Рис. 4. Прохождение частицы через потенциальный барьер в момент времени t—900

Рис. 5. Прохождение частицы через потенциальный барьер в момент времени t—300

Заключение

Внедрение в учебный процесс компьютерной техники позволяет существенным образом изменить методику изучения некоторых вопросов физики, связанных с осуществлением громоздких, многократно повторяющихся вычислительных процедур, решением систем дифференциальных уравнений, построением графиков и поверхностей, наглядным представлением результатов решения задачи. Если раньше поведение физической системы разбиралось исключительно аналитически, то теперь появилась возможность применения численных методов компьютерного моделирования, что имеет определенные преимущества.

В настоящей статье приведены лишь два примера использования математического пакета Maple для решения задач по квантовой теории. Примеры использования других СКМ рассмотрены в работах [1, 2].

Современные СКМ позволяют быстро решить сложную систему уравнений, получить график изучаемой

зависимости, построить компьютерную модель исследуемого физического явления. При использовании СКМ повышается интерес студентов к решению задачи, значительно сокращается время на выполнение задания, что позволяет давать более сложные задания и более глубоко изучать физические явления.

Л и т е р а т у р а

1. Поршнев С.В. Компьютерное моделирование физических процессов с использованием пакета MahCAD. - М.: Горячая линия - Телеком, 2002. - 252 с.

2. Поршнев С.В. Компьютерное моделирование физических процессов в пакете Matlab. - М.: Горячая линия - Телеком,

2003. - 592 с.

3. Дьяконов В.П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. - М.: Солон-Пресс, 2006. - 720 с.

4. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple: учебник для вузов. СПб.: Питер,

2004. - 539 с.

5. Флюгге З. Задачи по квантовой механике. Т. 1. - М.: Мир, 1974. - 341 с.

Yu.M. Grigoriev, V.I. Mikhailova, S.N. Yeremeyev, V.I. Sivtsev, B.V Yakovlev, E.P. Sharin

Maple computer mathematics system as a mean of increase of efficiency of education

of the quantum theory

Use of computers in education process allows radical change of methods of study of some Physics aspects associated with lengthy calculations. Problem solving in the discipline “Quantum theory” using Mathematics package Maple is reviewed in the article. It is shown that Maple package helps to understand the essence of complex physical process without going into mathematical details of the problem. Key words: information technology, Maple computer mathematics system, wave package, potential barrier.

------------------------------