Анализ случайных подстановок с ^-запретом

Труды Карельского научного центра РАН № 10. 2015. С. 131-136 DOI: 10.17076/mat247

УДК 519.115:519.2

АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПОДСТАНОВОК С 5-ЗАПРЕТОМ

Н. Ю. Энатская

Национальный исследовательский университет. Высшая школа экономики

Рассматриваются перестановки нижних строк случайных подстановок размера n с запрещенной подпоследовательностью размера s < n. Находится число таких перестановок, производится их перечисление, решается задача нумерации исходов схемы и обсуждается их моделирование.

Ключевые слова: схема перестановок, s-запрет, случайная подстановка, моделирование.

N. Yu. Enatskaya. THE ANALYSIS OF RANDOM PERMUTATIONS WITH S-PROHIBITION

Transpositions of lower lines of random permutanions of size n with forbiden subsequences of size s < n are considered. The number of such transpositions are finded, their enumerations are realized, the numeration problem of outcomes of the scheme is decided and their modelling is considered.

Key words: permutation scheme, s-prohibition, random permutation, modelling.

Введение

Вводится понятие подстановок размера п с з-запретами, когда в их нижних строках запрещена фиксированная подпоследовательность Р3 длины з < п. Такие перестановки тоже будем называть с з-запретами.

Не нарушая общности, будем считать, что запрещенный участок (подпоследовательность) состоит из з подряд идущих старших номеров элементов перестановки: (п — з + 1,п — з + 2,...,п), иначе этого можно достигнуть при соответствующей перенумерации элементов перестановки и полученных в этом предположении результатах по определенным в аннотации направлениям, если произвести обратную перенумерацию элементов.

Число исходов схемы

М = п! —

где (п—з+1)! - число перестановок Р3 со всеми остальными (п — з) элементами.

Все исследования схемы существенно опираются на логику перебора всех исходов схемы перестановок размера п из [1] методом графов (см. [2]), которую для удобства приведем здесь.

Строим случайный процесс поединичного добавления в перестановку элементов с растущими от 1 до п номерами, ставя каждый из них последовательно и случайно относительно каждой имеющейся перестановки на одно из мест: левее левого элемента, между всеми элементами и правее правого и нумеруя слева направо получающиеся на данном шаге процесса перестановки в порядке попадания добавленного элемента. Изобразим описанную процедуру получения всех возможных перестановок фиксированного размера в виде графа переходов из состояния в состояние задан-

ного случайного процесса от шага к шагу, т. е. при росте перестановок на один элемент. Будем обозначать через = (а^ а2,..., а]) г-ое состояние процесса (т. е. г-ую перестановку а1, а2,..., а]) на ]-ом шаге. Тогда граф переходов будет иметь вид:

„V =

Рис. 1. Граф перечисления исходов схемы перестановок

1. Перечисление исходов схемы и их число

Первый способ (для больших значений з). Перечислим по [1] все исходы схем перестановок п! ее элементов и элементов с номерами 1,2,..., п — з + 1, где первые п — з элементов у них совпадает, а последний элемент второй перестановки представляет собой Р,. Далее исключим из первого перебора второй.

Второй способ (для небольших значений з). Произведем прямое перечисление исходов нашей схемы - схемы перестановок с з-запретами. Для этого исключим последний п-ый элемент (заключительный в запретной подпоследовательности). Тогда (п—1)! исходов перестановок из остальных элементов не будут содержать Р3 и будут допустимы как предсо-стояния требуемых перестановок. В [1] решены задачи их перечисления и нумерации. Теперь будем добавлять по процедуре перечисления [1] методом графов номер последнего элемента так, чтобы не получать в перестановках

запретную подпоследовательность Р8. Для перечисления допустимых добавлений последнего элемента нужно разделить предсостояния на два типа: 1-ого типа, содержащие подпоследовательность номеров элементов Р5_1 = (п — з + 1, п + 2,..., п — 1) в перечисленном здесь порядке - их число Мп-1 = (п — з + 1)!, и - второго типа, не содержащие Р5_1 - их число Жп-1 = (п — 1)! — (п — з + 1)! Для предсостояний этих двух типов числа допустимых расстановок последнего элемента разные и, очевидно, равны соответственно п и п — 1. Отсюда общее число требуемых перестановок получается как сумма

М = М1 + М2,

где Мг, г = 1,2 - число требуемых перестановок с г-ым предсостоянием, т. е. М1 = Жп_1(п — 1); М2 = Жп_т, откуда М = (п — з+1)!(п—1)+(п!—(п—з+1)!(п—1) = (п—з+1)!, что совпадает с (1).

Приведем числовой пример прямого перечисления требуемых перестановок.

Пример 1. Пусть п = 5, з = 3, Р = (345). Перечислим все требуемые перестановки вторым способом.

По (1) их число должно быть М = 5! — 3! = 114. К моменту добавления последнего элемента с номером 5 имеем 4! = 24 перестановки номеров 1, 2, 3, 4. По (1) имеем следущие перестановки: (4321), (3421), (3241), (3214), (4231), (2431), (2341), (2314), (4213), (2413), (2143), (2134), (4312), (3412), (3142), (3124), (4132), (1432), (1342), (1324), (4123), (1423), (1243), (1234). Из них к предсостояниям первого типа относятся следующие перестановки: (3421),(2431),(2134),(3412),(1342),(1234) -их з! = 6. Остальные перестановки представляют предсостояния второго типа - их число по (1) есть 4! — 2! = 18. Теперь добавляем элемент с номером 5 к предсостояниям первого типа на все 4 места, кроме последнего, а к предсостояниям второго типа - на все возможные 5 мест. По (2) получаем общее число требуемых перестановок М = 6 4+18-5 = 114, что совпадает с результатом по (1).

В силу большого размера графа перечисления всех исходов нашей схемы (114 исходов) приведем фрагмент графа их перечисления из первых 4-х предсостояний, среди которых второе (3412) - первого типа:

перечисления мы называли предсостояниями 1-ого типа.) Очевидно, что до (п — в + 1)-ого шага включительно все исходы перечисления схемы перестановок являются ПС. Их число - на (п — в + 1)-ом шаге равно (п — в + 1)! Оказывается, что это число ПС наибольшее и остается тем же по мере роста числа шагов, т. е. равно Мп, что совпадает с ранее полученным из других соображений по (1). Это следует из того, что из каждого ПС через любое число шагов, (значит и на п-ом шаге) по дисциплине перечисления исходов схемы перестановки (см. Введение) получается только одно ПС, т. к. запрещенные исходы отличаются друг от друга только взаимным расположением элементов с номерами < (п — в + 1), а их места определяются до (п — в + 1)-ого шага, и местом Рп, которое определяется данным ПС на (п — в + 1)-ом шаге.

Будем находить номера исходов ПС на п-ом шаге рекуррентно пошагово за в шагов из их номеров на предшествующих шагах, начиная со всех, идущих подряд исходов схемы перестановок на (п — в + 1)-ом шаге до п-ого, для чего выразим номера исходов ПС через номера содержащих их пучков и их номера в пучке с учетом логики их пошагового перечисления сверху вниз в схеме перестановок и структуры графа на рис. 1, обозначив на г-ом шаге ¿г = г - размеры пучков, Ж* - номер ПС на г-ом шаге, а 1г - номер ПС в пучке, г = 1,п. Рекуррента для пошаговых номеров ПС:

N+1 = (Ж — 1)г + 1г.

Рис. 2. Фрагмент графа перечисления исходов схемы перестановок на 5-ом шаге

2. Задача нумерации

Будем называть порождающим состоянием (ПС) при перечислении исходов схемы перестановок по мере их поединичного роста такой исход, который может привести или уже привел на п-ом шаге к запретному п-ому состоянию, т. е. исход ПС содержит все элементы с номерами > п — в в том же порядке, что и в Рп. (Выше эти состояния на (п — 1)-ом шаге

Будем находить номера 1г, г = п — в + 1, п ПС в своих пучках:

1) на г = (п—в+1)-ом шаге ПС идут подряд с номерами от 1 до (п — в + 1)!;

2) на (п — в + 2)-ом шаге первое ПС определяется первым ПС на (п — в + 1)-ом шаге, т. е. стоит в первом пучке на втором месте (из логики перечисления исходов схемы перестановок), т. к. номер (п — в + 2) должен в ПС стоять после номера (п — в + 1), который в ПС занимает второе место, а добавление номера (п — в + 2) начинается с первого места;

второе ПС на (п—в+2)-ом шаге определяется вторым ПС на (п — в + 1)-ом шаге и произойдет во втором пучке на 3-ем месте по причине, аналогичной приведенной для первого пучка, т. е. через число номеров 1 + йп-8+1 = п — в + 3; тенденция, описанная выше на (п — в + 2)-ом шаге, сохраняется до тех пор, пока ПС не оказывается последним в пучке, т. е. (п — в + 2) — 1 раз, т. к. началось со второго места в первом пучке, после чего места ПС для следующих

133

пучков повторяют описанные выше до последнего пучка;

3) на (п — з + 3)-ем шаге все повторяется с заменой номера шага и размера пучков на единицу большими и т. д. до п-ого шага, где, очевидно, последний исход схемы перестановок вида (1, 2,..., п) является ПС.

При = г по (3) для каждого ПС из (п — з + 1)! значений последовательно определяем их номера по шагам перечисления от (п — з + 1) -ого до п-ого, т. е. окончательно имеем номера ПС на последнем п-ом шаге

N * = (жП1),...,жП(п_'+1)!)).

Теперь, исключив из п! номеров всех исходов схемы перестановок размера п номера исходов ПС на п-ом шаге, получим все возможные номера исходов нашей схемы с з-запретами, а т. к. задача нумерации для схемы перестановок решена в [1], то между этими номерами и их видом установлено требуемое взаимно-однозначное соответствие, в чем и состоит задача нумерации для нашей схемы.

Таким образом, получено рекуррентно-алгоритмическое решение задачи нумерации исходов схемы с з запретами.

Кратко повторим шаги АЛГОРИТМА пошагового вычисления номеров ПС:

а) на (п — з + 1)-ом шаге выписываем все подряд идущие номера исходов ПС;

б) последовательно с (п — з + 2)-ого до п-ого шага, предварительно определив номера ПС в пучках, по (3) находим их номера.

Приведем числовой пример нахождения номеров ПС на последнем шаге перечисления всех исходов схемы перестановок размера п.

Пример 2. Пусть п = 5, з = 3, откуда считаем Р, = 345. Найти номера ПС на 5-ом

Таблица 2

(последнем) шаге перечисления исходов схемы перестановок, размера 5.

Вычисления по АЛГОРИТМУ: п — з + 1 = 3, 3! = 6, из них исходы ПС имеют номера: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

п — з + 2 = 4, 4! = 24, из них исходы ПС имеют по (3) номера: (1 — 1)4 + 2 = 2; (2 — 1)4 + 3 = 7; (3 — 1)4 + 4 = 12; (4 — 1)4 + 2 = 14; (5 — 1)4 + 3 = 19; (6 — 1)4 + 4 = 24;

п — з + 3 = 5, 5! = 120, из них исходы ПС имеют по (3) номера: (2 — 1)5 + 3 = 8; (7 — 1)5 + 4 = 34; (12 — 1)5 + 5 = 60; (14 — 1)5 + 3 = 68; (19 — 1)5 + 4 = 94; (24 — 1)5 + 5 = 120.

Для наглядности и контроля результата вычисления ниже приведем полные перечни пронумерованных исходов схем перестановок по шагам их перечисления, начиная с шага п — з + 1 = 3, где * отмечены исходы ПС:

п = 3: (321), (231), (213), (312), (132), (123) - все (п — з = 1)! = 6 исходов есть ПС;

п = 4, всего 4! = 24 исхода, среди которых * отметим исходы ПС в табл. 1:

Таблица 1

Номер Исход ПС Номер Исход ПС

1 4321 13 4312

2 3421 * 14 3412 *

3 3241 15 3142

4 3214 16 3124

5 4231 17 4132

6 2431 18 1432

7 2341 * 19 1342 *

8 2314 20 1324

9 4213 21 4123

10 2413 22 1423

11 2143 23 1243

12 2134 * 24 1234 *

п = 5, всего 5! = 120 исходов, среди которых * отметим исходы ПС в табл. 2:

Номер Исход ПС Номер Исход ПС Номер Исход ПС

1 54321 41 54213 81 54132

2 45321 42 45213 82 45132

3 43521 43 42513 83 41532

4 43251 44 42153 84 41352

5 43215 45 42135 85 41325

6 53421 46 52413 86 51432

7 35421 47 25413 87 15432

8 34521 * 48 24513 88 14532

9 34251 49 24153 89 14352

10 34215 50 24135 90 14325

11 53241 51 52143 91 51342

12 35241 52 25143 92 15342

13 32541 53 21543 93 13542

Продолжение таблицы 2

Номера ПС по АЛГОРИТМУ и таблицам совпали.

Номер Исход ПС Номер Исход ПС Номер Исход ПС

14 32451 54 21453 94 13452 *

15 32415 55 21435 95 13425

18 32514 58 21534 98 13524

19 32154 59 21354 99 13254

16 53214 56 52134 96 51324

17 35214 57 25134 97 15324

20 32145 60 21345 * 100 13245

21 54231 61 5412 101 54123

22 45231 62 45312 102 45123

23 42531 63 43512 103 41523

24 42351 64 43152 104 412353

25 42315 65 43125 105 41235

26 52431 66 53412 106 51423

27 25431 67 35412 107 15423

28 24531 68 34512 * 108 14523

29 24351 69 34152 109 14253

30 24315 70 34125 110 14235

31 52341 71 53142 111 51243

32 25341 72 35142 112 15243

33 23541 73 31542 113 12543

34 23451 * 74 31452 114 12453

35 23415 75 31425 115 12435

36 52314 76 53124 116 51234

37 25314 77 35124 117 15234

38 23514 78 31524 118 12534

39 23154 79 31254 119 12354

40 23145 80 31245 120 12345 *

3. Моделирование исходов схемы с в-зАпрЕтАми

Первый способ состоит в использовании табличного соответствия во втором способе прямого перечисления исходов нашей схемы. Тогда, разыгрывая номер исхода схемы по одному случайному числу, получаем по таблице вид исхода.

Второй способ использует АЛГОРИТМ п. 2 вычисления номеров ПС среди исходов схемы перестановок. В п. 2 получен набор последовательных п! — (п—в+1)! номеров исходов нашей схемы из номеров всех исходов схемы перестановок. В этом случае в памяти не требуется хранить таблицу соответствия номеров исходов с их видами.

Разыгрывая одним случайным числом номер исхода нашей схемы, номера исходов которой представляют собой часть номеров всех исходов схемы перестановок, для которой в [1] решена задача нумерации, по номеру находим вид исхода.

Литература

1. Колчин А. В., Энатская Н. Ю. Комбинаторный анализ схемы перестановок // Труды КарНЦ РАН. Сер. Математическое моделирование и информационные технологии. 2014. № 4. С. 80-86.

2. Энатская Н. Ю., Хакимуллин Е. Р. Метод графов для решения задач перечислительной комбинаторики. Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. М., 2014. № 8. С. 1521.

Поступила в редакцию 07.07.2015

References

1. Kolchin A. V., Enatskaya N. Yu. Combinatorial analysis of a permutation scheme. Proceedings of the Karelian Research Centre of the Russian Academy of Sciences, Matematical modeling and information technologies series. 2014. N 4. P. 8086.

2. Enatskaya N. Y, Khakimullin E. R. Graphs method for solving enumerative Combinatorics. Devices and systems. Direction. Control, diagnostics. Moscow, 2014. N 8. P. 15-21.

Received July 07, 2015

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

Энатская Наталия Юрьевна

доцент Департамента прикладной математики, к. ф.-м. н.

Национальный исследовательский университет, Высшая школа экономики, МИЭМ Таллинская, 34, Москва, Россия, 123458 эл. почта: nat1943@mail.ru тел.: (8903) 741 13 45

CONTRIBUTOR:

Enatskaya Natalia

National Research University, Higher School of Economics

(Moscow Institute of Electronics and Mathematics) Tallinskaya, 34, Moscow, Russia, 123458 e-mail: nat1943@mail.ru tel.: (8903) 741 13 45