Об оценивании параметров многополюсников при неполной информации об электрических режимах

УДК 513.73

С.А.Попов

ОБ ОЦЕНИВАНИИ ПАРАМЕТРОВ МНОГОПОЛЮСНИКОВ ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ ОБ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ РЕЖИМАХ

В статье [см.лит.] описан метод оценивания параметров эквивалентных схем многополюсников по результатам измерений вольт амперных характеристик (ВАХ). Этот метод позволяет оценивать все статические параметры эквивалентных схем и их статистические характеристики на основе построения многооткликовых моделей. Задача расчета параметров в этом случае формулируется как задача определения статистических оценок параметров многооткликовой регрессионной модели по экспериментальным данным. Однако для некоторых многополюсников нет возможности измерить все необходимые для представленного метода расчета напряжения и токи. С другой стороны, такая ситуация представляет большой практический интерес.

Оценивание параметров эквивалентной схемы при наличии полной информации об электрических режимах

Задача оценивания параметров эквивалентной схемы состоит в идентификации параметров многополюсника, представленного системой нелинейных уравнений, по результатам измерений ВАХ. Идентификация параметров основывается на сравнении полученных в результате эксперимента значений зависимых параметров и расчетных величин этих параметров, полученных в результате моделирования. Структурная математическая модель многополюсника, получаемая на основании его эквивалентной схемы, представляется системой уравнений Кирхгофа в виде

Р

где Р(В, X, У) — вектор функций, определяемых уравнениями Кирхгофа; В — вектор параметров эквивалентной схемы; X — вектор задаваемых источников тока и напряжения; У — вектор измеряемых электрических режимов.

Расчет параметров эквивалентной схемы основан на результатах измерений контролируемых электрических режимов при изменении задаваемых источников напряжения. Если можно контролировать электрические режимы У для всех узлов эквивалентной схемы, то задача определения параметров состоит в решении системы уравнений (1) относительно В при заданных источниках напряжения или тока X и при известных значениях У.

Точность оценивания параметров можно повысить, если выполнить эксперимент по измерению зависимых переменных при различных значениях задаваемых источников. По результатам этого эксперимента путем построения многооткликовой регрессионной модели можно получить более точные оценки параметры эквивалентной схемы, которые можно рассчитать с помощью следующей процедуры [см. лит.]:

В *+1 = В * + УВ £ о

з =1

*

где У — расчетные значения зависимых переменных; УВ — ковариационная матрица оценок параметров; УЕ — ковариационная матрица ошибок измерений; * — номер итерации; п — количество экспериментов.

Расчетные значения зависимых переменных определяются в виде

у*+1 = У* - р

дР

где Q(B, X, У) =------------------------------------------------------------------ — -матрица производных системы уравнений Кирхгофа по

дУ

зависимым переменным.

Матрица производных 0(В, X, У) от всех зависимых переменных по параметрам эквивалентной схемы определяется как производная неявной функции следующим образом:

ад X, у )=Е- = др (В X,У) мв, X, у )]-1.

дВ дВ

Метод оценивания параметров при неполной информации об электрических режимах

Часто оказывается, что можно наблюдать только небольшое количество зависимых переменных. Если 2 — вектор наблюдаемых зависимых переменных, то параметры эквивалентной схемы могут быть определены с помощью следующей итерационной процедуры:

В '+1 = В * + УВ £ р

з=1

*

где 2 — расчетное значение вектора 2 при заданных параметрах В на основании уравнения (2).

Ковариационная матрица УВ оценок параметров (3) рассчитывается по формуле

-1

п

У В = £ р

_ з =1 -

Матрица Р(В, X, 2) определяется как производная от наблюдаемых зависимых пе-

д2

ременных по параметрам эквивалентной схемы, т.е. Р(В, X, 2) = —. Она получается из

дВ

матрицы 0(В, X, У) путем исключения всех столбцов, соответствующих тем зависимым переменным, которые по тем или иным причинам нельзя наблюдать. Формально выражение (3) позволяет рассчитать параметры эквивалентной схемы даже при измерении одного электрического режима (например, путем измерения тока питания при различных напряжениях питания). Фактически возможность такого расчета при недостаточной информации о зависимых переменных определяется видом матрицы Р(В, X, 2) и, соответственно, матрицей УВ (4), точнее, величиной ее определителя.

Здесь можно рассмотреть две ситуации. Во-первых, производные по некоторым параметрам, представленные в матрице Р(В, X, 2), могут быть теоретически равны нулю. Рассчитать оценки этих параметров в этом случае не представляется возможным ни при каких обстоятельствах. Во-вторых, величины всех производных теоретически могут не являются нулевыми, но имеют весьма небольшую величину. В этом случае существует возможность рассчитать оценки всех параметров с заданной точностью. Реализовать же эту возможность часто не удается даже при увеличении количества измерений до практически предельного уровня даже при автоматизации процесса измерений. Дело в том, что для получения необходимой точности оценивания параметров обязательным условием является оптимальное планирование эксперимента по критерию оптимальности det УВ, что само по себе для многоот-кликовой нелинейной модели является весьма сложной задачей. Сложность состоит в том, что величина det УВ зависит от неизвестного вектора параметров В. В этом случае можно либо попытаться построить некий среднеоптимальный план, если задаться априорным распределение вектора В, либо использовать метод последовательного планирования, один из примеров реализации которого можно найти в [лит.]. Эффективность подобного планирования в случае неполной информации зависит от конкретного вида многооткликовой модели.

Попов С.А., Корчагин А.Ф. // Вестник НовГУ. Сер: Техн. науки. 2004. № 28. С.150-155.