Решения эллиптических уравнений на римановых многообразиях с концами1

© Корольков С.А., Лосев А.Г., 2011

УДК 517.95 ББК 22.161.6

РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ С КОНЦАМИ 1

С.А. Корольков, А.Г. Лосев

В данной работе рассматриваются решения линейных эллиптических уравнений (называемые Ь-гармоническими функциями) на произвольных некомпактных римановых многообразиях с конечным числом концов. Найдены условия существования и единственности решений некоторых краевых задач, получены точные оценки размерностей различных пространств таких решений на многообразиях с концами.

Ключевые слова: краевые задачи, теоремы типа Лиувилля, римановы многообразия, Ь-гармонические функции, Ь-массивные множества.

Введение

Данная работа посвящена изучению поведения линейных эллиптических уравнений на некомпактных римановых многообразиях. Одним из истоков указанной проблематики традиционно указывается классификационная теория некомпактных римановых поверхностей. Известная проблема идентификации конформного типа односвязной некомпактной римановой поверхности может быть переформулирована следующим образом: существует ли на данной поверхности нетривиальная положительная супергармоническая функция? Многие проблемы, относящиеся к данному направлению, можно сформулировать в виде теорем типа Лиувилля, утверждающих тривиальность пространств решений некоторых эллиптических уравнений на римановом многообразии.

Классическая формулировка теоремы Лиувилля утверждает, что всякая ограниченная гармоническая в М” функция является тождественной постоянной. В работах ряда авторов приводятся условия выполнения теоремы Лиувилля на некомпактных римановых многообразиях в терминах роста объема, выполнения изопериметрических неравенств, условий на кривизну и т. д. В последнее время осуществляется следующий подход к теоремам типа Лиувилля. Пусть на римановом многообразии М задан класс функций А и эллиптический оператор Ь. Говорят, что на М выполнено обобщенное {А, Ь)-лиувиллево свойство, если пространство решений уравнения Ьи = 0, принадлежащих функциональному классу А, имеет конечную размерность. Оценкам размерностей различных пространств решений эллиптических уравнений на некомпактных римановых многообразиях посвящен ряд работ (см, напр., [1-5; 11-13]). Общее представление о современных

исследованиях в этом вопросе можно получить, например, из работ А. Оп§ог’уап [Ц]; А.Г. Лосева [9].

Заметим, что множество некомпактных римановых многообразий, на которых существуют нетривиальные ограниченные гармонические функции, достаточно обширно. Более того, обнаружены классы многообразий, на которых разрешима задача Дирихле о восстановлении гармонической функции по непрерывным граничным данным для случая идеальной границы. Важно отметить, что сама постановка задачи Дирихле на произвольном некомпактном римановом многообразии может оказаться проблематичной. Однако в некоторых случаях геометрическая компактификация многообразия позволяет сделать это (см., например, [3; 4; 7]). С другой стороны, в [10] (см. также: [14]) предложен достаточно новый подход к постановке краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений на произвольных некомпактных римановых многообразиях, который, в частности, реализуется и в данной работе.

Ряд исследований был посвящен изучению гармонических функций на многообразиях с концами. Пусть М — полное некомпактное риманово многообразие. Открытое множество И С М называют концом, если оно является связным, неограниченным и его граница дИ - компакт. Говорят, что М является многообразием с концами, если оно представимо в виде объединения компактного множества В и конечного числа непересе-кающихся концов. Различают концы параболического и гиперболического типа. Конец называется концом параболического типа, если его емкостный потенциал тождественно равен константе, и гиперболического типа в противном случае (см., например, [11]).

В работе и Р., Таш Ь.Е. [13] было доказано, что если многообразие М имеет т концов, то размерность пространства гармонических на М функций, ограниченных с одной стороны на каждом конце многообразия, не меньше, чем т. Там же было показано, что если М имеет гиперболический тип, то размерность конуса неотрицательных гармонических на М функций также не меньше, чем т. Отметим, что на многообразиях параболического типа выполнена теорема Лиувилля для неотрицательных и для ограниченных гармонических функций.

Данная работа посвящена изучению поведения Ь-гармонических функций, то есть решений уравнения

Ьи(х) = Аи(х) + (Ь(х), ^и(х)) — с(х)и = О

на многообразиях с концами. Здесь Ь(х) — гладкое векторное поле, а с.(х) — гладкая неотрицательная на М функция. В частности, в работе найдены оценки размерностей различных пространств решений данного уравнения на рассматриваемых многообразиях. Всюду далее мы предполагаем, что с.(х) ф 0 на каждом конце многообразия М.

Предположим, что на конце И существует Ь-гармоническая функция ив такая, что 0 < ив < 1, ив = 0 на дБ и вирв ив = 1. Будем говорить в этом случае, что И является Ь-массивным, а самую большую из таких функций ив будем называть Ь-гармонической мерой конца И. Способ построения Ь-гармонической меры конца будет приведен ниже. Понятие массивности множества введено в работах А.А. Григорьяна (см., например, [1; 11]). Конец, не являющийся Ь-массивным, будем называть Ь-субтильным. Отметим, что в некоторых работах (см., например, [12]) массивные концы называют концами гиперболического типа, а концы, не являющиеся массивными, соответственно, концами параболического типа.

В дальнейшем нам потребуется определение Ь-регулярного конца многообразия. Говорят, что конец И является Ь-регулярным, если на нем выполнено неравенство Хар-

нака для всякой неотрицательной L-гармонической функции, то есть существует такая константа С > 0, что для всех достаточно больших г > 0 и для всякой неотрицательной L-гармонической на (-Е>2Г(о) \Вг/2(о)) П D функции / выполнено

sup / < С inf /.

9Br(o)nD dBr(o)nD

Здесь Вr(о) — геодезический шар радиуса г с центром в точке о £ В.

Множество всех римановых многообразий, представимых в виде М = BUDiU.. .U U Ds+i, где D1,... ,Di — L-массивные концы, a -D/+1, • • • ,Di+s — L-субтильные концы, будем обозначать через El(1,s). При этом будем считать, что компакт В выбран таким образом, что многообразие М имеет ровно I + s концов относительно любого другого компакта В' D В.

Обозначим {Вк}^=1 — гладкое исчерпание конца D, то есть последовательность предкомпактных открытых подмножеств конца D с гладкими границами дВк таких, что dD С дВк, Вк \ 8D С Вк+1 для всех к и D\ dD = (JbLi Вк. Пусть /1 и /2 — непрерывные на D функции. Будем говорить, что функции f\ и /2 эквивалентны на D, и обозначать /1 ~ /2, если для некоторого гладкого исчерпания {Вк}^=1 конца D выполнено равенство

lim sup |/i - /21 = 0.

fc^oo D\Bk

Отношение «~» является отношением эквивалентности, не зависит от выбора исчерпания конца D и, таким образом, разбивает множество всех непрерывных на D функций на классы эквивалентности (см., например, [10]).

Пусть — последовательность решений следующих задач Дирихле

{Lvk = 0 на Вк,

vk = 1, на dD,

vk = 0 на дВк \ дD.

Последовательность функций в силу принципа максимума возрастает и схо-

дится к предельной функции vd = lim vk, которая является L-гармонической на D и

к—^оо

0 < vd < 1. Функцию Vd будем называть L-потенциалом конца D.

Замечание 1. Если D — L-массивный конец, то inf vd = 0.

D

Конец D называют L-строгим (см. [14]), если vd ~ 0.

Будем говорить, что непрерывные функции fi и /2 слабо эквивалентны на D, и обозначать f\ ~ /2, если найдется такая константа С, что

l/iO) - /2(^)1 < CvD + ИО)1> X е D, для некоторой непрерывной функции А(;г) такой, что lim sup |A(rr)| = 0. Отношение

fc^oo D\Bk

«~» также является отношением эквивалентности и не зависит от выбора исчерпания конца D (см. [2]).

Замечание 2. Если D — L-строгий L-массивный конец, то из того, что fi — f следует, что /1 ~ /.

Будем говорить, что функция / является Ь-допустимой на конце И, если на Б существует Ь-гармоническая функция и такая, что и ~ /.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть М є Еь{1,,з). Тогда для любого набора Ь-допустимых на А (г = 1,..., / + в), непрерывных функций /* существует функция и Є Щ(М) такая, что и ~ /г, г = 1+ в.

Теорема 2. Пусть М є Еь{1,,з). Если все Ь-массивные концы являются Ь-строгими, то для любого набора Ь-допустимых на И і {] = 1+ з) непрерывных функций /г, существует единственная функция и Є Щ(М) такая, что и ~ /* «а А, г = 1,..., / а г/. ~ «а Д.,-, ^ = / + 1,..., / + з.

Достаточно интересные примеры выполнения подобных утверждений для решений стационарного уравнения Шредингера на многообразиях с квазимодельными концами, причем с подробным описанием допустимых функций, приведены в работах [4; 6-8].

Следствием приведенных выше утверждений являются достаточно интересные оценки размерностей пространств Ь-гармонических функций.

Обозначим через Щ(М) пространство Ь-гармонических на М функций, а через ВЩ(М), Ш'Ь(М) и Н^(М) пространство ограниченных, пространство ограниченных с одной стороны на каждом конце многообразия и конус неотрицательных Ь-гармоничес-ких на М функций, соответственно.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть М є Еь{1,,з). Тогда

В случае, когда все концы многообразия являются Ь-регулярными, удается получить точные оценки размерностей. А именно, справедливо следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть М е £ь(/,з). Если все концы многообразия М Ь-регулярны, то

Шт1^(М) = (Цт1^(М) = I + в и ^тВВ1ь(М) = /, если I > 1.

Замечание. Во всех формулировках допускается случай, когда М не имеет Ь-массивных концов. В случае, когда М имеет хотя бы один Ь-массивный конец и Ь — оператор Шредингера, оценки ^тВВ1ь(М) и сЦтШГ^М) были получены в [12].

Пусть {Вк}^=1 — гладкое исчерпание конца Б и {мд;}^=1 — последовательность решений следующих задач Дирихле

Из принципа максимума сразу следует, что существует предельная функция ип = Ит ик, которая является Ь-гармонической мерой конца И.

^тВВІі(М) > /, сІітІНГ^М) > / + з, (ІіпіН^ЛІ) > / + з.

1. Ь-гармонические функции на концах

1ик = 0 на Вк,

ик = 0, на сШ,

и,к = 1 на дВк \ дВ.

Обозначим через И (к) = дВк \ дВ. Справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Для любых констант аь а-2 и для любой Ь-допустимой на конце И непрерывной функции / существуют Ь-гармонические на И функции иий такие, что

и\дв < <21, и\дв > а-2, и\в — /, и\в — /•

Доказательство. Так как / - Ь-допустимая функция, на И существует Ь-гармоничес-кая функция и ~ /.

Очевидно, что искомыми являются следующие функции

и= ( С1\ — вир и ] Уп + и,

сЮ

и = I а2 — іп£ и I Ьп + и.

эо

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 2. Следующие условия эквивалентны.

(A) Существует Ь-гармоническая на И функция и такая, что

и\дв < 1, и\в ~ Ур-

(B) Существует Ь-гармоническая на И функция й такая, что

и\дв >1, и\г> ~ Уе>-

(C) Для любой непрерывной на дБ функции Ф и для любой непрерывной Ь-допустимой на И функции / существует Ь-гармоническая на И функция к такая,

Ь\дв = Ф, к ~ /.

(О) Конец И является Ь-строгим.

Доказательство. Доказательство импликации (И) —> (С) дословно повторяет доказательство аналогичного утверждения для решений стационарного уравнения Шредингера, приведенное в [14] (см. также [10]). Импликации (С) —> (А) и (С) —> (В) очевидны в силу того, что Уп является Ь-допустимой на И.

Покажем, что (В) —> (И). Предположим противное, то есть что Ур'/'О на И. Из утверждения (В) следует, что на И существует Ь-гармоническая функция й такая, что й\до > 1 и й ~ ив на И.

Рассмотрим функцию т = -?-= < й. Отметим, что и>\ди > 1- Из принципа макси-

вю

мума и того, что й ~ ьв, Ув > 0 нг И следует, что т > 0 на И. Из того, что й ив'/'О и ш < й на I) следует, что найдется точка х* Є И такая, что

иі

Действительно, так как й ~ ьо на И, то

й Уп

------ Г-**! --

ШІП й ШІП й

до до

на И, или

і’в

IV ~ —;-----------

пип и

до

Из последнего следует, что

и> — уп ~ уп I --------= — 1

111111 и

до

на И. Из того, что Ув'/'О и пііпгї > 1 вытекает существование такой точки гг* Є И, что

до

и>(х*) — Ув(х*) < 0,

откуда имеем (1).

Обозначим через ик решение следующей задачи Дирихле в Вк

Ьпк = 0, Ук\э{к) = 0, Ук\дв = 1-

Тогда по определению Ь-потенциала ик —>• Ув при к —>• оо.

Заметим, что

Мэи > Ук\ао = 1, «’Ь(А-) > Ук\о{к) = 0.

Из последнего получаем, что при всех к

ик < и>

на И П Вк. Переходя к пределу при к —> оо, получаем, что т > Ув на И. Пришли к противоречию с (1).

Таким образом, предположение о том, что Ур'/'О на И неверно, откуда следует, что конец И является Ь-строгим.

Нам осталось показать, что из утверждения (А) следует утверждение (Ь>). Предположим противное, то есть что Уо'/'О на И. Из утверждения (А) следует, что на И

существует Ь-гармоническая функция и такая, что и\ав < 1 и и ~ ив на И. Рассмотрим функцию

и в — и

и> = -----------.

1 — тахг/, до

Заметим, что т\дв > 1> откуда в силу принципа максимума и того, что и ~ Ув, Ув > 0 на И следует, что т > 0 на И.

Покажем, что существует точка х* Є И такая, что

т

Действительно, если шахи < 0, то в силу того, что и ~ ив '/'О и 0 < ив < 1

до

найдется такая точка х*, что и(х*) > 0. Тогда и>(х*) = тахІГ ^ < Ув(х*), так как

дВ ~

шах и < 0. до

Пусть теперь тахг/, > 0. Из условия и ~ у в '/'О и тахг/, < 1 следует, что найдется

ди до

такая точка гг* Є И, что

г.ф') < Ф'}

шах г/, до

Из последнего мы получаем, что ьв(х*) — и(х*) < ьв(х*)(1 — шахи), откуда следует (2).

до

Пусть Ьк — решение следующей задачи Дирихле в Вк

Ььк = 0, Ук\щк) = 0, Ук\ао = 1-

Тогда по определению Ь-потенциала Ьк —> ьв при к —>• оо.

Заметим, что

Иао > Ук\эо = 1, «’Ь(А-) > уа-Ь(а-) = 0.

Из последнего получаем, что при всех к

ьк < и>

на Б П Вк. Переходя к пределу при к —> оо получаем, что и> > ьв на И. Пришли к противоречию с (2).

Таким образом, предположение о том, что Ьв'/'О на И неверно. Лемма 2 доказана.

Лемма 3. На всяком Ь-субтильном конце И существует неотрицательная неограниченная Ь-гармоническая функция Ьв такая, что Ьв = 0 на дБ.

Доказательство. Рассмотрим последовательность неотрицательных непрерыв-

ный Ь-гармонических на {Вк} функций таких, что

Г ик = 0 на дБ,

\ и,к = 1 на Б (к).

В силу принципа максимума последовательность функций {мд;}^=1 монотонно убывает, ограничена, а значит, существует предельная функция, которая является тождественным нулем (это следует из того, что конец И является Ь-субтильным).

Положим Ск = тахмд.. Тогда Ск- —> 0 при к —> оо. Определим новую последовательность неотрицательных Ь-гармонических на Вк функций Ьк = к = 1,2,.... Очевидно, что каждая функция Ьк удовлетворяет следующим условиям

( ьк = 0 на дБ,

\ Ук = на Б (к).

Пусть Е — компактное подмножество И, содержащее -0(1). В силу локального неравенства Харнака существует такая константа Се < оо, что

вир Ьк < Св^Ук < Се

Е Е

для достаточно больших к > 1. Из последнего следует локальная равномерная ограниченность последовательности функций на И. Тогда существует подпоследовательность сходящая равномерно к предельной функции Ив на всяком компакт-

ном подмножестве И. Из условия тах и/г = 1 (для достаточно больших к) следует, что

предельная функция Ьв не является тождественным нулем. Учитывая то, что конец И является Ь-субтильным, получаем неограниченность Ьв-Лемма 3 доказана.

Лемма 4. Пусть D — L-субтилъный конец, / — L-гармоническая на D функция,

ограниченная сверху на D и такая, что lim sup / > 0. Тогда

к^со D\Bk

sup / > lim sup /.

dD к^°° D\Bk

Доказательство. Предположим противное, то есть что

0 < sup f < lim sup f = m.

dD k^oo D\Bk

Так как j ф 0, то существует собственное открытое подмножество Q конца D такое,

Q = {х Е D : f(x) > т — е}, dD С D \ Q

для достаточно малого е > 0. Положим

I \ Г/И - т + е 1

v(x) = max <---------------, 0 >

Тогда, учитывая, что т > 0 по условию леммы, v — неотрицательная ограниченная L-субгармоническая функция на D, причем v = 0 на D \ Q. Из последнего получаем, что v = 0 на dD. Заметим, что sup и = 1. Действительно, в силу принципа максимума

D

и предположения (3), имеем sup/ = lim sup / = т, откуда следует требуемое.

D k^oo щВк

Пусть ик — решение следующей задачи Дирихле в Вк

Llik — = 0 на В к,

U к 0 на dD,

U к 1 на D{k)

В силу определения Ь-гармонической меры мд, = Ит мд.. Из Ь-субгармоничности

к—^оо

функции V и того, что 0 < V < 1 следует, что и,к > V на Вк. Из последнего, переходя к пределу при к —> ос, получаем, что мд > V на Д. Учитывая равенство

вири = 1, получаем, что ивф0. Пришли к противоречию с тем, что конец И явля-

в

ется Ь-субтильным.

Следствие 1. Если и — ограниченная L-гармоническая на L-субтильном конце D функция, то и ~ 0.

Доказательство. В случае inf > 0 утверждение следствия 1 тривиально. Рассмотрим случай inf vd = 0. В силу принципа максимума выполнено

lim inf vd = 0. k—^oo D\Bk

Предположим противное, то есть что и ф 0. Из последнего следует, что найдется такая последовательность хk G D(k), что

lim Vo(xk) = 0 и lim и(хк) ф 0.

к—^оо к—^оо

Для определенности будем считать, что Ит и(хк) = с1 > 0 (в противном случае рас-

к—^оо

смотрим функцию —и).

Положим

и>(х) = и(х) — тахг/.(;г) • ив(х).

ЭВ

Тогда

Ит 'ш(хк) = с1 > 0, тахг<;(;г) = О,

к—^оо ЭВ

что противоречит лемме 4.

Следствие 1 доказано.

Всюду далее мы будем использовать обозначение Ит / = +оо, если Ит т£ / = +оо; аналогично Ит / = — оо, если Ит вир / = — оо и

к—^оо В\Вк В к—*оо в\Вк

Ит /" = ±оо, если либо Ит /" = +оо, либо Ит /" = — оо.

в в ’’ в ’’

Лемма 5. Пусть И — Ь-регулярный Ь-субтильный конец. Если щ Е Ш^Б), и-2 € Ш'Ь(П) и обе функции неограниченны на И, то существует такая константа С*, что щ — С*и-2 €

Доказательство леммы 5 проведем в несколько этапов. На I этапе мы докажем, что для любых неограниченных функций Ьв Н^(Д) и и € Н^(Д) таких, что Ъв\эв = О,

пш1и > 0, найдется такая константа С*, что (С*и — Нв) £

дв

Для этого, в свою очередь, мы

(a) сначала покажем существование такой константы С, что ^ < С на В\

(b) далее, выбирая С* = т£{(7 : Си > Ьв на Б}, мы докажем, что (С* и — к в) Е € ВЩ(£>).

На II этапе доказательство леммы для функций щ € щ € Ш'ь(0) мы

сведем к уже доказанному утверждению леммы для функций Ьв и и.

Доказательство. I этап. Пусть Нв Е — неограниченная функция такая, что

Ьф\ао = 0- Существование такой функции показано в лемме 3.

Докажем, что для любой неограниченной функции и € Н^(Д) такой, что ши > О

дв

найдется такая константа С*, что (С*и — Нв) Е

Отметим, что Ити = +оо. Действительно, в силу неравенства Харнака имеем

Ит т£ и > — Ит вир и. к—^оо О

Из последнего, учитывая неограниченность и на Д и принцип максимума, заключаем,

что Ити = +оо. Аналогично, ИтЛп = +оо. в в

Заметим, что м > 0. Действительно, в силу локального неравенства Харнака, для любого компактного подмножества Е С И найдется такая константа Се, что

тахи < С^ттм. Учитывая неотрицательность функции и на И, получаем, что и > 0

Е Е

на любом компактном подмножестве Е С И. Из того, что пжи > 0 и Ити = +оо

эв в

заключаем, что т£ и > 0.

в

1. Покажем, что найдется такая константа С, что ^ < С на D. Предположим противное, то есть sup — = +00. Учитывая, что inf и > 0, получаем, что lim sup — =

D D к^°° D(k) U

= -|-оо. Применяя неравенство Харнака, получаем

inf hD i sup hD

у D{k) D(k) 1 hD

lim ------- > lim ——-— > — lim sup — = +00,

fc^oo sup U A*—>00 P inf и P2 A*—>00 и

D

inf h]j

где P — константа из неравенства Харнака. Таким образом, lim — = +оо. Из

к'^°° D(k)U

последнего следует, что для любой константы С справедливо неравенство hn > Си на D(k) для всех достаточно больших к. В силу принципа максимума заключаем, что для любой константы С > О

hn — Си > 0 на D\Bk для достаточно больших к. Отсюда заключаем, что

Ит(Л,д — Си) = +оо для любой константы С > 0.

Действительно, если при некотором С функция ho — Си окажется ограниченной на D, то, положив С = С+1, в силу уже доказанного, hn — Си > 0 на D\Bk для достаточно больших к, откуда hn — Си > и на D \ Вк. Учитывая, что lim и = +оо приходим к

противоречию с ограниченностью функции hn — Си на D \ Вк.

Положим й = и — I’DUiaxt/:. Очевидно, что й < 0 на 8D в силу того, что vn\dD =

8D

= 1. Кроме того, в силу ограниченности vn и того, что lim и = +оо заключаем, что

Итй = +оо. Тогда из lim hD = +00 следует существование такого к, что й.|щк) > 0 и

ЛдЬ(а-) > 0. Выберем константу М > 0 таким образом, чтобы Мй > hD > 0 на D(k), откуда

hn — Мй < 0 на D

Положим / = hD — Мй. Из того, что функция hn неотрицательна на D и й\дп ^ 0 следует, что / > 0 на 8D. Кроме того, в силу уже доказанного, И111/ = lim (hn — Мй) =

= +оо. В силу принципа максимума заключаем, что / > 0 на D, что противоречит (4). Таким образом, предположение о том, что lim sup — = +00 во всех случаях приводит

fc—s-oo D(k) U

к противоречию, откуда

hn 1 л

— < С яг D

и

для некоторой константы С > 0.

2. Положим

С* = inf{<7 : Си > hD на D}.

Отметим, что C*u—hn >0наДиС'*>0в силу того, что hn > 0, Ьпф 0 на D. Покажем, что (С*и — hn) G Предположим противное. Заметим, что min(C'*u — hn) > 0

dD

в силу того, что кп\до = 0, тіпм > 0 и С* > 0. Тогда, как показано выше, найдется

до

такая константа Ъ > 0, что

Ь'Р ^

С* и — Но

на И. Из последнего получаем, что

-----С*и > ко на И,

о+1

что, в свою очередь, противоречит определению константы С*. Таким образом, (С*и —

- М Є ВЩ(£>).

II этап. Пусть теперь щ Є Ш'Ь(В), щ Є Ш'Ь(В) и обе функции неограничены на И. Не ограничивая общности, будем считать, что обе функции ограничены снизу на И.

Рассмотрим функции /і = щ — (тіпмі — /2 = м2 — (тіпм2 — 1)по- Очевидно,

ди до

что тіп/і = 1, тіп/2 = 1 в силу того, что Уи\до = 1. В силу леммы 4 и принципа

ди до

максимума функции и /2 неотрицательны на И. Кроме того, /і и /2 неограничены на И в силу того, что и і, и-2 неограничены на И и 0 < і’д < 1.

Как показано выше, существуют такие константы С\ > 0 и С*2 > 0, что /і = = (С'і/і - Є ВЩ(£>) и /2 = (С5/2 - Ь,в) Є ВЩ(.0). Очевидно, что

Л - /2 = (Сї/і - Ы - (С*2/2 - Ы Є ВЩ(Я),

откуда следует, что

(л - є внак).

Из последнего, учитывая определение функций /і, /2 и ограниченность уд, заключаем, что

(«і - є вні(в).

Лемма 5 доказана.

Лемма 6. Всякий Ь-регулярный и Ь-массивный конец является Ь-строгим. Доказательство. Из неравенства Харнака, учитывая замечание 1, получаем

0 < Ит вир ив < С Ит іпі ив = 0,

к—їоо к—їоо О

откуда, в силу принципа максимума, ур ~ 0.

Замечание. Обратное, вообще говоря, неверно: из Ь-строгости Ь-массивного конца не следует его Ь-регулярность (примеры Ь-строгих Ь-массивных концов, не являющихся Ь-регулярными, см., например, в [7]).

Лемма 7. Пусть / — L-гармоническая, ограниченная с одной стороны на Ь-регуляр-ном конце D функция.

(1) Если / не ограничена на D, то lim / = ±оо.

(2) Если D является L-массивным концом, то существует такая константа Ъ, что / ~ buD.

Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что / ограничена снизу на D. Пусть сначала / неотрицательна и не ограничена на D. Из неравенства Харнака следует, что

lim inf / > — lim sup /,

fc—S-OO D

откуда lim / = +oo в силу принципа максимума.

Пусть теперь / — произвольная неограниченная, но ограниченная снизу L-гармони-ческая на D функция. Положим т = inf /. Тогда функция /* = / — mvu не ограничена

8D

и неотрицательна на D. Как было показано выше, lim/* = +оо, откуда lim/ = +оо.

Таким образом, первая часть леммы доказана.

Докажем, что если D является L-массивным, то / ограничена на D. Предположим противное. Тогда lim / = +оо, как было показано выше. Отсюда, учитывая, что ud Ф О,

следует существование такого х ^ dD, что f(x) > 0 и ив(х) > 0. Пусть С > 0 — такая константа, что

/(£) /~\ /гч

< uD

Рассмотрим L-гармоническую функцию

/

w = — - UD.

Заметим, что limw = +схэ, так как lim f = +оо и 0 < ип < 1- Кроме того, w\gn > 0,

D D

так как / неотрицательна на D и ud\qd = 0. С другой стороны, w(x) < 0 в силу (5). Пришли к противоречию с принципом максимума. Таким образом, если D является L-массивным, то / ограничена на D.

Рассмотрим случай, когда / — ограниченная неотрицательная L-гармоническая функция на L-массивном конце D. Положим

b = lim sup /.

k^OD

Если 6 = 0, тогда / ~ 0 в силу принципа максимума, откуда следует утверждение леммы 7. Предположим, что Ъ > 0.

Из лемм 2 и 6 следует существование ограниченной L-гармонической на D функции и такой, что и = 0 на 8D и и ~ {. Тогда lim sup и = 1.

k^OO щк)

Докажем, что и = ив- Пусть — последовательность следующих решений

задач Дирихле в Вк

Ьщ = 0 на В к,

и к = 0 на 8D,

и>к = 1 на D(k).

Очевидно, что ud = lim и,к в силу определения L-гармонической меры ud- Кроме того,

к—^оо

О < и < и,к на Вк в силу принципа максимума. Переходя в последнем неравенстве к

пределу при к —>• оо, получаем 0 < и < ud < 1 на D, откуда 0 < ив — и < 1 — и. Из

последнего получаем, что

О < inf (ud — и) < 1 — sup и.

D

Переходя к пределу при к —>• оо, получаем

О < lim inf {ud — и) < 1 — lim sup и.

A*—>oo D(k) A*—>oo

В силу того что lim sup и = 1, заключаем, что lim inf {ud — и) = 0. Заметим, что

к—s-oo fc—>оо D

{ud — и) — неотрицательная L-гармоническая на D функция. Применяя неравенство Харнака к функции {uD — и), получаем, что

0 < lim sup(uo — и) < С lim inf {uD — и) = 0,

fc—>ОО fc—>оо D

откуда и = ив в силу принципа максимума и того, что u\qd = udIod = 0.

Таким образом,

/

lim sup |/ — buD\ = Ъ lim sup |-— u\ = 0.

k^oo щВк fc-j-oo D\Bk b

Из последнего следует, что / ~ bur>. Мы доказали вторую часть леммы 7 для ограниченной неотрицательной L-гармонической функции /.

Пусть теперь / — произвольная ограниченная L-гармоническая функция на L-массивном конце D. Покажем, что существуют такие константы чщ и ?гг,2, что функция / = / + m,\VD + itivUd является неотрицательной ограниченной L-гармонической на

D. Действительно, пусть / — ограничена на D и inf / < 0. Положим т,\ = — mf/,

m2 = — lim inf /. Тогда / > 0 на dD в силу того, что vdIod = 1, а также uo\dD = 0 и

fc—>оо D

lim inf / > 0 в силу замечания 1 и того, что vd ~ 0 на D (в силу леммы 6). Учитывая

к—s-oo D

принцип максимума, заключаем, что / > 0 на D.

Как было показано выше, найдется такая константа Ъ, что / ~ Ъи.р, откуда / + m.iVo + m^UD ~ buD. Из леммы 6 следует, что vо ~ 0, откуда / ~ (6 — ?в2)г/:д. Лемма 7 доказана.

2. .£,-гармонические функции на многообразии М

Пусть {Вк}^=1 — гладкое исчерпание М, то есть последовательность предкомпакт-ных открытых подмножеств многообразия М с гладкими границами дВк такая, что Вк С Вк+1 для всех к и иГ=1 Вк = м-

Лемма 8. Пусть А — конец многообразия М, /* — непрерывная Ь-допустимая на А функция. Тогда существует такая Ь-гармоническая на М функция /|>., что

(О /Ь* - /* на Вг>

(Ю /Ь* = + /, ;) Ф I

Доказательство. Так как /* — Ь-допустима на А, то существует такая Ь-гармони-ческая на А функция щ, что щ ~ fi на А- Продолжим по непрерывности функцию щ нулем всюду на М \(В и А) (причем так, чтобы \щ\ < тахг^ на В).

Рассмотрим последовательность функций являющихся решением задачи

Ь<рк = 0 на Вк,

<Рк\двк = щ\двк,

где {Вк}^=1 — гладкое исчерпание М.

Докажем сначала, что последовательность рк равномерно ограничена на А(0).

Предположим противное. Тогда найдется такая подпоследовательность что акп =

= тах|^д.п| —> оо при п —> оо. Полагаем кп = к и Фд. = <~рк/ак на Вк. Тогда

^г

Фк = щ/ак на дВк П А,

Фк = 0 на дВк \ А,

тах IФ д. I = 1.

А

Применяя принцип максимума для функции Фа — ^ сначала на Вк П А, а затем на Вк. \ А, получаем, что

max щ max щ

1 Di(0) , Ui ^ Л ^ 1 , Di(0) , Ui U

-1---------------1--------< Фк < 1 Н--------------1---на Вк.

сік ак ак ак

Действительно, так как тах|Фд.| = 1, то

Di

— 1 < Фа < 1 на А(0).

Из последнего следует, что

max I щ I max І щ I

-1--------------< Фк----------< Н-------------------на А(0).

С1к, &к &к

Отсюда, учитывая, что

,, Щ ірк Щ II: II: ,

Фк-------=-------------=-------------= 0 на дВк П А,

Сік &к Сік &к Сік

заключаем, что

max щ max щ

Di{0) ^ т ^ і і Di(0) . .

— 1-------------------< Фд.-------------< 1 Л---------------------на Вк П А-

Сік О'к О'к

С другой стороны, из того, что Фк = 0 на <9£>а\А и шах |Фд.| = 1, в силу принципа

^г

максимума, получаем, что

-1 < Фа < 1 на Вк \ А-

Объединяя оценки (8) и (9), получаем (7).

Из (7) следует, что {Фа}^ локально равномерно ограничена на М. Отсюда следует существование подпоследовательности последовательности {Фа}, сходящейся равномерно к некоторой предельной функции Ф на любом компактном подмножестве многообразия М, причем ЬФ = 0 на М и — 1 < Ф < 1 на М. Заметим также, что выбирая подходящим образом подпоследовательность последовательности {Фа}, можно считать, что тах|Ф| = 1. Пришли к противоречию с принципом максимума.

Таким образом, предположение о том, что а,кп = тахркп —>• оо при п —> оо неверно,

откуда следует, что последовательность рк равномерно ограничена на А(0). Из последнего получаем локальную равномерную ограниченность последовательности {<рк — щ}&=1 на М, откуда следует, что существует /|>. = Ит рк-

г Ач-оо

Докажем, что /д. ~ 0 на j = 1,... з + /, j ф %.

Пусть

шах

В силу того что, как было показано, существует /д. = Ит рк, то найдется и

г Ач-оо

А = Ит Ак, а = Ит ак-

к—^оо к—^оо

Из (10), того, что щ = 0 на М \ (А и В) и принципа максимума следует, что

1шп{аА, 0} • < рк < тах{Аь 0} •

на А П Вк. Переходя к пределу при к —>• оо, получаем, что

1шп{а, 0} • ущ < /д. < тах{Д 0} •

откуда окончательно заключаем, что /|> ~ 0 на

Докажем теперь, что /|> ~ /г на А. Положим

= гшп /п., и2 = шах /д. •

Тогда 11\ < /Ьг|аог < и2 и

и1 — 1 < (/?А-|аДг < и2 + 1

при достаточно больших к.

Пусть

А\ = 1шп{[/1 — 1 — тах г/:», 0} <0, А2 = тах{[/2 + 1 — ттг^, 0} > 0. Положим

Щ = Щ + < щ, щ = щ + А2ип. > Щ.

Очевидно, что

Щ < 11\ — 1 < (рк < и\ + 1 < щ на дИг

при достаточно больших к. Заметим, что щ ~ щ ~ ^ в силу того, что 'Щ ~ fi. Кроме того,

1кг < Щ < Щ

на А и при достаточно больших к на А П в силу принципа максимума имеем

Переходя к пределу при к —> оо, получаем

Щ < /£. < Щ на А,

откуда /д. ~ /* на А в силу того, что щ ~ /ь щ ~ /*.

Лемма 8 доказана.

Доказательство теоремы 1. Зафиксируем г = 1,...,/ + 5. Из леммы 8 следует существование на М Ь-гармонической функции такой, что ~ /» на А и ~ О на А, ;] = 1,. . . в + I, ;] ф 1. Очевидно, функция

является искомой.

Доказательство теоремы 2.

Существование искомой функции для любых непрерывных Ь-допустимых функций fj, j = 1,..., в + I, следует из теоремы 1 и замечания 2. Единственность сразу вытекает из замечания 2, леммы 4 и принципа максимума.

Доказательство теоремы 3.

Зафиксируем г < I. Из теоремы 1 следует существование на М такой функции щ € Щ(М), что щ ~ на А и щ ~ 0 на Dj, j = 1,... ,1 + в, j ф i. Отметим, что в силу принципа максимума щ € ВНь(М). Из того, что ив1 ф 0 на А следует линейная независимость набора функций откуда получаем оценку

Отметим, что данная оценка будет точной, так как в силу следствия 1 на Ь-субтильном конце всякая ограниченная Ь-гармоническая функция слабо эквивалентна нулю.

Из леммы 3 следует существование на каждом Ь-субтильном конце неограниченной неотрицательной Ь-гармонической функции. Тогда, учитывая теорему 1 и принцип максимума, получаем оценки

Доказательство теоремы 4.

Отметим, что в силу леммы 6 в условиях теоремы 4 каждый Ь-массивный конец является Ь-строгим.

Ш < <Рк < Щ-

г=1

&тВЩ(М) > I.

сЦтШГ^М) > в + I, (Ит1^(М) > в + 1.

Пусть / — произвольная ограниченная Ь-гармоническая на М функция. Зафиксируем і < I. В силу теоремы 2 и принципа максимума, на М существует такая функция щ Є ВНь(М), что щ ~ иві на А, иві ~ 0 на остальных Ь-массивных концах и — О на всех Ь-субтильных концах.

Из леммы 7 следует существование таких констант (61, 62, - - -, ), что / ~

і = 1Отметим, что функция

і

/* = / “ Л Ьіи'і

г=1

такова, что /* ~ 0 на Ві,Ві и /* ограничена на М. Учитывая лемму 4 и принцип максимума, получаем, что /* = 0 и, соответственно,

і

/ =

г=1

откуда, в силу линейной независимости функций {иі}^=1, следует, что ^тВЕІі(М) = /.

Действуя совершенно аналогично и используя лемму 5, получаем требуемые оценки размерностей конуса Н^

Теорема 4 доказана.

Примечания

1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект № 10-01-97004-р_поволжье_а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Григорьян А. А. О размерности пространств гармонических функций / А. А. Григорьян // Мат. заметки. — 1990. — Т. 48, вып. 5. — С. 55-61.

2. Корольков, С. А. Гармонические функции на римановых многообразиях с концами / С. А. Корольков // Сиб. мат. журн. — 2008. — Т. 49, № 6. — С. 1319-1332.

3. Корольков, С. А. О гармонических функциях на римановых многообразиях с квазимо-дельными концами / С. А. Корольков, А. Г. Лосев, Е. А. Мазепа // Вестн. СамГУ. Математика. — 2008. — № 3. — С. 175-191.

4. Корольков, С. А. Решения стационарного уравнения Шредингера на многообразиях с квазимодельными концами / С. А. Корольков, А. Г. Лосев // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Сер. Естественные науки. — 2009. — № 1. — С. 9-14.

5. Лосев, А. Г. Некоторые лиувиллевы теоремы на римановых многообразиях специального вида / А. Г. Лосев // Изв. вузов. Математика. — 1991. — № 12. — С. 15-24.

6. Лосев, А. Г. О поведении ограниченных решений уравнения Шредингера на некомпактных римановых многообразиях / А. Г. Лосев, Е. А. Мазепа // Вестн. ВолГУ. Сер. 1, Математика. Физика. — 1998. — Вып. 3. — С. 32-43.

7. Лосев, А. Г. Ограниченные решения уравнения Шредингера на римановых произведениях / А. Г. Лосев, Е. А. Мазепа // Алгебра и анализ — 2001. — Т. 13, вып. 1. — С. 84-110.

8. Лосев, А. Г. Стационарное уравнение Шредингера на римановых произведениях / А. Г. Лосев, Е. А. Мазепа // Вестн. ВолГУ. Сер. 1, Математика. Физика. — 1999. — Вып. 4. - С. 37-51.

9. Лосев, А. Г. Теоремы типа Лиувилля на некомпактных римановых многообразиях / А. Г. Лосев // Вестн. ВолГУ. Сер. 1, Математика. Физика. — 1998. — Вып. 3. — С. 18-31.

10. Мазепа, Е. А. Краевые задачи для стационарного уравнения Шредингера на римановых

многообразиях / Е. А. Мазепа // Сиб. мат. журн. — 2002. — Т. 43, № 3. — С. 591-599.

11. Grigoryan, A. Analitic and geometric background of recurrence and non-explosion of the

Brownian motion on Riemannian manifolds / A. Grigor’yan // Bull. Amer. Math. Soc. — 1999. - V. 36. - P. 135-249.

12. Kim, S. W. Generalized Liouville property for Shrodinger operator on Riemannian manifolds / S. W. Kim, Y. H. Lee // Math. Z. - 2001. - V. 238, № 2. - P. 355-387.

13. Li, P. Harmonic functions and the structure of complete manifolds / P. Li, L. F. Tam

// J. Diff. Geom. - 1992. - V. 35, № 2. - P. 359-383.

14. Losev, A. G. Unbounded solutions of the Stationary Shrodinger equation on Riemannian manifolds / A. G. Losev, E. A. Mazepa, V. Y. Chebanenko // Computational Methods and Function Theory — 2003. — V. 3, № 2. — P. 443-451.

SOLUTIONS OF ELLIPTIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS ON RIEMANNIAN MANIFOLDS WITH ENDS

S.A Korolkov, A.G. Losev

We study solutions of elliptic PDE (L-harmonic functions) on arbitrary noncompact Riemannian manifolds with finitely many ends. We establish some existence and uniqueness results, and obtain sharp dimension estimates for L-harmonic functions on such manifolds.

Key words: Boundary problems, Liouville type theorem, Riemannian manifolds, L-harmonic functions, L-massive sets.