О выполнении условия полной пластичности при плоском деформированном состоянии

УДК 539

О ВЫПОЛНЕНИИ УСЛОВИЯ ПОЛНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ ПРИ ПЛОСКОМ ДЕФОРМИРОВАННОМ СОСТОЯНИИ

М.А. Артемов, Н.П. Бестужева, Н.С. Потапов

В рамках теории малых деформаций решена упругопластическая задача о толстостенной круговой цилиндрической трубе, находящейся под действием внешнего и внутреннего давления, когда в пластической зоне выполняется условие полной пластичности. Показано, что при условии полной пластичности решение возможно лишь при определенной зависимости давлений, действующих на стенки трубы. Решение приведено для сжимаемого и несжимаемого упругопластического тела

Ключевые слова: идеально пластический материал, условие полной пластичности, плоская деформация

Рассматривается толстостенная цилиндрическая труба из материала, проявляющего как упругие, так и пластические свойства. Будем считать, что давление, действующее на внешнюю стенку трубы — рь и давление, действующее на внутреннюю стенку трубы — ра, таковы, что часть трубы находится в пластическом состоянии. Обозначим через

а, Ь — радиус внутренний, внешний границы трубы, а через с — радиус упругопластической границы соответственно. Для вычислений используется цилиндрическая (г, в, z) система координат, ось 02 которой направлена по оси симметрии трубы.

Если материал находится в упругом состоянии, то компоненты тензора напряжений, радиальная компонента вектора перемещений и компоненты тензора деформаций определяются по формулам [1]

в

°гв= А +-у, =^(<?г +°в) = 2vA,

г

и = ^+^[ А(1 - 2^)г + — ],

1 + Гв

ег,в = —Е~[А(1 - 2^) +~]

Е г

где V — коэффициент Пуассона, Е — модуль Юнга. Для несжимаемого материала коэффициент Пуассона V = 0,5, поэтому осевая компонента тензора напряжений 7 2 = А = (7г + 7в) / 2 .

При определенном значении давлений на внешней и внутренней стенке трубы в случае, если коэффициент Пуассона V Ф 0,5 , в некоторых точках упругой зоны осевая компонента тензора напряжений может иметь то же значения, что и радиальная или окружная компоненты тензора напряжений.

Рассмотрим случай, когда во всех точках пластической зоны, включая упругопластическую границу, выполняется одно из равенств 72 = 7г или = 7в. Для данных случаев качественная картина

Артемов Михаил Анатольевич — ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (4732) 46-32-85 Бестужева Наталья Петровна — ВГТУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, тел. (4732) 46-32-85

Потапов Николай Сергеевич — ВГУ, аспирант, тел. (4732) 208-337

распределения напряжений приведена на рис. 1 — 2. Рассмотрим оба варианта.

Рис. 1. Цифрами 1 и 2 указано положение оси г , когда в пластической зоне выполняется равенство 72 = 7г и

давление на внешней границе рь > 0

Рис. 2. Цифрами 1 и 2 указано положение оси г для случаев, когда в пластической зоне выполняется равенство 72 =7г и давление на внешней границе рь < 0 (А>0; В>0) и когда в пластической зоне выполняется равенство 72 = 7в и давление рь < 0 (А<0; В>0) соответственно

Если на упругопластической границе г = с выполняется равенство 72 =7г , то из формул

для компонент тензора напряжений следует, что константы интегрирования А и В связаны соотношением

D

— = (1 - 2v) А:

Поскольку коэффициент Пуассона может изменяться в пределах [4] 0 < v < 0,5, то из равенства (2) следует, что знаки констант интегрирования A и B , входящих в формулы (1), совпадают:

sign(A) = sign(B).

Учитывая (2), для радиальной и окружной компонент тензора напряжений будем иметь

С 2

агв = A(1 + (1 -2v)—).

r

Используя граничное условие ^ = -ръ при r = b , находим, что

A =•

b 2 - (1 - 2v)c 2

Итак, с учетом равенства (2), (3) радиальная и окружная компоненты тензора напряжений в упругой области (с < г < Ь) принимают вид:

-(1 + (1 - 2v)—).

b 2 - (1 - 2v)c2

2

Ь 2 - (1 - 2v)c

Из (3) следует, что sign(A) = -sign( рь).

Аналогично, если на упругопластической границе г = с выполняется равенство 72 = 7в, то

B

= -

A =

- Pbb2

sign

Таким образом, решение в области упругого состояния, при выполнении равенства 72 = 7в (или 72 =7г) на упругопластической границе, полностью определяется, если известно давление на внешней границе трубы и радиус упругопластической границы, разделяющий области упругого и пластического состояния материала.

Распределение напряжений в пластической

зоне

Предположим, что в пластической зоне выполняется условие полной пластичности [2]

у в — y r = ak, y z = ст r, в r

a = sign(ae—ar), k = const.

На границе r = a радиальная компонента тензора напряжений <yr = — pa , поэтому распределение напряжений в пластической зоне будет определяться по формулам [3]:

7г = -ра + ак ^—, 7в = 7г + ак, 72 =7г.

а

Из условия непрерывности компонент тензора напряжений на упругопластической границе

[7г ] = [7в] = 0,

условия пластичности (6) и соотношения (2) следует, что коэффициенты А и В , входящие в формулы (1) можно вычислять по следующим формулам:

А =

ак

2

В = —С 2.

2

Из условия (8) также получаем формулу для определения радиуса упругопластической границы

ар а c = a exp(—:----+

к

).

Из равенств (5), (10) находим соотношение, определяющее зависимость между величиной давления рь на внешней стенке трубы и величиной давления ра на внутренней стенке трубы

ак 1 а 2 „

Pb =----------(-----------+ _г exp ( ,

2 1 - 2v b2 (1 - 2v) к

v ара

)+~^~)).

Из формул (5), (9) следует, что при условии полной пластичности (6) знак величины давления на внешней границе должен совпадать со знаком разности радиальной и окружной компонент тензора напряжений 7г -7в в области пластического состояния материала.

Если в пластической зоне выполняются условия

а(7в-7г) = к, 72 = 7 в ,

то радиальная и окружная компоненты тензора напряжений будут определяться по формулам (7), а осевая компонента будет равна окружной. Формулы (9) — (11) в рассматриваемом случае будут иметь вид

c = a exp(-

аР1

Pb =

vodi

7 a 2dPa

---------wod—- exp (—a------------

2

A =

-vак 2

sign(a) = sign( Pb).

Кинематические величины в пластической

зоне

Если условие пластичности не зависит от гидростатического давления, то следствием ассоциированного закона пластического течения является равенство нулю следа тензора скоростей пластических деформаций. Если до нагружения пластические деформации отсутствовали, то после нагружения пластические деформации будут связаны соотношением

е? +ев +ер = 0.

Поскольку в случае плоской деформации осевая компонента деформации е2 = 0, то в зонах упруго-

с

V

2

2

Г

2

с

)

),

го и пластического состояния материала будет иметь место равенство, вытекающее из закона Гука

Е(ег +ев) = (1 - 2^)(27г + 7в+7z ) .

В пластической зоне при выполнении условия

7 г =7z

Е

Поскольку для цилиндрической системы координат компоненты тензора малых деформаций связаны с компонентами вектора перемещений соотношения-

du u

ми [1] ег =—, е в = —, то из (12), учитывая фор-

dг г

мулы (7), получаем уравнение для определения радиальной компоненты вектора перемещений

du u 1 - 2v

dr г E Решая это уравнение, находим

т- С ^,3ак г ак 3pa

Eu _ — + (1 - 2^)(— 1ё------ ------а-)г .

г 2 а 4 2

Величина С определяется из условия непрерывности радиальной компоненты вектора перемещений на упругопластической границе

С _ ак(5 - 4у) с2 4 С '

Компоненты тензора деформаций будут определяться по формулам

Еєв _ак (5 - У 2 + (1 - 2у)(а 18 Г - _0*).

4г 2 а 2 4

Еег =_ШУ:р^+(1 - 2,.)(М 18 г -а),

4г2 2 а 2 4

Из соотношений закона Гука, учитывая формулы (7), находим компоненты тензора упругих деформаций

е 1 -2V . 1 л г. ак

ев =-Е- (~ра +ак 1§ -) + -ЕТ >

Е а Е

е 1 - 2 V . м г ак

ег =—=Т~ (-р а +ак 1^-)-^ —,

Е а Е

е 1 - 2у , 11 г \ а

е г =(-р а +ак 1^)-^— •

Е а Е

Компоненты тензора пластических деформаций в пластической зоне определяем как разность компонент полных и компонент упругих деформаций

1 - 2у

2Е

(ак 1^ - Ра ——) —— +

ак ак ак (5 - 4^)с

2

Е

,р _

1 - 2у

2Е

5ак уак ак(5 - 4^)с

(ак ^-Ра +—-) +— -

р 1 - 2 V . , , г ч уак

єр _-----------(-ра + ак ^-)+ —-.

Е

Е

Особенностью выбранной модели является то, что напряженное состояние, соответствующее условию полной пластичности, реализуется лишь при определенных значениях внешних нагрузок (формула (10)). То есть, при предположении, что выполняется условие полной пластичности, можно задавать лишь давление на одной из стенок трубы, например, на внутренней, а на внешней стенке давление будет определяться из решения задачи. Можно также отметить, что распределение деформаций в пластической зоне было найдено без привлечения уравнения связи пластических деформаций и напряжений. Действительно, пластические деформации были найдены из рассмотрения закона Гука для следа тензора напряжений и упругих деформаций Е(г (ее) = (1 - 2у)^ (у), представления деформаций в

виде суммы упругих и пластических е = ее + ер , а также условия несжимаемости пластических деформаций (г(ер) = 0 .

Условие пластичности общего вида

Приведенное выше решение получено для специального условия пластичности (6). Можно рассмотреть более общее условие пластичности вида

/ (/г(ст),&(й2), гг (а3)) = 0.

При условии равенства двух главных напряжений, например, 73 = 7} все инварианты тензора напряжений будут определяться через компоненты 72 и 7} , поэтому

/

Если удается разрешить уравнение (14) относительно одной из компонент, например,

72 = g (71),

то можно получить аналитическое решение для напряжений в пластической зоне.

Влияние пластической сжимаемости

Рассмотрим вопрос о влиянии как упругой, так и пластической сжимаемости на характер распределения напряжений и деформаций в пластической зоне. Исследование проведем для случая, когда напряженное состояние в пластической зоне определяется системой уравнений

\а7в+Р7г + Г7г = к,

17г = 7г .

Постоянные коэффициенты а + в +у Ф 0 .

Распределение напряжений в пластической зоне, при выполнении условий (15), будет иметь вид

С,

к

к

2

Е

°г г\+р/а

РСХ

а+ в'

а+в аг1+в/“

а

р

а

Па =

в

а

Константа интегрирования С1 определяется из условия задания вектора напряжений р п на границе (внешняя или внутренняя поверхность трубы) у • п _ р п . Так, если на внутренней границе трубы, имеющей радиусы а и Ь, (Ь > а),

аг I г_а _-ра ,

то

аг _-ра (-)3+0-(1 - (-)д), г ад г

ав-1--в-р„

а а г ад г

где б = (в / а +1). Параметр б отражает зависимость свойств пластического материала от гидростатического давления. Значение б = 0 соответствует случаю материала нечувствительного к гидростатическому давлению.

При б ^ 0, выполняя предельный переход в (16), (17), приходим к формулам (7).

Из условия непрерывности компонент тензора напряжений (8) получаем уравнение для определения радиуса упругопластической границы

с _ -

ад

к

ку

адра + к ( ад а - (а - вУ

и уравнение, устанавливающее зависимость напряжения на внешней и внутренней стенке трубы, при которой в пластической зоне будет выполняться условие полной пластичности

- 2рьь2у г габ I к П Габ

(ь ^ - (1 - у 2) ^ а >

Поле перемещений в пластической зоне получаем из решения уравнения (13).

к

Е

С

и —---+ "

3к г 2а - в к ч,ачд

------------------— (------+ ра)( )о г .

1 - 2у г а + в 2 а - в ад г

Величина С определяется из условия непрерывности радиальной компоненты вектора перемещений на упругопластической границе

С _

к (1 + у)с2

3к с2

+

а - у(а - в) а + в 2

+ ра )(- б 2

а - в ао с

Компоненты тензора деформаций в пластической зоне определяем через перемещения по формулам Коши

Е

1 - 2у

3к 1 2а - в к ч,ачд С

7-------------в (~д + ра )(_)° +—

а + в 2 а- в ад г г 2

Е 3к 1 в 2а - в к ч,ао С

">—Vе г =------+-----------в р а)(_) Т.

1 - 2у а + в 2 а а - в аб г г 2

Компоненты тензора упругих деформаций в пластической зоне определяем через компоненты тензора напряжений, используя соотношения закона Гука

Еев =к - (2у+^)[-ра (а )б+^~ (1 - (а )б)], а а г аб г

7—г е к вчг /ачб к а §

Ее г = -у —+ (1 - у + у )[-ра (-) + — (1 - (-) )], а а г аб г

ее е г = е г .

Компоненты тензора пластических деформаций определяем как разность «полных» деформаций и упругих:

р е С (1 - 2у) 3к 1 - 2у

ев = ев - ев = —±——1 + -

Е г2 а+в 2Е

2а-в 1 - 2у . к ч/а чд к

------—-------(—+ра)(-)°------+

т—т ' о (Л ' ' ' т—т

а - р Е ад г аЕ

+~(у+в)[-ра (-/+а (і - (£)д л,

Е а г ад г

р е С (1 - 2у) 3к 1 - 2у

єр _єг -єег _-------- —^- +-----------------------+

Ег в 2а- в 1 - 2у( к

а+в 2Е

, - ч/ачд У

О Е д + ра)(_) +~Е ~

а а - в Е ад г аЕ

1/і в\\ /^д к а д

(1 - V + V ——)[-р а (-Г + — (1 - (“Г)], Е а г ад г

На рис. 3 - 5 приведены графики изменения безразмерных компонент тензора напряжений, получаемых делением на предел пластичности к . По

г

оси абсцисс - безразмерный радиус р_ —.

а

Рис. 3. Распределение радиальных напряжений

а

р е ^ рее

є _ є - є ^ є _ -є _ -є .

График под номером 1 соответствует пластически несжимаемому материалу (радиус упругопластической границы с = 2,117 ); под номером 2 - сжимаемому материалу при значениях коэффициентов

а =-0,98, ß = 1,04 (с = 2,155); под номером 3 -сжимаемому материалу при значениях коэффициентов а = -0,95 , ß = 1,1 (с = 2,222 ); под номером 4 -сжимаемому материалу при значениях коэффициентов а = -0,9, ß = 1,2 (с = 2,37). При построении графиков в расчет принимались следующие значения параметров: v = 0,3 , к = 200 МН / м2,

pa / к = 0. Из приведенных графиков видно, что

учет пластической сжимаемости оказывает существенное влияние на значение компонент тензора напряжений, а также на радиус упругопластической границы.

Литература

1. Соколовский В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. - М.: Высшая школа, 1969. - 608 с.

2. Хаар А. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах / А. Хаар, Т. Карман. — Теория пластичности. — М.: ИЛ, 1948. — С. 41-56.

3. Качанов Л. М. Основы теории пластичности / Л. М. Качанов. — М.: Наука, 1969. — 420 с.

4. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н.Н. Малинин. — М.: Машиностроение, 1975. — 400 с.

5. Новацкий В. Теория упругости / В. Новацкий. — М.: Мир, 1975. — 872 с.

6. Генки Г. О некоторых статически определимых случаях равновесия в пластических телах / Г. Генки. — Теория пластичности. — М.: ИЛ, 1948. — С. 41-56.

7. Радаев Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности. Самара : СГУ, 2004. — 147 с.

8. Артемов М.А. Соотношения пространственной задачи теории пластичности при условии полной пластичности / М.А. Артемов, Н.С. Потапов. — Современные проблемы математики, информатики и механики. Материалы международной научной конференции. — Тула : ТулГУ, 2009. — С125-129.

Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет

THE IMPLEMENTATION OF FULL PLASTICITY CONDITION AT FLAT STRAIN STATE

M.A. Artemov, N.P. Bestuzheva, N.S. Potapov

Within the bounds of the small strain theory it is solved the elastoplastic problem of thick-walled circular cylindrical tube under the action of external and internal pressure, when in the plastic zone the total plasticity conditions are implemented. It is shown that under the full plasticity condition the solution is possible only with a defined value of relationship between the pressures acting on the pipe wall. The solution is presented for compressible and incompressible elastoplastic body

Key words: ideal plastic material, full plasticity conditions, flat deformation