Павел Мнев, "Комбинаторные и аналитические кручения"

Павел Мнев, "Комбинаторные и аналитические кручения"

Название: "Комбинаторные и аналитические кручения"
--------
Аннотация:

Кручение - далекое обобщение понятия (супер-) детерминанта, сопоставляемое цепному комплексу с некоторой дополнительной структурой (выделенным классом базисов или скалярным произведением).
Применительно к топологическим пространствам, инвариант типа кручения, построенный Райдемайстером, способен различать гомотопически эквивалентные пространства. В частности, с помощью кручения Райдемайстера была решена задача классификации линзовых многообразий с точностью до гомеоморфизма.

Кручение Райдемайстера нашло концептуальное объяснение в рамках теории простого гомотопического типа Уайтхеда. Простая гомотопическая эквивалентность для клеточных комплексов порождена локальными перестройками - элементарными расширениями и схлопываниями. Кручение Уайтхеда - (полное) препятствие к выправлению гомотопической эквивалентности в простую гомотопическую эквивалентность.

Аналитическое кручение Рэя-Зингера строится по риманову многообразию и является произведением степеней дзета-регуляризованных детерминантов лапласианов действующих на p-формы с коэффициентами в локальной системе. Аналитическое кручение - "де Рамовский партнер" кручения Райдемайстера (ср. когомологии де Рама и клеточные когомологии).
Теорема Чигера-Мюллера устанавливает равенство этих кручений, сравнивая асимптотическое поведение кручения Райдемайстера при измельчении клеточного разбиения с детерминантами лапласианов в кручении Рэя-Зингера.

С точки зрения теории поля, кручение естественно возникает как гауссов функциональный интеграл - однопетлевая часть пертурбативной статсуммы в топологических квантовых теориях поля (теории Черна-Саймонса, BF-теории, теории Зайберга-Виттена).

В рамках мини-курса планируется дать обзор кручений (Райдемайстера, Уайтхеда и аналитического) и их приложений (например, классификация линзовых пространств, вычисление Виттена объема пространства модулей плоских связностей на поверхности), насколько хватит времени.