Расчет надежности фланговых сварных швов по критерию прочности при ограниченной информации с использованием неравенства Чебышева

строительные материалы и конструкции

Расчет надежности фланговых сварных швов по критерию прочности при ограниченной информации с использованием неравенства Чебышева

А.Н. Редькин, B.C. Уткин

В последнее время к проблеме оценки надежности конструкций и машин обращено внимание во всем мире, особенно к конструкциям повышенной ответственности. Поводом для этого послужили аварии зданий и сооружений, машин и транспортных средств. Авария на Саяно-Шушенской ГЭС, обрушение свода Аквапарка в Москве потребовали провести работу по диагностике существующих сооружений подобного типа и, при необходимости, их модернизацию, как и других объектов, безопасность которых должна быть оценена теми или иными методами для предупреждения их разрушения или другого вида отказа.

Не случайно в 2008 году вышел стандарт организации СТО 36554501-014-2008 «Надежность строительных конструкций и оснований» ФГУП научно-исследовательского центра «Строительство», где предписывается об обязательном расчете надежности зданий и сооружений первого и второго уровня ответственности.

Многие здания и сооружения содержат несущие элементы, выполненные из металла. Более 85% соединений элементов в металлических конструкциях — это сварные соединения различных видов. Исследования показали, что наиболее часто разрушение элементов металлических конструкций начинаются из-за разрушения сварных швов. Причиной этого является концентрация напряжений или дефекты самого сварного шва [1]. В связи с этим оценка надежности сварных соединений имеет большое практическое значение.

Сварные соединения представляют собой, в понятиях теории надежности, механическую систему, состоящую из отдельных элементов (сварные швы, свариваемые детали, фасонки и т.д.). Надежность таких систем определяется надежностями отдельных элементов и структурной схемой, в понятиях теории надежности. Даже отдельный сварной шов можно рассматривать как систему, состоящую из элементов в виде швов длиной. На практике задачу упрощают и шов рассматривается как один элемент. Расчеты сварных швов в детерминированной постановке по предельным состояниям проводятся при допущении равномерного распределения напряжений по длине шва [1].

В данной статье рассматривается задача определения надежности флангового сварного шва стальных конструкций при учете изменчивости нагрузки и прочности стали. Отличительной особенностью рассматриваемого вопроса является оценка надежности индивидуального объекта (сварного соединения) в условиях ограниченной статистической информации об одном из параметров математической модели, когда применение вероятностных методов для анализа неопределенностей становится некорректным.

Рассмотрим предлагаемую методику расчета надежности фланговых швов по критерию прочности на конкретном примере растянутого стержня фермы, фрагмент которого изображен на рис. 1.

Фланговые швы и свариваемые листы в сварных соединениях можно рассматривать как систему с последовательным соединением элементов, в понятии теории надежности, в которых отказ одного элемента приводит к отказу всей системы, т.е. всего соединения. Известно [1], что распределение напряжений по длине сварного шва неравномерное, что подтверждается появлением трещин в швах на участках 1 и 2 (см. рис.), где создаются концентрации напряжений Ттах:

по [1] Ттах = аР [1 + сЬа/ ]/(4р, к, зЬ а/), (1) где а = д/40 / (ЕА) . Здесь О — модуль сдвига;

F <

иииииииииииииииииии

III

/

L

X

1

Гт>--

Aftm ПРИ Л- < ^

Рисунок 1. Фрагмент соединения стальных листов фланговыми швами и эпюра напряжения т при А1 < А2.

строительные материалы и конструкции

Е — модуль упругости стали, Л2 — площадь поперечного сечения соединяемых листов, I — расчетная длина шва, к) — катет шва, Р^ — коэффициент для расчета углового шва по металлу шва.

Распределение усилия Р на участках 1, 2, 3, 4 и Тх неравномерное по длине шва (см. рис.1), что вызвано неоднородностью качества сварных швов по их длине, наличием возможного эксцентриситета растягивающего усилия Р, отклонениями геометрических параметров и т.д.

Наибольшая вероятность разрушения, как показала практика, имеется в начале сварных швов на участках 1, 2 где наибольшие касательные напряжения (см. рис.), определяется по (1).

С учетом изменчивости продольной силы Р уравнение (1) можно записать в виде:

~max = aF [1 + cha/ ]/(4Pf kf sh a/).

Как практически можно выявить распределение усилия Р по швам? Для этого устанавливают измерители деформаций на элементе с площадью и с помощью пробной нагрузки или разгрузки определяют значения ^ и е(. Нагрузка распределяется пропорционально деформациям Р ( = = Р[е1/(е1 + е2)], Р2 = Р[е2/(е, + е2)]. В такой же пропорции распределяются и эксплуатационные нагрузки, одна из которых будет наибольшей, например Р1ЭКС = Р1.

С учетом (2) математическую модель предельного состояния по критерию прочности в элементах 1, 2 можно представить в следующем виде:

т < т

xmax ~ lПР,

где %пР — предельное значение касательных напряжений (предел прочности металла шва на срез), которое рекомендуется определять методом царапания [Патент на изобретения №2308018 РФ «Устройство для определения твердости металлов методом царапания»]. Этим методом можно получить полную информацию о Т^ и считать ее случайной величиной.

Для общности обозначим Т = X, а Т™ = Y.

max ПР

Математическая модель предельного состояния примет вид X < Y, а событие отказа X > Y (3).

В работе авторов [3] была приведена методика расчета надежности сварного флангового шва с использованием возможностных методов расче-

та надежности. В этой методике все базовые параметры математических моделей предельных состояний в силу неполноты статистической информации о них принимались в виде нечетких переменных (в терминологии теории возможностей) и надежность системы или отдельного ее элемента характеризуется интервалом [Р, Р], где Р, Р — соответственно нижнее и верхнее значения вероятностей безотказной работы. Недостатком данного метода является субъективное назначение уровня среза (риска) а, что снижает достоверность результатов и дает широкий интервал [Р, Р], т.е. малоинформативный.

Рассмотрим ситуацию, которая нередко встречается на практике, например, при экстренной оценке надежности несущих элементов после пожаров, взрывов, стихийных и других бедствий и в которой известно о параметре лишь значения статистического математического ожидания тх и дисперсии Б^ (закон распределения неизвестен). В этом случае вероятностно-статистические методы расчета надежности не применимы, а для описания параметра х нами предлагается использовать функции распределения, полученные на основании известного неравенства Чебышева [4], которое для X и любого числа к > 0 можно представить в виде Р(|х - тх|) > к < Бх2/к2.

Можно доказать, на основании приведенного неравенства Чебышева для нечеткой переменной X (в терминологии Чебышева для случайной величины), что при наличии о ней среднего тх и дисперсии Б^ можно ее описать функциями распределения в виде нижнего Р(х) и верхнего Р(х) распределений:

Px (x)-

S 2

Рх (x) =

—, если x < mx

К - x)2 + S\

1, если x > mx 0, если x < mx

1 - mx / x, если mx < x < mx + Sx2 / mx

(mx - x)2

(mx - x)2 + Sx2

если x > mx + Sx / mx

.

Соответственно можно найти по (4) плотности распределения X, называемые нижней и верхней функциями плотностей распределения и получаемые через производные от Рх(х) и Рх(х) по х. С учетом математических преобразований получим:

строительные материалы и конструкции

РхОО =

2(тх - x)Sx

2 '

если х < т„

Рх(х) =

[(mx-x)2+Sx2] О, если х > ту

если х < ту

тх / х , если тх < х <

-2(тх - x)Sx

[(mx-*)2+Sx2}

-, если х >

Известно, что по правилам классической теории надежности [5, 6, 7, 8] определения вероятности отказа при стохастически независимых случайных величинах X вектора переменных X с плотностью распределения рх(х ) = Рх1(х1) • Рх2(х2) - Рхп(хп) для последовательной системы определяется по общей формуле

а= ¡^¡ПРхМ^х, ,

Q = JJ Рх (x )PY Mdydx.

V

Q = JJ Рх (x )PY (y)dydx

Так как область отказа по (3) для сварного шва увеличивается при увеличении х, то для О используем под интегралами верхнюю функцию плотности рх(х). С ростом У (прочности) по V — убывает, поэтому для О берется нижняя функция ру(у). Для О все наоборот.

Рассмотрим методику расчета надежности или отказа флангового шва для математической модели (3), где X — обобщенная нагрузка, У — обобщенная прочность. Для описания одной (нечеткой) переменной — нагрузки X используем функции распределения (4).

Другой параметр, характеризующий прочность, У будем рассматривать случайной величиной с нормальным законом распределения с плотностью рас-

_ (У _ту )2

/ \ 1 2БУ пределения ру (у) =--¡= е у . Вместо нормального распределения для У можно использо-

вать другие существующие распределения для случайной величины.

В этом случае с учетом (3), (6), (7) и нормального распределения У в общем виде будем иметь

Q = J J Рх (x)PY (y)dxdy,

X >Y

Q = J J Рх (x)Py (y)dxdy.

X >Y

Расчетные формулы для значений вероятностей отказа по (8) с учетом (3) и (5) примут вид:

2 = J Ш

(У-mY )2

•J2nSY

+

J

1

-2(mX - x)Sx J_(

[(mx - x)2 + Sx2 ]2

dydx +

(У-mY )2

dydx,

Q =

•"X

J

2(mx - x)Sx2

o [(mx - x)2 + Sx2 ] o

f_L_

(y-mY )2 - 2SY

dydx.

где V — область отказа, п — число параметров (случайных величин) в модели предельного состояния.

С учетом (3), (5) и (6) расчетные формулы для значений отказа, при независимых и нечетких х и У, примут вид

Рассмотрим пример. Пусть известны параметры для расчета надежности сварного флангового шва тх = 290 МПА, ту = 300 МПА, Бх = 5 МПА, Бу = 6 МПА.

После подстановки в (9) численных значений параметров с помощью компьютерных программ получим значения вероятности отказа, равные О = 0,00983 и О = 0,31299. Таким образом, вероятность отказа характеризуется интервалом [0,00983; 0,31299]. Надежность шва будет характеризоваться интервалом [0,68701; 0,99017].

Выводы.

1. Использован новый подход к характеристике переменной на основе неравенства Чебышева.

2. Предложена методика расчета надежности сварного шва при ограниченной статистической информации об одном параметре математической модели предельного состояния и полной информации о другом параметре.

3. Предложенная методика расчета надежности сварного шва может быть использована для других конструктивных элементов и других математических моделей предельных состояний.

Литература

1. Николаев, Г.А. и др. Сварные конструкции. Прочность сварных соединений и деформации конструкций. Учебник / Г.А.Николаев, С.А. Куркин, В.А.Винокуров. — М.: Высшая школа, 1982. — 272с.

o

m

X

строительные материалы и конструкции

2. Леонтьев, Н.Н и др. Основы строительной механики стержневых систем: Учебник / Н.Н.Леонтьев, Д.Н Соболев, A.A. Амосов. — М.: Изд-во АСВ, 1996. — 541 с.

3. Уткин, B.C. Расчет надежности механических систем при ограниченной статистической информации. Монография / В.С. Уткин, Л.В. Уткин. — Вологда, ВоГТУ, 2008. — 188 с.

4. Ушаков, И.А. Вероятностные модели надежности информационно-вычислительных систем / И.А. Ушаков. — М: Радио и связь, 1991. — 132 с.

5. Шпете, Г. Надежность несущих строительных конструкций /Г, Шнете. — М.: Стройиздат, 1994. — 288 с.

6. Аугусти, Г. Вероятностные методы в строительном проектировании / Г. Аугусти, А. Баратта, Ф. Кашмата. — М: Стройиздат, 1988. — 580с.

7. Райзер, В.Д. Теория надежности в строительном проектировании /В.Д. Райзер. — М.: Изд. АСВ, 1998. — 304 с.

8. Ржаницын, А.Р. Теория расчета строительных конструкций на надежность / А.Р. Ржаницын. — М: Стройиздат, 1978. — 239с.

9. Дюбуа, Д. Теория возможностей: Приложения к представлению знаний в информатике / Д.Дюбуа, А.Прад.- М: Радио и связь, 1990. — 288 с.

Расчет надежности фланговых сварных швов по критерию прочности при ограниченной информации с использованием неравенства Чебышева

Предложен новый метод расчета надежности сварного флангового шва при наличии ограниченной статистической информации об одном пара-

метре математической модели предельного состояния и полной информации о другом параметре. Для описания первого параметра с известными статистическим математическим ожиданием и дисперсией используется функции распределения, полученные на основе неравенства Чебышева. Для описания второго параметра с полной информацией используется нормальное распределение. Значение надежности находится в интервальном виде.

Calculation of reliability of flank welded seams by criterion of durability at the limited information with use of an inequality of Chebysheva

by A.N. Red'kin, V.S. Utkin

The new method of calculation of reliability of a welded flank seam in the presence of the limited statistical information on one parametre of mathematical model of a limiting condition and the full information on other parametre is offered. For the description of the first parametre with known for a statistical population mean and a dispersion it is used the functions of distribution received on the basis of an inequality of Chebysheva. For the description of the second parametre with the full information normal distribution is used. Value of reliability is in an interval kind.

Ключевые слова: надежность, прочность, функции распределения, неравенство Чебышева, интервал надежности.

Key words: reliability, durability, distribution functions, an inequality of Chebysheva, reliability interval.