Конечные деформации сплошного цилиндра из несжимаемого упругого анизотропного материала

УДК 539.3

КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ СПЛОШНОГО ЦИЛИНДРА

ИЗ НЕСЖИМАЕМОГО УПРУГОГО АНИЗОТРОПНОГО

МАТЕРИАЛА

М.Ю. Соколова, В.В. Рудаков

Получено аналитическое решение задачи об определении напряженно-деформированного состояния сплошного анизотропного цилиндрического тела из несжимаемого материала в рамках тензорно-линейной связи между напряжениями и конечными деформациями. Рассмотрены цилиндры из однородных и неоднородных в отношении упругих свойств материалов. Исследовано влияние неоднородности на характер распределения напряжений в цилиндре.

Ключевые слова: конечные деформации, несжимаемость, цилиндрическая ор-тотропия, сплошной цилиндр, кручение.

Введение. В данной работе рассматривается анизотропный цилиндр, находящийся под действием крутящего момента и осевой силы. Материал цилиндра полагается цилиндрически ортотропным. Такой вид анизотропии является криволинейным, то есть характеризуется тем, что для разных его точек эквивалентными являются направления не параллельные, а подчиненные каким-то другим закономерностям. Если выбрать систему криволинейных ортогональных координат так, чтобы координатные направления ее в каждой точке совпадали с эквивалентными направлениями (в отношении упругих свойств), то бесконечно малые элементы, выделенные тремя парами координатных поверхностей, будут обладать одинаковыми упругими свойствами. Наоборот, элементы, образованные тремя парами ортогональных плоскостей, будут иметь, вообще говоря, различные упругие свойства.

Моделирование поведения цилиндра при такой общей схеме на-гружения позволяет рассмотреть два частных случая, соответствующих схемам известных экспериментов [2]. В экспериментах со сплошными цилиндрами могут быть реализованы схемы нагружения, соответствующие простому и чистому кручению [2]. Под простым кручением цилиндрического образца понимают схему деформирования с зажатыми торцами, а под чистым кручением - схему деформирования со свободными торцами.

В большинстве исследований [1, 4, 5, 8, 12] конечные деформации сплошного цилиндра при кручении рассматриваются в рамках гипотезы несжимаемости материала. В этом случае деформация цилиндра носит универсальный характер [5, 12]. В рамках различных определяющих соотношений нелинейной теории упругости удаётся описать экспериментально наблюдаемые эффекты при конечном кручении цилиндра [12], состоящие в удлинении цилиндра при чистом кручении и появлении осевой силы при простом кручении.

Задачи по определению напряжённо-деформированного состояния сплошного цилиндрического образца для изотропных упругих несжимаемых материалов в рамках различных моделей решены в работах [3, 4, 6, 10, 11].

1. Основные гипотезы и допущения. Рассматривается бесконечно длинный сплошной круговой цилиндр, находящийся под действием крутящего момента и осевой силы. Цилиндр изготовлен из несжимаемого упругого материала. Материал цилиндра обладает криволинейной анизотропией свойств и полагается цилиндрически ортотропным. Будем считать, что одна из осей анизотропии материала совпадает с осью цилиндра, а две другие лежат в поперечной плоскости. Известно [7], что в этом случае ненулевые значения имеют технические упругие характеристики Ег = Е ф,

Е2 - модули Юнга; УГф,уфг,у22,у2Г^ф2= V2ф - коэффициенты Пуассо-

на,0Г2=0 ф2; 0Гф - модули сдвига. В обозначениях упругих характеристик

использованы обозначения осей цилиндрической системы координат г, ф, г, связанной с цилиндром.

Рассмотрены цилиндры, материал которых однороден, а также цилиндры, материал которых обладает неоднородностью свойств в направлении радиуса. Примером такой неоднородности является изменение свойств материала древесины, связанное с различной плотностью годичных колец.

При рассмотрении деформаций цилиндра под действием крутящего момента и осевой силы используем две геометрические гипотезы: считаем, что поперечные сечения цилиндра остаются плоскими, а волокна, направленные вдоль радиуса - прямолинейными. В этом случае закон движения точек цилиндра задаётся соотношениями [13]

г = го0(го)>

<ф = фо+ zov, С1)

^ г = ^0^,

где го,фо,го,г,ф,г - цилиндрические координаты точек цилиндра в начальном и деформированном состояниях соответственно; Q(гo), V, ^ - параметры, задающие изменение радиуса, ответственные за кручение и осевое растяжение.

Если тензор истинных напряжений £ имеет в цилиндрической системе координат компоненты Бф2 и Б22, то выражение для осевой силы и крутящего момента имеет вид

Ро Ро 2

Р = 2п 1822го^о, М=2п | Бф2го ^о,

о о

где Ро - наружный радиус цилиндра в недеформированном состоянии.

254

2. Основные кинематические характеристики. Введём базис используемой цилиндрической системы координат в начальном состоянии

ё°,ёф,ё°. В деформированном состоянии базис цилиндрической системы ёг ,ёф ,ё2 связан с начальным базисом соотношениями

ёг = ё^соБ^ - ф0) + ё^Цф - ф0), ёф = -ег0Б1п

^ = А

или ё = • О? = 0Т • ё (1 = 2 ) .

Положение точки цилиндра в деформированном состоянии определяется радиус-вектором

х = гёг + 1ё2,

где г,2 определены законом движения (1).

о

Найдём аффинор деформаций Ф = V х, где

^ _о Э 1-0 Э о Э

V= ёг--1--еф--+ е2- - набла-оператор начального состояния.

Эго Го у Эф о Э2о

Поэтому тензор-аффинор в смешанном диадном базисе имеет представление

ф = г'ёГёг +—ёфёф + гуё°ёф + Хё^ ,

где г

го

, Эг

Эго '

С учётом соотношений

Мера деформаций Коши - Грина определена как О = ф • фт = фо • 02 • 02Т • ФоТ = Фо • ФоТ . После преобразований получим

соотношения

О = ( г')2 ёг«ё.° + 0гу( ё^ё" + ё^ё?)+ 02ёХ +(г2у2 +12) ёг0ёг°. (7) Определитель тензора равен ёё!О = (г')202Х2 . В недеформирован-

гл л 1 Л ^о -о-о , -о-0 , -о-о ном состоянии О = Х = 1,у = о, О = ёг ёг + ёфё^ + ё2ё2 .

Тензор деформаций Коши - Грина связан с тензором (7 выражени-

ем

и после преобразований диадное представление £ имеет вид

еАг'У-4%° +

+ 12{г2у2+Х2-1)ё?ё°.

Условие несжимаемости материала записывается в виде равенства единице определителя тензора (7):

/01 = 7.

С учётом (1) г' = {г0()(г0л))' = £?(гоД) + го0'(гоД а условие (10) сводится к дифференциальному уравнению относительно функции :

Щ Q

общий интеграл которого имеет вид

2 1 Сл = — н—В соответствии с (1) и

'о

2 1 2

полученным решением в деформированном состоянии г =—гд + .

X,

В сплошном цилиндре г| 0 = С\ = 0, поэтому искомая функция

го

в несжимаемом сплошном цилиндре постоянна по радиусу:

0 = - г=Ъ-

а соотношения (6), (7) и (9) преобразуются к виду

1 _0-0 , 1 -0^0 , г0Ч>-0-0

0^0

(

Л

Л ф ф VI

'ф

с1е1Ф0 =1

С=±ё°ё° +ШШ+ё9ё°)+±ё№ +

Г 2 2 ^

(

<^ = 1

,

£ =

\(\ Л

2и

-1

+

2 X

^22

1

2 у

е°ё° +

-0-0 е~ е~.

3. Определяющие соотношения для несжимаемого упругого материала. Запишем связь межу напряжениями и деформациями для несжимаемого упругого анизотропного материала. Удельная элементарная работа внешних сил d А(ё), равная изменению удельной потенциальной энергии П, представляется свёрткой

d А

Р о % %

где ро - плотность материала, Т - тензор энергетических напряжений, связанный с тензором напряжений Коши соотношениями [9]

Т

' 1 dV ф

V у

dV(

Б • Ф-1,

о

dV л

причём в случае несжимаемого материала-= 1.

dVо

Из закона сохранения энергии dА(ё) = dП = ЭП е, тогда из по-

Эе %

пол 1 т ЭП следнего соотношения и (12) следует, что —Т =-.

Ро % Эе

Тензор деформаций Коши - Грина е связан с тензором соотноше-

ЭП ЭП ЭО _ ЭП

нием (8), поэтому-=---= 2-.

^ у Эе ЭО Эе ЭО

Если П есть функция О, то dП = -ЭП •^О и

% Э О ~

-Т = 2ЭО  ^

Ро ~ ЭО

Для несжимаемого материала 13(О) = ёё! О = 1, тогда задаётся дополнительное условие, накладываемое на тензорО в виде

у

Запишем удельную потенциальную энергию деформаций в виде П = По + Ху, где По = П при выполнении условия (16).

257

Тогда dП = (см. [8]), поэтому

ЭП о + х-*

Э О Э О

• • dО. Найдём

Эу

Э13

Э О Э О

= 13(О)О-

dП

ЭП о

П + 113(О) О -ЭО 3 у

V

•• d О.

у

Из соотношений (15) и (17) следует, что

г0

—Т = 2 Ро %

Э— + 1О-1

Э О %

поскольку 13

/ Л

О

V % У

1

ЭП

Пусть

= 1, и —Т =

Р о % Э 8

По = 1£ • N <>• е.

+ 2Х О'

( \ О

V % у

=1

1

тогда—— Т = Nо • • е+ 21О Ро % % %

2

-1

и

Т=ро Nо • • е+2рояО'

Обозначим ро N = N, 2роХ = р, тогда связь между тензором энергетических напряжений Т и тензором деформаций Коши е для несжимаемого анизотропного материала имеет вид

Т = N• е+ ро-1,

где р - скалярная функция, подобная гидростатическому давлению.

Исходя из связи между тензорами Т и Б (14), выразим тензор ис-

тинных напряжений, полагая

Ж

1: Б = ФТ •Т • Ф = 02Т •Ф0T•T• фо .

Подставляя в последнее соотношение (18), получим

Б = 0гТ \ФоТ •( N• е% )• Фо + РФ* О-1 • Фо )• Ог '

Поскольку

О = ФоФоТ; О-1 = (Фо-1) Фо-1; ФоТ •(Фо-1) Фо-1 Фо = Е Б = 0гТ •(ф0Т •( N• •е )• Фо + РЕ )• Ог,

где Е - единичный тензор.

1

1

Запишем соотношение (19) в компонентном виде. На основании соотношений (6), (9) и полиадного представления тензора N = Л^уё^ё^ё^0

тензор, стоящий в скобках, представляется компонентами Б 0 в начальном

базисе, а с учётом соотношений (3) получим8 = ^ё^ё^)- Qz = ëj ,

т.е. компоненты тензора истинных напряжений отнесены к текущему цилиндрическому базису.

Для цилиндрически ортотропного материала при условии, что ось анизотропии совпадает с осью цилиндра, имеют место следующие соотношения между ненулевыми упругими постоянными [7]:

^1111 = ^2222* ^1133 =N2233* ^1313 =N2323-

В связи с этим компоненты тензора определяются соотношениями

= ^ (^1111*гг + 122ефф + 133*^)+ р(г0 \ 5фф +^1122£фф +^1133г^)+-^-(^2323£фг)_

+

^

^ г'иззуггг 1 ^фф,

5?. =Х2(^1133(е,т +ефф)+^ззззе..)+р(/о), < = (егг + ефф)+ Л^ззззе-.)+ л/МГ2323еФг -

^пр = =

где р(г0) - неизвестная функция, зависящая в силу принятых геометрических допущений от радиальной координаты.

4. Равновесие однородного упругого цилиндра. Напряжения в рассматриваемом цилиндре уравновешиваются осевой силой Р и крутящим моментом М (2). Во внутренних точках цилиндра выполняются условия равновесия V • £ = 0 . Поскольку полагается, что в рассматриваемой задаче напряжённое состояние меняется только в направлении радиуса и не зависит от осевой и окружной координат, условие равновесия приводится к виду

О

г (¡п

О '

Для напряжений задаются условия по наружной поверхности цилиндра Оо = 7?о)

Б

гг

г0 = Я0

0.

В условие равновесия (21) подставляем выражения для компонент тензора напряжений (20) и компонент тензора деформаций (12), определённых с учётом условия несжимаемости материала. После преобразований получаем дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции р (г0) в виде

dp

0

N

2323

+ А N1133 + А -1

2 А2 1

3333

У2 го + N33331 у4 го3.

После интегрирования уравнения (23) в предположении, что упругие константы одинаковы во всех точках цилиндра, с учетом граничного условия (22) получим выражение для функции р (г0), записанное через относительные величины:

1 / , , / х Л

Р(г0 ) = 1I "У N2323 +1 #1133 + (А -1 2I2Х2 X

3333

х

ХФ2 (г02 -1)-2а

1 -1 А

111 + N122 ) +

+

А2 -1+ А Ф21N1133) + 4А ^3ф4 (г04 -1),

где величина ф = уЛ>0

Ф - Ф0

верхности цилиндра; г0 =

^0 г0

Я характеризует сдвиг на наружной по-

Я

относительный радиус.

0

С учётом решения (24) можно получить функции, характеризующие распределение напряжений в однородном сплошном цилиндре. Известно, что в результате решения задачи о кручении сплошного цилиндра в линейной постановке единственными ненулевыми напряжениями являются напряжения Бф, распределенные линейно вдоль радиуса, а при растяжении - постоянные напряжения Б22. Учет геометрической нелинейности при решении задачи о комбинированном нагружении цилиндра позволяет определить напряжения, распределение которых по радиусу представлено на рис. 1 - 4. Здесь приведены напряжения в анизотропном цилиндре, отнесенные к константе материала N1111, определенные при кручении (ф = 1,2; ф = 1,4; ф = 1,6; ф = 1,8; ф = 2), сопровождающемся растяжением (X = 1,5).

у

(

о

о

Вр

"* -10

8р

П_533,

- 15

3 У

---- ____

О 0.2 0.4 0:6 0.3 О г

Рис. 1. Радиальные напряжения при комбинированном нагружении цилиндра

Рис. 2. Тангенциальные напряжения при комбинированном

нагружении цилиндра

10

7.94

5^

5^1,1.4,1.5)

5г

5^

з

;

9149

- 10

_ _ — *ту ф' ^

О 0.2 04 06 0.3 О г

Рис. 3. Осевые напряжения при комбинированном нагружении цилиндра

261

ю

.9.349. Б ^(г, 12.1.5) 8 5^,1.4,1.5) 8^,1.6,1.5) ^(г,1.8,1.5) 4

Май

5^2

/ ё У

У в4 г / • ф Л

> * * у

0 О

0.4 0.6

0.8

Рис. 4. Касательные напряжения при комбинированном нагружении цилиндра

Выражения для осевой силы (25) и крутящего момента (26) получим, подставляя в выражения (2) функции распределения напряжений и интегрируя

I ) Xх ' 1133 ,

V V

2 кЯ02 4

Х(К1111+К1122) + +^2(Х2-1)кзззз

X

Л + К 133 + М232з)ф2 - -^ззззф4; х2 21) 4Х2 т

М

= ¿ЩЪ2Ъ + 2

(\

-1Й133 +

+

^2-1^зззз)Ф+^-ЛГззззф3).

Графики изменения осевой силы и крутящего момента представлены на рис. 5 и 6.

Р

ЛЛ ш Л

Р(1-8,Х) -20.831

0.2 X 2

Рис. 5. Зависимость осевой силы от удлинения цилиндра

262

5

М(ф:1) 4 М(фЛ.5) з

М(ф:0.73) М(ф:0_5) 1

О

- 0.042,

~ 0 2 0 4 Об 0 3

О -ф 1

Рис. 6. Зависимость крутящего момента от угла закручивания

5. Равновесие неоднородного упругого цилиндра. Рассмотрим сплошной цилиндр, у которого константы упругости могут быть неодинаковыми в разных точках цилиндра. Это может быть вызвано изменениями в строении материала. Например, неоднородностью плотности годовых колец древесины, неоднородным строением композитов или тем обстоятельством, что анизотропия является деформационной.

Будем считать, что константы упругости цилиндрически ортотроп-ного материала являются линейными функциями радиуса:

#1111 = #1111 + A11r0, #1122 = #1122 + А12 #1133 = #1133 + ^13% #2222 = #1111 + А22% #2233 = #1133 + A23r0, #3333 = #3333 + А33Г

#1212 = #1212 + А66r0, #1313 = #2323 + А55r0, #2323 = #2323 + А44 % - г0

где N¿1^1, Ау- константы, г0 = - относительный радиус.

Функции (27) подобраны таким образом, что на оси сплошного цилиндра #1111 = #2222, #1133 = #2233, #1313 = #2323, а в остальных точках цилиндра эти условия могут не выполняться, т.к.

А11 * А22 , А13 * А23 , А55 * А66.

В рассматриваемом случае при использовании определяющих соотношений в виде (17) в выражениях для компонент напряжений (19) следует заменить константы N¿^1 на функции N¿^1. В дальнейшем при подстановке напряжений в условие равновесия (20) следует учесть, что ненулевыми являются производные --—, поэтому дифференциальное уравне-

йго

ние для функции р (г0) усложняется и принимает вид

263

ёр йто

= (А11 + ^12 ) 1 -1

Л

21 Л

1

1

+ — А13 Ло 13

(

0

12 -1 + 1 го2у2

1

+

+ #1133 ^у"го) - 21 (А11 - А22)( 1 -1] + ^(А13 - А23 )х X | 12 -1 + 1 го2у2 |)--^#2323ГоУ2--^^А44го2у2 -

1

41

412 Л

о

1 [1- 1]#1133гоу2 - 21 (1->]Л(А|3 + А23 )го2у2 -

1 (л 2 Л 1 2 2\г 2 1 1 А /л 2 1

-^Т 12 -1 + Т"го2у2 #3333Гоу2 ^^А33(12 -1 + 21 ( 1 у 21 ло

1 2 2 2 2 + 1 го2у 2)го2у 2.

Интегрирование уравнения (28) с учетом граничного условия (22) позволяет получить выражение функции р (го), записанное через относительный радиус Го и величину ф = уЛо :

1

1 -1

((1 У /

X

X (Го -1) - 21 (- 4 #2323 + #1133 (2 - 1) + 21(12 -

3333

X ф2 (го2 -1) - ^у(1 А44 + (5 - 1)А13 - 1А23 + 1(12 -1)433

612 ( 2

X

X

Xф2 (го3 -1)--V #3333ф4 (го4 -1)--Ц-А33Ф4 (го5 -1)-

22

81

Ю1

21

г г

((

--1 1

(#1111 + #1122 + А11 + А12 )+ (#1133 + А13 )(12 -1 + 1Ф2

(1

ЛЛ

у у

Распределение напряжений в неоднородном сплошном цилиндре описывается функциями (19), в которые подставлены выражения (27) и (29). Сравнивая распределение напряжений в неоднородном цилиндре с решением, приведенном в пункте 4, отметим, что учет неоднородности упругих свойств не вносит изменений в характер распределения напряжений, а приводит к изменениям их абсолютных значений. Эти изменения малы, если свойства вдоль радиуса изменяются не более чем на 2о %. Если упругие константы в наружных слоях цилиндра меньше, чем во внутренних слоях, то при расчете напряжений оказывается, что тангенциальные и касательные напряжения увеличиваются по абсолютной величине, а величина радиальных и осевых напряжений уменьшается. Когда упругие константы в наружных слоях больше, чем во внутренних, абсолютные величины радиальных и тангенциальных напряжений увеличиваются, а вели-

264

чины осевых и касательных напряжений уменьшаются. Эти изменения напряжений тем больше, чем больше относительный угол закручивания цилиндра.

Расчет осевой силы и крутящего момента в неоднородном анизотропном цилиндре может быть произведен по соотношениям (2) с учетом (19) и решения (29). Отметим, что учет неоднородности упругих свойств цилиндра не приводит к изменению характера зависимостей Р(1) и М(ф), но приводит к изменению абсолютных значений этих характеристик. В частности, если упругие константы в наружных слоях цилиндра меньше, чем во внутренних слоях, то абсолютная величина момента возрастает, а абсолютная величина осевой силы увеличивается при растяжении и уменьшается при сжатии. Если же упругие константы в наружных слоях цилиндра больше, чем во внутренних слоях, то абсолютная величина момента уменьшается, а абсолютная величина осевой силы увеличивается при сжатии и уменьшается при растяжении.

Таким образом, в данной статье в рамках тензорно-линейных определяющих соотношений для несжимаемого анизотропного материала получено аналитическое решение задачи для однородного и неоднородного в отношении упругих свойств сплошного цилиндра. Проведен анализ влияния неоднородности свойств цилиндра на распределение напряжений по его радиусу.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 1501-01875).

Список литературы

1. Астапов В.Ф., Маркин А.А., Соколова М.Ю. Определение упругих свойств материалов из опытов на сплошных цилиндрах // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, 2002. № 1. С.104 - 111.

2. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Часть II. Конечные деформации. М.: Наука, 1984. 432 с.

3. Бердин В.К., Кашаев Р.М. Об определении напряженного состояния при растяжении с кручением сплошного цилиндра // Проблемы прочности. 2001. № 1. С. 28 - 37.

4. Васин Р.А., Ильюшин А.А., Моссаковский П.А. Исследование определяющих соотношений и критериев разрушения на сплошных и толстостенных трубчатых цилиндрических образцах // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1994. № 2. С. 177 - 184.

5. Грин А.Е., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 456 с.

6. Коновалов А.В. Кручение цилиндрического стержня и трубы из упруго-пластического материала с большими пластическими деформациями // Известия РАН. Механика твердого тела. 2001. № 3. С. 102 - 111.

265

7. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 416 с.

8. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.

512 с.

9. Маркин А. А., Соколова М.Ю. Термомеханические модели обратимого конечного деформирования. Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. 268 с.

10. Панов А. Д. Изменение длины идеально упругих стержней при кручении // Известия РАН. Механика твердого тела. 2008. № 2. С. 71 - 78.

11. Панов А. Д. Нелинейные эффекты при осесимметричном деформировании цилиндрического тела. Эффект Пойнтинга // Известия РАН. Механика твердого тела. 2004. № 5. С. 27 - 43.

12. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.

13. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1988. 192 с.

Соколова Марина Юрьевна, д-р физ.-мат. наук, проф., m. u. sokolova@gmail. com, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Рудаков Вадим Вячеславович, асп, rudakov93@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

FINITE DEFORMA TIONS OF SOLID ELASTIC INCOMPRESSIBLE ANISOTROPIC

CYLINDER.

M. Yu. Sokolova, V. V. Rudakov

An analytical solution of the problem of determining the stress-strain state of an anisotropic solid cylindrical body made of the incompressible material in the framework of the tensor-linear relationship between stress andfinite deformation was obtained. Considered cylinders were made of homogeneous and heterogeneous materials with reference to elastic properties. The effect of heterogeneity on the stress distribution in the cylinder was researched.

Key words: finite deformations, incompressibility, cylindric orthotropy, solid cylinder, torsion.

Sokolova Marina Jur'evna, doctor of physical and mathematical sciences, professor, m. u. sokolova@gmail. com, Russia, Tula, Tula State University,

Rudakov Vadim Vjacheslavovich, postgraduate, rudakov93@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University