Численное исследование влияния реологических параметров на характер колебаний наследственно-деформируемых систем

Вычислительные технологии

Том 12, № 4, 2007

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ РЕОЛОГИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ НА ХАРАКТЕР КОЛЕБАНИЙ НАСЛЕДСТВЕННО-ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ

Ф.Б. Бадалов, А. Авдуклримов Ташкентский государственный авиационный институт, Узбекистан

Б. А. Худаяров Ташкентский институт ирригации и мелиорации, Узбекистан e-mail: bakht-flpo@yandex.ru

It is shown that the differential dependence between stresses and deformations arising instudies of dynamical problems of a deformable rigid body leads to a certain inaccuracy, especially at the initial moment of time. Numerical results obtained for dynamical problems of hereditary-deformable systems are compared for the cases of exponential and weakly-singular heredity kernels.

Введение

Широкое применение композиционных материалов в авиационной промышленности и других отраслях машиностроения привело к необходимости изучения задач оптимального проектирования тонкостенных конструкций, обладающих вязкоупругими свойствами. В связи с этим наследственная теория вязкоупругости привлекает к себе все большее внимание исследователей. Об этом свидетельствует выход в свет за последние годы ряда научных работ, в которых отражены новейшие достижения теории вязкоупругости. Однако несмотря на исследования в этой области до настоящего времени не было научных работ, где достаточно полно анализировались бы первоначальные зависимости между напряжением и деформацией для вязкоупругого тела. В настоящей работе показано, что такие зависимости даже в самом общем случае эквивалентны интегральным зависимостям с регулярными ядрами наследственности, которые приводят к некоторым неточным результатам. По данному закону, скорость деформации ползучести и релаксации напряжений, пропорциональные ядру релаксации (R(t)) и ползучести (K(t)), в начальный момент времени имеют конечные значения. Многочисленные исследования [1-4] показывают, что R(0) = K(0) = ж. Исследованию этих влияний на решение линейных и некоторых нелинейных динамических задач наследственно-деформируемых систем и посвящена настоящая работа.

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2007.

1. Дифференциальные зависимости между напряжением и деформацией и их основные недостатки

Как известно [5-7], первоначальные зависимости между напряжением и деформацией для вязкоупругого тела были установлены в дифференциальной форме. Эти зависимости в самом общем случае эквивалентны интегральным зависимостям с регулярными ядрами наследственности, т. е.

Ee(t) = где E — модуль упругости,

a(t) + K(t - т)a(r)dr

N

К

г=1

называется ядром ползучести, или ядром наследственности.

При N =1 (в первом приближении) из (2) получим ядра наследственности, соответствующие модели Кельвина; в современной литературе часто употребляют модель стандартного вязкоупругого тела:

Лое

Из (3) при Л0 = 0 получим модель Максвелла, а при В1 = 0 — модель Фойгта. Модель стандартного вязкоупругого тела качественно объясняет наблюдаемые опытные данные и привлекательна своей простотой и наглядностью; в 40-е годы ХХ века был выполнен ряд исследований, относящихся к частным задачам для такой модели [5, 7, 8], и в настоящие время она используется многими исследователями. Однако по дифференциальному закону определение зависимости между напряжением и деформацией не только в первом приближении, но и в самом общем случае, т. е.

У Лг ^ = У Вг ^,

г=0 г=0

имеет серьезные недостатки [1-4]. Так, по этому закону, описывающему как деформации ползучести, так и релаксации напряжений, в начальный момент времени ядра релаксации и ползучести имеют конечные значения. Многочисленные исследования [1-4] показывают, что Я(0) = К(0) = то.

Таким образом, использование дифференциального закона между напряжением и деформацией (4), в частности, модель типа стандартного вязкоупругого тела, при исследовании динамических задач механики деформируемого твердого тела приводит к определенной неточности, особенно в начальный момент времени. Большой опыт решения динамических задач [9-11] показывает, что ошибки, допущенные в начальный момент времени, существенно влияют на окончательный результат исследования, т. е. происходит накопление ошибок. Поэтому при решении динамических задач механики деформируемого твердого тела желательно использовать интегральный закон между напряжением и деформацией (1) со слабосингулярными ядрами наследственности с особенностью типа Абеля. Самые

t

Рис. 1. Процесс ползучести при а = ао = const

общие среди них — трехпараметрические ядра наследственности Ржаницына—Колтунова

K(t - т) = C • exp (-в(t - т)) (t - т)а-1, R(t - т) = A • exp (-в(t - т)) (t - т)а-1,

где С, А, в, а называются реологическими параметрами, причем они удовлетворяют условиям: С > 0, А > 0, в > 0, 0 < а < 1.

При а =1 зависимость (5) соответствует модели стандартного вязкоупругого тела.

Ниже на численном примере показано влияние реологических параметров на критическую скорость флаттера, собственные и вынужденные колебания линейных и нелинейных задач наследственно-деформируемых систем. Тестом проверки точности результатов расчета, в частности, является качественное исследование по линейным динамическим задачам, выполненное в [12]. Согласно этой работе, колебания всякой линейной наследственно-деформируемый системы (стержень, пластина и оболочка) под действием постоянной нагрузки должны происходить по кривой ползучести и с течением времени должны затухать по этой кривой (рис. 1).

2. Численные примеры

2.1. Рассмотрим вначале прямоугольную вязкоупругую пластинку со сторонами а и Ь, которая обтекается с одной стороны сверхзвуковым потоком газа со скоростью V. Аэродинамическое давление учитываем по поршневой теории Ильюшина [13].

Для случая конечных прогибов пластины, соизмеримых с ее толщиной к, деформации вязкоупругой пластины описываются уравнениями

V, д2» БУд»

к <1 - Д-) V4» + + = »

где Я* — интегральный оператор с ядром релаксации К(Ь), имеющий слабосингулярную особенность типа Абеля:

г

Я*(р(ь) = J Я(г - т)(р(ь)аг.

0

Уравнения (6) описывают движение элемента пластинки, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа. К ним должны быть присоединены граничные и начальные условия.

Граничные условия будут иметь следующий вид:

при х = 0, х = а при у = 0, у = Ь

т = 0, Мх = 0; т = 0, Му = 0.

Этим условиям удовлетворим, представляя искомую функцию т(х,у,г) в виде

N М

т

вт

ппх . тпу

вт

п=1 т=1

а

Ь

Подставляя (7) в систему (6) и применяя метод Бубнова — Галёркина, получим систему ИДУ [14]:

4о2

•1 + А П

N

(1 - Я*) ты + ММ* 1к1Шп1 = 0,

п=1

•кг(0) = Ш0к1, Шк1 (0) = Шок1, к = 1, N I = 1,ь,

где П2

М

12

^ ^М2в (а) ; М = 2КМр2 (а) ; М* = У- — число Маха; Ме =

А

а А V А1

1кг

у. ' \/ру2

безразмерные коэффициенты; Я

рУ2 ^ а

Л • ехр (-в(г - т)) (г - т)а-1, Л > 0, в> 0, 0 < а < 1.

Для систем (8) применяется численный метод, разработанный проф. Ф.Б. Бадаловым [15]. На основе этого метода получим следующий алгоритм численного решения рассмо-

тренных задач:

г- 1

•гк1 = токг + Шоыгг - ^ Л3(гг - гз) <| А4П2

3=0

— + I2 А 2 +1

X

х Шгк1

Л

з

N

а

ехр(-вга)тз-аМ) + ММ

1кг Шгп1

«=0

п=1

г = 1, 2,...; п = 1, N; т =1,Ь,

где Лз, В3 — числовые коэффициенты применительно к квадратурным формулам трапе-

ции:

Аг

Ло = —; Л

л • —т А Аг

Аг, з = 1, г - 1; Лг = —;

В0

Ага

В3

Ага аа - а - 1)а) 2 :

в= з;

Вя

Ага ((^ + 1)а - (^ - 1)а) 2 '

Результаты вычислений представлены в таблице.

В качестве критерия, определяющего критическую скорость Укр, принимаем условие, предложенное в работах [12, 14].

Для упругой пластинки скорость флаттера составляет 710 м/с, а для вязкоупругой пластинки с регулярными и слабосингулярными ядрами наследственности эта скорость составляет соответственно 657 и 458 м/с.

2

а

2

Из полученных результатов видно, что, если использовать экспоненциальное ядро

Я

скорость флаттера уменьшается на 7.4 %, а при использовании ядра Ржаницына—Колтунова

Е

эта скорость уменьшается на 35.4% относительно критической скорости флаттера идеально упругих пластин. Однако ядра (10) имеют конечную величину при Ь = 0, а многочисленные исследования [1-4] показывают, что Я(0) = то. Поэтому использование экспоненциальных ядер приводит к определенной неточности, особенно в начальный момент времени. Ошибки, допущенные в начальный момент, существенно влияют на окончательный результат исследования, т.е. происходит накопление ошибок (см. таблицу), так как модель стандартного вязкоупругого тела (3) с ядром (10) не описывает полностью реальных процессов.

Вычислительные эксперименты показали (см. таблицу), что незначительное увеличение параметра сингулярности а приводит к существенному увеличению критической скорости флаттера.

Из приведенной таблицы видно, что влияние параметра затухания в ядра наследственности на скорость флаттера пластинки по сравнению с влиянием параметра сингулярности а незначительно, и это еще раз подтверждает общеизвестные выводы о том, что экспоненциальное ядро релаксации и модель стандартного вязкоупругого тела (3) неспособны полностью описать наследственные свойства материала конструкций.

По результатам, полученным многими исследователями [12, 16] при использовании интегрального закона между напряжением и деформацией со слабосингулярными ядрами наследственности, очевидно, что параметр вязкости приводит к уменьшению критической скорости (см. таблицу). При исчезающе малом внутреннем трении скорость панельного флаттера приблизительно в 2.5 раза меньше, чем вычисленная в предположении, что внутреннее трение полностью отсутствует [16, 17]. Полученные нами результаты полностью соответствуют выводам и результатам работ [16, 17].

2.2. Теперь рассмотрим следующую систему нелинейных слабосингулярных интегро-дифференциальных уравнений, описывающую дискретную модель гибких вязкоупругих

Зависимость критической скорости флаттера от физико-механических и геометрических параметров пластинки

А а в Л Л1 УКр, м/с

0.0 0.25 0.1 2 250 710

0.1 657

0.1 1 0.2 2 250 643

0.5 611

0.1 458

0.1 0.25 0.2 2 250 446

0.5 433

0.2 407

0.1 0.5 0.1 2 250 575

0.7 616

шарнирно закрепленных прямоугольных пластин:

2

Ш + А4П2

,2\П2 N L

2

^ + 12

(1 - R*) wkl+

12А4(1 - ^2)П2 ^ ^ л*ч

+--2--akinmirjsWnm

n,i,j=1 m,r,s=1

шы(0) = 'Шш, (0) = и)Ш, к = 1, N; I = 1,Ь,

где аиг, аштгг — безразмерные коэффициенты [14], qkl(t) — интенсивность внешних нагрузок.

Интегрирование системы (12) проводилось численным методом, предложенным в работе [15]. Для этого запишем формулу в интегральной форме, тогда формула численного интегрирования при ядре Ржаницына—Колтунова примет следующий вид:

1-1 ( г , 2 т 2 / А 3

Wiki = Woki + Wokiti Aj(ti - tj) <( А4^2

j=0

— +12 А2 +

Wjki--> Bs exp(-ets)Wj-s,ki +

a

s=0

12А4(1 - у2)П ул

+ ~2 akinmii n,ii,ji = 1 m,r,si = 1

п2 -kinmij Wjnm\ Wjiir Wjjis1

Aj

--^Bs exp(-pts)Wj-s,i1r Wj-s,j1sA - aki Qki >, i =1, 2,...; n = 1, N; m = 1,L.

s

a

s=0

Проанализируем результаты исследований, относящиеся к собственным и вынужденным колебаниям наследственно-деформируемых систем. Сначала исследуем влияние ядра наследственности на собственные колебания системы, так как если известен характер свободных колебаний системы, то можно судить о присущих ей внутренних свойствах, проявляющихся при воздействии внешних возмущений.

Результаты вычислений отражаются графиками(рис. 2-5).

На рис. 2 и 3 приведены графики прогибов в центре пластинки в зависимости от времени при значениях сингулярного параметра a: 1 (кривая 1) и 0.1 (кривая 2). С использованием слабосингулярного ядра наследственности (a = 0.1) амплитуда и частота колебаний уменьшаются относительно экспоненциальных ядер наследственности (a = 1). С увеличением параметра вязкости A влияние сингулярного параметра a в этом случае достаточно заметно и состоит в резком снижении амплитуды и частоты колебаний (рис. 3).

Теперь исследуем вынужденные колебания пластинки. Примем, что интенсивность внешнего давления постоянна (q = const).

На рис. 4 и 5 показаны зависимости прогиба W от времени t, построенные при значениях сингулярного параметра a: 1 (кривая 1) и 0.5 (кривая 2).

Как видно из графика, при постоянной нагрузке (q = 0.03) влияние сингулярного параметра значительно (см. рис. 4). При a = 1 увеличивается прогиб пластинки. По кривой ползучести колебания пластинки не происходит — это объясняется тем, что со временем накапливаются ошибки, допущенные в начальный момент времени для регулярного ядра наследственности. С уменьшением параметра a = 0.5 и с течением времени заметна существенная перестройка в диаграмме деформирования пластинки (см. рис. 4 и 5), ее колебания под действием постоянной нагрузки происходят по кривой ползучести и с течением

Рис. 2. График прогибов в центре пластины: а = 1 (1); а = 0.1 (2); (нелинейное); ц = 0; А = 0.01; в = 0.05; Л = 3; А1 = 300; N = 5

1.0

-1.0

0.00 25.00 50.00 75.00 100.00

Рис. 3. График прогибов в центре пластины: а = 1 (1); а = 0.1 (2); (нелинейное); ц = 0; А = 0.05; в = 0.05; Л = 3; А1 = 300; N = 5

времени затухают. Следовательно, использование регулярных ядер наследственности при решении некоторых динамических задач наследственно-деформируемых систем приводит к неточным результатам.

20 40 60 80

Рис. 4. Зависимость прогиба пластинки от времени ¿: а = 1 (1); а = 0.5 (2); (линейное); А = 0.05; в = 0, 02; Л = 3; А1 = 300; ц = 0, 03; N = 5

20 40 60 80

Рис. 5. Зависимость прогиба пластинки от времени ¿: а = 1 (1); а = 0.5 (2); (нелинейное); А = 0.05; в = 0, 02; Л = 3; А1 = 300; ц = 0, 03; N = 5

Из полученных результатов видно, что в начале движения амплитуды линейных и нелинейных колебаний практически совпадают, но с течением времени амплитуда нелинейных колебаний уменьшается быстрее по сравнению с линейными колебаниями.

Заключение

На основе анализа существующих теоретических и экспериментальных исследований видно, что дифференциальная зависимость между напряжениями и деформациями даже в самом общем случае эквивалентна интегральным зависимостям с регулярными ядрами наследственности, которые имеют серьезный недостаток. Этот недостаток заключается в том, что ядро ползучести, пропорциональное скорости деформации, в начальный мо-

мент времени имеет конечное значение, а эксперимент показывает сколь угодно большую скорость деформирования, т. е. при t ^ 0 K(t) ^ ж.

Модель Больцмана—Вольтерра со слабосингулярными ядрами наследственности правильно описывает реальный процесс, так как ядро наследственности со слабосингулярными особенностями типа Абеля удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на ядра ползучести и релаксации. Существующие трехпараметрические слабосингулярные ядра наследственности, т. е. ядра Ржаницына—Колтунова, и дробно экспоненциальные функции Работнова удовлетворяют всем условиям, налагаемым на ядро ползучести и релаксации, и наилучшим образом аппроксимируют опытные данные в течение большого промежутка времени. Поэтому при решении динамических задач наследственно-деформируемых систем желательно использовать интегральные зависимости между напряжениями и деформацией со слабосингулярными ядрами наследственности.

Список литературы

[1] Рлвотнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. 383 с.

[2] Ржаницын А.Р. Теория ползучести. М., 1968. 416 с.

[3] Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972. 327 с.

[4] Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа, 1976. 276 с.

[5] Ишлинский А.Ю. Об уравнениях пространственного деформирования не вполне упругих и вязкопластических тел // Изв. АН СССР, ОТН. 1945. № 3. C. 24-35.

[6] Ильюшин А.А. Пластичность. М.; Л., 1948.

[7] Ржаницын А.Р. Некоторые вопросы механики систем, деформирующихся во времени. M.: Гостехиздат, 1949.

[8] Ишлинский А.Ю. Продольные колебания стержня при наличии линейного закона последствия и релаксации // ПММ. 1940. Т. 4, вып. 1.

[9] Бадалов Ф.Б. Динамические гасители колебаний наследственно-деформируемых систем. Ташкент: ТашГАИ, 2003. 81 с.

[10] Бадалов Ф.Б., Авдукаримов А. Функции синуса и косинуса дробного порядка и их приложение к решению динамических задач наследственно-деформируемых систем. Ташкент: Фан, 2004. 155 с.

[11] Бадалов Ф.Б. Метод степенных рядов в нелинейной наследственной теории вязкоупруго-сти. Ташкент: Фан, 1980. 220 с.

[12] Бадалов Ф.Б., ГАнихонов Ш.Ф. Вибрации наследственно-деформируемых элементов конструкции летательных аппаратов. Ташкент, 2002. 230 с.

[13] Ильюшин А.А. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей // ПММ. 1956. Т. 20, вып. 6. С. 733-755.

[14] Худаяров Б.А. Нелинейный флаттер вязкоупругих пластин и цилиндрических панелей: дис... канд. физ.-мат. наук. Ташкент, 1998. 129 с.

[15] БАДАЛОВ Ф.Б. Методы решения интегральных и интегродифференциальных уравнений наследственной теории вязкоупругости. Ташкент: Мехнат, 1987. 269 с.

[16] ПАНОВКО Я.Н., ГУБАНОВА И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1987. 352 с.

[17] Денисов Г.Г., Новиков В.В. О влиянии внутреннего трения на устойчивость одномерных упругих систем // Динамика систем. Горький: Изд-во ГГУ, 1975.

Поступила в редакцию 28 июня 2006 г., в переработанном виде — 20 февраля 2007 г.