Характеристические кольца Ли и интегрируемые модели математической физики

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 4. № 3 (2012). С. 17-85.

УДК 517.957

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОЛЬЦА ЛИ И ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

ФИЗИКИ

А.Б. ЖИБЕР, Р.Д. МУРТАЗИНА, И.Т. ХАБИБУЛЛИН, А.Б. ШАБАТ

Аннотация. Обзор посвящен систематическому изложению алгебраического подхода к исследованию нелинейных интегрируемых уравнений в частных производных и их дискретных аналогов, основанного на понятии характеристического векторного поля. Особое внимание уделяется уравнениям, интегрируемым в смысле Дарбу, и солитон-ным уравнениям. Обсуждается проблема построения высших симметрий уравнений, а также их частных и общих решений. В частности показано, что уравнение в частных производных гиперболического типа интегрируется в квадратурах тогда и только тогда, когда его характеристические кольца Ли по обоим характеристическим направлениям имеют конечную размерность. Для гиперболических уравнений, интегрируемых методом обратной задачи, характеристические кольца имеют минимальный рост. Предложены пути применения метода характеристических колец к системам дифференциальных уравнений гиперболического типа с большим, чем два числом характеристических направлений, уравнениям эволюционного типа, а также к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Ключевые слова: характеристическое векторное поле, симметрия, интегрируемость по Дарбу.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение......................................... 18

2. Скалярные интегрируемые уравнения ........................ 21

2.1. Определение характеристического кольца Ли ................. 21

2.2. Классификация интегрируемых гиперболических уравнений с бесконечномерным характеристическим кольцом Ли .................... 22

2.2.1. Уравнение Клейна-Гордона......................... 22

2.2.2. Гиперболические уравнения иху = /(и,их,иу).............. 25

2.3. Система уравнений их = f (и,ь), % = р(и,ь)................. 28

2.4. Нелинейные интегрируемые уравнения с конечномерным характеристическим кольцом .................................... 31

2.5. Уравнение иху = /(и,их,иу) с х- и у-интегралами второго порядка..... 32

2.6. Линеаризованное уравнение............................ 32

2.7. Высшие симметрии интегрируемых уравнений................. 33

2.7.1. Симметрии уравнения Лиувилля ..................... 33

2.7.2. Симметрии уравнения синус-Гордон ................... 33

A.V. Zhiber, R.D. Mürtazina, I.T. Habibüllin, A.B. Shabat, Characteristic Lie rings and

INTEGRABLE MODELS IN MATHEMATICAL PHYSICS.

© ЖИБЕР А.В., МУРТАЗИНА Р.Д., ХАБИБУЛЛИН И.Т., ШАБАТ А.Б. 2012.

Работа поддержана РФФИ (гранты 11-01-97005-р-поволжье-а, 10-01-00088-a) и ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы (соглашение №8499). Поступила 25 ноября 2011 г.

2.7.3. Симметрии уравнения Цицейки............................................34

2.7.4. Симметрии модифицированного уравнения синус-Гордона..............35

3. Системы гиперболических уравнений..................................................36

3.1. Симметрии. Характеристическое кольцо ........................................36

3.1.1. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана................36

3.1.2. Квадратичные системы......................................................41

3.2. Характеристические кольца Ли и критерий интегрируемости по Дарбу нелинейных гиперболических систем уравнений ................................44

3.3. Нелинейные гиперболические системы уравнений с интегралами первого порядка ..............................................................................45

3.4. Двухкомпонентные системы уравнений с интегралами первого и второго порядка ..............................................................................46

3.5. Квадратичные системы уравнений с интегралами первого и второго порядка 48

3.6. Линеаризация экспоненциальных систем ранга 2................................51

4. Дифференциально-разностные уравнения гиперболического типа ................55

4.1. Дифференциально-разностные уравнения лиувиллевского типа..............55

4.2. Классификация интегрируемых по Дарбу цепочек частного вида ............56

4.3. Б-интегрируемые дифференциально-разностные уравнения....................62

5. Полностью дискретные уравнения......................................................66

5.1. Дискретные уравнения лиувиллевского типа....................................67

5.2. Дискретные уравнения общего вида..............................................70

5.3. Б-интегрируемые дискретные уравнения ........................................74

6. Перспективы алгебраического метода ..................................................76

6.1. Характеристические кольца уравнений „п-волн"................................76

6.2. Эволюционные уравнения ..........................................................77

6.2.1. Кольца Ли эволюционных уравнений......................................77

6.2.2. Присоединенные алгебры Ли ................................................80

6.3. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ........................81

Список литературы ......................................................................82

1. Введение

Основополагающие идеи в изучении проблемы интегрирования уравнений в частных производных гиперболического типа восходят к классическим работам Лапласа, Лиувил-ля, Ли, Дарбу, Гурса, Вессио и др. При этом понимание интегрирования, как получения явной формулы для общего решения, почти сразу же было вытеснено другими, менее обременительными определениями. Например, метод Дарбу интегрирования гиперболического уравнения состоит в отыскании интегралов по каждому характеристическому направлению и последующему сведению его к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ясно, что в общем случае довести дело до явных формул, выражающих совместное общее решение этих уравнений, весьма сложно.

Для отыскания интегралов (также как и для выяснения интегрируемости заданного уравнения) Дарбу пользовался каскадным методом Лапласа. В более поздних исследованиях (см. [49,60,61]) основным инструментом поиска интегралов становится алгебраический подход, использующий характеристические векторные поля (именно в рамках такого подхода были получены, по-видимому, первые списки уравнений, обладающих интегралами по обоим направлениям [49]). Другой подход к интегрированию нелинейных уравнений связан с однопараметрическими группами преобразований, т.е. с симметрия-ми. Понятие симметрии, введенное более ста лет назад в трудах С.Ли и Э.Нетер, служит

фундаментом современной теории интегрируемости. Открытие метода обратной задачи рассеяния и появление класса солитонных уравнений дало мощный толчок в развитии симметрийного подхода в теории интегрируемости. Стало ясно, что уравнения, интегрируемые при помощи метода обратной задачи рассеяния, обладают бесконечной иерархией высших симметрий.

В последние три десятилетия в рамках симметрийного подхода были созданы эффективные алгоритмы решения классификационных задач и составлены исчерпывающие списки интегрируемых представителей для очень важных классов нелинейных уравнений в частных производных и их дискретных аналогов (см. [2,10,11,33,34,38-40,46-48,59]). При этом наибольшие успехи связаны с классификацией уравнений эволюционного типа. Однако в ряде случаев, таких как классификация интегрируемых уравнений размерности 1+2 и выше, а также классификация гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными и их дискретных аналогов симметрийный подход не столь эффективен. В последние годы появились новые методы классификации интегрируемых уравнений, такие как тест Пенлеве, метод алгебраической энтропии [55], условие 3D совместности [45] и др. Интерес для специалистов представляет также монография [24], посвященная детальному изложению некоторых аспектов теории интегрирования уравнений в частных производных.

В настоящей работе рассматривается альтернативный подход к задаче о классификации интегрируемых уравнений, восходящий к упомянутым выше классическим работам Гурса. Важной вехой в формировании этого подхода послужила работа [44], где исследовалась система гиперболических уравнений вида

игху = exp

В этой работе было введено понятие характеристической алгебры Ли векторных полей и было показано, что характеристическая алгебра Ли системы (1.1) имеет конечную размерность тогда и только тогда, когда матрица А = (aij) является матрицей Картана простой алгебры Ли. Далее, в работе [30], для систем гиперболических уравнений более общего вида

иХу = Fi

показано, что условием интегрируемости в квадратурах является конечномерность ее характеристической алгебры Ли.

Характеристические алгебры для гиперболических систем вида

иХ = c)kuj vk + 4 ик, = dkjluj vl + d) uj, i =1, 2,...,n, к = 1, 2,...,n

исследовались в работе [13]. В частности, здесь было дано полное описание базиса характеристической алгебры для уравнения иху = sin и.

Ниже в первом, третьем и четвертом разделах обзора будет дано определение и подробное описание понятия характеристического кольца Ли для уравнений (и систем уравнений) в частных производных гиперболического типа и их дискретных аналогов. Здесь мы кратко остановимся лишь на основных моментах излагаемого материала. Для скалярного гиперболического уравнения (как в непрерывном, так и дискретном варианте) характеристическое кольцо Ли по каждому характеристическому направлению порождается двумя операторами, обозначим их Х1 и Х2. Обозначим через Vj линейное пространство над полем локально аналитических функций, натянутое на Х1, Х2 и все кратные коммутаторы операторов Х1 и Х2 порядка меньшего или равного j, так что

Vo = {Х1,Х2}, V1 = {Х1,Х2, [Х1, Х2]}, ....

Введем функцию А(к) = dim Vk+1 — dim Vk.

Глубокая связь между свойствами характеристического кольца Ли и свойством интегрируемости уравнения была осознана в работе [18]. В этой работе было обнаружено, что

линейные пространства кратных коммутаторов образующих характеристического кольца для таких интегрируемых уравнений, как уравнение синус-Гордона, уравнение Цицейки и др. на первых шагах растут очень медленно, точнее говоря, Д(1) = Д(2) = Д(3) = = Д(4) = 1. Была высказана гипотеза о том, что такое поведение функции Д(к) присуще всем интегрируемым уравнениям. В дальнейшем эта мысль была уточнена и подтверждена многочисленными примерами интегрируемых непрерывных и дискретных моделей (см. [35,53]). Затем в работах [42,51] была сформулирована следующая

Гипотеза 1.1. (алгебраический тест). Любое интегрируемое скалярное (непрерывное или дискретное) гиперболическое уравнение удовлетворяет следующему условию: найдется последовательность натуральных чисел }£=1, для которой Д(4) ^ 1.

Определение 1.1. Характеристическое кольцо Ли, для которого существует такая последовательность натуральных чисел, называется кольцом минимального роста.

Свойство минимальности роста кольца стало рассматриваться в качестве классификационного критерия для интегрируемых уравнений. Для специальных классов уравнений был решен ряд модельных классификационных задач ( [18,42,51]). Эти результаты убеждают, что свойство минимальности роста характеристического кольца Ли является столь же универсальным свойством интегрируемых уравнений, как наличие бесконечной иерархии высших симметрий.

Статья представляет обзор результатов авторов, посвященных приложениям алгебраического метода, основанного на понятии характеристического векторного поля к нелинейным интегрируемым моделям.

Статья организована следующим образом. Во втором разделе проведена классификация скалярных гиперболических уравнений специального вида с бесконечномерным характеристическим кольцом Ли минимального роста. Показано, что система уравнений их = /(и,у),уу = <р(и,и), для которой выполнены первые три И и Д-условия наличия высших симметрий, имеет х- и у-характеристические кольца минимального роста. Описаны классы уравнений с конечномерным характеристическим кольцом Ли. С использованием образующих характеристических колец Ли построены высшие симметрии уравнений Лиувилля, синус-Гордон, Цицейки и модифицированного уравнения синус-Гордон.

В третьем разделе дается краткий обзор результатов авторов (см. [13,44,56]), посвященных классификации интегрируемых гиперболических систем уравнений на основе понятий характеристических алгебр Ли и колец Ли.

В четвертом разделе вводится определение характеристического кольца для дифференциально-разностного уравнения. Иллюстрируется применение характеристических векторных полей в задаче класификации уравнений лиувиллевского типа. Приводятся классификационные результаты. Подробно исследуется характеристическое кольцо дифференциально-разностного аналога уравнения синус-Гордон. Примечательно, что в этом случае кольцо имеет минимальный рост.

В пятом разделе рассматриваются полностью дискретные уравнения. Дается общее определение интеграла, вводится понятие характеристического кольца Ли и обсуждаются возможные способы применения этих понятий в задачах классификации интегрируемых дискретных уравнений.

Шестой раздел посвящен обсуждению открытых вопросов и перспектив излагаемого в статье алгебраического подхода. Например, предлагается схема исследования характеристического кольца систем дифференциальных уравнений гиперболического типа с большим чем два числом характеристических направлений. Характерным примером такой системы является система и-волн. Кратко обсуждаются возможности распространения излагаемого подхода к другим классам нелинейных уравнений, таким как уравнения эволюционного типа, обыкновенные дифференциальные уравнения (см. [8]).

2. СКАЛЯРНЫЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ

2.1. Определение характеристического кольца Ли. Для исследования интегрируемости уравнений

иХу = /

используется подход, основанный на понятии "характеристического" кольца.

На множестве локально-аналитических функций, зависящих от конечного числа переменных х,у,й1,и,и1,и2,..., оператор полного дифференцирования по у имеет вид

-рт д _ д _ д г д г^,,, д

в = ^ + щ— + т— + /— + я(/)— +...,

оу ои1 ои ои1 ои2

а оператор полного дифференцирования по х —

^  -рт/  г $

в = — + Д/)— + /— + щ— + щ— +..., ох ои2 ои1 ои ои1

где щ = их,щ = иу,щ = ихх,Щ = иуу,.... Представим

И = й2Х2 + Х1,

где

д д д д д

Х1 = 7Г + Тх17Г + /я" + + ..., Х2 =

ау ам аи1 ои2 ои1

Характеристическое уравнение

ИШ

согласно (2.5) эквивалентно системе

Х^ = 0, X2W = 0.

Отметим, что решение уравнения (2.6) называется ж-интегралом уравнения (2.4). С уравнениями (2.7) естественным образом связано кольцо Ли, порожденное векторными полями Х1 и Х2. Аналогично вводится кольцо Ли, порожденное образующими У1 и У2 при рассмотрении характеристического уравнения ИШ(х,у,и,й1,... ,йт) = 0.

Пусть Ьп - линейное пространство коммутаторов образующих длины п — 1, п = 2, 3,.... Например, Ь2 - линейная оболочка векторных полей Х1, Х2, а Ь3 порождается элементом Х3=[Х1, Х2], Ь4 - коммутаторами Х4=[Х2, Х3], Х5=[Х1, Х3] и т.д. Тогда ж-характеристическое кольцо Ли А представимо в виде

А = £ ^

г=2

а у-характеристическое кольцо Ли А уравнения

те

А = £ Ьг.

г=2

Введем обозначение: $ = ^¿=2 Ьг.

Классификация интегрируемых уравнений основана на следующем утверждении: Лемма 2.1. Пусть и-решение уравнения (2.4) и векторные поля X и X имеют вид

те О

г = ^ аг аг = ^(и,Щ,Щ,и2, . . . ,ищ ),

г=1 г

— те д

г = ^ о=г, = аг(и,и1,щ,щ,... ,йщ), г = 1, 2,----

г=1 г

Если [О, = 0, то X = 0. Аналогично, если [О, = 0, то X = 0.

Доказательство. Так как оператор полного дифференцирования по х на множестве локально-аналитических функций, зависящих от конечного набора переменных щ,и,щ,и2,...

^ . д д д

О = + щ — + и2---+ ...,

Ощ ои Ощ

то

[D, Z] = (D(a\)£ + D(a2)+ D(a3)¿3 + .. .) — — {aifu! + оц £ + a2 ^ + аз £~2 + ...).

По условию [D, Z] = 0, поэтому

а1 = 0, D(ai) — ai+l = 0, г = 1, 2,... и, следовательно, a.i = 0 для г = 1, 2, 3,.... Аналогично, если [D, Z] = 0 и

-ft .  - д _ д

D = --+ щ — + и^ — + ...

ощ ои ощ

то Z = 0. Лемма доказана.

2.2. Классификация интегрируемых гиперболических уравнений с бесконечномерным характеристическим кольцом Ли. В случае f = f (и) на множестве локально-аналитических функций, зависящих от переменных и,щ,и2,... ,ит

— д д д D = щ — + f— + D(f) — + ... = U1X2 + Xi.

Ои ОЩ Ои2

2.2.1. Уравнение Клейна-Гордона. В этом пункте рассматриваются уравнения

Uxy = f

Имеем

[D,Xi ] = —fX2, [D,X2] = 0.

Отметим, что операторы Xi, Х2 - линейно независимы при f (и) = 0. Пусть Х3 = [Х2,Xi]. Используя тождество Якоби и (2.9), получаем, что

[D,X3] = —fuX2.

Лемма 2.2. Размерность линейного пространства £3 = Y13=2 Li равна двум тогда и только тогда, когда

Х3 — cXi = 0.

При этом правая часть уравнения (2.8) принимает вид

f (и) = aecu,

где а, с - постоянные, а = 0. Доказательство. Пусть dim £3 = 2. Тогда, так как

^з = f' + f'' ui £- +

ОЩ OU2

то Х3 = c(u)Xi, согласно утверждению леммы 2.1 и формулам (2.9) и (2.10) имеем

[D, Х3 — cXi] = —f 'Х2 — D(c)Xi + cfX2 = 0. Последнее соотношение эквивалентно следующей системе уравнений

f — Cf = 0, D(c) = 0.

Следовательно с - const и f = aecu. Лемма доказана.

Таким образом, нелинейное уравнение (2.8) c двумерной характеристической алгеброй Ли А сводится к уравнению Лиувилля

иху = еад.

Пусть Х4 = [Х2,Х3], Х5 = [Xi,X3]. Используя тождество Якоби и соотношения (2.9), (2.10), получаем

[D,X4] = -f"Х2, [D,X5] = f'Хз - fX4.

Далее будем предполагать, что размерность линейного пространства £3 равна трем (Xi, Х2, Х3 - линейно независимы), и покажем, что случай, когда dim £4 = 3, не реализуется.

Действительно, если dim £4 = 3, то

Х4 = ciXi + С2Х3 и Х5 = ciXi + С2Х3,

где Ci = Ci(u,ui,u2, . . . ,uni),Ci = Ci{u,Ui,U2, . . . ,Uni),i = 1, 2.

Первое соотношение (2.13), согласно утверждению леммы 2.1 и формулам (2.9)-(2.12), эквивалентно системе

D(ci) = 0, cif - f" + C2f' = 0, D(c2) = 0. Поэтому ci,c2 - постоянные и

f" - C2f - cif = 0.

Второе соотношение (2.13) эквивалентно системе вида

D(ci)+ Cif = 0, Cif + C2f = 0, D(C2)+ C2f - f = 0.

Из последнего уравнения следует, что с2 - постоянная, то есть f = c2f. Тогда, как показано выше, dim £3 = 2.

Лемма 2.3. Размерность пространства £4, порожденного операторами Xi; Х2, Х3, Х4 и Х5, равна 4 тогда и только тогда, когда функция f удовлетворяет уравнению вида

Г - Pf - qf = 0,

где p,q - постоянные и f = ßf. При этом Х4 = рХ3 + qXi.

Доказательство. Используя лемму 2.1 и формулы (2.9)-(2.12), получаем, что либо

Х4 = ci Xi + С2 Х3 + С3 Х5,

и, следовательно,

D

D

X5 = Ci Xi + C2 X3 + C3 X4,

D

D

Согласно первому и третьему уравнениям (2.15) с\,с2 - постоянные, с3 = 0 (иначе f = c2f и, тогда dim£3 = 2), и функция f удовлетворяет уравнению (2.14). Если выполнено (2.16), то f = 0.

Обратно, если функция f удовлетворяет уравнению (2.14), то

[D,X4] = -(pf + qf )Х2 = p[D,X3] + q[D,X1 ] = [D,pX3 + q^ ]. Следовательно, X4 = pX3 + qX\ и dim £4 = 4. Лемма доказана.

либо

и тогда

Замечание 2.1. Если Х4 = 0, то р = q = 0, и уравнение (2.8) сводится к уравнению

^ху —

Далее будем считать, что выполняется условие леммы 2.3. Введем операторы длины 4:

Х6 = [Х2, Х5] и Х7 =[Xi,X5].

Используя тождество Якоби

[Х2, [ХиХз]] + [Х3, [X2,Xi]] + [Xi, [Хз,Х2]] = 0, нетрудно показать, что Х6 = рХ5. Поэтому dim £5 ^ 5.

Замечание 2.2. Если Х6 = 0, то р = 0, и равенство (2.14) принимает вид

f" — qf = 0.

Тогда уравнение (2.8) сводится к уравнению синус-Гордона

иху = еи + е-и.

С помощью формул (2.9)-(2.12) получаем, что

[D,X7] =

Проверим, что dim £5 = 5. Допустим обратное: dim £5 = 4 и Х7 = ciXi + с2Х3 + с3Х5. Тогда

D(ci) — C3qf = 0, cif + C2f' = 0, D(C2) + c3f — C3pf = 0,

D(c3) + 2pf — f' = 0.

Ясно, что с^-постоянные, г = 1, 2, 3. Из последнего уравнения (2.19) видно, что f = 2pf, т.е. Х3 = 2pXi (лемма 2.2).

Теперь введем операторы длины 5:

х8 = [Х2 ,x7], Хд = [Xl,X7], [Х3,Х5\.

Легко проверить, что оператор [Х3,Х5] = —рХ7 + Х8, поэтому dim£6 ^ 7. Используя (2.9)-(2.12), (2.18), получаем, что

[D,X8] =

Если dim £6 = 5, тогда выполняется следующие соотношения:

Х8 = CiXi + С2Х3 + С3Х5 + с4Х7,

Хд = CiXi + С2Х3 + С3Х5 + С4Х7.

Первое соотношение согласно утверждению леммы 2.1 и формулам (2.10)-(2.12), (2.18), (2.20) перепишем в виде:

D(ci) — qc3f = 0, cif + C2f' = 0, D(C3) + 03/' — ^f = 0,

D(c3) + C4f' — 2pc4f = 0, D(Ca) — f + 2pf = 0. Из последнего уравнения следует, что с4 = 0 и f' = 2pf. Значит Х3 = 2рХi, то есть dim £3 = 2. Итак, dim £6 > 6. Справедливо утверждение.

Лемма 2.4. Пусть dim £ = г, г = 3, 4, 5. Тогда размерность пространства £6 равна 6 тогда и только тогда, когда

Х8 = 0.

Доказательство. Пусть dim £6 = 6. Тогда либо

Хд = CiXi + С2Х3 + С3Х5 + С4Х7 + С5Х8

и, следовательно,

D(ci) — qc3f = 0, cif + C2f' = 0, D(c2) + 03/' — ^f = 0,

D

D(C4) — f + 2pf = 0, D(C5) + f = 0,

либо

и тогда

X8 = Ci Xi + C2 X3 + C3 X5 + C4 X7 + C5 Хд,

D(ci) — C3qf — ciCbf = 0, cif + C2 f = 0, D(C2) + C3f' — C3Pf — C2C5f = 0, D(C3) — (q — 2P2)f + C4(f — 2pf) — C3C5f = 0, D(C4) — C4C5f = 0, D(C5) — 4f = 0. Из последнего уравнения (2.21) видно, что f = 0. Систему (2.22) перепишем так

C3Q = 0, cif + C2f' = 0, С3 (f' — pf ) = 0, — (q — 2p2)f + C4(f' — 2pf ) = 0,

где ci, c2, c3, c4 - const, c5=0.

Если ~c3 = 0, то функция f удовлетворяет уравнению f' = pf, тогда dim £3 = 2. Если c3 = 0, то c4 = 0 (иначе dim £3 = 2), и из четвертого уравнения следует, что q = 2р2. Значит Х8 = 0. Таким образом, условие необходимости доказано.

Теперь докажем достаточность. Пусть Х8 = 0, тогда так как [Х3,Х5] = —рХ7, то dim £6 ^ 6. Если dim £6 = 5, то оператор Хд должен выражаться через линейную комбинацию операторов Xi, Х3, Х5 и Х7, но в этом случае (как показано выше) dim £3 = 2. Лемма доказана.

Замечание 2.3. Итак, если Х8 = 0, то q = 2р2, и уравнение (2.8), (2.14) приводится к уравнению Цицейки

иху = еи + е-2и.

2.2.2. Гиперболические уравнения иху = f (и,их,иу). Рассматривается нелинейное уравнение

иху = f

В этом пункте получены условия на правую часть уравнения (2.24) (см. [16,18,35]), для которых

dim £i = г, г = 2, 3,4, 5), 6.

Мы исключаем уравнения (2.24) линейные по переменной их, либо по иу. Положим

^ ^ ^ ^

Хг = ui— + f— + ... + Dn-i(f)— + ..., Х2 =

ои ощ оип ощ

D = Xi + U2X2.

тогда Имеем

[D,Xi] = —

Используя тождество Якоби

[D,X3] = [D, [X2,Xi]] = — [Xi, [D,X2]] — [X2, [Xi,D]]

и соотношения (2.26), получаем

[D,X3] = —

А для операторов X4, Х5 выполняются соотношения

[D,X4] = — fa fauiX2 — fa uiX3 — 2 fui Х4,

[ D,X5] =

— (U\ f u + f Д1 )X4 — faX5.

Теорема 2.1. Пусть размерность пространства $4, порожденного операторами длины 1, 2 и 3, равна четырем. Тогда

X4 + ci(Xi — U1X3) + с2 X5 = 0,

и выполняется одно из следующих соотношений для правой части уравнения (2.24): либо _ _

/ = с(щ/ 1% dû, + В)_, fa + s-f = Л, В = В(и,щ ), с = с(и,щ ),

где С\ = —2, с2 = 0, 5,Л — cons t; с2

либо функция f удовлетворяет соотношениям

fu + fui fui — и1 fuui — f fuiui — Сfuiui 0, D(C) — С fa — (щ fu + f fa ) = 0, С = С(и,Щ ),

где с\ = 0, с2 = -, с2 = 0.

Рассматривая у-характеристическое кольцо, получим "симметричный" вариант теоремы 2.1.

Теорема 2.2. Если размерность пространства $4 равна четырем, то

У4 + С1ОГ1 — щ¥з) + ВД = 0, и выполняется одно из следующих соотношений для правой части уравнения (2.24):

либо _

f = с(й! /JMû + В) , + = Л,

В = В(и,щ ), c = c(u,ui ),

где с\ = —, с2 = 0, 5, Л — cons t; либо функция удовлетворяет соотношениям

fu + fui fui и1 fuu 1 f fuiui C.fuiui 0, D(C) — C fa — (и1 fu + f fa) = 0, с = с(и,щ),

где ci = 0, c2 = 1, c2 = 0.

с

Отметим, что соотношения (2.31), (2.32) получаются из уравнений (2.29), (2.30) заменой щ на щ и щ на щ.

Лемма 2.5. Пусть правая часть уравнения (2.24) удовлетворяет равенствам (2.29), (2.31). Тогда

иху = К

Л, Л,г],6 — const.

Отметим, что для уравнения (2.33) операторы Х4 и У4 имеют вид

^ V V А V

Х4 + =2 (Xl - UyХз) = 0, Y4 + J2 (Y1 - = 0. Введем операторы длины 4:

х§ = [Х2,Х5], Xj = [Xi,x5\.

Нетрудно показать, что Х6 = gtХ5. Положим

« = -(ûifu + ffUl ), Р = -fû1, 1 = -(fu + fUl /щ ), P = -Îû1û1 , Q fui P, T fu + fui fui - Uifuui - f fmui, S fUl T.

Используя тождество Якоби и соотношения

h

Видно, что размерность пространства $5 растет не более чем на единицу, т.е. dim $5 ^ 5. Пусть для уравнения (2.33) размерность пространства $5 равна пяти, т.е. операторы Xi,X2,X3,X5,Xj линейно независимы. Теперь введем операторы длины 5: Х8 = [X2,Xj], Х9 = [Xi,Xj], [Х3,Х5]. Используя тождество Якоби, имеем

[Х3,Х5] = - —i Xj + Xs, В 2

т.е. dim $6 ^ 7.

Согласно (2.26), (2.27), (2.28) и (2.34) получаем

[D,X8] = (щги + frui - s)^ (fui Х2 + Х3) - (А (щги + frui - s) +

Jd

il и + J I Ui - f)ui (Jul^2 + ^3) - ( 0

+ (=2(щаи + faUl))_ + фщ(щаи + faUl))(Xi - щХз) + + ( {26a §2 + щ/Зи + f/3ui + r) + S §2 (25a §2+ +йфи + ffa + r)j X5 + faXj + 2fiXg,

[D,Xg] = (щ(щги + frux - s)u + f (щги + frux - s)ux--fui(щги + frш - s))(fuiX2 + X3) + (2щги + 2frui - s+

+щ(35 It au + йфии + fyfim ) + 2uiff3uui +

Jd

+f (35ft+ faiI3ui + fPuiui))X5 + (25gta + 2йфи+

+2fPui + r)Xj + aX8 + pXg - A (2ûifauui +

J_ (o—

____Б2 _

+ui(uiauu + fuaui) + f (fuiaui + fauiui))(Xi - щХз).

Лемма 2.6. Если размерность пространства £6 для уравнения (2.33) равна шести, то функции К (и), Ь(их) и В (иу) удовлетворяют соотношениям вида

1 / _. 1 /

К" = 4\2к22К3 + 2к2ХКК', Ь' = к2

Е В

При этом

Х8 + (11 (Хг - иуХ3) + йзХ7 = 0,

где

1/ 1 1/ ¿1 = 2\к2(1 + \-=У )(2\к2 К2 + К'), ¿33 = 2Х =(1 + Х^у).

В в в

Замечание 2.4. Для уравнения (2.33), (2.37) постоянная X не равна нулю, иначе в' =

Замечание 2.5. Уравнение (2.33), (2.37) точечной заменой

К = -^К, L = k2L, В = \В X кз

приводится к уравнению

иху = KLB, К" = 4К3 + 2КК', L' = 1 + 2 , В' = 1 + 2-Mr,

L В

— ^ _L с-2'" Л,

ху

которое связано с уравнением Цицейки уху = е+ е ^ дифференциальной подстановкой

V = -^ 1п(их - Ь) - ^(Му - В) + Р(и), где функция Р определяется из обыкновенного дифференциального уравнения

Р'2 - 2КР' - 3К' - 2К2 = 0. Для уравнения

иху = К

размерность линейного пространства L6 равна 2, т.е. пространство £6 порождено образующими Х2,Х2, Х3, Х5, Х7, Х8, Х9 (dim £6 = 7). Введем операторы длины 6:

Хю = [Х2,Х8] = -¡-щХ8, Хи = [Х1, Х8],

Х12 = [Х2,Х9], Х13 = [Х1,Х9].

Теорема 2.3. Пусть размерность пространства £7 для уравнения (2.38) равна девяти. Тогда _

Хп = — 3КК'щ(Х1 — ицХз) + (3К2 + /1)щХ5 + -ии^Х9.

1 — щ

А функция К удовлетворяет соотношению вида

К'' — 2К3 — уК = 0, у — const.

Уравнение

V = arcsin их + arcsin иу + Р (и), Р'2 = 2К' — 2К2 — X,

сводится к уравнению синус-Гордона vxy = еv + е.

2.3. Система уравнений их = f(u, v), vy = у (и, v). В данном разделе рассматривается система уравнений

их = /

В работе [21] для классификации интегрируемых уравнений применен симметрийный метод и было показано, что если выполнены первые три D и D-условия существования высших симметрий, то система (2.40) приводится к одной из следующих

их = , у = sin и,

их = V, vy = еи + е-2и,

их = sin , у = sin и,

их = a

их = 1, Vy = uv + 1,

их = , y = и + 2 и, их = и + 1 , y = и + 1 .

На множестве локально-аналитических функций, зависящих от конечного числа переменных и,ь,и1, v1,u2, ь2,и3, v3,..., оператор полного дифференцирования по х имеет вид

д д — д —2 д D = V1Q + f д + Df -Jr + ^f + ...,

Qv ди ди1 ди2

где и = иу, V1 = Vx,U2 = иуу, V2 = Vxx, . . .. Тогда

D = Vl Х1 +Х2,

где

д д — д —2 д Х1 = д, Х2 = /д + Dj-д + D fjQ- + ....

Qv ди ди1 ди2

Таким образом, с системой уравнений (2.40) естественным образом связано кольцо Ли, порожденное векторными полями Х1 и Х2.

Пусть dim £3 ^ 3, dim £4 ^ 4. Тогда выполнено одно из следующих соотношений:

(г) Хз = С1Х1 + С2Х2, С1 = С1(г;), с^ = С2(г^;

(гг) Х4 = сХ + ^2Х2 + сзХз, Х5 = сХ + С2Х2 + С3Х3,

Ci = Ci

Ci = Ci(v), г = 1, 2, 3,5;

(i v) Х5 = С1Х1 + С2Х2 + С3Х3 + С4Х4,

i = i( ), = 1, 2, 3, 4.

Оператор D = р — + и1 — + и2 -и- + ... совпадает с оператором полного дифференцирования по у на множестве функций, зависящих от переменных v,u,u1,u2,u3, ....

Лемма 2.7. Пусть и и v — решения системы уравнений (2.40) (р'и = 0), и векторное поле Z имеет вид

д _ д _ _ д

Z = ао(и, v)-—+ а1(и, v, щ)^^- + а2(и, v, щ,щ+----

ди ди1 ди2

Если [D, Z] = 0, то Z = 0. Имеем

[ДХ1] = -Р.Х1, [й,Х2] = -fриХ1.

Используя тождество Якоби и соотношения (2.44), получаем также

[ДХз] = [D, [Х1,Х2]] = -[Х2, [о,Х1]] - [Х1, [Х2,Щ =

_= [Х2, р^Х^ - [Х1, ¡риХ1] = -ириХ1 - pvХ3,

[ D, Х4] = [D, [Х1,Хз]] = -и€риХ1 - ртХз - 2р.иХ4,

[ D, Х5] = [D, [Х2,Хз]] = ри (fufv - f fuv) Х1 + + (fvри - ¡'рил) Хз - f риХ4 - РvХ5. Пусть размерность характеристического кольца равна двум. Тогда Х3 = с1Х1 + с2Х2. Согласно лемме 2.7 и соотношениям (2.44) и (2.45) имеем

С1 = 0,

Если операторы Х1,Х2 и Х3 линейно независимы, и размерность характеристического кольца равна трем, то Х4 = с1Х1 + с2Х2 + с3Х3, Х5 = Сс1 Х1 + с2Х2 + с3Х3. Последние равенства, используя лемму 2.7 и соотношения (2.44) и (2.45), перепишем в эквивалентной форме

С1 = с = 0, (C2f + С3fv - fm) ри = 0,

С2-а'р + 2С2'р-а = 0, С^р + рт + C^v = 0,

С2 f + Сз fv + fи fv - f f uv = 0, С2ир + С2р-и + С^ри = 0,

С3'о<р + С^ри - fvри + $<ри'о = 0.

Теперь рассмотрим случаи, когда характеристическое кольцо минимального роста, т.е. dim £4 = 4. Если операторы Х\, Х2, Х3 и Х4 линейно независимы, а Х = С\Х\ + с2Х2+ +С3Х3 + С4Х4, тогда

Cl = С1 = 0, (c2f + С3fv + С4fvv + fufv - ffuv) Vu = 0,

C2vp + C2<Pv = 0, C3vV - C4Vvv - fvVu + f Vuv = 0,

C4v>$ - C4^v + f<Pu = 0.

Если операторы Х1, Х2, Х3 и Х5 линейно независимы, а Х4 = с1Х1 + с2Х2 + с3Х3 + с$Х5, тогда

Cl = Cl = 0, (С2 f + С3 fv - fvv - С5( fu fv - f fuv)) Vu = 0,

C2vV + 2C2Vv - C2C5fVu = 0,

C3vV + C3Vv + Vvv + c5

C5vf + C5<fv - Cif^u = 0. Аналогично вводится у-характеристическое кольцо Ли системы уравнений (2.40). Из условия "медленного" роста следует, что выполнено одно из соотношений

(г ') Y3 = ¡3iYi + P2Y2, I3i = l3i(u),P2 = fciu);

(гг') Y4 = 3iYi + 32Y2 + 33Y3, Y = ¡3iYi + P2Y2 + P3Y3,

3г = 3i

3i = 3i(u), i = 1, 2, 3, 5; (г v') Y5 = 3iYi + 32Y2 + 33Y3 + 34Y4, 3i = 3i(u), i = 1, 2, 3, 4.

Для систем уравнений (2.41) выполнено одно из условий (2.43) и (2.50). А именно, для первой, второй, шестой и седьмой систем (2.41) Х4 = 0. А также, для первой системы имеем Y4 = -Y2, для второй Y4 = 2Y2 - Y3, для шестой Y4 = -2Y2 + 3Y3, для седьмой Y4 = 0.

Для третьей системы Х4 = -Х2 и Y4 = -Y2.

Y-характеристическое кольцо Ли четвертой системы уравнений ux = ol(v), vy = eu трехмерно (Y3 = Y2), а ж-характеристическое кольцо для каждого из случаев (i)-(iv) определяет функцию a(v) следующим образом: при Х3 = с2Х2 функция а = ^eC2V (с2,^ — постоянные); в случае (ii) функция а удовлетворяет соотношениям вида

с2а + с3а' - а" = 0, с2а + с3а' = 0, 'с'2 + с2а = 0, 7!3 + с3а - а' = 0, ci = 'ci = 0,

где с2, с3 - постоянные, с2 = c2(v), Ъ3 = c3(v).

В случае (i i i) функция а удовлетворяет соотношениям вида

с2а + с3а' - а" = 0, d2 - с2с5а = 0, с!3 + с5а' - с3с5а = 0, d5 - с\а = 0, ci = ci(v), г = 2, 3, 5.

При этом Х4 = с2Х2 + С3Х3 + С5Х5.

А в случае (iv) Х5 = с2Х2 + с3Х3 + с4Х4 и функция а такая, что

с2а + с3а' + с4а" = 0, с!3 = а, d4 = -а, с2 - const, ci = ci(v), i = 3, 4.

Замечание 2.6. Нетривиальные симметрии существуют лишь при — = const (см. [21]). а

Пятая система уравнений ux = i, vy = uv + 1 (Y4 = 0) заменой v = e-w приводится к виду

ux = ew, wy = u + ew. Для последней системы уравнений Х4 = 0.

Итак показано, что системы уравнений (2.41) имеют кольца минимального роста, то есть удовлетворяют (2.43) и (2.50).

2.4. Нелинейные интегрируемые уравнения с конечномерным характеристическим кольцом. В этом пункте рассматриваются уравнения (2.24) с характеристическим кольцом А размерности 2 и 3 (см. [16,18,35]) и уравнение (2.33) при dim А = 4. Видно, что операторы Х1 и Х2 линейно независимы, т.е. dim L2 = 2. Справедливо следующее утверждение.

Лемма 2.8. Размерность характеристического кольца А равна двум если и только если правая часть f уравнения (2.24) имеет вид

f = А(и,их )иу.

При этом Х3 = —Х1.

иу

Пусть размерность кольца А равна трем. В этом случае выполняются соотношения вида

Х4 + с(Х1 - иХ) = 0, Х5 + с(Х1 - иХ) = 0,

с = с(и,й1,и1,и2,...), с = с(и,й1,и1,и2,. . .).

Тогда

[D, Х4 + с(Х1 - щХз)] = 0, [D, Х5 + с(Х1 - и1Хз)] = 0. Последние соотношения, согласно (2.26), (2.27) и (2.28), эквивалентны следующей системе уравнений

D(c) + 2с/щ = 0, ¡и1Щ + c(f - щ fa) = 0,

D

f и + /uI/MI и1 fwui f fuiui C(f и1 fn\) 0.

Ясно, что с = с(и,и1), с = с(и,и1). Справедливо утверждение.

Лемма 2.9. Уравнение (2.24) с характеристическим кольцом Ли А размерности 3 точечной заменой приводится к одному из следующих

-(Вииу + 1), В = В(и,их), с = с = 0;

и

х у

Ви

либо либо

и

х у

1

е иФ(их), с = 0, с = с(и,иу);

и

и

иху = -р(их)г(иу), г' + = \, р' + — = А и г р

где А - const, А = 0, с = —2

_ 1

с= —;

и

либо

, . , ._, . .it 2 _/ гщу / ux

иху = д(и)р(их)г(иу), (Ing) =q, r+ — = 0, р+--= 0

где с = 1, с = —; г2 q

либо

иху F (и,иу )uх,

где c=-(In(F - иуЁиу))' , c=(In(F -иуЁиу))U,

иу

функция F удовлетворяет соотношению

иуе v + (F -р'иу) е vdu = Ф(F -р'иу), р = р(и).

х

Здесь В, Ф, Ф-произвольные функции своих аргументов. При этом

Х4 = -c(Xi - иуХ3), Х5 = -с(Хг - иуХ3). Теперь рассмотрим уравнение (2.33), для которого dim £4 = 4.

Лемма 2.10. Пусть размерность пространства £4 равна четырем. Для уравнения (2.33) dim £5 = 4 только тогда, когда функция К удовлетворяет соотношению

к' V

— \ =кК2, к -const.

Отметим, что размерности х- и у-характеристических колец Ли А и А уравнения (2.33), (2.52) равны четырем (см. [20]). Поэтому это уравнение является уравнением ли-увиллевского типа.

2.5. Уравнение иху = /(и,их,иу) с х- и у-интегралами второго порядка. В работе [36] предложен метод классификации нелинейных гиперболических уравнений (2.24) с х-и -интегралами второго порядка, основанный на исследовании пары характеристических колец Ли. Характеристические кольца таких уравнений трехмерны.

Теорема 2.4. Пусть характеристические кольца А и А уравнения (2.24) трехмерны. Тогда выполнены следующие соотношения:

Ат = 0, Аищ + АЩ/ = -2 fa А,

Ви1 =0, ВиЩ + BbJ = -

где аА_ fu^u^ в_Uifuu^ + ffu^u^ fu fu^ fu^

f-Ul f^ , f-Щ '

= 0, Аищ + AUJ = -2 fa А,

Вщ = 0, Вийх + BUJ = -

где ~A__в_Ui/^i +ffu^u-^—fu—fu-^fu^

f-Ul fu^ f-U-l fui '

Соотношения (2.53)-(2.56) позволяют составить полный список уравнений с интегралами второго порядка (см., например, [6]).

2.6. Линеаризованное уравнение. Для классификации нелинейных интегрируемых уравнений вместо кольца Ли исходного уравнения можно использовать характеристическое кольцо его линеаризации.

Рассмотрим линеаризацию

уравнения (2.4). Для данного уравнения можем определить последовательность инвариантов Лапласа (см. [20]).

Определение 2.1. Уравнение (2.4) называется интегрируемым по Дарбу, если существуют функции ш, ш, зависящие от конечного числа переменных

х, у, и, иг, и2, и3,... ,Ui,U2,U3, ...

такие, что на решениях уравнения (2.4) функция ш не зависит от переменной у, а функция ш - от х.

Приведем критерий интегрируемости по Дарбу (см. [19,32,41,49]):

Теорема 2.5. Нелинейное уравнение (2.4) интегрируемо по Дарбу тогда и только тогда, когда последовательность инвариантов Лапласа линеаризованного уравнения (2.57) обрывается с двух сторон.

В работах [14, 17], используя понятие характеристического кольца Ли, показано, что последовательность инвариантов Лапласа линеаризованного уравнения (2.57) обрывается с двух сторон только в том случае, когда характеристические кольца Ли конечномерны.

2.7. Высшие симметрии интегрируемых уравнений. В данном параграфе проводится описание высших симметрий интегрируемых уравнений на основе образующих характеристического кольца Ли (см. [10,32,37]).

Правая часть нелинейного уравнения иху = /(и), допускающего нетривиальную группу преобразований Ли-Беклунда, приводится к одному из видов: еи, еи + е-и, еи + е-2и.

2.7.1. Симметрии уравнения Лиувилля. X-характеристческое кольцо Ли порождается операторами

д г., г„, д д

Ai = еи -

Положим

Xi = еи—— + D(eU)^ + ..., Х2 = . OUi ои2 о и

оо

Я

X = е-" У Dk-i(eU) — = e-uXi,

оик

k=i k а оператор X получим заменой щ о йк, D о D.

Известно (см. [22]), что любая симметрия представима в виде

F = p(ui,u2, ...,ип) + р(щ,й2,... ,йт),

где р, р являются симметриями. Теперь определяющее уравнение

DDip = еир

примет вид

Применяя к уравнению (2.59) оператор X, получаем

(D + ui)X 2р = 0.

Следовательно, h = Хр е KerD, аналогично h = Хр е KerD, и из формулы (2.59) получаем, что любая симметрия уравнения Лиувилля представима в виде

f =

где h(h)- произвольный элемент KerD(D). Итак, справедливо следующее утверждение. Теорема 2.6. Симметрии уравнения Лиувилля вычисляются по формуле f = (D + ui)h(w, wi,...) + (D + ui)h(w,wi,...), где w = u2 — Ur = u2 — Ur), h(h)-произвольная функция своих аргументов.

2.7.2. Симметрии уравнения синус-Гордон. Векторное поле ^-характеристического кольца уравнения синус-Гордон

д д Xi = (еи + е-и)— + D(eU + е-и)— + ...

ощ ои2

представим в виде

Xi = еиХ + e-UY.

Тогда определяющее уравнение DDF = (еи — e-U)F эквивалентно системе

Так как коммутатор [D, D] = 0, то справедливы следующие соотношения

Применяя к уравнениям (2.61) дифференцирования Х и Y, и используя при этом (2.62), приходим к формулам

DYXF = (Y - Х)F, (D + щ)XYXF = YXF,

Из (2.61) - (2.63) следует, что если F-симметрия порядка n, то УХР-симметрия порядка n - 2. Действительно, так как

(Y - Х )F = -2 (иг + и2 + ... + (ип-1 + ...) ) (ип+

+сип-1 + д(иг,... ,ип-2)),

то ord (Y - Х)F = n - 1, и поэтому из первого соотношения (2.63) получаем, что ord УХР = n - 2. Следовательно, если исходное уравнение допускает симметрию четного порядка, то оно должно иметь симметрию второго порядка. А симметрия второго порядка отсутствует.

Из формул (2.61) получаем, что

2 F = (D - и^-1щ)(Х - Y)F.

Последняя с учетом (2.63) записывается в виде

2 F = (-D2 + u1d-1u1d)y Х F = -LYXF.

Таким образом, алгебра симметрий уравнения синус-Гордон вычисляется по рекуррентной формуле

F

2.7.3. Симметрии уравнения Цицейки. Определим дифференцирования Х и Y соотношением eUX + e-2UY = Х1, где

8 8 Х1 = (еU + е-2и)^— + D(eU + e-2U)^ + ....

и1 и2

Тогда для функций вида F(щ,... , ип) определяющее уравнение

DDF = (еU - 2е-2u)f

эквивалентно системе:

Последовательное применение операторов Х и Y к уравнениям (2.65) приводит к формулам:

(D + и1)Х (YX 3YXF) = YX 3YXF, (D - 2u1)Y(YX3YXF) = -2YX3YXF.

Пусть F-симметрия порядка n. Тогда из формул (2.65), (2.66) следует, что YX3YXF-симметрия исходного уравнения порядка n - 6. Далее перепишем уравнения (2.65) следующим образом

D(2X + Y)F + 2щ(Х - Y)F = 0, D(X - Y)F + щ(X + 2Y)F = 3F. Из последнего нетрудно получить формулу:

3F =

Теперь, используя

27F =

Четвортое и пятое равенства (2.66) запишем в виде

[В, (Х3УХ + 2УХ2УХ) + 2иг(Х3УХ - УХ2УХ)]Р = 0, [В(Х3УХ - УХ2УХ) + щ(2Х3УХ + УХ2УХ) - 3Х2УХ]Р = 0.

Из последних соотношений получаем, что

3Х2УХР =

И, наконец, используя шестое равенство (2.66) и (2.69), формулу (2.68) можно записать в виде

162 Р = ЬУХ 3УХР, где оператор рекурренции Ь определен формулой

Ь = (В -иг - 2игВ-гщ)(В - иг)В(В + иг)(В + иг - 2щВ-гиг )В. (2.70) Последнее соотношение дает рекуррентную формулу для симметрий

р

Полагая Р(1) = иг, а Р(5 = и5 + 5(и2 - и2)и3 - 5иги2 + иI, получим из (2.71) две последовательности симметрий

{Р (г+б к)} и {Р (5+б к)} , к = 0,1, 2,...

уравнения Цицейки.

2.7.4 Симметрии модифицированного уравнения синус-Гордона. Модифицированное уравнение синус-Гордона (2.38), (2.39) (мСГ) представим в виде

и,,

8(и)Ь(иг)Ь(иг), где s" — 2 s 3 — ^s = 0 b'= —Ur, b = — и1, ^ — const. (2.72

На множестве локально-аналитических функций из ^

ВР (и, иг,и2, ...)= иг £ + в ЬЬ £ + В(з ЪЪ) + ... = = иг I + в ЬЬ £ + (в 'иг ЪЪ - з^Ъ - з2Ъ2щ) + ....

Поэтому образующие ж-характеристической алгебры Ли А уравнения (2.72) имеют вид

.. д 212 д лг .. д , . 1 щщ, д ,л

Х = — - з2Ь2йг— + ..., У = вЪ---+

ои ои2 оиг Ь ои2

Тогда В = щХ + ЬУ.

Теорема 2.7. Дифференциальный оператор

У2 + в2

переводит высшие симметрии порядка п в симметрии порядка п - 2. Оператор рекурренции

2

В2 + 2^в - игВ-г(^В + ^В + 3в2ЩВ+ о2 Ь2 Ь4

+ 3 5 5 'иг - в в' + Хи2) + 82 + \и\ определяет алгебру симметрий уравнения мСГ (см. [37]).

Отметим, что оператор рекурренции был получен в работе [28] с использованием преобразования Беклунда.

Если ^ = 0, т.е. з'2 - 8з" + 54 = 0. Тогда функция з определяется так

,= ^ , Л, с -сап*,

соъ^Ли - с)

Оказывается существует оператор, который симметрии уравнения

1

переводит в у-интеграл. Теорема 2.8. Оператор

иху = 1 - и2х/1 -11 -

-У + Щ в

симметрию Р переводит в интеграл \¥ уравнения (2.74). А оператор

интеграл — в симметрию.

3. Системы гиперболических уравнений 3.1. Симметрии. Характеристическое кольцо.

3.1.1. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана. Интегрируемость системы уравнений = Р(и) определяется свойствами харакетристической алгебры Ли, задаваемой векторным полем Р(и) (см. [30]). В связи с этим возникает задача о классификации конечномерных (тип I) и допускающих конечномерное представление (тип II) характеристических алгебр. Мы рассмотрим экспоненциальные системы уравнений. Экспоненциальная система с матрицей коэффициентов А = (а^) записывается в виде

и= еь , Vг = аци1 + ... + аггиг, г = 1,... ,г.

Если А-матрица Картана простой алгебры Ли, то эта система интегрируется в квадратурах (см. [29,57]).

Относительно системы уравнений (3.75) с произвольной матрицей А в работе [30] высказана гипотеза о совпадении характеристической алгебры X(А) с порожденной положительными корнями подалгеброй С+(А) контрагредиентной алгебры Ли канонически ассоциированной с матрицей А. Известно (см. [25]), что контрагредиентная алгебра Ли конечномерна тогда и только тогда, когда матрица А эквивалентна одной из матриц Картана простой алгебры Ли.

Нашей целью является описание конечномерных характеристических алгебр X(А), соответствующих невырожденным матрицам А. Элементами алгебры X (А) являются операторы вида £ гз (иг,и2,...) -¡¡г в пространстве переменных и^ = (и1,...,и^), ] > 1.

Образующие Хг,... ,ХГ алгебры Ли X (А) определяются соотношениями

X,В =

где Б : и^ ^ и^+1, а^ = а+ ... + и\. Как векторное пространство, характеристическая алгебра порождается кратными коммутаторами следующего специального вида

Х№п, : У ^ [Х3,У\.

Условие невырожденности матрицы А системы уравнений (3.75) удобно заменить условиями

Щг 2, 0 ^^ Oгj 0,

агз = 0,-1, (г ^ = 1,...,г,г = ]).

Матрицу, удовлетворяющую этим условиям (возможно вырожденную), будем называть обобщенной матрицей Картана. Покажем, что соотношения (3.78) являются следствием конечномерности алгебры X(А) и условия det А = 0.

Конечномерность характеристической алгебры означает равенство нулю коммутаторов (3.77) достаточно большого порядка п. Это следует из разложения

X (А) = Х = ХхфХ2 0 ... Хп 0 ...,

где Х^-линейное подпространство, натянутое на коммутаторы порядка ]. Х^ П Хк = {0}, так как коэффициенты Хаигт оператора Ха Е Хп являются обобщенно однородными полиномами степени т - п. Для операторов Х\,... , Хг Е Хх это справедливо в силу формулы (3.76), а для коммутаторов (3.77) в силу общей формулы

ХаВ = (В + аа1 + ... + аап )Ха + Х[а],

Х[а] аа„_1а„Ха/ап п=г С]Ха/а^ , С] k=j+гааkаj .

где a/aj-мультииндекс, полученный из а зачеркиванием компоненты с номером ]. Формула (3.79) дает, в частности, соотношение

Ха\...ап ип

Х[а]Пп-г, п > 2,

из которого следует, что при п > 1

( ай^Хк) игп+г = п (а^ + п-rаjj) а(п-1 Хкигп = ... = = п! 1Х=2 (аV + Р-^ап

^ Пр=2 + М - ^к^) .

Хjк и2

Полагая аjj = 0, получаем айп Хк и,п+г = п! (а^)п . Таким образом, для конечномерной

алгебры из аjj = 0 следует а^ = а2^

0, что противоречит невырожденности

матрицы А. Итак, можно положить аjj = 2, У] = 1,..., г. Формула (3.81) при г = ] дает аjк(а^ + 1)(а^ + 2) ... (а^ + п) = 0, п ^ 1. Соотношения (3.78) доказаны.

Матрица А порядка называется разложимой, если для некоторого разбиения множества индексов {1,... , г} = 1\ и 12, 1\ П 12 = 0 элементы матрицы А удовлетворяют условиям ау = аji = 0, У г Е 1\,] Е 12. Система уравнений (3.75) с разложимой матрицей А распадается на две независимые подсистемы. Матрицы систем уравнений (3.75), отличающихся только нумерацией переменных, будем называть эквивалентными.

Теорема 3.1. Описание конечномерных характеристических алгебр. Неразложимая обобщенная матрица Картана с конечномерной характеристической алгеброй эквивалентна матрице Картана простой алгебры Ли (табл. 1).

Таблица 1.

В табл. 1 приведены графы (схемы Дынкина) матриц Картана. Вершины графа пронумерованы. Ребро {г,]} соединяет вершины с номерами г, ], если аij аji = 0. Указанные в

таблице графы однозначно определяют матрицы Картана (см. [5]). Кратность ребра {г,]} указывает на величину произведения aijaji = 1, 2, 3. Стрелка определяет место элемента, не равного -1. Отметим, что перестановке иг О и3 переменных соответствует перестановка г О ] вершин графа.

Замечание 3.1. Конечномерность характеристической алгебры, соответствующей одной из матриц Картана, следует из соотношений

а^~акзХк = 0, 3 = к.

Действительно, аналогичные соотношения полностью определяют порожденную положительными корнями подалгебру С+ контрагредиентной алгебры Ли, которая является конечномерной в случае матриц Картана (см. [25]). Уравнение

§ и

называется характеристическим уравнением системы и^ = Рг(и1,... ,иг), "1 = 1, 2,..., г. Оператор

Ш = Р

определяет характеристическую алгебру Ли X ( Р) этой системы. Образующими алгебры X( Р) являются операторы вида (3.83), соответствующие различным значениям параметра и = (и1,... ,иг). Легко видеть, что в случае экспоненциальной системы (3.75), соответствующей обобщенной матрице Картана, так определенная характеристическая алгебра совпадает с алгеброй Ли, порожденной операторами (3.76).

Лемма 3.1. Характеристическое уравнение (3.82) системы с конечномерной алгеброй X( Р), Р = (Р1,..., Рг) имеет г решений

ик = ик (и1,..., иПк), к = 1,... ,г,

удовлетворяющих условию независимости в главном

ди1 диг

det

= 0.

Основное свойство конечномерных характеристических алгебр X = Х\ ф Х2 Ф ....

Лемма 3.2. Пусть А - обобщенная матрицы Картана, dim X(А) < то. Тогда любой конечный набор [Ха = Ха1...ат} С Хт удовлетворяет условию:

^Т СаХ[а] = 0 ^ са Хаигт = 0, 1 ^ i ^ г.

Покажем, что для любой, не содержащейся в таблице 1, матрицы А (неразложимой, удовлетворяющей условиям (3.78)), либо при некотором п ^ 4 dimХп+1(А) > dimХп(а), и применима лемма 3.2, либо характеристическая алгебра X(А) имеет бесконечномерную подалгебру, соответствующую вырожденной матрице.

Пусть А - неразложимая обобщенная матрица Картана порядка г = 2. В силу формулы

X[ii2] = 2(1 + а2\) Х12, Х[212] = 2(1 + а\2) Х12.

Лемма 3.2 дает

(1 + а\2) (2аi + а2) ХП2Щ - (1 + a2i) (ai + 2а2) Х212Щ = = (1 + а12) а1ХП2Щ - (1 + а2\) а2Х212Щ = 0.

В силу формулы

Х112из = 2(1 + а2\) Х12Щ, Х212и3 = 2(1 + аи) Хищ.

г

Поэтому

(1 + аг2) (1 + а2г) (аг — Хг2Щ = 0. Так как неразложимость матрицы А означает Хг2и2 = 0, то

(1 + аг2)(1 + а2г) = 0. Полагая, для определенности, аг2 = —1, получаем Х2г2 = Х2гг2 = 0 и

Х[гггг2] = 4 (3 + а,2гХггг2) , Х[2ггг2] = —Х[ггг2].

Лемма 3.2 дает

(1 + а.2г) (2 + а.2г) (3 + а.2г) = 0.

Полученный результат обобщается. Рассматривая подалгебры с двумя образующими, убеждаемся, что справедливо следующее.

Замечание 3.2. Элементы обобщенной матрицы Картана А = (а^) с конечномерной характеристической алгеброй удовлетворяют условию

Уг = j a,ija,ji = 0,1, 2, 3.

Доказанное утверждение исчерпывает вопрос о классификации матриц второго порядка (см. табл. 1).

Замечание 3.3. Элементы неразложимой обобщенной матрицы Картана А = (а^) (г > 2, dim X(А) < то) удовлетворяют условию: а^а^ = 3.

Замечание 3.4. Пусть А = (а^) - неразложимая обобщенная матрица Картана порядка г > 3, dim X(А) < то. Тогда

aijdji = 2 ^ ац,аы, ajkakj = 2, k = i,j.

Доказательство классификационной теоремы сводится к отысканию бесконечных подалгебр. В процессе доказательства выясняется, что любая бесконечная характеристическая алгебра, удовлетворяющая перечисленным в замечаниях 3.2 - 3.4 условиям, содержит подалгебру, соответствующую одной из матриц табл. 2,3.

Матрицы условно разделены на две таблицы. Бесконечность алгебр матриц табл. 2 доказывается при помощи леммы 3.2. Матрицы, для которых применение леммы 3.2 затруднительно или невозможно, отнесены в табл. 3 вырожденных матриц (бесконечномерность соответствующих алгебр проверяется отдельно).

Имея в виду табл. 2, выпишем соотношения У] саХ[а] = 0, указывающие на применимость леммы 3.2. При использовании леммы 3.2 некоторые коэффициенты не существенны (см. доказательство замечания 3.4), они не выписаны в явном виде.

Таблица 2.

Таблица 3.

1

Мг : Х[г,1] + Х[к,к+1] к=1

г—4

Г2

Мг : ^ Х[к—1,к,к+1] + 2

к=3 1

— ^ ^Х[г-1,г—3,г-2] + Х[г-1,г—3,г-4] — Х[г—4,г—3,г-2 М5 : Х[312] + Х[512] + Х[423] — Х[524] = °

0, г >6,

2

Мг : Х[123] + Х[134] + Х[234] + 2 ^ Х[к—1,к,к+1] +

к=4

+ С-1Х[Г—2,г—1,г] + С2 (уЩг —1,г —1,г] + Х[г,г,г—= °

Мг4 : — (3 + 2а21)-1 {Х[1Щ + Х[221]) + 2Х[123] + 2Х[к—1,к,к+1] +

к=3

г—1,г —1,г] + Х[г,г,г—0 2

2

2, 1,

1

М5 : Х[21г] +-Х

[

аг,г—1 к=2

2, 1,

г—1,г—1,г] + Х[г,г,г —= 0 Г > 4

Мб : -

34

6 + 4а21

+ С (Х[334] + Х[443]) = 0.

(-Х[112] + Х[221]) + а34Х[123] + а21Х[234] +

0

3.1.2. Квадратичные системы. Системы уравнений вида

рХ = ¿3kP3 Qk + 4 Qk, Qy = dkßP3 ql + dk3p3

будем называть квадратичными. Здесь рг = p%(x,y),qk = qk (х,у), г = 1,2,...,п, к = 1, 2,... , ш — неизвестные функции; cjy, cy, dyi, dj — постоянные. Например, уравнение Лиувилля можно записать в виде:

Рх =pq, qy = Р

Уравнение синус-Гордон допускает запись:

РХ = Р1Q, РХ = -Р2 Q, Qy = Р1 + Р2

Обозначим через а алгебру гладких функций, зависящих от конечного набора переменных рг, qk, p\, qy,... , р\, qy,..., г = 1, 2,... ,п, к = 1, 2,... ,ш, где

Рг+1 = Dpi (¿+i = D (¿У, Р0 = = чк.

Через ах обозначим алгебру гладких функций,зависящих от переменных qy, к = 1, 2,... ,ш, I = 0,1, 2,.... Аналогично определяется алгебра ау. Если функция f Е ах, то Df = f0 + YTj=1 Pj fj, где fj Е ах, j = 1, 2,... ,п. Отображения Уг, определяемые равенствами Y-if = /¿, являются дифференцированиями алгебры ах. Точно также задаются дифференцирования Хг алгебры ау.

Определение 3.1. Порожденная образующими Y- подалгебра Lx алгебры Вбтах называется характеристической алгеброй системы (3.84) вдоль х.

Аналогично определяется характеристическая алгебра Ли Ly. Для определения полной алгебры системы (3.84) рассмотрим соотношения

Xo,Yi] = El=1 4Х, Xi,Yo] = - Е1=1 С^г,

(3.87'

_ r'.Y , + > "V , rl.k Х

где г=1, 2,...,п, 1 = 1, 2,...,ш.

[Хо, Yo] = 0, [Хi, Yг] = - c>üYj + ЕZ1 4Ху,

Определение 3.2. Пусть алгебра Ли Ь, порожденная образующими Хг,У^, I = 0,1,...,т,г = 0,1, 2,...,п, как векторное пространство является прямой суммой Ь = Ьх ф Ьу своих подалгебр, порожденных образующими У^ и Хг соответственно. Если соответствия Хг ^ Хг (У\ ^ У г) порождают изоморфизмы алгебр Ли Ьу ^ Ьу (Ьх ^ Ьх), то алгебра Ь называется полной алгеброй квадратичной системы (3.84).

Отметим, что соотношения (3.87) эквивалентны равенству

[Б + Хо +

если рг, ф являются решениями системы (3.84). С другой стороны, соотношения (3.87) и (3.88) при условии линейной независимости элементов Х1, У^ порождают систему (3.84). В этом случае уравнение (3.88) называют представлением нулевой кривизны (Ь — А-парой) для системы уравнений (3.84).

Определение 3.3. Набор функций ¡г, дк Е а называют симметрией системы (3.84), если уравнения

рТ = Р, = дк, г=1, 2,... ,п,к = 1, 2,...,т

совместны с ней.

Продифференцировав систему (3.84) по параметру т, получаем систему уравнений для определения симметрий:

В1 = с)к

Вдк = ¿>к1

где г = 1, 2,...,п, 1 = 1, 2,... ,т.

Пусть ¿"-линейное пространство симметрий, а Sx (Sy) подмножество симметрий вида

Г = Го + &, 9к ( fг, 9к = 9о + gh3),

для которых f], gк е ах (fг, gk Gay ).

По-видимому, пространство симметрий уравнений S является прямой суммой своих подпространств Sx и Sy.

Для симметрий системы уравнений (3.84) из пространства Sx определяющаяся система (3.89) приобретает вид:

D fÖ + ckqkfi = c)kqk ß + скдк, D Ц + cT^ft = c)kqk // + c^, Y0 gk = dkiqlß + dkß, Yi gk = dkjiqi f^ + d^g* + dkf3,

i = 1, 2,... ,п, 1 = 1, 2,... ,п, к = 1, 2,...,т.

После обозначений р1 = е2u, р2 = еuv, q1 = ux, q2 = w система уравнений

2и i ii ii ii

uxy = oe + e vw, vx = e w, wy = e v

принимает квадратичный вид

plx = 2p1q1, px = p2p1 + p1q2, q^ = op1 + p2q2, q^ = p2.

Для системы (3.91) при o = 4 в работе [31] получено представление нулевой кривизны в алгебре Вирасоро. Точнее говоря, система (3.91) при o = 9 является следствием недоопре-деленной системы уравнений, вытекающих из представления нулевой кривизны. В статье приведено иное представление нулевой кривизны, эквивалентное данной системе. При описании характеристической алгебры полезны следующие соотношения:

[D, Y] = о\kqkY,, [D, Y0] = Y,,

[D, Xk] = dlHpiX1, [D, X0] = éipiX1,

вытекающие из [D,D] = 0,D = Y0 + piYi, D = X0 + qiX1. Справедливо следующее утверждение.

Лемма 3.3. Если Q G Derax, [D,Q] = fQ и Q( qk ) = 0,k = 1, 2,...,т, то Q = 0. Доказательство. Имеем

Q(qк) = QD(qk) = (DQ - fQ)(qk) = 0.

Далее индукцией по г получаем Q(qk) = 0. Следовательно, Q = 0. Лемма доказана. Система уравнений (3.91).

Ограничимся рассмотрением наиболее интересного случая o = 4. Уравнения (3.92), (3.93) для системы (3.91) запишутся в виде

[D,X] = 9p1 X1 + p2X2, [D,X1] = 0, [D,X1]= p2X1, [DY] = -2q 1Y1 - q2Y2, [DY] = -q^, Yo = 0.

При описании алгебры Ly будут использоваться значения ее образующих Xk на функциях рг

Xo(P 1 ) = 0, X1(p 1) = 2р1, X2(p 1) = 0,

Xo

Из равенства [D, [X1,X2]] = p2X1 при помощи формул (3.94), (3.95) и леммы 3.3 получаем, что [X1,X2] = X2. Совершенно аналогично, используя соотношение [D, [X1,XÖ]] = = 9p1X1 + 2p2X2, устанавливаем, что [X1,XÖ] = 2XÖ. Далее положим

Uo = X1, U1 = X2, U2 = -Xo, Ul+2 =

Лемма 3.4. Справедливы следующие формулы:

иг+2 = Щ—) [Хо,иг], г = 3, 4,....

Из равенств (3.96)-(3.97) следует, что элементы и0, и1, И2,... образуют базис характеристической алгебры Ьу. Для описания алгебры Ьх введем элементы

V = У2, У2 = Ух, У+ = ^У2)гУ2, 1=1,2,....

Лемма 3.5. Справедливы формулы

У+2 = [У1,У^, г = 3, 4,....

Из формул (3.98) и (3.99) следует, что элементы Уг, г = 1, 2,... образуют базис характеристической алгебры Ьх.

Соотношения (3.87) для системы уравнений (3.91) при а = 4 имеет вид:

[Хо,Уг] = 9Хх, Хо,У_2] = [Х^У^ —2У-1-, [Х 1,У 2] = —У2, [Х 2, У х] = — У2, [Х 2, У 2] = Х х.

Далее структура алгебр Ьх и Ьу указывает, что представление образующих Х0,Х1,Х2,У1, У2 следует искать в алгебре Вирасоро

_ 2 _ _ —1 — 1

Хо = , Х1 = ео, Х2 = Хе 1, У2 = — ^ У1 = — ^Х?6-2.

Элементы Иг,Увычисленные по формулам (3.96) и (3.98), имеют вид ^ 2, _ 1 (1хг-1

иг = 3(1 — 2)\Хгег, Уг = — (г — 2)\Хге-г, г = 2, 3,....

Легко проверить, что для них выполняются соотношения (3.97) и (3.99). Таким образом, элементы ио,иг, Уг, г = 1, 2,... образуют базис полной алгебры системы (3.91) при а = 9. Эта алгебра изоморфна алгебре Вирасоро.

Представление нулевой кривизны (3.88) для этой системы имеет вид:

2 _ 11

[Б + зХ2е2 + дгео + д2Хег, Б — —Р2е-1 — е-2] = 0.

Симметрии системы (3.91).

Пусть /г, дг, г=1, 2 симметрия системы уравнений (3.91) из пространства вх. Тогда из соотношений (3.90) нетрудно получить, используя формулы (3.94), что

р = 2р 1У292) I2 =

где функция 2-решение следующей системы уравнений:

(Уг — У2)д2 = 0, ((Б + 2д^УУ — 2аУ2) д2 = 0, ((Б + д1)У22 — д2У2 — 1) д2 = 0.

Применяя к последнему уравнению (3.101) дифференцирование У2, будем иметь

Из (3.101) и (3.102) следует, что

Далее применим к уравнению (3.102) дважды дифференцирование Х2. Получим, что

Справедливо следующее утверждение.

-4^2 „V

Лемма 3.6. Пусть функция ф Е ах-решение уравнения

Тогда У2ф = 0.

Используя формулы (3.100)-(3.102), получаем, что симметрии системы (3.91) из пространства вх вычисляются по формулам

/1 = р1

3.2. Характеристические кольца Ли и критерий интегрируемости по Дарбу нелинейных гиперболических систем уравнений. В данном параграфе рассматривается система уравнений

иху = Б

обладающая полным набором х- и у-интегралов.

Известно (см. [7]), что максимальное число независимых х-интегралов равно порядку п исходной системы.

Определение 3.4. Система уравнений (3.107) называется интегрируемой по Дарбу, если у нее существует максимальное число независимых х- и у-интегралов.

Определим х- и у-характеристические кольца Ли системы уравнений (3.107). Оператор Б на функциях из пространства локально аналитических функций, зависящих от конечного числа переменных и1,и,и1,и2,... ,ик ..., действует по правилу

Б = и^Хг + Хп+1,

где

Х1 = —г-, 1 =1, 2,... ,п,

1 ' 1111

ои1

Х'+ = и ^ + +Б(р1)щ +  +Бк-1(р1)щ, +

Х—характеристическое кольцо Ли уравнения (3.107) есть кольцо А, порожденное векторными полями Х1 ,Х2,...,Хп+1. Аналогично определяется у—характеристическое кольцо Ли А. _

В статье [27] приведены примеры систем с характеристическими кольцами Ли А и А размерности 5. В статьях [30,44] показано, что система иху = Б г(и), 1, 2,    ,п обладает полным набором х—интегралов тогда и только тогда, когда характеристическое кольцо конечномерно.

Теорема 3.2. Система уравнений (3Л07) интегрируема по Дарбу, если и только если характеристические кольца Ли А и А конечномерны. При этом если пк - число х-интегралов к-го порядка, к = 1, 2,    ,т, то

т

= п + X/

г=1

Замечание 3.5. Для системы уравнений

и%ху = Рг

х-характеристическое кольцо Ли порождается операторами

Х = ^ i = 1, Хп+1 = -§-у + & + РА + Б(Б<) А +  + Бк-1(Б*) А +

&шА = п +

Тогда система уравнений (3.109) интегрируема по Дарбу, если и только если характеристические кольца Ли А и А конечномерны. При этом, если Si-порядок г-го х-интеграла, г = 1, 2,... ,п, то

п

dim А = п + 1 + ^^ si.

i=1

3.3. Нелинейные гиперболические системы уравнений с интегралами первого

порядка. Рассмотрим систему уравнений (3.107) с полным набором х- и у-интегралов иг(и,и1), иг(и,и1), г = 1, 2,... ,п, то есть с х- и у-характеристическими кольцами Ли А и А размерности 2п. Из уравнений

D(ui) = 0, D(Qi) = 0, i=1, 2,... ,п следует, что правая часть системы (3.107) имеет вид

F%(u, и1,и1) = —Tzkj (и)и\и\, г = 1, 2,... ,п, где Vlk-(и)-символы Кристоффеля. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3.3. Система уравнений (3.107), (3.110) обладает максимальным числом х-и у-интегралов первого порядка, если и только если выполнены соотношения

TDi

Rpqj

R

ЧР]

д  д

рг _ Т"^ I У5 У г _ У г У^

дия Г pi — ди^Г pq + Г р sq — Г pq

д д

рг _ рг | рг р s _ рг рг;

диР Г iq — ди^Г pq + Г psГ q — Г iv Г pq

0,

0.

Здесь Ягдр^ - тензор Римана, а Кгр^ - сопряженный тензор Римана.

Отметим, что х- интегралы системы (3.107), (3.110) задаются формулами

шг(и,и1) = Ага(и)и\, ъ = 1, 2,...,п, где функции Аг3(и) — решение системы уравнений

д

дик

А\(и) — ГкА(и,) = 0

Условие совместности последней системы уравнений записывается так R

= 0.

Р

Теорема 3.4. Любая система уравнений (3.107) (п = 2) с полным набором интегралов первого порядка точечным преобразованием и = ф(ь) приводится к

щей

к к

v'xy = vxvy, — vxvk

j% = v2v1

Jxy ^x^y

д д к

ln (p(v 1) + q(v2)) , i = 1, 2.

х- и -

следую-

Интегралы системы (3.112) вычисляются по формулам

и1 = vX — vX, ш2

е~v p

vX +

е q

U1 = vl — V2, Ш2

е v p

< +

е-v2 q

где функции s(vr(v2), p(v^ и q(v2) связаны соотношениями

s (v1) = е~v'p(v1), г (v2) = е~v2q(v2).

2

X

2

y

3.4. Двухкомпонентные системы уравнений с интегралами первого и второго

порядка. В работе [12] показано, что любая невырожденная система уравнений (3.107) при п = 2 с интегралами

ш1

точечной заменой приводится к одному из следующих видов:

иху = —Г^

или

и1ху = и^и1, и2ху = г

Здесь рассматривается задача классификации систем уравнений (3.114) и (3.115) с интегралами (3.113).

Лемма 3.7. Систем уравнений (3.114) с интегралами (3.113) не существует. А система уравнений (3-115) обладает интегралами вида (3-113) тогда и только тогда, когда функция г является решением следующего уравнения

дг 2 дг дг ЛР (и1) -к 2

ди! + и1 Щ + 'дЩ + и + Р = 0 <Х116)

При этом

сУ = е~и2и\, и2 = и2 — и2, — — Щ- + 1р

ш 2 2

а у-интегралы ш1 и ш2 определяются из уравнений в частных производных первого порядка

д 2 д д д

д 2 д д

Далее приведем условия, при которых система уравнений (3.107) при п = 2 обладает интегралами

ш1

Лемма 3.8. Система уравнений (3.107) при п = 2 с полным набором интегралов (3.119) приводится к одной из следующих

игху = Аг(и,и1)Аг(и,и1) + (и)ик^и\, г=1, 2, (3.120) и],у = В1(и,и1)В1(и,и1) + Ф^ (и)ик и{

4 у = В1(и,и1)В1(и,щ) + Ф^ (и) 'к"'3 и2ху = и\ак(и)В2(и, щ) + икРк(и)В2(и, щ) + Ф2^(и)ики1

иху = Щ7к

Далее, на интегралы первого порядка мы накладываем условия

дМ+ (=0,

^ Ш|)) +(Ш|)) =0,

которые означают, что интегралы ш1 и ш1 точечной заменой и1 = р(р, д), и2 = ф(р, д) не приводятся к виду ш1 = Ш(р,д,р1), ш1 = Ш(р,д,р1).

При выполнении условий (3.123) с использованием уравнений Бш1 = 0, Би1 = 0 можно уточнить правые части систем (3.120)-(3.122). А именно, системы (3.120), (3.121) сводятся к виду

и1у =А(и,и1)А(и,и1) + Ф к (и)и'к и{

и2 =1л,

+ ф 13 (и)и'к и1

а система (3.122) к виду

иХу =и1хк (и)В(и,и1) + и'к t\ (и)В(и,и1) + Ф kj (и)и'к и[

иХу =Х

(и)ихХ и

+ Ф % (и)и' и{.

Лемма 3.9. Системы уравнений (3.124), (3.125) с полным набором интегралов (3.119), удовлетворяющих условию (3.123), точечными заменами сводятся к уравнениям вида

иХу = —rXj

Для системы (3.126) х-характеристическое кольцо Ли порождается операторами

д Р

Хг = щ, X, = гflYp,

где

д д

Y = ____ГР ик + о — 1 2

Y = диг '^диР + ^ , 2.

Согласно теореме 3.2, если система уравнений (3.126) обладает х-интегралами вида (3.119), то dim А = 5, что, в свою очередь, эквивалентно тому, что векторные поля Y1,Y2 и Y, (Y = \Y1, Y2]) линейно независимые и

[^3]=Аг

Равенство (3.127) можно переписать в виде

[D, [уг, Y,]] = Аг^^3] + D^Y,.

Используя уравнение [D, D] = 0, находим

[D,Yl] = Гi]uXYp, i = 1, 2,

[D,Y,] = Rxku и' Yp + (rh + Г'2 )и1 Y,.

1р

Теперь, учитывая соотношения (3.127) и (3.129), получаем, что равенство (3.128) эквивалентно системе д_ ди

диЦ (Гк1 + Гк2) — Гк1(Г11 + Гд2) =

дЦ~2 (Гк1 + Гк2) — Гк2(Г11 + Г12) = д?,^'

Последние соотношения являются необходимыми условиями для существования х-интегралов (3.119) у системы уравнений (3.126). Аналогично получаются условия существования -интегралов.

диг Rk1k + RX 12^% Щ12Гкг = Аг(и)Щ;12,

д д R'k12 + дин (Гк1 + г'-) — n^h + Г22) = дихА1(и) — ПА (и),

д

— Rhk + 7^-2 (Г'к1 + Г'кк) — Гккк(Г\1 + Г2-) = 1—к Ак(и) — ПкА,(и).

3.5. Квадратичные системы уравнений с интегралами первого и второго порядка. В данном параграфе рассматривается система уравнений (3.126) (см. [56]).

Отметим, что при преобразовании иг ^ рг(и1,и2), 1 = 1, 2 система уравнений (3.126) не меняет вид, при этом функции рг можно выбрать так, что Г^ = Г22 = 0. Кроме этого, будем предполагать, что Г^ уравнений:

22

Г^1 = 0. Таким образом, мы рассматриваем систему

иху - ГljUlU^1, и

ху

и1и1

с полным набором интегралов

1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2

ш1 ( и1 , и , и11 , и1 ) , ш2( и1 , и , и11 , и1 , и1 , и ) ,

1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2

ш (и ,и ,и^,и1), ш (и ,и ,U1,U1,U2,U2).

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3.5. Система уравнений (3.130) обладает набором х-интегралов (3.131) тогда и только тогда, когда справедливы соотношения:

Г2 Г12

Б — д

д^2 д и1

д и2

+Г

12

д 2Г222

дГ22 д 1пБ

и1 д и1 д и1

д 2Г222

д^22

д и1

д 1пБ

и1 д и2 д и1 д и2

д Г22 д21пБ

2

(

+ Г -

ди1 + Г 11 д 1пБ

д и1

д 1пБ

д и1

Г2 -Г22

ХЖ2 +^2) =(

(+ Г2 \ = А_ (+ Г2 \

ди2 +122) = ди2 \ ди2 +122)

д д и2

д 1пБ

д и1

+ Г11

Г2 + Г1 - Г22 + Г12 -

д 1пБ

д и2

дГ2

д и

12 1 2 + Г11Г12

)

+ Г11 + г^2

д 1пБ

д и1

+ Г111 + Г

1

д и

Г1

+ Г2 2 —Б = 0,

+

д и1

+ ГпГ2^ = 0,

где

дГ1

Б (и1,и2)-дГ 12

д Г11

д и1 д и2

0

1

Рассматривая у-характеристическое кольцо системы уравнений (3.130), получаем "симметричный" вариант теоремы 3.5:

Теорема 3.6. Система уравнений (3.130) обладает набором интегралов (3.132) и только тогда, когда справедливы соотношения:

д 2Г11 дГ11 д ЫБ

и2 д и2 д и2 ди2

д ^ д ЫБ

и1 д и2 д и2 ди1

2

дГ

11

(

д

д и2

+ Г2 + Г22

д и2

д ЫЁ

д и2

д2 ЫБ

д и1 д и2 Г1

Г1 Г12

Б +

дГ1

11

д и2

Г

+

1

){дг2 +Г22Г12) = (дыБ + Г1 \ = (+ Г1 \

1Ч ди1 +Г11) = ди1\ ди1 +Г11) д

+

д д и1

+ Г212

и1

д1пБ

д и2

Г1 + Г2 Г11 + Г12

д и1

д ЫБ

д Г*

К

+ Г112 + Г222

д и1 и

д ЫР

)+г!2

+ Г2 Г1 + Г22Г12

11 -

)

где

д ЫБ

д и2

Б

+ Г112 + Г2

Г222

22

+

Г1

_г 12

д и2

+ Г22Г12 = 0,

дГ2

12

тогда

д и1 д и2

Таким образом, согласно теоремам 3.5, 3.6 классификация интегрируемых систем уравнений (3.130) сводится к исследованию совместности уравнений (3.133)-(3.140), (3.142)-(3.149) относительно неизвестных Г^, Г12, Г^2, Г22.

Теорема 3.7. Пусть выполнено условие

дГ11 д Г22

= 0.

д и2 д и1

Тогда система (3.130) с полным набором интегралов (3.131), (3.132) приводится к одному из следующих видов:

11

и\и

и

11

х у

Х

( 1 1 \ 1 2 2 и2и2 ( 1 1 \ 1 2 ^Х + аУ/ и1и1, иху = ^^ + о2у)и1и1,

ху у

и1

Х = и + и + с, У = — + и — с

а

либо

,2

и

х у

и 1 1 1 1 1

+ (ч Х + ау)ии;и

ж,

и

2

Х = и и2 + 2, у = и и2 + 2

12

х у

а + 1 а

^ 2—2 { а 1 А 2 1—2 7и1и1 + (Х + у)и

= ( а + 1) ,

где с - произвольная постоянная, с2, д2, а - ненулевые постоянные.

Для решения полной задачи классификации систем уравнений (3.130) осталось рассмотреть случай, когда условие (3.151) нарушено.

Лемма 3.10. Пусть выполнено условие

дГк. _ГП

д и1 и2

0,

1

0

0

1

1

тогда система уравнений (3.130) с полным набором интегралов (3.131), (3.132) не существует.

Теперь рассмотрим задачу построения х— и у—интегралов систем уравнений (3.152), (3.153).

1 1 2 а2 2 2 1 + а2 Отметим, что замена и1 ^ и1 +---с, и2 ^ и2---с систему уравнений

1 — а2 1 — а2

при а = 1 приводит к системе с постоянной с, равной 0. Справедливы следующие утверждения:

Теорема 3.8. Интегралы системы уравнений (3.152) задаются формулами: при а = 1

21 и1 = 2и2 — — + 2с 1п г, ш1 = 2и1 — — — 2с 1п г,

2 г1 -2 %1 ш =--г, ш =--г,

а при а = 1

ш

(1 + 0 и^ — и

ш1

ш

-2

1

---, ш'

а

где

- + и иЧ1-а — и1 г-а

(И

г1 г

г а

1

и1 _ и1

г = Х, ~х= У, г1

д

дг

дх, 1 ду

Теорема 3.9. Интегралы системы уравнений (3.153) задаются формулами:

при а = —1

ш

1 _ (и1)2г2

а при а = — 1

( 2 — 2) — 2 и21 , ш1 =

2

( С2 — d2) — d2 и1 г,

2 ¿1.^2 -2 г1 , с2 1-

ш =--1--и г, ш = — + —и г,

х с2 х d2

( и1)2

ш

щ — (и2)2га

и11 —

ш

а

ш

2 21-2 1- 21 иг--, ш = и г--,

где

12 и11 и1

* = Х, ~*= У, г1

д

дх, 1 ду

Теорема 3.10. Общее решение системы уравнений (3.152) дается формулами: при а = 1

ц1(х п) = а(х)+в(у) + г 1п

и (х, у) = (С(х)+0(у))2 +с 1п

1

(С (х)+0(у))2

в'

С

+ -

И' (у)(С(х)+И(у)) 2-

и

А'

С' (х)(С(х)+0(у)) 2

2

а

а при а = 1

uí(x,у) =

1, Л аА

а(С (х) + Б(у))а+1 аБ' (у)(С (х) + Б(у))°'

2( ) = А(х) + а В (у)___А (х) .

и (X, У) а(С(х) + Б(у))а+1 аС (х)(С(х) + Б(у))а'

Теорема 3.11. Общее решение системы уравнений (3.153) дается формулами: при а = —1 и с2 + d2 = 0

и1

и2

при а = —1 и с2 + d2 = 0

и1(х 1 /) = . Х(ж)___™' (У) \ V

и (X, У) \с2+й2 X(х)¥(у)+с Щу)У' (у) А

х(Х (x)Y (у) + с) ^

(*У

W'

\c2+d2 X (x)Y (у)+с W (х)Х' (х) У

х(Х (x)Y (у) + с) ^ Ш,

и2(х „Л = ( 2С2 Y (у)___W' (х) \

u (Х, У) \c2+d2 X (x)Y (у)+с W (х)Х' (х) ) Х

где

а при а = — 1

=

W(y)'

с2 + d2

u1(x, у) = — (А(у) — (1 + а)В(у)В(х) — (1 + а)Е(х)) х

х ^

u2

— (1 + а)Е(х))-^ (В(у) + g"g) .

D (х) /

3.6. Линеаризация экспоненциальных систем ранга 2. Рассматриваются системы уравнений

1 п

uxy = + ... + oineu , i = 1, 2,... ,п.

В случае, когда п = 2

uxy = ап еи + ai2ev, vxy = Ü2ieu + 0,22 ev.

Для решения задачи классификации исследуется структура характеристического кольца линеаризации системы уравнений (3.168).

Линеаризация системы уравнений (3.168) имеет вид

РхУ = 011 еир + 012 е vq, qxy = 021 еир + 022&vq.

Далее считаем, что u и v заданные функции и А = о11о22 — о12о21 = 0. Определим х— и у—характеристические кольца Ли системы уравнений (3.169). Оператор В на пространстве локально аналитических функций, зависящих от конечного числа независимых переменных х, y,p,q,р1, q1,р2, q2 ..., действует по правилу

В = P1Y1(0) + q1Y2(0) + Х1,

где

Yl(0) = —, Y(0) = — др' 2 dq'

2

д д д

Х1 = — + (а—еир + ац е" д)---+ (ац еир + ац е" д)---+ ....

д д 1 д 1

Х-характеристическое кольцо Ли системы уравнений (3.169) есть кольцо А, порожденное векторными полями у}0), У2(0), Х1. Аналогично определяется -характеристическое кольцо Ли А.

Лемма 3.11. Пусть

те д те д

Z = ^аг др- + ^ Рг _Г-, аг,рг еБ, г=1, 2,....

г=1 др =1 д ^

Тогда соотношение [Б, Z] = 0 выполняется тогда и только тогда, когда Z = 0. Рассмотрим коммутаторы

у^ = [У1(0),Х1] = еи[а — ~~ + ац-^ + а-щ-^- + ацщ-^- + ...],

др 1 дд1 др2 дд2

У-2^ = [У2°\х1] = е"[ац-^ + ац-^— + а12Ю1-^ + ац^^ + ...].

др 1 дд1 др2 дд2

Введем обозначения

у

У1(1) = еи^((1), У((1) = .

Далее, по определению положим

= Z(n+1) = &п),Х1], п =1, 2,....

Отметим, что векторные поля Х1, Z-0\ z20, Z-1\ Zí^) являются линейно независимыми.

С учетом последних обозначений оператор Б будет иметь вид

Б = Р1^^) + +Х1.

Легко проверить, что

[Б^10)] = \Б^Т ] = 0,

[Б,Х1]] = [Б,Х1]] = 0, г = 1, 2,.... Справедливы следующие формулы:

[Б,Х1] = —(а - еир + ац е °д )Z^0) — (а ц еир + аце "д ^,

[Б)^)] = —и^ — — а21^\

[Б, Zl1)] = — ^ — — а22Z20),

[Б, Zl2)] = —и^12) + аце'и^11) — аце^21), [Б, Zl^)] = — у^22) — ацеи^^1 + а21е

Лемма 3.12. Для операторов z)21 и Zl21 верно соотношение

е иz12) + е^22) = 0.

Далее, для удобства введем обозначения

^0) = , = Ш(0), = ш^, = Ш(1), = е1]ш(2)) = еиш!2).

По определению положим

ш(п+1) = [Ш1(га),Х1], п = 2, 3,.... При этом легко показать справедливость следующих равенств

[Ш(п), [Б, Х]] = 0, [Б,ш(п+1)] = —[Хи [Б,Ш(П)]].

Отметим, что векторные поля Х1, Ш

независимыми, а операторы Ш2 2 и связаны формулой

шЦ2"1 = —ш(2) .

Лемма 3.13. Справедливо следующее соотношение [Б,Ш(П)] = —(и1 + ы )Ш(П) +

п— 1

\n—í—1^^í—2vn—í

+ -'Clzlxr + ы )W +

г=2 п— 1

+ ^(-1)п~гCn-зХП"г12е" + a2ieu)w(i), п = 3,4,....

Предположим теперь, что характеристическое кольцо Ли системы уравнений (3.169) конечномерно. Это означает, что найдется п > 2, для которого операторы Х, W(0, W(0, W(1, W^1, W!2), Wf\... W(n) образуют базис этого кольца. Тогда оператор W(n+1) есть линейная комбинация элементов базиса. Поскольку

W10) = —, W2(0) = -, dp dq

а операторы старших порядков имеют структуру

d d

+ PiТГ- + ..., 1 = 1, 2,...,

dPi dqi

то

п

Win+1) = ^AkW(k) + BiW(1), k=1

где Ak, B1 - функции переменных u,v,u1, v1,U1,v1,.... Последнее соотношение эквивалентно равенству

n

[D,W(n+1)] = ^D(Ak )W(k) + D(B1)W(1] + ^Ak [D,W(k)] + Bl[D)W2(1)]. k=1 k=1

По лемме 3.13 получаем

D(A1)W{11) + D(B1)W(1] + A1(-U1W{11) - anW(0 - a21W(°])+ +A2(a - ci21Wi1)) + B1(-vWi1 - a12W(0) - a22W(0)) = 0.

Сравнивая коэффициенты правой и левой частей последнего равенства при векторных полях W(0, W-°\ W(1\ W'21\ получаем систему

—ацА1 — аиВ1 = 0, —а>21А1 — а—В1 = 0, D( А1) + 12 А2 — и1 А1 = 0, D^) — а21А2 — ыВ1 = 0. Откуда находим А1 = В1 = 0 и А2 = 0. Таким образом, доказано следующее предложение. Лемма 3.14. X - характеристическая алгебра А системы уравнений (3.169) конечно-

мерна тогда и только тогда, когда либо W( ) = 0, либо

п

W(n+1) = ^АxW{x\ Ах = Ах (u,v,u1,v1,U1, щ,...), п = 3,4,....

к=3

При этом dim А = 6, либо dim А = п + 4, п = 3,4,... соответственно.

Теперь, пользуясь леммами 3.13 и 3.14, выпишем необходимые и достаточные условия конечномерности характеристического кольца системы (3.169). При dim А = 6 получаем

X1

а в случае dim А = п + 4 (п > 3) имеем

(—1)n-2Xn-2((an + 2а21)еи + (а- + 2a12)ev) =

п

= ^Ар (—1)p-3 Xp-3((a 11 + 20,21) еu + (а- + 2а 12) ev),

Р=3

n

= ^ Ар(—1)р-г~1 (Cp~_22Xr(U1 + V1) + CpzlXk^- 1(а 12ev + а21еи)) +

Р=г+1

+D(Ai), i = 3, 4,... ,п — 1,

(п — 1)X1(u1 + V1) + а^еv + а^еи = D(An).

Можно показать, что для системы (3.174) неизвестные Аг есть функции переменных U1, щ,... , и,п~г+1, Уп-г+1, г = 3, 4,...,п — 1.

Теорема 3.12. Если характеристическая алгебра Ли системы уравнений (3.169) конечномерна, то система (3.168) приводится к виду

uxy = 2еи + a12ev, vxy = —еи + 2ev.

Теперь будем рассматривать системы уравнений вида (3.175).

Напомним, что алгебра Ли А линеаризованной системы уравнений (3.169) порождается векторными полями X1, W^, W2°\ W(1\ W'21\ W^, поэтому dim А > 6. Далее проведем исследование системы уравнений, для которых dim А ^ 9.

Теорема 3.13. Размерность х - характеристической алгебры А линеаризованной системы уравнений (3.169) не превышает 9 тогда и только тогда, когда коэффициент ai2 принимает одно из следующих значений —1, —2 или —3. При этом dim А = 6, 7, 9 соответственно.

Получены все уравнения, для которых размерность характеристического кольца линеаризации не превышает 9. Показано, что правые части этих систем задаются матрицами Картана простой алгебры Ли.

4. Дифференциально-разностные уравнения гиперболического типа

В этом разделе рассматриваются цепочки дифференциально-разностных уравнений следующего вида

1х

где неизвестная функция t = Ь(п,х) зависит от дискретной переменной п и непрерывной переменной х. Цепочку (4.176) можно интерпретировать как бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с последовательностью неизвестных функций {t(п)}П=+™. Функция f(t, t1, tx) предполагается локально-аналитической по всем трем аргументам, причем в некоторой области выполняется условие

К =0-

Мы используем нижний индекс для обозначения сдвига дискретного аргумента tх = Ь(п + к,х) (t0 = t), а также для обозначения производных по х:

д д2 tx т; t(п,х), txx т; ot(п,х). д х д х2

Обозначим через D и Dx оператор сдвига и, соответственно, оператор полной производной по х. Например, Dh(п,х) = К(п + 1,х) и D:ЕН(п,х) = Ъ(п,х). В качестве динамических переменных выбираются переменные {tx}<k=-00 и {Dx^t}„=1. Ниже мы считаем динамические переменные независимыми.

4.1. Дифференциально-разностные уравнения лиувиллевского типа. Функции I и F, зависящие от х и конечного числа динамических переменных, называются, соответственно, п- и х-интегралами уравнения (4.176), если выполняются равенства DI = I и DxF = 0. Интегралы вида I = 1(х), F = сопвt называются тривиальными интегралами.

Определение 4.1. Цепочка (4.176) называется интегрируемой по Дарбу, если она имеет нетривиальные х- и п-интегралы.

Следует отметить, что интегрируемая по Дарбу цепочка сводится к паре уравнений: обыкновенному разностному уравнению и обыкновенному дифференциальному уравнению. Действительно, из определения следует, что п-интеграл может зависеть только от х, а х-интеграл только от п. Поэтому любое решение цепочки (4.176) удовлетворяет следующим двум уравнениям

1

с подходящим образом выбранными функциями ( х) и ( п).

В настоящее время дискретные нелинейные модели находят важные приложения в физике и активно исследуются. Подробное обсуждение приложений и обзор литературы можно найти в работах [1,23,58,62].

В это главе мы предлагаем алгоритм классификации интегрируемых по Дарбу дискретных цепочек (4.176), основанный на понятии характеристического кольца Ли (см. [43,50-54]).

Введем понятие характеристического кольца Ln цепочки (4.176) в направлении п. Заметим, что

д

D-3—D4 = 0

д 1

для любого п-интеграла и > 1 . Действительно, равенство D = может быть переписано в развернутой форме

1

Левая часть последнего равенства зависит от переменной t1, а правая не зависит от нее. Следовательно,

d 1

что дает

d

D-1—DI = 0. d 1

Продолжая это рассуждение, легко получить формулу (4.178). Введем в рассмотрение векторные поля

Yj = D-j—D, J> 1

и

d

x = rn~ • ^1 (4-181>

Таким образом, мы видим, что всякий п-интеграл I лежит в ядре операторов Xj и Yj для любого j > 1. Следующая теорема содержит определение характеристического кольца Ln для (4.176) (см. [43]).

Теорема 4.1. Если уравнение (4.176) допускает нетривиальный п-интеграл, то выполняются следующие два условия:

- линейная оболочка операторов {Yj имеет конечную размерность. Обозначим эту размерность N.

- кольцо Ли Ln над полем локально дифференцируемых функций, порожденное операторами Y1,Y2,..., Yn, Х1,Х2,..., XN, имеет конечную размерность. Назовем Ln характеристическим кольцом Ли по направлению п.

Введем понятие характеристического кольца Lx цепочки (4.176) по направлению х. Для этого отметим, что в силу условия (4.177) цепочку (4.176) можно переписать в виде

Ьх(п - 1) = g(t(u), г(п - 1), txfa)).

По определению, х-интеграл F(x,t, t±1, t±2,...) удовлетворяет уравнению DxF = 0, т.е. K0F = 0, где

d d d d d

K = dX + *х d>t + ^ + + л Щ + »-1 эГ2 + . (4Л82>

Но, поскольку F не может зависеть от tx, то имеем XF = 0, где

d

Х = щ-

Тогда очевидно, что F лежит в ядре любого оператора из кольца Ли, порожденного над полем локально-аналитических функций парой операторов X и K0. Можно доказать следующее важное утверждение (см. [9]).

Теорема 4.2. Цепочка (4.176) допускает нетривиальный х-интеграл тогда и только тогда, когда ее характеристическое кольцо Ли Lx имеет конечную размерность.

4.2. Классификация интегрируемых по Дарбу цепочек частного вида. Рассмотрим задачу описания всех цепочек вида

t1x = tx + d

допускающих нетривиальные х- и п-интегралы. Полный список цепочек (4.184), допускающих х-интегралы, дается в следующей теореме:

Теорема 4.3. Цепочка (4.184) допускает нетривиальный х-интеграл тогда и только тогда, когда d(t, ti) принадлежит одному из классов:

(1) d(t, ti) = A(t - ti),

(2) d(t, ti) = Co(t - ti)t + c2(t - ti)2 + c3t - c3ti,

(3) d(t, h) = A(t - t{)eat,

(4) d(t, ti) = c4(eat 1 - eat) + c5(e—at 1 - e —at),

где A = A(t - t\), ci - const, i = 0,..., 5), c0 = 0, c4 = 0,c$ = 0 и a - const, a = 0. При этом х-инт,егралы имеют вид соответственно

(i) F = х + JТ -щ, если A(u) = 0 и F = ^ - t, если A(u) = 0,

(ii)F = lnl-^^1 + C2I + ln | ^ - C2 - Со I для C2( C2 + co) = 0,F = ln n - ln T2 + ^ для c2 = 0 и F = — - ln r + ln ^ для c2 = - c0,

(iii)F = Г - J - -ft,

(iV) F = (eat-eat 3 )(eati -eat2 y

где t = t - ti, Ti = ti - 12, T2 = 12 - t3.

Обсудим некоторые необходимые условия существования х-интеграла. Обозначим через F класс локально-аналитических функций, каждая из которых зависит от конечного числа динамических переменных. В частности, мы получаем, что f(t, ti, tx) E F. Ниже мы

будем иметь дело с векторными полями, заданными в виде формальных рядов

œ g

y = y.* w>

—œ

с коэффициентами E F. Уточним, как понимается линейная зависимость и линейная независимость векторных полей вида

N д

pn

-N dlk

Рассмотрим сначала векторные поля, заданные конечной суммой вида

М д

2 = £ ^

Векторные поля 22)... , 2т вида (4.187) линейно зависимы в некоторой открытой области П, если существует набор функций А1, А2,... , Ат, определенных в П так, что функция

|2 + IХ212 + ... + I Хт I2

выполняется равенство

1А112 + |А2|2 + ... + 1АтI2 не является тождественным нулем, и для всех точек области П

А2 + А222 + ... + Атгт = 0.

Назовем набор векторных полей У1,У2,...,Ут вида (4.185) линейно зависимым в области П, если для любого натурального N следующий набор векторных полей Рн(У1),РМ(У2),...,Р^(Ут), заданных конечными суммами, линейно зависим в этой области. В противном случае набор У1 ,У2,... ,Ут называется линейно независимым.

Из определения линейной зависимости векторных полей очевидным образом получаем следующее утверждение:

Замечание 4.1. Если векторное поле У является линейной комбинацией вида

У = А1У1 + А2У2 + ... + АтУт,

где векторные поля У1,У2,...,Ут линейно независимы в П, и коэффициенты всех векторных полей У,У1,У2,... ,Ут принадлежат Р и определены в П, то коэффициенты А^ А2,..., Ат также принадлежат Р.

Вернемся к цепочкам (4.184). В этом случае кольцо Ьх распадается в прямую сумму

двух подколец. Действительно, поскольку / = £ х + 1 ид = Ьх — , то Д = 1х + 1 + ^ к=1 и д-к = Ьх — 1-к для к > 1, где с< = , Ь]), dj = с<(, tj+l). Поэтому легко видеть, что

Ко = ЬхХ + У, где

~ д д д д д , „ ч

* = й + дн; + дЦ + Щ + 8д-> +...

и

д д д д

У = ш+1ж1— ¿-1 д—+

Из соотношений [X, X] = 0 и [X, У] = 0 имеем X = [Х,К0] Е Ьх так, что У Е Ьх. Следовательно, Ьх = {X}Ьх\, где Ьх\ является кольцом Ли, порожденным операторами X и У.

Лемма 4.1. Если уравнение (4.184) имеет нетривиальный х-интеграл, тогда оно имеет х-интеграл, не зависящий явно от х.

Доказательство. Допустим, что существует нетривиальный х-интеграл цепочки (4.184). Тогда кольцо Ли Ьх конечномерно. Выберем в нем базис в следующем виде:

д те д те д

дх, дЪ к ^ дЬк

к=-те к=-те

Причем существует х-интеграл Б(х,Ь,1\, . . . , Ьн-;), удовлетворяющий системе уравнений

дР дБ Ч- дБ

дх + *аЦ, = 0 Е^кщ; = 0 2 .

к=0 к к=0 к

В силу известной теоремы Якоби (см. [30]) существует замена переменных 9j = вj(Ь, Ь\,..., -;), приводящая систему к виду

дБ дБ дБ

-х + £= °, % = 0 2— 2

к=о

что равносильно уравнению

дБ „ дБ

——+ а\ н-1 —-= °

дх д

для Б = Б(х, вИ-;).

Здесь возможны два случая: (1) а\, N-; = ° и (2) а\, N-; = 0. В случае (1) находим ^^ = 0, во втором -

Б = х + Н (в N-1) = х + Н (г, и,..., Ьн-1) для некоторой функции Н. Очевидно, что ^ = И Б = х + Н (Ь Ь2,..., ) также является х-интегралом. Поэтому ^ — Б - есть нетривиальный х-интеграл, не зависящий явно от х. Лемма доказана.

В силу леммы 4.1 можно искать х-интеграл, зависящий только от переменных Ъ, t±;, Ь ±2,.... Другими словами, можно ограничиться изучением кольца Ли, порожденного векторными полями X и У

д д д д ^ = 1— — 1-1 —— +

Можно доказать, что линейный оператор, действующий по правилу Z ^ DZD-l, определяет автоморфизм характеристического кольца Ьх. Этот автоморфизм играет ключевую роль при изучении цепочек. Прямое вычисление показывает, что

ИХИ-1 = X, ИУИ-1 = — dX + У.

Лемма 4.2. Пусть векторное поле вида Z = ^a(j)с коэффициентами a(j) = a(j,t, t±!_, t±2,...), зависящими от конечного числа динамических переменных, удовлетворяет условию DZD—i = XZ и пусть a(j) = 0 для некоторого j = j0, тогда Z = 0.

Доказательство. Применяя автоморфизм сдвига к оператору Z, получаем DZD—i = Yl D(a(j)) Qt9+1. Теперь, для завершения доказательства сравним коэффициенты при в равенстве DZD—i = XZ. Лемма доказана.

Построим бесконечную последовательность кратных коммутаторов векторных полей X и Y

?! = [X,Y], % = [X,Yk—i] для k> 2.

Лемма 4.3. Имеет место равенство

DYkD—i = -Xik

Доказательство леммы проведем по индукции. При k = 1 из (4.193) и (4.194) следует, что

DY^1D—i = D[X, Y]D—i = [DXD—i, DYD—i] = [X, -dX + Y] = -X(d)X + .

Теперь предположим, что утверждение верно для k - 1, и получим

DYkD—i = [DXD—i,DYk—lD—i] = [XX, -Xk—i(d)X + Yk—l] = -Xk(d)X + Yk.

Лемма доказана.

Поскольку векторные поля X,X и Y линейно независимы, то размерность кольца Ли Lx не может быть меньше трех. В силу (4.195) случай Y\ = 0 означает X(d) = 0 или dt + dt1 = 0, что дает d = A(t - 11). Здесь A(t)~ произвольная функция одной переменной.

Допустим, что цепочка (4.184) допускает нетривиальный х-интеграл и Y\ = 0. Рассмотрим последовательность векторных полей {Y\, Y2,Y3,... , }. Поскольку Lx имеет конечную размерность, то существует натуральное число N такое, что

Yn+i = 7i?i +I2Y2 + ... + InYn, N > 1,

причем Y\ ,Y2,... , Yn линейно независимы. Следовательно,

DYN+iD—i = D(1i)DYY1D—1 + D( 12)DY2D—1 + ... + D(lN)DYND—\ N > 1.

По лемме 4.3 и в силу (4.196) последнее уравнение можно переписать в виде

-XX N+i(d)X + + 72%+ ... + 7n% = D(ji)(-XX(d)XX + yÎ ) +

+D(^2)(-X 2(d)X + Y2) + ... + D( lN )(-X n (d)X + Yn ).

Сравнивая коэффициенты перед линейно независимыми операторами X ,Yi,Y2,... , Y^, получаем следующую систему уравнений

X N+i(d) = D( 7i)X (d) + D( 72)X 2(d) + ... + D(lN )X n (d),

7i = D( 7i), 72 = D( 72),..., 7n = D(7N ).

Так как коэффициенты векторных полей Yj зависят только от переменных t, t±i, t±2,..., то и коэффициенты 7j могут зависеть только от этих переменных (см. замечание 4.1). Более того, из последней системы уравнений следует, что коэффициенты 7к — постоянны для всех 1 ^ к ^ N, а функции d = d(t, ti) удовлетворяют следующему дифференциальному уравнению

XN+i

Используя замену переменных в = Ь и т = Ь — перепишем уравнение (4.197) в виде

дн+х1 д1 д21 дн1

д8 Nн; + ъ ^ +... + ^ н^ .

Следовательно, справедливо утверждение:

Теорема 4.4. Искомая функция 1 = , Ь-]) имеет следующий вид

(тк-1 \

^ Хк^

=о

где Лк^(Ь — Ьх)-некоторые функции, ак-характеристические корни кратности тк уравнения (4.198).

Пусть а0 = 0, ах,..., а3 - несовпадающие корни характеристического уравнения. Тогда уравнение (4.197) можно представить в виде

Л^)1 = Xто

т0 + тх + ... + т3 = N +1, т0 > 1.

Отталкиваясь от формулы (4.192), введем в рассмотрение отображение к ^Ун, которое ставит в соответствие функции к = к(Ь, Ь±х, Ь±2,...) векторное поле

д д Ун = к— — к--—--+(к + к-)— — (к-- + к-2--+ ....

Для любого полинома с постоянными коэффициентами Р(Л) = с0 + схЛ + ... + стЛт имеем формулу

Р

которая устанавливает изоморфизм между линейным пространством V всех решений уравнения (4.198) и линейной оболочкой У векторных полей У,Ух,... .

Представим функцию (4.199) в виде суммы 1(1, Ьх) = Р(Ь, Ьх) + Q(t, Ьх) полиномиального слагаемого Р(Ь, Ьх) = ^тЮ- Л0^(Ь — Ьх)Р и "экспоненциального" слагаемого Q(t, Ьх) =

Ек=1 (Ет=-хЛкЛ* — ^х)^ еак 1.

Лемма 4.4. Пусть уравнение (4.184) допускает нетривиальный х-интеграл. Тогда, по крайней мере, одна из функций Р(Ь, Ьх) и Q(t, Ьх) тождественно равна нулю.

Доказательство. Предположим противное, т.е. ни одна из функций не является тождественным нулем. Сначала мы покажем, что в этом случае кольцо Ьх содержит векторные поля То = Ул(т)еакг иТх = Ув(т) с некоторыми функциями А(т) и В(т). Выберем в качестве Т

векторное поле Ло(а 1хх)У — Ул0(Х)й Е Тх, где Ло(Л) — \-ак. Очевидно, что функция А(Ь, Ьх) = Ло^)1 удовлетворяет уравнению (X — ак)А(Ь, Ьх) = Л(]С)1 = 0, из которого мгновенно следует, что А(Ь, Ьх) = А(т)еакЬ.

Аналогично можно построить поле Тх = Ув(т) Е Ьх. Отметим, что согласно нашему предположению функции А( ) и В( ) отличны от тождественного нуля.

Рассмотрим бесконечную последовательность векторных полей, определенных по правилу

Т2 = [То, Тх], Тз = [То ,Т2],...,Тп =[То,Тп-х], п > 3. Можно показать, что

[X,То] = акТо, [X,Тх] = 0, [X,Тп] = ак(п —1)Тп, п > 2, ИТоИ-х = — Ае ак* X + То, ИТхИ-х = —В)С + ТХ,..., ИТпИ-х = Тп — (п-х)(п-2)акАе^Тп-х + ЪпX + ТТ=1 а^Тк, п > 2.

Поскольку алгебра конечномерна, и X ,То,Т1,... , Т^ линейно независимы, то существует число N такое, что

Т'м+1 — АХ + »0Т0 + »Т + ... + ^мТм.

Имеем

ВТМ+1Б-1 — Б(А)Х + Б(цо) {-Ае+ + ... +, ) (Т„ - акАе- + ..) .

Сравнивая коэффициенты перед оператором Т^ в последнем уравнении, находим

»и - акА(т)еак 1 — Б(»м).

2

Отсюда следует, что является функцией, зависящей только от ¿. Применяя оператор а¿х к обеим частям уравнения (4.202), получаем

Nak Тм+1 — [X, Тм+1] — X (А)Х + (XX (»о) + То + ... +

+ (Х(»м)+»м^ - 1)а^Тм.

Снова, сравнивая коэффициенты перед Т^, находим

Nak— X(/1М) + ^ - 1)акили X(»м) — ак.

Следовательно, — А1 еак*, где А1-ненулевая константа, и поэтому

А(т)еак 1 — А2еак 1 - А^е, А2 - сопв¿.

Имеем То — А2еак - А2во, где ¿0 — ^щ. А также

[XX ,Зо]—акво, ИвоВ-1 — во. Рассмотрим новую последовательность векторных полей

Р1 — во, Р2 — [Т1,во], Рз — [ТЪР2], рп — [Т1,Рп-1], п > 3. Можно показать, что

[XX, Рп] — акРп, ВРпВ-1 — Рп - ак(п - 1)ВРп-1 +

+Ьп}С + апво + Е"¡=2 а^Р],

п 2.

Так как алгебра Ьх конечномерна, то существует число М такое, что

Рм+1 — А*X + »2Р2 + ... + »*МРМ,

где поля X, Р2,... , Рм линейно независимы. Тогда

ВРМ+ХВ-1 — Б^2^ + Б(»*2)(Р2 + ...) + ... + +Б(ц*м)( Рм - ак(М - 1)ВРМ-1 + ...).

Сравнивая коэффициенты перед Рм в последнем соотношении, получим

»*м - МакВ

Значит »*м-функция, зависящая только от ¿.

Подействуем оператором аё,^ на обе части соотношения (4.203), тогда имеем

акРм+1 — [X, Рм+1] — X(А2^ + (X(»2) + ак»2)Р2+ + ... + (XX (ц*м ) + ак»*м )РМ.

Снова, сравнивая коэффициенты перед Рм, и зная, что ак»*м(1) — X(ц*м(¿)) + +ак»*м(1), получаем »*м - постоянная. Из уравнения (4.204) следует, что В(т) — 0. Из данного противоречия следует, что хотя бы одна из функций Р(Ь, и Q(t, тождественно равна нулю. Лемма доказана.

Дальнейшее уточнение вида функции , Ь]), а также полное доказательство теоремы 4.3 можно найти в работе [53].

Результат полной классификации уравнения (4.184) содержится в следующем утверждении (см. [52]).

Теорема 4.5. Цепочка (4.184), допускающая одновременно нетривиальные х- и п-интегралы, принадлежит одному из типов:

(1) , и) = А(г 1 - г), где А(Ь 1 - г) = ±Р(в), ^ - г = Р(в), Р(в) - квазимногочлен по в,

(2) ф, и) = С1(г 1 - г2) + с2(г 1 - г),

(3) Ф, и) = л/с3е2а*1 + С4еа(+ С3е2а,

(4) ¿(г, р) = С5(еа 1 - еа) + С6(е-а1 - е-а),

где а = 0, Сг, 1 ^ г ^ 6 - произвольные постоянные. Причем соответствующие интегралы минимального порядка можно привести к виду

1) Р = х - /11 1 —щ, I = Ь(ИХ) 1Х, где Ь(ИХ) - дифференциальный оператор, который обращает в нуль Р(0). Причем РХв = 1.

р = ,1 = 1х - С- ш,

111) р = Г11-1 . е-ав-а - Г12-11 . ** , I = 2ЬХХ - аг2Х - аСзе2а,

' •' уСзе2«8+С4е«8+С^ J д/С3е2а° +С4е^+С3 2

1у) р = (е^^ке^т-е^?), ^ = ^Х - а - Св& а.

4.3. 8-интегрируемые дифференциально-разностные уравнения. Пользуясь координатными представлениями (4.182), (4.183) характеристических векторных полей, можно построить характеристическое кольцо Ли ЬХ = {Х,К0}, соответствующее произвольному дифференциально-разностному уравнению вида (4.176).

Ниже мы подробно исследуем характеристическое кольцо Ли цепочки вида

Ьх = Ьх + Аг

которая является дифференциально-разностным аналогом уравнения синус-Гордон иху = эти. Поскольку уравнение (4.205) имеет вид (4.184), то в качестве образующих кольца можно выбрать операторы Х,У (см. (4.190), (4.192)). Далее воспользуемся тождеством (4.201), в котором положим <1 = А1 (еаЬ 1 + еа) + А2(е-аЬ + е-а 1). Положим

Ро(V = 2—1 & + а), р1(Х) = -2а-(X -а). ^

Введем два оператора = Р0(ас)У и = Р1(ав,^)У:

= (еа 1 + еа) ^ - (еа-1 + еа) ^

' дг 1 ^ 1 ^ Ш-1 + (еа + 2еа 1 + еа2)д^ - (еа + 2еа-1 + еа-2)^ + ...,

5* = (е-а 1 + е-а) дд- - (е-а-1 + е-а) + + (е-а + 2е-а 1 + е-а2)- (е-а + 2е-а-1 + е-а1-2)^ + ....

'дг? ^ 1 ^ 1 ^ > дъ-2 Из очевидных равенств [ХХ, 50] = а50, [Х, 5*] = -а5*, У = А15(* + А25* вытекает, что рх1 = {ХХ} ф Ьх2, где Ьх2 - кольцо Ли, порожденное операторами ¿0, 5*.

Построим базис линейного пространства, состоящего из элементов кольца Ьх2. Заменим зависимые переменные следующим образом ^ = -, тогда т) иЬ = ¿о новые переменные, при этом имеют место равенства = - + дХГ, которые позволяют переписать операторы в*, в* в виде = -еа^о, 3* = -е-а131, где

г) г)

Я, = ^А

причем

А

-т - тх - ... - т3-1, если ] > 1; р

т-1 + т-2 + ... + т3, если -1.

Пользуясь равенством Вр(]) — р(] + 1) + т, легко можно проверить, что

ВвоВ-1 — еатБо, ВвхВ-1 — е-ат

Как и следовало ожидать, характеристическое кольцо Ьх2 имеет бесконечную размерность. Кольцо Ьх2 (так же, как и Ьх1, Ьх) является кольцом минмального роста. Иначе говоря, размерность линейного пространства кратных коммутаторов с ростом кратности растет на единицу, и на два в зависимости от четности. Например, если У3 линейное пространство всех коммутаторов кратности не выше ], то базис У2к состоит из операторов {во, Рх, Р2, Рз,..., Р2к... ^2к}, а базис У2к+1 - из операторов {во, Рх, Р2, Рз,..., Р2к+1, Q2,Q4,..., Q2k}. Здесь операторы Р), Qj определяются последовательно

Р1 — [¿о, ¿Х] + аво + ав], Ql — Р1,

Р2 — [в1,Р1], Q2 — [¿о^Х],

Рз — [во, Р2] + аР2, Qз — [в1^2] - аQ2,

Р2] — [S1, Р2j-l], Q2] — [S0,Q2j-l],

Р2j+l — [во, Р23] + аР2у , Q2j+1 — [в], Q2j] - аQ2j,

для ] > 1. Вычисления показывают, что

ВР]В-1 — Р1 - 2а

ВQзВ-1 — Qз + 2аQ2 - 2аР2 - 4а2Рх + 4аз(во + ¿х), ВQAВ-1 — еат- 2аРз + 2а2Р - Q2) +

+4азР] - 4а4(во + в])), Рз — Qз, [в1,Р2] — -аР2, [Sо,Q2]—аQ2, [в], Р4] — -аР4, [во, Q4] — аQ4.

д

Коэффициент при —— во всех векторных полях ВРiВ х, ВQiВ х, 1 ^ г ^ 4 равен нулю. д

Лемма 4.5. Для любого ] > 1 имеют место равенства

(1) ВР2з+хВ-1 + 2аеагВР2зВ-1 — Р2з+х + 2аQ2з,

(2) еатВР2+2В-1 - аВР2з+хВ-1 — Р2з+2 + аQ2з+1,

(3) ВQ2з+1В-1 - 2аe-aтВQ2зВ-1 — Q2з+1 - 2аР2з,

(4) eraтВQ2з+2В-1 + аВQ2з+1В-1 — Q2з+2 - аР2з+ъ

(5) Р2]+1 — Q2j+1,

(6) [в1,Р23+2] — -аР23+2,

(7) [ Sо,Q2j+2] — аQ2j+2.

д

Более того, коэффициент перед — во всех векторных полях ВРкВ ВQkВ 1 равен

д

нулю.

Доказательство. Индукцией по ]. Из (4.212) ясно, что утверждение леммы верно при ] — 1. Допустим, что (1) - (7) верно при всех ], 1 ^ ] ^ к. Покажем, что (1) верно при

j = k+l.

DP2+D-1 = D([So, Р2+2] + a,P23+2)D-1 = [eaTSo, DP2j+2D-1] + aDP2j+2D-1 = = [earSo, ae-arDP2j+lD-1 + e-arP2+2 + ae-arQ2j+l] + aDP2+2D-1 = = -a2(l + e-aT)DP2j+lD-1 + ae-ar [earSo, DP2j+lD-1] - a(1 + e-aT)P2+2-

- a2(1 + e-ar)Q2J+i + P2+ - aP23+2 + aQ2j+2 + aDP^D-1 =

= -a2(1 + e-aT)DP2+1D-1 + ae-aTD[So, Q2J+i]D-1 - a(2 + e-aT)P2j+2-

- a2(1 + e-ar)Q23+i + P2J+3 + aQ23+2 + aDP^D-1 =

= -a2(1 + e-aT)DP2+1D-1 + aQ23+2 - a2P2]+i - a2DQ2]+xD-1-

- a(2 + e-ar)P2j+2 - a2(1 + e-ar)Q2+ - 2a2Q2+ - 2aP2j+2 + P2jVi = = -2a2DP23+xD-1 + 2aQ23+2 - 2a2Q2j+x - 2aP2j+2 + P23+s =

= 2aP23+2 + 2 a2Q2+1 - 2aeaTDP2j+2D-1 + 2aQ2j+2 - 2a2Q2j+x-

- 2aP2]+2 + P2+ = -2aeaTDP23+2D-1 + 2aQ2]+2 + P23+3.

Условие (3) доказывается точно так же, как и (1). Покажем, что (5) верно при j = к + 1. Очевидно, имеем

DP^+sD-1 = -2aeaT DP2+2D-1 + 2aQw + P2+3 =

= -2 a(aD P2J+1D-1 + P2j+2 + aQ2j+1) + 2aQ2j+2 + P2+3,

и

DQ23+зD-1 — 2аe-aтDQ23+2D-1 - 2аР2+2 + Q23+з —

— 2а(-аDQ23+lD-1 + Q23+2 - аР23+х) - 2аР2+ + Q2j+з.

В силу (5) Р2з+1 — Q2j+1, и поэтому

D(Р23+з - Q23+з)D-1 — -2аР23+2 - 2аQ23+2 + 2аQ23+2 + 2аР2+2 — 0.

Следовательно, Р23+з — Q23+з.

Покажем, что (2) верно при ] — к + 1. Имеем

earDР23+lD-1 — eaтD[Sl,Р23+з]D-1 — еат[е-атв], DР2,+зD-1] —

— еат[е-атв1, -2аeaтDР23+2D-1 + 2аQ23+2 + Р^+з] —

— еат(-2а2(1 + ват)DР23+2D-1) - 2ае2ат[е-атSl,DР23+2D-1] + +Р2+4 + 2аQ23+з + 2а2Q23+2 — -2а2(еат + е2ат )DР2J+2D-1 + +2 а2e2arDР2з+2D-1 + Р2з+± + 2аQ2з+з + 2а^2з+2 —

— -2 а2eaтDР2з+2D-1 + Р2з+± + 2аQ2з+ъ + 2а2Q2з+2 — — аDР23+зD-1 - аР23+з - 2а2Q2з+2 + Р2+4 + 2аQ23+з+

+2 а2Q23+2 — аDР23+зD-1 + аQ23+з + Р23+4.

Доказательство (4) аналогично доказательству (2).

Докажем (6) при ] = к + 1.

В[3Ъ Р23+4]0-1 = [е-ат51 ,ае-атОР2]+зО-1 + е-аР^+4 + ае-а^Шз] = = [е-ат3ъае-ат (-2аеат ВР2]+2В-1 + Р2+3 + 2а<2+2) + +е-атРШ4 + ае-атЯ2+з] = [е-ат3ь -2а2ВР^+2В-1 + +2ае-атР23+3 + 2а2е-а^2+2 + е-атР2+4] = -2а2В[31, Р^В-1-

-2а2е-2ат(1 + еат)Р2з+з - 2а3е-2ат(1 + еат)<2з+2 + 2ае-2атР2+4+ +2а2е-2атЯ2+з + 2а3е-2атЯ2+2 - ае-2ат(1 + еат)Р23+4+ +е-2ат[31)Р23+4] = 2а3ВР2+2В-1 - 2а2е-атР23+3 + а(е-2ат--е-ат)Р23+4 - 2а3е-атЯ2+2 + е-2ат[3ъР2з+4] = = а2е-атР23+3 + 2а3е-атЯ23+2 - а2е-ат ВР2+3В-1 - 2а2е-ат Р2+3+ +а(е-2ат - е-ат)Р2+4 - 2а3е-ат<23+2 + е-2ат^1^2+4] =

а(е-2ат - е-ат)Р23+4 - аВР^+4В-1 + ае-атР23+4+ +а2е-атЯ23+з + е-2ат [31, Р^+4].

2 - а -а е Р23+3

Поэтому

В[51,Р2з+4]В-1 = е-2ат

В([51,Р2з+4]+аР2з+4)В-1

е -- [51, Р23+4] + ае-2атР23+4 - аВР23+4В

1

е~ ([ 51,Р2з+4 ]+аР2з+4).

Следовательно, [ 31 ,Р2з+4] = -аР2з+4.

Доказательство (7) аналогично доказательству (6). Лемма доказана.

Замечание 4.2. Имеют место равенства

е-агВ<32зВ-1 + еатВР23В-1 = <23 + Р

2 ,

Более того, ^21+11

ВР2+1В-1

Р2

23+1

+

+ Х^3-1 1,(23+1) Р + 1,(2з+1) 3 + ,У3+1) 3

+ 1^к=0 ^2к+1 Р2к+1 + ^0 3 + V0 31

к=1

(23+1) 2 к

Р + , .(23+1) Р2 к + 2 к

< 2 к)+

3-1

В Р2 В-1 = е- а

(Р23 + Т.(^Р2к + 4(2)<2к ) +

к=1

+ 12к=0 ^2к+1Р2к+1 + ^^О + "О?3 51),

3-1

В < 2 В

1

2 к

- Е 1=0^+1^+1 - ^О3 30 - »О23'^).

(2 ) 2 к

еат(<2з - £(^ТР2к + ^к3)<2к)-к=1

(2 ) 2 к

2 а,

(2 +1) 2

2а, = 2а.

Пусть ЬХ конечномерно. Тогда имеется три возможности:

1) 50 50

2) 50 50

3) 50 50

31, Р1, Р2, Q2, Р3

31, Р1, Р2, <2, Р3 31, Р1, Р2, <2, Р3 31, Р1, Р2, <2, Р3 31, Р1, Р2, <2, Р3 31, Р1, Р2, <2, Р3

В случае 1) ,

Р4 Р4 Р4 Р4 Р4 Р4

<4,... , Р2з- 1-линейно независимы и <4,... , Р2з-1, Р2з—линейно зависимы, <4,... , Р2з-1, Р2з—линейно независимы и <4,... , Р2п-1, Р2з, <2з-линейно зависимы, <4,... , Р2з, <2з-линейно независимы и <4,... , Р2з, <2з, Р2з+1-линейно зависимы.

Р23 = Ъз-1Р2з-1 + 123-2Р23-2 + Г]23-2<<23-2 +

и

ВР23В-1 = В(123-1 )ВР2з-1В-1 + +В( Ъз-2)В Р23-2В-1 + В( Г]2з-2)В<2з-2В-1 +

Воспользуемся замечанием 4.2 для сравнения коэффициентов при в (4.213) и полу-

чим противоречивое уравнение

е-аг (Ъ-1 + 2a) — D( ъ—).

Оно показывает, что случай 1) не реализуется. В случае 2),

Q2j — 123Р23 + 723-1Р23-1 + V2j-2Q2j-2 + ...

и

DQ2зD-1 — D(12з )DР2JD-1+ +D( 12з-l)D Р2з-lD-1 + D( r12з-2)DQ2з-2D-1 + ... .

снова воспользуемся замечанием 4.2 для сравнения коэффициентов перед Р2з-Х в (4.214) и придем к противоречивому условию

(Ъ]-1 - 2а) — D(723-1),

которое показывает, что случай 2) невозможен. В случае 3)

Р2з+1 — V2jQ2j + ЪзР2з + ...

и

DР2з+lD-1 — D

Воспользуемся замечанием 4.2 для сравнения коэффициентов при Р2з в (4.215) и придем к противоречию

(723 - 2а) — D(Ъз)е-аг.

Поэтому случай 3) невозможен. Следовательно, характеристическое кольцо Ли Ьх имеет бесконечную размерность.

5. Полностью ДИСКРЕТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В настоящее время дискретные модели вида

и1,1 — ¡

называемые также уравнениями на квадратном графе, интенсивно исследуются в связи с их важными приложениями в физике, дискретной геометрии, архитектуре, биологии и т.д. В уравнении (5.216) искомая функция и — и( т, п) зависит от двух независимых дискретных переменных. Нижние индексы и черта над буквой обозначают сдвиги аргументов:

ик — и(т + к,п), ик — и(т,п + к), — и(т + г,п + ]).

Функция / предполагается гладкой функцией, определенной в некоторой области Кз. Предполагается также, что уравнение (5.216) может быть разрешено, по крайней мере локально, относительно любого из трех переменных и,и1,и1, то есть существуют функции такие, что

и — ¡-1~1(т,п,и1,1,й1,и1), Щ — ¡1~1(т,п,щ,и1,1,и), и1 — ¡-1,1(т,п,и1,и,и1>1).

5.1. Дискретные уравнения лиувиллевского типа. В этом разделе рассматриваются уравнения вида (5.216), допускающие интегралы.

Определение 5.1. Назовем п-интегралом уравнения (5.216) последовательность функций {1(Дт,п,и—у,и-у+1,...,икзависящих от т, п и конечного числа динамических переменных {щ}, таких, что выполняется соотношение

В(т, п, и—, и-у+1,... ,ик) = 1(1+1) (т, п, и—, и-+,... ,ик), где И-оператор сдвига аргумента п такой, что Вк(т,п) = к(т,п + 1).

Замечание 5.1. По ходу доказательства теоремы 5.1 (см. ниже) выясняется, что п-интеграл можно представить в виде I = 1(т, п, С), где С = С(и, щ,... ,и^) — некоторая функция.

Пример 5.1. Рассмотрим уравнение вида

и д = —, и

для которого п-интегралом является последовательность функций 1^) что

Действительно,

(О

{

и ,

г — четное;

—, г — нечетное.

В 1

В 1(2т+1) = В ^ = ^

1 = к-

щ = 1(2т+2).

1(г)(щ) такая,

В координатном представлении уравнение В1^) = 1(1+1) имеет вид

!

где г = 1 , 1 (т,п,и,и—1,щ). Выберем в качестве динамических (независимых) перемен-переменные {и3 }+=^00 и {йу }+=^00. Тогда функцию г—1 = И-1 (г) можно переписать в

ных

виде

г— 1 = / , (т — 1,п,и-1,и-2,и-1,1) = / , (т — 1,п,и1,иД' , (т,п,и,и-1,и1)).

Здесь В - оператор сдвига переменной т: Ву (т, п) = у(т + 1,п). Аналогично все сдвиги в (5.217) можно представить как композицию функций, зависящих только от динамических переменных. Заметим, что правая часть равенства (5.217) не зависит от переменной щ1, а потому выполнено условие -¡^-В1^) = 0 или, что то же самое, УД (г) = 0, где У1 = В В развернутом виде оператор У1 имеет вид

У = + В-1 (+ В-1 (

1 ди + I диД ди-1 + I диД ди—1

а) &+т>-1( *-

э

э

ди! ) ди—2

л г тл — 191 (и,и-1,и-1) д1 ' 1(и,и,1,и,_ -Л/ди

Введем обозначения х = В К ¡^ 1 = — ^!'- .

1 1 (и ,и-, и—-)/ди1'

Лемма 5.1. Имеют место следующие тождества:

дг ди,1

В-1

V 9«1

Д± = . и i

ди,1 ди,1

\ди1 J ' ' ' \ч<9«1 у '

1

1

Доказательство. Второе из соотношений леммы есть очевидное следствие формулы дифференцирования сложной функции. Например, при ] = 1 имеем

д 11 д ^ __ ^ о (су \ су

д / д

дщ дщ ' ' ' \дщ ) дщ

Для доказательства первого соотношения леммы достаточно продифференцировать тождество

Щ = I- 1Д

по переменной Щ и получить

-11 N д/

1 = В

дщ

Лемма доказана.

Пользуясь леммой, оператор У1 можно переписать в виде

д д 1 д д 1

У = + +-я-+ ХХ1— +---+ ....

ди ди1 х-1ди-1 ди2 х-1х-2ди-2

Назовем оператор У1 характеристическим векторным полем.

Ясно теперь, что п-интеграл является решением уравнения в частных производных первого порядка У11^) = 0, коэффициенты которого выражаются через переменную х и ее сдвиги и поэтому зависят, вообще говоря, от переменной и-1, в то время как сама функция 1(г) от и-1 зависеть не может, то есть Х11(г) = 0, где Х1 = —¡^. Примечательно, что в общем случае, кроме этих двух уравнений и их дифференциальных следствий, п-интеграл I удовлетворяет еще и другим уравнениям, что является отличительной чертой дискретного уравнения. Действительно, из тождества В1^) = 1{г+1) следует, что для любого целого _к

к В 1(г) = 1(г+к). В последнем равенстве при выполнении условия к > 0 правая часть не зависит от переменной Щ1, в то время как в левую часть равенства и1 формально входит, поэтому имеем В В 1^) = 0, к > 0. Непосредственные вычисления показывают, что

_д _к

В 7— В =Хк-1 + Ук, к > 2, сщ

где

У+ = В-1(УЛ) £ + В-1(У3г) -¡Ъ +

+В-\У /1) & + В-1

Х = -¡Ъ, 3> 1

Обозначим через N * размерность линейного пространства, порожденного операторами {У]Кольцо Ли над полем локально аналитических функций, порожденное операторами {Уз и {Х], назовем характеристическим кольцом Ли Ьп уравнения (5.216) в направлении п.

Теорема 5.1. Уравнение (5.216) допускает нетривиальный п-интеграл тогда и только тогда, когда (ИтЬп < ж.

Доказательство. Предположим, что уравнение (5.216) допускает нетривиальный п-интеграл I = 1(£)(т,п,и-],и-]+1,... ,ик), где = 0, = 0. Введем кольцо Ли М,

порожденное векторными полями {У]и {Х], где число N2 будет определено позже. Положим

Ми>к) = {Т]'к = Р] к (Т) : Т еМ},

где Pj,k - оператор проектирования, определенный следующим образом

— 1д +Ж д -1 д т д р-т: £ а дт3 + ^ь- дй3 ^ а дй3 + ^ь- дй.

8=-И2 — Ж 8=-И2 8=—г

г,т = 1, 2, 3,....

Обозначим через М1 размерность пространства Очевидно, что

N1 ^ N + к +] +1. Пусть множество операторов {Т01, Т02,..., Т0мг} образует базис в Обозначим через Тг = ^ —'=1—^ а3(Т)-т^- + ^+Ж Ь3(Т)векторное поле из М такое, что Pj,к(Т) = Т0j, ] = 1, 2,..., N1. Покажем теперь, что множество операторов {Т1, Т2,..., Т^} образует базис в М.

Возьмем произвольное векторное поле Т = ^ -=—М2а3(Т) т-- + ^-Ж ьз(т ) —^ из М. Так как Pj,к(Т) е М(,к), то Р^к(Т) = Т2ш=1^шТот. Проверим, что Т = что равносильно равенству X = 0, где X = Т — ^т=1 РmТjm. По определению, имеем Pj,к(X) = 0. Так как I является п-интегралом, зависящим от т,n,u—j,u—j+1,... ,ик, то есть п-интеграл, зависящий от т,n,u—j+1,u—j+2,...,uк+1. Действительно,

5(5I) = 0(51) = Ш. Следовательно,

' " 4 51=

о = х

дик+1

т.

дик+1

Поскольку щ+^ш = 5 (дии^1) = 0, то ак+1(Т) = а это означает, что

Pj,к+1(г) = 0. Применяя оператор X последовательно к интегралам И21, И31, ..., а также к интегралам Ъ-11, 0—21, ... найдем, что Ргт(г) = 0 для любых натуральных чисел I, т. Следовательно, г = 0. Это доказывает, что кольцо М имеет конечную размерность при любом выборе числа N2. Тогда линейная оболочка векторных полей {Yj}Ж имеет конечную размерность, обозначим ее N. Уточним теперь значение числа N2, выбрав N > N. Тогда имеем, что кольцо Ьп, порожденное операторами {Yjи {Xj, является подкольцом конечномерного кольца М. Поэтому кольцо Ьп - конечномерно.

Предположим, что размерность характеристического кольца Ли Ьп конечна, обозначим ее N1. Пусть N - размерность линейной оболочки векторных полей {Yj }Ж. Тогда множество ... } образует в ней базис. Положим N2 = N1^^ — N. Введем

Ь<пт = {Т(т) = Р™(Т) : Т е Ьп}, где оператор проектирования Р^ действует по правилу

р ) (у,— 1 г Я ,улЖ Ь \

1 а диа + 8=0 8 диа у

1

N2 "в диа ~ ^в=о в див} (5 221

= у-—1 а + ь -д-

Пусть {Т0г^^ образует базис в линейном пространстве Ь«32^. Тогда мы имеем N1 уравнений вида Т0гС = 0 на некоторую функцию С от N1 + 3 переменных т, п, u,u1,... , uN2,U—1,U—2,... ,U—N. Причем т и п входят как параметры в коэффициенты уравнения. Согласно теореме Якоби, рассматриваемая система уравнений имеет непостоянное решение С. В силу уравнений XjG = 0 эта функция не зависит от переменных щ,^,... и удовлетворяет условию ТС = 0 для любого Т е Ьп. Функция С определена неоднозначно, любое другое решение системы, зависящее от тех же переменных

т, п, u,u1,... , uN2, может быть представлено в виде Н(т, п, С) для некоторой функции Н. —— 1 — —— 1 — —— 1 —

Так как 5 Y1D = Х1 + Y2, 5 XjD = Х^+1, 3 > 1, 5 YкD = Yк+1, к > 2, то для

——1 —

любого векторного поля X из Ьп мы имеем 5 X5 = X* + ХХм+1 для некоторого X* е Ьп

и некоторой функции Л. Следовательно,

ZDG = D(D-1ZDG) = D(Z * + ЛХМ+1)С = 0

для любого Z Е Ln. Поэтому DG также является решением упомянутой выше системы

дифференциальных уравнений в частных производных, откуда имеем DG = h(m, п, G).

—_ i

Аналогично, можно показать, что D G = g(m, п, G) для некоторой функции д. Для построения искомого п-интеграла I достаточно теперь положить

G(m, n,u,u\,... ,uN) = I(0)(m, п,и,щ,... ,uN), D%G(m, n,u,u\,... ,un ) = I(i)(m, п,и,щ,... ,uN), D ^(m^^^i,... ,uN) = I^^m^^^i,... ,uN), i> 1.

Построенная таким образом последовательность функций I(i)(m, ..., un) является

п-интегралом, так как удовлетворяет соотношению D1^) = I(i+i).

5.2. Дискретные уравнения общего вида. Пользуясь явными выражениями (5.218) - (5.220) можно определить характеристические векторные поля Zk = Хк-1 + Yk, к > 2 для произвольного уравнения вида (5.216). Согласно теореме 5.1 при отсутствии у уравнения п-интеграла кольцо Ln будет бесконечномерно. Очевидно, что операторы {Zk линейно независимы.

Лемма 5.2. Выполняются следующие коммутационные соотношения

1) [ Zk,Zj] = 0 для всех k,j > 1;

2) [Xk, Zj] = 0 для всех k > j,

где Zi := Yi.

Доказательство. Пусть j > к, тогда имеет место равенство [, Zj-k] = 0, так как коэффициенты оператора Zi, i > 1 не зависят от переменной ui. Применяя к этому равенству оператор сопряжения

—— i —

Z ^ D ZD

к-раз, получим

[D-k ju^Dk ,D-kZj_kDk ] = [Zk ,Zj ] = 0.

Вторая часть леммы следует из того, что Xk = , а коэффициенты оператора Zj не зависят от u-k при к > j. Лемма доказана.

Ключевую роль при описании кольца Ln играет автоморфизм, определенный по правилу

Z ^ DZD-i,

где D — оператор сдвига аргумента п. Покажем, что Xi и Yi, рассматриваемые как операторы на множестве функций, зависящих от конечного числа переменных из суженного динамического набора Sn = {u-N,u-N+i,... ,u-i,u,u±i,u±2,...}, удовлетворяют следующим соотношениям

DXiD-i = pXi + p

DYiD-i = —Yi,

x

где p = DXif-i'-i, p(k) = DXiD kf-i'-i, причем f-i'-i = f-i~l(u,u-l,u-l). Отметим, что коэффициенты операторов Yi,Y2,... , Yn зависят только от переменных из множества Sn. Равенство (5.224) легко проверить, подействовав обеими частями равенства на динамические переменные из Sn. Точно таким же способом можно доказать (5.225).

Выведем аналогичные равенства для высших характеристических операторов Yj, X3, j > 1. Удобно начать с оператора Y0 = -J^-. Сначала уточним действие оператора на функциях, зависящих от всех динамических переменных. Очевидно, имеем

Я Я Я

DY»D-1 щ + i(2) + .. + ™ Щ  (5-226>

где {;(к) = DY0Dk 1 f-1'1, f-1'1 = f-1'1(u,u-1,u1). Последнее равенство легко проверяется применением к переменным U1,u2,... ,Uj,.... Ясно также, что все остальные динамические переменные лежат в ядре оператора (5.226). Подействуем теперь на равенство (5.226) оператором сопряжения (5.222) и в результате получим, с учетом равенств DD = DD, D Y0D = Y1,D -^D = при к > 2, следующее соотношение

- - _ Я

DY1D-1 = U

где i;-1(j) = D ^(j), которая, в частности, доказывает формулу (5.225). Остается лишь проверить, что i;-1(1) = ^. Действительно, дифференцируя тождество

U1 = f(u-1,u, f-1'1(u,u-1 ,U1)) по переменной U1, находим D-1 ^• = 1. Отку-

_ —— 1 -,

да следует, что £(1) • х1 = 1. Поэтому D £(1) = -. Применяя далее многократно оператор

(5.222) к равенству (5.227), находим

DZkD-1 = l-_k

-k

—1-k —k-1

где Zk = D Y^^D = Yk + Xk-1 при к > 2. На суженном наборе динамических переменных Sn равенство (5.228) принимает вид

DZk D-1 = l_k

Например, при к = 2 имеем

1

т20-1 = —г2 + £ _2

Х-\

На весь набор динамических переменных формула (5.224) продолжается следующим образом

те

ИХгИ-1 = рХ-1 + ^ р(г)Хг+1.

г=1

Подействуем на это равенство оператором сопряжения (5.222) и, с учетом условий ——1 — . И Х3И = Х3+1, ] > 1, получим

ВХ3В-1 = Р1-3Х3 + Р1-3 (1)Х3+1 + ... + Р1-3 (к)Хк+1 + ...,

сужение которой на SN дает

ВХВ-1 = Р1-Х + р—

при ] ^ N.

Лемма 5.3. Предположим, что Z = ^КЛ ъЬ е удовлетворяет следующим двум условиям: DZD-1 = cZ для некоторой функции с и Ь(]0) = 0 для некоторого фиксированного значения ] = ]0. Тогда Z = 0.

Доказательство проводится простым вычислением (см. [42]).

Пример 5.2. В качестве примера рассмотрим одну из дискретных версий уравнения Лиувилля

еи1,1+и = еи1+и1 + 1.

Вычислим функции х ир для уравнения (5.232). Имеем

Щ—1 = 1п

Следовательно, г = f—1,1(u,u—1,U1) = 1п (еи1+и-1 — 1) — u. Пользуясь равенством

/пс/ — \\ д1 -1, 1

х = 5-1 ЩрЩ = — ии_ ) ,

V дщ д1 1,-1(и,и1,и-1)' 1 у

д и1

находим х = 1 — е—и1—и-1. Далее находим 5-1 = = 1 + е—и-1—и-1. Для описания р воспользуемся тождеством

/ в!= _ 1 1

V д^ 1 ) д11 1(и,и1,и-1) 4 7

ди-1

В результате имеем р = х. Поэтому

5Х15-1 = (1 — е—и1—и-1 )Х1, DY1D—1 =-1—

1 к ' 1 1 1 _ е—и1—и-1 1

На операторы Я1 = [Х1^1], Р1 = [Х1,Я1], (1 = \У1,Я1] отображение (5.223) действует по правилу

5Я15-1 = К1 + ^ Y +

5(15-1 = — ^ П1 — ^ — (х — 1)Х1.

Из формул (5.236) имеем 5(Р1 + Я1)5-1 = х(Рх + Я1) и 5(((1 + Я1) = ±((1 + Я1). Из последних соотношений, в силу леммы 5.3, вытекают равенства Р1 = — Я1, (1 = — Я1. Аналогично можно проверить, что

^2 = Х1 —

Для этого достаточно сравнить равенство

DZ2D—1 = ^Z2 + ( — 1)Yl

(——О

\хх— 1 )

х—1

с первой из формул (5.236) с учетом равенства 5Х15-1 = хХ1.

Из (5.237) по лемме 5.3 следует, что Y2 = — (1 + еи—и-2) Я1. Следовательно, характеристическая алгебра Ьп для уравнения (5.232) трехмерна, как линейное пространство, натянутое на векторы Х1^1,Я1; п-интеграл минимального порядка зависит от трех переменных, например I = I,u—1). Для отыскания I решаем линейную систему Y1I = 0, Я11 = 0, или в развернутом виде

дги + а — ^и1—и-1) дк + (1+^и-1—и-1) = 0

с—и1—и-1 д1 _ с—и-1—и-1 д1 = 0 ди1 ди-1

Отсюда легко найти, что I = еи-1—и + еи1—и.

Выясним, как меняется характеристическая алгебра при замене переменных в дискретном уравнении. Наиболее общая точечная замена переменной в уравнении (5.216) задается функцией вида

и

Замена (5.238) сведет (5.216) к уравнению

^М = ¡

где / = ф 1 (т, п, ¡(т, п, ф(т, п, у), ф(т + 1,п,ь 1), ф(т, п + 1, V-]))).

Выясним, как связаны характеристические векторные поля Х3, Zj и Х3, Zj уравнений (5.238) и (5.239).

Лемма 5.4. Имеют место равенства

™ __ди __ди

Х — —

Х-1

ди1 ди—1

Доказательство. Докажем второе равенство утверждения. Дифференцируя очевидное тождество

и_1 = / 1 1

по переменной и1, найдем

0 = И ^ 1 1

ди-1 ) ди1

Отсюда имеем

1 т,-1дГ"

Х 1

И

ди

ди—1

Первое равенство утверждения доказывается аналогично дифференцированием тождества

и1 = /1'-1 (и1, ¡(и,и1,й1),и) по и1. Лемма доказана. Из леммы 5.4 имеем

7 = _= _ ^•«(-) = ш_Х

Х = ^ = ^ •« («1) = Ф )Х,

- _ _ ^^ф

1) Х — 1

х—1 в/-1'-1 в/-1'-1 Ф( ) ф(«—1) х-

П1) 1 Ои 1 ^ 4 1 '

Поэтому -к- = ф'(у) , а также

д

х • х1 • ... • Хт~-= ф'М • х • х1 • ... • Хн—--

д^з+1 'ди+1

и

11 1 д 1 1 1 д ,

^ • ... • ^тр- = ф'

х-1 х-2 х-у дьХ-1 Х-2 Х-3 ди-3

В силу (5.240), (5.241) из явного выражения (5.219) и формулы

- д „ д 1 д _ д 1 д

У1 = — + х---+ —---+ ХХ1---+ „ „ ---+ ...

дь дь 1 х-1 дь-1 дь2 х-1х-2 дь-2

находим искомую связь

?1 = ф'

Очевидно, что Х1 = и Х1 = д-^ связаны равенством

Х1 = ф'

Применяя к (5.242), (5.243) оператор сопряжения (5.222) и воспользовавшись равенствами

Zj+1 = Х+ = И,

находим

Zj+l = ф

5.3. ¿"-интегрируемые дискретные уравнения. В этом разделе исследуются характеристические операторы S-интегрируемых дискретных уравнений вида (5.216), т.е. уравнений солитонного типа. Пусть кольцо Ли Т порождается векторными полями X и Y. Обозначим через Vj, j > 0 линейное пространство над полем локально-аналитических функций, натянутое на X, Y и все кратные коммутаторы операторов X, Y порядка меньше или равного j так, что

V = {X, Y}, V! = {X, Y, [X, Y]}, V2 = {X, Y, [X, Y], [X, [X, Y]], [Y, [X, Y]]},....

Введем функцию △ (к) = dimVk+1 — dimVk.

Определение 5.2. Назовем Т кольцом минимального роста, если найдется последовательность натуральных чисел {tk}^L1, для которой A(tk) ^ 1.

Обозначим через Tkj кольцо Ли, порожденное операторами Xk, Yj. Следующая гипотеза представляется правдоподобной.

Предложение 5.1. Пусть уравнение (5.216) S-интегрируемо, тогда для любых k,j > 1 соответствующее кольцо Tkj является кольцом минимального роста.

В качестве примера рассмотрим дискретное потенциированное уравнение КдФ

1

и11 = и +

и1 — и1

Представим (5.245) в двух различных формах (и — и_ 1,-1)(и_ 1 — и_^ (и1 — и-1)(и1-1 — и) = 1. Откуда имеем

1и

и-1-1 = и +

Следовательно,

и 1 — и 1

1

Х-1

-1,-1

и1-1 = и +

и1 — и 1

8f±

х = —

ди

=

df

дил df

ди df-1'--ди_ i 1-

(и1 — и-1)2

(и-1 — и-1)2,

777 \2

д f1

1,-1

Поэтому

д_ ди

Y1 = + — и-1)2

д и1

+ (и-1 — и-1)2

д

д и 1

+

Легко видеть, что

Y1x = Y1(u1 — U-1)2 = 2(и1 — U-1)3 = 2х^/Х

2^Х~1,

Y1x-1 = Y1(u-1 — и-1) 2

X х =

XI х-1

din (U1 — и-1)2 = —2(и1 — и-1) = —2^/Х,

oh (и-1 — и-1)-

— 2(и-1 — и-1)-3

2х-1^х-1.

Рассмотрим кольцо Тг,г, порожденное операторами (см. (5.246)) и Хг = . Построим последовательность кратных коммутаторов

Кг = [ХиУ1], Р\ = [Х1,К1], Яг = [У1,К1 ], Кк+г = [Хг,Як], Рк =[Хг,Кк], Як = №,Кк], к > 1.

Теорема 5.2. Последовательность Хг,Уг, Кг,РгК2, Р2,Я2,... образует базис кольца Тг,г (см. [42]).

1

1

1

Доказательство. Воспользуемся равенствами ИХ^^И 1 = хХ1 и И (уУ\)И 1 = Уг, где у = Х-1, и запишем [0Х10-1, И (уУ1)И-1] = [хХ1,У1]. Приведем последнее равенство к виду

В

Симметричная форма записи наиболее проста и удобна. Прокоммутируем (5.247), сохраняя симметричность с ПХ1И-1 = хХ1:

[Б(К1 - 2^У1)0-1,ВХ10-1] = [К1 - 2^хХихХ1].

Последнее равенство приводится к виду

И

Коммутируя (5.247) с 0(уУ1)0-1 = У1, получим

И

Прокоммутируем ПХ1П-1 = хХ1 с равенством (5.248), тогда

И ([Х1,Р1] - 2^уР1 + 4уК1 - 4ууДУ1) И-1 = х2[Х1,Р1] - 2х^хР1 - 4х^хХ1.

Вычтем из последнего равенства почленно равенство (5.248), помноженное на 2у/х, и в результате получим И[Х1,Р1] = х2[Х1, Р1]. Из последнего, в силу леммы 5.3, следует, что [Х1, Р]\ = 0. Аналогично проверяется, что [У]^, Я^ = 0.

Можно проверить, что действие автоморфизма (5.223) на операторы К2, Р2, Я2 записывается в виде

Б(П2 - 2^уЯ1)В-1 = К2 + 2^РЪ Б(Р2 + 2^уК2 - 2уЯ^И-1 = х(Р2 - 2Р1), И(у(Я2 - 2Я1))В-1 = Я2 + 2^хк2 + 2хР1.

По индукции можно доказать, что при любом ] > 1 выполнены соотношения

- 2^уЯ—)0-1 = К, + 2^хР3-1, И(Р] + 2(-1)^ук + 2(-1)3-1уЯз-1)И-1 = х(Р3 - 2Р-), И(у(Яз - 2Я3-1))Б-1 = Яз + 2фсЩ - 2хР3-1Х,

причем [ХЪР,] = 0, [УъЯз] = 0, [УЪР,] = [Х,Яз], [К,, Рк] = Рк+31 [К,,Як] = -Як+з, [К,, Кк] = 0, [Р3, Як] = -Кк+3+1, [Р3, Рк] = 0, [Яз, Як] =0. Теорема доказана.

Следствие 5.1. Кольцо Т11 является кольцом минимального роста.

Доказательство. По построению имеем У0 = {Х1,У1}, У1 = Уо ф {К^, У2 = У1 ф {Р1,Я1}, ..., У2к-1 = У2к-2 ф {Кк}, У2к = У2к-1 ф {Рк ,Як}, .... Поэтому △ (2 к + 1) = (ИтУ2к+2 - &тУ2к+1 = 2, А(2к) = &тУ2к+1 - &\тУ2к = 1 для любого к > 0.

В работах [42, 51] исследовалась связь свойства интегрируемости уравнения (5.216) и свойство минимального роста колец Т3, к.

В работе [42] доказано следующее утверждение.

Теорема 5.3. Пусть для кольца Ли Т1,1 дискретного уравнения вида

и1,1 = и + ф

выполняется условие: существует хотя бы одно натуральное число к такое, что А(к) ^ 1. Тогда точечной заменой уравнение сводится к одному из следующих уравнений:

(1) и1,1 = и + с(и1 - щ - [3),

(2) (и1,1 - и - а)(и1 - щ - [) = у,

(3) (аи1 + [и1)и1,1 + и(уи1 - 8щ) = 0.

Отметим, что в этой теореме на кольцо Ли накладывается очень слабое требование, существование последовательности натуральных чисел для которых выполняется А(к) ^ 1, заменено требованием, что существует хотя бы одно такое число. При этом получен некий список уравнений, и все они интегрируемы. Уравнение (1) является линейным, уравнение (2) - дискретное потенциированное уравнение Кортевега де Фриза, а уравнение (3) принадлежит известному списку Адлера, Бобенко, Суриса (АБС) (см. [45]).

В работе [51] уравнение вида

и\1 +и = ф

исследуется при аналогичном требовании.

Теорема 5.4. Пусть для кольца Т1>1 дискретного уравнения (5.251) выполнено условие: существует хотя бы одно натуральное число к такое, что А(к) ^ 1. Тогда уравнение (5.251) точечной заменой приводится к одному из уравнений:

(1) и1,1 + и = с(и1 - и1 - [3),

(2) (и1,1 +и - а)(щ + щ -[) = 7,

(3) а1ии1и1,1 + а2ии1,1 + а3и1й1 + а4 = 0.

Отметим, что уравнение (2) интегрируемо при а = [, так как сводится к потенцииро-ванному уравнению КдФ, а уравнение (3) при а3 = ±а2 сводится к известному уравнению из списка АБС. В остальных случаях эти уравнения неинтегрируемы.

6. Перспективы алгебраического метода

6.1. Характеристические кольца уравнений ,,п-волн". Рассматривается система уравнений гиперболического типа в частных производных

д д

^ + )иг = фАи1,и2,...,ип), г=1, 2,...,п.

д д Х

Здесь аг - произвольные постоянные и фг - произвольные функции. Когда функции фг являются квадратичными, то имеем систему уравнений п-волн [63]. Для определения двух характеристических направлений введем независимые переменные и так

д д д д д д дЬ г° дХ ' дЬ 4 дХ дг]'

В новых переменных система принимает вид

Рц = 1(Р 0,

% = ф

г^ = гпА + ф(р, г),

где f = (f1, Р,..., !3), ф = (ф1,ф2,...,ф1), ф = (ф1,ф2,...,фт), р = (и11 ,и^ ,...,и*'), д = (^, иР2,... ,и11), г = (ик1 ,ик2 ,...,икт), А = (Иад(\1,х2,... ,\т), Уг Xi = 0, где Р = (р1, Р2,...,Р'в), 1 = (я1, О2,..., Я1), г = (г 1,г2,..., гт). Обозначим через Р (Р) множество локально-аналитических функций, зависимых от конечного числа переменных Т'1, д2, г_2,..., Яг, Гг,... (р ,д,г, р1, п, р2, г2,... , Рг, Ъ,...). Здесь qi = Иг д, г^ = Иг г, р1 = Игр, г г = Иг г, г = 1, 2,..., И = , И = -—. Оператор полного дифференцирования И

по переменной г/ на множестве Р определяется следующим образом

0 ^ 0 ^^ 11 0 В = Ей м + ,*,г)ои + -Г1- -У(р,*,г)дР +

г=1 г=1 г=1 г г

1 д т 11 д + £ Вфг

=1 1 =1 1

т

+ ^^(Р Л г) ^ + В -г - Х^ (р ^ ^ дДп +

Рассматривая векторные поля Хг = , г = 1, 2,... , в и

1 д т 11 д Х+ = ^фг(Р Л Г) -Щ1 + И - Г1 - Х^ (Р Г)] д? + =1 =1

д т 1 1 д + £ Вфг

=1 1 =1 1

1 д т 11 д

+ £ Впфг(р, q, г) — + -г ггп+1 - ^Опфг (р, g, г)] — + ...,

получаем, что В = ^'¡=1 Р\Хг + Х3+ъ

Определение 6.1. Кольцо Ли Щ над полем Р, порожденное векторными полями Х1,Х2,... ,Х3+1, называется характеристическим кольцом Ли по направлению £ системы уравнений (6.252).

Аналогично определим характеристическое кольцо Ли в направлении г/. Последнее порождается следующими векторными полями

д

Ъ = т^, 1=1, 2, . . . ,1, д

д т д Ъ+1 = ,д, г) ^ + г\ + фг

=1 =1

т

+ Е В^г(Р, Ь Г) Щ + Т}-гГгп+1 + В'пфг (р, q, г)] — + ....

В этом случае оператор полного дифференцирования В по переменной £ на множестве Р имеет вид В = ^!г=1 Я1¥г + у1+1.

6.2. Эволюционные уравнения.

6.2.1. Кольца Ли эволюционных уравнений. Рассмотрим уравнения эволюционного типа

?? = Р)

дг ^ ' дх ' дхп> у 1

Для определения векторных полей, порождающих кольцо Ли уравнения (6.257), будем исследовать вспомогательное уравнение

д2и ди дп+1и.

Р

дЬдх 'Ох' ' дхп+1'

где Ь = И /, И-оператор полного дифференцирования по переменной х. Определим оператор И в пространстве локально-аналитических функций, зависящих от конечного числа переменных и,и1,и2,... ,иг,... (ип = ) по правилу

ди д „ д „ „ д „„ „ д

D = + + + ••• + + •

ot OU OU\ ои2 оип

Введем векторные поля

Xi = Х2 = F^O- + DFА + ••• + Dn+ •••• ои ои1 ои2 оип

Определение 6.2. Кольцо Ли R, порожденное векторными полями Xi и Х2, называется характеристическим кольцом Ли уравнения (6•257).

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 6.1. Если dimR < ж, то правая часть F (и, ^ ,•••, g^t1) уравнения (6-258) является квазиполиномом по переменной и.

Доказательство. Так как [D,D] = 0, то, используя [D,D] = [D, grXi + Х2], имеем

[D,Xi] = 0, ID,X2] = FXi•

Теперь положим X3 = [Xi,X2] и, используя тождество Якоби и соотношения (6.259), получаем

[D,X3] = Xi•

о и

Определим последовательность векторных полей Xi, i = 4, 5, •• • следующим образом: Xi = [Xi, X^^ Как и выше, получаем, что

о -2 F

[D,Xi] = г = 4,5,••••

Пусть кольцо R конечномерно. Тогда найдется т такое, что векторные поля X2, X3, • • • , Xm линейно независимы, а

т

а.

i=2

Xm+i = Y,aiXi,

где коэффициенты аг, г = 2, 3,... ,т являются функциями переменных и,и1,и2,....

В силу (6.262) имеем [0,Хт+1} = ^т=2И(аг)Хг + ^ г=2аг[В, Хг]. Последнее, согласно (6.261), перепишем так

д т-1р т т д^—2р

-д^х, = ^в(а,)х, + -ди-Х!.

2 2

Так как векторные поля Х1, Х2, . . . , Хт линейно независимы, то получаем, что

И

дт-1ь т дг -2Ь

^-т = > аг——.

дит-1 ^ диг-2 к 7

2

Из этих уравнений следует, что аг является постоянной иЬ - квазиполином по переменной и. Лемма доказана.

Замечание 6.1. Если кольцо Ли R эволюционного уравнения конечномерно, то правая часть f(и,иl,•••,иn) есть решение согласно (3.141) следующего уравнения в частных производных

m- i п о m - 2

i п о m -2 п -~1{£и+ощ) = I дй--2^ик+1 ди~к)

\i=0 V i=2 \ к=0 К/

дит-1 \ Я,I ¿-^ г \ Й,Л-2

Приведем примеры колец Ли уравнений эволюционного типа. Пример 6.1. Рассматриваем уравнение вида

иг = их + и2.

Подействовав оператором И, получаем, что ихг = ихх + 2иих. Из соотношения

д д

ИгЬ (и, и1,и2,...) = (щ— + ! — + В! — + ...)Ь = (щХ1 + Х2)Ь

д и д и1 д и2

имеем

Иг = щХ1 +Х2,

где / = ихх + 2иих.

Лемма 6.2. Векторное поле У = а1 (и,и1,..., иП1)+ а2(и,и1,..., ип2) + ... коммутирует с оператором И если и только если У = 0.

Доказательство вытекает из формулы [И, У] = (Иа 1 +Иа2 +Иа3^ + ...)--а1 -—и-

а __а _ ш и2 из и

2 ди\ 3 ди,2 • • ••

Согласно (6.265) и [И, Иг] = 0 имеем

¡Х1 +иt[D,Хl] + [D,Х2] = 0.

Последнее соотношение распадается на два уравнения [И,Х1] = 0 и [И,Х2] = Х1.

Введем операторы Х3 = [Х1,Х2], Х4 = [Х1 ,Х3], Х5 = [Х2,Х3]. Легко показать, что [= -2и1Х1 и [И^^] = 0. Из утверждения леммы следует, что Х4 = 0. Так как оператор Х3 = 2и1 т-^ + 2и2+ ... ., то

[И,Х5] = (Хз!)Х1 + [Х2,-2щХ1] = (4щи + 2щ)Х1 + 2щХз - 21ХЪ или [И^^ = 2и1Х3.

Докажем, что базис кольца состоит из операторов Х1 ,Х2,Х3,Х5. Видно, что [Х1,Х5] = 0. Рассмотрим Х7 = [Х2,Х^. Непосредственными вычислениями получим, что [И,Х7] = -4и^Х1 + 2и1Х5 + 2!Х3, поэтому Х7 = 2и1Х3 + 2иХ5. Теперь рассмотрим оператор Х8 = [Х3 ,Х5]. Вычислим [И, Х8]:

[И,Х8] = -[Х5, [И,Х3]] + [Х3, [И,Х5]] = 2Х5(щ)Х1 + 2Х3ЫХ3 = 4щХ3.

Сравнивая соотношения [ И,Х8] = 4и1Х3 и [И^^ = 2и1Х3, имеем Х8 = 2Х5. Отсюда следует, что кольцо Ли данного уранения четырехмерно, и элементы Х1, Х2, Х3, Х5 линейно независимы.

Пример 6.2. Уравнение Бюргерса

— ихх I 2иих. Соответствующее уравнение (6.258) имеет вид

ихг = и3 + 2ии2 + 2и2.

Характеристические векторные поля

Х1 = -и,, Х2 = (и3 + 2ии2 + 2и\) ^ + (и4 + 2ии3 + бщщ) £~2 + ... + + (ип+1 + 2иип + ...)-и- + ....

Здесь

Х3 = [ХЪХ2] = 2В - 2и1Х1,

где В = т£ + 42Д- + ... + +

ди 2 ди\ п ди

"П — 1

Из соотношения [В, В] = 0 следует

[В, щХ\ + Х2] = (из + 2ии2 + 2и\)Х1 + щ[В, Х1] + [В, Х2] = 0.

Тогда

[В, Хх] = 0 и [В, Х2] = -

Используя (6.267) и (6.268), получаем

Х4 = [ХиХз] = [Хх, 2В - 2и1Х1] = 0, Х5 = [Х2, Хз] = [Х2, 2В - 2ихХх] = = 2(из + 2ии2 + 2и\)Х1 - 2(из + 2ии2 + 2и\)Хх + 2щХз.

Откуда Х4 = 0, Х5 = 2и1Хз. Таким образом, базис характеристического кольца уравнения Бюргерса состоит из операторов Х1,Х2,Хз.

Пример 6.3. Рассмотрим уравнение Кортевега-де Фриза щ = иххх + иих. Уравнение (6.258) примет вид

ихг = и4 + ии2 + и\.

Для уравнения (6.269) нетрудно показать, что Х4 = [Хх,Хз] = 0, Х5 = [Х2,Хз] = = и1Хз. Следовательно, базис характеристического кольца Ли уравнения Кортевега-де Фриза состоит из операторов Х1,Х2,Хз.

Пример 6.4. Для модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза иг = иххх + и2их уравнение (6.258) имеет вид

ихг = и4 + и2щ + 2ии1.

Операторы Х1, Х2, Хз = [Х1,Х2], Х4 = [Х1,Хз] образуют базис характеристического кольца Ли модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза.

6.2.2. Присоединенные алгебры Ли. Как следует из примеров, приведенных в разделе 6.2.1, характеристическое кольцо Ли определяет зависимость правой части { = /(и, дии,..., дхи) уравнения (6.257) от переменной и. Здесь мы предполагаем ввести определение кольца Ли, которое бы учитывало также зависимость / от производных дх, охи,... , дхи. Для этого перепишем уравнение (6.257) в виде

и} = ¡1

1 2 з п дп,и

полагая и1 = и, и2 = их, из = ихх,...,ип = .

Тогда из (6.270) последовательным дифференцированием по х получаем систему уравнений

и} = /1

£уп-1ип

Щ / (и ,и ,...,и , их, ипх, ... , £хп-1

Таким образом, мы от уравнения (6.257) переходим к эволюционной системе уравнений (6.271) относительно неизвестных функций и1 ,и2,... , ип. Теперь, как и в разделе 6.2.1, для определения характеристического кольца Ли системы (6.271) рассмотрим систему вида

и\л = Р\ Р1 = ВД, г = 1, 2,...,п.

Характеристическое кольцо Ли системы (6.271) задается оператором И:

— дик д д „ ^ д

И

д д ик а, именно, векторными полями

д

ди!к

ЮР

дик

Х1

д и1

Х2

д и2

Хп

+ ...

Х

п+1

+ ИРк д

ди\

ди\

д ип + ....

И, наконец, характеристическое кольцо Ли системы (6.271) мы будем называть присоединенным кольцом Ли эволюционного уравнения (6.257). Так, для уравнения Бюргерса

— ихх I 2иих

имеем их = V, ихх = щ. Тогда системы (6.271) и (6.272) принимают вид

иг = щ + 2иь, Щ = тх + 2ихь + 2иьх, Щ = тхх + 4ихух + 2ихху + 2и ьхх,

и

ихг = Щх + 2и ух + 2иху, хг ^^хх I 2ихх^ I 2ихх I 4их^^ х, хг — Щххх I бихх^х I бихУхх I 2иххх^

соответственно.

6.3. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений

(1иг

—— = $г(х, у,и1,и2,..., ип), г = 1, 2,... ,п.

Для введения понятия характеристического кольца Ли для уравнений (6.273) будем предполагать, что решение и1, и2, . . . , ип зависит от параметра х. Тогда дифференцированием по переменной х уравнений (6.273) получаем систему уравнений

д2иг д¡г ^ д¡г дик дудх дх ^

к=1

д ик д х

Известно (см, например [56]), что гиперболическая система (6.274) обладает парой характеристических колец Ли, а именно х-характеристическое кольцо Ли Х порождается векторными полями

Х1

д

д

д и1 д

Х2

— ...,Хп = А. д и2 п д ип

д

д

Хп+1 = Р-- I — I D2Fг— I...

д д и

д иг

иг

а у-характеристическое кольцо Ли У - полями

У1

д и11

У2

2=

д и21

У

п

д

дигп}

У д г д р д д

п+1 дх 1 диг г ди11 г ди2 ..'

1

где Б (Б) - оператор полного дифференцирования по переменной х(у), игк = Бкиг, . _г

икк = О иг, г=1, 2,...,п, к = 1, 2,....

Теперь х и у - характеристические кольца Ли системы (6.274) будем называть кольцами

Ли системы дифференциальных уравнений (6.273).

Исследование системы (6.273) основано на рассмотрении кольца X.

Отметим, что если &шХ < то, то правые части /г системы (6.273) являются квазипо-

1 2 п

линомами переменных и1 ,и ,... , и .

В качестве примера рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

иу = ¡

Нетрудно показать, что если характеристическое кольцо Ли уравнения (6.275) конечномерно, то правая часть ( , и) - квазиполином по переменной и. Например, размерность кольца Ли уравнения

иу = а0

равна 4, и если и-решение уравнения (6.276), зависящее от параметра х, то выражение Мххх — 3 не зависит от у, то есть

их 2 их °

иххх 3ихх _ их 2 их

Приведем пример уравнения Риккати (6.276) с кольцом Ли размерности 3. Таким примером является уравнение

иу = а1

Для решения уравнения Риккати (6.277), зависящего от параметра х, справедливо соотношение

— 2их = ¡(х). их и

Замечание 6.2. Другой способ определения характеристического кольца Ли системы (6.273) основан на замене вида

и = —, г = 1, 2,... ,п.

дх

Тогда система (6.273) примет вид

д2уг „ ( ду1 дуп\ . „ .

»'дх-'&) <6-278)

д х д д х

Х- и у-характеристические кольца Ли системы гиперболических уравнений (6.278) будем называть кольцами Ли исходной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (6.273).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Адлер В.Э., Старцев С.Я. О дискретных аналогах уравнения Лиувилля // Теоретическая и математическая физика. Т. 121. № 2. 1999. С. 271-284.

2. Адлер В.Э., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости // Теоретическая и математическая физика. Т. 125. № 3. 2000. С. 355-424.

3. Борисов А.Б., Зыков С.А. Одевающая цепочка дискретных симметрий и размножение нелинейных уравнений // ТМФ. Т. 115. № 2. 1998. С. 199-214.

4. Борисов А.Б., Зыков С. А., Павлов М.В. Уравнение Цицейки и размножение нелинейных интегрируемых уравнений // ТМФ. Т. 131. № 1. 2002. С. 126-134.

5. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли Москва: Мир. 1972. 334 с.

6. Гареева Н.В., Жибер А.В. Интегралы второго порядка гиперболических уравнений и эволюционные уравнения // Труды международной конференции "Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений". Орел, ОГУ. 1996. С. 39-42.

7. Гурьева А. М., Жибер А. В. О характеристическом уравнении квазилинейной гиперболической системы уравнений // Вестник УГАТУ. Т. 6. № 2(13). 2005. С. 26-33.

8. Гюрсес М., Жибер А.В., Хабибуллин И.Т. Характеристические кольца Ли дифференциальных уравнений// Уфимск. матем. журн., Т. 4. № 1. 2012. С. 53-62.

9. Желтухина Н.А., Сакиева А.У., Хабибуллин И.Т. Характеристическая алгебра Ли и интегрируемые по Дарбу дискретные цепочки // Уфимск. матем. журн., Т. 2. № 4. 2010. С. 39-51.

10. Жибер А.В. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечной алгеброй симметрий // Изв. РАН. Сер. матем. Т. 58. № 4. 1994. С. 33-54.

11. Жибер А.В. Симметрии и интегралы нелинейных дифференциальных уравнений // Дисс. ... докт. физ.-мат. наук. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1994.

12. Жибер А.В., Костригина О.С. Точно интегрируемые модели волновых процессов // Вестник УГАТУ. Т. 9. № 7(25). 2007. С. 83-89.

13. Жибер А.В., Мукминов Ф.Х. Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры // Задачи математической физики и асимптотики их решений. Уфа: БНЦ УрО АН СССР. 1991. С. 14-32.

14. Жибер А.В., Муртазина Р.Д. Инварианты Лапласа и характеристические алгебры Ли // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 39-й Региональной молодежной конференции. 2008. C. 118-122.

15. Жибер А.В., Муртазина Р.Д. О векторных полях интегрируемых уравнений Клейна-Гордона // Межвузовский научный сборник, УГАТУ. 2004. С. 131-144.

16. Жибер А.В., Муртазина Р.Д. О нелинейных гиперболических уравнениях с характеристической алгеброй медленного роста // Вестник УГАТУ. Т. 7. № 2. 2006. С. 131-136.

17. Жибер А.В., Муртазина Р.Д. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу // Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. Уфа: РИЦ БашГУ. № 1. 2008. C. 84-92.

18. Жибер А.В., Муртазина Р.Д. Характеристические алгебры Ли для уравнения иху = f (и,их) // ФПМ. Гамильтоновы и лагранжевы системы. Алгебры Ли. Т. 12. № 7. 2006. С. 65-78.

19. Жибер А.В., Соколов В.В. Преобразования Лапласа в классификации интегрируемых квазилинейных уравнений // Проблемы механики и управления. Уфа: Уфимский научный центр РАН. № 2. 1995. С. 51-65.

20. Жибер А.В., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // УМН. Т. 56. № 1(337). 2001. С. 63-106.

21. Жибер А.В., Шабат А.Б. Системы уравнений их = p(u,v), vy = q{u,v) обладающие симмет-риями // Доклады АН СССР. Т. 277. № 1. 1984. С. 29-33.

22. Жибер А.В., Шабат А.Б. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой // Доклады АН СССР. Т. 247. № 5. 1979. С. 1103-1107.

23. Забродин А.В. Разностные уравнения Хироты // Теоретическая и математическая физика. Т. 113. № 2. 1997. С. 179-230.

24. Капцов О.В. Методы интегрирования уравнений в частных производных М.: Физматлит. 2009. 184 с.

25. Кац В.Г. Простые непроводимые градуированные алгебры Ли конечного роста // Изв. АН СССР, сер. матем. № 32. 1968. С. 1323-1367.

26. Костригина О.С. Двухкомпонентные гиперболические системы уравнений экспоненциального типа с конечномерной характеристической алгеброй Ли // Уфимск. матем. журн. Т. 1. № 3. 2009. С. 57-64.

27. Костригина О. С. О нелинейных гиперболических системах уравнений с конечномерной характеристической алгеброй Ли Труды теоретической и математической физики. Труды 38-й Региональной молодежной конференции 29 января - 2 феврала 2007. УрО РАН ИММ. Екатеринбург. С. 164-168.

28. Кузнецова М.Н. Симметрии уравнения эллиптического синуса // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике: Том 1 -Математика. Уфа: БашГУ. 2007. С. 170-179.

29. Лезнов А.Н. О полной интегрируемости одной нелинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных в двумерной пространстве // ТМФ. Т. 42. № 3. 1980. С. 343-349.

30. Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б. Группа внутренних симметрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика. Т. 51. № 1. 1982. С. 10-22.

31. Лезнов А.Н., Савельев М.В., Лейтес Д.А. О полной интегрируемости некоторых нелинейных уравнений струнных теорий // Докл. Болгарской АН. Т. 35. № 4. 1982. С. 435-438.

32. А.В. Жибер, В.В. Соколов Метод каскадного интегрирования Лапласа и уравнения, интегрируемые по Дарбу Учебное пособие. Изд-е Башкирск. ун-та. Уфа. 1996. 56 с.

33. Михайлов А.В., Шабат А.Б., Соколов В.В. Симметрийный подход к классификации интегрируемых уравнений // Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. Киев: Наукова думка. 1990. С. 213-279.

34. Михайлов А.В., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // Успехи математических наук. Т. 42. № 4. 1987. С. 3-53.

35. Муртазина Р.Д. Нелинейные гиперболические уравнения и характеристические алгебры Ли // Труды института математики и механики УрО РАН. Т. 13. № 4. 2007. С. 102-117.

36. Муртазина Р.Д. Уравнение иху = f (и,их,иу) c х- и у-интегралами второго порядка // Труды Всероссийской научной конференции с международным участием „Дифференциальные уравнения и их приложения". Уфа: Гилем. 2011. C. 109-112.

37. Муртазина Р.Д. Характеристические алгебры Ли и симметрии уравнения мСГ // Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. Уфа: РИЦ БашГУ. № 1. 2008. C. 156-164.

38. Свинолупов С.И., Соколов В.В. Об эволюционных уравнениях с нетривиальными законами сохранения // Функц. анализ. Т.16. № .4. 1982. С. 86-87.

39. Свинолупов С.И., Соколов В.В. Эволюционные уравнения второго порядка, обладающие сим-метриями // Деп.ВИНИТИ. 1982. C. 3927-82.

40. Свинолупов С.И. Йордановы алгебры и обобщенные уравнения Кортевега-де Фриза // ТМФ. Т.87. № 3. 1991. С. 391-403.

41. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных М.: Ил. 1957. 443 с.

42. Хабибуллин И.Т., Гудкова Е.В. Алгебраический метод классификации S-интегрируемых дискретных моделей // Теоретическая и математическая физика. Т. 167. № 3. 2011. С. 407-419.

43. Хабибуллин И.Т., Пекан А. Характеристическая алгебра Ли и классификация полудискретных моделей // Теоретическая и математическая физика. Т. 151. № 3. 2007. С. 413-423.

44. Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана Препринт БФАН СССР, Уфа. 1981. 23 с.

45. V.E. Adler , A.I. Bobenko and Yu.B. Suris Classification of integrable equations on quad-graphs // The consistency approach, Commun. Math. Phys. V. 233. 2003. P. 513-43.

46. M.Gürses and A. Karasu Variable Coefficient Third Order KdV Type of Equations //J. Math. Phys. V. 36. 1995. 3485.

47. M.Gürses, A. Karasu, and R. Turhan Nonautonomous Svinolupov Jordan KdV Systems //J. Phys. A. V. 34. 2001. P. 5705-5711; arXiv:nlin/0101031v1 [nlin.SI].

48. M.Gürses and A. Karasu Integrable KdV Systems: Recursion Operators of Degree Four // Phys. Lett. A. V. 214. 1996. P. 21-26 (1996); V. 251. 1999. P. 247-249; arXiv:solv-int/9811013v1 (1998).

49. E. Goursat Lecons sur l'integration des equations aux derivees partielles du second ordre a deux variables independantes Paris: Hermann. V. I,II. 1896, 1898. 226 p., 345 p.

50. I.T. Habibullin Characteristic algebras of fully discrete hyperbolic type equations // Symmetry Integrability Geom.: Methods Appl. V. 1. Paper 023. 2005. 9 pages.

51. I.T. Habibullin, E.V. Gudkova, Classification of integrable discrete Klein-Gordon models // Physica Scripta. V. 83. 2011. 045003. (arXiv : nlin/1011.3364).

52. I.T. Habibullin, N. Zheltukhina, A. Pekcan Complete list of Darboux integrable chains of the form tlx = tx + d

53. I.T. Habibullin, N. Zheltukhina, A. Pekcan On the classification of Darboux integrable chains // J. Math. Phys. V. 49. № 10. 2008.

54. I.T. Habibullin, N. Zheltukhina, A. Pekcan On Some Algebraic Properties of Semi-Discrete Hyperbolic Type Equations // Turk. J. Math. V. 32. 2008. P. 1-17.

55. J. Hietarinta and C. Viallet Discrete Painleve I and singulatity confinement in projective space Chaos Solitons Fractals

№ 11. 2000. P. 29-32.

56. O.S. Kostrigina, A.V. Zhiber Darboux-integrable two-component nonlinear hyperbolic system of equations // J. Math. Phys. 52:033503 suppl. (2011) doi:10.1063/1.3559134 (32 pages).

57. A.N. Leznov, M.V. Saveliev Representation of zero curvature for the system of nonlinear partial differential equations xa,.zz = exp(Kx)a and its integrability // Lett. Math. Phys. № 3. 1973. P. 489494.

58. F.W. Nijhoff, H.W. Capel The discrete Korteweg-de Vries equation // Acta.Appl.Math. V. 39. 1995. P. 133-158.

59. Svinolupov S.I. Svinolupov On the analogues of the Burgers Equation Phys. Lett. A. V. 135. № 1. 1989. P. 32-36.

60. E. Vessiot Sur les equations aux derivees partialles du second order, F(x,y,p,q,r,s,t) = 0, inteqrables par la methode de Darboux //J. Math. Pure Appl. V. 18. № 9. 1939. P. 1-61.

61. E. Vessiot Sur les equations aux derivees partialles du second order, F(x,y,p,q,r,s,t) = 0, inteqrables par la methode de Darboux //J. Math. Pure Appl. V. 21. № 9. 1942. P. 1-68.

62. R. Yamilov Symmetries as integrability criteria for differential difference equations //J. Phys. A: Math. Gen. V. 39. 2006. R541-R623.

63. V.E. Zakharov, S.V. Manakov The theory of resonance interaction of wave packets in nonlinear media // Soviet Physics JETP. V. 42. 1975. P. 842.

Анатолий Васильевич Жибер, Институт математики c ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: zhiber@mail.com

Регина Димовна Муртазина,

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. Карла Маркса, 12, 450000, г. Уфа, Россия E-mail: ReginaUFA@yandex.ru

Исмагил Талгатович Хабибуллин, Институт математики c ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: habibullinismagil@gmail.com

Алексей Борисович Шабат,

Институт теоретической физики им. Л.Д.Ландау РАН, ул. Косыгина, 2, 119334, г. Москва, Россия E-mail: shabatab@mail.ru