Классификация плоских полных лоренцевых строго причинных многообразий

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2GG7. № 3. С. 6-9.

УДК 514

Е.А. Мещеряков

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

КЛАССИФИКАЦИЯ ПЛОСКИХ ПОЛНЫХ ЛОРЕНЦЕВЫХ СТРОГО ПРИЧИННЫХ МНОГООБРАЗИЙ

A flat complete causal Lorentzian manifold is called strictly causal if the past and future of each its point are closed near this point. We consider strictly causal manifolds with unipo-tent holonomy groups and assign to a manifold of this type four nonnegative integers (a signature) and a characteristic parabola in the cone positive definite matrices. We introduce the canonical polynomial for a characteristic parabola and find dimension space manifolds of this type.

§ 1. Введение

Любое полное плоское лоренцево многообразие M может быть реализовано как фактор-пространство Мп/Г, где Мп - п-мерное простран -ство-время Минковского, а Г - дискретная подгруппа группы Пуанкаре, действующая свободно и собственно разрывно на Мп. Тогда Г изоморфно Пі(М). Лоренцева метрика определяет в каждом касательном пространстве пару замкнутых выпуклых круглых конусов. Выбор одного из них задает локальное поле конусов. Оно продолжается до глобального поля на М или на двулистной накрывающей М; условимся считать, что поле определено на М. Это равносильно тому, что линейные части отображений из Г не переставляют конусов прошлого и будущего в Мп. Если многообразие М не допускает замкнутых времени-подобных кривых, то оно называется причинным. Для Г это означает, что орбита Гу любой точки V не пересекает конуса с вершиной в V из поля параллельных конусов на Мп, заданного метрикой. Выбор начала координат о из Мп позволяет отождествить Мп с вещественным векторным пространством V, в котором задана лоренцева форма 1 сигнатуры (+,-,...,-); причинная структура задается конусом С (одним из двух конусов, определяемых соотношением 1(у,у)>0). Будем называть М строго причинным, если М причинно, а прошлое и будущее любой точки р из М замкнуты в некоторой окрестности р (это не означает глобальной их замкнутости).

В дальнейшем, если не оговорено противное, мы считаем М плоским, полным и лоренцевым. В работе [1] было получено параметрическое описание строго причинных многообразий (с точностью до конечных накрытий). В статье [2] каждому плоскому полному лоренцеву строго причинному унипотентному многообразию была сопоставлена парабола в конусе Рт положительно определенных квадратичных форм на некотором евклидовом пространстве Т (m=dim Т); там же

Е. А. Мещеряков, 2007

было показано, что многообразие может быть восстановлено по этой параболе, рассматриваемой с точностью до перемещений в конусе (как симметрическом пространстве 0Ь(ш,К)/0(ш)) и аффинных замен параметра.

Любую квадратичную параметризацию этой параболы будем называть характеристическим многочленом многообразия и обозначать Ом(б). В данной работе вводится каноническая запись характеристического многочлена. Для парабол общего положения она единственна с точностью до сопряжения диагональными матрицами с ±1 на диагонали. Это позволяет явно параметризовать пространства модулей таких многообразий и найти их размерности.

§ 2. Предварительные сведения и формулировка результата

Обозначим через V п-мерное вещественное векторное пространство, в котором задана лоренцева метрика 1 сигнатуры (+,-,...,-). Пространство Минковского мп можно рассматривать как векторное пространство V с метрикой 1. В работе [1] приведен способ построения многообразия М, состоящий из трех этапов:

(A) фиксируем изотропные векторы Уо, VI такие, что 1(Уо,У1)=1, определим подпространства Ь, ', N соотношениями

Ь=Куо, '=ЬХ,

и выберем N подпространство Т;

(B) для произвольного 1-симметри-ческого линейного оператора а': Т^Т и каждого его собственного подпространства А] зададим невырожденный линейный оператор а]'': Л]^^ПТх, после чего положим

а''=£аГ, а=а'+а'', и=а''Т;

(C) выберем линейный базис в Т и определим Г как порожденную им подгруппу векторной группы Т.

Вектор V называется изотропным, если 1(у,у)=0. Отображение а определяет аффинное действие Т и Г (как подмножества Т) на Мп:

Yx(v)=ЛxV+Tx, х из Т;

АхУ=у+1(у,Уо)ах-(1(у,ах)+^1(у,Уо)1(ах,ах))Уо;

Тх=х- ^1(ах,х)Уо.

Положим,

п=Шш М, ш=^ш Т, г=^ш и,

к=Шш(кег а) и, следуя [2], будем называть набор о=(п, ш, г, к) сигнатурой М. Очевидно, эти числа удовлетворяют неравенствам

ш+г+2<п, г+к<ш.

В работе будут использоваться следующие результаты из [2], сформулированные в удобном для нас виде.

Теорема 1

(1) Пусть М1 и М2 - плоские полные строго причинные лоренцевы многообразия. Они причинно изометричны тогда и только тогда, когда их сигнатуры совпадают и

ОМ1

для некоторых X из ОЬ(ш, 2), а>0, в из К. Замена включения X из ОЬ(ш, 2) на X из ОЬ(ш, К) дает критерий почти причинной изометричности М1 и М2.

(и) Полином 0(б)=А+2бВ+б2С, где А, В, С - симметрические ш-матрицы, определяет характеристическую кривую для некоторого строго причинного многообразия М сигнатуры (п, ш, г, О) тогда и только

тогда, когда п> ш+г+2,

0

С-ВА-!В>О,

г=гапк

(ш) Любое многообразие сигнатуры (п, ш, г, к) почти причинно изометрично произведению многообразия сигнатуры (п-к, ш-к, г, О) и плоского к-тора. Равенство к=О равносильно невырожденности С.

(1у) Пусть полиномы Ом1(б)= А:+2бВ:+ +б2С1, Ом2(8)=А2+2бВ2+б2С2 являются характеристическими для почти причинно изометричных многообразий М1 и М2. Допустим, что С:>О, С2>О. Тогда

зр

для некоторого ф из МДК).

Здесь через АЙЩ) обозначена группа аффинных преобразований прямой, сохраняющих её ориентацию.

Замечание 1. Пусть многочлен О(б) задает характеристическую кривую некоторого строго причинного многообразия М1. Тогда при любых X из ОЬ(ш, К), а>О, в из К многочлен XQ(аs+в)Xт задает характеристическую кривую некоторого многообразия М2. Для доказательства достаточно заметить, что эти преобразования сохраняют условия (3), (4) и (5). Отметим также, что сигнатура тоже сохраняется.

Согласно пункту (ш) теоремы 1, можно считать, что многообразие имеет сигнатуру (п, ш, г, о) и С>о (тем самым исключается эллиптический случай). В дальнейшем это предполагается по умолчанию.

Будем обозначать через 61аё(^,...^р) диагональную р-матрицу с элементами

в

Е. А. Мещеряков

d^...^ по диагонали, через I - единичную матрицу.

На множестве парабол в конусе Pm положительно определенных матриц, рассматриваемых с точностью до преобразований (2) с X из GL(m, R), имеется естественная топология, которую можно определить, например, так. Стандартная евклидова метрика p в пространстве матриц однозначно определяет вершину параболы - это точка, в которой касательная перпендикулярна оси. Это свойство не зависит от параметризации. Переместим параболу так, чтобы вершина попала в единичную матрицу I. Пусть B - замкнутый шар достаточно малого радиуса относительно p с центром в I. Расстояние по Хаусдорфу на множестве P пересечений парабол с вершинами в I с шаром B задает метрику на P. Очевидно, она инвариантна относительно стационарной группы K=SO(m) точки I, которая естественным образом действует на P. Поскольку K компактна, метрика Хаусдорфа на семействе K-орбит в P определяет метрику на пространстве модулей рассматриваемого класса многообразий фиксированной сигнатуры o. Обозначим последнее через Mo и будем рассматривать его как топологическое пространство (с топологией, отвечающей метрике). Очевидно, замыкание множества невырожденных парабол содержит семейство лучей (но не точек, которые соответствуют эллиптическим многообразиям), а семейство многообразий с простым спектром плотно в Mo.

Следующая теорема является основным результатом данной работы.

Теорема 2

Пусть o=(n, m, r, 0), n=m+r+2, r>0, матрица B имеет вид diag(bl,...,bm), где 0=b1<. <bm=1 (если m=1, то b1=0), а F неотрицательна, не вырождена на любом собственном подпространстве B и rank F=r. Каждой такой паре (F, B) соответствует единственное (с точностью до почти причинной изометричности) многообразие M сигнатуры o, имеющее характеристический многочлен

Qm

На плотном открытом подмножестве множества пар таких матриц одному и тому же многообразию отвечает лишь конечное число (не более 2n) многочленов вида (7). В частности,

dimMo=mr-^ r

Следствие 1. Размерность пространства модулей многообразий Мп для о=(п,т,г,к), рассматриваемых с точностью до причинной изометричности, равна (т-к)г-У2 г(г-1)+т-к-2.

§ 3. Обоснование

Предложение 1. Существует матрица X и единственное аффинное преобразование а из АНЩ) такие, что

дм(з)=ХдМ(а(з))Хт=С'з2+2В'з+1, где B'=diag(0,..., 0, Ьі,...,Ьк) и Ьі<...<Ьк=1.

Доказательство. Так как при замене Б^а(Б) со спектром ВС-1 также происходит аффинное преобразование, то существует единственный сдвиг параметра б=з-бо такой, что спектр ВС-1 примет вид 0,а2,...,ат, где 0< а2<...< ат. Поэтому можно считать, что спектр матрицы ВС-1 неотрицателен. Пусть А1/2 - симметрическая положительно определенная матрица такая, что (А1/2)2=А. Так как А1/2ВА1/2 -симметрическая, то существует ортогональная матрица Н такая, что Н-

1А1/2ВА1/2Н диагональна. Тогда

0м(8)=(А1/2Н)(б2С'+2бВ'+1)(А1/2Н)т, где В' - диагональная матрица. Заметим, что В'С'-1=(Н-1А1/2)ВС-1(Н-1А1/2)-1.

Таким образом, из неотрицательности спектра ВС-1 следует неотрицательность спектра В'С'-1. Так как С'>0 (С>0), то последнее влечет В'>0. Применяя (однозначно определенную) замену переменной при подходящем 1>0, получаем необходимый вид В'.

Характеристический многочлен будем называть каноническим, если он имеет вид

дМ

где B=diag(0,b2,.,bm), 0<Ъ2<...<Ът=1 и С>0.

Замечание 2. Вообще говоря, канонический многочлен не единствен. В самом деле, матрица X определяется с точностью до сопряжения матрицей, ортогональной на каждом собственном подпространстве В. В частности, если спектр В прост, то X, а поэтому и канонический многочлен, определяются однозначно с точностью до сопряжения матрицами вида diag(±1,...,±1).

В дальнейшем, если не оговорено противное, характеристический многочлен предполагается записанным в каноническом виде; в силу предложения 1, это возможно для любого многообразия рассматриваемого вида.

в

Обозначим F=C-B2. Тогда многочлен QM и условия (4), (б) примут следующий вид:

F>0,

rank F=r.

Пусть Т=£Лі, где Лj - собственные подпространства в T, отвечающие различным собственным значениям Aj матрицы B; F определена с точностью до сопряжения матрицей, ортогональной на каждом подпространстве Лj.

Лемма І. Пусть Qm(s)=I+2Bs+(F+B2)s2 характеристический многочлен многообразия M. Тогда F невырождена на любом собственном подпространстве Лj, отвечающем собственному числу Aj матрицы B.

Доказательство. Вырожденность F на ЛJ равносильна вырожденности a'' на этом пространстве, что, в силу основной конструкции, возможно только в том случае, когда Лj - ядро a'. Положительная определенность F на ядре a' (оно же ядро B) обеспечивается неравенством F+B2=C>0.

Лемма 2. Пусть Q(s) - многочлен вида (9). Условия

(a) F=C-B2>0,

(b) F невырождена на любом Лj, j=i,...,p

равносильны тому, что Q(s)>0 для каждого s из R.

Доказательство. Поскольку Q(s)=Cs2+ +2sB+I=(I+sB)2+s2F, то (I+sB)2>0 при s, не принадлежащих sp(-B), а так как I+AjB=0 на Лj, то строгая положительность Q(s) на ЛJ равносильна тому, что F>0 на ЛJ для всех j=l,...,p.

В качестве следствия получаем следующее утверждение.

Следствие 2. Пусть M - многообразие сигнатуры (m, n, r, 0), Qm(s) - его канонический характеристический многочлен. Тогда r>dim(ker(B)).

Доказательство. Это следует из (11) и невырожденности F на ядре B.

Лемма З. Размерность пространства Pm,r неотрицательных m-матриц ранга r равна mr-% r(r-l)}.

Доказательство. Любая такая матрица G сопряжена с матрицей P вида diag (0,...,0,Аі,...,Ак) (причем для матриц общего положения можно считать, что все числа Аі,...,Ак различны и не равны нулю): G=UPU-1, где U из O(n). При этом G=P тогда и только тогда, когда U блочно-диагональна, причем правая нижняя

часть диагональна. Поэтому dim P=dimO(m-r), а размерность 0(т)-орбиты общего положения в Pm,r равна %m(m-1)--%(m-r)(m-r-1), откуда dim Pmr=mr-^r(r-1).

Доказательство теоремы 2. Пусть (F,B) - пара матриц, удовлетворяющих условию теоремы. Тогда многочлен Qb,f(s)= =I+2Bs+(B2+F)s2 удовлетворяет условиям (3)-(5) (условия (10) и (11) эквивалентны (4) и (5), а выполнение (3) следует из леммы 2). Согласно теореме 1, (ii), Qb,f является характеристическим для некоторого многообразия MF,B, причем любое другое многообразие M с тем же каноническим многочленом почти причинно изометрично Mf,B.

Если спектр B прост, то канонический многочлен многообразия Mf,b определяется однозначно с точностью до сопряжения ортогональными диагональными матрицами, т. е. матрицами вида diag(±1,...,±1) (см. замечание 2). Учитывая лемму 3 и то, что B определяется m-2 параметрами (ввиду условий 0=bi^...^bm=1), получаем последнюю формулу теоремы.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Gichev V.M., Morozov O.S: On flat complete

causal Lorentzian manifolds // Geometriae Dedi-cata 116 (2005). Р. 37-59.

[2] Гичев В.М., Мещеряков Е.А. О геометрии плоских полных лоренцевых строго причинных многообразий // Сиб. матем. журнал. Т. 48. № 1 (2007). С. 75-88.