Аппроксимация целевых функций для оптимизации параметров хладоносителя

УДК 621.564.3.

Аппроксимация целевых функций для

оптимизации параметров хладоносителя

Канд. хим. наук В.В. КИРИЛЛОВ Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий, канд. физ.-мат. наук В. В. ЧАШНИКОВА Санкт-Петербургский государственный университет

Using the least-square-method an approximation of viscosity and freezing temperature of water-propylene glycol coolant, containing NaCI, from its composition has been carried out. A possibility of selection of optimum parameters for electrolyte water-propylene glycol coolant is shown.

Ранее нами был предложен подход к выбору хладоно-сителей (ХН), основанный на учете закономерностей физической химии растворов. Было показано, что невысокую вязкость при низких температурах могут обеспечить водно-пропиленгликолевые (ВПГ) растворы, содержащие электролит. В частности, в интервале температур

— 15...—25 "С вязкость таких ХН в зависимости от природы электролита, его концентрации и массовой доли пропилен гликоля (ПГ) составляет 6... 18 мПас |2, 5, 6|.

Поскольку всесторонний учет влияния этих факторов в широком диапазоне температур трудно поддается физическому описанию, был осуществлен математико-статистический подход к исследованию водно-пропилен-гликолевого хладоносителя, содержащего йодид калия в качестве электролита |3|.

Цель настоящей работы — оптимизация вязкости и температуры замерзания электролитного водно-пропиленового хладоносителя на основе хлорида натрия.

Экспериментальным путем получены значения температур замерзания растворов

Температуру замерзания / можно представить в виде функции двух переменных: х, (массовая доля ПГ) и х, (концентрация NaCI).

Таблица I

Зависимость температуры замерзания растворов от концентрации NaCI и массовой доли пропиленгликоля

Концентрация NaCI С, моль/кг Температура замерзания, °С, при массовой доле пропиленгликоля,%

-11,7 -17.4 -20.9 -26 -30

1,6 -12,1 -15,3 -17,2 -21,7 27

2,4 -16,4 -21,1 -22,9 -24,9 -30,8

3 -19,8 -23 -25.4 -27,2 -32,3

3,6 -23,1 -25,7 -28,2 -29,8 -34

Эта функция аппроксимируется полиномом 2-й степени (6 неизвестных коэффициентов) по 20 табличным значениям методом наименьших квадратов:

Г.= а.х. + я,х. + я,х..х,.+ а.х,2 + а.х.2 + я,,

31 II/ 2 2/ 3 I/ 2/ 4 1/ 5 2/ (>’

где / = 1...20 для каждой пары значений хр л\.

Искомый вектор коэффициентов а — (я я )г получается по формуле я= В-У,

где У = (у1,...,у20)г — измеренные значения температуры замерзания.

Элементы /'-й строки матрицы В рассчитываются для соответствующей пары х,, х2 по формулам:

6„ = х„; Ьа = х,Ьв = хих2- Ьм = х,.2; Лд = х2.2; ЬЛ= 1, /= 1 ,...,20.

Псевдообратная матрица В' размером (6x20) вычисляется следующим образом:

В* = (В'В)-' В’.

В случае вырожденности матрицы В'В псевдообрат-ная матрица вычисляется при помощи сингулярных чисел матрицы В 141.

Значения коэффициентов я,,..., я( вычислены с использованием пакета МАТГАВ. В итоге получен апирок-

С,

Рис. I. Зависимость температуры замерзания раствора от массовой доли ПГ и концентрации МаС1

Таблица 2 Зависимость вязкости растворов от концентрации NaCI и массовой доли пропиленгликоля при температуре —15 “С

Концентрация NaCI С, моль/кг Вязкость г), мПа-с, при массовой доле пропиленгли кол я, %

11,7 17,4 20.9 26 30

1,6 - 4,57 6,2 10,6 11,7

2,4 4,62 6,23 7,88 11.3 13,7

3 4,8 6,65 7,92 13.9 15.4

3,6 5,19 7,11 8,45 15.5 16,9

с и м и ру ющ и й п ол и н о м

I = 0,35х. + 10,18л:, - 0,1 15х,х,+ 0,015л:,2 - 0,588л:,2-

'I I ’ 2 ’ 12’ 1 7 2

- 7,078.

Для этого полинома на рис. 1 представлен график линий уровня температуры замерзания (в °С ниже нуля).

Вя зкость раствора является функцией трех аргументов: г|(х,, х,, л:,), где х, — температура раствора. Экспериментально получены значения вязкости растворов (мПа-с) при температуре —15 °С от аргументов х,,х2 (табл. 2).

Аппроксимируя эту функцию полиномом 2-й степени, г I ол у ч ае м зависи м ость

Л = —0,48л:, - 0,44л-, + 0.117х,х, + 0,018х,2 -0,079х,2 +5,7.

В табл. 3 представлены значения вязкости растворов (мПа с) при температуре —10 °С.

Соответственно аппроксимируем функцию вязкости при температуре —10 °С:

II = -0,1 98л:, - 0,287х, + 0,068х,х, - 0,01х,2 - 0,01 Зх,2 +

+ 3,576.

На рис. 2, 3 представлены соответствующие графики зависимости вязкости от двух переменных.

Полученные графики дают общую картину поведения

Таблица 3 Зависимость вязкости растворов от концентрации Nad и массовой доли пропиленгликоля при температуре —10 °С

Концентрация NaCI С, моль/кг Вязкость Г), мПа-с, при массовой доле пропиленгликоля,%

и,7 17,4 20,9 26 30

1.6 3,48 4.17 5,44 7,84 9,22

2,4 3,8 5,25 6,28 9,26 10.4

3 4,12 5.41 6,54 10,1 11,3

3.6 4,44 5,88 7,19 11,4 12,3

С, моль / кг

Рис. 2. Зависимость вязкости раствора от массовой доли ПГ и концентрации NaCI при температуре -15 "С

С, моль /кг

Рис. 3. Зависимость вязкости раствора от массовой доли ПГ и концентрации NaCI при температуре —10 "С

функций tt и 11 на всем множестве измеренных значений аргументов.

Желательно получить низкую температуру замерзания при небольшом значении вязкости. Эти характеристики находятся в обратной зависимости, поэтому будем искать компромиссный вариант, выбрав определенную линию температуры замерзания и двигаясь по ней до пересечения с минимальным уровнем вязкости. Совмещая графики, можно убедиться, что оптимальное сочетание значений аргументов находится в верхней левой части, т.е. при достаточно низкой концентрации ПГ и достаточно высокой концентрации NaCI. Теперь, аппроксимируя t и ц только по последним трем строкам и первым трем столбцам таблицы, мы получим более точное приближение искомых функций в этих областях (концентрация NaCI 2,4...3,6 моль/кг, массовая доля ПГ 11,7...20,9 %): t = 0,97х, + 4,238х, - 0,144х,х, + 0,0026л-,2 + 0,46х,2 -

- 3,87;

П(при -15 °С) = 0,01 Зх, - 1,567л:, + 0,0044х,х,+

+ 0,0099х,2+0,34х22+4,72;

г)(при —10 "С) = -0,093х, - 1,705л-, + 0,0219х,х, +

+ 0,00935л:,2 + 0,324л/ + 5,28.

Эта аппроксимация даст сильно искаженную картину поведения искомых функций вне выбранного прямоугольника, зато внутри интересующей нас области получается значительно более точное приближение. Ввиду монотонности поведения функции г) при движении по линии уровня функции г| можно сделать вывод, что оптимальное сочетание параметров х, и х2 достигается на границе области. Используя результаты аппроксимации, это сочетание можно получить аналитически, задав конкретную температуру замерзания I и х2 = х2тлу = с.

Тогда получаем уравнение для jc,:

а,х, + а,с + а,сх, + а4х,2 + а.с2 + а6 = /, которое приводится к стандартному квадратному уравнению:

а4х,2 + (а, + а,е)х, + (а2с + а5с2 + а6 — /) = 0.

Его решение дает оптимальную пару параметров х,,с. Пусть, например, при условии температуры замерзания не выше -27 "С требуется определить такую пару аргументов х, и х,, которая обеспечивает минимальную вязкость раствора при температуре —15 “С. Так как «изотерма» —27 "С пересекает верхнюю границу указанной выше области, концентрация NaCI х2 = с = 3,6 моль/кг. Подставляя это значение в квадратное уравнение, имеем

0,0026л-,2 + 0,4516х, - 9,6516 = 0.

Это уравнение имеет 2 решения: х,, — 19,23 ;х„= -192,9.

Второе решение не входит в допустимую область, а первое хорошо ей соответствует.

Итак, оптимальной парой при /,= —27 °С и при

1 = —15 °С будет концентрация ПГ 19,23 % и концентрация NaCI 3,6 моль/кг.

В данном примере методика дала быстрый и надежный результат, однако мы существенным образом использовали монотонность функций, а это условие в общем случае не всегда выполняется. Кроме того, в процессе оптимизации требуется вмешательство, чтобы изучить графики линий уровня и выбрать одну из четырех границ. Наиболее универсальным в данной ситуации представляется метод множителей Лагранжа 11 ].

Необходимым условием минимума функции fix) при ограниченияхg.(x) < 0, i= является dL/Эх = 0,у =

= 1,...,«, где L — функция Лагранжа:

L =fix) + I , X g(x), X >0.

Необходимое условие минимума выглядит следующим образом:

V/+X , A..Vg = 0,

где V/ Уg. — векторы градиентов соответствующих функций, причем X. = 0, если ограничение пассивно (т. е. имеет место строгое неравенство) и X. > 0, если ограничение активно (т.е. имеет место равенство). При решении задач, подобных рассмотренной, имеет смысл отдельно проверить вариант, когда мы движемся по линии уровня без ограничений, и если необходимые условия минимума не выполняются внутри допустимой области, то искать оптимальную точку на одной из четырех границ, как было описано выше.

Необходимое условие оптимальности - система двух линейных уравнений:

2(Ха4+Ь4)х+Ха}+Ь,)х= -(Ха,+/>,);

(Ха, +Ьъ )х,+2( Ха5+Ьь)х= -(Ха2+Ь,).

Если 4(Ха4+/>4)(Ха5+Л5)— (Ха3+й,)2^0, то система совместна и имеет решение х,(Х),х,(Х).

Далее проверяем его на принадлежность допустимой области. Если при любом вещественном X решение не принадлежит допустимой области, то нужно проверить ее границы указанным выше способом.

Выводы.

У Впервые для задачи оптимизации свойств электролитного хладоносителя, содержащего хлорид натрия, использован метод наименьших квадратов для многочлена

II степени от нескольких переменных.

УС помощью линий уровней вязкости и температуры замерзания изыскана возможность выбора хладоносите-лей с низкой температурой замерзания и невысокой вязкостью.

Список литературы

1. Аоки М. Введение в методы оптимизации. -М., 1977.

2. Бараненко А.В., Кириллов В.В. Разработка хладоноси-телей на основе электролитных водно-пропиленглико-левых растворов // Холодильная техника. 2007. № 3.

3.Бараненко А.В., Кириллов В.В., Бочкарев И.Н. Оптимизация свойств хладоносителей с помощью метода планирования эксперимента //Вестник Международной академии холода. 2007. № 4.

4. Воеводин В.В. Линейная алгебра. — М., 1974.

5. Кирилюв В.В. Теплофизические свойства и коррозионная активность хладоносителей на основе электролитсодержащих водно-пропиленгликолевых растворов // Холодильная техника. 2006. № 12.

6. Кириллов В.В.. Польский Ю.В. Влияние сольватации на относительную вязкость растворов галогенидов щелочных металлов и аммония в водно-пропиленгликоле-вом растворителе // Известия СПбГУНиПТ.2006 № 1.