Описание математической и компьютерной модели переноса загрязняющего вещества и распространения примесей по разрезу в слое естественного сорбента

УДК 004.94

ОПИСАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ МОДЕЛИ ПЕРЕНОСА ЗАГРЯЗНЯЮЩЕГО ВЕЩЕСТВА И РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПРИМЕСЕЙ ПО РАЗРЕЗУ В СЛОЕ ЕСТЕСТВЕННОГО СОРБЕНТА

Н.А. Антоненко, Л.Э. Шейнкман

Проведено сравнение результатов численной реализации математической модели массопереноса, с результатами натурных и вычислительных исследований. Рассмотрены условия накопления загрязняющих частиц в массиве почвы, что подтверждает наличие процесса пространственного распределения примеси в массиве почвы. Получена аналитическая зависимость вертикальной миграции загрязняющих веществ в почвенном горизонте.

Ключевые слова: математическое моделирование, слой естественного сорбента, загрязняющие вещества, открытые горные работы, конвективно - диффузионный перенос вещества.

Перенос загрязняющих веществ в природных дисперсных средах является сложной и малоизученной проблемой, хотя имеет ряд актуальных вопросов, связанных с вопросами защиты окружающей среды и с использованием природных ресурсов, особенно при открытых горных работах. Особую остроту приобретают проблемы, связанные с экологическими последствиями, обусловленными воздействием породных отвалов открытых горных работ, и методы повышения рекультивации нарушенных земель. Это направление исследований актуально, поскольку оценка потенциала породной массы показывает, что горные отвалы являются источниками различных выбросов, которые впитываются почвами и разрушают их плодородие, нарушая равновесие окружающей среды и биологическое разнообразие [1]. Наиболее остро стоят проблемы, связанные с воздействием мелкодисперсной известняковой пыли (размером частиц менее 10 мкм), образующейся при открытых горных работах. Мелкодисперсная известняковая пыль является одним из основных антропогенных факторов, влияющих на плодородие почв околокарьерного пространства и нарушающих биологическое разнообразие растительных сообществ.

Актуальность выбранной темы обусловлена тем, что количество земель, нарушенных горными работами, постоянно увеличивается, в том числе и для Тульской области, где по-прежнему значительная часть полезных ископаемых добывается открытым способом, по данным за период с 2008 по 2012 гг. [2]. количество нарушенных карьерами пространств увеличилось на 1,5...2 %. Поскольку проблема многосторонняя, её изучению посвящено достаточно большое количество исследований.

Как правило, оценка этого влияния сводится к расчету распространения загрязняющего вещества от заданного объектаи анализу возможности попадания токсичных веществ в грунтовые водыв концентрациях, превышающих допустимые.

Кроме того, исследование в природных дисперсных средах количественных закономерностей переноса влаги и растворенных в ней веществ широко востребовано при решении следующих прикладных задач: оценка рисказагрязнения грунтовых вод мелкодисперсными пылевыми частицами; анализ попадания загрязняющих веществ в водные системы за счет поверхностного стока; анализ закономерностей формирования водно-солевого режимаорошаемых почв; прогноз экологических последствий мероприятий по регулированию процессов переноса водорастворимых веществ в почве.

Выше было отмечено, что на перенос и сорбцию загрязняющих веществ в природных дисперсных средах существенное влияние оказывает-динамика распределения этого вещества в среде. На процесс переноса загрязняющих веществ в природных дисперсных средах оказываютвлияние следующие процессы: фильтрация атмосферных осадков, термоперенос влаги под действием градиента температуры, подток влаги к поверхности в результате испарения, изменение влагосодержания среды и др.

Сделанные выводы подтверждаются результатами исследования физико-химических механизмов миграции загрязняющих веществ и радионуклидов в почве, полученнымив работе В.М. Прохорова [3]. Действительно, В.М. Прохоров проводил эксперименты по определению эффективных коэффициентов диффузии радионуклидов при различных влажно-стных и температурных условиях.

Для выявления функциональных соотношений, заключающихся в определении количественных и качественных зависимостей между распространением примесей по почвенному разрезу и соотношением биологических видов растительности околокарьерных территорий составлена математическую модель распространения примеси по разрезу. В основе модели лежит конвективно-диффузионный перенос вещества [4].

При решении комплексных задач математического описания режима почв с учетом влагопереноса, теплообмена и др. факторов в поверхностном слое почвы существуют модели, в которых эти задачи рассматриваются. Приведем пример модели Д.А.Куртенера и Г.А.Трубачевой [5].

Эта модель описывает процесс формирования и распространения примеси по разрезу с учетом почвенных условий, характеристик растительного покрова и метеорологических факторов. Данная модель состоит из блоков моделирования погодных условий, приземного слоя воздух, растительного покрова, структуры и свойств почвенного массива, теплообмена в почве, техногенных воздействий и влагообмена в почве.

Математическое описание движения загрязняющих веществ в насыщенных почвах основано на законе Дарси (1856 г.) [6]. Этот закон утверждает, что поток вещества, проходящий через единицу площади поперечного сечения почвы в единицу времени, пропорционален градиенту по-

299

тенциала. Для насыщенной зоны коэффициентом пропорциональности является коэффициент фильтрации, для ненасыщенной- коэффициент влаго-проводности. Обобщенный закон Дарси можно представить следующим образом:

д = - К (к) ,

где д -поток почвенной влаги, см/сут; К - коэффициент влагопроводности (гидравлическая проводимость), см/сут; к - давление почвенной влаги, см водного столба^ - вертикальная координата, направленная вверх, см.

В насыщенных почвах величина гидравлической проводимости постоянна до тех пор, пока структура почвы стабильна. Коэффициент фильтрации существенно зависит от гранулометрического состава почвы: он максимален в грубообломочных почвах и минимален в глинистых. Величина коэффициента фильтрации зависит от количества пор в почве их размера и формы.

Движение мелкодисперсных частиц пыли в ненасыщенных почвах также подчиняется закону Дарси [7]. Причем гидравлическая проводимость почвы не постоянна и является функцией объемного содержания влаги в почве:

к = к(м),

где - объемное содержание влаги в почве;

Второй фундаментальный физический закон, необходимый для моделирования движения мелкодисперсной известняковой пыли в почве, закон сохранения вещества. Так как в любом элементарном объеме вещество не возникает ниоткуда и не пропадает никуда, для этого объема верно уравнение неразрывности

Э 0 _ Э д

Э t Э2

- 5 (к),

3 3

где в - объемная влажность почвы, доли или см /см ; t - время, сут.; 5(к) -норма извлечения влаги корнями растений, см3/см3. сут.

Раннее это уравнение применялось для моделирования движения воды в почвенном разрез: с учётом уравнениянеразрывности изменение влажности элементарного слоя почвы есть результат изменения потока воды через этот слой и отбора из него влаги корнями растений. Чем сильнее уменьшается поток при проходе через слой, тем больше воды в нем остается, и наоборот. С другой стороны, чем больше воды отбирают корни растений, тем меньше ее остается. При этом способность корней потреблять воду зависит от влажности почвы и, значит, от давления почвенной влаги [9]. Следовательно, существует функциональная зависимость между влажностью почвы и водным потенциалом.

Но рассмотренные математические модели не учитывает конвективно-диффузионный перенос вещества [10]. Также эти методы позволяют оценить обеспеченность запасов подземных вод, но не дают возможности спрогнозировать изменения, происходящие в почвенном разрезе.

А предлагаемая в работе модель учитывает это. В результате реализации модели получено уравнение переноса загрязняющего вещества по разрезу почвы, сопровождающееся химическими превращениями и сорбцией. В данной модели учитывается преобразование веществ и условия накопления известняковой пыли в массиве почвы, а также подтверждается наличие процесса пространственного распределения частиц в массиве почвы.

Данная математическая модель подтверждает наличие процесса пространственного распределения частиц известняка в массиве почвы. Она позволит ставить задачи определения условий накопления в почве загрязняющих веществ под действием целого ряда факторов, таких как интенсивность увлажнения грунта, поток солнечной энергии и выявлять зоны максимального накопления загрязняющих веществ в почве и выполнять региональные прогноз. В данной модели учитывается преобразование веществ. В результате реализации модели получено уравнение переноса вещества, сопровождающееся химическими превращениями и сорбцией.

В результате биохимических процессов, протекающих при горных работах, образуются мелкодисперсные частицы, оседающие на почву и растительность.

Вертикальная миграция загрязняющих веществ сопровождается различными процессами, которые приводят к изменению концентрации загрязняющих веществ и влияют на скорость фильтрации.

Миграционный поток представляет собой объем примеси, проходящей через единичную площадь в единицу времени:

М

j =—, (1) миг St

где jMus - миграционный поток; Мп - масса примеси, прошедшей через

поверхность с площадью S за период времени t.

Из анализа размерностей следует, что миграционный поток имеет размерность массовой скорости

J миг = ]фильт + Jдuф,

где 1филът - фильтрационный поток ( ]фильт = 1конв, где J кон- конвективный поток); Jдиф - диффузионный поток.

Конвективный поток определяется следующим образом:

1конв = UC,

где U - скорость фильтрации; C - концентрация мигрирующего компонента в фильтрате.

Уравнение (3) в проекциях на оси координат

jKx = UC, jKy = VC, jKZ = JVC,

где UV,Ж - составляющие вектора скорости фильтрации по координатным осям х, у и ъ соответственно.

Скорость фильтрации будем задавать постоянной и обусловленной перепадом давления на определенной глубине [7].

Диффузионный поток складывается из потоков, обусловленных молекулярной диффузией ]мол, кнудсеновской диффузией ]кнуд (диффузия

примеси, где среднепоперечный размер поры или трещины соизмерим с длиной свободного пробега молекул) и фольмеровской диффузией ]фолъл

(перемещение молекул, адсорбированных твердой поверхностью вдоль этой поверхности):

Здиф = ] мол + )кнуд + ]фолъм.

На практике разделить три вида диффузии в макрообъектах чрезвычайно сложно, поэтому переходят к некоему эквивалентному объекту, диффузионное сопротивление которого складывается из коэффициентов диффузии перечисленных видов.

Диффузионный поток определяется по закону Фика:

1диф = -Вэ gradC

гдеД - эквивалентный (эффективный) коэффициент диффузии; gradC -градиент концентрации примеси. Градиент скалярной величины (в данном случае концентрации примеси) представляет собой вектор, направленный в сторону наибыстрейшего возрастания поля скалярной величины.

Знак минус в правой части уравнения (7) показывает, что примесь распространяется в сторону уменьшения ее концентрации.

Уравнение (6), записанное в проекциях на оси координат, имеет следующий вид,

^ Э с ^ Э c ^ Э с

JдифX = - В э ЭХ' ЗдифУ = - В э Эу' 1диф1 = - В э •

Молекулярная, кнудсеновская и фольмеровская диффузии также подчиняются закону Фика, следовательно:

= Вмол+Вкнуд+ Вфолъм.

Уравнение диффузии примеси в фильтрате отражает закон сохранения массы. Для получения уравнения диффузии примеси рассмотрим объем фильтрата V, ограниченный поверхностью 5 , в котором действует источник с интенсивностью I = 1(х, у, 2, ^. За счет диффузии примесь будет удаляться из объема V, проходя через поверхность 5. Выделим на этой поверхности участок dS настолько малый, что его кривизной можно пренебречь. Тогда масса примеси, проходящей через этот участок в единицу времени, будет равна JмигdS.

Количество примеси, прошедшей в единицу времени через всю поверхность Б,

Л 1миг Я .

£

Поэтому изменение массы примеси за единицу времени в произвольно выделенном объеме dV достаточно малой величины будет

Э С

Э*

+ I

dV ,

где

ЭС Э*

- скорость изменения массы примеси в единичном объеме

фильтрата за счет диффузионного переноса (знак минус показывает, что масса примеси убывает).

Изменение массы примеси в объеме V в единицу времени

' ЭС

+1

Ш

V ^

Э*

dV.

По закону сохранения массы количество примеси, ушедшей через поверхность Б, равно изменению количества примеси в объеме, т.е. величины (9) и (11) равны между собой:

ЭС

Э*

+1

dV.

где

Я 1 миг dS _ ДО £ V V

По формуле Остроградского - Гаусса

Я 1миг ^ _ Ш ^ 0миг ^ £ V

^ - А - А -

миг _ л 1 мигХ + л 1 мигУ + л 1 миг2 Эх Эу ЭI

Тогда можно записать, что

ш(-ЭС

V V

Э*

+ ЯУмиг -1

dV _ 0.

Но интеграл (14) может быть равен нулю только в том случае, если подынтегральная функция равна нулю, т.е.

ЭС

Э *

+ 1

миг

I _ 0.

Уравнение (15) представляет собой уравнение неразрывности потока примеси. Оно выражает в математическом виде закон сохранения массы диффундирующей примеси [7].

Если выразить миграционный поток 1 миг через его составляющие, которые определяются по формулам (4), (7) и подставить их в уравнение (15), то получим

Э* Эх Эу Э1

/Э2с Э2С Э2СЛ

+

+

Эх2 ЭуА

Э12

+1.

Уравнение (16) является основным уравнением диффузии примеси в пространстве.

Проведенные исследования процессов сорбции и обработка их результатов явились основанием для вывода о том, что помимо процесса сорбции, идут другие процессы, например химические превращения (т.к. это биологическая жидкость, микроорганизмы и грибы свою деятельность не прекращают, следовательно, продолжаются химические процессы). Обобщение результатов исследования в виде математической модели привело к необходимости введения в уравнение конвективно-диффузионного переноса дополнительной компоненты - скорости химической реакции

Э С Д С Д 2 С

Э t + и "Э7 = В +и хим сорб ,

где ихим=—1С - скорость химических превращений (распада);

Ъсорб=к(Сравн-С) - скорость сорбции.

Равновесные значения концентрации предполагаем убывающими с

глубиной по экспоненциальному закону

_— ах

С равн = С1е ,

следовательно,

исорб = К(С1е аХ — C), уравнение переноса загрязняющего вещества

ЭС + и ЭС = В — 1 с + к (С1е—ж — С). Эt Эх Эх2

Распределение концентрации имеет вид

С(х,0=—т) • /2(т)+Снеа^—Ьх + (^ — • е—ах 0

или

где

С (х, t) = — т) • /2 (т) + Снеа1—Ьх + Ь1еа ^—ах — р1 0

С (0, t) = Со,

/l(t) = Со + р1 — Снеа1 —р1ва 2t;

2 2 О Ю х

/ 2С) = • х'—^;

2V Pt3

и

а =

,

2 В '

a U , b = —+ 11;

4 D 1

1 2

w = —j=; ai = Db +Ub-1i;

a2 = Da2 +Ua-1i; 1 = K+1;

bi = ^ a 2

В качестве объекта исследований рассматриваются породы отвалов и отработанные земли Новогуровского карьера. В северо-западной части Тульской области в поселке Новогуровском находится Гуровское месторождение строительных известняков (в i,5 км на северо-запад от ОАО «Гурово-Бетон»). Площадь детально разведанных участков Гуровского месторождения представляет собой склоновую часть долины реки Вашана и ручья Потрясовки. Добыча ведется около 20 лет. Суммарная площадь вскрытого месторождения около 150 га [ii]. На вскрытую выработками глубину геологический разрез месторождения слагает отложения нижнего и среднего карбона, мезозоя и четвертичной системы. Отметки поверхности здесь составляют i50...230 м. Полезное ископаемое - известняк, плотный, крепкий, массивный.

Для численной реализации математической модели была использована программа в Maple 9.0. Это интерактивная программа, позволяющая проводить аналитические выкладки и вычисления, снабженная средствами двумерной и трехмерной графики, имеющая мощный язык программирования и богатую библиотеку математических формул. Maple 9.0 имеет входной язык высокого уровня, ориентированный на решение математических задач различной сложности в интерактивном (диалоговом) режиме: with(plots): a:=0.i; b:=0.0i; k(Mrei):=0.i5; к(ИГЭ2):=0.05; к(ИГЭз):=0.Ю; Dd:=0.000i; co:=20; cn:=i0; lambda:=0.0i; U:=0.000i; w:=i00; C := (x,t) ->

int((co+k*ci/(Dd*aA2+U*a-k-lambda)-cn*exp((Dd*bA2+U*b-k-lambda)*

* (t-tau))-k* c 1 * exp((Dd* aA2+U* a-k-lambda) *

* (t-tau))/(Dd* aA2+U* a-k-lambda)) * (w*x/(2 * (Pi * tauA3 )A0.5))*

* exp((U* x/(2 * Dd))-((UA2)/(4 *Dd)+k+lambda) * *tau-((wA2)*(xA2)/(4*tau))),tau=0..t)+ +cn*exp((Dd*bA2+U*b-k-lambda)*t-((UA2)/(4*Dd)+ +k+lambda) * x)+(k* c1* exp((Dd* aA2+U* a-k-lambda) * t-a*x))/

/(Dd* aA2+U* a-k-lambda)-(k* c 1 * exp(-a*x))/(Dd* aA2+U* a-k-lambda); Интерфейс программы и фрагмент расчетов в Maple 9.0. представлены на рис. 1, 2 соответственно.

Рис. 1. Интерфейс интерактивной программы Maple 9.0

Рис.2. Фрагмент расчета, полученный при использовании

программы Maple 9.0

В данной работе загрязнение почвы мелкодисперсной известняковой пыли идентифицируются с содержанием кальция в почвенных образцах [12]. Данная математическая модель применялась при изучении распределения кальция по глубинам и на различных расстояниях от горной выработки.Кривые распределения концентрации кальция по глубинам на расстоянии 100, 200 и более 300 от забоя представлены на рис. 3 - 5.

Концентрация мг-

Глубина т см

Рис. 3. Зависимость распределения концентрации кальция по глубинам

на расстоянии 100 м

Концентрация мг-

ЭКЕ

1 5 10 15

Глубина т см

Рис. 4. Зависимость распределения концентрации кальция по глубинам на расстоянии 200 м

307

Концентрация мг-

ЭКЕ

6

5 I

1,5 о -

2 5 10 15

Глубина, си

Рис. 5. Зависимость концентрации кальция по глубинам на расстоянии более 300 м

В ходе реализации математической модели были получены три графика, иллюстрирующие распределение кальция по глубине в зависимости от расстояния от забоя, которые хорошо согласуются с экспериментальными методами [11]. Это подтверждает предположения о том, что вертикальную миграцию загрязняющих примесей, в частности загрязнение мелкодисперсной известняковой пылью в почвах, можно описывать уравнением конвективно-диффузионного переноса, которое использовалось в данной математической модели.

В ходе данной работы можно сделать следующие выводы.

1. Полученная аналитическая зависимость вертикальной миграции загрязняющих веществ (известняковой пыли) в почвенном горизонте и разработанная на ее основе прикладная программа могут быть использованы для оценки и прогноза загрязнений почвы мелкодисперсными загрязняющими веществами.

2. При изучении вертикальной миграции веществ в почвенном разрезе подстилающий грунт рассматривался как полуограниченная среда. Таким образом, в основе усовершенствованной модели переноса вещества, вступающей в биохимическую реакцию с субстратом почвы, лежит уравнение конвективно-диффузионного переноса.

Результаты работы могут быть использованы при планировании оптимальных методов рекультивации отработанных и загрязненных территорий; комплексной экологической оценке техногенных территорий и мониторинге состояния природной среды, подвергающейся воздействию открытых горных работ.

Список литературы

1. Кундас С.П., Гишкелюк И.А. Математическое моделирование процессов переноса вещества и влаги в почве // Экологический вестник. 2007. № 1. C. 63 - 71.

2. Антоненко Н.А., Симанкин А.Ф. Исследование соотношений биологических видов на землях, нарушенных горными работами /VIII Региональная молодежная научно-практическая конференция Тульского государственного университета: сборник докладов. Тула: Изд-во ТулГУ. 2013. 48с.

3. Прохоров В. М. Миграция радиоактивных загрязнений в почвах. Физико-химические механизмы и моделирование / под ред. Р. М. Алекса-хина. М.: Энергоиздат, 1981. 98 с.

4. Перспективы применения методов компьютерного моделирования для анализа и прогнозирования миграции радионуклидов в окружающей среде / С.П. Кундас [и др.] // Стратегия восстановления и устойчивого развития пострадавших регионов: материалы: междунар. конф. Минск, 2006. С. 82 - 87.

5. Куртенер Д. А., Кузнецов М. Я., Трубачева Г. А. Модель тепло-влагообмена в почвах. // Научно-технический бюллетень по агрономической физике / Агрофиз. Ин-т ВАСХНИЛ. 1979. № 40. С. 82 - 87.

6. Котлярова О.Г. Антропогенное формирование экологически устойчивых агроландшафтов. Белгород, 2004. 75 с.

7. Пачепский Я.А. Математические модели физико-химических процессов в почвах. М.: Наука, 2004. С. 33 - 46.

8. Репинская Р.П., Олейниченко A.M. Об аналитическом представлении метеорологических полей. // Метеорология на рубеже веков: итоги и перспективы развития: тезисы докладов всероссийской научной конференции. Пермь: Перм. ун-т. 2012. С. 42 - 43.

9. Краснощеков Ю.Н. Почвозащитная роль горных лесов бассейна озера Байкал. Новосибирск: СО РАН, 2004. С. 30 - 31.

10. Моделирование распространения загрязняющих веществ в затопленных горных выработках / Ю.Н. Захаров, В.П. Потапов, Е.Л. Счастливцев, А.В. Чирюкина // Вестник НГУ. Сер. Информационные технологии. 2009. № 4. C. 66 - 72.

11. Антоненко Н.А., Шейнкман, Л.Э. Исследование изменчивости PH среды в разрезе почвенного слоя на землях, нарушенных горными работами // Региональная молодежная научно-практическая конференция Тульского государственного университета: сборник докладов. Тула: Изд-во ТулГУ, 2015. №3. 36 с.

12. Гишкелюк И.А., Гринчик Н.Н., Кундас С.П. Математическое моделирование конвективной диффузии растворимых соединений в почве при неизотермическом влагопереносе // Инженерно-физич. журн. 2008. № 5. С. 920 - 934.

13 Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. // Solid mechanics. Oxford: Butterworth-Heinemann. 2000. V. 2. Р. 461 - 462.

Антоненко Наталья Александровна, асп., ahsatan-natikaramhler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Шейнкман Леонид Элярдович, д-р техн. наук, проф., eliardayandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

DESCRIPTION OFMATHEMATICAL MODELS OF TRANSPORT

OF POLLUTANTS AND THE DISTRIBUTION OF IMPURITIES ON BREAKDOWN IN THE NATURAL LAYER OF SORBENT

N.A. Antonenko, L. E. Sheinkman

The comparison of the results of numerical realization of mathematical model of mass transfer, the results of field and numerical studies. The conditions of accumulation of polluting particles in the solid soil, which confirms the presence of the process of spatial distribution of impurities in the solid soil. The relationship of vertical migration of contaminants in the soil horizon.

Key words: mathematical modeling, natural layer of sorhent, pollutants, open pit mining, the convective-diffusion transfer of the substance.

Antonenko Natalya Alexandrovna, postgraduate, ahsatan-natika ramhler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Sheinkman Leonid Elyardovich, doctor of technical sciences, professor, eliardayandex. ru, Russia, Tula, Tula State University