Исследование поверхностей велароидального типа с двумя семействами синусоид на кольцевом плане

Геометрия срединных поверхностей оболочек

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВЕЛАРОИДАЛЬНОГО ТИПА С ДВУМЯ СЕМЕЙСТВАМИ СИНУСОИД НА КОЛЬЦЕВОМ ПЛАНЕ

С.Н. КРИВОШАПКО, д-р техн. наук, профессор С.Л. ШАМБИНА, канд. техн. наук, доцент Российский университет дружбы народов, Москва

В статье рассматриваются поверхности, ограниченные двумя плоскими концентрическими окружностями, оба семейства координатных линий которых являются синусоидами. Эти поверхности можно отнести к группе поверхностей велароидально-го типа. Рассматриваемые поверхности могут найти применение в ландшафтной архитектуре, а также при проектировании некоторых изделий и сооружений, так как состоят из циклически повторяющихся тождественных элементов.

В наш век инновационных идей создаются конструкции и изделия, немыслимые с точки зрения недалекого прошлого. Архитекторы и инженеры- механики ищут новые формы и поверхности, описываемые аналитическими уравнениями, и внедряют их в архитектуру и различные отрасли техники.

Велароидальной называется поверхность переноса на плоском прямоугольном плане с образующей кривой переменной кривизны [1], которая при движении не выходит за пределы своего класса. Таким образом, поверхность ограничена четырьмя взаимно ортогональными контурными прямыми (кх = ку = 0), лежащими в одной плоскости. В настоящее время известны три вида веларои-дальных поверхностей: параболический, эллиптический и синусоидальный ве-лароиды.

Синусоидальный велароид образовывается двумя семействами полуволн синусоид, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях и обращенных выпуклостями в одну и ту же сторону (рис. 1). Каждое семейство синусоид имеет одинаковый период. Синусоидальный велароид ограничен плоским прямоугольным контуром.

В данной статье приводятся дополнительные результаты исследований велароидальных поверхностей с двумя семействами синусоидальных криволинейных координат. Поверхности ограничены двумя плоскими концентрическими окружностями (рис. 2). Эти поверхности впервые были представлены в работе [2]. Указанные признаки показывают, что поверхности не является веларои-дальными, но, по-видимому, их можно отнести к поверхностям велароидально-го типа.

Пусть имеем две концентрические окружности с радиусами г0 и R (рис. 3), которые примем за контурные кривые рассматриваемой поверхности.

Рис. 1

Рис. 2

y '

a

т> >vr i

1 ( a \ x

Рис. 3

Предположим, что в любом вертикальном сечении a - a, проходящем через центр О, лежит синусоида:

2ж(г - с) z = b cos--b,

R - Го

где b - переменная высота полуволны синусоиды, 0 < b < B. Будем считать, что участок синусоиды, находящийся в пределах точек A и B (r0 < r < R), будет образовывать проектируемую поверхность вела-роидального типа.

Семейство криволинейных координатных линий в окружном направлении также примем в виде синусоид:

Рис. 4 (a - a) z = b cos na - b,

где n - число тождественных фрагментов поверхности в окружном направлении, принимаемых по необходимости.

Один фрагмент будет стыковаться с соседним аналогичным фрагментом поверхности вдоль прямых линий, лежащих в горизонтальной плоскости, например, для рис. 3 имеем n = 4. На этих прямых окружные синусоиды имеют касательные, которые лежат в горизонтальной плоскости. Касательные к радиальным синусоидам в точках внутреннего и внешнего контуров также будут лежать в горизонтальной плоскости.

Таким образом, получаем параметрические уравнения проектируемой поверхности в виде:

x = x(r,a) = r cosa, y = y(r,a) = r sina,

í ->_/„ „Ч Л

z = z

2n(r - c) ,

cos—--- -1

R - r

где r0 < r < R, 0 < a < 2n, a = (R - r0)/ 4, r = const - криволинейные координатные линии на поверхности, которые проектируются на горизонтальную плоскость в концентрические окружности (рис. 5).

На рис. 5 показана рассматриваемая поверхность с n = 3, R = 4 м, r0 = 2 м; b = 1 м, с = 0. На рис. 6, а поверхность имеет n = 2. Из двух полостей одной и той же поверхности можно сформировать замкнутую поверхность, причем кон-

такт будет осуществляться по двум плоским контурным окружностям с радиусами г0 и R и по прямым линиям (рис. 6, б), разделяющим два тождественных фрагмента поверхности (1).

Рис. 6

Интересные формы поверхностей п олучаются, если принять г0 = 0 (рис. 4). На рис. 7 представлена поверхность с г0 = 0, R = 8 м; п = 8 и Ь = 0,5 м. В центральной точке поверхности будет особая точка.

Рис. 7

Велароидальные поверхности в СНГ в отличии от стран Западной Европы и Америки [2 - 4] не пользуются большой популярностью, за исключением параболического велароида, форма которого передана перекрытию «Дарбази» [5, 6]. Это название произошло от названия древнегрузинского перекрытия.

Имея параметрические уравнения поверхности (1) можно вычислить коэффициенты основных квадратичных форм:

А2 = 1 +

2кЬ

(соб па -1) эт

2я

^ =

2пЬ2 п

(соб па -1) эт

2к

эт па

2ж(г - с) 1 соб--1

R - г

2

B2 = r2 +

f

L = -

bn sin na  4л2 b

2n(r - c) , cos--1

R - r

N =

M = -rb

Va2B2 - F2

bn sin na

(cos na - 1)cos

2n

R - г

va2B2 - F2

jab-f2

n2 cos na

2nr . 2n(r - c) sin-

f

R-r

R-r

2n(r - c) , cos--1

R - Г

2n(r - c) , cos--1

V

2nr

R - г

0

R-r

. 2n(r - c) (cos na - 1) sin-

R - г

Довольно сложные выражения основных квадратичных форм рассматриваемой поверхности показывают, что применяется криволинейная неортогональная несопряженная система координат.

Выводы. Следуя наставлениям Э. Торрохи и Ф. Канделлы, необходимо показывать возможности тонкостенных пространственных конструкций оболо-чечного типа и активизировать интерес к проектированию большепролетных пространственных сооружений, учитывая появление новых материалов, таких как фибробетон и волокнистые армированные полимерные композиты, принимая во внимание скачок в численных методах расчета.

Группа студентов инженерного факультета Российского университета дружбы народов, обучающихся по специальности «Архитектура», заинтересовалась результатами геометрических исследований поверхностей велароидаль-ного типа и в рамках студенческого научного общества разрабатывает предложения по применению представленных материалов в ландшафтной архитектуре искусственных и естественных объектов и в конструировании изделий для декора.

Л и т е р а т у р а

1. Кривошапко С.Н., Шамбина С.Л. Поверхности велароидального типа на кольцевом плане с двумя семействами синусоид// Пращ Тавршського державного агротехно-лопчного ушверситету: XI М1жн. науково-практ. конф. «Сучасш проблеми геометрич-ного моделювання СПГМ-11». - 9-12 червня 2009 р. - Мелггополь, Украша. - С. 29-33.

2. Mihailescu M., Horvath I. Velaroidal shells for covering universal industrial halls// Acta techn. Acad. sci. hung. - 1977, 85 (1-2). - P. 135-145.

3. Hadid H.A. Analysis of parabolic velaroidal shells with simply supported boundary conditions// J. Struct. Eng.- 1982. - 8, No 4. - P. 111-118.

4. Friaa Ahmed, Zenzri Hatem. On funicular shapes in structural analysis and applications// Eur. J. Mech. A. - 1996. - 15, № 5. - P. 901-914 (библ.: 7 назв.).

5. Штаерман Ю.Я., Бастатский Б.Н. Изгиб вспарушенной плиты. - М.- Л.: Гос-энергоиздат, 1960. - 37 с.

6. Гогоберидзе Я.А. Перекрытия «Дарбази». - Тбилиси, «Техника да шрома», 1950. - 278 с.

INVESTIGATION OF SURFACES OF VELAROIDAL TYPE WITH TWO FAMILIES OF SINUSOIDS ON ANNULAR PLAN

S.N. Krivoshapko, S.L. Shambina Surfaces, limited by two flat concentric circumferences, with both families of coordinate lines in the form of sinusoids are examined in the paper. These surfaces can be attributed to the group of surfaces of velaroidal type. The considering surfaces can find their application in landscape architecture, and also as a model for designed buildings and structures because these surfaces consist of repetitive identical fragments.

r

2