Управление программным и возмущенными движениями

2006 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. Сер. 10. Вып. 4

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 621.384

А. Д. Овсянников

УПРАВЛЕНИЕ ПРОГРАММНЫМ И ВОЗМУЩЕННЫМИ ДВИЖЕНИЯМИ

1. Введение. В работе рассматриваются математические модели совместной оптимизации программного и возмущенных движений, ориентированных на решение проблем моделирования, анализа и оптимизации сложной электрофизической аппаратуры.

При проектировании сложных управляемых систем различного назначения (в том числе таких как ускорители и токамаки) сначала рассчитывается программное движение, а затем, используя уравнение в отклонениях, исследуются возмущенные движения. Однако это не всегда приводит к желаемым результатам. Так, при анализе возмущенных движений, существенно зависящих от программных движений, может оказаться, что динамические характеристики полученных возмущенных движений неудовлетворительны с той или иной точки зрения.

В связи с этим представляется актуальным исследование математических моделей, позволяющих проводить совместную оптимизацию программного движения и ансамбля возмущенных движений.

Изучаемые в работе модели совместной оптимизации программного движения и возмущенных движений нашли свое применение при решении задач оптимизации динамики заряженных частиц в ускорителях с пространственно однородной квадрупольной фокусировкой (структура с ПОКФ) [1, 2].

2. Постановка задачи. Рассмотрим управляемую динамическую систему, описываемую системой обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида:

(1х

=

с начальными условиями

х

3/

Здесь £ £ То = [0,Т] - независимая переменная (как правило, время); х е Пх С И71 и у &ПУ С Дт - векторы фазовых переменных хл, х2,..., х п и 2/1 > 2/2 > • • • э Ут размерностей п и 7П соответственно; и 6 и С Лг - г-мерная вектор-функция управления; Т - фиксированная величина. Вектор-функция /(¿,х,п) размерности п предполагается непрерывной по совокупности всех аргументов на множестве определения вместе со своими

© А. Д. Овсянников, 2006

частными производными по х - ——-

ох и

размерности т предполагается непрерывной по совокупности всех своих аргументов

на множестве определения вместе со следующими своими частными производными по

dFi dFt d2Fj d2Fj • • , i о \ т-г

хну — -—, —, -——, д (k = 1,2,.. . ,n; г,J,I = 1,2,... ,m). Предполагается, дхк ду3 dxkdyj dyidyj

что множества (lx и Qy - открытые, множество U - компактное. Множество ненулевой

меры Мо С будем полагать компактным.

Предположим также, что допустимые управления и = u{t), t € Г0, составляют некоторый класс D кусочно-непрерывных на интервале [О, Г] функций, принимающих значения из компактного множества U. Под кусочно-непрерывными функциями будем понимать функции, имеющие лишь конечное число разрывов первого рода.

Будем полагать, что система (1), (2) имеет единственное решение задачи Коши при условиях (3) и (4), т. е. при фиксированном хо и произвольном уо 6 Мо, на всем интервале То, при всех допустимых управлениях и G D.

Под программным (расчетным, выделенным) движением будем понимать в дальнейшем решение подсистемы (1) при начальном условии (3). Решения подсистемы (2) с начальными условиями (4) при фиксированном программном движении будем называть возмущенными движениями. Программное и возмущенные движения соответствуют некоторому общему фиксированному управлению. При этом разные компоненты этого управления могут либо входить, либо не входить одновременно в правые части систем (1) и (2).

Математическая модель управления, задаваемая системой (1), (2) и начальными условиями (3), (4), описывает довольно общую ситуацию, встречающуюся на практике. Так, подсистему (1), которую можно решать независимо от подсистемы (2), можно понимать как подсистему, описывающую некое программное или расчетное движение при фиксированном управлении. Можно решать задачу оптимизации программного движения за счет выбора соответствующей управляющей функции. Однако следует отметить, что выбор управления и соответственно программного движения влияет на решения подсистемы (2), которая непосредственно от них зависит и которую можно рассматривать, в частности, как уравнение в отклонениях от программного (расчетного) движения. Поэтому не всегда целесообразно решать поэтапно задачи нахождения программного движения, а затем задачи стабилизации и оптимизации переходных процессов, вызванных, например, отклонением начальных данных от заданных. Далее рассматривается задача совместной оптимизации программного и возмущенных движений, где под возмущенными движениями понимается решение подсистемы (2) при начальных данных (4) и фиксированных программных управлении и движении. Таким образом, возникает задача совместной оптимизации программного движения и ансамбля возмущенных движений или пучка траекторий, исходящих из множества Мо. Множество Мо характеризует область допустимых отклонений начальных данных по у0.

Введем следующие функционалы, определенные на траекториях системы (1), (2):

т

h {и) = / <p

о

т

h{и) = / / ip2

о Mt,u Мт,и

где множество MtjU есть сечение в момент t пучка траекторий подсистемы (2) при управлении u(t) и соответствующем программном движении x(t), исходящих из множества Мо,

Mt,и = {yt\yt = y{t,x(t),y0,u{t)),y0 е М0,х{0) = ж0},

функции (pi, (р2, gi, 92 ~ неотрицательные, заданные на множествах То х fix х U, То х йх х íly х U, j и Пу, соответственно непрерывные и непрерывно дифференцируемые по х и у.

Функционал (5) характеризует динамику программного движения, а функционал

(6) оценивает поведение пучка траекторий в целом. Рассмотрим связку функционалов (5) и (6):

I

где ci, С2 - неотрицательные константы.

Функционал (7) позволяет одновременно учитывать динамику программного движения и пучка траекторий.

Рассмотрим задачу минимизации функционала (7). Под оптимальным управлением и0 = u°(t) будем понимать управление, доставляющее минимум функционалу

(7), а именно

I(u°) = min 1(и).

u£D

Задачу минимизации функционала (7) будем называть задачей совместной оптимизации программного и возмущенных движений.

3. Некоторые общие сведения. Приведем в удобной для нас форме сведения [3], необходимые при анализе полного приращения функционала (7), введенного в п. 2.

Пусть u(t) и u[t) - допустимые управления. Обозначим соответствующие им траектории системы (1), (2) с одинаковыми начальными условиями через

x

х{г) = х^,х0,й), & = у{г) = у(ь,х(г),у0,й). Приращение траекторий при вариации управления А= и(Ь) — и(Ь) будем обозначать

Дж(0 = х{1) - жОО и Ау(1) = у{1) - у(4).

Для системы (1), (2) уравнения в вариациях имеют вид

^ = ДиЖ.

¿х

<1бу = дР{г,х(*),у(!)М*))5х , дРЦ,х(г),у(*)М*))5 +

сИ дх ду

+

Ы0) - 0, '

где Ди означает соответствующее приращение функции при приращении только аргумента и, т. е.

Auf(t, х, и) = f(t, х,и + А и) - /(£, ж, и),

AuF(t, х, у, и) = F(t, ж, у, и + Ди) - F(i, х, у, и).

Отметим, что 8x(t) вычисляется вдоль единственной траектории x(t) = x(t,xо), в то время как 8у зависит не только от траектории x(t), но и от траекторий y(t) — y{t,yo), у о Е Mq. В дальнейшем особую роль будет играть зависимость 8у от yt = у (t). Учитывая это, будем писать 8у — 8y(t,yt).

Приведем далее ряд известных соотношений, характеризующих непрерывную зависимость приращения траекторий и вариаций траекторий от управления [3, 4], а именно:

\\Ay

t£T0 II Ди|| i, —>0

равномерно по уо G Мо;

\\Ay

равномерно по уо G Мо при ||Aw||l -> 0.

Соотношение (12) означает следующее: для Ve>03<5>0, такое, что при || Au\\i < 5 имеет место неравенство ||Дж||с < е. Соотношение (14) означает, что для V е > 0 3 (5 > 0, такое, что при ЦДиЦ^, < 8 имеет место неравенство ||Дж — ¿х||с/||Дж||с < е. Аналогично будем понимать соотношения (13) и (15). Рассмотрим отображение

Ш = y

где yt = y(t,x(t),y0,u), yt = y(t,x(t),y0u. Это отображение, определяемое траекториями системы (1), (2), выходящими из одних и тех же точек множества Мо, задает взаимно однозначное соответствие множеств Mf)U и Mttz, отвечающих управлениям и и и (в силу единственности решения задачи Коши). Преобразование (16) будем называть преобразованием пучков траекторий по сечениям.

Определим якобиан этого преобразования. Частные производные -- (i,j =

°Vtj

l,2...,m) существуют и непрерывны в силу непрерывной дифференцируемое™ решений системы (1), (2) по начальным данным [5, 6]. Индексы t и j обозначают соответствующие компоненты векторов yt и it.

Матрица —— преобразования (16) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

d_ дш _ dF(t, х, у, и) _ дш dF(t,x,y,u) dt dyt ду dyt dyt ду

при начальном условии

dyt dyt

= E,

í=0

где E - единичная матрица размерности m x т. Уравнение (17) следует из равенств

ШЫ) = y(t,x,y0{yt,u),ü),

dyt _ дщ_ дуо dyt dijo dyt' = dF(t,x(t),y(t),u(t)) дш dt dy0 dy dy0'

É. = -Ü1H dF(t,x(t),y(t),u(t)) dt dyt dyt dy

в которых yo(yt,u) - обратное отображение для yt = y(í, ж, yo, u).

Решение уравнения (17) с начальным условием (18) может быть представлено в таком виде:

^i = Y

dyt

где Y(t) и Y(t) - фундаментальные матрицы уравнений

dY_ _ dF(t,x{t),y(t),u(t))~ dY _ dF(t,x(t),y(t),u(t))„

dt ~ dy ' dt ~~ dy [ )

нормированные при t — 0, т. е. У(0) = F(0) = Е. При этом

detf^ = det

dyt

Из (23) по формуле Лиувилля [5, 6] находим

, dyt ( Г* Л dF(r, х(т),у(т),и(т)) \ \

detÚ = ехр Ц sp [Ах'у'и dy ) dry

Здесь

dF

Х'У'и dy dy dy

Подынтегральное выражение в (24) запишем так:

дх + ду ¿У + A«(divyF) +

+ Ах + y + o

<2г —» 0 равномерно по £ £ То и уо е Мо;

б) I Д

г

" /

о

ди

х

<9у

¿т 0 равномерно по t 6 Т0 и уо € Мо;

С учетом соотношений а)-г) и (25) якобиан преобразования (16) можно представить в следующем виде:

г

6у + Д„с\ivyF йт +

дх ду

+ о(\\А^\\ь + ||А„Ли + ||Д«<Иу„2%).

Здесь о(||Ди/|и + ||Ди^||х, + ||Ди(11уу.Р||) - величина более высокого порядка малости, чем ЦД/Ць + ||Д„Т||Ь + ЦДцШу^^Ц, равномерно по у0 € М0 при ЦДиЦь -»• 0.

Проинтегрируем уравнение (12) от нуля до и полученное выражение продифференцируем по уг (вектор-функция буг непрерывно дифференцируема по уг в силу

д'Чи

существования непрерывных частных производных

дукду/ дхфуз

У

дбщ дуг

/ ({ дхт дуэ + { дут ду<] 6ХУ} + дут дут + дут ) дуг ^

Отметим, что аналогично уравнениям (19), (20) справедливо уравнение

сИ дуг дуг ду

Учитывая (28), продифференцируем (27) по í и получим выражение

д5уг сН дуг

_д_ дъ

дхг ду1

5хг

дуг ду3

+

Л ЭР

дуг

д/ дбуг _ дду± 5/ дуг дуг дуг дуг

Из (29) находим

<ЩМ = + «М^ +

сИ дх ду

при начальном условии

где сНуУ6у = 5У =

&ууйу |4=0 = о,

Выражение для якобиана преобразования (26) с учетом уравнения (30) и условия (31) можно переписать удобным для дальнейшего использования образом:

ск^Ц = 1 +

4. Вариация функционала. Рассмотрим функционал

т

Как известно [3], вариация этого функционала (при допустимой вариации управления Аи(¿) = й(£) — «(¿)) может быть представлена в такой форме (под вариацией будем понимать линейную по 5х часть полного приращения функционала):

т

51х = 61г {и, Аи) = /'{-^*Ди/ + Дир1}<Й,

о

где вспомогательная вектор-функция 0(4) удовлетворяет вдоль траекторий подсистемы (1) при данном управлении и(Ь) обыкновенному дифференциальному уравнению

-ж =--Тх--Тх-'

при условии на правом конце

„Т) = -«)1.

При этом для полного приращения функционала (5) имеем

А1х{и,Аи) = 511

Исследуем функционал (6). Выпишем его полное приращение при допустимом изменении управления Аи({) (и £ И, и + Аи 6 £>):

А12{и,Аи)=1 ! 1р2(г,Щ,уь,й(Ь))(1шМ+ ! д2(ут)<1ут-

т

/ ~ / 92

о м1<и М(,и

где £как и прежде) х(г) = х(г,х0,и), у1=у^)=у^,х^),у0,и), х(Ь) = х(Ь,х0,й), уг = у(Ь) = у(г,х^),у0,и).

Используя преобразование уг = у{уг) множества в множество М^д (см. формулу (16)), сделаем замену переменных в первых двух интегралах в выражении для приращения функционала (37):

т

+

г _

/дут

ЫУИуг)^^- - у2(ут)%г +

о

О Мг.и

где - якобиан указанного преобразования.

оуь

Выделим линейную часть в функциях

<9ж <9у

+

52

дут

Тогда приращение (38) с учетом представления (32) для якобиана ёе^— и вырастут

жений (39), (40) преобразуется:

г

Д/2(м, Аи) = I (дъ&Уубу + с1ут+

о

т

+11

о м,,„

где о(а) - величина более высокого порядка малости, чем а = тах (|| Ди/Ць + ЦДи^Ц^-Ь

УоёМо

В выражении (41) полного приращения функционала выделим линейную по ¿ж, <5у и сНуу(5у чд,сть, которую в дальнейшем будем называть первой вариацией функционала (неклассической), или просто вариацией функционала, и обозначать 612(и, Аи), а именно

612(и, Аи) = I (д2<Иуу6у + ¿Ут+

т

+11

о м(,и

здесь ¿ж = <5ж(£), ¿у - 6у(Ь,уг).

При этом имеем

А12{и, Дм) = ¿Ь

Введем в рассмотрение вектор-функции /и(£,уг), ¿>(£, у^ и функцию А(£,уг), удовлетворяющие вдоль траекторий системы (1), (2) следующим системам уравнений:

Л = - и + "- + Ж '

^ = +

с условиями на правом конце

= 0,

=

А

Запишем очевидные, с учетом уравнений (10), (12), (30) для вариаций <5ж, 5у и сИУу5у, равенства

* /¿¿ж

Л _ цм^ _ а<ду,д _ ч = 0

\ м дх ду )

Преобразуем выражение (42) вариации функционала 812 с использованием вспомогательных функций //(£,уг), г/(£, у^, \{Ь,Уг), введенных выше соотношениями (44)-(49). Проинтегрируем равенства (50)-(52) от нуля до Т по сечениям пучка траекторий М4)1х и прибавим полученные выражения к правой части равенства (41). После преобразования имеем

т

612{и,Аи)=1 I {(-^l*AuF-v*Auf-\AudWyF + Аи(р2) +

ох ох ох

0 м,,„

йи*

(- 4

+

~ ХбйУуЕ + <¿>2^ ¿¿Уу8у^йу1<1Ь+

Mt, и

Из (53) на основании равенств (44)-(49) находим

т

6I2

o Mt,u

Функции /j,(t,yt), u(t,yt), A(t,yt), очевидно, являются аналогом множителей Лагранжа в вариационном исчислении [7].

Найдем вариацию функционала (8), используя представления (33) и (54) для вариаций функционалов (5) и (6). Очевидно,

óI

Полученное представление вариации (55) для функционала (8) позволяет сформулировать соответствующие условия оптимальности.

5. Необходимые условия оптимальности. Введем функцию Нг, зависящую от переменных t,x,u и ip:

#i

и функцию Н2, зависящую от переменных í, х, у, и, ц, v, А:

H2{t, х, у, /I, и, А, и) = n*F(t, х, у, u) + u*f(t, х, u) + \divyF(t, х, у, u)-íp2(t, х, у, и). (57) Тогда вариация функционала (8) может быть записана в следующей форме:

т

ÓI(u,Au) = - J {c1AuH1(t,x(t),iP{t),u(t))+

о

+ с2 J AuH2

где х, у - траектории системы (1), (2), соответствующие управлению и = u(t), а вспомогательные функции ip,[iv,\ удовлетворяют соответственно уравнениям (34), (44)-(46) с условиями на правом конце (35), (47)-(49).

Определение 1. Под оптимальным процессом будем понимать в дальнейшем оптимальное управление u°(t), траекторию x°(t) = x(t,xo,u°) и ансамбль траекторий — y(t>x°>yo,u°), у о € Vo, системы (1), (2), которые соответствуют этому оптимальному управлению. Введем обозначение

Н°

Mt,u o

где функции V? = 'Ф°{t), V0y° = jo = л°о = A°(t,y?) удовлетворяют

уравнениям (34),(35), (44)-(49) на оптимальном процессе; x¿ — x°(t), y¿ = y°(í) - оптимальные траектории.

Теорема 1. Пусть и0 = u°(t) - оптимальное управление. Тогда при всех t G Го = [О, Г] выполняется следующее условие:

maxH°

net/

Доказательство. Предположим, что при t Е [0, Т] не выполняется условие

(60), т. е. существует HEU такое, что H°(t,Ti) > H°(t, u°(t)). На случай, если t - точка

разрыва для функции u°

t-+t+о

A «.<*) = f°' HfA + £\nTo'

w \n-u°(t), te [t,t + e) п т0, v '

где e - положительное вещественное число. При достаточно малом е имеем

T t+e

ÔI

о t

Тогда из представлений (36), (43) и выражений (55), (58) для вариации функционала следует

AI

где о(е) и о(а) - величины более высокого порядка малости, чем е и сг, при е —> 0 соответственно. Заметим, что а = max (||AU/||£, + ||AuF||i, + ||Audivj,F||i) и, в силу

уо&Мо •

непрерывности функций f(t,x,u) на То х Пх х U, F(t,x,y,u) на То х Пх х Çly х U, компактности множества Mo и непрерывной зависимости решений системы (1), (2) от начальных данных, величина а имеет порядок малости не меньше, чем е.

Введем обозначение H = H°(t,v.) — H°(t,u°(t)). Пусть е достаточно мало, чтобы

°(сг) < °{£) < (Н > 0 в силу сделанного выше предположения), тогда

о о

AI(u°, Ащ) = -Не + о(е) + о(а) < -Не + 2^ - < 0,

О О

что противоречит оптимальности управления u°(t). Таким образом, предположение о нарушении условия (60) оказывается неверным. Теорема доказана.

Замечание 1. При t — Т следует рассмотреть следующую вариацию управления:

л /ГО, t £ [0,Т — е);

(u-uv(t), te[T-E,Tj. Далее доказательство проводится аналогично.

Теорема 1 аналогична принципу максимума Понтрягина, и ее можно понимать как распространение принципа максимума на наш случай.

Далее рассмотрим случай дифференцируемости правых частей системы (1), (2) и подынтегральных функций функционала (8) по управлениям, т. е. предположим,

д/ ЭТ дф! дю2

что существуют и непрерывны следующие частные производные: ——, ——, ——, ——.

ои ои ои ди

0(<КУ

И пусть существует и непрерывна частная производная -—1-—.

ди

Определение 2. Функцию q{t), £ € Го, будем называть допустимым направлением в точке и по множеству если существует во > 0 такое, что (и(Ь) + Eq(t)) £ -О, где е е [0, во]- Посредством Дие будем обозначать Ди£ = £<?(£), где е £ [0, во].

Замечание 2. Очевидно, что для оптимального управления А1(и°, Ди£) ^ 0 при любом допустимом направлении q(t) в точке и0 6 £>.

Определение 3. Классической ¿ариацией функционала (8) будем называть выражение

т

6ы1

о м,,и

Теорема 2. Пусть и- оптимальное управление. Тогда справедливо неравенство

5с11

при всех допустимых направлениях q(t) в точке и0 Е Б.

Доказательство. Рассмотрим любое допустимое направление q{t) и соответствующую ему вариацию управления Аие = £q(t), где е £ [0,во]- Легко заметить, что полное приращение функционала (8) можно представить так:

А1

где о(в) и о(сг) имеют тот же смысл, что и в теореме 1. Очевидно равенство

т

Sс,1(и0,Дие) = -вЦ^ + с2 I ^dyt}q(t)dt = e5clI(u°,q). о Mt,u

Пусть неравенство (62) не выполняется при некотором допустимом направлении q(t),

т. е. ôcil(u°,q) — —Q < 0, где Q > 0. Выберем е настолько малым, чтобы о(а) < —,

3

о(е) < —, тогда

— Qe

AI

О

Мы получили противоречие, поскольку AI(u°,Eq) ^ 0 в силу оптимальности управления и0. Теорема доказана.

6. Случай гладких управлений. Рассмотрим классическую вариацию функционала (8). В качестве допустимых управлений возьмем класс непрерывно-дифференцируемых функций. И пусть варьируемое управление строится по правилу [8]

ue

Здесь e g [0,1] - параметр, характеризующий малость вариации; <5(i) - непрерывно-дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям

0 ^ t + EÔ(t) ^ Г, te Т0.

Очевидно, следует, что если u(t) - допустимое управление, то управление u£(t) при всех £ G [0,1] будет допустимым.

Выбирая варьируемое управление по формуле (70) и используя представление

Au(t) = ù(t)eâ(t) +о(е), представим классическую вариацию функционала (8) следующим образом:

т

ÔI(u,Au) = -e I I №*}*<*))*)*

о Mt,u

Пусть управление u°(t) оптимальное. Тогда необходимое условие оптимальности может быть сформулировано так:

OU

Оно выполняется при всех £ G То, функция H°(t,u) определена на соответствующем оптимальном процессе.

7. Заключение. В работе исследуется математическая модель совместной оптимизации программного (расчетного) и возмущенных движений динамической системы, предназначенная для решения проблем оптимизации динамики пучков заряженных частиц в ускоряющих и фокусирующих структурах. Полученные необходимые условия оптимальности и вариация исследуемого функционала, представленная в специальном виде, позволяют строить алгоритмы численного решения задачи оптимизации.

Summary

Ovsyannikov A. D. Control of program and disturbed motions.

In this paper mathematical model of joint optimization of program motion and ensemble of disturbed motions is investigated. Obtained necessary conditions of optimality and special representation of investigated functional variation allow to construct numerical algorithms for solving optimization problems of charged particle beam dynamics in accelerators.

Литература

1. Ovsyannikov A. D., Bondarev В. I., Durkin A. P. New mathematical optimization models for RFQ structures// Proc. of the 18th Particle Accelerator Conference. New York, USA, 1999. P. 2808-2810.

2. Ovsyannikov A. D. New approach to beam dynamics optimization problems// Proc. of the 6th International Computational Accelerator Physics conference. Darmstadt, Germany, 2000 (http://www.icap2000.de).

3. Понтрягин JI. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 332 с.

4. Овсянников Д. А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. JI: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. 310 с.

5. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: Вышэйшая школа, 1974. 766 с.

6. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л.: Гостехиздат, 1947. 448 с.

7. Гелъфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. 228 с.

8. Аргучинцев А. В. Оптимальное управление начально-краевыми условиями гиперболических систем. Иркутск: Изд-во Иркутск, гос. ун-та, 2004. 40 с.

Статья представлена к публикации членом редколлегии О. И. Дривотиным. Статья поступила в редакцию 7 июня 2006 г.