Тестирование аналогового и квантового оракулов линейной вычислительной сложности, предсказывающих значения коэффициента корреляции на малой выборке в 32 опыта

УДК 519.24; 53; 57.017

DOI 10.21685/2072-3059-2017-3-6

В. И. Волчихин, А. И. Иванов, А. В. Сериков, Ю. И. Серикова

ТЕСТИРОВАНИЕ АНАЛОГОВОГО И КВАНТОВОГО ОРАКУЛОВ ЛИНЕЙНОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЛОЖНОСТИ, ПРЕДСКАЗЫВАЮЩИХ ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ НА МАЛОЙ ВЫБОРКЕ В 32 ОПЫТА

Аннотация.

Актуальность и цели. Целью работы является снижение ошибок вычисления коэффициентов корреляции на малых тестовых выборках.

Материалы и методы. Используются средства имитационного моделирования для получения непрерывной и дискретной функций плотности распределения значений коэффициентов корреляции. Рассматривается математическая корреляционная молекула, порождающая на выходе спектр из 16 состояний. Дается общая схема синтеза аналоговой формы оракула и квантовой формы оракула, предсказывающих значения коэффициентов корреляции на малой выборке из 32 опытов.

Результаты. Аналоговый вариант оракула позволяет снизить стандартное отклонение ошибок вычисления до 11,6 %, что эквивалентно повышению числа опытов с 32 до 39. Квантовый вариант оракула с линейной вычислительной сложностью позволяет снизить стандартное отклонение ошибки до 85 %, что эквивалентно повышению размеров выборки с 32 до 109 опытов.

Выводы. Квантовые оракулы, построенные с использованием корреляционной математической молекулы, намного эффективнее аналоговых форм оракулов. Предположительно переход от квантовых оракулов с линейной вычислительной сложностью к квантовым оракулам с квадратичной вычислительной сложностью позволит дополнительно снизить погрешность вычисления коэффициентов корреляции. Происходит специфическая регуляризация вычислений, позволяющая обменивать ресурсы вычислительной машины на эквивалентный объем тестовой выборки.

Ключевые слова: коэффициент корреляции, квантовая суперпозиция, корреляционная молекула, дискретный спектр состояний, статистический анализ малых выборок.

V. I. Volchikhin, A. I. Ivanov, A. V. Serikov, Yu. I. Serikova

TESTING OF ANALOG AND QUANTUM ORACLES OF LINEAR COMPUTATIONAL COMPLEXITY, PREDICTING THE VALUES OF THE CORRELATION COEFFICIENT ON A SMALL SAMPLE IN 32 EXPERIMENTS

Abstract.

Background. The aim of the paper is to reduce errors in calculating correlation coefficients for small test samples.

Materials and methods. Simulation means are used to obtain continuous and discrete functions of the distribution density of correlation coefficients. We consider a mathematical correlation molecule that generates a spectrum of 16 states at the output. The article describes the general scheme for synthesizing the analog oracle's

form and the quantum oracle's form, which predicts the values of the correlation coefficients for a small sample of 32 experiments.

Results. The oracle's analog version allows to reduce the standard deviation of calculation errors to 11.6 %, which is equivalent to an increase in the number of experiments from 32 to 39. The quantum version with linear computational complexity allows reducing the standard deviation of the error to 85 %, which is equivalent to increasing the sample sizes from 32 to 109 experiments.

Conclusions. Quantum oracles constructed using correlation mathematical molecules are much more efficient than analog forms of oracles. Presumably, the transition from quantum oracles with linear computational complexity to quantum oracles with quadratic computational complexity will additionally reduce the error in calculating the correlation coefficients. There is a specific regularization of calculations, allowing to exchange computer's resources for an equivalent test sample volume.

Key words: correlation coefficient, quantum superposition, correlation molecule, discrete spectrum of states, statistical analysis of small samples.

Общие положения континуальных вычислений младших статистических моментов и коэффициентов корреляции на малых выборках

На практике данных всегда мало. Особенно остро эта проблема стоит при решении задачи биометрической идентификации личности [1-3]. Человек является очень сложным объектом высокой размерности, что значительно усложняет статистические многомерные оценки. Такие же проблемы возникают при переходе от личной биометрии человека к коллективной биометрии групп людей. Например, при тестировании новых лекарств требуется привлекать достаточно большое число биометрических данных больных с нужным фармацевтам заболеванием. Далее следует провести их лечение, а затем, набрав нужный объем статистики, подтвердить безвредность нового фармакологического препарата. Такой подход к тестированию новых лекарств обычно занимает несколько лет.

Очевидно, что при прочих равных условиях сокращение в два-три раза объема тестовой выборки может в два-три раза сократить время тестирования биометрических данных и, соответственно, сократить сроки вывода фармацевтических препаратов на рынок.

Следует отметить, что задача тестирования биометрических технологий на малом объеме данных стандартизована [4], однако этот стандарт действует только для средств нейросетевой биометрии в случае, если обучение нейронных сетей выполнено по стандарту [5].

Если оставаться в рамках биометрии, то проблема будет сводиться к снижению ошибки вычисления математического ожидания AE и стандартного отклонения Ag биометрических параметров на выборках малого объема n. При этом ошибка вычисления AE обычно намного меньше, чем ошибка Ag, наблюдается эффект накопления ошибок:

Еще больше оказывается ошибка вычисления коэффициента корреляции, так как на нее влияют уже четыре ошибки статистических моментов более низких порядков:

ae M = f (vi, n), A°(vi) = f (vi, AE (vi), n).

Дг

Вместе с ростом числа переменных, от которых зависит ошибка, растет неустойчивость вычислений. В связи с этим актуальными являются попытки компенсации погрешностей вычисления промежуточных данных, что следует рассматривать как некоторые процедуры регуляризации. В работах [6-8] показана возможность снижения методических и случайных составляющих ошибок вычисления от 1,5 до 30 % в зависимости от размеров тестовой выборки и. Все вычисления в работах [6-8] выполняются в континуальной (аналоговой) форме.

Статистические вычисления в дискретной (квантовой) форме спектрального представления данных малых выборок

Когда речь идет о статистической обработке данных малых выборок, возникает так называемая проблема шумов квантования. На рис. 1 шумы квантования для выборки в 9 примеров отмечены заливкой.

О J

P

3-2-10 : 2

0.5

p

\

7

AP(v) —-i Л /т.

' <1/ Г 1

3 0

Ap(v) / "X \

/ \ 4

-1 о

-1 о

Рис. 1. Шумы квантования данных, представленные выборкой из 9 примеров при приближении функции вероятности - Р

Очевидно, что мощность шумов квантования монотонно падает при росте объема тестовой выборки. Все процедуры, использованные в работах [6-8], следует рассматривать как совокупность аналоговых (континуальных) мер по подавлению шумов квантования.

Можно подойти к решению задачи совершенно иначе и создать специальные условия, подчеркивающие спектральные компоненты шумов квантования. Вместо того чтобы бороться с шумом квантования, его нужно использовать, переходя к анализу его спектра и приняв меры по стабилизации его спектральных компонент. Впервые такая возможность была продемонстрирована для хи-квадрат критерия в работе [9]. В ней даны условия, при которых спектральные составляющие шумов квантования становятся абсолютно стабильными. В этом отношении хи-квадрат функционал оказывается подобен обычной молекуле водорода со строго фиксированными положениями спек-

тральных линий. Вместо анализа континуум распределений состояний хи-квадрат критерия на больших выборках п , на малых выборках выгоднее анализировать дискретный спектр его состояний [9-12]. Более того, по аналогии с математической хи-квадрат молекулой может быть построена корреляционная молекула с конечным дискретным спектром состояний [13].

Задачей данной работы является сравнение возможностей аналоговой (континуальной) и дискретной (квантовой) статистической регуляризации вычислений. В первой части работы мы рассмотрим привычную для всех нас континуальную регуляризацию вычисления коэффициентов корреляции на выборке в 32 примера. Во второй части работы будут проанализированы возможности квантового (спектрального) статистического анализа малой выборки в контексте более точного вычисления коэффициента корреляции Пирсона.

Квантово-континуальная форма вычисления коэффициента корреляции

Статистическая обработка артиллерийских стрельб [14] традиционно велась исходя из гипотезы нормального закона распределения данных, дающего эллипсоиды рассеивания. При этом для большого числа некоррелированных опытов N вероятности попадания в каждую из четвертей круга рассеивания будут одинаковы:

Р - а - Р2 - П2 - Рз = П3 - Р4 =

1 N 2 N 3 N 4 N

где П1, П2, П3, П4 - число попаданий в первую, вторую, третью и четверную четверти круга.

В случае, если данные коррелированы (зависимы), соотношение между вероятностями попадания в разные фрагменты эллипса рассеивания становятся иными:

р - а - Р3 - п3 > Р2 - П2 - Р4 - п±.

1 N 3 N 2 N 4 N

Эта ситуация отображена на рис. 2.

Можно показать, что для коррелированных данных вероятности попадания в выделенные заливкой сектора эллипса (рис. 2) пропорциональны малому и большому диаметрам эллипса:

= Р2 + Р4 - П2 + П4

В р1 + р3 П1 + П3 "

Подставляя соотношение

Л

В + а

в известную формулу вычисления коэффициента корреляции [14], мы получаем формулу для вычисления дискретных значений конечного спектра коэффициентов корреляции:

Я

Р1 + Р3 + Р2 + Р4 п1 + п3 + п2 + п4

D

х

Рис. 2. Описание центрированных и нормированных площадей рассеивания нормальных данных

Получается, что эллипс распределения зависимых данных является двухмерным континуумом корреляционной молекулы, а оси нормированной и центрированной систем координат играют роль двух квантователей, делящих площадь эллипса на четыре части. Получается достаточно простая и понятная математическая конструкция, преобразующая внутренний (не наблюдаемый) двухмерный континуум в конечный спектр дискретных выходных состояний. То есть мы получили желаемую корреляционную молекулу, аналогичную хи-квадрат математической молекуле [9-11] или молекуле водорода, состояния которой описываются уравнением Шредингера [15].

Принципиально важным является то, что реализовать решение уравнения Шредингера при большом числе электронов технически невозможно [15]. Именно в этом и состоит основная проблема квантовой механики, ресурсов современных вычислительных машин не хватает, если мы попытаемся вычислять волновые функции для 32 электронов.

Для математической корреляционной молекулы все кардинально меняется. Огромным преимуществом математической корреляционной молекулы является то, что для ее моделирования достаточно 9 строк кода на языке высокого уровня. Пример программной реализации математической молекулы дан на рис. 3.

Получается, что для воспроизведения волновых функций и спектра состояний математической корреляционной молекулы нет необходимости использовать большую вычислительную машину. Подходит любой вычисли-

Математическая корреляционная молекула с конечным спектром выходных состояний для конечной выборки

тель с любым процессором. Именно в простоте имитационного моделирования хи-квадрат молекул [9-11], молекулы стандартного отклонения [12] и корреляционной молекулы [13] состоит техническое преимущество квантовой нейродинамики [16] по сравнению с квантовой механикой [15]. Для решения уравнения Шредингера и моделирования физически существующих химических молекул требуется программа, состоящая из нескольких тысяч строк кода [17], а для математических молекул достаточно программы всего из 9 строк кода (рис. 3).

Рис. 3. Программная реализация корреляционной математической молекулы (9 строк кода на языке моделирования МаШСЛО) для выборки из 16 опытов

Уравнение Шредингера и уравнения математических молекул [9-13] похожи между собой тем, что порождают континуально квантовые эффекты, приводящие к выходным дискретным (линейчатым) спектрам. Но вот вычислительные затраты на их воспроизведение (моделирование) принципиально разные.

Аналоговая (континуальная) форма коррекции значений коэффициентов парной корреляции

Обычно коэффициент корреляции вычисляют по формуле Пирсона:

32

г

СТ

При этом возникает значительная ошибка Дг. Наибольшее значение ошибки возникает при попытках вычислить значение коэффициентов корреляции, близких к нулю (тах(ст(г)) при г = 0). Соответственно наибольший практический интерес представляет коррекция ошибок вычисления слабо коррелированных данных [8]. Результат подобной линейной коррекции для

«фрактальных корреляционных функционалов» [8] позволяет снизить ошибку вычислений до 11,1 %.

В нашем случае применение корреляционной молекулы корректировки данных может быть осуществлено путем простого усреднения:

r( xi, *2) =

r (xb + R( xU x2) 2

При этом корреляция двух форм вычисления показателей (7), (8) высока и положительна (еогг(г, Я) = +0,65). То есть независимая компонента ошибок вычислений все-таки присутствует, и потому усреднение данных выборки в 32 опыта приводит к снижению стандартного отклонения 032(0 на 11,6 % по отношению к стандартному отклонению корреляции Пирсона °32(г).

Снижение ошибок измерения на 11,6 % является значительным достижением с позиций обычной измерительной техники. Для статистики это означает, что выборка из 32 опытов удивительным образом увеличилась до 39 опытов (рост примерно на 30 %). Мы получили ощутимый рост числа опытов из-за того, что вместо одной классической формы корреляционных функционалов (9) дополнительно применили вторую форму корреляционных функционалов (8). Два наблюдателя коэффициента корреляции оказались не полностью зависимы, их погрешность оказалась различной:

ДГ32(*1, х2) *ДЯ32(*1, х2).

Квантовый корректор показателя корреляции для выборки в 32 опыта

Следует подчеркнуть, что для математической корреляционной молекулы (программная реализация на рис. 4) для 16 опытов спектр выходных состояний может иметь до 16 спектральных линий. На рис. 4 (данные из источника [13]) даны два спектра, полученные для г = 0 и г = 0,5 на выборке в 999 реализаций по 16 опытов.

Рис. 4. Примеры спектров коэффициентов корреляции для выборок из 16 опытов

Из левой части рис. 4 видно, что десятая спектральная линия с ординатой г = 0 имеет максимальное значение вероятности появления, более того,

спектр симметричен. Это означает, что коэффициент корреляции по спектру вычисляется как математическое ожидание всех обнаруженных спектральных линий:

1 15 1 15 ( 1 1

к=—У РГ) =—У Р1-1+-+ —М = Е

15 ^ 1 15 ^ ^ 16 +1 16 +1) 1

I =1 1 =1 4 у

Два предельных значения Р(г = -1) и Р(г = +1) в расчет не берутся, так как их спектральные компоненты полностью детерминированы и вероятность их появления в спектре близка к нулю.

Очевидно, что для наблюдения спектральных линий выходного состояния корреляционной молекулы нужна выборка порядка 999 реализаций по 16 опытов. Такую выборку можно получить, воспользовавшись одной выборкой в 32 опыта, путем случайного извлечения из нее множества реализаций мень-

16 32!

ших выборок по 16 опытов. Всего возможно получение: С16 =-:-,

32 16!(32 -16)!

что составляет 601 миллион неповторяющихся серий опытов. Эта величина предельна, проверять столь большое число серий нет необходимости. Близкие выборки мало информативны, их следует отбрасывать.

Заключение

Приведенные выше теоретические положения были проверены путем численного эксперимента. В итоге было получено снижение стандартного отклонения ) на 85,3 %, что эквивалентно увеличению тестовой выборки с 32 опытов до 109 опытов. Получается, что разработка квантового корректора ошибок вычисления коэффициентов корреляции примерно в 8 раз выгоднее попыток коррекции в континуальной (аналоговой) форме (9).

Фактически мы получили некоторого континуально-квантового оракула, более точно предсказывающего значение коэффициента корреляции, чем формула Пирсона (8). Этот квантовый оракул осуществляет гораздо более сложные вычисления по программе, состоящей из примерно 250 строк кода на языке высокого уровня. Обработка данных этой программой имеет линейную вычислительную сложность и занимает порядка 2 с машинного времени. Фактически создан квантовый оракул, более точно предсказывающий значение коэффициента корреляции для выборок из 32 опытов, который позволяет обменять сложность вычислений на точность оценки. Предположительно повышение сложности вычислений с линейной до квадратичной в будущем приведет к незначительному усложнению программного обеспечения и допустимому увеличению времени вычислений. При этом ожидается существенный рост точности предсказания коэффициента корреляции на малых выборках. Это крайне важно для развития линейки алгоритмов типа ГОСТ Р 52633.5 для автоматического обучения искусственных нейронных сетей преобразователей биометрия-код.

Библиографический список

1. Волчихин, В. И. Быстрые алгоритмы обучения нейросетевых механизмов биометрико-криптографической защиты информации : монография / В. И. Волчихин, А. И. Иванов, В. А. Фунтиков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2005. - 273 с.

2. Малыгин, А. Ю. Быстрые алгоритмы тестирования нейросетевых механизмов биометрико-криптографической защиты информации / А. Ю. Малыгин, В. И. Вол-чихин, А. И. Иванов, В. А. Фунтиков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2006. - 161 с.

3. Нейросетевая защита персональных биометрических данных / Ю. К. Язов, В. И. Волчихин, А. И. Иванов, В. А. Фунтиков, И. Г. Назаров. - М. : Радиотехника, 2012. - 157 с.

4. ГОСТ Р 52633.3-2011. Защита информации. Техника защиты информации. Тестирование стойкости средств высоконадежной биометрической защиты к атакам подбора. - М., 2011.

5. ГОСТ Р 52633.5-2011. Защита информации. Техника защиты информации. Автоматическое обучение нейросетевых преобразователей биометрия-код доступа. -М., 2011.

6. Волчихин, В. И. Компенсация методических погрешностей вычисления стандартных отклонений и коэффициентов корреляции, возникающих из-за малого объема выборок / В. И. Волчихин, А. И. Иванов, Ю. И. Серикова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2016. -№ 1 (37). - С. 103-110.

7. Кулагин, В. П. Корректировка методических и случайных составляющих погрешностей вычисления коэффициентов корреляции, возникающих на малых выборках биометрических данных / В. П. Кулагин, А. И. Иванов, Ю. И. Серикова // Информационные технологии. - 2016. - Т. 22, № 9. - С. 705-710.

8. Волчихин, В. И. Фрактально-корреляционный функционал, используемый при поиске пар слабо зависимых биометрических данных в малых выборках /

B. И. Волчихин, А. И. Иванов, Б. Б. Ахметов, Ю. И. Серикова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2016. - № 4 (40). -

C. 27 - 36.

9. Ахметов, Б. Б. Дискретный характер закона распределения хи-квадрат критерия для малых тестовых выборок / Б. Б. Ахметов, А. И. Иванов, Н. И. Серикова, Ю. В. Фунтикова // Вестник Национальной академии наук Республики Казахстан. -2015. - № 1. - С. 17-25.

10. Кулагин, В. Циклические континуально-квантовые вычисления: усиление мощности хи-квадрат критерия на малых выборках / В. Кулагин, А. Иванов,

A. Газин, Б. Ахметов // Аналитика. - 2016. - № 5 (30). - С. 22-29.

11. Перспективы создания циклической континуально-квантовой хи-квадрат машины для проверки статистических гипотез на малых выборках биометрических данных и данных иной природы / В. И. Волчихин, А. И. Иванов, Д. В. Пащенко, Б. Б. Ахметов, С. Е. Вятчанин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2017. - № 1 (41). - С. 5-15

12. Волчихин, В. И. Использование эффектов квантовой суперпозиции при регуляризации вычислений стандартного отклонения на малых выборках биометрических данных / В. И. Волчихин, А. И. Иванов, А. В. Сериков, Ю. И. Серикова // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2017. - № 1. - С. 57-63.

13. Волчихин, В . И . Квантовая суперпозиция дискретного спектра состояний математической молекулы корреляции для малых выборок биометрических данных /

B. И. Волчихин, А. И. Иванов, А. В. Сериков, Ю. И. Серикова // Вестник Мордовского университета. - 2017. - Т. 27, № 2. - С. 230-243.

14. Абезгауз, Г. Г. Справочник по вероятностным расчетам / Г. Г. Абезгауз, А. П. Тронь, Ю. Н. Копенкин, И. А. Коровина. - М. : Воениздат, 1970. - 536 с.

15. Нильсон, М. Квантовые вычисления и квантовая информация / М. Нильсон, И. Чанг. - М. : Мир, 2006. - 821 с.

16. Иванов, А. И. Многомерная нейросетевая обработка биометрических данных с программным воспроизведением эффектов квантовой суперпозиции /

А. И. Иванов. - Пенза : Изд-во АО «ПНИЭИ», 2016. 133 с. - URL: Шр://пниэи.рф/ activity/science/BOOK16.pdf

17. Степанов, Н. Ф. Квантовая механика и квантовая химия / Н. Ф. Степанов. -М. : Мир, 2001. - 519 с.

References

1. Volchikhin V. I., Ivanov A. I., Funtikov V. A. Bystrye algoritmy obucheniya ney-rosetevykh mekhanizmov biometriko-kriptograficheskoy zashchity informatsii: mono-grafiya [Fast learning algorithms for neural network mechanisms of biometric cryptographic data protection: monograph]. Penza: Izd-vo PGU, 2005, 273 p.

2. Malygin A. Yu., Volchikhin V. I., Ivanov A. I., Funtikov V. A. Bystrye algoritmy testirovaniya neyrosetevykh mekhanizmov biometriko-kriptograficheskoy zashchity informatsii [Fast testing algorithms for neural network mechanisms of biometric cryptographic data protection]. Penza: Izd-vo PGU, 2006, 161 p.

3. Yazov Yu. K., Volchikhin V. I., Ivanov A. I., Funtikov V. A., Nazarov I. G. Ney-rosetevaya zashchita personal'nykh biometricheskikh dannykh [Neural network protection of personal biometric data]. Moscow: Radiotekhnika, 2012, 157 p.

4. GOST R 52633.3-2011. Zashchita informatsii. Tekhnika zashchity informatsii. Te-stirovanie stoykosti sredstv vysokonadezhnoy biometricheskoy zashchity k atakam pod-bora [Data protection. Data protecting technology. Testing of highly reliable biometric protective means' resistance to breaking attacks]. Moscow, 2011.

5. GOST R 52633.5-2011. Zashchita informatsii. Tekhnika zashchity informatsii. Avto-maticheskoe obuchenie neyrosetevykh preobrazovateley biometriya-kod dostupa [Data protection. Data protecting technology. Automatic learning of neural network "biometrics- access code" converters]. Moscow, 2011.

6. Volchikhin V. I., Ivanov A. I., Serikova Yu. I. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhnicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Engineering sciences]. 2016, no. 1 (37), pp. 103-110.

7. Kulagin V. P., Ivanov A. I., Serikova Yu. I. Informatsionnye tekhnologii [Information technologies]. 2016, vol. 22, no. 9, pp. 705-710.

8. Volchikhin V. I., Ivanov A. I., Akhmetov B. B., Serikova Yu. I. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhnicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Engineering sciences]. 2016, no. 4 (40), pp. 27-36.

9. Akhmetov B. B., Ivanov A. I., Serikova N. I., Funtikova Yu. V. Vestnik Natsional'noy akademii nauk Respubliki Kazakhstan [Bulletin of the National Academy of Sciences of Kazakhstan]. 2015, no. 1, pp 17-25.

10. Kulagin V., Ivanov A., Gazin A., Akhmetov B. Analitika [Analytics]. 2016, no. 5 (30), pp. 22-29.

11. Volchikhin V. I., Ivanov A. I., Pashchenko D. V., Akhmetov B. B., Vyatchanin S. E. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhnicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Engineering sciences]. 2017, no. 1 (41), pp. 5-15

12. Volchikhin V. I., Ivanov A. I., Serikov A. V., Serikova Yu. I. Izmerenie. Monitoring. Upravlenie. Kontrol' [Measurment. Monitoring. Management. Control]. 2017, no. 1, pp. 57-63.

13. Volchikhin V. I., Ivanov A. I., Serikov A. V., Serikova Yu. I. Vestnik Mordovskogo universiteta [Bulletin of Mordovia University]. 2017, vol. 27, no. 2, pp. 230-243.

14. Abezgauz G. G., Tron' A. P., Kopenkin Yu. N., Korovina I. A. Spravochnik po veroyatnostnym raschetam [Probability calculations reference book]. Moscow: Voeniz-dat, 1970, 536 p.

15. Nil'son M., Chang I. Kvantovye vychisleniya i kvantovaya informatsiya [Quantum calculations and quantum information]. Moscow: Mir, 2006, 821 p.

16. Ivanov A. I. Mnogomernaya neyrosetevaya obrabotka biometricheskikh dannykh spro-grammnym vosproizvedeniem effektov kvantovoy superpozitsii [Multu dimensional neural network processing of biometric data with program representation of quantum superposition effects]. Penza: Izd-vo AO «PNIEI», 2016, 133 p. Available at: http://pniei.pf/activity/science/BOOK16.pdf

17. Stepanov N. F. Kvantovaya mekhanika i kvantovaya khimiya [Quantum mechanics and quantum chemistry]. Moscow: Mir, 2001, 519 p.

Волчихин Владимир Иванович доктор технических наук, профессор, президент Пензенского государственного университета

E-mail: president@pnzgu.ru

Иванов Александр Иванович доктор технических наук, доцент, начальник лаборатории биометрических и нейросетевых технологий, Пензенский научно-исследовательский электротехнический институт

E-mail: ivan@pniei.penza.ru

Сериков Андрей Васильевич начальник отделения, АО «Рубин»

E-mail: aosv68@bk.ru

Серикова Юлия Игоревна магистрант, Пензенский государственный университет

E-mail: julia-ska@yandex.ru

Volchikhin Vladimir Ivanovich Doctor of engineering sciences, professor, President of Penza State University

Ivanov Aleksandr Ivanovich Doctor of engineering sciences, associate professor, head of the laboratory of biometric and neural network technologies, Penza Research Institute of Electrical Engineering

Serikov Andrey Vasil'evich

Head of department, "Rubin" enterprise

Serikova Julia Igorevna

Master's degree student, Penza State University

УДК 519.24; 53; 57.017 Волчихин, В. И.

Тестирование аналогового и квантового оракулов линейной вычислительной сложности, предсказывающих значения коэффициента корреляции на малой выборке в 32 опыта / В. И. Волчихин, А. И. Иванов, А. В. Сериков, Ю. И. Серикова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2017. - № 3 (43). - С. 70-80. Б01 10.21685/2072-3059-2017-3-6