Анализ динамики поршня прецизионного дозатора жидких сред

УДК 621.64

АНАЛИЗ ДИНАМИКИ ПОРШНЯ ПРЕЦИЗИОННОГО ДОЗАТОРА ЖИДКИХ СРЕД

© 2010 г. С.Ф. Яцун, Ж.Т. Жусубалиев, В.С. Титов, С.Ю. Чевычелов, О.В. Емельянова

Курский государственный технический State Technical University,

университет Kursk

Исследуются динамические режимы движения поршня дозатора, поведение которого описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Выявлено, что поршень дозатора может совершать вынужденные колебания с остановками. В фазовом пространстве исследуемой системы рассчитаны границы области различных режимов движения. Установлено, что при изменении коэффициента трения и амплитуды вынуждающей силы характер движения поршня может качественно меняться. На плоскости этих двух параметров рассчитаны области, соответствующие колебаниям поршня без остановок, с двумя остановками на периоде периодического движения и ситуации, когда поршень дозатора находится в неподвижном состоянии.

Ключевые слова: С-бифуркации; сухое трение; скользящие режимы.

In this paper we study the dynamics of the fluid metering device valve. The behavior of such system is described by a set of two coupled ordinary differential equations with discontinuous right-hand sides. We show that this system can operate in the modes with dry friction. We have found boundaries of the sliding modes both numerically and analytically. These types of dynamics correspond to the oscillations of the valve with pauses. We illustrate how the dynamics of the valve can be changed qualitatively under variation of the friction coefficient and amplitude of the external force. In the parameter plane we determine numerically three domains with different dynamical behavior. These regions correspond to the oscillations of the valve without pauses, to the regimes with two pauses during the period ofperiodic oscillations and to the fixed position of the valve.

Keywords: border-collision bifurcations; dry friction; sliding modes.

Введение

В настоящей работе рассматривается дозатор, предназначенный для отмеривания и выдачи заданного объема вещества в виде дискретных микропорций, получаемых за счет колебаний распределительного устройства, находящегося в непосредственном контакте с дозируемой жидкостью. Известны золотниковые, крановые, клапанные распределительные устройства [1 - 3].

Золотниковые распределительные устройства наряду с простотой конструкции, быстродействием, возможностью автоматизации процесса дозирования допускают утечку жидкости через радиальный зазор между корпусом и запирающим элементом (поршнем) из напорной полости в сливную. В то же время применение современных технологических материалов при изготовлении уплотнений золотников обеспечивает минимизацию радиального зазора и плотную посадку поршня в цилиндре, что с одной стороны, исключает утечку жидкости через радиальный зазор, а с другой - приводит к увеличению силы сухого трения.

При создании дискретного микродозатора применяется управляемый электропривод, задачей которого является обеспечение движения запирающего элемента с заданной частотой и амплитудой [4, 5]. Очевидно, что влияние силы сухого трения, а также наличие привода ограниченной мощности, управляющего движением поршня, может приводить к его остановке, изменению положения статического равновесия, и, как следствие, существенно влиять на точность дозирования.

Поэтому задача исследования динамических режимов и закономерностей движения поршня дозатора, разработка математической модели и изучение областей рабочих режимов с учетом силы сухого трения между поршнем и цилиндром является актуальной.

Описание дозатора

На рис. 1 приведена схема импульсного прецизионного дозатора жидких сред и временная диаграмма формирования доз жидкости.

Импульсная система дозирования (рис. 1, а, б) состоит из корпуса 1, в котором поступательно движется поршень 2 под действием вынуждающей силы. Поршень 2 периодически открывает впускное отверстие 5 и жидкость с давлением р1 поступает в мерную емкость (рис. 1, а). При перекрытии поршнем 2 отверстия процесс подачи прекращается, и давление становится равным р0 (рис. 1, б).

Подача жидкости осуществляется при условии, когда 0 < х <8, где х - обобщенная координата перемещения поршня, 8 - параметр, определяющий положение впускного отверстия.

Величина дозы V определяется как интеграл расхода Q(t) за определенный интервал времени: ч

V- = \ Q(t)А,

где У0 - объем единичной дозы; Q(t) - значение мгновенного расхода в момент времени t; [^, ^ ] -

/-й интервал времени формирования дозы, зависящий от закона движения поршня.

Вход

I 2

5

На рис. 1, в приведена временная диаграмма формирования доз жидкости при гармоническом перемещении поршня 2 с амплитудой A и периодом T = 2n/ra . Очевидно, что Q(t) зависит от амплитуды

колебаний A и от положения равновесия O поршня.

Математическая модель дозатора

На рис. 2 представлена расчетная схема прецизионного дозатора жидких сред. Для записи уравнений движения поршня дозатора введем неподвижную систему координат Ox , жестко связанную с корпусом дозатора. За начало отсчета примем точку O, совпадающую с положением статического равновесия поршня, определяемого без учета сил сухого трения.

В работе рассматривается случай, когда на поршень действует управляющая вынуждающая сила

FB = FB0 sinrat, где FB0 и ra - амплитуда и частота этой силы.

Вход ♦

/

// =

X//./ уХ/ pi ///л

У////, Po /у

5 V

О ^ х —

/

/

F

ВСопр

Fy

F

± тр

N

-О-

Fb

О Р

Ч Ч

ч ч

t; t;

Рис. 1. Схема прецизионного дозатора: а, б - открытое и закрытое состояния дозатора соответственно; 1 - корпус дозатора; 2 - поршень; 3 - пружина; в - временная диаграмма формирования доз жидкости; 5 - параметр, определяющий положение впускного отверстия; х - координата, определяющая положение клапана; А - максимальное отклонение поршня от положения равновесия; О - начало отсчета

Рис. 2. Расчетная схема прецизионного дозатора жидких сред

На поршень дозатора, массой т, действуют сила тяжести Р = mg, сила нормального давления N = mg ,

вынуждающая сила Fв, сила сухого трения Fтр = FCsign х , сила упругости ^пр = сх . Здесь X -скорость перемещения массы т; Fс - предельное значение силы сухого трения; с - коэффициент жесткости пружины. Взаимодействие поршня дозатора и жидкости будем моделировать с помощью силы вязкого сопротивления. Считаем, что ^Сопр = ц х , где Ц - коэффициент вязкого сопротивления.

Запишем дифференциальное уравнение движения поршня дозатора в виде:

тХ =Е Ргх ,

где т - масса поршня; X - проекция ускорения поршня на ось X ; ^ ^ - сумма внешних сил, действующих на поршень.

3

х

а

m

3

1

х

х

б

в

mx - -FBConp - FTp " Fynp + fb ;

mx --цх - FCsignх -cx + FB0 sinrot.

Приведем уравнение (1) к безразмерному виду:

X =-ах-цх + у m sin х-f, X > 0;

X = -ах -цх + уm sinх + f, X < 0.

Здесь х-rat, х = х/х0 - безразмерные время, перемещение и параметры ц-ц/mra , а= ^mra2 , f = Fc/mx0ю2 , уm - FB0/mx0ю2 , где х0 - масштаб длины.

Обозначим х1 = х, х2 = х и перепишем уравнения (2) и (3) в векторной форме:

X - G- (т, X) +1 AG(x, X)[1 + sign(|(X))], AG(x, X) - G+ (т, X) - G- (т, X).

тывают приложения к силовой электронике и теории управления [12 - 17], механике [8, 18], биологическим и экономическим системам. Обзор этих исследований можно найти в [18].

В рассматриваемой системе С-бифуркации приводят только к изменению числа сшиваемых участков, образующих траекторию периодического движения, что отвечает появлению или исчезновению участков движений с длительными остановками поршня.

Для выяснения возможных типов динамического поведения рассматриваемой системы выполним построение С-бифуркационных границ.

Фазовое пространство (т,X) динамической системы (4) разделяется на два подпространства: D+, где §(Х) > 0, и D_, где §(Х) < 0 .

В подпространстве D+ уравнение движения (4) имеет вид

XT - G+ (т,X), |(X) > 0,

или

Здесь X = (Xj,x2)T, G± = (g1±,x2±)T , где g1± = x2, g2± = -ax1 - цх2 +ym sinx + f , |(X) = x2. В исследованиях варьировались параметры ц, a, f и ym в следующих пределах: 0,0 < ц < 1,0, 0,2 < a < 2,0 , 0,2...1,0 < f < 2,0, 1,0 <ym < 5,0.

Анализ динамических режимов движения

Системы с сухим трением обычно описываются дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями [6 - 8]. Фазовые траектории таких систем сшиваются из отдельных гладких участков [7]. Подобные динамические системы называют еще кусочно-гладкими.

Как известно, в кусочно-гладких динамических системах возможны специфические типы бифуркаций, не имеющие аналогов в гладких системах. Подобные бифуркации связаны с ситуацией, когда при изменении параметров траектория периодического движения проходит через границу одной из поверхностей сшивания или касается ее. Это вызывает нарушение условий существования периодического решения и соответствует появлению или исчезновению участка траектории в одной из областей кусочной непрерывности [8, 9]. Такие бифуркации получили название С-бифуркаций [8 - 10], или «border-collision bifurcations» [11]. Простейшей бифуркационной картине при С-бифуркациях соответствует непрерывный переход решения одного типа в решение другого типа. Возможны и более сложные ситуации, например удвоение, утроение периода колебаний, рождение движений с участками скольжения или хаотического аттрактора из периодической орбиты [7 - 10, 12 - 18].

Изучению нелинейных явлений в кусочно-гладких системах в последние годы уделяется пристальное внимание [12 - 18]. Теоретические исследования стимулируются потенциальными приложениями результатов во многих областях науки и техники. Они охва-

I х2 =-ах1 -цх2 + у m sin х- f, х2 > 0.

В подпространстве D_ уравнение движения (4) имеет вид

X - G- (х,X), l(X) < 0

или

-х2 ,

х2 - -ах1 - цх2 + уm sinх + f, х2 < 0.

Границей указанных подпространств является плоскость S , определяемая уравнением X) - 0, на

которой происходит мгновенное слипание трущихся масс.

Пусть решение X (х) уравнения (4) при х - х* достигает двумерной поверхности

S = {

0, 0;

dX

dX

G± - limG± (т, X), т —^ т* ± 0,

SM _ Í d£,

dX

vSxi dx2 у

Это означает, что X (т) достигает £ под ненулевым углом.

Структура фазового пространства вблизи £ определяется знаками I — I и и I — I и .

I дХ ) I дХ )

На участке поверхности £ , где

или

G+ >0,

дХ

G+ <0,

дХ

G~>0

дХ

G~<0

дХ

f\ G" = 0.

Подставляя выражение (5) для G0 в равенство (6), получим

+а№Г AG = 0.

^дХ ) \дХ /

Из уравнения (7) найдем функцию ст

AG = -2f.

дХ '

Подставляя выражение для I — | G

дХ

д£

-| AG в (8), получим

дХ

решения переходят из подпространства D_ в подпространство D+ или из D+ в D_ соответственно.

Если же G + <0, [-^1 G~ <0, то реше-

) УдХ )

ние X (х) с начальным условием X (х* ) = X* при х > х* проходит по участку £0 с £ и не сходит с £ , пока не достигнет границы £0. На участке £0 векторы G+ и G_ с обеих сторон £ направлены к £ (т.е. движение на £0 устойчиво).

Движение по £0 принято называть скользящим, а саму £0 - областью скользящих движений [6, 7]. Для систем с сухим трением этому режиму соответствует слипание трущихся масс [7,8].

Уравнение движения на £0:

X = G0 (х, X) , G0 (х, X) = G_ (х, X) + стДG (х, X),

0 <ст< 1.

Найдем скорость движения G0 (Т, X) по поверхности £ . Вектор-функция G0 непрерывна по (х, X) и касается поверхности (X) = 0 :

ст =

—ax1 — +Ym Sin x + f 2 f

Теперь мы можем определить область скользящих движений:

£0 ={(х,X)е£:0< ^тsinх + / < 1|.

Подставив (9) в (5), имеем

G0 (х, Х ) = G-(x, Х) + —ax1 — MX +Y m Sin Х + f

2 f

AG (x, Х ) =

( x2 ^

V0 )

Так как на £0 скорость х = х2 = 0, то уравнение (5) принимает вид

X = 0;

l-x2 = 0.

Уход фазовой точки в подпространство D+ возможен лишь с границы Г+ = {(х,X) е S0:ст(х) = 1}, а в подпространство D_ с границы

Г_={(х,X) е ^0 : а(х) = 0} .

Границы области S0:

Г+ = -j(x, X )е S: x1 sin х — f, х2 = 0

дХ

G_

Здесь

дХ

AG

дХ

AG < 0 .

= (0,1)Г. дХ v '

Ц | G—=—aXi —^x2 + у m sin x + f,

Ц| G+=—aXi — Цх2 + уm sinx — f,

Г— =! (x, X )e S: x1 =ym sin x + f, x2 = 0 .

a

a

Заметим, что если (х, X )е Г+ , то G0 = G+ и, если (х, X) е Г_, то G0 = G_ .

Таким образом, в фазовом пространстве динамической системы (4) имеются три области £+ , £0, £_ , на которых происходит сшивание фазовых траекторий при их переходе из области D_ в D+ и наоборот.

На рис. 3 приведена двупараметрическая бифуркационная диаграмма, рассчитанная в плоскости параметров (/ , ут).

T

и

T

T

ст = —

T

5,0

Хъ

П t К J с

и' t

2тг

1,0

/

Nsу ni2 По N0

2тг

0,2 / 2,0 Рис. 3. Карта динамических режимов. Параметры а = 0,2 , ц = 0,9

Область П2 0 отвечает области периодических движений поршня без остановок, а П^ - режиму колебаний с остановками. В П 0 отсутствуют колебания поршня. Это означает, что в области параметров П 0 дозирующая система не работает.

Результаты численных расчетов, иллюстрирующие характер колебательных режимов поршня в зависимости от параметров, приведены на рис. 4, 5.

Рис. 4. Движение поршня без остановок. Параметры: а = 0,2, ц = 0,9, у т = 1,0, / = 0,2

0,8 0,6 0,4 0,2 х2 0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8

Примечание:

- остановка клапана

Рис. 5. Движение поршня с остановками. Параметры: а = 0,2, ц = 0,9, у т = 2,0, / = 1,0

На рис. 4 показана зависимость перемещения х1 и скорости х2 поршня от времени т, отвечающая области П2 0 , где траектория периодического движения

сшивается из двух гладких участков. С изменением коэффициента трения / и амплитуды вынуждающей силы ут характер движения поршня качественно меняется. Так, например, при переходе через границу ^ в область параметров П2 2 изменяется число

сшиваемых участков, образующих фазовую траекторию периодического решения, возникают колебания с двумя зонами скользящих режимов движения.

Как показано на рис. 5, периодическое решение с зонами скользящего движения сшивается из четырех гладких участков. Этому режиму соответствуют колебания поршня с двумя остановками на периоде периодического движения. На рис. 5 показана диаграмма колебаний, отвечающая такому типу движения. Очевидно, что режим колебаний поршня с остановками влияет на расход дозирующей жидкости и точность дозирования. Поэтому создание высокоточных систем дозирования принципиально невозможно без глубоких исследований бифуркационных явлений, приводящих к возникновению движений с остановками.

Выводы

Выполнен анализ динамических режимов импульсной системы дозатора, описываемой неавтономными дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями. Выявлены С-бифуркации, приводящие к появлению зон скользящих режимов на траектории периодического движения. Такой тип движения отвечает режиму вынужденных колебаний поршня дозатора с длительными остановками. В плоскости параметров выделены области с различными типами динамического поведения, соответствующие колебаниям поршня без остановок, с остановками и ситуации, когда поршень находится в неподвижном состоянии. Колебание с остановками может приводить к заклиниванию поршня и, как следствие, к неконтролируемому расходу жидкости, а также выходу из строя системы дозирования. Результаты исследова-

ний позволяют определить область рабочих режимов дозатора и прогнозировать характер возможных динамических режимов в зависимости от параметров.

Исследования выполнены при поддержке РФФИ грант 06-08-00365.

Литература

1. Цейтлин В.Г. Расходоизмерительная техника. М., 1977. 240 с.

2. Соколов М.В., Гуревич А.Л. Автоматическое дозирование жидких сред. Л., 1987. 400 с.

3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М., 1987. 840 с.

4. Яцун С.Ф., ЛушниковБ.В., Емельянова О.В. Исследование управляемых виброударных режимов в электромеханической системе // Тр. VIII Всерос. науч. конф. «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 22-26 сентября 2008 г.) : в 2 т. Т.2 / под редакцией Д. В. Баландина, В. И. Ерофеева. Н. Новгород, 2008. Т. 2 С. 263 - 268.

5. Яцун С.Ф., Емельянова О.В. Моделирование динамического процесса движения иглы форсунки ДВС // Вибрационные машины и технологии : сб. науч. трудов. Курск, 2005. Ч. 1. С. 172--180.

6. ФилипповА.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М., 1985. 224 с.

7. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. М., 1994. 288 с.

8. Leine R.I., Nijmeijer H. Dynamics and Bifurcations of Non-Smooth Mechanical Systems. Berlin, 2004. 351 p.

Поступила в редакцию

9. Фейгин М.И. Удвоение периода колебаний при С-бифу-ркациях в кусочно-непрерывных системах // Прикладная математика и механика. 1970. Т. 34, вып. 5. С. 861 - 869.

10. Bernardo di M, Feigin M.I., Hogan S.J., Homer M.E. Local Analysis of C-bifurcations in n-dimensional Piecewise-Smooth Dynamical Systems // Chaos, Solitons and Fractals. 1999. Vol. 10. № 11. P. 1881 - 1908.

11. Nusse H.E., Yorke J.A. Border-Collision Bifurcations Including «Period Two to Period Three» for Piecewise Smooth Systems // Physica D. 1992. № 57. P. 39 - 57.

12. Banerjee S., Ranjan P., Grebogi C. Bifurcations in Two-Dimensional Piecewise Smooth Maps: Theory and Applications in Switching Circuits // IEEE Trans. Circ. Syst. I. 2000. Vol. 47, № 5. P. 633 - 643.

13. Баушев В.С., Жусубалиев Ж.Т. О недетерминированных режимах функционирования стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием // Электричество. 1992. № 8. C. 47 - 53.

14. Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. Singapore, 2003. 376 p.

15. Zhusubaliyev Zh.T, Soukhoterin E.A., Mosekilde E. BorderCollision Bifurcations and Chaotic Oscillations in a Piece-wise-Smooth Dynamical System // Int. J. Bifurcation Chaos. 2001. Vol. 11. № 12. P. 1193 - 1231.

16. Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E. Torus Birth Bifurcation in a DC/DC Converter // IEEE Trans. Circ. Syst. I. 2006. Vol. 53. № 8. 2006. P. 1839 - 1850.

17. Жусубалиев Ж.Т. О бифуркациях рождения двумерного тора в широтно-импульсной системе //Автоматика и телемеханика. 2008. № 7. C. 19 - 28.

18. Two-Parameter Discontinuity-Induced Bifurcations of Limit Cycles: Classification and Open Problems/ P. Kowalczyk [et al.] // Int. J. Bifurcat. Chaos. 2006. Vol. 16. № 3. P. 601 - 629.

17 июля 2009 г.

Яцун Сергей Федорович - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой теоретической механики и мехатроники, Курский государственный технический университет. Тел. (4712) 52-38-07. E-mail: teormeh@inbox.ru

Жусубалиев Жаныбай Турсунбаевич - д-р техн. наук, профессор, кафедра вычислительной техники, Курский государственный технический университет. Тел. (4712) 58-71-05. E-mail: zhanybai@mail.kursk.ru

Титов Виталий Семенович - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой вычислительной техники, Курский государственный технический университет. Тел. (4712) 58-71-05. E-mail: titov@vt.kstu.kursk.ru

Чевычелов Сергей Юрьевич - аспирант, кафедра вычислительной техники, Курский государственный технический университет. Тел. (4712) 58-71-05. E-mail: chevychelov@mail.ru

Емельянова Оксана Викторовна - инженер, аспирант, кафедра теоретической механики и мехатроники, Курский государственный технический университет. Тел. (4712) 52-38-07. E-mail: teormeh@inbox.ru

Yatsun Sergey Fedorovich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department Theoretical Mechanics and Мechatronics, State Technical University, Kursk. Ph. (4712) 52-38-07. E-mail: teormeh@inbox.ru

Zhusubaliyev Zhanybai Tursunbaevich - Doctor of Technical Sciences, professor, department of Computer Science, State Technical University, Kursk. Ph. (4712) 58-71-05. E-mail: zhanybai@mail.kursk.ru

Titov Vitaliy Semenovich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department of Computer Science, State Technical University, Kursk. Ph. (4712) 58-71-05. E-mail: titov@vt.kstu.kursk.ru

Chevychelov Sergey Yurjevich - post-graduate student, department of Computer Science, State Technical University, Kursk. Ph. (4712) 58-71-05. E-mail: chevychelov@mail.ru

Emelyanova Oksana Viktorovna - engineer, post-graduate student, department Theoretical Mechanics and Мechatronics, State Technical University, Kursk. Ph. (4712) 52-38-07. E-mail: teormeh@inbox.ru