Расчет распределения напряженности в межэлектродном пространстве электрогидродинамических устройств численными методами

ИЗВЕСТИЯ

Ф

ПГПУ

IZVESTIA

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO

PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA

IMENI V.G. BELINSKOGO

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

№26 2011

ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

№26 2011

УДК: 537.84

РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕННОСТИ В МЕЖЭЛЕКТРОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ ЧИСЛЕННЫМИ

МЕТОДАМИ

© К.В. ТАРАНЦЕВ1, Е.Г. КРАСНАЯ2, А.В. КОРОСТЕЛЕВА3

Таранцев К. В., Красная Е. Г., Коростелева А.В. — Расчет распределения напряженности в межэлектродном пространстве электрогидродинамических устройств численными методами // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 654—660. — Рассмотрены численные методы расчета потенциала и напряженности электрического поля между двумя плоскими электродами, позволяющие получать информацию необходимую для оптимизации конструкций электрогидродинамических устройств.

Ключевые слова: численные методы расчета, потенциал, напряженность, электрическое поле, электро-гидродинамические устройства

Tarantsev K. V., Krasnaya E. G., Korosteleva A. V. — The distribution of potential and strength in the interelectrode space numerical // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo.

2011. № 26. P. 654—660. — Numerical methods for calculation the potential and electric field for a number of geometries of the electrodes are considered, allowing obtaining the information necessary to optimize the structure of electro hydrodynamic devices.

Keywords: numerical methods, the potential strength, electric field, electro hydrodynamic device

В последнее время для исследования процессов электрогидродинамических течений все чаще применяются численные методы [1—12], позволяющие моделировать процессы в межэлектродном промежутке и получать информацию необходимую для оптимизации конструкций электрогидродинамических устройств. В данной работе рассмотрены численные методы расчета потенциала электрического поля, создаваемого между плоскими электродами, с последующим определением распределения напряженности электрического поля.

1Пензенский государственный университет, кафедра “Технология машиностроения” e-mail: kvtar@bk.ru 2Пензенская государственная технологическая академия, кафедра “Биотехнологии и техносферная безопасность” e-mail: krasna-elena@mail.ru 3Пензенская государственная технологическая академия, кафедра “Биотехнологии и техносферная безопасность” e-mail: anna-korostelyova@yandex.ru

В данной работе рассмотрена достаточно простая в обращении программа расчета численными методами, позволяющая быстро качественно, а главное с возможностью полного контроля над процессом вычисления, рассчитать распределение потенциала и напряженности в межэлектродных промежутках с помощью программы МаШса<^

В большинстве электрогидродинамических процессов поле источников без вихревое и в этом случае от системы уравнений Максвелла остаются уравнения:

rotE = 0; divE = p.

Подставляя уравнение Е = -дтаскр в уравнение СлуЕ = р получаем выражение для определения потенциала у

divg radp = —p

в декартовых координатах оно имеет вид:

д2р д2р д2р

+ ду2 + = —p

dz2

Это линейное дифференциальное уравнение в частных производных - уравнение Пуассона.

Граничные условия учитывают особенности протекания процесса на границах тела и могут быть заданы первым способом. Это так называемая задача Дирихле. Значения р задаются на некоторой поверхности и, возможно, на некоторых дополнительных кривых, расположенных внутри области.

Для решения двухмерных уравнений эллиптического типа Пуассона и Лапласа в MathCad предназначена функция relax(a, b, c, d, e, f, u, rjac), реализующая метод релаксации.

Функция

3 := relax

возвращает квадратную матрицу, в которой: расположение элемента в матрице соответствует его положению внутри квадратной области.

Рисунок 1. Графики распределения потенциала. Расчет произведен с испльзованием функции relax: а - трехмерный график; б - линии уровня.

Из рис. 1 видно, что линии, расположенные на карте эквипотенциальных уровней оказываются негладкими (имеют в некоторых точках изломы). Наличие изломов, в свою очередь, у линий равных

потенциалов свидетельствует о наличие разрывов у производной функции V^ (x, у), описывающей напряженности электрического поля. С другой стороны, как известно из теории функция комплексного переменного, функция f (x, у), удовлетворяющая уравнению Лапласа аналитическая. Необходимым и достаточным условием аналитичности функции f (x, у) является непрерывность ее производных, которому, как очевидно не отвечает полученное нами численное решение. Такой дефект численного решения связан с большим шагом сетки, на которой ищется решение уравнения (3). Для его устранения можно использовать два способа:

- находить численное решение на сетке с меньшим шагом;

- используя найденное числовое решение на сетке находить значения в точках, не совпадающих с узлами сетки, с помощью интерполяционной процедуры.

Рассмотрим решение задачи о сплайн-интерполяции функции, зависящей двух переменных, в пакете Mathcad. При этом мы опишем только дополнения документу реализующему решение уравнения Пуассона с помощью встроенной функции relax, а потому, далее используются введенные выше обозначения переменных.

1. Задание векторов, содержащих координаты узлов сетки:

і := 0 .. N3 J.0..N3

2. Создание матрицы, содержащей координаты узловых точек, лежащих на диагонали прямоугольной сетки:

MVIxy := augment

3. Создание ПХ11-матрицы

MVIz := фЗ

чей (i,j)-E элемент есть координата z, соответствующая точке на рассматриваемой плоскости;

п := rows (MVIz) - 1

4. Вычисление вектора коэффициентов сплайна в узлах, определенных ММху, MMz

S := cspline

Помимо функции cspline(MMxy,MMzy) в пакете Mathcad имеются еще две функции, используемые для сплайн-интерполяции: lspline(MMxy,MMzy), pspline(MMxy,MMzy). Эти три функции отличаются только граничными условиями: функция lspline вычисляет коэффициенты полинома, который в граничных точках приближается к прямой линии; функция pspline вычисляет коэффициенты полинома, который в граничных точках приближается к параболе; функция cspline вычисляет коэффициенты полинома, который в граничных точках приближается к кубическому полиному.

5. Задание интерполяционной функции:

fit (X, у) := interp

S , ММху , MMz

При интерполяции функции, зависящей от одной переменной, функция interp(vs,vx,vy,x) возвращает интерполируемое значение, соответствующее аргументу х. Вектор vs вычисляется на основе векторов данных vx и vy одной из функций lspline, pspline, cspline.

6. Задание координатной сетки, в узлах которой вычисляются интерполяционные значения:

х1 := ММху о, 0 Ых := 6 • (N3 + 1, і:=0"Мх — * '

х2 := ММху N3-1,0 у2 := ММху N3-1,1 Иу :=6- (N3+ 1, О .II.

7. Вычисление значений интерполирующей функции в узлах координатной сетки

Р\Т,А :=т

8. Построение карты эквипотенциальных линий (рис. 5.20, б).

Сравнение зависимостей, представленных на рис. 5.20, показывает, что, используя сплайн-интерполяцию, удалось устранить недостатки численного решения, проявляющиеся в наличии изломов линий равного потенциала.

Наличие интерполирующей функции позволяет вычислить напряженность и построить карту силовых линий электростатического поля.

9. Задание функции, вычисляющей частные производные д дХ’У и д дУ’У) в узлах сетки, координаты которой задаются в векторах х*, уj, и возвращающей вектор комплексных чисел вида

10. Вычисление вектора, содержащего комплексные числа единичной длины

тах

УесіогЗ (X ,У,Г) :=

дх

ду

100

тах

100

foг і є 0.. го\л/з(Х) - 1 1Ъг \ є 0.. го\л/з(У) - 1

Г

Ех

і Л

2 • дх

>(Х|,У| + ду)-^Х|,У)-ду) 2 • ду

ЕУч

ЕЗи ^(Ехч) + (ЕУчУ

ЕЗ

10. Задание координатной сетки, в узлах которой вычисляются значения напряженности электрического поля:

Ж-0.6.П ¡:=0..Мх 'Vі '

со о II М V’-1

11. Вычисление вектора, содержащего комплексные числа:

Е2 := Уегіог2 (Х1 ,У1 ,Щ

ЕЗ := УесіогЗ (Х1 ,У1 ,Щ

11. Визуализация напряженности электростатического поля

ВЫВОДЫ

1. Проведен расчет на относительно грубой сетке, для которой объем вычислений невелик, а затем экстраполирован полученное решение на более мелкую сетку и эти значения могут быть использованы в качестве начального приближения для последующих итераций.

2. Наличие интерполирующей функции позволяет вычислить напряженность и построить карту силовых линий электростатического поля.

3. Предложенная программа расчета позволяет определить распределение напряженности, но вторая величина, входящая в формулу кулоновской силы - плотность распределения заряда на поверхности и в объеме жидкости - теоретически трудно определима. В связи с этим, и с необходимостью экспериментальной проверки полученных результатов необходимы экспериментальные исследования по выяснению характера распределения зарядов на границе раздела и в объеме жидкости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дритов Л. А., Мещеряков А. С., Таранцев К. В. Процесс электрогидродинамического диспергирования при получении топливных эмульсий // Электронная обработка материалов. 1992. № 2. С. 30-33.

2. Апфельбаум М. С., Бутков В. В., Дритов Л. А., Таранцев К. В. Электрогидродинамические течения и их влияние на процесс диспергирования // Электронная обработка материалов. 1995. № 1. С. 53-56.

3. А.с. 1813485 СССР. Горизонтальный электродегидратор / Л.А. Дритов, А.М. Раззорилов, К.В. Таранцев. Опубл. 07.05.93. Бюл. № 17.

4. Пат. 1780822 РФ. Электрогидродинамический дис-пергатор / В.В. Бутков, К.В. Таранцев. Опубл. 12.03.93. Бюл. № 46.

5. Таранцев К. В., Таранцева К. Р. Алгоритм расчета электрогидродинамического эмульгатора // Химическое и нефтегазовое машиностроение. 2001. № 11. С. 7-9.

6. Таранцев К. В., Таранцева К. Р. Конструкции электрогидродинамических эмульгаторов // Химическое и нефтегазовое машиностроение. 2002. № 8. С. 7-9.

7. Таранцев К. В., Таранцева К. Р. Оптимизация параметров электрогидродинамических эмульгаторов // Химическое и нефтегазовое машиностроение. 2002. № 10. С. 6-8.

8. Lacoste D., Menon G. I., Bazant M. Z., Joanny J. F. Electrostatic and electrokinetic contributions to the elastic moduli of a driven membrane // European Physical Journal. 2009. N 28. Р. 243-264.

9. Squires T. M., Bazant M. Z. Breaking symmetries in induced-charge electro-osmosis and electrophoresis // Fluid Mech. 2006. N 560. Р. 65-101.

10. Huang C. C., Bazant M. Z., Thorsen T. Ultrafast high-pressure AC electro-osmotic micropumps for portable biomedical microfluidics // Lab on a Chip. 2010. N 10. P. 80-85.

11. Поршнев С. В. Методика использования пакета Mathcad для изучения итерационных методов решения краевых задач для двумерных эллиптических уравнений // Вычислительные методы и программирование. 2001. № 2. (http://num-meth.srcc.msu.su).

12. Очков В. Ф. MathCAD 8 Pro для студентов и инженеров. М.: "КомпьютерПресс 1999. 381 с.