Исследование бесконечных групп с условиями конечности (краткий обзор)

Вычислительные технологии

Том 14, № 6, 2009

Исследование бесконечных групп с условиями конечности (краткий обзор)*

В. И. Сенашов, В. П. Шунков Учреждение Российской академии наук Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, Россия

е-шаП:веп@1ст.кгавп.ги

Приведен краткий обзор некоторых результатов по теории групп, полученных в Институте вычислительного моделирования СО РАН.

Ключевые слова: бесконечные группы, условия конечности, периодические группы.

Академическая научная школа по теории групп появилась и получила свое развитие благодаря поддержке академиков АН СССР А.И. Мальцева, Л.В. Киренского и член-корр. АН СССР М.И. Каргаполова. Начало этой школе дал прибывший в середине 1960 г. из Свердловска в Красноярск (Красноярский государственный университет) научный десант молодых алгебраистов, состоящий из В.М. Бусаркина, Ю.М. Горчакова и В.П. Шункова. В настоящей статье речь пойдет об одной ветви школы, руководимой

B.П. Шунковым.

Интенсивные исследования в области теории групп начались с 1975 г. с приходом в Вычислительный центр СО АН СССР (с 1998 г. — Институт вычислительного моделирования СО РАН) д-ра физ.-мат. наук В.П. Шункова, которого по рекомендации Г.И. Марчука директор института В.Г. Дулов пригласил на должность старшего научного сотрудника.

Исследования В.П. Шункова по теории групп начались еще на Урале, в Пермском государственном университете. Руководителем его первой курсовой работы "Описание конечных групп, в которых нормализатор любой подгруппы нормален в группе" стал доцент ПГУ молодой кандидат наук М.И. Каргаполов, научным руководителем дипломной работы (1959 г.) был зав. кафедрой алгебры ПГУ д-р физ.-мат. наук, профессор

C.Н. Черников, пригласивший способного студента к себе в аспирантуру.

По окончании ПГУ Владимир Петрович поступил в аспирантуру этого вуза, но вслед за своим научным руководителем С.Н. Черниковым, перешедшим на работу в Уральский государственный университет (г. Свердловск), был переведен в аспирантуру УрГУ. Здесь Владимир Петрович продолжал обучение под руководством зав. отделом теории групп Уральского филиала МИАН им. В.А. Стеклова профессора С.Н. Черникова и защитил кандидатскую диссертацию "О группах, разложимых в равномерное произведение р-подгрупп".

Первая работа В.П. Шункова по теории групп была опубликована в 1964 г. в Докладах АН СССР [1]. За достижения в разработке теории локально конечных групп

*Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 09-01-00395), гранта Сибирского федерального университета (проект — элитное математическое образование в СФУ).

© ИВТ СО РАН, 2009.

В.П. Шунков был удостоен премии им. А.И. Мальцева Российской академии наук, а в 1999 г. награжден медалью ордена "За заслуги перед отечеством" II степени.

С началом научной деятельности в Вычислительном центре СО АН СССР В.П. Шунков приступает и к научно-педагогической работе в аспирантурах ВЦ и КГУ. С 1978 г. им подготовлено 23 кандидата наук, из которых шестеро стали докторами наук. Еще одна кандидатская диссертация, выполненная под руководством В.П. Шункова, принята к защите на 2009 г.

За последние тридцать лет В.П. Шунковым и его учениками было разработано новое направление так называемой положительной теории периодических групп, которое получило безусловное признание как у нас в стране, так и за рубежом. При создании этой теории показана исключительная важность примеров групп, построенных П.С. Новиковым, С.И. Адяном и А.Ю. Ольшанским. В.П. Шунковым и его учениками построена теория сопряженно бипримитивно конечных групп (за этим классом групп в последние годы закрепилось название "группы Шункова"), охарактеризованы группы с условием минимальности, группы Фробениуса, слойно конечные группы, почти слойно конечные группы, черниковские группы, обобщенно черниковские группы в классе периодических групп и в классе всех групп. Получен ряд признаков непростоты групп. Итоги исследований по этим направлениям представлены в монографиях [2 - 6].

Начиная с 1970-х гг. под руководством В.П. Шункова регулярно работает Красноярский городской алгебраический семинар (проведено более 600 заседаний).

Остановимся более подробно на результатах, полученных в Институте вычислительного моделирования СО РАН.

Теория сопряженно бипримитивно конечных групп (групп Шункова) началась с работы В.П. Шункова [7]. Далее она получила развитие в работах В.О. Гомера, М.Н. Ивко, А.Н. Измайлова, Ал.Н. Остыловского, А.Н. Остыловского, И.И. Павлюка, А.М. Попова, А.В. Рожкова, Е.И. Седовой, В.И. Сенашова, А.И. Созутова, Н.Г. Сучковой, А.В. Ти-мофеенко, А.А. Черепа, А.А. Шафиро, А.К. Шлепкина, Л. Гамуди.

Известная проблема минимальности о строении бесконечной группы с условием минимальности, поставленная в середине XX в., только сравнительно недавно была решена отрицательно А.Ю. Ольшанским. В.П. Шунковым совместно с А.Н. Остыловским доказано, что всякая сопряженно бипримитивно конечная группа с условием минимальности для подгрупп является черниковской [8]. Тем самым проблема минимальности была решена положительно в классе сопряженно бипримитивно конечных групп. В.П. Шун-кову совместно с Н.Г. Сучковой удалось усилить этот результат для групп с условием минимальности для абелевых подгрупп [9]. В.П. Шунковым в работе [9] и затем им же совместно с А.М. Поповым в работе [10] охарактеризованы черниковские группы в классе групп без инволюций и в классе всех групп при достаточно слабых условиях конечности. Периодические почти локально разрешимые группы, удовлетворяющие условию примарной минимальности, охарактеризованы В.И. Сенашовым в классе периодических групп и в классе всех групп [11- 13].

В.П. Шункову [14] принадлежит плодотворная идея при доказательстве признаков непростоты бесконечных групп рассматривать произвольные, не обязательно конечные группы Фробениуса L9 = (a,a9) с циклическим неинвариантным множителем (a). Им же получен ряд признаков непростоты для бесконечных групп в [14] и совместно с А.И. Созутовым в [15, 16]. В.П. Шунковым охарактеризованы бесконечные группы Фробениуса [17- 19]. На основе примеров свободных бернсайдовских групп [20] им построен пример группы, обладающей парой Фробениуса, но не являющейся группой Фробе-

ниуса [21] (конечная группа, обладающая парой Фробениуса, по знаменитой теореме Фробениуса является группой Фробениуса).

Бесконечные периодические группы с сильно вложенной подгруппой интенсивно изучались В.П. Шунковым и А.Н. Измайловым в начале 1980-х гг. [22]. В последние годы группам с сильно вложенной подгруппой посвящены работы Т. Петерфалви, В.Д. Мазурова, А.И. Созутова и Н.М. Сучкова.

В работах [6, 23-26] ([23] — с соавторами) В.П. Шунков доказал ряд теорем вложения для элементов простых порядков в группах. Тем самым решался вопрос: в какие подгруппы изучаемой группы вкладывается элемент простого порядка и как он в них расположен? При этом на саму группу накладываются достаточно слабые ограничения. В.И. Сенашовым изучалась подгрупповая структура групп, в частности, строение как конечных, так и бесконечных силовских подгрупп в бесконечных группах [27, 28].

В.П. Шунков ввел понятие параметра вложения инволюции и на его основе изучил группы с конечно вложенной инволюцией [19]. На основе этого понятия О.В. Головановой написана серия работ и в 2006 г. защищена кандидатская диссертация. В связи с результатами, полученными при изучении групп с почти регулярной инволюцией и групп с конечно вложенной инволюцией, В.П. Шунковым поставлена глобальная проблема о переносе классификации конечных простых неабелевых групп в класс периодических групп с инволюциями.

В.П. Шунковым введен класс Мр-групп, являющийся далеко идущим обобщением черниковской группы. Этот класс групп был подробно изучен в работах [5, 29-31]. Недавно данное направление получило продолжение в работе С.Н. Козулина, В.И. Се-нашова, В.П. Шункова [32], в которой получено описание Мр-группы с ручками простых порядков, отличных от трех. Им также введен класс Т0-групп и получена абстрактная характеризация этого класса в классе всех групп. На основе полученной характериза-ции удалось установить связь между конечной группой и бесконечными бернсайдов-скими группами. Результаты, касающиеся данного класса, опубликованы в [33-36]. В 2008 г. вышла в свет работа В.И. Сенашова, В.П. Шункова [37], посвященная описанию результатов, полученных для этого и других классов бесконечных групп.

Одновременно изучаются группы, удовлетворяющие условиям конечности, наложенным на системы подгрупп. В частности, эти условия накладываются на некоторые дву-порожденные подгруппы и на слои элементов в периодических локально разрешимых подгруппах. Слойно конечные группы (группы, множество элементов данного порядка которых конечно) охарактеризованы В.И. Сенашовым в классе периодических групп [38, 39]. В.П. Шунковым совместно с В.И. Сенашовым [40] получено описание групп со слойно конечной периодической частью, у которых множество элементов конечного порядка является слойно конечной группой. В.И. Сенашовым также охарактеризованы группы со слойно конечной периодической частью [41, 42].

Почти слойно конечные группы, являющиеся конечными расширениями слойно конечных групп, представляют собой существенно более широкий класс групп, чем слой-но конечные группы, в частности, в него входят все черниковские группы. Подобно проблеме Шмидта (будет ли конечной всякая группа, у которой любая собственная подгруппа конечна) правомерно поставить вопрос: какие свойства переносятся на всю группу с некоторой системы ее подгрупп? Этот вопрос решается В.П. Шунковым в работах [43 - 45] для условия почти слойной конечности в классе локально конечных групп. В.И. Сенашовым свойство почти слойной конечности с нормализаторов ее нетривиальных конечных подгрупп переносится на всю группу [43, 46-49]. В настоящее время

В.И. Сенашовым исследуются смешанные группы и устанавливаются признаки существования у таких групп почти слойно конечной периодической части [50]. При этом находит применение теория Т0-групп, разрабатываемая В.П. Шунковым с конца 1980-х гг. Основы теории таких групп изложены в монографии [51].

В последние годы по данному направлению В.И. Сенашовым, А.И. Созутовым и В.П. Шунковым опубликованы три обзорных работы [52-54].

Под руководством В.П. Шункова подготовлены кадры высшей квалификации (в скобках указаны годы присуждения степеней кандидата и доктора физ.-мат. наук):

1. Н.С. Черников (1978, 1992);

2. А.Н. Остыловский (1978);

3. В.Г. Васильев (1980);

4. А.И. Созутов (1980, 1996);

5. Ив.И. Павлюк (1982);

6. А.А. Шафиро (1984);

7. А.Н. Измайлов (кандидатская диссертация написана в 1984 г.);

8. А.К. Шлепкин (1985, 1999);

9. Е.И. Седова (Чубарова) (1985);

10. В.И. Сенашов (1985, 1998);

11. А.М. Попов (1988, 2007);

12. Н.Г. Сучкова (1989);

13. А.В. Тимофеенко (1991, докторская диссертация защищена в ноябре 2009 г.);

14. В.О. Гомер (1992);

15. Г.А. Троякова (1993);

16. М.Н. Ивко (1993);

17. А.А. Череп (1994);

18. Ал.Н. Остыловский (1996);

19. О.В. Пашковская (1999);

20. Е.Н. Яковлева (2002);

21. С.Н. Козулин (2005);

22. О.В. Голованова (2006);

23. М.В. Янченко (2008);

24. Ин.И. Павлюк (защита кандидатской диссертации назначена на декабрь 2009 г.). Эти высококлассные специалисты в настоящее время плодотворно работают в области теории групп как в Институте вычислительного моделирования СО РАН, так и в других научных учреждениях России и ближнего и дальнего зарубежья.

Список литературы

[1] Шунков В.П. О группах, разложимых в строгое равномерное произведение своих р-групп // Докл. АН СССР. 1964. Т. 154. С. 542-545.

[2] Попов А.М., Созутов А.И., Шунков В.П. Группы с системами фробениусовых подгрупп. Красноярск, Изд-во КГТУ, 2004.

[3] Сенашов В.И. Слойно конечные группы. Новосибирск: Наука, 1993.

[4] Сенашов В.И., Шунков В.П. Группы с условиями конечности. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 2001.

[5] Шунков В.П. Mp-группы. М.: Наука, 1990.

[6] Шунков В.П. О вложении примарных элементов в группе. Новосибирск: Наука, 1992.

[7] Шунков В.П. О бесконечнных централизаторах в группах // Алгебра и логика. 1974. Т. 13, № 1. С. 224-226.

[8] Остыловский А.Н., Шунков В.П. О локальной конечности одного класса групп с условием минимальности // Исследования по теории групп. Красноярск, 1975. С. 32-48.

[9] СучковА Н.Г., Шунков В.П. О группах с условием минимальности для абелевых подгрупп // Алгебра и логика. 1986. Т. 25, № 4. С. 445-469.

[10] Попов А.М., Шунков В.П. Характеризация одного класса черниковских групп // Там же. 1987. Т. 26, № 3. С. 358-375.

[11] Сенашов В.И. Характеризация обобщенно черниковских групп // Докл. РАН. 1997. Т. 352, № 3. С. 309-310.

[12] Сенашов В.И. Характеризация обобщенно черниковских групп в группах с инволюциями // Мат. заметки. 1997. Т. 62, № 4. С. 577-588.

[13] Сенашов В.И. Характеризация групп с обобщенно черниковской периодической частью // Там же. 2000. Т. 67, вып. 2. С. 270-275.

[14] Шунков В.П. Об одном признаке непростоты групп // Алгебра и логика. 1975. Т. 14, № 5. С. 576-603.

[15] Созутов А.И., Шунков В.П. О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруппами // Там же. 1977. Т. 16, № 6. С. 711-735.

[16] Созутов А.И., Шунков В.П. О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруппами. Часть 2 // Там же. 1979. Т. 18, № 2. С. 206-223.

[17] Шунков В.П. Характеризация некоторых конечных групп Фробениуса // Мат. заметки. 1988. Т. 43, № 6. С. 725-732.

[18] Шунков В.П. О парах Фробениуса вида (FAV, V) // Мат. сб. 1989. Т. 180, № 10. С. 1311-1324.

[19] Шунков В.П. Группы с конечно вложенной инволюцией // Алгебра и логика. 1990. Т. 29, № 1. С. 102-123.

[20] Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. М.: Наука, 1975.

[21] Созутов А.И., Шунков В.П. Об одном обобщении теоремы Фробениуса на бесконечные группы // Мат. сб. 1976. Т. 100, № 4. С. 495-506.

[22] Измайлов A.H., Шунков В.П. Два признака непростоты групп с бесконечно изолированной подгруппой // Алгебра и логика. 1982. Т. 21, № 6. С. 647-669.

[23] Козулин С.Н., Сенашов В.И., Шунков В.П. О группах Фробениуса с неинвариантным множителем SL2(3) // Укр. мат. журн. 2006. Т. 58, № 6. С. 765-777.

[24] Шунков В.П. О расположении элементов простых порядков в группах // Алгебра и логика. 1989. Т. 28, № 4. С. 463-483.

[25] Шунков В.П. О примарных элементах в группах // Укр. мат. журн. 1991. Т. 43, № 7-8. С. 1070-1078.

[26] Шунков В.П. О расположении инволюций в группе // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 2. С. 208-219.

[27] Сенашов В.И. Строение бесконечной силовской подгруппы в некоторых периодических группах Шункова // Дискретная математика. 2002. Т. 14, № 4. С. 133-152.

[28] Сенашов В.И. О силовских подгруппах периодических групп Шункова / / Укр. мат. журн. 2005. Т. 57, № 11. С. 1548-1556.

[29] Шунков В.П. Мр-группы // Алгебра и логика. 1984. Т. 23, № 4. С. 445-475.

[30] Шунков В.П. Mp-группы с ядром произвольного ранга // Там же. 1987. Т. 26, № 1. С. 84-105.

[31] Шунков В.П. Мр-группы с регулярной ручкой // Там же. 1987. Т. 26, № 2. С. 220-266.

[32] Козулин С.Н., Сенашов В.И., Шунков В.П. Группы с ручками порядка, отличного от трех // Укр. мат. журн. 2004. Т. 56, № 8. С. 1030-1042.

[33] Сенашов В.И. Об одном вопросе В.П. Шункова // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 5. С. 1154-1156.

[34] Шунков В.П. To-группы // Мат. труды. 1998. Т. 1, № 1. С. 139-202.

[35] Шунков В.П. To-группа и ее место в теории групп // Укр. мат. журн. 1999. Т. 51, № 4. С. 572-576.

[36] Shunkov V.P. On placement of prime order elements in a group // Там же. 2002. Т. 54, № 6. С. 881-884.

[37] Senashov V.I., Shunkov V.P. New Classes of Infinite Groups // Mashad J. Math. Sci. Vol. 1, N 1. 2008. P. 23-29.

[38] Сенашов В.И. Характеризация слойно конечных групп в классе периодических групп // Алгебра и логика. 1985. Т. 24, № 5. С. 608-617.

[39] Сенашов В.И. Характеризация слойно конечных групп // Там же. 1989. Т. 28, № 6. С. 687-704.

[40] Сенашов В.И., Шунков В.П. Об одной характеризации бесконечных групп с конечной периодической частью // Там же. 1983. Т. 22, № 1. С. 93-112.

[41] Сенашов В.И. Группы со слойно конечной периодической частью // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, № 6. С. 1374-1386.

[42] Сенашов В.И. Характеризация групп со слойно конечной периодической частью // Укр. мат. журн. 2001. Т. 53, № 3. С. 314-319.

[43] Сенашов В.И., Шунков В.П. Почти слойная конечность периодической части группы без инволюций // Дискретная математика. 2003. Т. 15, № 3. C. 91-104.

[44] Senashov V.I., Shunkov V.P. Almost layer-finiteness of the periodic part of groups without involutions // Discrete Math and Appl. VSP. 2003. Vol. 13, N 4. P. 391-404.

[45] Shunkov V.P. Almost layer-finiteness of locally finite groups // AMSE Trans. Advances in Modelling and Analysis. 2005. Vol. 42, N 3. P. 45-55.

[46] Сенашов В.И. Группы с условием минимальности для не почти слойно конечных подгрупп // Укр. мат. журн. 1991. Т. 43, № 7-8. С. 1002-1008.

[47] Senashov V.I. Groups with minimality condition // Proc. of the Intern. Conf. "Infinite Groups 1994". Held in Ravello, Italy. / Eds. Francesco de Giovanny and Martin L. Newell. Berlin; New York: de Gruyter, 1995. P. 229-234.

[48] Сенашов В.И. Достаточные условия почти слойной конечности группы // Укр. мат. журн. 1999. Т. 51, № 4. C. 472-485.

[49] Сенашов В.И. Почти слойная конечность периодической группы без инволюций // Там же. 1999. Т. 51, № 11. C. 1529-1533.

[50] Сенашов В.И. О группах Шункова с сильно вложенной подгруппой // Труды ИММ УрО РАН. 2009. Т. 15, № 2. C. 203-210.

[51] Шунков В.П. Т0-группы. Новосибирск: Наука, 2000.

[52] Сенашов В.И., Созутов А.И., Шунков В.П. Группы с условиями конечности // Успехи мат. наук. 2005. Т. 69, № 5 (365). С. 1-46.

[53] Senashov V.I. Сharacterizations of layer-finite groups and their extensions //J. Siberian Federal Univ. Math. and Phys. 2009. Vol. 2, N 3. P. 279-287.

[54] Shunkov V.P. Groups with conditions of finiteness // Acta Appl. Math. 2005. Vol. 85, N 1-3. P. 277-283.

Поступила в редакцию 23 октября 2009 г.