Молекулярно-кинетическое описание броуновского движения нагретых несферических частиц в сильно разреженном газе

Том X Ь

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2009

№ 6

УДК 533.6.011.8

МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ НАГРЕТЫХ НЕСФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ В СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННОМ ГАЗЕ

В. С. ГАЛКИН, С. В. РУСАКОВ

Получено кинетическое уравнение, описывающее поступательное и вращательное броуновское движение несферических выпуклых твердых частиц в движущемся сильно разреженном одноатомном газе, неоднородном по температуре. Режим обтекания частиц — свободномолекулярный, т. е. характерные размеры частиц много меньше средней длины свободного пробега молекул газа, взаимодействием частиц и их влиянием на газовую фазу пренеб-регается, справедлив зеркально-диффузный закон взаимодействия молекул с поверхностью частицы. Температуры частиц одинаковы и отличны от местной температуры газа. Такая термическая неравновесность приводит к нарушению известных связей коэффициентов диффузии в пространствах поступательных и вращательных скоростей с коэффициентами сил и моментов, действующих на частицу. Коэффициенты в операторе столкновений Фоккера —

Планка, входящего в кинетическое уравнение, вычислены для частиц — тел вращения. В случае частиц без продольной симметрии (круговой конус конечной длины, полусфера и т. п.) оператор столкновений Фоккера — Планка содержит вторую смешанную производную от поступательной и угловой скоростей.

Ключевые слова: кинетическое уравнение Фоккера — Планка, броуновские термически неравновесные несферические частицы, мелкодисперсная газовзвесь.

При выводе оператора Фоккера — Планка для броуновских частиц ранее использовалось предположение, что частицы находятся в состоянии термодинамического равновесия с газом [1, 2]. Это не позволяло учесть, например, влияние термической неравновесности, т. е. различие температуры частиц Тр и местной температуры газа Т. Кроме того, рассматривались достаточно

симметричные частицы, так что сила и вращательный момент не зависят от компонентов угловой и поступательной скорости соответственно, и поэтому оператор Фоккера — Планка не содержит вторую смешанную производную по поступательной и угловой скоростям от функции распределения.

Постоянный рост интереса к исследованиям течений газовзвесей (т. е. смесей газов с твердыми или жидкими частицами) обусловлен соответствующими запросами авиационно-ракетной техники, химической технологии, двигателестроения и т. д. [3—5]. Во многих случаях важен учет неравновесности, обусловленной нагревом (или охлаждением) частиц, химическими процессами на их поверхности и т. п. Теория механики газовзвесей носит феноменологический, а зачастую просто эмпирический характер. Развиваются направления, основанные на кинетической теории [6, 7], с тем, чтобы обеспечить не только вывод уравнений механики газовзвесей как сплошной среды, но и расчет коэффициентов переноса и релаксационных слагаемых, как это делается в кинетической теории идеальных газов. Более того, в некоторых случаях исследования течений газовзвесей должны базироваться на представлениях молекулярно-кинетической теории. В последнее время эти направления получили новый импульс развития, обусловленный изучением поведения наночастиц [7]. Однако в кинетической теории газовзвесей делается много предположений, что, как известно, определяется сложностью рассматриваемых процессов.

Важный способ анализа точности теории — рассмотрение простейших случаев, когда удается построить убедительные математические модели. Ярким примером является работа [8], где проведены разложения по малому параметру больцмановского интеграла столкновений тяжелых молекул с легкими в предположении, что все молекулы — упругие сферы. В результате из кинетического уравнения Больцмана выведено кинетическое уравнение Фоккера — Планка для броуновских свободномолекулярных сферических частиц, с поверхностью которых газовые молекулы взаимодействуют согласно закону зеркального отражения. Однако ранее было принято считать, что кинетическое уравнение Больцмана неприменимо для описания броуновского движения частиц, обусловленного коллективным (а не бинарным) воздействием молекул среды, поэтому результат [8] расширял представления об области применимости этого уравнения. Этот результат можно обобщить на учет термофоретической силы, действующей на зеркально отражающую сферу в свободномолекулярных условиях, т. е. при числе Кнудсена броуновской частицы Кп »1, применяя полученные в работе [9] выражения для частного случая молекул-упругих сфер.

После этого [10] возник естественный вопрос: нельзя ли аналогично получить кинетическое уравнение Фоккера — Планка для других законов взаимодействия молекул окружающего газа с поверхностью твердой частицы (вместо зеркального), в частности для важнейшего диффузного закона, из уравнения больцмановского типа (в последнем, по определению, конвективная часть равна оператору столкновений, характеризующему разность прибыли и убыли числа частиц из элемента фазового пространства). Требовалось построить теорию этого оператора на базе теории свободномолекулярного обтекания с дальнейшим применением разложений по малому параметру аналогично [8], предполагая мгновенными столкновения молекул газа с поверхностью частицы (т. е. предполагая время столкновения пренебрежимо малым по сравнению с характерными временами поступательного и вращательного движения частицы), так что оператор вычисляется при фиксированной ориентации частицы. Нагрев (охлаждение) частицы не вносит принципиальных изменений в характер процесса взаимодействия газа с частицей, поэтому сразу [10] температуры частиц предполагались одинаковыми и отличными от температуры газа. Это давало возможность исследовать влияние термической неравновесности на коэффициенты оператора и использовать результаты исследований для постановки специальных опытов по вопросам применимости уравнений больцмановского типа.

Такая программа реализована в статьях [10—12] и в данной работе. В каждой из них подчеркивается важнейший для данной математической модели результат: в отсутствие термической неравновесности, т. е. при равенстве температур частиц и газа, полученные уравнения переходят в известные кинетические уравнения для броуновских свободномолекулярных частиц, установленные при помощи принципиально иных методик. Этим доказано, что уравнения больцманов-ского типа применимы для вывода кинетических уравнений броуновских свободномолекулярных частиц.

Ранее была разработана кинетическая теория оператора Фоккера — Планка для свободномолекулярных термически неравновесных частиц, сначала для сферической частицы в неподвижном однородном газе при диффузном законе отражения молекул газа от стенки [10]; затем проведено обобщение на случай движущегося неоднородного по температуре газа при зеркально-диффузном законе отражения [11], после чего та же постановка задачи распространена [12] на несферические частицы, коэффициенты в искомом операторе вычислены для частиц — тел вращения с продольной симметрией (согласно терминологии [13] такие тела обладают плоскостью симметрии, перпендикулярной оси симметрии, например, сфероиды и сфероцилинд-ры [12]). В этом случае оператор столкновений не содержит слагаемых со второй смешанной производной. Термическая неравновесность приводит к значительному изменению известных выражений для коэффициентов диффузии в пространствах поступательной и вращательной скоростей частиц через коэффициенты сил и моментов, действующих на частицу при ее движении в газе; степень этого изменения зависит, вообще говоря, от коэффициента аккомодации и формы частицы [11, 12].

Ниже дается более полный, чем ранее [12], вывод кинетического уравнения, описывающего поступательное и вращательное броуновское движение свободномолекулярных частиц в неоднородном газе при отличном от единицы параметре термической неравновесности т = Тр!Т Ф1 и

произвольном законе взаимодействия молекул газа с поверхностью частицы. Далее используется

зеркально-диффузный закон взаимодействия, учитывается только слабая неоднородность температуры газа. Во входящих в оператор столкновений многомерных квадратурах проводится интегрирование по относительным скоростям молекул до и после столкновения с элементом поверхности частицы. Окончательные явные выражения получены для полусферы и кругового конуса, когда в оператор Фоккера — Планка входит вторая смешанная производная функции распределения.

Как и ранее [10—12], плотность взвешенной фазы (ансамбля частиц) предполагается настолько малой, что столкновения частиц и их влияние на параметры течения несущей фазы (газа) несущественны. Максимальный размер частицы много меньше средней длины свободного пробега молекул, но, однако, много больше диаметра молекулы, так что частицу можно считать макроскопическим телом, взаимодействующим с газом по законам свободномолекулярных течений (для краткости при таких условиях частицы названы свободномолекулярными [11, 12]).

Частицы предполагаются выпуклыми, твердыми и однородными по массе и температуре. Скорость газа и в неподвижной системе отсчета, его массовая плотность р и температура Т постоянны на длинах порядка dm. Разности характерных скоростей фаз намного меньше характерной тепловой скорости молекул. Вдали от частицы задан градиент УТ, следствием чего является термофоретическая сила.

Ниже попутно исправлены некоторые неточности, допущенные ранее [10—12]. Основные опечатки [10, 11] указаны в [11, 12] соответственно. В работе [12] в первой формуле (2.5) ф^ — \ф/ДпкТ) нужно опустить знак минус. Особенно много неточностей в формулах допущено в английском варианте статьи [12].

1. Кинетическое уравнение. Используются предположения [10—12], делаемые при выводе уравнений больцмановского типа. Время взаимодействия (столкновения) молекулы с поверхностью частицы много меньше характерного времени изменения функции распределения частиц ¥р. В процессе столкновения изменение ориентации частицы несущественно, и вывод выражения для оператора столкновений проводится при фиксированных значениях углов Эйлера. При этом можно привлечь известные результаты кинетической теории газов из несферических молекул, рассматриваемых в рамках классической механики [14]. Изменение функции распределения ¥р = ¥р (г, (, £р, юр, а) в элементе фазового пространства описывается выражением

DFpdгdtd£ ^ а =

Конвективный оператор ^Ер дается формулой [14]:

эрр=§+£

Величина (Д+ — Л—) равна разности прибыли и убыли числа частиц на единицу времени и

в единице физического объема при фиксированных значениях углов Эйлера, при помощи второго равенства (1.1), она определяет оператор столкновений ^

В соотношениях (1.1), (1.2) £ р — скорость центра масс частицы относительно неподвижной системы отсчета; юр — ее угловая скорость; г — радиус-вектор центра масс; t — время;

а — вектор, компоненты которого равны углам Эйлера; Ф — внешняя сила, отнесенная к массе частицы т р .

Приступая к вычислению разности Д+— Л—), для учета движения газа введем скорости частиц и молекул относительно местной скорости газа и [11]:

^р = £р — и, W = £ — и, и = и (г, t).

Соотношения, связывающие скорости молекул и частиц до и после столкновения, имеют

вид:

W, =

т

W,p = Wp +

т

ю'р = йр +1 1 [х х Є ].

Здесь т, тр — массы молекулы газа и частицы соответственно; штрихом обозначаются величины после столкновения; W,, W — относительные скорости молекул после и до столкновения; С — импульс, передаваемый при столкновении; I — тензор инерции частицы относительно подвижной системы отсчета с началом в ее центре масс; х = Яе — радиус-вектор произвольной точки поверхности частицы в этой системе отсчета; Я — величина радиуса-вектора (переменная по поверхности частицы в отличие от сферы [10, 11]); е — соответствующий единичный вектор.

По определению I • I—1 = Е, где Е — единичный тензор; символом Т—1 вводится тензор, обратный тензору Т. Точкой определяется скалярное произведение векторов и простое произведение тензора второго ранга на вектор или тензор второго ранга, две точки означают двойное произведение тензоров второго ранга, например, и • п, Т • и, Т • Т, Т: Т' соответственно, где и, п — векторы, Т — тензор. Знак «X» обозначает векторное произведение, которое заключается в квадратные скобки, когда оно является сомножителем, и записывается, например, в виде [и X п]. Для диад применяются обычные записи ии, пп и т. д. При необходимости заключаются в скобки и другие сомножители: выражение Т: (Т- ии) есть двойное произведение тензора Т на тензор,

равный простому произведению тензора Т/ на диаду ии. В дальнейшем применяются также обозначения (к — постоянная Больцмана):

g = W- V, і' = W,-у', V = Wp -ххйр, Лg = g,-g

р

-1

Е = тр1 1 [х хЛg], £ = т (тр + т) , ц =

р’ -гтг

к = 2кТт

Исключение импульса Є из соотношений (1.3) проведено ранее [12]. В результате найдены следующие выражения:

(w' Л

Тр

W'

(wp Л

р

w

/

“I ' -е

д 1 V1 -е

J

!]етр -[

Л

-¥Е

( -1 Л тр

-т V гп У

А = е х(-[е xЛg]), ¥ = е х(П-е), П = ( + |Л 1Я2) ,

Н = —ц2 { х-(Г1 -[П-х])) {х-Г1 -([х xЛg ])}.

Число столкновений молекул со скоростями из элемента d W с частицами, имеющими скорости в элементе dWpd юр, равно

|п- ^/(г, t, W)dWdSFp (г, t, Wp, юр, а)dWpdаdrdt.

Здесь п — единичный вектор внешней нормали к элементу поверхности частицы dS; /— функция распределения молекул. В дальнейшем для краткости аргументы г, t в функциях распределения опускаем. При столкновении молекулы с частицей ориентация последней не меняется, поэтому опускаем также аргумент а в функции распределения частиц ¥р.

Вероятность того, что молекулы после отражения от элемента dS приобретут относительные скорости из элемента dg', равна Р (ц, g')dg', где Р отнесена к потоку числа налетающих молекул, т. е. полная вероятность испускания молекулы (интеграл от Р(ц, g') по области п - g/ ’> 0) равна единице. В результате получаем:

пц<0 п-^>0 S

Аналогично вычисляется число столкновений, переводящих скорости W', Wp, йр

в W, Wp, йр. Имеем:

Л+= | | /|п-ц'|/^')Р(g', g)^р (р, йр)dW'dgdW'pdй'p

dS.

п-^<0 пц>0 S

Используя (1.5), можно показать, что якобианы преобразований переменных w, §', Wp, йр ^ w', g, wp, йр ^ g, g', Wp, йр имеют блочный вид и равны единице. В результате при помощи соотношений (1.1), (1.4), (1.6), (1.7) находим кинетическое уравнение больцмановского типа:

В уравнении (1.8) левая часть дается выражением (1.2), а для правой части, т. е. оператора столкновений, находим следующую формулу:

3=IIя(-п-ц)я(-§)п-§1 /('+у')Р( 8)р(WP, й'р)-

-Н(-п - ц)я( - §)п - §/( + у)Р(g, ц')р (, йр)}dgdg'dS.

Здесь интегрирование проводится по полным скоростным пространствам, функция Н (у) равна 1 для у > 0 и 0 для у < 0, вектор V определен третьей формулой (1.4). В первом слагаемом подынтегрального выражения формулы (1.9) вместо переменных W/, Wp, юр подставляются правые части первых трех соотношений (1.5), затем переобозначаются переменные g/ на g и g на g/, например:

f ((' + V ) = /) = f ( + Лg — Дп) = )(v + g, — )(v + g + АП) = )(л + ).

После этого выражение (1.9) для оператора J принимает вид:

J = {[>(л + Ап)^р( +Д^, юр +АШ) — f(л)^р(, юр)0 ={[3^0,

d0 = Н(—п - g)Н(п - g,=n - ^Р(g, g')dgdg'dS, Т| = g + V,

( А, Л

V Ап -Лц у

V п

= -[е (е-Лц )-Д ]

( -е Л V1 -е

+ ¥Н

( -1 Л тр V-т_1 у

Лш = -1 1 -{[х хДетр-[х х¥] Н}.

В последних двух равенствах использованы обозначения (1.5). Далее аналогично [10] используем малость е 1, предполагая, что поступательная и вращательная скорости частицы порядка £ по сравнению со средней тепловой скоростью молекул газа. Линеаризуем выражение 3,

заключенное в квадратные скобки первой формулы (1.10), по А^, , Аю, малых по сравнению

с п, Wp, юр соответственно. Получаем:

(

3 = К

Л

(

+/

ЭЕр

ЭЕр

Л

-Л£ +

ЭWp ^ Эю

( д 2 Ер

V

ЭWp ЭWp

:

д 2 Ер

+ -

ЭWpЭю р

:

“ю

'р У

2

+ 1 Е Э 2 f

+— Ер--------

2 р ЭпЭп

д 2

+ -

Эю р Эю р

: (ЛюЛю) +

: ( (ПЛП ) + д 2

Эю pЭWp

:

Для краткости здесь обозначены Ер = Ер (Wp, юр), ) = f (п).

Теперь разлагаем по £ формулы (1.10) для Л^, А^, Лю с учетом выражений (1.5) и известного соотношения:

(Е + еТ)—1 =Е — еТ, Е—1 = Е,

где Е и Т — единичный и произвольный тензоры второго ранга соответственно. Опуская слагаемые более высокого порядка по £, получаем следующие выражения:

Лi..£Аg, Л^.^ — е[ххЕ], Лю ~ еЕ.

Здесь величина Е определена пятой формулой (1.4). С учетом этих выражений и формулы П = g + Wp — х хюр будем иметь:

3Г = Ъ/ д2/ =32 f Э/.Лю=_Э£ .[х х Е],

ЭWp Эр ЭWp ЭWp Эр Эр Эю р Эр

^(ЕЕ х Е]х х Е]

(еЛе хЕ]ЛЕ

Полученный результат позволяет записать рассматриваемую величину 3 в виде:

Г ЭК ЭЕр 1 е2 Г Э2 ¥р ч Э2 ч Э2Ер / ч.

3=£<!—^ •Лg + —^-еГ f+— \: (Лg Лg) +--------------: (ЕЕ) +-------: (Ав Е ) f.

[ ЭWp ё Эюр Г 2 [ ЭWpЭWp ^ ё ’ ЭюрЭюр У ’ дщрдюр У И

Теперь опять используем предположение о малости скоростей частиц, так что /(п) = f(g + V).7(е)+V -^/М V-£,

Эg Эg

д 1 Г_=: Э2 I2

g • , (g g) : Л 2

ЭWp е Эю р Эю р е2

р

и т. п. (здесь 1р — максимальный размер частицы).

Удерживая главные члены разложений, получаем следующие соотношения для оператора столкновений:

(

J =-

dWp

Л

-F„

+

Эю,

•-(—M’Fp ) +

d 2 Fp

+

2mp J dWp dWp

d 2 F d 2 F

:(AgAgf) + ^-F^ :<SSf> + 2 p

Эю p Эю p

dWp дю p

{AgSf)k

-F = (Ag f) + /Ag f • Wp +/Ag

x x

l

dg

-M*mp = (Sf) + ( S

xx

L

dg

• ю p + / S f • Wp, S = mpl-1 -[x xAg ],

/ = /(g), (, Юр), (Л) = га | | |М0.

п^<0 п ^>0 5"

Подчеркнем, что в соотношениях (1.11) — (1.13) и ниже / = / (ё). Дифференциал й 0 определен второй формулой (1.10). Напомним, что точкой вводится скалярное произведение векторов и простое произведение тензора на вектор или тензор, две точки означают двойное произведение тензоров. В данном случае эти тензоры являются диадами, которые записываем, например, в виде:

д 2 Fp

dWp dWp

, Ag Ag, Ag

x x

L

dg

S L. dg

2. Оператор столкновений. Выражение для оператора J носит общий характер. Для его конкретизации будем считать справедливым зеркально-диффузный закон отражения, когда

2 ^ ~/2 ^

P(g, g') = (1 - a) 5{g' - g + 2n (n • g)} + a-h~p |n • g'| exp

n • g' > 0, hp = 2kTpjm, a = [0, 1] = const,

где a — коэффициент диффузности (его называют также коэффициентом аккомодации тангенциального импульса, при a = 1 имеем диффузное отражение), 5 — дельта-функция.

Далее предполагается [11, 12], что функция распределения молекул f дается первым приближением метода Чепмена — Энскога, причем учитывается только слагаемое, обусловленное неоднородностью температуры газа, так что в неподвижной системе отсчета имеем следующее представление:

f(g) = fo ( d1 + ¥T d fo (g2 )= ^(h п=

2

exp

¥T =— A (g 2 )g-VT.

Учитывается только первое слагаемое разложения функции А (2) в ряд по полиномам Со-

нина. Анализ точности такого приближения проведен ранее [11]. Первые слагаемые формул (1.12), (1.13) принимают вид:

(Agf) = (Agfo (1 + yT)), (Sf) = (sfo (l + v7

во всех остальных слагаемых выражений (1.11) — (113) функция f заменяется на /°. В результате получим следующее выражение для оператора Фоккера — Планка:

J =

!-—Fp + DP• р

р [ mp р % р \ дюр

-)(-м •1-1 )Fp+>.

дю р

д£ p дю p

Действующие на частицу сила F и вращательный момент M обусловлены поступательным движением частицы, градиентом температуры газа и вращением частицы. В соответствии с этим запишем

F = F^+ FT + Fffl, M = M ^+ MT + M ю.

В первую формулу (2.2) входят величины:

*?= 4

^ = р { 4( Ы) +

- B (') + 6 B (6

({п (" • qг))) |,

=А(([xхюp]))-B(1)((п(ю( Iх х"])).

Слагаемые второй формулы (2.2) даются выражениями:

м = р|А( (х х q^)+

= А(( X х(и - 5 р ) +1 (1^([х х п ][(и - 5 р );

(([ххп[(п • qт )))^

м ю = А((х х [х хю р ])) -1 (1^([х х п]( р[х х п]). Скобки (( У} обозначают интегрирование по поверхности частицы:

(ф) = | іаБ; 2 = (и - 5 р), п ( - 5 р )),...

так что, например, «и - ^ р»=( — \р ), где 5 — площадь поверхности частицы. Используются обозначения (X — коэффициент теплопроводности газа):

А = 2р

И /2 а

п) 4

,1 (1)=2Р (3

qT = -А,УТ, р = —кТ, т

V2 (

1 +

V

2кТ

т

I пл/т - 6

а

I = 1,

т

т =—, е = -

Т тр

После аналогичных, но более сложных выкладок получаются следующие формулы для коэффициентов диффузии в пространствах поступательной и угловой скоростей:

^=^°°Е+ь°пп^,

Бю = 2 тр ]Ьо<< I!

‘ [X Xп])(г‘ [хXп]

+

+ ао(( (х • х )£ ( 1  Єк ) 1 • ек )-( 1 • х ) 1 • х

к=1

и смешанного коэффициента диффузии:

( 3

=е

V к=1

Использованы обозначения:

2 °о\ (ек ( 1 [х хек ])//+М\П ( 1 [х Хп]

И3/2 И312

= а(1 + Т)^=Р’ Ьо = ао +~г 4у] п ып

—пТг + 2

4 4 '

ек (к = 1, 2, 3) — единичные вектора, образующие правую тройку векторов.

Рассмотрим равновесный случай, когда и = 0, УТ = 0, т = 1, а функция распределения частиц по скоростям должна даваться формулой

рр

поэтому производные от нее имеют вид: дК

*

кТ р

У

д2Кр0) (0) т„ , .

Т У ^ТІЮ^ = Рр]Т^

кТ ) д*рдюр ^ (кТ)2V

где учитывается симметричность тензора инерции !.

Внесем эти производные и все коэффициенты, не зависящие от координат поверхности частиц, в подынтегральное выражение и запишем оператор (2.1) в виде:

3 = {^ з^+зщ+з^Уі,

где использовано определение (2.5). Докажем, что подынтегральное выражение в формуле (2.13), т. е. сумма 3^ + Зш + 3^ш, равно нулю и, следовательно, справедливо распределение (2.11).

С учетом сказанного оператор 3^ дается формулой:

3Р =--

т^+г- к*,)

тр Ир

К0) И =

1 р ? Пр

2кТ

т

где вектор ^ дается первой формулой (2.3), тензор — формулой (2.7). Учитывая, что в равновесии коэффициенты (2.6), (2.10) связаны равенством

(, В(1))=1 (ао, Ьо),

И

а для скалярного произведения вектора на диаду справедлива формула

*р • пп=п

получаем, что выражение в квадратных скобках формулы (2.14) для / равно нулю, так как

^ К-5Р ) = т-' (р Е + В (1)5 р • пп )= ) [ А% „ + В (1)п (р • п)_

где Е — единичный тензор. С учетом третьей формулы (2.4) и формулы (2.8) для /ш имеем выражение:

д Ч»1-1+М1 )

1 г

тг

кТ

р (0) р

Аналогично получаем:

в»

-л(((і-1  х)(х  Юр) -(х  х)(і-1 Юр ) - -(„  I-1 ).

Следовательно, выражение, входящее в квадратные скобки формулы (2.15), равно нулю. Наконец, используя третью формулу (2.3), первую формулу (2.4) и выражение (2.9), для ,/?ю находим представление:

•?ю -

р

.

кТ

Рю Чр +

Учтем, что для любых двух векторов а, Ь и симметричного тензора Т верно равенство (•Т-1 )ТЬ ) = аЬ. Кроме того, тензор является диадой, а для двойного скалярного произведения диад справедливо выражение аЬ : cd = (а • d)(Ь • с). Тогда получаем, что сумма первых двух слагаемых в квадратных скобках формулы (2.16) равна третьему со знаком минус

V4р +

поэтому /^щ = 0.

Таким образом, равны нулю подынтегральное выражение в интеграле (2.13) и, следовательно, оператор /, т. е.

/\ + /ш + /^ю = 0 ^ / = 0,

и справедливо равновесное распределение (2.11), что и требовалось доказать.

3. Частицы — тела вращения. Пусть частицы являются телами вращения с осью симметрии, задаваемой единичным вектором и. В этом случае оказывается возможным записать коэффициенты оператора (2.1) через выражения, определяемые только формой частицы. При интегрировании по g и g/ используется методика [12, 15, 16].

Оператор Фоккера — Планка (2.1) приобретает теперь следующий вид:

• = -

Э4 г

7?  (4р - и) + 0-УТ--^

Рр + Б?  -

+

+

У»-юр-(м?+ мТ )-1

Э£ р Э юр

Тензоры второго ранга , 0, Б^, Б даются следующими выражениями:

в

.Р±.

= Ф

( 2Р2 1 а_ (11

V *1 - Р2 )

+ - Р1 2 1

V1/

1/2

Ф = —(“) , х = 1 + (л/т-6)).

тр V п ) к ' 8

В формулах (1.10), (3.3) и ниже используются записи формул в виде столбцов. При этом,

- Р2) +1 а Р1

. Выражения для фц, ф^ находятся соответственно из фор-

мул (3.3) для в,,, Р± путем замен ф^-^Ф, 1 -—а.

5 р 4

Для остальных тензоров справедливы выражения:

ущ= I-1 • ( ии + Л±(Е - ии )), Б^ = ^ ГЕ + ф( Е + (1 - 3N )ии )] ),

( Л 1 Л11

V /

= ф тр

( 2Н2 V а

V Н1 - н 2 /

+—

2

V 2

Бю 2 тр

д ,„„2 (7т-1 т-1

I-1 • I-1 )(( - н 2)+о,+о2 ]+(1-1 • и )-1 • и )(3Н 2 - Н1)+в1 - 3О2 ]},

Ф = 1+

1 + т

лл/т + —

а

Выражения для множителей ф, %, д, ф даны в формулах (3.3) — (3.5), I 1 — тензор, обратный тензору инерции в подвижной системе отсчета, Е — единичный тензор, ии — диада. Коэффициенты, определяемые только формой частицы, даются выражениями (с использованием скобочных операторов (2.5)):

р1 = «'»• *2 =(((п • и}2)), N = 2

, О1 = (( X2

02 =

Через них выражаются интегралы по поверхности от диад, появляющиеся при вычислении рассматриваемых тензоров (напомним, что п — единичный вектор внешней нормали):

пп

XX

у[х X п][х X п ]

(Р11 01 V Н1 /

(Е-ии) + -

( *2 1 02 V Н 2 /

ии - 3Е |.

Подробнее о вычислении этих интегралов сказано ранее [12], где рассматривались частицы с продольной симметрией, т. е. обладающие плоскостью симметрии, перпендикулярной оси симметрии [13].

Остальные слагаемые оператора (3.1) появляются в случае тел, не обладающих продольной симметрией. Справедливы следующие выражения для действующих на частицу силы, обусловленной вращением,

г= 2 Гр X и ], 2 = А ^2 + В

и

и вращательных моментов, обусловленных поступательным движением и градиентом температуры,

= АМ2 их(и-£р) + в(1)и{і (и-£р)• і -і (и -£р )•) }.

Мг = -

М2 [и хУГ ] + и

-в (1)+1в [ 6

[ і(уГ • і)-і (уГ-і)]1,

Принципиальным является появление последнего слагаемого (3.1) со смешанной производной, где смешанным коэффициентом диффузии будем называть величину

°^ш=е1М2«0 £ ек (І (и хек ])+60 и і (1 1 [и хі ]) + ) 1 [и хі]

к=1

Формальной причиной появления новых слагаемых в операторе столкновений является то, что в отличие от случая [12] здесь не равны нулю интегралы по поверхности частицы

а1 = ((х)); а2 = ((ппх)); ппх = (хх); V, М, Х = 1, 2, 3,

2 2

содержащие третью компоненту вектора х, т. е. его проекцию на ось симметрии: Х3, п Х3, пх3,

2

П3 Х3, ППХ3, «2П3Х3. Можно показать, что интегралы а1, а2 приводятся к следующему виду:

а1 =М2u, а2 =М1иии + 2(М2-М1 )(“ + И )и + 1М3(и[іі + іі] + іиі + juj), М1 = (((х•и)(п •и^ М2 = ((х• и)), М3 = (([ххи][пхи](п •и).

Единичный вектор вдоль оси симметрии частицы и образует с единичными векторами і, j взаимно перпендикулярную тройку, так что единичный тензор Е = іі + jj + ии. Используя (3.11) и известное выражение для векторно-скалярного произведения, найдем:

п(Шр • [ххп]) = и{і(і • [Юр хи]) + j( • [Юр хи])}=и[Юр хи],

п)[ххп])) = и[і

Соотношения (3.11), (3.12) использованы при вычислении выражений (3.7) — (3.10).

4. Частные случаи. Для получения простых качественных оценок рассматриваются частные «вырожденные» случаи движения броуновских частиц [2]. В дальнейшем предполагается, что вектор и, связанный с осью симметрии частицы, направлен вдоль оси г неподвижной системы отсчета (фиксирование этой оси осуществляется, например, сторонними силами [2]), скорость газа и = 0. В обоих случаях интеграл Н2 = 0 (см.(3.6)).

Первый случай рассмотрен ранее [12]. Частицы обладают продольной симметрией, т. е. плоскостью симметрии, перпендикулярной оси симметрии, вдоль которой направлены векторы

4 р = £, р и, р = юри, У Г = ((Г/^г )и. Оператор Фоккера — Планка приобретает гораздо более простой вид:

У = -

Э^ р

р + 0

ёГ

ЭРр I э I

рр + ( + дТТ 1 ^юрРр +

Э^ р I Эюр

Эю р

Коэффициенты у^, уш, 0, Вр, Вш — скаляры, выражения для них следуют из формул (3.2) — (3.5):

1

Ур=Р|| , ^=Г^ ^11 , 0 = Ф|| , В;=С[[ + ФР2 ], °ш=^Т т2р

где Гии — момент инерции относительно оси частицы. Эти коэффициенты записываются через интегральные величины (3.6). Явные выражения для последних получены [12] для круговых цилиндров конечной длины, сфероцилиндров и сфероидов. Используя эти выражения, дан анализ влияния несферичности частиц на связи между коэффициентами диффузии в скоростных пространствах и коэффициентами сил и моментов, действующих на частицу, при наличии термической неравновесности.

Приведем эти явные выражения. Для кругового цилиндра с радиусом основания Я и длиной Л*Я0 имеем:

( Ур 1 0

= У Ф

( п /-1 с. +—а>/т

14

X

7~ с1

5 р

( Уш 1

V Вш У

= У с2

(а 1

—Ф 2

И

V Я2 у

( с1 1 V с2 У

1 + 2 И* +----------

6

= Ус(1 + И*)) 2 + И + -

1+

1 + т

пл/т +—(1 -а) а

, У = 2пЯ02.

При И = 0 получаем формулы для круглого диска [5]. Аналогично для сфероцилиндра, состоящего из кругового цилиндра с радиусом основания Я и длиной И*Я и двух полусфер на концах, находим:

(

( Ур 1

V0/

= У ф

с3 +

п Г-

—ал/т

\

V Вш У

р — »4

гпЯ 13+'

( аф 1 2 С

—тг

р

V Г У

У = 2пЯз2,

+ т

п\/т +—(1 -а) а

( с31 ЧГ/

( 4 И*. 1

—+ а—

3 2

тр Яр 16 + 15И* 10 4 + 3И*

Коэффициенты ф, с определены последними формулами (3.3), (3.4). При И* = 0 отсюда следуют соответствующие соотношения для сферы [4]:

Ур= 3 р Я02л/пИ ^ + а ^ т-1, 0=15^ ^Я2^ ^ш= 4 Р Я04Т^ аГ-1,

Вр =----Ур(1 + $р) Вш= “ГГ Уш(1 + Sш),

тр ъ 4 ъ' Г

т-1

тр

5р=а5ш |1 + аПл/т| , 6ш=тг-, Г =—трЯI, т = -р.

т

Здесь X — коэффициент теплопроводности газа.

ии

Для сплюснутого эллипсоида вращения (сфероида) с полуосями а и Ь (ось а > Ь, вращение вокруг малой оси [17]) имеем:

V ь у

= 4пф(а2 + Ь2а

Хё1 +

а

5 р

4 а

4 У 4

1 -3а ] + а

2ф

V Дю У

Vі" 2

4Г

^ аф ]

2тр —

V р г у

= 1

У

(1 + к2 )а-1

с = — 1п

1 1 + к

к2

= а413 -к2 - у 2о(2 - 5)—1

2к 1 -к

2і 2 ^ 2 У = 1 -к , Г = — Шра ,

1 -к4

-(1 -к2 )3

2 л Ь к = 1

2

Аналогичные выражения для вытянутого эллипсоида вращения (сфероида) с полуосями а и Ь (ось а < Ь, вращение вокруг большой оси) получаем из приведенных формул для сплюснутого эллипсоида путем следующих замен. В формулах для столбца из элементов у^, 0, Д нужно выполнить замены

а + Ь о —— а (а + Ьо), ё1 —— ё3 а в формулах для столбца из элементов уш, Дю — замены

_ 1 У-

к

—

_Ь4у|у(з-2к2) + о(5-4к2)-)у у(к2 - 1) +о

В данном случае в работе [12] допущена ошибка: в формуле для Gl нужно заменить 3 -к на 3 - 2к2. Как и в [12], во всех формулах для вытянутого эллипсоида

1 • Гл 2 2 л а2 ^ 2 2

с=—аго81пк, у = V1 -к , к =1--------- Г =—тра .

к Ь 5

Рассмотрим второй частный случай. Частицы не обладают продольной симметрией. Векторы £р =рр 1, УТ = ((Т/аХ ), Юр = Шр] перпендикулярны оси симметрии частицы. Через Гхх

обозначен момент инерции частицы вдоль оси, перпендикулярной и. Тогда выражения (3.7) — (3.9) принимают вид:

X дТ . А

Мт =---------. V = -^ +

р дх 5

и,

Б

д 2

д 2 К

д^ р дю р ^идЬ р дю

£

^ ^=—(2 а0 +иЬ0 ),

Зр~~р

р р

а вместо формулы (4.1) с учетом выражений (4.3) — (4.5) имеем следующее выражение для оператора столкновений:

У = -

р+0ох - -р юр

Рр + Д

ЭРр

р

+

+

Уш р +-

Г & р +-г^-

р ах

дРр І Э 2 Рр

Рр + Д.,-^ !> + А р

р ю

Э^ р Эю р

Напомним, что фигурирующий в соотношениях разделов 1, 2 радиус-вектор х = Яе произвольной точки поверхности частицы в подвижной системе координат отсчитывается от центра инерции. В первом случае он совпадает с центром симметрии, который здесь отсутствует, что усложняет задачу вычисления коэффициентов формулы (4.6). Эти коэффициенты выражаются через интегральные величины (3.6), (3.11).

Для кругового конуса с радиусом основания Яд, высотой к*Яд и центром инерции, расположенном на расстоянии к* Яд от основания, имеем следующие выражения для этих величин:

1 Г, 1' с 1 к + 00 1

1 — , Н = 2 1+

2 V 1* У 8 І*

, І* =д/ї

+ 1

О =

1+и

О2, О2 = т ^ ^2 ( 1 + 1* ) , Д1 = К

16

— 1 +------

3І*

, с = лЯо ,

8 к 3 Ї*

Д2 =к—1 + Т I, Дз =--, к = —Г11, Гхх = 20трЯо11 + Т

к*пЯо3

т

1 к2 4

Аналогично для полусферы радиуса Я0 с центром инерции, расположенном на расстоянии Яд от основания, имеем:

7?=ОГ> 2 77 = 5 „ 2 ЛТ_ 2 „ = 11 „ = 139

Р1 = 3пЯо, Р2 = 3 пЯ0, ^ = 9, Н1 = 16 с, О1 = 64 с,

65

1

1

83

О2 = 192 С, С = пЯ(), Д1 =Д2 = 4 Д3 = 8 пЯо, Гхх = 320 трЯ .

Как и в случае конуса, учитывается вклад основания (интегрирование проводится по всей поверхности частицы). Для множителей у^, 0, Д^ справедливы формулы (4.2), а для уш, Дш

имеем:

Ую=Г^тр Н +-4(1 + О2 ), Дю=2

Г

V хх у

(Н1 + О1 + О2 ).

С учетом соотношений разд. 3 и формул (4.7), (4.8) для входящих в выражения (4.3) — (4.5) коэффициентов найдем:

б = во

1+

Л\/Т — 6

-а

Л " 1 ~ ' 3 Л "

51 у _ , К=5 во + о б 1 1 —а 15, V 4 у 1 _

где для конуса

для полусферы

Qo =-P (nh )1/2 Ro3, so =8, si =1.

Таким образом, для продольно несимметричных тел вращения смешанный коэффициент диффузии Д^ю отличен от нуля и оператор Фоккера — Планка содержит вторую производную

вращательный момент М^ (первая формула (4.4)).

Заключение. Выше представлен не только более общий и полный, чем ранее [10—12], вывод кинетического уравнения, но и дана сводка явных выражений для коэффициентов оператора столкновений, полученных здесь и в предыдущих статьях [10—12], причем результаты [12] преобразованы к более удобному виду. При помощи этих выражений можно провести аналогичный [11, 12] анализ влияния на коэффициенты параметра термической неравновесности т, коэффициента аккомодации а и формы частицы. Конечно, необходимо исследование значимости методики и результатов данной и предыдущих [8—12] работ для теории броуновского движения, молекулярно-кинетической теории и динамики газовзвесей.

В связи с этим подчеркнем следующее. В принятой методике вывода кинетического уравнения больцмановского типа и, далее, оператора Фоккера — Планка вводится значительное число предположений. Однако выполняются важнейшие необходимые условия ее справедливости: оператор в равновесных условиях обращается в нуль на равновесной функции распределения (разд. 2), при т = 1 из него следуют известные выражения [10, 11]. Учет термической неравновесности т^ 1 демонстрирует возможности данной теории и дает дополнительный канал для экспериментального и теоретического анализа применимости методики и, вообще, кинетических уравнений больцмановского типа.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 08-08-00618).

1. Климонтович Ю. Л. Статистическая физика. — М.: Наука, 1982.

2. Куни Ф. М. Статистическая физика и термодинамика. — М.: Наука, 1981.

3. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. — М.: Наука, 1987.

4. Пирумов У. Г., Росляков Г. С. Газовая динамика сопел. — М.: Наука, 1990.

5. Вараксин А. Ю. Турбулентные течения газа с твердыми частицами. — М.: Физ-матлит, 2003.

6. Цибаров В. А. Кинетический метод в теории газовзвесей. — СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997.

7. Рудяк В. А. Статистическая аэрогидромеханика гомогенных и гетерогенных сред. Т. 1. Кинетическая теория. — Новосибирск: Изд-во НГАСУ, 2004.

8. Montgomery D. Brownian motion from Boltzmann’s equation // Phys. Fluids. 1971. V. 14, N 10.

9. Fernandez de la Mora J., Mercer J. M. Modified Fokker — Plank equation for the motion of Brownian particles in a nonuniform gas // Phys. Rev. A. 1982. V. 26. N 4.

10. Борис А. Ю., Галкин В. С. Кинетическое описание броуновского движения нагретых частиц в разреженном газе // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. № 2.

11. Галкин В. С., Русаков С. В. Кинетическое уравнение Фоккера — Планка для броуновских свободномолекулярных термически неравновесных частиц в неоднородном газе // Изв. РАН. МЖГ. 2007. № 2.

градиент температуры газа вызывает не только термофоретическую силу, но и

ЛИТЕРАТУРА

12. Галкин В. С., Русаков С. В. Оператор Фоккера — Планка для броуновских свободномолекулярных термически неравновесных несферических частиц // Изв. РАН. МЖГ. 2008. № 1; Fluid Dynamics. 2008. V. 43, N 1.

13. Happel J., Brenner H Low Reynolds number hydrodynamics. Prentice — Hall. 1965 — Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. — М.: Мир, 1976.

14. Curtiss C. F. Kinetic theory of nonspherical molecules // J. Chem. Phys. 1956. V. 24.

N 2.

15.Vestner H.Halbritter J. Torque on a small particle in a nongomogeneous mona-tomic gas // Z. Naturforsch. 1981. Bd. 36a. N 6.

16. H a l b r i 11 e r J. Torque on a rotating ellipsoid in a rarefied gas // Z. Naturforsch. 1974. Bd. 29a. N 12.

17. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М.: Наука, 1974.

Рукопись поступила 9/II2009 г.