Нелинейное возбуждение квантового резонанса Фано

УДК 538.91

П. А. Головинский1,2, А. В. Яковец1, В. А. Астапенко1

1 Московский физико-технический институт (государственный университет) 2 Воронежский государственный технический университет

Нелинейное возбуждение квантового резонанса Фано

В работе исследовано нелинейное формирование асимметричного профиля Фано в резонансной двухуровневой системе, взаимодействующей с зоной уровней. Представлено динамическое описание резонанса и рассчитана заселенность зоны состояний в зависимости от времени. Обсуждается возможность управления формой заселенности квазиконтинуума за счет изменения интенсивности внешнего поля.

Ключевые слова: квантовый резонанс Фано, двухуровневая система, квазиконтинуум, зона уровней.

P.A. Golovinski1'2, A. V. Yakovets1 ,V. A. Astapenko1

1 Moscow Institute of Physics and Technology (State University) 2 Voronezh State Technical University

Nonlinear excitation of Fano quantum resonance

The nonlinear formation of the asymmetric Fano profile in a resonant two-level system interacting with the levelband system is investigated. The dynamic description of resonance is presented and the population of the levelband system is calculated as a time function. The possibility to control the shape of the population quasicontinuum by changing the external field intensity is discussed.

Key words: Fano quantum resonance, two-level system, quasicontinuum, levelband system.

1. Введение

Для описания автоионизационных состояний атомов имеется надежная теория, позволившая, в частности, понять динамику ионизации таких состояний аттосекундными импульсами [1-7]. Основными результатами усилий в этом направлении стало понимание внутриатомной составляющей динамики, отвечающей за формирование зависящего от времени дипольного отклика [8,9] и динамики образования электронов в непрерывном спектре [10], убедительно подтвержденные экспериментальными измерениями. При образовании электронов непрерывного спектра важной оказывается конкуренция процессов прямой ионизации и ионизации, идущей через возбуждение дискретного состояния, меняющаяся во времени. Большая часть имеющихся теоретических исследований посвящена изолированным резонансам, но рассмотрено и влияние перекрытия резонансов на их динамику [11]. Отметим, что для квантовых точек возбуждение экситонов находится в видимой области света, где изучение резонансов Фано облегчается наличием развитой экспериментальной техники получения одноцикловых лазерных импульсов [12,13].

Все эти теоретические и экспериментальные усилия объединяет квантовая интерференция, которая проявляется как резонанс в спектре оптического поглощения с характерной асимметричной формой. Близко к основному максимуму возникает глубокий минимум

@ Головинский П. А., Яковец А. В., Астапенко В. А., 2017

(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)», 2017

при энергии, соответствующей деструктивной интерференции амплитуд перехода в дискретное состояние и непрерывный спектр состояний. Важной основой теории Фано является предположение о достаточно высокой плотности состояний, которые можно отнести к непрерывному спектру Однако в ряде случаев множество близко расположенных уровней оказывается достаточно разреженным. Такая ситуация присутствует в молекулярных спектрах многоатомных молекул, где электронные переходы релаксируют, взаимодействуя с колебательными молекулярными состояниями. Этот случай в отсутствие прямого возбуждения уровней зоны проанализирован в модели Биксона Джортнера [14]. Настоящая работа посвящена исследованию динамики резонансного возбуждения состояния на фоне зоны эквидистантных уровней лазерным нолем в модели Биксона Джортнера, дополненной с возможностью прямого оптического перехода в зону уровней.

2. Общие уравнения динамики

Рассмотрим квантовую систему, состоящую из основного состояния |0) и возбужденного состояния |1) с энергией Е\, взаимодействующего с зоной близко расположенных по энергии уровней 1к) с энергия ми Ек. В данной модели возможно прямое возбуждение лазерным нолем дискретного уровня и уровней зоны, как показано на рис. 1.

Рис. 1. Схема возбуждения двухуровневой системы, взаимодействующей с зоной уровней

Пусть гамильтониан системы Н является суммой гамильтониана Но, представляющего независимые состояния, стационарного взаимодействия ^возбужденного состояния |1) с уровнями зоны 1к) и внешнего зависящего от времени взаимодействия ^int(í) = V(¿) + и(£). Взаимодействие V(¿) связывает основное состояние |0) и возбужденное состояние |1), и(¿) связывает основное состояние |0) и возбужденные состояния зоны |k):

н = Но + w + V (¿) + и (г).

Уравнение Шредингера

ггр = Н-ф

в представлении взаимодействия принимает вид

то = Уог^е^аг + 11ок(^)егш°к 1ак,

к

к

га к = икоегШк°'ао + Шк1егш^а1.

Аналитическое решение системы уравнений (3) возможно в случае резонанса.

Величины ао ,а1 , ак являются коэффициентами разложения волновой функции

= Ее-щ аэ

3=0,1 п

по собственным состояниям оператора Гамильтона Но, удовлетворяющим уравнению

Но^к = Ек ,

и

^кк1 = Ек — Ек1.

Начальные условия для первоначально невозбужденной системы: ао(0) = 1,01(0) = 0 ,ак (0) = 0. При дополнительных предположениях Шк1 = Wlk = Ш, Уо1(Ь) = Ую(Ь) = и^), = и^ = ^(Ь) систему уравнений (3) можно упростить, и мы получим

гао = и~1(1)е1ш01*а1 + Е ,

к

га 1 = и1

к

га к = и2(г)е{Шк°*ао + Ше^к1 га1.

Далее рассматриваем возбуждение системы лазерным полем с мгновенным включением и постоянной фиксированной несущей частотой. Взаимодействие носит квазирезонансный характер, поэтому, удерживая только резонансные слагаемые, в приближении вращающегося поля получим систему уравнений:

гао = У1е-^Ш1°-Ш)1а1 + ^ Е е-{шк°-ш)ак,

к

га 1 = У1е1

к

га к = У2е1(шк°-ш)гао + Ше^к1*а1. Вводя новые амплитуды в соответствии с определениями:

ак = е*(шк°-ш)*Ак,

а1 = егЫ°-Ш)гА1,

ао = Ао,

получим уравнения [15,16]

гАо = КА1 + У2 ^ Ак,

к

гА 1 = Д1^1 + -ЦЛ + Ш ^ Ак,

к

гА к = А к Ак + У2Ао + WAl,

где А1 = Шю—ш—г% А к = Шко —ш —г^/к, коэффициенты 7к позволяют феноменологически учесть затухание возбужденных уровней. В области изображений преобразования Лапласа система уравнений (10) принимает вид

sAo = -mAi - iV2J2 Ак + 1,

к

sAx = -iAxAx - iViAo - iW ^ Ак,

к

к,

к

sAk = -iAкАк - iV2Ao - iWA\

Из последнего уравнения следует

. У^Ао +

Ак = — , | • д Л , 12

и

зАо = -гУАг - (У22АО + V2WA1) V —^ + 1,

^

к т

зА! = -гА1А1 - т Ас - (V2WAс + № . .. ,.

^ + гАк)

После вычисления суммы в правой части уравнений (13), приведенного в [17], получим

_1 ж

' (.4 +

к

= - ^-)>

^ (в + гАк) шо \шо/

где расстояние между эквидистантными уровнями зоны равно Шо- Для плотного спектра (квазиконтинуума) жв/шо >> 1 и соЛ(^з/шо) ~ 1, тогда будем иметь

¿Л = -г¥1А1 - (У22Ао + V2WAl)— + 1,

Шо

зА1 = -гА^ - гУ^о - (V2WAо + W2Ах) — .

Шо

Для удобства дальнейших преобразований введем обозначения:

^ 2 юо = -, -Шс = -, = -.

Шо Шо Шо

С учетом этого решение системы уравнений запишем в виде

. , Л 8 + 1А1 + ш

Ао(з) =-2,

(в + Ыо)(8 + 1А1 + -ш) - (т + -Шс)2

ч / ч гУ1 +

А1

(в + >шо)(в + гА1 + V)) - (т + Шс)2 v ;

, ^

Ак = г-

(з + гАк)[(в + -Шо)^ + гА1 + -ш) - (гУ1 + -Шс)2]

Выражения (17) переходят в решения [16], полученные с помощью преобразования Фурье, при замене в ^ -гш. С течением времени в непрерывном спектре формируется квазистационарное распределение:

л т . У2(А1 - А к - гы) - № (У1 - гыс) , ,Л ,,

Ак = г ---, -—2 еМ-гАк$.

Выражение (18) имеет два полюса, что приводит к двугорбой форме заселенности уровней, характерной для интерференционного профиля Фано.

3. Квантовый резонанс на фоне дискретного квазиконтинуума

Рассмотрим пример зависимости заселенности уровней зоны от энергии при точном резонансе, когда А1 = 0. На рис. 2 показано конечное распределение заселенности зоны уровней РРапо(Ак) = |Ак(г)[2 при параметрах: Шо = 0.0011 эВ, W = 0.001 эВ, У1 = 0.0022 эВ, У2 = 0.0018 эВ, 7 = 7к = 0. Отметим, что асимметричная форма распределения нелинейным образом зависит от величины поля и может существенно отличаться по виду при других значениях параметров.

0 2 !-,-,-,-т-,-

0.18

0.1S- I

0.14

Д, eV

Рис. 2. Финальная засоленность квазиконтинуума в форме Фано

ш

Рис. 3. Динамика заселенности уровней |0) и |1)

t»fs

Рис. 4. Динамика заселенности уровней квазиконтинуума с энергиями 0.015 эВ: 0.005 эВ: 0 эВ: 0.01 эВ. отсчитываемыми от резонанса: начальный период времени

На рис. 3 представлена временная зависимость заселенности основного и возбужденного резонирующих уровней. Вначале их заселенности принимают сопоставимые значения за счет розонанснох'о воздействия поля. Далее заселенности монотонно снижаются за счет распада в квазиконтинуум.

На рис. 4, 5 показаны результаты расчета динамики заселенности четырех выделенных состояний квазиконтинуума. Рис. 4 более подробно показывает начальный период возбуждения квазиконтинуума, стартующий с нулевых засоленностей. Рис. 5 отражает глобальную

динамику заселения квазиконтинуума, носящую характер затухающих осцилляции вокруг аеимптотичеекохх) значения заселенности. Финальные заселенности уровней соответствуют значениям, представленным на рис. 2.

Рис. 5. Динамика заселенности уровней квазиконтинуума с энергиями 0.015 эВ: 0.005 эВ: 0 эВ: 0.01 эВ. отсчитываемыми от резонанса: глобальная динамика

Отметим принципиальное отличие полученших) асимметричного распределения от ли-нейнох'о профиля Фано. В случае линейжих) резонанса Фано интерференционный провал образуется при определенных значениях сканирующей частоты. В нелинейном резонансе частота внешних) поля фиксирована, а асимметрия распределения заселенности квазиконтинуума обусловлена совместным действием нелинейности и интерференции.

4. Заключение

Проведенное исследование показывает важность интерференции каналов при нелинейном резонансном возбуждения дискретжнх) уровня на фоне плотной зоны уровней. Отмечается возможность формирования аеимметричжих) профиля за счет интерференции, характерной для резонансов Фано. Приведено динамическое описание формирования резонанса, показывающее возможность управления формой заселенности квазиконтинуума в широких пределах за счет изменения отстройки частоты внешних) поля и eix) интенсивности. Важно отметить, что оптически перестраиваемый резонанс на фоне континуума является, в частности, моделью системы, состоящей из нанопроводника и примесных атомов, обеспечивающих дискретные состояния на фоне континуума [18]. Это позволяет провести экспериментальное исследование нелинейной динамики резонанса Фано, используя лазерное поле оитичсского диапазона. Проведенное нами исследование существенно опиралось на монохроматичность и квазирезонансность внешних) воздействия. В то же время наибольший интерес представляет изучение динамики наносистем под действием фемто-секундных импульсов. Для столь коротких лазерных импульсов резонансное приближение становится слишком грубым, и требуется использовать иные теоретические схемы анализа, включая прямое численное моделирование динамики.

Работа выполнена в рамках Гоеударетвенжнх) задания Министерства науки и образования РФ (задание № 3.9890.2017/8.9).

Литература

1. Ott С.. Kaldun A.. Raith P., Meyer К.. Laux М., Evers J.. Keitel С.Н., Green C.H., Pfeifer Т. Lorentz meets Fano in spectral line shapes: A universal phase and its laser control /7 Science. 2013. V. 340 P. 716 720.

2. Wickenhauser M., Burgdôrfer J., Krausz F., Drescher M. Time resolved Fano resonances 11 Phvs. Rev. Lett. 2005. V. 94, N 023002.

3. Mercouris Th., Komninos Y., Nicolaides C.A. Time-dependent formation of the profile of the He 2s2plPo state excited by a short laser pulse // Phvs. Rev. 2007 V. A 75, N 013407; Erratum Phvs. Rev. A. 2013 V. 87, N 069905. https://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.87.069905

4. Nicolaides C.A., Mercouris Th., Komninos Y. Time-dependent formation of the profile of resonance atomic states and its dependence on the duration of ultrashort pulses from free-electron lasers // Phvs. Rev. A. 2009. V. 80, N 055402.

5. Chu W.C., Lin C.D. Theory of ultrafast autoionization dynamics of Fano resonances // Phvs. Rev. A. 2010. V. 82, N 053415.

6. Argenti L., Lindroth E.. Ionization branching ratio control with a resonance attosecond clock 11 Phvs. Rev. Lett. 2010. V. 105, N 053002.

7. Argenti L., Pazourek R., Feist J., Nagele S., Liertzer M., Persson E., Burgdôrfer J., Lindroth E. Photoionization of helium by attosecond pulses: Extraction of spectra from correlated wave functions 11 Phvs. Rev. A. 2013. V. 87, N 053405.

8. Wang He, Chini M., Chen S., Zhang C.-H., He F., Cheng Y., Wu Yi, Thumm Uwe, Chang Z. Attosecond time-resolved autoionization of argon // Phvs. Rev. Lett. 2010. V. 105, N 143002.

9. Kaldun A., Blattermann A., V. Stoofi, Donsa S., Wei H., Pazourek R., Nagele S., Ott C.,Lin C. D., Burgdôrfer J., Pfeifer T. Observing the ultrafast buildup of a Fano resonance in the time domain // Science. 2016. V. 354. P. 738-741.

10. Gruson V., Barreau L., Jiménez-Galan Б., Risoud F., Caillat J., Maquet A., Carré В., Lepetit F., Hergott J. -F., Ruchon T., Argenti L., Taieb R., F. Martin, P. Salières. Attosecond dynamics through a Fano resonance: Monitoring the birth of a photoelectron // Science. 2016. V. 354. P. 734-738.

11. Wickenhauser M., Burgd'^rfer J., Krausz F., Drescher M.. Attosecond streaking of overlapping Fano resonances //J. Mod. Opt. 2006. V. 53. P. 247-257.

12. Wirth A., Hassan M.Th., Grguras I., Moulet J.T. Gagnon A., Luu T., Pabst S., Santra R., Alahmed Z.A., Azzeer A.M., Yakovlev V.S., Pervak V., Krausz F., Goulielmakis E. Synthesized light transients // Science 2011. V. 334. P. 195-200.

13. Hassan M.Th., Wirth A., Grguras I., Moulet A., Luu T.T., Gagnon J., Pervak V., Goulielmakis E. Invited Article: Attosecond photonics: Synthesis and control of light transients // Rev. Sc. Instr. 2012. V. 83, N 111301.

14. Bixon M., Jortner J. Intramolecular radiation transitions //J. Chem Phvs. 1968. V. 48. P. 715-726.

15. Kirôla E., Eberly J.H. Quasicontinuum effects in molecular excitation //J. Chem. Phvs. 1985. V. 82. P. 1841-1854.

16. Акулгм В. M. Динамика сложных квантовых систем. М.: Наука, 2009. С. 97.

17. Barnett S.M., Radmore P.M. Methods in theoretical optics. Clerendon Press, Oxford, 1997.

18. Boretz Y., Ordonez G., Tanaka S., Petrosky T. Optically tunable bound states in continuum 11 Phvs, Rev. A. 2014. V. 90, N 023853(9).

References

1. Ott C., Kaldun A., Raith P., Meyer K., Laux M., Evers J., Keitel C.H., Green C.H., Pfeifer T. Lorentz meets Fano in spectral line shapes: A universal phase and its laser control. Science. 2013. V. 340 C. 716-720.

2. Wickenhauser M., Burgdôrfer J., Krausz F., Drescher M. Time resolved Fano resonances. Phvs. Rev. Lett. 2005. V. 94, N 023002.

3. Mercouris Th., Komninos Y., Nicolaides C.A. Time-dependent formation of the profile of the He 2s2plPo state excited by a short laser pulse. Phvs. Rev. 2007 V. A 75, N 013407; Erratum Phvs.' Rev. A. 2013 V. 87, N* 069905. https://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhvsRevA.87.069905

4. Nicolaides C.A., Mercouris Th., Komninos Y. Time-dependent formation of the profile of resonance atomic states and its dependence on the duration of ultrashort pulses from free-electron lasers. Phvs. Rev. A. 2009. V. 80, N 055402.

5. Chu W.C., Lin C.D. Theory of ultrafast autoionization dynamics of Fano resonances. Phvs. Rev. A. 2010. V. 82, N 053415.

6. Argenti L., Lindroth E. Ionization branching ratio control with a resonance attosecond clock. Phvs. Rev. Lett. 2010. V. 105, N 053002.

7. Argenti L., Pazourek R., Feist J., Nagele S., Liertzer M., Persson E., Burgdôrfer J., Lindroth E. Photoionization of helium by attosecond pulses: Extraction of spectra from correlated wave functions. Phvs. Rev. A. 2013. V. 87, N 053405.

8. Wang He, Chini M., Chen S., Zhang C.-H., He F., Cheng Y., Wu Yi, Thumm Uwe, Chang Z. Attosecond time-resolved autoionization of argon. Phvs. Rev. Lett. 2010. V. 105, N 143002.

9. Kaldun A., Blàttermann A., V. Stoofi, Donsa S., Wei H., Pazourek R., Nagele S., Ott C.,Lin C. D., Burgdôrfer J., Pfeifer T. Observing the ultrafast buildup of a Fano resonance in the time domain. Science. 2016. V. 354. P. 738-741.

10. Gruson V., Barreau L., Jiménez-Galan B., Risoud F., Caillat J., Maquet A., Carré B., Lepetit F., Hergott J. -F., Ruchon T., Argenti L., Taieb R., F. Martin, P. Salières. Attosecond dynamics through a Fano resonance: Monitoring the birth of a photoelectron. Science. 2016' V. 354. P. 734-738.

11. Wickenhauser M., Burgd'^rfer J., Krausz F., Drescher M.. Attosecond streaking of overlapping Fano resonances. J. Mod. Opt. 2006. V. 53. P. 247-257.

12. Wirth A., Hassan M.Th., Grguras I., Moulet J.T. Gagnon A., Luu T., Pabst S., Santra R., Alahmed Z.A., Azzeer A.M., Yakovlev V.S., Pervak V., Krausz F., Goulielmakis E. Synthesized light transients. Science 2011. V. 334. P. 195-200.

13. Hassan M.Th., Wirth A., Grguras I., Moulet A., Luu T.T., Gagnon J., Pervak V., Goulielmakis E. Invited Article: Attosecond photonics: Synthesis and control of light transients. Rev. Sc. Instr. 2012. V. 83, N 111301.

14. Bixon M., Jortner J. Intramolecular radiation transitions. J. Chem Phvs. 1968. V. 48. P. 715-726.

15. Kirôla E., Eberly J. H. Quasicontinuum effects in molecular excitation. J. Chem. Phvs. 1985. V. 82. P. 1841-1854.

16. Akulin V. M. Dynamics of Complex Quantum Systems. Nauka, 2009. P. 97.

17. Barnett S.M., Radmore P.M. Methods in theoretical optics. Clerendon Press, Oxford, 1997.

18. Boretz Y., Ordonez G., Tanaka S., Petrosky T. Optically tunable bound states in continuum. Phvs, Rev. A. 2014. V. 90, N 023853(9).

Поступим в редакцию 15.11.2017