Теория устойчивости пластин, основанная на асимптотическом анализе уравнений теории устойчивости трехмерных упругих сред

УДК 539.3

Теория устойчивости пластин, основанная на асимптотическом анализе уравнений теории устойчивости трехмерных упругих сред

© Ю.И. Димитриенко

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Разработана теория упругой устойчивости тонких многослойных пластин, построенная на общих уравнениях трехмерной теории устойчивости упругих сред путем введения асимптотических разложений по малому геометрическому параметру — отношению толщины пластины к ее длине — без введения каких-либо гипотез относительно характера распределения перемещений и напряжений по толщине пластины. Сформулированы локальные задачи теории устойчивости, получены осредненные уравнения равновесия для пластины в основном и варьируемом состояниях. Найдено решение локальных задач в явном аналитическом виде, с помощью которого определены соотношения для всех шести компонент тензора напряжений, включая поперечные нормальные напряжения и напряжения меж-слойного сдвига в основном и варьируемом состояниях пластины. Показано, что осредненные уравнения устойчивости теории пластин отличаются от классических уравнений теории пластин Кирхгофа — Лява и Тимошенко как выражением поперечной силы, вызванной поворотом пластины при действии напряжений основного состояния, так и определяющими соотношениями пластины, содержащими члены, обусловленные ее основным напряженным состоянием. Показано, что для ортотропных пластин определяющие соотношения упрощаются и формально становятся подобными классическим соотношениям теории тонких пластин, но мембранные и изгибные жесткости пластины зависят от напряжений основного состояния. Приведен пример расчета тонкой ортотропной пластины при одноосном сжатии. Получено выражение для критической силы потери устойчивости, отличающееся от классической формулы Эйлера выражением для изгибной жесткости, которая зависит от параметров основного состояния пластины. Различие значений критической силы наиболее существенно для пластины с анизотропными слоями.

Ключевые слова: теория устойчивости пластин, трехмерная теория устойчивости, тонкие многослойные пластины, ортотропные пластины, асимптотическое разложение.

Введение. Расчет тонкостенных конструкций на устойчивость является, как правило, одним из основных расчетных случаев при проектировании различных изделий авиационной, ракетной, судостроительной и строительной отраслей промышленности [1-3]. Несмотря на то что классические теории устойчивости конструкций, основанные на теориях пластин и оболочек Кирхгофа — Лява и Тимошенко, применяются достаточно давно, известно, что значения критических нагрузок, получаемые в соответствии с этими теориями, часто оказываются существенно завышенными. Особенно для конструкций из композиционных материалов, для которых существен-

ными являются деформации межслойного сдвига, влияющие на значения критических нагрузок [4, 5]. Различные подходы к построению уточненной теории устойчивости изучаются во многих работах [6-8]. Однако они, как правило, основаны на определенных допущениях относительно характера распределения напряжений, деформаций и перемещений по толщине конструкции, а также на учете нелинейных эффектов деформирования. В работах [9-11] из фундаментальных соотношений нелинейной теории упругости и конечных деформаций были получены общие уравнения трехмерной линейной теории устойчивости. Эти уравнения использовались для вывода уравнений теории устойчивости пластин Тимошенко [11]. В настоящее время активно развивается асимптотическая теория тонких многослойных пластин [12-18], вывод основных уравнений которой основан только на анализе асимптотических разложений исходных трехмерных уравнений по малому геометрическому параметру, представляющему собой отношение толщины пластины к ее длине.

Целью данной работы является построение теории устойчивости тонких пластин на основе асимптотического анализа общих трехмерных уравнений теории упругости и трехмерной теории устойчивости без введения каких-либо допущений относительно характера перемещений и напряжений.

Уравнения трехмерной теории устойчивости в произвольном базисе. В соответствии с трехмерной теорией устойчивости [10, 19] рассматриваются основное (устойчивое) и варьированное состояния пластины как области трехмерного евклидова пространства при воздействии заданной системы нагрузок. Для основного (устойчивого) состояния пластины трехмерная задача линейной теории упругости состоит из уравнений равновесия, соотношений Коши, обобщенного закона Гука, граничных условий на внешней и внутренней поверхностях пластины Е±, на которых задано давление р±, граничных условий на частях торцевой поверхности ЪТ и Еа с заданными векторами перемещений ие и усилий §0, а также граничных условий идеального контакта на поверхности контакта Е^ отдельных слоев пластины ([щ ] — скачок функций), которые могут и отсутствовать, например, для однослойной пластины:

. и _ ^-г 0 . ; Ъу-^укГЫ;

V 0 с 0

: п = я);

0

Ея : п К ] = 0; [щ ] = 0;

Е3± : = -р±^гз;

ЕТ : щ =

Т

где о0, sjy, ui — компоненты тензора напряжений, тензора малых деформаций и вектора перемещений соответственно; u ß = dua /дХ ß —

оператор дифференцирования; X ß — декартовы координаты; Cijki — компоненты тензора модулей упругости пластины, который зависит от координатXß. Здесь и далее по латинским индексам i, j, k,... идет суммирование от 1 до 3, по греческим индексам а, ß, у,... суммирования нет, индексы а, ß, у образуют четную подстановку, по заглавным индексам I, J, K суммирование идет от 1 до 2.

Для варьированного состояния задача трехмерной теории устойчивости имеет вид [10, 19]

Oji ~ ejmk BmO0k = 0; Bim =  m, i; ¡ = 1 Grmk Wm,k ;

ej- =1

So : ni (oij ~£jmk Ok m) = 0, S3± : ni (oj " j O0k m) = 0; ST : wi = 0

Здесь о--, Ski, Gamk, wi, ni и у — компоненты тензоров напряжений, малых деформаций, тензора Леви — Чивиты [20], компоненты векторов перемещений, нормали и поворота соответственно.

Асимптотические решения уравнений равновесия и устойчивости тонких пластин. Рассмотрим уравнения равновесия (1) и устойчивости (2) плоской пластины, срединная поверхность которой в декартовых координатах имеет вид X = 0, а внешняя и внутренняя поверхности описываются уравнениями Х3 = ± h/2, где h —

толщина пластины.

Будем полагать, что рассматриваемая пластина является тонкой и для нее можно ввести малый параметр к = h¡L «1 — отношение общей толщины пластины h к характерному размеру всей пластины, например к ее максимальной длине L. Введем безразмерные глобальные xk и локальную координаты:

xk =

Äk¡L; £ = X3/к, k = 1, 2, 3.

Координаты х3 и £ в методе асимптотического осреднения рассматриваются как независимые переменные. Координата £ по толщине пластины изменяется в диапазоне -0,5 <£< 0,5.

Примем основное допущение, что компоненты вектора усилий §0 и давление р± на внешней и внутренней поверхностях пластины

3

имеют порядок малости0(к ), т. е.

р±=к3 р±; §0 =к3я°.

Допущение (4), как правило, соответствует реальным условиям нагружения тонких пластин. В уравнениях (1) и (2) компоненты тензора модулей упругости Сук1 будем считать зависящими от координаты Е,, так как этот тензор различен для разных слоев пластины.

Решение задачи (1) для основного состояния, следуя работам [12-15], будем искать в виде асимптотических разложений по параметру к в виде функций, зависящих от глобальных и локальной координат:

ч=4° ^ )+к41}

Аналогично в виде асимптотического разложения найдем перемещения в варьированном состоянии:

^ = ^

Подставив разложения (5) в соотношения Коши в системе уравнений (1), используя при этом правила дифференцирования функций локальных координат (д/дХ;' ^-д/дх; +(1/к) 5;3д/д^), получаем асимптотические разложения для деформаций:

е^ »'+ке0?" + к2е;;

При этом

0(0)= Ч^К „Ж . Л°) = 1/Щ(0)+ „М . о0(0)= щ(1) .

8 и = 2 \и!, и + ии, I); 813 = 2 щ I + и1 /3^ 833 = щ3/3'

41} = 2

42) = 2 («В + и8); 8?32) = 2 (и32! + и133); s332) = и333 и т.д.

Здесь и^ =ди^/д^, и1]- = ди(^дх; — производные по локальной

координате и по глобальным координатам.

Запишем аналогичные выражения для деформаций в варьированном состоянии:

где

е, _е^+Ке«+К2е

е(0)_1(„(0) + „(о)). е(0)_1(„(0) + „(1)). е(0)_„().

ьи - 2\ „I, , I)' Ь1 3 „3,1+„1 /3^ 833 - „3/3.

е

4? _ 1 („121 + „В); 4? _ 1 („321 + „(3); 4з _ „33/з и т.д.

Аналогично получаем выражения для компонент ша сопутствующего вектора:

а _ Х0) +КХ) + к 2Х2) + к 3Х3)....

В выражениях

(0) ; ( (0) (;р (0) ; ( (0) (0) 1 ( (0) (0р >1 _-2^„3,2-„2/3^; 2 _2^„3,1-„ш); 3 _-21„2,1-42);

(;) 1 ( (1) (2) (1) 1 ( (1) (2) (1) 1 ( (1) (1) ^ V / —--1 1/1;Ь >. — 1/1;\ Л \ • Сх\ \ > — — I -нЛ >. — плЛ \ • гл \ > —--1 -нЛ Л — плЛ >. \ •

1 _-т( „3,2-„2/31; 2 _т[ „3,1-„1/31; з _--1 „2,1-„1,2 );

2^ \ 2^ \ 2^ \

(2) _ - 2(„32) - „й); (22) _ 2 („32- „ш); (2) _ - 2(„2л - „[22); (3) _ -2Г„3^2--„24/3); 23) _2Г„33! -„ш); 33) _ -2(„2л-„132).

Вычислим далее компоненты тензора — градиента от сопутствующего вектора:

Вхр _аР _ Р,а _ 1 +ВЙ + К2»2 +К3 » +...,

К

где

»3-1) _1 Г„2/33); »321 _ -2Г„1(/з3), остальные _0;

В(0)_-1¡„(0) -„(1) ^. В(0)_ 1 ¡„(0) -„(1) ). »11 " 2 I„3,21 „2/3,1) ; - 2 I„3,11 „1/3,1 .

»

В1з _ -21„2,11- „1,21); »21 _ -21 „3,22- „2/3,2^;

»(0) _ 1Г„(0) - „(1) ). »(0) _ -11 „(0) - „(0)).

»22 - 2 {„3,12 „1/3,2) . »23 - 2 Г„2,12 „1,22) .

В0) _ - В31 - 1Г (1) "21 И3,2/3 _ *(2) ) . В(0) _ и2/33] . В32 _ 1Г (1) 21 и3,1/3 (2) ^ _

В(0) _ _ В33 - 1Г (1) 21 ^2,1/3- И ) . В(1)_- и1,2/3) . В11 " 1Г (1) _ 21 и3,21 (2) ^

В(1)_ В12 - 1Г (1) 21Ч11 _ ^(2) ) . В(1)__ и1/3,д . В13 - 1Г (1) 21 и2,11 - (1) ^ и1,21 ) .

В(1 _ -В21 - 1Г (1) "21 И3,22" -иДО ) . В(1)_ и2/3,2] . В22 _ 1Г (1) 2и12 _ (2) ^ и1/ 3,2 ] .

В(1) _ -В23 - 1Г (1) "214,12 - И(1) ) . В(1)__ и2,22] . В31 - 1 Г (2) 21и 3,2/3 (3) ^ _ ии2 / 3 3 )\

В

В32 " 2 1^3,1/3 и1/33]. В33 " 2 1^2,1/3 и1/3,2] и т-д-

Подставляя выражение (7) в закон Гука в системе уравнений (2), получаем асимптотическое разложение для напряжений:

где

а 0(0) _ с р 0(0), с р 0(0). _ 0(0) _ с р 0(0), с р 0(0). °и - сикьькь + с1Л3Ьк3 . ¿3 " с13К^КЬ + с13к3Ьк3 .

п0

°1Л ~^1ЛК1ЬК1 +^Лк3Ьк3 . 13 - Ч3КЬЬКЬ +Ч3к3Ьк3 .

0(2) _ с р0(2) , с р0(2). а0(2) _ с р0(2) , с р0(2) и т д °Л -с1ЖЬьКЬ +с1Л3Ьк3 . г3 ~с13К1ьК1 + Ч3к3Ьк3 и т.д.

Подставляя выражение (9) в закон Гука в системе уравнений (2), получаем асимптотическое разложение для напряжений в варьированном состоянии:

+ка

где

а I

у(°) _ с р(0) , с р(0). а(0) _ с р(0) , с р(0). >и - с1ЛК^ьК^ + с1Лк3Ьк3 . 13 - Ч3КЬЬКЬ + Ч3к3Ьк3 .

у

ЧЛ -^ЛКЬьКЬ+^Лк3ьк3. 13 ~ Ч3КЬЬКЬ + Ч3к3ьк3.

(2) _ с (2) с (2) (2) _ с (2) с (2) аЛ _ сЛКЬрКЬ + сЛк3рк3 . 3 _ Ч3КЬрКЬ + Ч3к3рк3 и т. д.

Формулировка локальных задач для основного состояния пластины. Подставляя разложения для перемещений (5), деформаций (8) и напряжений (15) в уравнения равновесия (1), получаем их асимптотическое разложение:

1 _0(0) +(_0(0) 0(1) ) (_0(1) 0(2) ) 2 (_0(2) 0(3) к аг3/3 +\°и, / + а ¿3/3 } + к^а/, / + а 13/3} +К / + а ¿3/3

23± :о»30) = -к3Р±

2Г :и, = u(°>+кu«+к2u(2!+к?up>+... = u,.¿.

Приравнивая в уравнениях равновесия члены при к-1 к нулю, а при остальных степенях к — к некоторым величинам ¿¿(0), ¿¿(1), ¿¿(2), не зависящим от £, получаем рекуррентную последовательность локальных задач. Задача для нулевого приближения имеет вид

¿3/3 _ 0.

а0(0)_ с е0(0), с е0(0). а0(0)_ с е0(0), с е0(0).

а¿3 " Ч3КХЬКХ + Чзк3Ьк3 ; аI/ ~ ^1/К1ьКЬ + 3Ьк3 ;

е0(0) _ 1 (,(0) + и(0) ). е0(0) _ 1 (,(0) + и(1) ). е0(0) _ и(1) . ьи ~2 \и1,/+и/,I}. Ь13 _2 \и3,I I/3. 33 ~из/з.

^31:а;3,,>= 0. _0. [и«]_0. <и«> = 0.

Для первого приближения

а0(1 + а 0(0 _ ¿0(0). а ОД _ с е 0) , с е 0) . а 0) _ с е 0) , с е 0) .

^¿3 -C¿3KLЬKL +с¿3k3Ьк3. °и -сиКЬьКЬ+сик3Ьк3 .

0(1) _ 1 Ш . ^ и(1) .V е0(1) _ 1Ш ^ и(2) V е0(1) _ и(2) .

еи _ 2 и,/ + и/,Ч. е13 _ 2иI + UI/3. е33 _ и3/3'

23± : а0]1 _ 0. 2, : [а( ] _ 0. [и(2) ] _ 0. < и(2 >_ 0.

Для второго приближения

а0(2) +а0(1) _ ¿о«.

а¿3/3 +а¿7,/ _ ^ .

0(2) _ с е 0(2) , с е 0(2) . а 0(2) _ с е 0(2) , с е 0(2) . ¿3 "ЧзК^^ +Чзк3Ьк3 . °и +сик3Ьк3 .

е0(2) _ 1 (и(2) + и(2) ). е0(2) _ 1 /(2) + и(3) ). е0(2) _ (3) .

ъи ~2 \uI,/+и/,11. 3 _2 \и3,I I/3. 33 ~и3/3.

21±:а;(2> _0. 2, ^ ]_0. [и» ]_0. <и(3»> = 0. Для третьего приближения

а0(3) , а0(2) _ ¿0(2).

а¿з/з +а¿/, / _ ^ .

а0(3)_ с е0(3), с е0(3). а0(3)_ с е0(3), с е0(3).

^¿3 - ^¿3К1ЬК1 + Чзк3Ьк3 . °и +сик3Ьк3 .

2(»а+л). 43_ 2(»33),+»й).

г033»_ »343 Е± : а°33^_-р±80, Е5 ^З3»] _ 0. (23) [и(4) ] _ 0. < и(4) > _ 0 и т. д.

Операция осреднения по толщине пластины

0,5

_0,5

Уравнения равновесия (1) после введения функций И^ , И01 и И^2) принимают вид

И0

Решением локальной задачи нулевого приближения (20) являются функции и((), р^0 и а00, зависящие от локальной координаты

и входных данных этой задачи — перемещений и(0) ( Хл) . Решением задачи (21) являются функции и(2), р0(1 и а01, где »¿°, а00 — входные данные. В задаче (22) функции и(3, р02), а02) — неизвестные,

(2) 0(1 0(1) и^ ', рк) , агу ' — входные данные и т. д.

Функции И^, И01 и Иг0(2) находим из условия существования решений локальных задач (20)-(23) [12]:

И°(0) _< а ЛЛ >.

И01 _<а0СЛ >.

И?(2) _< 42Л > _АР§г3, ^Р _ Р+ _ Р_ .

Формулировка локальных задач для варьированного состояния пластины. Подставив в уравнения устойчивости (2) асимптотические разложения (13), (15) и (17), получим

1 а(0) +(а(0) +а(1) ) + к(а(1) +а(2)) + к2 (а(2) +а(3))+ _

к 13/3 + ^аЛ, Л + а 13/31 + к Л, Л + ав/3 ] + К ^аЛ, Л + аг3/3 ] + ...

_- в В(_1)а0(0)_в (В(0)а0(0) + В(_а0(1) е 1шк В ]ш ^ ¿к 1шк ¿к ¿к

к^

Собирая члены при одинаковых степенях к и приравнивая их к константам ¿¿

Ь^+кк^К... _ 0,

а также последовательность локальных задач устойчивости.

Локальная задача устойчивости для нулевого приближения имеет

вид

а(0) - ^ »(-1)а0(0) _ 0. ^¿/3 ^¿тк »}т ]к ~ 0.

а(0)_ с е(0) + с е(0). а(0)_ с е(0) + с е(0). °3к " с3]КЪЬКЪ + с3Д3Ьк3 . °и - сиКЪьКЪ + сик3Ьк3 .

4? _1 („У + „й). 4? _ 2 („30/+ „Й3). 4? _ „3/3.

2з± : а300)_ 0. 2, ^35] _ 0. [„(1)] _ 0. < „(1)>_ 0.

Для первого приближения

а(0) + а(1) - в (»(0)а0(0) + »(-1)а0(1)) _ ¿(0). а(1)_ с е(1) , с е(1). а(1)_ с е(1) , с е(1).

а3к " с3]КЪЬКЪ + с3Д3Ьк3. °и - сШЪьКЪ + сик3Ьк3.

4.7 _ 2 („I1 /+„Й). е(з _ 2 („з11+„I2з). е3з _ „з2з.

2з± : аз1' _ 0. 2, ^ _ 0. [„(2}] _ 0. < „(2)>_ 0.

Для второго приближения

а(1) + а(2) - ^ (»(1)а0(0) + »(0)а0(1) + »(-1)а0(2)) _ иО.

а/,/ + а3¿/3 ¿тк \»]т ]к +»]т°]к +»]т°]к \ ~ Ц .

(2) _ с (2) с (2) (2) _ с (2) с (2) а3к _ с3КеКЪ + с3Д3ек3 . аи _ сиКЪеКЪ + сик3ек3 .

4/ _1 („5+„й). 42) _ 2 („32)+„^33). 42) _ „333.

2з± : а32) _ 0. 2, : [а3к ] _ 0. [„(3) ] _ 0. < „(3) > _ 0.

Для более высоких приближений постановки локальных задач устойчивости аналогичны.

Из условия существования решения уравнений устойчивости первого и второго приближений получаем выражения для функций:

Ц(0) _< а(0) >- ^ (< »(0)а0(0) > + < »(-1)а0(1) > Ц _< а¿7, / > ^¿тк ( < »]т а]к > + < »]т аД >

ч

Ц(1)_<а(1) >-в (<»(1)а0(0)> + <»(0)а0(1)> + <«(-1)а0(2) >) Ц _<а/, / > ^¿тк \<»]та]к > + <»]т а > + <П ]т а >> .

Решение локальных задач нулевого приближения. Поскольку задачи (29)-(31) являются одномерными по локальной переменной £, их решение можно найти аналитически [15]:

и(1)__£и(0)+ р0(0). »(1)_ V р0(0).

»I - 4>и3, 2С1КЬьКЬ . и3 -?КЬЪКЬ . а0(0)_ с(0) р0(0). а0(0)_ 0

°Л - сЛКЬьКЬ . ¿3 - 0, где функции от £ имеют вид

¿1КЬ _< | с3¿31с3]КЬ^£ > | с3у31с3]КЬ^£. _ £ _ £

£ £ ¿кь _< | с^сжЛ, > _ \ с3^13с13К1<^£.

_0,5 _0,5

с(0) _ с _с с _1 с

сЛКЬ~ сЛКЬ сЛк3ск313с13КЬ.

Учитывая, что а-0 _ 0 и у компонент В^1 отличны от нуля только В3 1 1 и в3 2 1), несложно убедиться в том, что

}_ 0.

Тогда решение локальной задачи устойчивости (29) имеет вид, аналогичный (33):

и(1)_ _и(0)£ + с р(0). и(1)_ с р(0).

а(0) _ с(0) р(0) . а(0) _ 0 °Л ~сЛК1ьК1. а¿3 - 0.

Из формул (34) следует, что для случая ортотропных материалов

£ £

¿1КЬ = 0. ¿КЬ _< { с3333с33КЬ^£ > _ { с3333с33КЬ^£.

_0,5 _0,5

Следовательно, из соотношений (33) и (35) с учетом выражений (5), (6) получаем, что мембранные перемещения в пластине в основном и варьированном состояниях с точностью до членов второго порядка малости линейно зависят от поперечной координаты £, как в классических теориях пластин Кирхгофа — Лява и Тимошенко:

щ _ 40) (хл) + к£и301 (Хл). И _ и10) (ХЛ) + к£и301 (ХЛ).

и

Прогиб зависит от £ уже нелинейно с точностью до членов первого порядка малости:

и3 _ и30)

Решение локальных задач первого приближения. Запишем решение задачи первого приближения (30) относительно напряжений [12]:

£

а°31|=в:°Ьlл | (<Л > _сЦ а0«1 _ 0.

"0,5

а ^ _ 0.

а33 - 0.

0Л ) _ £сЛКЬ Лкь + ЙлКшр^м.

а Л _

р01)_£л0 + Ф р00) ЬКЬ - Ч> Г1КЬ+ Ф КЬМЫ^МЫ, V.

Здесь функции обозначены следующим образом:

^(0) _ №) + с(0) Ф .

^ЛКЬМ - ^ЛКЬМ + сЛРБФ РБКЬМ. £

^ЛКЬМ __сЛк3ск3Р3 { (< сРММКЬ >_CPo°KL _0,5

лКъ _ _и30(Къ. ФКЬММБ (£) _ ФКЬММБ (£)_ < ФКЬММБ (£) >. (41) £

ФКЬММ (£) _ _ | (сК_3г3^VЬ + 0,3г3$Б.К^р13ММ^£. _0,5

Поскольку а030) _ 0, а01 _ 0 и из коэффициентов отличны

В

от нуля только В31 и В32 ,

втк В^Ок _ 0.

Тогда решение локального уравнения устойчивости первого приближения в системе уравнений (30) вместе с граничными условиями

на Еб и £__ 0,5 имеет вид

£

а

_0,5

Подставляя в формулу (43) соотношения (36), а также учитывая, что а030) _ 0, получаем

£

(1)_е(0) г (< с(0) >-с(0) ) ё£+

ааз

-0.5

£

+ ИП

0,5

а, Р _ 1, 2, а ^ Р.

£

( -! ((в}? - В22(0)Ц0)+в2?а2(2°) - ВМ"» -

а33 _

-0,5

-<

Поскольку в}? и В;? , согласно (14), не зависят от £, то соотношения (44) с учетом решения (33) можно представить в виде

+ |с12КЪ I£ §21 |с22КЪ I£ §1!) »23 ) еКЪ ,

где

сКтМ _ }

-0,5

Для преобразования выражения (53) подставим вначале перемещения „(; (36) в соотношения (14) и представим четыре компоненты

Втк, входящие в выражения (46), в следующем виде:

»(")_ „(°) +1, е(°) . »(")_ „(°) +1, е(0) . »11 - „3,21 2 ,2КЪ/3ЬКЪ,1. »12 - „3,11 + 9°1КЪ/3ЬКЪ,1.

2 2

»(")_ „(0) +1, е(°) . »(")_ „(0) +1, е(°) »21 - „3,22 + 2 °2КЪ/3ЬКЪ,2. »22 ~ „3,21 + 2 °1КЪ/3ЬКЪ,2.

Подставляя соотношения (48) в соотношения (45), получаем искомую формулу для поперечных напряжений в варьируемом состоянии:

а(;)_е°(°)(е(0) (Н21 - Н11 »-е(0) (Н12 - н22

а33 " ЬМЫ I ьКЪ, ЦН КЪМЫ Н КЪММ) ЬКЪ, 2 ^Н КЪММ Н КЪММI +

+„3°22 {с2"2М^ }£ - „3°и {спМ^ } 1,

где

£

НКЪММ _ I

_0,5

Выразим деформации вк^ из второй группы соотношений (31), тогда с учетом формул (43) и (36) получим

р

ьк3~ ик3г3 г3КЬьКЬ+ик313аI3 + ик333° 33.

Деформации рКЬ, согласно соотношению (36), имеют вид, аналогичный соотношениям (40) для основного состояния:

8КЬ _ £Лкь + ФКшт, Б , ЛКЬ _ _и3, К.

Если подставить теперь в формулу (51) выражения (52), (46) и (49), то получим следующее представление для деформаций:

|с22КЬ [ Я11 IВ23

¿3) _ с_313с13КЬ£ЧКЬ ^с_313с13КЬФКЬММБ + ск313 |с./б;мМ^^^М!,Б + с_313 1КЬ }£ Я21 _ |с12КЬ }£ Я11 ) В13 ) + |с12КЬ }£ Я21 _

(0)Ъ(0)+ с_1 Гр(0) (21 _ Н11 )-

23 )ьКЬ ск333 КЬ,ЦНК1ММ НК1ММ )

(0) / т

_ р

Подставляя выражение (51) в третью группу соотношений (30), найдем оставшиеся напряжения первого приближения в варьируемом состоянии:

а

°Л - сЛК1гК1+ сЛк3 I ск313а13 + ск333а33 I.

Подставляя формулы (52), (46) и (49) в выражения (54), получаем окончательно

а(1)_ с(0) + 1(0) р(0) + г В(0)р0(0) +

°Л - сЛКЬЪ 1УЛМЫБЪШ, УЛКЬМВМ3ЬКЬ +

+ ш р

+ "ЛКЬМЫ^КЬ, БЪМЫ + СЛМ1КЬИ3, КЬЬМЫ,

ГЛКЬ1 _ сЛк3ск3М3 | |с11КЬ }£ Я2М |с12КЬ }£ $ М ] .

где введены следующие тензоры:

_1 I с(0М Я _ с(0) 1

У _ с с-1 ( (с(0) 1 § - |с(0) 1 § , уЫКЪ2~ сик3ск3М3 ^ |с12КЪ | °2М ус22КЪ | ° 1М ) .

Щ/КШт _ сикзск-333 (НКЪМИ - НК1МИ ). Щ/КШИ2 _ -сикзск-333 (НКЪМИ - НКЪМИ ).

^Т/МИ22 _ сикзск333

133 |с^2Л/И 1 .

а _-с с-; /с(°) 1 .

^иМт;- сик3ск333 )сПММ\ .

аиШ12 _ аиММ21 _ °.

Осредненные уравнения для основного и варьированного состояний. Подставляя выражения (26) в асимптотическое разложение (25) уравнений равновесия, получаем

«// >««,$>/ >+к2

Умножив уравнения равновесия системы (19) на £к и проинтегрировав их по толщине, получим следующее вспомогательное уравнение:

к

Здесь учтено, что < £о°3(;)3 >_-< о?1 > и < £о03(2) >_-< о°3(2) > вследствие граничных условий на 2з± : а°30) _ 0, ог°3;) _ 0.

Введем обозначения для усилий Т?, моментов М? и перерезывающих сил 0° в пластине:

1?, _<а/ > +к < а°°»>+к2 <а"72>> ...

0° _к <а"з; >+к2 <а^

М? <£о0/°' >+к2 <£о0/1»>+. ..

Тогда уравнения (57) и (58) можно записать в виде классических уравнений равновесия пластины:

1/,/ _ 0. 0/0и _ Ар. М?,/ -0? _ о,

где Ар _ к 2 Ар.

Подставляя выражения (32) в асимптотическое разложение (28) уравнений устойчивости и сохраняя только главные члены разложения, получаем

<а,, (< В^а01°)> + <В(т1)а011)>) +

+к1<а(Л, >_ ^^ (< > + < 7аЦ1 > + < Вт!а^ >)) +... _ 0.

Умножим уравнения равновесия системы (27) на £к и проинтегрируем их по толщине, тогда, сохраняя только главные члены асимптотического разложения, получаем следующее вспомогательное уравнение:

к (< £аЛ!, >_< а1з >)+к2 (< £аЛ,, >_< ат3 > I _

_в1тк <£B.(ml)а<1k0} >_к втк (< £В^-т>а<0к°^ > + <£;_1 >) _

_К2 втк

Здесь учтено, что а(0 _ 0, < £а(33/3 >_ _ < а^ >, < £а(3/3 >__< а(2 >,

поскольку а(0)_ 0 а( _ 0 в B("1)а0(1)_ 0 и в B("1)а0(2)_ 0 в поскольку а13 _ 0, а 13 _ 0, £1тк В]т а¡к _ 0 и £1ткВ]т а¡к _ 0 в

соответствии с выражением (42).

Введем обозначения для усилий Ти, моментов Ми и перерезывающих сил Q1 в варьируемом состоянии аналогично формулам для

основного состояния, но с сохранением только главных членов разложения:

тл _< а1Л > +к < аЛ > +к2.-

дт _к < а113 >+к2 < аЦ >+....

Мл _к<£а10)>+к2 <£аТ° >+.... Тогда уравнения (61) и (62) примут следующий вид:

2

I ^, 7+(_1)а(< В1(30)а0(0)> + < В20)а2{0) >) _ 0 а, Р _ 1,2 ,

у=1

I Mа,„"^а+

у=1

&.Л _ < ВЙ'оЗ0' > _ < В20»О020) > + < ВЙ^0) > + < В202'аЙ0) >_ 0.

Согласно соотношениям (14), компоненты »)? и »23 не зависят от £ , поэтому уравнения системы (64) можно записать в виде

2

I Тау,7 +(-1)а (В;з)1;р + »КТр) _ °, а, р _ 1,2, а * Р.

у_)

I Мау,у-0а+НГ

у _1

0/,/ - < в)0>4°> > - < В20>а220> >+< вМ°> >+< В2К2°> >_ 0.

Моменты основного состояния в нулевом приближении

мXр0l-<£аX

Уравнения

М"Р" _< £сХРКъ > е^^) _ о.

Для ортотропной пластины, согласно соотношениям (38), перемещения „I1 _ -„з^ £ линейно зависят от координаты £ , тогда в соответствии с выражением (14) компоненты В;о), в)?, в20), вЦ не зависят от £ . Уравнения устойчивости ортотропной пластины принимают следующий вид:

I Тау,у +(-1)а (В^Ур + »Цр) _ 0, а, р _ 1,2, а * р. у _1

I Мау, у- 0а_ °.

у_1

0/,/ -(в(0) - в21)) Т;1 - в20)Т101 + вЦТ; _ 0.

Осредненные определяющие соотношения теории пластин.

Подставив выражения (42) и (48) для напряжений , а"/1, о"31

в интегралы формул (59), получим осредненные определяющие соотношения для пластины в основном состоянии:

Ти _ сикъео

М1л _ ВЛКЬ8К0 + ПЛКЬ Лкь + КЛКЬМ8КЬ,)М. „ ч

_К,КЬ*КЦл +к2 <а032)>.

Тензоры осредненных упругих констант пластины в соотношениях (69) имеют вид

с _< с(0) >. В _к<£с(0) >. П _к2 <£2с(0 >.

сЛКЬ _< сЛКЬ>. ВЛКЬ~ ЪсЛКЬ>. ПЛКЬ - к < сЛКЬ>.

КЛКЬМ _к < ^ЛКЬМ >. КЛКЬ __к < |с10КЬ }£ >.

КЛКЬМ _к2 < £ШШ > .

Аналогично, подставляя выражения (33), (46) и (55) для напряжений а,, а,, а(3 в интегралы формул (63), получаем осредненные определяющие соотношения для пластины в варьируемом состоянии:

Т _ с 8(0) + В л +1 в(0) + Г В°)80(0).

ТЛ ~ сЛКЬьКЬ + ВЛКЬГ\КЬ + КЛКЬМЬКЬ,М + УЛКЬМВМ3ЬКЬ .

МЛ _ BЛK1рPKl + ПЛКЬлКЬ + КЛКЬМ8У,,М + ГЛК1МВМ3гКЬ.

01 _ КЛКЬ 8КЬ, Л +к 2 < а1з >.

Дополнительные тензоры осредненных упругих констант пластины в варьируемом состоянии имеют вид

В _ В + С 0

ВЛКЬ _ ВЛКЬ + СЛШКЬ8 МЫ. КЛКЬМ _ КЛКЬМ + "ЛКЬБЫМ8.

П _ П С 0

ПЛКЬ _ ПЛКЬ + СЛМ1КЬ8 М1. КЛКШ _ КЛКЬМ + "ЛКЬБЫМ8 .

ГЛКЬМ _к < ГЛКЬМ >. ШЛКЬММБ _ к < ШЛКЬММБ >.

СЛМЫКЬ _к < СЛМЫКЬ >. ГЛКЬМ _ к2 < £ГЛКЬМ >.

2 2

ШЛКЬМ№ _к < £ШЛКЬММ >. СЛММКЬ _ к < £СЛШКЬ > .

В отличие от определяющих соотношений в классической теории устойчивости соотношения

и ГлкLмBfflз8Kl°), учитывающие влияние основного состояния пластины на варьируемое. Кроме того, осредненные упругие константы (72) в варьируемом состоянии также зависят от деформаций р0! основного состояния пластины.

Для ортотропных сред равны нулю компоненты следующих тензоров:

Ушш = 0; НКМ - 0; М^ - 0; Фкшт  = 0, (73) поэтому из соотношений (56), (70) и (72) имеем

кшт - 0; кшт - 0; Щкмт - 0; ^штт - 0; ^икьмт - 0; кикьм - 0; кикьм - 0; ^икы - 0; ^икы - 0

С учетом этих выражений определяющие соотношения (71) принимают более простой вид:

Ти - сикь вК1 + вик1 Лкх;

ми - Бикь+ ЪикьЧкь;

-к2 <а1^ >.

Полученные соотношения формально похожи на определяющие соотношения классических теорий пластин, но осредненные упругие

константы Сикь, Бикь, Бикх и В1Ж1 зависят от деформаций основ-

0

ного состояния пластины в¿М .

Осредненные кинематические соотношения теории пластин.

В систему осредненных определяющих соотношений (69) входят деформации срединной поверхности вК^, кривизны тКх и градиенты

деформаций вК^М, которые зависят от функций и!0, и30) глобальных переменных х1:

в?/1- 2

Эти кинематические соотношения замыкают систему уравнений асимптотической теории пластин (60), (69), находящихся в основном состоянии.

В систему осредненных определяющих соотношений (71) варьированного состояния пластин входят деформации срединной поверхности вК^, кривизны , градиенты деформаций вКх М, а также

компоненты Б^з вектора поворота, которые зависят от функций „/0), „30) глобальных переменных х1:

. Лкь __Щ3, КЬ.

Эти кинематические соотношения замыкают систему уравнений асимптотической теории пластин (65), (71), находящихся в варьируемом состоянии.

Пример расчета устойчивости пластины при одноосном сжатии. Рассмотрим классическую задачу об устойчивости пластины

при действии на нее сжимающей продольной нагрузки ТЦ = _Т0 < 0.

Ось ОХ1 ориентирована в направлении продольной оси пластины. Будем считать, что пластина является: 1) ортотропной, главные оси

ортотропии каждого слоя совпадают с осями ОХ1 декартовой системы координат и 2) симметричной относительно срединной поверхности, т. е. выполняются соотношения

В пластине, находящейся в основном состоянии, возникает одноосное растяжение (сжатие), которому соответствует следующее решение системы уравнений (60), (69), (73):

40) _ П1ШТ101X1 + «10. 40) _ 0. 40) _ 0. Лкь _ _«3кь _ 0.

а

а11 " Т11. Ь11 -111111а11 . ь22 _111122а11 ,

остальные усилия, а также все моменты и перерезывающие силы равны нулю, т. е. Тар _ 0, М(р _ 0, О _ 0. Здесь П1ЛКЬ — компоненты тензора податливостей, обратного к слкь . «ц — постоянная интегрирования, определяемая из граничного условия на торце пластины.

Решение для варьированного (неустойчивого) состояния пластины будем искать подобно решению задачи изгиба пластины [13],

в котором отличны от нуля две основные функции: прогиб Щ0) и угол поворота щ(1), причем эти функции зависят только от продольной координаты Х 1:

Щ0) Щ

Подставляя это решение в кинематические соотношения (12), находим компоненты вектора поворота:

(0)_ Щ0) - Л).

8 Л _

Щ, Л + ЩЛ, I

В13 -

.

2,11

- Щ

1,21

Ву > _

В23 -

Щ

2,12

Щ

1,22

ш10) - 0; ш20) - 2К1-„1%); 40) - 0; ш

После подстановки выражений (80) в соотношения (14) находим, что ненулевой является только одна компонента:

Б?=»

а остальные Б^ - 0, Б( - 0.

Здесь использована формула (38) „1(1) --^к, которая имеет место вследствие ортотропии пластины. Так у тензоров а и0 и вЦ^ отличны от нуля только компоненты а0(0) и Б^, тогда с учетом формул (81) получаем

- -

Подставляя выражение (80) в кинематические соотношения (77), находим компоненты деформаций и кривизн срединной поверхности пластины в варьированном состоянии:

Ли --„30) 1,

а остальные лкь - 0, в и - 0.

Подставляя выражения (84) в определяющие соотношения (75), находим выражения для усилий и моментов:

Ти - Би11Л11; ГОг\

~ ~

м11 - А111Л11; м22 - 1^2211Л11; м12 - 0.

(47) и (78) следует, что функции |сКмм| являются антисимметричными: {СК)мм) --{СК)мм. Из (56) слеДУет, что и

Поскольку пластина является симметричной, из соотношений

.(0) 1

} 1 _______; следует что и г-иммкь

антисимметричные функции. Тогда из выражений (70) и (72) получаем, что для симметричной пластины равны нулю следующие компоненты тензоров:

Бикь -к < >- 0; Симыкь -к < ^имыкь >- 0;

Бикь - 0; и - -к <

Однако отличными от нуля являются компоненты тензора Слшкь и, следовательно, изгибная жесткость пластины в варьируемом состоянии

П _ П + С р 0(0)+С р0(0)_ П +

М111 _М111+^111111ь11 +и111122ь22 _М111 +

+ к £с1133с3333 |C0^1o|£ >П000 0_ < £с1133с3333 |с22п|£ >П1122.

После подстановки выражений (86) в определяющие соотношения (85) получаем, что Ти и 01 равны нулю, а момент Мп зависит

только от X1 Тогда система уравнений теории устойчивости (68) содержит только два ненулевых уравнения:

Мц, 1 _ 01 _ 0. 01,1 _ Т0щ30) 1 _ 0.

Исключив из этих двух уравнений перерезывающую силу О1, получим

Мц, 11 _ Т0щ30) 1 _ 0.

Подставляя вместо момента М11 его выражение (85), с учетом

(84) получаем итоговую форму уравнения теории устойчивости пластины:

Щ?1111 - кЧ0! 1 _ 0,

где

Т 0

к2

/1111

Уравнение (90) с граничными условиями шарнирного закрепления

X1 _ 0 : Ц0 _ 0, щ30) _ 0. М11 _ 0; X1 _ /: Ц0) _ 0, М11 _ 0

имеет минимальное собственное значение к _ л//. Ему соответствует

критическое значение сжимающей нагрузки Т , при котором происходит потеря устойчивости пластины:

Тк0р

Формула (93) отличается от классической формулы Эйлера [19] для критического усилия значением изгибной жесткости Пцц.

В классическую формулу вместо Dnn входит значение D1m, различие между ними определяется соотношением (87). Если пластина однослойная, т. е. cKlmn = const, то, согласно (47), jcK^^^^ j = 0 и,

следовательно, Dim = Dim. Для многослойной пластины эти изгиб-

ные жесткости уже различаются, особенно, если слои пластины анизотропные и отношение модулей упругости в продольном и поперечном

направлениях СзззСцц велико. Таким образом, даже для простейшей классической задачи об устойчивости пластины при продольном сжатии разработанная теория дает заметную поправку к значению критической нагрузки. Для других случаев (несимметричная пластина, не-ортотропные слои, неравномерная нагрузка и др.) различие может быть еще более существенным.

Заключение. Разработана теория устойчивости упругих тонких многослойных пластин, построенная на общих уравнениях трехмерной теории устойчивости упругих сред путем введения асимптотических разложений по малому геометрическому параметру без введения каких-либо гипотез относительно характера распределения перемещений и напряжений по толщине пластины. Сформулированы локальные задачи теории устойчивости, а также выведены осреднен-ные уравнения равновесия пластины в основном и варьируемом ее состояниях. Показано, что осредненные уравнения устойчивости теории пластин отличаются от классических уравнений теории пластин Кирхгофа — Лява и Тимошенко выражением поперечной силы в варьируемом состоянии и определяющими соотношениями пластины, которые включают члены, обусловленные основным напряженным состоянием. Пример расчета устойчивости тонкой ортотропной пластины при одноосном сжатии показал, что значение критической силы потери устойчивости отличается от значений, полученных по классической формуле Эйлера, выражением для изгибной жесткости, которая зависит от параметров основного состояния пластины.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №14-19-00847).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. Избранные работы. Москва, Наука, 1971. 808 с.

[2] Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. Москва, Машиностроение, 1978, 312 с.

[3] Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. Москва, Наука, 1967, 964 с.

[4] Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. Москва, Машиностроение, 1988, 264 с.

[5] Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. Москва, Машиностроение, 1980, 324 с.

[6] Сухинин С.Н. Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек. Москва, Физматлит, 2010, 240 с.

[7] Paczos P., Zielnica J. Stability of orthotopic elastic-plastic open conical shells. Thin-Walled Structures, 2008, vol. 46, no. 5, pp. 530-540.

[8] Zihni Zerin. The effect of non-homogeneity on the stability of laminated ortho-tropic conical shells subjected to hydrostatic pressure. Structural Engineering and Mechanics. An International Journal, 2012, vol. 43, no.1, pp. 89-103. DOI: http://dx.doi.org/10.12989/sem.2012.43.L089

[9] Димитриенко Ю.И. Обобщенная трехмерная теория устойчивости. Ч. 1: Конечные деформации. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2013, № 4 (51), с. 79-95.

[10] Димитриенко Ю. И. Обобщенная трехмерная теория устойчивости. Ч. 2: Малые деформации. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2014, № 1, с. 17-26.

[11] Димитриенко Ю.И. Обобщенная трехмерная теория устойчивости. Ч. 3: Малые деформации. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2014, № 2, с. 77-89.

[12] Димитриенко Ю.И. Асимптотическая теория многослойных тонких пластин. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2012, № 3, с. 86-100.

[13] Димитриенко Ю.И., Яковлев Д.О. Сравнительный анализ решений асимптотической теории многослойных тонких пластин и трехмерной теории упругости. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 12. URL: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/technic/899.html

[14] Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Сборщиков С.В. Асимптотическая теория конструктивно-ортотропных пластин с двухпериодической структурой. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 1, с. 36-57.

[15] Димитриенко Ю.И., Яковлев Д. О. Асимптотическая теория термоупругости многослойных композитных пластин. Механика композиционных материалов и конструкций, 2014, т. 20, № 2, с. 260-282.

[16] Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Федонюк Н.Н., Яковлев Д.О. Метод расчета рассеяния энергии в конструкциях из гибридных композитов. Известия вузов. Сер. Машиностроение, 2014, № 11, с. 23-34.

[17] Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Сборщиков С.В. Моделирование упругодиссипативных характеристик слоисто-волокнистых композитов. Инженерный журнал: наука и инновации, 2014, вып. 4 (28). URL: http:// engjournal.ru/catalog/mathmodel/material/1234.html

[18] Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Яковлев Д.О. Асимптотическая теория вязкоупругости многослойных тонких композитных пластин. Наука и образование. Электронное научно-техническое издание, 2014, № 10. doi: 10.7463/1014.0730105.

[19] Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Т. 4. Основы механики твердого тела. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013, 624 с.

[20] Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Т. 1. Тензорный анализ. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013, 367 с.

Статья поступила в редакцию 10.04.2015

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Димитриенко Ю.И. Теория устойчивости пластин, основанная на асимптотическом анализе уравнений теории устойчивости трехмерных упругих сред. Инженерный журнал: наука и инновации, 2015, вып. 09. URL: http://engjournal.ru/catalog/mech/mdsb/1416.html

Димитриенко Юрий Иванович родился в 1962 г., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова в 1984 г. Д-р физ.-мат. наук, заведующий кафедрой «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана, директор Научно-образовательного центра «Суперкомпьютерное инженерное моделирование и разработка программных комплексов» МГТУ им. Н.Э. Баумана, действительный член Академии инженерных наук. Автор более 300 научных работ в области механики сплошных сред, вычислительной механики, газодинамики, механики композитов, математического моделирования в науке о материалах. e-mail: dimit.bmstu@gmail.com

Theory of plates stability, based on asymptotic analysis of stability theory equations for three-dimensional elastic bodies

© Yu.I. Dimitrienko Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia

The objective of this research is to develop a theory of elastic stability of thin multilayer plates. The theory is based on general equations of three-dimensional theory of elastic stability by means of introducing the asymptotic expansion over a small parameter, which represents a thickness to length of plate ratio, without any hypothesis about displacements and stress distributions. Within the research, we stated local problems of stability, as well as the averaged equations of plate equilibrium for the ground states and the varied states of the plate. Consequently, we obtained the analytical solution of the local problems, which helped deduce relations for all six components of the stress tensor, including throw-thickness normal stresses and shear stresses for the ground and varied states. Moreover, we found that the averaged equations ofplates' stability differ from the classic equations of Kirchoff—Love and Timoshenko's plate theory of stability. It is determined that for orthotropic plates the constitutive relations simplify and become similar to classical relations of thin plates. However, the membrane and flexural stiffness of plates depends on stresses of the ground state. The study is illustrated with an example of calculating a thin orthotropic plate under uniaxial compression. As a result, we obtained an expression for the critical buckling force, which differs from the classical Euler formula in expression for flexural stiffness, which depends on the parameters of the ground state of the plate. The findings of the research show that the difference of the critical force values is the most significant for the plates with strong anisotropic layers.

Keywords: theory ofplates' stability, three-dimensional stability theory, thin multi-layer plates, orthotropic plates, asymptotic expansion.

REFERENCE

[1] Timoshenko S.P., Gere J.M. Theory of elastic stability. 2nd ed. New York/Toronto/London, McGraw-Hill, 1961, 356 p. (In Russ.: Timoshenko S.P. Ustoychivost sterzhney, plastin i obolochek. Izbrannye raboty [Stability of rods, plates and shells. Selected works]. Moscow, Nauka Publ., 1971, 808 p.).

[2] Alfutov N.A. Osnovy rascheta na ustoychivost uprugikh system [Basis of calculation for stability of elastic systems]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1978, 312 p.

[3] Volmir A.S. Ustoychivost deformiruemykh system [Stability of deformable systems]. Moscow, Nauka Publ., 1967, 964 p.

[4] Vasilev V.V. Mekhanika konstruktsiy iz kompozitsionnykh materialov [Mechanics of composite materials]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1988, 264 p.

[5] Alfutov N.A., Zinoviev P.A., Popov B.G. Raschet mnogosloynykh plastin i obolochek iz kompozitsionnyh materialov [Calculation of multilayer composite plates and shells]. Мoscow, Мashiostroenie Publ., 1980, 324 p.

[6] Sukhinin S.N. Prikladnye zadachi ustoychivosti mnogosloynykh kompozitnykh obolochek [Applied problems of stability of multilayer composite shells]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2010, 240 p.

[7] Paczos P., Zielnica J. Stability of orthotropic elastic-plastic open conical shells. Thin-Walled Structures, 2008, vol. 46, no. 5, pp. 530-540.

[8] Zihni Zerin The effect of non-homogeneity on the stability of laminated orthotopic conical shells subjected to hydrostatic pressure. Structural Engineering and Mechanics. An International Journal, 2012, vol. 43, no.1, pp. 89-103. doi: http://dx.doi.org/10.12989/sem.2012.43.L089

[9] Dimitrienko Yu.I. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki — Herald of Bauman Moscow State Technical University. Ser. Natural Sciences,

2013, no. 4 (51), pp. 79-95.

[10] Dimitrienko Yu.I. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki — Herald of Bauman Moscow State Technical University. Ser. Natural Sciences,

2014, no. 1, pp. 17-26.

[11] Dimitrienko Yu.I. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki — Herald of Bauman Moscow State Technical University. Ser. Natural Sciences, 2014, no. 2, pp. 77-89.

[12] Dimitrienko Yu.I. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki — Herald of Bauman Moscow State Technical University. Ser. Natural Sciences,

2012, no. 3, pp. 86-100.

[13] Dimitrienko Yu.I., Yakovlev D.O. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii — Engineering Journal: Science and Innovation, 2013, iss. 12. Available at: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/technic/899.html.

[14] Dimitrienko Yu.I., Gubareva E.A., Sborschikov S.V. Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody - Mathematical Modeling and Computational Methods, 2014, no. 1, pp. 36-57.

[15] Dimitrienko Yu.I., Yakovlev D.O. Mekhanika kompozitsionnykh materialov i konstruktsiy — Composite Mechanics and Design, 2014, vol. 20, no. 2, pp. 260-282.

[16] Dimitrienko Yu.I., Gubareva E.A., Fedonyuk N.N., Yakovlev D.O. Izvestiya VUZov. Mashinostroenie — Proceedings of Higher Educational Institutions. Machine Building, 2014, no. 11, pp. 23-34.

[17] Dimitrienko Yu.I., Gubareva E.A., Fedonyuk N.N., Sborschikov S.V. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii — Engineering Journal: Science and Innovation, 2014, no. 4 (28). Available at: http://engjournal.ru/catalog/ mathmodel/material/1234.html.

[18] Dimitrienko Yu.I., Gubareva E.A., Yakovlev D.O. Nauka i obrazzovanie. Elektronnoe nauchno-tekhnicheskoe izdanie — Science and Education. Electronic Scientific and Technical Journal, 2014, no. 10. doi: 10.7463/1014.0730105

[19] Dimitrienko Yu.I. Mekhanika sploshnoy sredy. Tom 4. Osnovy mekhaniki tverdogo tela [Continuum mechanics. Vol. 4. Fundamentals of solid mechanics]. Moscow, BMSTU Publ., 2013, 624 p.

[20] Dimitrienko Yu.I. Mekhanika sploshnoy sredy. Tom 1. Tenzornyy analiz [Continuum Mechanics. Vol. 1. Tensor Analysis]. Moscow, BMSTU Publ.,

2013, 367 p.

Dimitrienko Yu.I. (b. 1962) graduated from Lomonosov Moscow State University in 1984. Dr. Sci. (Phys.&Math.), Professor, Head of the Computational Mathematics and Mathematical Physics Department, Director of Scientific-educational Center of Supercomputer Engineering Modeling and Program Software Development of Bauman Moscow State Technical University. Member of the Russian Academy of Engineering Science. Author of over 300 publications in the field of computational mechanics, gasdynamics, thermomechanics of composite materials, mathematical simulations in material science. e-mail: dimit.bmtstu@gmail.com