Анализ состояния финансовых рынков на основе методов нелинейной динамики

Финансовые рынки

АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

Л.П. ЯНОВСКИЙ, доктор экономических наук, профессор Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Воронежский государственный аграрный университет им. К.Д. Глинки»,

Д.А. ФИЛАТОВ,

Воронежский институт менеджмента, маркетинга и финансов

В последнее время все-большее внимание уделяется исследованию финансовых временных рядов с точки зрения теории хаоса [1,3,4]. Это достаточно новая область, которая представляет собой активно развивающийся раздел математических методов экономики. Развитие теории в этом направлении позволяет выявить сущность глубинных экономических процессов, часто скрытых и неявных. Как следствие, все большую популярность приобретает точка зрения, что финансовый рынок подвержен помимо случайных хаотических колебаний и колебаниям, имеющим другую природу. Это колебания, возникающие под действием долгосрочных закономерностей, или так называемого детерминированного хаоса. В первой части статьи исследуются числовые характеристики детерминированного хаоса и на основании эмпирических расчетов выводится новая характеристика — процентное содержание в финансовом ряду случайного хаоса. Кроме того, дается оценка процентного содержания случайного хаоса для временных рядов валют и курсов акций на российском финансовом рынке.

Во второй части статьи разработанная методика применяется для анализа анализ-динамики наиболее глобальных рыночных кризисов, случившихся в последней четверти XX в. Полученные результаты в свою очередь позволяют разработать индикатор предвестников крахов финансовых рынков.

В третьей части статьи анализируется теория когерентного финансового рынка на примере поведения индекса SP-500. В отличие от предыдущих частей статьи здесь предлагается многофакторная модель поведения финансового рынка, в основе которой лежит физическая модель Изинга плотности вероятности распределения намагниченности в ферромагнетике (кстати, решение знаменитого уравнения Блэка-Скоулса (Black, Scholes) ценообразования опциона было получено Черчиллем на 10 лет ранее, в 1963 году, при решении теплового уравнения диффузии в твердом теле). В отличие от упомянутой модели Блэка-Скоулса, базировавшейся на теории эффективного рынка и не допускавшей возможности долгосрочного прогнозирования цен, теория когерентного рынка (Vaga ) допускает, что в некоторые периоды времени рынок в большей или меньшей степени становится прогнозируемым. На наш взгляд, удалось показать, что характеристики состояния рынка связаны с характеристикой «долгосрочной памяти» Харста, характеризующей настроение участников рынка; кроме того, привести формулы расчета для характеристики, отвечающей за внешние фундаментальные экономические и политические факторы и, наконец, в отличие от физической модели Изинга, в которой предполагается постоянное число намагничивающихся элементов, показать, что число участников рынка напрямую связано с текущим состоянием рынка.

1. Расчет основных фрактальных характеристик

финансовых рядов и оценка степени детерминированности временных радов валют и курсов акций на российском финансовом рынке

Исходными данными явились статистические данные о самых используемых валютах и их курсах к рублю, т. е. рубль/доллар США и рубль/евро (далее P/S и Р/Е соответственно) за 2001-2003 гг. и цены на акции основных российских эмитентов («голубых фишек»).

Расчет и оценка постоянной Харста для финансовых рядов. Чтобы получить показатель Я — постоянную Харста [1J рисуется временная зависимость нормированного размаха временного ряда в двойном логарифмическом масштабе и ее линейная аппроксимация. Наклон аппроксимирующей прямой и есть оценка показателя Харста:

H=log(R/S)/log(aN). где R — размах отклонения в рассматриваемом ряду;

S — среднеквадратическое отклонение рассматриваемого ряда;

а — константа из интервала (0; 1);

Я - показатель Харста.

Применительно к финансовым данным можно использовать следующую содержательную и качественную трактовку: показатель Харста Я измеряет влияние информации на временной ряд данных.

Значение //=0,5 подразумевает случайное блуждание, что является подтверждением гипотезы эффективного рынка. В этом случае события некореллированны, все новости уже учтены и обесценены рынком.

Значение Я>0,5 подразумевает, что сегодняшние события будут иметь значение завтра и полученная информация продолжает учитываться рынком некоторое время спустя. И это не просто последовательная корреляция, это функция долговременной памяти, которая обусловливает информационное влияние в течение больших периодов времени.

Если же #<0,5, то мы имеем дело с антипер-систентным рядом. Такой ряд волатилен, т.е. более изменчив, чем ряд случайный. Он состоит из частых реверсов «спад-подъем». Среди финансовых данных было найдено мало подобных рядов.

Проверить обоснованность результата можно, вычислив постоянную Харста у хаотизированного временного ряда, т. е. ряда, в котором разрушена временная последовательность наблюдений (номе-

ра наблюдений перемешаны с помощью датчика случайных чисел). Если у хаотизированного ряда постоянная Харста станет близка к 0,5, значит исходный ряд имел «долговременную память», которая оказалась разрушенной в результате перемешивания. Если же константа Харста не изменяется после случайного перемешивания ряда, то ее величину определяет ряд с независимыми приращениями и «толстыми хвостами» в распределении вероятностей появления различных по величине значений ряда (дробное броуновское движение).

В результате расчета показателя Харста для некоторых финансовых рядов российского рынка была получена табл. 1.

Таблица I

R/S — анализ финансовых рядов

Финансовый инструмент Исходные данные Хаотнзнровапные исходные данные

Рубль/Енро 0,58 0,50

Рубль/Доллар 0,60 0,49

Индекс РТС 0,57 0,59

РАО ЕЭС 0,59 0,53

Газпром 0,53 0,65

НорНикель 0,66 0,47

Лукойл 0,60 0,42

Ростелеком 0,72 0,48

Сбербанк 0,55 0,65

Сургутнефтегаз 0,66 0,53

Татнефть 0,70 0,58

Юкос 0,60 0,55

Так как показатель Харста измеряет степень зазубренности временного ряда, то чем ближе Як 0,5, тем больше шума в системе и тем более ряд подобен случайному. В табл. 1 мы видим, что большие величины Я соответствуют финансовым рядам цен на акции таких компаний, как Сургутнефтегаз, Татнефть, Ростелеком, НорНикель. По мнению авторов, из этого следует, что работа с этими рядами означает меньший риск, потому что они соответствуют данным, содержащим меньше шума.

Основные положения теории динамического хаоса. Эмпирическая оценка величины мультипликативной случайной компоненты временного ряда. До

начала 1960-х гг. в нелинейных диссипативныхди-намических системах в стационарном режиме наблюдали только периодические и квазипериодические движения. Однако в 1963 г. в динамической системе Лоренцем [8] было обнаружено очень сложное движение, которое воспринималось как хаотическое. Для характеристики таких движений ввели понятие «динамический хаос». Термин «динамический» означает, что отсутствуют источни-

ки флуктуаций. Лоренц исследовал весьма упрощенную математическую модель конвективного движения в атмосфере — систему трех обыкновенных, но нелинейных дифференциальных уравнений. Они представляют собой динамические уравнения для макроскопических характеристик среды — компонент Фурье локальной скорости и температуры. Конвективное движение возникает благодаря совместному действию поля тяжести и градиента температуры. Решение уравнений может быть проведено лишь численно, с помощью компьютера. Проведенный анализ показал, что при достаточно больших значениях градиента температуры поведение решения является настолько сложным, что соответствующие движения воспринимаются как хаотические. Более того, было установлено, что малейшее изменение начальных условий радикально меняет характер движения. Тем самым движение оказывается динамически неустойчивым. Поскольку начальные условия могут быть заданы лишь с конечной точностью, то предсказание вида движения на долгий срок по заданным начальным условиям становится практически невозможным.

В статье Рюэля и Такенса [9], опубликованной в 1971 г., был введен новый математический образ динамического хаоса — странный аттрактор. Термин «странный» подчеркивает два свойства аттрактора. Это, во-первых, необычность его геометрической структуры. Размерность странного аттрактора является дробной (фрактальной). Во-вторых, странный аттрактор — это притягивающая область для траекторий из окрестных областей. При этом все траектории внутри странного аттрактора динамически неустойчивы, что выражается в сильной (экспоненциальной) расходимости близких в начальный момент траекторий.

Для характеристики аттракторов целесообразно ввести понятие размерности. Размерность определяет количество информации, необходимое для задания координатточки, принадлежащей аттрактору, в рамках указанной точности. Введем определение фрактальной размерности ¿^произвольного аттрактора в «-мерном фазовом пространстве по Колмогорову-Хаусдорфу [10]:

й, = Нт[1п М(е)/1п(1/е)]

с '

где М(е) - минимальное число л-мерных кубиков с ребром е, необходимых для покрытия аттрактора. Применив это определение для вычисления размерности точки, линии и поверхности, легко убедиться в привычных значениях 0, 1 и 2 соответ-

ственно. Для нетривиальных множеств размерность Df может оказаться дробной.

Установлено, что фрактальная размерность странных аттракторов дробная. Заметим, что в формуле для вычисления фрактальной размерности одинаково важны все непустые кубики. Это представляет серьезный недостаток для странных аттракторов, так как они пространственно неоднородны, т. е. некоторые области аттрактора посещаются чаще других. Требуется знание очень длинной траектории, чтобы гарантировать посещение даже очень маловероятных кубиков. Поэтому каждый непустой кубик нужно взвешивать с помощью относительной частоты, с которой он посещается типичной траекторией. Размерности, определяемые с учетом вероятности посещения траекторией различных областей аттрактора в фазовом пространстве, называют вероятностными.

Представителем класса вероятностных размерностей является корреляционная размерность Dc, определяемая соотношением [11J:

M

0c = |im[ln(5>-)/lns,

где р. — вероятность того, что пара точек аттрактора принадлежит /-му кубику. Корреляционную размерность можно представить в виде:

Dc = lim[lnC(e)/lne]  1

С(е) = lim — У 6(е - р(х,. - х,)) т fjtx '

где функция Хевисайда 9(а) = I *'а -  - точки

[О, а < 0, '

в фазовом пространстве; р - расстояние.

Таким образом, размерность Dcопределяется значением корреляционного интеграла С(е), характеризующим относительное число пар точек х., х,

удаленных на расстояния r¡j = р(х,, ху) < г.

Чем ниже корреляционная размерность ряда, тем меньшее число параметров задействовано в описании системы. При изучении временных рядов будем различать те компоненты рядов, которые образуют странные аттракторы в некотором фазовом пространстве вложения конечной размерности. Эта компонента имеет конечную корреляционную размерность и будем ее называть компонентой детерминированного хаоса. Другую компоненту ряда, которая является, по сути, случайным непредсказуемым шумом и имеет бесконечную корреляционную размерность, будем на-

зывать случайной компонентой или случайным хаосом.

При росте размерности вложения и наличии случайной компоненты следует ожидать роста корреляционной размерности. Оценка влияния аддитивного гауссова шума на рост корреляционной размерности и корреляционной энтропии проведена в работе Шрейберга и Кантца [12]. Важным результатом этой работы является вывод, что при наличии случайного шума корреляционная размерность заметно увеличивается с ростом размерности вложения, а именно при переходе от п к п+1.

Заметим, что шум не разрушает скейлинговые свойства корреляционного интеграла С(г, п) по п, но приводит к переоценке йг На этом свойстве шума и построена излагаемая ниже основная гипотеза.

Далее мы представим результаты эмпирической оценки влияния мультипликативного присутствия случайной компоненты ряда с дисперсией, равной дисперсии исходного ряда, на рост корреляционной размерности ряда.

Основная гипотеза, подлежащая проверке, состоит в том, что финансовые временные ряды обладают как детерминированной компонентой, так и случайной компонентой. Оказалось, что хотя корреляционная размерность рядов, содержащих случайную компоненту, бесконечная, степень роста корреляционного интеграла замедляется с возрастанием доли детерминированной компоненты в ряде.

Для эмпирической проверки этой гипотезы был изучен ряд известных детерминированных аттракторов:

Генератор Ван дер Поля (Ш), [а = 1; Ь = 0,3]

йх! <11 = у

ЛуМ1 = а(\-Ьх2)у-х

Генератор Ван дер Поля (2Б) [а = 1; Ь = 0,3; В= 1;р= 1,5]

'(/х/о7 = у

• с1у/с!1 = а(1-Ьх1)у-х + г

ск/с}! = В5т

Отображение Хенона [а = 1,4; Ь = 0,3]

кы = 1 ~ах2к+Ьук

\Уы=хк

Отображение Икеды [а = 0,4; Ь = 6; с = 0,9]

Уы =с

Система Лоренца [ст= 10; b = 8 / 3; г = 28]

dx / dt = -ах + агу ldy/dt = -xz +гх - у dz/dt = xy-bz

Система Ресслера [а = 0,2; b = 0,2; с = 5]

dx/dt = -y-z

• dy/dt = х + ау dz/dt = b + xz-cz

Функция Вейерштрасса-Мандельброта [D =

1,5; b =1,5]

К*™- i

N—r. О

, f sinb"t

Уравнение Меки-Гласса [а = 0,1; b = 0,2; с = 10; х = 30]

Гауссов шум — значения отсчетов — случайная величина с нормальным распределением, нулевым средним и стандартным отклонением ст.

Для каждого из перечисленных детерминированных рядов йк (элементы которых обозначим ё., /= 1ДО были созданы следующие ряды, содержащие в разной пропорции случайную хаотическую компоненту:

• полностью хаотизированный ряд (полученный путем случайного перемешивания изначального ряда). Обозначим его как £ряд с элементами / = К.-.-М

Г ' ' '

• ряды — ряды, имеющие а% (а = 0,1; 0,2;...,0,9) детерминированного хаоса и |3% ((3 =0,1; 0,2;...,0,9) случайного. Элементы рядов были получены по следующей формуле:

=</"5?, /= 1,...,]Ч,СС + Р= 1. Для всех рядов была найдена последовательность корреляционных размерностей, соответствующих размерностям вложений. Для каждого ряда найден коэффициент наклона прямой регрессии последовательности корреляционных размерностей. Построено уравнение линейной регрессии, где в качестве независимой переменной X взято значение коэффициента наклона прямой регрессии последовательности корреляционных размерностей, в качестве зависимой переменной У— доля (3% случайного хаоса. Получено следующее уравнение:

1,13*41,98*.

Model is: Y=axx*"x+bxx (dirnens modelnie) Dep. Var. : Y

Level of confidence: 95,0%

Estimate

-1,13510

Standard error

t-value p-level

df= 86

Lo. Conf ! Limit

Up. Conf Limit

1,98669

0,513297 0,274508

-2,21139 0,029661 -2,15550 -0,114699 7,23728 0,000000 1,44099 2,532396

Model is: Y=axxxx+b<x

Dep. Var. : Y

1 2 3 j 4 5

Effect Sum of Sqares DF Mean Squares I F-value p-va lue

Regression 27,37750 2,00000 13,68875 343,9683 0,00

Residual 3,42250 86,00000 0,03980

Total 30,80000 88,00000

Corrected Total 8,80000 87,00000

Rearession vs.Corrected Total 27,37750 2,00000 13,68875 135,3319 0,00

Оценка качества построенной регрессии показала, что коэффициенты регрессии значимы, и сама регрессия адекватна эмпирическим данным. Оказывается, что просматривается четкая тенденция к увеличению наклона в регрессии корреляционных размерностей при возрастании случайной хаотической компоненты в ряду наблюдений.

Расчет основных фрактальных характеристик финансовых рядов. Были получены последовательности корреляционных размерностей для цепных индексов курсов валют Р/$и Р/Еи коэффициенты наклона корреляционных размерностей к$и кЕдля Р/$ и Р/Е соответственно. Подставив коэффициенты наклона корреляционных размерностей к$м кЕ в полученное уравнение, получим, что значение ß% случайного хаоса в ряду рубль/доллар =52,01, в ряду рубль/евро =33,09. Следовательно, можно сделать вывод о большей перспективности работы трейдера на рынке Р/Е в сравнении с рынком Р/$.

Аналогичное исследование было проведено для обыкновенных акций российских эмитентов. Конкретно рассматривались цепные индексы цен закрытия основных «голубых фишек». По результатам расчета был получен следующий результат (табл. 2).

Таблица 2

Полученный результат показывает, что в целом поведение цен акций на российском фондовом рынке характеризуется невысокой долей мультипликативного детерминированного хаоса, что говорит о сложности обнаружения долгосрочных закономерностей в значениях цен. Об этом же свидетельствует результат исследования индекса РТС (индекс показывает движение рынка акций в среднем), у которого р% случайного хаоса = 60,36.

Следует отметить, что выявлена группа акций (Ростелеком, Сбербанк, Татнефть, Сургутнефтегаз, НорНикель) с достаточно невысокой долей случайного хаоса. Для работы с этими акциями трейдерам можно рекомендовать системы технического анализа, построенные на следовании за трендом. Объединяя табл. 1 и табл. 2, получаем табл. 3.

Эмитент % случайного хаоса Эмитент /и случайного хаоса

РАО ЕЭС 64,2 Ростелеком 43,3

Газпром 65,4 Сбербанк 37,4

НорНикель 57,1 Сургутнефтегач 56,0

Лукойл 77,1 Татнефть 28,3

Юкос 69,6

Таблица 3

Ф|!М!111СОНЫ ¡1 инструмент % случайного хаиса 11 ИСХОДНЫХ данных п хаитпшроиапнмх .тайных

Рубль/Енро 33,09 0,58 0,50

Рубль/Доллар 52,01 0,60 0,49

Индекс РТС 60,36 0,57 0,59

РАО ЕЭС 64,20 0,59 0,53

Газпром 65,40 0,53 0,65

НорНикель 57,10 0,66 0,47

Лукойл 77,10 0,60 0,42

Ростелеком 43,30 0,72 0,48

Сбербанк 37,40 0,55 0,65

Сургутнефтегаз 56,00 0,66 0,53

Татнефть 28,30 0,70 0,58

Юкос 69,60 0,60 0,55

Вывод: исследование числовых характеристик финансовых рядов позволяет выявить те финансовые инструменты, которые в той или иной степени детерминированы, и,следовательно, поведение которых может быть частично спрогнозировано методами технического анализа.

2, О применении теории хаоса к исследованию динамики финансовых крахов

Алгоритм определения процента случайного хаоса был применен для рыночных индексов (Hang-Seng, S&P500, Nasdaq, РТС) на интервалах, предшествующих и последующих датам сильных финансовых кризисов. Оказалось, что проценты детерминированного и случайного хаоса резко отличаются до и после финансовых кризисов.

Гонконгские крахи 1994, 1997 гг. Как известно []4], Гонконг очень сильно ориентирован на свободный рынок, характеризуется незначительным числом ограничений для резидентов или нерезидентов, физическихлиц или компаний относительно проведения операций, займов и репатриации прибыли и капитала. В связи с этим вполне можно ожидать, что спекулятивное поведение и «стадный инстинкт» будут проявляться здесь во всей своей полноте.

Рассмотрим крахи 1994 и 1997 гг. (нарис. 1 обозначены /и //соответственно). Первый «пузырь», лопнувший в начале 1994 г., обозначен / на рис.1. Пузырь закончился так называемым «медленным обвалом»: 4 февраля 1994 г. индекс Hang-Seng при закрытии достигал отметки 12157,6, а месяц спустя, 3 марта 1994 г., он закрылся на уровне 9802, что составляет 19,4% общих потерь. В течение последующих двух месяцев индекс продолжал падать, опустившись до отметки 8421,7 при закрытии 9 мая

HON С- KONG HftfJG SENG INDEX as of 32-Н-ЗЦ-20С4

1994 г., что составляло 30,7 % общих потерь по сравнению с уровнем, достигнутым 4 февраля (табл. 4).

Второй «пузырь» закончился в середине августа 1997 г. медленным, но непрерывным угасанием вплоть до 17 октября 1997 г., когда произошел резкий обвал: падение с 13601 на 17 октября до 9059 на 28 октября, что составляло 33,4% общих потерь.

Таблица

Индекс Hang-Seng

Период 1987-1489 1989-1991 1991-1994 1994-1996 1996-1997 1997-1999 1999-2001

случайного хаоса 50.21 44.41 28,40 52.92 20,08 33.52 45,03

Copyright 2004 Yahoo! Inc.

Рис. 1. Индекс Hang-Seng

Кризисы США 1987, 1998, 2000 гг. Кризис

1987 г. Крах на фондовом рынке 19 августа потряс профессионалов Уолл-Стрита, уничтожил около 1 трлн дол. стоимости фондового рынка. В «черный понедельник» индекс Доу-Джонс упал на 22,6% до отметки 1738,74. Это было самое крупное падение, произошедшее в течение одного дня, как в количественном, так и в процентном отношении, за всю историю индекса «голубых фишек». Остальные рынки последовали за индексом Доу-Джонс. Индекс S&P500 потерял более 20%, упав на 57,86 до уровня 224,84. Nasdaq опустился на 46,12 пунктов до отметки 360,21. Восстановление потерь заняло долгое время. Индекс Доу-Джонс вернулся к своему докризисному уровню лишь в январе 1989 г., 15 месяцев спустя. Охватывающему большую часть рынка индексу S&P500 понадобился для этого 21 месяц.

Кризис 1998 г. Достигнув своего максимума в середине июня 1998 г., американский фондовый

индекс S&P500 к началу сентября потерял 19%. Еше более впечатляет падение индекса высокотехнологичных компаний Nasdaq, который за два месяца потерял 25%. Этот медленный обвал и, в частности.аналогичное поведение фондовых рынков во всем мире, начавшееся в середине августа, как правило, приписывается падению на российских финансовых рынках, которое сопро-

http irwioe .yat-ioo -coi«/

вождалось обесцениванием национальной валюты и отказом правительства платить по своим долговым обязательствам. Д. Сорнетте [14] выдвинул предположение, и это предположение проверяется в данной статье, что события в России могли послужить толчком, но не фундаментальной причиной. Он считает, что на фондовом рынке был нестабильный «пузырь», который достиг своей кульминации в середине 1998 г.

Кризис 2000 г. Индекс №зс1ая-композит стремительно рухнул до отметки 3227 17 апреля 2000 г., что составило 37% потерь по сравнению с рекордным уровнем 5133, достигнутым 10 марта 2000 г. №зс1ач-композит состоит в основном из акций компаний, относящихся к так называемой Новой экономике, т. е. к Интернету, программному обеспечению, компьютерному оборудованию, телекоммуникациям и т. д. (табл. 5).

Таблица 5

S&P500 NasUaq-KOMiioiiiT

Период % случайного хаоса Период % случайного хаоса

1983 - 1985 47,07% 1994 - 1996 36,03%

1985- 1987 17,42% 1996-1998 16,03%

1987 - 1989 51,59% 1998-2000 32,40%

1989- 1991 5,25% 2000 - 2002 20,02%

1991 - 1994 41,94% 2002 - 2004 45,61%

1994- 1996 18,34%

1196- 1998 18,88%

1998 - 2000 57,59%

2000 - 2002 19,32%

Крах РТС 1998 г. В 1997 г. было большое падение индекса РТС (рис. 4). В 1998 г. падение продолжилось. В январе 1998 г. падение курсов (ин-

декс РТС) составило около 28%. В качестве «внешних» причин обострения кризиса можно выделить быструю девальвацию валют Юго-Восточной Азии в начале 1998 г., снижение крупнейших азиатских фондовых индексов и, как следствие, ослабление финансовой устойчивости инвестиционных компаний данного региона, закрывавших свои позиции на Emerging Markets, в том числе в России. К тому же на движении курсов акций, выпущенных нефтяными компаниями, — акций, играющих столь важную роль на российском фондовом рынке, — чрезвычайно неблагоприятно сказалось падение цены на нефть на мировых рынках. Особенно сильно — на 50-70% упали акции нефтяных компаний «Томскнефть», «Сургутнефтегаз» и др. Среди внутренних причин (экономических и психологических) можно выделить существенные колебания на российском валютном рынке и рынке государственного долга.

В апреле политическая нестабильность (правительственный кризис вплоть до утверждения нового премьер-министра 24 апреля) и общая неблагоприятная конъюнктура привели к снижению индекса РТС-1 на 4%. В мае финансовый кризис фактически вступил в новую стадию, что связано как с внешними, так и с внутренними причинами.

Но основными причинами кризиса стали недоверие западных инвесторов к возможности Правительства разрешить в ближайшей перспективе сложившиеся в России экономические проблемы, ожидание девальвации рубля и опасно высокая доля расходов на обслуживание государственного долга в общей сумме расходов бюджета, а также возникшие (особенно в случае с РАО "ЕЭС Рос-

SIP 500 INDEX es of J2-Hay-2004 2000 1500

1000

500

132 0000 0000 0000

W"1

»

19« 5

1990 -i—

1995

2000

Copyright 2004 YahooI Inc.

http ://fInane* .yahoo .coi«/

Рис. 2. Индекс S&P 500

№VVN№ CWSITE as of

JOO <> : - ,¡0'

1< 'Up

STOCK

•4«

С 30

Copyrlght ¿»ЧЦ voiuu Ihi.

if p:/

Рис. 3. Индекс Nasdaq-композит

?0G 653 EDO 5?П SCO -ISC 4 3EG зз:

2:C

га.

"50

• :c

м а

U! Sep Mb

ч^ч/

>¡1 / fi

[ j

\  Л t п

У »

ч

•'»л

/

гЗА„чУ6 C/AwCJ? -iJiiiii: IJ Jul 3i 28JunO^ IjJcnUI ifl Mav G2 ГСМгрЗЗ 3"."Api,

Рис. 4. Индекс РТС

сия") опасения в отношении гарантий прав акционеров. Все это стало причинами вывода западного капитала как с рынка государственных ценных бумаг, так и с рынка акций. Падение индекса РТС в мае 1998 г. составило 38,77%. За весь 1998 г. российский фондовый индекс снизился на 51,88%, а с 6 октября 1997 г. падение индекса превысило 66,5%.

Таблица 6

РТС

Период % случайного хаоса

1995- 1998 6,60%

1998-2000 29,08%

2000 - 2002 34,34%

2002 - 2004 21,70%

Таким образом, проведенный анализ позволяет разделить финансовые крахи на два больших класса.

Первый — основной — класс характеризуется низким процентом случайного хаоса до краха и значительным процентом случайного хаоса после краха. На графике такая ситуация распознается по крутому подъему до краха и пологому «рассасыванию» финансового пузыря после краха. К этому типу крахов относятся Гонконгские крахи 1994 и 1997 гг., крах Российской товарной биржи 1998 г., крах на Уолл-Стрите 19 августа 1987 г., коррекция американского рынка акций в 1991 г. и кризис 1998 г.

Редким примером кризисов второго класса является кризис индекса SdP-500 в 2000 г. В то же время акции высокотехнологичных компаний (индекс Nasdaq) падали по обычной схеме.

Итак, тревожным симптомом скорого кризиса и резкого падения рынка акций может служить малый процент случайного хаоса на подъеме рынка акций. Такая ситуация обычно сигнализирует о большом непрекращающемся притоке спекулятивного капитала на финансовые рынки. Происходит резкий разрыв между спекулятивной стоимостью акций и фундаментальными показателями экономического развития, который заканчивается крахом. Если же такой разрыв происходит в одном из ведущих секторов рынка акций, например, в секторе высоких Интернет-технологий, то обрушившийся сектор рынка влечет за собой и весь рынок. Но для всего рынка не было спекулятивного роста стоимости акций, следовательно, до краха процент случайного хаоса на всем рынке был

значительным. Резкое падение после краха дало уменьшение процента случайного хаоса, что и привело к снижению случайного хаоса в индексе SdP-500 в 2000 г. Аналогичной нам представляется коррекция рынка российских акций в 2004 г. в связи с известными событиями вокруг нефтяной компании «ЮКОС».

3. Анализ состояния финансового рынка ца основе нелинейной статистической модели Веге-Изинга

Авторами предпринята попытка описать состояние финансовых рынков с помощью нелинейной статистической модели Веге-Изинга. Предлагаемый алгоритм расчетов основных параметров модели применяется к описанию функции плотности вероятности однодневных доходностей индекса S&P500 за период с января 1998 г. по август 2004 г.

Описание гипотезы когерентного рынка. В отличие от вышеописанных однофакторных моделей мультифрактального рынка, в которых состояние рынка оценивалось с помощью одной переменной — фрактальной размерности, или показателя Хар-ста, физическая модель Изинга включает три параметра: число кластеров, внутреннюю характеристику кластеров и внешнее воздействие. Каллан и Шапиро в 1974 г. применяли модель Изинга в социальных науках [15], а Веге в 1991 г. разработал модель Когерентного рынка (Coherent Market Hypothesis-CMН) [6].

Основное отличие модели СМН от однофакторных моделей в том, что вероятностное распределение изменений доходностей рынка во времени базируется не только на фундаментальных экономических условиях, но и на определенных настроениях, иначе говоря, «групповом сознании» рынка. Атак как комбинации этих двух факторов изменчивы, то изменяется и само состояние рынка. Происходящие при изменении рынка фазовые переходы представляют собой изменение функции плотности вероятности доходностей рынка.

Различают несколько вероятностных состояний (фаз) рынка:

1. Эффективный рынок, т. е. рынок, в котором финансовые инструменты ведут себя как случайный временной ряд и, следовательно, такой рынок не может быть прогнозируемым. В этом случае инвесторы действуют независимо друг от друга, и информация мгновенно отражается в ценах.

2. Переходные состояния рынка. Возникают из-за возрастания «группового сознания», т. е.

происходит некое смещение в настроениях инвесторов.

3. Хаотический рынок. Рынок, на котором финансовые инструменты обладают «долгосрочной памятью». Настроения инвесторов в данном случае характеризуются тем, что быстро распространяются в «групповом сознании», а фундаментальные условия нейтральны или еще не определены.

4. Когерентный рынок, в котором обозначены фундаментальные тенденции, и, кроме того, как и в случае 3 присутствует «долговременная память». Это часто — трендовые рынки с низким риском для получения прибыли.

В модели Изинга три основных параметра определяют состояние системы — число степеней свободы (число компонентсистемы), внутренняя кластеризация (корреляции между компонентами системы) и внешние силы, оказывающие влияние на эту кластеризацию. Веге [4] в качестве показателя внутренней кластеризации использовал термин «рыночное настроение», в качестве внешних сил он взял экономические окружающие условия.

Мы изменили функцию плотности вероятности прибыли, записанную Веге [61, таким образом, чтобы отразить в модели статистику изменения доходности индекса не на годовом, а на меньшем (двухмесячном) промежутке. В результате было получено следующее выражение:

/(<7) = с 'е(4/Ю)ехр(2 | (К(у)/0(у)с/у,

-1/2

К{д) = ¡И(кс/ + к)- 2с/с11(кс1 + 1г).

0(с/) = (I/Ы){с/1(кц + А) -2ц + А)), (,}

с= )е(<//10)схр(2']' (К(у)/<2(у)с/у)с1с1,

-5 -1/2

где Дя) — плотность вероятности ежедневной прибыли <г/ ; параметрами порядка системы (1) являются:

/V— число степеней свободы, или количество участников рынка; к — показатель поведения толпы. Свяжем данный показатель с показателем Хар-ста Н [1] с помощью формулы: к = Н+ 1,3; /г —фундаментальное смещение (результат влияния внешних экономических условий).

Изменение управляющих параметров изменяет форму функции вероятности (1). При /1=0, К= 1,8 мы получаем истинное случайное блуждание (рис. 5), уравнение (1) преобразуется в нормальное распределение. Любая информация быстро обесценивается рынком.

ftq)

1-1

0.86-

0.71-

0.57-

0.43;

0.7&-

4" 111-11— -1 Г-Н-1—1

-5 -4

h = О k= 1JS N = 320

2 3 4 5

-1 0 1

Ч

Рис. 5

В случае небольшого возрастания к при неизменных фундаментальных условиях, /г=0, получаем ситуацию «неустойчивого перехода» (рис. 6). Мы видим, что на рынке присутствует «долговременная память» (таким образом, информация не обесценена), имеются тренды и они сохраняются, пока новая информация не изменит их.

ь = 0

«q)

1-II ОГ.

и .ЬО 0 71-

0 57-

0 43"

0 22;

/Ш4- —-ч—4 >..........>""........<.

М - 220

«Л)

1-

0 86-П 11 -

и. /1 0 57-

0 43-

X" ч

/V; i t *А—1—1—

22U

Ч

Рис.7

ятности смещается влево (рис. 8). Мы видим хаотический рынок с небольшой игрой на понижение.

Уменьшение И до -0,03 приводит к когерентному «медвежьему» рынку. Функция плотности вероятности сильно скошена влево, но остается 1-

0

I

86-f

-0 005

iiq>

0 71- к = 2 2

0 57-

0 43- Н - -->1

/ \Q 29-

/ —4—4—

Рис.8

длинный положительный хвост, указывающий на то, что дни положительных доходносгей рынка остаются возможными, даже если их вероятности очень малы. Положительная информация может иметь меньший эффект, чем отрицательная той же величины. Инвесторам можно рекомендовать совершать короткие продажи. Следующее состояние рынка — когерентный «медвежий» рынок (рис. 9).

Ь -0 0 3

-5-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Ч

Рис. 6

Значение h=0 отражает отсутствие фундаментального смещения, в тот же момент высокое значение показателя поведения толпы А:дает нам очень неустойчивую систему (рис. 7). Любая позитивная или негативная информация может привести к радикальным переменам. Это и отражает функция плотности вероятности, образуя две впадины. За недостатком фундаментальной информации инвесторы отслеживают действия друг друга, поэтому любые слухи могут стать причиной паники.

Уменьшение h до -0,005 отражает то, что на рынке начинают циркулировать не очень хорошие экономические новости. Функция плотности веро-

h = О

liq)

1-

0 86-

А11

1 \ 0 43-

1 \ 0 >9-

/ V14 1-¿ч—f—Ъ=» -i . .III 1 1 1

N - 220

-5 -4 -3-2-1 0 1 2 3 4 Рис.9

Далее представлен пример часто встречающейся ситуации — когерентный «бычий» рынок (рис. 10). На таком рынке риск потерь низок, и общая волатильность падает. Данные условия на рынке как нельзя более подходят для совершения покупок ценных бумаг.

Таким образом, являясь нелинейной статистической моделью, модель когерентного рынка предлагает богатую теоретическую схему для оценки рыночного риска и его изменений во времени в зависимости от факторов фундаментального и технического характеров.

Перейдем к рассмотрению способов расчета характеристик модели.

Легче всего вычислить показатель настроения толпы к, так как существует несколько надежных способов расчета показателя Харста 11, 2, 3|.

Щ

1-1

0.26-

0.71-

0.57-

0.43-

0.29-

0.14- 1 1 1 —1—1—1 V-Ч

h = 0.02 к = 2.1 N = 220

-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4

q

Рис.10

накопленная сумм;! ошибок мииимагн.на л^ченир N = 22

Прейммемый линпазон лничений N ш 180 ло 260

Рис. 11.

Чтобы рассчитать число степеней свободы рынка и показатель фундаментального смещения к, использовались процентные приращения дневных значений индекса Б&Р500 за период январь

1998 г. по август 2004 г. Вся совокупность данных была разбита по 2-месячным интервалам, и в дальнейшем для каждого интервала по разработанной методике были найдены соответствующие значения параметров к, h, N.

Для определения числа степеней свободы рынка был получен следующий график (рис. 11).

На основе минимизации ошибок системы (1) для расчета h предлагается следующее уравнение регрессии (табл. 7).

Как видно из результатов моделирования, все коэффициенты уравнения регрессии статистически значимы, значимо и само уравнение регрессии для вычисления фундаментальной постоянной h.

При более тщательном исследовании функции (1) применительно к индексу Sd Р-500 оказалось, что найденный диапазон, числа степеней свободы рынка 180 — 220 является усредненным по всем состояниям рынка. Более того, в зависимости от состояния рынка число степеней свободы сильно изменяется. Было получено следующее уравнение:

N = - 27666xk - 12560xmod

Таблица 7

Итоги регрессии для определения константы фундаментального сдвига h

R= ,85676209 R*2= ,73404128 Adjusted R*2= ,66016386

F(10,36)=9,9359 p< ,00000 Std. Error of estimate: ,00293

Beta Std.Err. В Std.Err. t(36) o-level

N=46 of Beta of В

МО -17.14111 7 q СП pi -0,00000023648 0,000000 -2,54343 0 015416

си -26,3226 10,97135 -0,00166869318 0,000696 -2,39922 и ,021732

Цеп. ин. PI 108,2923 15,90365 0,53930429832 0,079201 6,80927 n nnnonn

Цеп. ин. PPI -23,9421 10,58328 -0,11958131390 0,052859 -2,26226 n 029814

Цеп. ин. HS -6,0496 2,23887 -0,03021698679 0,011183 -2,70208 0 ,010444

URA2 10,7162 5,14780 0,00000000025 0,000000 2,08170 0 ,044540

СР1Л2 -35,4460 13,23165 -0,00000576533 0,000002 -2 ,Ь78НН 0,011064

UR*MO 26.7427 6,38410 0,00000000187 0,000000 4,18895 ¡"1 ,000173

UR4PI 24,9752 7,34690 0,00000000002 и ,000000 3,39943 ' ) ,001664

GDP*M2MS -61 ,4600 11,23506 -0,00000019373 0,000000 -D ,4,' 038 0 ПГ1ППП4

МО — Manufacturers'New Orders: Durable Goods;

CU - Capacity Utilization; PI — Perconal income (цепной индекс);

PPI - Producer Price Index: All Commodities (цепной индекс);

HS - Housing Starts: Total: New Privately Owned Housing Units Started (цепной индекс); UR - Unemployment Rate;

CPI - Consumer Price Index For All Urban Consumers: All Items;

IPI - Industrial Production Index;

GDP — Gross Domestic Product;

M2xMS - M2 MinusrM2 less small time deposit.

Regression Summary for Dependent Variable: ri (Данные для поиска зависимости N от h и kl.sta) R= ,89152356 R?= ,79481425 Adjusted R?= ,77263201

F(4,37)=35,831 p<, 00000 Std.Error of estimate: 110,93

Beta : Std.Err. В ! Std.Err. : t(37) ! p-level .

N=41 of Beta : of В

k -228.691 j Ю7.052 1 -27766,4 12997,65 -2,13626 0,039339 / ' .2-,

rriodh -ода" o,;35 9 -12559,9 5903,81 -2,12743 0,040113 * / "'V, •'.

LN-V4 179,605 84,367 2 64278,9 30194,19 2,12885 0,039988 . <4/. /, ' _

m 50,315 22,77; " 22Во1,5 ¡0128,78 2,20939 0.033394 •

Все коэффициенты уравнения статистически значимы, значимо и само уравнение.

Вывод: с увеличением фундаментального дрейфа рынка и постоянной Харста уменьшается число степеней свободы рынка. Зависимость от фундаментальной составляющей — линейная, а в зависимости от постоянной Харста присутствуют нелинейные эффекты, ослабляющие линейную зависимость.

Полученные результаты говорят о перспективности использования гипотезы когерентного рынка для успешной работы трейдеров, портфельных менеджеров, управляющих паевых фондов. Формирование стратегий поведения трейдера и формирование портфеля акций паевого фонда должны учитывать текущее состояние рынка, степень предсказуемости и степень волатильности отдельных акций и всего рынка.

Литература

1. Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М.: Мир., - 2000.

2. Яновский J1.П. Принципы, методология и научное обоснование прогнозов урожая по технологии «ЗОНТ». Воронеж.: ВГАУ, 2000.

3. Готовчиков И.Ф. Оценка путей совершенствования стратегий поведения на российском валютном рынке // Финансовый менеджмент. 2003. № 4.

4. Medio А. Discrete and continuous-time models of chaotic dynamics in economics, Structural Change and Economic Dynamics, 2,99-118 ( 1991a).

5. Medio A. Continuous-time models of chaotic dynamics in economics. Journal of Economic Behavior and Organization, 16, 115-151 (1991b).

6. Vaga Т. «The Coherent Market Hypothesis» Financial Analysts Journal, December/Janurary 1991.

7. Black, F and Scholes. M (1973) The pricing of options and corporate liabibilities. Journal of Political Economy, 81 (May-June), pp. 637-59.

8. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci. 20, 130-141 (1963).

9. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence. Comm. Math. Phys. 20, 167 (1971).

10. Колмогоров A.H. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега. ДАН СССР, 1958. Т. 119. С. 861-864.

11. Nerenberg М.А., Essex С. Correlation dimension and systematic geometric effects. Phys. Rev. A 42, 7605 (1986).

12. Schreiber Т., Kantz H. Noise in chaotic data: Diagnosis and treatment. Chaos5, 133-142 (1995).

13. Яновский Л.П., Филатов Д.А. Оценка степени детерминированности временных рядов ваш ют и курсов акций на российском финансовом рынке // Экономическое прогнозирование: модели и методы 2004 г. Материалы Всероссийской научно-практической конференции. 18-19 марта 2004 г. 2 часть,- Воронеж: ВГУ, 2004. - ч. 2.: С. 228-232.1.

14. Сорнетте Д. Как предсказывать крахи финансовых рынков: критические события в комплексных финансовых системах М.: Интернет-Трейдинг, 2003. 400 с.

15. Callan, Е. and Shapiro, D. «А Theory of Social imitation» Physics Today 27, 1974.