Математические функции, используемые в экономике

УДК: 330.4

ББК: 65

Каменева С.А.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ЭКОНОМИКЕ

Kameneva S.A.

MATEMATICAL FUNCTIONS IN ECONOMY

Ключевые слова: производственная функция, функция потребления, функция издержек, функция спроса, основной капитал, рабочий фонд.

Keywords: production function, consumption function, demand function, capital fund, labor fund, cost function.

Аннотация: в данной статье представлены основные математические функций, используемые в экономике. Эти функции применяются для создания математических моделей, описывающих различные экономические процессы и явления.

Суть статьи состоит в исследовании свойств производственных функций, в частности, функции Кобба - Дугласа. К производственным функциям относятся функция издержек, функция спроса.

Вторая часть статьи содержит определение функции Кобба - Дугласа, как мультипликативной функции. Данная функция используется при моделировании внутреннего валового продукта.

Функция Кобба - Дугласа зависит от двух аргументов: капитал и живой труд.

В статье исследуют предельные значения функции, условия обратимости в нуль.

В заключение автор делает вывод о важности изучения математического анализа при подготовке экономистов.

Abstract: the author of this article presents the basic mathematical functions that used in economy. Those functions applies for creation of mathematical models. Scientists discrybes the differents processes and objects in economy by mathematical models. The objects of this thesis is to investigated the properties of production functions Cobb-Douglas production, cost function, demand function are the main types of production function.

The second part contains the definition of Cobb-Douglas production function as a multiplex function. This function is used for gross domestic product. The first argument of this function is capital funds. The second argument of this function is human capital.

Cobb-Douglas production function is equal to zero if one of the argument is equal zero. In this way the study of mathematical analyses is very important for economists.

Современная математика характеризуется интенсивным проникновением в другие науки, во многом этот процесс происходит благодаря тому, что математика разделяется на несколько самостоятельных областей. Математика является тем универсальным средством, с помощью которого подтверждается универсальность законов окружающих нас многообразного мира.

Экономика как наука об объективных законах развития общества, начиная со Средневековья, пользуется различными количественными характеристиками, и поэтому широко используют методы математики.

Современный бухгалтерский учет основан на принципах итальянского математика Луки Пачоли. Он изложил их в своем фундаментальном труде «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях»

В 19 веке ученые Л. Вальрас, О. Курно, В. Парето, Ф. Эджворт сформулировали основы

математического подхода к исследованию рыночной экономики.

В 20 веке Нобелевскими лауреатами в области экономики за создание математических моделей стали В. Леонтьев, Д. Хикс, Р. Солоу, П. Самуэльсон.

Огромный вклад в развитие экономико-математического моделирования внесли русские исследователи - Е.Е Слуцкий, В.С. Новожилов, Л.В. Канторович.

Активность экономических исследований побуждает математиков к дальнейшему развитию методов, используемых в экономике.

Активное использование математического аппарата в экономике основывается на овладении необходимыми знаниями в области математики. Математические теоремы и их доказательства построены по строгим законам логики. Простота логических построений и умозаключений позволяет оттачивать методику исследо-

ваний сложных процессов, наблюдаемых в природе, обществе, экономике.

Изучение математических методов позволяет будущему экономисту сформировать необходимые компоненты мышления, кругозор, которые понадобятся ему в профессиональной деятельности.

Математическая подготовка экономиста имеет свои особенности, связанные со спецификой экономических задач, а также с широким разнообразием подходов к их решению.

Задачи практической и теоретической экономики очень разносторонни. К ним относятся в первую очередь методы сбора и обработки статистической информации и оценка состояния и перспективы развития экономических процессов. Применяются различные способы применения полученной информации, простой логический анализ, составление и разработка математического аппарата и их исследования.

Неопределенность экономических процессов, случайность данных обуславливают необходимость привлечения к исследованиям экономических задач математического анализа, теории вероятностей, математической статистики, линейного программирования, линейной алгебры, аналитической геометрии.

Спектр функций, используемых в экономике, весьма широк. Это и самые простые линейные функции у=а+Ьх и функции, полученные с помощью рекуррентных соотношений, связывающих состояние изучаемого объекта или явления в различные моменты времени.

Также используются нелинейные функции (квадратическая, кубическая, показательная, логарифмическая).

Многие процессы в экономике подвержены циклическим колебаниям (теория «длинных» волн в экономике Н. Кондратьева). Это обуславливает целесообразность применения тригонометрических рядов для описания подобных процессов.

Наиболее часто в экономике используются следующие функции:

1. Функция полезности (функция предпочтений) - зависимость результата действия от интенсивности этого действия.

2. Производственная функция - зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

3. Функция выпуска (частный случай производственной функции) - зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.

4. Функция издержек (частный вид производственной функции) - зависимость издержек производства от объема продукции.

5. Функция спроса, потребления и предложения - зависимость объема спроса и предложения на отдельные товары или различные услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

Очень часто в экономике используются функции многих переменных, так как результаты порой обусловлены действием нескольких факторов. Среди этих функций особо выделяются мультипликативные функции, которые обращаются в нуль при отсутствии действия хотя бы одного фактора.

Мультипликативные функции представлены в виде произведения факторных переменных.

Сепарабельные функции дают возможность выделить влияние различных факторов на зависимую переменную.

Если действием побочных факторов можно пренебречь или удается зафиксировать эти факторы на определенных уровнях, то влияние одного главного фактора изучается с помощью одной переменной.

Зависимость спроса на различные товары от дохода описывается функциями Л. Торнкви-ста:

1) у=Ч^т {х>а»

2) у = ЧФ1 (х>а2);

_ч Ь3*х(х-а3) , ^ ,

3) у = У-Сз (х>а3).

Можно установить уровни доходов а1, а2, а3 , при которых начинается приобретение товаров определенной категории и уровни насыщения Ъь Ъ2, для группы товаров первой и второй необходимости.

Важный аспект использования функции в экономике - применение таблиц значений функции, которые позволяют сделать возможные различные расчеты, исключить или упростить громоздкие вычисления.

При вычислениях с помощью таблиц мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда аргумент функции задан с большей точностью, чем позволяет таблица. В этом случае мы должны прибегнуть к интерполированию, т.е. приближенному нахождению неизвестных значений функций по известным ее значениям в заданных точках.

Наиболее простым является линейное интерполирование, при котором допускается, что приращение функции пропорционально приращению аргумента.

Многим экономическим явлениям присуща многофакторная зависимость. Изучение таких явлений и процессов требует применения

функции многих переменных.

Определение. Пусть имеется п переменных x1, x2, ... xn. Соответствие между набором значений переменных (хь x2, ... xn ) из некоторого множества Х и вполне определенным значением переменной z.

Говорят, что задана функция нескольких переменных. Например, функция z = п х^2 задает объем цилиндра z как функцию переменных: х1 (радиус основания) и х2 (высота).

Функция z = a1x1 + a2x2 +.. ,+апхп +Ь, где а1, .. .,ап, Ь - константы, называется линейной функцией многих переменных.

Одно из базовых понятий экономической теории - функция полезности.

Функция z = f (хь..., xn) выражает зависимость полезности п приобретенных товаров.

Чаще всего встречаются следующие ее

виды:

а) z = ,а' ( xi - ci), где ai > 0, xi > с

1 -01

>0 - логарифмическая функция,

б) z = ( xi - с)1-ы, здесь ai > 0, Ь

1—01

<1, xi > с >0 -функция постоянной эластичности.

Если заданное значение х лежит между приведенными в таблице значениями х0 и х1 = х0+ Ь, которым соответствуют значения функции уо = f (хо) и у1 = f (Х1) = В(хо) + • Af.

Величины х • Af называются интерполяционными поправками. Эти величины вычисляются с помощью таблицы и приводятся в дополнение к таблице.

Если по заданным значениям функции необходимо найти приближенное значение аргумента, то необходимо произвести обратное интерполирование.

На случай функции многих переменных обобщается понятие производственной функции, выражающей результат производственной деятельности от обусловивших его факторов х1, х2, ... хп. Чаще всего встречаются функция Коб-ба-Дугласа и функция с постоянной эластичностью замещения.

2 = ео [е1Х1 -р + е2Х2-р]-Ь/р.

Линии уровня производственной функции называются изоквантами (с= f (х,у), где с- константа).

Экономическая область - это множество значений факторов, допускающих замещение одного из них другим.

Линии уровня функции полезности называются кривыми безразличия. Они позволяют рассматривать вопросы замещения одного товара другим и иллюстрировать решение задачи об оптимальном потреблении.

Портфель ценных бумаг, т.е. совокупность определенных ценных бумаг в определенных количествах, характеризуется двумя основными параметрами - ожидаемой доходностью и риском о. Каждому портфелю можно поставить в соответствии точку на координатной плоскости (о, г) и тогда множество всех возможных портфелей представляет некоторую область А. Очевидно, что при равных доходностях инвестор предпочтет портфель с меньшим риском. Таким образом, кривые безразличия - линии уровня функции предпочтения и = и (о, г) - вогнуты.

Точка касания линии безразличия и области А соответствуют наиболее предпочтительному для данного инвестора портфелю. Эта теория была разработана американским экономистом Харри Марко в 1952 году и получила широкое применение в теории инвестиций.

Законы теории производства и потреб ле-ния, спроса и предложения являются прямыми следствиями теории математического анализа.

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке X функция у = /(ж) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке х0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. г х0 = 0.

Геометрический смысл теоремы Ферма: в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка X, касательная к графику функции параллельна оси абцисс.

Рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы Ферма.

Один из базовых законов теории производства звучит так: оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода.

То есть уровень выпуска х0 является оптимальным для производителя, если МБ х0 = МО(;с0), где MS - предельные издержки, а MD -предельный доход.

Обозначим функцию прибыли за С (х). Тогда С х = Э х — 5(;с), т.е. прибыль равна разности между доходом и издержками. Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальная, т.е. такое значение выпуска х0, при котором функция С(х) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке С' х =0. Но С' х = Э' х —Б'(х), поэтому И' х0 = 5'(^о), т е. МИ х0 = МБ(х0).

Другое важное понятие теории производства - это уровень наиболее экономического производства, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Соответ-

ствующий экономический закон гласит: уровень наиболее экономичного производства определяется равенством средних и предельных издержек.

Один из наиболее знаменитых экономических законов - закон убывающей доходности -звучит следующим образом: с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает.

Иными словами, величина т—, где Ах -

Дх

приращение ресурса, а Ду - приращение выпуска продукции, уменьшится при увеличении х. Таким образом, закон убывающей доходности формируется так: функция у = /(ж), выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией, выпуклой вверх.

Рассмотрим примеры двух предельных показаний в микроэкономике.

1. Первый из них связан с зависимостью собестоимости С произведенной продукции от ее объема Q: С = /((?). Так называемая предельная собестоимость характеризует собесто-имость АС прироста продукции А@:

АС

МС = —.

д<2

Обычно в приложениях под предельной себестоимостью понимают величину МС «

Пример.

Пусть зависимость издержек производства от объема выпускаемой продукции выражается формулой С = 40(2 _ 0,03<23 денежных единиц.

1. Найдем средние издержки на единицу продукции.

С 40<? 0,03<?3 ,

С =- = —- - „ = 40 - 0,03<32

Средние издержки при объеме продукции ^ = 15 денежных единиц:

С 15 = 40 - 0,03  225 = 33,25 денежных единиц

2. Предельные издержки С <2 =

4од - о,оз(р ' = 40 - з  о,оз<22.

При <2 = 15 получим С' 15 = 19,75 денежных единиц.

Таким образом, при средних издержках на производство единицы продукции в 33,25 денежных единиц дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции составят 19,75 денежных единиц и не превысят средних издержек.

2. В анализе и прогнозах ценовой политики применяется понятие эластичности спроса.

Пусть Э = /(Р) - функция спроса от цены товара Р.

Эластичность спроса показывает, на сколько процентов изменится спрос при изменении цены товара на 1%.

Эластичность Ей = Р

Аналогичное понятие можно ввести и для функции предложения 5(Р).

Функция спроса О(Р) - убывающая, а функция предложения 5(Р) - возрастающая, значит, эластичность предложения Я (5) > 0.

Различают три вида спроса в зависимости от величины £'(0) :

а) если £'(0) > 1, то спрос считается эластичным;

б) если £"(!)) = 1, то спрос нейтрален;

в) если Я(!>) < 1, то спрос неэластичный.

Пример. Пусть функция спроса описывается формулой Б Р = О0 X е_,ср2, где О0 и к -известные величины. Найти, при каких значениях цены Р спрос будет эластичным.

Решение. Используем формулу для вычисления эластичности спроса.

ЕО =

О(Р)'

И' Р =Вй-е

-кр . (—

(-2/сР);

Е Б =Р

Р0-е~кР (—2/сР) Оп-е~кР2

= -2 кР2.

Для того, чтобы спрос был эластичным, необходимо, чтобы выполнялось неравенство: Е Б < —1, т.е. —2кР2 < —1, откуда

2кР2 > 1.

1

Следовательно, Р > .

2, К

Пример. Найти изменение выручки с увеличением цены на товар при разных вариантах эластичности спроса.

Решение. Выручка I равна произведению цены товара Р на величину спроса В: I Р = О(Р)  Р.

Найдем производную этой функции: V Р =ОР +Р-Я'(Р).

Проанализируем все варианты эластичности спроса:

1) Е Я < -1; /'(Р) < о.

Таким образом, при эластичном спросе повышение цены Р ведет к снижению выручки. Напротив, снижение цены Р увеличивает выручку выручки.

2) Е Э = -1.

Тогда I' Р =0, т.е. при нейтральном спросе изменение цены на товар не влияет на выручку.

3) Е Э > -1.

Тогда /'(Р) > 0, т.е. при неэластичном

спросе повышение цены P на товар приводит к росту выручки.

Понятие эластичности распространяется и на другие области экономики.

Пример. Пусть зависимость между себестоимостью продукции C и объемом Q ее производства выражается формулой С = 5 — 0,4(3. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции @ = 30 денежных единиц.

Решение. Эластичность себестоимости:

ЕС

С' (} = 50 - 0,4<2 ' = -0,4;

50-0,4(2' 50-0,4-30 '

При объеме производства @ = 30 денежных единиц искомая эластичность составит около —0,32, т.е. при данном объеме выпуска продукции увеличение объема на 1% приведет к снижению себестоимости приблизительно на 0,32%.

Пример. Найти максимум прибыли, если доход и издержки определяются следующими формулами:

я <2 = 100(3 - <22,

с <? = <23 - 37<22 + 1690 + 4000.

Решение. Прибыль П(<2) равна разности между доходом и издержками:

по = я <2 -с <2

= 100(3 - С?2 - С?3 + 37(?2 - 169(2 - 4000 = = -О3 + 36<22 - 69(2 - 4000.

Приравнивая производную функции прибыли к нулю, получаем уравнение:

П' <2 = -3<22 + 72(2 - 69 = О

Корни этого уравнения = 1, <2г = 23.

Сравнивая значения прибыли П(23) и П(1), получим, что максимальная прибыль достигается при <2 = 2 3.

П 23 = Птах = 1290.

Особый интерес представляет функция Кобба-Дугласа, которая используется для моделирования ВВП.

В качестве факторов на макроуровне наиболее часто рассматривается накопленный труд в форме производственных фондов (капитал) К и настоящий живой труд L, а в качестве результата - валовой выпуск Х (либо валовой внутренний продукт, либо национальный доход).

Рассмотрим мультипликативную функцию

Х = F (К, L).

Таким образом, выпуск есть функция от затрат ресурсов (фондов и труда). Эта функция обладает следующими свойствами:

1) Б (0, Ь) = Б (Ь, 0) = 0 - если один из ресурсов отсутствует, то производство невозможно;

2) ^ > 0, ^ > 0. ' дк ' дь

Частные производные функции по каждому аргументу положительно, т.е. с ростом ресурсов выпуск растет;

3) — < 0 — < 0 3) дк2 0, я'2 0.

д!2

Частные производные второго порядка функции отрицательны, т.е. с увеличением ресурсов скорость роста продукции замедляется.

4) при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет.

Частным случаем мультипликативной функции служит функция Кобба-Дугласа [8]

Х = A • К • ^-а

Мультипликативная производственная функция определяется по временному ряду выпусков и затрат ресурсов ( Х, , К, Lt ), 1 = 1, ... Т, где Т - длина временного ряда.

Мы имеем Х, = • А • Ка • К12, где _ корректирующий случайный коэффициент, приводящий в соответствие фактический и расчетный выпуск.

Функция Х, представляет нелинейную модель. После линеаризации параметры этой модели определяются с помощью метода наименьших квадратов.

Частные производные выпуска по факторам называются предельными продуктами и равны приросту выпуска на малую единицу прироста фактора

^ - предельная эффективность фондов,

ОК

^ - предельная эффективность труда.

Предельная фондоотдача пропорциональна средней фондоотдаче —, так как частная производная функции Б по переменной К равна х

произведению а1 на —.

К

Частная производная функции Б по пере-

„ т X

менной Ь равна произведению а2 на -, т.е. предельная производительность труда пропорциональна средней производительности труда.

В экономике приходится часто наблюдать: с ростом затрат ресурса его предельная отдача падает.

В функции Х = А • К1 • И1'2, а1 - эластичность по основным фондам, а2 - эластичность выпуска по труду.

Если а1 > а2 , то имеет место интенсивный рост, если а1 < а2 - экстенсивный рост.

Для оценки эффективности экономики показатели нужно привести к безразмерному виду Х = А • К • Ьа2 . Коэффициент А соизмеряет ресурсы с выпуском. Существуют два частных показателя эффективности: X X

— - фондоотдача, - - производительность К ь

труда.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Валентинов, В.А. Эконометрика: учебник. - М.: Дашков и Ко, 2008. - 436 с.

2. Джонстон, Д. Эконометрические методы. - М.: Статистика, 1980.

3. Доугерти К. Введение в эконометрику. - М.: НИФРА-М, 1997.

4. Елисеева, И.И., Курышева С.В., Костеева Т.В. Эконометрика: учебник / под ред. И.И. Елисеевой - 2-е изд. перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2005 - 576 с.

5. Замков, О.О., Толстопятенко А.В., Черемпих Ю.Н. Математические методы в экономике: учебник / под общ. ред. проф. А.В. Сидоровича. - 5-е изд., испр. - М.: Дело и Сервис, 2009. - 38.

6. Каменева, С.А. Сущность инфляции / Инновации в образовательной деятельности и их влияние на развитие региона //материалы Международной научно-практич. конфер., посвящен. 1000-летию единения: Саранск кооп. институт РУК. - Саранск: Тип. Руз. печ., 2012.

7. Каменева, С.А. Линейные регрессионные модели с переменной структурой // матер. Международной научно-практич. конфер. - Саранск: ЮрЭксПрактика, 2013. - С. 360.

8. Колемаев, В.А. Моделирование сбалансированного экономического роста // Вестник университета. №1 (3). - М.: Изд. ГУУ, 2000. С 41-48.

9. Колемаев, В.А. Математическая экономика: учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 399 с.

10. Колемаев, В.А. Экономико-математическое моделирование. Моделирование макроэкономических процессов и систем: учебник для студентов вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 295 с.

11. Красс, М.С., Чупрынов Б.П. Математические методы и модели для магистрантов экономики: учебное пособие. - СПб.: Питер, 2006. - 496 с.

12. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ,

2007.

13. Кундышева, Е.С. Математическое моделирование в экономике: учебное пособие / под научн. ред. проф. Б.А. Сусланова. - М.: Данилов и К  , 2009. - 564 с.