Построение и реализация решений задач нестационарных колебаний пластин (модель Тимошенко)

92 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2006. №2(42).

УДК 539.3

ПОСТРОЕНИЕ И РЕАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИН (МОДЕЛЬ ТИМОШЕНКО)1

© 2006 Л.И. Фридман, К.С. Моргачев2

Для пластины, деформируемой в соответствии с гипотезой Тимошенко, в произвольных криволинейных ортогональных координатах на плоскости приводится решение нестационарной динамической задачи. Решение строится в рядах по собственным формам на основе полученных в работе условий ортогональности собственных форм и справедливо при любой комбинации следующих условий на контурах пластины: свободный край, шарнирное опирание и жесткая заделка. Показаны некоторые результаты вычислений при импульсном нагружении свободной кольцевой пластины.

Введение

Преимущества применения уточненной модели Тимошенко, учитывающей при изгибных колебаниях пластины инерцию поворота и деформации сдвига ее поперечных сечений, перед классической моделью Кирх-гофа-Лява при описании динамики пластин известны и подтверждаются как сравнением с расчетами на основе теории упругости, так и экспериментально [1-3].

В настоящей работе в произвольных криволинейных ортогональных координатах на плоскости рассматривается динамика пластины, деформируемой в соответствии с гипотезой Тимошенко, в предположении, что контуры пластины совпадают с координатными линиями. Для такой пластины дается вывод условий ортогональности собственных форм, позволяющих получить решение нестационарной динамической задачи в рядах по собственным формам для нагрузок, заданных как произвольные функции координат и времени, при любой комбинации следующих условий на контурах пластины: свободный край, шарнирное опирание и жесткая заделка.

В качестве примера решения нестационарной динамической задачи с применением гипотезы Тимошенко рассматривается случай воздействия на

1 Представлена доктором физико-математических наук профессором Ю.Н. Радаевым.

2Фридман Лев Израилевич, Моргачев Кирилл Сергеевич, кафедра сопротивления материалов и строительной механики Самарского государственного архитектурно-строительного университета, 443001, Россия, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 194.

свободную кольцевую пластину самоуравновешенной импульсной нагрузки, реализованный с использованием средств системы компьютерной математики МаШета^са 5.

1. Основные зависимости для пластины (модель Тимошенко) в произвольных криволинейных ортогональных координатах на плоскости

Уравнения равновесия (движения) колеблющейся пластины с учетом инерции поворота и деформаций сдвига в произвольных криволинейных ортогональных координатах аі и а2 на плоскости записываются в виде

1

Hi H2

д д

т—(#2 <20 + а—(H1Q2) dai да2

Eh д2и 1 - v2 dt2

- qR ;

RQi -RQ2 -

1

Hi H2 l

НіН2

д д dHi dH2

-7— (НгМ^—(Я1М12)+М12— даl да2 да2 дal

д , д , дH2 дH1

-—(Н1М2) + -—(Я2Мі2) + М\2~------Mi-—

да2 дal дal да2

Dd4x

'R~d^’

Dd42

где Hi, H2 — коэффициенты Ляме; Q1, Mi, M12 — погонные перерезывающая сила, изгибающий и крутящий моменты на линии a2 = const; Q2, M2, M12 — то же самое на линии ai = const; "Эч, ^2 — проекции осредненного поворота на плоскости, образованные нормалью к срединной плоскости и касательной соответственно к линиям a2 = const и ai = const; u — поперечное перемещение; R — характерный линейный размер; h — толщина пластины; t — безразмерное время, отнесенное к R/сл/1 - V2; с= л/ЁТр—скорость звука в материале пластины; D = Eh3/12(1 - v2) — цилиндрическая жесткость; E, V, р — модуль упругости, коэффициент Пуассона и массовая плотность материала пластины.

Погонные изгибающие и крутящий моменты определяются зависимостями:

D

м і = —Cxi + vx2);

D

м2 = — (Х2 + vxi);

R

D

М12 = —(1 - V)X12, R

где

Xi =

1 дЪг Ні да\

i дHl i д§2 i дЩ

+---------------vo* У о —---------------h------------

Hl H2 да2 л H2 да2 Hl H2 дa1

§1

i

X12 - 2

H1 д § H2 д §2

H2 да2 Hi H1 даі H2'

Погонные перерезывающие силы определяются зависимостями:

Qi =

kEh

-(§1 -

1 ди

); Q2 =

kEh

-(§2 -

1 ди

).

2(1 + v) H1 даі 2(1 + v)v H2 да2

Коэффициент сдвига k определяется согласно [4] из уравнения:

16 1-

1 -2v

2(1 -V)'

k (1 - k) - (2 - k)4 = 0.

2. Собственные формы и условия их ортогональности

При колебаниях по j-й собственной форме перемещения, осредненные повороты, моменты и перерезывающие силы определяются зависимостями:

и = Uje je 1к>г; ^ = ^'2]е

— 1к ; ? .

Мх = Мх ¡е—х^; М2 = М2;-е—Х1г; Мх2 = Мх2;е—^;

ах = ах; 22 = а2е^г,

где Uj, ^1 ], ^2] —перемещения и осредненные повороты j-Й формы;

Мхj, M2j, М12j — погонные изгибающие и крутящий моменты j-й формы; ах]-, а2j — погонные перерезывающие силы j-й формы; е~л'^ — множитель, характеризующий изменение во времени перечисленных выше величин по гармоническому закону; г— мнимая единица; Xj - безразмерная частота колебаний, отнесенная к VI - у2/2пЯ.

С учетом (2.1) уравнения движения колеблющейся пластины (1.1) принимают вид:

х - V2 х

Х2-и; =

] •*

^и--\аи-~-

Е2

Ъ

2 Я2

Б

Бк Нх Н2

бг,—-

1 ШН2МХ])

я,я2 да\

1 №\М2])

Я]Я2 да2

д д

т—(Н2аф + т—(Я^гу) дах да2

Н Мщ) дНх дН2

—------1-Мщ—----Му—

да2 да2 дах

ЪМх2 ]) дН2 дНх

------+Мщ-------Ми-----

да]

да]

да2

Умножим первое уравнение (2.2) на ипНх H2dаl dа2, второе — на е2 к

—$\пН\Н2с1а\с1а2 (е =--------относительная толщина пластины), третье — на

!2 Я

е2

~^$2пН\Н2с1а\с1а2^ проинтегрируем по а] от до а” и по а2 от до

* *

ах , после чего сложим их.

При этом следующие интегралы вычисляются интегрированием по частям:

—íkjt.

^2 ^2

^ й?а2(Я221уми)|“| - ^ ^ а\^^-Н\Н2<1о.х<1о.2,

ах

а, а;

! 2

02])и,1(1а.[(1а.2 =

^ ^ ^2

= ^ dal(HlQ2jun)\^ - ^ ^ Q2j-~^^HlH2dalda2,

ах а а2

аГ а2*

^ ^ ^-(Я2М1у)§1ий?а1й?а2 =

ах а2

а2* ах* а2*

= J da2(H2Mljвln)\“l - f JМг—^-НгН^а^,

да2

(Нх Мх2 /У&^ах dа2 =

/

= I dаl(Hl М^/Яп 1а

>а'—Я

Мх2

1 ^1« я2 <9а2

Нх H2dаl dа2,

^ — 2

^ ^ /1 М2/-){)2)1(/а | (-/а.г =

а! а2

ах' ах' а2'

= ^ й?а1(Я1М2у§2и)|“? - ^ ^ М2]~^НхН^а^а2,

ах ах а2

ах а2

/ / ^¡(Н2М\2])$2^а^а2 =

ах а2

а2' а" а2'

= ^ da2(H2Ml2j'Q2n)\al - ^ ^ Мщ—-^-Н\Н^а^а2. а2 ах а2

После описанных действий, с учетом (2.3)-(2.8), получим:

Л2

/11

а2 а2'

/'

2

Нх H2dаl dа2 =

Я2£>1уми - —

+

д

а

а

I

+ da1

H\Q2jUn - —

Qij §1« -

1 dun H\ da\

+ Q2 j §2« -

1 dun H2 da2

MXj ( 1 <9§i„ 1 dHl \ M2j ( 1 дЪ2п 1 дн2

+ ^гЧ —-— + §2» + -=r ТГ-T— + TT TT „ ^l»l +

R \H1 da1 H1H2 da2

M12 j ( 1 d§1n

R \H2 da2 H1H2 da2

R \H2 da2 H1H2 da1

H1 H2da1 da2

i №u i дъ2п l дн2 й

Win + TZ ^-----------TT TT --------§2n

H1 da1 H1H2 da1

При любом сочетании рассматриваемых вариантов граничных условий (см. табл. 1) первые два интеграла в правой части (2.9) равны нулю.

Таблица 1

Условия на границах пластины

a1 = const и a2 = const

a

+

a

+

Наименование Условия на границе

ai = const а2 = const

Свободный край sS н о to ll о sS to II О to II О Ю to II О to II О

Шарнирное опирание II О к II о ф to II О М2 = 0, и = 0, §i=0;

Жесткая заделка и = 0, §i=0, §2 = 0; и = 0, §i=0, §2 = 0

Записывая (1.2) для и-й формы колебаний, получим:

R мы - у м2п _/?М2п-уМь R м12п

^1и _ D 1 — V2 ’ ^2” _ D 1 — V2 ’ ^12” _ О 1 - V

Запись (1.3) для и-й формы дает:

1 д§ы 1 ды1а 1 зъ2п 1 ды2,

+-----------------§?п — -----------+-------------------— у?«;

т т Г\ TT Т Т <1 ¿./4- Л1((' TT <1 Г Т Т Т <1 /\Z-in

H1 da1 H1H2 da2 H2 da2 H1H2 da1

Н2 до.2 \ Н\ ) + ~Н~\ ~да~\ ( Яг ] = 2%Пп'

Кроме того, записывая (1.4) для и-й формы, получим:

1 ЗиЛ 2

Ы Н\ да\) кЕН \ 2" Н2да2) кЕН 2п' ^ ^

Учитывая (2.10)—(2.12), запишем (2.9) в виде:

^2

"1 "2 1Ц

Ні Н-2йо.і da.2 =

1 - Vі

Е1г

12

" 1 "2 12

2

ЕкН

Ш1 ]0ы + й2]й2н)+

+ -^(М1]М1п + М2]М2п - уМХ]М2п ~ чМ1пМ2])+

+-

24(1 + V) ~ЁЪъ

М12 ]М12и

HlH2dalda^.

Так как правая часть (2.13) симметрична относительно индексов ] и п, то, записывая аналогичное выражение для п-ой формы, вычитая его из

(2.13) и учитывая, что А.2 Ф Л2, получим условия ортогональности собственных форм (для ] Ф п):

" 1 " 2 12

и}-и„ + | ^

Н1 Н^а1 da2 = 0.

Метод вычисления собственных частот Ху и собственных форм Иу, §1 у и §2у' зависит от вида конкретной системы координат.

Условия ортогональности (2.14) в частном случае прямоугольных координат совпадают с полученными в [5].

2

2

3. Решение нестационарной задачи для произвольной нагрузки

По известным собственным частотам и формам в произвольных криволинейных ортогональных координатах на плоскости можно построить решение задачи о нестационарных колебаниях пластины при заданной нагрузке д(а1, а2,0 и представить его в рядах по собственным формам:

ТО ТО ТО

и = Xф]

]=1 ]=1 ]=1

где ф^) — подлежащая определению функция времени.

Подставляя (3.1) в зависимости (1.2) и (1.4), а полученные моменты М\], М2], М\2] и перерезывающие силы Qlj, Q2j ]-й формы колебаний в

уравнения (1.1), получим

¿И

]=1

НН2

ТО

2

]=1

д д

т—№<21 у) + -—(Я1<22у) дах да2

ф У

1

дНх

+М12у— - М2]

д

а

дН2

Ек (I2 фу

1 - V2 <Й2 ]

д

и,л = —дЯ;

Я&у - Т77Г <Я2М!У) + ^№^12;)+ Н1Н2 \да1 да2

да2

Б с?2фу

ф ] +

*1 ] \ = 0;

2

]=1

1

^2 7 — 1

НхНг \да2

да1

дд

(НгМу) + — (Я2М12у)+

дН2

+м 12у-7---------М1У

да]

/>//,

да2

да1 Б^2ф ; .

^ + /Гж2' =0’

Уравнение (3.2) с учетом (2.2) примет вид:

03 1? л 2 ОО 1?

ф ] 2 1 — V и ф ] 2

+ 2 + = °’

^ ТО ,2 ]=1

2(^+^ = о.

]=1

Умножая первое уравнение (3.3) на и]Н1 Н2йа1 а.а2, второе — на

22 £ £

—$]НН2с1ас1а2, третье — на —$2]Н\Н2с1а\с1а2, складывая их и интегрируя по срединной плоскости пластины, с учетом условий ортогональности

(2.14), получим

а2 ф; г. 1- V2 ,

ж+х^ = —т

где

а1* а2*

<35)

а1 а2 а?* а!*

2 „2

22

Су = / / [мУ + 1^^У + §2у)]я1я2й?а1й?а2.

^1 2

Решение уравнения (3.4) для нулевых начальных условий записывается в виде:

г

1- V2 1 Г

фу

где т — переменная интегрирования.

Таким образом, зависимости (3.1) и (3.7) дают решение задачи о нестационарных колебаниях пластины (модель Тимошенко) в произвольных кри-

волинейных ортогональных координатах на плоскости и позволяют вычислять характеристики напряженно-деформированного состояния в любой точке пластины для нагрузок, заданных как произвольные функции координат и времени.

4. Импульсное воздействие на свободную кольцевую пластину

Рассмотрим кольцевую пластину в безразмерных полярных координатах: ai = r — полярный радиус, отнесенный к внешнему радиусу R пластины, а2 = 0 — полярный угол.

Для кольцевой пластины зависимости (3.1) принимают вид:

СО СО

“=22 фjm(t)Ujm(r) COs(m0),

j=1 m=0

ОО

»=xx ф jm

j=1 m=0

ОО

»0 = ф jm(t)»0, jm (r)sin(m0),

j=1 m=0

где Ujm(r), »r,jm(r), »0,jm(r) — безразмерные формы, которые могут быть вычислены по формулам (6) известного решения [6] стационарной динамической задачи для кольцевой пластины.

Для кольцевых пластин условие периодичности по угловой координате 0 упрощает собственные формы, которые характеризуются индексами j и m (m — число узловых диаметров, j — порядковый номер формы колебаний с фиксированным числом узловых диаметров). По этой причине для параметров, характеризующих нестационарные колебания кольцевых пластин, одинарный индекс j заменен на двойной индекс jm.

Зависимость (3.5) в полярных координатах позволяет строить решение нестационарной задачи для широкого класса нагрузок. Например, если в точке пластины с координатами r = r0 и 0 = 00 действует сосредоточенная сила P(t), заданная как функция времени, то ее следует заменить распределенной нагрузкой

2P

q

приложенной в кольцевом секторе, ограниченном линиями r = r*, r = ro, 0 = 0* и 0 = 00.

Подстановка (4.2) в (3.5) и переход к пределу при r* r0 и 0* 00

дают решение для сосредоточенной силы:

fjm

C jm R

Если на линии r = r0 действует распределенная по ней самоуравнове-шенная нагрузка P(t)cos(m00), то замена ее распределенной нагрузкой

P

q(t) =

R

действующей в кольце r* ^ r ^ r0, и подстановка (4.4) в (3.5) с последующим переходом к пределу при r* r0 дают

п P

fjm0(t%) =

C

jm

R

Здесь, в отличие от нагружения сосредоточенной силой, функция /то(0 отлична от нуля только при т = т0, поэтому двойные суммы в (4.1) переходят в одинарные.

Зависимость (3.6) для кольцевых пластин после вычисления интегралов по 0 принимает вид

Г2

C jm = п

jm + ^r,jm + \jm^rdr’

ri

где Т\, Г2 — радиусы соответственно внутреннего и внешнего контуров кольцевой пластины.

На рис. 1 приведены результаты вычислений безразмерных перемещений и, отнесенных к (1 - У2)Ро/Ее, точек срединной плоскости свободной кольцевой пластины для случая действия самоуравновешенной импульсной нагрузки, заданной выражением:

Р(,)Ч

P(t) = 0, при t ^ t0;

при 0 < t < t0;

где го и Ро — соответственно продолжительность и максимальное (амплитудное) значение импульсного воздействия.

Вычисления проводились с использованием средств системы компьютерной математики МаЛетаМса 5. В расчете принималось: г\ = 0.3, Г2 = 1, е = 0.5, V = 0.3, г0 = 2лД13, г = 20.

Таким образом, при действии импульсной нагрузки (4.7) на внешнем контуре кольцевой пластины (см. рисунок, позиция а) перемещения и точек срединной плоскости на внешнем контуре значительно превосходят перемещения соответствующих точек на внутреннем контуре пластины. При импульсном воздействии на внутреннем контуре пластины (см. рисунок, позиция б) перемещения точек срединной плоскости на обоих контурах имеют близкие значения.

Таблица 2

Проверка сходимости результатов вычислений

j 5 10 15 20 25 30

и 4.46709 4.48196 4.4863 4.48693 4.48647 4.48635

Рис. 1. Перемещения и точек срединной плоскости на внешнем (--------) и внутрен-

нем (—) контурах кольцевой пластины при импульсном воздействии на внешнем (а) и внутреннем (б) контурах

Результаты вычислений безразмерных перемещений и точек срединной плоскости на внешнем контуре свободной кольцевой пластины, полученные при изменении числа удерживаемых форм колебаний ] в рядах (4.1) от 5 до 30, показывают быструю сходимость (см. табл. 2).

Заключение

Построение аналитических методов динамического расчета пластин, основанных на применении уточненных кинематических гипотез (модель Тимошенко), с их реализацией в современных системах компьютерной математики (МаШетаіїса 5) расширяет возможности теории колебаний пластин при анализе напряженно-деформированного состояния в произвольной точке элементов сооружений и машин, схематизируемых пластинами различной конфигурации в плане.

Литература

[1] Динамика упругих тел / В.Т. Головчан [и др.] Т. 5. Киев: Наукова думка, 1986. 286 с.

[2] Кузнецов, Н.Д. Особенности низкочастотного спектра собственных колебаний цилиндрических тел / Н.Д. Кузнецов, Л.И. Фридман,

Ю.Н. Шапошников // Доклады АН СССР. 1990. Т. 312. №1. С. 55-58.

[3] Фридман, Л.И. Нестационарная динамическая задача теории упругости для конечного цилиндра / Л.И. Фридман // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2003. №2(28). С. 113-121.

[4] Скучик, Е. Простые и сложные колебательные системы / Е. Скучик. М.: Мир, 1971. 557 с.

[5] Дубинкин, М.В. Колебания плит с учетом инерции вращения и сдвига / М.В.Дубинкин // Изв. АН СССР. ОТН мех. и машиностроения. 1958. №12. С. 131-135.

[6] Фридман, Л.И. Решение стационарной динамической задачи для кольцевой пластины в рамках модели Тимошенко / Л.И. Фридман, К.С. Моргачев // Вестн. Самар. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2005. Вып. 34. С. 68-71.

Поступила в редакцию 27////2006; в окончательном варианте — 27/Ц/2006.

CONSTRUCTION AND IMPLEMENTATION OF PLATE UNSTEADY OSCILLATIONS PROBLEM SOLUTION (THE TIMOSHENKO MODEL)3

© 2005 L.I. Fridman, K.S. Morgachev4

Unsteady oscillation dynamic analysis for plates strained according to the Timoshenko hypothesis is given in random curvilinear orthogonal planimetric coordinates. Analysis is developed by series according to characteristic modes on the basis of devised orthogonality conditions. It remains valid at any combination of the following conditions at plate contour: free edge, hinge support and anchorage. Numerical results for a free annular plate under impulsive loading are presented.

Paper received 27////2006.

Paper accepted 27////2006.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. Y.N. Radayev.

4Fridman Lev Israilevich, Morgachev Kirill Sergeevich, Dept. of Strength of Materials and Structural Mechanics, Samara State Architecture Building University, Samara, 443001, Russia.