К теории двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особой и слабо-особой линией на полосе

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2018, том 61, №4_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.987.1

Л.Н.Раджабова, М.Б.Хушвахтов К ТЕОРИИ ДВУМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ВОЛЬТЕРРА С ОСОБОЙ И СЛАБО-ОСОБОЙ ЛИНИЕЙ НА ПОЛОСЕ

Таджикский национальный университет

Исследуется двумерное интегральное уравнение типа Вольтерра с особой и слабо-особой линией на полосе. В случае, когда параметры уравнения не связаны между собой, решение интегрального уравнения находится в виде обобщенный степенного ряда. В зависимости от знака параметров уравнения, решение интегрального уравнения может содержать произвольную постоянную или быть единственным.

Ключевые слова: интегральное уравнение, особая линия, слабо-особая линия,обобщенный степенной ряд.

Через D обозначим область D = X, у) :0 < а < X < да, 0 < Ь < у < Ь0}. Соответственно обозначим Г1 ={ у = Ь,0 < а < X <да}, Г2 ={х = а,0 < Ь < у < Ь0}. В области D рассмотрим двумерное интегральное уравнение:

где Я, л ,8 — заданные постоянные числа, 0 <а< 1, /(X,у) — заданная функция, и(X,у) — искомая функция.

Изучению двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с граничным слабосингулярным ядром на первом квадранте посвящена работа [1] .

Ранее интегральное уравнение (1) было исследовано в случае, когда параметры уравнения связаны между собой [2]. Отметим, что в зависимости от знака параметров, в одном из случаев решение интегрального уравнения может иметь четыре произвольные функции одной переменной, также выделяется случай, когда решение интегрального уравнения единственно.

Целью настоящей работы является изучение двумерного интегрального уравнения типа Воль-терра с особой и слабо-особой линией на полосе в случае, когда параметры уравнения не связаны между собой.

В этом случае уравнение (1) представим в виде:

Адрес для корреспонденции: Раджабова Лутфия Нусратовна, Хушвахтов Мухидин Буракшоевич. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки,17, Таджикский национальный университет. E-mail: lutfya62@mail.ru; muhuddin_93@mail.ru

/ ч Г и , У) Г и (х, я) Г dt г и (t, я) , Л

и

У } \ (t - а)а И\ я - Ь И[ ^ - а)а\я - Ь 1 ( ^

где

/ ч / ч г dt Уу и

х ^ - а) Ь Я Ь

8г = Л/-8.

Согласно [3], выписывая решение уравнения (2), далее вместо функции К (х, У) подставляя ее значение из (3), после некоторых преобразований приходим к решению интегрального уравнения:

г

лиа и

я - Ь

г( х, у )-8 ¡/^ "(х Л

Ая =

^ - а)а 11У - Ь )

=М[р

В уравнении (4) введем в рассмотрение новую функцию:

V

и пусть = Л/ - 8, тогда приходим к решению интегрального уравнения:

V

К } { ^ - а)а1 я - Ь 1 К'У)г

Е\ (х, у) = ела( х) (у - ЬГ -М [р (х) ,р (х), щ (у), щ2 (у), /(х, у)] =

г

, р

+( у - Ь»2 ( у М( я - Ь Гщ2 (я) Ая + ел<(х)( у - Ь) / (х, у)-

г

/

-Л (у - Ь У ¡е^' (1'У)иа1 - /ел<( *) |

г

^ - а )а ь

сИ у/ ^, я ) Ая

+Л/\еЛ<^).

^

Решение интегрального уравнения (6) будем искать в классе функций V (х, у), представимых

в виде:

V(X,у) = £(у — ьТг Тп (X), у> 0 .

Предположим, что функция Е1 (X, у) в правой части равенства (6) также разлагается в равномерно-сходящиеся ряд вида:

Е (X, у ) = к у — ь Г Е (X) .

п=0

Например, если в правой части уравнения (6) — функции Е1 (X, у), щ (X) = 0 (/ = 1,2), у (у) = 0 (у = 1,2), л < 0 функция /(X, у) представима в виде обобщенного

степенного ряда вида

/

тогда

г

Е (X)= 1 — л / (X) —

Л

1 —

V п + У)

Я —-

Ял Уг / (г) Лг

I

V п + у) X (г — а У

Подставляя значения функций V (X, у), Е1 (X, у) из (8) и (9) в (6), после приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях (у — Ь) , п = 0,1,2,___, приходим к решению одномерного ин-

тегрального уравнения:

(X)+-8-1 тЩ = Е (X), п=0,1,2,_.

п + УX

В случае, когда <0, функция (х) г С( I \) и в точке х = со обращается в нуль с асим-

птотическим поведением:

Е1 (X ) = О

п+у

, 8 > 1 — а, п = 0,1,2,_,X ^да ,

решение интегрального уравнения (10) выражается равенством [2]:

V ( X ) = е-+у

8«£(X) ... . яда 8и„(гX)]

С + Е (X)—8 ^

п + у

' X

ЕС)

(г — а )а

Лг.

Подставляя значение функции V (X) в равенство (8), находим решение интегрального уравнения (6) в виде:

п=0

да

да

п=0

V ( X, у ) = Х( у — Ь )п+у [ е (X) С1 + Е1 ( X ) —

п=0

81 да М

1еп+у Лг ],

п + у X (г—а)а

где С\ (п = 0,1,2,____) — произвольные постоянные. Следовательно, о разрешимости интегрального

уравнения (6) справедлива теорема:

Теорема 1. Пусть в интегральном уравнении (6) 81 < 0 функция Е1 (X, у) в области D пред-

ставима в виде равномерно-сходящего обобщенного ряда вида (9). Тогда однородное интегральное уравнение (6) имеет бесконечное число линейно - независимых решений вида

V (X,у) = е^(30 (у — Ь)п+у , п = 0,1,2... .

Теорема 2. Пусть в интегральном уравнении (6) 81 < 0, функция Е1п (X) в окрестности точки X = да удовлетворяет условию (11).Тогда неоднородное интегральное уравнение (6) в классе функций, представимых в виде (8),всегда разрешимо и его решение выражается равенством (12), где С1 — произвольные постоянные, удовлетворяющие условию

Нт

x^да

С

С1

= С , | Ь — Ь0|-С < 1 .

Используя равенство (5) и результаты теорем 1 и 2, для уравнения (1) получим следующие утверждения:

Теорема 3. Пусть в интегральном уравнении (1) Я< 0, ¡< 0, 81 =Ял —8^ 0, 81 < 0 , функция / (X, у) представима в виде равномерно- сходящего обобщенного ряда вида

/

п=0

где / (X) е С (Г1) и в точке X = да обращается в нуль с асимптотическим поведением

/п (X) = О

-К

п+у

, 81 > 1 — а, X ^да, п = 0,1,2,_,

Тогда любое решение интегрального уравнения (1) из класса С (D), представимого в виде обобщенного степенного ряда

и

п=0

да

выражается равенством:

и ( х, у ) = еЛ< (х)( у - Ь )И

Ку -ьГ

п=0

п+у

- С +

(

+

п + у — / п + у

/п (х)-^ п + у

Л( п + у)-81

, Г 8 („а /Л „а

,п+у1

< (t)-< (х

п + у

)} /п ^ ) Л

^ - а ) а

где С1 (п = 0,1,2...) - произвольные постоянные, для которых существует предел:

Нт

С1

С1

= С и Ь - Ь0| - С < 1.

Теорема 4. Пусть в уравнении

представима в виде равномерно-сходящего обобщенного ряда вида (13), где /п (х) е С (Г1) и в точке

х = г обращается в нуль с асимптотическими поведением:

(х) = о (х - а)8

, 83 > 1, х —> г .

Тогда любое решение интегрального уравнения (1) из класса С (О), представимого в виде (14),единственно и выражается равенством

и (х, у ) = е (х)( у - Ь у - Ь )п+у

8

п=0

\ г 8 („аг + \ „а

п + у — /I

п + у ,

Л+ -81- |е"+у

< ^ )-< (х

п + у.

)} / (t) ^ (t - а) а

Аналогичным образом, для других знаков Л , / справедливы утверждения: Теорема 5. Пусть в уравнении (1) Л> 0, /< 0, 8 = Л/л-8^ 0, 8 < 0, функция /(х,у) представима в виде

/ ( х, у ) = е-"(х)( у - Ь у - Ь Г /п ( х ),

п=0

где /п (х) е С (Г1) и в точке х = г обращается в нуль с асимптотическим поведением

Ь (х ) = О

п+у

, 81 > 1 - а, х — г, п = 0,1,2,

<

г

г

Тогда любое решение интегрального уравнения (1) из класса С (D), представимого в виде

, _ еЯ<

л

и (X, у) = еЯт" (^ ( у — Ь) ИХ( у — Ь)п+уип (X),

выражается равенством:

и

И

\п+у

п=0

-та

п+у а ( ) С 2

^ п +

(

+

п + у — л п + у

/ (X) —

8 { Я(п + у) —8

п + у

п+у1

т"а (г)—т" (X

п + у

/п (г)Лг (г—а)а

где Сп - произвольные постоянные, обладающие свойством

Нт

С,

п+1

С 2

= С С (Ь—Ь0) < 1

Теорема 6. Пусть в уравнении (1) Я > 0, л < 0, 81 > 0, функция / (X, у) представима в виде (15), где / (X) е С (Г2) и в точке X = да обращается в нуль с асимптотическим поведением

Лп

, 85 > 1 — а, X ^ да,

Тогда интегральное уравнение (1) в классе С(D) ,представимое в виде (16), имеет единственное решение, которое выражается равенством:

V

и

уИ+у+И

п + у — л

п + у ^

(/ (X) -

8

п + у

Я (п + у) — 8

1г (

п + у

та (X )}_ / (г)л (г—а )а

да

п=0

да

2

0

п

Поступило 17.01.2018 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Раджабова Л.Н., Раджабов Н. К теории одного класса двумерного слабо-сингулярного интегрального уравнения типа Вольтерра на первом квадранте. - ДАН РТ, 2014, т.57, №6, с. 443-451.

2. Раджабова Л.Н., Хушвахтов М.Б. К теории особых двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особой и слабо-особой линией на полосе. - Вестник Таджикского национального университета, 2017, №1/3, с.3-5.

3. Раджабов Н. Интегральные уравнения типа Вольтерра с фиксированными граничными и внутренними сингулярными и сверхсингулярными ядрами и их приложения. - Душанбе: Деваштич, 2007, 222 с.

Л.Н.Рачабова, М.Б.Хушвахтов

ОИД БА НАЗАРИЯИ МУОДИЛА^ОИ ИНТЕГРАЛИИ ДУЧЕНАКАИ НАМУДИ ВОЛТЕРРА БО ХАТИ МАХСУС ВА МАХСУСИЯТИ СУСТ

ДАР ТАСМА

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар мадола муодилаи интегралии дученакаи намуди Волтерра бо хати махсус ва махсусияти суст дошта дар тасма тахкик карда шудааст. Дар холати байни дам алокаманд набудани параметрхо, халли муодилаи интегралй ба намуди датори дарачагй чустучу карда мешавад. Вобаста ба аломати параметрхои муодила, халли муодилаи интегралй метавонад дорои доимии ихтиёрй ё ягона бошад.

Калима^ои калидй: муодилаи интегралй, хати махсус, хати махсусияти суст, цатори дарацагии умумикардашуда.

L.N.Rajabova, M.B.Khushvakhtov

THE THEORY OF TWO-DIMENSIONAL INTEGRAL EQUATIONS OF VOLTERRA TYPE WITH WEAKLY SINGULAR AND A SINGULAR LINE

ON THE STRIP

Tajik National University

The two-dimensional Volterra-type integral equation with a special and weakly-special line on the strip is investigated. In the case where the parameters of the equation are not connected, the solution of the integral equation is sought in the form of a power series. Depending on the sign of the equation parameters, the solution of the integral equation may contain an arbitrary constant or be unique . Key words: integral equation, special line, strong-special line, generalized power series.