Формирование математических моделей объёма и массы одноступенчатых центростремительных турбин сверхмалой мощности

УДК 621.438

ФОРМИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОБЪЁМА И МАССЫ ОДНОСТУПЕНЧАТЫХ ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНЫХ ТУРБИН СВЕРХМАЛОЙ МОЩНОСТИ

© 2012 В. А. Григорьев, Д. С. Калабухов, В. М. Радько

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П.Королёва

Приведена методика аналитического определения объёма и массы центростремительных турбин сверх-малой мощности (ЦС ТСММ) на начальном этапе проектирования с привлечением методов математической статистики. Разработанные математические модели массы могут использоваться при решении задачи многокритериальной оптимизации параметров ЦС ТСММ, включающей в себя оптимизацию по массовым характеристикам турбоприводов сверхмалой мощности.

Турбина сверхмалой мощности, модель массы, влияющие факторы, проектирование.

Турбины сверхмалой мощности наряду с входным и выходным устройствами входят в состав турбоприводов сверхмалой мощности. Одним из основных путей повышения эффективности последних является оптимизация геометрических и режимных параметров ТСММ. В работе [1] показана необходимость решения задачи оптимизации в многокритериальной постановке, при этом в качестве одного из важнейших критериев оценки эффективности предлагается масса ТПСММ, которая во многих случаях является аналогом стоимостных показателей. В известной научно-технической литературе отсутствуют какие-либо сведения по математическим моделям массы ТПСММ.

В данной работе в качестве объекта исследования рассматривается привод с одноступенчатой центростремительной турбиной (ЦС ТСММ). Отметим, что многообразие вариантов конструктивного исполнения входных и выходных устройств, с одной стороны, и недостаточная изученность влияния параметров этих устройств на эффективность привода - с другой, затрудняет формирование математических моделей названных устройств, а значит, и турбопривода в целом. Поэтому в работе рассмотрение ограничено математической моделью объёма и массы только центростремительной турбины.

Математическая модель ЦС ТСММ.

В работах [2,3] показана необходимость построения моделей критериев оценки эффек-

тивности в зависимости от десяти безразмерных влияющих факторов - геометрических и режимных параметров ТСММ. Перечислим эти факторы:

7Т = 0,1...0,58 - параметр нагруженно-сти турбины;

71т = 1,05... 6 - степень понижения давления в турбине;

к

= 0,01...0,05- относительная высота

М

лопатки соплового аппарата (СА);

аьф = 9,2.. .25° - эффективный угол выхода потока из СА;

8 = 0,1... 1 - степень парциальности;

/) = 0,4...0,9 - отношение выходного диаметра рабочего колеса (РК) к его входному диаметру £>1;

(Ь/ир)рк = 1,2...2,2 - густота решётки

РК;

Ргэф = 15... 60° - эффективный угол выхода потока из РК;

РрК = 0,975...2,625 - отношение площади канала на выходе из РК к площади на входе в РК;

= 0,4... 1,6 - фактор масштабности, учитывающий влияние отклонения величины диаметра /)\ ступени от величины диаметра испытуемой ступени турбины £*1исп =50 мм на её эффективность.

На начальном этапе проектирования можно сформировать эскизный облик одно-

ступенчатой турбины, близкий к конструктивному.

На рис. 1 представлен такой схематический облик. Штрих-пунктирными линиями показаны контуры корпуса соплового аппарата, не учитывающиеся при формировании математической модели ввиду многообразия вариантов конструктивного исполнения.

Представляемая математическая модель массы одноступенчатой турбины базируется на предварительном определении её объёма.

Объём турбины складывается из следующих составляющих:

Ут= РлСА+ УсА + РлРК+ РкорСА+ ^дРК,

где 1лса ~ объём лопаток С А;

Уеса~ объём необлопаченной части С А парциальной турбины;

Улрк~ объём лопаток РК;

Ркорсд- объём корпуса С А;

^ дрк — объём дисковой части РК без учёта рабочих лопаток.

Объём лопаток СА:

К

Д

хАиспД, ,

где Гдсд - число лопаток С А;

Аса - площадь профиля лопатки СА (постоянная по высоте);

/?сд- высота лопатки С А.

А,

Рис. 1. Схема одноступенчатой ЦС ТСММ

Объём неактивного кольца СА парциальной турбины

Уса = Ас а^с а ,

где РеСА = 71

(1 - є)- площадь не-

проходной части СА парциальной турбины. Объём лопаток РК:

^ лРК=^лРКАрК —-- =^ЛРКАРК -01 исп х

2 а

: АД1+А Н+Ав)

(

р

0,5 + ^і 2£>

Л

/

где глрк - число лопаток РК;

Арк - площадь профиля лопатки РК в сечении, соответствующем высоте трапеции, которую представляет лопатка РК в меридиональной плоскости (рис. 1);

/?1 = ^Аисп4Д1+Ан + Ав) - высота лопатки РК на входе;

р

/?2 = /?!_р.- высота лопатки РК на выхо-Д

де;

Лн иАв- относительная величина нижней и верхней перекрыт.

Объём корпуса СА:

V<орС А - 71

( Д -£)’2^

(8д + 8о + 5:

закр

+И2-Ъ\+В\+В2+ Ан + Ав) ,

где /V = В\(1+2 5Г) - диаметр на выходе из СА;

5Г = 0,01 - относительный радиальный зазор [3];

к

50 = (0,125.. .0,675)-^/^1

Дм- осевой

До - 4 — агСА +Д1'

Ъ

где — = 1,2 - густота решётки С А [3];

V ^ /СА

«гса = 0,036 Д1 - минимальное сечение канала С А в радиальной плоскости [3].

Угол уширения можно представить в

виде

у = агх^

Л

А-Ау

Объём рабочего колеса складывается из объёма неподвижной крышки РК и диска РК.

Объём неподвижной крышки РК:

V - , (а2 - а )Г +К+5ГЪУ^

у крРК “ /I о ’ ' '

4 V х У

где В2 = 0,006^1 - эффективная ширина уступа корпуса С А [4];

у - меридиональный угол уширения лопатки.

Объём диска складывается из объёма цилиндрической части обода диска, объёма втулочной части диска РК и объёма крышки РК (для схемы турбины с закрытым РК):

Вх +71

(В1~Вз) +л

пИ{

А + б(.

[(А +Д _^з)х

Д3 -б(

+ ж

+718.

закр

зазор [3];

5Д = 5о - зазор между диском РК и корпусом СА;

53акр = (0,5... 0,6)/?! - толщина покрывного диска закрытого РК (для полуоткрытого РК

5закр 0) ,

В\ = (0,1...0,15) В\ - Ъ\ - ширина обода диска [4].

Диаметр на входе в СА До определяется на этапе профилирования СА, но на начальном этапе проектирования его величину можно приблизительно оценить по формуле

где Вз = 0,006Д - величина подрезки диска на выходе потока из РК [4];

й?в = 0,2Д - диаметр вала турбины [4]; й?вт = 0,24/У] - диаметр втулочной части диска [4];

Д = й?вт + 2Ь\.

Поскольку лопаточные венцы ТСММ, как правило, целиком выполняют из одного материала с плотностью р, то масса турбины

Мт =р¥т.

Значения одной части исходных данных представленной аналитической модели задаются проектировщиком из указанных выше диапазонов значений. Большинство из

к

них определяется через факторы /)и и .

А

Другая часть исходных данных - площади лопаток Дса и Дрк - зависят от нескольких влияющих факторов. Ввиду сложности определения величин образующих кривых лопаток в зависимости от основных параметров ТСММ и невозможности применения единого метода построения профилей лопаток РК, составление выражений для Дса и /’лрк целесообразно проводить не аналитическим путём, а с помощью привлечения статистических методов.

На рис. 2 показаны варианты профилей лопаток для четырёх из множества возможных комбинаций значений факторов.

Регрессионные выражения для определения ^СА и Для решения задачи

определения выражений для площадей лопаток СА и РК были использованы методы планирования эксперимента, описанные в [2], и центральный композиционный план эксперимента, рассмотренный в [3].

Рис. 2. Варианты профилей лопаточных венцов

Для 85 опытов, которым соответствовали уникальные комбинации уровней варьирования значений влияющих факторов, были спроектированы лопаточные венцы СА и РК. Далее с помощью ЭВМ вычислялись значения /^лса и /’лрк для каждого опыта. Статистическая обработка результатов вычислительного эксперимента в программном пакете БТАТКИСА позволила получить следующие регрессионные выражения:

Рлса =1 7,89 - 3,49а1эф + 0,17аьф2 + 16,63е + +58,07 Д, + 12,27В2М - 1,39аьф8 -

-3,58аьфДм +15,55еДм|;

^лРкЧббДЗ -214,345+ 116,1752-1,14р2эф + + 125,99£)м + 12,81 £&+7,42 7ттсг--38,63 7Т (Ыир)рк- 2,771т (Щр)рк +

+3 5,1(Ы ^сР)рк В +0,9227тр2эф+0,06171тР2Эф+

+1,42 В р2эф - 0,211 аьф Вм - 124,61В Вм -

-10,81

Выражения (10) и (11) удовлетворяют требованиям адекватности, предъявляемым к статистическим моделям. Например, обе модели имеют коэффициент детерминации Я2 >

0,96, а распределения вероятности погрешностей подчинены нормальному закону, т.е. все погрешности с вероятностью 99,7% являются случайными величинами.

Влияние геометрических и режимных параметров на массу ЦС ТСММ Разработанная выше математическая модель массы была использована при проведении анализа влияния геометрических

и режимных параметров на массу турбины с закрытым рабочим колесом (р = 2800 кг/'м3, материал деталей Д-16Т). Было выявлено, что увеличение значений параметров А/ ’ в, /'Ич-, {ЬИср) рк приводит к росту МТ, а

увеличение аьф и Ргэф - к её менее значительному уменьшению. Характер протекания зависимости Мт от параметров /гСА //), , тг, и в может быть различным при определённых комбинациях значений некоторых параметров. Так, увеличение /?СА/Д при малых значениях ,РрК и больших В приводит к линейному убыванию Мт (рис. 3), а в противном случае - к возрастанию. Это связано с изменением вклада массы корпуса СА и массы РК в общую оценку массы турбины. Изменение 71т и 8 неоднозначно влияет на Мт из-за сложных зависимостей оптимальных по КПД перекрыт от этих параметров.

Наиболее существенно влияющим на массу фактором являются диаметральные габариты, т.е. параметр Вм. На рис. 3 показано влияние В на Мт при фиксировании остальных параметров на оптимальных по условию минимума массы уровнях с учётом технологических ограничений [3], а также проиллюстрировано влияние /гСА/Д на Мт

для трёх значений 1.)и . Зависимость Мл П1Ш от Вм аппроксимируется степенной функцией т;„ = 0,03 7 Вм2,969. Качественно зависи-

ср

мость Мт от 1)и совпадает с известными аналогичными зависимостями для радиальных агрегатных турбин [5], что подтверждает правильность составления математической модели массы ЦСТСММ. На рис. 4 в логарифмической по оси ординат шкале показано относительное изменение Мт при последовательном увеличении Пм на величины

АЙМ= 0,01, АЙМ= 0,05 и АПМ=ПМ -0,4.

Из неі^^ччует, АЦ /) югЫ и зна-

чениях 1)и, близких к нижней границе его

диапазона, весьма велико изменение Мт в относительном виде, в абсолютных же значениях величина Мт метается на 1-2 грамма. Поэтому для принятия в дальнейшем рациональных решений по выбору параметров допустимо отступать от минимума Мт на величину 8МТ = 25... 50 %.

Рис. 3. Зависимость МТ от Им при значениях параметров Гх =0,3; = 3,525; /?СА /Д1 = 0,017; аьф = 25°

0,2 0,6 1 1,4 £>м

Рис. 4. Зависимость относительного изменения массы турбины от изменения Бм На рис. 5 показано влияние В на МТ ными значениями. Из него следует, что упо-

для двух комбинаций параметров /гСА/Д и мянутые факторы оказывают значительное

— совместное влияние на Мт. В случае отсутст-

с минимально и максимально возмож- - <-

1 к вия выходного устройства в турбоприводе

эффективным технологическим решением лено, что в этом случае с уменьшением фак-является увеличение диаметра неподвижной тора В масса возрастает менее интенсивно крышки РК до величины Дф = 0,95А, что не (пунктирная линия на рис. 5). влияет на уровень мощностного КПД [4]. В ходе вычислительного эксперимента выяв-

Рис. 5. Влияние параметров £>, НСА / А, РрК и протяжённости неподвижной крышки РК на МТ

('аьф = 25°; е = 1; (Ь.%)?к Предложенная аналитическая форма не всегда удобна как для проведения анализа воздействия одновременно нескольких параметров турбины, так и для последующей оптимизации этих параметров по массовым критериям. Поэтому путём статистической обработки значений Ут для 100 опытов плана эксперимента, рассчитанных по (1), были получены регрессионные выражения в виде квадратичных полиномов для турбин с полуоткрытыми и закрытыми РК. Низкая точность оценки критериев вблизи границ диапазона значений Вм, вызванная существенным различием значений V, и Мт в опытах с разными Вм, обусловила необходимость разбиения диапазона варьирования фактора Вм на пять частей с шагом варьирования А Вм = 0,24 и повторения вычислительных экспериментов по плану эксперимента [3]. В каждом эксперименте это позволило сократить разницу в значениях критериев при из-

12; (3:

*2 эф :

60°; £>,

I)

менении А

,м относительно эксперимента по плану с полным диапазоном варьирования. В итоге было получено десять регрессионных выражений, адекватно оценивающих критерии с коэффициентами детерминации Я2 > 0,97. В статье они не приводятся из-за своей громоздкости. При расчёте ¥т по формуле (1) были выбраны средние значения параметров 8о, 5Д и бзакр из диапазонов их возможных значений при определенных значениях влияющих факторов, а значения Ан и Ав оптимальны по мощностному КПД [2]. Статистически значимыми оказались коэффициенты при факторах пт, НСА /А , £, А Ак > А/ • Причём у ЦС ТСММ с закрытыми РК усилено влияние факторов А/ > ^са /А и ^ н0 ос" лаблено влияние Ак и ^ • Это связано с тем, что объём покрывного диска существенно зависит от параметров Ъ\ (следовательно, и от параметров /гсд/А и ^тХ -А и А, но не зависит от /?2.

Заключение

Представлена методика численноаналитического определения объёма и массы ЦС ТСММ с двумя типами выполнения РК, справедливая в достаточно широких диапазонах варьирования важнейших параметров турбины. Проанализировано влияние параметров на массу и объём РК. Разработанные математические модели массы могут использоваться при решении задачи оптимизации в многокритериальной постановке.

Библиографический список

1. Григорьев, В.А. Выбор и обоснование критериев оценки эффективности турбоприводов сверхмалой мощности [Текст] / В.А. Григорьев, В.М. Радько, Д.С. Калабухов // Матер, докл. Междунар. науч.-техн. конф. «Проблемы и перспективы развития двига-телестроения», Ч.1.- Самара,- 2011.- С. 42-43.

2. Григорьев, В.А. Планирование факторного эксперимента при испытаниях одноступенчатых турбин сверхмалой мощности

[Текст] / В.А. Григорьев, В.М. Радько, Д.С. Калабухов // Вестн. Самар, гос. аэрокосм, унта. - Самара,-2011,-№6. - С. 81-91.

3. Григорьев, В.А. Выбор диапазонов и уровней варьирования факторов плана эксперимента при испытаниях одноступенчатых турбин сверхмалой мощности [Текст] / В.А. Григорьев, В.М. Радько, Д.С. Калабухов // Вестн. Самар, гос. аэрокосм, ун-та. - Сама-ра,- 2011,-№6,- С. 92-106.

4. Матвеев, В.Н. Конструктивный способ улучшения технологичности рабочего лопаточного венца центростремительной микротурбины [Текст] / В.Н. Матвеев, Д.В. Си-вир кин, Н.Т. Тихонов // Актуальные проблемы производства. Технология, организация, управление. - Самара,- 1996- С. 129-135.

5. Розенберг, Г.Ш. Центростремительные турбины судовых установок [Текст] / Г.Ш. Розенберг, Н.М. Ткачев, В.Ф. Кострыкин-Д: Судостроение, 1973,- 256 с.

VOLUME AND MASS MATHEMATICAL MODELS OF SINGLE-STAGE CENTRIPETAL ULTRALOW POWER TURBINES

© 2012 V. A. Grigoriev, D. S. Kalabukhov, V. M. Rad’ko

Samara State Aerospace Univercity named after academician S.P. Korolyov

Method of numerical-analytical determination of centripetal ultralow power (CULPT) turbines volume and mass at the initial stage of the design are shown. The developed mathematical model of mass can be used to solve the problem of multicriteria optimization of CULPT parameters, which includes optimization of ultralow power turbodrives mass characteristics.

Ultralow power turbines, model of mass, influencing factors, design.

Информация об авторах

Григорьев Владимир Алексеевич, доктор технических наук, профессор кафедры теории двигателей летательных аппаратов, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет). E-mail: grig_va@ssau.ru. Область научных интересов: испытание авиационных двигателей, начальное проектирование газотурбинных двигателей.

Калабухов Дмитрий Сергеевич, младший научный сотрудник, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет). E-mail: dskalabuhov@gmail.com. Область научных интересов: рабочие процессы в турбинах сверхмалой мощности.

Радько Владислав Михайлович, кандидат технических наук, доцент кафедры теории двигателей летательных аппаратов, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет). E-mail: zpovl969@gmail.com. Область научных интересов: рабочие процессы в турбинах сверхма-лой мощности.

Grigoriev Vladimir Alekseevich, doctor of technical sciences, professor of the aircraft engine theory department, Samara State Aerospace University named after academician S.P. Korolyov (National Research University). E-mail: grig_va@ssau.ru. Area of research: the choice of parameters and design of small gas turbine engines.

Kalabuhov Dmitry Sergeevich, junior researcher, Samara State Aerospace University named after academician S.P. Korolyov (National Research University). E-mail: dskalabuhov@gmail.com. Area of research: working processes in ultralow power turbines.

Rad’ko Vladislav Mikhailovich, candidate of technical sciences, associate professor of the aircraft engine theory department, Samara State Aerospace University named after academician S.P. Korolyov (National Research University). E-mail: zpovl969@gmail.com. Area of research: working processes in ultralow power turbines.