Нестационарная ламинарная свободная конвекция ньютоновской жидкости между вертикальными пластинами при граничных условиях второго рода

УДК 536.25

НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЛАМИНАРНАЯ СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЯ НЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ВЕРТИКАЛЬНЫМИ ПЛАСТИНАМИ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ВТОРОГО РОДА

М.И. Слюсарев, В.И. Ряжских, В.Г. Стогней, А.А. Богер, М.В. Поздняков

Получено аналитическое решение нестационарной задачи о ламинарной естественной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в бесконечном вертикальном плоском канале, на стенках которого поддерживаются постоянные и одинаковые плотности тепловых потоков

Ключевые слова: конвекция, несжимаемая жидкость, плоский канал, тепловой поток

Введение. Свободная конвекция в каналах между вертикальными пластинами при значительных значениях отношения их длины к расстоянию между ними уже давно является предметом изучения не только с точки зрения анализа возникновения и развития структуры течения, но и благодаря различным техническим приложениям, касающихся расчета теплообмена в электронных устройствах, ядерных реакторах, печах, при проектировании зданий и т.д. При значительной высоте пластин движение жидкости в срединном сечении канала до появления эффекта влияния передней кромки можно считать одномерным, что существенно упрощает его теоретическое рассмотрение. Тем не менее, в литературе [15] приводятся решения в основном стационарных задач при различных тепловых условиях на стенках канала, а исследования нестационарной свободной конвекции между вертикальными пластинами в основном проводили при граничных условиях первого рода как, например, в [6,7], или при смешанных граничных условиях [8].

Постановка задачи. Рассматривается нестационарная задача свободно-конвективного течения вязкой несжимаемой жидкости в вертикальном плоском канале неограниченной высоты при возникновении на его боковых стенках теплового потока постоянной величины.

Пусть в момент времени т< 0 обе пластины и жидкость между ними имеют одинаковую температуру , а при т> 0 к боковым стенкам канала подводится теплота с постоянной скоростью . В этом случае уравнения Обербека-Буссинеска в безразмерной компонентной форме для плоской декартовой системы координат Х02, описывающие свободно-конвективное движение вязкой несжимаемой

Слюсарев Михаил Иванович - ВГТА, канд. техн. наук, доцент, тел. (4732)55-35-54

Ряжских Виктор Иванович - ВГТА, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732)55-35-54

Стогней Владимир Григорьевич - ВГТУ, канд. техн. наук, профессор, тел. (4732)52-53-54

Богер Андрей Александрович - ВГТА, канд. техн. наук, доцент, тел. (4732)55-35-54

Поздняков Михаил Владимирович - ВГТА, аспирант, тел. (4732)55-35-54

Рис. 1. Расчетная схема

среды в рассматриваемой прямоугольной области полушириной \ и высотой к2 (рис. 1), таковы

ЭУХ

-Х- + 2 V , ______

56 1 + 4 Х дХ 1 + 4

2 дР

У ЭУ* -

2 Э2 д 2УХ

д2УХ

1 + 4 ЭХ (1 + ^)Ч дХ

дУг , 2 у дУг , _24 1

2^ дР 4 (Э2У

+ 4

1 + 4Э2 (1+ 4)2 {эх

+ 4:

д 2У2

+——тОг (т - т *); (1+4)3 1 1

ЭТ+у —+-24. V — -

56 1+4 Х ЭХ Т+4 2 а2_

1

Рг (1+ 4)2 {ЭХ

Э 2Т

э 2Т

ЭУХ е ЭУ2 п

——+4—- - 0.

ЭХ 52

Здесь УХ - их/и , У2 - о2/и; и - у/10 - характерная скорость, м/с; их, и2 - горизонтальная и вертикальная компоненты скорости, м/с; V - кине-

матическая вязкость жидкости, М/с; l0 = 2^/

- характерный размер, м; £ = hjh2 ; X = x/fy ,

Z = z/h2; 9 = vx/l02 ; т - время, с; P = p’/p,

P = P(v/l0 )2, p’ = P - P0 - отклонение давления от гидростатического p0 =р0gz + cowst, Па; p - плотность жидкости, кг/м3; р0 »р , р0 - плотность жидкости при t0, кг/М ; T = (t-t0)^/(qwh1); t- текущая температура, оС; 1 - теплопроводность жидкости Вт/(м • K); Gr = gh1^](v2Х) - число Грасго-фа; р - коэффициент объемного расширения жидкости KT1; g - ускорение силы тяжести, м / с2; Pr -число Прандтля;

Как показано в [7] при £ ^ 0 система

преобразуется к виду:

— 4 ^ + 8Gr (T - T*);

д6 дX2 v ’

5T — 4 _дГ д6 — Pr дX2

с граничными условиями

У2

Т

Определим характерную температуру жидкости Т* как температуру на оси канала Т (0,6) и перепишем (5) в виде

- 4^ + 8вгГТ - Т

56 ЭХ2 I У П

Решение. Применим интегральное преобразование Лапласа к (6) - (9) по переменной 6 :

Tl (X,s) —

2chf TVPr • sX

1 12

vs

Рассмотрим стационарную составляющую оригинала изображения температуры (14), имея в виду, что 5 = 0 корень кратности два. Используя вторую теорему Ващенко-Захарченко для идентификации оригинала от изображения, представимого в виде отношения бесконечных полиномов по 5 (причём степень полинома знаменателя больше степени полинома числителя), получим: ит

«о I ё5 п

—-1 16 XX

— 6 + Pr + 2

sh f 1>/Pr.

где ф(Х,5) =—^=-сИ| —у[Рг^Х |; п(5)=—~г-

%/Рг ^2 ) Л/5

Оригинал нестационарной составляющей решения (14) для температуры

сИ | 1 л/Рг • 5Х

ь 2 12

syfs • sh f|л/Рг • s

cos

—-2Z _2 ^_\exp

—1 n2n 2cos

4п n Pr

где Ь-1 - оператор обратного одностороннего преобразования Лапласа. Таким образом, выражение для поля температуры имеет вид

т (х,е) = -1+^+XI+

у ’ 6 Рг 2

2 ^(-1) ( X) f 4п2n2 0

+-- ^ ---2---cos (nnX )• exp I-------0

n

Pr

d2V, s

- - Vl —-2Gr [Tl - TL

d Tr Pr

------sTr — 0 ;

dX2 4“ L

V

ёТь

где 5 - Лапласово изображение 0.

Решение уравнения

Используя уравнения (10) и (14), получаем следующее дифференциальное уравнение относительно У1

dЩ- - ^VL —-2Gr

dX2 4 L

2ch

іл/Pr • sX j

WPr • s • sh I — л/Pr •.!

12

s^Pr • s • sh 11VPr<

12

с граничными условиями

V

s

n—1

2

в котором константы интегрирования СХ2 = СХ2 (Х,5), будем определять методом вариации произвольных постоянных из алгебраической системы

С/єЬI -4ІХ | + С2сЬ| Т^/Sx | - 0;

с/л [24^х +с2'єи ( 2т5х -

8вг

лУРг

сИ { -2^Рг • 5X ] - 1

где С1 2 - ёС12 (X, 5)/ёХ , в виде

С - —

8вг

2-л/5 (і^л/Рг)х єИ 2л/5(1 -Трг)х

1 + л/Рг

1 -л/Рг

16вг • єИ {-2^/5 • X

+ С

С-•

8вг

сИ

-75 (1 ^л/Рг )х

1 + л/Рг

сИ

(1 -л/Рг )х

- 2сИ | • X

+ С2,

Константы интегрирования С и С2 найдены из граничных условий (12) равными

(С = 0, С2 =-----------------------------16^г-;

5 УРг • 5 • 8И | “\/Рг • 5 1 сИ | -2^/5

16вг • сИ I -2^/Рг •

(1 - Рг/УРг • 5 • єИ { -2 л/Рг • 5 ] сИ ( 2у[5

.

Из (17) - (20) следует

V; (Х, 5) = —

8вг

%/Рг • 5 • єИ I 1\/Рг

-75(1 ^л/Рг)х єИ -л/5(1 —ч/Рг)х

1 + л/Рг

1

-2єИ 12-\/5 • X 11 єИ ( 2.^/5 • X

8вг

сИ

(1 +л/Рг )х

сИ

-л/5 (1 -л/Рг )х

1 -л/Рг

1 + л/Рг

- 2сИ I 2 л/5 • X

16вг

УРг • 5 • єИI-2л/Рг • 5 1 сИI Т^/S 1 Рг

16вг • сИ { ^л/Рг • 5

сИ 1• X |.

УРг • 5 • ^л/Рг • 5 1 сИ[ -2^/5 ] / { 2

После упрощения (21) окончательно имеем У, (X,5)-— 16Ог

я

сИI /^/pГ • 5 • X | сИ 1• X

2 ^ 1+ 12

1 - Рг

сИ ( 2\/Рг^ 5 1 сИ I — ^[s • X

(1 - Рг) сИ {2’'•Т5

Найдем стационарную составляющую оригинала изображения скорости (22) с учетом того, что 5 = 0 корень кратности три. Декомпозируя (22) на слагаемые и используя вторую теорему Ващенко-Захарченко для идентификации оригинала от изображения, представимого в виде отношения бесконечных полиномов по 5 (причём степень полинома знаменателя больше степени полинома числителя), получим:

2

X

+

+

X

X

L-1

16Gr • ch f-2VPr • 5 • X

sh | -i^Pr • s VPr (1-Pr )s3- j 2

л/S

Gr(7Pr2 - 30Pr2X2 + 15Pr2X4 - 240Pr0) 180 (1 - Pr )Pr

Gr

+ 180 (1 - Pr)Pr ;

L -1

-16Gr

VPr •>

shf

vs

Gr

180Pr

16Gr • chj ~Vs • X

sh | 2 VP^- ^

VPr • s3 —j 2^_----- ch j 1yfs

Gr (7Pr2 - 30PrX2 +15X4 - 240Pr0 + 288002) 180Pr

Gr

+---------------------------------------;

180Pr

-16Gr • chj ~VPr • s j chj • X

sh f — VPr ••;

л/Рг (1 - Рг) • 53 —^ 2^_--) сИ ^~ V?

вг

= 180

вг

+ 180

Сумма стационарных слагаемых составит

- в (Х4 -1).

121 ’

Нестационарные составляющие оригинала изображения скорости определяются выражениями

.

L-1

16Gr • ch j 2-v/Pr • s • X

sh | -^л/Рг •• VPr (1 - Pr)s3- j 2

vs

4GrPr z cos(MwX) exp f 4^ 1 - Pr w=1 M^cos^w i Pr

L-1

16Gr

= -4GrPr£

vs

1 f 4mW ,

16Gr • chf^Vs • X

sh 11VPr • s j .

VPT • s3-2^—- ch 11vs

. vs j 2

cos

=4GrPr£-

Mw

:X

w 1 M^cosMwcos

VPT‘ - f 4mW

exp |----—

Mw 1 i Pr

4Gr

VPr

z-

VPr

cos

sin

exp (-4в20);

-16Gr • ch j ~VPr • s j ch j ~Vs • X

shf 1 %/Pr •,!

VPr (1 - Pr) • s3 —j 2^s--- ch j~Vs' j

4GrPr

cos

z-

VPr

X

1 - Pr w=1 4

M„cosM w cos

exp | - -4Mw 0 | + Mw 1 i Pr

4Gr

VPr

Ж cos

:Z'

VPr

exp

(-4e^0),

где M = nw; w = 1,ж ; ek = —+ nk; k = 0,ж.

w k 2

С учетом стационарных слагаемых оригинал скорости равен

f 4m2

exp |---I

Vz (X,0) = V(X,0)= fTlХ_1_^

1 Pr w=1 V-w

-1

L

-1

-1

L

L

cos (|g„X) c0s jVPr

X

cos^

cos

л/Pr

exp

-4GrPr £

Pr

— K,cos^

cos

1 --

VPT

X

cos

л/Pr

4Gr £ cos

л/Pr

k—0 в.sms.sin

cos

1 --

(.вк) 1 - Pr

Gr

12

(X 4 -T).

При Рг ^ 1 в первом и третьем слагаемых уравне-

0

ния (27) возникает неопределенность типа -^, для

раскрытия которой воспользуемся правилом Лопи-таля. Для первого слагаемого введем обозначения

у(Рг ) = 1 - Рг

Pr

exp

ф(Рг ) — 4Gr£-

Pr

ц„

cos (ц „X) cos jyP7

X

cos

л/Pr

y(pr fp, Iі

да

ф(Рг )p, — 16Gr£

p pr

.exp

V

Pr

n—1

цП Pr2 ц

cos

cos (kx ) j VPT

X

cos^

+2Gr£-

cos

л/Pr

exp

Pr

n 1 ц„ Pr32 cos

л/Pr

cos I X j sin І -Ц„=

-sinI -b^X j X +-----------j I^

n/PT

cos

ц„

VPr

Для третьего слагаемого

у, (Pr) — 1 - Pr,

ф, (Pr) — cos (л/Pr .вк) ,

фі

у, (pr )'p. — -1;

(Pr)pr -;SiП((.вк))i=.

В результате получаем решение задачи для профиля скорости при Pr —1

'x .sin

V (X, 6) — 2Gr£-

-4Gr £

да

-4Gr£

exp

1-

cos

T ^cos^ [ cos^ cos (в kx )exp (-4в26) I,

4 • 2 ' 1

в,^іп вк

- G (x4 -1).

12

в k siffi.

Среднеинтегральные характеристики найденных гидротермических полей:

4GrPr<JPr Z tg Іл/Р.

v £

2

ц„

exp

Pr

exp

-4GrPr £

Pr

1 ^cos^

, л/Pr I ц

1 - — tg1

ц„

л/Pr

4Gr £ exp

cos

1 --

(л/й .вк) 1 - Pr

Gr 15 ’

T (6)— —, Pr

при Pr=1

V (6) —-2Gr£

exp

— Цп

co^ n

» exp -4Gr£—-5

H^f,j + Gr.

k—0 k

15

Анализ. Как следует из решения задачи величина скорости жидкости в канале пропорциональна числу вг В связи с этим при анализе свободноконвективного течения жидкости между вертикальными пластинами удобно использовать относительную скорость V/вг, инвариантную к числу Грас-гофа. При наложении на стенки канала однородного теплового потока происходит прогрев жидкости у вертикальных пластин, причем температура жидкости с течением времени непрерывно возрастает, а тепловое возмущение распространяется от стенки к оси канала, после чего постепенно формируется ква-

n—1

к—0

n—1

зистационарное поле температур, которое характеризуется эквидистантным смещением по вертикали вверх профиля температуры (рис. 2а, б). С увеличением числа Рг формирование температурного поля замедляется и квазистационарный режим наступает через больший промежуток времени.

С возникновением неоднородного поля температур формируется одномерное течение (рис. 2а, б). При малых значениях времени область течения примыкает к твердой стенке. С ростом температуры

жидкости у стенки возрастает величина максимальной скорости среды и вследствие проявления сил вязкости в движение вовлекаются слои жидкости, расположенные все ближе к оси канала. Туда же с течением времени перемещается и координата точки с максимумом скорости. Для одного и того же момента времени скорость свободно-конвективного течения уменьшается с ростом числа Рг. В связи с этим для достижения одного и того же значения максимальной скорости при больших числах Пран-дтля необходимо и большее время (рис. 3). При этом из-за большей вязкости жидкости профиль скорости к этому моменту времени становится более развитым с точки зрения его приближения к квазистацио-нарному состоянию (кривая 3 на рис. 3).

Рис. 2. Структура гидротермических полей при Рг=10 (а) и Рг=0,1 (б) для различных 0: 1 - 0,002; 2 - 0,008; 3 - 0,01; 4 - 0,02

Рис. 3. Профили относительной скорости с одинаковым максимальным значением: 1 - Рг=0,1; 0=0,01949; 2 -Рг=10; 0=0,23; 3 - профиль квазистационарного течения

Наличие квазистационарного течения следует из решения задачи (27), которое при е^ ж дает стационарный профиль скорости, описываемый

вг

уравнением Уж = (х4 -1). Это связано с дости-

жением в жидкости с течением времени постоянной разности температур между стенкой и осью канала, равной ДТ = 0,5 (рис. 4). Так как разность температур является движущей силой свободно-

конвективного течения, то формирование поля температур происходит быстрее, чем поля скоростей, причем это наиболее явно проявляется при числах Рг<1. Максимальное значение относительной скорости при е ^-ж, как это следует из уравнения (27),

V 1

равно —^ = — и не зависит от числа Рг. вг 12

Так как квазистационарный режим течения устанавливается по существу за бесконечно большое время, то под временем его достижения будем понимать момент, при котором скорость на оси канала станет равной 99 % от ее предельного значения. На основании проведенных вычислений получена следующая зависимость, определяющая влияние числа Прандтля на время достижения квазистационарного состояния

еж = 0,4712 • ехр (0,1102 • Рг) .

Определение коэффициента теплоотдачи а,

а

б

Рис. 4. Разность температур жидкости у стенки и на оси канала ДТ и относительная средняя скорость У/Ог при различных числах Рг: 1- 0,1; 2 - 0,7; 3 - 7; 4 - 10

Вт!(м2 • К), через градиент температуры на стенке

канала в данной задаче не отвечает физическому смыслу, т.к. перенос теплоты по координате х в жидкости осуществляется только теплопроводностью. В связи с этим из рассмотрения теплового баланса для элементарного объема (рис. 1), в предположении, что всё удельное количество теплоты на единицу длины, поступающее через стенку

dQ = -а Х - ^) ёгёт , идет на его нагрев (охлаждение) dQ = рсрё1ёгк1, получено уравнение

Nu=

Pr 1 dT

Т Tw - T de:

сельта;

где cp - теплоемкость жидкости при постоянном давлении, ДЖ(кг • K); Nu = ahjX - число Нус-

i; T = (%-10)X/(qwA) Tw =(tw-10)X/(qwh1);

t - среднемассовая температуры, оС. Использованием (32) найдено, что при любых значениях числа Pr безразмерный коэффициент теплоотдачи, соответствующий квазистационарной области течения, равен Nu = 2,625 .

Заключение. Проведенные расчеты свидетельствуют о физичности предлагаемых решений, которые могут быть использованы для оценки влияния естественной конвекции на теплообмен и для отладки вычислительных алгоритмов при расчете теплового оборудования различного назначения.

Литература

1. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Самакия Б. Свободноконвективные течения, тепло - и массообмен. Кн.1. М.: Мир, 1991. - 678 с.

2. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Самакия Б. Свободноконвективные течения, тепло - и массообмен. Кн.2. М.: Мир, 1991. - 528 c.

3. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. - М.: Наука, 1972.

- 392 с.

4. Oosthuizen P.H. An Introduction to Convective Heat Transfer Analysis - Singapore: WCB/McGrow-Hill, 1999. - 620 p.

5. Latif M. Jiji. Heat Convection. - Springer, 2006. -

443 p.

6. Singh A.K., Gholami H.R, Soundalgekar V.M. Transient Free Convection Flow Between Two Vertical Parallel Plates // Warme Und Stoffubertragung. 1996. Bd. 31. P. 329-331.

7. Ряжских В.И., Слюсарев М.И., Богер А.А., Рябов С.В. Динамика ламинарного свободно-конвективного течения ньютоновской жидкости между плоскими вертикальными изотермическими стенками // Инженернофизический журнал. 2009. Т. 82. № 6. С. 5-11.

8. Нарахари М., Сринадх С., Сундалджекар В.М. Нестационарная свободная конвекция между длинными параллельными пластинами с постоянным тепловым потоком на одной границе // Теплофизика и аэромеханика. 2002. Т. № 9, № 2. С. 301-307.

Воронежская государственная технологическая академия Воронежский государственный технический университет

NON-STATIONARY LAMINAR FREE CONVECTION OF A NEWTONIAN FLUID BETWEEN VERTICAL PLATES UNDER SECOND KIND BOUNDARY CONDITIONS M.I. Slyusarev, V.I. Ryazhskih, V.G. Stogney, A.A. Boger, M.V. Pozdnaykov

The analytical decision of a non-stationary problem about laminar convection a viscous incompressible liquid in the infinite vertical flat channel on which walls constant and uniform density of heat fluxes are supported is received

Key words: convection, incondensable liquid, flat channel, heat flow