Регуляризация дифференциальных уравнений в задаче возмущенного движения

Решетневские чтения

Таким образом, применение этого метода позволит значительно сократить время проведенных исследований без существенной потери точности.

Библиографические ссылки

1. Заусаев Д. А. Банк данных оскулирующих элементов больших планет и Луны за период 1600-2200 гг. // Математическое моделирование и краевые задачи :

тр. VII Всерос. научн. конф. с междунар. участием. Ч. 3. Самара, 2010. С. 119-123.

2. Standish E. M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE405/LE405 // Jet Prop Lab Technical Report. IOM 312. F-048. 1998. P. 1-7.

3. Брумберг В. А. Релятивистская небесная механика. М. : Наука, 1972.

4. Everhart E. Implist single methods for integrating orbits // Central Mechanics. 1974. Vol. 10. P. 35-55.

А. F. Zausaev, D. А. Zausaev Samara State Technical University, Russia, Samara

NUMERICAL INTEGRATION OF THE CELESTIAL BODIES MOTION EQUATIONS BY THE USE OF MAJOR PLANETS OSCULATING ELEMENTS

The computing algorithm and the program of numerical integration of celestial bodies motion equations by means of the Everhart method with the use of major planets osculating elements are developed. It allowed reducing time costs when researching the Solar system small bodies motion almost by an order of magnitude.

© Заусаев А. O., 3aycaeB fl. A., 2010

УДК 521.642

А. Ф. Заусаев, Л. А. Соловьев Самарский государственный технический университет, Россия, Самара

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ В ЗАДАЧЕ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ

Получены регулярные дифференциальные уравнения для задачи возмущенного движения. Для совместного решения системы дифференциальных уравнений разработан алгоритм и программа с использованием метода Эверхарта. Для согласования физического времени с фиктивными временами всех исследуемых объектов предложен метод итераций.

Дифференциальное уравнение движения в задаче возмущенного движения имеет следующий вид [1]:

х + -

K

2 dV и X =--+ P ,

дх

где х - вектор положения возмущаемого тела; V - возмущающий потенциал; Р - дополнительная сила; К2 = к2(М + т), г = |х|; М- масса центрального тела; т - масса возмущаемого тела.

Уравнение (1) является сингулярным в начале координат. При прохождении тела вблизи начала координат возникают большие гравитационные силы, и происходит резкое изменение орбиты. При численном интегрировании для преодоления этой трудности приходится значительно уменьшать длину шага интегрирования, что приводит к увеличению ошибок округления. Это существенно сказывается на точности результатов проведенных расчетов.

Процедура преобразования сингулярных уравнений в регулярные уравнения называется регуляризацией. Регуляризация уравнения (1) проводится в два этапа. На первом этапе, путем введения новой независимой переменной s, называемой фиктивным време-

нем, получают регулярные функции, описывающие движение.

Второй этап регуляризации заключается в устранении сингулярности в самих дифференциальных уравнениях. Это достигается путем преобразования вектора физического пространства в четырехмерное параметрическое пространство с помощью матрицы преобразования Кустаанхеймо.

Применяя процедуру регуляризации к уравнению (1), получим следующую систему дифференциальных уравнений [1]:

u +—u = (---+ LTP);

2 2 2 du

, dV , , T ,

hK = (-, u ) - 2(u , L P), t = (u, u),

du

где u - четырехмерный вектор с параметрами

K2 - 2 | u 12

hK =-

I u

- уравнение энергии;

ЬТ - транспонированная матрица преобразования Кустаанхеймо [1]; штрих означает дифференцирование по s.

Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального агентства по образованию (Проект 2.1.1/745).

Астрономия. Проблемы астероидной опасности

Регуляризация уравнения (1) проводилась в два этапа. Сначала были получены дифференциальные уравнения возмущаемого тела с учетом гравитационных и релятивистских эффектов, обусловленных Солнцем относительно новой независимой переменной 5 [2]. Координаты планет и Луны при численном интегрировании определялись с помощью банка данных ББ405. Однако уравнения оставались все еще сингулярными. Затем с помощью преобразования координат были получены регулярные уравнения, подобные уравнениям (2).

Дифференциальные уравнения (2) являются регулярными, по сравнению с уравнениями (1) они обладают лучшей устойчивостью. Отмечая наиболее существенное преимущество уравнений (2) по сравнению с классическими уравнениями, следует также отметить, что их можно использовать для исследова -ния движения небесных тел, имеющих любые эксцентриситеты и сближения с большими планетами.

Однако при совместном численном интегрировании больших планет и возмущаемого тела возникают трудности в согласовании физического времени с фиктивными временами, так как одному и тому же физическому времени соответствуют различные фиктивные времена для каждой планеты и возмущаемого тела.

Для совместного решения системы дифференциальных уравнений (2) авторами разработан алгоритм и программа с использованием метода Эверхарта [3]. Для согласования физического времени с фиктивными

временами всех исследуемых объектов предложен метод последовательного приближения. При первом прохождении на шаге получаем связь физических времен с фиктивным временем для каждого объекта. При втором прохождении производится коррекция фиктивного времени для каждой планеты в соответствии с физическим временем возмущаемого тела. Для достижения требуемой точности достаточно произвести одну или две итерации. Следует отметить, что использование метода последовательных приближений в программе совместного интегрирования замедляет процесс вычислений, что ограничивает ее применение при массовых расчетах. Однако для индивидуальных объектов, например, таких как Apophis, который сблизится с Землей на расстоянии менее 0,00026 а. е. 13 апреля 2029 г., данный алгоритм и программа могут эффективно применяться.

Библиографические ссылки

1. Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М. : Наука, 1975.

2. Заусаев А. Ф., Соловьев Л. А. Применение регуляризации к дифференциальным уравнениям движения астероидов // Математическое моделирование и краевые задачи : тр. VII Всерос. науч. конф. с меж-дунар. участием. Ч. 3. Самара, 2010. С. 111-119.

3. Everhart E. Implist single methods for integrating orbits // Central Mechanics. 1974. Vol. 10. P. 35-55.

А. F. Zausaev, L. А. Soloviev Samara State Technical University, Russia, Samara

REGULARIZATION OF THE DIFFERENTIAL EQUATIONS IN THE PERTURBED MOTION PROBLEM

The regular differential equations for the perturbed motion problem are received. The algorithm and the program are developed for the joint solving of the combined differential equations by the use of the Everhart method. For the coincidence between physical time and fictitious points of time of all investigated objects the method of iterations is suggested.

© Заусаев А. Ф., Соловьев Л. А.. 2010

УДК 521

Л. В. Рыхлова

Институт астрономии РАН (ИНАСАН), Россия, Москва

ПРОБЛЕМА АСТЕРОИДНО-КОМЕТНОЙ ОПАСНОСТИ

Рассматривается текущее состояние проблемы астероидно-кометной опасности и методы противодействия этой опасности.

В течение последних двух десятилетий мировое научное сообщество пришло к пониманию астероид-но-кометной опасности (далее АКО) как одной из глобальных проблем, стоящих перед человечеством,

таких как потепление климата, разрушение озонового слоя, загрязнение окружающей среды. В силу определенных особенностей данной проблемы (относительная редкость событий, связанных с падением косми-