О МИГРАЦИИ МЕЖЗЕРЕННЫХ ГРАНИЦ ОБЩЕГО ТИПА 2. Законы роста и их эволюция для двумерных и трехмерных моделей зеренной структуры

I СТРУКТУРОУТВОРЕННЯ. ОП1Р РУЙНУВАННЮ ТА Ф1ЗИКО-МЕХАН1ЧН1 ВЛАСТИ ВОСТ1

УДК 669.24:620.183

Д-р техн. наук В. Е. Ольшанецкий Национальный технический университет, г. Запорожье

О МИГРАЦИИ МЕЖЗЕРЕННЫХ ГРАНИЦ ОБЩЕГО ТИПА

2. Законы роста и их эволюция для двумерных и трехмерных

моделей зеренной структуры

Теоретически обосновывается и подтверждается поведением высокочистых однокомпонентных и бинарных металлических систем существование универсальных законов роста логарифмического (экспоненциального) типа, которые при определенных условиях реализации процесса миграции границ зерен (ячеек) трансформируются в известные степенные законы.

Данная работа представляет собой продолжение обсуждения теоретических вопросов, связанных с моделями зерен (ячеек) в двумерном и трехмерном пространстве [1], миграцией границ в однофазных системах.

Сначала рассмотрим математические модели микроскопического роста зерен (ячеек) с двукратно и противоположно искривленными граничными сегментами, а также эволюцию топологических дефектов структуры и законов роста зерен (ячеек) при постепенном "выравнивании" их линейных размеров.

Примем в качестве объектов рассмотрения следующие модели двумерной и объемной структур, удов -летворительно согласующиеся с принципами минимума зернограничной энергии и плотного заполнения определенного пространства (принцип минимума энергии свободных поверхностей).

Пусть модель фрагмента двумерной структуры представляет собой конгломерат ячеек в форме тетрагонов (внешний слой) или трапеций (переходный слой -"ожерелье"), окружающих относительно большую (многосегментную) ячейку в форме фигуры с двумя осями симметрии (типа эллипса) (рис. 1), которую будем рассматривать в качестве топологического дефекта, способного в результате своего роста к постепенному видоизменению, а, в конечном итоге - и к самоустранению. Кстати, реальным аналогом такой структуры являются часто наблюдаемые исследователями при изучении субструктуры металлов тетрагональные дислокационные сетки.

Если относительно большие топологические дефекты эллипсного типа распределены в двумерном пространстве статистически равномерно, то в процессе

гипотетической миграции граничных сегментов с участием механизма переключения их с одних точек закрепления на другие [2] мелкие ячейки постепенно исчезают, а сами дефекты, видоизменяясь, объединяются в новый метастабильный конгломерат изомерных ячеек (скажем, тех же, но более крупных, чем прежде, плоских ячеек тетрагонального типа), который со временем в результате различных локальных нарушений топологического характера рождает в своей среде новые дефектные ячейки с большим (меньшим) числом сторон, чем четыре (или же равным четырем, но отличающихся в этом случае искривленностью всех своих сегментов (рис. 2)). Исключительно большие (многосегментные) эллипсные ячейки в процессе своего роста иногда преобразуются в слои пластинчатой формы с неискривленными граничными фронтами; эти пластины способны расти, увеличивая свою толщину, как в

Рис. 1. Фрагмент теоретической модели двумерной зеренной

© В. Е. Ольшанецкий, 2006 8

Рис. 2. Топологический дефект в виде криволинейного тетрагона со сбалансированными по натяжениям тройными стыками

стационарном, так и нестационарном режимах [3].

Основу же объемной (трехмерной) модели составляют зерна, имеющие форму стандартных гексаэдров или гексаэдров с гранями ромбо-додекаэдра (т.е. куба со срезанными ребрами). Естественно, что такая модель должна включать в себя топологические дефекты - зерна, отличающиеся по форме от гексаэдров (или их аналогов), а также промежуточные слои с зернами пирамидального типа. Однако подробный анализ таких моделей вряд ли целесообразен (прежде всего из-за своей сложности) и к тому же, в нашей постановке задачи, является необязательным, так как описание поведения двумерной модели ячеистой структуры с некоторыми непринципиальными изменениями (по форме, а не по сути) постулируется и на случай трехмерной модели зеренной структуры, поскольку обе модели выбраны нами с тем соображением, чтобы допускалось их взаимное адекватное отображение.

Целесообразность тщательного анализа (в математическом плане) более простой двумерной модели и распространения (с определенной смысловой и числовой коррекцией) уравнений, описывающих ее поведение во времени, на объемный вариант структурной модели была впервые обсуждена в работах [4, 5, 6].

Так как любой общий сегмент фронта роста (реакции) является дважды и разнознаковым искривленным (из-за несоответствия линейных размеров большой и контактирующих с нею малых ячеек), необходимо проследить за изменением обоих радиусов кривизны медленно распространяющегося фронта роста и по возможности установить хотя бы приближенную взаимосвязь в поведении этих радиусов. В случае малых и равноосных топологических дефектов, т.е. ячеек с числом одинаковых сторон, равным, например, трем, граничный фронт реакции будет во времени быстро

сокращаться, а сама ячейка-дефект - уменьшать линейный размер (вплоть до полного своего исчезновения). При этом, как и в более стандартном случае, между обоими радиусами кривизны граничного фронта также должна существовать определенная взаимозависимость (об этом будет сказано в следующей публикации).

Таким образом, задача сводится к нахождению подходящего аналитического выражения (математической связи), в котором оба упомянутых радиуса кривизны (г и К) граничного сегмента были бы как-то связаны с линейными параметрами а и Ь, пропорциональными размерам ячеек, имеющих общую границу по линии этого сегмента [7].

I е л а н н а я

'страняю щ ем с я

делении в процес

>ан ичного

, н т. г и К еще могли бы как-то изменяться, а линейные (размерные) параметры а и Ь практически сохраняли свои прежние значения или же меняли их, но не настолько быстро, чтобы существенно нарушилось функционирование определенного вида уравнения - связки.

Априори выдвинем гипотезу, что искомое соотношение между обоими радиусами кривизны граничного сегмента и меняющимися во времени параметрами смежных зерен (большого растущего зерна и малого, им "уничтожаемого") имеет вид

R

где r - собственный радиус сегмента граничного фронта; R - радиус кривизны базисной линии граничного фронта; a - высота (размер) ячейки в виде трапеции или сторона граничной нормальной ячейки (тетрагона) при R = ж; b - половина меньшего размера растущей ячейки эллипсного типа (параметры a и b выбираются в условиях равновесия натяжений в стыках ячеек по линии граничного фронта).

Найдем соотношения между линейными параметрами a и b, удовлетворяющие условию (1), для различных видов топологических дефектов, выступающих в качестве активных центров роста.

В случае двумерной пластины (рис. 3) R = ж и r = a; параметр b при этом, естественно, может быть любым. Иначе говоря, пластина, поглощающая с обеих сторон квадратные ячейки, имеет произвольную исходную ширину. Таким образом, отношение r/R = 0 можно рассматривать и как одно из граничных условий уравнения (1).

Выберем теперь в качестве объекта рассмотрения ячейку эллипсного типа с относительно небольшим (но более шести) числом круговых сегментов граничного фронта. И пусть оба радиуса кривизны r и R являются по величине соизмеримыми переменными.

в р

к р

r = a -

Примем для определенности, что г /Я = 1/2. Поскольку сегменты эллипсной ячейки имеют повышенную кривизну (из-за конечной кривизны "дуги" граничного фронта ) г будет меньше а, где уже а - начальный размер (высота) ячеек - трапеций (искаженных тетрагонов), окружающих центральную ячейку-дефект (см. рис. 1 н ^

Рис. 3. Фрагмент теоретической модели двумерной зеренной структуры тетрагонального типа с топологическим дефектом в виде пластины (многосегментный граничный фронт имеет вдоль базовой линии нулевую кривизну и сбалансирован в стыках по натяжениям). Пунктирные линии характеризуют новую равновесную ситуацию с укрупнившимися в процессе роста ячейками

'О, б

Рис. 4. Фрагмент теоретической модели двумерной зеренной структуры с топологическим дефектом в виде крупной многосегментной ячейки

Из чисто геометрических соображений (в условиях существования 120 ° стыков смежных круговых сегментов граничного фронта) следует, что r = a /2 (в случае ячеек гексагонов r = a / 2). Тогда из уравнения (1) после подстановки r/R = 1/2 и замене r на а/2 можно получить приближенное соотношение

a =42b , которое служит важным признаком равномерности плоской зеренной структуры, т.к. в этом случае размер топологического дефекта мало отличается от размеров окружающих его зерен-трапеций. Если же принять, что r/R = 3/4, а r еще меньше отличается от а/2, то после реализации соответствующих подстановок уравнение (1) перейдет в соотношение a = 43b . Увеличение отношения а/b в этом случае по сравнению с предыдущим свидетельствует о еще большем "выравнивании" плоской зеренной (ячеистой) структуры.

И, наконец, возьмем предельное (для центров роста) значение отношения обоих радиусов кривизны, а именно r/R = 1. Для рассматриваемого случая r строго равняется а/2, так как топологический дефект вырождается в обычную равноосную ячейку-гексагон с прямолинейными граничными сегментами (поскольку r = R = b) и из уравнения (1) после замены r и R соответствующими значениями размерных параметров следует, что a = 2b (предельная степень равномерности плоской структуры, ибо последняя представляет собой обычную гексагональную сетку, содержащую равные граничные отрезки). Следовательно, отношение r/R = 1 выступает в качестве второго краевого условия уравнения (1).

Попытаемся теперь обосновать (хотя бы с приближенных теоретических позиций) наше уравнение-связку. С этой целью приведем соотношение [1]:

1 1 1

r R

к виду

Rr

R + r , r 1 + — R

1 - r-

R

т. к. для крупных топологических дефектов двумерной структуры всегда будет справедливым неравенство

г*/Я < 1.

Прежде всего, отметим, что г* мало меняется при миграции результирующей дуги (т.е. реального кругового сегмента искривленного граничного фронта), поскольку г и Я по величине изменяются в одном направлении. Поэтому в уравнении (2) результирующий радиус выполняет функцию некоторого постоянного члена, который в зависимости от величины соотношения г"/Я, заданного в наиболее вероятном интервале допустимых значений (скажем, 0 < г* /Я < 1), может

r

а

г

r =

= r

быть ассоциирован с тем или иным линейным параметром двух смежных ячеек, одна из которых в топологическом плане является структурным дефектом.

При больших значениях К г* = а (ячейка в этом случае близка по форме к тетрагону, а граничный фронт становится практически прямолинейным) и выражение (2) преобразуется в соотношение

a R

Однако в таком виде это соотношение не может выступать в качестве уравнения-связки, т. к. полностью не удовлетворяет граничным (краевым) условиям физической картины.

Действительно, при г = а/2, как известно (см. об

г _ 1

этом выше), — _ — или К _ 2г = а. Подстановка же К 2

г = а/ 2 в выражение (2, а) дает для Я сильно завышенный результат (К = 2а), что в рассматриваемой ситуации нереально. С другой стороны, если опираться на условие К = 2г, то г * _ Кг /(К - г) _ К = Ь (топологический дефект по форме близок к правильному многоугольнику) и тогда из (2) следует

r = b -

R

И в этом случае при выполнении в принципе первого краевого условия (вспомним, что при R = ж параметр b может быть любым, в том числе и равным а) второе не выполняется (при r/R = 1 и R = b r тоже должно равняться b, а не нулю). Поскольку в соотношениях (2, а) и (2, б) содержится весь набор варьируемых переменных (r и R) и практически постоянных для конкретного временного этапа роста параметров а и b), надо полагать, что в этих выражениях присутствуют как истинные, так и ложные члены, которые можно устранить путем перекрестного исключения.

Исключая в (2, а) второй член, а в (2, б) первый, получаем уравнение-связку в виде (1), которое, как уже было сказано выше, достаточно хорошо удовлетворяет граничным условиям рассматриваемой структурной картины.

Из последующего рассмотрения процессов роста зерен (ячеек) станет еще более очевидно, что функция "связки" выбрана достаточно удачно, т.к. с ее помощью можно получать самые общие решения, позволяющие легко переходить к известным частным.

Обратим внимание на следующее обстоятельство. Если допустить, что параметры а и b являются жестко фиксированными, то для сохранения 120 ° стыков вдоль всего граничного фронта (а именно эта особенность фронта косвенно заложена в структуру соотношения (1)) радиусы кривизны должны изменяться во

времени совершенно произвольно, а топологические дефекты при этом обязательно эволюционировать по форме.

В том случае, когда а и Ь меняются плавно и крайне медленно, практически сохраняя свои значения при небольших и практически пропорциональных изменениях (в одном направлении) радиусов кривизны, топологический дефект проявляет в отношении своей конкретной формы определенный консерватизм для всего рассматриваемого временного интервала роста ячеистой (зеренной) структуры.

Рассмотрим более подробно ряд топологических структурных дефектов (речь, по-прежнему, идет о двумерной модельной или реальной (ячеистой) структуре), выступающих в качестве активных центров роста.

Мы уже выяснили, что в случае, когда а < Ь, зоной роста служит двумерная пластина, поглощающая с одной (краевая ситуация) или с обеих своих сторон (граничных фронтов с прямолинейными базовыми линиями) слои параллельно ориентированных квадратных ячеек. Выясним теперь, какой же конкретной формой должна обладать ячейка роста, если в ее присутствии выполняется условие, характерное для практически равномерной структуры, а именно: а = 42Ь . Покажем, что сплюснутый восьмиугольник (неправильный дитетрагон) достаточно хорошо удовлетво -ряет этому условию.

На рис. 5 представлен двухсегментный фрагмент топологического дефекта эллипсного типа. Для его полного соответствия рассматриваемому случаю необходимо потребовать, чтобы у = 45 °, а а = р. Сразу же заметим, что при таком значении угла у а = 15 ° и Zeds _ 60 °. Тогда, по "теореме синусов", будем иметь

Ь de sin60° sin45°

и далее Ь>/2 = deVз . Так как в нашем случае а = р и,

следовательно, г* = К =2г = а (ибо из (2) следует, что

* 1 при г = К г/К = 1/2), а —de _ г *sin а , то окончатель-2

но получаем

de _ 2а 8ш15° = 0,516а и Ьл/2 = 0,9а = а .

Таким образом, выполняемость соотношения

а = 42.Ь для фигуры рассматриваемого вида практически очевидна. При этом, как и следовало ожидать,

г _ 1

К ~ 2 стью обеспечено.

Найдем теперь конкретную форму для эллипсной ячейки роста, которая отвечала бы структуре, практически совпадающей с предельно равномерной ячеис-

и функционирование уравнения-связки полно-

ra

Рис. 5. Двухсегментный фрагмент искаженной тетрагональной структуры, включающий участок плоского топологического дефекта эллипсного типа

Рис. 6. Равноосный вариант топологического дефекта двумерной зеренной структуры, окруженного "ожерельем" трапецевидных ячеек

Поступая по аналогии с двумя предыдущими случаями, легко приходим к пропорции

Ь _ 2Я бш(30° - 7,5°) $т(75° - 7,5°) Бт45° '

той структурой, характеризуемой соотношениями а = 43ь и Г _ —. Если допустить, что искомая эл-

липсная ячейка должна иметь определенное сходство с искаженным (несколько сплюснутым) гексагоном, то

надо проанализировать ситуацию, когда у = 60°. Для этого случая получаем г* _ ЗЯ и, ёв _ г а _ Я бш(30° - а) (см. тот же рис. 5), приходим к уравнению збш а_ Бт(З0° -а), откуда а _ 7,5°. Далее с помощью "теоремы синусов" получаем пропорцию

Ь _ 2Я бш(30° - а) бш(60° - а) бш60° из которой окончательно имеем

л/зЬ = 8 а sin22,5° • sin52,5° = а З

(здесь опять-таки г = а / 2).

Следовательно, дефектная ячейка этого вида вполне приемлема для заданного уровня равномерности нашей плоской структуры и находится в достаточно хорошем согласии с уравнением-связкой.

И, наконец, оценим степень приемлемости топологического дефекта в виде ячейки-октагона (рис. 6). Для этой модели ячейки роста, в силу ее промежуточности, у _ 45°, а а _ 7,5° (в соответствии с целевой установкой совершенно естественно снова ориентироваться на прежнюю величину отношения г / Я ).

которая в силу того, что г _ а / 2 , приводит к промежуточному соотношению

а = 1,5Ь (72 < 1,5 <л/з).

Поэтому при необходимости использования рабочих соотношений для линейных параметров смежных

ячеек типа а _ л/2Ь или а _ л/зЬ можно с некоторым приближением заменить ячейку роста эллипсного типа, для которой хорошо работает условие связки, ячейкой-октагоном, что делает иллюстративную сторону поведения двумерной структуры более наглядной (хотя такая равноугольная ячейка и плохо согласуется с уравнением-связкой).

Итак, попытаемся теперь получить аналитические выражения для скоростей ячеек (квадратных, топологически дефектных и промежуточных в виде трапеций) выбранной модели двумерной структуры. Основными рабочими формулами, служащими инструментом реализации поставленной цели, будут являться известные выражения для скорости миграции граничного сегмента [З], его движущей силы [1] и математическое условие-связка, устанавливающее взаимозависимость обоих радиусов кривизны этого сегмента, т. е.

V _ тР;

Р _е(1/г -1/Я); г = а - Ь 2/Я,

где т - средняя микроскопическая подвижность сегмента; е - удельная граничная энергия; а и Ь - имеют смысл текущих размерных параметров смежных яче-

ек, одна из которых является топологическим дефектом (ее размерным параметром служит Ь). В дальнейшем везде принимается, что параметры а и Ь, удов -летворяющие уравнению-связке, медленно и плавно возрастают во времени (оставаясь практически неизменными в рассматриваемых временных интервалах), а также монотонно слабо изменяют характер своего отношения (а/Ь).

Рассмотрим вначале простейший случай, когда К _ ж и топологический дефект (центр роста) представляет собой двумерную пластину. На рис. 3 изображена одна из ячеек в форме тетрагона, круговой граничный сегмент которой входит в качестве одной из многих составляющих в общий (с дефектной ячейкой) граничный фронт с прямолинейной базовой (хордовой) линией.

Объединяя две первые формулы группы (3), получаем простое дифференциальное уравнение вида

dr 1 v = — = те — di r

решение которого приводит к параболическому закону изменения радиуса кривизны любого сегмента граничного фронта во времени. Действительно, из (4) следует

J rdr =

r0

те J dx,

где г0 - начальное значение радиуса сегмента, при котором межсегментный угол составляет 120 Далее, после интегрирования имеем

r 2 = a 2 + 2тет .

т.к. г0 _ а (см. рис. 3).

Нетрудно заметить, что процесс роста в этом случае вызывает только увеличение ширины пластины центра роста (за счет постепенного "уничтожения" контактирующих с ней ячеек-тетрагонов) и не приводит к тенденции укрупнения базовых ячеек двумерной структуры (т. е. в этом случае существует определенное стремление к образованию по завершении роста большой моноячейки, если топологический дефект (пластина) присутствовал в структуре в единственном числе).

Процесс параболического изменения сегментов граничного фронта (движущая сила процесса Р постоянно только уменьшается) является затухающим, однако по мере увеличения каждого радиуса нарушается условие равновесия в граничных стыках фронта роста (реакции), что приводит к возрастанию движущей силы, действующей на эти стыки (Р ). В момент установления равенства двух движущих сил (Р = Рст) затухающий (нестационарный) процесс роста сменя-

ется стационарным, при котором весь граничный фронт перемещается как единое целое (т. е. вместе со стыками) с постоянной скоростью. При этом обязательно должна измениться и конфигурация самих стыков.

Если 1/а - число стыков на единицу длины базовой линии граничного фронта (пунктирная линия), проходящая через тройные граничные узлы на рис. 3), то

Рст = -11 - 2cos ^|е= -11 - ^ Iе a V 2) a V r.

0 а ,

т.к. соб— _— (см. рис.3) и, поскольку в рассатривае-2 2г

мом случае Р _ е / г , синхронизация движения сегментов и стыков граничного фронта осуществится в тот момент времени, когда текущее г станет равным 2а (результат совместного решения обоих уравнений для движущих сил). Подставляя это пороговое значение

радиуса кривизны гп0р в (4), получим выражение для

скорости перемещения граничного фронта в стационарном режиме

1е

v = — т — •

у стац ,-,

2a

При этом пороговое значение меж сегментного угла

и

А ° ПОП

и пор определится из условия cos—

a

1

- = — и

2гпоп 4

' пор

составит приблизительно 151°.

Пусть теперь радиус искривления базовой линии граничного фронта является конечным, а двумерный топологический дефект структуры ( центр роста) представляет собой ячейку эллипсного типа. Тогда для описания процесса роста (как в плане рассмотрения сиюминутных ситуаций, так и при определении тенденции поведения двумерной структуры во времени), необходимо уже пользоваться всеми тремя уравнениями группы (3).

Сначала преобразуем, входящее в эту группу усло-

—

вие "связки" к виду r

a - r

b'

что позволит превра-

тить выражение для движущей силы в функцию одной переменной (г). Действительно, после подстановки в формулу для Р значения К-1 из уравнения-связки получим

P(r) = е| — - ^

2 2 r - ar + b

= е-

b2r

(в уравнении-связке знак приблизительного равенства просто заменяем на знак равенства, т. к. полезное функционирование этого соотношения возможно лишь

при малых изменениях Я и г). И, наконец, для скорости изменения радиуса г, ассоциируемого в любой момент времени с размером квадратной ячейки при равновесных граничных стыках (6 = 120 °), имеем следующее дифференциальное уравнение:

ёг ёт

• _ те-

2 2 г - аг + Ь

Ь 2 г

Отметим одну важную особенность уравнения (9). Оно устанавливает определенный вид функциональной зависимости между радиусом исходного сегмента граничной квадратной ячейки и временем искривления граничного фронта "нормальные ячейки - топологически дефектная ячейка". Пользоваться реальным радиусом г* нельзя, т. к. тогда математическое рассмотрение процесса роста по существу сведется к классическому случаю [8], который никак не учитывает фактор искривления граничного фронта растущей ячейки (вернее, наличие ее искривления вуалируется тем, что движущую силу процесса в такой ситуации выбирают в виде е/г*) и, следовательно, не может внести уточняющих нюансов в аналитическое выражение, являющееся решением уравнения (9). Более того, данный радиус никак не связан с размерами ячейки-тетрагона и устанавливаемый этим условием закон роста по сути ничего собой не выражает. Все вышесказанное делает понятным, почему в качестве неизвестного переменного дифференциального уравнения роста должен быть выбран радиус граничного кругового сегмента неискаженной ячейки.

При искривлении граничного фронта, помимо действующей на этот сегмент движущей силы, равной

е/г, возникает противодвижущая сила (-е / Я или

е(г - а)) Ь 2 ), действующая на стыки фронта и тем самым благоприятствующая "сглаживанию" кругового сегмента, при установлении для стыков нового равновесного состояния, нарушенного актом искривления. Это объясняет, почему реальный (результирующий) радиус кривизны г* должен быть обязательно больше г (при сохранении размера хорды сегмента). (Примечание: тетрагональные плоские ячейки прямолинейного граничного фронта после его искривления превращаются в искаженные ячейки трапециевидной формы с большим значением параметра а. Разворот квадратных ячеек порождает "клинообразные" разрывы двумерного пространства, "заделывание" которых и приводит к частичной трансформации формы граничных ячеек. Требование равноосности таких ячеек вызывает их рост в высоту, пока последняя не сравняется с размером средней линии трапеции (новое значение параметра а). Если перейти к последующим слоям (второму, третьему и т. д.) ячеек, расположенных вокруг топологического дефекта (рис. 1), то для них параметр а не остается фиксированным на определенном уровне, а продолжает медленно нарастать). Надо

полагать, что средний размер основных ячеек структуры хорошо коррелирует с размером граничной ячейки (на любом этапе укрупнения всех структурных элементов нашей двумерной модели), т. к. этот размер отвечает промежуточному значению между размером квадратной ячейки (до искривления граничного фронта) и размером ячейки последнего слоя (этот слой располагается на половине расстояния между двумя топологическими дефектами - соседями).

Приведем выражение

гёг

те , _721ёх-

г0 г 2 - аг + Ь 2 Ь 20

где г0 - снова начальное значение радиуса кривизны дуги ячейки-тетрагона, а и Ь - некоторые средние во временном интервале роста размерные характеристики контактирующих по линии фронта реакции ячеек (трапециевидных и топологически дефектных). После неполного интегрирования (10) получим общее решение уравнения роста двумерных ячеек в неявной форме

2 2 г

, г - аг + Ь с 1п^-^+!

аёг

2те

22 г0 - аг0 + Ь

г0

22 г - аг + Ь

-т .

Если граничный фронт не искривлен, то Я _ Я0 _ ю и

22 г - аг = г0 - аг0 = 0 (г = а, г0 = а0).

Тогда уравнение (11) переходит в более простое выражение вида

| гёг _ | аёа _ 2тет ,

а0

где а - уже текущий размер плоской тетрагональной ячейки. Это уравнение отвечает по форме уравнению, получаемому при стандартном феноменологическом описании процесса роста [8], когда полагают, что все зерна-ячейки имеют одинаковый размер и форму (иногда упрощают ситуацию до зерен-сфер (или ячеек-окружностей), допуская при этом, что радиус кривизны границы раздела определяет не только размер зерна (ячейки), но и величину движущей силы процесса роста структурных элементов). Решение уравнения (12) дает параболический закон роста ячеек

2 2 2 2 г - г0 _ а - а0 _ 4тет

или зерен

2 2 2 2 г - г0 _ а - а0 _ отут ,

2

Ь

что полностью совпадает с результатом упрощенного анализа процесса роста зерен-ячеек, который обычно демонстрируют в научных монографиях (см., например, [8, 9]) и учебной литературе.

Отметим одно важное обстоятельство, касающееся некоторых особенностей принятого многими авторами подхода к описанию поведения зеренной структуры во времени. Во-первых, при теоретическом рассмотрении процесса укрупнения зерен (или ячеек) обычно специально не выделяются (в качестве активных центров роста) топологически дефектные зерна (ячейки). Считается, что укрупнение элементов структуры происходит как бы само по себе под действием потенциальных движущих сил (при полном сохранении начальной равновесной конфигурации общего граничного фронта). Так, например, параболический закон роста радиуса искривления границ (13 б) по сути описывает изменение размеров всех шаров-зерен одновременно (г - выступает здесь уже как размерный параметр), т. е. фактически является законом-тенденцией укрупнения любого зерна структуры во времени. Казалось бы такое рассмотрение весьма примитивно и не может представлять никакой, помимо узко теоретической, ценности. Однако, если перейти от конкретных значений переменных к их средним характеристикам, то тогда модельная система из одинаковых зерен или ячеек может рассматриваться как усредненный аналог какой-либо реальной (однотипной по характеру) структурной картины, и в этом случае анализ поведения такого рода модели во времени уже может представлять определенный и не только теоретический интерес. Поэтому, и в дальнейшем речь будет идти лишь об изменениях средних размеров (за исключением отдельных частностей) зерен (ячеек), хотя исходные модели двумерной (трехмерной) структуры являются достаточно сложными, поскольку включают в свой структурный арсенал такие элементы реальности, как различного вида топологические дефекты с реальными движущими силами для их граничных сегментов.

Итак, при последующем анализе общего уравнения (9), (решение в форме (11)), как и при классическом подходе, будем полагать, что изменение г (в плане тенденции) достаточно хорошо коррелирует с изменением средних размеров ячеек во времени. Для этого, естественно, необходимо потребовать, чтобы функционирование уравнения-связки, а следовательно, и всех конечных уравнений, происходило в условиях сохранения формы топологических дефектов. Кроме того, для обеспечения однотипности, а одновременно и заданного уровня равномерности структуры, наряду с ростом нормальных квадратных ячеек (увеличение г как раз и характеризует рост таких ячеек, но уже как усредненных элементов реальной структурной модели), необходимо предусмотреть и пропорциональное увеличение ячеек-трапеций, входящих в состав "ожерелья", и самих топологически дефектных ячеек,

инициирующих протекание процесса роста. Вполне очевидно, что однотипность структуры может быть сохранена лишь в определенных временных рамках, когда число топологических дефектов-центров роста поддерживается на некотором постоянном уровне. Пунктирные контуры увеличенной в размерах (по сравнению с исходной), усредненной по двумерному пространству квадратной ячейки (рис. 3), и конкретной ячейки " ожерелья" в виде трапеции (рис. 4 и 5) как раз и определяют новое большее значение радиуса кривизны г (Г на обоих рисунках) по истечении некоторого промежутка времени.

И, наконец, последнее, о чем следует также сказать. Наш подход к установлению в аналитической форме определенной тенденции в изменении во времени средних характеристик рассматриваемой структуры (в виде Г или а ) совершенно не предполагает (за исключением одного уже проанализированного выше частного случая роста топологического дефекта в виде пластины) анализа каких-либо деталей механизма роста ячеек (механизм роста определяется миграцией граничных сегментов и стыков), так как в процессе роста обязательно меняется исходная (равновесная) конфигурация активного (реакционного) граничного фронта (в процессе миграции условие

6 = 120 ° не выполняется). Рассмотрение деталей механизма роста в рамках нашего подхода невозможно из-за того, что второе и третье уравнения группы (3) функционируют только при соблюдении упомянутого контактного условия. Так что какого-либо другого подхода к описанию процесса укрупнения структуры при выбранных моделях и их математическом обеспечении (уравнения группы (3)) просто не существует.

Посмотрим теперь, во что обращается общее решение (11), если структура является в достаточной степени равномерной. Пусть несоответствие в линейных размерах ячеек в форме искаженных тетрагонов (трапеций) и ячейки-дефекты эллипсного типа (центра роста) является полуторным. В этом случае выполняются соотношения:

г0 = а /2; а = 42ь и Ь 2 - а 2/4 = а2/4 > 0.

Тогда интегральное выражение в левой части уравнения (11) может быть приведено к виду

а^

2 2 г - аг + Ь

= а 1

= 2 агег% -—— = 2

а [ г а - 2

/ 2

( а а

1 г-- + -

1 2 4г

г - г0 г "г0

: 2 аг^

а

г-

2

г0

г0 3 I г0

Ограничимся лишь линейным членом разложения этой функции, отбросив остальные как величины вы-

г

о

3

+

соких порядков малости. Это требует рассмотреть только узкие интервалы изменения г, причем такие,

что, хотя г > г), но

0

< 1. После выполнения за-

мены с использованием вышеприведенных соотношений общее решение уравнения (11) приобретает более компактную форму [7]

ё 2 т 1

ёг2 ту

г-1Л 2

г0 V

' г Л2

+ 2

'1 - ^Л

> 0:

1п-

- 2гг0 + 2г

+ 2

г0

^ - ^

г0

тет

г0

т. к. ранее мы приняли для изменения г следующее ог-

Для объемного варианта структуры по аналогии с предыдущими случаями (см. [1]), где как раз использовался прием отображения двумерного пространства и всех присущих ему соотношений на его трехмерный аналог, это решение несколько видоизменяет свою правую часть

2 о , т 2 ( \

1п г - 2гг0 + 2г0 + ъ"

г02 1г0

-1

2тут г02 ,

где г - уже радиус шарового сегмента, а у - зерногра-ничная энергия (поверхностное натяжение).

Покажем, что оба приведенных логарифмических уравнения, которые можно трактовать как сложные законы, описывающие поведение (рост) элементов структуры (ячеек, зерен) вполне адекватно отвечают изменению физической реальности во времени. Здесь мы остановимся лишь на удовлетворении уравнений (14) и (15) (из-за постоянного уменьшения движущей силы) затухающему характеру процесса роста ячеек и зерен (об удовлетворении этих уравнений экспериментальным результатам речь будет вестись ниже). Для

этого необходимо, чтобы кривые вида г _ г (т) были

обращены выпуклостью кверху, т.е. характеризовались

отрицательной кривизной (ё2г/ёт2 <0). Покажем на

примере уравнения (15), что это действительно имеет место. Требование отрицательной кривизны для какой-либо "затухающей" функции в нашем случае обращается в свою противоположность при инверсии этой функции.

Нетрудно видеть, что уравнение (15), решенное относительно т, как раз и представляет собой искомую обратную функцию. Действительно,

ёт _ г0 ёг ту

1

г0

'г - 1Л

г0

' Л2 ' г Л 1-

+ 2

г0

г0

г - г0

раничительное условие:

< 1. (Тем самым мы

показали, что уравнение роста зерен (15) (как и уравнение роста ячеек (14)) описывает затухающий процесс в заданном интервале изменения радиуса кривизны г граничных сегментов зерен (или ячеек)).

Если взять другой тип топологического дефекта -сплюснутый гексагон, служащий признаком особо высокой степени равномерности структуры, то задающие конечный вид решения (11) размерные соотношения уже будут несколько иными: г0 = а /2; а =43ь

и Ь 2 - а 2 /4 = — а2 > 0 .

12

Тогда, например, для объемной адекватной структурной модели, отличающейся таким же высоким уровнем структурной равномерности (т. е. по существу являющейся изомерной), общее решение (11) переходит в логарифмическое уравнение

1п-

2

Зг - 6гг0 + 4г0

0

-л/12

г0

г -1

г0

Зтут

г02

Однако это уравнение менее удобно для практического использования, чем уравнение (15).

И, наконец, полезно в рамках рассматриваемого круга вопросов обсудить возможность пропорционального изменения размеров топологически дефектной ячейки и окружающих ее нормальных ячеек в заданном интервале времени, без чего невозможно поддерживать одинаковый уровень равномерности структуры в процессе ее укрупнения. Для этого необходимо показать, что соответствующее изменение двух радиусов кривизны (Я и г) не только не нарушает, но даже следует из уравнения-связки (11). Представим это урав-2

нение в виде Я _

Ь'

. Кривая Я(г) может быть лине-

а - г

азирована в окрестности интересующей нас точки

а

г = — (топологические дефекты эллипсного типа, инициирующие укрупнение относительно равномерной

а

структуры дают г = —). Угловой коэффициент этого

г

0

2

г0

г0 V

2

г

0

1

+

и

линеазированного участка кривои находится из равенства

R'r — -

г—а /2

(а - г)2

Для практически равномерной структуры a — и, следовательно, ЯГ — 2. Тогда получаем R(т) = 2г(т) + C . Так как при г0 = a /2 и a — справедливо соотношение г0 / Ro —1/2 (( — Я(т о)), можно написать R(тo) = Я(т0) + C , откуда C = 0

и окончательно

r(т) = 2г(т) .

Таким образом, пропорциональность изменения обоих радиусов кривизны в некотором достаточно уз -ком интервале по существу доказана. Подытоживая все изложенное выше, легко прийти к выводу о необходимости обсуждения структурных изменений, обусловленных микроскопическим ростом зерен в однофазной среде (металлах и гомогенных сплавах), с позиции эволюционного перерождения моделей зеренной структуры (в направлении ее "выравнивания") и эволюции самих законов роста. Обсуждая макроскопический рост зерен, были сознательно опущены такие детали роста, как "поедание" зерна зерном, переключение (линейных отрезков или площадок) с одних точек (ребер) закрепления на другие, а также "тонкости" самого механизма миграции. Проводимое нами усреднение характеристик касалось как угловой разориентации границ и их энергетических параметров, так и поведения всей группы структурных элементов, составляющих основу выбранной модели зеренной или ячеистой структуры (чисто термодинамический подход). Поэтому, ведя разговор об эволюции структуры в процессе роста (на примере иллюстрационных моделей, имитирующих поведение того или иного вида структурной реальности), мы должны говорить о поэтапной смене практически конечных структурных состояний, без принятия во внимание различных промежуточных вариантов, которые не учитываются выбраными моделями структур, а следовательно, и уравнениями (законами) их размерных видоизменений.

С позиции такого подхода эволюция моделей (и законов роста) во времени укладывается в определенную последовательность структурных состояний (и описывающих их поведение уравнений), плавно переходящих одно в другое по завершении очередного этапа роста элементов структурной модели.

Рассмотрим такой перманентный переход (перерождение) на примере рассмотренной выше двумерной модели. Если в структуре присутствует достаточ-

но большое количество статистически равномерно распределенных многосегментных (т. е. весьма крупных) ячеек эллипсного типа, то такую структуру следует отнести к категории "пестрых" структур, для которых хорошо выполняется (доминирует) параболический закон укрупнения ячеек ( радиус R является по сравнению с радиусом г очень большим). На следующем этапе роста среднее удельное количество топологических дефектов сохраняется, однако число их активных сегментов снижается (при этом отношение R / г также уменьшается, хотя непосредственная величина R может оказаться более значительной, чем на предыдущем этапе роста). Постепенно структура делается практически равномерной, а число активных сторон (сегментов) у дефектных ячеек эллипсного типа уменьшается до восьми (при этом, R /г — 2 ). Закон роста ячеек становится чисто логарифмическим и описывается уравнением (14).

При переходе к структуре, близкой к предельно

равномерной (Я / г — 4/3), топологически дефектная ячейка преобразуется в эллипсный гексагон, а закон роста нормальных ячеек продолжает оставаться по существу логарифмическим, хотя и изменяет несколько свой аналитический вид (уравнение (17)). Теоретически процесс роста ячеек завершается установлением двумерной гексагональной структуры (за счет предварительного устранения эллипсности у дефектных гек-сагонов в результате их перерождения в равноосные ячейки-гексагоны с искривленными сторонами (сегментами). Такие активные ячейки способны довести процесс роста до той стадии, когда ячейки-тетрагоны полностью исчезают, а сегменты гексагонов приобретают нулевую кривизну (реальный аналог - гексагональная дислокационная сетнка). Для такой структуры R / г — 1, а сама она отвечает промежуточному ме-тастабильному состоянию, которое нетрудно устранить путем различных возмущений (флуктационной природы для реальных систем), приводящих к формированию в различных микрообластях двумерного пространства новых топологически дефектных ячеек (центров роста). Все эти этапы могут быть четко прослежены математически с установлением для очередного временного интервала конкретного закона роста, если варьировать отношение г / Я (от 0 до 1) и в каждом таком интервале выбирать определенное отношение а / Ь (постоянное для этого временного интервала).

Теперь покажем, что полученные теоретические оценки хорошо согласуются с экспериментальными результатами. Для этого преобразуем выражение (15) к виду

' г ^2

г0

-2

'г - 1Л

г0

— ехр

2даух

-2

г0

2

2

ь

и рассмотрим настолько узкий интервал изменения г (в случае очень крупного начального зерна время прохождения этого интервала радиусом г будет весьма заметным), что г/го будет только несколько больше единицы (т.е. г настолько несущественно превосходит го , что разница г/го - 1 всего лишь несколько превышает нулевое значение). Отбрасывая слагаемые вида

--1

'о

в обеих частях полученного выражения (это,

естественно, приводит к некоторому ухудшению формы кривой роста), сразу получаем

2 _ 2 r = r0 exp

^ 2шут ^

откуда следует экспоненциальный закон роста зерен во времени [6, 10]

r = го exp

( \ шут

т

Рис. 8 и 9 отражают рост зерен в бинарных системах на основе высокочистых никеле и железе по зако-

*

ну а* = а0 ехр(кт), где к - крутизна экспоненты.

2,05

40 60 80 100 120 Время отжига, мин

Рис. 8. Временные зависимости логарифма удельной

поверхности границ зерен (отжиг 580°С): О - чистый 1\П (99,9999 %); « ; - 1\П +0,4-10"4 ат. доли гг; А - N¡+0,8-10"4 ат. доли Zr, V - N¡+2,0-10"4 ат. доли 2.У,  - №+0,4-10-4 ат. доли Ре;  - №+2,0-10-4 ат. доли Ре

r

2

г-\ * *

Заменяя г = а и г) = а0 , получаем уравнение роста кубических зерен

а = ао exp

шут (а*)2

Здесь а - приведенный текущий размер кубического зерна, равный половине его ребра; а 0 - соответственно начальный размер такого зерна.

Некоторая приблизительность экспоненциального закона роста зерен в форме (22) с практической точки зрения является его полезной особенностью, т. к. позволяет оперативно устанавливать момент времени, когда закон начинает действовать (экспериментальные графические зависимости 1п а* - т (или ^У/8 - т), начиная именно с этого момента легко линеаризуются), и тем самым выделять при различных температурах стадии роста, практически подчиняющиеся экспоненциальному закону этого вида (рис. 7, 8 и 9) [3].

а б в

Рис. 7. Микроструктура высокочистого никеля (99,9999%) после отжига при 600 °С (а - 4 мин, б - 10 мин, в (практически равноосный вариант с топологически дефектными зернами) - 180мин); х 115

Рис. 9. Временные зависимости логарифма удельной поверхности границ зерен (отжиг 580°С): О - чистое железо (99,9980 %);  - Ре +0,810-4 ат. доли Ре;

- Ре+60,010-4 ат. доли Ре; А - Ре +0,810-4 ат. доли 7г;

- №+30,0-10-4 ат. доли

В заключении стоит обратить внимание еще на такой интересный момент. В литературе отмечается (см., например, [10]), что, несмотря на существующий примитивизм феноменологического подхода к рассмотрению процесса укрупнения зерен (ячеек) во времени, получаемый в результате решения простейшего дифференциального уравнения (4) параболический закон роста (5) иногда выполняется (чаще всего в высокочистых системах [10]). Одной из причин этого может служить просто хорошая выполняемость обсуждаемого здесь экспоненциального закона; особенно, если изомерные зерна структуры являются достаточно крупными (рис. 7, в). Параболический закон в такой ситуации просто выступает в качестве производной формы более точного экспоненциального или логарифмического закона (первоосновы приближенного экспоненциального закона).

Список литературы

1. Ольшанецкий В.Е. О миграции межзеренных границ общего типа. 1. Потенциальные и реальные движущие силы миграции для различных двумерных и трехмерных моделей зеренной структуры // Новi матерiали i технологи в металургй та машинобудувант. - 2006. -№1. - С. 9-15.

2. Штремель М.А. Прочность сплавов. Ч.1. Дефекты решетки. - М.: Металлургия, 1982. - 278 с.

3. Ольшанецкий В.Е. Разработка научных принципов уп -равления структурно-энергетическим состоянием внутренних граничных зон с целью улучшения свойств и служебных характеристик металлических материалов //Докт. дисс. (д.т.н.), Нац. металлург. академия Украини - Днепропетровск, 1993. - 397с.

4. Ольшанецкий В.Е. Об особенностях миграции границ в металлических системах с равномерной зеренной структурой // Физика процессов залечивания макро- и микродефектов в кристаллах / Препринт ИФМ 78. 9/ -К.: Институт металлофизики АН УССР, 1978. - С. 1415.

5. Ольшанецкий В.Е., Степанова Л.П. О миграции границ в металлических системах // Новое в металловедении и обеспечение надежности и долговечности дета-

лей машин методами термической обработки. Материалы международного научно-технического симпозиума, Запорожье-Москва, 1977. - С. 42-45.

6. Ольшанецкий В.Е. Общие закономерности структурных изменений при термической обработке /глава 1/ // Термическая обработка металлов. - К.: Вища школа, 1980. -С. 7-38.

7. Ольшанецкий В.Е. Топологические дефекты двумерной зеренной структуры как центры интегрального роста зерен - ячеек. Эволюция дефектов и законов роста во времени // Новые конструкционные стали и сплавы и методы их обработки для повышения надежности и долговечности изделий: Тез. докл. IV Всесоюзн. научн.-техн. конф. 10-14 октября 1989 г. - Запорожье, 1989. -С. 28-29.

8. Бурке Дж., Тарнбалл Д. Рекристаллизация и рост зерен // Успехи физики металлов. - М.: Металлургиздат, 1956. -Вып.1. - С. 368-456.

9. Мак Лин Д. Границы зерен в металлах. - М.: Металлургиздат, 1960. - 322 с.

10. Ольшанецкий В.Е., Степанова Л.П. Об оценке энергии активации роста зерен в металлургических системах на основе никеля и железа // Металлофизика. - 1982. -Т.4. - № 2. - С. 101-107.

Одержано 7.11.2006

Теоретично обтрунтовуеться i пгдтверджуеться поведгнкою високочистих однокомпонентних i бтарних металевих систем iснування утверсальних закотвросту логарiфмiчного (експоненщального) типу, котрi при реалгзацИ процесу мiграцiiмеж зерен (комiрок) трансформуються у закони росту степеневого типу.

The existing of universal logarythm type growth laws is theoretically based and proved by an example of highly pure single component and binary metal systems. These laws, under certain conditions of grain boundary migration process, are transforming to known degree laws.

УДК 541.135.6

Канд.техн. наук С. А. Воденников Государственная инженерная академия, г. Запорожье

ОСОБЕННОСТИ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ И МЕХАНИЗМА СПЛАВООБРАЗОВАНИЯ ТИТАНОВЫХ ПРЕССОВОК С АЛЮМИНИЕМ

Проведен комплексный анализ влияния параметров электролиза на механизм и структуру сплавообразования алюминия с титановыми прессовками. Установлено, что диффузионные процессы для неспеченных образцов более развиты, образование интерметаллида TiAl3 протекает при плотности тока 0,5-0,65 А/см2, а для спеченных 0,6-0,75 А/см2.

Введение

к высококачественным исходным материалам, многоСовременный уровень развития технического про- кратным повышением их стоимости, а также дефици-гресса во многом зависит от совершенствования тех- та. Наибольший процент брака приходится именно на нологии получения порошковых изделий. Особенно его долю. Вследствие его окисления или насыщаемо-это стало актуальным в связи с ограничением доступа сти азотом, появилась необходимость поиска новых

© С. А. Воденников, 2006

ISSN 1607-6885 Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2006 1 9