Сто лет развития новой физики. История квантовой теории

УДК 22.3

СТО ЛЕТ РАЗВИТИЯ НОВОЙ ФИЗИКИ. ИСТОРИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

© Б.З. Винокуров

Vinokurov B.Z. One Hundred Years’ Development Of New Physics. A History of Quantum Theory. It is assumed that Planck did not make the quantum hypothesis. It is supposed that introduction of discreteness into the radiation theory was necessary for him only to calculate the entropy of the oscillatory system according to Boltzmann's theory. But the expression for entropy obtained in this way excluded transition to uniform distribution which led to the acknowledgement of quantum existence. The discovery was due to the fact that Planck for unknown reasons used another equation to express the probability of system condition. It came from the classic theory. The suggested equation correlated with the quantum statistics and was indentical to that introduced by Bose for photon gas twenty five years later. It was the fact that predetermined the discovery of quantum.

Прошло ровно сто лет с того времени, когда были осуществлены, казалось бы, случайные и достаточно разрозненные открытия, положившие, однако, начало новому этапу в развитии физической науки, справедливо названные впоследствии "Революцией в физике".

В 1895 г., исследуя электрический разряд в разреженном воздухе, К. Рентген получил лучи, названные затем его именем. Год спустя, продолжая работы Рентгена, А. Беккерель наталкивается на явление радиоактивности, еще через год, в опытах с катодными лучами, Д.Д. Томсон открывает электрон. Параллельно и независимо от этих изысканий шло исследование теплового излучения. О. Луммер и В. Вин изготавливают модель абсолютно черного тела, что позволило, казалось, подтвердить справедливость формулы спектральной плотности излучения, предложенной Вином в 1896 г. Через три года Луммер и Э.Прингсгейм распространили исследования на область больших длин волн и обнаружили значительное отклонение от формулы Вина, а Г. Рубенс и Ф. Курльбаум выяснили, что при этом энергия излучения возрастает пропорционально температуре. Год спустя, в 1900 г. М. Планк и Д. Рэлей публикуют свои знаменитые формулы распределения энергии в спектре черного излучения. И та, и другая формулы не давали удовлетворительного решения. Формула Рэлея приводила к "ультрафиолетовой катастрофе", формула Планка, полученная полуэм-пирическим путем, нуждалась в теоретическом обосновании. Как свидетельствовал сам Планк, он осуществил это, обратившись к связи между энтропией и вероятностью, то есть к больцма-новскому ходу мысли,

Принято утверждать, что именно тогда им была выдвинута гипотеза дискретности состояний, в которых могут находиться излучающие

системы, то есть гипотеза квантов энергии, на самом же деле никакой гипотезы не предлагалось. Введение дискретности было лишь приемом расчета, приложимым к молекулярнокинетической теории и статистике Больцмана, атомистической по своему существу. Вероятно, Планк надеялся, совершив предельный переход, избавиться в дальнейшем от этой дискретности. Это общепринятый прием; и сейчас, при переходе от квазиклассического описания к классическому, добиваются или сокращения постоянной действия, так что она выпадает из формул, или просто полагают ее равной нулю. Однако соотношение, которое в конечном счете было получено Планком, в = /IV, такой переход исключало. Так, помимо воли его создателя, появился квант энергии. Планк сам признавал, что это было чисто формальное предположение, о котором он особенно и не размышлял, пытаясь получить положительный результат, чего бы это ни стоило. Лишь долгое время спустя он заключит, что квант действия играет фундаментальную роль в атомной физике, и с его появлением в физической науке наступила новая эпоха, требующая радикального преобразования физического мышления.

Открытие Планка вызвало довольно умеренный интерес среди других естествоиспытателей; если его формула и приводилась в известных курсах Друде, Винкельмана, Хвольсо-на, то только наряду с другими формулами излучения, о квантах нигде не упоминалось, хотя постоянную Планка и рассматривали как одну из универсальных величин.

В 1905 - 1906 гг. П. Эренфест публикует две работы по проблемам квантовой теории. Историки науки особо отмечают острую научную интуицию Эренфеста, его способность находить незаметные для других недосказанности

или неточности теории. Эренфест заключает, что использование Планком комбинаторного способа введения энтропии в термодинамическую теорию излучения вполне закономерно, но если гипотеза о равновероятном распределении энергии по резонаторам и соответствует теории Больцмана, то постоянной Планка в этой теории аналогов нет. Это было первое ясное указание на то, что гипотеза квантов энергии чужда классической физике.

А. Эйнштейн был пока первым и единственным ученым, который в своих работах по теории излучения (1905 - 1906) воспринял гипотезу квантов во всей полноте. С самого начала он выходит за пределы теплового излучения, обращаясь к экспериментальным данным по фотоэффекту, фотолюминесценции, ионизации газов, фотохимическим процессам и, наконец, к удельной теплоемкости, то есть к тем явлениям, которые не получили исчерпывающего объяснения их механизма в рамках волновой теории и принятой статистики. Квантовая же гипотеза позволяет получить такое объяснение, но в любой своей форме несовместима с классическими представлениями, отметил ученый.

В конце 1906 г. Эйнштейн завершает работу, где обращается к тории теплоемкости твердых тел. Классическая теория приводит к известному закону Дюлонга и Пти, который оказался лишь приближенно справедлив, особенно в области низких температур. Применив для энергии колебаний атома распределение Планка, Эйнштейн получил результат, достаточно хорошо представлявший экспериментальные данные; теория квантов получила тем самым подтверждение в различных, довольно далеко разнесенных разделах физической науки, настороженное отношение к ней было, наконец, преодолено, что и было отмечено на IV Международном математическом конгрессе в 1908 г.

Возможно, определенную роль сыграло появление специальной теории относительности Эйнштейна, в которой переоценивались и обобщались принципы классической физики и выявлялась ограниченность классической механики. И все же многие ученые и, прежде всего, сам Планк, не оставляли надежды истолковать все известные результаты исследований в рамках старой, классической физики.

Осенью 1911 г. в Брюсселе по инициативе В. Нернста и Планка собирается научный симпозиум, вошедший в историю науки как Первый Сольвеевский Конгресс, в котором приняли участие все ведущие физики, имевшие отношение к теме: "Излучение и кванты". Присутствовали также А. Резерфорд, М. Кюри, П. Ланжевен, М. Кнудсен и А. Пуанкаре. Участники не выработали окончательного решения, ибо, как отмечал Эйнштейн, теория еще не достаточно развита, но, вместе с тем, до конца были выявлены все затруднения новой теории, а главное, ею заинтересовался Пуанкаре. Непредвзятый взгляд математика позволил

ему высветить такие подробности, которые ускользали от внимания специалистов. Так, он стремился выяснить, насколько произволен подсчет комбинаций, использованный План-ком при определении числа возможных состояний осциллятора, как обобщается подсчет в случае систем со многими степенями свободы, попытался прогнозировать возможное изменение теории в случае обнаружения иных экспериментальных данных. В 1911-1912 гг. Пуанкаре опубликовал три работы по квантовой теории, где показал, что гипотеза квантов является не только необходимой, но и достаточной предпосылкой для вывода формулы Планка.

После работ Пуанкаре стало ясно, что построение любой новой теории без привлечения гипотезы квантов исключено, что и подтвердил Н. Бор своей теорией атома в 1913 г.

Тем не менее, Нобелевская премия Планку была присуждена только в 1918 г. Признание физической реальности квантов было медленным, постепенным процессом, на протяжении которого не было совершено каких-то сенсационных открытий, но справедливость теории неуклонно подтверждалась каждым новым явлением в физической науке.

Недоверие к квантам было вызвано самой формой суждений автора теории. Планк подчеркивал, что им использована идея Больцмана

о связи энтропии с вероятностью состояния системы, ссылался на согласие с выбранным "ходом мыслей" Больцмана, и одновременно сам он вынужден признать, что полученным на этом основании результатам нет места в теории Больцмана. Это отметил и Пуанкаре на Соль-веевском конгрессе: одна и та же теория опирается то на принципы старой механики, то на новые гипотезы, являющиеся отрицанием этой механики. Было вообще непонятно, как в статистической теории Больцмана могли возникнуть объекты, исключающие саму эту теорию. Однако подобные сомнения были заслонены эвристической силой новой теории: все противоречия, связанные с излучением, были разрешены, пусть теория и противоречива, и только наиболее тонкие умы - Эренфест и Пуанкаре -подошли к самой основе теории - к форме избранной Планком статистики.

Рассматривая систему N осцилляторов одинаковой частоты со средним значением энергии и каждого из них, Планк, вводя энтропию по Больцману, разбивает общую энергию N11 всех осцилляторов на Р равных друг другу малых порций энергии, так что N11 = Ре. . Каждый из способов распределения Р элементов энергии б по N осцилляторам он называет "комбинацией", отмечая при этом, в духе Больцмана, что две комбинации следует считать различающимися друг от друга, если соответствующие состояния содержат одинаковые числа частиц, однако расположенных в различном порядке. Из теории перестановок, соглас-

но Планку, получают для числа всех возможных комбинаций выражение

излучения, Планк нашел значения универсальных величин:

Ы(Ы + 1)(Ы + 2)---(М + Р - 1) (Ы + Р-1)!

1  2  3    Р

(N-1)! Р!

к = 6,6-10_34Дж-с; к= ІДЮ-^Дж-К-1; е= 1,56-10->9 Кл: 6,2-Ю23 .

Величина определяет число микроскопических способов осуществления данного макроскопического состояния, то есть является статистическим весом макросостояния, его вероятностью.

Согласно формуле Стирлинга

<2*-----------т—р—; х + р » 1-

к* рг

Энтропия распределения:

5 = к 1п 6

8 = к{(N + Р)1п(N + Р - N 1пЫ - Р1п Р\

Р и и

ыи = Р е; -ТТ=—; Р = Ы — N Е Е

і' = кИ

' и и и и

(1 + — )!п(1 + —)---1п —

Я Є ЕЕ

Для одного осциллятора

' и и и и

(1 + — )1п(1 + —)-------------1п —

Из закона Вина вытекает:

и

У = '¥(—).

Откуда следует: є ~ V; є = йу

и

(1 + —) 1п( 1 + —) - — 1п — Ну Ну Иу Ну

Дифференцируя 5 по II, Планк получил:

Но формула вероятности распределения, использованная Планком, не была больцманов-ской, что и отмечали его современники. Распределение Больцмана имеет вид:

ыг

<2 = -рт; е =

Рге

Энтропия распределения:

и ЄЕ

S = кМ — Ы — .

£ і!

Для одного осциллятора

и и

5 = -к — 1п —.

Е Є?.

Дифференцируя по II, получим:

кТ

и

= 1п —.

Полагая, по Планку, г = йу, получим среднее значение энергии осциллятора

/IV

и = Иуе кт - распределение Вина.

Таким образом, к световым квантам формально приложима статистика Больцмана, но в результате получается распределение Вина. Это заключение было получено Ю. Крутковым в 1914 г.

Итак, открытие квантов было обусловлено тем, что Планк использовал иную формулу для выражения вероятности распределения энергии по осцилляторам, чем это требовалось теорией Больцмана. Число комплексий Планка есть не что иное, как число сочетаний из (Л^ + Р - 1) элементов по (И- 1) членов.

1 к Ну ч

т^1п

Среднее значение энергии осциллятора: Ну

и

/IV

екТ _ і

- распределение Планка.

Основываясь на экспериментальных измерениях распределения энергии в спектре черного

Но входящие в сочетание элементы не различаются между собою и, следовательно, формула Планка относилась к тождественным, неразличимым частицам, а это является отличительной особенностью квантово-механических частиц.

Примечание Планка о том, что кванты энергии как-то можно различать, есть лишь словесная дань классическим представлениям.

Неклассической была сама система Р квантов, распределенных по N осцилляторам, так как

Р»Ы; Р/Ы» 1; п » 1,

тогда как в больцмановской статистике среднее значение чисел заполнения много меньше единицы, сама же формула Планка есть не что иное, как выражение вероятности состояния, найденное Бозе в 1924 г. для квантового газа, обобщенное Эйнштейном на частицы с нулевым или целочисленным спином. Вот это и есть истинная находка Планка: квантовая статистика предложена и использована в год рождения Д. Уленбека, за четверть века до того, как им было введено понятие спина.

Едва ли Планк не видел, что используемая им формула выражает сочетание и поэтому относится к неразличимым между собою объектам; это его не остановило, ибо он также видел, что и классическая статистика непоследовательна: все частицы считаются различимыми, поэтому любая перестановка даже двух частиц приводит к новому состоянию. Однако состояния, отличающиеся друг от друга лишь перестановкой частиц, объявляются тождественными и учитываются только один раз. В одинаковых состояниях частицы неразличимы.

Разделение статистик на классическую и квантовую достаточно условно: правила

подсчета вероятностей в той и другой одинаковы - это правила комбинаторики, но объекты счета - частицы - обладают различной природой. Классические частицы, хотя они и идентичны, различимы друг от друга, и потому свободны, не взаимодействуют друг с другом. Квантово-механические частицы тождественны, неразличимы и потому подвержены взаимодействию обменного характера, определяемого типом спина. В соответствии с этим в классической физике используются чистые перестановки или перестановки с повторениями, в квантовой - сочетания с наложением дополнительных ограничений. Эта связь между природой частиц и формой комбинаторики настолько тесна, что одно определяет другое: стоило Планку употребить формулу Бозе - и появились кванты. Бозе лишь повторил расчеты Планка с учетом последующих уточнений.

Универсальность законов статистики сказывается в том, что формулы распределения частиц по энергиям подчинены, в общем, единому закону (численные коэффициенты опущены).

Статистика Максвелла-Больцмана

йп

&

[кТ)

3/2 е-ц

й?.

статистическии вес

N ! '

IV

Статистика Бозе-Эйнпггейна £

йп

пґ

иЗ

екТ

статистический вес

(в + М-р,

N1(0-1)! '

Статистика Ферми-Дирака «,*/2 &

с1п

иЗ

е кТ + і

- с!у.

статистическии вес С!

IV =

Функции распределения в классической и квантовой статистиках могут быть выражены единой формулой:

1

Є-Ц

,~кТ

Для распределения Максвелла-Больцмана ст = 0, ддя распределения Ферми-Дирака

сг = +1, для распределения Бозе-Эйнпггейна ст = -1, ц - химический потенциал системы. Для излучения ц = 0; г. = тс2. Число фотонов, обладающих энергией от е до е + <к. в единице объема

йп

/IV

,~кТ

-<Ь/ .

1

Спектральная плотность энергии черного излучения

р( V, Т)йу -

Ну

/IV

,кТ

-йу.

В предельном случае, при малых частотах: Ау << кТ, формула Планка дает распределение Рэлея-Джинса, при больших частотах - распределение Вина.

Неизвестны мотивы, которыми руководствовался Планк, обращаясь к формуле Бозе. Содержание беседы его с Пуанкаре не опубликовано (да и зафиксировано ли оно?). В своих работах Пуанкаре без возражений принимает формулу Планка для статистического веса и дополнительному исследованию ее не подвергает. Комментаторы Планка также не фиксируют на этом внимания, лишь Я.Г. Дорфман в своей "Всеобщей истории физики" отмечает,

что Планк использовал иную формулу, чем Больцман, но этим и ограничивается.

В одной из ранних работ Планка встречается рассуждение о распределении квантов энергии по резонаторам, аналогичное тому, которое употребляется при подсчете распределений квантовых состояний по ячейкам фазового пространства: Планк сопоставляет два ряда чисел N = 10 Р = 100

И: 123456789 10

Р: 7 38 11 0 9 22 0 4 4 5,

откуда и получает значение

(Ы + Р -1)! и (И-1)!РГ

Но не исключено, что это не изначальное суждение, но перенесенное на прошлое воззрение, выработанное в более поздние годы и внесенное в текст при последующей редакции. Вопрос остается открытым.

Для более детального знакомства с проблемами, затронутыми в этой статье, можно воспользоваться литературой [1 - 6].

ЛИТЕРАТУРА

1. Планк М. Избр. труды. М.: Наука, 1975.

2. Планк Макс. Сб. к столетию со дня рождения Макса Планка. М.: Изд-во АН СССР, 1958.

3. Пуанкаре Л. Избр. труды. М.: Наука, 1974. Т. 3.

4. Эйнштейн А. Собр. научн. трудов. М.: Наука, 1996. Т. 3.

5. Франкфурт У.И., Френк А.М. У истоков квантовой теории. М.: Наука, 1975.

6. Журнал русского физико-химического общества (ЖРФ-ХО), 1914. Т. 46. Вып. 1.

Поступила в редакцию 4 декабря 1996 г.