Исследование фрактальных свойств радиосигналов

УДК 621.396

Д. В. Степанов, А. В. Кузовников ИССЛЕДОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНЫХ СВОЙСТВ РАДИОСИГНАЛОВ

Проведена оценка фрактальных свойств радиосигналов. Показано, что для классификации входных сигналов можно использовать такие параметры, как корреляционная и фрактальная размерности, корреляционная энтропия и показатель Херста. Экспериментально определены диапазоны изменения фрактальных параметров для сигналов с различными видами модуляции.

Ключевые слова: цифровая обработка, фрактальные свойства, классификация входных сигналов.

Интенсивное развитие средств связи и отсутствие эффективных средств контроля радиочастотного спектра приводят к образованию различного рода взаимных помех. Для разрешения проблемы частотного регулирования необходимы эффективные системы контроля радиоэлектронной обстановки. Существующие системы радиомониторинга [1] требуют участия опытного оператора и не могут работать в автоматическом режиме. Развитие методов цифровой обработки и элементной базы позволяет начать разработку автоматических систем радиомониторинга, не требующих участия оператора.

По мнению авторов, стройная теория автоматическо -го обнаружения и классификации случайных сигналов пока отсутствует. Данная работа направлена на исследование фрактальных свойств радиосигналов. Интерес к фрактальному анализу обусловлен тем, что такой вид обработки позволяет оценить интегральные характеристики сигналов, которые не зависят от момента прихода и рассчитываются для всей длительности сигнала.

Проведенные исследования демонстрируют возможность использования фрактальной обработки в качестве одного из признаков при классификации входных сигналов в автоматической системе радиомониторинга. Наиболее значимым результатом, полученным при этом, является определение диапазонов изменения фрактальных параметров для сигналов с различными видами модуляции.

Корреляционная размерность. Определение корреляционной размерности - один из наиболее широко используемых методов оценки размерности любого аттрактора.

Чтобы определить корреляционную размерность Б , необходимо сначала рассчитать корреляционный интеграл Сг [2], поскольку он пропорционален Бг согласно степенному закону:

Сг ¥ ,

Сам же корреляционный интеграл определяется с помощью следующего выражения:

1 NN

X 0

С, =-

рой, а в двухмерном - окружностью. Далее центр гиперсферы последовательно перемещается от точки к точке вдоль аттрактора, а функция Хэвисайда подсчитывает ко -личество точек, которые попали в область гиперсферы (рис. 2). Корреляционный интеграл для гиперсферы выбранного радиуса г будет вычислен тогда, когда для каждой точки аттрактора будет вычислена функция Хэвисайда.

Рис. 1. Трехмерный аттрактор Лоренца

N ( N - 1) Ь 1=1; 1 „ где 9 - функция Хэвисайда; г - радиус ^мерной гиперсферы, центр которой будет совпадать с каждой точкой в пределах аттрактора.

Графический подход к оценке корреляционного интеграла является более наглядным (рис. 1).

Сначала выбирается одна любая точка, принадлежащая аттрактору. Затем гиперсфера выбранного радиуса г помещается в эту точку так, как показано на рис. 1. В трехмерном пространстве гиперсфера будет просто сфе-

Рис. 2. Функция Хэвисайда

Для вычисления корреляционной размерности Б необходимо оценить корреляционные интегралы Сг для гиперсфер различных радиусов. Следовательно, дальнейшим шагом является увеличение радиуса гиперсферы и повторение алгоритма.

Первоначально размер гиперсферы выбирается настолько малым, что ни одна другая точка в ее область не попадает, а затем размер гиперсферы увеличивается до тех пор, пока абсолютно все точки не окажутся в ее области.

Алгоритм вычисления корреляционного интеграла для конкретного аттрактора [3] показан ниже (рис. 3).

где — - нормированный размах; N - число наблюдений;

5*

а - константа; Н - показатель Херста. Прологарифмируем это соотношение:

log [RR 0)=h (log (a)+log (n )).

R

Рис. 3. Алгоритм расчета корреляционного интеграла

Показатель Херста. Способ для исследования фрактальных временных рядов был предложен Б. Мандельбротом [4]. Этот способ базируется на исследованиях, проведенных английским исследователем Херстом, и носит

название —метода. Он построен на анализе размаха

5

параметра (его наибольшего и наименьшего значения на изучаемом отрезке) и среднеквадратичного отклонения.

Предложенная Херстом новая статистика - показатель Н - широко применяется в анализе временных рядов благодаря своей устойчивости. Этот показатель содержит минимальные предположения об изучаемой системе и может классифицировать временные ряды, отличив случайный ряд от неслучайного, даже если случайный ряд не гауссов, т. е. не нормально распределенный.

Для калибровки временных измерений было введено безразмерное отношение посредством деления размаха на стандартное отклонение наблюдений. Этот способ анализа стал называться методом нормированного размаха,

или ^ -анализом. Херстом было показано, что большинство естественных явлений, включая речные стоки, температуры, осадки, солнечные пятна и т. д., следуют смещенному случайному блужданию - тренду с шумом. Сила тренда и уровень шума могут быть оценены по тому, как изменяется нормированный размах со временем.

Основываясь на исследованиях Херста, введем следующее соотношение:

Найдя наклон ~ как функцию от N в двойных логарифмических координатах, мы получим оценку H. Эта оценка не связана с какими-либо предположениями относительно лежащего в основе распределения.

Имеются три различных классификации для показателя Херста [3]:

- значение Н = 0,5 указывает на случайный ряд, когда события случайны и не коррелированны;

- диапазон 0 < H < 0,5 соответствует антиперсистен-тным, или эргодическим, рядам. Такой тип системы часто называют «возврат к среднему». Если система демонстрирует рост в предыдущий период, то, скорее всего, в следующем периоде начнется спад. И наоборот, если шло снижение, то вероятен близкий подъем. Устойчивость такого антиперсистентного поведения зависит от того, насколько H близок к нулю. И наоборот, чем ближе показатель Херста к 0,5, тем более некоррелирован и случаен рассматриваемый ряд;

- диапазон 0,5 < H < 1 соответствует персистентным рядам. Если ряд возрастает (убывает) в предыдущий период, то вероятно, что он будет сохранять эту тенденцию какое-то время в будущем. Сила персистентности увеличивается при приближении H к 1, или 100%-й корреляции. Чем ближе H к 0,5, тем более зашумлен ряд и тем менее выражен его тренд. Персистентный ряд - это обобщенное броуновское движение, или смещенные случайные блуждания. Сила этого смещения зависит от того, насколько H больше 0,5.

Эмпирический закон Херста. Херстом была предложена следующая формула для оценки величины H по зна-R

чению —:

S

H=iog

где N - количество наблюдений. В этой формуле предполагается, что константа а из соотношения

log^R0| = H(log(a) + log(N)) равна 0,5.

Федером было показано, что этот эмпирический закон имеет тенденцию увеличивать H, когда он больше 0,7, и, наоборот, уменьшать, если H < 0,4, однако для коротких рядов, где регрессия невозможна, этот закон может использоваться как разумное приближение.

Показатель Херста может быть преобразован во фрактальную размерность с помощью следующей формулы:

D = 2 - H.

Таким образом, если H = 0,5, то D = 1,5. Обе величины характеризуют независимую случайную систему, при этом величина 0,5 < H < 1 будет соответствовать фрактальной размерности, более близкой к кривой линии. Это персистентный временной ряд, который дает более гладкую, менее зазубренную линию, нежели слу-

З6

чайное блуждание. Антиперсистентная величина 0 < H < 0,5 соответствует более высокой фрактальной размерности и более прерывистой линии, чем случайное блуждание, и, следовательно, характеризует систему, более подверженную переменам.

Авторами данной статьи была предпринята попытка классификации различных сигналов с помощью показателей фрактальной теории оценивания. Наряду с определением фрактальных параметров, сигналы подвергались различного рода преобразованиям, таким как вейвлет-преобразование и добавление в сигнал аддитивного белого гауссового шума (АБГШ) различных отношений сигнал/шум.

Для рассмотрения были выбраны сигналы, модулируемые по следующим законам [5]: BPSK, QPSK, 8PSK, 16QAM, ASK, FSK.

Имеющиеся результаты позволяют сделать вывод о возможности классификации различных сигналов с помощью полученных значений корреляционной размерности и энтропии.

Согласно рис. 4, в отсутствии шума сигналы определяются с достаточной степенью точности. Однако при добавлении даже малейшего шума величина разброса значений значительно увеличивается, а само усредненное значение перемещается в область более высоких значений соответствующего параметра, что уменьшает вероятность правильного обнаружения входного сигнала. Очевидно, что для повышения значений этого параметра необходимо использовать дополнительную обработку сигнала.

Оценка влияния количества измерений на величину значений корреляционной размерности и корреляционной энтропии. При проведении исследований было выявлено, что при большом количестве измерений величины А и К имеют определенный разброс своих значений, однако стремятся к среднему. Это объясняется подчинением значений этих величин центральной предельной теореме, которая говорит о том, что при суммировании достаточно большого числа равномощных статистически независимых случайных величин, имеющих произвольные плотности распределения вероятности, плотность распределения суммы стремится к нормальной.

Результаты определения оптимального количества измерений Бг и К для БР8К при различном уровне шума (рис. 5) показывают, что при десяти и более измерениях как для БР8К, так и для других сигналов (не представленных на данном графике), фрактальный анализ дает результаты с хорошей степенью точности даже при наличии в сигнале АБГШ.

Анализ влияния вейвлет-преобразования на вероятность правильного обнаружения радиосигналов. В ходе исследования также было рассмотрено влияние вейвлет-преобразования [6] на рассматриваемые сигналы, которое заключается в том, что после осуществления над сигналом вейвлет-преобразования разброс значений корреляционной размерности вокруг среднего сильно уменьшается (рис. 6). Это свидетельствует о повышении вероятности правильного обнаружения сигнала.

Важной особенностью также является то, что наличие в сигнале даже сильного АБГШ практически никак

Рис. 4. Оценка корреляционной размерности и энтропии сигналов с АБГШ различных отношений сигнал/шум и без него

не влияет на разброс значений и вероятность правильного обнаружения, и то, что разброс значений для всех рассматриваемых сигналов практически одинаков, т. е. вид модуляции сигнала после вейвлет-преобразования почти не влияет на разброс фрактальных параметров.

В дальнейшем планируется исследование механизмов вейвлет-обработки сигналов (уровня разложения, видов вейвлетов), а также возможности использования результатов вейвлет-разложения в качестве дополнительного признака для создания автоматической системы радиомониторинга.

Оценка показателя Херста и фрактальной размерности. Значения этих показателей приведены в таблице:

Диапазон полученных значений показателя Херста (и, соответственно, фрактальной размерности благодаря формуле В = 2-Н) лежит в пределах 0<Н<0,5 (рис. 7). Как уже было отмечено выше, данный диапазон соответствует антиперсистентным, или эргодическим, рядам.

Исходя из вышесказанного, можно заключить, что наибольшей предсказуемостью обладает сигнал с двоичной фазовой манипуляцией, сигнал с квадратурной фазовой манипуляцией имеет меньшую предсказуемость, а наиболее случайным является сигнал с 8Р8К. Отсчеты сигнала с 16РЛМ, который можно отнести к широкополосным, обладают наибольшей некоррелированностью.

Вид модуляции Показатель Херста Фрактальная размерность

ЕБК 0,097 18 1,902 82

ЛБК 0,248 40 1,751 60

БРБК 0,008 70 1,991 30

дРБК 0,135 74 1,864 26

8РБК 0,140 98 1,859 02

ібдлм 0,194 98 1,805 02

Таким образом, в данной статье была получена оцен- Проведенное моделирование является важным эта-

ка фрактальных свойств радиосигналов. Показано, что пом в формировании пространства признаков для повы-

фрактальную обработку можно использовать для клас- шения вероятности правильного обнаружения случай-

сификации входных сигналов. Проведенные исследова- ных сигналов. Полученные результаты необходимо ис-

ния позволили определить диапазоны изменения фрак- пользовать при создании автоматических систем радио-

тальных параметров для разных типов сигналов. Проана- мониторинга. Дальнейшей задачей является расширение

лизирована возможность использования вейвлет-преоб- и формирование полного пространства признаков, кото-

разования для уменьшения диапазона изменения фрак- рое позволит создать систему автоматического обнару-

тальных свойств радиосигналов. жения случайных сигналов.

Рис. 5. Определение оптимального количества измерений Бг

Библиографические ссылки

1. Рембовский А. М., Ашихмин А. В., Козьмин В. А. Радиомониторинг: задачи, методы, средства. М. : Горячая линия - Телеком, 2006.

2. Li I. Non-Linear Dynamical Modeling of Epileptic Seizure : final project rep. / The Univ. of Auckland. Auckland, New Zealand, 2004.

3. Вычисление корреляционной размерности временного ряда котировок валют // Проектирование научных и

инженерных приложений в среде MatLab : тр. II науч. конф. С. 688-695.

4. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы / Ин-т компьютер. исслед. М., 2002.

5. Manassah J. T. Elementary mathematical and computational tools for electrical and computer engineers using MatLab. New York : CRC Press LLC, 2001.

6. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов : пер. с англ. М. : Мир, 2005.

Рис. 6. Корреляционная размерность сигналов после вейвлет-преобразования

Рис. 7. Показатель Херста рассматриваемых сигналов с АБГШ различных отношений сигнал/шум и без него

D. V Stepanov, A. V. Kuzovnikov RESEARCH OF FRACTAL PROPERTIES OF RADIOSIGNALS

In this job the estimate offractal properties of radiosignals is made. It’s displayed that such parameters as correlative andfractal dimensions, correlative entropy and Hurst’s index can be usedfor classification ofinput signals. Experimentally ranges of a modification offractal parameters for signals with different types of modulation are defined.

Keywords: digital processing, fractal properties, classification of input signals.

© Степанов Д. В., Кузовников А. В., 2010