Поля плоскостей, параллельные в нормальных связностях S-распределения

Список литературы

1. Шевченко Ю. И. О структурных уравнениях проективной группы // Диф. геом. многообр. фигур. Вып.31. Калининград, 2000. С. 93—100.

2. Белова О. О. Связность в расслоении, ассоциированном с грасс-маноподобным многообразием центрированных плоскостей // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Вып. 5 (52). Чебоксары, 2006. С. 18—20.

3. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н.М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. М., 1979. Т. 9.

4. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

5. Белова О. О. Связность 2-го типа в расслоении, ассоциированном с грассманоподобным многообразием центрированных плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Вып.38. Калининград, 2007. С. 6—12.

O. Belova

BUNCH OF CONNECTIONS OF THE 1ST TYPE INDUCED

BY THE ANALOG OF NORDEN'S NORMALIZATION OF GRASSMAN-LIKE MANIFOLD OF CENTERED PLANES

Grassman-like manifold of centered planes is considered in the projective space. A fundamental-group connection is given in the principal bundle. It is proved, that analog of Norden's normalization induces bunch of connections of the 1st type.

УДК 514.75

С. Ю. Волкова

ПОЛЯ ПЛОСКОСТЕЙ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ В НОРМАЛЬНЫХ СВЯЗНОСТЯХ S-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Выясняются аналитические и геометрические признаки полей плоскостей, параллельных в нормальных связно-стях S-распределения [1], оснащенного в смысле Нордена — Картана [1—2] и Нордена — Бортолотти [3—5].

Ключевые слова: нормальная связность, распределение, подрасслоение, поле плоскостей, оснащение.

Дифференциальная геометрия многообразий фигур Схема использования индексов такова:

а, 3 = m +1, п —1; и, V = г +1, п -1; и, V = г +1, п;

p,ц,^ = 1,г; /, у, к = г +1,т; ^ = 0;1; £ = 0;15; I = т - г.

Пусть на оснащенном в смысле Нордена — Картана и Нор-дена — Бортолотти 8-распределении задано поле к-мерных (к < п — г) плоскостей Ык , каждая из которых проходит через соответствующий центр А распределения и лежит в соответствующей нормали 1-го рода: Ык(А)) с Ып—г(Ао).

Определение [6]. Поле к-мерных плоскостей Ык(А)) на-

00

зывается параллельным в нормальной связности V ^, если при инфинитезимальном перемещении точки А вдоль любой кривой Л

л и;= о, с*р=мрв, ов = влв00,

-рр

принадлежащей базисному Л-подрасслоению 8-распределе-ния, смещение к-мерной плоскости Ык (А0) происходит в (к+г)-мерной плоскости Ык+г = [Л(А), Ык(А0)].

Если Ы[(А) — гладкое поле одномерных направлений [ АМ], принадлежащее полю Ып—Г(Ад), то точка Мимеет разложение

М = А + ¿А + хаАа + хпХп ,

где хп = Ап + УрАр + ЛипАи и не все хи одновременно равны нулю. При хп = 0 это поле одномерных направлений [ АМ] принадлежит полю характеристик Фп—г—¡(Ад), при х' = хп = 0 — ^-распределению, при ха = хп = 0 — ¿-распределению, а при хи = 0 совпадает с полем инвариантных прямых [А, ^п].

Аналитическое условие параллельности поля одномерных

00

направлений N = [ A M] в нормальной связности V -1- дано в работе [6]:

00 00

dx* + x* в*-x* x* в0* = x* в

Аналогично условию (3) будем считать, что поле плоскостей

Ss

Nfc с Nn _r параллельно в нормальной связности V — , если выполняются условия:

Ss Ss

dx" + x* в"- xpx* во = x"e

Условия (4) в силу равенств [5, ф. (17) — (18)]

00

вп= 0

тождественно выполняются при xn = 0 , поэтому поле характеристик Фп_r-i S-распределения параллельно в каждой нор-

Ss

мальной связности V — .

Из соотношений (4) следует, что поле инвариантных прямых [Aq, ^n] (xp = 0) параллельно в нормальной связности

Ss

V — тогда и только тогда, когда имеют место равенства [3]:

Ss def

вп= 0

Если положить x1 = xn = 0 в соотношениях (4), то получим

Ss

в1а = 0

то есть поле ^-плоскостей параллельно в нормальной связно-

Ss

сти V -. В силу соотношений (1) [5, ф. (3), (17), (18)] условия (7) равносильны следующим:

< = 0

Условия (8) выполняются, если:

1) ^-распределение несет двухкомпонентную сопряженную систему (Л, х) [1];

2) распределение ¥(х) взаимно [3];

3) S-распределение представляет собой (l +1 ^параметрическое семейство тангенциально вырожденных гиперполос

Hrn-l-1 [1].

Аналогично поле плоскостей L параллельно (при

Ss

хр = хп = о) в каждой нормальной связности V — тогда и только тогда, когда

Ss

вр= 0

Условия (9) выполняются, например, когда:

1) М-подрасслоение несет двухкомпонентную сопряженную систему (Л, L) [1];

2) распределение M(L) взаимно [3];

3) S-распределение представляет собой (п-т)-парамет-рическое семейство тангенциально вырожденных гиперполос Hrm [1].

Учтем, что S-распределение оснащено в смысле Нордена — Бортолотти. Нормаль 2-го рода Nr-1 можно определить [3] как пересечение п — r +1 гиперплоскостей

#0 = Hn—1, S, Лп = Sn—лп у%Sp+лп лоSv, где Sj — элементы тангенциального репера.

По аналогии с соотношениями

Ss

будем называть параллельным в нормальной связности V -1-, если выполняются условия:

Ss Ss

dx~ + х~ х~х~ в ~= х"в

где xp — коэффициенты разложения проходящей через нормаль 2-го рода Nr _1 гиперплоскости j

U = %0 + xp^p + xnVn .

Так как характеристика Фп _r_1(A}) и плоскость Л(А]) двойственны по отношению друг к другу, то поле r-мерных плоскостей базисного Л-подрасслоения параллельно в каждой нор-

Ss

мальной связности V — .

Из соотношений (10) получаем, что аналитическое условие

Ss

параллельности в связности V — поля инвариантных (n - 2 )-мерных плоскостей [^0, ^n], каждая из которых содержит соответствующую нормаль 2-го рода Nr _1, эквивалентно равен-

Ss

ству нулю форм evn [3]:

Ss def

evn= 0

Учитывая, что характеристика ¥n_[_1(A}) и плоскость Lm _r(Аз) двойственны по отношению друг к другу, поле

Ss

плоскостей в каждой нормальной связности V — параллельно тогда и только тогда, когда [5, ф. (3), (17), (18)]

Ss _

в n= 0

Аналогично, учитывая, что характеристика xn_m_1(A}) и плоскость M(А}) двойственны, поле m-мерных плоскостей М

Ss

параллельно в каждой нормальной связности V тогда и только тогда, когда

Ss _

вр= 0

Резюмируя полученные результаты, получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Поле Ь-плоскостей (М-плоскостей) переносится

8е §е

параллельно в каждой нормальной связности V 1 (V 1) тогда и только тогда, когда выполняются условия (9) [(14)], которые имеют следующую геометрическую интерпретацию:

1) М-подрасслоение несет двухкомпонентную сопряженную систему (Л, Ь);

2) М(Ь)-подрасслоение взаимно;

3) Б-распределение представляет собой (п-т)-параметрическое семейство тангенциально вырожденных

гиперполос Нгт.

Теорема 2. Поле )-плоскостей (Ч-плоскостей) переносится

8е 8е

параллельно в каждой нормальной связности V 1 (V 1) тогда и только тогда, когда выполняются условия (8) [(13)], которые имеют следующую геометрическую интерпретацию:

1) Ч-подрасслоение несет двухкомпонентную сопряженную систему (Л, х);

2) Ч(х)-подрасслоение взаимно;

3) Б-распределение представляет собой (I +1 )-параметри-ческое семейство тангенциально вырожденных гиперполос И1п—^—1.

Список литературы

1. Волкова С. Ю. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов 8-распределения. Деп. в ВИНИТИ РАН, 2001. №343-В2001.

2. Волкова С. Ю. Нормальные связности на 8-распределении, ассоциированные с базисным Л-подрасслоением // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Вып. 5. Чебоксары, 2006. С. 20—26.

3. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий: монография. Чебоксары, 1994.

4. Волкова С. Ю. Двойственные нормальные связности на 8-под-расслоении, ассоциированные с базисным Л-подрасслоением // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 38. Калининград, 2007. С. 17—27.

5. Волкова С. Ю. Введение нормальных связностей на S-распре-делении // Там же. Вып. 36. 2005. С. 18—25.

6. Столяров А. В. Двойственные нормальные связности на регулярной неголономной гиперполосе // Изв. НАНИ ЧР (физ.-мат. науки). 1996. № 6. С. 9—14.

S. Volkova

PLANE FIELDS PARALLEL IN NORMAL CONNECTIONS OF S-DISTRIBUTION

Analytical and geometrical signs of fields of plane parallel in normal connections of S-distributions are found out.

УДК 514.75

С. Ю. Волкова, Ю. И. Попов

ПОЛЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ОХВАЧЕННЫХ ОБЪЕКТОВ КООСНАЩЕННОЙ ГИПЕРПОЛОСЫ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

Приведено задание нормально Б-кооснащенной гиперполосы 'Нт в репере 1-го порядка Я1 и доказана теорема существования гиперполосы Нт. Построены поля плоскостей Нордена — Тимофеева [4] и поля геометрических объектов в дифференциальных окрестностях 2-го и 3-го порядков гиперполосы *Нт.

Ключевые слова: регулярная гиперполоса, форма, многообразие, нормаль, геометрический объект, квазитензор, тензор, дифференциальное уравнение.

В данной статье используется следующая схема индексов:

i,j,k = 1,m ; I,J,K = 0,n ; a,p,y = m + 1,n -1 ; 5 = m - r ;

â,p,y = m + 1,n ; p,q,r,s,t = 1,s ; a,b,c,d,e,f = s + 1,m .