Компьютерный анализ устойчивости линейных дифференциальных уравнений с нелинейной добавкой применительно к фазовой автоподстройке частоты

УДК 517.91: 518.1

компьютерный анализ устойчивости линеиных

дифференциальных уравнений с нелинейной добавкой применительно к фазовой автоподстройке частоты

© 2010 г. Я.Е. Ромм, С.Г. Буланов

Таганрогский государственный педагогический институт

Taganrog State Pedagogical Institute

Изложен метод компьютерного анализа устойчивости по Ляпунову решений систем линейных дифференциальных уравнений с нелинейной добавкой. Критерии устойчивости строятся на основе преобразований схем численного интегрирования и прилагаются к моделированию устойчивости цифровой системы фазовой автоподстройки частоты. Приводится обоснование критериев, программные коды, результаты численного эксперимента.

Ключевые слова: компьютерный анализ устойчивости; разностные решения дифференциальных уравнений; система фазовой автоподстройки частоты.

The method of the computer stability analysis on Lyapunov of systems' solutions of the linear differential equations with the nonlinear additive is stated. Stability criteria are based on the transformation of numerical integration schemes and are applied to the modeling stability of digital system of phase autofrequency trim. The substantiation of criteria, program codes, results of numerical experiment are resulted.

Keywords: the computer stability analysis; numerical array of solutions of differential equations; system of phase autofrequency trim.

Постановка вопроса

Анализ устойчивости по Ляпунову требуется выполнять при решении многих задач механики, теории автоматического регулирования и управления. В этих областях широко используется вычислительная техника, применение которой требуется согласовать с анализом устойчивости, зачастую в режиме реального времени. Ниже представлена схема компьютерного анализа устойчивости для случая линейных систем дифференциальных уравнений с нелинейной добавкой. Анализ прилагается к системе фазовой автоподстройки частоты корректирующих фильтров высокочастотных шумов. Постановка вопроса формализуется следующим образом. Пусть рассматривается задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

1) \\A (t )|| < c , c = c (T) = const;

2) производные функций фk(t, Y(t)), фk (t, Y(t)),

n

Фk(t, Yi) = ^ akj (ti)yp + fk (ti, Yt ^ k = n , °гра-

j=1

ничены общей константой: | ф^ (t, Y(t)) | < c1, (t, Y (t ))| < c1, c1 = c1( T) = const. Эти же условия предполагаются выполненными для каждого возмущённого решения Y= Y (t) системы (1), соответствующего возмущённому начальному вектору Y (t0) = Y0, удовлетворяющему условию

Ко - Yo ^

5> 0.

dY

— = A(t)Y + F(t, Y), dt

Y (to) = Yo.

Пусть R обозначает область, включающую множество всех решений задачи (1) при начальных значениях, удовлетворяющих (2),

R :{ to < t <да; Y( t), Y( t): Yo - Y„ <5 }

Предполагается, если не оговорено иное, что для (1) выполнены все условия существования и единственности решения на [ t0, да). Элементы матрицы A (t) и нелинейной функции F (t, Y) определены, непрерывны и непрерывно дифференцируемы на отрезке [ t0, T ], при любом выборе T = const,

T е[t0, да) ; Y(t0) = Y0 - заданный начальный вектор.

В данных условиях для V T е [ t0, да ) на отрезке [ t0, T ] выполнено:

В области (3) требуется исследовать решение задачи (1) на устойчивость в смысле Ляпунова [1], разработать схему компьютерного анализа устойчивости, на этой основе реализовать приложение схемы к системе фазовой автоподстройки частоты корректирующих фильтров высокочастотных шумов.

Условия устойчивости на основе преобразования разностных схем

Анализ устойчивости конструируется с помощью преобразования разностной схемы решения системы (1). Для определенности в качестве разностной схемы

рассматривается метод Эйлера, который для приближённого решения системы (1) имеет вид

Y+ = Y + hA (ti) Y + hF(ti, Y) , i = 0,1,...

или

Y+1 = B

где B(ti) = E + hA(ti), h - шаг разностной схемы, узлы которой здесь и всюду ниже предполагаются равноотстоящими и при любом выборе T = const, T е [ t0, ж) , h и i всегда предполагаются связанными соотношениями, заимствуемыми из [2, 3]:

T - , А =

ti+1 t0 i+1

i - 0,1,...

Y+1 - Yi+1 - Pi ( Y0 - Y0 ) + DEi + SEi

где Р, = П B (ti_l), = E П B( t._i) h Фr_! + h Ф,,

l=0 r=1l=0

= E Г[В(t._i)©£r_i +©.

r=11=0

Переходя в (6) к пределу при h ^ 0, что равносильно i ^ ад, получим

Y

i -^ад i -^ад i -^ад

Имеет место

Лемма 1 [4]. В рассматриваемых условиях выполняется соотношение 11 SEi || = O( h). В тех же условиях

lim SE, - 0 .

h^o El

Согласно (8) соотношение (7) примет вид

Y

Вывод необходимых и достаточных условий устойчивости (и асимптотической устойчивости) решения задачи (1) строится в предположении, что устойчива (асимптотически устойчива), соответствующая (1) линейная система ОДУ. Критерии устойчивости и асимптотической устойчивости такой системы имеют вид [2, 3, 5]:

lim P,

i

< cE - const, Vt е[ t0, »).

lim P,

i

^ 0 , при t ^ » .

Предположим, что решение задачи (1) устойчиво. Тогда для Vë > 0 35 > 0, такое что лишь только выполняется неравенство 70 - 10 <5 , то

Для возмущённого решения системы (1) соотношение (4) переходит в соотношение

1+1 = В( ^+ hF(ti,1. ),

где 1(t0) = 70, 70 из (2), 1+1, также как и 1(t) удовлетворяет (3).

Разность между возмущённым и невозмущённым решением (1), с учетом остаточного члена метода Эйлера на каждом шаге, имеет вид точного равенства [4]: _

?м -1+1 = В

где ф. (^, 1,1) = F(^, 1)-F(^, 1), | ©е. | < 2. Ниже полагается, что Ф. = Ф. (ti, 1,1).

Для системы (1) рекуррентное преобразование (5) влечет равенство

| Y (t)-Y(t)|| < 2, Vt е [t0, »).

С учетом (9) и в соответствии с (12) с необходимостью выполняется неравенство

lim P (Y0 - Y0) + lim De,

< 2, Vtе [t0, ») .

Из (12) следует

lim D

Ei

lim P,

e < —

Выбирая 5 --, получим, что

2 c,.

lim P

e < —

Отсюда и из (13) следует, что

lim D

Ei

< — или 2

lim D

Ei

< e, Vt е [ t0, » ) .

Условие (14) - необходимое условие устойчивости. Докажем, что это же условие является достаточным.

Из (9) limDEl = Y(t)_Y(t)_ limPl (Y0 _Y0). По-

этому

Y (t) - Y (t) <

lim Pi

i

Y0 - Y„ +

lim D

Ei

Vt е [ t0, » ) .

Выбирая в (2) 5 =-, где сЕ из (10), получим,

2се

что величина возмущения в (15) оценивается из неравенства

2

l

2

2

l

Положив в соотношениях (11) - (16) в качестве 2

е = — е , получим, что

Y

Таким образом, для произвольного е > 0 указано 5 такое, что как только |г0 - 70|| <5, выполняется

неравенство (17). Это по определению [1] означает устойчивость невозмущенного решения системы (1). Достаточность доказана. В итоге имеет место

Теорема 1. Пусть выполнены рассматриваемые ограничения на систему (1) и соответствующая ей линейная система устойчива. Тогда для устойчивости решения задачи (1) необходимо и достаточно, чтобы для произвольного е > 0 нашлось 5 > 0, такое, что || 70 - У0 || <5 влечет неравенство (14).

Легко показать [4], что в тех же условиях для устойчивости решения системы (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Y

< е

Vt e [ t0, да ) .

кое, что Y0 - Y0

<51 влечет соотношение

lim DB

^ 0 при t ^ да

которой изображена на рис. 1. На вход такой системы поступает периодический сигнал от опорного генератора (ОГ). Частота сигнала ОГ уменьшается в целое число раз с помощью делителя частоты с фиксированным коэффициентом деления. В цифровом фазовом дискриминаторе (ЦФД) сравниваются фазы сигналов опорного и управляемого генератора (УГ). Сигнал УГ поступает на ЦФД через делитель частоты с переменным коэффициентом деления (ДПКД). Выходное напряжение ЦФД определяется разностью фаз сигналов, действующих на его входах и через цифровой фильтр нижних частот (ЦФ) воздействует на УГ, приближая его частоту к частоте ОГ.

ОГ ДФКД ЦФД

ДПКД

УГ

ЦФ

Относительно асимптотической устойчивости имеет место следующее утверждение [4].

Теорема 2. Если выполнены рассматриваемые ограничения на систему (1) и соответствующая ей линейная система асимптотически устойчива, то решение задачи (1) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда выполняется утверждение теоремы 1 и существует некоторое положительное 51 та-

Рис. 1. Структурная схема цифровой системы ФАПЧ

Цифровые системы ФАПЧ представляют собой сложные нелинейные системы автоматического регулирования, в которых выполняются арифметические и логические операции, описываемые с помощью рекуррентных соотношений. Если блоки системы работают с различными частотами, то математическое описание еще более усложняется. В этом случае для анализа системы в линейном и в нелинейном режиме используется квазинепрерывная модель цифровой системы ФАПЧ, представляющая собой соединение нелинейного безынерционного звена и линейного инерционного звена. При исследовании переходных процессов в блоках системы синхронизации целесообразно применение квазинепрерывной модели цифровой системы ФАПЧ, приведенной на рис. 2.

Афуг

В тех же условиях для асимптотической устойчивости решения системы (1) необходимо и достаточно, чтобы нашлось некоторое положительное 51 такое,

что || Y0 - Y0 11 < 51 при t ^ да влечет [4]

Y (t) - Y (t) - lim Pt (Yo - Yo) ^ 0.

i ^да

Значение выражения под знаком нормы в (14) будет вычисляться программно, на этой основе численно моделируется устойчивость и асимптотическая устойчивость и реализуется компьютерный анализ устойчивости решений систем вида (1).

Компьютерный анализ переходных процессов в цифровой системе фазовой автоподстройки частоты

Ниже на основе представленных условий устойчивости исследуется цифровая система фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) [6], структурная схема

й(ф) Цр) Syr 1 м 1 р

Рис. 2. Эквивалентная схема системы ФАПЧ

На рис. 2 используются следующие обозначения: ФОГ - фаза ОГ; фУГ - фаза УГ; АфУГ( t) - случайные отклонения фазы УГ; ф = фОГ - фур - разность фаз ОГ и УГ; а (ф) = иФдТ F (ф) - дискриминационная характеристика ЦФД, и ФдТ - максимальное значение напряжения на выходе ЦФД, F (ф) - нормированная дискриминационная характеристика, имеющая вид, представленный на рис. 3; К (р) - передаточная

d

характеристика аналогового прототипа ЦФ; р = — -

dt

оператор дифференцирования по времени; 5'УГ -крутизна характеристики УГ; М - коэффициент деления дпкД.

1 k ДФ) 1

0 -1 п /2п Ф, рад

F (Ф) = -

k = 0, +1, + 2,

= ю

d ф dt

d ч 1 1 о

-=--- F (ф )--ю+—П н

dt t t T

где ю - разность частот ОГ и УГ; ОУ - полоса удержания; ОН - начальная расстройка по частоте. В случае системы ФАПЧ с ПИФ:

= _тП у F (ф) + П x; dt у т x

dПх =_(1 _m)Q.у f _^^ +1 ^

dt T (Ф) T x + T н

d П

х 1

dt

d Пу

тПу 1

F (ф) _ - п х1;

dt

m _1 m2T

П х 1

J_

mT

П

где Ох1 = тОуF(ф), Ох2 = ю + тОуF(ф)-Он - вспомогательные переменные.

В таблице представлены параметры моделей системы ФАПЧ с различными типами фильтров.

Параметры моделей системы ФАПЧ

Рис. 3. Нормированная дискриминационная характеристика

Пилообразная характеристика ЦФД (рис. 3) обладает рядом преимуществ по сравнению с другими и может быть реализована с помощью логических элементов или с помощью импульсно-фазового детектора типа «выборка-запоминание». Математическое выражение для дискриминационной характеристики с учетом ее периодичности имеет вид:

ф + 2л к

Тип фильтра Пу, рад/с T, c m

ФНЧ-1 0,0197 25,5 -

ПИФ 0,1

ФНЧ-1+ ПИФ 0,1

В простейшем случае в системе ФАПЧ применяют фильтр нижних частот 1-го порядка (ФНЧ-1). Для повышения устойчивости и быстродействия системы ФАПЧ, а также для ослабления высокочастотных шумов и пульсаций применяют различные типы корректирующих фильтров, например пропорционально интегрирующий фильтр (ПИФ). Для каждого из типов фильтров можно записать систему дифференциальных уравнений системы ФАПЧ [7].

Система ФАПЧ с ФНЧ-1 описывается системой:

Ниже рассматривается связь устойчивости фильтров с устойчивостью по Ляпунову решений, представляющих эти фильтры ОДУ, и на этой основе предлагается компьютерный анализ устойчивости фильтров.

Система ФАПЧ будет устойчива, если с течением времени любое достаточно малое отклонение от положения равновесия, вызванное внешней причиной, стремится к нулю [7], т.е. при асимптотической устойчивости в «малом» режиме удерживания, или, что то же самое, если решение системы будет асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Конкретно, для проверки достоверности предложенного метода, ниже будет исследоваться устойчивость по Ляпунову системы (19) при варьируемых значениях числового параметра, заимствованных из [8].

Пусть, например, система (19) исследуется при

л

значениях параметров ф 0 = —, ю 0 = Он = 0,02 . По отношению к Оу из приведенной выше таблицы вы-

бранное значение Он >О

Он удовлетворяет неравенству

где т - безразмерный параметр ПИФ; О х = ю + тО у F (ф) - вспомогательная переменная.

Если модель системы ФАПЧ содержит ФНЧ-1 и ПИФ, то ей соответствует следующая система ОДУ:

d ф

—— = _Пх 1 +Пх 2 +Пн ! dt

н , ^ В этом случае согласно [8] система ФАПЧ

может оказаться асимптотически неустойчивой.

Именно такой результат получается с помощью предложенного метода на основе компьютерного анализа устойчивости по соотношению (14).

Для численной реализации значений из (14) требуется корректное задание правой части системы (1). Непосредственно это исключено при задании F(ф) из (18) или из графика на рис. 3, поскольку в точках +л + 2лк , к = 0, +1, + 2,... нарушается единственность значения нормированной дискриминационной характеристики.

Чтобы обойти эту трудность, в правой части (1) предлагается выполнять замену значений пилообразного графика F (ф) значениями sin( £0 ф),

в окрестности каждой точки +л + 2лк , к = 0, +1, + 2,... . При этом радиус окрестности выбирается таким, чтобы для каждой точки окрестности

I . . „ ч | ф - 2 л к „

выполнялось неравенство £0 ф) < --. Для

л

всех остальных точек числовое задание прямолинейных звеньев графика F(ф) выполняется согласно (18).

10 = const,

л

В результате строится непрерывная аппроксима- птотическому» поведению значений нормы делается ция пилообразного графика F(ф) с помощью кор- вывод о характере устойчивости в смысле Ляпунова:

ректно заданной функции. Такая аппроксимация ана- неограниченный рост нормы свидетельствует о неус-логична применяемой с помощью нескольких гармо- тойчивости, ограниченность нормы соответствует ник ряда Фурье [9] устойчивости, убывание нормы к нулю при стремле-

Ниже приводится программная реализация из- нии независимой переменной к «бесконечности» бу-

ложенного подхода. На каждом шаге программы дет означать асимптотическую устойчивость.

находятся разностные приближения возмущенного и В случае если линейная система, соответствующая

невозмущенного решений и циклически накапливает- (1) Устойчива, возможна асимптотическая усго™-

ся частичное матричное произведение. Приближения вость нелинейной етсгшы (1). Критерий (14) не утаты-

реализуются с достаточно малым шагом h, который вает этого случ^ однако компьютерный анализ устот-

согласно численному эксперименту сохраняет досто- чивости можно еъшишшъ на основе критерия из [2, 3].

верность моделирования устойчивости [3, 4]. Через Непосредственно ниже дан код программы (Del-

фиксированное количество шагов на экран выводится phi 7), реализующей изложенный подход для системы

текущее значение нормы из левой части (14). По «асим- (19) с учетом представленных корректив.

program Stability; {$APPTYPE CONSOLE} uses SysUtils;

const h=0.0001; n=2; t0 = 0; TT=5000; l0=25; h_y1=0.000001;

omegay=0.0197; T1=25.5; omegaH=0.02; m=0.1; omega=0.02;

eps1=0.0000111; eps2=0.0 00 0111; y01=pi/4; yv01=y01+eps1;

type matr=array[1..n,1..n] of extended; sto1b=array[1..n] of extended;

var A,B,C:matr; de1ta,yv,ym:sto1b; i,j,1,k,k0,k00:integer; kv:longint;

t,s,norma,norma1,y1,y2,y11,yv1,yv2,yv11,f,fv,y_1,y_2,y02,yv02:extended;

procedure matrprav (t:extended; var A:matr);

begin a[1,1]:=0; a[1,2]:=1; a[2,1]:=0; a[2,2]:=-1/T1; end;

function f1(t,y1,y2,f:extended):extended;

begin f1:=(-m*omegay*f)+y2; end;

function f2(t,y1,y2,f:extended):extended;

begin f2:=(-(1-m)*omegay*f/T1)-(y2/T1)+(omegaH/T1); end;

function f11(y1:extended):extended;

begin f11:=(y1-(2*pi*k))/pi; end;

function f22(y1:extended):extended;

begin f22:=sin(10*y1); end;

procedure metod_E (var A:matr);

begin matrprav (t,A); for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin a[i,j]:=h*a[i,j]; if i=j then a[i,j]:=a[i,j]+1; end; end; begin k:=0; y1:=(2*k-1)*pi; k0:=0;

repeat if(f22(y1)<=f11(y1))and(k0=0)then begin y_1:=y1; k0:=k0+1; end; y1:=y1+h_y1; until (y1>=2*pi*k) or (k0=1); y1:=(2*k+1)*pi; k0:=0; repeat if (f22(y1)>=f11(y1)) and (k0=0) then begin y_2:=y1; k0:=k0+1; end; y1:=y1-h_y1;

until (y1<=2*pi*k) or (k0=1); y1:=y01; yv1:=yv01; if ((y1>=(2*k-1)*pi) and (y1<=y_1))or((y1>=y_2)and(y1<=(2*k+1)*pi))then f:=f22(y1);

if (y1>=y_1) and (y1<=y_2) then f:=f11(y1); if ((yv1>=(2*k-1)*pi)and

(yv1<=y_1))or((yv1>=y_2)and(yv1<=(2*k+1)*pi))then fv:=f22(yv1); if (yv1>=y_1) and (yv1<=y_2) then fv:=f11(yv1); t:=t0; kv:=0; metod_E (A); y02:=omega+(m*omegay*f); y2:=y02; yv02:=y02+eps2; yv2:=yv02; delta[1]:=yv01-y01; delta[2]:=yv02-y02; repeat y11:=y1; y1:=y1+h*f1(t,y1,y2,f); yv11:=yv1; yv1:=yv1+h*f1(t,yv1,yv2,fv);

y2:=y2+h*f2(t,y11,y2,f); yv2:=yv2+h*f2(t,yv11,yv2,fv); k:=-1; k00:=0; repeat if ((y1>=(2*k-1)*pi) and (y1<=(2*k+1)*pi)) then begin if ((y1>=(2*k-1)*pi) and (y1<=y_1+2*pi*k)) or ((y1>=y_2+2*pi*k) and (y1<=(2*k+1)*pi)) then f:=f22(y1); if (y1>=y_1+2*pi*k) and (y1<=y_2+2*pi*k) then f:=f11(y1); if ((yv1>=(2*k-1)*pi) and (yv1<=y_1+2*pi*k)) or ((yv1>=y_2+2*pi*k) and (yv1<=(2*k+1)*pi)) then fv:=f2 2(yv1);

if (yv1>=y_1+2*pi*k) and (yv1<=y_2+2*pi*k) then fv:=f11(yv1); k00:=k00+1; end; if k00=0 then k:=k+1; until k0 0=1;

yv[1]:=yv1-y1; yv[2]:=yv2-y2; if abs(yv[1]/delta[1])>abs(yv[2]/delta[2]) then norma1:=abs(yv[1]/delta[1]) else norma1:=abs(yv[2]/delta[2]); for i:=1 to n do

begin ym[i]:=0; for j:=1 to n do ym[i]:=ym[i]+(a[i,j]*delta[j]);end;

for i:=1 to n do yv[i]:=yv[i]-ym[i]; norma:=abs(yv[1]);

for i:=1 to n do if abs(yv[i])>norma then norma:=abs(yv[i]);

t:=t+h; metod_E (B);

for i:=1 to n do for j:=1 to n do

begin s:=0; for l:=1 to n do s:=s+a[i,l]*b[l,j]; c[i,j]:=s; end; for i:=1 to n do for j:=1 to n do a[i,j]:=c[i,j]; kv:=kv+1; if kv>=5000000 then

begin writeln('t=',t:4:0,' ','norma=',norma:12,' ','norma1=',norma1:12); writeln('y1=',y1:10,' ','y2=',y2:10,' ','dfi/dt=',y2-(m*omegay*f):10); writeln; kv:=0; end; until t>=TT; readln; end.

Результат работы программы:

t= 500 norma= t=1500 norma= t=2500 norma= t=3500 norma= t=4500 norma=

5.073E-0004 t=1000 norma= 2.723E-0004 2.477E-0004 t=2000 norma= 1.952E-0004 8.365E-0005 t=3000 norma= 1.479E-0004 4.94 8E-0004 t=4000 norma= 2.731E-0004 2.494E-0004 t=5000 norma= 1.988E-0004

Последовательность ограниченных значений нормы соответствует устойчивости (неасимптотической) по Ляпунову, что интерпретируется как неустойчивость «в малом» системы ФАПЧ.

В случае ф0 = —.

= Qh = 0,04 находится при-

ближенное решение системы (192) и строится фазовый портрет (рис. 4).

t= 100 y1= 4. 2E+0000 y2= 4. 5E- 0002 dfi/dt= 4. 6E- 0002

t= 200 y1= 8. 4E+0000 y2= 3. 3E- 0002 dfi/dt= 3. 2E- 0002

t= 300 y1= 1. 2E+0001 y2= 4. 6E- 0002 dfi/dt= 4. 6E- 0002

t= 400 y1= 1. 5E+0001 y2= 2. 7E- 0002 dfi/dt= 2. 6E- 0002

t= 500 y1= 2. 0E+0001 y2= 3. 9E- 0002 dfi/dt= 3. 8E- 0002

t= 600 y1= 2. 3E+0001 y2= 4. 6E- 0002 dfi/dt= 4. 7E- 0002

t= 700 y1= 2. 8E+0001 y2= 3. 1E- 0002 dfi/dt= 3. 0E- 0002

t= 800 y1= 3. 1E+0001 y2= 4. 4E- 0002 dfi/dt= 4. 4E- 0002

t= 900 y1= 3. 5E+0001 y2= 3. 5E- 0002 dfi/dt= 3. 7E- 0002

t= 1000 y1= 3. 9E+0001 y2= 3. 7E- 0002 dfi/dt= 3. 6E- 0002

dFi/dt 1-

0,04

0,03

0,02

0,01

m

(-

'  ; ; Fi

Рис. 4. Фазовый портрет системы

Фазовый портрет, представленный на рис. 4, полностью совпадает с представленным в [8].

Аналогичное совпадение получается для значений

Q <Q -

Фо = 4, ю 0 =^н = 0,019 .

t= 500 погта1= 9.228Е-0001 t=1000 погта1= t=1500 погта1= 4.459Е-0004 t=2000 погта1= t=2500 погта1= 2.154Е-0007 t=3000 погта1= t=3500 погта1= 1.044Е-0010 t=4000 погта1= t=4500 погта1= 0.000Е+0000 t=5000 погта1=

Решение системы (19) асимптотически устойчиво, согласно [8] это интерпретируется как устойчивость системы ФАПЧ.

2.028E-0002 9.800E-0006 4.734E-0009 8.041E-0015 0.000E+0000

Таким образом, предложенный способ дает результаты, совпадающие с известными, и может использоваться для анализа устойчивости ФАПЧ.

Выводы

Изложен метод компьютерного анализа устойчивости систем линейных ОДУ с нелинейной добавкой на основе преобразования разностных решений. Метод прилагается к компьютерному моделированию устойчивости цифровой системы фазовой автоподстройки частоты корректирующих фильтров высокочастотных шумов. Представлен листинг программы и результаты численного эксперимента, свидетельствующие о достоверности компьютерного анализа устойчивости и возможности его применения для моделирования систем автоматического регулирования.

Литература

1. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1964. 478 с.

2. Ромм Я.Е. Мультипликативные критерии устойчивости на основе разностных решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ. 2006. № 1. С. 127 - 142.

3. Ромм Я.Е. Моделирование устойчивости по Ляпунову на основе преобразований разностных схем решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. РАН. Мат. моделирование. 2008. Т. 20, № 12. С. 105 - 118.

4. Ромм Я.Е., Буланов С.Г. Компьютерный анализ устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений с нелинейной добавкой / ТГПИ - Таганрог. 2010. 33 с. Деп. в ВИНИТИ 11.03.10, № 147 - В2010.

5. Ромм Я.Е., Буланов С.Г. Компьютерный анализ устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений с приложением к оценке устойчивости синхронного генератора // Изв. ЮФУ. Актуальные проблемы производства и потребления электроэнергии / ТТИ ЮФУ. 2009. № 5. С. 52 - 59.

6. Системы фазовой синхронизации /В.Н. Акимов [и др.]; под ред. В.В. Шахгильдяна, Л.Н. Белюстиной. М., 1982. 288 с.

7. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М., 1972. 447 с.

8. Пилипенко А.М. Гаршин Д.О. Исследование переходных процессов в цифровой системе фазовой автоподстройки частоты // Материалы международной научной конференции «Информационное общество: идеи, технологии, системы» / ТТИ ЮФУ. 2010. С. 56 - 64.

9. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М., 1986. 512 с.

Поступила в редакцию

14сентября 2010 г.

Ромм Яков Евсеевич - д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой информатики, Таганрогский государственный педагогический институт. Тел. (8634) 60 - 17 - 53. E-mail: romm@list.ru

Буланов Сергей Георгиевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра информатики, Таганрогский государственный педагогический институт. Тел. (8634) 60 - 18 - 92. E-mail: bulanovtgpi@mail.ru

Romm Yakov Evseevich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department «Information Science», Taganrog State Pedagogical Institute. Ph. (8634) 60 - 17 - 53. E-mail: romm@list.ru

Bulanov Sergei Georgievich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Information Science», Taganrog State Pedagogical Institute. Ph. (8634) 60 - 18 - 92. E-mail: bulanovtgpi@mail.ru

со

0