Вариационная постановка задачи для случая дисперсно и дискретно армированного материала

УДК 691.87

ВАРИАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛУЧАЯ ДИСПЕРСНО И ДИСКРЕТНО АРМИРОВАННОГО МАТЕРИАЛА

Л. А. Панченко

A VARIATIONAL FORMULATION OF PROBLEM FOR THE CASE OF DISPERSED AND DISCRETELY REINFORCED MATERIAL

L.A. Panchenko

Аннотация. Идея дисперсного армирования получила распространение в научной литературе последние два десятилетия. Дисперсное армирование в композитах может сочетаться с дискретным армированием, что накладывает соответствующий отпечаток на уравнения деформированного состояния материала. В строгой постановке задача структурного синтеза решается вариационным методом. Научную новизну статьи составляет вариационная постановка задачи для случая дисперсно и дискретно армированного материала. В качестве исходных функционалов были приняты функционалы Лагранжа и Кастильяно. В примере рассмотрена балка из такого рода материала. Бетонное сечение по всей площади армировано волокнами, а в растянутой зоне имеет стальную стержневую арматуру.

Ключевые слова: вариационная задача; функционал Лагранжа; варьируемые параметры; стационарность функционала; дискретное армирование; модуль упругости материала.

Abstract. The idea of dispersed reinforcement has spread in the scientific literature the last two decades. Dispersed reinforcement in composites can be combined with discrete reinforcement, which imposes a corresponding imprint on the equations of the deformed state of the material. A rigorous formulation the problem of structural synthesis is solved by variation method. Scientific novelty of the article is a variational formulation for the case of dispersed and discretely reinforced material. As the original functionals were adopted functionals of Lagrange and Castellano. In the example, consider a beam of such material. The concrete cross section over the entire area of reinforced fibers, and the tensile zone has a steel rod armature.

Key words: a variational problem; a Lagrange functional; the varied parameters; the stationarity of the functional; discrete reinforcement; the modulus of elasticity of the material.

Научно-технический прогресс связан с производством и широким применением в строительстве новых материалов с эффективными механическими свойствами. К числу прогрессивных композиционных материалов относятся полимеры, армированные волокнами. Их широкое распространение обусловлено наличием ряда преимущественных свойств, касающихся прочности, веса, стоимости. Использование прогрессивных композиционных материалов будет одним из важнейших и эффективных направлений в строительстве вследствие нарастающего объема сооружений с изменяющимися функциями и необходимостью обеспечения новых функциональных требований при реконструкции зданий.

Использование прогрессивных композиционных материалов для усиления элементов конструкций оказалось конкурентоспособным решением проблемы их качества в смысле обеспечения надежности и долговечности сооружения. Они применяются как внутренняя арматура (фибры и стержни в бетоне) и как внешняя арматура (пластинки и оболочки).

Применение такого рода материалов позволяет создавать конструкции с высокими техническими и экономическими характеристиками. Перспективной областью исследования является их использование при проектировании и усилении бетонных и железобетонных конструкций [1,2].

Мировая практика строительства убедительно продемонстрировала технико-экономическую эффективность использования фибробетона в строительных конструкциях и сооружениях. Этот композит находится в числе перспективных материалов XXI века.

Воздействие на деформируемое тело внешней среды ограничим подведением механической энергии Т, которая затрачивается на увеличение потенциальной энергии деформации и. Приращение величин Т и и зависят от приращений ряда параметров: 1) перемещений; 2) внутренних сил; 3) конфигурации тела; 4) модулей материала; 5) нагрузки. Влияние первых двух факторов учтено при формулировке принципа возможных перемещений, принципа возможных изменений напряженного состояния и других принципов, используемых для анализа деформирования тела. Расширение функционального пространства за счет полей функций конфигурации, модулей материала тела и нагрузки позволяет сформулировать новые вариационные принципы, которые можно использовать для синтеза конструкции и нагрузки.

Универсальный вариационный принцип синтеза конструкции гласит [3]: потенциальная энергия системы в положении устойчивого равновесия достигает абсолютного минимума по перемещениям в функциональном пространстве, расширенном за счет полей функций конфигурации и (или) модулей упругости материала. Это происходит при приобретении конструкцией максимальных жесткостных показателей, так что в точке стационарности функционал имеет минимакс - минимум по функциям перемещений максимумов по функциям конфигурации и (или) модулей упругости материала.

Рассмотрим вариационную постановку задачи в случае дисперсно и дискретно армированного материала. По существу решается задача силового сопротивления железобетонной балки с дополнительным дисперсным армированием при оптимальных параметрах армирования. В качестве варьируемых параметров принимаем модули материала. Модули упругости композитного материала Ес будут зависеть от физических

свойств матрицы и волокон, а также от длины и процента содержания последних. Эти зависимости выявляются в процессе экспериментальных исследований, проводимых как на растянутых, так и на сжатых образцах, если материал матрицы по-разному реагирует на эти виды деформаций. Модуль упругости Е дискретной арматуры зависит исключительно от её материала.

Существует также приближенная формула, используемая независимо от вида деформаций [4], из которой можно вывести долю объема волокон:

= ЕНт,

ЕГ Ет

где Ет и Еу - модули упругости матрицы и волокон соответственно.

Стационарность функционала структурного синтеза конструкций рассматривается при дополнительных условиях (в форме уравнений связи), накладываемых на искомые функции у, в числе которых в данном случае - функции напряженно-деформированного

состояния и модулей упругости материала ут :

Ф

ю

где ю - допустимая область интегрирования (с учетом директивных требований к конструкции), с - заданная постоянная.

Условия отражают геометрические и конструктивные ограничения, а также ограничения на поведение конструкции. Условие (2) может быть представлено алгебраическим или дифференциальным уравнением.

Вариационная задача с дополнительными условиями, являющимися функциями ограничения, приводится к свободной задаче с помощью метода множителей Лагранжа X.

Для того, чтобы задача была выпуклой, достаточно, чтобы исходный функционал и функции ограничения были выпуклыми над вектором переменных проектирования.

Если за основу взят функционал Лагранжа, то вспомогательный функционал рассматриваемой задачи (обобщенный функционал Лагранжа) имеет вид

J = V {4 8

где u - удельная потенциальная энергия деформации, q - вектор перемещений, 8 - вектор деформаций, р - объемные силы, ps - силы на части поверхности Sj, V - объем тела.

Возможными вариациями функций модулей упругости материала будут бесконечно малые изменения функций, удовлетворяющие директивным требованиям к материалу, они непрерывны и удовлетворяют требованиям дифференцируемости.

Следствием стационарности функционала J1 являются уравнения равновесия в

объеме тела и на части поверхности Sj (как и для исходного функционала Лагранжа),

уравнения связи и специфические уравнения структурообразования. Они обусловливают критерий рациональности конструкции, который, как видим, не предлагается a priori [5,6].

При варьировании модулей продольной упругости материала, уравнения структурообразования принимают вид

du -гт dp -

- + Л 0 Vшг е Vm.

Дополнительное дискретное армирование в виде стержней отражается в выражении (4) дополнительными слагаемыми £ qi, где 81 - внутреннее усилие, qi - соответствующее перемещение.

Если за основу взят функционал Кастильяно, то вспомогательный функционал рассматриваемой задачи имеет вид

V 8'2 V

где и - удельная дополнительная энергия, о- вектор напряжений, qS - вектор перемещений на части поверхности 82, А3 - оператор статических граничных условий.

Следствием стационарности функционала J2 являются решение уравнений совместности деформаций, кинематические условия на части поверхности 82 (как и для

http://vestnik-nauki.ru/

исходного функционала Кастильяно), уравнения связи и специфические уравнения структурообразования:

du = 0,

„

^V m

Vmi e Vm.

Дополнительное дискретное армирование в виде стержней отражается в выражении

S]l. -

(6) дополнительным слагаемым £—L, где Si - внутреннее усилие, - длина стержня,

2 в,

B, - жесткость его сечения, принимающая конкретное выражение в зависимости от вида

деформации. Растянутый стержень имеет жесткость EA,, где E - модуль продольной

упругости, A, - площадь поперечного сечения стержня.

В качестве примера рассмотрим железобетонную балку пролетом l на двух шарнирных опорах, дисперсно армированную и имеющую также продольную арматуру с площадью сечения As. Внешней нагрузкой являются изгибающие моменты M,

приложенные по торцам балки. Поперечное сечение и эпюра напряжений показаны на рисунке. В качестве уравнения связи принято условие для прогиба:

и = и

max adm'

где uadm - допускаемый прогиб.

------(-------

о ftotHM

>ibu

Рисунок - Поперечное сечение и эпюра напряжений в бетонной балке: а - сечение балки ( 2 - нейтральная ось); б - эпюра нормальных напряжений

Для заданной балки функционал (6) принимает вид

J2 = J -fb-dV +J-^dV +

V 2 Efb

V2 2 Efb

N 2l 2 E.A.

+ ^(Vmax Vadm X

где V = 1Ьх, У2 = ¡Ь(И - х), Уайт - допускаемый объем материала в изопериметрической задаче. Варьируемые параметры - о^, Е]Ь , N и X .

Дополнительно имеем уравнения равновесия:

http://vestnik-nauki.ru/

- ^ Ьх° Ъ + Ъ (И - х)о Ъ + N = О, 1 Ъх2оъ +1Ъ (И - х)2 оъЪи + N(И - х - а) = М.

3 ъ 2

Определив о/Ъ и N как функции х, о/ъ (х) и N(х), из условия стационарности функционала получаем следующую систему уравнений:

ал

дх дJ2

= О,

дЕ дк

= О,

/ъ

= 0.

Последнее уравнение по своему существу выражает уравнение связи. При этом

и =

тах

М2

где

В = 1Е1П = ЪЕ

/ъ

И3 И ( И ^ — + И\ — х 12 12 ,

+ 3Е„

пй пй ,2

--1--

64 4

( й - диаметр стержня продольной арматуры).

В результате решения системы уравнений находим величины х, Е/Ъ и к, а затем о/

и N. Имея модули Е/ и Ет, и подставив вместо Ес найденную величину Е/, можно найти

по формуле (1) долю объема волокон V/.

Таким образом, предложенная вариационная постановка задачи для случая дисперсно и дискретно армированного материала позволяет представить решение в виде системы алгебраических уравнений, что соответствует инженерному подходу к задачам такого рода.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Панченко Л. А. Рационализация использования стеклофибробетона в строительстве зданий и инженерных коммуникаций // Вестник Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова, 2014. № 2. С.34- 36.

2. Юрьев А.Г., Панченко Л.А., Серых И.Р., Ямб Эммануэль. Новые подходы к формированию строительных конструкций на основе углеродных наносистем, // Вестник Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова, 2009. № 3. С. 67-69.

3. Юрьев А.Г. Вариационные принципы строительной механики. Белгород: Изд-во БелГТАСМ, 2002. 90 с.

4. Панченко Л. А. Строительные конструкции с волокнистыми композитами. Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2013. 184 с.

5. Зинькова В.А. Оптимизация топологии металлических ферм // Вестник Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова, 2015. № 2. С. 37-40.

6. Юрьев А.Г., Зинькова В.А. Вариационный подход к оптимизации топологии фермы // Сборники трудов Международной научно-практической конференции «Современные строительные материалы, технологии и конструкции». Том 2. Грозный: ФГУП «Издательско-полиграфический комплекс «Грозненский рабочий», 2015. С. 294-300.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Панченко Лариса Александровна

ФГБОУ ВПО «Белгородский государственный технологический университет им. В.Г Шухова», г. Белгород, кандидат технических наук, доцент кафедры теоретической механики и сопротивления материалов.

E-mail: panchenko.bstu@.mail.ru

Panchenko Larisa Alexandrovna

FSEI HPE «Belgorod State Technological University named after. V.G Shukhov», Belgorod, Candidate of Technical Sciences, Docent of Department of Theoretical Mechanics and Strength of Materials.

E-mail: panchenko.bstu@.mail.ru

Корреспондентский почтовый адрес и телефон для контактов с авторами статьи: Россия, 308012, г. Белгород, ул. Костюкова 46, БГТУ им. В. Г. Шухова, Панченко Л.А.

8