Тождества кривизны для квази-сасакиевых многообразий

УДК 514.76

Рустанов Алигаджи Рабаданович Aligadghi Rustanov

Швецова Ирина Ивановна Irina Shvetsova

тождества кривизны для квази-сасакиевых многообразий

curvature identities for quasi-sasakian manifolds

В работе рассматривается геометрия тензора ри-мановой кривизны квази-сасакиевых многообразий. Основным методом исследования является метод присоединенных С-структур. Суть метода заключается в том, что изучение геометрии гладких многообразий сводится к изучению геометрии главного расслоения реперов над этим многообразием. Эта геометрия определяется системой дифференциальных форм, определенных внутренним образом как на пространстве самого расслоения, так и на пространстве его подрасслоения. Такое подрасслоение со структурной группой Ли G называется (присоединенной) С-структурой. Сам метод получил название метода присоединенных С-структур и является обобщением и уточнением хорошо известного метода подвижного репера Эли Картана. Наряду с этим, при изучении отдельных вопросов использовался аппарат классического тензорного анализа и метод инвариантного исчисления Кошуля. Применяя процедуру восстановления тождества к компонентам тензора Римана-Кристоффеля на пространстве присоединенной С-структуры, мы получаем некоторые дополнительные тождества, которым удовлетворяет тензор римановой кривизны квази-сасакиевых многообразий. И на их основе выделены классы R1, R2, R3, R4 квази-сасакиевых многообразий. Изучено строение выделенных классов.

Доказано, что квази-сасасакиевы многообразия классов R1 и R4 совпадают и являются косимплек-тическими многообразиями, а значит локально эквивалентны произведению вещественной прямой на келерово многообразие. Доказано, что квази-саса-киевы многообразия классов R2 и R3 совпадают, а значит являются либо косимплектическими много-

In this paper we study the geometry of the Rieman-nian curvature tensor of quasi-sasakian manifolds. The main research method is the method associated with G-structure. The method consists in the fact that the study of geometry of smooth manifolds is reduced to the study of geometry of the main frame bundle over this manifold. This geometry is determined by a system of differential forms defined internally as in the space of a bundle, and the area that is subbundle. This sub-bundle with structure Lie group G is called (attached) G-structure. The method is called the method of associated G-structure and is a generalization and refinement of the well-known method of moving frames of Elie Cartan. Along with this, the study of certain issues apparatus was used by classical tensor analysis and the method of calculating the Koszul invariant. Using the restore identity to components of Riemann-Christoffel tensor in the space of the associated G-structure, we've got some additional identities satisfied by the Riemann curvature tensor of quasi-sasakian manifolds. And on this basis, the classes Rp R2, R3, R4 of quasi- sasakian manifolds are divided. The structure of the classes is investigated. It is proved that quasi-sasakian manifolds of classes and Rt and R4 coincide and are cosymplectic manifolds, and thus is locally equivalent to the product of the real line on Kahler manifold. It is proved that the quasi-sasakian manifolds of classes R2 and R3 coincide, and hence they are either cosymplectic manifolds, or up to a S-transformation structure are locally equivalent to the product of Sasakian and Kahler manifolds

образиями, либо с точностью до "В-преобразования структуры локально эквивалентны произведению сасакиева и келерова многообразий

Ключевые слова: квази-сасакиевы многообразия, тензор Римана-Кристоффеля, косимплек-тическое многообразие, сасакиева структура, пространство присоединенной G-структуры, процедура восстановления тождества

Key words: quasi-Sasakian manifolds, RiemannChristoffel tensor, cosymplectic manifold, sasakian structure, space of the associated G-structure, how to restore the identity

Контактные и почти контактные структуры составляют один из наиболее содержательных примеров дифференциально-геометрических структур. Их теория является естественным обобщением так называемой контактной геометрии, имеющей существенные приложения в классической и квантовой механике. Их изучение именно как дифференциально-геометрических структур началось с появлением основополагающих работ Чженя [7], Дж. Грея [8], Сасаки [16]. Почти контактные метрические структуры являются нечетномер-ным аналогом почти эрмитовых структур, и между этими классами структур существует ряд важных взаимосвязей. Например, почти контактная метрическая структура внутренним образом возникает на гиперповерхности почти эрмитова многообразия, на пространстве главного Г'-расслоения над почти эрмитовым многообразием и т.д. Однако, несмотря на это обстоятельство, геометрия почти контактных метрических структур резко отличается от геометрии почти эрмитовых структур и требует при классическом подходе принципиально новых средств изучения [5]. Тем не менее, как показал В.Ф. Кириченко, обе эти теории укладываются в общие рамки так называемых обобщенных почти эрмитовых структур, и такой подход позволил получить существенные продвижения в обоих направлениях (см. [3], [4], [12], [13]).

Одним из главных аспектов аппарата обобщенной эрмитовой геометрии является метод присоединенных G-структур, широко используемый в настоящей работе. Данная работа посвящена изучению геометрии тензора римановой кривизны обширного класса почти контактных метрических

многообразий келерова типа, известных под названием квази-сасакиевых (quasi-sasakian [6]) многообразий. Квази-саса-киевы многообразия интересны тем, что они заполняют естественную нишу между двумя контактными аналогами келеровых многообразий, а именно сасакиевыми и ко-симлектическими многообразиями. Квази-сасакиевы многообразия введены в работах Блэра. Им опубликована статья [6], заложившая основы теории квази-сасакиевых многообразий. Впоследствии появились работы Танно [17], Канемаки [10], Янамото [19] и других авторов, в которых квази-са-сакиевы многообразия рассматривались с различных точек зрения.

Одно из наиболее популярных направлений изучения квази-сасакиевых многообразий заключено в исследовании их локального строения. Известно, что произведение многообразия Сасаки на келерово многообразие является квази-сасакиевым многообразием [11]. Возникает вопрос: когда квази-сасакиево многообразие имеет такое строение хотя бы локально? На этот счет Блэром [6] и Канемаки [10] получены некоторые достаточные условия. Исчерпывающий ответ на этот вопрос в терминах дополнительных свойств симметрии тензора римановой кривизны квази-са-сакиева многообразия дан в работе [2]. В работе [2] выделен и подробно исследован класс €Я1 квази-сасакиевых многообразий, получено в определенном смысле исчерпывающее описание локального строения многообразий этого класса, приведена полная классификация (с точностью до Ъ -преобразования метрики) квази-сасакиевых многообразий класса СК1 постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны, а

также квази-сасакиевых многообразий этого класса, удовлетворяющих аксиоме Ф-го-ломорфных (2г + 1) -плоскостей, что существенно обобщает известные результаты Танно, касающиеся классификации сасаки-евых пространственных форм [18], а также обобщает и углубляет результаты Огиуэ [15] и Исихары [9], касающиеся изучения многообразий Сасаки, удовлетворяющих аксиоме Ф-голоморфных (2г + 1)-плоскос-тей. Применяя процедуру восстановления тождества ([1], [2]) к некоторым компо-

нентам тензора римановой кривизны, выделим некоторые классы квази-сасакиевых многообразий и опишем локальное строение выделенных классов квази-сасакиевых многообразий.

Пусть М — квази-сасакиево многообразие. Рассмотрим некоторые тождества кривизны для квазисасакиевых многообразий. Напомним (см. [1], [2]), что компоненты тензора Римана-Кристоффеля на пространстве присоединенной С-структуры имеют вид:

11рЯ _ оя _ Р О _ р0 _ Г>Ь _ Е>Ь _ р С _ пс

К0Ьс - К0сЬ - аЬс - асЬ ~ КсаО ~ *\£0а ~ КЬаО ~ КЬОа ~ _ пас, па _ ра _ рО _ рО _ пЬ _ пЬ _ рО _ рО _

' / 'Ч:^: 'Ч:^ 'Ч^;: 'Ч:^:

_ оапс, ра _ рс _ т ра пЬ , л ч па _ па _ рЬ _ рЬ

-Всиъ, 6) - К^д - ¿В[свл], 4) КЬсА - -Къ£с - ~

_ лай т па ой папй ра _ ра _ р Ъ _ р Ь _ р с _ рс

- АЬс ~ ~ КЬсО ~ ЬОс ~ ~КасО ~ КаОс ~ К0аЬ ~ ~КОЬа ~ _ рО _ _рО _ _па

Остальные компоненты равны нулю.

Применим к этим равенствам процедуру восстановления тождества (см. [1], [2]). Рассмотрим подробно процедуру восстановления тождества применительно к компонентам тензора Римана-Кристоффеля.

I. Поскольку на пространстве присоединенной О-структуры

рО _ _дО ос _ р. рЬ _ _тз Ь пс. ра _ _оЬ ос _ ^ р: _ _

лООя — — "ООи — °а> пООа ~ ~ и, т.е. "-00а — Е,с£3а, ТО

а (£, £ДХ = —В^{£а). Базисом подпространства £)ф-1 является

а проектором на

этот подмодуль является эндоморфизм тг = — - тогда последнее равенство

перепишется в виде К{$,Ф2Х + л/^Тф^Х = -В2(ф2х + лГЛФХ),Х £ Х(И). Выделяя действительную и мнимую части, получим эквивалентные равенства:

Первое равенство получается из второго заменой Х ^ ФХ.

Таким образом, тензор кривизны квази-сасакиевых многообразий удовлетворяет тождеству

= -В2

Приведенная процедура называется процедурой восстановления тождества (см. [14], [18]).

С учетом Ф = —1(1 + Предложения 2 из [2 ] и свойств тензора кривизны пос-

леднее соотношение можно переписать в виде:

Назовем тождество (3) первым дополнительным тождеством кривизны. Поскольку тензор римановой кривизны квази-сасакиевых многообразий удовлетворяет тождеству (3), то имеет смысл рассмотреть многообразия, тензор римановой

кривизны которых удовлетворяет условию В (<, X) < = 0; УХ Е ОС(М).

Дадим следующее определение.

Определение 1. ^-многообразие М2п+' назовем многообразием класса Я1, если его тензор римановой кривизны удовлетворяет тождеству: = 0; УХ € Х{М).

Из данного определения и тождества (3) следует теорема.

Теорема 1. ^^-многообразие М2п+1 является многообразием класса Я1 тогда и только тогда, когда ВЪ(Х) = 0; УХ £ Х(М).

Пусть .1 /-" 1 является (^-многообразием класса 11г Тогда — 0. На пространс-

тве присоединенной С-структуры это равенство перепишется в виде:

Так как ? = 1 ,Г = Г = 0, то Н%окХ"£+ Я%окХк£а + Я*окХк£а = 0. С учетом (1) это равенство перепишется в виде: Ид0ЬХь£а + = 0 . Последнее равенство

выполнено тогда и только тогда, когда = 0 и Я^л = 0.

Обратно, пусть М2п+1 является многообразием, для которого выполнены равенства ^ооь = " и ^ооъ = Применяя процедуру восстановления тождества к этим равенствам, получим тождество = 0; УХ £ Х(М).

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 2. ДО-многообразие М2п+1 является многообразием класса Я1 тогда и только тогда, когда выполнены равенства = 0 и -ЯдоЁ = 0.

Пусть .1 /-" 1 является (^-многообразием класса Яг Т.е., согласно (1), В^В^ = 0. Свернем это равенство по индексам а и Ь, тогда 0 = В£ = — \2 • Значит, — 0. т.е. многообразие М является косимплектическим.

Обратно, легко видеть, что для косимплектического многообразия Яо0ь = Дд0£ = О, т.е. многообразие является многообразием класса ЯГ

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 3. QS-многообразие М2п+1 является многообразием класса Я1 тогда и только тогда, когда оно является косимплектическим.

Известно (см. [1], [14]), что косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению вещественной прямой на келерово многообразие. Поэтому теорему 3 можно сформулировать так.

Теорема 4. ДО-многообразие класса Я1 локально эквивалентно произведению вещественной прямой на келерово многообразие.

Замечание 1. Применяя процедуру восстановлешш тождества к соотношениям

получим тождество

Из (2) и (*) получим

Таким образом, можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 5. Тензор римановой кривизны ^^-многообразия удовлетворяет тождествам:

= 2}RQ,X)$ = -В2(Х)- VXeX(_M).

II. Аналогично, так как: = 0; Rc0ab = 0; R^ab = 0, т.е. Rlaab = 0, то Я(еа, = 0. Поскольку [<£а] является базисом подпространства Д^-1, а проектором на этот подмодуль является эндоморфизм тг = — - (Ф2 + л/—1Ф), то последнее равенство перепишем в виде

К{ф2Х + \^ЛФХ,Ф2У + = °i Y

Выделяя действительную и мнимую части, получим эквивалентные равенства:

2) я(ф2лг,фу)^" + я(ф^,ф2у){ = 0; УХ, У Е х(м).

Итак, тензор кривизны квази-сасакиевых многообразий удовлетворяет еще одному тождеству

= 0; VX,Y ЕХ

Поскольку Ф" (X) = —X +1] (X) ^, то с учетом (3) последнее тождество можно переписать в виде:

R(X, У)^ - R(ФХ, ФУ)$ = 1](У)В2(_Х) -1](X)В2(У);УХ,У ЕХ(М). (5>

Таким образом, доказали следующую теорему.

Теорема 6. Тензор римановой кривизны ^^-многообразия удовлетворяет тождеству .

III. Так как

Кl = в°«ь = = = я? = Ы-В^У ', Rib = b«b =

= (VBK)C = о, Т.е. R^ = В? = (v^CBK)1, то R(sar= V^(B)ea .

Поскольку {^д} и {с являются базисами подпространств Оф-1 и ~1. а проекторами на эти подмодули являются эндоморфизмы тг = — ^ (ф2 + V —1Ф)11 п = - (—Ф2 + V—1ф)? то последнее равенство перепишется в виде

д(ф2 X + у^тфх -Ф2 у + л/31фу)^ =

Выделяя действительную и мнимую части, получим эквивалентные равенства:

1) Д(Ф2Х,Ф2У)^ + «(ФХ,ФУЦ =

= Ф2Х) + 2) Д(Ф2^ФУ)^ - Ф2У)^ =

= Чфу

Полученные тождества эквивалентны следующему тождеству:

Я

Последнее с учетом (4) запишется в виде:

тл г £ :,".;.

Назовем тождество (6) вторым дополнительным тождеством кривизны. Поскольку Ф2 (X) = —X + г] (X) < • то с учетом (5) последнее тождество можно переписать в виде:

Н(Х,У)$ + Д(ФХ, ФУХ 1? (У) 52 00 - 11(ЮВ2(У) + Уф3у(В)(Ф2Х) +

тл г £

Из (5) и (7) также получим:

Определение 4. ^-многообразие М2п+' назовем многообразием класса Я2, если его тензор римановой кривизны удовлетворяет тождеству: Д(Ф2^Ф2У)^ = Д(ФХ,ФУ)^ = 0; УХ,У ЕХ{М).

Из данного определения и второго дополнительного тождества следует следующая теорема.

Теорема 7. ^-многообразие М2п+1 является многообразием класса Я2 тогда и только тогда, когда

Уф*у

Пусть М2п+1 является ^^-многообразием класса Я2, тогда Я

Положив в этом равенстве X = £а, У = £д, получим, согласно (4), что на простран-

) с

стве присоединенной С-структуры Щ, = 0. Положив X — £&,У — £ь • получим, что

ОаЬ

^оаь = . Таким образом, для многообразия М2п+1 класса Я2 имеют место следующие равенства: К^ = 0, Кс^ь = 0.

Обратно, применяя процедуру восстановления тождества к равенствам = = О, получим тождество

Д(Ф2^Ф2У)^ = И(ФХ,ФУ)$ = 0; УХ,У ЕХ(_М).

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 8. многообразие М2п+1 является многообразием класса Я2 тогда и только тогда, когда= 0, Ксойь = 0.

С учетом (1) теорему 6 можно сформулировать в виде:

Теорема 9. ^-многообразие М2п+1 является многообразием класса Я2 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной С-структуры = 0,В£Ъ = 0.

IV. Далее, применяя процедуру восстановления тождества к равенствам = ВаЬ = КоЬ = ВаЬ> КоЬ = В1ь = 0 те' согласно Предложения 3 из [1],

к равенствам = ВаЬ = получим тождество:

Д({,Ф2^)Ф2У- /?(^Ф1)ФУ =

= ЧФ2Х(_В)(Ф2¥)-ЧФХ(В)(ФУУ> ЧХ,¥ЕХ(Ю. (Щ

Назовем тождество (10) третьим дополнительным тождеством кривизны. Полученное тождество с учетом (6) можно переписать в виде:

Я(^Х)ФУ - Н(с,ФХ)ФУ =

= ч<У)В2 {X) + \/ф2А,

Определение 5. 05-многообразие М2п+1 назовем многообразием класса Я3, если его тензор римановой кривизны удовлетворяет тождеству: Я

Данный класс 05-многообразий подробно рассмотрен в статье [2] и в монографии

[1].

.Замечание 2. 05-многообразия классов Я2 и Я3 совпадают.

Используя результаты, полученные в [1], [2], и с учетом Замечания 2, можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 10. ^-многообразия класса Я2 либо является косимплектическим, т.е. локально эквивалентно произведению вещественной прямой на келерово многообразие, либо с точностью до В-преобразования структуры локально эквивалентно произведению сасакиева и келерова многообразий.

V. Восстанавливая равенства

= ВъсВса = в°й; Кс пй = Всаь =ВСг; = В£г = 0, т.е. = 5',,

аОЬ с а а,о' аОо а а,о' аОо аЬ ' аОЬ а,Ь '

получим тождество:

Я(^,Ф2Л:)Ф2У+ /?Сс,ФГ)ФУ =

= 7Ф2А,

Назовем тождество (12) четвертым дополнительным тождеством кривизны. Из (10) и (12) получим:

Я

Используя равенства (6) и Ф~ (Х) = —X + г]00<, тождества (12) и (13) можно записать в форме:

= -Г}СПВ2СЮ + чх,у ь х(М) (щ

Определение 6. ^-многообразие М2п+1 назовем многообразием класса Я4, если его тензор римановой кривизны удовлетворяет тождеству:

+ 0; УХ, У е Х(М).

Пусть М2п+1 является ^^-многообразием класса Я4. Тогда его тензор римановой кривизны удовлетворяет тождеству:

= 0; УХ, У Ё Х(М).

На пространстве присоединенной С-структуры последнее равенство с учетом (1) и = = 0 запишется в виде:

Последнее равенство выполняется тогда и только тогда, когда

Обратно, пусть М2"+1 является (^-многообразием, для которого выполнены соотношения = 0,К%а = = = 0, = 0,й£о~ = 0. Применяя к ним процедуру восстановления тождества, получим

Д(^,Ф2ЛГ)Ф2ЛГ+Д(^ФЛ0ФУ= 0; УХ, У Ё Х{М) .

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 11. ^-многообразие М2п+1 является ^-многообразием класса Я4 тогда и только тогда, когда

КёОа = а = >КСЬ0а = = 0'й£0в = =

Из теорем 2, 7 и 9 следует

Теорема 12. ^-многообразие М2п+1 класса Я4 является ^-многообразием класса Я1 и класса Я2, т.е. является косимплектическим.

С учетом теоремы 4, последнюю теорему можно сформулировать в следующем виде. Теорема 13. ^-многообразие М2п+1 класса Я4 локально эквивалентно произведению вещественной прямой на келерово многообразие.

Литература_

1. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Одесса: «Печатный Дом», 2013. 458 с.

2. Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий // Математический сборник, 2002. Т. 193. № 8. С. 70-100.

3. Кириченко В.Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. Т. 18. М.: ВИНИТИ, 1986. С. 25-71.

4. Кириченко В.Ф. Аксиома Ф-голоморфных плоскостей в контактной метрической геометрии // Известия АН СССР. Сер. матем. 1984. Т. 48. № 4. С. 711-739.

5. Blair D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry. Berlin: Springer-Verlag, 1976.

6. Blair D.E. The theory of quasi-Sasakian structures // J. Differential Geom. 1967. V. 1. P. 331-345.

7. Chern S.-S. Pseudogroupes continus // Colloques Internat. Centre Nat. Rech. Sci. 1953. V. 52. P. 119-136.

8. Gray J.W. Some global properties of contact structures // Ann. of Math. (2). 1959. V. 69. № 2. P. 421-450.

9. Ishihara I. Anti-invariant submanifolds of a Sasakian space forms / / Kodai Math. Semin. Rep. 1979. V. 2. P. 171-186.

10. Kanemaki S. Quasi-Sasakian manifolds // Tôhoku Math. J. (2). 1977. V. 29. P. 227-233.

11. Kanemaki S. Products of f-manifolds // TRU Math. 1974. V. 10. P. 11-17.

12. Kiritchenko V.F. Generalized quasi-Kaeh-lerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry. I // Geom. Dedicata. 1994. V. 51. P. 75-104.

13. Kiritchenko V.F. Generalized quasi-Kaehle-rian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry. II // Geom. Dedicata. 1994. V. 52. P. 53-85.

14. Kiritchenko V.F. Sur le géométrie des variétés approximativement cosymplectiques // C.R. Acad. Sci. Paris. Sér. I. Math. 1982. V. 295. P. 673-676.

15. Ogiue K. On almost contact manifolds admitting axiom of planes and of free mobility // Kodai Math. Semin. Rep. 1964. V. 16. P. 223-232.

_References

1. Kirichenko V.F. Differentsialno-geometri-cheskie struktury na mnogoobraziyah [Differential-geometric structures on manifolds. Second edition, enlarged]. Odessa: «Printing House», 2013, 458 p.

2. Kirichenko V.F., Rustanov A.R. Matematiches-kiy sbornik (Sbornik: Mathematics), 2002, t. 193, no. 8, p. 70-100.

3. Kirichenko V.F. Itogi nauki i tehniki. Prob-lemy geometrii (Results of science and technology. Problems in Geometry). Vol. 18. Moscow: VINITI, 1986, p. 25-71.

4. Kirichenko V.F. Izvestiya ANSSSR (Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR). Ser. Mat. 1984, Vol. 48, no. 4. P. 711-739.

5. Blair D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry [Contact manifolds in Riemannian geometry]. Berlin: Springer-Verlag, 1976.

6. Blair D.E. J. Differential Geom. (J. Differential Geom), 1967. V. 1. P. 331-345.

7. Chern S.-S. Colloques Internat. Centre Nat. Rech. Sci (Colloques Internat. Centre Nat. Rech. Sci.), 1953. V. 52. P. 119-136.

8. Gray J.W. Ann. of Math (Ann. of Math). (2). 1959. V. 69, no. 2. P. 421-450.

9. Ishihara I. Kodai Math. Semin. Rep. (Kodai Math. Semin. Rep.), 1979. V. 2. P. 171-186.

10. Kanemaki S. Tôhoku Math. J. (Tôhoku Math. J.), (2), 1977. V. 29. P. 227-233.

11. Kanemaki S. TRU Math (TRU Math), 1974. V. 10. P. 11-17.

12. Kiritchenko V.F. Generalized quasi-Kaeh-lerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry. I (Generalized qua-si-Kaehlerian manifolds and axioms of CR-subman-ifolds in generalized Hermitian geometry. I). Geom. Dedicata. 1994. V. 51. P. 75-104.

13. Kiritchenko V.F. Generalized quasi-Kae-hlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry. II (Generalized quasi-Kaehlerian manifolds and axioms of CR-subman-ifolds in generalized Hermitian geometry. II). Geom. Dedicata. 1994. V. 52. P. 53-85.

14. Kiritchenko V.F. Sur le géométrie des variétés approximativement cosymplectiques (Sur le géométrie des variétés approximativement cosymplectiques). CR Acad. Sci. Paris. Sér. I. Math. 1982. V. 295. P. 673676.

15. Ogiue K. On almost contact manifolds admitting axiom of planes and offree mobility (On almost contact manifolds admitting axiom of planes and of free mobility). Kodai Math. Semin. Rep. 1964. V. 16. P. 223-232.

16. Sasaki S. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related with almost contact structures. I. // Tohoku Math. J. (2). 1960. Vol. 12. No. 3. P. 459-476.

17. Tanno S. Quasi-Sasakian structures of rank 2p+1 // J. Differential Geom. 1971. V. 5. P. 317-324.

18. Tanno S. Sasakian manifolds with constant ^-holomorphic sectional curvature // Tohoku Math. J. (2). 1969. V. 21. P. 501-507.

19. Yanamoto H. Quasi-Sasakian hypersurfaces in almost Hermitian manifolds // Res. Rep. Nagaoka Tech. College. 1969. V. 5. No. 2. P. 149-158.

Коротко об авторах_

Рустанов А.Р., канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Теория и история социологии», Московский педагогический государственный университет, г. Москва, Россия aligadzhi@yandex.ru

Научные интересы: геометрия дифференцируемых многообразий

16. Sasaki S. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related with almost contact structures. I (On differentiable manifolds with certain structures which are closely related with almost contact structures. I). Tohoku Math. J. (2). 1960. Vol. 12, no. 3. P. 459-476.

17. Tanno S. Quasi-Sasakian structures of rank 2p+1 (Quasi-Sasakian structures of rank 2p+1): J. Differential Geom. 1971. V. 5. P. 317-324.

18. Tanno S. Sasakian manifolds with constant y-holomorphic sectional curvature (Sasakian manifolds with constant 9-holomorphic sectional curvature): Tohoku Math. J. (2). 1969. V. 21. P. 501-507.

19. Yanamoto H. Quasi-Sasakian hypersurfaces in almost Hermitian manifolds (Quasi-Sasakian hypersurfaces in almost Hermitian manifolds): Res. Rep. Nagaoka Tech. College. 1969. V. 5, no. 2. P. 149-158.

_Briefly about the authors

A. Rustanov, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Theory and History of Sociology department, Moscow State Pedagogical University, Moscow, Russia

Scientific interests: geometry of differentiable manifolds

Швецова И.И., канд. физ.-мат. наук, доцент, заведующая кафедрой математики, Забайкальский государственный университет, г. Чита, Россия ishvetsova.chita@mail.ru

Научные интересы: общая топология

I. Shvetsova, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, head of Mathematics department, Transbaikal State University, Chita, Russia

Scientific interests: general topology