Основные принципы методики обучения студентов и школьников эскизированию графиков функций

Раздел VII. Математическое образование

УДК 514 ББК 22.151

А.С. Гондаревская

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЭСКИЗИРОВАНИЮ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

Аннотация. В статье представлена методика эскизирования различных графиков функции, принципы необходимые для эффективности ее применения, как среди студентов, так и среди школьников и выводы об эффективности разработанной методики.

Ключевые слова: график функции, эскиз, целостное видение, методика эскизирования, основные принципы.

A.S. Gondarevskaya

BASIC PRINCIPLES OF METHODS OF TRAINING OF STUDENTS AND PUPILS ASCIIRADIO GRAPHS OF FUNCTIONS

Abstract. The article presents a method of sketching graphs of différent fonctions, principles necessary for the efficiency of its use among students and among students and conclusions about the effectiveness of the developed technique.

Keywords: graph fonctions, sketch and holistic vision, technique of sketching, basic principles/

Издавна известно, что построение различных графиков функций (будь то элементарная функция или не совсем) является сложным процессом для людей с различной степенью подготовленности. Главнойпричиной этого служит то, что школьники, как и студенты, не умеют целостно представлять и выделять отдельные свойства функций, выраженные аналитически. Например, определять направление пересечения графиком функции оси ОХ (прохождение через нуль) с учетом знака промежутка знакопостоянства функции или выделять и исключать из рассмотрения те области на координатной плоскости, где графика не может быть в принципе.

Известно два приема эскизирования графиков функций: прием, который использует «приближающие» функции и прием, использующий сложные функции [4, с. 7].

f

При помощи первого приема, строятся графики функций таких видов: y = , - ,

yjg

fx) n P

y =-, y = P , y = —— ..., а с использованием второго приема строятся графики функций

g(x) Qn

таких видов: y = f (g (x)), где f (x) и g( x) - линейные, квадратичные функции и др.

Анализ операционных составов действий этих двух приемов позволил выбрать для разработки и применения данной методики прием «приближающих» функций по следующим причинам, во-первых,он является наиболее простым из двух этих приемов и, во-вторых,первые три действия этого приема задействованы затем при построении сложных функций.

Сущность данного приема заключается в том, чтобы как можно точнее построить график функций в крупном блоке. Для этого учили использовать 4 основных свойства функций в их целостной взаимосвязи:

1. нахождение области определения для исходной функции;

2. нахождение нулей функции;

3. определение промежутков знакопостоянства исходной функции;

4. поведение функции в нулях и на бесконечности [3, с. 11].

Рассмотрим применение разработанной методики на примере.

Пример. Построить эскиз графика функции y = (x — 3) • (2 • x — 8).

1. Найдем область определения данной функции и выясним, что это «знание о функции» дает для построения эскиза ее графика.

В данном примере D (y) = R . Это означает, что для всех действительных аргументов x обязательно существует соответствующее значение функции. На координатной плоскости выделим это следующим образом (рис. 1).

У

х

Рис. 1. 2. Найдем нули функции.

Для этого решим уравнение у( х) = 0. Корни этого уравнения, при условии, что они существуют, являются так же и нулями данной функции.

У = 0 О (х - 3) • (2 • х - 8) = 0 о

х - 3 = 0 2 • х - 8 = 0

о

х=3 х = 4

Исходя из этих данных, можно сделать вывод о том, что точки (3;0); (4;0) принадлежат искомому нами графику, что означает, что график данной функции пересекает ось ОХ в двух этих точках.

Определим теперь характер пересечения данных точек искомым графиком функции (рис.

2).

Л

У

х

Рис. 2.

«Крестиками» на рис. 2 обозначены два возможных варианта пересечения графиком функции оси ОХ. На данном этапе невозможно определить, каким именно образом «сверху вниз» или «снизу вверх» график пересечет данную ось.

3. Найдем промежутки знакопостоянства исследуемой функции.

Для этого необходимо составить и решить методом интервалов следующие неравенства.

(х-3)• (2• х-8) < 0.

(х - 3) • (2 • х - 8) > 0 (рис. 3).

0

0

Рис. 3.

Таким образом, мы получили, что решением первого неравенства будет промежуток со знаком «-», т.е. х е (3;4).

Решением второго неравенства будут промежутки со знаком «+», т.е. х е (- ю;3) и (4;+ю).

Исходя из этого, мы можем сделать следующие выводы:

1. Ось ОХ делится на три промежутка, в каждом из которых значение функции либо только положительно, либо только отрицательно;

2. у > 0при х е (- го;3) и (4;+ю), что означает, что на данных отрезках график функции расположен выше оси ОХ;

3. у < 0при х е (3;4), что означает, что на данном отрезке график функции расположен ниже оси ОХ.

Отметим штриховкой на графике функции те области, которые не удовлетворяют исходным условиям и, соответственно, не понадобятся нам для построения эскиза (рис. 4).

Рис. 4.

Теперь так же можно указать «характер» пересечения искомым графиком оси ОХ (рис. 5).

к

Рис. 5.

Исследуем поведение функции в окрестностях нулей функции и на бесконеч-

ности.

Рассмотрим случай, когда х ^ 3 .

Зададим ряд чисел, элементы которого приближаются к точке х = 3 слева. Например, возьмем отрезок ряда, предполагая его бесконечность, чисел 2,5;2,6;2,95;2,999 . Данный «ряд» можно выбирать произвольно, главное, чтобы все эти числа постепенно «приближались» к выбранному нулю функции в интересующем нас направлении.

Теперь рассмотрим, какие значения принимают функции у = х - 3и у = 2 • х - 8,

у = (х - 3) • (2 • х - 8) при данных значениях. Для этого составим таблицу и заполним ее.

Таблица 1.

Нахождение «приближающих» значений функций при х ^ 3

2,5 2,6 2,95 2,999

у = х — 3 -0,5 -0,4 -0,05 -0,001

у = (2 • х — 8) -3 -2,8 -2,1 -2,002

у = (х — 3)-(2 • х — 8) 1,5 1,12 0,105 0,002002

Значения для заполнения данной таблицы считали при помощи калькулятора.

Из таблицы 1, очевидно, что чем «ближе» аргумент расположен к нулю функции, тем «ближе» соответствующее значение функции к нулю. Можно сделать вывод о том, что если взять значения аргумента еще ближе к нулю функции, то и значение самой функции будет бесконечно «стремиться» к нулю. Данный вывод можно сделать по всем строкам данной таблицы.

Будем говорить, что при значении аргумента, стремящегося к нулю функции (при х ^ 3 , то у = х — 3 ^ —0,001), значение функции так же стремится к нулю. Исходя из этого, можно сделать вывод о том, что функция у = х — 3 может быть «заменена» в «очень малой» «левой» окрестности тройки на число -0,001.

Аналогичную замену для функции у = 2 • х — 8 невозможно, поскольку она имеет «неровный» характер изменения значения аргумента.

Анализируя последнюю строку таблицы, можно сделать вывод о том, что при приближении значения аргумента к тройке, значения функции стремятся к 0. Но, поскольку она так же имеет «неровный» характер «стремления», то ее нельзя заменить числом 0.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что функция у = (х — 3) • (2 • х — 8) в «левой» окрестности точки с координатой 3, может быть заменена на функцию вида: у = (—0,001) • (2 • х — 8).

Теперь рассмотрим ряд чисел, элементы которого приближаются к 3 справа. Например, возьмем числа 3,001;3,01;3,5;3,6. Так же можно выбрать любой другой отрезок «ряда».

Рассмотрим, какие значения принимают те же функции при данных значениях.

Таблица 2.

Нахождение «приближающих» значений функций при х ^ 3 +

3,001 3,01 3,5 3,6

у = х — 3 0,001 0,1 0,5 0,6

у = 2 • х — 8 -1,998 -1,98 -1 -0,8

у = (х — 3)-(2 • х — 8) -0,001998 -0,198 -0,5 -0,48

Анализируя таблицу 2, подобным образом, можно сделать следующие выводы: при

х ^ 3 + , у = х — 3 ^ 0— .

Теперь проанализируем «характер» поведения данной функции, когда аргумент стремится

к .

Рассмотрим случай, когда х ^ .

Таблица 3.

Нахождение «приближающих» значений функций при х ^

50 100 200

у = (х — 3)-(2 • х — 8) 4324 18624 77224

у = 2 х2 5000 20000 80000

Анализируя данную таблицу, можно сделать вывод о том, что чем больше значение х, тем больше значение функции у = (х — 3)-(2 • х — 8), т.е. при х у . При этом

следует отметить, что данная функция стремится к +да так же, как и функция у = 2X2. Отсюда

можно сделать вывод, что исходную функцию на +да можно заменить на функцию у = 2X2. Рассмотрим случай, когда X ^ —да .

Таблица 4.

Нахождение «приближающих» значений функций при X ^ —да

-50 -100 -200

у = (х — 3)-(2 • х — 8) 5724 21424 82824

у = 2 х2 5000 20000 80000

Из таблицы видно, что чем больше значение X , тем больше значение у , т.е. при

X ^ —да, у ^ да , так же как и функция у = 2x2. Отсюда можно сделать вывод, что исходную

функцию на —да можно заменить на функцию у = 2x2.

Исходя из проведенного анализа, построим исходную функцию у = (X — 3) • (2 • X — 8). Поскольку при эскизировании соединяются не точки графика, а его части, то соединив, полученные ранее части графика, получим искомый нами эскиз (рис. 6).

Рис. 6.

На основе данного приема нами была разработана и апробирована методика обучения школьников и студентов [2, 18].

Основной целью данной методики является формирование целостного представления каждого свойства элементарных функций в отдельности и целостном видении этих свойств на эскизе графика функции.

Смысл данной методики заключался в следующем: и у школьников, и у студентов вначале была проведена проверка остаточных знаний, затем их учили строить графики функций вида:

у = (ах + Ъ)к • (сх + d)п;к,п = 1,2...;

у =

0.X + Ъ _ СХ+й ' = (ах + Ъ)(сх + d) ;___(ах + Ъ) ; у =

(ах + Ъ)2

у =

у =

(сначала в

развернутой динамике; затем в ^гКе+й^том виде на аднЬм графике и завершалось все исследованием всех случаев, расположения нулей функций данного вида), затем проверяли эффективность данной методики для функций данных видов, после этого вводили новый вид функций, снова проверяли эффективность и так четыре среза. После этого была проведена итоговая контрольная работа по всем видам функций [1, 29].

Для того чтобы применение данной методики было наиболее эффективным, необходимо соблюдение некоторых принципов.

К основным принципам отнесем принцип содержательной преемственности построения данной методики от более простого к более сложному. Последовательность функций, которые должны быть построены в ходе урока, а затем и в ходе самостоятельного закрепления, подбирались, исходя из этого принципа.

И у студентов и у школьников в ходе применения данной методики формировалось целостное представление информации. Целостность информации являлась как условием, так и результатом обучения данной методики. Качество результативности усвоения информации в целостном виде зависит от адекватной степени самостоятельности обучающегося.

Так же большую роль при применении данной методики играл принцип операционной преемственности. Данный принцип так же содержит в себе несколько пунктов. Рассмотрим данный принцип более подробно.

Развернутость предъявления информации должна удовлетворять всем требованиям поэтапного формирования умственных действий.

Развернутость представления информации должна быть и средством усвоения информации и средством получения новой информации.

По мере обучения следует усиливать активность информированных действий для получения новой информации самостоятельно.

Самостоятельность обучающегося таким образом следует понимать и как важное образовательное условие обучения, и в качестве результата обучения. Поэтому организация обучения по мере углубления в изучаемый материал должна предусматривать самостоятельную работу и в большем объеме, и в большем спектре дидактических целей (и усвоение, и получение новых знаний, и самоконтроля, и контроля и т.д.). Для того чтобы это было наиболее эффективным, необходимо предоставлять самостоятельные работы обучающимся не только когда преподаватель уверен в результате, но и когда не уверен.

Необходимо так же чтобы контроль преподавателя осуществлялся при непосредственном самоконтроле обучающегося, так как эти действия находятся в непосредственной взаимосвязи.

Эффективность разработанной методики проверялась в ходе экспериментальной работы, которая проводилась на базе факультета физики, математики, информатики в 2013 году со студентами второго курса и в школе №2 в 10 классе ст. Староминской в этом учебном году.

Смысл экспериментальной работы заключался в прохождении всех вышеуказанных этапов, контрольных срезов на каждом этапе обучения, итоговой контрольной работы, которые были построены так, чтобы для оценки эффективности можно было применить к ним коэффициент правильности и критерий знаков как к зависимым выборкам.

Таким образом, эффективность применения данной методики обоснована распределением большинства учащихся по среднему и высокому уровню в соответствии с коэффициентом правильности и статистической значимостью каждого этапа разработанной методики.

Исходя из описанной выше методики и эффективности ее применения, как для студентов, так и для школьников, можно сделать ряд выводов.

1. Эффективность методики наблюдалась за счет целостности и поэтапной динамичности предъявления всего процесса построения эскиза графика функции [4; 5].

2. Целостность предъявления процесса «эскизирования» была обеспечена, во-первых, результативностью процесса «эскизирования» - эскиз графика получался всегда, во-вторых, выявлением всевозможных конфигураций конкретного вида функции.

3. Динамичность процесса «эскизирования» была начальным этапом обучения «эскизиро-ванию» и средством развертывания действия «эскизирования» в проблемной ситуации любой сложности. Графики функций строились сначала в развернутой динамике: каждое свойство отображалось на отдельном рисунке. Затем построение рассматривалось в свернутой динамике: все свойства изображались на одном графике. Потом рассматривались всевозможные случаи расположения «нулей» для функций данного вида и все осуществлялось в направлении усложнения «функций».

4. Сложность эскизов графиков функций, выбранных нами для построения, постоянно увеличивалась. Сначала строили графики функций, представляющие собой какую-либо непрерывную кривую, затем появлялись дробно - рациональные функции, после этого увеличивали степени числителя и знаменателя, тем самым увеличивая количество нулей функции, и появлялась необходимость определения существования у функции асимптоты и вычисление точки пересечения графика функции с его асимптотой и т.д. [3, 16].

5. По результатам проведенного нами эксперимента, можно сделать вывод о том, что студенты усвоили данную методику лучше, чем школьники. Это можно обосновать тем, что у них уже имелся определенный «запас знаний», необходимый для построения эскизов графиков функций.

Переход от одной контрольной работы к другой был статистически значимым по критерию знаков, но для студентов наиболее сложным оказался переход от самостоятельного решения примеров произвольным методом к построению эскизов графиков функций при использовании данной методики. А для школьников наименее значимым был переход от построения эскизов гра-

фиков функций, у которых степень числителя больше степени знаменателя к итоговой контрольной работе, в которой нужно было строить эскизы графиков функций различных видов функций.

Применение данной методики оказалось эффективным и получило свое подтверждение, как среди студентов, так и среди школьников. Данную методику можно применять как в средней образовательной школе, так и в высших учебных заведениях, с целью обучения построению эскизов графиков функций различного уровня сложности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Атурин, В.В. Высшая математика. - М.: Академия, 2010. - 304 с.

2. Баврин, И.И. Высшая математика. - М.: Академия, 2010. - 401 с.

3. Поспелов, А.С. и др.: Сборник задач по высшей математике. - М.: Юрайт, 2011. - 248 с.

4. Макарченко, М.Г. Методическая составляющая контекстного обучения будущих учителей математики (монография) Таганрог: ИП Кравцов В.А., Танаис, 2009. - 296 с.

5. Макарченко, М.Г., Подходова, Н.С. Идея доказательства теоремы как составляющая профессионального контекста будущего учителя математики // Вестник Поморского университета. - 2009 - № 4.

УДК 514 ББК 22.151я72-4

А.А. Бузнякова

СМЫСЛ «ОБЪЯСНЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ» С ПОЗИЦИЙ СТРУКТУРЫ ИНФОРМАЦИИ В ТЕКСТЕ ШКОЛЬНОГО УЧЕБНИКА ГЕОМЕТРИИ

Аннотация. В данной статье представлен смысл термина «объяснение доказательства теоремы», приведены некоторые основные принципы построения объяснения с учетом структуры информации в тексте учебника. Приведены приме

Ключевые слова: Теорема, доказательство теоремы, объяснение доказательства теоремы, идея доказательства теоремы, основные принципы построения доказательства теоремы.

A. А. Buznyakova

SEMANTIC OF «EXPLAINING OF THEOREM PROVING» WITH POSITION OF STRUCTURE OF INFORMATION IN TEXT OF SCHOOL TEXTBOOK OF GEOMETRY

Abstract. The basic aspects of semantic of «explaining of theorem proving» with position of structure of information in text of school textbook of geometry is presented in the article. Examples are given.

Keywords: theorem, theorem proving, explaining of theorem proving, idea of theorem proving, basic aspects of construction of theorem proving.

Одной из основных задач обучения геометрии можно считать формирование у учащихся умения самостоятельно решать задачи на доказательство. Но прежде чем впервые приступить к обучению доказательствам, школьникам должны регулярно представлять образцы правильно построенных рассуждений. Часть из этих образцов рассуждений учащимся может и должен предъявить их учитель математики на примерах доказательств теорем. При этом доказательство отдельно взятой теоремы должно представлять действительно правильно построенное поисковое рассуждение.

Что же можно часто увидеть на уроках геометрии на самом деле? Это, как правило, пересказ или рассказ текста учебника.

В качестве примера приведем описание доказательства следующего утверждения.

ПРИМЕР 1. Сумма углов выпуклого n- угольника равна 180 (n-1).