ПРИМЕНЕНИЕ R/φ-АЛГОРИТМА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА

Литература

1. Акопов В. В. О связи магнитного сопротивления с импедансом магнитного поля. // Наука, техника и образование. 4 (10) 2015. 28 с.

2. Акопов В. В. О связи магнитного сопротивления с индуктивным сопротивлением контура. // Наука, техника и образование. 2 (20) 2016. 7-9 с.

Применение r/ф-алгоритма для определения производной функции

Вейерштрасса

12 3

Шмойлов В. И. , Кириченко Г. А. , Плющенко С. В.

1Шмойлов Владимир Ильич /Shmoylov Vladimir Wich - научный сотрудник, Научно-исследовательский институт многопроцессорных вычислительных систем;

2Кириченко Геннадий Анатольевич /Kirichenko Gennadij Anatol'evich - аспирант;

3Плющенко Сергей Викторович /Plushenko Sergej Viktorovich - студент,

Институт компьютерных технологий и информационной безопасности, Южный федеральный университет, Инженерно-технологическая академия, г. Таганрог

Аннотация: рассматривается подход к изучению недифференцируемых функций, базирующийся на методах теории непрерывных дробей. Установлено, что функция Вейерштрасса в рациональных точках x0 точно представляется конечными цепными дробями. Цепные дроби для функции Вейерштрасса определяются, исходя из исходных тригонометрических рядов посредством рекуррентного алгоритма Рутисхаузера. Построением так называемых соответствующих цепных дробей находятся значения расходящихся рядов. Этот прием используется при определении производной функции Вейерштрасса, которая может быть записана расходящимся тригонометрическим рядом. Суммированием расходящихся рядов были установлены значения производной функции Вейерштрасса в рациональных точках x0, причем, производные определяются конечными цепными дробями. Для определения производной функции Вейерштрасса использовался также r/ф-алгоритм. Ключевые слова: функция Вейерштрасса, суммирование расходящихся дробей и рядов, производная функции Вейерштрасса.

DOI: 10.20861/2312-8267-2016-21-002 УДК 517.524

Введение

В [1-5] был рассмотрен подход к изучению недифференцируемых функций, основные идеи которого связаны с г/£>-алгоритмом, предложенным для суммирования расходящихся непрерывных дробей. Применим к изучению функции Вейерштрасса несколько необычный приём, связанный с построением для рядов так называемых соответствующих цепных дробей [6]. Следует отметить, что цепные дроби получили в последнее время в вычислительной математике разнообразные применения [7-9]. Для суммирования расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей применяется r/ф-алгоритм [10], существенно расширивший область использования цепных дробей [11-15]. Этот же алгоритм был востребован при определении производной функции Вейерштрасса.

1. О некоторых характеристиках функции Вейерштрасса

Функция Вейерштрасса представляется рядом

W

n=0

где 0 < Ь < 1, а - нечетное натуральное число.

Функция Вейерштрасса всюду непрерывна. К. Вейерштрасс доказал [16], что если Ъп

аЪ >--V1 то функция Вейерштрасса (1) не имеет конечной производной ни при

2 ' каком значении х.

Период функции Вейерштрасса равен 2. На рис. 1 представлен график функции Вейерштрасса на интервале - 2 < х < 2 при а = 7 и Ь = 0,9.

Рис. 1. График функции Вейерштрасса

В табл. 1 показана точность, достигаемая при вычислении функции Вейерштрасса 0,9; 0,1) с учетом различного числа членов ряда.

Таблица 1. Вычисление функции Вейерштрасса при различном числе членов ряда

Число членов ряда, n Значения отрезка ряда, представляющего функцию Вейерштрасса Погрешность

2 4.2204978923192775586460397420421665166781144024692е-01 1.89e-01

4 8.0189459954066273614274755098801163816884173646915е-02 1.53e-01

8 1.3280176462992915573260042191912460739714187997666е-01 1.00e-01

16 1.8996856973325144189846843158747302278573490702436е-01 4.32e-02

32 2.2517012922955381321127980074052478742166044585789е-01 8.01e-03

64 2.3290175952504074389342519523909093248589396724251е-01 2.75e-04

128 2.3317635499836877544784036173119612917618731038072е-01 3.24e-07

256 2.3317667913321116811724129275538570577751743695572е-01 4.51e-13

512 2.3317667913366174357160353497497570773161651672808е-01 8.71e-25

1024 2.3317667913366174357160440563768875782752013272985е-01 3.25e-48

Рассмотрим распределение значений функции Вейерштрасса на экстремально малом интервале, а именно, при Д = 10-300 На рис. 2 показан график функции Вейерштрасса с параметрами а = 7; Ь = 0,9 на интервале Д = 10-300

Функция Вейерштрасса непрерывна в классическом смысле, так как существует предел lim f (x) = f (a). Из табл. 2 видно, однако, что значения функции

x^a

Вейерштрасса в точках х0+Д становятся «близкими» к значению функции Вейерштрасса в точке x0 при чрезвычайно малых значениях Д.

Таблица 2. Значения функции Вейерштрасса W(7; 0,9; 0,1+Д) при различных Д

Значе ние Д Значение функции Вейерштрасса в точках х0+Д W(Xo)- Щхо+Д>\

10"8 7.03572868503591089731662656211376043098531727582289028119593e- 01 4.70e-01

10-16 3.20733180632571301134540019606572188653878229737862341637813e- 01 8.76e-02

10-32 2.56180928511730305513974903805138604459611382716200133685240e- 01 2.30e-02

10-64 2.33541303271725083375936916633689033437185591321161407388559e- 01 3.65e-04

10-128 2.33176322692160345779285021926333847664419161660568200330212e- 01 3.56e-07

10-256 2.33176679133625844502873812089507021787307127291212906598672e- 01 3.59e-14

10-512 2.33176679133661743571604406042422476731687042776296698327206e- 01 4.05e-28

10-1024 2.33176679133661743571604405637688757827520132733104326271496e- 01 3.82e-56

В табл. 3 приведены значения функции Вейерштрасса в различных точках х, полученные вычислением ряда (1), при а = 7; Ь = 0,9.

Таблица 3. Значения функции Вейерштрасса, установленные при помощи рядов

Аргумент, x Значение функции Вейерштрасса

0,11111 0.76537635692490243286131333915959543572480440209926

0,22222 1.58847355043107530811305225550698905703979564127376

0,33333 2.35122181618483641764699054326721014809410753048931

0,44444 0.52198479744428018753105054806804626706612737288241

Построим по ряду Вейерштрасса, так называемую, соответствующую цепную дробь. В [17] были рассмотрены многочисленные соответствующие непрерывные дроби для элементарных и специальных функций. Соответствующие цепные дроби, как правило, аппроксимируют функции в более широкой области, нежели ряды, а также имеют более высокую скорость сходимости. Соответствующие цепные дроби могут быть установлены по степенных рядам, которыми представляются функции. Помимо формул Хейлерманна-Стилтьеса и формул Хлопонина, известны рекуррентные алгоритмы для определения коэффициентов соответствующих непрерывных дробей, например, алгоритмы Висковатова, Никипорца, Рутисхаузера. Запишем алгоритм Рутисхаузера [18] и приведем граф этого алгоритма. Определим для ряда

«оо + «10 + «11 + «12 +  + «1п-1 + ••• (2) коэффициенты «я0 соответствующей цепной дроби:

„ , «10 «20 «30 «40 «50 «2п,0 «2п+1,0 (3) «00 + - - - --- -  V-','

00 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - - 1 + 1 -

Коэффициенты цепной дроби (3) находятся по рекуррентным формулам

а1,у+1

а2,у ='

а

1,У

а3у = а2.у+1 + а2,у.

а

а 4уу =

2,у+1 ' а3.у+1

а

з,у

а5,у = а3,у+1 а4,у+1 + а4,у.

а

2п-1.у

а2п+1.у = а2п-1.у+1 а2п.у+1 +а2пу,

Элемент таблицы Рутисхаузера определяется по формулам (4) всего за две операции: при нахождении элемента нечетной строки нужна одна операция сложения и одна операция вычитания. При нахождении элемента четной строки используется одна операция умножения и одна операция деления. Особенность метода Рутисхаузера - востребованность данных большой разрядности. При определении коэффициентов цепной дроби использовалась разрядная сетка в 8000 бит.

Схема Рутисхаузера, определяемая формулами (4), показана на рис. 3.

Рис. 3. Схема алгоритма Рутисхаузера

В табл. 4 приведены коэффициенты соответствующей цепной дроби, построенной для функции Вейерштрасса Щ7;0,9) в точке х = 0,222222.

а =

2 п.у

Таблица 4. Значения коэффициентов цепной дроби, представляющей функцию Вейерштрасса

Ш

Номер звена дроби, п Значения коэффициентов цепной дроби, апЛ Значения подходящих дробей, Рп+1/бп+1

0 0,7660448919 0,7660448919

1 0,1562790285 0,9223239204

2 -4,8704010562 0,7926664169

3 -4,1365577979 0,4833329437

4 -0,1660285263 0,5946467407

5 -0,0014186983 0,5947479255

797 0,6909124693 0,0122795277

798 -9,4798262229 0,0122795277

799 -10,3483975575 0,0122795277

800 -0,7585597831 0,0122795277

801 4.156312е-150 0,0122795277

Так как = 4,1563 -10 150, то полученная соответствующая цепная дробь

конечная. Подставляя коэффициенты цепной дроби, приведенные во второй колонке табл. 4, в цепную дробь вида (3), получим конечную соответствующую цепную дробь, представляющую функцию Вейерштрасса:

W(7;0,9;0,222222) = 0,766044 + 0156279 " 4,870401 -10,348397

1 - 1 +... + 1 -0,758559

= 0,012279.

1

В табл. 5 приведены результаты определения значений функции Вейерштрасса через соответствующие цепные дроби, построенных из исходных рядов (1) с параметрами, а = 7; Ь = 0,9. Переменные х имеют шесть десятичных разряда: х = 0,111111; х = 0,222222; х = 0,333333; х = 0,444444.

Таблица 5. Значения функции Вейерштрасса, установленные через цепные дроби

Аргумент, х Значения функции Вейерштрасса Значения конечных звеньев цепной дроби Номер Конечного звена дроби

0,111111 -0.2891258132695 0.1563119е-152 1601

0,222222 0.0122795276749 4.1563119е-150 801

0,333333 3.6761809804422 -2.4201470е-155 801

0,444444 -1.2241731996156 -1,6155829е-327 801

В табл. 6 приведены значения функции Вейерштрасса Щ7;09), определенные при помощи ряда (1) в тех же точках х, в которых значения функции устанавливались конечными цепными дробями.

Аргумент, x Значения функции Вейерштрасса

0,111111 -0.2891258132695

0,222222 0.0122795276749

0,333333 3.6761809804422

0,444444 -1.2241731996156

Сравнивая вторые колонки табл. 5 и табл. 6 можно отметить совпадение значений функций Вейерштрасса, вычисленных по различным алгоритмам при помощи рядов и цепных дробей.

3ж

Как уже отмечалось, было доказано, что при ab >__+ 1 функция Вейерштрасса

2

ад

W

n=0

не имеет производной в классическом смысле, т. е. не существует предела

lim f

Д^о Дx

ни при каком значении x.

Установим производную функции Вейерштрасса иным путем, а именно, исходя из расходящегося ряда, которым производная функции Вейерштрасса может быть представлена:

ад

W'

n=0

В табл. 7 приведены коэффициенты конечной цепной дроби для производной функции Вейерштрасса с параметрами а = 7; b = 0,9 в точке x = 0,222222.

Таблица 7. Значения коэффициентов цепной дроби, представляющей производную функции Вейерштрасса в точке x=0,222222

Номер Звена дроби, n Значения коэффициентов цепной дроби, «n.0 Значения Подходящих дробей, Pn+1/Qn+1

0 -2,0193751523 -2,0193751523

1 19,4913650484 17,4719898961

2 -2,1881707922 4,0942763172

3 -14,0238061943 21,4081167697

4 -18,1397215545 0,1023857378

5 0,0285510428 -0,0387938579

797 -0,5746896483 -13,3023567439

798 -316,1175508901 -19,3952807426

799 -313,4270699003 94,6087767123

800 0,2741924574 0,0719814736

801 -2,086761283e-326 0,0719814736

В табл. 8 приведены значения производной функции Вейерштрасса с параметрами а = 7; Ь = 0,9 в серии рациональных точек: х = 0,111111; х = 0,222222; х = 0,333333; х = 0,444444.

Таблица 8. Значения производной функции Вейерштрасса, установленные через цепные дроби в

различных точках х

Аргумент, X Значение производной функции Вейерштрасса Значения конечных звеньев цепных дробей Номер конечног о звена

0.111111 -0.062460305523185 0.2199911е-151 1601

0.222222 0.071981473618939 -2.0867613е-326 801

0.333333 9.844370595748815 -0.4870014е-326 801

0.444444 0.049322958204706 1.6961502е-325 801

В [19] предложено иное, нежели традиционное определение сходимости непрерывных дробей. Для установления значений непрерывных дробей используется

г/ф-алгоритм:

Непрерывная дробь сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число 2 = , если существуют пределы:

11т п ПР /а| = Г,

п

'=1

жШ ^ = Ы

п

где - значение 1-й подходящей дроби; кп - число отрицательных подходящих дробей из совокупности, включающей п подходящих дробей.

Этот способ выходит за рамки традиционных методов суммирования, ибо позволяет, при определенных условиях, за последовательностью вещественных подходящих дробей усмотреть некое комплексное число, которое, собственно, и представлено этой непрерывной дробью. Признаком комплексности такой расходящейся непрерывной дроби с вещественными элементами служат перемены знаков её подходящих дробей, причем, эти перемены знаков происходят сколько угодно много раз. Другими словами, комплексная единица е' устанавливается из «поведения» подходящих дробей непрерывной дроби. Параметры же комплексного

числа 2 = Г0в'%, то есть модуль г0 и аргумент ф0, могут быть определены, в

частности, так называемым г/ф-алгоритмом, то есть формулами (7) и (8).

В случае непрерывных дробей, сходящихся в классическом смысле, аргумент ф0 примет значения 0 или п. Если ф0 = 0, то значения сходящейся непрерывной дроби

будет совпадать со значением модуля г0: 2 = г0в= г0. Если ф0 = п, то значение

сходящейся непрерывной дроби будет отрицательное число: 2 = г0в 'ж = —г0.

Несмотря на то, что понятия сходимости и расходимости относятся к бесконечным цепным дробям, определим эти понятия для конечных цепных дробей, беря термины в кавычки, указывая, тем самым, что рассматриваются конечные цепные дроби. Целесообразность введения понятий «сходимости» и «расходимости», применительно к конечным цепным дробям обусловлено тем обстоятельством, что в некоторых практически важных случаях решение задачи мы получаем именно в конечных цепных дробях, как, например, при решении систем линейных алгебраических уравнений методом цепных дробей или при суммировании некоторых расходящихся рядов [20]. К конечным цепным дробям приходим и при определении производной функции Вейерштрасса в рациональных точках.

43

Конечная цепная дробь с п звеньями

а

0 ъх + ь2 +...+ьп

будет «сходиться», если последовательность её подходящих дробей

Р Р Р Р

Р0 Р1 Р2 Р п—1

а Я яг "а—

приближается к значению —^, то есть имеет место цепочка неравенств:

Яп

Р Рг

Яп

0

Яо

>

Р

Яп

Р Я1

>

РР

>... >

РР

п—1

Яп Яп—1

2

Яп Я2

Если последовательность подходящих дробей (10) не приближается к значению конечной цепной дроби (9), то есть не имеет места цепочки неравенств подходящих дробей (11), то конечную цепную дробь (9) будем называть «расходящейся».

Для определения значений «расходящихся» конечных цепных дробей, также, как и в случае расходящихся бесконечных цепных дробей, будем использовать с некоторой модификацией г/ф-алгоритм:

Конечная цепная дробь (9) имеет в общем случае комплексное значение

'Фп

z

п. Модуль гп и модуль аргумента \фп\ определяются по формулам:

Г = п п '

АП1Р / Я.

V г=1

к„

I Фо М —, п

где - подходящие цепной дроби (10), кп - число отрицательных подходящих из общего числа п подходящих дробей.

Здесь надо отметить, что сам факт конечности цепных дробей не имеет принципиального значения при определении их «сходимости» и «расходимости», так как конечные цепные дроби могут включать сколь угодно большое число звеньев.

На рис. 4 приведены первые и последние 100 подходящих дробей цепной дроби, представляющей производную функции Вейерштрасса с параметрами а = 7; Ь = 0,9 в точке х = 0,222222. Конечная цепная дробь для производной функции Вейерштрасса в точке х = 0,222222 с шестью десятичными разрядами содержит 800 звеньев.

п

60 40

и .    , п II 1 О

II

-60

СИ ,т 1 I п II Г.

1 о ОО

Рис. 4. Значения подходящих цепной дроби, представляющей производную W

Из рис. 4 видно, что цепная дробь, представляющая производную функции Вейерштрасса, не сходится в классическом смысле.

В табл. 9 приведены результаты определения значений расходящейся в классическом смысле цепной дроби, которая получена для производной функции Вейерштрасса при помощи модифицированного г/ф-алгоритма. Для определения коэффициентов цепной дроби использовался алгоритм Рутисхаузера. Полученная цепная дробь - конечная, так как 801-й коэффициент этой цепной дроби близок к

нулю: а8 =-2,0867бе~326.

Таблица 9. Определение комплексной производной функции Вейерштрасса с параметрами а =

7; Ь = 0,9 в точке х = 0,222222

п Коэффициенты ряда, сп Коэффициенты цепной дроби, ап,о Значения подходящих Рп+1^п+1 Значения модуля Гп+1 Значения аргумента фп+\

0 -2,019375152 -2,019375152 2,019375152 2,019375152 3,141592654

1 19,49136505 19,49136505 17,4719899 5,939907597 1,570796327

2 -42,6504357 -2,188170792 4,094276317 5,247013429 1,047197551

3 -504,7950067 -14,02380619 21,40811677 7,457250777 0,785398163

4 4875,186804 -18,13972155 0,102385738 3,163085208 0,628318531

5 -11006,63776 0,028551043 0,038793858 1,518982969 1,047197551

795 3,4214820е+635 -45,98182002 75,12667203 10,54416939 1,716825131

796 3,0036140е+636 1,403436219 -19,4158875 10,55224954 1,718612794

797 2,0565214е+637 -0,574689648 13,30235674 10,55531254 1,720395977

798 1,9077442е+638 -316,1175509 19,39528074 10,56335297 1,722174696

799 5,0894769е+638 -313,4270699 94,60877671 10,59234101 1,720021978

800 5,8928721е+639 0,274192457 0,071981474 10,52653946 1,717874635

801 5,8566322е+640 -2,08676е-326

Таким образом, просуммировав при помощи г/ф -алгоритма расходящуюся в классическом смысле цепную дробь, представляющую производную функции Вейерштрасса с параметрами а = 7; Ь = 0,9 в точке х = 0,222222, получим значение комплексной производной:

Ж'(7; 0,9; 0,222222) = 10,527 е'1,718.

На рис. 5 показаны значения модуля гп комплексного числа, являющегося значением «расходящейся» цепной дроби, представляющей производную функции Вейерштрасса с параметрами а = 7; Ь = 0,9 в точке х = 0,222222.

Рис. 5. Значение модуля гп комплексного числа 45

На рис. 6 приведены значения аргумента фп комплексного числа, представленного расходящейся цепной дробью, найденной для производной функции Вейерштрасса.

Рис. 6. Значение аргумента фп комплексного числа

Аналогичным способом были установлены значения комплексных производных функции Вейерштрасса с параметрами а = 7; Ь = 0,9 в точках: х = 0,111111 и х = 0,444444:

Г'(7;0,9;0,111111) = 20,220 е'1,419; (7;0,9;0,444444) = 37,590 е'1,518.

Заключение

Применение цепных дробей позволило установить наличие производной функции Вейерштрасса в рациональных точках. Цепные дроби можно использовать при рассмотрении других функций, которые не имеют производных в классическом смысле.

Перспективным подходом к изучению быстро осциллирующих функций является метод, связанный со способом суммирования расходящихся цепных дробей, именуемый как г/ф -алгоритм. Этот алгоритм дает возможность установить комплексные значения расходящихся в классическом смысле цепных дробей, имеющих вещественные звенья, и позволяет подойти к изучению производных быстро осциллирующих функций с принципиально новых позиций.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ, НИР №2257 базовой части государственного задания № 2014/174.

Литература

1. Левин И. И., Хисамутдинов М. В., Шмойлов В. И. Функция Вейерштрасса и r/ф-характеристики. // Известия ЮФУ. Технические науки, 2014, № 1, с. 144-158.

2. Шмойлов В. И., Хисамутдинов М. В., Кириченко Г. А. Интервальные и предельные r/ф-характеристики функции Вейерштрасса. // Вестник МИФИ, 2014, Т. 3, № 3, с. 301-310.

3. Хисамутдинов М. В., Шмойлов В. И. Предельные r/ф-характеристики функции Вейерштрасса. // Нелинейный мир, № 3 Т. 13, 2015. с. 39-52.

4. Guzik V. F., Shmoylov V. I., Lyapuntsova E. V., Kirichenko G. A. One of the approaches to the analysis of rapidly oscillating functions. // Transactions on Information and Communication Technologies, Vol. 58, - 2014, p. 405-413.

5. Шмойлов В. И., Кириченко Г. А., Плющенко С. В. О производной функции Вейерштрасса // Приволжский научный вестник. № 1 (53) - 2016. - С. 20-27.

6. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения. -Пер. с англ. - М.: Мир, 1985. - 414 с.

7. Скоробогатько В. Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. - М.: Наука, 1983. - 312 с.

8. Cuyt A., Petersen V., Verdonk B., Waadeland H., Jones W. Handbook of Continued Fractions for Special Functions. - Springer Science. 2008. - 431 pp.

9. Shmoylov V. I., Kirichenko G. A. Algorithm for Summation of Divergent Continued Fractions and Some Applications. // Computational Mathematic and Matematical

Physics, 2015, vol. 55, № 4, pp. 549-563.

10. Шмойлов В. И. Периодические цепные дроби - Львов: Академический экспресс, 1998. - 219 с.

11. Шмойлов В. И. Непрерывные дроби. В 3-х т., Т. 1., Периодические непрерывные дроби. // Нац. акад. наук Украины, Ин-т прикл. проблем механики и математики. -Львов, 2004. - 645 с.

12. Шмойлов В. И. Непрерывные дроби. В 3-х т., Т. 2., Расходящиеся непрерывные дроби. // Нац. акад. наук Украины, Ин-т прикл. проблем механики и математики. -Львов, 2004. - 558 с.

13. Шмойлов В. И. Непрерывные дроби. В 3-х т., Т. 3., Из истории непрерывных дробей. // Нац. акад. наук Украины, Ин-т прикл. проблем механики и математики. Львов, 2004. - 520 с.

14. Шмойлов В. И. Расходящиеся системы линейных алгебраических уравнений. -Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. - 205 с.

15. Шмойлов В. И., Редин А. А., Никулин Н. А. Непрерывные дроби в вычислительной математике. - Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2015. - 228 с.

16. Weierstrass K. Math. Werke. Bd.2. Berlin, 1895. Abh. 6.

17. Шмойлов В. И. Непрерывные дроби и r/^-алгоритм. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. - 608 с.

18. Рутисхаузер Г. Алгоритм частных и разностей. - М.: ИИЛ, 1960. - 93 с.

19. Шмойлов В. И. Суммирование расходящихся цепных дробей // Нац. акад. наук Украины, Ин-т прикл. проблем механики и математики. - Львов, 1997. - 23 с.

20. Гузик В. Ф., Ляпунцова Е. В., Шмойлов В. И. Непрерывные дроби и их применение. - М.: Физматлит, 2015 - 298 с.

Влияние температуры обратной сетевой воды на затраты теплоснабжающей организации в производстве тепловой энергии

Шматков А. Ю.

Шматков Александр Юрьевич /Shmatkov Alexander Yurevich - магистрант, факультет прикладной математики и информационных технологий, Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, г. Москва

Аннотация: в настоящей статье рассматривается влияние температуры обратной сетевой воды на затраты теплоснабжающей организации в производстве тепловой энергии; производится расчет КПД котла, выявляется зависимость между температурой уходящих газов и значениями КПД; производится расчет затрат на электроэнергию при увеличенном расходе теплоносителя.

Ключевые слова: температура обратной сетевой воды, КПД котла, температура уходящих газов, энтальпия, теплоноситель.

В настоящее время все чаще наблюдается завышение температуры обратной сетевой воды потребителем. Необходимо отметить, что повышенная температура обратной сетевой воды (завышение температуры обратной сетевой воды объектами теплоснабжения, вследствие увеличения объема подаваемой сетевой воды) непосредственно влияет на показатели работы системы теплоснабжения, влекущие за собой перерасход электрической энергии при транспортировке теплоносителя и повышенные затраты топлива на производство тепловой энергии за счет увеличенных объемов сетевой воды и снижения коэффициента полезного действия (далее КПД) котлоагрегатов.