Естественно редуктивные псевдоримановы однородные пространства и геодезические на них

12 ТРУДЫ БГТУ. 2013. № 6. Физико-математические науки и информатика. С. 12-16

УДК 514.76

Н. П. Можей, кандидат физико-математических наук, доцент

ЕСТЕСТВЕННО-РЕДУКТИВНЫЕ ПСЕВДОРИМАНОВЫ ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ НА НИХ

Работа посвящена описанию трехмерных естественно--редуктивных псевдоримановых однородных пространств и аффинных связностей, геодезических на них. Приведена классификация римановых (псевдоримановых) естественно-редуктивных однородных пространств, что эквивалентно описанию эффективных пар алгебр Ли, допускающих инвариантную невырожденную билинейную форму на изотропном модуле. Использован алгебраический подход к описанию аффинных связностей, применен аппарат теории групп и алгебр Ли, а также однородных пространств.

The paper is devoted to the study of threedimensional naturally reductive Riemannian (pseudo-Riemannian) homogeneous spaces and affine connections, geodesies on it. We present classification of Riemannian (pseudo-Riemannian) naturally reductive homogeneous spaces, it is equivalent to the description of effective pairs of Lie algebras supplied with an invariant nondegenerate symmetric bilinear form on the isotropy module. In this article we use the algebraic approach for description of affine connections, methods of the theory of Lie groups, Lie algebras and homogeneous spaces.

Введение. П. К. Рашевский ввел в рассмотрение новый класс пространств, представляющих собой пространства аффинной связности с кручением, у которых при параллельном переносе сохраняются как тензор кривизны, так и тензор кручения; эти пространства он назвал симметрическими пространствами с кручением [1]. В его работах для весьма широкого класса однородных пространств единообразным методом вскрывается свойственная этим пространствам геометрия. К сожалению, работы П. К. Рашевского не были оценены в свое время должным образом; его результаты были переоткрыты К. Номидзу и с тех пор вошли в число классических. Соответствующий класс однородных пространств, получивших название редуктивных пространств, оказался чрезвычайно полезным для многих исследований по однородным пространствам. Целью этой работы является описание естественно-редуктивных псевдоримановых однородных пространств и аффинных связностей, геодезических на них.

Основная часть. Пусть М - дифференцируемое многообразие размерности _3, на котором транзитивно действует группа О, (М, О) -однородное пространство, О = Ох - стабилизатор произвольной точки х еМ. Проблема классификации однородных пространств (М, О) равносильна классификации (с точностью до эквивалентности) пар групп Ли (О , О), где О с с О . Две пары групп Ли (О1, О1) и (О2, О2) эквивалентны, если существует изоморфизм групп Ли

п: О1 ^ О2, такой что п(О1) = О2.

Используя линеаризацию, эту проблему можно свести к классификации пар алгебр Ли (g , с точностью до эквивалентности пар. Пусть g -алгебра Ли группы Ли О, а g - подалгебра, соответствующая подгруппе О. Тогда многообразие М может быть отождествлено с многооб-

разием левых смежных классов О /О, а действие О на М при таком отождествлении принимает вид

^2О) = (5152)О для всех 51, s2 е О. Точка х при этом отождествляется со смежным классом еО, а касательное пространство ТхМ - с фактор-пространством g/g (см., например, [2]).

Пары g1) и g2) называются эквивалентными, если существует изоморфизм алгебр Ли

п: gl ^ g2 такой, что п = g2.

При изучении однородных пространств важно рассматривать не саму группу О, а ее образ в Э1ЩМ). Другими словами, достаточно рассматривать только эффективные действия группы О на многообразии М. В терминологии алгебр Ли условие эффективности эквивалентно следующему: назовем пару g) эффективной, если подалгебра g не содержит ненулевых идеалов алгебры Ли g.

В дальнейшем будем предполагать, что О -связная подгруппа, что всегда можно сделать, ограничиваясь локальной точкой зрения, следовательно, можно заменить везде требование О-инвариантности на инвариантность относительно соответствующих действий алгебры Ли g. Изотропное действие группы О на ТхМ - это фактор-действие присоединенного действия О на g :

•?.( х+g ) = (Аа 5)( х)+g,

для всех 5 е О, х е g. При этом алгебра Ли g действует на касательном пространстве ТхМ = = g /g следующим образом:

х.( у + g) = [х, у ] + g для всех х е g, у е g. Отображение

р: g ^ & / g), х ^ аа| g / gx

называется изотропным представлением подалгебры g. Пара (я) называется изотропно-точной, если точно изотропное представление подалгебры g. Будем называть однородное пространство (М, О) изотропно-точным, если это можно сказать про пару (g, g).

Риманово (псевдориманово) _ однородное пространство задается тройкой (О, М, р), где О — связная группа Ли, М является связным гладким многообразием с транзитивным действием О , а р — инвариантная риманова (псевдо-риманова) метрика на М. Инвариантные рима-новы метрики р на М находятся во взаимно однозначном соответствии с инвариантными симметрическими невырожденными билинейными формами В на g-модуле g / g [3].

Поскольку каждая инвариантная псевдори-манова метрика определяет инвариантную аффинную связность, g-модуль £ /g точен. Для нахождения всех изотропно-точных пар нужно: классифицировать (с точностью до изоморфизма) все точные трехмерные g-модули и, что эквивалентно классификации всех подалгебр в gl(3, К) с точностью до сопряженности; для каждого g-модуля и, найденного ранее, классифицировать (с точностью до эквивалентности) все пары (£, g) такие, что g-модули £ / g и и эквивалентны. Все такие пары найдены в источнике [4], дальнейшая нумерация пар соответствует приведенной там. Ограничимся случаем с ненулевым стабилизатором, т. к. все остальные псев-доримановы однородные пространства только трехмерные группы Ли с инвариантной метрикой. Билинейная форма В является инвариантной билинейной формой на g-модуле £ / g. Проверим выполнение этого условия для всех пар и выберем из них допускающие (псевдо)ри-манову метрику. Далее опишем все такие формы с точностью до индуцированного действия Аи1;( £, я). Получим следующий результат.

Теорема 1. Пусть (£, g, В) трехмерное локально псевдориманово естественно-редуктивное однородное пространство. Оно эквивалентно одной и только одной из следующих троек:

римановы:

№ Таблица умножения

е1 и1 и2 и3

е1 0 —и2 и1 0

1.3.1 и1 и2 0 0 0

и2 —и1 0 0 0

и3 0 0 0 0

е1 е2 е3 и и2 и3

е1 0 е3 —е2 —и3 0 и

е2 -е3 0 е1 —и2 и 0

3.5.1 еэ е2 —е1 0 0 —и3 и2

и1 и3 и2 0 0 0 0

и2 0 —и1 и3 0 0 0

и3 -и1 0 —и2 0 0 0

псевдоримановы:

№ Таблица умножения

3.4.1 е\ е2 е3 и1 и2 и3

е1 0 е2 —е3 и1 0 —и3

е2 —е2 0 е1 0 и1 и2

е3 е3 —е1 0 и2 и3 0

и1 —и! 0 —и2 0 0 0

и2 0 —и1 —и3 0 0 0

и3 и3 —и2 0 0 0 0

1.1.1 е1 и1 и2 и3

е\ 0 и1 —и2 0

и1 —и! 0 0 0

и2 и2 0 0 0

и3 0 0 0 0

1.8.1 е1 и1 и2 и3

е\ 0 0 и1 и2

и1 0 0 0 0

и2 —и1 0 0 0

и3 —и2 0 0 0

Здесь е, — базис g, и, - дополнительный к g в

Я (, = 1, 2, 3).

В Номер В Номер

0 0 £1, £2 = £ 0 0 £ = ±1, 3.5.1

0 0 =±1, 0 £ 0

0 0 £2 1.3.1 0 0 £

0 0 1 ±,1.8.1, 3.4.1 0 1 0 а = ±1, 1.1.1

0 —1 0 1 0 0

1 0 0 0 0 а

Аффинной связностью на паре ( я , я) называется такое отображение

Л: £ ^ я1 (V), где V = £ / я,

что его ограничение на я есть изотропное представление подалгебры, а все отображение является я-инвариантным. Инвариантные аффинные связности на однородном пространстве (М, О ) находятся во взаимно однозначном соответствии с аффинными связностями на паре (£, я). Поскольку тензоры кривизны и кручения инвариантны относительно действия группы Ли О, то они однозначно определяются тензорами на касательном пространстве к многообразию, причем эти тензоры инвариантны относительно изотропного действия.

Тензор кручения Т е 1пу Т2: (V) имеет вид

Т(XV, Уv) = Л(х)Уv - Л(у)XV - [х, у]

для всех х, у е £; тензор кривизны К е 1пу Т31 (V) имеет вид

К( XV, Уv) = [Л (х), Л (у )]-Л ([х, у]) для всех х, у е £ .

Дифференцируемый путь на М называется геодезической, если его касательное поле параллельно. Еще со времен возникновения римановой геометрии известно, что геодезические римано-ва многообразия локально минимизируют длину дифференцируемых путей.

Теорема 2. Инвариантные аффинные связности, тензоры кривизны и кручения, геодезические трехмерных естественно-редуктивных локально-псевдоримановых однородных пространств имеют следующий вид. 1.1.1. Связность:

r11dxDxdz + q31dxDzdy + r22dyDydz + +p32dyDzdx + p13dzDxdx + q23dzDydy + r33dzDzdz.

Тензор кривизны

Я = p13q31Dxdxdxdy - p13q31Dxdxdydx -

- ( -р13г33 + r11p13)Dxdzdxdz + + ( -р13г33 + r11p13)Dxdzdzdx -

- p32q23Dydydxdy + p32q23Dydydydx -

- ( ^23^3 + г22q2з)Dydzdydz + + ( ^23^3 + r22q2з)Dydzdzdy +

+ ^31Гп - r33q31)Dzdxdydz -

- (q31r11 - r33q31)Dzdxdzdy + + (Р32Г22 - rззpз2)Dzdydxdz -

- (Р32Г22 - rззpз2)Dzdydzdx -

- ( -р^и + p13q31)Dzdzdxdy + + ( -р3тЯ23 + p13q31)Dzdzdydx.

Тензор кручения

Т = ( -Г11 + p13)dxDxdz + ( -q31 + p32)dxDzdy + + ( Г22 + q2з)dyDydz - ( ^31 + pз2)dyDzdx -

- ( -ГЦ + p13)dzDxdx - ( -Г22 + q23)dzDydy.

Если (х(0; у(0; z(í)} кривая на М, тогда уравнения геодезических относительно связности - это система второго порядка ОДУ. Решив ее, получаем геодезические:

(х(0 = Сз, у(0 = С: - Гзз(С4 + С5) х X ехр( - 1п(С^Гзз + С5Г3з)(q23 + Г22) / Гзз)С2 / С4 /

/ (q23 + Г22 - Гзз), z(t) = 1п(С4Гзз + С5Г33) / Г33};

(х(0 = С2 + |ехр( - + Сб)(^1з + г„))^Сз; у(0 = I - (у2Гзз + w)/(exp( - (Ы^ + Сб)(р1з + гп))Сз х х (1 + qзl))dt + С^(1) = + Се},

где и - корень уравнения

( -(и + h2rззfr3Y)(h2Plз + н2гп + ^23 + Н2Г22 + + 2и)( - р13 - г11 - 423 - г22) + С4) = 0;

V - корень уравнения

( - /Ч / udh + Г + С5) = 0; w - корень уравнения

- ^ + V2rзз)(2r33)(v2pl3 + V2rll + V2q23 + V2r22 +

+ 2w)( - Р13 - г11 - 923 - г22) + С4 = 0.

1.3.1. Связность:

r11dxDxdz - r12dxDydz + p31dxDzdx - p32dxDzdy + + r12dyDxdz + r11dyDydz + p32dyDzdx + p31dyDzdy + +p13dzDxdx - p23dzDxdy + p23dzDydx + p13dzDydy + + r33dzDzdz.

Тензор кривизны

Я = -( -p23p31 + p13p32)Dxdxdxdy + + ( -p23p31 + p13p32)Dxdxdydx + + (Р13Р31 + p2зРз2)Dxdydxdy -

- (РlзРзl + p2зРз2)Dxdydydx -

- ( -Р13Г33 + rllРlз + rl2Р2з)Dxdzdxdz -

- (Р23Г33 + Г12Р13 - г llР2з)Dxdzdydz + + ( -Р13г33 + гпр13 + r12p23)Dxdzdzdx +

+ (Р23Г33 + Г12Р13 - гllР2з)Dxdzdzdy -

- (Р13Р31 + p2зРз2)Dydxdxdy + + (Р13Р31 + p2зРз2)Dydxdydx -

- ( -Р2зРз1 + РlзРз2)Dydydxdy + + ( -Р2зРз1 + РlзРз2)Dydydydx +

+ (Р23Г33 + Г12Р13 - гllР2з)Dydzdxdz -- ( -Р13Г33 + + Г11Р13 + гl2Р2з)Dydzdydz -

- (Р23Г33 + Г12Р13 - г llР2з)Dydzdzdx +

+ ( -Р13Г33 + Г11Р13 + rl2Р2з)Dydzdzdy + + (Р31Г11 - Р32Г12 - Г33Р31 )Dzdxdxdz -

- (Р31Г12 + Р32Г11 - rззpз2)Dzdxdydz -

- (Р31Г11 - Р32Г12 - Г33Р31 )Dzdxdzdx +

+ (Р31Г12 + Р32Г11 - rззpз2)Dzdxdzdy + + (Р31Г12 + Р32Г11 - rззpз2)Dzdydxdz + + (Р31Г11 - Р32Г12 - Г33Р31 )Dzdydydz -

- (Р31Г12 + Р32Г11 - rззpз2)Dzdydzdx -

- (Р31Г11 - Р32Г12 - Гззрз1 )Dzdydzdy + + ( -2р23р31 + 2p13p32)Dzdzdxdy -

- (-2р23р31 + 2p13p32)Dzdzdydx.

Тензор кручения

Т = ( -г:1 + p13)dxDxdz + (г12 + p23)dxDydz + + 2p32dxDzdy - (г12 + p23)dyDxdz + ( -г:1 + +p13)dyDydz - 2p32dyDzdx - ( -г:1 + p13)dzDxdx + + (г12 + p23)dzDxdy - (г12 + p23)dzDydx - ( -г:1 + +p13)dzDydy.

Уравнения геодезических относительно связности:

(х(0 = С4, у(0 = Сз, г(0 = 1п(С1^Гзз + С2Г33) / гзз}; (х(г) = Сз, у(0 = С2, 2<0 = С1}.

1.8.1. Связность:

-p12dxDxdy + r11dxDxdz - p12dxDydz + p12dyDxdx + + q12dyDxdy + r12dyDxdz + (г:1 + q12)dyDydz -

- p12dyDzdz + p13dzDxdx + q13dzDxdy + r13dzDxdz +

+p12dzDydx + ^12 + p13)dzDydy + (г12 + + q13)dzDydz + p12dzDzdy + (г:1 + 2q12 + +p13)dzDzdz.

Тензор кривизны

Я = -p12Dxdxdxdz + p122Dxdxdzdx + + p12Dxdydxdy - (р13р12 - q12p12)Dxdydxdz -

- p12Dxdydydx - (р12913 - q122 + r12p12)Dxdydydz +

+ (Р\зР\) — ЦпРп^хёуёхёх + + (Р\)Ч\з — Ч\) + гпри)Вхёуё2ёу + + (риЧп + 2р\Щ\2 + p\ъ)Dxdzdxdz —

— (2р\)Г 13 — 3412413 — Ч\зр\з + г\)Р\з)Dxdzdydz —

— (р\2Ч\3 + 2р\3Ч\2 + p\ъ)Dxdzdzdx +

+ (2р\2Г\3 — 3Ч\2Ч\3 — Ч\3р\3 + Г\)Р\з)Dxdzdzdy —

—р12 Dydxdydz + p\)2Dydxdzdy + p\)2Dydzdxdy + + (Ч\)р\) + 2p\3p\))Dydzdxdz — p\)2Dydzdydx —

— (г\)р\) — Ч\)2 — 2р\3Ч\) — p\з))Dydzdydz —

— (Ч\)р\) + 2p\зp\))Dydzdzdx + + (г\)р\) — Ч\)2 — 2р\3Ч\) — p\з))Dydzdzdy —

— p\))Dzdydydz + р12 Dzdydzdy + p\))Dzdzdxdz —

—p\)2Dzdzdzdx + 3p\3p\)Dxdzdxdy —

— 3p\3p\)Dxdzdydx — p\3p\)Dydydydz +

+p\3p\)Dydydzdy + р1)(ч\) + p\3)Dzdzdydz — —р\)(Ч\) + p\3)Dzdzdzdy — q\)p\)Dxdxdydz + + q\)p\)Dxdxdzdy.

Тензор кручения

Т = 2p\)dxDxdy + ( —Г\\ + p\3)dxDxdz + + 2p\)dxDydz — 2p\)dyDxdx + ( —г12 + q\3)dyDxdz +

+ ( —Г\\ + p\3)dyDydz + 2p\)dyDzdz — ( — Г\\ + +p\3)dzDxdx — ( — Г\2 + q\3)dzDxdy — 2p\)dzDydx -

— ( —Г\\ + p\3)dzDydy — 2p\)dzDzdy.

Уравнения геодезических относительно связности:

х(0 = | — (|ехр(1п(С5^гп + 2С5Ч\2 + + С5р\з + СбГ\\ + + 2СбЧ\) + С6р\з) х

х (р\з + Г\\)/(гп + 2ч\) + р\з)) х X (1п^ + Сб))С5)Ч\)Ч\з) + ВД* + Сб))С5)Ч\)Г\)) -

— 1п(^5^ + Сб)С5)р\зЧ\з) — 1п(С5? + Сб)С52р\зГ\)2 -

— 21п(С5^ + Сб)С5)Ч\)Ч\з) -

— 21п(С5^ + Сб)С5)Ч\)Г\)) — 1п(С5/* + Сб)С5)Ч\з)Г\\ —

— 1п^ + Сб)С5)Г\\Г\)) —

— 21п(С5^ + Сб)СзС5р\зЧ\)Г\) — 21п(С5^ +

+ Сб)СзС5Ч\)Ч\зГ\\ — 21п(С5^ + Сб)СзС5Ч\)Г\\Г\) -

— 21п(С5^ + С6)С3 х С5р\3Ч\)Ч\3 + 21п(С5^ +

+ Сб))С5)Ч\)Ч\зГ\) — 41п(С5^ + Сб)СзС5Ч\))Ч\з —

- 41п^ + Сб)СзС5Ч\)2Г\) — 21п^ + + Сб)С5)р\зЧ\зГ\) — 41п(С5^ + Сб)С5)Ч\)Ч\зГ\) —

— 21п(С5/1 + Сб)С5)Ч\зГ\\Г\) + 2Сз)р\зЧ\)Г\\ + + СзС5р\з)Ч\з + СзС5р\з2Г\) + 4СзС5Ч\))Ч\з + + 4СзС5Ч\)2Г\) + СзС5Ч\зГ\\) + СзС5Г\\)Г\) +

+ 4С52р\зЧ\)Г\з + 2С5)р\зГ\\Г\з + 4С5)Ч\)Г\\Г\з + + 4Сз)Ч\)3 + 4СзС5р\зЧ\)Ч\з + 4СзС5р\зЧ\)Г\) + + 2СзС5р\зЧ\зГ\\ + 2СзС5р!зГ\\Г\) + 4СзС5Ч\)Ч\зГ\\ +

4СзС5Ч\)Г\\Г\) + Сз)р\з)Ч\)4Сз)р\зЧ\)) + + 4Сз)Ч\))Г\\ + Сз)Ч\)Г\\) + С5)р\з)г\з + 4С5)Ч\))Г\з +

+ С5)г\\)г\з)/((г\\ + 2Ч\) + р\з)4^ + Сб)2)а^ — — С\)ехр( — 1п(С5^Г\\ + 2С5%2 + С5гр13 + С6Г\\ + + 2СбЧ\) + Сбр\з)(р\з + гп) / (г \\ + 2ч\) + p\з))d) + С); у (0 = —Г\)1п(С5^ + Сб)2 / (2(Г\\ + 2Ч\) + р\з)2) —

— Ч\з1п(С5^ + Сб)2 / (2(Г\\ + 2Ч\) + р\з)2) + + СзГ\\1п(С5^ + Сб) / ((г \\ + 2Ч\) + р\з)2С5) + + 2ч\)Сз1п(С5^ + Сб) / ((г \\ + 2ч\) + р\з)2С5) +

+ Сзр\з1п(С5^ + Сб) / ((г \\ + 2ч\) + р\з)2С5) + С4; z(t) = 1п(С5^Г\\ + 2С^Ч\2 + С5гр\3 + + СбГ\\ + 2СбЧ\) + Сбр\з) / (г \\ + 2ч\) + р\з).

2.21.1. Связность:

Р\)dxDxdy — p\)dxDydz + p\)dyDxdx — —p\)dyDzdz + p\)dzDydx + p\)dzDzdy.

Тензор кривизны

К = —p\))Dxdxdxdz + p\))Dxdxdzdx + +p\))Dxdydxdy — p\))Dxdydydx — p\)2Dydxdydz + +p\)2Dydxdzdy + p\)2Dydzdxdy — p\)2Dydzdydx —

— p\))Dzdydydz + p\))Dzdydzdy + p\))Dzdzdxdz —

—p\))Dzdzdzdx.

Тензор кручения

Т = 2p\)dxDxdy + 2p\)dxDydz —

— 2p\)dyDxdx + 2p\)dyDzdz —

— 2p\)dzDydx — 2p\)dzDzdy.

Уравнения геодезических относительно связности

(х(0 = С5^ + Сб, у(0 = С^ + С4, z(t) = С\? + С2}.

3.4.1. Связность:

— p\)dxDxdy — p\)dxDydz + p\)dyDxdx — —p\)dyDzdz + p\)dzDydx + p\)dzDzdy.

Тензор кривизны

К = —p\))Dxdxdxdz + p\))Dxdxdzdx + +p\)2Dxdydxdy — p\))Dxdydydx — p\)2Dydxdydz + +p\)2Dydxdzdy + p\)2Dydzdxdy — p\)2Dydzdydx —

— p\))Dzdydydz + p\))Dzdydzdy + p\))Dzdzdxdz —

—p\))Dzdzdzdx.

Тензор кручения

Т = 2p\)dxDxdy + 2p\)dxDydz — 2p\)dyDxdx + + 2p\)dyDzdz — 2p\)dzDydx — 2p\)dzDzdy.

Уравнения геодезических относительно связности:

(х(0 = С5^ + Сб, у(0 = С^ + С4, z(t) = С\? + С2}.

3.5.1. Связность:

—p)3dxDydz + p)3dxDzdy + p)3dyDxdz — —p)3dyDzdx — p)3dzDxdy + p)3dzDydx.

Тензор кривизны

К = — p)2Dxdydxdy + p)3)Dxdydydx —

- p)3Dxdzdxdz + p)2Dxdzdzdx + p)3)Dydxdxdy —

- p)3Dydxdydx — p)2Dydzdydz + p)2Dydzdzdy + +p)2Dzdxdxdz — p)3)Dzdxdzdx + p)2Dzdydydz —

- p)3Dzdydzdy.

Тензор кручения

Т = 2p)3dxDydz — 2p)3dxDzdy — 2p)3dyDxdz + + 2p)3dyDzdx + 2p)3dzDxdy — 2p)3dzDydx.

Уравнения геодезических относительно связности:

(х(0 = С5^ + Сб, у(^) = С3/1 + С4, z(t) = С\? + С2}.

Заключение. Найденные связности могут быть использованы для решения различных геометрических задач, также существуют разные

способы отождествления геодезических псев-доримановых многообразий с траекториями консервативных и неконсервативных динамических систем, которые открывают широкие возможности для приложения результатов исследования псевдоримановых многообразий в физике и механике.

Литература

1. Рашевский, П. К. Симметрические пространства аффинной связности с кручением / П. К. Рашевский // Труды семинара по вектор-

ному и тензорному анализу. - 1969. - Вып. 8. -С.82-92.

2. Онищик, А. Л. Топология транзитивных групп Ли преобразований / А. Л. Онищик. - М.: Физ.-мат. лит., 1995. - 344 с.

3. Kobayashi, S. Foundations of Differential Geometry / S. Kobayashi, K. Nomizu.- New-York; London, 1963. - Vol. I; 1969. - Vol. II.

4. Three-dimensional isotropically-faithful homogeneous spaces / B. Komrakov [et al.]. - Oslo: Preprints Univ., 1993. - Vol. I-III. - P. 35-37.

Поступила 28.02.2013