О существовании решетки доминионов в квазимногообразиях абелевых групп

УДК 512.54.01

С.А. Шахова

О существовании решетки доминионов в квазимногообразиях абелевых групп

S.A. Shakhova

The Existence of Dominion Lattice in Quasi-varieties of Abelian Groups

Доказано, что для любой группы Л, ее подгруппы Н и произвольного квазимногообразия абелевых групп М множество доминионов под-НЛ сматривается в некотором подквазимногообра-зии N из М, образует решетку относительно теоретико-множественного включения.

Ключевые слова: квазимногообразие, решетка, доминион, группа.

Введение. Понятие доминиона возникло в

[1] для изучения эпиморфизмов. Согласно [1],

Н

бры Л в полной категории М

М

гда, когда Лотм(^(Л)) = В.

Доминионы изучались в различных классах универсальных алгебр [2-4].

В работе [5], где доминионы впервые исследовались в квазимногообразиях универсальных алгебр, было дано расширение понятия доми-

Л е М

возможность ввести в рассмотрение множество ЦА,Н, М) = {Лот#(Н) | N е Ьд(М)} доминионов, где Ьд(М) — решетка подквазимного-

М

В [5] были найдены условия, при выполнении которых множество Ь(Л, Н, М) образует решетку относительно теоретико-множественного включения, и поставлен вопрос: существует ли М

кое, что множество Ь(Л, Н, М) не образует решетку относительно теоретико-множественного включения?

В настоящей работе доказано, что для произ-

М

множество Ь(Л,Н, М) образует решетку относительно теоретико-множественного включения. Предварительные замечания. Опреде-

Н

ЛМ

The author proves that for any group A, its subgroup H and arbitrary quasi-variety of Abelian groups M, the set of dominions of the subgroup H in the group A forms the lattice relative to theoretical-plural intersection. Each dominion is considered in some subquasi-variety N from M.

Key words: quasi-variety, lattice, dominion, group.

образом:

domMH) = {a e A \ VM еМУф,ф:А — M, если ф \H= ф \H, to ф(а) = ф(а)},

где ф,ф : A — M — гомоморфизмы группы А в группу M; ф \h, ф \h — сужение гомоморфизмов ф, ф на H; ф(а), ф(а) — образы элемента а при гомоморфизмах ф, ф.

Из определения доминиона сразу получаем,

A

H

ние квазимногообразий N С М влечет включение доминионов domM(H) С domN(H). Кроме М

зие абелевых групп, то domM (H) содержит ком-A

В работе неоднократно используются следующие факты.

Лемма 1 [5, лемма 4.2]. Пусть М, N — произвольные квазимногообразия универсаль-AH алгебры А. Тогда domM(H) П domH(H) = domtfv* (H).

Теорема 1 [6, теорема 1]. Доминион под-HA

М

A

жащей H, фактор-группа по которой из М.

Из теоремы 1 вытекает, что для произ-

М

domM (H) = {a e A \ ^M e М Уф : А —— M, если H С кегф, то фа = е}, гДе кетф — ядро ф A M

Далее потребуется описание квазимногообразий абелевых групп, данное в [7]. Согласно

МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

[7], два квазимногообразия абелевых групп совпадают тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые пересечения с множеством групп Q, состоящим из бесконечной циклической группы 2, единичной группы Е = {е} и циклических р-групп где р пробегает множество всех простых чисел Р, ап — множество всех натуральных чисел N. Из [7] вытекает, что произвольное М

ется некоторым множеством групп Я С Q. Будем обозначать этот факт записью М = д(Я) либо М = дЯ, если Я состоит из одной груп-р

многообразию д(Я) в том и только в том случае, когда она изоморфна подходящей подгруппе не-Я

группа 2 не принадлежит квазимногообразию М = д(Я), то множество Я состоит из конечно-

р

М

Используемые в работе сведения из теории групп содержатся в [8], из теории квазимногообразий — в [9-11], а из теории решеток — в [12].

Приведем список обозначений и определений, применяемых в работе.

Н < Л — Н является подгруппой группы Л. дт(Н) — подгруппа группы Л, порожденная Н

Лп = дг(ап I а е Л).

Л/Н — фактор-группа группы Л по норН

т(Л) — периодическая часть абелевой груп-Л

I а I — порядок элемента а.

(п, т) — наибольший общий делитель чисел п,т е N.

2р™ - квазициклическая группа типа р™,

ре

Пусть Л - абелева группа, а е Л,р е Р. Наи-

п

торого уравнение хр = а имеет решение х е Л, ра

хр а п а

р

Основной результат.

М

Л

Н < Л, N е Ьд(М), N задано тождеством (Ух)(хп = 1). Тогда Лот#(Н) = ЛпЛот%(Н).

Доказательство. Нетрудно заметить, что Л/ЛпЛотМ (Н) е N. Тогда по теореме 1

Лот#(Н) С ЛпЛотм(Н).

Рассмотрим теперь произвольный гомоморфизм ф : Л ^ N е N, удовлетворяющий усло-

вию Н С кег ф. Ясно, что Лп С кег ф. Согласно теореме 1 Лотм(Н) С кегф. Таким образом, Лот#(Н) = ЛпЛотм(Н). Лемма доказана.

Лемма 2 обобщает аналогичный результат из [13], доказанный в предположении, что Л/Лотм (Н) - конечно-порожденная группа.

М

многообразие абелевых групп, N, Я е Ьч(М), Л Н < Л

вий

(1) N, Я - многообразия;

(2) Л = Л/Лотм (Н) - периодическая группа;

(3) 2 е Nе Я,

то имеет место равенство

Лот#А# (Н) = Лот# (Н)Лот# (Н).

Доказательство. Доказательства требует включение Лот#А#(Н) С Лот#(Н)Лот#(Н).

Пусть х е Лот#л#(Н). В каждом из перечисленных в условии леммы случаев можно выбрать наименьшие числа п,т е^ удовлетворяющие условиям хп е Лот#(Н), хг е Лот#(Н).

Действительно, в случае (1) возможность этого выбора вытекает из леммы 2, а в случае

(2) - из периодичности группы Л. Для того чтобы разобраться с (3), рассмотрим цепочку гомоморфизмов ф : Л ^ Л ^ Л/т(Л) е N ЛЯ. Через х обозначим образ элемента х при естественном гомоморфизме Л ^ Л. Если | х ^ те, то ф(х) ф е и х е Лот#Л#(Н), что противоречит выбору х. Значит, I х 1< те и этим обусловлена возможность выбора чисел п, т.

Если (п, т) = 1, то х е Лот#(Н)Лот#(Н). п, т

смотрим случаи (1), (2) одновременно. Запишем числа п, т в виде п = рвщ, т = р4^, где р е Р, р, п р, т хп е Лот# Н

хп е Лот#(Н), то, по определению доминиона, найдутся гомоморфизмы ф : Л ^ N е N, ф : Л ^ К е Я такие, что Н С кег ф П кег ф, ф(хп'1) ф е, ф(хГ1) ф е.

ф хп ф хр п ф хп р е

ф(хг) = ф(хр Г1) = ф(хГ1)р = е вытекает, что ф(хп1), ф(хГ1) - элементы порядка р. ф Л ф Л

левы группы, то, согласно [8], каждая из них разлагается в прямое произведение своих примарных компонент. Пусть п, п -

ф Л ф Л р

компоненты. Ввиду ф(хгп) ф е, ф(хГ1) ф е имеем: П1(ф(хп1)) ф е, П2(ф(хГ1)) ф е. Так как П1(ф(Л)) е N Л Я, ши П2(ф(Л)) е N Л Я, то х е Л,от#Л#(Н). Полученное противоречие означает, что в случаях (1), (2) утверждение леммы доказано.

р

делит (п,т). Поскольку п, т делят | х I, то (п,т) делит I х I и I х ^ р% где (р^) = 1.

Для начала будем считать, что х* - элемент бесконечной р-ВЫСОТЫ. Если 2р™ е N, то для любого гомоморфизма ф : Л ^ N е N такого, что Н С кетф, выполнено ф(хг) = е. Следовательно, х1 е Лот#(Н). Это противоречит тому, п

свойством.

Значит, 2р™ е N ЛЯ. Введем обозначение Т = дт(а е Л I (I а I,р) = 1). В цепочке гомоморфизмов ф : Л ^ Л ^ Л/Т е д(2р^) С N ЛЯ имеем ф(хг) ф е. Значит, х е Лот#л#(Н). Противоречие. Итак, хг не является элементом бес-р к

_рк

свойством хг е Л . Тогда 2рк е N ЛЯ. Действительно, если 2рк е N, то для любого гомоморфизма ф : Л ^ N е N выполнено ф(хг) = е и х1 е Лот#(Н), что неверно.

Вновь рассмотрим цепочку гомоморфизмов

ф . Л ^ Л ^ Л/Л е N Л Я. Ясно, что ф(хг) ф е. Значит, х е Лот#л#(Н). Полу-

п, т

х е Лот#(Н)Лот#(Н). Лемма доказана.

Лемма 3 является обобщением результата из [6], доказанного в предположении, что Л/Лотм (Н) - конечно-порожденная группа.

М

Л

Н < Л. Тогда множество Ь(Л,Н, М) = {Лот#(Н) I N е Ьд(М)} образует решет-

ку относительно теоретико-множественного включения.

Доказательство. Пусть N, Я е Ьч(М).

По лемме 1 имеет место следующее равенство: Лот#уп(Н) = Лот#(Н) П Лот#(Н). Покажем, что точная верхняя грань Лот#(Н) V Лот#(Н) существует.

Ввиду леммы 3 достаточно рассмотреть случай, когда 2 е N, 2 е Я и группа Л не является периодической. Зафиксируем элемент х е Л такой, что I х ^ те. Рассмотрим произвольное квазимногообразие Т е Ьч(М), удовлетворяющее условию Лотд(Н) Э Лот#(Н)Л,от#(Н).

Пусть многообразие N задается тождеством хп = 1. По лемме 2 Лот#(Н) = ЛпЛотм(Н). Значит, хп е Лотд(Н).

Если 2 е Т, то, рассмотрев цепочку гомоморфизмов ф : Л ^ Л ^ Л/т (Л е дЯ С Я, получим ф(хп) ф е и хп е Лотд(Н).

Итак, 2 е Т. Значит, Т - многообразие, заданное тождеством хк = 1 для некоторого к е N. По лемме 2 Л,оттА{Н) = ЛкЛотМ(Н).

Отсюда Л^п,к С ЛкЛотМ(Н). В си-

лу включения Лп,к Э Лк имеем равенство Лп,кЛ,отм(Н) = Лотд(Н), из которого вытекает конечность множества

{Лотд(Н) I Лотд(Н) Э Лот#(Н)Лот#(Н)} .

Обозначим его элементы Лот^Н Н), г е I, где I — конечное множество. Согласно лемме 1

ПіеІ domA(H) = domA'

і Fi

(H), что влечет равенство domN (H) V domR (H) = dom'A^^1 H).

Библиографический список

1. Isbell J.R. Epimorphisms and Dominions // Proceedings of the Conference on Categorical Algebra. — New York, 1965.

2. Magidin A. Dominions in Varieties of Nilpotent Groups // Comm. Algebra. — 2000. — №3(28).

3. Wasserman D. Epimorphisms and Dominions in Varieties of Lattices. — Ph.D. Thesis, 2001.

4. Bergman G.M. Ordering Coproducts of Groups and Semigroups // J. Algebra. — 1990. — №2(133).

5. Budkin A. Dominions in Quasivarieties of Universal Algebras // Studia Logica. — 2004. — №1-2(78).

6. Шахова С.А. О решетках доминионов в квазимногообразиях абелевых групп // Алгебра и логика. — 2005. — №2(44).

7. Виноградов А.А. Квазимногообразия абелевых групп // Алгебра и логика. — 1965. — №6(4).

8. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — М., 1982.

9. Мальцев А.И. Алгебраические системы. — М., 1970.

10. Будкин А.И. Квазимногообразия групп. — Барнаул, 2002.

11. Горбунов В.А. Алгебраическая теория квазимногообразий. — Новосибирск, 1999.

12. Биркгоф Р Теория решеток. — М., 1984.

13. Шахова С.А. Условия дистрибутивности решеток доминионов в квазимногообразиях абелевых групп / / Алгебра и логика. — 2006. — №4(45).