Помехоустойчивость модемов с двумерными сигнальными конструкциями по точным формулам вероятности ошибки в канале без замираний и с общими четырехпараметрическими замираниями

ИНФОРМАЦИОННЫЕ КАНАЛЫ И СРЕДЫ

УДК 621.39

ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ МОДЕМОВ С ДВУМЕРНЫМИ СИГНАЛЬНЫМИ КОНСТРУКЦИЯМИ ПО ТОЧНЫМ ФОРМУЛАМ ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБКИ В КАНАЛЕ БЕЗ ЗАМИРАНИЙ И С ОБЩИМИ ЧЕТЫРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ ЗАМИРАНИЯМИ

Н. В. Савищенко,

доктор техн. наук, профессор Военная академия связи

Рассматривается помехоустойчивость модемов с двумерными сигнальными конструкциями в канале без замираний и с общими замираниями и белым шумом при когерентном приеме. Введена новая специальная интегральная &-функция, которая включает в себя ^-функцию, функции Лапласа, Оуэна, Никольсона, (обобщенного) Маркума. Введенная &-функция позволяет систематизировать вычисление вероятности ошибки в канале с общими четырехпараметрическими замираниями и белым шумом при когерентном приеме.

We discuss the noise immunity of modems with two-dimensional signal constructions in fadingless channels, channels with common fadings and with white noise during coherent reception. A new special integral &-function with includes the еЖ-function, Laplace's, Owen's, Nicolson’s, (generalized) Marcum’s fuctions is introduced. The & -function allows for a systematic calculation of error probability in the channel with common four-parameter fadigs and white noise during coherent reception.

В настоящее время в различных системах передачи используются в основном двумерные сигнальные конструкции. Но их многообразие ставит перед исследователями естественный вопрос о том, чем отличаются эти сигнальные конструкции. При равной удельной скорости сравнение осуществляется по энергетическим затратам на передачу одного бита. При этом для многих практически важных каналов связи характерно многолучевое распространение, приводящее к замираниям сигнала, значительно снижающим помехоустойчивость приема. Известные методики расчета вероятности в канале с замираниями основываются на точных формулах в каналах без замираний, которые в научной литературе рассматриваются лишь для относительно простых сигнальных конструкций. В данной статье приведены основные положения по расчету вероятности ошибочного приема в канале с общими замираниями.

Математическая модель канала связи

Предположим, что для передачи цифровой информации используется М сигналов: вг (г),

г = 0, М -1. Сигнал передается на символьном ин-

тервале времени т . Математическая модель канала связи представляется выражением

у

где у (г) — принятый сигнал; ц(г) — коэффициент передачи канала; вг (г) — переданный сигнал и п(г) — белый гауссов шум с односторонней спектральной плотностью шума Ы0. В данной модели можно выделить два наиболее важных случая, рассматриваемых в статье:

1) если ц(г) = 1, 0 < г < Т, то получаем классический канал с аддитивным белым гауссовым шумом;

2) если ц(г) = ц, 0 < г < Т, где ц — случайная величина, то приходим к каналу с неселективными по частоте общими замираниями. В этом случае предполагается, что замирания настолько медленны, что фазу сигнала можно оценить по принимаемому сигналу без ошибок.

В соответствии с теоремой ортогонализации Грама—Шмидта произвольный сигнал вг (г), г = 0, М -1 может быть представлен в виде N

вг (г) = X(г), где (г) — базисные функции.

У=1

Это позволяет перейти к геометрической интерпретации сигналов и рассматривать их в конечном евклидовом пространстве, при этом может быть

N

определена энергия любого сигнала: Er = £s^,.

v=1

Так как все энергии конечны, т. е. Er <^,

r = 0, M -1, то среди них есть сигналы, имеющие максимальную энергию, которую будем обозначать Em: Em = max Er. Очевидно, что Er < Em,

r=0, M-1

г = 0, М -1 и энергия Ет конечна, т. е. Ет <^. Средняя энергия сигнала определяется как

М -1

Ес = X Р(г)Ег, где р(г) — априорная вероятность Передачи г-го сигнала. Обычно величина средней энергии определяется для случая, когда все сигналы равновероятны, т. е. р(г) = 1/М :

1 М-1

Ес =— X Ег. Отношение максимальной энер-с М

r=0

гии к средней энергии есть квадрат пикфактора:

П2 = Ет/Ес.

Расстояние между двумя сигналами может быть представлено в виде й,гк = ||аг -«

или

N

drk = j£(

s„, - s,

v=1

kv) . Среди всех возможных значе-

ний drk есть минимальная величина d = mindrk,

r ?k

г, й = 0, М -1, отличная от нуля, если г ^ й . Традиционно величина d называется минимальным евклидовым расстоянием. В дальнейшем будут использоваться также коэффициенты помехоустой-

(

чивости gm =

d

г

(

и gc =

d

Г

Отношение максимальной энергии и средней энергии к односторонней спектральной плотности шума определяется соответственно как

hm =

Em

No

E

и h2 =, при этом hm =n2h?. Величи

No

ны Ebm =

Em

log2 M

и Ebc =

Ec

log2M

— соответственно

максимальное и среднее значения энергии, затра-

ченной для передачи одного бита: к^т =

н2с = , н2т = и24 и ^ = 41СЕ2 м. ”

0

Точные формулы вероятности ошибки в М-ич-ном символе и на бит сигналов ФМ-М.

Вероятность ошибки в М-ичном символе (М > 2 ) двумерного сигнала ФМ-М при когерент-

E

bm

No

ном приеме в канале с детерминированными параметрами и белым шумом [1, 2]

pe=q | \fi[sin м j+2t

где hm = Em/N0 , Em - максимальная энергия сиг-

1 ^

налов ФМ-М; Q (x) = .— f exp

X

1 r

Лапласа и T(v, a) =— I exp 2п л

( t

dt — функция

-—( + x2 2

dx

1 + x

2

у> 0, а >0 — функция Оуэна.

Для расчета вероятности ошибки на бит при манипуляционном кодировании кодом Грея для ФМ-М (М = 2й) справедливы следующие формулы [2]:

Pb1 = Pb2 =

4 ML4 ( i—

— £ QI V2hmsm

M

\

для первых двух бит и для бит i > 3

?i+1 M/4

Pbi =:

M

£(-1

.ent

j -1

j =1

x T

y[2h,

2 .

sin -—_ _ , ctg

M

M

где M = 2 , в частности:

16 M8

Рьз = 2P,1 - — £ Q V2hm sin '

Mf=1

M

x Q

cos

M

Используя свойства функции Оуэна, нетрудно показать, что справедливы следующие верхние и

21 ;-2

нижние границы (I >

3): М^1

< Дг < 2 рь1, где

Qm = Q

(

V2hrn sin

M

A

. Для средней вероятности

ошибки на бит имеем

!Р < 2 Q < Р = 1 £Р < МР

i.Pe < , Q1 < Pb = , £ Pbi < 0, Pb1.

u u u 2k

k * k

k

i=1

Приведем примеры расчета вероятности ошибки для сигналов квадратурной амплитудной модуляции, используемых в современных модемах.

1. Сигналы КАМ-16 (факс-протокол V. 29). Согласно рекомендации протокола V. 29 (факс-про-

токол модуляции V. 29 по рекомендации МККТТ), в модемах может использоваться сигнальное созвездие КАМ-16 с четырьмя градациями амплитуды и восемью градациями фазы, для которой

Ет = 25^ Ес = 27d2 и d=ЫК.=2 Ж

т 4 с 8 5^3

и2 = ^ = Ъ(851), Ь1т =и2й62с.

т2 = 50 27

Данная сигнальная конструкция КАМ-16 обладает пониженной чувствительностью к дрожанию (флуктуациям) фазы несущей частоты благодаря большему, по сравнению с классическими сигналами КАМ-16, углу между сигнальными точками. Вероятность ошибки на символ в этом случае вычисляется по формуле

к=1

ре=Х аъТ (ь'Сс, съ )+Х (4^)+

=1 ' ' к=1 ' '

+ Х [рк^ЬЬс ) (8^у[ЬЬс ),

к=1

где

а =

1 1 1 I, Ь =

с =

3 11

4 2 2

1

4

Р =

275

зТз зТз л/з

1

2

, « =

2л/5 4-12 2 1

зл/з зТз л/з , У

1} 2-Л л/5 2л/1з 1

^л/з тз зТз У

-1) •

4 275 4 1

зТз зТз зТз

2. Сигналы КАМ-16 (стандарт М1Ь-БТВ-188-110В). На основе результатов, приведенных в работе [2], показано, что вероятность ошибки на символ для КАМ-16, образуемой объединением двух сигналов фазовой модуляции (внутренней ФМ-4 и внешней ФМ-12) и используемой в стандарте М^-8ТБ-188-110В, в канале с детерминированными параметрами и аддитивным белым шумом при оптимальном когерентном приеме по правилу максимального правдоподобия, равна:

Ре =Х акТ [ЬкП с (с ^2 М, ск )+ ) (И с А2 1о§2 М ) +

к=1 ' ' '

+яЯ2 (хПс^с 1°§2 М),

где

а = (1 1 1 1 1/2 -1/2 -1/2 1/2),

Ь = ( р к к А А А А),

п'

с = (^£, с1^ф | £- з

(2ф) (£ + у) ^I 2£-

2п

1

Я = -

При этом

, \/б ^л/з п СС|;10П.

р =1--------- --------= 0,555129;

4

2

, « л/е+7з +л/2 - з

^ = ^—7т—7т т; tgф = ^/6^л/2-1;

л/е-Тз -VI+1 Тб +Уз ^л/2 -3

л/е +л/з ^л/2 -1 ;

эт х = -

2 + ^/2-2/6 8рк

Максимальная и средняя энергии определяются как

Д, = ^ Е, = 1^8Л

т 2 ^л/з с 2 ^л/з

где d — минимальное евклидово расстояние сигнальной конструкции. Квадрат пикфактора

_8_

8-Тз

И;: =—= 1,276зз5. Значения Ь^ = ,

Ет

N

Е

Ь =—— есть, соответственно, отношение макси-

с N0

мальной и средней энергий к односторонней спектральной плотности шума, = И^ТЛ^,

Ь? = ЬЪс ^2 М, М = 16. Коэффициенты помехоустойчивости

Ят = = 0,066987; яс = 4 - 2^ = 0,085498.

4 8-V з

з. Сигналы КАМ-32 (стандарт цифрового телевидения DVB-T). Точная формула средней вероятности ошибки в М-ичном символе при оптимальном когерентном приеме двумерных сигналов КАМ-з2 по правилу максимального правдоподобия в канале с детерминированными параметрами и аддитивным белым шумом при равновероятных битах источника получена в виде [з]

1

4

hb°

Максимальная и средняя энергии определяют-

17 2 2

ся как Ет = — d , Ес = 5d , коэффициенты помехоустойчивости ят = -^1 = 0,029412, Яс = -1 = 0,05.

4. Сигналы КАМ-32 (стандартMIL-STD-118-110). Точная формула средней вероятности ошибки в М-ичном символе при оптимальном когерентном приеме двумерных сигналов КАМ-з2-М^ (стандарт М^-8ТБ-118-110) по правилу максимального правдоподобия в канале с детерминированными параметрами и аддитивным белым шумом при равновероятных битах источника получена в виде

Pe = У TkT(Пd^c log2 M, 0

k=1

+ У PkQ(пc<Jhic log2 M) +

k=1

-'У qkQ(vkПc>Wc log2 M )Q(kПc>Wc log2 M ),

k=1

где

T= 1 -1 11133311

T={ 2 4 В елее!!

r=

cos a-3sin а

2

S =

12rcos(\|/-2a) 2rctgw 2r .

—-\/2зта A/2sma^

•v/bsinY

л/2 л/2

г- 2rcos

W2sina ——-—- —;=—-—

л/bsinY л/bsinY

sin x

cos Є

2rcos(2a) л/bsinY

л/bsinp

ю =

I 3n Y

tg(\|/-2a) tgY ctgY tg| ——- M

В 2

^ tgф tgY tg(2a) tge ctgx ctg(2y) ), 5 19 1 1 1 1

P =

16 16 В 4 В В

_ I 2r r- . 2rctgw 2r cos

П=| —;= л/2sina-------;=--------=r^--------

I л/ 2 л/2 л/2sin ^

sin x

2rcos(2a) л/bsi

А

sin^

л/ЪsinP

А

q=i-! -4 -11  v=

I /- 2r /— А

л/2sin a —=• л/2sin a

л/2

y=

12r 2rctgw /- .

-= ------;=— л/2sma

л/2 л/2

Соответствующие углы определяются по формулам:

о О П 1 sin Р , , 1

3a + P = —, sin у =--- , tgk = —,

4 2sina 3

cos(2а) tg¥ = ----- ,п , tg[k-a),

tge =

1 - cos

3sina-sin(3a) (3a)- 3sin a

, ф = ^-2а-Є,

cos

X = —+^ - 2a + 0-y.

4

Для определения угла a необходимо найти решение уравнения f (a) = 0, где

f (a) = 1 - 6sin a(n (3a) + cos (3a)) + 14sin2 a,

которое после элементарных преобразований можно свести, например, к уравнению

21tg4 a + 18tg3a- 2tg2a - 6tga + 1 = 0.

Численное решение этого уравнения sin a = = 0,173405, \f (a)| = 5,5-10-17. В стандарте MIL-STD-118-110 этому углу соответствует значение sin a = 0,173415, |f (a)| = 4,9-10-5. В дальнейшем вычисления вероятности ошибки осуществлялись для значения угла, определенного в стандарте.

Максимальная и средняя энергии равны:

Em =

4^2- , Ec = іЇ( 10 + tV

4sin a ВI sin a

Коэффициенты помехоустойчивости gm =

= sin2 a, gc = 2| 10 +

sin2 а

-l

или, соответственно,

Ят = 0,0з007з, Яс = 0,04624. Таким образом, по средней энергии сигналы КАМ-з2 эффективнее КАМ-з2-М^, но по максимальной энергии они про-

игрывают. Квадрат пикфактора Пс =-

2

1 + 10sin a

или П 2 = 1,537601.

5. Сигналы KAM-64 (M = 64 ). Построены на основе квадратной решетки с внешними точками, сдвинутыми по оси координат. Использовались в модеме Paradyne при скорости передачи 14,4 кбит/с [4, с. 591, рис. 9.1В, а]. Вероятность ошибки на символ

Ре = X акТ(ьк\(с , Ск ) + X 5к©^{^к\[НЬс ) +

к=1 ' ' к=1 ' '

+ Я©2 (ру(Е ),

где

а =

13 11

2 8 4 4 4

Ь = ( # л/3# # л/3-д 77#), Г ^ 1 к ^1

С =

7з ' А 3^3 * 7з

л/3 л/3 73

5=|47 1 .1 |, / = 16 8 16

р = #, # =

л л/7# л/2#

47^2 м х/зГз+^/з ’

» Я = _

47

16

П2 = 16 26 + = 1,876173.

313+7л/3

Рассмотрим теперь гексагональные сигнальные конструкции.

1. Вероятность ошибки для треугольной НЕХ-8 (2, 2, 4) [4, с. 592, рис. 9.17] составляет

9

Ре = о Т е 2

--Т 2

24 Н

— 1Н2 V -Г 2

л/3У ЬС, л/3

+ Т

Ьс ’

л/3

+ 2 ©

л/3'

;2=л/НЬС ^

.[Н2 ]+1 © (2Л/ньс ).

Квадрат пикфактора П = 14 = 1, (5).

2. Сигналы ГЕКС-16. Для сравнения приведем формулу для вероятности ошибки на символ для ГЕКС-16, М = 16 [4, с. 594, рис. 9.20, а]. Полученный сигнальный ансамбль ГЕКС часто изображается в виде трех состыкованных шестиугольников. Для этой сигнальной конструкции максимальная энергия Ет =452, средняя энергия

9 ,2 , П2 16

—а , квадрат пикфактора ПС = —

эффициенты помехоустойчивости Ят = —, ЯС =1.

16 9

Вероятность ошибки на символ может быть определена по формуле [2]

ЕС = — а2, квадрат пикфактора П =16 = 1, (7), ко-

3 ___ 2

ре = Х акТ (ьу/кС , ск )+Е ак© ^к^КС) к=1

2

X

к=1

где

а =27 3 _1|, ь = 4 4 8

2/2 2/2 2/2 ~ж

Г

С =

^73 4

А

л/3 л/3

Г 2л/2 2л/2 А

л/3

3. Сигналы ГЕКС-64. Приведем точные формулы вероятности ошибки двумерного гексагональ-

т2 268

ного набора при М = 64, П2 =--------------= 1,900709 [5,

С 141

с. 16, рис. 1, д]:

3

к=1

Ре = Х акТ(ЬкМ, Ск ) + Х ак©

к=1

где

- I 75 3 3

а =| — —-------|, Ь =

8 8 16

Г

______ _^ 4/3

л/47 л/47 л/47

=

л/3

л/3

32 32

/ =

4 4л/3

л/47 л/47

А

Для сигнальной конструкции, применяемой в модеме Codex/ESE ЯР 14.4 [4, с. 594, рис. 9.20, б], вероятность ошибки на символ

Ре =ХакТ(Ьk^/Н2Г, Ск) + Хак©

к=1

к=1

где

Ь =

а =

- Г297 а =| [ 32 3 8 3 16 3 32

8 /3 8 I3 811 8

9^7 91 и 3 \7 3^1

- Г1 С=[ 73 л/3 1 л/3 5 л/3

3 3 3 Г 8

8л/3 8 /3

9 9 А/7

_А

16 64 64

9\7 3

8л/3

П2 =1216 = 2,144621.

567

Рассмотрим теперь методику расчета вероятности ошибки приема сигнальных конструкций при общих замираниях. Вероятность ошибки при общих замираниях определяется как

Р =

где Рф — вероятность ошибки (в символе/бите) в канале с детерминированными параметрами и белым шумом; ю((х) — плотность распределения вероятностей; ц - коэффициент передачи. В общем случае вероятность ошибок двумерных сигналов при когерентном приеме в канале с детерминированными параметрами и белым шумом может быть представлена в виде [6]

Рв/Ь (Ь1с ) = XакТ(ак!^, Пк ) + X)( ) +

к ' ' к ' '

+Х

где Т(V, а), v>0, а >0 и Я(х) соответственно

функции Оуэна и Лапласа. Примеры, подтверждающие это положение, приведены в [2-4, 6, 7].

Основная сложность заключается в вычислении интеграла вида (3) от функций Лапласа, их произведения, а также от функции Оуэна и получении аналитических формул, удобных для проведения расчетов. Результаты получены в основном для относительно «простых» законов распределения — Релея и Накагами, меньше — для закона распределения Райса.

Дадим краткую характеристику методики расчета вероятности ошибки при медленных общих замираниях.

Пусть

Р Т Р Т

Н2 = р, 2 РпТ р 2р

нс, ц= лт = ц „ , гс, ц М- гс п,

”0 л0

где РС ц - мощность принятого сигнала, а Рс п — мощность переданного сигнала. Тогда математическое ожидание мощности сигнала определяется как

Рс, ц = /РС,<*7 = РСп/ц2ю(ц)<1ц = т2РСп,

0

где Ш2 = у — начальный момент второго порядка.

___ 1 Р Т

След°вательн°, Рп = Р у/т2 И ^ у =Ц2-----=

' т2 N0

= у2 -1ЬС. При расчете по (3а) необходимо вместо

т2 2

величины к2, входящей в формулу для вероятности ошибки в гауссовом канале, подставить величину к у /т2 и вычислить полученный ин-

теграл.

Наиболее общим законом распределения замираний является четырехпараметрический закон распределения вероятностей случайного коэффициента передачи канала у [3]:

ю(с , у ) =

--V ( - тс )2 --^(- т)2

2а 2ао

2паса8

ехр

У = д/У + у2 ,

где тс и т8 — математические ожидания квадра-

турных составляющих ус и у8; у0 = •y/таC + т2 — регулярная составляющая коэффициента передачи; а2 и а; — дисперсии квадратурных составляющих ус и у8. Следуя [7], наряду с параметра-

2 2

ми тс, т6, ас, а6 будем использовать параметры, имеющие наглядный физический смысл.

1. Отношение дисперсий квадратурных состав-

ляющих а2 и а2 — величина д =—с.. Коэффици-

ент д2 характеризует асимметрию канала по дисперсиям. Без ограничения общности рассматриваются значения д2 из интервала [0, 1], т. е. 0 < д2 < 1.

2. Фазовый угол ф0 = arctgт- или tgф0 = т-.

тС тС

3. Отношение средних мощностей регулярной и

2 , 2 2 тС + тч

флуктуирующей частей сигнала — у =- -

~2 , _2 ас + а

у0

2 , 2

а„ + а„

. Это выражение удобнее представить в

виде у2 = 2д2 у0 = 2д2 ..2

2

2 2 2 у0 , где у0 = — вели-

1 + д 2а2 1 + д 2а2

чина, характеризующая глубину замираний в канале с райсовскими замираниями (д2 = 1). Коэффи-2д2

циент —є [0,1] характеризует уменьшение у2

1 + д

по сравнению с величиной у0. При релеевских замираниях у0 = 0, в канале без замираний у0 ^ ^ (присутствует только регулярная составляющая). Следует заметить, что величина у2 может принимать одинаковые значения при разных значениях у0 и д2. Очевидно, что для этого необходимо, что-

У21 1 + д-2

бы выполнялось тождество —т— =-—г . Кроме

1+д2-2

этого справедливы следующие соотношения:

2 т\ д2

у = С

а2 1 + д2 еоэ2 ф0

2 т8 1

или у2 = 6

а2 1 + д2 ет2 ф0

4. Средний квадрат коэффициента передачи (начальный момент второго порядка) т2 =ц0 +

Ґ

+ а2 + а2

или

т2 = 2ас

1+Д.+1-іА

2а2

= 2а2

2 1 - д 1 + ^0 + ^“2

2 А

2д2

2д2

, д ф 0. Если д = 0, то ас = 0,

/

к

1

а величина а: является неопределенной, либо 2 С 2 ^^, а величина аС является неопределенной.

Многочисленные теоретические работы и экспериментальные данные показывают, что общая гауссова модель и ее частные случаи охватывают широкий класс каналов связи в различных диапазонах волн [3, 4, 6, 7]. Сложность вычисления вероятностей ошибок для четырехпараметрического закона замираний привела к тому, что на практике традиционно используются только плотности распределения Релея и Райса.

Одномерное распределение коэффициента передачи канала ц может быть определено по формуле [7]

ш(ц) =

ц

2лас а8

2п

-^2 ( 008 Ф-тс )2 —^2 ( ^ Ф-т: )2 2ас 2аС

Йф,

ц>0.

В результате несложных преобразований четырехпараметрическое распределение может быть представлено в виде

т=0

ш

ия

т+1

2

т

2

-.2

где д2 =-2, х2 = ^2

а2 2ас 1 - Ч

ление Райса-Накагами [1]:

2 и ШГ

(ц) — распреде-

ш

т

(ц) =

(Рц)Р

аР-1

ехр

-0_-вц2 2в 2ц

1р-1 (0ц),

ц>0,

где р > 0, 0>0, Р > 0 — параметры распределения, а I р-1 (0ц) — функция Бесселя от мнимого аргумента порядка (р -1).

Распределение Райса-Накагами (4) при соответствующем выборе параметров р, 0, в совпадает с распределениями Релея, Райса и Накагами

(т -распределение): при р = 1, 0 = 0, Р = -1 — раса

пределение Релея; при р = 1, 0 = ^°, Р=4- — рас-

а2 а2

пределение Райса; при р = т , 0 = 0, Р = 2т/ ц2 — распределение Накагами (при выборе 0 = 0 следу-

ет учесть, что Иш

1р-1

0^0 0р -1 2 р -1 Г

гамма-функция).

, где Г(х) —

т 1

Если положить 0 = —с и Р = —-, то

ас

ш

вя

к+1

—2/ \к

ас

т2 +ц2 2а2

( т \

-Т ц

Начальный второй момент распределения Рай-са—Накагами определяется по формуле

2 Р

т2 ="р ехр

( ^2 \

2р

(

1*1

р+1; р;

2Р

Если Р е К, то нетрудно убедиться, что

о( с2 \

Р + — 2р

Рассмотрим более подробно задачу вычисления интеграла от функции Оуэна и функции Лапласа при четырехпараметрических замираниях:

М0Т

2 где

т, 2

Ч ехр 202. х ш(ц) = ч ехр 1 1 т Д. С |

т=0

1)тН2т

2т(2т)!! 1 4 > т+Ц ;

параметр а =

\2А

I т9

, величина g определяется

в зависимости от сигнальной конструкции, значение т2 =ц2 — начальный момент второго порядка — определяется для четырехпараметрического закона распределений замираний как

(

т2 = 2аС

2 1 - Ч

+ У0 + 2д2

2\

Для распределенияРайса—Накагами (1) справедливо соотношение [6, 8, 9]

|Т(ац, п)швм (ц)ц = ^р (, Ь, п),

где

^Р (г, Ь, п) =

1 - Ь2)Р п

2п

и_______1-

01 + х2 (1 + Ь2х2

х ехр

( г2 1 + х

+ х2

2 \

2 1 + Ь2--2

х

Йх,

а

с

х

n> 0, p є М, p > G

2 а2 2 02 2 2

и Ъ = —-----, г =— Ъ , 0<Ъ < 1. Учитывая, что

а2 +р в

^-функция для случая р = 1 может применяться для расчета при замираниях Релея и Райса, то без ограничения общности можно положить, что

^1 (г, Ъ, п) = ^(г, Ъ, п).

Возможно его альтернативное представление в виде

^p (г, Ъ, п) =

мт

2п

arctg

x і

сое2р £

g

-ехр

2 1 -

dt

или в виде

,ctg

<M’p (г, Ъ, n) = Ъ

мг

2п

f

О 1 -(

сое2 р г

-ехр

г ( -(і - Ъ2 )os21

-(1 -Ъ Icost

2Ъ2

dt,

Ъ ф 0.

Учитывая введенную ^ -функцию, получаем, что

|Т(ац,, п)т^1 = ^т+1 (гс, Ъс, п),

2

где Oc =

2 2

а а°

1 + а2 а2 1 + а2а

а2т2 0 mc

--------, так как 0 = —т-

а2

2J2 '

c

c

1 q2 m2

Р^—- и — = —. Следовательно, для соотноше-аС 2Р 2ас2

ния(5)получаем,что

МЮТ (a, n) = q exp

ms

2а2

(

xS

m=0

(-l)mH2m (чх)/ 2 m

2m(2m)!! ( -q ) ^m+l(c, bc’’

или

n 1 1

- f_______1_____________1____

f 1 + x2 1 + ъ2 x2

1 - Ъ2

r--------

2n

exp

m2

exp x

L 2а2 J

z2 1 + x2 \

2 1 + Ъ2cx J

xS

m=0

(-l)mH2m (-ІХ) [(1 - q2) - * ) m N

2m (2m)!! 1 + Ъc2x2

v

2 2

т-r т2 а а9

Положим Ъs =----------,

1 + а а

s

а2т2 1 + а2аі?

m

г2 = ^±.ъ2 q2 =-

Zs 2 Ъs , q Ъ.2 л и2

а ъа і - ъ„

ъ21 - Ъ2

и,следовательно:

(а,п) =

n

2п

- Ъ2

xf 1 1________________________1

О1 + x^l + ъ2x2 fi+i

X ехр

x

( гс2 1 + x2 2 1 + Ъ2x2

1.2 2 b0x

zs2 1 + x2 ^ 2 1 + Ъ2x2

dx.

Определим новую специальную интегральную функцию

Zc , Zs , Ъс, Ъs, n) =

1 - Ъ.2

2п

n 1 1 _______________________1_

О1 + x^l + Ъ2 x2 ^/l + frfx2

X ехр

( гс2 1 + x2 2 1 + Ъc2x2

г2 1 + x2 ^

2 1 + ъ2"2

x

dx,

где Zc =

а2т2 1 + а2а2

2 2 2 а ms

г2 =- s

2_2

1 + а2а2’

Ъ2 =-

а а,

1 + а а„

ъ2 =

2 2 а as

1 + а2аі?

. В частности, для распределения

Райса при симметрии канала по дисперсиям квад-

2 л 1.2 1.2

ратурных составляющих: д = 1, т. е. Ъс = Ъ8 , введенная функция совпадает с ©Ж-функцией [2]:

&(, zs, Ъс, Ъ, n) = ( + г2 , Ъc, n

1 1

f 1 + x2 1 + ъC!x2

dx,

.1 - Ъ2

2п

X ехр

( „2 . 2 n . 2 \ zc + zs 1 + x

—т+bv

где ветственно,

2 2 , 2 а I mc + ms

1 + а2аі?

а2^0

1 + а2аі?

для

распределения

О,-

аа

Соот-

Релея

• n

\/1 + а2ст2

Преобразуем аргументы функции, учитывая, что

2

2

CgKL и Ж2 = 2а2 V m2

( 1 _ q2 A

1 + Y0 + ^

. Определим

hc =

%c

1 2 1 _ q

1+Y00 +^Г-

, т.е.

Cq

hi [дБ] = hi [дБ] + 10lg

(л 1 + q2 2 1 _ q2 A 1 + —т—у2 + —\

2q

Cq

тогда

,с_ 2ghlm2c _m2c ghl

m2 + 2ghl a2c o2 1 + ghl'

2 = =mC ghl

m2 + lghC o2 o2 q2 + gh,

-, bl =

ghbc

'bc

bc

bl = ghl

s ,2 , „£2

bc

q + g/г,

и

2

22 2 m2

"v c 1 + q c m  c /i . c\ с —2 = cosC Фо—^Y2’ Hr = sin Фо I1 + q )Y .

mc

- = cos2 Фо—Y2’

oc q o

Для численных расчетов на ЭВМ удобнее использовать альтернативное определение &-функции:

2c’ 2S, bc, bs, П) =

2n

arctg

- I

0

cos21

y/1 _ (1 _ bC ) sin2 t^1 _ (1 _ b2 ) sin2 t

x exp

1 _(1 _bc |sinc t 1 _( _bcbin21

dt.

Таким образом, для четырехпараметрического распределения математическое ожидание функции Оуэна

|Т(ац,п)ю(ц)ц = &(, , Ъс, Ъ3, п),

2 2ghbc о 2

где а =----------— и mc = 2oc

m9

2 1 _ q 1+Y c+~qc

c A

а аргу-

менты функции определены в (8).

Получим теперь соотношения для усреднения функции Лапласа и их произведения через ^-функцию. Если положить п = +СЮ, то из свойств функции Оуэна следует, что

IT (сф,, + ^)co((x)dy = — | Q (ay)co(|x)dy о 2 о

или для четырехпараметрического распределения

|Q(a,)(o(,)d, = С<^(2c, 2S, bc, bs, + ~).

о

Для определения соотношения | Q (а ,)Q (P,) x

x ro((x)d,, где а2 = Cg1hbc и pc = 2gchbc , mc m9

воспользу-

емся одним из свойств функции Оуэна, которое преобразуем к виду

Я (ац)в (Рц) = Т (ац, + ~) + Т (Рц, + ~) -

( аА

Р,,-

Тогда

| Q (а,) (P,)ro(|x)d,=

2c ’ 2s ’ bc ’ bs ’ + “) _ ) 2c ’ 2s ’ bc ’ bs ’ —

2c ’ 2s ’ bc ’ bs ’ + “)_

а

а

A

^, *9, Ь, Ь, -

При численных расчетах на ЭВМ удобнее, возвращаясь к определению &-функции, ввести функцию

( Пс" A

b b

V LMx J J

_ bc

2п

П1

x exp Тогда

;c 1 1 _1

ni1 + x^1 + blx2 д/Т + Ь

1.2 c bcxc

( 1 I „,2 „2 . 2 A

2c 1 + X 2s 1 + X

c 1 + bl xc c 1 + bl xc

dx.

IQ (c,)Q (P,)ro(|x)d, = &

(

(

2c ’ 2s ’ bc ’ bs ’

A

Р/а.

2c ’ ’ bc ’ bs ’

а/Р.

В частности, при а = Р: | Qc («,)co(|x)d, =

(

= 2^

( A

cT b c 2 1

V J

2

2

Поскольку &(, ха, Ъс, Ъа, п) = Ж ( + г(, Ъс, п), то некоторые свойства &-функции совпадают со свойствами еЖ-функции, приведенными, например, в работе [2]. Кроме этого, можно показать, что новая специальная функция в частном случае выражается через эллиптические функции. Действительно, сделаем замену хЪс =-ctgф, тогда функция может быть записана в виде

zc, zs, Ъc, h, П)_

ara^g^n^)

2п Ъ° sin2 ф

bs

х ехр

г _________________

л/2 (і - u2 sin2 ф)і - v2 sin2 ф

-|1 - u2sin2 ф) + -І------------------j

2ЪC 2Ъ8 1 - v sin ф I

dф,

где u2 _ 1 -Ъ2 , v2 _ 1 --C-. Если zc _ zs _ 0, то

c ъ2 c s

, 0, Ъc, Ъ8, n)_

л/^-ъгуг-ъ _

2п Ъs

- ъ2 і

arcc^-rify

x і

7 2 • 2

bc sin ф

П2 (і - u2sin2 ф)і - v2sln2 ф

или

,0, ъ, Ъ, n)_— ~т

1 Ъ2 1 - Ъ2

2п Ъ V1 - Ъ2

x{ п(, u2, v)-п(, u2, v)-[F(фі, v)-F(фо, v)]|,

где

У

п(, u2, v)_J-

о (l - u2 sin2 ф)і - v2sln2 ф эллиптический интеграл 3-го рода; F(ф, v)_ ф і J,Vi 2 •2

о-\/1 - v2 sin2 ф

Литература

— эллиптическии интеграл

1. Справочник по специальным функциям / Под ред. А. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

2. Савищенко Н. В. Многомерные сигнальные конструкции: их частотная эффективность и помехоус-

1-го рода и ф1 = arcctg (-пЪ), Фо = п/ 2. Если вместо

оо 2

параметров и Ъ° использовать величины и ,

и2, то специальная функция может быть представлена в виде

c, zs, u, v, n) _ — W1 - u2yju2 -2n

v2 x

x і

вІП2 ф

х ехр

[/2 (і - u2 sin2 ф)і - v2 sin2 ф

1 - u2sin2 ф і 2 1 - v2 2

2(1 - u2

zc +-

1 - v2 sin2 ф

dф.

Если использовать замену х = ctgф и ввести

параметры кc _ -

І - bc2

, то

zc, zs, кc, ^, nj_-П 2

x і

-u^ 1 - u2ylu2 -

2n

2

sin ф

v2 x

arcctg(n)У 1 + к° sin2 ф 1 + к2 sin2 ф

х ехр

( г2

1 + к2

1 + к2

2 1 + г2~;~2-

- к, sin ф

2 2

где величины и , V были определены выше.

Используя введенную специальную интегральную функцию и примеры, нетрудно получить соответствующие расчеты вероятности ошибки при общих четырехпараметрических замираниях.

Таким образом, введена новая специальная интегральная &-функция, которая включает в себя еЖ-функцию, функции Лапласа, Оуэна, Никольсона, (обобщенного) Маркума. Введенная &-функция позволяет систематизировать вычисление вероятности ошибки в канале с общими четырехпараметрическими замираниями и белым шумом при когерентном приеме и проводить корректное сравнение сигнальных конструкций.

2 1 + г2-^2-

- к sin ф

dф,

тойчивость приема: Монография / Под ред. Д. Л. Бу-раченко. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2005. 420 с.

3. Коржик В. И., Финк Л. М., Щелкунов К. Н. Расчет помехоустойчивости систем передачи дискретных сообщений: Справочник. М.: Радио и связь, 1981. 232 с.

2

2

Ъ

Ъ

s

c

І

4. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение: Пер. с англ. М.: Вильямс, Соо3. 1Ю4 с. 5. Багушев С. В., Зайцев И. Е., Яковлев А. А. Перспективы развития сигнально-кодовых каналов для гауссовского канала связи // Зарубежная радиоэлектроника. 199о. № 1.С.15-31. 6. Прокис Дж. Цифровая связь: Пер. с англ. / Под ред. Д. Д. Кловского. М.: Радио и связь, 2ооо. 8оо с. 7. Кловский Д. Д. Передача дискретных сообщений по радиоканалам. М.: Радио и связь, 1982. 3о4 с. 8. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 8оо с. 9. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 752 с.

/

Красильников Н. Н., Красильникова О. И.

Мультимедиатехнологии в информационных системах. Представление и обработка изображений в компьютере: учебное пособие/Н. Н. Красильников, О. И. Красильникова. ГУАП. — СПб., 2007. — 132 с.: ил.

1ЯВМ 978-5-8088-0257-5

В учебном пособии изложены вопросы, связанные с представлением трехмерной и двумерной графики. Приведены статистические характеристики двумерных изображений. Рассмотрены вопросы оцифровки изображений и возникающие при этом искажения. Описаны методы линейной и нелинейной обработки изображений с целью повышения их качества.

Учебное пособие предназначено для студентов старших курсов, изучающих мультимедиатехнологии в рамках технических специальностей.