О некоторых обобщениях паракомпактности

Математика

УДК 513.831

О некоторых обобщениях паракомпактности В. Л. Клюшин, Аль Баяти Джелал Хатем Хуссейн

Кафедра высшей математики Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Россия

В статье изучаются обобщения паракомпактных пространств, основанные на so-мно-жествах, т.е. множествах, являющихся объединениями открытых и нигде не плотных множеств. Целью работы является установление связи между so-паракомпактными пространствами и другими обобщениями паракомпактных пространств и выяснение условий, при которых so-паракомпактное пространство является бикомпактным. Поставленные задачи решаются методами общей топологии. Доказано, что секвенциально компактное so-паракомпактное пространство бикомпактно. Доказано, что so-паракомпакт-ность сохраняется при умножении на бикомпакт. Ранее другими авторами было введено понятие б'-паракомпактного пространства, основанное на полуоткрытых множествах. Класс so-паракомпактных пространств шире класса б'-паракомпактных пространств. В данной работе показано, что существуют so-паракомпактные пространства, не являющиеся S—паракомпактными.

Ключевые слова: so-множество, so-паракомпактное пространство, S-паракомпакт-ное пространство, секвенциально компактное пространство.

1. Введение

Подмножество S топологического пространства X называется просто-открытым (simply-open [1]), или so-множеством, если S = О U N , где О — открытое, а N — нигде неплотное множество (при этом любое из множеств О и N может быть, в частности, пустым.

Множество S называется полуоткрытым (semi-open [2]), если существует такое открытое множество О, что О С S С [О] (квадратными скобками мы обозначаем замыкание).

Определение 1. Топологическое пространство X называется so-паракомпакт-ным, если во всякое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие, состоящее из so-множеств.

Очевидно (в силу известного результата Майкла), для регулярных пространств понятие so-паракомпактного пространства совпадает с понятием паракомпактно-го пространства в обычном смысле. Поэтому все утверждения, касающиеся so-паракомпактных пространств, представляют интерес только для нерегулярных пространств.

2. so-паракомпактные пространства

Предложение 1. Всякое замкнутое подпространство so-паракомпактного пространства so-паракомпактно.

Доказательство. Пусть X есть so-паракомпактное пространство, F - его замкнутое подпространство и пусть 7 = {Va : а £ А} - произвольное покрытие F открытыми в F множествами. Тогда для каждого Va £ 7 существует такое открытое в X множество Ua, что Va = Ua П F. Рассмотрим открытое покрытие ш пространства X, состоящее из всех таких множеств Ua,a £ Л, и множества

Статья поступила в редакцию 15 мая 2013 г.

U = X \ F. Так как пространство X является so-паракомпактным, то мы можем вписать в покрытие ш локально конечное покрытие р,, состоящее из so-множеств. Рассмотрим покрытие подпространства F множествами вида G П F,G G р; обозначим его через Л. Пересечение so-множества с замкнутым множеством есть so-множество, поэтому элементы покрытия Л являются so-множествами (не только по отношению к F, но и по отношению ко всему пространству X). Убедимся в том, что покрытие Л локально конечно. Действительно, возьмём произвольную точку Хо G F. Так как покрытие р локально конечно, то существует в пространстве X такая окрестность О(хо) точки жо, которая пересекается лишь с конечным числом элементов покрытия р. Положим теперь V(хо) = О(хо) П F. Очевидно, V(хо) есть окрестность точки хо в F, пересекающаяся лишь с конечным числом элементов покрытия Л. Итак, в произвольное открытое покрытие 7 подпространства F мы вписали локально конечное покрытие Л, состоящее из so-множеств. Следовательно, F есть so-паракомпактное подпространство пространства X.

В классе хаусдорфовых пространств всякое паракомпактное пространство, очевидно, просто-паракомпактно, но, как показывает следующий пример, обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Пример 1. Хаусдорфово so-паракомпактное пространство, не являющееся па-ракомпактным. Пусть X = R+ U {р}, где R+ = [0, и р ф R+. Топология на X задаётся следующим образом: R+ имеет обычную евклидову топологию и является открытым подпространством пространства X, а база {Оп(р)} окрестностей точки р G X имеет следующий вид

ж

Оп(р) = MU У, где п G N +.

г=п

(См. P.-Y. Li, Y.-K. Song [3]). Легко убедиться в том, что X есть хаусдорфово пространство. В то же время оно не регулярно. Очевидно, множество N + здесь является замкнутым. Легко убедиться, что для точки р и замкнутого множества N + не существует содержащих их дизъюнктных окрестностей. Пространство X не паракомпактно, так как всякое паракомпактное хаусдорфово пространство является регулярным (и даже нормальным).

Убедимся в том, что X есть so-паракомпактное пространство. Пусть ш = {Ua : a G А} - произвольное открытое покрытие пространства X. Существует такое Ua(p), что р G Ua(p). Далее, существует такое п G N +, что р G Оп(р) С Ua(p). Согласно определению топологии на пространстве X, разность X \ Оп(р) есть замкнутое подмножество пространства X. Оно не содержит точку р и пара-компактно как подпространство пространства X. Поэтому в открытое покрытие {Ua \ Оп(р) : a G А} можно вписать локально конечное открытое покрытие ц. Ясно, что ^ является локально конечным в X. Так как пересечение открытого и замкнутого множеств есть so-множество, то всякое V G ^ есть so-множество в X. Очевидно, покрытие {Оп(р)} U ^ есть локально конечное покрытие пространства X просто-открытыми множествами, вписанное в ш. Итак, X есть so-паракомпакт-ное пространство.

Предложение 2. Всякое счётно компактное so-паракомпактное пространство X бикомпактно.

Доказательство. Пусть Л - произвольное открытое покрытие пространства X. Впишем в Л локально конечное покрытие р,, состоящее из so-множеств. Известно (см. R.Engelking [4]), что всякая локально конечная система (состоящая из любых множеств) счётно компактного пространства конечна. Поэтому покрытие ц, конечно, ц, = {Vi,V2,...,Vn}. Так как ц, вписано в Л, то для каждого Vi, (г = 1,... ,п) существует такое Ui, что Ui D Vi. Следовательно, {U\, U2,..., Un} - конечное подпокрытие исходного покрытия Л. Итак, пространство X бикомпактно.

Пример 2. Счётно компактное пространство, не являющееся во-паракомпакт-ным. Пусть Iс = П 18, где 13 = I =[0:1] для каждого 8 £ К. Очевидно, Iс -вей

бикомпакт. Обозначим через X подпространство пространства Iс, состоящее из тех точек {ж8}, которые имеют не более чем счётное множество координат, отличных от нуля. Нетрудно убедиться в том, что X счётно компактно. Доказательство счётной компактности X (см., например, И.Е^еШ^ [4]) основано на том, что пространство счётно компактно тогда и только тогда, когда каждое его бесконечное подмножество обладает хотя бы одной предельной точкой. Пространство X не является во-паракомпактным. В этом можно убедиться непосредственно, но проще воспользоваться предложением 1. Если бы пространство X было во-па-ракомпактным, то оно было бы бикомпактным. Однако по построению X есть собственное плотное подмножество бикомпакта Iс, а поэтому не бикомпактно.

Пример 3. Другой пример счётно компактного не во-паракомпактного пространства — это пространство X = \ {х}, где х £ \ N. Счётная компактность пространства X известна, но X не замкнуто в , следовательно, не бикомпактно, а в силу предложения 1 - не во-паракомпактно.

Напомним, что пространство X называется секвенциально компактным, если оно удовлетворяет условию Больцано-Вейерштрасса, а именно: любая бесконечная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность. Следует заметить, что некоторые авторы называют секвенциально компактными только хаусдорфовы пространства, удовлетворяющие условию Больцано-Вейерштрасса. Мы же здесь не предполагаем никаких аксиом отделимости. Поэтому из секвенциальной компактности не следует счётная компактность.

Теорема 1. Если вв-паракомпактное пространство X секвенциально компактно, то X бикомпактно.

Доказательство. Пусть X секвенциально компактно и во-паракомпактно. Докажем сначала, исходя из секвенциальной компактности, что всякое локально конечное покрытие пространства X конечно. Предположим противное. Пусть локально конечное покрытие 7 = {иа : а £ А} является бесконечным. Возьмём какую-нибудь бесконечную счётную подсистему {Иг : % £ N} системы 7. Выберем произвольно в каждом элементе VI этой подсистемы по одной точке Хг £ и^. При этом может оказаться, что из разных множеств Щ выбрана одна и та же точка. Убедимся, что, тем не менее, множество различных точек в выбранной последовательности является бесконечным. Действительно, так как покрытие 7 локально конечно, то оно и подавно точечно конечно, и, поэтому, каждая из выбранных точек может принадлежать не более чем конечному числу элементов системы {Иг : % £ N}. Итак, выбранная последовательность Хг содержит бесконечную подпоследовательность, состоящую из бесконечного множества различных элементов, а та, в свою очередь, в силу секвенциальной компактности X содержит подпоследовательность Хгк, сходящуюся к некоторой точке жо. Но тогда всякая окрестность О(хо) точки хо содержит бесконечное множество элементов этой сходящейся последовательности и, следовательно, пересекается с бесконечным числом элементов покрытия 7, что противоречит его локальной конечности. Полученное противоречие доказывает, что предположение о бесконечности покрытия 7 неверно. Итак, всякое локально конечное покрытие X конечно.

Пусть теперь ш — произвольное открытое покрытие пространства X, ш = {Оа : а £ А}. Так как X является во-паракомпактным, то в покрытие ш можно вписать локально конечное покрытие Л, состоящее из во-множеств. По доказанному выше, так как X секвенциально компактно, то покрытие Л состоит из конечного числа элементов, Л = {VI, У?,   , Уп}, являющихся во-множествами. Для каждого к(к = 1,2,.   ,п) существует такое Оа(ь) £ ш, что Ук £ Оа(к), и семейство {Оа(к) : к = 1,2,    ,п} есть конечное подпокрытие покрытия ш. Следовательно, пространство X бикомпактно.

Следствие 1. Хаусдорфово секвенциальное во-паракомпактное пространство X является бикомпактом, то есть, бикомпактным нормальным пространством.

Доказательство. Действительно, по теореме 1 пространство X бикомпактно, а так как оно хаусдорфово и бикомпактно, то оно нормально.

Определение 2. Открытое покрытие Л пространства X называется правильно вписанным в открытое покрытие ш этого пространства, если для любых двух пересекающихся элементов У\,У2 покрытия Л существует такой элемент и € ш, что (Уг и У2) С и.

Понятие правильной вписанности есть обобщение понятия звёздной вписанности покрытия. Напомним, что звездой точки х € X относительно покрытия Л называется множество Б1\(х) = и{У С Л : х € V}, то есть объединение всех элементов покрытия Л, содержащих данную точку. Покрытие Л называется звёздно вписанным в покрытие ш, если для каждой точки х € X существует такой элемент и € ш, что в1\(х) С и. Л.Н^опе [5] доказал, что Тг пространство пара-компактно тогда и только тогда, когда во всякое его открытое покрытие можно звёздно вписать некоторое открытое покрытие. В связи с этим возник вопрос: является ли паракомпактным пространство, во всякое открытое покрытие которого можно правильно вписать открытое покрытие? Ответ оказался отрицательным — см. [6]. Пространство с таким свойством стало называться псевдо-паракомпактным (см. [7]). Поскольку понятие во-паракомпактного пространства есть обобщение понятия паракомпактного пространства, то естественно теперь поставить такой вопрос: всякое ли псевдо-паракомпактные пространство является во-паракомпактным? Ответ оказался отрицательным.

Пример 4. Секвенциально компактное псевдо паракомпактное пространство, не являющееся во-паракомпактным. Пусть X — множество всех порядковых чисел а, меньших первого несчётного порядкового числа ш\, и пусть т — топология в X, базой которой служат всевозможные интервалы в X. Полученное при этом пространство обычно обозначают через ТШ(шг). Хорошо известно, что пространство ТШ(шг) хаусдорфово, обладает в каждой точке локальной счётной базой, является секвенциально компактным, но не бикомпактно.

Пространство X = ТШ(шх) не является во-паракомпактным. В этом можно убедиться непосредственно. Но проще рассуждать иначе. Если бы пространство X было во-паракомпактным, то из его секвенциальной компактности и теоремы 1 следовало бы, что X бикомпактно, а это не так. Хорошо известно, что X = ТШ(шх) не бикомпактно (оно даже не паракомпактно - см. [6]). Итак, данный пример есть пример псевдо паракомпактного секвенциально компактного пространства не являющегося во-паракомпактным.

Определение 3. Пространство X называется паракомпактным (К.У.Л1-2оиЫ, [8]), если во всякое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие, состоящее из полуоткрытых множеств.

Пример 5. Хаусдорфово почти паракомпактное пространство, не являющееся паракомпактным. Этот пример рассмотрен в работе [3]. Приведём его здесь, так как в дальнейшем он понадобится нам по другому поводу. Положим X = К+ и {а} и {Ь}, где, как обычно, К+ = [0, +го], а = Ь,а,Ь € Зададим топологию на X следующим образом: Л+ имеет обычную топологию и является открытым подпространством пространства X. Базовые окрестности точки а € X

со

имеют вид: Оп(а) = {а} и У (И,21 + 1),где п € М+; окрестности точки Ь € X

г=п

со

определяются выражением От(Ь) = {Ь} и У (21 — 1,2г), где т € N.

г=ш

Бту^е и Wi1kinв, рассмотрев ранее этот пример, показали, что пространство X, будучи хаусдорфовым, не является бикомпактным. Это пространство является почти паракомпактным хаусдорфовым пространством. Пространство X, как

заметили Р.-У.Ы и Y.-K.Song, не является 5—паракомпактным. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть открытое покрытие

пространства X. Согласно определению топологии на X, никакое покрытие полуоткрытыми множествами, вписанное в ш, не является локально конечным в точках а и Ь.

Пример 6. Хаусдорфово во-паракомпактное пространство, не являющееся 5-паракомпактным. Рассмотрим пространство X из предыдущего примера 5. Это пространство не является ¿'-паракомпактным. Докажем, что оно является во-па-ракомпактным, то есть, докажем, что во всякое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие, состоящее из во-множеств. Пусть ш — произвольное открытое покрытие пространства X. Тогда существуют такие и (а), и (Ь) £ ш, что а £ и (а),Ь £ и (Ь). Следовательно, существуют такие пх,п2 £ N, что 0П1 (а) С и (а) и 0П2 (Ь) С и (Ь). Не умаляя общности, можем считать, что п\ < п?. Так как отрезок [0, 2п? — 1] есть бикомпакт, то существует конечное подпокрытие шх С ш этого отрезка. Положим

Ясно, что ^ покрытие ^ локально конечно и вписано в ш. Оно состоит из открытых и одноточечных множеств. Так как и открытые, и одноточечные множества являются во-множествами, то ^ есть покрытие пространства X во-множествами, вписанное в ш. Итак, пространство X есть во-паракомпактное пространство, не являющееся 5—паракомпактным.

Рассмотрим теперь топологические произведения, где одним из сомножителей является во-паракомпактное пространство. Ясно, что произведение двух во-паракомпактных пространств может не быть во-паракомпактным. Более того — произведение двух паракомпактных пространств может не быть во-паракомпакт-ным.

Пример 7. Рассмотрим пространство Z, называемое пространством Зорген-фрея. На полуинтервале [0; 1) числовой прямой задаётся топология, базу которой образуют всевозможные полуинтервалы [а; Ь). Как известно, 2 паракомпактно, даже финально компактно (иначе говоря, линделефово), но произведение 2 х 2, будучи регулярным пространством, не является паракомпактным. Это пространство не является также во-паракомпактным, так как для регулярных пространств паракомпактность эквивалентна во-паракомпактности.

Теорема 2. Если X есть во-паракомпактное пространство, а У — бикомпактно, то произведение X х У есть во-паракомпактное пространство.

Доказательство. Пусть Л — открытое покрытие произведения X х У. Тогда для всякой точки^ = (х, у) £ X х У существуют такие открытые множества Ух С X и С У, что (х, у) £ Уг х С и для некоторого и £ А. Для каждого х £ X положим = {х} х У. Тогда семейство множеств {: г £ Zx} является открытым покрытием бикомпактного пространства У. Следовательно, существует такое конечное подмножество С Zx, что {: г £ Zx} есть покрытие (очевидно, конечное) пространства У, являющееся подпокрытием покрытия : г £ Zx}. Пусть Ух = П{Уг : г £ Z}. Тогда Ух есть открытое множество, содержащее х. Тогда ц, = {Ух : х £ X} есть открытое покрытие эо-параком-пактного пространства X. Поэтому существует локально конечное покрытие ^ пространства X, состоящее из во-множеств и вписанное в ц. Так как ^ вписано в то для всякого О £ ц существует такая точка х(О) £ X, что О С Ух(о).

» = шх и {0П1 (а)} и {0П2 (Ь)} и {{г} : г > 2п?}

Тогда £ = {О х Wz : О G G Zx(0)} есть покрытие пространства X х Y.

Напомним, что произведение so-множеств есть so-множество, поэтому элементы покрытия £, каждый из которых есть произведение so-множества и открытого множества, являются so-множествами. Далее, для каждой точки существует окрестность U(хо) С X, которая пересекается не более чем с конечным числом элементов О G 'Ц, так как ^ локально конечно. Обозначим через р проекцию х Y ^ X. Тогда р 1(U(хо)) есть открытое множество, которое пересекается не более чем с конечным числом элементов покрытия г/. Итак, ^ есть локально конечное покрытие, состоящее из so-множеств и вписанное в исходное покрытие Л. Следовательно, X х Y есть so-паракомпактное пространство.

Литература

1. Biswas N. On Some Mappings in Topological Spaces // Bull. Cal. Math. Soc. — 1969. — Vol. 61. — Pp. 127-135.

2. Levine N. Semi-open Sets and Semi-Continuity in Topological Spaces // Amer. Math. Monthly. — 1963. — Vol. 70. — Pp. 36-41.

3. Li P.-Y., Song Y.-K. Some Remarks on S-paracompact Spaces // Acta Math. Hun-gar. — 2008. — Vol. 118(4). — Pp. 345-355.

4. Engelking R. General Topology. — Warszawa, 1977.

5. Stone A. H. Paracompactness and Product Spaces // Proc. Amer. Math. Soc. — 1948. — Vol. 54. — Pp. 977-982.

6. Клюшин В. Л. Паракомпактность и счётная паракомпактность // Вестник МГУ. — 1963. — Т. 1. — С. 35-38. [Klyushin V. L. Parakompaktnostj i schyotnaya parakompaktnostj // Vestnik MGU. — 1963. — T. 1. — S. 35-38. ]

7. Kluchine V. Sur les espaces pseudo-paracompacts // Bull. Soc. Roy. Sci. Liege. — 1973. — Vol. 11-12. — Pp. 523-528.

8. Al-Zoubi K. Y. S-paracompact Spaces // Acta Math. Hungar. — 2006. — Vol. 110(1-2). — Pp. 165-174.

UDC 513.831

On Some Generalization of Paracompactness V. L. Kljushin, Al bayati Jalal Hatem Hussein

Higher Mathematics Department Peoples' Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya str. 6, Moscow, 117198, Russia

The generalization of paracompact spaces via so-sets, sets are unions of open and nowhere dense sets, was studied. The aim of this paper is to establish the relationship between so-para-compact spaces and other generalizations of paracompact spaces and clarify the conditions under which the so-paracompact space is compact. The problem is solved by methods of general topology. It is proved that the sequentially compact so-paracompact space is compact. It is proved that the so-paracompactness saved when multiplied by the compact. Previously, other authors introduced the concept of S-paracompact space, based on the semi-open sets. Class of so-paracompact spaces wider than the class S-paracompact spaces. This paper shows that there are so-paracompact spaces which are not S-paracompact.

Key words and phrases: so-set, so-paracompact space, S-paracompact space, sequentially compact space.