Электронная автономная система для демонстрации явлений динамического хаоса

УДК 621.373.12

Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2004, вып. 4

П. И. Домнин

ЭЛЕКТРОННАЯ АВТОНОМНАЯ СИСТЕМА

ДЛЯ ДЕМОНСТРАЦИИ ЯВЛЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА

Введение. Динамический хаос, в отличие от некоторых ранее известных типов регулярного поведения динамических систем (ДС), относится так же, как и случайное поведение ДС, к нерегулярным типам движения и широко представлен в динамике природных и искусственных ДС, модели которых содержат ту или иную нелинейность [1]. Хотя впервые хаотические явления были обнаружены и продемонстрированы в достаточно сложных моделях гидродинамики, химической кинетики и т.д., все особенности динамического хаоса удобнее всего наблюдать на примере нелинейной электронной цепи. Не существует другой реальной физической системы, которая была бы так приспособлена к экспериментальному, аналитическому и численному изучению хаотических явлений. В них достигается наибольшее согласие между наблюдаемым и рассчитанным модельным поведением, наблюдается не только на качественном, но и на количественном уровне. Впервые динамический хаос в электронной цепи был описан в [2]. В этом смысле изучение нелинейной электронной цепи представляет собой весь инструментарий, необходимый для систематического усвоения фундаментальных механизмов, определяющих природу хаоса. Такая система может быть исследована экспериментально, численно обсчитана на компьютере с дальнейшим сопоставлением результатов этих двух способов анализа.

Автономная электронная цепь. Любая электронная цепь, содержащая сопротивления, источники напряжения и тока, а также элементы, способные аккумулировать энергию, может быть описана системой дифференциальных уравнений первого порядка:

х'

В (1) Х(г) = (Х^), Хг(0, • • • ,Хп(г)) еип- вектор состояния, а Г - векторное поле, у. -вектор параметров цепи. Решение уравнения (1) для начального условия Х(£ = 0) = Хо имеет вид

^

Функция <^(Х0) переводит состояние Хо в состояние у?<(Х) через время £ и называется траекторией (или орбитой), проходящей через Хо, а множество всех орбит в фазовом пространстве, доступном системе, образует поток.

Стационарные состояния ДС. Поскольку реальные ДС являются диссипативными, то их траектории при £ -¥ оо должны стремиться к определенным областям фазового пространства, называемым предельными множествами, или аттракторами. Все траектории ДС, задаваемые различными начальными условиями, с течением времени выходят на соответствующий аттрактор, после чего динамика системы становится стационарной (или рекурентной). Только такие рекурентные состояния, соответствующие движениям на аттракторе, могут наблюдаться в экспериментах с реальной электронной цепью. Такими состояниями для электронной цепи с двумя степенями свободы (содержащей два энергонакапливающих элемента) являются состояние равновесия, удовлетворяющее уравнению Р(Хе?) = 0, и предельный цикл, или периодическое решение вида у?т(Х) = X, где Т - период. Иных решений (квазипериодических или хаотических) автономная электронная цепь с двумя степенями свободы иметь не может. Для того чтобы существование таких решений стало возможным, число степеней свободы должно быть не меньше трех. При этом квазипериодическое решение во временном пространстве будет выглядеть как амплитудно-модулированная волна, которой в фазовом пространстве будет соответствовать тор. Хаотическое решение можно определить методом исключения, т.е.

© П. И. Домнин, 2004

Рис. 1.

таким решением, которое не является ни состоянием равновесия, ни периодическим, ни квазипериодическим. Принципиальное отличие его от остальных решений состоит в отсутствии временной корреляции между двумя изначально-близкими траекториями. Это свойство, определяемое как чувствительная зависимость от начальных условий (ЧЗНУ), исключает возможность предрказывать состояние ДС на больших временах. Для того чтобы электронная цепь обладала ЧЗНУ, она должна содержать внутри себя источник, который заставлял бы вначале близкие траектории разбегаться. Роль такого источника в рассматриваемой цепи играет активное сопротивление. Вместе с тем любая траектория не должна уходить на бесконечность и, значит, должна возвращаться в ограниченную область фазового пространства, занимаемую аттрактором. Для этого цепь должна содержать нелинейный элемент, обеспечивающий такое возвращение.

Осциллятор Чуа. К простейшей электронной цепи, удовлетворяющей указанным требованиям и способной демонстрировать хаотическое поведение, относится так называемый осциллятор Чуа. Практическая схема, используемая в данной работе и представленная на рис. 1, содержит линейные элементы (два резистора, две емкости и одну индуктивность) и один нелинейный элемент. Им является активное нелинейное сопротивление ЛГд, собранное на двух операционных усилителях (микро- . схема КР140УД20А). Его характеристика изображена на рис. 2. Динамика такой электронной цепи описывается системой трех обыкновенных дифференциальных уравнений

Рис. 2.

ах

Я

-Уг) + 1з, -Яо/з,

где (? = £ и / (Уд) = £6Ук+0,5 (Са - С?ь) + - - Е|) - соответственно проводимость и трехсегментная кусочно-линейная характеристика нелинейного сопротивления (см. рис. 2).

Собрав такую цепь, можно продемонстрировать различные динамические режимы в ее работе, в том числе режим динамического хаоса. Фазовое пространство электронной цепи с такой кусочно-линейной трехсегментной характеристикой делится на три части. На рис. 3 они обозначены как £>-1 (VI < Е), Во (IV | < Е) и Г>1 (VI > Е) и разделены граничными плоскостями и~х и 11\. В каждой из этих областей имеется по одной равновесной точке (Р-, О, Р+) со стабильностью типа седло-фокус. С каждой точкой связаны три собственных вектора, два из которых, соответствующие двум собственным комплексно-сопряженным значениям, определяют собственные плоскости Ес, а третье вещественное собственное число - собственный вектор Ег. Траектория в любой из трех областей фазового пространства может быть разложена на три компоненты, две из которых располагаются в комплексных плоскостях Ес (0), Ес (Р-), Ес {Р+), а третья - вдоль соответствующего вещественного собственного вектора Ет. Из области £>о траектория закручивается в виде спирали вдоль стабильной комплексной плоскости Ес (0), одновременно удаляясь вдоль нестабильного вектора Ет (0), и со временем попадает в одну из внешних областей вблизи одной из равновесных точек Р~ или Р+. Затем она раскручивается в одной из нестабильных плоскостей Ес (Р-) или Ес (Р+), одновременно испытывая сильное притяжение к точке равновесия вдоль соответствующего собственного вектора Ет.

Наблюдение динамических режимов электронной ДС. Меняя величину управляющего параметра ДС, которым применительно к данной цепи является сопротивление Я, соединяющее линейный осциллятор ЬС с активным нелинейным сопротивлением А^л, на экране двухканального осциллографа С1-82 можно было наблюдать смену различных режимов электронной цепи. Для этого напряжения VI и Уг (см. рис. 1) подавались на входы соответствующих каналов осциллографа, и на его экране можно было проследить эволюцию динамических переменных во временном пространстве или проекцию траектории на плоскость при

работе осциллографа в режиме Х-У. Кривые, появляющиеся на экране, будут соответствовать тому или иному решению системы уравнений (3), моделирующей исследуемую ДС. При этом можно визуально наблюдать последовательность бифуркаций, переводящих ДС из простейшего состояния равновесия (точка на экране осциллографа) через бифуркацию Хопфа к периодическому решению (окружность или эллипс на экране) и при дальнейшем уменьшении сопротивления через последовательность бифуркаций удвоения периода к спиральному

Рис. 3.

хаотическому аттрактору и далее через узкие окна периодических решений к хаотическому аттрактору типа двойного завитка. Всю перечисленную последовательность бифуркаций можно наблюдать также, используя в качестве управляющего параметра не сопротивление, а емкость Ci-

Параллельное соединение емкости и индуктивности образует один осциллирующий механизм в плоскости (V2,h), тогда как проводимость G обеспечивает взаимодействие между осциллирующим элементом (С2, L) и активным резистором Nr, объединенным с конденсатором Ci. Действием этого активного резистора и объясняется хаотическое поведение схемы. Если бы данный резистор был локально пассивным, то схема вела бы себя совершенно спокойно, т.е. все решения стремились бы к глобально-асимптотически устойчивому равновесию. Так как резистор Nr - локально активный резистор (VR{t)In{t) < 0 везде, кроме начала координат), то во внешнюю цепь непрерывно подается энергия. Аттрактивный характер траекторий обусловлен рассеянием энергии в пассивном элементе G. Кроме траектории в фазовом пространстве, используя любой спектроанализатор, можно наблюдать спектры сигналов Vi(i) и V%(t) и их трансформацию при плавном изменении сопротивления R. При этом можно четко уловить момент перехода от дискретного характера спектрограммы, соответствующей периодической траектории, к сплошному спектру - одному из основных признаков хаотической динамики.

Заключение.. Таким образом, простая низкоразмерная кусочно-линейная автономная цепь с нелинейным активным сопротивлением может быть идеальной моделью для изучения хаотической динамики и в этом качестве служить хорошей лабораторной работой для студентов старших курсов, осваивающих новую для них область динамического хаоса, для которых наглядные образные представления многих вполне абстрактных понятий особенно полезны.

Summary ' -

Domnin P. I. Non linear autonomous electronic circuit for demonstrating dynamic chaos phenomena.

Here the nature of chaotic steady-state behavior and its manifestations in autonomous electronic circuits have been dicussed. The study of nonlinear electronic circuit is convinient framework for systematic exploration of fundamental mechanisms underlying the onset of chaos due to its excellent availability to be easy built, easy modelled using differential and difference equation and easy measured. Furthermore, this curcuit operates in real time and its parameters are readily adjusted. Considering peaeewise-linear nonlinear autonomous electronic circut in form of Chua's oscillator by varying of control parameter one of known routes to chaos has been observed.

Литература

1. Moon F. S. Chaotic and fractal dynamics. New York, 1992. 2. Zhong G. O., Ayrom F. // Intern. J. Circuit Theory and Appl. 1985. Vol. 13, N 11. P. 93-97.

Статья поступила в редакцию 23 марта 2004 г.