2015. 02. 007. Рек Э. Х. Фреге, Дедекинд и истоки логицизма. Reck E. H. Frege, Dedekind and the origins of logicism // history and philosophy of logic. - London, 2013. - vol. 34, n 3. - p. 242-265

ЛОГИКА И ТЕОРИЯ ПОЗНАНИЯ

2015.02.007. РЕК ЭХ. ФРЕГЕ, ДЕДЕКИНД И ИСТОКИ ЛОГИЦИЗМА.

RECK E.H. Frege, Dedekind and the origins of logicism // History and philosophy of logic. - London, 2013. - Vol. 34, N 3. - P. 242-265.

Ключевые слова: Г. Фреге; Р. Дедекинд; философия; математика; логицизм.

В статье ставится двойная цель: обеспечить многогранный учет истоков логицизма и реабилитировать Р. Дедекинда как одного из основных его представителей. C точки зрения Э. Река, логицизм следует рассматривать как основание современной математики, причем более глубокое, чем предполагается обычно. Таким образом, автор подчеркивает непреходящее значение логицизма.

Автор выделяет три мнения об истоках логицизма. 1. Логицизм возник в работах Г. Фреге и его мотивацию следует рассматривать, в первую очередь, как реакцию на работы И. Канта, Дж. Милля и других философов, т.е. истоки логицизма лежат во внутренних философских спорах.

2. Г. Фреге был, возможно, первым, кто развивал логицизм системно, однако корни логицизма уходят глубже, в философию XIX в.

3. Корни логицизма уходят в развитие математики в XIX в.

Позиция автора состоит в следующем. «Если рассматривать

данные предположения по отдельности, то они противоречат друг другу. Вместо этого можно попытаться объединить их в более сложную целостную структуру» (с. 250).

Наиболее распространенным является первое мнение. В первоначальной формулировке логицизма утверждалось, что вся математика (или ее основная часть) может быть сведена к логике. Этот тезис обычно выдвигался для объединения двух утверждений:

все математические понятия могут быть определены в логических терминах, и все математические истины могут быть выведены из логических истин. Такое понимание логицизма распространено в философских спорах о природе математики. Согласно Канту, математические утверждения являются априорно синтетическими. Среди оппонентов Канта в XIX в. выделялся Дж. Милль. Для него математика, как и все наше знание, является эмпирическим. На этом фоне значимость логицизма двояка: логицизм был направлен как против Канта, так и против Милля.

Б. Рассел стал главным сторонником логицизма в начале XX в., но он оставил исторический приоритет за Г. Фреге. Логицизм привлекал к себе возможностью использовать новую, символическую логику. Опровержение И. Канта, Дж. Милля было не единственной, но главной целью. Фреге добавил теорию классов к своей логической системе, как казалось для обеспечения наилучшего способа достигнуть целей логицизма. Однако во фрегевской теории классов Рассел обнаружил парадоксы и информировал его об этом в письме в 1902 г. Тем не менее Рассел приветствовал работу Фреге как новаторскую и предложил способ обойти антиномии, используя более сложную теорию логических типов, чем использовал Фреге.

Для Карнапа, в отличие от Рассела, цель была установить аналитичность математики. Но его попытки объяснения этого понятия оказались проблематичными.

С 1950-х и до 1980-х годов, логицизм рассматривался как потерпевший провал. Ч Райт вернул внимание к логицизму. Решающим моментом стал отказ опираться на теорию классов. Арифметика теперь сводится к логике плюс несколько «квазиопределенных» принципов, и в этом смысле она является «аналитичной».

Утверждение о том, что логицизм Фреге не является уникальным, а уходит корнями в более раннюю философию, возник как реакция на точку зрения М. Даммита, который считает, что Г. Фреге положил начало нечто совершенно новому. Г. Слуга, Г. Габриэль и другие опровергли М. Даммита, показав конкретных философов, оказавших влияние на Фреге. Ключевой фигурой в данном контексте является философ XIX в. Г. Лотце, чьи занятия Фреге посещал в Гёттингенском университете. Кроме того, известно, что Фреге был знаком с идеей Г. Лотца, что математика являет-

ся направлением универсальной логики. Однако, в то время как Г. Лотце только делал предположение, что на математику следует смотреть как на часть логики, и даже указывал, что следует выйти за пределы аристотелевской логики, фрегевское систематическое определение формальных логических выводов, классов и т.д. остается беспрецедентным. Кроме того отмечалось, что в работах Г. Фреге можно найти ссылки на Лейбница и на И. Канта.

Всё это свидетельствует о тесной связи логицизма с философией. Тем не менее, с точки зрения автора, корни логицизма следует искать не только в философии, но и в математике. «Арифмети-зация анализа является главной, или хотя бы второй по значимости, ситуацией, в которой мы можем увидеть, что логицизм Фреге не является новым» (с. 251). В связи с этим встает вопрос: какова была мотивация для арифметизации в математике XIX в.? Стандартный ответ состоит в том, что она была вызвана несостоятельностью «доарифметизированных» форм анализа, вместе с недовольством принятия «бесконечно малых» величин в его начальной версии. Иногда добавляют, что такие вопросы угрожали серьезности математики.

Арифметизация анализа означала сведение его основных понятий, в том числе понятий предела, непрерывности, действительных и комплексных чисел, к арифметическим понятиям (в узком смысле, включая только натуральные числа), что означало отказ от геометрического подхода к анализу. Эту позицию отстаивали видные математики того времени Гаус, Вейерштрас, Д. Гильберт.

Логицистский проект Фреге следует рассматривать, прежде всего, как продолжение арифметизации анализа.

О Р. Дедекинде как одном из первых представителей логицизма известно мало. Но именно его работы демонстрируют, что корни логицизма лежат не только в философии, но в математике. «Логицизм в целом, и в версии Дедекинда в частности, имеет более глубокие корни в математике, чем это принято считать» (с. 246).

Р. Дедекинд в работе 1872 г. обеспечил систематический подход к определению как иррациональных, так и рациональных чисел таким образом, что результаты дифференциального и интегрального исчислений могли быть получены строго из этих понятий и без обращения к геометрическим «доказательствам».

В работе 1888 г. Р. Дедекинд сразу начинает с введения трех основных абстрактных понятий: объекта, множества и функции, которые рассматривает как часть логики. «Понятие числа, пишет Дедекинд, - совершенно не зависит от понятий пространства и времени; я считаю, что это есть непосредственный результат законов мышления» (цит по: с. 247).

Таким образом, для Дедекинда логицизм появился как попытка продумать систематически, что следует рассматривать в качестве базиса фундаментальной математики, разработанной Гауссом, Дирихле и другими (включающей в себя алгебру, анализ, теорию чисел, теорию функций и т.д.).

В заключение автор отмечает, что учитывая все исторические свидетельства, любую однопричинную версию происхождения логицизма не следует воспринимать всерьез. Более того,.. становится ясно, что любое строгое разделение между «внутрифилософской» и «внутриматематической» мотивацией для логицизма является несостоятельным. Развитие фундаментальной математики принесло с собой не только методологические, но и гносеологические проблемы. Оно показало, как философские размышления могут вырастать из математической практики. Таким образом, знания о логицизме становятся богаче, если признавать все три предположения о его корнях.

Л.А. Боброва

2015.02.008. НЕГРИ М. ПРЕДСТАВЛЯЯ ЛОГИКУ. NEGRY M. Imaging logic // Вестник Томского гос. ун-та. Сер.: Философия. Социология. Политология. - Томск, 2012. - № 2 (18). -С.188-226.

Ключевые слова: логика; логическое пространство; логическое видение; образы; начертание; пикторальные формы выводов; точкография.

М. Негри считает, что логика имеет дело с представлениями, а не с понятиями. Он ставит вопрос: «Что мы видим, когда понимаем логику?» (с. 188).

Логика имеет дело с формами или структурами рассуждений и аргументации. М. Негри вводит субъекта познания, который способен отрефлексировать различные формы, описать их, и затем по-