О вращении материальной точки, движущейся в гравитационном поле по гиперболической орбите

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №9_

МЕХАНИКА

УДК 521.11: 531.32: 531.35

Академик АН Республики Таджикистан З.Д.Усманов

О ВРАЩЕНИИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ, ДВИЖУЩЕЙСЯ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ПО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ

Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан

Получено в явном виде выражение угловой переменной, характеризующей собственное вращение твердого тела, через истинную аномалию и четыре произвольные константы интегрирования. Установлена специфика вращения тела при его удалении в бесконечность.

Ключевые слова: материальная точка - гравитация - математическая модель - поступательное движение - вращение.

В работе [1] предложена математическая модель поступательно-вращательного движения твердого тела в гравитационном поле. Модель основана на интерпретации тела в виде материальной точки переменной массы и на описании динамики точки посредством вариационной задачи Лагранжа на условный экстремум. Для невозмущенного движения, когда масса точки неизменна и подвергается воздействию только гравитационной силы, математическая модель распадается на две системы уравнений. Одна из них представляет собой ньютоновы уравнения поступательного движения тела. Другая связывает неопределенные множители Лагранжа с угловой переменной, характеризующей повороты тела вокруг оси, перпендикулярной орбитальной плоскости. Интегрирование второй системы уравнений при движении тела по эллиптической орбите позволило извлечь в явном виде выражение угловой переменной через истинную аномалию и четыре произвольные константы интегрирования. При определенных значениях констант установлены простейшие типы вращательных движений, наблюдаемых на практике. В работе [2] соответствующие результаты получены для движения тела по параболической орбите. В настоящей статье, продолжающей предыдущие исследования, также установлена формула собственного вращения тела, но уже для случая его перемещения по гиперболической орбите.

Математическая модель поступательно-вращательного движения твердого тела в гравитационном поле представляется следующей системой дифференциальных уравнений, заимствованной из работы [1]:

£+/ -«

а2 у

dt

+ g = 0,

2

Адрес для корреспонденции: Усманов Зафар Джураевич, 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Айни, д. 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: zafar-usmanov@rambler.ru.

н Л^ н Л^ = 0,

— г дх дх

й2Л2

— (Л соб р + Л Бтр) = 0.

+ Л

1 —

1 д у

+ Л

д у

= 0,

—г

Здесь (х, у) - координаты центра масс твердого тела в системе Оху , начало которой совмещено с центром силы (фокусом конического сечения), ось х направлена в перицентр и ось у располагается в

г их / у

плоскости орбиты под прямым углом к оси х; / = —— и g =

3 3

г г

2 2 . 2

компоненты гравитационной

силы, действующей на единицу массы тела, г = х+ у, / = От0 , т0 — масса центрального тела и О — гравитационная постоянная. Поступательное движение тела характеризуется уравнениями (1), (2), а три других уравнения (3) — (5) предназначаются для нахождения неопределённых множителей Лагранжа Л], Л2 и угла <р наклона по отношению к оси х единичного вектора V реактивной

тяги, жёстко связанного с телом. Этот угол в отсутствии тяги характеризует собственное вращение тела.

Формулы для описания зависимости р = р(З). Система уравнений (1), (2) всесторонне изучена, см., например, [3]. Из полученных результатов используются формула гиперболической орбиты

г =

1 + есобЗ '

где р - параметр, е - эксцентриситет, е > 1, и З — истинная аномалия, — ж + агссоБ (1 / е) < З < ж —агссоБ (1 / ё) , а также формула

й З —г

= 3 =

для определения положения тела на орбите.

Интегрирование уравнений (3), (4) с помощью соотношений (6), (7) по подобию того, как это сделано в [1], приводит к следующим соотношениям

, . . А соб (З + у) + В . Л = Аэт/----—— Б1пЗ + С

Л = А соб/ +

1 + е собЗ

А соб(З+/) + В 1 + е собЗ

собЗ + С

. п п т 2б1пЗ .

БтЗсоБЗ-1 н--12

1 несоБЗ

2 „ , 2собз

-2 п т 1

б1п2 З-1 —

1 + есоБЗ

Здесь А, В, С, / — произвольные константы интегрирования и

2

г

i =!-

J CI

da

sin2 a(l + e cos a)2

3 a

I2 = J sin2 a(1+e cosa) J

= (e2 -1)"2 dO

e3sin3 2e - (e2 + 1)cos3

3e

1 + e cos3

da =

sin3

(e2 -1)1/2

H

sin2 O(1+e cos O)2

= V -1)-2 2

" 2 . „ e (2e2 +1) . „„ „ (1 + ecos3)2 TT - (e2 + 2)sin3-----sin23 + 3e ;--tt^-H

(e2 -1)1/2

причём Н — вспомогательная переменная, связанная с истинной аномалией 3 равенствами, ([3] стр. 279):

, H e-1 3 JTT (e2 -1)1/2 Jn

th — = .-tg- и dH = ±-d3 .

2 \e +1 2 1 + e cos3

В дополнение к формулам (8), (9) из уравнения (5) выводим

Л1 cos р + Л2 sin р = D,

где D - пятая произвольная константа.

Соотношения (8), (9) и (10) характеризуют вращение твердого тела в зависимости от его положения на гиперболической орбите, определяемого значением истинной аномалии 3. Пользуясь указанными соотношениями, изучим далее асимптотическое поведение р(3) при перемещении тела в бесконечность, чему соответствует условие

1 + есо$>3 — 0 (3 — 30 - агссоБ (1/ е)).

Случай 1. В формулах (8) положим A = C = 0 и В Ф 0 . Тогда

Л = -

B

1 + e cos3

sin3 и Л =

B

1 + e cos3

cos3

и из (10) выводим

sin (р - 3) = D (1 + ecos3).

Переходя к пределу при 3 —» 30, получим sin (ф — 30) =0, то есть р = 30 и (р = 30+ ж. Из этого следует, что при удалении тела в бесконечность единичный вектор тяги v стремится к касательной к траектории полёта, причём либо по направлению движения, либо противоположно ему. Случай 2. Пусть В = C = 0 и A Ф 0 . Тогда из (8) следует

, . . A cos (3 + /) . _ Лх = Asin/----— sin3,

Л2 = A cos/ +

1 + e cos3

A cos(3+/) 1 + e cos3

cos3.

3

Уравнение (10) после подстановки в него Л и Л2 преобразуется к следующему виду

sin(p+/)(1 + ecos3) + cos(3 + /)sin (р-3) = — (1 + ecos3).

A

Переходя к пределу при 3 ^ 3 (1 +е cos3^ 0), так же, как и случае 2, получим sin (р - 3) = 0.

Случай 3. Пусть A = B = 0 и C Ф 0 . Тогда из (8) следует

Л = с

. п п т 2sin3 .

sin3cos3-L +--I2

1+e cos3

Л = с

. 2 о т 2cos3 sin 3 • I -

1+e cos3

При с учётом того, что (1 + e cos3) H ^ 0, из (9) устанавливаем

(1 + ecos3)Ix ^ (e2 -1)-2 e3sin30 ,

I2 ^ - (e2 -1)-

- (e2 + 2)sin30 -

e

sin 23

Если теперь представить соотношение (10) в виде

,

и затем, приняв во внимание предыдущие соотношения, перейти к пределу при 3 ^ 30, то мы получим

e3sin3

жено.

tg (р — З0) =--. . .

0 е (2е + 1)собЗ0 + е2 + 2

Соответствующей геометрической интерпретации полученного выражения пока не предло-

Поступило 16.06.2015 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Усманов З.Д. О вращении материальной точки в поле ньютоновой силы притяжения - Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2015, т.58, № 1, с.22-31.

2. Усманов З.Д. Исследование математической модели вращения материальной точки, движущейся в гравитационном поле по параболической орбите. - XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Сборник докладов. г. Казань, 20-24 августа 2015, с. 3849-3850.

3. Дубошин Г.Н. - Небесная механика, М.: Госиздат. физ.-мат. литературы, 1963. 588 с.

3.Ч,.Усмонов

ОИД БА ЧАРХЗАНИИ НУЦТАИ МАТЕРИАЛЫ ДАР МАЙДОНИ ГРАВИТАТСИОНЙ АЗ РУИ МАДОРИ ГИБЕРБОЛЙ ^АРАКАТКУНАНДА

Институтиматематика ба номи А.Цураев, Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон

Ифодаи тагйирёбандаи кун^й, ки чархзании чисми сахтро тавассути аномалияи хдк,ик,й ва чор доимии дилхохи интегронй тавсиф медихдд, х,осил карда шудааст. Махсусияти чархзании чисм хднгоми ба беохир майл кардани он муайян гардидааст.

Калима^ои калиди: нуцтаи материалы - цозиба - модели математики - уаракати пешраванда -чархзани.

Z.D.Usmanov

ON A ROTATION OF THE MASS POINT THAT MOVES UNDER GRAVITY

ALONG THE HYPERBOLIC ORBIT

A.Juraev Institute of Mathematics, Tajik Academy of Sciences Explicit formulas to the rigid body rotation through the true anomaly and four arbitrary constants of integration are received. Specific types of rotation when the rigid body goes to infinity are described. Key words: mass point - gravity - mathematical model - translational motion - rotation.