Функции Грина для трансверсально-изотропных оснований

УДК 539.3

ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ ОСНОВАНИЙ

Канд. физ.-мат. наук КРУПОДЕРОВ А. В.

Белорусский государственный университет

Изучение свойств и НДС слоистых упругих тел имеет большое значение и широкий диапазон приложений в геомеханике, механике грунтов и геофизике. Породный массив, как правило, представляет собой многослойное тело. При

этом отдельные слои, составляющие массив, могут быть анизотропными. В большинстве своем грунты и породные слои являются транс-версально-изотропными.

Одним из первых наиболее полно изучившим НДС трансверсально-изотропного слоя, покоящегося на жестком основании, был С. Г. Лех-ницкий [1]. Исследованием НДС многослойного трансверсально-изотропного полупространства также занимались Н. Р. Гарг и Р. К. Шарма [2], С. Синг [3], П. К. Хадхури и С. Бовал [4], Ж. Куо [5], И. Пэн [6]. Более полный обзор работ приведен в [2].

Особое значение как для теории, так и для практики представляют собой аналитические выражения для осадки свободной поверхности слоистого полупространства, вызванной действием единичной сосредоточенной силы и называемой ядром основания [7-9].

В данной статье описывается подход к изучению объемного НДС многослойного транс-версально-изотропного полупространства в случае воздействия на полупространство нормальной нагрузки, распределенной по некоторой площади на его поверхности. Получены аналитические формулы для ядер оснований для слоя, покоящегося как на недеформируемом, так и на упругом основании. Так же данный подход может быть использован для получения решения для большего количества слоев [10]. Однако в силу громоздкости формул здесь приводятся конечные формулы только для слоя на недеформируемом и упругом основаниях.

Итак, рассмотрим многослойное трансвер-сально-изотропное основание. На его поверхности воздействует нормальная нагрузка, распределенная по некоторому закону. Будем предполагать, что массовые силы отсутствуют. В настоящей работе рассматриваются условия идеального контакта между слоями, хотя разработанный метод позволяет учитывать и другие типы условий. Уравнения равновесия и граничные условия для слоя записываются в виде [11]:

(

д2 дх2

-66

д2 ду2

44

д2 дг2

Л

+ (с,

{ \ д2иу 12 + С66 I » » ' дхду

-

д2и1г дхдг

= 0;

С/2 + С

66 )

, д2иХ дхду

д2 дх2

+ С

66

_д! ду2

- + с

44

д2 дх2

и3у +

"

д и

дхдг

= 0;

I С/, + С

д.

44 )

дх

ди]х дх

диУ ^

( г

д2 + д2 дх2 ду2

Л

+ Со

ду

д2 дх2

и{ = 0,

1! ^=к, = иг

=н,; ^ ^=н, = ^{з1

гЗ и=0

= 0; г = 1...3; { = 1...п;

• 0 при ^/г

2 + у2 + г2

• да,

где индекс { обозначает номер слоя; п - количество слоев; (с)а, к,I = 1,6 - матрица упругих констант, связывающая напряжения с деформациями (т. е. компоненты напряжений ст1 = охх;

Ст2 =стуу; стз =стгг; СТ4 =сту2; СТ5 =стхг; ст6 =стху с деформациями 81 =вхх; 82 =8уу; 83 =8гг; 84 = 2еуг;

85 = 28хг ; 86 = 28ху) .

Для трансверсально-изотропной среды существует направление, в нашем случае вертикальное, поворот вокруг которого на любой угол не влечет за собой изменение упругих свойств, а ее состояние определяется заданием пяти констант: Е1, v1, Е2, v2, G2. Здесь Е1, v1 -модуль Юнга и коэффициент Пуассона в горизонтальной плоскости (или плоскости изотропии), а Е2, v2, G2 - модуль Юнга, коэффициент Пуассона и модуль сдвига в вертикальном направлении. Матрица упругости имеет следующий вид (за вертикальную ось принята ось х):

(

Г1 -

Vl2V2

Е1Е2 А

VI + У2У12 Е1Е2А V2 +V2Vl2 Е1Е2А 0 0

0

У1 +V2Vl2 V2 +V2Vl2 Е1Е2А 1 -V 2Vl2

Е1Е2 А У2 +V2Vl2 Е1Е2 А 0 0

0

Е1Е2 А V 2 + У2У12 Е1Е2 А

1 -V22

Е12А 0 0

Е\ л (1 + Vl )(1 -Vl -2V2Vl2) где V12 = —V 2 , А =-—-.

Е2 Е12 Е2

Для нахождения решения поставленной задачи воспользуемся методом, описанным в [6]. В дальнейших выкладках верхний индекс ] опускаем, подразумевая, что выкладки ведутся для каждого слоя. Представляем перемещения в следующем виде: при 51 Ф 52

= У дф-. +дфз •

1=1 дх ду ' =У дф-дфз •

1=1 су дх '

V дфг 1=1

при 51 = 52

Ых =

дф, дф2 5фз

дх дф1

дх ду

дф2 5фз

ду ду дх

дф1 дг1

дф2 дг1

«зф2,

где

5,- = .

4с33С44

+

+(-1) (С + с13)(С - С13 - 2с44) , , = 1,2;

4с33С44

53

_ 1С66 г _ I _

= А •> С = "V с11с33 • =

V С 44

0 0 0 0

0 0

О2 0

0 02

0 0

0 0

Е1

2

В общем случае упругие параметры таковы, что 51 Ф 52. Тогда с учетом данного обстоятельства величины, входящие в (2), имеют следующий вид (в дальнейшем будем рассматривать только этот случай, так как случай 51 = 52 получается из него с помощью предельного перехода):

а,- = -

С11 С44 (с13 + С44)5,2

Подставляя выражения (2) в (1), найдем, что каждая из функций ф,- должна удовлетворять уравнению

Г д2 + д2 + д2 )

дх2 ду2 &,2

ф,- = 0(, = 1, 2, 3),

а также системе граничных условий, которые получаются подстановкой выражений (2) в исходные граничные условия.

Для решения сформулированной выше системы уравнений применим преобразование Фурье по переменным х, у

1 ад ад

fF (w1, w2) = — [ [ f (х, у)ег(^+у№2 )ёхёу.

-ад -ад

Таким образом, получаем следующие обыкновенные дифференциальные уравнения для трансформант функций ф,

ё 2фF

dz2

= s2 w2фF,

где w2 = w12 + w2.

Ы

х

Ы

Ы

Общее решение данных уравнений представляется в следующем виде (здесь возвращаемся к индексу у, так как для каждого слоя константы свои):

ф = С,е-и + С21ге

За - и

ки) можно без ограничения общности положить С/3 = 0. В итоге некоторые из уравнений системы становятся линейно зависимыми и таким образом уменьшается порядок системы, и, следовательно, она упрощается.

Опуская промежуточные вычисления, приведем аналитические выражения для ядер оснований для слоя, покоящегося на недеформи-руемом основании, и для слоя, жестко сцепленного с упругим полупространством.

В первом случае ядро имеет следующий вид:

12 и=0

Если подставить выражения (3) в систему граничных условий, то получится система линейных уравнений относительно констант С^. Данная система довольно громоздка, поэтому представляется целесообразным решать ее с помощью систем компьютерной алгебры. В нашем случае решение проводилось с помощью метода Краммера. Стоит отметить, что в данном случае (действия нормальной нагруз-где

Р(и) = —— (((-1 + е2йи-1 )(1 + е2ки*2 )а2 - (1 + е2йи-1 )(-1 + е2йи-2 )а2Х^а, - k31а2)),

Q(w) = c66(-k21 (-4еи-+-2)¿31а2 + k32((1 + е2и )(1 + е2И )а1 - (-1 + е2и )(-1 + е2И )а2)) + +^2 (4ейи(-+-2) k32а1 + k31 ((-1 + е2 йи-! )(-1 + е2йи-2 )а1 - (1 + е2йи- )(-1 + е2йи-2 )а2)));

а,- + . с33а-Я, - с13

Л3,- =-:-, Кц =-.

53 С66

Для слоя, сцепленного с упругим основанием, функции Р и Q имеют более сложный вид: Р(и) = ^(((ВД -¿3:а2)(-(Сб2б)2(¿2¿2 -¿^ХН + е2йи-!)(1 + е2йи-2)а} -(1 + е2йи-!)(-1 + е2йи-2)а>)--(с6б)2((-1 + е2йи-!)(1 + е2И2 )^2¿3: - (1 + е2йи-! )(-1 + е2И ^^Ж2 - а2) + с^(К&ВД (-1 +

+е2и1 + е^А -е2йи(-2)) + £22£31а12(-1 + е2йи-1 -е2йи-2 + е2йи(-2+-!)) + £22£32а12(1 + е2йи-! -е2йи-2 + е2йи(-2+-1)) + +¿^¿^а2 (1 + е2йи-! + е2ЙИ-12 + е2йи(-2 +-1)) + ¿22 ¿31а2 (1 - е2йи-! - е2йш2 + е2йи(-2+-1)) + +¿^¿^а^ (1 + е2йи-! - е2йш2 - е2йи(-2+-1)) + ¿^¿^а^ (-1 - е2йи-! + е2йш2 + е2йи(-2+-1)) + +£!1£321а2 (-1 - е2йи-1 - е2йш2 - е2йи(-2+-1)) + (1 + е2йш2 Щ2 (-¿322 ((-1 + е2йи-)а1 + (1 + е2йи-)а?) + +¿31 ((-1 + е2йи-1 )а1 + (1 + е2йи-1 )а2) + £2 ((-1 + е2И ^ ((-1 + е2и )а1 + (1 + е2^-1 )а2) - (-1 + е2^-1 Щ, х

х(-1 + е2йи-2 )а2 + (1 + е2йш2 )а 2))))));

Q(w) = с66(-(с2б)2(к^к2 -¿^Х^МеМ*;+4)¿]1а12 + ^((1 + е2й^)(1 + е2й-4)а] -

-(-1 + е2 ^ )(-1 + е2 )а2)) + ¿;2 (-4ей-( "+"2) к32а1 + ¿;1 (-(-1 + е2^"1 )(-1 + е2 )а! +

+(1 + е2й^; )(1 + е2 й-"\ )а2))) - (сб6)2 (-(-1 + е2 ^ )(-1 + е2й-4 )(^;2 ¿;1)2 + 2(1 + е2й™; +

+е2й-4 - 4ей-("+4) + е2М"+"2 ^к^к^ - (-1 + е2й™; )(-1 + е2й™1 Хк^ )2 )(а? - а2) +

+сб6с26 (-(-1 + е2й-4 )(к12)2 к31 (-к322 ((-1 + е2 ^ )а1 + (1 + е2 йш1 )а2) + к321 ((-1 + е2 ^ )а1 +

+(1 + е2й-*1 )а2)) + к11к32 (к222 (-(-1 + е2)к12 ((1 + е2^ )а1 + (-1 + е2й^ )а2) +

+к]1 ((1 + е2^1 + е2й-"2 -4ейм>1+"2) + е+"2^а^ + (1 + е2^)(-1 + е2^"1)а!2)) +

+(-1 + е2 йws! )к11 (к322 ((1 + е2 й-"2 )а? + (-1 + е2 й-"2 )а!2) - к^ ((-1 + е2 й-"2 )а!2 + (1 + е2 й-"2 )а 2)) +

+к2 ((-1 + е2й-"2)к32 ((1 + е2^)а1 + (-1 + е2й)а2) + к31 (-(1 + е2й)(-1 + е2й-4 )а12 -

-(1 + е2йж?1 + е2й-"2 - 4ей-(") + е2й-("1+"2))а2))) + к12 (к222к31 (к12 ((-1 + е2йж?1 )(1 + е2й-"2 )а1 +

+(1 + е2^"1 + е2йш2 - 4ейм>1+"2) + е2^1"+"2))а12) - (-1 + е2^ )к31 ((-1 + е2йж"2 )а2 + + (1 + е2й-*1 )а2)) + k221k!1 ((-1 + е2й™\ )к^ ((1 + е2^"1 )а12 + (-1 + е2^"1 )а2) -

-к32((-1 + e2йws! )(1 + е2йч,"2 )а1 + (1 + е2йш1 + е2йч,"2 - 4eйw("!+"2) + е2й-("+"2))а^)) + +к^ (-к322(к32((1 + е2йш2)а1 + (1 + е2йж?1 + е2йш2 - 4ей-("+"2) + е2й-("1+"2))а1 +

+(1 + е2й-"1 + е2й-"2 - 4ей-("1+"2) + е2й-("1+"2))а!2)) + к321 (к^((1 + е2й-"1 + е2й-"2 -

-4еМ"1+"2) + е2й-("1+"2))а12 + (1 + е2йи" )(-1 + е2й-"2)а2) + к\2((1 + е2й-"1 + е2йш2 -- 4еМ "+"2) + е2й-("1+"2 ))а1 + (-1 + е2 ^ )(1 + е2 й-"2 )а2)))))).

+ (-1 + е2й-"1 )(1 + е2й-"2 )а2) + к31 ((1 + е2й-"1 )(-1 + е2й-"2 )а2 +

С помощью предельного перехода нетрудно убедиться, что для случая изотропного слоя и полупространства эти функции совпадают с известными решениями [4, 5].

функция. Выражение для константы С в наших случаях имеет следующий вид:

• для слоя на недеформируемом основании

1 ^32а1 - ^31а2

На практике дробь —удобно представ-

С =

2п С66(к22кз1 -к2:к32)'

лять в виде

• для слоя, сцепленного с упругим полупространством:

с =

1 ^32 а 1

2п С

Использование формулы (4) в том виде, в котором она приведена, является крайне за-

труднительным, поэтому дробь

Р

прибли-

жают некоторым выражением [3-5] так, чтобы интеграл в

в

= С, + е-2и У

ак ик,

к=0

где ак - коэффициенты ряда Маклорена функ-

ции

Р

- с,

". Выбор двойки связан

Ми / й)

с оценкой асимптотического поведения функции Р

ка применить данный подход для трансвер-сально-изотропного массива оказывается неудачной, так как требуется довольно большое количество членов ряда для хорошей аппроксимации. На рис. 1 приведен пример аппроксимации вида

Р

= с, + е-2и-2 У ак и*

к=0

при следующих значениях упругих свойств:

£1 = Е 2 = 109 Па; Vl = V 2 = 0,3; О2 = 0,1501. Здесь и = 2.

Р

2,5-10-9 2,0-10-9 У / / ч ч

1,5-10-9 1,0-10-9 / / /

5,0-10-10 / ---

5 10 15 и/й

Рис. 1. Пример аппроксимации на основании формулы

Как видно, выражение хорошо аппроксимирует поведение функции в 0 и на бесконечности, однако в остальных точках наблюдается довольно большое расхождение. Причем увеличение количества членов ряда не всегда приводит к улучшению результата.

Нами предлагается следующее представление для исходной функции

Р(и /й) ^ 2 ^ т . .

п) = С1 + е-2и-2 У ак и (и) / й) к=0

где ик - полиномы Лагерра;

0

(

Р

Л

- с,

е2--2иик (- коэф-

и / й)

фициенты Фурье. Аналитическое вычисление этих коэффициентов не всегда возможно. Однако при конкретных упругих постоянных их легко рассчитать численно. Для случая слоя на упругом основании в формуле (6) 5 2 заменяется на ^2.

На следующих рисунках приведены примеры указанного приближения. На рис. 2 - для слоя на недеформируемом основании. При этом были взяты следующие упругие свойства слоя: £1 = Е 2 = 1010 Па; V, = V 2 = 0,3; О2 = 0,350 В этом случае получаем значения коэффициентов: а0 = -6,45788-10-11 Па-1; а, = 1,56765 х х 10-11 Па-1; а2 = 4,38728-10-12 Па-1. На рис. 3 приведен пример приближения для слоя на упругом основании. При этом были взяты следующие упругие свойства слоя и полупространства:

Е1 = Е1 = 1010Па, V1 =v12 = 0,2, О1 = 0,350,;

Е,2 = Е22 = 5 - 109Па, V2 = v2 = 0,3, 022 = 0,202.

Р

4,0-103,0-10-1 2,0-10-1 1,0-10-1

10

15 и/й

Рис. 2. Пример аппроксимации на основании разложения в ряд Фурье для слоя на недеформируемом основании

В данном случае имеем значения коэффициентов: а 0 = 7,89831-10-11 Па-1; а, = 3,79173 х х 10-12 Па-1; а2 = -1,51824-10-11 Па-1.

И в том, и в другом случае п принималось равным 2.

Р

гл

5

1,210-1 1,0-10-1 8,010-

10

15 w/h 20

Рис. 3. Пример аппроксимации на основании разложения в ряд Фурье для слоя, сцепленного с полупространством

Максимальная погрешность не превышает 10 %, и, как известно из теории рядов Фурье, будет уменьшаться при добавлении новых членов ряда.

В итоге на основании указанного приближения интеграла в (4) берется аналитически и вертикальные перемещения границы слоя от сосредоточенной вертикальной силы имеют

следующий вид ( г = ^х2 + у2 ):

C

u (r )|z=0 = — + r

1

+a1

h((r / h)2 + 4s2 )1/2 (r /h)2 + 2s2 (-1 + 2S2 ) ,

h((r / h)2

-4s2 )3/2

Приведем графики перемещений поверхности основания (рис. 4), вызванных сосредоточенной силой, для трех случаев: упругое полупространство (сплошная кривая), слой на неде-формируемом основании (длинный пунктир), слой на упругом полупространстве (мелкий пунктир). Графики строились в соответствии с полученными приближениями.

и: м 2.5-КГ9

2,0-10-"

1,5-10-9

1,0-10-9

5,0-10-10

0,5

1,0 1,5

2,0 х, м 3,0

Рис. 4. Перемещения поверхности для различных типов основания В Ы В О Д Ы

Таким образом, получены решения для случая воздействия нормальной нагрузки на упру-

гое многослойное трансверсально-изотропное основание. Приведены аналитические выражения для ядер основания для случая упругого слоя на недеформируемом и упругом основаниях. Предложен подход для аппроксимации ядра основания с помощью полиномов Лагерра. Приведены примеры аппроксимации. Указанные решения могут быть использованы при анализе напряженно-деформированного состояния грунтов, вызванного поверхностной нагрузкой.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Лехницкий, С. Г. Упругое равновесие трансвер-сально-изотропного слоя и толстой плиты / С. Г. Лехницкий // Прикладная механика и математика. - 1962. - Т. 26, № 4. - С. 687-696.

2. Garg, N. R. Displacements and stresses at any point of a transversely isotropic multilayered half-space due to strip loading / N. R. Garg, R. K. Sharma // Indian. J. pure appl. Math. - 1991. - 22(10). - P. 859-877.

3. Garg, N. R. Residual response of a multilayered halfspace to two-dimensional surface loads/ N. R. Garg, S. J. Singh // Bull. Ind. Soc. Earthq. Tech. - 1985. - 22. - P. 39-52.

4. Chadhuri, P. K. Two-dimensional static response of a transversely-isotropic multilayered nonhomogeneous half-space to surface-loads / P. K. Chadhuri, S. Bowal // Geophys. Res. Bull. - 1989. - No. 27. - P. 77-87.

5. Kuo, J. T. Static response of a multilayered medium under inclined surface loads / J. T. Kuo // J. Geophys. Res. -1969. - No. 74. - P. 3195-3207.

6. Pan, E. Static response of transversely isotropic and layered half-space to general surface loads / E. Pan // Phys. Earth Planet Inter. - 1989. - No. 54. - P. 353-363.

7. Босаков, С. В. Статические расчеты плит на упругом основании / С. В. Босаков. - Минск: БНТУ, 2002. -128 с.

8. Алейников, С. М. Развитие метода специальной аппроксимации в контактных задачах теории упругости / С. М. Алейников, Е. В. Кутенков // Труды всерос. конф. «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, Россия, 2004 г. - Самара, 2004. - С. 9-13.

9. Алейников, С. М. Аппроксимация ядер упругих слоистых оснований / С. М. Алейников, Е. В. Кутенков // Труды всерос. конф. «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, Россия, 2005 г. - Самара, 2005. -С. 17-20.

10. Круподеров, А. В. Решение задачи о воздействии нормальной нагрузки на многослойное трансверсально-изотропное основание с помощью использования преобразования Фурье в объемной постановке / А. В. Круподеров, М. А. Журавков // Труды VI Междунар. симпозиума по трибофатике МСТФ 2010, Минск 25 окт. - 1 нояб. 2010 г. Ч. 2 / редкол.: М. А. Журавков [и др.]. - Минск: БГУ, 2010. - С. 359-364.

11. Ding, H. Elasticity of transversely isotropic materials / H. Ding, W. Chen, L. Zhang. - Springer, 2006. - 444 p.