Устойчивость двойного маятника с вязкоупругими элементами, нагруженного следящей и консервативной силами

МЕХАНИКА

УДК 531.53

J

В. Е. Палош

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВОЙНОГО МАЯТНИКА С ВЯЗКОУПРУГИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ, НАГРУЖЕННОГО СЛЕДЯЩЕЙ И КОНСЕРВАТИВНОЙ СИЛАМИ

Рассмотрен маятник Циглера с вязкоупругими шарнирами, дополнительно нагруженный консервативной силой. Решена задача устойчивости положения равновесия в линейной постановке. Показана дестабилизация равновесия системы малыми диссипатив-ными силами. Найдено значение консервативной силы, при котором дестабилизации не происходит. Исследовано поведение действительных частей корней характеристического уравнения в зависимости от значений действующих на систему сил. Рассмотрен критический случай устойчивости одного нулевого корня.

Введение. В 1952 г. Ганс Циглер [1] рассмотрел колебания двойного маятника, состоящего из двух невесомых стержней равной длины и нагруженного на конце следящей силой. Предполагалось, что массы сосредоточены в узлах, шарниры обладают линейной жесткостью с коэффициентом А и линейным демпфированием с коэффициентом В.

При анализе устойчивости равновесия, был получен следующий результат: критическая нагрузка при исчезающе малом демпфировании оказалась меньше, чем критическая нагрузка, вычисленная при отсутствии демпфирования. Это явление получило название парадокса дестабилизации.

В работе [2] рассмотрен маятник Циглера с различными коэффициентами демпфирования. Сделан вывод, что в этом случае также наблюдается парадокс дестабилизации, а устойчивость положения равновесия зависит от отношения коэффициентов демпфирования. Однако, как отмечается в статье [3], при стремлении параметров диссипации к нулю критическая сила как функция двух переменных не имеет предела. Поэтому критическая нагрузка при бесконечно малых диссипативных силах является неопределенной.

Парадокс дестабилизации сохраняется и при нелинейных законах трения. В работе [4] предполагается, что силы трения в обоих шарнирах подчиняются следующему закону: Ко(х, X) = Ах2Х + ВХ3. Задача решается с помощью построения функции Ляпунова. В итоге выяснено, что парадоксальное поведение критической нагрузки не исчезает при рассмотрении нелинейных законов демпфирования.

Отметим также статью [5], где в нелинейной постановке решена задача устойчивости положения равновесия маятника Циглера в критическом случае устойчивости пары чисто мнимых корней, т.е. когда следящая сила имеет критическое значение.

Следует заметить, что парадокс дестабилизации возникает и в континуальных моделях. Обзор результатов, посвященных этому вопросу, а также других результатов, связанных с парадоксом дестабилизации, приведен в работе [6].

Статья [7] посвящена качественному и численному описанию парадоксального поведения неконсервативных систем под действием малых диссипативных и гироскопических сил. Для объяснения парадокса дестабилизации исследуется движение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Получена функциональная зависимость критической нагрузки от параметров диссипативных и гироскопических сил, позволяющая определять скачок для критической нагрузки.

В настоящей работе, состоящей из двух частей, рассмотрен маятник Циглера, дополнительно нагруженный консервативной силой. В первой части показано, какое влияние на парадокс дестабилизации оказывает добавление консервативной силы. Во второй части исследована устойчивость нулевого положения равновесия в критическом случае одного нулевого корня, который возникает вследствие добавления консервативной силы. Отметим, что в данной работе рассматривается

Уравнения движения маятника.

Двойной маятник представляет собой систему двух невесомых стержней CD и DE длиной I (рис. 1). Шарниры обладают вязкоупругими свойствами, так что восстанавливающие моменты в них равны M1 = — Ар1 — B(p1, M2 = —А(^2 — 9i) — B (9 — 9 1 ). В шарнире D и на свободном конце E расположены две одинаковые массы m. Гравитационные силы отсутствуют. На свободный конец маятника E действует следящая сила P, направление которой во все время движения совпадает с направлением стержня DE. На шарнир D действует консервативная сила F, всегда направленная вертикально вниз.

устойчивость по Ляпунову.

т\%.

дрш7

\с \\\\\\\

Рис. 1. Двойной маятник под действием консервативной (Р) и следящей (Р) сил

Положение маятника определяется двумя углами: ф1 и ф2. Выберем их в качестве обобщенных координат. Уравнения движения маятника имеют вид

в (дЬ \ дЬ „ д Ф . 1 п

= Яг ,г = 1, 2,

вЬ \дфг) дфг дфг

где функция Лагранжа Ь = Т — П; кинетическая энергия

Т = 1 т12

потенциальная энергия

П = 1 Аф2 + 2А

Обобщенная сила Яг, соответствующая 1-й координате, для г = 1, 2 равна:

Я1 = Р1 в1п

Диссипативная функция Релея Ф имеет вид

Ф = 2Вф? + 2в ф — фг)2 .

Подставляя соотношения (2)—(5) в формулу (1), получаем уравнения движения маятника

2ml2фг + т12ф2 еоз(ф1 — ф2) + т12ф2 sin^ — ф2) = = А(ф2 — 2фг) + в (ф2 — 2фг) +

+ Pl 81п(фг — ф2) + Fl sin фг, (6) т12фг cos^ — ф2) + т12ф2 — т12ф1 siп(ф1 — ф2) =

= —А(ф2 — фг) — в(ф2 — фг).

Система, описываемая уравнениями (6), имеет положение равновесия ф1 = ф2 = 0, ф1 = ф2 = 0, устойчивость которого и исследуется.

гА

С помощью подстановки т = —гг уравнения движения (6) сво-

V т12

дятся к безразмерному виду. Раскладываем нелинейные слагаемые в ряды. Отметим, что разложения нелинейных слагаемых в окрестности нулевого положения равновесия содержат только члены нечетных степеней. Получаем следующую систему:

р1' = (р + / - 3)^1 + (2 - - + 26^2 - (р12 + р22) (Р1 - Р2)+

+6(VI - 5р2)(Р1 - ^2)2 + ^(3 - р)(р1 - Р2)3-2 6 /

-(р + / - 3)^1(^1 - ^2)2 - (2 - р)р2(р1 - ^2)2 - 6Р1 + . . . , р2' = (4 - р - /)Р1 + (р - 3)Р2 + 4Ьр1 - 36р2 + (2р12 + р22) (Р1 - Р2) + +6 ^-5^1 + 2Р2^ (Р1 - Р2)2 + (3р + / - б) Р1(Р1 - Р2)2 +

- 3р) Р2(Р1 - Р2)2 + г/^ (Р3 + (2Р1 - Р2)3) + . . . ,

где введены следующие безразмерные параметры: р = —-, f = —,

А А

в

Ь = ^^ ^; штрих в уравнениях обозначает производную по т, а

многоточие - совокупность членов не ниже пятого порядка.

Исследование устойчивости в первом приближении. Уравнения первого приближения имеют вид

р'1 = -3Ь^1 + 2Ьр2 +

р2' = 4Ьр1 - 3Ьр2 +

Запишем характеристическое уравнение для этой системы:

Л4 + 6ЬЛ3 +

С помощью критерия Рауса-Гурвица условия асимптотической устойчивости системы (7) сводятся к неравенствам

7 < 1,

Р < 12-6/ (бЬ2 - ЗЬ27 + 2f2 - 4f + .

Обозначим критическое значение следящей силы как

Р = 12-Ь/ 36Ь2 - 3Ь2У + 5f2 - 4/ + 16

При р = р характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней и два корня с отрицательными действительными частями.

Зависимость критической силы р от коэффициента Ь при некоторых значениях силы f показана на рис. 2. Видно, что наличие консервативной силы приводит к увеличению критической нагрузки. Кроме того, значение критической силы возрастает с увеличением коэфи-циента Ь. То есть, не возникает того эффекта, когда с увеличением вязкости значение критической силы начинает уменьшаться. Данный эффект присутствует в маятнике Циглера с разными коэффициентами

вязкости в шарнирах, что исследовано в работе [8]. Как будет показано далее, дестабилизация наблюдается только при переходе от модели без вязкости к модели с вязкостью.

Выясним, как наличие консервативной нагрузки влияет на парадокс дестабилизации. Для этого рассмотрим уравнения первого приближения (7) при условии равенства нулю коэффициента Ь:

2,4 2,2 2 1,8

Рис. 2. Зависимость критической силы p от коэффициента b

V" = (Р + / - 3)^1 + (2 - р)^2,

у2 = (4 - р - /№1 + (р - 3)^2.

Характеристическое уравнение

Л4 + (6 - 2р - /) Л2 + (1 - /) = 0

должно иметь две пары чисто мнимых корней, для этого должны выполняться следующие условия:

'6 - 2р - / > 0, 1 - / > 0,

В =

/< 1,

/

Р < 3 - 2 - .

Критическое значение следящей силы в этом случае обозначим как /

p* = 3 — — — л/1 — f. Предельное значение критической силы p равно plim = lim p = —-—— ( - f2 — 4f + 16 ) . Графики зависимостей этих

Ь^ 12 - 6/ у2' критических сил от силы / показаны на рис. 3.

Видно, что происходит потеря устойчивости в случае наличия вязкости при всех значениях консервативной силы / кроме одного. При / ~ 0,971 критические значения совпадают: р* = рИт. Таким образом, если / « 0,971, то парадокса дестабилизации не наблюдается.

Для каждого значения консервативной силы / есть такое значение коэффициента Ь (обозначим его Ь), при котором величины р и р* совпадают. График зависимости Ь от / показан на рис. 4.

Рис. 3. Сравнение значения критической силы в отсутствие вязкости с предельным значением критической силы при наличии демпфирования в зависимости от консервативной силы /

Рис. 4. Зависимость коэффициента 6, при котором совпадают величины р и р*, от силы /

Заметим, что из устойчивости системы (9) не следует устойчивость системы (6) при коэффициенте В = 0. Отметим также, что доказать устойчивость по Ляпунову системы (6) в нелинейной постановке при отсутствии вязкости нельзя [5].

Анализ собственных значений. Исследуем поведение собственных значений Л в зависимости от силы р при малом значении коэффициента Ь, а также предельный переход критической силы р. Поскольку собственные значения Л непрерывны как функции Ь, то при стремлении коэффициента Ь к нулю, они стремятся к собственным значениям системы при Ь = 0.

Значение потенциальной силы примем равным f = 0,75, в этом случае р* = 2,125.

На рис. 5 показана зависимость действительных частей корней ха-

рактеристического

Re л

уравнения

Рис. 5. Зависимость собственных значений корней характеристического уравнения от силы р

(8) от величины силы р при некоторых малых значениях Ь. При сравнительно больших Ь небольшое возрастание нагрузки выше значения р приводит к заметному возрастанию действительных частей. Однако при малых Ь роль р как критической нагрузки уменьшается, поскольку небольшое увеличение р выше значения р уже не приводит к большому увеличению ЯеЛ. Существенное возрастание ЯеЛ теперь связано с малым увеличени-

ем нагрузки выше значения несколько меньшего, чем р*. При стремлении Ь к нулю, ЯеЛ также стремится к нулю при любых р < р*.

Теорема о критическом случае. Для дальнейшего исследования воспользуемся следующей теоремой, приведенной в работе [9]. Теорема. Пусть дана система

хх ^^^ (хх, хх1, . . . , <х п ),

х'3 = р^1Ж1 + ... + р,зпХп + рзХ + ХДх, хЬ . . . , Хп), 5 =1, 2, . . . , П,

где X и Х5 — слагаемые не ниже второго порядка. Характеристическое уравнение, составленное для линейных членов последних п уравнений, имеет только корни с отрицательными вещественными частями. Введем следующие обозначения:

/ X(0)(х)=Х(х, 0,..., 0) = дхт + 5(т+1)хт+1 + .

1

xS0)(x)=Xs (ж, 0,..., 0) = gsxms +g(ms+1)xms+1+ ..., s = 1, 2,...,n,

где д, д(' д5, д5 —постоянные.

Пусть выполнены условия: X(0)(х) не обращается тождественно в нуль; все величины р5 в уравнениях (10) равны нулю; т5 > т.

При этих предположения задача устойчивости нулевого положения равновесия системы (10) решается следующим образом: положение равновесия всегда неустойчиво, если т — число четное. Если т — число нечетное, то при д > 0 положение равновесия неустойчиво, а при д < 0 оно асимптотически устойчиво.

Исследование критического случая устойчивости одного нулевого корня. Как было показано выше, условием асимптотической устойчивости системы (6) при наличии вязкости является выполнение неравенств f < 1 и р < р. Если принять f = 1, то получаем

'f = 1,

1 2 29

р < 1 +12.

При выполнении условий (11) характеристическое уравнение (8) имеет один нулевой корень и три корня с отрицательными действительными частями. Для исследования устойчивости в этом случае необходимо рассматривать задачу в нелинейной постановке.

Систему (6) приводим к безразмерному виду, полагаем f = 1, принимаем обозначения г1 = р1, г2 = р2, г3 = г4 = р'2, а также раскладываем нелинейные слагаемые в ряды до третьего порядка.

Получаем следующую систему:

z1 = Z3,

<

-

— (р - 2)^1 + (2 - - 36^3 + 26^4 + 22, ¿3, 24),

X — (3 - р)21 + (р - 3)22 + 4623 - 3624 + ^4(21, 22,23, 24), где

^3(21,22,23,24) — (22 + 22)(21 - 22) + 2 (723 - 524)(21 - 22)2 +

+2 (5 - 3 р)(21 - 22)3 -123,

^4(21,22,23,24) — (22^ + 24)(21 - 22) + 6 ^-523 + 72^ (21 - 22)2 +

+ (^Р - ^ 21(21-22)2^7 - 5^ 22(21-22)2 + 12 (223 + (221 - 22)3) .

Отметим, что если задачу не удастся решить, ограничиваясь слагаемыми третьего порядка, то будет необходимо рассмотреть слагаемые более высокого порядка.

Введем новую переменную х1 — а121 + а222 + а323 + а424. Выбираем а так, чтобы для линейных слагаемых выполнялось равенство

¿X1 11111

—— — 0, т.е. Х — а12,1 + а222 + а323 + а424 — 0. Подставляя линей-ат

ные слагаемые из 24, 22, 23, 24 и приравнивая нулю выражения при 2к, получаем систему линейных однородных алгебраических уравнений:

' (р - 2)а3 + (3 - р)а4 — 0,

а1 - 36а3 + 46а4 — 0, ка2 + 26а3 - 36а4 — 0.

Поскольку мы рассматриваем случай, когда характеристическое уравнение имеет один нулевой корень, то определитель системы (13) равен нулю, и, следовательно, система всегда имеет ненулевое решение. Покажем, что всегда существует решение системы (13), при котором а1 — 0.

1. Если р — 2, то полагаем а3 — 0, а4 — 0, следовательно,

а1 — 36а3 — 0.

3 - р

2. Если р — 2, то полагаем а4 — 0, следовательно, а3 — -а4,

2 - р

6

откуда получаем а1 —-а4 — 0, так как 6 > 0, р > 0.

2 - р

Из этих рассуждений также следует, что при любом ненулевом решении верно неравенство а3 = а4.

Поскольку а1 = 0, мы можем сделать следующую замену переменных:

= а1^1 + + аз^з + Ж2 = 22, Ж3 = 23 Ж4 = 24

После замены переменных система (12) принимает вид

= а3Х3(ж1, ж2, ж3, ж4) + а4Х4(ж1, ж2, х3, ж4),

Ж2 — Х4,

х3=Е-2X, + (2 - р - Х2 + (-35 - Х3 +

01 \ / V /

+

*4=^ Х1 + (р - 3 - Х2 + - ) Х3+

01 01 / V 01 /

( , (3 - р)о4\ , .

+ -35--х4 + а4(ж1, х2, ж3, ж4),

V °1 )

где введены обозначения:

V ( \ <7 ( 1 а2 а3 а4 \

Л3(ЖЬЖ2,Ж3,Ж4 ) = ¿П —ж1--ж2--ж3--ж4,ж2,ж3,ж4 ,

а1 а1 а1 а1

1 а2 а3 а4

Х4(Ж1, Ж2, Ж3, Ж4 ) — ¿4 1 —х — — Х2 — — Ж3 — — Ж4, Ж2, Ж3, Ж4

а1 а1 а1 а1

Характеристическое уравнение инвариантно относительно линейных преобразований, поэтому мы по-прежнему имеем дело со случаем одного нулевого корня и трех корней с отрицательными действительными частями.

Наша система (14) не удовлетворяет условиям теоремы, поэтому ее нужно преобразовать к виду, для которого выполняются ограничения, накладываемые теоремой.

Найдем функции и2(ж1), и3(ж1), и4(ж1), такие, чтобы при их подстановке соответственно вместо Ж2, Ж3, Ж4, правые части уравнений (14) обращались бы в нуль, т.е.

V — о,

р - 2 ( (Р - 2)о^ (Р - 2)03 \

Х1 + 2 - р--и2 + -35--и3+

Ol \ Ol / \ Ol

+ ( 2b — ——| u4 + X3(x1, u2, u3, u4) = 0,

V Oi /

3 — P / q (3 — p^ , ^ (3 — р)оз^

-xi + p — 3--U2 + 4b--U3+

Ol V Ol / V Ol /

+ ( —3b — ——p)O4 | u4 + X4(xl, u2, u3, u4) = 0. Ol 4 4 l 2 3 4

То, что это всегда можно сделать, показано в работе [9]. Функция и4 тождественно равна нулю, а и2 и и3 будем искать в виде рядов

'М2 — С21}Х1 + С22)х2 + ..., ^3 — с31) Х1 + с32)х2 + ....

Согласно теореме [9], нас интересует лишь младший член в разложении функции X(0), поэтому ограничимся лишь линейными слагаемыми:

и2 — С21)хЪ ЛЛч

^(1) (16) и — С3 Х1.

Если окажется, что этого недостаточно, то придется учитывать слагаемые более высокого порядка. Подставляем (16) в (15) и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

'

Определитель системы (17) равен (а1 + а2)6а1 (р + 1). Складывая два последних уравнения системы (13), получаем а1 + а2 — 6(а3 - а4). Ранее было показано, что при любом ненулевом решении системы (13) а1 — 0 и а3 — а4. Таким образом определитель системы (17) всегда отличен от нуля и, следовательно, она имеет ненулевое решение

С21) — , с31) — 0.

а! + а2

Сделаем замену переменных:

Х2 — £2 + С21)Х1, Х3 — £3, Х4 — £4.

Система (14) принимает вид:

= 03X3 (ж1,£2 + С^Жьб,^) + 04X4 ,£2 + с21)Х1 ,£3^4) , £2 = £4-

-С^ (03X3 (Х1,£2 + С^1)Ж1,£3,£^ + 04X4 (Х1,£2 + С^ь£3,£4)) ,

£3 £2 ^) £3+ ) £4 +

+Xз (х1, £2 + С21)х( £3, £4) - Xз (х1, С(1)Х1,0,о) ,

£4 = (--^ ) £2+ (с£3+ (-3Ь- ) £4+

+X4 (ж1,£2 + с21),£3,£^ - X4 (Ж1,С21)Ж1, 0, о) .

Новые переменные обращаются одновременно в нуль тогда и только тогда, когда обращаются одновременно в нуль старые переменные, поэтому задача устойчивости по отношению к одним переменным эквивалентна задаче устойчивости по отношению к другим переменным.

Система (18) удовлетворяет условиям теоремы, поэтому надо найти младший член разложения функции а3Х3 ^ж1,с21)ж1, 0, +

+ а4Х4 ( ж 1, , 0,0^. После вычислений получаем:

a3X3

1

6(a3 — a4)2b3

x i.

Коэффициент при ж"3 отрицательный, следовательно, нулевое по-

1, 2 29

ложение равновесия системы (12) при условии р < -Ь2 +--асимпто-

2 12

тически устойчивое.

Численное моделирование. Проверим полученные результаты с помощью численного моделирования. Зададим следующие числовые значения параметров системы: коэффициент жесткости пружины

Н Н • с

А = 5,12 —, коэффициент демпфирования В = 0,4 -, длина

мм каждого стержня I = 0,25 м; сосредоточенные массы т =1 кг.

При таком выборе параметров коэффициент Ь = 0,5, между реальным и безразмерным временем имеет место соотношение £ ~ 0,11т. Реальные и безразмерные силы соотносятся следующим образом: Р = 20,48р, ^ = 20,48/.

После приведения к безразмерному виду решим систему дифференциальных уравнений (6). Начальные условия примем следующие: ^(0) = 0,01, ^(0) = 0,01, ^1(0) = 0,01, ^2(0) = 0,01.

Пусть безразмерная сила / = 0,5. В этом случае значение критической силы р = 1,75. Рассмотрим значение следящей силы р =1 < р. Оно меньше критического значения, поэтому должна иметь место асимптотическая устойчивость, что и наблюдается на рис. 6 а.

ч> 1 0,02 О

-0,02

0,05

Рис. 6. Графики зависимости ip\ от т:

a — f = 0,5, p = 1; б — p = 2; в — f = 1, p =1

Рассмотрим значение следящей силы p = 2 > p. Оно больше критического значения, поэтому должна иметь место неустойчивость, что и наблюдается на рис. 6, б.

Пусть f = 1 и p =1 <p = 2,542. В этом случае имеет место критический случай одного нулевого корня. Как было показано выше, должна наблюдаться асимптотическая устойчивость (рис. 6, в).

Таким образом, численное моделирование полностью подтвердило результаты, полученные с помощью аналитических вычислений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ziegler H. Die Stabilitatskriterien der Elastomechanik // Ingenieur-Archiv. -1952.-Bd. 20. -№1.S. 49-56.

2. H e r r m a n n G., Jong I. C. On the destabilizing effect of damping in nonconservative elastic systems // Trans ASME, Journal of Applied Mechanics. -1965. - Vol. 32. - № 3. - P. 592-597.

3. Сейранян А. П. О стабилизации неконсервативных систем диссипативны-ми силами и неопределенности критической нагрузки // Докл. РАН. - 1996. -Т. 348. - № 3. - С. 323-326.

4. H a g e d o r n P. On the destabilisation effect of nonlinear damping in nonconservative systems with follower forces // Int. J. Nonlinear Mech. - 1970.

- Vol. 5. - № 2. - P. 341-358.

5. Агафонов С. А. Об устойчивости и автоколебаниях двойного маятника с упругими элементами, находящегося под действием следящей силы // Механика твердого тела. - 1992. - № 5. - С. 185-190.

6. С е й р а н я н А. П. Парадокс дестабилизации в задачах устойчивости неконсервативных систем // Успехи механики. - 1990. - Т. 13. - Вып. 2. С. 89-124.

7. K i r i 11 o v O. N. A theory of the destabilization paradox in nonconservative systems // Acta Mechanica. - 2004. - Vol. 174. - P. 145-166.

8. Semler C., Alighanbari H., Paidoussis M. P. A physical explanation of the destabilizing effect of damping // Trans ASME, Journal of Applied Mechanics. - 1998. - Vol. 65. - № 9. - P. 642-648.

9. М а л к и н И. Г. Теория устойчивости движения. - М.: Едиториал УРСС, 2004.

- 432 с.

Статья поступила в редакцию 8.11.2006

Виталий Евгеньевич Палош родился в 1984 г., окончил МГТУ им. Н. Э. Баумана в 2007 г. Аспирант кафедры "Математическое моделирование" МГТУ им.Н. Э. Баумана. Специализируется в области устойчивости движения механических систем.

V.Ye. Palosh (b. 1984) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2007. Post-graduate of "Mathematical Simulation" department of the Bauman Moscow State Technical University. Specializes in the field of stability of motion of mechanical systems.