Построение стохастической модели стоимости опционов

Построение стохастической модели стоимости опционов

H.Б. Пивоварова

Финансовый факультет МГТУ, кафедра прикладной математики и естественнонаучных дисциплин

Аннотация. В работе рассматриваются вопросы расчета стоимости (премии) опционов европейского и американского типа, предлагается стохастическая модель расчета опционов, приводятся результаты модельных расчетов.

Abstract. In the paper some questions of the calculation of the options cost (premium) of the European and American type have been considered, a stochastic model of the option calculation has been offered, the results of the model calculations have been given.

I. Введение

В начале своего становления теория финансов в качестве математического аппарата использовала лишь формулу сложных процентов. Дальнейшее развитие теории шло в двух направлениях: в предположении условий полной определенности и условий неопределенности. Важную роль сыграла работа Л. Башелье, который в 1900 г. предпринял попытку описать стоимость акций как случайный процесс.

Проблемам инвестиционных решений индивидуумов в условиях неопределенности была посвящена классическая работа Г. Марковитца (1952).

Поясним некоторые понятия, используемые в дальнейшем. На финансовом рынке обращаются первичные и вторичные ценные бумаги. Акции и облигации являются первичными ценными бумагами, поскольку их стоимость определяются непосредственно через экономические факторы. Отметим, что облигация - это безрисковый актив, по сравнению с акциями, цена которых меняется значительно. Вторичные (производные) ценные бумаги функционируют на базе уже имеющихся на бирже основных ценных бумаг. Рынок ценных бумаг является привлекательным из-за того, что требует существенно меньших начальных затрат и помогает страховать от потерь. Одной из наиболее распространенных производных ценных бумаг является опцион, или контракт с опционом - ценная бумага, дающая ее обладателю право продать (опцион пут) или купить (опцион колл) некоторую ценность (например, акции, валюту и т.д.) на оговариваемых условиях. По времени исполнения опционы делятся на два основных типа: европейского типа, имеющие фиксированную дату погашения, и американского типа, которые могут быть представлены к исполнению в любой момент до фиксированной даты.

2. Расчет премии опциона в непрерывном приближении

В 1973 г. были опубликованы две работы, совершившие революцию в финансовых расчетах, связанных с опционами. Это статьи Ф. Блэка (Black) и М. Шолеса (Scholes) "Расчет цены опционов и обязательства корпораций" и Р. Мертона "Теория расчета рациональной цены опциона". В них было предложено обоснование справедливой цены опциона, приведена формула Блэка - Шолеса, развита теория оптимальных биржевых операций, которые должен совершать продавец опциона, с тем, чтобы оговариваемые условиями контракта возможные платежи, зависящие от случайного состояния цен на рынке, были гарантированным образом выполнены.

Предполагая, что цены акций в любой момент времени либо поднимаются, либо опускаются, Д. Кокс, Р. Росс и М. Рубинштейн предложили считать эти изменения дискретными, сформулировали биномиальную модель и показали, что полученная из их модели формула справедливой цены акции сходится к формуле Блэка - Шолеса.

Эти классические работы стали основанием для применения и развития методов современного стохастического анализа и теории финансов.

Рассмотрим организацию и функционирование опционного рынка. Суть опциона состоит в том, что он предоставляет одной из сторон сделки право выбора: исполнить контракт по продаже некоторого финансового актива или отказаться от его исполнения. В сделке участвуют два лица. Одно лицо приобретает опцион, т.е. приобретает право выбора. Другое лицо продает опцион, т.е. предоставляет право выбора. За полученное право покупатель опциона уплачивает продавцу некоторое вознаграждение, называемое премией, или ценой опциона. Продавец опциона должен выполнить свои

контрактные обязательства, если покупатель опциона решает его исполнить. Покупатель имеет право исполнить опцион, т.е. купить или продать актив, только по той цене, которая зафиксирована в контракте. Данная цена называется ценой исполнения.

Рассмотрим для примера опцион колл на акции европейского типа. Опцион колл предоставляет возможность держателю опциона купить акции или отказаться от их приобретения. Срок исполнения контракта фиксирован. Опцион пут, наоборот, дает покупателю возможность продать акции вновь по фиксированной цене в определенный фиксированный срок.

Центральным моментом теории и практики опционной торговли является определение величины премии. Пусть Бо цена акции в данный момент, К - цена исполнения опциона, г - непрерывно начисляемая годовая ставка процента без риска. Естественно, что верхняя граница стоимости опциона колл в любой момент действия контракта не должна быть больше текущей цены этой акции. Нижняя граница премии европейского опциона колл на акции, по которым не выплачиваются дивиденды, составляет: Бо - К ехр(-г^, t измеряется в годах.

Если в момент времени Т ситуация на рынке акций окажется такой, что Бт > К, то владелец опциона покупает акции по оговоренной цене К. После этого он может немедленно продать акции по номиналу Бт и получить прибыль /т = Бт - К. Если же окажется, что Бт < К, то покупатель опциона не предъявляет его к исполнению, поскольку в этом случае он не получает никакой прибыли. Значит, в этом случае прибыль владельца опциона равна: /т = тах (Бт - К, 0).

В основе моделей оценки премии опционов лежит посылка о том, что инвестор имеет возможность сформировать из опционов и акций, лежащих в их основе, портфель, нейтральный к изменению цены акции или опциона.

Приведем знаменитую формулу Блэка - Шолеса для стандартного опциона европейского типа. При этом предполагается непрерывная модель рынка с банковским счетом В = В(Г) t >о и акцией £ = t >0, причем Вг = В0 ехрГ), г > 0 - безрисковая процентная ставка.

Стоимость Ре премии опциона пут европейского типа для акций, по которым не выплачиваются дивиденды, задается формулой:

Ре = К ехр

где Р*^) = 1 - А(() = 0,5 - Ф(0,

Е(Г) - функция распределения для стандартизированной нормальной случайной величины,

Ф(0 - функция Лапласа,

сС1 = [ 1п(Бо/К) + гТ] /(аТ°-5) + 0,5аТ0-5,

С2 = [ 1п(Бо/К) + гТ] /(аТ°,5) - 0,5стТ0'5,

Т - время в годах,

а- стандартное отклонение цены акции, взятое в годовом исчислении.

3. Расчет премии опциона в дискретном случае

Рассмотрим математическую модель построения оптимальной оценки премии опциона применительно к простой дискретной модели изменения курса акции. Пусть имеется дискретная модель (В, £) - рынка, состоящего из двух активов: банковского счета В = (В„) и акции £ = (£„). Согласно этой модели, динамика банковского счета имеет вид:

Вп = (1 + гэ) ВП!, Во > 0,

где гэ > 0 - эквивалентная процентная ставка, начисляемая за каждый временной интервал, стоимость акции изменяется по закону:

£п =

где рп - последовательность случайных величин, принимающих два значения а и Ь, -1 < а < гэ < Ь с вероятностями р и q = 1 - р. Это условие обеспечивает, в частности, положительность величин Бп. Фактически для описания поведения цены акции используется простая биномиальная модель, которая при уменьшении интервала дискретности эквивалентна непрерывной модели.

Приведем формулы расчета цены европейского опциона пут в дискретном случае:

Ре = К

где: р# = (гэ- а) /(Ь - а), р* = (1 + Ь) р#/(1 + гэ), ко = 1 + 1п [ Бо/(К (1 + а)) ] /1п [ (1 + а)/(1 + Ь) ],

в (у, м, р) = ад рк (1 - р)м-к , к=. .к

Заметим, что в работе Родкиной (1998) формулы расчета цены европейского опциона колл приведены с небольшой ошибкой.

В теории вероятностей доказана интегральная теорема Лапласа о возможности замены в расчетах биномиальной модели нормальным распределением. В рассматриваемом случае достаточно использовать деление интервала опциона на 30-50 временных интервалов. Приведем результаты модельного расчета для выявления различия в результатах расчета по формулам непрерывной и дискретной модели.

На рис. 1 представлена зависимость цена опциона пут от срока контракта при различных временных шагах дискретной модели. Так, при шаге дискретизации равным 0,1 мес. значения цены, вычисленные с помощью формул непрерывной и дискретной модели, практически совпадают. Однако при шаге дискретизации равным 0,75 мес. заметно появление колебаний, связанных с дискретностью биномиального распределения.

5.7 5.5 5.3 5.1

0,1 -0,3 -1

-0,75

0 2 4 6 Срок контракта (месяц) Рис. 1. Цена опциона пут

1.5 1

0.5 0

0.2

0.4

0.6

Уровень прироста

Уровень падения

- Вероятность роста

-Вероятность падения

Рис. 2. Изменение параметров динамики курсовой стоимости

акций

Проанализируем формулу дискретной модели для числового примера, приведенного в работе Буренина (1996). Изучая изменение курсовой стоимости акции в течение года, можно оценить его стандартное отклонение (ст), которое и используется для оценки динамики курсовой цены акции за дискретный период At. Пусть, S0 = 50 $, K = 45 $, r = 10 %, T = 6 месяцев, а= 0,525. При заданном а процент прироста или падения курсовой стоимости определяется по формуле: u = exp(^zlt0,5), v = exp(-cr^t0,5), а вероятность повышения курса равна: p = (exp(rAt) - v) / (u - v)) (Мацкевич, 1993). В рассматриваемом примере: At = 0,0833, что соответствует 1 месяцу, u = 1,1636, v = 0,8594, p = 0,4759.

Интересно изучить зависимость вычисленных параметров от величины сг (рис. 2). При увеличении сг вероятность роста курса акции убывает, что позволяет предполагать падение стоимости акции в некоторое ближайшее время. При этом средняя цена акции сохраняется и имеет значение, соответствующее ставке непрерывно начисляемого процента без риска.

4. Итерационная модель расчета стоимости опциона пут

Как известно, стоимость американского опциона колл равна стоимости европейского опциона колл. Вычисления же стоимости американского опциона пут представляет особую сложность. Проблемы возникают в связи с тем, что срок исполнения контракта может быть любым, и зависит от текущей стоимости акции.

Для расчета стоимости опционов пут и колл была построена итерационная модель расчета курса акции на каждом временном интервале для всего периода действия опционного контракта на основе дискретной биномиальной модели. Модель реализована в среде пакета Excel.

Проверка модели проведена для стоимости европейского опциона пут, полученные данные соответствовали результатам, полученным по формулам (1) и (3) при соответствующем шаге дискретизации модели.

Рассмотрим теперь результаты расчета стоимости опциона американского опциона пут, для которого нет общих формул. Исходные данные примера:

So K r % гэ/Мес AT r % (AT) T

40 45 10 10,0418 1 0,0084 6

Результат расчета стоимости европейского опциона пут по формуле (2):

a Q(rdT) b a p* P# ko Pe

8

0

0,35 1,0084 0,10632 -0,0961 0,5163 0,5664 3,0 5,76

Далее приводится пример расчета с помощью итерационной модели. Ведется расчет стоимости опциона пут европейского и американского типа. Цифры в таблице без подчеркивания - значения стоимости акции на различных дискретных шагах процесса, полученные в соответствии с биномиальной моделью, параметры биномиальной модели (2) приведены выше.

Цифры в таблице с однократным подчеркиванием - значения стоимости опциона пут американского типа на рассмотренные акции, с двойным подчеркиванием - значения стоимости опциона пут европейского типа.

1. 40 6,2044 5,7558

2. 36,156 8,9233 8,8440 8,177 44,2527 3,7579 0,7473 3,5810

3. 32,681 12,3186 40 48,957 0

12,319 11,1091 5,8874 5,5628 1,8239 1,7825

4. 29,541 15,4593 36,156 8,8440 44,253 0,7473 54,162 0

15,459 14,3436 8,8440 8,25944 3,2131 3,1268 0,5519 0,5519

5. 26,702 18,2981 32,6814 12,3186 40 5 48,957 0 59,92 0

18,298 17,5512 12,3186 11,5717 5,4703 5,2905 1,1505 1,1505 0 0

6. 24,136 20,8642 29,5407 15,4593 36,156 8,844 44,253 0,7473 54,16 0 66,3 0

20,864 20,4892 15,4593 15,0843 8,844 8,469 2,3985 2,3985 0 0 0 0

7. 21,816 23,1836 26,7019 18,2981 32,681 12,319 40 5 48,96 0 59,9 0

23,184 23,1836 18,2981 18,2981 12,319 12,319 5 5 0 0 0 0

Таким образом, созданная итерационная модель может быть использована для расчетов стоимости американского опциона пут на акции. Хотя в модели предполагалось, что по рассматриваемым акциям за время срока опциона не выплачивались дивиденды, легко включить этот обстоятельство в предложенную модель.

Кроме расчета стоимостей опционов европейского и американского типа в данной области очень важной является задача отыскания оптимальных стратегий поведения инвестора, позволяющих ему страховать риск при работе с опционами. Такие стратегии называются хеджирующими стратегиями. Рассмотрим более подробно стандартный опцион колл европейского типа.

Продавец опциона, получивший премию Се, (стоимость опциона) от покупателя, должен выполнить условия контракта. Действительно, для этого он, выступая как инвестор на (В, S) - рынке с начальным капиталом Х0 = Се, должен организовать такой портфель акций (Капитоненко, 1998), хеджирующую стратегию, который обеспечит ему в момент времени N (время окончания контракта), капитал, равный прибыли покупателя опциона: XN = SN - K. Если требуемая премия будет меньше инвестиционной стоимости Се, то продавец опциона не сможет, вообще говоря, выполнить условия контракта, а назначение цены, строго большей Ce, например Се + С, С > 0, приводит к арбитражной ситуации - получение продавцом дохода С без всякого риска, так как условия контракта были выполнимы и при стоимости Се.

На основе предложенной итерационной модели стоимости опционов возможно построение таких оптимальных стратегий.

Литература

Markowitz H.M. Portfolio selection. Journal of Finance, 1952.

Бурении A.H. Рынки производных финансовых инструментов. М., ИНФРА-М, 368с., 1996. Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения. Учебно-методическое пособие для вузов. М., ПРИОР, 144с., 1998.

Мацкевич И.П., Свирид Г.П. Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика.

Минск, Вышейшая школа, 269с., 1993. Мельников А.В. Финансовые рынки: Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. М., Изд-eo ТВП, 130с., 1997.

Родкина А.Е. О некоторых понятиях и проблемах финансовой математики. Соросовский образовательный журнал, вып.6, с.122-127, 1998.