Синтез четырехзвенных рычажных механизмов на основе метода оптимизации

УДК 621:01

Е. С. ГЕБЕЛЬ Л. Л. ДЖОМЛРТОВ Б. СИНЧЕВ

Омский государственный технический университет Институт механики и машиноведения им. У .А. Джолдасбекова, г. Алматы, Республика Казахстан

СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХЗВЕННЫХ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ОПТИМИЗАЦИИ

В работе предложен новый точный метод кинематического синтеза механизмов. Метод кинематического синтеза механизмов базируется на методах оптимизации и геометрических свойствах многоугольников. Эффективность данного метода по сравнению с известными методами кинематического синтеза передаточных механизмов заключается в меньшем задании количества положений входного и выходного звеньев, а достоинством является то, что длины звеньев механизма определяются из системы линейных уравнений, основанной на исходных уравнениях кинематики.

Ключевые слова: кинематический синтез, оптимизация, передаточные механизмы, вектора.

Из обширного круга задач кинематического синтеза различных механизмов можно выделить задачи воспроизведения точного или приближенного закона движения или заданной траектории (точки) выходного звена при определенном законе движения входного звена. При исследовании динамической модели механизма возникают задача Коши и краевые задачи для дифференциальных и других уравнений, описывающих движения звеньев с учетом массо-инерци-онных характеристик и других факторов. Для краевых задач произвольная траектория должна пройти через заданные начальную и конечную точки, а для задачи Коши — через начальную. Эти задачи тесно связаны с вышеуказанными задачами.

В интерполяционных методах кинематического синтеза на основе обобщенного полинома поиск искомых параметров рычажного механизма зависит от числа положений входного и выходного звеньев. Н. И. Аевит-ским в [ 1 ] установлено, что для синтеза передаточного четырехзвенного механизма необходимо задать три положения входного и выходного звеньев, а в случае задания двух положений этих звеньев задача синтеза будет иметь бесчисленное количество возможных решений. Современные методы кинематического синтеза четырехзвенных механизмов [2 — 3], основанные на ап-проксимационном подходе и квадратическом приближении, сводятся к решению системы квадратных уравнений либо к итерационной процедуре решения нескольких систем линейных уравнений, в которых трудно выбрать начальные значения искомых параметров.

Постановка задачи. Разработать точный метод кинематического синтеза четырехзвенных механизмов с различными кинематическими парами на основе методов оптимизаций.

Решение задачи. Кинематическая схема четырехзвенного механизма (рис. 1), описывается векторным уравнением:

Т,+Т2 + Т,-То=0,

где /0) /,, /2 и /3 —вектора, связанные с основанием неподвижной системы координат, шатуном, входным и выходным звеньями механизма соответственно. Здесь вектор Т, = /, • е*

Тогда исходная задача формулируется следующим образом: определить длины звеньев^, ;= 0, 1, 2, 3 передаточного четырехзвенного механизма по двум положениям выходного и входного звеньев:

7г=71

Движения этих звеньев определены через единичные вектора по времени / е [/„,/,].Такая постановка задачи дает возможность показать связь с краевой задачей.

Вводим функционал, основанный на уравнении (1):

/ = 1 + г* + + + 2г, 2ге^е1 + 22,236,63 + + 2ггг,еге, - 22,е0е, - 221еае1 -

где 2, =/,//„.

Необходимые условия минимума функционала (3) по параметрам имеют вид:

Из (4) имеем следующую систему уравнений:

г, +ехегг2 + е,е323 -е0е, = 0

• е^г, +2г^1-е2ез2з -£О£2 =0

е^г, + е3е222 + 23 -е0е3 = 0

где в/в ¡г, — скалярное произведение единичных векторов.

В первую очередь необходимо проверить независимость уравнений системы (5) на основе определителя матрицы:

Рис. 1. кинематическая схема четырехзвенного механизма

= 1 + 2е,е, -е,е7 е,е

1 + 2е,е, -е,е, •е,е

£2_+ е2 e3z3 = £„£2 - £1 f2zi e2e3z2 + z3 = е0е3 -e,e3Zi

ej e2z2 + ete3Zj = e0et — Z\ z2 + e2e3z3 = e0e2 — eie2zi

"I" — €q

+ e2e3z3 — €q — 2]

l-i^ej)2

= e0e3 -e^z, ~(е0е2 -е^г^е-,

а также из системы (9) выразим эти же неизвестные: (е0е, -z^e3 -(е0е2 -e,e2z^2e,

в) е2  е2е3 е3

0^2 — I

ele2 'е2е3

Приравнивая уравнения (11) и (13), имеем:

г _ л(г(^е2^-е0^е,е3)-(^е2 -е0е3 -е2е3)й (eje3 -е2е3 -е,е2)в-(ё^е2 -е,е3 -е2е,)л соответственно из (12) и (14) получим:

г _ ^(еое2 -е,е2 -е0е,)-(е0е3 -е0е2 е2е,)в (е,е2-е2е3-е.е,^-^!-^)2^

где а

= 1 -^¡ej,

S = е, е2 • е2 е3 - е, е3

На основе формул (15) и (16) получим нелинейное уравнение для нахождения единичного вектора :

[i(e0e2 -е,е2 -е0е,)- (е0е3 -е0е2 -е2е3 й(е,е2 • е37г -(l - (¿72}^АJ =

= [s(e,e3-e2e3-e1e2)-(i • [А(епе2'е, е2 ~ enei)" (еоез - ео

[в, в2 * в,

м

-

Надо отметить, что в общем случае число базисных уравнений этой системы совпадает с числом исходных уравнений кинематики (1). В частности, число базисных уравнений для плоского четырехзвенного механизма равно двум. Тогда приравненный к нулю определитель (6) имеет вид:

Подсистема (10) может быть использована для дополнительного исследования уравнения (17).

Для четырехзвенного механизма с вращательными парами достаточно представить единичные векторы е, (/) в следующем виде:

-

«-Hstf

Нетрудно проверить тождественное выполнение соотношения (7). Поэтому для поиска единичного вектора е{(1) уравнение (7) использовать нельзя. Пред лагается следующий математический способ отыскания этого вектора. Для этого разобьем систему (5) на три подсистемы (8), (9) и (10):

Из уравнения

«.(')= 7k WL вэ(<)).

где / — известная векторная функция. _

Надо отметить, что во многих случаях вектор ео(0 имеет постоянное значение, так как он в большей степени жестко связан с основанием четырехзвенного механизма, т.е.

e0(t) = const, t е ['о,'J.

Такое разбиение на подсистемы возможно из-за указанного числа базисных уравнений (1), а для нахождения длин звеньев четырехзвенного механизма достаточно рассмотрения двух подсистем.

Тогда из подсистемы (8) определяем неизвестные г2, г3.

После нахождения единичного вектора e,(t) (19) определяем длины звеньев I на базе формул (15), (11), (12) либо (16), (13). (14).

Кинематический синтез передаточного механизма с поступательной парой (кривошипно — ползунный механизм) осуществляется аналогично. Для этого достаточно соотношения (18) переписать следующим образом: <р2 = <p2(t\ l3 = i3(t\ q>, = const.

Процедуры синтеза кулисного передаточного механизма эквивалентны по сложности с синтезом кри-вошипно-ползунного механизма.

Пример. В качестве примера рассмотрен четырех-звенный механизм с вращательными парами: ¡0 = = 10,4 см, угловые координаты коромысла и кривошипа <р\ = 243°, <р\ = 47° соответственно, <р\ = 0° для первого положения и аналогично для второго положения (р\ =251°, <pl = 60°, Ч>1 =0°.

Угловые координаты шатуна для первого и второго положений <р\ = 9°, (р[ = 7° определены из уравнения (17) при вышеуказанных значениях угловых координат входного и выходного звеньев механизма. Тогда длины звеньев механизма, найденные из линейной системы (15), (11) и (12), равны = 10 см, 12 — 5 см, 13 = = 4 см с незначительными отклонениями соответственно. Результаты проверены путем геометрического построения четырехзвенного механизма с найденными длинами звеньев и заданными углами кривошипа

s >

Е х х О

CP >

Рис. 2. Четырехзвенный механизм с вращательными парами

и коромысла (рис. 2). В качестве примера рассмотрен четырехзвенный механизм с вращательными парами: ¡п =10,4 см, угловые координаты коромысла и кривошипа.

В заключение можно отметить, что разработан точный метод синтеза передаточных четырехзвен-ных механизмов с различными кинематическими парами. Предложенный подход кинематического синтеза механизмов базируется на методах оптимизации и геометрических свойствах многоугольников. Эффективность данного метода по сравнению с известными методами кинематического синтеза передаточных механизмов заключается в меньшем задании количества положений входного и выходного звеньев, а достоинством - является то, что длины звеньев механизма определяются из системы линейных уравнений, основанной на исходных уравнениях кинематики. Предложено новое направление в кинематическом синтезе, отличное от интерполяционного, квадратического и аппроксимационного подходов, — оптимизационный синтез механизмов.

Библиографический список

1. Артоболевский, И. И. Теория механизмов и машин / И. И. Артоболевский. — М.: Наука, 1982. - 640 с.

2. Артоболевский, И. И. Синтез плоских механизмов / И. И. Артоболевский, Н. И. Левитский, С. А. Черкутдинов. — М.: Изд-во физ.-мат. литературы, 1959. - 1084 с.

3. Саркисян, Ю. Л. Аппроксимационный синтез механизмов / Ю. Л. Саркисян. - М.: Наука, 1982. - 304 с.

ГЕБЕЛЬ Елена Сергеевна, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры «Автоматизация и робототехника» Омского государственного технического университета.

ДЖОМАРТОВ Асылбек Абдразакович, доктор технических наук, член-корреспондент Национальной инженерной академии Республики Казахстан, заместитель директора по науке дочернего государственного предприятия «Институт механики и машиноведения им. У. А. Джолдасбекова» Министерства образования и науки Республики Казахстан. СИНЧЕВ Бахтыгирей, доктор технических наук, член-корреспондент Национальной инженерной академии Республики Казахстан, главный научный сотрудник дочернего государственного предприятия «Институт механики и машиноведения им. У. А. Д жолдасбекова» Министерства образования и науки Республики Казахстан.

Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11.

Статья поступила в редакцию 27.05.2010 г. © Е. С. Гебель, А. А. Джомартов, Б. Синчев

Информация

Конкурс научно-популярных статей «Наука-это понятно!»

Фундаментальные научные исследования, проводимые в учреждениях Российской академии наук, формируют основы для последующих прикладных исследований и разработок, на которых основаны важнейшие достижения современной цивилизации. К сожалению, отечественная общественность недостаточно хорошо знакома с научно-исследовательскими работами, проводимыми в РАН. Во многом это связано со специфической терминологией и узкопрофессиональным характером научных публикаций. Совет молодых ученых РАН принял решение о проведении Конкурса научно-популярных статей молодых исследователей РАН для популяризации результатов их научной деятельности. Цель конкурса:

Сделать доступными для общественности перспективные направления и значимые достижения в области науки и техники; способствовать развитию у молодых ученых (студентов, аспирантов) навыков изложения специализированных научных результатов доступным для широкой аудитории языком. К участию приглашаются молодые ученые, аспиранты, студенты и специалисты, работающие или обучающиеся в системе Российской академии наук.

На конкурс принимаются статьи о фундаментальных, прикладных исследованиях и научных открытиях в различных областях знаний. Победители и призеры получат ценные подарки. Организатор конкурса:

Совет молодых ученых РАН при поддержке Президиума РАН. На конкурс принимаются научно-популярные статьи.

К участию в конкурсе допускаются: студенты базовых кафедр и научно-образовательных центров РАН, аспиранты, молодые научные сотрудники и специалисты РАН.

На конкурс принимаются статьи, опубликованные в печатном или электронном издании с 1 января 2008 г., а также оригинальные статьи, написанные специально для конкурса или иных целей, не опубликованные на момент подачи на конкурс.

На конкурс не принимаются книги, главы из книг, короткие заметки, обзоры, интервью, фельетоны, расследования.

Статьи, подготовленные коллективом авторов, на конкурс не допускаются. Подача заявок на конкурс до 31 августа 2011 г.

Подробная информация о конкурсе опубликована на сайте Совета молодых ученых РАН Источник: http://www.rsci.ru/grants/grant_news/284/229826.php