Магарамово расширение положительного ортосимметричного билинейного оператора

Владикавказский математический журнал 2011, Том 13, Выпуск 3, С. 64-69

УДК 517.98

МАГАРАМОВО РАСШИРЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ОРТОСИММЕТРИЧНОГО БИЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

Б. Б. Тасоев

В работе построено магарамово расширение положительного ортосимметричного билинейного оператора в векторных решетках.

Ключевые слова: векторная решетка, ортосимметричность, положительный билинейный оператор.

1. Введение

Настоящая работа посвящена распространению на случай ортосимметричных билинейных операторов одной конструкции, которая возникла в работах Д. Магарам начала 1950-х гг. по теории положительных операторов, см. обзор [1], а также [4, гл. 4 и 6].

Для произвольного линейного положительного оператора в векторных решетках магарамово расширение впервые было осуществлено в [2, 3] (см. также [4]), а затем было повторено в [5]. Для положительного билинейного оператора магарамово расширение можно построить по аналогичной схеме, используя линеаризацию посредством тензор-но го произведения Е <8 Е архимедовых векторных решеток Е и Е [6]. Однако при этом возникает трудно обозримое расширение решетки Е <8 Е. Поэтому ограничимся более простым случаем положительного ортосимметричного билинейного оператора, определенного на декартовом квадрате векторной решетки. В этом случае для линеаризации можно вместо фремлиновского тензорного произведения Е <8 Е использовать конструкцию квадрата векторной решетки Е, введенную в [7, 9]. Желательность и возможность такого построения были указаны в [10, п. 5.5].

2. Предварительные сведения

В этом параграфе мы зафиксируем терминологию и обозначения и приведем необходимые сведения из теории ортосимметричных билинейных операторов. Более подробно этот материал изложен в [6, 8, 9]. Все векторные решетки считаются архимедовыми.

Пусть Е, Е и О — векторные решетки. Билинейный оператор В : Е х Е ^ О называют: положительным, если В (ж, у) ^ 0 для всех 0 ^ х £ Е и 0 ^ у £ Е; регулярным, если его можно представить как разность двух положительных билинейных операторов; ограниченным, если он порядково ограниченные множества переводит в порядково ограниченные множества.

© 2011 Тасоев Б. Б.

Билинейный оператор В называют ортосимметричным, если |ж| Л |у| = 0 влечет справедливость равенства В(ж,у) = 0 для всех ж, у £ Е. Разность двух положительных ортосимметричных билинейных операторов называют орторегулярным. Символами (Е; О) и В£~(Е; О) будем обозначать пространство всех орторегулярных билинейных операторов из Е х Е в О и пространство порядково ограниченных ортосимметричных билинейных операторов из Е х Е в О соответственно, упорядоченные конусом положительных операторов. Если О — К-пространство, то (Е, ^; О) = В£~(Е, ^; О) также К-пространство.

Билинейный оператор В : Е х ^ ^ О называют решеточным биморфизмом, если отображения Ве : у ^ В(е, у) (у £ ^) и В^ : ж ^ В(ж,/) являются решеточными гомоморфизмами для каждого е £ Е+ и / £ .

Также напомним, что В называют симметричным, если В(ж,у) = В(у,ж) для всех ж, у £ Е.

Теорема 2.1 [8]. Любой положительный ортосимметричный билинейный оператор симметричен.

Для любой векторной решетки Е существует векторная решетка Е0 и решеточный биморфизм 0 : (ж, у) ^ ж 0 у из Е х Е в Е0, для которых выполняется следующее универсальное свойство: для любого симметричного биморфизма В из Е х Е в произвольную векторную решетку ^ существует единственный решеточный гомоморфизм Фв : Е0 ^ ^ такой, что В = Фв0. Пара (Е0, 0) определяется единственным образом с точностью до решеточного изоморфизма, т. е. если для некоторой векторной решетки Е и симметричного решеточного биморфизма @ : Е х Е ^ Е пара (Е, @) удовлетворяет упомянутому универсальному свойству, то существует решеточный изоморфизм I из Е0 в Е такой, что 10 = @ (и, конечно, 1-1@ = 0). Векторную решетку Е0 или пару (Е0, 0) единственным (с точностью до изоморфизма) способом определяемую векторной решеткой Е называют квадратом векторной решетки Е. Решеточный биморфизм 0 : ЕЕ

Е0

называют каноническим биморфизмом.

Теорема 2.2 [9]. Пусть Е — равномерно полная векторная решетка. Отображение I : ж ^ ж 0 |ж| (ж £ Е) устанавливает ортогонально аддитивный сохраняющий модуль порядковый изоморфизм из Е на Е0. Более того, для любого порядково ограниченного ортосимметричного билинейного оператора В из Е х Е со значениями в произвольной векторной решетке ^ формула

определяет единственный порядково ограниченный линейный оператор Ф в из Е0 в ^ такой, что В = Ф в 0 0.

Следствие 2.3 [7]. Векторная решетка Е равномерно полна (порядково полна, расширенное К-пространство) в том и только в том случае, если такой же является ее квадрат Е0.

Пусть Е, О — векторные решетки и В — положительный билинейный оператор из Е х Е в О. Говорят, что В сохраняет интервалы или обладает свойством Магарам, если для любых ж, у £ Е+ и 0 ^ д ^ В (ж, у) £ О+ существуют 0 ^ и ^ ж и 0 ^ V ^ у такие, что д = В (и, V), или, короче, В ([0, ж] х [0, у]) = [0,В (ж, у)] для всех ж, у £ Е+. Положительный порядково непрерывный билинейный оператор, обладающий свойством Магарам, называется билинейным оператором Магарам. Пусть ф — положительный билинейный оператор из Е х Е в О. Тогда ф — называется абсолютно непрерывным относительно В, если В (ж, у) £ ф(ж, у)^ для всех 0 ^ ж, у £ Е.

Рассмотрим равномерно полную векторную решетку Е и порядково полную векторную решетку О. Положительный оператор В : Е х Е — О называют существенно положительным, если N3 := {ж £ Е : |В|(|ж|, |х|) = 0} = {0}.

3. Основной результат

В этом параграфе построим магарамово расширение существенно положительного ортосимметричного билинейного оператора и рассмотрим некоторые его свойства.

Теорема 3.1. Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, а Е — произвольное К-пространство. Для любого существенно положительного ортосимметричного билинейного оператора В £ ВЬ~(Е; Е) существуют К-пространство Е, инъективный решеточный гомоморфизм ] из Е в Е и положительный билинейный оператор Магарам В £ ВЬ~(Е; Е), удовлетворяющие следующим условиям:

(1) В(х,у) = ~В(]х,]у) (ж,у £ Е); _

(2) порядковый идеал в Е, порожденный множеством ЛЕ), совпадает с Е;

(3) существует изоморфизм /-алгебр Н : ОгЬЬ(Е) —ОгШ^) такой, что

1тВ(х,у) = В{к{ж)]х,к{ж)]у) = В{к{ж)]х,]у) = В{]х,к{ж)]у) (ж, у £ Е, п £ ОгШ(Е) +);

(4) Е плотна в Е в том смысле, что для любых г€^и0<е€1 существуют ге £ Е, разбиение (-л^) С Ц$(Е) проектора [В(г, г)] £ Ц$(Е) и семейство (х^) С Е такие, что

В{ге,\ге\) = Цх^\),

\В(г£,\г£\)-В(г,\г\)\^еВ(\г\,\г\).

< Пусть оператор В £ (Е; Е) существенно положителен. Согласно теореме 2.2 существует единственный оператор Ф £ £~(Е,Е) такой, что

В

В силу [11, предложение 4.4] оператор Ф существенно положителен. Применим процедуру магарамова расширения к оператору Ф (см. [4, §3.5]): существуют К-простран-ство Е, инъективный решеточный гомоморфизм I : Е0 — Е и оператор Магарам Ф : Е0 —Е, удовлетворяющие равенству

Ф

Согласно [11, теорема 3.3] существует векторная решетка Е:= (Е)°, квадрат которой совпадает с Е\ символически, (Е) = Е. Поэтому можем считать, что оператор Ф определен на (Е). Как уже отмечалось в следствии 2.3, векторная решетка и ее квадрат порядково полны или нет одновременно, следовательно, Е — ^-пространство. Положим по определению

В

где 0 : Е х Е —> (Е) — канонический биморфизм квадрата (Е). Из [11, предложение 4.4 (4)] видно, что оператор В : Е х Е —> Е является билинейным оператором Магарам.

Доказательство упомянутой выше теоремы [11, теорема 3.3] содержит следующую дополнительную информацию: если О — равномерно полная решетка и I : О — Е0 —

вложение, то существует и притом единственное вложение 3 : С° —> Е, удовлетворяющее условию

1

Применив это утверждение к О := Е0 и учитывая единственность О° с точностью до изоморфизма (Сг° — Е), получим вложение : Е Е, удовлетворяющее (3.4) для всех ж, у £ Е. Принимая во внимание (3.1)-(3.4), для ж, у £ Е выводим

В(з(х),зШ = $(з(%)з(у))) =Щс(х&у)) = Ф(х&у) = В(х,у).

Ввиду того, что Е0 есть идеал, порожденный множеством ¿(Е0), утверждение (2) следует из [11, теорема 3.4(1)] с учетом (3.4). Для доказательства утверждения (3) воспользуемся следующим свойством оператора Магарам: существует изоморфизм п : ОгШ(^) —ОгШ^!?)0), для которого 7гФ(ж 0 у) = Ф(т/(7г)ж 0 у) для всех х,у е Е, см. [4, теорема 3.5.3]. Кроме того, в силу [11, теорема 3.4(6)] существует изоморфизм А из ОПЪ((Ё)е) на (МЬ^) такой, что тт(х 0 у) = (Х(тт)х) 0 у = ж 0 (Л(7г)у).

Очевидно, что Н := А от/ — изоморфизм из ОгШ(^) в и в силу (3.4) для всех

п £ ОгЛ(^)+ и ж £ Е+ получим

ттВ(х, х) = 7гФ(ж 0 ж) = ф(г](тт)с(х 0 ж)) = ЩфЫх) е.](х)) =Ф((к(тгЦх)&,]х) = В{к{ъ)зх),зх).

Требуемое в (3) вытекает теперь из представления В(х,у) = ^(В(х + у,х + у) — В(х,х) — В(у, у)). Плотность Е в указанном в (4) смысле вытекает из свойства [4, §3.5.2(3)], теоремы 2.2 и формулы (3.4). >

Теорема 3.2. Пусть Е, Е, Е, В, В и ] — те же, что и в теореме 3.1. Для каждого оператора Б £ {-В}"1"1" С ВЬ~(Е-,Г) существует единственный оператор Б £ {-В}-1-1- С ВЬд(Е; Е) такой, что Б(ж, у) = Б{]х,зу) для всех х,у £ Е.

Соответствие Б ь-Б осуществляет изоморфизм К-пространств {и}-1-1- и {I?}-1-1-.

< Пусть Б £ {В}^. Согласно [11, теорема 3.2 (2)] существует единственный Фд £

,Е) такой, что Б = Фд0. В силу [4, теорема 3.5.4] найдется единственный Фд £ {Фб}±_1" С Ь~(Ее,Е) такой, что Фд = Фд о с. Согласно [11, теорема 3.2 (2)] формула Б := Фд0 определяет единственный оператор из {I?}-1-1-. Ввиду формулы (3.4) для всех ж,у £ Е получим Б(х,у) = Фр((,(ж0 у)) = Фд((^'ж) 0 {зу)) = Б{зх,зу). Отсюда также следует требуемый изоморфизм. >

Теорема 3.3. Пусть Е, Е, Е, В, В и ] — те же, что и в теореме 3.1. Для каждого оператора Б £ {-В}-1"1" С ВЬд(Е;Е) существует единственный ортоморфизм р £ Ог1Ь°°(_Б) такой, что

б

< Доказательство следует из теоремы 3.2 и [11, теорема 4.6]. >

4. Функциональное представление

Всюду далее А — непустое множество, А — а-алгебра его подмножеств и N — а-идеал в А. Пусть М(А, А, N) обозначает пространство классов эквивалентности измеримых функций на А. Будем предполагать, что измеримое пространство (А, А) имеет счетный тип, т. е. произвольное семейство (Аа) С А \ N, удовлетворяющее

условию Aa П Aß G N (а = ß ), не более чем счетно. В этом случае M (A, A, N ) — порядково полная векторная решетка. Пусть F — фундамент в M (A, A, N ).

Пусть P — компактное пространство, ß — регулярная борелевская мера на P, а L0(P, ß) — векторная решетка классов эквивалентности вещественных ß-измеримых функций на P, E — фундамент в L0(P, ß), содержащий тождественную единицу 1 p. Для удобства обозначений элемент e G E будем отождествлять с классом эквивалентности функции (s,t) ^ e(t) ((s,t) G A x P).

Обозначим символом A 0 B a-алгебру, порожденную прямоугольниками C x B, где B С P — произвольное бэровское множество и C G A. Пусть p : A 0 B ^ F — счетно аддитивная положительная мера, L0(A x P, p) — пространство классов ^-эквивалентных почти всюду конечных функций измеримых относительно a-алгебры A 0 B, L1(A x P, p) — подпространство ^-интегрируемых функций.

Если п — порядковый проектор в F, то для некоторого C G A будет п/ = xc/ (/ G F), где / обозначает класс эквивалентности измеримой функции /. Определим порядковый проектор h(n) в L^p) следующим образом: если g G L 1(^), то h(n)g — класс эквивалентности функции (s,t) ^ xc(s)g(s,t). Тогда h — булев гомоморфизм из P(F) в P(L1(^)). Более того, мера р насыщенна относительно h, см. определения [4, 6.1.9] и утверждения [4, б.З.9].

Теорема 4.1. Для произвольного порядково непрерывного положительного орто-симметричного билинейного оператора B : E x E ^ F существует единственная счетно аддитивная положительная h-насыщенная мера р : A 0 B ^ F такая, что

B(x,y)= J x(t)y(t) dp(s,t) (x,y G E).

AxP

При этом для любого порядково ограниченного ортосимметричного билинейного оператора D : E x E ^ F существует единственная (с точностью до р-эквивалентности) р-измеримая функция KD такая, что

D(x,y)= J KD(s,t)x(t)y(t) dp(s,t) (x,y G E).

Ax p

Соответствие D ^ KD представляет собой линейный и решеточный изоморфизм из {BС BL~(E; F) на фундамент Lv := {g G L0(A x P, p) : g  j(E) С L1 (A x P, p)} в L0(A x P,p).

< Доказательство следует из теоремы З.З с учетом [11, теорема 4.4] и [4, теорема 6.З.11]. >

Литература

1. Maharam D. On positive operators // Contemporary Math.—1984.—Vol. 26.—P. 263-277.

2. Акилов Г. П., Колесников Е. В., Кусраев А. Г. Лебегово расширение положительного оператора // Докл. АН СССР.—1988.—Т. 298, № З.—С. 521-524.

3. Акилов Г. П., Колесников Е. В., Кусраев А. Г. Порядково непрерывное расширение положительного оператора // Сиб. мат. журн.—1988.—Т. 29, № 5.—С. 24-55.

4. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.

5. Luxemburg W. A. J., de Pagter B. Maharam extension of positive operators and f-algebras // Positi-vity.—2002.—Vol. 6, № 2.—P. 147-190.

6. Fremlin D. H Tensor product of Archimedean vector lattices // Amer. J. Math.—1972.—Vol. 94.— P. 777-798.

7. Buskes G., van Rooij A. Squares of Riesz spaces // Rocky Mountain J. Math.—2001.—Vol. 31, № 1.— P. 45—56.

8. Buskes G., van Rooij A. Almost /-algebras: commutativity and the Cauchy-Schwarz inequality // Positivity.—2000.—Vol. 4.—P. 227—231.

9. Buskes G., Kusraev A. G. Representation and extension of orthoregular bilinear operators // Vladikavkaz Math. J.—2007.—Vol. 9, issue 1.—P. 16-29.

10. Kusraev A. G. Orthosymmetric bilinear operators.—Vladikavkaz, 2007.—34 p.—(Preprint / IAMI VSC RAS; № 1).

11. Kusraev A. G. A Radon-Nikodym type theorem for orthosymmetric bilinear operators // Positivity.— 2010.—Vol. 14, № 2.—P. 225-238.

Статья поступила 28 марта 2011 г. ТАСОЕВ БАТРАДЗ БОТАЗОВИЧ

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, стажер-исследователь лаб. теории операторов РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: tasoevbatradz@yandex.ru

MAHARAM EXTENSION OF A POSITIVE ORTHOSYMMETRIC BILINEAR OPERATOR

Tasoev B. B.

Maharam extension of a positive orthosymmetric bilinear operator in vector lattices is constructed.

Key words: vector lattice, orthosymmetry, positive bilinear operator, Maharam extension.