Исследования методов динамического управления беспилотными летательными аппаратами

Вестник технологического университета. 2015. Т.18, №12 УДК 629.78:351.814.3

В. А. Афанасьев, А. А. Балоев, А. С. Мещанов

ИССЛЕДОВАНИЯ МЕТОДОВ ДИНАМИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ БЕСПИЛОТНЫМИ

ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ АППАРАТАМИ

Ключевые слова: беспилотный летательный аппарат, аэродинамическое качество, перелёт, недолёт, закон управления, од-ноимпульсная, двухимпульсная, непрерывная структура, управляющие параметры.

Представлены результаты аналитических исследований динамического метода наведения беспилотного летательного аппарата (БЛА) на цель, когда задаётся структура закона обобщённого управления: аэродинамическое качество и угол скоростного крена, определяющий направление действия подъёмной силы. Управляющими параметрами служат моменты переключений управления между режимами кабрировании, пикирования и прямолинейного полёта и величина аэродинамического качества. Показано, конструирование законов управления БЛА при наведении в точку прицеливания с тремя структурами: одноимпульсная, двухимпульсная и непрерывная, сохраняющая действие обобщённого управления до контакта с поверхностью.

Keywords: unmanned flight vehicle, aerodynamic efficiency, overshoot, undershoot, control law, one-impulse, two-impulse, continuous

structure, control parameters.

We present results of analytical research of a dynamical method to home an unmanned flight vehicle (UFV) to a target when a structure of the generalized control law is specified: aerodynamic efficiency and angle of speed roll that determines a direction of the lift action. Control parameters are a moment when controlling is switched between noising-up, noising-down or straight flight and a value of the aerodynamic efficiency. We have shown how to construct the UFV control laws during its homing in an aiming mark with three structures: one-impulse, two-impulse and continuous one that retains the action of the generalized control until contact with the surface.

Введение

Одна из задач, возлагаемых на беспилотные летательные аппараты (БЛА), эксплуатируемые по военному назначению, состоит в поражении наземных точечных целей. Для решения задачи попадания в точку издавна известны различные методы кинематического наведения: погони, пропорционального наведения, параллельного сближения, трёх точек и др.[1]. Их особенность состоит в том, что закон управления при наведении БЛА на цель конструируется на основе вектора скорости и линии визирования, соединяющей центр масс БЛА и точечную цель. Разность между углом наклона вектора скорости и углом линии визирования, умноженная на коэффициент усиления в соответствующем методе наведения, определяет величину управляющего сигнала: угол отклонения аэродинамического руля или величину тяги рулевого ракетного двигателя.

Силы и моменты при формировании кинематических законов управления не участвуют, из-за чего располагаемое поперечное ускорение при наведении БЛА на цель считается неограниченным. Поскольку эффективность рулевых органов ограничена, то в начале наведения, как правило, рулевые органы отклонены в предельное положение, если это аэродинамические рули, или настроены на максимальную величину тяги, если это ракетные двигатели. И лишь по истечении некоторого времени рули сходят с упоров, а величина тяги ракетного двигателя принимает промежуточные значения в соответствии с принятым методом наведения. Но если промежуточные положения руля в диапазоне от исходного состояния до максимального отклонения предусматриваются конструкцией, то регулирование величины тяги ракетного двигателя требует существенного усложнения конструкции.

Реализация кинематических методов наведения может оказаться не эффективной с точки зрения точности попадания, если рулевыми органами для БЛА служат ракетные двигатели. В связи со сказанным в работе проводится исследование динамических методов наведения, в которых закон управления конструируется исходя из структуры, выбираемой для каждого типового промежутка составной траектории полёта БЛА в атмосфере.

В зависимости от решаемой задачи наведения структура закона управления содержит один, два и более промежутков, которые разделяются моментами переключений и на каждом из которых действующее постоянное аэродинамическое качество K cos у определяется одним из трёх значений угла скоростного крена: у = 0 при строгом кабрировании для отработки недолёта, у = % при строгом пикировании для отработки пикирования и у = % /2 при прямолинейном

полёте для сохранении заданного направления полёта БЛА.

Конструирование закона управления заключается в выборе числа типовых промежуточных траекторий и установлении управляющих параметров (аэродинамического качества и моментов переключений). Их значения определяются из решения системы нелинейных алгебраических уравнений, получаемых из аналитических решений дифференциальных уравнений движения последовательно на каждой их типовых траекторий, из которых состоит полная траектория (кабрирование, пикирование, прямолинейный полёт). При этом за начальные условия для решения уравнений движения на последующем промежутке составной траектории принимаются значения параметров движения в конце текущего промежутка (отрезок, интервал или полуинтервал) [2,3].

Математическая модель полёта БЛА в атмосфере

Продольное движение БЛА относительно сферической невращающейся Земли в атмосфере, плотность которой изменяется по экспоненциальному закону, описывается следующей системой уравнений:

V =-GpV - g sin 6,

0= KgpVcosу + ((/r - g / V)cos6 , (1) h = V sin 6 , D = V cos6, pdh = -hedp,

где V - скорость; 6 - угол наклона траектории к поверхности; h - высота; D - дальность полета; p -плотность атмосферы; g - ускорение силы земного притяжения; r = R + h, r - длина радиус-вектора, проведенного из центра Земли до центра масс БЛА; R - радиус сферы Земли; у - угол скоростного крена; K = Cy /Cx - аэродинамическое качество; Cx -коэффициент силы лобового сопротивления; Cy -коэффициент подъёмной силы; g = CxS /(2m) - баллистический параметр; m - масса БЛА; S - характерная площадь, he = const.

Для системы уравнений (1) заданы начальные условия:

t=to, V(to) = Vo, 6(to) = 6o,

h

соответствующие параметрам БЛА в начале наведения на высоте ho. Из пяти располагаемых конечных параметров системы (1):

t = tk, V(tk) = Vk , 6(tk) =6k,

h

в задачах наведения не всегда требуется выдерживать все пять конечных координат. В простейшей задаче наведения задаются две координаты: hk = o и Dk , где значение последней координаты определяется продолжением вектора начальной скорости Vo до пересечения с поверхностью. Если в начальный момент времени t = to выполняется неравенство Dk < D4, то

имеем задачу недолёта, которая решается за счёт каб-рирующего полёта БЛА. Если при t = to выполняется неравенство Dk > D4 , то имеем задачу перелёта, которая решается за счёт пикирующего полёта БЛА.

Импульсный закон управления при недолёте

При решении задачи наведения, например, когда случился недолёт, как это показано на рис.1, простейшая структура закона управления показана на рис.2. Кабрирующий полёт у = o с аэродинамическим качеством K cos у продолжается до тех пор, пока вектор скорости не совпадёт с линией визирования. В этот момент, называемый моментом переключения (или отключения), аэродинамическое качество отключается и наведение БЛА на цель происходит в

режиме прямолинейного полёте с небольшой величиной управления, удерживающей вектор скорости на линии визирования. Решение последней задачи достигается с помощью стабилизирующих управлений, создаваемых специальными рулевыми органами или формируемых одновременно с программными управлениями одними ракетными двигателями.

\

-Ö-О-

D

А А

Рис. 1 - Кинематическая схема наведения БЛА при недолёте

to и и

Рис. 2 - Структура простейшего закона управления наведением в цель при недолёте

Решение задачи наведения при недолёте при заданной величине аэродинамического качества K состоит в определении двух управляющих параметров: момента переключения ij и моментом окончания полёта tk . Определив их численные значения, мы устанавливаем закон программного управления при решении задачи наведения в цель при недолёте.

Примем допущение о том, что скорость полёта БЛА достаточно велика, что позволяет пренебречь гравитационными составляющими по сравнению с составляющими от аэродинамической силы. При кабрировании у = 0 первые два уравнения системы

принимают вид:

V = -арУ2,

0 = КарУ .

Составная траектория наведения при недолёте состоит из двух промежутков: полуинтервал t e[to, tj), на котором выполняется кабрирование при К > 0 и отрезок t e[tj, tk ], на котором выполняется прямолинейный полёт при К = 0 . Окончание первого промежутка определяется моментом разворота вектора скорости на угол 01 , который равен углу линии визирования.

1). На первом промежутке t e[to, tj) составной траектории второе уравнение системы (4) запишем в виде:

d9 = KaVpdt.

Третье уравнение системы (1) представим в виде dh = V sin 9dt и это выражение подставим в последнее уравнение вместе с пятым уравнением (1):

sin 6d6 = -Kahedp . Полученное уравнение интегрируем в пределах от 60 до 9 и от p0 до p:

cos 9 = cos 9о + Kahe (p - Po ). В момент переключения (отключения) ti имеем соотношение:

cos 9i = cos 9о + Kahe

Из аналитического решения дифференциального уравнения для 9 получили первое алгебраическое уравнение (5) с неизвестными 9i и pi.

Второе алгебраическое уравнение получим следующим образом. Деление первого уравнения системы (4) на второе приводит к новому уравнению:

dV

V

С9 К '

Разделение переменных и интегрирование в пределах от 0О до 9 (угол наклона вектора скорости отрицательный и при кабрировании возрастает, поэтому он принят в качестве переменной интегрирования) и от V до V приводит к выражению для скорости в зависимости от угла:

- К

V = V0e К .

В момент переключения скорости равна:

-К

VI = ^е К . (6) Получили второе алгебраическое уравнение с неизвестными VI и 91. Имеем два уравнения (5) и (6) с тремя неизвестными VI, 91, Р1. Третье уравнение получим из решения дифференциального уравнения для дальности. Запишем выражение для дифференциала времени:

Сг = С9 /(КаРр), которое вместе с выражениями для скорости и плотности подставим в четвёртое уравнение системы (1):

dD =-

hecos9

-d9 .

Kohep0 - cos90 + cos 9 Интегрирование последнего уравнения в пределах от Do до D и от 9о до 9 даёт следующее выражение для текущей дальности:

D = D0 + he

9-9о -

2ao

arctg

yag-i tg

ao +1

- arctg

jaor~1 tg

ag +1

где ao = KahgPo - cos 9o .

В момент переключения получаем третье алгебраическое уравнение:

D = Do + he

9i - 9o -

2ao

Va2 -1

arctg

дОЙ tg

- arctg

УоМ tg

ao +1 Л

ao +1

Три уравнения (5), (6), (7) образуют систему нелинейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными Vi, 9i, Pi, Di.

2. На втором промежутке - отрезке t e[ti, t^ ] проходит прямолинейный полёт, уравнения которого состоят из трёх последних уравнений системы (1), первого уравнения (4) и следующего соотношения:

9 = 0 , 9 = const = 91 < 0 .

Эти уравнения решаются с начальными условиями: (5), (6), (7).

Деление третьего уравнения системы (1) на четвёртое даёт уравнение:

dh

dD =tg 9l

Разделение переменных и интегрирование в пределах от D1 до D и от h1 до h даёт решение для текущей дальности:

D = D1 + rtg 91(h - h1). В момент касания поверхности hk = 0 получаем:

Dц = D - сtg 9^,

ц

где дальность до цели Бц - известная величина.

В пятом уравнении системы (1) разделим переменные и проинтегрируем его в пределах от р1 до

р и от до Н .

h = h1 - he ln

p p1

Обратное выражение для плотности в зависимости от высоты имеет вид:

p = p1 exP

( h1 - h Л

V he J

В момент касания поверхности h% = o имеем соотношение:

h = he ln

pk_ p1

где = 1,225 кг/м3 или

pk = p1 exP

' ha л

V he J

Уравнения (5), (7), (9), (10) образуют совместную систему с неизвестными 91, Р1, Д , Н1. Выражение (10) подставим в (9):

В = Вц + с1§ 9хНе 1п ^.

Р1

Полученное выражение приравняем (7):

D0 + he

-90 -

2a0

arctg

joM tg

Oq +1

-arctg-

{OOf-1 tg

Oq +1

Выразим pi из соотношения (5):

= D4 + otg9xhe ln^.

Pi

Pi = Pq +

cos 9i - cos 9q Kah„

Полученное выражение подставим в (12):

Dq + he

91 -9q -

2oq

arctg

Jai-1 tg

- arctg

ao-1 a/oqm tg

oq +1

0Q +1

= Dk + otg 9^ ln-

K^hePk

-.

Kahepo + cos 91 - cos 9q

Получили трансцендентное уравнение (13) с одним неизвестным управляющим параметром 91. После определения 91 вычисляется плотность P1, затем высота h1. Величина дальности D1 вычисляется из выражения (9):

D = D4 + rtg 9^.

Любой из четырёх вычисленных параметров движения можно принять за первый управляющий параметр полученного закона управления. Второй управляющий параметр носит теоретический характер, поскольку окончание наведения при математическом моделировании определяется касанием БЛА поверхности: hk = 0.

Скорость вычисляется по формуле (6), хотя её величина не входит в структуру закона управления и она не участвует в его конструировании.

Непрерывный закон управления

Рассмотрим конструирование закона управления K(t) с непрерывным действием аэродинамического качества вплоть до касания БЛА поверхности, структура закона управления которого показана на рис.3. Отличие закона непрерывного управления от закона импульсного управления, показанного на рис.2, состоит в том, что действие аэродинамического качества продолжается до момента tk. Конструирование закона управления заключается в определении двух управляющих параметров: момента завершения наведения tk и величины аэродинамического качества K.

Модельную систему представляют три последних уравнения системы (1) и два уравнения (4). Траектория наведения состоит из одного промежутка, который при недолёте представляет собой непрерывное кабрирование на отрезке t g[/q, tk ]. Из выражения (5) следует первое уравнение:

cos 9k = cos 9q + Kahe

содержащее два неизвестных К и при известной величине Рк = 1,225 кг/м3. Второе уравнение следует из (6):

Vk = Foe K

Рис. 3 - Структура закона непрерывного управления при недолёте

Получили два уравнения (14), (15) с тремя неизвестными К, 0£, . Третье уравнение следует из соотношения (7):

D =

Do + he

9k -90 -

2о0

arctg

1Й-1 tg

- arctg

as-1 уРм tg

Oo +1

oq +1

где ао = Какеро - cos 0О, а величина Оц задаётся системой целеуказания, расположенной либо на самом БЛА, либо в удалённом месте.

Получили систему из трёх уравнений (14), (15), (16) с тремя неизвестными К, 0£, У^, Поскольку при конструировании закона управления можно обойтись без скорости, используя в качестве второго управляющего параметра, например, угол 0£, то уравнение (15) исключаем из рассмотрения. Остаются два уравнения (14), (16) с двумя неизвестными К, 0к.

Выразим угол 0£ из уравнения (14):

0к = 0о + Коке (к -Ро )] ,

и его выражение подставим в уравнение (16):

Оц = А, + ке {arccos [cos0о + Коке (Рк - Ро)] - 0о -

д/а2 -1 tg(arccos(cos0о + Коке(рк -ро))/2) КокеРо - cos0о +1

2oq

O0 -1

arctg-

- arctg

УоЙ tg

oq + 1

Получили одно трансцендентное уравнение (17) с одним неизвестным K , которое также входит в коэффициент oq = KahePo - cos 9q. После его определения вычисляется угол 9k (14) и скорость подхода к цели Vk (15).

1

Двухимпульсный закон управления

Метод динамического конструирования позволяет строить самые разнообразные законы управления наведением, задавая ту или иную структуру управляющих параметров. Сначала мы исследовали конструирование закона управления наведением БЛА в цель с одноимпульсной структурой, основным управляющим параметром в которой является момент отключения ^ заданного аэродинамического качества К . Вместо момента времени ^, если он отсутствует при решении дифференциальных уравнений, как это и было в данном случае, можно брать любой из параметров движения в этот момент времени.

Теперь рассмотрим конструирование двух-импульсного закона управления (рис.4), когда наведение не заканчивается выходом на попадающую траекторию, а продолжается, тем самым как бы усугубляя промах. Если, например, БЛА отрабатывает недолёт, совершая кабрирующий полёт, то с некоторого момента кабрирующий полёт приводит к перелёту, который затем необходимо отработать, совершая пикирующий полёт с аэродинамическим качеством противоположного направления. Такие траектории наведения могут потребоваться для преодоления БЛА системы ПРО противника. Для этого БЛА обеспечивается большой величиной аэродинамического качества, при котором БЛА достигает больших величин поперечных перегрузок.

t

К

и

Рис. 4 - Двухимпульсный закон управления

Траектория наведения состоит из двух типовых промежутков: кабрирование на полуинтервале t е [% ti), у = 0, и пикирование на отрезке t е tk], у = к . Величина K задаётся исходя из располагаемой эффективности рулевых органов.

На первом промежутке получаем следующие выражения для параметров кабрирующего полёта в момент переключения t1 :

cos 9i = cos 90 + Kahe

1„ 4

Vi = V) e K

Di = D0 + he

9i -90 -

2a0

arctg

JO- tg

«0 +1

- arctg

tg

«0 +1

где a0 = Kap0he + cos 90 .

На втором промежутке t е[[, tk ] двухсостав-ной траектории наведения при выполнении пикирующего полёта параметры движения в момент касания поверхности определяются выражениями:

cos9k = cos9i -Kahe

Vk = Vie

9i-9k

K

Dц = Di + he

2a0he

v«? -1

arctg-

Va^tg^

1 - ai

- arctg

V«M tg

1 - ai

где ai = Kapihg + cos 9i.

Получили 6 алгебраических уравнений (1823) с неизвестными: 9i, 9k, Vb Vk, Di, pi. Поскольку скорость не входит в выражения для угла и дальности, то оба выражения исключим из системы, оставляя только четыре уравнения:

cos 9i = cos 90 + Kahe (pi -P0 ),

Di = D0 + he

91 -90 -

2a0

у«-

arctg

J«2- tg

«0 +1

- arctg

tg

a0 +1

cos9k = cos9i -Kahe(pk -pi),

Dц = Di + he (9k-9i) +

2«0he

<Ja? -1

arctg

VOF-i tg |

1 - ai

- arctg-

I

1 - ai

Понизим порядок системы (24), для чего подставим первое уравнение в третье:

со89к = cos9o + КаНе (2р1 -р0 -рк). Коэффициент с учётом первого уравнения (24) принимает вид:

= КаНе (2р1 -р0)+008 90 . Выражение 91 = агссо8[со8 90 + КаНе ( -р0)] подставим во второе уравнение (24). Полученное выражение В1 вместе с выражениями для 91 , коэффициентов

а0, а1 и

9к = агссо8[со890 + КаНе(2р1 -р0 -рк)] подставим в четвёртое уравнение:

°ц = D0 + he {lrccos [cos 00 + Kahe (pi - Po )] - 00 -

2ao

i

a0-1

I

arctg-

2 1 tg arccQS

ao-1 tg-2-

Kahepo + cos0o +1

- arctg

TOM tg

2a1

Kahepo + cos 0o +1

+ arccos [cos 0o + Kahe(2p1 -po -pk)]-- arccos [cos 0o + Kahe (p1 -po )] +

tgcos0o + Kahe (2p1 -po -pk) arctg- 2

1- Kahe (1 -po)- cos0o

- arctg-

Г2 1 tgarccos

Va1 - 1tg-2-

1 - Kahe (1 -po )- cos 0o

,

где а0 = КоИер0 + со8б0 , а = КаИе(2рх-р0) + со8б0 .

Получили одно алгебраическое уравнение (25) с одним неявно выраженным неизвестным р1, значение которого является первым управляющим параметром в законе управления. Оно вычисляется одним из приближённых численных методов, например, методом деления пополам отрезка, на котором изменяются значения искомой величины. Сходимость численной процедуры обеспечивается хорошим физическим смыслом начального приближёния к решению р!, которое входит в известный диапазон изменения плотности Р1 е [ро, р^ ].

Выбирая различные структуры закона управления, можем получать различные стратегии наведения БЛА на цель, отличающиеся, например, заданным углом или пониженной скоростью подхода к цели. Делая траекторию БЛА из трёх и более типовых составляющих, можем формировать наведение БЛА на цель с эффективными манёврами уклонения от ударных средств противодействия вероятного противника.

Заключение

Таким образом, в статье представлены результаты аналитических исследований динамических методов наведения БЛА на цель. Суть метода состоит в задании структуры закона обобщённого управления: аэродинамического качества и угла скоростного крена, определяющего направление действия подъёмной силы. Управляющими параметрами служат моменты переключений управления между режимами кабрировании, пикирования и прямолинейного полёта и величина аэродинамического качества. Показано, как определять значения управляющих параметров при установлении трёх законов управления БЛА при наведении в точку прицеливания: 1) одноимпульсное управление, при котором обобщённое управление действует до совпадения вектора скорости с линией визирования, после чего полёт продолжается по прямолинейной траектории; 2) непрерывное действие обобщённого управления БЛА до контакта с поверхностью; 3) двухимпульсное обобщённое управление, которое сначала отрабатывает первоначальный промах, например, недолёт, затем накапливает противоположный промах, в виде перелёта, и только потом осуществляет наведение в точечную цель.

Публикация осуществлена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Татарстан в рамках научного проекта №15-48-02040.

Литература

1. С. А. Горбатенко, Э.М. Макушев, Ю.Ф. Полушкин, Л.В. Шефтель Расчет и анализ движения летательных аппаратов. Инженерный справочник. Машиностроение. Москва. 1971. 352 с.

2. В.А. Афанасьев, А.С. Мещанов, В.Р. Хайруллин. Аналитический синтез управлений возвращаемыми космическими аппаратами методом сопряжения типовых траекторий. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. № 4, 96-102 (2009).

3. В.А. Афанасьев, А.С. Мещанов, В.Р. Хайруллин. Аналитическое конструирование траекторий полета возвращаемых космических аппаратов. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. № 4, 161-170 (2010).

© В. А. Афанасьев - канд. техн. наук, Прикладная математика и ракетодинамика» филиала Южно-Уральского научно-исследовательского университета в г. Миасс, Челябинская область. ava46@mail.ru; А. А. Балоев - д-р техн. наук, проф. каф. автоматики и управления КНИТУ им. А.Н. Туполева-КАИ, a.baloev@mail.ru; А. С. Мещанов - канд. техн. наук, ст. науч. сотр., доц. каф. автоматики и управления КНИТУ им. А.Н. Туполева-КАИ, mas41@list.ru

© V. A. Afanasyev, Candidate of Science, assistant professor of the applied mathematics and rocket dynamics chair at the South Ural scientific research university, city of Miass, Chelyabinsk region, Russian Federation. ava46@mail.ru; A. A. Baloev, Doctor of Science, professor, professor of the automatics and control chair at the KNRTU after A.N. Tupolev-KAI, a.baloev@mail.ru; A. S. Meshchanov, Candidate of Science, senior staff scientist, assistant professor of the automatics and control chair at the KNRTU after A.N. Tupolev-KAI, mas41@list.ru.