Нелинейно преобразованная гибридная система адаптации

Нелинейно преобразованная гибридная система адаптации

Шевко Д. Г.

Шевко Денис Геннадьевич /Shevko Denis Gennad’evich - кандидат технических наук, доцент,

электроэнергетический факультет,

Дальневосточный государственный аграрный университет, г. Благовещенск

Аннотация: в статье рассматривается метод построения гибридной нелинейно преобразованной системы прямого адаптивного управления.

Abstract: the paper deals with the method of constructing the hybrid nonlinear transformed system of direct adaptive control.

Ключевые слова: адаптивное управление, гибридная система.

Keywords: adaptive control, hybrid system.

Гибридные системы прямого адаптивного управления (ГСПАУ) с явной эталонной моделью (ЭМ) составляют большой класс адаптивных систем управления, в которых желаемое движение задается конкретным физически реализованным устройством, построенным с использованием традиционных методов синтеза адаптивных систем автоматического управления. За основу работы контура адаптации ГСПАУ принимается вектор рассогласования e(t). Поскольку желаемое качество процесса в основном контуре ГСПАУ определяется динамикой ЭМ, то при разработке адаптивной системы управления, а также ее технической реализации не требуется каких-либо дополнительных измерителей качества функционирования основного контура ГСПАУ, что придает системе относительную простоту, делая ее доступной и удобной для практического применения.

Постановка задачи. Рассмотрим объект управления (ОУ), описываемый уравнением

dXft) = Ax

dt

и дискретный адаптивный регулятор со следующей структурой:

uk = Х\,Л + X2,kyk, Ук = y

где x(t) e Rn

вектор состояния объекта;

y(t) e Rl

вектор выхода объекта; u(t) e Rm - вектор

управляющих воздействий; X\k и %2к - матрицы настраиваемых коэффициентов регулятора; rk e Rm -

вектор задающих воздействий; tk = кт - дискретный аналог времени; т = const > 0 - шаг дискретизации; к = 0,1,2,... - номер шага; A, B и L - матрицы заданного размера соответственно состояния,

управления и выхода; f (t) e Rn - вектор возмущений или помех, который может быть как затухающим и удовлетворять неравенству

{If

0

так и ограниченным по норме

Относительно функционирования объекта (1) предполагается, что уровень априорной неопределенности задан условиями

A = A

где Z - набор всех неизвестных параметров; E - известное множество возможных значений £. Желаемое поведение ОУ (1) задается с помощью эталонной модели, описываемой уравнениями:

= AMx

dt

где x(t) e Rn - вектор состояния ЭМ; y(t) e R1 - вектор выхода ЭМ; AM и BM - постоянные матрицы соответствующих размеров, причем AM - гурвицева; r(t) = r при tk < t < tk+1.

Требуется решить следующие задачи.

Задача 1. Если вектор возмущений f (t) удовлетворяет соотношению (3), то при любых начальных условиях и любом Z e E синтезировать систему, обладающую свойствами

lim e

lim X k = X * = const, lim X2 k = X2 * = const.

k —w k—w

Задача 2. Если вектор помех удовлетворяет ограничению (4), но противоречит условию (3), то при любых начальных условиях и любом ^еН синтезировать систему со свойствами

t——w t——w

lim x1 k <X1 * = const, lim x2 k < X2 * = const.

k—w k—w

Решение задачи 1 будем осуществлять, выделяя соответствующие этапы синтеза адаптивных систем управления, основываясь на методике построения ГСПАУ, идея и суть которой изложены в работах [1-9].

Первый этап синтеза. Рассмотрим решение задачи построения алгоритмов настройки для системы со скалярным управлением, т. е. случай, когда она описывается уравнениями

dx(t) dt

Ax (t) + bu(t) + f (t) , y(t) = LTx(t) ,

uk = Xi,krk + x2 kУk, yk = y(tk) , u(t) = uk при tk <t < tk+1 ,

dx(t) dt

AMx(t) + bMr(tX y(t) = Lx(t).

В предположении отсутствия помех, малости шага дискретизации т и, используя обозначение

e

а также учитывая соотношение (12) и условия структурного согласования A

A = bxl*Lr,

bM = bXi *, можно в ходе преобразований результата вычитания первого уравнения (11) из первого уравнения (13) получить следующее эквивалентное математическое описание исследуемой системы:

de

dt

Vk =

V

где v(t) е R1 - обобщенный выход эквивалентной системы; g - постоянный вектор, элементы которого подлежат выбору.

Второй этап синтеза. Проведение синтеза на этой стадии разработки ГСПАУ состоит в разрешении проблемы положительности относительно линейной стационарной части (ЛСЧ) исходной системы управления с эквивалентным математическим описанием вида (15), (16), (17). Стандартный подход к решению такой задачи - обеспечение свойств вещественности и положительности передаточной функции линейной стационарной части системы:

W(Л) = gTLT (AE - Am )-1 b

gTLT (ЛЕ - Am )+ b det(A£ - Am ) ’

где E - единичная матрица; (ЛЕ - AM)+ - матрица, присоединенная к матрице (ЛЕ - AM) . Известно, что для получения W(Л) с указанными свойствами необходимо и достаточно вектор g выбрать таким образом, чтобы в условиях априорной неопределенности (5), полином gT L (ЛE - AM )+ b был бы гурвицевым степени (n -1) с положительными коэффициентами.

Третий этап синтеза. Для нелинейной нестационарной части (ННЧ) исследуемой системы необходимо показать справедливость следующего неравенства:

k1

Г

k=0

При решении проблемы положительности ННЧ исходной системы (15), (16), (17), воспользуемся результатами нелинейного преобразования и рассмотрим вместо неравенства (19) неравенство, записанное относительно нелинейно преобразованной системы:

k1

r/

k=0

Используя уравнение (16), получим:

k=0

j

Теперь положим:

Xu =Xi,k-1 + Ф

или

X2,k = X2,k-1 + ф

k Xu = Еф

k X2,k = ЕФ

тогда получим неравенство:

f k

f k

У

П

k=0 v i=0 J k=0 v i=0 J

которое будет выполняться, если оба члена левой части удовлетворяют неравенству того же типа. Для определения явного вида функций ф и ф, удовлетворяющих неравенствам, воспользуемся следующим соотношением:

k1 С _к Л 1

j Fk j F+с' 1

k=0 V i=0

2

f ( k1 Л2 k1 ^

j Fk + C +j Fk2 - C2

Vk=0 J k=0

где C = const. Используя (27), получим функции ф и ф в виде

>-1 с2, 2

k

i=0

k

ф

ф

алгоритмы адаптации коэффициентов регулятора

Xu = XU-1 + h1zkrk,

X2,k = X2,k-1 + H2Zkyk •

Рассматривая вопрос технической реализуемости алгоритмов (30), (31), необходимо указать, что для их реализации требуется полностью измерять вектор состояния объекта (11). В тех случаях, когда вектор состояния ОУ измеряется не полностью, алгоритмы адаптации (30), (31) должны быть модифицированы. Для этой цели, опираясь на результаты приложения к работе [6], перепишем неравенство (20) следующим образом:

k1

Л

k=0

где введена функция Фк > 0, которая явно описывается уравнением

ф = ч\КII9, q = 0,1,2,•••

Как показано в [6], если разрешимо неравенство (32), то из этого следует и разрешимость (20). Следовательно, выполняя синтез адаптивных алгоритмов по приведенной выше схеме, но используя вместо выражения (20) соотношения (32), (33), находим, что алгоритмы (30), (31) получат следующую модифицированную форму:

Xu = XU-1 + Vk11 vk ||q rk,

X2,k = X2,k-1 + H2Vk WVk Г yk •

Четвертый этап синтеза. В силу решения в системе управления

t^X

также имеет место. При этом с учетом явного вида алгоритмов самонастройки коэффициентов регулятора, очевидно, будут выполнены предельные соотношения lim Xu = const, lim Xu = const, отвечающие

k^x 1 k^x ’

требованиям соответствующих целевых условий (8).

Решение задачи 2 возможно за счет огрубления полученных алгоритмов самонастройки путем введения в

контур адаптации местных дополнительных обратных связей [5].

Литература

1. Шевко Д. Г. Алгоритмы настройки для гибридной системы управления с запаздыванием. // Молодой ученый. - 2014. - № 19. - С. 262-263.

2. Шевко Д. Г. Гибридная система прямого адаптивного управления неминимально-фазовым объектом. // Информатика и системы управления. - 2012. - № 1. - С. 112-120.

3. Шевко Д. Г. Критерий гиперустойчивости и синтез нелинейно-преобразованных гибридных систем прямого адаптивного управления. // Вестник Амурского государственного университета. Серия: Естественные и экономические науки. - 2012. - № 57. - С. 65-69.

4. Шевко Д. Г. Метод синтеза гибридных систем адаптации. // Молодой ученый. - 2014. - № 21. - С. 251253.

5. Шевко Д. Г. Модели и алгоритмы нелинейно преобразованных гибридных систем прямого адаптивного управления: дис. ... канд. техн. наук. - 2003. - 149 с.

6. Шевко Д. Г. Синтез и нелинейные преобразования гибридных систем прямого адаптивного управления. // Информатика и системы управления. - 2002. - № 2. - С. 133-144.

7. Шевко Д. Г., Козюра В. Е. Гибридная система управления с запаздыванием по состоянию. // Молодой ученый. - 2015. - № 1. - С. 113-115.

8. Шевко Д. Г., Козюра В. Е., Павельчук А. В. Способы построения гибридных систем управления. // Молодой ученый. - 2015. - № 7. - С. 225-226.

9. Landau I. D. Adaptive control systems: the model reference approach. - N.Y.: Marsel Dekker, 1979. - 406 p.