Геологический разлом как геодинамическая машина, производящая катастрофы различных масштабов

УДК 534.18, 550.34

Геологический разлом как геодииамическая машина, производящая катастрофы различных масштабов

Б.П. Сибиряков, Б.И. Прилоус

Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

Статья посвящена исследованию уравнений равновесия и движения сред со структурой. Ранее опубликованные работы в этом направлении, связанные с отказом от сплошности среды и построением нового континуума, обладающего внутренней геометрией, привели к тому, что уравнения равновесия и движения оказались уравнениями бесконечного порядка. Причина появления таких уравнений в том, что разностные и дифференциальные операторы не переходят друг в друга автоматически. Этому препятствует конечный размер структуры, который связан с удельной поверхностью пор и трещин. Наличие большого числа степеней свободы у структурированных тел вызывает, помимо обычных продольных и поперечных волн, также множество волн с очень низкими скоростями, ничем снизу не ограниченных. В случае строго периодических структур неустойчивости возникают лишь для достаточно высоких частот, таких что длина волны соизмерима с размерами структуры. Однако для структур, случайно организованных, с большой дисперсией линейных размеров, неустойчивости возникают для низких частот. Геологические разломы как раз и являются структурами с очень большим разнообразием размеров отдельных блоков, так что внутреннее трение — практически единственный стабилизирующий фактор, препятствующий появлению неустойчивых состояний. Снижение коэффициента трения вследствие появления флюидов или локального разогрева приводит к тому, что подобные структуры постоянно находятся в неустойчивом состоянии под влиянием любых периодических возмущений, в частности под влиянием лунных приливов.

Ключевые слова: блочные среды, внутреннее трение, удельная поверхность, катастрофы

Geological fault as a geodynamic generator of variously scaled catastrophes

B.P. Sibiryakov and B.I. Prilous

Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

The paper analyzes equilibrium equations and equations of motion of structured media. The result of relevant works in which the medium continuity was abandoned in favor of a new continuum with internal geometry was infinite-order equilibrium equations and equations of motion. The cause for the infinite-order equations is that difference and differential operators fail to automatically transform to each other because of the finite structure dimensions associated with the specific pore and crack surfaces. The wealth of degrees of freedom in structured media gives rise, among ordinary longitudinal and transverse waves, to a multitude of waves of very low velocities in no way bounded below. In strictly periodic structures, instabilities arise only at rather high frequencies such that the wave length is commensurate with the structure dimensions. On contrary in randomly organized structures with greatly variable linear dimensions, instabilities arise virtually at any arbitrary low frequencies. Geological faults are just the structures with greatly variable sizes of blocks such that internal friction is almost the sole stabilizing factor that inhibits unstable states. The decrease in friction coefficient due to fluids or local heating causes perpetual instability of these structures under the action of any periodic perturbations, in particular those of lunar tides.

Keywords: block media, internal friction, specific surface, catastrophes

1. Введение

Микронеоднородные среды с большой контрастностью компонентов (перепад по физико-механическим свойствам не в несколько раз, а на многие порядки) требуют либо решения краевых задач с граничными условиями на всей сложной поверхности пор, либо создания новых моделей континуума, где внутренняя

геометрия была бы задана с самого начала. Не отрицая полезности первого подхода, все же следует сказать, что непосредственное интегрирование уравнений равновесия и движения сплошной среды на очень сложных поверхностях границ, помимо очевидных вычислительных трудностей, ставит перед нами весьма трудные, до

© Сибиряков Б.П., Прилоус Б.И., 2010

сих пор неформализованные проблемы физической интерпретации результатов численного моделирования. В данной работе сделана попытка выяснить влияние случайных изменений удельной поверхности или размеров элементарных блоков на появление неустойчивых состояний среды. Как и следовало ожидать, дисперсия размеров снижает интенсивность нарастания неустойчивых явлений, но сильно расширяет частотный диапазон колебаний, приводящих к катастрофам. Появление неустойчивых состояний связывается с наличием комплексных собственных значений дисперсионных уравнений при стационарных колебаниях структурированных сред. Если силы инерции приложены в центре тяжести структуры, то поверхностные силы, создающие внутренние напряжения, приложены на поверхности выделенного элементарного объема. Это противоречие в механике сплошных сред устраняется операцией стягивания элементарного объема в точку. В среде со структурой такая операция не может быть проведена, т.к. малые части выделенной структуры не являются физически представительными объектами. Поэтому необходимо транспортировать поверхностные силы также в центр этой структуры с помощью некоторых операторов переноса поля. Тем самым создается некоторый образ сплошного тела, к которому вполне возможно применять основные законы сохранения, т.к. разрывы сплошности среды заполняются полем, так что операции дифференцирования для сплошного образа дискретной среды оказываются понятными и простыми.

2. Построение оператора сплошности

Как известно, в интегральной геометрии существует связь между удельной поверхностью образца ст0 и средним расстоянием от поры до поры или от трещины до ее ближайшей соседки l0 в виде [1]:

°о1о = 4

где f — пористость. Оператор переноса поля из точки x в точку x ± l0 определяется известным выражением [2]:

u

где Dx = д/дх — символическая переменная, так что экспонента существует в смысле Маслова [2], а ее формальное разложение в ряд Тейлора соответствует формуле конечных приращений Лагранжа.

Оператор переноса поля в центр некоторой сферы радиуса l0 можно обобщить, следуя идее Маслова, следующим образом:

р( Dx, Dy, Dz; l0) =

1 2пп

= — J J exp[l0 (Dx sin 0cos ф +

4n

D D

+ Dy sin 0sinф + Dz cos 0)]sin 0d0dф.

Таким образом, оператор переноса поля в центр выделенной сферы (структуры) есть функция символических переменных Dx, Dy, Dz, а также параметра

lD — среднего линейного размера структуры, определяемого удельной поверхностью пор и трещин с помощью выражения (1). Этот оператор ставит в соответствие реальному полю напряжений и деформаций некоторый непрерывный образ последних, по отношению к которому дифференциальные операции имеют обычный смысл. Его можно назвать оператором сплошности и применять основные законы сохранения к напряжениям, сглаженным благодаря действию оператора P.

Существует известное равенство Пуассона [3]

2пп

J J f (а cos 0 + Psin 0cos ф +Y sin 0sin ф^іп 0 d0 dф =

D D

= 2nJ f (R cosp )sin p dp = 2n J f (Rt)dt,

-1

R = -у/а2 + P2 +y2 .

С использованием (4) оператор переноса поля может быть переписан в несколько иной форме:

P(Dx,Dy,Dz;/d) = ^J ехр^л/А t)dt =

1

= J ch(lD>/A t )dt =

sh(lDVA) /dVa

^ l( A lD4AA

= E + — + --------------+....

3! 5!

Классическому континууму сплошной среды отвечает случай равенства нулю среднего размера структуры или обращения оператора Р в единичный. Тем самым классический континуум предполагает, что любые физические свойства в некоторой точке есть средние по объему некоторой сферы достаточно малого радиуса. Для континуума со структурой, очевидно, это не так.

3. Уравнение движения микронеоднородных сред

Уравнение движения микронеоднородной среды для напряжений, подвергнутых действию оператора Р, практически такое же, что и для обычной ситуации для сплошной среды, а именно [1]:

Ч— [Р

дхк

В одномерном случае уравнение (6) может быть записано в более простом виде:

0

E + &A

3!

lD AA

+ -----------+...

5!

+ kgu = D,

где к5 =ю/ V — волновое число, характерное для обычных продольных или поперечных волн. Если искать решение этого уравнения в виде экспоненты:

и = Аехр

то возникает дисперсионное уравнение относительно неизвестного волнового числа к, т.е. при заданной частоте относительно неизвестной скорости распростране-

ния волн

sin(klD) - kg = D klD k2

Уравнение (9) содержит бесчисленное множество как вещественных, так и комплексных корней, причем при 10 ^ 0, очевидно, к ^ к5. Этот корень дает скорость обычных звуковых волн. Малые, но конечные значения 10 приводят к тому, что отношение синуса к аргументу становится меньше единицы. Тем самым, скорость волн уменьшается при наличии конечных размеров структуры. Решением (9) также являются большие значения к10, близкие к кратным числа п. Эти решения дают сверхмалые скорости волн, ничем снизу не ограниченные. Кроме того, при определенных значениях аргумента синус может принимать также отрицательные значения. Это значит, что среди решений уравнения (10) имеются комплексные значения волнового числа.

Комплексные корни дисперсионного уравнения связаны либо с затуханием волн, либо с неограниченным ростом амплитуд. Такие корни могут трактоваться как параметрические резонансы в средах со структурой, они отсутствуют в сплошных средах. Можно показать, что все решения известного уравнения Матье [4], которые описывают классические параметрические резонансы при колебаниях маятника с осциллирующей точкой подвеса, содержатся в решениях уравнения (7). Структура решений (7) та же самая, как и структура уравнения Матье. Поэтому неустойчивые решения (7) можно трактовать как параметрические резонансы.

4. Случайные структ,уры и роль дисперсии среднего размера структур в колебательных процессах

Если представить размер структуры как сумму постоянного значения 10 и случайной величины £, то оператор сплошности принимает следующий вид:

Р(Ох , Dy, Аг;« =

1 2п П

— J JєхР[іо(А-Пі) + l(Dini)]sin0d0ф. 4п 0 0

Для случайной величины распределенной по нормальному закону с нулевым средним значением, имеет место соотношение [5]

где ю — постоянное число. Значение ст2 есть дисперсия случайной величины ^. Однако в смысле Маслова существует также аналогичный символический интеграл, где роль постоянной ю играет символическая постоянная l0Dt, так что оператор Р принимает вид:

Р( Dx, Dy, Dz; l0, ст) =

1 2п п

= 7Г JJ exP

4п

0 0

lD( Dini) + l°a-( Dini)2

sin0 d0 dф.

Если теперь искать решение уравнения (7) в виде суммы экспонент, то дисперсионное уравнение (9) обобщается и принимает форму:

1 kl0

kl

0 0

J cosxexp(-x2a2/2^dx -

ks2

,2'

Исследование корней уравнения (13) показывает, какова роль структурного хаоса [6] в развитии колебательных процессов. Для гамма-распределения случайных размеров мезоструктур дисперсионное уравнение (13) заменяется уравнением

e~iklo (1 - ia2kl0)02 = %. klo k2

5. Роль внутреннего трения в развитии катастроф. Разломы как геодинамические машины, непрерывно создающие катастрофические процессы

Трение является до сих «пор персоной нон грата» в механике сплошных сред. Объясняется это тем, что природа сил трения такова, что она требует наличия трущихся поверхностей, которых в механике сплошной среды просто нет. Наличие удельной поверхности в континууме со структурой дает возможность построить достаточно естественную модель действия сил трения в блочной среде. В самом деле, поверхностная сила трения описывается выражением

= РРп |со^Тх)| = Р1кПпк |со^Тхк)1, где р — коэффициент трения, а т — касательное направление к нормали. Объемная сила трения, которая входит в закон сохранения импульса, есть произведение поверхностной силы на удельную поверхность. Кроме того, сила трения внутри тела совершенно не связана со средними напряжениями континуума со структурой. Она определяется исключительно флуктуациями среднего поля, т.е. она целиком определяется разностью операторов Р — Е. Таким образом, в сплошной среде трение должно полностью отсутствовать, либо же для его введения требуются дополнительные (достаточно искусственные) построения. Простейшее уравнение движения с учетом сил трения имеет вид:

Р[ихх ] + р°0

Из уравнения (15) видно, что в сплошной среде, т.е. при Р = Е трение исчезает, т.к. сплошная среда не содержит внутренних поверхностей, способных двигаться относительно друг друга. Очевидно также, что наличие первых производных, связанное с силами трения, приводит к диффузии волн. Этот вывод представляется достаточно разумным. И конечно, удельная поверхность контактов (ее физическая размерность — это обратная длина) вместе с коэффициентом трения определяет объемную, а не поверхностную силу трения, которая только и может быть представлена в уравнении движения. Конкретные расчеты возможных сценариев развития как волновых, так и катастрофических явлений удобно пред-

Рис. 1. Распределение устойчивых (у < 0) и неустойчивых (у > 0) состояний без учета внутреннего трения. Дисперсия размеров блоков увеличивает частотный диапазон неустойчивых состояний вплоть до очень низких частот

Рис. 2. Распределение устойчивых (у < 0) и неустойчивых (у > 0) состояний с учетом внутреннего трения. Дисперсия размеров блоков увеличивает частотный диапазон неустойчивых состояний, однако очень низкие частоты не приводят к катастрофам. На очень низких частотах ситуация стабилизируется

ставить в трехмерном пространстве, где по оси абсцисс отложено отношение размера структуры к длине исследуемой конкретной волны, по оси ординат — чисто мнимая составляющая (либо затухание при отрицательных значениях у, либо разрастание при положительных значениях). На вертикальной оси отложено отношение размера структуры к длине обычной поперечной волны в сплошной среде. Тем самым, расположение корней в плоскости у = 0 означает устойчивые колебания волн различной скорости распространения. Одинаковое значение координат х, z означает скорости, близкие к обычным скоростям упругих волн, большая величина координаты х в сравнении с z соответствует очень низким скоростям распространения волн.

На рис. 1 представлены вещественные (ось х) и мнимые (ось у) части корней дисперсионного уравнения (15) как функции отношения размеров структуры к длине волны (ось z). Видно, что при малом трении и значительной дисперсии а = 0.3 катастрофические процессы (положительные значения у) начинаются при очень низких частотах, связанных с колебаниями крупных блоков или Земли в целом. Однако при увеличении трения катастрофические сценарии возникают уже при более высоких частотах. Поэтому процессы фильтрации флюидов, которые уменьшают коэффициент трения на порядок, являются, по-видимому, очень важными. В целом, геологические разломы как раз и являются такими объектами, которые обладают высокой дисперсией размеров структур или удельных поверхностей последних. Сочетание высокой дисперсии размеров структур разного масштаба с небольшими силами трения делает разлом геодинамической машиной, которая производит неустойчивости и катастрофы непрерывно.

На рис. 2 изображена та же ситуация, что и на рис. 1, но безразмерный фактор трения, т.е. произведение удель-

ной поверхности на средний размер контакта и на коэффициент трения, равен 0.02. В этом случае очень низкие частоты поглощаются (отрицательные значения величины у), затем с ростом частоты при большой дисперсии могут возникать как затухающие, так и растущие амплитуды волн, т.е. катастрофические явления.

6. Выводы

При воздействии слабых внешних периодических колебаний неустойчивые явления в периодических структурах могут возникать лишь при достаточно высоких частотах внешнего воздействия. Если же размеры структур являются достаточно случайными величинами и колеблются в широких пределах, то частотный диапазон возможных катастроф резко смещается в область низких частот, практически снизу не ограниченных.

Геологические разломы как структуры, содержащие внутри себя отдельные блоки самых разных размеров, при снижении коэффициента трения в результате появления флюидов или вследствие разогрева могут стать геодинамическими машинами, которые воспроизводят катастрофы непрерывно под влиянием даже слабых периодических колебаний, например лунных приливов.

Литература

1. Sibiriakov B.P. Supersonic and intersonic cracking in rock-like material under remote stresses // Theor. Appl. Fract. Mech. - 2002. - V. 38. -No. 3. - P. 255-265.

2. Маслов В.П. Операторные методы. - М.: Наука, 1973. - 544 с.

3. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Физматгиз, 1963. - 1100 с.

4. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Курс современного анализа. Т. 2. -М.: Физматгиз, 1963. - 516 с.

5. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайнонеоднородных средах. - М.: Наука, 1980. - 336 с.

6. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. - М.: Мир, 1988. -

240 с.

Сведения об авторах

Сибиряков Борис Петрович, д.ф.-м.н., проф., гнс ИНГГ СО РАН, sibiryakovbp@ipgg.nsc.ru Прилоус Борис Иванович, нс ИНГГ СО РАН, prilousbi@ipgg.nsc.ru

Поступила в редакцию 15.04.2010 г.