Сравнительный анализ напряжений в несимметричных многослойных композитных пластинах на основе асимптотической теории и трехмерного конечно-элементного расчета

УДК 539.3

БОТ 10.18698/2308-6033-2017-10-1693

Сравнительный анализ напряжений в несимметричных многослойных композитных пластинах на основе асимптотической теории и трехмерного конечно-элементного расчета

© Ю.И. Димитриенко, Ю.В. Юрин

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

В статье выполнен анализ точности разработанной ранее асимптотической теории многослойных тонких пластин. Сопоставлены результаты решения задачи об изгибе многослойной несимметричной пластины под давлением, полученные по асимптотической теории и по точной трехмерной теории упругости. Решение задачи в рамках асимптотической теории для случая несимметричной пластины получено впервые. Показано, что несимметричное расположение слоев пластины приводит к появлению продольных перемещений пластины при поперечном давлении. Для решения трехмерной задачи теории упругости использован программный конечно-элементный пакет ЛЫБУБ со специально построенной конечно-элементной сеткой. Эта сетка позволяет осуществлять сгущение конечно-элементных узлов по толщине пластины, сохраняя при этом относительно небольшое общее число конечных элементов сетки. Сопоставлены распределения всех напряжений по толщине пластины, полученные с помощью асимптотической теории и конечных элементов метода. Показано, что разработанная асимптотическая теория обеспечивает высокую точность решения по всем компонентам напряжений, включая поперечные и сдвиговые напряжения.

Ключевые слова: асимптотическая теория пластин, многослойные тонкие пластины, несимметричные пластины, метод конечных элементов, поперечные напряжения, численное моделирование

Введение. Многослойные тонкостенные конструкции широко применяются в различных областях техники — при создании корпусов летательных аппаратов, морских судов, строительных сооружений, автотранспортных средств. Кроме широко распространенных трехслойных конструкций часто применяются многослойные конструкции с несимметричным расположением слоев относительно срединной поверхности.

Для расчета функционирования таких многослойных конструкций часто необходимы исследования на отсутствие расслоений между слоями при эксплуатации. При проведении таких расчетов требуется точная информация о распределении всех напряжений в слоях, как продольных нормальных, так и напряжений межслойного сдвига и поперечного сжатия или растяжения. Для расчета этих напряжений применяются специальные методики [1-11], а также прямые численные методы решения трехмерных задач теории упругости [12].

Однако расчет тонких многослойных конструкций требует применения очень мелких конечно-элементных сеток и, как следствие, мощных вычислительных средств и значительного машинного времени. Поэтому предпочтение часто отдают двумерным методам расчета тонкостенных конструкций, среди которых одним из наиболее эффективных является метод асимптотического осреднения тонких тел (асимптотическая теория тонких тел), разработанный в [12-17]. В [12, 15] проанализирована эффективность этого метода на примере симметричных многослойных пластин. Расчет несимметричных пластин следует рассмотреть отдельно.

Целью настоящей работы является проведение сравнительного анализа распределений полей напряжений в несимметричных пластинах, полученных с помощью асимптотической теории и прямого численного моделирования на основе конечно-элементного анализа.

Исходная постановка задачи о расчете напряжений в тонкой многослойной пластине. Рассмотрим тонкую многослойную пластину постоянной толщины к, длиной Ь и шириной Ь, для которой выполняются условия

т. е. толщина много меньше длины, а ширина имеет один порядок с длиной. Введем безразмерные координаты хк, которые будем называть

глобальными:

где Xк — обычные (размерные) декартовы координаты, ориентированные таким образом, что ось ОХ3 направлена по нормали к внешней и внутренней плоскостям пластины, ось ОХ1 направлена по длинной стороне Ь пластины, оси ОХ1, ОХ2 принадлежат срединной поверхности

пластины. Пластина является многослойной, все слои ортогональны к направлению ОХ3.

Рассмотрим для пластины трехмерную задачу линейной теории упругости [18]:

к = к / Ь << 1, Ь / Ь ~ 1,

Хк = Хк /Ь, к = 1, 2, 3,

Vу ау = а

ау = Сук1 е к1,

23± : а3 =-3, 2 т : иI = ие1,

2в : и2 = 0, а12 = а23 = 0, ^ : [а13] = 0, [щ] = 0,

состоящую из уравнений равновесия, соотношений Коши, обобщенного закона Гука, граничных условий на внешней и внутренней поверхности 23± (их уравнение имеет вид Х3 = ±к / 2 ), на торцевой поверхности 2Т (их уравнение Х1 = 0, Ь), на боковой поверхности 2в (ее уравнение

Х2 = ±Ь /2) и условий контакта 2^ слоев пластины, где [и, ] — скачок функций.

*

В системе (2) обозначены компоненты тензоров: а* —

*

напряжений, е^ — деформаций, Суи (Х3) — тензора модулей упругости, а также и у — компоненты вектора перемещений, Vу = д / дХу — оператор дифференцирования по декартовым координатам [19]. Тензор модулей упругости зависит от координаты Х3, так как этот тензор различен для разных слоев пластины.

Следуя [13], рассматриваем случай, когда давление р ± на внешней и внутренней поверхностях пластины имеет порядок малости О(к ) по сравнению с Е0 — характерным значением модуля упругости материалов пластины (размерная величина),

где О(1) — безразмерная величина порядка 1. Допущение (3), как правило, соответствует реальным условиям нагружения тонких пластин.

Асимптотическая теория расчета тонких многослойных пластин. В [12-15] была разработана асимптотическая теория многослойных тонких пластин, в которой вводятся малый параметр к = к / Ь << 1 и локальная поперечная координата ^ = х3 / к. Решение задачи (1) в асимптотической теории ищется в виде асимптотических разложений по малому параметру к в виде функций, зависящих от глобальных и локальной координат:

Здесь и далее индексы, обозначенные заглавными буквами I, 3, К, Ь, принимают значения 1, 2, а индексы /, у, к, I — значения 1, 2, 3.

Подставляя асимптотические разложения (4) в систему уравнений (1) и собирая в ней члены при одинаковых степенях от к,

р±=к3р± , р±= О(1)Ео,

щ* = и*(0) (Х1) + ки*(1) (Х1, £) + к2и*(2) (Х1, £) + к3и*(3) (Х1, £) +...,

получаем рекуррентную последовательность специальных локальных задач теории упругости 0-го, 1-го, 2-го и 3-го и т. д. приближений для нахождения всех членов асимптотических разложений (4). Эти задачи имеют явное аналитическое решение. При последовательном их

решении находим выражения м^,и¿2\... и о^,о(71),о(2\о/3), ... для

всех приближений перемещений и напряжений в асимптотических

разложениях через перемещения щ , относящиеся к нулевому приближению. Для практических целей достаточно удерживать только начальные члены в этих асимптотических разложениях.

Для изгибных и сдвиговых напряжений начальные члены асимптотических разложений имеют следующий вид [12, 15]:

ои = сикь

Для н а п р я жений межслойного сдвига имеем

о --к{С

Для поперечных нормальных напряжений

Озз - к2

{сМЬкь },} „Юмм _к3 (р_+Ар (5 + 1/2)) +

+к3 {{Г^Смшь }£ ^ Лкх,мы к38тк1м „къмш,

* * * Ар - р+ _р_.

В этих формулах введены обозначения для комплексов упругих характеристик слоев пластины:

/^(0) _/—» с с

СШЬ = Сикь _ С1Л3Ск313с13кь ,

Nтьм = СиР<{шр<кьм _ 7из {рСмкь ,

7/ЖХ = С/Зг3Сг3кь, С/313 = 2С/313 _8г3С/333,

2Ш 1/кьм = -С53кь

с (0) _|[ 7 \С (0) 1 С (0) /ш сткт = 11 [Ссмкь ]£ _ Стр<\ш р<2кьм

Сравнительный анализ напряжений... Введены операторы интегрирования:

{I

-1/2

4

-1/2

1/2

<1 (Х1, 4) >= I I(Х1, 4М4,

-1/2

операторы дифференцирования по локальной координате Щ/з =

дща) /д4

и по глобальным координатам и-1 = ди)1 / дХу, а также обозначены

деформации и кривизны срединной поверхности пластины в нулевом приближении:

еКЬ = 2

Для вычисления амплитуд перемещений нулевого приближения и*(0) в асимптотической теории расчета пластин формулируются

осредненные уравнения равновесия, получающиеся после подстановки разложений (4) в уравнения равновесия системы (2) и последующего их осреднения [12]:

Ти,7 = 0, ,и = Ар, Мии - 01 = 0,

где Ар = к2Ар, Ти — усилия, Ми — моменты и 01 — перерезывающие силы, которые вводятся с помощью следующих осредненных соотношений:

Т!и =<аи >, М* = к<4аи >, 01* = <а„ >.

Подставляя выражения (5) для деформаций и напряжений в интегралы формул (12), получаем осредненные определяющие соотношения асимптотической теории пластин с точностью до первых двух приближений:

Ти = СикЬ еКЬ + викъ Лкь + КиКЬМ еКЬ,М,

Ми = ВиКЬеКЬ + ВШЬПКЬ + КиКЬМ еКЬ,М, где обозначены тензоры осредненных упругих констант пластины

С1ИКЬ = < С*(К0Ь >, ВИКЬ = к < 4СШ1 >, КИКЬМ = к < NиКЬМ >,

- 2 2 0 - 2 ~0

ВиКЬ = к2 < 4СШЬ >, КШ1М = к2 < ^ШЬМ > .

Подставляя выражения (10) в (13), а затем (13) в (11), получаем систему осредненных уравнений равновесия пластины относительно

<(0) и^

которые зависят от глобальных

трех неизвестных функций и( переменных х1 .

Для симметричной пластины, у которой слои расположены симметрично относительно срединной плоскости (4 = 0), ВШь = 0. Этот случай исследован в [12]. В настоящей работе рассматривается случай несимметричной пластины.

Задача об изгибе несимметричной пластины. Рассмотрим задачу об изгибе несимметричной пластины прямоугольной формы,

для которой тензор модулей упругости Сщ (4) не является четной

функцией. Пластина нагружена равномерным давлением и жестко защемлена по торцам. Будем предполагать, что материалы слоев пластины являются ортотропными [19], тогда

2,

0, N <0>

0, К,

0, Кг

0,

-1КЬ -V > 1УШЬМ -V, ^ПКЬМ -V, Л ИКЬМ

С1211 = С1222 = 0 в1211 = в1222 = 0, В1211 = В1222 = 0 и решение системы уравнений (10)-(13) можно искать в виде

«^

Ненулевые уравнения этой системы с граничными условиями для данной задачи примут вид

Тп,1 = 0, М 11,11 = Ар,

Т11 = С1111е(1) + в1111п11, Т22 = С2211е11) + в2211п11, Мц = ВШ18|1) + ДШГ|11, М22 = В2211£|?) + ^2211^11

е(0) =и(0) _(0) = _„(0) Ь11 _ и1,1 , 1111 -

Х1=0

Х1=0

(0) 3,1

Х =1

Х =1

*3,11>

0, и30)

0.

Х=0

: и

Х=1

Решение этой задачи будем искать в следующем виде: и}0 = А1Х1 (Х2 - 1) + А2Х1 (Х1 -1),

,

ВХу (Х1 -1)2.

Здесь А1, А2, В — некоторые неизвестные константы. Функции м(0), выбранные в таком виде, удовлетворяют граничным условиям задачи (17). Подставляя (18) в систему (17), получаем выражения для констант:

АрС1 111 111

24А , 1 6А ,

= АрВ1111 А = п г „ 2 А2 = ~ , А = М111СШ1 _ -°1111. 4А

Используя формулы (14) и (16) и учитывая ортотропность материалов рассматриваемой пластины, преобразуем формулы (5)-(7) для напряжений

033 -к2{{Спп}^еп,п +к3{^ш}^?! _к3(р_ + Ар0(5 + 1/2)),

ои - С//11

0/3 - _к {С/111 ^ е11Д _ к2 {5С/111 ^ "Лид.

Сравнение с трехмерной теорией. Для анализа точности полученного решения на основе разработанной асимптотической теории было проведено сравнение результатов расчета компонент тензора напряжений по формулам (20) и соответствующих компонент, рассчитанных по трехмерной теории упругости.

При численных расчетах толщина пластины И была выбрана равной 21 мм, а остальные геометрические параметры пластины были подобраны таким образом, чтобы выполнялось соотношение

к-И - Л - 0,025,

ьь

обеспечивающее «тонкость» пластины. Граничные условия для трехмерной задачи теории упругости были заданы следующими:

°3 Х -±И/2 -~р±Ъ13,

и\Х1-0 - и\Х,-ь - 0,

М2 1х2=±й/2 - 0,

м3|х=0 - м3|ь - 0.

Были выбраны следующие значения давления на внешней и внутренней поверхностях: р+ -107 Па и р_ -106 Па. Пластина состояла из трех слоев, толщины которых соответствовали сетке

А3 = (-1/2, -142, 3/14, 1/2) по локальной координате ^ = х3/ И.

Значения упругих характеристик ортотропных материалов слоев метал-локерамической пластины приведены в табл. 1. Слой № 3 соответствует значению локальной координаты ^ = -0,5, а слой № 1 — ^ = 0,5.

Таблица 1

Упругие характеристики материалов слоев несимметричной пластины

Номер слоя Еь ГПа е2, ГПа Ез, ГПа 012, ГПа О13, ГПа 023, ГПа ^12 ^13 ^23

1 200 200 200 76,923 76,923 76,923 0,3 0,3 0,3

2 60 60 40 23 15 15 0,15 0,2 0,2

3 300 300 300 111,111 111,111 111,111 0,35 0,35 0,35

Для численного решения трехмерной задачи теории упругости использован конечно-элементный комплекс ANSYS с тетраэдальным десятиузловым конечным элементом SOLID187. Для проведения расчетов на рассматриваемой пластине была сгенерирована сетка со сгущениями в окрестности расчетных нормальных сечений х1 е {0,125; 0,25; 0,375; 0,5} (которые далее будем называть опорными), что позволило сократить общее число конечных элементов. В расчете использовалось 25 конечных элементов на слой в окрестности опорных сечений и два конечных элемента на слой в остальных частях пластины (рис. 1). Общее число конечных элементов для всей пластины составило 10 864 455 (14 658 117 узлов).

Рис. 1. Сетка в окрестности опорного сечения

На рис. 2-5 для сравнения показано распределение напряжений, рассчитанных по асимптотической теории (АТ) и полученных на основе численного решения трехмерной задачи теории упругости в опорных сечениях (а — х1 = 0,125, г — х1 = 0,5).

Относительное отклонение между решением на основе предложенной АТ и численным решением в ANSYS измерялось в метрике Ь [-1/2,1/2]:

5 (а ц, 4) =

_ANSYS/ \ _АТ / ч

а

Ь2 [-1/2, 1/2]

а АТ

100%.

Ь2 [-12, 12]

"4 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 е а

в»

г

1— АТ 1 1-

1 Ч \

х

1,0

с °>5 ^ 0

-0,5

-1,0 -1,5

4

* 2 Е о

-4

-6

I

рлт—I

-0,4 -0,2 0 0,2 0,4 £ б

-0,4 -0,2 0 0,2 0,4 в

г

Рис. 2. Распределение изгибного напряжения оп по толщине пластины

1,5 1,0

в ^ 0,5 <ч

3

О

-0,5

-1,0

-0,4 -0,2

О е а

0,2 0,4

0,4 0,2

-0,2 -0,4

-0,4 -0,2

О

£

\

\

0,2 0,4

Ё°

3

ртст-1

ляп

-0,4 -0,2 0 0,2 0,4 е в

Ё °

(Ч

о

-1

-2

р*Г

\

0,4 -0*2 0 0,2 0,4 £

Рис. 3. Распределение поперечного напряжения о22 по толщине пластины

Рис. 4. Распределение поперечного напряжения а 33 по толщине пластины

Рис. 5. Распределение напряжения а13 по толщине трехслойной пластины

Отклонение для опорных сечений, рассчитанное по формуле (21), приведено в табл. 2.

Таблица 2

Относительное отклонение компонент тензора напряжений, рассчитанных по асимптотической и трехмерной теориям в опорных сечениях

0и *1

0,125 0,25 0,375 0,5

011 0,528 2,59 0,448 0,364

О22 2,779 3,059 2,647 0,452

013 0,066 0,065 0,065 -

Озз 0,021 0,012 0,013 0,009

Согласно формуле (20), компонента тензора напряжений о13, рассчитанная по АТ, в центральном сечении обращается при х1 = 0,5 в нуль. Численное решение, полученное на основе трехмерной теории (см. рис. 5, г), отражает близость к решению на основе асимптотической теории.

Результаты сравнения решений, полученных по асимптотической и трехмерной теориям, показывают, что АТ обеспечивает достаточно высокую точность для всех напряжений. Наибольшая точность достигается для поперечных и сдвиговых напряжений, наименьшая — для боковых нормальных напряжений о22 . Тем не менее эта точность довольно высока — относительная ошибка не превышает 3 %, что является хорошим результатом для относительно короткой пластины (малый параметр 0,025). Точность расчетов повышается при стремлении малого параметра к нулю, т. е. для еще меньших значений к.

Таким образом, как и для симметричной пластины [12], разработанный метод позволяет получать довольно точные решения и для несимметричных пластин.

Заключение. Проведенный сравнительный анализ распределений напряжений в несимметричных многослойных пластинах, вычисленных на основе асимптотической теории и трехмерного конечно-элементного расчета, позволяет сделать вывод о том, что асимптотическая теория обладает значительными преимуществами в сопоставлении с трехмерным конечно-элементным методом решения задач для тонкостенных многослойных пластин: при использовании ее требуются значительно менее мощные вычислительные средства и существенно меньшее машинное время для достижения одинаковой точности расчетов.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Обобщенная модель механики тонкостенных конструкций из композитных материалов. Механика композитных материалов, 1988, № 4, с. 698-704.

[2] Ghugal Y.M., Shmipi R.P. A review of refined shear deformation theories for isotropic and anisotropic laminated beams. Journal of Reinforced Plastics and Composites, 2001, vol. 20, no. 3, pp. 255-272.

[3] Tornabene F. Free vibrations of laminated composite doubly-curved shells and panels of revolution via the GDQ method. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg, 2011, no. 200, pp. 931-952.

[4] Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. Москва, Машиностроение, 1980, 324 с.

[5] Шешенин С.В. Асимптотический анализ периодических в плане пластин. Изв. РАН. МТТ, 2006, № 6, с. 71-79.

[6] Зверяев Е.М., Макаров Г.И. Общий метод построения теорий типа Тимошенко. Прикладная математика и механика, 2008, т. 72, вып. 2, с. 308-321.

[7] Назаров С.А., Свирс Г.Х., Слуцкий А.С. Осреднение тонкой пластины, усиленной периодическими семействами жестких стержней. Математический сборник, 2011, т. 202, № 8, с. 41-80.

[8] Kohn R.V., Vogelius M. A new model of thin plates with rapidly varying thickness. Int. J. Solids and Struct., 1984, vol. 20, no. 4, pp. 333-350.

[9] Панасенко Г.П., Резцов М.В. Осреднение трехмерной задачи теории упругости в неоднородной пластине. Докл. АН СССР, 1987, т. 294, № 5, с. 1061-1065.

[10] Levinski T., Telega J.J. Plates, laminates and shells. Asymptotic analysis and homogenization. Singapore; London, World Sci. Publ., 2000, 739 p.

[11] Kolpakov A.G. Homogenized models for thin-walled nonhomogeneous structures with initial stresses. Berlin, Heidelberg, Springer Verlag, 2004, 228 p.

[12] Димитриенко Ю.И., Яковлев Д.О. Сравнительный анализ решений асимптотической теории многослойных тонких пластин и трехмерной теории упругости. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 7 (19). URL: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/technic/899.html (дата обращения 21.08.2017).

[13] Димитриенко Ю.И. Асимптотическая теория многослойных тонких пластин. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2012, № 3, с. 86-100.

[14] Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Сборщиков С.В. Асимптотическая теория конструктивно-ортотропных пластин с двухпериодической структурой. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 1, с. 36-57.

[15] Димитриенко Ю.И., Федонюк Н.Н., Губарева Е.А., Сборщиков С.В., Прозоровский А.А., Ерасов В.С., Яковлев Н.О. Моделирование и разработка трехслойных композиционных материалов с сотовым заполнителем. Вестник МГТУим. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2014, № 5, c. 66-82.

[16] Димитриенко Ю.И., Димитриенко И.Д., Сборщиков С.В. Численное моделирование вязкоупругих характеристик пенопластов. Инженерный журнал: наука и инновации, 2016, вып. 11 (59). DOI 10.18698/2308-6033-2016-11-1555

[17] Dimitrienko Yu.I., Dimitrienko I.D. Asymptotic Theory for Vibrations of Composite Plates. Applied Mathematical Sciences, 2016, vol. 10, no. 60, pp. 2993-3002. HIKARI Ltd. www.m-hikari.comhttps://doi.org/10.12988/ams.2016.68231

[18] Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. В 4 т. Т. 4. Основы механики твердого тела. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013, 580 с.

[19] Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. В 4 т. Т. 1. Тензорный анализ. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011, 463 с.

Статья поступила в редакцию 19.06.2017

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Димитриенко Ю.И., Юрин Ю.В. Сравнительный анализ напряжений в несимметричных многослойных композитных пластинах на основе асимптотической теории и трехмерного конечно-элементного расчета. Инженерный журнал: наука и инновации, 2017, вып. 10. http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2017-10-1693

Димитриенко Юрий Иванович родился в 1962 г., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова в 1984 г. Д-р физ.-мат. наук, заведующий кафедрой «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана, директор Научно-образовательного центра «Суперкомпьютерное инженерное моделирование и разработка программных комплексов» МГТУ им. Н.Э. Баумана, действительный член Академии инженерных наук. Автор более 350 научных работ в области механики сплошной среды, вычислительной механики, газодинамики, механики и термомеханики композитов, математического моделирования в науке о материалах. e-mail: dimit.bmstu@gmail.com

Юрин Юрий Викторович родился в 1989 г., окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2012 г. Аспирант кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 20 научных работ в области механики композитов. e-mail: yvyurin@yandex.ru

Comparative stress analysis in nonsymmetrical multilayer composite plates in the asymptotic theory and three-dimensional finite element calculation

© Yu.I. Dimitrienko, Yu.V. Yurin Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia

The article analyzes the accuracy of previously developed multilayer thin plates' asymptotic theory. We compare the solution results of the bending problem for a multilayer asymmetric plate under pressure obtained in the asymptotic theory and in the exact three-dimensional elasticity theory. The problem solution in the asymptotic theory for the asymmetric plate case was obtained for the first time. The paper shows that the plate layers' arrangement asymmetry leads to the longitudinal plate displacements at transverse pressure. We used a software finite-element ANSYS package with a specially constructed finite element mesh to solve the elasticity theory three-dimensional problem. This grid allows for a finite element nodes thickening along the plate thickness while maintaining a relatively small grid lateral elements total number. The paper compares all stresses distributed along the plate thickness, obtained by means of the asymptotic theory and finite elements method. We show that the developed asymptotic theory provides high solution accuracy for all stress components, including transverse and shear stresses.

Keywords: asymptotic theory of plates, multilayer thin plates, asymmetric plates, finite element method, lateral stresses, numerical simulation

REFERENCES

[1] Grigolyuk E.I., Kulikov G.M. Mekhanika kompozitsionnykh materialov — Mechanics of Composite Materials, 1988, vol. 24, no. 4, pp. 698-704.

[2] Ghugal Y.M., Shmipi R.P. Journal of Reinforced Plastics and Composites, 2001, vol. 20, no. 3, pp. 255-272.

[3] Tornabene F. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2011, no. 200, pp. 931-952.

[4] Alfutov N.A., Zinoviev P.A., Popov B.G. Raschet mnogosloynykh plastin i obolochek iz kompozitsionnykh materialov [Calculation of multilayer plates and shells made of composite materials]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1980, 324 p.

[5] Sheshenin S.V. Izvestiya RAN. Mekhanika tverdogo tela — Mechanics of Solids. A Journal of the Russian Academy of Sciences, 2006, no. 6, pp. 71-79.

[6] Zveryaev E.M., Makarov G.I. Prikladnaya matematika i mekhanika — Journal of Applied Mathematics and Mechanics, RAS, 2008, vol. 72, no. 2, pp. 308-321.

[7] Nazarov S.A., Svirs G.H., Slutsky A.S. Matematicheskii Sbornik — Sbornik: Mathematics, 2011, vol. 202, no. 8, pp. 41-80.

[8] Kohn R.V., Vogelius M. International Journal of Solids and Structures, 1984, vol. 20, no. 4, pp. 333-350.

[9] Panasenko G.P., Reztsov M.V. Dokl. AN SSSR — Reports of Acad. Sci. USSR, 1987, vol. 294, no. 5, pp. 1061-1065.

[10] Levinski T., Telega J.J. Plates, laminates and shells. Asymptotic analysis and homogenization. Singapore, London, World Sci. Publ., 2000, 739 p.

[11] Kolpakov A.G. Homogenized models for thin-walled nonhomogeneousstructures with initial stresses. Berlin, Heidelberg, SpringerVerlag, 2004, 228 p.

[12] Dimitrienko Yu.I., Yakovlev D.O. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii — Engineering Journal: Science and Innovation, 2013, iss. 7 (19). Available at: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/technic/899.html (accessed August 21, 2017).

[13] Dimitrienko Yu.I. VestnikMGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki — Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series: Natural Sciences, 2012, no. 3, pp. 86-100.

[14] Dimitrienko Yu.I., Gubareva E.A., Sborschikov S.V. Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody — Mathematical Modeling and Computational Methods, 2014, no. 1, pp. 36-57.

[15] Dimitrienko Yu.I., Fedonyuk N.N., Gubareva E.A., Sborschikov S.V., Prozorovsky A.A., Erasov V.S., Yakovlev N.O. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki — Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series: Natural Sciences, 2014, no. 5, pp. 66-82.

[16] Dimitrienko Yu.I., Dimitrienko I.D., Sborschikov S.V. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii — Engineering Journal: Science and Innovation, 2016, iss. 11, (59). DOI 10.18698/2308-6033-2016-11-1555

[17] DimitrienkoYu.I., Dimitrienko I.D. Applied Mathematical Sciences, 2016, vol. 10, no. 60, pp. 2993-3002. Available at: www.m-hikari.com https://doi.org/10.12988/ams.2016.68231

[18] Dimitrienko Yu.I. Mekhanika sploshnoy sredy. V 4 tomakh. Tom 4. Osnovy mekhaniki tverdogo tela [Continuum mechanics. In 4 vols. Vol. 4. Fundamentals of solid-state mechanics]. Moscow, BMSTU Publ., 2013, 580 p.

[19] Dimitrienko Yu.I. Mekhanika sploshnoy sredy. V 4 tomakh. Tom 1. Tenzorny analiz [Continuum mechanics. In 4 vols. Vol. 1. Tensor analysis]. Moscow, BMSTU Publ., 2011, 463 p.

Dimitrienko Yu.I. (b. 1962) graduated from Lomonosov Moscow State University in 1984. Dr. Sc. (Phys.-Math.), head of the Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Bauman Moscow State Technical University, head of the Scientific and Educational Center Supercomputer Engineering Modeling and Development of Software Complexes at BMSTU, member of the Academy of Engineering Sciences. Author of over 350 scientific publications in the field of continuum mechanics, computational mechanics, gas dynamics, mechanics and thermomechanics of composites, mathematical modeling in the science of materials. e-mail: dimit.bmstu@gmail.com

Yurin Yu.V. (b. 1989) graduated from Bauman Moscow State Technical University in 2012. Post-graduate student of the Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, BMSTU. Author of 20 scientific publications in the field of composite mechanics. e-mail: yvyurin@yandex.ru