Средства математического моделирования в задачах прямоугольного покрытия произвольных многоугольных областей

СИСТЕМЫ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 519.859

СРЕДСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПОКРЫТИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ

КРИВУЛЯ А.В., ЗЛОТНИК М.В., РОМАНОВА Т.Е.

Рассматривается задача покрытия компактной многоугольной области конечным семейством необязательно различных прямоугольников. В целях математического моделирования отношений области и объектов покрытия используется метод Г-функции. Строится математическая модель задачи, основанная на оптимизации Г-функ-ции. Исследуются ее особенности.

Введение

Задачи покрытия имеют различные области применения. В качестве примеров можно привести задачи покрытия датчиками и нацеливания в военных сценариях. В телекоммуникациях геометрические задачи покрытия возникают в приложениях для мобильной связи. Задачи покрытия встречаются в робототехнике, графических приложениях, в приложениях по обработке образов, при оптимизации запросов в пространственных базах. В некоторых приложениях негеометрическая задача может быть преобразована в геометрическую. Например, в таких областях как визуализация информации и биоинформатика задачи покрытия часто представляются как задачи кластеризации. В таких задачах наборы данных обычно состоят из большого числа многомерных точек. Целью является группирование точек, имеющих сходные характеристики. Существуют также задачи размещения и упаковки в производстве, для которых могут быть полезны задачи покрытия из-за близкой связи между покрытием и упаковкой. Одним из примеров может быть “постановка меток” в задаче раскладки выкроек на материале в швейной промышленности. Кроме того, задачи покрытия возникают в ирригации, пожарной безопасности, системах воздушного и космического наблюдения, медицине и т.п.

Анализ публикаций, посвященных решению нерегулярных 2D задач покрытия компактных областей [1,2], позволяет сделать следующие выводы. Большинство геометрических задач покрытия, которые можно встретить в литературе являются NP-сложными. Для решения задач, как правило, используются эвристические методы.

Разработка эффективных методов решения задач покрытия, использующих методы локальной и глобальной оптимизации, требует построения адекватных математических моделей, использующих конструктивные средства математического моделирования.

В работе [3] формализуется критерий покрытия с использованием метода Ф-функций [4, 5]. Математическая модель задачи покрытия многоугольной области набором различных прямоугольников на основании понятия Г-функции впервые опубликована в статье [6].

Целью данной работы является исследование особенностей построения математической модели задачи покрытия в общем случае несвязной компактной многоугольной области, каждая компонента связности которой может быть многосвязна, для случая, когда метрические характеристики покрывающих прямоугольников могут совпадать.

1. Постановка задачи

Рассмотрим задачу покрытия в следующей постановке. Имеется компактная многоугольная область 2 ^

Qc R и семейство Л прямоугольников

Pi = {(x,y) ЄR2, -a; < x < a;, -b; < y <bi},i = 1,2, ...,n ,

где R2 - двумерное арифметическое евклидово пространство.

Расположение Q и Pi в пространстве R однозначно определяется векторами трансляции v = (xv,y v) и ui = (xi, yi) ,i = 1,2,...,n соответственно. В дальнейшем прямоугольник Pi , транслированный на вектор ui, обозначим Pi(ui), а семейство транслированных прямоугольников Pi(ui),i = 1,2,..., n обозначим A(u), где u = (u1, u2,..., un) є R2n . Полагаем, что v = (0,0).

В статье [6] строится математическая модель поставленной задачи при условии, что для каждой пары прямоугольников Pi и Pj выполняется соотношение: ai Ф aj и bi Фbj, i < j = 2,...,n. В данном исследовании рассматривается общий случай, когда ограничение на значение метрических характеристик прямоугольников снимается.

По определению [6], семейство A(u) называется покрытием области Q, если существует вектор u є R 2n, такой что

Qc

i=1

Необходимо определить, существует ли вектор u0 єR2n такой, что семейство A(u0) является покрытием области Q , т.е. выполняется соотношение

Q n intH

где int(-) - внутренность множества (•) [7],

РИ, 2007, № 4

31

H(u0) = R2 \intP(u0), P(u0) = U Pi(uf).

i=1

Множество H(u0) может быть представлено в следующем виде:

H

i=1 i=1

В работе [6] введено понятие пространственной формы множества H(u0), исходя из того факта, что вид

02

множества H(u°) в пространстве R зависит от

0 0

значений параметров размещения uj и uj каждой пары покрывающих объектов Pi(u0) и Pj(u0), i < j = 2,...,n.

Рассмотрим множество

Hj

для фиксированных u0 и u0.

В дальнейшем множество вида (4) для Pi(ui) и Pj(uj) будем обозначать Hij(ui,uj) .

2. Построение множества Hij

Виды пространственных форм множества Hij(u i, u j) (с точностью до вида базовых выпуклых подмножеств, формирующих множество Hij(ui,uj) ) в пространстве R2 исследованы в работе [6], когда выполняется условие: ^ Ф aj и bi Фbj для любой пары прямоугольниковPi(ui) и Pj(uj), i < j = 2,..., n.

Однако в общем случае существуют следующие варианты соотношения метрических хар актеристик прямоугольников Pi и Pj:ai Фaj и bi Фbj,ai = aj и bi фbj,ai фaj и bi = bj,ai = aj и bi = bj.

Обозначим множество, имеющее k-ю пространственную форму, через Hk(ui,uj).

Каждой k-й пространственной форме множества Hk(ui,uj) соответствует множество Sk векторов uk = (ui,uj) єR4.

Таким образом, пространство R4 может быть представлено как

R4 = U Sk.

k

При этом, если (ai <aj и bi >bj), тогда kє{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, а если (ai <aj и bi <bj), тогда k є {1,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.

Следуя [6], множества Sk,k = 1,2,...,11, задаются следующим образом:

S1 = {

где фij(ui,uj) - Ф -функция для прямоугольников Pi(ui) и Pj(uj) [5];

S2 = {(ui, uj) є R4 :ft(ui,uj) > 0,ai > aj,bi < bj,

t = 1,2,3,4},

S3 = {(ui, uj) є R4 : ft(ui,uj) > 0,t = 2,3,4,9} ,

Sfj= {(ui,uj) є R4:ft(ui,uj) >0,t = 1,2,8,11},

Sjj = {(ui,uj) є R4 :ft(ui,uj) >0,t = 3,4,5,10}, S6j= {(ui,uj) є R4:ft(ui,uj) >0, t = 1,2,7,12}, S7j= {(ui,uj) є R4:ft(ui,uj) > 0,t = 6,8,9,11},

S^i = {

S9 = {(ui,uj) є R4 :ft(ui,uj) >0,t = 5,7,10,12},

Sk0 = {(ui,uj)eR4 :ft(ui,uj) >0,t = 5,8,10,11},

Sij1 = {(ui,uj) є R4 :ft(ui,uj) >0,ai <aj,bi <bj,

t = 1,2,3,4}, где

ft(u i, u j) = -Axjj +a 2 f2(ui,uj) = Axij +a j2

f3

f9(ui,uj) = - Axjj -a22 f!0(ui,uj) = Axjj -aj2

f11(ui,uj) =-Ayij-Pi2 f12(ui,uj) = Ayij-Pjj ,

Axij = xj - xi, Ayij = yj -yi, ai + aj = aij; |ai _ aj| = aij;

bi + bj =Pij> |bi -bj| = Pij-

Обозначим условие Фij(ui,uj) >0 неравенством K}j(ui,uj) + Dij >0, а системы, описывающие множества Sk, через Kk(ui,uj) + Dk >0, k = 2,...,11.

Заметим, что объединение (5) не является разбиением пространства R4. Рассмотрим разбиение пространства R 4 , используя понятие предельного множества

[6].

Множество Lkj(ui,uj) является предельным множеством множества Hk(ui,uj), если, по крайней мере, одно неравенство системы (6)-(7) вида Ak(ui,uj) + Bk >0 является активным, т.е. леваячасть неравенства равна нулю.

Полагаем, что ai ф aj и bi фbj. Используя соотношения (6)-(7), множества R|j, k = 1,2,...,11, задаются соответствующими системами нер авенств:

РИ, 2007, № 4

32

Rij = {(Ui,Uj)єR4:Фij(Ui,Uj) >0};

R2= {(ui,Uj) єR4:ft(u;,Uj) > 0, a; > aj,b; <bj, t = 1,2,3,4};

R3 = {(u;,Uj) єR4 :ft(u;,Uj) > 0, t = 3,4,ft(u;, uj) > 0,t = 2,9};

Rij = {(ui,uj) є R4 :ft(u;,uj) > 0, t = 1,2,ft(ui,uj) > 0,t = 8,11};

R5 = {(Ui,Uj) є R4 :ft(Ui,Uj) > 0, t = 3,4,ft(ui,uj) >0,t = 5,10};

R6= {(Ui,Uj) є R4 :ft(Ui,Uj) > 0,

t = 1,2, ft

R7= {(Ui,Uj) єR4:ft(Ui,Uj) > 0,t = 6,8,9,11};

Rij = {(Ui,Uj) Є R4:ft(Ui,Uj) > 0, t = 6,7,9,12}; r9j = {(ui,uj)єR4 :ft(ui,uj)>0,t = 5,7,10,12}; Rj = {(ui,uj)e R4 :ft(ui,uj)> 0,t = 5,8,10,11};

Rij1 = {(Ui,Uj)єR4:ft(Ui,Uj) >0, ai < aj,bi <bj, t = 1,2,3,4}.

Таким образом,

r4 = U Rij или R4 = У Rk ,

k=1, k * 2 k=1

где R jj П Rij =0 , r Ф t, r, t є {1,2,...,10,11}, т. е. соотношения (10) - разбиение пространства R4. Кроме того, Rk = intRk, k = 1,2(11), Rk= clRk ,

k = 7,8,9,10, Rkj Ф intRk, Rk * clR^j, k = 3,4,5,6 в пространстве R4.

Осуществим разбиение пространства R4 в соответствии со случаями соотношений метрических характеристик прямоугольников Pi и Pj .

Пусть ai = aj и bi фbj, kє{1,3,5,7,8,9,10}. Используя соотношения (6)-(7), определяем множества Rjj, k є {1,3,5,7,8,9,10} следующим образом:

Rij = {(Ui,Uj)єR4:Фij(Ui,Uj) >0};

R3j= {(Ui,Uj) є R4 :ft(Ui,Uj) > 0, t = 3, 4,ft(Ui,Uj)> 0,t = 2,9};

R5 = {(Ui,Uj) є R4 :ft(Ui,Uj) > 0, t = 3,4,ft(Ui,Uj)> 0,t = 5,10};

Rjj = {(Ui,Uj) єR4 :ft(Ui,Uj) >0,

t = 6,8,9,11};

Rij = {(Ui,Uj) єR4 :ft(Ui,Uj) > 0, t = 9,ft(Ui,Uj) > 0,t = 6,7,12};

Rjj = {(Ui,Uj) є R4 :ft(Ui,Uj) > 0, t = 5,7,10,12};

Rij0 = {(Ui,Uj) єR4 :ft(Ui,Uj) >0,

t = 10,ft(Ui,Uj) >0,t = 5,8,11}.

Таким образом,

r4 = U Rlj.

k=1,3,5,7,8,9,10

где Rrj ПRij =0 , r Ф t, r, te {1,3,5,7,8,9,10}, т. е. соотношение (11) - разбиение пространства R4. Кроме того, множества Rij = int R1, Rk = clRk , k = 7,9 , Rjj ФintRk,Rk^clRk,k = 3,5,8,10 в пространстве R4.

Очевидно, что в этом случае выполняются следующие соотношения:

frRij nfrRjj Ф0, k = 3,5,7,8,9,10;

frR3nfrRk Ф0, k = 1,5,7,8,9,10;

frRjj nfrRk ф 0, k = 1,3,7,8,10;

frR17 nfrRk ^0, k = 1,3,5,10;

frRfj nfrRk * 0, k = 1,3,5,9;

frR9j nfrRk ^ 0, k = 1,3,5,8;

frRjj0 nfrR-j Ф0, k = 1,3,5,7.

Необходимо отметить, что семейство множеств H(u) может быть разбито на "Л подсемейств, каждое из которых состоит из множеств Hq (u) , q = 1,2,..., р , имеющих одинаковую пространственную форму, где

р = 7° , ст = ^2n(n-Г).

Очевидно, что каждое подсемейство множеств Hq(u) с H(u) определяется соответствующим множеством параметров размещений RjJn сR2n , q = 1,2,...,р , т. е.

R2n

U Rqn

РИ, 2007, № 4

33

Пусть а; Ф aj и b - bj, то k є {1,4,6,7,8,9,10}. Используя соотношения (6)-(7), определяем множества R k , к = 1,4,6,7,8,9,10, которые задаются следующим образом:

жеств, имеющих одинаковую пространственную форму.

Очевидно, что каждое подсемейство Hq(u) с H(u) определяется соответствующим подмножеством R^n сR2n, q = 1,2,...,л , т. е.

Rij = {(ui,uj)ЄR4:Фij(ui,uj) >0};

R4 = {(u;,uj) єR4 :ft(ui,uj) > 0, t = 1,2,ft(ui, uj) > 0,t = 8,11};

R6 = {(u;,uj) є R4 :ft(ui,uj) > 0, t = 1,2, ft(ui, uj) > 0,t = 7,12};

Rjj = {(u;,uj) є R4 :ft(ui,uj) > 0, t = 11,ft(ui,uj) > 0,t = 6,8,9};

R8j= {(u;,uj) є R4 :ft(ui,uj) > 0, t = 6,7,9,12};

R9j = {(u;,uj) є R4 :ft(ui,uj) > 0, t = 12,ft(ui,uj) >0,t = 5,7,10};

Rij0 = {(ui,uj)e R4:ft(ui,uj)> 0, t = 5,8,10,11}.

Таким образом,

R4

u

k=1,4,6,7,8,9,10

где Rjj n Rij = 0 , r Ф t, r, t є {1,4,6,7,8,9,10}, т.е. соотношение (15) - разбиение пространства R4. Кроме того, множества Rij = intR-j, Rk = clRk , k = 8,10, Rk*intRj^Rjk^clRk, k= 4,6,7,9 в пространстве R4.

Очевидно, что для этого случая выполняются следующие соотношения:

frR'j nfrRk ф 0, k = 4,6,7,8,9,10;

frR4 nfrRk *0, k = 1,6,7,8,9,10;

frR6 nfrRk Ф0, k = 1,4,7,8,9,10;

frR-j nfrRk ф 0, k = 1,4,6,8;

frR j n frRk *0, k = 1, 4,6,7;

frR 9 nfrRk Ф0, k = 1,4,6,10;

frRjj0 nfrRkj Ф0, k = 1,4,6,9.

Следует отметить, что семейство множеств H(u) может быть разбито на конечное число подсемейств

множеств Hq(u) , q = 1,2,...,л , где л = 7° ,

СТ = 2 n(n -1), каждое из которых состоит из мно-

34

R2n

и R2n.

Пусть ai = aj ,bi = bj, kє{1,7,8,9,10} .

Используя соотношения (5)-(6), определим множества Rk , ke {1,3,5,7,8,9,10} следующим образом:

R|j = {(ui,uj) є R4: Фij(ui,uj) >0},

Rjj = {(ui,uj) є R4 :ft(ui,uj) > 0, t = 11,ft(ui,uj) > 0,t = 6,8,9};

Rij = {

Rjj = {(ui,uj) є R4 :ft(ui,uj) >0, t = 12,ft(ui,uj) > 0,t = 5,7,10};

Rij0 = {(ui,uj) є R4 :ft(ui,uj) > 0, t = 10, ft (ui,uj) > 0,t = 5,8,11}.

Таким образом,

R4 = Rij URij URjj URij URij0,

где Rrj П Rij =0 , r Ф t, r, t є {1,7,8,9,10},т. е. соотношение (19) - разбиение пространства r4 . Кроме того, R-j = intRjj, Rk ФintRk, Rk ФclRk ,k = 7,8,9,10 в пространстве R4.

В этом случае выполняются соотношения:

frRk n frRk ф0, k = 7,8, 9,10;

frR7 nfrRk Ф0, k = 1,8,9,10;

frRjjnfrRk ф 0, k = 1,7,9,10;

frR9j nfrRk Ф0, k = 1,7,8,10;

frRij0 nfrRk ^0, k = 1,7,8,9.

Семейство множеств H(u) может быть разбито на конечное число подсемейств множеств Hq(u) ,

q = 1,2,...,л , где л = 5°, ст = 2n(n_1), каждое из

которых имеет одинаковую пространственную форму.

Очевидно, что каждое семейство множеств Hq(u) с H(u) определяется соответствующим подмножеством R 2n с R 2n , q = 1,2,..., л, т. е.

РИ, 2007, № 4

R2n = у R2n

q=i

rk/

Представим множество Hk(u;,uj) ,k Ф 1 в виде объединения

Прежде всего, рассмотрим множество Hq(u), дополнение которого до пространства R2 является связным множеством.

Для любого Hq(u), q = 1,2,...,р , может быть задана матрица

Hii=U C

Dq = d

ij h

1=1

где каждому элементу dij соответствует система где tij є {4,6,8}; Cjj - выпуклое множество, являю- неравенств, описывающая множество параметров

щееся или полуплоскостью или квадрантом плоскости. При этом полуплоскости Cij, l = 1,2,3,4 определяются метрическими характеристиками прямоугольника Pi; полуплоскости Cij, 1 = 5,6,7,8 - метричес-

размещения Rk,kє{1,2,...,К} вида (9), (12), (14), (16), (18) .

Каждое множество Hq(u) может быть представлено конечным объединением выпуклых базовых множеств

кими характеристиками прямоугольника Pj , Cj, j = 1,2,, ^q, т.е.

C9 = C4 n C5 '"ij '"ij1 ij ’ ci.0 = C4 n C7 '"ij '"ij1 1 ^ij ’ C11 = C2 n C5 '"ij '"ij1 ij ’

ci2 = c2 n C7 '"ij '"ij 1 1 ^4 ’ C13 = C1 n C6 '"ij '"ij 1 1 ^ij ’ ci4=C1 П C8 '"ij '"ij 1 1 ^ij ’ Hq

C15 = C3 n C6 '"ij '"ij1 1 ^ ij ’ C16 = C3 n C8 ^1J '"У 1 |L" J

j=1

Тогда верны следующие соотношения для к-й пространственной формы множества Hk(ui,uj):

2 16 і

Hj = ^ Cij,

1=2,4,5,7,13 J’

H3j = u C‘j

J 1=1,2,4,7,15,16 J’

j^ j cj ^ cj

H5=^ j C‘j3 ^ j

H6j = и Cij

J 1=2,5,7,8,13,15 J :

где Cj є {Cp, p -1,2,..., 13} могут быть описаны одной из следующих систем неравенств:

C1:f]i(x,y)>0, C2 :f2i(x,y)>0,

C3 : ^3i(x, У) ^ 0, C4 : f4i(x,y) > 0, i e{1,2,...,n},

jf2i(x,y) ^ 0 Гf3i(x,y) > 0

C5: If3j(x,y) ^ 0’ C6 : {f4j(x,y) ^ 0’

jf1i(x,y) > 0 Гf4i(x,y) > 0

C7: [f2j(x,y) >0, C8: [f1j(x,y) >0,

i Ф je {1,2,...,n},

h7 = u Cij

J 1=1,4,6,7,11,15

Hi8j = U Cij

J 1=1,2,7,8,9,15

C9:

f2i(x,y) ^ 0

f3j(x,y) ^ 0 C

5 C10

f4r(x,y) ^ 0

f1i(x,y) > 0 f3j (x,y) ^ 0 .f4r(x,y) ^ 0

H9j = u Cij

J 1=2,3,5,8,10,13 J’

< = 1§3Ciju Cij ^ j

11 4 1 11 8 1

Hi4 = u C1j или Hy1 = u Cij J 1=1 J J 1=5 J

11 2 2 Таким образом, множества Hjj

имеют одинаковую пространственную форму k-го типа [6], если они могут быть описаны одним и тем же объединением вида (23).

3. Множество H(u) и его особенности

Любое множество H(u) вида (3) может быть

построено при помощи множеств Hk(Ui,Uj) , i Ф j є{1,2,..., n}, k = 1,2,...,K , К є {5,7,11}.

C

11

fu(x,y) > 0

f2j(x,y) ^ 0 C

12

f1i(x,y) > 0

f2j(x, y) ^ 0

f3r(x,y) ^ 0

C

13

.f4r(x,y) ^ 0

i * j * r Є {1,2,..., n} ,

fu(x,y) > 0

f2j (x, y) ^ 0

f3r(x, y) > 0, i Ф j Ф r Ф s є {1,2,...,n}. (26) f4s(x,y) ^ 0

Таким образом, существует непустое множество

R2n = П R

i > j=1

t

РИ, 2007, № 4

35

такое что для любого u є R^ матрица вида (24) и соотношения (26) одинаковые.

Множество R 2n можно описать неравенством

fq

где

fq(u) = min{f1k21(u1, U2),f1k32(u1, u3),...,f1'nn(u1, Un),

f23n+1(u2»u3),---,f,k^?1,n(un-1» un)}

Таким образом, для любого u є R2n , который удовлетворяет (28), можно построить соответствующее множество Hq(u).

Рассмотрим случай, когда дополнение множества H(u) до R 2 - несвязно и может быть представлено в виде

н=пи,

i—1

где Hq, 2 < 9 < n определяется формулой (25), т.е.

9 Хiq .

H

i=1 j=1

сохраняется так же.

Заметим, что множества H(u1) и H(u2) имеют одинаковую пространственную форму, если они заданы одинаковыми матрицами вида (24) и представимы одинаковыми отношениями вида (27), (30).

4. Математическая модель

Конструктивным средством аналитического описания отношений области Q и семейства A(u) является Г-функция [6].

Г-функцией называется функция вида

r^u) если u є R2n F(u) = Г2(u) если u є Rj1

І ,

Гл(u) если u є R2n Л

где R2n = U Rkn - разбиение пространства R2n,

k=1

p<11°, = -2n(n-1), Гk(u)=Fk(u,v)|v=0 .

Учитывая (10), (11), (15) и (19), n =10°' x7°2 x5°3 , 3

CT = ^CT1 , a 1 є 0,1,2,...,-2n(n-1) ,l = 1, 2, 3 .

1=1 ' 2 '

В свою очередь Fk(u0,v) является Ф-функцией области Q(v) и множества H(u0).

Следует заметить, если существует вектор u такой, что T(u*) > 0, тогда семейство прямоугольников Pi(u*), i = 1,2,...,n покрывает область q , т.е. выполняется условие (2).

36

Таким образом, условие r(u*) > 0 можно рассматривать как критерий выполнения условия (2).

Решение задачи (1) покрытия может быть сведено к следующей оптимизационной задаче:

maxr

При этом процесс решения может быть завершен, как только T(uj) > 0, где uj получается на j -й итерации.

Задача (32) может быть представлена следующим образом:

і* = max{x^q, q = 1,2,-,Ц1},

хГ. =гiq

q q ueR2n q .

Следует заметить, что процесс решения заканчивается, как только выполняется неравенство Xiq - 0 .

Вывод

Таким образом, модель (33)-(34) позволяет построить дерево решения, граничные вершины которого определяют функции Гiq (u), q = 1,2,...,Р1.

Задача (33)-(34) является многоэкстремальной, NP-сложной.

Литература: 1. Daniels K., Inkulu R. An Incremental Algorithm for Translational Polygon Covering// University of Massachusetts at Lowell Computer Scince Technical Report Number 2001-001. 2. Daniels K., Mathur A., and Grinde R.. A combinatorial maximum cover approach to 2D translational geometric covering// Proc. of 15th Canadian Conference on Computational Geometry, Halifax, Nova Scotia, Canada, August 11-13, 2003. Р. 2-5. 3. ЗлотникМ.В., Кривуля А.В., Романова Т.Е. Аналитическое описание условия покрытия прямоугольной области прямоугольными объектами // Искусственный интеллект. 2006. №4. С. 175183. 4. Stoyan Y., Scheithauer G., Gil M., Romanova T., Ф-function for complex 2D objects// 4OR Quarterly Journal of the Belgian, French and Italian Operations Research Societies. 2004. V. 2, Number 1. P. 69-84.5. Stoyan Y., Terno J., Scheithauer G., Gil N., Romanova T. Ф- function for 2D primary objects/ / Studia Informatica, Paris, University.- 2002. Vol. 2, № 1. P. 132. 6. Stoyan Y. Covering a polygonal region by a collection of various size rectangles // Проблемы машиностроения. 2007. Т. 10, № 2. С. 67-82. 7. Kuratowski K. Topology / New York and London: Academic press, Vol. I, 1966. 594 p.

Поступила в редколлегию 11.11.2007

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Яковлев С.В.

Кривуля Анна Викторовна, аспирантка отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАНУ им. А.Н. Подгорного. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Пожарского, 2/10, тел. (0572) 95 95 36.

Злотник Михаил Викторович, канд. техн. наук, младший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАНУ им. А.Н. Подгорного. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Пожарского, 2/10, тел. (0572) 95 95 36.

Романова Татьяна Евгеньевна, д-р техн. наук, профессор, старший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Пожарского, 2/10, тел. (0572) 95 96 77.

РИ, 2007, № 4