Область применимости концепции постоянного электрического поля в квантовой электродинамике

С. П. Гаврилов

ОБЛАСТЬ ПРИМЕНИМОСТИ КОНЦЕПЦИИ ПОСТОЯННОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

С помощью соответствующих функций Грина изучено влияние нестабильности вакуума в квазипостоянном электрическом поле на однопетлевой эффективный тензор энергии-импульса в квантовой электродинамике при конечной температуре. Установлена связь полученных выражений с эффективным лагранжианом Гейзенберга—Эйлера. Выделены ведущие по времени действия поля вклады. Установлен временной интервал действия поля, в течение которого применима концепция постоянного однородного электрического поля в квантовой электродинамике.

Общие вопросы квантовой теории калибровочных полей, связанные с выходом за рамки теории возмущений по константе связи, часто исследуются методом петлевого или 1/Ы разложения на примерах с постоянным однородным полем большой интенсивности. Начало таким исследованиям было положено известной работой Швингера [1] по однопетлевому эффективному действию Гейзенберга—Эйлера, описывающему электромагнитное поле в вакууме квантовой электродинамики (КЭД). Под интенсивным полем в квантовой теории поля понимается такое среднее поле, вклад которого в физические величины не может быть рассмотрен в рамках теории возмущений по интенсивности этого поля. Кроме того, предполагается, что обратное влияние системы на среднее поле мало. Тогда это поле можно рассматривать как внешнее, можно учитывать его точно и строить ряды эффективной теории возмущений по радиационному взаимодействию. Такое представление принято называть картиной Фарри.

Хорошо известно, что в КЭД нелинейная поправка к уравнениям Максвелла, учитывающая вклад поляризации вакуума в постоянном однородном поле, описывается с помощью соответствующей добавки к классическому лагранжиану в виде перенормированного эффективного лагранжиана Гейзенбер-га—Эйлера Ь^ (см. работу [1] и стандартные руководства [2, 3]). Выражение

2 2

для зависит только от полевых инвариантов: В -Е , ЕВ, где Е и В — это

напряженности соответственно электрического и магнитного полей. Представление Фарри применимо, если поправка Гейзенберга—Эйлера к классической энергии электромагнитного поля (Е2+В2)/8п достаточно мала, что дает для обо-

е 2

их полей подобные ограничения на интенсивность: -—1п -—<< 1, 1п -—2 << 1, где е — элементарный заряд, т — масса электрона, и напря-

\еЕ 3п т

е- ш М

3п т

женности выбраны в такой инерциальной системе отсчета, в которой эти поля коллинеарны, или одно из них отсутствует (здесь и далее используется система единиц, в которой Ь=с=1). Поля, где такие условия могли бы быть нарушены, настолько велики, что не позволяют ограничить рассмотрение рамками КЭД. Уже при намного меньших напряженностях надо учитывать вклад других взаи-

модействий. То есть ограничения, следующие из выражений для поляризации вакуума, достаточно формальны в рамках собственно КЭД.

Заметим, однако, что в случае электрического поля рассмотрение, опирающееся лишь на эффективный лагранжиан Гейзенберга—Эйлера, является совершенно недостаточным, поскольку оставляет в стороне вопросы, связанные с нестабильностью вакуума в таком поле. В настоящее время тема является особенно актуальной в связи с тем, что на ближайшие годы планируются эксперименты на линейных ускорителях SLAC и DESY по прямому обнаружению эффектов нестабильности вакуума во внешнем электромагнитном поле [4]. Далее мы дадим точную постановку задачи о границах применимости представления Фарри в электрическом поле, установим границы применимости самого понятия постоянного поля в КЭД и рассмотрим влияние конечной температуры.

Матричные элементы тензора энергии-импульса в обобщенном представлении Фарри

Внешнее калибровочное поле, заданное зависящими от времени потенциалами <A>=A(x), в частности электромагнитное, может нарушать стабильность физического вакуума (в рассматриваемом случае — это вакуум электронов и позитронов), так как гамильтониан теории с внешним полем зависит от времени. Это видно из того, что вакуум определяется как состояние, минимизирующее среднее значение гамильтониана в заданный момент времени и, следовательно, начальный |0,т> и финальный ^^^ вакуумы в таком поле могут не совпадать. Технически это означает, что операторы рождения-уничтожения начальных и финальных частиц связаны преобразованием Боголюбова, которое перемешивает операторы частиц и античастиц. В итоге вероятность перехода

I 12

начального вакуума в финальный не равна 1: \с\ Ф 1. Здесь су =< 0, оМ | 0, т >

— соответствующая амплитуда. Впервые в рамках современной КЭД на это обратил внимание Швингер. Он же вычислил [1] эту вероятность для постоянного однородного электрического поля и определил пороговое, или критическое, его

2 3 ^^ С

значение ЕСГ =-= 1,3 -1016 В/см, когда эффект становится существенным.

вк

Заметим, что, хотя поля, близкие к критическому, чрезвычайно интенсивны, однако их рассмотрение вполне корректно в рамках КЭД, при этом их логарифм 1п( вЕ| / ш2) достаточно мал, так что упомянутые выше ограничения на

этот логарифм выполнены. В дальнейшем был развит систематический подход, позволяющий находить коэффициенты преобразования Боголюбова и амплитуды элементарных процессов по решениям одночастичных волновых уравнений во внешнем электромагнитном поле, классифицированным по признаку частица/античастица. Изложение этого подхода и описание соответствующего обобщения представления Фарри на случай теории с нестабильным вакуумом дано в книге [5] (обобщение на случай конечной температуры и плотности дано в работе [6]).

Нестабильность вакуума делает невозможной постановку задач в полях электрического типа по аналогии с тем, как это обычно делается для постоянных интенсивных полей магнитного типа. Рассмотрим, к примеру, три типич-

ных задачи, с которыми мы сталкиваемся в квантовой теории поля: вычисление амплитуд рассеяния, вычисление полных вероятностей процессов с помощью оптической теоремы и вычисление средних значений физических величин по состоянию, заданному в начальный момент матрицей плотности pin. Достаточно взглянуть на соответствующие производящие функционалы:

Wout-,n (J) = (0, out I TSe,éJ 10, in), Wm_m (J ) = (0, in \ TSe'$J | 0, in),

Z (J)= tr [PmS-T,Sjs},

где S — матрица рассеяния в обобщенном представлении Фарри, T — хронологический оператор для полей справа и антихронологический — для полей слева, J — источники квантованных полей Ф системы, чтобы убедиться, что требуемые для вычислений в каждом случае функции Грина будут определены по-разному:

Sc (х, х') = ic- < 0, out | Tf (x) f (x') | 0, in >,

Scn (х, х') = i < 0,in|Tf (х) f (x')|0, in >,

S

ЛХ'Х) "I-Si- (х, х) Se (х, х') SI (х, х) Se (х, х%

SР (х, х ') = Sn (х, х ) - itr {{ (x) f (x')}.

Здесь Т

квантованные дираковские поля. Различия связаны с тем, что в случае рассеяния матричные элементы ¿'-оператора вычисляются между разными вакуумами. И в этом случае в эффективной теории возмущений имеем причинный пропага-тор 5°. Средние для оптической теоремы вычисляются по одинаковым вакуумам |0дп>. Соответствующая одночастичная функция Грина в случае нестабильного вакуума существенно отличается от Б0. След при вычислении средних вычисляется по состояниям из одного пространства Фока, например, на основе вакуума |0дп>. Функция 5е описывает эффекты конечной температуры, — частотные составляющие сингулярной функции 5с;п. В результате мы получаем различные ряды эффективной теории возмущений по радиационному взаимодействию в каждом из этих случаев.

Рассмотрим однопетлевые матричные элементы тензора энергии-импульса квантованного поля Дирака Т^ (ц, V — лоренцевские индексы, пробегающие значения 0, 1, 2, 3) для случая процесса перехода вакуума в вакуум и

- о

для средних значений в некоторый момент времени х по состоянию, представляющему собой в начальный момент вакуум, и по состоянию, заданному в начальный момент при конечной температуре соответственно:

(ТД = (0, ош\ТМУ |0, т)е-1, (Тк)" = (0, т\Т^ 10, т), (Тк) = Гг {ртТцу}.

Выразим эти матричные элементы через соответствующие функции Грина:

{ТМУ)П = Яе

(Ъ) "*'= 4 {( + V х')} х=, ,

где 8а = Рм = 1д - цЛм, след вычисляется по спинорным индексам. Со-

гласно работам [5, 6] эти сингулярные функции можно представить явно с помощью полных ортонормированных наборов точных решений уравнения Дирака во внешнем поле, описывающих частицы (+) и античастицы (-) в начальный момент времени (знак внизу) — т-решения, и в финальный момент времени (знак вверху) — отрешения:

п,т

5 +(х,х') = г 2-V» (х)Гс(-Г)-1 Т -(х'),

Г

5 в

п

^ =(ехр{{(в ц «)} +1)-1, в = 0-1.

Здесь суммирование ведется по полным наборам квантовых чисел п, т; в ±» — энергии частиц (+) и античастиц (-) в начальном состоянии при конечной температуре 0 и плотности, ц (±) — соответствующие химические потенциалы.

Коэффициенты О ( ) представляют собой коэффициенты разложения оШ;-

V ^ / пт

решений по т-решениям:

V » (х ) = 2 (+ V т О ( + |? ) т п + - V т О ( )тп ).

в

п.т

т

Вычисление в постоянном электрическом поле

В постоянном однородном поле пропагатор 5°, определенный выражением (3), может быть представлен (см. напр., работу [5]) в виде интеграла по собственному времени Фока—Швингера [1]:

(x, x') = ( P + m) f (x, xs) ds,

0

где f (x, x', s) — ядро Фока—Швингера, у; — матрицы Дирака. Тогда получаем, что матричные элементы можно выразить через эффективный лагранжиан Гейзенберга—Эйлера L :

(Too)С =- Tj =E § -L, (Tj = Tj = L,

»

L = т К { f (x, x, s)sds.

0

Здесь и далее координатные составляющие представлены для инерциаль-ной системы отсчета, в которой поля B и E коллинеарны и направлены вдоль оси z (одно из полей может отсутствовать). Выполнив стандартную процедуру перенормировки поля и заряда, оставляющую инвариантным произведение eF;v (F;v — тензор поля) в выражении для L, получим из (7) свободные от ультрафиолетовых расходимостей конечные выражения для причинных матричных

элементов тензора энергии-импульса, которые обозначим как (T^ v ^ ^ . Они

выражаются теми же соотношениями (7) через перенормированный лагранжиан Lf вместо L. Ультрафиолетовые расходимости в КЭД с внешним полем, заданным непрерывными потенциалами, — те же, что и в отсутствие внешнего поля. Тогда перенормированные выражения для матричных элементов средних

получим из функции (2) простой заменой ^T; v ^ на (T^ v ^ :

<T- > Iff=Re

Здесь также учтено, что для получения эффективного тензора энергии-импульса электромагнитного поля при конечной температуре из (2) надо отбросить не зависящую от поля константу, представляющую вклад идеального газа.

Она получается из {T^v) ^ при равном нулю внешнем поле. Соответственно выражение в (8) заменено на (т;^If = faf -(^ ^ o.

Нас интересует случай, когда поле относится к электрическому типу (B2-E2<0). В этом случае вакуум нестабилен и вклад Re^отличен от нуля. Воспользовавшись явными решениями уравнения Дирака в таком поле, мы обнаружим, что выражение Re^расходится. Эта расходимость связана с тем,

что в бесконечно долго действующем постоянном электрическом поле плотность частиц, рожденных из вакуума, была бы бесконечно большой. Естествен-

но, это означает, что в корректной постановке задачи следует использовать электрическое поле, которое почти постоянно в течение достаточно долгого времени, но время это конечно. Для дальнейшего воспользуемся результатами работы [7], где на основе точных решений уравнения Дирака изучено развитие во времени процесса рождения пар заряженных частиц и античастиц в электрическом поле с постоянной в течение конечного периода Т напряженностью Е (Т — постоянное поле) и роль эффектов включения-выключения поля.

Пусть электрическое поле Е, направленное вдоль оси г, включается в некоторый момент ¿1=-Т/2 и выключается в момент ^=+Т/2, причем Е<0. Для простоты ограничимся случаем, когда магнитное поле отсутствует. Соответствующий потенциал выберем как А3=Е^ при х°<^, А3=Ех0 при ^<х0<2, А3=ЕЬ при х0>2. Согласно [7], надлежащим образом классифицированные решения уравнения Дирака для больших Т при t1<x0<t2 имеют вид

± ¥ г ,г (х) = ЬР + т) ±фр ,±1, г (х) ± ¥ г ,г (х) = (УР + т) % ,+и (x),

ьФр^Г (х) = ±%,*(х "^Р^^^ ±фр,*,г(х) = ±фр,* ^ехР^РхК^ %,,(х0) = СБ^ (±(Ы)), %,,(х0) = СБ^ (±(1 + i)),

где Бу(г) — функции параболического цилиндра [8], X =т +Р1+Р2 ,

\вЕ

^ = 1—^ Р3 , С = (2п) 3 2 |2еЕ| 12 ехр{-пХ/8}, — постоянные ортонорми-

еЕ\

рованные спиноры ( г, г' =±1), удовлетворяющие условию (1 ± у0у3) ут1г = 0,

р — непрерывные собственные значения оператора импульса. Распределение среднего числа частиц, рожденных из вакуума внешним полем, описывается диагональными по всем квантовым числам матрицами с(+1- ) и при достаточно больших Т, когда выполнено условие стабилизации: Т >> Т°, Т° = (1 + X)/ у[еЕ , имеет вид

К =

2 [ г- -, Л ]

= е^1 1 + О 1+1 |А1 ]

\ + ' /пп V )

-^Т/2 < ^ <-К,

если импульс вдоль поля удовлетворяет условию |р31 << |еЕ|Т / 2. Здесь К — произвольная, достаточно большая константа: К >> 1 + X, а ^±1 = (+|еЕ|Т/2-р3))|еЕ| , п = р,г . Если же продольный импульс большой: |р3| >> |еЕ|Т / 2, то распределение Яспг быстро убывает: Ясг = О ([Х/^2 ]3). При Т ^ го выражение (10) переходит в известное [9] распределение для по-

пег

стоянного поля: Кп = е

-лХ

Рассмотрим зависимость от больших Т в выражении (4) при х0 « х|0 для случая Т-постоянного поля. Нас интересуют члены, обеспечивающие ведущие

вклады в Яе^Т^) . Зависимость от Т возникает благодаря интегралу по продольному импульсу. Основной вклад в этот интеграл дает область, определяемая условием стабилизации -^|еЕ|Т / 2 < ^ < -К, где распределение ЯП представлено выражением (10). Кроме того, предполагается, что период времени, прошедший с момента включения поля до рассматриваемого момента х0 , достаточно велик: х0) > К , где теперь К — большая константа, удовлетворяющая равномерному условию: К >> 1 + т2 /|вЩ . Распределение (10) играет роль

обрезающего множителя при интегрировании по большим поперечным импульсам в представлении (4). В результате видим, что основной вклад в интеграл (4) при больших Т формируется в области Q фазового пространства, которая определена условиями:

- (( Т /2 -$ЩК ) < р < \вЩ х0 - ^Щк, |Л21 <л]\вЩ (х° + Т /2) - К

1/2

При этом предполагается, что период времени х0 - = (х0 + Т /2) достаточно велик: у]\вЩ (х0 + Т/2) >> 1 + т2 /|вЩ . Выражая т-решения через ои1;-ре-

шения с помощью соотношения (6) и принимая во внимание асимптотический вид функций параболического цилиндра для больших \г\ [8], для ведущего вклада в находим следующее представление:

Г

г=±1

Используя представление (11) в (2), интегрируя по импульсам и вычисляя производные по координатам, получим

< Т00 >а =< Т33 >а =-|вЕ|Т(1/2 + х0 /Т)2 псг ,

Г а т а ~ Г1п Т + О (1п К) , т > К г- Г Т

< Ти >а =< Т22 >а = п , Т = V вЕ I —

11 22 | О (1п К) , т < К [ 2

+ х"

в2 Е 2Т

псг =

4п3

ехр < - п-

т

+ О

К

Щ т

_ в2Е2 I т

П = 1Л^еХр I- П

где псг — пропорциональная Т плотность состояний, возбужденных электрическим полем за время Т, совпадающая с плотностью пар, рожденных полем из вакуума, п — не зависящая от Т константа. Очевидно, что существенными эти

составляющие среднего тензора энергии-импульса будут только в достаточно сильном поле, когда Е сравнимо с Есг. С течением времени х° все компоненты в (12) растут по абсолютной величине и достигают максимума в момент отключения поля 12=Т/2, после чего остаются постоянными. Заметим, что после отключения электрического поля поляризация вакуума также исчезает:

= 0 . Можно показать, что выражения (12) при х°=Т/2 определяют

(г У

\ ЦЧ е//

тензор энергии импульса электрон-позитронных пар, рожденных полем из вакуума за время Т:

< Т >сг = -< Т >а

^ ^ 1х0 =Т/2

Член (Т^)учитывающий вклад начального состояния при конечной

температуре, в Т-постоянном поле также содержит зависимость от х0 и Т. Оставляя полный анализ этой зависимости для другой публикации, отметим, что

ведущий по Т вклад в (Тц^}приходящий с фактором ехр {-лт2 / |сЕ|}, можно оценить, действуя таким же образом как это было сделано выше при вычислении асимптотик (Тц^ . При этом областью интегрирования в фазовом пространстве для ведущего вклада в 5е остается определенная выше область й. При низких температуре и плотности: р3 + |сЕ| Т /2 - > 0 , Р (р3 + |сЕ| Т /2 - ) >> 1,

температурные вклады в средний тензор энергии-импульса не превышают погрешности оценки асимптотики < Т^у>" в (12). Для высокой температуры при

низкой плотности: Р (|еЕ|т - ц^ ) << 1, ведущий по Т клад в (ГЦу) имеет вид

< Т00 >е/ < Т33 >е/

Р

-

< Т >а

П 00 ^

< Т11 >е// < Т22 >е/ 0

- (ц (+)+ ц(-))/ 2~1 1 + >/[СЕ[о

1п К 1п т

< Т >а

* * *

Характерной особенностью полученных выражений для однопетлевой поправки к среднему эффективному тензору энергии-импульса электрического поля является зависимость от времени действия электрического поля, описываемая безразмерным параметром . Такая зависимость связана с тем, что

число возбужденных состояний фермионов и энергии этих состояний растут с течением времени. Так проявляет себя нестабильность вакуума. Учет этих вкладов приводит к новой оценке границ применимости концепции постоянного однородного электрического поля в КЭД. Условие стабилизации определяет

минимальное время, при котором интенсивное электрическое поле (Е > Есг) действует на вакуум дираковских фермионов как постоянное: 1 << \eE\T2. Заметим, что для взаимодействия с бозонами условие будет такое же. С другой стороны, это поле можно рассматривать как внешнее постоянное, если мало обратное влияние рождения пар на поле. Такое требование даст верхнюю границу области применимости понятия постоянного поля. Так, из оценки компонент (Т^) видно, что с течением времени наиболее быстро растет плотность энергии и соответствующее ей давление вдоль направления поля. Потребуем, чтобы плотность энергии (Т00^ ^ была достаточно мала по сравнению с плотностью

энергии классического поля: (Т00) << Е2/8л . Тогда при низких температуре

* ' еЛ

и плотности начального состояния получим условие, что

2

Е|Т2 << ^ .

<< 2 2е

Как видно из

получим более слабое условие: (еЕ) ТЗр

2 „зп 3п2

<<

е2

Заметим, что для КЭД с заряженными скалярными бозонами можно показать, что при низкой температуре верхняя граница на время действия постоянного электрического поля в два раза выше, чем определено условием (15). Это связано с тем, что фазовый объем для рождающихся скалярных частиц в два раза меньше, чем для дираковских фермионов. Однако, в случае высокой температуры, которая стимулирует рождение бозонов, верхняя граница будет значительно ниже, чем в выражении (15).

В планируемых экспериментах на линейных ускорителях БЬЛС и БЕБУ начальное состояние будет достаточно близко к вакууму. В этом случае достаточно использовать наши оценки при низкой температуре. Однако область возможных приложений полученных результатов выходит за рамки собственно КЭД. Явление нестабильности вакуума в хромоэлектрическом поле, описывающем среднее поле между кварком и антикварком, играет значительную роль в множественном рождении частиц, наблюдаемом в экспериментах со столкновением тяжелых ионов при высоких энергиях. При этом технически анализ для случая неабелевой теории в абелевоподобном хромоэлектрическом поле мало отличается от выполненного для КЭД. Анализ экспериментальных данных [10] показывает, что в случае адронизации при столкновении тяжелых ионов среднее хромоэлектрическое поле не успевает заметно ослабеть из-за обратного эффекта от рождения частиц в течение времени, необходимого для достижения локального теплового равновесия. То есть сильное поле на этом этапе может рассматриваться как внешнее, но рождение пар полем происходит из состояния, описываемого тепловой матрицей плотности. Полученные оценки могут быть полезны в такой ситуации.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ

1. Schwinger J. On gauge invariance and vacuum polarization // Phys. Rev. 1951. Vol. 82. P. 664-679.

2. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. Серия: Теоретическая физика. Т. 4. М., 1980.

3. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. Т. 1, 2 / Пер. с англ. М., 1984.

4. RingwaldA. Pair production from vacuum at the focus of an x-ray free electron laser // Phys. Lett. B. 2001. Vol. 510. P. 107-116; hep-ph/0103185.

5. Гитман Д. М., Фрадкин Е. С., Шварцман Ш. М. Квантовая электродинамика с нестабильным вакуумом. М., 1991.

6. Гаврилов С. П., Гитман Д. М., Фрадкин Е. С. Квантовая электродинамика при конечной температуре с внешним полем, нарушающим стабильность вакуума // ЯФ. 1987. Т. 46. Вып. 1. С. 172-180.

7. Gavrilov S. P., Gitman D. M. Vacuum instability in external fields // hep-th/9603152 // Phys. Rev. D. 1996. Vol. 53. P. 7162-7175.

8. БейтменГ., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2 / Пер. с англ. М., 1974.

9. Никишов А. И. Образование пар постоянным внешним полем // ЖЭТФ. 1969. Т. 57. Вып. 4. С. 1210-1216.

10. Ganguly A. K., Kaw P. K., Parikh J. C. Thermal tunneling of qq pairs in A-A collisions // Phys. Rev. C. 1995. Vol. 51. P. 2091-2094.

S. Gavrilov

THE DOMAIN OF APPLICABILITY OF A CONSTANT ELECTRIC FIELD CONCEPT

IN QUANTUM ELECTRODYNAMICS

The influence of a vacuum instability on a one-loop effective energy-momentum tensor of quantum electrodynamics in the presence of a quasi constant external electric field is studied by means of relevant Green functions. The relations of the obtained expressions to the Euler-Heisenberg's effective action are established. The leading contributions are extracted at a long time of the effect of the field. The time interval of duration of a field when one can use a constant uniform electric field concept in quantum electrodynamics is established.