Математические модели для прогнозирования объемов налоговых поступлений в бюджет (на материалах Республики Дагестан)

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 19, 2010. -А-

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

330.4:519.86 З.Н. Исмиханов

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ОБЪЕМОВ НАЛОГОВЫХ ПОСТУПЛЕНИЙ В БЮДЖЕТ

Проблема налогов как основного источника доходов бюджета государства всегда была актуальной и вызывала широкие дискуссии в научных кругах. Важней задачей, стоящей перед налоговыми органами, является степень выполнения плановых заданий по мобилизации доходов в бюджет. Ее решение в современных условиях развития и функционирования налоговой системы требует совершенствования такой ее функции, как налоговое планирование. В работе предложено моделирование ряда поступлений налогов для выявления закономерностей протекания данного процесса и его прогнозирования.

Ключевые слова: временной ряд, моделирование, прогнозирование, сезонный анализ, налог, траектория.

Налоговая система является наиболее активным рычагом государственного регулирования социально-экономического развития. Как известно, основная цель налоговых органов - максимально полное взимание налоговых платежей в условиях действующего законодательства. Показателем эффективности функционирования налоговой системы является уровень собираемости налогов и степень выполнения плановых заданий по мобилизации доходов в бюджет. Данные задачи должны быть обозначены и решены в процессе налогового планирования, которое является наименее разработанной, с точки зрения применяемой методики, особенно на региональном уровне. Налоговые инспекции сталкиваются с проблемой объективности плановых заданий по мобилизации налоговых доходов в бюджет, которые спускаются для них вышестоящими финансовыми органами.

На рис.1 показаны графики фактических объемов налоговых поступлений по Республике Дагестан за период 2001-2007гг. и плановых заданий по сбору налоговых платежей за тот же период.

1000000

900000

_ 800000 "В.

700000

¡г 600000

500000 400000 300000 200000

100000

1Л к

Г /

щ _// / /

, V У/ Д /'V I \й' /у

/г Г / * / 1 \ / \/ ы <

/ // V / / •V/ '

V

'чГ г-~ о "О СО 05 СЧ т— т— оа .о со ^ 04 СО СО месяцы О СО СО "О *чГ *чГ *чГ у> 04 ю со чГ ю ю ю

Фактические налоговые поступления Плановые задания

Рис.1 Графики плановых заданий и фактических налоговых поступлений

0

По данному рисунку видно значительное расхождение линий графиков этих двух показателей.

Данное обстоятельство говорит о несостоятельности используемой методики составления прогнозов налоговых поступлений и показывает необходимость применения более формализованных методов с учетом влияния различных факторов и анализа их динамики.

Процесс поступления налоговых платежей в бюджет государства целесообразно рассматривать с точки зрения стохастических процессов, так как его уровни в последовательные периоды отражают влияние множества взаимодействующих факторов и могут быть рассмотрены как случайные величины, имеющие определенную закономерность во времени. Для предвидения развития процесса в будущем необходимо исследовать временные ряды прошлого, так как без этого исследование будет в большей степени неполноценным и ненаучным. Поэтому, любому прогнозированию должно предшествовать тщательный анализ рядов динамики, который позволил бы определить тенденцию изменения данного экономического явления.

Основная цель анализа временных рядов - выявление главной тенденции развития изучаемого явления (установление закономерности изменения уровня изучаемого показателя во времени). Обычно при практическом анализе временных рядов последовательно проходят следующие этапы:

• графическое представление и описание поведения временного ряда;

• выделение и удаление детерминированных составляющих ряда, зависящих от времени (тренд, сезонных и циклических составляющих);

• исследование случайной составляющей временного ряда после удаления детерминированных составляющих.

Модель временного ряда можно представить как сумму составляющих ее компонент:

1=1,2,...,Т,

где И^У^Е, - трендовая, циклическая и остаточная (случайная) компоненты соответственно.

В качестве исходной информации о поступлении налоговых платежей использовались ежемесячные отчетные данные налоговых органов по Республике Дагестан, собранные за 5 лет (2005-2009гг., таблица 1).

Таблица1

Налоговые поступления по республике Дагестан (тыс.руб)_

Месяцы Годы

2005 2006 2007 2008 2009

январь 301234 352621 364515 456812 465212

февраль 325455 365412 395425 465412 498511

март 425125 451252 456852 445689 445685

апрель 456952 498512 598654 501234 598514

май 498751 501234 498754 524561 598424

июнь 498512 523156 574562 495123 498542

июль 501234 597845 601234 565241 652421

август 556421 601245 600012 612345 712345

сентябрь 658423 623451 701256 712345 852456

октябрь 674541 654123 754565 845615 845685

ноябрь 601234 623455 723455 852456 888545

декабрь 665412 685954 895123 865412 901245

По данным Управления ФНС РФ по Республике Дагестан

Обычно, первым шагом выявления основной тенденции является сглаживание. Одним из широко известных методов сглаживания временного ряда - метод скользящих средних.

Он основан на переходе от начальных значений ряда к их средним значениям на интервале времени. Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя гораздо более гладко, чем исходный ряд, за счет укрупнения отклонений исходного ряда. Таким образом, данная процедура дает представление об общей тенденции поведения ряда. В работе нами использовались сглаживание с помощью среднего арифметического трех и девятимесячными скользящими средними (рис.2).

£

1000000 900000 800000 700000 600000 500000 400000 300000 200000 100000 0

/1

/А , Д

/И V/

ы /П

У ^ / 1 / иг* Ц/ '

/ и

месяцы

Фактические налоговые поступления

-Трехмесячное скользящее среднее

9-тимесячное скользящее среднее

Рис.2 Исходный ряд налоговых поступлений и сглаженные ряды 3-х и 9-тимесячными

скользящими средними

По графику на рис.2 можно предположить наличие тенденции к росту общих налоговых поступлений.

Изучение основной тенденции развития методом скользящей средней является лишь эмпирическим приемом предварительного анализа. Для того чтобы представить количественную модель, выражающую общую тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание. При этом, изменение изучаемого показателя оценивается как функция от времени.

Далее нами построены и проанализированы модели основных видов зависимостей.

Из них моделью, обладающей наилучшими статистическими свойствами, оказалась «-» 2 линейная (индекс детерминации Я = 0,58):

У1=448281+4485,7*1

Полученные результаты характеризуют динамику налоговых поступлений в действующих ценах. Если перевести показатели исходного ряда в доллары США по курсу ЦБ на соответствующий период дает (учитывая нестабильность российской экономики), наилучшей окажется также модель линейного вида, но с менее слабыми статистическими

о

характеристиками (Я =0,49).

Это обстоятельство дает возможность сделать вывод о тенденции слабо выраженного роста налоговых поступлений.

Далее провели оценку адекватности полученных моделей, так как она является обязательным условием применения найденной трендовой составляющей в дальнейших расчетах. Трендовая модель считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это требование эквивалентно требованию, чтобы остаточная компонента Е удовлетворяла свойствам случайной компоненты временного ряда: случайность колебаний уровней остаточной последовательности, соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения, равенство математического ожидания случайной компоненты нулю, независимость значений уровней случайной компоненты. Для исследования случайности отклонений от тренда нами использовались ряды непараметрических критериев.

Проверка нормальности остаточной компоненты исследовали с помощью показателей асимметрии ) и эксцесса ). При нормальном распределении данные показатели некоторой генеральной совокупности принимают нулевые значения.

Проверка равенства математического ожидания случайной компоненты нулю осуществлялась на основе ^критерия Стьюдента. Проверка независимости значений уровней случайной компоненты была проведена по ё-критерию Дарбина-Уотсона.

После многочисленных расчетных экспериментов, мы установили адекватность разработанных моделей линейного вида.

Для подобных моделей необходимо ставить задачу оценки их точности. В качестве статистического показателя точности применили показатель средней относительной ошибки аппроксимации:

- у

1 п

=— У

п е=1

= 100%,

Л

где у - фактический показатель налоговых поступлений; у, - показатель, рассчитанный по модели тренда.

Показатель относительной ошибки аппроксимации, рассчитанный для моделей данных в действующих ценах и в долларах США, составил 7,2% и 8% соответственно, что говорит об удовлетворительном качестве моделей. На базе подобных моделей сделать прогноз ежемесячных поступлений налогов на будущее не совсем корректно, учитывая большую сезонную изменчивость ряда. Поэтому при анализе временных рядов возникает задача изучения периодических колебаний, под которыми понимают все явления, имеющие в своем развитии отчетливо выраженную закономерность внутригодичных изменений.

Для выявления сезонных (периодических) колебаний используем метод построения сезонных волн и гармонический анализ. Рассмотрим метод вычисления циклической компоненты путем нахождения сезонной волны.

11 Г Г

Пусть (V ь...,У Д...,^ ,...,УП) - описание сезонного процесса за ] сезонных периодов, ]=1,2,..., г. Сезонный процесс развивается за время Т или в дискретные моменты времени ^Д^..,^. Сезонной волной этого процесса называется отношение усредненного значения показателя в каждом сезонном периоде к среднесезонному значению. Усредненные значения показателей в каждом периоде ] определяются по формуле:

1 г 1 г 1 г

- Ж = УГ, - ]Гу/ = КСР-,..., 1 ЕУ/ = У?-.

г ;=1 г ;=— г ;=— и среднесезонное значение может быть найдено как:

1 п ср

^р= - 2 У, .

п г =1

Отсюда значения сезонной волны запишутся следующим образом:

Уср. У СР. У СР.

81= У^*100, 82= у^*100, ..., 8п=^-*100 .

Ур Уср. УСР.

Последовательность 8=81,82,....,8п является сезонной волной, построенной методом простой средней. После предварительных расчетов, обеспечивающих исключение трендовой составляющей для временного ряда налоговых поступлений по РД за 2005-2009 г.г путем механического сглаживания по трем точкам, находим относительные сезонные колебания. Они группируются по месяцам и вычисляются выровненные сезонные колебания путем нахождения средней арифметической (таблица 2).

Таблица 2

Расчет вы ровненной сезонной волны

Месяцы Относительное сезонное колебание Невыровненная сезонная волна Выровненная сезонная волна Выровненная сезонная волна

январь 430,17 75,25 79,57 69,21

февраль 571,82 95,36 100,84 103,22

март 619,64 102,56 108,45 104,16

апрель 635,05 105,23 111,27 108,46

май 570,56 67,23 71,09 101,03

июнь 604,55 102,56 108,45 104,23

июль 589,01 90,56 95,76 104,89

август 622,37 101,45 107,28 106,98

сентябрь 585,27 98,12 103,75 100,01

октябрь 626,76 103,45 109,39 106,81

ноябрь 549,12 92,45 97,76 95,45

декабрь 615,23 100,56 106,33 95,89

Итого 1134,78 1200 1200,00

В среднем 94,565 100 100

Для повышения точности определения сезонного колебания исключаем из суммы относительных сезонных колебаний помесячно наибольшее и наименьшее значения и построим новую сезонную волну (графа ее значений отмечено ).

По графикам, приведенным на рис. 3, видно, что отличие выровненной сезонной волны от невыровненной крайне мало, что говорит об устойчивости данного сезонного процесса. По выровненной сезонной волне видно, что наименьшая собираемость налогов приходится на январь и ноябрь. Это подтверждается и графиком выровненной сезонной волны. Разделив фактические объемы налоговых поступлений на индекс сезонности соответствующего месяца, можно получить объемы налоговых поступлений без учета индекса сезонности.

Рассмотрим другой метод нахождения сезонной составляющей, использующий ряд Фурье в качестве аналитической модели сезонности. В этом виде уравнение ряда Фурье запишется следующим образом:

4

у=ао+ ^ (акС08к1+ЬкВтк1;).

л=1

В этом уравнении величина к определяет номер гармоники ряда Фурье. От числа учтенных гармоник зависит степень точности данной аналитической модели. Обычно

используют от 1 до 4 в зависимости от необходимой точности и формы сезонной или циклической составляющей. Параметры уравнения найдем по формулам:

1 п 2 п 2 п

ao= - У y, , ak= - У y, cos kt,, bk= - У y, sin kt. n j n - n -

Для изучения сезонных колебаний на протяжении года необходимо взять n=12 (по числу месяцев в году). Тогда, представляя периоды как части длины окружности, ряд

динамики можно записать как в таблице 4.

Таблица 4

_Ряд динамики, представленный периодами_

Период 0 л/6 л/3 л/2 2л/3 5л/6 л 7л/6 4л/3 3л/2 5л/3 11л/6

Уровень yo У1 У2 Уз У4 У5 У6 У7 У8 У9 У10 У11

Величина периодов 2л 1 получаются следующим образом:

п

2л 2л л

при 1=0 —0=0, при 1=1 —1=— и т.д. п п 6

При вычислении надо иметь в виду, что в четырех квадрантах от 0 до 2л косинусы и синусы четыре раза принимают одни и те же абсолютные значения, взятые со знаком "+" или "-". Расчеты, связанные с вычислением параметров модели с четырьмя гармониками, нами не приведены. Путем многочисленных расчетных экспериментов мы получили модель в виде уравнения Фурье, которое можно охарактеризовать как аналитическое выражение сезонной составляющей временного ряда налоговых поступлений. Данное уравнение для сезонной волны общих налоговых поступлений имеет следующий вид:

Б(1) = 1685,6-59,17со81+21,248т1-43,07со821+39,638т21-21,62со831+14,3б8т31-

34,43со841+5,478т41

Модель временного ряда общих налоговых поступлений без учета случайной компоненты имеет вид:

У11 =448281+4485,7*1+1685,6-59,17со81+21,2481п1-43,07со821+39,6381и21-21,62со831+14,3681п31-34,43со841+5,4781п41 Модель, учитывающая трендовую, циклическую и случайную составляющие, для временного ряда налоговых поступлений:

У22 =448281+4485,7*1+1685,6-59,17со81+21,2481п1-43,07со821+39,63в1п21-21,62со831+14,3681п31-34,43со841+5,47в1п41+(У- У1), где У- фактические налоговые поступления;

У1 - поступления, рассчитанные по модели линейного вида.

Для прогнозирования, используя данные модели, необходимо формирование управляющих воздействий с подбором факторов управления, действительно влияющих на траекторию движения объекта. Данную процедуру следует проводить отдельно для каждой составляющей, причем при введении управляющего воздействия в прогнозируемом периоде следует учитывать данный фактор только от начала прогнозируемого периода, а при введении управляющих факторов для других составляющих за исходный ряд следует принимать ряд с уже введенным управляющим фактором. Если У1з У2....,Уп - исследуемый

временной ряд, то У1з У2....,Уп, Уп+1,.....Уп+Г является временным рядом при наличии

неуправляемого прогноза, где г - число интервалов прогнозирования. При введении управляющего фактора на заданный период прогнозирования часть ряда, представляющая управляемый прогноз, может быть записана так:

У и,V У и V

п+1 ,.••., 1 п+ Г ,

где и,У - факторы, которые подверглись управлению. Управление случайной компонентой обусловлена необходимостью применения теории надежности, так как данная процедура связана с непростыми расчетами.

Таким образом, воздействие управляющих факторов должно вызвать эффект, равный по величине и противоположный по направлению неугодным тенденциям в прогнозируемом периоде. Пусть имеем некоторую таблицу: У У У

п+1, п + 2 '----' п+г

где

уорг уорг у орг У п+1 , У п+2 ''"' У п + г

АУп+1, АУп+2,.., АУп+г г>и V г>и V

/'п+1 '..........., Чп+ г

У0р1 - желаемое или оптимальное значение временного ряда в конкретном интервале прогнозирования;

А У - отклонение неуправляемой траектории прогнозирования от оптимальной;

г)и'у - совокупное воздействие управляющих факторов на трендовую и и сезонную V

составляющие объекта или процесса, описываемого данным временным рядом.

Используя модель У22 можно сформировать траекторию прогноза на определенный

период, подставляя значения У >60, если будем полагать, что прогноз неуправляемый.

Однако, в нашем исследовании важны также проблемы, связанные с большой сезонностью. По графику изменения сезонной волны на рис.2, можно заметить, что колебания налоговых поступлений составляют около 37%. В этом случае необходимо разработать мероприятия, связанные с выравниванием сезонных колебаний уровня поступлений налогов. Сезонность (периодичность) налоговых поступлений , по нашему мнению, связана в основном с особенностями сроков уплаты различных видов налогов, которые в свою очередь связаны с особенностями формирования экономических показателей, составляющих базу налогообложения.

В дальнейшем исследовании нами применены методы адаптивного моделирования и прогнозирования с целью построения самокорректирующихся моделей, которые способны отражать изменяющиеся во времени условия, учитывать информационную ценность различных членов временной последовательности.

Нами предложена модель экспоненциального сглаживания, суть которой состоит в сглаживании ряда с помощью взвешенной средней, с весами, убывающими по экспоненциальному закону по мере удаления в прошлое. Уравнение простого экспоненциального сглаживания имеет вид: 81=аУ+(1-а)8ы, где - сглаженный уровень для периода 1;

Б1-1 - сглаженный уровень для предыдущего периода;

У1 - фактический уровень периода 1;

а - параметр сглаживания.

В результате проведенного экспоненциального сглаживания ряда поступления налогов было получено следующее уравнение:

81=0,392*У1+0,608*Б1-1 .

Проведено эмпирическое сравнение точности прогноза налоговых поступлений на 2009 год, рассчитанных с помощью полученных моделей, с фактическими поступлениями в действующих ценах (таблица 5). Причем для осуществления прогноза по моделям сначала был рассчитан предварительный ежемесячный прогноз, а затем произведена сезонная корректировка.

Из таблицы 5 видно хорошее согласие реальных данных с прогнозом, полученным по уравнению тренда (относительная погрешность прогноза не превышает 8%). Этот факт можно объяснить тем, что, выравнивая фактические данные с помощью аналитических формул, мы учитываем влияние факторов, которые сливаются в один собирательный фактор - время.

Таблица 5

_Эмпирическое сравнение точности прогноза_

месяцы Фактические Сглаженный ряд по Прогнозирование по модели

поступления уравнению тренда экспоненциального

январь 465212 668080 182363

февраль 498511 672566 478265

март 445685 677051 477803

апрель 598514 681537 505594

май 598424 686023 598478

июнь 498542 690508 559270

июль 652421 694994 558862

август 712345 699480 675911

сентябрь 852456 703965 767268

октябрь 845685 708451 849801

ноябрь 888545 712937 862486

декабрь 901245 717423 893523

Средняя относительная

ошибка прогноза (%) 6,6 7,2

Поэтому на следующем этапе исследования целесообразно выделить факторы, влияющие на процесс налоговых поступлений в бюджет и провести факторный анализ данного процесса.

В результате проведенного исследования нами получены следующие результаты:

• выявлена основная тенденция процесса поступления налоговых платежей в бюджет. На основе достоверных данных о ежемесячной динамике данного процесса в течение пяти лет построено уравнение тренда;

• разработаны модели, отличающиеся способностью отражать динамику происходящих процессов и позволяющие прогнозировать динамику налоговых поступлений, учитывать информационную ценность различных членов временного ряда;

• с применением метода сезонных волн выделены сезонные колебания ряда налоговых платежей и получены гармонические функции (ряды Фурье), описывающие периодичность процесса поступления налогов в бюджет и позволяющие корректировать исследуемый процесс с учетом сезонности.

• проведен сравнительный анализ полученных аппроксимирующих функций. Выявлено, что экстраполяция по аналитическому виду тренда дала наилучшее приближение к исходным данным. Показана целесообразность использования в дальнейшем анализе методов факторного анализа, позволяющих учитывать влияние на процесс поступления налоговых платежей различных факторов.

Разработанные автором экономико-математические модели дают исследователям и практическим работникам налоговой службы научно-методический инструмент для решения задачи анализа и прогнозирования налоговых платежей. Достоинством предложенных экономико-математических моделей является возможность разработки более объективных плановых заданий по мобилизации налоговых доходов в бюджет.

Новизна результатов исследования заключается в разработке экономико-математического инструментария, позволяющего анализировать и прогнозировать временные ряды налоговых поступлений и отличающегося более детальным учетом динамики налогоформирующих факторов экономики региона.

Библиографический список:

1. Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. Анализ временных рядов и прогнозирование: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 228с.

2. Моделирование деловых процессов в налоговой инспекции / А.Б. Паскачев, Ю.Д. Джамурзаев, Г.Н. Хубаев, С.Н. Широбокова; Под общ. ред. Т.В. Шевцовой, Д.А. Чушкина.-М.: Издательство экономико-правовой литературы, 2006.- 304с.

3. Юзбашев М.М. Статистический анализ тенденций и колеблемости. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 207с.

Z.N. Ismikhanov

The mathematical modeling of the tax revenue dynamic rang

The issue of taxes as the main source of state budget revenues has always been urgent and caused wide discussions in the scientific circles. The important problem which the tax bodies face is the degree of the planned tasks performance concerning the budget replenishment. Its solution in the modern conditions of the tax system development and functioning requires the improvement of such its function as the tax planning. The modeling of the tax revenue rang in order to find out the laws of the process dynamics and forecasting its future path is provided in this work. Keywords: dynamic rang, modeling, seasonal analysis, forecasting, tax, trajectory.

Исмиханов Заур Намединович (р. 1979) Доцент кафедры математических и естественнонаучных дисциплин Дагестанского государственного университета. Кандидат экономических наук (2009). Окончил ГОУ ВПО «Дагестанский государственный университет» (2003).

Область научных интересов: математические и инструментальные методы моделирования социально-экономических процессов. Автор 20 публикаций.