Сравнение свойств гипергеометрических мод и мод Бесселя

СРАВНЕНИЕ СВОЙСТВ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МОД И МОД БЕССЕЛЯ

С.А. Балалаев, С.Н. Хонина Самарский государственный аэрокосмический университет Институт систем обработки изображений РАН

Аннотация

Выполнено численное моделирование распространения гипергеометрических и бесселевых мод, а также их ограниченных апертурой аналогов. Проведено сравнительное исследование этих четырех типов лазерных пучков.

Введение

Особый интерес в практическом использовании имеют лазерные пучки, обладающие небольшой дифракционной расходимостью, так как сохраняют высокую осевую концентрацию энергии на больших расстояниях. К таким пучкам относятся моды Бесселя [1] и гипергеометрические (ГГ) моды [2-4]. Последние имеют наименьшую расходимость среди известных параксиальных мод лазерного излучения. Распределение интенсивности в поперечном сечении таких пучков похоже на распределение интенсивности для мод Бесселя и представляет собой набор концентрических чередующихся светлых и темных колец. При этом в отличие от бесселевых мод гипергеометрические моды обладают одной особенностью: пространственная частота картины дифракции асимптотически стремиться к бесконечности. Известно так же, что для ограниченных ГГ-пучков, так же как и для Бесселевых, существует некоторое предельное значение расстояния, на котором пучок сохраняет свои модовые свойства.

1. Решение уравнения Шредингера

Параксиальное волновое уравнение в цилиндрических координатах (уравнение типа Шредингера) имеет вид:

д_

52

2/к - + -2 + -дГ + ^ —г | Е(г, Ф, г) = 0,

дг г дг г дф

1 д2

где (г, ф) - поперечные полярные координаты, г - координата, направленная вдоль оптической оси, к=2л/А, - волновое число света с длинной волны X. Решая (1) в цилиндрической системе координат вида:

X = г л 008 ф,

У = г>/Г 8Ш ф,

г = г,

получаем решения в виде ортонормированного базиса, называемые Гипергеометрическими модами [5]:

. чЙ-1 / 2 N и/2

1 ( 2 г ^ 2 (кг2 Л

"'у ( ' Ф' ) 2пи! 1 км>2 1 | 2г и +/ у +1

ехр

1К /  14

—

( и — /у +1 /кг2

1 ^ I-2-," +'I ехР('иф),

где и>0 - целое число, у - комплексное число; данные числа в дальнейшем будем называть параметрами ГГ-мод; V - вещественный параметр, задающий масштаб ГГ моды, аналогичен радиусу перетяжки Гауссового пучка (в данной статье будут рассмотрены пучки для которых ^=1); Г(х) - гамма функция и 1Е1(а, Ь, х) - вырожденная (или конфлю-энтная) гипергеометрическая функция, которые были описаны ранее в работах [4, 5].

При этом на нулевом расстоянии вдоль оптической оси, при г = 0 выражение (3) имеет вид:

Е„,у (Г' ф) =

х ехр(/иф),

ехр

/у 1п

Существует сходное семейство решений дифференциального уравнения (1) в системе координат с неполным разделением переменных:

X = гг 008 ф,

у = гг бш ф, г = г.

Они являются линейно-независимыми параксиальными модами Бесселя [6]:

Е„го(г, ф, г) = (—/Г1^ к х 0 V 2п г

х ехр

2 г

Jn

где Jn(х) - функция Бесселя и-го порядка, г0 - вещественное число.

Такой бесселевый пучок дифрагирует (расходится) по мере распространения вдоль оси г и обычно формируется с помощью узкой кольцевой диафрагмы в непрозрачном экране [7].

В данной работе проводится сравнение пучка (6) с пучком, который будет распространяться при формировании во входной плоскости (при г = 0) ограниченного апертурой распределения:

Е„,а.

В [6] было показано, что бесконечный непараксиальный бесселевый пучок, имеющий распределение (7) во входной плоскости, после преобразования Френеля остается непараксиальным (не расходящимся), однако как будет вести себя ограниченный пучок (7), формируемый, например, с исполь-

зованием дифракционного оптического элемента, исследовано не было.

Распространение ограниченных апертурой пучков (4) и (7) моделировалось с помощью преобразования Френеля:

Е(х, у, х) =- к

2%1х ¡к

И ехр^[(х-I)2 + (у-П)2]

где Е0(|,п) - входное световое поле в декартовых координатах, вычисляемое с помощью (4) или (7), а Е(х,у,х) - выходное поле, полученное для соответствующего входного поля на расстоянии х.

2. Численное моделирование

В данном разделе проводится сравнение четырех типов пучков: аналитических ГГ и бесселевых мод (в соответствии с формулами (3) и (6), и их ограниченных аналогов по расходимости пучков, спектру пространственной частоты картины дифракции, сохранению модовых свойств, устойчивости к экранированию.

ГГ-моды были выбраны с параметрами п = 4, у = -10, а бесселевы моды с параметрами п = 4, и различными а. Параметр масштабирования а подбирался путем совмещения центральных колец пучков на некотором расстоянии х:

ко

а = -

Для ограниченного Бесселевого пучка было выбрано а = 32 (значение, полученное при х = 100 мм).

На рис. 1 приведены рассматриваемые типы пучков с длинной волны X = 633 нм, размером 2х2 мм и дискретизацией 1024x1024 отсчетов, на расстоянии х = 100 мм. Из рисунка видно, что искажения, возникающие из-за ограничения апертурой, сказываются на бесселевых пучках сильнее, чем на ГГ-модах.

Большой интерес также вызывает расходимость пучков. Ранее было показано [3], что ГГ-моды расходятся медленнее параксиальных бесселевых пучков (6). Для того чтобы проверить, как соотносятся расходимости ограниченных пучков (4) и (7), были проведены численные эксперименты. Расходимость отслеживалась по увеличению радиуса первого кольца в зависимости от пройденного расстояния х. Полученные зависимости представлены на рис. 2. Расходимость ограниченной ГГ-моды очень близка к своему аналитическому виду и действительно расходится до некоторого расстояния (х = 250 мм), т. е. ведет себя как непараксиальный пучок, описанный в [6], однако из-за ограниченности, только на конечном отрезке.

Сравнивая интенсивность ГГ и Бесселевых мод в поперечном сечении (рис. 1), легко заметить умень-

шающийся период осцилляций ГГ-моды, в отличие от Бесселевой моды. Более наглядно это видно на рис. 3, где приведены радиальные сечения распределения интенсивности как аналитических, так и ограниченных пучков.

Для более детального исследования этого факта была введена величина, характеризующая пространственную частоту картины дифракции:

ю = -

N

я'

где N - число колец светового пучка, поместившихся в апертуру радиусом Я.

Выражение (10) для множества всех значений радиуса пучка, не превышающих радиус апертуры, также можно назвать спектром пространственной частоты картины дифракции:

N

ю(г) = —, 0 < г < Я . г

Графики, полученные для (11) и представленные на рис. 4 показывают, что кольца Бесселевого пучка имеют постоянную, одинаковую ширину, а у гипергеометрических мод кольца постоянно сужаются, так как увеличивается частота картины дифракции. Это верно как для аналитических пучков, так и для их ограниченных аналогов.

Поскольку амплитуда (4) имеет особенность в нуле (неограниченно возрастает при г = 0), то сформировать такое распределение корректно невозможно, поэтому для моделирования используется также вырезание центральной области. На рис. 5а показано радиальное распределение интенсивности (4) и отмечены ограничители я1 и я2. Первый вырезает круг в центре, где интенсивность была устремлена в бесконечность. Второй является ограничителем апертурой или диафрагмой. При моделировании распространения (4) с помощью оператора Френеля (8) были получены дифракционные картины для различных ограничителей Я\ и Я2. Они представлены на рис. 6. Было проведено их сравнение с аналитическим решением (3), график которого изображен на рис. 56, по среднеквадратичному отклонению (СКО):

5 =

X (((г)-1(г))2

X 102

Я, < г < Я2

где /0(г) - интенсивность эталонного поля, вычисленная в данном случае с помощью (3); 1(г) - интенсивность поля, полученная с помощью преобразования Френеля.

В табл. 1 приведены параметры Ях и Я2 подобранные таким образом, чтобы СКО было минимальным для распределения интенсивности пучка на заданном расстоянии. Как видно из таблицы 1 с ростом расстояния СКО увеличивается.

х

Таблица 1. Подбор параметров Я¡ и Я2

7, мм Яь мм Я2, мм 5, %

100 0,05 0,99 5,29

200 0,12 0,96 11,63

400 0,23 1,00 28,91

Из таблицы 1 также видна зависимость:

Я.~ х.

В [2] было показано, что в связи с ограниченностью реально формируемых ГГ-пучков апертурой радиуса Я2, их модовые свойства сохраняются только до расстояния:

Я,

> х .

Так же известно [7], что для Бесселевых пучков справедлива аналогичная зависимость:

кЯ2

> х.

т.е. пропорциональность расстояния «жизни» моды радиусу ограничивающей диафрагмы.

При этом имеется обратная зависимость от «масштаба» ГГ и Бесселевых мод - у и а. У Бесселевых мод, сформированных с помощью узкой кольцевой диафрагмы (6), этот масштаб зависит от пройденного расстояния, как показано в (9). И масштабное согласование пучка (6) с (7) возможно только при фиксированном расстоянии (рис. 7).

Исследования влияния радиуса диафрагмы (рис. 8) показали, что лучше всего оставлять целое число колец, поскольку остатки (обрезанные кольца) вносят сильные помехи в картину дифракции. Особенно хорошо это заметно на рис. 8 б, где минимумы графиков СКО приходятся как раз на нули рассматриваемой функции Бесселя. Так в частности, лучше установить размер диафрагмы Я2 = 0,95 мм, а не Я2 = 1 мм, т. к. в этом случае умещается максимальное целое количество колец, как показано на рис. 7а.

В этом состоит одно из специфических отличий бесселевых мод от гипергеометрических.

Гипергеометрические моды

Рис. 1. Примеры гипергеометрических мод и мод Бесселя на расстоянии х=100 мм

а

г, мм

а)

г, мм 0,4

0,3

0,2

0,1

х, мм б)

Рис. 2. Расходимость

х, мм

1,0

0,5

Ж Млм

:

АЛлллл

а) 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 г, мм б) 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 г, мм

Рис. 3. Распределение интенсивности радиального сечения (а) бесконечного (б) ограниченного апертурой Бесселевого (тонкая линия) и ГГ (жирная линия) пучков

г, мм

г, мм

Рис. 4. Спектр пространственной частоты картины дифракции (а) бесконечного (б) ограниченного апертурой пучков:

моды Бесселя

I

1,227

0,614

I г, мм

Л

т Ал/ УЛЛАл/

б)

0

0,2

0,4

0,6

0,8 1,0

г, мм

Рис. 5. Радиальное распределение интенсивности гипергеометрической моды

1,227

0,614

а)

— Я]=0,01 мм

— Я]=0,1 мм

— Я1=0,2 мм ........111=0,3 мм

112=1,0 мм

I

1,227

0,614

1'

Я1=0,01мм —112=0,9 мм —1^2=0,7 мм —112=0,5 мм ........112=0,3 мм

II II II II Л /1 п г Л а I н я I Ч /" -.1 й /

I 0,16

0,08

г, мм г, м

б) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Рис. 6. Радиальное распределение интенсивности гипергеометрической моды рассчитанное с использованием преобразования Френеля при начальном распределении, показанном на рис. 5а, с апертурой, ограниченной радиусами Я] и Я2 на расстоянии г = 100 мм: (а) варьируется радиус Я] и (б) варьируется радиус Я2

I

а)

А \l\l\/ \Л/ \л

0,2 0,4 0,6 0,8 1 112=0,95 мм

0,807

0,404

б)

0

Лм1л1л/

0,2

0,4

0,6

0,8

г, мм

Рис. 7. Радиальное распределение интенсивности Бесселевой моды для (а) выражения (7) (и=4; а=32) при г = 0 мм и (б) аналитического решения (6) (и=4; а=64) при г = 100 мм

I

г, мм

0,16

0,08

-R2=0,9MM -R2=0,7 мм — R2=0,5 мм ..........R2=0,3 мм

'i ' Г in

¡1 i f if if if и •• >1 /V 11 U\ i

а) О

5, % 30

24 18 12 6 О

— z=200 мм z=150 мм ----z= -100 mm 50 mm

0,2

0,4

0,6

0,8

б) 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

R2, мм

Рис. 8. Радиальное распределение интенсивности Бесселевой моды (п=4; а=32), полученное с помощью интеграла Френеля для апертуры, ограниченной радиусом Я2, при х = 100 мм (а). Зависимость среднеквадратичного отклонения полученного распределения интенсивности на различных расстояниях от

исходного

Дальнейшее сравнение ограниченных ГГ и Бесселевых мод сводилось к определению максимального расстояния, на котором сохранялись их модо-вые свойства. С этой точки зрения ГГ-моды показали лучшие результаты. При одинаковых Я2 = 0,95мм и подобранных масштаба, таких что центральное кольцо было одинакового размера, ограниченная ГГ-мода отклонялась при распространении от своего аналитического вида гораздо медленней, чем бесселевый ограниченный пучок (рис. 9).

На рис. 10 можно сравнить распространение аналитических и ограниченных ГГ. Из рис. 10б и рис. 11 видно, что ограниченный ГГ пучок разрушается постепенно, разглаживая дифракционные осцилляции по всему радиусу пучка равномерно.

Ограниченный бесселевый пучок разрушается постепенно с периферии от кольца к кольцу (рис. 12). Для установления данного факта при расчете СКО рассматривалась область, ограниченная Ы-м кольцом (рис. 13а).

5 80

64 48 32 16

%

/

-Bessel / /

—Hyper-Geometric

У ----— У

z, мм

I

0,613

0,307

- Z=200mm ----z=400mm ........... Z=800mm

У у / 1/ \ i \k \J \ /\ Л7 СМл

0 200 400 600 800 1000

Рис. 9. Среднеквадратическое отклонение от аналитического вида для ограниченной гипергеометрической моды (n=4; =-10) (тонкая линия) и моды Бесселя (n=4; а=32) (жирная линия) зависимости от z.

Далее было интересно выяснить, с какой скоростью разрушаются кольца. Для этого был установлен порог визуальной «разрушенности» кольца, которая наступает при достижении значения СКО 5 = 20%. График зависимости разрушения колец (по номеру) от пройденного пучком расстояния приведен на рис. 13б, он имеет линейный характер.

I

0,606

0,303

г

мм

-z=200mm ----z=400 mm ...........z=800mm

// h ii 4A

б)

о

0,2

0,4

0,6

г.

мм

а) 0 0,2 0,4 0,6 0,8

Рис. 10. Радиальное распределение интенсивности гипергеометрической моды (п=4; у=-10) на различных расстояниях (а) для аналитического решения (3) и (б) при моделировании распространения пучка (7), ограниченной кольцевой апертурой с радиусами Я1=0,01 мм и Я2=1 мм

• Проведенный анализ спектра частот поперечного распределения интенсивности показал, что, в отличие от Бесселевых, у ГГ-мод ширина колец

Заключение

В заключении кратко сформулируем полученные результаты.

• Ограниченная ГГ-мода демонстрирует такую же расходимость, как и аналитическая - пропорционально ^J~z , однако ограниченный бесселевый пучок имеет расходимость, среднюю между непараксиальным и параксиальным своим аналитическим решением.

сужается, линейно увеличивая свою пространственную частоту, с ростом радиуса пучка. Получены зависимости радиусов апертуры Я} и Я2 для ограниченных пучков ГГ-моды и Я2 -бесселевой для формирования дифракционной картины на определенных расстояниях х с наименьшей погрешностью. Численно подтверждены зависимости (14), (15).

1

г, мм

200 мм

400 мм

600 мм

800 мм

Ra

1,0 мм

1,5 мм

2,0 мм

2,5 мм

« и

S Л

н о о

и «

S о

и

(D

53

О

о

о

z

Рис. 11. Распределение инвертированной интенсивности гипергеометрического пучка на различных расстояниях 2 для кольцевой апертуры с радиусами Я1 = 0,01 мм Я2 = 1,0 мм.

z 25 мм 87 мм 152 мм 215 мм

N 8 6 4 2

.в н и

ть с о к в и с н е нт К О о <о О

Рис. 12. Распределение инвертированной интенсивности бесселевого пучка (с N уцелевшими кольцами) на различных расстояниях 2 для круглой апертуры радиуса Я2 = 1,0 мм.

5, % 50

40 30 20 10

/ -N=8 / г i

/ / -N=4

/ /

1 / /-N=2

у 8 тах=20%

z, мм

a) 0 50 100 150 200 250 300 ' б) 0

Рис. 13. Среднеквадратическое отклонение ограниченного Бесселевого пучка от идеального в области,

ограниченной N-м кольцом на различных расстояниях 2

z, мм

• Установлено, что ограниченная ГГ-мода сохраняет свои свойства на расстоянии, которое примерно в 3 раза больше, чем расстояние, на котором сохраняет свои свойства ограниченный бесселевый пучок, имеющий тот же масштаб.

• Кольца ограниченных бесселевых мод при распространении разрушаются постепенно от кольца к кольцу, начиная с крайнего, причем зависимость разрушения от расстояния z линейна. Ограниченная ГГ-мода разрушается по всему радиусу равномерно.

Благодарности Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 07-07-97600.

Литература

1. Miller W. Jr. Symmetry and Separation of Variables, Addison-Wesley Pub., MA, 1977.

2. Kotlyar V.V., Skidanov R.V., Khonina S.N., Soifer V.A. Hypergeometric modes // Opt. Lett., 2007. - V.32. - N.7. -P. 742-744.

3. Котляр В.В., Хонина С.Н., Алмазов А.А., Сойфер В.А. Оптические чистые вихри и гипергеометрические моды // Компьютерная оптика, Самара, ИСОИ РАН, 2005. - № 27. - С. 21-27. Котляр В.В., Скиданов Р.В., Хонина С.Н., Балалаев С.А. Гипергеометрические моды // Компьютерная оптика, 2006. - № 30. - С. 16-22.

4. А.А. Ковалев, В.В. Котляр, С.Н. Хонина, В.А. Сойфер Параксиальные гипергеометрические лазерные пучки с особенностью в центре перетяжки // Компьютерная оптика. - Самара, ИСОИ РАН, 2007. - № 31. - С. 9-13.

5. Khonina S.N., Kotlyar V.V., Skidanov R.V., Soifer V.A., Jefimovs K., Simonen J., Turunen J. Rotation of microparticles with Bessel beams generated by diffractive elements // J. Mod. Opt., 2004. - V.51. - N. 14. - P. 2167-2184.

6. Durnin J., et al. Diffraction-free beams. Phys. Rev. Lett., 1987