Закон электромагнитной индукции в классической электродинамике

УДК 537.851.001.5

А.А. Гейзер

ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ В КЛАССИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

Общеизвестно, что одним из основных уравнений электродинамики является уравнение закона электромагнитной индукции. Из литературных источников известно несколько трактовок этого закона. Например, в [I] приводится трактовка его автором, а также дается формула Хэвисайда. Наибольшее распространение, однако, получила формулировка Фарадея -Максвелла. Запись этого закона в названной трактовке сделана на основе предположения о потенциальности поля движущихся зарядов [2]. Формулировке закона электромагнитной индукции в интегральной форме с позиций классической электродинамики и несколько иного предположения, что поле движущихся зарядов потенциальным не является, посвящена настоящая статья.

При изучении явления электромагнитной индукции рассматриваются две формулировки этого явления - фарадеевская и максвелловская [2]. Здесь сразу же хотелось обратить внимание на одно обстоятельство, суть которого заключается в следующем. Бытует мнение, что в электродинамике есть только одна, максвелловская, трактовка названного явления. Оно основано на том, что поскольку Фарадей не записал закон электромагнитной индукции в виде математической формулы (так как общеизвестно что он формул не писал) то и нет фарадеевской трактовки этого закона. Мы не разделяем этой точки зрения на следующем основании. В предисловии к своему "Трактату об электричестве и магнетизме" [3] Максвелл пишет: "По мере того, как я углублялся в изучение Фарадея, я находил, что его метод понимания явлений был также математическим, хотя н не был представлен в форме обычных математических символов" и далее: "Когда я переводил то, что я считал идеями Фарадея, в математическую форму, я нашел, что в большинстве случаев результаты общих методов совпадали". Таким образом, на основании выше изложенного можно сделать заключение, что Фарадеем закон электромагнитной индукции был сформулирован, хотя и в своеобразной форме. Поэтому мы разделяем точку зрения, изложенную в [2], о наличии двух подходов изложения закона электромагнитной индукции - фарадеевского и максвелловского и что фарадеевский подход может быть отображен в виде математической формулы.

Рассматривая фарадеевскую формулировку предполагают, что в пространстве, где изменяется магнитное поле, должен находиться проводяпщй замкнутый контур [2]. Естественно, что наличие такого контура должно учитываться при анализе электромагнитных процессов. Однако в известных нам работах некоторые аспекты, связанные с присутствием проводящего контура, не учитываются, например, об этом сказано в [4], о чем будет речь идти ниже. Рассмотрим данное явление в фарадеевской трактовке более подробно, как это сделано в [2,4,5], т.е. рассмотрим движение замкнутого металлического проводника во внешнем магнитном поле. Как известно, математически электромагнитные процессы в этом случае описываются следующим уравнением

или в дифференциальной форме

j>Edl = (

^ dB

rotE =--.

dt

Здесь сразу же отметим, что и в максвелловской формулировке закона электромагнитной индукции уравнения (1) и (2) для проводящего контура, в известных нам работах, записывают точно в таком же виде, но для большей наглядности мыв дальнейшем будем пользоваться фарадеевской трактовкой.

Записывая эти уравнения, очевидно, предполагают, что поскольку электрическое поле потенциально, то

L " "

ИЛИ

rot Е = 0.

В данном случае возникает противоречие, заключающееся в том, что поле движущихся зарядов не является потенциальным так как известно, что

8 = Аст°Р

стор - „ v '

L Я

Следовательно, и

rot Е * 0.

Однако это обстоятельство при записи уравнений (1) и (2) не используется. В связи с этим уравнение (1) следует записать в виде

Edl = ^^—— f BcdS,

q dti

где В с - индукция магнитного поля самоиндукции.

Остановимся на физическом смысле записанных уравнений (1) и(7). Рассмотрим прежде всего уравнение (1). Правая часть этого уравнения выражает изменение магнитного потока во времени. Какой поток имеется в виду в данном случае? Ведь при рассмотрении явления электромагнитной ивдукции, очевидно, следует рассматривать два потока - поток создающий индукционный ток и поток самоиндукции. Так как оба потока охватываются рассматриваемым контуром, то они должны вносить вклад в циркуляцию вектора напряженности электрического поля. Это можно наглядно проиллюстрировать на простом примере, который рассматривается в курсе общей физики [2], когда происходит движение замкнутого проводника в магнитном поле. В этом случае, один поток создается внешним магнитным i полем в котором движется проводник, а второй поток создается протекающим по проводнику током. Это обстоятельство при записи уравнения (1) не учитывается. Таким образом, правая

часть уравнения (1) должна содержать два члена, то есть мы опять же приходим к уравнению (7).

Здесь следует отметить, что в известных работах при рассмотрении закона электромагнитной индукции учет потока самоиндукции вроде бы осуществляется, так как стоит знак минус в формуле (1) (правило Ленца). Однако знак минус в уравнении (1) означает, что если магнитный поток через контур проводника численно увеличивается, то направление электро-движущей силы индукции в этом контуре составляет с направле-нием потока левовинтовую, а не правовинтовую систему [5].При этом не ясно какой из потоков учитывается и имеет левовинтовую систему, ведь как нами отмечалось выше, необходимо рассматривать два потока.

Об этом прямо сказано в [4] в 17 главе параграфа 1 - физика индукции-, что Э.Д.С. индукции будет порождать в петле „ток, но предполагая что сопротивление проволоки достаточно велико и токи малы, пренебрегают магнитным полем этого тока. Мы считаем, что такое пренебрежение не допустимо, так как для того чтобы проводник обладал большим сопротивлением он должен иметь значительную длину, следовательно петля должна иметь большое число витков, а с увеличением числа витков возрастает индукция магнитного поля, создаваемого индукционным током. Таким образом учитывать нужно оба потока и, на наш взгляд, учет обеих потоков должен быть таким, как это нами сделано в уравнении (7).

Здесь следует отметить, что в курсе теоретической физики [6], где уравнения Максвелла получают из других предпосылок, также не учитывается влияние движущегося заряда на поле. В параграфе 44 сказано: "Заряд, находящийся в поле, не только подвергается воздействию со стороны поля, но в свою очередь сам влияет на поле, изменяя его. Однако если заряд е не велик, то его действием на поле можно пренебречь. В этом случае, рассматривая движение в заданном поле, можно считать, что само поле не зависит ни от положения, ни от скорости заряда."

Проанализируем уравнение (7). Первое слагаемое в правой части этого уравнения - вклад в циркуляцию, вносимый сторонними силами, а второе - индукционньш током. Сторонние силы в нашем случае перемещают замкнутый проводник в магнитном поле. В этом случае в проводнике возникает индукционньш ток и работа сторонних сил может быть найдена по формуле

2 .

Л

I

Выразим заряд через силу тока и время

4 2

? =

1

Тогда первое слагаемое в выражении (7), при условии что ток остается постоянным, может быть записано в следующем виде

2

йф

"с«»р ;_ _ АФ

« ' '

1

Таким образом, получившееся выражение находится в полном согласии с общепринятыми представлениями о том, что Э.Д.С индукции пропорциональна скорости изменения магнитного потока во времени. Однако изменяющиеся магнитные потоки, создаваемые сторонними силами и индукционным током, равноправны, следовательно они оба должны оказывать влияние на наводимую в контуре Э.Д.С., что и отражает формула (7). Так как в соответствии с правилом Ленца индукционный ток всегда имеет такое направление, что создаваемый им поток магнитной индукции через поверхность, органиченную контуром стремится препятствовать тому изменению потока, которое возбуждает этот ток, поэтому в уравнении (7) второй член в правой части уравнения берется со знаком минус.

Является ли запись уравнения (7) справедливой в более общей, максвелловской, трактовке явления электромагнитной индукции? То есть остается ли запись уравнения (7) справедливой в том случае, когда в поле нет замкнутого металлического проводника? На наш взгляд на эти вопросы следует ответить положительно. На чем основано такое утверждение? Мы считаем что в этом случае роль металлического проводника выполняет окружающее пространство в котором сторонними силами создается изменяющееся магнитное поле, наводящее в нем вихревое электрическое поле, в свою очередь это вихревое электрическое поле создает изменяющееся магнитное поле. Таким образом, циркуляция вектора напряжен-ности вихревого электрического поля по замкнутому контуру равна правой части уравнения (7). Т.е. уравнение (7) является общим уравнением, описывающим явление электромагнитной индукции в интегральной, форме. Высказанное предположение находится в полном согласии с теорией Максвелла, согласно которой даже в вакууме переменные магнитные поля возбуждают поля электрические, а всякое изменение электрического поля во времени возбуждает в окружающем пространстве магнитное поле.

В заключение следует отметить, что уравнение (7) удовлетворяет закону сохранения энергии. Для того чтобы убедиться в этом, выразим это уравнение в следующем виде

Последнее слагаемое в формуле (1J) представляет собой умноженную на q Э.Д.С. самоиндукции 8 с , а поэтому в окончательном виде можно записать

Из уравнения (12) видно, что работа сторонних сил затрачивается на создание Э.Д.С. индукции и на создание магнитного поля потока самоиндукции. Т.е. мы видим, что в данном случае соблюдается закон сохранения энергии. Естественно, что при этих выводах мы не учитывали потери идущие на джоулево тепло.

Удовлетворение уравнения (7) закону сохранения энергии, на наш взгляд, является одним из веских доказательств справедливости этого уравнения. Легко видеть, что уравнение (1) этому закону не удовлетворяет.

Библиографический список

1. Иосифъян А.Г. Эволюция физических основ электротехники и электро-динамики// Электричество,- 1987.-М> 12.- С. 18-29.

2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.З.- М.:Наука, 1977.- 688 с.

3. Maxwell J. С. A Treatise on Electricity and Magnetism. Oxford, 1873, v.l - 488 p.; v.2 -444 p.

4. Фейнман P. и dp,Фейнмановекие лекции по физике. Вып.6. Кн.4. Электродинам ика-М.: Мир, 1977.- 347 с.

5. Тамм И.Е. Основы теории электричества.- М.:Наука, 1976,- 616 с.

6. Ландау Л. Д., Лифшщ Е.М. Краткий курс теоретической физики. Механика. Электродинамика. Книга 1.- М.: Наука, 1969,- 272 с.