Способ определения гравитационной постоянной с учётом вклада кареток в моменты притяжения
METHOD FOR DETERMINING GRAVITATIONAL CONSTANT BASED ON CONTRIBUTION OF CARRIAGES AT MOMENTS OF ATTRACTION

Изобретение относится к области метрологии, а именно к способу определения гравитационной постоянной при форме взаимодействующих тел, отличной от шаровой.
Известен способ измерения гравитационной постоянной при шаровой форме взаимодействующих тел [1] (Патент РФ №2364896 на изобретение. Способ измерения гравитационной постоянной // Приоритет изобретения 31.07.08). Способ заключается в том, что при всех позициях притягивающих тел измеряют периоды и амплитуды колебаний крутильных весов, рассчитывают моменты притяжения рабочего тела, определяют гравитационную постоянную либо по системе двух дифференциальных уравнений движения, либо по аналитическим формулам, полученным с учетом теории нелинейных колебаний. Способ применим только при шаровых формах взаимодействующих тел. Другие варианты не рассматриваются.
Более близким по своей сущности к заявляемому способу является способ определения гравитационной постоянной [2] (Патент РФ №2581765 на изобретение. Способ определения гравитационной постоянной // Приоритет изобретения 27.03.2015). В нем непригодная для расчетов оригинальная система заменена на модельную, что привело, наконец, к получению численного значения гравитационной постоянной. В процессе решения удалось установить истинное значение расстояний между взаимодействующими массами с точностью 1 мкм, которое экспериментально было получено с погрешностью 217 мкм. Учтено влияние перемещающихся кареток на периоды колебаний весов, которые затруднили проведение расчетов. Лишь после этого на базе адаптированной к данному эксперименту программы для расчета гравитационной постоянной при шаровой форме взаимодействующих тел были проведены окончательные расчеты.
Недостаток предложенного метода состоит только в потребности создания упрощенной модельной системы. Она затрудняет понимание всего процесса в целом. Кроме того, даже появляются альтернативные предложения по ее совершенствованию.
Наиболее близким по своей сущности к заявляемому способу является способ определения гравитационной постоянной [3] (Карагиоз О.В., Измайлов В.П., Шахпаронов В.М. Патент РФ №2644437. Способ определения гравитационной постоянной. // Приоритет изобретения 13.12.2016. В нем после вычисления моментов притяжения на всех четырех позициях при различных углах отклонения весов создана аналитическая формула для моментов притяжения, что позволило использовать имеющуюся программу для расчета гравитационной постоянной с незначительной корректировкой.
Недостаток данного способа (как и предыдущего) заключается в необходимости редактирования периодов колебаний весов, что представляет сложную и трудоемкую операцию.
Задачей изобретения является определение значения гравитационной постоянной по протоколам измерений, полученных на установках с телами, отличной от шаровой формы, без дополнительных экспериментов по наиболее простой методике.
Поставленная задача достигается тем, что после проведения расчетов моментов притяжения на всех позициях притягивающих тел при различных углах отклонения в диапазоне от 0.1 до 18 мрад определяются жесткости, вносимые притягивающими цилиндрами. Далее на базе экспериментальных значений периодов колебаний весов при различных положениях кареток определяются вносимые ими в крутильную систему жесткости.
i
Затем определяются отношения жесткостей, созданных каретками и притягивающими цилиндрами, на всех четырех позициях. Они составляют массив коэффициентов c, который вносится в программу для расчетов.
6
7
1
Способ поясняется чертежом (фиг.), где 1 - корпус вакуумной камеры, 2 - крутильная нить весов, 3 - отражающее зеркало весов, 4 - коромысло весов с плечами прямоугольного сечения длиной L и цилиндрическими концами длиной L, 5 - цилиндрические грузы коромысла массой m, 6 - цилиндрические притягивающие тела массой М, 7 - каретки для перемещения и фиксации в четырех положениях на блоках 8 масс 6, 9 -платформа для размещения установки.
Внутри вакуумной камеры 1 размещают крутильные весы, в которых на крутильной нити 2 крепится рабочее тело весов, включающее коромысло 4 с цилиндрическими грузами 5 на концах и отражающее зеркало 3. Зеркало 3 обеспечивает измерение амплитуд и периодов колебаний весов. Цилиндрические притягивающие тела 6 перемещаются с помощью кареток 7 вдоль линии равновесия весов и фиксируются на блоке 8 в четырех позициях. На платформе 8 размещается вся установка.
i
1
2
При отклонении весов на угол ϕ на рабочее тело воздействует упругая сила закрученной нити 2 и момент притяжения цилиндрических притягивающих тел 6, который в первом приближении пропорционален ϕ. Такой момент уменьшает период колебаний весов. По величине момента притяжения можно определить значение гравитационной постоянной при шаровой форме всех взаимодействующих тел. При отличной от шаровой форме тел вычисления становятся трудоемкими. В этом случае по значениям L, М, m, m шестикратным интегрированием определяют моменты притяжения. На эту операцию затрачивается солидное время даже при использовании самых современных вычислительных средств.
2
1
6
k
2
6
7
3
6
4
5
1
2
3
4
В [2] момент инерции рабочего тела весов J=21483.64 г⋅см. С учетом вытесненного воздуха масса цилиндрических притягивающих тел диаметром 18.0012 см и высотой 19.9531 см М=39756.452 г. Масса цилиндрических грузов коромысла длиной 1.63905 см и диаметром 1.6415 см с осевым отверстием диаметром 0.3015 см m=29.9198 г. Масса всего коромысла шириной 0.3906 см, высотой 0.4071 и длиной плеч L=16.92935 см m=24.93909 г. С учетом объема прямоугольной части коромысла и его концов диаметром 0.3 см найдем, что масса прямоугольной части m=23.9091 г, масса цилиндрического тела длиной 2(L+L) m=11.65826 г, масса цилиндрического тела длиной 2L m=10.62826 г. Центр масс грузов находился на расстоянии L=17.748875 см от оси вращения весов. Центры масс притягивающих цилиндров располагались на четырех расстояниях L=28.99845, L=30.99860, L=33.99805, L=38.99795 см.
i
1
2
3
4
Использованные при окончательных расчетах моменты притяжения всего рабочего тела весов K на всех четырех позициях при L=28.97675, L=30.97690, L=33.97635, L=38.97625 см приведены в табл. 1.
i
0
В табл. 2 и 3 даны значения жесткостей, вносимых в крутильную систему притягивающими телами и перемещающимися каретками. При периодах 2320, 2321, 2322 с жесткость нити составляет величину 1.575766Е-8, 1.574408Е-8, 1.573052Е-8 Дж. Коэффициенты c с учетом моментов притяжения при ϕ=15 мрад и ϕ=18 мрад и разных значениях периода колебаний T приведены в табл. 4 и 5.
i
ki
0
При вычислении коэффициентов c были использованы экспериментальные значения периодов колебаний при размещении кареток на четырех позициях. Они составили ряд T: 2316.9967, 2317.0480, 2317.5864, 2318.9207 с. Период колебаний T при отсутствии кареток не был измерен. Его удалось определить. Далее были выполнены следующие расчеты.
s
Жесткость нити Суммарная жесткость κ нити и вносимой жесткости кареток при их размещении на позиции i
Жесткость, вносимая только каретками,
i
ki
i
i
0
0
i
0
0
Массив коэффициентов c составят отношения κ/κ. С увеличением номера позиции коэффициенты c должны возрастать. Если это условие не выполняется, следует увеличить величину T. Было установлено (табл. 6), что при T=2320 с условие роста c не выполняется, при T=2321 с оно стало выполняться. В дальнейшем выяснилось, что точное значение T не оказывает существенное влияние на погрешность вычислений.
При определении гравитационной постоянной применяются две независимые методики. Одна из них базируется на численном решении уравнений движения, другая - на теории нелинейных колебаний.
В методике 1 определяют величину половины периода ангармонических колебаний весов в позициях i и j интегрированием двух дифференциальных уравнений движения:
0
0
i
j
0
0
1
2
ехр
где J - момент инерции рабочего тела, ω=2π/Т - частота колебаний при отсутствии притягивающих тел, ϕ и ϕ - углы отклонения весов от положения равновесия. Численные интегрирования проводят при двух значениях G=G(1±k), где G - стандартное значение G. При положительном и отрицательном значениях k в позициях i и j вычисляют разность обратных квадратов половин периодов колебаний τ и τ. С учетом экспериментальной разности обратных квадратов периодов колебаний τ гравитационную постоянную G определяют по формуле:
Методика 2 предусматривает операции по аналитическим формулам. С учетом членов третьего порядка момент сил притяжения в позиции i между рабочим телом весов и двумя цилиндрическими притягивающими телами массой М
Члены более высокого порядка в данном случае не потребовались. В случае необходимости следует добавить члены пятого и даже седьмого порядка, которые теория нелинейных колебаний позволяет учесть. Гравитационная постоянная
0i
0j
i
1
a
где ϕ, ϕ - амплитуды колебаний. Параметры  и b в четырех позициях n при различных L даны в табл. 6.
ij
i
i
j
j
a
a
Формула для расчета значений G сильно упрощена, поскольку основные расчеты уже были проведены при определении коэффициентов  и b, а также  и b
ij
i
j
ij
В табл. 7 приведены усредненные по шести сериям измерений периоды и амплитуды колебаний с учетом перемещающихся кареток, а также значений G при различных комбинациях позиций n и n. Для уравнивания всех значений G в столбце 8 следует уменьшить среднее значение периодов колебаний в третьей позиции на 12.7 мс, а в четвертой позиции - увеличить на 42 мс. В итоге получим
-11
2
2
G=(6.6729±0.0008)⋅10 Нм/кг.
0
Сравнение результатов расчетов гравитационной постоянной в аналоге, прототипе и данной заявке с учетом моментов притяжения притягивающих тел при ϕ=18 мрад и ϕ=15 мрад без коррекции периодов и с коррекцией даны в табл. 8 и 9. При ϕ=18 мрад совпадение результатов расчетов с аналогом и прототипом практически идеальное, при ϕ=15 мрад результаты слегка различаются, что можно объяснить завышенными значениями расчетных моментов притяжения. После коррекции периодов величина T при измерении гравитационной постоянной составила значение 2318.510 с, что на 2,5 с меньше, чем при измерениях с каретками. Эта разность объясняется различием конвективных потоков снаружи вакуумной камеры и неравновесных потоков внутри нее при этих двух различных схемах измерений. Они вносят в крутильную систему дополнительную жесткость. Ими же объясняется потребность в редактировании периодов колебаний. Она устраняет погрешность, которую внесли неравновесные потоки. При разных позициях притягивающих тел их вклад был слегка различен.
В итоге проведенных исследований получены следующие основные технические результаты:
- учтено влияние перемещающихся кареток на моменты притяжения тела весов в процессе измерений гравитационной постоянной,
ij
- во всех комбинациях четырех позиций притягивающих тел определены значения G, совпадающие с данными патента [3],
1
-11
2
2
- после выявления уточненного значения L с погрешностью не более 1 мкм вновь получено достоверное значение гравитационной постоянной G=(6.6729±0.0008)⋅10 Нм/кг,
ij
- совпадение результатов расчетов G по трем независимым методикам свидетельствует об отсутствии ошибок при их реализации,
- сравнение полученных значений гравитационной постоянной во всех трех методиках косвенно свидетельствуют как о достоверности, так и низкой погрешности расчетов моментов притяжения тела весов цилиндрическими телами на всех четырех позициях,
- выявлен основной дестабилизирующий фактор, обусловленный влиянием неравновесных потоков вследствие недостаточно высокого вакуума,
- наличие такого дестабилизирующего фактора приводит к необходимости его компенсации путем коррекции периодов колебаний весов,
- для практической реализации способа на базе имеющейся у нас программы разработан ее модифицированный вариант, позволяющий проводить все необходимые операции в прототипе,
- показано, что предложенный способ при наличии протоколов измерений приносит ценные технические результаты в случае полного физического уничтожения установки на базе ее технических характеристик и уже имеющихся измерений.