Модель выбора обслуживания при наличии разных способов формирования заказа

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2012. Вып. 1

УДК 519.2

В. М. Буре, А. А. Сергеева

МОДЕЛЬ ВЫБОРА ОБСЛУЖИВАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ РАЗНЫХ СПОСОБОВ ФОРМИРОВАНИЯ ЗАКАЗА

Введение. Процесс выбора наилучшего варианта для производства товара или оказания услуги в современной экономической деятельности встречается повсеместно. Максимизация прибыли при минимизации затрат - естественный закон, которому подчиняются все схемы формирования деятельности любого предприятия. Выбор наилучшего способа обслуживания при наличии разных вариантов осуществления заказа и разнообразных схем оплаты, а также различных типов клиентов является предметом изучения в настоящей работе.

Рассматривается компания, предоставляющая услуги по выполнению заказов клиентов. Пусть на рынке имеется некоторое количество клиентов, которые представляют собой фирмы, различающиеся по промышленным отраслям, формам ведения бизнеса, структуре и прочим параметрам. Каждый клиент нуждается в обслуживании своего заказа и обращается в компанию по осуществлению такой услуги. Данная компания предлагает клиентам три варианта осуществления заказа. Клиенты выбирают подходящий им вариант, стремясь минимизировать затраты на обслуживание.

Подобные задачи рассматриваются в работах [1-5].

Постановка задачи. Пусть в компании, предоставляющей услуги по выполнению заказов, есть три обслуживающих устройства, каждое из которых имеет определенную схему обслуживания. Пусть в первом устройстве все заказы выполняются в порядке очереди, за это берется фиксированная оплата, в устройстве 2 все заказы исполняются сразу, но помимо фиксированной платы производится оплата за единицу времени выполнения заказа, а в устройстве 3 все заказы выполняются в порядке очереди, но плата берется только за единицу времени выполнения заказа Клиент выбирает тип обслуживания, стараясь минимизировать издержки на выполнение заказа.

Введем следующие обозначения: Ti,T2,T3 - время пребывания в системе клиента при выборе устройства 1, 2 или 3 соответственно: Ti = тц + T12, где тц - время ожидания начала выполнения заказа устройством 1, T12 - время обслуживания устройством 1; т2 = T22, так как время ожидания начала обслуживания в устройстве 2 равно нулю, где T22 - время обслуживания устройством 2; T3 = T31 + T32, где T31 - время ожидания

Буре Владимир Мансурович — доктор технических наук, профессор кафедры математической теории игр и статистических решений факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 122. Научные направления: анализ данных, вероятностно-статистическое моделирование. E-mail: vlmbure@mail.ru.

Сергеева Анна Александровна — аспирант кафедры математической теории игр и статистических решений факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор технических наук, проф. В. М. Буре. Количество опубликованных работ: 3. Научные направления: математическая теория игр, теория очередей, теория вероятностей. E-mail: sergeeva_a_a@mail.ru.

© В. М. Буре, А. А. Сергеева, 2012

начала выполнения заказа устройством 3, Т32 - время обслуживания устройством 3. Величины ti, Т2, тз являются случайными.

Определим затраты клиентов на обслуживание в каждом из устройств. Пусть с1,с2,сз - стоимость выполнения заказа устройством 1, 2 или 3, ci фиксирована, С2 = С21 + С22Т22, здесь С21 - фиксированная стоимость, С22 - стоимость единицы времени обслуживания клиента устройством 2, сз = С32Т32, где С32 - стоимость единицы времени обслуживания клиента устройством 3.

Помимо издержек на осуществление заказа клиенты несут потери, связанные с ожиданием осуществления заказа. Пусть тц,Т2г,гзг - удельные потери, которые несет клиент i при ожидании выполнения заказа устройством 1, 2 или 3, тогда можно рассчитать полные потери, связанные с ожиданием исполнения заказа устройствами, следующим образом:

rii Т1 = ТЦ(Т11 + Т12),

Г2гТ2 = T2iT22, r3i тз = r3i(T31 + Т32).

Теперь можно найти векторы полных потерь клиентов на обслуживание устройствами 1, 2 и 3 соответственно:

Q1 = ГЦТ1 + С1 = Г^(Т11 + Т12 ) + С1, Q2 = r2iT2 + С2 = (r2i + С22 )т22 + С21, Q3 = r3iT3 + Сз = (r3i + С32)Т32 + r3iT31.

Тогда векторы средних потерь клиентов на обслуживание при условии обращения клиента к соответствующему устройству определяются математическими ожиданиями

Q1 = EQ1 = гЦ(ЕТ 11 + ET12) + С1,

Q2 = EQ2 = (r'2i + С22) ET22 + С21, Q3 = EQ>3 = (r3i + С32)ЕТ32 + r3iET31.

Длительности обслуживания клиентов устройствами 1, 2 и 3 являются независимыми случайными величинами с экспоненциальными распределениями, длительность

-— t -—t

обслуживания клиентов выражается плотностями f\(t) = — е м , /2(i) = —е ^ , 1

Ш = ^ "З,г>0.

Предположим, что в данный момент времени на обслуживание поступает группа, состоящая из п клиентов, при этом известно, что на обслуживании в устройстве 1 находится к\ клиентов (из них к\ — 1 стоит в очереди на обслуживание), в устройстве 3 - кз клиентов (из них кз — 1 стоит в очереди на обслуживание). Каждый клиент решает, какое устройство выбрать для осуществления заказа. Пусть р(1) - вероятность того, что клиент г выберет устройство 1, р^ - что устройство 3, 1 — р^ — р^ - что устройство 2.

Данная модель приводит к игре п лиц, в которой клиенты представляют собой игроков, выбирающих устройство для осуществления заказа. Рассмотрим неантагонистическую игру в нормальной форме

г =< N [р{}, {Н}ен >,

N = {1,...,п} - множ< рР) € [0,1], ] = 1, 2, 3; {Нг}геи - множество функций выигрыша игроков,

где N = {1,...,п} - множество игроков; {р^^еи - множество стратегий игроков,

Н = +(1- р(1) - р^П + р^П*) = - Я2г)+Р?\Язг - П2г)+П2г),

здесь рг1 - вероятность того, что клиент г выберет устройство 1, р^ - что устройство 3,

1 (1) (3) „ „

1 - р\ - рг - что устройство 2.

Пусть каждый вектор Пз = {Прг}, г = 1,...,п, ] = 1,2,3. Ожидаемые потери

игрока г на обслуживание при условии обращения к устройству 1, 2 или 3 записываются

так:

П = г лД") + /(12)) + С

П1г = Гц(1г + гг ) + С1,

(11) (12) где ц - среднее время ожидания выполнения заказа, а ц - среднее время выполнения заказа при условии, что игрок г обратился к устройству 1, г = 1,...,п;

П2г = (Г2г + С22)/( ) + С21,

где /(22) - среднее время выполнения заказа при условии, что игрок г обратился к устройству 2, г = 1,...,п;

Пзг = Тз431) + (Г3г + С32)/(32),

где ц - среднее время ожидания выполнения заказа, а ц - среднее время выполнения заказа при условии, что игрок г обратился к устройству 3, г = 1,...,п. Далее будем использовать функцию потерь игроков Нг = -Нг, г = 1,...,п. В рассматриваемой модели под стратегией игроков можно понимать выбор одной

из трех фирм, т. е. множество чистых стратегий каждого игрока имеет вид {1, 2, 3},

а набор вероятностей рг = (рг ,рг ,рг ) в этом случае является смешанной стратегией игрока г.

Будем предполагать, что рассматривается игра с полной информацией. Основные результаты.

Теорема. В данной игре существует единственная точка равновесия (р\,...,р*п), г = 1,...,п, которая определяется следующим образом:

1) р* = (1, 0,0), если выполняются неравенства

( М1г1г((^1 + 1) + ~ !)) + С1 < ^{Г2г + С22) + С21,

+ 1) + ~ 1)) + С1 < + 1) + с32);

2) р* = (0,1,0), если выполняются неравенства

\^2(гц + С22) + С21 < Цз(г3г(кз + 1) + С32), \^2(г2г + С22) + С21 < Ц1(гц(к1 + 1)) + С1;

3) р* = (0, 0,1), если выполняются неравенства

4) р*

] Мз(Узг(>з + 1) + - 1) + С32) < щ(ги(к1 + 1)) + СЬ

] ^з(гЗг(кз + 1) + - 1) + С32) < ¡Л2{г2г + С22) + С2Ь

/ п п \

Е «I — (п — 2)а 22 «I — (п — 2)а

I =1 I =1

1* _ 1 _ _о

п1

п1

, если выполняются нера-

венства

+ 1) + \{п - 1)) + С1 < Цз(гзг(кз + 1) + с32), М1(гц(к1 + 1)) + С1 < М2<У2» + с22) + с21 < А«1Г1г((А;1 + 1) + ^(п - 1)) +

5) Р*

0,1 -

Е Ьз — (п — 2% Е Ьз — (п — 2%

з =1 з =1

3=г 3=г

п1

п1

если выполняются нера-

венства

\ ^з(гзг(кз + 1) + ^Г3г(п - 1) + с32) < щ(ги(к1 + 1)) + СЬ

\мз(гзг(^з + 1) + С32) < М2<у2» + с22) + С21 < ^з(гзг(кз + 1) + ^¿(п - 1) + с32);

6) р*

22 — (п — 2)3,1 Е — (п — 2)3,1

г =1 г=г

п1

0, 1

г=г

п1

если выполняются нера-

венства

г

+ 1) + - 1)) + С1 < М2<У2» + с22) + с2Ь + 2) + ^гзДп - 1) + с32) < /х2(»"2» + с22) + с2Ь + 1)) + С1 < т(г^(к3 + 1) + - 1) + с32),

+ 1) + с32) < А«1Г1г((А;1 + 1) + ^(п - 1)) + С1;

7) р*

Е «I — (п — 2)аг

I =1 1фг

п1

1

Е «I — (п — 2)«г I =1 1фг

п1

Е Ьз — (п — 2)Ь<

з =1 3=г

п1

Е Ьз - (п - 2)Ь<

з =1 3=г

П — 1

если выполняются неравенства

/

И1(гц(к1 + 1)) + С1 < + С22) + С21 < /Х1(гн(/г1 + 1) + ~ 1) + С1),

+ 1) + С32) < М2(?*2г + С22) + С21 < т(г^(к3 + 1) + - 1) + с32),

+ 1)) + С1 < т(г^(к3 + 1) + - 1) + с32),

+ 1) + С32) < + 1) + - 1)) + с1-

Здесь г = 1,

4

(Г21 + С22)М2 - + 1)^1 - С1 + С21

аг = -1-,

2М1г1г

, _ {г21 + С22)М2 ~ г*а(к3 + 1)^3 - + с21

— 1 :

М1Г1»((&1 + 1) + НП ~ 1)) ~ Г3»(^3 + 1)МЗ ~ Г31С32Ц3 + С1

2 1

= 0, если у фирмы 1 нет клиентов в очереди и на обслуживании, к1 = 1, если у фирмы 1 на обслуживании находится один клиент и нет клиентов в очереди, к1 > 1, если у фирмы 1 на обслуживании находится один клиент и к1 - 1 клиент в очереди, к3 = 0, если у фирмы 1 нет клиентов в очереди и на обслуживании, к3 = 1, если у фирмы 1 на обслуживании находится один клиент и нет клиентов в очереди, к3 > 1, если у фирмы 1 на обслуживании находится один клиент и к3 - 1 клиент в очереди.

Квадратная скобка в условии 6) означает, что должно выполняться одно из предложенных условий.

Доказательство. Обозначим через вероятность того, что в со-

вокупности, содержащей I клиентов, г игроков выберут фирму 1. В рассматриваемой задаче предполагается, что совокупность состоит из п игроков, поэтому математическое ожидание времени до начала обслуживания игрока г без учета времени на обслуживание к1 игроков, уже находящихся на обслуживании в устройстве 1, примет вид

п-1

Е тРт'(п — 1), аналогично для устройства 3-Е ^МзъРу (п — 1).

т=0 у=0

Теперь можно записать условное среднее время до полного выполнения заказа при

условии, что игрок г обратился к устройству 1, 2 или 3:

1 п- 1 1 п- 1

=к1(Л! + 42) =М2, = k3ц3 + -ц3YJhPh\n-l)+^

l=o к=0

Математическое ожидание числа игроков, выбравших устройство 1, из совокупности п- 1 игрока без учета игрока г, а также клиентов, ранее принятых на обслуживание

в устройство 1, можно записать как сумму вероятностей «успехов» в независимом испытании

п-1 п т

Ет(п — 1)= Е р

1=0 т =1

т=г

Функции потерь игрока г при выборе устройства 1, 2 или 3 соответственно будут выглядеть следующим образом:

/

Я И = Гц

+ Р+ + СЪ Q2i = {Г2г + С22)М2 + С21,

т =1 т=г

Язг = М3

Ы^з + 1) + Т/Зг £ + С32 •

\

г =1 г=г

Сумма Е рг3 легко может быть выражена через Е р™1.

г =1 т =1

г=г т=г

Функция ожидаемых потерь игрока г примет вид = рг(Яи — Я2г) + Я2г + рг(Язг — Я2г). Игрок г стремится минимизировать ожидаемые потери Нг. Будем рассматривать выражения для — и —

/

Ян — Я2г = М1

Гн(/г1 + 1) + ^Гн X | - /Х2(»"2» + с22) - С21 + СЬ

т =1

\ т=г

/

Язг — Я2г = М3

Г3г(>3 + 1) + ^ + С32 - /Х2(»"2» + С2г) ~ С21,

V

г =1 г=г

Язг — Яи = М3 /

V

(Лз + 1) + -гз< X рг(3) +

Г3г

\ I =1

V 1=г

С32 I —

М1

Гц(к1 + 1) + -г и

1 — ¿2 р

С1.

\ I =1

Покажем, что вектор (р*, ...,р*п) действительно представляет собой точку равновесия. Возможны следующие ситуации: 1. Если

|Я1 — Я2 < 0, — Я3 < 0,

то игрок г должен выбрать р* = (1,0, 0), г = 1,...,п.

2. Если

Я2 - Я3 < 0, Я2 - Я1 < 0,

то игрок г должен выбрать р* = (0,1, 0), г = 1,...,п.

3. Если

{яз - Я1 < 0, \Яз - Я2 < 0,

то игрок г должен выбрать р* = (0,0,1), г = 1,...,п.

4. При нарушении первого из условий в ситуации 1 и второго из условий в ситуации 2

величина Е рт определяется единственным образом из решения уравнения Ян -

т =1 т=г

Я2г = 0:

р

т =1 т=г

(1) т

(г2г + С22)М2 - Г1г(к1 + 1)^1 - С1 + С21 .

г = 1,...,п.

2/"1г1г

Введем обозначения а»

(г2г + С22)М2 - Г1г(к1 + 1)^1 - С1 + С21 .

г = 1,...,п.

Решая эту систему, находим р», г = 1,...,п:

(1) - (п - 2)а1 + а2 + ... + ап

Р\ =-1-;

п - 1

(1) а1 - (п - 2)а2 + ... + ап

Р2 =-;-,

2 п — 1

(!) _а\ + а-2 +    - (п - 2)ап

Рп -I

п1

Легко показать, что 0 ^ р» ^ 1.

п

Е а1 - (п - 2) а»

Таким образом, р* =

I =1 1=г

п1

1

Е а1 - (п - 2) а»

I =1 1фг

п1

г = 1,...,п.

\ /

5. При нарушении второго из условий в ситуации 3 и первого из условий в ситуации 2 величина Е определяется единственным образом из решения уравнения Я3» -

г =1 х=г

Я2г = 0.

Аналогично случаю 4 имеем

/

„(3)*

0, 1

Е Ьз - (п - 2)6» Е Ьз - (п - 2)6

з =1 з =1

3=г 3=г

п1

п1

0

, (Г2г + С22)М2 — Г3г (к3 + 1)^3 — Г3гС32^3 + С21 . ,

Ьг = -:-, 1=1,...,П.

6. При нарушении второго из условий в ситуации 1 и первого из условий в ситуации 3 и выполнении первого из условий в ситуации 1 либо второго из условий в ситуации 3 величина £ р(3) находится единственным образом из решения уравнения

I =1 =

Я3г — Яи = 0.

Аналогично случаю 4 получаем

пп

( £ 3г — (п — 2)3* £ 3г — (п — 2)3*\

, 0, 1

г =1 г=г

г =1 г=г

п1

п1

\

3г =

+ 1) + \{п ~ 1)) - + 1)/х3 - г34с32/«3 + с 1

2

/

г = 1,...,п.

,

7. При нарушении всех условий из ситуаций 1-3 величины £ рт1 и £ р^ опре-

т =1 г=1

т=г г=г

деляются единственным образом из решения системы

Я 1г — Я2г = 0,

Я3г — Я2г = 0,

р

£ «I — (п — 2)«г I =1 1фг

п1

1

£ «I — (п — 2)«г I =1 1фг

п1

£ Ьз — (п — 2)Ьг

з =1 3=г

п1

£ Ьз — (п — 2)Ьг

з =1 3=г

п1

г = 1,...,п.

Теорема доказана.

Литература

1. Буре В. М. Теоретико-игровая модель одной системы массового обслуживания // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2002. Вып. 2 (№ 9). С. 3—5.

2. Буре В. М., Сергеева А. А. Конкуренция двух фирм на рынке логистических перевозок // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2011. Вып. 3. С. 22-28.

р

3. Петросян Л. A., Зенкевич Н. A., Семина Е. A. Теория игр: учеб. пособие для ун-тов. М.: Высшая школа; Книжный дом «Университет», 1998. 304 с.

4. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: в 2 т. / пер. с англ. Ю. В. Прохорова; предисл. А. Н. Колмогорова. М.: Мир, 1984. Т. 2. 751 с.

5. Чейз Р., Джейкобс Ф, Аквилано Н. Производственный и операционный менеджмент. 10-е изд. / пер. с англ. О. А. Островской, О. Л. Пилявского; под ред. Н. А. Коржа. М.: ООО «И. Д. Ви-льямс», 2007. 1184 с.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья принята к печати 20 октября 2011 г.