Применение канонических систем счисления в задаче построения неразделимых хааро-подобных вейвлетов

ПРИМЕНЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ПОСТРОЕНИЯ НЕРАЗДЕЛИМЫХ ХААРО-ПОДОБНЫХ ВЕЙВЛЕТОВ

А.М. Белов

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева Институт систем обработки изображений РАН

Аннотация

В работе обобщается способ построения хааро-подобного (Haar-type) ортонормального вейвлет-базиса над L2(Rn) на основе характеристических функций фундаментальных областей систем счислений. В прототипной работе построение Хааро-подобного вейвлет-базиса основывалось на существовании позиционной системы счисления в кольце целых гауссовых чисел. В настоящей работе рассмотрено построение Хааро-подобного вейвлет-базиса над L2(R2) ассоциированных с каноническими системами счисления в других квадратичных полях.

Введение

В настоящее время вейвлет-преобразование нашло широкое применение в обработке изображений, особенно в задачах компрессии цифровых изображений. Большинство вейвлетов, используемых в обработке изображений являются разделимыми, что влечет появление различных артефактов на изображении, включая блочные и линейные, к которым глаз человека особенно чувствителен [1]. В связи с этим, возникает вопрос о необходимости, разработки методики построения неразделимых вейвлет базисов.

В работе [2] был рассмотрен вопрос о конструировании многомерных неразделимых аналогов базиса Хаара. Такой вейвлет был определен, как вейв-лет-базис над ¿2

функция компактного множества Q :

Xq (x) =

1 x е Q, о x г Q.

В этой же работе показано, что такой вейвлет-базис над 1?(Яп) может быть построен на основе характеристической функции ^ (х) компактного множества Q, только тогда, когда Q - интегральное самоподобное покрытие Яп с единичной мерой Лебега.

Построение таких преобразований, а именно отыскание масштабирующей функции является довольно сложной задачей, что затрудняет использование этого метода. В работах [1], [3] был предложен эффективный и простой метод построения таких вейвлет-базисов над £2(Я2) с использованием результатов теории канонических систем счисления (КСС). В этой работе была рассмотрена возможность построения таких вейвлет-базисов, только для систем счисления, основаниями которых являются целые Гауссовы числа.

В настоящей работе представлено обобщение метода построения неразделимых Хааро-подобных

вейвлет-преобразований для всех мнимых квадратичных полей, в которых существуют позиционные системы счисления.

Структура статьи следующая. В разделе 2 будут даны необходимые определения из теорий кратно-масштабного анализа [2] (КМА). В разделе 3 представлены сведения из теории канонических систем счисления. Далее, в разделе 4 приведено теоретическое обоснование предложенного обобщения метода построения неразделимых вейвлет-преобразований. Методика построения неразделимых хааро-подоб-ных вейвлет-базисов для произвольной системы счисления приведена в разделе 5. В разделе 6 приведены примеры.

2. Некоторые определения из теории

кратномасштабного анализа

Определение 1: Линейное преобразование А, определенное на множестве Яп, является допустимым растяжением для решетки Г = Z2 на множестве Яп если оно удовлетворяет следующим условиям:

1) AZ2 с Z2, где АГ = {у: у = Ах, х е Z2};

2) Для всех собственных чисел преобразование выполняется |Хг-1 > 1.

Другими словами, матрица преобразования А должна быть целочисленной матрицей расширяющего преобразования.

Определение 2: Вейвлет-базис В, связанный с матрицей допустимого растяжения А , это семейство функций, из ¿2(Я2), членами которого являются

А - растяжения и Zn - сдвиги конечного ортонор-мированного множества

£ = {У ... ут} с 12(Яп), где т е N .

3. Канонические системы счисления

в квадратичных полях

Пусть есть квадратичное поле

) = {г = а + ; а,Ь е (} , ё е Z, свободно от

квадратов. В работе будем рассматривать мнимые квадратичные поля, т.е. ё < -1.

Определение 3: Если для элемента г = а +ъ4й е о(4й) норма и след - целые числа:

Norm( z) = (a + b4d)( a - b4d) =

= a2 - db2 e Z,

Tr(z) =(a + bjd) + (a - = 2a e Z,

то элемент называется целым алгебраическим числом поля Целое алгебраическое число

г = а называется целым Гауссовым числом,

если а е Ъ и Ъ е Ъ .

В работах [5], [6] введено понятие канонической системы счисления в кольце ) целых элементов поля

Определение 4: Целое алгебраическое число называется основанием канонической системы счисления в кольце целых поля ), если любой целый элемент поля однозначно представим в форме конечной суммы:

k

Z = ^ z a j

j=о

z; а, zj

\D = {0,1,...,| Norm (a )| -1}.

Определение 5: Пара (а, Б) называется канонической системой счисления в кольце 8(л/^) целых поля ).

Иногда для представления некоторого числа г в КСС (а, Б) используют, так называемую позиционную запись: г = ((г), (гн ... го)а , где г] е Б .

Лемма 1: Пусть Б - множество цифр некоторой КСС в кольце $>(л[ё) целых элементов поля 0_(\[ё), а - ее основание, тогда Б - полная система вычетов по модулю а для кольца S(^/d) и содержит Ывгш(а) элементов.

Доказательство: Согласно определению КСС, любое число представимо в форме

t

г = ^ а^ а1, а^ е Б , тогда г = а0 mod(a), следова-

1 =о

тельно, множество Б является системой вычетов по модулю а . Покажем, что эта система является полной: предположим, что существуют такие с, d е Б , такие, что с ф d но с = d mod(a). Возьмем

t

е = ^ а^ а1, а^ е Б, такое, что с - d = еа, тогда

1=о

(с)а и (а(... а^ )а - две различные записи числа с в позиционной КСС, что противоречит однозначности представления чисел в системе счисления.

Лемма 2: Пусть (a, D) - КСС в кольце S(Vd), ее основание - число a = a + b<Jd , a, b e Q а множество D = {d(), di, d2 ... d|Norm(a)|-1} - набор ЦИФP, тогда:

( a bd Л

a) матрица умножения A = 1 I произвольного

^ b a J

числа z e S(Vd) на основание системы счисления а будет являться матрицей допустимого

растяжения для Z2 , либо сводится к таковой умножением на 2;

b) множество K = {k0, kx... kNorm(a)|-1}, состоящее

из Norm (a) элементов и построенное по правилу kl = dl, будет полной системой вычетов для множества классов эквивалентности Z2 / AZ2. Доказательство:

а) Покажем, что элементы матрицы A целые числа. Пусть d = 2, 3 mod(4), тогда из (1) и (2) следует что a e Z. Перепишем (1) в виде b2d = Norm(a) - a2, здесь правая часть - целое число, следовательно, левая часть также должна быть целым числом. Так как b e Q, то m

b = —, m e Z, n e N. Переписав равенство, получим

n

m2 2 m2

—— d = Norm(a) - a2. Левая часть — d будет це-

n2 n2

лой, только когда n2 | d, поскольку, по определению КСС, число d - свободно от квадратов, то

единственно возможный случай: n = 1. Тогда

m

b = — = m, m e Z. 1

Пусть d = 1mod(4), тогда из (1) и (2) следует, что 2a e Z. Перепишем (1) в виде 4b2d = 4 Norm(a) - 4a2, здесь правая часть - целое число, следовательно, левая часть также должна быть целым числом. Так как b e Q , то m

b = —, m e Z, n e N. Переписав равенство, получим

n

22 mm

4--d = 4Norm(a) - 4a . Левая часть 4—-d будет

n2 n2

целой, только когда n2 |4d, поскольку по определению КСС число d - свободно от квадратов, то возможны только два случая: n = 1, тогда

mm b = — = m, m e Z и n = 2, тогда b = —, m e Z . 12

Для обоих рассмотренных случаев матрица A -либо целочисленная, либо сводится к таковой умножением всех элементов на два.

Покажем, что матрица A - матрица расширяющего преобразования. Рассмотрим

det(A) = a - Ьd = Могт(а) > 2. Собственные значения матрицы определяются из уравнения

0 = det(А-XI) = (а- X)2 -Ь2ё =

=

и равны X = а ± Ь^ . Так как Могт(а) > 2 , то

X = а > 1. Нетрудно видеть, что для матрицы

А' = 2А , это неравенство также справедливо, т.к. для этого случая X = 2(а ± ) и, следовательно, |Х| > 1.

Таким образом, матрица А - целочисленная матрица расширяющего преобразования, следовательно, является матрицей допустимого растяжения согласно определению 1.

Ь) Покажем, что К будет полной системой вычетов для множества классов эквивалентности Z2 / AZ2. Пусть V = (х, у)Т е Z2, где Т - символ транспонирования, тогда г = х + у Л е $>(л[ё). Так как (а, В) - КСС, то В - полная система вычетов для множества

/а согласно лемме 1.

Тогда существует единственное е В, такое, что, г = та + для некоторого т = 5 + е ), поэтому v = А(5, /)Т + , е К и число к1 уникально. Если это не выполняется, то должен существовать элемент е В, Ф ё,, такой, что

= па + ё р

,р , для некоторого п е что проти-

воречит однозначности представления г в системе счисления (а, В).

Пусть задана система счисления (а, В), тогда произвольное комплексное число г е С будет иметь вид [7]:

к

= !

1 =0

а1 +

е В -

где первой сумме соответствует целая часть г , а второй - дробная часть г .

Определение 6: Фундаментальной областью Т(а, В) е С КСС (а, В) в кольце целых

элементов поля ((л/ё), назовем множество комплексных чисел с нулевой целой частью, т. е:

-1

Т(а, В) = X а1, е В .

1=-<»

Так, например, в кольцах 8(%/-7) существуют бинарные системы счисления, основания которых, соответственно: а = -1 +г,

= -1 + ¿>/7

,=¡л

2

. Фундаментальные области

Рис. 1. Фундаментальные области, бинарных канонических систем счисления:

а) а = -1 + г б) а = ¡42 в) а =

Покажем, что фундаментальные области КСС образуют непересекающееся самоподобное покрытие комплексной плоскости:

Теорема 1: Пусть пара (а, В) КСС - в кольце ) целых элементов поля ), тогда сдвиги

фундаментальной области Т(а, В) этой КСС на

слагаемое из кольца образуют непересе-

кающееся покрытие комплексной плоскости С , т. е. выполняется следующее:

С = У sеS

(Т (а, В) + (Т (а, В) + 52) = 0,

51 Ф 52, 51,52 е 8(%/ё).

Доказательство: Любое число г е С предста-вимо в КСС (а, В) в виде бесконечной суммы и может быть представлено в виде

к

г = X 21 а1 + Т(а, В), е В. Следовательно, варь-

1 =о

к

ируя целую часть X г] а1, ^ е В, можем покрыть

1=о

сдвигами фундаментальной области Т(а, В) всю комплексную плоскость С . Поскольку

к

а1, е В

есть запись целого числа

этих систем счисления представлены на рис. 1.

X

1=0

5 е ), получим, что Т(а, В) покрывает комплексную плоскость С посредством сдвигов на слагаемое из Исходя из единственности пред-

ставления числа г е С в КСС (а, Б), можем утверждать, что фундаментальные области не пересекаются, т.к. предположение обратного приводит к противоречию.

4. Теоретическое обоснование обобщения метода построения неразделимого вейвлет-преобразования

1) В работе [3] сформулированы следующие три теоремы, которые можно рассматривать как критерии построения КМА, ассоциированного с парой (Ъ", А):

Теорема 2: [3] Пусть А допустимое растяжение для Ъ" и Q - измеримое подмножество Я". Тогда

функция ф = | 1 является масштабирующей

функцией КМА ассоциированного с парой (Ъ",А), и только если выполняются условия:

1) Q покрывает Я" посредством целочисленных сдвигов;

2) AQ = ^ ^ + к) для некоторой полной системы

кеК

вычетов К для Ъ" / АЪ" ;

Теорема 3: [3] Пусть К - полная система вычетов для множества классов эквивалентности

Ъ" / АЪ". Тогда любое интегрируемое решение уравнения ф(х) = ^кеК ф(Ах - к) единственно

вплоть до умножения на константу и имеет носитель в компактном множестве вида

Теорема 4: [3] Пусть А допустимое растяжение для Ъ" и Q с Я". Тогда функция Ф = XQ является масштабирующей функцией КМА, ассоциированного с парой (Ъ", А) тогда и только тогда, когда |<2| = 1 и Q имеет вид данный в теореме 3 для некоторой полной системы вычетов множества классов эквивалентности Ъ" / АЪ" .

С учетом этих критериев сформулируем и докажем основную теорему:

Теорема 5: Пусть задан КСС (а, Б), ее основание а = а + , матрица А определена как

( а -ЪdЛ А =1 I, множество К =

^ Ъ а )

построено по правилу к1 = dl е Б и множество Q

(« 1 имеет вид Q = <1^ А гк1 : к1 е К >, тогда функция

является масштабирующей функцией для КМА, ассоциированного с парой (Ъ2, А).

{к0, к1 к|№гш(а)|-1} '

Доказательство: Согласно лемме 2 матрица А является допустимым растяжением для Ъ , а множество К - полной системой вычетов для множества классов эквивалентности Ъ2 / АЪ2. Выберем фундаментальную область Т(а, Б) КСС (а, Б) множеством Q, которое является множеством дробных частей и имеет единичную меру Лебега. Его сдвиги образуют

непересекающееся покрытие плоскости Я 2 . Тогда по теоремам 2,3 и 4 следует утверждение.

5. Построение вейвлет-базиса Хааро-подобного вейвлет-преобразования для произвольной КСС

Пусть задана КСС (а, Б) и ее основание

а = а

+ Ъ^ . Основным этапом построения искомого вейвлет базиса ассоциированного с данной КСС будет формирование матрицы допустимого растяжения А для Ъ2. Согласно и лемме 2, искомой матрицей будет матрица умножения произвольного числа г е ) на основание системы счисления а , которая имеет вид: 'а Ъd Л

А=

Ъ а

а полной системой вычетов будет множество вида:

К = {0,1,...,|Ывгш(а)\ -1} ,

Пусть А = q , тогда, как показано в [2] вейв-

лет-базис искомого преобразования будет задаваться следующим соотношением:

V =Х и+1,1ф

^ 1, к,

1=1

где иг 1 - элементы унитарной матрицы и в которой и11 = q~1/2, ] = 1. q , к^ е К Ф=XQ - характеристическая функция фундаментальной области КСС (а, Б).

6. Примеры

Здесь рассмотрим примеры построения матрицы растяжения А и полной системы вычетов К для трех бинарных систем счисления, фундаментальные области которых представлены на рис. 1.

1) а = -1 + г, К = Б = {0,1}, согласно (4), тогда со-

(-1 -1Л

гласно (3), получим А = 1 I.

2) а = гч/2, К = Б = {0,1}, согласно (4), тогда, со-

(0 -2Л

гласно (3), получим А =

1 0

3) а = 1 ^ , K = D = {0,1}, согласно (4), тогда,

2

согласно (3), имеем A =

Г-1/ /2

1/ \/2

-7/ ^ 2

нормировку,

'-1 -7

получим

-к

к ' = {0,2}

и, проведя

A =

Вейвлет-функция, для трех рассмотренных случаев, согласно (5), будет иметь вид: У(х) =Хг (Ах - к!)(Ах - к2), где XQ - характеристическая функция фундаментальной области, А - матрица допустимого растяжения, кг - элементы множества К, соответствующих КСС.

Заключение

В работе показано, что метод построения неразделимых хааро-подобных вейвлетов, предложенный в прототипной работе может быть обобщен для всех мнимых квадратичных полей, в которых существуют позиционные системы счисления. Даны практические рекомендации по построению матрицы допустимого растяжения и полной системы вычетов для построения вейвлет-преобразований такого типа. Предложенный подход значительно расширяет класс неразделимых вейвлет опреобразований, и найдет свое применение в задачах компрессии цифровых изображений.

Благодарности

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования РФ, Администрации Самарской области и Американского фонда гражданских исследований и развития (CRDF Project SA-014-02) в рамках российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (BRHE), а также при поддержке гранта Президента РФ № НШ-1007.2003.01 и гранта РФФИ № 05-01-96501.

Литература

1. Mendivil F., Piché D. Two Alghoritms for Non-Separable Wavelet Transforms and Applications to Image Compression // Fractals: Theory and Applications in Engineering, Springer-Verlag, 1999.

2. Grochenig K., Madych W.R. Multiresolution Analysis, Haar Bases, and Self-Similar Tilings of Rn // IEEE Trans. Inform. Theory, 1992. 38. Р. 556-568.

3. Piché D.G. Complex Bases, Number Systems and Their Application to Fractal-Wavelet Image Coding // PhD in Applied Mathematics thesis. Ontario, Canada: University of Waterloo, 2002.

4. Mallat S. Multiresolution analysis and wavelets // Trans. Amer. Math. Soc., 1989. 315. Р. 69-88.

5. Katai I., Kovacs B. Canonical number systems in imaginary quadratic fields // Acta Math. Acad. Sci. Hungari-cae, 1981. 37. Р. 159-164.

6. Katai I., Szabo J. Canonical number systems for complex integers // Acta Sci. Math.(Szeged), 1975. 37. Р. 255-260.

7. Gilbert W. Complex Based Number Systems (Manuscript). Ontario, Canada: University of Waterloo, 2002.

и