Исследование особенностей кинетики тепловых фононов и структуры оксидных нанокерамик

УДК 546.621/623:17

ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ КИНЕТИКИ ТЕПЛОВЫХ ФОНОНОВ И СТРУКТУРЫ ОКСИДНЫХ НАНОКЕРАМИК

КАРБАНЬ О.В., САЛАМАТОВ Е.И.

Физико-технический институт УрО РАН, 426000, г. Ижевск, ул. Кирова, 132

АННОТАЦИЯ. Изучены особенности кинетики слабонеравновесных тепловых фононов (НФ) субтерагерцового диапазона в нанодисперсных железосодержащих керметах на основе корунда в области гелиевых (He-) температур. Показано, что при выбранном способе приготовления керметов, ограничивающем рост зерен железа, включения железа можно описывать как точечные центры захвата фононов. Изучены особенности транспорта НФ в керамической матрице с центрами захвата металлической природы.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: керметы, транспорт слабонеравновесных фононов.

Интерес к материалам, синтезированным по керамической технологии из нанопорошков, обусловлен широким спектром их физических и конструкционных свойств. Более высокая температура плавления, твердость, износостойкость, химическая инертность, малый удельный вес - те свойства, по которым керамики могут превосходить металлы. В то же время отсутствие пластичности (хрупкость), низкие значения ударной вязкости ограничивают применение керамики как конструкционного материала. Введение в диэлектрическую керамическую матрицу металлической фракции позволило создать композиционные материалы (керметы), совмещающие достоинства керамик и металлов. В качестве включений пластичного металла, как правило, использовались Ag, Al, Ni, Fe и т. д. [1 - 4].

Важное требование, предъявляемое к керметам - металлические включения должны плотно связывать керамическую матрицу, а их характерные размеры не должны превышать критический размер, при котором термические напряжения могли бы индуцировать трещины вокруг зерен металла. Чем меньше размер зерен металла в диэлектрической керамической матрице, тем большими могут быть различия в коэффициентах теплового расширения металла и материала матрицы, поскольку термические напряжения ~ R3 [5].

При переходе в ультрадисперсное состояние физические и конструкционные свойства материала могут существенно изменяться. В работе [6] было показано, что теплофизические свойства нанодисперсных композитов YSZ+14%Al2O3 в области Не-температур резко менялись в результате образования «щели» в фононном спектре. Этот эффект связан с соразмерностью части фрагментов структуры и длины волны тепловых фононов. Наличие фракции металла в наноструктурных композитах может существенно изменять транспортные свойства фононов субтерагерцового диапазона не только по причине резонансного рассеяния на фрагментах структуры, но и из-за эффективного электрон-фононного взаимодействия в зернах металла в условиях низких температур, когда qlel >> 1 (q - волновой вектор фонона, lel - длина свободного пробега электрона в металле).

Цель работы - изучение транспортных свойств фононов субтерагерцового диапазона, особенностей фононного спектра и структуры нанодисперсных железосодержащих керметов на основе матрицы Al2O3.

ОПИСАНИЕ СТРУКТУРЫ ИССЛЕДУЕМЫХ ОБРАЗЦОВ

Смеси исходных порошков для создания образцов керметов с нанодисперсной фракцией железа

[8]. Мощность УЗВ воздействия составляла 0, 1, 3 кВт. Отжиг образцов проводился в резистивной печи в вакууме 1,33-10 Па при T = 1400 °C. По данным рентгеноструктурного и рентгенофазового анализа наблюдался фазовый переход метастабильных оксидов алюминия

в высокотемпературную а-фазу и формирование шпинельной фазы FeAl2O4 с одновременным уменьшением ширины структурных рефлексов а-Ре вследствие процесса рекристаллизации. Размер кристаллитов (ОКР) А1203 составлял 60 - 160 нм и слабо зависел от мощности УЗВ воздействия (табл.).

Таблица

Размер ОКР, коэффициент диффузии слабонеравновесных тепловых фононов и показатель степени температурной зависимости коэффициента диффузии в зависимости от фазового состава керметов, режима прессования и температура спекания

№ Состав фаз, вес. % Режим прессования УЗВ, кВт Т емпература/ время спекания, °С/ч Размер ОКР А1203 Коэффициент диффузии D при Т = 3,86 К, см2/с Показатель степени температурной зависимости, к

1 А1203 5%Бе 0 1400/0,5 155 4,24-10-2 3

2 А1203 10%Бе 0 1400/0,5 94 3,26-10-2 2

3 А1203 15%Бе 0 1400/0,5 79 2,30-10-2 1

4 А1203 15%Бе 0 1450/2,0 >300 2,27-10-1 1

5 А1203 5%Бе 1 1400/0,5 74 3,20-10-2 3

6 А1203 10%Бе 1 1400/0,5 68 2,86-10-2 2

7 А1203 15%Бе 1 1400/0,5 65 2,65-10-2 1

8 А1203 5%Бе 3 1400/0,5 93 5,60-10-2 3

9 А1203 10%Бе 3 1400/0,5 87 3,38-10-2 2

Содержание шпинельной фазы не превышало 3 % по весу. По данным АСМ исследований поверхности скола образ-цов в режиме топографии (рис. 1) кристаллиты А1203 были объединены в зерна, размер которых определяется температурой и временем выдержки и не зависит от содержания железа.

Рис. 1. АСМ-изображения поверхности сколов образцов с 15 вес.% Fe, скомпактированных при 0 кВт спеченных при а - 1400 °С и выдержке 0,5 ч; б — 1450 °С и выдержке 2 ч

На рис. 1, а показана типичная для всех концентраций морфология поверхности сколов образцов, отожженных при температуре 1400 °С, а на рис. 1, б - для образца отожженного при температуре 1450 °С с двухчасовой выдержкой.

В режиме фазового контраста на общем фоне поликристаллического ансамбля зерна металла (рис. 2) видны в виде гранул размером RFe = 30 - 80 нм, распределенных по поверхности скола равномерно, не образуя кластеров или перемычек. Форма гранул близка к сферической.

О 0,5 1,0 1,5 2,0

ут

Рис. 2. АСМ изображение образца в режиме фазового контраста с 10 вес.% Fe. Светлые участки соответствуют более мягкой металлической фазе

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ КИНЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕПЛОВЫХ ФОНОНОВ В ОБЛАСТИ По-ТТМІІІРЛТУР И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

В работе анализировалось распространение слабонеравновесных тепловых фононов (НФ), создаваемых импульсным нагревом пленки металла (золота), нанесенной на один из торцов исследуемого образца. Образцы керметов Al2O3+xFe (х = 5, 10, 15 вес. %) представляли собой тонкие пластины толщиной (1,3 - 1,5)-10-2 см и площадью около 0,5 см2.

Прошедший через исследуемый образец импульс фононной неравновесности в режиме диффузии регистрировался на противоположном торце широкополосным приемником -болометром на основе сверхпроводящей пленки олова. Измерения проводились при гелиевых температурах, что позволяло пренебречь неупругим фонон-фононным рассеянием за время регистрации сигнала. Температура термостата Т0 могла меняться путем откачки паров Не в интервале 1,5 - 3,8 К. Рабочая точка болометра смещалась по температуре полем сверхпроводящего магнита, расположенного в непосредственной близости с болометром. Мощности, выделяемые в пленке металла, составляли 10-2 - 10-1 Вт/мм2 (длительность импульса ~ 100 нс). При этом пленка нагревалась до температуры Ту,, такой, что АТ = Ту - Т << Т). Это позволяло считать, что распределение термализованных в пленке инжектора фононов имело температуру термостата, а проведение измерений при различных Т0 - получать температурные характеристики рассеяния НФ тепловых частот.

Диффузионный характер распространения НФ описывается уравнением

Ц-=-1 дТ,

дх D дг

где D = - коэффициент диффузии; ^ сЛ! - теплопроводность и теплоемкость материала,

соответственно.

Измеряемой в экспериментах величиной являлось гт - время прихода на болометр

максимума диффузионного сигнала гт = L2/2D, где D = 1/3 IV, I - длина свободного пробега

НФ, V - средняя по поляризациям скорость фононов; L - размер образца в направлении

распространения НФ.

На рис. 3 представлена зависимость D(R) при Т = 3,86 К в базовой керамике А120з из работы

[9]. Видно, что при qR > 20 (для А1203 V = 7,5-105 см/с) D(R) ~ R. При qR < 10, что характерно для среднего размера зерна А1203 в исследуемых керамиках, помимо геометрического рассеяния достаточно четко начинает проявляться резонансное рассеяние НФ.

Структурные параметры

образцов, условия технологических режимов, измеренные значения коэффициента диффузии при Т = 3,86 К, показатели температурных зависимостей D(T) ~ Т в интервале температур 2,3 - 3,86 К в исследованных образцах керметов приведены в представленной выше таблице.

Рис. 3. Зависимость величины коэффициента диффузии от среднего размера зерна .О(Я) в керамике А1203 при Т = 3,86 К

Из анализа экспериментальных результатов необходимо отметить 3 главные особенности:

1. Уменьшение абсолютных коэффициентов диффузии при Т = 3,86 К по мере роста доли металлической фазы.

2. Очень малые значения коэффициента диффузии (на 2 порядка меньше, чем получаемые на основании базовой зависимости О(Я) ~ Я в области геометрического рассеяния НФ, рис. 3).

3. Температурная зависимость П(^ ~ Т1, И = 1^3 и уменьшается по мере увеличения количества металлической фазы.

Казалось бы, чем больше доля металлической фазы, тем выше теплофизические свойства композита, как это следует из модели [10], когда эффективный коэффициент теплопроводности, а, следовательно, и коэффициент диффузии фононов в макроскопическом диэлектрическом образце должен возрастать по мере возрастания объемной доли железа. Однако в наших исследованиях наблюдается обратная картина.

С другой стороны, в нашей предыдущей работе [6] была представлена теоретическая модель, описывающая транспорт НФ в наноструктурных керамиках, основанная на концепции случайно распределенных в пространстве сферических оболочек, моделирующих межзеренные границы, с упругими свойствами отличными от упругих свойств зерен. Было показано, что перестройка фононного спектра керамики за счет рассеяния фононов на наноструктурных объектах в области дЯ ~ 1 может приводить к различным температурным зависимостям коэффициента диффузии НФ и значительному уменьшению его абсолютных значений. Но для исследуемых в работе керметов данная модель не работает. Поясним это на простом примере.

На рис. 4 из работы [6] представлены зависимости коэффициента диффузии от параметра х= дЯ ~Т при различных значениях параметра хг = а>гЯ/у, где а>г - резонансная частота рассеяния НФ на оболочках радиуса Я. Параметр хг является основным параметром модели, при изменении которого можно получить широкий спектр коэффициента диффузии и его температурной зависимости в области дЯ порядка нескольких единиц, что и демонстрирует рис. 4. Тем не менее измеренные в работе значения коэффициента диффузии D < 0,05 см2/с при Т = 3,86 К могут реализоваться только у края щели, где коэффициент диффузии растет с температурой экспоненциально, что не соответствует наблюдаемым температурным зависимостям О(Т) ~ Т1-3. Наличие в системе более мелких включений (металлическая фракция), изменяя положение щели (минимума), качественно не может изменить характер поведения D(T), т. е. для объяснения полученных результатов необходимо привлечь дополнительный механизм, например, рассмотреть зерна металла как центры захвата НФ.

Тот факт, что фрагменты нанодисперсной фракции металла могут являться «ловушками» НФ следует из соотношения времен электрон-фононного взаимодействия те-рИ по сравнению с временем баллистического пробега НФ в объеме зерна железа тЯ = Яре /ус.

О 10

100

0.1

Рис. 4. Коэффициент диффузии .О(х), рассчитанный для различных значений резонансной частоты

Снизу вверх хг = 0,5; 1,0; 1,5.

Верхняя кривая - случай абсолютно твердых сфер [6]

10

X

Если

а коэффициент выхода НФ из зерна 10-2 < с <1, то зерна металла могут являться “ловушками”

для НФ. При д1е1 >> 1 те_ рк=—6—----------— [11], где п - концентрация железа; т - масса

жnmVF т

электрона; VF - скорость Ферми.

Оценки показывают, что неравенство (2) в условиях эксперимента выполняется для

k Т

о > 1012 (с = 0,1). В то же время при Т = 4 К т = ---------= 5 • 1011 с-1. Таким образом,

к

кТ

НФ с частотой о > (2 ^ 3)----- из области фононного спектра, соответствующей максимуму

к

спектральной плотности планковского распределения при Т > 4 К, успевают провзаимодействовать с электронами металла.

О наличии факторов, затрудняющих выход НФ из зерен металла, может свидетельствовать тот факт, что акустические импедансы металла и корунда существенно различны, а если вокруг зерен металлической фазы имеется прослойка шпинели FeAl2O4, то соотношение акустических импедансов железа и шпинели составляет примерно 2/1, что должно затруднить выход НФ из зерна в поликристаллическую матрицу А1203.

Детальный анализ влияния структуры МГ на рассеяние НФ остался за пределами рассмотрения данной работы. Отделить корректно вклад рассеяния НФ на МГ от других механизмов в условиях нашего эксперимента можно только в области геометрического рассеяния qR >> 1, когда в плотных диэлектрических керамиках границы моделируются как плоский слой между фрагментами материала. В случае же дЯ ~ 1 рассмотрение этого вопроса в многофазной системе требует привлечения большого количества взаимозависимых параметров [6]. В работе [9] показано, что при уменьшении температуры и времени спекания керамик с целью получения материала с меньшим размером зерна, увеличивается толщина d, уменьшается акустический импеданс и упругие свойства МГ, что приводит к уменьшению абсолютных значений коэффициента диффузии и изменению температурной зависимости О(Т). Уменьшение упругих свойств материала МГ по сравнению с материалом зерна матрицы увеличивает эффективность резонансного рассеяния НФ в области дЯ ~ 1 [6], о чем, в частности, свидетельствует ослабление зависимости О(Я) уже при дЯ < 20 (рис. 3).

Как следует из результатов проведенных измерений, коэффициент диффузии НФ в условиях эффективного электрон-фононного взаимодействия («пленения» НФ на металлических включениях) имеет значения на 1 - 2 порядка величины меньше, чем в аналогичной поликристаллической матрице А1203, что в основном и определяет транспортные свойства НФ в условиях нашего эксперимента.

Модель процесса распространения НФ в присутствии центров захвата рассмотрена в работах [12, 13] при анализе экспериментальных результатов по распространению НФ в твердых растворах с парамагнитными центрами Y3-x(Er,Ho)xA15O12. Согласно полученным результатам, процесс распространения ¿-образного теплового импульса в бесконечной одномерной среде описывается двумя коэффициентами диффузии для «быстрого» и «медленного» процессов.

Для пространственного Фурье-образа распределения температуры в момент времени г было получено следующее выражение:

£

в котором коэффициенты диффузии определяются согласно формуле:

,(к') 7-2 , ,_2 , //7.2 , ,.' 2\2 2и2,

п(к') к02 +к2 ±./(к02 +к2) - 4к'2к02С

^,2 к2 = _°----------------------------1-----------.

А 2

Здесь к' = кЬ, где Ь - координата точки измерения температуры (длина образца); Б0 - коэффициент диффузии, определяемый только упругим рассеянием фононов

в материале матрицы. Дисперсия коэффициентов диффузии показана на рис. 5

—1—1 1 II 11^ 1—1 1 1 1II11 г 7 dl :

1

0.1 1 10 Т

Рис. 5. Дисперсия коэффициентов диффузии D

Из рисунка следует, что важнейшим параметром задачи является величина к0. При к < к0 (для определенности будем считать, что Б1 > Б2) вклад в распределение температурного поля дают только медленные процессы, характеризующиеся эффективным коэффициентом диффузии Б2 = Б0.

Величины С и к0 являются физическими параметрами системы: С определяет долю вклада фононной подсистемы (сри) в общую теплоемкость образца

с и

С =______Ph___< 1

С (сг„ + с„) 11

где с(г - теплоемкость центров захвата, а

' ' Т

k0

2t0

Т e-ph

V

D • т

D0 Le-ph

пропорционально числу фононов, успевших неупруго провзаимодействовать с центрами захвата (попасть в ловушку) за время прохождения по образцу расстояния L. Так как условие к0 >> 1 выполняется, то быстрыми процессами с характерным коэффициентом диффузии D1 = D0 можно пренебречь, и эффективный коэффициент диффузии процесса удобно представить как

D„, = Т——0-------.

1 + СГ 1 Cph

В керметах центрами захвата могут являться металлические включения, если в процессе прохождения волнового пакета фононов по образцу выполняется условие (2). Если теплоемкости матрицы и металлических включений выражены в удельных единицах, то зависимость Deff от весовой концентрации железа (p) в этом случае имеет вид

Df =-------------fD°---------=г.

1 + PCFe 1 [ (1 - P )CÄl2O3 ]

Так как электронная теплоемкость железа при концентрации порядка 10 вес.% при гелиевых температурах примерно на два порядка превышает теплоемкость фононной подсистем, то из представленного выражения следует, что с ростом концентрации железа Deff будет уменьшаться - D ~ 1/p, а поскольку при этих температурах cel /cph ~ T2, то Def ~ D0T2. В керамиках, как правило, D0 определяется упругим рассеянием фононов на границах зерен, т. е. ведет себя согласно модели из работы [6], и из рис. 4 видно, что наблюдаемую температурную зависимость D ~ T (h = 1^3) можно получить для фононов с qR порядка нескольких единиц (слева от выхода зависимости D0(x) на геометрическое рассеяние), что соответствует эксперименту.

На рис. 6 приведены экспериментальные и теоретические зависимости D(T) под номерами, указанными в таблице. Цифрами со штрихами указаны соответствующие теоретические зависимости коэффициентов диффузии в структуре поликристаллической матрицы Al2O3 без учета более мелких включений фракции железа согласно [6]. Теоретические зависимости, описывающие эксперимент, получены с учетом выражения (6), отражающего отношение значений теплоемкости в данной области температур.

Кривые 1'-4' - теоретические зависимости в структуре поликристаллической матрицы без учета фракции железа согласно [6]. Кривые 1-4 - теоретические зависимости с учетом выражения (6).  - эксперимент

Рис. 6. Температурные зависимости D(T) для образцов керметов синтезированных без воздействия УЗ на стадии

компактиров ания

1 2 3 4 Б Є 7

т.к

При этом наблюдается уменьшение абсолютных значений D|3,86 K и ослабление температурной зависимости D(T) по мере роста концентрации фракции железа, что, согласно [6], свидетельствует об увеличении резонансной частоты a>r, обусловленной рассеянием НФ на фрагментах структуры исследуемого образца. Зависимости 4’ и 4 на рис. 4 соответствуют образцу с более крупным размером зерен поликристаллической матрицы (T/t = 1450/2) и той же, что и для 3’ и 3 нанодисперсной фракцией 15% железа. Значения коэффициента диффузии при этом возросли на порядок величины за счет ослабления резонансного характера рассеяния НФ на увеличившихся в размерах зернах фракции Al2O3.

Как следует из результатов, представленных на рис. 7, 8 УЗВ воздействие оказывает определенное влияние на формирование структуры композитов. Так, при W = 3 кВт (рис. 7) менее различимыми становятся границы между ОКР в зерне при одновременном увеличении размеров зерен. При W = 1 кВт наоборот, усиливается диспергирование в структуре зерен Al2O3 по сравнению со случаем отсутствия УЗВ воздействия на стадии компактирования. Результаты таких изменений в структуре композита с 5 % Fe отражены на рис .8. Изменение дисперсности в структуре керамической матрицы под действием мощного УЗВ воздействия наблюдалось в работах [7]

Кривые 8'-9' - теоретические зависимости в структуре поликристаллической матрицы без учета фракции железа согласно [6]. Кривые 8-9 - теоретические зависимости с учетом выражения (6).  - эксперимент

Рис. 7. Температурные зависимости .0(7) для образцов керметов синтезированных при воздействия УЗ мощностью 3 кВт

1 2 3 4 5 6 7

Т.К

Кривые 1, 1' - 0 кВт; 5, 5' - 1 кВт; 8,8' - 3 кВт.  - эксперимент

Рис. 8. Температурные зависимости 0(7) для образцов керметов с 5 вес.% Fe синтезированных при воздействиия УЗ мощностью

1 2 3 4 5 6 7

т,к

Методом фононной спектроскопии в субтерагерцовом диапазоне изучены особенности фононного транспорта в нанодисперсных композитах Al2O3+xFe (x = 5, 10, 15 вес. %) при различных условиях синтеза. Использование механоактивированной смеси оксида алюминия и наноструктурного железа позволяет сохранять наноразмерный характер зерен железа в образцах. Показано, что, несмотря на рекордно малый размер, зерна железа (30 - 80 нм) определяют теплофизические свойства материала и являются эффективными центрами захвата для тепловых фононов субтерагерцовых частот в поликристаллической диэлектрической матрице Al2O3.

Работа поддержана грантом РФФИ

Материалы статьи обсуждались на IX Всероссийской конференции «Физикохимия ультрадисперсных (нано-) систем» с элементами научной школы (г. Ижевск, 22-26 ноября 2010 г.) и рекомендованы к публикации в журнале «Химическая физика и мезоскопия».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кислый П.С., Бондарук Н.И., Боровикова М.С. и др. Керметы. Киев : Наук. думка, 1985. 272 с.

2. Schicker S., Emy T., Garcia D.E. et al. Microstructure and Mechanical Properties of Al-assisted Sintered Fe/Al2O3 Cermets // J. Eur. Ceram. Soc. 1999. V.19. Р.2455.

3. Guichard J.L., Tillement O., Mocellin A. Alumina-chromium cermets by hot pressing of nanocomposite powders // J. Eur. Ceram. Soc. 1998. V.18. Р.1743.

4. Ji Y., Yeomans J.A. Processing and mechanical properties of Al2O3 - 5 vol. % Cr nanocomposites // J. Eur. Ceram. Soc. 2002. V.22. Р.1927.

5. Liu D.-M., Tuan W.H., Chiu Ch.-Ch. Thermal diffusivity, heat capacity and thermal conductivity in Al2O3-Ni composite // Mater. Science and Engineering. 1995. B.31. Р.287.

6. Иванов В.В., Саламатов Е.И., Таранов А.В. и др. Резонансное рассеяние неравновесных фононов (10-50 нм) в наноструктурной керамике на основе композитов YSZ+Al2O3 // ЖЭТФ. 2008. №133. С.339.

7. Абрамович А.А., Карбань О.В., Иванов В.В. и др. Влияние структуры на теплопроводность нанокомпозита Al2O3 +Fe // Физика и химия стекла. 2005. Т.31, №4. С.764.

8. Хасанов О.Л., Соколов В.М., Двилис Э.С. и др. Ультразвуковая технология изготовления конструкционной и функциональной нанокерамики // Перспективные материалы. 2002. №1. С.76.

9. Барабаненков Ю.Н., Иванов В.В., Иванов С.Н. и др. Распространение фононов в нанокристаллических керамиках ZrO2:Y2O3 // ЖЭТФ. 2006. Т.129, №.1. С.131.

10. Liu D.V., Tuan W.Y. Microstructure and thermal conduction properties of Al2O3-Ag composites // Acta Mater, 1996. V.44, №2. Р.813.

11. Pippard A.B. Ultrasonic attenuation in metals // Phill. Mag. 1995. V.46. P.1104.

12. Саламатов Е.И. Нелокальные эффекты при диффузионном распространении тепловых импульсов в системах с центрами захвата неравновесных фононов // ФТТ. 2002. Т.44, вып.5. С.935.

13. Саламатов Е.И. Влияние процессов фононного распада на формирование сигнала фононной неравновесности в кристаллах с двумя подсистемами ДУС // ФТТ. 2003. Т. 45, В.4. С.691.

INVESTIGATION OF THERMAL PHONONS KINETICS AND STRUCTURE OF OXIDE NANOCERAMICS

Karban O.V., Salamatov E.I.

Physical-Technical Institute, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia

SUMMARY. The kinetics of weakly nonequalibrium subterahertz thermal phonons is studied in nanodispersed iron-containing corundum-based cermets at liquid-helium temperatures. For the chosen method of fabricating cermets (which restricts grain growth), iron inclusions are shown to be described as point trapping centers of phonons. The transport of nonequilibrium phonons is analyzed in ceramic matrix containing metallic trapping centers.

KEYWORDS: cermets, transport of nonequilibrium phonons.

Карбань Оксана Владиславовна, доктор физико-математических наук, научный сотрудник ФТИ УрО РАН, тел. (3412) 21-79-66, e-mail: ocsa123@yahoo.com

Саламатов Евгений Иванович, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник отдела теоретической физики ФТИ УрО РАН, тел. 8(3412)21-69-33, е-mail: salam@otf.fti.udmurtia.su