Критерий единственности стационарного состояния в реакторе идеального смешения на режиме с полным использованием исходных и промежуточных реагентов в рециркулярной системе «Реактор – блок разделения»

С. И. Дуев

КРИТЕРИЙ ЕДИНСТВЕННОСТИ СТАЦИОНАРНОГО СОСТОЯНИЯ В РЕАКТОРЕ ИДЕАЛЬНОГО СМЕШЕНИЯ НА РЕЖИМЕ С ПОЛНЫМ ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИСХОДНЫХ И ПРОМЕЖУТОЧНЫХ РЕАГЕНТОВ В РЕЦИРКУЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ «РЕАКТОР - БЛОК РАЗДЕЛЕНИЯ»

Ключевые слова: реактор с рециклом, режим с полным использованием исходных реагентов, множественность

стационарных состояний.

Рассматривается рециркуляционная система: реактор - блок разделения. Получен критерий существования единственности стационарного состояния в реакторе идеального смешения на режиме с полным использованием исходных и промежуточных реагентов.

Key words: reactor with recycle, regime with a full using of basic and intermediate reactants, multiplicity of steady states.

The recycle system reactor - separation unit is considered. Criteria of the existence of a singularity of the steady states in the continuous tank reactor on the regime with a full using of basic and intermediate reactants in given.

Введение

Одним из эффективных путей решения проблемы сведения к минимуму отходов производства, в частности непрореагировавших исходных и промежуточных продуктов реакции, является использование рециркуляции [1]. При функционировании рециркуляционной системы реактор - блок разделения большой интерес вызывает режим, при котором достигается полное использование исходных реагентов. Однако, наличие обратной связи в системе приводит к множественности стационарных состояний в реакторе.

Причем, как показано в работах [2-6] на этом режиме возможно существование нового типа стационарных состояний - континуума стационарных состояний. В настоящей работе получен критерий существования единственности стационарного состояния в реакторе идеального смешения на режиме с полным использованием исходных и промежуточных реагентов. Типичная структура рециркуляционной системы реактор-блок разделения представлена на рис.1.

Рис. 1 - Блок схема рециркуляционной системы реактор - блок разделения

Здесь С - количество смеси, поступающее в систему в единицу времени, Р - количество рециркуляционной смеси в единицу времени, Р -количество смеси, поступающее в реактор в единицу времени, х - вектор концентраций в реакторе (со значком “0” - на входе в систему, со

значком * - в рецикле, со значком вых - на выходе системы).

1. Математическая модель реактора идеального смешения в рециркуляционной системе реактора - блок разделения.

Математическая модель реактора идеального смешения в стационарном состоянии на режиме с полным использованием исходных реагентов может быть записана так:

Gx(0) + Vw - Fx + Rx * = 0

GCpP T

где Ото - тепловой эффект реакции, С р - удельная теплоемкость, р - плотность смеси, Тх -

температура хладоагента, и - коэффициент теплопередачи, отнесенный к единице поверхности теплообмена. ф и Фт - функции, определяющие

режим работы узла разделения.

Используя матрицу стехиометрических коэффициентов А выражаем вектор-скоростей образования регентов w через скорости элементарных стадий реакций:

W = АГ

С учетом условий существования режима

[6]:

Fxi = Rx^i = 1,...£

где І - число исходных и промежуточных реагентов, систему уравнений (1) на режиме с полным использованием исходных и промежуточных реагентов для І исходных и промежуточных реагентов можно записать так [6]:

с

А*

м

Выражая скорости элементарных стадий реакции из уравнений (9) и подставляя в (11), получим явное выражение для определения температуры в реакторе:

Т=+итх+РсррТк+М^Ц)-

где A - подматрица, состоящая из І строк матрицы A.

Критерий стационарного состояния

единственности

Если выполнены условия:

1) температура в рецикле постоянна T* = const = TR;

2) скорости элементарных стадий реакции могут быть выражены через концентраций реагентов.

rj= kjf[xaij, j = 1,.p.

где к у - константа скорости ] -й стадии реакции, а у - порядок I -го компонента в ] -й стадии реакции;

Л *

3) ранг Б матрицы А равен числу исходных и промежуточных реагентов £.

*

4) ранг матрицы Б матрицы А равен числу элементарных стадий реакций р : Б = р,

то на режиме с полным использованием исходных и промежуточных реагентов существует единственное стационарное состояние.

Доказательство

Если выполнено условие 3): Б = £, то система уравнений (7) имеет только тривиальное решение, поэтому можно записать:

Vrj - GJj = 0, j ^..i.

j M j

Учитывая, что общий тепловой эффект реакции можно представить как:

Qw = i^jQ

j=1

где Q j - тепловой эффект j -й стадии реакции,

температуру в реакторе следующим образом:

можно определить

T =

1

F U(GCppT(0) + UTx + RCppT + Vi>,rjQj).

FCpp+U j=1

Таким образом, температура в реакторе в этом случае определяется однозначно.

Докажем теперь, что система уравнений (9) имеет единственное решение. Подставляя выражения (8) в уравнение (9), получим следующую систему алгебраических уравнений относительно х, і = 1,...т :

j = 1,.„І.

Здесь возможны два случая.

1. Среди элементарных стадий реакции существуют обратимые.

Тогда хотя бы один элемент вектора и равен нулю в силу определения этого вектора. Поскольку систему уравнений можно представить в виде

П

x“'J = -

G

MVk

то очевидно, что при ^ = 0 необходимо, чтобы,

по крайней мере, одно из значений X і, І = было равным нулю. Отсюда следует, что если среди элементарных стадий реакции есть обратимые, то режим с полным использованием исходных и промежуточных реагентов невозможен, поскольку в этом случае система уравнений (13) допускает тривиальное решение.

2. Среди элементарных стадий реакции не существует обратимых.

Логарифмируя систему уравнений (14), получим

ІІ І

Inxi = р j,

і=1

где

Pj= ln(

G

MVk

-), j = 1....І.

Поскольку сіе^) * 0 , то система

уравнений (15), а следовательно, и система уравнений (13) имеет единственное положительное решение, а это означает, что концентрации исходных и промежуточных реагентов Хі, Х2 ,...Х і

определяются однозначно. А так как среди элементарных стадий реакции не существует

i=1

i=1

обратимых, то и концентрации конечных

продуктов X £+1,...Хт определяются единственным образом из оставшихся (т - £) уравнений системы (1).

Таким образом, в рассматриваемом случае концентрации компонентов реакции и температура в реакторе определяются однозначно, то есть на режиме существует единственное стационарное состояние.

Полученный критерий является

достаточным, поскольку возможны случаи, когда единственность решений может быть и при Б Ф р

3. Примеры исследования

1. Реакция А В С в неизотермическом реакторе идеального смешения.

Матрица А имеет следующий вид:

A* =

-1 0

1 -1

Её ранг Б равен 2, и выполнена цепочка равенств: 5 = £ = р. Следовательно, на режиме с полным использованием исходного продукта А и промежуточного продукта В будет существовать единственное стационарное состояние.

Действительно система уравнений (1) запишется так:

- Vr1 + G = -Vk1x1 + G = 0,

Vr1 - Vr2 = Vk1x1 - Vk2x2 = 0.

Отсюда определяем выражения для нахождения концентраций A, B і G

x. =------,

1 Vk„

Vk„

в которых константа скорости ki (І=1.2) зависит от температуры в соответствии с формулой Арренниуса:

Ei

RT

ki= Aie RtI , І = 1,2,

где А - предъэкспоненциальный множитель, Е | -

энергия активации I - й стадии реакции.

Единственное стационарное значение температуры на режиме определяется из выражения (12):

T =

1

Cpp+U

Пример 2. В политропическом реакторе идеального смешения протекает обратимая реакция первого порядка А В.

*

Матрица А имеет вид:

A* = (-1,+1).

Её ранг в равен 1 , Б = І , но р = 2 и э Ф р. Учитывая, что в соответствии со стехиометрией концентрация исходного продукта А на входе в систему Хі

запишется в виде:

- Vr, + G + Vr2 = 0.

Учитывая, что х2 = 1 - х1, из уравнения (31) можно определить концентрацию исходного продукта А в реакторе:

x1 =-

G + Vk2 V(k1 + k2).

Температура в реакторе определяется из выражения (12), которое в данном случае записывается в виде:

T = -

1

FCpp+U

Тогда, на рассматриваемом режиме в реакторе существует единственное стационарное состояние.

Заключение

Таким образом, получен критерий единственности стационарного состояния для реактора идеального смешения на режиме с полным использованием исходных и промежуточных равенств в рециркуляционной системе реактор - блок разделения. Полученный критерий является достаточным, поскольку единственное стационарное состояние возможно и при невыполнении пункта 4 условия единственности, как показано в примере 2.

Литература

1. Кафаров, В.В. Принципы создания безотходных химических производств / В. В. Кафаров // М.: Химия -1982 - 288с.

2. Дуев, С.И. Исследование режима с полным использованием исходных реагентов в рециркуляционной системе реактор-блок разделения / С.И. Дуев // Вестник КГТУ, 2O1O - №1O.

3. Дуев, С.И. Расчет стационарных состояний реактора в рециркуляционной системе реактор - блок разделения / Дуев, С.И. // Вестник КГТУ, 2O12 - №16 - С.151-15З.

4. Duev, S.I. Dinamic behaviour of the recycle system reactor-distillation column / S.I. Duev, A.I. Boyarinov // Proc.Int.conf. Distillation and absorption. Baden-Baden. Germany - 2OO2.

5. Duev, S.I. Study of an influence of the parameters on multiplicity of steady stats the recycle system: reactor-

separating unit / S.I. Duev, A.I. Boyarinov // Computer Aided Chemical Engineering- 2005-V.20.-P.385-390.

6. Бояринов, А.И. Множественность стационарных состояний в системе: смеситель - реактор - узел

разделения / А.И. Бояринов, С.И. Дуев // Теоретические основы химической технологии - 1980 -№6 - Т.14 -

С.903.

© С. И. Дуев - д.т.н., проф. каф. информатики и прикладной математики КНИТУ, douev@mail.ru.