Использование производственной функции Солоу при моделировании двухпродуктовой фирмы

Вестник МГТУ, том 4, №2, 2001 г.

стр.217-220

Использование производственной функции Солоу при моделировании двухпродуктовой фирмы

H.Б. Пивоварова

Финансовый факультет МГТУ, кафедра прикладной математики и естественнонаучных дисциплин

Аннотация. В работе рассматривается модель общего равновесия, в которой анализируется предложение и потребление нескольких видов товара с учетом влияния структуры цен на структуру производства. В отличие от обычно используемой функции Кобба-Дугласа, автор предлагает использовать при моделировании производственную функцию Солоу. Эта функция более полно описывает процессы замещения ресурсов. Рассмотрена задача об оптимальном объеме производства двухпродуктовой фирмы. Получены аналитические формулы для линий эффективного распределения ресурсов, производственных возможностей и объем оптимального производства фирмы при заданном векторе цен в случае производственной функции Солоу.

Abstract. The model of general balance has been considered in the work. The model analyses supply and consumption of several kinds of goods and it takes into account the influence of the prices structure on the production structure. Usually the Cobb-Douglas function is used for modelling and instead of this the author proposes to use Solow production function. This function describes processes of resources replacement much fuller. The analytical formulas for lines of effective resources distribution, production opportunities and volume of optimum firm production have been received, when the prices vector is given in case of Solow production function.

I. Введение

Для построения макромоделей экономики необходимо прежде всего установить аналитическую зависимость между объемом производства и величинами первичных ресурсов. При этом все народное хозяйство рассматривается как единая система. Производственная функция не отражает строго функциональную зависимость между выбранными переменными, а указывает лишь на наиболее близкую к реальности корреляционную зависимость в заранее выбранном классе функций. Наиболее полное методическое и математическое исследование производственных функций различных видов приведено в сборнике Шапиро (Шапиро, 1979).

В работе рассмотрена двухпродуктовая модель, которая ставит задачей нахождение векторов производства, дающих оптимальный результат для производителя. Главной особенностью данной работы является использование производственной функции Солоу. Ее параметрическое представление дает возможность учесть дополнительные особенности производственной модели.

2. Производственная функция Солоу

Рассмотрим статическую производственную функцию: X = F(K, L), здесь X - объем конечного продукта, К - количество основных фондов (капитала), L - количество рабочей силы, имеющейся в данный момент времени.

Производственная функция Кобба-Дугласа X = Aka Lb хорошо известна в экономической литературе. Вдоль линии постоянного выпуска (изокванта) выполняется соотношение dL/dK = -(aL)/(bK). Рассмотрим MRSkl - предельную (или дифференциальную) норму замещения труда капиталом вдоль изокванты, т.е. количество единиц капитала, необходимое для вытеснения одной единицы труда (указанные единицы исчисляются не абсолютными величинами капитала и труда, а их приращениями). Эта величина равна тангенсу острого угла наклона касательной к изокванте в плоскости L0K и выражается через параметры модели следующим образом: MRSKL = tg а = (bK)/(aL). Отсюда следует, что вдоль линии изокванты эластичность труда от капитала постоянна.

q = -EKL) = -(dK/K)/(dL/L) = (K/L)/MRSkl = a/b = const > 0.

Таким образом, с точностью до знака эластичность труда от капитала равна отношению фондовооруженности к предельной норме замены труда капиталом и является постоянной вдоль изокванты.

Более полно отражает вклад труда и капитала в объем производства производственная функция

Пивоварова Н.Б. Использование производственной функции Солоу...

Солоу (Solow and Samuelson, 1961). Рассмотрим эластичность фондовооруженности от предельной нормы замены труда капиталом в условиях постоянного выпуска: а= EMRS (K/L). Случай а= 1 отвечает функции Кобба-Дугласа. Если же положить, что а Ф 1, приходим к более общей производственной функции Солоу. Ее общий вид:

X = r

где р = (1 - сг)/ст, или сг = 1/(1 + р). Эта производственная функция была введена P.M. Солоу и рядом других авторов в 1961 г.

Параметр ^при прочих равных условиях отражает эффективность технологии, не зависящую от характера использования ресурсов. Параметр v— показатель однородности производственной функции. Действительно, Х(ЛК, ЛЬ) = ГХ(К, L).

При v >1 расширение производства опережает увеличение ресурсов, при v < 1 увеличение количества используемых ресурсов приводит к сравнительно меньшему росту производства.

Два технологических процесса могут отличаться друг от друга ролью, которую каждый из используемых ресурсов играет в процессе производства. Если прирост количества применяемого в экономике капитала на 1 % вызывает больший прирост объема производства, чем такое же увеличение затрат живого труда, то имеет место капиталоинтенсивный технологический процесс. В обратной ситуации происходит трудоинтенсивный процесс. Рассмотрим вновь величину

q = -EK(L) = (K/L) / MRSkl в каждой точке изокванты, она будет вычислена для производственной функции Солоу.

q = d / (1 - d) (K/L) -p.

Как видно из этой формулы, выбранная ранее характеристика капиталоинтенсивности q изменяется при движении по линии постоянного выпуска. Когда р < 0 (поскольку сг = 1/(1 + р), это означает, что сг > 1), капиталоинтенсивность технологии растет с повышением фондовооруженности. Когда р> 0 (0 < сг< 1), она снижается при увеличении фондовооруженности K/L.

Таким образом, технология с эластичностью замены больше единицы соответствует экономике, в которой замена труда капиталом происходит в условиях растущей капиталоинтенсивности, а технология с эластичностью меньше единицы соответствует экономике, в которой подобная замена ведет к снижению интенсивности использования основных фондов (Ляшенко, 1979).

Отметим, что для двух производственных функций Солоу, обладающих общим а\ = сг2 при фиксированной фондовооруженности более интенсивный процесс использования труда описывает та функция, у которой больше величина d.

Если же 01 < 02, то из сравнения двух производственных функций можно сделать вывод, что более капиталоинтенсивная технология при изменении величины K/L изменяется на более трудоинтенсивную. Переключение происходит в некоторой точке изменения величины K/L.

3. Модель двухпродуктовой фирмы

Пусть на некоторой фирме для производства двух видов товаров в количествах X и Y используются два вида взаимозаменяемых ресурсов: труд (L) и капитал (К), объем которых ограничен значениями L0 и К0 соответственно. Требуется построить множество производственных возможностей, которое определяет допустимые сочетания выпусков товаров первого и второго вида при заданных фиксированных значениях ресурсов, и определить наиболее выгодное для фирмы распределение этих ресурсов, если цены товаров равны соответственно Р\ и Р2. Под "наиболее выгодным" понимается максимально возможная прибыль.

При построении этого множества для определенности будем считать, что производственный процесс может быть описан производственными функциями типа Солоу. Математическая модель рассматриваемой задачи имеет вид:

Max (PX + P2Y),

X = У1

Y = У2 dK2-p2 + (1 - d2)L2-p2)-v2/-p2, K1 + K2 = K0, L1 + L2 = L0.

Рассмотрим случай p\ = pi = p.

Поскольку ограниченные ресурсы K0 и L0 используются полностью, это значит, что выполнены

Вестник МГТУ, том 4, №2, 2001 г.

стр.217-220

условия, которые позволяют при построении множества производственных возможностей использовать так называемую "диаграмму Эджуорта - Боули" (или коротко - "ящик Эджуорта") (Гальперин, 1997).

Точки эффективного использования ресурсов представляют собой точки касания изоквант, построенные на диаграмме Эджуорта - Боули. Эти точки являются оптимальными по Парето, поскольку в каждой из них рост производства любого из двух товаров при использовании заданных ресурсов не может быть осуществлен без сокращения производства другого товара.

Множество всех таких точек касания задает линию эффективного использования ресурсов, которую часто для краткости называют эффективной линией или производственной кривой.

Всевозможные пары чисел (X, Y), соответствующие точкам "ящика Эджуорта", образуют на плоскости товаров множество производственных возможностей, а точки линии эффективного использования ресурсов являются граничными точками множества производственных возможностей. Верхняя граница этой области называется линией производственных возможностей.

Для вывода уравнения кривой производственных возможностей в случае, когда производственный процесс описывается уравнениями (2), удобно ввести безразмерные переменные k = К1!Ко, I = Ь1/Ь0. Условие касания изоквант в общем случае имеет вид:

Хг,1 / Хк1 = Уь? / Ук? = Уг.1 / Ук

Здесь переменные с индексом означают соответствующие частные производные. Тогда в новых переменных уравнение касания имеет вид:

k = I /

где 5 = {й2 (1 - / [(1 - й2) ¿1]}[1/(1 +р)].

Уравнение (4) задает линию эффективного распределения ресурсов, направление выпуклости которой зависит только от величины параметра 5. Одному и тому же значению 5 соответствуют различные наборы значений параметров й1, й2, р.

На рис. 1 приведено два варианта построенных линий эффективного распределения ресурсов при наборах значений параметров производственных функций, которые приводят к значению 5 = 0,4 (справа) и 5 = 6 (слева). Построенные линии представляют собой множество точек касания линий уровней производственных функций, каждая точка отвечает максимальной совокупной прибыли при оптимальном распределении ресурсов в условиях различных значений цен продуктов X и У.

Теперь можно построить также и кривые производственных возможностей, которые, в силу соотношений (2) и (4), определяются уравнениями:

k = I / (I + 5 - I 5), 0 = I = 1,

К = k Ко, ¿1 = I Ьо, X = У1 (ё\К\'р1 + (1 - ¿1)Ь1~РУУР, У = У2 №"р2 + (1 - ¿2)Ь2"р2Г2/р,

100

Рис. 1. Линии эффективного распределения ресурсов при 5 = 6

150

150

Пивоварова Н.Б. Использование производственной функции Солоу...

Рис. 2. Линии производственных возможностей при s = 6 (слева) и при s = 0,4 (справа) На рис. 2 приведены графики построенных линий производственных возможностей при s = 0,4 (справа) и s = 6 (слева). При различных значениях параметров модели построенная линия меняет направление выпуклости.

Если построенная линия выпукла вверх, то для решения задачи о максимуме дохода на множестве производственных возможностей можно использовать условие касания. Если же линия производственных возможностей выпукла вниз, максимум прибыли достигается в случае производства только одного продукта. Исследование поведения линии производственных возможностей для производственной функции Солоу позволит оценить значение оптимального объема производства при различных характеристиках производственного процесса, описываемого этой моделью и сравнить с результатами, полученными для производственной функции Кобба-Дугласа (Лебедев, 1997).

Поскольку линия производственных возможностей задана параметрическим уравнением (5), решение задачи (2) можно также выразить явным образом. Необходимое условие оптимальности задачи (2) геометрически означает, что тангенс угла касательной к линии производственных возможностей равен отношению цен товаров. Это условие записывается так:

MRTyx = tg а = Рх/Р2.

Конкретизируем это условия в случае рассматриваемой производственной функции Солоу: Л Xv1(1 - dO d2(K0 - K1) -р + (1 - dO (L0 - L0 -p) =

P2 Yv2

X = Yl (d1K1-p1 + (1 - d1)L1-p1)-v1/p, Y = y2 (d2K2-p2 + (1 - d2)L2-p2)-v2/p,

Решение системы (6) указано на рис. 2 точками, которые представляют собой оптимальные объемы предложения товаров при заданных ресурсах и векторе цен. Как уже отмечалось, в случае выпуклой вверх линии производственных возможностей, каждая точка соответствует оптимальному предложению при определенном векторе цен.

4. Заключение

Рассмотрено применение производственной функции Солоу в задаче о плане оптимального производства двух продуктов при использовании двух видов ресурсов. Более сложный вид этой ПФ по сравнению с ПФ Кобба-Дугласа расширяет возможности описания используемых технологий.

Применение ПФ Солоу в модели международной торговли также может значительно обогатить результаты этой модели, так как позволит моделировать взаимовыгодный товарный обмен между странами с различными типами поведения капиталоинтенсивности технологии при изменении фондовооруженности. В этом направлении ведется работа и автор надеется в дальнейшем представить полученные результаты.

Литература

Solow R.W. and Samuelson Р.А. Balanced growth under constant returns to scale. Econometrica, v.21, p.412-424, 1961.

Гальперин B.M. Микроэкономика. В 2 т. СПб, Экономическая школа, т.2, с.400, 1997. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. М., Изограф, 224 е., 1997.

Ляшенко И.Н. Макромодели экономического роста. Киев, Вища школа, 152 е., 1979. Шапиро А.И. Прогнозирование капиталистической экономики. М., Мысль, 174 е., 1979.