Исторические предпосылки становления дифференциального и интегрального исчисления

Лейбница завершилась предпосылочная стадия его развития и стадия первоначального возникновения исчисления как целостности нового порядка.

В общем виде ответ на поставленный вопрос таков: создание дифференциального и интегрального исчисления связано с процессом уплотнения знания, сопровождающегося минимизацией форм его выражения. Дифференциальное и интегральное исчисление как математическая теория является способом уплотнения знания в наиболее развитой форме минимизации, имеющей свои отличительные черты, признаки, критерии. Эффективным способом минимизации знания служит символизация, осуществляемая на базе алгоритмизации мыслительных процессов. Формирование логических и знаковых единиц, обобщения нового математического знания (дифференциала, производной, интеграла, функции в др.) и их символических выражений явилось средством, открывающим путь выхода из состояния стагнации в математике.

Литература

1. Лейбниц Г.В. Новые опыты о человеческом разуме. М., 1936.

2. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. М., 1989.

Ростовский государственный педагогический университет 8 июля 2006 г.

УДК 168. 521

ИСТОРИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ СТАНОВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

© 2006 г С.И. Масалова

The article covers genesis and formation of differential and integral calculus development (the stage of historical prerequisites) and its role in the consolidation of mathematical knowledge.

В научном анализе развития любой органической системы необходимо различение предмета и его предпосылок как качественно различных уровней эволюции этой системы.

Под предпосылками понимают необходимые условия не существования, а именно возникновения предмета, т.е. стадию, непосредственно предшествующую возникновению предмета. Предпосылочная стадия включает в себя следующие виды предпосылок: 1) эмпирические (внешние) - потребности практики (в определенной предметной области); 2) теоретические (внутренние) - потребности конкретной научной теории; 3) философские (методологические) - наличие философских принципов, выполняющих свою методологическую функцию. Эмпирические предпосылки включают в себя эмпирические данные, требующие своего теоретического объяснения. Анализ теоретических предпосылок (вклю-

чающих в себя совокупность понятий, принципов) необходим для четкого определения границы и специфики предметной области возникающей научной теории, выявления логических связей между элементами логической структуры этой теории. Теоретические предпосылки - своего рода призма, через которую ученый «видит» эмпирический материал. Философские принципы как методологические предпосылки являются гносеологическими и методологическими указателями при формировании определенной научной концепции, в особенности на этапе выбора конкурирующих теорий. Указанные выше три вида предпосылок отличаются друг от друга своими целями и задачами в анализе процесса развития определенного предмета, различными аспектами рассмотрения. Их можно рассматривать в одном временном интервале, на одном этапе развивающейся органической системы, и в различных временных, качественно различных интервалах.

Для анализа перехода органической системы как целого с одного качественного уровня на другой, т.е. в различных временных интервалах, необходимо выделить два этапа развития предпосылочной стадии - исторические и действительные предпосылки. К. Маркс придавал большое значение выделению таких этапов, как предпосылки и результаты процесса развития. Исследуя соотношение исторического и логического, он установил связь категорий «предпосылка» и «результат»: историческая предпосылка в развитии органической системы воспроизводится как снятый результат ее развития [1, с. 448].

Исторические предпосылки являются звеном, возникшим из внешних условий формирования предмета и подлежащим преобразованию, снятию, устранению, а действительные предпосылки являются результатом собственного, внутреннего, необходимого развития органической системы как новой формой ее целостности. В дальнейшем развитии органической системы действительные предпосылки позволяют заглянуть в свою историю, не отбросить ее, как ненужное, обломки, а выявить этапы развития органической системы, «корни» формирования ее в «обломках», отметить противоречия и закономерности формирования ее как логической целостности.

В качестве исторических предпосылок дифференциального и интегрального исчисления (ДиИИ) в статье рассматриваются следующие предпосылки. Эмпирические включали в себя требования механики, физики, астрономии, земледельческих и строительных работ, обусловившие необходимость решения задач на вычисление квадратур и кубатур, определение центров тяжести, нахождение касательных, экстремалей и т.д. Теоретические предпосылки включали в себя: а) накопление методов решения вышеназванных задач; б) развитие античными математиками, в особенности Архимедом, инфинитезималъных идей; в) введение в математику Декартом переменной величины и координатного метода; г) разработку алгебраической символики. Философские предпосылки объединены

единой целью - поиском универсального метода математического и всеобщего познания.

Абстракции арифметики и геометрии - основных математических наук Древней Греции - отражают реальное единство прерывного и непрерывного. Арифметика изучала конкретные дискретные числа. Они рассматривались как «жесткие» объекты, т.е. выражали количественные отношения действительности, фиксированные определенным образом - жестко, без изменения. Геометрия имела в качестве своего предмета непрерывные величины - линии, плоскости, как сплошные объекты, составленные из бесчисленного множества точек, линий, характеризующих эту непрерывность. Геометрическая модель обладает наглядностью; она передает пространственные свойства, форму предмета, а иногда и размеры (в чертеже, в соответствующем масштабе), определяет структурное строение предмета, расположение его элементов относительно друг друга. Взаимодействие этих двух наук началось почти с их зарождения и ведет (взаимосвязанно с другими математическими теориями) к развитию математики, обогащению ее методов и содержания, переходу математики ко все более высоким абстракциям, от арифметики и геометрии к математическому анализу и аналитической геометрии и от них - к современной математике, функциональному анализу, неэвклидовой геометрии, теории множеств.

Греки близко подходили к основным понятиям анализа бесконечно малых. Так, Демокрит предложил атомистический принцип строения природы внести в математику. Строгие методы предельных переходов создал Евдокс. Наиболее глубокие исследования этого античного математика относятся к области, называемой в современной математике введением в анализ бесконечно малых: он построил теорию отношений. Понятие величины у Евдокса включает в себя как число, так и геометрические величины: отрезки, площади, объемы. Но слишком большая предметная область объектов, определяемая рядом аксиом, не позволила выработать операции над объектами. Необходимо было уплотнить знание за счет введения нового элементарного объекта, «ядра» теории. Им стало понятие «отношение», которое является общим для всех величин. На основе теории отношений Евдокс создал «метод исчерпывания». Таким образом, создание совершенно новой геометрии решило проблему относительного обоснования арифметики.

Проблема обоснования геометрии была гораздо сложнее. Развернулась критика различных философских направлений по вопросу интерпретации принципов геометрии, связанная с открытием несоизмеримых величин. Природа сущности геометрических величин рассматривалась теориями, конкурирующими между собой. Истинность геометрического знания должна быть доказана только одной теорией: наиболее простой, информативной, уплотняющей только те теории, которые включают преемственность геометрического знания в плане соответствия. Такой теорией стала геометрия Евклида, основанная на аксиоматическом методе рассуждения.

Теоретическое и эмпирическое основание геометрий переносилось за пределы геометрии и значительно уменьшило разногласия философских школ в Древней Греции. Геометрия Евклида по отношению к доаксиоматиче-ской предшествующего Евклиду этапа представляла собой более уплотненную теорию гипотетико-дедуктивного характера, минимизированной, формой выражения содержания которой явился аксиоматический метод. «Ядро» новой теории - «отношение» как абстрактный объект математики - было прообразом действительного числа, т.е. содержало в себе зародыш новой теории.

Внутри самой математики возникали потребности в совершенствовании ее методов. Применение понятия бесконечности, некоторые логические неувязки в оперировании с ним в доказательстве, потребности практики и многие другие причины диктовали необходимость открытий, сделанных Архимедом. Он обобщил эмпирические факты механики и в этой обобщенной форме ввел в теоретическую систему математики. Геометрия и механика имеют взаимообусловленный характер проникновения друг в друга. Геометрия используется Архимедом как метод решения механических задач, и, наоборот, механические методы способствуют решению геометрических задач. Архимед в своих сочинениях поднял метод Евдокса на новую, более высокую ступень. Однако ввиду отсутствия элементов символического языка Евдокс, Архимед и другие математики излагали свои теории примитивно. Имеющиеся некоторые алгебраические операции описывались не символами, а словесно или при помощи чертежей и немногих обозначений.

Геометрические формы доказательства, геометрический язык, широко применяемый древними античными математиками, стали тормозом для расширения понятия числа, так как полностью исчерпали себя изнутри и не могли способствовать дальнейшему развитию математики. Созрела необходимость расширения поисков наиболее общих способов решения задач: вычислительных алгоритмов.

Характеризуя этот этап единства содержания и формы с точки зрения философских предпосылок (соотношения мышления и языка), замечаем, что неразвитость искусственного языка, отсутствие наиболее абстрактных, более общих понятий в математике, отсутствие символики, вычислительных алгоритмов сдерживают и саму мысль. Символы, знаки придают мысли нужное направление, позволяют отвлекаться от несущественных свойств, характеристик объектов. Такого символического языка не хватало для завершенности исследований Архимеда.

Процесс повышения ёмкости знания протекает в формах уплотнения и минимизации знаний. Уплотнение есть качественное преобразование содержания научного знания, приводящее к увеличению массы знания, концентрирующегося в логической единице. Уплотнение научного знания тесно связано с аккумуляцией. Аккумуляция как процесс сохранения старого знания и преобразования нового проходит именно как процесс ук-

рупнения логических средств обобщения. Результатом его могут быть новые понятия, законы, теории, принципы и т.д., которые обладают более высоким уровнем абстрактности и большим масштабом действенности, т.е. обобщенностью. Уплотнение научного знания сопровождается преобразованием, называемым минимизацией формы знания, языка выражения знания соответственно содержанию. Смысл ее заключается в интеграции или дифференциации форм выражения знания. Уплотнение связано с диа-лектико-методологическим и логико-гносеологическим анализом развития научного знания, минимизация - с семиотическим анализом емкости. Эти две формы связаны между собой теснейшим образом. Уплотнение невозможно без минимизации, оно содержит элементы ее, а также и элементы максимизации. Максимизация является гносеологическим эквивалентом уплотнения информация, который рассматривается прежде всего в семиотическом аспекте. Минимизация, как и уплотнение званий, в своем развитии проходят несколько этапов, связанных с соотношением формы и содержания. Она осуществляется различными способами - совершёнными и несовершенными.

Анализируя геометрические и графические формы исчисления бесконечно малых, мы фиксируем первый этап минимизации формы математического знания только в работах Диофанта, так как буквенное исчисление его, хотя и в неразвитой форме, позволяет решать большой класс уравнений системой различных операций. Преобразование содержания (достижения античной математики в самых различных ее разделах), т.е. «первичное» уплотнение знания, произошло за счет создания иных логических и знаковых средств выражения ее новых понятий: символики для известных и неизвестных величия, алгебраических операций, уравнений и др. В геометрическом «исчислении» Архимеда не было единства максимизации знания к его минимизированной формы выражения, т.е. «чистого» уплотнения. В работах Архимеда очень много чертежей. Отсутствует классификация задач и поэтому чертежи к каждой задаче приходится делать заново, учитывая конкретные условия. Однако достижения Архимеда послужили основой развития метода минимизации формы знания на последующих этапах его развития, подтолкнули последующих математиков (Диофанта, Виета и др.) к поискам более общего языка оперирования в задачах самого различного содержания.

В течение нескольких столетий велись поиски минимальных средств выражения достаточно ёмкого знания для решения задач естествознания и техники. Декарт выдвинул перед математикой требование решения эвристических задач как главное, определяющее. Согласно Декарту, поставленная цель - создание «универсальной математики» - может быть достигнута только сочетанием, согласованностью нового содержания с новой формой изложения и обработки материала. Движение отражается в операциях с бесконечно малыми величинами, характеризующими соответствующие элементы движения. Определенные правила действия над мате-

матическими объектами, их знаковые характеристики привели к созданию алгоритмов, исчислений. Декарт хотел создать наиболее общий алгоритм не только геометрических и алгебраических, а вообще всех математических задач. Широта алгебраических методов сдерживалась геометрическими рамками. Поэтому аналитический метод Декарта, синтезирующий достоинства алгебраических методов, становился единственным математическим методом, который вырос из геометрии, проник в нее, привнося алгебраические способы исследования, и преобразовал геометрию. Глав -нейшие типы геометрических задач решались методами Кеплера, Каваль-ери, Паскаля и других математиков. Но так как эти методы были частными для каждой отдельной задачи, то общей теории интегральных и дифференциальных методов не было. Не всем ученым того времени было известно, что эти два инфинитезимальных метода носят взаимообратный характер. Одним из первых открыл это свойство И. Барроу, хотя их взаимообратный характер был ясен по существу еще Торричелли и Дж. Грегори. Однако геометрическая форма инфинитезимальных методов была недостаточно совершенна.

Алгебраическое направление в решении задач математического анализа составили работы П. Ферма, Д. Валлиса. Это направление характеризуется отсутствием понятия о бесконечно малых. Д. Валлис представил анализ бесконечно малых в чисто арифметической форме, тем самым впервые применив алгебру к новым методам анализа. Ферма свой метод нахождения максимумов и минимумов не связывал с бесконечно малыми, так как у него не было нового понимания их природы и необходимости введения в решения задач. Он исходил из известного алгебраического исчисления и двигался внутри него, в то время как Декарт и Роберваль ссылались на геометрические и механические представления. Ферма пришел к своему способу нахождения производной чисто синтаксическим путем, т.е. исходя из внутреннего развития исчисления, из определенного уравнения и различных методов его решения. Разнообразные задачи геометрии - вычисление площадей фигур, объемов тел и др. - решаются с использованием аналитических средств. Новизна метода Ферма, заключающаяся в пользовании системой координат и в составлении интегральной суммы, подготавливает возможность применения анализа к задачам интегрального исчисления. Недостаток заключается в отсутствии общего метода решения частных задач.

Среди исторических предпосылок анализа бесконечно малых ведущую роль в возникновении новой теории играют теоретические предпосылки. Они определяют исходные понятия, формулируют принципы и гипотезы, на основе которых устанавливаются связи и отношения между исходными понятиями. Придавая этим понятиям, связям и отношениям соответствующую математическую форму, ученые находят математические уравнения, выражающие закономерности, и этим законом завершается построение теории или ее определенного фрагмента. Объекты, с которыми опери-

руют ученые, имеют разную природу. В своей совокупности теоретические предпосылки определяют конструирующую деятельность ученого, стиль мышления, так как исходные теоретические допущения - метод построения новой теории.

На этапе исторических предпосылок ДиИИ преобладали два направления в теории и методах решения инфинитезимальных задач: геометрическое (Декарт, Кеплер и др.) и алгебраическое (Ферма, Валлис и др.). Общим и главным недостатком этого периода являлось отсутствие многих математических понятий: «функция», «вычислительный алгоритм», «предел» и др. Функция является фундаментальным абстрактным объектом математики. Значение ее очень велико для развития этой науки. Прежде всего, она помогла математике открыть новую область в развитии и применении ее методов, повернуть от исследования «мертвых» процессов к изучению динамики, движения. Наука получила более действенное орудие познания действительности.

Основным отличием рассматриваемого периода является то, что, во-первых, Декарт первым осознал и зафиксировал разрыв между целью и задачей исследования и средствами их достижения и, во-вторых, было осуществлено сочетание максимизации и минимизации в методах Каваль-ери, повышающее информационную ёмкость этих методов и приведшее к этапу анализа бесконечно малых, связанному с именами Ньютона и Лейбница; в-третьих, решающим звеном в развитии исторических предпосылок ДиИИ явилась фиксация связи дифференциальных и интегральных методов Торричелли и Барроу.

Так подготавливались действительные предпосылки новой математической теории - математического анализа бесконечно малых.

Литература

1. Маркс К. Экономические рукописи 1857-1859 гг. Критика политической экономии // Маркс К. и Энгельс Ф. Соч., изд. 2-е. Т. 46. Ч. 1.

Ростовский государственный педагогический университет 3 июля 2006 г.