Проективные свойства и конструктивные особенности дуальных рядов и пучков второго порядка

4. Решение задач требует от учащихся большой и достаточно сложной мыслительной работы. Построение графовых моделей в ходе решения задачи является опорой их мыслительной деятельности. Графовая . модель обеспечивает активизацию скрытых резервов мышления и способствует более глубокому и осмысленному усвоению.

Литература

1. Архангельский С.И. Кибернетические аналоги в обучении. — М.: Просвещение, 1968. — 65 с.

2. Березина Л.Ю. Графы и их применение. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1979. — 191 с.

3. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем.

- М.: Наука, 1978. -400 с.

4. Бухарова Г.Д. Теоретико-методологические основы обучения решению задач студентов вуза. Монография. — Екатеринбург, изд.; Урал. Гос. проф.-пед. ун-та, 1995. - 136с.

5. Давыдов В.В. Виды ообогцения в обучении. — М.: Педагогика, 1972. -424 с.

6. Жигачева H.A., Рыженко Н. Графовое моделирование структур решений сюжетных задач. Математические структуры и моделирование. —Омск, ОмГУ, 1999. -Вып.4. - С. 104-107.

7. Каменецкий С.Е., Орехов В.Т. Методика решения задач по физике в средней школе. Книга для учителя. — М.: Просвещение, 1987. —356 с.

8. Касымов Р.Я. Модель как средство научной организации обучения. Дисс. канд.пед. наук. — М., 1983.

- 265 с.

9. Ope О. Теория графов. -М.:Наука, 1968. -352с.

10. РымкевичА.П., РымкевичП.А. Сборник задач по физике. — М.: Просвещение, 1982. — 191 с.

11. Тихомиров O.K. Структура мыслительной деятельности человека. — МГУ, 1968. — 304 с.

12. ФлейшманБ.С.,БрусиловскийП.М., Розенберг Т.С. О методах математического моделирования сложных систем. Системные исследования. Методологические проблемы. Ежегодник. — М.: 1982. —С. 65-79.

13. Фридман A.M. Дидактические основы применения задач в обучении. Дисс. д-ра пед. наук. — М.: 1971. -423с.

14. Фридман A.M. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. — М.: Педагогика, 1977. - 208 с.

15. Ходаков Ю.В. Преподавание химии в 7-8 классах. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1969. -318с.

16. Щедровицкий Г. П. К анализу процессов решения задач. Доклады АПН РСФСР. — М.: АПН, 1960. -№5. - С. 25-28.

17. Якиманский И.С. Разработка технологии лич-ностно-ориентированного обучения. //Вопросы психологии. -1995. -№2. - С. 31-42.

БЫКОВА Наталья Павловна, старший преподаватель кафедры физики Омского государственного аграрного университета.

РЫЖЕНКО Николай Григорьевич — кандидат педагогических наук, доцент кафедры теории и методики преподавания математики Омского государственного педагогического университета.

w 513 05 К. Л. ПАНЧУК

Омский государственный технический университет

ПРОЕКТИВНЫЕ СВОЙСТВА И КОНСТРУКТИВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДУАЛЬНЫХ РЯДОВ И ПУЧКОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА_

Рассматриваются принадлежащие линейчатому пространству дуальные аналоги рядов и пучков второго порядка на проективной плоскости. Исследуются проективные свойства этих аналогов и отмечаются их конструктивные особенности.

В развитие решения проблемы синтеза линейчатых фигур пространства Р3 на основе принципа перенесения А. П. Котельникова{1], рассмотрим конструктивно-геометрические аспекты образования дуальных рядов и пучков второго порядка.

При образовании дуального ряда второго поряд-4 каН2 при помощи двух проективных щеток была отмечена принадлежность осей этих щеток ряду И2 [2]. Покажем, что любая прямая ряда К2 может быть принята в качестве оси образующей щетки. Докажем следующую теорему:

прямые дуального ряда второго порядка образуются двумя проективным» щетками, осикоторых -любые две прямые этого ряда.

Пусть дуальный ряд образуется проективными щетками у,2 и у\ и пусть а, 6, е, р - прямые этого ряда (рис.1). На прямых а и 3 построим щетку (а, £)' первого порядка, а на прямых Р и 6 -также щетку (/?,<?)' первого порядка. Между дуальными пучками 1 -го порядка у,2 (у,2- щетка второго порядка) и(а,5)', также как между у\ и {р,5), можно установить соответствие

(у2,аУ - (а,а,У

ПП [3), если сделать прямую е подвижной и заставить ее описывать ряд II2. При перемещении прямой е по ряду И2, лучи (у,, г) и (у2,с) опишут проективные пучки у,2 и у\ соответственно, которые на осях (а, 8) и (р,8) опишут соответственно ПП с ними щетки и (а, ¿У

и (р,8)'. у,гл(а,£)'; у22л(р,8)'. Так как, то

(а,£)'л(Д,£)'. Покажем, чтоимеетместоперспективность СП [3] щеток (а,8)'л(р,8)'  Действительно, так

как <У сН2, то это означает, что прямую 8 пересекают ортогонально соответственные лучи проективных

щеток у2 и у\, то поскольку <5 - общий луч щеток

и , то он один и тот же в ПП соответствиях

у2л(а,8У и у]л(р,8)х и, следовательно, двойной в соответствии (а,<5)'л(/7,£)'. Таким образом, проективные щетки (а,8)х и (/?,£)' имеют общий элемент. Это позволяет утверждать, что эти щетки имеют соответствие СП, т.е. (а,£)'л(/?,<5)'  Следовательно, существует некоторая щетка , обеспечивающая это СП. Ее нетрудно определить. Так как лучу (/,, а) с у2 соответствует луч {уг,а)с.у\, то щетке а2 с (а,8)' будет соответствовать щетка а2 с (Д, <У)'. Так как лучу {уг,р)а у] соответствует луч (у,,р)су?, то щетке рг с: (/¡,8)' соответствует щетка Д2 с (а, 5)'. Тогда общим элементом щеток (а, а, У и (ДД,)1 будет прямая М - ось щетки ц2, обеспечивающей соответствие СП щеток (а,8)[ и (Д,<5)'. Соответственные лучи Х\ и %гс(/!,8У

2 - V1

и ось ц щетки /I принадлежат одной щетке X . Очевидно, что положение прямой р зависитотосей

У\, У г,«, Р и не зависит от положения осей е, 8.

Рассмотрим теперь дуальные пучки первого порядка — щетки а2 и р1. Соответственными лучами этих щеток будем считать те, которые образуют прямые ряда Я2, например, лучи (а,8) и (/1,8), образующие прямую 8 с В2 (8 - ось щетки 82)- Покажем, что щетки а2 и р2 проективны, т. е. аг л/?2. Зафиксируем прямую

е (осьщетки ег) и пусть прямая 8 описываетряд И2. Тогда между дуальными пучками 1-го порядка -

щетками рг и (у.^еУ, также как между аг и (у,,еУ , устанавливается соответствие ПП, т.е. {уг,еУ7ф2\ (у„еУла2  Но пары соответственных лучей с{у1,еУ

и Хг с(у2'£У всегда образуют щетку Xх, проходящую через прямую положение которой не зависит от подвижной прямой 8 . Следовательно, имеет место СП соответствие: (уг,еУ д (ух,еУ и поэтому дуальные пучки 1-го порядка а1 и р1 проективны, т. е. а2лр2.

Так как а и Р произвольные прямые ряда Я2, то теорема доказана.

Любые две прямые ряда И2 могут быть выбраны в качестве осей двух проективных щеток, образующих

К2.

Следствие 1. Дуальный ряд второго порядка II2 полностью определяется любыми своими пятью прямыми. Пусть а и 8 - оси любых двух щеток а1 и 82

(рис.2). Так как Р , У , е- прямые ряда И2, то каждую из них пересекает ортогонально один луч от каждой

щетки а2 и 8г. Получаем проективное соответствие двух щеток:

а2 ((а, у), {а,р),(а,£))^бЧ(б, у), {3, /3), {5, г)) •

Проективитет щеток а2 и 82 приводит к образованию

ряда И2.

Рис. 2. Задание дуального ряда второго порядка.

Следствие 2. Так как каждая прямая дуального ряда

К2 может быть принята за ось одной из двух образующих этот ряд щеток, то следует, что эта прямая имеет единственную касательную щетку, для которой она является прямой прикосновения [2].

Следствие 3. Поскольку два проективных цилиндроида, соосных с проективными щетками а2 и 8г,

образующими ряд И2, определяют линейчатую поверхность шестого порядка [2], то прямолинейные образующие этой поверхности образуются двумя проективными цилиндроидами, оси которых - любые две прямые этой поверхности.

Рассмотрим теперь дуальный пучок второго порядка Р2. Докажем теорему:

щетки дуального пучка второго порядка пересекают любые две щетки этого пучка по двум дуальным проективным рядам прямых первого порядка.

Под пересечением двух щеток будем понимать наличие у них общих лучей.

I

У

£'/\\ Р\~7 XV

а2

Рис. 3. Дуальный пучок второго порядка.

Пусть пучок щеток Р2 образован двумя дуальными проективными рядами первого порядка (проективными щетками) у\ и у\ [2]. Пусть также а\ Д\ г1 -четыре произвольных щетки пучка Р2 (рис.3). Прямые е, и е2 (оси щеток г2 иг2 соответственно) являются соответственными в проективитете и образуют щетку г1 с Р2. Если щетка ё1 описывает дуальный пучок щеток Р2, то лучи е, и ег описывают дуальные проективные ряды (щетки) у', и у\. Пусть а и р (оси щеток а2 и рг соответственно) — прямые кратчайших расстояний между осями щеток о1 и 8', Д1 и <5' соответственно. Пусть также щетки а1, 81 ,Р\ у\ и у\ неподвижны, а щетка I1 описывает пучок Р2. Тогда получаем два дуальных проективных ряда первого порядка с осями а и Р, т.е. а2лД2, соответственными лучами которых являются х, и хг (оси щеток х! и х\ соответственно), где с а2, Хг  Действительно,

щетки а1 и у\ образуют соответствие ПП: а2лу1  Щетки р2 и у[ также образуют соответствие ПП: р2лу'г-

Но так как исходно у\ лу1 , то а2лр2. Покажем, что а2 и рг имеют соответствие СП. Рассмотрим их общий

элемент — луч 8 (осьщетки 81). Если в 8'  т0 е2 = 82, а ег2 г 82. Но тогда будет иметь место совпадение общего луча 8 (ось щетки 81) щеток а2 и 82, а также р2 и <Уг2,т. е. луч <5 является двойным, и поэтому имеет

место соответствие СП: аглр2. Определим щетку У, обеспечивающую это соответствие. Для этого необходимо найти какие-либо два луча этой щетки. Пусть

е1 к Д1. Тогда имеем соответствие осей Д с у\ и ргсу\, принадлежащих щеткам Д2 и Д2 соответственно. В этом случае щетке {а, Д ) с а1 будет соответствовать щетка (р,р2У  Д1 с ¡З2  Эти щетки пересекаются по лучу Д, (ось щетки Д,2). Пусть теперь ¿'за1. Тогда имеем соответствие осей а, су,' и с^су}, принадлежащих щеткам а2 и . В этом случае щетке (о, а, У = а1 с а2 будет соответствовать щетка (Д,^)1 с Д2 • Эти щетки имеют общий элемент аг (ось щетки ). Оба общих

элемента Д, и а2 как раз и образуют щетку /''.обеспечивающую соответствие СП: а2лД2. Этой щетке принадлежит луч X - прямая кратчайшего расстояния соответственных лучей с а2 и ^2 с Д2 (осей щеток х\ и ^ соответственно) щеток а2 и Д2, имеющих соответствие СП. Очевидно, что р' зависит от К, ^, ¿', Д1 и не зависит от ё' и 81. Это означает, что при перемещении 81 по пучку Р2 луч X (общий элемент щеток х\ и х\) должен принадлежать щетке . Щетка 81 пересекает щетки а1 и Д1 по общим элементам а (ось щетки а2) и Д (ось щетки Д2) соответственно. Рассмотрим дуальные ряды первого порядка а1 и Р'. Покажем, что они проективны. Ряд (а2)= ¿' образует соответствие ПП с рядом {х',)= £,2. Ряд (д2)= Д1 образует также соответствие ПП с рядом (хг)^е1  Но дуальные ряды {х\)=£2 и {х'г)=е2 имеют соответствие СП, обеспечиваемое щеткой Ц1. Откуда следует, что ¿'лД1. Так как а' и Д1 - произвольные щетки дуального пучка Р2, то теорема доказана.

Следствие 1. Дуальный пучок второго порядка Р2 полностью определяется заданием пяти щеток, например а\ /?', у\ 8\ е'. Действительно, две из них а1 и /3х, предположим и, можно выбрать в качес тве щеток,

образующих пучок Р2 (рис.4). Тогда три остальные щетки задают проективное соответствие:

о' ((а- у), (а, 8), (а, в)) л Р1 ((/?, у), (Д. 5), (Д, с)).

Следствие 2. Любая щетка д1 с Р2 может быть выбрана в качестве носителя образующего дуального ряда первого порядка. Другим носителем может быть любая другая щетка пучка Р2. Поэтому каждая щетка пучка Р2 имеет луч соприкосновения [2]. Множество лучей соприкосновения щеток пучка Р2 образуют дуальный ряд второго порядка й2, который является огибающей дуального пучка щеток второго порядка Р2. Щетки пучка Р2 являются касательными к И2. Так как через произвольную прямую пространства проходят не более двух щеток, принадлежащих Р2 [2), и каждая щетка имеет луч соприкосновения, то через каждую

Рис. 4. Задание дуального пучка второго порядка.

прямую пространства Р3 проходит не более двух щеток, касательныхк Н2.

Таким образом, можно сделать следующий обобщающий вывод: в дуальном представлении порядок ряда И2 означает, что произвольная щетка пространства Р3 не может иметь более двух лучей с И2, а его класс — через каждую прямую пространства проходит не более двух щеток, касательных к И2. Этот вывод имеет существенное значение для проективного образования линейчатых фигур пространства Р3 на основе дуального исчисления.

Литература

1. Панчук К.Л. О принципе перенесения Котель-никова — Штуди. // Геометрическое моделирование

в практике решения инженерных задач /. ОмПИ.-Омск, 1991. - С. 18-23.

2. Панчук К. Л. Дуальные ряды и пучки второго порядка. // Современные проблемы геометрического моделирования. Сборник трудов седьмой международной научно-практической конференции.- Мелитополь: изд-воТГАТА, 2003. 4.1- С. 122-126.

3. L. Kylikov, К. Panchuk, A. Liaskov, V. Volkov. Aspects of geometrical simulation of space and its properties, Proceedings of lO"1 International Conference on Geometry and Graphics, Vol. I,pp99 — 103, Kyiv, Ukraine.

ПАНЧУК Константин Леонидович, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики.

УДК 514 144 2 г т КАРАУЛОВА

Л. К. КУЛИКОВ В. Я. ВОЛКОВ

Омский государственный технический университет

ПЕРСПЕКТИВНО-ЧИСЛОВАЯ МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВА

Предложена модель расширенного евклидова пространства, представляющая собой множество точек с числовыми отметками, принадлежащими картинной плоскости. Рассмотрена реализация этой модели методами начертательной и проективной геометрии.

Задача реконструкции объекта по его центральной проекции имеет множество решений, которые в определенных сферах приложения вполне целесообразны и удобны. Применять эти способы для решения прикладных задач других областей порой неприемлемо и неэффективно, требует доработки, адаптации к конкретной сфере применения этих способов.

В данной работе ставится задача восстановления метрики и формы сложных пространственных объектов, а именно поверхности тела человека по фотоснимку.

Учитывая особенности этой предметной области, нами была разработана перспективно-числовая модель пространства, которая позволяет, зная центральную проекцию объекта и дополнительные данные к изображению, реконструировать этот объект.

Для получения модели расширенного евклидова пространства Р3 будем использовать центральное проецирование. Пусть ГТ — плоскость проекций (картинная плоскость), 5 — центр проецирования, П0 — плоскость нулевого уровня (рис. 1).

Центральной проекцией точки А является точка А' = БА^ГТ. Множество точек пространства Р., трех-параметрическое, множество проекций этих точек на плоскости Я'двухпараметрическое. Установить взаимно однозначное соответствие между элементами

П'

A h /

Рис. 1. Схема получения перспективно-числовой модели пространства.

(точками) этих множеств невозможно. Будем рассматривать точку А' вместе с числовой отметкой Л, где Л — расстояние от А до плоскости П0, взятые со знаком плюс, если А расположено выше П0 и со Знаком минус, если А расположено ниже П0. Таким образом |Л| = \АА0\, гдеА0 — ортогональная проекция точки А на плоскость П0.

Множество точек плоскости ГТ, взятых с числовыми отметками, является трехпараметрическим и может быть моделью пространства Р3. Взаимнооднозначное соответствие между Р., и П' устанавливается проецирующими прямыми (рис. 2).