Вопросыустойчивости движений в системах управления с прогнозирующими моделями

УДК 517.977.5

ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЙ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ С ПРОГНОЗИРУЮЩИМИ МОДЕЛЯМИ М.В. Сотникова

Статья посвящена исследованию вопроса устойчивости движений в системах управления с прогнозирующими моделями. Рассматриваются два различных подхода к обеспечению устойчивости. Первый из них базируется на идеологии модальной параметрической оптимизации, а второй на использовании вспомогательного терминального ограничения. Осуществляется построение терминального множества для частной ситуации. Приводятся практические примеры использования предложенных подходов

Ключевые слова: прогнозирующая модель, оптимальное управление, устойчивость

1. Введение

Управление с прогнозирующими моделями (Model Predictive Control, MPC) - один из популярных и перспективных современных подходов в теории управления [1]. Основными проблемами в этой области на сегодняшний день являются устойчивость движений замкнутой системы, робастность по отношению к прогнозирующей модели, реализация в темпе реального времени.

Проблема устойчивости движений в системах управления с предсказанием связана с тем, что соответствующие алгоритмы управления являются в значительной мере нелинейными и не представимыми в аналитической форме. Данное обстоятельство существенно затрудняет анализ устойчивости движений замкнутой системы. На текущий момент решение вопроса устойчивости получено лишь в отдельных частных ситуациях.

В данной работе представлены два подхода к обеспечению устойчивости. Первый из них основывается на методах модальной параметрической оптимизации [2] и ориентирован на учет требования устойчивости замкнутой системы в линейном приближении. Второй подход базируется на использовании вспомогательного терминального ограничения. Доказываются необходимые и достаточные условия устойчивости нулевого положения равновесия замкнутой системы для случая линейной прогнозирующей модели с ограничениями на управление. Обосновывается введение терминального ограничения и осуществляется построение терминального множества для частного случая.

Работоспособность и эффективность предложенных подходов проиллюстрирована примерами, выполненными на базе среды MATLAB.

Сотникова Маргарита Викторовна - СПбГУ, канд. физ.-мат. наук, ст. преподаватель, e-mail: s_margosha@mail.ru

2. Базовые принципы управления с прогнозирующей моделью

Пусть математическая модель динамики объекта управления представлена системой нелинейных разностных уравнений

х[г +1] = f(х[/],и[]), г = к + у, у = 0,1,2,... (!) у[г] = Сх[г], х[к ]= х[к ].

Здесь векторы х[/]е Еп , и[/]е Ет и у[/]е Ег представляют состояние, управление и измерение соответственно, х[к]е Еп - истинное состояние объекта управления на к -ом такте или его оценка, полученная с помощью асимптотического наблюдателя.

Рассматриваемая модель (1) предназначена для прогноза динамики объекта управления на определенный промежуток времени вперед при заданной конечной последовательности векторов управления и[к],и[к +1],...,и[к + Р -1]. При этом в качестве начальных условий выступает текущее состояние х[к ] объекта управления на к -ом такте. Подобная модель называется прогнозирующей моделью, а параметр Р - горизонтом прогноза.

В результате решения системы (1) получим конечную последовательность векторов управления {и[г]}, г = к,к +1,...,к + Р — 1 и соответствующую ей конечную последовательность векторов состояния {х[г]}, г = к +1,к + 2,...,к + Р . Будем говорить, что при этом сформирован прогноз движения реального объекта с горизонтом Р, что графически показано на рис. 1.

Рассмотрим функционал, характеризующий качество управления прогнозирующей моделью на горизонте прогноза

•1к = •1к

и = (и[к ] и [к +1] ... и [к + Р — 1])т 6 ЕтР,

х = (х[к +1] х[к + 2] ... х[к + Р])т 6 ЕпР

- вспомогательные векторы.

Известная классическая схема реализации управления с прогнозом, включенным в контур обратной связи, заключается в следующем:

измеряется или оценивается текущее состояние объекта х[к ];

выбором управления на горизонте прогноза оптимизируется движение прогнозирующей модели (1) по отношению к функционалу (2). При этом учитываются имеющиеся ограничения на управляющие и контролируемые переменные;

найденное оптимальное управление реализуется для объекта только на текущем такте к ;

для такта к +1 , все операции, указанные в пунктах 1 - 3, повторяются заново.

Рис.1. Прогноз движения объекта

В рамках приведенной схемы управление осуществляется по принципу обратной связи с дискретным поступлением информации о текущем состоянии объекта в моменты к = 0,1,2,... . Принято говорить, что подобный способ формирования управления использует прогноз с удаляющимся (подвижным) горизонтом.

3. Исследование вопроса устойчивости движений в системах управления с прогнозом

В соответствии с идеологией управления с предсказанием, для формирования управляющего сигнала на каждом такте необходимо решать оптимизационную задачу. Постановка этой задачи в значительной мере зависит от ряда факторов, прежде всего, от выбора прогнозирующей модели и от способа задания управления на горизонте прогноза. Кроме того, играет существенную роль вид оптимизируемого функционала, возможность учета ограничений на управляющие и контролируемые переменные.

В частности, если управление на горизонте прогноза задается традиционно в виде конечной программной последовательности векторов и[к],и[к +1],...,и[к + Р — 1] , то движения системы (1) на тактах к + у , где у = 1,2,..., Р , одно-

значно определяются заданием вектора u , т.е. x = x( u), а значит Jk = Jk (x( u), u) = Jk (u). При этом может быть сформулирована следующая задача оптимизации программного движения прогнозирующей модели (1) по отношению к функционалу (2):

Jk = Jk

где W = <

u є EmP : u[k + j - 1]є U, x[k + j]є X, j = 1,2,..., P

допусти-

мое множество конечных последовательностей т-мерных векторов. Задача оптимизации (3) представляет собой конечномерную задачу нелинейного программирования, причем существенно, что целевая функция здесь, как правило, задается алгоритмически.

Таким образом, схема управления с прогнозом, базирующаяся на пошаговой оптимизации, приводит к тому, что соответствующие алгоритмы управления являются существенно нелинейными и не представимыми в аналитической форме. Отсюда возникает проблема анализа устойчивости движений замкнутой системы. При этом применение классических методов, опирающихся на аналитическое представление разностных уравнений для замкнутой системы, является невозможным.

Вопрос устойчивости для систем управления с прогнозом в настоящее время решен лишь для отдельных частных ситуаций. Простейшей из них является случай, когда прогнозирующая модель линейная и имеет вид:

х[г +1] = Лх[г] + Би[г], г = к + у, у = 0,1,2,...,

у [г ] = Сх[г], х[к ]= х[к ], а Jk - квадратичный функционал качества

3к = Jk & й) = X {х[к+у]т Як+у х[к+у] +

j=i

u[k+j - 1]T Q k+j u[k+j -1]}.

Здесь Я к+у и О к+у - положительно определенные симметрические матрицы для любого дискретного момента у = 1,...,Р. Нетрудно убедиться в том, что в силу уравнений (4), функционал (5) можно трактовать как квадратичную функцию от конечного числа переменных

3к = и т Ни + 2fт и + g,

где матрица Н - положительно определена. В данном частном случае задача оптимизации (3) с очевидностью имеет аналитическое решение

и = и * = Кх[к],

где и* =(и*[к],и [к + 1],...,и*[к+Р — 1])т - оптимальное программное управление на горизонте прогноза, К - постоянная матрица, зависящая от матриц Л , Б , С прогнозирующей модели (4) и матриц И,, QI. функционала (5).

Однако, в соответствии со стратегией управления с прогнозом, из оптимальной последовательности и* = (и*[к],и *[к + 1],...,и*[к+Р—1])т используется только первый элемент на следующем такте, который определяется как

и* [к ] = Кх[к ],

где К - первые т строк матрицы К .

Таким образом, для дискретной линейноквадратичной задачи стратегия формирования управления с прогнозирующей моделью сводится к обычной пропорциональной линейной обратной связи по состоянию объекта. При этом об устойчивости нулевого положения равновесия замкнутой системы (4), (6) можно судить по собственным числам матрицы Л + БК.

В общем же случае, вопрос об устойчивости систем управления с предсказанием остается открытым [3]. При этом на практике вопрос обеспечения устойчивости преимущественно решается эмпирически путем значительного увеличения горизонта прогноза. Но такой подход приводит к увеличению размерности задачи оптимизации, решаемой на каждом такте, и, соответственно, к увеличению времени счета.

Можно предложить два подхода к обеспечению устойчивости движений систем управления с прогнозом. Первый из них основан на методах модальной параметрической оптимизации, а второй базируется на использовании вспомогательного терминального ограничения.

3.1. Обеспечение устойчивости линейного приближения замкнутой системы

Пусть нелинейная прогнозирующая модель представлена в форме

х[г +1] = f

у [г] = Сх[г], х[к ] = ~[к ].

Будем считать, что целью управления объектом является достижение некоторого желаемого движения, определяемого последовательностями векторов {гх[к]}, {г“[к]} , к = 0,1,2,... .

Осуществим линеаризацию уравнений (7) в окрестности рассматриваемого движения. В результате получим систему линейных разностных уравнений, описывающую динамику объекта в отклонениях

х\к +1] = Ах[к ] + Ви [к ] + Нф[к ], у [к] = Сх[к],

где х\к] є Еп , и\к] є Ет , у\к] є Е* , (р[к]є Е1 -

состояние, управление, измерение и возмущение соответственно.

Будем формировать управление на горизонте прогноза для прогнозирующей модели (7) в виде обратной связи (регулятора) по выходному вектору у:

и[к] = W

Здесь д - оператор сдвига на такт вперед,

^д, Ь) - передаточная матрица регулятора с фиксированной структурой (заданы степени полиномов в числителях и знаменателях всех ее компонентов), Ь є Ег - вектор настраиваемых параметров, подлежащих выбору при синтезе закона управления.

Запишем уравнения прогнозирующей модели (7), замкнутой регулятором (9):

Х[і +1] = і

и[і] = ги [і] + W(g,Ь)с(х[і] — гх [і]), х[к] = х[к]

Зафиксируем некоторый вектор Ь параметров и найдем решение системы (10) для і = к, к +1,..., к + Р — 1. В результате получим последовательность {х[і]} , ( і = к +1,...,к + Р ), представляющую собой прогноз движения реального объекта с горизонтом Р.

Поставим задачу о выборе оптимального управления на основе прогноза. Качество процесса управления прогнозирующей моделью на горизонте прогноза будем определять некоторым функционалом

Л = Л

который при прочих одинаковых условиях с очевидностью можно трактовать как функцию вектора настраиваемых параметров Ь . Здесь {Х[і ]} и {и[і]} - последовательности векторов состояния и управления, удовлетворяющие системе (10). Введем в рассмотрение следующую задачу параметрического синтеза

Зк = Зк

ЬєОн

где Он - множество настраиваемых параметров, обеспечивающих расположение корней характеристического полинома замкнутой линейной системы (8), (9) внутри заданной области Сд в единичном круге, то есть

Он ={ Ь є ЕГ: 6 ,.(Ь)є Сд , і =1,па},

где 5г. - корни характеристического полинома замкнутой линейной системы (8), (9).

Рассмотрим два варианта задания области Сд внутри единичного круга, представленные на рис. 2. Дадим формальное определение указанным областям:

Сд= Сд, = {и 6 С1: И £ г},

где г 6 (0,1) - заданное вещественное число;

Сд = Сд2 = {И6 С1:и = р.е±гф,

0 £ р £ г, 0 £ ф £ у(р)}, где г 6 (0,1) - заданное вещественное число, у(Х) - вещественная функция переменной ^6 (0, г] , принимающая значения из отрезка [0, р], причем у(г) = 0 .

Рис. 2. Области Сд1 и Сд 2 желаемого расположения корней.

Смысл введения данных областей состоит в следующем. Первая из них определяет ограничение снизу на степень устойчивости, т.е. на длительность переходных процессов в замкнутой системе. Вторая область, в дополнение к этому, определяет ограничение на меру колебательности.

Для построения алгоритма решения задачи (12) на множествах Он , осуществим параметризацию рассматриваемых областей Сд с использованием п-мерных вещественных векторов. Рассмотрим следующее утверждение.

Теорема 1. Для любого вектора у є Еп корни полинома д* (г, у), построенного по приведенным ниже формулам, находятся внутри области Сд1 или на ее границе. Обратно, если корни некоторого полинома д(г) принадлежат области Сд1 и при этом вещественные корни положительны, то можно указать такой вектор у є ЕПа , что справедливо тождество д (г) = д* (г, у). Здесь

д* (^, У) = П (г2 + а'(у, г) г + (у, г)),

і=1

если nd - четное, d = nd /2 ;

D*(z,g) = (z - ad+1 (gr})f|(z2 + a' (g,r)z + a0 (gr}),

i=1

если nd - нечетное, d = [nd / 2];

С

a)(g, r) = -r exp

-± + 2

H-g 2

4 gi2

+ ...

exp

\

a0 (g, r) = r2 exp(- g21), i = 1, d,

ad+1 (g, r ) = r exp(-g),

g= {g11. g12> g 21, g 22’'.', g d 1, gd 2> gd <>}• Доказательство теоремы приведено в работе [4].

Аналогичное утверждение, позволяющее осуществить параметризацию области Сд2 , сформулировано и доказано в работе [4].

Используя результаты теорем о параметризации областей Сд1 и Сд2, нетрудно показать, что задача параметрического синтеза (12) может быть сведена к эквивалентной оптимизационной задаче на безусловный эктремум. При этом справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Если в задаче параметрического синтеза (12), где WH - допустимое множество при условии Сд = Сд2, экстремум достигается в некоторой точке hk0 є WH, то в пространстве E найдется такая точка Є hk0 = h(ek0), причем ek0 = arg min J*k (e).

k о

єєЕЛ

что

И обратно: если в пространстве Е существует точка 8к0, удовлетворяющая (13), то

точка Ьк0 = Ь*(ек0) является решением задачи (12). Или, иными словами, в указанном смысле задача (12) эквивалентна задаче на безусловный экстремум

Л = Л*(е)  іпґ.

еєЕ1

Доказательство теоремы представлено в работе \4].

Сформулируем теперь алгоритм формирования управления с прогнозом, который включает в себя решение задачи параметрического синтеза (12) на каждом такте.

1. Выполнить измерение вектора у[к ] и восстановить текущее состояния х[к ] объекта с помощью асимптотического наблюдателя.

2. Решить задачу параметрического синтеза (12) посредством сведения ее к эквивалентной задаче (13) на безусловный экстремум.

3. Регулятор (9) с найденным в результате решения задачи (12) вектором параметров Ьк0 использовать на следующих I тактах.

4. Начиная с момента времени к +1 , все операции, указанные в пунктах 1-3, повторить заново.

В итоге, отметим следующие важные особенности предлагаемой схемы управления с прогнозом. Во-первых, на каждом шаге гарантируется устойчивость замкнутой системы в линейном приближении. Во-вторых, на каждом фактическом такте функционирования системы управление реализуется по принципу обратной связи. В-третьих, размерность задачи безусловной оптимизации фиксирована и не зависит от горизонта прогноза Р .

3.2. Устойчивость при наличии терминального ограничения

Одним из известных способов обеспечения устойчивости движений систем управления с прогнозом является введение дополнительного терминального ограничения вида х[к + Р]6 О , где х - вектор состояния прогнозирующей модели (1), Ос Еп - терминальное множество, включающее положение равновесия замкнутой системы. В частности, множество О может состоять из единственной точки, являющейся положением равновесия. Обоснованием для введения последнего ограничения является следующая известная теорема.

Теорема 3. Пусть прогнозирующая модель представлена системой разностных уравнений (1), а оптимизируемый на каждом такте функционал имеет вид

р

3к = 3к

г=1

где I(х,и)> 0 и I(х,и) = 0 -о х = 0 и и = 0 . При этом оптимизация функционала (14) выполняется на допустимом множестве

й 6 ЕтР : и [к + у —1]6 и, 1

х[к + у]6 X, х[к + Р] = 0, у = 1,2,...,Р) ,

которое определяется ограничениями на управление и состояние, а также терминальным ограничением. Тогда нулевое положение равновесия замкнутой системы асимптотически устойчиво при условии, что оптимизационная задача имеет решение на каждом такте.

Доказательство теоремы может быть найдено, например, в работе [5].

Недостатком такого подхода к обеспечению устойчивости является, во-первых, отсутствие гарантии существования решения оптимизационной задачи на каждом такте, во-вторых, то обстоятельство, что найденное оптимальное решение может не являться глобальным оптимумом. Кроме того, с точки зрения практической реализации, вместо терминального ограничения в виде равенства гораздо удобнее использовать терминальное множество О и соответствующее ограничение вида х[к + Р]6 О .

Рассмотрим вопрос о построении терминального множества О для частной ситуации с линейной прогнозирующей моделью, скалярным управлением и при наличии линейных ограничений. При этом в качестве множества О может быть выбрано инвариантное множество О0 для замкнутой системы управления с прогнозом, в котором все движения стремятся к нулевому положению равновесия при условии к  ¥ . Рассмотрим задачу о нахождении инвариантного множества О0 .

Будем полагать, что используется линейная прогнозирующая модель вида (4) со скалярным управлением, а оптимизируемый на каждом такте функционал 3к является квадратичным и задан в форме (5). Кроме того, положим, что определены следующие ограничения на величину управления на горизонте прогноза

|«к+1,1| £ Ь, I = 1,...,Р.

Как было отмечено ранее, минимизация функционала (5) при ограничениях (15) и прогнозирующей модели (4) сводится к решению задачи квадратичного программирования. При этом точный минимум квадратичной функции без ограничений достигается в точке и = Кхк , где К - матрица размерности Р Xп . Введем обозначения К1 ,..., К для строк матрицы К , где

Кг 6 Еп, г = 1,...,Р . Тогда на такте к , в соответствии с МРС-подходом, управление реализуется в виде регулятора ик = К1хк в том случае, если

х к 6 О г, где

Г , II!

Вычислим минимальное расстояние от начала координат до гиперплоскостей в

Ртт = ЮШ Ь/ |К ,-| .

г=1,Р

Введем в рассмотрение множество

WP ={хє Еп I |x| <pmin}.

Iх є

Для любого вектора состояния Хк є Ор на

к -ом такте управление формируется в виде регулятора ик = К1хк, но тем не менее это множество может не являться инвариантным. Построим такое инвариантное множество, которое содержится в

Будем считать, что собственные числа матрицы А = А + ВК1 расположены внутри единичного круга. Отметим, что при малых значениях горизонта прогноза Р это требование может не выполняться.

Так как матрица А шуровская, то для любой отрицательно-определенной симметрической матрицы W существует единственное решение дискретного аналога матричного уравнения Ляпунова

AT VA - V = W .

Причем решение уравнения (17) - постоянная симметрическая положительно-определенная

матрица V, а соответствующая ей квадратичная форма V (х) = хт Vx является функцией Ляпунова для замкнутой линейным регулятором системы уравнений прогнозирующей модели вида

x k+i = Ax k.

Для приращений функции V (x) на решениях системы (18) справедливо равенство

DV = V (x t+i)- V (x * ) = xTk Wx ,.

При этом поверхности V(x) = const представляют собой семейство замкнутых поверхностей уровня, окружающих нулевое положение равновесия, а множества Wc, определяемые как

Wc ={ xе En | V

являются инвариантными множествами для системы (18). Найдем такое значение параметра

*

c = c , при котором W , с Wp .

Известно, что поверхность V(x) = c наиболее вытянута вдоль направления, определяемого собственным вектором emin , соответствующим наименьшему собственному значению 1 min матрицы V, причем длина этого вектора вычисляется по формуле |emin | = Уc/1ml~ . Следовательно, необходимо выбирать такое значение параметра c, при котором yjcf 1 min < pmin . Отсюда получа-

* л 2

ем искомое значение параметра c = 1 minp . и

соответствующее ему инвариантное множество W , . Итак, доказана следующая теорема.

Теорема 4. Множество Wc. вида (19) при

* л 2

значении параметра с = с = 1 minp является

II11I1I min

инвариантным множеством для замкнутой системы управления с прогнозирующей моделью (4) при скалярном управлении, с квадратичным функционалом (5) и линейными ограничениями (15). При этом для любого вектора x k є W .

управление реализуется в форме линейного регулятора uk = K1xk , и соответствующие движения стремятся к нулевому положению равновесия при условии k  .

Следствие. Нулевое положение равновесия замкнутой системы управления с прогнозом с моделью (4), функционалом (5) и ограничениями (15) асимптотически устойчиво при любом значении L > 0, если матрица A + BK1 является шуровской.

Доказательство следствия очевидно, так как если матрица A + BK1 шуровская, то, в соответствии с теоремой 4, может быть построено инвариантное множество Wc* , в котором все

движения стремятся к нулевому положению равновесия при условии k  ¥

Итак, результат теоремы 4 конструктивен и позволяет сформировать инвариантное множество для рассматриваемой частной ситуации. Следовательно, дополнительное терминальное ограничение в MPC-задаче примет вид x[k + Р] є Wc*, что дает возможность в дальнейшем получить оценку области асимптотической устойчивости для замкнутой системы управления с прогнозом при различных значениях величины горизонта Р.

4. Примеры

Продемонстрируем работу алгоритма управления с прогнозом, базирующегося на идеологии модальной параметрической оптимизации, на примере задачи маневрирования по курсу для морского судна, математическая модель которого приведена в [6]. Выполнив дискретизацию уравнений этой модели, например, по методу Эйлера, получим систему нелинейных разностных уравнений. На основе данной системы сформируем нелинейную прогнозирующую модель

x[i +1] = f

y[i] = Cx[i], x[k] = x[k]

где х = V Vz юх Юу 0 ф б)Т , у = (ф б)Т - векторы

состояния и измерений.

Запишем также систему линейных разностных уравнений динамики объекта, которая получена путем линеаризации нелинейной системы в окрестности контролируемого движения:

х[к +1] = Ах[к ] + Ви[к] + Иф[к],

у[к] = Сх[к],

где х = (Vz Юх Юу 0 ф б)Т , у = (ф 5)Т . Система

(21) описывает динамику объекта в отклонениях от контролируемого движения, в качестве которого принимается движение с постоянной скоростью хода Vx = V = 10 м/с при нулевых значениях по координатам Vz, Юх, Юу, 0, ф.

Целью управления будем считать разворот по курсу ф на заданный угол ф путем подачи командного сигнала через обратную связь. При этом качество процессов будем оценивать длительностью разворота по курсу, определяя его входом в 3%-ю зону величины ф*.

Будем формировать управление прогнозирующей моделью в виде линейного регулятора по вектору состояния:

и[к ] = К

где х* = (0 0 0 0 ф* 0)Т , к = (к1 к2 к3 к4 к5 к6) -вектор параметров регулятора. В действительности управляющий сигнал будет формироваться по выходу асимптотического наблюдателя.

Сформируем уравнения прогнозирующей модели (20), замкнутой регулятором (22):

х[і +1] = ї(х[і],u[i]), і = к + у, у = ^д..^

и[і] = к (х[і ]- х*), х[к ] = ~х[к ].

При этом качество процессов управления прогнозирующей моделью на горизонте прогноза Р будем оценивать с помощью функционала Лк = Лк(к) , который обозначает длительность

*

разворота по курсу на заданный угол ф и вычисляется на движениях системы (23).

Рассмотрим следующую задачу параметрического синтеза

Лк = Лк

кєОк

где ОК = {к : 5і (к )є Сд, і = 1,6 }. Здесь 5і - корни характеристического полинома замкнутой системы (21), (22), степень которого па = 6 . В качестве области желаемого расположения корней зададим область Сд = Сд2, где г = 0.998 и функция у(р) имеет вид:

( )= МРМг /р), гехр(-р/1ё(Р))< р £ г, У Р |р, 0 < р < г ехр(- р / 1§(Ь)),

где Р = р /1.9. Эта область показана на рис. 3.

Рис. 3. Область Сд желаемого расположения корней.

На основе теоремы 2, задачу параметрического синтеза (24) можно преобразовать к эквивалентной задаче безусловной оптимизации, которая в данном случае принимает вид

Л = Л

уєЕ 6

Рассмотрим разворот судна по курсу на угол ф* = 10° . Будем считать, что в начальный момент времени судно движется с постоянной скоростью хода Vx = V с нулевыми значениями координат Vz, Юх, Юу, 0, ф, 5.

Зададим значение горизонта прогноза в непрерывном времени 50с. При этом на каждом такте формирования управления решается задача оптимизации (25).

Рис. 4. Процесс разворота по курсу на 10°.

Переходный процесс по углу курса ф показан на рис. 4. При этом длительность разворота составляет 25 с. Отметим, что качество процессов в данном случае существенно зависит от точности прогноза по курсу.

Рассмотрим теперь пример построения инвариантного множества и соответствующего ему терминального ограничения для линейноквадратичного варианта МРС-подхода с ограничениями.

Пусть линейная прогнозирующая модель задана системой разностных уравнений

х1[1 +1] = х1 [г] + 3и[г], г = к + у, у = 0,1,2,...,

х2 [г +1] = — х1 [г] + 2 х2 [г] — 4и[г].

Для простоты будем считать, что эти уравнения точно описывают динамику объекта управления и измеряются все компоненты вектора состояния. Зададим значение горизонта прогноза Р = 2 и будем полагать, что движения прогнозирующей модели (26) оптимизируются по отношению к квадратичному функционалу

Л = X { Х12[к+у] + Х22[к + у]+и 2[к + у-1].

у=1

Кроме того, будем полагать, что заданы следующие ограничения на величину управления на горизонте прогноза

|ик+і-1І < 0.5, і = 1,...,Р .

Прежде всего, вычислим значение точного минимума функционала (27) в МРС-задаче без ограничений. В результате получим решение

— - (- 0.26 0.40

и = Кх, , где К = I

^- 0.05 - 0.21

При этом матрица К1 = (- 0.26 0.40) и

собственные числа замкнутой линейным регулятором модели (26) равны 11 = 0.08 , 12 = 0.53 ,

т.е. матрица А шуровская. Найдем функцию Ляпунова для замкнутой линейной системы. Для этого решим дискретный аналог уравнения Ляпунова (17), задавая матрицу W, и получим соответствующее решение в виде матрицы V :

(-1 0 > (1.08 1.56'

W = I I, V = I

^ 0 -1/ ^1.56 4.74,

Множество Нр , определяемое системой

ограничений (28), показано на рис. 5. В данном случае значение ртіП = 1.04 . При этом величина

параметра с = 0.55 и искомое инвариантное множество Н * также представлено на рис. 5.

Рис. 5. Инвариантное множество W . .

5. Заключение

В статье рассмотрен вопрос устойчивости движений в системах управления с прогнозирующими моделями. Предложено два различных подхода к обеспечению устойчивости - с использованием методов модальной параметрической оптимизации и вспомогательного терминального ограничения. Работоспособность и эффективность подходов проиллюстрирована содержательными примерами.

Литература

1. Camacho E.F. and Bordons C. Model Predictive Control. - 2nd ed. -London: Springer-Verlag, 2004. - 405 p.

2. Веремей Е.И., Коровкин М.В. Применение пакета NCD для решения задач модальной параметрической оптимизации // Тр. II Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB». - М.: ИПУ РАН, 2004. - С. 884-896.

3. Mayne D.Q., Rawlings J.B., Rao C.V., Scokaert. Constrained model predictive control: Stability and optimality // Automatica. - 2000. - Vol. 36. - P. 789-814.

4. Веремей Е.И., Сотникова М.В. Стабилизация плазмы на базе прогноза с устойчивым линейным приближением // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2011. - Вып. 1.

- С. 117-134.

5. Maciejowski J.M. Predictive Control with Constraints.

- London: Prentice Hall, 2002. - 331 p.

6. Веремей Е.И., Корчанов В.М., Коровкин М.В., По-гожев С.В. Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов. - СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. - 370 с.

С анкт-Петербургский государственный университет

THE PROBLEM OF STABILITY IN MODEL PREDICTIVE CONTROL M.V. Sotnikova

The article is devoted to the problem of stability in the control systems, which are based on model predictive control strategy. Two different approaches are proposed. First one is based on the modal parametric optimization and provides closed-loop system stability in the linear approximation. Second approach relies on the introduction of the additional terminal constraint, which must be satisfied at each sample instant in order to provide stability

Key words: prediction model, optimal control, stability