Алгоритмы роевого интеллекта в задаче обеспечения надежности по постепенным отказам

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 1. С. 144-157.

Б01: 10.7463/0115.0755194

Представлена в редакцию: 01.12.2014 Исправлена: 19.01.2015

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

УДК 004.023+519.873

Алгоритмы роя пчел и частиц в задаче обеспечения надежности по постепенным отказам

Аноп М. Ф.1'*, Катуева Я. В.2, Михаличук В. И.1 Vanop@iacp.dvo.ru

1 Россия, Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН 2Россия, Дальневосточный Федеральный Университет

В работе представлены результаты применения эвристических методов роевого интеллекта в задаче оптимизации запаса работоспособности для обеспечения надежности технических систем по постепенным отказам. Описана реализация алгоритмов роя частиц и роя пчел и представлены результаты исследования эффективности предложенных методов при решении некоторых тестовых задач оптимального параметрического синтеза аналоговой радиоэлектронной аппаратуры. В качестве целевой функции использован геометрический критерий максимального расстояния до границ области работоспособности. Результаты исследования показали эффективность предложенных методов в сравнении с ненаправленным случайным поиском.

Ключевые слова: параметрическая надежность; постепенный отказ; методы оптимизации нулевого порядка; алгоритмы роевого интеллекта

Введение

Постепенные отказы, вызванные деградационными процессами внутренних параметров технических систем, протекающими под действием различного рода дестабилизирующих факторов, составляют значительную часть общего числа отказов. Такие неизбежные отклонения реальных значений параметров от расчетных необходимо учитывать при решении задачи обеспечения надежности технических объектов. Также важно уметь предсказать последствия этих отклонений и разработать комплекс мероприятий, обеспечивающих требуемые характеристики объекта в условиях этих отклонений.

Требуемый уровень надежности по постепенным отказам технического объекта можно обеспечить на стадии проектирования. Одним из возможных подходов в этом случае является решение задачи оптимального параметрического синтеза по критерию параметрической надежности, которая заключается в выборе таких номинальных значений параметров, при которых исследуемая система удовлетворяла бы требованиям к ее функционированию на протяжении всего заданного времени эксплуатации [1].

Наука и Образование

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Сетевое научное издание

ISSN 1994-0408

1. Задача оптимального параметрического синтеза

В общем случае математическую модель технических устройств и систем можно представить в виде зависимости у = у(х), связывающей внутренние х € Кга и выходные

т

У = (У 1, У2, ..., Ут) € Ет параметры системы. Необходимо отметить, что модели радиоэлектронной аппаратуры, на примере которых рассматривается предлагаемый подход, как правило, не заданы в аналитической форме, являются имитационными, т.е. являются моделями типа «черного ящика». В процессе эксплуатации технических устройств номинальные значения внутренних параметров изменяются во времени вследствие различных деградационных процессов. Таким образом, рассматривается не просто вектор фиксированных значений параметров, а случайный процесс X = Х(хпот, ¿) их изменения.

Помимо модельных соотношений задаются допуски на значения внутренних параметров в виде неравенств:

хг,тт — хг — Х1,тах> ^ -1, п.

Эти ограничения (1) в п-мерном пространстве внутренних параметров формируют п-мер-ный параллелепипед допусков Вт:

Вт = {X £ Rn: Xi,min < Xi < Xi max, i = 1, n }.

На выходные параметры системы исходя из требований указанных в спецификации к устройству также накладываются интервальные ограничения, называемые условиями работоспособности:

ymin < y

Условие (3) определяет в пространстве внутренних параметров область работоспособности Dx:

Dx = {X £ Rn: ymin < У

о геометрических характеристиках (связность, выпуклость, ориентация в пространстве параметров) которой ничего не известно, потому что, как уже отмечалось, модель системы не задана в аналитическом виде.

Формой проявления постепенного отказа является выход параметров за пределы области работоспособности (4). Поэтому, задача обеспечения надежности по постепенным отказам заключается в выборе номинальных значений внутренних параметров устройства xnom = = (xnom, i, xnom, 2, ..., xnom,n)T, обеспечивающих максимум вероятности невыхода случайного процесса деградации параметров X(xnom, t) за пределы области работоспособности Dx в течение заданного времени эксплуатации T.

В такой вероятностной постановке, в большинстве случаев, решить задачу обеспечения надежности технического объекта по постепенным отказам не представляется возможным из-за возникающих условий неполноты требуемой исходной информации. Для получения

априорной информации, требуемой для задания случайного процесса, необходимо проводить длительные и дорогостоящие испытания большого числа структурных элементов системы [2]. Поэтому, в работе предлагается не просто каким-либо образом решить поставленную задачу, учитывая возникающие неопределенности, а избавиться от них, изменив саму ее постановку. Вместо статистических показателей будем использовать геометрические детерминированные критерии типа «запасов», которые позволяют оценить степень удаленности вектора внутренних параметров от границ области работоспособности, а, следовательно, пределы возможных вариаций параметров элементов, при которых не нарушаются условия работоспособности [1,3].

Задача в этом случае сводится к нахождению такой точки xnom внутри области работоспособности Dx, которая находится на максимальном расстоянии от ее границы:

xnom = arg max dist

xeDx

Область работоспособности Dx в общем случае является n-мерным телом произвольной формы. Ни сама область, ни ее граница не заданы аналитически, поэтому определение расстояния от какой-либо проверяемой точки x до границы области Dx представляет собой алгоритмически сложную задачу. В работе в качестве оценки искомого расстояния, называемого «запасом», предлагается брать минимальное расстояние от проверяемой точки x до границы области Dx, измеренное вдоль каждого координатного направления [4]. Поскольку модельные зависимости (3) не заданы в аналитической форме, то расстояния вдоль координатных направлений предлагается вычислять с помощью метода дихотомии (деления отрезка пополам), на каждом шаге проверяя выполнение условий работоспособности. Описанные ограничения приводят к принципиальной невозможности использования методов оптимизации порядка выше нулевого при решении задачи (5).

2. Инерционно-взвешенный алгоритм роя частиц

В середине 90-х годов XX века психологом Джеймсом Кеннеди и инженером Расселом Эберхартом был разработан и доказан новый метод оптимизации нелинейных функций нулевого порядка, основанный на эволюционном алгоритме, имитирующем поведение особей стаи [5]. Впоследствии, другими исследователями были рассмотрены различные модификации оригинального метода. В данной работе используется модификация классического алгоритма роя, предложенная в 1998 году, и адаптированная под решаемую задачу оптимального параметрического синтеза по критерию параметрической надежности в условиях неопределенности [6].

Рой частиц представляет собой множество {Pj,j = 1, L } из L частиц с заданными связями между ними (топологией соседства частиц). Каждая частица Pj и весь рой в целом характеризуются рядом параметров, определяющих их состояние в конкретный момент времени:

• x = (xi, x2, ..., xn)T — положение частицы в пространстве внутренних параметров;

• V = (VI, У2 : ..., Уп)Т — скорость частицы;

• рЬвБ! = (рЬ1, рЬ2, ..., рЬп, рЬ)Т — локально лучшая точка (рЪ^ — значения координат локального оптимума, рЬ — значение целевой функции в этой точке);

• gbest = (дЪ]_, дЬ2, ..., дЬп, дЬ)т - глобальное решение.

Вектор V характеризует изменение положения частицы за единицу времени, равную, в рассматриваемом случае, одной итерации метода. На этапе инициализации алгоритма векторы х и V представляют собой равномерно распределенные в брусе допусков Вт независимые случайные величины. На каждой итерации алгоритма направление и длина вектора скорости каждой из частиц корректируются в соответствии со сведениями о найденных частицами Р3 локальных оптимумах pbest по формуле

У = шУг + Й1  гиё

где У — компонента вектора скорости частицы на следующем шаге; У — компонента вектора скорости частицы на предыдущем шаге; ш — коэффициент инерции; аь а2 — постоянные ускорения; гпё — случайная величина, равномерно распределенная на отрезке

[-1; 1].

После начальной инициализации запускается итерационный процесс. На каждой итерации алгоритма происходит изменение положения частицы по формуле

Хг = Хг + У.

На рис. 1 представлена обобщенная схема алгоритма роя частиц. Критерии остановки в общем случае могут быть любыми: количество итераций, время работы, неулучшение решения за данный период времени. В работе использовался критерий достижения с некоторой точностью заранее найденного с помощью других поисковых методов глобального оптимального решения.

Несмотря на несложную логику работы алгоритма на практике иногда довольно трудно добиться его эффективного применения по ряду причин. В первую очередь на эффективность метода роя частиц оказывает влияние выбор топологии соседства частиц, которая определяется неориентированным графом, в котором вершины — частицы роя, а ребра — информационные связи между непосредственными соседями. Как правило используются топологии «кольцо», «двумерный тор», «клика». От выбранной топологии связности зависит правило обновления скоростей частиц и размер популяции Ь [7]. Слишком большой размер популяции может привести к ранней сходимости в каком-либо локальном экстремуме. Формула (4) соответствует топологии клика, которая использовалась в представленной работе. В данной работе использовалась топология «клика». В ней соседями каждой из частиц Р^, 3 € [1, Ь] являются остальные Ь — 1 частиц. Для выбранной топологии характерно то, что лучшее значение целевой функции, достигнутое той или иной частицей, сразу становится известным всем остальным частицам в рое.

Рис. 1. Алгоритм роя частиц

От выбора значений параметров аь а2, и> зависит поведение отдельных частиц. Если а\ > а2, то частицы при исследовании области смещаются в большей степени в сторону собственной найденной лучшей позиции (локального оптимума); в противном случае — в сторону глобального наилучшего значения. Коэффициент инерции и отвечает за плавность изменения скоростей частиц и настройку баланса между тщательностью исследования области поиска и скоростью сходимости алгоритма. Перечисленные параметры могут быть константами или изменяться по каким-либо законам (линейному или нелинейному). В работе использовались фиксированные значения параметров.

Описанный в работе алгоритм роя частиц применялся для решения поставленной задачи (5) для следующих тестовых математических моделей радиоэлектронной аппаратуры: ЯС-цепь (размерность пространства п = 2), делитель напряжения (п = 2), транзисторно-транзисторная логика (п = 4), электронный усилитель (п = 8) и ждущий мультивибратор (п = 7) [10].

На рис. 2 приведены графики исследования сходимости метода в зависимости от различных наборов настроечных параметров на примере схемы ждущего мультивибратора.

0.3

Рис. 2. Работа алгоритма роя частиц при разных наборах параметров

Оценка эффективности алгоритма осуществлялась по следующим критериям: надежность, скорость сходимости и время работы программы. Введем определения предложенных критериев сравнения.

Надежность алгоритма — отношение числа успешных запусков, в которых алгоритм обнаруживает с требуемой точностью известный заранее оптимум, к общему числу статистически независимых запусков.

Скорость сходимости Уш — число вычислений целевой функции (итераций), при которых с заданной точностью алгоритм впервые находит глобальный экстремум.

Время работы — время работы программы, измеренное в миллисекундах, измеряемое от начала и до окончания работы программы с целью объективного сравнения быстродействия алгоритмов.

Для нахождения количественных значений предложенных критериев было произведено 1000 независимых запусков алгоритма с использованием в качестве критерия останова либо достижение оптимума с необходимой точностью, либо слишком долгое время вычисления (60 с). Значение глобального экстремума, которое использовалось в качестве эталона для сравнения, было найдено заранее с использованием других методов и алгоритмов.

Результаты работы алгоритма роя частиц приведены в табл. 1. Для сравнения в табл. 2 приведены результаты работы метода ненаправленного случайного поиска, который показывает неплохие реультаты лишь на простейших моделях. Исходя из приведенных данных очевидно преимущество использования метода роя частиц при решении задачи оптимального параметрического синтеза. В некоторых случаях алгоритм ненаправленого случайного поиска вообще не мог найти решение с приемлемой точностью за заданное время.

Несмотря на хорошую эффективность алгоритм роя частиц имеет некоторые недостатки. В силу большого количества настраиваемых параметров (коэффициент инерции, постоянные

Т а б л и ц а 1

Эффективность работы алгоритма метода роя частиц

Надежность М[Уш], итерации М [¿ад ], мс

ЯС-цепь 1 1393 4,0

Делитель напряжения 1 6 933 35,4

ТТЛ 1 2494 138,7

Электронный усилитель 1 6442 139,7

Ждущий мультивибратор 0,624 282 672 39599,1

Т а б л и ц а 2

Эффективность метода ненаправленного случайного поиска

Надежность М [Уад], итерации М [¿ад ], мс

ЯС-цепь 1 277 682 443,1

Делитель напряжения 0,913 9 575 027 56 487,4

ТТЛ 0,991 339 404 14 585,0

Электронный усилитель 1 58 923 865,3

Ждущий мультивибратор 0 - -

ускорения, количество частиц, ограничения на максимальные значения скорости частицы и др.) рассмотренный метод очень чувствителен к их выбору и требует тщательной настройки. Влияние перечисленных настроек неоднозначно влияет на эффективность работы алгоритма и требует исследований при решении каждой конкретной задачи. Процесс выбора настроек имеет мало теоретических обоснований и в большинстве случаев сводится к «подгонке» значений. Так же необходимо достаточно большое количество априорной информации о решаемой задаче с целью выбора значений параметров аь а2, и, отвечающих за локальную и глобальную сходимость. Сильной стороной данного метода является высокая эффективность в случае успешно выбранных настраиваемых параметров, а так же простота программной реализации.

В связи с указанными недостатками алгоритма роя частиц рассмотрим метод роя пчел, который обладает меньшей чувствительностью к настраиваемым параметрам, но более сложной логикой работы.

3. Метод роя пчел

Результатом развития идеи использования модели коллективного поведения животных в качестве основы оптиимзационных алгоритмов является алгоритм роя пчел, основанный на моделировании поведения пчел при поиске нектара [11]. В рассматриваемой задаче оптимального параметрического синтеза пчелой является вектор случайных равномерно распределенных величин х € Вт. Рассматриваются три вида пчел: sj• — пчелы-разведчики, ик — пчелы-рабочие,  — пчелы-наблюдатели. Рой представляет собой множество БШ = = {sj и ик и ф, ] = 1, Б, к = 1, Ш, I = 1, Все частицы роя действуют индивидуально,

подчиняясь общему принципу движения в сторону наилучшей персональной и наилучшей общей позиции.

Суть алгоритма заключается в многократном повторении метода ненаправленного случайного поиска (процесс отправки пчел) в ограниченных областях пространства поиска, называемых участками. Для каждого типа пчел задается параметр г в диапазоне (0; 1], который отвечает за размер исследуемого участка. Для пчел-разведчиков этот параметр г3 фиксирован и равен 1, т.е. такой тип пчел исследует все пространство поиска. Для остальных пчел этот параметр является настраиваемым и подбирается в зависимости от решаемой задачи. Обычно используется значения гт порядка 0,1 (10%) от исходного размера области поиска для пчел-наблюдателей и гд = 0,05 для пчел-рабочих.

В работе предлагается упрощенная реализация данного алгоритма, по сравнению с классическим методом описанным, к примеру, в статье [12]. Суть упрощения заключается в использовании более простой логики поведения и коммуникации пчел. Для пчел-наблюдателей д1 переопределена роль в рое: они выполняют функцию схожую с пчелами-рабочими шк, но, при этом, исследуют более крупные области пространства поиска. Помимо этого, в упрощенном алгоритме не учитывается возможное пересечение участков из-за близкого расположения пчел по отношению друг к другу.

Схема используемой в работе реализации метода роя пчел имеет следующий вид. На этапе инициализации требуется найти или задать несколько начальных точек и вычислить значения целевой функции в них. Затем, в зависимости от значений целевой функции &81;(х, ООх) в этих точках, в области Ох выбираются несколько участков различного типа:

• Ь лучших участков, которые соответствуют наибольшим значениям целевой функции;

• д хороших участков, соответствующие значениям целевой функции, наиболее близким к наилучшим значениям.

В каждый из лучших участков направляется рт = Ш/Ь пчел-рабочих, а в хорошие участки рд = Ц/д пчел-наблюдателей. Общая рекомендация по выбору количества участков и пчел такова. На каждый из лучших участков должно приходиться больше пчел, чем на хороший участок, а размер окрестности должен быть меньше. Размер исследуемых участков может быть задан как статически, так и динамически изменяться в зависимости от количества итераций. В случае реализации с динамически изменяющейся областью поиска увеличивается скорость сходимости алгоритма, но появляется возможность зависания алгоритма в локальном экстремуме. В этом случае глобальный оптимум может быть не найден. Исходя из этого при реализации данного алгоритма для этих параметров были выбраны фиксированные значения.

После того, как пчелы исследуют найденные области, снова происходит упорядочивание участков по убыванию значения целевой функции среди всех пчел, участвующих в процессе поиска, затем осуществляется дальнейший выбор лучших и хороших участков и происходит новая отправка пчел. Эти шаги повторяются до тех пор, пока не будет удовлетворен критерий остановки.

В табл. 3 приведены результаты эффективности работы метода роя пчел. Оценка эффективности осуществлялась по тем же критериям, что и для алгоритма роя частиц.

Эффективность метода роя пчел

Таблица 3

Надежность М[УШ], итерации М [¿ад ], мс

ЯС-цепь 1 22 375 49,1

Делитель напряжения 1 201030 1 080,4

ТТЛ 1 2 670 86,6

Электронный усилитель 1 1 137 16,5

Ждущий мультивибратор 0,999 26 328 9611,1

Алгоритм роя пчел имеет ряд настраиваемых параметров, которые влияют на скорость сходимости алгоритма и его точность. К таким параметрам относятся концентрация пчел, количество участков и размеры исследуемых областей. Ряд исследователей считает, что эффективность метода сильно зависит от выбора значений этих параметров, так же отмечают что остутствуют какие-либо содержательные основания для их выбора. Однако разработанная модификация оригинального метода и проведенные исследования показали, что это не так и указанные недостатки на самом деле могут служить достоинством метода. Рекомендуется следующее соотношение пчел в рое: пчелы-скауты 15-20%, пчелы-наблюдатели 20-25%, пчелы-рабочие 45-55%.

На рис. 3 приведены графики сходимости метода роя пчел, аналогичные графикам на рис. 2, в зависимости от различных наборов настроечных параметров для той же модели схемы ждущего мультивибратора. Из приведенных графиков видно, что выбор параметров алгоритма не является критичным фактором при решении задачи оптимизации.

Рис. 3. Работа алгоритма роя пчел при разных наборах параметров

Заключение

В работе рассмотрена задача обеспечения надежности по постепенным отказам технических устройств, которую нужно решать на этапе проектирования системы с помощью сведения ее к задаче оптимального параметрического синтеза. При этом учитывается неполнота априорной информации о случайных процессах деградации параметров. Рассмотренные в работе алгоритмы роя частиц и роя пчел, несмотря на более сложную логику работы и процесс организации вычисления, по сравнению с классическим методом ненаправленного случайного поиска, показали свою эффективность при решении данной оптимизационной задачи. Основная трудность в использовании методов данной группы — выбор настраиваемых параметров. Не существует универсального набора параметров, а перебирать различные комбинации настроек с целью выбора наилучшей для каждой новой задачи не всегда представляется возможным.

В работе была предложена модификация метода роя пчел, упрощающая логику его работы и программную реализацию. Данная модификация показала свою эффективность и универсальность. Рассмотренный метод в меньшей степени зависит от качества настройки параметров. Таким образом, если рассматривать все критерии в комплексе — с точки зрения наилучшего решения задачи, ограниченных временных и вычислительных ресурсов, отсутствия возможности тщательной настройки параметров алгоритмов, отсутствия сведений о решаемой задаче, то использование метода роя пчел является более предпочтительным при решении задачи оптимального параметрического синтеза по критерию надежности.

Список литературы

1. Катуева Я.В. Анализ сложных систем в условиях неполноты информации в задаче оптимизации надежности по постепенным отказам // Информатика и системы управления. 2010. №4(26). С. 61-68.

2. Абрамов О.В., Диго Г.Б., ДигоН.Б., Катуева Я.В., Назаров Д.А. Параметрический синтез технических систем в неопределенных средах // Информатика и системы управления. 2009. № 1 (19). С. 55-65.

3. Абрамов О.В., Катуева Я.В., Назаров Д.А. Оптимальный параметрический синтез по критерию запаса работоспособности // Проблемы управления. 2007. № 6. С. 64-69.

4. Катуева Я.В., Аноп М.Ф. Геометрический анализ области работоспособности на основе метода Монте-Карло // Информатика и системы управления. 2011. № 2 (28). С. 30-40.

5. Kennedy J., Eberhart R.C. Particle swarm optimization // Proceedings of IEEE International Conference on Neural Networks. 1995. Vol.4. IEEE Publ., 1995. P. 1942-1948. DOI: 10.1109/ICNN.1995.488968

6. Shi Y., Eberhart R.C. A modified particle swarm optimize // The 1998 IEEE International Conference on Evolutionary Computation Proceedings. IEEE Publ., 1998. P. 69-73. DOI: 10.1109/ICEC.1998.699146

7. Карпенко А.П., Селиверстов Е.Ю. Обзор методов роя частиц для задачи глобальной оптимизации

8. Mendes R., Kennedy J., Neves J. The fully informed particle swarm: Simpler, maybe better // IEEE Transactions on Evolutionary Computation. 2004. Vol.8, no.3. P. 204-210. DOI: 10.1109/TEVC.2004.826074

9. Kennedy J., Mendes R. Neighborhood topologies in fully informed and best-of-neighborhood particle swarms //IEEE Trans. on Systems, Man, and Cybernetics. 2006. Vol. 36, no. 4. P. 515519. DOI: 10.1109/TSMCC.2006.875410

10. Назаров Д.А. Разработка алгоритмических и программных средств построения и анализа областей работоспособности аналоговый технических систем: дис. . .. канд. техн. наук. Владивосток, Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, 2011. 185 с.

11. Karaboga D. An idea based on honey bee swarm for numerical optimization. Technical Report-TR06. Erciyes University, Engineering Faculty, Computer Engineering Department, 2005.

12. Гришин А.А., Карпенко А.П. Исследование эффективности метода пчелиного роя в задаче глобальной оптимизации // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2010. №8. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/154050.html (дата обращения 01.12.2014).

Science and Education of the Bauman MSTU, 2015, no. 1, pp. 144-157.

DOI: 10.7463/0115.0755194

Received: 01.12.2014

Revised: 19.01.2015

© Bauman Moscow State Technical University

Swarm of bees and particles algorithms in the problem of gradual failure reliability assurance

Anop M. F.1", Katueva Ya. V.2, Mikhalichuk V. I.1

manop@iacp. dvo.ru

1 Institute for Automation and Control Processes, Far Eastern Branch of RAS, Russia

2Far Eastern Federal University, Russia

Keywords: parametric reliability, gradual failure, zero-order optimization methods, swarm intelligence algorithms

Probability-statistical framework of reliability theory uses models based on the chance failures analysis. These models are not functional and do not reflect relation of reliability characteristics to the object performance. At the same time, a significant part of the technical systems failures are gradual failures caused by degradation of the internal parameters of the system under the influence of various external factors.

The paper shows how to provide the required level of reliability at the design stage using a functional model of a technical object. Paper describes the method for solving this problem under incomplete initial information, when there is no information about the patterns of technological deviations and degradation parameters, and the considered system model is a "black box" one.

To this end, we formulate the problem of optimal parametric synthesis. It lies in the choice of the nominal values of the system parameters to satisfy the requirements for its operation and take into account the unavoidable deviations of the parameters from their design values during operation. As an optimization criterion in this case we propose to use a deterministic geometric criterion "reliability reserve", which is the minimum distance measured along the coordinate directions from the nominal parameter value to the acceptability region boundary rather than statistical values.

The paper presents the results of the application of heuristic swarm intelligence methods to solve the formulated optimization problem. Efficiency of particle swarm algorithms and swarm of bees one compared with undirected random search algorithm in solving a number of test optimal parametric synthesis problems in three areas: reliability, convergence rate and operating time. The study suggests that the use of a swarm of bees method for solving the problem of the technical systems gradual failure reliability ensuring is preferred because of the greater flexibility of the method and the simplicity of the algorithm parameter settings.

Science ¿¿Education

of the Bauman MSTU

References

1. Katueva Ya.V. Complex systems analysis in the conditions of information incompletenes in the problem of gradual failure reliability optimization. Informatika i sistemy upravleniya = Information Science and Control Systems, 2010, no. 4 (26), pp. 61-68. (in Russian).

2. Abramov O.V., Digo G.B., Digo N.B., Katueva Ya.V., Nazarov D.A. Parametrical synthesis of technical systems in uncertain environments. Informatika i sistemy upravleniya = Information Science and Control Systems, 2009, no. 1 (19), pp. 55-65. (in Russian).

3. Abramov O.V., Katueva Ya.V., Nazarov D.A. Optimal parametric synthesis with respect to working capacity criterion. Problemy upravleniya = Control Sciences, 2007, no. 6, pp. 64-69. (in Russian).

4. Katueva Ya.V., Anop M.F. Geometric analysis of performance region based on the Monte-Carlo method. Informatika i sistemy upravleniya = Information Science and Control Systems, 2011, no. 2 (28), pp. 30-40. (in Russian).

5. Kennedy J., Eberhart R.C. Particle swarm optimization. Proceedings of IEEE International Conference on Neural Networks. 1995. Vol. 4. IEEE Publ., 1995, pp. 1942-1948. DOI: 10.1109/ICNN.1995.488968

6. Shi Y., Eberhart R.C. A modified particle swarm optimize. The 1998 IEEE International Conference on Evolutionary Computation Proceedings. IEEE Publ., 1998, pp. 69-73. DOI: 10.1109/ICEC.1998.699146

7. Karpenko A.P., Seliverstov E.Yu. Review of the particle swarm optimization method (PSO) for a global optimization problem. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2009, no. 3. Available at: http://technomag.bmstu.ru/doc/116072.html, accessed 01.12.2014. (in Russian).

8. Mendes R., Kennedy J., Neves J. The fully informed particle swarm: simpler, maybe better. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 2004, vol.8, no. 3, pp. 204-210. DOI: 10.1109/TEVC.2004.826074

9. Kennedy J., Mendes R. Neighborhood topologies in fully informed and best-of-neighborhood particle swarms. IEEE Trans. on Systems, Man, and Cybernetics, 2006, vol. 36, no. 4, pp. 515519. DOI: 10.1109/TSMCC.2006.875410

10. Nazarov D.A. Razrabotka algoritmicheskikh i programmnykh sredstv postroeniya i analiza oblastey rabotosposobnosti analogovykh tekhnicheskikh system. Kand. dis. [Development of algorithms and software for design and analysis of capacity of analog technical systems. Cand. dis.]. Vladivostok, The Institute of Automation and Control Processes of the Far Eastern Scientific Center, Siberian Branch of the USSR Academy of Sciences, 2011. 185 p. (in Russian).

11. Karaboga D. An idea based on honey bee swarm for numerical optimization. Technical Report-TR06. Erciyes University, Engineering Faculty, Computer Engineering Department, 2005.

12. Grishin A.A., Karpenko A.P. Efficiency investigation of the bees algorithm into global optimization problem. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2010, no. 8. Available at: http://technomag.bmstu.ru/doc/154050.html, accessed 01.12.2014. (in Russian).