Повышение уровня математического мышления студентов технического вуза средствами дискретной математики

К наиболее важным параметрам, составляющим инструментарий оценки финансовой эффективности малых инновационных предприятий, относятся реально сложившийся уровень платежеспособности, уровень управления активами, степень зависимости от внешних источников финансирования, а также показатели, характеризующие изменение уровня деловой активности [1].

Как представляется, набор и состав приведенных параметров в значительной мере зависит от поставленных целей инновационного проекта и его особенностей, а также от характеристики деятельности конкретного малого инновационного предприятия и может варьироваться [4].

Как представляется автору статьи, конечным результатом диагностики финансового состояния должно стать следующее:

- характеристика текущего и перспективного финансового положения предприятия с учетом планируемых финансовых операций;

- установление предполагаемых изменений в финансовом состоянии предприятия на перспективу;

- определение текущего и прогнозируемого

финансового состояния с учетом планируемых изменений;

- установление значимых и важнейших факторов, вызывающих изменения в констатируемом финансовом положении предприятия;

- определение недостатков и выявление резервов для возможного их устранения в целях улучшения финансового состояния предприятия;

- разработка мер по устранению недостатков в финансовой деятельности и повышению финансовой устойчивости предприятия;

- разработка с учетом стратегии развития предприятия конкретных и эффективных мероприятий, направленных на более эффективное использование финансовых ресурсов;

- прогнозирование возможных финансовых результатов и показателей рентабельности, исходя из реальных условий финансово-экономической деятельности, соотношения собственных и заемных ресурсов,

- разработка модели финансового состояния при различных вариантах использования ресурсов.

Статья поступила 6.02.2015 г.

1. Выборова Е.Н. Финансовая диагностика на уровне субъекта хозяйствования (к постановке вопроса) // Проблемы современной экономики. 2004. № 3. С. 110.

2. Итоги сплошного федерального статистического наблюдения за деятельностью субъектов малого и среднего предпринимательства за 2010 г. М.: ИИЦ «Статистика Рос-

Библиографический список

сии», 2012. С. 52-63.

3. Малое и среднее предпринимательство в России 2012. Статистический сборник. М.: Росстат, 2012. С. 5.

4. Малое предпринимательство в России: прошлое, настоящее и будущее / под ред. Е.Г. Ясина, А.Ю. Чепуренко, В.В. Буева. М.: Фонд «Либеральная миссия», 2003. 220 с.

УДК 519.107.58

ПОВЫШЕНИЕ УРОВНЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКОГО ВУЗА СРЕДСТВАМИ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

© Н.Н. Зепнова1

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Изучаются вопросы развития математического мышления студентов технических вузов посредством решения логических задач. Рассматриваются методы решения различных задач с применением методов теории множеств, математической логики, теории графов, а также некоторые основные понятия указанных разделов дискретной математики. Статья может быть полезна студентам, изучающим дискретную математику и начинающим преподавателям.

Ключевые слова: логические задачи; дискретная математика; математическая логика; теория множеств; теория графов.

IMPROVING THE LEVEL OF TECHNICAL STUDENT MATHEMATICAL THINKING BY DISCRETE MATHEMATICS

TOOLS

N.N. Zepnova

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The article studies the problems of developing mathematical thinking of technical university students by means of solving logical tasks. It discusses the methods of solving various problems with the application of the set theory, mathematical logic, graph theory, and some basic concepts of the named sections of discrete mathematics. The article could be of

1Зепнова Наталья Николаевна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики, тел: 89016575067, e-mail: zepnova.nat@mail.ru

Zepnova Natalia, Candidate of Pedagogics, Associate Professor of the Department of Mathematics, tel.: 89016575067, e-mail: zepnova.nat@mail.ru

value to the students studying discrete mathematics and novice teachers.

Keywords: logic puzzles; discrete mathematics; mathematical logic; set theory; graph theory.

Современные потребности высокотехнологичного промышленного производства обязывают студентов технических ВУЗов - будущих инженеров - приобретать не только узкоспециальные навыки, но и формировать у себя профессиональную математическую компетентность, которая представляет собой совокупность логических, аналитических, исследовательских и других компетенций.

В частности, среди общекультурных (ОК) и профессиональных (ПК) компетенций, которыми должны овладеть студенты технических специальностей, хочется выделить следующие:

- способность к обобщению, анализу информации, постановке цели и выбору путей ее достижения, культурой мышления (ОК-1);

- способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (0К-10);

- умение разрабатывать математические модели составных частей объектов профессиональной деятельности методами теории автоматического управления, применять необходимые для построения моделей знания принципов действия и математического описания составных частей мехатронных и ро-бототехнических устройств (ПК-1);

- способность выбирать аналитические и численные методы при разработке математических моделей основных технологических процессов (ПК-2);

- способность участвовать в разработке обобщенных вариантов решения проблем, связанных с автоматизацией производств, выборе на основе анализа вариантов оптимального, прогнозировании последствий решения (ПК-7).

Все названные компетенции указывают на то, что в процессе изучения математики в наиболее чистом виде должно быть сформировано логическое, алгоритмическое и абстрактное мышление. Эти виды мышления сами по себе связаны не только с математическим содержанием и математикой вообще, в их формировании участвуют и другие науки, однако математике, и в том числе такому важнейшему ее разделу, как дискретная математика, здесь принадлежит решающая роль [1].

Однако овладение математическими методами решения задач зачастую сопряжено для студентов с большими трудностями. Это обусловлено, на наш взгляд, падением уровня не только абстрактного, логического мышления учащихся, но и уровня математического образования вообще. Собственный опыт преподавательской работы в ВУЗе, ознакомление с мнениями других преподавателей в прессе и в сети Интернет позволяют сделать вывод о крайне слабой математической подготовке большинства абитуриентов, поступающих в технические ВУЗы и их нежелании ликвидировать пробелы в своем образовании.

К сожалению, приходится констатировать, что в силу целого ряда причин у студентов не формируется системного представления о фундаментальных основах математики, методах математического анализа, алгебры, геометрии. Год за годом отмечается снижение уровня логического, абстрактного мышления, что в свою очередь не позволяет большинству студентов в достаточном объеме овладеть такими важным для будущих инженеров дисциплинами, как математика, начертательная геометрия, физика и другие точные науки.

Для повышения интереса к изучению математики вообще, и математической логики в частности, мы постарались в курсе дискретной математики, преподаваемом в ИРНИТУ (до 1.03 - ИрГТУ), подобрать нестандартные практические задачи, иллюстрирующие применение основных методов дискретной математики в реальной жизни [4]. Решение подобных задач, на наш взгляд, вызывает у студентов интерес к изучению различных разделов дискретной математики, позволяет лучше усвоить ее основные законы и методы.

Приведем примеры подобных задач и методы их решения.

Диаграммы Эйлера-Венна

Метод Эйлера (круги Эйлера) широко применяется в решении задач, связанных с теорией множеств [2].

Понятие множества является фундаментальным неопределяемым понятием. Интуитивно под множеством понимают совокупность дискретных (т.е. отдельных) объектов, обладающих общим признаком и составляющим вместе единое целое. При этом природа объектов может быть самая разная.

Множества удобно изображать в виде областей на плоскости, ограниченных замкнутыми кривыми (обычно - кругов), включающих все элементы множества. Отношения между множествами изображают в виде диаграмм, называемых диаграммами Эйлера-Венна. Универсальное множество (включающее в себя множество всех множеств, о которых идет речь в задаче) изображают в виде прямоугольника, внутри которого помещают круги, изображающие множества.

Например, изображение универсального множества, включающего различные подмножества множества десятичных цифр: 0={0}, четных чисел Р={2, 4, 6, 8}, нечетных чисел 0={1, 3, 5, 7, 9} и простых чисел R={1, 2, 3, 5, 7} представлено на рис. 1.

Q P

9 1 \ /

5 3 \ 26 8 J

R

Рис. 1. Диаграмма Эйлера-Венна

Здесь и - множество всех подмножеств, образованных из элементов множества десятичных цифр. Как видим, некоторые элементы множества десятичных цифр и входят сразу в несколько подмножеств.

Рассмотрим применение диаграмм к решению задач на множествах.

Задача 1. В классе 42 ученика. Из них 16 занимаются легкой атлетикой,

24 - футболом, 15 - шахматами; 11 человек одновременно занимаются легкой атлетикой и футболом, 8 - легкой атлетикой и шахматами, 12 - футболом и шахматами, а 6 участвуют во всех трех спортивных секциях. Остальные не занимаются спортом. Сколько человек не занимается спортом?

Решение

Всеми тремя видами спорта занимаются 6 человек. При этом 11 занимаются легкой атлетикой и футболом. Значит, 5 из них занимаются легкой атлетикой и футболом, но не занимаются шахматами (11-6=5), а остальные 6 занимаются и легкой атлетикой, и футболом, и шахматами.

Аналогично: занимаются легкой атлетикой и шахматами, но не занимаются футболом 2 человека (8-6=2); занимаются футболом и шахматами, но не занимаются легкой атлетикой 6 человек (12-6=6).

Всего легкой атлетикой занимаются 16 человек, но при этом 5 из них занимаются еще и футболом, 2 -еще и шахматами, а 6 - еще и шахматами, и футболом. Следовательно, только легкой атлетикой занимаются 16-5-2-6=3 человека.

Аналогично, только шахматами занимаются 15-2-6-6=1 человек. А только футболом: 24-5-6-6=7 человек.

Значит, всего в классе занимаются спортом 6+5+2+6+3+1+7=30 человек. Следовательно, не занимаются спортом 42-30=12 человек.

Решение этой задачи более удобно изобразить на диаграмме Эйлера - Венна (рис. 2).

Заполнение диаграммы начинают «с середины»: поскольку известно, что всеми тремя видами спорта занимаются 6 человек, сразу заполняем область пересечения всех трех множеств. Так как шахматами и футболом занимаются 12 человек, из которых 6 уже учтены, то на область пересечения множеств «Шах-

маты» и «Футбол» без «Легкой атлетики» приходится 12-6=6 человек. Аналогично рассуждая, заполняем области пересечения множеств «Шахматы» и «Легкая атлетика», и «Футбол» и «Легкая атлетика». Затем определяем количество человек, занимающихся только шахматами: из 15 исключаем тех, кого уже посчитали (то есть тех, кто кроме шахмат занимается еще каким-либо другим видом спорта): 15-(6+6+2)=1. Аналогично заполняем оставшиеся области. После этого складываем все числа внутри диаграммы и вычитаем полученное число из общего количества учеников в классе. Таким образом, не занимаются спортом 12 человек. Очевидно, путем простых вычислений или логических умозаключений решить такую задачу гораздо сложнее.

Алгебра логики

Рассмотрим несколько примеров практического применения законов алгебры логики. Математическая логика (логика высказываний) - разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения. В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л [3].

С помощью логических связок из простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя их союзами «и» (конъюнкция), «или» (дизъюнкция), «не» (инверсия или отрицание), «следует» (импликация), «тогда и только тогда» (эквиваленция). Аксиомы логических операций (или логических связок) представляются обычно в виде таблиц истинности. Они известны каждому школьнику, поэтому мы не будем подробно останавливаться на них, напомним лишь, что вводятся следующие логические операции (связки) над высказываниями:

1. Отрицание. Отрицанием высказывания Р называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывание Р ложно. Обозначается ~1

Р или р . Читается «не Р».

Соответствие между высказываниями определяется таблицами истинности. В нашем случае эта таблица имеет вид:

Футбол Легкая атлетика

Рис. 2. Диаграмма Эйлера-Венна к задаче 1

P — Р

И Л

Л И

2. Конъюнкция. Конъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания. Обозначается P&Q или РлQ. Читается «Р и Q».

P Q P&Q

И И И

И Л Л

Л И Л

Л Л Л

3. Дизъюнкция. Дизъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. Обозначается PvQ. Читается «Р или Q».

P Q PvQ

И И И

И Л И

Л И И

Л Л Л

4. Импликация. Импликацией двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда высказывание Р истинно, а Q - ложно. Обозначается PэQ (или Р^). Читается «Если Р, то Q». Высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q - следствием.

P Q P^Q

И И И

И Л Л

Л И И

Л Л И

5. Эквиваленция. Эквиваленцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают. Обозначается Р~Q или РoQ. Читается «Р тогда и только тогда, когда Q».

P Q P-Q

И И И

И Л Л

Л И Л

Л Л И

С помощью этих основных таблиц истинности можно составлять таблицы истинности сложных (или составных) высказываний.

При нахождении значений формул на каждом наборе переменных следует помнить, что операции алгебры логики выполняются в следующем порядке:

1. Инверсия.

2. Конъюнкция.

3. Дизъюнкция.

4. Импликация.

5. Эквиваленция.

Если требуется нарушить данный порядок - ставят скобки, и тогда в первую очередь выполняется действие в скобках.

Часто возникает необходимость рассмотреть взаимоотношение двух высказываний. Говорят, что формула алогически следует из формулы В, если А принимает значение И при всех интерпретациях, при которых формула В принимает значение И. При этом формула А может принимать значение И даже на тех интерпретациях, на которых формула В принимает значение Л. Обозначается В^А.

Формулы А и В называются логически эквивалентными, если они логически следуют друг из друга. Обозначается АоВ или А=В. Логически эквивалентные формулы имеют одинаковые значения при любых интерпретациях.

Например, докажем, что формулы А = Р^Q и В = ~1 РvQ эквивалентны.

Построим таблицу истинности для каждой формулы, пользуясь таблицами для разных операций. При этом можно совместить две таблицы, поскольку мы будем сравнивать значение формул на одних и тех же интерпретациях (табл. 1).

Таблица 1

Доказательство эквивалентности формул

Р Q P^Q — Р — PvQ

И Л Л Л Л

Л И И И И

Л Л И И И

И И И Л И

Очевидно, столбцы значений для формул А и В совпали, следовательно, данные формулы эквивалентны.

Рассмотрим задачу о проверке истинности сложных высказываний с применением законов алгебры логики.

Задача 2. На вопрос: «Кто из трех студентов изучал дискретную математику?» получен верный ответ: «Если изучал первый, то изучал и третий, но неверно, что если изучал второй, то изучал и третий». Кто изучал дискретную математику?

Решение

Обозначим логическими переменными следующие высказывания:

А - «Первый студент изучал дискретную математику»;

В - «Второй студент изучал дискретную математику»;

С - «Третий студент изучал дискретную математику».

Составим формулы для высказываний:

«Если изучал первый, то изучал и третий»: А^С

«Если изучал второй, то изучал и третий»: В^С

«Если изучал первый, то изучал и третий, но неверно, что если изучал второй, то изучал и третий»:

Составим теперь таблицу истинности для полученных логических формул (табл. 2).

Таблица 2 &С3 и проведем преобразования (раскроем скобки).

Таблица истинности к задаче 2

А В C A^C B^C -

Л Л Л И И Л Л

Л Л И И И Л Л

Л И Л И Л И И

Л И И И И Л Л

И Л Л Л И Л И

И Л И И И Л Л

И И Л Л Л И Л

И И И И И Л Л

UA1&ß1&03 ÜA2&B1&C2

UA2&B2&03

ÜA3&B2&C3

UA1&B3&C2 UA2&B1&C3 UA3&B1&C1 ÜA4&B1&C3

Очевидно, что истинные значения данное высказывание принимает в том случае, когда первый студент изучал дискретную математику, а второй и третий -нет, или второй изучал, а первый и третий - нет.

Рассмотрим примеры еще нескольких задач, решаемых методами алгебры логики.

Задача о подборе экипажа

Еще один пример практического применения алгебры логики - задача о подборе экипажа космического корабля, или подводной лодки, или других объектов, на которых предусматривается длительное совместное пребывание людей в замкнутом пространстве.

Например, для космического полета составляют экипаж из трех человек: командир, инженер и врач. На должность командира претендуют четыре человека: А1, А2 ,А3, А4; на должность инженера - три человека: В1, В2, В3; на должность врача - тоже трое: С1, С2, С3. Сколько существует способов составления экипажа? Казалось бы, что может быть проще: 4*3*3=36. Но люди - не роботы, их нельзя переставлять как угодно и тасовать, как игральные карты. Необходимо учитывать еще вопрос психологической совместимости. Ведь может оказаться так, что какие-то члены экипажа психологически несовместимы, и это плохо отразится на работе всего экипажа. Поэтому психологи проводят исследования на совместимость.

Задача 3. Составить возможные экипажи для полета на космическом корабле, если известно, что инженер В1 не совместим с врачом С3, инженер В2 - с врачом С1, а инженер В3 - с врачом С2. Кроме того,

командир А1 совместим с инженерами В1, В3 и врачами С2, С3;

А2 совместим с инженерами В1, В2 и всеми врачами;

А3 совместим с инженерами В1, В2 и врачами С1,

С3;

А4 совместим со всеми инженерами и одним врачом С3.

Составим формулы, соответствующие последним четырем высказываниям:

Ф1 = А1&

Ф2 = А2&

Ф3=А3&

Ф4 = А4& (В1йВ2йВ3) &С3.

Составим теперь дизъюнкцию этих формул:

А1&

Получим: А1&В1&С1

йА1&В3&С3 йА2&В1&С1

йА2&В2&С1 йА2&В2&С2

йА3&В1&С3 йА3&В2&С1 йА4&В2&С3 йА4&В3&С3

Однако не все из полученных конъюнкций возможны. Например, комбинация А1&В1&С3 не может быть реализована, поскольку инженер В1 не совместим с врачом С3 . Тогда, с учетом условий несовместимости, остаются следующие конъюнкции: А1&В1&С1 йА1&В3&С3 йА2&В1&С1 йА2&В1&С2 йА2&В2&С2 йА2&В2&С3 йА3&В1&С3 йА3&В2&С3 йА4&В2&С3 йА4&В3&С3 Получили 10 возможных составов экипажа.

Задача о свидетельских показаниях

Задача 4. Виновник ночного дорожно-транспортного происшествия скрылся с места аварии. Работники ГАИ опросили трех свидетелей ДТП.

Первый свидетель показал, что это был автомобиль синего цвета, первая цифра номера - 3. Второй свидетель показал, что это был автомобиль серого цвета, первая цифра номера - 8. Третий свидетель показал, что цвет автомобиля был не синий и не серый, а номер был точно не 3.

В ходе дальнейшего расследования выяснилось, что каждый свидетель дал правильные показания либо только относительно цвета автомобиля, либо только относительно его номера.

Какого цвета был автомобиль, и с какой цифры начинался его номер?

Решение

Введем обозначения для элементарных логических высказываний:

А = «автомобиль синего цвета»; В = «первая цифра номера - 3»;

С = «автомобиль серого цвета»; й = «первая цифра номера - 8».

Так как известно, что каждый свидетель правильно указал либо цвет автомобиля, либо первую цифру номера, то истинными будут следующие составные высказывания:

(А &в )й(а &В) - из показаний первого свидетеля; (С & &) й(С &0) - из показаний второго свидетеля;

((а & С) &в) у((А • С ) &в ) - из показаний третьего свидетеля.

Так как все перечисленные высказывания истинны, то истинна также их конъюнкция:

й(С &0)) &((( а & С) &в) й((А •С) & в )) = 1

Преобразуем левую часть полученного равенства, учитывая, что А&С=0 и Б&0=0:

=(А&В & с& & й А & В & С &ой А &В& С & & й

а &В& С &D) &( а & С &В)й(А ОС) & в )= =И & в & С &Dй а &в& С & Я) & (А & С &в йA & В й

С & В ) = A & В & С &D = 1

Отсюда следует, что высказывания A и D истинны, а высказывания B и C ложны, то есть автомобиль синего цвета, первая цифра его номера - 8.

Как показывает практика преподавания дискретной математики в ИРНИТУ, подобные логические задачи, связанные с практическими ситуациями, но решаемые с помощью методов дискретной математики, вызывают неподдельный интерес у студентов и способствуют лучшему усвоению основных разделов дискретной математики.

Теория графов

Часто при решении особого класса задач, связанных с наливанием определенного количества жидкости с помощью двух (иногда трех) пустых сосудов, применяются методы теории графов.

Теория графов - это область дискретной математики, особенностью которой является геометрический подход к изучению объектов. Она пересекается со многими разделами теории множеств, комбинаторной математики, алгебры, геометрии, теории матриц, теории игр, математической логики и многих других математических дисциплин. Основной объект теории графов - граф и его обобщения.

Первые задачи теории графов были связаны с решением математических развлекательных задач и головоломок (задача о Кенигсбергских мостах, задача о расстановке ферзей на шахматной доске, задачи о перевозках, задача о кругосветном путешествии и другие). Существует еще один вид задач, связанных с путешествиями вдоль графов. Речь идет о задачах, в которых требуется отыскать путь, проходящий через все вершины, причем не более одного раза через каждую.

Сформулированная в середине 19 в. проблема четырех красок также выглядит как развлекательная задача, однако попытки ее решения привели к появлению некоторых исследований графов, имеющих теоретическое и прикладное значение. Проблема четырех красок формулируется так: «Можно ли область любой плоской карты раскрасить четырьмя цветами так, чтобы любые две соседние области были раскрашены в различные цвета?». Гипотеза о том, что ответ утвердительный, была сформулирована в середине 19 в. И только в 1976 г. было найдено положительное решение задачи с использованием ЭВМ.

Другая старая топологическая задача, которая особенно долго не поддавалась решению и будоражила умы любителей головоломок, известна как «задача об электро-, газо- и водоснабжении». В 1917 г. Генри Э. Дьюдени дал ей такую формулировку. В каждый из трех домов, изображенных на рисунке 4, необходимо провести газ, свет и воду (рис. 3, 4).

Можно ли так проложить коммуникации, чтобы они, нигде не пересекаясь друг с другом, соединяли каждый дом с источниками электричества, газа и воды? Граф, соответствующий поставленной задаче,

изображен на рис. 3.

Рис. 3. Граф, соответствующий задаче о коммуникациях: электричество, вода, газ

В середине XIX в. появились работы, в которых при решении практических задач были получены результаты, относящиеся к теории графов. Так, например, Г. Кирхгоф при составлении полной системы уравнений для токов и напряжений в электрической схеме предложил по существу представлять такую схему графом и находить в этом графе основные деревья, с помощью которых выделяются линейно независимые системы контуров. А. Кэли, исходя из задач подсчета числа изомеров предельных углеводородов, пришел к задачам перечисления и описания деревьев, обладающих заданными свойствами, и решил некоторые из них.

В XX в. задачи, связанные с графами, начали возникать не только в физике, химии, электротехнике, биологии, экономике, социологии и т.д., но и внутри математики, в таких разделах, как топология, алгебра, теория вероятностей, теория чисел.

Наряду с проблемами, носящими общий характер, в теории графов имеются специфические виды задач. При анализе надежности сетей связи, электронных схем, коммуникационных сетей возникает задача о нахождении количеств непересекающихся цепей, соединяющих различные вершины графа.

Результаты и методы теории графов применяются при решении транспортных задач о перевозках, для нахождения оптимальных решений задачи о назначениях, при составлении оптимальных маршрутов доставки грузов, а также при моделировании сложных технологий, процессов, в построении различных дискретных устройств, в программировании и т. д.

Рассмотрим некоторые основные понятия о графах [7].

Если на плоскости задать конечное множество V точек и конечный набор линий Х, соединяющих некоторые пары из точек V, то полученная совокупность

точек и линий будет называться графом. При этом элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Х - ребрами. Каждому ребру можно поставить в соответствие пару вершин w), которые оно соединяет.

Во множестве V могут встречаться одинаковые элементы; ребра, соединяющие одинаковые элементы, называются петлями. Одинаковые пары во множестве Х называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых пар w) в Х называется кратностью ребра w).

Если пары в наборе Х являются упорядоченными (то есть имеет значение направление движения от одной вершины к другой), то граф называется ориентированным или орграфом, а ребра называются дугами.

Вершины v, w графа G = (V, X) называются смежными, если {v,w}eX. Два ребра называются смежными, если они имеют общую вершину. Если вершина v является концом ребра х, то говорят, что v и х - инцидентны. Исходя из понятий смежности и инцидентности, строят такие важнейшие характеристики графов, как матрицы смежности и инцидентности.

Последовательность ребер в графе - такая, что начало последующего ребра совпадает с ребром предыдущего, называется маршрутом.

Рассмотрим следующую задачу [5]:

Задача 5.

Имеется 8-литровый сосуд, до краев наполненный водой, и два пустых - объемом 3 и 5 литров. Требуется разлить воду поровну в два больших сосуда.

Решение

Выберем на плоскости систему координат (необязательно прямоугольную). На одной оси отложим отрезок ОС, равный 5 единицам масштаба, на другой -отрезок ОА, равный 3 единицам. Построим параллелограмм ОАВС. Отметим на его сторонах точки с целочисленными координатами - это вершины графа. Соединим точки (0; 1) и (1; 0) отрезком и проведем параллельно ему отрезки, соединяющие отмеченные точки. Кроме того, соединим вершины графа, лежащие на противоположных сторонах параллелограмма, отрезками, параллельными координатным осям. Все эти отрезки являются ребрами построенного графа (см. рис. 5).

Рис. 5. Граф в системе координат

Сопоставим рассмотренный граф с задачей о переливании. Точка О соответствует тому состоянию, когда 5-тилитровый и 3-хлитровый сосуды пустые. Перемещение по ребру ОС отвечает наполнению 5-литрового сосуда, а по ребру ОА - наполнению 3-литрового. На сосудах нет никаких меток, поэтому процесс наливания заканчивается тогда, когда сосуд

наполнен. Этому процессу соответствует движение по ребрам графа, параллельным координатным осям до границы параллелограмма ОАВС. Но можно часть воды перелить из одного сосуда в другой, либо вылить остаток из одного сосуда, либо долить другой сосуд до краев - этим операциям соответствует перемещение из одной вершины графа в другую по диагональным ребрам.

Приведем решение задачи Тартальи с помощью графа.

Нужно выделить в данном графе маршрут, ведущий из вершины О в вершину D (см. рис. 5). Искомый маршрут отмечен сплошной линией. Прокомментируем его.

Ребро ОС изображает наполнение 5-литрового сосуда; точка С имеет координаты (5; 0);

СЕ: из 5-литрового вода переливается в 3-литровый; точка Е имеет координаты (2; 3), то есть в 5-литровом осталось 2 л воды, а 3-литровый налит до краев;

ЕР: из 3-литрового вода переливается в 8-литровый; F имеет координаты (2; 0);

Рв: 2 л, находящиеся в 5-литровом, переливаются в 3-литровый;

вН: наполняется вновь 5-литровый;

НК: из 5-литрового доливается недостающая часть в 3-литровый, в 5-литровом остается 4 л воды;

Кй: из 3-литрового вода выливается в 8-литровый (см. рис. 6).

Рис. 6. Граф к задаче Тартальи

Можно выбрать другой маршрут: начать движение по ребру ОА (то есть сначала наполнить 3-литровый сосуд). Этот маршрут менее экономичен, он требует на одно переливание больше, чем в приведенном решении.

Очевидно, таким способом решаются задачи о переливании и с другими данными. В рассмотренном графе, выйдя из точки О, нетрудно по его ребрам попасть в любую вершину, поэтому, имея сосуды объемом 3 и 5 литров, можно отмерить любое число литров от 1 до 5. Но при помощи сосудов объемом 4 и 6 литров возможно получить только 2, 4 и 6 литров. Это объясняется тем, что числа 3 и 5 взаимно простые, а числа 4 и 6 - нет.

Для облегчения построения маршрута можно воспользоваться методом бильярдного шара. Для этого возьмем угол АОС нашего параллелограмма равным 60° и будем считать, что бильярдный стол выполнен в форме такого параллелограмма. Если учесть, что при ударе шара по бортику стола он продолжает движение по принципу: угол падения равен углу отражения, то шар, выпущенный из точки О вдоль одной из сторон стола, воспроизведет требуемый маршрут. Он будет двигаться по пути, изображенному на рис. 6,

если будет выпущен вдоль стороны ОС.

Приведенные нами рассуждения верны лишь при условии, что третий сосуд, изначально наполненный, имеет вместимость, большую или равную, чем суммарная вместимость пустых сосудов.

Как показывает практика преподавания дискретной математики в НИ ИрГТУ, подобные логические

задачи, связанные с практическими ситуациями, но решаемые с помощью методов дискретной математики, вызывают неподдельный интерес у студентов и способствуют лучшему усвоению основных разделов дискретной математики и повышению уровня математического мышления.

Статья поступила 24.12.2014 г.

Библиографический список

1. Битнер Г.Г. Деятельностный подход в формировании математической культуры будущих инженеров: тезисы докладов Российской Школы - конференции с международным участием «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании». М.: РУДН, 2009. С. 250-256.

2. Зепнова Н.Н. Дискретная математика. Основы теории множеств: метод указания к изучению раздела «Теория множеств». Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2012. 52 с.

3. Зепнова Н.Н. Дискретная математика. Основы булевой алгебры (метод указания к изучению раздела «Булева алгебра»). Иркутск: Изд-во НИ ИрГТУ, 2013, 56 с.

4. Зепнова Н.Н. Преподавание курса дискретной математики во ВТУЗе с учетом специфики современных тенденций модернизации высшего образования // Вестник ИрГТУ. 2013. № 8 (79). С. 310-317.

5. Кузьмин О.В. Комбинаторные методы решения логических задач: учеб. пособие. М.: Дрофа, 2006. 187 с.

6. Мельников О.И. Обучение дискретной математике. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 224 с.

7. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики: учебник. М.: ИНФРА, 2002. 280 с.

УДК 33-336.719 ББК 65.262

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ВНУТРЕННЕГО КОНТРОЛЯ В ЦЕЛЯХ ОБЕСПЕЧЕНИЯ БЕЗОПАСНОСТИ КАССОВЫХ ОПЕРАЦИЙ В КРЕДИТНЫХ ОРГАНИЗАЦИЯХ

© И.И. Кабурган1, А.П. Стерхов2

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассматривается вопрос совершенствования системы внутреннего контроля с целью обеспечения безопасности кассовых операций. Приведены типичные нарушения, допускаемые работниками кассовых подразделений. Подчеркивается, что одной из основных мер минимизации операционных рисков кассовых операций является регламентация и четкое распределение полномочий, обязанностей и ответственности работников кассовых подразделений. Даны практические рекомендации по организации многоуровневого внутреннего контроля кассовых подразделений кредитных организаций, привлечения к контрольным мероприятиям сотрудников служб экономической безопасности кредитных организаций.

Ключевые слова: банковская безопасность; экономическая безопасность; внутреннее мошенничество; система внутреннего контроля; кассовые операции.

IMPROVING INTERNAL CONTROL TO ENSURE CASH TRANSACTIONS SAFETY IN CREDIT INSTITUTIONS I.I. Kaburgan, A.P. Sterkhov

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The paper discusses the problem of improving the system of internal control in order to ensure the safety of cash operations. Having described typical violations committed by cash unit employees, the authors emphasize regulation and unambiguous distribution of cash unit workers' powers, duties and responsibilities to be the one of the main measures to minimize the operational risks of cash transactions. The article provides practical recommendations on the organization of the multi-level internal control of cash units at credit institutions with the involvement of credit institution economic security officers to the control measures.

Keywords: banking security; economic security; internal fraud; internal control system; cash transactions.

В настоящее время подразделения внутреннего контроля созданы в каждом российском коммерческом банке. Организация и деятельность подразделений внутреннего контроля основываются на принятых

международных стандартах [1] и требованиях Банка России [2]. Понятия и вопросы организации подразделений внутреннего контроля нашли отражение в Положении Банка России от 16 декабря 2003 г. № 242-П

1Кабурган Игорь Ильич, магистрант, тел.: 89140058684, e-mail: igor.KABURGAN@raiffeisen.ru Kaburgan Igor, Master's Degree Student, tel.: 89140058684, e-mail: igor.KABURGAN@raiffeisen.ru

2Стерхов Анатолий Петрович, кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры экономической теории и финансов, тел.: 89641026955, e-mail: rabota@istu.irk.ru

Sterkhov Anatoly, Candidate of technical sciences, Associate Professor, Professor of the Department of Economic Theory and Finance, tel.: 89641026955, e-mail: rabota@istu.irk.ru