Перспективы метода решения дифференциальных уравнений на основе компьютерной аналогии

N96(18)2008

В.В. Аристов, А.В. Строганов

Перспективы метода решения дифференциальных уравнений на основе компьютерной аналогии

Проблемы, которые изучаются с помощью дифференциальных уравнений, встречаются во многих областях науки и техники — это задачи термодинамики, процессы легирования в микроэлектронике, описание численности населения, изучение торнадо и шаровых молний. Для всех этих задач необходимы методы решения различных типов дифференциальных уравнений.

Явное решение дифференциального уравнения, которое способно дать ценную (и во многих случаях исчерпывающую) информацию о поведении искомой функции, можно получить лишь в отдельных случаях. При изучении физических проблем часто приходится сводить задачу к модели, имеющей точное решение, вводить различные упрощения и т. д.

При этом большинство сложных уравнений — нелинейных обыкновенных дифференциальных и систем таких уравнений, уравнений в частных производных, интег-родифференциальных уравнений и т. д. — могут быть решены лишь численно с помощью компьютеров. При всех достоинствах численных подходов, позволяющих решать многочисленные задачи, существует необходимость получения точных решений. Представление в явной форме, помимо того что выражает свойства самого решения уравнений, а не только алгоритма (например, разностных схем), избавляет от многих промежуточных трудностей при получении правильного численного решения (развитие и анализ устойчивых и аппроксимирующих разностных схем, написание и отладка программ, изучение полученных многовариантных результатов и т.д.). Аналитическое решение (пусть даже в достаточно сложной форме) дает возможность изучать различные свойства искомой функции вплоть до качественного поведения, что

90 у

важно для физических проблем. Но точные решения получают в основном для линейных уравнений и систем уравнений. Важные в современной науке нелинейные задачи допускают такие решения лишь для определенных классов уравнений (примером может служить хорошо известный метод обратной задачи для уравнений, допускающих солитоноподобные решения).

Возникает вопрос: нельзя ли попытаться формализовать работу самой вычислительной машины, которая позволяет добиться успеха в построении решения, но только численного? При этом можно надеяться, как минимум, на сокращение необходимых операций и тем самым на получение более экономичных алгоритмов, а как максимум — на построение решения в явном виде, т. е. фактически на получение точного решения. Выделим два основных свойства компьютера: работа с ограниченным (фиксированным) количеством разрядов и переброс значений из разряда в разряд. При вычислении значения искомой функции с помощью численной схемы на каждом шаге по аргументу компьютер использует ограниченную разрядную сетку с основанием системы счисления — 2. Если в некотором разряде происходит переполнение, то увеличивается значение более старшего разряда. Достаточно малые величины отбрасываются, так как в данной разрядной сетке не существует разрядов, соответствующих этим

И96(18)2008

величинам. Таким образом, гарантируется определенная точность.

Заметим, что не стоит ожидать буквальной аналогии, так как, по сути, компьютер вычисляет все промежуточные значения и не учитывает достаточно малые величины. Нас интересует аналогия с абстрактным вычислительным устройством (которое, возможно, является общим случаем для обычных компьютеров), где для каждой отдельной задачи можно выбирать параметры разрядной сетки представления числа. Этими параметрами являются длина разрядной сетки и основание системы счисления для представления разрядов. Для современных компьютеров основание фиксировано значением 2, а количество разрядов может выбирать программист, что не всегда является простой задачей. Такое обобщение, по-видимому, не нарушает никаких фундаментальных принципов вычислительного устройства (в отличие от логического устройства, где наличие двух различных состояний является основополагающей концепцией), что позволяет производить более глубокий анализ процесса получения решения.

Попробуем построить соответствующую теоретическую модель. Будем представлять решение в виде разрядной сетки с некоторым основанием системы счисления. Мы увидим, что за основание удобно брать величину, обратную шагу по независимой переменной. На каждом шаге по независимой переменной будем вычислять значение функции, сохраняя общий вид отрезка ряда, и применять операцию переброса к разрядам, в которых значение превзошло основание выбранной системы счисления.

Данный метод позволяет получить решение в явном виде (возможно, достаточно громоздком). При использовании численных схем необходимо решать вопросы о сходимости и устойчивости метода и осуществлять вычисления на каждом шаге итерационного параметра, что требует привлечения ЭВМ. Далее покажем, что введенные функции переброса ведут себя квазислу-

чайным образом, так как старшие коэффициенты ряда, фигурирующие в них, являются, по сути, генераторами псевдослучайных чисел, что позволяет применять статистические методы, которые существенно снижают вычислительную сложность.

Рассмотрим построение решения задачи Коши с квадратичной нелинейностью и любым начальным условием, равным натуральному числу. Покажем, что начальное условие в нашей формализации, по сути, играет роль коэффициента «скейлинга». Рассмотрим также применение метода к некоторым задачам Коши для автономных нелинейных уравнений. Будет показано, как данный подход может применяться для решения систем нелинейных уравнений.

Представление решения в виде ряда

Рассмотрим следующую задачу Коши для автономного уравнения:

¿У

У), у(0) = Уо

Уп+1 = Уп + тв( Уп

Уп

п т + а1, п т +  + ап

91

оо §

¡2 о

са

и

са са

где О(у) — бесконечно-дифференцируемая функция (с ограниченными производными).

Воспользуемся разностной схемой Эйлера первого порядка:

где Уп — разностное решение на п-м слое по времени (так для краткости назовем аргумент);

т — шаг по времени. Полагаем, что т выбрано столь малым, что схема (2) устойчива. Тогда условие (2) обеспечивает сходимость разностного решения к решению задачи (1) с первым порядком точности по т.

Применяя последовательно схему Эйлера и производя перегруппировку слагаемых, получаем решение в виде отрезка ряда по степеням т:

Не6(18)2008

При переходе на следующий слой по времени удерживается постоянное число слагаемых р, но за счет отбрасывания слагаемых более высоких порядков возникает ошибка Ап+1:

Уп+1

: ао, п+1 + ^ а

/=1

,т' + Ап

= -у2, У(0) = 1.

I!

! <0

I

!

I §

1 £

Л

I £

и

и £

§ и

Для сходимости к точному решению достаточно, чтобы Ап+1 была того же порядка, что и ошибка, допускаемая на каждом шаге руководящей численной схемой. Из этого условия находится количество слагаемых р.

Рассмотрим следующую задачу Коши:

су СГ

Она является наиболее простой для иллюстрации особенностей метода, так как имеет нелинейное монотонное решение и разрешима аналитически, что удобно для проверки предлагаемого метода. Аналитическое решение имеет вид: у(0 = 1/(1 + Г).

В качестве наиболее простой руководящей разностной схемы выберем указанную схему Эйлера первого порядка точности. Тогда разностная схема записывается так:

Уп+1 = Уп - У2Т.

Для простоты ограничимся рассмотрением представления решения (3) для р = 2.

Подставив выражение (3) в схему (5) и сравнив выражения для коэффициентов на п-м и (п+1)-м шагах, можно получить рекуррентные зависимости коэффициентов. Раскрывая их последовательно и учтя начальные условия: а00 = 1, а10=а20 = 0, получим:

ао, п = 1, а, п = п, а2,п = п( п-1).

Окончательно имеем решение в явном виде: Уп = 1 - пт + п( п-1)т2.

Записав приближения в указанном подходе, получим приближение решения на основе руководящей схемы Эйлера. Причем вплоть до Г~1 приближение приемлемо, а при больших Г для конечного небольшого числа оставляемых членов происходит резкий отход от решения (рис. 1).

Характерно, что традиционное представление решения задачи (4) разложением в ряд по степеням Г дает:

У(Г) = 1 - г + г2 - г3 + ...,

что означает расходимость этого приближения при Г > 1. В предлагаемом методе, где решение раскладывается в ряд по степеням

Аналитическое без перебросов, до т без перебросов, до т2 ----без перебросов, до х3

Рис. 1. Решения «без перебросов» разрядов

92

№6(18)2008

шага времени, каждое новое добавление приближения дает некоторое уточнение, но в целом подход неэффективен при Г > 1.

Схема «с перебросами» разрядов

Потребуем, чтобы в результате операции «переброса» коэффициенты степенного ряда были меньше, чем величина, обратная шагу (пусть эта величина — целое число).

Операцией «переброса» для данного разряда назовем алгоритм, работающий следующим образом: для каждого коэффициента с номером I целая часть произведения а,п+1 т прибавляется к предыдущему коэффициенту (а,п+1), а 1-й коэффициент становится равным остатку от деления а,п+1 на1/ т, т.е. а, п+1 mod(1/т).

Оценивая отброшенные слагаемые при переходе на новый слой, можно показать, что для сходимости к точному решению задачи (4) достаточно удерживать слагаемые до т3 включительно. Представление решения будет иметь вид:

Уп = а0, пт° _ а1, п т1 + а2, п т2 _ а3, п т3.

Из-за «переброса» разрядов оказывается, что коэффициент а0п не меняется, следо-

вательно, а0,n = а0 0 = у(0). Коэффициент a1n (коэффициент линеаризации) является определяющим. Слагаемые а2,nт2 и а3,nт3 стремятся к нулю, так как за счет операции «переброса» разрядов все коэффициенты ограничены сверху величиной 1/т-1. Сравнив коэффициенты при одинаковых степенях т на двух последующих шагах, можно получить выражение для коэффициента линеаризации через сумму функций «переброса»:

n

ai,n = X(1 — 512,m ).

m = 0

Функции переброса 812,n+1 и 523,n+1 приведены соответственно на рис. 2 и 3. Функция 523,n+1 демонстрирует довольно сложное поведение с участками самоподобия и аномалиями, отражающими изменение коэффициентов a1n, a2n, a3n.

Рассмотрим важную аналогию с работой компьютера. Во многих ЭВМ для генерации псевдослучайных чисел используется линейный конгруэнтный генератор вида

xm = (bxm—1 + c)mod P,

где b, c и Р — целые числа, причем b, c < P (используются и более сложные формулы).

са §

5

о

са

t

oä od

T = 0,1

T = 0,01

T = 0,001

Рис. 2. Функция «переброса » 512,n+i при различных значениях т

93

Н96(18)2008

о

£ £

0

1

5 с

<и §

5

о

Рис. 3. Функция «переброса» 5 2

При сравнении значений коэффициентов с этой формулой заметим определенную аналогию. На рис. 4 показано поведение коэффициентов в зависимости от номера узла (рассматривается приближение до третьего порядка). Предположение

о случайном поведении а2,п (как и а3,п) правдоподобно.

Решение определяется коэффициентом а1п, который выражен через функции «переброса» 512,п+1. Будем полагать а2,п и а3,п случайно распределенными целыми дискрет-

I £

а

а £

Л

I

I ^

1 I

те

5

I I

I

Значения коэффициентов в схеме с шагом 0,01

100

Номер узла, л Рис. 4. Сравнение коэффициентов а1п, а2п, а3л

94

№6(18)2008

ными величинами, принимающими 1/ т различных значений. Тогда 812,п+1 будет принимать лишь значения 0 и 1, причем вероятность принимать каждое из этих значений будет меняться с изменением коэффициента линеаризации а1п. Вероятность того, что 812,п+1 = 0 (т. е. при данном п не происходит «переброса»), будет иметь вид:

Р( 31, п ) =

2

2

Представим а1п следующим образом:

п п _

а1, п = > (1 -812, т ) — 2812, т

т = 1 т=1

Удобнее искать вначале обратную зависимость номера п от этого коэффициента, а затем восстановить прямую (для всех случаев здесь из вида дифференциальных уравнений ясно, что решение строго монотонно, поэтому однозначно находится прямая зависимость). Разобьем область изменения целочисленной переменной а1п от 0 до 1 / т -1 на равные отрезки и на каждом фиксированном отрезке будем искать соответствие приращению а1п, равному 1, приращения переменной п. Будем полагать, что это приращение не обязательно целочисленное (что можно делать, не нарушая точности схемы). Обозначим за п, значение шага, при котором а1,, = /. При этом на /'-м от-

п,+ 1 -1_ '

резке > 812,т = 1. Из выражения (6) следу-

т = п/

ет, что для всего этого отрезка вероятность «переброса» постоянна и зависит только от а1п. Будем полагать теоретическую вероятность (6) равной частоте нулевого «переброса» на этом отрезке (это важнейшее предположение). Тогда

Р =-

1

2 ^12,"

пм =п 1 +1/Р. После суммирования по получим:

1 Рт

п = 1 + 1,

т =1 т

Здесь п1 = 1 (что легко видеть из формулы для вероятности).

Учитывая (6), запишем решение в явном виде:

. « 2

п, = 1 + > -----.

/ т=12(тт-1)2 -т-т2

Полученная формула выражает указанную обратную функцию, что позволяет определить, какому аргументу п соответствует аи.

Влияние начального условия

на поведение функций «переброса»

Рассмотрим задачу:

бу сн

= -у2, у(0) = А

Р( аи,) =

{Аа1,пт(2 - аи,т)} - 2Ат 1 - 2 Ат .

95

со §

¡2 о

со

и

СО

со

где А — некоторое натуральное число.

Тогда представление решения на п-м шаге будет иметь вид:

уп = А(а0,пт0 - а1,пт1 + а2,пт2 - а3,пт3 ).

Обратная зависимость для данной задачи будет иметь вид:

1 V 1

пI = — + > -,

/ А т=1 А - [Атт

где вероятность того, что 812,п+1 = 0, определяется по формуле:

Функции «переброса», определяемые коэффициентами а1,п, проявляют свойства самоподобия при уменьшении т. Аномальные скачки вверх в 823,п (рис. 3) обусловлены переходом на новый слой а1,п, ступенчатое убывание управляется коэффициентом а2,п, а небольшие пульсации на каждой ступеньке — следствие влияния а3п. Если зафиксировать значение коэффициента линеаризации а1п и уменьшать шаг т, то видна определенная аналогия с увеличением ограниченной области фрактального объекта. Производя последовательно указанную операцию «увеличения» при фиксирован-

Нв6(18)2008

си 8

¡1 I

си §

! <и €

£ 1= ¿Г

863,0 12,357

12,443 12,528

б2з|0 при а1 „ = 930, т = 0,001

8645

13,1799 13,2812 13,3825

82зл при а1 „ е [9300; 9310], т = 0,0001

Рис. 5. Аналогия с фрактальным увеличением 5:

ном значении алл , можно видеть черты стохастического фрактала для функции 523,п (рис. 5).

На рис. 6 показано сравнение решений задачи (4) данным методом и численным методом по схеме Эйлера при А = 5.

Предельный переход

Рассмотрим предельный переход к точному решению на примере модельной задачи (4). Так как здесь имеется аналитическое решение, можно ожидать, что предел получится в достаточно простом виде. При рассмотрении урезанного приближения, где отрезок ряда брался до второй степени по шагу времени, в указанном пределе при стремлении времени к бесконечности асимптотический выход происходит не на 0, как должно быть согласно аналитическому решению, а на некоторое конечное значе-

ние. Продемонстрируем, как получается аналитическое решение исходной задачи в предельном переходе при т^ 0 для правильной аппроксимации отрезком ряда вплоть до третьей степени по шагу по времени. Имеем:

п = 1 + 2

2

2(тт-1)2 -т-т

Предельный переход при т^ 0(/ ^^) рассматривается при фиксированном У (причем у = /т, Г(у) = пIт). Пренебрегая исче-зающе малыми членами, получим: 1 2 ^ 1

2т I-

г( У )=

^ - = 2 2-т2 т=1 2(т-1/т )2 т т=12( I /У - т )2

/ I- 1

=12_1_.

У т=1(I /У -т)2

Представим Г(У) в виде разности двух сумм:

96

т=1

Ne6(18)2008

CJ 00

со

oo 00

Рис. 6. Сравнение решений задачи

t( y) = -

1

y I (i / y-1)2

+... +

1

1+—+ + 1 + 22 +...+ (i /y - i )2

(i /y - i +1)2

-11 + F + (W

После замены сумм интегралами, имеющими квадратуры, получим:

/ (//у-1 1 //у-1 1 Л

К У) = -У [ > Л -22 Л| =

У I т=1 т2 т=1 т2 )

= lim -

1

1

y

у у / у -/ // у ) 1 - у

С учетом того что У = 1 - у, для прямой зависимости получаем У = 1/(1 +!), что соответствует аналитическому решению исходной задачи Коши.

Применение метода для решения задачи, не разрешимой аналитически

Рассмотрим задачу Коши, не имеющую решения в элементарных функциях:

dy = -in y, y(0) = 2. dt

Для схемы Эйлера уп+1 = уп - т 1пуп, у0 = 2, аналогично предыдущему примеру а0,п — у0. Количество удерживаемых членов ряда

здесь будет зависеть от шага т и начального условия y0:

p = [logy о 1/ т] +1.

Представление решения:

к

Уп = ао, n + X (-1)' a, n т

Вероятность «переброса » 012,n+1 дается выражением:

1 + т-т2-X

P =

p-1 am тm

ai, n 11

m=1 mym

p-1am - 2-m-1

1 _ X i, n т X \/m-1

m = 2 /0

Обратная зависимость будет иметь следующий вид:

1 -1 у0( т-1) - т2 т

п, =1 + >

т=1 у0 (1 - 1п у0)+т( у01п у0 + тт2 + тт 1п у,)+ т' т'

+ т( у0 + тт

м 'у0

Основное преимущество, как указывалось в начале статьи, заключается в том, что получено представление именно самого решения, а не формализованного алгоритма (как в разностной схеме), который еще надо реализовать. Хотя для вычисления

97

N96(18)2008

И

I <0

I

а

в §

её

Её

и о

I

I £

и §

и

1 £

<0 ¡1 I 3

Схема Эйлера Предлагаемый метод

Рис. 7. Сравнение решений по вероятностной схеме со схемой Эйлера

конкретных значений согласно последней формуле, может быть, потребуется вычислительное устройство. Но даже с учетом количества необходимых операций представление решения, полученное предлагаемым методом, несмотря на внешнюю сложность записи, может оказаться проще для вычисления на компьютере, чем численная схема. На рис. 7 показано сравнение решений по вероятностной схеме (точки) со схемой Эйлера (линия).

Системы нелинейных уравнений

Данный подход может быть перенесен на решение систем нелинейных уравнений. Рассмотрим так называемую систему Кар-лемана, являющуюся простейшим примером кинетической системы дискретных скоростей:

Схема Эйлера имеет вид:

|ип+1 = ип +т^п2 -тип2, и =1 1^п+1 = Уп + тип -т^п2, V) = 0

би/сН --с1У/ СГ --

V' - и

и

Система имеет аналитическое решение (с которым проводится сравнение):

и( Г) = (1 + е-2Г )/2, У( Г) = (1 - е-2Г )/2.

В системе выполняется закон сохранения, поэтому, учитывая начальные условия, преобразуем систему (9):

ип+1 = т + ип(1 - 2т), Уп = 1 - ип.

Полученная рекуррентная формула линейна в отличие от квадратичной нелинейности в задаче (4), поэтому для правильной аппроксимации можно искать ип в виде: ип = а0,пт0 - а1,пт1 + а2,пт2, т. е. только до второй степени шага.

«Переброса» в нулевой разряд здесь не происходит, тогда:

а0, п = и(0) = 1,

п

а1, п = а1, п-1 +1 -512, п =2 (1 -512,1 )-

I=1

Вероятность нулевого «переброса»

5 12 , п+1 :

Р( а2) = 1 - 2^т.

98

Ив6(18) 2008

Зависимость п; от a1 = i:

1 v 1 пi = 1 + / -.

m=i1 - 2тт

Сравнение решений системы (8) представлено на рис. 8 (при т = 0,01).

Рассмотрим систему уравнений, где закон сохранения не выполняется:

который отрезок ряда по т (обозначим коэффициенты a и b):

\duldt = V2 - и2, и(0) = 1 \dvldt = и2 - v(0) = 0^

Численная схема Эйлера имеет вид:

[ип+1 = ип + V2 т- и2 т, и = 1 [^+1 = Vn + ипт- 2Vnт, V, = 0

Будем представлять решение в виде:

2 3

ип = a0, п + a1, п т + a2, п т + a3, п т

Необходимо определить знаки коэффициентов ряда. Это легко сделать, если рассмотреть систему (11)в виде:

(ип+1 - ип )/т = + V2 - и2, и = 1 (^+1 - Vn)/т = + ип2 - 2Vn, Vo = 0

В левой части получим сумму численных производных коэффициентов отрезка ряда, а справа — после перегруппировки не-

a0, п+1 - a0, п a1, п+1 - a1, п a2 , п+1 - a2, п

т = a0, п + + а1, п т т + а2 , п т 2 т

b0, п+1 - Ьо,п + b1, п+1 - b1, п Ь2 , п+1 - Ь2,п

т = ~0, п + ~1,п т т + ~2,п т 2 т

a3 , п+1 - a3, п

b3 , п+1 - b3, п =

§ &

cj оо

i

оо 00

Наложим два важных ограничения на коэффициенты: по модулю ограничим их величиной 1/т-1, а также потребуем, чтобы «переброса» в нулевой разряд не происходило, следовательно, получим: а0,п = и0 = 1, Ь0п = V 0 = 0.

Тогда, подставив данные начальные условия в систему (12), выберем знаки коэффициентов таким образом, чтобы знак производной в левой части уравнения совпадал со знаком коэффициента в правой. В результате получим представление решения, в котором все коэффициенты принимают значения от 0 до 1 / т -1:

| и0, п = 1 - а1, п т + а2, п т 2 - а3, п т 3 |у0,п = Ь,,пт- Ь2,пт2 + Ьз,пт3

Такое представление решения является верным на отрезке, где функция монотонна. Далее ход решения повторяет решение за-

и, аналит. v, аналит.

и, предлагаемый метод v, предлагаемый метод

Рис. 8. Сравнение решений

99

Уп = Ьо,п + bi пт + Ь2,пт2 + Ьз,пт3

Me6(18)2008

u(t), схема Эйлера v(t), схема Эйлера u(t), предлагаемый метод v{t), предлагаемый метод

Рис. 9. Сравнение решений, полученных разными методами

о

а

«3

'S §

1 %

СО

«3

5 £

Л

!

6

il I

Э

tu

«3 il I

eu

s t

дачи (4). Если монотонность одной из функций нарушается, соответствующая этой функции вероятность «переброса» в коэффициент линеаризации становится неопределенной (принимает значение, большее 1). Тогда необходимо найти новое представление решения, используя в качестве начальных значений а0л и Ь0л значения функций ип и уп в точке нарушения монотонности, а также определить новые вероятности «переброса» коэффициента линеаризации.

Коэффициенты линеаризации будут выражаться через функции «переброса» следующим образом:

= a, n -1 + 81

+1 + i

a,. n =Z (1 -812

,=1

>b,. n =£ (1 -i

Вероятности «перебросов» 512,„+1 и Х12,„+1 обозначим Р5(а1, Ь1), Рх(а1, Ь1). Длины отрезков по шкале п функций и(п), у(п), где не происходит «перебросов», определяются выражениями:

1

18( a1. b1) =

h ( ab b1) =

1 - P8( au b1) 1

1 + Pi

Имея длины отрезков с постоянными вероятностями (т.е. отрезков, где не происхо-

дит «перебросов»), можно последовательно определять значения а1 и Ь1, табулируя тем самым значение искомых функций и(п) и у(п) в области монотонности обеих функций. На рис. 9 представлено сравнение решений.

В статье продемонстрирована возможность построения сходящегося решения в виде отрезка ряда по степеням шага независимой переменной. Рассмотрены варианты метода для решения автономных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, а также задач, не имеющих аналитического решения. Данный метод позволяет получить решение в явном виде. Можно ожидать, что такое решение сходится к решению исходной задачи, поскольку полученное представление отличается от численного решения по сходящейся разностной схеме на величину порядка шага по времени. Такой подход может открыть путь к изучению более сложных нелинейных проблем.

Список литературы

1. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975.

2. Кнут Д. Искусство программирования. Получисленные методы. М.: ООО «И.Д. Вильямс», 2007. Т. 2.

100

i =1

Не6(18)2008

К 70-летию Бориса Николаевича Полякова

Борис Николаевич Поляков

Борис Николаевич Поляков — профессор, доктор технических наук.

Около 50 лет работает в области прикладных аспектов теории обработки металлов давлением, оптимального проектирования технологий и оборудования прокатных станов и их автоматизации, теории прочности и надежности конструкций, систем автоматизированного проектирования.

Борис Николаевич Поляков родился в 1938 году. В 1960 году окончил Уральский политехнический институт (г. Екатеринбург), кафедра «Механическое оборудование металлургических заводов». Дипломная работа выполнялась на реальную расчетно-конструкторскую тему на Уралмаш-заводе, куда он и был приглашен в Отдел главного конструктора прокатного оборудования. Работал в должности инженера-конструктора, инженера проекта и старшего научного сотрудника.

В 1972 году защитил кандидатскую диссертацию на тему «Статистическое исследование и математическое моделирование процесса прокатки на блюминге», где обосновал создание методологии разработки технологических основ алгоритмов управления прокатным станом. С 1974 по 1986 год Б.Н. Поляков руководил Инженерно-конструкторской лабораторией станов горячей прокатки Уралмашзавода. В 1989 году перешел на работу в Свердловский инженерно-педагогический институт (СИПИ).

В 1991 году защитил докторскую диссертацию на тему: «Совершенствование технологий, оборудования и автоматических систем заготовочных прокатных станов с целью повышения эффективности производств». С 1992 по 2002 год — профессор, заведующий кафедрой «Автоматизация проектирования и инженерная графика» СИПИ и про-

фессор Уральского политехнического института (УПИ), где работал по совместительству на кафедре «Металлургические и роторные машины».

Б.Н. Поляков — член ученого совета УГППУ (СИПИ) и редакционной коллегии межвузовского сборника научных трудов УПИ, в октябре 2000 года избран членом-корреспондентом Академии инженерных наук РФ.

Многолетняя научная деятельность Полякова направлена на создание и внедрение научной методологии на основе современных математических методов и вычислительной техники, САПР для проектирования и совершенствования технологий и оборудования прокатных станов.

Большой вклад Б. Н. Поляков внес в создание самого высокопроизводительного в мире и первого в Советском Союзе комплексно-автоматизированного блюминга 1300 и особенно в его автоматизацию (1960-е годы), обеспечивающую производство 5,5-5,7 млн т заготовок в год. В этих работах впервые в металлургии России на основе управляющих вычислительных машин была создана информационно-измерительная диагностическая программная система (1965 год), основные принципы и опыт организации которой послужили прототипом для оснащения подобными системами ряда прокатных станов и машин непрерывного литья заготовок отечественных и зарубежных комбинатов.

101

N96(18)2008 ^

Под руководством и при непосредственном участии Б.Н. Полякова впервые в металлургии России:

• разработаны и внедрены научная методология и программное обеспечение, которые более 30 лет широко используются для оптимизации параметров технологических процессов многих российских и ряда зарубежных прокатных станов;

• разработаны и внедрены методика и программное обеспечение для исследования автоматизируемых процессов и формирования технологических основ алгоритмов управления, которые позволили создать (1970 год) ряд автоматических систем программного управления приводами сложных, динамически нагруженных машин и механизмов блюминга;

• на основе теории упругости и термоупругости, численного метода конечных элементов, линейного программирования созданы (1976 год) методики и пакеты прикладных программ для исследований двух- и трехмерных напряженно-деформированных и термоупругопластических состояний несущих деталей и конструкций сложных конфигураций;

• сформированы методология и программы (1977 год) для проектирования и оптимизации технологии и оборудования ролико-правильных машин (РПМ) для правки сортовых и фасонных профилей;

• на основе статистической теории прочности и теории случайных процессов сформированы расчетно-экспериментальная методология и ее программное обеспечение для оценки в вероятностном аспекте на стадии проектирования случайной долговечности (ресурса) при усталостном разрушении конструкций;

• предложены, теоретически и в промышленных условиях экспериментально исследованы, разработаны технические предложения и проекты новых патентно чистых, малоотходных, ресурсо- и энергосберегающих технологий для производства широкого сортамента фасонных и сортовых заготовок.

102 у

Большинство технологических разработок, новых конструкторских решений и систем автоматического программного управления реализовано в промышленных условиях, подтверждена их эффективность. Под научным руководством Б.Н. Полякова подготовлено 14 кандидатов наук.

Многие результаты исследований и технологических разработок отражены в монографиях, зарегистрированных в Библиотеке конгресса США, в более чем 250 научных статьях, в том числе опубликованных в Англии, Германии, Индии, ив30 авторских свидетельствах и патентах, зарегистрированных в США, Англии, Японии.

В последние годы Борис Николаевич Поляков принял участие в ряде международных конференций: «Модернизация российской металлургии» (март 2006 года, Москва), «Деформация и разрушение материалов» (ноябрь 2006 года и октябрь 2007 года, Москва), он также направил доклад на Международную конференцию в США «AISTech 2007 Iron & Steel Technology Conference and Exposition» (May 7-10, 2007. Indianapolis, IN), участвовал в ряде вузовских научно-технических конференций.

Основные монографии

Статистический анализ и математическое моделирование блюминга / Коцарь С.Л., Поляков Б. Н., Макаров Ю.Д., Чичигин В.А. М.: Металлургия, 1974.

Нагруженность, несущая способность и долговечность прокатного оборудования / Поляков Б.Н., НяшинЮ.И., ВолеговИ.Ф., Трусов А.Ф. М.: Металлургия, 1990.

Поляков Б.Н. Повышение качества технологий и долговечности оборудования прокатных станов. Екатеринбург: изд-во Урал. гос. проф.-пед. ун-та, 1993; 1994.

Поляков Б.Н. Повышение качества технологий, несущей способности конструкций, долговечности оборудования и эффективности автоматических систем прокатных станов. СПб.: Реноме, 2006.

Поляков Б.Н. Статистические методы в алгоритмах и примерах (из практики прокатного производства): Учебное пособие. СПб.: Реноме, 2007.