Вычисление свертки функций в базисе Хаара

вестник 812012

УДК 624.04

М.Л. Мозгалева, П.А. Акимов

ФГБОУВПО «МГСУ»

ВЫЧИСЛЕНИЕ СВЕРТКИ ФУНКЦИЙ В БАЗИСЕ ХААРА

Связанные с базисом Хаара вычисления, необходимые для решения практических задач строительной механики и математической физики, характеризуются простыми и экономичными алгоритмами. Очевидно, что проблема вычисления свертки функций, разложенных по базису Хаара, возникающая при рассмотрении большого круга практических приложений, сводится к определению сверток соответствующих базисных функций. Именно этот вопрос и является предметом рассмотрения в рамках настоящей статьи. Даны понятия о свертке функций, базисе Хаара, приводятся некоторые представления функций Хаара, приведены формулы свертки функций Хаара.

Ключевые слова: вейвлет-анализ, базис Хаара, свертка функций, задачи строительной механики, дискретно-континуальный метод граничных элементов.

Вейвлет-анализ, приходящий на смену традиционному анализу Фурье, предоставляет исследователю эффективный инструментарий для решения краевых задач расчета строительных конструкций [1—3]. Следует отметить, что решение представляется при этом в виде композиции локальных и глобальных компонент, что позволяет оценить влияние различных (с точки зрения локализации) факторов. При этом зачастую оказывается возможным не только построить более высококачественную расчетную модель, но и внести некоторые обоснованные конструктивные изменения.

Многие важные аспекты вейвлет-анализа можно представить и оценить, рассматривая один из самых простых вейвлетов, так называемый вейвлет Хаара [4, 5]. Задача вычисления свертки функций в базисе Хаара возникает, в частности, на определенном этапе реализации дискретно-континуального метода граничных элементов.

1. Понятие о свертке функций. Операция свертки двух функций /(х) и g(x) обозначается символом « * » и определяется формулой

да да

/

—да —да

Дельта-функция Дирака 5(х) играет роль единицы при свертке, поскольку

5

В более общем случае сдвинутой дельта-функции 5(х — х0) имеем

5

В частности,

5

где а и Ь — произвольные действительные числа.

Формула дифференцирования свертки (1.1) имеет вид

2. Понятие о базисе Хаара. Материнская функция Хаара, являющаяся простейшим примером ортогонального вейвлета, как известно, представляется в виде

' 1, 0 < х < 1/2;

¥

0, х < 0 V х > 1. Очевидно, имеем

1

ОР(х), ¥(х)) = j>2{x)dx = \dx = 1.

Все функции базиса Хаара, получающиеся из базовой функции Т(х) посредством операций сдвига и сжатия, определяются по формуле

' 1, 2 к < х < 2-'-1 + 2 к;

-1, 2-м +2^к < х < 2 +2к; ], к е г; (2.2) 0, х < 2 к V х > 2 + 2 к,

Тк (х)=jj Ч # -к Y-jj

где 2 — множество целых чисел.

Укажем также важные частные случаи приведенной формулы

Т0(х) -Т(х);

Т0(х) -Т(х-к) -

1, к < х < 2 + к; -1, 2-1 +к < х <1 + к; к eZ; 0, х < к v х > 1 + к,

ТО (х) -

V27

1, 0 < х < 2j-1; -1, 2j-1 < х < 2j; j e Z; О, х < 0 v х > 2j.

3. Некоторые представления функций Хаара. Следуя определению, функцию ¥(х) можно представить в виде

Т (X) -

sign(х) - sign х -

1

sign | X - -i | - sign

где sign( х) -

1, х > 0; -1, х < 0. Окончательно имеем 1

Т (х)--

sign

причем выражение в скобках представляет собой вторую разность в точке х = 1/2. От (3.1) несложно перейти к представлению

т( х) - 2

sign(х) - sign | х - 2

5(х)-8| х-1

Справедливость (3.3) обосновывается непосредственными преобразованиями правой части равенства с использованием формулы (1.4). Введем в рассмотрение функцию

П( х) -1

sign(х) - sign | х - 2

1, 0 < х < 1/2; 0, х< 0 v х > 1/2,

являющуюся характеристической функцией отрезка [0 , 1/2]. Следовательно, на основании (3.3) и (3.4) получим

Т(х) -П(х) *

5(х)-8| х-1

причем, как можно заметить,

dП(х) -5(х)-siх-1 |. ах I 2

о

ВЕСТНИК

8/2012

Введем обозначения

1 ( х 1 Г 1, 2к < х < 21-1 + 2'к; Пк (х) = п=П|—кЫ ' ' 1, к ег;

V 21 ) [ 0, х < 21к V х > 21 -1 + 21к.

Укажем важные частные случаи приведенной формулы:

П0( х) = П( х);

П0 (х) -П( х-к) -

1, к < х < 2 1 + к; 0, х < к v х > 2-1 + к, Г 1, 0 < х < 2j-1'

к eZ;

П0(х) = П|-х- 1 = " " " ' , 1 ег; 1211 [ 0, х < 0 V х > 21 .

Принимая во внимание (3.4) и (3.7), можем получить

П к (х) -

1 1

^^ - к)-sign (^- к -1

4212 Можно показать, что

Т (х) = Пк (х) *[5( х) -5(х -21 -1) ].

В самом деле, имеем

Пк

1 1

sign| 2- к)-sign (^- к - 2

sign| -к)-2signf-к-\)+ sign(2J-к-1

2 1 1

Т27 2

С другой стороны, следуя (2.2), (3.1) получаем

т к(х) ^ 21- к 1 =

sign| f - к -1 j-sign ( 27 - к

-1

1 1

V27 2

sign| -к)-2signf-2-к-21 +sign(-к-1

Итак, справедливость формулы (3.12) доказана. Заметим, что формула (3.11) также представима в виде

Пк (х) = 727 > V ^

Следовательно, вместо (3.12) получим тк (х) ^ > (2х7

к )*[5(х) -5(х -2j-1)].

к ) * [5(х) - 5 (х - 2j-1 )] * [5(х) - 5(х - 2j-1 )],

откуда, используя (1.4), после преобразований находим

тк (х)V 2-

причем выражение в скобках представляет собой вторую разность в точке х На основании достаточно очевидной формулы интегрирования

к I * [5(х) - 25(х - 2j-1) + 5(х - 2j)],

J sign - к j ёх - 2 ем перейти к в]

Тк (х) -Т^

Л - к 21

можем перейти к выражению

" d ёх

Л--к 2j

«[5( х) - 25 (х - 2j-1) + 5( х - 2j) ].

- 2j-1.

4. Формулы свертки функций Хаара. Рассмотрим свертку вида

Yk (x) (x).

Следуя (3.14), будем иметь

Yk(x) *Yp (x) =

1 1 . ( x

VF Islgn [ F

iw 2si8" (

- k j * [g( x) - 25 (x - 21-1) + S( x - 21) ]

- qjj * [5(x) - 25 (x - 2p-1) + 5(x - 2p)] i =

1 1

42^ 4

j[5( x) - 25 (x - 2-1) + 5( x - 2)] * [5( x) - 25 (x - 2p-1) + 5( x - 2p) ] *

4signl "k)*sign[Jf "q

Пользуясь известной из теории обобщенных функций формулой [7, 8]

S

рассмотрим свертку функций, находящуюся в последних скобках:

x

^- k )*slgn (2^- q Y\i

x. - k 21

* signi 2p- q i=

= 21

Л - k 21

signi 2y- q

= 21

Л- - k 21

4»lF- q I ^ i=

= 21 - p+1

-x - k 21

*5(~-qjj = 2-p+1 | x-21k | *[2p5(x-2pq)] =

= 2 | x - 2k |*5(x- 2pq) = 2x- 2k - 2pq|, т.е. окончательно

sign l 2- - k j* sign I 2- - q j = 2| x - 2 k - 2 pq|.

Подставив (4.2) в приведенное выше выражение, получим искомую формулу

Yk (x) *Yp (x) =TL=1

q V2j+p 2

[5( x) - 25 (x - 21-1) + 5( x - 2)] =

* [5( х) — 25 (х — 2р—1) + 5( х — 2р) ] * х — 2 к — 2р д\.

Замечания. Исследования проводились в рамках следующих работ:

1) грант 2.3.8 Российской академии архитектуры и строительных наук «Разработка и исследование дискретно-континуальных методов для расчета строительных конструкций с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по одному из направлений» на 2011—2012 гг.;

2) грант 2.3.18 Российской академии архитектуры и строительных наук для молодых ученых специалистов «Разработка и верификация коррективных численных и численно-аналитических методов исследования локального напряженно-деформируемого состояния строительных конструкций на основе многоуровневого вейв-лет-анализа» на 2012 г.

Библиографический список

1. Дискретные и дискретно-континуальные реализации метода граничных интегральных уравнений / А.Б. Золотов, П.А. Акимов, В.Н. Сидоров, М.Л. Мозгалева. М. : МГСУ, 2011. 368 с.

ВЕСТНИК 8/2012

2. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений / А.Б. Золотов, П.А. Акимов, В.Н. Сидоров, М.Л. Мозгалева. М. : Архитектура-С, 2010. 336 с.

3. Численные и аналитические методы расчета строительных конструкций / А.Б. Золотов, П.А. Акимов, В.Н. Сидоров, М.Л. Мозгалева. М. : Изд-во АСВ, 2009. 336 с.

4. Захарова Т.В., Шестаков О.В. Вейвлет-анализ и его приложения. М. : Инфра-М, 2012. 158 с.

5. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М. : Мир, 1978. 518 с.

Поступила в редакцию в апреле 2012 г.

Об авторах: Мозгалева Марина Леонидовна — кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры информатики и прикладной математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (499) 183-59-94, marina.mozgaleva@gmail.com;

Акимов Павел Алексеевич — доктор технических наук, член-корреспондент РААСН, профессор кафедры информатики и прикладной математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (499) 183-59-94, pavel.akimov2@gmail.com.

Для цитирования: Мозгалева М.Л., Акимов П.А. Вычисление свертки функций в базисе Хаара // Вестник МГСУ 2012. № 8. С. 98—103.

M.L. Mozgaleva, P.A. Akimov

COMPUTATION OF CONVOLUTION OF FUNCTIONS WITHIN THE HAAR BASIS

The Wavelet analysis, that replaces the conventional Fourier analysis, is an exciting new problem-solving tool employed by mathematicians, scientists and engineers. Recent decades have witnessed intensive research in the theory of wavelets and their applications. Wavelets are mathematical functions that divide the data into different frequency components, and examine each component with a resolution adjusted to its scale. Therefore, the solution to the boundary problem of structural mechanics within multilevel wavelet-based methods has local and global components. The researcher may assess the influence of various factors. High-quality design models and reasonable design changes can be made.

The Haar wavelet, known since 1910, is the simplest possible wavelet. Corresponding computational algorithms are quite fast and effective. The problem of computing the convolution of functions in the Haar basis, considered in this paper, arises, in particular, within the wavelet-based discrete-continual boundary element method of structural analysis. The authors present their concept of convolution of functions within the Haar basis (one-dimensional case), share their useful ideas concerning Haar functions, and derive a relevant convolution formula of Haar functions.

Key words: wavelet analysis, Haar basis, convolution, structural analysis, discrete-continual boundary element method.

References

1. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Diskretnye i diskretno-kontinual'nye realizatsii metoda granichnykh integral'nykh uravneniy [Discrete and Discrete-continual Versions of the Boundary Integral Equation Method]. Moscow, MSUCE, 2011, 368 p.

2. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Diskretno-kontinual'nye metody rascheta sooruzheniy [Discrete-continual Methods of Structural Analysis]. Moscow, Arhitektura-S Publ., 2010, 336 p.

3. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Chislennye i analiticheskie metody rascheta stroitel'nykh konstruktsiy [Numerical and Analytical Methods of Structural Analysis]. Moscow, ASV Publ., 2009, 336 p.

4. Zakharova T.V., Shestakov O.V. Veyvlet-analiz i ego prilozheniya [Wavelet-analysis and Its Applications]. Moscow, Infra-M Publ., 2012, 158 p.

5. Kech V., Teodoresku P. Vvedenie v teoriyu obobshchennykh funktsiy s prilozheniyami v tekhnike [Introduction into the Theory of Generalized Functions and Their Engineering Applications]. Moscow, Mir Publ., 1978, 518 p.

About the authors: Mozgaleva Marina Leonidovna — Candidate of Technical Sciences, Associated Professor, Department of Computer Science and Applied Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; marina. mozgaleva@gmail.com; +7 (499) 183-59-94;

Akimov Pavel Alekseevich — Doctor of Technical Sciences, Associate Member of the Russian Academy of Architecture and Construction Science, Professor, Department of Computer Science and Applied Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; pavel.akimov2@gmail.com; +7 (499) 183-59-94.

For citatio n: Akimov P.A., Mozgaleva M.L. Vychislenie svertki funktsiy v Bazise Khaara [Computation of Convolution of Functions within the Haar Basis]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 8, pp. 98—103.