Параметрическая антенна в гидроакустике как нелинейная динамическая система

УДК 53.072.11:534.222

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ АНТЕННА В ГИДРОАКУСТИКЕ КАК НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

© 2007 г. И.Б. Старченко

The processes of acoustical wave's interaction in nonlinear water medium were investigated by the methods of deterministic chaos. On the basis of provided experimental investigations of interaction of two acoustical waves with close frequencies in hydroacoustical tank the time series were obtained for which the phase portraits were reconstructed. The numerical characteristics of chaotic measure of signals - correlation dimensions and Lyapunov spectrum were calculated. The attractor's view and presence of positive maximal Lyapunov exponent are the evidence of dynamic chaos in the investigated system and hence parametric array can be regarded as nonlinear dynamic system.

Процессы распространения и взаимодействия в воде волн конечной амплитуды достаточно хорошо изучены и освещены в литературе, например [1]. Процессы формирования в воде излучения с узкой диаграммой направленности в широкой полосе частот по ряду причин могут рассматриваться как нелинейная система, на которую оказывают влияние нелинейные свойства среды распространения акустических волн, а также диссипация, дифракция и искажения сигналов как в электрическом, так и в акустическом трактах. Чтобы расширить представления о собственных свойствах системы, следует перейти от линейной динамики к нелинейной [2].

Для этого были исследованы сигналы параметрического излучателя: биения двух близких частот 1275 и 1325 кГц, которые в результате нелинейного взаимодействия в водной среде давали спектр частот, в том числе и разностную частоту 50 кГц [3]. Записи сигналов проводились с использованием цифрового осциллографа Б80-2100 в пределах рабочей области гидроакустического бассейна в диапазоне расстояний 5-100 см с шагом 10 см. Амплитуда выходного сигнала на излучателе - 30-55 В. Длительность импульса -300 мкс. Сигнал записывался непосредственно с гидрофона. Частота дискретизации цифрового осциллографа для исследуемых сигналов составила 10 МГц.

Осциллограф позволяет записывать сигнал в двух видах: в виде графического файла и в виде файла в формате ASCII, который впоследствии можно обрабатывать на персональном компьютере в любых математических пакетах. Форма звукового сигнала ПА и интерфейс цифрового осциллографа показаны на рис. 1.

Для визуализации искажений, возникающих в сигналах по мере распространения от источника, удобно рассмотреть не только форму сигнала, но и его спектр. На рис. 2 приведены рассчитанные в математических пакетах спектры сигналов.

Измерительный гидрофон имел равномерную частотную характеристику до 7,5-8 МГц. Центральная частота сигналов накачки [1] в экспериментах - 1,3 МГц, следовательно, частота пятой гармоники - 6,5 МГц. Это составляет 75-80 % от частоты среза частотной характеристики гидрофона, что является удовлетворительным для достоверных измерений.

При прохождении в водной среде из-за большой амплитуды форма сигнала подвергается искажениям, которые хорошо видны на пунктирной кривой, которая соответствует расстоянию 100 см от первичного преобразователя. Видно, что с расстоянием уменьшается амплитуда сигнала. Спектры мощности на рис. 2 также подтверждают наличие искажений в исходных сигналах, что выражается в появлении гармоник с

увеличением расстояния от исходного преобразователя. Спектр, соответствующий расстоянию 100 см от исходного преобразователя, имеет более сложную структуру, чем спектр на расстоянии 10 см от первич-иого преобразователя, показанного сплошной линией.

IPC BASED DIGITAL STORAGE OSCILLOSCOPE 2100

-Inlxl

'S I -fc|-A| iïïTiml

File Help

- Horizontal-

MODE I AU to Source fem 3

I Positive TI Couple

START I

AUTO SET I

I-TIME В

fiuS

3

r TIME A^

150uS

3

-Vertical-

J7| СНА Г ADD Г CH.B DC Г SUB Г DC <8" АС Г X-Y ff AC Г GND Г GND

W

~3

F 3

: НИШИ

I б ВяяВ Шш 1 HI

líllilM Ulli III

|Sample Time= lOMS/s

File Help Horizontal MODE

Source

I Positive ^J Couple

FE 3

START I AUTO SET I

TIME В

[ш 3

TIME A fiÖüs 2]

-Vertical-

[7 CH.A Г ADD Г CH.B Г DC Г SUB Г DC BAtr X-Y a AC BND Г GND

F 3 F5 3

Рис. 1. Интерфейс цифрового осциллографа и осциллограммы сигналов параметрической антенны на расстояниях от излучателя: а - 10 см; б - 100 см

В результате нелинейного взаимодействия образуются не только гармоники исходных частот, но и разностная, суммарная частота, а также частоты, являющиеся результатом взаимодействия волн с вышеперечисленными частотами.

Анализ спектров позволяет сделать вывод, что по мере удаления от излучателя сигналы претерпевают искажения, спектры имеют насыщенную структуру, что является первоначальным признаком хаотичности сигнала.

Реконструкция фазовых портретов системы, показанная на рис. 3, выполнена по теореме Такенса с использованием метода задержек [4].

Аттракторы на рис. 3 имеют сложную структуру, потому что кроме двух частот в сигнале присутствует еще и разностная частота (в нашем случае 50 кГц).

Вид этих аттракторов полностью соответствует определению «странного аттрактора», хотя беспорядочной эту структуру не назовешь [5]. Аттракторы на рис. 3 свидетельствуют о присутствии динамического хаоса в данной системе. Однако визуальный анализ аттракторов не может дать численных оценок

того, как траектории дивергируют в фазовом пространстве. Важнейшей количественной оценкой меры хаотичности сигнала являются показатели Ляпунова, для корректного расчета которых необходимо определиться с размерностями системы. Принципиальная возможность появления в системе положительного старшего ляпуновского показателя, а следовательно, и хаоса, появляется в системах с размерностью фазового пространства больше или равном 3 [6].

lg S

f Гц

Рис. 2. Спектры сигналов параметрической антенны на расстояниях 10 и 100 см от излучателя

Внедренная размерность m была оценена по теореме Мане [7] m > 2D2 +1, где D2 - корреляционная размерность:

D2 = lim log Cm

r ^0

где r - длина грани m-мерного куба; Cm (r) - корреляционный интеграл, для вычисления которого используется алгоритм Грассбергера-Прокаччиа [8].

Методика определения корреляционной размерности заключалась в следующем [9]. Были построены графики (рис. 4) значений корреляционной размерности D2 (1) в зависимости от величины масштаба r для

n=2

n=4G

n=6G

n=2

n=4G

n=6G

Рис. 3. Фазовые портреты для различных задержек на расстояниях от излучателя: а - 10 см; б - 100 см

ю

ю

2-Ю

З-Ю

4-Ю

5-Ю

б-Ю

7-Ю

S-W

9-Ю

а

б

D.2

D-,

III

10 см

а

1 '

0 20 40 60 80 100 r 1 r

А

1 1 1 1 : Hi

100 см

S б

1 il

if I

l! J

I!1 It

ШМк

20

40

60

80

100

120

Рис. 4. Оценка корреляционной размерности для расстояний 10 и 100 см

G,4

G,3 G,2 G,1 G -G,1 -G,2 -G,3 -G,4 -G,5

Рис. 5. Набор экспонент Ляпунова (спектр) для различных расстояний от излучателя

различных внедренных размерностей m. Масштаб r определяет величину элементарного объема пространства, в котором рассматривается динамика системы. Для расчетов его значение выбирают в пределах изменения величины исследуемого сигнала. Если графики конвергируют, и имеется относительно пологий участок в широком диапазоне r, то размерность такого сигнала может быть определена аппроксимацией значений D2 для пологого участка.

Оценивая корреляционные размерности для сигнала параметрической антенны, зафиксированного на различных расстояниях от излучателя, с использованием графиков рис. 4 получим значения D2=1,2 и 2 для 10 см и 100 см соответственно. Можно видеть, что с увеличением расстояния растет сложность сигнала, поэтому число степеней свободы системы (размерностей) также увеличивается. Внедренные размерности составят [m до ]=[2 • 1,2 + 1] = 3 и [m 100 ]= [2 • 2 +1]= 5 , что подпадает под критерий «хаотичности» системы.

Результаты вычисления экспонент Ляпунова в виде графиков приведены на рис. 5. Внедренная размерность выбрана равной m = 3 для расстояния 10 см и m = 4 - для 100 см.

Из графиков видно, что максимальная экспонента Ляпунова положительна и в первом и во втором случае, что является свидетельством хаотической динамики системы.

Подводя итог рассмотрению нелинейной динамики распространения и взаимодействия акустических волн в нелинейных средах, можно сделать заключение, что в общем случае это процесс можно характеризовать как квазихаотический и в некоторых случаях - хаотический. В пользу этого утверждения говорит внешний вид фазовых портретов (аттракторов) и рассчитанные количественные характеристики нелинейных хаотических систем: корреляционные размерности и показатели Ляпунова.

Литература

1. Новиков Б.К., Руденко О.В., Тимошенко В.И. Нелинейная гидроакустика. Л., 1981.

2. Lauterborn W., Parlitz U. // J. Acoust. Soc. Am. 1988. Vol. 84. P. 1975-1993.

3. Старченко И.Б. Нелинейная гидроакустика. СПб, 2006. С. 66-74.

4. Ruelle D., Takens F. // Commun. Math. Phys. 1971. Vol. 20. P. 167-192.

5. Старченко И.Б. // Техническая акустика. 2006. № 12.

6. Кузнецов С.П. Динамический хаос: курс лекций. М., 2001.

7. Mané R. // Dynamical Systems and Turbulence. 1981. Р. 230-242.

8. Grassberger P., Procaccia I. // Physica. 1983. D 9. Р. 189.

9. Hegger R, Kantz H, Schreiber T. // CHAOS. 1999. Vol. 9. P. 413.

Таганрогский государственный радиотехнический университет

21 октября 2006 г.

0

r