Численное решение уравнений Гинзбурга-Ландау для сверхпроводящих пластин с использованием различных граничных условий

Заключение

В работе был описан подход к сжатию изображений на основе трехмерной декомпозиции сигнала. Было показано, как на его основе можно составить новые и модернизировать уже существующие схемы компрессии.

Так, в качестве базовой схемы компрессии был взят алгоритм кодирования на основе адаптивной сегментации с минимаксным контролем ошибки. Применяя разработанную нами технику, мы добились улучшения характеристик данной схемы. Отметим, что подобную модернизацию можно произвести со многими другими алгоритмами на основе адаптивной сегментации, описанными, например, в [5].

В качестве дальнейшей исследовательской деятельности нам представляется важным исследовать вопрос о более компактном кодировании дерева декомпозиции.

Литература

1. Samet H. Octree approximation and compression methods // 3DPVT02. - 2002. - P. 460-469.

2. Samet H. Applications of spatial data structures to computer graphics. - Addison-Wesley, 1990. - 512 p.

3. Donoho D.L., Huo X. Beamlets and Multiscale Image Analysis. Multiscale and Multiresolution Methods, Springer Lecture Notes in Computational Science and Engineering / Ed. T.J. Barth, T. Chan, and R. Haimes. - 2002. - V. 20. - P. 149-196.

4. Dalai M., Leonardi R. L-inf Norm Based Second Generation Image Coding // ICIP04. -2004. - P. 3193-3196.

5. Shukla R. Rate-distortion optimized geometrical image processing: Ph.D. dissertation, Swiss Federal Inst. Technol. - Lausanne, Switzerland, 2004.

Лужков Юрий Валерьевич

Тропченко Александр Ювенальевич

— Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, luzhkov@inbox.ru

— Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, tau@d1.ifmo.ru

УДК 536.48

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ

ДЛЯ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ ПЛАСТИН С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАЗЛИЧНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

П.И. Безотосный, А.Н. Лыков, А.Ю. Цветков

Численными методами было изучено влияние граничных условий на решения уравнений Гинзбурга-

Ландау для тонких сверхпроводящих пластин в безвихревом пределе.

Ключевые слова: сверхпроводимость, уравнения Гинзбурга-Ландау, граничные условия

Введение

Уравнения Гинзбурга-Ландау имеют фундаментальный характер, и нахождение их точного решения полезно для многих задач сверхпроводимости, в частности, для проверки применимости самих уравнений для описания свойств высокотемпературных

сверхпроводников. Проводимые нами исследования позволяют лучше понять процессы, происходящие в реальных сверхпроводящих структурах.

В работе было рассчитано критическое состояние сверхпроводящей пластины путем численного решения уравнений Гинзбурга-Ландау методом, разработанным в работе [1]. Предполагалось, что пластина имеет бесконечную ширину и длину, транспортный ток I и внешнее магнитное поле Н взаимно перпендикулярны и направлены вдоль пластины. В качестве транспортного тока использовалось произведение его плотности на толщину пластины ё, а не на площадь ее сечения, которая в нашем случае является бесконечной.

На основании самосогласованного решения системы уравнений Гинзбурга-Ландау была найдена зависимость критического тока 1С от величины внешнего магнитного поля. При этом полагалось, что сверхпроводящая пластина находится в безвихревом состоянии. В декартовой системе координат (х, у, г) с осями у и г, направленными параллельно плоскости поверхности пластины, причем ось г направлена параллельно внешнему магнитному полю, а транспортный ток течет вдоль оси у, уравнения Гинзбурга-Ландау записываются в виде

^-Цг-^и = 0,

ёхх

ё 2Р

ёхх 2

+ к2

где Р- параметр порядка, к - параметр Гинзбурга-Ландау. Вместо размерных значений потенциала А, индукции поля В, (В = го1 А) и плотности токав сверхпроводнике здесь вводились безразмерные величины и(хх), Ь(хх) иJ(xx):

А = ^и, 5 = ¿, х, = Х, ]

где с - скорость света в вакууме, Ф0 - квант потока, X - лондоновская глубина проникновения магнитного поля.

Граничные условия в макроскопической теории сверхпроводимости

Обсудим роль граничных условий общего вида в макроскопической теории сверхпроводимости. Выбор таких условий важен при решении конкретных задач, особенно в случае ВТСП (высокотемпературных сверхпроводников). Граничные условия к уравнению (1) сводятся к условию непрерывности всех компонент вектора магнитной индукции В на границе сверхпроводника и имеют обычный вид:

где

Кк=0 = к - к1; ьхх=ё = к + к1 ,

И = Н, н = М, и = ё = ё, Н= ф0

Н "^ с ' 1 Н' X' Х 2пХ2 '

1Х ^ 11х

Для уравнения (2) на поверхностях пластины мы принимали более общие граничные условия, сформулированные в работе [2]:

ёР

ёхх

Р

= ±^х .

х, =0, ё

Напомним, что в большинстве случаев это граничное условие для уравнения (2) записывается в виде

п --^Л 4 = 0,

где индекс ^ здесь и в дальнейшем означает, что значение величин берется на поверхности сверхпроводника, а п - вектор внешней нормали к поверхности. Граничное условие (3) можно получить на основе различных соображений. В работе [2] это граничное условие было получено на основе тех же феноменологических соображений, из которых получены сами уравнения (1), (2). К функционалу Гинзбурга-Ландау добавляется еще один член,

учитывающий вклад поверхности:

^ = 2 + ,

где - вклад энергии поверхности в свободную энергию для нормального состояния, а плотность сверхпроводящей свободной энергии представлена в виде разложения по степеням ^ параметра порядка на границе образца. Условия применимости разложения, по-

видимому, совпадают с условиями применимости начального разложения. Граничное условие в общем виде также получается из требования минимальности вариации энергии ^ при нефиксированном значении ¥ на границе.

Результаты численного решения уравнений

Результаты численного решения уравнений Гинзбурга-Ландау в случае обычных граничных условий (1/ Х = 0) представлены в работе [1]. Как и в работе [1], применяется следующая итерационная процедура нахождения самосогласованных решений системы уравнений (1), (2). Первоначально мы задаем некоторую пробную функцию и находим решение уравнения (1) для функции и(х%). Найденная и(х%) подставляется затем в уравнение (2), и с учетом граничных условий (3) находится новая функция Далее вновь решается уравнение (1), и вся процедура повторяется до тех пор, пока функции и и(х{) не перестанут изменяться от шага к шагу, и, таким образом, они представляют собой самосогласованное решение системы уравнений. Найденное таким методом решение устойчиво, поскольку оно не зависит от наложения малых возмущений. Значение критического тока 1С сверхпроводящей пластины принималось равным значению транспортного тока I, при котором значение параметра порядка становится равным нулю. Таким методом находилась зависимость критического тока на единицу ширины сверхпроводящей пластины от величины внешнего магнитного поля /?, в котором она находится.

Рис. 1. Зависимость критического тока от магнитного поля для сверхпроводящих пластин различной толщины с ненулевыми граничными условиями. В этом случае к =2

Примеры зависимостей 1С(И), полученных с использованием новых граничных условий, приведены на рис. 1 для параметра к = 2 и для нескольких значений толщины ё сверхпроводящей пластины (напомним, что в расчетах в качестве транспортного тока

И} 2п1

используется величина И1 = ——, где И1=-). Видно, что при малых значениях

Их С

внешнего магнитного поля И с уменьшением толщины образца критический ток уменьшается, однако в области средних полей величина 1С(И) для тонких образцов становится больше, чем для массивных. Также видно, что тонкие сверхпроводящие пластины способны пропускать без диссипации некоторые небольшие транспортные токи в гораздо более сильных полях, чем толстые.

У

0,2

0,0-1-•-,-.-г- -,-.-,--г---

0 1 2 3 4 5 х. 6

Рис. 2. Распределение параметра порядка по толщине сверхпроводящей пластины с ненулевыми граничными условиями (Л=6Х). В этом случае к =2. Толщина пластины с=6А,

Следует обратить внимание, что для толстых пластин, начиная с некоторой толщины ё (в данном случае с ё = 6Х), зависимости 1С(И) становятся неразличимыми, т.е. толщина пластины никак не влияет на значение критического тока. Используемый нами подход позволяет получить детальную информацию о распределении параметра порядка у/(хя) при различных значениях транспортного тока, пропускаемого через сверхпроводящую пластину, и внешнего магнитного поля И, в котором она находится. Проанализируем распределение этих величин для ё = 6Х. Для таких больших толщин безвихревой предел трудно реализуем, но мы его рассматриваем для большей наглядности. Зависимости параметра у/(хя) при некоторых значениях И приведены на рис. 2.

При этом значения транспортного тока выбирались близкими к соответствующим критическим токам. Зависимости 2 и 3 получены для величин И, близких к значению поля, при котором наблюдается скачкообразное изменение производных функции 1С(И) (соответственно И = 1.02 и И = 1.03). Напомним, что И=И/И\. В данном случае резкое изменение производных функции 1С(И) наблюдается при И = 1.025. Кривая 4 отвечает И = 4.0, т.е. внешнее поле близко к верхнему критическому магнитному полю. Характер зависимости при И=0.5 и И = 1.02 (кривые 1 и 2 на рис. 2) полностью соответствует мейс-снеровскому состоянию. При таких полях параметр порядка подавляется на краях сверхпроводящей структуры и слабо меняется в ее глубине, а магнитное поле проникает в структуру на конечное расстояние порядка X.

Иным образом обстоит дело в случае И=1.03 и И=4.0. Распределения, соответствующие этим полям, приведены на рис. 2 (кривые 3 и 4). Видно, что параметр порядка у(хх) для данных полей сильно отличается от нулевого значения только вблизи левой границы пластины. При приближении к правой границе его величина убывает экспонен-

циально (рис. 2, кривые 3, 4), соответственно, значительная часть сверхпроводящей пластины практически находится в состоянии, близком к нормальному. Отметим, что при переходе из одной области убывания функции 1С(к) в другую при к~1.025 наблюдается резкое перестроение всех макроскопических параметров сверхпроводящей пластины.

Рассмотрим теперь, как происходит переход в нормальное состояние под действием транспортного тока вблизи к ~ 4.0 (рис. 2, кривая 4). Видно, что характерный размер области с отличным от нуля параметром порядка в данном случае равен х% ~1, а дальнейшее увеличение внешнего магнитного поля приводит к полному подавлению сверхпроводящего состояния даже при нулевом транспортном токе. Следует отметить, что исчезновение сверхпроводящего параметра порядка при I = 1С происходит скачком, т.е. наблюдается фазовый переход первого рода. Таким образом, транспортные свойства пластин большой толщины в области сильных магнитных полей (см. рис. 1) обусловлены поверхностной сверхпроводимостью. В предельном случае и при использовании старых граничных условий должен реализовываться случай постоянного параметра порядка, а критический ток должен быть равен току распаривания. Действительно, результаты расчетов подтверждают это, что может служить одним из подтверждений правильности нашего метода численных расчетов.

Заключение

В работе проанализировано распределение параметра порядка по толщине пластины. Получены зависимости критического тока от магнитного поля для новых граничных условий (1А, ^ 0). Анализ этих зависимостей показывает уменьшение критического тока по сравнению с обычными граничными условиями, когда 1А, = 0. Обнаружена зависимость функции 1С(к) от направления транспортного тока (см. [3]), что подтверждается экспериментально. Таким образом, нами обнаружено, что изменение граничных условий приводит к существенным изменениям результатов расчета уравнений Гинзбурга-Ландау.

Литература

1. Лыков А.Н., Цветков А.Ю., Жарков Г.Ф. Расчет критического состояния слоистых структур, основанный на численном решении уравнений Гинзбурга-Ландау для сверхпроводящих пластин // ЖЭТФ. - 2005. - Т.128. - Вып. 2(8). - С. 392.

2. Андрюшин Е.А., Гинзбург В.Л., Силин А.П. О граничных условиях в макроскопической теории сверхпроводимости // УФН. - 1993. - Т. 163. - №9. - С.105.

3. Безотосный П.И., Лыков А.Н., Цветков А.Ю. Численное решение уравнений Гинзбурга-Ландау для сверхпроводящих пластин / Сборник научных трудов научной сессии МИФИ, 2008. - С. 35.

Безотосный Павел Игоревич Лыков Александр Николаевич Цветков Александр Юрьевич

— Московский инженерно-физический институт (государственный университет), студент, pauligbez@mail.ru

— Физический институт им. П.Н. Лебедева, доктор физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник, lykov@lebedev.ru

Физический институт им. П.Н. Лебедева, кандидат физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, tsvetkov@sci.lebedev.ru