О вязком гидродинамическом взаимодействии частиц сыпучей среды в вибрационных полях

Конвективные течения.... Вып. 2

О ВЯЗКОМ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ЧАСТИЦ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ В ВИБРАЦИОННЫХ ПОЛЯХ

В.Г. Козлов

Институт механики сплошных сред УрО РАН,

614013, Пермь, Академика Королева, 1

Разработана теоретическая модель осредненного взаимодействия в вибрационных полях взвешенных в жидкости твердых включений, отличающихся от жидкости плотностью. Показано, что такое взаимодействие играет важную роль в концентрированных суспензиях, когда частицы находятся друг от друга на расстоянии вязкого взаимодействия и совершают колебания в жидкой матрице под действием осциллирующего внешнего силового поля. Рассмотренный механизм взаимодействия является новым и качественно отличается от используемых в моделях вибрационной динамики суспензий низкой концентрации.

ВВЕДЕНИЕ

Многие экспериментальные факты необычной вибрационной динамики мелких включений в вязкой жидкости до сих пор не получили теоретического объяснения. Так, в [1] обнаружен эффект стабилизации нижней границы сыпучей среды, оседающей в заполненном жидкостью контейнере, совершающем интенсивные вертикальные вибрации. Под действием вибраций взвешенная в жидкости сыпучая среда объединяется в блоки с горизонтальными границами. Скорость оседания блока много меньше скорости падения отдельной частицы. Это свидетельствует о наличии вибрационного гидродинамического взаимодействия между частицами. Для обеспечения устойчивости такого состояния на частицы на нижней границе блока (на границе раздела с чистой жидкостью) должна действовать сила притяжения к основной массе оседающей взвеси.

© В.Г. Козлов, 2005

Другой пример вибрационного воздействия на сыпучую среду -формирование устойчивых стационарных вертикальных столбов сыпучей среды в жидкости при интенсивных колебаниях полости в горизонтальном направлении (рис. 1). Механизм стабилизации практически вертикальных границ холмов до сих пор остается непонятым. Если за возникновение на поверхности ожиженной сыпучей среды квазистационарного рельефа небольшой высоты отвечает неустойчивость Кельвина - Гельмгольца [2], о чем свидетельствует согласие теоретических и экспериментальных результатов [3], то в надкритических условиях, когда холмы полностью перекрывают поперечное сечение канала (см. рис. 1), это не так. Поведение разреженной сыпучей среды в этом случае более соответствует вибрационной динамике жидкости, имеющей границу раздела с окружающей чистой жидкостью.

Рис. 1. Квазистационарное распределение сыпучей среды в плоском слое прямоугольного сечения, совершающем интенсивные горизонтальные вибрации (частота колебаний полости f = 41 Гц, амплитуда b = 0.28 см); стеклянные сферические частицы диаметром d = 0.093 мм в воде, толщина слоя h = 2 см, относительная толщина слоя сыпучей среды в отсутствие вибраций hs / h = 0.5

Приведенные примеры указывают на наличие сил осредненного гидродинамического взаимодействия между частицами сыпучей среды в вибрационных полях.

Кратко остановимся на описании вибрационного гидродинамического взаимодействия тел. Это хорошо известно для предельного случая невязкого потенциального обтекания тел, например колеблющихся под действием осциллирующего силового поля. При этом осредненная подъемная сила, действующая на тела, определяется неоднородностью пульсационного поля скорости, что приводит к неоднородному распределению давления на поверхности тела. Так, тела, колеблющиеся вблизи твердых границ, притягиваются к ним;

тела, совершающие синхронные колебания вдоль одной линии, отталкиваются друг от друга, а в случае, когда направление колебаний перпендикулярно прямой, соединяющей их центры, притягиваются

[4].

В области низких безразмерных частот, при доминирующей роли вязких сил, вибрационное взаимодействие оказывается противоположным высокочастотному случаю. Так, колеблющиеся вблизи твердой границы тела отталкивается от нее [5, 6]. Два тела, расположенные на незначительном расстоянии друг от друга и совершающие синхронные колебания вдоль одной прямой, притягиваются, а если направление колебаний перпендикулярно линии, проходящей через центры тел, - отталкиваются [7, 8]. При этом важным является то, что качественное изменение характера вибрационного взаимодействия тел связано с действием вязких сил и проявляется только на расстояниях, меньших расстояния вязкого взаимодействия I <л/2п/ О .

1. ВИБРАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ, ВЗВЕШЕННЫХ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Проанализируем поведение взвешенной сыпучей среды в вибрационном поле и рассмотрим силы, действующие на отдельные частицы. При этом сыпучую среду представим как пористую среду с

коэффициентом проницаемости К , рассчитанным по формуле Ко-зени:

К = 180

где р - пористость, Б - гидравлический диаметр, равный диаметру ё сферических частиц в случае их одинакового размера.

Движение жидкости относительно взвешенной твердой фазы в случае медленного вязкого течения определяется законом Дарси:

УР = -Г и

К

который связывает скорость движения сыпучей среды относительно жидкости (среднюю скорость фильтрации и) с градиентом давления УР, динамической вязкостью жидкости г и проницаемостью К .

Средняя скорость движения жидкости относительно частиц внутри блока (внутренняя скорость) V n определяется соотношением:

и = jVin

Уравнение (1.2) описывает медленное вязкое движение жидкости. В системе отсчета полости, которая совершает гармонические колебания с амплитудой b и циклической частотой W (т.е. в модулированном гравитационном поле g + bW2 cos Wtn ), в условиях сделанных приближений уравнение движения взвеси с учетом (1.1) будет иметь вид:

и _

180 v

Уравнение (1.3) справедливо в предельном случае низких безразмерных частот

Wl2

— << 1

v

когда осциллирующее движение жидкости полностью определяется вязкими силами (здесь v - кинематическая вязкость жидкости, l -расстояние между частицами, р° pS / pL - относительная плотность включений).

В предельном случае высоких вибрационных ускорений

г. bQ >> 1

g

что соответствует условиям эксперимента [1], скорость осциллирующего движения сыпучей среды в жидкости значительно превосходит скорость оседания блока частиц в поле силы тяжести.

При расчете силы вибрационного взаимодействия мелких частиц взвеси в вибрационном поле остановимся на предельном случае низких безразмерных частот (1.4), когда справедлив квазистацио-нарный подход и применимы решения, найденные в стационарном случае.

В [9] рассмотрено взаимодействие двух расположенных на относительно большом расстоянии l / d >> 1 сферических тел, обтекае-

мых стационарным потоком. Показано, что в случае, когда вектор скорости направлен перпендикулярно линии, соединяющей центры частиц, на частицы действует сила отталкивания, в случае продольного обтекания частиц - сила притяжения. В предельном случае ЇУіп П << 1 сила притяжения может быть представлена в виде:

Природа этого взаимодействия связана с относительно слабыми инерционными эффектами. Из (1.5) следует, что в условиях осциллирующего движения частиц относительно жидкости между двумя частицами в направлении колебаний действует сила притяжения, которая в приближении больших вибрационных ускорений Г >> 1 имеет среднее по времени значение:

В то же время между двумя частицами, расположенными на расстоянии I и перпендикулярно колебаниям жидкости, действует сила отталкивания, которая в условиях сделанных приближений определяется выражением:

где Уд - амплитуда осциллирующей компоненты скорости.

Рассмотрим следующую модель. Пусть имеется блок взвешенных частиц в виде системы сферических тел, расположенных в узлах пространственной решетки с периодом I. Ось вибраций направим перпендикулярно плоскости симметрии решетки. Будем считать, что гидродинамическое взаимодействие осуществляется только между ближними частицами. Очевидно, что в случае равномерного распределения частиц результирующая сила взаимодействия, приложенная к отдельной частице, находящейся внутри блока, равна нулю. В то же время частицы на границах блока, перпендикулярных оси вибраций, будут притягиваться к основной массе, на продольных - отталкиваться от нее.

— 9л/2

=-------Р---------

гер 16 I

Остановимся на эффекте стабилизации нижней границы оседающей в жидкости сыпучей среды под действием вертикальных вибраций [1]. Условием стабилизации нижней границы является движение лидирующих частиц со скоростью блока, которая значительно меньше скорости падения свободной частицы. Это возможно при наличии силы притяжения к основному блоку оседающей взвеси, силы, действующей на частицы нижнего слоя блока. В приближении медленного движения

u , d

sed << 1

v

на лидирующие частицы в блоке, движущемся со скоростью Used , должна действовать сила притяжения - подъемная сила, направленная вверх:

DF =

6

Учитывая, что V0 в системе отсчета взвеси определяется выражением

=

0 180 v

и принимая во внимание несимметричное расположение частиц на

границе, из (1.6) и (1.8) получим уравнение движения блока, па-

дающего (как единое целое с устойчивой нижней границей) со скоростью Vsed :

v2sed Г2 16 . 1Ч 32 vueed

gij=27<p-1)-¥dgr

В уравнении (1.10) переменные vsed и j не являются независимыми, а связаны уравнением (1.3):

v =

sed 180v

Введем безразмерную скорость оседания:

Единицей измерения скорости является отношение ё2g ¡V , характеризующее скорость оседания отдельной сферической частицы в поле силы тяжести.

Запишем уравнение движения блока разреженной сыпучей среды (1.10) в безразмерном виде:

В уравнении (1.13) использован безразмерный вибрационный параметр

по форме аналогичный параметру Wd , ранее введенному в задачах высокочастотной вибрационной механики гетерогенных систем [1, 10] и имеющий смысл вибрационного числа Фруда.

Из (1.14) видно, что ьосс характеризует амплитуду скорости вязкого осциллирующего движения жидкости относительно частиц. Уравнение (1.13) определяет кривую устойчивого состояния сыпучей среды, оседающей в жидкости в виде блока, когда полость совершает интенсивные вертикальные вибрации.

На рис. 2 представлена зависимость (1.13) для относительной плотности р =2.6, соответствующей условиям эксперимента [1], точками представлены результаты экспериментальных измерений. Как видно, теоретические и экспериментальные результаты удовлетворительно согласуются, что подтверждает предложенную теоретическую модель. Сделанные по ходу рассуждений предположения о малом относительном размере частиц и их регулярном расположении в блоке не являются принципиальными. Переход к случайному, но однородному по объему распределению частиц может привести лишь к непринципиальному изменению коэффициента

V V + — V -16(р-1) = 0 р 3 27

2. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

взаимодействия в уравнении (1.6). Интересно, что в рамках сделанных приближений вибрационная сила притяжения (1.6) не зависит явно от расстояния между телами (разумеется, в пределах расстояния вязкого взаимодействия). В то же время при изменении расстояния между частицами проницаемость среды меняется, что ведет к изменению осциллирующей компоненты скорости У0 (при заданном вибрационном воздействии), а значит, и к изменению силы взаимодействия.

0 5-104 ЖР 105

Рис. 2. Зависимость безразмерной скорости оседания блока частиц V

Иначе ведет себя сила отталкивания частиц (1.7) в направлении, перпендикулярном колебаниям жидкости: с увеличением расстояния между частицами осредненная сила уменьшается. Этот факт объясняет однородное распределение сыпучей взвеси по всему поперечному сечению вертикального канала, совершающему продольные колебания.

Таким образом, анализ свидетельствует, что в вибрационном поле в результате осредненного вибрационного взаимодействия взвешенных частиц между собой сыпучая среда сжимается в направлении вибраций и расширяется в направлении, перпендикулярном оси вибраций.

Рассмотренный здесь механизм вибрационного взаимодействия является принципиально новым и качественно отличается от моделей вибрационного поведения суспензий в вибрационных полях, в которых взаимодействие частиц не учитывается [11].

Следует отметить, что для проявления описанных вибрационных сил обязательным является условие вязкого гидродинамического взаимодействия частиц в ходе колебаний, О/2 П< 1, когда расстояние / между частицами меньше толщины слоя Стокса д ° V2 п/ О . В противном случае (при больших /) это взаимодействие не проявляется, и даже сменяется на противоположное [6].

Теоретическое описание вязкого вибрационного взаимодействия частиц (отличающихся плотностью от окружающей жидкости) в осциллирующем силовом поле объясняет ряд экспериментальных эффектов, обнаруженных ранее. Так, при изучении процесса вибрационного ожижения сыпучей среды, находящейся на дне контейнера с вязкой жидкостью, совершающего вертикальные колебания ([12, 13]), непосредственно перед ожижением, которое сопровождается развитием интенсивных параметрических колебаний ожижен-ного верхнего слоя, обнаружено уплощение поверхности сыпучей среды. При этом верхний слой песка с одной стороны совершает вертикальные колебания заметной амплитуды (дышит), с другой -проявляет свойства упругой мембраны. Последнее - притяжение частиц к границе колеблющейся сыпучей среды - и стало толчком для исследования вибрационного взаимодействия [1].

Другим примером, когда проявляется механизм вязкого осред-ненного взаимодействия частиц, является организация колеблющихся в вязкой среде (воздух или вода) сферических частиц в холмы, вытянутые поперек направления колебаний [14, 15]. В [14] эффект имеет пороговый характер и проявляется по мере повышения концентрации частиц. Если провести оценки полученных в [14] результатов с позиции представленной выше теории, то порог притяжения частиц и их объединение в поперечные к направлению колебаний структуры соответствует условиям, когда расстояние между частицами сравнимо с толщиной слоя Стокса, что указывает на их вязкое вибрационное взаимодействие.

Наличие вибрационной силы притяжения между частицами (в направлении вибраций) и наличие вибрационной силы отталкивания (в перпендикулярном вибрациям направлении) отвечает на вопрос о природе превращения падающей в вязкой жидкости вертикальной струйки сыпучей среды в горизонтальные облака под действием вертикальных вибраций [16].

Механизм взаимодействия частиц, рассмотренный выше, позволяет объяснить существование отдельно стоящих холмов разреженной сыпучей среды в жидкости в условиях интенсивных горизон-

тальных вибраций полости [2, 17], которые полностью перекрывают вертикальное сечение канала, проявляя свойства сплошной среды с отчетливой границей раздела с чистой жидкостью. По-видимому, такое состояние определяется не сдвиговыми колебаниями неоднородной по плотности многофазной среды в канале, но, в первую очередь, осредненным вибрационным взаимодействием частиц между собой - отталкиванием в вертикальном (поперечном оси вибраций) направлении и притяжением в горизонтальном. В результате такого взаимодействия частиц холм растет вверх, становится узким и приобретает отчетливые границы, близкие к вертикальным.

Заключение. Предложена теоретическая модель осредненного взаимодействия взвешенных в жидкости твердых мелких включений в предположении, что частицы друг от друга находятся на расстоянии вязкого взаимодействия и совершают колебания в жидкой матрице под действием осциллирующего внешнего силового поля. Обнаружен новый вибрационный механизм взаимодействия, проявляющийся в концентрированных суспензиях, который качественно отличается от используемых в моделях вибрационной динамики суспензий низкой концентрации.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ-Урал 04-01-96055).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Kozlov V.G., СЫgrakov A.V., Ivanova A A., Evesque P. Granular matter sedimentation in tilted channel filled with liquid and subject to longitudinal vibration // Convective flows... / Perm. State Pedag. Un-ty. Perm, 2003. P. 215-230.

2. Kozlov V.G. Experimental investigation of vibrational convection in pseudoliquid layer // Hydromechanics and Heat / Mass Transfer in Microgravity: Reviewed Proc. 1st Intern. Symp. on Hydromech. and Heat / Mass Transfer in Microgravity. Perm; Moscow, Russia, 1991. Amsterdam: Gordon and Breach, 1992. P. 57-61.

3. Иванова А.А., Козлов В.Г. Граница раздела песок-жидкость при вибрационном воздействии // Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 2. С. 120 -138.

4. Черепанов А.А. Влияние вибраций на гидродинамические системы: резонансы и осредненные эффекты: Дис. д-ра физ.-мат. наук / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2000. 379 с.

5. Kuzaev A.F., Ivanova A A., Evesque P. Viscosity dependence of the behaviour of a heavy sphere in a cavity filled with liquid and subject to rotary vibration // Proc. 30 Summer School "Advanced Problems in Mechanics (APM'2002)". Russia, St. Petersburg (Repino), 2002. St. Petersburg: IPME RAS, 2003. P. 297-302.

6. Иванова А А., Козлов В.Г., Кузаев А.Ф. Вибрационная подъемная сила, действующая на тело в жидкости вблизи твердой поверхности // Докл. РАН. 2005. Т. 402. № 4. С. 1-4.

7. Tabakova S.S., Zapruanov Z.D. On the hydrodynamic interaction of two spheres oscillating in a viscous fluid. I. Axisymmetrical case;

II. Three dimensional case // J. Appl. Math. Phys. (ZAMP). 1982. V. 33. P. 344-357; P. 487-502.

8. Иванова АА., Кузаев А.Ф. Влияние вязкости жидкости на вибрационное взаимодействие сферических тел // Конвективные течения. / Перм. гос. пед. ун-т. Пермь, 2005. Вып. 2. С. 100-110.

9. Vasseur P., Cox R.G. The lateral migration of spherical particles sedimenting in a stagnant bounded fluid // J. Fluid Mech. 1977. V. 80. Pt 3. P. 561-591.

10.Kozlov V.G. Solid body dynamics in cavity with liquid under high-frequency rotational vibration // Europhys. Letters. 1996. V. 36. № 9. P. 651-656.

11.Лобов Н.И., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Поведение двухслойной системы жидкость-взвесь в вибрационном поле // МЖГ. 1999. № 6. С. 55-62.

12.Kozlov V., Ivanova A., Evesque P. Granular material dynamics in filled with liquid cavity subjected to vertical vibrations // Europhys. Letters. 1998. V. 42. № 4. P. 413-418.

13.Иванова А.А., Козлов В.Г., Эвеск П. Ожижение сыпучей среды в вязкой жидкости, вызванное вертикальными вибрациями // Изв. РАН. МЖГ. 2000. № 3. С. 113-122.

14.Reis PM., Mullin T. Granular segregation as a critical phenomena // Phys. Rev. Letters. 2002. V. 89. № 24. P. 244301(1-4).

15. Wunenburger R., Carrier V., Garrabos Y. Periodic order induced by horizontal vibrations in a two-dimensional assembly of heavy beads in water // Phys. Fluids. 2002. V. 14. № 7. P. 2350-2359.

16.Evesque P. Sablier inverse // Pour la Science. 1997. V. 239. P. 9496.

17.Ivanova A., Kozlov V., Evesque P. Patterning of liquefied sand surface in a cylinder filled with liquid and subjected to horizontal vibrations // Europhys. Letters. 1996. V. 35. № 3. P. 159-164.

ABOUT VISCOUS HYDRODYNAMICAL INTERACTION OF GRANULAR MATTER PARTICLES IN VIBRATIONAL FIELDS

V.G. Kozlov

The theoretical model of vibrational mean interaction of the inclusions of different with liquid density in oscillating field is developed. This interaction is shown to play the important role in the concentrated suspensions when particles are at the distance of viscous interaction from each other and make oscillations in the liquid matrix under the action of external oscillating force field. The considered mechanism of interaction is new and qualitatively differs from the ones used in the models of vibrational dynamics of suspensions of low concentration.