Реализация математического образования в школе с углубленным изучением математики

УДК 159.9:37

В.Д. Вихорева, Л.А. Эрмиль МБОУ СОШ № 126, Новосибирск

РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ШКОЛЕ С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ

Данная статья посвящена системе математического образования в школе с углубленным изучением математики, подробно рассмотрена авторская программа, разработанная для 10-х классов и учебно-методическое обеспечение образовательного процесса.

V.D. Vikhoreva, L.A. Ermil

Municipal educational establishment general secondary school # 126, Novosibirsk TEACHING THE ADVANCED COURSE OF MATHEMATICS AT SCHOOL

The article deals with the system of mathematical education at the school with the advanced study of mathematics. The author’s work developed for the 10-th form course and the methodical-and-educational support of the educational process are considered.

Основная задача обучения математики в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Система математического образования в нашей школе представлена: в начальной школе изучением математики в рамках дидактической системы развивающего обучения Занкова, когда вместе с освоением математического материала идет формирование умений строить причинно-следственные связи, логически мыслить; в 5-7 классах учащиеся получают систематизированные сведения о рациональных числах и правилах вычисления с ними, элементарные представления об иррациональных числах, знакомятся с процентами и приемами приближенных вычислений при использовании микрокалькулятора.

Алгебраическое содержание группируется вокруг понятия рационального выражения. Учащиеся овладевают навыками преобразований целых и дробных выражений, знакомятся с операцией извлечения корня, понятием уравнения, осваивают алгоритм решения линейных уравнений и систем линейных уравнений.

Функциональная линия продолжает процесс формирования понятия функции, знакомит с линейной функцией, прямой и обратной пропорциональностью и их графиками.

Геометрическая линия характеризуется пропедевтикой основного курса в 5-6 классах и началом систематического изучения геометрии в 7 классе. При этом на начальной стадии изучения целесообразно усилить внимание к его наглядно-эмпирическому аспекту. Поэтому в 5-6 классах мы ведем предмет

Наглядная геометрия, а также спецкурс Решение нестандартных задач. Дидактический материал и контрольно-диагностические задания разработаны учителями нашей школы. Следуя идеям учебника Л.С. Атанасяна, мы расширяем программу курса «Математика 5-6 классы» за счет стохастического и логического материала. Эти идеи содержатся в проекте математического образования: необходима «... подготовка в области

комбинаторики с целью создания аппарата для решения вероятностных задач и логического развития учащихся».

К инвариантной части учебного плана мы относим адаптированную программу курса «Математика 5-6»для учеников, обучающихся в начальной школе по системе Л.В. Занкова: учебники следующих авторов: И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович; С.М. Никольский и др.

В 7 классе используем учебник «Алгебра, 7» автора С.М. Никольский и др. Геометрия - Л.С. Атанасяна и др. Школьный компонент включает для всех классов этой ступени кружки, задачи которых варьируются от общеобразовательной до целенаправленной подготовки будущих учеников классов с углубленным изучением математики.

С 7 класса основной школы начинается профильная дифференциация. Выделяем следующие возможные профили: математический (углубленное изучения математики); профили, для которых математика не является профилирующим предметом (общеобразовательная программа).

8-9 классы. Происходит дальнейшее совершенствование вычислительных навыков, уточняются представления об иррациональных числах, вычисляются значения не только алгебраических, но и тригонометрических выражений. Алгебраическая и функциональная линии продолжают освоение дробно-рациональных выражений. Значительное внимание уделяется способам построения графиков дробно-линейных и квадратичных функций. Учащиеся овладевают алгоритмами решения квадратных и некоторых других нелинейных уравнений и неравенств и их систем. Совершенствуются методы решения текстовых задач, работа над которыми позволяет познакомить учащихся с методами математического моделирования. Завершается изучение геометрии плоскости. Рекомендованные учебники для классов с углубленным изучением математики: алгебра - Ю.Н. Макарычев; А.Г. Мордкович; С.М. Никольский; геометрия - Л.С. Атанасян и др. Для общеобразовательных классов: алгебра -А.Г. Мордкович, геометрия - Л.С. Атанасян и другие.

Старшая школа (10-11 классы).

Алгебраическая составляющая в 10-11 классах представлена иррациональными, показательными, логарифмическими выражениями. Расширяется класс изучаемых уравнений в связи с введением новых видов функций, развиваются представления об общих приемах решения уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств.

Развитие функциональной линии происходит в нескольких направлениях: рассматриваются новые свойства функций, изучаются новые классы функций, вводятся элементы математического анализа, которые

применяются как для решения собственно математических задач, так и задач прикладного характера. Геометрическая линия представляет собой целостный курс стереометрии.

В классах нематематического профиля мы применяем программу профильной школы. Еще большую значимость в математических классах старшей школы приобретает подбор спецкурсов. Наряду с урочной деятельностью, учащимся предоставлена возможность заниматься в дистанционной математической школе, математических кружках, участвовать в олимпиадах, НПК, интернет-проектах.

Наряду с решением основной задачи математического образования, углубленное изучение математики предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, подготовку к обучению в вузе.

При этом начальный этап углубленного изучения математики является в значительной степени ориентированным. На этом этапе ученику надо помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с тем, чтобы по окончании IX класса он смог сделать сознательный выбор в пользу углубленного либо базового уровня изучения математики. Интерес и склонность учащегося к математике должны всемерно подкрепляться и развиваться.

Последующее углубленное изучение математики на втором этапе предполагает наличие у учащихся более или менее устойчивого интереса к математике и намерение выбрать после окончания школы связанную с ней профессию. Обучение на этом этапе должно обеспечить подготовку к поступлению в вуз и продолжению образования, а также к профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры.

Переход на стандарты первого поколения поставил учителей математики перед необходимостью разработки программы углубленного изучения математики в старшей школе.

Мы представляем программу, разработанную для 10 классов с углубленным изучением математики, в которой выделены две содержательные линии: Алгебра и математический анализ и Геометрия.

В основу данной программы положена программа для школ (классов) с углубленным изучения математики, составленная Г.М. Кузнецовой и Н.Г. Миндюк, Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика, 5-11 классы, Федеральный компонент государственного стандарта общего образования, сборник нормативных документов Математика. Тематическое планирование. Рекомендовано департаментом общего среднего образования министерства образования Российской Федерации. М.: «Дрофа», 2007; «Просвещение»,2008 г.

Учебно-методическое обеспечение: С.М. Никольский и др. Алгебра и начала математического анализа,10 класс. М.: «Просвещение», 2008; А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра и начала математического анализа, 11

класс. М.: «Мнемозина», 2008; Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия «МГУ - школе», 10-11 классы. М.: «Мнемозина», 2008.

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс (5 часов в неделю). Учебник Алгебра и начала математического анализа, 10 класс - С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин).

Корни, степени, логарифмы (87 ч).

Базовый уровень. Понятие действительного числа. Множества чисел. Свойства действительных чисел. Перестановки. Размещения. Сочетания.

Углубленный уровень. Метод математической индукции. Доказательства числовых неравенств. Делимость целых чисел. Сравнение по модулю m. Задачи с целочисленными неизвестными.

Базовый уровень. Рациональные выражения. Рациональные уравнения. Системы рациональных уравнений. Метод интервалов решения неравенств. Рациональные неравенства.

Углубленный уровень. Формулы бинома Ньютона, суммы и разности степеней. Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида. Теорема Безу. Корень многочлена. Нестрогие неравенства. Системы рациональных неравенств.

Базовый уровень. Понятие функции и ее графика. Функция у = хп. Понятие корня степени п. Корни четной и нечетной степеней. Арифметический корень. Свойства корней степени п.

Углубленный уровень. Функция у = п х ^ > 0). Функция у = п х. Корень степени п из натурального числа.

Базовый уровень. Степень с рациональным показателем. Свойства степени с рациональным показателем. Понятие предела последовательности. Показательная функция.

Углубленный уровень. Свойства пределов. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Число е. Понятие степени с иррациональным показателем.

Базовый уровень. Понятие логарифма. Свойства логарифма. Логарифмическая функция.

Углубленный уровень. Десятичные логарифмы. Степенные функции. Базовый уровень. Простейшие показательные уравнения. Простейшие логарифмические уравнения.

Углубленный уровень. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Простейшие показательные неравенства. Простейшие логарифмические неравенства. Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного.

Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции (59 ч). Базовый уровень. Понятие угла. Радианная мера угла. Определение синуса и косинуса. Основные формулы для синуса и косинуса угла. Арксинус, арккосинус.

Углубленный уровень. Примеры использования арксинуса и арккосинуса. Формулы для арксинуса и арккосинуса.

Базовый уровень. Определение тангенса и котангенса угла. Основные формулы для тангенса и котангенса угла. Арктангенс.

Углубленный уровень. Арккотангенс. Примеры использования арктангенса и арккотангенса. Формулы для арктангенса и арккотангенса.

Базовый уровень. Косинус разности и косинус суммы двух углов. Синус суммы и синус разности двух углов. Сумма и разность синусов и косинусов. Формулы для двойных и половинных углов.

Углубленный уровень. Формулы для дополнительных углов. Произведение синусов и косинусов. Формулы для тангенсов.

Базовый уровень. Функция у = sinx. Функция у = cos;«:. Функция у = tg x. Функция у = ctg x.

Углубленный уровень. Простейшие тригонометрические уравнения. Однородные уравнения.

Углубленный уровень. Уравнения, сводящие к простейшим заменой неизвестного. Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. Простейшие неравенства для синусов и косинусов. Простейшие неравенства для тангенсов и котангенсов. Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Введение вспомогательного угла. Замена неизвестного t = sinx + cosx.

Элементы теории вероятностей (9 ч).

Базовый уровень. Понятие вероятности события. Свойства вероятностей событий.

Углубленный уровень. Относительная частота событий. Условная вероятность. Независимые события.

Повторение и резерв времени

Итого 180 часов.

Геометрия (3 часа в неделю, всего 108 часов).

Учебник Геометрия 10-11 классы Л.С. Атанасян.

Аксиомы стереометрии (6 ч).

Базовый уровень. Основные понятия и аксиомы стереометрии.

Углубленный уровень. Их связь с аксиомами планиметрии. Понятие о фигуре в пространстве.

Параллельность прямых и плоскостей (24 ч).

Базовый уровень. Взаимное расположение двух прямых в пространстве: пересекающиеся, параллельные, скрещивающиеся прямые. Взаимное расположение прямой и плоскости: пересекающиеся и параллельные прямая и плоскость. Признак параллельности плоскостей. Теоремы о параллельности прямых и плоскостей.

Углубленный уровень. Параллельное проектирование и его свойства. Изображение пространственных фигур на плоскости. Построение сечений.

Перпендикулярность прямых и плоскостей (26 ч).

Базовый уровень. Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от прямой до параллельной ей

плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями. Теорема о трех перпендикулярах. Угол между прямой и плоскостью. Перпендикулярность плоскостей. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Углубленный уровень. Теоремы о зависимостях между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей. Расстояние между фигурами. Ортогональное проектирование на плоскость и его свойства.

Базовый уровень. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла.

Углубленный уровень. Многогранные углы. Зависимости между плоскими и двугранными углами многогранных углов.

Многогранники (23 ч).

Базовый уровень. Понятие о многограннике. Развертка многогранника. Площади граней и площади поверхностей многогранника. Призма и ее элементы. Прямые и правильные призмы; их изображения. Площади граней и площади поверхности призмы. Параллелепипед и его виды. Изображение параллелепипеда. Площадь поверхности параллелепипеда. Пирамида и ее элементы. Правильная пирамида. Тетраэдр. Площадь поверхности пирамиды.

Углубленный уровень. Линейные и угловые геометрические величины, характеризующие многогранник. Сечение призмы. Сечение параллелепипеда. Сечение призмы. Сечение пирамиды. Комбинации простых многогранников (призм, пирамид и т. д.). Элементы теории выпуклых тел. Эйлерова характеристика многогранника. Теорема Эйлера (без доказательства). Правильные многогранники.

Базовый уровень. Понятие о преобразовании в пространстве. Движения в пространстве и их свойства. Центральная симметрия и симметрия относительно плоскости.

Углубленный уровень. Поворот вокруг оси. Подобие и гомотетия в пространстве. Применение преобразования к решению стереометрических задач. Элементы симметрии правильных многогранников.

Векторы в пространстве (14 ч).

Базовый уровень. Понятие вектора. Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов. Сумма нескольких векторов. Умножение вектора на число. Компланарные векторы. Правило параллелепипеда.

Углубленный уровень. Решение метрических задач с помощью векторов. Понятие о векторных пространствах. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

Повторение и резерв времени (15 ч).

Итого 108 часов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Никишина И.В. Инновационная деятельность современного педагога в системе общешкольной методической работы. - Волгоград: Учитель, 2007.

2. Соколова Н.Ю. Как активизировать познавательную деятельность учащихся // Педагогика. - № 7, 2001. - С. 32-38.

3. Федеральный компонент государственного стандарта общего образования, сборник нормативных документов Математика. Тематическое планирование.

Рекомендовано департаментом общего среднего образования министерства образования Российской Федерации. - М.: Дрофа, 2007; Просвещение, 2008.

© В.Д. Вихорева, Л.А. Эрмиль, 2010