Точные решения систем уравнений типа реакция - диффузия

Вычислительные технологии

Том 3, № 4, 1998

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ТИПА РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ *

*

А. В. Шмидт

Институт вычислительного моделирования, Красноярск, Россия

Two-component reaction-diffusion systems have been described that can be reduced to a single equation. The examples of constructing the solutions of such systems are given.

В настоящее время ведутся интенсивные исследования явлений самоорганизации в различных неравновесных системах, заключающихся в возникновении и эволюции упорядоченных пространственно-временных структур. Примером последних могут служить автоволны [1, 2], которые формируются в так называемых возбудимых средах в ответ на внешнее возмущение. Существует множество примеров возбудимых сред: нервные и мышечные ткани [3], колонии микроорганизмов [4], ряд химических растворов и гелей [5, 6], магнитные сверхпроводники с током [7], некоторые твердотельные системы [8]. Общепринятой моделью для описания возбудимых сред является система нелинейных параболических уравнений типа реакция — диффузия

где С — вектор состояния элементарного объема возбудимой среды.

О. В. Капцов [10] предложил простой метод построения точных решений двухкомпо-нентных систем (1), для случая, когда коэффициенты диффузии являются константами, основанный на редукции систем к одному уравнению с помощью дифференциальных подстановок. Групповая классификация уравнения Т = (т(Т)ТХ)Х + Q(T) проведена в работе [11]. Вопрос о полной групповой классификации системы (1) остается открытым.

Цель работы — используя метод, предложенный О. В. Капцовым [10], провести описание двухкомпонентных систем уравнений (1), обладающих дифференциальными подстановками.

1. Системы реакция — диффузия и дифференциальные подстановки

В работе исследуются двухкомпонентные системы

Ct = V(D(C )VC ) + F (C ),

Ut = (K(u, v)ux)x + F(u,v),

Vt = (P (u,v)vx)x + G(u,v),

*

*Работа выполнена при финансовой поддержке ISSEP (грант s97-3099). © А. В. Шмидт, 1998.

где функции и и V зависят от х и ¿.В дальнейшем рассматриваются только нераспадающиеся системы (2), то есть системы, в которых оба уравнения зависят от и и V.

Говорят [10], что система (2) допускает дифференциальную подстановку п-го порядка, если в результате замены

и = ш^УУ..Уга)),

где — частная производная ¿-го порядка по х функции V, первое уравнение системы удовлетворяется тождественно (в силу второго уравнения).

Лемма 1. Системы (2) допускают дифференциальные подстановки не выше второго порядка.

Доказательство. Пользуясь формулой (3) и вторым уравнением системы (2), можно вычислить производные любого порядка функции и. Подставив значения этих производных в первое уравнение системы (2), получим уравнение редукции, которое, очевидно, будет содержать производные функции V по х порядков, больших п. Требуя, чтобы уравнение редукции удовлетворялось тождественно и собирая подобные члены при указанных выше производных функции V, получим ряд выражений.

Для доказательства леммы 1 достаточно следить за коэффициентом при старшей производной функции V по х уравнения редукции. Используя (3), находим и = ш^п) +... . Производную дает второе уравнение системы (2) — = Р^и^^М1- +... . Далее, из (3) определяем и("+1) = ш^п)^2"+1) + ... . Таким образом, Риш2(п) ^М2"^1- — слагаемое, содержащее старшую производную функции V по х левой части уравнения редукции. С другой стороны, из первого уравнения системы (2) следует, что и = Ки(2) +... . Несложно видеть, что старшая производная V по х правой части уравнения редукции — Из

неравенства 2п + 1 > п + 2 следует, что 2 < п < то, то есть, если порядок дифференциальной подстановки выше 1, то Р = Р (V).

Рассмотрим систему

и =

Повторяя предыдущие рассуждения, несложно получить, что если порядок подстановки выше 2, то О = С^) — система (4) "распадается". Лемма 1 доказана.

Таким образом, для систем (2) необходимо подробно рассмотреть дифференциальные подстановки первого порядка, а для систем (4) — дифференциальные подстановки второго порядка.

2. Дифференциальные подстановки первого порядка

Рассматриваются дифференциальные подстановки первого порядка и = шУ^) для систем (2). Требуя тождественного удовлетворения уравнения редукции и собирая подобные 2

члены при V***, V**, V**, получаем следующие уравнения:

Р + РЛ V* = К,

ш^ V* + 2Радш;;х + Р««ш3х V* = Кш^х + ,

(Р + Р«ш^х V*) + ш^х (3Р„ш^ V* + 3Р^ V* + 2Рщ ш„х V* + ш^ V* + 2Р^ ш^ vX+

) = К

наконец, оставшиеся слагаемые дадут еще одно уравнение

ш» (Р„ Ш» гХ + Р» гХ + С) + (Р«ш»» гХ + Р««ш» гХ + 2Р„» ^^ гХ + Р»» V3 + + С» ^х) =

= Кш»» гХ + КиШ^Х + К» Ш» ^Х + Р.

Обозначим гХ через Р(и, V). Тогда уравнение (6), после умножения на гХ, принимает вид

Рш»х»хгХ = РиРХ

Справедливы следующие равенства:

(ш»хгХ)»хгХ = гХ + ш»хгХ, Р»хгХ = Р«ш»хгХ = Р«Р = гХ + Р, Р«Р - Р = гХ•

Следовательно, уравнение (9) можно переписать следующим образом

Р + РиШ»х гХ = 0.

Тогда из уравнений (5) и (10) следует, что К = 0. Интегрируя уравнение (10), находим

Р

гХ

где а — функция, произвольным образом зависящая от г. Уравнения (7), (8) после несложных преобразований, с учетом того, что = 0, переходят в следующие:

аа'

С

^ ^ ' 1 ((Ра' Р м

Р(и, г) = ш»с + гХС = — I I —--Р» ) с - —с ),

и

где с — произвольная функция от г. Подставляя функции Р(и(г,гХ),г) и С(и(г, гХ), г), определяемые по формулам (11) и (12), во второе уравнение системы (2), получаем редуцированное уравнение

г* = с

Таким образом, справедлива Лемма 2. Система

1 /7 Р(и, г)а'(г) Р \ Р(и, г) „ Л

и* = -г -т^--Р»(и, г) с(г) — -—--с (г) ,

4 Ри (и,г) у \ а(г) »У У ) дд^г) 1 })'

г* =

Р

где а, с, Р — произвольные функции, дифференциальной подстановкой первого порядка, определяемой из (11), редуцируется к уравнению (13).

Замечание 1. Очевидно, что решения уравнения (13), а следовательно, и системы (14), содержат произвольную функцию от х.

Предположив линейность подстановки относительно производной гХ

и = а

получаем, что уравнение (6) тождественно удовлетворено, а из уравнения (5) имеем К (и, V) = Р (и,') + Ри(и,')(и — 6). Используя последнее выражение, а также формулы (7) и (15), находим

С

где с(') — произвольная функция. После несложных преобразований уравнения (8) полу-

чим

^

Подставив и из формулы (15) во второе уравнение системы (2), получаем редуцированное уравнение

' =

Таким образом, имеет место Лемма 3. Система

иг = ^ ^Р (и,') + Ри(и,')(и — 6)^ и^ + Р (и,'),

'г =

->х

X

где Р — произвольная функция, С определяется по формуле (16), а Р по формуле (17), заменой (15) редуцируется к уравнению (18).

В следующей лемме 4 выделяется класс систем (19), редуцируемых к уравнению

' =

Лемма 4. Система

щ=(<№ )х—«а6' („—б>2+гь»( ^ - иЬ)—

" = ( (и—ъ+«)«),— (9'(и — 6)+г'>-

(д, г, 6 — произвольные функции от а — константа) дифференциальной подстановкой первого порядка и = а'х + 6(') редуцируется к уравнению (20).

Для доказательства леммы 4 следует рассмотреть уравнение (18). Требуя, чтобы система (19) редуцировалась к уравнению (20), то есть (18) переходило в (20), определяем функции Р, К, Р, и С.

Пример построения решений. В случае, когда д(') = '2, получаем редуцированное уравнение ' = которое, в свою очередь, сводится [12] к линейному уравнению

теплопроводности = гуу. Редукция осуществляется точечным преобразованием х = г, ' = гу. Возьмем, например, одно из решений линейного уравнения теплопроводности г = е-М ^/Ду. Тогда функции

' = л/А(е-2Лг — х2), и = 6(') — Л^~Аах

\/в-2Лг — х2

являются решениями системы

u = (v2Ux)x - ^^(u - b(v))2 + r(v)b''(v) f ^--^r) - b»v2,

a2 \a2 u — o(v) /

Vt = if- ^^T^(2v(u - b(v)) + r'(v)).

Wu-b(v) ) )x a

Таким образом в леммах 2, 3 описаны все системы реакция — диффузия (2), обладающие дифференциальными подстановками первого порядка.

3. Дифференциальные подстановки второго порядка

Рассматриваются дифференциальные подстановки второго порядка u = w(v,vx,vxx) для систем (4). Требуя тождественного удовлетворения уравнения редукции и собирая подобные члены при vxxxx, vxxx, vxxx, получаем следующие уравнения:

P + GuWvxx = K,

(GuuW2xx + GuWvxxvxx

) = + >

+ P) + (4P'Vx + 2GuuWvxx (wvVx + VxX) + 2GuvVx + Gu(2wvvxx +

+ 2WvxVxx Vxx + Wvx )) = K (2Wvvxx Vx + 2WvxVxx Vxx + Wvx )+ Wvxx (2Ku(Wv Vx + Wvx Vxx) + Kv Vx), (23) наконец, оставшиеся слагаемые дадут еще одно уравнение

Wv (P'vx + PVxx + G) + Wvx (P''vx + 3P'VxVxx + Gu(wvVx + Wvx Vxx) + GvVx) + (P'''vx +

+6P''VxVxx + 3P'V2 + (Guv (Wv Vx + Wvx Vxx) + Gvv Vx)Vx + Gu((Wvv Vx

+ wvvx vxx)vx + wv vxx + "KWvvx vx + Wvxvx vxx)vxx ) + ( wv vx + wvx vxx )(Guu(wv vx + wvx vxx) + Guv vx ) + Gv vxx) = K ((wvv vx + wvvx vxx)vx + wv vxx + (wvvx vx + Wvxvx vxx)vxx) +

+

Обозначим wvxx через D(u,v) и проанализируем уравнения (21) и (22):

K = P(v) + GuD, Ku = GuuD + GuDu,

D(GuuD2 + GuDDu) = (P(v) + GuD)DDu + (GuuD + GuDu)D2, P(v) + GuD = 0,

то есть K = 0. Возвращаясь к старым обозначениям и интегрируя по vxx уравнение P + GuWvxx = 0, получаем

G = -PVxx + ci

Уравнение (23) несложно преобразовать к виду 2P'vx + Guwvx = 0, что после интегрирования по Vx дает

G = -P'vx + C2

Очевидно, из формул (25), (26) следует, что

G = -P

Подставив найденную функцию G(и(y, ух, ухх), у) во второе уравнение системы (4), получим редуцированное уравнение (13). Используя выражения (24), (27), находим Г = сшь + ух + (с"^2 + о'ухх, откуда несложно получить

F

Выразив производную vxx из формулы (27) и подставив ее в (28), получим

F

Таким образом, имеет место Лемма 5. а) Система

ut = F (u,v, vxx),

vt = (P (v)vx)x + G(u, v),

где P, G — произвольные функции, а F(u,v,vxx) определяется по формуле (28), дифференциальной подстановкой второго порядка, определяемой из (27), редуцируется к уравнению (13). б) Система

ut = F (u, v, vx),

vt = (P (v)vx)x + G(u, v),

где P, G — произвольные функции, а F(u,v,v2) определяется по формуле (29), дифференциальной подстановкой второго порядка, определяемой из (27), 'редуцируется к уравнению (13).

Замечание 2. Очевидно, что если функция c(v) удовлетворяет линейному ОДУ второго порядка

Pc'' + P'c' + (V'' - PPjc = 0,

то функция F зависит только от u и v. Другими словами, выделяются системы в исходной постановке, обладающие дифференциальными подстановками второго порядка.

Уравнение (22) тождественно удовлетворится в том случае, когда дифференциальная подстановка имеет вид u = a(v, vx)vxx + b(v, vx). Тогда из (21) имеем

K

следовательно, a = a(v). После несложных преобразований из (23) получаем

Guv a +(^ - a') Gu = — - 3P',

vx a

откуда следует, что b = 0(v)vx + ^(v), и, возвращаясь к старым обозначениям, имеем

u = a

G , 2b - a'G = 2Pa' - 3P'a

G«v + = 2 •

a a2

Интегрирование по v уравнения (32) дает:

а'-2Ь dv( f 2Pa' - 3P'a г 2Ь-д' . 72

Gu = ef ^ d4 2Pa ~ °Pa e ^ ^^ dv + h{u) ,

a2

^ г а'-2Ь í' 2Pa' — 3P'a г 2Ь-а' 7/ Л /

K = P + ae — dv\ ---e —dvdv + h

где h(u) — произвольная функция. Интегрируя уравнение (33) по u, находим

г а'-2Ь dvl P2Pa' - 3P'a г 2Ь-а' , Л

G = e а dvl u -—-e а d dv + H

где r(v) — произвольная функция, а H(u) — первообразная функции h. Используя формулы (24), (30), (31), (32), несложно получить, что

F = v2xJ P'"a-4P"b-Pb"-3P,b,+2Pb'-+Gua'b) +a

-2Pb - 4Pa!) + vxx( 2a( P'' - ^ + 3P'b + P+ 2P— - 3P'a' + 4Pb°- - 2(Pb)'-

I \b\\ b b b J a a

-4P°b - Pa+ Gb(^J 3P 'ac' + Pac" - 3P' a2 - 2Pa'c' + Gvv a^j + ^^(ob' + 2Gv b+

+3P'a + 2P— - 3P'c' + Gvv a - Pc'' + P'''a + 2P''b+2P— - 3P'b' - Pb"H + Gc'.

a b \ a ) I

Подставив u из формулы (31) во второе уравнение системы (4), получаем редуцированное уравнение

п п' 2 Г а'-2Ь dv( , , 2 ч [ 2Pa' - 3P'a Г 2Ь-а' , vt = Pvxx + P'vX + e а dv[ (avxx + bvX + c) ---e а dvdv+

+H

Таким образом, имеет место Лемма 6. Система

ut = (K (u,v)ux)x + F (u,v,vxx), vt = (P (v)vx)x + G(u,v), где P — произвольная функция, функции K и G определяются соответственно по формулам (34) и (35), а F(u,v,vxx) находится из (36), заменой (31) редуцируется к уравнению (37).

Замечание 3. Выражая из уравнения (31) производную vxx и подставляя в формулу (36), можно получать и другие функции F, которые будут зависеть от u, v, vx, vxx.

Таким образом, в леммах 5, 6 описаны все системы реакция — диффузия (2), обладающие дифференциальными подстановками второго порядка.

Автор благодарит д.ф.-м.н., проф. Капцова О. В. за постановку задачи и помощь в работе.

Список литературы

[1] Васильев В. А., Романовский Ю.М., Яхно В. Г. Автоволновые процессы. Наука, М., 1987.

[2] Кринский В. И., Михайлов А. С. Автоволны. Знание, М., 1984.

[3] ИвАницкий Г. Р., Кринский В. И., Сельков Е. Е. Математическая биофизика клетки. Наука, М., 1978.

[4] Gerisch G. Wilhelm Roux Archiv Entwickelungsmech Organizmen, 156, 1965, 127.

[5] Белоусов Б. П. Сборник рефератов по радиационной медицине за 1958 г. Медгиз, М., 1959, 145; Автоволновые процессы в системах с диффузией. ИПФ АН СССР, Горький, 1981, 176.

[6] ЖАБотинский А. М. Концентрационные автоколебания. Наука, М., 1974.

[7] Буздин А. И., Михайлов А. С. ЖЭТФ, 90, 1986, 294.

[8] Скотт Э. Волны в активных нелинейных средах в приложении к электронике. Сов. радио, М., 1977.

[9] Cohen D., White A. SIAM J. Appl. Math., 51, 1991, 472-483.

[10] КАпцов О. В. Построение точных решений систем диффузионных уравнений. Ма-тем. моделирование, 7, №3, 1995, 107-115.

[11] Дородницын В. А. Об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с источником. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 22, №6, 1982, 1393-1400.

[12] Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. Наука, М., 1983.

Поступила в редакцию 10 февраля 1998 г.

Правила для Авторов

1. Статья должна быть представлена в редакцию в одной из двух форм:

1.1. Два экземпляра рукописи, отпечатанных на одной стороне листа стандартного формата A4 (297x210 мм) + файлы рукописи в формате LTEX или ^^/fS-LXIEX + файлы рисунков на дискете;

1.2. Два экземпляра рукописи, отпечатанных на одной стороне листа стандартного формата A4 (297x210 мм) + электронная версия рукописи, набранная в текстовом формате Microsoft Word (RTF) + файлы рисунков на дискете.

Время прохождения издательского цикла для рукописей, представленных в форме 1.1, минимально, а для рукописей в форме 1.2 — максимально.

2. Все файлы предоставляются на дискете 3.5" формата 1440 Кбайт. Возможна пересылка файлов по электронной почте jct@ict.nsc.ru в виде *.zip архива. Текстовые файлы и файлы TX представляются в кодировке CP866 (MS-DOS).

3. Статья предваряется аннотацией, содержащей не более 300 знаков. На отдельной странице прилагаются на русском и английском языках название статьи, имена авторов, аннотация и ключевые слова.

4. Статья должна сопровождаться разрешением на опубликование от учреждения, в котором выполнена данная работа. В сопроводительном письме необходимо указать почтовый адрес, телефоны, e-mail автора, с которым будет вестись переписка.

5. Для каждого автора должна быть представлена (на русском и английском языках) в виде отдельного файла следующая информация:

о Фамилия, имя, отчество о место работы и должность о почтовый адрес о ученая степень и звание о год рождения

о телефоны с кодом города

6. Рекомендации по оформлению статьи в LaTeX.

Оформление статьи в LTEX 2.09 Оформление статьи в LTEX 2е

7. Все материалы следует направлять по адресу: редакция журнала "Вычислительные технологии", Институт вычислительных технологий СО РАН, проспект Ак. Лаврентьева 6, 630090, Новосибирск, 90, Россия, Пестунову Игорю Алексеевичу (отв. секретарь) — тел.: +7(3832)343785, Митиной Галине Григорьевне (зав. РИО).

Оформление статьи в LT^X 2.09

Стиль журнала jctart.sty.

Для представления статей на английском языке используйте стиль jctart-e.sty.

Структура файла формата LaTeX должна быть следующей: \documentstyle{jctart}

\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm}

\begin{document}

\pagestyle{myheadings}

\markboth{<^ О. Фамилия автора(ов)>}{<КРАТКОЕ НАЗВАНИЕ СТАТЬИ (ДО 40 СИМВОЛОВ)>} ^^^{<НАЗВАНИЕ CTАТЬИ>\footnote{<Ссылка на поддержку (факультативно)>.}} \author{\sc{<^ О. Фамилия первого автора>}\\

\^{<Место работы первого автора>}\\[2mm] \sc{<^ О. Фамилия второго автора>}\\ \^{<Место работы второго автора>}\\[2mm] ...} \maketitle \begin{abstract} <Текст аннотации> \end{abstract} <Текст статьи> \begin{thebibliography} <Библиография (\item-список)> \end{thebibliography} \end{document}

<Перевод названия статьи на английский язык (или на русский, если статья на английском)> <аннотации на английский язык (или на русский, если статья на английском)>

Список литературы составляется по ходу упоминания работы в тексте и оформляется по образцу:

[1] Иванов И. И., Иванова И. И. К вопросу о вычислительных технологиях // Вычислительные технологии. 1999. Т. 11, №11. С. 1123-1135.

[2] Иванов И. И. Что такое вычислительные технологии? Новосибирск: Наука, 1995.

[3] Ivanov 1.1. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1988. P. 225-229.

Следует учитывать, что иллюстрации будут воспроизводиться в масштабе 1:1 с разрешением 300 dpi. Наиболее предпочтительной формой представления иллюстраций являются файлы черно-белых растровых рисунков в форматах .pcx, .bmp, .tif или векторном формате PostScript (.eps). Иллюстрации вставляются в текст статьи с помощью следующих команд:

\begin{figure}[htbp]

\hspace*{<сдвиг рисунка по горизонтали в мм>шш} \special{em:graph <имя файла рисунка>} \vspace*{<BbicoTa рисунка в мм>шш} \caption{<Подрисуночная подпись>} \end{figure}

Оформление статьи в ЖГеХ 2е

Для представления статей на английском языке используйте опцию english: \documentclassEenglishKjctart}.

\documentclass{jctart}

\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm} \usepackage{amsmath}

\begin{document} \pagestyle{myheadings}

\markboth{<^ О. Фамилия автора(ов)>}{<КРАТКОЕ НАЗВАНИЕ СТАТЬИ (ДО 40 СИМВОЛОВ)>} \title{<НАЗВАНИЕ СТАТЬИ>\footnote{<Ссылка на поддержку (факультативно)>.}} \author{\sc{<И. О. Фамилия первого автора>}\\

\it{<Место работы первого автора>}\\[2mm] \sc{<И. О. Фамилия второго автора>}\\ \it{<Место работы второго автора>}\\[2mm] ...} \maketitle \begin{abstract} <Текст аннотации> \end{abstract} <Текст статьи> \begin{thebibliography} <Библиография (\iteш-список)> \end{thebibliography} \end{document}

<Перевод названия статьи на английский язык (или на русский, если статья на английском)> <аннотации на английский язык (или на русский, если статья на английском)>

Список литературы составляется по ходу упоминания работы в тексте и оформляется по образцу:

[1] Иванов И. И., Иванова И. И. К вопросу о вычислительных технологиях // Вычислительные технологии. 1999. Т. 11, №11. С. 1123-1135.

[2] Иванов И. И. Что такое вычислительные технологии? Новосибирск: Наука, 1995.

[3] Ivanov 1.1. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1988. P. 225-229.

Следует учитывать, что иллюстрации будут воспроизводиться в масштабе 1:1 с разрешением 300 dpi. Наиболее предпочтительной формой представления иллюстраций являются файлы черно-белых растровых рисунков в форматах .pcx, .bmp, .tif или векторном формате PostScript (.eps). Иллюстрации вставляются в текст с помощью следующих команд:

\includegraphics{<имя файла рисунка>}

Instructions für Authors

1. The paper may be submitted to the editorial board in one of the following forms:

1.1. As two copies of the manuscript typed on one side of the standard A4 sheet (297x210 mm) + figures on separate sheets + file with electronical manuscript in LTeX or A/íSLTX + files with figures, created in one of the appropriate graphics formats (see below);

1.2. As two copies of the manuscript typed on one side of the standard A4 sheet (297x210 mm) + figures on separate sheets + file with electronical manuscript (saved as RTF-format) with (or without) formules + files with figures, created in one of the appropriate graphics formats (see below).

The duration of the publishing cycle for the manuscripts, submitted in the second form is the longest one and for the manuscript in the forms first - the shortest.

2. All files should be submitted on a 3.5" floppy disc (1440 Kbytes) or sent by e-mail jct@ict.nsc.ru as a *.zip - archive. All text-files and TeX-files in Russian must be submitted in CP866 (MS-DOS) Code Page.

3. The "hard copies"must be typed neatly with a fresh black ribbon. The typing should be double-spaced and lettered as neatly as possible. Any material that cannot be typed such as symbols and formulae should be inked carefully in black meeting the existing standards. The drawings must be printed on a laser or high-quality ink-jet printer or drawn directly in Indian ink on a sheet of a strong (bond) white paper.

4. Each paper must be preceded by an abstract of no more than 300 characters. The title of the paper and its abstract in English should be submitted on a separate sheet accompanied by the list of the key words (not more than 20) in Russian and English as well as the AMS/ZBL classification codes.

5. Authors are required to obtain permission for the publication from the company or institution at which the scientific results presented in the paper had been obtained. The accompanying letter should contain the communicating author, his mail address, telephone number(s), e-mail address.

6. The following information pertinent to every author have to be submitted as a separate file:

o First name, Second name, Last name o Affiliation data: Institution/Organization, Position o Scientific degree, Title o Address

o Telephone numbers, including the area code, Fax number, E-mail address, Homepage URL o Scientific Interests

7. Submission in LaTeX — Case (3). Recommendations.

Using IATeX 2.09 Using LTEX 2e

8. All materials should be mailed to the following address: Journal of Computational Technologies, Institute of Computational Technologies SB RAS, Academician Lavrentyev Ave. 6, Novosibirsk, 630090, Russia, Ph. D. Igor A. Pestunov — Phone +7(3832)343785, Galina G. Mitina.

Writing paper in English in LT^X 2.09

Journal style jctart-e.sty

Writing paper in Russian using L-TX 2.09

Journal style jctart.sty.

In this case LaTeX file structure should look like this: \documentstyle[jctart]

\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm}

\begin{document}

\pagestyle{myheadings}

\markboth{<Name(s) of the author(s)>}{<SHORT TITLE (LESS THAN 40 SYMBOLS)>} \title{<TITLE OF THE PAPER>\footnote{<Name of the supporting institution (optional)>.}} \author{\sc{<Name of the first author>}\\

\it{<Affiliation of the first author>}\\[2mm] \sc{<Name of the second author>}\\

\it{<Affiliation of the second author>}\\[2mm] ...} \maketitle \begin{abstract} <Text of the abstract> \end{abstract} <Body of the paper> \begin{thebibliography} <References(\item-list)> \end{thebibliography} \end{document}

The list of references should only include works that are cited in the text and should be sorted in the order they appear in the text. Here is a short example of the style of references:

[1] Ivanov 1.1., Ivanova 1.1. On computational technologies. Computational technologies // 1989. V. 11, No. 11. P. 1123-1135.

[2] Ivanov 1.1. What is computational technology? Novosibirsk: Nauka, 1995.

[3] Ivanov 1.1. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1998. P. 225-229.

The preferred representation of figures (along with the hard copy) are the files of black and white or greyscale drawings (resolution = 300 dpi) in the raster formats (.pcx, .bmp, .tif) or as a vector graphics in Encapsulated PostScript format (.ps, .eps). File names for the figures should contain the figure number. Figure captions should be included in the text not in the figure file. The illustrations are inserted into the text by the following commands:

\begin{figure}[htbp]

\hspace*{<horizontal shift of the drawing in mm>mm} \special{em:graph <name of the drawing file>} \vspace*{<height of the drawing in mm>mm} \caption{<caption>} \end{figure}

Writing paper in LT^X 2e

Writing paper in English use the option english: \documentclass[english]{jctart}. \documentclass{jctart}

\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm} \usepackage{amsmath}

\begin{document} \pagestyle{myheadings}

\markboth{<Name(s) of the author(s)>}{<SHORT TITLE(LESS THAN 40 SYMBOLS)>} \title{<TITLE OF THE PAPER>\footnote{<Name of the supporting institution (optional)>.}} \author{\sc{<Name of the first author>}\\

\it{<Affiliation of the first author>}\\[2mm] \sc{<Name of the second author>}\\

\it{<Affiliation of the second author>}\\[2mm] ...} \maketitle \begin{abstract} <Text of the abstract> \end{abstract} <Body of the paper> \begin{thebibliography} <References (\item-list)> \end{thebibliography} \end{document}

<Russian translation of the paper title for papers in Russian> <Abstract in Russian>

The list of references should only include works that are cited in the text and should be sorted in the order they appear in the text. Here is a short example of the style of references:

[1] Ivanov 1.1., Ivanova 1.1. On computational technologies. Computational technologies // 1989. V. 11, No. 11. P. 1123-1135.

[2] Ivanov 1.1. What is computational technology? Novosibirsk: Nauka, 1995.

[3] Ivanov 1.1. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1998. P. 225-229.

The preferred representation of figures (along with the hard copy) are the files of black and white or greyscale drawings (resolution = 300 dpi) in the raster formats (.pcx, .bmp, .tif) or as a vector graphics in Encapsulated PostScript format (.ps, .eps). File names for the figures should contain the figure number. Figure captions should be included in the text not in the figure file.