Моделирование оптимальной очередности реализации инновационных проектов

УДК 638.354.8

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ОЧЕРЕДНОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ ИННОВАЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ Т. А. Аверина, В.Н. Бурков, А.Р. Бородин, А.П. Сычев

В статье рассматриваются задачи выбора последовательности реализации инновационных проектов с целью получения максимальной прибыли

Ключевые слова: проект, ресурс, реализация, прибыль

Введение

Предположим, что есть предприятие, выпускающее один или несколько видов продукции. Оно ставит перед собой задачу повышения прибыли. Для этого существует некое множество инновационных проектов, каждый из которых может заключаться в смене технологии (техническое перевооружение, позволяющее снизить постоянные издержки, увеличить объем производства, повысить качество, а следовательно, и цену реализации и т.д.), увеличении производственных площадей (аренда, строительство или приобретение), проведении определенной маркетинговой политики (рыночные исследования, вход на новые сегменты рынка и т.д.) и т.д. Будем предполагать, что работы независимы, то есть отсутствует технологическая взаимосвязь, определяющая, в том числе, возможную последовательность их реализации. Каждый проект требует единовременного вложения определенного количества ресурсов предприятия, реализовывается в течение определенного периода времени и в дальнейшем обеспечивает некий фиксированный прирост прибыли за каждый последующий период. Каждый проект может быть реализован единожды или не реализован вовсе. Будем считать также, что в начале каждого периода времени предприятие может принять решение о выделении средств на реализацию только лишь одного проекта или не выделять средства вовсе.

Таким образом, перед предприятием ставится задача выбора последовательности реализации инновационных проектов с целью получения максимальной прибыли.

Как видно, задачи подобного рода имеют место на практике, а для случаев с большим числом предложенных инновационных проектов принятие решения в сторону выбора какого-то определенного проекта может вызвать затруднения.

Аверина Татьяна Анатольевна - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07

Бурков Владимир Николаевич - ИПУ РАН, д-р техн. наук, профессор, E-mail: vlab57@mail.ru Бородин Алексей Романович - ВГАСУ, соискатель, тел. (4732)76-40-07

Сычев Анатолий Петрович - ОАО ЦНИИС, канд. техн. наук, тел. (4795) 180-20-42

Постановка задачи

Перейдем к более конкретной, математической формулировке задачи. Для этого введем следующие обозначения.

• Пусть на некоторый начальный момент времени прибыль предприятия составляет Пд.

• Обозначим множество всех проектов Р = (Р1,

Р2, Р„}. Каждый проект характеризуется сле-

дующими параметрами:

• стоимость реализации і-го проекта составляет С,

• каждый проект не может быть реализован частично: для того, чтобы і-й проект вступил в силу, необходимо затратить в точности С, ресурсов

• каждый проект после реализации дает прирост прибыли за каждый период в размере Еі

• каждый проект реализуется за время ґ; таким образом, если средства на реализацию проекта выделены в конце к-го периода, то по окончании

• один проект может быть реализован только один раз; то есть если проект уже вступил в действие, он не может быть повторно реализован

• возможно, что один или несколько проектов так и не будут реализованы

Обозначим N =

Таким образом, предприятие в конце каждого периода может на свой выбор реализовать ровно один проект, или же вообще отказаться от реализации каких-либо проектов.

В каждой из рассматриваемых далее задач предприятие ставит целью максимизацию прибыли. Единственный инструмент, позволяющий это сделать - выбор определенной последовательности реализуемых проектов.

Тогда общая математическая формулировка будет выглядеть следующим образом:

- необходимо выделить такое множество N реализуемых проектов, чтобы по окончании некоторого интервала времени (строго определенного или же с расчетом на долгосрочную перспективу) прибыль П предприятия была максимальной.

Условимся называть подрядчиков, выполняющих проекты, активными элементами (АЭ), а предприятие - центром.

В процессе реализации проекта всегда возникает проблема его ресурсного обеспечения. Естественно, что привлекаемые для реализации проекта ресурсы ограничены. Пусть R - количество ресурса. Тогда существует две принципиальные возможности ресурсного обеспечения проекта.

Первая связана с предположением о том, что после того, как проект реализован и уже начал давать прибыль, полученные доходы не поступают обратно в источник финансирования.

Вторая принципиальная возможность связана с тем, что прибыль, полученная от реализации проекта, поступает в источник финансирования. Такие механизмы, в которых учитывается возможность вложения уже полученных средств для начала новых работ, получили название механизмов самофинансирования.

Обозначим за T рассматриваемый интервал времени.

Множество N реализуемых проектов в зависимости от соотношения общего количества проектов, количества ресурса и длины интервала Т может содержать как Т элементов, так и меньше, чем Т. Пусть к - количество выбранных проектов.

Будем предполагать, что рассматриваемый период времени ограничен и равен Т. Также будем считать, что ресурс невосполняем, везде кроме случаев, где это будет оговорено специально.

Перепишем условия задачи: (ресурс ограничен, время ограничено, задача максимизации прибыли при последовательном выборе проектов) к ^

П = П0Т + Z [

1=1

Подойдем к проблеме решения задачи о получении максимальной прибыли за определенный промежуток времени со стороны количественного описания модели.

Как и прежде, будем предполагать, что существует некое множество проектов Р, промежуток времени - Т, ограничение на ресурс - R.

Рассмотрим двухшаговый алгоритм, состоящий из:

а) выделения множества реализуемых проектов

б) установления последовательности реализации проектов

Возьмем некий отдельный проект i. Для него известны параметры Ci и Е,.

Для данного проекта построим некий график, выражающий (непрерывно) зависимость прибыли, полученной предприятием от его реализации, от времени.

Более того, построим этот график в предположении, что предприятие решило с самого начала реализовать именно этот проект.

Тогда эта прямая будет выходить из точки (С,) на оси ординат, и далее пойдет с наклоном, равным Е,, как это показано на рис. 1.

Теперь на том же графике проведем такие же прямые для всех проектов (рис. 1).

АП

Рис. 1. Выделение на каждом временном этапе проектов, приносящих предприятию наибольшую прибыль

Следующий этап - суть этого шага - собственно выделение множества реализуемых проектов.

Проведем вертикальные прямые через точки (=1,2, ..., Т (рис. 1).

Основная мысль этого шага будет заключаться в выделении на каждом сечении такими прямыми проектов, приносящих предприятию наибольшую прибыль. Действительно, это можно сделать по графику, поскольку точка пересечения прямой, соответствующей каждому отдельному проекту, с сечением временной прямой w, соответствует прибыли, которую принесет данный проект, просуществовав внутри интервала Т в течение времени V

Рассматривать будем, начиная с сечения Т. Пусть максимальную прибыль принесет некий проект Рт.

«Выдергиваем» прямую, соответствующую этому проекту, из графика, а сам проект заносим во множество N. Далее переходим к рассмотрению сечений прямой (Т-1), потом (Т-2) и так далее...

Мы будем «выдергивать» самый прибыльный проект только в том случае, если его прибыль будет выше нулевой отметки, множество оставшихся проектов будет непусто, и при этом выполняться условие на ограничение ресурса:

Л 5 х СГ:

Таким образом, мы получим некоторое множество проектов К, которые мы в последствии будем реализовывать.

Утверждение 1:

Если /Ы/ = Т, то N есть искомое множество реализуемых проектов. То есть ни один из «отсеянных» проектов не может быть включен в N при этом увеличивая прибыль предприятия.

Доказательство:

Проведем доказательство от противного. То есть предположим, что среди проектов, не попавших в N найдется такой, что при его включении в N прибыль возрастет.

Поскольку N = Т, то мы, как видно из условия задачи (в конце одного периода мы можем реализовать не более одного проекта), для каждого периода уже выбрали проект, который будет реализован по его окончанию. Тогда для того, чтобы включить этот проект в N мы должны из N какой-то другой проект исключить.

Исключенный проект по критерию выбора множества N за время своего существования давал максимальную прибыль по сравнению с другими проектами, в том числе и с тем, который мы предполагаем включить вместо него. Тогда очевидно, что включенный проект за то же время существования, что и исключенный, даст прибыль меньше, чем последний....Таким образом, пришли к противоречию. Утверждение доказано.

В математической формулировке, множество, полученное на первом шаге, можно записать как , = аг§ тах

іє I \ Nk

С, + Е, (Т К + 1)>0

1к и-

1к

К й^С,

На первом шаге мы получили множество N реализуемых проектов. Однако неверно предполагать, что мы вместе со множеством реализуемых проектов получили сразу же и последовательность их выполнения (например, в соответствии с их занесением во множество №).

Для того, чтобы правильно расставить их по периодам, докажем следующее. Для начала предположим, что во множестве N проекты располагаются согласно их выделению на первом шаге, то есть проект, выделенный на сечении /=Т, реализуется первым, и так далее...

Утверждение 2.

Пусть к - номер периода, по окончании которого реализуется проект 1; к+т - номер периода, по окончании которого реализуется проект 2. Тогда если Е2>Е1, то при замене местами проектов 1 и 2 (то есть к будет соответствовать 2-му, к+т - первому) прибыль возрастет. А при обратной перестановке -упадет.

Доказательство.

Прибыль, данная первым проектом до перестановки

П: = -С: + (Т-к+1)Е1 вторым: П2 = -С2 + (Т-к-т+1)Е2 Общая прибыль, данная первым и вторым (у остальных проектов ничего не изменится):

П1 = П + П2 = -С! - С2 + (Т-к+1)Е! + (Т-к-т+1)Е2 =

- (С1 + С2) + (Т-к+1)(Е1+Е2)-тЕ2 После перестановки: первым:

П = -С! + (Т-к-т+1)Е!

вторым

П2 = -С2 + (Т-к+1)Е2

Общая:

П = П + П2 = -С! - С2 + (Т-к+ВД + (Т-к-т+1)Е2 =

- (Сі +С2) + (Т-к+1)(Еі+Б2) - тЕї

Прирост прибыли после перестановки равен П - Пі = т

Очевидно, что в условиях утверждения при Е2>Е1 прибыль возрастет. И при обратной перестановке упадет. Утверждение доказано.

Поскольку каждая такая перестановка дает прирост прибыли от реализации проектов в получившейся последовательности, то внутри множества N расставим проекты по убыванию их Е.

Таким образом, мы получим упорядоченное множество проектов (в том смысле что первый элемент полученного множества N реализуется в конце 1-го периода, следующий - в конце второго, и так далее). При этом, как следует из только что доказанного утверждения, любая перестановка будет давать уменьшение прибыли.

Вышеописанный алгоритм также можно представить как задачу движения по графу. Построим граф следующим образом.

Отложим по оси абсцисс времена от 1 до Т, а по оси ординат - номера проектов. Вершина графа (ґк, Рі) будет иметь вес, соответствующий выбору проекта і в момент времени ґк.

Если каждой вершине (ґк, Р) поставить

в соответствие вес Ск + ЕП (Т Ґк + 1^ ^

по сути дела, алгоритм выбора множества реализуемых проектов сводится к строго горизонтальному движению по графу к вершинам с наибольшим неотрицательным весом, без повторений уже выбранных однажды вершин.

Ранее мы предполагали, что величина 4 характеризующая время реализации проекта (интервал с момента выделения средств до момента получения первого эффекта) равна 0. Теперь применим метод максимумов по периодам в ситуации, когда ґі > 0(причем ґі у каждого проекта индивидуальна).

Рассмотрим, как изменится рис. 1 (рис.2).

Если ранее мы проводили прямые, характеризующие эффект от каждого проекта, от оси ординат, то в данном случае нам следует параллельно перенести каждую из них на ґі вправо (на рис. 2 пунктиром показаны прямые для случая ґі = 0). Сам алгоритм выбора последовательности, а также все доказанные утверждения остаются в силе.

проектов, приносящих предприятию наибольшую прибыль с учетом продолжительности проекта

Заключение

Таким образом, ресурсное ограничение при невосполнимом ресурсе можно изобразить как прямую, параллельную оси времени и выходящую в начальный момент из точки - Я. Далее при выборе /-го проекта перед следующим шагом она поднимается на величину С/. Все проекты, начало соответствующих прямых которых находятся ниже получившейся прямой, выходят за рамки ресурсного ограничения.

В случае применения механизма самофинансирования прямая ресурсного ограничения будет, напротив, опускаться на величину, равную конечному эффекту выбранного проекта.

Однако стоит обратить внимание на то, что это лишь оценка «снизу» от величины перемещения, так как не учитывает второго шага алгоритма,

а именно перестановок внутри множества N, которые могут повысить конечный эффект выбранного проекта. Но для наглядности и простоты представления, для грубой оценки можно воспользоваться и таким методом «слежения» за ресурсом.

Литература

1. Бурков В.Н., Заложнев А.Ю., Новиков Д.А. Теория графов в управлении организационными системами. М.: Синтег, 2001.

2. Кини Р.Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М.: Радио и связь, 1981/

3. Губко М.В., Новиков Д.А. Теория игр в управлении организационными системами. М.: Синтег, 2002.

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН

ОАО ЦНИИС

MODELLING OF OPTIMUM SEQUENCE OF REALIZATION INNOVATIVE PROJECTS

T.A. Averina, V.N. Burkov, A.R. Borodin, A.P. Suchev

In clause problems of a choice of sequence of realization of innovative projects with the purpose of reception of the maximal profit are considered

Key words: the project, a resource, realization, profit