Задачи «Конструирования объекта из заданных частей с заданными свойствами». Особенности решения

УДК 37 ББК 74.262.0

ЗАДАЧИ «КОНСТРУИРОВАНИЯ ОБЪЕКТА ИЗ ЗАДАННЫХ ЧАСТЕЙ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ». ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ

TASKS OF «CONSTRUCTING OBJECTS WITH SPECIFIED PROPERTIES FROM CERTAIN PARTS». PECULIARITIES OF THE CONCEPT

Л. Н. Удовенко

В статье рассмотрены проблемы математического образования в России. Основной является проблема содержательного характера. Ее решение возможно с помощью разных средств и методов, одним из которых может быть «логическое конструирование» - специально организованная деятельность учащихся, связанная с классификацией объектов, конструированием объектов с заданными свойствами из заданных частей, построением логических схем, программ деятельности и т. д. В статье приведены примеры использования задач конструирования объектов с заданными свойствами из заданных частей при обучении математике в школе.

Ключевые слова: логическое конструирование, классификация, конструирование из заданных частей с заданными свойствами.

L. N. Udovenko

The article considers the problems of mathematical education in Russia. The main question is the problem of its contents. It can be solved by different means and methods. One of them can be the «logical designing» that represents specially organized activities of pupils connected with classifying objects, constructing objects with specified properties from certain parts, designing logic circuits, programs of activities, etc. The article gives examples of using tasks of constructing objects with specified properties from the specified parts in the process of teaching mathematics at school.

Keywords: logical designing, classification, constructing objects with specified properties from certain parts.

Перед отечественным образованием, в том числе математическим, в ряд приоритетов поставлены формирование у обучаемых умений и готовности работать в коллективе; ориентироваться на рынке труда; связывать свою карьеру с продолжением образования; менять профиль деятельности в зависимости от изменений в стратегии развития предприятия; самостоятельно работать с информацией; принимать решения и т. д. [1-2]. Математическому образованию в решении этих вопросов отводится особая роль, об этом сказано и во вновь принятой Концепции математического образования: «Изучение математики играет системообразующую роль в образовании, развивая познавательные способности человека, в том числе к логическому мышлению, влияя на преподавание других дисциплин» [1, с. 1].

Представленные в Концепции проблемы развития математического образования взаимосвязаны. Проведенный нами анализ этих проблем указывает на то, что проблемы содержательного характера в некотором роде продуцируют проблемы мотивационного характера и, в более значительной мере, кадровые проблемы. Объем математических знаний, который должен быть освоен современным выпускником школы, за последние 25 лет значительно увеличился. Курс школьной математики был дополнен изучением комбинаторики, основ теории вероятностей и элементов математической статистики. Задачи всех этих разделов представлены в ЕГЭ по математике, результат которого определяет

(чаще ограничивает) в дальнейшем образовательные и профессиональные возможности выпускника. Стремление школьника получить наибольшее число баллов по этому экзамену часто ведет к механическому заучиванию учебного математического материала, к формальной фиксации отдельных фактов без попыток выявления случайных и/или закономерных связей и пр., и бывает, что в этом стремлении учитель и ученик совпадают. Обоюдостороннее желание «получить результат любой ценой» ведет к формальному освоению математики. Исчезает внимание к личности обучаемого, к его способностям, склонностям, талантам. Теряется развивающий смысл математики. Мотивационный компонент математического образования оказывается состоящим только из нацеленности на получение результата по ЕГЭ. Содержание курса «Математика» и ЕГЭ по математике не определяют в должной мере формирования интереса, эмоционально-позитивного отношения к изучению математики. Кроме этого объективно изменились общие (мотивационно-ценностные, общепедагогические, психологические, методические, технологические) подходы к обучению традиционным вопросам математики, алгебры, основ математического анализа и геометрии, что связано с новым видением общественной роли образования в современном обществе. Эти изменения нашли отражение в федеральных образовательных стандартах начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования. Воздействие проблем содержательного характера на кадровые проблемы

современной школы сложнее, чем кажется на первый взгляд. Важно видеть кадровые проблемы в перспективе, через призму прогнозов и последствий. Поясним данный тезис: включение стохастической линии в школьный курс математики стало активно осуществляться еще в 1980-е гг. За это время через школьное образование прошло более двух поколений, через вузовское - более пяти. Почему же сегодняшняя школа испытывает кадровый голод? Почему сегодня многие работающие учителя математики (особенно в глубинке) всеми силами пытаются игнорировать стохастический материал? Нам видится основной причиной неповоротливость высшей школы, которая не в состоянии подготовить молодых талантливых педагогов-математиков, и также системы повышения квалификации учительских кадров, системы дополнительного образования, работающих не на опережение, что крайне необходимо для сферы образования, а на решение проблем локального характера в режиме «скорой помощи». Есть в этом и организационные, и финансово-экономические проблемы, влияющие на эффективность работы системы профессионального образования и повышения квалификации учителей, но их выявление и анализ оставим за рамками данной статьи.

Считая проблему содержательного характера центральной для математического образования, нельзя не понимать, что помимо отбора содержания учебного математического материала крайне важно осуществить разумный выбор общих и специальных методических подходов, методов, средств и приемов в обучении математике, согласующихся с дидактическими принципами, направленными на формирование логического мышления. В этой связи новую жизнь получила идея использования активных методов в обучении. Включение обучаемых в продуктивную творческую деятельность порождает осознанную мотивацию к обучению математике, что подтверждается исследованиями разных авторов в области педагогики, психологии и теории и методики обучения математике, указывающими на ведущую роль дея-тельностного подхода в обучении (В. П. Беспалько, Л. С. Выготский, В. В. Давыдов, А. Н. Леонтьев, С. Л. Рубинштейн, М. А. Холодная, П. Г. Щедровицкий, Б. Д. Эльконин и др.).

Анализ сущности активных методов в обучении математике приводит нас к необходимости обучения решению математических задач через осмысление их сути. Понимание общности в подходах к решению задач одной области позволяет выйти на уровень их анализа с последующей деятельностью по решению задач из других областей знания и практики, связанной с «классификацией объектов, конструированием объектов с заданными свойствами из заданных частей, построением логических схем, программ деятельности, использованием при решении задач преобразований и инвариантов и т. д.» [3, с. 216]. Данный подход (Н. Я. Виленкин, А. Я. Блох) получил название «логического конструирования», а сам термин «логическое конструирование» нашел применение в отношении разнообразных задач, в которых требуется описать общую схему, основные этапы построения некоторого объекта в форме последовательности конечного числа допустимых по условиям задачи действий, или, наоборот, найти сам процесс построения

объекта по исходным данным. Это позволяет судить о его возможностях не только в обучении математике и другим дисциплинам, в других областях знания и практики, но и о его возможностях за образовательными рамками.

Рассматривая лишь один из аспектов логического конструирования, связанный с алгоритмической деятельностью через «конструирование объектов с заданными свойствами из заданных частей, построение логических схем, программ деятельности», можно увидеть, как данный подход помогает в решении отдельных математических задач и позволяет применять освоенные алгоритмические действия к решению более широкого круга задач, в том числе и нематематических. Задачи логического конструирования могут быть связаны с некоторым алгоритмом. Это и отыскание алгоритма, и составление алгоритма, и описание процессов применения алгоритма и др. При этом математические возможности логического конструирования не ограничиваются только деятельностью по алгоритму. Важно развивать и способности к деятельности, основанной на интуиции, догадке, озарении, дабы способствовать «активизации таких типов деятельности, как построение планов, предвидение результатов намеченных операций, осуществление направленного преобразования объектов, причем не только данных предметно, но и заданных описаниями, чертежами» [3, с. 216].

Применение логического конструирования при обучении математике может представлять методический интерес для учителя и нести образовательную ценность для обучаемого, если изучение каждого раздела курса осуществляется через понимание этого раздела как некоторой системы знаний и умений. Важнейшими понятиями логического конструирования в этом смысле являются: понятия «часть» и «целое» и отношение «часть - целое». Для математика важно, что отношения «множество - подмножество», «множество - элемент» не инвариантны отношению «часть - целое», хотя и имеют некоторые общие черты. Основное их различие заключается в том, что «целое» представляется в виде системы (что не есть классификация), допускающей расчленение на части - взаимодействующие или соотнесенные, тогда как элементы множества вовсе не обязаны быть связанными какими бы то ни было соотношениями. Части «целого», кроме того, могут обладать определенной структурой. Так, отношение «часть - целое» предполагает рассмотрение ряда задач, возникающих при детальном его рассмотрении. Эти задачи называют задачами расчленения на части и могут быть рассмотрены такие их типы: а) выделение и узнавание частей; б) подсчет числа частей, обладающих определенным признаком.

Центральное место в логическом конструировании занимают задачи классификации. Отношение классификации тесно связано с отношением «часть - целое», однако имеет свою специфику. Задачи, упражнения на классификацию можно условно разбить в зависимости от характера действий с предметами: а) нахождение одного или нескольких предметов из заданной совокупности, обладающих заданным свойством (отбор по признаку); б) указание множества предметов, каждый из которых имеет заданные свойства (наполнение класса); в) отыскание свойств, позволяющих

разбить множество на классы; г) разбиение множества на классы по иерархическому принципу; д) булева классификация данного множества; е) установление соответствий по признакам «элемент - свойство»; ж) упорядочивание в группах (ранжирование); з) поиск элементов по системам признаков, установление семейства признаков, идентифицирующих данное множество [3, с. 217], и) конструирование объекта с заданными свойствами; к) отыскание объекта данной совокупности, не обладающего заданными свойствами.

Задачи на конструирование объекта из заданных частей с заданными свойствами по отношению к задачам классификации могут рассматриваться как обратные к ней. Если основная задача классификации состоит в естественном представлении объекта в виде описания соотнесения его частей, то конструирование объекта означает нахождение способов его построения по заданному набору частей или по общему описанию. С этой операцией в значительной степени связано изучение большого числа понятий, изучаемых в школе. На основе ее использования решаются многие задачи, такие, например, как задачи на построение. Конструирование объекта из заданных частей используется в построении определений, при доказательствах различных типов теорем, в частности, теорем существования. Согласно А. Я. Блоху, использующему подход Дж. Гилфорда [3-4], эту операцию целесообразно рассматривать: а) по характеру операций; б) с точки зрения полноты набора частей конструируемого объекта.

Так получаем таблицу (табл. 1), содержащую 9 типов заданий. Учитывая характер предъявления заданий, имеем два принципиально различных случая: 1) учащимся предъявляется образец целого, которое требуется сконструировать в виде рисунка, образа; 2) такой образец не предъявляется. При обучении второй случай возможен на достаточно продвинутых ступенях обучения [2, с. 98].

Анализ учебного математического материала позволяет говорить и о конструировании объекта из заданных частей с заданными свойствами на текстовых задачах. Так в данной таблице появляется сюжетное конструирование и соответствующие ему три типа задач (табл. 2).

Очевидно, что операция конструирования объекта из заданных частей с заданными свойствами дает серьезную пищу для размышления при методической подготовке к урокам математики. Констатация простоты или сложности задач на геометрическое, символьное, понятийное или сюжетное конструирование часто оказывается невозможной. Работа с такими задачами при обучении математике имеет многоаспектный характер, так как здесь задача оказывается средством формирования не только математических знаний и умений, но и средством отыскания рациональных путей достижения цели, решения задачи. Подобные задачи также демонстрируют свой диагностирующий и прогностический характер, их решение с точки зрения процедуры осуществления оказывается показателем эффективности интеллектуальной деятельности школьников при решении математических задач; они еще и средство коммуникации.

Анализируя задачи конструирования объекта из заданных частей с заданными свойствами, мы делаем вывод о том, что задачи на символьное и понятийное конструирование носят более абстрактный характер по сравнению с задачами на сюжетное и геометрическое конструирование, поэтому не все учащиеся готовы их решать. Однако такие задачи все же присутствуют в курсе математики начальной школы и 5-6-х классов и имеют серьезное пропедевтические значение, например, задачи на символьное конструирование:

1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 так, чтобы каждая из них была использована только один раз?

2. Дано двойное неравенство: 35 < х < 38. Какие из предлагаемых значений х = 5; 80; 4; 36; 18; 38 можно подставить в данное неравенство так, что мы получим истинное утверждение.

3. Имеется неравенство: 15 < х < 16. Подставь натуральное х такое, чтобы неравенство превратилось в истинное утверждение (верное неравенство).

Или примеры задач на понятийное конструирование.

4. Из цифр 1, 2, 3, знаков «+», «-» составь какое-нибудь высказывание, причем каждую цифру можно использовать только один раз. А теперь составь истинное высказывание.

Таблица 1

Возможности предъявления заданий на конструирование

Геометрическое конструирование Символьное конструирование Понятийное конструирование

Частей столько, сколько нужно А Г "Ш1

Частей больше, чем нужно Б Д З

Частей меньше, чем нужно В Е И

Геометрическое конструирование Символьное конструирование Понятийное конструирование Сюжетное конструирование

Частей столько, сколько нужно А Г "Ш1 К

Частей больше, чем нужно Б Д З Л

Частей меньше, чем нужно В Е И М

Таблица 2

Расширенные возможности предъявления заданий на конструирование

5. Маленькая Таня понимает, что означают слова: «взрослый», «высокий», «большой», «маленький», «умный», «человек». Как объяснить ей с помощью этих слов, что такое «великан», «карлик», «мудрец»?

6. С помощью чисел 5 и 17 покажите выполнение сочетательного закона сложения, переместительного закона сложения. С помощью этих же чисел покажите выполнение сочетательного и переместительного законов умножения.

Задачи на сюжетное и геометрическое конструирование чаще ориентированы на практические приложения, что заставляет их решения выстраивать как алгоритмы.

Например, типичная задача сюжетного конструирования вероятностного содержания:

7. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вероятность поражения той же цели вторым стрелком - 0,8. Найдите вероятность поражения цели, если оба стрелка выстрелят одновременно.

Исследование различных ситуаций, при которых цель будет поражена или нет, дает три удовлетворяющие требованию задачи события и одно не удовлетворяющее.

Опишем их, введя обозначения (см. табл. 3) и представив решение в виде схемы (табл. 4).

Поиск решения целесообразно осуществлять через рассмотрение всех возможных составных «частей» «целого» - задачной ситуации, что подводит к выбору решения задачи и указывает на принадлежность задачи к типу Л. Практически все задачи вероятностного смысла можно рассматривать через совокупность всех возможных ситуаций (полную группу событий). На наш взгляд, этот подход, используемый при решении вероятностных задач, составляет алгоритмическую основу решения задач конструирования заданного объекта из заданных частей. То же можно сказать и о задачах геометрического конструирования, особенно отчетливо это проявляется, если решение задачи состоит из двух и более случаев.

Внимание учителя к таким задачам, его требование досконально прорабатывать условие и требование каждой данной задачи заставляет ученика внимательно относиться ко всякой задаче, отыскивая путь ее решения, выстраивая целесообразную цепочку шагов, действий, создавая

Таблица 3

I к задаче 7

- вероятность попадания первого стрелка Р- - вероятность попадания второго стрелка

= 1 - Р1 - вероятность промаха первого стрелка р,_ = 1 - р,_ - вероятность промаха второго стрелка

Всевозможные события

I: первый попал и второй попал II: первый попал и второй промахнулся III: первый промахнулся и второй попал IV: первый промахнулся и второй промахнулся

P(I) -вероятность наступления события I Р(11) - вероятность наступления события II P(III) -вероятность наступления события III Р(Щ -вероятность наступления события IV

P — вероятность попадания Р - вероятность промаха

Таблица 4

Ход решения задачи 7

1-й шаг

I II III IV

первый попал первый попал первый промахнулся первый промахнулся

и и и и

второй попал второй промахнулся второй попал второй промахнулся

По теореме умножения вероятностей находим P

P(l)=PlP2 Р(П)=Р1-Р2 Р(Ш)=р1-р2 P(lV)=p1p2

2-й шаг

цель поражена событие I или событие II или событие III цель не поражена событие IV

По теореме сложения вероятностей находим P Р = Р(по

P = P

3-й шаг появляются два пути решения задачи

либо либо

P = P(I) + P(II) + P(III) р= 1-р, так как I, II, III, IV составляют полную группу событий

алгоритмическую основу для решения данной задачи и однотипных задач. Возможно и то, что при поиске и построении схем решения задач логического конструирования иных типов обучаемый сможет опираться на возможно полное исследование задачной ситуации с целью отыскания алгоритма решения. Важно помнить и понимать, что обнаружение и рассмотрение всевозможных ситуаций, «спрятанных» в задаче, не должно производиться хаотично. Перебор всех возможных ситуаций, вариантов должен быть направленным, только тогда он будет и исчерпывающим. Мы назвали его «направленным перебором возможностей» [2, с. 29], поскольку наиболее отчетливо этот способ поиска решения проявляется и используется в задачах комбинаторного и вероятностного характера.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Концепция развития математического образования в Российской Федерации / Распоряжение Правительства Российской Федерации № 2506-р от 24.12.2013 г. 10 с. [Электронный ресурс]. URL: http://www.math.ru/conc/vers/2412-R2506.pdf (дата обращения: 14.01.2014).

2. Удовенко Л. Н. Развитие логической культуры средствами логического конструирования при обучении математике в 5-6 классах: дис. ... канд. пед. наук. М., 1996. 236 с.

3. Виленкин Н. Я., Блох А. Я., Таварткиладзе Р. К. Воспитание мыслительных способностей учащихся в процессе обучения математике // Современные проблемы методики преподавания математики: сб. ст. / сост. Н. С. Антонов, В. А. Гусев. М.: Просвещение, 1985. С. 201-221.

4. Гилфорд Д. Три стороны интеллекта // Психология мышления: пер. с нем. и англ. М.: Прогресс, 1965. С.433-456.

REFERENCES

1. Kontseptsiya razvitiya matematicheskogo obrazo-vaniya v Rossiyskoy Federatsii (Vision of mathematical education development in the Russian Federation). Rasporyazhenie Pravitelstva Rossiyskoy Federatsii (Russian Federation Government Decree). No. 2506-r from 24.12.2013. 10 p. Available at: http://www.math.ru/conc/vers/2412-R2506.pdf (accessed 14.01.2014).

2. Udovenko L. N. Razvitie logicheskoy kultury sredst-vami logicheskogo konstruirovaniya pri obuchenii matematike v 5-6 klassakh (Development of logical culture by means of logical designing at teaching mathematics in 5-6 forms). Moscow, 1996. 236 p.

3. Vilenkin N. Ya., Blokh A. Ya., Tavartkiladze R. K. Development of pupils' brainpower in the process of teaching mathematics [Vospitanie myslitelnykh sposobnostey uchashchikhsya v protsesse obu-cheniya matematike]. Sovremennye problemy me-todiki prepodavaniya matematiki: sb. st. (Topical issues of methods of teaching mathematics: collected papers). Ed. Antonov N. S., Gusev V. A. Moscow: Prosveshchenie, 198, pp. 201-221.

4. Gilford D. Three aspects of intelligence [Tri storony intellekta]. Psikhologiya myshleniya (Psychology of thinking). Translated from German and English. Moscow: Progress, 1965, pp. 433-456.

УДК 37 ББК 74.027.9

ТЕХНОЛОГИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ДИСТАНЦИОННОГО КУРСА «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ LMS MOODLE

TECHNOLOGY OF DESIGNING THE DISTANCE COURSE "DIFFERENTIAL EQUATIONS" USING LMS MOODLE

С. А. Муханов, А. А. Муханова

В данной статье рассматриваются вопросы проектирования дистанционного курса «Дифференциальные уравнения» с использованием системы дистанционного обучения Маа1Ме с позиций осуществления эффективных коммуникаций между преподавателем и студентами.

S. A. Mukhanov, A. A. Mukhanova

The article deals with designing the distance course "Differential Equations" using Learning Management System Moolde from positions of implementing effective communications between teacher and students.