К вопросу об исследовании напряжённого состояния помольной камеры вибрационной мельницы

© Ю.В. Дмитрак, Т.А. Зиновьева, 2009

Ю.В. Дмитрак, Т.А. Зиновьева

К ВОПРОСУ ОБ ИССЛЕДОВАНИИ НАПРЯЖЁННОГО СОСТОЯНИЯ ПОМОЛЬНОЙ КАМЕРЫ ВИБРАЦИОННОЙ МЕЛЬНИЦЫ

Статья, посвящена анализу жесткостных и прочностных характеристик конструкции вибрационной мельницы. Рассматривается вопрос составления расчётной схемы вибрационной мельницы с использованием метода конечных элементов. При составлении расчётной схемы использовались два основных типа конечных элементов: CROD — одномерный двухузловой стержневой элемент; CQUAD — двухмерный четырехузловой элемент. Произведён выбор аппроксимирующих функций и составлена матрица жёсткости конструкции.

Ключевые слова: аёадаоёШйе гаёйгёоы, ииёйгйе ёагады, ааоШаоёё ё гтду&агёу.

~шу Московском государственном горном университете на протяжении ряда лет ведутся работы по совершенствованию конструкций и разработке комплексов оборудования на базе промышленных вибрационных мельниц. Созданы опытнопромышленные образцы вибромельниц с горизонтальным и наклонным расположением помольных камер. При проектировании данных машин особое внимание уделялось прочности конструкции, а именно: была усилена несущая рама и применена схема с симметричным расположением пружин относительно помольной камеры. В качестве примера можно рассмотреть конструкцию вибромельницы с четырьмя наклонными камерами (рис. 1). Каждая камера закреплена на двух упругих опорах. При этом дебалансы лежат в поперечной плоскости симметрии мельницы. Это сделано для того, чтобы разгрузить помольные камеры от воздействия сил инерции и обеспечить им максимальную прочность.

Совершенствование конструкций вибромельниц идёт в различных направлениях. Однако, на наш взгляд, обеспечение прочности отдельных узлов, в частности, помольной камеры, для увеличения ресурса и повышения производительности вибрационных мельниц является важнейшим направлением в создании больших промышленных вибромельниц.

Рис. 1. Наклонная вибрационная мельница с четырьмя камерами конструкции МГГУ

Анализ конструкций вибрационных мельниц свидетельствует о стремлении проектировщиков и исследователей вибромельниц к совершенствованию их конструкции в плане повышения прочности и надёжности отдельных узлов этих машин. Общим недостатком рассмотренных выше конструкций, на наш взгляд, является низкая прочность помольных камер вследствие отсутствия конструктивных решений, устраняющих эту проблему. Поэтому вопрос об исследовании напряжённого состояния помольной камеры вибрационной мельницы является ключевым в разработке её оптимальной конструкции.

Исследования, представленные в настоящей статье, посвящены анализу жесткостных и прочностных характеристик конструкции вибрационной мельницы. Для составления расчётной схемы вибромельницы был использован метод конечных элементов (МКЭ), который представляет собой наиболее распространенный приближенный метод в механике твердого тела и может быть интерпретирован с физической или математической точки зрения [14].

Основа физической концепции МКЭ — это разбивка конструкции помольной камеры на непересекающиеся компоненты (подобласти) простой геометрии, называемые конечными элементами. Множество элементов, на которые разбита конструкция, составляет ко-

нечно-элементную сетку. Механическое поведение каждого элемента выражается с помощью конечного числа степеней свободы или значений искомых функций во множестве узловых точек. Поведение математической модели, таким образом, аппроксимируется поведением дискретной модели, полученной путем сборки или ансамбли-рования всех элементов.

Последовательность процедур алгоритма МКЭ может быть представлена в следующем виде:

Дискретизация рассматриваемой области. Дискретизация рассматриваемой области это замена континуальной среды совокупностью КЭ заданной формы, соединенных между собой в узлах конечным числом связей.

В данной работе использовались два вида конечных элементов со следующими геометрическими атрибутами:

CROD — одномерный двухузловой стержневой элемент;

CQUAD — двухмерный четырехузловой элемент.

Конечно-элементная модель вибрационной мельницы (количество узлов — 3122, количество элементов — 3258) представлена на рис. 2.

Выбор аппроксимирующих функций. При кусочнонепрерывной аппроксимации предполагается, что перемещения внутри элемента могут быть выражены через перемещения в его узлах. Эта связь описывается при помощи так называемых функций формы, которые аппроксимируют действительное поле перемещений внутри элемента. От выбора аппроксимирующих функций в значительной степени зависит точность решения. Эти функции должны удовлетворять критерию совместимости: функции формы должны обеспечивать непрерывность перемещений и ее производных до ^первого порядка на границе между элементами (где п — порядок старшей производной в функционале энергии).

Рассмотрим типовой конечный элемент упругого тела, имеющий узлы ^ j,... Обозначим через V,, у,... матрицы перемещений

соответствующих узлов. Все узловые перемещения элемента образуют матрицу

Рис. 2. Конечно-элементная модель вибрационной мельницы

Рассмотрим теперь произвольную точку внутри элемента. Перемещения этой точки в направлении координатных осей образуют матрицу-столбец, которую обозначим через и :

и =

и

и.

где их, иу, и2 — смещение рассматриваемой точки в направлении осей x, у, z.

В методе конечных элементов принимается допущение, согласно которому перемещения всех точек элемента однозначно определяются его узловыми перемещениями. В матричных обозначениях это означает существование равенства:

и = аУе,

где а - прямоугольная матрица, в которой количество строк равно числу компонент матрицы и, a количество столбцов — числу компонент матрицы Vе. Элементами матрицы а являются некоторые функции координат (аппроксимирующие функции). В общем случае пространственного тела её можно представить в виде:

и

X

а =

а„

а,

а,

где ах, а , а2 — матрицы-строки.

Воспользовавшись формулами Коши, можно выразить деформации в каждой точке конечного элемента через его узловые перемещения:

е = Lu ^г = LаVe

где р = Lа =

8 / 8х 0 0 "

0 8 / 8у 0 а

0 0 8 / 82 а

8 / 8у 8 / 8х 0

0 8 / 82 8 / 8у а

8 / 82 0 8 / 8х

да х/ 8х да у/ 8у да 2 / 82 да / 8х + да х / 8у да / 8у + да / 82

8а2 / 8х + дах / 82

Воспользовавшись далее законом Гука в виде с = ке , где с -матрица-столбец напряжений; к - матрица упругих постоянных, получаем:

с = крVе.

Отсюда можно сделать вывод о том, что при известной матрице аппроксимирующих функций напряженное и деформированное состояние конечного элемента однозначно определяется узловыми перемещениями.

Вывод матриц жесткости и вектора узловых сил из вариационного принципа Лагранжа

На этом этапе осуществляется вычисление матриц жесткостей элементов и построение глобальной матрицы системы алгебраических уравнений и вектора узловых сил.

Рассмотрим упругое равновесие деформированного конечного элемента. Внешними нагрузками для него являются напряжения,

х

у

2

возникающие на его границе в результате взаимодействия со смежными элементами, объемные силы R и, возможно, поверхностные нагрузки р (если часть его поверхности совпадает с поверхностью,

ограничивающей тело). Предположим, что узловые перемещения Vе получили произвольные бесконечно малые приращения, определяемые матрицей:

Же = {5у ...} .

Заменим напряжения на поверхности элемента эквивалентными им сосредоточенными узловыми силами, действующими в направлении узловых перемещений:

Ре = {р р ...},

где ре ре ... - матрицы сил для узлов ^ j, ....

Объемные R и поверхностные р силы заменим эквивалентными узловыми силами Р = {р р .. .} .

Силы Ре + Р будем считать эквивалентными действительным нагрузкам, если их работа на перемещениях ^е равна работе внешних нагрузок дАе на перемещениях дие = а8Ve:

8Ае = ^е)Г

Посчитаем теперь вариацию потенциальной энергии деформации Ъие:

Ъие = | 5гтсбх = | (355*)ттфГбх = (5ІЇе)т |ргкрбх

Vе,

где хе - объем конечного элемента.

Выражение, заключенное в квадратные скобки, представляет собой квадратную матрицу. Ее элементы получаются интегрированием элементов симметричной матрицы рт кр. Пусть

ке = | рт крбх, тогда

Xе

0 5ие =

X

X

X

и кеуе = Ре + Р

Матрица ке называется матрицей жесткости конечного элемента. При известной геометрии конечного элемента и заданных упругих характеристиках материала матрица жесткости вполне определяется выбором аппроксимирующих функций.

В соответствии с выражением в = рУ5 матрицу р можно разбить на блоки: р = р;.. .^ . Тогда матрица жесткости КЭ будет выглядеть следующим образом:

ке =

ке к

Н у

СВ *=: СВ

где ке = | рТг .

Применим вышесказанное к составлению глобальной матрицы жесткости разбитого на конечные элементы упругого тела, приводящей к системе уравнений относительно перемещений V = {у У2 ... Уп}, где п — общее число узлов при принятой

схеме дискредитации.

Если в узлах тела приложены сосредоточенные силы, то из них

можно образовать матрицу Р = |Р1| Р2 ... Рп|. Типовой эле-

мент Р этой матрицы представляет собой подматрицу сил, действующих в узле г в направлении перемещений у..

Узловые силы, эквивалентные внеузловой нагрузке, также объединим в матрицу Р = {Р\ Р2 ••• Р}.

Тогда из уравнений равновесия узлов получим:

КР = Р + Р,

где К — матрица жесткости всего тела, которая может быть представлена в форме:

K =

\ kn1 " knn J

Типовая подматрица krs = I Ks получается суммированием

e

подматриц кгз по всем конечным элементам, содержащим одновременно узлы г и s.

Учет граничных условий

Полученная на основе указанных методов глобальная матрица жесткости является вырожденной, поскольку в соответствии с уравнениями равновесия заданной системы часть уравнений (для пространственных систем — шесть, а для плоских — три) окажутся взаимно зависимыми. Корректировка этой матрицы при учете граничных условий приводит к невырожденной системе линейных алгебраических уравнений относительно вектора узловых перемещений.

Решение системы алгебраических уравнений

Для решения системы алгебраических уравнений используются стандартные программы, имеющиеся в математическом обеспечении ЭВМ, специально подготовленные и лучшим образом учитывающие симметрию и структуру матрицы жесткости системы — редкозаполненность или ленточность.

Определение деформаций и напряжений

После определения узловых перемещений в соответствии с известными соотношениями теории упругости могут быть определены деформации и напряжения.

Описанный выше алгоритм использования метода конечных элементов может быть использован при расчёте прочностных параметров помольной камеры вибрационных мельниц.

-------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., Мир, 1975.

2. СегерлиндЛ. Применение метода конечных элементов. — М.: Мир, 1979.

3. EisenbergM.A., Malvern L. E., On Finite Element Integration in Natural Coordinates, Intern. J. for Numerical Methods in Engineering, 7, 574-575 (1973).

4. Mishra B.K., Rajamani Raj K. «Simulation of charge motion in ball mills». Part 2: Numerical simulation. International Journal of Mineral Processing, 40 (1994) 187-197. Elsevier Science B.V., Amsterdam,

Dmitrak U. V., Zinovieva T.A.

TO THE ISSUE OF RESEARCH OF STRESS OF GRINDING

CHAMBER OF THE VIBRATORY MILL

This article is devoted to the analysis of the stiff and firm characteristics of the unit of the vibratory mill. The article deals with the question about making up the calcu-lative scheme of the vibratory mill using the finite element method. Two main types of finite element were used during making up the calculative scheme: CROD — is one dimensional two points rot element; CQUAD — is two dimensional four points rot element. The choice of the approximate functions and the matrics of the stiff unit was done.

Key words: vibratory mills, grinding chambers, deformations and stress.

Коротко об авторах

Дмитрак Ю.В. — Московский государственный горный университет, Moscow State Mining University, Russia, ud@msmu.ru Зиновьева Т.А. — кандидат технических наук, доцент, Новомосковский институт РХТУ им. Д.И. Менделеева.