Компьютерные исследования и эксперименты при обучении геометрии

КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ

Компьютерные эксперименты, системы динамической геометрии, обучение геометрии, анимационные возможности, динамический чертеж, визуальная полнота.

Статья посвящена исследованию проблемы, связанной с недостаточным использованием в школьном математическом образовании учебных исследований и экспериментов. Продемонстрирована возможность системы динамической математики «Живая геометрия» в качестве эффективного средства обучения геометрии с помощью компьютерного исследования и эксперимента.

V.R. Mayer

Computer studies and experiments with the instruction in geometry

Computer experiments, the system of dynamic geometry, instruction in geometry, the animated possibilities, dynamic drawing, visual completeness.

This article is dedicated to case study, connected with the insufficient use in the school mathematical formation of training studies and experiments. Is demonstrated the possibility of the system of dynamic geometry «Living geometry» as the effective means of instruction in geometry with the aid of a computer study and the experiment.

Введение. Нарастающая потребность страны в высококачественном математическом образовании требует от государства, общественности, учителей и преподавателей математики решительных действий, учитывающих реалии современного общества, большая часть молодых людей которого относится к так называемому «цифровому» поколению. Высококачественное обучение остро нуждается в учителе, который не только глубоко знает свой предмет. Не менее важным в обучении, претендующим на высокое качество, является процесс исследования, в чем и состоит основа учительского труда. Реалии же сегодняшнего дня таковы, что большинство уроков математики проходят по традиционной схеме, учебные математические исследования на уроках практически не проводятся. Что следует предпринять в современном информационном обществе, чтобы исследования и эксперименты заняли достойное место в школьном математическом образовании? В этом и состоит суть рассматриваемой проблемы.

Отметим, что при обсуждении проекта нового ФГОС СПОО рассматривалось предложение о том, что к предметным результатам изучения учебного предмета «Математика» должно быть отнесено «умение использовать готовые компьютерные программы для проведения экспериментов и наблюдений на плоскости и в пространстве». Это предложение включалось в тексты нескольких вариантов проекта. И несмотря на то что в окончательном варианте стандарта оно сформулировано как «владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач», это задает определенный вектор математической подготовки российских школьников.

Цель настоящей статьи — продемонстрировать возможности систем динамической математики в качестве эффективного средства обучения геометрии с помощью компьютерного исследования и эксперимента.

Эксперименты в обучении геометрии. Весь опыт развития человеческого общества свидетельствует о том, что эксперимент является важнейшим средством научного познания. А насколько эффективно применение эксперимента в образовании, при обучении конкретным дисциплинам? Во многих педагогических исследованиях (см., например: [Кайнова, 2003; Мартынова, 2012]) доказывается, что опытноэкспериментальная деятельность в обучении обладает большим развивающим потенциалом. Теоретически обосновано и экспериментально подтверждено положение о том, что факты, открытые учащимися самостоятельно, усваиваются ими значительно лучше, чем преподнесенные учителем в готовом виде. Многолетний опыт применения эксперимента как эффективного метода обучения дисциплинам естественнонаучного цикла таким, например, как химия и физика, является практическим подтверждением этого тезиса.

Что касается дисциплин математического цикла, то при их обучении методы, имеющие отношение к экспериментам, применяются крайне редко. Связано это с тем, что большинство математических дисциплин представляют собой теоретические конструкции, в основе которых лежат абстрактные понятия и аксиомы, все остальные положения выводятся из них дедуктивно с помощью законов формальной логики и, вообще говоря, не требуют экспериментального подтверждения.

Отметим, что среди различных разделов математики, изучаемых в школе и вузе, наибольшим экспериментальным потенциалом обладает геометрия. Большинство фактов геометрии, особенно элементарной, можно подтвердить опытным путем, а обучение этим фактам — провести в форме учебного исследования с элементами эксперимента.

Конкретная реализация эксперимента зависит от многих факторов, к которым, в частности, относятся собственные интересы и пристрастия учителя, техническая оснащенность кабинета, подготовка и мотивация учащихся и т. д. Так, например, перед доказательством теоремы о сумме углов треугольника (7 класс) учителя математики на уроке иногда проводят эксперимент, используя следующие формы его реализации:

а) каждому ученику предлагается на плотном листе бумаги или картоне нарисовать произвольный треугольник АВС, вырезать его, от каждого угла треугольника отсечь фрагмент, содержащий вершину, все три отсеченных фрагмента расположить на плоскости без наложения плотно друг к другу так, чтобы вершины А, В и С совпали;

б) на листе бумаги каждый ученик строит произвольный треугольник, с помощью транспортира измеряет его внутренние углы, вычисляет их сумму.

К недостаткам этих форм можно отнести отсутствие учебного времени на рассмотрение треугольников различных типов (остроугольных, тупоугольных, прямоугольных), погрешности в измерении углов, неаккуратное разрезание бумаги, ошибки в вычислениях. Однако, несмотря на эти недочеты, учащиеся, особенно те, кто активно участвовал в эксперименте, «добывал» новые знания о треугольнике, в процессе непосредственного доказательства теоремы проявляли большую заинтересованность и активность.

Форма реализации эксперимента с использованием информационных технологий позволяет исключить большинство из этих недостатков.

Требования к программным средствам, позволяющим проводить геометрический компьютерный эксперимент. Новые информационные технологии открывают дополнительные возможности при проведении экспериментов на уроках геометрии. Наиболее востребованными оказались компьютерные программные средства, удовлетворяющие следующим четырем требованиям:

- динамизма, согласно которому исследуемая геометрическая конфигурация может быть представлена на экране компьютера в виде динамического чертежа, т. е. чертежа, допускающего (по желанию исследователя) многократно повторяемые изменения, сохраняющие иерархию зависимости элементов конфигурации (принадлежность точек прямым или окружностям, параллельность или перпендикулярность прямых, отношение длин параллельных отрезков и т. д.);

- визуальной полноты, согласно которому изображение рассматриваемой конфигурации можно сделать максимально полным, т. е. исследователь имеет возможность к изображению данных и искомых фигур оперативно добавить не только необходимые вспомогательные фигуры, но и числовые значения тех геометрических величин, которые могут оказаться полезными для установления гипотетически предполагаемой зависимости;

- компьютерной анимации, согласно которому экспериментатор при необходимости может задать анимацию любого фрагмента исследуемой конфигурации с оставлением следа этого или иного фрагмента конфигурации на плоскости экрана компьютера;

- свободы эксперимента, согласно которому при проведении компьютерного геометрического эксперимента программное средство не должно навязывать исследователю ту или иную идеологию эксперимента. Программные средства этого класса принято называть инструментами познания [Майер, 2001, с. 18].

Компьютерные эксперименты в геометрии. Наш опыт преподавания геометрии позволяет сделать вывод о том, что с помощью систем динамической геометрии «Живая геометрия» и ОеоОеЬга, которые удовлетворяют всем перечисленным выше требованиям, можно проводить эксперименты и исследования в различных разделах математики, в том числе в элементарной геометрии. Возвращаясь к примеру, связанному с исследованием свойств внутренних углов треугольника, отметим, что «Живая геометрия» позволяет в течение совсем небольшого промежутка учебного времени провести полноценный эксперимент, в котором каждый ученик строит электронное изображение треугольника, находит с помощью встроенного калькулятора сумму его углов, меняя с помощью мышки расположение вершин треугольника, получает возможность рассмотреть большое количество треугольников различных типов.

Продемонстрируем применение среды «Живая геометрия» в качестве средства проведения компьютерного эксперимента при решении следующей планиметрической задачи на максимум и минимум.

Задача. Под каким углом к берегу реки нужно направить лодку, чтобы за время переправы через реку ее как можно меньше снесло течением, если скорость течения реки в два раза больше скорости лодки в стоячей воде.

Для проведения компьютерного эксперимента на рабочем поле «Живой геометрии» в соответствии с условием задачи построим чертеж, на котором изобразим фрагмент реки с параллельными берегами, выберем на одном из них (правом берегу) точку А, от которой лодка будет отправляться на левый берег. Отложим от А

векторы АО и АН, характеризующие скорости (и направления) течения реки и перемещения лодки в стоячей воде соответственно. Согласно условию задачи длина первого вектора должна быть в два раза больше длины второго. Построим вектор АР , равный сумме векторов АО и АН. Данный вектор будет определять результирующие направление и скорость перемещения лодки.

Децимация лодки || [Анимация точки X

Левый берег

ВС =5,82 см

В

С

\лодка

Правый берег О

Е

X

В ЕАН = 6СР О РАЄ = 30,00

Построим на левом берегу точку В, в которую должна приплыть лодка в случае, если в реке окажется стоячая вода, а направление перемещения лодки - перпендикулярно берегу реки.

На правом берегу выберем точку X, на противоположном — построим точку С такую, что прямая ХС параллельна АН. На отрезке ХС выберем произвольную точку, назовем ее «лодка». Чтобы изображение лодки имело некоторую линейную протяженность, построим на ХС небольшой отрезок с серединой в точке «лодка». Используя возможности программного средства, спрячем отрезок ХС.

Зададим анимацию точки «лодка» по отрезку ХС с условной скоростью 0,5 (в одну сторону, только 1 раз) и анимацию точки X по прямой ЕЛ (слева направо) со скоростью 1. Для удобства выведем на рабочее поле соответствующие анимационные кнопки (в верхней части чертежа). Чтобы обе анимации начинались и завершались одновременно, объединим их в одну презентацию. Перед тем как приступить к эксперименту, выведем на экран величину угла ЛЕАН . Для измерения величины, на которую сносит лодку, отметим, что если лодка приплывет на противоположный берег, то точка «лодка» совпадет с точкой С. Поэтому длина отрезка ВС после завершения презентации будет представлять собой величину, на которую снесло лодку. В связи с этим выведем на экран расстояние между В и С.

Приступим к проведению эксперимента. Перемещая мышкой точку Н, выберем

некоторое направление вектора АН . Совместим точки X и «лодка» с точкой А и запустим анимацию. Лодка начнет перемещаться по направлению вектора АР . Величина, на которую снесет лодку, будет зависеть от направления вектора АН, которое однозначно определяется величиной угла /ЕАН. Нередко неискушенный исследователь считает оптимальным направление, перпендикулярное берегам реки (первая рабочая гипотеза). При /ЕАН = 90° результатом экспериментальной проверки первой рабочей гипотезы для конфигурации, представленной на чертеже, является значение ВС = 16,47 см. Ошибочное предположение о том, что такой выбор направления перемещения лодки является самым оптимальным, зачастую подкрепляется тем, что исследователь пробует увеличить длину вектора АР (скорость

перемещения лодки), выбрав для вектора АН направление, «более близкое к направлению течения реки», полагая, например, /ЕАН равным 100° и 110°. Смещение ВС лодки принимает в этих случаях значения, большие, чем при /ЕАН — 90°, а именно 17,95 и 20,34 см соответственно. Становится понятно, что увеличение результирующей скорости перемещения лодки в реке не влечет за собой уменьшение исследуемого смещения. Это понимание подкрепляется последующими данными эксперимента. При /ЕАН = 80°, ВС = 15,14 см (отсюда следует, что первая рабочая гипотеза не получила своего подтверждения), при /ЕАН = 70° ВС = 14,39 см, и наконец, при /ЕАН = 60°, ВС = 14,21 см. Дальнейшее уменьшение /ЕАН приводит уже к увеличению смещения (при /ЕАН = 50° получаем ВС = 14,5 см).

В ходе эксперимента к исследователю приходит понимание того, что смещение

окажется наименьшим в том случае, когда вектор АИ , задающий результирующую скорость лодки, будет образовывать возможно больший угол с берегом реки (на рабочее поле можно вывести значение /ЕАС). Действительно, в этом случае в прямоугольном треугольнике АВС с фиксированным катетом АВ и переменной вершиной С величина острого угла при вершине А окажется наименьшей и, следовательно, второй катет ВС треугольника примет наименьшее значение.

По результатам эксперимента исследователь имеет возможность сформулировать следующую гипотезу.

Гипотеза. Наиболее оптимальное направление движения лодки задает вектор АН, образующий угол 60° с берегом реки.

Далее компьютерная среда «Живая геометрия» предоставляет исследователю возможность подвергнуть эту гипотезу экспериментальным проверкам: расположить вектор АН так, чтобы он образовывал с берегом реки углы, меньшие и большие 60°, выбирать иные расположения точки А, задать другую ширину реки и т. д. Задача учителя — побуждать учащихся к обязательному теоретическому обоснованию гипотезы, даже той, что выдержала большое число экспериментальных проверок. Учащиеся должны понимать, что поставленную задачу можно считать решенной лишь только в том случае, когда соответствующая гипотеза будет теоретически обоснована.

Выводы. Опыт использования в обучении геометрии компьютерных исследований показал, что у обучаемых при проведении экспериментов развивается умение наблюдать, получать информацию, сортировать и классифицировать ее, предсказывать и проводить испытания. Экспериментирование с помощью систем динамической геометрии подстегивает здоровый скептицизм, стимулирует учащихся к взаимному анализу работ друг друга, к разделению работы на части и дальнейшему соединению составных частей работы, а также к пониманию того, как формулировать гипотезы и получать решение. Обучение с помощью эксперимента и исследования строится на различиях в способностях учащихся; оно исходит из глубокого уважения к учащемуся как личности; опирается скорее на развитие его сильных сторон, чем на попытку избавиться от слабых сторон.

Насыщение сугубо теоретического курса геометрии компьютерными экспериментами, позволяет превратить его в теоретико-экспериментальный курс. Возможность с помощью среды динамической математики открыть новую (для себя) геометрическую закономерность, сформулировать гипотезу и обосновать ее стимулирует учащихся на самостоятельное добывание знаний, что полностью соответствует деятельностному подходу в обучении.

Библиографический список

1. Кайнова Э.Б. Методология и методика научного исследования в педагогике: метод, пособие для препод. и аспирантов системы среднего профес. образов. М., 2003. 122 с.

2. Майер В.Р. Методическая система геометрической подготовки учителя математики на основе новых информационных технологий: монография. Красноярск: РИО К!НУ, 2001. 368 с.

3. Мартынова Е.В. Информационные технологии в организации геометрического эксперимента. 1Л1Ь: Ьйр://\¥\¥\¥. тсе. ви/гив/ргеве^айопв/ р 151743 (дата обращения: 01.12.2012).