Использование системных грамианов в задачах параметрической инвариантности непрерывных систем

ском принципе, все время понижает уровень сахара в крови. В результате устанавливается динамическое равновесие уровня сахара. В технике гомеостаз используется, например, в двухвинтовом вертолете, лопасти винтов которого вращаются в противоположных направлениях.

Система, реализующая гомеостаз, называется гомеостатом. Компенсационный гомеостат представляет собой двухканальную систему, в которой конкурирующие каналы-антагонисты «склеиваются» перекрестными связями. Гомеостат потребляет больше энергии (информации), чем необходимо для работоспособности отдельных антагонистов. Через перекрестные связи антагонисты борются между собой, расходуя дополнительную энергию и информацию, хотя работают на одну общую главную функцию. Внутренняя борьба «закаляет», тренирует антагонистов, поэтому гомеостат обладает высокой потенциальной готовностью для противодействия внешним вредным возмущениям.

Степень гомеостаза (избыточность, острота борьбы антагонистов) в общем случае зависит от структуры перекрестных связей. Однако в системах (6) и (8) реализован так называемый инвариант компенсационного гомеостата, у которого степень гомеостаза не зависит от структуры перекрестных связей.

Используя условие у=- 2, из (11) можно получить еще две модели инварианта

• •

г = -3гу - ау, у = 3уг - аг ,

••

2 2

2 = 3у - ау, у = -3г - аг .

Легко показать, что системы (12) и (13) полностью эквивалентны системам (6) и (8), хотя структура перекрестных связей у всех инвариантов различна, а в системе (8) и вовсе отсутствует. Следовательно, перекрестные связи при собственном развитии конфликта взаимно компенсируются. Именно в этом смысле можно утверждать, что собственное движение всех гомеостатов является инвариантом по отношению к их структуре, к потерям энергии и информации в борьбе антагонистов. Количественной оценкой инварианта является величина потенциальной функции (7) производящей катастрофы в установившемся режиме собственного движения Ууст(у, г) =-1, которая задает начало отсчета.

При вынужденном движении гомеостатов под действием внешнего возмущения проявляется различие структуры, что показало моделирование систем уравнений (6), (8), (12), (13). Возмущающий входной сигнал в виде единичного ступенчатого воздействия подавался на канал у. Начальные условия у(0)=0.1, г(0)=-0.1, а=3, Ъ=0, с=-1. Потенциальная функция У(у,2) рассчитывалась по (3) с учетом х=-2. Результаты моделирования представлены в табл.1.

№ п/п стереотип поведения модель гомеостата Ууст ууст 2уст

1 компромисс уравнения (12) -1.963 1.333 -1.0

2 безразличие уравнения (8) -2.037 1.264 -1.0

3 конкуренция уравнения (11) -2.101 1.194 -1.093

4 конфронтация уравнения(13) - ю - ю ю

Таблица 1. Оценка стереотипов поведения

Из табл. 1 следует, что входной сигнал снижает потенциальные функции всех го-меостатов по сравнению с инвариантом. Поэтому антагонисты вынуждены за счет запаса начальных условий бороться за «выживание». Острота борьбы характеризуется снижением потенциальной функции относительно инварианта. Наиболее острая борьба характерна для 4-го стереотипа поведения, которая приводит гомеостат к неустойчиво-

сти и гибели, т.е. к разрешению противоречия. Другой крайний случай - 1-й стереотип, когда конфликтующие стороны идут на частичный компромисс, что позволяет добиться наименьшего снижения потенциальной функции по сравнению с другими стереотипами.

Очевидно, что по мере решения по АРИЗу изобретательская задача проходит последовательно все стадии обострения - от первой до четвертой, а в сознании изобретателя происходит перестройка структуры гомеостата противоречия. Потенциальная функция (или нежелательный эффект) снижается Разрешение противоречия, или рождение нового изобретения, означает изменение инварианта гомеостата - переход на согласованное собственное движение по многообразию у=2. При вынужденном согласованном движении стереотипы поведения становятся партнерскими и союзническими.

Синтез простых моделей гомеостатов

Используя канонические катастрофы, можно получать модели, отражающие основные стереотипы поведения взаимодействующих систем. Порядок синтеза моделей следующий:

1. Выбираем одну из канонических катастроф коранга 1 для моделирования одной системы или катастрофу коранга 2 для моделирования двух систем. Для большего числа систем можно взять несколько производящих катастроф коранга 1 и 2.

2. Считая системы градиентными, находим антиградиенты потенциальных функций и приравниваем их вектору скоростей координат. Получаем систему дифференциальных уравнений.

3. Находим параметры уравнений, обеспечивающие устойчивое собственное движение (или неустойчивое - для моделирования расходящихся процессов).

4. Переходя к зеркальному (г=-у) или прямому (г=у) отображениям, получаем инварианты стереотипов поведения соответственно конфликтных и согласованных взаимодействий.

5. Для численной оценки взаимодействий определяем начало отсчета потенциальной функции как установившееся значение потенциальной функции инварианта производящей катастрофы.

6. Для численной оценки вынужденного взаимодействия используем полное выражение потенциальной функции производящей катастрофы.

Рассмотрим пример синтеза гомеостата с двумя уровнями иерархии как модель малого коллектива (рис.2).

Рис. 2. Структура простейшего двухуровневого гомеостата

Нижний уровень представлен исполнителями И1 и И2 (терминология в соответствии с [5]), между которыми существует стереотип - конкуренция, задаваемая отношениями R12 и R21. Верхний уровень представлен руководителем Р, между которым и исполнителями И1, И2 существуют стереотипы взаимодействий, определяемые отношениями R10, R01 и R20, R02. В теории управления И1 и И2 являются каналами с перекрестными связями, а Р - регулятором, генерирующим управления Uz и Uy. В АРИЗе

исполнителями являются противоположные стороны ТП, а руководителем - Х-элемент, разрешающий противоречие.

Синтезируем гомеостат, в котором руководитель разрешает максимально обострившийся конфликт между исполнителями. Этап обострения конфликта (рис. 1) моделируем уже рассмотренными уравнениями (11) производящей гиперболической омби-лики. В конце этапа y=+1, г=-1.На этом этапе руководитель не участвует.

На этапе разрешения конфликта в качестве производящей катастрофы используем «эллиптическую омбилику» с потенциальной функцией

V(х,y) = y - Эх y + a(x + y ) + by + cx .

После приравнивания антиградиента потенциальной функции и вектора скоростей координат х и y, получаем систему уравнений собственного (b=c=0) движения координат

• • 2 2

х = 6yx - 2ax, y =-3y + Эх - 2ay .

Назначая a=1.5, получаем устойчивое равновесие в точке y=0, х=0, поскольку задачей управления является перевод координаты y в 0. При y=-z из (14) получаем уравнения для зеркальной системы

х = -6zx - Эх, z = 3z2 - Эх2 - 3z

Подставляем y=0.5(y-z) в первое уравнение системы (14), а z=0.5(z-y) в первое

уравнение системы

•

х = Эху - 3xz - Эх .

Таким образом, система уравнений

• • •

y =-Эу2 + Эх2 - Эy, z = Эz2 - Эх2 - 3z, х = Эху - 3xz - Эх

задает движение гомеостата на этапе разрешения конфликта.

Синтезируем управление Uy и Uz, переводящее гомеостат (11) на движение по

уравнениям (17) из условия тождественности уравнений (11) и (17) для y и z:

• •

z = 2 - Эу + Uz = 2z2 - Эх2 - Эz, y = -Эу2 - Sz + Uy =-Эу2 + Эх2 - Эу, откуда

Uz = -Эх2 + Э

Первое слагаемое ±Эх2 можно назвать «мягкой» или динамической частью управления, так как его генерирует Э-е уравнение системы (17), имеющее собственную динамику. Если начальное условие x(t0) выбрать нулевым, где t0 - начало разрешения конфликта, то «мягкого» управления не будет, и под действием «жесткого» управления ±Э(у-7) конфликтные координаты движутся по быстро сходящимся логистам (точечные кривые 2 на рис. 1). При | x(t0) | Ф 0 конфликт спадает медленнее (сплошные кривые Э на рис.1). Чем больше | x(t0) |, тем больше конфликт затягивается. При | x(t0) |> 0.627 гомеостат неустойчив, кривые расходятся. Следовательно, изменяя x(t0), можно изменять качество переходных процессов, т.е. моделировать стиль руководства при разрешении конфликта.

Заключение

По результатам проведенных исследований можно сделать следующие выводы.

1. Степень гомеостаза можно количественно оценить изменением установившегося значения потенциальной функции производящей катастрофы.

2. Теория катастроф и стереотипы поведения диалектически тесно связаны. Катастрофы задают эволюцию состояний равновесия, на которые «навешивается» динамика

переходных процессов. Стереотипы поведения - притяжение и отталкивание для примитивных систем, конкуренция, сотрудничество, компромисс, подчинение и т.п. для более развитых систем - задают опорные точки, градации конфликтного и согласованного взаимодействий. Класс математического аппарата соответствует классу описываемого процесса, поэтому и модели получаются простыми - на уровне параметров порядка.

Литература

1. Альтшуллер Г.С. Найти идею. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1991.

2. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М.:Мир, 1980.

3. Бушуев А.Б., Мансурова О.К. Катастрофа типа «сборки» в изобретательской задаче // Научно-технический вестник СПбГИТМО (ТУ). Вып.11. СПб, 2003. С.137-140.

4. Bushuev A. Technical Contradiction Control on Invention Problem // The TRIZ Journal, December 2004. < http://www.triz-journal.com>

5. Горский Ю.М. Основы гомеостатики. Гармония и дисгармония в живых, природных, социальных и искусственных системах. Иркутск: Изд-во ИГЭА,1998.

6. Бушуев А.Б. Гомеостатика противоречий в ТРИЗ // Труды Международной конференции MA TRIZ Fest -2005 "Развитие ТРИЗ: достижения, проблемы, перспективы". СПб, 2005. С.103-109. Эл. версия Трудов на сайте: < http://www.metodolog.ru >.

САМООРГАНИЗУЮЩЕЕСЯ УСТРОЙСТВО ДИСКРЕТНОИ АВТОМАТИКИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПРОЦЕССОВ БЕЗ ПАМЯТИ НАД ПОЛЕМ

GF

А.А. Мельников

Рассматривается задача идентификации процессов без памяти над конечным полем Галуа GF (2). Предложена аналитическая база для конструирования самоорганизующегося устройства дискретной автоматики, позволяющего осуществлять идентификацию процессов без памяти над GF (2).

Введение

Ставится и решается задача идентификации [4-6] процессов, параметризованных дискретным временем к, без памяти над конечным полем Галуа GF( 2), протекающих в некоторой технической среде. При этом целевой частью задачи является формирование аналитической базы для конструирования устройства дискретной автоматики (УДА), позволяющего решать указанную задачу в режиме реального времени. Решение поставленной задачи идентификации осуществляется параллельно в двух ее версиях -структурной и параметрической. Первая своей целью ставит формирование в среде двоичных динамических систем (ДДС) необходимой модели для осуществления процедуры идентификации, вторая - идентификацию параметров модели технической среды. Совокупно задача решается в среде УДА средствами самоорганизующегося двоичного динамического наблюдающего устройства, коими обеспечивается характеристика самоорганизации устройства.

Основной результат

Предварим полученные результаты решения задачи определением.

Определение. Под дискретным процессом без памяти над полем GF (2) будем понимать процесс ф, происходящий в некоторой технической среде и характеризующийся тем, что для каждого j -го воздействия u , dim u = r на техническую среду, представленного набором переменных u : { ui, i = 1,r}j=j 2r , ut e {0, l}, он всегда формирует однозначный выход (отклик) v j e {0, l} так, что

ф: v

По существу, описание (1) задает отношение «вход - выход» некоторой технической среды, которая формирует сигнал выхода как булеву функцию (БФ), зависящую исключительно от входного воздействия u . Введенное определение позволяет уточнить формулировку поставленной задачи идентификации следующим образом. Требуется сформировать аналитическую базу конструирования УДА, которое по представлению на его вход всех 2r пар { u(k), v(к)} «самосконфигурируется» и обеспечит решение поставленной задачи с формированием описания модели технической среды в форме (1). Структурно формулировку задачи можно представить так, как показано на рис. 1.

Задача решается средствами УДА, построенного в форме двоичного динамического наблюдающего устройства (ДНУ) при использовании возможностей нейросетевых технологий [1,3,7,8]. В такой постановке аналитическое описание процедуры самоорганизации ДНУ по аналогии с оной в среде нейронных сетей, где обеспечивается на-

стройка весов синаптических связей [1,7] нейронов и формирование целевого выхода, над полем вГ (2) примет вид

z

w

у

где z - вектор состояния, е = у + V - вектор невязки наблюдения (ВНН), w - вектор синаптических весов, у - вектор выхода, А - единичная матрица состояния, В - мат-

т

рица входа, Ь - матрица входа по ВНН, К = В - матрица выхода-выборки весов,

т

С = В - матрица выхода, при этом матричные компоненты по размерности согласованы с соответствующими векторами z, и, е, w, а операция «+» с учетом модулярной арифметики в вг (2) осуществляется по модулю два (шоё2).

УДА

{и(к) у(к)\, ] = \аг

Рис. 1. Пояснение формулировки задачи

Заметим, что реализация БФ в рамках алгебры Буля не использует линейную операцию умножения и сложения по шоё2 , представляющие операции линейной алгебры. Указанное обстоятельство приводит к проблеме конструирования линейного ДНУ (2)-(4), настраиваемого на произвольную БФ (1): система (2)-(4) не может обеспечить функциональную полноту для реализации произвольной БФ. Проблема решается представлением произвольной БФ в базисе Жегалкина [2] с линейными операциями умножения и сложения по шоё2 алгебры логики, в которую входит и алгебра Буля. Погружение БФ в базис Жегалкина приводит к полиномам Жегалкина, которые в развернутой форме имеют вид

п п п

г (X )=/ (о )е£

Л-1X-2 к хы -Ф к

-=1 - Л=1 =1

- * ]

... Фа1,¡х1 х2 к хп, п = 2п - п -1,

где /(0) - значение БФ на наборе переменных х 1 х 2 к х п , имеющем нулевое значение, ¡1,-2,к¡п е (1,п) и попарно не равны друг другу, а ^,- е {0,1} - коэффициенты полинома.

Расширим линейное пространство, образованное булевыми переменными х-, - = 1, п , элементами ~р, представляющими собой конъюнкции переменных в полиноме (5) так, что

= {xixj}; и j =1 n, i * j, 1 =1, ;

xr2+f = {xixjxk}; i,j,k =1,n, i * j * k, 1 =1,cl;

xn = X1X2 ••• xn ,

где C — число сочетаний из (•) элементов по (o) выбранным элементам, представ--т П!

ляющих собой переменные xi, i = 1, n, и вычисляемое в силу правила Cm = ——:—т-.

m!(n - т)!

При этом расширим соответствующим образом и вектор W весов синаптических связей так, что dim W = n. Тогда модель (2)-(4) процессов в ДНУ примет вид

~

y

где, с учетом отождествления переменных в форме zt = xt, xj = агрегированный век-

x x t I x t T

тор z состояния ДНУ имеет вид z = z \ z I .

Методологически процесс самоконфигурации ДНУ осуществляется в силу следующих соображений. Строится линейная двоичная динамическая система, которая для каждой пары {к = 0, к} дискретных моментов времени фиксирует булеву разность

дu(к) значений вектора u, dimu = r в форме

дu

Далее аналогичным образом строится еще одна линейная ДДС, которая для каждой пары {к = 0, к} дискретных моментов времени фиксирует булеву разность дe(k) значений вектора v так, что

de

С использованием значений булевых разностей (9), (10) осуществляется процедура «самоконфигурации» ДНУ. Суть процедуры самоконфигурации ДНУ сформулируем в форме следующего утверждения.

Утверждение. Для формирования аналитического представления скалярной БФ f (u(k)), dimu = r в форме полинома Жегалкина достаточно вычислить в силу соотношений (9), (10) булевы разности д u( к) и д e( к) на множестве полной мощности 2r пар { u(к), v(k)} (см. рис. 1) при зафиксированной паре { u(0), v(0)}, при этом для каждой пары {к, к +1} дискретного времени заполнить карту модулярных сумм (КМС) таблицы 1 булевых разностей (ТБР) в силу следующего правила. Графа v(0) КМС для всех итераций заполняется значением v( 0)| u (0). Далее заполнение КМС производится

так, что напротив булевого терма, соответствующего значению дu(k)= 1 на текущей паре {u(k), v(k)}, ставится единица, если сумма по mod2 уже имеющихся единиц в КМС на соответствующих конъюнкциях булевых переменных не дает верное значение д e(k) для этой пары. Итерации заканчиваются, когда вариации д e(k ) на очередных

всех 2r парах {u(k), v(k)} не приводят к изменению КМС. При этом число 1 итераций по формированию КМС не превысит r так, что

1 <r .

Заполнение графы «Совокупная сумма по каждому терму» КМС осуществляется по завершению итераций постолбцовым суммированием по Шоё2 единиц, содержа-

щихся в строках при соответствующих булевых термах.

_Таблица 1

Булевы термы полинома Жегалкина Итерации Совокупная сумма по каждому терму

1 2 ... г

у

и1 (•>12 к (•)1г г Ъ (•)„ г=1

и2 (•>2, (•)22 к (•)2 г Ъ (•)г г=1

иг (•)г 1 (•)г 2 . . . ( •)гг

и1и 2 (•>г+11 (•)г+12 . . . Мг+1 г

и^

*

и^Ыг

и 2и3

и^и 4

•

и2иг

г & и] ) =1 Н1 (•)х 2 к Н г г =1

Карта модулярных сумм булевых разностей

Восстановление искомой БФ / (и (к)) вида (1) в форме полинома (5) по построенной КМС производится суммированием по шоё2 тех термов, напротив которых графа «Совокупная сумма по каждому терму» КМС содержит единицу, при этом переменные булевых термов, которые соответствуют прямому (не инверсному) значению их в векторе и(о), следует проинвертировать.

Доказательство утверждения строится на процедуре (Теорема Т1 В. А. Горбатова) [2] разложения произвольной БФ в полином Жегалкина.

Проиллюстрируем использование положений утверждения на примере.

Пример

Требуется сформировать БФ у = /(и3, и2, и1), принимающую значение логической единицы на наборах {{3, и 2, {из, и2, , {и3, и2, и1} при условии и (0)={0 1 1}.

В соответствии с положениями утверждения будем иметь максимальное число итераций, равное трем (1 = 3), и ТБР в форме табл. 2. В таблице обозначение 1(.) имеет

смысл того, что соответствующая ячейка была заполнена единицей по счету (•) формирования единиц. Совокупная сумма единиц КМС по каждому терму дает единицу, за

исключением терма и1и3 для которого она дает 16 Ф19 = 0. Конструирование по столбцу «Совокупная сумма по каждому терму» ТБР искомой БФ в форме полинома Жегал-кина дает:

/(3, и2, и1 ) = 1 Ф и Ф и"2 Ф из Ф ^1^2 Ф и^из Ф й^из .

Из таблицы видно, что число итераций, потребовавшихся для заполнения КМС, оказалось равным двум, что не противоречит постановочной части утверждения.

Таблица 2

Булевы термы полинома Жегалкина Итерации Совокупная сумма по каждому терму

1 2 3

Чо) 11 1

и1 14 — — 1

«2 13 — — 1

и3 17 — — 1

щи2 12 — — 1

и^ 16 19 — 0

- 18 — 1

15 - — 1

Карта модулярных сумм

По завершению процедуры самоорганизации ДНУ (2)-(4) последнее коммутируется с режима обучения на режим формирования сигналов целевого выхода так, что с

учетом структуры агрегированного вектора ~ состояния ДНУ описание этого режима имеет вид

~

у

Рис. 2. Результирующая структура в форме нейронной сети

Результаты исследований, выполненных в параграфе, позволяют сформировать структуру (рис. 2) ДНУ в форме нейронной сети, схожей с сетью Кохонена [3, 7, 8]. Сформированная сеть включает: карту расширения линейного пространства - КРЛП, карту модулярных термов - КМТ и карту модулярных сумм - КМС. Карта КРЛП вычислений не выполняет, ее назначение - разветвление входных сигналов ui, i = 1, r с

весом Wji, i = 1, r ; j = 1,2r на все с учетом процедуры (6) расширения линейного пространства j = 2r нейронов карты КМТ. Последняя карта - КМС - осуществляет суммирование по mod 2 сигналов выхода всех нейронов КМТ, чем обеспечивает формирование выходного целевого сигнала y сети.

Результат работы сети в форме настроенных весов синаптических связей позволяет напрямую получить из них коэффициенты a j i полинома (5), представляющего собой

искомую БФ вида (1) описания процесса без памяти, протекающего в среде исследуемой технической среды.

Заключение

Содержательная часть данной работы представляет достаточную аналитическую базу, позволяющую строить самоорганизующееся УДА, по структуре подобное нейронной сети, решающее поставленную задачу в режиме реального времени. Следует ожидать, что распространение полученных результатов на решение задач идентификации процессов с памятью над GF ( 2), модельно представимые в форме конечного автомата Мура или автомата Мили, даст позитивный результат, а структура УДА при этом будет иметь иерархический вид.

Литература

1. Головко В.А. Нейронные сети: обучение, организация и применение. Кн. 4: Учеб. пособие для вузов / Общая ред. А. И. Галушкина. М.: ИПРЖР, 2001.

2. Горбатов В. А. Фундаментальные основы дискретной автоматики. Информационная математика. М.: Наука. Физматлит, 1999.

3. Круглов В.В., Борисов В.В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика. М.: Горячая линия - Телеком, 2001.

4. Кузовков Н.Т., Карабанов В.А., Салычев О.С. Непрерывные и дискретные системы управления и методы идентификации. М.: Машиностроение, 1978.

5. Пупков К.А., Егупов Н.Д., Трофимов А.И. Статистические методы анализа, синтеза и идентификации систем автоматического управления. М. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998.

6. Современные методы идентификации систем / Под ред. П. Эйхскоффа. М.: Мир, 1983.

7. Уоссермен Ф. Нейрокомпьютерная техника: Теория и практика. М.: Мир, 1992.

8. Kohonen T. Self-organization and associative memory. Series in Information Sciences, vol. 8. Berlin: Springer Verlag, 1984.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМНЫХ ГРАМИАНОВ В ЗАДАЧАХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ Т.А. Акунов, О.В. Слита, А.В. Ушаков

Рассматриваются возможности использования системных грамианов в задачах параметрической инвариантности непрерывных систем управления. Формулируется алгоритм оценки достигаемой 8 -инвариантности.

Введение

Проблема обеспечения параметрической инвариантности выхода проектируемой системы относительно модельной неопределенности объекта всегда была и остается важной задачей современной теории управления, так как решение данной проблемы гарантирует стабильность функционирования системы в составе технической среды обслуживаемого технологического процесса. Системные грамианы [1, 2] как один из способов математического описания системы могут быть использованы при решении задачи количественной оценки достигаемой параметрической инвариантности.

Первоначально грамианы использовались для анализа структурных свойств -управляемости и наблюдаемости объектов управления [2]. Однако грамианы можно использовать для того, чтобы проверить, является ли система параметрически инвариантной, для контроля 8-инвариантности [3] системы, а также для ранжирования неопределенностей по степени их влияния на выход системы.

Данная работа посвящена использованию возможностей системных грамианов в задаче оценки эффекта введения в систему закона управления, доставляющего ей параметрическую инвариантность, и для контроля 8- инвариантности системы.

1. Постановка задачи параметрической инвариантности

Рассматривается линейный непрерывный объект, неопределенность знания параметров структурных компонентов которого путем выбора соответствующего базиса [4,5] представима неопределенностью задания его матрицы состояния так, что его уравнение динамики принимает вид:

х{г) =

В выражении (1) х, и, у - соответственно векторы состояния, управления и выхода;

х е Кп , и е Кг, у е Кт , А, Б, С - соответственно номинальная компонента матрицы состояния объекта управления (ОУ), его матрицы управления и выхода, согласованные по размерности с векторными переменными: А е К , Б е К , С е К ,АА - матричная вариация матрицы состояния.

Закон управления (ЗУ) синтезируется в виде прямой связи по внешнему задающему воздействию g(¿) с матрицей К^ и обратной связи по состоянию объекта х(^) с

матрицей К, образующих аддитивную композицию, в предположении полной их измеримости

и

Структурное объединение ОУ (1) и ЗУ (2) образует систему с векторно-матричным представлением

Х

у

В (3), (4) е(V)- ошибка воспроизведения системой задающего воздействия, матрицы ¥ и О имеют представление

¥ = А - ВК, О = БКё ,

А¥ - матричная вариация матрицы состояния системы, удовлетворяющая равенству

А¥ = АА.

Инвариантность выхода системы (а, следовательно, и ошибки) можно записать в форме

У

Представим матричную вариацию А¥ = АА в аддитивной форме так, чтобы выполнялось условие

р = аг§тт ^ АА = ^ ААу & гапкАА = 1 }•.

При этом мультипликативный компонент А¥х(V) = ААх(^) в (3) представим в форме:

А¥х(0 = ААх(Г) =

[АА11 АА12 к АА

1п

х1( ) х2(0

хп

+

+ ••• +

[АА21 АА22 к АА

2п

[ААп1 М

п2

ААп

х1( ) Х2(Ъ

хп (0.

х1( ) Х2(0

хп ( 0

Первые сомножители (матрицы-столбцы Б у размерности (п х 1)) слагаемых соотношения (9) позволяют сформировать матрицу Б в виде

Б = гом^{Б]-, у = 1, р}.

Сформируем вектор внешнего «параметрического» воздействия

ао =

гдеу-е компоненты строятся на мультипликативных векторных структурах

хо"

[[ ААу 2 к ААуп

Х2(0

Хп

Объединение (11) и (12) позволяет представить векторно-матричный компонент А¥х({) = ААх(^) в форме:

0

1

^

у=1

Подстановка (10) с учетом (9) в (3) позволяет записать:

ХЦ) = Fx

Поставленная задача обеспечения параметрической инвариантности в форме (7) при использовании модели (14) принимает вид

у^, F, g

Соотношение (15), по существу, содержит доказательство следующего утверждения [6].

Утверждение 1. Чтобы система (9) обладала параметрической инвариантностью в смысле условия (15), т.е. чтобы передаточная функция (матрица) «параметрический вход £ - выход системы у » Фу^(^) была бы нулевой, а именно выполнялось равенство

Ф уС^) = C ^ - F)-1 D = 0.

достаточно, чтобы столбцы D у матрицы D были бы собственными векторами матрицы F , при этом они принадлежали ядру матрицы С .

Доказательство. Пусть DJ является собственным вектором матрицы F, соответствующим ее собственному значению Лу , что позволяет записать

щ = ЛЛ.

Воспользуемся свойством матричной функции /((*)) от матрицы (*) сохранять геометрический спектр собственных значений исходной матрицы и иметь в качестве элементов алгебраического спектра собственных значений компоненты / (Лу ) [3], которое позволяет записать

/

Если (18) подставить в (16), где матричная функция от /^) имеет вид

/ ^) = - F)-1, то получим

фуСу

Заметим, что в случае невыполнения условия (16), гарантирующего полную параметрическую инвариантность выхода, оно может быть заменено контролем близости передаточной функции (16) к нулю путем оценки ее нормы. Необходимо сказать, что контроль близости к нулю передаточной функции путем оценки ее нормы является непростой математической проблемой. В этой связи возникшая трудность может быть преодолена, если воспользоваться аппаратом системных грамианов.

2. Системные грамианы в задаче формирования оценки параметрической в -инвариантности. Основной результат

Невыполнение условия (16), по существу, переводит задачу обеспечения параметрической инвариантности выхода непрерывной системы к неопределенностям матричных компонентов исходного объекта из разряда полной (абсолютной) параметрической инвариантности в разряд в -инвариантности. Для оценки величины в достигаемой в -инвариантности воспользуемся возможностями системных грамианов.

В проблемно-ориентированном виде интерес представляет грамиан управляемости системы (14) применительно к динамическому каналу «параметрический вход - выход системы у^) ».

Грамиан управляемости канала «параметрический вход - выход системы» имеет

вид

WyZ = |Ce¥tDDTe¥tCTdt = CWxZCT ,

где Wxz - грамиан управляемости по состоянию, который для устойчивых систем имеет стационарную реализацию, вычисляемую в силу решения уравнения типа Ляпунова

[1, 4]

¥WxC+ WxC¥T =-DDT .

Для оценки величины а, до которой в случае невыполнения условия (16) обеспечивается параметрическая инвариантность выхода относительно параметрического внешнего воздействия ), вычислим спектр сингулярных чисел [6] грамиана Wyz

= у = 1, т}.

Максимальное сингулярное число ау£м определяет максимальное значение а, а минимальное сингулярное число (Ху^т определяет минимальное значение, так что в

общем случае, когда непрерывная система является системой с многомерным выходом, величина а задается оценочными неравенствами

а1/2 уем <а< а1/2 у^т .

Нетрудно видеть, что, если непрерывная система имеет скалярный выход, то соотношение (23) содержит в себе доказательство следующего утверждения.

Утверждение 2. Если алгебраический спектр сингулярных чисел системного грамиана Wyz содержит только нулевые элементы, то система (14) характеризуется параметрической инвариантностью выхода относительно параметрического внешнего воздействия ), или, что то же самое, относительно параметрической неопределенности матричных компонентов исходного ОУ (1).

Полученные оценки величины а могут быть использованы в качестве показателя достигнутой инвариантности до а в смысле оценки нормы передаточной матрицы динамического канала ««параметрическое воздействие --выход системы».

В случае, если при синтезе регуляторов встает задача сравнения конкурирующих вариантов по степени достижения величины а в задаче обеспечения параметрической а -инвариантности, то математически корректным является использование обобщенного характеристического уравнения, построенного на паре грамианов Wyz, Wyz.

WyC = CWxCC,

ЖуС = СЖхСС,

где WxC = агв+ WxC¥T = -DDT }, ЖхС = агв+ ^~хС¥Т = -DDT }. Это обобщенное характеристическое уравнение имеет вид:

ёйС^- WyC) = 0.

Если корни этого уравнения будут меньше единицы, то вариант, характеризующийся системным грамианом Wyz в смысле достигаемой а-параметрической инвариантности, будет предпочтительнее варианта, характеризующегося системным грамианом Wyz.

Таким образом, оценка достигаемой а-инвариантности может быть осуществлена с помощью следующего алгоритма.

1) Построить векторно-матричное представление ОУ в форме (1) так, чтобы все неопределенные компоненты были бы сосредоточены только в матрице состояния.

2) Синтезировать ЗУ вида (2), который доставлял бы номинальной версии (G, F, C ) системы ( G, F + AF, C) требуемые динамические свойства при произвольной структуре собственных векторов.

3) Представить мультипликативный компонент AFx(t) = A^x(t) в форме (9) и составить матрицу D.

4) Решить уравнение (21) относительно грамиана управляемости по состоянию Wxz и вычислить грамиан управляемости по выходу Wy¡z.

5) Вычислить спектр сингулярных чисел грамиана Wy¡z.

6) Оценить значение s с помощью неравенств (23).

Заключение

Аппарат системных грамианов в задачах параметрической инвариантности в случае, когда исследуемая система представляет собой системы типа MIMO (многомерный вход - многомерный выход) позволяет сконструировать скалярную оценку интегрального эффекта достижения параметрической инвариантности. Это особенно важно в тех случаях, когда условие CD = 0 выполняется не по всем m выходам многомерной системы.

Литература

1. Мироновский Л.А. Функциональное диагностирование динамических систем: Научное издание / СПб, 1998.

2. Акунов Т.А., Алишеров С., Оморов Р.О., Ушаков А.В. Матричные уравнения в задачах управления и наблюдения непрерывными объектами. Бишкек: Илим, 1991.

3. Уланов Г.М. Инвариантность до s в комбинированных системах автоматического регулирования. - Сборник «Теория инвариантности и ее применение в автоматических устройствах». Труды совещания, состоявшегося в Киеве 16-го октября 1958 г. М., 1959.

4. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.

5. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, 1987.

6. Никифоров В.О., Ушаков А.В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2002.

7. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления / Пер. с англ. М.: Мир, 1999.