РАСЧЕТ ПОСТОЯННЫХ МАДЕЛУНГА ДЛЯ ОЦЕНКИ ЭНЕРГИИ ИОННОЙ СВЯЗИ В КРИСТАЛЛАХ ОКСИДОВ С КУБИЧЕСКОЙ, ТЕТРАГОНАЛЬНОЙ И РОМБИЧЕСКОЙ СИНГОНИЯМИ

УДК 538.911

DOI 10.21685/2072-3040-2020-4-8

В. Н. Макаров

РАСЧЕТ ПОСТОЯННЫХ МАДЕЛУНГА ДЛЯ ОЦЕНКИ ЭНЕРГИИ ИОННОЙ СВЯЗИ В КРИСТАЛЛАХ ОКСИДОВ С КУБИЧЕСКОЙ, ТЕТРАГОНАЛЬНОЙ И РОМБИЧЕСКОЙ СИНГОНИЯМИ

Аннотация.

Актуальность и цели. Постоянная Маделунга играет важную роль в понимании свойств и поведения кристаллических твердых тел, поскольку связывает электростатический потенциал в ионных кристаллических решетках с их параметрами. Сейчас в данной области продолжаются исследования по увеличению скорости расчета, разработке новых алгоритмов расчета с более быстрой сходимостью рядов и расчету постоянных Маделунга для сложных кристаллических структур. В последнее время при расчете постоянных Маделунга большое внимание уделяется методу Харрисона и методам, развитым на его основе, например метод Харрисона - Сычева. Целью настоящей работы является применение метода Харрисона - Сычева к расчету постоянной Маделун-га, необходимой для оценки ионной энергии связи в оксидах и природных алюмосиликатах, содержащихся в глинах. Глина выбрана в качестве объекта исследования, так как она является основой для многих функциональных материалов. Особый интерес представляет описание фазовых превращений в оксидах с помощью анализа изменения энергий связи в элементарных решетках.

Материалы и методы. Глина представляет собой дисперсную систему, состоящую из химических соединений с аморфной и кристаллической структурой. Рассматриваются кристаллы оксидов, входящие в химический состав монтмориллонитовых глин. Оценка ионной энергии связи в оксидах с кубической, тетрагональной и ромбической сингониями по формуле Борна - Ланде предполагает расчет постоянных Маделунга, для этого используется метод Харрисона - Сычева.

Результаты. Представлено применение усовершенствованного метода Харрисона (Харрисона - Сычева) для кристаллов оксидов с кубической син-гонией, содержащихся в монтмориллонитовой глине. Описан способ применения метода Харрисона - Сычева для кристаллов оксидов с тетрагональной и ромбической сингонией. Проведен расчет постоянных Маделунга для тетрагональной ячейки оксида титана и хлорида кальция со структурой рутила. Проведено сравнение экспериментальных и расчетных данных; показано, что результаты расчета согласуются с экспериментальными результатами при низком значении относительной ошибки. Показано, что метод Харрисона - Сычева пригоден для расчета постоянных Маделунга для кристаллов с тетрагональной сингонией.

Выводы. Результаты расчета согласуются с экспериментальными данными при низком значении относительной ошибки. На основании этого можно сделать вывод о том, что усовершенствованный метод Харрисона - Сычева пригоден для расчета постоянных Маделунга для кристаллов с тетрагональной сингонией.

© Макаров В. Н., 2020. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

Ключевые слова: постоянная Маделунга, метод Харрисона-Сычева, ионная энергия связи, кристаллография, сингония.

V. N. Makarov

CALCULATION OF THE MADELUNG CONSTANT FOR ESTIMATING THE IONIC BOND ENERGY IN OXIDE CRYSTALS WITH CUBIC, TETRAGONAL, AND RHOMBIC CRYSTAL SYSTEMS

Abstract.

Background. The Madelung constants play an important role in the study of properties and behavior of crystalline solids as it relates the electrostatic potential of ionic crystal lattices with their parameters. Current research in this field aim to increase the speed of calculation, to develop of new algorithms with better series convergence, and to calculate the Madelung constants for more complex crystal structures. Recent calculations of the Madelung constants are focused on implementations of the Harrison method and methods developed on its basis, for example, on the Harrison-Sychev method. The purpose of this work is to apply the Harrison-Sychev method to a calculation of the Madelung constant, which is required to estimate the ionic bond energy in oxides and natural aluminosilicates contained in clays. Clay was chosen as the research object as it is used as a basis for many functional materials. Analysis of changes of binding energy within elementary latices caused by phase transitions in oxides is of a special interest.

Materials and methods. Clay is a dispersed system consisting of chemical compounds with an amorphous and crystalline structure. This research discusses the crystals of oxides that are part of the chemical composition of montmorillonite clays. Evaluation of the ionic bond energy in oxides with cubic, tetragonal, and rhombic crystal systems using the Born-Lande formula involves calculation of the Madelung constants. The Harrison-Sychev method was used in this research.

Results. The work presents an application of the improved Harrison (Harrison-Sychev) method for oxide crystals with a cubic crystal system, which are found in montmorillonite clay. The implementation of the Harrison-Sychev method for oxide crystals with tetragonal and rhombic crystal system is described in details. The Madelung constants are calculated for the tetragonal cell of titanium oxide and calcium chloride with a rutile structure. Theoretical and experimental data were compared and they were found to agree for a low value of the relative error. It is shown that the Harrison-Sychev method is suitable for calculation of the Madelung constants for crystals with a tetragonal crystal system.

Conclusions. The calculation results agree with the experimental data with a low value of the relative error. This allows one to claim that the improved Harrison-Sychev method is suitable for calculation of the Madelung constants for crystals with a tetragonal syngony.

Keywords: the Madelung constant, the Harrison-Sychev method, ionic bond energy, crystallography, crystal system.

Введение

Постоянная Маделунга АМ играет важную роль в понимании свойств и поведения кристаллических твердых тел, поскольку связывает электростатический потенциал в ионных кристаллических решетках с их параметрами. Величина АМ является ключевым параметром, определяющим энергию и ста-

бильность кристаллической структуры. Оригинальная работа Маделунга была опубликована в 1918 г. [1], а константы Маделунга для простых кристаллов с кубическими сингониями были рассчитаны более 50 лет назад. Однако в данной области продолжаются исследования, которые можно условно разделить на два направления. Первое - это увеличение скорости расчета АМ, разработка алгоритмов расчета с более быстрой сходимостью рядов. Второе - расчет постоянных Маделунга для сложных кристаллических структур. Обзор второго направления исследований подробно был рассмотрен автором в [2].

Существует множество методов расчета постоянных Маделунга, наиболее используемый из которых - метод Эвальда и методы, которые его развивают. Однако все они имеют ряд недостатков, основными из которых являются математическая сложность (требуются вычисления тройных сумм от весьма сложных выражений) и недостаточно высокая сходимость рядов. Дополнительная трудность в методе Эвальда связана с выбором оптимального «обрезающего фактора», который выделяет для расчета некую область в кристалле [3]. В работе [4] сообщалось, что метод не подходит для геометрии нанолиста (2D + h) и простых наноструктур.

В последнее время при расчете постоянных Маделунга большое внимание уделяется методу Харрисона [5] (и методам, развитым на его основе). Часто его называют «метод расширяющихся кубов» - «the method of expanding cubes» (EC). Математическая сущность данного метода наиболее полно раскрыта в работе [6].

Автор рассматривает способ усовершенствования метода Харрисона путем введения матричной математической модели описания кристаллов. Эта модель предлагает способ описания кристаллической структуры с учетом симметрии куба, что позволяет сократить объем исходных данных, характеризующих трехмерную структуру вещества, а также улучшение сходимости рядов. Усовершенствованный метод Харрисона путем введения матричной математической модели описания кристаллов впервые предложил М. С. Сычев [7], поэтому автор настоящей работы предлагает называть этот метод - методом Харрисона - Сычева. Подробная понятийная база данного метода представлена в работах [7, 8]. К сожалению, у метода есть существенный недостаток -он применим лишь для кубической сингонии.

Целью настоящей работы является применение метода Харрисона -Сычева к расчету постоянной Маделунга, необходимой для оценки ионной энергии связи в оксидах и природных алюмосиликатах. Особый интерес представляет описание фазовых превращений в оксидах с помощью анализа изменения энергий связи элементарных решеток. Данное направление исследований можно назвать «энергетическим подходом».

1. Оксиды с кубической сингонией

Рассмотрим кубические сингонии (как первый этап превращения) оксидов, содержащихся в монтмориллонитовой глине Оренбургской области, химический состав которой представлен в табл. 1.

Глина представляет собой дисперсную систему, состоящую из химических соединений с аморфной и кристаллической структурой. В настоящей статье рассматриваются кристаллы оксидов, входящие в химический состав глин. Данный объект исследования выбран по причине того, что глина является основой для многих функциональных материалов [9], поэтому очень

важно знать о структурных и энергетических изменениях, происходящих в материале.

Таблица 1

Химический состав монтмориллонитовой глины [9]

SiO2 Fe2O3 TiO2 АЪОз CaO MgO Na2O K2O потери при прокаливании I, %

55,90 9,51 0,86 18,63 0,72 2,05 1,90 3,24 7,08 99,89

Для расчета энергии связи в кубических элементарных ячейках используем формулу Борна - Ланде [10]:

и е Г,-11,

гсв 1 n

где Ам - постоянная Маделунга; Ыя = 6,022 10 [моль - число Авагадро;

к = —1— ~ 9  109 [Н-м2/Кл2] - кулоновская постоянная в системе СИ; и 4ле0

[10-19 Кл] - приведенные заряды положительного и отрицательного иона; е = 1,6 10 19 [Кл] - элементарный заряд; гсв [нм] - длина энергии связи; п -показатель Борна.

Формула (1) используется для расчета энергии связи в ионных кристаллах двухкомпонентных систем. В рассматриваемых оксидах (табл. 1) присутствуют ионная, ковалентная и незначительная доля металлической связи. Доля каждой связи была описана в работе [11], поэтому, зная ее величину, можно оценить величину всей энергии решетки (табл. 2).

Таблица 2

Доля химических связей в оксидах [11]

Вид связи, % Si-O Fe-O Ti-O Al-O Ca-O Mg-O Na-O K-O

Ковалентная 51,70 46,33 40,15 46,75 34,68 38,63 32,61 31,72

Металлическая 22,40 23,12 24,08 23,05 25,16 24,35 25,67 25,91

Ионная 25,90 30,54 35,76 30,20 40,16 37,02 41,72 42,37

Для расчета постоянной Маделунга автор использовал 10 000 базовых кристаллических структур [8]. Базовая кристаллическая структура (БКС) -куб с правильно расположенными и периодически повторяющимися узлами, состоящая из 8 элементарных примитивных ячеек, содержащих 27 узлов (рис. 1). В такой первичной БКС узлы располагаются в вершинах, центрах граней и центрах ребер. Каждая последующая базовая кристаллическая структура увеличивается в размерах по трем направлениям на половину длины или длину ребра. Более подробное обсуждение БКС приведено в [8].

Значения показателя Борна в справочной литературе приводятся для химических соединений с ионной связью, поэтому значения показателя Борна для оксидов кремния, алюминия и железа отсутствуют [12]. Учитывая подобие электронного строения химических структур (рис. 2) [13], автор условно

принимает, что химические элементы в третьей и четвертой группах четвертого периода формируют ионы с показателем Борна п = 8, а для химических элементов восьмой группы четвертого периода п = 9,5. Распределение значений показателя Борна приведено на рис. 2 и в табл. 3. Каждое значение показателя выделено определенным цветом.

Рис. 1. Первичная базовая кристаллическая структура, содержащая 27 узлов

Li Литий Ве 4 9,пш Бериллий В 5 10,811 Бор Г 6 12,01115 Углерод N 7 11-1 и.опст А. 1 0 9 Кислород F |вив» Фтор Ne 1(1 1 с it ь« HIUH

Na u ШМШОн Нятрнй Мв о МйГНИ|« А1 13 20.9815 АЛЮМИНИЙ Si 14 131 2B.0S6 Кремнии р 15 1 30.9 7 за Фосфор Я 16 Сере СЛ « Х.чор Л г is Аргон

К 19 Кили А Га КпльииЛ 21 Яс 4Н.950 СкякднА гг xi »7.90 Тдтви 23 V 50.942 Нянкднй 24 Пг 61,996 Хром 25 МП 54.9Я80 Марганец 26 ре Е5.В4Т 1 С Ж», F'JI,

га Ctl Mui 30 гп 65,37 Цинк Ga 31 69.72 Галлий Ge 32 UC 72,59 Германий А ц 33 И.9Й1В Мышьяк ве 34 "" 78,9» Селен Вг , 35 Кг Крптггок

Rb 37 ea.u Яг 30 аг.ег СТроКЦКЙ за y 68.90S Иттрий 40 2г 91.22 "' Цирконии 41 N5 92.90Й Ниобии 42 Мо Молибден 43 ТС Теянецнй 44 Ru 101,07 MXU рутений

Ae inT.fltiu *?>.« са Кадмий In 49 1 Н,82 Индий Sn 50 1|8,69 Олояо ЭЬ Сурьма Те 52 127,АО Теллур т аз Иод Хе 54 " 131,30 Ксенон

Сч 55 132 .SOI Цеэнй Вя 36 0<* 12Т. 34 57 I в* 138.91 " Лантан 72 Hf IIS.19 Гафний 73 ТЯ 180.918 Тантал 74 183.95 Вольфрам 75 Re 1W.2 Ренкй 76 Пс 190.2 Осмий

Рис. 2. Распределение значений показателя Борна в таблице Менделеева

Таблица 3

Распределение значений показателя Борна в таблице Менделеева

Ионы Показать Борна, n Цвет

O2-, F-, Ne+, Na+, Mg2+ 7 [12]

Al3+, Si+4 8

S2-, Cl-, Ar+, K+, Ca2+, Cu2+ 9 [12]

Ti4+, Fe2+, Fe3+ 9,5

Br-, Kr+, Rb+, Ag+, Ba2+ 10 [12]

Положительно заряженные ионы, входящие в химический состав монт-мориллонитсодержащей глины, образуют четыре группы, в каждую из кото-

рых входят два иона с одинаковыми показателями Борна. В первом приближении химический состав природных алюмосиликатов связан с получившейся электронной конфигурацией. Однако при более детальном анализе других химических соединений, которые, например, приведены в работе [14], данное распределение нарушается. Основные данные, необходимые для расчета энергии связи, сведены в табл. 4.

Таблица 4

Основные характеристики элементарных ячеек оксидов

Оксид n Z+, Z- 10-19 Кл Параметр ячейки, а, нм Длина связи, Гее, нм Структурный тип Am

SiO2 [19] 7,50 4+, 2- 0,712 0,160 .та3 т ф02) 2,85094

AI2O3 [17] 7,50 3+, 2- 0,795 0,199 3 т (ВеР2) 4,62798

FeO [15] 8,25 2+, 2- 0,436 0,218 т (№С1) 1,74761

Y-Fe2O3 [18] 8,25 3+, 2- 0,835 0,182 ¥й3 т (ВеБ2) 3,27247

TiO2 [20] 8,25 4+, 2- 0,475 0,206 т (СаР2) 2,67480

K2O [16] 8,00 1+, 2- 0,644 0,279 т (Са?2) 2,67475

CaO [21] 8,00 2+, 2- 0,481 0,241 .т3т (NaQ) 1,74761

Na2O [22] 7,00 1+, 2- 0,555 0,240 .т3т (Сар2) 2,67475

MgO [23] 7,00 2+, 2- 0,421 0,211 .т3т (NaQ) 1,74761

Результаты расчета энергии связи по формуле (1) и экспериментальные результаты приведены в табл. 5.

Таблица 5

Энергии связей рассматриваемых оксидов

Оксид Результат расчета и, кДж/моль Результат эксперимента и0, кДж/моль Расхождение расчетных данных с экспериментальными ± е, %

SiO2 - 17 160 - -

AI2O3 - 16 815 - 15 916 [24] 6

FeO - 3 917 - 3 865 [25, 26] 1

Fe2O3 - 13 136 - 14 774 [26] 11

TiO2 - 12 680 - 12 054 [26] 5

K2O - 2 333 - 2 232 [25] 5

CaO - 3 533 - 3 401 [25] 4

Na2O - 2 650 - 2 478 [25] 7

MgO - 3 954 - 3 791 [25] 4

Видно, что минимальное расхождение расчетных данных с экспериментальными наблюдается у оксидов FeO, MgO, ТЮ2, СаО и К20 (от 1 до 5 %), а максимальное - у Fe2O3. Вероятно, максимальное расхождение для Fe2O3 (11 %) объясняется тем, что в этой решетке существует два типа связи -ионная и ковалентная, при этом доля ковалентной связи составляет около 56 % [27]. Для других рассматриваемых оксидов доля ионной связи больше ковалентной, что объясняет минимальное расхождение расчетных данных

с экспериментальными. Следовательно, подход выбора значений показателя Борна вполне удовлетворителен.

Небольшие расхождения расчетных данных с экспериментальными подтверждают применимость метода Харрисона - Сычева для кубических сингоний. Для соединений с низкосимметричными кристаллическими структурами данный метод требует усовершенствования.

2. Оксиды с тетрагональной и ромбической сингониями

Рассмотрим усовершенствованный автором настоящий работы метод Харрисона - Сычева, позволяющий использовать его для расчета энергии кристаллических решеток с сингониями средней и низшей симметрией: тетрагональными и ромбическими. Пусть а, Ь и с - параметры кристаллической решетки, при этом а Ф Ь Ф с для ромбической и а Ф Ь = с - для тетрагональной сингонии. Тогда для расчета энергии ионного взаимодействия нужно привести исходную кристаллическую решетку к кубической:

Т = а п1,

< Т = Ь П2,

Т = с •n3,

где т - сторона большого куба, используемого в методе Харрисона - Сычева; п1, п2, п3 - количество кристаллических решеток, составляющих куб, при этом (рис. 3) щ е N.

Рис. 3. Куб, сложенный из элементарных ячеек с ромбической сингонией. В качестве примера взяты параметры ячейки а = 10 пм; Ь = 5 пм; с = 15 пм; при этом п1 = 3, п2 = 6, п3 = 2; т = 30 А

Сторона большого куба представляет собой наименьшее общее кратное (НОК) для количества кристаллических структур, составляющих куб: НОК (а, Ь) = Т - для тетрагональной сингонии; НОК (а, Ь, с) = Т - для ромбической сингонии.

Тогда количество элементарных ячеек вдоль направления а, Ь и с равно:

Т Т Т п1 =-; п2 =т; пз =-.

а Ь с

В расчетах предлагается использовать параметры элементарной ячейки порядка 10-12 м и округлять полученные значения до целого. Подобный подход увеличивает точность и удобство расчетов.

Дальнейшие рассуждения применимы только к тетрагональной синго-нии. На следующем этапе нужно увеличить число строк и столбцов матрицы для описания большого куба и формирования структурных матриц, матриц электрического заряда и универсальных количественных матриц. Более подробное обсуждение терминологии метода Харрисона - Сычева представлено в [5, 7, 8]. Для этого найдем число строк и столбцов матрицы:

( -п -(п -1)хс1 Щ -(п3 -1)),

где а\ и с - число строк и столбцов для исходных матриц; а2 и с2 - число строк и столбцов для матриц, описывающих большой куб.

Для формирования квадратных матриц должно выполняться условие:

а1 - 1

п(а! -1) = п3(с1 -1) или п = щ—-.

—

Если данное условие не выполняется, используется соотношение

с3 = a3 = max

где а3 и с3 - число строк и столбцов соответственно для матриц, описывающих большой куб, при невыполнении условия формирования квадратных матриц.

Далее формируем структурные матрицы, матрицы электрического заряда и универсальную количественную матрицу [7, 8] размерностью а2 и с2 (или а3 и с3 при невыполнении условия формирования квадратных матриц). Величина постоянной Маделунга рассчитывается для большого куба, поэтому найдем переход к постоянной Маделунга для элементарной ячейки с тетрагональной сингонией:

Ам (тетр.

) = _2.-

if Щ

Такой подход позволит детально проанализировать кулоновскую энергию оксидов и описать процесс их полиморфного превращения в рамках энергетического подхода. Описанный метод предполагает некоторую величину систематической ошибки, когда не выполняется условие формирования квадратных матриц, но величина ошибки незначительна. В качестве примера вычислим постоянную Маделунга для элементарной ячейки оксида титана со структурой рутила (рис. 4), в которой доля ионной связи больше ковалентной [28]. Параметры элементарной ячейки: a = b = 459 пм и с = 296 пм [28]. Кристаллическая структура оксида титана задается с помощью семи структурных матриц местоположения частиц и семи матриц электрических зарядов. Их поэлементное умножение дает следующий результат:

( 400000 4^ ( 000000 0 ^

ых о с =

0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 4

M2 о C2 =

0 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(0 0 0 0 -2 0 0N (0 0 0 0 0 0 01

M3 0 C3 = 0 0 0 0 0 0 0 ; M4 о C4 = 0 0 0 4 0 0 0

V 0 0 0 0 -2 0 0 У V 0 0 0 0 0 0 0,

( 0 0 -2 0 0 0 01 ( 0 0 0 0 0 0 01

M5 0 C5 = 0 0 0 0 0 0 0 ; M6 о C6 = 0 0 0 0 0 -2 0

0 ч 0 -2 0 0 0 0, V 0 0 0 0 0 0 0,

M1 о c1 = м7 о C7.

Рис. 4. Элементарная ячейка оксида титана со структурой рутила

Следовательно, ai = 7 и ci =3. Тогда сторона большого куба равна:

НОК

Количество элементарных ячеек вдоль направлений a, b и c

П = - = 296; n2 = n1; n3 = - = 459.

a с

Размерность матрицы для большого куба составляет:

В рассматриваемом примере условие формирования квадратных матриц не выполняется, так как щ = 3ii. Тогда размерность квадратной матрицы для описания большого куба равна:

c3 = a3 = max (919,1777 ) = 1777.

Получаем квадратные матрицы размерностью (1777 х 1777).

После формирования матриц и применения метода Харрисона - Сычева

8

вычисляем постоянную Маделунга для большого куба. Она равна 1,84 10 . Используя формулу (6), получаем, что для тетрагональной ячейки оксида ти-

тана со структурой рутила постоянная Маделунга равна Ам = 2,28388. По формуле (1), используя экспериментальные данные энергий ионной связи, найдем среднее значение постоянной Маделунга и сравним результаты расчета с экспериментальными. Автором настоящей работы были проведены расчеты значений Ам для хлорида кальция и оксида титана со структурой рутила. Полученные результаты приведены в табл. 6.

Таблица 6

Сравнение экспериментальных и рассчитанных значений постоянных Маделунга для ячеек со структурой рутила

Химическое соединение Эксперимент Расчет

Энергия ионной связи, кДж/моль Значение АМ Среднее значение АМ Ам Относительная ошибка, ± е, %

TiO2 13347 [29] 2,61602 2,53233 2,28388 12

12493 [29] 2,44863

CaCl2 2271 [25] 2,52311 2,47367 2,28388 8

2182 [25] 2,42423

Заключение

Таким образом, результаты расчета согласуются с экспериментальными при низком значении относительной ошибки. На основании этого можно сделать вывод о том, что усовершенствованный метод Харрисона - Сычева пригоден для расчета постоянных Маделунга для кристаллов с тетрагональной сингонией. Данный метод реализован автором настоящей работы в программе для ЭВМ «Расчет постоянной Маделунга для кубических и тетрагональных сингоний» (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2020611518).

При рассмотрении кристаллов с ромбической сингонией также можно использовать формулу (4) для формирования матриц при описании большого куба. Основной сложностью является расчет количества БКС, чтобы сформировать кубическую структуру. Можно использовать условие

L = max

и значение AM для ромбической ячейки определить как

4м

" • n2 • "

Однако данная тема требует большего изучения и формирования специального программного обеспечения.

Библиографический список

1. Madelung, E. Das elektrische feld in systemen von regelmaessig angeordneten punktladungen / E. Madelung // Phys. Zs. - 1918. - Vol. 19. - P. 524-533.

2. Макаров, В. Н. К вопросу об актуальности расчета постоянных Маделунга /

B. Н. Макаров // Университетский комплекс как региональный центр образования, науки и культуры : сб. тр. Всерос. науч.-метод. конф. - Оренбург, 2019. -

C.2258-2262.

3. Crandall, R. E. Elementary function expansions for Madelung constants / R. E. Crandall, J. P. Buhler // J. Phys. A: Math. Gen. - 1987. - Vol. 20 (16). - P. 54975510.

4. Lamb a, S. Dipolar interaction energy for a system of magnetic nanoparticles / S. Lamba // Phys. Stat. Sol. B. - 2004. - Vol. 241 (13). - P. 3022-3028.

5. Harrison, W. A. Simple calculation of Madelung constants / W. A. Harrison // Physical Review B. - 2006. - № 73. - P. 212103-212104.

6. Zhao, Q. Harmonic surface mapping algorithm for fast electrostatic sums / Q. Zhao, J. Liang, Z. Xu // The Journal of Chemical Physics. - 2018. - № 149. - P. 8411184120.

7. Сычев, М. С. Моделирование структурных параметров кубических кристаллических решеток : дис. ... канд. техн. наук / Сычев М. С. - Благовещенск, 2014.

8. Макаров, В. Н. Расчет постоянной Маделунга для оксидов железа, алюминия и калия с кубической сингонией / В. Н. Макаров, О. Н. Каныгина // Университетский комплекс как региональный центр образования, науки и культуры : сб. тр. материалы Всерос. науч.-метод. конф. - Оренбург, 2019. - С. 2916-2923.

9. Каныгина, О. Н. Высокотемпературные фазовые превращения в железосодержащих глинах Оренбуржья / О. Н. Каныгина, А. Г. Четверикова, Д. А. Лазарев, Е. В. Сальникова // Вестник Оренбургского государственного университета. -2010. - № 6. - С. 113-118.

10. Хьюи, Д. Неорганическая химия. Строение вещества и реакционная способность : пер. с англ. / под ред. Б. Д. Степина, Р. А. Лидина. - Москва : Химия, 1987. - С. 696.

11. Соотношение компонент связей элемент-кислород (Э-О) как основа прогнозирования их способности к образованию цепей в полимерных оксидах и оценки их некоторых свойств / О. С. Сироткин и др. // Вестник Казанского технологического университета. - 2012. - № 15 (13). - С. 31-35.

12. Хаускрофт, К. Современный курс общей химии : в 2 т. : пер. с англ. / К. Хаускрофт, Э. Констебл. - Москва : Мир, 2002. - Т. 1. - С. 540.

13. Корольков, Д. В. Теоретическая химия / Д. В. Корольков, Г. А. Скоробога-тов. - Санкт-Петербург : Изд-во Санкт-Петербургского университета, 2005. -С. 656.

14. Stucki, J. W. Iron in Soils and Clay Minerals / J. W. Stucki, B. A. Goodman, U. Schwertmann // Published in cooperation with NATO Scientific Affairs Division. -1985. - P. 903.

15. High-Pressure Synthesis of the Stoichiometric Compound FeO / T. Katsura et al. // Journal of Chemical Physics. - 1967. - Vol. 47. - P. 4559-4560.

16. Sabrowsky, H. Darstellung und Kristallstruktur von KnaO und RbNaO / H. Sa-browsky, U. Schröer // Zeitschrift für Naturforschung B. - 1982. - Vol. 37 (7). -P. 818-819.

17. Tetragonal structure model for boehmite-derived y-alumina / G. Paglia et al. // Physical Review B. - 2003. - Vol. 68 (14). - P. 144110-144121.

18. Химическая технология неорганических веществ : в 2 кн. : учеб. пособие / Т. Г. Ахметов, Р. Т. Порфирьева, Л. Г. Гайсин и др. - Москва : Высшая школа, 2002. - Кн. 2. - С. 533.

19. Hatch, D. M. The a-ß phase transition in cristobalite, SiO2. Symmetry analysis, domain structure, and the dynamical nature of the ß-phase / D. M. Hatch, S. Ghose // Phys. Chem. Minerals. - 1991. - Vol. 17 (6). - P. 554-562.

20. Mattesini, M. Cubic TiO2 as a potential light absorber in solar-energy conversion / M. Mattesini // Physical Review B. - 2004. - Vol. 70. - P. 115101.

21. Bouibes, A. A route to possible civil engineering materials: the case of high-pressure phases of lime. / A. Bouibes, A. Zaoui // Scientific Reports. - 2015. - Vol. 5 (1). -P. 12330.

22. Zintl, E. Gitterstruktur der Oxide, sulfide, selenide und telluride des lithiums, natriums und kaliums / E. Zintl, A. Harder, B. Dauth // Zeitschrift Elektrochemie und angewandte physikalische Chemie. - 1934. - Vol. 40 (8). - P. 588-593.

23. Dislocations and Plastic Deformation in MgO Crystals: A Review / J. Amodeo et al. // Crystals. - 2018. - Vol. 8 (6). - P. 240.

24. Liu, D. Lattice Energy Estimation for Inorganic Ionic Crystals / D. Liu, S. Zhang, Z. Wu // Inorganic Chemistry. - 2003. - Vol. 42 (7). - P. 2465-2469.

25. Kaya, S. Simple Method for the Calculation of Lattice Energies of Inorganic Ionic Crystals Based on the Chemical Hardness / S. Kaya, C. A. Kaya // Inorganic Chemistry. -2015. - Vol. 54 (17). - P. 8207-8213.

26. Mu, L. Topological research on lattice energies for inorganic compounds / L. Mu, C. Feng, H. He // MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry. - 2006. - Vol. 56 (1). - P. 97-111.

27. Sherman, D. M. The electronic structures of Fe coordination sites in iron oxides: Applications to spectra, bonding, and magnetism / D. M. Sherman // Physics and Chemistry of Minerals. - 1985. - Vol. 12 (3). - P. 161-175.

28. Uberuaga, B. P. Defects in rutile and anatase polymorphs of TiO2: kinetics and thermodynamics near grain boundaries / B. P. Uberuaga, X.-M. Bai // J Phys Condens Matter. - 2011. - Vol. 23 (43). - P. 435004.

29. Glasser, L. Lattice Energies and Unit Cell Volumes of Complex Ionic Solids / L. Glasser, H. D. B. Jenkins // J. Am. Chem. Soc. - 2000. - Vol. 122. - P. 632-638.

References

1. Madelung E. Phys. Zs. 1918, vol. 19, pp. 524-533.

2. Makarov V. N. Universitetskiy kompleks kak regional'nyy tsentr obrazovaniya, nauki i kul'tury: sb. tr. Vseros. nauch.-metod. konf. [The university complex as a regional center of education, science and culture: proceedings of the All-Russian scientific and methodological conference]. Orenburg, 2019, pp. 2258-2262. [In Russian]

3. Crandall R. E., Buhler J. P. J. Phys. A: Math. Gen. 1987, vol. 20 (16), pp. 5497-5510.

4. Lamba S. Phys. Stat. Sol. B. 2004, vol. 241 (13), pp. 3022-3028.

5. Harrison W. A. Physical ReviewB. 2006, no. 73, pp. 212103-212104.

6. Zhao Q., Liang J., Xu Z. The Journal of Chemical Physics. 2018, no. 149, pp. 8411184120.

7. Sychev M. S. Modelirovanie strukturnykh parametrov kubicheskikh kristallicheskikh reshetok: dis. kand. tekhn. nauk [Modeling the structural parameters of cubic crystal lattices: dissertation to apply for the degree of the candidate of engineering sciences]. Blagoveshchensk, 2014. [In Russian]

8. Makarov V. N., Kanygina O. N. Universitetskiy kompleks kak regional'nyy tsentr obrazovaniya, nauki i kul'tury: sb. tr. materialy Vseros. nauch.-metod. konf. [The university complex as a regional center of education, science and culture: proceedings of the All-Russian scientific and methodological conference]. Orenburg, 2019, pp. 2916-2923. [In Russian]

9. Kanygina O. N., Chetverikova A. G., Lazarev D. A., Sal'nikova E. V. Vestnik Oren-burgskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Orenburg State University]. 2010, pp. 113-118. [In Russian]

10. Kh'yui D. Neorganicheskaya khimiya. Stroenie veshchestva i reaktsionnaya sposob-nost': per. s angl. [Inorganic chemistry. Substance structure and reactivity: translated from English]. Moscow: Khimiya, 1987, p. 696. [In Russian]

11. Sirotkin O. S. et al. Vestnik Kazanskogo tekhnologicheskogo universiteta [Bulletin of Kazan Technological University]. 2012, no. 15 (13), pp. 31-35. [In Russian]

12. Khauskroft K., Konstebl E. Sovremennyy kurs obshchey khimii: v 2 t.: per. s angl. [A contemporary course of general chemistry: in 2 volumes: translated from English]. Moscow: Mir, 2002, vol. 1, p. 540. [In Russian]

13. Korol'kov D. V., Skorobogatov G. A. Teoreticheskaya khimiya [Theoretical chemistry]. Saint-Petersburg: Izd-vo Sankt-Peterburgskogo universiteta, 2005, p. 656. [In Russian]

14. Stucki J. W., Goodman B. A., Schwertmann U. Published in cooperation with NATO Scientific Affairs Division. 1985, p. 903.

15. Katsura T. et al. Journal of Chemical Physics. 1967, vol. 47, pp. 4559-4560.

16. Sabrowsky H., Schröer U. Zeitschrift für Naturforschung B [Journal of Nature Research B]. 1982, vol. 37 (7), pp. 818-819.

17. Paglia G. et al. Physical ReviewB. 2003, vol. 68 (14), pp. 144110-144121.

18. Akhmetov T. G., Porfir'eva R. T., Gaysin L. G. et al. Khimicheskaya tekhnologiya ne-organicheskikh veshchestv: v 2 kn: ucheb. posobie [Chemical technology of inorganic substances: in 2 books: teaching aid]. Moscow: Vysshaya shkola, 2002, bk. 2, p. 533. [In Russian]

19. Hatch D. M., Ghose S. Phys. Chem. Minerals. 1991, vol. 17 (6), pp. 554-562.

20. Mattesini M. Physical Review B. 2004, vol. 70, p. 115101.

21. Bouibes A., Zaoui A. Scientific Reports. 2015, vol. 5 (1), p. 12330.

22. Zintl E., Harder A., Dauth B. Zeitschrift Elektrochemie und angewandte physikalische Chemie [Journal of electrochemistry and applied physical chemistry]. 1934, vol. 40 (8), pp. 588-593.

23. Amodeo J. et al. Crystals. 2018, vol. 8 (6), p. 240.

24. Liu D., Zhang S., Wu Z. Inorganic Chemistry. 2003, vol. 42 (7), pp. 2465-2469.

25. Kaya S., Kaya C. A. Inorganic Chemistry. 2015, vol. 54 (17), pp. 8207-8213.

26. Mu L., Feng C., He H. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry. 2006, vol. 56 (1), pp. 97-111.

27. Sherman D. M. Physics and Chemistry of Minerals. 1985, vol. 12 (3), pp. 161-175.

28. Uberuaga B. P., Bai X.-M. J Phys Condens Matter. 2011, vol. 23 (43), p. 435004.

29. Glasser L., Jenkins H. D. B. J. Am. Chem. Soc. 2000, vol. 122, pp. 632-638.

Макаров Валерий Николаевич аспирант, Оренбургский государственный университет

E-mail: makarsvet13@gmail.com

Makarov Valeriy Nikolaevich

Postgraduate student, Orenburg State University

Образец цитирования:

Макаров, В. Н. Расчет постоянных Маделунга для оценки энергии ионной связи в кристаллах оксидов с кубической, тетрагональной и ромбической сингониями / В. Н. Макаров // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2020. - № 4 (56). -С. 119-131. - DOI 10.21685/2072-3040-2020-4-8.