Математическое моделирование термокапиллярных течений в тонком слое жидкости с учетом испарения

УДК 532.5+519.6

О.Н. Гончарова, Е.В. Резанова, Я.А. Тарасов

Математическое моделирование термокапиллярных течений в тонком слое жидкости с учетом испарения

O.N. Goncharova, E.V. Rezanova, Ya.A. Tarasov

Mathematical Modeling of the Thermocapillary Fluid Flows in a Thin Layer with Evaporation

Математическое моделирование конвективных течений, вызываемых действием на жидкие среды дополнительных касательных напряжений со стороны сопутствующей газовой среды, гравитационных и термокапиллярных сил и других факторов, очень актуально в последнее время. Конвективные течения часто сопровождаются переносом массы через границу раздела, например, в результате испарения. Условия на границе раздела, учитывающие перенос массы (обобщенные кинематическое, динамическое и энергетическое условия), являются следствием соотношений на сильном разрыве. В работе проводится построение математической модели для описания течений тонкого слоя жидкости по наклонной подложке с учетом испарения. Математическое моделирование проводится на основе длинноволнового приближения уравнений Навье-Стокса и переноса тепла, а также обобщенных условий на границе раздела в двумерном случае. Построены точные решения систем уравнений для главных и первых членов разложений по малому параметру задачи в двумерном случае. Выведено уравнение для толщины слоя в случае умеренных чисел Рейнольдса. Эволюционное уравнение для толщины слоя учитывает эффекты гравитации, капиллярности и термокапиллярности, вязкости и испарения, а также дополнительных касательных напряжений на границе со стороны газовой среды.

Ключевые слова: термокапиллярное движение,

свободная граница, испарение, уравнения тонкого

слоя жидкости, математическая модель.

БО! 10.14258/1гуа8и(2014)1.1-10

Mathematical modeling of the convective processes caused by impact of various factors on the fluid media, such as shear flows and additional tangential stresses, gravity and thermocapillary forces and some other factors is rather important nowadays. The convective flows are often accompanied by interfacial mass transfer due to evaporation, The conditions to be applied at the interface between two interacting gas and liquid phases (the generalized kinematic, dynamic and energetic interface conditions) result from the strong discontinuity relations for mass, momentum and energy at interface. In the present paper construction of a mathematical model of flows of the evaporating liquid films on an inclined substrate is carried out. Mathematical modeling is based on the long wave approach of the Navier-Stokes equations coupled with heat transfer equation and of the generalized interface conditions. The exact solutions of the systems of equations for the zeroth and first orders of approximations with respect to a small parameter of the problem, are constructed in the two-dimensional case. An equation of the thin liquid films is derived for the case of the moderate Reynolds numbers. The equation incorporates the effects of gravity, viscosity, capillarity and thermocapillarity, co-current gas flow and evaporation.

Key words: thermocapillary motion, free boundary, evaporation, equations of a thin liquid layer, mathematical model.

Введение. Изучается тонкий слой вязкой несжимаемой жидкости, стекающий по наклонной, неравномерно нагретой подложке в уело-

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-08-00163) в рамках программы стратегического развития ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет» на 2012-2016 годы «Развитие Алтайского государственного университета в целях модернизации экономики и социальной сферы Алтайского края и регионов Сибири» (№ 2013.312.1.66).

виях сопутствующего потока газа и испарения на границе раздела. Построению математических моделей, описывающих течения вязкой жидкости в приближении тонкого слоя, исследованию корректности моделей, качественных свойств и устойчивости решений, а также их численному исследованию посвящено много работ (см., например: [1-3]). При этом в работах [4-7] представлено математическое моделирование испаряющихся

пленок.

В данной работе предложена новая математическая модель для описания течений тонкого слоя жидкости в условиях испарения на границе раздела. Данное математическое моделирование будет проведено на основе длинноволнового приближения уравнений Навье-Стокса и уравнения переноса тепла, а также обобщенных кинематического, динамического и энергетического условий на свободной границе [8-10], учитывающих эффекты переноса массы за счет испарения. На твердой непроницаемой подложке должны быть выполнены условия прилипания. Распределение температуры на твердой подложке, обеспечивающее ее неоднородный нагрев, представляет собой функцию продольной координаты. Кинетическое уравнение Герца-Кнудсена будет использовано для определения зависимости локального потока массы пара от температуры на границе раздела.

В работе представлены точные решения систем уравнений для главных и первых членов разложений по малому параметру задачи в двумерном случае. Эволюционное уравнение для толщины слоя получено в случае умеренных чисел Рейнольдса и учитывает эффекты гравитации, капиллярности и термокапиллярности, вязкости и испарения, а также действие дополнительных касательных напряжений на границе со стороны газовой среды.

Представлены результаты параметрического анализа задачи о термокапиллярных течениях в тонких слоях с учетом испарения и сравнения для различных пар «жидкость — газ» типа «этанол — азот», «НЕЕ 7100 — азот», «ЕС 72 — азот».

1. Постановка задачи о течении тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости с учетом испарения. В рассматриваемой задаче течение тонкого слоя жидкости изучается с помощью системы Навье-Стокса и уравнения переноса тепла:

1 др (д2и д2

да

Ж

да

дх

да 1---

д z

р дх

ґсги сги\ , s

+V\dx^ + ^r9b

dw

~dt

dw

дх

dw

w—— = —

d z

1 dp p dz

d2w d2i

дх2 dz2

-92,

du div

£h; + lh= ’

дТ дТ дТ (д T д2Т\

------k UT— + W— = X -7Г-7Г -1------1

ox dz \ох~

dt

2г

)'

Здесь V = (и, ги) —вектор скорости жидкости, р — давление, Т — температура, р — плотность жидко-

сти, v — коэффициент кинематической вязкости, X — коэффициент температуропроводности.

Рис. 1. Геометрия области течения

На рисунке 1 представлена геометрия области течения. Рассматривается движение вязкой несжимаемой жидкости по твердой подложке при наличии свободной деформируемой границы раздела. Твердая непроницаемая подложка наклонена под углом а к горизонту. Система координат выбрана таким образом, что ось Ох направлена вдоль твердой границы. Твердая граница определяется уравнением z = 0, а положение границы раздела Г — уравнением z = h(x,t). Вектор силы тяжести g имеет вид g = ((71,(72) = ((7sin a, —geos a), g = |g|.

В задаче имеется два различных масштаба длины, поскольку характерная длина деформации свободной поверхности намного превосходит амплитуду деформации. Пусть I — продольная характерная длина, cl — поперечная характерная

d

длина, причем I d, так что є = — представляет собой малый параметр системы. Отметим, что характерные продольная и поперечная скорости и* и №* также связаны между собой: w* = є«*. Пусть характерное время процесса #* связано с другими параметрами задачи следующим образом I = а характерное давление задается вы-putM

ражением р-,_

d?

Система уравнений (1)-(4) в безразмерном виде записывается следующим образом:

Де є2 (ut + UUX + wuz) - є2ихх = uzz - рх + 71 sin а,

(3) Re£4(wt+uwx+wwz )-£4wxx-£2wzz = -рг-72 COS a,

RePre~ (Tt + uTx + wTz) — £~TXX — Tz

Здесь введены следующие обозначения для безразмерных комплексов: Не = — число Рей-

V

V Сг

нольдса, Рг =------число Прандтля, 71 = ————,

X ВиКеє

Сг Видд?

72 = ———, От = ----------ту— — число 1 расгофа,

ВиКе Vі

Ви = /ЗТ* — число Буссинеска, Т* — характерная

температура задачи (характерный перепад темпе-

ратуры).

Пусть уравнение вида г = Ъ,{х, і) по-прежнему используется для задания свободной границы. Вектор нормали к свободной границе п и касательный вектор в имеют координаты (ггі,П2) и

( \ х (п-2,—пі), соответственно, где п\ = — -

1

П 2 =

л/ЇТєЩ'

Кривизна свободной границы и

л/ТТеЩ

скорость ее перемещения по направлению внешней нормали задаются соотношениями:

2 Я

£ Нет

л/(1 + ^1)3

, рп

єЬ,*

^/ЇТєЩ

На свободной границе раздела г = к{х,Ь) должны быть выполнены кинематическое, динамическое и энергетическое условия [8-10].

Представим кинематическое условие в виде:

-е(Ы + 1гху -

1

VхТТеЩ

= JevJ

дТ

—-----1- (32{Т<і'ттҐо} = /З3.иеу +

оп

2є2

1 + є2 НІ

— Ігх(иг + є2и>ж)] ^ + —/З5^^ +

/36ст

£ Нет

дТ

Здесь -7— и сіт^ч вычисляются следующим обра-оп

зом:

дТ 1

дп е ^ТТєЩ

(—£21т-хТх + Тг

2 НІ

є Нх

1 + є2Кі х 1 + є2Кі

єНг(

1

1 + е2/12 1 + е2/12 2;

Принята линейная зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры, которая в безразмерной форме имеет вид: ст = 1 —ааТ, МаСа

ао- = „ _  Также введены следующие обозна-КеРг

чения: Ма = --------- — число Марангони; Са =

и*ру о- о

Р"Х

капиллярное число; 9, р — отношение ко-

эффициентов кинематической вязкости и плотно-

Динамические условия в безразмерной форме имеют вид:

—р +

2е

1+ є21г2

- 2е2 \£Ц2и9 +Ш9_

- V + П 1+Є2Н2/

-ehxXuяz + wяx)] + Ree2{l-\)JlvJ‘2+2aH^,

р С а

— єііхих + єЬ,хиіх —

1 + є2/і2 -^(1 _ Є2Ь,х){их +Є2

риїї 2 Ъ 1 + є2Ь,2 1

- екхи9х + є!гхіи9-

+ -

Ма

КеРг

У^/ТТєЩ

(Тх + ЬхТг

Представим энергетическое условие в следующей безразмерной форме:

стеи газа и жидкости соответственно; V = — —

и-,.

отношение характерной продольной скорости газа к характерной скорости жидкости м*; р9 — давление в газе; сто — значение коэффициента поверхностного натяжения при некотором относительном значении температуры; ат — температурный коэффициент поверхностного натяжения. Коэффициенты /?£ (г = 2,..., 6) следующим образом выражаются через другие безразмерные ком-

Ма о 1 о /1^1 плексы: /?2 = —, рз = —, /?4 = (--1)—=,

Ке2РгЕ11 Е р Еи

& = (! - =)2тк /Зб = (1 -1) р й=^,

р Еи р КеСаЕи и%

кТ

Е = ---------параметр испарения [4], Хц — скры-

Хиру

тая теплота парообразования, к — коэффициент теплопроводности жидкости.

Для определения величины локального потока массы пара на границе раздела Jev примем соотношение (см. [5]):

Jev С*-зТ\г=к

Здесь коэффициент а/ определится, исходя из соотношения Герца-Кнудсена, записанного в раз-

мерной форме [5,10]. Отметим, что 3 = —— или

/ЭМ*

т Е

J = —, где характерная величина потока масле

сы пара •7г’ вычисляется следующим образом:

те-и =

1Хи'

На твердой границе г = 0 выполнено условие прилипания:

0.

Распределение температуры на г = 0 имеет

вид

Т\г=0 = О0(х,і).

Выбирая характерную скорость и*, равной характерной скорости релаксации вязких напряже-

V

ний ии = —, получим Не = 1. Тем самым дальнейшее моделирование применимо для случая умеренных чисел Рейнольдса (Де = 0(1)).

2. Вывод уравнений тонкого слоя. Для определения искомых функций и, го, Т, р, а также толщины слоя жидкости к рассматривается задача (5)-(8), (9)-(15) в длинноволновом приближении. Решение задачи ищем в виде разложений по степеням малого параметра е. Тогда уравнения (5)-(8), записанные для главных членов разложения, примут вид

Р°х = и1г + 71 віп а,

Р°г = -72 соэ а,

0.

Следствием условий прилипания на границе г = 0 (14) являются условия

и0 =

т0 = -

Ь 2

р° = -72 СОЭ аг + О0,

Т° = А

Коэффициенты Со(х,£), Сі(х,£), А(х,і) должны удовлетворять следующим соотношениям:

С0(х,г) =ря - аСа1їхх( 1 - ск<тв°) + 72 сов ак, С\(х, і) = атт(х, і) — «ма© — (Оо) ж/і + 7і віп ак,

А =

(—/?2(Оі)ж/і + (І'іо.] + !3^кххо^)(Эо 1 + Д2(Оі)ж/і2 - /З3а//г - Рвсикхх

Здесь /?2 = е/?2, /?3 = = £2(^6J, функ-

ция т(ж, 4) определяет действие дополнительных касательных напряжений на свободной границе и считается известной (по определению г = (м| + гу£)|г). Для 0° и 0 имеем: 0° = Ак + ©о, © = Ахк + (©о)ж + кхА.

Первые члены и1, ги1, р1, Т1 разложений по степеням малого параметра е удовлетворяют следующей системе уравнений:

«4 =рі, рі = 0, = -г4,

м°І2=о

О, и>

о.

О,

а условие для температуры (15) приведет к следующему требованию:

Т1 = 0.

На твердой границе г = 0 выполняются условия:

Т° |г=0 = ©о-

Следствием условий на свободной границе (9)-(13) являются следующие соотношения:

Р Р^ С^Са^хх{\ (Ха

0;тт(х, £) ^Ма!

м1|г=о = 0, «;1|2=0=0,

а из условий (15) и (19) следует:

Т і

2 = 0 —

0.

На границе г = к{х, £) должны быть выполнены следующие соотношения:

Т° + &{в°(-«£)} = Д, •/<, + МК

Здесь ©° = Т°|г, © = (Т° + кхТ°)\Г.

Интегрируя уравнения (16)-(18) с учетом (19)-(23), получим, что решениями являются функции и°,и!0,р°,Т0 вида:

Р ^(гу^ кхих) -\- (хса(хакхх&

— ама©,

Т,1 + /32{©иМ^ + <) + ©(-<)} = о.

Здесь 01 = Т1!г, <§> = (Т*1 + КТ1г)\т.

Тогда решение системы (24)-(25) можно представить в виде:

и1 = {Со)х— + С1

-ш1 = -

6

р1 = С0{х,±),

Т1 = В

Заметим, что должны быть выполнены условия

01 = В(ж,£)/г, @ = ВхЬ,-\-Ь,хВ,

а функции Со, С1, В должны удовлетворять соотношениям:

Со(ж,4) 21^^ Нхи^ -\- (У^а(У.аНххВН^

С\{х,Ь) ск^а0 (Со)ж^7

з е°М^ + м;°).

2 1-/?2/г«;0

Используя выражения (24), (25), (30), (31) для выражения функций и и и> через и0, и;°, и1, гу1, получим следующее уравнение для определения толщины слоя жидкости:

Е

гу + ~'1 еу — 0.

Таблица 1 Физические параметры задачи

Таблица 2

Значения параметров а в системе «этанол—азот»

а — параметр значения

М аС а 17 ЯеРг 10-2 10-1

£3 аса = -рг 105е3 105е3

а в = £2( I)*/2 р 10-5е2 10-3е2

р 1/ V £ ат = —=— ц е; 10е е; 10е

еМ а “*• - ВеРг 103е 104е

Таблица 3

Значения параметров а в системе «НЕЕ 7100—азот»

а — параметр значения

М аС а °'а ~ ЯеРг 10~2 10-1

£6 -Са = ~РГ~ (у а 106е3 106е3

а в = £2( I)*/2 Р 10-3е2 10_1е2

р 1У V £ ат = —=— ц е; 10е е; 10е

еМ а аМа ЯеРг 104е 105е

Таблица 4

Значения параметров а в системе «ЕС 72—азот»

Параметр Этанол НРЕ-7100 ЕС-72

Р, г/см3 0.79 1.5 1.68

V, см2/сек 0.015 0.0038 0.0038

оо, дин/см 22 12.4 11.91

ат, дин/(см К) 0.08 0.114 0.09

А и, кал/г 217 26.5 21

к, кал/(сек см К) 1 О 1—1 1.67 • 10-4 1 О 1—1 1—1

X, см2/сек 0.89 • 10“3 со 1 О 1—1 О 0.32 • 10“3

Ср, кал/(г К) 0.71 0.312 0.26

а — параметр значения

М аС а °'а ~ Яе Рг 10~2 10-1

£6 -Са = ~РГ~ (у а 105е3 105е3

а в = £2( I)*/2 Р 10-3е2 10_1е2

р 1У V £ ат = —=— ь е; 10е е; 10е

£М а аМа ЯеРг 104е 105£

Перепишем уравнение (34) в следующем виде:

ht + h

жЧ )х~^— 7i sinay + C\h-\-

(Co)iy + C\h I

— (Co)xx —-----(Ci)xh-\-

6

+є

l3 . тр

-(Co)xx--C\—]} + jJ(

0.

Здесь Леу = «/[^(ж,t)/l + 0о(ж,t) + е{В(ж,t)/l}].

Следует отметить, что для замыкания постановки задачи необходимо задать начальное положение термокапиллярной границы раздела /г.(ж, 0) = ко(х).

В таблице 1 представлены значения физических характеристик для систем «жидкость—газ»

вида «этанол—азот», «НЕЕ 7100—азот», «ЕС 72-азот». При этом параметры азота таковы: р = 1.2 • 10~3, у = 0.15, к = 0.65 • 10~4, х = 0.3. Значения использумых в задаче безразмерных параметров представлены в таблицах 2 и 3 для двух различных значений характерной температуры Т* = 1 К и Т* = 10 К (см. также [9,10]).

Заключение. Эволюционное уравнение (2.) для толщины к слоя жидкости, стекающей по неравномерно нагретой подложке учитывает действие гравитационных и термокапиллярных сил, дополнительных касательных напряжений со стороны спутного потока газа, а также испарение на границе раздела. Если функция к известна, то распределение скоростей, давления и температуры также определяется с учетом формул (23)-(26) и (29)-(32).

Библиографический список

1. Копбосынов Б.К., Пухначев В.В. Термокапиллярное движение в тонком слое жидкости // Еидромеханика и процессы переноса в невесомости : сб. науч. тр. - 1983.

2. Кабов О.А., Кузнецов В.В., Марчук И.В., Пухначев В.В., Чиннов Е.А. Регулярные структуры при термокапиллярной конвекции в движущемся тонком слое жидкости // Поверхность. Рентгеновские, синхронные и нейтронные исследования. — 2001. — № 9.

3. Frank М.A., Kabov О.A. Thermocapillary structure formation in a falling film: Experiment and calculations // Phys of Fluids. — 2006. — № 18.

4. Oron A., Davis S.H., Bankoff S.G. Long-scale evolution of thin liquid films // Reviews of Modern Physics. - 1997. - Vol. 69 (3).

5. Miladinova S., Slavtchev S., Lebon G., Legros J.-C. Long-wave instabilities of non-uniformly heated falling films // J. Fluid Mech. — 2002. — Vol. 453.

6. Shklyaev O., Fried E. Stability of an

evaporating thin liquid film // Journal of Fluid

Mechanics. — 2007. — Vol. 584.

7. Кабов О.А., Кабова Ю.О., Кузнецов В.В. Испарение неизотермической пленки жидкости в микроканале при спутном потоке газа // ДАН. — 2012. - № 446 (5).

8. Iorio С.S., Goncharova O.N., Kabov О.А. Study of evaporative convection in an open cavity under shear stress flow //Microgravity Sci. Technol.

- 2009. - № 21(1).

9. Iorio C.S., Goncharova O.N., Kabov O.A. Heat and mass transfer control by evaporative thermal pattering of thin liquid layers //Computational Thermal Sci. — 2011. — №3(4).

10. Гончарова O.H. Моделирование течений в условиях тепло- и массопереноса на границе //Известия АлтГУ. - 2012. - № 73 (1/2).