Нестандартная теория классов

Владикавказский математический журнал Октябрь декабрь, 1999, Том 1, Выпуск 4

УДК 517.98

НЕСТАНДАРТНАЯ ТЕОРИЯ КЛАССОВ В. П. Андреев, Е. И. Гордон

1. Введение

В работе предлагается новая система аксиом нестандартной теории множеств — нестандартная теория классов (NCT), которая строится совершенно аналогично известной теории внутренних множеств (IST) Э. Нельсона [8]. Отличие состоит в том, что NCT представляет собой расширение теории классов (NBG) фон Неймана — Бернайса — Гёделя, в то время, как IST — расширение теории Цермело — Френкеля (ZFC). Кроме того, мы пользуемся не IST, а принадлежащей В. Кановею и М. Рейкену [7] теорией ограниченных множеств (BST), которая отличается от IST добавлением аксиомы ограниченности

\/x3sty х Е у

и необходимой модификацией принципа идеализации (принцип идеализации IST очевидно противоречит аксиоме ограниченности). Ясно, что теории BST достаточно для приложений, в то же время многие логические рассмотрения в ней существенно проще.

Наличие классов позволяет формализовать в рамках NCT различные конструкции, использующие внешние множества, что невозможно в IST. В частности, одной из аксиом NCT является аксиома насыщенности, играющая исключительно важную роль в приложениях нестандартного анализа. От других известных теорий внешних множеств [2, 5, 6] NCT отличается естественностью и простотой. В частности, она содержит лишь конечное число аксиом — принципы переноса, идеализации и стандартизации Э. Нельсона формулируются здесь в виде отдельных аксиом, а не аксиомных схем.

Язык теории NCT получается добавлением к языку NBG одноместного предикатного символа St (StX) — читается «X — стандартный класс»). Переменные, принимающие значения произвольных классов, обозначаются заглавными латинскими буквами, а переменные, принимающие значения множеств (т. е. классов, которые входят как элементы в какие-нибудь другие классы) — строчными. Внутренние классы определяются как сечения стандартных классов множествами. При таком определении сами множества являются внутренними классами, поскольку представляют собой сечения стандартного класса Е. Если внутренний класс (в частности, внутреннее множество) X представляет собой сечение стандартного класса множеством р7 то говорят, что X стандартен относительно р, или р-стандартен. Это понятие относительной стандартности в рамках теории IST было впервые введено в статье [3], где, в частности, было доказано, что принцип переноса и импликация «слева-направо» в принципе идеализации остаются справедливыми,

© 1999 Андреев В. П., Гордон Е. И.

если заменить все вхождения предиката стандартности в них, на предикат стандартности относительно произвольного, но фиксированного для каждой конкретной формулы множества р. Это остается справедливым и для теории NCT (см. ниже теорему 3).

Как уже отмечалось, все множества в рассматриваемой теории — внутренние. Внешние объекты являются собственными классами. При этом, как и в Альтернативной теории множеств (AST) П. Вопенки [9], здесь возможны подклассы множеств, которые не являются множествами (аксиома выделения истинна только для внутренних множеств). Следуя П. Вопенке, мы называем их полумножествами. Теория NCT имеет и некоторые другие свойства AST. В частности, в ней справедлива теорема о том, что множество стандартно-конечно (т. е. его мощность есть стандартное натуральное число) в том и только том случае, когда оно не содержит подполумножеств.

Разумеется, тот факт, что собственные классы не являются элементами других классов, несколько ограничивает выразительные возможности теории NCT. В частности, в ней не удается в полном объеме формализовать конструкцию нестандартной оболочки внутреннего нормированного пространства Е. В самом деле, элементами этой нестандартной оболочки являются классы эквивалентности внешнего подкласса ограниченных элементов Е по внешнему отношению бесконечной близости в Е. Но поскольку эти классы — внешние, то не существует класса, содержащего их в качестве элементов. Для того же, чтобы рассматривать нестандартную оболочку Е, как класс, состоящий из представителей указанных классов эквивалентности, нужно добавить к NCT более сильную форму аксиому выбора, утверждающую, например, возможность такого вполне упорядочения полумножества, при котором каждый подкласс этого полумножества имеет наименьший элемент. Однако (см. параграф 3 ниже), такая аксиома не может быть добавлена к NCT без противоречия. В разделе 3 доказано, что таким образом могут быть вполне упорядочены лишь классы, для которых существует биекция на пол у множество стандартных элементов некоторого стандартного множества, а полумножество ограниченных элементов внутреннего нормированного пространства таковым не является. С другой стороны в NCT может быть формализовано и доказано утверждение, равносильное теореме о полноте нестандартной оболочки. Речь идет об утверждении о том, что всякая внешняя, т. е. занумерованная стандартными натуральными числами последовательность еп элементов Е ¿'-фундаментальна (т. е. Vste > 0 3stno Vstm,n > щ\\еп — ет\\ < е), то она имеет ¿-предел в Е (т. е. Бе Е E\/St е > 03stnoVstn > щ\\еп — е\\ < е). Аналогично в рамках NCT могут быть формализованы содержащиеся в [4] рассмотрения, связанные с построением топологических групп, как фактор-групп гиперконечных групп по внешнему нормальному делителю.

2. Аксиоматика и основные свойства ]МСТ

Язык М"СТ — это язык исчисления предикатов с равенством, содержащий один бинарный предикатный символ Е и один унарный предикатный символ Формулы языка М"СТ будем обозначать греческими буквами. Переменные обозначаются заглавными латинскими буквами и интерпретируются как классы. Как обычно, запись ф(Х\,... ,Хп) означает, что свободные переменные формулы ф содержатся среди Х\,..., Хп.

Запись . ..,Хп) ^ ф(Хъ. ..,Хп) означает, что выражение . ..,Хп) слу-

жит сокращением для ф{Х 1,... ,Хп).

Класс Х7 удовлетворяющий формуле Эе^Х) ^ ЗУ(Х Е У)7 называется множеством. Множества и только они обозначаются строчными латинскими буквами.

Аксиома объемности:

УХ УУ (X = ¥ <—у Уи(и £ X <—у и £ ¥)).

Если ф(х,Хг,... ,Хп) — формула NCT и для некоторого класса X имеет место

Уж (ж Е X <—у ф{х,Х\,... ,Хп)),

то будем писать X = {х : ф(х, Х\,   , Хп)}. Аксиома пары:

\/и\/у Зх (х = {и) : т = и V т = г>}).

Как обычно, множество ж, фигурирующее в аксиоме пары обозначается через {и, у}. При этом

М = К«}>

(и./и) = {{и}, {и, -у}}, (щ,...,ип) = ((щ,..., ип-1),ип), Бпс К ^ Уж У у Мг ({ж,у) е К&{х,г) £ Я -> у = г). Аксиома объединения:

Уж Зу \/и (и £ х <—у и С у).

Аксиома степени:

Уж Зу \/и(и £ у <—у и С ж).

Аксиома бесконечности:

Зх (Зу £ х \/и (и ^ у) &Уи Е ж (и и {и} £ ж)).

Аксиома вы,бора,:

Уж (ж ф 0&Чи £ х{и ф 0) —у 3/(Рпс/&У и £ хЗ'и{{и,'и) и))).

Аксиома регулярности:

Уж Зи £ х (и П ж = 0).

Аксиома собирания:

МУМх ЗуМи £ х (Зг» ((и,ь) £ V) —У З'и £ у((и,ь) £ V)). Ниже используются следующие сокращения:

ЗвХхф ^ Зх (Б^ж)&ф), V8%хф ^ Уж (St(ж) —у ф).

Аксиома ограниченности:

Уж3йг (ж е г).

Аксиома переноса:

Т: УйХ(Зж(жеХ)—

Аксиома стандартизации:

8: ухзлуулх(хеу

Отправляясь от пустого множества, по аксиоме стандартизации можно получить стандартный класс Ь, не содержащий стандартных элементов. По аксиоме переноса Ь = 0, т. е. пустое множество стандартно.

Формула называется предикативной, если в ней связаны только переменные, ограниченные множествами и предикат стандартности присутствует только в составе внешних кванторов, т. е. все вхождения кванторов и предиката стандартности имеют вид Зж, Уж, Уйж. Заметим, что подформулу можно заменить на З^'у (у = х).

Пусть р — произвольное множество. Класс X называется р-стандартным (в^Х), если он является р-сечением некоторого стандартного класса У, т. е. 3й У (X = У"р)7 где У"р = {V : (р,и) е У}.

Класс X называется внутренним если он р-стандартен для некоторого р.

Аксиома существования классов:

Пусть формула ф(х\,..., хп, У\,..., Ут) предикативна. Тогда

1. для произвольных классов Ут существует класс

Т = {(жь...,жп) : 0(ж1,...,жп,Уь...,Ут)};

2. Если формула ф — внутренняя и классы У\7..., Ущ стандартны, то Т есть стандартный класс.

Замечание. Точно также, как и для теории N60, вместо приведенной здесь схемы аксиом существования классов достаточно принять в качестве аксиом лишь конечное число ее частных случаев, после чего данная схема аксиом в полном объеме может быть доказана. Таким образом теория М"СТ является конечно аксиоматизируемой.

Из аксиомы существования классов легко вытекает следующее

Предложение 1. Если в условиях аксиомы существования классов формула ф и классы Ух,... ,Уп — внутренние, то Т есть внутренний класс. При этом, если все Уг р-стандартны для некоторого фиксированного множества р, то класс Т также р-стандартен.

Введем теперь следующие обозначения:

и = {х : х = х} = {х : х ф 0}, Е = {х : Зи Зг> (х = (и, г>)& и 6 »){, § = {х : -X = {х : х £ X}, X П У = {х : же Хк х е У}, с1отХ = {и : Зг> ({и, г>)) Е X}, X хУ = {{«,«)) : и е Хк V е У}.

Согласно аксиомам существования классов совокупности и и Е суть стандартные классы, § есть класс и для любых классов X и У совокупности -X, X П У, с1отХ, X х и суть классы, стандартные, если стандартны X и У.

Любое множество ж является ж-стандартным и, следовательно, внутренним, поскольку ж = Е-1 "ж. Любой стандартный класс X — внутренний, так как X = ({0} х Х)"0.

Следующие две аксиомы выражают свойства внутренних классов.

Аксиома выделения:

УЫХУХ ЗуМи (и£у <—у и G ж к и G X).

Аксиома идеализации:

yint^yst ао ^ystfin g ао3хуа е с((х, а) G X) <—у ЗхУst а G а0«ж,а) G X)).

Нижеследующая теорема непосредственно вытекает из аксиомы существования классов и предложения 1.

Теорема 1. Справедливы следующие утверждения:

1. Пусть ф — внутренняя предикативная формула. Тогда

ViDtX!... ViDtXnV x3yVu (иЕу^уЕ хкф(х,Хи.. .,ХП)).

В частности, выполняется схема аксиом выделения BST.

2. В NCT выполняются аксиомы стандартизации и идеализации BST.

3. Принцип переноса. Если ф — внутренняя предикативная формула, то

УЛХ1...У«Хп(УЛхф(х,Х1,...,Хп)-+\/хф(х,Х1,...,Хп)).

В частности, выполнена схема аксиом переноса BST.

Следствие 1. Всякое доказуемое в BST предложение доказуемо и в NCT.

Напомним, что аксиомы переноса, идеализации, стандартизации и выделения BST являются частными случаями соответствующих аксиом NCT, в которых классы определяются предикативными формулами с множественными свободными переменными

Предложение 2. Если х и р — произвольные множества, то

stpX <—у 3st z(x = z"p) i—у 3st / (Fnc / & x = f(p)).

<1 Пусть множество x р-стандартно. Тогда по аксиоме ограниченности и принципу переноса х = z"p для некоторого стандартного z, функция / = {(q,z"q) : q G dortig} стандартна и f(p) = х.

Наоборот, если функция / стандартна, то множество / (р) будет р-сечением стандартного по принципу переноса множества {(q,u) : u G /(<?)} >

Теорема 2. Пусть ф — внутренняя предикативная формула и р — произвольное множество. Тогда

ystpXi _ _ _ ystpXn (ystPx ф^ xu...,Xn)-+Vx ф(х, ХЪ...,ХП)).

<1 Согласно предложению 1 достаточно доказать, что каждый непустой р-стандартный класс X содержит р-стандартный элемент.

Пусть X = Y"p, st Y и р G г, st г. По аксиомам собирания и выбора и теореме переноса найдется такая стандартная функция /, что

Vg G г (Зу {(q/y) G Y) у 3y((q./y) G У П /)).

Так как X непуст, р G dorn/ и f{p) будет р-стандартным элементом X. >

Для произвольного класса С обозначим °С = СП§. Аксиома стандартизации постулирует существование для любого класса X стандартного класса У со свойством °У = °Х. По принципу переноса такой стандартный класс единственен. Он обозначается через 8Х.

Теорема 3. Класс стандартен тогда и только тогда, когда его пересечение с каждым стандартным множеством есть стандартное множество.

<1 Необходимость следует из аксиом существования классов и выделения. Докажем достаточность.

Пусть X — такой класс, что УаХ г ЗаХЬ(Ь = X П х). Положим У = {ж : х £ X} и покажем, что У = X. Благодаря аксиоме ограниченности для этого достаточно проверить, что для любого стандартного множества г имеет место равенство г П X = гП У. По выбору У

°{Х Г)г) =°Х Г)°г = °У Г)°г = °{У Г)г).

Поскольку ХПгиУПг являются стандартными множествами, то по принципу переноса из (1) следует требуемое равенство. >

Предложение 3. Множество является стандартным и конечным тогда и только тогда, когда все его элементы стандартны.

<1 По принципу идеализации имеем:

в^пж «—у З8* йпу С хМа £ хЗЬ £ у {а = Ь) <—у Vа Е жЗй6 Е ж (а = Ь). >

Множество называется стандартно-конечным, если его мощность есть стандартное натуральное число.

Теорема 4. Множество является стандартно-конечным, если и только если все его подклассы суть множества.

<1 Пусть ж — некоторое множество, |ж|=аи/: а —Ух — взаимнооднозначная функция.

Если ж не является стандартно-конечным, то по принципу переноса VзХ п £ т {а > п). Для класса I = {/(п) : п £ %} мы можем записать:

Vй йп 5 С <ш Зк £ <ш Уп Ее (/(А:) £1кп<к).

Если бы I был множеством, то нашлось бы такое к £ т, что /(к) £ I и V31 п £ т (п < к), что невозможно, так как /(к) £ I только для стандартных к в силу взаимнооднозначно-сти ^

Пусть теперь ж стандартно-конечно и X С ж. Рассмотрим класс Т = {п £ а : /(п) Е X}. По принципам стандартизации и переноса существует множество Ь =8 Т, Ь С а. Так как, по предложению 3, а С §, имеет место равенство £ = Ч = °Т = Т. Тогда X = {/(п) : и Е есть множество. >

Назовем Р-монадой цр(х) множества ж пересечение всех р-стандартных классов, содержащих ж. Поскольку дополнение к стандартному классу есть стандартный класс, р-монады двух произвольных множеств либо не пересекаются, либо совпадают. По предложению 2 имеем:

цр(ж) = {у : У8Хрг {у £ г <—у ж Е г)}.

Если множество р стандартно, то класс цр(х) будем называть монадой множества ж и обозначать /л(х). Очевидно, ц(х) = П{а Е § : ж Е а}.

Пусть ж — произвольное множество. По аксиоме ограниченности ж Е жц, stжo. Используя перенос, нетрудно показать, что и = {а С жц : ж Е а} есть стандартный ультрафильтр, причем П°и = ц(х). Наоборот, если и — произвольный стандартный ультрафильтр, то по принципам переноса и идеализации П°и ф 0 и Уж Е П°и (ц(х) = П°гг).

Класс П°и называется гнездом ультрафильтра и и обозначается v(u). Для обозначения класса всех ультрафильтров будем использовать сокращение Ult, для множества всех ультрафильтров на множестве ж — Ult (ж).

Предложение 4. Для произвольных множеств х и р

цр(х) = ц((р,х))"р.

<\ Используя предложение 2, получим:

у Е fi((p,xj)"p <—> (р,у) Е /и((р,х)) <—> Vstz((p,xj Е z <—> (р,у) Е z) <—> у Е %(ж). >

Класс X назовем р-насыщенным, если вместе с каждым множеством он содержит всю р-монаду этого множества.

Предложение 5. Множество х является р-стандартным тогда и только тогда, когда оно р-насыщено.

<\ Пусть х р-насыщено. Возьмем произвольный элемент u Е х и покажем, что и принадлежит р-сечению некоторого стандартного множества, включенному в х. Действительно, если допустить противное, то

Vst z

Область изменения z в формуле 2 можно ограничить стандартным множеством {t : t С Lteo}, где xq Э х стандартно. По идеализации получим:

3v ^ х Vst z (и Е z"p —v Е z"p),

что противоречит включению цр(и) С х.

Таким образом, мы имеем: У и Е x3atz{u Е z"p С х). Снова применив принцип идеализации, получим такое стандартное конечное множество zq, что У и Е х 3z Е zq (и Е z"p С х). Нетрудно проверить, что х будет р-сечением стандартного множества U^o- > Следствие 2. Для любых множеств х и р

цр(х) = {ж} <—textstpx.

<1 Импликация справа налево очевидна. Если же цр(х) = {ж}, то множество {ж} р-насыщено и, значит, р-стандартно. Тогда по переносу ж также будет р-стандартным. > Аксиома насыщенности:

УХЗрУх Е X {цр{х) С X),

т. е. всякий класс является р-насыщенным для некоторого множества р. Для произвольных класса D С Ult и множества р обозначим

Рск(Др) = (J и(и)"р.

ue°D

Полумножествами называются подклассы множеств:

SmsX ^ 3stz(X С z).

Теорема 5. Пусть X — произвольный класс. Тогда найдутся такой стандартный класс D С Ult и множество р, что

х = Pels (Др).

Если X — полу множество, то D можно выбрать множеством.

<\ Пусть X — р-насыщенный класс. Положим D =s {u £ Ult : и{и)"р С X}. Тогда по предложению 4 выполняется (3).

Если X £ z, st z, то равенство (3) сохранится, если вместо D взять стандартное по принципу переноса множество d = D П Ult (г х z), где г — произвольное стандартное множество, содержащее р. >

Таким образом, всякое полумножество в NCT оказывается определимым некоторой предикативной -формулой.

Следствие 3. Если в формуле все кванторы ограничены полумножествами, то она она эквивалентна некоторой предикативной формуле.

<1 Заменим все подформулы вида stX на Vsts3sti(i = X П s), а подформулы вида 3X(SmsX — ф{Х,...)) на 3st ёЗрф(РсЪ (d,p),...). >

Следующая теорема является принципом насыщенности в его традиционной формулировке. Отметим, что в отличие от NCT, ни в 1ST, ни в BST эта теорема не может быть не только доказана, но даже и сформулирована.

Теорема 6. Пусть класс X и стандартное множество zq таковы, что Vstx £ zq Зу({х,у) £ x). Тогда найдется такая функция-множество f, что vstх £ zq ({ж,/(ж)) £ X).

< По аксиомам собирания и ограниченности найдется стандартное множество t такое, что Уж £ zо (Зу((х,у) £ X) —> Зу £ t((x,y) £ X)). Пусть класс X р-насыщен. Если (ж,у) £ X и х стандартно, то Vy' £ ß{y) ({ж,у') £ X), поскольку цр((х,у}) = {ж} х ¡л,р(у). Положим d =s {{ж,u) £ z х Ult (t) : {ж} x (u{u)"p) С X}. Аксиома выбора и принцип переноса позволяют выбрать такую стандартную функцию h : zq —у Ult (t), что Уж £ zо ((x,h(x)} £ d). Имеем:

Vst iiDz£z03fVx£z Vst a £ h(x) (Fnc (/) & /(ж) G a).

По принципу идеализации получим такую функцию /, что Vstж £ z (/(ж) £ u(h(ж))). Нетрудно видеть, что / — искомая функция. >

3. Непротиворечивость NCT

Настоящий раздел посвящен доказательству следующей теоремы.

Теорема 7. Всякое предикативное предложение, доказуемое в NCT, доказуемо и в BST.

Мы покажем, что всякая модель BST изоморфно вкладываются в некоторую модель NCT в качестве универсума всех множеств, откуда по теореме о полноте следует доказываемое утверждение.

Рассмотрим произвольную модель Ш = <М, GM, stM} теории BST. Пусть L есть обогащение языка BST элементами из Л/, рассматриваемыми как новые константные символы. Мы будем считать 9Я моделью языка L. принимая за интерпретацию символа a £ М само множество а. Множества из Л/, входящие в формулу языка L. будем называть ее параметрами.

Для всякой формулы ф языка L с одной свободной переменной обозначим \ф\ : = {ж : 9Я \= ф{ж)}. Положим

N = {Г1?1'! : Ф — формула языка L с одной свободной переменной};

Std = {[0] £ N : ф — внутренняя формула со стандартными параметрами};

Set (а) = [ж £ а] для любого а £ М.

Для любых p,q G N определим

р E N q -<=>• За £ М (р = Set (а) & а G q) stNp р G Std.

Предложение 6. Для любых а. 6 С Л/. p,q G iV

1.neN q^ За G M (p = Set (а));

2. Set (a) = Set (6) -<=>• a = b;

3. Если p = Set(a), q = Set(6), то p Gw q -<=>• a GM b;

4. Если p = Set(a), то si v /> -<=>• stM a.

<1 1. верно по определению отношения G^.

2. вытекает из справедливости аксиомы экстенсиональности в 9Я.

3. следует из 1) по определению отношения EN.

4. По определению st^ имеем: р = (Ь : Ш ¡= b е а) = (b : 9Л |= ф(Ь)}, где ф — внутренняя формула со стандартными параметрами. Следовательно, Ш \= Уж (ж G а <—у ф{х)). Из того, что в 9Я выполнена схема аксиом переноса, следует, что 9Я |= sta, т. е. stм а.

Наоборот, если st Ma, то р = \х G a] G Std. >

Теперь очевидно следующее

Предложение 7. Отображение Set изоморфно вкладывает Ш как модель языка L в модель Щ = (N, EN, st N), причем для всякого р G МЩ |= ЗХ (р G X) =>• 3a G М (р = Set(a)).

Предложение 7 показывает, что класс р является множеством в Щ в том и только том случае, когда р = Set(a) для некоторого a G М, т. е. 9Я действительно вкладывается в Щ как универсум всех множеств.

Осталось проверить выполнимость аксиом NCT в 9Я.

Из предложения 7 следует, что аксиомы NCT, являющиеся предикативными предложениями, выполняются в Щ, если они истинны в BST. Это верно по отношению к аксиомам пары, объединения, степени, бесконечности, выбора, регулярности и ограниченности.

Аксиома экстенсиональности выполняется в Щ, благодаря построению отношения EN.

Если ф — формула языка L, то совокупность {х : ф(х,хi,... ,хп)} будем обозначать через Сф.

Пусть Ф(-Х"ь   , Хп) — предикативная формула, а ф\ (ж, х\,..., хт),..., фп(х, х\,..., хт) — формулы языка L, свободные переменные которых не участвуют в построении Ф. Обозначим через Ф(Сф1,... ,Сфп) формулу, которая получается из ..., Хп) заменой

1. всех вхождений атомарных формул вида у G Xj на фj(y,xi,... ,хт);

2. всех вхождений атомарных формул вида Xi G Xj на

Зх(Уу(уЕх ^у,жь...,жт))&^-(ж,жь...,жт));

3. всех вхождений атомарных формул вида Xi G Xj на

Уж (фг( ж, xi,..., хт)) ф^(х, xi,..., хт));

4. всех вхождений атомарных формул вида Xi G ж на

Vy(yEx ф{(у, xi,... ,хт)).

Свободными переменными (параметрами) формулы Ф(Сф1,..., Сфп) являются свободные переменные (параметры) формул ф\,..., фп.

Предложение 8. Если Ф — предикативная формула, и Сфх,..., Сфп — совокупности без свободных переменных, то

<1 Доказательство проводится индукцией по построению Ф с использованием предложения 6. >

Заметим, что аксиомы NCT, не являющиеся предикативными предложениями, имеют

вид

Q1XQ2YQZ4>

где Qi,Q2 G {V, Vst}, Q G {3, 3st}, и Ф — предикативная формула.

Будем говорить, что предложение вида (*) истинно в BST для классов, если для произвольных формул ф\(х,и\,... ,ui) и ф2(х./и\,... ,vm) языка BST, внутренних, если соответствующие кванторы внешние, можно указать такую формулу ф{х./ш\,... ,wn) языка BST, внутреннюю, если квантор Q внешний, что предложение

Qiui    Qi'mQ2vi    Q2vmQw1

истинно в BST. При этом предполагается, что переменные щ, Wi не участвуют в построении формулы Ф.

Предложение 9. Пусть предложение Ф имеет вид (*). Тогда, если Ф истинно в BST для классов, то Ф выполняется в Щ.

<1 Рассмотрим случай, когда в Ф все кванторы по классам — внешние. Возьмем произвольные Щ-стандартные элементы \ф2~\ G N. Из того, что Ф истинно в BST для классов, следует, что найдется такая внутренняя формула ф языка L с 9Л-стандартными параметрами и одной свободной переменной, что Ш \= Ф{Сф1,Сф.2,Сф). Таким образом, мы имеем: Ф(f, Г^г], Г1?1'!) 110 предложению 8, что и требовалось. >

Нетрудно доказать истинность в BST для классов аксиом переноса, существования классов, регулярности, выделения и идеализации. Аксиомы стандартизации, собирания и насыщенности требуют отдельного рассмотрения.

Мы будем пользоваться определениями, обозначениями и доказанными нами фактами о монадах и ультрафильтрах, которые имеют место также и в BST. Кроме того, будет использована следующая теорема [1].

Теорема 8 (BST), Для любой формулы Ф с двумя переменными найдется такая внутренняя формула ф, что

УрУ8Ъх

Теорема 9. Аксиома стандартизации NCT верна в BST для классов.

<1 Пусть Ф — произвольная формула. Можно считать, что она имеет на более двух свободных переменных. Выберем согласно теореме 8 внутреннюю формулу ф, удовлетворяющую (4). Тогда, если множество р и ультрафильтр U таковы, что р G v(U), то

х (Ф(ж,р) <—ф(х, U)).

Поскольку всякое множество принадлежит гнезду некоторого стандартного ультрафильтра, это доказывает истинность аксиомы стандартизации в BST для классов. >

Пусть II — ультрафильтр. Обозначим

ск>т[[7] = {скшш : и Е II}; гап[[7] = {гагш : и Е [/}.

Используя принципы переноса и идеализации нетрудно показать, что для всякого ультрафильтра II с!от[[/] и гап[С7] также являются ультрафильтрами, причем для любых множеств а и Ь

(а, Ь) Е 1/(11) —» а Е г/(с!от[[/]) к Ь Е г/(гап[[/]); а Е г/(с!от[[/]) —> ЗЬ Е гап[С7] ({а, Ь) Е и{и)). Теорема 10. Аксиома собирания истинна в ВБТ для классов.

<1 Пусть Ф есть формула с двумя свободными переменными. Согласно теореме 8 имеем для некоторой внутренней формулы ф:

Ф(а, Ъ) <—» В8* II Е Ш; ({а, Ь) Е и(и) к ф{11)).

Обозначим

</'(К1Г) = 3и Е ГИ (ск.пГГ = Уктапр] = И"^(Г)).

По теореме собирания и принципу переноса ВЭТ для любого стандартного множества А найдется такое стандартное множество К, что

VI/ С III (Л) (3]¥ф(У,1¥) - > =И" С П,р{У\У)).

Обозначим У = и и К. Тогда по принципу переноса и свойствам гнезд ультрафильтров для всякого а Е А будем иметь:

ЗЬФ(щЬ) — 3йУ е е Ш; (а Е и(У)кф(У, УУ) —

ГИ (,4) И" С II {<1 Е —

— ЗЬ Е и ({а, Ь} Е и(и) к ф(11) — ЗЬ Е V Ф(а, Ь).

Пусть теперь Ф(ж,у,р) - произвольная формула. Для доказательства теоремы достаточно показать, что для любого р и всякого стандартного X найдется такое множество У, что

Ух Е X (ЗуФ(ж,у,р) —>3у Е УФ (х,у,р)).

Фиксируем стандартные множества X и Р. Положим Ф(а,Ь) ^ ЗхЗр{а = {х,р)к Щх,Ь,р)).

По доказанному найдется такое стандартное множество У, что для любого р Е Р выполняется (5). Осталось применить аксиому ограниченности. >

Теорема 11. Аксиома насыщенности истинна в ВБТ для классов. <1 В силу теоремы 8 для всякой формулы Ф с двумя свободными переменными можно построить такую внутреннюю формулу ф, что

Ф(х,р) <— 3^и({р,х) Е 1у(и)кф(и)),

откуда для любого множества р по предложению 4 получаем:

Уж (Ф(ж,р) —>Уу Е цр{х)Ф{у,р)),

что и доказывает утверждение теоремы. >

Итак, все аксиомы М"ТС истинны в Щ, что и доказывает теорему 7.

4. Классы стандартных размеров

В этом разделе охарактеризованы классы, которые могут быть сильно вполне упорядочены, т. е. линейно упорядочены так, что каждый непустой подкласс имеет наименьший элемент. Отсюда, в частности, следует, что аксиома, утверждающая, что каждое множество может быть сильно вполне упорядоченно, противоречит основным аксиомам NCT.

Буквы F, f, G, g, Н, h со всевозможными индексами зарезервируем для обозначения функций. Определим

Satp X ^ X — р-насыщенный класс.

Обозначим X"D = у : Зх Е D ((х, у) Е X).

Предложение 10. \/р Уж Уу (ск>тдр({ж,у)) = цр{х)).

Предложение 11. SatpF —» Уйж Е dom(F) ( textstp F(ж)).

< Возьмем произвольную пару (x,v) Е F. По предложению 10 ^((x,v)) = xx^v) С F. Так как F — функция, /лр(и) = v. Значит, по следствию 2

textstp v. >

Предложение 12 (Принцип продолжения). \/Н 3mt G Vst ж Е domН (F(ж) = G(ж)).

При этом

a) если Н — полумножество, то G можно выбрать множеством;

b) если Н — р-насыщенна, то G можно выбрать р-стандартной.

<1 Пусть Satp if. Обозначим С =s {(ж,/) : же dom (H)Szf(p) = Н( ж)} и положим G = {(x,f(p)) : (ж,/) Е С}. По р-переносу функция G будет р-стандартной. Причем, если Н — пол у множество, то С можно выбрать множеством. >

Класс X имеет стандартный размер, если существует функция F и класс D такие, что X = F"°D. По предложению 12 и стандартизации функцию F можно считать внутренней, а класс D — стандартным.

Предложение 13. Класс X имеет стандартный размер, если и только если все его элементы р-стандартны для некоторого фиксированного множества р.

<\ Необходимость следует из предложения 11 и аксиомы насыщенности. Докажем достаточность. Пусть X состоит из р-стандартных множеств. Обозначим D =s {/ : f{p) Е X}, F = {(f,f(p)) : d Е D}. Тогда по предложению 2 X = F"X. >

Предложение 14. Если X — полупространство стандартного размера, то найдется взаимнооднозначная функция / и стандартное множество d такие, что X = f"°d

<1 Пусть X С s, st s. По предложению 13 все элементы X р-стандартны для некоторого р Е ро7 st pq. Обозначим d! =s {g E sPo : g(p) E X}. Пусть d есть множество классов эквивалентности на множестве d! по отношению s{{gi,g2) G d! х d! : g\{p) = <72(р)}- Положим f = {(t,f(p)) : t Е d'lkf E t}. Нетрудно проверить, что функция / и множество d — искомые. >

Предложение 15. Если множество ж не является р-стандартным, то монада /лр(х) включает некоторое множество бесконечно большой мощности.

< По аксиоме ограниченности ж G ж0, st ж0. Согласно предложению 13 класс S = {s : textstp s С жц & ж Е s} есть полумножество стандартного размера. По предложению 14 найдутся такие / и d7 что S = f"°d. Тогда цр{ж) = t£odf(i).

Пусть st fine С d. Покажем, что мощность множества v = |"\ec/(i) бесконечно велика. Действительно, по предложению 3 ж Е v. Если |г>| = n, st п, то по принципу р-переноса

найдется р-стандартная функция h, отображающая множество п С w на множество v. Тогда х = h(i) для какого-то % < п, и х оказывается р-стандартным по р-переносу, что противоречит условию. Таким образом, мы имеем:

VstfincC d3vVt G cVst k (v С /(i)&|w| > k).

По 7Г-идеализации получаем:

3v (v С fip(x) & Vst fc (|w| > fc)),

что и требовалось. >

Предложение 16. Полумножество имеет стандартный размер тогда и только тогда, когда оно является подклассом некоторого множества любой наперед заданной бесконечно большой мощности.

<1 Необходимость. Пусть X = f"°d an — бесконечно большое натуральное число. Тогда, очевидно,

ystfincg d3z\/tec{f{t) Е zk\z\ <n)

(можно взять z = /"с). По принципу идеализации получим: Bz (X С zk\z\ < п), что и требовалось.

Достаточность. Пусть SatpX. Из условия по предложению 15 X состоит только из р-стандартных элементов и, по предложению 13, имеет стандартный размер. >

Отношение ^ называется сильно полным порядком на классе Х7 если любой подкласс Y С X имеет ^-наименьший элемент.

Теорема 12. На полумножестве X можно задать сильно полный порядок, если и только если оно имеет стандартный размер.

<1 Пусть Химеет стандартный размер. По предложению 14 найдется взаимнооднозначная функция / и стандартное множество d7 такие, что X = f"°d. По аксиоме выбора и принципу переноса существует полный стандартный порядок ^ на d. Докажем, что порядок ^Xj индуцированный отображением /, сильно вполне упорядочивает X. Действительно, пусть Y С X. Обозначим через ао ^ — минимальный элемент множества s{a G d : f(a) G У}. По принципу переноса stao- Нетрудно проверить, что /(ао) есть ij v — минимальный элемент класса Y.

Пусть есть сильно полный порядок на полу множестве X. Обозначим

Т = {/ : dorn/ G °Ord &Vsta G dorn/ (/(a) = mm{X - {f{ß) : st ß < a}))},

{a :V/GTV?GT(/(«)=j(a))},

G = {(aj(a)} : a G / G T}.

По принципу переноса и построению класса Т, имеем: Vsta G А (а С А). Поэтому по принципу переноса, либо А G Ord, либо А = Ord.

Нетрудно также показать, что функция G взаимнооднозначна и ranG С X. Класс О = G"Ord. Есть полумножество стандартного размера. По предложению 14 найдутся / и d такие, что О = f"°d. Обозначим Н = {(t,a) : t G °dkf(t) = G(a)}. По аксиоме собирания А = тшН будет полумножеством.

Следовательно, А G Ord. Но тогда, по построению Т, ranG = X, и X имеет стандартный размер. >

Литература

1. Андреев П. В. О принципе стандартизации в теории ограниченных множеств // Вестн. Моск. ун-та, Сер. 1, Мат, Мех. 1997.-№ 1.-С. 68-70.

2. Ballard D., Hrabacek К. Standard Foundations for Nonstandard Analysis // J. Symb. Logic.—1992.— V. 57.-P. 471-478.

3. Гордон E. II. Относительно стандартные элементы в теории внутренних множеств Е. Нельсона // Сиб. мат. журн.—1989, № 1.-С. 89-95.

4. Gordon Е. I. Nonstandard Methods in Commutative Harmonic Analysis.-—AMS, Providence, RI, 1997.

5. Hrabacek K. Nonstandard Set Theory // Amer. Math. Monthly. 1979. V. 86.—P. 659-677.

6. Kawai T. Axiom System of Nonstandard Set Theory // Logic Symposia, Hakone.—1979,1980, Berlin, a.o.: Springer, 1981.—P. 57-65.

7. Kanovei V., Reeken M. Integral Approach to External Sets and Universes // Studia Logica. Part I.— 1995.-V. 55.-P. 227-235; Part II.-1995.-V. 55.-P. 347-376; Part III.-1996.-V. 56.-P. 293-322.

8. Nelson E. Internal Set Theory. A New Approach to Nonstandard Analysis // Bull. Amer. Sos.—1977.— V. 83.—P. 1165-1198.

9. Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств.—М.: Мир, 1983.