Деквантование математики и представления групп

ДЕКВАНТОВАНИЕ МАТЕМАТИКИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП1

Г.Л. Литвинов, Г.Б. Шпиз

Статья является кратким введением в идемпотентную и тропическую математику, а также в теорию представлений групп в рамках идемпотентной математики. Тропическая математика может быть получена из традиционной математики как результат деквантования Маслова, которое отличается от традиционного деквантования Шредин-гера тем, что постоянная Планка Н стремится к нулю, принимая чисто мнимые значения.

Ключевые слова: деквантование Маслова, идемпотентная математика, тропическая математика, идемпотентные пространства, представления групп

1 Введение

В основе идемпотентной математики лежит замена обычных арифметических операций новым набором базовых операций (такими как максимум или минимум), при этом числовые поля заменяются идемпотентными полукольцами и полуполями. Типичные примеры - так называемые алгебра макс-плюс Rmax и алгебра мин-плюс Rmin- Пусть R - поле вещественных чисел. Тогда Rmax = R U {—оо} с операциями х  у = тах{ж,у} и ж © у = х + у. Аналогично Rmin = R U {+00} с операциями  = min, О = +. Новая операция  является идемпотентной, то есть х  х = х для всех х.

Начиная с классической работы С.Клини [41], многие авторы (С. Клини, C.H.H. Пан-дит, H.H. Воробьев, Б.А. Карре, P.A. Канингхем-Грин, К. Циммерман, У. Циммерман, М. Гондран, Ф.Л. Баккелли, Г. Коэн, С. Гобер, Г.Дж. Олсдер, Ж.-П. Квадра) широко использовали идемпотентные полукольца и матрицы над этими полукольцами для решения ряда задач теории алгоритмов и дискретной математики. Современный идемпотентный анализ (или идемпотентное исчисление, или идемпотентная математика) был разработан В.П.Масловым и его сотрудниками в восьмидесятых годах в Москве, см., например, работы [63, 64, 65, 66, 67, 68, 44]. Некоторые предварительные результаты сформулировали Э. Хопф и Г. Шоке, см. работы [11, 37].

Идемпотентную математику можно рассматривать как результат деквантования традиционной математики над числовыми полями, при котором постоянная Планка К стремится к нулю, принимая мнимые значения. Такая точка зрения была представлена Г.Л. Литвиновым и В.П. Масловым в [48, 49, 50], см. также [56, 57]. Иначе говоря, идемпотентная математика является асимптотической версией традиционной математики над полями вещественных и комплексных чисел. Точнее, асимптотической версией является тропическая математика, т.е. математика над алгебрами Rmax и Rmin; эти алгебры часто называют тропическими, см. ниже раздел 3.

Основную парадигму идемпотентной математики выражает идеммотпентмый принцип-соответствия. Этот принцип тесно связан со знаменитым принципом соответствия Нильса Бора для квантовой теории. Оказывается, что существует эвристическое соответствие между рядом важных, интересных и полезных конструкций и результатов обычной математики над полями и аналогичными конструкциями и результатами над идемпотентными полуполями и полукольцами (полуполями и полукольцами с идемпотентными сложением).

'Эта работа поддержана грантом РФФИ 03-01-00056 и Шведской королевской академией наук

Традиционная

математика

Поля вещественных и комплексных чисел

Идемпотентный принцип соответствия

Илемлотсыгнал

математика

Идемнотснтные

полукольца

йШ'лг^іол» :

1 Квантовая I ^РтЧип соответствия Н. Бора Классическая

механика | механика

Рис. 1: Связь между идемпотентной и традиционной математикой

Систематическое и последовательное использование идемпотентного принципа соответствия приводит к многообразным результатам, часто весьма неожиданным. В результате, наряду с традиционной математикой, возникает ее “теневая” идемпотентная версия. Эта “теневая” версия так же связана с традиционной математикой, как классическая физика с физикой квантовой, см. рис. 1.

Во многих отношениях идемпотентная математика проще традиционной. Однако переход от традиционных конструкций и результатов к их идемпотентным аналогам часто является нетривиальным.

Идемпотентная (и особенно тропическая) математика имеет интересные приложения в традиционной теории представлений, см. например [4, 5, 40]. Однако в этой работе мы кратко обсудим теорию представлений групп в рамках идемпотентной математики. В статье описаны некоторые основные понятия и результаты этой новой версии теории представлений. В рамках идемпотентной математики знаменитое преобразование Лежандра является тропической версией обычного преобразования Фурье (это наблюдение принадлежит В.П. Маслову). Обсуждаются некоторые неожиданные результаты типа теоремы Энгеля. Этот материал изложен в разделах 7 и 15.

В статье представлен так называемый алгебраический подход к идемпотентной математике, при котором основные “топологические” понятия и результаты моделируются в чисто алгебраических терминах, см. [54, 55, 56, 57, 58].

Современное состояние идемпотентной математики представлено в томе [51] ив обзорной статье [47].

Авторы выражают глубокую благодарность В.П. Маслову за всестороннюю помощь и поддержку и А.Н. Соболевскому за большую помощь, включая рисунки и многое другое.

2 Полукольца, полуполя и деквантование

Пусть на множестве 5 заданы две алгебраические операции : сложение ф и умножение 0. Говорят, что на множестве Б задано полукольцо, если выполняются следующие условия:

• сложение ф и умножение 0 ассоциативны;

• сложение  коммутативно;

• умножение О дистрибутивно относительно сложения :

х ©

И

для любых х,у,г 6 5.

Единицей полукольца 5 называется такой элемент 1 € 5, что 1©ж = ж©1 = ж для всех х 6 5. Нулем полукольца 5 называется такой элемент 0 £ 5, что 0^1и0фж = ж, 0©ж = а;©0 = 0 для всех х 6 Б. Полукольцо 5 называется идемпотентным полукольцом, если х ф ж = х для всех х 6 в. Полукольцо в с элементами 0 и 1 называется полуполем, если для любого ненулевого элемента множества 5 существует обратный элемент. Заметим, что диоиды в смысле работ [2, 33, 34], кванталы в смысле [80, 81] и инклайны в смысле [39] являются примерами идемпотентных полуколец.

Рассмотрим поле вещественных чисел К и полуполе всех неотрицательных вещественных чисел 11+ (относительно обычных операций сложения и умножения). Замена переменных х и = Ыпж, Н > 0, задает отображение Ф^:!?,-). —» Б = К. и {—оо}. Перенесем операции сложения и умножения из К в Б с помощью отображения Ф^, а именно, пусть и(В/гУ = /г1п(ехр{и/К) + ехр{у/К)), и <Э V = и + V, 0 = —оо = Фд(0), 1=0 = Ф/г(1); таким образом 5 приобретает структуру полукольца изоморфного 11+; см. рис. 2.

Несложно проверить, что и 0/1 V —> тах{и,и} при /г —> 0 и что 5 образует полукольцо относительно сложения и ф V = тах{и, и} и умножения и © и = и + V с нулевым элементом 0 = — оо и единицей 1 = 0. Обозначим это полукольцо через И-тах; оно идемпотентно, так как и@и = и для всех элементов. При этом полукольцо И-тах является полуполем. Аналогия с процедурой квантования здесь очевидна, параметр /г играет роль постоянной Планка, поэтому полуполе 11+ (или поле К) можно рассматривать как “квантовые” объекты, а само

полукольцо Rmax может рассматриваться как результат их "деквантования". Аналогичная процедура для h < 0 дает полукольцо Rmin = R U {+00} с операциями  = min, © = +; в этом случае 0 = +00, 1 = 0. Полукольца Rmax и Rmin изоморфны. Переход к Rmax или Rmin называется деквантованием Маслова. Понятно, что соответствующий переход от С или R к Rmax осуществляется при помощи деквантования Маслова и отображения х н-* |ж|. Допуская вольность речи, такой переход в дальнейшем мы также будем называть деквантованием Маслова.

Связь с физикой и роль мнимых значений постоянной Планка обсуждаются ниже, в разделе 6, а также в работах [56, 57]. Идемпотентное полукольцо RU{—oo}U{+oo} с операциями  = max, © = min может быть получено в результате "вторичного деквантования" полей С, R или полуполя R+. Десятки интересных примеров неизоморфных идемпотент-ных полуколец, а также методы получения новых полуколец из исходных рассматриваются в работах [12, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 50, 56]. Так называемое идемпотентное деквантование является обобщением деквантования Маслова; это переход от полей к идемпотентным полуполям и полукольцам в математических конструкциях и результатах.

Деквантование Маслова связано с хорошо известным логарифмическим преобразованием, использованным, например, в классических работах Э. Шредингера [84] и Э. Хопфа

[37]. Используется также термин "преобразование Коула-Хопфа". Идеи Э. Хопфа получили дальнейшее развитие в известном методе исчезающей вязкости и методе вязкостных решений, см., например, работы [3, 7, 27, 66, 82, 88].

Деквантование для функций (порожденное деквантованием Маслова) и его приложения к теории многогранников Ньютона и их обобщений описаны в работе [59].

3 Терминология: тропические полукольца и тропическая математика

Термин “тропические полукольца” появился в информатике и теории алгоритмов для обозначения дискретных версий алгебры Rmax или Rmin и их подалгебр; дискретные полукольца этого типа были названы “тропическими” Домиником Перрэном в честь бразильского специалиста по информатике и математике Имре Саймона, в знак признания его пионерской деятельности в данной области, см. [75].

В дальнейшем ситуация и терминология изменились. Для большинства современных авторов “тропический” означает "над полуполями Rmax или Rmin", а тропические полукольца - это идемпотентные полуполя Rmax и Rmin  В этом же смысле часто используются термины "макс-плюс" и "мин-плюс". В настоящее время термин “тропическая математика” обычно означает “математика над полуполями Rmax или Rmin”. Термины “тропикализация”

тт ^ *гг-г~\ /~> ТТТ1<Д-Ч Tti<-o тттгп" / ттлгтг»ттт!«-лг» т> Г/1Л1^ т» тлгтттллттт ЛПтт<^тгПтАт ттлт/т)г>тттлт>0ттттл тт т/ппгттлпогтттл т->

i'i хj^wiiyi^iaivaaj,.ka.7i о о lumu^iw woxxap~ic4xv/i Дслоап 1 udcinnc jti лоашиоагшс хэ

описанном выше смысле. В любом случае, тропическая математика является естественной и очень важной частью идемпотентной математики. Многие известные конструкции и результаты идемпотентной математики были заново получены в рамках тропической математики (и, особенно, в тропической линейной алгебре).

Заметим, что в статьях [92, 93, 94] H.H. Воробьев развил некоторую версию идемпотентной линейной алгебры ( с важными приложениями, в том числе для математической экономики), и предвидел многие аспекты будущей расширенной теории. Для обозначения идемпотентных полуколец и идемпотентной математики он использовал термины "экстремальные алгебры" и "экстремальная математика". К сожалению, идеи H.H. Воробьева в свое время не получили широкой известности, поэтому его терминология не прижилась и сейчас почти не используется.

4 Идемпотентная алгебра и линейная алгебра

Автором первой известной работы по идемпотентной линейной алгебре стал С. Клини. В его работе [41] рассматриваются системы линейных алгебраических уравнений над несколько экзотическим идемпотентным полукольцом всех формальных языков с фиксированным конечным алфавитом. Однако идеи С. Клини оказались весьма общими и универсальными. После этого десятки авторов изучали матрицы с коэффициентами, принадлежащими идемпотентным полукольцам, а также соответствующие приложения к дискретной математике, информатике, языкам программирования, лингвистическим задачам, конечным автоматам, проблемам оптимизации на графах, теории оптимального управления, дискретным системам событий и сетям Петри, стохастическим системам, оценке производительности компьютеров, вычислительным проблемам и т.д. Эти направления хорошо известны и широко представлены в литературе, см., например [2, 9, 13, 14, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 44, 43, 48, 50, 51, 52, 53, 60, 61, 66, 92, 93, 94, 98].

Идемпотентная абстрактная алгебра пока не так хорошо развита, хотя, с другой стороны, с формальной точки зрения теория решеток, теория упорядоченных групп и полугрупп входят в состав идемпотентной алгебры. Тем не менее, имеется много интересных результатов и приложений абстрактной идемпотентной теории, см. например [13, 14, 15, 80, 81, 85].

В частности, идемпотентная версия основной теоремы алгебры сформулирована в [15, 85] для радикабельных идемпотентных полуколец (полукольцо А называется радикабель-ным, если уравнение хп — а имеет решение х £ А для любого а €Е А и любого положительного целого п). Доказано, что И-тах и другие радикабельные полуполя алгебраически замкнуты в естественном смысле [85].

5 Идемпотентный анализ

Идемпотентный анализ первоначально был построен В.П. Масловым и его сотрудниками, а затем развит в большом количестве публикаций различных авторов. Этому предмету посвящена книга В.Н. Колокольцова и В.П. Маслова [44] (русская версия [66] опубликована в 1994 году).

Пусть в произвольное полукольцо с идемпотентным сложением  (которое всегда предполагается коммутативным), умножением О, нулем 0 и единицей 1. Множество 5 снабжено стандартным частичным порядком =^: по определению, а =4 Ь тогда и только тогда, когда аЬ — Ь. Таким образом, все элементы множества 5 неотрицательны: 0 =^! а для всех а £ Я. Благодаря существованию этого порядка, идемпотентный анализ тесно связан с теорией решеток, теорией векторных решеток и теорией упорядоченных пространств. Более того, этот частичный порядок позволяет моделировать базовые топологические понятия и результаты на чисто алгебраическом уровне; систематическое изложение такого подхода можно найти в работах [54, 55, 56, 57, 58] и [12].

Анализ главным образом имеет дело с функциями, чьими значениями являются числа. Идемпотентным аналогом числовой функции является отображение X —> Б, где X - произвольное множество, а5- идемпотентное полукольцо. Функции со значениями в 5 можно складывать, умножать друг на друга, а также умножать на элементы 5 поточечно.

Идемпотентным аналогом линейного функционального пространства является множество функций со значениями в й1, замкнутое относительно сложения и умножения на элементы из в, или Б-полумодулъ. Рассмотрим, например, 5-полумодуль В(Х, 5) всех функций X -¥ Б, которые ограничены в смысле стандартного порядка в 5.

Пусть £ = Ктах, тогда идемпотентный аналог интеграла определяется формулой

г

1{ф) = / ф

Ух хех

где (р 6 В(Х, S). Действительно, риманова сумма вида <p(xi)-<Ji соответствует выражению

г

0 ip(xi)Q(7i = max{tp(Xi)+стг}, которое сходится к правой части (1) при сгг —> 0. Разумеется,

г *

это чисто эвристическая конструкция.

Формула (1) определяет идемпотентный интеграл (или интеграл Маслова) не только

для функций, принимающих значения в Rmax, но также и в общем случае, при условии,

что любое ограниченное сверху подмножество полукольца S имеет точную верхнюю грань.

Идемпотентнал (или мера Маслова) на X определяется как

т,ф(У) = supф(х), где ф G B(X,S),Y С X. Интеграл по этой мере имеет вид хбГ

/*ф /*Ф

1ф

Jx JX хех

Очевидно, что если S = Rmin, то стандартный порядок =4 является противоположным по отношению к обычному порядку <, поэтому выражение (2) примет вид

с Ф гФ

/ (р(х) йгпф = / <р{х) © ф{х) dx = inf (ip(x) О ф(х)),

Jx Jx Х^х

где inf понимается в смысле обычного порядка <.

6 Принцип суперпозиции и линейные задачи

Основные уравнения квантовой теории линейны. Это утверждение составляет принцип суперпозиции в квантовой механики. Уравнение Гамильтона-Якоби, которое является основным уравнением классической механики, не является линейным в обычном смысле. Однако оно линейно над полукольцами Rmax и Rmin- Похожим образом различные версии уравнения Веллмана, основного уравнения теории оптимизации, линейны над подходящими полукольцами. В этом состоит идемпотентный принцип суперпозиции В.П, Маслова (см. [63, 64, 65, 66, 67]). Например, конечномерное стационарное уравнение Веллмана может быть записано в виде X = Н © X  F, где Н, F - матрицы с коэффициентами в идемпо-тентном полукольце S', а неизвестная матрица X определяется через Н и F [8]. В частности, стандартные проблемы динамического программирования и задача поиска кратчайшего пути отвечают случаям S = Rmax и S = Rmin соответственно. В работе [8] оптимизационные алгоритмы на конечном графе поставлены в соответствие стандартным методам решения систем линейных алгебраических уравнений этого типа (над полукольцами). В частности, алгоритму Веллмана поиска кратчайшего пути соответствует алгоритм Якоби, алгоритму Форда отвечает итерационный метод Гаусса-Зейделя и т.д.

Линейность над Rmjn и Rmax уравнения Гамильтона-Якоби (которое является результатом деквантования Маслова уравнения Шредингера) тесно связана с обычной линейностью уравнения Шредингера и может быть выведена из этой линейности. Таким образом, можно заимствовать стандартные идеи и методы из линейного анализа и применять их в новой области.

Рассмотрим классическую динамическую систему, описываемую гамильтонианом

где х = (х\,... ,хщ) - обобщенные координаты, р = (рх,... ,рк) - обобщенные импульсы, т,1 - массы, а У{х) - потенциал. В этом случае лагранжиан системы Ь(х,х^) запишется в виде

где х = (¿1,..., ¿лг), ¿г = (¡Х{/сИ. При этом функция значения функционала действия в(х,1). имеет вид

где интегрирование ведется вдоль реальной траектории системы. Классические уравнения движения выводятся из условия минимума функционала действия (принцип Гамильтона или принцип наименьшего действия).

Для фиксированных моментов времени I и ¿о и произвольной траектории х({), функционал действия 8 = 3(х(Ь)) может быть рассмотрен как функция, переводящая множество кривых (траекторий) во множество вещественных чисел, которое, в свою очередь, может быть интерпретировано как Кт;п- В этом случае минимум функционала действия выражается интегралом Маслова по множеству траекторий, или как идемпотентный аналог эвклидовой версии фейнмановского континуального интеграла.

Минимум функционала действия соответствует максимуму функции е~5, то есть идем-потентному интегралу /^а(:/1ву е~3(х^ 0{хЩ} по отношению к алгебре Ктах- Таким образом, классический принцип наименьшего действия может рассматриваться как идемпотент-ная версия фейнмановской формулировки квантовой механики. Представление решения уравнения Шредингера в виде континуального интеграла Фейнмана соответствует формуле Лакса-Олейник для уравнения Гамильтона-Якоби.

Поскольку дБ/дхг = дБ/дЬ = —Н(р, ж), справедливо следующие уравнение Гамильтона-

где ф = ф(х, і) - волновая функция, т.е. зависящий от времени элемент гильбертового про-

тона заменой переменных рі операторами импульсов рі = (Н/і)(д/дхі), а переменных хі -операторами координат: Хі'.ф и* Х{ф. Уравнение Шредингера линейно в обычном смысле (квантовый принцип суперпозиции).

Стандартная процедура предельного перехода от уравнения Шредингера к уравнению Гамильтона-Якоби использует представление для волновой функции в виде ф(х, і) = а(х, ¿)ег5(ж’*)/й и выделение главного члена при Н —»• 0 (квазиклассический предел).

Вместо этого мы заменим постоянную Планка К мнимой величиной /г = гН, выбирая /г > 0. Тогда уравнение Шредингера (4) перейдет в аналог уравнения теплопроводности:

в котором вещественнозначная функция и соответствует волновой функции ф. Похожая идея (переход к мнимому времени) используется в эвклидовой квантовой теории поля (см., например, [73]). Напомним, что время и энергия - дуальные величины.

Линейность уравнения (4) ведет к линейности уравнения (5). Поэтому, если и\ и щ -решения уравнения (5), то их линейная комбинация

сделано выше в разделе 2. Несложно проверить, что после такой замены уравнение

«о

Якоби:

Квантование (см., например, [23]) приводит к уравнению Шредингера

--г-КГ = Нф = Н{рихі)ф, г оі

странства Ь2 (Кдг), а Н - оператор энергии, полученный из классической функции Гамиль-

и = Аіііі + А 2Щ

также является решением уравнения (5). Положим Б — Н\пи или и = е5/л, как это было

примет ВИД

Таким образом, мы перешли от (4) к (7) при помощи замены переменных ф = е5^. При этом \ф\ = , где Г!,е5' - вещественная часть Б. Будем рассматривать теперь Б как

вещественную переменную. Уравнение (7) нелинейно в обычном смысле. Однако, если й'х и Б2 - его решения, то функция

полученная из (6) заменой Б = /г 1пи, также является решением уравнения (7). В этом случае обобщенное умножение О совпадает с обычным сложением, а обобщенное сложение определяется выбранной заменой переменных. При /г —> 0 мы получим операции идемпо-тентного полукольца Ктах, то есть  = шах и © = +, а уравнение (7) перейдет в уравнение Гамильтона-Якоби (3), так как третье слагаемое в правой части уравнения (7) исчезает.

Естественно рассматривать предельную функцию Б = А1 0 © Л2 © ¿>2 как решение

уравнения Гамильтона-Якоби и ожидать, что полученное уравнение линейно над И-тах-Подобная аргументация (на эвристическом уровне) может быть применена и к уравнениям более общего вида. Строгое обоснование линейности этих уравнений над полукольцами приводится в [25, 44, 66, 67], а также в [64]. Отметим, что если Ь заменить на —/г, то в результате мы получим линейность уравнения Гамильтона-Якоби над полукольцом Ктт-

Идемпотентный принцип суперпозиции показывает, что ряд важных нелинейных (в обычном смысле) задач может быть сведен к задачам, линейным над соответствующими идемпотентными полукольцами. Таким образом, линейный идемпотентный функциональный анализ (см. ниже) является естественным инструментом для исследования нелинейных бесконечномерных задач, обладающих этим свойством.

7 Свертка и преобразование Фурье-Лежандра

Пусть (? - некоторая группа. Тогда пространство В(Х, Ктах) всех ограниченных функций б? —> Ктах (см. выше) является идемпотентным полукольцом относительно следущего аналога обычной операции свертки ©:

Разумеется, можно также использовать и другие функциональные пространства (и другие базовые полукольца вместо Ктах)- В работах [44, 66] групповые полукольца этого типа называются сверточными полукольцами.

Пусть (3 = К", где И.” понимается как топологическая группа относительно векторного сложения. Обычное преобразование Фурье-Лапласа определяется формулой

Б = \х О Б1н\2 & Б2,

где ег^'х является характером группы О и решением следующего функционального уравнения:

поэтому “непрерывные идемпотентные характеры” являются линейными функционалами вида х !-> £ • х = £1X1 + ... + £,пхп. В результате преобразование (8) переходит в преобразование

/*Ф

<р

Уб хев

Преобразование (9) есть не что иное, как преобразование Лежандра (с точностью до обозначений) [65]. Преобразования этого вида устанавливают связь между гамильтоновым и лагранжевым формализмом в классической механике. Преобразование Лежандра порождает идемпотентную версию гармонического анализа в пространстве выпуклых функций (подробнее см., например, [62]).

Разумеется, описанную конструкцию можно обобщить на различные классы групп и полуколец. Преобразования указанного типа переводят обобщенную операцию свертки в поточечное произведение (обобщенное), сохраняя при этом ряд важных свойств обычного преобразования Фурье. Для случая полукольца множеств Парето, хорошо известных в математической экономике, соответствующая версия преобразования Фурье сводит задачу многокритериальной оптимизации к семейству однокритериальных задач [83].

Примеры, обсуждаемые в данном разделе, могут рассматриваться как фрагменты идем-потентной теории представлений, см., например, [57] и раздел 15 ниже. В частности, “идемпотентные” представления групп можно трактовать как представления соответствующих сверточных полуколец (т.е. идемпотентных групповых полуколец) в идемпотентных полу-модулях.

8 Приложения к стохастике и двойственность между теорией вероятности и теорией оптимизации

Идемпотентные меры Маслова являются неотрицательными (в смысле стандартного порядка), как и вероятностные меры. Аналогия между идемпотентной и вероятностной мерой определяет важную взаимосвязь между теорией оптимизации и теорией вероятностей. К настоящему времени исследован целый ряд идемпотентных аналогов вероятностных конструкций, например макс-плюс мартингалы, макс-плюс стохастические дифференциальные уравнения и другие. Например, полученные результаты позволяют перенести мощные стохастические методы в теорию оптимизации. Это было отмечено и исследовано многими авторами (Г. Салю, П. Дел Морал, М. Акиан, Ж.-П. Квадра, В. П. Маслов, В. Н. Коло-кольцов, П. Бернар, У. А. Флеминг, У. М. Макэнэни, А. А. Пухальский и др.), см обзорную статью У. А. Флеминга и У. М. Макэнэни [26]. По поводу приложений к теории больших уклонений см. [1, 18] и особенно книгу А. А. Пухальского [76].

9 Идемпотентный функциональный анализ

Многие конструкции и результаты традиционной математики имеют интересные идемпотентные аналоги. В частности, это относится к основным конструкциям и теоремам функционального анализа. Идемпотентный функциональный анализ является абстрактной версией идемпотентного анализа. Для простоты изложения положим Б = Ытах, и пусть X

- произвольное множество. Идемпотентное интегрирование задается формулой (1), написанной выше. Функционал 1{ф) линеен над Б, и его значения соответствуют предельным значениям соответствующих аналогов сумм Лебега (или Римана). Идемпотентное скалярное произведение двух функций ср и ф определяется формулой

/*Ф

(<Р,Ф) = / 1р(х) © ф(х) йх = вир^ж) © ф(х)).

У* хех

Поэтому естественно построить идемпотентные аналоги интегральных операторов в виде

г©

JY уеУ

где (р(у) - элемент пространства функций, определенных на множестве У, а К(х,у) - функция, заданная на X х У и принимающая значения в Б. Как известно, выражения подобного типа стандартны для теории оптимизации.

Напомним, что описанные выше определения и конструкции могут быть успешно обобщены на случай идемпотентных полуколец, которые условно полны в смысле стандартного порядка. Используя интеграл Маслова, можно сконструировать различные функциональные пространства, а также идемпотентную версию теории обобщенных функций (распределений). Для некоторых конкретных идемпотентных функциональных пространств доказано, что каждый “хороший” линейный (в идемпотентном смысле) оператор может быть представлен в виде (10). Это утверждение является идемпотентной версией теоремы Л. Шварца о ядре; результаты такого рода были получены В.Н. Колокольцовым, П.С. Дудниковым,

„ Г Н ТЯ п1\/Г Д ТТТ ТГ^ТТТТТ ТИТ Т1 ТТГМ ГПТТЛ ТТТ 1ТТ /1X Т Г Т О ПГ~\ 1Г> «АГЛ

*1 схи ^ ^ х\. ¿а¿У!, .ка, vyiri.ni ivx.ii.. I 1 I у * >У! п г>1 IV! .л /-1,^у 1 jm.ava.im съо_> 1. паирпмср?

[21, 44, 66, 67, 87]. Таким образом, каждый “хороший” линейный функционал представим в виде <р ь-> где {,) - идемпотентное скалярное произведение.

В рамках идемпотентного функционального анализа результаты этого типа могут быть доказаны в очень общей ситуации. В работах [54, 55, 56, 57, 58] развита алгебраическая версия идемпотентного функционального анализа. Это означает, что основные топологические понятия и результаты моделируются в чисто алгебраических терминах. Построенная теория охватывает предмет, начиная с основных понятий и результатов (например, идемпотентных аналогов знаменитых теорем Хана-Банаха, Рисса и Рисса-Фишера) и включая идемпотентные аналоги определений и результатов А.Гротендика (А.СгоЛепсПеск) по топологическим тензорным произведениям, ядерным пространстам и операторам. Сформулирована абстрактная версия теоремы о ядре. Отметим, что переход от обычной теории к идемпотентному функциональному анализу может быть весьма нетривиальным. Так, например, существует много неизоморфных идемпотентных гильбертовых пространств. Важные результаты идемпотентного функционального анализа (теоремы о двойственности и отделимости) недавно опубликовали Г. Коэн, С. Гобер и Ж.-П. Квадра [12]. Последнее время идемпотентный функциональный анализ привлекает повышенное внимание.

10 Деквантование геометрии

Идемпотентная версия вещественной алгебраической геометрии была открыта О. Виро и представлена в его докладе на конгрессе в Барселоне [90]. Исходя из идемпотентного принципа соответствия, О. Виро построил кусочно-линейную версию геометрии многогранников специального вида в конечномерномых эвклидовых пространствах, как результат деквантования Маслова обычной вещественной алгебраической геометрии. Он указал на важные приложения к вещественной алгебраической геометрии (например, в рамках 16-ой проблемы Гильберта о построении вещественного алгебраического многообразия с предписанными свойствами и параметрами) и на связь с комплексной алгебраической геометрией и амебами в смысле И.М. Гельфанда, М. М. Капранова и A.B. Зелевинского (см. их книгу [29] и статью О. Виро [91]). Затем комплексная алгебраическая геометрия была деквантована Г. Михалкиным с тем же результатом; эта новая “идемпотентная” (или асимптотическая) геометрия теперь часто называется тропической алгебраической геометрией, см., например, [22, 69, 70, 71, 72, 79].

ПлггттРГ*'ттзл7Ргг рр'тргтчэриттяа д/rpw ttv гтртг-пятл-'т'птэя-игтлгрл/т Л/Гярттптзя Т/Т ял/гр^ял/гтл ТТл/ртч, (

'“V '-'ЧУ а. ¿-V J. ** «luov/u-ivin. J. ДjVlL' yw )

- комплексный тор , где С* = С\{0} - группа ненулевых комплексных чисел по умножению.

Рис. 3: Амеба тропической прямой.

Для г = , гп) 6 (С*)п и положительного вещественного числа /г обозначим через

Logh(z) = /¿к^([;г|) элемент

{Ь^\г1\,Н\ощ\г2\,... ,Н\ощ\гп\) € И".

Рассмотрим комплексное алгебраическое многообразие V С (С*)п; обозначим через Аь,(У) множество Ь^^К). Если Л. = 1, то множество Л(У) = А\(У) называется амебой в V в смысле книги [29], см. также [69, 71, 72, 91]. Амеба Л(У) является замкнутым подмножеством в Л" с непустым дополнением. Отметим, что приведенная конструкция зависит от выбора системы координат.

Для простоты выберем в качестве V гиперповерхность в (С*)п, определяемую полиномом /. Тогда существует деформация этого полинома Л > Д, порожденная деквантованием Маслова, и Д = / для Н = 1. Пусть Уд С (С*)" является множеством нулей полинома Д, и Ан{Ун) = ЬоТогда существует тропическое многообразие Тго(У), такое,что подмножества Аь{Ун) С Я" сходятся к Тго{У) в метрике Хаусдорфа при И -> О, см. [69]. Тропическое многообразие Тго(У) является результатом деформации амебы Л(У) и деквантования Маслова многообразия V. Множество Тго(У) получило название скелета амебы А(у).

Пример [69]. Для прямой V = { (х, у) Е (С*)2 |х + у + 1 = 0} кусочно линейный граф Тго(У) представляет собой тропическую прямую, см. рис. 3(а). Амеба А(У) показана на рис. 3(Ь), тогда как рис. 3(с) демонстрирует соответствующую деформацию амебы.

В важной работе [38] (см. также [22, 69, 71, 79]) тропические многообразия возникают как амебы над неархимедовыми полями.

В 2000 году М. Концевич заметил, что возможно использование неархимедовых амеб в перечислительной геометрии, см. [126, раздел 2.4, замечание 4]. Методы тропической геометрии имеют важные приложения в алгебраической перечислительной геометрии, инвариантах Громова-Виттена и Велыненже. В частности, Г. Михалкин представил и доказал в [70, 72] формулу, перечисляющую кривые произвольного рода на торической поверхности.

В последнее время появилось много других работ по тропической алгебраической геометрии и ее приложениям к обычной (например, комплексной) алгебраической геометрии, а также к другим областям. Дело в том, что некоторые трудные традиционные задачи могут быть сведены к их тропическим версиям, которые, как можно надеяться, не так трудны.

Введение в тропическую алгебраическую геометрию изложено в работе [79]. Тем не менее, в целом сделаны лишь первые шаги в тропической/идемпотентной геометрии, и задача систематического построения идемпотентных версий алгебраической и аналитической геометрии остается открытой.

11 Принцип соответствия для алгоритмов и их компьютерная реализация

В идемпотентной математике существует большое количество важных прикладных алгоритмов. Идемпотентный принцип соответствия справедлив как для самих алгоритмов, так и для их программной и аппаратной реализации [48, 49, 50, 52, 53]. В частности, благодаря принципу суперпозиции, особую важность приобретают алгоритмы линейной алгебры. Хорошо известные алгоритмы линейной алгебры удобны для параллельных вычислений; их идемпотентные аналоги также допускают распараллеливание.

Поэтому имеется регулярный способ использовать параллельные вычисления для решения многих “идемпотентных” задач, включая основные задачи оптимизации. При этом удобно использовать универсальные алгоритмы, не зависящие от конкретного полукольца и его конкретной компьютерной модели. Программная реализация полукольцевых универсальных алгоритмов строится на принципах объектно-ориентированного и обобщенного (generic) программирования; программные модули имеют дело с абстрактными (переменными) операциями и типами данных, см. [48, 50, 52, 53].

Наиболее важные и стандартные алгоритмы имеют много аппаратных реализаций в виде технических устройств или специальных процессоров. Такие устройства могут стать прототипами новых аппаратных устройств, порожденных заменой традиционных арифметических операций на их полукольцевые аналоги, см. [48, 50, 53]. Удачные и эффективные технические идеи и решения могут быть перенесены из прототипов в новые аппаратные устройства. Таким образом, принцип соответствия порождает регулярный эвристический метод для конструирования многочисленных устройств.

12 Идемпотентный интервальный анализ

Идемпотентная версия традиционного интервального анализа изложена в работах [60, 61]. Пусть S - идемпотентное полукольцо, наделенное стандартным порядком. Замкнутым интервалом в S назовем множество вида х = [х, х] = {х £ S | х х =4 х}, где элементы х х называются нижней и верхней границами интервала х. Слабым интервальным расширением I(S) полукольца S назовем множество всех замкнутых интервалов S с операциями  и 0, определенными следующим образом: ху = [ху,хфу], х©у = [х©у,х0у]. Множество I(S) является идемпотентным полукольцом относительно этих операций. Доказано, что основные интервальные задачи идемпотентной линейной алгебры имеют полиномиальную сложность, тогда как в обычном интервальном анализе задачи такого типа в общем случае имеют NP-сложность. Точные интервальные решения для дискретного стационарного уравнения Веллмана (матричные уравнения обсуждались выше в разделе 6) и для соответствующих оптимизационных задач построены Г.Л.Литвиновым и А.Н.Соболевским [60, 61]. Близкие результаты были получены в работе [10].

13 Связь с логикой, нечеткими множествами и теорией возможностей

Пусть S - идемпотентное полукольцо с нейтральными элементами 0 и 1 (напомним, что 0^1, см. выше, раздел 2). Тогда булева алгебра В = {0,1} является естественным подпо-лукольцом в S. Поэтому S может рассматриваться как обобщенная (расширенная) логика с логическими операциями  (дизъюнкция) и © (конъюнкция). Идеи такого рода широко обсуждаются в статьях и монографиях, посвященных обобщенным версиям классической и, особенно, квантовой логики, см., например, [31, 42, 80, 81].

Пусть является так называемым универсумом, состоящим из “элементарных событий”. Обозначим через S) множество функций, заданных на и принимающих значения

в 5; тогда J~(S) представляет собой идемпотентное полукольцо относительно поточечного сложения и умножения функций. Назовем элементы из T(S) обобщенными нечеткими множествами, см. работы [31, 45]. Если S = Р, где Р - отрезок [0,1] с операциями  = шах и О = min, то мы получим классическое определение нечеткого множества (J1.A. Заде [95]). Функции из ^"(Р), принимающие значения в булевой алгебре В = {0,1} С Р, соответствуют обычным множествам из Г2, а полукольцевые операции отвечают стандартным операциям над множествами. В общем случае функции из принимающие значения в

В = {0,1} С S, могут рассматриваться как подмножества в Q. Если S - решетка (т.е. х О у = inf{a:, у} и х  у = sup{a;, у}), то обобщенные нечеткие множества совпадают с L-нечеткими множествами в смысле Дж.А. Гогена [30]. Множество интервалов I(S) является идемпотентным полукольцом, (см. раздел 12 выше), поэтому элементы из Т{1{8)) могут рассматриваться как интервальные (обобщенные) нечеткие множества.

Как хорошо известно, классическая теория нечетких множеств лежит в основе теории возможностей [96, 20]. Разумеется, исходя из обобщенной теории нечетких множеств, можно аналогичным образом строить обобщенную теорию возможностей (см., например [20, 42, 45]). Обобщенные теории могут быть некоммутативными; они выглядят более качественными и менее количественными по сравнению с обычной теорией, представленной в работах [95, 96]. Мы видим, что идемпотентный анализ и теория (обобщенных) нечетких множеств имеют дело с одними и теми же объектами, а именно с функциями, принимающими значения в полукольцах. Тем не менее, основные задачи и методы для обеих теорий могут отличаться (как это происходит с теорией меры и теорией вероятностей).

14 Приложения к другим областям и к смежным наукам

Выше обсуждались некоторые приложения идемпотентной математики к различным теоретическим и прикладным областям математической науки и взаимосвязи идемпотентной математки с другими областями. Разумеется, очень естественной областью для приложений идей и методов идемпотентной математики являются теория оптимизации и теория оптимального управления. По этой теме имеется очень хорошая обзорная статья В.Н. Ко-локольцова [43]; см. также работы [2, 9, 13, 14, 15, 18, 25, 26, 33, 34, 35, 47, 48, 50, 61, 61, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 92, 93, 94, 97, 98].

Существует много интересных приложений к дифференциальным уравнениям и к стохастическим дифференциальным уравнениям, см., например, [25, 26, 35, 44, 63, 64, 65, 66, 67].

Приложения к теории игр обсуждаются, например, в [44, 66]. Существуют интересные приложения в биологии (биоинформатике), см., например, [24, 74]. Связь с математической морфологией и возможные приложения рассматриваются в статье [19] и особенно в расширенном препринте к этой работе. Имеется много интересных взаимосвязей с физикой и соответствующих приложений (квантовая и классическая физика, статистическая физика, космология и т.д.), см., например, раздел 6 выше и работы [44, 56, 57, 78].

Ряд важных взаимосвязей и приложений относится и к чисто математическим областям. Так называемая тропическая комбинаторика обсуждается в большой обзорной статье А.Н. Кириллова [40], см. также [6, 98]. Интересные приложения тропических полуколец к традиционной теории представлений рассматриваются в работах [4, 5, 40]. Тропическая математика тесно связана с весьма популярной теорией кластерных алгебр, основанной А. Зе-левинским и С. Фоминым, см. их обзорную работу [28]. В обоих случаях прослеживается связь с традиционной теорией представлений групп Ли и с другими близкими задачами. Имеются важные связи с выпуклым анализом и с дискретным выпуклым анализом, см., на-

TTr»TJXíDr\ h л 1к с;о К71 н От/лтлг\т тй TíüO^rTTt. фоггтт ттл лттл\т/ттлрттт тт ттЛ1 лтлттттттт tv тт тт-ч /~\ тхттллт/ ттлг LA_I^ xv/? i j • hv^ivuiuj^dj.^ pwjjiuiuiiiii пи ыш/хмшош пДстииiiпо1л и

вычислений могут быть найдены в работах [60, 61, 89].

Начиная с Н.Н.Воробьева [92, 93, 94], многие авторы используют, явно или неявно, конструкции и результаты идемпотентной математики в математической экономике, см., например, [17, 67, 98].

15 Представления групп в идемпотентных линейных пространствах

Для того чтобы коротко (и без доказательств) описать элементы идемпотентной версии

'т'ппгчыгт* тт'поттг‘т'0-0 ттоитттт ртлл/тттт гтг»ггг»0^л70ггг‘сг Т/Г’эттпм^тят’т, т-ГРт^П'тгттлтт ттт^ртттэат^хттрттт^тттатт л/гят'Рпття тт

-А-\^\_>£/.1ГХ.ГХ і.иі-'і/іиііил Х^^АХХХ} XIV/ V X Ііииіидчі іи XXVI ^ л ллу іх х ^»хиххихіх іиілли^/иіліі/лі

15.1 Идемпотентные полумодули и линейные пространства [54, 55, 56, 57]

Напомном, что идемпотентной полугруппой называется произвольная коммутативная (аддитивная) полугруппа с идемпотентным сложением . Такую полугруппу можно рассматривать как упорядоченное множество относительно следующего частичного порядка: х =4 у, если и только если х ф у = у. Легко проверить, что этот порядок корректно определен и х ф у = зир{ж,у). Для любого подмножества X в идемпотентной полугруппе положим фХ = вир(Х) и АХ = тГ(Х), если соответствующая правая часть формулы существует. Идемпотентная полугруппа называется Ь-полной (или ограниченно полной), если любое ее подмножество, ограниченное сверху (в том числе пустое подмножество), имеет точную верхнюю грань. В частности, любая 6-полная идемпотентная полугруппа содержит нулевой элемент (обозначаемый через 0), совпадающий с Ф0, где 0 - пустое множество. Пусть д - гомоморфизм 6-полных идемпотентных полугрупп. Это отображение называется Ъ-гомоморфизмом, если д(фХ) = Фд(Х) для любого подмножества X, ограниченного сверху.

Идемпотентное полуполе называется Ь-полным, если оно 6-полно как идемпотентная полугруппа. В любом таком полуполе справедливы обобщенные дистрибутивные законы:

а © (фХ) = ф(а О X), а 0 (АХ) = А(а 0 X),

где а - произвольный элемент полуполя иХ- ограниченное непустое подмножество полу-поля. Легко убедиться, что Итах является Ь-полным полуполем.

Идемпотентным полумодулем над идемпотентным полукольцом К называется такая идемпотентная полугруппа V, наделенная операцией умножения О ее элементов на элементы из К, что для любых элементов а,Ь Е К и х,у £ V выполняются обычные законы

а<Э(Ь<Эх) = (а©Ь)©ж,

(а ф Ь) © ж = аО х (ВЪО х, а© (ж фу) = а 0 ж ф а © у,

0 0 х = 0.

Идемпотентный полумодуль над идемпотентным полуполем называется идемпотентным пространством. Идемпотентное 6-полное пространство V над 6-полным идемпотентным полуполем К называется идемпотентным Ь-пространством, если для любого непустого ограниченного подмножества С К и любого элемента х £ V выполнены следующие соотношения:

(ф<3)0ж = ф(д©з;), (АС}) Ох = А(<ЭОх).

Гомоморфизм Ь- пространств д :У —> называется Ь-гомоморфизмом или Ь-линейным оператором (отображением), если д(фХ) = д(Х) для любого ограниченного подмножества X С V. Более общие определения (для пространств, которые могут не быть 6-полными) можно найти в [56]. Гомоморфизмы со значениями в полуполе К (которое рассматривается

403

как полумодуль над собой) называются линейными функционалами. Подмножество в идем-потентном пространстве называется подпространством, если оно замкнуто относительно сложения и умножения на элементы из К. Подпространство в fr-пространстве называется b-замкнутым подпространством, если оно замкнуто относительно суммирования любых ограниченных подмножеств в V. Такое подпространство имеет естественную структуру 6-пространства и является 6-подпространством в V в категорном смысле, см. [56].

Для произвольного множества X и идемпотентного пространства V над полуполем К обозначим через B(X,V) полумодуль всех ограниченных отображений из X в V с операциями, определенными поточечно. Если V - идемпотентное 6-пространство, то и B{X,V) является ¿-пространством. Отображение / топологического пространства X в упорядоченное множество V называется полунепрерывным сверху, если для любого элемента Ъ £ V множество {ж £ X\f(x) ^ 6} замкнуто в X, см. [56]. Если V совпадает с множеством вещественных чисел, это определение совпадает с обычным определением полунепрерывно-сти сверху для вещественнозначной функции. Обозначим через USC(X, V) множество всех ограниченных полунепрерывных сверху отображений из X в V. Если V является идемпо-тентным 6-пространством, то и USC(X,V) также является 6-пространством относительно операций /  g = sup{/, g} и (k 0 f)(x) = kQ f(x).

15.2 Архимедовы пространства [86]

В дальнейшем, если противное не оговорено специально, будем полагать, что К - 6-полное идемпотентное полуполе и все идемпотентные пространства рассматриваются над К.

Подмножество М идемпотентного 6-пространства V называется wo-замкнутым, если АХ € М и Х £ М для любого линейно упорядоченного подмножества X С М в V. Неубывающее отображение 6-пространств / : V —¥ W называется wo-непрерывным, если /(©X) = /(Х) и /(АХ) = Af(X) для любого ограниченного линейно упорядоченного подмножества X С V. Отметим, что произвольный изоморфизм упорядоченных множеств является wo-непрерывным. Можно показать, что понятия шо-замкнутости и wo-непрерывности совпадают с замкнутостью и непрерывностью относительно некоторой Т1 топологии, определяемой в терминах порядка.

Предложение 1 Предположим, что V - идемпотентное b-пространство и W является wo-замкнутой подполугруппой в V. Тогда Х 6 W для любого подмножества X С W, ограниченного в V.

Следствие 1 Любое wo-замкнутое подпространство в идемпотентном Ь-пространстве является Ъ-замкнутым подпространством.

Элемент х идемпотентного пространства V называется архимедовым, если для любого элемента у G V найдется такой элемент А £ К, что А О а; )р= у. Для архимедова элемента х € V формула х*(у) = А{к £ К\к О х у} определяет отображение х* : V —> К. Если V является идемпотентным 6-пространством, то х* является 6-линейным функционалом и х*(у) © х у для любого элемента у £ V, см. [56]. Будем говорить, что архимедов элемент X £ V является wo-непрерывным, если функционал Ж* является W О- Н е ПI) ер ы в и ы м. Идемпотентное 6-пространство V назовем архимедовым, если V содержит wo- непрерывн ый архимедов элемент.

Предложение 2 Если X - компактное топологическое пространство, то пространство USC(X,K) является архимедовым, причем функция е, тождественно равная 1, является wo-непрерывным архимедовым элементом.

Отметим, что е*(/) = sup{/(ж)|ж £ X}.

Теорема 1 Любое шо-замкнутое подпространство архимедова пространства является архимедовым пространством. Любое линейно упорядоченное (относительно включения) семейство ненулевых wo-замкнутых подпространств архимедова пространства V имеет ненулевое пересечение.

Пусть V - ¿-пространство. Подпространство W С V называется А-подпространством, если оно замкнуто относительно умножения на скаляры (т.е. элементы из К) и взятия точной нижней грани непустых подмножеств. Согласно этому определению, любое такое Л-подпространство W является ограниченно полной решеткой относительно порядка, наследуемого из V. Таким образом, любое Л-подпространство W С V можно рассматривать как полумодуль над К относительно наследуемого умножения на скаляры и операции х w У = sup{.r, у}, где sup берется в W. В дальнейшем все Д-подпространства рассматриваются как полумодули относительно этих операций. Из определений немедленно следует, что любое Л-подпространство 6-пространства является 6-пространством. Легко показать, что USC(X,V) является Л-подпространством в B(X,V) для любого 6-пространства V и любого топологического пространства X.

Предложение 3 Если V - архимедово b-пространство и х Е V является wo-непрерывным архимедовым элементом, то любое А-подпространство в V, содержащее этот элемент х, является архимедовым Ь-пространством.

Произвольное полукольцо К называется алгебраически замкнутым (или радикабелъ-ным, см., например, [13, 14]) если для любого элемента х Е К и любого целого положительного числа п существует такой элемент у & К, что уп = х. Легко убедиться, что Rmax является 6-полным алгебраически замкнутым полуполем.

Теорема 2 Идемпотентное b-пространство V над алебраически замкнутым Ь-полным идемпотентным полуполем К является архимедовым тогда и только тогда, когда существует такое пространство вида USC{X,K), где X - компактное топологическое пространство, что V изоморфно А-подпространству в USC(X,K), содержащему константы.

15.3 Представления групп в архимедовых пространствах

Предположим, что V - архимедово идемпотентное 6-пространство над алгебраически замкнутым 6-полным идемпотентным полуполем (например, над Rmax). Обозначим через Ногп(У) множество всех 6-линейных операторов V —> V. Это множество является идем-потентной полугруппой относительно поточечной суммы и 6-пространством над К относительно стандартного умножения на скаляры из К. Обычное умножение (композиция) отображений превращает Ногп(У) в идемпотентное полукольцо (и 6-полную полуалгебру над К).

Пусть G - абстрактная группа. Линейным представлением ж : G —» Нот(У) группы G в архимедовом пространстве V назовем гомоморфизм 7Г этой группы в группу всех обратимых элементов из Hom(F) (относительно композиции операторов). Представление 7г назовем (топологически) неприводимым, если пространство V не имеет нетривиальных -шо-замкнутых 7г(С?)-инвариантных подпространств.

Теорема 3 Любое линейное представление группы G в архимедовом идемпотентном пространстве V имеет нетривиальное неприводимое подпредставление в wo-замкнутом подпространстве пространства V.

Теорема 4 Пусть тт - линейное представление группы G в архимедовом идемпотентном пространстве V и для некоторого ненулевого элемента х € V орбита ir(G)x ограничена. Положим а = (7г(G)x). Тогда ж(д)а = а для любого элемента g Е G.

Будем говорить, что представление 7г группы £ в V имеет (ненулевой) общий собственный вектор а 6 У, если 7г(д)а = Х(д)а для всех элементов д £ С, где Х(д) 6 К.

Следствие 2 Любое линейное представление конечной группы в архимедовом идемпо-тентном пространстве имеет общий собственный вектор с единственным собственным значением 1.

Следствие 3 Любое полунепрерывное сверху линейное представление компактной группы в архимедовом идемпотентном пространстве имеет общий собственный вектор с единственным собственным значением 1.

15.4 Теорема типа Энгеля для представлений нильпотентных групп

Пусть б - абстрактная группа. Для элементов а,Ь £ С положим [а, Ь] = а~1Ь~1аЬ\ для подмножеств X и У в С обозначим через [X, У] подгруппу в (3, порожденную множеством {[х,у\\х £ Х,у £ У}. Положим Г0(С^) = С, ГДв) = [С, Гг_1(С)], г = 1,2,3,...

Напомним, что абстрактная группа О является нилъпотентной тогда и только тогда, когда существует такое целое положительное число п, что Г„(Сг) = {е}, где е - нейтральный элемент (единица) группы (3.

Теорема 5 Любое линейное представление нилъпотентной абстрактной группы в архимедовом идемпотентном пространстве над алгебраически замкнутым идемпотентным полуполем (например, над Ктах^ имеет общий собственный вектор.

Следствие 4 Любое семейство коммутирующих обратимых Ъ-линейных операторов в архимедовом идемпотентном пространстве над алгебраически замкнутым Ь-полным полуполем имеет общий собственный вектор.

Следствие 5 Любой обратимый Ь-линейный оператор в произвольном архимедовом идемпотентном пространстве над алгебраически замкнутым Ь-полным полуполем имеет собственный вектор.

Замечание. Для представлений абстрактных разрешимых групп в идемпотентных пространствах соответствующая версия теоремы Ли неверна. Более того, существует неприводимое линейное представление разрешимой группы в идемпотентном пространстве V — Г^:пах X И-шах над ПОЛуПОЛвМ Ищах-

Список литературы

[1] М. Akian, Densities of idempotent measures and large deviations, Trans. Amer. Math. Soc. 351 (1999), 4515-4543.

[2] F. Baccelli, G. Cohen, G. J. Olsder, and J.-P. Quadrat, Synchronization and Linearity: An Algebra for Discrete Event Systems, John Wiley k, Sons Publishers, New York e.a., 1992.

[3] M. Bardi, I. Capuzzo-Dolcetta, Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman Equations, Birkhauser, Boston-Basel-Berlin, 1997.

[4] A. Berenstein, S. Fomin, and A. Zelevinsky, Parametrizations of canonical bases and totally positive matrices, Adv. Math. 122 (1996), 49-149.

[5] A. Berenstein and A. Zelevinsky, Tenzor product multiplicities, canonical bases and totally

j)oszivVa vGiVz&iv&s invent 143 (2001) 77-128

[6] P. Butkovic, On the combinatorial aspects of max-algebra. - In [51], p. 93-104.

[7] I. Capuzzo Dolcetta, P.-L. Lions (Eds.), Viscosity solutions and applications, Lectures given at the 2nd Session of the C.I.M.E. held in Montecatini Terme, Italy, June 12-20, 1995. Lecture Notes in Mathematics 1660, 1997.

[8] B. A. Carré, An algebra for network routing problems, J. Inst. Appl. 7 (1971), 273-294.

[9] B. A. Carré, Graphs and networks, The Clarendon Press/Oxford University Press, Oxford, 1979.

[10] K. Cechlárová and R. A. Cuninghame-Green, Interval systems of max-separable linear equations, Linear Algebra and its Applications 340 (2002), 215-224.

[11] G. Choquet, Theory of capacities, Ann. Inst. Fourier 5 (1955), 131-295.

[12] G. Cohen, S. Gaubert, and J.-P. Quadrat, Duality and separation theorems in idempotent semimodules, Linear Algebra and its Applications 379 (2004), 395-422. Also arXiv:math.FA/0212294.

[13] R. A. Cuninghame-Green, Minimax algebra, Springer Lect. Notes in Economics and Mathematical Systems 166, Berlin et al., 1979.

[14] R. A. Cuninghame-Green, Minimax algebra and applications, Advances in Imaging and Electron Physics 90 (1995), 1-121. (Academic Press, New York).

[15] R. Cuninghame-Green and P. Meijer, An algebra for piesewise-linear minimax problems, Dicsrete Appl. Math. 2 (1980), 267-294.

[16] V. I. Danilov, G. A. Koshevoi, Discrete convexity, Zapiski nauchnyh seminarov POMI 312 (2004) [in Russian],

[17] V. Danilov, G. Koshevoi, and K. Murota, Discrete convexity and equilibria in economics with indivisible goods and money, Math. Soc. Sci. 11 (2001), 251-273.

[18] P. Del Moral, A survey of Maslov optimization theory. - In: V. N. Kolokoltsov and V. P. Maslov, Idempotent Analysis and Applications, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1997, p. 243-302 (Appendix).

[19] P. Del Moral and M. Doisy, On the applications of Maslov optimization theory, Mathematical Notes 69 (2001), no. 2, 232-244.

[20] D. Dubois, H. Prade, and R. Sabbadin, Decision-theory foundations of qualitative possibility theory, European Journal of Operational Research 128 (2001), 459-478.

[21] P. S. Dudnikov and S. N. Samborskii, Endomorphisms of semimodules over semirings with an idempotent operation, preprint of the Mathematical Institute of the Ukrainian Academy of Sciences, Kiev, 1987 (in Russian); Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. math. 55 (1991), no. 1, 93-109; English transí, in Math. USSR Izvestiya 38 (1992), no. 1, 91-105.

[22] M. Einsiedler, M. Kapranov, and D. Lind, Non-archimedean amoebas and tropical varieties, arXiv:math.AG/0408311, 2004.

[23] R. Feynman and A. Hibbs, Quantum mechanics and path integrals, McGraw-Hill, New-York, 1965.

[24] A. V. Finkelstein and M. A. Roytberg, Computation of biopolymers: a general approach to different problems, BioSystems 30 (1993), 1-20.

[25] W. H. Fleming and W. M. McEneaney, A max-plus-based algorithm for a Hamilton-Jacobi-Bellman equation of nonlinear filtering, SIAM J. Control Optim. 38 (2000), no. 3, 683-710.

[26] W. H. Fleming and W. M. McEneaney, Max-plus approaches to continuous space control and dynamic programming. — In [51], p. 145-160.

[27] W. H. Fleming and H. M. Soner, Controlled Markov processes and viscosity solutions, Springer, New York, 1993.

[28] S. Fomin and A. Zelevinsky, Cluster algebras: Notes for the CDM-03 Conference, Conf. “Current Developments in Mathematics 2003” held at Harvard University on November 21-22, 2004, arXiv:math.RT/0311493, v. 2, 2004.

[29] I. M. Gelfand, M. M. Kapranov, and A. Zelevinsky, Discriminants, resultants, and multidimensional determinants, Birkhauser, Boston, 1994.

[30] J. A. Goguen, L-fuzzy sets, J. of Math. Anal. Appl. 18 (1967), no. 1, 145-174.

[31] J. S. Golan, Semirings and their applications, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1999.

[32] J. S. Golan, Semirings and affine equations over them: thery and applications, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2003.

[33] M. Gondran and M. Minoux, Graphes et algorithmes, Editions Eyrolles, Paris, 1979, 1988.

[34] M. Gondran and M. Minoux, Graphes, dioides et semi-anneaux, Editions TEC&DOC, Paris e.a., 2001.

[35] J. Gunawardena (Ed.), Idempotency, Publ. of the Newton Institute, Vol. 11, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

[36] J. Gunawardena, An introduction to idempotency. — In [35], p. 1-49.

[37] E. Hopf, The partial differential equation ut + uux = /j,uxx, Comm. Pure Appl. Math. 3 (1950), 201-230.

[38] M. M. Kapranov, Amoebas over non-Archimedian fields, Preprint, 2000.

[39] K. H. Kim and F. W. Roush, Inclines and incline matrices: a survey, Linear Algebra and its Applications 379 (2004), 457-473.

[40] A. N. Kirillov, Introduction to tropical combinatorics. - In: A. N. Kirillov and N. Liskova (Eds.), Physics and Combinatorics 2000, Proc. of the Nagoya 2000 Intern. Workshop, World Scientific, 2001, p. 82-150.

[41] S. C. Kleene, Representation of events in nerve sets and finite automata. - In: J. McCarthy and C. Shannon (Eds), Automata Studies, Princeton University Press, Princeton, 1956, pp. 3-40.

[42] E. P. Klement and E. Pap (Eds.), Mathematics of Fuzzy Systems, 25th Linz Seminar on Fuzzy Set Theory, Linz, Austria, Feb. 3-7, 2004. Abstracts. J. Kepler Univ., Linz, 2004.

[43] V. N. Kolokoltsov, Idempotency structures in optimization, Journal Math. Sci. 104 (2001), no. 1, 847-880.

[44] V. Kolokoltsov and V. Maslov, Idempotent analysis and applications, Kluwer Acad. Publ., 1997.

[45] G. L. Litvinov, Dequantization of mathematics, idempotent semirings and fuzzy sets. - In

[42], p. 113-117.

[46] G. L. Litvinov, The Maslov dequantization, idempotent and tropical mathematics: a very brief introduction. - In [51], p. 1-17.

[47] G. L. Litvinov, The Maslov dequantization, idempotent and tropical mathematics: a brief introduction, arXiv:math.GM/0507014, 2005. To be published in Journal of Mathematical Sciences.

[48] G. L. Litvinov and V. P. Maslov, Correspondence principle for idempotent calculus and some computer applications, (IHES/M/95/33), Institut des Hautes Etudes Scientifiques, Bures-sur-Yvette, 1995. Also arXiv:math.GM/0101021.

[49] G. L. Litvinov and V. P. Maslov, Idempotent mathematics: correspondence principle and applications, Russian Mathematical Surveys 51 (1996), no. 6, 1210-1211.

[50] G. L. Litvinov and V. P. Maslov, The correspondence principle for idempotent calculus and some computer applications. — In [35], p. 420-443.

[51] G. L. Litvinov and V. P. Maslov (Eds.), Idempotent mathematics and mathematical physics, Contemporary Mathematics, Vol. 377, AMS, Providence, RI, 2005.

[52] G. L. Litvinov and E. V. Maslova, Universal numerical algorithms and their software implementation, Programming and Computer Software 26 (2000), no. 5, 275-280. Also arXiv:math.SC/0102114.

[53] G. L. Litvinov, V. P. Maslov, and A. Ya. Rodionov, A unifying approach to software and hardware design for scientific calculations and idempotent mathematics, International Sophus Lie Centre, Moscow 2000. Also arXiv:math.SC/0101069.

[54] G. L. Litvinov, V. P. Maslov, and G. B. Shpiz, Linear functionals on idempotent spaces: an algebraic approach, Doklady Mathematics 58 (1998), no. 3, 389-391. Also arXiv:math.F A/0012268.

[55] G. L. Litvinov, V. P. Maslov, and G. B. Shpiz, Tensor products of idempotent semimodules. An algebraic approach, Mathematical Notes 65 (1999), no. 4, 497-489. Also arXiv:math.FA/0101153.

[56] G. L. Litvinov, V. P. Maslov, and G. B. Shpiz, Idempotent functional analysis. An algebraic approach, Mathematical Notes 69 (2001), no. 5, 696-729. Also arXiv:math.FA/0009128.

[57] G. L. Litvinov, V. P. Maslov, and G. B. Shpiz, Idempotent (asymptotic) analysis and the representation theory. - In: V. A. Malyshev and A. M. Vershik (Eds.), Asymptotic Combinatorics with Applications to Mathematical Physics. Kluwer Academic Publ., Dordrecht et al, 2002, p. 267-278. Also arXiv:math.RT/0206025.

[58] G. L. Litvinov and G. B. Shpiz, Nuclear semimodules and kernel theorems in idempotent analysis: an algebraic approach, Doklady Mathematics 66 (2002), no. 2, 197-199. Also arXiv math.FA/0202026.

[59] G. L. Litvinov and G. B. Shpiz, The dequantization transform and generalized Newton polytopes. — In [51], p. 181-186.

[60] G. L. Litvinov and A. N. Sobolevskii, Exact interval solutions of the discrete Bellman equation and polynomial complexity of problems in interval idempotent linear algebra, Doklady Mathematics 62 (2000), no. 2, 199-201. Also arXiv:math.LA/'0101U41.

[61] G. L. Litvinov and A. N. Sobolevskiï, Idempotent interval analysis and optimization problems, Reliable Computing 7 (2001), no. 5, 353-377. Also arXiv:math.SC/0101080.

[62] G. G. Magaril-Il’yaev and V. M. Tikhomirov, Convex analysis: theory and applications, Translations of Mathematical Monographs, vol. 222, American Math. Soc., Providence, RI, 2003.

[63] V. P. Maslov, New superposition principle for optimization problems. — In: Seminaire sur les Equations aux Dérivées Partielles 1985/86, Centre Math. De l’Ecole Polytechnique, Palaiseau, 1986, exposé 24.

[64] V. P. Maslov, On a new superposition principle for optimization problems, Uspekhi Mat. Nauk, [Russian Math. Surveys], 42, no. 3 (1987), 39-48.

[65] V. P. Maslov, Méthodes opératorielles, Mir, Moscow, 1987.

[66] V. P. Maslov and V. N. Kolokoltsov, Idempotent analysis and its application in optimal control, Nauka, Moscow, 1994.

[67] V. P. Maslov and S. N. Samborskiï (Eds), Idempotent analysis, Adv. in Sov. Math., vol. 13, AMS, RI, 1992.

[68] V. P. Maslov and K. A. Volosov (Eds.), Mathematical aspects of computer engineering, MIR Publ., Moscow, 1988.

[69] G. Mikhalkin, Amoebas of algebraic varieties, Notes for the Real Algebraic and Analytic Geometry Congress, June 11-15, 2001, Rennes, France. Also arXiv:math.AG/0108225, 2001.

[70] G. Mikhalkin, Counting curves via lattice path in polygons, C.R. Acad. Sci. Paris 336 (2003), no. 8, 629-634.

[71] G. Mikhalkin, Amoebas of algebraic varieties and tropical geometry, to be published in volume “Different faces in Geometry.” Also arXiv:math.AG/0403015, 2004.

[72] G. Mikhalkin, Enumerative tropical algebraic geometry in R2, Journal of the ACM, 2005 (in press). Also arXiv:math.AG/0312530.

[73] E. Nelson, Probability theory and Euclidean field theory, Constructive quantum field theory, vol. 25, Springer, Berlin, 1973.

[74] L. Pachter and B. Sturmfels, The mathematics of phylogenomics, arXiv:math.ST/0409132, 2004.

[75] J. E. Pin, Tropical semirings. - In [35], p. 50-60.

[76] A. A. Puhalskii, Large Deviations and Idempotent Probability, Chapman and Hall/CRC Press, London/Boka Raton, FL., 2001.

[77] J.-P. Quadrat, Théorèmes asymptotiques en programmation dynamique, Comptes Rendus Acad. Sci., Paris 311, (1990), 745-748.

[78] J.-P. Quadrat and Max-Plus working group, Min-plus linearity and statistical mechanics, Markov Processes and Related Fields 3 (1997), no. 4, 565-587.

[79] J. Richter-Gebert, B. Sturmfels, and T. Theobald, First steps in tropical geometry. — In

[51], p. 289-318. Also arXiv:math.AG/0306366.

[80] К. I. Rosenthal, Quantales and their applications, Pitman Research Notes in Mathematics Series, Longman Sci.&Tech., 1990.

[81] K. I. Rosenthal, The theory of quantaloids, Pitman Research Notes in Mathematics Series 348, LongmanHarlow, 1996.

[82] I. V. Roublev, On minimax and idempotent generalized weak solutions to the Hamilton-Jacobi Equation. - In [51], p. 319-338.

[831 S. N. Samborskii, A.A. Tarashchan, The Fourier transform and semirinqs of Pareto sets.

- In: [67], p. 139-150.

[84] E. Schrödinger, Quantization as an eigenvalue problem, Annalen der Physik 364 (1926), 361-376 [in German],

[85] G. B. Shpiz, Solution of algebraic equations over idempotent semifields, Uspekhi Matem. Nauk [Russian Math. Surveys] 55 (2000), no. 5, 185-186.

[86] G. B. Shpiz, Теорема о собственном векторе в идемпотентных пространствах, Доклады Академии Наук, том 374 (2000), no. 1, с. 26-28.

[87] I. Singer, Some relations between linear mappings and conjugations in idempotent analysis, J. Math. Sei. 115 (2003), no. 5, 2610-2630.

[88] A. I. Subbotin, Generalized solutions of first order PDEs: The dynamic optimization perspective. Birkhäuser, Boston, 1996.

[89] T. Theobald, On the frontiers of polynomial computations in tropical geometry, arXiv:math.CO/0411012, 2004.

[90] O. Viro, Dequantization of real algebraic geometry on a logarithmic paper. — In: 3rd European Congress of Mathematics, Barcelona, 2000. Also arXiv:math/0005163.

[91] O. Viro, What is an amoeba?, Notices of the Amer. Math, Soc. 49 (2002), 916-917.

[92] N. N. Vorobjev, The extremal matrix algebra, Soviet Math. Dokl. 4 (1963), 1220-1223.

[93] N. N. Vorobjev, Extremal algebra of positive matrices, Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik 3

[94] N. N. Vorobjev, Extremal algebra of nonnegative matrices, Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik 6

[95] L. A. Zadeh, Fuzzy sets, Information and Control 8 (1965), 338-353.

[96] L. A. Zadeh, Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility, Fuzzy Sets and Systems, 1 (1978), 3-28.

[97] K. Zimmermann, Solution of some max-separable optimization problems with inequality constraints. — In [51], p. 363-370.

[98] U. Zimmermann, Linear and combinatorial optimization in ordered algebraic structures, Ann. Discrete Math., 10 (1981), 1-380.