Многоканальные системы массового обслуживания замкнутого типа

УПРАВЛЕНИЕ, ИНФОРМАТИКА И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА

УДК 519.872

Р. Ф. Гильмутдинов, А. П. Кирпичников МНОГОКАНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ЗАМКНУТОГО ТИПА

Ключевые слова: Система массового обслуживания, поток требований, очередь, обслуживающее устройство.

Представлена математическая модель многоканальной системы массового обслуживания замкнутого типа. Проведена подробная математическая формализация модели и впервые вычислены вторые моменты всех важнейших числовых характеристик систем массового обслуживания этого типа.

Keywords: queuing system, flow of requirements, queue, serving device.

The mathematical model of single-channel system of mass service of the closed type is presented. A detailed mathematical formalization of the model is held; for the first time the second moments of all the important numerical characteristics of queuing system of this type are calculated.

В ранее опубликованной работе авторов [1] была подробно изучена одноканальная система массового обслуживания (СМО) замкнутого типа (по классификации Кендалла - модель М/МУ1//Ы). Полученная в этой работе система формул позволяет адекватно описать все основные характеристики стационарных режимов такого рода одноканальной СМО, включая вероятность простоя системы р0, среднее число заявок, находящихся под обслуживанием т, общее число заявок в системе к, среднюю длину очереди I, а также вычислить соответствующие этим характеристикам временные величины. В этой работе были также рассчитаны вторые моменты всех интересующих нас числовых величин.

Между тем, значительный интерес представляет также исследование таких недостаточно изученных к настоящему времени систем массового обслуживания, у которых число обслуживающих каналов не равно единице, поскольку именно такие системы чаще всего бывают востребованы на практике (например, [2 - 3]). Изучению такого типа СМО посвящена настоящая работа.

Итак, рассмотрим теперь более общий случай замкнутой СМО, имеющей в наличии т обслуживающих каналов. Все каналы имеют одинаковую интенсивность обслуживания /и . Точно так же, как и в предыдущем случае, общая интенсивность поступающего в систему потока заявок составляет - к). Очевидно при этом, что если число приборов превышает общее число N требований в системе (или равно ему), то для каждого требования можно выделить свой обслуживающий прибор и, таким образом, требования никогда не будут ожидать обслуживания. При этом приборы, не связанные ни с одним из требований, останутся бездействующими и их можно вообще не учитывать. Таким образом, нам достаточно рассмотреть лишь тот случай, когда т < N .

Граф такой системы имеет вид, изображенный на рис. 1 (на языке символики Кендалла - это система М/М/т//Ы).

N Я (N-1)Я (N-2 )Я (N - m+ 2 )Я (-m+1) (N-m ) (N - m-1) Я

ц 2ц 3ц (т-1)^ тц тц тц тц

Рис. 1 - Граф замкнутой многоканальной системы массового обслуживания

Вычисляя вероятности стационарных состояний системы обычным образом, имеем

Ж!

Р1 =(-Т)! РРо;

Ж! 2

Р2 = <„ ро;

(N - 2)!2!'

N! 3

p3 = ,„ w.^.p po;

(n - 3)!3Ґ

_ N! m _ .

pm = ґлт \i іP p0 ;

(N - m)!m!1

p = N! p+1 „ .

pm+1 = (^T i\i iP p0;

(N-m -1)!mm!'

r = N! im + 2 r . .

pm+2 = 7-------------ч---о----P p0. — .

(N - m - 2)!m 2 m!

pN - 2 =

pn-1 =

N!

2!mN - m - 2 m!

N!

N-m-1 1!m m!

N-2 P po .

N-1 P po .

PN =

N1

0!mN-т т!

РН Р0-.

так что в общем виде

Рк =

N!рk

(N - к=к!

Ро при к < т ;

N!рk

или

Рк =7----------^ Ро при т < к < N

(N - к)! т !т -т

дг[к 1 к

N 1 р „к к і

Рк=----------—Ро =CN Р Ро при к<т ;

к!

N[к ]Рк , лг

Рк = . к - т Ро при т < к < N,

т! т

где 0%=-,—N^— = N[к]/к! - биномиальные

Л (N - к=к! 1

эффициенты. Ясно, что при этом

ко-

Ро =

к=о

к!

т! к=т+1 тк т

Для случая т = N очереди нет, и тогда имеем особенно простую зависимость

[к]р% ,/2 ск к 1 = У 2 ^ р =(^

/- \ N N[к 1 р" / N к к

Ро( = о)1/ 2 " р =^ 2 с% р

к=о к! / к=о

Числовые характеристики установившегося режима

Вероятность ожидания

1 N-1 , ч

Рожид = — 2 ( Ж^- к ) Рк =

N - к к=т

= *» = (д, - к =

т! р - к )к=т т т

тро

!рV-k)

N-1 N[к+1 !рк

к + 1- т

рт!у N - к )к=т т

N

2 Рк =

т N

рр - к ) = = т + 1

(

1- 2 Рк

рр - к = „

Вероятность немедленного обслуживания

1 т-1 , , р0 т-1 Ж ^к Р

Робсл=—= Е (Ж-к)рк=-Р0Т Е (Ж-к)—к-Р= Ж-кк=0 Ж - к к=0 к!

Ро т-1 ( 1РЖ[к+1 Р = { -\ Е (к +1)----------£—=

р(Ж - к )к=о (к+1)!

1 т

—(----=1 Е к рк .

р\Ж - к )к=1

Если т = Ж , то рОЖид (/ = 0 )= 0, Робсл (/ = 0 )= 1, что очевидно.

Среднее число требований, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых обслуживающих устройств, среднее число занятых каналов),

— т N т

т= 2 к Рк + т 2 Рк = 2 к р% + т

к=о к=т+1 к=о

т-1 / \

= т - 2 (т - к )р% к = о

(

1 - 2 Рк

откуда следует

т-1 / \ —

2 (т - к )Рк=т - т , к=о

при этом коэффициент загрузки системы определяется обычным образом как т/т. Вышеуказанный

способ определения среднего числа занятых каналов является наиболее удобным при расчете числовых характеристик замкнутых СМО, поскольку позволяет свести задачу, в конечном счете, к вычислению не всех Ж вероятностей стационарных состояний, а лишь т -1 из них. Формулы (1), (2) справедливы,

конечно, и для всех соответствующих типов открытых систем массового обслуживания (в тех случаях, когда Ж )..

При т=Ж очередь в системе отсутствует, в этом случае имеем

-(- \ N N к к й N к к

т(I=о )= 2 кРк=Ро 2 кСм р =Ро р— 2 См р =

к=о к=о ар к=о

=Ро р-р

ар 1+р

Ясно, что т (/ = 0 )> т при одном и том же Ж .

Возможно, что более удачным (по крайней мере, более точным) было бы обозначение соответствующей величины как т (т = Ж), однако, в то время как т и Ж принадлежат к параметрам СМО, средняя длина очереди / является важнейшей ее характеристикой, поэтому принятое обозначение вышеуказанной величины представляется более наглядным.

Полное число заявок в системе

1

-Ж Ж , ,

к = Е к рк = Е (к - Ж + Ж)рк = к=0 к=0

Ж Ж -1

= Ж Е Рк - Е (Ж - к)рк = к=0 к=0

т -1 Ж -1

=Ж - Е (Ж - к )рк - Е (Ж - к )рк =

к=0 к=т

т-1 Ж [к 1 рк

= Ж - р о Е (Ж - к)-------£--

к=0 г 1к!

- ро Ж-1 (ж - к))'|к |р‘ =

т! к = т т'

к-т

= Ж -

Р о

т-1 Ж к + 11 рк

Е (к +1)—,--------

(к +1)!

р к=0

тро

Ж

-1 Ж к+11 рк

рт! к=т тк+1-т

=Ж-е кЖ^к1р - тРо ее Ж ^Р

р к=0 к! рт! к=т+1 тк-т

..1 т т Ж

= Ж-----Е к Рк------Е Рк =

р к=0 р к = т + 1

= Ж-—

р

тЖ Е к Рк + т Е Рк

к = 0 к=т + 1

т

-Ж----.

р

При т = Ж имеем к (/ = 0 )= т (/ = 0 ), и из последнего соотношения, в частности, автоматически следует формула для (3). Как видим, для модели М/М/т//К конечное выражение для общего числа требований в системе формально ничем не отличается от соответствующей зависимости, установленной для одноканальной модели (отличие заключается лишь в том, какой вид в каждой из этих двух моделей имеет соответствующая формула для т). Заметим также, что точно так же, как в предыдущем случае, это соотношение можно получить и более простым путем:

А = -1(Ж-~к)=р(ж_

т =— =

М М

и тогда

£ обсл = т /Л; к = Ж - т /р ;

т Ж т

рожид = =' Е рк = =’

тк=т+1 т

(

т

1 - Е Рк к=0

1т

Робсл = = Е кРк .

т к=1

Для проверки:

рожид + робсл = —

т

тЖ Е к рк + т Е Рк

=1 .

Среднее число заявок, находящихся в очереди на обслуживание (средняя длина очереди),

- - — ЛГ т — лг —1 + р

I = к - т = Ж---т = Ж - т——

Р

Р

или

I = Ж

1-

т

т

(формально та же зависимость, что и для одноканальной модели). При т = Ж

к

, рожид (1 = 0 )= 0,

Робсл (/ = 0 )=1, Л (/ = 0 )=2Ж/(1+р). Для проверки:

- Ж , ч Ж Ж

/ = Е (к-т )рк = Е кРк -т Е Рк =

к=т+1 к=т+1 к=т+1

Ж

Ж

= Е к Рк - Е к Рк - т Е Рк = к - т

к=0

к=0

к = т +1

Перейдем к рассмотрению вторых моментов соответствующих величин. Дисперсия числа требований, одновременно находящихся под обслуживанием,

Ж

—2

= Е к рк + т Е Рк - т =

к=0

т 2 2

= Е к рк + т к = 0

к+т+1

т

1 - Е Р к

V к =0 У

— 2

-т =

2 т 1 I 2 , 2^ —2

= т - Е 1т - к I рк - т = к=0

= т2 -т Е (т-к)рк - Е (т -к)кРк -т =

к=0

к=0 т-1

= т (т-т )- Е (т - к )к

к = 0

Рк

в силу формулы (2). Найдем сумму, стоящую в правой части последнего выражения. Обозначим эту сумму £ (при т=1 £ = 0 ), и тогда

т-1 / \

£ = - е (т - к )(Ж - к - Ж )рк = к = 0

т-1 , . т-1 / ч/ ч

= Ж Е (т - к )рк -Е (т - к ))Ж - к )рк = к = 0 к = 0

/ т-1 Жкк 1/к

= Ж1т - т I- ро Е (т - к рЖ - к )-----------------=

к=0 к!

I Р0 т-1 < \< \Жкк+11 Рк + 1

-Ж (т - т )--£-° Е (т - к )к + 1)—------------Ц;---

У ’ Р к=А 7 (к +1 р

Р к = 0

= Ж (т - т )- т (т - к + 1 )к Ж ^ ^Р

Х ’ Р к=1 ’ к!

(т - т )—1 2 (т - к + 1 )к р% = N (т - т )-рк=о

С 1 т і

--------2 к Рк .

р рк=о

Отсюда следует

С =

рN (т -т )-т Ровсл 1+р

рN

1+р

то есть

ат = т (т -т рС =

-і -т=+т(1-Рожид)-рN(т-т = _ у 7 1+р

т(1 -Рожид = +(т-тNт рN

1+р

(т -т - т——Д-

' 'I 1 +р

или

2 = т\ 1 -

& т

(1 - Рожид )-р( т - т =1 1+р

Ясно, что при т = N отсюда имеем

рN

=о)==_ ' ' 1+р (1

р (1+р)2

Для проверки:

2 /“ \ N 2 —2 N 2 к к —2

а2\і = о 1= 2 к2 Рк - к = ро 2 к2 Ск рк - т =

к=о к=о

/ —т-1 ґ \ N [к 1 рк

= lN - к )к - ро 2 (N - к )к-—

к=о к!

.ро V (- к =kN |к]рк

т! к=т

к - т

= ( N - к) к-

л т-1 (к+1 -1 -к+1

р к=о (к+1)!

тро

р т! к=т

N-1 N[к+1 рк+1

2

т

р к+1-т

=к lN - к—

Ро

р к=о

И-1 / Ч'

2 (к +1 -

[к + 1] рк + 1

^ р (к +1 -

тро ^1 рт! к = т

-г ( = [к + 1]рк'!+1

2 (к +1 =—кП-—

+

т

+ тро ^г1 N[к+1 рк+1 =

р т !/ м^к + 1- т

т! к=т т

(— 1 то 1 т

N - к = к 2 к рк + 2 крк -

рк=о р к=о

т N т N

---2 кРк +— 2 Рк =

р к=т+1 р к=т+1

N / \ к к N к к -2

= ро 2 к (к-1)Ск рк + ро 2 %С% рк - т = к = о к=о

тЬ 1 т 2 т N т

1N — к і к----2 к рк---------2 к р% +— -

р к=о р к = т+1 р

=Ро р

ар к=о

2 CN р+ Ро р— 2 CN р- т =

ар к =о

=Рор2-^(l+Р)N + Рор^г(1+рр-т2 = , РN^

й/ ' ~ йр4 (1+р)2

согласно результату (6).

Дисперсия общего числа требований, одновременно циркулирующих в системе,

. N 2 —2 N / \ “2

стГ = 2 к рк - к = 2 (к - N + N )к р% - к =

к=о ' '

к

-2 N

2

к=о

-2

N N-1 / ч —2

= N 2 к рк - 2 ( - к)к рк - к =

к=о к=о

— т-1 / ч N-1 / ч — 2

к - 2 ( - к)к рк - 2 (N - к )к р% - к -

к=о к= т

/, -\т т 1 т ,2 т

IN—к 1к +-------2 к рк —

р рк=о р

(

— т

к - 2 крк к =о

=( - к )к+

т тк 1 т-1 / ,

+--1— 2 (т - к )к рк

р р рк=о

т\т т тк С

= 1N - к 1к +-+— .

ррр

Последнее выражение легко преобразуется к компактному виду с помощью соотношения (4), в результате чего получим

=( N - к) к - тТ+lm -1 >т-С

р

тк- ті - (т-1) т +С =

р

т (/ + Рожид )-(т - т ) / Р(1 + Рр

Ковариация числа требований в очереди и под обслуживанием

Кт/ = Е т (к-т )рк-/т = (т-т )/,

к = т

так что

-.2 _ _2 2 ~

О/ -Ок ~От -2

К / = т рожид -

т р ’ коэффициент корреляции гт/ =-Кт— . При т = Ж ,

От О/

очевидно,

о2 (/ = 0 ) = 0, о2 (/ = 0 ) =от (/=0 )= / Ж/(1 + р )2 .

Как и раньше, по определению /обсл = 1/— = т/Л и

о'^бсл = 1/—2. Определим функцию распределения времени нахождения в очереди одной заявки:

Ж - кг, /ч-| Ж-1 Ж - к к - т ~ /\

Ж к Рожид(/р1= Е Ж рк Е В]кр =

Ж к= т Ж ] = 0

- т ш Ж-1 Ж - к к - т (т —/р

= е т — е -----------рк Е у 7 =

к=т Ж j=0 ]!

= е-т— Ж-1 Ж-к

=е-т— Ркек-тк—

к=т Ж

тт! — ( ж - к ) к=т Ро

к - т

, , Л[ к ] ~к

Е

=т

Л-1 (| 1 )[ к+1]

—7^—=г^г Е (к-т + 1)------------------—г—

т !Л (Л - к )к=т т +1-т

1 Ж -1

= ,(.Т 7\ Е (к-т +1 )Рк+1 =

Ау Ж - к )к = т

1 Ж ж ) /

= ^------Е (к-тррк = —

А (Ж - к )к=т Л

в соответствии с обобщенными формулами Литтла [4]. Точно так же

Оожид = 1£ /ожид (/)й/- £ожид =

д0/к -„2 -^2жu(—

Ж-кк=т [Л-mр 0

1 Ж-1 ( ,рти)к-т+1 (к-т+2)! -2

=—= Е (Ж-кр Г> рк} +3-,ожид=

Ж-кк=т (к-т)! (т— т

1 Ж-1 , , , , , , -2

= 2 ^Е (Ж-крк-т+2рк-т+1)ркЧожид= т — \Ж-к)к=т

Р) ) (Ж-к)(к-т+2)(к-т+\})тк__^ -?ожид=

т т—(-к)к=т

А>

Ж-1

тт.А—Ж-к) к=т

Л|к+1]/к+1 _2

Е (к-т+2)(к-т+1)-----к+Ц---,ожид=

тк+1-

откуда

Ро ж ж 1 )( 7 кк 1 Рк

=—!—л Е (к-т+1 )(к-тк—тт—1 ожид =

тт ! — Л к=т тк-т

е-т— ж-1

Рожид к к = 1- ~~ =“ Е (ж - к }ркек - т (т — О Ж-к к=т

1 Е (к-т + 1 )(к-т)рк -и°жид =

т—Л к=т

/ожид к )= ~ е-т—,ЛЕ-1 (Ж - к )рк

и тогда

Ж-к к=т

(т — р т (к-т )!

1 Ж-1

Ж - к к

= Е (Ж - к к

(т—к

к - т + 1

(к-т )!

Рк

“/к - т+1 е-—т,й/ =

^"е1 (Ж-к )(т — )к-т+1 Р. (к-т +1)! =

Ж - к к=т (к-т)! (т — р-т+2

1 Ж -1

=----1,Т т\ Е (Ж-к )(к-т +1 ))к =

т — Л - к )к=т

1

т — Л

Ж

Е (к -т )к рк-(т -1)/

к=т

-2

- £ ожид .

Выражение в квадратных скобках преобразуем далее следующим образом:

Ж

л 2 Ж т / ч / ч-

Е к рк-т Е к рк + Е (т-к )к рк-(т-1)/ =

к=0

к=0 к=0

2 —2 — / \ ~

= Ок + к - тк +£-(т-1)/ =

- 7 т/ + (т-1 )т-£ / ч-

= Ж к - тк------^--------— + £ -(т -1 )/ =

Р

/чг т / - т рожид

= (Ж-т +1)/---------^ожид ,

Р

откуда окончательно имеем

0

и

оо

т

_2 =

°^ожид~'

IитЛ

(-т+1=і - т1 тРожид Р

-2

-іожид

В этом случае, очевидно, Ісист = І ожид + І обсл = к/Л и

& с

г =&обсл + &ожид =

(+т+1р^т1-тржи-д

Р

-2

-Ісис».

Если т = Ж , то очередь в системе отсутствует. Легко проверить, что при этом

Оожид (/ = 0 к= 0 ; £сист (I = 0 к £обсл = 0 к= V— ;

Осист (/ = 0 к= Ообсл (/ = 0 Р1/— .

Литература

1. Гильмутдинов Р.Ф., Кирпичников А.П. Математическая модель замкнутой одноканальной системы массового обслуживания // Вестник Казанского государственного технологического университета - Казань: Изд-во Казан. гос. технол. ун-та, 2011 -№ 6 - С. 189.

2. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. Теория и приложения / - М.: Мир, 1965.

3. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения / - М.: Советское радио, 1971.

4. Кирпичников А.П. Прикладная теория массового обслуживания. Казань: Издательство Казанского гос. ун-та, 2008.

1

1

© Р. Ф. Гильмутдинов - ст. преп. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, ruslan.gilmutdinov@rambler.ru ; А. П. Кирпичников - д-р физ. мат. наук, проф., зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, kirpichnikov@kstu.ru.