Исследование эффективности двумерных параллельно-рекурсивных КИХ-фильтров

С. А. Мурыэин, В. В. Сергеев, Л. Г. Фролова

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ДВУМЕРНЫХ ПАРАЛЛЕЛЬНО-РЕКУРСИВНЫХ КИХ-ФИЛЬТРОВ

Двумерные параллельно-рекурсивные цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры) являются перспективным средством обработки изображений, они позволяют реализовать широкий класс процедур линейной фильтрации "скользящим окном" большого размера при сравнительно малых вычислительных затратах [ 1, 2]. Однако для того, чтобы сформулировать конкретные рекомендации по применению этих фильтров, необходимо провести их исследование, сравнить варианты и количественно оценить выигрыш от их использования в различных прикладных задачах. Этим вопросам и посвящена данная статья.

I. ОБЩИЙ ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Ниже мы рассмотрим четыре варианта двумерных параллельно-рекурсивных КИХ-фильтров: с прямоугольным базисом, с базисом Фурье при независимой и попарной реализации звеньев и с косинусным базисом [I] и три распространенные задачи обработки изображений: фильтрацию при заданной импульсной характеристике фильтра, восстановление двумерных сигналов и обнаружение объектов. Расчет фильтров будем производить методами, изложенными в статье [2]. В рамках каждой задачи для конкретных примеров построим зависимости показателей эффекьивности обработки от вычислительной сложности фильтров. Сложность будем измерять приведенным числом арифметических операций, приходящимся на один отсчет обработанного сигнала:

и=и +17 • и ,

СП ' умн'

где , и - число сложений и умножений на отсчет, г> - относительная сложность операции умножения по сравнению со сложением. Значения 11сп и иумн для различных вариантов параллельно-рекурсивных фильтров бу-

дем брать из таблицы к статье [1]. При построении указанных зависимостей для определенности примем, что умножение выполняется втрое медленнее сложения (т) = 3), такое соотношение сложностей арифметических операций является типичным для многих современных ЭВМ.

За базу для сравнения примем двумерный КИХ-фильтр, реализуемый в форме прямой свертки, т. е. непосредственно по формуле (11) из [ 1]. Не останавливаясь на деталях расчета такого фильтра, отметим только, что для него справедливы все основные результаты статьи [2] при условии выбора в качестве базисных функций самих отсчетов импульсной характеристики в окне обработки. Для произвольного двумерного КИХ-фильтра с окном из отсчетов

В приведенных ниже примерах считается, что двумерное окно обработки имеет форму квадрата с центром в начале координат. Рассчитанные зависимости для обычного КИХ-фильтра параметрически задаются размером окна Ыр. а для параллельно-рекурсивного - числом параллельных звеньев К. На представленных графиках введена следующая нумерация кривых:

1 — обычный КИХ-фильтр, реализованный в форме прямой свертки;

2 - параллельно-рекурсивный КИХ-фильтр с прямоугольным базисом;

3 - параллельно-рекурсивный КИХ-фильтр с базисом Фурье при независимой реализации звеньев;

4 — параллельно-рекурсивный КИХ-фильтр с базисом Фурье при попарной реализации звеньев;

5 — параллельно-рекурсивный КИХ-фильтр с косинусным базисом.

Отметим, что на многих графиках приводятся только зависимости 1-3. Это объясняется тем, что в случае использования в расчетах осесимметричных двумерных последовательностей (автокорреляционных функций, импульсных характеристик, обнаруживаемых объектов) разложение импульсной характеристики параллельно-рекурсивного фильтра в ряд (см. формулу (12) в [1]) содержит только симметричные (четные) базисные функции. В такой ситуации применение базиса Фурье в варианте с попарной реализацией звеньев теряет смысл, поскольку нечетные "синусные" базисные функции получают нулевые коэффициенты. Базисы Фурье и косинусный совпадают, поэтому достаточно рассмотреть лишь первый из них.

При исследовании эффективности параллельно-рекурсивных КИХ-фильтров с базисами Фурье и косинусным дополнительно проводился подбор размеров окна обработки. Представленные на графиках зависимости соответствуют оптимальным размерам окна.

2. АППРОКСИМАЦИЯ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

При исследовании КИХ-фильтров, моделирующих двумерные линейные системы с заданными свойствами, рассмотрим следующие четыре аппроксимируемые импульсные характеристики:

- двумерную "гауссиану"

8,

- "шайбу", соответствующую суммированию отсчетов двумерного сигнала по круговой области:

{1 при + т2 < 20

0 при + > 20;

- "гауссиану" с косым одномерным смазом (усреднением сигнала) по пяти точкам:

1 2

- "шайбу" с таким же смазом:

1 2

В качестве показателя эффективности фильтров примем относительную ошибку аппроксимации импульсной характеристики

е2

6 и-5 ~г,-:

2 2 g?

m j =» - - m^= —

где e1 -минимальная квадратичная ошибка аппроксимации, задаваемая формулой (15) из [2J при весовой функции w (m,, т2) = 1, g. (тр т2), ¡=1,4 - соответствующая импульсная характеристика из (2)-(5). Зависимости величины (6) от вычислительной сложности (1) дтя различных КИХ-фильтров представлены на рис. 1—4-

в

Л-У

Л-Г *

Рис. 1.

. Аппроксимация импульсной характеристики "Гауссиана со смазом"

Рис. 3

J У1» Л> Л» Л*» JW ÄV

Аппроксимация импульсной характеристики "Гауссиана"

Рис. 2. Аппроксимация импульсной характеристики Рис. 4. Аппроксимация импульсной характеристики

"Шайба" "Шайба со смазом"

3. ВОССТАНОВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ

Пусть для модели наблюдения (57) из [2] автокорреляционная функция полезного сигнала является изотропной экспоненциальной:_

v/m? + m?

V^'^'V 1 я

где D - дисперсия сигнала, р - коэффициент корреляции между соседними отсчетами, независимая от сигнала О

помеха представляет собой дискретный белый шум с дисперсией Dy, т. е. f Dy при m( = т2 = О

Bv

а импульсной характеристикой искажающей системы является:

— двумерная гауссиана с нормирующим коэффициентом, обеспечивающим сохранение постоянной составляющей преобразуемого сигнала:

f1

— шайба (с аналогичным коэффициентом):

f2 (mj.mp

0,0164 при Ш| + ш2 < 20 0 при mj + m* > 20;

л*

- гауссиана (8) с косым одномерным смазом по пяти точкам:

1 2

Г3

- шайба (9) с таким же смазом:

1 2

Г4

Будем рассматривать отношение

6 = 1Г'

, "о

где е — минимальная среднеквадратичная ошибка восстановления, соответствующая формуле (58) из [2]. Зависимости относительной ошибки (12) от вычислительной сложности (1) различных КИХ-фильтров представлены на рис. 5-12. Зависимости даны для р= 0,95 и значений отношения сигнал/шум:

-- = 100; 1.

Э.

Рис. 7. Восстановление изображения: импульсная характеристика искажающей системы - "Шайба". Отношение си гнал/шум = 100

/ У* У» Л» УЛ> Л*» «V

Рис. 5. Восстановление изображения: импульсная характеристика искажающей системы - "Гауссиана". Отношение сигнал/шум= 100

б

Л

09

Л **

Рис. 8. Восстановление изображения: импульсная характеристика искажающей системы - "Шайба". Отношение сигнал/шум= 1

в

л

Рис. 6. Восстановление изображения: импульсная характеристика искажающей системы - "Гауссиана". Отношение сигнал/шум= 1

(и/

А»

о.<х,

я

\ V*

V \ N \

V \

Эф

и

/ //

Рис. 9. Восстановление изображения: импульсная характеристика искажающей системы - "Гауссиана со смазом". Отношение сигнал/шум= 100

в/о

\ 1

\ \

N

V/ "V к

V \

л> л»

и

л» л»

Рис. 11. Восстановление изображения: импульсная характеристика искажающей системы - "Шайба со смазом". Отношение сигнал/шум= 100

«у/

Л/^

\ \

\ \

1

* V

К N —-I

а 3,-3

и

Рис. 10. Восстановление изображения: импульсная характеристика искажающей системы - "Гауссиана со смазом". Отношение сигнал/шум= 1

А»

л**

>

\

V

\\

1

н

и

л» л» /л» лс л%>

Рис. 12. Восстановление изображения: импульсная характеристика искажающей системы - "Шайба со смазом". Отношение сигнал/шум= 1

4. ОБНАРУЖЕНИЕ ОБЪЕКТОВ

Для исследования параллельно-рекурсивных КИХ-фильтров в задаче обнаружения рассмотрим набор из шести разнотипных двумерных детерминированных объектов:

— "крест" единичной яркости размером 9x9 отсчетов (см. рис. 13);

— "сглаженный крест", полученный двукратным усреднением предыдущего объекта квадратным окном 3x3;

- "зигзаг" единичной яркости (рис.14);

- "сглаженный зигзаг", полученный двукратным усреднением "зигзага" окном 3x3;

- "елочка" (рис. 15);

— "фрагмент" текстурного изображения размером 13x13 отсчетов (рис. 16).

Во всех случаях примем, что в моделях наблюдения (67), (68) из [2] аддитивный случайный фон представляет собой дискретный белый шум с дисперсией Оу (имеет автокорреляционную функцию вида (7)).

Показателем качества фильтра-обнаружителя является расстояние Махаланобиса Я, которое определяется соотношением (8) из [2]. Па рис. 17-22 представлены зависимости произведения от сложности различных фильтров.

X.

1.

X.

1.

X.

X.

Рис. 13. "Крест" единичной яркости размером Рис. 16. "Фрагмент" текстурного изображения раз-9x9 отсчетов мером 13x13

Рис. 14. "Зигзаг" единичной яркости 9x9 отсчетов

Рис. 15. "Елочка"

размером

Рис. 17. Обнаружение объекта "Крест" НО.

-ЛГ 13

Рис. 18. Обнаружение объекта "Сглаженный крест" -70-

Рис. 20. Обнаружение объекта "Сглаженный зигзаг" Рис. 22. Обнаружение объекта "Фрагмент"

По результатам проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

1. Двумерные параллельно-рекурсивные КИХ-фильтры способны обеспечить резкое (на порядок и более) снижение вычислительной сложности обработки изображений по сравнению с традиционными КИХ-фильтрами, реализуемыми в форме прямой свертки. Поскольку сложность этих фильтров не зависит от окна обработки, указанный выигрыш будет расти с увеличением размеров окна;

2. В большинстве случаев наибольший эффект дают параллельно-рекурсивные фильтры, построенные на простейшем прямоугольном базисе. Несколько меньшую и примерно равную между собой эффективность обеспечивают фильтры с базисом Фурье при независимой реализации звеньев и с косинусным базисом. Использование базиса Фурье в варианте с попарной реализацией звеньев с точки зрения эффективности обработки нецелесообразно.

Рис. 19. Обнаружение объекта "Зигзаг"

. Обнаружение объекта "Елочка"

Рис. 21

Литература

1. Сергеев В. В. Расчет параллельных КИХ-фильтров для некоторых задач обработки сигналов и изображения. — В наст, сборнике.

2. Сергеев В. В., Фролова Л. Г. Расчет параллельных КИХ-фильтров для некоторых задач обработки сигналов и изображений. - В наст, сборнике.