Асимптотические методы расчета поля, формируемого ДОЭ в рамках электромагнитной теории

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПОЛЯ, ФОРМИРУЕМОГО ДОЭ В РАМКАХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ТЕОРИИ

Харитонов С.И., Серафимович П.Г., Институт систем обработки изображений РАН

На протяжении последних лет большое внимание уделяется расчету волнового поля, формируемого дифракционным оптическим элементом (ДОЭ). Подобного рода обратные задачи возникают при расчете дифракционных оптических элементов формирующих заданное распределение интенсивности. Эти оптические элементы получили название фокусаторов лазерного излучения. Фокусаторы используются для решения технологических проблем, связанных с лазерной обработкой материалов. Однако, в подавляющем большинстве работ задачи восстановления полей решаются в рамках скалярной теории. В данной работе задача решается в рамках электромагнитной теории.

1. Постановка задачи

Данная работа посвящена задаче дифракции электромагнитного излучения на дифракционных оптических элементах. В дальнейшем для исследования свойств ДОЭ будет рассматриваться следующая оптическая схема: освещающий пучок + дифракционный оптический элемент + регистратор (рис 1). Освещающий пучок описывается распределением электрического и магнитного поля, которое наблюдается в отсутствии ДОЭ. Для полного описания свойств освещающего пучка достаточно задать распределение тангенциальных составляющих векторов электрического и магнитного поля в плоскости, непосредственно прилегающей к оптическому элементу. Регистратор представляет собой поверхность или несвязное множество точек, в которых производится измерение одной или нескольких характеристик электромагнитного поля (распределения интенсивности, фазы или поляризации поля). В дальнейшем в качестве регистратора будет использоваться плоскость, параллельная плоскости ДОЭ и отстоящая от него на некоторое расстояние.

Рис.1 Оптическая схема Дифракционный оптический элемент состоит из подложки и области модуляции. Область модуляции представляет собой область с изменяющимся от точки к точке показателем преломления или проводимостью.

Рассмотрим прямую задачу дифракции. Пусть освещающий пучок с заданными значениями векторов электрического и магнитного поля E, H падает на дифракционный оптический элемент. Необходимо найти значение векторов электрического и магнитного поля в области регистратора. Анализируя оптическую схему, можно выделить несколько областей.

I. Область между источником и дифракционным оптическим элементом.

II. Область подложки.

III. Область модуляции.

IV. Область между плоскостью, непосредственно прилегающей к области модуляции и регистратором. В случае ДОЭ с отражающим покрытием оптическая схема имеет другой вид. В этом случае все пространство можно разбить на две области

I. Область между источником и плоскостью, непосредственно прилегающей к микрорельефу.

II. Область модуляции (или область микрорельефа).

2. Дифракция на одномерных ДОЭ, имеющих

зонную структуру Рассмотрим дифракцию на одномерных дифракционных оптических элементах (ДОЭ), имеющих зонную структуру. Не ограничивая общности рассмотрим случай Е -поляризации. Пусть границы зон на ДОЭ описывается выражением р(хт) = Хт, где т- номер зоны на элементе, р(х) - дифференцируемая функция

Дифракционный оптический элемент представляет собой область (пластину), ограниченную плоскостями 7=0 и Внутри пластины имеется распределение диэлектрической проницаемости (показателя преломления), которое описывается функцией е(х, х). В пределах каждой зоны можно записать разложение в ряд Фурье

(

i 2m

Л

е(х,х) = £ етп(Х)ехр

п= —х где $ = хш+1 — хт ,

хт - левая граница зоны, хш+1 -правая граница зоны. Учитывая выражение (1), можно написать раз ложение в области пластины в следующем виде

^Илп

?(x, z) = £ £ sn (x, z)exp

m n=-<x

dm

где еп (х, х) - кусочно-постоянная функция по переменной х .

Для размера зоны можно написать прибли-

женное выражение dm = выражение в (2), получаем

1

q>\xm )

Подставляя это

n=<ю

п=да

е(х, г) = Е Ееп (х, г) х

т п=—да

Х 6ХР(, ^Т"^'(Хт )(х - хт ) I =

= Е Е^п(хг);

Решение полученной системы уравнений представляет достаточно сложную математическую задачу. Поэтому, чтобы упростить задачу, положим

дЕп _ д V п с

~ 0 и —и 0. В этом случае система уравне-

дх

дх

2

ний в частных производных превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Х ехр

Учитывая разложение в ряд:

х) = тЛ + ф\хт)

предыдущую формулу приближенно можно переписать в следующем виде

п= да

е

п=—да

Проводя аналогичные рассуждения, можно записать аналогичные разложение для поля внутри области модуляции

п= да

Е

п=—да

отраженного от ДОЭ

п= да

Е

п =—да

и прошедшего через ДОЭ

п= да

Е

п =—да

Распространение электромагнитной волны в случае Е- поляризации описывается уравнением Гельм-гольца [1,2]

д1 Е д1 Е 2

—Е + —Е + к е(х, г)Е = 0

дх1 дг 1

Подставляя (5), (6) в (9), получаем уравнение

п=да

Е (ДЕп (х, г) + ИкУЕп (х, г)V уп (х) +

)(у( х))1 )х

+ ¡кЕп (х, г) А у п (х) - к Еп (х, г

х ехр(куп(х)) + ЕЕк(х,г)Е. (х,г):

. I

х ехр

Далее умножаем правую и левую часть полученного равенства на ехр(—/кур (х)) и интегрируем по

апертуре. Учитывая, что при к ^ да | /(x)exp(ikvl (х))ёх ^ 0, получаем систему дифференциальных уравнений в частных производных

(АЕп (х, г) +2ikVEn (х, г)V уп (х) + + ikEn (х, г) А уп (х, г) —

— к1 Еп (х, г)(у( х))1)+

+ Е к ^п—I (х, г) Е, (х, г) = 0

+ к1 Еп (х, уп (х))1

д г1

+ Е к 2еп—1 (х, гЩ (х, г) = 0

I=—да

Л

Рассмотрим теперь распространение поля вне области модуляции. Для примера рассмотрим распространение волны, прошедшей через область модуляции. Пусть прошедшее поле при 7=0 имеет вид

п=да

ЕТ

п=—да

Представим решение в пространстве виде

ЕТ

Подставляя это выражение в уравнение Гельм-гольца для однородной среды, получаем

п=да(АЕТп (х, г) 1/' Т

к1

+ — VE1 п (х, г) х к

/ Т

хVуn(х,г) + — Е п(х,г)Ауп(х,г) — к

— ЕТп (х, г)(уп (х, г))1 +

+ е3 ЕТ п

Умножая полученное равенство на ехр(— /ку р (х, г)), интегрируя по переменной х и используя предельные свойства при к ^ да, получаем дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка

Для дальнейших рассуждений нам потребуется выражение для нормальной производной поля на границе однородной среды и области модуляции. Это выражение имеет вид

д ЕТ

п=да

=Е

д г

+ /к дУп

д г

При к ^ да это выражение приобретает вид

дЕТ

—д— = Е \1к—д—х

д г п=—да \ д г

х ЕпТ

Нетрудно заметить, что при 7=0 это выражение имеет вид

т п=—да

п

п

п

+

п

д ЕТ (х) _

д z

Т

1к.

, дУп (х) 12 е3 —I-I х

дх )

х Е„ (х) ехр(кп уп (х))) Аналогичные выражения можно написать для поля, отраженного от ДОЭ и его нормальной производной

п _<ю

ЕК

п _—<»

д ЕК (х) _ п_?

X

(

д z

т,

Iк

р1 —

дх

2

х Е„ (х, а) ехр(кп уп (х))) Представим решение системы уравнений в виде

Еп

где Епт (х, z) решение, удовлетворяющее при 7=0 граничным условиям

Епт (х,0) _ &пт ,

ёЕпт (х,0) dz

_ 1к,

1 —

^п

dx

8„

При данном выборе базовых решений автоматически удовлетворяются условия непрерывности при 7=0.

Поле внутри оптического элемента представляется в виде

Е

поле в области I при 7=0 имеет вид Е (х,0) _ ехр(ку0 (х)) +

п_<ю

+ X К (х)ехр(куп (х)),

п_—<ю

его производная

дЕК (х,0) Г-2 /., \

-_ гку1 — а ехриках) —

д z

— X к

1 —! дуп

дх

Приравнивая значения поля и его производной при 7=-а, получаем систему уравнений для определения функций Кп (х), Тп (х). Полученная система линейных уравнений с точностью до обозначений совпадает с системой уравнений для определения дифракционных коэффициентов для диэлектрической решетки, период которой равен размеру зоны на дифракционном элементе в точке с координатой х.

Рассмотрим дифракционный оптический элемент, представляющий собой плоскопараллельную пластину с изменяющимся по апертуре показателем преломления п(х) (или диэлектрической проницае-

мостью е( х)). Рассчитаем эквивалентный ему дифракционный оптический элемент, у которого показатель преломления принимает только 2 значения, например, 1 и ешах. Эквивалентность здесь понимается в смысле эквивалентности поля, создаваемого данным оптическим элементом. Согласно результатам, приведенным в предыдущем пункте, это означает, что мы должны построить бинарную функцию, Фурье-коэффициенты которой совпадают с коэффициентами исходной функции. Точное решение данной задачи не существует, поэтому построим функцию, у которой первые п коэффициентов Фурье совпадают с некоторой точностью.

Описанный метод основан на теории эффективных сред [3,4,5 ]. Легко показать, что для этого каждый отсчет функции необходимо заменить решеткой с периодом, намного меньшим длины волны, и коэффициентом заполнения, полученным из следующего соотношения:

р_ршах / + — /)

где ^ период решетки, : длина заполненной диэлектриком части периода (рис.2). Нетрудно заметить, что при уменьшении периода дифракционной решетки точность решения увеличивается. В качестве примера рассмотрим дифракционный оптический элемент, фокусирующий в линию (рис.3). В этом случае дискретизованная по координате функция диэлектрической проницаемости имеет вид:

рЫп (х) _ ршах X ^(х — хп , /п )х

п

х геС

р(х) _ ^х2 + /20 , е(х) _ I-^шоа л (р(х)| ,

Н„

фа, Р

Л

И„

-высота бинарного микрорелье-

-диэлектрическая проницаемость мате-

риала микрорельефа, /п _ Д(р(х")—1) - степень за-

р — 1 °шах 1

полнения диэлектриком, Д -период бинарной дифракционного решетки, формируемой в каждом отсчете, /з -фокусное расстояние.

Результаты расчета поля приведены на рис.3.

т

, /,

* * * я а у, у. * у, я '/, * * „ "у," Я * * „

'/,'/> я яиц

О А

Рис.2 Профиль решетки в каждом отсчете

п

х

п

т

2

п

а)

44 38 32 26 20 14 8 2 -4

/ V

/ \

/ \

/ \

/ \

/ \

__ } ! \

б)

0,00

0,16 0,32

Рис.3 Поле от фокусатора в линию а) /=100мм, Б=Юмм, б) /=10мм, Б=10мм

3. Дифракция на двумерном ДОЭ, имеющем зонную структуру.

3.1 Уравнения электродинамики, для тангенциальных компонент

Систему уравнений Максвелла запишем в следующем виде:

л,.,......

дгЕх = к дх (у — дуНх )) + /кНу дгЕу = к ду ^^ (дхН у - дуНх ^ — /кНх дгНх = дх (дхЕу — дуЕх )— /кеЕу, дгНу = -/к ду (дхЕу — дуЕх )+ /кеЕх.

Для удобства дальнейшего анализа перейдем к операторно-матричной форме записи уравнений. В операторной записи система уравнений Максвелла имеет вид

дг W = HW

где W - матрица-столбец из 4-х компонент

W =

еу Нх

ч Ну ,

V УI

Н -блочно-матричный дифференциаль-

ный оператор

н= \А °У° 1

V 0 в 11 0

А = -

к

(дх 0 )(е-1

0 д

у

0

-1

V

- д у дх -ду дх

+ /к

0 1 -1 0

в =

1

/к

(

+ /к

х

V 0 ду м

V УIV )

- д у дх

\

е 0 0 е

0 -1 10

Для решения данного класса задач необходимо знать законы преобразования бивекторов. Пусть линейное преобразование координат в плоскости (х , у) имеет вид

( х ) = ( Р11 Р11)( х '

VyI VР11 Р11IVу ' .

х,у -старые координаты, х , у - новые координаты.

В этом случае закон преобразования бивекторного поля имеет вид

\ х, у, г))

х, у, г)

Щ

W4

V 4

(Р11 Р11 Р11 Р11 0

0

)

Р11 Р11

Р11 Р11IV

Закон преобразования бивекторного поля вытекает из закона преобразования двумерных векторов.

3.2 Дифракция на двумерной зонной структуре

3.2.1 Решение в области неоднородной среды

Рассмотрим дифракционный оптический элемент, представляющий собой плоскопараллельную пластину, с показателем преломления, имеющим следующий вид

п=да

е

п=—да

Представим бивекторное поле в аналогичном виде

п=да

W

п = —да

Подставляя (31), (31) в (17) или (18), получаем систему уравнений

+

0

+

ехр(/1ф „ )5 гЕхп = у ехр(/1ф п+т )• к

• ^хет [(дхН пу - дуНпх ) + + гк (нпу д х Ф п - Нпх д у Ф п )] + + Псетхфп+т [(дхНпу -дуНпх ) + гк (нпу д х Ф п - Нпх д у Ф п )]

+ етх [(хНпу -дуНпх ) + + гк (пу д х Ф п - Нпх д у ф п

+ гкНпу ехр

ехр(гкФ п )д гЕуп — к ехр(/кФ , -1 [

• ^ ует [(д хН пу д уНпх ) + + гк (нпу д х Ф п - Нпх д у Ф п )] + + гкет - ( у Ф п+т хНпу - дуН пх) + (33) + гк (нпу д х Ф п - Нпх д у Ф п )] +

+ ет"1ду [

ехр(гкф п )д zHxn = -1ехр(гкФ п V

гк

•{к (д х Ф п )[( хЕпу -д уЕпх ) + + гк ((пу д х Ф п - Епх д у Ф п )]

пу х п пх у + дх [

+

гк(епудхФп - ЕпхдуФп ))-

- гкетЕпу ехр(кФп+т ) ехр(гкФ п )д гНуп — ^ ехр(/кФ п )•

• {к(еу Фп )[(дхЕпу - дуЕпх ) + + гк (Епу д х Ф п - Епх д у Ф п )] +

+ д у [Е

х Епу -д уЕпх ) + + гк(Епу дхФп - Епхду Фп )]}-

- гкетЕпх ехр

В данных формулах везде предполагается суммирование по повторяющимся индексам

Умножая полученные уравнения на ехр(гкФ л), интегрируя по переменным х, у и отбрасывая члены

Г11

о1 к I, получаем выражение:

д

л

Н п,л (х, у, 2) =

= I Апл

1 0 В пл (х, у, 2) II 1 0

где

А =—

к

г Ггкд х ф п 0

гкд у Ф п ,

х е п-л

+ 1к8п

В т = —

гк

Г- гкд у Ф л гкд х Ф л 1

- гку ф л гкд х ф л

01 -1 0

Г гкд х ф п 0 0 гкд у ф п

V у " /

х5п

Г- гкд у Ф л гкд х Ф л 1 - гкд у Ф л гкд х Ф л

+ гкеп

В частном случае когда д у Ф = 0

0 -11 1 0 I

А пл — гк х

Г 0 еЛ-лдхФпдхФ, -5, 1

-5

V пл

0

В т = -гк

Нпл = гк

Г 0 д Ф д Ф 5 +е 1

-'х^п^х^л^пл 1 п-л 0

0 Ап

Вп

0

В этом случае система уравнений распадается на две независимые системы

д,

Г Ех >

'V Ну I п

IIГ е л V еп-л

Г Еу I

"V Нх I п

1п-л д хФ п д хФ. -3„, У Ех 1

Н

е п-л

х^п^ х^ л 0

V у ^

—II 0

, |д х Ф п д х Ф Ал + еп-л

V Е

^пл У ^у

0

Нх

3.2.2 Решение в свободном пространстве В свободном пространстве выражение ( 35) имеет вид:

А =<

г Г гкд х Ф п

- гку ф „

V у й

гкд х Ф „

В п

\ 1 Г гкд х Ф \гк

х^п 0

- гкд у Ф „ гкд х Ф „

0

гкд у ф п

1

л)

0

гкд у ф п

1

1

Поле в области I имеет вид

г (х, у, 2) —

п—<ю

= IК

1

х

0 11 -1

1

х

0 -11 1 0 I

^п

х

+

X

х

— и'

V п - л

д

л

0

к

х

5

х

пл

п=—со

(х, у, х) _ бп0 (// (х, у) We К ,вп ) + + Л (х, у) W+Ь (ап ,вп ))х

X ехр| 1 - ап 2- вп2 х| +

+ (Кпе (х, У)W-е (ап ,вп) + + Япк (х, у^ -Ь (ап вп ))х х ехр|- ¡к-^ 1 - ап 2- вп 2 х|

И ^ ± е (а, в) _

И |W ±Ь (а, в) =

И =

+ д/1 -а2-в2а

+ 1 -а2-в2 в в

-а

-в а

+ 1 -а2-в2а + 1 -а2-в2 в.

7

Поле в области IV имеет вид

Wn (х, у, х) = Тпе (х, У)W +е (ап, вп) + + Гкп (х, у) W +Ь (ап, вп ))х

х ехр||Iкд/1 -ап 2 - в п 2 х где ап _ дхФп , вп = ду Фп , Фп = пФ(х, у),

W0 ±е = W ±е

\2

1

W0 ±и = ^'

л/2

± и,

1

0 0

V- Ъ

+1 0

Используя непрерывность тангенциальных компонент на передней и задней грани дифракционного оптического элемента, можно получить выражения для коэффициентов отражения и прохождения света. Полученная система линейных уравнений совпадает с системой линейных уравнений для определения коэффициентов дифракции на одномерной периодической решетке. Направление штрихов определяется вектором (-Ф у, Ф х).

3.2.3 Поле на выходе дифракционного оптического элемента Пусть падающая электромагнитная волна описывается выражением

I ;„

И (х, у) = 1еИ0+е + /И0+И

найдем выражение для поля в точке с координатами (х,у). Для этого повернем систему координат в

плоскости так, что направление оси х совпадало с градиентом функции Ф(х, у). В этом случае д у Ф(х, у).

В новой системе координат падающее поле имеет вид

И

р

И'(х',у') _ (соэ01е - $,т01ьИе0 + + (п01е + соэ01И ) 0

В новой системе координат прошедшее электромагнитное поле будет иметь вид

п_<ю /

И' (х', у ') _ Х(7пе (х, у ') X

п_-<ю

х (соэ0Iе - э1п0/и)+е(ап,0) +

+ ТИп

0 _ аг^

I д у Ф^

д х Ф V х I

а'п _ пдх 'Ф

V У I

V УI

Поле в старой системе координат имеет вид И

Электромагнитное поле в области 4 вычисляется с помощью интеграла Кирхгофа-Котлера [1,2]

¡к

Е _-

4п

{{?, н ]+[гЬ, [п Е ]-

(, н 1Г0 ) ^^

н_

+

£/{-п. Е ]+Ь. [, н ]-

я

( Е1Г0 ) *

В матричном виде интеграл Кирхгофа-Котлера имеет вид

И(х) _ А Г ехр(к) Т(х, х ')И(х ')(Ъ

4п г

я

т (х, х' ) _

- г0 х 0 - г0 уг0 х 2 г 0х -

0 - г0х 1 - г20у г0 хг0 у

г0 уг0 х 1 - г20х - г0 х 0

г20у - 1 - г0хг0у 0 - г0х

Г _ х - х , Г) _ тт- г _ г Г

3.2.4 Поле от радиально-симметричного оптического элемента

Поле на выходе радиально-симметричного оптического элемента в полярных координатах при нормальном падении плоской волны имеет вид

1

W (p,0) =

n=<» /

Tne (P) X

x(cos0Ie - sin01 ^)w +e(a'n,0) + + Thn (p) (sin 0 Iе + cos0Ih )w +h (a'n ,0)f x схр^пФР)),

dp

f E ^ ^p

E0

H P

v H0y

)w +h (a'n ,0))x

W (p,0) =

Закон преобразования бивектора от декартовых координат к полярным имеет вид

f Ex ^

Ey

Hx

Hy V У

f cos0

sin0 cos0

0 If Epl 0

(60).

cos0 - sin0 sin0 cos0

E0

H

H0

p

Подставляя полученное выражение в (60) и вычисляя интеграл (56), получим электромагнитное поле, формируемое радиально-симметричным оптическим элементом.

В качестве примера приведем результаты расчета плотности потока энергии (вектора Умова-Пойтинга) от бинарного, радиально-симметричного оптического элемента, функция диэлектрической проницаемости которого вдоль радиуса задается выражением (25). Оптический элемент освещался Гауссовым пучком. Результаты расчета представлены на рис.4.а и 4б.

На рис 4в и 4г представлено распределение плотности вектора Умова-Пойтинга в фокальной плоскости неосевого сегмента фокусатора при освещении гауссовым пучком. В случае, изображенном на рис 4в использовался неосевой сегмент, у которого пространственная частота и направление зон изменялись достаточно слабо. В примере, изображенном на рис 4г был выбран неосевой сегмент, частота зон которого изменялась в пределах от 3.6 мкм до 8 мкм. Полученная форма распределения энергии объясняется существенным различием коэффициентов пропускания в различных точках апертуры ДОЭ. Это привело к сильной амплитудной модуляции поля на выходе ДОЭ. Это в свою очередь отразилось на структуре фокального пятна.

4. Заключение

Приведенные результаты наглядно показывают, работоспособность предложенных в данной работе методов и алгоритмов вычисления поля, формируемого дифракционными оптическими элементами в рамках электромагнитной теории. Простота и на-

глядность полученных формул позволяет применять их для оценки качества работы ДОЭ в инженерных расчетах не прибегая к точному решению системы уравнений Максвелла.

Рис. 4. Поле от бинарного, радиально-симметричного оптического элемента. а) /=100мм, Б=10х10мм; б) f=50 мм, D=10 х10мм; в) f=20мм, D=10 х10м; г) f=20мм, D=10 х10мм

Литература

1. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М., Наука 1979

2. Борн М., Вольф Э. Основы оптики, М., Наука 1975

3. Rytov S.M., Zh. Eksp. Teor. Fiz. 29 605 (1955 [Sov. Phys. JETP 2 466 (1956)]

4. Raguin D.H., Morris G.M., Appl. Opt. 32, 1154

5. Raguin D.H., Morris G.M., Laser Focus World.