Моделирование процесса захвата электронов при черенковской пучковой неустойчивости

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 3

Труды Международной научно-практической конференции

Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии,

посвященной: 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ЗАХВАТА ЭЛЕКТРОНОВ ПРИ ЧЕРЕНКОВСКОЙ ПУЧКОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

Ю. В. Бобылев

Аннотация

В настоящей работе подход для описания квантовой плазмы, основанный на прямом интегрировании квантовых уравнений движения заряженных частиц плазмы, с последующим усреднением по функции распределения, иллюстрируется на примере моделирования процесса захвата электронов пучка при черепковской пучковой неустойчивости.

Введение

Возникший в конце прошлого века и продолжающийся до настоящего времени широкий интерес к сверхрешеткам обусловлен, как известно, тем, что данные структуры, благодаря наличию ряда уникальных свойств, могут быть использованы для создания некоторых принципиально новых типов полупроводниковых приборов [1].

Напомним, что сверхрешётками принято называть твердотельные структуры, в которых на электроны помимо периодического потенциала кристаллической решетки действует дополнительный потенциал, также периодический, но с периодом, значительно превышающим постоянную решетки. Наличие такого потенциала существенно изменяет электронный энергетический спектр системы, который и определяет физические свойства сверхрешетки. А именно, в результате наложения дополнительного периодического потенциала происходит дальнейшее дробление энергетических зон основного кристалла вблизи их краев на более мелкие зоны — минизоны [1].

Таким образом, принято считать, что сверхрешетки представляют собой периодические полупроводниковые структуры, в которых каким - либо образом

создан дополнительный периодический потенциал. Однако, подобные системы, в которых электрон движется в периодическом статическом поле, а, следовательно, имеет место минизоннаяя структура его энергетического спектра, могут быть созданы искусственно, например, на базе электростатического или магнитостатического ондуляторов, в которых создано дополнительное поле того же вида, с периодом, много большим чем период собственного поля ондулятора.

Напомним, что вынужденное ондуляторное излучение, представляющее собой коротковолновое когерентное излучение, источником которого является релятивистский пучок электронов, движущийся в периодическом статическом поле, лежит в основе работы таких современных источников электромагнитных волн, как лазеры на свободных электронах [2;3]. Поэтому, перспективность использования в электронике устройств, созданных на основе обычных ондуляторов, и в которых реализуются физические принципы традиционных сверхрешеток, требует дополнительного изучения, что и предполагается сделать в дальнейшем. При этом будут использованы основные идеи и методы, разработанные изначально для описания квантовой плазмы.

Дело в том, что интерес к квантовой плазме существует давно. Он всегда поддерживался тем, что фундаментальная проблема квантового описания материальных сред, в том числе и плазмы, увлекательна и важна сама по себе, без относительно к каким-либо приложениям.

В последнее время интерес к квантовой плазме значительно возрос, что связано с активизацией исследований по таким направлениям как нанофизика, физика конденсированного состояния, разработка лазеров на свободных электронах, описание материи на раннем этапе эволюции вселенной и ряду других.

Одной же из ключевых для теории плазмы является проблема вычисления ее диэлектрической проницаемости. Традиционный метод вычисления диэлектрической проницаемости квантовой плазмы основан на квантовом кинетическом уравнении для функции распределения Вигнера [4,5] - квантовом аналоге классического кинетического уравнения Власова. По существу квантовая плазменная модель, использованная при таком, описании базируется на представлении о плазме, как о совокупности отдельных заряженных частиц в самосогласованном электромагнитном поле, движение которых описывается уравнениями Шредингера или Паули. Аналогичный, ограниченный, правда, чисто классическим рассмотрением, подход, был применен, например, в [6] для вычисления комплексной диэлектрической проницаемости электронного газа с зонным энергетическим спектром в сильном электрическом поле.

Однако, такой подход не является единственно возможным. В недавних работах (например, [7,8]) для описания квантовой плазмы был предложен подход, основанный на прямом интегрировании квантовых уравнений движения заряженных частиц плазмы, с последующим усреднением по функции распределения. Этот подход удобен для решения нелинейных задач и применим в общем случае релятивистской неравновесной квантовой плазмы.

В настоящей работе, носящей в целом методический характер, данный под-

ход иллюстрируется на примере моделирования процесса захвата электронов пучка при черенковской пучковой неустойчивости.

Нужно отметить, что классической теории пучковых неустойчивостей, развивающихся в режиме одночастичного вынужденного эффекта Черенкова, посвящена обширная литература [9]. Из классической теории известно, что механизмом насыщения неустойчивости, развивающейся в данном режиме, является захват электронов пучка ленгмюровской волной плазмы [2].

С методологической точки зрения представляется важным исследовать возможность квантового описания такого классического эффекта, как захват электронов полем волны. В более же широком плане речь идет о сопоставлении классических и квантовых моделей, используемых в электродинамике бесстолк-новительной плазмы.

Результаты классической теории

Приведем вначале основные результаты классической теории неустойчивостей электронных пучков в плазме. В качестве исходных в данной теории можно использовать следующие уравнения [2]:

С

дг2

—4п епр — 4п е пь

д2Пр е д2ф

ді2 т 0р дг2

пь(і,г) = поь /оЫ<* [г — 2(і, го, Уо)1офо

Є дФ 7

її = — тэг-2

го,

17(0, го, уо) 1і

Уо

Здесь пр(Ь,г) и пь(Ь,г) — возмущения плотностей электронов плазмы и пучка (п0р и поь — невозмущенные плотности), ) — скалярный потенциал,

7(Ь,г0,у0) — координата электрона пучка, имевшего при Ь = 0 координату г0 и скорость ь0, р0 = ту0, а f0(р0) — невозмущенная функция распределения электронов пучка по импульсам (нормированная на единицу).

При получении системы (1) для электронов плазмы использовалось линейное приближение, а электроны пучка описывались при помощи уравнения Власова, решение которого было представлено в виде соответствующего интеграла по начальным данным г0, р0 [10].

Дальнейшее преобразование уравнений (1) основано на предположении о том, что при Ь = 0 в пучково-плазменной системе создано начальное возмущение с периодом 2п/кг. Представляя возмущения плотностей плазмы и пучка

виде рядов по гармоникам начального возмущения, полагая кг = шр/и и считая электронный пучок моноэнергетическим, из уравнений (1) можно получить следующую систему для амплитуд рр(і) и рь(і):

где т = шрі — безразмерное время, у0 = кгг0, у (т,у0) = кг[7(і,г0) — иі], иь =

пучке отсутствуют, то начальные условия для уравнений (2) записываются в

ВИД6

где рр0 — начальная амплитуда плазменной волны. При всех дальнейших численных расчетах будем полагать рр0 = 10_6.

Решения уравнений (2) для случая =10 3 представлены на Рис. 1 (изоб-

На начальном этапе амплитуды \рр(т)| и \ръ(т)| нарастают по экспоненте. В дальнейшем происходит нелинейная стабилизация. После стабилизации амплитуда \рр(т)\ совершает почти регулярные колебания между некоторым максимальным и минимальным уровнями. Это обусловлено захватом электронов пучка полем плазменной волны.

На каждой длине плазменной волны электроны пучка формируют сгусток, который совершает колебания между горбами потенциала плазменной волны.

йт

сРу

йт 2

Срр

/ ехр[-іу(т,уо)\йуо ,

і

2(Рр ехР(іу) — к-с-) ,

<< 1. Если в начальный момент времени возмущения в электронном

Г

Я ЮО 1» 300 КО 300

Рік.1

то отдавая ей энергию, то отбирая обратно. Поскольку за одно колебание сгусток дважды сталкивается с потенциальными горбами - один раз с передним, другой раз с задним - осцилляции амплитуды \ръ(т)| происходят вдвое чаще, чем у \рр(т)\. Поскольку в максимумах величина \ръ(т)\ близка к единице, то электронный пучок на стадии захвата и позже полностью промодулирован по плотности.

Модуляция плазмы, как видно из Рис.1, не велика, что и оправдывает описание плазмы в линейном приближении.

Квантовая модель

Перейдем теперь к формулировке квантовой модели. Для плотной плазмы используем классическое описание, а для электронов пучка - квантовое. В результате, вместо системы (1) имеем следующие уравнения:

Г дф

дг 2

д2

—4п епр — 4п е щ

д 2ф

ді2 т 0р дг2

щ(г,*) = поъ ! 1о{ро)ф*{1,г; ро)ф(г,г;po)dpo ,

, дф Н2 д2 ф

. гй т + 2та? =ефф ’ ш ; Ро) = ехр{ н”0*)

Нормировка волновой функции определяется соотношением {фф*} = 1, где угловые скобки обозначают среднее по периоду 2п/кх. В случае моноэнергетиче-ского электронного пучка имеем

пъ

Независимо от способа описания пучка при выполнении неравенства иъ << 1 скалярный потенциал при резонансной черенковской пучковой неустойчивости В ПЛЭЗМ6 ИМ66Т вид

ф

поэтому уравнение Шредингера в (4) является дифференциальным уравнением с периодическим коэффициентом ф(*). Решение такого уравнения, с учетом нормировки волновой функции, имеет вид [11]

ф(і,г) = ехр(ік0г) Нп(і) ехр(іпкгг) , к0

ти

Т" '

е

п= — оо

Если каждое слагаемое в (7) трактовать как волну де Бройля свободного электрона, то величины Нп(Ь) следует определить формулами

/ ч / ч / . ч Нк0 + пкг)2

Нп

Смысл определений (8) в том, что у свободной частицы с импульсом Ь(к0 + пкх) энергия равна Ншп. При взаимодействии с волной плазмы распределение электронов пучка по импульсам меняется со временем, что учитывается амплитудами ап(Ь), полностью определяющими состояние электронного пучка в произвольный момент Ь. Очевидно, что величина п0ь\ап\2 есть число электронов пучка, импульс которых равен Н(к0 + пкх), а энергия есть Ншп. Другими словами величины Поь\ап\ можно трактовать как числа заполнения.

Подставляя (8) в уравнения (4), и исключая скалярный потенциал (6), после стандартных математических преобразований получим следующую систему уравнений:

г Ар ^

-Т + гпорр = -V ^ апап_1 ехр[-г (2п - 1)щт\ ,

Аа г

-Т = - —

Здесь п0 = (шр - кхп)/шр — расстройка,

V, = ^ ^

2тшр шр

— основной квантовый параметр излагаемой теории, а = Нк2/2т — квантовая частота. Если считать кх ~ шр/щ то будет V, ~ 4Ншр/(тп2/2). Квантовый параметр V, в настоящей работе считается малым. Начальные условия для уравнений (9) имеют вид

а0

где первые два условия означают отсутствие возмущений в пучке.

Линейный анализ уравнений (9), дает следующие выражения для инкрементов неустойчивости:

с I _Ц2^3 (^/2)1/3 ^р, 1 >> ^1/3 >> V П2ч

I 2г (иь/ин)1/2 Шр , ^1/3 <<Уп

Первый инкремент в (12) классический, он совпадает с инкрементом, получающимся из уравнений (2). Второй инкремент является инкрементом квантовой черенковской пучковой неустойчивости, реализующейся только в случае электронных пучков малой плотности.

п=

Анализируя процедуры вывода классических уравнений (2) и квантовой системы (9), можно получить такое выражение для амплитуды рь(т) через квантовые величины ап(Ь), рь(т) = X]'П^=^оо апа*п-1 ехр[—г (2п— 1)и%т\. (12)Величина (12) входит в правую часть первого уравнения системы (9). Следовательно, первые уравнения систем (9) и (2) совпадают (система (2) записана для случая щ = 0, поскольку в классическом случае инкремент неустойчивости максимален при нулевой расстройке и рассматривать случай щ = 0 не нужно). Таким образом, квантовая формула (12) определяет макроскопическую характеристику пучка

— амплитуду волны плотности рь — через микроскопические квантовые величины ап. В классической теории амплитуда рь определяется через микроскопические классические величины - траектории электронов у(т, у0) (см. второе выражение в системе (2)).

Рассмотрим решения общих квантовых уравнений (9). Начнем с квантовой неустойчивости, развивающейся в случае << и будем увеличивать параметр пучково-плазменной системы иь, двигаясь в направлении классического случая. При этом для краткости рассмотрим только два предельных случая. На Рис.2 представлены решения для случая иь = 10-9 и щ = 10—2, когда неустойчивость является квантовой. Из этого рисунка видно, что за время полного колебания амплитуды плазменной волны амплитуда возмущения плотности пучка также совершает два полных колебания. Однако при квантовой неустойчивости захвата нет, а сама неустойчивость является распадом первичной волны де Бройля электрона пучка на вторичную (рассеянную) волну де Бройля и на ленгмюровскую волну плазмы [12].

Увеличим теперь параметр иь до = 5 • 10-4 (^ = 10-2 ^|/3 « 0,08). Результаты решения уравнений (9) для этого случая представлены на Рис.З. Этот случай уже достаточно близок классическому. Видно практически полное

сходство с динамикой и уровнем амплитуд при классической неустойчивости (см. Рис. 1). Отличие фактически только в масштабе времени, что связано с разной величиной инкрементов (11), зависящих от параметра

Заключение

Таким образом, при выполнении неравенства << когда черенков-ская неустойчивость является классической, решения квантовых уравнений (9) совпадают с решениями классических уравнений (2), несмотря на то, что системы (9) и (2) написаны в терминах совершенно разных физических величин. Модель, основанная на системе уравнений (9), является наиболее общей квантовой математической моделью черенковской пучковой неустойчивости. Она полностью описывает не только квантовую неустойчивость, но и такое чисто классическое явление, как захват электронов пучка самосогласованным полем плазменной волны. На языке сформулированной квантовой модели классический одночастичный вынужденный эффект Черенкова представляется как резонансный многоплазмонньтй (многофотонный) процесс. Определенная часть электронов пучка последовательно испускает кванты излучения. Одновременно, другая часть электронов последовательно поглощает кванты излучения. Излучающих электронов при неустойчивости больше, поскольку шр/кг — и < 0. Когда средние числа излучающих и поглощающих электронов сравниваются, происходит насыщение неустойчивости. Это и есть захват на языке квантовой теории.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 11-02-97500-р_центр_а.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] А.Я. Шик. Сверхрешетки - периодические полупроводниковые структуры // Физика и техника полупроводников, 1974, т.8, №10, с. 1841-1864.

[2] М.В. Кузелев, А.А. Рухадзе. Электродинамика плотных электронных пучков в плазме. М.: Наука, 1990.

[3] Т. Маршалл. Лазеры на свободных электронах. М.: Мир, 1987.

[4] В.П. Силин, А.А. Рухадзе, Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред, Атомиздат, Москва (1961).

[5] Ю.Л. Климонтович, Статистическая физика, Наука, Москва (1982).

[6] Л.В. Келдыш Оптические характеристики электронов с зонным энергетическим спектром в сильном электрическом поле // ЖЭТФ, 1962, т. 43, вып. 2(8), с. 661.

[7] Ю.В. Бобылев, М.В. Кузелев. Нелинейные явления при электромагнитных взаимодействиях электронных пучков с плазмой, Физматлит, Москва (2009), Глава 11.

[8] М.В. Кузелев Квантовая теория вынужденного черенковского излучения в среде поперечных электромагнитных волн электронным пучком малой плотности // Квантовая электроника, 2010, т. 40, №1, с. 83.

[9] М.В. Кузелев, А.А. Рухадзе Спонтанное и вынужденное излучение электрона, электронного сгустка и электронного пучка в плазме // УФН, 2008, т. 178, №10, с. 1025-1055.

[10] Ю.В. Бобылев, М.В. Кузелев, А.А. Рухадзе Задача Коши для кинетического уравнения Власова и метод интегрирования по начальным данным // Радиотехника и Электроника, 2002, т. 47, №2, с. 166-185.

[11] Дж. Сансоне. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1953.

[12] М.В. Кузелев Квантовая теория черенковских пучковых неустойчивостей в плазме // Физика плазмы, 2010, т.36, №2, с. 132-144.

Тульский государственный педагогический университет имени Л. Н. Толстого;

Поступило 18.11.2011