Ленты Мебиуса с плоской метрикой

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5

7

УДК 514.7

ЛЕНТЫ МЕБИУСА С ПЛОСКОЙ МЕТРИКОЙ

А. В. Словеснов1

Работа посвящена лентам Мебиуса с плоской метрикой. В первой части приведены некоторые результаты, относящиеся к асимптотической параметризации таких поверхностей. Во второй части исследуется вопрос об их изгибаемости. Доказывается, что любая лента Мебиуса, изометричная листу, полученному соответствующим склеиванием прямоугольника, допускает нетривиальное изгибание скольжения по себе, и дается конкретный численный расчет такого изгибания.

Ключевые слова: лента Мебиуса, асимптотическая параметризация, изгибание скольжения.

This work is focused on flat Mobius strips. The first section presents some results related to asymptotic parametrization of such surfaces. The second section contains studies on thier deflectivity. It is proved that any analytic embedding of a rectangular strip into the Euclidian 3-space is a flexible surface. This result is illustrated by numerical examples.

Key words: Mobius strip, asymptotic parametrization, sliding isometry.

1. Плоские ленты Мебиуса. Неориентируемую поверхность нулевой кривизны, диффеоморфную прямоугольному листу Мебиуса, назовем лентой Мебиуса с плоской метрикой. В общем случае она представляет собой развертывающуюся поверхность, которая лишь диффеоморфна прямоугольнику, а изомет-рична некоторой четырехугольной плоской области с соответствующим отождествлением двух противоположных сторон2. Как известно, развертывающиеся поверхности в R3 бывают трех типов: конические, цилиндрические и торсы — поверхности, составленные из касательных к некоторой пространственной кривой, называемой горловой линией. Если говорить о плоских аналитических лентах Мебиуса, а только такие и рассматриваются в этой статье, то они представлены исключительно торсами3. При описании развертывающихся поверхностей обычно выделяют направляющую линию и прямолинейные образующие. Распределение последних обусловлено вложением, вследствие чего их нельзя варьировать (если вложение уже зафиксировано), в то время как выбор направляющей остается за исследователем. Поскольку лента Мебиуса является неориентируемой поверхностью, на ней найдется замкнутая кривая, при обходе вдоль которой нормаль к поверхности поворачивается на 180°. Такую кривую мы будем называть петлей и только такие кривые использовать в качестве направляющих.

Введем следующие обозначения: p(s) — радиус-вектор направляющей, причем |p'(s)| = 1; ¿ (s) — единичный вектор образующей, проходящей через точку p(s). Таким образом, поверхность задается вектор-функцией

f(s,t)= p(s)+t • l(s), 0 < s < L, -H < t < H,

а условие развертываемости поверхности в этих обозначениях имеет вид (р',1,1 ') = 0. Регулярность введенных координат в малой окрестности направляющей выражается в условии ¿'(s) $ ¿ (s), которое, как будет показано ниже, неустойчиво при малых изменениях направляющей по норме C.

Теорема 1. Пусть на аналитической плоской ленте Мебиуса выбрана какая-то петля, нигде не касающаяся образующих. Тогда в сколь угодно малой ее окрестности можно построить новую направляющую, которая, будучи петлей, в некоторой своей точке касается образующей.

Прежде чем переходить к доказательству данной теоремы, уместно сделать следующее замечание. Касание, о котором здесь говорится, своеобразное: направляющая локально остается по одну сторону от образующей, которой она касается. При этом, в частности, выражение для вектора нормали к поверхности N = [p',l] обращается в нуль, но самое главное — все образующие, исходящие из точек на направляющей, близких к ее точке касания с образующей, не заметают никакой полной окрестности точки касания (рис. 1).

1 Словесное Александр Викторович — асп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alexslovesnov@narod.ru.

2В общем случае эта область имеет криволинейные стороны.

3Доказательство можно найти в [1].

8

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5

В процессе изложения нам потребуется следующая Лемма 1. Пусть р(в) — радиус-вектор направляющей, I(в) — единичный вектор образующей на плоской аналитической ленте Мебиуса. Тогда существует точка р(во), в которой (р'(во),1'(во)) = 0.

Доказательство. Допустим противное, а именно предположим, что ' (р',1') = 0. Тогда, учитывая аналитичность поверхности и условие раз-

вертываемости (р',1 ,р) = 0, заключаем, что должно выполняться одно из двух условий: I' = 0 или I || р' в каждой точке направляющей. В первом случае лента будет цилиндрической, чего в аналитическом классе лент Мебиуса быть не может (см. [1]). Во втором случае выбранная направляющая служит ребром возврата, в окрестности которой поверхность не является плоской, так как окрестность любой точки, принадлежащей ребру возврата, неизометрична евклидову кругу. Получили противоречие с аналитичностью плоской ленты.

Доказательство теоремы 1. Поскольку петля представляет собой замкнутую кривую, то функция р(в) периодическая с периодом Ь. Учитывая, что касания между образующими и направляющей нигде нет, мы можем вычислить нормаль к поверхности по формуле N = [р',1 ], откуда следует, что функция I(в) обязана быть антипериодической с тем же периодом Ь, т.е. I(в + Ь) = — I(в). Согласно лемме 1, можно считать, что в точке в = 0, а значит, и в некоторой окрестности ( — Ав, А в) выполнено неравенство (р',1') = 0. Будем искать новую направляющую в виде

Г(т) = р(в(т)) + г(т)1(в(т)), \г(т)| < £0, 0 < Т < 1.

Заметим, что при выполнении условий

1) в

искомая кривая замкнутая и аналитическая. Рассмотрим функции

*(т) = Ьт - 8Ш(27Гт),Цт) = (Шт)ЛШ))Цт),Цт) = (2 + 8т(2тгт)) -¿1,

а ¿1 подбирается так, чтобы \г(т)\ ^ £о. При этом числа 5 и ¿1 считаются положительными. Покажем от противного, что г(т) — регулярная кривая. Пусть

0 = г'т = р'8в'т + г'т I + И 8 в'т. Тогда

0 = г'2 = в'2 + г'2 + ь21'23в'2 + 2в'т г'т (р8,1) + (р'8, р8) =

= в'2 + 2в'тг'т(р8, р) + г'2 + в'М, р)2(р82Ь2(т) + 2Ь(т)).

Если в' = 0, то вырождение кривой в некоторой точке возможно лишь при выполнении следующих условий:

Пв'\ = \г'\, \( р',р ) = 0.

Так как г' = Ь(т)((р'8,р8) + ( р'8,р'8))в' + Н'(т)(р'8,р8) = Ь(т)(( р88,1'8) + (р'8,р88))в', то в этом случае можно получить противоречие с равенством \в'\ = за счет выбора достаточно малого параметра ¿1.

Таким образом, достаточно показать, что в точках т = т*, в которых в'(т) обращается в нуль, имеем г'(т*) = Ь'(т*)( р'8,р8) = 0. Найдем их в явном виде:

«'(т) = Ь — ^ С08(2"7Гт), 1 — 5

откуда

т* = ± &гссов(1 — 5)/2п ^ в6(т*) 0.

Уменьшая 5, можно добиться того, чтобы значение в$(т*) попадало в интервал ( — Ав, Ав), где (р8,р8) = 0 по предположению. Неравенство Ь'(т*) = 0 проверяется прямыми выкладками. Тем самым г'(т*) = Ь'(т*)( р'8,1 '8) = 0, что и доказывает регулярность кривой.

Поскольку поле нормалей к поверхности с r(т) можно перенести вдоль образующей4 на р(в(т)), то построенная кривая r(т) будет петлей.

Единственное, что осталось проверить, — это наличие касания между направляющей и образующей, т.е. коллинеарность r' и l. Для этого заметим, что в точках т = т* вектор r' имеет вид r' = t'l, а значения в(т*) являются локальными экстремумами. Последнее означает, что при изменении параметра т точка р(в(т)) движется вдоль старой направляющей, а после т = т* разворачивается и движется в противоположном направлении. Таким образом, построенная новая направляющая в близких к т* точках т локально остается по одну сторону от образующей. Теорема полностью доказана.

2. Изометрия скольжения. Естественный вопрос, который возникает при рассмотрении поверхностей, заключается в установлении их изгибаемости/неизгибаемости. В случае стандартной ленты Мебиуса5 на него можно ответить утвердительно, воспользовавшись изометрией скольжения.

Пусть D — это прямоугольник евклидовой плоскости Ouv, определяемый равенством D = {0 ^ u ^ L, —h ^ v ^ h}, а S — аналитическая стандартная лента Мебиуса, лежащая в пространстве R3 и изомет-ричная D. Отображение, которое осуществляет изометрию между поверхностью S и прямоугольником D, обозначим через F : D — S. Поскольку стороны прямоугольного листа Мебиуса отождествлены соответствующим образом, то отображение F удовлетворяет равенству F(L,v) = F(0, —v). Последнее означает, что мы можем продолжить отображение F(u, v) до отображения F(u, v) с прямоугольника D в полосу

D = {—то < u < то, —h ^ v ^ h}

посредством равенства F(u + L,v) = F(u, —v) так, что f\d = F.

Изгибание будет строиться следующим образом. Зафиксируем некоторое е, 0 < е < L, и зададим отображение Fe : D — S формулой F£(u, v) := F(u + £,v). При этом Fe(u + L,v) = F(u + L + £,v) = F(u + е, —v) = F£(u, —v), т.е. образ F£(D) также будет стандартной лентой Мебиуса, а композиция g£ := F£ о F-1 задает изометрию ленты на себя: g£ : S — S. Если мы покажем, что g£ не продолжается с S до движения в R3, то семейство {F£ о F-1} будет определять нетривиальное изгибание. Для этого нам потребуется следующее

Утверждение 1. Не существует стандартной ленты Мебиуса с постоянным углом между образующими и средней линией6.

Доказательство. Пусть p(s) — радиус-вектор средней линии, s — натуральный параметр; 1 (s) — единичный вектор образующей. Тогда параметризация самой ленты записывается в виде

f(s, t) = p(s)+tl(s), 0 ^ s ^ L, —a(s) ^ t ^ a(s), a(s) > 0.

Предположим, что угол между направляющей и образующими (обозначим его через а) не зависит от точки. Рассмотрим прообраз ленты на евклидовой плоскости (рис. 2). Из рисунка видно, что координаты (s,t) и (u,v) связаны соотношениями7

u = s + t cos а, v = t sin а.

Вычислим метрику двумя способами: Рис- 2

1) da2 = f2ds2 + 2(f s, ft)dsdt + f?dt2 = (ps +1ls)2ds2 + 2(ps +1ls, l)dsdt + l2dt2 =

= (ps +1ls)2ds2 + 2cosa dsdt + dt2 = (1 + 2t(ps,ls) +t2(ls,ls))2ds2 + 2cosa dsdt + dt2,

2) da2 = du2 + dv2 = (ds + cos а dt)2 + sin2 а dt2 = ds2 + 2 cos а dsdt + dt2.

Приравняв коэффициенты, получаем, что ls = 0 или 1 (s) = const, т.е. поверхность ленты является цилиндрической, чего в аналитическом случае быть не может. Полученное противоречие доказывает утвержде-ние8.

4Как известно, во всех точках образующей нормали к развертывающейся поверхности параллельны. Стандартной мы называем ленту, которая не только диффеоморфна прямоугольному листу Мебиуса, но и изометрична

5

ему в целом.

6Под средней линией понимается образ отрезка [0, L] при отображении F.

7Здесь мы считаем, что s + t cos а ^ L. В случае s + t cos а ^ L мы полагаем u = s + t cos a — L,v = —t sin a.

8В работе [1] получен такой же результат для а = 90°.

Тот факт, что g£ не сводится к движению, будет доказан в случае общего положения: е не соизмеримо

с L, т.е. — <0 Q (напомним, что е мы выбирали произвольным из интервала (0, L)).

L

Лемма 2. Пусть е не соизмеримо с L. Тогда композиция g£ := F£ о F-1 не продолжается до движения всего пространства R3.

Доказательство. Доказательство проведем от противного: предположим, что д£ — продолжение g£ до движения R3. Сразу отметим, что при отображении g£ средняя линия переходит в себя, говоря точнее, происходит сдвиг на е. Из точки F(0, 0) выпустим образующую. Обозначим ее через lo, а угол между ней и направляющей — через а. Если g£ — движение, то образ g£(lo) также будет прямолинейным отрезком на поверхности S (т.е. образующей), проходящим через точку F(е, 0). И поскольку g£ — изометрия, то угол между g£(lo) и направляющей в точке F(е, 0) также будет равен а. Таким образом, углы между направляющей и образующими в точках F(0, 0) и F(е, 0) совпадают. Аналогично доказывается, что углы совпадают в точках F(е, 0) и F(2е, 0), F(2е, 0) и F(3е, 0) и т. д.

Через [L/е] раз мы снова вернемся в начало отрезка [0, L]: углы в точках F([L/е]  е, 0) и F(([L/е] + 1)  е — L, 0) совпадают. Повторяя эту процедуру, получаем, что значение угла постоянно на всюду плотном множестве отрезка [0, L] (здесь используется несоизмеримость е и L). Отсюда следует, что угол между направляющими и образующей как аналитическая функция не зависит от точки. Последнее противоречит утверждению 1.

Используя тот же прием, можно показать, что верна следующая

Теорема 2. Семейство {F£ о F-1 ,е Е (0,ео)} для некоторого ео > 0 определяет изгибание ленты, т.е. для любого е из указанного интервала композиция F£ о F-1 не продолжается до движения пространства R3.

Доказательство. Предположим противное: существует последовательность еп ^ 0, для которой каждая композиция F£n о F-1 сводится к движению. Согласно рассуждениям, приведенным в доказательстве леммы 2, углы между направляющей и образующими в точках еп совпадают. Если через a(s) обозначить угол между направляющей и образующей в точке s, мы получим, что нуль является предельной точкой множества {s : a(s) = а(0)}. Учитывая, что a(s) — аналитическая функция, заключаем, что a(s) = const. Последнее противоречит утверждению 1.

Замечание. Если для некоторого е изометрия g£ продолжается до движения, то, как видно из доказательства, для любого s Е [0,L] имеем a(s + е) = a(s). Поэтому в качестве ео, фигурирующего в теореме 2, можно выбрать следующую величину:

supinf{\s — t\ : a(s) = a(t)},

s t=s

которая в силу аналитичности функции a(s) будет положительной.

Проиллюстрируем лемму 2 следующим образом. Движением поверхности F£(D), обозначим это движение буквой A, совместим соответствующие друг другу по изометрии g-1 точки F£(0,0) и F(0, 0) так, чтобы помимо этого совместились касательные плоскости к соответствующим поверхностям и касательные векторы к средним линиям в данных точках9. Если бы изометрия g£ продолжалась до движения, то A(F£(D)) и F(D) совместились бы полностью. Как видно из рис. 3, этого не происходит.

Автор выражает благодарность рецензенту за замечания, способствовавшие улучшению изложения материала. Работа поддержана грантом Минобразования РФ РНП 2.1.1.7988.

Рис. 3

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сабитов И.Х. Изометрические погружения и вложения плоского листа Мебиуса в евклидовы пространства // Изв. РАН. Серия матем. 2007. 71, № 5. 197-224.

Поступила в редакцию 28.04.2008

9Если считать, что нормаль к поверхности Я в точке Е(0, 0) совмещается с продолженной по непрерывности (вдоль кривой р(в)) нормалью в точке Е(е, 0), а касательный вектор к кривой р(в) в точке в = 0 — с касательным вектором в точке в = е, то это движение определяется единственным образом.