Математическая модель конкурентных отношений разновозрастных специалистов на региональном рынке труда (на примере Еврейской автономной области)

I. РЕГИОНАЛЬНЫЙ ПРОГНОЗ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 51-7:331.52

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНКУРЕНТНЫХ ОТНОШЕНИЙ РАЗНОВОЗРАСТНЫХ СПЕЦИАЛИСТОВ НА РЕГИОНАЛЬНОМ РЫНКЕ ТРУДА (НА ПРИМЕРЕ ЕВРЕЙСКОЙ АВТОНОМНОЙ ОБЛАСТИ) М.Ю. Хавинсон, М.П. Кулаков Институт комплексного анализа региональных проблем ДВО РАН, г. Биробиджан

На основе модификации уравнений Лотке-Волътерра предложен подход к математическому описанию конкурентных отношений между людьми разного возраста, занятыми на рынке труда региона. Получено четыре сценария конкуренции разновозрастных специалистов соответствующих различным степеням конкуренции, произведено сравнение с имеющейся динамикой численности занятых в ЕАО.

Введение

В современных условиях экономического кризиса актуальность приобретает вопрос устойчивости социально-экономических систем. Развитие математического моделирования определило особые подходы изучения динамики этих систем [1,6], а открытие периодических колебаний и хаоса существенно изменило «линейное» представление об исходной стабильности «человекоразмерных» объектов [7, 8]. Многие социально-экономические процессы имеют предельный режим поведения -цикличность [3,9]. Примером периодично развивающихся систем является региональный рынок труда. Разнообразные сложные взаимодействия между работниками и работодателями обусловливают, в частности, наличие флуктуаций занятости различных возрастных групп (когорт). Вызывает интерес изучение фактора конкуренции между разновозрастными специалистами. Исследование соперничества на рынке труда может стать ключом к более глубокому осмыслению явлений «молодой» безработицы и увеличения среднего возраста занятых.

В настоящей работе предложено математическое описание конкуренции занятых трех когорт, представляющее собой систему дифференциальных уравнений. Данная модель является модификацией известной биологической модели Лотке-Вольтерра [5], объясняющей факт возникновения периодических колебаний численности популяций межвидовой конкуренцией. С необходимыми изменениями это явление положено в основу исследования циклов в рассматриваемой системе взаимодействия разновозрастных занятых.

Анализ динамики численности занятых ЕАО

Еврейская автономная область может быть отнесена к «малым» регионам России (по численности населения), и, следовательно, взаимодействия возрастных групп на рынке труда автономии более чувствительны к влиянию различных социально-экономических факторов (бо-

лее неустойчивы), чем соответствующие взаимодействия в крупных регионах.

В распределении численности занятых по когортам в ЕАО за 2000-2006 гг. наблюдается нелинейная динамика-(рис. 1), явно выделяются пики и спады, носящие довольно четкий колебательный характер. Вопрос о синхронности колебаний можно частично выяснить с помощью корреляционного анализа: наличие прямой линейной связи между динамикой численности занятых в когортах будет являться основанием для предположения о синхронности колебательной динамики, обратная зависимость может быть показателем наличия противофазной или асинхронной динамики. Результаты корреляционного анализа представлены в табл. 1 (серым цветом отмечены значимые коэффициенты корреляции).

Из корреляционной таблицы (табл. 1) видно, что для каждой возрастной группы выделяются когорты с противофазной во времени динамикой, с которыми она конкурирует, либо с синфазной динамикой, с которой у нее «симбиотические» отношения или отношения взаимопомощи. Таким образом, рынок труда ЕАО можно представить системой сложных взаимодействий между воз-

Рис. 1. Численность занятых по когортам

Таблица 1

Коэффициенты корреляции между динамикой численности занятых когорт за период 2000-2007 гг.

Когорта до 20 20-24 25-29 30-34 35-39 40^14 45^19 50-54 55-59 60-72

до 20 1 0.93 -0,22 -0,03 -0,20 -0,16 0,00 -0,19 -0,56 0,00

20-24 0.93 1 -0.14 -0,05 -0,15 -0,11 0,03 -0,04 -0,44 -0,06

25-29 -0,22 -0,14 1 0.86 -0.71 -0,23 -0,05 0.93 0.80 0.75

30-34 -0,03 -0.05 0.86 1 -0,93 -0,30 -0,26 0.78 0.62 0.87

35-39 -0,20 -0.15 -0.71 -0.93 1 0,13 0,06 -0,59 -0.39 -0.75

40^4 -0,16 -0,11 -0,23 -0,30 0,13 1 0.80 -0,44 -0,30 -0,14

45^9 0,00 0,03 -0,05 -0,26 0,06 0,80 1 -0.28 -0,21 -0,24

50-54 -0,19 -0.04 0.93 0.78 -0,59 -0.44 -0,28 1 0.84 0,60

55-59 -0,56 -0,44 0.80 0.62 -0.39 -0,30 -0,21 0.84 1 0,45

60-72 0,00 -0,06 0.75 0,87 -0,75 -0,14 -0,24 0,60 0,45 1

растными группами, в которой различные социально-экономические процессы приводят к существенным колебаниям численности занятых [3,8].

Для анализа и построения модели рассмотрим динамику численности занятых молодых специалистов: до 20, 20-24,25-29 лет. Выбор этих когорт обусловлен, во-пер-вых, наличием в их динамике как синхронных, так и асинхронных колебаний (рис. 2). Во-вторых, молодые специалисты - это наиболее мобильные и быстро адаптирующиеся к изменяющимся условиям и требованиям рынка

Рис. 2. Численность занятых в когортах до 20, 20-24 и 25-29 лет

труда кадры, численность которых можно относительно легко контролировать с помощью различных социально-экономических мер, поэтому варьирование параметров для исследования будет иметь в ряде случаев определенный социально-экономический смысл.

Рассмотрим детально динамику численности занятых в когортах до 20,20-24,25-29 лет (рис. 2).

Прослеживается довольно четкая синфазная динамика численности занятых до 20 и 20-24 лет, противофазная для возрастных групп до 24 лет, 25-29 лет.

Подход к построению математической модели конкуренции занятых Подобные колебания достаточно подробно описаны в математической биологии с помощью модели Лотке-Вольтерра и ее модификаций для различных видов взаимодействий популяций (хищник-жертва, конкуренция,

симбиоз, комменсализм и т.д.) [5-7]. Исходя из логики построения моделей такого рода, следует сначала сделать предположение о характере динамики численности занятых в когортах без влияния других возрастных классов. Для описания динамики популяций различных видов животных при отсутствии лимитирующих факторов предполагается экспоненциальный рост численности

с1х

— = ах, Где х - численность популяции, а - коэффициент размножения, а 0. На наш взгляд, такое предположение очень трудно применить для динамики численности занятых в силу обязательного наличия лимитирующих факторов (в нашем случае экспоненциальный рост возможен только при неограниченной рождаемости, что в принципе невозможно), скорее всего, по этой причине нам не удалось описать динамику занятых в данных когортах с помощью классической модели Лотке-Вольтер-ра. Подходящим, по нашему мнению, будет следующее допущение для описания динамики численности занятых в рассматриваемых когортах при отсутствии значимых взаимодействий между занятыми разных когорт:

с1х

— = о-ах, Где х - численность занятых, а - коэффициент убыли занятых, Ь - приток занятых, а>0, Ь >0. В этом случае будет получена кривая ограниченного роста либо падения, что соответствует состоянию застоя на рынке труда. В нашем случае с помощью данного уравнения можно описать динамику численности занятых в когортах на временном отрезке 2002-2007 гг. (рис. 3). Для простоты вычислений использована дискретная модель

Ау(х) = Ь-ах (табл. 2).

Как видно из графиков, аппроксимация экспоненциальной функцией дает большую погрешность и не описывает колебания в динамике переменных. Введем в модель описание взаимодействий занятых в когортах так, как это принято делать в популяционных моделях, построенных по принципу Лотке-Вольтерра. Необходимо представить коэффициенты а и Ь в виде функциональных зависимостей [1, 5, 6]. Чтобы чрезмерно не услож-

Рис. 3. Модельные и фактические значения численности занятых в когорте (а) до 20 лет, (б) 20-24 лет, (в) 25-29 лет

нять модель, примем коэффициент Ь (приток занятых в когорту) за постоянную величину. Обозначим численность занятых до 20,20-24,25-29 лет соответственно х , х , х . Тогда коэффициенты убыли для каждой когорты имеют вид:

а0 (х1 ,х2) = К0 +а0х1 +а1х2,

«1 (*о ,х2) = К1+РоХо+Ах2, а2(х0,х1) = К0+г0х0+г1х1.

Откуда модельные уравнения можно записать в следующем виде:

*0 =Ь0 ~(К0 + СС0Х1 +а1х2)х0>

х\=ь\ ~(к\ + Рохо +Р\хт)хъ

х2 = Ь2~ (К2 + Г0Х0 + Г\х1 )х2 ,

где х. - численность занятых в когорте, Ъ. - ежегодный приток занятых, К. - коэффициент убыли занятых, а, /?, у - коэффициенты влияния других когорт, / - условный номер возрастного класса.

Отметим, что положительные а, /;. у соответствуют конкурентным взаимодействиям, отрицательные - отношениям взаимопомощи. Конкуренция на рынке труда может выражаться в том, что на одно рабочее место претендуют несколько человек, и в зависимости от образования, профессиональных качеств, предпочтения работодателя и других факторов осуществляется «фильтрация» претендентов. Такой «отбор» будет вызывать обратно пропорциональную динамику доли занятых в конкурирующих когортах, что при наличии нерегулярной динамики у одной из них проявляется в противофазных колебаниях численности обеих возрастных групп. Взаимопомощь (в биологии мутуализм, комменсализм) может проявляться в распространении информации (пропаганда работы при условии наличия свободных рабо-чихмест), в отношениях «мастср-учсник» ит.д., при этом будет наблюдаться прямо пропорциональная динамика между когортами, способствующая формированию синхронных колебаний численности занятых. В нашей модели конкуренция внутри возрастных классов в целом описывается коэффициентом К.

Таблица 2

Параметры и статистические оценки экспоненциальной модели для динамики численности занятых в когортах до 20,20-24,25-29 лет

Когорта Уравнение Коэффициент корреляции Средняя ошибка аппроксимации

до 20 Ду(х) = 0,285 0,353 • х 0,946 16,0 %

20-24 Ду(х) = 3,216 0,484* х 0,913 6,7 %

25-29 Ду(х) = 8,380 0,755 • х 0,955 1,3 %

16-19 лет

2.5 2

1.5

1

0.5

0 20 40 60

80

2.5 2

1.5

1

0.5

0 20 40 60 80

20-24 лет

25-29 лет

10

10

0 20 40 60

80

12

11

10

9'

8

в'п

12

11

10

9

8

О 20 40 60 80

20 40

О 20 40 60

60

80

80

Рис. 4. Модельная и фактическая численность занятых в когортах 16-29 лет

Численное исследование модели и интерпретация результатов

Оценка коэффициентов осуществлялась по статистическим данным за 2000-2007 гг. с помощью программы, написанной в пакете МаШСас! (рассматривались коэффициенты отличные от нуля). Для оценки находилось решение данной системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта пятого порядка и подбирались такие коэффициенты, при которых отклонение между соответственными интегральными кривыми и узловыми точками кривых фактических данных было минимальное [2,4]. Заметим, что ввиду большого количества параметров; несмотря на все упрощения системы, результат оценки во многом зависел от начального приближения искомых параметров.

Аппроксимировав имеющиеся статистические данные с помощью описанной модели, мы получили два принципиально разных результата. Численными метода-

ми выявлено два не тривиальных устойчивых состояния, которым в фазовом пространстве соответствуют точка либо предельная кривая. Для стационарного и циклического режима системы получено по 2 сценария динамики численности занятых в рассматриваемых когортах. На рис. 4-7 представлены результаты исследования, на графиках по оси абсцисс переменная времени, нуль соответствует 2000 г., по оси ординат численность занятых в когорте в тыс. чел., линия с точечными метками - модельные данные, квадратные метки - фактические данные.

На рис. 4, 5 представлены 2 сценария перехода к устойчивому стационарному состоянию численности занятых в рассматриваемых когортах. Первый сценарий предполагает переход к постоянной численности через небольшие колебания в течение 10 лет в условиях отсутствия значимой конкуренции.

Возникшие в начале рассматриваемого временного отрезка флуктуации можно объяснить особенностями

16-19 лет

21

1.5]

!1 0.5 І

ь

•о

і 2.5

Ф

ІГ

О

г 2 &*

с

о і <

€N1 **-*

о-'-" о

3 0,5

4 б 8 10

занятые 20-24 лет, тыс. чел.

4 б 8 10

занятые 20-24 лет, тыс. мел.

20-24 лет

§ю

=г

о

г

8

Ф

£=:

€*4

сЬ -

ем о Ф

X

<в

№

10

8 3 10 11

занятые 24*29 лат, тыс, чел.

12

ш

с:

сч

6

сч

т

т

№

3 9 10 11 12

занятые 24-2І пет, тыс, чел.

25-29 лет

X

со

8

0.5 1 13 2 15

заняты© 18*1 9 лат» тыс, чал.

ш

с

о»

СЧ

т

гч

№

т

12

И

10'

9

8

0.5 1 1.5 2 2.5

занятые 16-19 лет, тыс. чел.

Рис. 5. Фазовые портреты модельной и фактической численности занятых в когортах 16-29 лет

реанимации рынка труда области после кризиса 1990-х гг. По второму сценарию переход к стационарному состоянию произойдет через затухающие колебания в течение длительного времени, что соответствует слабой конкуренции между молодыми кадрами на рынке труда автономии. Флуктуации фактических данных можно рассматривать как сильную конкуренцию между молодыми специалистами в условия восстановительного периода экономики ЕАО, значительно ослабляющуюся с «отдалением» от периода кризиса в области. Фазовые портреты для этих сценариев являются фокусами (рис. 5).

На рис. 6, 7 представлены 2 сценария циклических колебаний численности занятых рассматриваемых когорт. Возможны колебания с меньшей, чем в статисти-

ческих данных, амплитудой либо соответственно большой или равной амплитудой. В первом случае описывается явление стабильной мягкой конкуренции молодых специалистов, которая может быть характерной для активно меняющегося рынка труда региона. В случае большой амплитуды колебаний численности занятых речь идет о жесткой конкуренции, возможной для формирующегося рынка труда в условиях сильной ограниченности рабочих мест и высокой безработице.

Фазовыми портретами для данных сценариев являются предельные кривые: в первом случае кривизна фазовой траектории, стремящейся к предельному циклу, увеличивается, во втором - уменьшается (рис. 7).

Предельные циклы в сравнении с затухающими колебаниями менее точно аппроксимируют имеющийся ряд

Когорта 1 сценарий 2 сценарий

2.5  3

2 Я 2 да і і

16-19 лет 1.5 з : 1 і і її \ 1 /і /і /! /і

1 0.5 : і 1=1 а V

0 20 40 60 80 0 20 40 60 80

10  12

8 п ;  Ф ; 10 а 0 /: & : і : А Д А А ! і ; ; ; : • ; і ’  ; ; | : і

20-24 лет 6  8 6 3 ^ ; і Ь  і \ : \ ;  : , , : ; І/ 1/ 1/ ; : і \/

4

0 20 40 60 80 4^ 0 20 40 60 80

12т 16

11 : р р'Л й 14 12 Йз '

25-29 лет 10 9 3 10 8 пР; : : і? ' : :

8і О

0 20 40 60 80 0 20 40 60 80

Рис. 6. Модельная и фактическая численность занятых 16-29 лет

данных, поскольку наряду с конку ренцией на численность занятых рассматриваемых юшрт влияет множество других социально-экономических явлений.

Таким образом, получено 4 сценария динамики численности занятых в возрастных группах 16-19,20-24,25-29 лет. Условно их можно обозначить как 4 типа конкуренции на рынке труда: несущественная конкуренция, низкая, средняя и сильная. В табл. 3 представлены статистические оценки модели, цифры 1,2,3,4 означают соответственно указанные сценарии конкуренции. Возможные режимы модели позволили хорошо аппроксимировать данные кривыми 1 и 2 типа конкуренции, что дает основание предполагать отсутствие ярко выраженной

конкуренции на рынке труда области.

Заключение

Полученная модель является базой для построения более сложных моделей социально-экономических взаимодействий занятых в регионе. Результаты моделирования позволяют определить ситуацию на рынке труда области как относительно устойчивую. Наиболее вероятные сценарии стремления к устойчивому состоянию описывают незначительную или низкую конкуренцию, а колебания численности занятых свидетельствуют о сложных социально-экономических взаимодействиях на рынке труда ЕАО, не ограничивающихся конкуренцией за рабочие места.

Таблица 3

оценки модели

Когорта Коэффициент корреляции Средняя ошибка аппроксимации, %

1 2 3 4 1 2 3 4

до 20 0,984 0,994 0,826 0,847 0,38 0,40 19,6 20,0

20-24 0,945 0,987 0,677 0,675 0,01 0,11 12,01 12,1

25-29 0,932 0,830 0,927 0,917 0,11 1,73 1,91 3,0

16-19 лет

т

с

о

сч

(Ь

2.5 2

1.5 1

1 0.5

1 3

О)

с:

о

см

11

т

4 б 8 10

занятые 20-24 лет, тыс. чел.

4 б 3 10 12

занятые 20*24 лет, тыс. чел.

20-24 лет

і *0

Ф

у

о

2

& 8

С

см

о -с* о

ф

X

т

т

8 9 10 11

занятые 24*29 лат, тыс, чел.

12

25-29 лет

ф

с

05

СМ

сч

ф

12

11

10

9

8

I

ГГ

г

ш

с:

о>

ю

<М

Ф

X

<В

«

0,5 1 1.5 2 2.5

занятые 18-18 пет, тыс, чел.

занятые 16-19 лет, тыс. чел.

Рис. 7. Фазовые портреты модельной и фактической численности занятых в когортах 16-29 лет

Работа выполнена при частичной поддержке грантов РФФИ и ЕАО 08-01-98505- р восток а «Математическое моделирование сценариев развития региональных природных и природно-хозяйственных систем (на примере Еврейской автономной области)», РГНФ 09-02-88202а/Т «Комплексный анализ и моделирование сценариев социально-экономического развития региона при реализации крупных региональных проектов (на примере Еврейской автономной области)».

ЛИТЕРАТУРА:

1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000. 368 с.

2. Бахвалов Н. С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2008. 640 с.

3. Буйная Е.В. Экономическая оценка регионального рынка труда / Е.В. Буйная, О. А. Бияков. Кемерово: ГУ КузГТХ 2003. 154 с.

4. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал пресс, 2002 г. 824 с.

5. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. / Перевод с французского О.Н. Бондаренко, под редакцией Ю.М. Свирежева. М.: Наука, 1976.288 с.

6. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.496 с.

7. Короновский А. А, Трубецков Д.И. Нелинейная динамика в действии: Как идеи нелинейной динамики

проникают в экологию, экономику и социальные науки. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2002. 324 с.

8. Математические модели природы и общества / Н.Н. Калиткин, Н.В. Карпенко, А.П. Михайлов, В.Ф. Тишкин, М.В. Черненков. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 360 с.

9. Цухло С. Анализ факторов, определяющих реальное финансово-экономическое состояние российских промышленных предприятий. М.: Институт экономики переходного периода, 2001. 83 с.

We propose the approach to mathematical description of different age workers competitive relations in the regional labor market using the Lotke-Volterra equations modification. We have elaborated the four competition scenarios for different age specialists having compared them with the current number dynamics of16—19, 20—24 and 25—29 year old workers in the Jewish Autonomous Region.