Механизм информационного обновления в м оделях ЭП истемической логики

Ю. В. Нечитайлов

механизм информационного обновления в моделях эпистемической логики

информационный поворот в логике. Термин информация приобрел особую значимость в XX веке, что нашло отражение и в одном из названий эпохи—информационный век. Между тем, не смотря на свою распространенность, этот термин апеллирует к фундаментальной сущности, которая является многосторонней, порой неоднозначной и трудно выразимой. Общепринятое определение того, что такое информация, отсутствует. В силу фундаментальности данного понятия все имеющиеся определения, даже в кибернетике и теории информации, не являются явными: они могут являться описанием, сравнением или содержать смысловой круг. Информация определяется, в частности, как сведения или знания, передаваемые системой знаков любого рода, хотя ответ на вопрос что такое знание и сведения является не более очевидным, чем на вопрос о том, что такое информация. Помимо этого, информация определяется как явление, характеризующееся источником информации, приемником информации, каналом связи, сохранением субстанции у источника и приемника, но изменением их энтропии, связанным с уменьшением информационной неопределенности. Многие из указанных аспектов информации получают сейчас свое выражение и в логике.

Классическая логика в качестве своего предмета рассматривает законы и формы правильного мышления, которые до некоторой степени находят свое выражение и в естественном языке. Информативной стороной в классической логике являются способы связи различных форм мышления, а также отношения между элементами этих форм. Однако классическая логика рассматривает формы мышления не относительно какого-либо конкретного индивида, а как нечто всеобщее, присущее каждому и одинаковое для всех. Более того, не рассматривается даже возможность индивидуального наполнения этих форм конкретной информацией (например. в ходе дискуссии). Классическая логика может применяться только относительно тех ситуаций, в которых информация представлена исчерпывающе для каждого участника диалога, спора или дискуссии, а также принимается и понимается всеми одинаково. Таким образом, в ситуациях, когда хотя бы один из участников дискуссии не владеет исчерпывающей информацией относительно используемых аргументов или не знает некоторых из используемых законов или правил умозаключения, классическая логика не способна стать инструментом, позволяющим построить доказательство, устраивающее все стороны в равной мере. На практике большинство ситуаций как раз не являются классическими в указанном смысле. В таких случаях при построении доказательства приходится выходить за рамки классической логики. Плохо если при этом нет формальных систем, которые могли бы помочь хотя бы часть работы по проведению аргументации выполнить строго, или хотя бы с некоторыми оценками гарантий доказанности. Современные логические системы как раз пытаются «выхватывать» фрагменты неформализованных частей аргументации для того, чтобы учитывать их в своем формальном языке и предоставлять

© Е. Н. Лисанюк, 2008

определенные гарантии доказанности. Одно из таких направлений развития логики переосмысливает роль и место информации в структуре языка этой науки.

Информационный поворот нашел отражение в синтаксисе и семантике не только современной интенсиональной (философской) логики, но и в рамках модификаций языка классической логики. Наиболее заметный вклад в развитие информационной направленности средств языка логики внес Яаакко Хинтикка. В 1989 году Хинтикка и Габриэль Санду работой «Информационная независимость как семантическое явление»1 открыли исследования в области Ш-логики, которая является расширением логики предикатов первого порядка, значительно обогатившим её язык. Предложенная в ней слеш-нотация уже позволила создать нечто совершенно новое в области теоретикоигровой семантики. Игры, строящиеся на основании Ш-логики, во многом, но не во всем, напоминают известный по теории игр класс игр с несовершенной информацией. Исследование выразительной силы языка Ш-логики, его свойств, поиск подходящей семантики еще в самом начале, но уже ясно, что этот язык превосходит выразительную силу языка логики предикатов первого порядка.

Яаакко Хинтикка явился родоначальником и эпистемической логики, которая уже успела в достаточной степени сформироваться, преодолеть спад интереса к своему предмету в 1970-е годы и выйти на новый этап развития. Эпистемическая логика в дополнение к предмету классической логики рассматривает рефлексию о процессе рассуждения, соотнесенного со степенями информированности участников дискуссии. Она учитывает то, что участники дискуссии могут иметь различную степень информированности о рассматриваемой ими ситуации и предполагает отдельное представление системы знаний каждого из них. Эпистемическая логика позволяет формализовать их рассуждения о знаниях или сомнениях друг друга на основании их общения или наблюдаемого поведения.

Интерпретация форм эпистемической логики. При определении любой формальной системы, которая претендует на наличие прикладного значения, требуется определить способы интерпретации ее элементов. Классической логике известны лишь общие представления о соответствии элементов естественного языка элементам языка логики и о том, как можно конструкции естественного языка сопоставить с конструкциями языка логики, переведя союзы и служебные слова в форму логических связок. В силу многозначности, противоречивости и неполноты естественного языка, четких, и, тем более, общих правил о способе его формализации быть не может. Однако всё же можно проследить определенную связь между логикой и естественным языком.

Формальные основания для языка эпистемической логики, инициировавшие его дальнейшее развитие, были предложены Я. Хинтиккой в его книге «Знание и убеждение»2. Он интерпретировал логические модальности, опирающиеся на семантику возможных миров, как «знание» и «убеждение», заложив основы для построения способа реконструкции и анализа эпистемических контекстов.

В основе семантики возможных миров лежит понятие эпистемической модели М, описываемой тройкой (Щ Я, V) в которой Щ указывает на множество состояний (возможных миров в семантике Крипке), ЯА задает множество отношений неразличимости (достижимости в семантике Крипке) с персональным отношением неразличимости Я. с Щх Щ для каждого агента (игрока) I е А, а V: Ф ^ 2Щ определяет функцию означивания, сопоставляющую множеству формул (суждений) Ф подмножество миров из Щ на которых эти формулы истинны. Каждая эпистемическая модель описывает некоторую эпистемическую ситуацию. Эпистемическая ситуация понимается как некий статичный фрагмент, описывающий знания и сомнения ряда игроков относительно их способности определить реальное состояние среди всего множества состояний.

Как и другие модальности, «знание» и «убеждение» напрямую связаны с отношением неразличимости (достижимости). Для модальности «убеждение» отношение неразличимости должно быть транзитивным и симметричным, т. е. оно должно удовлетворять условиям, ассоциируемым с позитивной и негативной интроспекцией. Позитивная интроспекция синтаксически формализуется в виде аксиомы (другими словами, на моделях с транзитивным отношением неразличимости данная аксиома истинна):

ВгФ ^ В А-Ф

т. е. если агент і убежден, что Ф истинно, то он убежден, что он убежден, что Ф ис-

тинно. Негативная интроспекция синтаксически формализуется в виде аксиомы:

-Вф ^ В -,В.ф

т. е. если агент г не убежден, что Ф истинно, то он убежден, что он не убежден, что

Ф истинно. Для модальности «знание» отношение неразличимости, вдобавок к требованиям, предъявляемым к отношению неразличимости для модальности «убеждение», должно быть рефлексивным, что формализуется в виде аксиомы:

Кф ^ Ф

т. е. если агент і знает, что ф истинно, то ф действительно истинно.

Очень важно установить взаимосвязь между эпистемическими модальностями. Основная аксиома является прямым и очевидным следствием способа семантического определения «знания» и «убеждения»:

Кф ^ В гФ

т. е. если агент і знает об истинности ф, то он и убежден в истинности ф. Аксиомы

(3) и (4) указывают на необходимые условия того, чтобы агент і обладал знанием

об истинности суждения Ф. Некоторые системы эпистемической логики определяют данные условия еще и как достаточные, задавая аксиому:

Кф -о- В .ф л Ф

т. е. агент і знает об истинности ф, тогда и только тогда, когда он убежден в истинности ф и ф имеет место. Как видно в этом случае знание трактуется как истинное убеждение, что представляется неполным и требует дополнительных уточнений.

В дальнейшем были добавлены и другие модальности: «обоснованность», «сомнение», «доверие», «желание», «намерение» и т. п. В результате, в частности, удалось определить знание в платоновском смысле, как обоснованное истинное убеждение. Однако очевидно, что все эти эпистемические модальности не имеют четких, или, по крайней мере, однозначных и общепринятых определений не только с точки зрения обыденного употребления, но и в философской традиции. Модальности эпистемической логики определяются на моделях семантики возможных миров и поэтому они ограничены структурными особенностями этих моделей и тем, какими свойствами они наделены в рамках этих моделей. Поэтому не стоит ожидать, что они будут в точности обладать теми же характеристиками, какими они наделяются в рамках эпистемологии. Однако это не означает, что логика и эпистемология не принимают во внимание исследования друг друга. Как показал Дж. ван Бентем в своей статье «Эпистемическая логика и эпистемология: состояние их взаимоотношений»3, исследования проводящиеся в рамках эпистемической логики начали оказывать заметное влияние и на развитие эпистемологии.

Плюрализм эпистемических принципов. Как показала практика, множество различных принципов может быть положено в основу эпистемической логики. Они могут быть весьма разнообразными и даже несовместимыми. Н. Решер и А. Вандер Нат в своей статье «Об альтернативах в эпистемической логике»4 систематизировали ряд принципов и сделали вывод в пользу разнообразия систем эпистемической логики вместо попытки выбора наиболее «правильных» принципов для создания единой эпистемической логики.

Учитывая достижения последних лет в области динамо-эпистемической логики, нам интересно по-новому взглянуть на эти принципы для того, чтобы попробовать в рамках одной системы для каждого из агентов предоставить возможность задать индивидуальный набор принципов. При этом интересно рассмотреть вопрос о том, какими критериями должны руководствоваться участники дискуссии при обработке и адаптации информации, полученной в процессе коммуникации, если им известно, что другие участники могут обладать отличными эпистемическими принципами. Кроме того, интересно исследовать вопрос о возможности в ходе некоторой дискуссии вычисления эпистемических принципов оппонентов по этой дискуссии.

Одним из самых безоговорочных принципов эпистемической логики является принцип, согласно которому никто не может знать то, что ложно (или не имеет места быть):

К ф

'

ф

т. е. то, что известно, должно иметь место. Данный принцип представлен в аксиоме (3). Следующий принцип также характерен всем системам эпистемической логики, касающимся модальности «знание»:

К.

Ky

т. е. если известно, что некий факт следует из уже известных фактов, то этот факт сам становится известным. Этот закон, по сути, утверждает что агент, если и не знает формулировку правила Modus Ponens, то, по крайней мере, всегда его использует.

Возьмем произвольную логическую систему S не являющуюся эпистемической. Относительно этой системы можно немного усилить принцип (7):

Кф

—— при условии, что |- S ф ^ у

K.y

т. е. то, что логически (в рамках специфической системы S) следует из известных фактов, само известно. Следствием этого будет принцип:

Кф при условии, что |- S ф

т. е. то, что логически доказуемо — известно. Дальнейшее усиление можно осуществить относительно принципа (8):

Кф

—— при условии, что |- ф ^ у

K-у

т. е. то, что следует из известных фактов, само известно. Здесь требование о том, что ф ^ у должно быть доказуемо в системе S заменено требованием, что ф ^ у должно быть доказуемо в рамках данной системы эпистемической логики, для которой (10) в свою очередь так же является принципом. Таким же образом мы можем усилить и принцип (9):

Кф при условии, что |— ф

т. е. то, что доказуемо — известно.

Ряд принципов может быть получен в результате наложения ограничений на аналог правила Геделя для модальной логики:

Ф при условии ф удовлетворяет С

Кф

В качестве одного из условий можно потребовать, чтобы С было вида Ку, тогда мы получим принцип:

К ф

кКф <13)

т. е. если что-то известно, то известно, что оно известно. Точно также, если в качестве

ограничения С взять форму вида —К. у, то получится принцип:

-К ф

к-Кф

т. е. если что-то неизвестно, то известно, что оно неизвестно. Есть ряд принципов, похожих на принцип (10), но все же отличных от него:

К.ф

—— при условии, что |- К ф ^ у

Ку '

т. е. то, что следует из знания об известных фактах, само известно. На (10) также похож принцип, регулирующий незнание:

—Кф

Ку

при условии, что |-------К ф ^ у

т. е. то, что следует из незнания — известно.

Очевидно, что данным перечнем не ограничиваются возможные принципы эпистеми-ческой логики, которые можно было бы взять для описания процесса когнитивного анализа участников дискуссии. Кроме того, когнитивный анализ участников дискуссии может основываться и на более глубоких принципах, опирающихся, к примеру, на анализ стратегий теоретико-игровой семантики, лежащей в основе эпистемической логики. В статье Р. Париха «Состояния знания и групповые действия»5 показано, как заданием истории действий может быть расширен язык эпистемической логики для анализа стратегий участников дискуссии.

На заре своего развития, в начале 60-х годов XX века эпистемическая логика уделяла большое внимание философским вопросам: различным сторонам процесса прямого познания, возможности познания в ходе интроспекции эпистемических состояний, а также идентификации объектов в различных возможных мирах. В настоящее время эписте-мическая логика переключилась на изучение различных сторон и видов информационного обновления, коммуникации, а также взаимодействия произвольных агентов, будь то люди с их свободной волей или компьютеры, действующие по заранее заданным алгоритмам. В результате это потребовало расширения первоначальной семантики эписте-мической логики, следствием чего стало появление динамо-эпистемической логики.

Модель действий. В основе расширения эпистемической логики до динамо-эпи-стемической логики находится модель действий. Модель действий состоит из трех элементов. Во-первых, это множество элементарных действий, которые могут быть выполнены игроками. В качестве таких действий могут рассматриваться только те, которые не меняют

положения дел, но способны изменить знания игроков относительно имеющей место ситуации. В качестве таких действий может рассматриваться передача различного рода сообщений. Разумеется, если говорить о конкретных задачах, для решения которых предполагается применение динамо-эпистемической логики, то на элементарные действия можно наложить менее строгое ограничение. Такие действия не должны изменять лишь те элементы действительности, которые могут быть использованы для решения этой задачи.

В качестве примера эпистемической задачи с информационным обновлением, на котором можно рассмотреть элементы модели действий обратимся к событиям Ватерлоо, по описанию Стефана Цвейга («Невозвратимое мгновение»6). Маршал Груши, преследуя прусскую армию Блюхера, находился в неведении: отступает эта армия или заходит во фланговый удар, в соединении с английской армией Веллингтона, на Наполеона. Очевидно, что данная эпистемическая ситуация имеет два состояния: Блюхер отступает, и Блюхер заходит во фланговый удар. Тогда элементарным действием будет преследование армии Блюхера в течение некоторого отрезка времени. Это действие, пусть даже весьма существенное как изменяющее реальность, с точки зрения решения вопроса «куда делась армия Блюхера?» может рассматриваться как сугубо информационное. Каждое элементарное действие соединяет между собой две группы состояний (описывающих две эпистеми-ческие ситуации), обычно выстраивая их в соответствии с временной шкалой.

Вторым элементом модели является множество предварительных условий, при которых может начаться каждое из элементарных действий. Множество предварительных условий является существенным элементом модели действий, позволяющим определить информационное обновление в зависимости от конкретно реализовавшихся возможностей. В рассмотренном примере элементарное действие «преследовать армию Блюхера в течение некоторого временного отрезка» может быть реализуемо (конечно, абстрагируясь от конечности существования трети армии Наполеона, возглавляемой Груши) бесконечно долго только, если действительным является то, что армия Блюхера заходит во фланговый удар (а перед бедным Груши нет никого). Если же реальностью является то, что армия Блюхера отступает, то предварительное условие действия преследования — армия Блюхера еще не настигнута—будет реализовано лишь для части состояний, распределенных по временной шкале до некоторого момента и соответствующих тому, что армия Блюхера отступает.

Третий элемент указывает на то, как элементарные действия видятся каждому из игроков. Различия в представлениях могут быть обусловлены разными причинами: частной передачей информации среди группы игроков, невнимательностью отдельных игроков, помехами в канале при передаче информации и др.

Определим модель действий Д формально следующей тройкой (О, С, 1К), где D указывает на множество элементарных действий, С: О ^ 2ф определяет функцию

предварительных условий начала действий, сопоставляющую каждому элементарному действию из О подмножество формул (в том числе и эпистемических) из Ф, которые должны выполняться в состоянии для того, чтобы это действие было доступно в нем, 1А задает множество отношений неразличимости действий с персональным отношением неразличимости I с О х О для каждого игрока i е А.

информационное обновление. Информационное обновление и может быть определено как произведение эпистемической модели и модели действия Ы Д=(Ж О, ША, Р) следующим образом.

Ж О = {

Р(ф) = {(w, С) е ЖО| ^ф) е w}

В данном определении множество пар W D позволяет построить граф последовательных переходов из одних эпистемических ситуаций в другие. Такие переходы и ассоциируются с информационными обновлениями. Каждый переход при его реализации может изменять набор эпистемических формул, выполнимых в каком-то конкретном мире, т.к. в новой эпистемической ситуации он сохраняет только те состояния, которые допускали реализованное элементарное действие. А поскольку доступность элементарных действий может зависеть не только от атомарных формул, но и от эпистемических, то некоторое элементарное действие не оказывается жестко привязанным к какому-то конкретному набору миров. Одному и тому же миру после очередного информационного обновления может соответствовать новый набор доступных элементарных действий.

Отношение когнитивной неразличимости й игрока i означает, что если этот игрок не различал некоторые состояния w и w', а также не различает действия d и d, то в случае выполнения действия d или d уровень его неопределенности соответствующим образом увеличится.

В третьем пункте данного определения выполнено простейшее обобщение — функция означивания P.

направление дальнейших исследований. Перед эпистемической логикой поставлено множество еще не разрешенных вопросов. В частности, в качестве ближайших исследований можно предложить следующую проблему.

Общая модель предполагает, что игроки способны учесть все возможные и невозможные ситуации, а также, оценив свою и чужую информированность, определить для каждой пары таких ситуаций, кто способен их различать между собой, а кто не способен этого сделать. Данный тезис можно проверить на примере «Испачкавшиеся дети» (Muddy children), который уже стал классическим в литературе по эпистемической логике. Однако такое положение дел обычно не имеет места даже для простых игр, в которых рассматриваются комбинации трех-четырех суждений. Нужно заметить, что задачу «Испачкавшиеся дети» многие студенты не способны решить сходу. Между тем, в самой задаче многоэтапное рассуждение детей опирается на то, что каждый из них умеет решать данную задачу и делает это правильно. Если только кто-нибудь из них не даст ответа не по причине информационной неполноты, а из-за неспособности к анализу этой неполноты, то он(а) вызовет лавинообразную ошибку в решениях остальных детей. Об учете большого количества суждений вообще не может идти речи в обычных ситуациях, а значит нельзя всецело полагаться на стратегии, учитывающие поведение игроков с расчетом на то, что они способны проанализировать все ситуации. нужно найти решение, которое учитывало бы результаты неполного анализа ситуации соперниками.

1 Hintikka J, Sandu G. Informational independence as a semantical phenomenon // J. Fenstad et al. (eds.). Logic. Methodology and Philosophy of Science Vin. Elsevier Science Publishers B.V 1989. P. 571-589.

2 Hintikka J. Knowledge and belief // Cornell UP, Ithaca, N.Y, 1962.

3 Benthem J. van. Epistemic Logic and Epistemology: The State of their Affairs // Philosophical Studies. Vol. 128. No. 1. Springer, March, 2006, P. 49-76.

4 Rescher N., Nat A. vander. On Alternatives in Epistemic Logic // Journal of Philosophical Logic. Vol. 2. 1973. P. 119-135.

5 Parikh R. States of Knowledge and Group Action. Статья представлена на LOFT’02 и WOL-LIC’02, 2002.

6 Цвейг С. Невозвратимое мгновение. Из цикла «Звездные часы человечества». Место издания! «Правда», 1981.