Затухающие солитоны в расширенном нелинейном уравнении Шредингера с пространственным индуцированным рассеянием и убывающей дисперсией

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ, ГАЗА И ПЛАЗМЫ

УДК 537.86

Н.В. Асеева, Л.Г. Бляхман, К.В. Логвинова, В.В. Тютин

ЗАТУХАЮЩИЕ СОЛИТОНЫ В РАСШИРЕННОМ НЕЛИНЕЙНОМ УРАВНЕНИИ ШРЕДИНГЕРА С ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ИНДУЦИРОВАННЫМ РАССЕЯНИЕМ И УБЫВАЮЩЕЙ ДИСПЕРСИЕЙ

Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики

Цель работы: Исследована динамика солитонов в рамках расширенного нелинейного уравнения Шредингера (НУШ), полученного из системы уравнений «захаровского» типа, описывающего взаимодействие между высоко- и низкочастотными (ВЧ и НЧ) волнами. Полученное расширенное НУШ учитывает псевдо-вынужденное рассеяние Рамана, т.е. пространственный аналог классического вынужденного рассеяния Рамана, описываемого в оптике расширенным НУШ во временной формулировке. Также учтена неоднородность пространственной дисперсии второго порядка и линейные потери ВЧ волн. Научный подход: Исследование проведено как численно, так и аналитически.

Результат: Показано, что уменьшение волнового числа пакетов, обусловленное псевдо-вынужденным рассеянием Рамана, можно компенсировать увеличением волнового числа за счет дисперсии второго порядка, экспоненциально убывающей в пространстве. Аналитически найдено «солитонное» решение, сохраняющее свою структуру. Аналитические результаты подтверждены численным счетом.

Новизна: Результаты исследования новые и могут иметь приложение для разработки новых поколений оптоволоконных линий связи на базе коротких оптических солитонов.

Ключевые слова: расширенное нелинейное уравнение Шредингера, затухающий солитон, вынужденное рассеяние, неоднородность, дисперсия второго порядка, затухание ВЧ волн, линейные потери НЧ-волн, аналитическое решение, численный эксперимент.

Введение

В настоящее время значителен интерес к солитонам, обусловленный их способностью сохранять свою форму,и переносить энергию и информацию в течение длительного времени без значительных потерь. Солитонные решения возникают во многих областях физики, имеющих дело с распространением интенсивных волновых полей в диспергирующих средах: оптические лучи и импульсы в волоконных линиях связи и волноводах, электромагнитные волны в плазме, поверхностные волны на глубокой воде и т.д. [1-7]. В последнее время соли-тоны используют и для описания «плазмонов» [8-10].

Динамика протяженных ВЧ волновых пакетов корректно описывается во втором порядке теории дисперсии нелинейных волн. Основным модельным уравнением в этом случае является НУШ [11, 12], которое учитывает дисперсию второго порядка и кубичную нелинейность (самоукручение). Солитонное решение в рамках НУШ существует в результате баланса между дисперсионным расплыванием и нелинейным сжатием волнового пакета. В частности, решение с постоянной структурой в виде затухающего солитона в рамках НУШ, учитывающего линейные потери ВЧ-волн и пространственное убывание дисперсии второго порядка, представлено в [4, 13].

Для описания динамики коротких ВЧ волновых пакетов используется уже третье приближение теории дисперсии нелинейных волн [1], которое учитывает нелинейную диспер-

© Асеева Н.В., Бляхман Л.Г., Логвинова К.В., Тютин В.В., 2014.

сию [14], вынужденное рассеяние Рамана [15-17] и дисперсию третьего порядка. Основное модельное уравнение в этом случае - расширенное НУШ [17-21]. Солитонное решение в рамках расширенного НУШ с дисперсией третьего порядка и нелинейной дисперсией было получено в [22-29]. В [30, 31], были найдены стационарные волны перепада в рамках расширенного НУШ с вынужденным рассеянием Рамана и нелинейной дисперсией.

Эти волны существуют в результате равновесия между вынужденным рассеянием и нелинейной дисперсией. Для локализованных нелинейных волновых пакетов (солитонов) вынужденное рассеяние приводит к сдвигу вниз спектра солитона [15-17] и, в итоге, - к разрушению солитона. Использование баланса между вынужденным рассеянием и переменными характеристиками среды для стабилизации солитонов в протяженных линиях передач предложено в [32]. Компенсация вынужденного рассеяния линейным излучением из ядра солитона рассмотрена в [33]. Компенсация вынужденного рассеяния в неоднородных средах рассмотрена в нескольких случаях: с периодической дисперсией второго порядка [34, 35], в средах со сдвигом точки нулевой дисперсии второго порядка [36], в оптических волокнах с убывающей дисперсией [37].

Интенсивные короткие импульсы ВЧ электромагнитных или ленгмюровских волн в плазме, а также ВЧ поверхностные волны на глубокой воде, испытывают существенное затухание в результате рассеяния на НЧ волнах, которое, в свою очередь, возникает как эффект вязкости. Такие НЧ моды являются ионно-звуковыми волнами в плазме, или внутренними волнами в стратифицированной жидкости. Первая модель для затухания при взаимодействии с НЧ-волнами была предложена в [38]. Эта модель использует расширенное НУШ с пространственным аналогом вынужденного рассеяния Рамана, которое было названо псевдовынужденное рассеяния Рамана. Это уравнение было получено из системы уравнений «заха-ровского» типа [39, 40] для связанных ленгмюровских и ионно-звуковых волн в плазме. Псевдовынужденное рассеяние приводит к сдвигу вниз по спектру волнового числа, подобно хорошо известному эффекту классического вынужденного рассеяния [1, 14-17] и, в итоге, к разрушению солитона. Модель, разработанная в [38], также учитывает плавное пространственное изменение дисперсии второго порядка (как пространственное уменьшение коэффициента дисперсии второго порядка). Эта неоднородность приводит к сдвигу вверх по спектру собственного волнового числа волнового пакета и делает возможным для солитонов компенсацию псевдовынужденного рассеяния пространственно неоднородной дисперсией второго порядка и уничтожает эффект потерь на НЧ-волнах.

В данной работе рассмотрена динамика интенсивных ВЧ волновых пакетов в диспергирующих нелинейных средах при учете рассеяния на затухающих НЧ-волнах, линейных потерь ВЧ-волн и экспоненциально убывающей дисперсии второго порядка. В третьем приближении теории дисперсии нелинейных волн (для коротких волновых пакетов), исходная система уравнений «захаровского» типа сведена к расширенному неоднородному НУШ. Это уравнение включает член псевдовынужденного рассеяния Рамана и член пространственно убывающей дисперсии второго порядка. Равновесие между этими двумя членами дает возможность стабилизации спектра волнового числа солитона. Найдено решение в виде устойчивого солитона.

Основное уравнение и интегральные соотношения

Рассмотрим эволюцию медленно изменяющейся огибающей Ж(Д, /) интенсивного волнового пакета в нелинейной среде с неоднородной дисперсией. Учтем взаимодействие с затухающими НЧ-волнами, которое можно представить как локальное возмущение эффективного показателя преломления п(Д, /). Эта эволюция описывается соответствующей системой уравнений «захаровского» типа для однонаправленного распространения ВЧ- и НЧ-волн [39, 40]

дЖ Т,дЖI д

-+ V-1 + —

д дх ) дх

/ \дЖ I

д

дх )

8н ТГ 8н .. 8 n

— + VS--5—=-

8t 8x 8x

8

IwÜ

8x

где V - коэффициент потерь ВЧ волн; 5 - коэффициент вязкости для ВЧ волн; V - групповая скорость ВЧ волн; V - скорость НЧ-волн. Как отмечалось ранее, эта система описывает интенсивные ленгмюровские волны в изотропной плазме при взаимодействии с ионно-звуковыми волнами, которое соответствует вязкому трению.

В третьем приближении теории дисперсии нелинейных волн (для коротких ВЧ волновых пакетов, при кА<<5, где к, А - характерные волновое число и пространственная протяженность волнового пакета), в приближении нелинейного отклика среды

п = 2 V - V)-1 - - V)-2 д(\2)/ д4, приходим к следующему эволюционному уравнению для огибающей ВЧ волновых пакетов:

8W 8

2i-+ —

8t 84

q (4 + Vt) где 4 = x - Vt, a = (1/2) (Vs - Vy1

8W

84

слагаемое

, 8(|W|2) + 2aW \W\ + fdW _ ' + ivW = 0,

84

12 )/ д4, с коэффициентом

-V)-2

- это пространственный аналог вынужденного рассеяния Рамана во временном представлении. После подстановки

\ = и ехр

уравнение (3) принимает вид

д

8U 8

2i-+ —

8t 84

q

8U

84.

+ 2oU\U\ exp(-vt) + -'-exp(-vt) = 0.

84

Уравнение (6) при нулевых условиях на бесконечности и^^ ^ 0 имеет следующие интегральные соотношения для моментов волнового поля:

¿и а ,2

dt dt

d Л U|2 "4 = 0;

, +f

2d ¡Щ2 * = - exp (-vt )f d4-f

dt

j +f d

8'

Uü)t

8U

84

- ¡— d4 = -Mexp(-vt)\ K

-f л2

8q 8U

84 84

d4;

д4

d4

+aex

i Wr^1U|4L f 8q

p(-vt )i ^т^М^

d f —t Л

^^2

85

8q

84 "

f

-4 = 2 Л

2

82U 8U* 82U* 8U

+f Q^H2

842 84 842 84

U2) 8(qK\U\2

d4;

842 84

4

d4

j f +f /-Ч1

± ЛU|fqK^d4

2

f

f

f

-f

2

f

f

f

-f

-f

f

й Ж 2йД=\ дК\\2 йД.

+да

В указанных соотношениях комплексное волновое поле представлено в виде и = |и| ехр (¿ф), и - комплексно сопряженная к нему величина, К = дф/дД - локальное волновое число.

Аналитические результаты

Изменение моментов волнового поля

Примем характерные масштабы неоднородностей дисперсии второго порядка и локального волнового числа К много большими пространственной ширины огибающей волнового пакета ~ОчК >> В^. Аппроксимируем пространственное изменение волнового числа

+да

линейной функцией: К(Д,/)« к(Д, / )+(дК / дД)д(д-Д), где Д = ¡Др^йД и

—да

N и2. Далее получим из мнимой части уравнения (6), при условии (д\ и / дД\= 0

—да

(которое означает, что максимум амплитуды солитона совпадает с его центром масс), соотношение

'дКЛ

/

v дд )д

2 д и 1 дд

\

+ К

д\и\ д/ д дД

)Д

Из уравнения (6), при учете (13), для уединенных волновых пакетов распределение

волнового числа можно представить в виде

К (Д, / ) = к (/) +

у+| (д—Д) ,

д д2 дД^ Д/,

где к (/ ) = К (д, /). Далее система уравнений (8)-(12) может быть преобразована в эволюцион-

ные уравнения для параметров волновых пакетов:

2N— = ехр (— у/)—д'(Д + V/) N2,

йг

Nd2 = —^¿0к_ехр (— у/)—3кд'(Д + V/ N + 2к 3д'(Д + V/ N

а

д

Мг

у + V

д'(Д + V

д

т ехр (— у/),

^ = —кд'(Д + V/ )т— |у +

&

д

т,

& йД

3кд' (д + V?)_,

= кд(д+V/),

где д' (Д + V/) = (дд / дД)-, _ = 1 / ¿0, т = М / М0, 2 = 2 / N; 2 = ЦдР / дД|2 йД.

—да —да

да

—да

M - 4d£, L - 2)/aj

d^, вместе с энергией волнового пакета N (определенной в

уравнении (7)), - это характеристические интегралы волнового пакета. M0 = M(0), ^ = ^(0) -исходные значения этих интегралов.

Выберем пространственное изменение дисперсии второго порядка в виде

у + Vg' (д+V/)/ д(д + V,I )= 0, соответствующем экспоненциально убывающему профилю

д = д0ехр

Теперь система (15)-(19), при переопределении времени и координаты солитона

е = ,л-УД^ ,

преобразуется к виду

2 ехр е — = —р_ + г ехр

д0 ае

—ехр е— = —рк_ + 3к ехр

д0 ае

—ехр е — = 3к_ ехр

д0 ае

— ехр е йл = к ехр

д0 ае

где р = ц1/Ь0/(уд0N). Используя первые интегралы _ = ехр (3л) и 2 = к2 +(г0 — к0 )ехр (2л), где к0 = к(0), 20 = 2§ / N, 20 = 2(0), система уравнений (22)-(25) сводится к виду

2а ехр е йу = —Я ехр

ае

а ехр е ал = у ехр

ае

Здесь определены новые константы а = V /(д0^[20), У0 = у(0),

р / 20

и отмасштабированное волновое число солитона

У - к .

Равновесное состояние системы (27)-(28) достигается при условии

к = 0, VL

В равновесном режиме волновой пакет и распространяется, сохраняя исходные величины интегральных моментов N , 10, и , и с нулевым волновым числом. Однако моменты волнового поля исходного волнового пакета Ж = и ехр (—е/2) экспоненциально затухают NW (е) = N ехр (—е), ^ (е) = Д,ехр (—е), 2Ж (е) = 20ехр (—е). Первый интеграл этих уравнений имеет вид:

3у2 ехр

На рис. 1 представлена эволюция у(е) во времени, как следствие уравнений (26)-(27), при начальном условии у0 = 0 и для различных величин а и X.

—j

а) б)

Рис. 1. Эволюция ^(б) во времени при начальном условии = 0 и различных величинах а :

а - а = 1/10; б - а = 1 ], и X

Солитонное решение

Рассмотрим теперь решение уравнения (6) при экспоненциальном пространственном профиле дисперсии второго порядка, определенном соотношением (20), т.е. д(Д + ) = д0ехр (—(Д + ) / В). Искомое решение представим в виде волны стационарного

профиля и (Д, / ) = у(Д)ехр ( )й):

% exP 1 — -^J ехр

f—D.

+ 2ау3 — 2Q(t )ехр (vt )у +

d у %о ——ехр

dt2 D ^

d (у 2 ) . dt,

D)ехр

v—

V_

D

dy

+

При условии V / D = v и Q(t ) = Q0 ехр (—vt) уравнение (32) дает

%оехР

v

r vfJd2у

. + 2ау3 — 2Qny — v —ехр df2 V

' vfJ dy d(у2) Л

--- —- + uy ^ ' = 0

v V) df df "

v V.

Предположим, как было показано ранее, что масштаб пространственной неоднородности дисперсии второго порядка много больше ширины волнового пакета D — V / v >> Du . Принимая во внимание, что s ~ vDv /V ~ ц << а,q0 и аппроксимация ехр (— vf/V)«1 — vf/V, решение уравнения (33) можно найти в виде

У = У0 + У1, пРи У1~ sy 0 <<У0 •

Удерживая члены порядка s, получим

с/2

q0 —У° + 2аУ0 — 20у0 = 0,

df2

%0 ^ +

(баУ02 — 2«)у1 =v ^ f — 2 Ц ^

V df2

q0 dy0 ц N 0+v 0 0 3 df V df

Уравнение (35) в нулевом порядке дает решение в виде солитона классического профиля:

у/0 = Д^есЬ (Д/ А),

где Л^/

t

v

V

После введения обозначений ц = Е, / А и У = /(уАА) уравнение (36) первой поправки примет вид

а2^ ( 6 -+ —^— 1

Ii \

m 6 - V = 2 Л I Л I 5sinh л sinh л ^

^Л2

v cosh2 л ) cosh3 л cosh Л 4 р* cosh4 л cosh2 л

где

р* = 5g0v/

- равновесная величина коэффициента псевдо вынужденного рассеяния. Фактически, уравнение (39) определяет величину амплитуды солитона в нулевом приближении А , с которой солитон существует в принятой модели, т.е. в рамках уравнений (1), (2) и (20). При условии ^(о) = 0 уравнение (38) приводит к точному решению для первой поправки,

¥

12

р*

4 4р*

что можно сравнить с похожим решением, показанном в [38]. При р = р* решение (40) удовлетворяет граничным условиям ^(л ^ ^ 0. Данное решение существует в результате баланса между псевдовынужденным рассеянием и экспоненциально убывающей дисперсией второго порядка. При р ф р* решение (40) на бесконечности расходится |^(л ^ ^ го .

Отметим, что полное решение, заданное выражением (33), несимметрично, и является комбинацией симметричной и антисимметричной частей нулевого порядка и первого порядка (37) и (40). Решение с несимметричными хвостами возникает в рамках хорошо известной системы линейно связанных НУШ, описывающей туннельно связанные нелинейные оптические волокна [41].

Численный счет

Был проведен численный эксперимент для задачи эволюции волнового пакета с начально-заданным распределением U (4, t = 0) = 1 cosh 4, в рамках уравнения (6) при v / V = 1/10, q(4) = exp (_ 4/10), а = 1 и различных величинах V, v и р. Предсказанный аналитически равновесный уровень коэффициента псевдовынужденного рассеяния (39) для указанного начального импульса - р* = 1/16.

В численном эксперименте начальный импульс при р = 1/16 трансформировался к стационарному локализованному распределению с нулевым волновым числом. Это распределение близко к полученному аналитически решению, заданному выражениями (34), (37), и (40), с константами q0 =а = A0 = 1, q' = —1/10, и р = р*, предсказанными (35)-(36):

U = + -1

При величине коэффициента псевдовынужденного рассеяния, отличном от р* (39), численный эксперимент приводит к нестационарному решению. Например, при р = 2/64 = 0.5р*, результат приведен на рис. 2.

На рис. 3 представлены результаты как численного эксперимента изменения во времени локального волнового числа в точке максимума огибающей волнового числа при различных величинах р и соответствующие величины, полученные аналитически из (26)-(27). Показано близкое совпадение результатов аналитического исследования и численного эксперимента как при р = р (где и в аналитическом, и в численном результате волновое число

остается практически нулевым), так и для нестационарных импульсов при р ф р. Подобная схожесть наблюдается и при всех величинах параметров.

1 'о

Рис. 2. Эволюция огибающей волнового пакета в численном эксперименте при ц = 2/64 г 0.5ц* и у = 0.01, V = 0.1

к о к

о

а) б)

Рис. 3. Результаты численных и аналитических исследований (непрерывные и прерывистые линии). Изменение во времени локального волнового числа в максимуме огибающей волнового пакета при профиле дисперсии второго порядка #(х) = ехр(- х/10), при различных величинах ц и различных V и V:

а - у = 0.01, V = 0.1; б - у = 0.1, V = 1

Выводы

В данной работе исследована динамика солитона в рамках расширенного неоднородного НУШ, полученного из системы уравнений «захаровского» типа для связанных ВЧ- и НЧ-волн. Эта модель учитывает псевдовынужденное рассеяние Рамана, экспоненциально убывающую дисперсию второго порядка и линейные потери ВЧ-волн.

Результаты исследования получены аналитическим методом, основанным на анализе эволюционных уравнений для моментов волнового поля, а также подтверждены в численном эксперименте. Стационарный солитон в рамках этой модели существует в результате баланса между сдвигом вниз по спектру собственного волнового числа пакета (эффект вызван псевдовынужденным рассеянием) и сдвигом волнового числа вверх (эффект вызван экспоненциально убывающей дисперсией второго порядка). Аналитические и численные результаты совпадают для всех рассмотренных величин параметров.

В использованной модели не рассматривалась нелинейная дисперсия и линейная дисперсия третьего порядка. Модели с указанными членами высоких порядков малости и возможность компенсации эффектов псевдовынужденного рассеяния Рамана в таких моделях будут рассмотрены в дальнейших работах.

Библиографический список

1. Infeld, E. Nonlinear Waves, Solitons, and Chaos / E. Infeld, G. Rowlands // Cambridge University Press. - Cambridge, 2000.

2. Agrawal, G.P. Nonlinear Fiber Optic // Academic Press. - San Diego, 2001.

3. Yang, Y. Solitons in Field Theory and Nonlinear Analysis // Springer. - New York, 2001.

4. Kivshar, Y.S. Optical Solitons: From Fibers to Photonic Crystals / Y.S. Kivshar, G.P. Agraval // Academic. - San Diego, 2003.

5. Dickey, L.A. Soliton Equation and Hamiltonian Systems // World Scientific. - New York, 2005.

6. Malomed, B.A. Soliton Management in Periodic Systems // Springer. -New York, 2006.

7. Dauxois, T. Physics of Solitons / T. Dauxois, M. Peyrard // Cambridge University Press. - Cambridge, 2006.

8. Sich M., Krizhanovskii D.N., Skolnick M.S., Gorbach A.V., Hartley R., Skryabin D.V., Cerda-Méndez E.A., Biermann K., Hey R., Santos P.V., Nature Phot. 6 (2012) 50-55.

9. Kauranen M., Zayats A.V., Nature Phot. 6 (2012) 737-748.

10. Cerda-Ménde E. A., Sarkar D., Krizhanovskii D. N., Gavrilov S.S., Biermann K., Skolnick M.S., and Santos P.V., Phys. Rev. Lett. 111 (2013) 146401.

11. Zakharov V.E., Shabat A.B., Sov. Phys. JETP. 34 (1972) 62-69.

12. Hasegawa A., Tappert F., Appl. Phys. Lett. 23 (1973) 142-144.

13. Tajima K., Optics Letters 12 (1987) 54-56.

14. Oliviera J.R., Moura M.A., Phys. Rev. E 57 (1998) 4751-4755.

15. Mitschke F.M, Mollenauer L.F., Optics Letters 11 (1986) 659-661.

16. Gordon J.P., Optics Letters 11 (1986) 662-664.

17. Kodama Y., J. Stat. Phys. 39 (1985) 597-614.

18. Kodama Y. and Hasegawa A., IEEE J. Quantum Electron 23 (1987) 510-524.

19. Zaspel C.E., Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 723-726.

20. Hong B., Lu D., Inter. Journal of Nonlinear Science 7 (2009) 360-367.

21. Karpman V.I., The European Physical Journal B 39 (2004) 341-350.

22. Gromov E.M., Talanov V.I., JETP 83 (1996) 73-79.

23. Gromov E.M., Talanov V.I., Chaos 10 (2000) 551-558.

24. Gromov E.M., Piskunova L.V., Tyutin V.V., Physics Letters A 256 (1999) 153-158.

25. Obregon M.A., Stepanyants Yu.A., Physics Letters A 249 (1998) 315-323.

26. Scalora M., Syrchin M., Akozbek N., Poliakov E.Y., D'Aguanno G., Mattiucci N., Bloemer M.J., Zheltikov A.M., Phys. Rev. Lett. 95 (2005) 013902.

27. Wen S.C., Wang Y., Su W., Xiang Y., Fu X., Fan D., Phys. Rev. E 73 (2006) 036617.

28. Marklund M., Shukla P.K., Stenflo L., Phys. Rev. E 73 (2006) 037601.

29. Tsitsas N.L., Kourakis Rompotis I., Kevrekidis P.G.and Frantzeskakis D.J., Phys. Rev. E 79 (2009)037601.

30. Kivshar Y.S., Phys. Rev. A 42 (1990) 1757-1761.

31. Kivshar Y.S., Malomed B.A., Optics Letters 18 (1993) 485-487.

32. Malomed B.A., Tasgal R.S., JOSA B 15 (1998) 162-170.

33. Biancalama F., Skrybin D.V., Yulin A.V., Phys. Rev. E 70 (2004) 011615.

34. Essiambre R.-J., Agraval G.P., JOSA B 14 (1997) 314-322.

35. Essiambre R.-J., Agrawal G.P., JOSA B 14 (1997) 323-330.

36. Andrianov A., Muraviev S., Kim A., Sysoliatin A., Laser Physics 17 (2007) 1296-1302.

37. Chernikov S., Dianov E., Richardson D., Payne D., Optics Letters 18 (1993) 476-478.

38. Gromov E.M. and Malomed B.A., Soliton dynamics in an extended nonlinear Schrödinger equation with a spatial counterpart of the stimulated Raman scattering, Journal of Plasma Physics 80 (2014) (accepted), text online available http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1306/1306.4550.pdf.

39. Zakharov V.E., Sov. Phys. JETP 33 (1971) 927-932.

40. Zakharov V.E., Radiophysics and Quantum Electronics 17 (1974) 326-343.

41. Blit R., Malomed B.A., Phys. Rev. A 86 (2012) 043841.

Дата поступления в редакцию 05.02.2014

N.V. Aseeva, L.G. Blyakhman, K.V. Logvinova, V.V. Tyutin

DAMPED SOLITONS IN AN EXTENDED NONLINEAR SCHRÖDINGER EQUATION WITH A SPATIAL STIMULATED RAMAN SCATTERING AND DECREASING DISPERSION

National Investigate University Higher School of Economics

Purpose: Dynamics of solitons is considered in the framework of the extended nonlinear Schrödinger equation (NSE), which is derived from a system of Zakharov's type for the interaction between high- and low-frequency (HF and LF) waves. The resulting NSE includes a pseudo-stimulated-Raman-scattering (pseudo-SRS) term, i.e., a spatial-domain counterpart of the SRS term, which is a known ingredient of the temporal-domain NLSE in optics. Also included is inhomogeneity of the spatial second-order diffraction and linear losses of HF waves. Approach: Soliton's dynamic investigated as analytically as numerically.

Findings: It is shown that wavenumber downshift by the pseudo-SRS may be compensated by upshift provided by SOD whose local strength is an exponentially decaying function of the coordinate. An analytical soliton solution with a permanent shape is found in an approximate form, and is verified by comparison with numerical results.

Key words: Extended Nonlinear Schrödinger Equation, Damped Soliton Solution, Stimulated Scattering, Damping Low-Frequency Waves, Linear Loss High-Frequency Waves, Inhomogeneity, Second-Order Dispersion, Analytical Solutions, Numerical Simulation.