Математическое моделирование ряда фильтрационных течений в подземной гидромеханике

Сер. 10. 2010. Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 532.546

Э. Н. Береславский, Л. А. Александрова, Е. В. Пестерев

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЯДА ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ В ПОДЗЕМНОЙ ГИДРОМЕХАНИКЕ

Введение. В работе [1] изучались две математические модели течений - под заглубленной плотиной и под шпунтом Жуковского. В первой задаче рассматривалось моделирование плавного подземного контура гидротехнического сооружения, при этом определялось очертание подстилающего водопроницаемое основание криволинейного водоупора, характеризуемого постоянством скорости обтекания. В настоящей статье исследуется случай, когда водоупор с подобными свойствами имеет более сложную конфигурацию и состоит из горизонтального и двух криволинейных участков. Следует отметить, что введение подобных криволинейных участков позволяет избежать рассмотрения нереальных полубесконечных и бесконечных областей, что особенно важно при разработке приближенных и численных методов (конечных элементов, граничных интегральных уравнений и т. п.). Во второй задаче [1] исследовалось течение при обтекании шпунта Жуковского через орошаемый почвенный слой в нижележащий хорошо проницаемый горизонтальный слой, не содержащий напорных грунтовых вод (фильтрация без напора, или так называемая свободная фильтрация), левая полубесконечная часть кровли которого моделировалась непроницаемым включением (твердая порода, водоупор). В настоящей работе рассматривается наиболее часто встречающийся в теории фильтрации и мелиорации случай, когда нижележащий сильнопроницаемый пласт содержит напорные грунтовые воды (так называемая фильтрация с подпором).

Береславский Эдуард Наумович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики Санкт-Петербургского государственного университета гражданской авиации. Количество опубликованных работ: более 270. Научные направления: конформные отображения, аналитическая теория линейных дифференциальных уравнений класса Фукса, краевые задачи теории аналитических функций, математическое моделирование задач гидро- и аэромеханики. E-mail: eduber@mail.ru.

Александрова, Людмила Александровна — аспирант кафедры прикладной математики Санкт-Петербургского государственного университета гражданской авиации. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. Э. Н. Береславский. Количество опубликованных работ: 16. Научные направления: математическое моделирование, разработка прикладных программ. E-mail: mymila@mail.ru.

Пестерев Егор Васильевич — студент 4-го курса кафедры прикладной математики Санкт-Петербургского государственного университета гражданской авиации. Количество опубликованных работ: 12. Научные направления: математическое моделирование, разработка прикладных программ. E-mail: yogurt@live.ru.

© Э. Н. Береславский, Л. А. Александрова, Е. В. Пестерев, 2010

Для изучения этих моделей формулируются и с помощью конформных отображений областей специального вида решаются смешанные краевые задачи теории аналитических функций. Дается конструктивное решение задач, получены точные аналитические представления для характерных размеров схем течения. Приводятся результаты численных расчетов и проводится гидродинамический анализ влияния основных физических параметров моделей на размеры областей движения. Отмечаются предельные случаи, связанные с отсутствием горизонтального участка водоупора в первой схеме и подпора в нижележащем сильнопроницаемом слое во второй, исследованные ранее

в [1].

Моделирование подземного контура гидротехнического сооружения с участками постоянной скорости обтекания. Рассматривается плоская установившаяся фильтрация (по закону Дарси с известным коэффициентом фильтрации к = const) несжимаемой жидкости в однородном и изотропном грунте под водонепроницаемым подземным контуром заглубленной плотины ABCC1B1A1 (рис. 1). Область течения ограничена снизу водоупором GiG, состоящим из двух криволинейных участков GiFi и GF, а также, в отличие от рассмотренного ранее случая [1], горизонтального участка FiEF; на них, как и на участках подземного контура гидросооружения BC и Bi Ci , величина скорости обтекания постоянна.

Q = 1.14, At = 0.308 и Ad = 0.295

Ах_D_A

©

Q

G i

O E

G

<P

0.5 Я

Рис. 2. Область комплексного потенциала течения ш

Если ввести комплексный потенциал движения ш = + гф (рис. 2) и комплексную координату г = х + гу, отнесенные соответственно к кН и Н, где Н - действующий на сооружение напор, то задача состоит в определении положения кривых ВС, В\С\, Ои ОЕ при следующих краевых условиях:

таким образом, чтобы скорость фильтрации вдоль криволинейных участков подземного контура плотины BC и B\C\, а также горизонтального FFi и криволинейных участков Q\F\ и GF водоупора имела постоянные значения vo (заданное) и uo (искомое) соответственно (0 ^ uo < vo).

Так же, как в [1], в качестве канонической области удобно взять прямоугольник (рис. 3, а). Обратимся к области комплексной скорости w, соответствующей краевым условиям (1), которая изображена на рис. 3, б. Она отличается от области для случая [1] лишь горизонтальным разрезом FiEF вдоль вещественной полуоси плоскости w, что позволяет воспользоваться принципом симметрии Римана-Шварца, который приводит к существенному сокращению неизвестных констант конформного отображения. Поэтому, учитывая полную симметрию на плоскостях z, ш и w, ограничимся рассмотрением области движения ABCDEF и соответствующих ей одноименных областей на плоскостях ш и w. Тогда, принимая во внимание совпадение области комплексной скорости с таковой для случая [1], имеем

AiGi : y = 0, у = —0.5H, C\DC : y = —d, ф = Q,

AiBi : x = —l, ф = Q, AB : x = l, ф = Q,

AG : y = 0, у = 0.5H, F1EF : y BiCi, BC : |w| = vo,

T, ф = 0, GiFi, FG : ф = 0, GiFi, FG : |w| = uo,

w(t ) = vo exp(r — 0.5)n¿, откуда определяется физический параметр uo = voexp(—0.5пр).

0.5 р

А

В

G

©

Е D

0.5 и

Bi

At

\w\ =

Gi

FI

0 Ft

G

©

A-

В

= щ

Е D

Рис. 3. Области вспомогательной параметрической переменной т

Конформное отображение прямоугольника вспомогательной переменной т на область комплексного потенциала ш дается формулой

0.5

К

F

X 1 — n2sn2

arcsm — < /--——--, m

гг. у 1 — A2sn2

здесь F(p,m) - эллиптический интеграл первого рода при модуле т = k[(l —

к'2а2/32)(1 - А-,272)/(1 - к'2 ¡32){1 - А-,2а272)]1/2, Л = у/1 -к'2/32, п = - к'2-/2, а = sn(2Ka, k'), в = sn(2Kb, k'), y = sn(2Kc, k'). При этом должно выполняться условие

K'(ni) _ 2Q К(пг) ~ ~~Н '

связывающее физические параметры Q и H, которое служит для определения модуля k.

Принимая во внимание соотношения (2), (3) и w = dw/dz, а также поступая аналогично [1], придем к зависимостям

р(т) =

dw dr

Mf(r) dz _ М/(т)ехр((0.5 — т)пг) dr

Д

f

A(r) = ^[1 - A2sn2(2Ar, At)][1 - «2sn2(2AV, k)}[a2 + (1 - a2)sn2(2Ar, A)],

w

где М > 0 - масштабная постоянная моделирования. Запись представлений (5) для разных участков границы области т с последующим интегрированием по всему контуру вспомогательной области приводит к следующим выражениям:

для основных геометрических и фильтрационных характеристик

0.5 0.5 0.5

M f M f M f

— / XBCdt = Al, — YBCdt = Ad, — YFGdt = T,

vo J vo J uo J 0 0 0

' 0.5p 0.5

M | y ФВРdt + У <bFGdt | = 0.5H;

00

для координат точек подземного контура гидросооружения BC

t t MM xBc

v0 v0 00

для координаты криволинейной части водоупора FG

t t MM xFG

u0 u0 00

Здесь Al = l — li, Ad = d — di, XBG, YB, ФEF, ^fg, Xfg, Yfg - выражения правых частей (5) на соответствующих участках контура плоскости т.

Полагая в уравнениях (6) и (7) t = 0.5, находим искомые размеры подземного контура плотины и криволинейного водоупора

0.5р

h=xBC

v0

о

В прямой физической постановке параметры конформного отображения а, в, Y, модуль к и масштабная постоянная моделирования являются искомыми и для их определения служат величины Al, Ad, H и T, выражаемые уравнениями (6), наряду с отношениями (4). Численным путем выявляется монотонность функций, входящих в левые части этих уравнений, и таким образом устанавливается ее однозначная разрешимость относительно искомых констант. При этом постоянная моделирования M предварительно исключается из всех уравнений посредством четвертого выражения системы (6), фиксирующего величину H =1.

Предельные случаи. Остановимся прежде всего на случае, когда точки Fi, E и F в плоскости течения сливаются, т. е. когда горизонтальный непроницаемый участок отсутствует и на всем своем протяжении водоупор оказывается криволинейным [1]. В этом случае в плоскости т параметр y = 0.5р и решение вытекает из формул (4)-(9), если в них положить y =1.

Другой предельный случай получается, когда водоупор на всем своем протяжении горизонтальный [2, 3]. Тогда в плоскости движения z точки G и F, а также Gi и Fi сливаются на бесконечности, а прямоугольник плоскости т вырождается в полуполосу.

Решение для этого случая вытекает из формул (4)—(9), если в них положить модуль к = 0, при этом выражения для Н и Т удается проинтегрировать в явном виде:

н = 2 МК(к) т_ М

,__

/ (1 — а2/32)(1 — т^) V (1-а272)(1 -/?2)'

Формулы (10) совпадают с известными (см. [3, с. 191, формулы (7.17) и (7.18)]) с точностью до обозначений.

На рис. 1 изображена картина течения, рассчитанная при уо = 1, Н = 2, Q = 1.14, Т = 1.934, Д/ = 0.308 и Дй = 0.295. Результаты расчетов влияния определяющих физических параметров уо, Н, Q, Т, Д/ и Дй на размеры /1, Й1(а следовательно, / и й), /2 и /3 приведены в табл. 1. В каждом из блоков таблиц один из указанных параметров варьируется в допустимом диапазоне, а значения остальных фиксируются: уо = 1, Н = 2, Q = 1.14, Т = 1.934, Д/ = 0.308 и Дй = 0.295. На рис. 4, I представлены зависимости Й1 и /1 от параметра Т, на рис. 4, II - зависимости /2 и /3 от параметра Q. Анализ данных табл. 1 и рис. 4 позволяет сделать следующие выводы.

Таблица 1. Расчеты влияния определяющих физических параметров ад, Н, Q, Т,

А1 и А< на величины 11, <¿1, ¿2 и 13

Параметр к <¿1 к 13 Параметр к <¿1 к к

v0 Я

0.085 0.838 0.375 2.038 1.835 1.2 0.085 0.076 2.646 0.900

0.10 0.397 0.161 1.640 1.051 1.6 0.273 0.186 2.228 1.160

0.12 0.359 0.118 1.026 1.018 1.8 0.395 0.230 2.072 1.288

Я Т

1.4 0.571 0.226 2.426 2.014 1.1 0.710 0.055 1.265 1.543

1.8 0.597 0.200 3.192 2.846 1.7 0.598 0.202 1.795 1.626

2.0 0.601 0.195 3.579 3.245 1.9 0.553 0.246 0.020 1.668

А1 Ас1

0.30 0.298 0.290 2.233 1.509 0.25 0.340 0.588 2.135 1.519

0.44 0.088 0.676 2.174 1.331 0.35 0.721 0.066 1.949 1.600

0.50 0.000 0.735 2.173 1.254 0.40 0.757 0.000 1.928 1.618

Уменьшение скорости обтекания и увеличение действующего на сооружение напора приводят к росту всех размеров плотины, а также величины горизонтального участка водоупора. Из табл. 1 следует, что изменение скорости в 1.4 раза увеличивает ширину /1 и толщину Й1 соответственно на 133 и 218%. При этом наиболее существенное влияние на ширину гидросооружения и ее глубину оказывает действующий напор: при возрастании параметра Н на 50% величины /1 и Й1 изменяются в 4.6 и 3 раза соответственно.

Из табл. 1 вытекает, что влияние фильтрационного расхода почти не сказывается на размерах плотины. В то же время заметна тенденция к росту ширины сооружения /1 при повышении фильтрационного расхода Q и уменьшении мощности пласта Т, а также к увеличению глубины Й1, напротив, при понижении параметра Q и росте Т (рис. 4, I). Обращает на себя внимание, что наряду с параметром мощность пласта также сильно влияет на глубину й1, изменяя последнюю в 4.6 раза.

Рис. 4- Зависимости величин ¡\, от Т

Из табл. 1 видно, что увеличению разности Д¡ (Д^) сопутствует убывание (рост) ширины плотины I и рост (убывание) ее глубины Так, с изменением Д1 на 47% ширина ¡1 уменьшается в 3.4 раза, глубина d1 становится больше в 2.3 раза, а при изменении Дd на 40% ширина ¡1 увеличивается в те же 2.3 раза, в то время как глубина d1 убывает уже в 8.8 раза. Последняя строка табл. 1 соответствует случаям обтекания шпунта (зуба), когда ¡1 =0, I = Д1, и флютбета с горизонтальной вставкой, где d1 =0, d = Дd [3, с. 196-200].

Особый интерес представляют характер выхода воды в нижнем бьефе ¡2 и размеры горизонтального участка водоупора ¡3. Согласно данным табл. 1 и рис. 4, II, с ростом параметров Q и Т ширина ¡2 увеличивается, а с ростом ^о, Н, Дd и Д¡ - уменьшается. При этом значения ¡2 и ¡3 могут быть весьма значительными: при Q = 2 имеем ¡2/I = 3.9, ¡з/I = 3.6, ¡2/d = 7.3, ¡з/d = 6.6.

Моделирование обтекания шпунта ^Куковского через орошаемый почвенный слой с нижележащим сильнопроницаемым напорным горизонтом. Рассматриваемый случай схематично представлен на рис. 5. Исследуется течение жидкости под шпунтом Жуковского через орошаемый (с равномерной интенсивностью инфильтрации г, 0 < £ < 1) почвенный слой мощности Т в нижележащий хорошо проницаемый водоносный горизонт, напор в котором имеет постоянное значение Но, при этом левая полубесконечная часть кровли пласта ВС моделируется непроницаемым включением (водоупором, твердой породой и т. п.). Шпунт ЛОЕ обтекается грунтовой водой под влиянием разности напоров в верхнем бьефе и нижнем сильнопроницаемом слое грунта, за шпунтом вода поднимается на некоторую высоту ОЕ и образует свободную поверхность БЕ. Однако, в отличие от [1], здесь коренным образом меняется характер

течения: наличие подпора со стороны вод нижележащего горизонта вносит в фильтрационную схему дополнительную граничную точку - точку перегиба E свободной поверхности DF. Это обстоятельство значительно осложняет решение соответствующей краевой задачи, увеличивающей общее число неизвестных параметров конформного отображения. В рассматриваемом случае задача состоит в определении положения кривой депрессии DF при следующих краевых условиях:

AB : y = 0, p = -H, BC : y = -T, ф =0,

CD : y = -T, p = 0, DEF : p = -y + H0 - T, ф = ex + Q,

AGF : x = 0, ф = Q;

Q - фильтрационный расход. Нахождение высоты поднятия воды за шпунтом GF, т. е. величины d, а также расположение абсциссы точки C, т. е. параметра L, представляют известный практический интерес. Действующий напор H, расход Q, глубина почвенного слоя T, длина шпунта S, а также скорость обтекания на его конце Vg (0 < Vg < e) наряду с напором Hq и e считаются заданными.

Область комплексной скорости и>, которая соответствует краевым условиям (11) и представлена на рис. 6, а, имеет прямые углы и круговой разрез и, стало быть, принадлежит классу круговых многоугольников в полярных сетках [4]. Поэтому, вновь принимая в качестве вспомогательной параметрической переменной прямоугольник плоскости т (рис. 6, б) и применяя разработанную [5-8] методику построения отображающих функций для подобных многоугольников, найдем

, . /т-чЫт -НА) -ч92(Т -а) аг^у/£

iv т = у/ы—-— , ,-гтт, А =-,

$2(т + гл)+П2(т — гл) п

где $2(т) - вторая тета-функция с параметром д = ехр(— пр), однозначно связанным с модулем к [9].

Рис. 6. Области комплексной скорости ю

Используя метод П. Я. Полубариновой-Кочиной [3], который основан на применении аналитической теории линейных дифференциальных уравнений [10], и принимая во внимание соотношения и> = ¿ш/йг и (12), решение краевой задачи (11) получим в следующем параметрическом виде:

Ж; = п в2(т + ¡X) - в2(т - ¡X) с1т ^Ь% ' &1(т)<1п(2Кт, к)А(т) '

<Ь_ _ мЫт + гЛ) + у>2(Т - ¿А) (1т ~ ' '#1(т)с1п(2А'т, к)А(т) '

Д(т) = л/а{Б112{2Кт,к) + о2.

Здесь о.\ = \/1 — а2, а = ш(2Ка, г), а - ордината точки А в плоскости т.

В рассматриваемом случае неизвестные константы конформного отображения а, д (ордината точки О в плоскости т), к и М определяются в результате решения такой системы уравнений:

а

уДМ I Ч' л; •// = <>

М

Уло ¿г = Б,

0.5

т/еМ ! Ф вс Л = Н,

0

после чего вычисляются координаты точек свободной поверхности хвр(г) и увр(г), 0 ^ г ^ 0.5. Полагая в этих уравнениях г = 0.5, находим исходные размеры

0.5

с1 = Т -Н0- уДМ J Фвр Л, Ь = М

Иш

о

' 0.5-й 0.5р-5

X вр ¿г — / Хав ¿г

у

В формуле

на соответствующих участках контура области т.

Выявлен небольшой диапазон изменения физических параметров модели.

Результаты расчетов влияния определяющих физических параметров Vg , £, T, S, H0 и Q с базовым вариантом VG = 0.5, £ = 0.8, T = 6, H = 0.1, S = 4, Q = 0.24, H0 = 3 на фильтрационные характеристики представлены в табл. 2 (отрицательные величины означают, что свободная поверхность поднимается выше оси абсцисс или точка C расположена левее оси ординат), а также на рис. 7 в виде зависимостей величины d от указанных параметров. Анализ данных табл. 2 и рис. 7 позволяет сделать следующие выводы.

Таблица 2. Расчеты влияния определяющих физических параметров Vg , е, T, S, Но и Q на фильтрационные характеристики d, xC

VG £ Т

0.3 2.9852 -0.0032 0.65 2.9971 -0.0423 4.0 1.0997

0.5 2.9850 -0.0205 0.75 2.9989 -0.0199 5.5 2.4997

0.7 2.9849 -0.0209 0.80 2.9997 -0.0071 7.0 3.9997

S Q Но

3.5 2.9795 -0.0101 0.023 2.9850 -0.0205 2 3.9996

4.5 2.9802 -0.0305 0.024 2.9945 -0.0764 4 1.9997

5.5 2.9969 -0.0357 0.025 2.9997 -0.0234 6 -0.0003

Рис. 7. Зависимость величины d от Vg

Уменьшение скорости обтекания и напора в нижележащем сильнопроницаемом водоносном пласте и увеличение интенсивности инфильтрации, мощности почвенного слоя, длины шпунта и фильтрационного расхода приводят к понижению ординаты точки Г выхода кривой депрессии из-под шпунта, т. е. росту величины !. Так, согласно данным табл. 2, увеличению длины шпунта Б в 1.5 раза и мощности почвенного слоя Т в 1.7 раз отвечает рост высоты поднятия грунтовой воды на 58.4 и 263.7% соответственно. Можно заметить также, что варьирование параметров Уо, £ и Q приводят к весьма незначительным изменениям значения с! (в пределах 0.01-0.5%), так что влияние скорости обтекания, инфильтрации и фильтрационного расхода практически не сказывается на размере !. Наблюдается линейная зависимость параметра с! от величин Т и Но.

Однако наибольшее влияние на размер с! оказывает напор в сильнопроницаемом напорном горизонте: данные табл. 2 показывают, что при увеличении параметра Но на 200% значение с! уменьшается более чем в 13 330 раз, причем точка Г выхода из-под шпунта поднимается выше оси абсцисс.

Особый интерес представляют расположение точки С, лежащей на границе непроницаемого включения и левого края кровли нижележащего водоносного пласта, и в связи с этим поведение размера Ь. С ростом параметров Уо, Б и убыванием £ ширина Ь увеличивается. Так, согласно табл. 2, с увеличением длины шпунта в 1.5 раза и уменьшением интенсивности инфильтрации в 1.3 раза величина Ь возрастает на 253.5 и 495.8% соответственно. Однако наибольшее влияние на Ь оказывает скорость обтекания: с ростом параметра Уо на 133% ширина Ь увеличивается в 6.5 раз.

Варьирование параметров Т и Н0 для тех расчетных вариантов, которые содержатся в табл. 2, приводят к одному и тому же значению Ь = —0.0071, так что влияние мощности пласта и напора в нижележащем водоносном горизонте не сказывается на положении координаты точки С.

Существенную роль в формировании течения играет напор в хорошо проницаемом водоносном горизонте. Согласно расчетам, при фиксировании всех остальных физических параметров модели возрастание напора Но сопровождается подъемом свободной поверхности БГ. При этом точка перегиба последней Е, перемещаясь вдоль границы влево, приближается к шпунту, в то время как справа кривая депрессии выполажи-вается и становится практически горизонтальной границей. Так, для базового варианта найдено хе = 0.004662, уе = —2.9959. Фрагмент картины течения вблизи точки перегиба представлен на рис. 8.

В данном базовом варианте отчетливо намечается режим течения, предшествующий затоплению территории: точка перегиба кривой депрессии Е настолько близка к точке Г, что выполаживание границы при подходе к ней улавливается лишь в третьем десятичном знаке. Таким образом, выявляется связь между повышением напора в нижележащем пласте и такой крайне неблагоприятной в мелиоративном отношении ситуацией, что дает возможность на орошаемых массивах контролировать режим грунтовых вод.

Предельный случай течения Н0 = 0 (отсутствие подпора). Как показывает анализ, если вновь зафиксировать все физические параметры схемы, то по мере убывания напора в нижележащем водоносном пласте точка перегиба свободной поверхности Е, перемещаясь вдоль границы в направлении точки Б, сливается с ней в переделе при Л = Л* = 0.5р. При таком значении Л в области комплексной скорости V выпадает правая часть полукруга ¡V — ¿(1 + е)/21 < (1 — е)/2, а в плоскости течения г кривая депрессии выполаживается в точке Б и выходит в ней на кровлю слоя под прямым

-2.994

-2.996

-2.998

-3.000

0.007

0.014

0.021

X

Рис. 8. Фрагмент картины течения в окрестности точки перегиба Е кривой депрессии при Ус = 0.5, е = 0.8, Т = 6, Н = 0.1, 5 = 4, д = 0.24, Но = 3

углом. Учитывая, что при Л = Л* [9]

$2 (т + Ц-) = -^ехр(—7гтг)$з(т), *д2(т -Ц-) = -^=ехр(7гтг)193(т), 2 V Ч 2 V ч

и используя известные соотношения между эллиптическими и тета-функциями

Щг) = Мт) =

V к

в результате получаем выражения (12) и (13) в виде

ги(т) = v/ëtg(7гr),

¿и; г- 8ш

— = \/еМ--—--

¿т У 8п(2А'г,А-)Д(г)'

(Ь = м_софгг)__ 3,т ' вп(2Кт,к)А(т)'

Так как в этом предельном случае Л = 0.5/9 = тт -^ахШл/е, то

2агШ,/ё агШ

Р = А /А =-, д=-.

п п

Формулы (16)—(18) совпадают с соответствующими формулами (10)—(12) работы [1]. Литература

1. Береславский Э. Н., Александрова Л. А., Пестерев Е. В. Математическое моделирование некоторых фильтрационных течений в подземной гидромеханике // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2010. Вып. 1. С. 12—22.

2. Кочина И. Н., Полубаринова-Кочина П. Я. О применении плавных контуров основания гидротехнических сооружений // Прикл. математика и механика. 1952. Т. 16. С. 57—66.

3. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. 2-е изд. М.: Наука, 1977. 664 с.

4. Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений / пер. с нем. К. М. Фиш-мана; под ред. Л. И. Волковыского. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1963. 406 с.

5. Береславский Э. Н. О дифференциальных уравнениях класса Фукса, связанных с конформным отображением круговых многоугольников в полярных сетках // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, № 3. С. 296-301.

6. Береславский Э. Н. О конформном отображении некоторых круговых многоугольников на прямоугольник // Изв. вузов. Математика. 1980. № 5. С. 3-7.

7. Береславский Э. Н. Об интегрировании в замкнутой форме некоторых дифференциальных уравнений класса Фукса, встречающихся в гидро- и аэромеханике // Докл. РАН. 2009. Т. 428, № 4. С. 439-443.

8. Береславский Э. Н. Об интегрировании в замкнутой форме некоторых дифференциальных уравнений класса Фукса, связанных с конформным отображением круговых пятиугольников с разрезом // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, № 4. С. 459-466.

9. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

10. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.; Л.: Гостех-издат, 1950. 436 с.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья принята к печати 10 июня 2010 г.