МЕТОД ФОРМИРОВАНИЯ В ПРЕПОДАВАНИИ ТЕМЫ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

МЕТОД ФОРМИРОВАНИЯ В ПРЕПОДАВАНИИ ТЕМЫ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ Исмоилова Д.Э.

Исмоилова Дилдора Эркиновна — магистрант, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан

Аннотация: известно, что тема «Евклидовы пространства» является одним из основных понятий функционального анализа и вопрос обучения ей с использованием современных педагогических технологий является актуальным. В статье обсуждается преподавание предмета функционального анализа «Евклидовы пространства» с использованием метода формирования. Вначале дается краткое описание метода формирования и даются рекомендации по его применению в учебном процессе. Этапы применения метода поясняются на примере «евклидовых пространств».

Ключевые слова: функциональный анализ, евклидово пространство, метод формирования, шкала, скалярное произведение, норма элемента.

УДК 37.02

Функциональный анализ начал формироваться как отдельное направление в современной математике в начале XX столетия. Одна из главных причин тому острая необходимость решения (систем) дифференциальных и интегральных уравнений, возникших в рамках основных моделей естествознания (прежде всего в физике). У истоков этого направления стояли такие выдающиеся математики, как С. Банах и Д. Гильберт.

С самого начала новому направлению были присущи высокая степень абстракции и тесное переплетение анализа, алгебры и геометрии.

Мы проследим развитие функционального анализа начиная с формализации понятий близко-далеко, которые позволяют ввести базовую операцию анализа - предельный переход. Возникающие на этом пути новые объекты - метрические пространства - позволяют решить целый ряд задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории интегральных уравнений второго рода с помощью принципа сжимающих отображений. Возникшее естественно понятие полноты оказалось здесь ключевым и дало возможность по-новому взглянуть на теорию действительных чисел и классический анализ.

Дальнейшее привлечение алгебры и геометрии в линейный функциональный анализ привело сначала к развитию теории бесконечномерных топологических векторных пространств (в том числе, пространства Банаха и Гильберта), а затем, в 60-х годах XX столетия, к прорыву в исследовании основных (линейных) краевых задач математической физики и, более общо, теории дифференциальных уравнений в частных производных.

В статье обсуждается преподавание предмета функционального анализа «Евклидовы пространства» с использованием метода формирования.

Кроме длины вектора, в классической геометрии часто используется понятие угла между векторами. В нормированных пространствах определить угол между векторами, вообще говоря, нельзя. Для того чтобы это сделать нам придется еще сузить класс рассматриваемых пространств. Речь идет о Евклидовом пространстве. Для удобства читателя мы приводим определение евклидова пространства.

Скалярным произведением на линейном пространстве L над полем R называется действительнозначная функция (X, у) , удовлетворяющая следующим условиям:

1) (х, х) > 0, причем (х, х) = 0 только при х = 0;

2) (х, у) = (у, х) для всех х, у £ L;

3) (Ях, у) = Л(х, у) для всех х, у £ Ь и всех Л £ Я;

4) (х + у, z) = (х, z) + (у, z) для всех х, у, z £ Ь.

Линейное пространство Ь со скалярным произведением (х, у) называется евклидовом

пространством.

Кратко опишем метод формирования.

Метод формирования состоит в том, чтобы нарисовать на листе бумаги два полюса: многостороннюю шкалу и очень мало сторон. Длину шкалы может свободно определять

87

педагог. Студентам предлагается поставить точку на обсуждаемой шкале в зависимости от их осведомленности и знаний. В конце упражнения учитель делает вывод.

При использовании данного метода в организации обучения по предмету функционального анализа могут быть достигнуты следующие результаты: все студенты задействованы, активно участвуют в уроке, определяется их знания по той или иной теме, их рост, прогресс в освоении той или иной темы. Используя формирующий метод, учитель может легко определить уровень начальных знаний учащихся по теме «Евклидовы пространства» и то, как эта тема была усвоена в конце урока. Кроме того, используя метод формирования, учитель может вовлекать всех учеников в учебный процесс одновременно [1-19].

Студентам будет предложено взять лист бумаги и нарисовать шкалу и включить свое понимание скалярного умножения и евклидовых пространств

на этой шкале. Например, они могут выбрать следующие понятии:

• Линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовом пространством.

• В пространстве R скалярное произведение определяется как (x, y) = xy .

• В R2 скалярное произведение определяется как (x, y) = y + Х2 У2.

• Наличие скалярного произведения позволяет ввести в евклидовом пространстве не только длину вектора (т.е. норму), но и угол между векторами.

Учитель объясняет тему «Евклидовы пространства» после ознакомления со шкалами учащихся. Тема объясняется. Вводится понятие скалярного умножения. Дается информация о евклидовых пространствах. Приводятся скалярные произведение в разных пространствах. Затем учащихся просят описать приобретенные знания, основные евклидовы пространства и формулы скалярного умножения, включенные в них, на новом листе бумаги в новом масштабе и уделить время. Студентов попросят поставить первую и последнюю нарисованные шкалы рядом в конце отведенного времени. С помощью этого метода и студент, и учитель могут легко узнать, насколько хорошо студент усвоил тему. Полученные шкалы сравниваются. Метод формирования помогает студентам свободно выражать свои мнение, повторять изучаемую тему и дополнять свои знания.

Следует отметить, что знания, навыки и умения, полученные в области математики, а также математические методы могут быть использованы при исследовании многих актуальных проблем [20-25], встречающихся в современной математической физике.

Список литературы

1. Boboeva M.N., Rasulov T.H. The method of using problematic equation in teaching theory of matrix to students // Academy. 55:4 (2020). С. 68-71.

2. Rasulov T.H., Rashidov A.Sh. The usage of foreign experience in effective organization of teaching activities in Mathematics // International Journal of Scientific & Technology Research. 9:4 (2020). С. 3068-3071.

3. Расулов Т.Х. Инновационные технологии изучения темы линейные интегральные уравнения // Наука, техника и образование. 73:9 (2020). С. 74-76.

4. Mardanova F.Ya., Rasulov T.H. Advantages and disadbantages of the method of working in small group in teaching higher mathematics // Academy. 55:4 (2020). С. 65-68.

5. Бобоева М.Н. Проблемная образовательная технология в изучении систем линейных уравнений с многими неизвестными // Наука, техника и образование. 73:9 (2020). С. 48-51.

6. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Organizing educational activities based on interactive methods on mathematics subject // Journal of Global Research in Mathematical Archives, 6:10 (2019). С. 43.

7. Марданова Ф.Я. Рекомендации по организации самостоятельной работы в высших учебных заведениях // Вестник науки и образования, 95:17 (2020). Часть 2. С. 83-86.

8. Расулов Т.Х., Нуриддинов Ж.З. Об одном методе решения линейных интегральных уравнений. Молодой учёный, 90:10 (2015). С. 16-20.

9. Умарова У.У. Роль современных интерактивных методов в изучении темы «Множества и операции над ними» // Вестник науки и образования. 94:16 (2020). Часть 2. С. 21-24.

10. Курбонов Г.Г. Преимущества компьютерных образовательных технологий в обучении теме скалярного произведения векторов // Вестник науки и образования. 94:16 (2020). Часть 2. С.33-36.

11. Расулова З.Д. Эффективность дистанционной организации процессов обучения в высшем образовании // Academy. 62:11 (2020). С. 31-34.

12. Бобокулова С.Б., Бобоева М.Н. Использование игровых элементов при введении первичных понятий математики // Вестник науки и образования. 99:21 (2020). Часть 2. С. 85-88.

13. Rashidov A.Sh. Use of differentiation technology in teaching Mathematics // European Journal of Research and Reflection in Educational Sciences, 8:7 (2020). С. 163-167.

14. Расулова З.Д. Дидактические основы развития у будущих учителей креативного мышления // European science. 51:2-2 (2020). С. 65-68.

15. Расулова З.Д. Программные инструменты - важный фактор развития творчества учащихся // Вестник науки и образования. 99:21 (2020). С. 33-36.

16. Умарова У.У. Применение триз технологии к теме «Нормальные формы для формул алгебры высказываний» // Наука, техника и образование. 73:9 (2020). С. 32-35.

17. Тошева Н.А. Междисциплинарные связи в преподавании комплексного анализа // Вестник науки и образования. 94:16 (2020). Часть 2. С. 29-32.

18. Шарипова И.Ф., Марданова Ф.Я. Преимущества работы в малых группах при изучении темы первообразной функции // Проблемы педагогики. 50:5 (2020). С. 29-32.

19. Хайитова Х.Г. Использование эвристического метода при объяснении темы «Непрерывные линейные операторы» по предмету «Функциональный анализ» // Вестник науки и образования. 94:16 (2020). Часть 2. С. 25-28.

20. Умарова У.У. Обычные и квадратичные числовые образы 2х2-матриц. оператора // Учёные XXI века. 53:6-1 (2019). С. 25-26.

21. Rasulova Z.D. On the spectrum of a three-particle model operator // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications, 25 (2014). С. 57-61.

22. Ekincioglu I., Ikromov I.A. On the boundedness of integral operators // Turkish journal of Mathematics. 23:2 (2000). С. 257-264.

23. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А. Конечность числа собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке // Теоретическая и математическая физика. 152:3 (2007). С. 502-517.

24. Икромов И.А., Шарипов Ф. О дискретном спектре неаналитической матричнозначной модели Фридрихса // Функц. анализ и его прил., 32:1 (1998). С. 63-65.

25. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А., Лакаев С.Н. О вложенных собственных значениях и резонансах обобщенной модели Фридрихса // Теоретическая и математическая физика. 103:1 (1995). С. 54-62.

О МЕТОДАХ НАХОЖДЕНИЯ НОРМЫ МАТРИЦ Мустафоева З.Э.

Мустафоева Заринабону Эркин кизи — магистрант, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан

Аннотация: одна из актуальных проблем функционального анализа и теории матриц - найти или оценить норму этих матриц. Данная статья посвящена исследованию методов нахождения нормы матриц. Приведен ряд формул нормы, удобных для вычисления норм матриц. Перечислены аксиомы, удовлетворяющие введенной норме для квадратичных матриц. Установлена взаимосвязь между нормой матрицы и характеристическими числами матрицы. Даны операторные матрицы, являющиеся обобщениями матриц, и проблемы современной математической физики, в которых они возникают. Ключевые слова: матрица, операторная матрица, норма матрицы.

УДК 37.02

В настоящее время матричное исчисление широко применяется в различных областях математики, механики, теоретической физики, теоретической электротехники и т.д.

Прежде всего приведем основные определения. Под числовым полем понимают любую совокупность чисел, в пределах которой всегда выполнимы и однозначны четыре операции: сложение, вычитание, умножение и деление на число, отличное от нуля. Примерами числовых полей могут служить совокупность всех рациональных чисел, совокупность всех действительных чисел или совокупность всех комплексных чисел.

Пусть дано некоторое числовое поле К .