Условия обеспечения преемственности школьного и вузовского курса математического анализа

УДК 37.022:517.2

УСЛОВИЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ ШКОЛЬНОГО И ВУЗОВСКОГО КУРСА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

2011 Салахов А.З.

Дагестанский государственный технический университет

В статье исследуется проблема преемственности школьного и вузовского курсов математического анализа, рассматриваемой как интеграция базовых понятий и положений с содержанием субъектного опыта студентов. Автором предложена система методических условий, обеспечивающая решение данной проблемы.

The author of the article research the problem of the continuity of the school and the high school courses of the mathematical analysis, considered as the integration of the basic concepts and notions with the content of students’ subject experience. He offers the system of the methodical conditions providing the solving of the given problem.

Ключевые слова: преемственность обучения, методические условия.

школа, вуз, математический анализ,

Keywords: succession of teaching, school, analysis, methodological conditions.

Вопросы математического анализа сегодня являются традиционными в содержании школьного курса

математики, куда они были включены в период колмогоровской реформы математического образования (в 70-е годы XX века). Так решалась задача отражения в содержании наиболее

распространенных математических

моделей реальной действительности и значимых для науки методов их исследования.

Методика обучения математике в общеобразовательной школе

прореагировала на нововведение многочисленными исследованиями,

связанными с выделением элементов теории пределов, дифференциального и интегрального исчислений, которые

доступны пониманию старшеклассников; достаточно полно освещающими методы и методические подходы, которые

предоставляют возможность для доступного и несколько строгого изложения отобранных вопросов.

Сегодня методика обучения математике в высшей школе осталась в стороне от поисков, а вузовские учебники математического анализа, по которым

institute of higher education, mathematical

ведется преподавание, мало отличаются от тех, которые были созданы в 50-60-е годы XX века, и изложение материала в них до сих пор осуществляется без учета имеющихся предварительных знаний. Решение данной проблемы возможно путем обоснования условий обучения математическому анализу, которые обеспечат содержательную

преемственность школьного и вузовского курсов. Общие требования к ним определяются содержанием личностно-ориентирован-ного подхода к обучению, который раскрывается в трудах И. С. Якиманской, Н. С. Подходовой, М. В. Шабановой, О. Л. Безумовой, О. Н. Троицкой и др.

Личностно-ориентированный подход требует развертывания содержания обучения с опорой на субъектный опыт обучающихся, под которым понимается опыт жизнедеятельности отдельной личности, приобретаемый и реализуемый в ходе познания окружающего мира, общения и осуществления различных видов деятельности. Кроме того, в субъектном опыте представлены результаты целенаправленного обучения

и взаимодействия с окружающим миром [4. С. 11].

В структуре субъектного опыта выделяют несколько относительно самостоятельных составляющих:

предметную, включающую понятия, представления, суждение, образы ситуаций возникновения и применения знания; операциональную, включающую приемы, правила, методы, эвристика, используемые в процессе познания и применения его результатов;

эмоциональную, включающую

личностные смыслы, ценности,

установки, стереотипы и т.д. Приведенные составляющие задают три относительно самостоятельных

направления рефлексивного анализа обучающимися субъектного опыта, связанного с освоением и использованием элементов

математического анализа:

- оценка корректности введенных определений и строгости известных доказательств и положений с точки зрения требований аксиоматического метода (в его глобальной, а не локальной форме);

- оценка эффективности и полноты имеющихся в их распоряжении операциональных средств для решения профессиональных задач;

- оценка степени соответствия стереотипов, установок и ценностных ориентаций идейным основам и современным представлениям о роли и месте бесконечно малых в системе методов научного математического познания.

Именно с него, а не с введения новых знаний, должно начинаться изучение математического анализа в вузе, поскольку в противном случае срабатывает эффект «известного», который приводит к тому, что студент не воспринимает новый материал, считая его усвоенным, а систему сложившихся представлений и опыт деятельности -достаточными.

По мнению И. С. Якиманской, процесс обучения следует рассматривать как интеграцию субъектного опыта с общественным, который проходит три основные стадии:

- раскрытие содержания;

- согласование содержания (а не игнорирование) с социокультурным образцом;

- создание условий для активного использования усвоенных знаний.

Приведенное определение показывает, что в обучении должны быть созданы методические условия, обеспечивающие возможность обучающимся проявить специфику своего субъектного опыта, переосмыслить его, активно пользоваться им в процессе обучения, что накладывает существенные ограничения на

использование так называемых пассивных методов обучения: объяснительно-

иллюстративного (на лекционных занятиях), репродуктивного (на занятия практического характера) [6. С. 67].

При этом возможность проведения обучающимися рефлексивного анализа собственного опыта определяется двумя педагогическими условиями: ученик

должен уметь рефлексировать свое сознание, а учитель - активно, корректно и этично использовать рефлексию ученика в образовательных целях [6. С. 82].

По нашему мнению, в дополнение к ним должны быть созданы и

определенные условия, среди которых наиболее значимыми выступают:

- постановка установочных домашних

заданий, целью которых является актуализация субъектного опыта изучения или использования знаний математического анализа в школе,

которые будут рассматриваться на

ближайшей лекции или практическом занятии;

- постановка на лекции рефлексивных

заданий, цель которых - выделение и словесное описание значимых для последующего обучения,

актуализированного в ходе выполнения установочного домашнего задания субъектного опыта;

- предварение изучения нового материала на лекции провоцирующими математическими задачами, целью которых выступает побуждение обучающихся к переоценке выявленных элементов субъектного опыта (для экономии времени такие задания могут быть заменены контрпримерами).

Пример 1. Восстановите вид формулы, задающей класс функций, и исследуйте их общие свойства, если известно, что в каждой точке хо области их определения тангенс угла наклона касательной к

графику функции рассчитывается как

х0

значение выражения , .

Формулировка данного задания не включает термин «первообразная функции», что позволяет проверить наличие в опыте студентов представлений об идейной сущности данного понятия - его связи с задачей восстановления функции по ее производной. Еще одной целью данного задания является установление наличия или отсутствия в опыте студентов представлений о том, что производной определяется целый класс

первообразных, отличающихся на постоянную (доказательство этого факта будет являться центральным звеном лекционного материала, а сам факт -использован для введения понятия «неопределенный интеграл»). Кроме того, задание позволяет выявить наличие в операциональной составляющей опыта студентов связи операций

интегрирования и дифференцирования. При этом лекцию можно начать с постановки задания на выбор среди полученных результатов правильного решения домашней задачи.

Например: Среди представленных

ниже функций выберите ту, график которой в каждой точке х0 области их определения рассчитывается как

х0

значение выражения , :

1) у = агссоэх ;

2) у = агссоБХ + с;

3) у = ^\-х2 ;

4) у = а + л/1 - х2 и др.

Обоснуйте свой выбор.

Представление результатов домашней работы студентов перечнем вариантов обеспечивает выполнение

педагогического условия организации рефлексивной деятельности путем корректного и этичного применения рефлексии ученика в образовательных целях. Это облегчает студентам проведение рефлексивного анализа, так как заменяет рефлексию «на себя»

рефлексией «на другого», создает условия для организации рефлексивной беседы и дискуссии, целью которых является вскрытие и оценка содержания актуализированных элементов опыта.

Для включения студентов в деятельность, способствующую

осмыслению различий между понятиями «первообразная» и «неопределенный интеграл», а также осознанию ограниченности имеющихся в их распоряжении средств интегрирования (таблицы первообразной, полученной путем обращения таблицы производных, и правила интегрирования линейной комбинации функций), им может быть предложена следующая провокационная задача:

«Найдите функцию fix), при данных условиях:

1) fl (х) = хл/х - sin х, /(0) = 0;

, [2х, х<0

2)//(х)= . ’ ;

[sin х, х > 0

3) /О) = / 2Х ,, Д°) = И;

л/а + х

4) f'(x) = \nx.

Выберите из них те функции, которые можно назвать «первообразной функции fix)», «неопределенным интегралом от функции fix)».

Для реализации следующего этапа, связанного с интеграцией субъектного опыта с предъявленным

социокультурным образцом, необходимо создать на этапе осмысления такие условия, которые концентрируют внимание обучающихся на элементах нового, дополняющих знания, входящие в состав субъектного опыта, или замещающих те его элементы, которые признаны некорректными или неэффективными. К числу таких методических условий нами отнесены:

- зрительные выделения уточнений и дополнений в сформулированных определениях, теоремах, представленных в доказательствах положений;

- постановка перед студентами заданий на верификацию введенных уточнений и дополнений в условиях ранее рассмотренных провокационных задач или контрпримеров.

Пример 2. Оформление конспекта лекции, устанавливающей связь между

известными и вновь изученными способами интегрирования функций (рис.

Метод обращения таблицы производных

Методы интегрирования

Метод интегрирования подстановкой * Метод интегрирования по частям

Нахождение интегралов линейной комбинации табличных функций. Примеры:

F'{x) = х4х - sin х

Г 2х, х < О

F'(x) =

sm х, х > О

Т

Нахождение интегралов функций вида ^ (.т) = /(Г(.т)), гдеД.т) - интегрируема методом обращения, Г(.т) -дифференцируема. Пример:

/М = -г== у! а + х

ї

Е

Нахождение интегралов функций вида ^ (х) = г/(х)у (х), где и(х) и 1'(.Т) -

дифференцируемые функции и функция ?/(х)у(х) интегрируема методом обращения или подстановкой.

/'/• „л _ к.

Область применения

Рис. 1. Методы интегрирования

Следовательно, формирование

субъектного опыта студентов происходит в условиях самостоятельной работы или на практических занятиях, где также должны быть созданы соответствующие условия, позволяющие оценить и осознать значимость внесенных дополнений и изменений. К числу таких условий нами отнесены: постановка

задач, правильное решение которых невозможно без оперирования новыми знаниями; постановка заданий на разрешение софизмов, связанных с поиском ошибок в представленных рассуждениях, основанных на оперировании школьными

представлениями, не соответствующими научным и т.д.

Пример. Задания на формирование опыта оперирования понятием первообразной функции.

1. Верно ли утверждение, что функции ^(х) = агоэтх и Р2(х) = - агссозх являются первообразными одной и той же функции?

2. Верно ли, что любая первообразная четной функции, непрерывная на отрезке [-а;а], является нечетной функцией?

Рис. 2. График функции

3. На рисунке 2 изображен график функции, для которого необходимо построить примерный график одной из ее первообразных.

С точки зрения решения задач, способствующих преемственности

школьного и вузовского курсов

математического анализа, наиболее

значимыми являются первые разделы вузовского курса: теория действительных чисел, понятие функции, предел последовательности и предел функции, непрерывность функции основы

дифференциального и интегрального исчисления, которые содержательно связаны со школьным курсом.

Примечания

1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Т. 2. М. : Дрофа, 2007. 509 с. 2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 1. М. : Дрофа, 2006. 702 с. 3. Пискунов Н. С.

Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 1. М. : Наука, 1985. 432 с. 4. Современная методическая система математического образования: коллективная монография. СПб. : Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2009. 412 с. 5. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т. 1. М. : Наука, 1964. 440 с. 6. Якиманская И. С. Технология личностноориентированного образования. М., 2000. 175 с.

Статья поступила в редакцию 14.05.2011 г.