Об уравнении сохранения энергии при фильтрации перегретого пара в геотермальном коллекторе

© Р.И. Пашкевич, 2015

УЛК 536.246+550.367+519.876.5 Р.И. Пашкевич

ОБ УРАВНЕНИИ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ ПЕРЕГРЕТОГО ПАРА В ГЕОТЕРМАЛЬНОМ КОЛЛЕКТОРЕ

Рассматрены формулировки уравнения энергии при фильтрации пароводяной смеси в проницаемом геотермальном коллекторе, используемые в различных моделях. Показано, что уравнения энергии в различных программных комплексах различаются по форме. Приводится рекомендации по выбору комплексов для выполнения численных экспериментов в задачах фильтрации перегретого пара в геотермальном коллекторе.

Ключевые слова: уравнение сохранения энергии, фильтрация, перегретый пар, геотермальный коллектор.

При освоении геотермальных систем и разработки месторождений парогидротерм возникают задачи установления рациональных технологических параметров при фильтрации перегретого пара в проницаемых горных породах. Известно, что по своим свойствам перегретый водяной пар близок к идеальному газу. В некоторых случаях требуется рассматривать процесс теплопереноса в надкритических термодинамических условиях [4,6]. Формулирование уравнения сохранения энергии при фильтрации газа или пароводяной смеси в проницаемой среде, в отличие от уравнений сохранения массы и импульса, не является тривиальной задачей и представляет интерес до последнего времени [1—3,5,11,13,17,21]. Для вывода уравнений сохранения обычно используются феноменологическая теория смесей и/или метод пространственного осреднения [1—3,11,13].

При выполнении численных экспериментов по моделированию процессов теплопереноса и фильтрации теплоносителя в пористых и трещиноватых горных породах [4] наиболее часто применяются распространенные программные комплексы (ПК): TOUGH2 [19], HYDROTHERM [14,15], FEHM [20] и STAR [22]. Стандартные пакеты TOUGH2 и FEHM используют одну и

ту же математическую модель фильтрации одно- и двухфазного многокомпонентного флюида, сформулированную в терминах давления и температуры и ограничены их докритическими значениями. В ТОиСИ2 модель реализуется интегро-дифферен-циальным методом, в РБИМ — конечно-элементным. ПК ТОивИ2 широко применяется для моделирования геотермальных систем и месторождений в докритических термодинамических условиях [4]. В последнее время были разработаны надкритические вер-

сии этого ПК [9,10,12,16]. ПК ИУОНОТИЕЯМ [14,15] был

специально разработан для трехмерного моделирования многофазного потока воды и тепла в проницаемых средах в диапазоне температуры и давления, включающем область существования воды в надкритическом состоянии.

Математическая модель ПК ИУОНОТИЕНМ основывается на системе уравнений сохранения массы и энергии, выраженных через величины давления и энтальпии, что продиктовано удобством вычислений в над- и околокритической области. Модель основывается на системе уравнений, полученной в [13], в которой сделаны небольшие изменения [14]. Уравнение сохранения энергии формулируется в консервативной форме [14,15] и может быть записано в виде:

где ф - пористость; рщ, р5, рг - плотность жидкости, пара и пород; и - водо- и паронасыщенности, к, кт и кГ5 -абсолютная и относительные фазовые проницаемости; -

динамические вязкости жидкости и пара; X - эффективная теплопроводность насыщенной жидкостью и паром пористой среды; Ь5, Ьг - энтальпии жидкости, пара и пород; -мощность источников или стоков тепла. В модели приняты следующие упрощения: флюид является чистой водой; справедлив обобщенный закон Дарси; капиллярными эффектами можно пренебречь; относительные проницаемости являются функциями насыщения водой, не имеющими гистерезиса; порода и вода находятся в локальном термодинамическом равно-

уЬК^Л(Уркк2рЛ(Ур_уХУТ= 0

весии; теплопередачей дисперсиеи и излучением можно пренебречь; пористость линейно зависит от давления; энтальпия породы линейно зависит от температуры; пористость, абсолютная проницаемость и теплопроводность могут изменяться во времени и пространстве, плотность и теплоемкость пород являются постоянными величинами, пренебрегается изменением энтальпии флюида за счет объемной работы давления, обратимой работы или работы потока, как части движения флюида [14,15].

ПК ТОиСН2 позволяет моделировать тепломассоперенос при фильтрации многокомпонентных и многофазных флюидов в пористой и пористо-трещиноватой средах [19] и реализует уравнения сохранения массы и энергии, записываемые в единой обобщенной форме. ПК ТОивН2 позволяет, в отличие от ПК НУОНОТНЕИМ, учитывать капиллярные эффекты. Стандартный пакет ТОивН2, версия 2.0 [19] не позволяет выполнять моделирование в надкритической области. В качестве независимых переменных ПК ТОивН2 использует давление и температуру в однофазном состоянии, или давление и парона-сыщенность в двухфазном состоянии.

В [3] выполнено сравнение математических моделей, используемых в ТОивН2 и НУОНОТНЕИМ для случая, когда капиллярностью можно пренебречь. Как получено в [3], при использовании определения удельной энтальпии, допуская, что энтальпия породы является линейной функцией ее температуры [13,17], уравнение сохранения энергии, результирующее из системы уравнений модели ПК ТОивН2, можно записать в виде [11,13,17]:

8

—к1 -ф) р а + ф 1 ра + ^рд )] -

V

К

Ы7Т - -

8ФР + 1 + ) Vp

= о,

где V — скорость фильтрации фаз.

Сравнивая (1) и (2), можно видеть, что уравнение сохранения энергии, используемое в ИУВНОТИЕКМ эквивалентно уравнению энергии в ТОивИ2, при условии, что частью обратимой работы сжатия можно пренебречь, т.е. в случае, когда третья квадратная скобка в (2) равна нулю. В [13,18] показано, что работа сжатия мала во всех случаях, кроме случаев низкой водонасы-щенности. В [15] утверждается, что следствием пренебрежения объемной работой давления в уравнении энергии может быть то, что температуры жидкой фазы на больших глубинах станут ниже, чем любая температура граничных, или начальных условий, или источников, и что обычно минимальная температура при использовании этого приближения только на несколько градусов Цельсия ниже той, которая была бы, если не пренебрегать объемной работой давления.

При фильтрации сухого насыщенного или перегретого пара частью обратимой работы сжатия пренебречь нельзя, поэтому для получения более точных результатов численных экспериментов предпочтительно пользоваться ПК ТОивИ2 и РЕИМ, а не ИУОШГИЕНМ [6]. Необходимо отметить, что И^ИОТИЕИМ, ТОивИ2 и РЕИМ используют условие локального термодинамического равновесия в системе пар-вода-порода, поэтому уравнение энергии записывается не отдельно для каждой фазы, а только для смеси фаз.

Рассмотрим фильтрацию в геотермальном коллекторе только паровой фазы, когда паронасыщенность равна единице и уравнение (2) сведется к следующему:

Для стационарного потока пара, в пренебрежении теплопроводностью и в отсутствии источников и стоков тепла, используя закон Дарси, уравнение (3) можно переписать в виде:

В случае равномерного потока пара, т.е. при постоянной скорости фильтрации, (4) упростится до:

УХУТ _ д^ _ + vsVp = 0.

V[рДvs > vsVp = 0.

V[рД + р> 0.

М.А. Гольдштик, как в эвристическом подходе, так и методом осреднения, получил следующее уравнение энергии жидкости или газа при фильтрации в пористой среде [1]:

Ф 6

(

ш

2 Л

-Ф8Р-С=0,

где С учитывает теплообмен между твердым скелетом породы и паром, ш — действительная скорость фильтрации. Для проверки правильности (6), в [1] рассмотрен случай стационарного медленного (ш52«1) протекания газа через пористую перегородку в теплоизолированной системе и показано, что из (6) следует, что энтальпия в процессе не меняется. При этом отмечено [1], что указанное следствие является необходимым, но недостаточным для доказательства правильности уравнения (6).

Используя определение энтальпии, уравнение (6) можно переписать в виде:

ФР I

(

и + —

ш,

2

+ фр5и5 ^

и + —

-Ф|-«=0-

8г

В отсутствии теплообмена со скелетом породы для стационарного и равномерного потока пара (6) и (7) соответственно упростятся до:

Vh = 0,

Р_ Р,

= 0.

С.А. Христианович, рассматривая неустановившееся течение жидкости и газа в пористой среде при резких изменениях давления во времени или больших градиентах пористости, использовал одномерное уравнение сохранения энергии в виде [7,8]:

Фр4

(

ш

2

8ф рш,

8х

= 0,

где и — внутренняя энергия, х — координата.

Для случая стационарного равномерного потока пара (10) запишется в виде:

= 0.

ox ox

В [5] для численного решения задачи распада разрыва при фильтрации газа в пористой среде было предложено уравнение сохранения энергии газа в консервативной форме для случая постоянной пористости и неподвижного твердого каркаса. Дополнительно были использованы следующие приближения: пульсационные мелкомасштабные процессы вносят незначительный вклад в макроскопический процесс фильтрации газа; эффектами типа присоединенной массы можно пренебречь; движение газа происходит в пределах линейной области закона фильтрации; скорость, вязкость газа и проницаемость пористой среды таковы, что сила сопротивления пористой среды движению газа намного больше макроскопической силы внутреннего трения газа, и члены типа Эргана в уравнении энергии можно отбросить; процесс фильтрации происходит без теплообмена газа с твердым скелетом породы и внешней средой. Предложенное в [5] уравнение энергии отличается от уравнения энергии С.А. Христиановича [7,8] и М.А. Гольдштика [1].

Притчетом [22] разработана сверхкритическая версия ПК STAR, позволяющая производить расчеты свойств воды вплоть до 1000 бар и 800оС. В работе [21], целью которой было установление условий возможности пренебрежения работой давления и вязкой диссипацией в уравнении энергии, приведено уравнение сохранения энергии для смеси, которое с использованием принятых здесь обозначений можно записать в следующем виде:

Уравнение сохранения энергии в эквивалентной (12) формулировке входит в математическую модель ПК QUAGMR, который является предшественником ПК STAR [22]. Авторы [21],

выполнив численные эксперименты для стационарного радиального случая, пришли к выводам, что членами работы давления и вязкой диссипации в уравнении энергии можно пренебречь в случае однофазного и двухфазного геотермального коллектора, а в случае фильтрации пара их следует оставлять. Необходимо отметить, что уравнение (12) не эквивалентно уравнениям энергии (1) и (2) математических моделей соответственно ПК HYDROTHERM и TOUGH2.

Для случая стационарного равномерного потока пара из (12) следует:

V[PA ]-Р sg = 0.

Сопоставляя (5), (8), (9), (11) и (13), можно видеть, что все четыре формы уравнения сохранения энергии (2), (6), (7) и (12) в случае стационарного равномерного фильтрационного потока пара дают различные, не эквивалентные друг другу уравнения. Так, уравнение (5), следующее из уравнения энергии математической модели ПК TOUGH2 и уравнение (13), следующее из уравнения энергии модели ПК STAR эквивалентны только в гидростатическом случае.

Р.И. Нигматулин представил полученное феноменологически, а также методом пространственного осреднения, уравнение сохранения энергии фаз в многофазной среде в дивергентной форме в обобщенном виде в работе [2]. В [3] получено уравнение притока тепла для газа, фильтрующегося в пористой среде, при допущении о малости микродеформаций и смещений твердого скелета породы, пренебрежениях кинетической энергии пульсационного движения в фазах и осреднен-ного тензора вязких напряжений в газовой фазе, которое можно записать в виде:

Р slti +V

где As — интенсивность работы внутренних сил. Отметим, что в общем случае (14) не эквивалентно (3), (6) и (10).

В результате представленного выше краткого рассмотрения используемых для построения математических моделей форм уравнения сохранения энергии при фильтрации перегретого пара в геотермальном коллекторе можно сделать следующие выводы.

1. В настоящее время вопрос о формулировании уравнения сохранения энергии при фильтрации пароводяной смеси окончательно не решен. Разными авторами используются различные формы уравнения энергии, в общем и частных случаях не являющиеся эквивалентными. Выполнены единичные работы по установлению условий упрощения уравнения энергии при фильтрации воды, пароводяной смеси и пара. Экспериментальная верификация моделей не выполнялась. Вопрос об упрощенной форме уравнения энергии при фильтрации воды в надкритическом термодинамическом состоянии не рассматривался.

2. Для выполнения численных экспериментов по теплопе-реносу в геотермальном коллекторе при фильтрации пароводяного теплоносителя при низких водосодержаниях, а также пара, следует отдавать предпочтение ПК TOUGH2, FEHM и STAR, но не HYDROTHERM, поскольку в математической модели последнего ПК в уравнении энергии пренебрегается работой сжатия.

3. Необходимо выполнить отдельные исследования по установлению условий упрощения, а также возможных упрощенных и допустимых форм уравнения энергии для численной реализации, при фильтрации в геотермальном коллекторе теплоносителя в надкритическом термодинамическом состоянии.

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гольдштик М.А. Процессы переноса в зернистом слое. Новосибирск: Институт теплофизики СО АН СССР. 1984. 163 с.

2. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М.: Наука, 1987. 464 с.

3. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных. М.: Наука, 1978. 336 с.

4. Пашкевич Р.И., Таскин В.В. Термогидродинамическое моделирование теплопереноса в породах Мутновской магмагеотермальной системы. Владивосток: Дальнаука, 2009. 209 с.

5. Пашкевич Р.И. Численное моделирование фильтрации при быстрой декомпрессии неподвижной газонасыщенной пористой среды //Газовая промышленность, 2009, №7.- С. 40-42.

6. Пашкевич Р.И., Шадрин А.В. Распад разрыва в геотермальной системе при надкритических термодинамических условиях // ГИАБ № 11, Специальный выпуск № 63 «Камчатка-2», 2015, С. 201-213.

7. Христианович С.А. Неустановившееся течение грунтовой массы, содержащей в порах газ высокого давления // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. — 1982. — №3. — С. 3-19.

8. Христианович С.А. Неустановившееся течение жидкости и газа в пористой среде при резких изменениях давления во времени или больших градиентах пористости // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. — 1985. — № 1. — С.3-18.

9. Brikowski T.H. Modeling supercritical systems with TOUGH2: preliminary results using EOS1SC equation of state module // Proceedings, 26-th Workshop on Geothermal Reservoir Engineering. Stanford. 2001. P. 208-215.

10. Brikowski T.H. Modeling supercritical Systems with TOUGH2: The EOS1sc Equation of State Module and a Basin and Range Example //Geothermal Resources Council Transactions, 2001, Vol. 25, P. 285-289.

11. Cheng P. Heat transfer in geothermal systems. Adv. Heat Transfer. 1979. 14.: P. 1-105.

12. Croucher A.E., O'Sullivan M.J. Application of the computer code TOUGH2 to the simulation of supercritical conditions in geothermal systems. Geothermics. 2008. V. 37. P. 622-634.

13. Faust Ch.R., Mercer J.W. Geothermal Reservoir Simulation: 1. Mathematical models for liquid and vapour dominated hydrothermal system // Water Resources Research. 1979. V. 15. № 1. P. 23-30.

14. Hayba D.O., Ingebritsen S.E. The computer model Hydrotherm, a three-dimensional finite-difference model to simulate ground-water flow and heat transport in the temperature range of 0 to 1200oC // U.S. Geol. Surv. Water Res. Invest. Rep. 94-4045, 1994. P. 85.

15. Kipp K.L., Jr., Hsieh P.A., Charlton S.R. Guide to the revised ground-water flow and heat transport simulator: HYDROTHERM — Version 3: U.S. Geological Survey Techniques and Methods 6-A25, 2008.

16. Kissling W.M., White S.P. Supercritical TOUGH2 - Code description and Validation. Industrial Research Limited Report 905, 1999.

17. Mercer J.W., Faust C.R., Miller W.J., Pearson F.J. Review of simulation techniques for aquifer thermal energy storage (ATES) // Advances in Hydro Science. 1982. V. 13. P. 1-129.

18. Moench A.F. Simulation of steam transport in vapor-dominated geo-thermal reservoirs, Open File rep. 76-607, 43 pp., U.S. Geol. Surv., Menlo Park, Calif., 1976.

19. Pruess K., Oldenburg C., Moridis G. TOUGH2 User's Guide, Version 2.0, Lawrence Berkeley National Laboratory Report LBNL-43134, Berkeley, CA, November 1999.

20. Zyvoloski G.A., Robinson B.A., Dash Z.V. FEHMV2.21 Users Manual 10086-UM-2.21-00, Los Alamos National Laboratory, 2003, 189 p.

21. Garg S.K., Pritchett J.W. On pressure-work, viscous disipation and the energy balance relation for geothermal reservoirs // Advances in Water Resources. 1977. V. 1. No.1, 41-47.

22. Pritchett J.W. STAR: Age of thermal reservoir simulation system // Proc. World Geothermal Congress 1995, Florence, Italy, May 18-31, 1995. International Geothermal Association. P. 2959-2963. ГГЩ

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ -

Пашкевич Роман Игнатьевич - доктор технических наук, директор, pashkevich@kscnet.ru, Научно-исследовательский геотехнологический центр Дальневосточного отделения Российской Академии Наук.

UDC 536.246+550.367+519.876.5

ABOUT THE EQUATION OF CONSERVATION OF ENERGYFOR THE SUPERHEATED STEAM FLOW IN THE GEOTHERMAL RESERVOIR

Pashkevich R.I., Doctor of Technical Sciences, Director, pashkevich@kscnet.ru, Research Geotechnological Center, Far Eastern Branch of Russian Academy of Sciences, Russia.

The formulation of the energy equation for filtering water mixture in a permeable geo-thermal reservoir used in different models is discussed. It is shown that the energy equation in different software systems differ in form. The recommendations on selection of complexes for performing numerical experiments in problems of filtration of superheated steam in the geothermal reservoir are provided.

Key words: the energy conservation equation, superheated steam flow, geothermal reservoir. REFERENCES

1. Goldshtik M.A. Protsessy perenosa v zernistom sloye (Processes in granular layer). Novosibirsk: Institut teplofiziki SO AN SSSR. 1984.163 p.

2. Nigmatulin R.I. Dinamika mnogofaznykh sred (Dynamics of multiphase environments). Ch. 1. Moscow: Nauka. 1987. 464 p.

3. Nigmatulin R.I. Osnovy mekhaniki geterogennykh (Fundamentals of mechanics of heterogeneous). Moscow: Nauka. 1978. 336 p.

4. Pashkevich R.I., Taskin V.V. Termogidrodinamicheskoye modelirovaniye teploperenosa v porodakh Mutnovskoy magmageotermalnoy sistemy (Thermo-hydrodynamics simulation of heat transfer in rocks of the Mutnovsky imageoverlay system). Vladivostok: Dalnauka. 2009. 209 p.

5. Pashkevich R.I. Chislennoye modelirovaniye filtratsii pri bystroy dekompressii nepodvizhnoy gazonasyshchennoy poristoy sredy (Numerical modeling of filtration in a rapid decompression stationary gas-saturated porous medium) //Gazovaya promyshlennost. 2009. No 7. pp. 40-42.

6. Pashkevich R.I., Shadrin A.V. Raspad razryva v geotermalnoy sisteme pri nadkriticheskikh termodinamicheskikh usloviyakh (Decay of discontinuity in a geothermal system at supercritical thermodynamic conditions) // GIAB No 11. Spetsialnyy vypusk No 63 «Kamchatka-2». 2015. pp. 203-215.

7. Khristianovich S.A. Neustanovivsheyesya techeniye gruntovoy massy. soderzhashchey v porakh gaz vysokogo davleniya (Transient current of ground containing in the pores of high pressure gas) // Fiziko-tekhnicheskiye problemy razrabotki mestorozhdeniy poleznykh iskopayemykh. 1982. No 3. pp. 3-19.

8. Khristianovich S.A. Neustanovivsheyesya techeniye zhidkosti i gaza v poristoy srede pri rezkikh izmeneniyakh davleniya vo vremeni ili bolshikh gradiyentakh poristosti (Unsteady flow of liquid and gas in porous medium under abrupt pressure changes in time or large gradients of porosity) // Fiziko-tekhnicheskiye problemy razrabotki poleznykh iskopayemykh. 1985. No 1. pp.3-18.