Расчет акустического поля в геологической скважине (ГС), окруженной радиально-неоднородной средой. Часть II

УДК 541.132

Расчет акустического поля в геологической скважине (ГС), окруженной радиально-неоднородной

средой. Часть II.

H.A. Ковальчуков*,

* Кафедра общей физики, Российский университет дружбы народов, Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 * ВНИИГеосистем (Государственный научный центр Российской Федерации Всероссийский научно-исследовательский институт геологических, геофизических и геохимических систем), Россия, 113105, Москва, Варшавское шоссе, 8

Разработан импедансный метод расчета акустических полей в теории упругости неоднородных сред, позволяющий определить параметры акустического поля в полубесконечной радиально-неоднородной среде с осевой симметрией, анализировать спектральную структуру акустического поля и связать его спектральный состав со свойствами исследуемой окружающей среды.

В. Н. Крутин

Часть И. ТЕНЗОР ИМПЕДАНСА РАДИАЛЬНО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ НА

СТЕНКЕ ГС

В работе [1] акустическое поле в ГС определено через импеданс ее стенки. В настоящей работе разработаны процедуры вычисления тензора пространственно-спектрального импеданса и тензора упругости стенки ГС радиально-неоднородных осесимметричных сред.

Для расчета полей упругих волн в слоисто-однородных и градиентных средах использован матричный метод Томсона-Хаскелла [2,3], развитый JI.A. Молотковым [4] и др., а также импедансный метод, созданный П.Е. Краснушкиным, М.М. Мачевариани, В.В. Тютекиным, А.П. Шкварниковым [5, 6] и развитый в последующих работах A.B. Безрукова, В.Ю. Приходько, В.В. Тютекина [7] и др.

Согласно первому методу, каждый слой представлен характеристической матрицей, связывающей спектры векторов напряжений и смещений на его границах, а вся слоистая система описывается матрицей, получающейся при перемножении характеристических матриц слоев. Эта матрица и обратная ей при заданных граничных условиях определяют волновое поле.

В импедансном методе используется линейная зависимость спектров напряжений и смещений посредством тензора импеданса при произвольной координате вдоль градиента свойств среды или на границах слоев. Определение этого тензора сводится к решению задачи Коши для матричного обыкновенного дифференциального уравнения Риккати с последующим определением поля.

Оба метода обладают взаимными достоинствами и недостатками. Матричный метод предпочтительнее при небольшом числе слоев, а импедансный — для градиентных сред.

Предложенный в работе [8] прямой импедансный метод в некотором смысле является гибридным, более прост и требует меньшего объема вычислений. На основе этого метода в данной работе разрабатываются процедуры вычисления импеданса радиально-неоднородной среды.

1. Основная задача об определении тензора

импеданса на одной из границ коаксиальной области при импедансе на второй ее границе

Пусть коаксиальная цилиндрическая область с номером т ограничена радиусами гт и Тт-1 т.е. гт_1 ^ г < гт. Она заполнена почти упругой однородной изотропной средой [1]. Предположим, что тензор пространственно-спектрального импеданса или нагружающей упругости на границе г — гт известен. Поставим задачу определения этого тензора на второй границе коаксиального слоя г — гто_ь при известных свойствах среды, заполняющей слой (р, Л и ¡г).

Если рассматриваемый коаксиальный слой однороден, (например это обсадная колонна), то по импедансу внешней границы слоя определим импеданс ее внутренней границы. Если среда имеет радиальный градиент р или (и) Л, или (и) Д, то область разбивают на тонкие коаксиальные слои, в каждом из которых свойства среды принимаются не зависящими от радиуса. Данный метод, как и известный импедансный, практически реализуем только численно, и при их реализации неизбежна дискретизация по радиусу. Он более экономичен, чем известный импедансный метод, так как не требует квантования по радиусу в однородных коаксиальных зонах, тогда как при реализации известного импедансного метода, квантование по радиусу и в этих случаях необходимо.

Рассматриваемый метод по сравнению с матричным предпочтительнее, так как в нем изначально используется линейная связь напряжений и смещений на любой из границ. Это уменьшает размерность используемых матриц. Кроме того, в нем, в отличие от матричного метода, отсутствует процедура перемножения матриц всех слоев, увеличивающая громоздкость вычислений. Согласно рассматриваемому методу, пересчет импеданса осуществляется для каждого из слоев отдельно, и эта процедура осуществляется последовательно по одному и тому же алгоритму.

Нормированные трансформанты Фурье по времени и координате г скалярного и векторного потенциалов смещений среды удовлетворяют уравнениям Гельмголь-

иа [1]

(12ф 1 йю п „ (РгЬ 1 ¿-ф -ф 2 7 /, ч

иг г аг аг* г аг г*

где р = \/А2 - С2, а- = Т2 - С2. Л, г — безразмерные волновые числа для продольных и поперечных волн, £ — безразмерное волновое число вдоль оси г, все координаты нормированы по Я.

В случае коаксиальной области решения уравнений (1) имеют вид:

ф = А1Н^

Формулы, выражающие смещения и напряжения через потенциалы, остаются в силе и для рассматриваемого случая. Для смещений получаем:

А2 а3

\а4/

где

яп = -рн[1)(рг), 012 = -рн[2)(рт-),

013 = -г(Н[1)(вг), О'14. = КН^'.нт),

«21 = 1<н[{)(рг), а22 = <Я[2)(рг),

023 = вН^^г) , 024 = ,

\/Л2 - С2 , s = Jrl

С2-

Чтобы выразить напряжения на границе г — гт-\ через смещения этой границы, определим Ак через йj(fm-^). Соотношения (3) содержат два уравнения

где

-операция транспонирования; по повторяющимся индексам к подразумевается суммирование от 1 до 4. Два недостающих уравнения для определения четырех Ак получим из импедансного условия на второй границе слоя г = гт. Выразив напряжения при г = гш через заданный на этой границе тензор упругости, имеем [1]:

[б„

где по повторяющимся индексам 3 осуществляется суммирование от 1 до 2, а по к —от 1 до 4, причем

Ьп=Н^(рг), Ьп = Н$1)(рг), Ь13=Ьи = О, Ь21 =Ъ22 = 0, Ь23 = Н[1]{8г), Ь24 = Н[2)(зг).

Записав соотношения (3) на границе г = гт в виде

Щ{гт) = а^к{гт)Ак , и = 1,2; к = 1,2,3,4),

и подставив их в уравнение (6) получим

9ij{fm)}ajk{rm) + ртт?пкк{гт)}Ак - 0.

Добавив эти два однородных уравнения для Ак к двум уравнениям (5), мы пришли к системе четырех уравнений для четырех неизвестных Ак. Определитель этой системы уравнений (5) и (9) не равен нулю, поэтому можно выразить Ак через

"1 (?'.,> |) И Щ (гт_1).

Пусть элементы обратной матрицы этой системы будут qkj. Тогда

Ак - (¡kj u. j (гп1... 1).

Обратная матрица Ц^Ц имеет размерность 4x2. Записав с помощью (6) выражение для напряжений на границе г — г7„_1

приходим к выводу, что тензор пространственно-спектральной упругости на границе г — гт_1 равен

Gij{rm-i) = 9ij{rm-1) + ßrnTfrlbik(rm-i)qkj{rm-l, rm).

Это является решением поставленной осесимметричной задачи для коаксиального слоя, так как тензор упругости на границе г — гт-\ выражен через заданный тензор упругости на другой границе слоя г = гт. Остается лишь определить обратную матрицу Цд^Ц. Систему уравнений (5) и (9) запишем в виде

^ап «12 «13 Q]4\ (АЛ

«21 «22 «23 «24 ßll ßl2 ßl3 ßl4

\ß21 ß22 023 024 J

a2

A3

V-4i/

^Öiifm-i)^

Ü2(rm-l) 0

где ац = а^{гт-{),

0гк = Вг:1(гт)а]к(гт) + ¡лтт?пЬгк(гт),

В

и

(Аг,,,) - 9?Лгп).

по повторяющимся индексам производится суммирование. Заметим, что <5^.Дгт)— тензор упругости среды, граничащей при г = гт с рассматриваемым коаксиальным слоем, а д^{гт) — тензор упругости среды в коаксиальном слое при г — гт. Значение Дт входит в дгз(гт) в формуле (13), но в берется значение Д = Дт+1 для среды, граничащей с коаксиальным слоем.

Записав формулу (11) в виде

(•.,{>» 1) = О + МтТ72„Си ,

Си = Ьгк (гт-1 )Чку (гт-1, Гт ) ,

после несложных выкладок находим

Сп =

Д

<,2!- д

¿>11 ¿12 0 0 аи «12 «13 «14

«21 «22 «23 «24 > С12 = 1 Ьп ¿12 0 0

011 012 Аз 014 д 01! 012 013 014

021 022 023 024 021 022 023 024

0 0 ¿23 ¿24 «11 «12 «13 «14

«21 «22 «23 «24 > С22 = 1 0 0 ¿23 ¿24

011 012 013 014 д 011 012 013 014

021 022 023 024 021 022 023 024

где Ь^ = Ьц(гт-1), Д — определитель системы (12). Полученные формулы, как и (11), можно использовать для пересчета импеданса, однако в дальнейшем они упрощены, что значительно сокращает время вычислений при многократных расчетах по одному и тому же алгоритму. Далее используем коаксиальные цилиндрические функции вида

П„ь

впк(гт-1,гт) = \[н£Х8гт^)н£\ргт) - Н^Р(«гт_ 1 )н\}\згт) <1пк{Гт-\,Гт) = г-[н£\1гт-1)н£\1гт) - н№\1гт-{1г

Здесь аргументы гт_ 1 и гт некоммутативны, так как

П„^(гш_] , Гт) Па:П (Гт-< ^тп— 1) 1 Опк(гт~1,гт) = -Окп(гт,гт-1), (1пк(гт-1,гт) "-= -(1кп(Гт,Гт-1)-

Если условиться брать индексы только в порядке гт-1> то можно их не указывать, причем в функциях П^ в аргумент входит только р, в функциях Опк — только н, а в йпк — только I. Приняв эти условия, аргументы коаксиальных цилиндрических функций можно не выписывать. Из (13), (16)—(19) получаем

Си =

1! д

(С2Поо0о1+8рПо1Воо)ьЖпп)+

+ Йтт1

- ДтттП00©01

+ (С2Поо©11 +8РП01е10Щгт)-- Дтг2 (рПо^цВп - 2гСПоовпВ12 - «ПооЭюВи)-

~ ДтттПоО0Ц | ,

С21 = —С12 >

С22 - ^арПцЭю + С2П10вХ1)Щгт)+

+ дтт^ОзПпЭпВп - 2гСП1овцВ12) - Д^г^ПооОц >,

Д = 4

8С2

Л'Ггп-ХГг,

гцТ1

1 С

С12

+

5р

Щгт) - 2Дт. ( + 2КС12(ггп)) - 4Д2дС2

+

+ ер

рПцво! <?п(гт) - — Дто -

+ с

2гСП1

рПО10ц(Сп(гт) ~ — Д„

+

2гСПоовц(С12(гт) - 2гСдт) ~ 5Поо01о(522(гГ1

Д^гД(Пюв018р + С2ПОО01]) } .

Здесь

»(гт) = асЪ [¡^(г^)!

Формулы (14), (20)-(24) являются решением поставленной основной задачи. Они определяют компоненты пространственно-спектрального тензора упругости на границе г„, — гт_ 1 коаксиального слоя (гт_ь гт) при заданных компонентах тензора нагружающей упругости на второй границе этого слоя г = тт. В них присутствуют материальные параметры слоя тт, Ат Дт, а также компоненты С^(гт) тензора упругости среды, граничащей со слоем. Разработанный алгоритм вычисления матрицы ||</^|| можно реализовать, используя программы численного обращения матриц, и формулу (11), переложив на компьютер определение элементов обратной матрицы

2. Пересчет импеданса для тонкого слоя почти

упругой среды

Рассмотрение радиально-градиентных сред основано на их разбиении на тонкие слои, в каждом из которых материальные параметры среды принимаются постоянными. Причем на практике могут встречаться тонкие коаксиальные слои, например, цементный камень. Примем что

Гт-1 = гт - И, К < гт ,

а также

в/К 1, р)К 1.

Введя малую безразмерную величину <5 = Н/гт, получим с погрешностью порядка О

П00 = -<5, Пох =--—, П10 = -^, Пи = -6-

7Г 7Г ргт пргт 7Г

Эти формулы справедливы для 6¿j и с1у, если р заменить соответственно на в и I. Из (20)-(24) в первом приближении по 5 имеем

Си

2р,гп 16 ЦтГ2

Гт-1 ^Г^А

+ 5г,

Си От) - — Мт

+

2гСС12(гт) - + — С22(гт) + (г2 4- 8С2)Д,

Ц-т ^гп

С12(гт-1) = 2 г(Д„

16гтмт

б!

2(гт) - 2гСДт]

- ¿ГтС

Щгт) - 2Дт

Тгп

+ ЦтГт[СтП{гт) + С22(гт) - —Дт

022{г.

16 /1Т„Т.„

т-1)

7Г2Г2 Д '1 '

б22 (Гш) +

Л2

21С(С12(Гтп) - 2гСДт) + Дтг2 - +

4 У Йттт

2А1 ( 1

-б22(гт) + Ифх2(гт) -

л2 А21

где

9-9 > г т ' т IX Г '

М I

+

2С2 ЩГт) - 2Дл

С22

+ Д

¿С

¿^(Гш)-

2/й

При 6 —>оо получаем

бц(гт_1) ^ Оп(гт) + 0(5), С12(гт_1) = (512(гт) + 0(5),

б22(г1л-1)^с22(д+о№.

Видно, что кривизна слоя влияет на импеданс только в первых и более высоких приближениях по 5.

3. Пересчет импеданса для тонкого слоя вязкоупругой жидкости

В данной работе рассматриваются малые линейные колебания вязкоупругих сред, при которых пространственная метрика тензоров напряжений и деформаций одинакова для смещений, скоростей и ускорений. Это позволяет пользоваться или комплексными частотно-зависимыми модулями, или комплексной частотно-зависимой динамической сдвиговой вязкостью, или тангенсами углов механических потерь [8]. Однако для горных пород более удобна модель почти упругой среды, а для жидкостей более приемлемо использовать динамическую сдвиговую комплексную вязкость. Для очень вязких сред типа битумов или глин и тонких слоев, в которых сдвиговая волна достигает их обеих границ, можно использовать полученные в предыдущем параграфе результаты, заменив комплексный нормированный модуль сдвига Дт на его выражение через комплексную динамическую сдвиговую вязкость г)т. Имеем в слое [8]

Р,7

гиг)т

Ц'ГП _

Мо Мо и из формул (29)-(32) получаем

2шт)т

2 _ ШР р2

"" Пт !

Сп^т-О &12{гт-\) &22

МО Тт Пп

+

МО

МО

+

ш2РВ?

МО

ш2рК2

Сц(гт) +

¿П2(гт) -

Могт .1 Мо

Мо

ш2рВ?

б22(гт).

Таким образом, динамическая сдвиговая вязкость тонкого слоя влияет только на компоненты д^ импеданса. При пересчете же одноименных компонент тензора упругости или импеданса влияет только плотность р жидкости, заполняющей тонкий коаксиальный слой. Комплексная вязкость жидкости в тонком слое мало влияет на разницу импедансов на его границах. Однако обусловленные ею малые комплексные добавки существенно улучшают устойчивость вычислений.

4. Основная задача для коаксиального слоя, заполненного идеальной жидкостью

Пусть коаксиальный слой (гт_1,гт) заполнен идеальной жидкостью. На ее границе г = гтп задан тензор пространственно-спектрального импеданса. Необходимо определить тензор импеданса на второй границе слоя г = гт-1- Колебания жидкости полностью определяются только скалярным потенциалом скорости Ф(г,г). Решение уравнения Гельмгольца для Ф в слое имеет вид:

Ф = А1Н™(1г) + В1Н™(1г),

где 1\/к2 - С2, к —из И,/с.

На границе г — гт и везде в слое сдвиговые напряжения отсутствуют, радиальные напряжения и смещения непрерывны. Тогда

Ог{г п

^гг

^гг

Я(г„

С2г

«г Г„

В данном случае

Щгт) = Сгг

есть функция Релея, так как уравнение = 0 является дисперсионным для этих волн около полой цилиндрической области в почти упругой среде [1].

а

ГГ\Т 711— 1

-гпт,

2 [¿«( ' тп ) + ¿ОО-Р(^ш)]

1[1(1пЩгтп) + ¿тР(гт)} '

Стгг(гт-1) = бгг (гт-1) = 0, Сгг(Гш-1) = 0, где Р(гт) = тт2С!гг(гт), т = рт/рт-1 (не номер слоя), а

2 _ ш Рш + 1-2

,, т '

МО

Итак, на границе г = гт_х слоя идеальной жидкости радиальная компонента импеданса не равна нулю и зависит от всех компонент импеданса при г = гт.

Очень тонкие прослои промывочной жидкости могут существовать между колонной и цементным камнем, а также между цементным камнем и горной породой. Чтобы учесть влияние этих прослоек на акустическое поле в ГС, произведем пересчет импеданса на тонком слое идеальной жидкости. Аналогично (28) запишем

(¿оо — ,

7Г

т

ж1гп

¿10 =

к1г.

Тогда из формулы (41) имеем

В главном приближении при 5 —> оо

Р(гт) + 1Щгт)Н

Щгп

¿п = -6.

7Г

Р

О(Л).

5. Почти упругий коаксиальный слой, контактирующий с идеальной жидкостью

Пусть почти упругий коаксиальный слой (гт_],гт), соприкасается на своей границе г = гт с идеальной жидкостью. Согласно (41)—(43) тензор упругости на границе г — гт определяется формулой

в{гт) = ^ .

Необходимо определить компоненты тензора импеданса или упругости на границе г = гт_ 1 слоя. Это частный случай рассмотренной выше основной задачи о пересчете импедансов для почти упругого коаксиального слоя.

Компоненты тензора упругости С(гт_1)_для данного случая получаются из формул (13), (20)-(25), в которых 0Т2{гт), (52Г(гт) и Сг2(гт) принимаются равными нулю. Компонента Огг{гт) определяется формулой (41) при соответствующей нумерации границ и слоев, если рассматриваемый слой контактирует со слоем идеальной жидкости. Если же почти упругий коаксиальный слой контактирует с безграничной идеальной жидкостью, то

Ро£\ к2 Н$]{1гп мо ) I я{1}(ггя

Grr

Здесь рос2 — модуль продольного объемного сжатия жидкости, ро — ее плотность, с —скорость звука в жидкости.

6. Основная задача для коаксиального слоя, заполненного вязкоупругой жидкостью

Пусть коаксиальный слой (гто_1,гт), заполненный вязкоупругой жидкостью, нагружен на границе г = гт известным импедансом или тензором упруго-

сти Оц(гт). Если толщина слоя значительно превосходит глубину проникновения сдвиговых волн в жидкость, то эти волны не претерпевают многократных отражений от границ слоя и существуют в пограничных слоях около границ слоя. Необходимо определить тензор импеданса на границе г = гт-\ слоя при произвольных осесимметричных колебаниях этой границы.

Волновое поле в слое представляется так же, как и в [1]. Решения для скалярного потенциала строятся из расходящихся цилиндрических волн, представляемых

функцией Н^(1г) и сходящихся волн, отображаемых функцией Ханкеля Н^(1г). Как и в [1] для сдвиговых волн использован главный член лучевого ряда, причем сдвиговые волны возбуждаются у обеих границ слоев. В результате компоненты нагружающей упругости на границе г = гто-1 запишутся в виде:

Gii(fm_i) = -тпт

2 MoiK

l[dnM(fm) + d10P(fm)}~

4 тпт2 [iC^{fm)-mT2Gi2(fm)}G12(fm)=, + тг2fm_1fm l2[lduK(fm) + d10P(fm)]2 t[Tm)'

621 = <54

Г \ -'А 1<1<пЩГт) + <к>оР{гт) = . .

1[апЩгт) + dwP{rm)\

При Сг(гт) — 0 и б^Гт-1) = 0 получаем формулу (41) для идеальной жидкости.

Таким образом, импеданс сдвиговых волн в жидкости у границы г — гт дает добавку к радиальному импедансу в формуле (50), которую можно трактовать как наведенный или взаимный импеданс [9].

Если вязкость жидкости в слое постоянна, а это подразумевают условия основной задачи, то

Сг

Мо

Если же слой почти упругой среды контактирует со слоем вязкоупругой жидкости, то на его внешней границе импедансы определены формулами (50)-(52). Их

нужно подставить в формулы (20)-(25), а если этот слой тонкий — то в формулы (29)-(32). Отметим, что учет вязкости флюидов позволяет более точно определять поглощение различных типов волн, а также существенно улучшает устойчивость вычислений.

7. Процедура вычисления импеданса на стенке ГС

Рассмотренные варианты пересчета импеданса на границах коаксиальных слоев позволяют определить импеданс стенки ГС, а значит и акустическое поле в ней, практически во всех встречающихся на практике ситуациях, если только модель ГС можно принять осесимметричной.

Для слоистой системы с кусочно-постоянными функциями А (г), Д(г) и р(г), расчеты проводят последовательно для всех слоев по изложенным алгоритмам. При этом изменяют значения материальных параметров слоев, номера границ и соблюдают условия непрерывности всех компонент импеданса, вытекающие из непрерывности напряжений и смещений на всех границах. Для слоев, заполненных идеальной жидкостью, учитывается условие отсутствия сдвиговых напряжений. Градиентную среду аппроксимируют, как и в матричном методе, тонкими однородными слоями с соответствующим шагом разбиения.

При любом сложном строении пограничной зоны предполагается существование установившейся зоны в массиве горных пород г > го, в которой свойства среды не зависят от радиуса. На цилиндрической границе г — го тензор нагружающей пространственно-спектральной упругости для однородной безграничной среды определен в [1]. В результате задача определения импеданса на стенке ГС г = И сводится к пересчету импеданса в ограниченной области (Л, го). Важно то обстоятельство, что решение любой из рассмотренных задач о пересчете импеданса остается в силе, если взаимно заменить г,„_1 и гт. Если же после определения импеданса стенки ГС с учетом импеданса жидкости в ГС провести вычисления в обратном порядке, то совпадение импеданса при г = то с исходным означает, что все возможные погрешности исключены. Это позволяет тестировать расчеты.

По пространственно-спектральному импедансу на всех границах можно полностью определить поля смещений и напряжений в среде. Значения 0^{гт) и <5у(гт_г) однозначно определяют ак. Подставив их в (2) получаем скалярный и векторный потенциалы, через которые определяются смещения и напряжения в среде, окружающей ГС. Поле в ГС определено через импеданс ее стенки в [1].

На рис. 1 для примера приведены рассчитанные акустические сигналы давления на оси ГС, окруженной однородной и градиентной средами при удалении приемника от источника на расстояние Ь = 1,5 м. При этом принято, что скорости распространения ср и с8 продольных и поперечных волн растут от Д = 0,1 м до Я\ = 0,3 м линейно, а затем при г ^ 0,3 м остаются постоянными. Скорость распространения продольных волн ср изменяется от 4 км/с до 5 км/с, а с8 — от 2,4 км/с до 3 км/с.

Очевидно, что радиальная неоднородность скоростей влияет на амплитуды и времена вступлений волновых пакетов головной продольной и головной поперечной волн, а также волны Лэмба-Стоунли. Это обусловлено рефракцией волн в пограничной зоне. При этом изменяется распределение амплитуд колебаний по радиусу.

В пограничной зоне с положительными радиальными градиентами скоростей Ср и с„ энергия сигналов, наблюдаемых в ГС, больше, чем в случае однородной окружающей среды. Это обусловлено рефракцией продольных и поперечных волн. Чтобы определить ср и с, в массиве горных пород, окружающем градиентную зону, необходимо выбирать Ь тем большее, чем больше радиус градиентной зоны го.

а.

18

1С

-si

i'tiM'

' И ¡' • •it,'Им" Г <• "

,! h? i\

-10

-15

1}Г, Li____1-!-1-!-i—

O.O 1.0 1,5 2.0 2,5

T ms

„_Окнср-зредэ.............иад»«род>«ая

Рис. 1. Рассчитанные акустические сигналы давления на оси ГС, окруженной однородной и градиентной средами при удалении приемника от источника на расстояние Ь = 1,5 м.

Литература

1. Ковальчуков Н. А., Крутин В. Н. Расчет акустического поля в геологической скважине (ГС), окруженной радиально-неоднородной средой. Ч. I. Связь акустического поля в ГС с импедансом окружающей ее среды // Вестник РУДН: Серия «Физика». — 2005. — № 13(1). (в печати).

2. Thomson W. Т. Transmission of elastic waves through a stratified solid matherials // J. Appl. Phys. - 1950. - Vol. 21, No 1. - P. 89-93.

3. Hackell N. A. The dispersion of surface waves on multilayered media // Bui. Seismol. Soc. Amer. - 1953. - Vol. 43, No 1. - P. 17-34.

4. Молотков JI. А. О матричных представлениях дисперсионного уравнения для слоистых упругих сред. — В кн.: Математические вопросы в теории распространения волн. т. 4. — J1., 1972. — С. 116-131.

5. Мачевариани M. М., Тютекин В. В., Шкварников А. П. Импедансный метод расчета характеристик упругих слоисто-неоднородных сред // Акуст. журн. — 1971. - Т. 17, № 1. - С. 97-102.

6. Краснушкин П. Е. Метод пересчета импеданса в задачах о волнах в упругих средах // ДАН СССР. - 1980. - Т. 252. - С. 332-335.

7. Безруков А. В., Приходько В. Ю., Тютекин В. Е. Импедансный метод расчета характеристик нормальных волн в упруго-жидкостных слоисто-неоднородных волноводах // Акуст. журн. - 1986. - Т. 32, № 3. - С. 372-377.

8. Крутин В. Н. Прямой импедансный метод расчета волновых полей в слоисто-однородных средах // ДАН. - 2001. - Т. 376, № 4. - С. 485-487.

9. Крутин В. Н. Колебательные реометры. — М.: Машиностроение, 1985. — 160 с.

UDC 541.132

Calculation of an Acoustic Field in a Geological Void Surrounded with Radially Inhomogeneous Medium. Part II.

N. A. Kovalchukov *,

* Department of General Physics, Peoples' Friendship University of Russia, 6, Miklukho-Maklaya sir., Moscow, 117198, Russia * VNJJCeosystems (Scientific Institute of Geological, Geophysical and Geochemical Systems, 8, Varshavskoye shosse, Moscow, 113105, Russia

An impedance method of calculation of acoustic fields in the theory of springiness of inhomogeneous media is being devised. The method makes possible to determine parameters of acoustic fields in half-infinite radially inhomogeneous media with the axis symmetry, to analyze spectral structure of the acoustic fields, and to correlate its spectral composition with the properties of the investigating environment.

V. N. Krutin