Чувствительность характеристик автоколебаний в системе с трехпозиционным релейным элементом

УДК 681.511.4

ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ХАРАКТЕРИСТИК АВТОКОЛЕБАНИЙ В СИСТЕМЕ С ТРЕХПОЗИЦИОННЫМ РЕЛЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ

Н.В. Фалдин, А.В. Моржов

Рассматриваются системы с трехпозиционным релейным элементом и нелинейным объектом управления. Разработаны методы определения функций чувствительности автоколебаний (периодической траектории, частоты, критерия устойчивости).

Ключевые слова: трехпозиционный релейный элемент, автоколебания, чувствительность, периодическая траектория, частота, критерий устойчивости.

К системам с трехпозиционным релейным элементом обычно обращаются, когда требуется обеспечить автоколебания, имеющие невысокую амплитуду при достаточно низкой частоте. Системы с трехпозиционным релейным элементом характеризуются меньшим (по сравнению с двухпозиционным) потреблением энергии.

При анализе и синтезе релейных систем важно располагать информацией о чувствительности системы к изменению параметров объекта управления. Зная функцию чувствительности, легко определить, как влияют отклонения параметров от номинальных значений на качественные характеристики системы. На практике такие отклонения всегда имеют место. С помощью функций чувствительности, таким образом, можно оценить работоспособность системы в реальных условиях эксплуатации. Они также позволяют выполнить синтез при задании ограничений на чувствительность системы к изменению параметров объекта управления.

В [1-4] разработаны методы исследования чувствительности систем с двухпозиционным релейным элементом. Однако аналогичные методы необходимо иметь и для систем с трехпозиционным релейным элементом. Настоящая статья посвящена разработке методов исследования чувствительности автоколебаний в системах с трехпозиционным релейным элементом и нелинейным объектом управления. Рассматривается чувствительность следующих характеристик автоколебаний: периодической траектории; критерия устойчивости.

Чувствительность периодического движения. Рассмотрим релейную автоколебательную систему с трехпозиционным релейным элементом (рис.1).

При отсутствии входного сигнала (y(t) ° 0) движение системы задается уравнениями

dx

—=f

dt

и=Ф

где х=(х\, Х2,..., хп) и f=(/1, /2,..., /п) - п-мерные векторы.

Функция Ф задается статической характеристикой трехпозицион-ного релейного элемента (рис. 2).

Рис. 1. Релейная автоколебательная система с трехпозиционным релейным элементом: у(?) - входной сигнал, ЯТ - матрица-строка

Рис. 2. Статическая характеристика трехпозиционного

релейного элемента

В равенстве (1) а - некоторый скалярный параметр. Будем предполагать, как это обычно имеет место в следящих системах, что объект управления обладает нечетной симметрией:

{(-х,а,-и)=—Г (х,а,и),

причем симметрия сохраняется при любом значении параметра а.

Фазовый годограф [5] позволяет легко определить возникающие в представленной на рис. 1 и 2 системе (у^) ° 0) автоколебания. Пусть х^ )-периодическая траектория системы (1), (2) периода 2 Т. Объект управления и функция Ф обладают нечетной симметрией. В такой системе периодическая траектория также имеет симметрию, т.е. х^+Т)=-х(?). На рис. 3 изображен вид на периоде сигнала с выхода релейного элемента и^).

477

Рис. 3. Вид на периоде сигнала с выхода релейного элемента и

Малое изменение параметра а приведет к малому изменению периодической траектории. Периодическую траекторию в параметрически возмущенной системе (она также обладает симметрией) обозначим ~(г)=х(г)+дх^), здесь дх^)=(дх^ ),дх 2(1 ),...,5х п (7)).

На траекториях х(?) и ~ (?) момент ?=0 совместим с моментом переключения релейного элемента с нуля на плюс. На траектории х^) управление переключается в точках уТ и Т, а на траектории ~(?) - в моменты уТ+д(уТ) и Т+дТ, где д(уТ) и дТ - малые величины.

Для системы с номинальным значением параметра а, как следует из рис. 1 и 2, имеют место равенства

-ЯТх

а для параметрически возмущенной системы - равенства

- ЯТ ~

Представим уравнения (4) в виде

- ЯТ [х(уТ+д(уТ))+дх( уТ+д(уТ))]=1Ь,

- ЯТ [(х(Т+дТ)+дх(Т+дТ)]=--Ь.

Из (5) и (3), принимая во внимание, что д(уТ), дТ и дх^) являются малыми величинами, найдем

ЯТ [х -

ЯТ [(х (Т )дТ+дх - (Т)]=0.

В равенствах (6) символом «минус» обозначены пределы слева. Далее, в них опущены величины, имеющие порядок малости выше первого. Из (6) следует

5

Я7 х-

дТ = - .

х-Т

Запишем уравнение (1) для параметрически возмущенной траектории, полагая и^) фиксированной величиной

а №) + 6х

ш

В качестве фиксированных (см.рис.3) рассматриваются значения и(?) = А, и(1,) = -А, и(?) = 0. Будем, далее, полагать, что функция f непрерывно дифференцируема по х и а и непрерывна по и. Из (9), опуская величины, имеющие порядок малости выше первого относительно бх и ба , найдем

dбx(t) Эf(х,а,и)„ Эf(х,а,и)„ ..

-—=—4 убх+—4 уба.

& Эх Эа

Равенство (10) связывает между собой отклонение траектории движения х^) с отклонением параметра а и называется уравнением в вариациях. Оно представляет собой неоднородное линейное дифференциальное уравнение с переменными во времени коэффициентами.

Траектория х(?) непрерывна в момент уТ + б(уТ). Поэтому можно записать

х - (уТ + б( уТ)) + бх - (уТ + б(уТ)) = х+(уТ + б( уТ)) + бх + (уТ + б( уТ)). (11) Учитывая непрерывность траектории х^) и опуская в (11) величины, имеющие порядок малости выше первого, получим

бх +

Здесь и в дальнейшем символом «минус» обозначаются пределы слева, а символом «плюс» - пределы справа.

На траектории х^) управление и(^ принимает значения и=А, и=0,

и = -А. Обозначим У^,to) нормированную фундаментальную матрицу решений уравнения

dx

Л Эх

при и = А, У2(^) при и = 0, здесь 10 - начальный момент времени.

Пусть г1^) является решением уравнения (10) при бх(0) = 0, и = А и ба = 1. Тогда

бх -

В соответствии с

бх +

где

Р = У1( уТ ,0)-

Я Т х -

О=г1(уТ )-

х -

Ниже в выражениях, в которых в скобках, наряду с текущим или конечным временем, указывается начальное время, оно записывается после запятой, например, У^, to).

Обозначим г 2(^ уТ) (t >уТ) решение уравнения (10) при бх(уТ)=0, и=0, ба=1. Тогда

бх - (Т) = У2 (Т, уТ )бх + (уТ) + г 2 (Т, уТ )ба.

Принимая во внимание (15), получим

бх- (Т) = М 0бх(0) + N 0ба.

Здесь

М 0 = У2(Т, уТ )Р, N 0 = У2(Т, уТ )О + г 2(Т, уТ).

Воспользуемся симметрией параметрически возмущенной траектории х^) = х^) + бх^):

- х-

Опуская величины, имеющие порядок малости выше первого и принимая во внимание непрерывность траектории х^), из (17) найдем

-бх- (Т) - х- (Т )бТ = бх(0).

Учитывая (16), получим равенство

Тт

-1 - М 0 +

х_ (ТМ

Я Т х -

бх(0)=

Т

N 0 -

х_

ба,

из которого следует, что

бх(0) = Ьба,

где

Ь

Т,

I - М 0 +

х_ (Т)К' М

ЯТ х -

-1

Т

N 0

х_ (Т N

Я Т х -

На периодической траектории х^) в момент t = уТ происходит переключение управления с и = А на и = 0

бх^)=

У1 (^0)бх(0)+г1^)ба при 0 < t <уТ,

У2 (t,уТ)бх + (уТ)+г2 (t,уТ)ба при уТ < t < Т.

Принимая во внимание полученные выше равенства, представим (19) в виде

0

0

[VI (г,0)Ь + Г1 (г)]5а при 0 < г < уТ,

5х(г) =

По определению функция чувствительности периодической траек-

[^(г, ут)(РЬ + О) + Г2(г, уТ)]5а при уТ < г < Т.

тории

Здесь

8х(г) х(г) + 8х(г) - х(г) ..

_А2= 11т —^—= р

йа да0 да

р(г)=

V1(г,0)ь+г1(г) при 0 < г <уТ,

V (г, уТ )(РЬ+О)+г 2 (г, ут) при уТ < г <т. Установим чувствительность момента уТ и периода автоколебаний

2 Т.

В соответствии с равенством

д

ЯТх-(уТ) '

Из (22) следует, что функция чувствительности

й(уТ) =-ЯТ [У1( уТ ,0)Ь + г1(уТ)]

йа ЯТ х- (уТ) '

Принимая во внимание (8) и (20), найдем

дТ = ЯТ [У2

яТ х - (Т) .

Периодическая траектория х (г) имеет период 2(Т + дТ). Чувствительность периода автоколебаний к изменению параметра а

й

йа яТ х- (Т) '

Чувствительность критерия устойчивости колебаний. В релейных автоколебательных системах, как правило, оценивается асимптотическая орбитальная устойчивость автоколебаний [6,7]. Для релейной системы (1), (2) устойчивость периодической траектории х(г) оценивается [5] по собственным числам матрицы

с = С 2СЬ

где

с, = V]

ЯТ х -

х -

С2 = ^

Определим устойчивость периодической траектории х^) = х^) + бх^). Возмущенную (малым изменением начального условия) траекторию обозначим х^) = х^) + бх^). Запишем уравнение в вариациях

dбx

Обозначим

Тогда

dt Эх

^^ ч Эf (х, а, и) М(х, а, и) = —4 7 Эх

Эf

бх^).

= М(х + бх, а + ба, и).

Эх

Выше было установлено, что

х^)=х^)+р^ )ба

и, следовательно,

^^=М(х+рба,а+ба,и)бх. Так как ба является малой величиной, то можно записать

^ = M(„„в + »(,,„«X, (28,

где

^х,а,и)[М(х+рба,а+ба,и ] dба

5а=0

Во избежание недоразумений отметим, что ба входит в определение траектории х^), т.е. ба и бх - независимые малые величины.

В [1] установлено, что линеаризованные по а (не учитываются величины, имеющие порядок малости выше первого) нормированные фундаментальные матрицы решений (в зависимости от величины управления) уравнения (28) задаются равенствами

У ^ ,0) = У1 ^ ,0) + У1а ^ ,0)ба,

У2

(У

В равенстве (29) У^ (^0) является матрицей [1] ,столбцы которой образованы векторами т1^),т2(t), ..., тп(t), причем каждый вектор т1 (t) является решением уравнения

— = М

dt

при т(0) = 0. Это решение зависит от функции дх 0(г). Входящий в уравнение (31) вектор дх 0(г) представляет собой столбец матрицы Vl(г,0), причем вектору тг (г) соответствует г-ый столбец матрицы Vl (г ,0).

Далее, вектор V (г, уТ) является матрицей, столбцы которой образованы векторами д1(г), д 2(г ),..., д п (г) (г >уТ). Каждый вектор (г) является решением уравнения

Ип-=М(х,а,0)д+^х,а,0)дх0(г,уТ), г>уТ,

йг

при д(уТ)=0. В равенстве (32) вектор дх 0(г, уТ) является столбцом матрицы V2(г,уТ). Вектору (г) соответствует г-ый столбец матрицы V2(г,уТ).

В соответствии с (25) - (27) матрица устойчивости периодической траектории ~х(г) задается равенством

С = С 2С1,

где

х

С1 = уТ+д

С2 = ^

х

Рассмотрим сначала матрицу С1. Принимая во внимание равенство (29), вид функции х(г) и учитывая, что дх(г), да и д(уТ) являются малыми величинами, получим

СС1 = v1(ут ,0) + ^(уТ ,0)уда + Vх (уТ ,0)да -

- х - (уТ )ЯТ V (уТ ,0) + х- (уТ )ЯТ V (уТ ,0)уда + у ЯТ V (уТ ,0)да -ЯТ [х- (уТ) + х- (уТ)уда + уда]

х - (уТ)ЯТ V (уТ ,0)уда + х - (уТ )ЯТ V1a (уТ ,0)да ЯТ [х - (уТ) + х- (уТ)уда + уда]

у=-Я Т [V(уT ,0)Ь + г1(уТ ,0)]

ЯТ х - (Т ) '

/ ™ ^ ЭГ

у=М(х(уТ),а,А)р (уТ) + 4 и ь ' .

Эа

В равенстве (34) опущены величины, имеющие порядок малости выше первого относительно да.

Здесь

Ниже равенства, в которых опущены величины, имеющие порядок малости выше первого, будем записывать, не оговаривая это особо. Представим (34) в виде

( = У1 (уТ ,0) + (У (уТ ,0)у + У а (уТ ,0))ба -

х -

ЯТ [х (уТ) + (х (уТ)у + у)ба]

Здесь

О = х- (уТ )ЯТ У1 (уТ ,0)у + у ЯТ У1 (уТ ,0) + х - (уТ )ЯТ У&1 (уТ ,0)у +

+ х - (уТ )Я Т У а (уТ ,0). Выполним линеаризацию по ба входящей в равенство (35) дроби в окрестности точки ба=0 . В результате получим:

= ^^ + ^^аба,

где

^=У1( уТ ,0) -х - (утТ У1( уТ ,0),

1 1 ЯТ х-

W1а = У

- ЯТх-

[ЯТ х - (уТ )]2 '

На периодической траектории x(t) переключение управления с и=А на и=0 происходит в момент уТ, а на х ^)- в момент уТ+б(уТ) (б(уТ)=уба).

Рассмотрим матрицу С 2^):

Выше было установлено

)=V2(t)+У2а (t )ба. Представим равенство (37) в виде

С2 = У2(Т+тба, уТ+уба)+Уа (Т+цба, уТ+уба) -

[х-

ЯТ [х - (Т+тба)+бх - (Т+тба)] х[У2 (Т+тба, уТ+уба)+Уа (Т+цба, уТ+уба)],

484

где

ЯТ [V

ЯТх-(Т) .

В равенстве (38) нормированные фундаментальные матрицы решений V2 и V" записаны следующим образом: выражение, стоящее в скобках перед запятой, задает конечное время, а после запятой - начальное.

Фундаментальная матрица решений V2 (г) формируется с точки переключения управления уТ (начальная точка V2(уT)=I), а матрица V2(г) с начальной точки уТ+д(уТ)=уТ+уда. Легко видеть (см. [8]), что V (г, уТ+уда)=V (г)V"1 (уТ+уда)=V (г)[ V.-1 (уТ)+V2~1 (уТ )уда]

является нормированной фундаментальной матрицей решений и, следовательно,

V2

V -1(г)=-V -1(г ^ (г ^ -1(г).

Таким образом,

V (Т+тда, уТ +уда)=V2 (Т+mдa)[V2"1 (уТ) - V-1 (уТ )^2 (уТ)"V"1 (уТ )уда]. Матрица V2(уT)=I, здесь I - единичная матрица, и, следовательно V (Т+цда, уТ+уда)=V (Т+цда) [I -IV- (уТ )1уда]= =V2(T+тда)Р - V/2(уТ )уда].

Представим

V2(T+ц5а)=V2(T)+V2(Т №. Равенство (41) принимает окончательный вид

V2 (Т+тда, уТ +уда)=V2 (Т) - V (Т (уТ )уда+V (Т )|1да=

=V2

Для параметрически возмущенной системы фундаментальная матрица решений

V2 (г,уТ)=V2 (г,уТ)+V а (г,уТ)да, где V2X (уТ, уТ)=0. Тогда

V

В равенстве (43), как и выше, опущено слагаемое, имеющее порядок малости относительно да выше первого. Таким образом, матрица

^

485

является нормированной фундаментальной матрицей решений для параметрически возмущенной системы. В соответствии с

У(Т+тба, уТ+уба)=У2(Т)+05а,

где

0 = У2 (Т )т- У2 (Т )У 2 (уТ )+У2а (Т). Упростим равенство (38):

С = У (Т)+Хба-[х-(Т)+х-(Т)тба+бх-(Т)]КТ[У2(Т)+Хба] 2 2 ЯТ [х-(Т)+х-(Т)тба+бх-(Т)] .

В соответствии с

бх - (Т)=уба,

где

Эf

У =

М(х(Т ),а,0)р(Т)+

Эа

Из уравнения (1)следует

х-(Т) = п.

Здесь

П=М(х(Т ),а,0)х - (Т). Матрица С 2 принимает вид

С2 = У2(Т)+Хба-[х - (Т) +тГ5а]КТ [У;(Т)+^ба], 2 ЯТх-(Т)+ЯТГба

где

г=(пт+у).

Выполним линеаризацию дроби

[х - (Т)+Гба]Я Т [У2(Т)+0ба] = х - (Т )ЯТ У2(Т)+%ба ЯТх-(Т)+Я Т Гба ЯТх-(Т)+ЯТГба

по ба в окрестности точки ба=0 . В результате получим, что

С=У2(Т) - х ' (ТТкГ У2(Т) - кТ х - (Т « - ? Г х - (2)кТ У2(Т) ба+0ба. (46) 2 ЯТх-(Т) [ЯТх-(Т)]2

В равенствах

%=х - (Т )ЯТ 0+ГЯТ У2(Т).

Введем обозначения:

х -

W2 = У2(Т )-

ЯТ х -

W а = 0 - ЯТ х - (Т )% - ЯТ Гх - (Т )ЯТ У2(Т ) 2 [ЯТ х- (Т )]2 .

Из выражения (46) следует

С2 = W2 + W2zба.

Принимая во внимание (36) и (47), запишем для периодической траектории х^) матрицу устойчивости:

С=ё2ё1 = W2 W1 + W1 + W2 W1a )ба.

Устойчивость определяется по собственным числам матрицы С . Если все ее собственные числа 1 у удовлетворяют неравенству

1,

<1, у =1,т,

то периодическая траектория асимпототически орбитально устойчива [5-7]. Собственные числа матрицы С являются корнями многочлена

ёе1[11 -С].

Обозначим 10, у=1,т, т £ п, собственные числа матрицы (48), если в ней положить ба=0. По собственным числам 1 оценивается устойчивость периодической траектории х^). Представим

1 у =10° +61 у,

где приращение б1 у порождено вариацией ба параметра а. Ясно, что

61 у 0 при ба0. Собственные числа 10 являются корнями многочлена (49) при ба=0.

Пусть 10 - простое

(матрицы (48) при ба=0). Положим в многочлене (49) 1=1° +б1 у . Поскольку б1 у и ба являются зависимыми малыми величинами, то в многочлене ёе1;[(10 +б1 у )1 - С ] можно приравнять к нулю произведения баб1, а также (б1 у)п при п > 2 как имеющие порядок малости выше первого. Собственное число 10 является корнем многочлена (49) при ба=0 и поэтому

после указанных сокращений получим многочлен первого порядка относительно б1 у, т.е. равенство вида

/у

где /у (10) и Гу (10) - некоторые многочлены.

487

Из (50) следует, что

Р

дк / = ] да, ] /у

т.е. функция чувствительности собственного числа

йк 7 к07 +дк 7-к07

-Л. = 11т —7-7-7 = 7 7 .

йа да0 да //

В [1] показано, что равенства (50) и (51) справедливы и в случае кратного собственного числа к0/. Но тогда (51) приводит к неопределенности вида «ноль», деленный на «ноль», и требуется ее раскрытие, например, по правилу Лопиталя.

Получение функций чувствительности рассмотрено при изменении одного скалярного параметра объекта управления. При изменении в объекте нескольких параметров функции чувствительности по каждому параметру определяются изложенным выше способом. Отклонения характеристик системы, обусловленные изменением нескольких параметров, находятся путем суммирования отклонений, порожденных вариацией каждого из параметров.

В работе для получения функций чувствительности используются точные методы исследования автоколебаний, это гарантирует справедливость самих функций чувствительности.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №1408-00662).

Список литературы

1. Моржов А.В., Фалдин Н.В. Функции чувствительности характеристик автоколебаний в релейных системах с нелинейным объектом управления // Известия РАН. Теория и системы управления. 2014. №6. С. 14 - 24.

2. Фалдин Н.В., Моржов А.В. Чувствительность ошибки слежения к изменению параметров объекта управления в релейной автоколебательной системе // Мехатроника, автоматизация, управление. 2015. Т. 16. № 2. С. 81 - 88.

3. Фалдин Н.В., Моржов А.В. Чувствительность вынужденных периодических движений релейной системы к изменению параметров объекта управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2015. Т. 16. № 11. С. 721 - 730.

4. Моржов А.В., Фалдин Н.В. Чувствительность ошибки слежения в релейной системе, работающей в режиме вынужденных колебаний // Известия РАН. Теория и системы управления. 2016. №3. С. 84 - 96.

488

5. Фалдин Н.В. Релейные системы автоматического управления /под. ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова // Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. С. 573 - 636.

6. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 914 с.

7. Ким Д.П. Теория автоматического управления: учеб. пособие для вузов. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. М.: Физматлит, 2004. 464 с.

8. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

Фалдин Николай Васильевич, д-р техн. наук, проф., nvfaldin@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Моржов Александр Владимирович, канд. техн. наук, доц., morzhov@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

SENSITIVITY OF CHARACTERISTICS OF SELF-OSCILLA TIONS IN SYSTEMS WITH

THREE-POSITION RELAY BLOCK

N.V. Faldin, A.V. Morzhov

Systems with three-position relay element and nonlinear plant is offered. Methods of determining of self-oscillations sensitivity functions (periodic trajectory, frequency, criterion of stability) are designed.

Key words: three-position relay element, self-oscillations, sensitivity, periodic trajectory, frequency, criterion of stability.

Nikolay Vasilyevich Faldin, doctor of technical sciences, professor, nvfal-din@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Alexander Vladimirovich Morzhov, candidate of technical sciences, docent, morzhovamail.ru, Russia, Tula, Tula State University