Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн при наличии турбулентности

УДК 551.466.8

А.А. Слепышев , А.Н. Алиева , Н.В. Лактионова

Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн при наличии турбулентности

В приближении Буссинеска исследуются нелинейные эффекты при распространении внутренних волн при наличии турбулентности. Получен декремент пространственного затухания волны. Определяются скорость стоксова дрейфа и эйлерова скорость среднего течения, индуцированного волной за счет нелинейности. Показано, что главный вклад в волновой перенос вносит горизонтальная скорость индуцированного течения. Стоксов дрейф существенен только у дна. Вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа при учете турбулентной вязкости отлична от нуля.

Ключевые слова: внутренние волны, турбулентная вязкость, стоксов дрейф.

Введение. Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн проявляются в генерации средних на масштабе волны течений [1, 2]. Этот эффект имеет второй порядок малости по амплитуде волны и обусловлен пространственной неоднородностью волновых напряжений в области волнового пакета. Эйлерову скорость среднего течения, индуцированного волной за счет нелинейности, следует отличать от скорости стоксова дрейфа, который имеет место и в слабонелинейной плоской волне [3, 4]. Суммарная скорость дрейфа частиц жидкости складывается из эйлеровой скорости среднего течения и скорости стоксова дрейфа [4, 5].

Одним из факторов, обеспечивающих сток энергии внутренних волн, является диссипация последних при наличии мелкомасштабной турбулентности. Параметризацию воздействия турбулентности на внутренние волны проводят через введение коэффициентов турбулентного обмена [6]. Исследование влияния мелкомасштабной турбулентности на внутренние волны рассматривалось в [6, 7]. Данная задача решалась в линейной постановке, находился декремент затухания волны со временем вследствие диссипации энергии волны при учете турбулентной вязкости. Расчет декремента затухания длинных волн описан в работах [8, 9]. Подчеркнем, что рассматривалось затухание амплитуды волны со временем.

Однако при распространении волны в турбулентной среде имеет место факт ее пространственного затухания [5]. Поэтому в настоящей работе рассматривается пространственное затухание слабонелинейных внутренних волн при учете турбулентной вязкости, определяются декремент пространственного затухания волны, скорость стоксова дрейфа частиц жидкости и скорость среднего эйлерова течения, индуцированного волной за счет нелинейности.

Вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа при учете турбулентной вязкости отлична от нуля и будет определяться в данной работе. В отличие от работ [8 - 10] асимптотический метод Люстерника - Вишика при решении задачи линейного приближения не применяется, т. е. краевая задача

© А.А. Слепышев, А.Н. Алиева, Н.В. Лактионова, 2011

0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 2

13

по определению вертикальном структуры моды при наличии вязкости решается точно.

Постановка задачи. Рассматриваются свободные внутренние волны при учете турбулентной вязкости. Исходные нелинейные уравнения гидродинамики для волновых возмущений решаются асимптотическим методом многомасштабных разложений. В первом порядке малости по крутизне волны находятся решение линейного приближения и дисперсионное соотношение. Среднее течение, индуцированное волной за счет нелинейности, рассчитывается во втором порядке малости по крутизне волны после осреднения уравнений движения по периоду волны.

Уравнения гидродинамики для волновых возмущений в приближении Буссинеска при учете турбулентной вязкости имеют вид:

Эи, Эи,

-1 + иг-1

Эг Эх,

ЭР Э

- + -

(

р0Эх1 Эх1

к

Эх1

> Э + -

(

Эх.

к

Эм1 Эх

Л

3 У

Эи3

~Э7

- + м

Эм3 Эх

ЭР Э ( Эм3

——+— к—3

р0Эх3 Эх11 Эх1

+

Эх,

к

Эм3 Эх

3 У

г

Ро

Р м = Эро

Эг

Эхг Эмг

Эх.

Эх,

= о,

где г - время; g - ускорение силы тяжести; г = 1, 3 ; м1, м3 - соответственно горизонтальная и вертикальная компоненты волновой скорости течения; Р, Р - возмущения плотности и давления; р0 (х3) - профиль средней плотности; Ki - коэффициенты турбулентной вязкости; х1, х3 - горизонтальная и вертикальная координаты, ось х3 направлена вверх.

В качестве граничных условий на свободной поверхности используем динамические и кинематическое условия [7]:

- Р + gр()Cз + 2К3 ^ = 0, Эх,

к3 ^+к = о .

Эх,

Эх1

С

йг

= и.

Здесь С3 - вертикальное смещение свободной поверхности. Первые два условия (2а), (2б) определяют отсутствие нормальных и тангенциальных напряжений. На дне примем условия прилипания:

с)

14

ТББН 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 2

u3 (— H ) = 0, u1(— H ) = 0,

где H - глубина моря.

Граничные условия по плотности следующие:

при х3 = Z3 Р = Pri (*1, t) = const,

при х3 = -H р = pR2(х1,t) = const .

Указанные граничные условия сводятся к виду:

при Хз = 0 р(0)+Сз Р Р 0,

дхя

дх,

при х3 = —H р(- H )= 0.

Исходную систему уравнений (1) будем решать в виде асимптотического ряда [2]:

у = *3,в),

р = 2e"pn

n=1

где у(х1, х3, ^) - функция тока, которая определяет поле волновых скоростей

.ду ду . (- - горизонтальная скорость,--- вертикальная скорость); е - кру-

дх3 дх1

тизна волны; т = е2^; £ = е(х1 — С^) (Ся- групповая скорость в линейном приближении); в - фаза волны; в - быстрая, X и 1 - медленные переменные. Волновое число к и частота волны с определяются по формулам

к =

в

дх.

ео = -

в ' dt

Введем дифференциальный оператор

L = к2

д2 д2

дв2 дх

2

Подставляя разложение (6) в исходную систему уравнений движения и приравняв члены при одинаковых степенях е, с точностью до е1 получим:

— W^lL = & р + к± дв р0 дв дв

f

к — дв

2 Л

К1к:

ду дв2

f

+

дхя

Кк

д2у >

двдх

3 у

+

+

дх.

к 2 К.^У + А

дв дх дх3

f

K

д2У1 ^

V 3 дх32 у

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 2

15

n=1

д

¿у—Р + Р к У = 0.

Эв йх3 Эв

Волновые возмущения функции тока у и плотности р1 представим в виде

у = Арегв + ё.е.,

р = Ап1егв + ё.с.

Здесь А(£,т) - амплитудная функция, медленно меняющаяся на масштабе волны; функции р1(х3) и п1(х3) определяют вертикальную структуру моды; к.с.- комплексно-сопряженные слагаемые; г - мнимая единица. Подставляя выражения (9а), (9б) в граничные условия (2), (3), получим с точностью до е1:

( к й ( Л К3

V ил3 У

_ gk (

при х3 =0 — р1 -ттт-о к ах,

-гкК^ + гк-1 — йх^ йх-^

2К3к-^ = 0,

при х3 = 0

К3( + К1к 2р1 = 0,

3 1х3 1

при х3 = -Н

ар п

Р ="г1 = 0.

йх.

Уравнение для (1 (х3 ) и связь п1 (х3 ) с (1 (х3 ) получим, подставляя (9а), (9б) в уравнения (8а), (8б):

( к2

к2 К1р--

а (К л к3 оТ

V ил3

йх-

+ -

к2К ( + А

й%3 й%3

( Л К

й р1

3 йх 2 V ил3 у

(

= о

1 2 й к +

2 Л

йх

3У

к g йр0

Р-р Р

р0 йх3

1 йр0

оп1 = -к-^-° р.

Краевую задачу (10а) - (10в), (11а) будем решать, полагая коэффициенты турбулентной вязкости и частоту Брента - Вяйсяля N постоянными. Тогда уравнение (11а) упростится к виду

й4р й2р1 ( - к2 (К + К3)]

йх3 йх3

+ Рг

( N 2

гк2--гк 2о+к4 к,

о

К3 К3

= 0 .

Запишем решение уравнения (12) в виде

р = С1е^1 х3 + С2е^ (х3 +Н) + С е1 х3 + С е1 х3

16

3е "г С4е ,

ТЖУ 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 2

2

где Л1,Л2,Я3,Я4 - корни характеристического уравнения

14 + а1 + Ь = 0,

а =

й - к2

К

Ь =-

N

¡к2--¡к 2й+ к4 К1

й

К

Постоянные С1, С2, С3, С4 находятся из необходимости выполнения граничных условий (10а), (10б), (10в) и удовлетворяют линейной однородной системе:

а1С1 + а2С2 + а3С3 + а4С4 = 0 ,

С1е

Ь1С1 + Ь2С2 + Ь3С3 + Ь4С4 = 0,

1Н + С2е0 + С3е-1 н + С4е-1 н = 0:

где

С^е1 + С2Л2е° + С31е-1 н + С4Л4е-Л4Н = 0,

а1 = К13 + (й - ¡кКх - ИкК3 1 + ^, к { к ) й

К13 + Гй-¡К - 2Ш31 + к£ к V к ) й

1 н

а3 = К 1 + [й-¡кК1 -ИкК31 + ^,

к V к ) й

а4 = К143 + - ¡К - 2Ш314 + ^,

к

й

Ь1= К312 + К1к2, Ь2=(к3Л22 + К1к2 )е12 н

72_

Ь3 = К3132 + К1к2,

е

2

Ь4 = К3142 + К1к2. Систему (15) запишем в матричном виде:

В  С = 0,

где

В=

Г Ь Ь2 Ь3 Ь4 ^

е- \н 1 е-1н ен

1е- 1н Л2е° 1е-1н 14е -14 н

ч а а2 а3 а 4 )

С=

Г С1 ^ С2 С3

V С4 )

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 2

17

а2 =

Условие разрешимости однородной системы (16) следующее:

ёй В = 0.

Уравнение (17) является дисперсионным уравнением для к при фиксированном с.

Проведем нормировку решений линейного приближения по известной амплитуде вертикальных смещений £0. Для этого вертикальную компоненту волновых возмущений скорости выразим через функцию тока у :

и3

Эх1

Отсюда

„3 = 2И%|е-к«со5

где кг, к1 - действительная и мнимая части горизонтального волнового числа. Отметим, что и30 = 2е4|к| Це-к1 Х1 - амплитуда вертикальной скорости. Пусть £ - вертикальное смещение изолиний плотности, тогда

сС£

Учитывая, что u3 = u30eq + e.c., представим Z в виде:

Z = Zoeq + e.c.,

ж

здесь qi = arg к + arg j + krx1 -wt - — . Подставляя выражение (20) в (19), выразим Z10 через u30:

ж

г—

z10 = U0=.

2с 2с Отсюда

и 1—+1в, (ж \

£ = С 1 + ё.с. = £о сов^жж + ^ .

Здесь £0 - амплитуда вертикальных смещений, которая определяется по формуле:

£0 = „30 = |1е-'1" .

со с

„ . 2й4|к -кх I I

Следовательно, тах£0 =-^- е 1 1 тах| .

с

18

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 2

Нормирующий множитель еАе к'х из уравнения (23) выразим через максимальную амплитуду вертикальных смещений тах :

А = еАе кх = -р-,—г 2 к тах|р

Определим горизонтальную компоненту волновых возмущений скорости через функцию тока линейного приближения:

и1 = еА-^1 е;

г(кг +гк1 X -

+ е.с.

: и10 бш ^

а^р - йI + кг х + агй§

ёх

где и10 = 2 А

Г ё IЛ ^2

ёх

V ил3 )

+

ё

ёх-

амплитуда горизонтальной ско-

рости.

Вектор скорости стоксова дрейфа частиц жидкости следующим образом выражается через волновые возмущения скорости течения [3] (черта сверху означает осреднение по периоду волны):

Г' ^

и, = I |и(х, ^ёV и(х, ^) .

Используя выражения (18б) и (25), определим горизонтальную и1к и вертикальную и3, компоненты скорости стоксова дрейфа:

и = А к 1 Г Э< 1

1,- А10 У1 _ к г- /2 +Рк1- /2 -Ркг~ У1 +

С/Д-3 ¿1 С/Л-

^3

1 2'

1 2'

+ к Ц-

г <

V Эх3 )

+ Р2

' 1 Л" +РРР+Р11 1/2

Эх3 Эх3

+

+2 /1

Г Эрр

V Эх3 )

+р2

Э агё(Р| (х3 )) .

Эх,

1+

Р1

р Эх

3 )

х

2

0

2

2

1

2

Э

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 2

19

Эх2

-р-

х-

ЭЫ Э(агёр (хз)) Эх Эх,

+ 1

I

где

40

с

х

р = !

Э

Эх2

/ = сов

^ лип'

агс*ё

р Эх3

/2 = э1п

( лип"

- агс*ё

Эр1

рЭх3

и

2 А к

с

Э р1^ , / ч Эр ||/ \ -г—1 р к1 соэ(агё к)+—1 кг |р э1п (агё к)+ Эх Эх

Эх

3

Эх

3

+

+ 2А 1к12 р|Э

с

х

Обе компоненты скорости стоксова дрейфа имеют второй порядок малости по крутизне волны £ .

Осредняя исходные уравнения движения (1) по периоду волны, получим следующее уравнение для неосциллирующей поправки С к функции тока во втором порядке малости по параметру £ :

с

2 (

2Г\

К

с С

К 3 сх32,

МА <Сх

(

- к2 +

рр)

+ ё.с..

где р1 - комплексно-сопряженная функция к р. Отсюда следует, что С = с(х3 )А02, функция с(х3) удовлетворяет краевой задаче

с

2 (

К

с 2о I

ч 3 сх32 ,

к2 +

с!.

l

+ ё.с.

20

1ББМ 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 2

при следующих граничных условиях:

при х3 = 0

ё

2Л А2

К

ё2с

ёх3 )

ё р1

= ¡кР ~ёх1 + е с.,

ё2 с

при х3 = 0 = 0,

^3

и ёс при х3 = -н -= с = 0 .

ёх3

Скорость среднего течения, индуцированного волной, находится по формуле

иш = А2 .

Суммарная скорость дрейфа частиц жидкости складывается из эйлеровой скорости индуцированного течения и скорости стоксова дрейфа и^ = ит + и,.

Результаты расчетов. Делался расчет двух компонент скорости стоксо-ва дрейфа и эйлеровой скорости среднего индуцированного течения при N = 5 цикл/ч и при постоянных коэффициентах турбулентной вязкости К1 = 10-3 м2 /с, К3 = 5  10-4 м2 /с при глубине н = 100 м. Для этого использовалось решение краевой задачи (10а) - (10в), (11а) - формула (12). При решении дисперсионного уравнения (17) находилось волновое число к при фиксированной частоте волны й. На рис. 1, 2 показана зависимость частоты волны от действительной Ке(к) и мнимой 1т(к) частей волнового числа для первой и второй мод. Мнимая часть волнового числа равна декременту пространственного затухания волны при наличии турбулентности.

Краевая задача (29), (30) по определению вертикальной структуры индуцированного за счет нелинейности среднего течения решалась аналитически, интегралы рассчитывались численно. На рис. 3, 4 показаны вертикальные профили среднего течения, индуцированного волной, и суммарной скорости дрейфа частиц жидкости для внутренних волн первой моды с периодом 1 ч при максимальной амплитуде волны 0,5 м. Определяющий вклад в горизонтальный перенос вносит эйлерова скорость индуцированного течения ит. Скорость стоксова дрейфа существенна только в окрестности дна.

На рис. 5, 6 представлены профили вертикальной составляющей скорости стоксова дрейфа для первой (рис. 5) и второй (рис. 6) мод при той же амплитуде волны 0,5 м и периоде в 1 ч. В целом для второй моды эта скорость выше. Скорость стоксова дрейфа обусловливает вертикальный волновой теп-ломассоперенос и, наряду с турбулентным переносом, вносит вклад в вертикальный обмен. Детальное изучение относительного вклада волнового и турбулентного потоков в вертикальный обмен станет объектом дальнейших исследований.

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн, 2011, № 2

21

Р и с. 1. Зависимость частоты волны от действительной части волнового числа для первой (1) и второй (2) мод

см/с

Р и с. 2. Зависимость частоты волны от мнимой части волнового числа для первой (1) и второй (2) мод

Р и с. 3. Вертикальный профиль эйлеровой скорости среднего течения, индуцированного волной

Р и с. 4. Вертикальное распределение суммарной скорости дрейфа частиц жидкости

Р и с. 5. Профиль вертикальной составляющей скорости стоксова дрейфа для первой моды

Р и с. 6. Профиль вертикальной составляющей скорости стоксова дрейфа для второй моды

22

0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 2

Выводы. Декремент пространственного затухания волны при учете турбулентной вязкости выше для второй моды, чем для первой, и растет с ростом частоты волны.

Вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа при учете турбулентной вязкости отлична от нуля и для второй моды выше, чем для первой.

Определяющий вклад в горизонтальный волновой массоперенос вносит эйлерова скорость индуцированного среднего течения. Скорость стоксова дрейфа существенна у дна.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Борисенко Ю.Д., Воронович А.Г., Леонов А.И. и др. К теории нестационарных слабонелинейных внутренних волн в стратифицированной жидкости // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. - 1976. - 12, № 3. - С. 293 - 301.

2. Grimshaw R. The modulation of an internal gravity wave packet and the resonance with the mean motion // Stud. In Appl. Math. - 1977. - 56. - P. 241 - 266.

3. Longuet-Higgins M.S. On the transport of mass by time varying current // Deep-Sea Res. -1969. - 16, № 5. - P. 431 - 447.

4. Madsen O.S. Mass transport in deep-water waves // J. Phys. Oceanogr. - 1978. - 8, № 6. -P. 1009 - 1015.

5. Дворянинов Г.С. Эффекты волн в пограничных слоях атмосферы и океана. - Киев: Нау-кова думка, 1982. - 176 с.

6. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. Ч. 1. - М.: Мир, 1981. - 478 с.

7. Островский Л.А., Соустова И.А. Верхний перемешанный слой как сток энергии внутренних волн // Океанология. - 1979. - 19, вып. 6. - С. 973 - 981.

8. Черкесов Л.В. Гидродинамика волн. - Киев: Наукова думка, 1980. - 259 с.

9. Задорожный А.И. Затухание длинных волн в экспоненциально стратифицированном море // Морские гидрофизические исследования. - Севастополь: МГИ АН УССР, 1975.

- № 3. - С. 96 - 110.

10. Слепышев А.А. Процессы переноса, обусловленные слабонелинейными внутренними волнами при наличии турбулентности // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. - 1997.

- 33, № 4. - С. 536 - 548.

*Морской гидрофизический институт НАН Украины, Материал поступил

Севастополь в редакцию 01.12.09

Филиал Московского государственного После доработки 24.12.09

университета им. М.В. Ломоносова в г. Севастополе

АНОТАЦ1Я В наближенш Буссшеска дослщжуються нелшшш ефекти при розповсюдженш внутршшх хвиль за наявност турбулентности Отримано декремент просторового затухання хвиль Визначаються швидюсть стоксова дрейфу та ейлерова швидюсть середньо'1 течп, шду-ковано'1 хвилею за рахунок нелшшность Показано, що головний внесок у хвильове перенесен-ня належить горизонтальнш швидюст шдуковано'1 течп. СтокЫв дрейф суттевий тшьки бшя дна. Вертикальна складова швидкост стоксового дрейфу при урахуванш турбулентно!' в'язкос-т вщмшна вщ нуля.

Kto40bí слова: внутршш хвилЦ турбулентна в'язюсть, стокав дрейф.

ABSTRACT Non-linear effects occurring at propagation of internal waves in the presence of turbulence are investigated in the Boussinesque approximation. Decrement of a wave spatial attenuation is obtained. Velocity of the Stokes drift and the Euler velocity of the mean current induced by a wave due to non-linearity are defined. It is shown that the basic contribution to the wave transport is done by the horizontal speed of the induced current. The Stokes drift is essential only at the bottom. The vertical component of the Stokes drift velocity with regard to turbulent viscosity differs from zero. Keywords: internal waves, turbulent viscosity, Stokes drift.

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 2

23