Исследование свойств граничного интегрального уравнения для расчета квазистатического магнитного поля

УДК 621.3.011.013.

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ГРАНИЧНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА КВАЗИСТАТИЧЕСКОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ

КАДНИКОВ С.Н., д-р техн. наук, ВЕСЕЛОВА И.Е., асп.

Рассматривается известное интегральное уравнение, полученное из физических соображений. Приводится его формальный вывод, основанный на теории потенциала. Показано, что ядро имеет слабую особенность, из чего следует, что данное уравнение является уравнением Фредгольма. Установлено, что поверхностная дивергенция плотности тока, являющаяся решением рассматриваемого уравнения, равна нулю, что является необходимым условием потенциальности искомого поля.

Ключевые слова: векторное уравнение, магнитостатическое поле, теория потенциала, циркуляция.

INVESTIGATING BOUNDARY INTEGRAL EQUATION FOR CALCULATING QUASISTATIC MAGNETIC FIELD

S.N. KADNIKOV, Doctor of Engineering, I.E. VESELOVA, Post-Gradute Student

The authors consider the well-known integral equation based on the physical laws. They give its formal conclusion resulting from the potential theory. It is shown that the atomic nucleus has a weak feature, which means that the equation is Fredholm one. It is proved that surface divergence of current density, which is the solution of the equation, is zero, which, in turn, is the necessary condition of target field potentiality.

Key words: vector equation, magnetostatic field, potential theory, circulation.

Рассмотрим граничное интегральное уравнение, полученное в [ 1 ] и предназначенное для расчета магнитного поля заданного распределения токов в присутствии ферромагнитных тел (в линейном приближении). Оно имеет следующий вид:

1

•pq

dSp =-7т[ nq  Boq ^0

_ °) где / - плотность поверхностного тока; Во -индукция поля, у = (ц - це) / (ц + це); ц - проницаемость магнетика, ограниченного поверхностью в; це - проницаемость внешней среды; п - внешняя нормаль к в .

Поскольку задачи по расчету индуцированной магнитной поляризации могут решаться с помощью скалярных интегральных уравнений на основе потенциалов простого или двойного слоев, векторное уравнение (1) как таковое представляет, в основном, только теоретический интерес. Практическое значение данного уравнения проявляется в том, что его интегральный оператор используется при построении объемно-поверхностных уравнений [ 1 ], предназначенных для расчета квазиста-

ционарного электромагнитного поля массивных токоведущих проводников и ферромагнитных тел (обмоток и магнитопроводов мощных трансформаторов и реакторов).

При анализе уравнения (1), в первую очередь, необходимо выяснить характер особенности его ядра. Для этого дадим специальный вывод данного уравнения, позволяющий использовать для его анализа известные методы теории потенциала.

Краевая задача по расчету вторичного магнитного поля, создаваемого ферромагнитным телом, ограниченным поверхностью S с постоянной магнитной проницаемостью ц, > 1, сводится к системе уравнений rot Bj е = 0 ,

div Bje = 0

при краевых условиях

- Be Bj

n,— —-Це Ц/

Це - Ц/ ЦеЦ/

( n Be - Bi ) I = 0 ,

где B, e - индукция внутри и вне поверхности S .

Кроме того, векторная функция Be должна затухать на бесконечности пропорционально R~2, где R - расстояние между любыми точками в областях V/ + S и Ve .

Будем полагать, что поверхность S принадлежит классу Л2(Х) поверхностей с непрерывной кривизной (X - показатель Ляпунова поверхности S, 0 < X < 1), и искать решение краевой задачи в классе С1 непрерывно дифференцируемых функций.

Введем векторный потенциал соотношением B = rot A . Уравнение (3) при этом будет удовлетворяться тождественно, а уравнение (2) при условии, которое необходимо для удовлетворения уравнения (2),

div Aj = 0

перейдет в векторное уравнение Лапласа M,e = 0 .

Условия, при которых удовлетворяется (6), будут выяснены ниже. Векторный потенциал представим в виде

г =£0 ф .

При таком представлении потенциала условие (5) тождественно удовлетворяется. Для приведения условия (4) к интегральному уравнению вычислим векторы индукции:

Bi,eq = rot A ,eq =

S

q г S

1

' q R 'p

Rpq

p

Пусть точка д находится на нормали к поверхности Э вне поверхности Э в области Уе, тогда

[n4-Beq ]= JO £

1

", 'с

q R ’ p Rpq

dSp , q г S .

Используя формулу [а [ Ь, с ]] = Ь (а, с)- с ( а, Ь ), где а, Ь, с - произвольные векторы, приведем (10) к виду

[ nq, Beq ]=Jn jVqjr (nq, ГР )dS, 4K S Rpq

£о_

4n

nq ,Va

R,

pq

p

Второй член справа есть производная по нормали потенциала простого слоя с векторной плотностью і . Пусть т - точка пересечения поверхности Э нормалью. Тогда, поскольку Э є Л2 (А,),

( -

- lim

q ^m

J0iq

Ho

4п

- Ho_ 4п

np,Vq r Ri

dSp

pq

dS,

p

Для анализа первого интеграла в (11) введем местную систему декартовых координат х,у,г с центром в точке т, направив ось г по внешней нормали к поверхности Э. Поскольку точка q находится на этой нормали вне поверхности Э, точка р є Э, то

Rpq

J(xp - xq )2 +(p - yq )2 +(p - zq )2 .

Со-

ставляющая первого интеграла в (11) по оси г есть производная по направлению нормали потенциала простого слоя с плотностью (д,'р), обращающейся в нуль при р = т

(= пт). Из этого следует, что внеинтеграль-

ный член в выражении для предельного значения данной компоненты интеграла будет отсутствовать, а прямое значение на поверхности Л2 (А) будет несобственным интегралом. При этом следует отметить, что при численном

решении эта составляющая будет отсутствовать, поскольку при сведении векторного уравнения (1) к скалярному она скалярно умножается на орт-векторы плотности iq, касательные к поверхности S .

Для анализа предельных значений двух других составляющих первого интеграла в (11), содержащих производные Rpq- по xq,yq ,

нужно учесть, что на поверхности Ляпунова угол у между нормалями в точках m и p

подчиняется условию [ 2 ]

у< ARpPm, Р, m є S ,

где A, X - положительные числа, 0 < X < 1. Учитывая, что ( nq, Jp ) = ( nq, Т. )• ip , где Т. - единичный вектор, касательный к поверхности S (ip = ip Тр), перенесем, сохраняя направление, нормаль из точки m в точку p . Тогда нетрудно показать, что (nq, тр ) = sin у cos а , где а - угол между вектором %р и проекцией nq на плоскость, касательную к поверхности S в точке q , 0 < а < 2п . В результате

Кроме того,

' - ^ x_ 1 1

д

дxq

1

R

pq

xq 1 1 <

Rpq R2q < Rpq2

В итоге находим, что составляющая по оси х ядра первого интеграла в (11) допускает следующую оценку:

д

дxq

1

R.

pq

R

,2-Я.

pq

Из этого следует [ 2 ], что при д ^ т первый член разложения в (11), при д г Э являющийся собственным интегралом, сходится к несобственному интегралу, который будет непрерывной функцией точки д на Э при '\р е С1.

Таким образом, согласно (12) и (16), предельное значение касательной составляющей индукции Ве определяется как

[ nq.Beq

1

R

pq

dS,

p

Аналогичным образом можно показать,

что

[ nq, Biq ] = -

J0iq +

2 4п

q R p

Rpq

dSp.

q є S

Подставляя (17), (18) в граничное условие (4), получим уравнение (1) с ядром, имеющим слабую особенность.

Следуя [2], можно доказать, что на поверхности класса Л2 (А) и при В0 е Сш решение (1) будет непрерывной функцией. Но тогда, согласно [2] (гл. II, §21; гл. III, §18), интегральный член в уравнении (1) будет принадлежать классу С1, как и решение уравнения (1) (если оно существует).

Для доказательства единственности решения уравнения (1) положим его правую часть равной нулю и покажем, что полученное интегральное уравнение при любых конечных £ ,|Ие будет иметь только нулевое решение. В соответствии с первой теоремой Фредгольма это будет означать, что решение (1) существует и единственно.

В первую очередь, очевидно, нужно доказать, что условие (6) е сть сво йство краевой

задачи (7), (4), (5) (при Ве, = ^Ае,). Применим

к граничному условию (4) операцию поверхностной дивергенции. Возьмем для этого на поверхности Э замкнутый контур I, который можно стянуть в точку, умножим условие (4) на вектор п3 внешней нормали к этому контуру, лежащий в плоскости, касательной к поверхности Э, и проинтегрируем полученное выражение по контуру I. После этого поделим обе части полученного выражения на площадь Э, поверхности, ограниченной контуром I, и устремим Э, к нулю. В результате вместо (4) по-

лучим ( 1

1

n,—rotBe-------rotB,

He И/

= 0.

Правая часть оказалась равной нулю согласно закону полного тока, поскольку предполагается, что источники внешнего поля расположены вне поверхности S.

Поскольку поверхность S е Л2 (X), можно показать [2] (гл. II, § 19), что векторный потенциал A, определенный формулой (8), будет иметь непрерывные вторые производные в замкнутых областях V + S,Ve + S; и соответственно, B/, Be , определенные формулой (9), -непрерывные первые производные в тех же областях. Поэтому дифференцирование условия (4) законно. Кроме того, вне поверхности S

rot Be / = rot rotAe / = -AAe / + grad d/vAej =

= grad divAe ,,

поскольку уравнение дАе/ =0 выполняется в V,Ve. В силу отмеченных выше свойств поверхности S, а также того, что / е С1, предел ДАе/ будет равен нулю на поверхности S. После введения потенциала фе/ = d/vAe / условие (19) можно переписать в виде

1 дФе

Ие дх

1 dh И/ дх

= 0 .

Учитывая, что / е С1, имеем [3]

( л ^

d v A =

H0_

4п

1

1P, R

v Rpq

dSp =

jD, V О

R,

= -И0 (bv

4п

sp

pq

°’R,

dSp =

pq

dSp

4n

1

$

-dS,

p

э  рд

Во второй строке первый интеграл от поверхностной дивергенции по замкнутой поверхности обращается в нуль (при £,£е > 1 это

показано в [3]). Таким образом, divAej есть потенциал простого слоя

Фе,/ =

И0

4п

стг

dS

К

p

s pq с плотностью СТ =

(vS,/) (и,- ,ие - знак поверхностной дивергенции), удовлетворяющий

уравнению Лапласа в V ,Ve и условию

he|S =Ф/ S.

Потенциал простого слоя, удовлетворяющий однородным условиям (20), (23), равен нулю во всем пространстве [1]. Из этого следует, что условие (6) удовлетворяется.

Далее, используя соотношения Be = H0rotAe , B, = |H0|H,rotAi, а также формулу div [A, rot A] = (rotA, rotA') - (A, rot rotA') = (rotA, rotA'),

которая справедлива для потенциалов A,, Ae , поскольку условие (6) выполняется, рассмотрим следующие тождества:

n,

A,—— rotAj

n,

И0И/

Ae ,-

dS = П rotA\ dV,

И0Ие

-rotAe

dS =

И0Ие

rotAJ dV.

Складывая (24), (25) и учитывая условие

(4), а также непрерывность потенциала Ае данного формулой (8), найдем, что

— Г rotM dV +---------Г rotAe\

1:^1 I И/чИ _ I I

dV = 0 .

И0И/

И0Ие ,

V Г0Г ev^

Из этого следует, что Ве, = ОАе1 = 0 . Из соотношений (17), (18) следует, что

[п, Ве - В, ] = и0, , , = 0 , что и означает единственность решения (1) при любых конечных £,Ие , т.е. при -1 < У < 1 .

В качестве следствия из полученных результатов можно отметить следующее. По-скол ьку потенциал простого слоя (22) (равный

divAej) равен нулю во всем пространстве, а

плотность его а = (5,/) есть непрерывная

функция (/ е С1), то (,/ ) = 0. Таким образом,

если Ве, = ^Ае,, а потенциал Ае, представлен в виде (8), то поверхностная дивергенция плотности тока должна быть равна нулю.

Следует отметить, что единственность решения

Из этого условия, согласно (17), получается уравнение (1) при у = 1. При доказательстве единственности решения (1) в этом случае нужно использовать формулу

-<£

Э V

Поскольку

(,[ (, ]) = -(, [п, ]) = -(, [п, Ве ]) = 0,

то из (28) следует, что Ве = 0 в области Ve + Э в силу того, что функция Ве , согласно приня-

тым допущениям о гладкости поверхности Э и / , непрерывна в области Ve + Э.

Очевидно, равна нулю на внешней стороне поверхности Э и нормальная составляющая Ве . Поскольку она непрерывна при переходе через поверхность Э , то она равна нулю и на внутренней стороне поверхности Э , т.е. В/п\3 = 0 . Кроме того, в области V (внутри

Э) она подчиняется уравнениям (2), (3). Из этого следует, что если V - односвязная область, в которой любой замкнутый контур можно стянуть в точку, то в ней В, = 0 . Это может быть доказано путем использования представления В, = -Уф,, где ф,- имеет в области V непрерывные вторые производные и удовлетворяет в ней уравнению Лапласа: Аф, = 0 , что

следует из уравнения

Лф,

Э V

По предположению, функция ф, непрерывна. Поскольку на поверхности Э В/п = (п, Уф,) = 0 , то Уф, = 0 в области V , что и требовалось доказать.

Покажем, что функция ф в односвязной области V, не может иметь разрывов. Допустим обратное, и пусть Э1- некоторая незамкнутая поверхность в области V,, при пересечении которой функция ф, испытывает скачок

ф,Э -ф,Э =ф0 ф 0 . При этом в открытой об-

Э1+ Э1-

ласти V с исключенной поверхностью Э1 удовлетворяется уравнение Аф, = 0 , а функция В, = -Уф, меняется непрерывно при пересечении поверхности Э1. При этих условиях нетрудно показать, что очевидное требование равенства нулю циркуляции В по любому замкнутому контуру в области V, приводит к тому, что ф0 = 0, т.е. разрывов ф, внутри Э

быть не может. При этом следует отметить, что распределение источников внешнего поля в случае односвязной области может быть любым, т.е. на него не накладывается никаких геометрических (точнее топологических) ограничений.

Рис. 1

Другая ситуация возникает, если область V - многосвязная. В качестве примера можно взять двухсвязную внутреннюю область, ограниченную поверхностью тороидальной формы, (см. рисунок). Нетрудно видеть, что если обмотка, создающая внешнее поле, охватывает тороид, то решение такой задачи не существует. Если провести замкнутый контур, проходящий по поверхности магнетика и охваты ваю-щий обмотку, то циркуляция вектора Не по этому контуру будет равна нулю, поскольку напряженность магнитного поля в идеальном магнетике равна нулю, как и касательная составляющая индукции полного поля на его поверхности. С другой стороны, эта циркуляция должна быть равна числу ампер-витков обмотки. Поэтому следует считать, что витки обмотки в данной задаче тороид не охватывают. Далее, если допустить, что на поверхности Э существует некоторое ненулевое распределение токов, то циркуляция вектора В, по любому контуру вида 11 (см. рисунок), проходящему внутри поверхности Э и охватывающему ее изнутри (такой контур невозможно стянуть в точку, что является в данном случае признаком двухсвязной поверхности), может быть равна некоторому току I ф 0. Поскольку

В, = -Уф,, потенциал ф, должен испытывать разрыв на некоторой поверхности Э1, пересекающей поверхность Э (см. рисунок). При этом

В, dl = -<Л Уф,С1 = ф, |5 - ф/|5 = I ф 0 .

1 1 1+ 1-

Из данного соотношения следует, что для того, чтобы В, = 0 в V , необходимо условие

I = ф

11

где п1 - вектор нормали, лежащий в плоскости касательной поверхности Э, а контур 11 должен лежать на внутренней ее стороне.

Покажем, что условия (31) достаточно для того, чтобы поле внутри поверхности Э

было равно нулю. Для области V с исключенной поверхностью Э1 формула (29) примет вид

Л ф/ (, Уф/) + Л ф/ + (, Уф/+) -

-К

V

Поскольку В, = -Уф,, по условию, непрерывна в области V , (, Уф,+) = (п,Уф/_) на поверхности Э1 и (п, Уф, ) = 0 на поверхности Э , тогда из (32) и (30) получаем

IЛ

V-

Согласно условию (31), I = 0 , и тогда, в силу (33), В, = -Уф, = 0 в области V,. Согласно формулам (17), (18), разность касательных составляющих индукции на поверхности Э

равна . Поскольку обе они равны нулю, = 0 ,

т.е. уравнение (1) при у = 1 при условии (31) решает краевую задачу (2), (3), (27) для идеального магнетика тороидальной формы, находящегося в поле постоянных токов.

При численном решении условие (1) целесообразно внести в уравнение (1). Контур 11, охватывающий поверхность Э изнутри, может быть выбран произвольно, поскольку плот-

ность тока на поверхности Э подчиняется условию (у8/ ) = 0. Зафиксировав контур 11, умножим (31) на к1п1, где к1 - произвольный числовой коэффициент, и сложим с уравнением (1) ( = 1):

г 1

'q +

2п

1

R

'pq

dSp

+<Л(, пі )/ =------Щ, Boq ].

/1

Чтобы показать, что из данного уравнения вытекает условие (31), перепишем (34) с учетом (17) в виде

Beq ’ -0

Kn1q^^(^, n)d/ = --0[nq, B0q] .

Умножим данное равенство скалярно на вектор и проинтегрируем по контуру /1. Первый член слева даст циркуляцию вектора Ве по контуру вида /1, расположенному на внешней стороне поверхности Э . Правая часть даст условие

d/ = 0,

которое выполняется в силу наложенного выше ограничения на расположение источников внешнего поля. Соотношение (36) можно рассматривать как необходимое условие существования решения уравнения (1) данной задачи (у = 1, Э - двухсвязная тороидальная поверхность идеального магнетика). В результате (35) сводится к условию (31), т.е. система (1), (31) (у = 1) равносильна уравнению (34).

Рассмотрим теперь вариант у = -1, когда идеальным магнетиком заполнена область Уе . Если Э - односвязная поверхность, то по сравнению с вариантом у = 1 ничего нового здесь не будет и задачу решает уравнение (1) при у = —1, решение которого единственно. Если же Э - двухсвязная тороидальная поверхность, то здесь, так же как и в предыдущем аналогичном варианте, нужно наложить ограничение на геометрию источников внешнего поля (витков обмотки). Они не должны охватывать поверхность Э изнутри, т.е. иметь форму контуров вида /1. Если допустить существование таких витков (с токами), то задача не будет иметь решения, поскольку циркуляция вектора Н1 по контуру вида /2 (см. рису-

нок), охватывающему эти витки и лежащему на внутренней стороне поверхности Э , будет равна нулю, что невозможно. Поэтому на правую часть уравнения (1) при данной форме Э должно быть наложено условие вида

d/ = 0,

где 12 - замкнутый контур, охватывающий поверхность Э (см. рисунок).

Кроме того, пользуясь рассуждениями варианта у = 1, приходим к следующему условию существования решения (1) при у = -1:

Л

где 12 - контур, лежащий на поверхности Э; п2 - вектор нормали к 12, касательный к поверхности Э.

Уравнение, решающее данную задачу, имеет вид, аналогичный (34):

г 1

'q 2

2п

1

R

pq

dSp

2

+k1^2q ЛС, n )d/ = - — [nq, Boq

/2

В заключение можно отметить, что изложенный способ обеспечения единственности интегральных уравнений, предназначенных для расчета магнитостатического поля, аналогичен приемам построения однозначно разрешимых интегральных уравнений для расчета электростатического поля. Если в электростатике для этой цели используются интегральные условия, наложенные на заряды, то в магнитостатике - интегральные условия, наложенные на полные токи. Отличие, однако, состоит в том, что в электростатике характер дополнительных условий не зависит, в отличие от магнитостатики, от топологических свойств расчетных областей.

Список литературы

1. Тозони О.В., Маейргойз И.Д. Расчет трехмерных электромагнитных полей. - Киев: Техника, 1974.

2. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применения к основным задачам математической физики. - М.: Гос-техиздат, 1953.

3. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. -М.: Высш. шк., 1970.

2

Кадников Сергей Николаевич,

ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина,

доктор технических наук, профессор кафедры теоретических основ электротехники и электротехнологии,

e-mail: zav@toe.ispu.ru

б

Веселова Ирина Евгеньевна,

ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина, ассистент кафедры высшей математики, e-mail: iveselova@math.ispu.ru