Исследование устойчивости одномерных и двумерных бушей колебательных мод для цепочек Ферми-Пасты-Улама

Исследование устойчивости одномерных и двумерных бушей колебательных мод для цепочек Ферми-Пасты-

Улама

Жуков К.Г., Рябов Д.С., Чечин Г.М.

Ростовский Государственный Университет

В предыдущей работе данного цикла были рассмотрены буши мод для нелинейных моноатомных цепочек. Понятие о бушах мод как о некоторых нелинейных возбуждениях нового типа в системах с дискретной симметрией было введено в [ДАН, т.330, с.308 (1993)]. В дальнейшем различные аспекты теории бушей мод были развиты в [Physica D 117, p.43 (1998)] и других статьях, цитирующихся в настоящей работе. Основным же результатом последней является исследование областей устойчивости (по отношению к параметрическому возбуждению не входящих в данный буш мод) для всех одномерных и двумерных бушей для моделей FPU-a и FPU-p. Существование областей устойчивости конечного размера позволяет говорить о бушах мод, по крайней мере, для случая цепочек Ферми-Пасты-Улама, как о вполне реальных физических объектах.

Данная статья является непосредственным продолжением работы [1]. Это позволяет нам, не повторяя общих понятий и положений теории бушей мод, которые были подробно описаны в [1] (см. также [2]), сразу перейти к обсуждению проблемы их устойчивости.

1. Постановка задачи

Понятие устойчивости, как известно, является весьма емким и о ней можно говорить как в математическом, так и в физическом смысле. В частности, можно рассматривать устойчивость бушей колебательных мод относительно тепловых фоновых колебаний атомов цепочки, относительно наличия в ней примесей и т.д. Откладывая обсуждение этих вопросов до следующей статьи этой серии работ, мы рассмотрим ниже лишь основной канал потери устойчивости бушей мод в цепочках FPU, а именно, потерю их устойчивости за счет «параметрического взаимодействия» мод буша с модами, которые в него не входят. Эти вопросы подробно рассматривались нами для общего случая в работе [3], а для цепочек

FPU - в работе [2]. При этом существенным является тот факт, что моды данного буша связаны друг с другом «силовыми взаимодействиями», в то время как со всеми другими модами системы они связаны «параметрическими взаимодействиями» [3].

Поясним эти понятия на примере рассматривавшегося в [1] двумерного буша B[a£4,€]. Он описывается уравнениями

4а

j + 4j—j=v2 = 0,

VN

• • ~ 8а

V + 2v-—=jv = 0.

yJN

Эти уравнения допускают решение вида jjt) Ф 0 ; v(t) = 0, и при этом двумерный буш сводится к одномерному с единственной отличной от нуля модой jjt). Формально возбудить такой колебательный режим в моноатомной цепочке можно, например, с помощью задания следующих начальных условий:

jjt0 )=j * 0, jjjt0 ) = 0, vjt0 ) = 0, vjt0 )= 0

Для рассматриваемого одномерного колебательного режима левая и правая части уравнения (2) тождественно обращаются в нуль, а уравнение (1) сводится к уравнению для гармонического осциллятора

jj + 4j = 0

с тривиальным решением

jjt ) = jcos

Согласно Таблице 3 из работы [1], это уравнение описывает одномерный буш B[4€2,€] с трансляционной симметрией a€2, которая вдвое выше симметрии двумерного буша B[€4,€]. Подстановка решения (5) в уравнение (2) приводит к уравнению Матье

! +

2 - ajlcosj2t)

. VN _

V = 0,

которое в стандартной форме [4] имеет вид:

V + [а - 2q соб

Таким образом, в нашем случае

a = 2, q = .

VN

С другой стороны, хорошо известно, что в плоскости параметров (a - q) для уравнения Матье (7) имеются области устойчивого и неустойчивого движения. При q ^ 0 зоны неустойчивости стягиваются в лежащие на оси a точки, которые удовлетворяют соотношению

a = m2 (m = 1, 2, 3, ...).

При этом первой зоне неустойчивости отвечает область плоскости (a - q),

ограниченная кривыми [4]

q 2

a = 1 ± q-!- +...

8

Как легко видеть из простейших геометрических соображений, нижняя граница зоны устойчивости одномерного буша B[a€2,€] получается из условия пересечения прямой a = 2 и

- , q2

кривой a = 1 ± q —— +... .

Из уравнения (9) следует, что q « 1, в силу чего мы должны, вообще говоря, рассматривать большее число членов ряда в правой части этого уравнения. Однако можно показать, что учет в (9) только члена первой степени по q позволяет получить значение амплитуды потери устойчивости с точностью до 20%. Поскольку сейчас нашей целью является качественное описание механизма потери устойчивости бушей за счет параметрического взаимодействия между модами, то для простоты мы ограничимся вышеуказанным линейным приближением. Тогда с учетом формул (8) видим, что рассматриваемый буш остается устойчивым по мере увеличения его амплитуды /и0 от нуля

вплоть до верхней границы ju0, которая определяется из соотношения —j=— = 1 и, таким

VN

образом,

Л =

4а

При переходе через эту границу он теряет устойчивость, что проявляется в возникновении отличной от нуля моды v(t), несмотря на то, что она была равна нулю в начальный момент времени. При этом происходит увеличение размерности исходного буша

и спонтанное понижение симметрии колебательного процесса: одномерный буш B[$2, переходит в менее симметричный двумерный буш B[a€4, £].

Таким образом, проанализировать устойчивость буша B[4€2, £] по отношению к его

переходу в буш B[a€4,€] оказывается возможным аналитически. В общем же случае анализ устойчивости различных бушей мод можно провести лишь с помощью численных методов.

В связи с только что проведенным анализом устойчивости буша B[4€2, £] по отношению к его переходу в буш B[a€4, £], возникает естественный вопрос: «Какова верхняя граница его области устойчивости по отношению к взаимодействию с другими нормальными модами цепочки (возбуждение которых может привести к возникновению в системе бушей,

отличных от B[a4, £])»? В работе [2] для цепочки FPU-a был установлен весьма интересный факт - буш B[£2, i]1 теряет устойчивость одновременно по отношению ко всем другим модам, т.е. при одном и том же критическом значении амплитуды /и0 происходит

возбуждение всех остальных мод рассматриваемой цепочки.

Это явление связано с уникальными свойствами системы уравнений (69) из работы [2] и имеет место только для цепочки FPU-a, но не для цепочки FPU-p. Более того, если рассмотреть вторую зону устойчивости буша B[4€2, £], то граница его устойчивости оказывается уже различной при рассмотрении взаимодействия с различными модами цепочки FPU-a.

2. Исследование устойчивости одномерных бушей мод для цепочек FPU

Как уже отмечалось, в работе [2] проанализирована устойчивость только тех бушей мод для цепочки FPU-a, которые были получены в результате симметрийного анализа по подгруппе целых трансляций T. С другой стороны, при учете более полной симметрии моноатомной цепочки, а именно, группы диэдра D, обнаруживается ряд новых бушей [2, 5], в частности, одномерных и двумерных, которые перечислены в Таблицах 1 и 2 из работы [1]. Более того, как уже отмечалось, в работе [5] найдены также дополнительные буши мод для цепочки FPU-P, существование которых обеспечивается наличием дополнительной

1 При классификации бушей мод по группе целых трансляций Т, этот буш в работе [2] обозначался символом Б[2а].

симметрии, связанной с четностью потенциала этой механической системы. Границы устойчивости всех одномерных бушей для обоих типов цепочек Ферми-Пасты-Улама приведены ниже в Таблице 1.

Этому значению и0 отвечают вполне определенные, максимально допустимые для устойчивости рассматриваемого буша, значения атомных смещений |х;. (о) = х0. Действительно, из уравнений

Заметим, кстати, что хС не зависит от числа атомов в цепочке БРИ-а (боле подробно об этом см. [2]).

В Таблице 1 приведены границы устойчивости одномерных бушей мод как по атомным смещениям (х£), так и по энергии начального возбуждения (Е0) (ниже показано, что в

отличие от многомерных бушей мод, устойчивость одномерных бушей однозначно определяется энергией их начального возбуждения). При этом указанные значения найдены при условии а = 1 для БРИ-а и в = 1 для БРИ-Р, что соответствует обезразмериванию динамических уравнений в задаче Ферми-Пасты-Улама.

Формула (10) дает границу устойчивости одномерного буша Б[а2, /], выраженную через критические значения и0 амплитуды его корневой (и единственной!) моды и(}).

.с :

о •

и0 = _

4а '

Таблица 1.

Границы устойчивости одномерных бушей мод для цепочек ЕРи

Буш Атомные Граница устойчивости

смещения по атомным смещениям по энергии

ЕРи-а ЕРи-Р ЕРи-а ЕРи-Р

В[2а,/] | X, -X | 0.3029 0.112 0.183 0.025

В[3а,/] | X, 0, -х | 0.2030 0.268 0.047 0.085

В[4а,а/] | 0, х, 0, -х | 0 0.916 0 7.14

В[4а,/,а и] | X, X, -х, -х | >20 >27000

В[6а,а/,а и] | х, 0, -х, -х, 0, х | 0.488 0.079

В[3а,ш] | х, -2х, х | 0.156 0.074

Содержащиеся в Таблице 1 результаты были получены двумя разными способами -методом непосредственного интегрирования уравнений движения для цепочки из N = 12 атомов в Х-пространстве и методом Флоке. В первом случае мы последовательно увеличивали начальную амплитуду 0) = ¡л0 моды ¡(^), соответствующего одномерного

буша вплоть до того ее критического значения /лс0, при котором в разложении конфигурационного вектора Х((), в дополнение к ¡(^), появляются некоторые новые моды, что и свидетельствует о потере устойчивости исходного буша. Заметим, что для получения таким способом достаточно точной границы области устойчивости /лс0 необходимо проводить интегрирование системы N дифференциальных уравнений вплоть до очень больших времен. Действительно, чем ближе ¡0 подходит снизу к критическому значению

, тем слабее проявляется потеря устойчивости, т.е. тем более медленно нарастают

амплитуды вновь рождающихся мод. Преимуществом описанного «прямого» метода, однако, является то, что его можно применять для исследования области устойчивости не только одномерных, но и бушей большей размерности.

С другой стороны, метод Флоке для исследования устойчивости периодических режимов позволяет уверенно найти границу устойчивости с достаточно большой

степенью точности и за существенно более короткое время (по сравнению с прямым методом), но лишь для одномерных бушей. Этот метод использовался нами в работе [2] для исследования устойчивости буша В[а€2,€] в цепочке БРИ-а, а в работе [6] - для исследования того же буша (ж-моды) в цепочке БРИ-р. Причина возможности применения метода Флоке только для одномерных бушей мод связана с тем, что такие буши описывают периодические

колебания, в то время как буши, размерность которых больше единицы, представляют собой уже условно-периодические режимы. В силу этого, все результаты исследования устойчивости для двумерных бушей, приведенные в настоящей работе, были получены нами прямым методом.

При исследовании границ устойчивости одномерных бушей, приведенных в Таблице 1,

обращает на себя внимание тот факт, что размер области устойчивости буша Б[О4, В] для

цепочки БРИ-а оказывается нулевым. (Заметим, что тот же самый буш в цепочке БРИ-Р

обладает весьма большой степенью устойчивости: для него и0 = 116). Этот случай

представляет особый интерес и мы рассмотрим его ниже более подробно.

Прямые вычислительные эксперименты и расчеты по методу Флоке показывают, что

буш Б[О4, В] теряет свою устойчивость уже при очень маленьких амплитудах и0 своей корневой моды (иС < 10-6). При этом оказывается, что теряются инверсионные элементы, в то время как трансляционная симметрия сохраняется. В результате этого буш Б[О4, В] переходит в буш Б[О4], причем, сам процесс этого перехода оказывается нетривиальным. Действительно, непосредственно из вычислительного эксперимента видно, что при малых амплитудах и0 буш Б[О4, В] существует некоторое, весьма большое время (по сравнению с периодом колебаний корневой моды), после чего происходит «переключение доменов»: вместо буша Б[О4, В] возникает его домен - буш Б[О\ О3р]. Второй домен существует точно такое же время, как и первый домен (буш Б[О4,В]), после чего происходит новое «переключение» и мы видим снова первый домен. При переключении доменов на некоторое, достаточно короткое, время появляется п-мода, которая, как уже неоднократно говорилось,

сама по себе образует одномерный буш Б[€2, р]. Вышеописанный динамический процесс продолжается неограниченно долго во времени. На самом деле, переключение доменов не является абсолютно точным, и в любой момент времени существуют и оба домена Б[О4, В], Б[О4,азр], и п-мода, но с очень сильно отличающимися друг от друга амплитудами. Это означает, что в действительности, мы наблюдаем просто некоторую специфическую динамику буша Б[О4]. Этот трехмерный2 буш состоит из трех мод и, и2, и3, которые сами

по себе являются корневыми (и единственными!) модами одномерных бушей Б[<В

2 Напомним, что нулевая мода и0 ((), соответствующая смещению цепочки как целого, всегда исключается нами из рассмотрения.

B[£2,и соответственно. Динамика же буша B[a€ ] описывается следующими

дифференциальными уравнениями:

/ + 2/ = -8а/2/3,

/¡2 + 4/ = -8а//3,

// + 2/3 = -8а//3.

Докажем аналитически, что граница устойчивости ¡0 буша B[a4, €] для его перехода в буш B[a€4] равна нулю точно. Из такого утверждения следует, что никакие другие каналы потери устойчивости этого буша (по отношению к параметрическому возбуждению других мод) рассматривать не нужно, ибо мы покажем, что граница устойчивости буша B[a€4, €] является минимально возможной (нулевой) уже для исследуемого нами сейчас канала передачи возбуждения от его корневой моды к другим модам цепочки FPU-a.

Возбуждению в системе только одной моды / (t) отвечает, как уже было сказано,

одномерный буш B[4€4,€]. При этом в уравнениях (12) мы должны положить /2 (t) = 0, ¡3 (t) = 0, в результате чего остается только одно уравнение для моды / ((), которое является уравнением для гармонического осциллятора

/ + 2/1 = 0.

Отсюда следует, что

/

причем, без ограничения общности3 можно считать, что 5 = 0 .

Для того чтобы исследовать устойчивость такого периодического режима, линеаризуем уравнения (12) в его бесконечно малой окрестности. В результате приходим к системе уравнений

/2 + 4/ =

-8(аА) cos (V2t ¡3,

/3 + 2/ = -8(aA)cos((2t )/2.

Покажем, что эта система действительно может описывать параметрическое возбуждение «спящих» мод ¡12 (() и /3 (t), а, следовательно, и потерю устойчивости

исходного одномерного буша и его расширение до буша B[<€4], динамика которого определяется уравнениями (12).

3Чтобы убедиться в этом, достаточно выполнить для системы (12) некоторый сдвиг временной переменной t.

Воспользуемся для этого методом, основанном на теореме Пуанкаре-Дюлака о нормализации систем дифференциальных уравнений [7]. При его описании мы будем следовать изложению, данному в статье [3], где этот метод уже использовался нами с целью упрощения динамических уравнений бушей мод. Суть метода Пуанкаре-Дюлака сводится к тому, что с помощью определенных нелинейных замен переменных, автономная система уравнений первого порядка с диагональной линейной частью упрощается за счет последовательного исключения из всех уравнений тех нелинейных членов, которые являются нерезонансными. Подробное описание этой вычислительной процедуры дано в Приложении 1. Мы же сейчас ограничимся лишь приведением конечного ее результата.

Система дифференциальных уравнений, которая получается из системы (12) при нормализации с точностью до членов третьего порядка включительно, допускает точное решение вида

некоторым нелинейным преобразованием (см. Приложение 1), а С1 и С2 - произвольные постоянные. Из вида решения (16) очевидно, что нарастание «спящих» мод от их нулевых

значениях амплитуды его корневой моды является весьма редким явлением и связана со спецификой внутренних резонансов системы (12). Этот эффект можно увидеть в результате поиска приближенного аналитического решения уравнений (15) методом последовательных приближений. Такая процедура носит эвристический характер и позволяет «предсказать» наличие в асимптотическом разложении (27) секулярного члена (28) (см. Приложение 1). С помощью метода нормализации для этого заключения мы получаем строгое обоснование.

Метод нормализации дает также некоторую аналитическую основу для нахождения границ устойчивости и других одномерных бушей для цепочек FPU. Однако процедура нормализации является достаточно громоздкой, и мы не будем здесь ее приводить, ограничиваясь лишь указанными в Таблице 1 результатами, которые были получены как с помощью прямого вычислительного эксперимента, так и с помощью метода Флоке.

Перейдем теперь к вопросу об устойчивости двумерных бушей мод.

где и2

значений начинается при сколь угодно малых значениях амплитуды А моды и (}) исследуемого на устойчивость одномерного буша Б[ОВ , что и требовалось доказать.

Заметим, что потеря устойчивости буша Б[ОВ уже при сколь угодно малых

3. Исследование устойчивости двумерных бушей мод

В предыдущих разделах мы исследовали устойчивость каждого одномерного буша по отношению к увеличению амплитуды его единственной моды (что приводит к усилению ее параметрического взаимодействия с другими модами цепочки FPU). В некотором смысле, может быть, удобнее говорить о границе устойчивости этих бушей по отношению к увеличению энергии начального возбуждения (см. Таблицу 1). В случае же многомерных бушей, такой подход оказывается уже невозможным. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Действительно, при рассмотрении устойчивости одномерного буша, которому соответствует мода ¡(t), мы задавали начальные условия в виде ¡(0) ^ 0 , ¡л(0) = 0. Это значит, что в начальный момент времени кинетическая энергия буша равнялась нулю, а полная его энергия была чисто потенциальной. В силу того, что одномерный буш описывает периодический динамический режим, ясно, что в некоторый момент времени 10 полная его энергия вновь становится чисто потенциальной, и следовательно, перенос начала отсчета времени в точку 10 вновь возвращает нас, фактически, к старой постановке задачи: ¡(t 0 0,

ЛЛ(t0) = 0 . Из этого рассуждения ясно, что устойчивость одномерного буша зависит только от его полной энергии и не зависит от распределения ее между потенциальной и кинетической составляющими.

В случае же многомерных бушей ситуация изменяется кардинальным образом: граница области устойчивости зависит не только от общей энергии начального возбуждения, но и от полного набора начальных условий. В частности, она зависит от начального распределения энергии между модами, входящими в данный буш. Этот вопрос уже затрагивался в работе [8], но не был там исследован сколько-нибудь подробно. Ниже мы приводим рисунки первых4 зон устойчивости для всех двумерных бушей мод.

Для двумерных бушей фазовое пространство является четырехмерным. При этом полное множество начальных условий, соответствующих данному значению энергии возбуждения буша мод образует в нем трехмерное многообразие. Мы ограничимся изображениями лишь некоторых плоских сечений областей устойчивости двумерных бушей

4 Так же, как и в случае, когда параметрическое возбуждение не входящих в буш мод описывается уравнением Матье, и для других бушей мод могут существовать «более высокие» зоны устойчивости. В настоящей работе обсуждаются только первые зоны устойчивости, которые начинаются от нулевой амплитуды корневой моды.

в 4-х мерном фазовом пространстве для того, чтобы показать, насколько нетривиальный вид может иметь их граница.

На Рис.1 черным цветом показана первая зона устойчивости двумерного буша В[<€4,€] для цепочки БРИ-а с двенадцатью атомами (М = 12). По горизонтальной и вертикальной осям отложены значения начальных амплитуд ух (о) и у2 (о) соответственно корневой и вторичной мод рассматриваемого буша5, а начальные скорости полагаются равными нулю (т.е., в начальный момент времени полная энергия буша является чисто потенциальной). На Рис.2 показана область устойчивости того же самого буша при наличии некоторой, отличной от нуля, кинетической энергии в начальный момент времени. Видно, что при этом исчезает вертикальная ось симметрии второго порядка, которой обладала область устойчивости рассматриваемого двумерного буша на Рис.1.

На Рис.1 приведены также эквипотенциальные линии (разным цветам соответствует разный шаг по энергии). Из этого рисунка со всей очевидностью следует, что факт устойчивости рассматриваемого двумерного буша определяется не только его полной энергией, а зависит от распределения энергии начального возбуждения между модами этого буша.

Рис.1. Зона устойчивости двумерного буша В[а4,/] для цепочки БРИ-а при равной нулю начальной кинетической энергии.

Рис.2. Зона устойчивости двумерного буша В[а4,/] для цепочки БРИ-а при отличной от нуля начальной кинетической энергии.

На последующих рисунках показаны первые зоны устойчивости для всех других двумерных бушей мод. Все они построены полностью аналогично Рис.1.

5 Обозначения мод различных бушей см. в Таблице 2 из [1].

Б[а3] Б[а6,ш]

Рис.3. Зоны устойчивости двумерных бушей для цепочки БРИ-а.

B[a3]

B[a ,aiu]

B[a4,i]

4 2

B[a ,a u]

B[a ,ai]

B[a6,a2iu]

B[a6,a2i,a3u]

Рис.4. Зоны устойчивости двумерных бушей для цепочки FPU-ß.

Следует учесть, что устойчивость многих бушей существенным образом зависит от числа атомов N в цепочке FPU. Площадь областей устойчивости имеет при этом тенденцию к уменьшению. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в последующих работах в связи с обсуждением проблемы перехода к термодинамическому пределу N . Здесь же мы в качестве примера, подтверждающего только что высказанное утверждение, приведем

рисунки областей устойчивости двумерного буша B[$4,€] для N = 8, 12, 16, 20, 32, 48.

1 П 1 П ♦

1 0 1 М 0 -Г | о т

N = 8 N = 12 N = 16

1 и 1 а ♦ 1 и

1 1 а 1 1 | а г 1 а 1

N = 20 N = 32 N = 48

Рис.5. Зоны устойчивости двумерного буша Б[а4,/] для цепочек БРИ-а с разным числом

атомов N.

4. Заключение

Подведем итоги предыдущего обсуждения. Введенные в работах [9](см. также [10] и [3]) буши нормальных мод определяют некоторые точные динамические режимы в системах с дискретной симметрией. При этом важно подчеркнуть, что существует большое число бушей малой размерности, т.е. бушей состоящих из относительно небольшого числа мод. В изолированной гамильтоновой системе энергия начального возбуждения оказывается полностью локализованной в данном буше - она не может передаваться другим, не входящим в него, модам в силу существования определенных правил отбора для передачи возбуждения между модами разной симметрии. Однако, для того чтобы буши мод можно было рассматривать как реальные физические объекты, необходимо исследовать степень их устойчивости по отношению к различным факторам.

В настоящей работе изучается основной канал потери устойчивости бушей, связанный

с возбуждением не входящих в рассматриваемый буш мод за счет параметрического взаимодействия с модами данного буша. В качестве конкретных объектов для исследования вышеуказанной устойчивости выбраны цепочки Ферми-Пасты-Улама (FPU-a и FPU-P модели) с конечным числом атомов и периодическими граничными условиями. При этом нами были получены следующие результаты.

1. Если в работах [2] и [6] для цепочек FPU-a и FPU-P соответственно, была исследована устойчивость только одномерного буша с удвоением элементарной ячейки (состоящего из одной ж-моды), то в настоящей работе найдены границы областей устойчивости для всех одномерных бушей в нелинейных цепочках обоих этих типов. Существенно, что все буши мод, кроме буша B[a€4, €] для цепочки FPU-a, имеют конечные области устойчивости. Тот факт, что для только что указанного буша B[a€4, €] для цепочки FPU-a граница устойчивости оказывается равной нулю, сначала был выявлен в результате вычислительного эксперимента и после этого обоснован аналитически с помощью теории нормализации дифференциальных уравнений. Случай этот является исключительным (тот же самый буш для цепочки FPU-P уже имеет конечную область устойчивости) и связан с существованием специфического резонанса в модели FPU-a.

2. Границы устойчивости одномерных бушей мод зависят только от значения энергии начального возбуждения. В случае же бушей большей размерности это свойство уже не имеет места. Действительно, в фазовом пространстве таких бушей границы областей устойчивости представляют собой достаточно сложные фигуры, существенным образом зависящие от начальных условий, которые используются для возбуждения рассматриваемых бушей мод. Нами были исследованы области устойчивости для всех двумерных колебательных бушей для цепочек FPU-a и FPU-P, а также изменение формы этих областей с увеличением числа частиц в цепочках.

В результате проведенной работы можно утверждать, что в большинстве случаев колебательные буши мод для конечных цепочек FPU имеют области устойчивости достаточно большого размера, что позволяет рассматривать их как вполне определенные динамические объекты нового типа.

5. Приложение 1. Исследование устойчивости буша Б^,^] с помощью метода нормализации дифференциальных уравнений

Прежде всего, напомним процедуру нормализации системы дифференциальных уравнений, основанную на известной теореме Пуанкаре-Дюлака. При этом мы будем использовать обозначения из работы [3].

Пусть автономная система дифференциальных уравнений первого порядка приведена к

виду:

У к = \Ук +1 Л^.тХ1---ут ,

Здесь суммирование проводится по совокупности всех неотрицательных целых чисел

п

, которые удовлетворяют условию а = ^ т{ > 2, где а есть порядок малости

г=1

соответствующего нелинейного члена. Таким образом, предполагается, что матрица линейных членов наших уравнений приведена к диагональному виду, а нелинейность является слабой в силу малости величин у}-. В предложенном Пуанкаре методе ставится

задача нахождения такой аналитической замены переменных (у^..., уп 2п ),

которая может обратить в нуль по возможности большее число коэффициентов при нелинейных членах в системе (17). Алгоритм последовательного зануления коэффициентов при нелинейных членах низших порядков приводит к изменению старых и возникновению новых членов более высоких порядков. Однако существенно, что зануление данного нелинейного члена в к-ом уравнении системы (17) может быть осуществлено без изменения коэффициентов перед другими членами того же самого порядка малости и перед членами более низких порядков. Искомое преобразование переменных при этом имеет вид:

Ук = ^ т^т/Г". V ,

Каждый входящий в это преобразование коэффициент Ък.щ т определяется через соответствующий («одноименный») коэффициент /кт т системы (17) с помощью простой формулы:

^к... т ,

Ьк;т,.тп = д

1 п Д

Знаменатель этой формулы

Д

i=1

мы будем называть индикатором резонансности. Преобразования (18)-(20) могут, очевидно, обратить в нуль только коэффициенты перед теми нелинейными членами, которым соответствуют д(к|да1...mn) 0. Это связано с тем, что в резонансном случае индикатор

резонансности равен нулю и преобразование (18) не может изменить коэффициент fk, m .

Таким образом, оказывается возможным редуцировать исходную систему дифференциальных уравнений к так называемой нормальной форме с точностью до членов любого фиксированного порядка малости, в которой присутствуют только резонансные члены. Именно этот факт и составляет содержание теоремы Пуанкаре-Дюлака.

В заключение заметим, что процесс нормализации можно существенным образом упростить за счет применения методов теории групп Ли [7], что, в свою очередь, ведет к возможности его эффективной алгоритмизации (приведенные в настоящей работе результаты нормализации получены с помощью специальной компьютерной программы, написанной нами в среде MAPLE).

Применим теперь метод нормализации к рассмотренной в основном тексте статьи системе дифференциальных уравнений

А+4м=-8

А2 + 2а2 = -8(аА) cos

Для этого сведем ее к автономной системе трех уравнений второго порядка введением уравнения А3 + 2а3 = 0 с начальными условиями а3 (0) = 1, А3 (0)= 0, что приводит к его

решению вида а3 = c°s(V2i).

Сводя полученную систему уравнений второго порядка к шести уравнениям первого порядка, диагонализируя ее линейную часть и изменяя обозначения переменных, получим дифференциальные уравнения в готовом для начала нормализации виде:

'У\ = 2У + iaA

У 5 = *>/2У5

У 6 = -ij2У6

В результате нормализации этих уравнений с точностью до членов третьего порядка малости включительно, получим следующую систему:

¿! = 2i¿l (1 -а2 Л2 ¿5 ¿6) ¿2 =-2112 (1 -а2 Л2 ¿5 ¿6) ¿3 = i^[2¿3 -г42а2Л2¿4¿52,

Г Г 2 ,2 2

¿4 = -/V 2¿4 + ^ 2а Л ¿3

¿5 = i^[2¿5, ¿6 = -г'л/2¿6.

Эта система уравнений допускает точное решение простого вида. Действительно, из двух последних уравнений имеем ¿ 5 () = ег ^, ¿ 6 (^ ) = е -г ^, откуда ¿ 5 ¿ 6 = 1. Тогда из первых двух уравнений получим

г, (() = Се

14/1

¿ 2 (() = С2 е Далее ищем ¿3 и ¿4 в форме

¿3 (() = е^Ж),

¿4 (() = ' '

в результате чего получим из двух вторых уравнений системы (22) следующие уравнения относительно функций ¡¡(() и у():

й = -г42а2 Л2у,

I— 22

V = /V2а Л2й

Отсюда находим ¡1 = 2а4 Ли, следовательно,

й() = С3еГ2а1 Л + С4 еЛ\

В результате подстановки этих выражений в (24) приходим к следующему общему выражению для переменных ¿3 и ¿4 :

¿3 () = ег4~2 Се41"2л2 + С4е-42а2л2 '1 3 3 2 2 4 2 2 (26) , (() = геф( С3еГ2а2Л2 - С4ел2 }

Формулы (23), (26) и дают точное решение системы нормализованных уравнений (22). При этом из (26) видно, что возбуждение «спящих» мод начинается уже при сколь угодно малых значениях амплитуды А в левой части уравнений (15).

С помощью обратной замены переменных (г1,...,гпУ1,...,Уп) из этого решения можно получить приближенное аналитическое решение системы (15). С учетом разложения этого решения по степеням малой величины (сА) и отбросом членов, начиная с тех, которым

соответствуют коэффициенты порядка (аА)3, получим

А (() = B cos[2(1 - а2 А2) + 8 ] + cAB2 [- cos 82 + cos^V!1+ 82)] + a2A2B1J 3 - c°s[2(1 + V2 -a2A2)t + 8 ]+

3 + 2V2

+--cos

2

[2(2 -1 + a2A2)) -8 ]

А2 (y) = B2 cos((21 + 82)+ aABx {- (1 + V2)cos[(^ - V2 - 2a2A2)) + 8 (2 - 1)cos[(2 + V2 - 2a2A2) + 8j ]}+

+

+ a2 A2 B2

V21 sin

В рассматриваемом приближении о потере устойчивости при сколь угодно малых значениях (аА) свидетельствует наличие в выражении для ¡л2 (^) секулярного члена

a2 A 2V21 sin(V21-82).

Литература

[1] К.Г. Жуков, Д.С. Рябов, Г.М. Чечин, Построение бушей мод для нелинейных моноатомных цепочек, Электронный журнал «Исследовано в России», 137 (2003) 1616-1644, http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/137.pdf.

[2] G.M. Chechin, N.V. Novikova, A.A. Abramenko, Bushes of vibrational modes for Fermi-Pasta-Ulam chains, РкУьюа D 166 (2002) 208-238.

[3] G.M. Chechin, V.P. Sakhnenko, Interactions between normal modes in nonlinear dynamical systems with discrete symmetry. Exact results, РЪУ8,еа D 117 (1998) 43-76.

[4] Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовица и И. Стигана. М.: Наука, 1979, 830 с.

[5] B. Rink, Symmetry and resonance in periodic FPU chains, Physica D 175 (2003) 31-42.

[6] P. Poggi, S. Ruffo, Exact solutions in the FPU oscillator chain, PhysicaD 103 (1997) 251.

[7] В.Ф. Журавлев, Д.М. Климов, Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 326 с.

[8] G.M. Chechin, A.V. Gnezdilov, M.Yu. Zekhtser, Existence and stability of bushes of vibrational modes for octahedral mechanical systems with Lennard-Jones potential, Int. J. Non-Linear Mech. 38 (2003) 1451-1472.

[9] В.П. Сахненко, Г.М. Чечин, Симметрийные правила отбора в нелинейной динамике атомных смещений, Докл. Акад. Наук 330 (1993) 308-310.

[10] В.П. Сахненко, Г.М. Чечин, Кусты мод и нормальные колебания для нелинейных динамических систем с дискретной симметрией, Докл. Акад. Наук 338 (1994) 42-45.