Предельный переход в задаче о вязкоупругом теле с жестким включением и трещиной

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 517.9 Т. С. Попова

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В ЗАДАЧЕ О ВЯЗКОУПРУГОМ ТЕЛЕ С ЖЕСТКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ И ТРЕЩИНОЙ

Математическое моделирование равновесного состояния тел, имеющих такие дефекты, как трещины, осложнено построением краевых задач в областях, границы которых не являются гладкими. Нарушение гладкости границ может влиять на существование решения граничных задач, а также на качественные свойства решений.

Постановка классических задач в областях с разрезами предполагает наличие краевых условий в виде равенств. Данное направление в настоящее время широко исследовано, обоснованы различные модели, разработаны методы исследования свойств решения краевых задач, которые широко применяются в прикладных задачах.

Подход, применяемый в представленной работе, предполагает иную постановку краевых задач.

Для областей с разрезом, моделирующих геометрию тел с трещинами, на части границы (на берегах разреза) заданы краевые условия типа неравенств. Данные краевые условия выведены А. М. Хлудневым (1992), имеют физическую интерпретацию и являются более точными по сравнению с классическими. В то же время такая постановка задачи приводит к определенным трудностям, связанным с нелинейностью рассматриваемых условий.

Так, например, корректная дифференциальная постановка данных задач требует наличия целой системы краевых условий в виде равенств и неравенств, заданных на той части границы, которая соответствует берегам разреза (трещины). При этом вариационная постановка не может быть сведена к известному для классического случая уравнению Эйлера, а приводит к так называемым вариационным неравенствам. Дополнительная сложность заключается в том, что для задач о равновесии вязкоупругих тел с трещинами и включениями характерно то, что вариационное неравенство не может быть выведено из задачи минимизации функционала энергии, как это получается в случае упругих тел.

Постановка краевых задач в виде вариационного неравенства позволяет исследовать разрешимость задачи, а также качественные свойства решений.

В настоящей работе исследуется семейство задач о равновесии трехмерных вязкоупругих тел, имеющих трещину. Области, в которых рассматриваются задачи, совпадают, в описании вязкоупругих свойств тел участвует параметр, который в дальнейшем будет стремиться к нулю. Доказано, что предельным случаем является задача о вязкоупругом теле с частично отслоенным жестким включением.

Ключевые слова: краевая задача, нелинейные краевые условия, вариационное неравенство, вязкоупругость, уравнения равновесия, включение, трещина, предельный переход по параметру, негладкая область, пространства Соболева.

ПОПОВА Татьяна Семеновна - к. ф.-м. н., доцент кафедры математического анализа ИМИ Северо-Восточного федерального университета им. М.К. Аммосова.

E-mail: ptsokt@mail.ru.

POPOVA Tatiana Semyonovna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematical Analysis, the North-Eastern Federal University named after M.K. Ammosov.

E-mail: ptsokt@mail.ru

T. S. Popova

Passage to the Limit in the Problem on Viscoelastic Body with Rigid Inclusion and Crack

Mathematical modeling of the equilibrium condition of bodies, with such defects as cracks is complicated by solving the boundary value problems in the domains, which boundaries are not smooth. Nonsmoothness of the boundaries may put in question the existence of solutions of boundary value problems, as well as the qualitative properties of the solutions.

Setting of the classical problems in domains with cuts implies the presence of boundary conditions in the form of equations. This sphere has been well studied, different models are argued, methods of investigating the properties of the boundary value problem solutions, which are widely used in applied problems are worked out.

The approach presented in this paper offers a different setting of the boundary value problems.

For domains with a cut, modeling the geometry of bodies with cracks, the inequality type boundary conditions are set for a part of the boundary (on the banks of the cut). These boundary conditions are deducted by A. M. Khludnev (1992); they have a physical interpretation and are more accurate than classical ones. At the same time, such setting of the problem leads to certain difficulties connected with the nonlinearity of the conditions under consideration .

For example, the correct differential setting of these problems requires the presence of a whole system of boundary conditions in the form of equalities and inequalities that are given for the part of the boundary which corresponds to the banks of the cut (crack). This variational setting can not be reduced to the known classical-case Euler equation; it rather leads to the so-called variational inequalities. Another complication is that, that for the equilibrium problems of viscoelastic bodies with cracks and inclusions, the variational inequality can not be deducted from the problem of the energy functional minimizing, as it can be in case with elastic bodies.

The setting of the boundary value problems in the form of the variational inequality allows us to study solvability of the problem, as well as the qualitative properties of the solutions.

In this paper, we study a family of problems of the equilibrium of three-dimensional viscoelastic bodies with cracks. The domains in which we consider the problems are the same; when describing the viscoelastic properties of the bodies, we use the parameter that tends to zero. It is proved that the limiting case is that of a viscoelastic body with the partially exfoliated rigid inclusion.

Key words: boundary value problem, nonlinear boundary conditions, variational inequality, viscoelasticity, equilibrium equations, inclusion, crack, passage to the limit over a parameter, non-smooth domain, Sobolev spaces.

Введение

Для постановки задач о равновесии тел с трещинами и включениями в последние десятилетия активно разрабатывается метод, в котором используются в соответствующих краевых задачах условия типа неравенств на границе. К этому классу относятся, например, так называемые условия Синьорини, отражающие контактное взаимодействие тел. Для областей с разрезами, моделирующих тела с трещинами в естественном недеформированном состоянии, А. М. Хлудневым предложены условия, имеющие вид неравенств и характеризующие взаимное непроникание точек противоположных берегов трещины. По сравнению с классическими линейными условиями непроникания более точно описывают реальную модель, но при этом требуют отдельного подхода при исследовании свойств решений. Для разработки теории трещин в такой постановке задач в работах А. М. Хлуднева применяется метод вариационных неравенств, наиболее полное изложение

результатов можно найти в его монографиях [1, 2]. Общие принципы метода вариационных неравенств приведены в работах [3-9].

Целью настоящей работы является исследование предельного перехода по параметру жесткости в задаче о трехмерном вязкоупругом теле с частично отслоившимся жестким включением.

Постановка задачи

Пусть Ос Я ограниченная область с гладкой границей Г, а подобласть с гладкой границей

Г , такая что ГпГ = 0, О0 = О \со.

р р 0

Обозначим через N =

- нормаль к Гр, направленную в сторону О0. При этом область О соответствует жесткому включению. Термин «жесткое включение» означает, что перемещения точек тела подобласти О являются элементами пространства Я(о) жестких инфинитезимальных перемещений. Это пространство определяется следующим образом:

R(o) = {р = (pj, р2, р3) | р( x) = Bx + C, x ею},

где

B =

Г о ъп ъп Л

—Ъп 0 ъ23

—Ъ13 —Ъ23 0

C = (cj,c2,c3), bj

V У

cj - const, i, j = 1,2,3.

Отметим, что здесь и далее для удобства векторы-столбцы и векторы-строки обозначены единообразно, поскольку рассматриваются только как элементы соответствующих пространств и данное упрощение не влияет на результаты. Также выбор верхних и нижних индексов в обозначениях векторов не связан с ковариантностью или контравариантностью вектора.

Предположим, что Гр состоит из двух частей у и Гр \ у , meas(rр \ у) > 0, где у - гладкая ориентируемая поверхность, форму которой можно задать с помощью уравнений

xi = x (У:> У2Х i = 1,2,3,

где (yj5 y2) е D . Здесь D с R2 - ограниченная

односвязная область с гладкой границей, причем

отображение y ^ x(y) : D ^ у является взаимно

dx

однозначным _и, ранг матрицы _ равен двум во всех точках D. ду

Поверхность у соответствует трещине на границе раздела сред: один из берегов у+ является частью границы области Q0, описывающей вязкоупругую часть, а другой берег трещины у~ - часть границы СО, соответствующей жесткому включению.

Обозначим Qf = Q\у, Qy = Qf х(0,T).

Одним из неизвестных в задаче является вектор-функция и = (м1,u2,u3) перемещений точек тела. Введем соотношения для компонент тензоров малых деформаций и напряжений по формулам:

£у (u) = 2

\

dui ди<

—L + —j dx. dx.

v j . 0

an (u) = aijk,sk,(u), U j = 1,2,3-

Здесь и далее предполагается, что по

повторяющимся индексам производится суммирование. Функции йук1 (х) е 1Т (О), I, у, к, I = 1,2,3

- компоненты тензора А модулей упругости, обладающего свойствами симметрии и положительной определенности:

aijkl ajikl aklij,

a,jkltkAj > C0 1 I ^ V^ = , C0 — COnSt > 0.

Введем также следующие обозначения

w

0

которые будем использовать в уравнениях вязкоупругого состояния и равновесия, выполненных в цилиндре Q0 = Q0 х (0, T) :

—a, j(w(t’x)) = f (t, x) i = 1,2,3,

a. (w(t,x)) = ayk,Ski (w(t,x)), i,j = 1,2,3.

Здесь f = (f f f3) - вектор, задающий внешние нагрузки.

Задачи, в которых использованы соотношения, аналогичные (1), рассматривались в работах [2, 10]. Задачи о равновесии вязкоупругих тел с трещинами исследованы в [11-13]. При постановке задачи мы будем использовать краевые условия, имеющие вид неравенств.

Вначале рассмотрим краевую задачу о равновесии трехмерного вязкоупругого тела с трещиной и жестким включением.

В_цилиндре Q найти функции u(t, x) , u(t) = р0(t) в СО, р°(() е R(o), t е (0,T), одновременно в цилиндре Q0 найти функции aij (t, x), i, j = 1,2,3, для которых выполняется:

- a __ _j

W

u

—Ja.j (w(t, x))n  pt(x) = Jf (t, x)pt(x), '

Г w

P

V p

an

Здесь f )t,)) = f f} f} е H40,T;Z2(Q)),

коэффициенты а,щ (x) , как и прежде, удовлетворяют условиям симметричности и положительной

определенности, функции <Тп, Тт определяются из соотношений

Тп = Т:,п ,П: , Тт = ТП -Тп  п.

п V 3 1 т п

Условия (6) задают непроникание точек вязкоупругой и жесткой частей друг в друга. Соотношения (7) характеризуют отсутствие трения в зоне отслоения. Условие (8) связывает (6) и (7), а также является корректным с точки зрения физической интерпретации. Интегральное равенство (5) описывает воздействие внешних нагрузок на жесткое включение.

Для исследования задачи о трещине по краю включения введем следующее функциональное пространство

Н1та(Оу) = {у = ;^Уз) еН 1(°у)| V = 0 на Г, У = р в о; реЯ(о)}.

Обозначим

Кю = {у е Ну0(О() | (у — р)п>0 п.в. на .

В качестве множества допустимых перемещений возьмем

Ки = {;(£, х) е Ь2(0,Т;Нр“(Ог)) | ;(£) е п.в. £е (0,Т)}

Обозначив через V пространство, сопряженное к НГ’°(Ог), рассмотрим оператор

цилиндров 0у и Q0 при фиксированном £.

Отметим, что задачи о жестких включениях также исследованы в [2, 14, 15].

Вспомогательные задачи и предельный переход Целью дальнейшего исследования является обоснование предельного перехода для семейства задач о равновесии вязкоупругих тел с трещиной, сформулированных в области Оу. Тогда при переходе к пределу по параметру жесткости задачи (2)-(8) можно рассматривать как предельную для этого семейства.

Действительно, введем положительный параметр Л и для каждого значения параметра рассмотрим тензор

АЛ = {3 }, и j,к, 1 = 1,2,3,

аФі

— а. 1

у'И

а

в а,

Л : Ь(0,Т;Н^ (О,)) ^ Ь (0,Т;¥ ),

имеющий вид

_ Т _ _

(Л*и,и) = | (w)£у (и), и е £2 (0, Т; НГ° (Оу))•

о п0

В работе [12] показано, что задачи (2)-(8) однозначно разрешимы и эквивалентны решению вариационного неравенства

Рассмотрим следующее семейство задач.

В цилиндре QY = Ог х (0,Т) найти функции

ил(£,х) = (и1л,и^1,и^1), ТЛ = {тЛ!(н>л(г,х))}, у = 1,2,3,

такие, что:

з

и.

[иА(і,х)]п > 0, \ахп] = 0, акп -[иА(і,х)]п = 0

на ух

а, = 0 , а П < 0 н а у ± х( 0 , Т ) .

Здесь приняты следующие обозначения:

w

(і, х) = и1 (і, х) + |0 ил(т, х) йт

и єКю,

Это неравенство можно записать в виде

Т Т

и є К ш ’ 11(^)£»(у ~ м) -11Ї(у ~ м)’

0 Од 0 Пу

Vу Є Кю .

Кроме того, в указанной работе также доказано существование производной и( (і, х) , что позволяет рассматривать и исследовать эту задачу на сечениях

[;] = ;+ — V ;

где V + и V - значения функции V на и у~ соответственно.

Для каждого Л > 0 задачи (11)-(15) однозначно разрешимы [11] и допускают вариационную постановку. Введем пространство Соболева функций, обращающихся в нуль, только на внешней границе области:

Я1,0(Ог) = {; е Я'(Ог)| V = 0 на Г}

1

Т

0 И

и следующее множество: 1 т

Н— I I аш(w* К- (u*) dt < c u „2 10

Ку = {v е tf10(Qr)|[v]n > Оп.е.сау}. *1 J"j j J 11 I^W1,0^ - 2

< c2.

У''

В качестве множества допустимых перемещений Отсюда также следует, что

возьмем

1 Гт

K ={v (t, x) e l2(0, T; H '"(О, ))| v (t) e K *J°

£ И»

Здесь С1 и С2 не зависят от Ле (0;Л0). Тогда,

п.в. г 6 (0, Т)}. выбирая при необходимости подпоследовательность,

I/ можно предположить, что при Л ^ 0

Множество Ку выпукло и замкнуто.

Y

Задачи (11)-(15) эквивалентны следующему

вариационному неравенству: ^ ^u Сшб° в L(LT;

и е Ку, щ е L (0, т; н (Q )) : Отсюда в силу (21) получим, что

Y

удовлетворяет неравенству

£ /а, ^ )е« (“ “ и1} * - £ I, ( (“ “ и 1 >Л- е>,(и) = 0 £< (10“ йт) = 0

Уи 6 К , . (16) Это означает, что существует функция р0, такая, что

Здесь для краткости обозначено: и = р0 во; р0 е Я(), ге (О, Т).

Л Л Л Л Л Л Л

и = и (г, х), и{ = и{ (г, х), w = w (г, х). Поскольку последовательность и слабо сходится

Л ч 0 Л в Х2(0, Т; Н 10(ОГ)), то предельная функция “

Теорема. При Л ^ 0 решения и задачи (16) 7

слабо сходятся в Х2(0, Т; Н10(Ог)) к решению и

задачи (10). (и+ — р0)п 0 0 на у.

Доказательство. _ ^

- г\ Л \у- В частности, и е Ко . _

Подставим и = 0 е К , а также и = 2и е К _ „ ,,^тг

У у Выберем произвольный элемент и е Ко .

в (16) и получим:

Тогда существует функция р е К(О), такая, что

Г Г Т ЫЛ )е« (иЛ) йг = ГГ (иЛ йг. и = р в о и при этом и можно взять в качестве

J О ^ О у у Jo с- „ , ^тч тэ

у у пробной функции в (16). В этом случае из неравенства

В области Оу выполнено первое неравенство (16) получим

Корна [9], следовательно,

naL eii

2 ijkl yV / ij\ / -|| ||l2(o,t;H1-0(П )) v >

nofi (wA )sii (u—ux ) dt > f f f (u—ux ) dti

i 1 1 Jo Jn

у у

—u ) dt.

Поскольку A 1 — A в Q0, то можно перейти к

С другой стороны, пределу в (22) при Л ^ 0 . Получим:

< Гт II ^ < II ^ u еК , f f si1 (w)ei1 (u - u) dt > f f f (u - u) dt,

у У У

1 /а "u G К.,.,

Из (17) и (18) в предположении, что Ле (0;Л0),

Л0 — const, получим что совпадает с (10). Таким образом, мы показали,

что решения uЛ задачи (16) слабо сходятся в

2 (0 т.н1,0(п у, < c1 | (19) L2(0,T;H10(QY)) к решению задачи (10).

Далее

IIL2(0,T;Н1,0(Пу))— 1 v ^ ^ v Y

Заключение

T fill В ходе исследования получены следующие

J0 aUey( w1)eij (u1) dt —

,0 jQg 1 ij\ / y\ / результаты.

т | * * (20) Задача о равновесии трехмерного вязкоупругого

тела с жестким включением и трещиной по краю включения может быть поставлена в виде вариационного неравенства и имеет единственное решение.

Если параметр жесткости, используемый при формулировке вспомогательных задач о вязкоупругих телах с трещинами, стремится к нулю, то поставленная задача может рассматриваться как предельная для указанного семейства вспомогательных задач.

Л и т е р а т у р а

1. Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of Cracks in Solids. WIT Press, Southampton-Boston, 2000. - 408 p.

2. Хлуднев А. М. Задачи теории упругости в негладких областях. - М.: Физматлит, 2010. - 252 с.

3. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. - М.: Наука, 1988. - 448 с.

4. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. - М.: Мир, 1987. - 542 с.

5. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. - М.: Наука, 1980. - 384 с.

6. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в неравенства и их приложения. - М.: Мир, 1983. - 256 с.

7. Кравчук А. С. Вариационные и квазивариационные

неравенства в механике. - М.: Изд-во Московской

государственной академии приборостроения и информатики, 1997. - 339 с.

8. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. - М.: Мир, 1972. - 587 с.

9. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. - М.: Мир, 1974. - 159 с.

10. Khludnev A. M. On equilibrium problem for a plate having a crack under the creep condition // Control and Cybernetics. - 1996. - V. 25. - N 5. - P.1015-1030.

11. Popova T. S. The equilibrium problem for a linear viscoelastic body with a crack // Математические заметки ЯГУ - 1998. - T. 5. - Вып. 2. - C. 118-134.

12. Попова Т. С. Жесткое включение в задаче о вязкоупругом теле с трещиной // Математические заметки ЯГУ. - 2013. - Т. 20. - Вып. 1. - C. 87-106.

13. Попова T. С. Метод фиктивных областей в задаче Синьорини для вязкоупругих тел // Математические заметки ЯГУ. - 2006. - T. 13. - Вып. 1. - С. 105-120.

14. Khludnev A. M., Leugering G. On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2010. - V. 33. - N 16. - P. 1955-1967.

15. Хлуднев А. М. Задача о трещине на границе

жесткого включения в упругой пластине // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2010. - № 5. - C. 98-110.

R e f e r e n c e s

1. Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of Cracks in Solids. WIT Press, Southampton-Boston, 2000.

- 408 p.

2. Khludnev A. M. Zadachi teorii uprugosti v negladkih oblastjah. - М.: Fizmatlit, 2010. - 252 s.

3. Baiocchi C., Capelo A. Variacionnye i kvazivariacionnye neravenstva. - M.: Nauka, 1988. - 448 s.

4. Washizu K. Variacionnye metody v teorii uprugosti i plastichnosti. - M.: Mir, 1987. - 542 s.

5. Duvaut G., Lions J.-L. Neravenstva v mehanike i fizike. - M.: Nauka, 1980. - 384 s.

6. Kinderlehrer D., Stampacchia G. Vvedenie v neravenstva i ih prilozhenija. - M.: Mir, 1983. - 256 s.

7. Kravchuk A. S. Variacionnye i kvazivariacionnye

neravenstva v mehanike. - M.: Izd-vo Moskovskoj

gosudarstvennoj akademii priborostroenija i informatiki, 1997.

- 339 s.

8. Lions J.-L. Nekotorye metody reshenija nelinejnyh kraevyh zadach. - M.: Mir, 1972. - 587 s.

9. Fichera G. Teoremy sushhestvovanija v teorii uprugosti. - M.: Mir, 1974. - 159 s.

10. Khludnev A. M. On equilibrium problem for a plate having a crack under the creep condition // Control and Cybernetics. - 1996. - V. - 25. - N 5. P. 1015-1030.

11. Popova T. S. The equilibrium problem for a linear viscoelastic body with a crack // Matematicheskie zametki JaGU. - 1998. - T. 5. - Vyp. 2. - S. 118-134.

12. Popova T. S. Zhestkoe vkljuchenie v zadache o vjazkouprugom tele s treshhinoj // Matematicheskie zametki JaGU. 2013. - T. 20. - Vyp. 1. - S. 87-106.

13. Popova T. S. Metod fiktivnyh oblastej v zadache

Sin'orini dlja vjazkouprugih tel // Matematicheskie zametki

JaGU. 2006. - T. 13. - Vyp. 1. - S. 105-120.

14. Khludnev A. M., Leugering G. On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2010. - V. 33. - N 16. - P. 1955-1967.

15. Khludnev A. M. Zadacha o treshhine na granice zhestkogo vkljuchenija v uprugoj plastine // Izvestija RAN. Mehanika tverdogo tela. 2010. № 5. - S. 98-110.