Собственные колебания жидкости в сферических емкостях

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ, ГАЗА И ПЛАЗМЫ |

УДК 531.39

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ В СФЕРИЧЕСКИХ ЕМКОСТЯХ

З.Х. Нгуен

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация e-mail: freedom_dh@yahoo.com.vn

Задача о колебаниях жидкости, частично заполняющей сферическую емкость, рассматривалась многими авторами. Однако баки современных космических аппаратов содержат различные внутрибаковые устройства, например, шары-баллоны, содержащие газ наддува, различные демпфирующие и другие устройства, которые влияют на волновое движение жидкости. Рассмотрены различные неклассические задачи о колебаниях жидкости в сферической емкости. При решении задач использован метод конечных элементов, выполнено сравнение результатов с решением задач, получаемых методом Трефтца.

Ключевые слова: собственные колебания, сферический бак, внутрибаковые устройства, метод конечных элементов, метод Трефтца.

THE LIQUID'S SELF-OSCILLATIONS IN A SPHERICAL VESSEL D.H. Nguyen

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation e-mail: freedom_dh@yahoo.com.vn

The self-oscillation problem for liquid in the partly filled spherical vessels has been considered by many researchers. Nowadays, the fuel tanks contain different sections affecting oscillations of the liquid — such as spherical flasks filled with compressed air, anti-vibration and other devices. Some non-classical solutions of the liquid's oscillations in the spherical volume are considered. Finite element method is used to solve the problem, the results are compared with those obtained by the Trefftz method.

Keywords: self-oscillations, spherical flask, finite element method, Trephts method.

Постановка задачи. Рассмотрим три задачи о малых колебаниях идеальной несжимаемой жидкости в жесткой сфере радиуса R0. Во всех задачах предполагаем существование потенциала скоростей — функции Ф (R, 9, п) ешЬ, где ш — собственная частота колебаний жидкости. В первой задаче дно бака выполнено в виде части сферы радиуса Roi (рисунок, a), во второй задаче жидкость находится в области между двумя сферами с радиусами R0 и R02 (рисунок, б), а в третей задаче жидкость находится в сфере, содержащей внутренние неподвижные шары-баллоны (рисунок, в). Введем систему координат Ox*y*z* с началом в геометрическом центре сфер. Глубину жидкости h* и расстояния И* и H* будем отсчитывать, как показано на рисунке.

Перейдем к безразмерным переменным (x = x*/R0, y = y*/R0, z = z*/R0) и введем сферические координаты R,9,n. Спектральная

Основные обозначения и системы координаты

задача для определения потенциала скоростей Ф(Л, 6,п) во всех случаях имеет вид [1-8]

д Ф д Ф

ДФ = 0 в т, — = 0 на Б, — = ЛФ на Г0,

дп дг

где т — область, заполненная жидкостью; Б — смачиваемые поверхности; Г0 — свободная поверхность; п — вектор внешней нормали к поверхности Б; Л = ш1 Я0/д — собственное значение задачи, д — ускорение свободного падения.

Краевая задача (1) имеет эквивалентную вариационную формулировку: найти минимум функционала

^

Т Го

Будем искать решение вариационной задачи (2) в виде

Ф(Я,в,п) = и(Я,6)Нт(п), ит (п) = { ^(т), т = 0,1,2,....

,

Решение первой (см. рисунок, а) и второй (см. рисунок, б) задач методом Трефтца. Подставляя выражение (3) в (2), функционал для каждой задачи можно выписать следующим образом:

Оо

F(U) = (h - 1)2 I UvAVUCO^de + f Usi(fR) sin ede+

в1Т

Оо

Si

+ Ri UsA cos(e + e^ — -

Ohi

fdü\ _ sin(e + e2) f öu\ 24 dR) s2 Г2

X

Ar

Г2 s2;

Оо

x

Эт 6

de

cos3e

в1т

П

для первой задачи;

во

F(U) = (h - 1)2 / UAU^0+ / U* (^ sin 0d0+

tfis

+ R.2 J Us2i | cos

вн2

si

во

с+«>

X ( cos — r2isin 0 ) d0—

X

S21,

— ы US22I cos(ö + — siniiLiM ^

02S

Г22 Vd^y

X

s22

X (cos «drf—r22sin — щ.—1)21 ur -

22 . Л\ 1Л w, ^2 1 TT2 Sin 0

для второй задачи, где 6>1г =

п, если Н — 1 < 0; 0, если Н — 1 > 0,

00 = arccos (h — 1), 0H1 = п — arccos

'VHl—R'

Hi

—H1—r2cos

Г2 = —Яюсв 0—— н281П20, 02 = агссо8^ # 1 ^ста ^ ,

п, если 0 > Н — 1 > —Н2 + Л2 или Н — 1 < —Н2 — Л2; 02Г = { 0н, если — #2 + Л2 > Н — 1 > —Я2 — Л2; 0, если Н - 1 > 0,

п, если Н — 1 > —Н2 + Л2; 015 =4 Он, если — #2 + Л2 > Н — 1 > —#2; 0Н, если Н — 1 < —Н2,

0Н, если Н — 1 > —Н21; 025 = 4 Он, если — #21 > Н — 1 > —#2 — Л2; п, если Н — 1 < —#2 — Л2,

0h = п — arccos

1h

>/(1 — h)2 + /2

, i = \/R2 — (H2 + h — i)2,

п

/И2 — R2

Oh2 = п - arceos ( ——И-2 I , И21 = И2 - R2 sin 0H2,

Г2! = -H2 cos 0 R2 - H22 sin2

„ „ /3 rr2 • 2 л л /-H2 - Г21 cos 0\ r22 = —H2 cos 0 + у R2 — H22 sin2 0, 021 = arccos I -—- I

/-H2 - Г22 cos 0

022 = arccos ---

V R2

. ( д sin0 3\ TT

оператор Ar = —----— , Ur означает, что в выражении для

\oR h - 1 д0 J

h - 1

U надо положить R =-—, a USl, US2, US21, US22 означает, что R = 1,

cos 0

R = r2, R = r21, R = r22, соответственно. Представим функцию U(r, 0) в виде

N N

U

n=1 n=1

где N — порядок приближения решений. В качестве координатных функций были взяты Un = RnPnm(cos 0), n = 1, 2, 3 ..., P;m(cos 0) — присоединенные функции Лежандра степени т.

Подставляя ряд (6) в функционалы (4) и (5), получаем

NN F (a1, a,2,..., a,N) = ^ Pnkanak

x E

qnkanak.

n,k=1 n,k=1

Из условий экстремума функционалов F получаем характеристические уравнения для определения собственных значений

lPnk - Xqnk|Nk=1 = 0.

Решение задач методом конечных элементов (МКЭ). Перепишем вариационную формулировку (2) в следующем виде:

J УФ • У8Ф dT - X j Ф 8&dj = 0.

т Y0

Подставляя (3) в (9) и используя цилиндрическую систему координат r, п, z, получаем уравнение

r r r2 z z

St Lo

где ST — главное меридианное сечение; L0 — линия пересечения главного меридианного сечения со свободной поверхностью.

Для численной реализации уравнения (10) воспользуемся КЭ в виде треугольников. В каждой точке КЭ потенциал и (хл, ул) определен в локальной системе координат Олхлул по формуле

и

здесь (V) — вектор значений обобщенных координат КЭ, = = [С] {X(хл,ул)} — вектор-функция формы.

Подставляя (11) в уравнение (10), получаем уравнения для каждого КЭ:

([К]кэ - А [М]кЭ) тю = 0,

где

[К]кэ = = [C ]

д {х}д {х}Tf (ХИД!+diXl diXÜ , rdrdz

dr dr

dz dz

L S

[C ]T

[М]кэ = [C]

(X} (X}T rdr

LFk

[C ]T

Объединяя все КЭ в ансамбль, имеем задачу на собственные значения:

Результаты вычислений собственных значений одноузловых неосе-симметричных колебаний первой и второй задачи методом Трефтца при N =10 и методом КЭ приведены в табл. 1 и 2.

Таблица 1

Собственные значения первого и второго тонов колебаний жидкости в сферической емкости, дно которой выполнено в виде части сферы

h = hi Ro H Щ Ro Метод Ритца МКЭ МКЭ

А11 А(2) А11 А(1) а(2) А(1) А0 А (2) А0

0,3 1,8 0,8250 5,3091 0,8259 5,3490 1,1121 5,9754

0,6 1,8 1,2037 5,3331 1,2038 5,3730 1,2621 5,4068

1,7 1,8 3,1638 9,1396 3,1664 7,9906 3,1686 7,9983

0,3 1,9 1,0514 5,7804 1,0509 5,8435 1,1121 5,9754

0,8 1,9 1,3865 5,2394 1,3863 5,2765 1,3922 5,2749

1,1 1,9 1,6623 5,3599 1,6626 5,3961 1,6649 5,3976

0,5 1,7 0,9751 5,2563 0,9757 5,2879 1,2072 5,5438

1,2 1,7 1,7668 5,4954 1,7674 5,5344 1,7887 5,5367

Таблица 2

Собственные значения первого и второго тонов колебаний жидкости в области

между двумя сферами

h* H = H* Ro R2 = R01 Ro Метод Ритца МКЭ МКЭ

Ro л (!) A11 A(2) A11 A(!) a(2) A(1) Ao A (2) A0

0,3 0,9 0,1 1,0968 5,8503 1,0883 5,8917 1,1121 5,9754

0,6 0,8 0,2 1,2274 5,3241 1,2112 5,3431 1,2621 5,4068

0,7 0,5 0,3 1,1650 4,6851 1,1090 4,4746 1,3233 5,3199

0,6 0,4 0,2 1,2287 5,2279 1,2194 5,2476 1,2621 5,4068

1,1 0 0,1 1,6576 5,2977 1,6565 5,3885 1,6649 5,3976

0,9 0 0,2 1,4627 5,2189 1,4615 5,3581 1,4705 5,2738

Результаты, полученные в первой и второй задачах методом Трефт-ца, практически совпадают с результатами МКЭ. Решение третей задачи о малых колебаниях жидкости в сфере с внутренними шарами-баллонами (см. рисунок, в), полученное МКЭ, приведено в табл. 3.

Таблица 3

Собственные значения первого и второго тонов колебаний жидкости в сферической емкости с внутренними шар-баллонами

h = — Ro R = — Ro A(1) a(2) A(1) Ao л (2) Ao

0,4 0,1 1,0295 5,5167 1,1575 5,7254

0,4 0,15 0,6590 4,0410

1,0 0,1 1,5477 5,3115

1,0 0,2 1,4113 5,2979 1,5603 5,3135

1,0 0,3 0,7648 4,2200

1,3 0,1 1,9332 5,7374

1,3 0,2 1,8758 5,7384 1,9385 5,7380

1,3 0,3 1,5629 5,6832

В двух краевых столбцах табл. 1-3 приведены собственные значения первого и второго тонов "классической" гладкой задачи, полученные МКЭ.

Заключение. Рассмотренные задачи позволяют оценить влияние внутрибаковых устройств на колебательный процесс жидкости, частично заполняющей сферические емкости.

Автор благодарит канд. физ.-мат. наук А.Н. Темнова за помощь при написании статьи и внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Колесников К.С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 2003. 500 с.

2. Дьяченко М.И., Орлов В.В., Темнов А.Н.Колебания жидкого топлива в цилиндрических и конических емкостях // Наука и образование: электронное научно-техническое издание. 2013. № 11. C. 175-192.

3. Нгуен Х.З., Темное А.Н.Колебания жидкого топлива непостоянного объема в сферической емкости // Наука и образование: электронное научно-техническое издание. 2014. № 12. С. 426-439.

4. Луковский И.А., Барняк М.Я., Комаренко А.Н.Приближенные методы решения задач динамики ограниченного объема жидкости. Киев: Наук. думка,1984. 212 с.

5. Лимарченко О.С., Матараццо Д., Ясинский В.В. Динамика вращающихся конструкций с жидкостью. Киев: ГНОЗИС, 2002. 304 с.

6. Дьяченко М.И., Темное А.Н. Собственные колебания жидкого топлива в условиях перераспределения // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2012. № 3. C. 31-38.

7. Connor J.J., Brebbia C.A. Finite element techniques for fluid flow. London-Boston: Newnes-Butterworths, 1977. 264 р.

8. Ершов Н.Ф., Шахверди Г.Г. Метод конечных элементов в задачах гидродинамики и гидроупругости. Л.: Судостроение, 1984. 237 с.

REFERENCES

[1] Kolesnikov K.S. Dinamika raket [Rocket dynamics]. Moscow, Mashinostroenie Publ.,

2003. 500 p.

[2] D'yachenko M.I., Orlov V.V., Temnov A.N. Liquid fuel fluctuations in taper and

cylindrical vessels. Jelektr. Nauchno-Tehn. Izd "Nauka i obrazovanie" MGTU im. N.E. Baumana [El. Sc.-Tech. Publ. "Science and Education" of Bauman MSTU],

2013, no. 11, pp. 175-192 (in Russ.).

[3] Nguen Kh.Z., Temnov A.N. Fluctuations of liquid fuel of changeable volume in

a spherical vessel. Jelektr. Nauchno-Tehn. Izd "Nauka i obrazovanie" MGTU im. N.E. Baumana [El. Sc.-Tech. Publ. "Science and Education" of Bauman MSTU],

2014, no. 12, pp. 426-439 (in Russ.).

[4] Lukovskiy I.A., Barnyak M.Ya., Komarenko A.N. Priblizhennye metody resheniya

zadach dinamiki ogranichennogo ob"ema zhidkosti [Approximate methods to solve dynamic problems of limited volume of liquid]. Kiev, Nauk. Dumka Publ.,1984. 212 p.

[5] Limarchenko O.S., Mataratstso D., Yasinskiy V.V. Dinamika vrashchayushchikhsya

konstruktsiy s zhidkost'yu [Dynamics of rotating constructions containing liquid]. Kiev, GNOZIS Publ., 2002. 304 p.

[6] D'yachenko M.I., Temnov A.N. Natural Oscillations of Liquid Propellant under

Redistribution Conditions. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Mashinostr. [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Mech. Eng.], 2012, no. 3, pp. 31-38 (in Russ.).

[7] Connor J.J., Brebbia C.A. Finite element techniques for fluid flow. London-Boston:

Newnes-Butterworths, 1977. 264 р.

[8] Ershov N.F., Shakhverdi G.G. Metod konechnykh elementov v zadachakh

gidrodinamiki i gidrouprugosti [Finite element method in the problems of hydrodynamics and hydroelasticity]. Leningrad, Sudostroenie Publ., 1984. 237 p.

Статья поступила в редакцию 05.11.2014

Нгуен Зуй Хунг — аспирант кафедры "Космические аппараты и ракеты-носители". Специализируется в области механики жидкости и газа.

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

Nguyen D. H. — post-graduate of "Spacecraft and Launch Vehicles" department of the Bauman Moscow State Technical University. Specializes in the field of mechanics of liquid and gas.

Bauman Moscow State Technical University, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation.