Применение производственных VES-функций для моделирования функционирования экономических систем

ШЕСТОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УКЛАД: МЕХАНИЗМЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ

13-14 ноября 2015 г.

УДК 330.46

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ VES-ФУНКЦИЙ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

А.В. Кутышкин, Г.А. Сокол 1. Введение

Определение основных показателей, как функционирования экономических и производственных систем осуществляется, как правило, с использованием производственных функций (ПФ). Последние являются одним из инструментов экономико-математического моделирования процесса производства, если его рассматривать как открытую систему, входами которой являются затраты ресурсов (материальных и людских), а выходы представляют собой производимую продукцию. Производственные функции чаще всего используются для анализа влияния ряда ключевых факторов (входов) на результаты процесса производства (выхода). Это обусловлено тем, что ПФ в целом отражают достаточно устойчивые количественные соотношения между его входами и выходами.

Наибольшее распространение при моделировании функционирования экономических систем получили ПФ, известные как неоклассические производственные функции. Это обусловлено, во-первых, тем, что они оперируют, как правило, только двумя факторами затрат производства - агрегированными факторами затрат труда L и капитала K, оказывающими наиболее существенное влияние на результирующий параметр функционирования данных систем - объем производства Y, а, во-вторых, для определенного вида этих функций - CES -функций (constantelasticitysubstitutionproductionfunction) получены аналитические выражения с учетом ключевых свойств неоклассических производственных функций.

Вместе с тем, сложность экономических систем, для описания функционирования которых применяются неоклассические производственные функции вида CES - функции, не всегда позволяет утверждать, что значения эластичности замещения труда капиталом о в рассматриваемых системах постоянны, поскольку данная ситуация является наименее распространенной в реальных условиях функционирования экономических систем.

Видом неоклассических производственных функций, учитывающим изменения значений эластичности замещения труда капиталом о в экономических системах, являются VES -функции (variableelasticitysubstitutionproductionfunction). В настоящее время известен ряд вариантов аналитического представления производственной функции вида VES - функция (табл. 1). Все параметры А, a, b, c, a, ß, ^представленных в табл. 1 VES - функций оценивались авторами работ [1,2] на основании статистического анализа ретроспективных данных, характеризующих функционирование экономической системы. Сделанные этими авторами допущения относительно характера взаимосвязей между у, о и к, обеспечивают как изменения значений о в зависимости от величины к, так и выполнение требований, предъявляемым к неоклассическим производственным функциям [3].

Для использования приведенных в табл. 1 вариантов VES - функций необходимо дополнительно обосновывать возможность описания изменений величин у ио принятыми зависимостями.

В работе [4] предложена более общая методика построения неоклассических производственных функций вида VES - функции и представлены результаты реализации этой методики применительно к данным о функционировании экономики СССР в период с 1947 по 1966 г.г. [5]. Сравнительный анализ полученных расчетных значений Y и значений этого показателя, полученных с использованием производственных функций вида CES - функции [5], показывает более высокую точность оценок рассматриваемого показателя, получаемых по методике работы [4].

Таблица 1

Производственные функции вида VES - функции

Автор Предельная норма замещения труда капиталом у Эластичности замещения труда капиталом о Общий вид VES -функции

Реванкар (Re-vankarN.S.) [1] Y = а + ¡3k, [0> 0, \тУР< k 7(k) = 1 + 1 -a< °'a> 0; a( k )< 1,a( k )> 1, da( k ) da( k ) dk dk Y = Aeb [(1 + p) KLe + +aL1+e~\

Фергюсон (Ferguson С.) [2] Y = k f 1 - Д ^а + pk ) Í0 <а< 1, [0 <a + pk < 1. 7(k)=1 -( в<0,в>0 (a + pk) -а k )< 1,а( k )> 1, da( k ) da( k ) dk dk Y = AeÁtKaL1-aeek

В данной статье представлены результаты сравнительного анализа оценок значений Y, полученных с использованием производственных функций вида VES - функции (табл.1) и построенной по методике работы [4] по данным о функционировании экономики США, приведенным в работе [6].

2. Построение S - однородных производственных функций типа VES - функция

Идентификация структуры производственной функции осуществляется в результате решения следующей системы дифференциальных уравнений [3]:

Г(k) S

g(k) r(k)+k k)_ 1

y( k ) ka( k )'

Здесь ó - показатель однородности производственной функции; k -фондовооруженность^ = K/L; g(k) - модифицированная производственная функция:

Y = f

y(k) - предельная норма замещения труда капиталом; o(k) - эластичностью замещения труда капиталом для S - однородной производственной функции.

Величина o(k) задается некоторой функцией, а y(k) и g(k) определяются из решения системы (3). Непосредственно f(K,L) определяется по функции g(k) согласно (4). В работе [4] доказано существование и единственность решения системы (3), что позволяет осуществить построение S - однородной производственной функции типа VES - функция.

При заданном значении ó (выбор значения S е (0,1] осуществляется согласно предварительно сформулированному оптимизационному критерию) достаточно построить функцию g(k), которую можно определить следующими выражениями с учетом структуры функции a(k) [4]:

/(k ) = b  exp g(k) = с exp| j

dt

y(t) t

Sdt

r(t)+1

где a, b, c - некоторые положительные постоянные.

В качестве o(k) можно выбрать, например, некоторую непрерывную кусочно-линейную функцию.

При построении функции g(k) необходимо обеспечить выполнение основных свойств неоклассических производственных функций [4], в том числе:

Исходными данными для построения неоклассической S- однородной производственной функции типа VES - функция являются множества значений объемов выпуска продукции Y = f(L,K) - Y = {Y¿},(i = 1,...,n) и соответствующие значения K = {Ki}, L = {Li} в стоимостном

или индексном выражении, характеризующие функционирование рассматриваемой экономической системы в каждый момент времени Ti в течение определенного интервала времени [Tu Tn]. Также задаются значения показателя однородности Sj :Sj е]0,1]. По этим данным определяются значения фондовооруженности рассматриваемой экономической системы: k¡ = KyT и значения функции gS (k¡) при фиксированном значении Sj: gS (k ) = —¡~.

i / Li lSj

Далее выполняются следующие процедуры.

1. Значения функции gS (k¡) упорядочиваются по возрастанию значений k¡, формируя ряд glj (l = 1 ...т; n¡ = n).

2. Значения gj апроксимируются функциями gl,, удовлетворяющими требованию

'¡J'

\2

рь = Х

1=1

с учетом неравенства 0 <а< 1 и ряда ограничений, включая (7,8), в которых дифференциальные неравенства заменяются на их разностные аналоги:

§'+2 ь - §' +1 ь §' +1 ь - §'

-к§'+1ь-§'ь >0; §'+1ь-§'ь >о; к'+2-к'+1-к'+1-к' <0•

¡°li l

kl+1 kl k¡+1 k¡

k¡+1 - kl

kl+2 - 'k,+1 kl +1 - kl .

kl +1 -

g l+2j - gl+1j gl+1j- glj

kl+2 - kl +1 k+1- k,

kl +1 - k

Sj

(kl+1j -kli)(rl+1j + j

ч = ; ' ' 1 •

J §у - 8 >

&'+1ь &ь

3. По значениям §ь согласно (12,13) определяются значения величин уц и оц.

4. Полученные значения оь при допущении и = ап--1 = ап- -2 апроксимируются кусочно-линейными функциями с параметрами:

в1 = °1+1ь ~°1ь А, = °1ь'к'+1 -а'+1ь'к ,

к ,+1- к , к ,+1- к,

5. Согласно (5) с учетом (14) рассчитываются значения уц (' = 1,...,п,):

_ _ (к'Г А Л Гц = Ь-1ь • ехР I 7—Т~Г\1

Для I = 1 значение у- определяется выражением (13).

6. Полученные значения у по аналогии с (14) апроксимируются кусочно-линейными функциями вида + щ.

7. На основании (6) при допущении, что для I = 1 значение glj = , рассчитываются значения функции g -:

(k,+' 5. dt Л

= gi-ij • exP

í

j

(V t + wi) +t

где VI, щ I - параметры кусочно - линейных функций, используемых для аппроксимаций у- . 8. Определяется относительная погрешность е-:

V

gj

и соответствующая ей величина среднеквадратического отклонения ss¡ .

Из всех вариантов построенных функций gj выбирается тот, который обеспечивает

наименьшее значение среднеквадратического отклонения sщ величины £j и представляющий

собой, в конечном итоге, неоклассическую ó- однородную производственную функцию типа VES - функция, описывающую функционирование рассматриваемой экономической системы в течение определенного интервала времени [Ti, Tn].

Совокупность, приведенных выше процедур п.п. 1-8, в целом формирует алгоритм построения ó- однородной производственной функции типа VES - функция. Алгоритм был реализован с помощью пакета MatLab 7.0.

3. Апробация алгоритма построения д- однородной производственной функции типа VES - функция

Апробация описанного выше алгоритма была осуществлена при построении ó- однородных производственных функций типа VES - функция по данным, характеризующим функционирования экономики США в период с 1947 г. по 1968 г. [6].

В табл. 2 приведены производственные функции вида VES - функция ПФ1 и ПФ2 (здесь и далее обозначения автора) и соответствующие им регрессионные зависимости для оценки значений о.

Таблица 2

№ Интервал Вид производственной функции VES - функция [2] Интервал Значения а

ПФ1 1943 - 1968 Y = 6,2705em83t (7,7501KL6,7501 -• -0,3025L7,7501 )0,i29 1947 - 1968 1 - 0,0448k_1

ПФ2 1943 - 1968 Y = 21 5091e0,01Sn K0,4657 L>,5343 e~2,5361k 1947 - 1968 ak 1+-2- [b-ak] -b a = 2,5361; b = 0,4657.

В табл. 3 совместно представлены следующие данные:

- значения Y - реальный национальный доход экономики США в млн. долларов 1958 г. [2]; Зависимости для VES - функций [2]

- значения Y, рассчитанные с использованием производственной функции ПФ1 (табл. 2) и по предложенному выше алгоритму построения неоклассической о - однородной (при о

= 1) производственной функции типа VES - функция, обозначенной автором, как функция ПФ3;

- значения о для функции ПФ1 - оПФ1 (табл. 2) и рассчитанные по предложенному алгоритму при построении ПФ3 - оПФ3;

- величины s¡j (15), среднего значения относительной ошибки Sj и ее среднеквадратиче-

ское отклонение ss для функций ПФ1 и ПФ3, обозначенные еПФ1, Sn(1, ss^ и еПФ3, Sn(I3, ss соответственно.

ЬПФ3

В табл. 4 представлены данные для функций ПФ2 (табл. 2) и ПФ3. Структура табл. 4 и обозначения в ней данных аналогичны табл. 3.

Оценка точности аппроксимации исходных данных ПФ1 и ПФ2 (табл. 2) и построенной S - однородной производственной функции типа VES - функция (ПФ3) осуществлялась сопоставлением соответствующих значений величин Sn(1, Sn(2, Sn(W, s , s , s

5. Заключение и выводы

Сравнение значений £ПФ1, еПФ2, £ПФ3 (табл. 3 и 4) позволяют сделать вывод о том, что предложенный автором алгоритм построения производственной функции типа VES - функция позволяет получить более точное приближение 65% значений величины конечного продукта экономической системы Y к исходным данным. В остальных точках ошибка приближения не превышает 6,5%.

Таблица 3

Значения производственных функций ПФ1 и ПФ3, рассчитанные за период с 1947 по 1968 г.г.

Год Y ПФ1 °ПФ1 еПФ1 ПФ3 °ПФ3 еПФ3

1947 77657 80706 0,6450 0,0393 79790 0,1303 0,0275*

1948 83484 84846 0,6503 0,0163 85049 0,1303 0,0187

1949 79274 82733 0,6524 0,0436 83339 0,1303 0,0513

1950 91946 88320 0,6549 0,0394 89332 0,0188 0,0284

1951 101840 96303 0,6564 0,0544 97694 0,1477 0,0407

1952 102199 100519 0,6578 0,0164 102117 0,0003 0,0008

1953 109438 107124 0,6593 0,0211 109033 0,0303 0,0037

1954 102252 104651 0,6559 0,0235 106043 0,0565 0,0371

1955 116237 110348 0,6572 0,0507 112000 0,0028 0,0365

1956 119274 115481 0,6570 0,0318 117214 0,0428 0,0173

1957 118988 118442 0,6551 0,0046 119921 0,0393 0,0078

1958 107741 113938 0,6527 0,0575 114810 0,0158 0,0656

1959 122448 120550 0,6549 0,0155 122076 0,0112 0,0030

1960 122276 123970 0,6559 0,0139 125692 0,0469 0,0279

1961 120357 124050 0,6570 0,0307 125902 0,0659 0,0461

1962 130589 130202 0,6583 0,0030 132401 0,0833 0,0139

1963 135569 133921 0,6598 0,0122 136341 0,0612 0,0057

1964 144393 139093 0,6611 0,0367 141943 0,1527 0,0170

1965 156481 148015 0,6624 0,0541 151161 0,1381 0,0340

1966 172171 160303 0,6637 0,0689 163861 0,1404 0,0483

1967 172015 166292 0,6654 0,0333 170307 0,1973 0,0099

1968 181604 173278 0,6674 0,0458 177808 0,1623 0,0209

Среднее значение £ПФ1 0,0324 Среднее значение £ПФ3 0,0255

Среднеквадратическое отклонение s 0,0184 Среднеквадратическое отклонение ss ЬПФ3 0,0178

здесь и далее выделены меньшие значения еПФ3 по отношению к сравниваемой производственной функции.

Значения средней ошибки аппроксимации исходных данных и ее среднеквадратического отклонения (табл. 3 и 4) для построенной автором производственной функции типа VES -функция (ПФ3) меньше, чем для ранее разработанных VES - функций (ПФ1 и ПФ2). Это позволяет сделать вывод о том, что предлагаемый в данной статье алгоритм построения производственных функций типа VES - функция дает более «устойчивое» приближение расчетных значений величины Y к ее исходным значениям.

Таким образом, заключить, что реализованный алгоритм построения S - однородной производственной функции типа VES - функция, отвечающей требованиям, предъявляемым к неоклассическим производственным функциям, позволяет обеспечить построение указанной функцией с достаточно высокой точностью аппроксимации данных, характеризующих функционирование экономической системы.

Таблица 4

Значения производственных функций ПФ2 и ПФ3, рассчитанные за период с 1947 по 1968 г.г.

Год Y ПФ2 °ПФ2 еПФ2 ПФ3 °ПФ3 еПФ3

1947 77657 80832 0,2799 0,0409 79790 0,1303 0,0275

1948 83484 84914 0,2714 0,0171 85049 0,1303 0,0187

1949 79274 83780 0,2677 0,0568 83339 0,1303 0,0513

1950 91946 88342 0,2637 0,0392 89332 0,0188 0,0284

1951 101840 96306 0,2610 0,0543 97694 0,1477 0,0407

1952 102199 100502 0,2587 0,0166 102117 0,0003 0,0008

1953 109438 107087 0,2560 0,0215 109033 0,0303 0,0037

1954 102252 104664 0,2619 0,0236 106043 0,0565 0,0371

1955 116237 110343 0,2596 0,0507 112000 0,0028 0,0365

1956 119274 115482 0,2600 0,0318 117214 0,0428 0,0173

1957 118988 118473 0,2632 0,0043 119921 0,0393 0,0078

1958 107741 114007 0,2673 0,0582 114810 0,0158 0,0656

1959 122448 120589 0,2637 0,0152 122076 0,0112 0,0030

1960 122276 123991 0,2619 0,0140 125692 0,0469 0,0279

1961 120357 124050 0,2600 0,0307 125902 0,0659 0,0461

1962 130589 130179 0,2578 0,0031 132401 0,0833 0,0139

1963 135569 133870 0,2550 0,0125 136341 0,0612 0,0057

1964 144393 139011 0,2528 0,0373 141943 0,1527 0,0170

1965 156481 147901 0,2505 0,0548 151161 0,1381 0,0340

1966 172171 160151 0,2482 0,0698 163861 0,1404 0,0483

1967 172015 166090 0,2450 0,0344 170307 0,1973 0,0099

1968 181604 173010 0,2414 0,0473 177808 0,1623 0,0209

Среднее значение £ПФ1 0,0334 Среднее значение £ПФ3 0,0255

Среднеквадратическое отклонение s 0,0191 Среднеквадратическое отклонение s„ ЬПФ3 0,0178

ЛИТЕРАТУРА

1. Revankar N. S. A Class of Variable Elasticity of Substitution Production Functions // Eco-nometrica, 1971, Vol. 39, № 1, p.p. 61 - 71.

2. Ferguson C. Substitution, Technical Progress and Return to Scale// American Economic Review, LV (May, 1965), p.p. 296 - 305.

3. Экономико-математическое моделирование: Учебник для студентов вузов/ Под общ. Ред. И. Н. Дрогобыцкого. - М.: Издательство «Экзамен», 2004. 800 с.

4. Вольных Е. В., Кутышкин А. В., Никоноров Ю. Г. Построение 5 - однородной производственной VES - функция// Сибирский журнал индустриальной математики, 2007, Том Х, № 2 (30), с. 31 - 44.

5. Бессонов В. А. Проблемы построения производственных функций в российской переходной экономике. - М.: Институт переходной экономики, 2002, 95 с.

6. Knox Lovell C. A. Estimation and Prediction with CES and VES Production Functions // International Economic Review, 1973, Vol. 14, № 3, p.p. 676 - 692.