Волны в упругой среде Коссера

УДК 539.1

М.А. Кулеш, В.П. Матвеенко, И.Н. Шардаков

Институт механики сплошных сред УрО РАН

ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ КОССЕРА

Abstract

Numerical analyses of the wave propagation in Cosserat continuum and comparison with wave propagation in classical continuum have been made. Revealed differences in wave processes in Cosserat continuum and classical continuum could be used in dynamical experiments for moment properties in elastic materials disclosure.

Анализ публикаций по моментной теории упругости свидетельствует, что с момента опубликования работы Коссера [1] интерес к этой теории возрастает с периодичностью в 30 лет. В настоящее время наблюдается очередной пик интереса к этой теме. С одной стороны, этот интерес обусловлен бурным развитием нанотехнологий и потребностью в моделях, описывающих поведение сред с микроструктурой. С другой стороны, в связи с дальнейшим развитием методов сейсмических исследований появляется потребность в физических моделях, более точно описывающих реальные геологические среды.

Например, при развитии представлений микрополярного континуума, учитывающих одновременно и трансляционные смещения, и кинематически независимые микроповороты отдельных блоков, оказалось возможным в рамках одной модели описать процессы распространения тектонических уединенных волн, излучающих сейсмические упругие предвестники [2]. Полученный результат имеет принципиальное значение, так как может быть использован для построения модели очага тектонических землетрясений в рамках микрополярного континуума.

В сейсмических и геофизических исследованиях в настоящее время применяются (хотя и не очень широко) механические [3] или лазерные [4] сенсоры, позволяющие непосредственно измерять скорости поворотов упругой или сейсмической волны в трех перпендикулярных направлениях. Это говорит о принципиальной возможности измерений, показывающих характер связи векторов перемещения и поворота.

В подобных экспериментах зачастую предполагается, что компоненты поворотов связаны с перемещениями соотношением, которое соответствует либо классической теории упругости, либо несимметричной теории со стесненным вращением, например псевдосреде Коссера (см., например, [5]):

0 = 0,5rot u.

В полной линейной теории среды Коссера [1, 6] векторы поворота 0 и перемещения u являются кинематически независимыми. С одной стороны, это приводит к увеличению количества необходимых материальных параметров. С другой стороны, полная теория является физически более правдоподобной, чем, например, псевдосреда Коссера [6].

Известны и другие частные случаи модели среды Коссера, например редуцированная среда Коссера, для которой три из восьми констант полной среды равны нулю и, как следствие, отсутствует тензор моментных напряжений. Впервые эта модель была предложена в [7] для описания сыпучих материалов. Она была исследована в изотропном случае в [8], где рассматривалось распространение волн в

неограниченной трехмерной редуцированной среде Коссера и было показано, что эта модель обладает рядом интересных свойств. Например, для волн сдвига-вращения имеется запрещенная зона частот, где вся энергия уходит на поворотные движения, она не распространяется в среде, а локализуется вблизи источника.

Распространение волн в полной линейной среде Коссера также связано с рядом эффектов. Во-первых, показан факт дисперсии упругих поверхностных волн Рэлея [9, 10], в то время как в классической теории упругости волны Рэлея распространяются без дисперсии. Во-вторых, выполнен подробный анализ компонент перемещений и поворотов [11], а также параметрический анализ поляризационных и дисперсионных характеристик волны Рэлея [12]. В-третьих, для модели среды Коссера наблюдается еще один эффект, связанный с распространением поверхностной поперечной волны с горизонтальной поляризацией. Геометрически такая волна сравнима с волной Лява, однако в классической теории упругости само существование волны Лява как поверхностной волны связано с наличием слоя на полупространстве, и при стремлении толщины слоя к нулю волна Лява переходит в объемную. В [13] показано, что для среды Коссера поверхностная горизонтально поляризованная волна существует и без плоского слоя. Наконец, в [14] получено еще одно решение, не имеющее аналогов в классической теории упругости. Это решение описывает распространяющуюся в тонком слое волну с одной поперечной компонентой вектора перемещения и двумя компонентами вектора поворота. Данная волна имеет еще большее количество мод, чем волна Лэмба, все моды обладают дисперсией, перемещения во всех модах зависят от координаты, перпендикулярной к поверхности слоя.

Однако следует отметить, что в подавляющем большинстве эти работы имеют сугубо теоретический характер. Одной из главных причин, ограничивающих практические приложения несимметричной теории упругости, является отсутствие надежных методов определения материальных констант.

Другим важным обстоятельством является недостаточное количество экспериментов, свидетельствующих о моментных эффектах при упругом деформировании материалов. Важным условием преодоления этих проблем является анализ решений задач несимметричной теории упругости. Целью анализа является определение таких значений параметров (характерные геометрические размеры, их соотношение и т.п.), при которых отклик моментных свойств материала на какую-либо макровеличину (экспериментально измеряемую) максимален. Таким образом, результаты анализа позволят определить наиболее информативные принципиальные схемы возможных экспериментов. Именно проведение подобного анализа и явилось целью данной работы, оно выполнено на основе ранее полученных аналитических решений, описывающих распространение объемных волн, а также плоских поверхностных волн Рэлея и Лэмба в среде Коссера [11, 12, 13, 14].

В следующей части работы приводятся основные уравнения среды Коссера и общее уравнение плоских волн. Далее рассматривается построение частных волновых решений для различных типов волн. Параметрический анализ полученных решений приведен в последней части работы.

1. Постановка задачи

Рассматривается пространство, заполненное упругой изотропной средой, описываемой моделью континуума Коссера [6]. Используется декартова система координат. В направлении оси X распространяется плоская волна. Основные соотношения имеют следующий вид: уравнения движения:

V-ст + X = pii, ст : E + V- д + Y = j0,

геометрические соотношения:

У = Vu - E - 0, х = V0 ,

физические уравнения:

ст = 2ду

В (1.1)—(1.3) X - вектор удельной плотности объемных сил; Y - вектор удельной плотности объемных моментов; у и х - тензоры деформаций и изгиба-кручения; о и д -тензоры напряжений и моментных напряжений; д и X - постоянные Ламе; а, в, у, 8 -физические постоянные материала в рамках упругой среды Коссера; p - плотность; j

- плотность момента инерции (мера инерции среды при вращении); Е- тензор Леви-

тт

Чивиты третьего ранга; у , х симметричные части тензоров у и х; Y , X

антисимметричные части тензоров у и х; V(-) - набла-оператор; !1(-) - первый

инвариант любого тензора; е - единичный тензор [15]. Тензоры у и о в данной модели являются несимметричными.

С учетом (1.1)-( 1.3) уравнения движения для вектора перемещения u и вектора поворота 0 будут иметь вид

(2д + X)grad div u - (д + a)rot rot u + 2a rot 0 + X = pii,

Рис. 1. Плоская волна в упругом полупространстве

В качестве частного случая рассмотрим плоскую волну в упругом полупространстве. В отличие от известных работ [9, 10], в которых авторы

рассматривают только монохроматические волны, следуя методике, описанной, например, в [16], представим общее решение этой системы в виде Фурье-интегралов относительно всех компонент вектора перемещения un (х, г, /) и вектора поворота

0П (X, г, /). Подобное представление характерно тем, что волна, которая распространяется в направлении оси х с фазовой скоростью Ср, не зависит от поперечной координаты у, хотя и имеет поперечную компоненту колебаний и (рис. 1):

+“ л

ип (х, г, t, к(ю)) = | ип (г)ег'(к(ю)х+ю) 5о(ю^ю,

—ад

+“ л

0п

где n = {x, y, z} - координатный индекс, i - мнимая единица, к(ю) - волновое число как функция круговой частоты ю, t - время, Un (z) и Wn (z)- амплитудные функции. Физический смысл имеют здесь только вещественные части компонент векторов перемещения и поворота. Полагаем, что массовые плотности объемных сил и моментов равны нулю.

Неизвестная функция волнового числа к(ю) будет определяться далее из соответствующего алгебраического дисперсионного уравнения, которое получается для каждого типа волны при учете геометрии задачи и однородных граничных условий.

А

Функция S0(ю) задает комплексный спектр Фурье сигнала-источника, который

определяет форму волнового пакета по временной координате.

Немонохроматическое представление в виде ограниченного во временном и Фурье-пространствах волнового пакета произвольной формы выбрано с целью демонстрации дисперсионных свойств волн и сопоставления решений с возможными экспериментальными результатами, представленными в виде сейсмограмм.

Оправданным в данном случае является выполнение непрерывного Фурье-преобразования уравнений движения (1.4) и представления (1.5). Это дает следующую систему относительно Фурье-образов искомых компонент вектора перемещения и поворота (учитываем, что массовых сил и моментов нет):

(2д + A)grad div u - (д + a)rot rot u + 2a rot 0 + рю 2u = 0,

(P + 2y)grad div 0 - (y + s)rot rot 0 + 2a rot u - (4a - /ю 2)0 = 0, где векторы u, 0 с учетом Фурье-преобразования (1.5) имеют вид:

u = Ux (z),Uy (z),Uz (zjfe^S o(t),

0 = Wx (z),Wy (z),Wz (z)}Te,ikxS o(t).

Подставляя (1.7) в (1.6), получим две несвязанные системы дифференциальных уравнений относительно амплитудных Ux (z), иг (z), Wy (z):

(д + a)Ux(z) + (рю2 - к2(A + 2д))их(z) + ik(Л + д - a)U2(z) - 2a Wy(z) = 0,

(A,+2д)U2(z) + (рю2 - к2(д+a))Uz (z) + ik(X+д - a)Ux(z) - 2ikaWy (z)=0,

(y + s)W(z) + (j^2 - к2(y + s) - 4a)Wx(z) + 2a Uz(z) - 2ika Uz(z) = 0

и относительно Uy (z), Wx (z), Wz (z):

(y + s)W'x (z) + (jю2 - к2(p + 2y) - 4a) Wx (z) + ik(p + y - s) W2(z) - 2a Uy (z) = 0,

(д + a)Uy (z) + (рю2 - к2 (д + a))Uy (z) + 2a W'x (z) - 2iha Wz (z) = 0.

Системы (1.8) и (1.9) допускают три различных типа решений. Конкретизируя виды граничных условий, можно получить решение для затухающей с глубиной волны Рэлея в полупространстве, решение для незатухающей с глубиной волны Лэмба в пластине, а также решение для плоских волн с не зависящей от глубины (постоянной по глубине) амплитудой. Первые два типа относятся к классу плоских поверхностных волн, в то время как третий тип соответствует плоским объемным волнам. Ниже приведен подробный анализ этих волновых типов, начиная с объемных волн.

линейных

функций

2. Построение частных волновых решений

2.1. Решение для объемных продольных волн

Решение получается при выполнении условий: Цх (г)=их, иу (г) = 0, (2) = 0,

Жх

и (1.9) получаем два независимых дисперсионных уравнения, одно из которых соответствует продольной волне перемещений

Л. + 2ц

и Г'1 2

^(и) = — , С2 = _Ъ_

С 1 Т2Г^2

Ь1 Ь Шп

рХ 02и2

а второе - продольной волне поворотов

k2 (и) =

--k2 2 k0

С52 =

р + 2у рш20

k0 = 2

а

Р + 2у

'5 Л--0

где L - некоторый характерный размер, Ю0 - некоторая характерная частота,

а С1 - скорость распространения продольной волны в упругой среде.

2.2. Решения для объемных поперечных волн

Решение получается из следующих условий: Цх(г) = 0, Цу(г)=Цу, иг(£) = и2, Жх (г) = 0, Жу (г) = Жу, (г) = . После подстановки в уравнения (1.8) и (1.9) получим

две независимые системы относительно волнового числа и частоты для горизонтально и вертикально поляризованных поперечных волн.

В силу изотропии среды данные уравнения инвариантны относительно поворота системы координат на 90°, поэтому обе системы дают одно и то же дисперсионное уравнение

к4 +

С2 + С

4 А2 - Ц+С-

Сз2С42

Л

и

к2 + -

и

Сз2С42

4А

С

и2 = 0.

Это дисперсионное уравнение имеет два корня:

^(и)=л[ар , k4(ш)=4^т,

где

С2 + С2 Ар = С + С3 и2 - 2А2 + р 2С32С42

+,

и

С4 + С4 - 2С?С2

4 4-^ - 2и2

А2

4Сз4С;

222 С3 С4С2

+ 4 А4

С2 + С2

Ат = С + С3 и2 - 2А2 -

т 2С32С42

и

С4 + С4 - 2С2С2

4 ^3

4^3

4С34С44

ца

- 2и2

С2

С2 = 4

А2

Ц

г2 2 г2 2

Ь 00 рЬ ©0

222 С3 С4 С2

С2 =

+ 4 А 4

ц + а

т2 2

рЬ и0

С2 =

С4 -

у+ 8

С( - скорость распространения поперечных волн в упругой среде.

В поперечной волне, в отличие от продольной волны, компоненты перемещений и поворотов связаны друг с другом:

2

2 1 2 1 2 т„ ри -k ц-k а тт _

= г и г --------------, и г - любое,

у г 2kа г

2 2 2 т„ ри -k ц-k а тт _

= -гЦ,,-----------------, - любое.

г у 2kа у

Раздельное существование этих компонент возможно лишь при а = 0, что следует из уравнения (2.2).

2.3. Общее решение для поверхностной волны

Основным отличительным признаком поверхностных волн является то, что амплитуда волны изменяется (например, затухает) с глубиной. Поэтому, в отличие от предыдущего случая, в решении систем (1.8)—(1.9) для поверхностных волн присутствуют все шесть амплитудных функций Цп (г), Жп (г), п = х, у, 2 . Поэтому оно состоит из двух частей, одна из которых описывает продольно-поперечную эллиптическую волну, а вторая соответствует горизонтально-поперечной волне, затухающей с глубиной.

Таким образом, общее безразмерное решение в перемещениях имеет следующий

вид:

для продольно-поперечной эллиптической волны:

+ад

их (х, 2^| ^Ох1ке ^ + D2v2е~^2 + D3v3e ~^2 + D4iкeу'2 -

-ад

ч Л

-Д'2е'2 - D6v3e^2 } е‘(кх+и) 80 (и)йи,

+ад

и2 (х, 2,t) = | |-Ц'е~у'2 + D2ike22 + D3ike^з2 + D4v1eу'2 +

Л

+D5ike ^2 + D6ike "з2 }ег (кх+и() 8 0(и)^и,

в +ад Г 2 2

0у (х,2Д) = -11 Ог(Д, - |2)е^ + 0,(АГ - ЩТ)е-'•* +

-ад I 3 3

+Д(А -^е-Д(А„ -Щ-)е*32Ь(х-")80(и)йт,

для горизонтально-поперечной волны:

^ +^о (*" 2 л 2/1

иу (х, 2,^ = у ИЕ2(Ат - С2 + -^)е ^ + Е3(Ар - С2 + "^)е ^ +

-ад ^ 4 4

2

+Е,( А, - §Г + 4)е522 + Еб( Ар - -Щт + У4)е532 [ е>кх+") Я,(<о)Л»,

0х (х, 2,t) = | |£1гке 512 + Е252е 522 + Е353е 532 + Е^ке51

-ад

Л

-Е552е522 -Е653е 532}ег(кх+и()80(и)^и,

+ад

02 (х, 2,t) = | |-Е151е~5'2 + Е^ке~522 + Е3гке~532 + Е45е5

-ад

Л

+Еъ\ке522 + Е6гке532 } ег (кх+и() 8 0 (и)^,

где константы Dj и Е] (] = 1,...,6) определяются из граничных условий, а

экспоненциальные показатели Vу- и ^j (у = 1,...,3) даются соотношениями:

V, =

к2

*1 =

к2 + 4С2

С2 FC2

V 2 = 5 2 =

5 2 =т/к2 _ А,,, , Vз = 5з = ^ к2 - Ар

где безразмерные материальные константы В и F имеют вид:

В =

а + ц а

F =

В -1 А2 В

0 у

щШ

и' £ 7

С

а б

Рис. 2. Поверхностные волны в упругом полупространстве: (а) - волна Релея, (б) -

поперечная поверхностная волна

2.4. Волна Рэлея и поперечная поверхностная волна

Решения (2.4)-(2.5) описывают в частном случае хорошо изученные решения

для поверхностной волны Рэлея (рис. 2а), а также для новой поперечной

поверхностной волны в упругом полупространстве (рис. 2б). Данные решения описываются функциями, затухающими с глубиной, то есть константы при

экспонентах с положительными показателями равны нулю: D4 = D5 = D6 = 0 и

Е4 = Е5 = Е6 = 0 .

Граничные условия определяют отсутствие сил и моментов на поверхности полупространства:

О гх 1 г=0 = 0 О ГУ 1 г=0 = 0 О гг 1 г=0 = 0

Ц гх 1 г=0 = 0 Ц ГУ 1 г=0 = 0 Ц гг 1 г=0 = °.

При подстановке решений (2.4)-(2.5) в граничные условия (2.6) получим две однородные системы алгебраических уравнений, из условия разрешимости которых получим далее дисперсионные уравнения для двух типов волн.

Эллиптическая волна Рэлея с компонентами их, иу, 9 у определяется

дисперсионным уравнением [11]

det[Mr

Поперечная поверхностная волна с компонентами иу, 9 х, 9 г определяется дисперсионным уравнением [13]

ёй[М

В приведенных выше дисперсионных уравнениях матрицы Мг (р1, р2, р3) и

М{ (р1, р2, р3) определяются выражениями:

Кр Р2, Рз) =

ю

2к2 -^

с22

2гкр1

Рг

-2кР2

2к2-^

г

ю

-2гкр3

2

Ап - с2

Рз

'3

2к2-^ с2

С ю2А

АР-Ю2 Р /^2

°з у

V

м (Р1, Р2, Рз) =

^ с2

^-с-1

V С42

Ик 1-В

гкРх

Л

Р2

2 +

АС-ю2^

2А2С2 у

(

Рз

Р22 + к 2С

с

к 2 - р1 т^Р2

у

с

2+арс4-ю2 ~] „ 2А2С; у

Р32 + к 2С гкР3

Здесь С - безразмерный параметр,

С =

у-8

У+ 8

2.5. Волна Лэмба в тонком слое

-р»

1 _ _

б

Рис. 3. Распространение волны Лэмба

Для построения решения, описывающего распространение волны Лэмба, в качестве характерного размера выберем половину толщины слоя L = Н (рис. 3). Граничные условия определяют отсутствие сил и моментов на обеих поверхностях слоя:

О гх 1 г=±1 = 0 О гу 1 г= ±1 = 0, О гг 1 г=±1 = 0 Дгх 1 г=±1 = 0 Дгу 1 г=±1 = 0, Дгг 1 г=±1 = 0.

Так же как и ранее, подставляя решения (2.4)-(2.5) в граничные условия (2.9), получим две однородные системы алгебраических уравнений, из условия разрешимости которых получим дисперсионные уравнения для двух типов волн [14].

Волна Лэмба с компонентами их, иг, 9у определяется дисперсионным уравнением

det[Mг ] = 0,

Мг ^ ^ V2, У3) М

М^ ^ НМ-^ -V2, -Н3) Мг(-^ -V2, V2, У3) _

М =

2

2

0

Поперечная волна с компонентами и , в , в определяется дисперсионным

уравнением

det \Ы5 ] = 0,

М(!„ |2, |з)е(|„ |2, |з) М,-&, -^К, -&, -&)'

М (|„ 12, £М^1, ^2, -!з) М (-|„ -£, -|з)е(11, 12, 1з) _

В приведенных выше соотношениях диагональная матрица в(р1, р2, рз) имеет следующий вид:

М5 =

Є(Р1, P2, Рз) =

0

0

0 0

“ р2 0

0 е Рз

3. Анализ решений

Во всех приведенных ниже зависимостях используются гипотетические значения материальных параметров:

Х = 2.8-1010Н/і 2, ц = 4.0-10уІ/і2, р= 105 еа/і

9 т

а = 2.0 -109! /і

Р = 1081 , у = 1.93 6-108!

є = 3.0464 • 1091 , j = 104еа/і .

а

б

Рис. 4. Зависимости фазовых скоростей от частоты в среде Коссера (а) - продольная волна, (б) - поперечная волна

3.1. Объемные продольные волны

На рис. 4, а, 4, б приведены зависимости фазовых скоростей от частоты соответственно для продольной и поперечной волн в среде Коссера. На рис. 4, а сплошной линией обозначена фазовая скорость объемной волны перемещения, штриховой - фазовая скорость объемной волны поворотов, имеющая асимптотическое значение, равное С5 при ш^го, а также вертикальную асимптоту при ш^-ш0. На рис.

4, б сплошной и штриховой линией обозначены две фазовые скорости для двух объемных сдвиговых мод. Они имеют соответственно два асимптотических значения Сз и С4 при ш^го.

3.2. Поверхностные волны

На рис. 5, а, 5, б приведены зависимости относительных фазовых скоростей от частоты соответственно для волны Рэлея и продольно-поперечной волны. На этих рисунках С( - фазовая скорость сдвиговой объемной волны для классической упругой среды. На рис. 5, а сплошной линией изображена фазовая скорость волны Рэлея для среды Коссера, штриховой линией - фазовая скорость волны Рэлея для классической

е

е

3

2

упругой среды. На рис. 5 б сплошная линия изображает фазовую скорость горизонтально-поперечной волны для среды Коссера, штриховая линия - фазовую скорость для объемной сдвиговой волны.

с,,(«ус, СДш)/С,

а б

Рис. 5. Зависимости относительных фазовых скоростей от частоты (а) - для волны Релея, (б) - для продольно-поперечной

с>ус,

с>ус,

а б

Рис. 6. Зависимости относительных фазовых скоростей от частоты (а) - для мод с компонентами их, иг, ву, (б) - для мод с компонентами иу, вх, вz

3.3. Волны в упругой пластине

На рис. 6, а, 6, б приведены зависимости относительных фазовых скоростей от частоты соответственно для мод с компонентами их, щ, 9у и для мод с компонентами иу, 9х, 9г. На рис. 6а сплошные линии изображают фазовые скорости волновых мод с компонентами их, щ, 9у для среды Коссера, штриховые линии - фазовые скорости волновых мод с компонентами их, иг, для классической упругой среды. На рис. 6, б сплошные линии изображают фазовые скорости волновых мод с компонентами иу, 9х, 9г. для среды Коссера. Для классической упругой среды имеет место только бездисперсионная объемная сдвиговая волна, амплитуда которой не зависит от координаты г. Штрихпунктирные линии на рис. 6, а, 6, б определяют асимптотические значения семейств фазовых скоростей при ш^-го.

Результаты численного анализа объемных, поверхностных волн и волн Лэмба в среде Коссера в сопоставлении с соответствующими волнами в классической среде позволили сделать следующие выводы.

Все рассмотренные волны в среде Коссера обладают ярковыраженными дисперсионными свойствами. Особенно ярко это проявляется в объемных и поверхностных волнах, тогда как для классической среды в этих волнах дисперсия отсутствует.

Для поверхностных волн в среде Коссера обнаружен новый тип поверхностных волн с продольно-горизонтальной поляризацией, которые отсутствуют в классической упругой среде.

Анализ волн Лэмба в среде Коссера позволил установить существенные отличия их от соответствующих волн в классической упругой среде. Представленные на рис. 6, б результаты позволяют предсказать новые волновые моды с компонентами uy, 9x, 9z. В рамках классической теории упругости амплитуда этой волны не зависит от глубины, имеет место бездисперсная объемная сдвиговая волна. Несимметричная теория упругости предсказывает значительно более сложное поведение этой поперечной волны: она обладает дисперсией, имеет много волновых мод и ее амплитуда зависит от глубины.

Выявленные отличительные особенности волновых процессов в среде Коссера по сравнению с классической средой могут использоваться и будут использованы в динамических экспериментах по обнаружению фактов проявления моментных свойств в упругих материалах.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 07-01-96029-р-Урал-а, 07-01-12041-офи, 07-01-97613-р-офи).

Библиографический список

1. Cosserat E. The'orie des corps d'eformables / E. Cosserat, F. Cosserat. - Hermann, Paris, 1909.

2. Михайлов Д.Н. Тектонические волны ротационного типа с излучением сейсмических сигналов / Д.Н. Михайлов, В.Н. Николаевский// Физика Земли. - 2000. -№ 10. - C. 3-10.

3. Nigbor R.L. Six-degree-of-freedom ground-motion measurement / R.L. Nigbor // Bulletin of the Seismological Society of America. - 1994. - Vol. 84. - № 5. - P. 1665-1669.

4. Igel H. Rotational motions induced by the M8.1 Tokachi-oki earthquake, September, 25, 2003 / H. Igel, U. Schreiber, A. Flaws, B. Schuberth, A. Velikoseltsev, A. Cochard.// Geophysical research letters. - 2005. - Vol. 32. - L08309. - P. 1-5.

5. Савин Г.Н. Распространение упругих волн в континууме Коссера со стесненным вращением / Г.Н. Савин, А.А. Лукашов, Е.М. Лыско, С.В. Времеенко, Г.Г. Агасьев// Прикладная. механика. - 1970. - T. 6. - № 6. - C. 37-41.

6. Новацкий В. Теория упругости/ В. Новацкий. - М.: Мир. - 1975. - 872 c.

7. Schwartz, L.M. Vibrational modes in granular materials / L.M. Schwartz,

D.L. Johnson, S. Feng// Physical Review Letters. - 1984. - Vol. 52. - № 10. - P. 831-834.

8. Grekova E.F. Wave propagation in rocks modeled as reduced Cosserat continuum /

E.F. Grekova, G.C. Herman// Proceedings of 66th EAGE (European Association of Geoscientists and Engineers) conference, Paris. - 2004. - P098. - P. 1-4.

9. Eringen A.C. Microcontinuum Field Theories. I. Foundation and Solids/

A.C. Eringen. - Springer-Verlag New York, 1998. 319 p.

10. Лялин А.Е. О распространении поверхностных волн в среде Коссера /

A.Е. Лялин, В.А. Пирожков, Р.Д. Степанов// Акустический журнал. - 1982. - T. 28. - №

6. - C. 838-840.

11. Кулеш М.А. Построение и анализ аналитического решения для поверхностной волны Рэлея в рамках континуума Коссера / М.А. Кулеш,

B.П. Матвеенко, И.Н. Шардаков// Прикладная механика и техническая физика. - 2005.

- Т. 46. - № 4. - С. 116-124.

12. Кулеш М.А. Дисперсия и поляризация поверхностных волн Рэлея для среды Коссера / М.А. Кулеш, В.П. Матвеенко, И.Н. Шардаков // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2007. - № 4. - C. 100-113.

13. Кулеш М. А. О распространении упругих поверхностных волн в среде Коссера / М.А. Кулеш, В.П. Матвеенко, И.Н. Шардаков // Акустический журнал. -2006. - T. 52. - № 2. - C. 227-235.

14. Кулеш М.А. Построение аналитического решения волны Лэмба в рамках континуума Коссера / М.А. Кулеш, В.П. Матвеенко, И.Н. Шардаков // Прикладная механика и техническая физика. - 2007.- T. 48. - № 1. - C. 143-150.

15. Корн Г.Справочник по математике (для научных работников и инженеров)/ Г. Корн, Т. Корн. - СПб.: Лань, 2003. - 832 c.

16. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах. / П. Бхатнагар - М.: Мир, 1983. - 134 c.

Получено 10.11.2008.