Об операторе секционной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой

Об операторе секционной кривизны...

УДК 512.81

Об операторе секционной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой*

С.В. Клепикова, О.П. Хромова

Алтайский государственный университет

On the Sectional Curvature Operator of Three-Dimensional Lie Groups with Left-Invariant Lorentzian Metrics

S.V. Klepikova, O.P. Khromova Altai State University

Изучение свойств операторов кривизны представляет интерес в понимании геометрического и топологического строения однородного (псев-до)риманова многообразия. В однородном случае хорошо известны результаты Дж. Милнора, В.Н. Берестовского, Е.Д. Родионова, В.В. Слав-ского о связи между кривизной Риччи, одномерной кривизной и топологией однородного римано-ва пространства.

Дж. Милнор исследовал кривизны левоинва-риантных римановых метрик на группах Ли. Задача о предписанных значениях оператора Риччи на трехмерных римановых локально-однородных пространствах и трехмерных метрических группах Ли была решена О. Ковальским и С. Никше-вич. Аналогичные результаты для операторов одномерной и секционной кривизны были получены Д.Н. Оскорбиным, Е.Д. Родионовым, О.П. Хромовой.

В случае левоинвариантных лоренцевых метрик на группах Ли ситуация представляется менее очевидной. В случае левоинвариантных ло-ренцевых метрик на трехмерных группах Ли известна работа Дж. Кальварузо, О. Ковальского, в которой исследуется задача о существовании группы Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой и заданными значениями спектра оператора Риччи.

В данной работе решена задача о предписанных значениях оператора секционной кривизны на трехмерных метрических группах Ли.

Ключевые слова: алгебры Ли, группы Ли, ле-

воинвариантные лоренцевы метрики, операторы

кривизны, спектр.

БМ 10.14258/izvasu(2017)1-17

The study of curvature operator properties is interesting for understanding of geometrical and topological structure of a homogeneous (pseudo)Riemannian manifold. Some results of J. Milnor, V.N. Berestovskii, E.D. Rodionov, V.V. Slavskii on the connection between the Ricci curvature, one-dimensional curvature and topology of the homogeneous Riemannian space are well known in the homogeneous case.

J. Milnor investigated the curvatures of left-invariant Riemannian metrics on Lie groups. The problem of prescribed values of the Ricci operator on three-dimensional Riemannian locally homogeneous spaces and three-dimensional metric Lie groups was solved by O. Kowalski and S. Nikcevic. Similar results were obtained by D.N. Oskorbin, E.D. Rodionov, O.P. Khromova for the one-dimensional curvature operator and the sectional curvature operator.

The situation is less clear in the case of left-invariant Lorentzian metrics on Lie groups. The problem of existence of a Lie group with left-invariant Lorentzian metrics and prescribed values of Ricci operator spectrum for left-invariant Lorentzian metrics on three-dimensional Lie groups is studied in the paper of G. Calvaruso and O. Kowalski.

In this paper, we consider the problem of prescribed values for the operator of the sectional curvature on three-dimensional metric Lie groups.

Key words: Lie algebras, Lie groups, left-invariant

Lorentzian metrics, curvature operators, spectrum.

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты: №16-01-00336А, №16-31-00048мол_а), Минобрнауки РФ в рамках базовой части государственного задания в сфере научной деятельности ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет» (код проекта: 1148).

Введение, постановка задачи. Задачи о восстановлении (псевдо)риманова многообразия по предписанному спектру оператора кривизны являются актуальным направлением в исследова-

нии операторов кривизны. Римановы локально-однородные пространства с предписанными значениями спектра оператора Риччи были определены О. Ковальским и С. Никшевич в [1]. В случае левоинвариантных лоренцевых метрик на трехмерных группах Ли известна работа Дж. Каль-варузо, О. Ковальского [2], в которой исследуется задача о существовании группы Ли с левоинвари-антной лоренцевой метрикой и заданными значениями спектра оператора Риччи.

Более подробная информация об истории исследований кривизны левоинвариантных (псев-до)римановых метрик на группах Ли содержится в [3-12].

Основная цель данной работы — изучить вопрос о предписанных значениях оператора секционной кривизны на трехмерных метрических группах Ли.

Основные определения и обозначения.

Пусть (О, д) - п-мерная группа Ли с левоинвари-антной (псевдо)римановой метрикой д, {0, [•.•]} -соответствующая алгебра Ли. Пусть V - связность Леви-Чивита.

(Псевдо)риманова метрика д индуцирует скалярное произведение (-, •} на расслоении Л2О по правилу

(Xi Л X2,Yi л У2> =det((Xi,yi>).

Риманов тензор кривизны в любой точке можно рассматривать как оператор К: Л2 С ^ Л2 С, называемый оператором секционной кривизны и определяемый равенством

(X Л Y, K(Z Л T)> = R(X,Y,Z,T).

В отличие от случая римановой метрики, где всегда существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора K диагональна, в лоренцевом случае могут возникнуть различные случаи, известные как типы Сегре (см. [13]). В размерности 3 возможны следующие случаи: {111}, {1zz}, {21}, {3}.

Далее приведем математическую модель, позволяющую вычислять компоненты матрицы K как функции структурных констант cj и метри-

ческого тензора gij (подробнее см. [6,9,14]):

cijs ckj gks, rij,k 2 (cijk cjki + ckij) ,

г?,. = г,- - -ks

Rijkt

gii =

gi3 =

g23

- ij = Г ij,kg cij1 sk,t — 1 jk1 is,t

CSfsk t — П,Tis t + rskfjs.t,

g22 g23 g23 g21

, gi2 =

g32 g33 g33 g31

g21 g22 g33 g31

, g22 =

g31 g32 gi3 gii

g31 g32 gii gi2

, g33 =

gii gi2 g21 g22

K

ii

R

2323

l|gij ll = , Ki2

llgij ll-i, R233i, Ki3

R

2312,

К22 — Дэ131, К23 — Й3112, К33 — Д1212,

К — .

Пусть теперь О - трехмерная группа Ли с ле-воинвариантной лоренцевой метрикой.

Определим структурные константы и удобный для вычисления базис в случае трехмерных групп Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой (см. [2,9,14,15]).

Лемма. Пусть О — трехмерная группа Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой д и алгеброй Ли 0, тогда в 0 существует базис, в котором структурные константы и метрический тензор имеют один из видов, приведенных в таблице 1.

Замечание. Существуют ровно шесть неизоморфных трехмерных унимодулярных алгебр Ли и соответствующих им типов унимодулярных трехмерных групп Ли (см. [3]). Все они приведены в таблице 2 вместе с условиями на структурные константы, при которых алгебра Ли имеет данный тип. Если в таблице 2 на пересечении строки, соответствующей алгебре Ли, и столбца, соответствующему типу, стоит знак " —", значит, что для данной алгебры Ли невозможен соответствующий тип базиса.

Предписанные значения оператора одномерной кривизны К. Приведем результаты изучения вопроса о предписанных значениях оператора секционной кривизны на трехмерных метрических группах Ли.

Теорема 1. Трехмерная унимодулярная алгебра Ли с лоренцевым скалярным произведением, допускающая базис типа А1, и оператором секционной кривизны К существует в том и только в том случае, если К имеет тип Се-гре {111}, и собственные значения к1, к2, к3 удовлетворяют условиям

1. Либо к1 — к2 — кз — 0,

2. Либо ровно два из выражений к1 + к2, к1 + к3, к2 + к3 равны нулю.

Об операторе секционной кривизны.

Таблица 1

Структурные константы и метрический тензор в удобных для вычислений базисах трехмерных

метрических алгебр Ли

Случай С д Ограничения

Алгебра Ли унимодулярна

А1 Сз2 = А3, С31 = А2, сз2 = А1 д22 = дзз = -ди = 1

А2 сзз = с21 = 1, сз2 = 1 - А2, сз1 = 1 + А2, с2з = А1 ди = д22 = -дзз = 1

А3 с12 = С31 = с2з = с2з = 1, Сз1 = С31 = с2з = А дц = д22 = -дзз = 1

А4 сз2 = ^ «и = с2з = Д с21 = Сз2 = а д22 = дзз = -ди = 1 в = 0

Алгебра Ли неунимодулярна

А с1з = А Бт у>, с^ = д сов С2з = А сов у>, с2з = д Бт <р ди = д22 = -дзз = 1 = пк, к € Z, А + д = 0, А > 0, д > 0

В сз1 = ^ сз1 =в с2з = р с2з = я д22 = -д1з = -дз1 = 1 Я = 4

С1 с31 = в с2з = с1з = р с2з = я ди = дзз = -д22 = 1 Я = в

С2 12 2 1 с1з = с2з = я сз1 = г, с2з = р ди = дзз = -д22 = 1 я = 0, Р + г = 0

Таблица 2

Трехмерные унимодулярные метрические алгебры Ли

Алг. Ли Ограничения на структурные константы

А1 А2 А3 А4

Ах < 0, А2, Аз > 0 - - -

в1(2, К) Ах, А2 > 0, А3 < 0 или Ах, А2 < 0, А3 > 0 или Ах, А2, А3 > 0 Ах,А2 = 0 А = 0 А3 = 0

е(2) Ах < 0, А2 > 0, А3 = 0 или Ах < 0, А2 = 0, А3 > 0 или Ах =0, А2, А3 > 0 - - -

е(1,1) Ах, А2 > 0, А3 = 0 или Ах, А3 > 0, А2 =0 Ах = 0, А2 = 0 или Ах = 0, А2 = 0 А = 0 А3 = 0

или Ах =0, А2 > 0, А3 < 0

К Ах < 0, А2, А3 = 0 или Ах = А3 = 0, А2 > 0 или Ах, А2 = 0, А3 > 0 Ах,А2 = 0 - -

К3 Ах, А2, А3 = 0 - - -

Пусть одно из равно нулю, тогда ровно два из выражений + к2, + кз, к2 + кз равны нулю.

Пусть = 0, тогда из равенств

2 = 1

М1 2 (к1 + к2 + кз - кг)2

вытекает, что система разрешима тогда и только тогда, когда

(к1 + к2)(к1 + кз)(к2 + кз) < 0.

Для остальных случаев формулировки и доказательства теорем строятся аналогично.

Заключение. В результате проведенных исследований были даны ответы на часть нерешенных проблем теории операторов кривизны на метрических группах Ли малой размерности, а именно найдены необходимые и достаточные условия существования трехмерной метрической группы Ли с предписанными значениями спектра оператора секционной кривизны.

3. Либо (к1 + к2)(к1 + кз)(к2 + кз) < 0.

Доказательство. Из (1) следует, что матрица оператора секционной кривизны в базисе типа А1 имеет диагональный вид и ее собственные значения действительны и равны

1

к1 = -4(Аз + А1 - А2)2 + А1(А1 - А2), к2 = -^(Аз + А2 - А1)2 + А2(А2 - А1),

кз = - 4 (Аз + А2 - А1) + Аз (Аз - А1).

Пусть = 1 (А1 + А2 + Аз) - Аг. Тогда заметим,

1 2

что

к1 + к2 = -2^1^2, к1 + кз = -2^1^з,

к2 + кз = -2^2Мз.

Пусть как минимум два из равны нулю. Это влечет равенство нулю правых частей у всех трех уравнений, и система имеет решение к1 = к2 = кз = 0.

Библиографический список

1. Kowalski O., Nikcevic S. On Ricci eigenvalues of locally homogeneous Riemann 3-manifolds // Geom. Dedicata. — 1996. — No. 1. DOI: 10.1007/BF00240002.

2. Calvaruso G., Kowalski O. On the Ricci operator of locally homogeneous Lorentzian 3-manifolds // Cent. Eur. J. Math. — 2009. — V. 7(1). DOI: 10.2478/s11533-008-0061-5.

3. Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups // Advances in mathematics. — 1976. — V. 21. DOI: 10.1016/S0001-8708(76)80002-3.

4. Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных ри-мановых метрик на четырехмерных группах Ли. Унимодулярный случай // Матем. труды. — 2008. — Т. 11(2). — С. 115-147. DOI: 10.3103/S1055134409040038.

5. Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Неунимо-дулярный случай // Матем. труды. — 2009. — Т. 12(1). DOI: 10.3103/S1055134410010013.

6. Воронов Д.С., Гладунова О.П. Сигнатура оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2010. — №1/2.

7. Родионов Е.Д., Славский В.В., Чибрико-ва Л.Н. Левоинвариантные лоренцевы метрики на 3-мерных группах Ли с нулевым квадратом длины тензора Схоутена-Вейля // Вестник Алтайского гос. пед. ун-та. — 2004. — №4-3.

8. Никоноров Ю.Г., Родионов Е.Д., Слав-ский В.В. Геометрия однородных римановых мно-

гообразий // Современная математика и ее приложения. - 2006. - Т. 37.

9. Пастухова С.В., Хромова О.П. О сигнатуре оператора тензора кривизны Риччи трехмерных групп Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2015. — № 1/2.DOI: 10.14258/izvasu(2015)1.2-26.

10. Пастухова С.В., Хромова О.П. О предписанных значениях спектров операторов тензоров Риччи и одномерной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками // Дни геометрии в Новосибирске — 2015 : тезисы Междунар. конф. — Новосибирск, 2015.

11. Calvaruso G. Pseudo-Riemannian 3-manifolds with prescribed distinct constant Ricci eigenvalues // Diff. Geom. Appl. — 2008. — V.26. DOI: 10.1016/j.difgeo.2007.11.031.

12. Kowalski O. Nonhomogeneous Riemannian 3-manifolds with distinct constant Ricci eigenvalues // Nagoya Math. J. — 1993. — Vol. 132.

13. Bueken P., Djoric M. Three-dimensional Lorentz metrics and curvature homogeneity of order one // Ann. Glob. Anal. Geom. — 2000. — Vol. 18. DOI: 10.1023/A:1006612120550.

14. Родионов Е.Д., Славский В.В., Чибрико-ва Л.Н. Локально конформно однородные псев-доримановы пространства // Матем. труды. — 2006. — Т. 9(1). DOI: 10.3103/S1055134407030030.

15. Calvaruso G. Homogeneous structures on three-dimensional Lorentzian manifolds // J. Geom. Phys. — 2007. — Vol.57. DOI: 10.1016/j.geomphys.2006.10.005.