Нелинейные преобразования спектров сигналов

РАДИОФИЗИКА

УДК 530.182

Е.Г. Апушкинский

НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СПЕКТРОВ СИГНАЛОВ

Под нелинейным преобразованием спектра сигнала понимают преобразование, при котором спектр исходного входного сигнала нелинейным образом связан со спектром выходного. При этом можно ожидать, что на временной оси кроме исходных импульсных сигналов появятся дополнительные импульсные сигналы. В качестве примеров эффектов, при которых возникают новые импульсы в ответ на воздействие одного и более импульсов, можно привести эхо-явления (рис. 1).

Сегодня известно большое количество эхо-явлений, наблюдаемых в различных областях физики. К ним относятся ядерное и электронное спиновые эха [1, 2], фотонное [3], циклотронное [4], плазменное [5] эха и т. п. В работах [6, 7] выделены общие свойства эхо-явлений.

Рис. 1. Осциллограмма ядерного спинового эха

В наиболее общем понимании эхо — это явление испускания веществом (макросистемой) импульсного излучения, которое возникает спустя некоторое время после облучения этого вещества импульсами внешнего поля и представляет собой процесс самопроизвольного восстановления когерентного состояния излучателей (микросистем), составляющих данное вещество. Эхо возникает в макросистемах, которые можно представить как некоторую совокупность микросистем (осцилляторов) с близкими собственными частотами, способных взаимодействовать с внешним излучением. Осцилляторы должны либо нелинейно взаимодействовать с импульсами внешнего возбуждающего поля, либо обладать собственными нелинейными свойствами. При этих условиях в веществе в момент образования эха возникает такое состояние, при котором макросистема в своем поведении эквивалентна микросистеме, т. е. все осцилляторы колеблются в одинаковой фазе и излучают когерентный сигнал, который и есть эхо-сигнал. При этом длительность любого из возбуждающих импульсов должна быть меньше длительности каждого из трех релаксационных времен, свойственных данной системе осцилляторов, а именно:

Т2 — времени сбоя фаз отдельных осцилляторов за счет различного рода взаимодействий;

Те — времени, характеризующего процесс затухания колебания каждого осциллятора;

Т1 — времени, за которое в системе осцилляторов исчезают все последствия возбуждения, или в краткой записи:

М < Т2, Те, Тъ

где Мт — длительность т-го возбуждающего импульса.

В сущности, процесс взаимодействия излучения с веществом распадается на отдельные взаимодействия излучения с каждым из осцилляторов. Суммирование результатов реакций на внешнее воздействие происходит с учетом функции распределения осцилляторов по собственным частотам [6]. При этом следует повторить, что эхо возникает лишь при условиях, когда процесс данного взаимодействия носит нелинейный характер или сами эти осцилляторы обладают нелинейными свойствами. В последнем случае импульсное поле лишь возбуждает колебания этих осцилляторов [6, 7].

Эхо-сигналы — это новые дополнительные импульсные сигналы, возникающие на временной оси в результате нелинейного преобразования входных импульсных сигналов. Поэтому естественно предположить, как это и было сделано в работе [7], что за возникновение эхо-сигналов ответственно не нелинейное преобразование временного представления сигналов, а нелинейное преобразование их спектров. Таким образом, если в результате взаимодействия отдельного осциллятора с внешним возбуждающим излучением происходит нелинейное преобразование этого излучения в определенной частотной области, то в системе таких осцилляторов может возникнуть эхо-сигнал.

Будем рассматривать каждый из осцилляторов как четырехполюсник, на вход которого подается сигнал s (/) , а на выходе формируется сигнал и] (/) . При этом физическая природа этих воздействий, как и реализация самого четырехполюсника, не принципиальны. Если в соотношении между входными и выходными сигналами выполняется принцип суперпозиции, то такой четырехполюсник называется линейным, а если не выполняется — то нелинейным. В дальнейшем будем рассматривать нелинейные четырехполюсники, у которых спектр выходного сигнала связан со спектром входного, через нелинейное преобразование. Подобное свойство нелинейности может быть обусловлено различными физическими причинами и приводить, например, к зависимости частоты либо коэффициента затухания периодических колебаний нелинейных систем от их амплитуды. Причем данные нелинейные свой-

ства могут проявляться как во время внешнего воздействия, так и без него, когда они являются собственными нелинейными свойствами осциллятора. Рассмотрим, как подобного рода нелинейность отражается на преобразовании реального, ограниченного во времени, физического сигнала. Физически реализуемые сигналы s(t) определены на положительной полуоси времени. Однако преобразование Фурье требует задания исходной функции на всей временной оси. Поэтому доопределим функцию, описывающую входной сигнал, на отрицательную полуось времени четным образом, т. е. будем рассматривать функцию

5 ^) =

s(t), если t > 0;

0, если t = 0; s(-t), если t < 0.

Соответственно, спектр сигнала Б(1) обозначим

5ХЮ) = х(ю) + я (ю),

где

0

а спектр выходного сигнала и() обозначим как

Л1 (ю). Будем рассматривать нелинейное частотное преобразование входного сигнала на 1-м осцилляторе с собственной частотой колебаний Ю; в виде

и 1 ()=£

п=0

ап

где ап(<х>, — коэффициенты, определяющие функцию передачи осциллятора и зависящие не только от ю, , но еще и от Тх, Те, Т2.

В целях экономии места в дальнейшем эти коэффициенты будем обозначать просто ап. При N ^ ж соотношение (1) есть не что иное, как разложение в ряд по ортогональным функциям. Действительно,

+да

£(га) = £ = | 5^)е

—да

допускает представление в ортогональном базисе, в котором возможно разложение входной

п

функции S(t). Следовательно, каждую степень

5 также можно представить в ортогональном

базисе, а значит и вся функция и/ (ю) предста-вима в указанном базисе.

Слагаемое при п = 0 в преобразовании (1) можно интерпретировать как собственные тепловые шумы четырехполюсника, при п = 1 — как обычное линейное преобразование входного сигнала этим четырехполюсником (например, обычная фильтрация), а последующие слагаемые - уже как нелинейное частотное преобразование входного сигнала.

В качестве входного сигнала рассмотрим последовательность М неперекрывающихся импульсов (рис. 2):

М

s ^)sm а-хт),

т=1

где тт - момент начала т-го импульса.

Положим, что каждая функция Sm ^ —тт) и, соответственно, вся сумма S(t) являются вещественными функциями; тогда £(ю) = £ (-ю). Это означает, что спектр сигнала, лежащий в отрицательной области частот, может быть представлен через комплексно-сопряженный спектр того же сигнала на положительной области частот. Тогда, по свойству линейности преобразования Фурье и с учетом теоремы запаздывания, получаем следующее разложение:

М

М

т=1

ЗД = £ £т (ю) =

т=1

5 т Ше ~1ЪТт + 5 т (ю)е4

где I — мнимая единица.

Данный сигнал воздействует на каждый осциллятор (микросистему) вещества (макро-

А/» Д/1

Я—

Рис. 2. Рассматриваемый входной сигнал

систему), причем последовательно; другими словами, на момент воздействия, например, т-го импульса осциллятор уже воспринял все предыдущие т — 1 импульсов, и на частотной нелинейности происходит взаимодействие спектра т-го импульса с результатом реакции осциллятора на предыдущие импульсы. Тогда, если осциллятор обладает частотной нелинейностью, то спектр выходного сигнала от /-го осциллятора после М импульсов будет следовать выражению:

N

их

п=0

М

I ^ т

т=1

С помощью алгебраических преобразований можно представить последнюю формулу следующим образом:

Л N

и1

п=0

(М+п-1)! (М-1)!п! М

Ст П ^ к

т=1

к=1

где Ст — числовые коэффициенты; ик — показатели степени, определяемые путем перебора всевозможных комбинаций от 0 до п, при условии, что

дх + и2 + ... + ик = п.

Общий сигнал, испускаемый веществом, получается из формулы (5) применением обратного преобразования Фурье и суммированием импульсов от всех осцилляторов с учетом функции распределения данных осцилляторов по резонансным частотам. Считая, что данное распределение является непрерывным и описывается функцией распределения Д^), можно заменить суммирование интегрированием и получить формулу для описания сигнала, излучаемого веществом после его облучения последовательностью из М импульсов:

1 да

и ^) = — | ^

(М+п-1)! N (М-1)!п! М

I а I Ст П Sl

п=0 т=1 к=1

ик

е1 т

й Ю/.

п

а

Выходное излучение вещества, которое формируется из вкладов от отдельных осцилляторов, может менять свою интенсивность во времени, если в определенные моменты излучение от отдельных осцилляторов становится синфазным. Естественно, наблюдается синфазное излучение осцилляторов сразу после возбуждающих импульсов (называется свободной индукцией), а также синфазное излучение в виде эхо-сигналов. Длительность сигналов свободной индукции пропорциональна времени

*

расфазировки излучателей Т2 , а длительность эхо-сигналов — примерно в два раза больше. Заметим, что в момент эха фазы сигналов всех осцилляторов одинаковы и не зависят от частоты ю, . Это утверждение, в строгом смысле, справедливо только в момент максимума эхо-сигнала, в процессе же остального эха фазы колебаний отдельных осцилляторов слабо различаются. Во время нарастания эхо-сигнала они сходятся, а во время спада расходятся. В момент максимума эха все вещество ведет себя так же, как каждый отдельный осциллятор, а фаза колебаний каждого осциллятора есть наблюдаемая величина. Вследствие этого, явление эха используется для воспроизведения информации, так как оно позволяет осуществлять перенос когерентности во времени, а сама информация записывается и хранится при этом в виде фаз колебаний.

Продемонстрируем, используя формулу (6), что в системах осцилляторов с частотной нелинейностью возможно формирование эхо-сигналов. Рассмотрим простейший случай воздействия на четырехполюсник двух импульсов: £,(0, начинающегося в момент времени тх, и s2(t), начинающегося в момент т2. Тогда, согласно формуле (6), отклик четырехполюсника со второй степенью нелинейности в области спектров будет выражаться как

Щ) = — | F(щ) |[а0 + а, + &) +

о 1-да

, .2 - - -2 + а21 5х + 25х52 + 52

eшd<я \dщ.

Нас интересует вид сигнала на выходе четырехполюсника после второго импульса, т. е. при t > т2. Характеристики этого сигнала должны зависеть от вида спектров обоих импульсов. В

формуле (7) этому требованию отвечает только слагаемое

Е(га,) | {2а2 2еш ^га

,

которое при t > т2 эха дать не может. Действительно,

5х5 2еш =

^е"^ +

+^хе+гюХ11 ^2е+ ^2е+гюХг

Ситуация изменится, если рассмотреть следующую степень нелинейности в формуле (4). Тогда сигнал на выходе четырехполюсника будет иметь вид

и ^)= Е (/) ПК + а, (5х + 5 2) +

о 1-да

+ аЛ 52 + 25,52 + 52 1 +

+а31 5х + 35х 52 + 35,52 + 52

В этой формуле уже присутствуют слагаемые вида

ад

-2

3а31 5x52 + ^х 52 I е

.

Используем следующее представление для спектров сигналов:

5 т = $ те т + S те т .

Тогда после его подстановки в слагаемые (10) получим, что эхо-сигнал после второго импульса могут дать только три слагаемых:

I ии I ии /

(га,) |(3а;

I, | ^ 1*з

—да 2

+ £Х £2е^"2х2+Хх) +

- 2 -+ s 2е

-т2-2х,)

d га т га,.

Видно, что сигнал, возникающий на удвоенном временном интервале между первым и вторым возбуждающими импульсами, будет

о

давать второе слагаемое. Таким образом, первичное эхо имеет вид

1 да да

* Г^

0 ^ -да

/V* 2

3а3 ^ 2вМ1 "2х2+Х1)

d га

га,

Представляет интерес сравнить этот результат со спектрами двухимпульсных эхо-сигналов различной природы, полученных путем приближенных решений нелинейных дифференциальных уравнений. В работе [8] показано, что при т1 = 0 приближенное решение уравнений Блоха дает для спектра первичного ядерного спинового эха, возникающего в момент времени t = 2т2, следующее выражение:

^ л2

52Т2 = 51 52 .

Аналогичные выражения получены путем приближенного решения нелинейных уравнений для спектров первичных эхо-сигналов, возникающих в высокотемпературных сверхпроводниках [9]. Следовательно, предложенный алгоритм для исследования формы и моментов появления эхо-сигналов хорошо совпадает с полученными ранее экспериментальными и теоретическими результатами.

Исходя из приведенных выше рассуждений, можно сделать вывод, что в случае возбуждения импульсами на одинаковых несущих частотах минимальная степень нелинейности по отношению к входному сигналу, при которой возникает эхо, равна трем. При более высокой степени нелинейности будут наблюдаться дополнительные или вторичные эхо-сигналы в моменты времени t = кх2. Однако для параметрического эха [10], возникающего при возбуждении двумя импульсами, у которых несущие частоты отличаются в два раза (частота второго импульса в два раза больше), минимальная степень нелинейности для возникновения эха будет равна двум. Это следует из формулы (8) и было показано для малосигнального приближения в работе [11] с использованием уравнения Матье.

С помощью предложенного нами механизма определим теперь моменты появления и вид спектров эхо-сигналов, возникающих при возбуждении тремя импульсами с одинаковыми несущими частотами. Согласно формуле (6), отклик после трех импульсов четырехполюсни-

ка, имеющего третью степень нелинейности в области спектров, будет следовать выражению

1 да | да ._

Щ) = — | Дга,)П а, + а, + & + &) + +а21^1 + 2^5 2 + Б 2 + 2^1^ з + 2Б 2 Б з + Бз | +

+ а3(^1 + 3^15 2 + 3^1^ 2 + + 3^1 5 3 + 3^5 3 + 5 2 + 35 2 5 3 +

^ ^2 ~ ~ ~ ^3 +35 2 5 3 + 6515 2 5 3 + 5 3)

eшdъ \ dга ,.

Из последней формулы видно, что эхо-сигналы могут дать только следующие слагаемые:

иесНо(0 = — /Дга,)] \

^ ^2 - -2 а3(3515 2 + 3515 3 +

eшd М га,.

+35 2 5 3 + 6515 2 5 3

Первые три слагаемых данной формулы — это эхо-сигналы, соответствующие возбуждению только двумя импульсами. Они появляются, соответственно, в моменты времени 2т2 от первых двух и в момент времени 2т3 от первого и третьего импульсов. Слагаемое 35253 отвечает за эхо-сигнал, возникающий от второго и третьего импульса в отсутствие первого, т. е. происходит сдвиг начала отсчета и следует считать т2 = 0. Последнее слагаемое — единственное, которое дает эхо после третьего импульса и зависит от вида спектров всех трех импульсов:

515 2 5 3 =1 51е + 51 е+гюх'

52 53е +Х3> + 52 53е ^ +

+52 53е "х3) + ¿2 53ег'ю(Х2^

При т1 = 0 эхо будет в момент времени т2 + т3 и его спектр отвечает формуле 51 s2 53 . Для этого эха спектры, получаемые при теоретическом рассмотрении спинового эха и эха в сверхпро-

А* Л Л

водниках, выражаются как 5152s3 [8, 9]. Отметим, что после третьего импульса наблюдаются еще сигналы в моменты времени 2т3 — т2,

0

Основные параметры эхо-сигналов, возникающих после разных способов возбуждения при различных степенях нелинейности четырехполюсника

N

Комментарий

М

Время появления эха

Спектр

эха

Время появления эха

Спектр

эха

Время появления эха

Спектр эха

Пример эха и соответствующие уравнения

Спектры из решений уравнений

Литература

2

-з

51

2Д/1

-4 «1

>6, 2

-5 51

Ядерное спиновое эхо, система дифференциальных уравнений Блоха:

ди 2

от

+Е{Г)и-1г{Г) = Ъ

2т,

51 52

2т,

Зт,

(51 Г 52 51 52

2т,

Зт,

4т,

("У'2

51 52 51 52

л* л4

51 52

Ядерное спиновое эхо, система дифференциальных уравнений

Блоха: уравнение (14). Фононное эхо: уравнение (15).

5152

5152

т2+т3

51 52 53

т2+т3

(51) 52 53

т2+т3

(51) 52 53 + 5152

2

52

53 +

+ 51 52

53

Ядерное спиновое эхо, система дифференциальных уравнений Блоха: уравнение (14). Фононное эхо:

53

т2+2т3

2т2+т3

2т3 т2

5152 53

51 52 53

^2

5152 53

т2+2т3

2т2+т3

2т3 т2

(^511 52 53 1 52 53

^2

51 I 52 53

дЫ дг1

—с.

^ 3 (ди "21 ~дх

д2и дх2

51 52 53

2,2 51 52 53

2 ди а,

—— = —

12 ОТ р

Окончание таблицы

N 3 4 5 Комментарий

М Время появления эха Спектр эха Время появления эха Спектр эха Время появления эха Спектр эха Пример эха и соответствующие уравнения Спектры из решений уравнений Литература

2т3 Л* 2 , 2

51 52 53

2т2 51 52 «3 2

2т2+2т3 51 52 53

* УЧ -3

т2+Зт3 51 52 53

*-3 Л

Зт2+т3 51 52 53

* Л* -3

Зтз-т2 51 52 53

*-3 Л*

Зт2-т3 51 52 53

^ ~'2^2 'л* 52 Г -2 53 51(52) 53

Обозначения:^/- число входных импульсов, N - степень нелинейности: Д/,т - см. рис. 2. Примечания: 1.Все спектры эхо-сигналов приведены без учета постоянных коэффициентов: 2. Для М = 1 использован прямоугольный импульс длительностью Д/ с гармоническим заполнением: 3. Система уравнений Блоха записана для всех А/ после приведения к одному уравнению [14].

х

7\ 5

14) о

т

2(т3 — т2), 2т3 [8, 9]. Вид этих сигналов, естественно, должен зависеть от всех трех импульсов. Их спектры получаются при учете в рассматриваемом алгоритме, соответственно четвертой для эха в момент 2т3 — т2 и пятой — в моменты 2(т3 — т2), 2т3 — степеней нелинейности для эха. При возбуждении двумя импульсами учет четвертой степени нелинейности дает эхо-сигналы в моменты времени 2т2 и 3т2, а пятой — еще добавляет сигнал при t = 4т2. При возбуждении четырьмя импульсами, после окончания четвертого импульса можно получить пять эхо-сигналов, если учесть в приведенном алгоритме четвертую степень нелинейности. Все эти эхо-сигналы наблюдались экспериментально в работе [ 12]. Отметим, что для получения эха после т импульсов понадобится степень нелинейности п = т.

Используя рассмотренный выше подход, мы можем легко объяснить особенности одно-импульсного эха, наблюдаемого многими авторами [13]. В качестве возбуждающего рассмотрим прямоугольный импульс длительностью Дt с гармоническим заполнением. Функцию, задающую этот импульс, доопределим на отрицательную полуось времени, как и раньше, четным образом. Будем считать, что входной сигнал задается на всей временной оси в следующем виде:

а^т, если X е[0, Дt];

Б^) = <! 0, если t <-At, t >дt;

-а^тra0t, если t е[0,-Дt].

Фурье-образ этой функции будет иметь вид

А{

sin

=

a0 At

sin

2

At 2

i

e

At 2

At 2

, At

i(0-hr

e 2

Очевидно, что минимальная степень нелинейности, при которой может появиться эхо-сигнал на частоте ю0 для t > At, будет N = 3. Это эхо появится при t = 1,5At. Нелинейность N = 4 даст эхо в момент времени t = 2Д^ Оба эти сигнала наблюдались экспериментально [14].

Спектры эхо-сигналов, рассчитанные согласно приведенному выше алгоритму для нелинейности не выше пятой при возбуждении одним, двумя или тремя радиочастотными импульсами, сведены в таблице. В нее включены спектры только тех сигналов, которые возникают после последнего возбуждающего импульса и учитывают спектры всех импульсов последовательности. Для сравнения там же приводятся спектры эхо-сигналов, полученные путем приближенных решений нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих эхо-явления для тех же возбуждений. Отметим, что представленные в таблице спектры не содержат полос пропускания веществ, времен релаксации и постоянных коэффициентов, определяющих их соотношения между собой.

Как видно из данных таблицы, предложенный в настоящей работе алгоритм дает хорошее соответствие с результатами теоретического анализа формы и местоположения эхо-сигналов вне зависимости от их природы. Поэтому он может оказаться полезным как для инженеров-разработчиков радиоаппаратуры, использующих эхо-явления, так и для физиков-исследователей, столкнувшихся с новыми проявлениями этого эффекта. Особенно привлекательным для анализа эхо-сигналов данный алгоритм может оказаться при использовании сложных и шумовых внешних воздействий, когда трудности приближенных решений нелинейных дифференциальных уравнений существенно возрастают.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hahn, E.L. Spin echoes [Текст] / E.L. Hahn // Phys. Rev. - 1950. - Vol. 80. - № 4. - P. 580-594.

2. Blume, R.J. Electron spin relaxation times in sodium-ammonia solutions [Текст] / R.J. Blume //Phys. Rev. - 1958. - Vol. 109. - № 6. - P. 1867-1873.

3. Kurmit, N.A. Observation of a photon echo [Текст] / N.A. Kurmit, I.D. Abella, S.R. Hartman //Phys. Rev. Letters. - 1964. - Vol. 13. - № 9. - P. 567-568.

4. Hill, R.M. Cyclotron resonance echo [Текст] / R.M. Hill, D.E. Kaplan //Phys. Rev. Letters. - 1965. -

Vol. 14. - № 26. - Р. 1062 - 1063.

5. Ikezi, H. Observation of spatial ion-wave echoes [Текст] / H. Ikezi, N. Takahashi //Phys. Rev. Letters. — 1968. - Vol.20. - № 4. - P. 140-142.

6. Корпел, А. Нелинейное эхо, фазовое сопряжение, обращение времени и электронная голография [Текст] / А. Корпел, М. Чаттерджи //ТИИЭР. - 1981. - T. 69. - № 12. - C. 22-43.

7. Рыжак, И.С. Об общих закономерностях формирования каузального нелинейного эха и их применении к многофункциональной обработке сигналов [Текст] / И.С. Рыжак //Радиотехника и электроника. - 2000. - T. 45. - № 1. - C. 5-38.

8. Апушкинский, Е.Г. К вопросу миниатюризации устройств обработки информации на основе ядерного спинового эха [Текст] / Е.Г. Апушкинский, А.В. Казак, О.А. Нестеров //Вопросы радиоэлектроники. -1982. - Сер. ТПО. - Вып. 1. - C. 13-22.

9. Апушкинский, Е.Г. Ультразвуковые и вихревые колебания в высокотемпературных сверхпроводниках [Текст] / Е.Г. Апушкинский, М.С. Астров, В.К. Соболевский //ЖТФ. - 2011. - T. 81 - № 6. - С. 42-50.

10. Петров, М.П. Магнитоупругие колебания и параметрическое эхо в тонких пластинах бората железа [Текст] / М.П. Петров, А.П. Паугурт, И.В. Плешаков, А.В. Иванов //Письма в ЖТФ. — 1985. — Т. 11. - № 19. - С. 1204 - 1207.

11. Нестеров, М.М. Амплитудные и частотные свойства параметрического эхо-сигнала в информационных системах [Текст] / М.М. Нестеров, И.В. Плешаков, Я.А. Фофанов //Научное приборостроение. — 2006. - Т. 16. - № 1. - С. 64 - 71.

12. Тарханов, В.И. Геометрическая алгебра, ЯМР и обработка информации [Текст] / В.И. Тарханов. -СПб.: Изд. СПбГПУ. - 2002. - 214 с.

13. Буньков, Ю.М. Одноимпульсное спиновое эхо в ядерных системах с большим динамическим сдвигом частоты [Текст] / Ю.М. Буньков, Б.С. Думеш, М.И. Куркин //Письма в ЖЭТФ. - 1974. - T. 19. -Вып. 4. - C. 216-219.

14. Barbara, T.M. Integration of Bloch's equations with radiation damping [Текст] / T.M. Barbara // Journal of Magnetic Resonance. - 1992. - Vol. 98. -P. 608-610.