Композиционный способ программирования саккадического движения глаза

олова в композите. При увеличении концентрации олова в композите эффективные модули растут, а при постоянной концентрации практически не зависят от структуры. При увеличении концентрации на 0,1 изменение эффективных модулей составляет примерно 23-27%. Кроме того, сравнение результатов, полученных с помощью аналитических формул и из определения (1)-(3), показало, что аналитические формулы для волокнистого композита дают хорошую точность при концентрации олова не более 0,2.

Значения эффективных модулей для различных сеток

Кон N Кв Тр пР Кв тР пР Кв тР пР Кв тР пР

С*2222 С*2233 Сзззз С*2323

49 109,19 108,83 107,37 57,39 58,03 58,15 109,19 109,2 107,36 25,09 25,36 24,89

25 110,73 109,19 107,73 57,74 58,15 58,03 110,73 108,98 108,73 25,9 25,25 24,67

0,14 16 110,82 108,97 107,6 57,65 57,87 57,93 110,82 108,67 107,47 26,35 25,41 24,78

9 112,4 109,58 108,76 57,96 57,92 58,06 112,4 109,3 107,6 27,54 25,83 25,49

4 116,25 111 107,37 58,83 58,04 57,73 116,25 110,75 108,01 30,29 26,87 24,73

144 137,86 135,62 135,16 66,55 68,98 68,65 137,86 134,66 138,02 30,19 31,18 31,17

36 137,56 134,98 134,22 66,76 68,72 67,75 137,56 134,25 134,65 31,54 31,59 30,66

0,28 16 139,17 138,8 134,91 67,16 68,71 68,42 139,17 135 133,7 33,47 32,49 32,23

9 141,78 137,09 137,25 67,85 68,22 67,91 141,78 136,48 133,54 35,86 34,43 32,08

4 148,27 138,84 135,16 69,7 68,06 68,52 148,27 136,23 135,2 41,25 34,96 33,55

144 167,83 164,94 164,77 75,48 79,76 78,11 167,83 161,75 169,56 35,5 37,97 36,99

36 169,34 169,97 167,09 76,52 80,07 79,96 169,34 162,03 167,85 37,55 39,31 39,33

0,41 16 171,88 173,29 166,57 77,49 80,45 80,15 171,88 163,79 169,3 40,29 40,84 40,28

9 174,86 176,67 171,89 78,52 80,75 79,42 174,86 165,79 170,97 43,42 42,5 41,39

4 182,84 183,9 164,89 81,21 81,65 78,52 182,84 169,98 170,54 50,67 46,08 39,76

0,5 64 204,72 202,82 203,68 86,46 92,58 90,41 204,72 198,28 208,41 42,32 47,11 44,73

64 204,72 202,82 203,68 86,46 92,58 90,41 204,72 198,28 208,41 42,32 47,11 44,73

Авторы выражают благодарность профессору В. Мюллеру и ассистенту Т. Бему (Technische Universität, Berlin), предоставившим оцифрованные фотографии микроструктуры сплава. Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 07-01-92111-ГФЕН.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Dreyer W, Müller W.H. A study of the coarsening in tin/lead solders // Int. J. Solids and Struct. 2000. 37. 3841-3871.

2. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.

3. Бардзокас Д.И., Зобнин А.И. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры. М.: Эдиториал УРСС, 2003.

4. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982.

Поступила в редакцию 14.12.2009

УДК 531.396

КОМПОЗИЦИОННЫЙ СПОСОБ ПРОГРАММИРОВАНИЯ САККАДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ГЛАЗА

А. Г. Якушев1

Саккада — это быстрое скачкообразное движение глаз, которое формируется нервной системой еще до своего начала, а затем осуществляется как программное глазодвигательными мышцами. В работе последние моделируются как вязкоупругие элементы, а про-

1 Якушев Андрей Германович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. лаб. математического обеспечения имитационных динамических систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: moids@yandex.ru.

граммное управление строится как сумма четырех компонент (тонической, статической, кинематической и динамической), причем так, что при сокращении одной мышцы ее антагонист расслабляется. При этих предположениях программное управление определяется как функция времени и параметров скачка.

Ключевые слова: саккада, глаз, экстраокулярные мышцы, программирование движения.

A saccade is a fast spasmodic movement of an eye formed by the central nervous system before the beginning of the movement and is realized by oculomotor muscles as a programmed movement. These muscles are modeled as viscoelastic contractile elements. The programmed control is defined as a time function and is considered as a sum of four components (tonic, static, kinematic, and dynamic) under the following assumption: when a muscle contracts, the corresponding antogonistic muscle becomes elongated.

Key words: saccade, eye, extraocular muscles, movement programming.

1. Введение. Быстрое скачкообразное синхронное движение обоих глаз, осуществляемое, например, при смене точек фиксации взора, называют саккадой. Быстрая фаза нистагма тоже реализуется с помощью саккады. В работе [1] указывается, что "моторные акты выполняются с генетически закрепленными программами. Одним из таких генетически закрепленных механизмов являются глазные скачки". Это мнение получило широкое подтверждение и в зарубежной научной литературе [2, 3]. Сейчас является общепризнанным, что саккада полностью формируется до своего начала, осуществляется как программное движение и корректируется только в случае промаха.

В [4] отмечается, что все саккады (точные, ошибочные, коррекционные, в темноте и на свету) в составе всех поворотов независимо от различных начальных и конечных условий имеют скорости, хорошо укладывающиеся на единую универсальную кривую. Такую зависимость принято называть "законом универсальных скачков".

Данная работа посвящена построению программного управления, реализующего универсальную саккаду при заданных значениях ее амплитуды и длительности.

2. Уравнение движения. Запишем уравнение движения глаза для случая поворота вокруг вертикальной оси. Поворот глаза в этом случае осуществляется двумя мышцами — внутренней и наружной прямыми мышцами. Глаз будем считать твердым однородным шаром массы M и радиуса R, центр вращения которого совпадает с геометрическим центром. В точках A и C к глазу прикрепляются глазодвигательные мышцы, другими своими концами они связаны с сухожильным кольцом в точках B и D (рисунок). Мышцы, изображаемые кривыми AB и CD, расположены в горизонтальной плоскости, проходящей через центр шара.

Уравнение движения глаза следует из теоремы об изменении кинетического момента:

1

где I = |MR2 — момент инерции глаза относительно оси вращения; ip — угол поворота глаза; Fi и F2 — силы, развиваемые мышцами. Для каждой мышцы величину развиваемой силы считаем положительной, если она является тянущей.

Для определения сил Fi и F2 воспользуемся вязкоупругой моделью мышечного сокращения, как и в работах [5, 6], но в соответствии с принятым соглашением о знаках, что дает нам уравнение

F = k

где l — текущая длина мышцы, lo — ее свободная длина, k — коэффициент упругости мышцы, g — коэффициент вязкого трения, v — управляющий параметр.

Будем считать, что при поворотах глазного яблока экстраокулярные мышцы своими передними концами остаются "намотанными" на поверхность глаза (см. рисунок). Это предположение позволяет выразить длину мышцы в зависимости от угла поворота глаза р:

li = lo - Rp

Пусть саккада начинается из некоторого положения ро и характеризуется двумя свободными параметрами — амплитудой A и длительностью T. Тогда движение глаза можно описать гармоническим

Правый глаз, вид сверху: 1 и 2 — внутренняя и внешняя прямые экстраокулярные мышцы

законом

Ai nt\

<fi

3. Дополняющее предположение. В монографии [7] выполнена большая работа по изучению, анализу и разработке программ движения отдельных кинематических цепей тела человека, в том числе и глаза, при этом была установлена неполнота программ. Для разрешения проблемы неполноты в [7] был предложен принцип дополнения: "Если программа не полна, то всегда можно поставить дополнительные цели таким образом, чтобы получить полную программу". Поэтому многие авторы, используя вязкоупру-гую модель мышечного сокращения, принимают различные допущения для доопределения программы движения. Например, в работах [5, 6] саккадическое движение или строится как баллистическое с постоянным значением управления только одной мышцей, или совершается усилиями одной мышцы, тогда как мышца-антагонист создает пассивное вязкоупругое сопротивление повороту глаза.

Сделаем иное дополняющее предположение. Еще в 1626 г. Р. Декарт высказал гипотезу (ныне известную как закон Шеррингтона) о том, что при сокращении мышцы ее непосредственный антагонист расслабляется в равной мере. Для реализации этого закона будем считать, что управление v в уравнении (2) для мышечного усилия является суммой четырех составляющих: тонической vT, статической vc, кинематической vK и динамической ид :

v = vt + vc + vk + Vд.

Каждая из этих составляющих определяется независимо и вычисляется однозначно по текущим значениям угла, скорости и ускорения поворота глаза. Тоническая составляющая постоянна и равна известной доле от максимальной силы, развиваемой мышцей: viT = v2T = ^ • vmax. Статическая компонента управления находится из условия, что в стационарном положении, определяемом углом ф, при нулевых угловых скорости и ускорении глаза упругая сила, действующая со стороны каждой мышцы (не считая тонической компоненты), равна нулю. С учетом выражений (3) получаем

Fic = k(li(p) - lo) +vic = 0, i = 1, 2 ^ vic = kRp, v2c = -kRp.

Кинематическую компоненту определим так, чтобы при движении глаза с постоянной угловой скоростью мышца точно компенсировала свое вязкое сопротивление:

gli + viK = 0, i = 1, 2 ^ viK = -Rp, v2k = Rp.

Динамические составляющие определяются в зависимости от знака углового ускорения глаза следующим образом:

1Чд (t)=0 при ф > °

v^(t) • v^(t) = ° причем < ..

|^2д(t) = 0 при ф < 0.

Для ненулевой компоненты управления, используя уравнение (1), получаем выражение

Таким образом, управление (5) для каждой мышцы полностью определено.

4. Программирование саккады. Используя полученные выражения для компонент управления v, запишем программу управления глазодвигательными мышцами при саккаде. Итак, пусть траектория глаза при саккаде определяется выражением (4). На отрезке времени [0; Т/2] движение глаза будет ускоренным, поэтому v^(t) = 0, а на отрезке [Т/2; Т] движение будет замедленным, поэтому v2^t) = 0. Таким образом, можно полностью выписать программное управление (5) мышцами глаза при саккаде (4) как функцию времени:

при t G

Т 0; -' 2

, / A\\ nAR . nt „rJn2M k\ nt ^^max + kR\(fio + — J j +g—^-sm— + AR I ~ - J COS —,

/ / A W nAR nt AR nt

(/Wmax — kRlipo + тН ) -9-^jrsm — + к — cos— ;

при t G

T

; T

VVmax + kR\^po + - kR\yо +

nAR nt , AR nt + —cos-,

nAR nt k n2M

9 ^ sm — + A/i ( — —

2T

T

5T 2

cos

irt

Программа вырабатывается нервной системой благодаря многократному повторению саккадического движения и его коррекции. Поэтому значения физиологических параметров, необходимых для реализации программы движения, определяются опытом и постоянно корректируются при каждом повторении саккады. В работе [8] о процессе выработки двигательных навыков сказано следующее: "... координация есть не какая-то особая точность или тонкость эффекторных нервных импульсов, а особая группа физиологических механизмов, создающих непрерывное организованное циклическое взаимодействие между рецепторным и эффекторным процессом".

Таким образом, мышечное управление для каждой саккады строится на основе опыта, приобретенного в прошлом, путем определения значений свободных параметров — амплитуды А и длительности Т. При этом информация от экстраокулярных механорецепторов не используется.

Такой способ построения закона управления может быть использован для математического моделирования программной динамики глазодвигательного аппарата при саккаде.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 09-01-00809.

2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Митькин А.А., Сергиенко Е.А., Ямщиков А.Н. Некоторые формы поведения в раннем онтогенезе человека // Системный анализ механизмов поведения. М.: Наука, 1978. 58-69.

2. Ciuffreda K.J.J., Kenyan R.V., Stark L. Abnormal saccadic substitution during small-amplitude pursuit tracking in amblyopic eyes // Invest. Ophtalmol. Vis. Sci. 1979. 18, N 5. 506-516.

3. Ran S., Rabinsan D.A., Skavenski A.A. Saccades and quick phase of nystagmus // Vis. Res. 1972. 12, N 12. 2015-2020.

4. Гуревич Б.Х. Движения глаз как основа пространственного зрения и как модель поведения. Л.: Наука, 1971.

5. Фельдман А.Г. Центральные и рефлекторные механизмы управления движениями. М.: Наука, 1979.

6. Egerstedt M., Martin C. A control theoretic model of the combined planar motion of the human head and eye // Appl. Math. and Comput. 1998. 60. 61-95.

7. Коренев Г.В. Введение в механику человека. М.: Наука, 1977.

8. Бернштейн Н.А. Биомеханика и физиология движений / Под ред. В. П. Зинченко. М.: Институт практической психологии; Воронеж: НПО "МОДЭК", 1997.

Поступила в редакцию 15.03.2010

УДК 539.3

О ПОСТРОЕНИИ ТЕНЗОРА ЭШЕЛБИ ДЛЯ СЛАБОАНИЗОТРОПНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ

В. А. Березкин1

Представлен способ построения внутреннего тензора Эшелби для слабоанизотропной упругой среды.

Ключевые слова: тензор Эшелби, сферическое включение, слабая анизотропия.

A method of constructing the internal Eshelby tensor for a weak anisotropy elastic medium is proposed.

Key words: Eshelby tensor, spherical inclusion, weak anisotropy.

1 Березкин Василий Александрович — студ. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: v_berezkin@mail.ru.