Определение закона распределения скорости свободного движения легковых автомобилей

СТРОИТЕЛЬСТВО И АРХИТЕКТУРА

УДК 625.72

В.А. Гусев

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ СВОБОДНОГО ДВИЖЕНИЯ ЛЕГКОВЫХ АВТОМОБИЛЕЙ

Скорость свободного движения - случайная величина и зависит от многих параметров. Чтобы обеспечить безопасность транспортного потока на автомобильной дороге, необходимо знать закон распределения скорости свободного движения легковых автомобилей. Скорость транспортного потока рассчитывают на основе среднего значения скорости свободного движения. Представлены результаты экспериментальных исследований скорости свободного движения, определен закон распределения, которому она подчиняется.

Скорость, скорость свободного движения, интенсивность транспортного потока, дорожные условия, распределение скорости

V.A. Gusev

DEFING THE DISTRIBUTION LAW FOR THE FREE RUNNING SPEED

OF MOTOR VEHICLES

The free running speed is a random variable and depends on many parameters. It is necessary to know the distribution law of the free running speed for cars to ensure traffic safety. The traffic flow speed is calculated by the average free running speed. The article deals with the experimental study of the free running speed for cars and the definition of the distribution law.

Speed, free running speed, traffic flow rate, road conditions, speed distribution

Одним из важнейших показателей, характеризующих дорожное движение транспортного потока, является скорость. График изменения скорости может служить наиболее объективной характеристикой процесса движения автомобилей по дороге. Для оценки состояния безопасности движения на автомобильных дорогах необходимо получать данные об изменении скорости всех транспортных средств на протяжении всего маршрута движения, т.е. непрерывно автоматически записывать скорости для каждого автомобиля и затем их обрабатывать. В настоящее время с развитием информационных технологий и внедрением автоматизированного сбора и обработки различных характеристик движения автомобилей возможно получение данных о скоростях для множества движущихся автомобилей. У нас в стране в крупных городах внедряются программные комплексы интеллектуальных транспортных систем, с помощью которых скорости движения автомобилей устанавливаются автоматически.

При проектировании и реконструкции автомобильной дороги принято оценивать скорость движения транспортных средств мгновенными значениями, зафиксированными в отдельных типичных точках дороги [1].

Водители используют максимально возможную скорость автомобиля лишь кратковременно и в исключительных случаях. Водитель стремится выбрать наиболее целесообразный режим скорости, исходя из двух главных критериев - минимально возможных затрат времени и обеспечения безопасности движения.

Скорость транспортного потока может быть определена в зависимости от скорости свободного движения транспортных средств в конкретных дорожных условиях [2]. Скорость свободного дви-

жения обеспечивается, когда автомобили находятся друг от друга на расстоянии, на преодоление которого требуется не менее 8 секунд. Скорость свободного движения зависит от многих факторов: дорожных условий, состояния дорожного полотна, психофизиологических качеств и поведения самого водителя, метеорологических условий. Все они оказывают существенное влияние на скорость свободного движения.

Для определения: скорости свободного движения, закона ее распределения и для разработки математической модели по оценке риска движения автомобилей в транспортном потоке были проведены исследования на автомобильной дороге федерального значения Р158 Нижний Новгород - Саратов в пределах Саратовской области. Наблюдения проводились в эталонных условиях на перегоне: на горизонтальном, прямолинейном участке автомобильной дороги длиной 100 м в сухую безветренную погоду при температуре 200, геометрическая видимость 750 м, покрытие ровное с шероховатой обработкой, чистое. Неблагоприятные дорожные условия на участке отсутствовали. Измерения свободных скоростей движения легковых автомобилей проводились на одном и том же участке дороги, в одно и то же время с 10 утра до 16 часов дня, в разные дни недели. Было проведено 3 серии испытаний. Подробно описывается статистическая обработка одного испытания.

Для обработки экспериментальных данных применяем методы математической статистики. Составим дискретный ряд распределения свободных скоростей движения легковых автомобилей табл. 1.

Таблица 1

Ряд распределения скорости свободного движения легковых автомобилей

Интервал скоростей, м/с 18-20 20-22 22-24 24-26 26-28 28-30 30-32 32-34 34-36 36-38 38-40

Середина интервала, V7 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

Частота, П 1 2 7 12 17 12 10 8 6 3 2

Количество проводимых измерений принимаем не менее числа, определяемого методами математической статистики:

<2 _2

п =

Д2

где / - коэффициент значимости (при доверительной вероятности, равной 95 %, ¿=1,96); о - средне-квадратическое отклонение измеряемого параметра (скорости свободного движения м/с); А - заданная точность для определения средней скорости свободного движения легкового автомобиля, м/с (А=1,5 м/с или 5,4 км/ч).

Средняя скорость определяется по формуле

1 п

уср =-& ,

п

где V -скорость свободного движения /-автомобиля, м/с; п - количество измерений, п =

1=1

Среднеквадратическое отклонение вычисляется по формуле

E(v - v* )2

s = Ц ^---,

n-1

где Vi - скорость свободного движения 7-го автомобиля, м/с; Vср - среднее значение скорости свободного движения, м/с.

Расчеты основных статистических показателей: средней скорости свободного движения, среднеквадратического отклонения скорости свободного движения выполнены в Microsoft Excel. При

80 измерениях: Vcp = 27,71 м/с (99,76 км/ч); дисперсия S = 33,64 м2/с2; Sv 33,64 = 5,75 м/с (20,71 км/ч).

Для сравнения приведены расчеты (см. табл. 2) с использованием мультипликативного метода и метода суммирования для определения средних значений и среднеквадратических отклонений скорости свободного движения легкового автомобиля [1].

Таблица 2

Статистическая обработка наблюдаемых скоростей свободного движения легкового автомобиля на участке дороги Нижний Новгород-Саратов

Разряды интервалов скоростей, м/с Середина разряда, м/с V1 Абсолютная частота, т: Частичная сумма, Зт Накопленная частота, Т Середина условного интервала, 1т 1т• т1 1 2 1т ¡т2^ т1

18-20 19 1 1 1 -5 -5 25 25

20-22 21 2 3 4 -4 -8 16 32

22-24 23 7 10 14 -3 -21 9 63

24-26 25 12 22 36 -2 -24 4 48

26-28 27 17 39 75 -1 -17 1 17

28-30 29= ^ 12 51 126 0 0 0 0

30-32 31 10 61 187 1 10 1 10

32-34 33 8 69 256 2 16 4 32

34-36 35 6 75 331 3 18 9 54

36-38 37 3 78 409 4 12 16 48

38-40 39= V 2 80 489 5 10 25 50

п=80 М=489 17=1928 В=-9 А=379

Получили:

по методу суммирования, при d=2 (ё - разность между равностоящими вариантами, М - сумма частичных сумм, Т - сумма накопленных частот): средняя скорость свободного движения

^ = Ъ - d •

М -1

п

= 39 - 2 •

489

80

-1

= 28,78 м/с;

дисперсия о

d

2 (

п - 1

2 • £ Т - М -

М

2

_4_ 79

(

2 • 1928 - 489 --

479 80

2

= 19,13 м2/с2;

среднеквадратическое отклонение скорости свободного движения ог = л]о2 = 4,37 м/с. по мультипликативному методу:

ё 2

средняя скорость свободного движения V = V +— В = 29 +--(- 9) =28,78 м/с;

ср а п 80

дисперсия о

d

2

п-1

А -

В

2

_4_ 79

(

379 -

(-9) 79

2

=19,13 м2/с2

среднеквадратическое отклонение скорости свободного движения =^0^ = 4,37 м/с.

Расчеты статистических параметров по приближенным методам: мультипликативному методу и методу суммирования совпадают.

Коэффициент вариации подсчитываем по формуле

с

о

ср

где 0V - среднеквадратическое отклонение свободной скорости, м/с, V ср - средняя скорость свободного движения, м/с.

5 75 = ^^ = 0,21.

27,71

Коэффициент вариации (относительный показатель) применяют не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности. Для распределений, близких к нормальному, совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 0,33. В нашем случае коэффициент вариации равен 0,21 - совокупность однородна.

п

п

Нормальное, или гауссовское, распределение широко применяется во многих областях знаний и прикладных исследованиях. Многие параметры физических величин, вне зависимости от их природы, подчиняются такому распределению.

Выдвигаем гипотезу о том, что скорость свободного движения легкового автомобиля распределена по нормальному закону. Определим степень соответствия экспериментальных данных нормальному закону распределения. Выполним сравнение фактического распределения с законом нор-

2

мального распределения по критерию согласия Пирсона С  Для этого подсчитаем теоретические

2

значения и сравним их с эмпирическими (см. табл. 3). Вычисляем Сф по формуле

Сф = I ^^,

.=1 п

где Пэ - частота, полученная экспериментально; п - теоретическая частота. Теоретическую частоту вычисляем по формуле

п = Рп,

где Р. - вероятность появления величины скорости свободного движения.

Для вычисления теоретических частот подсчитаем вероятность Р. по формуле [3]:

Р = Ф

- V >

г+1 ср

У,

-Ф

( V. — V >

г ср

У

где Ф(и) - функция Лапласа; V. и vг+l - правая и левая границы скоростей свободного движения в интервалах; Vср и - средняя скорость свободного движения и ее среднеквадратическое отклонение, м/с.

Для использования критерия Пирсона малочисленные частоты первых и последних двух интервалов объединяем.

2

Сумма последнего столбца определяет фактическую величину критерия Пирсона %ф = 4,08.

2

Эта величина сравнивается с предельными значением Скр , значения которого даны в статистической таблице (см. приложение 5 [3]) в зависимости от уровня значимости и числа степеней свободы к = s — 3, где 5 - число групп, на которые разбита выборка.

При использовании критерия Пирсона число степеней свободы вычисляем по формуле к = 5 — 1 — т, где т - число параметров, оцениваемых по выборке. Нормальное распределение определяется двумя параметрами: математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением У. Т.к. оба этих параметра оцениваются по выборке (в качестве оценки а принимают выборочную среднюю, в качестве оценки ( - выборочное среднеквадратическое отклонение), то т=2, следовательно к = 8 — 3 = 5 .

Таблица 3

Сравнение эмпирического распределения скорости свободного движения легковых автомобилей с законом нормального распределения

Разряды интервалов скоростей, м/с Абсолютная частота, Пэ Вероятность попадания в разряд, Р1 Теоретическое Количество измерений в разряде, т (П(=РГП) (п — п )2 п

<22 10 0,1191 9,52 0,02

24-26 12 0,1258 10,07 0,37

26-28 17 0,1752 14,02 0,64

28-30 12 0,1930 15,44 0,77

30-32 10 0,1682 13,45 0,89

32-34 8 0,1159 9,27 0,17

34-36 6 0,0632 5,06 0,18

>36 5 0,0397 3,18 1,05

1=80 1=1,0 1=80,0 2 Сф = 4,08

При уровне значимости а = 0,05 и к=5, Ср = %СР (а, к) = %1р (0,05; 5) = 11,1. В нашем случае

4,08 < 11,1, т.е. Сф < ХкР- нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной

совокупности [3]. Эмпирические и теоретические частоты отличаются незначительно, т.е. скорость свободного движения легкового автомобиля подчиняется нормальному закону распределения.

Доверительный интервал нормально распределенной величины определяем по формуле

а а

VСр - ^ < а < VСр + ^, л/И Л/и

где ау - исправленное среднеквадратическое отклонение скорости свободного движения м/с; V ср

- средняя скорость свободного движения, м/с; ¿у = ¿(у,И) находим по таблице (см. приложение 3 [3]), У - надежность и и - объем выборки. В нашем случае У

= ¿(у,и) = ¿(0,05; 80) = 1,991»2,0. Тогда 27,71-2• 5,75/л/80 < а < 27,71+ 2• 5,75/^/80; 26,41 < а < 29,00

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что средняя скорость свободного движения в генеральной совокупности находится в пределах от 26,41 м/с до 29,00 м/с (или в пределах от 95,08 км/ч до 104,40 км/ч).

Плотность распределения вероятности случайной величины имеет вид

1

/ (V)-

тв

( Ж-а )2 2а2

а42ж

где а - исправленное среднеквадратическое отклонение; а - математическое ожидание.

В нашем случае при средней скорости свободного движения V ср и среднеквадратическом отклонении а у плотность распределения вероятности скорости свободного движения принимает 1

вид / (V):

:в

(V ^ср )2

" 2а2

. На рис. 1 показана гистограмма распределения и плотность вероятности

распределения. Функция распределения показана на рис. 2. 0,25 -г

0,2 --

0,15 --

0,1 --

0,05

экспериментальное распределение

1,2 1

0,8 0,6 0,4 0,2 0 И

// А»

теоретическая «г \ Г ч

\

экспериментальная

1—1—[— скорость, м/с —1—1—1—1—1—1—1—1

15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

Рис. 1. Гистограмма и плотность вероятности распределения скорости свободного движения

15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

Рис. 2. Функция распределения скорости свободного движения

Выводы. Исследование плотностей распределения скорости свободного движения легковых автомобилей показало, что скорости движения согласуются с гипотезой о нормальном распределе-

0

нии. Следовательно, для вывода основных формул оценки риска по пропуску транспортных потоков можно использовать закон нормального распределения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Столяров В.В. Проектирование автомобильных дорог с учетом теории риска: в 2 ч. / В.В. Столяров. Саратов: СГТУ, 1994. Ч. 1. 184 с.; Ч. 2. 232 с.

2. Семенова Н.С. Оценка длин переходно-скоростных полос на транспортных развязках с учётом закономерностей движения транспортных потоков / Н.С. Семенова, В.В. Столяров // Вестник СГТУ. - 2011. - №4 (60). - Вып.2 . - С.181-184.

3. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. - М.: Высш.шк., 2004. - 404 с.

Гусев Владимир Анатольевич -

аспирант кафедры «Транспортное строительство» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Vladimir A. Gusev -

Postgraduate

Department of Construction and Transportation Engineering, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Статья поступила в редакцию 15.03.14, принята к опубликованию 15.05.14