Полиэдральные конструкции, связанныесквази-метриками

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 16 Выпуск 2

УДК 519.1

ПОЛИЭДРАЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАЗИ-МЕТРИКАМИ

М. М. Деза

Аннотация

В данной работе рассмотрены проблемы, связанные с построением и исследованием конусов и многогранников конечных квази-метрик, которые являются несимметричными аналогами классических метрик.

Во введении рассмотрена история вопроса, приведены примеры использования метрик и квазиметрик в математике и ее приложениях, в том числе задачи, связанные с проблемой максимального разреза.

В первом разделе даны определения конечных метрики и полуметрики, а также их важнейших частных случаев: разреза, мультиразреза и гиперсемиметрики; построены конусы и многогранники указанных объектов; исследованы их свойства. Рассмотрены связи конуса разрезов с метрическими 1\-пространствами. Особое внимание уделено симметриям построенных конусов, которые состоят из перестановок и так называемых свичингов; именно преобразование свичинга служит основанием для выбора неравенств, определяющих соответствующий многогранник.

Во втором разделе рассмотрены конечные квази-метрики и квази-по-луметрики, которые являются несимметричным аналогом конечных ме-тик и полуметрик; даны определения ориентированного разреза и ориентированного мультиразреза — важнейших частных случаев квази-полу-метрики; введены понятия взвешиваемой квази-метрики и родственной ей частичной метрики; построены конусы и многогранники указанных объектов; исследованы их свойства. Рассмотрены связи ориентированных разрезов с кази-метрическим ¿1-пространством. Особое внимание уделено симметриям построенных конусов, которые состоят из перестановок и ориентированных свичингов; как и в симметричном случае, преобразование ориентированного свичинга служит основанием для выбора неравенств, определяющих соответствующий многогранник. Рассмотрены резные подходы к построению конуса и многогранника несимметричных гиперполу-метрик.

В последнем разделе представлены результаты вычислений, посвященных конусам и многогранникам квази-полуметрик, ориентированных разрезов, ориентировнных мультиразрезов, взвешиваемых квази-метрик и частичных метрик на 3, 4, 5 и 6 точках. Указаны размерность объекта, число

экстремальных лучей (вершин) и их орбит, число гиперграней и их орбит, диаметры скелетона и реберного графа построенных конусов и многогранников.

Ключевые слова: Полуметрика, разрез, и мультиразрез, гиперполумет-рика, конусы и многогранники полуметрик, разрезов и гиперполуметрик, квази-полуметрика, ориентрованные разрез и мультиразрез, взвешиваемая метрика, частичная метрика, конусы квази-полуметрик, ориентированных разрезов и мультиразрезов, взвешиваемых и частичных метрик, многогранники квази-полуметрик, ориентированных разрезов и мульти-разрезов, взвешиваемых и частичных метрик.

Библиография: 15 названий.

POLYHEDRAL STRUCTURES ASSOCIATED WITH QUASI-METRICS

M. M. Deza

Abstract

In this paper the problems of construction and description of cones and polyhedra of finite quasi-metrics are considered. These objects are asymmetrical analogs of classical finite metrics.

The introduction presents the historical background and examples of applications of metrics and quasi-metrics. In particular, the questions connected with maximum cut problem are represented.

In the first section definitions of finite metrics and semi-metrics are given, and also their major special cases are considered: cuts, muluticuts and hyper-semimetrics. Cones and polyhedrons of the specified objects are constructed; their properties are investigated. Connections of the cut cone with metric li-spaces are indicated. The special attention is paid to symmetries of the constructed cones which consist of permutations and so-called switchings; transformation of a switching serves the basis for a choice of the inequalities defining the corresponding polyhedron.

In the second section finite quasi-metrics and quasi-semimetrics are considered. They are asymmetrical analogs of the usual finite metrics and semime-trics. Definition of the oriented cuts and oriented multicuts are given: they are the most important special cases of the quasi-semimetrics. Concept of weightable quasi-metrics and related to them partial metrics is introduced. Cones and polyhedrons of these objects are constructed; their properties are investigated. Connections of the oriented cut cone with quasi-metric 11-space are considered. The special attention is paid to symmetries of the constructed cones, which consist of permutations and oriented switchings; as well as in symmetric case, transformation of the oriented switching serves the basis for a choice of the inequalities defining the corresponding polyhedron. Different

approaches to creation of a cone and a polyhedron of asymmetrical hypersemi-metrics are considered.

In the last section results of the calculations devoted to cones and to polyhedrons of quasi-semimetrics, the oriented cuts, the oriented multicuts, weighed quasimetrics and partial metrics for 3,4, 5 and 6 points are considered. In fact, the dimension of an object, the number of its extreme rays (vertices) and their orbits, the number of its facets and their orbits, the diameters of the skeleton and the the ridge graph of the constructed cones and polyhedrons are specified.

Keywords: Semi-metrics, cut and multicut, hypersemimetric, cones and polyhedra of semimetrics, cuts and hypersemimetrics, quasi-semimetrics, oriented cut and multicut, weightable metric, partial metric, cones of quasi-semimetrics, of oriented cuts and oriented multicuts, of weightable and partial metrics, polyhedra of quasi-semimetrics, of oriented cuts and multicuts, of weightable and partial metrics.

Bibliography: 15 titles.

1. Введение

Метрики и их аналоги играют большую роль как непосредственно в математической науке, так и в ее многочисленных приложениях. В частности, к центральным объектам дискретной математики принадлежат метрический и разрезной конусы. Так, разрезной конус на n точках состоит из всех n-точечных полуметрических подпространств пространства 1\ [8]. Родственная проблема максимального разреза, состоящая в нахождении для данного графа разреза максимального веса, является одной из наиболее значимых в комбинаторной оптимизации и имеет множество применений, в том числе в статистической механике.

Представляют значительный интерес и другие полиэдральные конструкции, связанные с конечными метриками, их аналогами и обобщениями: квази-метриками (несимметричный случай), m-метриками (многомерный случай) и т.д. В данной статье мы рассматриваем вопросы, касающиеся конусов и многогранников конечных квазиметрик, ориентированных разрезов и других несимметричных объектов, родственных метрикам, в том числе анализируем результаты машинных вычислений, полученные для таких конусов и многогранников небольших размеров.

2. Метрики и их компаньоны: классический случай

Метрикой на n точках называется функция d : {1,...,n}2 ^ R>o, для всех i,j,k € {1,...,n} удовлетворяющая условиям da = 0; dij = 0 при i = j;dij = dji (симметричность); dik ^ dij + djk (неравенства треугольника).

При построении полиэдральных конструкций понятие метрики слишком ограничивает наши возможности, и значительно удобнее пользоваться его ослабленным аналогом — понятием полуметрики.

Полуметрикой на п точках называется симметричная функция

й : {1,...,п}2 ^

для всех г,^, к € {1,...,п} удовлетворяющая условиям йц = 0 и неравенствам треугольника йгк ^ й^ + йjk Коротко говоря, полуметрика — это метрика, позволяющая расстояние "ноль" между несовпадающими точками.

Среди множества различных полуметрик особую роль играют так называемые разрезы и мультиразрезы.

Разрезом на п точках для множества Б С {1,...,п} называется функция 5s : {1,..., п}2 ^ М, определенная по закону

¿s(г,;) = / 1 если |Б }| = 1, \ 0, иначе.

Легко проверить, что любой разрез является полуметрикой (но не метрикой). Мультиразрезом (точнее, т-мультиразрезом) на п точках для разбиения

т

и Б г = {1,...,п}

г=1

называется функция 5s1,...,sm : {1,... ,п}2 ^ М, определенная по закону

1, если г € Ба, ] € Бь, и а = Ь,

¿Sl>...>Sm (г,^) =

0, иначе.

Очевидно, что 2-мультиразрезы совпадают с разрезами. Более того, любой мульти-разрез можно представить в виде неотрицательной линейной комбинации разрезов:

Sг,Sг

г=1

Число всех мультиразрезов на п точках представляет собой число Белла В (п), то есть число всех разбиений п-множества.

Еще одним интересным классом полуметрик являются гиперполуметрики. Гиперполуметрикой на п точках называется симметричная функция

й : {1,..., п}2 ^М>о,

для всех г,_7, к € {1,...,п} удовлетворяющая условиям йц = 0 и гиперметрическим неравенствам

Н(Ь,й) = Ьгbjйij < 0 для всех Ь € ^ Ьг = 1.

1<i<j<n г

Поскольку вектора Ь вида (1,1, —1, 0п-3) превращают гиперметрические неравенства в неравенства треугольника, то любая гиперполуметрика является специальным случаем полуметрики.

Центральным разделом теории конечных полуметрик являются задачи комбинаторной оптимизации, решаемые полиэдральным методом, ведущим к построению соответствующих конусов и многогранников.

Метрическим конусом на п точках МЕТп называется множество всех полуметрик на {1,... , п}.

Метрическим многогранником на п точках МЕТРп называется множество всех полуметрик ( € МЕТп, удовлетворяющих неравенствам периметра

(гк + + djk < 2.

Разрезным конусом (или конусом разрезов) на п точках СиТп называется коническая оболочка (множество всех линейных комбинаций с неотрицательными коэффициентами) всех 2п-1 — 1 ненулевых разрезов на {1,... ,п}.

Следует заметить, что разрезный конус СиТп представляет собой множество п-точечных ¡1-полуметрик, то есть полуметрик, изометрически вложимых в пространство 11 = (Мт, ||х — у||1) с ^-нормой

т

1И|1 = ы.

г=1

В пространстве меры величине ||х — у111 соответствует ¡л(ААВ), где А, В - множества, представляющие х и у [8].

Разрезным многогранником (многогранником разрезов) на п точках СиТРп называется выпуклая оболочка всех 2п-1 разрезов на {1,... ,п}.

Гиперметрическим конусом на п точках ИУРп называется множество всех гипер-полуметрик на {1,... , п}.

Гиперметрическим многогранником на п точках ИУРРп называется множество гиперполуметрик ( € ИУРп [5], удовлетворяющих обобщенным гиперметрическим неравенствам

п

< Ф + 1), Ь = (р1,...,Ьп) € Zn, ^ Ь = 28 + 1, 8 € 1<г<j<n г=1

Поскольку метрический многогранник МЕТРп получается при использовании наборов Ь вида (1,1, —1, 0п-3) и (1,1,1, 0п-3), то имеет место очевидное включение ИУРРп С МЕТРп.

Метрики были введены в начале 20-го века Фреше и Хаусдорфом. Первое исследование конечных метрик принадлежит Блюменталю. Работы, связанные с разрезами, появились в конце 80-х годов 20-го века. Обширная библиорафия и детальный обзор имеющийся в этой области литературы дан в [8].

Конусы МЕТп и СиТп представляют собой полноразмерные конусы в Мп(п-1)/2. Поскольку любой разрез является полуметрикой, то выполняется очевидное включение СиТп С МЕТп с равенством лишь для п = 3, 4. Поскольку любой мультиразрез представляет собой неотрицательную линейную комбинацию разрезов, то говорить о

конусе мультиразрезов смысла не имеет: коническая оболочка множества мультираз-резов является частью конуса СиТп.

Полная группа симметрий конусов СиТп и МЕТп представляет собой группу Бут(п) для п = 4 и группу Бут(4) х Бут(3) для п = 4. Многогранники СиТРп и МЕТРп инвариантны, помимо перестановок, относительно так называемого сви-чинга Us : {1,... , п}2 — М, осуществляющегося по закону

(. ( 1 — йij, если |Б П {г,3}| = 1,

(,3) \ й^-, иначе.

й

В целом это дает группу порядка 2п-1 х п!. Для п = 4 это полная группа симметрий. Для п = 4 полная группа симметрий представляет собой Аи^К^), то есть имеет порядок 23 х 144.

Следует заметить, что свичинг неравенства треугольника приводит к неравенству периметра; свичинг гиперметрического неравенства приводит к обобщенному гиперметрическому неравенству. Именно этот факт послужил основанием для выбора неравенств, определяющих метрический и гиперметрический многогранники.

3. Квази-метрики и их компаньоны: несимметричный случай

Одним из возможных обобщений (полу)метрик и (мульти)разрезов являются ква-зи-(полу)метрики и ориентированные (мульти)разрезы, соответственно, представляющие собой аналогичные, но несимметриченые конструкции.

Квази-метрикой на п точках называется функция д : {1,..., п}2 — М^0, для всех г, 3, к € {1,..., п} удовлетворяющая условиям дгг = 0; д^ = 0 при г = 3; ^ д^ + qjk (ориентированные неравенства треугольника). Другими словами, квази-метрика, в отличие от метрики, не всегда удовлетворяет условияю симметричности й^- = с^г.

Квази-полуметрикой д на п точках называется функция д : {1,...,п}2 — М^0, для всех г,з, к € {1,...,п} удовлетворяющая условиям дц = 0 и ориентированным неравенствам треугольника дгк ^ дц + q_jk Таким образом, квази-полуметрика - это "несимметричная полуметрика", или, что то же, "несимметричная метрика, позволяющая значение ноль на несовпадающих точках".

Нас интересует важный специальный случай квази-полуметрик, являющийся несимметричным аналогом разрезов и мультиразрезов.

Ориентированным разрезом на п точках для множества Б С {1,..., п} называется функция ^ : {1,..., п}2 — М, определенная по закону

у (г •) = / 1 если г € Б, 3 € Б s( ,3) \ 0, иначе.

Легко проверить, что любой ориентированный разрез является квази-полуметрикой (но не квази-метрикой).

Ориентированным мультиразрезом (точнее, ориентированным т-мультиразре-зом) для ориентированного разбиения ит=1Бг = {1,...,п} множества {1, ...,п} на

m частей Si,..., Sm называется функция öSl Sm : {1,..., n}2 ^ R, определенная по

закону

1, если i € Sa,j € Sb, и a < b, 0, иначе.

tSu^Sm (i,j) = {

Очевидно, что ориентированные 2-мультиразрезы совпадают с ориентированными разрезами: öS = öSОднако, в отличие от классического симметричного случая,

S SyS

не каждый ориентированный мультиразрез (даже в простейшем случае n = 3) можно представить в виде линейной комбинации ориентированных разрезов.

Число всех ориентированных мультиразрезов на n точках представляет собой число Фубини (упорядочное число Белла) p'(n), то есть число всех упорядоченных разбиений множества {1,..., n}; оно равно

^ 2D(n),

n£Sym

где D(n) := |{i < n : ai > ai+1}| для перестановки п = (a1,... ,an) € Sym(n).

Для нашего исследования представляет интерес еще один специальный класс квази-полуметрик — так называемые взвешиваемые квази-полуметрики.

Взвешиваемой квази-полуметрикой на n точках называется квази-полуметрика q на {1,..., n}, для которой существует весовая функция w : {1,...,n} ^ R^o, для всех i,j € {1,... , n} удовлетворяющая условиям qij + wi = qji + Wj.

Легко видеть, что квази-полуметрика q является взвешиваемой если и только если она обладает свойством 3-симметрии, то есть, для различных i,j,k € {1,... ,n},

qij + qjk + qki = qik + qkj + qji.

В [4] доказано, что свойство 3-симметрии равносильно свойству k-симмметрии (k ^3): сохранению сумм расстояний при изменении направления обхода k-угольника.

В свою очередь, взвешиваемые квази-полуметрики оказываются тесно связаны с еще одним обобщением классического случая - так называемыми частичными полуметриками: объектами, сохранившими симметричность, но потерявшими свойство превращаться в ноль на паре (i, i).

Частичной полуметрикой на n точках называется симметричная функция

p : {1,...,n}2 ^R>o,

для всех i,j,k € {1,...,n} удовлетворяющая условиям 0 ^ pii ^ pij и жестким неравенствам треугольника

Pik ^ Pij + Pjk - Pjj.

Очевидно, что q = ((qij)) является взвешиваемой квази-полуметрикой тогда и только тогда, когда q+w = ((qij+wi)) есть частичная полуметрика. С другой стороны, P = ((pij)) является частичной полумерикой тогда и только тогда, когда ((pij — pii)) является взвешиваемой квази-полуметрикой.

Как и в классическом симметричном случае, интерес представляют полиэдральные конструкции, связанные с квази-полуметриками.

Квази-метрическим конусом на п точках ^МЕТп называется множество всех квази-полуметрик на {1,..., п}.

Квази-метрическим многогранником на п точках ^МЕТРп называется множество квази-полуметрик д € ^МЕТп, для всех г,з, к € {1,..., п} удовлетворяющих неравенствам периметра

дкг + qij + д^ < 2-

Конусом ориентированных мультиразрезов на п точках ОМСиТп называется коническая оболочка всех р'(п) — 1 ненулевых ориентированных мультиразрезов на {1,... , п}. Пользуясь формулой 5s1,...,sm = sm + Sl, мы получаем, что

СиТп = {д + дт : д € ОМСиТп}.

Многогранником ориентированных мультиразрезов на п точках ОМСиТРп естественно назвать выпуклую оболочку всех р'(п) ориентированных мультиразрезов на

{!,-••,п}.

Конусом ориентированных разрезов на п точках ОСиТп называется коническая оболочка всех 2п — 2 ненулевых ориентированных разрезов на {1, . . . , п}.

Многогранником ориентированных разрезов на п точках ОСиТРп естественно назвать выпуклую оболочку всех 2п ориентированных разрезов на {1, . . . , п}.

Поскольку в несимметричном случае ориентированный мультиразрез может и не быть линейной комбинацией ориетированных разрезов, то конусы ОМСиТп и ОСиТп не совпадают.

Конус ОСиТп представляет собой множество всех п-точечных 11-квази-полумет-рик, то есть квази-полуметрик, вложимых в квази-метрическое пространство (Мт, ||х — у||ог.;1) с ориентированной 11-нормой

И|ог.;1 = ^шах(,гг, 0).

г=1

На пространстве меры величине ||х — у||ог.;1 соответствует ^(В \ А), где множества В, А представляют х,у [6].

Конусом взвешиваемых квази-полуметрик на п точках называется

множество всех взвешиваемых квази-полуметрик на {1,... , п}.

Многогранником взвешиваемых квази-полуметрик на п точках назы-

вается множество П ^М£ТРп.

Конусом частичных полуметрик на п точках РМЕТп называется множество всех частичных полуметрик на {1,..., п}.

Выпуклым телом частичных полуметрик РМЕТРп называется множество частичных полуметрик р € РМЕТп, удовлетворяющих для всех г, 3, к € {1,... ,... п} условиям pij < 1 + ргг и неравенствам периметра

Pij + р^ + Ркг < 2 + ргг + pjj + Ркк.

В РМЕТРп элементы р^- ограничены элементами ргг, но величины ргг не ограничены; таким образом, РМЕТРп не является многогранником. Однако мы можем получить многогранник, добавляя неравенства ^^ ргг < 1; вершины полученного многогранника - это вершины МЕТРп вместе с экстремальными лучами конуса РМЕТп.

Квази-полуметрики изучались в [6, 3, 4, 9]. Частичные полуметрики были введены в [13]; они используются для работы с частично определяемыми/вычисляемыми объектами в семантике вычислений: положительность р(х, х) означает, что объект х еще не полностью определен, в то время как числовое значение р(х, х) показывает, как много информации нужно еще вычислить.

Конусы ^МЕТп и ОМСиТп являются полномерными конусами в пространстве Мп(п-1), конусы ^(2М£Тп и ОСиТп имеют размерность (п+1) — 1, а конус РМЕТп имеет размерность (п+1).

Кроме очевидных строгих включений

^дметп с дмЕтп и оситп с омситп,

мы имеем, с равенством только для п = 3, включения

омситп с дметп и оситп с

В [7] показано, что конусы и ОСиТп (определенные на множестве

{1,...,п}) есть проекции конусов МЕТп+1 и СиТп+1 (определенных на множестве {0,1,...,п}), соответественно, на подпространство, ортогональное к У{0}. Так, состоит из всех ((^ + йг0 — ^0)), где й = ((^)) есть полуметрика на множестве {0,1,... , п}; при этом соблюдения неравенств йг0 + й/о — йу ^ 0 не требуется.

Более того, квази-гиперметрический конус на п точках может быть

определен как такая проекция для НКРп+1; в этом случае имеет место включение

осиТп с ^дягРп с ^дмЕТп

с равенством с только для п = 3 и равенствами ОСиТп =

только для 3 ^ п

Экстремальные лучи конуса ^МЕТп исследовались в [6]. Здесь было доказано, что они не являются симметричными и имеют по меньше мере п — 1 нулей, то есть не могут быть расстояниями на ориентированном графе. Ориентированные мультираз-резы соответствуют экстремальным лучам конуса ^МЕТп. Кроме того, расщепление экстремального луча вновь дает экстремальный луч.

В [6] была представлена и таблица несмежности гиперграней конуса ^МЕТп; было сделано предположение о том, что во всех остальных случаях гиперграни смежны, откуда следует, что диаметр скелетона дуального конуса ^МЕТп равен 2. Диаметр скелетона ^МЕТп равен 3 для п = 4, 5.

Существует предположение, что диаметры ОСиТп и ОМСиТп равны 1 и 2, соответственно. Более того, если / >0 определяет гипергрань ОМСиТп, то нулевое расширение / в ОМСиТп+1 останется гипергранью, как и в классическом случае конуса разрезов СиТп.

Группа £уш(п) всех перестановок на п точках является группой симметрий конусов ^МЕТп и ОМСиТп. Но существует и другая симметрия, называемая реверселем. Для осуществления операции реверселя нужно поставить в соответствие каждому лучу д луч дт, определенный как дТ = д^. (Другими словами, в матричных терминах ре-версель соответствует транспонированию матриц.) Из этого факта следует, что группа

х £уш(п) также является группой симметрий для конусов ^МЕТп и ОМСиТп.

Мы предполагаем, что это их полная группа симметрий. Для конуса ОСиТп этот факт доказан в [6].

Для многогранника QMETPn можно определить ориентированный аналог операции свичинга на МЕТРп. Для данной квази-полуметрики ц € QMETPn и данного множества Б С {1,..., п} назовем ориентированным свичингом операцию

Из(ц) : {1,...,п}2^М,

осуществляемую по закону

( ) Г 1 — qji, если |Б п ^ = 1

\ цу, иначе.

Она, вместе с перестановками Бут(п) и реверселем, образует группу порядка 2пп!. Мы предполагаем, что эта группа является полной группой симметрий для многогранников QMETPn и WQMETPn (проверено для п < 9).

Таблица 1: Чило экстремальных лучей и гиперграней в некоторых квазиметрических конусах для 3 ^ п ^ 6

Конус Разм. Число экст. лучей (орбит) Число гиперграней (орбит) Диам.

OCUTз=WQMETз 5 6(2) 9(2) 1 2

ОСиТ^ИУРА 9 14(3) 30(3) 1 2

ОСиТъ 14 30(4) 130(6) 1 3

ОСиТ6 20 62(5) 16,460(61) 1 3

QИУP5 14 70(6) 90(4) 2 2

WQMETi 9 20(4) 24(2) 2 2

WQMETЪ 14 190(11) 50(2) 2 2

WQMET6 20 18,502(77) 90(2) 3 2

ОМСиТз^МЕТз 6 12(2) 12(2) 2 2

ОМСиТА 12 74(5) 72(4) 2 2

ОМСиТъ 20 540(9) 35,320(194) 2 3

QMETA 12 164(10) 36(2) 3 2

QMET5 20 43,590(229) 80(2) 3 2

При появлении операции ориентированного свичинга возникает ситуация, требующая несколько изменить определения многогранников ориентированных разрезов и мультиразрезов. Именно, в этих условиях кажется естественным определить многогранник ориентированных разрезов ОСиТРп как выпуклую оболочку всех ориентированных разрезов и их образов относительно ориентированных свичингов. Аналогично, ОМСиТРп можно определить как выпуклую оболочку всех ориентированных мультиразрезов и их образов относительно ориентированных свичингов. Мы предполагаем, что определенный таким образом многогранник ОСиТРп имеет ровно 22п-2 вершин, что значительно больше, чем 2п — 2 - число экстремальных лучей в ОСиТп. Оба этих многогранника имеют ту же группу симметрий, что и QMETPn.

Группа Бут(п) является группой симметрий для конуса частичных метрик РМЕТп. Мы предполагаем, что Бут(п) является полной симмертической группой для РМЕТп (проверено для п < 9). Однако РМЕТРп имеет и дополнительные симметрии. Для данной частичной метрики р € РМЕТп и данного множества Б С {1,..., п} определим р-свичинг из(р) : {1,..., п}2 ^ М по закону

(. ( 1 + рц + руу - pji, если |Б п {г, ^ = 1,

\ ру, иначе.

Мы предполагаем что, вместе с Бут(п), данная операция определяет полную группу симметрий для РМЕТРп (проверено для п < 9).

4. Численные данные для несимметричного случая

В этом параграфе мы анализируем полученную с помощью вычислительной техники информацию о поведении "ориенитрованных" конусов и многогранников на п точках при малых значениях п.

Таблица 2: Число вершин и гиперграней в некоторых квази-метрических многогранниках для 3 ^ п ^ 6

Многогранник Разм. Число вершин Число гиперграней

ОСиТР3=\¥

оситр4=шдмЕТР4 9 64

оситр5 14 256

ОСиТРа 20 1,024

шдмЕТРъ 14 2,656

\YQMETPfi 20 1,933,760

ОМСиТРъ=С1МЕТРъ 6 22

омситрА 12 136

ОМСиТРь 20 1,016

<5М£ТР5 20 1,155,136

В таблицах 1 и 2, представлены результаты вычислений для малых квази-метри-ческих конусов и многогранников, соответственно; орбиты даны относительно Бут(п) для конусов и относительно Бут(п) х 22 для многогранников.

В таблицах 3 и 4 рассмотрены имеющиеся данные по конусу и многограннику частичных метрик. Орбиты конуса РМЕТп рассмотрены относительно Бут(п), в то время как орбиты тела РМЕТРп - относительно группы (порядка 2п-1п!), порожденной свичингами и перестановками. Однако оба этих объекта имеют 3 орбиты гиперграней и, вероятно, реберный граф диаметра 2.

Таблица 3: Число экстремальных лучей и гиперграней в конусе РМЕТп для 3 € п € 6

Конус Разм. Число экстр. лучей (орбит) Число гиперграней (орбит) Диам.

PMET3 6 13(5) 12(3) 3; 2

pmet4 10 62(11) 28(3) 3; 2

pmet5 15 1,696(44) 55(3) 3; 2

PMET6 21 337,092(734) 96(3) 3; 2

Таблица 4: Число вершин и гиперграней в теле PMETPn для 3 ^ n ^ 6

Тело Разм. Число вершин (орбит) Число гиперграней (орбит) Диам.

РМЕТР3 6 17(4) 19(3) 2; 2

pmetp4 12 97(6) 44(3) 2; 2

pmetp5 20 7953(24) 85(3) 3; 2

PMETP6 12 5090337(427) 146(3) ?;2

5. Заключение

Помимо рассмотренных в статье несимметричных аналогов классического симметричного случая метрик, разрезов, мультиразрезов и других родственных конструкций, интерес представляют многомерные аналоги классического двумерного случая: m-метрики (m >3; случай m = 2 соответствует обычной метрике), m-суперметрики и др.

Построение и исследование соответствующих конусов и многогранников на малом числе точек можно провести по той же схеме.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Charikar M., Makarychev K., Makarychev V. Directed metrics and directed graph partitioning problem // Proc. of 11-th ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. 2006. P. 51-60.

2. Deza M. M., Deza E. I. Encyclopedia of Distances / 3-rd edition. Berlin: SpringerVerlag, 2014. 716 p.

3. Deza M. M., Deza E. I. Cones of partial metrics // Contrib. Discrete Math. 2011. № 6(1). P. 26-47.

4. Deza M. M., Deza E. I., Vidali J. Cones of weighted and partial metrics // Proceedings of the International Conference on Algebra 2010. NJ: World Sci. Publ., 2012. P. 177197.

5. Deza M. M., Dutour Sikiric M. The hypermetric cone on 8 vertices and some generalizations // Preprint at arxiv:arXiv:1503.04 554. 2013. Aviable at: http://arxiv.org/abs/ 1503.04554.

6. Deza M. M., Dutour M., Panteleeva E. I. Small cones of oriented semi-metrics // Forum for Interdisciplinary Mathematics Proceedings on Statistics, Combinatorics & Related Areas. 2002. Vol. 22. P. 199-225.

7. Deza M. M., Grishukhin V. P., Deza E. I. Cones of weighted quasi-metrics, weighted quasi-hypermetrics and of oriented cuts // Mathematics of Distances and Applications. Sofia: ITHEA, 2012. P. 31-53.

8. Deza M. M., Laurent M. Geometry of cuts and metrics. Berlin: Springer-Verlag, 1997. 517 c.

9. Deza M. M., Panteleeva E. I. Quasi-semi-metrics, oriented multi-cuts and related polyhedra // European Journal of Combinatorics. 2000. № 21(6). P. 777-795.

10. Frechet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel // Rend. Circolo mat. Palermo. 1906. Vol. 22. PP. 1-74.

11. Hausdorff F. Grundziige der Mengenlehre. Leipzig, 1914.

12. Hitzler P. Generalized Metrics and Topology in Loic Programming Semantics // PhD Thesis. National University of Ireland: Univ. College Cork, 2001.

13. Matthews S. G. Partial metric topology (Papers on general topology and applications (Flushing, NY, 1992)) // Ann. New York Acad. Sci. 1994. Vol. 728. P. 183-197.

14. Seda A. K. Quasi-metrics and the semantic of logic programs // Fundamenta In-formaticae. 1997. Vol. 9. P. 97-117.

15. Wilson W. A. On quasi-metric spaces // American J. of Math. 1931. Vol. 53. P. 575681.

REFERENCES

1. Charikar, M., Makarychev, K. & Makarychev, V. 2006, "Directed metrics and directed graph partitioning problem", Proc. of 11-th ACM-SIAMSymp. on Discrete Algorithms, pp. 51-60.

2. Deza, M. M. & Deza, E. I. 2014, "Encyclopedia of Distances" , 3-rd edition, SpringerVerlag, Berlin. 716 p.

3. Deza, M. M. & Deza, E. I. 2011, "Cones of partial metrics", Contrib. Discrete Math., no. 6(1), pp. 26-47.

4. Deza, M. M., Deza, E. I. & Vidali, J. 2012, "Cones of weighted and partial metrics", Proceedings of the International Conference on Algebra 2010, World Sci. Publ., NJ, pp. 177-197.

5. Deza, M. M. & Dutour Sikiric, M. 2013, "The hypermetric cone on 8 vertices and some generalizations", Preprint at arxiv:arXiv:1503.04554, Aviable at: http://arxiv.org/ abs/1503.04554.

6. Deza, M. M., Dutour, M. & Panteleeva, E. I. 2002, "Small cones of oriented semi-metrics", Forum for Interdisciplinary Mathematics Proceedings on Statistics, Combinatorics & Related Areas, vol. 22, pp. 199-225.

7. Deza, M. M., Grishukhin, V. P. & Deza, E. I. 2012, "Cones of weighted quasi-metrics, weighted quasi-hypermetrics and of oriented cuts", Mathematics of Distances and Applications, ITEA, Sofia, pp. 31-53.

8. Deza, M. M. & Laurent, M. 1997, "Geometry of cuts and metrics" , Springer-Verlag, Berlin. 517 p.

9. Deza, M. M. & Panteleeva, E. I. 2000, "Quasi-semi-metrics, oriented multi-cuts and related polyhedra", European Journal of Combinatorics, no. 21(6), pp. 777-795.

10. Frechet, M. 1906, "Sur quelques points du calcul fonctionnel", Rend. Circolo mat. Palermo, vol. 22, pp. 1-74.

11. Hausdorff, F. 1914, "Grundzüge der Mengenlehre" , Leipzig.

12. Hitzler, P. 2001, "Generalized Metrics and Topology inLoic Programming Semantics", PhD Thesis, National University of Ireland, Univ. College Cork.

13. Matthews, S. G. 1994, "Partial metric topology", Ann. New York Acad. Sci., vol. 728, pp. 183-197.

14. Seda, A. K. 1997, "Quasi-metrics and the semantic of logic programs", Fundamenta Informaticaem, vol 29, pp. 97-117.

15. Wilson, W. A. 1931, "On quasi-metric spaces", American J. of Math., vol. 53, pp. 575-681.

Ecole Normale Supérieure.

Московский педагогический государственный университет. Поступило 14.04.2015