Вариационные принципы и методы теории катастроф в нелинейных задачах расчета оболочек

УДК:539.3:624.04

Г.М.. Муртазалиев, Г.В. Васильков, М.Ш. Гаджидибиров ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И МЕТОДЫ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК

G.M.Murtazaliev, G. V. Vasilkov, M.Sh.Gadzhidibirov VARIATION PRINCIPLES AND METHODS OF THE CATASTROPHE THEORY IN NONLINEAR PROBLEMS OF CALCULATION OF SHELLS

В статье рассматриваются проблемы расширения класса задач решаемых на основе вариационных принципов и приложения для их решения методов , образов и средств теории катастроф. Решается конкретная задача и иллюстрируется алгоритм приложения указанных методов к решению нелинейных краевых задач с разрывными явлениями.

Результаты анализа представлены в виде единой геометрической картины, на которой показаны все характерные особенности поведения оболочки.

Ключевые слова: Вариационные принципы, нелинейные краевые задачи, разрывные явления, теория катастроф, «сборка».

In article problems of expansion of a class of problems solved on the basis of variation principles and the appendix for their decision of methods, images and means of the theory of accidents are considered. The specific target dares and the algorithm of the appendix of the specified methods to the decision of nonlinear regional problems with the explosive phenomena is illustrated.

Results of the analysis are presented in the form of a uniform geometrical picture on which all prominent features of behavior of a shallow shells.

Keywords: Variation principles, nonlinear regional problems, the explosive phenomena, catastrophe theory, "assemblage".

Многие законы механики сводятся к утверждению, что некоторый функционал в рассматриваемом явлении или процессе достигает максимума или минимума. В такой формулировке эти законы носят название вариационных принципов. Каждый вариационный принцип утверждает, что для некоторого класса задач, из всей совокупности мыслимых состояний или процессов, совместимых с наложенными на систему связями, на самом деле реализуются те, которые придают некоторому характерному для данного принципа функционалу стационарное значение. В некоторых принципах речь идет не о стационарном, а об экстремальном значении, что имеет близкий, но не равноценный смысл.

Идея вариационных принципов восходит к утверждению, что природа действует кратчайшим и легчайшим путем или она управляется экстремальными принципами. По утверждению Л. Эйлера [1]: "...все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума".Важность вариационных принципов заключается в том, что они позволяют выделить действительный процесс из всех возможных.

Обширную область приложений эти принципы и методы имеют и в механике твердого деформируемого тела, где важнейшим и наиболее общим вариационным принципом механики является принцип возможных перемещений: если система находится в равновесии, то сумма работ всех внешних и внутренних сил на возможных перемещениях равна нулю. В случае консервативных систем принцип возможных перемещений сводится к энергетическому принципу Лагранжа: в положении равновесия

104

(независимо - устойчивого или неустойчивого) полная потенциальная энергия механической системы имеет стационарное значение.

Энергетические методы находят широкое применение и в решении нелинейных задач механики, в которых при одной и той же нагрузке и граничных условиях возможно множество решений уравнений, определяющих напряженно-деформированное состояние рассматриваемой системы. Вариационные принципы и основанные на них методы имеют долгую и богатую историю. Последние достижения в этой области широко освещены в [2], где эти методы используются для решения конструктивно нелинейных задач, которые встречаются при рассмотрении различных расчетных ситуаций [3].

Энергетические методы являются основой для использовании методов, средств и образов теории катастроф при решении нелинейных задач, связанных с разрывными явлениями, поскольку они непосредственно применимы к системам, в которых в каждый момент, на фоне изменяющейся ситуации минимизируется или максимизируется некоторая функция (например, потенциальная энергия системы). Иллюстрацией такой ситуации может быть поведение тяжелого шарика, катящегося по изменяющейся поверхности и «старающегося» под действием силы тяжести найти положение, если не самое низкое из всех возможных (глобальный минимум), то хотя бы самое низкое из всех поблизости (локальный минимум). Изменение поверхности приводит к "исчезновению" некоторых локальных минимумов, что влечет за собой внезапные и скачкообразные переходы шарика из одного положения в другое. Эти внезапные переходы, вызванные обычно непрерывными изменениями ситуации, названы катастрофами [4-7].

Плодотворной областью приложений методов, средств и образов теории катастроф является теория статической устойчивости инженерных конструкций, в которой одним из достижений теории катастроф, имеющим важное практическое значение, является установление зависимости экспериментально наблюдаемых равновесных форм конструкций от числа управляющих параметров, входящих в исходные уравнения, описывающих поведение конструкций под нагрузкой.

При решении таких задач на основе методов, алгебраических средств и геометрических образов теории катастроф следует установить связь математического описания решаемой задачи с определенными задачами универсального характера, рассматриваемыми в теории катастроф. Другими словами, нужно провести идентификацию параметров, выражений, уравнений описывающих поведение рассматриваемой системы с определенной катастрофой из списка семи элементарных катастроф [4-7] , после чего поведение системы может быть предсказано на основе фундаментальных положений, сформулированных в теории катастроф. В приведенной формулировке содержится общий алгоритм решения нелинейных краевых задач с параметрами, связанных с разрывными явлениями, на основе методов, средств и образов теории катастроф [7].

В качестве примера решим задачу анализа поведения под нагрузкой шарнирно-опертой по контуру прямоугольной в плане пологой гибкой оболочки под действием равномерно распределенной нагрузки. Разрешающие уравнения примем в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений смешанного вида относительно функции прогибов W(x,y) и усилий F^,y) [8,9]:

D  V 4W - V2F - L(W, F) = q;

—V4f+V2W + 1l

Eh k 2 V 7

V2 () 52 ()+52 (). ™

где V

V4

V 2

О-^+^;

9 + 9

а*2 ау

/ ч_а2ж а2г а2ж а2а2ж а2г ( ' а*2 ау2 + ау2 а*2 а*ау а*ау'

¿(Ж ,Ж)- 2

а2ж а2ж (а2жл

а*2 ау^

дхду

Рис.1. Геометрия и схема загружения оболочки

Для решения задачи воспользуемся принятым выше алгоритмом: - выпишем выражения для полной потенциальной энергии рассматриваемой системы:

Э - и + П - иЬ + ит + п,

где

и

и

в

У

2ЕН

а Ь

о о

1-а Ь [V2 г У2-

dxdу;

оо

П - -Ц д - Ж - dxdу;

о о

- примем (в первом приближении) аппроксимирующую функцию прогибов в виде, удовлетворяющем граничным условиям задачи с одним произвольным параметром А:

Ж(х, у) - А - Бт

Бт

V а у

V Ь у

- подставив (11) во второе уравнение системы (1) и проинтегрировав его, находим функцию усилий в срединной поверхности оболочки F(x,y);

- подставляя полученное выражение для F(x,y) и (11) в (8)-(10), проинтегрировав их и просуммировав по (7) получим выражение полной потенциальной энергии Э в виде функции произвольного параметра А, где для упрощения вида принята а=Ь:

А-

^ 2ж2ЕИ 4 ж2ЕИ 3 Бжв -2 ж2ЕИ л2 Э =-— А--- А +—- А +-г А - дА

6Яа2

8а

32Я

- из условия стационарности (12) получим кубическое уравнение, связывающее внешний (управляющий) параметр нагрузки q с внутренним (поведенческим) параметром А:

8ж2 ЕИ

9а4

А3 -

ж2 ЕИ 2Яа2

(

А2 +

Бж64а4 ж2 ЕИ

Л

16Я2

А = д

Обычно для установления связи А от q строятся кривые зависимости (13) представляющие «кривые равновесных состояний» для различных значений кривизны к оболочки, определяя каждую точку каждой кривой по уравнению (13), являющаяся довольно трудоемкой численной процедурой к тому же связанной с возможной расходимостью процесса при приближении значения нагрузки к предельной.

Для решения задачи воспользуемся алгебраическими средствами и геометрическими образами теории катастроф.

Перейдя к безразмерным параметрам и приняв у=0,3 , после небольших преобразований, получим вместо (13) следующее уравнение:

и3 - 1,125£и2 + 2,50882м + 0,28125к2и - 0,11399Р = 0,

где и = А; Р = ^

И' ЕИ4

к

Уравнение (14) подстановкой и = V +1,125 — приведем к каноническому виду

V3 -

представляющее (в терминах теории катастроф) двумерное многообразие канонической катастрофы «сборки» -«сборки» Уитни [4-7].

Для вычисления координат точки О - начала сборки (рис.2) продифференцируем уравнение (15) два раза подряд:

3v2 - 0,140625к2 + 2,50882 = 0;

6v = 0

и решим полученную систему уравнений (15) получим следующие значения координат точки О:

(17) в обратном порядке, откуда

ип = 1,58392;

к0 = 4,22380;

Р = 34,8609.

Эти значения хорошо согласуются с известными в литературе данными [7-9]. Геометрическое представление полученных результатов дается на рис.2 и 3.

Рис.2. Многообразие катастрофы сборки-поверхность равновесных состояний оболочек

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 22, 2011.

А-

Внутри области 3, имеющей форму сборки, функция Э имеет три изолированные критические точки, причем вдоль кривой 2 совпадают два значения соответствующие верхним, а вдоль кривой 2 - два значения нижних критических нагрузок.

Заключение

Для получения полной информации о нелинейном поведении целых классов конструкций под нагрузкой нет необходимости решать сложные системы нелинейных уравнений: вся необходимая информация получается в результате изучения топологии энергетической поверхности. При этом достаточен ограниченный объем информации об особых точках этой поверхности, поскольку именно они и представляют большую ценность и выявляют все характерные особенности поведения под нагрузкой рассматриваемых систем.

Библиографический список

1. Эйлер Л. Об определении движения брошенных тел в несопротивляющейся среде методом максимумов и минимумов //Вариационные принципы механики. Сб. статей. Под ред Л.С. Полака. -М.: Физматгиз, 1959. -С.31-40.

2. Васильков Г.В. Теория адаптивной эволюции механических систем. Ростов-на -Дону. Терра-Принт. 2007.- 248с.

3. ГОСТ 27751-88 (СТ СЭВ 384-87). Надежность строительных конструкций и оснований. Основные положения по расчету. Введ. с 01.07.88. -М.: Изд-во стандартов, 1988. -9с.

4. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. В 2 кн. -М.: Мир, 1984. Кн.1. -350с

5. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. -М.: Мир, 1980. -608 с.

6. Томпсон Д.М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. -М.: Мир, 1985.-256с.

7. Муртазалиев Г.М. Методы теории катастроф в задачах устойчивости оболочек. ДГТУ, Махачкала, 2004 год. 200 с..

8. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем: 2-е изд. перераб. и доп. -М.: Наука, 1967.- 984 с.

9. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики.- М.: Стройиздат, 1978. -208с.