Категорный подход к исследованию аспектов защиты информации и управления качеством сервисов и услуг в сетях сотовой подвижной связи

категорныи подход к исследованию аспектов защиты информации и управления качеством сервисов и услуг в сетях сотовой подвижной связи

DOI 10.24411/2072-8735-2018-10143

Максименко Владимир Николаевич,

МТУСИ, Москва, Россия, vladmaks@yandex.ru

Ключевые слова: сотовая подвижная связь, информационная безопасность, качество услуг, теория категорий, функтор, морфизм.

Сеть сотовой подвижной связи представляет собой территориально распределенную систему, предназначенную для оказания множества информационно-телекоммуникационных услуг множеству абонентов. Классический метод проектирования информационных систем предполагает использование декомпозиции сложной системы на подсистемы с минимальным количеством внешних связей. Это привело к тому, что подсистема защиты информации и подсистема управления качеством проектируются независимо друг от друга. Такой подход был справедлив для небольших систем. Для территориально-распреде-ленных систем такой подход становится не приемлемым. На начальных поколениях телекоммуникационные сети описывались с помощью теории множеств и теории систем массового обслуживания и не учитывали структурные особенности проектируемой системы. На этапе оказания услуги, показатели качества и информационной безопасности зависят от принятых решений на всех предшествующих этапах жизненного цикла проектирования и эксплуатации сети сотовой подвижной связи. На этапе моделирования необходимо обосновать выбор формального метода исследования, адекватного реальным процессам, протекающим в территориально распределенной информационной системе. Предлагается использовать аппарат теории категорий для формального исследования параллельных алгоритмов сложных распределенных систем управления качеством и информационной безопасности посредством минимизации обменных взаимодействий. В качестве критерия эффективности предлагается использовать показатель адекватности структуры решаемой задачи структуре вычислительной системы.

Информация об авторе:

Максименко Владимир Николаевич, МТУСИ, к.т.н, доцент, Москва, Россия

Для цитирования:

Максименко В.Н. Категорный подход к исследованию аспектов защиты информации и управления качеством сервисов и услуг в сетях сотовой подвижной связи // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2018. Том 12. №9. С. 41-49.

For citation:

Maksimenko V.N.

Технологические возможности вычислительных систем высокой производите л ьн оСти и цифровых каналов связи позволили перейти к решению сложных слабо и сильно связанных задач, относящихся к классу задач получивших название «Big date». В области телекоммуникаций к таким задачам относятся задачи оценки и управления качеством услуг [1,2], задачи обнаружения несанкционированного доступа к ресурсам и защиты телекоммуникационных сетей [3.4,5J, задачи обнаружения и предотвращения угроз национальной и террористической безопасности [6], посредством обработки больших объемов пользовательских данных в реальном масштабе времени или накопленных в течение длительного времени и хранящихся и центрах обработки данных (ЦОД) или дата-центрах телекоммуникационных компаний [2]. Географическая распределенность объектов (источников) исходных данных для решения таких задач предполагает использование систем параллельной обработки, в виде распределенных или сосредоточенных вычислительных систем высокой производительности с перестраиваемой структурой[7], эффективность которых зависит от количества параллельных ветвей и соотношения времени последовательной и параллельной обработки [8,9],

Возникает вопрос; «Возможно ли, и каким образом, синхронизировать информационную безопасность и качество сервисов и услуг сотовой подвижной связи?» На первый взгляд эти две предметные области представляют собой совершенно разные задачи, при решении которых пользуются совершенно разными методами. Очевидно, если находиться в замкнутой среде только информационной безопасности или только предметной области качества, то очень трудно найти взаимосвязи между ними. Поэтому необходимо перейти на более высокий уровень абстракции, при котором основные сущности и свойства информационной безопасности и качества будут неразличимы.

В качестве такого формального аппарата воспользуемся аппаратом теории категорий и функторов [10,11]. В связи с появлением теории категорий у математиков (а не только у специалистов по теории множеств) возникла реальная потребность работать с большими совокупностями данных.

Одна из главных перспектив, открытых теорией категорий, состоит в том, что понятие стрелки, абстрагированное от понятия функции или отображения, можно использовать вместо теоретико-множественного отношения принадлежности в качестве основного строительного блока для проведения математических конструкций и выражения свойств математических объектов. Вместо того чтобы определять свойства совокупности через ее элемента, т.е. с помощью ее внутренней структуры, можно определять их, указывая внешние связи этой совокупности с другими совокупностями. Связи между совокупностями выражаются функциями, и аксиомы для категории выводятся из свойств функций относительно операции композиции. Функция, а не отношение принадлежности элемента множеству, служит основной математической концепцией в теории категорий.

Основы теории категорий были заложены Самюэлем Эй-ленбергом и Сандерсом Маклейном в начале 40-х годов прошлого века. В начале 60-х годов прошлого века основы теории однородных вычислительных систем высокой производительности были заложены Евреиновым Эдуардом Владимировичем [12].

Но только в настоящее время теория категорий получила свое прикладное применение в области инженерного проектирования с использованием CASE-технологии, включающей методологию объектно-ориентированного подхода, системный метод проектирования инфокоммуникационных услуг [13, 14], нотации универсального языка проектирования UML и инструментальное программное обеспечение CASE-средств.

В статье предлагается использовать аппарат теории категорий для формального исследования параллельных алгоритмов сложных распределенных систем управления качеством и информационной безопасности посредством минимизации обменных взаимодействий. В качестве критерия эффективности предлагается использовать показатель адекватности структуры решаемой задачи структуре вычислительной системы.

1. Определение понятий категории и подкатегории

Подход, с помощью которого исследуется адекватное отображение структуры задач управления качеством и информационной безопасности (УКиИК) в логическую структуру распределенной вычислительной системы (РВС), состоит в следующем:

1. Основные понятия параллельных алгоритмов УКиИЬ и логической структуры РВС вводятся с помощью формализации.

2. Затем к этим основным понятиям, полученным в результате формализации, добавляются новые математические структуры, необходимые для исследования пространственных, структурных и временных свойств параллельных алгоритмов УКиИБ и логической структуры РВС.

Прежде чем перейти к формализация логической структуры РВС и параллельных алгоритмов УКиИБ, приведем понятия категории и подкатегории [10, 111:

Определение 1 Категория f состоит из совокупности объектов OBj(£), называемой множеством объектов категории § и из различных (возможно пустых) множеств %(Л,В), определенных для каждой пары объектов Л и В и называемых множествами морфизмов из А и В, удовлетворяющих условиям:

а) для любых трех (не обязательно различных) объектов А, В и Сиз £ даны функции:

%(АЛ) х Z(B,Q-> f(A,Q,

называемые композицией, удовлетворяющей закону ассоциативности. Для всех объектов А,В,С из § и всех мор-физмов/из $

=(h-g)f : А->D.

б) для любого объекта А из £ множество/е £ (А, А) содержит (возможно среди других морфизмов) специальный морфизм id А. называемый единичным морфизмом объекта А с таким свойством, что каждый объект В из £ и все /е § (А, В) и g е § (В, А) имеют:

А—'^-^А—-—> В — А—^В и

в—'>—>А = В—>А

Отсюда следует:

А—'—>В———для А—

О п р с л с л с н и с 2. сеть подкатегория если f есть категория с Ohj(£')Cl Ohjfy и морфизмами %'(А, В) d £(А, В) для любых объектов А, В из

Мы говорим i' - полная, если €'(Л,В) = %(А,В) для любых А, В из I.

2. Автоматная модель и категория распределенных вычислительных систем

Однородная вычислительная структура представляет собой совокупность одинаковых и регулярно соединенных между собой функциональных модулей с программным изменением их структуры и коммутации каналов связи между ними.

Функциональный модуль (ФМ) PRC представляет собой микро-ЭВМ, дополненную средствами коммутации с соседними ФМ и набором системных операций. Микро-ЭВМ представляет собой последовательную машину М, т.е. шестёрку:

M=(X„.Q, 5,Чт ¥ш р),

где, Х(, - входной алфавит; Q - множество состояний;

5:QxX„-> Q - функция переходов;

ц„ ( Q начальное состояние; Y/i - множество выходов;

Р :Q ^ — отображение выхода. Средства коммутации задаются графом С = (У, Е), где V - множество вершин графа (множество ФМ), Е - степень вершины графа (число связей данного ФМ с соседними ФМ). С помощью G = (У, Е) при соответствующем выборе значений V \\ Е может быть задана однородная структура.

О н р е л е л е п и е 3. Микропроцессорная однородная вычислительная структура представляет собой шестёрку:

Я « (G = (V.E), М, В„ Ph У, (X), где G - (У, Е) - граф, определяющий адресную структуру П М-последовательная машина (микро-ЭВМ), Bj - входной алфавит системных операций, РI - выходной алфавит системных операций,

V -.yxQxBi-> УхР/ - отображение выхода системных

операций,

//: VxQxB,-> y\Q - функция перехода по системной

операции.

РВС конечна, если У, Х„ , Q, Y,h , В, ,Р: - конечные множества.

Функционирование РВС определяется набором системных операций, которые выполняются сразу на веем графе G . Определим системные операции. Отображение

V (v, в) для в еВ, имеет одну из следующих форм:

а) операция обмена

для каждою v'n и v в К, где {Р^еР; является множеством операторов системного обмена, когда данные из vtj, .... vmj ФМ передаются в v'¡¡, ..., v '„j ФМ,

б) операция обобщенного безусловного перехода Jbi (v,j ...vrj) имеет вид

(v/i ...vri):= P,vh то выходное слово из ФМ V/ поступит в ФМ щ ...vrj.

в) операция обобщенного условного перехода

lm(gn-grj)= <

Р, если gij= gij=- = g„ 0. если хотя бы одно из g„ grj

Объединим алфавиты последовательной микро-ЭВМ с алфавитами системных операций.

Состояние последовательной микро-ЭВМ, дополненной системными операциями, определяется входным алфавитом системных операций. Последовательная машина переходит в состояние, определяемое поступающей на вход системной

операцией О — 10У')/{у//(у) = В/У конечно, и V

_ у

конечно; С! В] хР ¡(У),

Задав (¡), мы можем определить функцию переходов

//\V\Q\Bi~-Ух О следующим образом //

где д', У определяется так:

а) декодируем V (у,д(у)) для каждого \'€ У

б) если при декодировании получаем оператор в

форме , ... 1' п- ,):={Р)}(\>ц...У^), то машина переходит в

состояние gF(Vг¿A где 1 <г,<щ Для других значений г1 мы

просто устанавливаем Состояние g|

сохраняется до тех пор, пока установленным выше способом V для \>еУ не определяются новые значения.

в) если при декодировании получаем оператор обобщенного безусловного перехода в форме ./д/ (V¡. . .

то включаем каждый элемент конечного множества в V.

г) если декодируемый оператор получаем в форме обобщенного условного перехода, то устанавливаем значение в К в том случае, когда обобщенное условие выполнено, и оставляем без изменения в противном случае.

Образуем категорию РВС — [9]. В качестве множества объектов категории Кмвозьмем множество функциональных модулей РВС - {М;}, а и качестве морф из мор - множество каналов связи {К,}. Покажем, что Л", действительно являются морфизмами категории Км- Для это] о должны выполняться следующие соотношения:

а) для любых трех объектов Ыи М>, М; из категории Км

г V ^ ч

можно образовать композицию (М/-—? М:-=—7

ш -

кк>

-$Мз), удовлетворяющую закону ас-

социативности

К,

М,-

к к

} Ы2. Mr-2—J Mj. Ms—1—J M4.

К, (К,  Щ = (К,  К2) к,

Убедимся, что эти соотношения выполняются. Если мы имеем РВС, состоящую из четырех ФМ, и нам необходимо передать информацию из М< в М4, то результат не зависит от пути, по которому передача осуществляется, и диаграмма коммутативна.

К^КуК, =к4-к1= кгк; К5

К2

б) в качестве единичного отображения возьмем канал начинающийся и заканчивающийся в данной элементарной

машине. Если K¡: M¡ -> М2 и

К?: М>-> M¡, то id¡Á¡=Ki-K.2 и ¡й^-КуК)

Итак, мы построили категорию РВС с множеством объектов - множеством функциональных модулей {MJ и множеством морфизмов — множеством каналов связи

{к^к^ащ {Kj).

3. Категории параллельных алгоритмов

В основе создания параллельных алгоритмов лежит методика структурного крупноблочного распараллеливания (МСКР) [6]. Алгоритмы решения задач разбиваются на крупные блоки (подзадачи), между которыми существуют регулярные, но слабые связи. Полученные в результате такого распараллеливания алгоритмы состоят из большого числа параллельных ветвей, а операции обмена между ветвями составляют незначительную часть (единицы процентов) по сравнению с общим числом операции в каждой ветви.

Исследование возможностей распараллеливания задач позволяет определить два вида параллелизма: процедурный и функциональный. Функциональный параллелизм предполагает одновременную реализацию различных процедур (подзадач) или нескольких различных совокупностей взаимодействующих процедур (подзадач). Процедурный параллелизм представляется в виде одновременно функционирующих идентичных ветвей вычислений в процессе выполнения одной процедуры (подзадачи).

В зависимости от исходного объекта распараллеливания МСКР применяется к модели исходной задачи, к известному методу решения задачи или к известному последовательному алгоритму решения задачи.

Применение МСКР к модели исходной задачи ведет к параллельным алгоритмам с функциональным параллелизмом. I ¡рименениеМСКР к известному методу решения задачи или к известному последовательному алгоритму решения задачи приводит к параллельным алгоритмам с процедурным параллелизмом.

Параллельные алгоритмы с функциональным и процедурным параллелизмами имеют различную структуру и описываются различным образом. Поэтому необходимо разрабатывать две категории параллельных алгоритмов: категорию параллельных алгоритмов с функциональным параллелизмом Кф и категорию параллельных алгоритмов с процедурным параллелизмом (Кц).

Построим категорию параллельных алгоритмов с функциональным параллелизмом, применяя МСКР к модели исходной задачи.

Для задач менеджмента качества услуг сотовой подвижной связи граф-схем а полного алгоритма вычислительного

процесса представляется в виде ациклического направленного |рафа С = (А. V), где А - множество А={АА:. ..., А„} частичных алгоритмов, а V - множество связей А,- алгоритма. Без ограничения общности можно считать, что в графе С = (А. V) имеется только одна вершина А,„ которая не предшествует никакой другой вершине, и только одна вершина А¡, которой не предшествует никакая другая вершина, В противном случае всегда можно добавить две фиктивные вершины с тем, чтобы полученный граф удовлетворял этому условию. Очевидно, что в гаком графе для каждой вершины А/€ {А;г А2. .... Ар} существует путь из А /в Ар, проходящий через эту вершину.

Рассмотрим следующее соотношение между двумя различными вершами Аг и А, связного ациклического графа й = (А, V). А,< А, если существует последовательность сцепления дуг, позволяющих пройти из А; в А,-, А,= А,-, в противном случае.

Это соотношение обладает следующими свойствами:

1) оно асимметрично: из соотношения А,< А, следует, А,< А, не может быть, так как в этом случае мы имели бы конзур,

2) оно транзитивно: если А,-< А/ и А,< А,< Ак, то А,< Л*

Образуем категорию параллельных алгоритмов с функциональным параллелизмом Кф В качестве множества объектов категории Кф возьмем множество {А/} частичных алгоритмов. Затем определим множество морфизмов Кф(Ар,Аф для каждой пары объектов множества ¡А ¡} следующим образом:

г {рц} одноэлемснтарное множество, которое обозначим через рц, если выполняется Ар < .Ад.

Кф(Ар,Ац) <

0

пустое множество, если Ар < ,Aq не выполняется.

В данном случае морфизм рц мы понимаем как утверждение того, что Ар <,Ац , рц: Ар->.Ас/.

Определим композицию:

Кф(Ар,Ац) х Кф(Ад,Аг)-> Кф(Ар,Аг).

Пели Кф(Ар.Ац) или Кф(Ац,Аг) пусты, то сразу становится ясно, что отношение выполняется и композиция существует. Если они оба не пусты, то имеем Ар < Ад и Ас/ < Аг. В силу транзитивности Ар < Аг и, таким образом, можно дать единственно возможное определение: с/г -рц = рг.

Далее, поскольку рефлексивность показывает, что Ар <,Аг и, следовательно, Кф(Ар,Ац) не пусто для каждого ре Ар, то мы можем дать единственно возможное определение; ШАр-рр. Отсюда вытекает что: цц рц=рц и реррр-рц

Поскольку г&(р-рф =р&=(г&-цг)рц, то (Аь — ) есть действительно категория с множеством объектов Ас и с мор-физмами, утверждающими отношение < . Категория определяет временные свойства задач СМК.

Построим категорию параллельных алгоритмов с процедурным параллелизмом - К,г

Каждый параллельный алгоритм может быть представлен в виде конечного множества параллельных ветвей, которые в свою очередь могут быть представлены в виде конечного упорядоченного множества операторов. Каждый оператор представляет собой тройку:

Тк=([СВ(к)]: П(к); [СВ(к)]), где СВ(к) - оператор системных взаимодействий. Квадратные скобки означают,что на этом месте может быть некоторое (в том числе и пустое) подмножество последовательно выполняемых операторов из множества операторов {СВ (])/)&:  П(к) - кортеж последовательных операторов, выполняющих преобразования значений из поля данных (X) и не содержит операторов из {СВф/]&}.

В качестве объектов категории К„ возьмем множество параллельных ветвей {В,}, а в качестве морфизмов - множество операторов системных взаимодействий {О,}.

Определим композицию морфизмов:

К„ (.В,В2) * К„ (В2,Вз)-> К„ (В,

Если нужно произвести обмен между ветвями В/.В: и В3, то можно сначала передать данные из ветви В, в ветвь В? т.е.

О/ В/->, Взатем передать из ветви В2 в ветвь В,,

т.е. 0:В:-или непосредственно передать из ветви В,

в ветвь Вз, т.е. О/В,-В;

Поэтому диаграмма коммутативна.

02 О, О,

В

з

В качестве единичного морфизма К„(В,В/ возьмем взаимодействие самой ветви с собой. Тогда очевидно, что аксиомы справедливы

К„(В1В2)ХК„(ВЬВ1)=

= К„ (В,В2) и К„ (В,В0 ' К„ (В,,В2)= К„ 0,Вг>

Ассоциативность также легко выполняется, поскольку обмен между ветвями не зависит от очередности его выполнения. Следовательно, диаграмма коммутативна.

В, 0

Таким образом, К„ (¡BJ. {О,} есть в самом деле категория с множеством объектов {ВJ и морфизмами, являющимися множеством операторов системных взаимодействий ¡О,} .

В приведенном определении категории К„ параллельных алгоритмов их математические свойства выражены в очень общей форме и никак не учитывают особенностей пространственной структуры параллельных алгоритмов.

Для конкретизации свойств категории параллельных алгоритмов зададим пространственную "структуру" на совокупности морфизмов категории К„,

Пусть R - непустое множество и Я- полугруппа с еди-

ницей. Гомоморфизм 2 полугруппы Яв полугруппу частичных преобразований множества R в себя ставит в соответствие каждому элементу reR частичное отображение Z

множества R в себя - Sr, 2 :>--> Sr

Опрел е л е н и с 4. Множество R, в котором выделен начальный элемент rüeR с действующей на нем полугруппой Я, назовем пространственной структурой параллельного алгоритма, если Vf Е R3k е Я такой, что ШИк

Полугруппу Я назовем полугруппой координат. Если rük-r. то к называется координатой параллельной ветви г.

Элементы полугруппы координат наряду с обозначением ветвей параллельного алгоритма указывают на связь ветвей между собой. Если в полугруппе координат Я найдется такой элемент к, а в множестве R - элемент гк, то ветви г и гк связаны друг с другом.

Если для любого элемента reR, гомоморфизм 2 такой,

что 2:i--> Sr, то гомоморфизм Z:R-> U{ Sr/ reR}

называется произведением множества Sr. Произведение можно представить как множество последовательностей длины R, причем для любой последовательности элемент с номером г принадлежит множеству Sr.

Произведение множеств Sr образует связные подмножества ветвей параллельного алгоритма, когда

я= Мл*/»Sb=0

у

При этом каждое множество Sr является полугруппой. Тогда на множестве можно определить структуру полугруппы, положив (f*g)ir) -f(r)*q(r). Эта полугруппа называется прямым произведением полугрупп Sr Множество 2(R.S) будет также полугруппой, для которой закон композиции определяется операцией умножения в полугруппах Sr=S дня всех reR. Для каждог о элемента reR определено отображение. Pr:UfSr/reR) Sr называемое проекцией pr(f)-f(r). Проекция представляет собой эпиморфизм.

Итак, полугруппа координат Я позволяет выделить на множестве R параллельных ветвей подмножество, на котором действует оператор системного взаимодействия.

О п р е д е л с н и е 5. Категорией параллельных алгоритмов К„ с пространственной структурой называется категория, для каждой пары объектов В/ и В2 которой на множестве KJBIB2) может быть определена структура полугруппы координат.

Определение б. Системным оператором гиперобмена категории К„ с пространственной структурой параллельного алгоритма называется оператор, одновременно выполняющий па каждом подмножестве Sri системный обмен.

Среди многомерных параллельных алгоритмов выделим класс алгоритмов, имеющих пространственную структуру

конечных плоских решеток R-RJxR2 где R!-{},2.....nl},

R2-{1,2.....r\2} - начальные множества натуральных чисел.

В этом случае полугруппа Я порождается проекцией р=<рх,ру>, составляющие которой определяются следующим образом: для элемента

px,:(rl.r2)-Хх.г2),

ру,:

->(rl, у), -где л:, уеА и являются осями пло-

с кой решетки.

Полугруппа '}[ позволяет выделить на пространственной структуре Я связные подмножества Ш соответствующие ветвям параллельного алгоритма, находящимся на вертикалях (у) или горизонталях (х) плоских решеток. Пространств венная структура параллельных алгоритмов вводится неявно, путем использования гиперобменов с указанием параметров структур конечных плоских решеток.

4. Эквивалентность категории распределенных

вычислительных систем и категорий параллельных

алгоритмов

Для выявления эквивалентности пространственных и структурных характеристик параллельных алгоритмов и распределенных вычислительных систем, воспользуемся понятиями функтора, функторного морфизма и изоморфизма категорий [ 11 ¡.

Определение 7. Пусть §1 и - категории.

Тогда функтор Я; -> включает в себя отображение А-> НА, переводящее объекты А из £1 в объекты НА

из £2. Для каждой парЕ>1 А к В объектов из определено отображение Е,](А. В)-> &(НЛ, ИВ), /'->Н/. которое

переводит £( — морфизмы /Л-->В в £2 морфизмы

Н[:НА --->НВ таким образом, ч то

1) ¡(¡АН =1(1 АН для каждого объекта А из £1.

2) Н(/1{) = Я/'Яg для каждой пары - морфизмов/ для которых определена композиция.

Определение 8. Пусть Р и О - функторы из категории £1 в категорию £2. Тогда функторный морфизм 5 функтора Р в функтор С задан, если для каждого объекта

А из определен морфизм 8 (А):Р(А)->й(А) заким

образом, что для любого морфизма и:А->В из £2

диаграм м а ком мутати вн а.

S

F

G

F

G

F

Если 3 (А) - изоморфизм для каждого объекта А из £1, то 3 называется функторным изоморфизмом.

Если мы имеем два функторных морфизма 5 :Р-> О

и //.С" *Н, то можно получить функторный морфизм

Я.*/7->Н положив Л (А)= 5 (А)> ¡И (А) для каждого

объекта А из Определенный таким образом функторный морфизм Я называется композицией функторных морфиз-мов (5 и // и обозначается 6 ¡.I. Введенная таким образом операция композиции ассоциативна.

О п р с д е л с н и е 9. Функтор -Р: ф-

определяет изоморфизм между категорией и категорией £2. если

а) для каждого объекта 2 из £2 существует единственный объект X из такой что Р(Х) — 2 и

6} для каждой пары объектов (Х,У) из отображение

Р(Х,У):Нопц\{Х,У)~-Ноте(Р(Х),РрО), сопоставляющее

каждому м орфизму и X-> У морфизм

Р(и):Р(Х)-> Р(У), биективно.

В этом случае говорят, что категории и £2 изоморфны. Таким образом, чтобы определить эквивалентность или изоморфизм категорий параллельных алгоритмов К„ микропроцессорных однородных вычислительных структур Км,

необходимо определить функтор Н: К„-> Км и показать, что В->НВ и К„ (В,Щ-Км (НВ,, НВг) для

всех В/. В: являются биекциями.

Рассмотрим эквивалентность категории микропроцессорной однородной вычислительной структуры Км и категории параллельных алгоритмов с процедурным параллелизмом К„

Категория К„ обладает пространственной структурой, поэтому помимо того, что каждый объект В/ категории К„ должен переходить в объект Ш категории Км, так что Н(В^)-М„ функтор Н должен переносить пространственную структуру параллельных алгоритмов на структуру РВС. Тогда, качестве функтора из категории К„ в категорию Км выступает опе-разор Я, переводящий объект Bi категории К„ в объект М,

категории Км, Н: В,-> Л/, причем так, что объекты Ш

обладают той же пространственной структурой, что и объекты B¡ категории К„.

Теперь необходимо показать, что для любых двух объектов (В/.Ву) из категории К„ отображение

Н(В1.В:):НоткП(В,.В:)->ИотКм(Н(В^Н(В^) биективно.

Отображение

Н{В¡.В:):НоткП(В,,В2)->НотК,/Н(В,),Н(В2)) будет би-

екцией только в том единственном случае, когда каждый морфизм категории Км однозначно соответствует соответствующему морфизму категории К№ т,е. когда наоор снетёмных операций категории Км совпадает с набором системных взаимодействий категории К,„ а функтор Я осуществляет лишь переобозначение.

—- индивидуальный обмен между

Пусть со : В,

ветвями ВI и В2 категории К„ параллельных алгоритмов. Тогда Н( со ) обозначает настройку канала связи да индивидуального обмена между элементарными машинами Н(В,) и Р(В2) категории Км, выполняющими ветви В/ и В; параллельного а л го риг м а категории К„ и мы имеем отображение

Н( СО ): H(Bi)-> Н(Вт) определяющее биекцию

Н(В,.В,):Нот К„(В,.В2) -> НотКм(Н(В,).Н(В2)).

Таким образом, функтор из категории К„ в категорию Кч представляет собой пару H-(G, Q) , где G - осуществляет настройку пространственной структуры категории К и на езрукгуру категории Км Q - осуществляет отображение операторов системных взаимодействий категории КП в системные операции взаимодействия категории Км-

В случае, если лля каждого объекта В из категории К„ действует единственный объект М из категории Км такой, что М=Н

НотК„(В/, В2)->НотКм(Н(В1),Н(Вг)), сопоставляющего

каждому морфизму 11:81-»-В? морфизм Н

НсВ^->Н(В2) являющийся биекцией, но может быть

найдена композиция морфизмов, такая, что диаграмма коммутативна, то можно сказать, что категория Км моделирует категорию К„

Н

Н

Н

Н

Рассмотрим эквивалентность категории микропроцессорной однородной вычислительной структуры Км и категории параллельных алгоритмов с функциональным параллелизмом КФ

На первый взгляд категории Км и КФ кажутся совершенно различными. Категория Км обладает пространственной структурой, в то время как категория параллельных алгоритмов с функциональным параллелизмом КФ есть категория с временной структурой, когда морфизмы задают упорядоченность выполнения частных алгоритмов.

Попытаемся найти изоморфизм или эквивалентность между этими категориями. Для достижения успеха необходимо выяснить соотношение между временной структурой категории Кф и пространственной структурой категории Км. Частные алгоритмы, связанные между отношением (<), могут выполняться только последовательно, а частные алгоритмы, не связанные отношением (<), могут выполняться одновременно, В каждый момент времени из категории КФ можно выделить подмножество объектов, не связанных отношением (<) упорядоченности.

Определим функтор Ф из категории Кф н категорию Км

Ф: КФ-> Км, который в каждый момент времени переводит объекты Аг из Кф ц не связанные отношением упорядоченности, в объекты ФА из Км и для каждой пары Ар Ад объектов из Кф, связанных отношением упорядоченности (<), определяет отображение Ф(Ар.Ац) переводящее морфизмы <:Ар-> Ас] в морфизмы Ф < : Ф Ар-» Ф Ас/.

Например, если в категории КФ мы имеем морфизмы (рс/, рН, рР> из объекта Ар в объекты Ас/, А И, А/ то в категории Км эти морфизмы переходят в морфизм трансляционного обмена Ф < : ФАр->{ФАц, ФА/1. ФА/}.

Если каждый частный алгоритм можез' быть выполнен одной элементарной машиной РВС, то для каждого объекта X из Кф существует единственный объект Z из Км, такой, что

Ф /X)=Z и функтор Ф: Кф -> Км определяет изоморфизм между категорией КФ и категорией Км при условии, что для каждой пары объектов {Л", У) из Кф отображение

Ф(Х. У): Но m Кф(Х. Y) -> НоткмФ(Х), Ф(У), сопоставляющее морфизму <:Ар-М</ морфизм Ф < : Ф Ар-> Ф

Ац , биективно. Это отображение будет биективно, если каждому отношению упорядоченности (<) категории Кф соответствует системное взаимодействие категории Км

Объектами категории параллельных алгоритмов с функциональным параллелизмом КФ могут быть категории параллельных алгоритмов процедурным параллелизмом К,„ когда каждый частный алгоритм представляет собой параллельный алгоритм с процедурным параллелизмом.

В таком случае для решения частного алгоритма необходимо выделить подсистему категории РВС К'м, а для решения полного алгоритма необходимо выделить категорию РВС Ksi, объектами которой являются подкатегории РВС К'м, а морфизмами - операции системных взаимодействий. Структура категории K?,t, должна допусказъ одновременное наложение пространственной структуры категории К„ параллельных алгоритмов с процедурным параллелизмом и временной структуры категории КФ параллельных алгоритмов с функциональным параллелизмом.

Т е о р с м а I. Категория Км допускает одновременное отображение категорий Кф и Кц в себя, если диаграмма коммутативна.

Ф

Кф -К. у

н

Кп

Доказательство. Прежде всего необходимо доказать, чзо функтор М существует. Чтобы М был функтором из категории КФ в категорию Кц, необходимо выполнение условий определения 9. Они легко выполнимы. Если частный алгоритм является параллельным алгоритмом с процедурным параллелизмом, то объект А категории Кф переходит в объект МЛ являющийся подкатегорией К'л категории Кц. Если существует морфизм КФ (А. В), то он переходит в морфизм Кц (А,В), определяющий системную операцию взаимодействия между подкатегориями К'ц и К "п. Таким образом, морфизм ш из категории КФ в категорию Кц является функтором. Тогда проверка равенства Ф=ММ осуществляется поэлементным перенесем объекта А из КФ в Км двумя путями. Функтор Ф непосредственно переводит объект из Кф в объект из Км Поскольку объект категории Кц является параллельным алгоритмом с процедурным параллелизмом, преобразование его функторами N и 111 дает тот же объект категории Ф(А), что и ЫЩА),

Выводы

Формализованы понятия микропроцессорных распределенных вычислительных систем и параллельных алгоритмов управления качеством и информационной безопасности с процедурным и функциональным параллелизмом, что позволило исследовать адекватное отображение параллельных алгоритмов УКиИБ в логическую структуру РВС.

Разработана процедура одновременного отображения категорий параллельных алгоритмов с функциональным и процедурным параллелизмом в категорию РВС.

Определение основных понятий категорий параллельных алгоритмов с процедурным параллелизмом позволяет перейти к исследованию эффективности системных операторов обмена и исследовать эквивалентность пространственных и структурных характеристик параллельных алгоритмов сервисов управления качеством и сервисов информационной безопасности. Результаты этих исследований будут отражены в следующей статье.

Литература

1. Максименко В.Н.. Филиппов A.A. Центр обработки данных в структуре системы управления качеством оператора сотовой связи // T-Comm; Телекоммуникации и транспорт. №6, 2008. С. 47-51.

2. Максименко В Н. Интеграция методов защиты информации и оценка качества услуг в сетях сотовой подвижной связи. Материалы XI Международной научно-практической конференции "Информационная безопасность" ч.Ъ — Таганрог, Изд-во ТТИ ЮФО, 2010. С. 236-240.

3. Бепьфер P.A.. Максименко В Н. Подход к разработке концепции оценки уровня безопасности мобильных систем третьего поколения, Сборник трудов научно-практической конференции "Информационная безопасность" 28-31 мая 2002 г. Изд-во ТРТУ. С. 205-207.

4. Максименко В Н. Услуга определения местоположения абонента как средство защиты в сети сотовой подвижной связи // Известия ЮФУ. Технические пауки. 2007, №4 (76). С. ! 51-155.

5. Федеральный закон от 6 июля 2016 № 374-Ф3 «О внесении изменений в Федеральный закон «О противодействии терроризму и отдельные законодательные акты Российской Федерации...» II Гарант, base.garant.ru.

6. Шелухин О.И. Самоподобие и фрактал. Телекоммуникационные приложения, М.: Фпзматиздат, 2008. 362 с.

7. Максименко В Н. Модель коллектива вычислителей и «Проблема 2000» в цифровых системах коммутации Тезисы докладов научно-практического семинара Проблемы разработки, внедрения и эксплуатации цифровых систем коммутации. 6-9 нюня 2000, Санкт-11етербург. С. 42-46.

8. Антонов А. Под законом Амдала II Компьютера. № 5. 2012. С. 02-11.

9. Филиппов A.A. Проблемы масштабирования параллельных сетевых приложений в многопроцессорной вычислительной среде / Тезисы докладов 6-й отраслевой научной конференции «Технологии информационною общества». М.: ИД Медиа Паблишер, 2012. С. 14.

10. Еврешюв Э.В.. Косарев Ю.Г. Однородные универсальные вычислительные системы высокой производительности. М,: Наука, 1966. С. 307.

11. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. М.: Мир, 1972.259 с.

12. Арбиб М.А., Мэйнес Э.Г. Стрелки, структуры, функторы; Категорный императив / Пер. с англ. под ред. Копфмана Л.А. М.: ВГПТИ ЦСУ СССР, 1979, 275 с.

13. Максименко В.Н.. Васильев М.А. Методика расчёта стандартизованных показателей качества дополнительных услуг на сетях подвижной связи II T-Comm: Телекоммуникация и транспорт. №4. 2011. С, 26-28.

14. Максименко В.Н.. Васильев М.А. Методика системного проектирования инфокоммуникационных услуг сетей 3U // Электросвязь, 201!, №6. С. 38-41.

CATEGORICAL APPROACH TO THE STUDY OF ASPECTS OF INFORMATION PROTECTION AND SERVICES QUALITY MANAGEMENT IN MOBILE CELLULAR NETWORKS

Vladimir N. Maksimenko, MTUCI, Moscow, Russia, vladmaks@yandex.ru

Abstract

The classical method of designing information systems involves the use of decomposition of a complex system into subsystems with a minimum number of external links. This leads to the fact that the information protection subsystem and the quality management subsystem are projected independently of each other. This approach was valid for small systems. For geographically distributed mobile cellular networks, this approach becomes unacceptable. At the stage of network operation, the quality and information security indicators for the provision of services depend on the decisions made at all previous stages of the design life cycle and operation of the mobile cellular network, and primarily on the decisions made at the initial design stages. The article proposes to use the theory of categories apparatus for formal investigation of parallel algorithms for complex distributed quality management systems and information security by minimizing exchange interactions. As an efficiency criterion, it is proposed to use the indicator of adequacy of the structure of the solved problem to the structure of the computing system.

Keywords: mobile cellular communication, information security, service quality, theory of categories, functor, morphism. References

1. Maksimenko V.N., Filippov A.A. (2008). Data processing center in the structure of the quality management system of the mobile operator. T-Comm, №6, pp. 47-51.

2. Maksimenko V.N. (2010). Integration of information security methods and evaluation of service quality in mobile cellular networks. Materials XI International scientific-practical conference "Information Security" Part 1. Taganrog: Publishing house of TIT-SFD, pp. 236-240.

3. Belfer R.A., Maksimenko V.N. (2002). Approach to the development of the concept of assessing the security level of third-generation mobile systems. A collection of proceedings of the scientific and practical conference "Information Security" on May 28-3 1, 2002. Publishing house TRTU, pp. 205-207.

4. Maksimenko V.N. (2007). Service of determining the subscriber's location as a means of protection in the mobile cellular network. Izvestia SFU. Technical science. No. 4 (76), pp. 151-155.

5. Federal Law of July 6, 2016 No. 374-FZ "On Amendments to the Federal Law" On Countering Terrorism and Certain Legislative Acts of the Russian Federation ... "// Garant, base.garant.ru.

6. Shelukhin O.I. (2008). Self-similarity and fractal. Telecommunication applications. Moscow: Fizmatizdat. 362 p.

7. Maksimenko V.N. (2000). Model of the collective of calculators and "Problem 2000" in digital switching systems. Abstracts of the scientific and practical seminar. Problems of development, implementation and operation of digital switching systems. June 6-9, 2000, St. Petersburg, pp. 42-46.

8. Antonov A. (2012). Under the law of Amdala. Computer Journal, No. 5, pp, 02-11.

9. Filippov A.A. (2012). Scaling problems of parallel network applications in a multiprocessor computing environment. Theses of the reports of the 6th branch scientific conference "Information Society Technologies". Moscow: MTUCI, p. 14.

10. Evreinov E.V., Kosarev Yu.G. (1966). Homogeneous universal high-performance computing systems. Moscow: Nauka. 307 p.

11. Bucur I., Delianu A. (1972). Introduction to the theory of categories and functors. Moscow: World. 259 p.

12. Arbib M.A., Meines E.G. (1979). Arrows, structures, functors: Categorical imperative. Moscow: VGPTI CSU USSR. 275 p.

13. Maksimenko V.N., Vasiliev M.A. (2011). Methodology for calculating standardized indicators of the quality of supplementary services on mobile networks. T-Comm. No. 4, pp. 26-28.

14. Maksimenko V.N., Vasiliev M.A. (2011). Methodology of system design of infocommunication services of 3G networks. Electrosvyaz. No. 6, pp. 38-41.

Information about author:

Vladimir N. Maksimenko, Associate Professor of the IB Department. Ph.D., MTUCI, Moscow, Russia

г Г\