Расчет тонких оболочек с использованием аппроксимирующих функций различного порядка

УДК 539

Ф. С. Хайруллин, Д. Д. Мингалиев

РАСЧЕТ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ РАЗЛИЧНОГО ПОРЯДКА

Ключевые слова: аппроксимация, принцип Лагранжа, оболочка, вариационный метод, подобласть.

В работе предлагается метод расчета оболочек сложной формы, в котором используются аппроксимирующие функции с конечными носителями. Функции имеют разные порядки аппроксимации внутри подобластей и на их границах. Это позволяет в случае необходимости автономно уточнять решение внутри определенной подобласти без затрагивания структуры задания аппроксимирующих функций в других подобластях.

Key words: approximation, principle of minimum potential energy (MPE), shell, variation method, subdomain.

In this paper complex shape shells calculation method with using approximation functions of different degrees with final carries is proposed. The functions can have different degrees of approximation on the border and within the subdomain. Therefore, if we need, we can autonomously to refine the solution within a selected subdomain and do not change approximation functions of other subdomains.

В работе [1] рассматривался метод, который, как и метод конечных элементов, позволяет определять напряженно-деформированного состояния тонких оболочек сложной формы, а также составных оболочек. Главная особенность предложенного метода заключалась в том, что путем введения соответствующей локальной системы координат и использования соответствующих аппроксимирующих функций с конечными носителями, разделялись параметры, определяющие искомые функции внутри подобластей и на их границах. В данной работе для задания искомых функций предлагается использовать аппроксимирующие функции в виде полиномов, которые имеют разные порядки аппроксимации внутри рассматриваемых подобластей и на их границах. Для прямоугольных и треугольных подобластей похожий метод использовался в работе [2]. Для расчета трехмерных конструкций аналогичные аппроксимирующие функции использовались в работах [3,4].

Рассматривается тонкая оболочка, у которой срединная поверхность ^ может быть разбита на подобласти в виде криволинейных четырехугольников (рис.1). Границы подобласти описываются уравнениями, а2 = а1),а2 = /2(а1),а1 = /з(а2), а± = [4(а2), где ^ - однозначные функции класса С1.

В подобласти вводится локальная система координат рг,р2, которая связана с системой координат а±, а2 следующим образом:

«1 = /зЫ^2))(1 - Рг) + и{д*(зХ&)Ж +

+ - а11(1 - Ю - аМ(1 - /32) +

+ \9г- «13

«2 = ШгШгШ - Ю + +

+ \дз(*зр2) - а21(1 - р2) - а23р2](1 - р1) + + \д4(з;р2) - а22(1 - 02) - а24р2]р1

где

= 4i(aJ ^ Ь1

A\i+Alif?(aJ dat,

Sj = qj(a2) = С±2.^А2и +A22jfj2(a2)da2

^(«1,21), = Ч;(а2,;) - длины дуг кривых у1,у]; а± = д^Б^), а± = д- функции обратные к ^1 = Ч1(а1),з}= ц}(а2) ] = 1 + 2,1 = 1,2; Аи,А21 -коэффициенты первой квадратичной формы на линиях уо (аи,а21) - координаты точек А, В, С, D и I = 14.

Система координат @2 введена таким образом, что на граничных линиях уь уравнения (1) переходят в уравнения этих линий. Причем, на этих линиях координатная сетка является равномерной.

Для определения напряженно-деформированного состояния оболочек используется вариационный принцип Лагранжа [3], на основании которого

к к

5Е = ^5 Ек

к=1

к=1

Пк

где Е, Ек - соответственно полная энергия оболочки и подобласти Пк, 8 Шк - соответственно удельная потенциальная энергия деформации и вариация работы внешних сил единицы площади подобласти и = [и1,и2,т,'ф1,'ф2}Т - вектор перемещений и углов сдвига подобласти оболочки в системе координат аг, а2.

А

Рис. 1

В работе [1] для аппроксимации искомых функций в подобласти использовалось соотношение

М N

и= ХХ^ша^)

т=1п=1

S,- =

Здесь Отп — {Отп , Отп , Отп , Отп4, Отп5] вектор неизвестных постоянных, функции формы имеют вид:

11

Представим правую часть соотношения (3) в следующем виде:

т=1п=1 М2

+ ^ ^(РгШР2) + ^ 1т(РМР2) +

т=3 т=3

N2

+ ^ гп(р2)11(р1) + ^ о2*„ 1п(р2шр^ +

М N

+ ЛЛ

(Р&пШ

т=3 п=3

В формуле (5) неизвестные постоянные в первой сумме определяют перемещения угловых точек, со второго по пятой суммах - перемещения точек на граничных линиях Уь, в последней сумме - перемещения точек внутри области

Если определить перемещения точек на границах подобласти, то получим:

м1

N1

и

I — 12

т=1

п=1

Из этих выражений следует, что на граничных линиях у1 искомые функции определяются одномерными полиномами различных порядков, являющимися инвариантными величинами относительно преобразования системы координат аг, а2. В результате этого обеспечивается непрерывность искомых функций при переходе из одной подобласти на другую и легко выполняются геометрические граничные условия. Например, если граница у2 подобласти 0.к совпадает с границей у3 подобласти О^, то для обеспечения непрерывности вектора перемещений П достаточно выполнить условия:

пк — пк* ит2 — и

1т>

т — 1,М,Ы — М

Подставляя для каждой подобласти 0.к аппроксимирующие функции (5) в вариационное уравнение (2), удовлетворяя при этом соответствующим граничным условиям и условиям стыковки подобластей, после численного интегрирования по некоторой квадратурной формуле получается система линейных уравнений относительно неизвестных постоянных О^и.

В качестве примера приводятся результаты расчетов открытого сверху резервуара, находящегося под действием гидростатического давления (рис.2).

Рис. 2

Предполагалось, что на линиях стыка пластин перемещения равны нулю. Ввиду симметрии рассматривалась четверть резервуара. Конструкция разбивалась на три подобласти. Нумерация подобластей и сторон показана на рис.3.

VIII

У

к VI О VII

п / /Ту

Рис. 3

В таблице 1 приводятся значения безразмерных прогиба ж* и изгибающего момента М* в нескольких точках для различных вариантов аппроксимации искомых функций. В скобках показаны проценты расхождения решений в сравнении с первым вариантом. В последней строке приведено количество степеней свободы системы, в последних двух строках - результаты других авторов. Порядки аппроксимирующих функций для граней и сторон резервуара, соответствующие этим вариантам, даны в таблице 2.

Таблица1

Вариант * пА * Пс * WD МА МВ К IV ст

1 0.266 0,127 0.099 0.101 -0.182 127

2 0.266 0,127 0.100 0.100 -0.183 117

3 0.266 0,130 0.100 0.104 -0.178 91

4 0.264 0,130 0.099 0.103 -0.173 81

5 0.256 0,128 0.094 0.084 -0.165 61

[51 0.273 0.132 0.106 0.102 -0.171

[6] 0.266 0.127 0.099 0.109 -0.153

Таблица 2

Варианты Грани Стороны

1 2,3 IJII II,IV V,VIII VI,IX VII

1 6 6 6 6 6 6 6

2 6 6 6 4 4 6 4

3 5 5 5 5 5 5 5

4 5 5 5 3 3 5 3

5 4 4 4 4 4 4 4

В ходе расчетов принимались следующие числовые значения и обозначения:

а — 50 см, к — 4мм, Е — 200ГПа, V — 0.3,

шЕИ3

q = 1КПа,

qa4

М1=-

qa2

Результаты расчетов показывают, что путем уменьшения порядков аппроксимирующих функций на граничных линиях, в некоторых случаях можно значительно понизить порядок окончательной системы уравнений относительно неизвестных параметров. Также в подобластях, в которых искомые

величины изменяются незначительно, можно также

уменьшать порядок аппроксимирующих функций.

Литература

1. Хайруллин Ф. С. Метод расчета тонких оболочек сложной формы. // Известия РАН. Механика твердого тела. -1998, № 3. - С. 30 - 33.

2. Серазутдинов М.Н. Метод построения финитной функции высокой степени аппроксимации класса СО // Вестник технол. ун-та. - 2016, т.19, № 11. - С. 162-164.

3. Хайруллин Ф. С. О методе расчета трехмерных конструкций сложной формы / Ф.С. Хайруллин, О.М. Сахбиев // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2014, т.17, №23. - С.328-330.

4. Хайруллин Ф. С. Моделирование деформаций трехмерных конструкций с плоскими граничными поверхностями / Ф.С. Хайруллин, О.М. Сахбиев // Вестник технол. ун-та. - 2016, т.19, №20. - С.161-163.

5. Габбасов Р.Ф. Расчет косоугольных плит и коробчатых конструкций с использованием разностных уравнений МПА / Р.Ф. Габбасов, Н.Б. Уваров // Известия вузов. Строительство и архитектура. - 1983, № 3. - С. 43 - 46.

6. Корнишин М.С. Расчет гибких составных тонкостенных конструкций методом суперэлементов / М.С. Корнишин, В.И. Савинов // Труды семинара по теории оболочек. Вып. XIX. - Казань, Казанс. физ.-тех. ин-т, 1986. - С. 94-102.

© Ф. С. Хайруллин, д-р физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической мехиники и сопротивления материалов КНИТУ, tmsm@kstu.ru; Д. Д. Мингалиев, асп. той же кафедры.

© F. S. Khayrullin, doctor of physico-mathematical sciences, professor, department of theoretical mechanics and strength of materials, KNRTU, tmsm@kstu.ru; D. D. Mingaliev, graduate student, department of theoretical mechanics and strength of materials, KNRTU.