Влияние структурированности среды на процессы деформирования и разрушения при ударном нагружении

УДК 531132 Е. И. КРАУС

И. И. ШАБАЛИН

Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН, г. Новосибирск

ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРИРОВАННОСТИ СРЕДЫ НА ПРОЦЕССЫ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ ПРИ УДАРНОМ НАГРУЖЕНИИ_

В аварийных ситуациях современные космические аппараты с термоэмиссионными преобразователями «отстреливают» ядерную энергетическую установку (ЯЭУ). Однако существует вероятность того, что часть реактора, содержащая ядерное топливо, несмотря на значительные тепловые и механические нагрузки при прохождении плотных слоев атмосферы, может достичь поверхности Земли. Причем из-за разнообразия земной поверхности блок может встретить на своем пути как водную поверхность, так и горные породы или мягкие грунты. В данной работе сделана попытка построить модель переходной среды, которая по своим прочностным характеристикам отвечала бы мягким породам. С этой целью были проведены сравнительные расчеты удара модельного реактора ЯЭУ о поверхность Земли, которая представляет собой в первом случае однородную структуру (песчаник), во втором — неоднородную дискретную структуру (блоки из гранита, связанные цементной массой).

В работе показано, что структура земной поверхности, с которой взаимодействует реактор, существенно изменяет картину разрушения последнего из-за различия в распространении волн сжатия. Поэтому возникает необходимость исследования волновых и прочностных свойств дискретных блочных сред, так как это позволит в дальнейшем более реалистично предсказывать результаты разрушения реактора.

Ключевые слова: ударные волны, деформации и разрушения, взаимодействие твердых тел.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-08-01218).

Применение ядерных источников энергии, ЯЭУ имеют целью получение оценки возможных включая реакторы ядерных энергоустановок в ка- состояний реактора и ядерного топлива для после-честве бортовых источников электропитания кос- дующего прогнозирования радиационного воздей-мических аппаратов, требует обеспечения ядерной ствия на окружающую среду.

и радиационной безопасности подобных систем. Следуя [2, 3], будем исходить из лагранжева

В том числе необходимо оценивать состояние ядер- способа описания среды как наиболее подходящего ного реактора и его радиоактивных материалов способа описания взаимодействия твердых дефор-после аварий, связанных с ударным воздействием мируемых тел. Модель состоит из уравнений балан-на конструкцию. са массы, импульса и энергии, а также уравнений

В настоящей работе не рассматриваются сцена- состояния и процесса упругопластического течения рии аварийных ситуаций [1], связанные с падением Прандтля — Рейсса:

ядерного реактора на поверхность Земли, а только уравнения траектории материальных частиц

констатируется факт, что существует определенная

вероятность того, что в случае внештатной ситуа- X = и,;

ции часть реактора, содержащая ядерное топливо, несмотря на значительные тепловые и механические нагрузки при прохождении плотных слоев атмосферы, может достичь поверхности Земли. Скорость соударения оставшейся части реакторного блока может достигать 400 м/с. Причем из-за разнообразия земной поверхности блок может

встретить на своем пути как водную поверхность, ^ = а .

так и горные породы или мягкие грунты. Работы ' '''

по анализу ударного воздействия на конструкцию изменение внутренней энергии частицы

уравнение неразрывности среды

V Ро=УР

закон изменения мпульса материальной частицы

ре = ау£у.

Тензор скоростей деформаций имеет вид еу =0,5(4 у +ам ).

Тензор напряжениН ппедптавим в общепринятой форме

а а = -8„Р + 1ч,

где 5„

в

2

2

3 1 - а,К / V

2 I рУ 3 СС21 н

2 - о 3

—\РУ3 се1 у

Для учета процессов разрушения система дополняется соотношениями, связывающими параметры напряженно-деформированного состояния с предельными величинами материалов [8—10]. Наиболее часто применяются величины предельных значений деформаций растяжения и сдвига [11].

девиатор тензора напряжении, отвечаю-

щий за реакцию на сдвиговез формоизменение материальной часеи=ы; р — символ Кронекера; Р — давление.

Уравнения прец=сса принимаем в форме Прандтля — Рейсса

сз+сюс, = 2СС—ч > ее

при условии плаюичкосей Губера —Мизеса

СА * 3С

где Уд — динамический предел текучести, а для определения скалярного множителя СА' используется известная процедура приведения к кругу текучести.

В приведенных выше уравнениях использованы общепринятые обозначения: каждый из индексов I, ], к пробегает значения 1, 2, 3; по повторяющимся индексам проводится суммирование; точка над символом — производная по времени; индекс после запятой — производная по соответствующей координате; х,, и. — компоненты векторов положения и скорости материальной частицы соответственно; р — текущая плотность; С — модуль сдвига, причем может быть функцией параметров среды [4].

Уравнение Ми — Грюнайзена в терминах свободной энергии

2 - ^

и сдвига

2 .

Если деформации растяжения или сдвига в процессе взаимодействия тел превысили предельные значения в** (т. е. е1 >е1) или ет >ет, то материал элемента считается разрушенным, т.е. перестает сопротивляться растяжению и сдвигу, но оказывает сопротивление на сжатие при условии р>рд.

В качестве критерия откольного разрушения материалов используется аналог критерия Тулера — Бучера [12]

Н (и -ч)М

->и,

Но,

^ (V, Т) = Ех (V) + с„/ 1п

-1 c T 21 V

2^ [К

где V — удельный объем, Ех (V) — «холодная» энергия, Т — температура, сг=3Ю / А — теплоемкость решетки при постоянном объеме, А — средний атомный вес, — газовая постоянная, в(V) — температуры Деб2я, сге0 — эксперименгальное значение электронной теплоемкосто с)и нормальных условиях.

Для определения нулевой изотермы выражения для коэффициент- Грюнаюена [5] при нулевой температуре (Т=0К) при равн и вались к выражению для обобщенного коэффициента Грюнайзена

где I — номер в(еменногс шага, о 1, о2 и От — главные напряжения, причем суммирсшание выполняется только при условии и1 - ст1 > 0.

Для построЕны paанo стных соотнош ений дифференциальных уравнзний иодели здесь используется динамический метод построе>ия треугольной сетки. Запишем уравнение движени) 1 -го узла

Со1

Ск

где т. — масса, отнесенная к узлу, К. — коэффи-

_ У еС _

циент демпфирование, р е Нру, N — число сосе-

с У ^_

дей 1-го Узлa, ру е С(Гу ), (н,-н у) 2 + (у,- у у )2 —

расстояние между узлами , и ], у— положение

1-го узла в счетной обрасзи [ 13, 14]. По начальным данным расположения узлов проводится интегрирование дифференциальных уравнений по времени до равновесия, т.е. состоения, в котором максимальное смещение всех узлов за один шаг по времени не станет меньше, чем заданное малое значение е

[14]:

íJ(Hу+н-нуY+(Уу+н-yуj <<

где ау = а(0) = 1 + 2( ус -2/3) — значение параметра а| при нулевой температуре. Данное уравнение имеет аналитические решение для «холодных» давления и энергии [6, 7].

Несмотря на современный уровень развития вычислительной техники и наличие достаточно адекватных математических моделей поведения материалов, решение задач удара реальных технических объектов получить практически невозможно. Это обусловлено сложностью пространственного расположения деталей и наличием многих масштабов, которыми обладают элементы технического

2

3

Рис. 1. Геометрическая модель реактора

объекта. В таких случаях используется упрощение объекта моделирования, которое позволяет построить ряд моделей для исследования влияния ударных параметров на конкретные основные детали объекта (рис. 1). Упрощение заключается в том, что внутри реакторной зоны проведено осреднение материалов мелкомасштабных деталей в аддитивном приближении [15, 16]. Считаем, что масса неосновных материалов достаточно мала (материалы: бериллий, диоксид урана и гидрид циркония составляют 95 — 97 % массы реактора), чтобы оказать существенное влияние на амплитуду ударной волны. Поскольку у такой среды (смеси) отсутствует дефект объема, то ее удельный объем на фронте волны может быть подсчитан как

где V. — удельный объем 1-й компоненты при ударном сжатии каждой компоненты по отдельности; п — количество компонеот в смеси; а. — массовая концентрация, которая определяется как

о

Н о

Ндп 1,

где т. — масса 1-й компоненты. То есть в основу положено предположение о достаточно точном выполнении правила аддитивности. В аддитивном приближении объем ударно сжатой смеси предполагается равным сумме объемов компонент, полученных при том же давлении, при их раздельном ударном сжатии в виде гомогенных монолитных образцов.

На рис. 1 представлена плоская модель реактора термоэмиссионной ЯЭУ «Тополь» с 12 регулирующими цилиндрами в боковом отражателе нейтронов и концентрическими рядами электрогенерирующих каналов (ЭГК) в замедлителе из гидрида циркония. ЭГК представляют собой ТВЭЛы со встроенным термоэмиссионным преобразователем тепловой энергии ядерной реакции в электрическую энергию. В данной работе сделана попытка построить модель переходной среды, которая по своим прочностным характеристикам отвечала бы мягким породам. С этой целью были проведены сравнительные 2Б расчеты удара модельного реактора ЯЭУ

о поверхность Земли, которая представляет собой в первом случае однородную структуру (песчаник, рис. 1а), во втором — неоднородную дискретную структуру (блоки из гранита, связанные цементной массой, рис. 1б).

В обеих задачах осреднённые по объему характеристики песчаника одинаковые. Только для модели сплошной среды они постоянны по объему, а в дискретной модели меняются скачкообразно. Ниже приведены результаты расчетов удара реактора о поверхность для обоих случаев, с начальной скоростью 200 м/с в плоской постановке.

Кинограмма процесса деформирования и разрушения, в результате ударного контакта для первого случая, представлена на рис. 2. Повреждение песчаника начинается на стадии сжатия, причем на периферии области контакта, где существенны сдвиговые деформации, что ослабляет данную зону и формирует «клин», направленный в сторону налетающего реактора. Клин тормозит область у контакта, что формирует сдвиговые деформации в бериллиевой оболочке реактора, заставляя обтекать возникшее препятствие. В центральной части, выполненной из гидрида циркония, действуют растягивающие напряжения, возникающие в зоне встречи двух волн разгрузки, приводящие к растрескиванию заливки.

В дальнейшем усиливаются процессы разрушения песчаника, что приводит к некоторой разгрузке бериллиевой оболочки и образованию зоны сплошного разрушения и формированию однородной «подушки», воспринимающей оболочку на достаточно большой площади. Процесс происходит в квазистатическом режиме, идет дальнейшее растрескивание заливки и передача нагрузки на урановое топливо.

Во втором расчете модель реактора взаимодействует со смесью из гранитных блоков, связанных цементной массой (первоначальное распределение гранитных блоков в земной поверхности показана на рис. 1б). Кинограмма этого процесса деформирования и разрушения представлена на рис. 3. Здесь цементная прослойка между зернами гранита легко разрушается и формирует демпфирующую «подушку» из несвязанных между собой зерен гранита и фрагментов цементной прослойки. Это приводит к мягкому погружению тела реактора в сопротивляющуюся среду. Бериллиевая оболочка разрушается по тонким перемычкам на отдельные

б

а

7=1

1=1

(=1

Рис. 2. Кинограмма процесса столкновения реактора с гранитом

Рис. 3. Кинограмма процесса столкновения реактора со смесью гранита и цемента

фрагменты. В центральной части контакта идет раздавливание материала оболочки, поскольку имеет место сложная волновая картина из-за наличия смеси материалов с разными свойствами. При этом реактор, а точнее, реакторная зона остается неповрежденной.

На примере этих расчетов можно сделать вывод, что дискретная структура материала, с которым взаимодействует реактор, существенно изменяют картину разрушения последнего. В случае удара реактора по дискретному песчанику волновая картина осложняется тем, что песчаник обладает спо-

собностью разрушаться под действием сжимающих напряжений. Эта особенность связана с внутренним строением песчаника, в котором прочные кристаллы песка связаны хрупкой цементной массой. Поскольку песок и цементная масса обладает различными коэффициентами сжимаемости, то в волне сжатия на границах раздела сред формируются сдвиговые напряжения, которые разрушают их связь на границе, т.е. формируется песок с мелкой фракцией цементной массы. А свободный песок практически не сопротивляется сдвиговым деформациям.

Поэтому возникает необходимость дальнейшего исследования волновых и прочностных свойств дискретных блочных сред, так как это позволит более реалистично предсказывать результаты разрушения реактора.

Библиографический список

1. Федоров, M. Ю. Анализ последствий аварий, приводящих к падению реактора космической ядерной энергоустановки на Землю [Электронный ресурс] I M. Ю. Федоров, E. И. Краус, И. И. Шабалин II Труды MÄM : электрон. журн. — 2015. — Вып. 82. — 19 с. — Режим доступа : https:IIwww.mai. ruIscienceItrudyIpublished.php?ID = 58564 (дата обращения: 19.09.2015).

2. Уилкинс, M. Л. Расчет упругопластических течений I M. Л. Уилкинс II Вычислительные методы в гидродинамике ; под ред. Б. Олдера, С. Фернбаха, M. Ротенберга. — M. : Mир. — ШбУ. - С. 212 — 2б3.

3. Высокоскоростное взаимодействие тел I В. M. Фомин,

A. И. Гулидов, Г. А. Сапожников [и др]. - Новосибирск : Изд-во СО РАН. - 1999. - б00 с.

4. Краус, E. И. Определение модуля сдвига за фронтом сильной ударной волны I E. И. Краус, В. M. Фомин, И. И. Шабалин II Вестник Южно-Уральского гос. ун-та. Сер. Mа-тематическое моделирование и программирование. — 2014. — Т. У, № 1. - С. 49 — б1.

5. Mолодец, А. M. Обобщенная функция Грюнайзена для конденсированных сред I А. M. Mолодец II ФГВ. - 1995.Т. 31, № 5. - С. 132-133.

6. Краус, E. И. Mодельные уравнения термодинамических функций состояния веществ. 1. Твердое тело I E. И. Краус,

B. M. Фомин, И. И. Шабалин II Физическая мезомеханика. -2004. - T. У. - C. 285-288.

У. Fomin, V. M An equation of state for condensed matter behind intense shockwaves I V. M. Fomin, E. I. Kraus, I. I. Shabalin II Mater. Phys. Mech.- 2004. - Vol. У. - № 1. -P. 23-28.

8. Kraus, E. I. Impact loading of a space nuclear powerplant I E. I. Kraus, I. I. Shabalin II Frattura ed Integré Strutturale, 2013. -Vol.24. - P. 138-150.

9. Краус, Е. И. Моделирование процесса соударения сложных двумерных тел о деформируемую преграду / Е. И. Краус, В. М. Фомин, И. И. Шабалин // Вычислительные технологии. — 2006. - Т. 11. - C. 104-107.

10. Моделирование ударных воздействий на конструкцию в проблеме обеспечения безопасности космических ЯЭУ / М. Ю. Федоров, Е. И. Краус, В. М. Фомин, И. И. Шабалин // Вестник Московского авиационного института. — 2009. — Т. 16, № 3. - С. 49-53.

11. Новожилов, В. В. Теория упругости / В. В. Новожилов. -Л. : Судпродгиз, 1958. - 370 с.

12. Tuler, F. R. A criterion for the time dependence of dynamic fracture / F. R. Tuler, B. M. Butcher // Int. J. Fract. Mech. -1968. - V. 4. - P. 431-437.

13. Shimada, K. Bubble Mesh: Automated triangular meshing of non-manifold geometry by sphere packing / K. Shimada,

D. Gossard // ACM Third Symposium on Solid Modeling and Applications, 1995. - P. 409-419.

14. Краус, Е. И. Динамический метод построения треугольных сеток в многосвязных областях / Е. И. Краус, В. М. Фомин, И. И. Шабалин // Вычислительные технологии. -2009. - Т. 14, № 5. - C. 40-48.

15. Дремин, А. Н. Метод определения ударных адиабат дисперсных веществ / А.Н. Дремин, И. А. Карпухин / ПМТФ. -1960. - № 3. - С. 184-188.

16. Краус, Е. И. Учет электронных составляющих в уравнении состояния при расчете ударных волн в смеси металлов /

E. И. Краус, В. М. Фомин, И. И. Шабалин // Математ. моделирование систем и процессов. - 2001. - № 9. - С. 78-84.

КРАУС Евгений Иванович, кандидат физико-математических наук, заместитель директора по научной работе.

ШАБАЛИН Иван Иванович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник. Адрес для переписки: kraus@itam.nsc.ru

Статья поступила в редакцию 11.09.2015 г. © Е. И. Краус, И. И. Шабалин

Книжная полка

51/К26

Карпенко, А. П. Современные алгоритмы поисковой оптимизации. Алгоритмы, вдохновленные природой : учеб. пособие для вузов по направлению подгот. 230100 «Информатика и вычислительная техника» / А. П. Карпенко. - М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. - 446 с.

Учебное пособие посвящено преимущественно рассмотрению современных стохастических популя-ционных алгоритмов решения однокритериальной задачи оптимизации. Рассмотрены методы повышения эффективности этих алгоритмов путем их гибридизации и метаоптимизации. Наряду с однокритериаль-ной рассматривается задача многокритериальной оптимизации и популяционные алгоритмы ее решения. Представлены методы распараллеливания указанных алгоритмов. Содержится большое число примеров решения тестовых и практически значимых задач оптимизации. Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 230100 «Информатика и вычислительная техника». Может быть полезно для всех студентов, изучающих курс «Методы оптимизации» и близкие по тематике курсы.

Материал пособия представляет интерес также для аспирантов и специалистов, использующих в своей работе методы, алгоритмы и программы оптимизации.