Моделирование упругой асимметрии весоизмерительной ячейки рамочного типа

нять процедуры имитационного моделирования и поддержки принятия решений при проигрывании различных сценариев управления МЭС, обе-

спечивая взаимодействие во времени нейронных сетей, экспертной системы и имитационных моделей воспроизводственного процесса МЭС.

список литературы

1. Прогноз и моделирование кризисов и мировой динамики [Текст]/Отв. ред. А.А. Акаев, А.В. Коротаев, Г.Г. Малинецкий. -М.: Изд-во ЛКИ, 2010. -352 с.

2. Волкова, В.Н. Теория систем и системный анализ: Учебник для вузов [Текст]/В.Н.Волкова, А.А.Денисов. -М.: ЮРАЙТ, 2010. -679 с.

3. Макаров, В.Л. Применение вычислимых моделей в государственном управлении [Текст]/В.Л. Макаров, А.Р. Бахтизин, С.С. Сулакшин. -М.: Научный эксперт, 2007. -304 с.

4. Петров, А.А. Математические модели экономики России [Текст]/А.А. Петров, И.Г. Поспелов//Вест-ник РАН. -2009. -Т. 79 -№ 6. -С. 492-506.

5. Гаврилова, Т.А. Интеллектуальные технологии в менеджменте: инструменты и системы: Учеб. пособие [Текст]/Т.А. Гаврилова, Д.И. Муромцев. -СПб.: Изд-во «Высшая школа менеджмента», 2008. -2-е изд. -488 с.

6. Макарова, Е.А. Программный комплекс для формирования базы экспериментальных данных по

результатам имитационного моделирования [Текст] / Е.А.Макарова // Научно-технические ведомости СПбГПУ Сер. Информатика. Телекоммуникации. Управление. -2009. -№ 6. -С.85-88.

7. Ильясов, Б.Г. Нейросетевые технологии в управлении динамикой инвестиционных процессов [Текст] / Б.Г. Ильясов, Е.А. Макарова // Вестник компьютерных и информационных технологий. -2008. -№ 8. -С. 16-26.

8. Ильясов, Б.Г. Интеллектуальная информационная система поддержки процедур управления воспроизводственным процессом [Текст] / Б.Г. Ильясов, Е.А. Макарова, А.Н. Павлова // Программные продукты и системы. -2010. -№ 1. -С. 88-90.

9. Курс экономической теории: Учебник [Текст] / Под общ. ред. д.э.н., проф. А.В. Сидоровича. -М.: Дело и сервис, 2008. -1040 с.

10. Кохонен, Т. Самоорганизующиеся карты [Текст] / Т.Кохонен; пер. англ. -М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. -3-е изд. -655 с.

УДК 681.2.084

В.А. Сушников

МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГОй АСИММЕТРИИ

весоизмерительной ячейки рамочного типа

В современных сило- и весоизмерительных системах высокой точности (с погрешностью измерения в диапазоне 0,01^0,1 %) используются преимущественно тензодатчики силы. В таких датчиках сила тяжести, пропорциональная измеряемой массе т, воздействует на упругий элемент (УЭ). Восприятие деформации упругого элемента осуществляется с помощью нескольких тензорезисторов, включенных в мостовую измерительную цепь. Изменение сопротивлений тензорезисторов Я., где 1 - номер тензорезистора, вызванное деформациями УЭ в точках их установки, преобразуется мостовой цепью в электрическое напряжение, пропорционально измеряемой массе т. Мостовая схема позволяет существенно увеличить чувствительность датчика и снизить его

систематические погрешности, вызванные влиянием температуры, нелинейностью уравнения преобразования упругого элемента и тензорези-сторов [1], технологическими допусками при изготовлении УЭ и установке тензорезисторов [2], внецентренным расположением массы на грузо-приемной платформе [3] и т. д.

Однако следует отметить, что упомянутые выше свойства мостовой цепи могут быть реализованы в полной мере лишь при условии достаточно строгой симметрии каналов преобразования Я.(т). Необходимое условие решения этой задачи - установка тензорезистров в зонах УЭ, испытывающих при нагружении датчика равные по модулю, но разные по знаку деформации растяжения-сжатия, направленные вдоль основ-

а)

б)

Рис. 1. Расчетная схема

ной оси чувствительности тензорезистора.

Ниже приведены результаты моделирования степени асимметрии механических продольных деформаций в зонах установки тензорезисторов для наиболее распространенной конструкции УЭ типа двойная консольная балка. На рис. 1 а показана расчетная схема рамочного упругого элемента, где h и а - ширина и длина выемки; Ь и Н -длина и толщина балки; I - длина балки от места заделки; Е - измеряемая сила.

Задача о распределении продольной деформации на нижней (е(х, 0)) и верхней (е(х, Н)) кромке двойной консольной балки относится к классу статически неопределимых задач. Аналитическое решение задачи с использованием метода фиктивных сил [4] легко получить лишь для частного случая, когда поворот поперечного сечения нагруженного конца балки отсутствует. Поэтому задача решалась путем численного моделирования с использованием метода конечных элементов [5] в системе ANSYS [6]. Моделирование выполнялось при условии, что левый конец УЭ (рис. 1 а) жестко закрепляется по контуру, обозначенной на рис.1 жирной линией. Свободный конец УЭ нагружается сосредоточенной силой Е. Густота равномерной сетки, непосредственно влияющая

на точность решения в тех или иных частях расчетной области, составляла 500 тыс. узлов.

На рис. 1 б изображен пример распределения деформации по нижнему основанию рамы (е(х, 0)) для случая: F = 120 Н; Е = 0,7 • 1011 Па (модуль Юнга для сплава ВТ-6); а = 70 • 10 3 м; Ь = 40 • 103 м (толщина УЭ); h = 36 • 103 м; Н = 40 • 103 м; I = 1,15 • 10-1 м; I = 10-1 м. Значения относительной деформации на рис. 1 б приведены в ЕОД (1 ЕОД = 10-6). Аналогичный характер имеет распределение продольной деформации на верхней кромке упругого элемента (е(х,Н)).

Из рис. 1 б следует, что распределение продольной деформации имеет явно выраженный неоднородный характер с двумя экстремумами в точках х1 = 25 мм и х2 = 95 мм. В этих точках УЭ испытывает деформацию сжатия е1 = е(хр0) = = -990 ЕОД и растяжения е2 = е(х2,0) = 932 ЕОД. В точках с этими же координатами на верхней кромке УЭ имеет место деформация растяжения е3 = е(х1, Н) = 990 ЕОД и сжатия е4 = е(х2, Н) = = -932 ЕОД. Асимметрия модулей пиковых значений деформаций составляет

У = 1 .100% = 5,9 %.

8

90

80

70

60

50

40

30

20

10

— 5— 4

з \

/ ^^

1

10

20

30

40

50

60

70

80

90

А, %

Рис. 2. Зависимость степени асимметрии модулей пиковых значений деформации от конструктивных параметров Д и А: 1 - А = 70 %; 2 - А = 50 %; 3 - А = 30 %; 4 - А = 20 %

Рамочный УЭ можно считать близким к линейной системе, поэтому приведенное значение асимметрии сохраняется во всем рабочем диапазоне нагрузок.

На рис. 2 изображено семейство кривых, характеризующих зависимость асимметрии модулей пиковых значений деформации от конструктивных параметров рамочных конструкций УЭ (см. рис. 1 а). В качестве конструктивных параметров были использованы относительная толщина выемки Д и относительная длина выемки А, определяемые выражениями:

А = —100 %; Н

А = --100%. I

Одним и тем же значениям параметров Д и А могут соответствовать УЭ на разные пределы измерения. Например, значениям А = 70 % и Д = 90 % могут соответствовать упругие элементы из нержавеющей стали с размерами Ь = 10 • 10-3 м; h = 9 • 10-3 м; Н = 10 • 103 м; а = 35 • 103 м; I = 50 • 10-3 м или с размерами Ь = 30 • 103 м; h = 45 • 103 м; Н = 50 • 103 м; а = 84^03 м;

I = 120 • 103 м. В первом случае пиковые значения деформации на уровне 1000 ЕОД достигаются при F = 25 Н, во втором случае - при F = 360 Н.

Значения параметра Д, при которых производилось численное моделирование, показаны на рис. 2 кружками. Обработка результатов численного моделирования распределения продольной деформации проводилась при помощи компьютерной программы MathCAD [7] по формуле:

7(Д,я) = 1-

е20М)

•100 %.

б!

Для построения кривых 1-4 рис. 2, а также кривых 1-3 рис. 3, применялась кубическая сплайн-интерполяция.

При малых значениях конструктивных параметров (Д, А ^ 0) рамочный УЭ вырождается в простую консольную балку постоянного поперечного сечения, на свободном конце которой деформации отсутствуют. В этом случае у(Д, А) ^ 100 %, что наглядно демонстрируют кривые 3 и 4. Наоборот, по мере увеличения параметров Д и А вплоть до 100 % рамочная конструкция становится подобной идеальному упругому «параллелограмму», в котором при нагружении

Еы.ЕОД

-500

-1000

-1500

-2000

-2500

> > N К

7

3

е2т,Е0Д

1000

500

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 д %

-500

7"

1*

? б>

0 10 2 0 30 40 50 60 70 80 90 д о/,

Рис. 3. Зависимость абсолютных значений пиков деформаций е и е0 от параметра Д

отсутствует поворот поперечного сечения нагружаемого конца, а у(Д, А) ^ 0. Рис. 2 иллюстрирует сказанное тенденцией приближения кривых 1-4 к нижнему левому углу координатной сетки. Таким образом, для достижения высоких метрологических показателей тензодатчиков силы рамочного типа необходимо всемерно увеличивать значения конструктивных параметров А и Д.

При проектировании весовых ячеек также необходимо учитывать воздействие значительных паразитных моментов сил, возникающих из-за внецентренного расположения массы на грузо-приемной платформе:

Мх = Р • ¡х, Му = F • 1у,

где F - номинальное значение нагрузки, а ¡х, ¡у -координаты (проекции) точки расположения центра измеряемой массы относительно центра платформы (на рис. 1 а грузоприемная платформа для простоты не показана) по осям х и у соответственно. В рамках плоской задачи, сформулированной на рис. 1, возможно рассмотрение влияния продольного паразитного момента М. Действие момента приводит к смещению кривых распределений деформаций по длине УЭ и существенному увеличению степени асимметрии пиковых значений деформаций.

Количественная оценка этого влияния представлена на рис. 3. На этом рисунке изображены результаты численного моделирования зависимости пиковых значений деформации от

конструктивного параметра Д при значениях I = 10-1 м и А = 70 %. Моделирование проводилось с учетом теории подобия напряженно-деформированных состояний [8], поэтому пиковые значения деформации е1 без воздействия паразитных моментов сил не изменяются и равняются 1030 ЕОД.

Кривые 2, 5 соответствуют воздействию положительного момента, кривые 3, 6 - отрицательного паразитного момента. Там же для сравнения приведена зависимость значения пиковых деформаций от параметра Д при отсутствии паразитных моментов - кривые 1, 4. Эти кривые характеризуют зависимость степени асимметрии пиковых деформаций е1 и е2 от параметра Д.

Из рисунка видно, что паразитные моменты существенно изменяют пиковые деформации. Для рамочной конструкции УЭ с малым значением параметра Д такие изменения достигают ± 1000 ЕОД, в зависимости от знака момента. Естественно, что подавление таких больших смещений пиковых деформаций весьма проблематично. По мере увеличения параметра Д рамочный УЭ обретает все меньшую чувствительность к продольному изгибающему моменту, так что кривые 1-3 и 5-7 асимптотически приближаются к номинальному значению деформации е1 = е2 = 1030 ЕОД.

В статье описаны трудности, которые необходимо преодолеть при создании тензорезистивно-го датчика силы высокой точности, что позволит грамотно подойти к выбору технологии изготовления таких датчиков.

список литературы

1. Осадчий, Е.П. Проектирование датчиков для измерения механических величин [Текст] / Е.П. Осадчий [и др.]; под общ. ред. Е.П. Осадчего. -М.: Машиностроение, 1979. -480 с.

2. Шнейдерман, А.Л. Систематические погрешности упругого элемента однокомпонентных динамометров [Текст] / А.Л. Шнейдерман // Приборы и системы управления. -1971. -№ 10. -С. 35-37.

3. Аш, Ж. Датчики измерительных систем [Текст] / Ж.Аш [и др.]; пер. с фр. под ред. А.С. Обухова. -М.: Мир, 1992. -В 2-х кн. -480 с.

4. Тимошенко, С. П. Теория упругости [Текст] / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер; под ред. Г.С. Шапиро; пер.

с англ. М. И. Рейтмана. -М.: Наука, 1975. -575 с.

5. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов [Текст] / Г. Стренг, Дж. Фикс; пер. с англ. -М.: Мир, 1977. -349 с.

6. Чигарев, А.В. ANSYS для инженеров: Справ. пособие [Текст] / А.В. Чигарев, А.С. Кравчук, А.Ф. Смалюк. -М.: Машиностроение, 2004. -511 с.

7. Кирьянов, Д.В. Mathcad 12: Самоучитель [Текст]/ Д.В. Кирьянов. -СПб: БХВ-Петербург, 2004. -559 с.

8. Тетельбаум, И.М. Модели прямой аналогии [Текст] / И.М. Тетельбаум, Я.И. Тетельбаум. -М.: Наука, 1979. -383 с.

УДК 681.5.01

А.Ю. Васильев

РЕДУКЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕСОВ ВХОДНЫХ И ВЫХОДНЫХ СИГНАЛОВ

Теория редукции служит для получения математических моделей динамических систем, отличающихся от исходных моделей более низким порядком, но при этом сохраняющих качественные характеристики и демонстрирующих отклонение количественных характеристик на допустимо малую величину [1]. Одной из ключевых методик теории редукции является уравновешенное сокращение по сингулярным числам Гажеля, ос но-ванное на фундаментальных характеристиках системы, получаемых из грамианов управляемости и наблюдаемости. Данная методика прекрасно себя зарекомендовала в отношении систем с одним входом и выходом (в некоторых источниках они называются <^^0-системами»), обеспечивая такие преимущества, как гарантированная устойчивость редуцированной системы и априорная оценка погрешности по норме Ганкеля (максимальному сингулярному числу системы) [3]. В то же время для систем с многими входами и выходами (М1МО-системы) применение основного алгоритма уравновешенного сокращения приводит к существенным расхождениям некоторых процессов уже при понижении порядка на единицу, делая таким образом невозможной адекватную процедуру редукции. Для борьбы с этой пробле-

мой предлагается методика весов входных и выходных сигналов.

В статье рассматривается собственная линейная стационарная динамическая система

о^) = Ао(?) + Ви (?),

у(?) = Со(() + Би (?),

где для каждого t е.

u (t) е Кm, x(?) е:

y (t) е:

векторы входов состоянии и выходов,

соответственно. Передаточная функция системы имеет следующий вид:

M

G(s) = D + C(sI - A)-1 B =

N

причем степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

По умолчанию для оценки сигналов и векторов в статье использована евклидова норма (2-норма). В противном случае тип нормы будет специально уточнен.

В качестве многомерной модели, на примере которой будут обсуждаться процедуры редукции, использована модель объединенной энергосистемы, рассматриваемая более подробно в [2].

Математическая модель, описывающая данную систему, имеет 33-й порядок (т. е. 33 пере-