Генетический алгоритм структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем с помехами на входе и выходе

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 519.254

В. В. Энгельгардт

ГЕНЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ СТРУКТУРНОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОМЕХАМИ НА ВХОДЕ И ВЫХОДЕ

Аннотация. Актуальность и цели. Методы идентификации сегодня являются важной составной частью процесса решения задач управления. В случае, если априорная информация об объекте исследования отсутствует, существуют методы определения порядка математических моделей динамических систем при наличии помех во входном и выходном сигналах. Но данные методы не способны ответить на все вопросы об особенностях системы и обозначают лишь некоторые ориентиры в выборе возможной модели. Целью данной работы является исследование алгоритма структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах в условиях априорной неопределенности (неизвестен закон распределения помех). Материалы и методы. Предлагается метод структурно-параметрической идентификации, который позволяет оценить порядок линейно-разностного уравнения без использования передаточной функции, импульсной характеристики системы и при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах. Задача структурной идентификации формализована таким образом, что ее решение закодировано в виде вектора фиксированной длины, где каждый элемент соответствует сдвигу входного и выходного сигналов. Таким образом, задача сводится к решению задачи целочисленного программирования, которая относится к классу ЫР-Ьат& Для задачи численной реализации выбора структуры модели предлагается подход, в основу которого положен генетический алгоритм. Результаты. В качестве системы для тестирования была выбрана модель c числом входных переменных х = 4, где запаздывание для каждого х: г1 = 3, г2 = 1, г3 = 1, г4 = 2, запаздывание по выходу г = 2. Коэффициенты по выходу Ь = [0,8; -0,5; 0,2] и входу а = [0,4; -0,5; -1; 0,3; -0,2; 0,6; 0,4; -0,5; -1; 0,3; -0,2], соответствующие сдвигу гу для каждого х. Сложность данной системы р = 9, и для всех тестов общий объем выборки N = 10000. При различных отношениях сигнал/шум на входе и выходе сравниваются следующие методы в качестве функции потерь для параметрической идентификации: метод наименьших квадратов, рекуррентный метод инструментальных переменных, разработанный критерий. Выводы. На основе тестовых результатов можно сделать вывод: при увеличении пространства поиска р больше эталонной модели и увеличении количества параметров ошибка уменьшается незначительно. То есть если при изменении р значения критерия изменяются незначительно и не приводят к ощутимому уменьшению ошибки,

то дальнейшие шаги для идентификации производить не имеет смысла. А также заметно преимущество разработанного критерия, который позволяет более точно проводить параметрическую идентификацию с помехами на входе и выходе. Разработанный подход позволяет осуществлять структурно-параметрическую идентификацию линейных динамических систем произвольной размерности по входу и выходу модели и за конечное время составлять тезаурус моделей заданной точности, где каждая модель соответствует критерию устойчивости.

Ключевые слова: структурно-параметрическая идентификация, линейные динамические системы, эволюционные вычисления, генетический алгоритм, целочисленное программирование.

V. V. Engel'gardt

GENETIC ALGORITHM FOR STRUCTURAL-PARAMETRIC IDENTIFICATION OF LINEAR DYNAMIC SYSTEMS WITH NOISE ON THE INPUT AND OUTPUT

Abstract. Background. Identification methods, as the methods of mathematical modeling of real dynamic systems subject to uncontrolled random noise are an important part of the process of solving control tasks nowadays. If the a priori information about the object is missing (or it needs to be confirmed), there are methods for determining the order of mathematical models of dynamic systems with noise in the input and output signal. But these methods are not able to answer all the questions about the peculiarities of the system and represent only some guidance in choosing a possible model. The aim of this work is to exam the algorithm of structural-parametric identification of LDS (linear dynamical systems) in the presence of observation noise in the input and output signals in the conditions of a priori uncertainty (unknown distribution law of interference). Materials and methods. We propose a method of structural-parametric identification, which allows to estimate the order LDS without the use of a transfer function and impulse response of the system in the presence of interference monitoring of input and output signals. Structural identification problem formalized in the way that its decision coded in fixed length vector where each element corresponds to a shift signal input and output. Thus, the problem is reduced to solving the problem of integer programming which belongs to the class of NP-hard (nondeterministic polynomial time). For the problem of the choice of the structure of the numerical model there is an approach which is based on a genetic algorithm. Results. As for the testing system we selected a model with the number of input variables x = 4, where the delay of the output for each x: r = 3, r2 = 1, r3 = 1, r4 = 2. The coefficients on the output b = [0,8; -0,5; 0,2] and the input of a = [0,4; -0,5; -1; 0,3; -0,2; 0,6; 0 , 4, -0.5, -1, 0.3, 0.2], the corresponding to rj shift for every x. The complexity of the system p = 9, and for all tests the total sample size N = 10000. In various signal-to-noise ratio on input and output, these methods are compared as a function of loss for parametric identification: the method of least squares, recursive method of instrumental variables and our developed criteria. Conclusions. Based on the test results, we can conclude that: increase in the search space p more than the standard model and the increase of number of parameters, the error is reduced slightly. That is, if the changes are minor and the criteria values p do not lead to a noticeable reduction in error, then further steps to identify make no sense. And there is an advantage of the developed criterion that allows more precise parametric identification with noise at the input and the output. The developed ap-

proach allows to conduct structural and parametric identification of LDS arbitrary dimension of input and output models and for a finite time to specify accuracy thesaurus models, where each model meets the criterion of sustainability.

Key words: structural-parametric identification, linear dynamic system, evolutionary algorithm, genetic algorithm, integer programming.

Методы идентификации как методы построения математических моделей реальных динамических систем, подверженных неконтролируемым случайным воздействиям, сегодня являются важной составной частью процесса решения задач управления. Одной из наиболее применяемых динамических моделей является модель в форме линейного разностного уравнения (1).

Достаточно сложной задачей в этом случае является определение параметров и структуры модели (порядки по входу и выходу) этого уравнения.

Задача параметрической идентификации динамических систем при наличии помех во входных и выходных сигналах является более сложной, чем задача регрессионного анализа. В работе [1] предложен метод для решения таких задач, а рекуррентные модификации разрабатывались и исследовались в [2, 3].

В случае, если априорная информация об объекте исследования отсутствует (или она нуждается в подтверждении), существуют методы определения порядка математических моделей динамических систем при наличии помех в выходном сигнале. Например, использование в качестве критерия квадратичной функции потерь [4-7], информационного критерия Акаике (А1С) [8], критерия наименьшего размера модели Риссанена (МБЬ) [8], использование матрицы моментов [4-7]. Можно также использовать информацию о передаточных функциях [6], импульсной характеристике (ИХ) [9, с. 62]. Но данные методы не способны ответить на все вопросы об особенностях системы и обозначают лишь некоторые ориентиры в выборе возможной модели.

Данная статья ставит перед собой цель провести исследование алгоритма структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем (ЛДС) при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах в условиях априорной неопределенности (неизвестен закон распределения помех).

Предлагается метод структурно-параметрической идентификации, который позволяет оценить порядок линейно-разностного уравнения (ЛРУ) (1) без использования передаточной функции, импульсной характеристики системы и при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах.

Рассмотрим многомерное линейное разностное уравнение с помехами на входе и выходе с бесконечным в обе стороны дискретным временем

Введение

1. Постановка задачи

i =...,-1, 0,1,...:

m=1

j=1 m=0

входная и выходная переменные наблюдаются с аддитивными помехами в виде

У' = + ^1 ( ) = х/^+^О').

Требуется определить по у', вектора параметров а , Ь и порядки

Г , Гj .

В качестве функции потерь для оценки параметров ЛРУ в условиях помех использовался следующий критерий [10, с. 44]:

mmю-1 (b,a(1) ...a(d))tfN (b,a(1) ...a(d)):

где

Ж

ин (ь, а(1) .. а(*)) = ^Г - Л7,^ ^а^. 7 - Ау}

(•, ) - скалярное произведение;

<0 (Ь, а(1)... а( * )) =С12 Г| + ЬТЬ + -/ |>(а<|>)га<1> ... Т < * >(а (* >)га<^ >

О - средняя дисперсия помехи наблюдения ^1 (); (с^)2 - средняя дис-

персия помехи наблюдения ^2(j) (), Y

(~Z(j') )2 Y(j) _ (° ) .

- 2

С1

a _(...ad) , a(j) _ ^a0,j . rj,jj a f,b _(b‘ \T ..y) ff^ fe; II

1 y0 "• y1-r ! w(1)- (!) -. W i 1 r i (d) ' 1-rd

A _ y,w 1 1 1

1 yN-1’' 'yN-r| wN(1) ..J1) 1 WN-n' W(d) WN-1’ (d) N-rd

Приведенный критерий позволяет получить сильно состоятельные оценки [10, с. 43] при выполнении следующих условий:

1. Множество В, которому априорно принадлежат истинные значения параметров устойчивой линейной системы, является компактом.

2. Помехи ^(/),)(/),] = 1,*, статистически независимы и удовлетворяют следующим условиям:

Е( ( +1)/ ^1 ('0 ),...^1 ()) = 0 п.н., где Е - оператор математического ожидания;

е(2 (i +1)/( (io),..., (l (i ))< h,

здесь h - случайная величина;

E(h)<ж~ ; е(((і)4(i))<Пі п.н.; е({ (і) (i +1)/((і) (io )...((і) (i)) = О п.н.;

Е (((і)) (i +1)/((і)(io),...,((і) (i) <h(j),

V

J

h

- случайная величина;

е(h(j)) < п(і) < ^ ; е(((і) (і)) < п(і)1 <

3.

статистически не зависят от {(i

{((, )},{(оі(і )} ,і=l, d

4. Вектор входных переменных и истинные значения параметров удовлетворяют условиям:

2. Алгоритм для структурно-параметрической идентификации

Для задачи численной реализации выбора структуры модели предлагается подход, в основу которого положен генетический алгоритм [11, с. 432]. Он представляет собой эвристический алгоритм поиска, используемый для решения задач оптимизации и моделирования путем случайного подбора, комбинирования и вариации искомых параметров с использованием механизмов, напоминающих биологическую эволюцию. Отличительной особенностью генетического алгоритма является акцент на использование оператора «скрещивания», который производит операцию рекомбинации решений-кандидатов, роль которой аналогична роли скрещивания в живой природе.

Задача структурной идентификации формализована таким образом, что ее решение закодировано в виде вектора фиксированной длины, где каждый элемент соответствует сдвигу по r,rj . Таким образом, задача сводится к решению задачи целочисленного программирования (Integerprogramming) которая относятся к классу NP-hard (nondeterministicpolynomial time) [12].

где

T

Случайным образом создается множество генотипов начальной популяции, причем, даже если она окажется совершенно неконкурентоспособной, генетический алгоритм все равно достаточно быстро переведет ее в жизнеспособную популяцию.

Каждый генотип оценивается с использованием «функции приспособленности», в нашем случае данной функцией является критерий, в результате чего с каждым генотипом ассоциируется определенное значение («приспособленность»), которое определяет, насколько хорошо фенотип (структура) описываемый им, решает поставленную задачу (значение приспособленности, т.е. значение критерия).

Из полученного множества решений («поколения») с учетом значения «приспособленности» выбираются решения, к которым применяются «скрещивание» и «мутация».

Задача «скрещивания» заключается в том, чтобы потомок или потомки имели возможность унаследовать черты обоих родителей, «смешав» их. Так как кодирование генотипов у нас задается вектором, то для осуществления операции скрещивания автор использует следующий метод: выбирается случайный ген в генотипе, данными участками обмениваются оба родителя. На этапе «мутации» каждый ген генома с вероятностью p изменяется произвольным образом.

Конечным результатом «скрещивания» и «мутации» является получение новых решений. Для них также вычисляется значение приспособленности, и затем производится отбор («селекция») лучших решений в следующее поколение.

На этапе отбора нужно из всей популяции выбрать определенную ее долю, которая останется «в живых» на этом этапе эволюции. Вероятность выживания особи зависит от значения функции приспособленности.

Этот набор действий повторяется итеративно, так моделируется «эволюционный процесс», продолжающийся несколько поколений, пока не будет выполнен критерий остановки алгоритма, а именно в течение нескольких поколений значение функции приспособленности для каждой особи в популяции меняется «незначительно».

Таким образом, можно выделить следующие этапы генетического алгоритма: задать целевую функцию (приспособленности) для особей популяции, сгенерировать случайным образом начальную популяцию. Затем циклично проводить следующие операции над популяцией: размножение (скрещивание), мутирование, вычисление значения критерия для данной структуры, проверку на устойчивость и соответствие размерности, формирование нового поколения (селекция) на основе выбора лучших в текущем. При выполнении условий остановки закончить выполнение цикла, в противном случае повторить операции.

В общем виде алгоритм структурно-параметрической идентификации имеет следующий вид:

1. Создаем базы данных для структур моделей: store - для всех параметрически идентифицированных структур, stabstore - только для устойчивых систем, store_p является результирующим тезаурусом для моделей с минимальным значением критерия для каждой границы сложности,

d

p = r + ^ rj . j=1

2. Задаем ограничения для алгоритма: степень адекватности А, максимально допустимая сложность p .

3. Задаем начальную границу сложности p = 1.

4. Запускаем генетический алгоритм (ГА) для текущего ограничения

по p.

5. Для каждой структуры, на каждой итерации ГА при вычислении «функции приспособленности» производим следующие действия:

- проверяем, была ли такая структура уже вычислена в store, если была, извлекаем значения критерия и передаем в ГА;

- производим параметрическую идентификацию для текущей структуры-особи r,rj, на основе критерия (2) и ограничения на параметры в виде

алгебраического критерия устойчивости Рауса - Гурвица;

- добавляем модель в store;

- проверяем полученные параметры модели на устойчивость с помощью характеристического уравнения и в случае устойчивости модели добавляем ее в stabstore;

6. Сортируем stab store по значению критерия от меньшего к большему и добавляем модель с меньшим критерием в выходной тезаурус store_p.

7. Увеличиваем границу поиска для ГА p= p +1.

8. Если при расширении пространства поиска p изменение критерия для оптимальной модели текущей p произойдет меньше, чем на А, по сравнению с предыдущим оптимальным значением, т.е. p—1, то в этом случае останавливаем алгоритм.

9. Если пространство поиска p достигло максимально допустимой

сложности, останавливаем алгоритм.

10. Переходим к п. 4.

После остановки алгоритма выводим график зависимости критерия от p, а также получившийся тезаурус store_p, в котором модели уже отсортированы по сложности (размерности p) и указаны значения критерия (ошибки) для каждой модели.

На основе данного метода был разработан программный продукт «Структурно-параметрическая идентификация линейных динамических систем с помехами на входе и выходе», который позволяет фактически в автоматическом режиме производить структурно-параметрическую идентификацию ЛДС. В качестве среды для реализации данного продукта был выбран Matlab компании TheMathWorks, одним из решающих преимуществ которого является богатое «математическое окружение» готовых функций и компонентов систем, которые необходимы для реализации данного метода.

Программный продукт состоит из множества модулей (упрощенное представление приведено на рис. 1), каждый их который отвечает за определенную часть алгоритма.

Для решения задачи структурной идентификации в качестве основы был взят Genetic Algorithm Solver, который реализовывает метод ГА и является частью пакета Matlab.

Рис. І. Упрощенная структура программы

В предоставленном виде данный пакет не адаптирован под решение задач целочисленного программирования (Integerprogramming). Для адаптации данного инструмента используется следующий метод [13]:

• Задается верхняя и нижняя целочисленная границы области, в которой будет происходить поиск.

• Создается производная функция генерации начальной популяции, в которой гарантированно получаем целочисленное значение для каждой особи. Пример функции:

function Population = int_pop(GenomeLength,FitnessFcn, options) to-talpopulation = sum(options.PopulationSize); range = options.PoplnitRange; low-er= range(1,:); span = range(2,:) - lower; Population = rep-

mat(lower,totalpopulation,1) + round( repmat(span,totalpopulation,1).*

rand(totalpopulation,GenomeLength));

• Создаем производную функцию мутации при мутировании, получается строго целочисленное значение особи. Пример функции:

function mutationChildren = int_mutation(parents,options, GenomeLength, FitnessFcn,state,thisScore,thisPopulation) shrink = .01; scale = 1; scale = scale -shrink * scale * state.Generation/options.Generations; range = options. Popln-itRange; lower = range(1,:); upper = range(2,:); scale = scale * (upper - lower); mutationPop = length(parents); mutationChildren = repmat(lower,mutationPop,1) + round( repmat(scale,mutationPop,1) .* rand(mutationPop,GenomeLength ));

При данном подходе ГА, реализованный в Matlab, будет производить пространственный поиск строго в рамках заданных границ (lower, upper), поиск будет проходить строго в целочисленной области.

3. Результаты моделирования

В качестве системы для теста была выбрана следующая модель.

Число входных переменных х = 4, где запаздывание для каждого х будет: ri = 3 , r2 = 1, Гз = 1, r4 = 2, запаздывание по выходу r = 2 . Для нашего метода данная модель будет выглядеть в виде вектора r = [3; 1; 1; 2; 2], где каждое значение r соответствует порядку rj для каждого х, кроме последнего

значения - оно обозначает порядок r по выходу. Коэффициенты по выходу b = [0,8; -0,5; 0,2] перенесены в правую часть модели (1), это необходимо для удобства реализации вычислений. Коэффициенты по входу a = [0,4; -0,5; -1;

0,3; -0,2; 0,6; 0,4; -0,5; -1; 0,3; -0,2] соответствуют сдвигу rj для каждого х.

Сложность данной системы p = 9, для всех тестов общий объем выборки N = 10000.

Сравниваются следующие методы в качестве функции потерь для параметрической идентификации:

- метод наименьших квадратов (МНК);

- рекуррентный метод инструментальных переменных [14], со следующим выбором вектора инструментальных переменных:

T

I

yi-r-1...yi-2r i w- ...ww- i ... i w> ' ...w> i

^ r 1 ^ 2r | г-r1 г-2r1 | | г-rd 1 -2rd ;

V«

- разработанный критерий.

Результаты работы алгоритмов сравнивались по относительной погрешности моделирования:

5г^ =^\г - г\\2/|\г\|2 -100%,

где г = |гг-,... - вектор выходной ненаблюдаемой переменной,

= |г,...- оценка вектора выходной ненаблюдаемой переменной, полученная с помощью модели.

Так как результатом работы нашего метода является тезаурус моделей, возникает проблема сравнения моделей различных структур, поэтому для результирующей оценки будут браться модели одинаковой сложности р в каждом тезаурусе и модели, при которых сработал критерий останова, т.е. Л<1 [15, с. 356]. В качестве подтверждения данного высказывании был проведен тест на системе со следующими параметрами:

02/ ох = 0,2;

01 / о г = 0,2; о/ = [0,0396; 0,0403; 0,0415; 0,0396; 0,0397];

0у2 = 0,3497; у = [0,1132; 0,1152; 0,1186; 0,1134; 0,1136].

На рис. 2, 3 представлены графики сходимости всех трех методов для заданных условий, на их основе можно сделать вывод: при увеличении пространства поиска р больше эталонной модели и увеличении количества параметров ошибка Л уменьшается незначительно. То есть если изменения Л значения критерия незначительны и не приводят к ощутимому уменьшению ошибки, то дальнейшие шаги для идентификации производить не имеет смысла. В табл. 1, 2 представлены результаты тестирования.

ГО

100 000 80 000 60 000 40 000 20 000

— — — — — — — — — — —

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Сложность р

Рис. 2. График сходимости разработанного критерия Заключение

Таким образом, разработанный подход позволяет осуществлять структурно-параметрическую идентификацию ЛДС произвольной размерности по входу и выходу модели и за конечное время составлять тезаурус моделей заданной точности, представленных в порядке наименьшей сложности, где каждая модель соответствует критерию устойчивости.

Также разработан критерий, который позволяет более точно проводить параметрическую идентификацию с помехами на входе и выходе.

к

S

в.

S)

О.

X

-

и

9

Я

Я

ГО

и

-

ft

«

н

=

ft

о

Т

Я

а)

б)

Рис. 2. График сходимости: а - инструментальные переменные; б - метод наименьших квадратов

Таблица 1

Сравнение критериев при р = 9

0 2 / 0 x °1/ 0 z Погрешность 80, %

МНК Метод инструментальных переменных Разработанный критерий

0,2 0,2 8,61 8,39 7,32

0,2 0,5 12,8 13,44 7,37

0,2 0,7 15,3 16,1 7,56

0,5 0,2 18,7 18,69 10,72

0,7 0,2 28,87 29,19 7,63

0,5 0,5 23,13 24,09 10,21

0,5 0,7 25,11 22,89 10,35

0,7 0,5 33,15 33,26 12,42

0,7 0,7 31,31 31,65 10,76

Таблица 2

Сравнение критериев при А< 1

°2/ °x °1/ ° z Погрешность 80, %

МНК Метод инструментальных переменных Разработанный критерий

0,2 0,2 3,83 3,98 1,17

0,2 0,5 4,40 4,62 2,73

0,2 0,7 5,06 7,23 3,84

0,5 0,2 17,5 17,45 2,82

0,7 0,2 28,24 28,07 3,67

0,5 0,5 18,51 18,31 3,13

0,5 0,7 18,97 18,37 7,51

0,7 0,5 29,58 29,88 4,38

0,7 0,7 31,57 32,53 5,93

Список литературы

1. Кацюба, О. А. Особенности применения МНК для оценивания линейных разностных операторов в задачах идентификации объектов управления /

О. А. Кацюба, А. И. Жданов // Автоматика и телемеханика. - 1979. - № 8. -С. 86-96.

2. Иванов, Д. В. Рекуррентная параметрическая идентификация многомерных линейных динамических систем с автокоррелированными помехами во входных и выходных сигналах / Д. В. Иванов, О. А. Кацюба // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физико-математические науки. - 2011. - № 4 (25). - С. 102-109.

3. Иванов, Д. В. Рекуррентное оценивание билинейных динамических систем с помехами во входном и выходном сигналах / Д. В. Иванов, О. А. Усков // Известия Южного федерального университета. Сер. Технические науки. - 2012. -№ 6 (131). - С. 187-192.

4. Толчеек, В. О. Методы идентификации линейных одномерных динамических систем / В. О. Толчеек, Т. В. Яготкина. - М. : Московский энергетический институт, 1997. - 108 с.

5. Фатуев, В. А. Пакет программ структурной и параметрической идентификации линейных одномерных динамических систем / В. А. Фатуев,

A. В. Каргин, В. М. Понятский // Проектирование инженерных научных приложений в среде Matlab : тр. II Всерос. науч. конф. - М. : ИПУ РАН, 2004. -C. 715-762.

6. Фатуев, В. А. Структурно-параметрическая идентификация динамических

систем : учеб. пособ. / В. А. Фатуев, А. В. Каргин, В. М. Понятский. - Тула :

Изд-во ТулГУ, 2003. - 156 с.

7. Фатуев, В. А. Структурно-параметрическая идентификация многомерных нестационарных динамических систем / В. А. Фатуев, А. В. Юдаев,

B. М. Понятский, А. В. Каргин, М. С. Оберман // Идентификация систем и задач управления (SICPR0'2004) : тр. III Междунар. конф. - М. : ИПУ РАН, 2004. -

C. 159-186.

8. Ljung, L. System Identification - Theory for the User / L. Ljung. - 2nd edition. -Prentice Hall, Upper Saddle River N. J., 1999.

9. Анисимов, А. С. Идентификация порядка линейного разностного уравнения /

А. С. Анисимов, В. Т. Кононов // Идентификация систем и задачи управления SICPR0'2000 : тр. Междунар. конф. (Москва, 26-28 сентября 2000 г., Институт

проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН). - М. : Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2000. - 2534 с.

10. Кацюба, О. А. Теория идентификации стохастических динамических систем в условиях неопределенности : моногр. / О. А. Кацюба. - Самара : Изд-во Сам-ГУПС, 2008. - 119 с.

11. Емельянов, В. В. Теория и практика эволюционного моделирования /

B. В. Емельянов, В. В. Курейчик, В. М. Курейчик. - М. : Физматлит, 2003. - 432 с.

12. Matousek, J. A subexponential bound for linear programming / Matousek Jiri, Sharir Micha, Welzl Emo // Algorithmica. - 1996. - № 16. - Р. 498-516.

13. Deep Kusum. A real coded genetic algorithm for solving integer and mixed integer optimization problems / Deep Kusum, Krishna Pratap Singh, M. L. Kansal, and

C. Mohan // Applied Mathematics and Computation. - 2009. - № 212 (2). - P. 505518.

14. Thil, S. Contributions a l’identification de modeles avec des erreurs en les variables. Thesis of Doctorat / S. Thil. - University of Henri Poincare, Nancy 1, 2007.

15. Льюнг, Л. Идентификация систем. Теория для пользователя / Л. Льюнг. - М. : Наука, 1991. - 432 с.

References

1. Katsyuba O. A., Zhdanov A. I. Avtomatika i telemekhanika [Automation and remote control]. 1979, no. 8, pp. 86-96.

2. Ivanov D. V., Katsyuba O. A. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Ser. Fiziko-matematicheskie nauki [Bulletin of Samara State Technical University. Series: Physical and mathematical sciences]. 2011, no. 4 (25), pp. 102109.

3. Ivanov D. V., Uskov O. A. Izvestiya Yuzhnogo federal'nogo universiteta. Ser. Tekhnicheskie nauki [Proceedings of South Federal University. Series: Engineering sciences]. 2012, no. 6 (131), pp. 187-192.

4. Tolcheek V. O., Yagotkina T. V. Metody identifikatsii lineynykh odnomernykh dinamicheskikh sistem [Methods of linear one-dimensional dynamic system identification]. Moscow: Moskovskiy energeticheskiy institut, 1997, 108 p.

5. Fatuev V. A., Kargin A. V., Ponyatskiy V. M. Proektirovanie inzhenernykh nauchnykh prilozheniy v srede Matlab: tr. II Vseros. nauch. konf [Design of engineering scientific applications in Matlab environment: II All-Russian scientific conference]. Moscow: IPU RAN, 2004, pp. 715-762.

6. Fatuev V. A., Kargin A. V., Ponyatskiy V. M. Strukturno-parametricheskaya identif-ikatsiya dinamicheskikh sistem: ucheb. posob. [Structural-parametric identification of dynamic systems: tutorial]. Tula: Izd-vo TulGU, 2003, 156 p.

7. Fatuev V. A., Yudaev A. V., Ponyatskiy V. M., Kargin A. V., Oberman M. S. Identif-ikatsiya sistem i zadach upravleniya (SICPRO'2004): tr. IIIMezhdunar. konf [Identification of control systems and tasks (SICPRO’2004): proceedings of III International conference]. Moscow: IPU RAN, 2004, pp. 159-186.

8. Ljung L. System Identification - Theory for the User. 2nd edition. Prentice Hall, Upper Saddle River N. J., 1999.

9. Anisimov A. S., Kononov V. T. Identifikatsiya sistem i zadachi upravleniya SICPRO'2000: tr. Mezhdunar. konf. (Moskva, 26-28 sentyabrya 2000 g. Institut problem upravleniya im. V. A. Trapeznikova RAN) [Identification of control systems and tasks SICPRO’2000: Proceedings of the International conference (Moscow, 26-28 September 2000, Institute of Control Problems named after V. A. Trapeznikov of the Russian Academy of Sciences)]. Moscow: Institut problem upravleniya im. V. A. Trapeznikova RAN, 2000, 2534 p.

10. Katsyuba O. A. Teoriya identifikatsii stokhasticheskikh dinamicheskikh sistem v uslovi-yakh neopredelennosti: monogr. [Theory of identification of stochastic dynamic systems in conditions of uncertainty: monograph]. Samara: Izd-vo SamGUPS, 2008, 119 p.

11. Emel'yanov V. V., Kureychik V. V., Kureychik V. M. Teoriya i praktika evolyutsion-nogo modelirovaniya [Theory and practice of evolutionary modeling]. Moscow: Fiz-matlit, 2003, 432 p.

12. Matousek J., Sharir Micha, Welzl Emo. Algorithmica. 1996, no. 16, pp. 498-516.

13. Deep Kusum., Krishna Pratap Singh, Kansal M. L., and Mohan C. Applied Mathematics and Computation. 2009, no. 212 (2), pp. 505-518.

14. Thil S. Contributions a l’identification de modeles avec des erreurs en les variables. Thesis of Doctorat [Contributions to identification of models with errors in variables. Thesis of Doctorate]. University of Henri Poincare, Nancy 1, 2007.

15. L'yung L. Identifikatsiya sistem. Teoriya dlya pol’zovatelya [System identification. Theory for a user]. Moscow: Nauka, 1991, 432 p.

Энгельгардт Владислав Викторович

преподаватель, кафедра мехатроники в автоматизированных производствах, Самарский государственный университет путей сообщения

Engel'gardt Vladislav Viktorovich Lecturer, sub-department of mechatronics in automated production, Samara State University of Communication Lines

E-mail: hexware@gmail.com

УДК 519.254 Энгельгардт, В. В.

Генетический алгоритм структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем с помехами на входе и выходе /

В. В. Энгельгардт // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2013. - № 4 (28). - С. 5-18.