О влияниии упругих свойств среды на вискозиметрическое ее течение между вращающимися цилиндрами

6. Коренев Г.В. Тензорное исчисление: Учеб. Пособие: Для вузов. - М.: Изд-во МФТИ, 2000. -240 с.

7. Седов Л.И. Механика сплошной среды. - Т. 1, 2. - Изд. 2-е исправ. и доп. - М.: Наука. - 1973. - Т. 1 - 536 е., Т. 2 - 584 с.

Устинова A.C.

О ВЛИЯНИИИ УПРУГИХ СВОЙСТВ СРЕДЫ НА ВИСКОЗИМЕТРИЧЕСКОЕ ЕЕ ТЕЧЕНИЕ

МЕЖДУ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ЦИЛИНДРАМИ

Вискозиметрические опыты являются основными при определении постоянных вязкой и вяз-копластической сред. Однако, в этих экспериментах необходимо иметь точные решения соответствующей краевой задачи. В теории вязких и неньютоновских жидкостей такие решения давно получены и являются уже классическими [1-3]. Но существуют гидродинамические процессы, а также процессы интенсивного формоизменения твердых деформируемых тел на стадии пластического течения материалов, когда изучаемые эффекты диктуются упругими свойствами среды. К таким эффектам относятся заметные геометрические изменения в форме и объеме интенсивно продеформированных тел в процессах разгрузки после снятия нагружающих усилий и формирование остаточных напряжений в этих процессах. При изучении таких эффектов необходимо пользоваться математической моделью больших упругопластических деформаций [2]. Неньютоновский характер вискозиметрического течения вместе с усложнениями, которые вносит учет упругих свойств, приводит к существенно нелинейной краевой задачи математической физики с неизвестными движущимися границами (границы упруговязкопластических областей).

В сообщении излагаются результаты по получению решений теории больших упруговязкопластических деформаций о вязкопластическом течении несжимаемого материла, находящегося между жесткими цилиндрическими поверхностями. Движение осуществляется за счет поворота внутренней или внешней поверхности, а на неподвижной поверхности выполнено условие прилипания материала ü = 0. Решение задачи получено в рамках модели больших упругопластических деформаций, построенной в [4] и дополненной пластическим потенциалом в форме

тах

Gj-CTj

где к - предел текучести, Г| - коэффициент вязкости, - главные значения тензоров напряже-

= 2k + 2r|max

.р

'к

ний и скоростей пластических деформаций.

Показано, что вязкопластическое течение в обоих рассматриваемых случаях начинается на внутренней поверхности радиуса Гц и при дальнейшем увеличении угла поворота развивающаяся

область вязкопластического течения занимает положение между поверхностями г0 < г < Г] (1), где (1:) - движущаяся граница пластической области. Причем, если при повороте внутренней поверхности функция Г| (Ч) асимптотически стремится к некоторому значению Г = Ь < К0, зависящему от свойств материала, то при повороте внешней поверхности ( - ее радиус) пластическая область развивается до данной поверхности.

Получено решение задач о возникновении и развитии области вязкопластического течения при повороте одного из цилиндров в обратную сторону. Рассчитаны напряжения и деформации в новой развивающейся области вязкопластического течения Г0 < Г < Г2

ЛИТЕРАТУРА

1.Бахшиян Ф.А. Вращение жесткого цилиндра в вязкопластичной среде // ПММ, 12. вып. 6. 1948. С.650-661

2.Буренин А.А., Быковцев Г.И., Ковтанюк Л.В. Об одной простой модели для упругопластической среды при конечных деформациях. // ДАН. 1996. т.347, №2. С.199-201.

З.Огибалов П.М., Мирзаджанзаде А.Х. Нестационарные движения вязкопластичных сред. - М.: Изд-воМГУ, 1970.-415 с.

4.Сафрончик А.И. Вращение цилиндра с переменной скоростью в вязкопластичной среде // ПММ. 23. вып. 6. 1959. С. 998-1014.

Завертан A.B.,. Зиновьев П.В

КОНСТРУИРОВАНИЕ ЧИСЛЕННОЙ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О РАСПРОСТРАНЕНИИ УДАРНЫХ ВОЛН В УПРУГОЙ СРЕДЕ

Работа посвящена конструированию численной схемы решения задачи об ударном нагруже-нии несжимаемого упругого полупространства. Пусть нагружаемая поверхность - эллиптический цилиндр с образующими, ортогональными граничной плоскости среды, а лежащие на нагружаемой поверхности точки среды движутся вдоль образующих.

Решение задачи сводится к интегрированию дифференциального уравнения движения. В случае, когда время, прошедшее с момента начала деформирования, мало, для этого уравнения можно построить приближенное аналитическое решение. В общем случае для произвольных времен задача решается численным интегрированием дифференциального уравнения движения в области, ограниченной нагружаемой поверхностью и ударной волной.

Положения точек ударной волны в случае малых времен можно определить аналитически с помощью приближенных формул. Для нахождения перемещения произвольной точки среды из деформированной области необходимо определить луч, на котором она лежит, и ее лучевую координату.

Пусть подвижная и неподвижная границы заданы кубическими сплайнами, совпадающими в начальный момент времени, и притом узлу подвижной границе в любой момент соответствует один и тот же луч. Тогда для определения луча, на котором лежит произвольная точка из деформированной области, сводится к перебору сегментов сплайна и поиску луча, проходящего через данную точку и данный сегмент. В целях упрощения перебора луч можно считать прямой, ортогональной подвижной границе.

Константы, необходимые для использования прифронтового асимптотического разложения, также интерполируются сплайнами, узлы которых соответствуют узлам фронта.

Пусть известно решение задачи в момент t. Рассмотрим получение поля перемещений и констант лучевых разложений в произвольный момент времени. Используем конечно-разностный метод: дифференциальное уравнение движения заменяется системой алгебраических уравнений, которая решается методом последовательных приближений. Для реализации метода необходимо задать условия на подвижной границе либо перемещения точек в ее окрестности. Эти перемещения могут быть получены при помощи лучевого решения, если рассматривать его как уравнение относительно перемещения точки из прифронтовой области и значений констант лучевого разложения, справедливых для соответствующей точки луча.

Таким образом, можно построить замкнутую систему уравнений, состоящую из граничных условий на нагружаемой поверхности, конечно-разностных уравнений для внутренних точек области, конечно-разностных выражений для определения перемещений прифронтовых точек и констант прифронтового решения для узловых точек границы. Система решается итерационным методом. По полученным значениям констант молото определить новое положение фронта ударной волны.

Положение подвижной границы вычисляется по приближенной формуле с использованием констант лучевого разложения предыдущего временного слоя, вследствие чего шаг по временной координате должен быть достаточно малым. Однако, применяя схему многократно, можно получить решение задачи, т. е. положение фронта ударной волны и перемещения точек среды в деформированной области, для любого момента времени.