Анализ неравновесных моделей динамических экономических систем

Г. А. Батищева, М. И. Журавлёва, М. В. Кузнецов, Е. А. Трофименко

АНАЛИЗ НЕРАВНОВЕСНЫХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Аннотация

Статья посвящена исследованию нелинейных динамических систем, определению положений равновесия систем, их характера и типа устойчивости, анализу возможности возникновения бифуркации при изменении параметров системы.

Ключевые слова

Самоорганизация, бифуркация, фазовый портрет, диссипативность, динамический хаос, флуктуация, фокус, узел, положение равновесия.

G. A. Batichsheva, M. I. Zhuravlyova, M. V. Kuznetsov, E. A. Trofimenko

ANALYSIS OF NON-EQUILIBRIUM DYNAMIC ECONOMICAL MODELS

Annotation

Article studies nonlinear dynamical systems, describes and classifies equilibrium positions in this systems and type of robustness, analyzes possibility of bifurcation after parameters change.

Keywords

Self-organization, bifurcation, phase-plane portrait, dissipation, dynamic chaos, fluctuation, focus, node, equilibrium.

Динамическую систему любого процесса, изменяющегося во времени, можно описать математической моделью как в экономическом, так и в биологическом или социальном поле. Параметры модели зависят от времени, явно или неявно. Эта модель описывает процесс перехода системы из одного состояния в другое, характеризуется своим начальным состоянием и законом. Этот закон прогнозирует состояние динамической системы в последующие моменты времени, исходя из определенного начального состояния. Эмерджентность (целостность) динамических систем — совместное функционирование отдель-

ных частей системы, что и представляет собой процесс функционирования всей системы как единого целого и порождает качественно новые свойства целой системы по сравнению со свойствами ее элементов. Все процессы в любых динамических системах взаимосвязаны, функционирования частей определяет характер функционирования всей системы, и наоборот. Любая сложная динамическая система постоянно эволюционирует и развивается. Жизнедеятельность сложной системы — постоянное изменение фаз функционирования и развития системы, непрерывная перестройка системы, ее подсистем и эле-

2017 № 4

ментов. В процессе жизнедеятельности происходит процесс самоорганизации системы. Система относительно устойчива в некоторых пределах, если при достаточно малых изменениях условий функционирования ее поведение существенно не изменяется. Устойчивость системы определяется ее стремлением к состоянию равновесия. В основном в реальных условиях экономическая система не может полностью достичь состояния равновесия, но стремится к нему. На это направлены усилия управления, но, достигая состояния равновесия, она тут же от него уходит. Таким образом, устойчивая экономическая система практически находится в состоянии динамического равновесия. Это является условием непрерывного возникновения противоречий в системе и как следствие — ее эволюции. При анализе динамических экономических систем возникают вопросы прогнозирования изменения некоторых экономических показателей, классификации экономических систем, определения типов экономических систем, встречающихся в реальности, и систем, которые могут возникнуть в будущем, изучения характера устойчивости макроэкономических систем и критериев саморазвития макроэкономических систем и др. [2].

На основе динамических моделей можно решать задачи управления и прогнозирования самых разнообразных экономических процессов, т. е. задачи определения траектории поведения и состояний экономической системы, задачи анализа системы на устойчивость [1]. Динамические системы для случая непрерывного времени описываются математической моделью, состоящей из системы дифференциальных уравнений, а системой, состоящей из конечнораз-ностных уравнений, описываются для случая дискретного времени. Современная экономика имеет не только сложную динамику, но и зачастую входит в состояние неожиданного хаоса с

многочисленными флуктуациями. И потому, теория хаоса является не только перспективным направлением в теории оптимизации, но и экономически необходимым инструментом исследования экономических процессов и явлений, протекающих во времени. Поведение сложных систем непредсказуемо: возникновение хаоса зависит как от вида первоначальных условий, так и от флуктуаций (небольших изменений) внешней среды. Математически точного определения хаоса не существует, динамическая система в состоянии хаоса становится предельно непредсказуемой. Малое отклонение от текущей траектории может привести к значительному отклонению в следующий момент времени. Другая особенность состоит в том, что достоверность прогнозов быстро падает. Последнее сильно ограничивает возможность применения классического анализа. Если все траектории фазового пространства стремятся к некоторым подпространству этого пространства с течением времени, то это подпространство называется аттрактором. Другими словами аттрактор - состояние, к которому тяготеет система, причем, надо отметить, что для некоторых динамических систем возникает так называемый странный аттрактор. Даже при сложных структурах странных аттракторов знание фазовых портретов позволяет геометрически представить поведение системы, а значит, и делать прогноз о ее дальнейшем развитии, иначе в некоторый момент времени в определенной точке фазового пространства область расположения объекта и его стремление к аттрактору предсказуемы. Как правило, открытая нелинейная система имеет набор некоторых структур-аттракторов, в которые могут эволюционировать процессы в данных системах.

Системы могут переходить к хаосу разными путями. Эволюция в неравновесных системах происходит через последовательность бифуркационных пере-

ходов. Термин бифуркация впервые ввел А. Пуанкаре. Мгновенное появление новых состояний равновесия и называется бифуркацией. Когда происходит бифуркация, система будто полностью «теряет память». Бифуркация характерна для большинства динамических процессов. В момент бифуркации появляется возможность направить процесс эволюции в новом направлении, по совсем другой линии. Система «колеблется» перед выбором дальнейшего пути развития. В этот момент резко возрастает роль незначительных случайных флуктуаций (возмущений), которые могут привести к созданию новой структуры и резко изменить все поведение системы. В этом случае происходит качественная перестройка системы (катастрофический скачок). Однако достижение точки бифуркации - это «длительный» процесс. Между моментами бифуркаций развитие системы происходит почти линейно, можно сказать, становится предсказуемым. Действия внутренних или внешних сил, достигших некоторого критического значения, либо за счет их интеграции приводят к быстрому изменению параметров системы, стабильность которой значительно снижается, и возникает возможность новых разных других путей развития. После бифуркационного перехода наступает новый, как бы предсказуемый, участок, готовый в определенный момент смениться следующей бифуркацией.

Развитие социально-экономических систем, относящихся к разным типам динамических систем, происходит примерно одинаково. Стабильное состояние сменяется неустойчивым, а затем снова возникает стабильность и т. д. При этом неустойчивость является стимулом к развитию [2]. К бифуркационным процессам относятся революционные процессы. Механизм бифуркаций играет важнейшую роль в схеме эволюции. Он является источником роста разнообразия различных все более сложных форм организации. При этом си-

стема может быть устойчивой только при сохранении некоторого взаимодействия со своей средой.

Макроэкономический анализ национальных особенностей производственных процессов основывается на моделях закрытой и открытой экономики. Неравновесная (диссипативная) система — это открытая система, устойчивость которой может возникнуть при изменении внешней среды и при условии диссипации энергии этой системы. Диссипативная система зачастую имеет сложную хаотичную структуру, которая может возникнуть спонтанно.

Рассмотрим основные формы систем, которые используются для создания экономических моделей. Вначале дадим модель в виде линейной системы дифференциальных уравнений: йх

— = ах + Ьу,

Ж

йу 1

— = сх + ау. Ж

где

— изображающая точка

(точка на фазовой плоскости, которая отражает состояние системы в определенный момент времени); (а Ь Л

А =

а

— матрица коэффициентов

V с а У

системы.

Фазовая траектория — это есть кривая в фазовом пространстве, которая составлена из изображающих точек, описывающих состояния динамической системы в последовательные моменты времени. Фазовым портретом называют совокупность фазовых траекторий, эти траектории показывают поведение системы не только во времени, но и, что важно, в окрестности положений равновесия. Линейные уравнения не в состоянии описать сложные процессы в экономике, но используются при анализе нелинейных явлений.

Далее рассмотрим систему двух дифференциальных нелинейных уравнений в общем виде:

<

I=К(Х у).

£ = ^ Х- У)

ш

Метод Ляпунова — один из главных методов исследования нелинейных систем в окрестности неподвижных точек, т. е. при помощи этого инструмента выясняется устойчивость поведения этой системы для каждого положения равновесия. Его еще называют метод исследования устойчивости по линейному приближению или метод линеаризации. Его суть: в окрестности неподвижной точки X * фазовые портреты системы:

— = К (X),

ш

^х — 1-х , х

2' •

,х„

и ее

линеаризации эквивалентны, если точка не центр.

Другими словами, если действительная часть корней характеристического уравнения системы, полученной после метода линеаризации, не равны нулю, то фазовые портреты для системы (2) и соответствующей ей линеаризованной системы в окрестности неподвижной точки качественно эквивалентны. Заметим, что для особой точки, которая называется центром, нужны дополнительные исследования.

Положениями равновесия являются решения следующей системы: х, у) — 0

|Р2( Х, у) — 0 Для получения линеаризованной системы необходимо разложить в степенной ряд правые части дифференциальных уравнений в окрестности неподвижной точки, удерживая только линейные члены разложения:

— — К (х*, у*) + ШУ — К2( х*, У*) +

ак;( х*, у*) дх

( х

дК2

дх

где К|(х*, у*) — 0, К2(х*, у*) — 0.

Такую систему всегда можно записать в форме (1), причем матрица коэффициентов системы принимает вид: 'др ( х*, у*) др ( х*, у*)^

х*) + дК1( Х*, у*) (у

ду

дК2( х*, у*) ду

( х - х*) +

у*),

(у - у*Х

А —

Ь Л

дх

дК2

ду

дК2

дх ду у

Запишем характеристическое уравнение для матрицы (3) линеаризованной системы уравнений: а -А Ь

— 0,

с С -А Введем следующие обозначения:

а — а + С — №( А), А — аС - Ьс — А).

Тогда корни характеристического уравнения записываются в виде:

а2 - 4А

4

Соответственно решение системы записывается в следующей форме:

Х :

+ С^'2'

у — С.

21

+ С

22е

А

Чтобы получить фазовую кривую у( х) , необходимо исключить время из (5). В зависимости от значений параметров а и А в (4) различают следующие невырожденные особые точки: фокус, узел, седло и центр [4]. При переходе через «бифуркационные границы» (некоторые определенные сочетания а и А) характер фазового портрета качественно меняется (один тип фазовой траектории сменяется другим).

<

<

а

с

Положения равновесия могут быть устойчивыми и неустойчивыми. Говоря простыми словами, состояние равновесия является устойчивым, если при малом отклонении изображающая точка не отойдет от стационарного состояния, а неустойчивым — если отойдет [4]. Теперь сформулируем условие устойчивости системы [4]. Отметим, если действительные части корней характеристического уравнения будут отрицательны, то колебательный процесс во

времени будет затухать. При переходе через бифуркационные границы часто меняется характер устойчивости особой точки. Скажем, устойчивый фокус через центр может переходить в неустойчивый фокус. При такой бифуркации в нелинейных системах возникает предельный цикл, и сама система становится автоколебательной. Таблицей 1 представим фазовые портреты в окрестности стационарного состояния в зависимости от параметров модели [4].

Таблица 1 — Фазовые портреты в окрестности стационарного состояния

Собственные значения

Особая точка

Фазовая траектория

Чисто мнимые

Центр

Окружности, эллипсы

Комплексные с отрицательной действительной частью

Устойчивый фокус

Логарифмические спирали

Комплексные с положительной действительной частью

Неустойчивый фокус

Логарифмические спирали

Продолжение табл. 1

Собственные значения

Особая точка

Фазовая траектория

Действительные отрицательные

Устойчивый

узел

Параболы

Действительные положительные

Неустойчивый

узел

Параболы

Действительные разных знаков

Седло

Гиперболы

Библиографический список

1. Герасимов, Б. И., Пучков, Н. П., Протасов, Д.Н. Дифференциальные динамические модели : учеб. пособие. Тамбов : Изд-во ГОУВПОТГТУ, 2010.

2. Милованов, В. П. Синергетика и самоорганизация: Социально-экономические системы. — М. : ЛИБРОКОМ 2010.

3. Моисеев, Н. Н. Математические задачи системного анализа : ечеб. пособие. — М. : Наука, 1981.

4. Ризниченко, Г. Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. — Ижевск, 2002. — Ч. 1.

5. Журавлёва, М. И., Лапина, П. А. Динамическая неравновесная модель обмена потребительными стоимостями // Вестник РГЭУ (РИНХ). — 2013. — № 3 (43). — С. 132.

6. Журавлёва, М. И., Братищев, А. В. Бифуркационный анализ и синергетиче-ское управление системой «Валовой продукт — трудовой ресурс» // Вестник

РГЭУ (РИНХ). — 2015. — № 2 (50). — С. 147.

7. Журавлёва, М. И., Кузнецов, М. В. Нелинейная межсекторная конкуренция «хищник-жертва» с неограниченным ростом // Современные проблемы проектирования, применения и безопасности информационных систем : материалы XVII межрегион, науч.-практ. конф. 18-19 мая 2017 г.

8. Колесников, А. А. Синергетиче-ские методы управления сложными системами. Теория системного синтеза. — М. : URSS, 2005.

Bibliographic list

1. Gerasimov, В. I., Puchkov, N. P., Protasov, D. N. Differential dynamic models Tambov: GOUVPOTGTU publishing house, 2010.

2. Milovanov, V. P. Synergetrics and self-organization: Social and economic systems. — M. : LIBROKOM 2010.

3. Moiseyev, N. N. Mathematical tasks of system analysis. —M. : Science, 1981.

4. Riznichenko, G. Yu. Lectures on mathematical models in biology. — Izhevsk, 2002. — P. 1.

5. Zhuravliova, M. I., Lapina, P. A. Dynamic nonequilibrium model of exchange of potrebitelny costs // Vestnik of RSUE (RINH). — 2013,—№3 (43).—P. 132.

6. Zhuravliova, M. I., Bratish-chev, A. V. Bifurcation analysis and syner-getic management of Gross Product — Labour Resource system // Vestnik of RSUE (RINH).—2015. — №2 (50). — P. 147.

7. Zhuravliova, M. I., Kuznetsov, M. V. Nonlinear intersectoral competition «predator victim» with unlimited growth // Modern Problems of Design, Application and Safety of Information Systems : XVII interregional scientific and practical conference. May, 18-19, 2017.

8. Kolesnikov, A. A. Synergetic methods of management of difficult systems. Theory of system synthesis. — M. : URSS, 2005.