Двухуровневая упруговязкопластическая модель: применение к анализу эволюции зеренной структуры при статической рекристаллизации

УДК 539.3

Двухуровневая упруговязкопластическая модель: применение к анализу эволюции зеренной структуры при статической рекристаллизации

П.В. Трусов, Н.С. Кондратьев

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, 614990, Россия

В настоящий момент актуальной проблемой является задача моделирования эволюции структуры поликристаллов на различных масштабных уровнях, которая определяет макросвойства материала. При термомеханической обработке поликристаллических материалов происходит значительное изменение как дефектной, так и зеренной (субзеренной) структуры. На последнюю существенным образом влияет процесс рекристаллизации, в результате которого происходит образование малодефектных зародышей рекристаллизации и их последующий рост за счет поглощения более дефектных соседних зерен. Целью представляемой работы являлась разработка математической модели для описания поведения поликристаллических материалов при пластическом деформировании и последующем нагреве до температур рекристаллизации, основной задачей — описание эволюции зеренной структуры поликристаллов в этом процессе. Рассматривается механизм рекристаллизация, основанный на перемещении исходных участков границ зерен. В результате предварительной холодной пластической деформации в соседних зернах на дефектах (в первую очередь дислокациях) накапливается энергия, разница этой энергии в соседних зернах является основной движущей силой миграции межзеренной границы. При росте рекристаллизованного зерна происходит увеличение протяженности новой большеугловой границы, затраты на образование которой не должны превышать уменьшения запасенной энергии за счет устранения дефектов. В рассматриваемом механизме деформирования субзерна, расположенные вблизи межзеренной границы, являются зародышами рекристаллизации. Они начинают мигрировать вглубь более дефектного зерна при выполнении критерия рекристаллизации Бейли-Хирша. В работе рассматриваются поликристаллические материалы с низкой энергией дефекта упаковки, для которых влияние нагрева на субзеренную структуру несущественно. Для расчета запасенной энергии в зернах и субзернах используется двухуровневая статистическая модель, в рамках которой рассмотрение ведется на уровне отдельных зерен и субзерен. Полагается, что пластическая деформация осуществляется скольжением краевых дислокаций. Предлагается способ выделения плоских участков (фасеток) границ новых (рекристаллизованных) зерен, основанный на минимизации межзеренной энергии в окрестности новой границы. Данный подход позволяет описать ряд наблюдаемых экспериментальных эффектов рекристаллизации — вытянутость рекристаллизованных зерен в первоначальном направлении рекристаллизации и появление фасеток границ, обеспечивающих подвижность границы.

Ключевые слова: двухуровневая модель, физические теории пластичности, статическая рекристаллизация, миграция межзерен-ных границ, зеренная структура

DOI 10.24411/1683-805X-2018-12003

Two-level elastoviscoplastic model: An application to the analysis of grain structure evolution under static recrystallization

P.V. Trusov and N.S. Kondratev

Perm National Research Polytechnic University, Perm, 614990, Russia

Multilevel modeling of structural evolution in polycrystals, which determines the macroproperties of the material, is currently one of the central research problems. The defect and grain (subgrain) structure of polycrystalline materials changes greatly during thermomechanical processing. The grain structure is significantly affected by recrystallization that leads to the formation of slightly defective recrystallization nuclei and their subsequent growth due to the absorption of more defective neighboring grains. This paper is aimed to develop a mathematical model for describing the behavior of polycrystalline materials during plastic deformation and subsequent heating to recrys-tallization temperatures. The main task is to describe grain structure evolution in polycrystals during this process. The recrystallization mechanism based on the displacement of initial grain boundary regions is considered. Preliminary cold plastic deformation causes energy accumulation at defects (primarily dislocations) in neighboring grains. The energy difference between neighboring grains is the main driving force of grain boundary migration. When the recrystallized grain grows, the length of the new high-angle boundary increases; the amount of energy expended for the boundary formation must be smaller than the reduction of stored energy due to the elimination of defects. The subgrains located near the grain boundary are the recrystallization nuclei for the considered deformation mechanism. They start to migrate deeper into the more defective grain when the Bailey-Hirsch criterion is met. This study deals with polycrystalline materials with low stacking fault energy for which the effect of heating on the subgrain structure is insignificant. The energy stored in grains and subgrains is calculated using a two-level statistical model that allows considering individual grains and subgrains. Plastic deformation is assumed to occur through edge dislocation glide. A method is proposed for isolating flat boundary regions (facets) of new (recrystallized) grains, based on minimizing the intergranular energy in the vicinity of the new boundary. This approach describes some experimentally observed recrystallization effects, such as the elongation of recrystallized grains in the initial recrystallization direction and the appearance of grain boundary facets that allow the boundary mobility.

Keywords: two-level model, crystal plasticity, static recrystallization, grain boundary migration, grain structure

© Трусов П.В., Кондратьев Н.С., 2018

1. Введение

Одной из актуальных проблем механики деформируемого твердого тела является задача разработки и создания поликристаллических материалов с прогнозируемыми свойствами [1, 2]. Эта задача тесно связана с проблемой оптимизации технологических процессов для формирования необходимой дефектной и зеренной структуры, которая определяет макросвойства материала и готового изделия [3-6]. Существует множество технологических процессов обработки металлов давлением — осадка, протяжка, экструзия, штамповка, прокатка, прошивка, кручение, равноканальное угловое прессование и др. [7, 8]. При этом поликристаллическая заготовка может подвергаться температурному воздействию как на начальной и финальной стадии обработки, так и совместно с механическими воздействиями. Указанные способы обработки металлов являются гибким инструментом для формирования дефектной и зеренной структуры материала [9-12]. Наиболее сложной с точки зрения математического моделирования, описания физических процессов и анализа полученных результатов является задача исследования при одновременных механических и температурных воздействиях. Вследствие сложности описания термомеханической обработки на данном этапе работы ставится задача отдельного математического описания предварительной пластической деформации и последующего термического воздействия.

К основным видам термической обработки металлов относятся отжиг, закалка, отпуск, нормализация и др. [9, 12, 13]. Отжиг является наиболее распространенным видом термического воздействия, который приводит к уменьшению физической и химической неоднородности. В материале, подвергнутом предварительной холодной механической обработке, при отжиге существенно изменяются механические свойства, такие как пластичность, упругость, вязкость, прочность, твердость, снимаются остаточные напряжения, может меняться текстура материала [9, 10-12]. Изменение материальных свойств связано с перестройкой и эволюцией дефектной и зеренной/субзеренной структуры, в основном за счет реализации процессов возврата, полигонизации и рекристаллизации. При гомологической температуре Т = = 0.2-0.3 (зависит от материала и внешних воздействий) в кристаллических материалах происходит возврат. Данный процесс не оказывает прямого влияния на размеры и форму зерен, но приводит к перестройке дефектной структуры, в особенности точечных дефектов, понижающей внутреннюю энергию тела. Повышение температуры отжига до значений гомологической температуры Т = 0.3-0.4 приводит к реализации процесса полигонизации, осуществляющегося преимущественно за счет перестроения, перераспределения и аннигиляции дислокаций. Важнейшим материальным парамет-

ром, влияющим на процесс полигонизации, является энергия дефекта упаковки [10, 11], низкие значения которой затрудняют дислокационные перестроения. Температуры Tg = 0.4-0.6 ведут к процессу рекристаллизации, который заключается в формировании зародышей новых зерен и их последующем росте взамен деформированных. Физически рост зерен обусловлен повышением энергии атомов до величин, позволяющих им меняться местами и перегруппировываться. Формирование зародышей рекристаллизации может осуществляться множеством способов и зависит как от свойств материала, так и от внешних воздействий [10, 11, 14]. В данной работе рассматривается механизм рекристаллизации, основанный на движении исходно существующих границ в структуре, сформированной предшествующей пластической деформацией [15]. Зародышами новых зерен в данном случае становятся ячейки или субзерна, прилегающие к областям межзеренной границы с относительно правильной, не искаженной в процессе деформации решеткой. К этим зародышам в соответствии с текущей ориентацией кристаллической решетки присоединяются атомы смежных зерен. Рекрис-таллизованные зерна постепенно увеличиваются в размерах и могут полностью поглотить соседние деформированные зерна. Как правило, форма рекристаллизо-ванных зерен является равноосной, однако ряд исследователей отмечают существенную анизотропию роста границ зерен при различной ориентации соседних зерен [16, 17] и ориентации плоских участков (фасеток) границы [18]. При более высоких гомологических температурах, помимо указанных процессов, могут происходить фазовые переходы, которые не рассматриваются в данной работе.

Процесс рекристаллизации является определяющим как с точки зрения эволюции размеров и формы зерен поликристаллических материалов, так и эволюции дефектной структуры. Вследствие этого актуальной является задача построения физически корректной математической модели, позволяющей описывать эволюцию структуры при различных режимах холодной пластической деформации и последующей температурной обработки с учетом рекристаллизации. Важным элементом моделирования процесса рекристаллизации является учет основной причины возникновения, движущей силы этого процесса — разности запасенной при предварительной пластической деформации энергии. Для этой цели требуется корректное описание эволюции дефектной структуры с учетом процессов упрочнения (разупрочнения). В проблеме моделирования рекристаллизации можно выделить две основные подзадачи — корректное моделирование эволюции дефектной структуры, на основе которой определяется запасенная энергия, и эволюции зеренной (субзеренной) структуры.

Для моделирования рекристаллизации часто используются феноменологические модели типа Johnson-

Mehl-Avrami-Kolmogorov, которые рассматривают эволюцию объемной доли рекристаллизованной части поликристалла [19-22]. В этом случае запасенная энергия в явном виде не рассматривается и не учитывается, движущая сила входит неявным образом в параметры моделей. Развитием этого подхода являются модели, которые учитывают элементы зеренной структуры — размеры и форму зерен, положение межзеренной границы. Запасенная энергия предписывается материальным точкам случайным образом. Такие модели в англоязычной литературе получили название геометрических [23], а метод был назван микроструктурным траекторным методом [24-27]. Очевидным недостатком таких моделей является «слепое» задание запасенной энергии, которое не связано с историей предшествующей пластической деформации. Дальнейшим развитием указанных моделей являются модификации, основанные на вероятностном подходе, как правило, с использованием метода Монте-Карло. Эволюция зеренной структуры описывается с помощью клеточных автоматов [28-31], графов [32], метода фазового поля [33, 34] или метода заданного уровня [35-39]. В случае клеточных автоматов пространство разбивается на ячейки, которые представляют собой либо отдельные зерна, либо некоторые части зерен. В методе клеточных автоматов используются правила, которые предписывают изменения состояния ячейки, трансформацию ячейки в рекристаллизованное состояние. В таком подходе могут быть учтены микроструктурные изменения реальной механической системы. Правила перехода ячейки в рекристаллизованное состояние задаются таким образом, чтобы энергия системы понижалась. Основной недостаток клеточных автоматов — отсутствие эффективного метода рассмотрения зарождения новых зерен [40]. В моделях, использующих метод графов для описания зеренной структуры, вершины графов соответствуют тройным стыкам, а ребра — фасеткам границ зерен. В каждый момент времени вычисляются термодинамические силы, действующие на узлы, и скорости узлов графов, которые определяют скорость движения фасетки границы. В методе фазового поля вводится дополнительная переменная (индикаторная функция), которая определяет движение границы из условия уменьшения плотности свободной энергии всей системы. В методе заданного уровня для описания движения межзеренной границы рассматривается градиентный поток энергии, состоящий из поверхностной энергии границ и объемной энергии зерен. Функционал энергии записывается в терминах функций набора уровней, при движении границы он должен стремиться к минимуму. Также следует обратить внимание на модели, которые описывают эволюцию топологии зеренной структуры с применением метода конечных элементов [41, 42]. История предшествующей деформации и текущее состояние микроструктуры приписывается узлам сетки, которая перестраи-

вается по мере движения границы. В отличие от перечисленных выше способов описания рекристаллизации, формализм данной модели позволяет описывать зарождение рекристаллизованных зерен в явном виде. Существуют многочисленные комбинации отмеченных выше моделей, в упомянутых подходах также существует возможность учета истории деформирования и эволюции микроструктуры.

В последние десятилетия все большее распространение для описания неупругих деформаций находят модели, основанные на физических теориях пластичности [43-47], в основу которых положено явное рассмотрение механизмов и носителей неупругого деформирования на более низких масштабных уровнях, чем представительный макрообъем материала. Основной отличительной особенностью физических моделей по сравнению с макрофеноменологическими является то обстоятельство, что поведение материала рассматривается на нескольких масштабных уровнях, как правило, на двух и более, что позволяет корректно учесть физические механизмы пластической деформации и сопровождающие ее процессы. Существуют два основных класса таких моделей — статистические и прямые модели [44, 46, 48]. В основу статистического подхода положено рассмотрение эволюции дефектов элементов мезо-структуры (зерен, субзерен, ячеек) с последующим переходом на макроуровень и применением той или иной гипотезы осреднения. Прямые модели разделяются на два типа: первый тип моделей рассматривает в явном виде зеренную структуру материала, для вычисления отклика используется физическая модель материала. Второй тип прямых моделей является «гибридным» и при использовании численных методов (например метода конечных элементов) каждой точке интегрирования ставится в соответствие конечная совокупность кристаллитов, отклик поликристаллического агрегата определяется с использованием статистической модели.

Для большинства существующих моделей неупругости с учетом процесса рекристаллизации острым является вопрос о вычислительных ресурсах, особенно при решении краевых задач для анализа реальных технологических процессов. С этой точки зрения оптимальными являются модели, основанные на статистическом физическом подходе. Целью данной работы является формулировка модификации двухуровневой физической модели неупругого деформирования с учетом температурных воздействий для поликристаллических материалов с низкой энергией дефекта упаковки. Данная модель должна позволить корректно описать эволюцию дефектной структуры на уровне отдельных зерен (субзерен) и зеренной структуры в процессе статической рекристаллизации. Результаты вычислительных экспериментов должны согласовываться с данными натурных испытаний и описывать распределение запасенной энергии зерен в процессе предварительной пластичес-

кой деформации, изменение объемной доли рекристал-лизованных зерен, эволюцию среднего размера зерна, характеристики формы зерен.

2. Формулировка двухуровневой статистической модели неупругого деформирования

В работе рассматривается процесс статической рекристаллизации и его влияние на формирование дефектной и зеренной структуры. Анализируемый процесс обработки реализуется в два этапа. На первом этапе проводится предварительная холодная (при комнатной температуре) пластическая обработка металла для создания «благоприятных» условий последующей статической рекристаллизации, на втором этапе — рекристаллиза-ционный отжиг. В общем случае для исследования первого этапа необходима постановка и решение задачи исследования интенсивных пластических деформаций, поэтому используется геометрически и физически нелинейная конститутивная модель материала мезоуровня [49]. В данной работе под кристаллитом мезоуровня понимается наименьший по размерам однородный элемент — субзерно, которое отделено от соседних субзерен рассматриваемого зерна малоугловыми границами. Соседние зерна отделены друг от друга произвольными (в том числе большеугловыми) границами. Полагается, что неупругое поведение зерен и субзерен описывается однотипными соотношениями. Для отдельного зерна (субзерна) используется мультипликативное представление движения среды [49]:

f = fе • fр = Г • г • fр,

где fр — неупругая составляющая деформационного градиента ^ обусловленная движением дислокаций; fе — упругая составляющая градиента места, которая применяется в классическом разложении движения уп-ругопластической среды [50]; fе — градиент места, преобразующий пластически деформированную конфигурацию, испытавшую поворот, в актуальную конфигурацию (описывающий искажение решетки кристаллита); г = к ¿к 0 — собственно ортогональный тензор, преобразующий отсчетный базис подвижной системы координат к0 в текущий к.. Свойства материала полагаются «вмороженными» в базис к .. Для металлов и сплавов справедливым является утверждение о малости упругих искажений решетки, что позволяет при определении поворотов (но не при определении отклика материала) принять допущение fе = I (I — единичный тензор). В этом случае базис к. будет совпадать с кристаллографическим базисом. Данное предположение существенно не сказывается на результатах моделирования, математическая постановка «упрощенной» конститутивной модели имеет вид [51]:

ксг = п: | VVх - й - £ у

к=1

К

1Р = &Р • f Р-1 = £ у(к)Ь<

у(к) = у о

к=1

Гт(к) \т

т

Н

т(к) = Ь(к)п(к) :к,

т Ск) = £ hk'у(1 >, =1 т

й = г•г*,

где к — взвешенный тензор Пиолы-Кирхгоффа; ксг = = d к/d t + к • й - й • к — его коротационная производная; у(к) — скорость сдвига по ^й системе внутри-

зеренного скольжения; Ь(к), п(к) (Ь(к) = г • Ь"и

(к\ п(к} (Ь(к) = г • Ь(к), п(к) =

= г' • п"') — единичные векторы направления скольжения и нормали к плоскости скольжения в отсчетной (актуальной) конфигурации; К — число систем скольжения для рассматриваемого типа кристаллитов; у о — скорость сдвига по системе скольжения при достижении касательным напряжением критического напряжения сдвига; т — показатель скоростной чувствительности материала; п — тензор упругих свойств, компоненты которого п1™ определены и постоянны в базисе жесткой подвижной системы координат к ., вращающейся со спином й; Уух = & • f -1 — транспонированный градиент скорости перемещений; V ух - й — мера скорости деформации, удовлетворяющая требованию объективности. В работе используется спин й, связанный с кристаллографическим направлением и кристаллографической плоскостью [52]:

й = Г • гх = к ¿к. =-(к 2 • 1е • к1)к1к 2 -

- (кз • 1е • Ц)Цкз + (к2 • 1е • Ц)к2к -

- (к3 • 1е • к2 )к3к2 + (к3 • 1е • к1 )к3к1 +

+ к3 • 1е • к3)к3к2. (8) Разрабатываемая модель является статистической и предполагает достаточное для осреднения количество элементов мезоуровня. Макроуровень представляет собой конгломерат зерен, а зерна — конгломерат субзерен. Для описания рекристаллизации достаточно рассмотреть приграничный слой субзерен. Связь между уровнями осуществляется с использованием гипотезы Фойг-та: предписанным является деформационный градиент макроуровня F(í), который передается на мезоуровень каждому зерну и субзерну: F(í) = ОД. В силу наличия большеугловых границ между зернами (разориентации между ними) условия их пластического деформирования различны. Это обусловливает различную дефектную структуру соседних зерен, в меньшей степени — соседних субзерен одного зерна. В свою очередь, это приводит к различию запасенной на дефектах энергии, т.е. разности накопленной энергии соседних зерен (и субзерен). При пластической деформации часть энер-

гии, затрачиваемая иа формоизменение, выделяется в форме тепла и повышения кинетической энергии атомов за счет движения дефектов (в первую очередь дислокаций). Другая ее часть остается в металле за счет эволюции дефектной структуры — появления дислокаций, двойников, точечных дефектов, дефектов упаковки и др. [53]. Используя теорему живых сил [54], можно показать, что скорость запасенной на единицу объема энергии est в упругопластическом теле определяется соотношением

e&st = :lp =-к : lp,

Р Р

где я = р/рк — тензор напряжений Коши; р ((3) — плотность материала в отсчетной (текущей) конфигурации, величина а характеризует долю пластической работы, запасаемой в теле. Как правило, величина запасенной энергии невелика по сравнению с теплом, которое производится в процессе неупругой деформации, и составляет несколько процентов от него [55]. В некоторых случая запасенная энергия может достигать 30-40 %, особенно на начальных стадиях холодного деформирования [56, 57]. Параметр а зависит от дефектной структуры [53], а также от внешних параметров воздействия, т.е. в общем случае является функционалом процесса деформирования. Одним из самых существенных параметров является скорость деформирования. Однако в некоторых материалах, например алюминиевых сплавах, скорость деформирования оказывает слабое влияние на запасаемую энергию [53]. Существует возможность экспериментальной оценки а в калориметрических опытах с использованием законов термодинамики [53, 55]. Такие данные можно найти в литературе, но не для каждого материала, в силу небольшого числа существующих экспериментальных данных и трудоемкости его определения [53, 55, 57].

3. Физический механизм и математическая модель миграции участков границ после предварительной пластической деформации и последующего нагрева

Для многих химически чистых поликристаллических материалов нагрев до 0.4-0.6 гомологических температур после предварительной пластической деформации приводит к движению участков (фасеток) боль-шеугловых границ, исходно существующих в материале [10, 11]. Такое явление впервые было исследовано в технически чистом поликристалле алюминия Беком и Сперри [15] и в англоязычной литературе носит название «strain induced boundary migration». Движущей силой такого процесса является разность локальной плотности запасенной на дефектах энергии соседних зерен. Эта разница энергии приобретается на стадии пластической деформации вследствие различной ориентации зерен, анизотропии пластических и упругих свойств.

В результате реализации рассматриваемого механизма рекристаллизации участки границ зерен с меньшей плотностью запасенной энергии мигрируют вглубь соседних зерен с большей энергией, образуя так называемые «выступы» [11]. Ориентация выступа близка к ориентации родительского зерна, впоследствии выступ может отделиться от родительского зерна, образуя с ним большеугловую границу, и стать зародышем рекристаллизации [10, 11, 58]. Новое (рекристаллизованное) зерно или выступ является практически бездефектным, мигрирующие участки границ «выметают» при своем движении дефекты. В калориметрических опытах это проявляется в выделении значительной части тепла на соответствующей стадии рекристаллизационного нагрева [11, 55]. При микроструктурном анализе выявляется резкое снижение плотности дислокаций в рекрис-таллизованных областях кристалла [11, 59]. Рассматриваемый механизм рекристаллизации иногда называется «беззародышевым», поскольку для его реализации не требуется формирование новых большеугловых границ [10, 11]. В работе [60] на основе обобщения экспериментальных данных было сделано предположение, что движение участков границ зерен по рассматриваемому механизму начинается с формирования субзерен при нагреве за счет перераспределения дислокаций (процесс полигонизации) и последующего перемещения участка границы субзерен, прилегающего к боль-шеугловой границе (рис. 1). В этом случае субзерна, прилежащие к приграничному (между соседними зернами) слою, можно рассматривать как потенциальные «зародыши» рекристаллизации.

В случае если разность запасенной энергии недостаточна для движения участков границ, при повышении температуры может происходить коалесценция групп ячеек/субзерен, способствующая дальнейшей миграции большеугловой границы. Склонность к полигонизации и коалесценции проявляют материалы с высокой энергией дефекта упаковки [11]. Рассматриваемый механизм рекристаллизации реализуется в материалах как с высо-

Рис. 1. Схема процесса рекристаллизации по механизму миграции участков исходной большеугловой границы. Толстой линей обозначена большеугловая граница, тонкими — малоугловые границы субзерен/ячеек

кой, так и низкой энергией дефекта упаковки, например в поликристаллах алюминия и меди [10].

Бейли и Хирш предложили критерий миграции участка границы, согласно которому уменьшение локальной объемной энергии за счет устранения дефектов должно быть больше увеличения зернограничной энергии в результате увеличения протяженности границы при образовании выступа (росте рекристаллизованного зерна) [61]:

/¿'1 = е1 - е™АБ/АГ > 0,

Д^ — увеличение площади границы при изменении объема зерна на величину ДУ в результате рекристаллизации; 1 — разность удельных (на единицу объема) запасаемых энергий в зернах i и у; е(.1 — удельная (на единицу площади) энергия межзеренной границы между г-м и у-м зернами. Межзеренная энергия е(£л зависит от ориентации соседних кристаллитов, ориентации фасетки границ кристаллитов, типа решетки. Способ ее нахождения для большеугловых границ на основе модификации модели решетки совпадающих узлов изложен в [62]. При аппроксимации формы кристаллита плоскими участками в соотношении (10) межзеренная энергия е(£Л вычисляется для соответствующей фасетки, площадь которой увеличивается при рекристаллизации. Далее в работе под зародышем рекристаллизации понимается субзерно, расположенное вблизи большеугловой границы, для которого выполняет-сясоотношение Бейли-Хирша (10). Малодефектный объем нового материала, прорастающий вглубь соседнего зерна, называется рекристаллизованным зерном.

При рассмотрении стадии нагрева начальное значение запасенной энергии е(Ьо в г-м кристаллите определяется на этапе исследования предварительной пластической деформации с использованием многоуровневой модели (1)-(9). Для поликристаллов с низкой энергией дефекта упаковки пренебрегается влиянием процесса возврата и полигонизации на дефектную структуру и запасенную энергию. Это связано в первую очередь с тем, что в таких материалах указанные процессы затруднены [11, 55, 63]. Кроме того, возврат реализуется весьма однородно в соседних зернах [11], следовательно, разность запасенных энергий соседних зерен е^'1 после возврата не должна существенно измениться. Экспериментальные данные указывают на то, что в рекрис-таллизованных зернах плотность дислокаций на несколько порядков меньше, чем в деформированных (в зависимости от степени деформации) [59]. В этом случае обоснованной является гипотеза о пренебрежении запасенной энергий в рекристаллизованном зерне. При его росте запасенную энергию можно определять осреднением по объему:

где е^ — запасенная энергия зародыша рекристаллизации, рассчитанная на стадии пластической деформации с использованием многоуровневой модели; У0, V — объем зародыша рекристаллизации и текущий объем рекристаллизованного зерна соответственно. На начальной стадии рекристаллизации в силу малости площади границы зародыша скорость изменения объемной доли рекристаллизованного материала (скорость рекристаллизации) будет мала. С ростом объема отдельных рекристаллизованных зерен постепенно увеличивается скорость рекристаллизации, чему также будет способствовать уменьшение удельной запасенной энергии рекристаллизованных зерен согласно соотношению (11). Несмотря на то что разрабатываемая модель является статистической, в ней существует возможность учета взаимовлияния соседних элементов [64]. Рост рекрис-таллизованных зерен прекращается при условии их столкновения. В этом случае общая для поликристалла скорость процесса рекристаллизации падает.

Скорость миграции большеугловых границ зерен ст для поликристаллических материалов без примесей может быть записана в виде [65]

^ = тГ,

где т — параметр мобильности границ зерен; f— движущая сила миграции границы. Параметр т зависит явным образом от температуры в форме закона Арре-ниуса, а также от наличия дефектов (зернограничных ступенек), обеспечивающих подвижность границы:

е(.) V ^ у, + ^

где 6 — абсолютная температура; k — константа Больц-мана; q — энергия активации процесса миграции меж-зеренной границы; т0 — предэкспонента в соотношении (13), имеющая смысл мобильности границ зерен при нулевой энергии активации q; в — геометрический параметр (переменная модели), который определяется текущей ориентацией соседних зерен, положением фасетки границы. Подробное изложение определения параметра в содержится в работе [66] и основано на рассмотрении механизма миграции границ зерен с использованием зернограничных ступенек [67]. Суммарная высота последних на рассматриваемой фасетке определяет подвижность границы и находится скалярным произведением векторов Бюргерса дислокаций ориентаци-онного несоответствия ДЬ(г) на единичную нормаль фасетки границы п:

Р = п •£АЬ

¿=1

где N5 — число систем скольжения, выходящих на рассматриваемую фасетку границы. Ориентация нормали фасетки границы кристаллитов п, направления векторов Бюргерса Ь(г) каждого кристаллита известны с этапа пластической деформации. Обсуждение вопроса о

выделении вектора Бюргерса дислокации ориентаци-онного несоответствия А1Ъ(г ^ при переходе решеточной дислокации из данного зерна в соседнее рассмотрен авторами ранее [68, 69].

4. Описание эволюции зеренной и субзеренной структуры в разрабатываемой многоуровневой модели

При термомеханических воздействиях зеренная структура поликристаллов значительно видоизменяется и существенно влияет на механические свойства материалов (предел текучести, прочности, упрочнение). Одной из основных задач при разработке модели является описание эволюции зеренной структуры. Ярко выраженные изменения последней происходят в процессе рекристаллизации, когда менее дефектные зерна поглощают остальные [10, 11]. Как было отмечено ранее, для рассматриваемого механизма рекристаллизации зародышем выступает субзерно/ячейка, прилегающее к большеугловой границе, текущие форма и размеры которого влияют на момент начала миграции границы. Анализ соотношения Бейли-Хирша (10) показывает, что процесс миграции участка границы происходит при характерном размере рекристаллизованного зерна Я, превышающем критическое значение: Я > I ¿¿^. Вследствие этого отдельной подзадачей является описание эволюции формы зародышей рекристаллизации. Субзеренная/ячеистая структура может образовываться и видоизменяться как в процессе холодной пластической деформации [70], так и в результате последующего нагрева (процесс полигонизации и коалесценции субзерен) [10, 11]. Проблема моделирования формирования и эволюции субзеренной структуры при термомеханических воздействиях является отдельной и весьма актуальной задачей, выходящей за рамки данного исследования. Начальное задание распределения характерных

размеров ячеек/субзерен для этапа неупругого деформирования определяется на основе экспериментальных данных после соответствующего этапа холодной пластической деформации [71]. Исходные размеры зерен также являются идентификационным параметром. Для рассматриваемых кристаллов с низкой энергией дефекта упаковки принимается гипотеза о том, что температура в рассматриваемых диапазонах не оказывает значимого влияния на процесс изменения ячеистой и субзе-ренной структуры.

Разрабатываемая модель должна описывать эволюцию геометрии зерен/субзерен и позволять определять следующие параметры: 1) средний (характерный) размер зерен, 2) «вытянутость»/«равноосность» зерен,

3) ориентацию зерен по отношению к заданным характерным осям (например, обработки заготовки),

4) объемную долю рекристаллизованных зерен поликристалла. С этой целью граница каждого зерна аппроксимируется фасетками (рис. 2). Форма зерен/субзерен (количество фасеток границ и их ориентация в пространстве) является идентификационным параметром, влияющим на результаты моделирования. В работе принимается упрощающая гипотеза о том, что все зерна и субзерна имеют форму произвольного параллелепипеда. Такая гипотеза представляется оправданной с точки зрения решаемой проблемы — описания статической рекристаллизации. Изменение числа фасеток кристаллита не должно приводить к резкому изменению результатов моделирования. Использование произвольной полиэдрической формы зерен принципиально не изменит разрабатываемую модель, но может существенно увеличить вычислительные затраты. В данной работе полагается, что в отсчетной конфигурации форма субзерна представляет собой прямоугольный параллелепипед, направления ребер которого совпадают с кристаллографической системой координат в отсчетной конфигура-

Аппроксимация границы зерен

Рис. 2. Плоская схема приграничного слоя между двумя зернами, состоящего из субзерен. Толстой линией обозначены большеуг-ловые границы, тонкой линией — границы субзерен

L

Рис. 3. Объемная (а) и плоская схемы (б) к описанию процесса миграции границ зерен: 1 — зерно рекристаллизации в некоторый момент времени; 2 — новый материал, присоединенный в течение последующего промежутка времени температурных воздействий

ции. Для данной модели представляется несущественным взаимодействие субзерен в рамках одного зерна, но важным является взаимодействие граничащих субзерен соседних зерен при рекристаллизации. Вследствие этого при численной реализации выделяются субзерна, которые прилегают к межзеренной границе и в дальнейшем могут стать зародышами рекристаллизации. Учитывается взаимное расположение этих субзерен в рассматриваемом и соседнем зернах (рис. 2).

Исходная кристаллографическая ориентация каждого зерна задается случайным образом по равномерному закону. Ориентация зерна относительно условно неподвижной лабораторной системы координат определяется ортогональным тензором og, устанавливаемым по единичному произвольному вектору оси eg, направление которого равномерно распределено по сфере, и углу поворота 9g е [0, 2л) вокруг этой оси, совмещающему базис лабораторной системы координат с базисом кристаллографической системы координат:

Og = cos 9gI + (1 - cos9g )egeg + sin9geg x I. (15) Далее для каждого субзерна в составе рассматриваемого зерна вводится разориентация на малый угол 9sg е [0, ф8Ь ] относительно ориентации этого зерна. Величина 9sb является параметром модели и для большинства материалов может принимать значения порядка нескольких градусов. Полагается, что малоугловые границы субзерен формируются в области зерна из-за избытка краевых дислокаций одного знака, выстраивающихся в стенки [10, 11]. В этом случае субзеренная граница является границей наклона, направление esg, относительно которого осуществляется поворот, связывается с направлением линий краевых дислокаций наиболее активной системы скольжения. Для каждого типа кристаллической решетки эти направления являются известными [55]. Ортогональный тензор osg, осуществляющий данный поворот, определяется как

Osg = c0s 9sg1 + (1 - c0s 9sg )esgesg +

+ sin 9Sg eSg x I.

Для описания формы субзерен (зерен) в отсчетной конфигурации в рассмотрение вводится правая тройка

векторов 11, направления которых совпадают с базисом кристаллографической системы координат в отсчетной конфигурации к 1. Начальные длины векторов 11 соответствуют длинам ребер параллелепипеда, характеризующего форму субзерна (зерна). В результате пластической деформации изменяются длины ребер параллелепипеда, углы между ними и, соответственно, положения фасеток границ субзерен (зерен). При однородной упругопластической деформации ребра параллелепипеда преобразуются как материальные отрезки в актуальную конфигурацию:

1, = $ • 11.

Из отсчетной конфигурации площади фасеток границ субзерен (зерен) si и нормали п. к ним преобразуются в актуальную и п. согласно известным соотношениям механики сплошных сред:

= siJ(п. • $-1 • $-х • п.Г1/2,

п 1 = (п. • $-1 • $ -х • п. )-1/2 $-х • п..

Для реализации разрабатываемой модели рекристаллизации необходимо знать форму нового (рекристал-лизованного) зерна в каждый момент температурных воздействий. В этом случае можно найти переменные, входящие в критерий рекристаллизации (10), — изменение объема нового зерна А V и изменение площади границы этого зерна А». При прорастании зародыша рекристаллизации в соседнее зерно необходимо определить возможные направления его роста N., которые изначально неизвестны, т.е. следует определить новые исходные положения ребер параллелепипеда Li, описывающие форму рекристаллизованного зерна:

N = ^

Ji+2

i+1 -

где индексы взяты по модулю 3. Полагается, что в процессе рекристаллизации новый материал достраивается к рекристаллизованному зерну, присоединяясь по нормали к фасеткам его границы, но при этом сохраняется форма исходного зерна. Схема такого процесса показана на рис. 3, а: по трем фасеткам зерна рекристаллизации в направлении нормалей происходит миграция гра-

ницы. На рис. 3, б показана плоская схема процесса рекристаллизации по одной из фасеток границы.

При моделировании рекристаллизации известной является величина скорости миграции участка (фасетки) границы (12), которая определяется в каждый момент процесса по температурному воздействию и значениям внутренних переменных модели (разности запасенной энергии соседних зерен, межзеренной энергии, мобильности границы). Полагается, что скорость миграции фасетки границы направлена по внешней нормали N фасетки границы (индекс номера фасетки границы опущен):

V т = ^

При численной реализации модели используется пошаговая процедура, рассматривается небольшой промежуток времени А£, для которого модуль скорости миграции границы ст можно считать постоянной величиной. Поскольку решение задачи о пластическом деформировании осуществляется отдельно от описания процесса рекристаллизации, установление величины временного шага не составляет большого труда. Приращение перемещения фасетки границы Аиг- за промежуток времени А£ и перемещение фасетки границы иг- к текущему

моменту рекристаллизации £ соответственно составят t t Аиг- = VтА^ иг. = / VтСх^Т = N / ^

to 1о

В последнем соотношении учтено, что в процессе статической рекристаллизации ориентация фасетки границы не изменяется. Длины векторов, направленных вдоль ребер параллелепипеда в каждый момент времени, определяются соотношением

Ь. = Ц

где X. = |и. |/(^ • Ц) — коэффициенты, которые появляются вследствие гипотезы о сохранении формы зерна при рекристаллизации (рис. 3); Ц — единичный вектор, направленный вдоль соответствующего ребра параллелепипеда. Геометрически параметр X. представляет длину вектора Ь. - Ц, схема для определения параметра X. показана на рис. 3, б. Объем рекристал-лизованного зерна V и площадь его границы £ в каждый момент времени определяются соотношениями

V = Ц •

£ = 2( Ц х Ь21 + Ц2 х Ь31 + Ц3 х Ц |). «Характерный» размер рассматриваемого зерна Я в данном случае можно ввести следующим образом: текущему рекристаллизованному зерну в соответствие ставится равное по объему зерно сферической формы с радиусом Я = 33/(4 п)^. Средний размер рекристал-лизованных зерен поликристалла вводится как среднее арифметическое характерных размеров зерен: N /

Ят=£ я (г уNг,

где N — число рекристаллизованных зерен в поликристалле. Коэффициент вытянутости/равноосности зерна § определяется как отношение максимальной длины ребра призмы к минимальной:

§ т2з{Ь.}

эта же характеристика для представительного объема вводится осреднением по всем рекристаллизованным зернам. Также не составляет труда найти объемную долю рекристаллизованных зерен и проекции векторов Ц на выделенные направления (например оси обработки металла).

5. Выделение фасеток границ зерен при моделировании процесса рекристаллизации

Для моделирования рекристаллизации необходимо определить направления роста фасеток границ и форму нового зерна в начальный момент процесса. Для рассматриваемого механизма рекристаллизации полагается, что зародыш рекристаллизации прорастает вглубь соседнего зерна и оказывается окружен большеугловой границей за исключением одной из фасеток, противоположной фасетке большеугловой границы. В процессе прорастания рекристаллизованного зерна субзеренная структура соседнего зерна не рассматривается, его свойства полагаются осредненными по этому зерну. В первом приближении принимается гипотеза о том, что рекристаллизованное зерно также имеет форму параллелепипеда. В ранее предложенном способе определения зернограничной энергии [62] установлена зависимость последней не только от ориентации соседних зерен, но и от ориентации фасетки границы. Вводится основная гипотеза о том, что фасетки границы с пониженной энергией, способствующие процессу миграции в направлении исходной большеугловой границы, чаще других образуются во время формирования рекристал-лизованных зерен. При миграции фасетки в каком-либо направлении не происходит увеличения площади этой фасетки границы (рис. 3, б). Для того чтобы скорость в этом направлении была максимальна, необходимо потребовать минимальности межзеренной энергии фасеток границ, площадь которых увеличивается. Из экспериментов известно, что в гранецентрированных кубических кристаллах малоподвижной является система плоскостей {111} (в том числе двойниковая граница) по отношению к родительскому зерну, а наиболее подвижной — {100} [10].

Процесс рекристаллизации по рассматриваемому механизму осуществляется за счет движения участков границ, исходно существующих в поликристалле. В этом случае можно считать, что одна площадка рекрис-таллизованного зерна определена и соответствующая ей нормаль фасетки границы совпадает с исходной

Рис. 4. Схема процесса рекристаллизации: 1 — зародыш рекристаллизации — субзерно, расположенное вблизи участка межзеренной границы с нормалью 2 — рекристаллизо-ванное зерно

большеугловой границей зародыша рекристаллизации (рис. 4).

Для определенности полагается, что известными являются векторы L2 и L3, которые совпадают с соответствующими векторами 12 и 13 зародыша рекристаллизации: L2 = 12, L3 = 13 и задают направление нормали: N1 = L2 XL3/2 XL3|. Ставится задача определения единичного вектора , который в общем случае не совпадает с направлением вектора 111 зародыша рекристаллизации. Для этого решается следующая задача минимизации. Требуется определить вектор из условия минимума межзеренной энергии с ограничениями типа неравенства:

е

Здесь е(Ь2, е(Ь3 — межзеренная энергия фасеток границ зерен с нормалями N = Ь3 XXи N3 = X X Ь2 /X Ь21 соответственно. Ограничение неравенства в задаче (24) требует выполнения условия некомпланарности правой тройки векторов ЦП, 1 = 1, 3. Данную задачу оптимизации удобно формулировать в сферической системе координат, где искомое направление задается двумя углами.

Решение задачи оптимизации требует больших вычислительных затрат. Вследствие этого предлагается осуществить вычислительный эксперимент для множества субзерен, лежащих вблизи межзеренной границы, решив задачу (24). Искомые направления различных рекристаллизованных зерен, прорастающих в соседнее зерно, скорее всего, окажутся одинаковыми или близкими. Это будет означать, что для каждой фасетки границы рассматриваемого зерна потребуется решить задачу оптимизации только один раз. На этот вывод указывает и анализ экспериментальных данных, на-

пример [58, 72], который свидетельствуют о параллельности фасеток границ различных рекристаллизованных зерен, растущих из различных зародышей на рассматриваемой фасетке зерна. При этом можно отметить вы-тянутость рекристаллизованных зерен в первоначальном направлении миграции границ зерен. Принимаемая гипотеза о минимальности межзеренной энергии образуемых фасеток границ при использовании соотношения Бейли-Хирша позволит описать данный эффект.

6. Заключение

В работе рассмотрена двухуровневая модель для описания неупругого деформирования и статической рекристаллизации поликристаллических материалов. Отдельным актуальным вопросом, выходящим за рамки данного исследования, является вопрос о моделировании формирования и эволюции субзеренной структуры, влияния на нее температурного воздействия. Основной целью данной работы является моделирование эволюции зеренной структуры в процессе статической рекристаллизации по механизму миграции исходных участков большеугловой границы, а также определение геометрических характеристик, которые ее характеризуют (характерные размеры зерен, вытянутость/равно-осность, объемная доля рекристаллизованных зерен, направление характерных осей роста новых зерен). Анализ используемых соотношений модели рекристаллизации показывает, что геометрия субзерен, с которых начинается рекристаллизация, будет существенно сказываться на результатах численного исследования. Вследствие этого для задания субзеренной структуры предполагается использовать экспериментальные данные после соответствующих этапов обработки материала. Приводится описание двухуровневой статистической модели для описания неупругого деформирования поликристалла с учетом приграничного слоя, состоящего из набора субзерен. Предлагается способ расчета запасенной в зернах и субзернах энергии на основе разрабатываемой модели физической теории пластичности. Приводится математическое описание эволюции зеренной структуры поликристалла при механических нагрузках и термических воздействиях в процессе рекристаллизации. Для рекристаллизованных зерен полагается, что запасенная на дефектах энергия близка к нулевой. Это позволит описать экспериментально наблюдаемый эффект — низкая скорость рекристаллизации на начальных стадиях температурного воздействия, ее последующее увеличение, связанное с повышением разности запасенной энергии соседних зерен. Замедление скорости рекристаллизации связывается с образованием смежных границ рекристаллизованных зерен. В работе детально описывается эволюция формы зерен-ной структуры, которая особенно важна для процесса рекристаллизации. Полагается, что фасетки границ ре-

кристаллизованных зерен определяются из условия минимальности межзеренной энергии. Это позволит описать ряд экспериментальных наблюдений — вытяну-тость рекристаллизованных зерен в направлении нормалей исходных большеугловых границ, появление преимущественных ориентаций границ рекристаллизован-ных зерен.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-31-60002 мол_а_дк и Министерства образования и науки РФ (базовая часть государственного задания ПНИПУ, № 9.7434.2017/8.9).

Литература

1. Zaafarani N., Raabe D., Singh R.N., Roters F., Zaefferer S. Three-dimensional investigation of the texture and microstructure below a nanoindent in a Cu single crystal using 3D EBSD and crystal plasticity finite element simulations // Acta Mater. - 2006. - V. 54. - No. 7. -P. 1863-1876.

2. Schuren J.C., Shade P.A., Bernier J.V., Shiu F.L., Blank B., Lind J., Kenesei P., Lienert U., Suter R.M., Turner T.J., Dimiduk D.M., Alme J. New opportunities for quantitative tracking of polycrystal responses in three dimensions // Current Opinion Solid State Mater. Sci. - 2015. -V. 19. - No. 4. - P. 235-244.

3. Thompson C.V. Structure evolution during processing of polycrystal-line films // Ann. Rev. Mater. Sci. - 2000. - V. 30. - No. 1. - P. 159190.

4. Valiev R.Z., Langdon T.G. Principles of equal-channel angular pressing as a processing tool for grain refinement // Prog. Mater. Sci. -2006. - V 51. - No. 7. - P. 881-981.

5. Zhilyaev A.P., Langdon T.G. Using high-pressure torsion for metal processing: Fundamentals and applications // Prog. Mater. Sci. -2008. - V 53. - No. 6. - P. 893-979.

6. AzushimaA., KoppR., KorhonenA., YangD.Y., MicariF., Lahoti G.D., Groche P., Yanagimoto J., Tsuji N., Rosochowski A., Yanagida A. Severe plastic deformation (SPD) processes for metals // CIRP Ann. Manuf. Technol. - 2008. - V. 57. - No. 2. - P. 716-735.

7. Сторожев М.В., Попов E.A. Теория обработки металлов давлением. - М.: Машиностроение, 1977. - 423 с.

8. Кайбышев O.A. Сверхпластичность промышленных сплавов. -М.: Металлургия, 1984. - 264 с.

9. Лахтин Ю.М. Металловедение и термическая обработка металлов. - М.: Машиностроение, 1983. - 359 с.

10. Rollett A., Humphreys F.J., Rohrer G.S., Hatherly M. Recrystallization and Related Annealing Phenomena. - Oxford: Elsevier, 2004. - 574 p.

11. Горелик С.С., Добаткин С.В., Капуткина Л.М. Рекристаллизация металлов и сплавов. - М.: МИСиС, 2005. - 433 c.

12. Биронт В.С. Теория термической обработки металлов. - Красноярск: ИЦМиЗ, 2007. - 234 с.

13. Лахтин Ю.М., Леонтьева В.П. Материаловедение. - М.: Машиностроение, 1980. - 493 с.

14. Кондратьев Н.С., Трусов П.В. Механизмы образования зародышей рекристаллизации в металлах при термомеханической обработке // Вестник ПНИПУ Механика. - 2016. - № 4. - С. 151174.- doi 10.15593/perm.mech/2016.4.09.

15. Beck P.A., Sperry P.R. Strain induced grain boundary migration in high purity aluminum // J. Appl. Phys. - 1950. - V. 21. - No. 2. -P. 150-152.

16. Kronberg M.L., Wilson F.H. Secondary recrystallization in copper // AIME Trans. - V. 185. - P. 501-514.

17. Aust K.T., Rutter J.W. Grain boundary migration in high-purity lead and dilute lead-tin alloys // Trans. Am. Inst. Mining Metallurg. Eng. -V. 215. - No. 1. - P. 119-127.

18. Gottstein G., Shvindlerman L.S. On the orientation dependence of grain boundary migration // Scripta Metallurg. Mater. - 1992. - V. 27. -No. 11. - P. 1515-1520.

19. Miodownik M.A. A review of microstructural computer models used to simulate grain growth and recrystallisation in aluminium alloys // J. Light Met. - 2002. - V. 2. - No. 3. - P. 125-135.

20. Tan K., Li J., Guan Z., Yang J., Shu J. The identification of dynamic recrystallization and constitutive modeling during hot deformation of Ti55511 titanium alloy // Mater. Design. - 2015. - V. 84. - P. 204211.

21. Quan G.Z., Luo G.C., Liang J.T., Wu D.S., Mao A., Liu Q. Modelling for the dynamic recrystallization evolution of Ti-6Al-4V alloy in two-phase temperature range and a wide strain rate range // Comput. Mater. Sci. - 2015. - V. 97. - P. 136-147.

22. Pan Z., Liang S.Y., Garmestani H., Shih D.S. Prediction of machin-ing-induced phase transformation and grain growth of Ti-6Al-4 V alloy // Int. J. Adv. Manuf. Technol. - 2016. - V. 87. - No. 1-4. -P. 859-866.

23. Mahin K.W., Hanson K., Morris J.W. Comparative analysis of the cellular and Johnson-Mehl microstructures through computer simulation // Acta Metallurg. - 1980. - V. 28. - No. 4. - P. 443 -453.

24. Vandermeer R.A., Rath B.B. Modeling recystallization kinetics in a deformed iron single crystal // Metallurg. Trans. A. - 1989. - V. 20. -No. 3. - P. 391-401.

25. Vandermeer R.A., Jensen D.J. Microstructural path and temperature dependence of recrystallization in commercial aluminum // Acta Mater. - 2001. - V. 49. - No. 11. - P. 2083-2094.

26. Lin F., Zhang Y., Tao N., Pantleon W., Jensen D.J. Effects of heterogeneity on recrystallization kinetics of nanocrystalline copper prepared by dynamic plastic deformation // Acta Mater. - 2014. - V. 72. -P. 252-261.

27. Summers P.T., Mouritz A.P., Case S.W., Lattimer B.Y. Microstruc-ture-based modeling of residual yield strength and strain hardening after fire exposure of aluminum alloy 5083-H116 // Mater. Sci. Eng. A. - 2015. - V. 632. - P. 14-28.

28. Raabe D. Cellular automata in materials science with particular reference to recrystallization simulation // Ann. Rev. Mater. Res. - 2002. -V. 32. - No. 1. - P. 53-76.

29. JanssensK.G.F. Random grid, three-dimensional, space-time coupled cellular automata for the simulation of recrystallization and grain growth // Model. Simul. Mater. Sci. Eng. - 2003. - V. 11. - No. 2. -P. 157-171.

30. Kugler G., Turk R. Study of the influence of initial microstructure topology on the kinetics of static recrystallization using a cellular automata model // Comput. Mater. Sci. - 2006. - V. 37. - No. 3. - P. 284291.

31. Liu Z., Olivares R.O., Lei Y., Garcia C.I., Wang G. Microstructural characterization and recrystallization kinetics modeling of annealing cold-rolled vanadium microalloyed HSLA steels // J. Alloy. Compound. - 2016. - V. 679. - P. 293-301.

32. Mellbin Y., Hallberg H., Ristinmaa M. A combined crystal plasticity and graph-based vertex model of dynamic recrystallization at large deformations // Model. Simul. Mater. Sci. Eng. - 2015. - V. 23. -No. 4. - P. 045011. - doi 10.1088/0965-0393/23/4/045011.

33. Chen L.Q. A novel computer simulation technique for modeling grain growth // Scripta Metallurg. Mater. - 1995. - V 32. - No. 1. - P. 115120.

34. Chen L., Chen J., Lebensohn R.A., Ji Y.Z., Heo T.W., Bhattacharyya S., ChangK., Mathaudhu S., Liu Z.K., Chen L.Q. An integrated fast Fourier transform-based phase-field and crystal plasticity approach to model recrystallization of three dimensional polycrystals // Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. - 2015. - V. 285. - P. 829-848.

35. Zhao H.K., Chan T., Merriman B., Osher S. A variational level set approach to multiphase motion // J. Comput. Phys. - 1996. - V. 127. -No. 1. - P. 179-195.

36. Bernacki M., Chastel Y., Coupez T., Loge R.E. Level set framework for the numerical modelling of primary recrystallization in polycrystal-

line materials // Scripta Mater. - 2008. - V. 58. - No. 12. - P. 11291132.

37. Bernacki M., Resk H., Coupez T., Loge R.E. Finite element model of primary recrystallization in polycrystalline aggregates using a level set framework // Model. Simul. Mater. Sci. Eng. - 2009. - V. 17. -No. 6. - P. 064006.

38. Hallberg H. A modified level set approach to 2D modeling of dynamic recrystallization // Model. Simul. Mater. Sci. Eng. - 2013. -V. 21.- No. 8. - P. 085012.

39. Scholtes B., Shakoor M., Bozzolo N., Bouchard P.O., Settefrati A., Bernacki M. Advances in level-set modeling of recrystallization at the polycrystal scale—Development of the digi-|x software // Key Eng. Mater. Trans. Tech. Publ. - 2015. - V. 651. - P. 617-623.

40. Rollett A.D. Overview of modeling and simulation of recrystallization // Prog. Mater. Sci. - 1997. - V. 42. - No. 1-4. - P. 79-99.

41. Raabe D., Becker R.C. Coupling of a crystal plasticity finite-element model with a probabilistic cellular automaton for simulating primary static recrystallization in aluminium // Model. Simul. Mater. Sci. Eng. -2000. - V. 8. - No. 4. - P. 445-462.

42. Andrietti S., Chenot J.L., Bernacki M., Bouchard P.O., Fourment L., Hachem E., Perchat E. Recent and future developments in finite element metal forming simulation // Comp. Meth. Mater. Sci. - 2015. -V. 15. - No. 2. - P. 265-293.

43. Asaro R.J. Crystal plasticity // J. Appl. Mech. B. - 1983. - V. 50. -No. 4. - P. 921-934.

44. Roters F., Eisenlohr P., Hantcherli L., Tjahjanto D. D., Bieler T.R., Raabe D. Overview of constitutive laws, kinematics, homogenization and multiscale methods in crystal plasticity finite-element modeling: Theory, experiments, applications // Acta Mater. - 2010. - V. 58. -No. 4. - P. 1152-1211.

45. Трусов П.В., Волегое П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности. - Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2013. - 244 с.

46. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физ. мезо-мех. - 2011. - Т. 14. - № 4. - С. 17-28.

47. Trusov P. V., Sharifullina E.R., Shveykin A.I. Three-level modeling of fcc polycrystalline inelastic deformation: grain boundary sliding description // IOP Conf. Mater. Sci. Eng. - 2015. - V. 71. - P. 012081. -doi 10.1088/1757-899X/71/1/012081.

48. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели // Физ. мезомех. - 2011. -Т. 14. - № 5. - С. 5-30.

49. Трусов П.В., Швейкин А.И. О разложении движения и определяющих соотношениях в геометрически нелинейной упруговязкоплас-тичности кристаллитов // Физ. мезомех. - 2016. - Т. 19. - № 3. -С. 25-38.

50. Lee E.H. Elastic plastic deformation at finite strain // ASME J. Appl. Mech. - 1969. - V. 36. - P. 1-6.

51. Швейкин А.И., Трусов П.В. Сопоставление сформулированных в терминах актуальной и разгруженной конфигураций геометрически нелинейных упруговязкопластических определяющих соотношений для кристаллитов // Физ. мезомех. - 2016. - Т. 19. - № 5. -C. 48-57.

52. Трусов П.В., Швейкин А.И., Янц А.Ю. О разложении движения, независимых от выбора системы отсчета производных и определяющих соотношениях при больших градиентах перемещений: взгляд с позиций многоуровневого моделирования // Физ. мезомех. - 2016. - Т. 19. - № 2. - С. 47-65.

53. RosakisP., Rosakis A. J., Ravichandran G., Hodowany J. A thermody-namic internal variable model for the partition of plastic work into

heat and stored energy in metals // J. Mech. Phys. Solid. - 2000. -V. 48. - No. 3. - P. 581-607.

54. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. - М.: Наука, 1970. -492 с.

55. Хоникомб Р. Пластическая деформация металлов. - М.: Мир, 1972. - 408 с.

56. Titchener A.L., Bever M.B. The stored energy of cold work // Prog. Met. Phys. - 1958. - V. 7. - P. 247-338.

57. Плехов O.A. Структурно-кинетические механизмы деформирования и разрушения материалов в крупнозернистом и субмикрокристаллическом состояниях: Дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Пермь: ИМСС УрО РАН, 2009. - 360 с.

58. Bellier S.P., Doherty R.D. The structure of deformed aluminium and its recrystallization—investigations with transmission Kossel diffraction // Acta Metallurg. - 1977. - V. 25. - No. 5. - P. 521-538.

59. Williamson G.K., Smallman R.E. III. Dislocation densities in some annealed and cold-worked metals from measurements on the X-ray Debye-Scherrer spectrum // Phil. Mag. - 1956. - V. 1. - No. 1. -P. 34-46.

60. Cahn R.W. A new theory of recrystallization nuclei // Proc. Phys. Soc. Lond. - 1950. - V. 63. - P. 323-336.

61. Bailey J.E., Hirsch P.B. The recrystallization process in some polycrystalline metals // Proc. Roy. Soc. Lond. A. Math. Phys. Eng. Sci. -1962. - V. 267. - No. 1328. - P. 11-30.

62. Kondratev N.S., Trusov P. V. Calculation of the intergranular energy in two-level physical models for describing thermomechanical processing of polycrystals with account for discontinuous dynamic recrystallization // Nanomech. Sci. Technol. Int. J. - 2016. - V. 7. - P. 107122.

63. Козлов Э.В., Тришкина Л.И., Попова H.A., Конева Н.А. Место дислокационной физики в многоуровневом подходе к пластической деформации // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - № 3. - С. 95110.

64. Трусов П.В., Кондратьев Н.С. Описание неупругого деформирования двухфазных поликристаллических материалов // Деформация и разрушение материалов. - 2013. - № 6. - С. 8-15.

65. Burke J.E., Turnbull D. Recrystallization and grain growth // Prog. Met. Phys. - 1952. - V. 3. - P. 220-244.

66. Kondratev N.S., Trusov P.V., Bazhenov V.G. Influence ofgrains orientation on the migration velocity of high-angle boundaries // Nanomech. Sci. Technol. Int. J. - 2017. - V. 8. - P. 243-259.

67. Rae C.M.F., Smith D.A. On the mechanisms of grain boundary migration // Phil. Mag. A. - 1980. - V. 41. - No. 4. - P. 477-492.

68. Кондратьев Н.С., Трусов П.В. О мере разориентации систем скольжения соседних кристаллитов в поликристаллическом агрегате // Вестник ПНИПУ Механика. - 2012. - № 2. - С. 112-127.

69. Кондратьев Н.С., Трусов П.В. Описание упрочнения систем дислокационного скольжения за счет границ кристаллитов в поликристаллическом агрегате // Вестник ПНИПУ Механика. - 2012. -№ 3. - С. 78-97.

70. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. - М.: Металлургия, 1986. - 224 с.

71. Hurley P.J., Humphreys F.J. The application of EBSD to the study of substructural development in a cold rolled single-phase aluminium alloy // Acta Mater. - 2003. - V. 51. - No. 4. - P. 1087-1102.

72. Theyssier M.C., Driver J.H. Recrystallization nucleation mechanism along boundaries in hot deformed Al bicrystals // Mater. Sci. Eng. A. - 1999. - V. 272. - No. 1. - P. 73-82.

Поступила в редакцию 07.11.2017 г.

Сведения об авторах

Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ПНИПУ, tpv@matmod.pstu.ac.ru Кондратьев Никита Сергеевич, к.ф.-м.н., снс ПНИПУ, kondratevns@gmail.com