Управление эллиптическими резонансными системами с разрывными нелинейностями

УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ РЕЗОНАНСНЫМИ СИСТЕМАМИ С РАЗРЫВНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

В.Н. Павленко, Л.Б. Кожаева

Челябинский государственный университет

Рассматриваются задачи оптимального управления для резонансных эллиптических систем с разрывными нелинейностями. Найдены достаточные условия непусто-ты множества допустимых пар “управление-состояние” в таких задачах, изучаются топологические свойства этого множества. Доказывается теорема о существовании решения рассматриваемой задачи оптимизации.

Ключевые слова: оптимизация, резонансные эллиптические краевые задачи, разрывные нелинейности.

Математическое моделирование ряда прикладных задач приводит к задаче Дирихле для полулинейных уравнений эллиптического типа с разрывной по фазовой переменной нелинейностью (например, математическое моделирование отрывных течений несжимаемой жидкости [1], задача Джоуля о нагреве неоднородного проводника, помещенного в постоянное электрическое поле (стационарный случай), в частности явление сверхпроводимости [2], задачи с препятствием и о просачивании воды через земляную плотину [3] и другие).

В статье рассматриваются задачи оптимального управления для эллиптических систем с разрывными нелинейностями. Найдены достаточные условия непустоты множества допустимых пар “управление-состояние” для таких систем и условия существования оптимальной пары. Исследуются топологические свойства множества допустимых пар “управление-состояние”. В [4] подобные проблемы изучались в случае, когда нелинейность в уравнении состояния достаточно гладкая. В отличие от [5 - 7] уравнение состояния управляемой распределенной системы определяет резонансную краевую задачу.

1. Постановка задачи и формулировка основных результатов

Уравнение состояния управляемой системы имеет следующий вид:

Ат — Х\т + д(х, т) = и(х), х £

где Ai — минимальное собственное значение оператора —А в ограниченной области Q С IR” с граничным условием (1.2). Функция д : Q xR-fR борелева (mod 0) [8], т.е. существует борелева функция д : Q xR^R, которая отличается от д лишь на подмножестве I С £1хЖ, проекция которого на Q имеет меру нуль. Предполагается, что для почти всех х £ Q сечение д(х, •) имеет разрывы только первого рода и

g(x,w) £ [g_(x,w), g+(x,w)] \fw £ IR,

где д_ (ж, w) = lim inf д(х, 77), д+(х, w) = lim sup д(х, 77), кроме того,

rj-fui Г)-*ии

\g(x,w)\ < а(х) для любого w £ IR, а £ Lq(il), q > п. Будем считать границу области Q достаточно гладкой. Функция и(х) в уравнении (1.1) играет роль управления. Множество допустимых управлений Uad = £

Lq(Q) f VLpdx = Of, где Lp — положительная на собственная функция il J

оператора —А с граничным условием (1.2), соответствующая Ai. Известно [9], что собственному значению Ai соответствует одномерное подпространство собственных функций, причем базисную функцию этого подпространства можно считать положительной на а ее производную по направлению внешней нормали — отрицательной на д£1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Обобщенным решением системы (1.1) — (1.2) на-

О

зовем w £ Wg (Г2) flpy^ii), удовлетворяющую для почти всех х £ Q включению Aw(x) + Aiw(x) + и(х) £ [<?_(ж, w(x)),g+(x, ги(ж))].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Упорядоченная пара (и, w) называется допустимой парой “управление-состояние” для системы (1.1)—(1.2), если и £ Uad, а w — решение задачи (1.1)—(1.2).

На множестве V всех допустимых пар “управление-состояние” для системы (1.1)—(1.2) определим функцию стоимости J равенством

J(u, w) = ||И7 - Woll“^ + AMfiq{ü) ,

где || • — норма в C1(i7); а, ß, А — положительные константы.

Рассматривается задача об отыскании допустимой пары (щ, wo), для которой

J

(u,w)eV

Основные результаты данной работы — следующие две теоремы.

ТЕОРЕМА 1.1. Предположим, что дополнительно для почти всех

х Є £1

д

Тогда для любого и Є ІІа(і задача (1.1)-(1.2) имеет решение, множество V всех допустимых пар “управление-состояние” для системы (1.1)-(1.2) слабо замкнуто в £д(Г2) X Игд{&), а задача (1.3) имеет решение.

Для и Є ІІа(і обозначим через Ти множество решений задачи (1.1)—(1.2).

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.1 и дополнительно для почти всех х Є д_(х,и) ф 0, если и > 0; д+(х,и) ф 0, если и < 0, а последовательность (ип) С ІІа(і слабо сходится к и в Ьч(£1). Тогда, если тп Є Гип, то из последовательности (тп) можно выделить подпоследовательность (тПк), которая сильно сходится к то Є Г ив С1(Гі). При этом, если Ги состоит из единственной функции ги, то и)п —^ ъи в С1(Гі).

2. Доказательство основных результатов

Доказательство теоремы 1.1. Докажем существование решения задачи (1.1)—(1.2) для и Є иа(і- Рассмотрим аппроксимирующую задачу (к Є М):

{—Аио

™ |эп = 0 .

Пусть числа р и д связаны соотношением 1/р+1/д = 1. Определим оператор

Т : Ьр —> Ьд равенством Тги = д(х, ги(х)), а оператор : -О(Ь^) С Ьр —> Ьд

равенством = — Аио(х) — Аіио(х) + —ио(х) на области определения

К

7-2 ( '

Ч

постановке задачи (2.1):

Ьк'Ц]-\-Т'и] = и.

0(Ьк) = |и Є \Уд(£1) и |д^ = о}. Приходим к следующей операторной

Заметим, что — линейный замкнутый оператор с областью определения -О(Ь^) С Тр(£1) и со значениями в банаховом пространстве Ьд(£1), Т — разрывный и ограниченный на Ьр(£1) оператор. Обозначим через БТ секвенциальное замыкание оператора Т [10] (значение БТіи для ги Є Ьр(£1) совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой множества всех слабо предельных точек последовательностей вида (Ттп) в Ьд(£1), где гип сильно сходится к ги в Ьр(£1)).

Обобщенным решением уравнения (2.2) будем называть функцию w Є D(Lk), удовлетворяющую включению

и — LkW Є STw .

В [7] показано, что STw совпадает со значением овыпукления Taw = р| сб< z = Ту \\у — "шЦ < £ г оператора Т. Известно [8], что для произволь-

£>0

ного и) 6 Ьр(£1) значение Тпги — это множество измеримых на функций г : —т- К таких, что г(х) £ [д~(х, ги(х)), д+(х, ги(ж))] для п.в. О. Поэто-

му обобщенное решение (2.2) является обобщенным решением (2.1). Оператор Ь)~ непрерывно обратим, и обратный к нему оператор Ь^ 1 компактен [9]. Включение (2.3) равносильно включению

V) е

Как и в [11], устанавливается, что Тк = Ь^1 (и — БТги) — компактное многозначное отображение. В силу ограниченности Т на Ьр(£1) существует шар В С Ьр(£1) такой, что Т^В С В. Поэтому отображение Тк имеет неподвижную точку [12]. Следовательно, для любого натурального к задача (2.1) имеет решение Шк 6 И/д2(^).

Покажем, что (г^) ограничена в С1 (О). Допустим противное. Тогда существует подпоследовательность, которую будем по-прежнему обозначать (гик), для которой —> оо. По определению решения для любо-

го натурального к существует измеримая на функция 2^ такая, что для почти всех х £ 2^(ж) 6 [д~(х, гик(х)), д+(х, ио^х))] и верно равенство

- Аиок{х) - А\иок{х) + ^гик

Рассмотрим функцию ук(х) = к\ ^ . Она удовлетворяет уравнению

1 / N %к

- Аюк

ГГ * \ 1 2к

Последовательность /к = -ук — ----1- ---— ограничена в

к \\^к\\с1 Нище'

Ьд(£1). Так как —Аюк = /к, то отсюда следует ограниченность (г^) в И7^(12) [9]. Учитывая рефлексивность из (г^) можно выделить подпоследо-

вательность, слабо сходящуюся к некоторому V . Будем ее по-прежнему обозначать через (г^). При д > п пространство Икомпактно вкладывается в С1 (О) [13], поэтому —> V в С1 (О).

Переход к слабому пределу при к —> оо в (2.6) приводит к равенству

— Ау

Заметим, что к^Ои и(ж)|9П= 0. Значит, и(ж) — собственная функция оператора — А с граничным условием (1.2), отвечающая собственному значению Аі, и имеет место одна из двух возможностей:

ду

(I) и(х) >0 на и —— (х) <0 на сЮ ;

о п ди

(II) и(х) <0 на и —— (х) >0 на сЮ .

о п

Здесь п(х) — внешняя нормаль к д£1.

Рассмотрим случай (і). В силу сходимости последовательности и^кс в С1(Гі) получаем, что найдется такое натуральное по, что для всех к > по функция Уь{х) положительна на ГІ. Возьмем к > по и умножим обе части уравнения (2.5) на и(ж). Проинтегрировав по ГІ, получим

J(-А.'шік{х)у(х) — \і'шік{х)у(х)-\-—'щік{х)у(х)-\-гк{х)у(х))(1х = J и(х)у(х)<1х. а а

J Wk(x)v(x)dx + J Zk{x)v(x)dx = 0.

Отсюда с учетом (2.7) и принадлежности и к Uad имеем

1

il il

С другой стороны, при к > по верно неравенство f Wk(x)v(x)dx > 0,

il

и в силу (1.4) имеем f Zk(x)v(x)dx > 0. Поэтому левая часть последне-

il

го равенства больше нуля. Получено противоречие. Следовательно, (w^) ограничена в C1(i7). Случай (ii) рассматривается аналогично.

Пусть hk(x) = XiWk(x) — —Wk(x) — Zk(x) + u(x). Из ограниченности

_ /С

— АWk = hk(x), поэтому (wk) ограничена в Wg(il) [9]. Учитывая рефлексивность Wq, ИЗ (wk) МОЖНО выделить ПОДПОСЛеДОВатеЛЬНОСТЬ (wkt) такую, что 1 w в Wg(Q). При q > п пространство Wq(Q) компактно вкла-

дывается в C1(i7) [13], поэтому ^ w в C1(i7), а так как А—* Аw в Lq(il), то Zk —* z в Lq(il), где z(x) = Aw(x) + Xiw(x) + и(х).

Из слабо сильной замкнутости ST [7] заключаем, что z £ ST w. Отсюда следует справедливость включения z(x) £ [g-(x,w(x)), g+(x,w(x))] для п.в. xE.il. Таким образом, w — решение задачи (1.1)—(1.2) для и £ Uad-

Докажем слабую замкнутость в Lq(Q) X Wq(il) множества V всех допустимых пар “управление-состояние”.

Пусть ((uk,Wk)) С V, Uk —* и В Lq(Q), Wk —1 W В Wq(Q). Требуется доказать, что (и, w) £ V. Так как ж^ив Lq(il), то lim f ipu^dx = f tpudx,

il

но f ipukdx = 0, т.е. и G Uad. Так как wk — решение задачи (2.1), то суще-il

ствует измеримая Zk на Q такая, что Zk(x) G [д-(х, Wk(x)),g+(x, Wk(x))] и Zk(x) = Awk(x) + XiWk(x) -\-Uk{x) п. в. на Из слабой сходимости в Wq(Q) последовательности (wk) к w следует слабая сходимость в Lq(il) последовательности — AWk к — Aw, сильная сходимость Wk к w в C1(i7), а значит и в Lq(il). Переходя к слабому пределу при к —> оо в последнем равенстве, получим, что Zk сходится слабо к z, где z(x) = Aw(x) + Xiw(x) + и(х). Как и выше, показывается, что z(x) G [g-(x,w(x)),g+(x,w(x))] п.в. на £}. Следовательно, w — решение задачи (1.1)—(1.2) и (u,w) G V. Таким образом, доказана слабая замкнутость множества V.

Докажем существование решения задачи (1.3). Так как на V функция J неотрицательна, то ее нижняя грань также неотрицательна. Пусть d = inf J(u,w) и ((uk,Wk)) С Т> — минимизирующая последовательность,

т.е. lim .J(uk,Wk) = d. Существует постоянная М > 0 такая, что Ук G N

к—Ь оо

О < J(uk,wk) < М. Поэтому последовательности (wк) и (ик) ограничены в Ci(S7) и Lq(Q) соответственно, откуда следует ограниченность в Lq(Q) последовательности XiWk(x) — гк{х)+ик{х), что влечет ограниченность (wk) в Wq(Q). Существует подпоследовательность ((и^, w^)) последовательности ((Uk,Wk)) такая, что и^ —* и, w^ —* w в Lq(Q) и Wq(Q) соответственно. По доказанному выше (и, w) G V. Функционал J слабо полунепрерывен снизу на Lq(Q) X Wq(Q) [14], поэтому d = lim J(uk,Wk) > J(u,w). Ho

k—¥ oo

J(u,w) > d, т.к. d = inf .J, поэтому J(u,w) = d. Теорема 1.1 доказана полностью.

Доказательство теоремы 1.2. Пусть (и^) С Uad и —* и в Lq(il),

Wk G ГUk- Докажем ограниченность (wk) в Ci(ii). Допустим противное. Тогда существует подпоследовательность, которую будем по-прежнему обозначать (wk), ДЛЯ которой ||wfc||f7i^ —> СЮ. По определению решения

- Awk

Wk |эп= о ,

где Zk : —7- IR — измеримая по Лебегу функция, значения которой Zk(x) G

[g-(x,Wk(x)), g+(x,Wk(x))] п.в. на Q. Функция

, ч Wk

vk\x) = Ц-----п-

iFfcllc1

удовлетворяет уравнению

Zk

- Avk

iFfcllc1 iFfcllc1

тт * л Ж , ик\х) т 1сл\

Последовательность= А^ —----------- ---Ьй------п—ограничена в Ь„(И).

И^Ис1 И^Ис1

Так как — = Д, то отсюда следует ограниченность (и^) в И72 (О) [9].

Учитывая рефлексивность И7^, из (и^) можно выделить подпоследовательность (и^), слабо сходящуюся к некоторому V. При д > п пространство И1д(&) компактно вкладывается в С1 (О) [13], поэтому —> V в С1 (О).

Переход к слабому пределу при к —> оо в (2.9) приводит к равенству

— Ау

Так как V ф 0 и г>

на г>(ж) и проинтегрируем по Получим / 2^(ж)г>(ж)б?ж = 0. С другой

п

стороны, учитывая условия теоремы, имеем / гк(х)у(х)(1х > 0. Получили

п _

противоречие. Следовательно, {иок) ограничена в С1 (О). Случай (и) рассматривается аналогично.

Пусть кк{х) = А1К;к{х)-гк{х)-\-ик{х). Из ограниченности (изь) в С1(0) следует ограниченность (/^) в Ьд(£1). В силу уравнения (2.8) — А= /г^(ж), поэтому (гик) ограничена в И7^ (12) [9]. Учитывая рефлексивность И72, из (гик) можно выделить подпоследовательность {ио^) такую, что —* м в \Уд(£1). При д > п пространство ИГд{&) компактно вкладывается в С1 (О) [13], поэтому —> ш в С1 (О), и так как Аьз^ —* Агг в £д(Г2), то 2^ г в Ьд(£1), где г(х) = Ат(х)-\-Х1т(х)-\-и(х). Как и при доказательстве теоремы 1.1 устанавливается, что г(х) £ [д-(х,т(х)), д+(х,ги(х))] . Следовательно, ги — решение задачи (1.1)—(1.2) для п.в. х £ Теорема 1.2 доказана полностью.

Список литературы

1. Гольдштик М.А. Математическая модель отрывных течений несжимаемой

жидкости // ДАН СССР. 1962. Т. 147, № 6. С. 1310 - 1313.

2. Kuper H.J. On positive solutions of nonlinear elliptic eigenvalue problems // Rend. Circolo mat. Palermo. Ser. 2. 1971. Vol. 20, № 2-3. P. 113 - 138.

3. Chang K.-C. Free boundary problems and the set-valued mappings // J. Diff. Eq. 1983.

Vol. 49, № 1. P. 1 - 28.

4. Лионе Ж.Л. Управление распределенными сингулярными системами. М.: Наука, 1987.

5. Павленко В.Н. Метод монотонных операторов в задачах управления распределенными системами эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Изв. вузов. Математика. 1993. № 8. С. 49 - 54.

6. Павленко В.Н. Управление распределенными системами эллиптического типа с разрывной нелинейностью // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 9. С. 1586 -1587.

7. Павленко В.Н. Управление распределенными системами эллиптического типа с разрывной нелинейностью // Вестн. Челяб. ун-та. Сер. 3. Математика. Механика. 1999. № 2(5). С. 56 - 57.

8. Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983.

9. Gilbarg D., Trudinger S. Elliptic partial differential equations of second order. N.-Y.:

Springer, 1983.

10. Павленко В.Н. О существовании решения первой краевой задачи для уравнений параболического типа с разрывной немонотонной нелинейностью // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 3. С. 520 - 526.

11. Павленко В.Н. Управление сингулярными распределенными системами параболического типа с разрывными нелинейностями // Укр. мат. журн. 1994. Т. 46, № 6. С. 729 - 736.

12. Ма T.W. Topological degree for set valued compact vector fields in locally convex spaces // Rozprawy Mat. 1972. Vol. 92. P. 3 - 47.

13. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1982.

14. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1972.

SUMMARY

Of concern are the problems of optimal control of elliptic resonance systems with discontinuous non-linearities. Sufficient conditions of non-emptines and topological properties of a set of acceptable pair ’’control-state” are founded. Existence theorem for optimisation is proved.