Статистические параметры распределения упругих мезонапряжений в поликристаллах с кубической решеткой

Статистические параметры распределения упругих мезонапряжений в поликристаллах с кубической решеткой

В.Н. Ашихмин, П.В. Трусов

Пермский государственный технический университет, Пермь, 614600, Россия

Исследовано влияние упругих свойств зерен и вида макронагружения на величину математического ожидания и среднеквадратического отклонения полей мезонапряжений в поликристаллах с кубической решеткой. Показано, что основное влияние на значения данных параметров оказывают степень анизотропии материала зерен и величина максимального касательного макронапряжения.

1. Введение

При исследовании поведения поликристаллических материалов будем выделять макро- и мезоуровень деформирования [1]. При описании на макроуровне по-ликристаллический материал представляется как сплошная однородная среда с некоторыми эффективными свойствами. На мезоуровне материал описывается как совокупность однородных подобластей (зерен) с анизотропными свойствами. Для каждого структурного уровня могут быть введены свои параметры состояния (например макронапряжения а и мезонапряжения а). Как правило, связь между макро- и мезопараметрами устанавливается в результате различных способов усреднения (ориентационного, статистического и прочих). В данной работе вслед за [2] используется пространственное осреднение мезонапряжений по объему V:

а = {а) V = 1 Нг .

У V

Для материалов с кубической симметрией решетки упругие свойства в кристаллографической системе координат (КСК) определяются тремя модулями упругости: С11, С12 и С44 (соответственно С1Ш, С1122 и С1212 в тензорной записи). Степень анизотропии кристалла в этом случае характеризуется величиной параметра анизотропии [2]:

А = с„ - с12

2С44 .

Для металлов величина данного параметра, как правило, изменяется в пределах от 0 до 2. Степень анизотропии материала возрастает с увеличением величины модуля разности А -1. При А = 1 (например для вольфрама) упругие свойства материала становятся изотропными.

В таблице 1 приведены значения модулей упругости, параметра анизотропии и предела текучести аТ для металлов, использованных в предлагаемой работе.

Ориентация КСК различных зерен относительно заданной лабораторной системы координат (ЛСК) изменяется случайным образом, поэтому на мезоуровне поликристалл следует рассматривать как неоднородный материал. Как известно [2], в неоднородном материале поля мезонапряжений а, возникающие при приложении даже внешней однородной макронагрузки F, будут неоднородны. Поэтому вслед за работой [2] можно разложить мезонапряжения а(г) в некоторой точке г исследуемого объема V на осредненные (а)V по данному объему и флуктационные р(г) составляющие:

а

Будем рассматривать поликристалл с одинаковыми по форме и размерам зернами со случайным равномерным распределением ориентации КСК зерен. Величины а(г) и р(г) в этом случае являются случайными. Результаты исследования оценок математического ожидания (а)V в зависимости от размеров V приведены в работе [3]. Предлагаемая работа посвящена исследованию поведения математического ожидания М и среднеквадратического отклонения 51 флуктуационных составляющих мезонапряжений р(г) в зависимости от вида нагружения и свойств зерен поликристалла.

Исследование поликристаллического материала выполнялось с использованием метода конечных элементов с четырехузловыми изопараметрическими элементами. Моделировалось упругое поведение объема V квадратной или прямоугольной формы для однофазного поликристалла с кубическим типом решетки (ОЦК или

© Ашихмин В.Н., Трусов П.В., 1999

Таблица 1

С11, ГПа С12, ГПа С44, ГПа А аТ, МПа Решетка

РЬ 46.2 39.2 14.4 0.257 20 ГЦК

Си 168.4 121.4 75.4 0.312 90 ГЦК

124.0 93.4 46.1 0.332 30 ГЦК

А1 107.0 60.9 28.3 0.820 20 ГЦК

Бе 228.0 132.0 116.5 0.412 120 ОЦК

Мз 192.0 134.0 56.8 0.511 350 ОЦК

Та 265.0 159.0 83.1 0.638 360 ОЦК

W 512.6 205.8 153.4 1.000 600 ОЦК

ГЦК кристаллы) в условиях плоско-напряженного состояния. Моделируемый объем заполнялся одинаковыми (за исключением крайних слоев) зернами шестиугольной формы, разбиваемыми на одинаковое число элементов. В пределах одного зерна материал считался однородным. Плоскость моделирования принималась параллельной плоскости (001) зерен, т.е. для всех зерен направление [001] оставалось перпендикулярным плоскости моделирования. В этом случае для описания ориентации КСК требовалось определить значение только угла ф, задающего поворот КСК по отношению к ЛСК относительно направления [001]. Для исследуемых материалов с кубическим типом решетки предполагалось случайное распределение угла ф по равномерному закону из интервала от 0 до 90°. Во всех вычислительных экспериментах выборка для углов ориентации {ф} не изменялась. Исследуемый объем V покрывался сеткой 14 х 14 зерен при разбиении зерна 4x4 элемента. Два крайних слоя зерен с каждой стороны области для уменьшения влияния краевых эффектов при построении выборок не использовались. Поэтому все статистические параметры оценивались по средней части (области осреднения) исследуемого объема V размером 10x10 зерен.

2. Статистические параметры флуктуационных напряжений по исследуемому объему V поликристалла

В результате использования описанного выше подхода были получены распределения значений мезона-пряжений (рис. 1 и 2) в исследуемой области. Анализ результатов, приведенных на рис. 1 и 2, позволяет заключить, что распределение флуктуационных напряжений р по исследуемому объему V носит колебательный характер. Из рис. 1 видно, что ориентация главных напряжений согласована по комплексу нескольких зерен. Конкретное распределение областей сжатия и растяжения зависит как от вида макронагружения, так и от

распределения областей с относительно «мягкими» и «жесткими» ориентировками КСК. Однако средний размер этих областей слабо зависит от макронагружения и составляет 3-4 средних диаметра зерна.

Для построения исходной статистической выборки {а} использовались узловые значения напряжений из области осреднения, по которым определялась величина математического ожидания М(а) = (а)V . Выборки {р} флуктуационных компонент напряжений получались из {а} путем вычитания полученного значения математического ожидания.

Исследование полученных выборок {р} показало, что все компоненты флуктуационных напряжений распределены по закону, близкому к нормальному. Данный вывод совпадает с теоретическими результатами работы [3] и экспериментальными результатами работы [4]. Нормальный закон распределения случайной величины

Рис. 1. Распределение главных значений флуктуационных напряжений р по фрагменту исследуемой области V при чистом сдвиге

Рис. 2. Распределение по области V среднего давления рр флуктуационных напряжений при одинаковом распределении осей КСК материала (темные области — рр > 0; светлые — рр < 0): а — растяжение вдоль горизонтальной оси; б — чистый сдвиг

р.- (г, у = 1, 2) полностью задается значениями математического ожидания Му и среднеквадратического отклонения S.j. В данном случае величина М получалась всегда равной нулю, что следует из способа построения выборки {р}. Анализ полученных результатов показал, что среднеквадратическое отклонение S.j контролируется параметром анизотропии кристалла и величиной т^ах максимальных касательных макронапряжений, которая в случае плоского напряженного состояния может быть определена как

Сах = |)/

где а1 и а2 — главные значения тензора напряжений.

Для получения зависимости от параметра анизотропии исследовались как реальные материалы (Бе, А1, Ма, РЬ), так и гипотетические со значением параметра А от 0.05 до 1. Результаты для случая растяжения вдоль оси Х1 (а11 = 2, а22 = 0, а12 = 0) представлены на рис. 3.

Можно отметить, что для компонент р11 и р22 зависимости среднеквадратического отклонения от параметра анизотропии практически совпадают. Для касательных напряжений величина S12 получилась в два раза

Э

0.6

0.4

0.2

0

Рис. 3. Зависимо сть среднеквадратического отклонения флуктуационных напряжений от параметра анизотропии при т^ах = 1 : 1 — Sll;

2 — Я^; 5 — МА) = Х(1-А)2 + ^

меньшей. Следует подчеркнуть, что на величину среднеквадратического отклонения S.j не влияет конкретное значение модулей упругости материала. Например, два материала с произвольным набором значений модулей упругости, но с равными значениями параметра анизотропии при одинаковом нагружении будут иметь одну и ту же величину S.j.

Полученная зависимость S11 с достаточной точностью аппроксимируется следующим квадратичным полиномом

*п(А) = #(1 - А)2 + ^ • (4

В качестве характеристики вида макронапряженного состояния использовалось несколько параметров:

1) максимальные касательные напряжения т^ах;

2) интенсивность напряжений а2 = а21 - а11а22 + + а22 + 3а22 =а2 -а 1а2 +а2;

3) параметр вида плоско-напряженного состояния

= а1 + а 2

Ха _ , аналогичный параметру Надаи-Лоде

а1 - а 2 для объемного состояния.

Для поликристалла железа (А = 0.412) результаты моделирования флуктуационных напряжений для различных видов макросостояния приведены в таблице 2.

Приведенные результаты позволяют сделать следующие выводы о поведении среднеквадратического отклонения флуктуационных напряжений. Во-первых, в условиях всестороннего растяжения или сжатия неоднородность поля мезонапряжений отсутствует. Во-вторых, величина среднеквадратического отклонения касательных напряжений в два раза меньше нормальных компонент флуктуационных напряжений. В-третьих, можно сделать вывод о линейной зависимости величины среднеквадратического отклонения флуктуа-ционных напряжений от величины максимальных касательных макронапряжений т^ах

Таблица 2

№ эксперимента °ii °22 °12 а. Ха max S„, S22 S12

1 2 0 0 2.00 -1 1.0 0.199 0.098

2 0 0 1 1.73 0 1.0 0.198 0.094

3 3 1 0 2.65 -2 1.0 0.199 0.098

4 0 2 0 2.00 -1 1.0 0.197 0.098

5 V2 0 1/Д 1.87 -0.7 1.0 0.190 0.091

6 0 0 2 3.46 0 2.0 0.384 0.184

7 4 0 0 4.00 -1 2.0 0.394 0.199

8 0 0 4 6.93 0 4.0 0.768 0.368

9 8 0 0 8.00 -1 4.0 0.789 0.398

10 1 1 0 1.00 -те 0.0 0.0 0.0

11 -1 -1 0 1.00 те 0.0 0.0 0.0

^= ^ = ^22 = 2^12 = Ен<ах ,

где ЕН = S11(А) — модуль неоднородности упругих мезо-напряжений, зависящий от параметра анизотропии материала и определяемый по соотношению (4).

Модуль неоднородности ЕН равен среднеквадратическому отклонению флуктуационных напряжений при единичном значении т^ах. Учитывая подчиненность мезонапряжений нормальному закону распределения и правило «трех сигм», можно ввести интервал Да = [-3Sа, 3Sa] разброса значений мезонапряжений в поликристалле при заданном нагружении. Поэтому Sa следует рассматривать как количественную меру неоднородности поля мезонапряжений в поликристалле.

Поведение Sa достаточно хорошо коррелирует с условием начала пластического деформирования металлов. Действительно, в условиях всестороннего растяжения или сжатия пластическая деформация в металлах отсутствует. Из таблицы 1 видно, что для ГЦК металлов с увеличением анизотропии предел текучести снижается. Вольфрам, обладающий практически изотропными свойствами, имеет очень высокий предел текучести. Для ОЦК металлов зависимость от параметра анизотропии выполняется плохо. Учитывая выше изложенное, можно предположить, что пластическое макродеформирование в поликристалле начинается после достижения некоторой предельной для данного материала степени неоднородности мезонапряжений. Условие пластичности Треска-Сен-Венана [5] утверждает, что пластическое деформирование начинается при достижении максимальным касательным напряжением величины половины предела текучести аТ. Данное обстоятельство по-

зволяет оценить величину ST предельной неоднородности мезонапряжений при начале пластического деформирования поликристалла

5Х = 0.5£hct T.

Таким образом, предел текучести материала можно трактовать как величину предельной неоднородности упругих мезонапряжений в момент начала пластического деформирования поликристалла.

Итак, соотношение (5) позволяет оценить величину среднеквадратического отклонения флуктуационных напряжений в зависимости от степени анизотропии материала А и величины максимального касательного напряжения Т^ах . Следует отметить, что величина Т^ах контролирует только степень разброса мезонапряжений, но не конкретное их распределение внутри поликристалла. Подтверждением этого является рис. 4, где показано распределение напряжений рп по одному и тому же сечению (X = const) исследуемого объема при одном

—О— Эксп. № 2 —— Эксп. № 3 —A— Эксп. № 4 —Эксп. № 5

Zi V

О 0.25 0.5 0.75 Х-|

Рис. 4. Распределение р по сечению области

и том же значении т т

но различном сочетании ком-

понент макронапряжений.

3. Статистические параметры флуктуационных напряжений внутри зерна

Приведенные выше результаты для среднеквадратического отклонения получены с использованием выборки, построенной по узловым значениям напряжений для всей области осреднения. Однако исследованный объем V состоит из совокупности зерен. В данном случае область осреднения в одном эксперименте состояла из 100 одинаковых зерен и для каждого зерна использовалась сетка 4x4 элемента или 5x5 узлов. Учитывая данное обстоятельство, можно из полей узловых значений напряжений области осреднения построить выборки для соответствующих узлов зерна (по 100 значений для каждого узла). Для увеличения представительности выборки объединялись результаты моделирования по 5 наборам углов ориентации КСК, что позволило получить выборки объемом в 500 значений для каждого узла.

На рис. 5 представлены распределения среднеквадратического отклонения флуктуационных напряжений р.

Приведенные распределения позволяют констатировать следующее:

1) качественно похожее распределение среднеквадратического отклонения напряжений сохранялось во всех экспериментах, приведенных в таблице 2;

2) принятая в данном исследовании форма зерна в виде шестигранника вносит некоторую анизотропию, что сказывается на распределении компонент £ и S22;

3) несмотря на некоторые различия, можно отметить, что нормальные компоненты р11 и р22 имеют больший разброс около границы зерна. Особенно хорошо это видно по распределению среднеквадратического отклонения среднего давления;

4) компонента р12 и максимальное касательное напряжение имеют больший разброс в центральной части зерна;

5) величина среднеквадратического отклонения параметра хр больше вблизи угловых точек зерна, что свидетельствует о меньшем разбросе параметра вида напряженного состояния в центральной части зерна. Вблизи границ зерен разброс Хр выше.

Полученные результаты подтверждают вывод работы [1] о наличии внутри зерна приграничной и центральной областей. Приграничная область характеризуется большим разбросом нормальных напряжений, а центральная — касательных. Кроме того, в приграничной области параметр Хр, характеризующий вид напряженного состояния, изменяется в больших пределах, что, возможно, может облегчать при дальнейшем нагружении начальную активизацию соответствующих плоскостей скольжения дислокаций именно в приграничной области. Приграничные области вблизи тройных стыков границ, являясь концентраторами напря-

>

<

п

! ^ С. б А

* N

Ч| «1 Г"” ”.

Рис. 5. Распределение среднеквадратического отклонения параметров р по зерну (более темные области соответствуют большим значениям параметров): а — £ ; б — £ ; в — £ •>; г — среднее давление £ ; д — максимальное касательное £т; е — параметр вида £х

11 22 12 р Хр

жений с наибольшим разбросом Хр, могут активизироваться в первую очередь и служить источниками дислокаций.

4. Зависимость статистических параметров флуктуационных напряжений зерна от ориентации КСК

Определенный интерес представляет исследование изменения флуктуационных напряжений в зависимости от угла ориентации ф КСК зерна по отношению к ЛСК. Для проведения такого исследования использовались осредненные по зерну значения компонент флуктуа-ционных напряжений. Как и в предыдущем исследовании объединялись результаты моделирования по 5 наборам значений ориентаций КСК зерен. Интервал изменения угла ф от 0 до 90° разбивался на 12 равных подынтервалов и строились выборки компонент р для каждого подынтервала. При принятом способе построения выборок величина математического ожидания р для конкретного интервала значений угла ф могла быть не равна 0.

Анализ полученных результатов показал, что при принятом в данном исследовании равномерном распределении ориентаций КСК величина среднеквадра-

Шц

0 22.5° 45° 67.5° ф

а

т22

А

0 22.5° 45° 67.5° ф

б

-П

-“Г ^

тхь -и— -а—йг

0 22.5° 45° 67.5° ф

в

—О— Экс. 1 —О— Экс. 2 А Экс. 3 —Н— Экс. 4 —И—Экс. 5

Рис. 6. Изменение величины математического ожидания флуктуа-ционных напряжений зерна в зависимости от ориентации КСК и вида напряженного состояния

тического отклонения р практически не зависит от угла ф. В то же время величина математического ожидания для компонент р существенно зависит от данного угла (рис. 6) и изменяется пропорционально косинусу или синусу этого угла с периодом в 90°. При этом математическое ожидание нормальных компонент тп(ф) и т22(ф) изменяется в противофазе. Зависимость для т12(ф) сдвинута по фазе относительно нормальных компонент на 22.5 градуса.

Приведенные на рис. 6 зависимости для т.. близки к результатам, полученным при исследовании напряженного состояния в центре круглого включения, находящегося в изотропной однородной матрице. При принятых в данной работе предположениях о структуре поликристалла подобное включение можно рассматривать в качестве модели зерна. Изотропность свойств матрицы обоснована отсутствием в данном случае предпочтительных направлений при распределении ориентаций КСК зерен. Если в качестве упругих свойств для материала матрицы принять эффективные упругие свойства поликристалла [2], а для включения — анизотропные свойства зерна, то полученные результаты для центра включения будут близки к приведенным на рис. 6 не только качественно, но и количественно.

Отмеченные особенности позволяют предложить следующие приближенные соотношения для описания зависимости величины математического ожидания флуктуационных напряжений:

ш11(ф) = К1ст11 + К2а22 - К3^(4ф*),

^22

т12(ф) = К2а12 + Кз sm(4ф*), где ф* = ф + у/2 — приведенный угол ориентации; у — угол ориентации 1-го главного макронапряжения; К1 и К2 — константы, зависящие от степени анизотропии поликристалла (для железа К1 = -0.095; К2 = -0.038).

Значение К3 зависит от величины и вида макронагружения и равно осредненному по углу ф максимальному касательному напряжению от т..

1 п 2 I----------2-----Г

Кз = - Н

п 0

Итак, приведенные результаты исследования флук-туационных напряжений в поликристаллах с кубической решеткой позволяют сделать вывод, что на статистические параметры данных напряжений наибольшее влияние оказывают параметр анизотропии материала и максимальное касательное напряжение макронагружения.

5. Вейвлет-анализ распределения флуктуационных напряжений

Величина мезонапряжений в конкретной точке области зависит не только от вида макронагружения и степени анизотропии материала, но и от распределения

б

Рис. 7. Результаты вейвлет-анализа распределения максимальных касательных флуктуационных напряжений по сечению области: а — профиль распределения; б — картина вейвлет-коэффициентов и диаграмма энергетического спектра в зависимости от величины масштаба

ориентации КСК зерен в окрестности данной точки. Поле мезонапряжений является быстро осциллирующей функцией координат. Можно попытаться исследовать спектр данной функции с целью установления значимых частот колебаний. Определение подобных частот позволило бы по соответствующим им периодам колебаний выделить значимые масштабные уровни деформирования. Увязав данные уровни со структурными элементами поликристалла, можно было бы выделить параметры соответствующих структурных уровней. Анализ приведенных выше результатов позволяет предположить, что для поля мезонапряжений можно выделить три характерных масштаба: приграничная область зерна, порядка размеров зерна и масштаб в несколько зерен.

Для исследования поля напряжений с целью выявления значимых масштабов воспользуемся вейвлет-анализом [6]. Учитывая равномерный закон распределения ориентации КСК по области и одинаковую форму зерен, можно предположить равнозначность любых сечений в плоскости моделирования. Типичные результаты, получаемые для распределения максимального касательного флуктуационного напряжения по сечению области, приведены на рис. 7. Для анализа в данном исследовании был использован вейвлет «мексиканская шляпа» (МНАТ-вейвлет).

Результаты исследования распределения напряжений по различным сечениям области показывают, что вне зависимости от вида и интенсивности нагружения максимум энергетического спектра наблюдается при масштабах в 1.5-3 диаметра зерна, что соответствует периоду колебаний напряжений в 3-6 диаметров зерна. Данный результат совпадает с выявленным экспериментально в работе [1] периодом колебаний мезона-

пряжений, получаемых в процессе пластической деформации образцов. С другой стороны, из анализа распределений напряжений по области (см. рис. 1, 3) следует, что средний размер областей сжатия и растяжения составляет 2-3 диаметра зерна, что также подтверждает полученный результат. Наконец, величина в 5-6 диаметров зерна близка к размеру представительного объема поликристалла [3]. Все это позволяет предположить, что объемы поликристалла диаметром в 5-6 средних размеров зерен образуют мезосубструктуру-П (по терминологии [1]) с самосогласованным поведением всех элементов данной подобласти в процессе дальнейшего деформирования. В работе [1] появление мезоуровня-

II связывают с движением трансляционно-ротационных вихрей, размеры которых больше размера зерна, но меньше размера образца.

Приведенные результаты показывают, что образование подобных вихрей и, следовательно, самого ме-зоуровня-П предопределено изначальной неоднородностью упругих мезонапряжений. Учитывая, что в данном исследовании одни подобласти отличались от других только ориентацией КСК зерна, то можно предположить, что «жесткое» или «мягкое» поведение конкретной подобласти определяется параметром, зависящим от ориентации КСК зерен самой подобласти и ее окрестности, а также от ориентации и величины главных макронапряжений.

Во всех рассмотренных случаях в рамках использованной модели не удалось обнаружить масштабные уровни, менее 3 диаметров зерна. При этом исследовались поля напряжений для областей значительно больших 14x14 зерен и с большей степенью дискретизации зерен на конечные элементы. Данное обстоятельство не дает оснований при описании упругого поведения поликристалла говорить о введении масштабных уровней с длинами менее нескольких средних диаметров зерна.

Авторы выражают благодарность сотрудникам ИМСС УрО РАН Галягину Д.К. и Патрикееву И.А. за консультации и обсуждение результатов по вейвлет-анализу мезонапряжений.

Литература

1. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - 297 с.

2. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. - М.: Наука, 1977. - 400 с.

3. Ашихмин В.Н., Повышев И.А. Статистические закономерности распре-

деления напряжений в поликристаллах // Математическое моделирование систем и процессов. - 1995. - № 3. - С. 11-18.

4. Богачев И.Н., Вайнштейн А.А., Волков С.Д. Статистическое металло-

ведение. - М.: Металлургия, 1984. - 176 с.

5. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Часть II. Конечные деформации. - М.: Наука, 1984. -432 с.

6. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. - 1996. - Т. 166.- N° 11. - С. 11451170.