О деформации составной сферической оболочки под действием внутреннего давления

УДК 539.3 Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2008, вып. 2

Е. В. Краковская

О ДЕФОРМАЦИИ СОСТАВНОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ*

1. Введение. Форму глазного яблока определяет наружная оболочка — склера. В первом приближении эту оболочку можно считать сферической. Недалеко от заднего полюса глаза через склеру проходит зрительный нерв. Сплошного дефекта склеры в этом месте нет, но имеется ее истончение и появляется множество мелких отверстий. Этот участок склеры называется решетчатой пластинкой диска зрительного нерва. В настоящее время известно, что при глаукоме атрофия зрительного нерва происходит именно в области решетчатой пластинки. Решетчатая пластинка существенно мягче склеры. Интересно провести сравнение решений задач о напряженно-деформированном состоянии составной оболочки, состоящей из склеры и решетчатой пластинки, и отдельно задачи о напряженно-деформированном состоянии решетчатой пластинки под действием нормального давления.

В данной работе изучается влияние увеличения внутриглазного давления (ВГД) на диаметр склерального кольца, а также влияние деформации сферической оболочки глаза на величину прогиба решетчатой пластинки диска зрительного нерва.

В задаче о сопряженных оболочках решетчатая пластинка считается сферической оболочкой того же радиуса, что и склера. В первой модели решетчатая пластинка предполагается однородной и изотропной. Модуль упругости решетчатой пластинки Е2 значительно меньше модуля упругости склеры Е., полагается Е. / Е2 = 10. Рассматриваются аналитические и численные результаты, полученные в А№УЯ.

Во второй модели рассматривается задача о прогибе решетчатой пластинки как трансверсально-изотропной пластины с жесткой заделкой и проводится сравнение его с ранее полученными аналитическими результатами [1]. Приводятся полученные с помощью МКЭ в прикладном пакете А№УЯ численные результаты деформации сопряженных трансверсально-изотропных сферических оболочек под действием ВГД.

2. Аналитическое решение задач. Напряженно-дефор- ^---

мированное состояние изотропной однородной оболочки мо- __-- х\

жет быть описано уравнениями В. В. Новожилова [2] в сфери- / \

ческих координатах (^ — угол, образуемый нормалью к сре- I \

динной поверхности с осью оболочки, в — угол, определя- К N

ющий положение точки на соответствующем параллельном —————-——

круге (рис. 1)). В случае осесимметричной деформации диф- рис. 1. Сферическая

ференциальные уравнения в комплексных усилиях для сфе- оболочка.

рической оболочки имеют вид

N N . ~ 1 dNl в , ~ ~ 1с dN

N = ^+N2,

с 1 — д2 с 1 — д2

где с = /г/\/12(1 “А*2); 9-ВГД- = !/Д2 * <Рй/<Ю2 + с^в/В? * йЙ/М-, ЛГЬ ЛГ2-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №07-01-00250).

© Е. В. Краковская, 2008

усилия; Ы\, М2 — моменты, возникающие в оболочке; Н, Я, ц — толщина, радиус, коэффициент Пуассона оболочки соответственно.

Решение системы (1) для склеры как незамкнутой оболочки, полученное методом асимптотического интегрирования [2], имеет вид

где Q1 —перерезывающая сила, т — нормальный прогиб оболочки, и — перемещение в меридиональном направлении, в — угол поворота нормали; во — угол, определяющий край оболочки; Е1 —модуль упругости склеры; индекс (1) означает принадлежность к склере, индекс (2) —к решетчатой пластинке; А1, В1, С1 —константы интегрирования, причем С1 фиксирует начало отсчета осевого смещения оболочки. В нашем случае

В задаче о напряженно-деформированном состоянии сопряженных сферических оболочек решетчатая пластинка рассматривается как пологая оболочка, где г и <р — полярные координаты. Используя уравнения теории пологих оболочек в комплексной форме, приведенные Назаровым [3], можно получить дифференциальное уравнение для комплексной функции напряжений:

ная функция (Г — функция напряжения, т — прогиб оболочки); а — безразмерная переменная (г = ка).

Решение системы (5) имеет следующий вид:

С1 = 0.

ЧМг+2т+№) (ттк“+-вл ) • " = -ъ~*г + -ж-

где /1, 12, /1', 12' — значения действительной, мнимой составляющей функций Бесселя нулевого порядка и их производные соответственно.

На линии сопряжения оболочек выполняются шесть условий непрерывности перемещений, момента, усилий и угла поворота [4], причем в случае, когда сопряженные оболочки имеют один радиус кривизны, эти условия имеют вид

и

т(1) = т(2), М(1) = М(2), в(1) = в(2).

11

Уравнение для усилий н{г) выполняется автоматически при выполнении остальных условий. Подстановка выражений (2) и (4) в соотношения (5) дает систему уравнений для определения неизвестных постоянных А.1, В1, А2, В2, С2.

Расчеты проводились при следующих параметрах: Н1 = 1 мм, ^4 = ц2 = 0.45, Е1 = 14.3 МПа; Н2 = 0.25 мм, Е2 = 1.43 МПа, радиус основания решетчатой пластинки а =1 мм. Радиус кривизны обеих оболочек Я =12 мм.

Прогиб жестко закрепленной круговой пластинки под действием давления ц в центре имеет вид хр1 = ца4/64/Б, где Б = Е2Н23/12/(1 — ^).

В табл. 1 представлены результаты решения задач о деформации в центре решетчатой пластинки в сопряжении со склерой г = т(2) (0) — т(2)(во)ео8 во, изменения начального радиуса склерального кольца Дх = и>(1)(во)8шво, а также прогиба пластины гр1, полученные по аналитическим формулам, для различных значений ВГД.

Таблица 1. Аналитическое решение для изотропных оболочек

£/, ММ рт.ст.

15 30 40 50 60 80

х * 10 а, мм 13.65 27.3 36.4 45.51 54.61 72.8

Дж * 10~6, мм 1.13 2.27 3.03 3.79 4.55 6.06

* 10 а, мм 13.38 26.76 35.68 44.6 53.53 71.36

Изменение радиуса склерального кольца на порядок меньше величины прогиба. При удалении от линии сопряжения решение становится безмоментным.

3. Численное решение. В табл. 2 приведены значения тех же параметров г, Дх и гР1, полученные методом конечных элементов в прикладном пакете А^УБ.

Таблица 2. Численное решение для изотропных оболочек

£/, ММ рт.ст.

15 30 40 50 60 80

г * 10 3, мм 12.5 24.8 33.1 41.3 49.6 66.2

Дж * 10~6, мм 1.58 2.28 4.21 5.28 6.34 8.45

хр1 * 10 а, мм 13.4 26.9 35.9 44.8 53.8 71.8

Разница в значениях максимальных прогибов решетчатой пластинки, полученных для составной сферической оболочки и для жестко закрепленной пластины не превосходит 6%. Значения численных и аналитических результатов различаются не более, чем на 9%. И в том и другом случае увеличение ВГД практически не меняет размеры склерального кольца.

Методом конечных элементов решена задача о деформации составной трансверсаль-но-изотропной сферической оболочки [5] под действием внутреннего давления.

д, мм рт.ст.

15 30 40 50 60 80

х * 10“3, мм 42.8 87.8 123.3 144.1 179.9 246.5

Дх * 10 3, мм 6.1 12.6 17.3 20.8 25.5 34.6

хр1 * 10“3, мм 40.3 80.7 107.7 134.6 161.5 215.4

хап * 10 3, мм 43.7 87.5 116.7 145.9 175.1 233.5

Согласно экспериментальным данным [6], модуль упругости склеры и решетчатой пластины в направлении толщины Е' 1 в десятки раз меньше, чем в тангенциальном направлении Ег. В расчетах предполагалось Е'г = Ег/20, для модуля сдвига в плоскости перпендикулярной плоскости изотропии принято С' = Ог/5, где О' = Е'/2/(1 + ^') — модуль сдвига в плоскости изотропии. Задача решалась при тех же геометрических параметрах, что и задача в изотропной постановке.

Значения максимального прогиба решетчатой пластинки для составной задачи г, изменение ее опорного радиуса Дх, а также значения прогиба трансверсально-изотроп-ной пластины с жестко защемленным краем под действием нормального давления гр представлены в табл. 3. Для сравнения приведено аналитическое решение задачи о деформации трансверсально-изотропной пластины с жестко защемленным краем, которое имеет вид гап = ца4/64/Б + 3ц/8/Ь,2/О2 [1]. На рис. 2 показаны формы прогиба.

Рис. 2. Сопряженные оболочки. а — изотропная, Ь — трансверсально-изотропная.

Сравнение результатов для изотропной и трансверсально-изотропной составных оболочек показывает, что анизотропия существенно влияет как на величину, так и на форму прогиба решетчатой пластины.

Прогиб трансверсально-изотропной составной сферической оболочки является более пологим и по форме больше соответствует реальной картине деформирования склеры и решетчатой пластинки.

Литература

1. Бауэр С. М., Зимин Б. А., Товстик П. Е. Простейшие модели теории оболочек и пластин в офтальмологии. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000. 92 с.

2. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. 432 с.

3. Назаров А. А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. М., 1966. 303 с.

4. Филиппов С. Б. Теория сопряженных и подкрепленных оболочек. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1999. 196 с.

5. Родионова В. А., Титаев Б. Ф., Черных К. Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1996. 280 с.

6. Иомдина Е. Н. Биомеханика склеральной оболочки глаза при миопии: диагностика нарушений и их экспериментальная коррекция. Автореф. дис. ... д-ра биол. наук. М., 2000.

Статья поступила в редакцию 11 ноября 2007 г.