Ускорение заряженных частиц электромагнитной волной в скрещенных полях в синхронном режиме

УДК 533.932

Ускорение заряженных частиц электромагнитной волной в скрещенных полях в синхронном режиме

В. П. Милантьев

Кафедра экспериментальной физики Российский университет дружбы народов Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Показано, что комбинированием продольной и поперечной составляющих электростатического поля можно обеспечить поддержание синхронизма частицы с электромагнитной волной более эффективно, чем в случае чисто скрещенных квазистатических полей.

1. Введение

Известно, что в поле плоской электромагнитной волны энергия частицы в среднем не изменяется (если пренебречь слабыми радиационными эффектами) [1]. Однако при наличии внешнего постоянного магнитного поля в режиме циклотронного авторезонанса происходит существенное изменение механизма обмена энергией между волной и частицей, так что частица может приобрести значительную энергию [2,3]. Для этого режима характерно, что начальное условие циклотронного резонанса частицы с волной сохраняется во все время движения частицы, т.е. это условие является интегралом движения. Однако авторезонансное движение, строго говоря, осуществляется лишь в идеализированном случае плоской поперечной электромагнитной волны, распространяющейся вдоль постоянного магнитного поля со скоростью света в вакууме. Всякие отклонения от необходимых условий приводят к срыву синхронизма частицы с волной и нарушению режима авторезонанса.

Если фазовая скорость электромагнитной волны, распространяющейся вдоль постоянного магнитного поля, не равна скорости света в вакууме, то начальное условие циклотронного резонанса не может «само собой» сохраняться во все время движения частицы. Тогда возникает вопрос о возможности принудительного поддержания синхронизма частицы с волной таким образом, чтобы начальное резонансное условие сохранялось как можно дольше. Этого можно добиться изменением фазовой скорости или других параметров волны, специальным профилированием ведущего магнитного поля или другими внешними воздействиями (например, электростатическим полем). Иногда такое движение частицы с изменяющимися параметрами также называют авторезонансным, хотя более целесообразным представляется называть его синхронным, поскольку в этих условиях синхронизм частицы с волной поддерживается не автоматически, а принудительно [4].

Далее мы исследуем возможность поддержания синхронного режима движения заряженной частицы в электромагнитной волне с помощью электростатического поля, имеющего как поперечную, так и продольную составляющие по отношению к внешнему магнитному полю.

Работа выполнена по программе «Университеты России. Фундаментальные исследования

2. Поддержание синхронизма заряженной частицы с электромагнитной волной в скрещенных электрическом и магнитном полях

Рассмотрим движение заряженной частицы в поперечной электромагнитной волне Ё, В произвольной эллиптической поляризации, распространяющейся вдоль постоянного магнитного поля Во = (0,0, Во):

Ё= (Ei cos <9, £2 sin 6>,0), В = (~NE2 sin в, NEi cos в, 0).

Здесь N = kc/uj = — показатель преломления, ¡3ph = vph/c — безразмерная фазовая скорость волны. Будем сначала считать, что постоянное электрическое поле Ео направлено вдоль оси у. Для выделения циклотронного вращения частицы необходимо перейти в систему отсчета движущуюся со скоростью электрического дрейфа Ve = cEq¡Bq вдоль оси х. Тогда для компонент 4-вектора скорости в этой системе юг = (w°, u;1, w2, w3) следуют ковариантные уравнения, из которых после сглаживания по быстрым фазам можно получить упрощенную систему уравнений движения частицы в области циклотронного резонанса [5]:

du'° и;

—— = -r-(ei + £2 ") cos?/;, as I

dw/'x 1

~d7~ ~ 2

du>3 Nw

= o {£i(w° ~ Nrw3)+£2r{w° - Nil?)} cosф, Г + e2) cos ф,

Q - Г2 (w° - I - - Nfw3) + е2(Гги° - Nw3)}.

ds 2

^ = _Lj n r2 (..,о { siniP

ds ГО ^

Здесь Г = (1 - V2) 1/2; V = Ve/c; ег - Ег/В0, ds = dr/7 — безразмерный интервал.

Выписанные уравнения имеют интеграл

w° ~ Т77-F-= I = const.

N

Точный циклотронный резонанс согласно последнему уравнению из системы (2) определяется соотношением:

Г2

При отсутствии электростатического поля (Г = 1) условие (4) совпадает с интегралом (3) только в случае вакуумной волны (N = 1). Это и есть авторезонанс. Если N ф 1, то, очевидно, синхронизм частицы с волной будет обеспечен, если одновременно выполняются соотношения (3) и (4). Из этих соотношений следует, что условие циклотронного резонанса будет сохраняться во все время движения частицы, если величина w° - jrui3 = У является интегралом движения. Нетрудно видеть, что условие циклотронного резонанса (4) будет интегралом движения при выполнении равенства

N = £1 +е2Г

Г iV

причем постоянные / и У связаны соотношением

I = У = п/г2.

Отсюда видно, что рассматриваемый синхронный режим движения частицы существенно зависит от поляризации волны. В общем случае волны с произвольной эллиптической поляризацией синхронизм частицы с волной будет сохраняться, если скрещенное электростатическое поле (через параметр Г) определяется равенством

|е1 (Л1"2 - 1) + - 1)2 + 4Л^2|

г ="-^-"

Проведенный в [5] анализ показал, что наиболее оптимальные условия для поддержания синхронизма частицы с волной обеспечиваются в случае волны, поляризованной в направлении электростатического поля:

£1=0, £2=£^0.

В этом случае синхронный режим возможен лишь в замедленной волне, поскольку должно выполняться соотношение

Г = N > 1,

которое и определяет синхронизирующее электростатическое поле. Изменение энергии частицы в сопутствующей системе можно найти из уравнения

пс1и>° еП г——--т

где т' — безразмерное время в движущейся системе, а2 = 1 + У2 4- Ф2.

Отсюда следует, что в рассматриваемом случае темп ускорения падает по такому же закону, как и в авторезонансном режиме в вакуумной волне [4].

Для достаточно ускоренных частиц их энергия в движущейся системе растет по закону

и

В лабораторной системе энергия, в среднем набираемая частицей, оказывается в Г — N раз больше, чем в системе, движущейся со скоростью электрического дрейфа.

3. Подержание синхронизма частицы с волной с

помощью электростатического поля, имеющего продольную и поперечную составляющие по отношению к ведущему магнитному полю

В этом случае электростатическое поле имеет компоненты:

Е0 =

По-прежнему будем считать, что ведущее магнитное поле направлено вдоль оси

Чтобы выделить циклотронное вращение частицы, как и в предыдущем разделе, перейдем в систему отсчета X", движущуюся вдоль оси х со скоростью V относительно лабораторной системы Е. Согласно формулам преобразования векторов электромагнитного поля [1], в сопутствующей системе отсчета Е' имеем:

Е'0х = Еох = О, Е'02 =

В этих формулах величина Г — (1-У2)-1/2, где V = Преобразуются также компоненты постоянного магнитного поля:

В'0х = 0; В'0у — ГУЕоз] B'0z = ^.

Согласно дрейфовой теории необходимо предполагать, что продольная составляющая электрического поля Е03 является достаточно слабой, чтобы за время ускорения под действием этой составляющей частица успевала совершить достаточное количество циклотронных оборотов [6].

Будем считать, что в лабораторной системе поперечная электромагнитная волна распространяется вдоль ведущего магнитного поля. Поскольку фаза волны в является релятивистским инвариантом, то амплитуды поля волны преобразуются по формулам:

Е[ = В[ = Е'2 = Е2Г,

В'2 = ГЫЕх, Е'3 = УГНЕ1} В'3 = -УГЕ2.

Необходимо также учесть преобразование частоты и волнового вектора:

и' = Г ^ к'х = -кУГ/Ы: к'у = 0; к'х = к.

Из (15) видно, что в сопутствующей системе Е' волна распространяется под углом к магнитному полю. В этой системе уравнения движения частицы в указанных полях принимают вид:

г]7/)0 р

{Ехю1 соэб + ГЕ2ъи2 ¡яп6 + Г

2

dsi гпцс

du;1 е г „ п „ (В,

, - -\E\w0 cos в + [ —^ — ГУЕ2 sin 64 ги2 — asi m0c¿ l \ Г J

- Г {VEm + ВД cos в) w3 },

dsi mac2 [

dw 6 !^rE2w° sine- ^ -rVE2 sin w1 -NE2w3sm6^ ,

П71) P (

-r~ =-J Г (E03 + УВД cos в) w° +

dsi moc¿ i.

+ r{VE03 + NE1cose)w1 +NE2w2siney

dsi с V Г J

Здесь к уравнениям движения частицы добавлено уравнение для фазы волны. Введем далее, безразмерный интервал ds — ^-dsi = ^fdt' и безразмерные параметры £i,2 = гт0сы' £°3 ~ rmlcw  не слишком больших значениях Г (неболь-ших значениях скорости электрического дрейфа) можно выделить циклотронное вращение частицы в сопутствующей системе Е' с помощью формул:

w1 = w± cos в с, w2 = w±_ sin 0С,

где вс — фаза циклотронного вращения частицы в этой системе. Тогда уравнения движения представляются в виде:

dw°

—у = £lWj_ COS в COS вс + Fe2Wx sin в SÍl'1 вс + Г

С']?//

= r(£o3 + VNe1cos9)w° +

as

+ Г

= W° (s I COS в COS вс + Ге2 sin в sin 9C) - FVEQ3W3 cos вc -

ds

- Nw3

d0c Ü w°

—— — - —^ H--(Ге2 sinocosвс - £i cos0cos0c) + PVsi sin 9 +

ds I¿ wx

ГУ o Nw3 --£озW sin 9с H--

w± Wx

= + ^w3 - Vwx cos 0r.

ds 1

Последний член в уравнении (25) связан с тем, что в сопутствующей системе согласно формулам (15) возникает поперечная составляющая волнового вектора — k'x. Если гирорадиус частицы в сопутствующей системе не мал по сравнению с поперечной длиной волны, то осциллирующий член в (25) становится большим. В этом случае необходимо от фазы волны в перейти к новой фазе ф по формуле [7]:

в = ф-Аатвс.

Величина А подбирается таким образом, чтобы в уравнении для фазы ф, отсутствовал большой быстро осциллирующий член: А = --¿f-wi . Величина А может быть достаточно большой из-за малых значений параметра Q (в световом диапазоне Q ~ 10"'5). Учитывая формулу

pi/1 sin дс _ \ ' 7 Í

- J] Jn

-оо<п<оо

где ^(А) — функции Бесселя порядка п, а также рекуррентные соотношения для функций Бесселя, можно преобразовать уравнения (21)—(25):

£ JM) (^р + rVNwA cos фч -

- £2Fw\

J'q

~ = £1ГТУ ^ МА) + созф, - х

<7

х 3'Ч(А) сов^+Геоз + созвс) , (29) ч

ая А

е2

^ =+ - МЛ) \я+Г2

^ - + ^ - £ да +

1 ч

+ е2 У Ма) I + ГУ 1 этфч + ~г0з«;3 ип0с.

, [ ша. ] шх

Здесь введено обозначение для комбинации фаз: фч = у> + двс, где число д = 0,±1,±2,....

При резонансе одна из комбинаций фаз фч является медленной (или полубыстрой) переменной. Будем предполагать, что отдельные резонансы не перекрываются друг с другом. Тогда можно ввести резонансную фазу:

фп = ф- пвс,

при фиксированном значении числа п, которое может принимать значения п—1,2,. . . . Значение п = 1 соответствует циклотронному резонансу частицы с волной. При п ^ 2 возникают резонансы на гармониках гирочастоты.

После усреднения по всем быстрым фазам вс и фч, кроме резонансной фазы фп, получаем приближенную систему уравнений движения частицы в области изолированного резонанса:

^ = (-1 Ус (ГУА^3 - МА)созфп +

+ {-1)п+1£2Ги)±Гп

СЫ;3 = (-1)" егГМ (уъ]° - ^ МА)со*фп +

с1я

+

¿и,х +1 - ПУги3

—Г— = (-1) £1----П.]п (А )сову;п +

а 5 А

+

fl^n 1 ir, n Ч П-ГЛ , \n W° - TNw3 T./<4

= -- rw° - Nw3 - — + (-1)" £1-—nj; Д sin^n +

as i \ 1 J w_l

Г-Н)0 _ ЛЬ/>3

+

w±

Штрих означает производную по аргументу А. Из последнего уравнения видно, что резонансной фазе (33) соответствует комбинация частот

Fwa - Nw3 - nj = 0.

Рассмотрим условия, при которых резонансное соотношение между частотами может сохраняться со временем. Это будет соответствовать синхронному режиму движения частицы.

Из выписанной системы легко получить уравнение:

(А,0 - Nw3) = (-1)" Fe, jiVV (Fw3 - Nwa) - ^ (1 - N2) j

di

x Jn

Рассмотрим также эволюцию величины Nw° - Fw3: (Nwú - Fw3) = -Г (Fw° - Nw3) £0з - (-1)" Nei >

^FV (Гю° - Nw3) - (i _ r2) | Jn(A) eos ф,

Очевидно, резонансная комбинация частот (38) будет сохраняться со временем, если правая часть уравнения (39) обратится в нуль. Допустим, что продольное электрическое поле отсутствует (£оз = 0) и что ускоряющая электромагнитная волна является линейно-поляризованной в направлении внешнего постоянного электрического поля (£1 = 0. £2 ф 0). В этом случае в правой части уравнения (39) остается единственный член (Г2 - N2) £2w±Jll(A) созфп. Отсюда видно, что синхронное движение частицы возможно при условии, что скорость электрического дрейфа подбирается с помощью соотношения Г — N > 1. Точно такое же условие было найдено в работе [5] в случае бесконечно малого гирорадиуса частицы при циклотронном резонансе (п = 1). Таким образом, в рассматриваемом случае синхронный режим ускорения частиц с учетом конечного гирорадиуса оказывается возможным не только при циклотронном резонансе, но и при резонансах на гармониках гирочастоты.

Если Г ф IV, то при отсутствии продольного электростатического поля синхронный режим движения частицы в указанной волне невозможен. Чтобы обеспечить такой режим, надо подобрать продольное электростатическое поле £оз так, чтобы правая часть уравнения (39) обращалась в нуль. Такое электростатическое гюле определяется равенством (при Гю3 - N10° ф 0):

При этом условии резонансное соотношение (38) сохраняется со временем, а в уравнении (40) выражение в фигурной скобке обращается в нуль, так что

=

Поскольку поле £оз потенциально, то можно ввести потенциал этого поля (в безразмерных единицах): соз(Х/3) = — j^tj. Нетрудно найти, что искомый потенциал синхронизирующего электростатического поля определяется выражением:

Un{X'3) = "{Г

Здесь Wq — начальное значение энергии частицы. Аналогичное выражение в случае циклотронного резонанса (п = 1) в невакуумной волне (N Ф 1), при отсутствии электрического дрейфа (Г = 1) было получено в работе [8].

Ясно, что потенциал электростатического поля с профилем (43), вообще говоря, трудно реализовать в эксперименте. Если же взять, например, потенциал с линейным профилем Un(X'3) — 1 + аХ/3, где а — —£оз = const, то нельзя рассчитывать на сохранение синхронизма частицы с волной во всё время движения. Пока расстройка частот (и сдвиг фаз) незначительна, частица может набирать энергию в условиях, близких к синхронному режиму. Однако на некотором расстоянии сдвиг фаз становится значительным, и тогда происходит срыв резонанса. Можно найти оптимальный градиент потенциала (напряженность постоянного электрического поля), при котором на интервале ускорения происходит максимальный набор энергии частицей [4].

Анализ полученных уравнений показывает, что при подборе синхронизирующего электростатического поля возможен набор энергии частицей как при циклотронном резонансе, так и при резонансах на гармониках гирочастоты. Однако наиболее эффективным является циклотронный резонанс: лишь в этом случае поперечный импульс (и энергия) частицы монотонно возрастает. Другими словами, при возможности резонансов различного порядка механизм циклотронного авторезонанса является преобладающим. Вместе с тем, несмотря на преобладание циклотронного резонанса, движение частицы определяется всеми возможными резонансами. Это значит, что циклотронный резонанс не может проявляться независимо от других резонансов сколь угодно долго. На достаточно большом интервале слабое влияние высших резонансов может привести к расстройке резонансной частоты и соответствующему сдвигу фазы. Когда этот сдвиг становится порядка единицы, то влияние высших резонансов оказывается существенным, и движение частицы принимает сложный, стохастический характер. Если же движение частицы происходит в авторезонансном режиме, то в этом случае, как показано в работе [9], стохастическая неустойчивость не развивается.

4. Заключение

В работе показано, что комбинированием продольной и поперечной составляющими электростатического поля можно обеспечить поддержание синхронизма частицы с электромагнитной волной более эффективно, чем в случае чисто скрещенных квазистатических полей. Продолжение работы в этом направлении может привести к нахождению наиболее оптимальных режимов ускорения заряженных частиц.

Литература

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — М.: Наука, 1988.

2. Коломенский А. А., Лебедев А. Н. // ЖЭТФ. - Т. 44(1). - 1963. - С. 261-269.

3. Давыдовский В. Я. // ЖЭТФ. - Т. 43, № 3(9). _ 1962. - С. 886-888.

4. Милантьев В. П. // УФН. - Т. 167(1). - 1997. - С. 3-16.

5. Милантьев В. П. // ЖТФ. - Т. 64(6). - 1994. - С. 166-172.

6. Морозов А. И., Соловьев Л. С. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях // В сб. Вопросы теории плазмы / под ред. М. А. Леонтовича. — Т. 2. - М.: Госатомиздат, 1963. - С. 177-261.

7. Милантьев В. П. // ЖЭТФ. - Т. 85, № 1(7). - 1983. - С. 132-140.

8. Андреев Ю. А., Давыдовский В. Я. // Изв. ВУЗов. Физика. — Т. 23(11). — 1980. - С. 96-97.

9. В. А. Буц, О. В. Мануйленко, К. Н. Степанов, А. П. Толстолужский // Физика плазмы. - № 20(9). - 1994. - С. 794-801.

UDC 533.932

Acceleration of Charged Particles by Electromagnetic Wave in Crossed Fields at Synchronous Regime

V. P. Milantiev

Department of Experimental Physics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia

!t is shown that by combining the longitudinal and transverse components of the electrostatic field it is possible to sustaine synhronous regime of acceleration of the particle more effectively than in the case of purely crossed quasistatic fields.