Построение и апробация модели оптимизации инвестиционного портфеля с применением нечетких множеств по отношению к российскому финансовому рынку

УДК 336.76

Жданова Ольга Александровна

кандидат экономических наук, доцент кафедры финансового менеджмента Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова

Курагина Анастасия Юрьевна

магистрант Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова

ПОСТРОЕНИЕ И АПРОБАЦИЯ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ ПО ОТНОШЕНИЮ К РОССИЙСКОМУ ФИНАНСОВОМУ РЫНКУ [1]

Аннотация:

В статье изучены теоретические аспекты построения модели формирования и оптимизации инвестиционного портфеля с применением нечетких множеств. Теоретические положения модели апробированы для портфеля из пяти и десяти акций, обращающихся на российском финансовом рынке. Работа основана на формировании модели, в которой использование нечетких множеств связано с идентификацией возможной доходности портфеля ценных бумаг и их риска.

Ключевые слова:

инвестиционный портфель, модель нечетких множеств, российский финансовый рынок, оптимизация инвестиционного портфеля, апробация.

Zhdanova Olga Aleksandrovna

PhD in Economics, Assistant Professor, Financial Management Department, Plekhanov Russian University of Economics

Kuragina Anastasia Yurievna

Applicant for a Master's Degree, Plekhanov Russian University of Economics

DESIGNING AND TESTING OF THE INVESTMENT PORTFOLIO OPTIMIZATION MODEL WITH APPLICATION OF FUZZY SETS IN THE CONTEXT OF THE RUSSIAN FINANCIAL MARKET [1]

Summary:

The article studies theoretical aspects of designing of the investment portfolio optimization model with application of fuzzy sets. Theoretical provisions of the model were tested for a portfolio consisted of five and ten shares which are traded on the Russian financial market. The research is based on development of the model, in which the use of fuzzy sets is connected with consideration of the possible profitability of the security portfolio and its risk.

Keywords:

investment portfolio, model of fuzzy sets, Russian financial market, optimization of investment portfolio, testing.

Использование теории нечетких множеств вызвано неопределенностью распределения доходности при достаточно большой выборке, что характерно для рыночных показателей, которые в свою очередь зависят от множества не поддающихся точному учету факторов. Закон распределения в данном случае постоянно преобразуется с поступлением на рынок новой информации. Поэтому удобны для использования интервальные характеристики, основа которых лежит в теории нечетких множеств [2, с. 174].

Базой для создания инвестиционного портфеля будет служить модель формирования портфеля ценных бумаг и построения границы эффективных портфелей в соответствии с моделью Г. Марковица.

Особенностью теории нечетких множеств является задание множества с помощью функции принадлежности ^д(и) [3].

Совокупность объектов, обозначаемых через и, представим в виде множества: и = {и}. Тогда нечетким множеством Д, определенным на и, будем считать совокупности пар:

Д = {(и, Мд(и)) | и б и},

где ^д - функция степени принадлежности и к нечеткому множеству Д, значения которой принадлежат интервалу [0; 1], причем 0 и 1 представляют соответственно низшую и высшую степени принадлежности.

Применение теории нечетких множеств позволяет размыть значения входных параметров модели. В данной работе будет применяться исключительно форма принадлежности нечеткого множества в виде трапеции, хотя возможно применение и более простого представления нечеткого числа в виде треугольника или других более сложных форм представления. Таким образом, степень точности оценки эксперта отражается количественно с помощью функции принадлежности.

Нечеткое множество, заданное треугольным нечетким числом, характеризуется следующей системой при использовании трех параметров А = (а, а, р):

1- а -1 -а й а-а < 1 < а А(г) = ] 1 - г - а - р й а < г < а + р

О

Графическое представление треугольного нечеткого числа изображено на рисунке 1.

Рисунок 1 - Треугольное представление нечеткого множества

Представление нечеткого множества в форме трапеции характеризуется заданием четырех параметров А = (а, Ь, а, в), где а - значение нечеткого числа, при котором достигается пик и функция принадлежности принимает значение, равное 1; а - значения, которые принимает множество, находящееся левее а, характеризующееся значением функции принадлежности, равной 0; в - значения, которые принимает множество, находящееся правее Ь, характеризующееся значением функции принадлежности, равной 0. На отрезке [а; Ь] функция принадлежности принимает значения единицы (рис. 2).

Рисунок 2 - Представление нечеткого множества в виде трапеции

Таким образом, функцию принадлежности можно описать следующей системой уравнений:

а-г

A(t) =

1-

1-

а 1

t-b Р

если a - а < t < a если a < t < b если а < t < b + Р

иначе

Так, применительно к формированию портфеля за границы нечеткого множества были взяты значения цен акций: максимальной

_ у riclose^ _

и закрытия (Stí ) торгов.

Преимущество применения нечетких множеств связано с возможностью корректного применения к ним арифметических операций, а также их сравнения и вычисления расстояний между ними. Правая нижняя граница уровня доходности рассчитывается по формуле:

<

0

nhigh alow r>max Sit ~ Sit Rit ='

low

Левая нижняя граница уровня доходности рассчитывается по формуле:

r>low о high ^min _ Sit Sit

it high

Значениям левой верхней вершины трапеции соответствует уровень доходности, рассчитанный по формуле:

о low о open j^rna _ Sit Sit it Qopen

Значениям правой верхней вершины трапеции соответствует уровень доходности, рассчитанный по формуле:

о close о low j^rnb _ Sit ~ Sit

it alow

S

it

Таким образом, получим нечеткое число, характеризующееся следующими параметрами:

~ / т^шт -гута т>тЬ г>шах \

яи -\ Ки > яи > Кн > Кн /. Ожидаемая доходность в этом случае рассчитывается следующим образом:

~ 1 Т ~

Е( я,) - - Е ~ .

1 г-1

Ковариации между доходностями также являются нечетким числом и рассчитываются по формуле:

~ -- Е & -Е Хя* -Е1).

1 í-1

Исходные данные для оценки портфеля ценных бумаг, сформированного из пяти акций российского финансового рынка, приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Ожидаемая доходность и среднеквадратическое отклонение доходности акций на границах функции принадлежности

Роснефть ГМК НорНикель Магнит ВТБ МТС

E(Rmin) -0,064 -0,062 -0,066 -0,057 -0,001

E(Rmax) -0,029 -0,031 -0,034 -0,029 0,000

E(Rmb) 0,039 0,035 0,037 0,033 0,000

E(Rmax) 0,069 0,067 0,071 0,061 0,001

R, вероятностная модель 0,007 0,001 0,001 0,002 0,003

6min 0,025 0,029 0,029 0,025 0,027

6a 0,023 0,027 0,031 0,021 0,022

6b 0,035 0,036 0,032 0,032 0,033

6 max 0,029 0,035 0,035 0,029 0,031

6, вероятностная модель 0,048675 0,0468 0,047603 0,038499 0,037875

Оптимальный портфель находится на границе эффективных портфелей, определенной в соответствии с моделью Г. Марковица:

2

n n

°v = ZZ wiwja1] ^ min i=1 j=1

En =Z E wj ^ max.

i=1

n

Z wi = 1,

i=1

щ > 0,..., w > 0.

Г = cov

ij

(Ri  Rj i

где Е - доходность портфеля;

^ - вес ценной бумаги в портфеле;

Е - ожидаемая доходность /-й ценной бумаги Я,: т, = Е[Я,], / = 1, ..., п.

Таким образом, будущая доходность портфеля Е~ является нечеткой функцией, так как

включает в себя совокупность доходностей, являющихся нечеткими числами.

Оптимальный портфель среди границы эффективных портфелей будет достигаться при максимальном значении соотношения «доходность - риск», поэтому модель Г. Марковица для оптимального портфеля определим следующим образом:

ЙЫ! w w VE* - E

Wn )--* - I T

V VE

^ max.

Z Wi -1,

i-1

w > 0, w2 > 0..., wn > 0.

Функция © = [Этт, ©а; ©ь; ©тах] является нечеткой функцией четкого аргумента, так как инвестору необходимо осознавать, какую инвестиционную сумму нужно вложить в каждый вид ценных бумаг для формирования оптимального инвестиционного портфеля ценных бумаг. Для нашего примера функция О принимает следующие значения:

О = [-151,32; -89,86; -66,52; 116,64]. Полученные в результате использования нечетких множеств значения весов при этом дают более привлекательное значение доходности и риска для инвестора, чем вероятностная модель. Вышеупомянутые значения представлены в таблице 2.

Таблица 2 - Результаты использования модели нечетких множеств и вероятностной модели

Показатель Нечеткая модель Вероятностная модель

Доходность портфеля 0,066423 0,004162787

Риск портфеля 0,000539 0,000905637

Максимальное соотношение «доходность - риск» 123,2922 4,596529931

Рассчитаем характеристики второго портфеля, характеризующегося большей степенью диверсификации. Второй портфель будет включать дополнительно акции группы Yandex, «ФосАгро», «Мосбиржи», «РусГидро», «Ростел», представляющие разные отрасли. Полученные результаты отражены в таблице 3.

Таблица 3 - Результаты моделей с использованием нечетких множеств для инвестиционных портфелей разной степени диверсификации_

Показатель Нечеткая модель, содержащая 5 ценных бумаг Нечеткая модель, содержащая 10 ценных бумаг

Доходность портфеля 0,06642 0,06526

Риск портфеля 0,00054 0,00031

Максимальное соотношение «доходность - риск» 123,29220 210,45873

Несмотря на то что оптимальный портфель, характеризующийся включением большего числа ценных бумаг, имеет меньшую доходность, существенно снижается риск, что повышает эффективность инвестиции почти в два раза.

Сравним две нечеткие модели путем использования метода Кауфмана - Гупты. Для этого необходимо рассчитать три параметра кд1, кд2, кдз для нечетких множеств А и В.

к ^ = а1 + 2а1 + 2а1 + а± 1 6

А) = ;

kgз(А) = а4 -а1 .

В случае, если кд1(А) > кдДБ), то нечеткое множество А обладает лучшими характеристиками, иначе кд^(А) = кдДБ). Тогда сравниваются параметры кд2: кд2(А) > кд2(В). В случае, если они также совпадают, сравниваются параметры кд3.

Для анализируемой ситуации кд^(А) отражает показатели максимально возможного соотношения «доходность - риск» для портфеля из пяти ценных бумаг, а кдДБ), соответственно, представляет максимально возможное соотношение «доходность - риск» для портфеля, включающего в себя 10 акций российского финансового рынка. Результаты приведенных расчетов указаны в таблице 4.

Таблица 4 - Расчет параметра кд1 для сравнения нечетких множеств методом Кауфмана - Гупты _

kgi(A) 42,33316

kfli(B) 72,29797

Второе нечеткое множество, характеризующее портфель ценных бумаг, включающих 10 акций российского фондового рынка, ранжируется в большей степени. Таким образом, можно сделать вывод, что более привлекательным будет портфель, характеризующийся большей степенью диверсификации, что в целом соответствует общепринятой логике.

Сравнивая практические аспекты применения вероятностной модели и модели, основанной на применении нечетких множеств, на российском финансовом рынке при формировании портфеля акций, можно сделать вывод о том, что вторая модель дает более привлекательные для инвестора соотношения «доходность - риск». А в рамках сравнения инвестиционных портфелей, сформированных в соответствии с теорией нечетких множеств, более интересными с точки зрения базового для инвестора критерия «доходность - риск» будут являться более диверсифицированные портфели.

Ссылки и примечания:

1. Статья написана при финансовой поддержке ФГБОУ ВО «РЭУ им. Г.В. Плеханова».

2. Новоселов А.Л., Медведева О.Е., Новоселова И.Ю. Экономика, организация и управление в области недропользования : учебник и практикум для магистров. М., 2016. 625 с.

3. Волкова У.С. Нечеткие множества и мягкие вычисления в экономике и финансах. М., 2016. 177 с. ; Пегат А. Нечеткое моделирование и управление : пер. с англ. 2-е изд. М., 2013. 798 с.