Субиерархический метод для решения псевдодифференциального уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие

УДК 517.6

М. Ю. Медведик, И. А. Родионова

СУБИЕРАРХИЧЕСКИЙ МЕТОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ДИФРАКЦИИ В СЛОЯХ, СВЯЗАННЫХ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЕ

Аннотация. Статья посвящена исследованию краевой задачи дифракции для системы уравнений Максвелла в слоях, связанных через отверстие. Слои сформированы тремя идеально проводящими и бесконечно тонкими параллельными плоскостями. Электромагнитные параметры в разных областях могут быть различны. Используются условия Свешникова - Вернера на бесконечности. Применяется метод функций Грина для сведения краевой задачи к псевдодифференциальному уравнению на отверстии, которое рассматривается в пространствах Соболева. Данная задача принадлежит классу задач о связи объемов через отверстие. Представлены численные результаты, полученные с использованием субиерархического метода.

Ключевые слова: краевая задача, электромагнитная задача дифракции, интегральное уравнение, численный метод, субиерархический параллельный метод.

Abstract. The paper is devoted to the solvability of boundary value problem of diffraction for Maxwell equations in layers connected though a hole. The layers are formed by three infinitely thin and perfectly conducting parallel planes. Electromagnetic parameters can be different in the layers. Radiation conditions by Werner -Sveshnikov are used at the infinity. Method of Green functions is applied for reduction of boundary value problem to the pseudodifferential equation on a hole in Sobolev spaces. The problem belongs to the class of problems of connection of volumes via a hole. The numerical results are obtained by subhierarchal approach.

Keywords: boundary value problem, electromagnetic scattering, integral equations, numerical method, subhierarchal parallel method.

Рассмотрим задачу дифракции стороннего монохроматического элек-

1^0 Т?0 тр0\ тт0 /тг0 тт0 тт0\

тромагнитного поля E = I I , E2, E3 I, H = I л 1 , H2, H3 I в экранированных слоях, связанных через отверстие.

Пусть U+ ={х = |, x2, x3 ):0 < x3 < lj и U+={x = |, x2, x3):

-1 < x3 < 0j - слои, сформированные тремя идеально проводящими и бесконечно тонкими параллельными плоскостями; отверстие QcR“ '={x3 =0Jc

3

c R - ограниченная область с кусочно-гладкой границей Г = 9Q, состоящей из конечного числа простых дуг класса C , сходящихся под углами, отличными от нулевого (рис. 1). Будем решать задачу дифракции в области U* = U +иU-uQ .

Предполагается, что падающее поле E0, H0 является решением системы уравнений Максвелла [1]

rot H0 = —ю^Е0, rot E0 = /ю^Н0, x е U +, в слое U + без отверстия с краевым условием

*3 =0

Х3 =1

= 0

и создается источниками, расположенными вне Q, поэтому

Q

C “(Q).

х3 *

X 1 /

Е0, Н0 U+

/ (" Q /

/ / 0 /

U -

//-1 /

* x1 Рис. 1

x2

Поле Е0, Н0 в слое U тождественно равно нулю.

Будем считать, что среды в U + и U имеют постоянные электромагнитные параметры £ = £1, Ц = Ц и £ = £2, Ц = Ц2 соответственно, относительно которых предполагаем, что Im £ j > 0, Re £ j > 0, Im ц j > 0 ,

Re цj > 0 , kj = £jц jю2, Im kj > 0 (j Ф 0), где ю> 0 - круговая частота.

Рассмотрим случай Е -поляризации в задаче дифракции падающего поля Е0, Н0 на отверстии Q, соединяющем два параллельных слоя U + и U . Эта задача состоит в определении рассеянного Е -поляризованного электромагнитного поля Е, Н , Е = (, 0, E3 j, Н = (1, H2, 0j, удовлетворяющего:

- условию

Е, Не C2

8>0 8>0 ' '

где U = U + ^U- , Г8 :={x: |x - у| <8, у е Г = 9Qj ;

- однородным уравнениям Максвелла

rot Н = —Ю£Е, rot Е = /юцН, x е U,

где £ = £1, Ц = Ц1 в U и £ = £2, Ц = Ц2 в U ;

- краевым условиям

для касательных к поверхности идеального проводника 2 = Хо ^ ^ Х— ,

составляющих электрического поля, где

2о = {х: хз = 0, хе Я2 \ й}, Х± ={х: Х3 = ±1};

- условиям сопряжения на границе раздела сред

[ Ет]й= 0;

|я']а = "[н0 ]а

где [/]„ := Нт / — Нш /, х' = (хь Х2 )ей ;

Х3 ——+0 Х3 ———о

- условиям конечности энергии в любом ограниченном объеме

Е, Не 4с

- условиям Свешникова - Вернера на бесконечности при х е и (при

хе и+ аналогично):

• если 1т £2 > 0 или 1т ^ > 0, то

Е, Н = о

равномерно по всем направлениям х'/р и по Х3;

• если 1т £2 = 0,1т ц2 = 0, £2 > 0 и ^ > 0, то требуем, чтобы коэффициенты Фурье

0

ип

—1

для компонент и = Н1, Н2 или Е3 удовлетворяли условиям

Л

—ип -ікпип = о

2 2 2 2

при кп := к — п п > 0 (кп > 0, если к >пп и кп < 0, если к < -пп);

ип = о

при кп = 0 ;

дип

при 1т кп > 0 равномерно по всем направлениям х'/р и по п .

>

Соотношение (9) определяет условия Зоммерфельда для двумерной ограниченной области, а (10) является условием на бесконечности для двумерного уравнения Лапласа. Эти условия накладываются лишь на конечное число коэффициентов Фурье; следовательно, равномерность по п для них не требуется. Требование равномерности оценок (11) по п существенно и будет использовано ниже.

Из уравнений Максвелла (2) получаем краевую задачу для и = Е3 :

Ди + к2и = 0, х еи+(] = 1), х еи (] = 2);

ди

дх3

ди

дх3

= 0;

Х3 =±1

[е и ]0=-[£ез°Ъ ,

ди

дх3

=0

а

и е

с2 (и )р| с1 (и + \ г5)р| с1 (и- \ г§

5>0 '5>0 '

и е н/ос

со сформулированными выше условиями на бесконечности (7)-(11). Здесь Н 1ос (и) - пространство Соболева.

Для сведения краевой задачи к интегральному уравнению будем использовать метод функций Грина. Рассмотрим функцию Грина О (х, у) для

уравнения Гельмгольца для слоя и := и- . Относительно волнового числа к считаем, что 1т к > 0 и к Ф 0.

Функция Грина О(х, у) может быть представлена в следующем виде:

О( У> = 4я Х

]=-с

(к\х-у-2 ]в3\ (к\х-У +2 ]вз\

х - У + 2 ]е3

где е3 =(0,0,1).

Представление имеет смысл при 1т к > 0 и к Фкп, п еZ.

В дальнейшем потребуются свойства следа функции О при х3 = 0 и У3 = 0 . Выделим особенность при |хг - у'| —— 0 функции О(х', у'):

( I „ .а/2 ^

О| 0 = О (х', у') = ^— V

1х3 =У3 =0 у ’ 2л ^

] =-с

ехр

Iк (| х'- у'|2 + 4 ]2)'

(I х'- У12 + 4. ]2 )12

1_еік\х'-у\ +1 - е^ +1 у

2к \х- у'| + к ^ 2} + к ^

( ( ехр

ік (| х'- у'| 2 + 4 } 21

_____________________

е2 ік} ~^7

1 еік1х'-у'1

- 2- 1п

2к х - у 2к

где

здесь 1п г обозначает аналитическое продолжение вещественной функции 1п t, t > 0 на множество С \ (-/с, 0] и

В (х', у' ):= К ±

( ( ехр

і=1

ік

Л

е2ік}

~^7

Для коэффициентов Ь] (х', у') ряда В(х', у') и их производных любого порядка а по х] и у] верны оценки [6]

ОаЬ}

— Са7 , х,у є О :

— 2

равномерные на каждом компакте Ос Я .

Следовательно, мы доказали, что В є С— (2 х Я2).

Из представления (17) получаем, что функция О = О (х, у; к) аналогична по к в С+ = {к :1тк > 0} .

Обозначим через Л} (и) := {ю: є}ц}ю2 = к2п2, п є 2} , } = 1, 2, множество значений ю, при которых функции Грина О7 (х, у) не определены, Л (и ) = Л1 (и )иЛ 2 (и). Будем рассматривать краевые задачи на собственные значения относительно спектрального параметра ю в области Я+ \ Л(и), Я+ ={ю: ю> 0}.

Введем пространство распределений Соболева. Положим для любого

Й

(О) := {и\О : и є Н5 (я2 ) и Н5 (о) := {и є Н5 (я2 ): 8ирри

с О}.

Скалярная задача (12)-(16) для и = Е3 может быть сведена к интегральному уравнению на отверстии О :

А

а

где

¥

йХ3

х :=

Пусть ю^Л(и) (] = 1,2) и уравнение (21) А¥ = / имеет единственное

решение, где А : Н-12 (а) — Н^2 (а) - интегральный оператор. Рассматриваемый оператор является эллиптическим, поэтому для него справедливы основные утверждения о сходимости метода Галеркина [5].

Будем проводить аппроксимации ¥ элементами ¥п е Уп, где

Уп с Н-1/2 (а) - п -мерное пространство. Методом Галеркина находим ¥п из системы уравнений

Каждый элемент матрицы получается путем вычисления четырехкратного интеграла

А/] := |(е1О1 (((') + е2О2 У )) )] (у')) ())^ .

а

Пусть а - прямоугольная область, а = [(0,а)х(0,Ь)] . Построим в области а равномерную прямоугольную сетку:

п х ={х' Iа/ -1 < х1 < а/, Ь]-1 < х2 <Ь]};

Пу' = {у'1 а/-1 < у < а/, Ь]-1 < у2 < Ь] }, / = 1, п, ] = 1, т,

с шагом а по оси х1 (у1) и шагом Ь по оси х2 (у2).

п т

В качестве базисных функций V (х') выбираем функции вида

I 0, иначе.

Будем рассматривать семейство У^ из N = пт функций V] (х'), / = 1, п, ] = 1, т . Выбранные функции удовлетворяют условию аппроксимации в пространстве Н-1/2 (а).

Разобьем каждый элемент сетки на к прямоугольников. Внутри каждого такого прямоугольника выберем среднюю точку - точку пересечения диа-

гоналей. Интегрирование производим методом прямоугольников, суммируя значение функции во всех точках, умноженных на площадь прямоугольника. Рассмотрим отдельно интеграл, содержащий слабую особенность:

I = Г ь (х'- у' )=— Г<е-—- =

Л 7— Л х - у

, ( ікіх'-у\

1 еІ I

2к

О

Сместим элемент сетки с помощью введения новой переменной t = х' - у' (у' фиксируем). Тогда (рис. 2) ^ = х1 - у1, t2 = х2 - у2 ,

а/ -1 - у < tl < а/ - у1, Ь] -1 - у2 < t2 < Ь] - у2, йt1 = й^ , йt2 = йх2 .

Рис. 2

Вводя полярные координаты ^ =рс08 ф, t2 = Р8Ш ф, йtlйt2 =рй рй ф, получим

11 = Гь1 (х'-у') =2- Г Г | / ' йх'йу = 2- Г йу' Г |'1 '|йх'=

2— х - у I 2— Л -1 1х - у I

п ,п ,I '

О

П х' П у'1

2к •> 'їх - у I

П у' П х 1 ^ 1

4 Фг+1

іі І І р^ф.

Пу П

П у' і=1 Фі

Здесь Пх = {аг-1 < х1 < аі,Ь}-1 < х2 < Ь} }

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

п ={а/-1 -у < tl <а/ -Уl,Ь]-1 -у2 < ь <Ь] -у2}, / =1 n, ] =1,т;

Р1 (ф)= , Р2 (ф)= }. у2 , Р3 (ф) = ^ 1 у1

С08 ф

ф1 = ф5 = -аг^

81П ф

Ь]-1 - у2

а/ - у1

С08 ф

, ф2 = аг^

, Р4 (ф) =

Ь]-1 - у2 .

81П ф

Ь] - у2 а/ - у1

—

ф3 = ^+агс1§

а/-1 - у1

, ф4 = — + aгctg

Ь] -1 - у2 а/ -1 - у1

Тогда внутренний интеграл вычисляется следующим образом:

4 Фг+1 ф2 ф3 и - у

V Г р/йф= Га у1 йф+ Г 1 2

'—‘л •> С08 ф •’

/=1

ф1

ф1

ф2

81П ф

ф4 ф5 Ь - у

, г а/ -1 - у^ г Ь]-1 -2 ,

йф+ I ——--------— йф+ I -------йф =

* С08 ф *

ф3

ф4

81П ф

ф2

ф1

ф4

ф3

ф2

ф3

ф5

ф4

Решая систему линейных алгебраических уравнений, например, методом сопряженных градиентов получаем решение задачи дифракции на отверстии прямоугольной формы.

Субиерархический параллельный вычислительный метод

Численное решение поставленной задачи для апертуры прямоугольной формы строится с помощью метода Галеркина. Рассмотрим алгоритм построения решения задачи дифракции в экранированных слоях, связанных через отверстие произвольной формы. Будем предполагать, что решение задачи для экрана прямоугольной формы получено и в нашем распоряжении находится матрица, составленная методом Галеркина. Для решения задачи дифракции на отверстии сложной формы необходимо, чтобы поверхность сложной апертуры целиком принадлежала посчитанному ранее прямоугольному отверстию [2-4]. Предлагаемый метод позволяет получить матрицу для новой фигуры с использованием матрицы, составленной для прямоугольного отверстия. Скорость построения новой матрицы будет напрямую зависеть от размера апертуры и количества вершин в сетке. На рис. 3 это рассматривается на примере одной фигуры, описываемой двумя разными сетками. Слева находится фигура, в центре приведен пример менее оптимальной сетки, справа построена более оптимальная сетка. С точки зрения скорости счета правая сетка предпочтительнее.

В построенной фигуре введем новую нумерацию вершин. Произведя полный перебор вершин, получаем новую сетку. Эту сетку будем использовать для расчета поля на отверстии сложной формы.

Рис. 3

Параллельный подход

Рассматриваемая задача требует составления матрицы как можно большего размера, что требует больших затрат времени. Для минимизирования временных затрат максимально упростим в решаемой задаче процессы, связанные с составлением матричного уравнения. Наиболее естественным подходом, упрощающим решение задач, является использование матричной симметрии. За счет этого время, потраченное на составление матрицы, можно сократить в два раза. Значительно сокращается время составления матрицы при использовании внутренней симметрии матричных элементов. Матрица, полученная по алгоритму метода Галеркина, является теплицевой. Субиерар-хический подход в подобных задачах позволяет избавиться от лишнего счета матричных элементов и использовать ранее насчитанные матрицы. Еще один подход при минимизации временных затрат связан с использованием параллельных вычислений. В представленной задаче каждый элемент матрицы формируется независимо друг от друга, поэтому можно рассчитать элементы матрицы на нескольких процессорах или кластере. Матрица для рассматриваемой задачи с использованием сетки 128^128 носителей была рассчитана на кластере НИВЦ МГУ. Решение СЛАУ осуществлялось методом сопряженных градиентов.

Результаты расчета

Приведем результаты расчета решения интегрального уравнения для нескольких апертур сложной формы. Графики (рис. 4-8) состоят из двух рисунков. Левый рисунок отвечает за форму апертуры и ее положение на сетке. Правый рисунок отображает значения модулей решения интегрального уравнения.

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Все численные результаты, представленные в статье, полученны для апертур сложной формы и составлялись с использованием матрицы, рассчитанной для задачи прямоугольной формы. Размер сетки для задачи прямоугольной формы составляет 16^16 носителей.

Рис. 8 Список литературы

1. Ильинский, А. С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. - М. : ИПРЖ «Радиотехника», 1998.

2. Медведик, М. Ю. Параллельный алгоритм расчета поверхностных токов в электромагнитной задаче дифракции на экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, С. И. Соболев // Вычислительные методы и программирование. - 2005. - Т. 6. -С. 99-108.

3. Медведик, М. Ю. Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм и сходимость метода Галеркина в задачах дифракции электромагнитного поля на плоском экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 2004. - № 5. - С. 3-19. - (Естественные науки).

4. Медведик, М. Ю. Численный метод решения псевдодифференциального уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие / М. Ю. Мед-ведик, И. А. Родионова, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 1. - С. 87-99.

5. Смирнов, Ю. Г. Проекционные методы / Ю. Г. Смирнов. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1998.

6. Morgenrother, K. On the instability of resonances in parallelplane waveguides / K. Morgenrother, P. Werner // Mathematical Methods in the Applied Sciences. -1989. - V. 11. - P. 279-315.

Медведик Михаил Юрьевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

Medvedik Mikhail Yuryevich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

E-mail|: _medv@mail.ru

Родионова Ирина Анатольевна

кандидат физико-математических наук доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенский государственный университет

E-mail: mmm@pnzgu.ru

УДК 517.6 Медведик, М. Ю.

Субиерархический метод для решения псевдодифференциального уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие /

М. Ю. Медведик, И. А. Родионова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 3 (11). -С.59-70.

Rodionova Irina Anatolyevna Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University