Параметрический анализ высокочастотного разряда низкого давления

УДК 537.523.74

А. Ф. Пискунков, В. А. Рябый, А. П. Кирпичников, И. В. Кравченко

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО РАЗРЯДА НИЗКОГО ДАВЛЕНИЯ

Ключевые слова: высокочастотный разряд низкого давления, плазма, физико-математическая модель.

Предлагается физико-математическая модель ВЧ разряда низкого давления с токовым слоем, формируемым магнитной «ударной» волной, движущейся в плазме от границы с цилиндрическим индуктором. Проводится сравнение полученных параметрических расчетов ВЧ разряда с результатами экспериментов.

Keywords: Low frequency RF discharge, plasma, physico-mathematical model.

Physico-mathematical model has been proposed for a low pressure RF discharge with a current layer formed by a magnetic "shock" wave that moves into plasma from a cylindrical antenna coil boundary. Corresponding calculation results for RF discharge parameters are compared with experimental data.

Физико-математическая модель разряда

Электрический контур ВЧ разряда включает подвижный токовый слой и скин-слой на границе плазмы. Токовый слой представляет магнитоэлектро-статическую ловушку, в которую захватываются электроны с малыми пинч-углами. Эти электроны ионизируют атомы газа. При движении слоя в нем индуцируется электрическое поле, поддерживающее ток.

Омические потери энергии в подвижном токовом слое компенсируется в механизме аннигиляции магнитного поля. Подвижный токовый слой формируется под действием эффекта Холла, стационарный пограничный скин-слой существует в условиях бессилового магнитного поля. Токовые слои формируются в виде одновитковых спиралей с генерацией азимутального поля. Токи скин-слоя и подвижного слоя замыкаются через торцевые области плазмы.

При оптимальной частоте генератора магнитное поле определенного знака заполняет разрядный объем в течение полупериода поля и потом замещается полем противоположного знака.

Определение скорости конвективной диффузии магнитного поля в плазме

Из уравнения индукции

— + rot—\lB\ = -rot

dt пр v J

1

пе

где В - индукция магнитного поля, 3 - плотность тока, п - концентрация замагниченных электронов, е - элементарный электрический заряд, б - проводимость плазмы.

При кривизне силовых линий магнитного поля следует[1]

Тогда последнее уравнение можно привести

к виду

дЬ идФЯпе^ J Эй стд

где Ф - угол между касательной к спиральной кривой и радиус-вектором.

В пренебрежении диффузионным членом

dt OR

При этом скорость конвективной диффузии

12 1 и = --—В=уВ.

ЬдФЯпе^

Тангенс угла tgФ можно приближенно вычислить, принимая электрическое поле Е^

Еф~— = —; ^=СдФ = шнте,

V пе

где а =--проводимость, да-масса электрона, V ,-

еВ

частота столкновений; шн =--циклотронная частота; те - время столкновения.

Среднее значение квадрата плотности тока внутри подвижного токового слоя толщиной 21 приближенно равно [2]

72 - —1.

_ 2 дГ

Скорость омической диссипации должна быть равна потоку Пойтинга

+

dt пед L J стд

где ^ - магнитная постоянная.

В рамках одномерной задачи

где R,z,p - пространственные координаты.

откуда

и = .

Полуширину токового слоя l можно оценить, приравниванием выражений для U с усреднением величины обратного радиуса на радиусе камеры R0

1 _ 1 rR0 dR R Rn^l R '

Определение магнитного поля в плазме

Интегрируя уравнение конвективной диффузии магнитного ВЧ поля В = В0 зто^по/ с условием В = 0 при Ь = 0 и Я = Д0, получим

= о.

Магнитная энергия поступает в область плазмы с координатами (Я, /) в механизме конвективной диффузии и аннигиляции поля, заполнившего разрядный объём в предыдущем полупериоде ВЧ поля. Умножая выше, приведенные уравнения на Я и интегрируя, получим

гко и гг/2

I В2 (Я, t/ ¿Я- - I В2М = и\ В2л (И = J0 2 J0 J0

= ВпЛЯ0, где Т -период ВЧ поля.

т

При условии йЯ = ийЬ, и~ = Я0 получим оценку магнитного поля в плазме Впл = 0,45 В0.

Определение концентрации плазмы в разряде

Замагниченные электроны в объеме плазмы внутри подвижной спирали создают магнитный момент, который должен быть скомпенсирован магнитным моментом тока /пл в слое [3]:

вений с частотой V. Концентрацию захваченных электронов пз можно определить из уравнения баланса частиц в слое пви = 2пз VI.

Используя выражение для и = и(а1),шн = = шн(В), В= , можно получить пз = 1,5пеН.

Эти электроны оставляют слой, формируя магнитный момент плазмы ппл = пз.

Описание столкновительных процессов в токовых слоях

Оценка частоты столкновений в пограничном скин-слое. Конвективный перенос магнитного поля доминирует над диффузионным, когда эффект Холла является определяющим в обобщенном законе Ома. Такой перенос поля определяется электронами, в которые «вморожено» магнитное поле. Поэтому режим стационарного пограничного токового слоя возможен в условиях бессилового поля, которое реализуется в спиральных линиях тока.

Линии тока в двухмерном приближении задаются в виде

Яйф _ йг

](р ]г

Интегрируя уравнение для одновитковой спирали (Д^~2п) получим

}<р

2жЯ/Н

Из условия для бессилового поля

где Впл = 0,45Во,Во = ; К - постоянная Больц-

мана; Те - температура электронов плазмы; 10 - ток индуктора; N - число витков индуктора; Н - высота индуктора; ппл - концентрация электронов с «вмороженным» магнитным полем, /пл = М/0, откуда следует

/02 = 50уКТеН,

где у = ппл10"17, КТе - энергия электронов.

Радиус орбиты электрона, который может быть захвачен в магнитную «яму» должен быть меньше полуширины слоя. При этом предельный угол вт между вектором скорости электрона и вектором магнитного поля

а н

где V - скорость электрона.

Концентрацию электронов пв с «вмороженным» магнитным полем можно вычислить с мак-свелловским распределением частиц по скорости с ограничением по углу вт

п„ =

0,5 (¡шн)2 'т

2КТ,

Эти электроны со скоростью токового слоя и могут быть захвачены в магнитную «яму», часть из них покинет слой в результате атомных столкно-

rotB =nJ = аВ. Можно получить

Jt =-rotB\=-У-.

Jt м |z м5ск

С использованием полученных соотношений получим:

Откуда размер скин-слоя равен

5ск =—. Величину а оценим из уравнения Фарадея

дБ

rotE = -—dt

или

( а ( а \ _ дВ

(— В) = а[ — )В = -—. ) Уу.а/ ot

J (а rot— = rot I — a

Принимая ШВ (a) - частота поля ге-

нератора) получим

a = УаЦш ,

2nR/H

J?

Оск =

Поэтому эффективная частота столкнове-

] = -Н = аиВпл2пМ.

рЭф = р(2 пЯ/НУ.

При описании столкновительных механизмов в слое предполагалось, что перенос тока осуществляется электронами низких энергий, для которых радиусорбиты соизмерим с размерами скин-слоя. Для таких электронов становятся преимущественными кулоновские столкновения (р = Ркул).

Описание столкновительного механизма в подвижном токовом слое. Проводимость части электронов в магнитном поле может быть описана как проводимость в направлении электрического поля и перпендикулярно магнитному [4]. Такую проводимость без описания конфигурации магнитной ямы оценить нельзя. Примем в качестве основного столкновительного механизма рассеяние электронов на атомах. Поправку £ к частоте атомных столкновений уеа можно получить с использованием экспериментальных значений частоты ВЧ поля.

В условиях резонанса при частоте / поля генератора

и = 2Д0/ = —.

Принимая а = у; ^ф = 1^; кеа =

vэф

= 106а; а = па 10"19;

у = 1,5Ну;

у = пе10~17; Ра = — 10"3мбар,па центрация атомов, получим

- кон-

Г = 102Ь(±)~Ь

й0 \еу) й0

Такая зависимость оптимальной частоты генератора от давления газа Ра и радиуса устройства подтверждена экспериментально [5].

Для случая До~0,1 м; Ра~10_3мбар;/~2 • 1061г поправка равна ^=6.

Определение оптимального отношения радиуса устройства к его высоте

Отношение ^ будет определено из условия прохождения тока в подвижном слое.

Из уравнения Фарадея следует

го£Я =--,

де

откуда электрическое поле Е

£<р 1 э*.

С использованием уравнения индукции в

дв пдв С ПТУ

виде получим Е^ = иВПЛ

Усредняя отношение — по радиусу, получим

Ко ~1 Н '

Определение ширины спирального пограничного скин-слоя

Используя различные выражения для тока, получим соотношение

-# = аЕ(р8скК = аи>В-8скК,

и 2

где Н, И - высота индуктора и ширина токового слоя.

Откуда следует

Оценки для Д0 =0,1 м и различных давлений в разрядной камере дают для Ра~ 10_3мбар — = = 0,4; для Ра~50"3мбар^ =0,7.

Определение потерь мощности в разряде

Изменение во времени индуктивности Ь разрядного контура можно оценить, принимая —к2^ и вычисляя

дъ „ ип„

-=2щг— —

Оценку проведем для Р0 ~0,1 м, частоте /~2 • 106 1/с и и = 2Р/ = 2 • 105 м/с.

Тогда эквивалентное сопротивление

Р, = — = 1,6 Ом.

Таким образом, индуктивная связь индуктора с плазмой не является только трансформаторной.

Ионный ток на стенке камеры площадью оценим в виде = 25у5 А.

Используя соотношение из /о = 50НуКТе,у= 1,5Ну, оценим потери энергии (с ионом и электроном теряется энергия ~ 30 В) в виде Wi~750yS и эквивалентное сопротивление

Рь=^ 100^(1+-^).

" ко

Так для Р~Н~0,1 м имеем Рь = — Ом. Это

кте

сопротивление приведено к первичному контуру.

Определение цены иона

Цену иона Ц определим как потери энергии в разряде И^, отнесенные к ионному току

= аЕ<р =аивпл.

Используя различные выражения для тока разряда, получим

где 11 = 25у5 = ;5;8=2тгй02 (1 + у = ^;

/02 = 50НуКТе,

тогда

Ц =

Й 1,кте

денные в [5] экспериментальные значения давления занижены. Это возможно, т.к. прямые измерения давления в разрядной камере отсутствовали.

Проблема организации замкнутого тока в плазме

В рассматриваемой модели предполагается, что замыкание токовых слоев происходит по торцам цилиндрического разрядного объёма. Разрядная область вблизи эмиссионного электрода может шунтироваться электродом. Если на другом торце камеры токовый контур замыкается через плазму, то это приводит к дополнительным потерям.

Эксперименты показывают, что эффективность ВЧ разряда улучшается с использованием полусферической разрядной камеры [6, 7]. В настоящем расчетом исследовании эти потери не учитывались.

Альтернативным вариантом конфигурации разрядной камеры с полусферической камерой может быть использование на торце цилиндрической камеры проводящей сетки. Целесообразность электрического соединения этого дополнительного электрода с эмиссионным должна быть исследована.

Таким образом, физико-математическая модель ВЧ разряда низкого давления имеет следующие особенности:

- контур тока в плазме включает стационарный скин-слой у индуктора и токовый слой, движущийся с конвективной скоростью к оси цилиндрического разряда;

- магнитная связь между контуром тока и индуктором не является полностью трансформаторной;

- омические потери в подвижном токовом слое компенсируются в механизме анигилляции магнитного поля в плазме изменяющего знак в течение каждого полупериода ВЧ поля;

- аналитическая модель ВЧ разряда сформулирована для случая резонанса, когда изменение полярности поля в объеме плазмы согласуется с изменением полярности импульса ВЧ поля;

- подвижный токовый слой является магни-тоэлектростатической ловушкой для электронов с малым углом между вектором скорости электрона и вектором магнитного поля;

- процессы переноса в токовых слоях описаны с помощью столкновительных механизмов с использованием усреднённых параметров плазмы по времени импульса ВЧ поля и пространственным координатам.

Сравнение результатов параметрических зависимостей с результатами экспериментов

Расчетные значения потерь мощности в разряде, отнесенные к площади поверхности разрядной камеры, в зависимости от давления аргона и диаметра камеры приведены на рис. 1.

Эти значения качественно согласуются с результатами экспериментов [5], приведенных на рис. 2. Принятые в расчетах значения диаметра камеры несколько отличаются от экспериментальных. Количественное совпадение расчетных и экспериментальных значений потерь улучшается, если приве-

ь

X

О  ¡1=0,2 м, \ =10 мА/см"

- <1=0,4 м,].=ШмА/см2

$ -<И),2м,|=2мА/см2

0 -<Н),4м,}=2мА/см:

43..

-3,0 -2,8 -2,6 -2,4 -2,2 -2,0 /£

Рис. 1 - Расчетные значения потерь мощности в разряде

1,5

1,0

0,5

0,0

О -<Н),1 ш; 1|=10мА/см (1=0,1 т;1|=2иА/сн2

гФ

(1=0,35 т:1|=5мА/™'

а---<М35ш;1~2мА/см

4

-3,6 -3,2 -2,8 -2,4 -2,0 -1,6 -1,2 ЫР&, мбар)

Рис. 2 - Экспериментальные значения потерь мощности в разряде

На рис. 3 приведены зависимости значения цены иона от давления аргона для различных диаметров разрядной камеры. В [5] приводятся экспериментальные значения цены иона ~ 600 эВ/ион для диаметра камеры 0,2 м и ~ 400 эВ/ион- для диаметра 0,4 м. Величины давлений при этом не приводятся. Если эти результаты относятся к оптимальным для каждого диаметра камеры значений, то согласие расчетных и экспериментальных значений цены иона удовлетворительное.

Расчётные значения температуры электронов приведены на рис. 4.

В работе показано, что оптимальное значение частоты генератора пропорционально радиусу

разрядной камеры в согласии с экспериментом [5]. Предложена целесообразная схема электронов в разрядной камере.

1200 1000

i

с

ч

X

л

200 0

1 0 - d=0,2 m  -d=fl,4M

\ \ \

\ \ \ \

\ 4 4

\ \ >

1 "" — i )

1 1 .....f !

3,0 -2,8 -2,6 -2,4 -2,2 -2,0 №,мбар)

Рис. 3 - Расчетные значения цены иона Выводы

Предложена модель высокочастотного цилиндрического разряда низкого давления. Рассчитаны потери мощности, цена иона и температура электронов в разряде при различном давлении аргона и радиусе разрядной камеры. Модель удовлетворительно описывает известные качественные зависимости энергетических характеристик разряда от его внешних параметров. Описаны возможные механизмы формирования оптимальной частоты ВЧ генератора и отношения высоты разрядной камеры к ее радиусу.

Показана целесообразность модернизации конфигурации разрядной камеры.

Работа выполнена в рамках гранта Правительства РФ по государственной поддержке научных исследований, проводимых под руководством ведущих зарубежных учёных, от 25 ноября 2010 г. № 11.G34.31.0022.

Рис. 4 - Расчетные значения температуры электронов

Литература

1. А.С. Кингсеп, К.В. Чукбар, В.В.Яньков, Электоронная магнитная гидродинамика. В сб. Вопросы теории плазмы. Энергоатомиздат, Москва,. 16. 209-250. (1987).

2. Э Прист, Е Форбс, Магнитное пересоединение. Физ-матлит, Москва, 2005. 592 с.

3. Г. Альвен, Космическая электродинамика, 1967.

4. Н.Кролл, А.Трайвелнис, Основы физики плазмы. Мир, Москва, 1967. 525 с.

5. H.W. Loeb, J. Freinsinger, andK.H. Groh. IAF-90-231. 41stIAFCongress, Dresden, 1990.

6. H.J. Leiter, D. Feili, RIT15S -ARadioFrequency Ion Engine for High Specific Impulse Operation. 37th AIAA/ASME/SAE/ASEE Joint Propulsion Conference/ AIAA 2001-3491.

7. М.Н. Булаева, А.П. Кирпичников, И.В. Кравченко, Х.В. Лёб, П.Е. Машеров, В.А. Рябый, Д.П. Ткаченко, Вестник Казан. технол. ун-та, 15, 18, C. 69-73 (2013);

© А. Ф. Пискунков - кан. физ.-мат. наук, начальник отдела научно-исследовательского института прикладной механики и электродинамики Московского авиационного института (национального исследовательского университета), riame@sokol.ru; В. А. Рябый - кан. техн. наук, с.н.с. научно-исследовательский институт прикладной механики и электродинамики Московского авиационного института (национального исследовательского университета), riame@sokol.ru; А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, проф., зав. каф. ИСУИР КНИТУ, kirpichnikov@kstu.ru; И. В. Кравченко - кан. техн. наук, доцент факультета «Двигатели летательных аппаратов», Московского авиационного института (национальный исследовательский университет), irina_kravch@mail.ru.

© A. F. Piskunkov - associate professor, Moscow Aviation Institute, riame@sokol.ru; V. A. Riaby - associate professor, Moscow Aviation Institute, riame@sokol.ru; A. P. Kirpichnikov - Prof. KNRTU, kirpichnikov@kstu.ru; I. V. Kravchenko - associate professor, Moscow Aviation Institute, irina_kravch@mail.ru.