О пластинчатых системах, взаимодействующих с упругой средой при больших перемещениях

Расчет тонких упругих оболочек

О ПЛАСТИНЧАТЫХ СИСТЕМАХ , ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С УПРУГОЙ СРЕДОЙ ПРИ БОЛЬШИХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ

С.П. ИВАНОВ, д-р, техн. наук, проф. А.Ф. ЭРСКИЙ, аспирант.

Марийский государственный технический университет, г. Йошкар-Ола

1. Введение. В работе предлагается методика расчета пластинчатых систем на упругом основании при перемещениях, сравнимых с толщиною пластин, составляющие эти системы. Имеется достаточно большое число публикаций, связанных с расчетом плит на упругом основании. Незначительное количество работ имеется по методике расчета призматических систем, контактирующих с упругой средой. Плиты и пластинчатые системы, взаимодействующие с упругой средой при наличии физической нелинейности рассматривались в работах [1, 2]. Практически не встречаются, насколько нам известно, публикации, связанные с определением напряженно-деформированного состояния в упругой среде пластинчатых систем типа призматических оболочек, имеющих большие перемещения. Такие случаи могут возникать когда системы являются большепролетными или подвергаются воздействию больших нагрузок. Известно, если деформируемая упругая среда небольшой толщины или является несвязанной, то ее можно вводить в расчет в виде винклеровской модели. Более совершенной моделью является, когда упругая среда принимается в виде слоя конечной толщины [3].

2. Дифференциальные уравнения равновесия. Принимаем, что материал пластинчатых систем подчиняется закону Гука. Учитываем гипотезы Кирх-гоффа-Лява. Запишем известные соотношения между деформациями и перемещениями при геометрической нелинейности в неявной форме:

£Х ~еХ ~ 2Хх ~ еХ + ех ~~ 2Хх' = ~ - е$ + ~ 2Х^ , . ,

0 1

ЕХЗ ~ еХЭ ~ ^ 2ХхХ ~ еХ5 + ехэ ~ ^ХхЭ'

где

0_ди о_д\ о_ди д\\ 1 _ 1 дн> 2. 1 _ 1 2

ох дя дх дх 2 дх 2 ш

11 1

I _дн> дю д м> д д м>

ехэ ~ ' Хх ~ _ у ' Х$ _ •) ' Ххз ~ ~  дх <3.9 дх дэ охд$

Величины и, v, м> - соответствуют компонентам вектора перемещений точки К срединной поверхности пластинчатой системы в продольном х, поперечном 5 и нормальном г направлениях (рис. 1).

Запишем выражения внутренних усилий - изгибающих моментов Мх, М% соответственно в продольном, поперечном направлениях, крутящих моментов МХ8, продольных сил 7УХ, А^ - в направлениях х и л, сдвигающих сил А^: мх = -0(ХХ+УХ5); М = мх, = -Д1-

Мх = Ко[ е°х + 4 -

где Э = Е8Ъ/[12(1 - V2)], К0 = Еб/ (1-^2),£иО - соответственно модуль упругости и модуль сдвига материала пластинчатой системы, V - коэффициент Пуассона, д - толщина элементов пластинчатой системы.

Двумерную задачу сведем к одномерной, выражая перемещения в виде разложений [3]:

<Л — ЧГ/У I »Лал/СЛ-

- 'ТГ/, (у\Ш.

~ К\" 'У К /»

й

Здесь и\х), Ук(х) и кГ(дл) являются обобщенными перемещениями и определяются из решения задачи, а ¡//Да) и /«/.у) - координатные функции, которые выбираются по виду деформированного состояния системы. В дальнейших преобразованиях переменные, указанные в скобках при функциях будем опускать.

Рис. I. Схема пластинчатой системы в упругой среде

Полагаем, что прогибы элементов пластинчатой системы совпадают с осадкой упругой среды. Запишем полную энергию для системы, которая состоит из работы внутренних, внешних сил и отпора упругой среды

я=Я

5 X

~(МхХх + М5Хз +2МхзХх* + Кхех + +

+ ^А) + Я хи + Я*V + <7г Учитывая условия совместности деформаций в местах соединений пластинчатой системы, можно принять при с1 = к

т, = ук.

Углы между пластинами системы учитываются при выборе координатных функций.

Используя соотношения (3) и (5), определим минимум функционала (4), составляя уравнения Эйлепа-Лагранжа [4]:

с1 №

дР

= 0;

+

с{ ар

ж

= 0,

йх ди, х Эи, " с!х2 дУкхг сЬсдУкх игк

где Р - подынтегральная функция (4), а индексы после запятой в (6) и в дальнейших преобразованиях будут указывать на дифференцирование по данным переменным.

Полагаем, что прогибы пластин пластинчатой системы совпадают с осадкой упругой среды. Развернув уравнения (6), и присоединив работу реактивных

давлений упругой среды [3] соответственно в продольном и нор-

мальном направлениях:

еГ = : 0уосн' =2ЕРМП-Х*МП,

1 к к

получим систему обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений

равновесия пластинчатой системы в упругой среде:

= Ф-п

{ (' к

- ПТем\Шх+Шк -~^а1гк)1\хх -

к к -  • -

-Г\ТЧкУк +1сыи1Х =Фь к /

где коэффициенты уравнений имеют следующий вид:

аЛ = Ь Ъп =

% - № с}к = К,¿Ф

5 5

гИк = екк = \Jfhfkds ткк -

5 5 .5

Ьц = Ъ}1 укк - Гкк +~рцк;

5

= (1 + ); X. = ^^;./ = /12;

о Г,„ „.!.,. „о __ ВД*

а ;; =

¡т<1*; р1 = \fJhds-,

р 2(1 + ио)Нт;т<г'- г"л 12(1 + Цд)^"

где 0 < кх < 1 - коэффициент, учитывающий трение упругой среды с оболочкой, принимается по [5]; Ео, % Нт - соответственно модуль деформации, коэффициент Пуассона, толщина сжимаемого слоя упругой среды.

Свободные члены и определяют работу внешних сил на возможных перемещениях:

<2, =

Выражениями Ф,и Фнучитывается геометрическая нелинейность задачи:

5 к к к к

фн= ~У\ ¡[Ци^пТ ук,х/кЛ + 5 ' к

г Л 2

- +1Ук,хх¥кЦУк + * к к к

+ I ¥к,х/к I I Ук.х/к 3 + X ОС 5 )2 -к к к к к

- \(Ук,ххГкЪУк/к 5 + 1Ук,х/к1П,х/к + 5 к ' к к

; / к И к ¿к

В оболочках средней длины можно принять коэффициент е^ 0, тогда порядок системы уравнений значительно понизится.

3. Анализ результатов расчета. В качестве примера выполнен расчет замкнутого сечения призматической системы, находящейся в упругой среде под действием крутящей нагрузки, создаваемой равномерно распределенной нагрузкой приложенной по ребрам вдоль оболочки (рис. 2). Торцами оболочка опирается на диафрагмы, которые считаются абсолютно жесткими в своей плоскости и гибкими из плоскости.

Рис. 2. Схема поперечного сечения оболочки и прикладываемой нагрузки в упругой среде

Перемещения любой точки пластинчатой системы согласно (3) представим следующим образом:

u(x,s) = U](x)<p[(s);

v {x,s) = Vl

w(x,s) = Wl (х)/, (s) + W2(x)/2(s).

Координатные функции ^i(s), у/|(л), щ (s), f\(s),f2(s) даны на рис. 3.

При обходе контура по часовой стрелке, начиная с левого верхнего угла, аналитические выражения координатных функций имеют вид: от депланации контура (р, (s) = z(s) y(s), от поперечного перемещения

¥\is) = h(s); V2(s) = z\s)y(s) + z(s) y\s),

от поворота сечения /, = s от обобщенной деформации контура

§: V,

72 =П-0.2--)s +

0.6

,2-

0.4

а + Ь а + b а

а

2

7

5 —

ав/4

А =(1 + 0.2--)S-

0.6

a + b a + b

s +

0.4

b(a + b)S 2

3/- a , u.o 2 0.4 3 a

A =-fl t 0.2-)s +-s---

a + è a + è a(a + b) 2

4, / , b . 0.6 о 0.4 3 b Y =/-1 + 0.2-)s----s +- .

2 л A-h il A- hi h/n + hi ?

'\" • -y

is)

ав/4

в/2 \J

WI

ы Vifs) \ йг

-f —

«/2 в/2

л/7

-- Ф УГЧт

H ï ч*2\ лJ v^i

ÏL

в/2

Ш7,

IL

il

Рис. 3. Схемы эпюр координатных функций

Приняты следующие обозначения: Йф) - длина перпендикуляра, опущенного из центра 0 на соответствующую сторону плоской системы;

» »

у (.у) = с/у / ¿¿у; 2 (я) -йг! ск. Дифференциальные уравнения вида (7) для данной призматической системы записываются следующим образом при <?, ,=0:

... лг, ,2у w/ iiL_(

2Г

2Г

= фЛ,

Коэффициенты и правые части уравнений определяются соответственно по формулам (8) и (9) при i,j = 1 ; к, h = 1, 2.

Нелинейные дифференциальные уравнения (12) решались численным методом Рунге-Кутта на ПЭВМ по составленной программе. Для определения недостающих начальных условий краевой задачи применялся итерационный метод типа Ньютона.

На рис. 4 представлен один из характерных графиков напряженно- деформированного состояния оболочки - изменение относительной величины деформации V2 = V2 ! S контура поперечного сечения в середине пролета в зависимости от изменения действующей нагрузки Q = q/GÔ при следующих данных: а/Ь = 1,5; S/a = 1/48, а/Н 2,4; v0= 0,3; v = 0,3; ks = 0,8. Величина сжимаемого слоя во всех направлениях принималась одинаковой Нт = H.

Результаты расчета показывают, что упругая среда и учет геометрической нелинейности значительно снижают величину деформации контура. В ча-

стности, при Q = 0,003 значение деформации контура, полученное по линейной теории (см, прямую 3) с учетом упругой среды совпадает с результатом, полученным по нелинейной теории без учета упругой среды (см. кривую 2).

/ / ^ /j " 1 1 /

" T ' i / /// // / П/ /i /

i / ____4 //// •' / / Y

/

v¿

0 2 А б 3 Рис. 4. Графики изменения относительной величины деформации контура

поперечного сечения: 1,2- соответственно по линейной и нелинейной теории без учета упругой среды (Eq/E = 0); 3, 4 - соответственно но линейной и нелинейной теории с учетом упругой среды при Eq/E = 0,001

Таким образом можно сделать следующее заключение, что данная методика позволяет рассчитывать пластинчатые системы в упругой среде при наличии больших перемещений, если достаточно точно определяются модуль деформации Е0, коэффициент Пуассона v0 и толщина сжимаемого слоя Нт среды.

Литература

1. Иванов, С.П. Расчет физически нелинейных пластинчатых систем, взаимодействующих с упругой средой / С.П. Иванов, О.Г. Иванов // Журнал РАН: Механика композиционных материалов и конструкций М., 2005. -Т.11, №1, - С. 146-155.

2. Иванов, С.П. Пластинчатые системы в упругой среде / С.П. Иванов, О.Г. Иванов. - Йошкар-Ола: МарГТУ, 2008. - 164 с.

3. Власов, В.З. Тонкостенные пространственные системы/ В. 3. Власов. М.: Гос-стройиздат, 1958. 502с.

4. Смирнов, В.И. Курс высшей математики / В. А. Смирнов. - М. - Л. : ГИТЛ, 1957. -627 с.

5. Леонтьев, H.H. Расчет тонкостенных пространственных систем, взаимодействующих с упругой средой / Н. Н. Леонтьев, А. Н. Леонтьев, Бен Хелал Монсеф // Теоретические и экспериментальные методы исследования прочности и жесткости элементов строительных конструкций. - М.: МГСУ, 2001. - С.46-50.

ON LAMELLAR SYSTEMS, INTERACTING WITH THE ELASTIC MEDIUM UNDER BIG LOADS.

S.P. Ivanov, A.F. Erskij

This work offers the calculation strategy for lamellar systems on the elastic foundation during the deformations, compared with thickness of plates which form these systems. As an example, the closed section calculation of the prismatic system in the elastic medium under the action of torsion force, produced by the uniform load on edges along the casing is presented.