Полумарковские модели систем с нечеткими параметрами

воздушной обстановки приводят к возникновению в системе информационных потерь и формированию неадекватного отображения. К информационным потерям относится информация, как потерянная в ходе формирования отображения, так и ложная, искаженная и не удовлетворяющая требованиям потребителей. Информационные потери, неадекватность отображения как результат функционирования являются проявлением объективно существующей неопределенности процесса отображения, связанной с совокупностью реализованных в системе средств и способов описания, преобразования и представления информации, их возможностями по обеспечению ее соответствия воздушной обстановке во всем диапазоне условий ее изменения и представления потребителю в требуемом виде. Информационными потерями удобно характеризовать степень недостижения цели функционирования системы. С учетом комбинированного характера неопределенности и доминирования при отображении в информационной системе логико-лингвистического характера ее представления [2] подмножество информационных потерь можно описать нечетким подмножеством

Бу={Ьу, ц

Таким образом, нечеткое подмножество Бу представляет собой некую характеристику степени недостижения цели функционирования информационной системы. В соответствии с этим количественную характеристику нечеткого подмножества Бу, а именно его мощность, можно использовать в качестве характеристики степени

недостижения цели функционирования информационной системы. Для удобства использования подобной интегральной характеристики целесообразно рассчитывать относительную величину показателя информационных потерь:

Ьпотерь=F

Предлагаемый показатель обладает свойствами физического и функционального показателей. Он рассчитывается с использованием результатов непосредственных измерений, полученных, например, в тестовом режиме, дает возможность локализовать элементы системы, на которых происходят недопустимые потери. Отражая степень недостижения цели, этот показатель позволяет оценивать вклад информационной системы в над-систему и может использоваться в качестве обратной связи при адаптации системы к состоянию среды. Кроме того, использование сформированного на основе этого показателя критерия минимума информационных потерь позволяет вполне целенаправленно проводить проектирование информационной системы, а с помощью полученного на этапе разработки количественного значения критерия осуществлять сравнительную оценку эффективности системы в ходе применения по назначению в местах дислокации.

Литература

1. Гафт М.Г. Принятие решений при многих критериях. М.: Знание, 1979.

2. Агрегирование информации о воздушной обстановке: монография / С.А. Семенов [и др.]. Тверь: ВА ВКО, 2008.

3. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. М.: Мир, 1978.

УДК 004.8

ПОЛУМАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ С НЕЧЕТКИМИ ПАРАМЕТРАМИ

С.И. Глушко

Рассмотрены ограничения на существующие подходы к построению и использованию нечетких полумарковских моделей для анализа процессов функционирования систем. Выделены и описаны основные классы нечетких функций, которые целесообразно использовать в качестве нечетких отображений при построении полумарковских моделей систем с нечеткими параметрами. Представлен универсальный подход к анализу нечетких полумарковских моделей как с четкими, так и с нечеткими параметрами.

Ключевые слова: нечеткая полумарковская модель, нечеткие параметры, нечеткая функция, нечеткое отображение.

Сложность использования полумарковских моделей для анализа характеристик нахождения системы в различных состояниях обусловлена необходимостью учета множества неопределенных факторов, объективная информация о которых часто отсутствует либо является экспертной.

Одним из подходов к решению этих проблем при анализе функционирования систем является использование нечетких полумарковских моделей, в которых для учета неопределенности факторов применяются различные способы введения нечеткости.

Так, выражения для оценки распределения вероятностей состояний могут дополняться функциями принадлежности времени пребывания системы в соответствующих состояниях [1]. Недостаток данного способа в том, что нечеткими параметрами являются только время пребывания системы в различных состояниях, а также сложность задания соответствующих функций принадлежности.

Другой способ заключается в том, что и вероятности состояний, и время пребывания системы в соответствующих состояниях заменяются на нечеткие числа (нечеткие множества), а обычные операции - на расширенные операции над нечеткими числами. При этом для определения результатов используются нечеткие отображения, реализуемые в соответствии с одним из известных подходов (нечеткие продукции, нечеткие отношения, нечеткие функции) [2-4]. К ограничениям этого способа относятся необходимость учета достаточно жестких требований к расширенным операциям, а также сложность согласования подходов к реализации различных нечетких отображений в рамках одной задачи.

В данной работе выделены и рассмотрены основные классы нечетких функций, которые целесообразно использовать в качестве нечетких отображений при построении полумарковских моделей систем с нечеткими параметрами. Примером подобных систем может служить система технического обслуживания (ТО) и ремонта оборудования для трубопроводной транспортировки нефти.

Опишем подход к анализу полумарковских моделей, не зависящий от того, какие из параметров являются четкими, а какие нечеткими.

Пусть поведение системы задано совокупностью состояний 5={5ъ •••, $„} и множеством возможных переходов. Полумарковский процесс задается с помощью матрицы F(t)=||Fij(t)||nxn условных функций распределения продолжительности пребывания в состояниях, матрицы ^У=||ю1у||яхи переходных вероятностей вложенной марковской цепи и начального состояния процесса, из которого он стартует.

Безусловные функции распределения определяются в соответствии с выражением

п

р с)=Ё р с н •

]=1

Среднее время пребывания системы в соответствующих состояниях находится следующим об-

разом: mi = J [1 - Fi (t) ] dt.

Асимптотическое поведение полумарковского процесса описывается финальным распределением вероятностей состояний вложенной марковской цепи и определяется в результате решения

системы уравнений P=PW, Р=(Рь •••, Рп) с учетом

п

условия нормировки ^ р = 1.

I=1

В стационарном режиме распределение вероятностей состояний для полумарковского процесса в целом определяется из выражения Рт,

П =--•

Z Pj m j

Параметры данного выражения могут быть и четкими, и нечеткими; произвольное отображение f: (Pi, ..., Pn, m\, ..., m„}^ni (/-1, ..., n) может представлять собой как четкую, так и нечеткую функцию.

В соответствии с этим можно выделить следующие основные классы нечетких функций, которые целесообразно использовать в качестве нечетких отображений при построении полумарковских моделей систем с нечеткими параметрами: 1) четкие функции с распространением нечеткости от независимых переменных к зависимым; 2) нечеткие функции четких переменных; 3) нечеткие функции нечетких переменных.

Рассмотрим использование этих отображений применительно к задаче построения и использования полумарковских моделей систем.

Четкие функции с распространением нечеткости

Пусть заданы вектор входных четких параметров A=(P1, ..., Pn, m1, ..., mn), вектор выходных четких параметров п=(пь ..., яп), четкая функция f Л^я, а также нечеткие множества

A = (р,..., Pn, Щ,..., шп) и П = (тт1 ,..., яп), определенные на множествах Л и п соответственно.

Для простоты дальнейшего изложения заменим обозначения для вектора входных нечетких

параметров на A = (Д,..., An), заданного на базовых множествах Л=(Л1, ..., Л п).

Тогда функция f распространяет нечеткость от входных переменных Л , характеризующихся неопределенностью (заданных нечеткими множествами A ), на выходные переменные п (путем формирования нечетких множеств пт ) в соответствии с принципом расширения при выполнении следующего соотношения:

VAj х... х Ап е А, п t ел,

hs. (П) =

max

h A

(A,..., An),

если /-1 (п) ^0, 0, если /-1 (п) = 0, где декартово произведение нечетких множеств

A х ...х A

является нечетким множеством, задан-

n

0

ным на множестве Л^х . ,.хЛ„ с функцией принад-лежн°сти ^ (Аи ... 4,) = т^^ (4

^ (А)].

Нечеткие функции четких и нечетких переменных

Существуют различные способы представления нечетких функций, которые обусловливают применение соответствующих им методик расчета, например, с помощью

- операций над нечеткими числами и переменными (аналогично типичному представлению четких функций);

- композиции интервальных функций для всех а-уровней;

- композиции интервалов нечетких значений нечеткой функции всех а-уровней.

Рассмотрим особенности использования указанных способов.

К ограничениям представления нечетких функций с использованием операций над нечеткими числами и переменными прежде всего стоит отнести необходимость учета достаточно жестких требований к этим операциям.

При представлении нечеткой функции с помощью композиции интервальных функций для всех а-уровней (ае[0, 1]) каждое значение, принимаемое нечеткой функцией / (А), принадлежит интервалу, центр которого соответствует значению соответствующей четкой функции той же структуры, а радиус интервала равен длине левого (правого) растяжения данного нечеткого значения функции (при условии симметричности нечеткой функции). Поэтому при конкретном значении параметра а график нечеткой функции одной переменной представляет собой плоскую полосу (интервальную функцию), осью симметрии которой является график соответствующей четкой функции. Тогда нечеткая функция может быть представлена в виде композиции соответствующих интервальных функций для всех а-уровней:

/ (А) = У а к / (а к, Аа1), а к е ЛА = {аа х },

а

/(ак, Аак) = {/(А), (ак, Аак), (ак, А^)}, где / (а к, Аак) - интервальная функция;

(ак, Аак), йК (ак, Аак) - левая и правая функции

отклонения от функции при заданном значении ак; ЛА={аь а2, ..., ак, ..., ак} - уровневое множество.

Отметим, что ^

и (ак ,Аа1) = /(А)- / (ак, Аа1), где / (ак, Аа1), / (ак, Аак) - граничные функции при заданном значении а.

Таким образом, / (ак, Ащ) = {/ (ак, Ащ), /я К, А*)}.

При представлении нечеткой функции с помощью композиции интервалов нечетких значений нечеткой функции для всех а-уровней

./(А) = и а [/ К, <), / (а, Аак)],

а

ак е 4а = {а1 ак } где (ак, Аак), /К (а, Аак) - граничные функции,

задающие левую и правую границы интервалов всех а-уровней нечетких значений нечеткой функции; [/1 (ак, Аа1), /К (а, Ак)] - интервал

а-уровня нечеткого значения функции для некоторой точки многомерного пространства входных нечетких параметров; ЛА - уровневое множество. Отметим, что

[/ («к' А ), /п (а, А )] С [/ (0, Аак =0 ), /п (0,4,=0 )],

/(14о1=1) = /п(14о1=1) = /(А)' О еЛ = {01'О}.

Нечеткие функции нечетких переменных могут быть построены и проанализированы аналогично нечетким функциям четких переменных.

При анализе нечетких полумарковских моделей для вычисления нечетких функций на основе двух последних рассмотренных способов представления применима конструктивная методика, предложенная в работе. Данная методика позволяет вычислить границы интервалов результата

[Л К > А, ), Л К , А, )] ак е [0, 1] и заКЛЮчается

в следующем.

Во-первых, задается значение ак-уровня из уровневого множества ЛА={аь а2, ..., ак, ..., ак}, где 1=а1>а2>.>ак>.>ак=0.

Во-вторых, для каждого ак покомпонентно задаются значения входных параметров:

А = А „ х А,„ X а „ =  А „ ,

то есть А = а1'"* х...ха"':"* х...хап,а*

ак к Зх Зп

А, „к = а^ар },

У,. = 1,..., J¡, 1 = 1,..., п,

_ vyl = 1,...,

...; I = 1,..., J;...; = 1,..., ./„.

В-третьих, для каждого значения ак-уровня из уровневого множества с учетом покомпонентного задания значений входных параметров определяются границы интервалов нечеткого значения функции \Jfj_ (ак, ), /л (ак, Ащ)], ак е [0,1]:

(ак, Ак) = 1>£

Ш1П

х...х акх...ха"'ак (V/, =1,..

Л 31 Зп К -'1

=1,..., ;...; /п =1,...,^п)

/х (ак > ) = ,,

шах

а1,ак х...х а\- ак х...хап'ак (V/, =1, 31 31 Зп 4 -11

/(Аак ),

/ (А).

71; . . .; Л =1, . . ., ; . . .; Зп = 1, . ., 7п )

Таким образом, при использовании данной методики не требуется учитывать ограничения, на-

¡ = 1.....П

кладываемые операциями над нечеткими числами и переменными. При этом реализуется единый подход к совместному анализу как четких, так и нечетких параметров в полумарковской модели системы.

Применение предложенной методики в АК «Транснефть» (г. Москва) позволило повысить эффективность системы технического обслуживания и ремонта оборудования для трубопроводной транспортировки нефти за счет рационализации сроков проведения ремонтных мероприятий и выбора видов ТО. Следует отметить, что методика допускает программную реализацию, которая может использоваться как компонент ПО информа-

ционных систем ТО и ремонта оборудования сложных технологических систем.

Литература

1. Bhattacharyya M. Fuzzy Markovian decision process // Fuzzy Sets and Systems. 1998. Vol. 99, pp. 273-282.

2. Praba B., Sujatha R., Srikrishna S. Fuzzy reliability measures of fuzzy probabilistic semi-Markov model // Int. Journal of Recent Trend in Engineering. 2009. Vol. 2. No 2, pp. 25-29.

3. Praba B., Sujatha R., Srikrishna S. A study on homogeneous fuzzy semi-Markov model // Applied Mathematical Sciences. 2009. Vol. 3. No 50, pp. 2453-2467.

4. Метод построения нечеткой полумарковской модели функционирования сложной системы / Ю.Г. Бояринов [и др.] // Программные продукты и системы. 2010. № 3 (91). С. 26-31.

УДК 004.032.26

ВАРИАНТЫ ПОСТРОЕНИЯ АЛГОРИТМА ПОИСКА РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ

Д.А. Павлов; А.Ю. Пучков, к.т.н.

(Смоленский филиал Национального исследовательского университета «МЭИ»,

putchko v63@ma^lги)

Рассмотрены два варианта построения алгоритма численного решения обратных задач с помощью искусственных нейронных сетей и предварительной обработки измерений дискретным фильтром Калмана. Ключевые слова: обратные задачи, нейронные сети, фильтр Калмана.

Перспективным направлением развития современных информационных технологий являются разработка и внедрение систем поддержки принятия решений. Такие системы используются в различных сферах деятельности, но особенно востребованы там, где решаемые задачи плохо структурированы и трудно формализуемы. Для решения задач подобного рода применяются методы искусственного интеллекта: продукционные модели, нечеткая логика, искусственные нейронные сети и их комбинации [1]. Все эти задачи условно можно разделить на две группы:

- прямые задачи, в которых по входным данным модели процесса надо определить выходные значения используемой модели (в частности, задачи планирования, оценки альтернативных решений);

- обратные задачи с известными выходными значениями модели, на основании которых проводится поиск входных данных, приводящих к появлению имеющихся выходных; с точки зрения математики обратные задачи часто являются плохо поставленными, относящимися к классу некорректных задач [2].

Расширение сферы применения систем поддержки принятия решений делает востребованным

поиск новых подходов к решению обратных задач, базирующихся на увеличивающихся возможностях средств вычислительной техники. Эти возможности позволяют разрабатывать и применять новые методики, например, методы на основе искусственных нейронных сетей, ранее считавшиеся чрезмерно затратными с точки зрения машинных ресурсов.

Методы решения прямых задач достаточно хорошо разработаны и изучены как соответствующие привычной постановке проблемы: есть данные на входе объекта и надо определить, что будет на его выходе, если модель объекта известна. Этого нельзя сказать про обратные задачи, методы решения которых чаще всего базируются на учете специфики предметной области. В то же время необходимость решения обратных задач (например, задач диагностики) на практике возникает достаточно часто, поэтому актуальным становится поиск новых методов и подходов к их решению.

Для обратных задач характерна ситуация, когда незначительные изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. В этих условиях для решения обратной задачи предложено использовать искусственную нейронную сеть, но на вход ей подавать