Краевая задача Келдыша-Седова для заданной определяющей области

МАТЕМАТИКА

J

УДК 512.562

И. Г. Табакова

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА КЕЛДЫША-СЕДОВА ДЛЯ ЗАДАННОЙ ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЙ ОБЛАСТИ

Приведено решение задачи Келдыша-Седова для голоморфных функций двух комплексных переменных, указаны необходимые и достаточные условия разрешимости такой задачи. Сформулированы условия, обеспечивающие единственность ее решения.

В теории краевых задач значительную роль сыграли установленные в 1954 г. А.А. Темляковым [1-4] интегральные представления для функций двух комплексных переменных, аналитических в классе параметрически задаваемых ограниченных выпуклых полных двоякокру-говых областей, которые впоследствии были названы интегральными представлениями Темлякова I и II рода (см., например, [5]).

Позднее И.И. Бавриным был установлен ряд интегральных представлений для аналитических функций одного и нескольких комплексных переменных [6-8].

Пространственная краевая задача Римана была первоначально поставлена в трудах классиков математики Б. Римана, Д. Гильберта,

A. Пуанкаре, как единственное теоретическое обобщение одномерной краевой задачи Римана. Однако вскоре обнаружилось, что пространственная задача имеет намного больше теоретических и практических приложений, и она была существенно продвинута работами Ф. Нетера, Т. Карлемана, Племеля.

Задачу линейного сопряжения для трубчатых областей рассмотрел

B.С.Владимиров [9], причем краевое условие задавалось не на всей топологической границе, а на некоторой ее части — остове.

Г.Л.Луканкиным [10-14, 15], В.И.Богановым [14], И.Н.Виноградовой [16] были рассмотрены задачи линейного сопряжения для дво-якокруговых областей с краевым условием, заданным на окружности особенностей.

Теория краевых задач для голоморфных функций получила свое дальнейшее развитие в работах Х.П. Дзебисова [17], С.Ю. Колягина [18], А.В.Латышева [13, 15], С.В.Рындиной [13] и др.

В настоящей статье исследуется двумерная задача Келдыша -Седова, в которой надо восстановить функцию, аналитическую в биполуплоскости, по значениям ее вещественной и мнимой частей,

заданным на двух попарно не пересекающихся объединениях прямоугольников, исчерпывающих . Указываются необходимые и достаточные условия разрешимости такой задачи и сформулированы условия, обеспечивающие единственность ее решения, которое дается специальным интегралом типа Коши.

Задача Келдыша-Седова. Пусть на оси х = Яе^ (х2 = Яег2) заданы точки а1, а2,..., а2п (61, Ь2,..., Ь2т), удовлетворяющие неравенствам —то < а1 < ... < ар < ... < а2п < +то (—то < 61 < ... ... < Ьд < ... < Ь2т < +то). Положим

М0! = (—то; а!), Мр = (ар; ар+1),

р = 1, 2,..., 2п — 1, М^ = (а2п; +то);

Мо2 = (—то; 61), Мд2 = (Ьд; Ьд+1),

q = 1, 2,..., 2т — 1, М2т =

и образуем множества

Мрд = Мр1 х М2, р = 0,1,..., 2п, q = 0,1,

Ми = У Мрд, Му = У Мрд.

, 2m,

p+q=2S Q^S^n+m

p+q=2S+1 Q^S^n+m-1

Если функция f (z1,z2) = u (z1 , z2) + iv (z1,z2) аналитична в бипо-луплоскости D = {(z1,z2): Imz1 > 0, Imz2 > 0}, то имеет место формула Коши [19]:

f (z1,z2)g(z1,z2) =

1 f [ f

dKixdK2

dZ1 ^(2 =

(2ni)2

Ri R2 Ri

+ R +

R2

+ 11 v f(Ci,C2)g(C1,C2) . ^ > (Z1 - Z!)(Z2- Z2) ^

Ri -R2 -Ri C2 Ci -R2 C1XC2/

(Z1,Z2) G K X K2,

где

g

g1

(z.) = П

Z1 — a2p

1 V Z1 — a2p-1 =1

g2

(Z2) = П

q=1

Z2 - b

2q

z2 - b2q-1

и

Kj = {|Zj| <Rj}n{ImZj > 0} , Cj = {|Zj| = Rj}n{Imz, > 0} , j=1, 2.

1

Следуя работе [11] и используя равенства

/ (СьС2) д1 (Сх) = / (О, ж) + (С1,С2) ; С1- ¿1 С1 ;

/ (С1,С2) ^2 (С2) = / (ж^) + У2 (С1,С2) ;

С2 — ¿2 С2

/

(С1 - (С2 - ^2) С1С2 '

в которых функции (£ь (2), ^2 (Съ С2) и ^12 ((1, С2) таковы, что Нш ^ (С1,С2) = 0 V 1т ¿2 > 0, Нш (О,С2) = 0 V 1т г1 > 0,

Нш ^12 (С1,С2) = 0,

убедимся, что при ^ ж, ] = 1, 2, формула (1) принимает вид

/ (¿ь ¿2) д ^ = (К12/^) ^2) + 1 (К1 /^1) ) +

+ 2

где (zi, Z2) G D и

1 Г П

(Ki2fg) (Z1, Z2) = ^ J J (Zi - Z.)(C2 - Z2) ^

Г 2

сю

(v t \( \ 1 ff (zbgi(z'i)J/-

(Ki/gi) (zi) = ^ —7-dCi;

2пг J Zi - zi

(Г { \( \ 1 Г / (ж,&0 д2 (С2) (К2/д2) ^ = 2™ .) -^-^

Формула (3) имеет смысл лишь в том случае, если функция / (£ь С2) ведет себя определенным образом в бесконечно удаленных точках плоскости Г2 = {(¿1, ¿2): 1ш= 0, 1ш¿2 = 0}. Например, для существования интеграла (К12/д) (¿1,г2) в несобственном смысле необходимо потребовать, чтобы функция / ^2) удовлетворяла условию

Нш /

В этом случае формула (3) принимает вид

/ ¿2) д ¿2) =

Из формулы Коши (5) следует, что при 1т ¿1 > 0 и 1т ¿2 > 0 имеют место следующие равенства:

0 =

0 =

Так как функции д^ (£}), ] = 1, 2, являются чисто мнимыми (вещественными) на М25_ 1 (М^), = 1, 2, то функция д (¿1, ¿2) будет чисто мнимой (вещественной) на Мт при р + д нечетном (четном) и, следовательно, чисто мнимой (вещественной) на Мь (Ми).

Складывая левые и правые части равенств (5) и (6), найдем, что

/ ) д (^1,^2) = (к12 (/д + (^1,^2) =

= 2 ^ (К™ Мд)(^1,^2) + 2г ^ (К™ ид) (^2) =

р+д=2Б p+q=2S+1

О^Б^п+т О^Б^п+т—1

= 2

где положено

(К-^,¿2)= 1 [ [ к ^ ^

(2пг)2 У .1 (С1 - *1)(С2 - ¿2)'

мрд

(ад(г1 ,^2) = (2П7У У (С1-г.)(С2-^2).

Ми

Формула (8) — искомая. Обратимся к условиям (7), сложив которые, получим

0 =

Фиксируя целые числа г и е и предполагая, что г + е четно, выделяем в сумме (9) интегралы Кр<1, у которых либо р = г, либо д = е, и представляем формулу (9) следующим образом:

0 = (Кгеид) (¿1,^2) +

п+т п+т—1

+ ^ (Кг'е5—гид) (¿1,^) + г ^ (Кг-е5—-+1 ид) (¿ьг2) +

п+т п+т—1

+ ^ (кев—е,еид) (¿1,^2) + г ^ (Ке5—е—1ид) (¿1,^2)+

Б=Ж Б=[2]

+ 5] '

р+д=2Я p+q=2S+1

О^Я^п+ш О^Я^п+ш—1

где суммы со штрихом содержат остальные слагаемые, не вошедшие в предыдущие суммы.

Перейдя к пределу в выражении (10) при (¿1, ¿2) ^ (¿1, ¿2) € Мге и тем самым применив формулы Сохоцкого к интегралу (Кгеид) (¿1,г2) по обеим переменным, а к интегралам второй (третьей) строки формулы (10) по первому (второму) аргументу, затем снова объединим однотипные слагаемые и, выделив вещественную и мнимую части, получим

и (¿1,^) д (¿1,^2) - 4(Киид) (¿1,^2) =

п+ш—1 п+ш—1

= г ^

п+ш

(£1,гид) (¿1, ¿2) - (£,гид) (¿1, ¿2) - №е,вз—еид) (¿1, ¿2)+

Я=[ ^ ]

п+ш

+ ^ (^1,23—г ид) (¿1, ¿2) = 4г (К ^д) (¿1, ¿2), г + е = 2я,

я=[ ^ ]

где

(^Л) (¿1, ¿2) = Л / ^^^1, (ЗД (¿1, ¿2) = 1 / ^^^

Пи С1 - ¿1 Ц2 - ¿2

мв ма

Теперь, предполагая, что г + е нечетно, и рассуждая, как и выше, получаем

V (¿1, ¿2) д (¿1, ¿2) - 4 (Куд) (¿1, ¿2) =

п+ш п+ш

= г (^1,25—г ид) (¿1, ¿2) - г ^ (£2^—еид) (¿1, ¿2),

п+ш— 1

(£2,еУд) (¿1, ¿2) - (£1,гуд) (¿1, ¿2) - ^ (£е,ез—е+1Уд) (¿1, ¿2) +

Я=[ 2 ]

п+ш— 1

+ (£1,25—г+1 уд) (¿1, ¿2) =

Я=[ 2 ]

= 4г

Отсюда вытекает важная

Лемма 1. Если функция f (zi, z2) = u (zi, z2) + iv (zi, z2) аналогична в биполуплоскости D, удовлетворяет условиям (4) и f (xi, x2) G G H (Mpq) при всех p, q, то имеет место формула Коши (8), а предельные значения u (xi, x2) и v (xi, x2) ее вещественной и мнимой частей удовлетворяют условиям (11) и (12).

1. Двумерную задачу Келдыша - Седова [11] сформулируем так: найти функцию f (zi, z2), аналитическую в биполуплоскости D и удовлетворяющую на Г2 краевому условию

Ref (xi, Ж2) = р (xi, Ж2), V (xi, Ж2) G Mu,

Im f (xi,x2) = p (xi,X2), V (xi, X2) G Mv,

где вещественная функция p (xi, x2) удовлетворяет условию Гельдера на каждом множестве Mpq, допускает разрывы на прямых xi = ap, p = 1, 2,..., 2n, и x2 = bq, q =1, 2,..., 2m, и исчезает во всех бесконечно удаленных точках Г2 так, что

C

(xi,x2)| < , ,А1 , ,л2, 0 < Ai, Л2 < 1, C> 0. |xi| |x2|

Если Mu = Г2, а Mv = 0, то задача Келдыша - Седова превращается в задачу Шварца, которая разрешима лишь в том случае, если заданная функция р (xi,x2) удовлетворяет необходимому и достаточному условию разрешимости [20]:

(V—1 р) (xi,x2) = 0 при xi > 0, x2 < 0.

Следовательно, задача Келдыша -Седова не разрешима, если заданная функция р (x1, x2) не удовлетворяет дополнительным условиям. Положим

Р (x1,x2)|Mu = U (x1,x2) ,

Р

и, учитывая лемму 1, потребуем, чтобы заданные функции u (x1, x2) и v (x1,x2) удовлетворяли условиям (11) и (12).

2. Покажем, что при выполнении условий (11) и (12) задача Келдыша-Седова имеет единственное решение f (z1, z2), удовлетворяющее следующим условиям:

1) lim f

2) функции

Zi Z2 Zi Z2

f

&2p b2q <12p b2q

ограничены в достаточно малых окрестностях соответственно точек

(а2р—1, Ь2д—1) , (а2р,Ь2д-1) , (а2р-1,Ь2д) и (a2p, Ь2д) ,

р = 1, 2,..., 2п, д = 1, 2,..., 2т.

Подставим заданные функции и (х1 ,х2) и V (ж1,ж2) в формулу Ко-ши (8) и покажем, что эта формула дает решение задачи Келдыша -Седова. Пусть р,г2) ^ (¿ъ^2) € Мге, г + е = 2з, тогда, рассуждая, как и при выводе формулы (10) из (8), получаем

/ (¿1,^2) д (¿1,^2) =

= 2 {и (¿1, ¿2) д (¿1, ¿2) + (#1,гид) (¿1, ¿2) + (52,еид) (¿1, ¿2)} +

1 п+т 1 п+т

+ 2 Е (^2,25-еид)(^1,^2) + 2 (^1,2«-г ид)(^1,^2) +

5=[ ^ ] 5=[ Щ ]

п+т-1 п+т- 1

+ 22 (^2,25-е-1'Уд)('£1,'£2) + 2 ^ (^1,2*-г+^д) (^1,^2) + *=[§] Н§]

+ 2

Учитывая равенства (11) и (12), делим обе части равенства (15) на д (¿1, ¿2) и находим

/ (¿1, ¿2) = и (¿1, ¿2) + (й,г и (0, ¿2) (¿1, ¿2) +

V д1 (г1)/

S=[r+1 p gl (l)/

п+т-1 ✓ (^ ) \

+ I £ (й,2в-г+^ (Сх,*2) рр) (¿1,^2) .

Н 2 Р д1 (1)У

Отсюда следует

Яе/ (¿1, ¿2) = и (¿1, ¿2), (¿1, ¿2) € Ми. Аналогично рассуждая, найдем, что

1т / (¿1, ¿2) = V (¿1, ¿2), (¿1, ¿2) € М*. Таким образом, доказана

Теорема. Задача Келдыша-Седова имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям (13), (14) в том и только том случае, если

заданные вещественные функции и (х, х2) и V (ж^ х2) удовлетворяют условиям (11) и (12).

3. Однородная задача Келдыша-Седова равносильна следующей задаче о скачке:

/++ (6, С2) = -/-- (О, С2) (= -/++ (О,С2)) , (О, С2) € Ми, /++ (О, С2) = /-- (О, С2) (= /++ (Сь С2)), (О,С2) € м,.

Решением такой задачи, исчезающим в бесконечно удаленных точках, является функция

й (¿1,^) = й (¿1) Л-2 (¿2) =

_ г (ао + а^ + ... + ап-1^-1) (во + + ... + вт-1^2"-1) 'I т

П

Р=1 \/ 5=1

где а0, а1,..., ап-1 и в0, в1,..., вт-1 — вещественные постоянные. В самом деле, Яе й = 0 на Ми, 1т й = 0 на М,0 и й (¿1, ¿2) ^ 0 при ^ то или ¿2 ^ то. Отсюда следует

Лемма 2. Решение / (¿1, ¿2) задачи Келдыша - Седова, исчезающее на бесконечности, с ограниченным интегралом

в окрестностях всех точек (ap, bq) определяется по формуле

оо

i_ ГГ g (Zi, С2) Ф (Zi, С2) (

2 (ni)2 g (zi,z2^ (Zi - zi)(Z2 - z2)'

f (zi,z2)^—^-- II dZidZ2 + h (zi,z2) ,

где положено

Г и (О, С2), (О, С2) € Ми, Ф (О, С2 ) = {

I «V (О, С2), (О, С2) € Mv.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Темляков А. А. Интегральное представление функций двух комплексных переменных // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1957. - Т. XXI. - С. 89-92.

2. Т е м л я к о в А. А. Интегральные представления функций двух комплексных переменных // ДАН СССР. - 1958. - Т. 120. - Вып. 5. - С. 976-979.

3. Т е м л я к о в А. А. Интегральные представления // ДАН СССР. - 1959. -Т. 129. - Вып. 5. - С. 986-988.

4. Т е м л я к о в А. А. Интегральные представления // ДАН СССР. - 1960. -Т. 131. - Вып. 2. - С. 263-264.

5. Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. - М.: Физматгиз, 1962.

6. Б а в р и н ИИ. Интегральные представления голоморфных функций многих комплексных переменных // ДАН СССР. - 1966. - Т. 169. - Вып. 3. - С. 495^98.

7. Б а в р и н И. И. Общие интегральные представления голоморфных функций // ДАН СССР. - 1967. - Т. 172. - Вып. 6. - С. 1251-1253.

8. Б а в р и н И. И. Общие интегральные представления голоморфных функций многих комплексных переменных ДАН СССР. - 1968. - Т. 181. - Вып. 2. -С. 247-250.

9. В л а д и м и р о в В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных. - М.: Наука, 1964. - 365 с.

10. Луканкин Г. Л. О поведении интеграла типа Темлякова I рода в точках остова области В типа А // ДАН СССР. - 1965. - Т. 161. - Вып. 1. - С. 39-42.

11. Луканкин Г. Л. О некоторых краевых задачах для функций двух комплексных переменных // Ученые записки МОПИ. - М.: Изд-во МОПИ им.Н.К.Крупской. - 1970. - Т.269. - Вып. 14. - С.23-48.

12. Луканкин Г. Л. О задачах линейного сопряжения функций двух комплексных переменных // Сб. тр. "Математический анализ и теория функций". - М.: Изд-во МОПИ им.Н.К.Крупской. - 1973. - Вып. 1. - С. 10-24.

13. Л у к а н к и н Г. Л., Латышев А. В., Р ы н д и н а С. В. Граничная задача для одного класса линейных релаксационных нестационарных уравнений // Известия МАИ ВШ. - 2001. - Т. 2. - Вып. 16. - С. 94-101.

14. Б о г а н о в В. И., Л у к а н к и н Г. Л. Интеграл типа Темлякова и его предельные значения // ДАН СССР. - 1967. - Т. 176. - Вып. 1. - С. 16-19.

15. Л а т ы ш е в А. В., Л у к а н к и н Г. Л. Краевые задачи теории функций комплексного переменного. - М.: МГОУ, 2003. - 102 с.

16. Виноградова И. Н. О решении некоторых краевых задач // Сб. тр. "Теория функций, функциональный анализ и их приложения". - М.: Изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. - 1973. - Вып. 15. - С. 198-216.

17. Дзебисов Х. П. Интегральные представления и краевые задачи в многомерном комплексном анализе. - М.: Наука, 2005. - 255 с.

18. К о л я г и н С. Ю. Об аналитичности интеграла типа Темлякова // Сб. научн. тр. МПГУ. Сер. "Естественные науки". - М.: Прометей. - 1999. - С. 12-13.

19. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. - М.: Госте-хиздат. - 1963. - 441 с.

20. Г а х о в Ф. Д. Краевые задачи. - М.: Физматгиз. - 1963. - 543 с.

21. А й з е н б е р г Л. А. Интегральное представление функций, голоморфных в выпуклых областях пространства С2 // ДАН СССР. - 1963. - Т. 151. - Вып. 7. -С. 1247-1249.

Статья поступила в редакцию 31.01.2007

Ирина Геннадьевна Табакова родилась в 1982 г., окончила МПГУ в 2004 г. Канд. физ.-мат. наук, автор 7 научных работ в области комплексного анализа.

I.G. Tabakova (b. 1982) graduated from the Moscow State Pedagogical University in 2004. Ph. D. (Phys.-Math.), author of 7 publications in the field of analysis of complex-valued variables.