Модификации эффективных модулей типа Хашина-Штрикмана для двухкомпонентного изотропного композита

УДК 020.1 + 539.3

Модификации эффективных модулей типа Хашина-Штрикмана для двухкомпонентного изотропного композита

А.А. Светашков, Н.А. Куприянов, К.К. Манабаев

Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск, 634050, Россия

Сохраняется необходимость в разработке приближенных численных методов расчета, к которым относится теория эффективных модулей. В работе получены новые модификации эффективных модулей для композита, в частности модули Хашина-Штрикмана рейссовского типа. Представлены среднегеометрические усреднения эффективных модулей, а также введены эффективные модули, полученные с помощью быстросходящихся итерационных последовательностей. Установлены свойства полученных эффективных характеристик. Сделана оценка точности расчета напряженно-деформированного состояния тел из композиционных материалов в зависимости от типа модификации эффективных характеристик. При этом результаты сравнивались с точными классическими решениями и приближенными расчетами, полученными на основе программного комплекса ANSYS.

Ключевые слова: эффективные модули, модули Хашина-Штрикмана, неоднородное тело, композиционные материалы, верхние и нижние оценки податливости, фойгтовский и рейссовский типы, итерационные преобразования, среднее геометрическое, приближенные расчеты

Modification of effective moduli of Hashin-Shtrikman type for two-component isotropic composite

A.A. Svetashkov, N.A. Kupriyanov, and K.K. Manabaev

National Research Tomsk Polytechnic University, Tomsk, 634050, Russia

The development of approximate numerical methods, including the theory of effective moduli, is still required today. This paper proposes new modifications of effective moduli for a composite, particularly, the Hashin-Shtrikman moduli of Reuss type. Geometric averaging of the effective moduli is done. Effective moduli obtained with the use of rapidly converging iteration sequences are introduced. Properties of the obtained effective characteristics are defined. The calculation accuracy of the stress-strain state of composite bodies is evaluated depending on the modification type of the effective characteristics. The results are compared to accurate classical solutions and approximate calculations performed with ANSYS software.

Keywords: effective moduli, Hashin-Shtrikman moduli, heterogeneous solid, composite materials, upper and lower bounds of compliance, Voigt and Reuss types, iterative transformations, geometric average, approximate calculations

1. Введение

Существует ряд подходов к определению эффективных упругих характеристик неоднородных тел. Имеются методы, базирующиеся на анализе геометрии включений [1-4]. Известны методы, основанные на теории случайных функций [5] и использовании некоторых физических гипотез при исследовании конкретных конструкций [6]. В асимптотическом методе осреднения [7, 8] решение краевой задачи для упругого неоднородного тела ищется в виде рядов по степеням малого параметра с коэффициентами, зависящими как от «мед-

ленных» переменных, соответствующих глобальной структуре неоднородной среды, так и от «быстрых» переменных, отвечающих локальной структуре композита.

В развитие энергетического подхода [1, 9] предложен новый метод [10] определения эффективных модулей Фойгга и Рейсса (У-К). В работе [11] установлена общность энергетических методов определения эффективных характеристик неоднородных упругих тел и однородных вязкоупругих тел, свойства которых хотя и постоянны по пространственным координатам, имеют ярко выраженную неоднородность во времени.

© Светашков A.A., Куприянов H.A., Манабаев К.К., 2015

Одним из достижений механики композитов являются вариационные оценки эффективных свойств, полученные Хашиным и Штрикманом (Н^) [12, 13].

В работах [10, 14] предложены аналитические выражения эффективных по времени модулей Хашина-Штрикмана, которые применены для приближенных расчетов линейно-вязкоупругих конструкций.

Анализ классических выражений эффективных характеристик Хашина-Штрикмана для двухкомпонент-ного упругого композита показывает, что они представляют соотношения между упругими модулями включений и их объемным содержанием. Выражение верхних оценок модулей сдвиговой и объемной упругости представляется в виде произведения одного из модулей включения на некоторые безразмерные коэффициенты. Данные коэффициенты представляют собой отношения квазилинейных функций, составленных из произведений модулей упругости включений на их объемные содержания. То же самое относится и к нижним оценкам.

Из анализа структуры выражений эффективных модулей Хашина-Штрикмана можно сделать вывод о том, что данные оценки имеют фойгтовский тип эффективных характеристик. Из них можно получить эффективные характеристики рейссовского типа путем формальной замены упругих модулей на соответствующие податливости.

Исследованы некоторые свойства полученных эффективных характеристик. Численными расчетами установлены неравенства, связывающие эффективные модули Хашина-Штрикмана фойгтовского и рейссовс-кого типов. Следуя идее построения арифметико-гео-метрического среднего Гаусса [15], впервые введены итерационные последовательности, позволяющие получить новые эффективные характеристики неоднородного двухкомпонентного упругого композита через уже известные, либо через вводимые впервые.

На числовых примерах расчета потенциальной энергии упругой деформации (двухслойная оболочка, находящаяся под действием внутреннего давления и осевой силы; пластина, подверженная изгибу, и имеющая жесткую заделку или шарнирную опору) показано изменение расхождения между точным решением и приближенными расчетами в зависимости от типа эффективных модулей.

2. Вывод выражений эффективных модулей Хашина-Штрикмана рейссовского типа

Рассмотрим выражения верхних и нижних оценок GG/ эффективных характеристик Хашина-Штрикмана [1] двухкомпонентного композита:

У1

G = G2 +

G = G2 +

1 + у2 (G - G2 )/(G2 + Gu )'

Tl (G1 - G2 ) 1 + у2 (Gl - G2 )/(G2 + Gl )'

Здесь О1 > О2 — модули сдвига компонент с удельными объемными содержаниями у1, у2 соответственно,

GL = L 2

GU =

1

10

9K2 + 8G2

10

N-1

9K1 + 8G1

К1, К2 — модули объемной упругости. Для ОО' предполагается выполнение «вилки» Хашина-Штрик-мана:

О' > О* > О'.

Аналогичный вид имеют верхние и нижние оценки объемных модулей упругости композита:

У1

к = K2 +

к = кг +-

1 + у 2

1 + у2 (K - K2 )/(K2 + Kl ) KU = 4/3Gv KL = 4/3G2, K > K > K'. Преобразуем выражения (1) к виду

^1

G = G

G' = G

qG1 + у 2 (G1- G2) 42 (T1 G1 + T2 G2 ) + T2 (G1 - G2 ) 42G2 + у2(G1 - G2) '

где

3 + aG + 2 G2/ G, 41 =-^Г-77T , 42 =

2(1 + a1G1) 10

5 + 2a2 G2 2(1 + a2G2Y

10

1 9K1 + 8G1 2 9K2 + 8G2 Аналогичным образом преобразуем (2):

K2 + 4 -^

k" = K 4K-,

K2 + 3 G1 + у 2

к = к2

к + 4 IT (уK + у 2K2) 3 K2_

K2 + 3 G2 + у 2

Легко видеть, что сомножители перед модулями Оа, Ка (а = 1, 2) в правых частях (3), (4) являются безразмерными. Кроме того, данные безразмерные коэффициенты представляют собой отношения алгебраических сумм, составленных из модулей упругости компонент, а также выражений эффективных модулей Фойгта:

ОУ = УО1 + У2°2, КУ = У1К1 + У2К2• Для вывода эффективных характеристик рейссовс-кого типа рассмотрим модификации выражений (3), (4). С этой целью в соотношениях (3), (4) заменим модули упругости компонент на соответствующие податливос-

ти. Кроме того, выразим через податливости и выражения верхних и нижних оценок для модуля сдвига. Будем иметь:

а ~ а2

71

J___1_

V 1 2 /

1 + 7 2

1 1

в1 в2

— + — а1 в и

_ _1_ а ~ а

71

J___1_

а1 в2

1 + 7 2

1___1

в 62

Здесь

а ^ _ 2

а и _ 2

С2 +

10

' /' \ -1

в

9/ к2 + 8/ в2

а+

10

-1

ч 9/ к + 8/ ^

Далее выражения (5) преобразуем к виду:

1 в

-1 +

1

в^ О1 1 -

я 1— + ви + 72

1 а

в1 в2

V 1 2 /

+ ТГ

1

1

1 — я 2 — + Оь + 72 в2

1___1_

в1 в2

Будем называть эффективные модули сдвига в^, в^ (6) модулями Хашина-Штрикмана рейссовского типа, снабжая выражения в", О индексами Я. Кроме того, в дальнейшем будем использовать выражения эффективных модулей (3), (4) или (1), (2) с индексами V, называя их модулями Хашина-Штрикмана фойгтовского типа.

Эффективные модули Кя, К^ объемного сжатия Хашина-Штрикмана рейссовского типа имеют вид:

1

К

, -1 + Ки (71К + 72*1) 1 к 2 к 2

к1 1 -

1 — + к и + 72 К

J___1_

К К

+ Кг

1 К К

1

Кя

К

2 ± + К ь + 7 2 К2

1

К

1

К

Здесь К и _ 4/3 К ь _ V3 в2.

Легко проверить, что при _ в2 _ в (тело Хилла [16, 17]) из (6), (7) получаем

_ / -' _ / - ; -" _ т''

я _ вя _ в, Кя _ Кя-Для эффективных модулей Хашина-Штрикмана рейс-совского типа сохраняются двухсторонние неравенства вида

в V ^ вЯ ^ Оя ^ вя и аналогичные неравенства для модулей объемного сжатия (рис. 1, б):

КV ^ КЯ ^ КЯ ^ Кя-

Здесь вя, Кя — эффективные модули Рейсса

Оя _-

в1в2

>К я _-

К1К2

7 2 °1 + 7А' " 7 2 К1 + 71К2 Гистограмма (рис. 2) отражает сравнение отношений верхних и нижних оценок эффективных модулей сдвига и объемного поведения Хашина-Штрикмана фойгтовского и рейссовского типов. Значения в"/в' и К///К/ в функции у (нижние индексы тут опущены) приведены для следующего соотношения между упругими характеристиками компонент: в1 /в2 _ К1/К2 _ 4.

Из сравнения видно, что данные отношения совпадают в пределах 5 % как внутри пар, составленных для

у

/

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

У У

Рис. 1. Зависимость модулей сдвига (а) и модулей объемного сжатия (б) от удельного объемного содержания у компонента: модули Фойгта в^ ^ (1); модули Хашина-Штрикмана фойгтовского типа вV,К^ (2), GV, XV (3); модули Рейсса вя, Кя (4); пунктирные кривые — модули Хашина-Штрикмана рейссовского типа вя, Кя, вя, Кя. Значения модулей сдвига в1 отнесены к в2, модулей объемного сжатия — к К2

Рис. 2. Гистограмма сравнения отношений верхних и нижних оценок эффективных модулей Хашина-Штрикмана фойг-товского и рейссовского типов

фойгтовских и рейссовских характеристик, так и между парами модулей сдвига и объемного сжатия.

3. Модели усреднения эффективных характеристик двухкомпонентного упругого композита

3.1. Модель итерационного преобразования эффективных характеристик

С целью получения более близких оценок точных и приближенных решений, получаемых на основе найденных эффективных модулей, рассмотрим новый метод итерационного преобразования значений верхних и нижних оценок модулей Хашина-Штрикмана фойг-товского и рейссовского типов.

Будем использовать подход, применяемый при построении арифметико-геометрического среднего Гаусса [15]. Идея определения данной величины заключается в следующем. Пусть даны а0 > Ь0 > 0.

Далее находим ап+1 = 1/2(ап + Ьп), Ьп+ = (апЬп )1/2, п = 1, 2, 3, ....

Следуя данному подходу, в соотношениях (3), (4) введем новые обозначения:

а0 = О1, Р0 = О2, а0 >Р0 > 0,

Ф0 = К1, ^0 = к2, Ф0 > V0 > 0.

По аналогии с [15] определим дальнейшие члены последовательностей {ап}, {Рп}, {фп}, {Vп} следующим образом:

Ч1

а п+1 = а п

вп+1 =Ри

Фп+1 =Ф,

Ч1 а п + У 2

Ч2

&п + У2(ап -вп ) '

4 а п , ч

V п + тФп

3 Фп_

4 '

V п + з а п + У 2

4 вп ,

Фп + 3 ^

Vп+1 =Фп-т^-' п = 0, 1,

Vп + 3 Рп + У2

где

Ч1 =

3 + аТв п + 2 в п/ а п 2

10 п

Ч1 =

10

5+2а2вп 2

а1 =

а2 =

9Фп + Вап' " ' 9v п + 8вп

Последовательности {ап},{вп}, а также {Фп} и {V п} соответствуют итерационным преобразованиям верхних и нижних оценок эффективных модулей Хашина-Штрикмана фойгтовского типа для сдвига и объемного поведения. Численные расчеты, приведенные в табл. 1, 2, подтверждают справедливость выполнения неравенств вида

а0 >а1 >...>ап >Рп >вп-1 >...>в0,

Ф0 >Ф1 >... >Фп >Vn > Vn-1 >... > Vo.

Из расчетов видно, что последовательности итерационно преобразованных модулей сдвига и объемного поведения имеют одинаковые пределы.

Аналогичным образом преобразуем эффективные модули Хашина-Штрикмана рейссовского типа. Введем последовательности {ап}, {вп}, {Фп}, {Vп}, начальные значения которых определим посредством (8), т.е. возьмем а 0 = О1 и т.д. Тогда получим

1 1 £ ♦ О

а

п+1

а п 1 , у^п .

вп+°+У 2

а„

1 вп

1 ОТ + У2ап + )

\+1

вп 1 . /-Т п .

ОЬ + У 2

п

1

а..

J_

вп

1 £ + ^

Фп+1

1

Фп V- + К и + У 2 V п

_1___1

Фп Vи

1

Кп

Л Ф- + ^

1 Фп Фп

где

Vп+1 Vп ± + К^ + У2

V п

Фп

V п

, п = 0, 1, ...,

Ог = з

L 2

Gn

=

/

вп +

10

а +-

9/ Vn + В/ вп

10_

9/ Фп + В/ а п

ки = 4з ап, кг = 4/з вп.

Таблица 1

Итерированные эффективные модули сдвига фойгтовского С„)""' С„)" и рейссовского С'„)К, С'„)К типа в зависимости от номера итерации п

n G(n)V С" G(n)V G(n)R с" G(n)R

1 4.699968 8.992805 4.808076 9.006440

2 6.447508 6.582424 6.542042 6.658645

3 6.514492 6.514633 6.600100 6.600103

4 6.514562 6.514562 6.600101 6.600103

Таблица 2 Итерированные эффективные модули объемного сжатия фойгтовского К'„)", К'„)" и рейссовского К'„)К, К'„)К в зависимости от номера итерации п

n K(n)V K('n)V K(n)R K(n)R

1 6.292192 28.783345 5.143741 18.113211

2 12.225179 13.254979 8.868182 9.340977

3 12.727653 12.727757 9.100591 9.100616

4 12.727705 12.727705 9.100604 9.100604

Числовые расчеты последовательностей {а„}, {Р„}, {ф„}, {у„} подтверждают справедливость неравенств, аналогичных (10):

ао >а >...>а„ >р„ >р„-! >...>ро,

_ _ _ _ _ (12) Фо >ф >...>Ф„ >у„ >^„-1 >...>¥о-Результаты численных расчетов итерационно-преобразованных эффективных модулей Хашина-Штрик-мана фойгтовского и рейссовского типов для сдвига и объемного поведения представлены в табл. 1, 2.

В приведенных таблицах номер итерации указан в круглых скобках для каждого типа эффективных модулей. Из расчетов видно, что, во-первых, трех итераций достаточно для практически полной сходимости значений обоих типов модулей; во-вторых, пределы последовательностей итерированных модулей фойгтовского и

рейссовского типов близки для верхних и нижних оценок эффективных модулей сдвига, а для эффективных модулей объемного сжатия отличия достигают 40 %. Исходные данные для табл. 1, 2: 01 = 20 МПа, К1 = = 993.333 МПа, С2 = 2 МПа, К2 = 1.833 МПа. При этом полагалось у1 = у 2.

3.2. Модель усреднения значений эффективных характеристик

Используем процедуру осреднения на основе расчета среднегеометрического значения полученных эффективных характеристик. Как известно [18], имеет место связь между средним арифметическим, средним геометрическим и средним гармоническим двух положительных чисел а, Ь:

1/2

Левую часть (13) можно трактовать как фойгтовское усреднение двух характеристик при у1 = у 2 = 1/2, правая часть есть соответствующее рейссовское усреднение при тех же значениях у1, у 2.

Введем усреднение эффективных модулей Хашина-Штрикмана фойгтовского и рейссовского типов по правилу:

С' с| С", С'1 = -7С| С".

Сопоставление среднегеометрических модулей С' и С' с уже описанными модулями приведено в табл. 3, 4.

Согласно табл. 3 между сдвиговыми эффективными модулями Хашина-Штрикмана фойгтовского и рейс-совского типов для двухкомпонентного композита справедливы неравенства

С| > С" > С| > С".

Несколько измененный вид имеют неравенства, связывающие объемные модули

К" > К| > К" > К|.

Среднегеометрические эффективные модули удовлетворяют следующим неравенствам:

Таблица 3

Зависимость значений эффективных модулей сдвига от объемного содержания компонента у

Y 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Gv 1.000 1.700 2.400 3.100 3.800 4.500 5.200 5.900 6.600 7.300

GR 1.000 1.420 1.880 2.384 2.940 3.556 4.242 5.011 5.879 6.866

GS 1.000 1.412 1.863 2.359 2.909 3.520 4.203 4.972 5.846 6.845

GV 1.000 1.403 1.846 2.335 2.878 3.484 4.164 4.934 5.813 6.824

GR 1.000 1.172 1.376 1.621 1.921 2.296 2.780 3.426 4.333 5.701

GS 1.000 1.169 1.369 1.609 1.903 2.273 2.750 3.391 4.294 5.667

GV 1.000 1.165 1.361 1.597 1.886 2.250 2.721 3.356 4.256 5.632

GR(3) 1.000 1.132 1.293 1.487 1.718 1.988 2.302 2.663 3.070 3.519

GR 1.000 1.096 1.212 1.356 1.538 1.778 2.105 2.581 3.333 4.706

Таблица 4

Зависимость значений эффективных модулей объемного сжатия от объемного содержания компонента у

Y 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Kv 1.000 1.300 1.600 1.90000 2.200 2.500 2.800 3.100 3.400 3.700

KV 1.000 1.210 1.435 1.67600 1.934 2.213 2.513 2.839 3.192 3.578

KS 1.000 1.195 1.405 1.63200 1.880 2.151 2.448 2.776 3.139 3.545

KR 1.000 1.179 1.375 1.59000 1.828 2.091 2.385 2.714 3.087 3.512

KR(3) 1.000 1.146 1.322 1.53191 1.776 2.057 2.378 2.737 3.070 3.558

KV 1.000 1.139 1.296 1.47400 1.677 1.913 2.189 2.515 2.909 3.392

KS 1.000 1.128 1.274 1.44100 1.634 1.860 2.127 2.450 2.848 3.348

KR 1.000 1.118 1.253 1.40900 1.592 1.808 2.068 2.387 2.787 3.305

Kr 1.000 1.081 1.176 1.29000 1.429 1.600 1.818 2.105 2.500 3.077

GR - GS - GV5 GR - GS - GV5 kv - kS - KR 5 KV - KS - KR •

Заметим, что неравенства (17) являются прямым следствием (15), (16). Если в случае модулей сдвига для верхних и нижних оценок имеем превышение значений эффективных характеристик рейссовского типа над фойгтовскими

GR > О'ч, в'я > О'у,

то для объемных модулей получаем противоположную картину:

> К£, КV > К(19) В табл. 3, 4 в зависимости от объемного содержания компонента у приведено сравнение числовых значений всех типов эффективных характеристик двухкомпонент-ного изотропного композита, используемых в дальнейших расчетах. Исходные данные: G1 = 8 МПа, К1 = = 4 МПа, G2 = 1 МПа, К2 = 1 МПа. В целях компактного представления результатов в дальнейших расчетах вместо у1, у2 будем использовать у1 = у, у2 = 1 - у.

4. Задача о нагружении двухслойной оболочки

С целью сравнения точного и приближенных решений, которые могут быть получены на основе новых эффективных характеристик, рассмотрим аналитичес-

кое решение задачи о нагружении двухслойной упругой цилиндрической оболочки с днищем. Решение данной задачи, полученное по безмоментной теории, приведено в [19].

Пусть оболочка нагружена внутренним давлением р и осевой силой Т (рис. 3). Обозначим продольные и окружные усилия через Nа), N2а^ Верхний индекс принимает значения 1, 2, что соответствует внутреннему и наружному слоям оболочки. Толщины слоев — 81, 82, модули упругости и коэффициенты Пуассона —

Еа, ^а, а = 1, 2.

Уравнение равновесия, выражающее сумму проекций сил на ось симметрии, дает соотношение между осевыми напряжениями а(а) (а = 1, 2):

а(1) 51 + а(2) 5 2 = pR. 11 12 2 2nR

Запишем два решения Лапласа отдельно для внутреннего и внешнего слоев тонкостенной двухслойной оболочки. Поскольку контактное давление входит в данные соотношения с противоположными знаками, сумма двух решений запишется как

а21} 81 +а22) 82 = рЯ.

Уравнения совместности получим, приравняв окружные и продольные деформации слоев, выражая их через закон Гука для изотропного тела

~(ai1) -^2°) =^(*i2)-ц 2 °22)),

Uaf -ц^) = -L(a22)-ц2°|2)). E1 E2

После определения искомых напряжений а) (а, в = 1, 2) рассчитывалось значение удельной потенциальной энергии упругой деформации оболочки

U = 2 [ (а(1) + а|2))в1 + (аЦ +а22))г 2

Рис. 3. Схема нагружения двухслойной оболочки

где

Таблица 5

Соответствие эффективных модулей значению индекса k

G K

1

Кг>

GV

кF

GV

K

GR

к'

K

J

к

SR

к

SR

1

^ 2 =6 2а) = (а 2а)-Ца^аО, <« = 1, 2).

Еа

Здесь по индексам, заключенным в угловые скобки, суммирование не производится.

Потенциальную энергию, соответствующую однослойной оболочке, рассчитаем для различных типов эффективных модулей:

ик = 1/2^ е* +а2 6 2],

ек = 1/ Ек

62 = VЕк (а2 каД

а1, а2 — продольные и окружные напряжения, возникающие в однослойной оболочке. Для упрощения идентификации модулей условимся использовать индекс к в соответствии с табл. 5.

Результаты численного расчета двухслойной оболочки представлены на рис. 4. Аналитический расчет потенциальной энергии, полученной на основе решения (20)-(23), сравнивался с соответствующими расчетами потенциальной энергии однослойной оболочки (24). Исходные данные: G1 = 5 МПа, К1 = 7 МПа, G2 = = 1 МПа, К2 = 1 МПа.

В табл. 6 приведены значения отклонений потенциальной энергии в зависимости от объемного содержания компонента у.

5. Задача о нагружении трехслойных пластин

На примере изгиба трехслойных пластин сравним приближенные решения, использующие новые эффек-

Рис. 4. Относительные отклонения потенциальных энергий двухслойной оболочки в зависимости от толщины. Индексы кривых соответствуют табл. 5

тивные модули, с решениями, полученными средствами программного комплекса ANSYS. Рассмотрено три схемы изгиба пластин под действием равномерно распределенной нагрузки: а) круглая трехслойная пластина, защемленная по контуру (рис. 5, а); б) круглая трехслойная пластина, шарнирно опертая по контуру; в) квадратная трехслойная пластина, защемленная по контуру (рис. 5, б). Исходные данные для расчетов: G1 = 5 МПа, К1 = 9 МПа, G2 = 1 МПа, К2 = 7 МПа.

На рис. 6 представлены графики отклонений значений потенциальной энергии круглой пластины, рассчитанных средствами комплекса ANSYS, от соответствующих значений потенциальных энергий однослойной пластины, свойства которой определяются тем или иным типом эффективных характеристик. Графики отклонений приведены в зависимости от объемного содержания компонента у. На рис. 7 представлены графики аналогичных отклонений для защемленной пластины.

Результаты расчета квадратной пластины приведены в табл. 7, где указаны максимальные относительные по-

Таблица 6

Отклонения потенциальной энергии деформации (%) в зависимости от объемного содержания

компонента у для двухслойной оболочки

Y WV WR WV WV WR WR W3 Wsr

0.1 14.43 -102.60 7.36 -43.53 5.56 -50.35 1.03 -19.08

0.2 23.34 -163.10 10.88 -74.07 7.70 -84.86 -6.14 -30.52

0.3 32.24 -184.10 16.04 -87.36 11.95 -99.70 -12.78 -32.52

0.4 41.14 -173.70 22.85 -84.96 18.27 -96.90 -16.62 -26.80

0.5 50.05 -139.90 31.28 -68.85 26.65 -78.99 -15.26 -14.55

0.6 58.95 -91.03 41.32 -41.55 37.06 -49.05 -6.33 3.15

0.7 67.85 -35.02 52.92 -6.35 49.42 -10.99 11.75 25.08

0.8 76.75 19.98 65.98 32.40 63.58 30.24 38.51 49.60

0.9 85.64 65.85 80.22 68.77 79.13 68.23 69.51 74.25

грешности числовых и приближенных расчетов с эффективными модулями в зависимости от у.

6. Обсуждение результатов

Предлагаемый метод построения модифицированных модулей Хашина-Штрикмана не претендует на математическую строгость вывода, поскольку не опирается на вариационные формулировки уравнений неоднородного упругого композита (в отличие от классической модели). Однако данный недостаток в некоторой степени компенсируется простотой и доступностью методики, позволяющей получить выражения новых эффективных характеристик композитных материалов. Данный метод может быть без труда обобщен на другие задачи механики композитов (например, многокомпонентный упругий композит, композит, обладающий анизотропией произвольного вида).

Другим преимуществом предлагаемого подхода является математическая формулировка методик получения новых эффективных характеристик на основе уже известных. Во-первых, это методика итерационного преобразования эффективных характеристик, во-вторых, это методика, основанная на процедуре среднегеометрического усреднения. Последняя может быть применена как для усреднения эффективных модулей Фойг-та и Рейсса, так и для усреднения нижних и верхних

оценок модулей Хашина-Штрикмана фойгтовского и рейссовского типов.

Необходимо отметить, что приведенные в настоящей работе итерационные процедуры получения новых эффективных характеристик на основе уже известных не являются единственно возможными. В частности, итерационные последовательности типа (9), (11) можно преобразовать в «перекрестные», полагая при этом а ^ ап, в ^ вп в правых частях указанных соотношений.

Проведенные числовые расчеты с модифицированными модулями типа Хашина-Штрикмана показали:

а) отклонения значений верхних и нижних оценок для классических и модифицированных эффективных модулей Хашина-Штрикмана незначительны: порядка 1-2 % в случае модулей сдвига и до 5-6 % для модулей объемного сжатия;

б) отклонения значений потенциальных энергий, соответствующих точному и приближенным решениям, носят устойчивый характер относительно типа решенных задач.

Максимальные двухсторонние отклонения дают расчеты с эффективными модулями Фойгта и Рейсса. Более умеренные (по точности) отклонения дают расчеты на основе верхних и нижних оценок эффективных модулей Хашина-Штрикмана фойгтовского и рейссовского ти-

Рис. 6. Относительные отклонения потенциальных энергий круглой пластины в зависимости от у. Индексы кривых соответствуют табл. 5

Рис. 7. Относительные отклонения потенциальных энергий круглой защемленной пластины в зависимости от у. Индексы кривых соответствуют табл. 5

Таблица 7

Отклонения потенциальной энергии деформации (%) в зависимости от объемного содержания компонента у в окрестности точки, имеющей максимальный прогиб

Y Wv Wv Wv WR Wr W3 Wsr

0.2 5.761 -12.400 2.343 -2.644 2.595 -2.467 1.640 0.165

0.4 10.724 -22.912 3.846 -5.787 4.386 -5.449 0.685 -0.217

0.5 12.649 -27.051 3.941 -7.702 4.626 -7.299 -1.024 -0.906

0.6 14.550 -29.438 3.997 -9.208 4.815 -8.760 -2.999 -1.466

0.8 15.952 -26.644 3.117 -10.298 4.066 -9.877 -6.860 -2.383

пов. Минимальные отклонения для всех типов решенных задач дают расчеты с итерированными и среднегеометрически осредненными эффективными модулями.

Проведение полномасштабных численных исследований и сравнений модифицированных и классических эффективных модулей Хашина-Штрикмана применительно к решениям различных типов задач и соотношений между Gа, Ка, а = 1, 2, не входило в цели настоящей работы. Однако проведенный анализ позволяет с большей долей уверенности рекомендовать найденные новые эффективные характеристики (итерационные и среднегеометрические) для приближенного прогноза напряженно-деформированного состояния неоднородных упругих конструкций.

7. Выводы

Получены выражения и численным путем определены свойства новых эффективных модулей типа Хаши-на-Штрикмана, которые позволяют решить достаточно широкий круг задач механики композитов.

Установлено, что двухсторонние оценки точных решений сохраняются для решений, полученных с помощью найденных новых эффективных характеристик. Предложен метод построения новых эффективных характеристик двухкомпонентного упругого композита на основе уже известных эффективных модулей.

С использованием численного анализа установлено, что для всех типов решенных задач минимальные расхождения в значениях потенциальных энергий, соответствующих точному и приближенным решениям, дают расчеты с итерированными и среднегеометрическими эффективными модулями.

Литература

1. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. - М.: Мир, 1982. — 334 с.

2. Eshelby J.D. The determination of the elastic field of an ellipsoid inclusion and related problems // Proc. Roy. Soc. Lond. A. - 1957. -V. 241. - P. 276.

3. RasoolA., Böhm H.J. Effects of particle shape on the macroscopic and microscopic linear behaviors of particle reinforced composites // Int. J. Engng. Sci. - 2012. - V. 58. - P. 21-34.

4. Klusemann B., Böhm H.J., Svendsen B. Homogenization methods for multi-phase elastic composites of non-ellipsoidal shape: Comparisons and benchmarks // Eur. J. Mech. A. Solids. - 2012. - V. 34. - P.21-37.

5. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. -М.: Наука, 1977. - 400 с.

6. Сендецки Д. Упругие свойства композитов. Т. 2: Механика компо-зитныж материалов. - М.: Мир, 1978. - 654 с.

7. Бахвалов Н.С., Панасенко Т.П. Осреднение процессов в периодических средах. - М.: Наука, 1984. - 352 с.

8. MatysiakS.J., Wozniak Cz. // J. Tech. Phys. - 1988. - V. 29. - No. 1. -P. 85-97.

9. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. - М.: Изд-во МГУ, 1984. - 336 с.

10. Светашков A.A. Прикладные задачи механики вязкоупругих материалов. - Томск: Изд-во ТПУ, 2012. - 205 с.

11. Светашков A.A., Куприянов H.A. Применение энергетического метода к определению эффективныж по времени модулей линейной вязкоупругости // Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. - № 3. - С. 6973.

12. Hashin Z. The elastic moduli of heterogeneous materials // J. Appl. Phys. - 1962. - V. 29. - P. 143-150.

13. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of elastic behavior of multiphase materials // J. Mech. Phys. Solids. - 1963. -V. 11. - P. 127-140.

14. Светашков A.A., Куприянов H.A., Манабаев K.K. Эффективные по времени вязкоупругие модули типа Хашина-Штрикмана // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 2. - С. 33-39.

15. Бекенбах Э., Беллман Р. Неравенства / Под ред. В.И. Левина. -М.: Комкнига, 2007. - 280 с.

16. Hill R. On uniqueness and stability in the theory of finite elastic strain // J. Mech. Phys. Solids. - 1957. - V. 5. - P. 229-241.

17. Hill R. Elastic properties of reinforced solids: some theoretical principles // J. Mech. Phys. Solids. - 1963. - V. 11. - P. 357-372.

18. Hardy G.H., Littlewood J.E., Polya G. Inequalities. - London: Cambridge University Press, 1951.

19. Погорелов В.И. Строительная механика тонкостенныж конструкций. - СПб.: БХВ-Петербург, 2007. - 528 с.

Поступила в редакцию 06.05.2015 г., после переработки 21.08.2015 г.

Сведения об авторах

Светашков Александр Андреевич, д.ф.-м.н., проф. ТПУ, svetashkov@tpu.ru Куприянов Николай Амвросьевич, к.т.н., доц. ТПУ, kupr88@gmail.com Манабаев Кайрат Камитович, ассист. ТПУ, kai1985@mail.ru