Применение метода моментов при оценивании функции плотности вероятности в виде линейной комбинации ортогональных функций

Как видно из таблицы, ошибка прогнозирования достаточно велика. Это говорит о том, что полученный прогноз является достаточно грубым.

Результаты вычислительного эксперимента

Элемент Показатель

Ошибка Rs Оценка дисперсии Ds выходной переменной xi Отношение W

Углерод, С ы 0,00019778 0,000234 0,845

Марганец, Mn (x2) 0,0004301358 0,0005404 0,85

Сера, S (x3) 0,00000755 0,00001183 0,64

Фосфор, P (x4) 0,00004077 0,000041137 0,99

На рис. 3 показан характер зависимости концентрации серы 8 (%) от содержания извести (т) в расходных материалах. График представляет собой срез при 14 фиксированных входных переменных и одной изменяющейся переменной м2 (содержание извести).

в

0,025

0 иЗ (Извет -1-1-1-и

-2 -1,5 -1 -0.5 0 0;5 1 1.5 2

Рис. 3. Характер зависимости концентрации серы от содержания в расходных материалах извести

Вышеуказанный рисунок показывает нелинейный характер рассматриваемой зависимости. Использование подобных моделей открывает возможность для качественного управления процессом конвертерной выплавки стали.

В докладе рассмотрена задача идентификации дискретно-непрерывных процессов в условиях непараметрической неопределенности. Вычислительные эксперименты показали, что управление процессом кислородно-конвертерной плавки ведется неудовлетворительно, но, тем не менее, соответствует технологическому регламенту. Полученные непараметрические модели требуют дальнейшего исследования [2; 3].

Библиографические ссылки

1. О непараметрическом моделировании стохастического объекта с памятью / А. В. Банникова [и др.] // Вестник СибГАУ. 2014. № 2 (54). С. 6-11.

2. Медведев А. В. Непараметрические системы адаптации. Новосибирск : Наука, 1983.174 с.

3. Корнеева А. А., Корнет М. Е. Непараметрическое моделирование конвертерной плавки // Известия вузов. Черная металлургия. 2013. Вып. 10. С. 24-28

References

1. Bannikova A. V., Korneeva A. A.,Kornet M. E., Sergeeva N. A. O neparametricheskom modelirovanii stohasticheskih ob'ekyov s pamat'u (About the non-parametric modeling of stochastic objects with memory) SibGTU, 2014, no. 2 (54), p. 6-11.

2. Medvedev A. V. Neparametricheskie sistemy adaptacii (Nonparametric adaptation systems). Novosibirsk: Nauka, 1983, 174 p.

3. Korneeva A. A., Kornet M. E. Neparametricheskoe modelirovanie konverternoi plavki (Nonparametric modeling converter melting). Izvestiya VYZov. Chernaya metalurgiya. 2013, no. 10 p. 24-28

© Банникова А. В., Корнет М. Е., 2014

УДК 519.2

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОМЕНТОВ ПРИ ОЦЕНИВАНИИ ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ В ВИДЕ ЛИНЕЙНОЙ КОМБИНАЦИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

В. В. Браништи

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

e-mail: branishti-v-v@yandex.ru

Рассматривается задача оценивания функции плотности вероятности по выборке значений случайной величины в виде линейной комбинации ортонормированных функций. Предлагается использовать метод моментов для оценивания коэффициентов. Предложенный метод был использован при восстановлении различных стандартных законов распределения.

Ключевые слова: плотность вероятности, статистическое оценивание, ортогональные функции, метод моментов, непараметрическая неопределённость.

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

APPLYING METHOD OF MOMENTS TO ESTIMATION OF PROBABILITY DENSITY FUNCTION BY LINEAR COMBINATION OF ORTHOGONAL FUNCTIONS

V. V. Branishti

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation e-mail: branishti-v-v@yandex.ru

A problem of probability density function estimating with sample of random variable values by linear combination of orthonormal function is considered. Using a method of moments to estimate the coefficients is proposed. The suggested method is used to restore different standard distribution laws.

Keywords: probability density, statistical estimation, orthogonal functions, method of moments, nonparametric indeterminacy.

Задача оценивания функции плотности вероятности уже долгое время является важной научно-технической задачей. От качества получаемых оценок плотности вероятности зависит качество основанных на ней алгоритмов классификации, распознавания образов, восстановления зависимостей и др. Причём зачастую исследователи оказываются в ситуации непараметрической неопределённости: неизвестна структура функции плотности вероятности, имеется лишь выборка случайной величины. В настоящее время имеется несколько непараметрических подходов для восстановления плотности вероятности непрерывной случайной величины по выборке. К ним относятся оценка Розенблатта-Парзена [1; 2] и оценка в виде линейной комбинации ортонорми-рованных функций [3; 4]. В [4] оценка функции плотности случайной величины X ищется в виде

/(х) = «0 Фо (х) + здС х) +... + аы Ф^ (X),

Подставляя вместо оценки /(х) её выражение (1), получим систему из (Ы + 1) уравнений и (Ы + 1) неизвестных:

«о ( Фо (х)) + а1 (1 Ф1(х)) +  + аы (1 Фы (х)) =1

1 п

ао (х, Фо(х)) + а1 (х, Ф1(х)) + " + ам (х, Фы (х)) = - X х,

a0 ( xN, ф0( x) ) + aJ (xN, ф-

( x) ) +...

, , J я

, ф^ ( x) )= - У x

где a

J n

= _ Уфу(xi); xJ,...,xn - независимая выборка

случайной величины X. В настоящей работе предлагается применение метода моментов [5] для оценивания параметров а^ .

В данном случае используются начальные моменты случайной величины. Согласно методу моментов, приравняем оценки начальных моментов рассчитанные по выборке, и их значения, полученные с использованием оценки f (х):

J я

f x f( x) dx = - У;

nt=J

—ад i = 1

j = 0,...,N .

где (хг, ф^ (х))= | хгф^ (х) dx - скалярное произведение

-ад

в функциональном пространстве Ь2 [6]. Эта система является невырожденной почти наверное. Решая эту систему, получим оценки параметров а^. Настройку значения N

предлагается проводить методом, изложенным в [7].

Данный метод был применён при восстановлении различных законов распределения. На рисунке показаны результаты оценивания функции плотности вероятности по выборке объёма п = 5о случайной величины, подчинённой равномерному, нормальному и треугольному законам распределения.

Предложенный метод, наряду с методами [3; 4], может применяться для настройки параметров а^

при оценивании функции плотности вероятности в виде (1). Данный метод также допускает обобщение на многомерный случай.

Результаты оценивания функции плотности вероятности для равномерного, нормального и треугольного законов распределения

i=J

Библиографические ссылки 2. Parzen E. On estimation of a probability density

1. Rosenblatt M. Remarks on some nonparametric function and mode // The Annals of Mathematical

estimates of a density function // The Annals of Statistics. 1962. Vol. 35, 3. P. 1065-1076. Mathematical Statistics. 1956. Vol. 27, 3. P. 832-837.

3. Ченцов Н. Н. Оценка неизвестной плотности распределения по наблюдениям // ДАН СССР. 1962. № 147, 1. С. 45-48.

4. Schwartz S. C. Estimation of probability density by an orthogonal series // The Annals of Mathematical Statistics. 1967. Vol. 38, 4. P. 1261-1265.

5. Крамер Г. Математические методы статистики / под ред. А. Н. Колмогорова. 2-е изд., стер. М. : Мир, 1975. 648 с.

6. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. 6-е изд., испр. М. : Наука, 1989. 624 с.

7. Браништи В. В. О параметрическом оценивании функции плотности вероятности // Научно-технический вестник Поволжья. 2014. № 1. С. 13-16.

References

1. Rosenblatt M. Remarks on some nonparametric estimates of a density function // The Annals of Mathematical Statistics. 1956. Vol. 27, 3. P. 832-837.

2. Parzen E. On estimation of a probability density function and mode // The Annals of Mathematical Statistics. 1962. Vol. 35, 3. P. 1065-1076.

3. Chentsov N. N. Otsenka neizvestnoy plotnosti raspredeleniya po nabludeniyam // DAN SSSR. 1962. № 147, 1. P. 45-48.

4. Schwartz S. C. Estimation of probability density by an orthogonal series // The Annals of Mathematical Statistics. 1967. Vol. 38, 4. P. 1261-1265.

5. Kramer G. Matematicheskiye metody statistiki / pod red. A. N. Kolmogorova. 2nd ed., ster. Moskow : Mir, 1975. 648 p.

6. Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementy teorii funktsiy i functsional'nogo analiza. 6th ed., ispr. Moskow : Nauka, 1989. 624 p.

7. Branishti V. V. O parametricheskom otsenivanii functsii plotnosti veroyatnosti // Nauchno-tekhnicheskiy vestnik Povolzh'ya. 2014. № 1. P. 13-16.

© EpaHHmra B. B., 2014

УДК 519.87

АДАПТИВНАЯ МОДИФИКАЦИЯ АЛГОРИТМА MOEA/D-DRA ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ БИНАРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ*

К. Ю. Брестер1, С. С. Бежитский2

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 E-mail: abahachy@mail.ru1, bezhitsk@mail.ru2

Описывается эволюционный алгоритм многокритериальной оптимизации, основанный на декомпозиции с применением подхода Чебышева. Приводится его адаптивная модификация для решения задач бинарной оптимизации. Предложены механизмы автоматического выбора генетических операторов.

Ключевые слова: эволюционный алгоритм, многокритериальная оптимизация, адаптация.

ADAPTIVE MODIFICATION OF THE MOEA/D-DRA ALGORITHM FOR SOLVING BINARY

OPTIMIZATION PROBLEMS*

K. Yu. Brester1, S. S. Bezhitskiy2

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation E-mail: 1abahachy@mail.ru, 2bezhitsk@mail.ru

An evolutionary multi-objective algorithm based on the decomposition idea with Chebyshev approach application is described. Its adaptive modification for solving binary optimization problems is provided. Techniques for choosing genetic operators in an automatic way are considered.

Keywords: evolutionary algorithm, multi-objective optimization, adaptation.

Современные стохастические методы оптимизации представляют собой эффективный алгоритмический аппарат, предназначенный для решения одно- [1; 2] и многокритериальных задач [3], с ограничениями [4] и без [5], а также задач комбинаторной оптимизации [6]. Однако было установлено, что оптимизационные

задачи, математическая модель которых содержит пять и более функционалов, представляют особую сложность для существующих методов [7]. В 2009 г. международным научным сообществом были разработаны тестовые задачи большой размерности, включающие два, три и пять критериев качества [8].

*Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ на 2014-2015 гг. (МК-5391.2014.9).