Регрессионный анализ характера зависимости толщины пленки углерода от температуры: тезисы доклада

УДК 519.2

Регрессионный анализ характера зависимости толщины пленки углерода

от температуры: тезисы доклада

А. М. Ревякин, А. В. Бардушкин

Национальный исследовательский университет «МИЭТ», Москва, Россия i170k@yandex.ru

Regression Analysis of Type of the Carbon Film Thickness Dependence

on Temperature

A. M. Revyakin, A. V. Bardushkin

National Research University of Electronic Technology, Moscow, Russia i170k@yandex.ru

The authors did build regression model of the carbon film thickness change depending on temperature. They have shown a strong linear relation of the studied factors. The authors did obtain interval estimates for the main regression parameters and established the significance of their model. They did make a conclusion about possibility to predict the characteristics of graphite na-noscale films based on the regression equations.

Keywords: regression model; hypothesis testing; model significance.

Исследование уникальных свойств графена является сегодня одним из наиболее перспективных направлений разработки микро- и наноэлектронных устройств. Графен — это двумерная структура, в которой атомы углерода выстроены в форме правильных шестиугольников. Графен обладает рядом свойств, в том числе является полупроводником. Однако электронные свойства графена быстро меняются при увеличении количества слоев.

Структуры с числом слоев больше десяти называют пленками графита. Воспользуемся данными исследований

© Ревякин А. М., Бардушкин А. В.

наноструктур на основе слоев гра-фена [1]. При разработке технологии формирования таких наноструктур синтез наноразмерных пленок графита осуществлялся на поверхности никелевого катализатора на кремниевой подложке.

Известны размеры Y (нм) толщины пленки углерода при изменении температуры X (см. таблицу). Требуется определить тип зависимости, степень коррелированности компонент двумерного вектора (X; Y), показать статистическую значимость построенной модели.

Ревякин А. М., Бардушкин А. В.

X 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700

У 0,852 0,828 0,801 0,770 0,736 0,697 0,654 0,606 0,552 0,493 0,428

Объем двумерной выборки п = 11. Диаграмма рассеивания представлена на рисунке.

интервальная оценка. Соответствующий доверительный интервал:

-0,9968 < р < -0,9504.

Для негруппированной двумерной выборки составим уравнения прямых регрессий У на х:

У

и X на у:

Диаграмма рассеивания и график уравнения выборочной линейной регрессии

Проведем вычисление параметров выборки для негруппированных данных [2; 3; 4]: выборочные средние х = 650, у = 0,6743, несмещенные оценки дисперсий = 1100, = 0,0198, выборочная корреляция р хг = -0,9886.

Проверим гипотезу о наличии корреляции. Для небольшой по объему выборки выберем статистику

для проверки гипотезы Н0 : рх У = р0, где

.л 1, 1 + *

агтх = — 1п-,

2 1-х

а р0 = 0, против любой из альтернатив. Выборочное значение статистики ив = = -7,2937, квантиль и0975 = 1,96. Поскольку |ив| > и0 975, то гипотеза Н0 отклоняется в пользу альтернативной гипотезы. Корреляция значима на уровне а = 0,05.

При малом объеме выборки для коэффициента корреляции необходима еще

Получим у = 3,4025 - 0,0042х, х = = 806,9885 - 232~8265у. Прямые у = ах + + Ь и х = а у + Ь пересекаются в точке с координатами (650; 0,06743), причем угол между ними практически нулевой, так как коэффициент корреляции близок к минус единице. На рисунке показан график прямой регрессии У на х.

Качество аппроксимации результатов наблюдений выборочной регрессией у = ах + Ь определяется величиной остаточной дисперсии, вычисляемой по формуле

п-2

п ^

Остаточная сумма квадратов ))е =2 (у. - у .)2 равна сумме квадратов разностей между наблюдаемыми значениями переменной У при х = х и расчетными значениями у = ах. + Ь. Эти разности называются остатками и в данном случае имеют значения: -0,0142; 0,0008; 0,0118; 0,0198; 0,0227; 0,0217; 0,0157; 0,0036; -0,0364. Коэффициент детерминации характеризует ту долю разброса результатов наблюдений относительно горизонтальной прямой у = у, которая объясняется выборочной регрессией у = ах + Ь. Вычисленное нами

Рационализм и универсалии культуры: материалы международной научно-практической конференции

значение коэффициента детерминации Я2 = 0,9772 показывает, что уравнение регрессии у = 3,4025 - 0,0042х на 97,72 % объясняет общий разброс результатов наблюдений относительно горизонтальной прямой у = 0,6743.

Проверим значимость линейной регрессии Уна х при а = 0,05. Построим доверительный интервал для коэффициента ~ [3]. Гипотеза Н0: а = 0 отклоняется на уровне значимости а = 0,05, так как доверительный интервал

-0,0047 < а < -0,0037 не накрывает нуль с доверительной вероятностью 0,95.

Этот же результат можно получить, используя для проверки гипотезы Н0 : а = 0 статистику ^ = (п — 2) • (2„ Ю , где

п ~ _ Я е

=2 (у. — у)2 — сумма квадратов, об-

Я I — 1 '

условленная регрессией. Выборочное значение статистики / = 386,3656. Если

2 2 то нет оснований отвергать гипотезу Н0 : а = 0; иначе Н0 отклоняется (здесь ^,(1; п — 2) — квантиль распределения Фишера с 1 и п — 2 степенями свободы). Поскольку / £ (0,0010; 7,5709), то гипотеза Н0 : а = 0 отклоняется на уровне значимости а = 0,05. Таким образом, линейная регрессия У на х статистически значима.

При попытке построить полиномиальную аппроксимацию данных коэффициент при старшей степени для квадратичной функции оказался практически нулевым.

Таким образом, наблюдаемая зависимость (см. таблицу) хорошо описывается линейной моделью. Полученные нами уравнения регрессий могут использоваться для прогнозирования толщины пленки графита при небольших изменениях температуры, при условии сохранения химических и физических состояний материалов.

Графитовые пленки, наряду с электронными, обладают ценными теплофи-зическими и механическими свойствами (в том числе упругостью), поэтому их изучение актуально в первую очередь при разработке оптоэлектронных изделий и в целом для наноэлектроники.

Литература

1. Левин Д. Д. Разработка и исследование технологии формирования наноструктур с проводящим каналом на основе слоев графена: ав-тореф. дис. ... канд. техн. наук. М., 2015. 21 с.

2. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. 8-е изд., испр. М.: Ленанд, 2015. 304 с.

3. Лабораторный практикум по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» / В. В. Бардушкин, В. В. Лесин, В. Н. Зем-сков, Н. Н. Мустафин. М.: МИЭТ, 2009. 116 с.

4. Задания для выполнения лабораторных и индивидуальных работ по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» с использованием пакета MATLAB / В. В. Бардушкин, И. В. Бардушкина, В. В. Лесин, А. М. Ревя-кин // Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB: Мат-лы V Меж-дунар. науч. конф. (г. Харьков, 11—13 мая 2011 г.) / Сост. В. В. Замаруев. Харьков: БЭТ, 2011. С. 471—533.

Ревякин Александр Михайлович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики № 2 Национального исследовательского университета «МИЭТ» (Россия, 124498, Москва, г. Зеленоград, пл. Шокина, д. 1), arevyakin@mail.ru

Бардушкин Андрей Владимирович — студент группы ЭКТ-43 Национального исследовательского университета «МИЭТ» (Россия, 124498, Москва, г. Зеленоград, пл. Шокина, д. 1), i170k@yandex.ru

References

1. Levin D. D. Razrabotka i issledovanie tekh-nologii formirovaniya nanostruktur s provodyashchim kanalom na osnove sloev grafena, avtoref. dis. ... kand. tekhn. nauk (Development and Study of Technology of Nanostructures Formation with Conducting Channel Based on Graphene Layers, Extended Abstract of Cand. Sci. (Engineering) Dissertation), M., 2015, 21 p.

2. Chistyakov V. P. Kurs teorii veroyatnostei (Course of Theory of Probability), 8-e izd., ispr., M., Lenand,2015, 304 p.

PeexKuu A. M, EapdymKun A. B.

3. Laboratornyi praktikum po kursu "Teoriya veroyatnostei i matematicheskaya statistika" (Laboratory Practicum on Theory of Probability and Mathematical Statistics), by V. V. Bardushkin, V. V. Lesin, V. N. Zemskov, N. N. Mustafin, M., MIET, 2009, 116 p.

4. Zadaniya dlya vypolneniya laboratornykh i individual'nykh rabot po kursu "Teoriya veroyatnostei i matematicheskaya statistika" s ispol'zovaniem paketa MATLAB (Tasks for Laboratory and Independent Work in "Theory of Probability and Mathematical Statistics" Course Using MATLAB Software), by V. V. Bardushkin, I. V. Bardushkina, V. V. Lesin, A. M. Revyakin, Proektirovanie inzhe-nernykh i nauchnykh prilozhenii v srede MATLAB: Mat-ly V Mezhdunar. nauch. konf. (g. Kharkov, 11— 13 maya 2011 g.), Sost. V. V. Zamaruev, Khar'kov, BET, 2011, pp. 471-533.

Revyakin Alexander M., Ph.D. of physical and mathematical sciences, associate professor, associate professor of Higher Mathematics Department No. 2, National Research University of Electronic Technology (Shokin Square, 1, 124498, Moscow, Zelenograd, Russia), arevyakin@mail.ru

Bardushkin Andrey V., student of EKT-43 group, National Research University of Electronic Technology (Shokin Square, 1, 124498, Moscow, Zelenograd, Russia), i170k@yandex.ru