О разрешимости периодической краевой задачи и задачи Дирихле для функционально-дифференциальных уравнений второго порядка

УДК 517.929

О РАЗРЕШИМОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

© Е.И. Бравый

Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения; краевые задачи; периодическая краевая задача; задача Дирихле; условия однозначной разрешимости. Для всех уравнений из семейств линейных функционально-дифференциальных уравнений второго порядка, заданных поточечными ограничениями на коэффициенты, получены необходимые и достаточные условия разрешимости краевой задачи Дирихле и периодической краевой задачи.

Задача Дирихле и периодическая задача — краевые задачи, наиболее часто встречающиеся в приложениях функционально-дифференциальных уравнений. В последние годы условиям однозначной разрешимости этих задач посвящено множество работ, например, [1—7]. В части работ условия существования решения краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений получены в случае, когда на функциональные отклонения аргумента (запаздывание или опережение) не накладывается никаких ограничений, иногда ограничения на отклонения аргумента являются ограничениями метода, а не постановки задачи. Оказывается, для линейных функционально-дифференциальных уравнений существуют достаточные условия существования решения, которые являются неулучшаемыми в следующем смысле: если эти условия не выполнены, то найдется такое отклонение аргумента, что краевая задача не имеет решения. Эти достаточные неулучшаемые условия могут быть сформулированы в виде необходимых и достаточных условий того, что краевая задача имеет решения для всех функционально-дифференциальных уравнений из заданного семейства уравнений. Для некоторых семейств уравнений, определяемых интегральными ограничениями на коэффициенты, такие необходимые и достаточные условия уже получены [3-7].

Здесь для семейств линейных функционально-дифференциальных уравнений второго порядка, определяемых поточечными ограничениями, будут найдены необходимые и достаточные условия разрешимости периодической краевой задачи и задачи Дирихле. Проверка этих условий заключается в решении задачи конечномерной оптимизации.

Мы рассматриваем задачу Дирихле

Г Х(*) = (Тх)(*) + f (*), * € [0,1],

\ х

и периодическую краевую задачу

Г Х(*) = (Тх)(*) + f (*), * € [0,1],

\ х

где Т : С[0,1] ^ Ь[0,1] — линейный ограниченный оператор, f € Ь[0,1] , с0 , С1 € М , решение X : [0,1] ^ М задач (1) или (2) абсолютно непрерывно вместе со своей производной на отрезке [0,1] (здесь пространства вещественных непрерывных и суммируемых функций на [0,1] со стандартными нормами будем обозначать С[0,1] и Ь[0,1] соответственно). Оператор Т : С[0,1] ^ Ь[0,1] называется положительным, если отображает неотрицательные функции в почти всюду неотрицательные.

Обозначим G(t, s) функцию Грина двухточечной задачи

X(t) = f (t), t € [0,1], x(0) = 0, x(1) = 0,

определенную равенством

(t - 1)s при 0 ^ s ^ t ^ 1,

С(М) \ (в - 1)* при 0 < < 1.

Теорема 1. Пусть задана неотрицательная функция р € Ь[0,1] . Задача Дирихле (1) является однозначно разрешимой при всех линейных положительных операторах Т : С[0,1] ^ Ь[0,1] , удовлетворяющих условию

(Т1 )(*)= р, * € [0,1],

тогда и только тогда, когда

mm

1 — Ц G(t1, s)p(s) ds 1 — /0 G(t1, s)p(s) ds — ftl G(t2, s)p(s) ds 1 — /0 G(t2, s)p(s) ds

> 0.

Далее используем следующие обозначения: для любой функции г € Ь[0,1] г+(*) ^ (г(*) + |г(*)|)/2, г-(*) = (|г(*)| - г(*))/2, для ¿1 , ¿2 € [а, Ь] и г € Ь[0,1]

дн(в) = С(*2,в) - ^(¿1,8), 8 € [0,1],

' а

Теорема 2. Пусть заданы неотрицательные функции р, д € Ь[0,1] и

P = f (p(s) — q(s) ds = 0. 0

Периодическая задача (2) имеет единственное 'решение при всех таких линейных ограниченных операторах Т : С[0,1] ^ Ь[0,1] , что

Т = Т+ - Т-, Т+1 = р ,Т-1 = д,

и линейные операторы Т + , Т- : С[0,1] ^ Ь[0,1] положительны, тогда и только тогда, когда

O^fki/ (P(t)g+1>t2,(P-q)/P(t)+ q(t)g-1,t2,(p-q)/P(t0 dt< 1-

ЛИТЕРАТУРА

1. Mukhigulashvili S. The Dirichlet boundary value problems for strongly singular higher-order nonlinear functional-differential equations // Czechoslovak Mathematical Journal. 2013. V. 63. № 1. P. 235-263.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений: Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

3. Hakl R., Lomtatidze A., PuZa B. On periodic solutions of first order linear functional differential equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 2002. Vol. 49. № 7. P. 929-945.

4. Hakl R., Lomtatidze A., Sremr J. Some boundary value problems for first order scalar functional differential equations. Brno: Masaryk University, 2002.

5. Kiguradze I., PuZa B. Boundary value problems for systems of linear functional differential equations. Brno: Masaryk University, 2003.

6. Бравый Е.И. Разрешимость краевых задач для линейных функционально-дифференциальных уравнений. Москва; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2011.

7. Бравый Е.И. О разрешимости периодической краевой задачи для линейных функционально-дифференциальных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2011. Т. 16. № 4. С. 1029-1032.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках госзадания Минобрнауки РФ (задание 2014/152, проект 1890) и поддержана РФФИ (проект 14-01-00338).

Поступила в редакцию 27 мая 2015 г.

Bravyi E.I. ON SOLVABILITY OF PERIODIC BOUNDARY VALUE PROBLEM AND DIRICHLET PROBLEM FOR SECOND ORDER FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATIONS

The Dirichlet boundary value problem and the periodic boundary value problem for for some classes of linear second-order functional-differential equations are considered. Necessary and sufficient conditions of a unique solvability of the boundary value problem for all equations from these classes are obtained.

Key words: functional-differential equations; boundary value problems; periodic boundary value problem; solvability conditions; Dirichlet problem.

Бравый Евгений Ильич, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник научно-исследовательского центра «Функционально-дифференциальные уравнения», email: bravyi@perm.ru

Bravyi Evgenii Ilich, Perm National Research Polytechnical University, Perm, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher of the Research Center «Functional-Differential Equations», e-mail: bravyi@perm.ru

УДК 517.968.4

ON CONNECTION BETWEEN CONTINUOUS AND DISCONTINUOUS HOMOGENIZED NEURAL FIELD EQUATIONS

© E. Burlakov, A. Ponosov, J. Wyller

Key words: discontinuous Hammerstein equations; solvability; continuous dependence. We study existence and continuous dependence of the solutions to the Hammerstein equation under the transition from continuous nonlinearities in the Hammerstein operator to the Heaviside nonlinearity in a vicinity of the solution, corresponding to the discontinuous nonlinearity case.

We consider the following generalization of the homogenized Amari neural field equation

dtu(t,x,xf) = — u(t, x,xf)+ / / w(x — y, xf — yf)/д(u(t,y))dyfdy,

i Y (d

t > 0, x € S С Rm, Xf € У e Rk,