Оценки высокой степени точности для сложности булевых формул в некоторых базисах из элементов с прямыми и итеративными входами

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

УДК 519.714

С. А. Ложкин, В. А. Коноводов

ОЦЕНКИ ВЫСОКОЙ степени точности ДЛЯ СЛОЖНОСТИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ В НЕКОТОРЫХ БАЗИСАХ ИЗ ЭЛЕМЕНТОВ С ПРЯМЫМИ И ИТЕРАТИВНЫМИ ВХОДАМИ1

Аннотация.

Актуальность и цели. В математической кибернетике одной из основных задач является задача синтеза управляющих систем, заключающаяся в построении схемы из заданного класса, которая реализует заданную функцию алгебры логики. При решении этой задачи часто требуется учитывать различного рода ограничения на структуру и параметры управляющих систем. Такие ограничения часто более точно описывают реальные вычисления, а исследование сложности функций в моделях с ограничениями представляет большой теоретический интерес. Рассматриваемое в данной работе ограничение относится к способам соединения элементов в схеме. Входы элементов схем делятся на два типа - прямые и итеративные. Итеративные входы служат для присоединения к ним выходов других элементов, а прямые входы являются входами схем. Задача синтеза в этой модели рассматривается для случая формул, т.е. схем без ветвлений выходов элементов. Целью данной работы является получение оценок функции Шеннона высокой степени точности для сложности формул в некоторых полных базисах указанного типа, т.е. оценок, в которых устанавливается асимптотика второго члена асимптотического разложения этой функции. Ранее была получена только асимптотика функции Шеннона для базисов, итеративное замыкание которых содержит класс монотонных функций, оценки высокой степени точности для широких классов базисов в этой модели известны не были.

Материалы и методы. В работе, в частности, приводится модификация известного ранее оптимального метода синтеза формул с использованием техники моделирования функций алгебры логики переменными на компонентах специальных разбиений множества наборов булева куба. В основе конструкции лежит построение специальных формул, которые реализуют функции, имеющие селекторные разбиения множества своих переменных с константной энтропией.

Результаты. Получены оценки высокой степени точности функции Шеннона для сложности формул алгебры логики в некоторых полных базисах с прямыми и итеративными переменными, итеративное замыкание которых содержит класс монотонных функций.

Выводы. Впервые в классе формул в базисах с прямыми и итеративными входами выделен достаточно широкий подкласс, в котором получены оценки высокой степени точности функции Шеннона для их сложности.

Ключевые слова: булевы формулы, прямые и итеративные переменные, синтез, сложность, функция Шеннона, асимптотические оценки высокой степени точности.

S. A. Lozhkin, V. A. Konovodov

FINE PRECISION ESTIMATION OF BOOLEAN FORMULAS’ COMPLEXITY IN SOME BASES CONSISTING OF GATES WITH DIRECT AND ITERATIVE INPUTS

1 Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 15-01-07474-а.

16

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Математика

Abstract.

Background. One of the main problems in mathematical cybernetics is the problem of control systems synthesis, consisting in building of a circuit from the given class that will realize the given function of logic algebra. At solving of the problem one often needs to take into account various limitations of control systems’ structure and parameters. Such limitations often describe real calculations more precisely, and the research of function complexity in models with limitation is of great theoretical interest.

In the present work the limitation is associated with methods of gates connection in a circuit. Circuit gates’ inputs are divided into 2 types - direct and iterative. Iterative inputs are used for connection of other gates’ outputs to them, and direct inputs serve as circuits’ inputs. The synthesis problem in this model is considered for a case of formulas, i.e. circuits without gates’ inputs branching. The aim of the work is to estimate the Shannon function of fine precision for formulas’ complexity in some complete bases of the given type, i.e. the estimates that reveal asymptotics of the second term of asymptotic expansion of the said function. Earlier there has only been obtained the asymptotics of the Shannon function for bases, iterative bridging of which includes a class of monotonic functions; estimates of fine precision for wide basis classes in the present model haven’t been revealed.

Materials and methods. In this work in particular the authors show the modification of the previously known optimal method of formulas synthesis using the technique of logic-algebra functions modeling by variables on components of special partitions of multiple sets of the Boolean cube. These structures are based on the building of special formulas that realize functions, having gate partitions of multiple own variables with constant entropy.

Results. The authors obtained estimates of fine precision of the Shannon function for formulas complexity of logic algebra in some complete bases with direct and iterative variables, iterative bridging of which includes a class of monotonic functions.

Conclusions. For the first time in the class of formulas in bases with direct and iterative inputs there has been singled out quite a wide sub-class, in which there has been obtained the estimates of fine precision of the Shannon function for complexity thereof.

Key words: Boolean formulas, direct and iterative variables, synthesis, complexity, Shannon function, asymptotic estimates of fine precision.

Введение

Рассматривается задача оптимальной по сложности реализации произвольных булевых функций формулами над конечным базисом A, элементы которого имеют входы двух типов - прямые и итеративные. Данная задача синтеза решается в рамках модели [1], которая предполагает, что при построении формулы или схемы над базисом A прямые входы элементов этого базиса могут присоединяться только к ее входам или константам 0, 1, а их итеративные входы, кроме того, к выходам других элементов. При этом исследуется асимптотическое поведение функции Шеннона (n) для сложности формул над A, реализующих функции от n «прямых»

переменных.

Согласно [2] для произвольного базиса A рассматриваемого вида аналогичная функция Шеннона 2^ (n) для сложности схем из

функциональных элементов асимптотически равна рд • 2n / n , где рa -

Physical and mathematical sciences. Mathematics

17

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

некоторая константа, определяемая базисом А. В работе [2] также получены асимптотические оценки высокой степени точности этой функции, т.е.

оценки, позволяющие указать не только асимптотику Ai (n), но и асимптотику первого остаточного члена ее асимптотического разложения.

В работе [3] было показано, что функция Шеннона A a

асимптотически равна рa--------, где р a - константа, определяемая базисом

log2 n

А, если итеративное замыкание базиса А, т.е. множество тех функций от итеративных переменных, которые можно реализовать формулами над А, содержит класс монотонных функций. В работе [4] было установлено, что в любом другом случае всегда найдется базис А с таким же, как и у базиса А, итеративным замыканием, для которого функция Шеннона A a (n) имеет

rsn

порядок роста 2 .

В данной работе показана возможность получения в некоторых базисах А из элементов с прямыми и итеративными входами, итеративное замыкание которых содержит класс монотонных функций, асимптотических оценок высокой степени точности функции Шеннона для сложности формул в них. А именно, во множестве указанных базисов выделяется подкласс, для любого

базиса А которого выполняется равенство A a (n) = Pa ‘

>n (

1 ±

0

log n V log n

устанавливающее поведение функции Шеннона Aa (n) с отностительной

погрешностью вида

0

( 'j

V log n у '

1. Основные определения и результаты

Пусть X = {xi,*2, —} и Y = {yi,y2, } - счетные множества булевых переменных, причем переменные из множества X (из Y) будем называть прямыми (соответственно, итеративными). Для каждого множества переменных Z обозначим через РДZ) множество всех функций, зависящих от переменных из Z. Функции, не имеющие общих существенных переменных, будем называть независимыми.

На множестве РДX u Y) согласно [1] определим следующие операции суперпозиции:

1) переименование (с отождествлением) прямых переменных;

2) подстановка констант 0, 1 вместо переменных;

3) переименование (без отождествления) итеративных переменных;

4) подстановка одной из двух независимых функций вместо итеративной переменной другой функции;

5) замена итеративных переменных прямыми переменными;

6) отождествление итеративных переменных.

Пусть А с РДX u Y) - некоторое конечное множество базисных функций. В соответствии с введенными операциями суперпозиции будем рассматривать одновыходные схемы из функциональных элементов (в дальнейшем - просто схемы) над базисом А, в которых:

18

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Математика

- прямые входы любого элемента либо присоединяются к входам схемы, либо являются константными входами (вход называется константным, если вместо него в базисный элемент подставлена константа 0 или 1);

- итеративные входы любого элемента либо присоединяются к выходам других элементов, либо присоединяются к входам схемы, либо являются константными входами;

- неконстантным входам схемы сопоставлены некоторые переменные из множества X.

Под формулами будем понимать те одновыходные схемы, в которых выход любого элемента либо поступает на вход ровно одного (другого) элемента, либо является выходом схемы.

Систему функций A, A с P2(X u Y), будем называть полной, если для любой функции f , f е р (X), существует формула над A указанного вида, реализующая функцию f .

Рассмотрим произвольный полный базис A = {£,.., £ь},

A с P2( X u Y). Будем считать, что каждый элемент £, i = 1,..,b , имеет вес Ц и ki входов, при этом k' из них прямые, а k" ~ ki — к' - итеративные. Приведенным весом элемента £, i = 1,..,b, такого, что ki > 1, назовем величину

Pi =

ki—г

Без ограничения общности будем считать, что k''~ 0 для всех i, b' < i < b , где 1 < b' < b , при этом базис A разбивается на два множества

A ~{£1,--,£b'}, A ~{eb'+1,---,eb},

во втором из которых все входы каждого элемента прямые.

Назовем макроблоком [3] в базисе A схему из функциональных элементов в этом базисе, состоящую из одного элемента £ j е A',

jе {1,.,b'}, такого, что k'j > 1, и т, 0 < m < kj — 1, элементов

£ ,...,£ е A'', где /j,.,im е {b' +1,...,b}, выходы которых подаются на

1 т

итеративные входы элемента £j .

Прямыми входами макроблока будем считать входы элементов £ ,...,£i , а также все свободные (т.е. те, на которые не подаются выходы

1 т

других элементов макроблока) входы элемента £j , кроме одного из его

итеративных входов, который будем считать единственным итеративным входом макроблока.

Таким образом, макроблок M имеет суммарный вес

~Lj + Ц +... + Ц , а число его входов равно kM ~ki +... + kt + kj — т .

1 т 1 т

Приведенным весом макроблока M назовем величину

рМ

Ad

kM — 1

Physical and mathematical sciences. Mathematics

19

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Макроблок M указанного вида назовем каноническим, если m = kj — 1

и ii=... = im или m = 0 во введенных выше обозначениях. Макроблок над базисом A назовем минимальным, если он имеет минимальный приведенный вес среди всех макроблоков в этом базисе. В работе [3] показано, что в любом базисе A рассматриваемого вида существует минимальный канонический макроблок.

Приведенным весом ра базиса A назовем минимальный приведенный вес его элементов из A и всех минимальных макроблоков в этом базисе. Пусть A - множество элементов базиса A, состоящее из элементов A с приведенным весом, равным ра , и всех элементов A, входящих в минимальные макроблоки с приведенным весом р A .

Сложностью A(F) (рангом R(F)) формулы F в базисе A будем называть сумму весов всех входящих в нее элементов (соответственно, число вхождений переменных в формулу F). Функцией Шеннона A(n) для сложности формул в базисе A, как обычно, будем называть максимальное значение Аа(f) среди всех функций f , f е P2({x1,...,xn}), где Аа(f) -минимальная сложность формулы из рассматриваемого класса, реализующей функцию f . Для любой формулы F будем называть ее приведенным весом отношение

A

R(F) — Г

Пусть A с P>(X и Y). Множество тех функций, которые можно получить из функций системы A в результате применения операций суперпозиции 1-6, описанных выше, обозначим через [A]. Множество всех функций множества [A], зависящих только от итеративных переменных, обозначим

S

и будем называть итеративным замыканием базиса A (см. [1, 4]). Введение оператора 5 позволяет классифицировать все системы функций от прямых и итеративных переменных по их итеративным замыканиям. Множество 5(A) представляет собой «обычный» замкнутый класс (см., например, [5]) в /^(Y), содержащий константы, и поэтому совпадает с одним из классов системы

A = (B,I ,O ,D,K ,L,M ,P2(Y)},

где B = {0,1}, I = Y и B, O = I и (y:y е Y}; класс D (класс K) содержит константы и дизъюнкции (соответственно, конъюнкции) переменных Y , а классы L и M состоят из линейных и монотонных функций от переменных Y соответственно.

В работе [3] показано, что для любой полной системы функций A , A с P2 (X и Y), такой, что

5( A) е{М, P2(Y)},

20

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Математика

справедливо соотношение

Ai(п) ~ РA

2п

log n

а в [4] установлено, что для каждого 5, 5е {I,O,D,K,L}, существует базис Л такой, что 5(Л) = 5, и при этом2

£л (п) = 0

a (п) = 0(2п).

Основным результатом данной работы является следующее утверждение.

Теорема. Пусть Л, Л с Р?(X u Y), - конечный полный базис функций

такой, что 5(Л) е {P2(Y),M}. Тогда при растущем значении натурального аргумента п , п > 2, справедливо соотношение

>*A (п) = Рл

2п Г1 ± ОД 2

log п ^ log п у

Таким образом, для специальных классов базисов из элементов с прямыми и итеративными входами, в которых функция Шеннона для

сложности формул имеет «стандартный» порядок роста

2

log п

, впервые

получены асимптотические оценки высокой степени точности этой функции.

2. Некоторые определения и вспомогательные результаты

Формулу AF , в записи которой переменная z, z е X u Y , встречается только один раз, будем называть бесповторной по переменной z.

Из работы [6] и леммы о немонотонной функции (см, например, [5]) следует, что для любого базиса Л, Л с P2(X u Y), такого, что 5(Л) е {P2(Y),M}, существуют бесповторные по своим существенным переменным формулы , реализующие функции yi  У2, y v У2,

xi соответственно.

Пусть </ - формула, реализующая функцию из P2(X u Y). Будем говорить, что формула AF является надстройкой над формулой @, если ^ получена из Q добавлением в нее некоторых элементов из Л" и

1 Асимптотическое равенство а(п) ~ Ь(п) равносильно одновременному выполнению

асимптотических неравенств а

означает, что а(п) < (1 + о(1))Ь(п) при п ^^ . Все логарифмы в настоящей работе рассматриваются по основанию 2.

2 Запись f (п) = O (g(п)) для неотрицательных функций f (п) и g(п) натурального аргумента п означает, что найдется константа c > 0 такая, что f (п) < c  g(п) . Запись f (п) = 0(g (п)) означает одновременное выполнение равенств f (п) = O(g (п)) и g(п) = O(f (п)) .

Physical and mathematical sciences. Mathematics

21

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

присоединением их выходов к итеративным входам формулы @. Докажем следующее утверждение.

Пусть ф(zj,...,zn) - функция, существенно зависящая от всех своих переменных из множества Zф = {zj,...,zn} с X иY , а D - разбиение множества Zф на непересекающиеся непустые подмножества Zj,...,Z$. Разбиение D называется селекторным [7] для функции ф(zj,...,zn), если для каждого i, i = \,..,d, и для любой переменной z , zе Zi, найдутся константы aj,...,Щ-j,аг-+j,...,ad такие, что при подстановке их вместо переменных из Zj,...,Zi-j,Zi+j,.,Zd соответственно выполняется равенство ф = z ©аг-, а, е B.

Энтропией [7] разбиения D указанного вида называется величина

н ( d )=-zlZ

i=j ^ф

log

Лемма 1. Пусть A, A с P2(X и Y), - конечный полный базис функций такой, что 5(A) е {P2(Y),M}. Тогда для любого натурального N, N > i,

найдется формула F(N) в базисе A, реализующая функцию от N + O(j) переменных, имеющую селекторное разбиение D этих переменных с энтропией H (D ) = O(j), и для которой справедливо соотношение

Доказательство. Так как M с 5(A), то существуют бесповторные формулы Fj и F2 над A такие, что подстановками констант из них можно получить функции yjу2 и yj v У2 соответственно.

Рассмотрим формулу Fj и построим формулу в виде цепи

элементов из формулы Fj , соединенных через один из итеративных входов.

Заметим, что число итеративных входов в формуле Fj совпадает с числом итеративных входов Fj . Дополним каждый элемент построенной таким образом линейной суперпозиции, имеющий приведенный вес больший, чем р a , до соответствующего ему минимального канонического макроблока

элементами e(j),...,e(j)е A”, взятыми от различных в совокупности прямых

ij

переменных, где b' < ij,...,ip < b , а число p + j равно числу «свободных» итеративных входов, дополняемых до макроблоков элементов A, участвующих в формуле Fj . Заметим, что приведенный вес формулы Fj равен рa .

22

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Математика

Присоединим элементы £(1),...,£(1) к произвольным итеративным

i\ ip

входам формулы 21 , кроме входов у и , построив таким образом формулу . При этом при подстановке вместо любого из входов yj или у2 выхода элемента £(1) приведенный вес такой формулы будет совпадать с р д ,

ii

так как в этом случае ее сложность и ранг будут равны сложности и рангу формулы 2 соответственно.

Аналогичной надстройкой над формулой 22 при помощи элементов

£ ,...,£ , выходы которых подсоединены к произвольным итеративным

i2 iq

входам формулы 22, кроме входов yj и у2 , построим формулу 22 , и пусть £(2) - элемент, аналогичный элементу £(1) для случая формулы , а

ii ii

именно при подстановке его вместо одного из итеративных входов формулы 222 получается формула, имеющая приведенный вес рд .

Следует отметить, что в том случае, когда множество A состоит только из элементов A с минимальным приведенным весом, формулы 2 и 22' совпадают с формулами 2J и 22 соответственно.

Будем считать, что формулы 2 и 22 реализуют функции, существенно зависящие от pi и p2 переменных соответственно. Пусть без ограничения общности

21(а, Уь У2) = УlУ2,

22 Ф, УьУ2) = У1 v У2,

где а е BPj 2 , (в е ВР2 2 . Пусть далее ¥ - формула над A вида

22

2' ( Z (1),21( z(2), УЬ Уз),21( z(3), У2, У4) ),

где z(1), z(2), .Z(3) - наборы из различных в совокупности переменных из X и Y длины (р2 - 2), (pi -1) и (pi -1) соответственно. Функцию, реализуемую формулой ¥, обозначим через у(Z,У1,У2,Уз,У4), где набор Z содержит Р2 + 2 pi — 4 переменных.

Нетрудно видеть, что у((?,а,а,У1,У2,Уз,У4) = У1 Уз v У2У4 и что функция у имеет нетривиальное селекторное разбиение множества своих переменных, содержащее переменные Уз и У4 в одной из своих компонент.

Все дальнейшие формулы в доказательстве этой леммы будем строить так, чтобы каждая переменная входила в эту формулу не более одного раза.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

23

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Построим формулу А' добавлением к формуле ¥ двух элементов е

п

и присоединением их выходов ко входам, соответствующим итеративным переменным у и . Заметим, что при добавлении к формуле А' элемента

£. ' и подсоединении его выхода ко входу уз или У4 приведенныи вес

h

полученной формулы будет равен ра. В случае, когда множество A состоит только из элементов A с минимальным приведенным весом, положим А' = ¥ .

Пусть у'(z,уз,У4) - функция, реализуемая формулой А', где z -набор переменных из X u Y длины (г — 1) . Она, так же как и функция у, имеет нетривиальное селекторное разбиение множества своих переменных, содержащее переменные уз и У4 в одной из своих компонент. Это, в частности, означает, что если @ - произвольная формула над A,

реализующая функцию от v переменных из X u Y , а формула </' получена присоединением двух формул <7(zy,..., zv') и @( zy',..., zv'') ко входам уз и у4 формулы А', то разбиение, содержащее компоненты [zt', zy'} для всех i = 1,..,v, и по одной компоненте на каждую из остальных переменных формулы А', является селекторным для реализуемой формулой Q' функции.

Построим для каждого t = 1,2,.. формулу ) в базисе A из st формул А', соединенных между собой через итеративные входы уз, у4 в ht -ярусное двоичное дерево, содержащее полное (ht — 1) -ярусное поддерево,

st = \(t — 1)/ r], ht = l~log(st +1)] . Для каждого t = 1,2,. формула <7(t) реализует функцию, существенно зависящую от не менее чем t переменных.

Пусть A

при помощи присоединения st элементов вида £ ' к произвольным

h1

итеративным входам формулы ^(t). Таким образом, приведенный вес формулы A(t) равен ра . Функцию, реализуемую этой формулой, обозначим через 9t.

Пусть для каждого i, i = 1,.,ht — 1, Zj) - множество тех переменных

функции 9t, которые связаны с j -ми входами подформул А' на i -м ярусе, j = 1,..,r — 1. Множество всех остальных переменных функции обозначим Zh . Разбиение

t

D = {Zj )|i = 1,. .,ht — 1,j = 1, .,r — 1} u Zht

множества переменных функции является геометрическим [7] разбиением кратности (г — 1) и высоты (ht — 1), т.е. для каждого i = 0,..,ht — 2 оно содержит (r — 1) компонент мощности 2 и еще одну компоненту.

24

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Математика

Так же как в [7], подразбиением компоненты Z^ построим из

геометрического разбиения D для переменных ht -ярусной формулы разбиение D, энтропия которого согласно свойствам геометрического разбиения ограничена константой.

Для завершения доказательства остается заметить, что для любого натурального числа N число t можно выбрать так, что формула ) реализует функцию, зависящую от N + 0(1) переменных. Лемма доказана.

Обозначим через мультиплексорную функцию порядка n , n > 1, определяемую равенством

Vn

O1,.,OneB n

где v(O1,...,On) - число, двоичная запись которого совпадает с набором (С1,...,On), для всех i, i = 0,...,2n _ 1, а xO = xov xa, oe B . Переменные У0,..., y2n 1 этой функции будем называть информационными.

Лемма 2 [6]. Существует бесповторная по информационным

переменным формула У в базисе {У1 • У2, У1 V У2, Х1}, реализующая

мультиплексорную функцию порядка n со сложностью 0(2n).

Множество функций G, G с P2(Z), где Z с P2(X u Y), | Z |= m , называется [6] ф -универсальным множеством порядка m, если любая функция g , g e P2(Z), может быть представлена в виде g = ф(g1,., gN), где gi e G для всех i, i = 1,.,N . Справедливо следующее утверждение.

Лемма 3 [7]. Пусть D - селекторное разбиение множества переменных функции ф(Z1,...,zn) на d компонент. Тогда для любого натурального 5 ,

где 5 > log N и N (5 _ H (D) )> 2m, можно построить ф -универсальное множество G порядка m такое, что

| G \< 25+2 .

Множество наборов 5, 5 с Bq, будем называть m -регулярным множеством наборов [6] куба Bq, если m < q, | 51= 2m, и все префиксы длины m наборов из 5 различны. Пусть A = (51,..,52q_m ) - разбиение куба

Bq

на m -регулярные подмножества. Будем говорить, что разбиение A моделирует функции из множества G , G с P2(Z), где Z с P2(X u Y),

| Z |= m , с помощью булевых переменных или их отрицаний тогда и только

тогда, когда для любой функции g , g e G, и для каждого i, i = 1,.,2q m , существует переменная xj, где 1< j < q, и константа a, oe B, такие, что

g = xO на компоненте 5г-. При этом компонента 5г- считается «хорошей»

Physical and mathematical sciences. Mathematics

25

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

компонентой, если для каждой такой функции g указанное свойство выполняется при а = 1. В противном случае соответствующую компоненту будем называть «плохой».

Лемма 4 [8]. Для любого множества G, G с Z), где

Z с P2 (X и Y), | Z |= m , и для любого q , q > m + 3| G |, существует

разбиение A = (6i,.^,62q-m) куба Bq на m -регулярные подмножества,

моделирующее все функции из G с помощью булевых переменных или их отрицаний и такое, что доля «плохих» компонент в нем не превосходит

(ei)q-m, где ei - абсолютная константа, e <1.

3. Доказательство теоремы

Нижняя оценка в теореме следует из мощностного неравенства, полученного в работе [3]. Пусть ¥ a (X,п) - число попарно неэквивалентных формул в базисе A , реализующих функции от n прямых переменных и имеющих сложность не более X . Тогда [3]:

¥ A (X, п) < (cn)Р A

-X

1

2П

Так как ¥ a (Xa (n), п) > 22 , то при достаточно больших п справедлива нижняя оценка в теореме.

Верхнюю оценку доказывает следующая лемма.

Лемма 5. Пусть A, A с Pj(X и Y), - конечный полный базис функций такой, что 5(A) е {P2(Y),M}. Тогда для любой функции f, f е P2({xh..., xn}), существует формула Xf в базисе A, реализующая эту функцию и такая, что

x(xf )<PA

2п L + 0(1)'

log п ) log п ,

Доказательство. Для N = 1,2,.. по лемме 1 построим формулу X(N), реализующую функцию от N переменных, которая имеет селекторное разбиение D ее переменных с энтропией H (D) = 0(1), при этом справедливо соотношение

X(X(N)) = рa • N + O(1).

Как было указано, для функций y1 y2, y1 v y2 существуют реализующие их формулы X& и Xv , бесповторные по своим существенным переменным. Рассмотрим бесповторную формулу

¥' = Xv(X&( y1, y3),X&( y2, y4)),

26

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Математика

реализующую функцию у уз v у2у4 . Напомним, что для этой функции существует нетривиальное селекторное разбиение ее переменных на подмножества {уз,У4}, {yj} и {У2} .

Аналогично формулам вида ^(г) из леммы 1 для каждого t = 1,2,... построим формулу F(t) из s' формул ¥', соединив их между собой через два итеративных входа уз, У4 в h't -ярусное двоичное дерево, содержащее полное (h't -1) -ярусное поддерево, где s't = Г(t -1) / 2], h't = Гlog(s't +1)1. В силу [7] для реализуемой формулой F(t) функции dt существует селекторное разбиение D' ее переменных с энтропией H(D') = O (1). Сложность построенной формулы определяется соотношением

^

Введем натуральные параметры m , q , s , и N такие, что

1 < m < q < n ,

и пусть ф - функция, реализуемая формулой F(N), а ф' - функция, реализуемая формулой F^(t). Считая, что

N(s - max{H(D),H(D')}) > 2m ,

построим по лемме 3 ф -универсальное множество G1 порядка m и ф' -универсальное множество G2 порядка m так, что функции из этих множеств зависят от одних и тех же переменных (Х1,...,xm), и при этом

| G |< 2s+3, где G = G u G2 .

Положим q = m + 3 | G |, где G = G1 u G2 , и построим по лемме 4 разбиение A = (61,...,62q_m) куба Bq на m -регулярные компоненты,

в котором доля «плохих» компонент не превосходит eq m, ^1 <1, и которое моделирует все функции из множества G с помощью переменных или их отрицаний.

Заметим, что при любом i, i e{1,...,2q m}, любая функция gе ^2({x1,...,Xq}) совпадает на множестве 5i в силу его m -регулярности с одной из функций от переменных (X1,...,xm), и поэтому, с одной стороны, в силу ф -универсальности множества G1 функция g совпадает на 5i с суперпозицией вида ф(g|1),.,g|N)), внутренние функции которой принадлежат G1, а с другой стороны, в силу ф' -универсальности множества G2 функция g на 5j может быть представлена в виде ф'(g21),...,g<2N)) с внутренними функциями из G2 . Из свойств разбиения A следует, что на

Physical and mathematical sciences. Mathematics

27

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

«хороших» компонентах 5, указанная функция g совпадает с формулой

при всех v , ve {1,.,N} . Кроме того, на «плохих» компонентах 5, функция

g представима в виде ф'

l1 lN

моделируется на 5, при помощи х? при всех v , ve {1,.,N}.

lv

Таким образом, на «хороших» компонентах разбиения А указанная функция g e P2(х') реализуется формулой

f (N)(

xj1,

сложность которой удовлетворяет соотношению (1), а на «плохих» компонентах этого разбиения функция g допускает реализацию формулой

f

(X?

которая имеет сложность O (N) в силу (2) и возможности реализовать прямое отрицание в этом базисе.

Рассмотрим следующее дизъюнктивное разложение функции f (х', х'') по переменным группы х" и его последующую модификацию [3] на основе разбиения А:

2q

f (х', х'')= v K?''(х'')f (х', о'')- V Xi (х') V ка"(х'')f (х',?'),

о "eB‘

n—q

i-1

о " eB

n—q

где c''-(Cq+1,..,on), Ко''(х'') - xq++1 ...х°п , а Xi(х') - характеристическая

функция компоненты 5,, i e{1,...,2q m}, т.е. функция, равная 1 только на наборах множества 5,.

Согласно этому разложению построим формулу

2q—m

ff - V А, (х') f

J T r~n —,

,-1

n—q

, Фо)

2n q —1

л

где для каждого ,, ,e {1,...,2q m}, формула А,(х') - совершенная дизъюнктивная нормальная форма, реализующая функцию X, (х'), а формула ф(,,)( х'), j e {0,...,2n—q — 1}, реализует функцию f (х', о'') при v(o'') - j и имеет вид (3) в случае, когда компонента 5, «хорошая» и (4) иначе.

Искомая формула ff получается из формулы f f заменой элементов

У1 • У2, У1 v У2, х соответствующими им бесповторными формулами f & , fv, f—. Заметим, что при этом итеративное отрицание не потребуется, так как в формуле f f все отрицания стоят над переменными.

28

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Математика

Выберем значения параметров, удовлетворяющие всем введенным ограничениям, и оценим сложность построенной формулы AFf . Положим

m = r2loglog n\, s = Tlog n - 7~|,

и пусть N - минимальное натуральное число, удовлетворяющее введенным ограничениям. При этом

q = m + 3| G |< m + 3 • 2s+3 < 2.

Основная сложность формулы AFf заключается в реализации

подформул для остаточных функций на «хороших» компонентах разбиения А . Указанная сложность не превосходит величины

_ лг r,q-m r.n-m ^ „

Pa •N •2 •2 < Pa •

n

P a-

s - max{H(D),H(D')} logn

1 + O

1

log n

Сложность всех аналогичных подформул для «плохих» компонент не больше, чем

O(N) • 2n-m • (e1)q-m

' 2n '

v log2n ,

Сложность реализации всех дизъюнктивных нормальных форм A (x') не превосходит

O(2q • q) = O

log2n

так как каждая функция %г- (x') обращается в единицу на 2m наборах.

Сложность реализации формулы AFu не превосходит согласно лемме 2

^n - q

O(2n-q ) = O

' 2n '

v log2n ,

Таким образом,

<

2n L O(1) ^ Pa------ 1 +-----•

log n l log n )

что доказывает лемму.

Список литературы

1. Ложкин, С. А. О полноте и замкнутых классах функций алгебры логики с прямыми и итеративными переменными / С. А. Ложкин // Вестник Московского университета. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. - 1999. - № 3. -С. 35-41.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

29

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

2. Ложкин, С. А. О сложности реализации функций алгебры логики схемами и формулами, построенными из функциональных элементов с прямыми и итеративными входами / С. А. Ложкин // Дискретные модели в теории управляющих систем : тр. III Междунар. конф. (Красновидово, 22-28 июня 1998 г.). - М. : Диалог-МГУ, 1998. - С. 72-73.

3. Ложкин, С. А. О сложности формул алгебры логики в некоторых полных базисах, состоящих из элементов с прямыми и итеративными входами / С. А. Ложкин, В. А. Коноводов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. — № 1 (31). - С. 55-68.

4. Коноводов, В. А. Некоторые особенности задачи синтеза булевых формул в полных базисах с прямыми и итеративными входами / В. А. Коноводов // Ученые записки Казанского университета. Сер. Физико-математические науки. -2014. - Т. 156, № 3. - С. 76-83.

5. Яблонский, С. В. Введение в дискретную математику / С. В. Яблонский. - М. : Наука, 1986. - 384 с.

6. Ложкин, С. А. Лекции по основам кибернетики / С. А. Ложкин. - М. : МАКС Пресс, 2004. - 256 с.

7. Ложкин, С. А. Оценки высокой степени точности для сложности управляющих систем из некоторых классов / С. А. Ложкин // Математические вопросы кибернетики. - 1996. - № 6. - С. 189-213.

8. Ложкин, С. А. О синтезе формул, сложность и глубина которых не превосходят асимптотически наилучших оценок высокой степени точности / С. А. Ложкин // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика и механика. - 2007. - № 3. - С. 19-25.

References

1. Lozhkin S. A. VestnikMoskovskogo universiteta. Ser. 15. Vychislitel’naya matematika i kibernetika [Bulletin of Moscow University. Series 15. Calculus mathematics and cybernetics]. 1999, no. 3, pp. 35-41.

2. Lozhkin S. A. Diskretnye modeli v teorii upravlyayushchikh sistem: tr. III Mezhdunar. konf (Krasnovidovo, 22-28 iyunya 1998 g.) [Discrete models in the control system theory: proceedings of III International conference (Krasnovidovo, 22-28 June 1998)]. Moscow: Dialog-MGU, 1998, pp. 72-73.

3. Lozhkin S. A., Konovodov V. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2015, no. 1 (31), pp. 55-68.

4. Konovodov V. A. Uchenye zapiski Kazanskogo universiteta. Ser. Fiziko-matematicheskie nauki [Proceedings of Kazan Uiversity. Series: Physical and mathematical sciences]. 2014, vol. 156, no. 3, pp. 76-83.

5. Yablonskiy S. V. Vvedenie v diskretnuyu matematiku [Introduction into discrete mathematics]. Moscow: Nauka, 1986, 384 p.

6. Lozhkin S. A. Lektsiipo osnovam kibernetiki [Lectures on basic cybernetics]. Moscow: MAKS Press, 2004, 256 p.

7. Lozhkin S. A. Matematicheskie voprosy kibernetiki [Mathematical problems of cybernetics]. 1996, no. 6, pp. 189-213.

8. Lozhkin S. A. Vestnik Moskovskogo universiteta. Ser. 1. Matematika i mekhanika [Bulletin of Moscow University. Series 1. Mathematics and mechanics]. 2007, no. 3, pp. 19-25.

30

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Математика

Ложкин Сергей Андреевич доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математической кибернетики, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

E-mail: lozhkin@cs.msu.ru

Коноводов Владимир Александрович аспирант, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

E-mail: vkonovodov@gmail.com

Lozhkin Sergey Andreevich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of mathematical cybernetics, Lomonosov Moscow State University

Konovodov Vladimir Aleksandrovich Postgraduate student, Lomonosov Moscow State University

УДК 519-714.

Ложкин, С. А.

Оценки высокой степени точности для сложности булевых формул в некоторых базисах из элементов с прямыми и итеративными входами /

С. А. Ложкин, В. А. Коноводов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. - № 2 (34). -С.16-31.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

31