Линейные дифференциальные уравнения с многозначными траекториями

УДК 517.911.5

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2006, вып. 1

Н. В. Плотникова

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С МНОГОЗНАЧНЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ

В [1] впервые было рассмотрено дифференциальное уравнение с производной Ху-кухары, в котором решением являлось многозначное отображение. В дальнейшем были введены различные определения решения и доказаны теоремы их существования [2,3]. В [4] данные уравнения были существенно использованы при изучении некоторых свойств интегральной воронки дифференциального включения; так, например, было показано, что интегральная воронка является подмножеством решения соответствующего уравнения с производной Хукухары. В последнее время интерес к дифференциальным уравнениям с производной Хукухары возрос в связи с их приложениями к дифференциальным уравнениям в условиях неопределенности [5-7].

Наряду с производной Хукухары рассматривались другие определения производной многозначного отображения, в частности 7г-производная [8, 9], которая использует теорему вложения [10].

В настоящей работе впервые рассмотрены системы дифференциальных уравнений с 7г-производной, а также с производной Хукухары в более общем, чем в [11], случае, исследованы некоторые их свойства и отмечена связь этих систем с вопросами аппроксимации множества достижимости линейных задач управления.

Пусть comp(Rm) [conv(Rm)] — метрическое пространство непустых компактных (и выпуклых) подмножеств Rm. Метрика в этих пространствах определяется с помощью расстояния по Хаусдорфу:

h(A, В) = min{r ^ 0 | А + 5Г(0) С В, В + Sr(0) С А},

где A,Be comp(Rm); Sr(0)— шар радиуса г с центром в 0.

Пространства comp(Rm) и conv(Rm) не являются линейными, так как в них отсутствует противоположный элемент и, тем самым, операция вычитания.

Определение 1. Многозначное отображение X : [0,Т] —conv(Rm) дифференцируемо по Хукухаре в точке to £ (0,Т), если существует D^X^o) € conv(Rm) такое, что пределы

v X

lim --- и lim ---

дио At дио At

существуют и равны -D/jX(ío)-

Заметим, что в данном определении подразумевается, что для всех достаточно малых Ai > 0 разности X(t0)^X(t0 - At), X(t0 + At)^X(t0) существуют.

В точках t = 0 и t = Т имеет смысл говорить об односторонних производных.

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений с производной Хукухары

п

DhXi

з=\

Xi(0) = Xf, i = lTñ,

H. В. Плотникова, 2006

где г е [О ,Т] - время, функции а^ : [0,Г] -> Ли : [0,Т] сопь(Кт) непрерывны.

Определение 2. Многозначные отображения Х{ : [0,Т] сопу(Нт),г = 1,п, называются решением задачи (1), если они непрерывно дифференцируемы по Хукухаре и удовлетворяют (1) всюду на [О,Г].

Покажем, что решение системы (1) может быть сведено к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть с(А,1р)— опорная функция множества А [12]. В силу свойств опорной функции

/ п п

¿=1

Найдем опорную функцию левой части уравнения (1):

Полностью аналогично = - 0),^), т. е.

В силу выпуклости множеств X¿(¿) и система (1) эквивалентна системе

7=1

для всех ф е

_ Обозначим = с^Х'ф), = х+М) = с(Х^),ф),

х (¿,0) = с(Хг^),—'ф). Тогда систему (2) можно записать в виде

<й

А. <а

п

¿=1 п

1 + здп{а^Щ л1Л 1 1 - вдп(ац{1)) __

¿=1

+ /ГМ),

•"г -г / ' т/1 г

Таким образом, получим систему 2п обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром ф.

Так как множества Х\(t), г = 1 ,п, выпуклы, то они однозначно определяются своей опорной функцией

Xi

V-eSi

Однако эффективное восстановление множества по опорной функции можно осуществить только при малых значениях т.

Тем самым доказана

Теорема 1. Решением системы (1) являются функции (4), где xf(t,ip),i = 1,п, — решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3).

Замечание 1. В случае, когда т — 1, множества Xi(t) и jFj(t) являются отрезками и система вида (1) может быть использована для построения аппроксимации множества достижимости R(t) дифференциального включения

х € A(t)x + F(t), х(0) еХ0е conv(Rn).

В [11] было показано, что R(t) С Xi(t) х ... х Xn(t) для всех t 6 [О,Г], где Xi(t),i — 1,п, — решение системы (1), Fi(t) х ... xFn(t) D F(t), х D Х0. Причем в этом

случае система (3) распадается на две системы п обыкновенных дифференциальных уравнений. Действительно, пусть Xi(t) - X{(t) + y,(t)[-1,1], F{(t) = fi(t) + gi(t)[-1,1]. Систему (3) имеет смысл рассматривать лишь при ф = 1, тогда

d п Ы0+^(0) = ЕМ0 I

dt

3=1

l + sgn

-г-(yj (t) + Xj (t)) +

d n Ы0-**(0) = £М0 I

dt

з=i

+ 9i(t) +fi(t),

1 - sgn

(Уз( t)+Xj(t)) +

+9i(t)-m,

Уг(0) + Хг(0) = уг° + х0,, у{(0) - х<(0) - у° - х?, г = 1, тг.

Попарно складывая и вычитал уравнения данной системы, получаем, что она распадается на две линейные неоднородные системы обыкновенных дифференциальных уравнений

А. dt

Xi{0) = ж?, г = 1,тг, ( ¡/<(0) = у?, г = 1,п,

ftXi(t) - £ a^Xjit) +fi(t), I >¿(0 = E M0lz/j(0 +5i(0,

j=l __S j=l

„0 „• _ ТТГ „../ГЛ—

решение которых не вызывает принципиальных трудностей.

Замечание2. В случае тг = 1 система (1) вырождается в уравнение вида И^Х^) — + которое, в силу [4], может быть использовано для аппрокси-

мации интегральной воронки дифференциального включения

х 6 а(Ь)х + ^(г), х(0) еХ0 Е сопи(Рт).

Как отмечалось выше, пространства сотр{Кт) и сопь{Кгп) не являются линейными. В работах [8, 9] разность в пространстве сош;(Дт) была введена с помощью вложения его в некоторое линейное пространство В [10], для определения которого вводится соотношение эквивалентности в пространстве сопу{Ят) х сопь(Кт) следующим образом:

(А, В) ~ (С, £>), если А + в = в + С.

Обозначим через < А, В > класс эквивалентности, содержащий (А, В). Тогда пространством В будет фактор-пространство сопу(Ят) х сопи (В,"1) / В пространстве В введены операции сложения и умножения на скаляр

< А, В > + < С, В >=< А + С, В + Б >, а<А,В >= |

<аА,аВ>, а ^ 0, <\а\В,\а\А>, а< 0.

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений с 7г-производной

п

Аг < >= < ад.ад > + < >,

¿=1

<Хг(0),У,(0) >=<Хг°,У,°>, г = 17п,

где t € [0, Т] — время; функции а^ : [0, Т] —> Я и С, : [0, Т] —> сопу(Кт) непрерывны.

Определение 3. Пары < : [0,Т] —> сопу(Нт)^ = 1,п, называ-

ются решением задачи (5), ес./ш они непрерывно к-дифференцируемы и удовлетворяют (5) всюду на [0,Т].

Покажем, что решение системы (5) может быть сведено к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Определение 4. Опорной функцией пары < А, В > в направлении вектора ф € Дта назовем

с(< А, В >, ф) = с(Д </>) - с(Б, -0).

Данное определение является корректным, т. е. оно не зависит от выбора представителя (А, В) из класса эквивалентности < А, В >: пусть (А, Б), (С, Б) £< А, В >, тогда А + Б = В + С, а значит,

с(А,ф)+с(В,ф) = с(В,ф) + с(С,ф) =» с(А,ф) - с(В,ф) = с(С, V) -

Кроме того, класс < А, В > своей опорной функцией определяется однозначно. Предположим противное, т. е. существуют классы < А,В > н < С, £> > с одной и той же опорной функцией. Тогда с(А,ф) - с(В,ф) = с(С,ф) - с(В,ф) для всех ф е Ят. Следовательно,

с(А,ф) + с(В,ф) = с(В,ф) + с{С,ф) для всех ф € Я™ =>,

с(Л + -0,1/0 = с(В + С,ф) для всех 1р € Дт.

В силу выпуклости множеств А, В, С и Г>, получаем Л + .О = В + С, а значит, классы < Л, Б > и < С, > совпадают.

Лемма. Справедливы следующие утверждения:

а) с(< А,В > + < С, В >,ф) =с(< А,В >,ф) + с(< С,В >,ф)-,

б) с(Л < А, В >,ф) = А с(< ДБ >,V);

ej с(< Л, Б >,1/») является непрерывной функцией своих аргументов; г) с(В1Г < X(t),Y(t) >,ф) = ftc(< X(t),Y(t) >,ф). Доказательство.

а) с(<А,В > + < С,В >,ф) = с(< А + С,В + В >,ф) =

= с(А + С, ф) - с(В + В, ф) '= с(А, ф) + с(С, ф) - (с(В, ф) + с(В, ф)) =

= с{А, ф) - с(В, ф) + с(С, V) - с(В, ф) = с(< А, В >,ф) + с{< С, В >,ф).

б) Пусть Л ^ 0. Тогда с(А <А,В>,ф) = с(< АЛ,АВ = с(ХА,ф) - с(ХВ,ф) =

= Ас(Д г/>) - Ас{В, ф) = Ас(< А,В >,ф). Если же А < 0, то с(А < А,В >, ф) = с(< |А|£, |А|Л >,0) = с(|А|В, V) - с(|А|Д V) = = |А|(с(В,ф) - с(А,ф)) = Ас(< Л, Б >,ф).

в) Данное утверждение следует из определения опорной функции пары и непрерывности опорной функции с(-, •) по своим аргументам.

г) c(Dn < X(t),Y(t) >,Ф)=С Qim <^^},y{t+M}>-<x{tmt)> ^ =

= с( lim -J- < X{t + At) + Y(t),Y{t + At) + X(t) >,V) = \Ai->0 At J

= lim -^-c(<X{t + At)+Y(t),Y(t + At) + X(t) >,ф) = At-*0 At

= Jim ~ [c(X(t + At),ф) + c(Y(i),ф) - (c(Y(t + Ai),ф) + с(ХЩ,ф))] =

= Jim ^ [c(X(t + At), ф) - c(Y(t + Ai), V) " (c(-Y(i).V) ~ с(У(0, V))] =

= jt (c(X(t),i0 - с(У (*),</>)) - |c(< X(i),F(i) >,</>)• Лемма доказана.

На основании этой леммы система (5) эквивалентна системе

, п

-с(< >,V) = ]Га^М< Х,(*),У,(*) >,V0 + с(< Fi(t),Gi(t) >,ф),

j=1

с(< ВД), У<(0) >,V) = С(< Х9,УЯ » = М,

для всех ф Е Rm.

Обозначим = с(< >,V), /t(t,V0 = с(< Fi(t),Gi(t) >,ф). Тогда

предыдущую систему можно записать в виде

d п

-г^,ф) = '£aij{t)zj

dt . ,

г^О,ф) = с(<Х°,¥г°>,ф), ъ = 1,п.

Таким образом, получили систему л обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром ф.

Тем самым доказана

Теорема 2. Решением системы (5) являются пары < >,г = 1 ,п, ко-

торые однозначно определяются своими опорными функциями являющимися

решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений (6).

Замечание 3. В случае, когда т = 1, систему (6) имеет смысл рассматривать для ф = ±1. Пусть = х](1) + Уг{1) = у1(1) + уШ-^Л т) =

//(*) + т*)[-1.1]- от = д\{1) + дШ-1,1].

Тогда

+ АУ) - У^) - у\Ю) = £ацШф) + *}(*) - уЩ - »}(*)) +

-*}(*) -у?(0 +у*(0) = £««(*)<*?(*) -*}(«) + »)(«)) +

¿=1

+ /?(*)-//(О+

яг?(0) + }(0) - уг2(0) - у*(0) = х% + х]0 - уЪ - у\0, я?(0) - х\(0) - уг2(0) + у\(0) - х?0 - х\0 - у1о + у]0, г =

Попарно складывая и вычитая уравнения данной системы, получаем, что она распадается на две линейные неоднородные системы обыкновенных дифференциальных уравнений

- уШ = Е моим - уЩ)+т - зж

4(*) - уШ = ЕМОЦЧО - »}(*)) + //(*) -

х\{0>)-у\{0)=х\ъ-у\0, г = Гдг. Следовательно,

т. е. при 7тг = 1 получен явный вид решения системы (5).

Таким образом, в работе показано, что решение линейной системы с производной Хукухары (7Г-производной) может быть сведено к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений с последующим восстановлением множества (пары) по его (ее) опорной функции.

Summary

Plotnikova N. V. Linear differential equations with multi-valued trajectories.

Systems of linear differential equations with Hukuhara's derivative and ^-derivative are considered. Using the instrument of support functions, the properties of solutions of such systems are investigated.

Литература

1. De Blasi F. S., Iervolino F. Equazioni differential! con soluzioni a valore compatto convesso // Boll. Unione Mat. Ital. 1969. Vol. 2, N4-5. P. 491-501.

2. De Blasi F. S., Iervolino F. Euler method for differential equations with set-valued solutions // Boll. Unione Mat. Ital. 1971. Vol. 4, N 4. P. 941-949.

3. Kisielewicz M. Description of a class of differential equations with set-valued solutions // Lincei-Rend. Sc. fis. mat. e nat. 1975. Vol. 58. P. 158-162.

4. Толстоногое А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука, 1986. 296 с.

5. Lakshmikantham V., Leela S., Vatsala A. S. Interconnection between set and fuzzy differential equations // Nonlinear Analysis. 2003. Vol. 54. P. 351-360.

6. Lakshmikantham V., Tolstonogov A. A. Existence and interrelation between set and fuzzy differential equations // Nonlinear Analysis. 2003. Vol. 55. P. 255-268.

7. Diniz G., Fernandes J. F. R., Meyer J. F. C. A., Barros L. C. A fuzzy Cauchy problem modelling the decay of the biochemical oxygen demand in water // Joint 9th IFSA World Congress and 20th NAFIPS Intern. Conference. 2001. P. 512-516.

8. Тюрин Ю. H. Математическая формулировка упрощенной модели производственного планирования // Эконом, и мат. методы. 1965. Т. 1, № 3. С. 391-409.

9. Banks Н. Т., Jacobs М. Q. A differential calculus of multifunctions // J. Math. Analysis Applic. 1970. N 29. P. 246-272.

10. Radstrom H. An embedding theorem for spaces of convex sets // Proc. Amer. Math. Soc. 1952. N 3. P. 165-169.

11. Плотникова H.B. Аппроксимация пучка решений линейных импульсных дифференциальных включений // BicH. Харшв. нац. ун-ту. Сер. Математика, прикладна математика i мехашка. 2004. № 645, вип. 54. С. 67-78.

12. Влагодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Топология, обыкновенные дифференциальные уравнения, динамические системы: Сб. обзорных статей. 2. К 50-летию института (Труды МИАН СССР, Т. 169). М.: Наука, 1985. С. 194-252.

Статья поступила в редакцию 24 ноября 2005 г.