Гомоморфная устойчивость и вполне транзитивность абелевых групп

С.Я. Гриншпон, Т.А. Ельцова ГОМОМОРФНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНОСТЬ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

Исследуется гомоморфная устойчивость однородных вполне транзитивных абелевых групп. Показано, что однородная вполне транзитивная группа гомоморфно устойчива относительно любой абелевой группы. Установлен критерий гомоморфной устойчивости абелевой группы относительно однородной вполне транзитивной группы идемпотентного типа.

При изучении абелевых групп представляет интерес вопрос, в каких случаях объединение подгрупп со специальными свойствами (вполне характеристических, сервантных, гомоморфных образов фиксированной группы) является подгруппой.

Введем следующее определение.

Определение. Группа А называется гомоморфно устойчивой относительно группы В, если объединение гомоморфных образов группы А в группе В является подгруппой группы В, т.е. если У 1ша - подгруппа

екНоп\АВ}

группы В [1, 2].

В [1, 2] полностью решен вопрос о гомоморфной устойчивости прямых сумм абелевых групп, вполне разложимых и жестких групп. Также исследована гомоморфная устойчивость произвольных абелевых групп относительно прямых произведений. Рассмотрим однородные вполне транзитивные абелевы группы. Напомним соответствующие определения.

Абелева группа без кручения называется однородной, если все ее ненулевые элементы имеют один и тот же тип [3].

Редуцированная абелева группа без кручения G называется вполне транзитивной, если для любых ее элементов £1 , g2 таких, что X (^) ^Х (), существует эндоморфизм г| группы G такой, что г|й = £?.

Для однородных вполне транзитивных групп справедлив следующий результат.

Теорема 1. Любая однородная вполне транзитивная группа гомоморфно устойчива относительно любой абелевой группы.

Доказательство. Пусть А - однородная вполне транзитивная группа; В - произвольная абелева группа. Докажем, что группа А гомоморфно устойчива относительно группы В, т.е. у 1та есть под-

аеНолг

группа группы В.

Возьмем два элемента Ь1 и Ь2 из объединения

У 1т а . Тогда существуют гомоморфизмы а, и

аеНолг

а из группы А в группу В , и элементы а1, а2 группы А такие, что й, = а, а,, Ь = а а .

Пусть элементы а1 и а2 имеют характеристики X(а) = (к, •••, К, •••) и х(а) = (1, •••, К, •••) соответственно. Так как группа А однородная, то х (а) и X (а) эквивалентны, т.е. к не равно 1{ лишь для конечного числа номеров г .

Пусть К = { е Щк1 > !1}. Это множество конечно. Рассмотрим два случая.

а) Пусть К - непустое множество. Возьмем натуральное число т = П Р?4. Уравнение тх = а1 в

где 5.

Тогда имеем х (с) <Х (а),

группе А имеет единственное решение с е А . Элемент с имеет характеристику х(с) = (*,, , ...),

[/,., если г е К,

[к, если г е N \ К.

X (с) <х (а). Так как А - вполне транзитивная группа, то существуют такие эндоморфизмы ф и у группы А , что фс = а и = а . Тогда

Ь = а а = а (Фс) = (аф) с , Ь = а а = а (ус) = (ау) с .

б) Пусть К = 0 . Тогда х (а) - X (а). В качестве элемента с возьмем элемент а1, а в качестве эндоморфизма Ф - тождественный эндоморфизм. В результате вышеизложенного приходим к идентичному результату:

Ь = а а = а (Фс) = (аф) с , Ь = а а = а (ус) = (ау) с .

Теперь рассмотрим разность элементов Ь1 и Ь2 . С учетом только что полученного, имеем Ь - Ь = (аф)с - (ау)с = (аф-ау)с . а и а - гомоморфизмы группы А в группу В , ф и у - эндоморфизмы группы А . Тогда а,Ф и а,у являются гомоморфизмами группы А в группу В. Их разность а,ф - а2у также является гомоморфизмом группы А в группу В . Обозначим этот гомоморфизм через р, т.е. а,ф-а,у = р. Элемент с принадлежит группе А . Тогда $е принадлежит объединению и 1т а . Сле-

аеНолг

довательно, группа А гомоморфно устойчива относительно группы В.

Из данной теоремы вытекает следствие.

Следствие 1. Прямая сумма однородных вполне транзитивных групп гомоморфно устойчива относительно любой абелевой группы.

Доказательство. По доказанной теореме всякая однородная вполне транзитивная группа гомоморфно устойчива относительно любой абелевой группы. Тогда, по теореме 1 [1. С. 31], прямая сумма однородных вполне транзитивных групп гомоморфно устойчива относительно любой абелевой группы.

Пусть А и В - абелевы группы, причем В - группа без кручения. Обозначим через х (А, В) множество

характеристик всех ненулевых элементов вида ца , где

г|е Нот (А, В), а е А . Множество х (А, В) является

частично упорядоченным относительно естественного порядка на множестве характеристик.

Рассмотрим гомоморфную устойчивость относительно однородных вполне транзитивных групп. Сначала докажем следующую лемму.

Лемма 1. Если группа А гомоморфно устойчива относительно однородной вполне транзитивной группы В идемпотентного типа и Нот (А, В')ф 0, то

У 1та = тВ для некоторого натурального числа

иеПот

т .

Доказательство. Пусть группа А гомоморфно устойчива относительно однородной вполне транзитивной группы В идемпотентного типа, т.е. У 1та есть подгруппа группы В. Обозначим ее

иеПот

через Н , т.е. У Іта = Н .

аеПот

Докажем, что группа Н является вполне характеристической подгруппой группы В . Возьмем произвольный эндоморфизм Г| группы В и элемент И группы Н. Тогда существует гомоморфизм у из группы А в группу В и элемент а группы А такие, что к = у а .

Подействуем эндоморфизмом г| на элемент к. Получим г|й = п (Iа) = (ПУ)а . Так как у - гомоморфизм группы А в группу В , а г| - эндоморфизм группы В , то Г|У - гомоморфизм группы А в группу В . Следовательно, = (пУ)а лежит в группе У Іт а = Н , так как элемент а принадлежит

аєНот

группе А .

Значит, любой эндоморфизм группы В переводит подгруппу Н в себя. Следовательно, подгруппа Н является вполне характеристической подгруппой группы В. Учитывая, что В - вполне транзитивная однородная группа идемпотентного типа, получаем Н = тВ для некоторого натурального числа т [4].

Теорема 2. Пусть В - однородная вполне транзитивная группа идемпотентного типа. Группа А является гомоморфно устойчивой относительно группы В тогда и только тогда, когда выполнено следующее условие: если х(А, В) ф 0, то множество х(А, В) содержит наименьшую в этом множестве характеристику.

Доказательство. Пусть В - однородная вполне транзитивная группа идемпотентного типа.

Необходимость. Пусть группа А гомоморфно устойчива относительно группы В и х(А, В) ф 0 . Тогда, по лемме 1 существует натуральное число т такое, что у 1т а = тВ . Занумеруем все простые

аєНолг

числа в порядке возрастания.

Пусть т = (р ) ‘  (р)2 ...  (р )". Рассмотрим следующую характеристику: (1Х, /,, ..., 1п, ...), где I; = 0, если у « {і, і, ..., іп} и Іі = кя при 5 = 1, п .

Пусть (г, г, ..., г, •-)ех(А, В). Тогда существует элемент Ь е У 1т а, что

аеНолг

X(Ь) = (г, г, •••, Г, •••). Так как элемент Ь принадлежит подгруппе тВ, то

х(ь) = (г> г, ..., г. •••)^> Ь> •••> К> •••).

Таким образом характеристика (1, 7,, ..., 1п, ...) в множестве х(А, В) является наименьшей.

Достаточность. Если х (А, В) = 0 , то Иош(а, В) = 0

и понятно, что группа А гомоморфно устойчива относительно группы В .

Пусть х (А, В) ф 0 и в х (А,В) существует наименьшая характеристика V = , V, •••, V, •••). Тогда

существует элемент Ь из группы В такой, что Ь = па для некоторого гомоморфизма г| группы А в группу В и некоторого элемента а из группы А и х

аеНолг

и х (Ь) лежат во множестве х (А,В), а следовательно, X (Ь,) ^ = Х () и X (Ь) > V = х (Ь).

Группа В - вполне транзитивная. Следовательно, существуют эндоморфизмы а, и а, группы В такие, что

а ь = Ь и а, ь = ь.

Рассмотрим разность Ь1 - Ь2. Имеем

Ь - ь, = аь - аь = а (па) - а (па) =

= (ап)а - (ап)а = (ап - ап)а.

Так как а и а - эндоморфизмы группы В , а г| -гомоморфизм группы А в группу В, то ап и ап -гомоморфизмы группы А в группу В .

Следовательно, а,П~а2П - гомоморфизм группы А в группу В . Обозначим его через 8 , т.е. а,П~а,П = 8 . Тогда получим Ь, - Ь2 = 8а, где 8 - гомоморфизм группы А в группу В , а - элемент группы А .

Следовательно, разность Ь, - Ь = 8а принадлежит

объединению ^ 1т а . Значит, группа А - го-

ае[1<ш1

моморфно устойчива относительно группы В .

Из доказанной теоремы вытекает такое следствие. Следствие 2. Всякая абелева группа гомоморфно устойчива относительно любой р -локальной вполне транзитивной группы (р - некоторое простое число).

Доказательство. Пусть В - некоторая р -локальная вполне транзитивная группа, где р - I -е простое число. Тогда характеристика любого элемента группы В имеет вид (да,да, ...,да,к,да, ...), где к - некоторое

неотрицательное целое число, стоящее на I -м месте. Следовательно, группа В является однородной вполне транзитивной группой идемпотентного типа.

Пусть А - произвольная группа. Рассмотрим мно- месте. Тогда в множестве х (А, В) имеется наименьшая

Так как элемент ца принадлежит группе В , то харак- ства целых неотрицательных чисел есть наименьшее

1. Гриншпон С.Я., Ельцова Т.А. Гомоморфно устойчивые абелевы группы // Вестник ТГУ. 2003. № 280. С. 31-33.

2. Гриншпон С.Я., Ельцова Т.А. Гомоморфные образы абелевых групп // Фундаментальная и прикладная математика (в печати).

3. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т. 2. 416 с.

4. Гриншпон С.Я. Вполне характеристические подгруппы абелевых групп и вполне транзитивность // Фундаментальная и прикладная матема-

тика. 2002. Т. 2, вып. 2. С. 407-473.

Статья представлена кафедрой алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 15 мая 2006 г., принята к печати 22 мая 2006 г.

жество

характеристика, так как в любом подмножестве множе-

теристика произвольного элемента из множества X(А, В) имеет вид (да, да,да,к, да,...), где к - некоторое неотрицательное целое число, стоящее на I -м

число.

Следовательно, по теореме 2, группа А гомоморфно устойчива относительно группы В .

ЛИТЕРАТУРА