Кронекеровская матричная модель динамических процессов с модуляцией

КРОНЕКЕРОВСКАЯ МАТРИЧНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКИХ

ПРОЦЕССОВ С МОДУЛЯЦИЕЙ Л.В. Кожевникова, А.В. Ушаков

Решается задача конструирования модели динамических процессов с модуляцией. Для указанных целей используются возможности кронекеровских векторных и матричных структур, получаемую при этом избыточную размерность модели предлагается редуцировать с помощью оператора сужения.

Введение. Постановка задачи

Системы управления и следящие системы с модуляцией составляют заметную часть практики автоматического управления. Модуляторами в таких системах являются: сельсины, поворотные трансформаторы, индуктивные датчики, полудисковые модуляторы лучистой энергии и т.д. [1].

Однако теоретические исследования процессов в системах с модуляцией, иногда именуемых системами на несущей переменного тока [2], в последнее время заметно сократились, причем это произошло на фоне интенсификации исследования динамических систем с использованием возможностей метода пространства состояния (МПС) [3, 4].

Метод пространства состояния характеризуется значительной алгебраизацией общей теории систем, в рамках которой получены хорошие наработки применительно к кронекеровским матричным структурам [5]. Обнаруживается, что возможности этих структур могут быть эффективно использованы применительно к исследованию систем с модуляцией, причем получаемые модельные представления процессов с модуляцией оказываются максимально адаптированными к инструментарию МПС. Проблемам конструирования моделей динамических процессов с модуляцией на основе используемых возможностей кронекеровских векторных и матричных структур, инвариантных относительно размерности вход - выходных отношений посвящается данная работа.

Свойства векторных и матричных кронекеровских структур

Для целей погружения в сформулированную выше проблему приведем определение векторных и матричных кронекеровских структур, а так же те их свойства, которые непосредственно сориентированы на построение матричной модели процессов с модуляцией.

Определение 1 (О.1). Кронекеровским произведением двух векторов X и У, X е Я" У е Ят , называется вектор X  У, составленный из сепаратных произведений {XjУj; г = 1,"; ] = 1, т} их элементов так, что становится справедливым представление

X  У = 001^; г = 1"; ] = 1т}, где X  У е Я"т

Примечание 1 (П.1). Очевидно, кроме кронекеровского произведения X  У векторов может быть построено также произведение У  X векторов, причем, в общем случае эти произведения оказываются не коммутативными так, что X  У * У  X

Определение 2 (О.2). Если размерности векторов X и У одинаковы, то на их кронекеровском произведении X  У может быть построено согласованное сужение этого произведения (X  У) 5, задаваемого представлением

Примечание 2 (П.2). Согласованное сужение кронекеровского векторного произведения X  У может быть осуществлено с помощью оператора сужения с матрицей Б вида

5 = diag{[0U : 1 : 01, ];, = 1,п}

так, что становится справедливой запись

В качестве одного из свойств кронекеровского произведения векторов рассмотрим правило дифференцирования кронекеровских векторных произведений по скалярному параметру, причем в основном сосредоточимся на случае, когда скалярным параметром является время.

Свойство 1 (СВ.1). Дифференцирование векторной кронекеровской структуры в виде их кронекеровского произведения осуществляется по правилам дифференцирования сложной функции, представленной в мультипликативной форме так, что

—

(— Л •

— (X (1)  У (1)  7 (1)) = (X(1)  У (1)  7 (1)) =

—

X

Определение 3 (О.3). Кронекеровским произведением прямоугольных матриц А е Япхт, В е Ярхд называется матрица (А  В) размерности (пр х тд), составленная в силу соотношения

А  В = со1[гом>

Примечание 3 (П.3): Кронекеровское произведение произвольных прямоугольных матриц не обладает коммутативностью так, что

А  В * В  А

Задача конструирования матричной модели динамических процессов с модуляцией в своей основе использует квадратные матрицы, коими являются матрицы состояния системы, конечномерного источника внешнего воздействия и конечномерного источника модулирующего сигнала, поэтому ниже имеется в виду класс квадратных матриц.

Определение 4 (О.4). Кронекеровской суммой квадратных матриц А е Япхп и В е ^тхт называется матрица (А Ф В), размерности (пт х пт), составленная в силу соотношения

А Ф В = А  1В + 1А  В,

где 1А, 1В - единичные матрицы, согласованные по размерности соответственно с матрицами А и В.

Примечание 4 (П.4). Для кронекеровской суммы квадратных матриц А и В, а в общем случае и произвольного числа матриц, существует альтернативное название -преобразование Сильвестра матриц, обозначаемое 5,{ А, В), тогда оказывается справедливой запись

А Ф В = А  1В + 1А  В = 5,{ А, В}

Для случая 3-х квадратных матриц А, В, С кронекеровская сумма или их преобразование Сильвестра будет записано в форме

5,{А, В, С} = А Ф В Ф С = А  1В  1С + 1А  В  1С + 1А  1В  С

Отметим тут же, что как и кронекеровское произведение матриц кронекеровская сумма не коммутативна.

Кронекеровские матричные структуры обладают следующими свойствами.

Свойство 2 (СВ.2). Алгебраический спектр собственных значений кронекеровского произведения A  B квадратных матриц A е Rnxn и B е Rmxm как матричной функции от матриц обладает тем свойством, что его элементы образованы попарными произведениями собственных значений кронекеровски перемножаемых матриц

а{A  B} = [jK : det( jI - A  B) = 0; jK = AAi ABj; i = 1, n; j = 1, m; k = 1, mn} (12) Свойство 3 (СВ.3). Алгебраический спектр собственных значений кронекеровской суммы A Ф B квадратных матриц A е Rnxn и B е Rmxm как матричной функции от матриц обладает тем свойством, что его элементы образованы попарными суммами собственных значений кронекеровски суммируемых матриц

a{A Ф B} = [vl : det

В (12) и (13) AAi и ABj собственные значения матриц А и В.

Сделаем следующее примечание к свойствам (СВ.2) и (СВ.3). Примечание 5 (П.5). Алгебраические спектры собственных значений кронекеровских произведений A  B и B  A в силу (12) совпадают, аналогичным свойством обладают и спектры кронекеровских сумм A Ф B и B Ф A .

Свойство 4 (СВ.4). Определитель кронекеровского произведения квадратных матриц удовлетворяет соотношению

det

где A е Rnxn и B е Rmxm .

Свойство 5 (СВ.5). След кронекеровской суммы квадратных матриц удовлетворяет соотношению

tr

где A е Rnxn и B е Rmxm .

Свойство 6 (СВ.6). Ранг кронекеровского произведения квадратных матриц удовлетворяет условию

rang

где A е Rnxn и B е Rmxm .

Для целей решения поставленной задачи полезно напомнить основные свойства кронекеровских матричных произведений произвольных матриц, которые оказываются необходимыми при преобразованиях матричных композиций, содержащих в своем составе эти произведения. Свойство 7 (СВ.7).

Свойство 8 (СВ.8).

P

P

В (17) - (20) матрицы P, Q, R, W, V имеют произвольные размерности, не противоречащие правилам перемножения и сложения матриц. Свойство 9 (СВ.9).

p  Q =

I  P P2 к Pk ) =

В выражениях (21) - (24) Iq, Ip и т.д. - единичные матрицы, по размерности согласованные с соответствующими матрицами Q, P и другими аналогичными.

Свойство 10 (СВ.10). Оператор сужения кронекеровского произведения векторов с матрицей сужения 5 удовлетворяет соотношению

5

Основной результат

Воспользуемся приведенными в предыдущем разделе свойствами векторных и матричных кронекеровских структур для целей построения динамической модели процессов в линейной многомерной непрерывной системе с модуляцией. При построении моделей процессов будем предполагать, что источник внешнего воздействия (ИВВ) является конечномерным и он представим автономной системой; будем предполагать, что модулирующий сигнал также является конечномерным и потому источник модулирующего сигнала (ИМС) также представим автономной системой. Таким образом полное априорное описание задачи приобретает вид

X

7

7м () = Гм7м

В модели (26) многомерной непрерывной системы Х - векторы состояния; V -вектор внешнего воздействия; У - вектор выхода; X е Кп; V, У е Кт ; F, G, С - матрицы

7-1 7~>пхп /"^Т /~ч 7~>пхт

состояния входа и выхода соответственно; F е К , С , и е К .

В модели (27) источника внешнего воздействия 7 и g - вектора состояния и выхода ИВВ соответственно; 7 е К1; g е Кт; Г, Р - матрицы состояния и выхода;

Ге К1х1; Р е Ктх1.

В модели (28) источника модулирующего сигнала 7м и gм - векторы состояния и выхода ИМС соответственно; 7м е Кк; gм е Кт; Гм, Рм - матрицы состояния и выхода ИМС; Гм е КкхК; Рм е Ктхк .

Процесс формирования модулированного внешнего воздействия v(í) представим в форме

v

Нетрудно видеть, что процесс модуляции внешнего воздействия в форме (29) допускает представление его в виде кронекеровского произведения векторов с последующим сужением, что может быть представлено в форме:

V

Если теперь учесть правила формирования g (г) и gм (г) представленных в (27) и (28), то (30) в силу свойств кронекеровских произведений матриц может быть записано в форме

V

Выражение (31) представляет модулированный сигнал v(t) как функцию состояния системы с вектором состояния 7 (г)  7м (г) .

Сформируем динамическую систему, с вектором состояния 7 (г)  7м (г), опираясь на модели (27) и (28), описывающих процессы по компонентам введенного вектора являющегося кронекеровским произведением векторов, а также свойства матричных кронекеровских структур. В результате получим следующую цепочку равенств

^ А • .

—(2 (г)  2М (г))=(7 (г)  2М (г)) = 7 (г)  7м (г) + 7 (г)  7м (г) = аг

= Г7 (г)  2м (г) + 7 (г)  Гм7м (г) = (Г  I Гм +I г  Гм )(7 (г)  7м (г)) =

=

Для целей дальнейших исследований продолжим процесс построения автономной модели динамической системы с модуляцией, для чего введем в рассмотрение составной вектор состояния

~ Г х 1

X =

[7  7м ]

и сформулируем утверждение.

Утверждение 1 (У.1). Процессы в непрерывной системе (26) с модулированным внешним воздействием (29), компоненты которого задаются (27) и (28), могут быть представлены автономной системой

X

X (г) = С хХ(г); У (г) = СтХ(г), где матричные компоненты соотношений (34), (35) вычисляются выражений

08(Р  Рм )"|

(35) помощью

Р =

Р

0

ГШГм

Сх = [ I

X

0]; Су = [С ; 0]

Доказательство.

Доказательство утверждения строится на покомпонентном формировании производной по времени от вектора (33) с использованием исходной модели (26) многомерной системы, представления (31) процесса формирования внешнего модулированного сигнала, а также соотношения (32).

Приведенное утверждение содержит решение поставленной задачи формирования кронекеровской матричной модели динамических процессов с модуляцией.

Заключение

Нетрудно видеть, что модель вида (34) - (37) оказалась универсальной, т.к. позволяет исследовать процессы как с модуляцией входного воздействия, так и без нее. В последнем случае, в выражении (29) достаточно положить gMj (г) = 1; ] = 1, т . Это

означает, что источник модулирующего сигнала (27) вырождается в скалярный интегратор с единичным начальным состоянием, нулевой матрицей состояния Гм и единичной матрицей выхода Рм .

Литература

1. Сабинин Ю.А. Позиционные и следящие электромеханические системы: Учебное пособие. - СПб.: Энергоатомиздат, Санкт-Петербургское отд-ние, 2001. Куракин К.И., Куракин Л.К. Анализ систем автоматического регулирования на несущей переменного тока. - М.: Машиностроение, 1978. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. / Пер. с англ. М.: Наука, 1970. Ту Ю. Современная теория управления. / Пер. с англ. М.: Наука, 1971.

2.

3.

4.

5. Ланкастер П. Теория матриц. /Пер. с англ. М.: Наука, 1978.