Фильтрационно-прочностный расчет окрестности перфорационной каверны

ФИЛЬТРАЦИОННО-ПРОЧНОСТНЫЙ РАСЧЕТ ОКРЕСТНОСТИ ПЕРФОРАЦИОННОЙ КАВЕРНЫ

А.Л. Ковалев, Е.В. Шеберстов

При выборе конструкции забоя скважины в слабосцементирован-ном коллекторе необходимо учитывать возможность разрушения пород, примыкающих к забойному оборудованию, и образования песчаной пробки. Выбор мер по предупреждению пескопроявлений затруднен из-за многообразия факторов, влияющих на прочность горных пород, а также из-за неоднородности пластов и большой неопределенности прогнозных прочностных расчетов. На практике при выборе конструкции забоя в первую очередь руководствуются накопленным опытом эксплуатации скважин в схожих условиях. Параллельно проводятся экспериментальные и теоретические исследования по поиску математических моделей неупругого поведения горной породы и совершенствованию методов фильтрационно-прочностных расчетов на основе анализа керна и данных ГИС о составе пород продуктивного разреза. Важной частью этих исследований являются вычислительные эксперименты, для проведения которых привлекают коммерческие программные продукты и создают специальные исследовательские модели для решения методических вопросов, а также для контроля работы с коммерческими продуктами.

В настоящей статье рассматриваются модели горной породы в окрестности сферической каверны, перекрывающей перфорационное отверстие в эксплуатационной колонне. Модели созданы в Корпоративном центре исследования пластовых систем

ООО «Газпром ВНИИГАЗ» и являются частью расчетного инструментария, используемого при фильтрационно-прочностной оценке конструкций скважин на конкретных объектах. Пористая порода предполагается изотропной, за начало сферической системы координат принимается центр каверны. Рассматриваются установившиеся течения флюида. Предполагается, что граничные условия не зависят от угловых координат. В силу перечисленных допущений все искомые функции зависят от одной переменной - радиуса г. Другой областью горной механики, для которой предположение о сферической симметрии является хорошим приближением к реальности, являются задачи расчета подземных взрывов.

Математическая модель. За пределами каверны пласт можно считать неограниченным. В противном случае рассматривается фрагмент пласта конечных размеров.

R < г < Rf,

где R,, Rf - внутренний радиус арки и наружный радиус зоны распространения возмущения геомеханических и фильтрационных полей.

Законы сохранения массы и количества движения в случае установившегося притока флюида к полусфере принимаются в виде:

р • w • 2 • л • r2 = р • Q = const;

— = --^ w-Ppw • Iwl,

dr к 1 1

где w - скорость фильтрации; р, |о, - плотность и вязкость; k, р - коэффициенты проницаемости и турбулентности (коэффициент Форхгеймера).

В принятой системе координат главные напряжения направлены по осям: радиальное напряжение (сг) и два тангенциальных (са и ае). Причем в силу симметрии:

Суммарный баланс количества движения для флюида и пористой среды записывается в виде:

do dP 2, ч _

-Г-- — + -

dr dr г

Здесь фигурируют эффективные (по Терцаги) напряжения. Растяжению соответствует положительное значение напряжения. Тензор полных деформаций коаксиален тензору напряжений и полностью определяется перемещением вдоль радиуса - и(г). Радиальная, тангенциальная и объемная деформации определяются соотношениями

du и du 2и

гг =—, е, =-, е = гг + 2е, = —+—.

dr г dr г

В области упругого состояния напряжения связаны с деформациями законом Гука-Терцаги-Био:

or =Xe + 2Ger + psXP;

Ot = \в + 2Get + PS.KP,

где X - коэффициент Ламе; G - модуль сдвига; K - модуль объемного сжатия; PS - сжимаемость материала скелета породы.

Граница упругого и пластического состояний (поверхность течения) описывается критерием Кулона-Мора:

fc-M =М + tgФ'а» -Sc = 0,

где х и ап - соответственно, касательное и нормальное напряже-

ния, приложенные к площадке скольжения; SC - напряжение сцепления, ф - угол внутреннего трения.

Круг Мора для напряжений, расположенных на поверхности течения, должен касаться прямой (8). Выразив условие касания через радиальное и тангенциальное напряжения, можно записать (8) в виде:

f = П0-70, - C = 0,

, 1 - sin ф cos ф

где n = 1; Y = g =---—C = h = 2SC--—.

1 + Sin ф 1 + Sin ф

В компьютерных моделях критерий Кулона-Мора часто заменяют на соотношение Друкера-Прагера. Сопоставление этих критериев для задач со сферической симметрией обсуждается ниже.

В зоне пластического состояния породы полная деформация складывается из двух частей: упругой деформации, подчиняющейся закону Гука (6), (7), и остаточной пластической деформации:

ег =е; +е?, ег =е; +ef.

Для описания поведения горной породы в области пластичности предложено много моделей. Ниже рассматриваются модели идеальной пластичности и с упрочнением. В модели идеальной пластичности предполагается, что напряжения связаны соотношением (9) с теми же значениями угла внутреннего тре-

ния и напряжения сцепления, что и в критерии Кулона-Мора. В модели с упрочнением учитывается зависимость параметров соотношения (9) от текущих значений остаточных деформаций. Для определения пластических деформаций принят закон, согласно которому эти деформации связаны с поверхностью течения соотношениями:

гР = ^_§£_.

г V ’

а/

За

где X - коэффициент пропорциональности, для отыскания которого воспользуемся соотношением совместности деформаций. Для его получения исключаем перемещение из выражений для радиальной и тангенциальной деформаций (5). В результате приходим к уравнению:

^ = 5.^.

ёг г

В работе [1] модель идеальной пластичности применена к анализу экспериментов по устойчивости каверн, создаваемых в песчаной среде, заполняющей цилиндрическую емкость с проделанным в дне отверстием. В верхнюю часть емкости подавался газ с постепенно увеличивающимся расходом. Разрушение арки и вынос песка происходили порциями при достижении расхода некоторых значений. При промежуточных значениях выброс не происходил. Теоретическая модель получена в предположении, что жидкости несжимаемы и справедлив закон Дарси. В работе [2] модель [1] обобщена на случай двучленного закона фильтрации (3), который более соответствует условиям газовых скважин. Деформации в пластической зоне в работах [2, 1] не определялись и упрочнение не учитывалось.

Для замыкания математической модели будем считать, что заданы поровые давления и радиальное напряжение на внешней и внутренней границах области (1). В общем случае существует граница г=Яр, разделяющая область упругого состояния материала Яр < г < Я и область с остаточными деформациями Я < г < Яр.

Возможны также случаи, когда одна из зон отсутствует и вся область находится в упругом или пластическом состоянии. Для того чтобы выяснить, какой из случаев имеет место, необходимо попытаться «сшить» на границе решения для упругой и пластической зон.

Модель для упругой зоны

Напряженно-деформированное состояние в упругой зоне описывается системой дифференциальных уравнений (2)—(12). Причем, если предположить, что проницаемость не зависит от состояния коллектора, то при наличии граничных значений из (2), (3) можно определить давление P(r). Для этого достаточно задать давление на внешней границе r = Rf и определить дебит, при котором достигается заданное давление на внутренней границе. Чтобы получить аналитическое решение, необходимо принимать допущения относительно уравнения состояния, закона фильтрации и т.п. В общем случае задача решается численно, например, методом Рунге-Кутта. При этом без труда учитывается зависимость проницаемости от радиуса, многофазность потока и т.п.

Переходя к определению напряжений, заметим, что из закона Гука-Терцаги-Био (6), (7) и уравнения (4) можно получить первый интеграл:

u

cr + 4G— P = A = const.

r

Выразив теперь радиальное напряжение через перемещение, после несложных преобразований приходим к уравнению:

du 2u A + P

— + — =--------.

dr r X + 2G

Это уравнение решается в квадратурах, и результат выглядит следующим образом:

X + 2G

Зная перемещение и давление, можно получить выражения для деформаций и напряжений. Они будут содержать две константы - а и А, для отыскания которых следует использовать

условие на внешней границе и условие на границе упругой и пластической зон.

Модель для пластической зоны

В модели идеальной пластичности напряжения в пластической зоне также описываются дифференциальным уравнением (4). Кроме того, еще одну связь дает соотношение Кулона-Мора (9). В результате получаем дифференциальное уравнение первого порядка для сг. Известно, что эффективное радиальное напряжение на внутренней стенке каверны равно нулю:

Из теоремы единственности для дифференциальных уравнений следует, что радиальное эффективное напряжение в пластической зоне может быть однозначно определено, если известно давление. Интегрирование с учетом граничного условия дает следующее выражение:

На границе упругой и пластической зон (сфере радиуса Яр) должно соблюдаться равенство радиальных напряжений. Так как при подходе к этой границе в обеих зонах /с _ м стремится к нулю, то из равенства радиальных напряжений вытекает равенство тангенциальных напряжений. Это условие использовано в алгоритме поиска радиуса Яр. Если этот радиус найден, то полученные выше формулы позволяют определить давление, напряжения, деформации и перемещения в упругой зоне, а также давление и напряжения в пластической зоне. Для определения деформаций и перемещений в пластической зоне обратимся к закону (11), который с учетом (9) принимает вид:

Из этого закона следует соотношение: у-ер + П'еР = 0.

В сочетании с условием совместности (12) это соотношение позволяет определить деформации, если известно их значение в одной точке. Так как на границе зон пластические деформации равны нулю, то получаем граничное условие для уравнения (12):

С учетом этого условия решение (12), (19) имеет следующий вид:

Интеграл (21) может быть вычислен с помощью квадратурной формулы с учетом того, что упругие деформации однозначно определяются по найденным напряжениям через соотношения закона Гука-Терцаги-Био. Решение задачи (12), (19) было также получено методом конечных разностей. Оба решения оказались практически одинаковыми.

Полученные выше соотношения для зон упругого и пластического состояния использованы при создании комплекса расчетных методик и компьютерных программ. Во всех случаях применялся общий алгоритмический подход, состоящий в реализации следующих пунктов:

1) расчет распределения давления на заданной сетке узлов;

2) проверка путем интегрирования системы (4), (9) с граничным условием (16) возможности перехода всей области в пластическое состояние;

3) нахождение радиуса Яр границы между упругой и пластической зонами с использованием условия сопряжения напряжений на этой границе. Использовался метод перебора в сочетании с методом деления отрезка пополам;

еР (Яр) = 0.

4) вычисление напряжений в упругой и пластической зонах;

5) вычисление упругих и пластических деформаций.

Для фильтрации несжимаемой жидкости (в соответствии с законом Форхгеймера) задача была решена аналитически. Это решение использовалось для оценки точности численных схем.

В модели с упрочнением предполагалось, что в зоне пластичности выполняется соотношение (9), в котором напряжение сцепления зависит от накопленной в данной точке пластической деформации:

В этом случае при расчете зоны пластичности приходится совместно решать систему уравнений для напряжений (4) и деформаций (12). Для замыкания привлекаются соотношения (19) и (22).

В процессе создания и апробации алгоритмов численного решения были обнаружены отдельные проблемы. Так, при применении к численному расчету напряжений метода Рунге-Кутта в пластической зоне была выявлена вычислительная неустойчивость. Причиной тому служит экспоненциальный рост тангенциального напряжения. Поэтому далее был предложен иной подход, основанный на численном определении интегралов (15) и (17). Задача фильтрации была выделена в специальный модуль, при помощи которого определяется давление в заданной сетке узлов. Создав библиотеку таких модулей для расчета установившегося притока к сферической каверне, можно производить фильтрационнопрочностной расчет перфорационных каверн нефтяных и газоконденсатных скважин.

При решении упруго-пластических задач методом конечных элементов [3] критерий Кулона-Мора заменяют критерием Друкера-Прагера. В случае сферической симметрии критерий Друкера-Прагера существенно упрощается, и связь между тангенциальным и радиальным напряжениями в пластической зоне может быть также выражена линейной зависимостью (9), но с несколько отличающимися коэффициентами. Различают два вида

/ = цаг-та, - С (х) = 0;

аппроксимации Друкера-Прагера. В первом случае поверхность Друкера-Прагера вписывается в поверхность Кулона-Мора, во втором - описывается около нее. Для описанной поверхности Друкера-Прагера коэффициенты в (9) с точностью до постоянного множителя совпадают с аналогичными коэффициентами при использовании критерия Кулона-Мора. Поэтому решения при использовании этих критериев получаются полностью идентичными. При использовании критерия с вписанной поверхностью Друкера-Прагера решения заметно отличаются от решений с критерием Кулона-Мора: радиус пластической зоны, как правило, существенно сокращается.

В завершение приведем два примера расчета: для модели идеальной пластичности и модели с упрочнением. Для простоты в примерах рассматривается нелинейная фильтрация несжимаемой жидкости. Исходные данные для расчетов приведены в таблице. Результаты расчетов - на рис. 1-4 (для удобства совмещения на одном графике с давлением отрицательные сжимающие напряжения на рис.1 показаны положительными).

На рис. 1 сопоставляются поровые давления и напряжения в двух расчетах. Можно видеть, что поровые давления в обоих расчетах одинаковы, поскольку этот параметр (в принятой модели) не зависит от напряжений. Напряжения на границе упругой и пластической зон также одинаковы, однако сама граница сдвигается в сторону перфорационной каверны в расчете с упрочнением (радиус этой границы в расчете с идеальной пластичностью - 8,52 см, с упрочнением - 5,52 см).

Пластические деформации, особенно для модели идеальной пластичности (см. рис. 2), настолько высоки, что упругие деформации на их фоне становятся пренебрежимо малы. Чтобы показать характер распределения последних, пришлось их вынести на отдельный рисунок (см. рис. 3). Ввиду этого по результатам подобных расчетов можно учесть в качестве дополнительного критерия разрушения (наряду с предлагаемыми в [1, 2] пластическим коллапсом и критическими растягивающими напряжениями) критическую величину пластических деформаций.

Исходные данные для примеров

Наименование параметра Единица измерения Значение

идеальная пластичность модель с упрочнением

Радиус перфорационной каверны см 2 2

Радиус внешней сферической границы см 40 40

Проницаемость Дарси 5 5

Коэффициент Форхгеймера 1/см 639504,3 639504,3

Дебит жидкости в каверне м3/сутки 6,76 6,76

Вязкость жидкости сП 2 2

Плотность жидкости кг/м3 800 800

Пластовое давление на внешней границе кгс/см2 200 200

Горное давление на внешней границе кгс/см2 -460 -460

Модуль Юнга кгс/см2 20000 20000

Коэффициент Пуассона б/р 0,32 0,32

Напряжение сцепления при переходе в пластическое состояние кгс/см2 2 2

Напряжение сцепления при разрушении кгс/см2 - 4

Угол внутреннего трения 25 25

Деформация разрушения б/р - 0,25

Критерий пластичности - Кулона-Мора или Друкера-Прагера

Шаг выдачи по радиусу см - 0,1

Рис. 1. Сопоставление радиального

О 5 1С 15 _ 20 25 30 35 4С

Радиус, см

Рис. 2. Распределение по радиусу радиальных и тангенциальных деформаций: общих (Ей и ЕТ), упругих (ЕйЕ. и ЕТЕЦ) и пластических (ЕйРЦ и ЕТРЦ) (идеальная

пластичность)

Пластовое давление, кгс/см2

0.005

С 5Ю15 2С25Э0354С

Радиус, см

Рис. 3. Распределение по радиусу радиальных

2 3 4 5 6 7 5 9 1С

Радиус, см

Рис. 4. Сопоставление распределения пластических деформаций в расчетах для идеальной пластичности и пластичности с упрочнением (в обозначения расчета с упрочнением добавлено окончание _Н

На рис. 4 сопоставляются пластические деформации для двух моделей. В отличие от напряжений, максимальные абсолютные величины которых одинаковы в обоих расчетах (см. рис. 1), максимальные пластические деформации в расчете с упрочнением существенно ниже, чем в расчете с идеальной пластичностью. Поскольку, как показывают физические эксперименты с образцами пород-коллекторов [3], модель с упрочнением более адекватна, это обстоятельство необходимо учитывать при расчете НДС при-скважинных областей пласта.

Выводы

Предложен комплекс методик для фильтрационно-прочностного расчета напряжений и деформаций, возникающих в горной породе, окружающей сферическую каверну, под действием установившегося течения пластового или закачиваемого флюида.

Методики позволяют учесть линейный и двучленный законы фильтрации, а также учесть многофазность потока.

Расчеты доводятся до определения пластических деформаций, что позволяет использовать различные критерии разрушения, включая деформационные.

Список литературы

1. Bartli R.K. Stability and Failure of Sand Arches / R.K. Bartli. R. Risnes // SPEJ, April. - P. 236-248.

2. Пятахин М.В. Геомеханические проблемы при эксплуатации скважин / М.В. Пятахин. - М.: Газпром ВНИИГАЗ, 2011. - 266 с.

3. Ковалев А. Л. Математические модели для фильтрационнопрочностного расчета призабойных зон скважин / А.Л. Ковалев, Е.В. Шеберстов // Актуальные вопросы исследований пластовых систем месторождений углеводородов: сб. науч. ст. - Ч. 1. - М.: Газпром ВНИИГАЗ, 2011. - С. 192-204.

4. Hoek P.J. Horizontal-Wellbore Stability and Sand Production in Weaky Consolidated Sandstones / P.J. Hoek, A.P. Kooijman, P. de Bree // SPE Drill & Completion. - December 2000. - P. 274-283.

5. Risnes R. Sand Stresses Around a Wellbore / R. Risnes, R.K. Bartli, P. Horsrud // SPEJ. - 1982. - P. 883-898.