Влияние дефектов структуры на неравновесное критическое поведение трехмерной модели Изинга при эволюции из начального низкотемпературного состояния

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 4. С. 32-38.

УДК 539.2

В.В. Прудников, П.В. Прудников, П.Н. Маляренко, В.В. Крижановский

ВЛИЯНИЕ ДЕФЕКТОВ СТРУКТУРЫ НА НЕРАВНОВЕСНОЕ КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА ПРИ ЭВОЛЮЦИИ ИЗ НАЧАЛЬНОГО НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОГО СОСТОЯНИЯ*

Представлены результаты численного Монте-Карло исследования особенностей неравновесного критического поведения в трехмерной структурно неупорядоченной модели Изинга при эволюции из начального низкотемпературного состояния для широкого спектра спиновых концентраций p = 1.0, 0.95, 0.8, 0.6, 0.5. Впервые показано, что пиннинг доменных стенок на дефектах структуры приводит к существенному изменению неравновесных эффектов старения в структурно неупорядоченных системах по сравнению с «чистой» системой. В результате предельное значение флуктуа-ционно-диссипативного отношения X°° становится равным нулю для структурно неупорядоченных систем, в то время как для «чистой» системы X °° = 0.784(5).

Ключевые слова: метод Монте-Карло, неравновесное критическое поведение, структурно неупорядоченная модель Изинга, эффекты старения.

Поведение статистических систем вблизи температуры Tc фазового перехода второго рода характеризуется чрезвычайно медленной динамикой с аномально большими временами релаксации, стремящимися к бесконечности как trei ~|T - Tc\-zv при T ^ Tc, где z и v - динамический критический индекс и индекс корреляционной длины соответственно. В результате система, находящаяся в критической точке, не в состоянии прийти к равновесному состоянию в течение всего процесса релаксации. В этих условиях система демонстрирует ряд особенностей своего неравновесного поведения, такие как явления старения и нарушения флуктуационно-диссипа-тивной теоремы [1-5]. Эффекты старения наблюдаются только на временах t << trei и проявляются в форме двухвременной зависимости корреляционной функции и функции отклика от времени наблюдения t и времени ожидания tw. Время ожидания tw характеризует проме^жугок времени от момента приготовления образца до момента начала измерения его характеристик. При медленной эволюции из неравновесного начального состояния старение системы проявляется в замедлении релаксационных процессов при увеличении времени ожидания tw - «возраста» системы - и сопровождается такими неэргодическими эффектами, как памятью о начальном и любом промежуточном состояниях в релаксационном процессе при t, tw << trei и нарушением флуктуационно-диссипативной теоремы [3-5].

В исследованиях влияния начальных состояний системы на характеристики неравновесного критического поведения различают высокотемпературные состояния, созданные при To > Tc и характеризуемые начальной намагниченностью mo = 0, и низкотемпературные состояния с To < Tc с mo ^ 0. Дальнейшая реализация неравновесного процесса характеризуется тем, что в начальный момент времени система приводится в контакт с термостатом при критической температуре Tc системы и затем с момента времени tw осуществляется измерение двухвременных величин - корреляционной функции и функции отклика, на временах 1<< t, tw<< trei.

* Работа поддержана грантом Российского научного фонда, проект № 14-12-00562. Исследования выполнены с привлечением вычислительных ресурсов СКИФ МГУ «Чебышев».

© В.В. Прудников, П.В. Прудников, П.Н. Маляренко, В.В. Крижановский

Влияние дефектов структуры на неравновесное критическое поведение...

33

В данной работе мы представляем результаты численного Монте-Карло исследования влияния дефектов на характеристики неравновесного критического поведения трехмерной модели Изинга при ее эволюции из низкотемпературного начального состояния с приведенной намагниченностью mo = 1. Гамильтониан для ферромагнитной модели Изинга, разбавленной немагнитными атомами примеси, с учетом влияния внешнего магнитного поля h задается выражением

H = -JX P.PjSiSj -н£pS,

<i,j > i

где J > 0 характеризует короткодействующее обменное взаимодействие между спинами Si = ±1, зафиксированными в узлах решетки. В данной модели немагнитным атомам примеси сопоставляются пустые узлы. Числа заполнения pi вводятся как случайные числа, принимающие значения 0 или 1: pi принимается равным 1, если в узле i находится спин, и 0 в случае его отсутствия (магнитный атом замещен немагнитным атомом примеси). Дефекты структуры распределялись в системе каноническим образом в соответствии с функцией распределения

Ppi) = (1 - P)8(p) + pSpi), где p = (p^j задает величину спиновой концентрации в системе. Положение дефектов структуры фиксировалось для отдельной примесной конфигурации. Моделирование проводилось на кубической решетке с наложенными периодическими граничными условиями. Ns = pL3 характеризует число спинов в решетке с линейным размером L. В качестве характеристик неравновесного процесса выступают такие величины, как намагниченность

M (t) = V j ddx[s (x, t})]

временная корреляционная функция C(t,tw) и линейная функция отклика R(t,tw) на малое внешнее поле, примененное в момент времени tw, которые могут быть определены соотношениями

C(t, tw) = V j ddx[{ S (x, t )S (0, tw})-( S (x, t))( S (0, tw})],

R(t,tw) = V j d

Д

d

где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по реализациям начального состояния, квадратные - усреднение по различным конфигурациям распределения дефектов в решётке.

Согласно общим представлениям о неравновесных процессах, ожидается, что для t > tw >> trel, C(t,tw) = Ceq(t-tw) и R(t, tw) =

= Req(t-tw), где Ceq и Req являются соответствующими равновесными величинами, связан-

ными флуктуационно-диссипативной теоремой (далее - ФДТ) TReq(t) = -dCeq(t)/dt. Принципиально важным проявлением медленной динамики является нарушение ФДТ [3-5], когда связь функции отклика системы на внешнее возмущение R(t,tw) и корреляционной функции C(t,tw) осуществляется через введение дополнительной величины X(t,tw), получившей название флуктуационно-дис-сипативного отношения (далее - ФДО):

X

R(t, tw) = -

kT

dt

Для времен с t > tw >> trel ФДТ устанавливает, что X(t,tw) = 1. Однако в общем случае для времен с t, tw << trel X(t,tw) ^ 1. Асимптотическое значение ФДО, вводимое как

X = limlimX

оказывается важной универсальной характеристикой неравновесных процессов в различных системах.

В настоящее время установлено, что временная зависимость для автокорреляционной функции и функции отклика в неравновесном режиме при эволюции из низкотемпературного начального состояния с m0 ^ 0 удовлетворяет следующим выражениям [6]:

C = A(t - tw)a+1-d/z (t / tw )e-1 FC (tw /1, t / tm),

R = B

где tm ~ mak - новый временной масштаб, задаваемый начальным значением намагниченности mo, c показателем k = 1 / (в + a + + fi/zv) > 0, a = (2 - n - z) / z, в - новый независимый критический индекс неравновесного поведения. Скейлинговые функции FC (tw /1, t / tm ) и Fr (tw /1, t / tm ) являются конечными при tw ^ 0 и t / tm ^ 0 , A и B - неуниверсальные амплитуды, значения которых фиксируются условием FC,R (0, 0) = 1.

Величины C(t,tw,tm) и R(t, tw, tm) являются обобщенно однородными функциями трех временных масштабов t tw, tw и tm. В частности, когда реализуется их следующее соответствие tw< t<< tm, которое в^1полняется ^зсе гда для случая эволюции из высокотемпературного начального состояния с m0 = 0, зависимости (6) переходят в соотношения, соответствующие этому случаю [2; 6]. В противоположном случае с временами t-tw и tw, большими по сравнению с tm, т. е. для tm<<tw<t, скейлинговые выражения (6) принимают вид:

C(t, tw) = A(t - tw)a+l-d/z (t / tw ) FC(tw /1),

R

где введен новый показатель 9 = -fiS / (vz) = = -(1 + a + fi /(vz)), а Fcr (tw /1) являются

34

В. В. Прудников, П.В. Прудников, П.Н. Маляренко, В. В. Крижановский

скейлинговыми функциями, получающимися из Fcr (tw /1, t / tm ) в (6) при предельно

больших значениях t/ tm.

В режиме старения, реализующемся для времен t- tw ~ tw, корреляционная функция и функция отклика описываются соотношениями

C (t, tw)~ t;ip'(vz) Tc (t / tw),

R

со скейлинговыми функциями Fcr (t / tw), которые убывают на долговременном этапе их изменения с t — tw >> tw в соответствии со степенным законом

Fc,R

где показатель p = d/z - a + fi6/(uz) [6].

Для выявления особенностей неравновесного критического поведения в трехмерной системе изинговских спинов при эволюции из низкотемпературного начального состояния с то = 1 и исследования влияния на них дефектов структуры в данной работе осуществлялось компьютерное моделирование в рамках статистического метода Монте-Карло. Был реализован динамический процесс односпиновых переворотов с применением алгоритма тепловой бани [7]. В данной работе, по аналогии с работами [2; 6], мы применили методику, позволяющую рассчитать функцию отклика без применения внешнего магнитного поля, осуществляя расчет обобщенной восприимчивости в виде интегральной функции отклика (термостатической восприимчивости):

t

w 1 N

X

0 i=1

с функцией отклика, задаваемой соотношением (3), и функцией AS(tw), рассчитываемой при моделировании состояний системы от начального момента времени t = 0 до времени ожидания tw и определяемой соотношением

t

AS,

s=0

где SW = th( JX PmSm / T) .

m^t

С другой стороны, если в (10) для функции отклика применить соотношение (4), то можно получить, что

tw dC

Tx

0 0

В результате флуктуационно-диссипа-тивное отношение может быть определено соотношением

X

y wJ C^0 dC

с помощью которого можно определить предельное флуктуационно-диссипативное отношение (5).

Нами было осуществлено моделирование систем со спиновыми концентрациями p = 1.0; 0.95; 0.8; 0.6; 0.5 на кубической решетке с линейным размером L = 128 при соответствующих критических температурах Tcp): Tc(1.0) = 4.5114(1) [8]; Tc(0.95) =4.26267(4); Tc(0.8) = 3.4995(2); Tc(0.6) = 2.4241(1);

Tc(0.5) = 1.84509(6) [9]. На ранней стадии эволюции системы корреляционная длина еще достаточно мала и конечность размера моделируемой системы оказывается несущественной. Поэтому применение в исследованиях решетки с достаточно большим линейным размером L = 128 позволяет пренебрегать конечномерными эффектами по сравнению с их проявлением при моделировании равновесных критических явлений [10].

В работе было проведено вычисление двухвременной зависимости для автокорреляционной функции C(t,tw) (3) и восприимчивости x(t,tw) (11) от времени наблюдения

t - tw для набора различных времен ожидания tw при заданных выше значениях спиновой концентрации p. Поведение систем исследовалось на временах до 10 000 шагов Монте-Карло на спин. При моделировании «чистой» системы с p = 1.0 проводилось статистическое усреднение по 90 000 прогонок. При моделировании структурно неупорядоченной модели Изинга усреднение вычисляемых величин проводилось по 6 000 примесных конфигураций и 15 прогонкам для каждой примесной конфигурации. Результаты расчетов представлены на рис. 1. Эффекты старения наглядно проявляются через зависимость C(t,tw) и x(t,tw) от «возраста» системы tw на временах наблюдения

t — tw ~ tw и характеризуются замедлением корреляции и релаксации системы с увеличением ее «возраста». Из представленных графиков также видно, что с ростом концентрации дефектов (уменьшением спиновой концентрации p) происходит усиление эффектов старения. Наиболее наглядно влияние дефектов проявляется в сильном замедлении эффектов корреляции в структурно неупорядоченных системах по сравнению с «чистой» системой. Мы связываем эти сильные изменения в поведении автокорреляционной функции с пиннингом доменных стенок на дефектах структуры, происходящем при неравновесном изменении доменной структуры системы при переходе от однодоменного состояния при To = 0 к многодоменной флуктуационной структуре, возникающей при критической температуре Tc. На это указывают графики для двух составляющих автокорреляционной функции в (3), которые мы обозначили как Css(t,tw) и Cmm(t,tw) и представили на рис. 2 для «чистой» системы и системы со спиновой концентрацией p = 0.5 соответственно. Из графиков видно, что для

Влияние дефектов структуры на неравновесное критическое поведение...

35

«чистой» системы на временах наблюдения t — tw ^ tw значения составляющих Css{t,tw) и Cmm(t,tw) начинают совпадать, приводя к взаимной компенсации в полной автокорреляционной функции, в то время как для структурно неупорядоченных систем графики для этих составляющих хотя и сближаются на

временах t — tw S tw с параллельным дальнейшим изменением, но полной компенсации их не происходит, более того, их разница растет с увеличением времени ожидания tw и ростом концентрации дефектов cimp = 1 - p.

Рис. 1. Неравновесные зависимости автокорреляционной функции C

от времени наблюдения (t - tw) для различных значений концентрации спинов p и времён ожидания tw

Рис. 2. Сравнение временных зависимостей вкладов в автокорреляционную функцию Css

В режиме старения временная зависимость автокорреляционной функции характеризуется скейлинговыми соотношениями

(7) и (8). Подобную скейлинговую форму для временной зависимости восприимчивости можно получить на основе применения инте-трального соотношения (10) и скейлинговой зависимости (7) для функции отклика. В результате получаем

X

со степенной зависимостью функции Fx(t / tw) ~ (t / tw)~ф на долговременном этапе

релаксации системы с t — tw >> tw >> tm при сохранении значения показателя ф , что и в

соотношении (9). Для подтверждения скей-линговой зависимости для автокорреляционной функции (7) и восприимчивости (14) было осуществлено построение зависимости

К™C(t, tw) и tw'pn">X(t, tw) от (t - и)/и с

ip/

использованием значений критических индексов: 2fi/v = 1.032(5) [10], z = 2.024(6) [11] для p =1.0; 2fi/v = 1.016(32), z = 2.191(21) [12] для p =0.95; 0.8 и 2fi/v = 0.924(80),

z = 2.663(30) [13] для p = 0.6; 0.5. Результат приведен на рис. 3, который демонстрирует «коллапс» полученных для различных tw данных на соответствующих различным спиновым концентрациям p универсальных кривых, характеризуемых скейлинговыми функциями Fc (t / tw) и Fx(t / tw).

Для временных интервалов с (t - tw)/tw >> 1 были определены приведенные в табл. 1 значения показателей рс и рх для

«чистой» системы с p = 1.0, которые в пределах погрешностей хорошо согласуются друг с другом и с теоретически предсказанным значением (р = 1 + d/z + fi/(vz) = 2.737(8).

36

В.В. Прудников, П.В. Прудников, П.Н. Маляренко, В.В. Крижановский

Рис. 3. Скейлинговые зависимости для автокорреляционной функции twplv C(t,t) (a) и восприимчивости

X(t, t) (б) от (t - tw)/tw, демонстрирующие «коллапс» полученных для различных tw данных

t

Таблица 1

Значения критических показателей автокорреляционной функции и динамической восприимчивости

p Фс Са Фх

1 2,740

0,95 2,618

0,8 2,590

0,6 2,386

0,5 2,337

Однако для структурно неупорядоченных систем с p < 1 в значениях показателей для автокорреляционной функции и восприимчивости, определенных на интервале с (t - tw) / tw >> 1, наблюдаются большие различия, обусловленные выявленным существенным влиянием дефектов структуры на корреляционные свойства системы на неравновесном этапе эволюции. Так, степенное поведение скейлинговой функции Fc (t 1 tw) для

структурно неупорядоченных систем более правильно характеризовать показателем Са.

FC

с ca = fi / (vz), характеризующим долговременную релаксацию намагниченности M(t) ~ t-e/(vz) при T = Tc. Действительно, определенные нами значения показателя ca, представленные в табл. 1, в пределах погрешности хорошо согласуются со значениями fi / (vz) для соответствующих спиновых концентраций. В то же

время для скейлинговой функции Fx(t 1 tw) вычисленные значения показателя (рх оказываются в хорошем соответствии со значениями показателя ф = 1 + d / z + fi / (vz) для соответствующих спиновых концентраций.

Тем не менее для структурно неупорядоченных систем в поведении автокорреляционной функции в режиме старения на временах (t - tw) ~ tw наблюдается более резкое спадание (рис. 1, а), на котором поведение

скейлинговой функции Fc (t 1 tw) (рис. 3, а) может быть аппроксимировано степенным законом с показателем фс, принимающим приведенные в табл. 1 значения, которые в пределах погрешностей согласуются с вычисленными значениями фх для динамической восприимчивости и значениями показателя ф = 1 + d / z + fi / (vz) для соответствующих спиновых концентраций. Это указывает на то, что предсказываемое ре-нормгрупповой теорией скейлинговое поведение для корреляционной функции в соответствии с (6) осуществляется в неравновесном поведении структурно неупорядоченных систем вплоть до режима старения с t - tw ~ tw >> 1, а в долговременном режиме с t - tw >> tw >> 1 за счет пиннинга доменных стенок на дефектах происходит сильное замедление корреляционных эффектов и спадание автокорреляционной функции со временем осуществляется по степенному закону критической релаксации намагниченности.

Более тонкий анализ поведения автокорреляционной функции для структурно неупорядоченных систем в долговременном режиме с t - tw>> tw >> 1 показывает нарушение ее простой скейлинговой зависимости, определяемой Fc (t 1 tw), так как на этом этапе эволюции полного совпадения данных для различных tw не происходит (рис. 3, а). Представление скейлинговой зависимости для автокорреляционной функции в виде Fc (t 11%) позволяет при значениях показателя ц = 2.30(6) для систем с p = 0.95; 0.8 и ц = 2.80(7) для систем с p = 0.6; 0.5 получать совпадение данных для различных tw (рис. 4). Такой случай скейлинговой зависимости, характеризуемой показателем ц >1, классифицируется в теории неравновесных процессов как явление «сверхстарения» [1]. Из рис. 4 видно, что восстановление «коллапса» данных для автокорреляционной функции в долговременном режиме с t - tw >> tw >> 1 через

Влияние дефектов структуры на неравновесное критическое поведение...

37

введение скейлинговой функции Fc (t /10) разрушает «коллапс» этих же данных для времен t — tw < tw. Это позволяет нам предположить, что для структурно неупорядоченных систем должна реализовываться более сложная форма, чем в (7), для скейлинговой зависимости автокорреляционной функции при tm << tw < t вида

C(t,tj=A (t-tw y+1-d/ z[(t/tw f-1 F (t/tw)+

+Be

с функциями Fc (t /tw)~(t / twy2p/{vz),

Fe (t / o~(t / e)-pi(vz) и Bc(p = 1) = o.

Рис. 4. Эффект «сверхстарения» в скейлинговом поведении автокорреляционной функции tw2p/

в зависимости от t / А

На следующем этапе исследований нами был проведен расчет флуктуационно-дисси-пативного отношения в соответствии с соотношением

находится в очень хорошем согласии с теоретико-полевым значением X" ~ 0.78, полученным в работе [6] на основе ренормгруппового описания неравновесной критической динамики диссипативной модели А с применением метода е-разложения.

от автокорреляционной функции, определяющие в соответствии

с (14) флуктуационно-диссипативное отношение

Однако для структурно неупорядоченных систем за счет выявленных эффектов сильного замедления корреляционных эффектов на временах t tw ~ tw >> 1 из-за пин-нинга доменных стенок на дефектах в графиках зависимостей Тх от C (рис. 5) проявляется наличие двух линейных участков: первый участок соответствует изменению автокорреляционной функции C(t, tw) на временах t tw ^ tw >> 1, а второй - значениям C(t, tw) для долговременного этапа эволюции с t — tw >> tw >> 1. Видно, что протяженность второго участка растет с увеличением концентрации дефектов. Этим (вторым) участкам для всех рассмотренных спиновых концентраций с p < 1 соответствуют предельные значения ФДО X" = 0. В то же время анализ зависимостей Тх от C на первых участках, осуществленный на основе выражения (13) без рассмотрения предела C ^ 0, показывает, что если к определенным значениям X(tw) применить аппроксимацию X(tw ^ да), тогда можно получить приведенные в табл. 2 значения, близкие к среднеполевым значениям предельного ФДО X" = 0.8 [6]. Отклонения обусловлены влиянием флуктуационных эффектов и дефектов структуры.

Таблица 2

Значения флуктуационно-диссипативного отношения для систем с различными спиновыми концентрациями

p = 1.0 p = 0.95 O II о bo p = 0.6 p = 0.5

tw X(t - tw) >> tw tw X(t - tw) >> tw tw X(t-tw) >>tw tw X(t -tw) >> tw tw X(t - tw) >> tw

15 0,869

25 0,826

50 0,810

W 0,784

X” 0,784(5) X” 0 X” 0 X” 0 X” 0

38

В. В. Прудников, П.В. Прудников, П.Н. Маляренко, В. В. Крижановский

В заключение отметим, что в результате численных исследований выявлено существенное влияние дефектов на неравновесную критическую динамику трехмерной модели Изинга при ее эволюции из низкотемпературного состояния. Показано, что с ростом концентрации дефектов происходит усиление эффектов старения. Наиболее наглядно влияние дефектов проявляется в сильном замедлении эффектов корреляции в структурно неупорядоченных системах по сравнению с «чистой» системой. В результате спадание автокорреляционной функции на временах t - tw >> tw >> 1 осуществляется по степенному закону критической релаксации намагниченности за счет пиннинга доменных стенок на дефектах, а предельные значения ФДО, определяемые динамикой доменов в долговременном режиме, становятся равными нулю. Показано, что критические показатели, характеризующие асимптотическое поведение автокорреляционной функции и динамической восприимчивости, характеризуются принадлежностью различным классам универсальности критического поведения, а именно: критического поведения «чистых» систем, слабо неупорядоченных с p = 0.95, 0.8 и сильно неупорядоченных с p = 0.6, 0.5 [14-16].

ЛИТЕРАТУРА

[1] Henkel M., Pleimling M. Non Equilibrium Phase Transitions. Vol. 2 : Ageing and Dynamical Scaling far from Equilibrium (Theoretical and Mathematical Physics). Heidelberg : Springer, 2010. 544 p.

[2] Calabrese P., Gambassi A. Ageing properties of critical systems // J. Phys. A. 2005. Vol. 38. P. R133.

[3] Crisanti A., Ritort F. Violation of the fluctuation-dissipation theorem in glassy systems: basic notions and the numerical evidence // J. Phys. A: Math. Gen. 2003. Vol. 36. P. R181.

[4] Cugliandolo L. F. The effective temperature // J. Phys. A: Math. Theor. 2011. Vol. 44. P. 483001.

[5] Komatsu K., L'Hote D., Nakamae S., Mosser V., Konczykowski M., Dubois E., Dupuis V., Perzyn-ski R. Experimental Evidence for Violation of the

Fluctuation-Dissipation Theorem in a Superspin Glass // Phys. Rev. Lett. 2011. Vol. 106. P. 150603.

[6] Calabrese P., Gambassi A., Krzakala F. Critical ageing of Ising ferromagnets relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech. 2006. Vol. 6. P. 2.

[7] Janke W. Monte Carlo methods in classical statistical physics // Lecture Notes in Physics. 2008. Vol. 739. P. 79140.

[8] Ferrenberg A. M., Landau D. P. Critical behavior of the three-dimensional Ising model: A high-resolution Monte Carlo study // Phys. Rev. B. 1991. Vol. 44. P. 5081.

[9] Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н., Криницын А. С. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга // ЖЭТФ. 2007. Т. 132.

С. 417.

[10] Guida R., ZinnJustin J. Critical exponents of the N-vector model // J. Phys. A. 1998. Vol. 31. P. 8103.

[11] Криницы/н А. С., Прудников В. В., Прудников П. В. Расчет динамического критического индекса методом суммирования асимптотических рядов // ТМФ. 2006. Т. 147. С. 137.

[12] Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Krinitsyn A. S., Vakilov A. N., Pospelov E. A., Rychkov M. V. Shorttime dynamics and critical behavior of the three-dimensional site-diluted Ising model // Phys . Rev. E. 2010. Vol. 81. P. 011130.

[13] Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н. Теоретические методы описания неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем. М. : Наука, 2013. 316 с.

[14] Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А. Численные исследования влияния дефектов структуры на эффекты старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы для неравновесного критического поведения в трехмерной модели Изинга // ЖЭТФ. 2014. Т. 145. С. 462.

[15] Прудников В. В., Вакилов А. Н., Талашок Д. В. Динамика возмущений начального состояния системы в исследовании критического поведения неупорядоченных систем // Письма в ЖЭТФ. 2014. Т. 100. Р. 760.

[16] Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Pospelov E. A., Vakilov A. N. Influence of disorder on critical ageing in 3D Ising model // Phys. Lett. A. 2015. Vol. 379. P. 774.