О сдвиговой прочности горных пород

О сдвиговой прочности горных пород

Е.И. Шемякин

Московский государственный университет, Москва, 119899, Россия

Результаты, приведенные ниже, являются продолжением и иллюстрацией идей, опубликованных ранее [1-3], и относятся к изучению прочности и разрушения горных пород в массиве. Внимание будет уделено сдвиговой прочности горных пород и различию величин прочности в массиве и при измерении на образцах. При этом, конечно, будут обсуждены вопросы разрушения за счет разрыхления (с учетом дилатансии) и разрыва (при оценке явления гидроразрыва).

On shear stability of rocks

E.I. Shemyakin

Moscow State University, Moscow, 119899, Russia

The results presented below are a continuation and illustration of the ideas published earlier [1-3]; they are related to studying strength and failure of rock masses. Consideration is given to shear stability of rocks and differences of strength values in the rock mass and in specimens during measurements. Problems of failure due to loosening (with regard to dilatancy) and fracture (in estimation of hydraulic fracture) are discussed.

1. Задача о прочности горных пород в окрестности подземной выработки

В задачах механики горных пород основной является задача о прочности (устойчивости) горных пород в окрестности подземной выработки. Основной моделью для таких рассуждении является круговая выработка определенного диаметра на заданной глубине и ориентировке оси выработки относительно главных напряжений ах, а2, а3 со своими главными направлениями. (Наиболее распространенным случаем является выбор главных направлений, связанный с направлением (вертикалью) силы тяготения ах, и боковых напряжений, направления которых перпендикулярны главному направлению силы тяготения) [4-6] (рис. 1).

Самым ответственным моментом в создании такой выработки как подземного сооружения является изменение соотношений между главными напряжениями в окрестности выработки (главные направления при этом будем считать неизменными). Хотя соотношение между главными напряжениями и направления главных направлений могут изменяться и в ходе горных работ. Если принять пока для простоты, что на глубинах 1-2-3 км исходное напряженное состояние (in situ) было равномерным, гидростатическим

Рис. 1. Общий вид подземной выработки

© Шемякин Е.И., 2004

а1 = а2 = а3 = -p,

где p — литостатическое давление, то после проходки выработки, будь то скважина (горизонтальная или вертикальная) или шахтный ствол, напряженное состояние изменится.

Важно отметить, что это изменение не есть следствие фантазий, предположений о модели деформируемости среды, а отражение законов равновесия (или динамики, квазистатики в процессе проходки или бурения). Уже сам этот процесс (проходка забоя) является трехмерным, слабо изученным процессом [5, 6]. Так, например, если главные направления напряженного состояния а1, а2, а3 выбрать в соответствии с цилиндрической системой координат горизонтальной или вертикальной выработки, то в ходе подготовки выработки (скважины), при отходе от забоя, обязательно происходят два процесса.

Первый из них связан с тем, что радиальное напряжение обязательно падает по величине, даже если со стороны выработки (скважины, например) оказывается возможным организовать подпор, как правило, по величине меньший, чем было радиальное напряжение до проходки скважины.

Второй частью процесса является развитие касательных напряжений за счет различия в главных напряжениях исходного состояния или возникших при создании выработки. Так, в рассматриваемом примере (вертикальная или горизонтальная выработка — скважина в равномерном in situ напряженном состоянии) возникают касательные напряжения, которых не было до работ, а именно, за счет возникающего различия в главных напряжениях. Этот этап является наименее изученным в напряженно-деформированном состоянии призабойной зоны [4-6]. В этой зоне происходит сложный переход от исходного состояния (гидростатического в этом примере) к состоянию в окрестности выработки. При этом важно оценить сдвиговую прочность, т.к. именно эта прочность принципиально отличает твердые тела от жидких и газообразных. Так, возникающие касательные напряжения связаны с разностями главных напряжений и равны

а1 - а3 = 2Т а1 -а2 = а2 - а3 = 2Т23 ,

а1 = аф> а2 = аr> а3 = аz

(аф >az >аг в окрестности вертикальной выработки, например).

Т. Карман при этом считал, что аz необязательно теряет свою (упругую) связь с деформациями, существовавшую до проходки выработки или скважины. Главное, что с достижением предельной сдвиговой прочности наступает новое состояние. Возникновение анизотропии сопротивления сдвигам в результате роста касательных напряжений является едва ли не самым приме-

чательным механическим эффектом создания выработок (скважин) в горном массиве.

Вообще говоря, о величинах касательных напряжений уместнее высказаться позже (в связи с паспортом прочности горных пород), но одно общее свойство твердых тел и горных пород должно быть отмечено. Это свойство конечного предельного сопротивления сдвигу для всех реальных тел. Здесь же уместно привести замечание об отпоре крепи или о противодавлении со стороны жидкости в скважине. Реальный отпор или крепь, которые должны заменить удаленный материал, создать технически очень трудно, имея в виду величины отпора в сотни и тысячи тонн на квадратный метр. Во всяком случае, в задачах горного дела реальная крепь играет другую роль, удерживая (главным образом) возможный вывал за счет ползучести или разрушения призабойной зоны.

Поэтому, естественно до детального подробного анализа различных вариантов (негидростатическое напряженное состояние, горизонтальная или вертикальная скважина, слоистость окружающего массива и его блочная структура) обратить внимание на этот основной процесс — изменение сопротивления сдвигу на различных площадках, включая новые современные элементы: появление ниспадающей ветви (post-peak behavior of rock under loading) со всеми эффектами парадоксального для сплошной среды проявления (см. ниже). Таким образом, изучение напряженно-деформированного состояния в окрестности выработки (скважины) сведено к исследованию сдвиговой прочности горного массива как определенного свойства.

При этом основное изменение объема, включая критическое разрыхление до вывала в обнаженное пространство, будет обусловлено эффектом дилатансии — изменением объема, связанным со сдвигом [2]. Это изменение объема позволит ввести в рассмотрение фильтрацию жидкости и газа (нефти и конденсата, в том числе) в объеме в окрестности скважины (выработки), подвергнутом изменению напряженного деформированного состояния.

2. Структурно-дилатансионная прочность горных пород

В этом параграфе используем представление о структурно-дилатансионной прочности горных пород, позволяющей рассмотреть различие поведения горных пород при растяжении, сжатии и сдвиге вплоть до разрушения. Такое описание часто используется в литературе и служит для качественного описания деформирования и разрушения твердых тел [7].

В рассматриваемой модели были указаны определяющие соотношения на основе структуры материала, состоящего из зерен и связующего. При этом максимальное касательное напряжение на площадке главного

сдвига Т и нормальное напряжение на той же площадке связаны известными соотношениями:

Т = - tg

Gi - а3

а1 +а3

1

, а коэффициент с (сцепление) опре-2

деляется через параметр £ — коэффициент в скелете без зерен (без связующего) и напряжения gl и g2 от усилий, переданных от зерен поровому материалу-свя-зующему:

с =1&±82.

1+£ •

При одноосном растяжении величину g2 можно отождествить с пределом всего материала на растяжение g 2 = а раст • Структура среды характеризуется углом дилатансии.

Таким образом, для описания прочности горной породы в рамках принятой модели следует:

- угол трения рассчитывать с учетом дилатансии;

- сцепление практически считать по прочности связующего (заполнителя) на растяжение.

Эти ранее не учитываемые результаты оказываются настолько существенными, что могут дать наиболее значительный вклад в понимании прочности таких «составных», синтетических материалов, как горные породы и композиты.

3. Основные особенности сдвигового

деформирования

Рассмотрим прежде основные особенности сдвигового деформирования, принимая гипотезу Т. Кармана,

что наступление предельной деформации сдвига (и максимального касательного напряжения) на основных площадках с касательными напряжениями Т не нарушает упругих (или других) связей между напряжениями и деформациями во втором главном направлении. В

этом приближении можно считать, что на системах площадок с напряжениями Т12 и Т23 повторится (возможно, с некоторыми небольшими вариациями) та же самая ситуация, что и на главных площадках с касательным напряжением Т; роль и значение этих площадок учитываются параметром Лодэ — параметром вида напряженного состояния. Поэтому рассмотрим внимательнее поведение среды при сопротивлении сдвигу на диаграмме Т = Т(Г), где Т — максимальное касательное напряжение, а Г—главный сдвиг, Г = е1 - 8 3 (при совпадающих

главных направлениях напряженного и деформированного состояния) (рис. 2). На этом рисунке из [8] представлены описательные результаты реальных испытаний опытных образцов грунтов (в том числе с эквивалентными материалами) и горных пород [7, 8]. После практически обратимых деформаций до пика касательных напряжений, дальнейшее сопротивление сдвигу с ростом деформаций падает. Это состояние — послепи-

т =

G1 - G3

Lmax- 1ост

/ /

/ / \

/ / 1 \

/ / 1

/ / 1

/ 1 1

/ / 1

/ / 1

/ / 1

/ /

/ /

/ /

/ / 1

/ 1

f / 1

У* 71 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 У = £1 - 8з

и У = 81 - 8з

Рис. 2. Зависимость максимальных касательных напряжений от главных сдвигов с учетом ниспадающей ветви

ковое поведение — иногда называют разупрочнением, имея в виду уменьшение касательного напряжения с одновременным ростом сдвига.

Это — самый важный для современных задач горного дела и механики грунтов участок необратимого поведения горной среды, который стал доступным после создания «жестких» машин для испытаний грунтов и горных пород, взамен машин с заданным нагружением по усилиям (напряжениям). Таким методом испытаний, в частности, стал «ящик» сибиряков, который явился планомерной реализацией идей A.A. Ильюшина о создании машин с нагружением по деформациям, а не по программе напряжений, как до него. В последние годы внимание ученых привлечено к исследованию после-пикового поведения горных пород, хотя, по мнению автора, это внимание совершенно недостаточно.

Что обнаружилось в этих новых результатах?

1. Возникновение структуры в изначально однородном и изотропном материале, вполне согласованной с подготовленными площадками максимальных касательных напряжений (возможно, с учетом трения и дилатан-сии по площадкам реального скольжения) [7, 8].

2. Несимметрия функционирования площадок скольжения (в отличие от предсказаний механики

сплошной среды), которая явно проявляется уже при малых деформациях на пределе обратимых напряжений как основной процесс (несимметрия) при развитии деформаций вплоть до разрушения.

3. В области, где элементы горной породы и грунтов находятся в послепиковом состоянии, деформация в целом, в конечном объеме осуществляется как скольжение блоков (практически жестких) друг по другу с вращением этих блоков относительно друг друга так, чтобы составить квазисплошную среду [2, 7].

В целом, это новое представление о деформации грунтов и горных пород за счет сдвигов и преодоления прочности на сдвиге сводится к тому, что в рассматриваемом конечном объеме реально проявляются различные площадки скольжения, разделение тела на блоки,

и, значит, несущая способность такой среды должна рассчитываться по этой схеме вплоть до разрушения среды

[2, 7].

Что же является новым? Введение новой группы инвариантов, описывающих напряженно-деформированное состояние горной породы в окрестности подземной выработки (скважины), взамен величин главных напряжений, но, конечно, в силу инвариантности, пригодных и для других ситуаций в горном массиве.

В соответствии с этим вместо (1) или аналогичных утверждений, предлагается рассмотреть три инвари-

анта:

Т =

а1 -а 3

а„ =

= а1 + а3

М'а

2а 2 — ai — а 3

Нетрудно видеть, что этот набор инвариантов опирается на параметры Т и а п и вводит в рассмотрение параметр Лодэ-Надаи, характеризующий роль прочности массива по другим площадкам Т12 и Т23:

Т23

1^а= —

12

Т

Это простое физическое истолкование, по-видимому, более адекватно обсуждению вопросов о прочности твердых тел [2, 7, 8].

Набор инвариантов (5), конечно, представляет определенные удобства при оценке прочности массива в конкретных ситуациях (так, например, сечение поверхности Т(ап, ца) при Ца = 0 дает вполне удовлетворительное описание огибающей кругов Мора, как это широко принято). Введение Т отвечает тому, что было сказано выше о предельной прочности сдвигу в твердых телах. С этой точки зрения введение инварианта Т означает, что предельная прочность достигается на площадках скольжения с максимальным касательным напряже-

Рис. 3. Паспорт прочности трехосного напряженного состояния.

2а 2 — а1 — а 3 Т93 — Т19

М-а =—т—_—-> Ма=-

а1 — а3

Т = а1 — а2

112 = --------------

Т23 = —

23 2 ' ~ 2

нием, положение которых обычно известно из предыдущего состояния, чаще всего упругого.

Это позволяет ввести новый «паспорт прочности» (рис. 3) в переменных (5). Точка, представляющая напряженное состояние, находится под предельной поверхностью, когда рассматривается исходное напряженное состояние, близкое к гидростатическому, равновесному. Затем, при развитии горных работ по сооружению выработки или при бурении скважины точка перемещается на поверхность и движется вдоль нее в соответствии с ростом Т и аn по абсолютной величине. Если и происходит реальный рост сопротивления сдвигу на площадках скольжения, то за счет трения. Влияние параметра Лодэ-Надаи сказывается на включении других площадок Т12 и Т23 в работу.

Но этого недостаточно. Достижения предельного напряженного состояния (в смысле величин (5)) недостаточно для суждения о достижении предела прочности или исчерпании несущей способности сплошной среды в конкретных ситуациях (в окрестности скважины, выработки, на откосе, при оползнях и т.д.).

Главным дополнительным рецептом исследования послепикового поведения горных пород является исследование деформаций

Ei > 62 > 63.

Если при последовательном нагружении исходного (in situ) состояния не возникает вопрос ни о соответствии знаков в (1) и (6), ни о соответствии главных направлений напряженного и деформированного состояний,

а1 — а3

Рис. 4. О законе равновесия и роли кольцевых напряжений. Уравнение равновесия плоского кольца [9]: при а r ^ 0, r ^ а

даг _аф-аг Т_ > 1

dr r

т.е. ^а _ 0 — чистый сдвиг

хост

r

-(аф+аr) > аг,

то в целом для характеристики необратимых деформаций и разрушения необходимо также ввести три новых инварианта:

Г = Єї — £ з,

£ = £ї + Є з,

= 2£2 - £і - £3

£і -£з

И дело здесь не только в том, что Т = Т(Г) — зависимость, которая должна быть определена в «чистых» условиях, т.е. при ца = ц8 = 0, в состоянии основного сопротивления материалам сдвига, а еще и в том, что на ниспадающей ветви напряжения и деформации не связаны между собой однозначной зависимостью (вспомните идеальную пластичность!), а представляют собой независимо и по отдельности определяемые из законов механики величины:

- напряжения (усилия) определяются из законов равновесия или движения;

- деформации (и перемещения) — из законов сохранения массы с учетом дилатансии [2].

Конечно, отсутствие прямых зависимостей между напряжениями и деформациями является основным свойством при описании остаточной прочности Тост.

О роли напряжения а^ при равновесии объемного элемента можно сказать только одно: при условии плоской деформации вклад этой компоненты оказывается несущественным по сравнению с изменением других напряжений. В целом напряженное состояние в окрестности слабо подкрепленного пласта в окрестности скважины оказывается близким к состоянию чистого сдвига

^а=0 •

Для иллюстрации рассмотрим равновесие кольца из материала, окружающего выработку (рис. 1, 4). Под действием внешних сил материал находится в равновесии, если в нем созданы напряжения аг, аф, а^, при этом имеет место уравнение

да г + а1 -а

дг

ф _

= 0

или

аф дг (гаг ^ т.е. изменение аф целиком определяется изменением аг по радиусу г. В рассуждениях всюду рассматриваются изменения напряжений по сравнению с исходным, т.е. приращения напряжений, в данном случае гидростатическим, в других ситуациях надо ввести неоднородность в правой части (8).

Это явление, связанное с ролью кольцевых усилий, до сих пор не получило бы признания, если бы не работы наших теоретиков в области механики грунтов и горных пород [5]. Дело в том, что непонимание этого явления связано с отсутствием подробных, детальных опытных фактов и наблюдений за поведением материалов на ниспадающей ветви. Поэтому очевиден наш интерес к ниспадающей ветви на диаграмме Т = Т(Г) (а как следствие, и на диаграмме а = а(8) одноосного сжатия) (рис. 2). В области Т > Ттах (послепиковое давление) развиваются не только общие деформации, но и деформации сдвига (а значит, и дилатансия) — и этот эффект в изменении объема (сумма изменений объема за счет изменения среднего напряжения изменения объема за счет сдвига) оказывается самым существенным (рис. 3).

Рис. 5. Зависимость £ от Г

Трудно переоценить эту гипотезу по сравнению с другими (изменение объема скелета, объема пористости, эффекта проницаемости), т.к. проявление площадок скольжения, связанной с ним дилатансии являются, по-видимому, основными причинами для закона фильтрации. Изменение объема вследствие дилатансии оказывается в интересующей нас области (для задач нефти и газа) генеральным [2, 4]. В связи с этим надо рассматривать и влияние остаточной сдвиговой прочности Тост [10] (рис. 5), которую надо оценивать в массиве, а не по образцам как Ттах • Можно сказать, что последняя определяется по прочности по М.М. Протодъяконову (половина прочности при одноосном сжатии), а первая — Тост — по М.М. Протодъяконову (мл.) или С.Е. Чиркову [12].

4. Равновесие кольца из материала, окружающего выработку

Для иллюстрации рассмотрим равновесие кольца из материала, окружающего выработку (скважину) (рис. 4). Под действием внешних сил материал кольца находится в равновесии, если в нем созданы напряжения аг, аф, а2, при этом имеет место уравнение равновесия (8).

Соотношение (8), следующее только из уравнения равновесия (без привлечения конкретной модели сплошной среды!), можно проинтегрировать по площади кольца в окрестности выработки и оценить кольцевую прочность. Это очень важно, тогда

Гтах а “ ТостГ

где г* — радиус кольца с наибольшим кольцевым напряжением, г * > а• При этом механические параметры в массиве и на образцах определяются, как указано выше.

По мере удаления от выработки (г растет) или непод-крепленной (слабо подкрепленной) скважины (а г по величине растет) аф растет. Это важный вывод, т.к. именно кольцевые напряжения «душат» скважину, препятствуя фильтрации в нефтегазовых задачах, но

защищают выработку от горного давления в типичных горных задачах.

В заключение параграфа подчеркнем, что именно здесь проявляется конечность сопротивления сдвигу в твердых телах.

Таким образом, вне конкретных представлений о математической модели прочности только уравнения равновесия определяют напряженное состояние горного массива в окрестности выработки — таким важным эффектом оказывается возникновение кольцевых напряжений в окрестности выработки или скважины. Перемещения и деформации определяются из другого закона механики — закона сохранения масс.

Литература

1. Шемякин Е.И. Об инвариантах напряженного и деформированного

состояния в математических моделях сплошной среды // ДАН. -

2000. - Т. 373. - № 5. - С. 632-634.

2. Шемякин Е.И. Синтетическая теория прочности // Физ. мезомех. -

1999. - Т. 2. - № 6. - С. 63-69.

3. Шемякин Е.И. О хрупком разрушении твердых тел (о сдвиговой прочности) // Серия мат.-мех. - 2003. - № 3. - С. 66-72.

4. Христианович С.А., ЖелтовЮ.П. О гидравлическом разрыве неф-

теносного пласта // Изв. АН СССР, ОТН. - 1955. - № 5. - С. 3-41.

5. Христианович С.А., Шемякин Е.И. К теории идеальной пластичности // МТТ. - 1967. - № 5. - С. 86-97.

6. Христианович С.А., Шемякин Е.И. О плоской деформации пласти-

ческого материала при сложном нагружении // МТТ. - 1969. -№5. - С. 138-149.

7. Ревуженко А.Ф., Стажевский С.Б., Шемякин Е.И. О структурно-дилатансионной прочности горных пород // ДАН СССР. - 1989. -Т. 305. - 35. - С. 1077-1080.

8. Ревуженко А.Ф., Стажевский С.Б., Шемякин Е.И. Задачи механики сыпучих сред в горном деле // ФТПРПИ. - 1982. - № 3. -С. 19-25.

9. Стажевский С.Б. Приложение механики сыпучих сред к решению некоторых задач механики горных пород // ФТПРПИ. - 1987. -№3. - С. 3-15.

10. Замахаев В.С. Переходные процессы в пластах при первичном вскрытии // Бурение (Приложение к сб. «Нефть и капитал»). -

2001.- № 2.

11. Адигамов Н.С. и др. Об учете дилатансии и разупрочнения при деформировании горных пород / Сб., посв. 70-летию И.Т. Айтматова. - Бишкек, 2001.

12. Чирков С.Е. Влияние масштабного фактора. - М.: Наука, 1969.