Асимптотическое решение задачи об оптимальном отклонении носка крыла при дозвуковых скоростях потока

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XIX 1988

№ 2

УДК 629.735.33.015.3.025.33

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ОТКЛОНЕНИИ НОСКА КРЫЛА ПРИ ДОЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ ПОТОКА

И. М. Пантелеев

С помощью метода сращиваемых асимптотических разложений при условии малости угла атаки исследуется задача определения оптимальных характеристик крыла с отклоняемым носком, имеющим острую переднюю кромку. Форма носка в плане произвольна. Получены достаточно простые выражения для оптимальных углов отклонения носка и выигрыша в сопротивлении при заданном угле атаки, что, в свою очередь, позволило качественно исследовать особенности решения для различных форм носка, а также установить непосредственную связь полученного решения с условием обеспечения безударного входа на передней кромке крыла. Приведены результаты расчетов для треугольных крыльев в плане, а также сравнение асимптотического решения с численным, полученным панельным методом. Дана оценка влияния профилировки носка.

Проблема уменьшения индуктивного сопротивления летательного аппарата на дозвуковых скоростях полета путем специального выбора деформаций срединной поверхности крыла широко освещена в литературе, эта задача достаточно полно исследована в рамках линейной теории. Существенно меньше работ посвящено вопросу уменьшения индуктивного сопротивления только за счет отклонений элементов механизации крыла, например [1—3], причем в этих работах рассматриваются случаи специального выбора деформации носка либо формы носка в плане, с тем чтобы выполнить условие безударного входа по всей передней кромке. В настоящей работе исследуются отклонения носка с плоской срединной поверхностью произвольной формы в плане.

1. Рассмотрим крыло с плоской срединной поверхностью и острой передней кромкой, имеющее отклоняемый носок и обтекаемое дозвуковым потоком газа под малым улгом атаки. Пусть хорда крыла Ь, характеризующая линейный размер крыла, имеет порядок величины 0(1). Рассмотрим носки малой относительной хорды Ьн = 0(е). Потребуем также, чтобы зона влияния возможных отрывов, представляющая собой узкую вытянутую область, окаймляющую переднюю кромку, имела характерный поперечный размер еъ<Ьн. Последнее условие наиболее приемлемо для крыльев умеренной стреловидности, при обтека-

нии которых вихревая пелена локализуется в малой окрестности передних кромок крыла в довольно широком диапазоне углов атаки. Пусть угол отклонения носка б~ае_1/2<1.

Индуктивное сопротивление крыла в главном члене может быть представлено в виде [4]:

где АсР — разность давления сверху и снизу на крыле, определенная по линейной теории, а(х, г) —местный угол атаки, 5 — площадь крыла. Выражение (1) следует из того факта, что в случае острой передней кромки подсасывающие силы, приложенные к передней кромке, не-реализуются, а вклад вихревой составляющей в сопротивление имеет меньший порядок величины по а, чем само сопротивление.' Выражение (1.1) остается в силе и в случае излома срединной поверхности крыла при отклонении носка. Действительно, аналогично работе [4]* погрешность в расчете сопротивления вследствие неточного определе-

ния давления в области излома составляет величину порядка 0(е в).

Определим отклонения носков, обеспечивающие минимум сопротивлению крыла при заданном угле атаки. К решению такой задачи целесообразно применить асимптотический подход, впервые использованный для задач подобного типа в работе [2]. Разделим всю область течения на две: внешнюю, включающую в себя почти всю область течения, за исключением области вблизи передней кромки крыла,, и внутреннюю, представляющую собой узкую вытянутую область в непосредственной близости носка крыла и имеющую характерный поперечный размер е. За внешнее течение принимается течение около крыла с неотклоненным носком, которое рассчитывается с помощью линейной теории. Если передняя кромка крыла прямая или искривлена слабо, то во внутренней области, исключая часть области вблизи боковой и корневой хорд, течение в первом приближении можно считать цилиндрическим, и в каждом сечении, перпендикулярном передней кромке крыла, решать двумерную задачу обтекания пластинки с отклоненным носком дозвуковым потоком газа. В рамках линейной теории это решение для продольной составляющей возмущенной скорости на верхней поверхности пластинки единичной длины при условии малой хорды носка имеет вид:

Величина скорости и здесь отнесена к скорости набегающего потока V, у— угол атаки пластинки, бн. п — угол отклонения носка относительно пластинки, &н.п — хорда носка пластинки. Выражение (2) получено в области, непосредственно прилегающей к носку, начало координат совпадает с передней кромкой носка.

Рассмотрим внутреннее течение. Пусть передняя кромка крыла прямая. Воспользуемся системой координат, изображенной на рис. Учитывая соотношение (2) и эффект стреловидности крыла, для проекции возмущенной скорости на ось х во внутренней области получим:;

0>

V і —м*

Скорость и здесь отнесена к скорости набегающего потока V», индекс г соответствует параметрам внутреннего течения, Хо(г)—уравнение передней кромки крыла, ЬИ, 6 — хорда и угол отклонения носка относительно крыла, измеренные в сечении 2 = сопз1:, Ьп — хорда крыла, измеренная по нормали к передней кромке крыла, % — угол стреловидности по передней кромке. Значение у(2) здесь пока еще не определено.

Сечение А А

Рис. 1

Внешнее решение вблизи передней кромки можно представить в следующем виде:

цо/_ а

Ух- х9

Здесь индексы 0 і соответствуют внутреннему пределу внешнего решения, а (г)—некоторая функция, зависящая только от формы крыла в плане.

Сращивая выражения (3) и (4), имеем:

V 1 — сое2* а (г) а

Т (*) = -

сое хУьа

Используя аддитивное составление, получим составное решение для всей области течения:

ис = и0-

8 сое х

V1 — М сое2 -

.\±Л/-ЬЖ +

+

1п

х — х0

(Ух-х0 (г) + VЬн (г))2

Рассмотрим односекционный носок произвольной формы в плане. Величина индуктивного сопротивления крыла в главном члене выражается следующим образом:

сг —

___(а —со

где 5Н — площадь носков, 5К = 5 — 5Н.

Используя известный результат линейной теории Дср = —4 и, подставим выражение для скорости (5) в соотношение (6) и проинтегрируем по оси х. Для первого члена правой части соотношения (6) полагаем ы0««0*. Сохраняя члены первого порядка величины, получим:

,2~т ^С08 г

Г

тс "У 1 —

сое X

йг

где 2о, г1 — координаты левой и правой концевых хорд носка.

Условие минимума выражения (7) при фиксированном значении угла атаки а дает оптимальные значения угла отклонения носка и индуктивного сопротивления:

Здесь

со« х

'X ор1:

•у а2-— а*У\—ЬЛ1, сое2 у к2

Аналогично односекционному носку в случае нескольких секций носка, расположенных вдоль по размаху (см. рис. 1), получим следующие оптимальные значения:

где

£нг = 2 ] Ь„ I (г) йг , К1 = $ а (г) VЬп1 (г) йг .

Здесь индекс I означает порядковый номер секции носка, 2,-1, г, — координаты левой и правой концевых хорд ¿-й секции, 0<2г<//2, I — размах крыла, т — количество секций.

Результаты расчетов для треугольных крыльев в плане представлены на рис. 2 и 3. Функция а (г) в асимптотическом решении при каждом фиксированном значении г определялась по двум значениям продольной компоненты скорости в окрестности передней кромки крыла, рассчитанным панельным методом. Так как при этом использовался панельный метод с постоянным распределением интенсивности особенности по панели, необходимо уточнить координаты точки, соответствующей рассчитанному значению скорости на панели. Эти координаты были определены из условия совпадения расчетного и теоретического значения коэффициента а для- двумерного обтекания плоской пластин-

йсх/сх

17,50

0,25

Треугольные крылья'д?!орг; М=0

О 30° ВО0 X

Асимптотическое решение Ън=соП5^ г к = 2к,ар, Щхсекциоиный носок

______- coкst\ ^носекциониыИ носок

о расчет, по панельному методу, Тн*ш^, односЕкционныи носок

Рис. 3

Сечение Л А

ки. При увеличении стреловидности крыла погрешность численного определения функции a(z) несколько увеличивается, чем, по-видимому, объясняется некоторое ухудшение совпадения численного и асимптотического решений (см. рис. 2).

При пропорциональном расширении или сужении носка по хорде (см. рис. 2) оптимальный угол отклонения изменяется обратно пропорционально корню квадратному из хорды носка, причем выигрыш в сопротивлении при этом остается прежним. При Ьн = const с увеличением стреловидности передней кромки оптимальный угол отклонения носка и относительный выигрыш в сопротивлении уменьшаются (см. рис. 2 и 3). Относительный выигрыш в сопротивлении определяется по сравнению с сопротивлением крыла при том же угле атаки в случае неот-клоненного носка Сл-5=0 ; &сх = Схъ=о — с* opt  Относительный выигрыш в сопротивлении для двухсекционного носка постоянной относительной хорды при оптимальном положении границы между секциями 2К (см. рис. 3) лежит почти посередине между соответствующими выигрышами в случае односекционного носка оптимальной формы в плане и постоянной относительной хорды по размаху.

Рассмотрим случай расположения секций носка вдоль по хорде и, не ограничивая общности рассуждений, исследуем двухсекционный носок (рис. 4).

Получим выражение для индуктивного сопротивления крыла, аналогичным образом используя асимптотический подход. Выполнив необходимые вычисления, для величины сопротивления .получим:

*0

Необходимое условие минимума полученного выражения при фиксированном а приводит к системе из двух линейных алгебраических уравнений с детерминантом, равным

D = f Ья1

Значение детерминанта, в силу неравенства Коши — Шварца, больше или равно нулю, причем равно нулю в том и только в том случае, если функции Ьн 1 (¿г) и Ьи 2 (г) линейно зависимы.

Рассмотрим вырожденный случай равенства нулю детерминанта. Тогда Ьщ(г) =кЬа2,{г), И — некоторый коэффициент пропорциональности, и система имеет множество решений:

сх—с\ - -у- V eos i ос (8, j a (z) /¿>н1 (г) dz + 82 J а (г) V(z) dz) -f

Сх opt = с% а2 — а2 V\ — М^о cos2 X Ki = Су а8

SHJ = 2 j bHj(z)dz Kj = § a(z)VbaJ(z) dz, j= 1,2.

Величина сх орг для двух секций носка с пропорциональными хордами та же самая, что и в случае односекционного носка с распределением хорды по размаху по закону ^2(2), где t — произвольный положительный коэффициент. Однако в реальном течении на больших углах атаки такой двухсекционный носок обеспечит, по-видимому, более плавное течение и, как следствие, большее аэродинамическое качество.

Если детерминант (12) больше нуля, задача имеет единственное решение. Однако если соотношение между функциями Ьа1(г) и Ьн2(г) близко к рассмотренному выше вырожденному случаю, то решение для оптимальных углов отклонения имеет особенность. Структура квадратичной формы (11) оказывается таковой, что если Ьн1(г) = £Ьн2(г) +81(2), Е1<6Н1, то имеют место следующие оценки:

Очевидно, что формальное решение для оптимальных углов в таком случае не соответствует рёальности, а за решение задачи следует брать решение для вырожденного случая. Этот факт следует учитывать при решении задачи оптимизации численными методами, в основе которых используется линейная теория.

2. В случае произвольной формы носка условие безударного входа, вообще говоря, не может быть удовлетворено по всей передней кромке, однако между полученным решением и условием безударности существует непосредственная связь, суть которой сформулирована в следующих трех положениях.

Первое. При оптимальном режиме отклонения носка на каждой секции, прилегающей к передней кромке, по крайней мере в одном сечении будет удовлетворено условие безударного входа. Действительно, в выражении (10) по теореме о среднем значении интеграла представим Кг в виде:

Это и означает [2], что в сечении 2* = const на передней кромке произвольно взятой i-я секции носка удовлетворяется условие безударного входа.

Второе. Оптимальная форма в плане или оптимальная деформация носка ведет к выполнению условия безударности по всей передней кромке.

Найдем функцию bR(z) =bB0Vt(z), обеспечивающую минимум сопротивления (9) при фиксированной площади носков SH. Эта изопери-метрическая задача решается методом коэффициентов Лагранжа. Введем функционал Ф = a (z)]/bH (z) + ц bH (z), где ¡¿ — коэффициент

а (г*) *i

Тогда выражение (10) для 6* opt можно переписать иначе:

Лагранжа. Необходимое условие минимума сжорг приводит к уравнению Эйлера, которое в данном случае имеет вырожденный вид:

^ = 0. дЬи

Л2

Тогда ЬНор1.(2)= ——, что и означает обеспечение безударного 4|л>

входа по всей передней кромке. Сопротивление в этом случае равно:

Сгорит = Су а2-----| сое2х | а?

г„

Если носок расположен по всему размаху крыла, то значение (13) совпадает с величиной индуктивного сопротивления крыла с неоткло-ненным носком в случае полной реализации подсасывающих сил.

С другой стороны, если неограниченно увеличивать количество секций носка произвольной формы в плане, то в пределе, если при этом размах каждой секции стремится к нулю, условие безударного входа будет удовлетворено по всей передней кромке. Эта предельная деформация носка будет оптимальной, и сопротивление крыла будет равно (13).

Третье. Оптимальный режим отклонения носков соответствует максимальному в «интегральном» смысле приближению к выполнению условия безударного входа по всей передней кромке. В данном случае будем считать такой интегральной мерой удаленности от положения безударного обтекания носка величину подсасывающих сил на передней кромке, как если бы они полностью реализовались. Покажем это на примере односекционного носка. Коэффициент подсасывающих сил в этом случае будет:

4л а2

V 1—м1 соэ2 х Г

I \ ' V 1-М^С082Ху)

Определяя величину 6, соответствующую минимальному значению сжп при фиксированном а, получим то же значение 8орь что и в выражении (8).

3. Влияние затупления носка в главном члене сводится к той или иной степени реализации подсасывающих сил. Таким образом, обобщая выражение (1) на случай профилированного носка, получим:

= —-у | Дср

5

где V — степень реализации подсасывающих сил.

В качестве примера рассмотрим, односекционный носок произвольной формы в плане. Преобразуем выражение (15), используя со-

отношения (7) и (14):

сх= — у(сс, 8)- 1_соз2х ]* ("а (г) —

-V У й* + с'уа2--т [а51а ~

1 Г

2—«Ученые записки» № 2 17

Продифференцировав выражение (16) по б при фиксированном а, получим необходимое условие минимума сопротивления:

v5 (а, 8) сх п — (1 — V (а, 8)) — у cos X а j а (г) V *>н (Z) —

0.

—- л/----------------------8 f bH(z)dz

я V 1 — Мм cos2 х I

¿0

Физически оправдано предположить, что степень реализации подсасывающих сил максимальна при достижении минимума схп, и, следовательно, >5 = 0 при 8=<50pt, совпадающим с (8).

Подстановка выражения (8) для 60pt в соотношение (17) обращает равенство в тождество, следовательно профилировка носка крыла не влияет на его оптимальный угол отклонения.

Отметим, что при v = 1 значение (16) не будет зависеть от б и, следовательно, уменьшение сопротивления за счет приближения к эллиптическому закону распределения циркуляции по размаху имеет меньший по е порядок величины, чем за счет «возвращения эффекта подсасывающей силы».

Рассмотрим поведение функции сх (7) вблизи минимума. Предполагая, что ¡в этой области v^^max, имеем:

с, = ^ opt + А (8 - 80pt)2 ; А = 2- (1 -vfflax) ^ ------

^ VI — сое2 х

При уменьшении V минимум сопротивления становится более выраженным так же как и в случае увеличения относительной площади носка.

ЛИТЕРАТУРА

1. Музыченко Т. М. Улучшение аэродинамического качества самолета с помощью отклонения механизации. — Труды ЦАГИ, 1975, вып. 1705.

2. С у д а к о в Г. Г. Безударный вход потока на переднюю кромку крыла с отклоняемым носком. —, Ученые записки ЦАГИ, 1986, т. 17,

№ 5.

3. Табачников В. Г. Влияние отклонения секций носка на аэродинамическое качество стреловидного крыла. — Труды ЦАГИ, 1978 вып. 1915.

4. Ж и г у л е в В. Н. О теореме обратимости при нелинейном режиме обтекания крыла. — Труды ЦАГИ, 1977, вып. 1842.

Рукопись поступила 24/11 1987 г.