Машинный эксперимент с решениями прямой задачи эллипсометрии

машинный эксперимент с решениями прямой

задачи эллипсометрии О.В. Майорова, Е.Е. Орлова, Е.Б. Липкович, Л.К. Шандалова, Е.К. Скалецкий, З.С. Царев

Методами машинного эксперимента исследованы аналитические свойства решений прямой задачи эл-липсометрии для амплитудно-фазовых Р-Д характеристик поля световой волны от углов падения ф для разных зеркал (п,к) в модели идеальных границ раздела сред.

Введение

Эллипсометрия относится к наиболее прецизионным экспериментальным методам поляризационно-оптического материаловедения. На опыте измеряются амплитудно-фазовые соотношения поля световой волны, отраженной от объекта исследования, по которым судят о его оптических параметрах.

Поле линейно поляризованного света (в Е,Н компонентах) на фронте волны с азимутом а ориентации компонента Е относительно плоскости падения под углом ф можно разложить на ортогональные волны ^(ф) = £Сов(а) и Ер(ф) = ЕБ1п(а).

Согласно граничным уравнениям системы Максвелла в форме коэффициентов Френеля Яр и Я для плоских волн на идеальных поверхностях раздела сред, эти компоненты поля по-разному преобразуются в отраженной и преломленной волнах, а их наложение оказывается распределенным по эллипсу поляризации с амплитудными (Р) и фазовыми (Д) параметрами, которые входят в основное уравнение эллипсометрии Друде (ОУЭ) [1] вида:

R= tg )exp{iA} =

Rp R

Ep отр Ep пад _ E p тр

Ep пад

Es ~ отр Es пад Es тр

Es пад

exp{i[Ap -A* + A* -A*

г IL отр пад пад о

Это ОУЭ (1) для идеальных границ сред с комплексным относительным показателем преломления т(п,к), который для воздуха равен т=п+1к, принимает вид: [тСо$(р) - Cos((T)][Cos((^) + тСо$(рт)]

R =

[mCos(<) + Cos(<pT)][Cos(ф) - mCos(<pT)]

По закону Снеллиуса в ковариантной комплексной форме Sin(<T) =

Sin

m

Следовательно, Сos(рт) = т2 - Н'т (р), и уравнение (2) может принять вид:

т

1 - 7

Я =—,

1 + Z

где комплексная функция Z = Ctg(ф)>/У = Ctg(ф)^/| Y | exp{i arg(Y)} = Z1,

-Zi=Z2.

1-Z,=1+Z2

a<0

Z1= -Z2

1+Z,

Рис.1. Вектора на комплексной плоскости Т.

На рис.1 представлены комплексные вектора, входящие в выражения (2) и (3), по которым строятся искомые решения прямой задачи эллипсометрии (1): Y = m 2Co sec2(^) -1 = [(n2 + к 2)Co sec2 -1] - i[2nkCo sec2(^)] = a + ib

arg(Z1) = 2arg(YX

arg

| Y = [(n2 + к2)Cosec2(<?)-1]2 + 4n2к2Cosec2(^),

a = arctg(t), если a, b > 0 arg(Y) = < n + arctg(t), если a < 0

2n + arctg(t), если a > 0, b < 0

b a

- 2nk

при — = t = — 2 2 2

n2 + к2 - Sin 2

Для функции (3) на комплексной плоскости 2 (см. рис.1) также справедлива теорема двойственности:

R = R,2 =

R

arg

Физический смысл этих двойственных представлений (4) отвечает условию ^<1, в соответствии с явлением Брюстера (гашением планарных компонент поля в световой волне).

По теореме косинусов для соответствующих треугольников (рис.1) получим

^в) = уЁ+СЩ ^ ¡¡„(в) = ^ Ща) = - 1

2

arg(1 - Z1) = arcCtg

2

л/Т

+12

Sin

- Ctg

a

arg(1 + Z1) = 2 + arcCtg

f

+ Ctg

А(ф) = arg(1 - Z1) - arg(1 + Z1) = arcCtg

Co sec(a) Ctg 2(^)|Y|

- Ctg (a) I = arcCtg (В(ф)),

¥(ф) = arctg | R |= arctg

1+1 Y|Ctg'(„)- 2jT\ag (у)С°т = arctgjÄ^

1+1Y | Ctg 2ф) + ifTCtg (<p)Cos(ß) при А и В, имеющих аналитический вид:

ад =

Лф) =

Co sec

- Ctg (a) I,

Ctg

Таким образом, в форме триго-экспоненциального представления комплексных чисел, в отличие от алгебраической [2], получены формулы описания единственных решений ОУЭ (1).

Свойства решений Оуэ-Друде в модели Френеля

Рассмотрим основные свойства решений прямой задачи эллипсометрии для априорных значений оптических констант материалов (п, к) методом машинного эксперимента с ними в интервале углов 0<ф<п/2.

В прикладной эллипсометрии внешнего и внутреннего отражения наиболее важными являются вопросы о свойствах непрерывности этих решений в классе С2 от углов падения.

На рис. 2, 3 представлены теоретические параметры Р(ф) и Д(ф) эллипса деполяризации поля световой волны, отраженной от металлоподобных (п=3/2, к=1), диэлектрических (со средним поглощением п =3/2, к=0.00001), водных (п=4/3) и предельных зеркал каустики (п=1, к=0.001).

В табл. 1 представлены.машинные решения для стекла типа НС-11.

ф,гр. Р

45 17,15732071726271 179,9992508572483 1,514000000364482 1,056385001720708Е-05

50 10,0431241905181 179,998055114987 1,514000000378354 1,398172616161333Е-05

55 2,423181428724282 179,9884032527683 1,514000000382072 1,837601060139721Е-05

60 5,378600975665154 7,152178886847112Е-03 1,514000000363202 2,415746664221474Е-05

65 13,03646594295895 3,863374360509647Е-03 1,514000000296046 3,205206448264269Е-05

70 20,3073607777009 3,122428157013702Е-03 1,514000000120983 4,34978388058164Е-05

75 27,07849627389975 2,851078124796647Е-03 1,513999999669244 6,184182405549603Е-05

80 33,36580972014567 2,740149845066923Е-03 1,513999998269366 9,713808882325512Е-05

85 39,28229002364552 2,696562211979318Е-03 1,513999990506046 1,997494160794956Е-04

Таблица 1. Решения ОУЭ для стекла типа НС-11.

В табл. 1 значения п отличаются от априорной константы 1.514, начиная с десятого знаке после запятой («мечта экспериментатора»!).

Видно, что экстинкция совпадает с априорным значением 0.00002 только при углах псевдо-Брюстера! Видно также, что вне зоны «удовлетворительных» значений параметров имеет место четкая тенденция их явной зависимости от углов падения.

Табл. 2 содержит решения прямой задачи ОУЭ (п=1.5) при углах псевдо-Брюстера.

к фпс.Бр

0,000003 56,3099

0,000009 56,3099

0,000027 56,3099

0,000081 56,3099

0,000243 56,3099

0,000729 56,3099

0,002187 56,31

0,006561 56,3106

0,019683 56,313

0,059049 56,3374

0,177147 56,5554

0,531441 58,3625 Таблица 2. Решения прямой

Р

0,0000971

0,0002534

0,0007466

0,0022351

0,0067038

0,0201109

0,0603323

0,1809935

0,5428878

1,6261674

4,8131155

13,039952

Д

121,55

101,567

93,9038

91,3056

90,443

90,171

89,9785

90,0546

90,2034

90,614

91,7688

93,8178

задачи по ОУЭ для стекла

Из рис. 2 видно свойство несовпадения в общем случае минимума фазовой функции с точками перегиба амплитудной функции, за исключением средних значений показателей экстинкции.

Рис.2. Вариации функции f

На рис.3 представлены результаты машинного моделирования решений ОУЭ для сильно поглощающих веществ (n=1.514, k=1).

Поляризационные углы металлоподобного материала

Рис. 3а. Апостериорное воспроизведение априорных металлооптических констант

n

Fi, deg.

Рис. 3б. Результаты численного моделирования в системе n=1.514 и k=1

Отметим, что графики рис.3 демонстрируют теоретическую угловую зависимость оптических констант материалов от углов падения, что противоречит физическим предпосылкам ОУЭ (1).

Общий вывод, который можно сделать из нашего тщательно поставленного, численно выверенного и достаточно полно проведенного машинного эксперимента, состоит в том, что свойства обратного конформного преобразования решений ОУЭ Друде-Френеля не только не равносильны, но даже не эквивалентны прямому преобразованию его комплексных решений от нескольких переменных, в частности, априорных оптических констант:

та'рпогу > > та'ро§1епогу. ф та'рпогу .

Свойство несовпадения углов псевдо-Брюстера для амплитудных и фазовых функций, продемонстрированное на рис.2, для стекломатериала, в общем случае, для различных материалов (для 1<п<10), проиллюстрировано на рис. 4. Из этих данных видно, что совпадение наблюдается для экстинкций из небольшого интервала от нескольких тысячных до сотых долей значений ее величины.

Номограмма отклонений Delta-90, в град. —Ряд1

100

-Ряд 2

50 -Ряд3

Ряд 4

0 1 • Ж Ж Ж Ж" Ж ж * ж ж -ж-Ряд 5

0,00 0001 /0,0001 0,01 1 100 Ряд 6

-50 / к, в лог .масшт. -Ряд 7

-Ряд 8

-100 Ряд 9

Рис. 4. Семейство вариаций Д(фмин)-90° по показателю п от аргумента k

На рис.5 представлены свойства решений прямой задачи эллипсометрии для стекла в зависимости от всевозможных значений экстинкции.

Значения фазовой функции

Дельта в экстремуме Пси(Фи) 160 "

140 Показатель

120

преломления

100 ^ п =1.5

-Л-й-6-6-д-6-О-л—°—д

80

60^

Угол псевдо Брюстера (в град.) 40 Экстремум

20 ^ Пси

...........-—^0--

0,000001 0,0001 0,01 1 Экстинкция100

в лог.масшт.

Рис.5. Теоретические свойства решений прямой задачи эллипсометрии для стекла.

Данные рис. 5 получены для углов псевдо-Брюстера по амплитудной функции. Видно, что закон Брюстера нечувствителен к экстинкции диэлектриков и полупроводников, так как определяется в основном вещественной составляющей показателя преломления за исключением металлооптических материалов. Подобным свойством обла-

дает и минимум амплитудной функции, который растет над одним и тем же углом псевдо-Брюстера в интервале сотых и десятых долей значения экстинкции, а при больших значениях начинает сдвигаться в сторону больших углов положения минимума амплитудной функции.

Выводы

Из представленных данных следует ряд самых общих (не гипотетических) и важных для прикладных исследований свойств решений прямой задачи ОУЭ в модели идеальных границ Френеля:

• угол псевдо-Брюстера индифферентен к низкому уровню экстинкции с точностью до 15 знака после запятой вплоть до k ~ 0.002;

• уровень экстремума амплитудной функции соизмерим со значением экстинкции в радианной мере для диэлектрических и полупроводниковых материалов;

• с ростом экстинкции минимум амплитудной функции также растет со сдвигом в область больших углов псевдо-Брюстера по сравнению с 90=arctg(w), начиная со значительных значений к ~ 0.2;

• фазовая функция в точках экстремума амплитудной ведет себя неустойчиво при сверхмалых экстинкциях (шаг прогонки дискретных решений по углам падения составлял 0.0001°) и, наоборот, проявляет тенденцию стабилизации вблизи значения 90° и слабую зависимость от величины экстинкции;

• совокупное поведение свойств 5Д(к) = Д(фш;п) - п/2 в семействе по показателю преломления допускают табулирование и представление в виде номограмм для анализа экспериментального поведения данных ^(ф)-Д(ф) в зоне углов псевдо-Брюстера;

Литература

1. Drude P. Über die gesetze der reflaxion und ozechund des lichthe an der grenze absorbierender krystalle.//Ann.Physik, B32, s.584-600, 1887.

2. Горшков М.М. Эллипсометрия. М.: Радио, 1974. 200 с.

3. Ржанов А.В., Свиташев К.К., Семененко А.И., Семененко Л.В., Соколов В.К Основы эллипсометрии. Новосибирск: Наука, 1978. 424 с.