Среднее время достижения далекой точки для счетных марковских цепей

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Каменский Г.А. Об асимптотическом поведении решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом // Уч. зап. МГУ. Математика. 1954. 165, № 7. 195-204.

2. Мышкис А.Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Успехи матем. наук. 1949. 4, № 5(33). 99-141.

3. Мышкис А.Д. О решениях линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка периодического типа с запаздывающим аргументом // Матем. сб. 1951. 28(70), № 1. 15-54.

4. Норкин С. Б. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом // Уч. зап. МГУ. Математика. 1956. 181, № 8. 59-72.

5. Эльсгольц Л.Э. Вариационные задачи с запаздывающим аргументом // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1952. № 10. 57-62.

6. Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1965.

7. Пикула М. О регуляризованных следах дифференциального оператора типа Штурма-Лиувилля с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1990. 25, № 1. 103-109.

8. Пикула М. Определение дифференциального оператора типа Штурма-Лиувилля с запаздывающим аргументом по двум спектрам // Математички весник. 1991. 43. 159-171.

9. Митрохин С.И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. М.: II П ТУ И Т. 2009.

10. Митрохин С.И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 3. 14-17.

Поступила в редакцию 17.02.2011

УДК 511

СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ ДОСТИЖЕНИЯ ДАЛЕКОЙ ТОЧКИ ДЛЯ СЧЕТНЫХ МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ

А. А. Лыков1

В статье дается двусторонняя оценка среднего времени достижения далекой точки для эргодических счетных марковских цепей в терминах функции Ляпунова и стационарного распределения.

Ключевые слова: счетная марковская цепь, время достижения, функция Ляпунова.

Upper and lower bounds for the expected first passage time of a distant point are obtained for ergodic countable Markov chains in terms of Lyapounov function and stationary distribution.

Key words: countable Markov chain, first passage time, Lyapounov function.

Пусть £t — однородная по времени марковская цепь с дискретным временем и счетным множеством состояний S. Для точки x € S и множества V С S введем обозначения:

Tx,v = min{i > 0 : & € V= x},

mx,v = Erx,v

xV

эргодической.

Определение. Функцию L : S ^ R>o будем называть функцией Ляпу нова цепи если найдется конечное множество Al С S, такое, что

E{L(it+1) - L(&)|& = x} < -1, Vx €Al; E{L(it+1)|it = x} < то, Vx € Al.

1 Лыков Александр Андреевич — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alekslykQyandex.ru.

Множество всех функций Ляпунова цепи ^обозначим Е. В силу критерия Фостера (см. [1, с. 29]) Е = 0. Зафиксируем некоторое состояние 0 € Б.

Теорема. Для любой функции Ь € Е найдут,ся а > 0, Ь > 0, такие, что для произвольного х € Б выполняется неравенство

тх,х — Ь(х) — а ^ т0,х ^ ЬЬ(х)тх,х.

Далее мы покажем, что данные оценки в общем случае не могут быть улучшены. Если обозначить через пх стационарную меру точки х, то, используя формулу тх,х = 1/пх, последние неравенства можно переписать в виде

1 ТГ \ ^ ^ 7 Ь

--Ь[х) — а ^ то,ж ^ о-.

П х П х

Доказательство теоремы основано на следующей лемме. Лемма 1. Для произвольного х € Б \ {0} справедлива, формула

1

т0,х = —ргтХ}Х - тЖ;0,

х/х, 0

где х/х0 = Рх(т0 < тх) — вероятность того, что, выйдя, из точки х, цепь раньше достигнет нуля, чем х

Доказательство. Подробное доказательство можно найти в книге [2, с. 99].

Зафиксируем некоторую функцию Ь € Е и соответствующее ей множество Л^ из определения. Введем множество Л = Л^ и {0}. Для второго слагаемого из формулы (1) справедлива следующая лемма.

Лемма 2. Найдется константа с > 0, такая, что для произвольного х € Б имеет место оценка,

тх,о < Ь

Доказательство. Так как множество Л конечно, то можно считать, что х / Л. Из доказательства критерия Фостера [1, с. 29] следует, что тх,А ^ Ь(х). С другой стороны, в силу строго марковского свойства имеет место соотношение тх,0 = тх,А + уеА\{0} Р{{Тх а = У}ту,0• Оценивая вероятность Р{{Тх а = у} сверху единицей, получаем неравенство (2).

Далее будем исследовать х/Х0- Наша цель заключается в том, чтобы оценить скорость стремления данной последовательности к нулю при х ^ го. Для х / Л рассмотрим следующие величины:

т = тт{тх,А, тх,х} = тх,А и{х}> х/х,А = Р{тх,А < тх,х} = Р{т = тх,А}

Лх

цепи имеем Ет < го.

Лемма 3. При х £ А справедлива оценка ж/* А ^ -¡-щ.

Ет

Доказательство. Введем случайные величины

Т-1

w = ^ (ь&+1) — ьт = ь(ст )—ь(&,

г=0

шт{М,т }—1 N-1

WN = (Ь&+1) — ьт = ^ {(Ь(Ъ+1) — Ь(&)1 (г < т — 1)} = Ь((тп{Мт}) — Ь(&

г=0 г=0

для N = 1, 2,.... Если {0 = ^^о ^ ^^^^^^^^^ ^^^^^^^^ в конечном множестве {0} и{Ь(у) — Ь(х)}уеА-Поэтому получаем

Е^} = ^(Ь(У) — Ь(х))Р {тх {т = У} > —Ь(х)Р{тх,А < тх,х},

уеА

откуда

г > Е{Щ (Ъ

Пусть Ft обозиачает ст-адгебру, порожденную случайными величинами , • • •, Ct- Так как функция L неотрицательна, то Wn ^ —L(£o)- Поэтому, используя лемму Фату, получаем цепочку неравенств

N -1

E{W} = E{liminf Wn} < liminf E{Wn} = liminf V E(I(t < т — 1)E{(L(&+1) — L(&))|Ft}) <

N—те N—те N—те z—'

t=0

/ N—1 \ < lim inf — Y^ P(t + 1 < т) = —Et.

Подстановка последнего неравенства в (3) завершает доказательство леммы.

Лемма 4. Найдутся ö > 0 и конечное множест,во A' С S, содержащее Л, т,акие, что для произвольного x / A' имеет место оценка,

xfx,0 ^ xfx,Aö•

Доказательство. В силу эргодичности цепи существуют ö > 0 и конечное множество A' С S, содержащее A, такие, что для всех x / A' и y € A выполнено P{ту,о < ту,х} > ö. Так как 0 € A, то с помощью разложения по первому попаданию в множество A при x / A' получаем оценку

xfX,0 = Y P{(тх,0 < Tx,x)[\Tx,A < Tx,x,CrX!A = y)} = yeA

У] P{тх,0 < Tx,x|Crx,A = y,Tx,A < Tx,x}P{Тх,А < Тх,хЛтх,л = У} = yeA

= P{ту,0 < тУ,х}P{tx,A < тх,х, Стх,л = У} ^ ö P{Tx,A < Тх,х,£тх,л = У} = xfx,Aö• yeA yeA

Учитывая, что т ^ 1, находим

f* > —

х}х'° * L{x)

Теперь, подставляя все оценки в формулу (1), получаем утверждение теоремы.

Ясно, что утверждение теоремы остается в силе, если цепь является не эргодической, а положительно-возвратной. Рассмотрим случайное блуждание на со следующими вероятностями скачков:

Pn,n+1 — anj Pn,n—1 — ßn — 1 anj n ^ 1; P0,1 = 1.

Введем обозначения po = 1, pn = f*"

Лемма 5. Справедливы следующие формулы:

,* pn—1ßn /.N

nfn,o = ^ri—, гпщп = anpnm0, о;

2^k=0 pk

lim nfn 0 = lim

n—n—те

последнее равенство верно, если существует второй предел.

Доказательство. Формулы (4) следуют из книги [2, с. 109-111], а предел (5) получается из формул

(4).

Пример 1. Зафиксируем некоторое число a € (0,1/2) Для всех n ^ 1 положим an = a. Пусть ß = 1 — a. Из леммы 5 находим

тпп = ото, о |

a

с*

nfn,0 = ß — a + o

' ß \n am0 0

т0)П ~ с - , с

-a) ß — a

В силу леммы 2 и ограниченности скачков любая функция Ляпунова L для данной цепи удовлетворяет неравенству L(n) > dn с некоторой константой d > 0. Это значит, что с помощью сформулированной теоремы нельзя получить точный порядок величины mo,n/mn,n для данной цепи. Предложение. Если сходится ряд

ж

n=0

\ап < го,

)

то найдется константа c > 0 такая, что при n ^ го справедливо соотношение

n— 1 1

т0,п ~ с Л

k 1 k k=1

Доказательство. Проверим, что из условия (6) следует положительная возвратность цепи. Ясно, что условие (6) эквивалентно сходимости произведения

ж ж

B = Ц(1 - ад) = Ц вк. к=1 к=1

Так как ряд (6) сходится, то рп = (В + <э(1)) YYk=i(^-/ак)откуда легко проверяется, что ряд 1 /(апрп) сходится. Значит, цепь положительно возвратна (см. [1, с. 111])- Кроме того, из (6) вытекает, что an ^ 0, следовательно, выполнены условия леммы 2 с функцией L(n) = cn для некоторой константы c > 0. Согласно лемме 5, имеем

nfn,0 = 1 + 0(1), n ^ го.

Используя формулу (1), получаем требуемое утверждение.

Применим предложение к блужданию с вероятностями переходов an = (n + 1)—a,a > 1. Получим, что m0,n ~ c(n\)a.

В рассмотренных выше примерах выполнялось неравенство limnnfn0 > 0. Это условие и достаточно быстрый снос к нулю гарантировали, что

m0,n

—— ~ const.

mn,n

Данное соотношение выполняется не всегда. Рассмотрим следующие примеры.

Пример 2. Пусть c = 90/п4 — нормировочная константа. Для n ^ 1 определим вероятности переходов на

с 1 1

Р0,п — —7, Рп, 0 = —, Рп,п = 1--•

n4 n n

Очевидно, что для всех n ^ 1 справедливо — = n} = —1, значит, выполняются условия леммы 2 L(n) = n

nfn о = -> тп,п = ст0,оп3, т0,п = ст0,оп4 - п. n,0 n

Пример 3. Вернемся к случайному блужданию и зададим вероятности скачков следующим образом:

= п>1; А = 1(1 + е),

где 0 < е < 1 — фиксированное число. Это пример марковской цепи с асимптотически нулевым сносом. Подробное изучение цепей с подобным свойством проведено в работе [3]. Используя полученные в [3]

c > 0

"fn,о ~ ~2rtÂ ' тщп ~ С 6ХР ll^Â

Кроме того, для всех п ^ 1 справедливо — = п) = —(А + 1) + 0(пд 1), значит, по лемме 2

найдется константа Ь > 0, такая, что

п1+А , ГПп,о < ^-рд + ь,

откуда, используя формулу (1), имеем

Л А

т0,п ~ ап ехр ^ _ ), где константа Л > 0. Окончательно получаем

то,п Л д -— ~ —п .

тп,п с

Данные примеры показывают, что оценка для то,х в теореме не может быть улучшена без дополнительных предположений о цепи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Fayolle G., Malyshev V.A., Menshikov М. V. Topics in the constructive theory of countable Markov chains. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995.

2. Чжун Кай-Лай. Однородные цепи Маркова. М.: Мир, 1964.

3. Menshikov M. V., Popov S.Yu. Exact power estimates for countable Markov chains // Markov Processes and Related Fields. 1997. 2. 57-78.

Поступила в редакцию 16.01.2012

УДК 511

СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ ДО РАЗРЫВА ЦЕПОЧКИ ИЗ N = 2, 3, 4 ОСЦИЛЛЯТОРОВ

С. А. Музычка1

В статье приводится формула для асимптотического поведения среднего времени до разрыва возмущенной цепочки гармонических осцилляторов, состоящей из N = 2, 3,4 частиц, с взаимодействием ближайших соседей и случайной внешней силы.

Ключевые слова: система гармонических осцилляторов, большие уклонения, марковский процесс, среднее время выхода.

An asymptotic formula is obtained for an average time of rupture for a chain of harmonic oscillators consisted of N = 2,3,4 particles with nearest-neighbor interaction and random external force.

Key words: system of harmonic oscillators, large deviations, Markov process, mean exit

time.

Рассмотрим N точечных частиц ¿о < ¿1 <  < ZN-1 на прямой, каждая из которых имеет массу т = 1. Координату г-й частицы в момент времени Ь € М обозначим через Энергия взаимодействия

между частицами задается формулой

U = y - Zi-i - а)

i=1

N-1

2

Музычка Степан Андреевич — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: stepan.muzychkaQgmail.com.