Перепутанные состояния в системе двух неидентичных атомов, взаимодействующих с тепловым шумом

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2006. №3

УДК 130.145

21

ПЕРЕПУТАННЫЕ СОСТОЯНИЯ В СИСТЕМЕ ДВУХ НЕИДЕНТИЧНЫХ АТОМОВ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ТЕПЛОВЫМ ШУМОМ1

© 2006 Б.Х. Башкиров2

Рассмотрено перепутывание состояний двух неидентичных двухуровневых атомов с различными частотами переходов, взаимодействующих с модой теплового поля в идеальном резонаторе. Исследовано влияние расстройки на степень атом-атомного перепутывания

Квантовое перепутывание играет ключевую роль в квантовой информатике, квантовых вычислениях и связи [1]. В реальных условиях квантовые системы всегда взаимодействуют с окружением. Такое взаимодействие обычно приводит к декогерентности, однако в некоторых случаях оно может являться источником перепутывания. Недавно Бозе с соавторами [2] показали, что перепутывание всегда возникает при взаимодействии произвольной системы с большим числом степеней свободы в смешанном состоянии и одиночного кубита в чистом состоянии, и проиллюстрировали общие результаты на примере модели Джейнса—Каммингса одиночного атома в чистом состоянии, взаимодействующего с модой теплового поля в идеальном резонаторе. Ким с соавторами [3] исследовали атом-атомное перепутывание двух идентичных двухуровневых атомов с однофотонными переходами, индуцированное тепловым шумом. В нашей работе [4] рассмотрено атом-атомное перепутывание в случае двухмодового теплового поля. Зоу с соавторами [5] рассмотрели перепутывание в системе двух неидентичных атомов с одинаковыми частотами переходов, но разными константами диполь-фотонного взаимодействия. В настоящей работе мы рассмотрим атомное перепутывание, индуцированное тепловым шумом, в системе двух неидентичных двухуровневых атомов с различными частотами атомных переходов и одинаковыми константами диполь-фотонного взаимодействия. Для получения аналитических выражений для степени атомного пе-репутывания ограничимся рассмотрением модели, в которой частотные расстройки атомов по отношению к частоте моды поля одинаковы по моду-

хПредставлена доктором физико-математических наук профессором В.А. Салеевым.

2Башкиров Евгений Константинович (bash@ssu.samara.ru), кафедра общей и теоретической физики Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

-А

$

>

)

А

В

Рис. 1. Схема энергетических уровней в модели неидентичных атомов с расстройкой

лю и противоположны по знаку. Указанная модель рассматривалась ранее Агарвалом и Кимом [6] при исследовании атомного перепутывания, индуцированного когерентным одномодовым полем резонатора.

Рассмотрим пару неидентичных двухуровневых атомов А и В с различными частотами атомных переходов ші (і = А, В), взаимодействующих с модой квантового электромагнитного поля частоты ш в идеальном резонаторе (см. рис. 1). Обозначим возбужденное и основное состояния атомов через I +а,в) и | -а,в). Введем стандартным образом расстройки для каждого из атомов: Да = ША - ш и Дв = шв - ш. Предположим также, что расстройки удовлетворяют соотношению: Да = -Дв = Д.

Тогда гамильтониан рассматриваемой системы в представлении взаимодействия можно записать в виде [6]:

где а+ и а — операторы рождения и уничтожения фотонов резонаторной моды; о+7 =| +/)(—/ | и о-7 =| -;Х+г | —операторы перехода между уровнями в 7-ом атоме; g —константа диполь-фотонного взаимодействия и оператор

о0 равен:

Для рассматриваемой модели может быть найдено точное решение уравнения эволюции. Используя атомный базис | +а, +в), I +А, -в), 1 - А> +вХ 1 --А, -в), мы можем записать явное выражение для оператора эволюции и (?) в виде:

і=А,В

о0 =| +АХ-А I - I +ВХ-В I .

и (t) =

U11 U12 U13 U14

U21 U22 U23 U24

U31 U32 U33 U34

U41 U42 U43 U44

где

U11 = 2aFa+ + 1, U12 = U13 = a(-iS + bF), U14 = 2aFa, U44 = 2a+Fa + 1,

1 2 1 2 U22 = -[cosШ - 2ibS + b2C + 2@(2n + 1)], U23 = -[cosOf- 62C - 20(2w + 1)],

1

f/24 = (-,S + bF)a, t/33 = - [cos Ш + 2ibS + b2C + 2, U34 = -(iS + bF)a,

П = g V 4ci+ci + b2 + 2, F = C-0, С = ^(cosOf),

0 = Дг, S' = ^ sin Q.t и 6 = —.

П2 П g

Пусть резонаторное поле в начальный момент времени находится в тепловом состоянии:

PF(0) = ^ Pn | n){n | , Рп =

И^П + 1 ’

где w = (ехр(Й,со/Ад77) - I)-1 —среднее число фотонов в моде.

Для исследования перепутывания состояний атомов нам потребуется редуцированная атомная матрица плотности:

р at

Если атомы в начальный момент времени приготовлены в чистом состоянии, таком как | +A, +в), | +A, —в), | —A, +в), I —A, -в), или их линейной суперпозиции, редуцированная атомная матрица плотности с использованием формул (2) и (3) может быть представлена в виде:

Pat (t) =

Y 0 0 0

0 YE 0 0 E* Z 0

0 0 0 W

Для двухкубитной системы, описываемой матрицей плотности вида (4), мы можем использовать в качестве меры перепутывания параметр Переса— Хородецких [7], [8]:

е = — 2^ ц—,

7

где ц— —отрицательные собственные значения для матрицы, являющейся частично транспонированной по отношению к редуцированной атомной матрице плотности ра(?). Если е = 0, то состояние системы сепарабельно, если

n

n

е > 0, то имеет место перепутывание состояний атомов. Значение е = 1 соответствует максимально возможному перепутыванию. Для частично транспонированной по отношению к (4) матрицы плотности имеется всего одно отрицательное собственное значение, равное:

= \(г+х- л1(г-Х)2 + 4\ЕП

Собственное значение ^,- становится отрицательным тогда и только тогда, когда | Е |> \/Х2. При выполнении этого условия параметр переиутывания может быть представлен в виде:

е = л!

Рассмотрим теперь возможность атом-атомного перепутывания для различных начальных состояний атомной подсистемы.

1. Пусть в начальный момент времени возбужден только один из атомов, т.е начальное атомное состояние есть: | +а, -в). В этом случае матричные элементы X, 2 и Е в выражении (4) есть:

X =2 р„п(Ь2^ + 52), г = 2 рп(п + 1)(62^2 + 52);

п п

Е = ^ '^Рп [соз(П„0 + Ъ2С„ + 20„(2п + 1)] |со8(П„?) - Ъ2С„ - 20„(2п + 1)] -

п

42> [соз

п

где Оп = (п | О | п).

Результаты численных расчетов параметра перепутывания (5) для атомной матрицы плотности с элементами вида (6) представлены на рис. 2. Расчеты проведены для модели с различными значениями параметра расстройки 6 и начальным средним числом фотонов в тепловой моде поля п = 0.1. С увеличением параметра расстройки степень атомного перепутывания уменьшается. Этот результат легко объяснить, если учесть, что при увеличении параметра расстройки уменьшается взаимодействие атомов с полем, а, следовательно, начальное чистое состояние атомной системы меньше возмущается тепловым полем в процессе эволюции атомной системы.

2. Если в начальный момент оба атома находятся в основном состоянии I-А, ~б), матричные элементы в формуле (4) принимают вид:

X = X Рп(п - 1)^2-1 , 2 = ^ Рп[2п^п-1 + 1]2 ,

пп

Е = ^ Рпп[-62 ^2-1 + ^2-1] + 26г^ Рпп^п-15п-1.

пп

Временное поведение параметра перепутывания для рассматриваемого начального условия представлено на рис. 3. Расчеты показывают, что мак-

симальная степень перепутывания состояний атомов, первоначально находящихся в чистом основном состоянии, достаточно мала. Как и в предыдущем случае, атомное перепутывание уменьшается при увеличении параметра расстройки. Однако влияние расстройки на степень перепутывания возрастает при увеличении среднего начального числа фотонов в резона-торной моде поля.

3. Для атомов, приготовленных в возбужденном состоянии | +A, +B), для матричных элементов атомного статистического оператора имеем:

X =2 p„[2(n + \)F„+i + l]2 , Z = 4 £ pn(n + 1)(n + 2)F2n+l ,

n n

E = ^ pn

nn

Численные расчеты с использованием формул(5),(8) показывают, что для выбраного начального состояния атомное перепутывание отсутствует для любых значений параметров выбранной модели.

4. Вычислим, наконец, степень перепутывания для начального смешанного состояния атомной подсистемы:

pA(0) = ]~[ [К 1 +i)(+i 1 +(1 - К) 1 -i)(-i |> i=A,B

где К/(1 - К) = ехр(ш/квТ). Комбинируя формулы для матричных элементов атомного статистического оператора (6) - (8), нетрудно вычислить степень перепутывания е в случае начального смешанного состояния атомов. Результаты численных расчетов для временной зависимости параметра перепутывания е для модели с n = 1 и различными значениями параметра смешивания К представлены на рис. 4, при этом сплошные кривые соответствуют нулевой расстройке, штриховые кривые — расстройке ô = 0.5. Расчеты показывают, что уже для небольших значений параметра смешивания К перепутывание исчезает. При увеличении параметра расстройки максимальное значения параметра смешивания К, при котором исчезает атом-атомное перепутывание, уменьшается. Так, при нулевой расстройке, перепутывание исчезает при К = 0.065, а для расстройки ô = 0.5 —уже при К = 0.025.

Таким образом, в настоящей работе показано, что система двух неидентичных атомов с различными частотами переходов, приготовленных в чистом состоянии, может перейти в перепутанное состояние за счет взаимодействия с тепловым шумом. Исключение составляет чистое начальное состояние, в котором возбуждены оба атома. Наличие расстройки в частотах атомных переходов приводит к уменьшению степени перепутывания. Для начального смешанного состояния атомной подсистемы перепутывание возможно только при малых значениях параметра перемешивания К (доли возбужденного состояния в смеси) и малых расстройках ô.

є

а)

є

Ь)

Рис. 2. Атом-атомное перепутывание для начального состояния атомов и п = 0.1 : а) 6 = 0

І +А, -б) Ь) 5 = 5

0.004

0.003

0.002

0.001

Д.

6 8 Ь)

10

п

м

дЪ

12

14

Рис. 3. Атом-атомное перепутывание для начального состояния атомов | —А,

и 6 = 0 (сплошная линия), 6=1 (штриховая линия): а) ¡1=1, Ь) п = 0.1

2

4

є

а)

є

Ь)

Рис. 4. Атом-атомное перепутывание для смешанного начального состояния атомов в случае п = 1 и 6 = 0 (сплошная линия), 6 = 0.5 (штриховая линия): а) А, = 0, Ь) \ = 0.01

Литература

[1] Nielsen, M.A. Quantum Computation and Quantum Information / M.A. Nielsen, I.L. Chuang. Cambrige: Cambrige University Press, - 2000.

[2] Subsystem purity as an enforcer of entanglement / S. Bose [at al.] // Phys.Rev.Lett. - 2001. - V. 87. - P. 050401(1-4).

[3] Entanglement induced by a single-mode heat environmrnt / M.S. Kim [at al.] // Phys. Rev. A. - 2002. - V. 65. - P. 040101(1-4).

[4] Bashkirov, Е.К. Entanglement induced by the two-mode thermal noise / Е.К. Bashkirov // Las. Phys. Lett. - 2005. - D0I:10.1002/lapl.200510081. - 6 p.

[5] Entanglement of two atoms through different couplings and thermal noise / L. Zhou [at al.] // J. Optics B: Quantum Semiclass. Opt. - 2004. - V. 6.

- P. 378-384.

[6] Kim, M.S. Study of atomic entanglement through the evolution of the field in cavity QED / M.S. Kim, G.S.Agarwal // J. Mod. Opt. - 1999. - V. 46.

- P. 2111-2125.

[7] Peres, A. Separability Criterion for density matrices / A. Peres // Phys. Rev. Lett. - 1996. - V. 77. - P. 1413-1415.

[8] Horodecki, M. Separability of mixed states: necessary and sufficient

conditions / M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki // Phys.Lett. A. -1997. - V. 232., - P. 333-338.

Поступила в редакцию 13/I/2006; в окончательном варианте — 13/I/2006.

ENTANGLEMENT IN THE SYSTEM OF TWO NONIDENTICAL ATOMS INTERACTING WITH THERMAL NOISE3

© 2006 E.K. Bashkirov4

The entanglement between two unidentical two-level atoms with different frequencies interacting with one-mode thermal field in lossles cavity is considered. The role of detuning in this effect is studied.

Paper received 13/1/2006.

Paper accepted 13/I/2006.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. V.A. Saleev.

4Bashkirov Eugene Konstantinovich (bash@ssu.samara.ru), Dept. of General and Theoretical Physics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.