Оценка риска столкновения при сближении мкс с наблюдаемыми космическими объектами

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Отчетливо видно, что значения всех этих показателей меньше для байесовской модели надежности, кроме того, средние значения отклонений и средние величины относительных отклонений, посчитанные по первым 13 прогнозам, меньше, чем эти же показатели, посчитанные по 23 прогнозам. Это, в свою очередь, говорит об эффективности использования байесовской модели надежности в случае малого количества статистической информации.

В данной работе построена обобщенная байесовская модель надежности ПО дискретного времени, которая сочетает байесовский подход и принцип максимума правдоподобия. Это сочетание позволяет существенно упростить вычисления, так как с помощью функции правдоподобия вычисляются только параметры роста надежности ПО, а параметры граничных распределений вероятностей вычисляются на основе байесовского подхода. Используя байесовский подход, мы получаем

границы множества функций распределения вероятностей. Кроме того, в работе представлен сравнительный анализ полученной модели с дискретным аналогом известной модели Джелински-Моранда. Предлагаемая модель зависит от параметра s, который задается субъективно. С помощью этого параметра можно управлять размытостью результатов и принимать осторожные решения.

Библиографический список

1. Уткин, Л.В. Нетрадиционные методы оценки надежности информационных систем / Л.В. Уткин, И.Б. Шубинский. - СПб.: Любавич, 2000. 173 с.

2. Уткин, Л.В. Концепция для разработки нового класса интервальных моделей надежности программного обеспечения / Л.В. Уткин, С.И. Затенко // Известия СПбГЛТА. - 2008. - Вып. 184. - 272 с.

3. Уткин, Л.В. Анализ риска и принятие решений при неполной информации / Л.В. Уткин. - СПб.: Наука, 2007. - 404 с.

4. Кузнецов, В.П. Интервальные статистические модели / В.П. Кузнецов. - М.: Радио и связь, 1991. - 352 с.

ОЦЕНКА РИСКА СТОЛКНОВЕНИЯ ПРИ СБЛИЖЕНИИ МКС

с наблюдаемыми космическими объектами

A. И. КОЗОРИЗ, асп. каф. информатики и вычислительной техники МГУЛ,

B. А. СКОРНЯКОВ, доц. каф. информатики и вычислительной техники МГУЛ, канд. техн. наук

Одной из наиболее актуальных проблем освоения космоса является проблема засоренности околоземного пространства (ОКП) «космическим мусором». На данный момент в ОКП скопилось свыше 15 тыс. только наблюдаемых объектов общей массой около 5 тыс. т. Количество же ненаблюдаемых объектов «космического мусора» оценивается числами порядка 1015. Общая картина засорения ОКП наглядно представлена на рис. 1.

«Космический мусор» представляет большую опасность для функционирующих космических аппаратов (КА) из-за больших относительных скоростей сближения (табл. 1). За последние 12 лет от столкновений с «космическим мусором» погибло 4 КА [2], а за время существования Международной космической станции (МКС) было проведено 7 маневров уклонения от объектов «кос-

axv. works@gmail.com

мического мусора». Всего для МКС от систем контроля космического пространства (СККП) было получено около 170 предупреждений об опасных сближениях.

Рис. 1. Распределение «космического мусора» в ОКП

164

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2009

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Таблица 1

Сравнительный анализ кинетической энергии объектов

Автомат Калашникова КАМАЗ с грузом Космический мусор

масса пули - 7,9 г масса - 14,5 т масса фрагмента - 40 г

скорость вылета - 715 м/с скорость -90 км/ч относительная скорость - 15 км/с

кинетическая энергия - 2 кДж кинетическая энергия -4,5 МДж кинетическая энергия -4,5 МДж

В настоящее время проведение своевременных маневров уклонения является единственным способом уменьшения опасности столкновения управляемых КА с наблюдаемыми фрагментами «космического мусора». Однако проведение таких маневров для объектов типа МКС сопряжено с большими затратами бортовых и организационно-технических ресурсов. В связи с этим обретает особую важность задача получения достоверной оценки риска столкновения со сближающимися КО. При этом для оценки риска столкновения необходимо знать траектории КА и КО, а также точности измерений параметров их траектории на момент точки опасного сближения (ТОС), которые представляются в форме матриц вторых моментов ошибок измерений (далее матрица ошибок).

Основная проблема оценки риска столкновения КО с МКС состоит в том, что если траектория МКС определяется в российском Центре управления с высокой точностью и ошибки ее положения вычисляются достаточно надежно, то траектория КО, как правило, определяется иностранными средствами наблюдения, данные о точности которых практически недоступны. Это до недавнего времени делало невозможным получение в группе управления российского сектора МКС состоятельных оценок риска столкновения МКС с наблюдаемыми КО и приходилось полностью полагаться на оценки, получаемые от иностранных партнеров. До недавнего времени расчет вероятности столкновения «КО риска» с МКС производился только американской стороной. Разработанная методика позволила производить подобные расчеты и в ЦУП ЦНИИмаш. Ниже рассматриваются ее основные особенности.

расчет матриц ошибок параметров траектории Ко

В настоящей работе предложено два метода расчета матриц ошибок из данных, поступающих в ЦУП ЦНИИмаш от СККП. Первый основывается на использовании программы измерений КО пассивными средствами наблюдения. При этом матрица ошибок КО формируется методом «наименьших квадратов» с учетом априорной информации. Второй строится на использовании сообщений о сближении КО с МКС, которые поступают в ЦУП ЦНИИмаш от СККП и в которых содержатся прогнозы параметров траектории КО на момент ТОС.

Оценка ошибок измерений производится на основе m последних сообщений по «алгоритму За»

а

qp

Здесь qcv ных параметров

3 т I I

- i q- q .

m i=i 1 1

вектор средних орбиталь-

1 m

qCp =—T q , m i=i

где q - набор параметров i-го сообщения о сближении, поступающего в ЦУП от СККП; m - количество используемых сообщений о сближении (выбирается произвольно, в зависимости от количества доступных сообщений и от интервала прогнозирования).

Для получения более достоверной матрицы ошибок положения КО на момент ТОС ошибки вычисляются в трех моделях: в орбитальной системе координат, в элементах орбиты и в элементах орбиты, модифицированных для орбит с малым эксцентриситетом. Матрицы ошибок вычисляются по формулам вида

С = BKB,

где B = ||b..|| (6x6) при i ф j b.. = 0, при i = j b. = a.; K - корреляционная матрица (6x6), элементы которой вычисляются датчиком случайных чисел и при i = j k . = 1, при i ф j -1 < k < 1, k = k. Полученные матрицы ошибок переводятся в фундаментальную инерциальную систему координат (ФИСК) и на их основе формируется усредненная матрица вектора состояния КО на момент ТОС по формуле

C = 1/3

^кп 1/JV“Kni ^кт. ^кт>-

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2009

165

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Таблица 2

Сравнение вероятностей столкновения «КО риска» с МКС

№ объекта Дата сближения Время

33246 27.8.2008 21:12:48 1,627 10 1,3910-2 9,810-3

33048 30.8.2008 04:09:38 21,173 16 0 0

33257 6.9.2008 17:00:29 7,668 3 1,6110-15 2,76-10"12

33134 24.9.2008 13:03:24 20,037 36 2,25-10"22 3,74-10-18

Искомая матрица ошибок положения КО используется при расчете вероятности столкновения.

Расчет вероятности столкновения КО с МКС

Требования получения достоверных значений вероятности столкновения КО с КА делают необходимым рассмотрение процесса взаимного сближения в трехмерном пространстве и в картинной плоскости. Картинная плоскость определяется как плоскость, проходящая через центр масс КА и ориентированная ортогонально вектору относительной скорости КО по отношению к станции dv = v - v

TOC KO KA

При этом в трехмерном пространстве конструкция КА рассматривается как сфера заданного радиуса. Область возможного положения КО представляется в виде эллипсоида, параметры и ориентация которого определяются суммарной матрицей ошибок [3] CKA+KO = CKA + CKO. В картинной плоскости КА и область КО представляются в виде круга и эллипса соответственно.

Таким образом, задача сводится к поиску вероятности попадания случайного вектора drTOC = rKO - rKA, плотность распределения которого задана эллипсоидом рассеивания ошибок, в сферу заданного радиуса (рис. 2). При этом вероятность вычисляется по формуле

PC (dr е S) = Ш f (U ,V ,W) • dU • dV • dW,

s

где fU, V, W) - плотность распределения случайного вектора [3, 4];

S - сфера заданного радиуса;

{ U, V, W} - координаты орбитальной системы координат.

Интегрирование реализуется с использованием двух способов:

1. аппроксимацией сферы кубами малого размера

Pc(dr е S) = ±f (U,V,W)• dU • dVt • dW .

i=1

2. путем разложения плотности распределения в ряд через функции erf [5]

РС

0,125 •

erf

R - U0 V2 •gu

-erf

- R - U V2 •aU

erf

x

R - V V2 •oV

erf

- R - V V2 •oV

где

X

erf

R - w;

V2 •Gw

erf

- R - w; ,

V2 •Gw

Г U > Г и ^ Г и ' > Г и > ^ 0

V' = C • V 5 v; = С • V;

1W'j V W J V w j V W0 J

Рис. 2. Геометрическая интерпретация взаимного расположения КА и КО в космическом пространстве на момент ТОС

166

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2009

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Здесь C = ||с..|| (3 х 3) - матрица, состоящая по строкам из собственных векторов матрицы С ; erf x - интеграл вероятности вида

2 x 2

erf x = —j=j e~‘ dt,

о

вычисление которого сводится к асимптотическим рядам [5].

Для оценивания средних значений вероятности используется схема метода Монте-Карло [6]. Расчет значений вероятности для n реализаций, по которым затем производится поиск усредненного значения вероятности столкновения, производится исходя из соотношения

1 п

P С = - I ( Pc ) .

п i=1

Здесь (РС)г - V-я реализация величины РС. Процедура метода основана на законе больших чисел и позволяет получить более достоверные значения вероятности.

Данные по вероятности столкновения считаются достоверными, если

- имеются как минимум три решения по уточнению параметров траекторий КА и КО, включая данные последних наблюдений;

- последнее из прогнозируемых значений «промаха», а также два из трех предыдущих решений находятся в пределах доверительного интервала 2о;

- для объектов, летающих в атмосфере Земли на высотах МКС, время до наибольшего сближения составляет менее 30 часов, т. к. достоверное прогнозирование матрицы ошибок СКА+КО на период более 30 часов в настоящее время довольно сомнительно.

Безопасным сближение КО с МКС считается, если РС < 10-5. Для значения РС в диапазоне между 10-4 и 10-5 риск столкновения достаточно высок, поэтому при планировании управления КА должны предусматриваться необходимые маневры с целью уклонения от «КО риска» при условии минимальных последствий для проведения операций и выполнения задач полета.

С использованием данной методики был разработан автоматизированный программно-технический комплекс выявления, контроля и сопровождения «КО риска», сближающихся с управляемым КА, который решает следующие задачи: расчет относительного

сближения КО с КА на момент ТОС в орбитальной системе координат; расчет вероятности столкновения КО с КА.

Программно-технический комплекс отработан на большом объеме данных, поступающих в ЦУП ЦНИИмаш от СККП. В табл. 2 приведено несколько вариантов сравнения вероятностей столкновения МКС с КО, рассчитанных с использованием данной методики, со значениями вероятностей, поступившими из ЦУП-Х (США) (рассчитываются по недоступным нам реальным данным о точностях измерений параметров траектории КО).

Для варианта № 1 РС << 10-4 (табл. 2), поэтому 27 августа 2008 г. был проведен маневр уклонения МКС от КО № 33246 (фрагмент разрушения КА «Космос-2421»): импульс на торможение Av = -1 м/с, среднее понижение орбиты МКС на момент ТОС составило 1,7 км. Несмотря на отсутствие данных о точности измерений параметров траектории КО, данная методика оценки риска дает достаточно хорошие совпадения с результатами, поступающими из ЦУП-Х.

Разработанный программный комплекс введен в штатную эксплуатацию и используется для оценки риска столкновения МКС с объектами «космического мусора» и чужими КА, что дает руководству полетом дополнительный материал для принятия решения о проведении маневров уклонения.

На работу имеется положительный отзыв из ЦККП, подписанный генеральным конструктором.

Библиографический список

1. Гетман, М. «Космический мусор» страшнее кинетического оружия / М. Гетман // Военный парад.

- 2007. - № 2. - С. 28-30.

2. Головачев, В. Опасное соседство / В. Головачев // Российский космос. - 2008. - № 7(31). - С. 64-65.

3. Крамер, Г. Математические методы статистики / Г. Крамер. - М.: Мир, 1975. - 648 с.

4. Линник, Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений / Ю.В. Линник. - Л.: Физматгиз, 1962. - 352 с.

5. Двайт, Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г.Б. Двайт. - М.: Наука, 1973.

- 228 с.

6. Соболь, И.М. Метод Монте-Карло / И.М. Соболь.

- М.: Наука, 1985. - 80 с.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2009

167