ЗУБЧАТОЕ КОЛЕСО С ГАРМОНИЧЕСКИМ ПРОФИЛЕМ ЗУБЬЕВ

Заявленное техническое решение относится к зубчатым механизмам внешнего и внутреннего зацепления, форма зубьев колес которых образуется как огибающая исходного контура зубчатой рейки, а числа зубьев назначаются в зависимости от назначения механизма, требуемого передаточного отношения и диаметральных размеров.
Такие механизмы, отличающиеся переменными условиями контакта при сочетании трения качения и скольжения сопряженных профилей, используются в различных отраслях горного дела и общем машиностроении в виде зубчатых колес редукторов, лебедок, планетарных и волновых передач, цепных звездочек и других передаточных устройств, а также в качестве рабочих органов насосов, гидродвигателей, компрессоров и двигателей внутреннего сгорания с прямыми и винтовыми зубьями.
Известен героторный механизм, применяемый в качестве рабочего органа винтовых забойных двигателей для бурения скважин, с внутренним циклоидальным зацеплением и разницей в числах зубьев ротора и статора равной единице, сопряженные торцовые профили которых образуются как огибающие эквидистанты укороченной циклоидальной рейки при ее обкатке по основной окружности (Героторный механизм. А.с. СССР №803572 от 08.10.1979).
Недостатком данного героторного механизма является сложность проектирования и изготовления его торцового профиля, форма которого при заданном контурном диаметре в общем случае определяется сочетанием пяти безразмерных геометрических параметров (передаточного отношения, коэффициентов типа зацепления (эпи или гипо), внецентроидности, формы зуба и смещения рейки), что усложняет технологию изготовления (вследствие необходимости выполнения процедуры эквидистантирования контура рейки) и выбор оптимальной формы профилей, описываемых сложными математическими выражениями, зависящими от сочетания пяти вышеуказанных безразмерных параметров.
Наиболее близким к предлагаемому техническому решению является классический эвольвентый профиль зубьев колес механических передач и рабочих органов объемных насосов, образованный как огибающая исходного контура зубчатой рейки, представляющей собой равнобедренную трапецию с углом 20° и смещенную в общем случае относительно производящей прямой и основной окружности по ГОСТ 13755-81. (Передачи зубчатые цилиндрические эвольвентные. Исходный контур). В настоящее время подавляющее большинство отечественных зубчатых цилиндрических колес различного назначения имеют профиль боковых граней зубьев, построенный на базе стандартного (некорригированного или корригированного за счет смещения рейки) или частично модифицированного (например, с асимметричным профилем) эвольвентного зацепления.
Вместе с тем, несмотря на большое число положительных эксплуатационных и технологических качеств эвольвентных профилей зубьев, одним из существенных их недостатков является склонность к подрезам и самопересечениям при малых числах зубьев колес, что снижает эффективность и область применения эвольвентных зубчатых передач, увеличивает их массогабаритные и стоимостные показатели.
Задачи, на решение которых направлено заявленное техническое решение, заключаются в расширении возможной области применения зубчатых колес, торцовый профиль которых образуется от исходного контура зубчатой рейки, упрощении технологии изготовления зубчатых колес, повышении эффективности и гибкости при их проектировании.
Поставленные задачи достигаются за счет того, что исходный контур зубчатой рейки выполнен в виде гармонической кривой (синусоиды или косинусоиды), смещенной в общем случае относительно производящей прямой, а торцовый профиль зубьев колеса образуется как огибающая семейства гармонических кривых при их обкатке по основной окружности определенного радиуса, выбираемого в зависимости от требуемого числа зубьев колеса. При этом число зубьев колеса может принимать любое значение, начиная от единицы, что создает предпосылки расширения кинематических возможностей зубчатого механизма и получения высокого передаточного отношения в одной ступени.
В дальнейшем заявленная полезная модель поясняется описанием и чертежами.
На фиг. 1 показано исходное положение гармонической зубчатой рейки (косинусоиды) относительно производящей прямой и основной окружности при образовании эпи- и гипогармонического профиля колеса.
На фиг. 2 представлена схема образования одной ветви эпи- и гипогармонического профиля с числом зубьев z=3 по методу обкатки зубчатой рейки.
На фиг. 3 изображены гармонические профили колес с различным числом зубьев (z=1; 2; 3; 4; 6; 10).
А
Δ
На фиг. 4 изображены торцовые профили сопряженных пар зубчатых колес с гармоническим профилем зубьев внешнего зацепления с передаточным отношением 6:9 и 15:25, построенные при заданных значениях коэффициентов формы гармоники и смещения исходного контура рейки (с=2 и с=0).
Δ
А
На фиг. 5 показаны сопряженные гармонические торцовые профили рабочих органов героторного зубчатого механизма внутреннего зацепления с непрерывном контактом зубьев с передаточным отношением 5:6, построенные при различных значениях коэффициента смещения исходного контура рейки c (отрицательного, нулевого и положительного) при постоянном коэффициенте формы гармоники (с=2/3).
А
Δ
На фиг. 6 представлена эволюция формы гармонического торцового профиля шестизубого колеса при изменении коэффициента формы гармоники с (от 1,0 до 2,5) для фиксированного значения коэффициента смещения рейки (с=-0,5), что обеспечивает постоянство среднего диаметра профиля при изменении высоты зубьев.
Во многих отраслях техники нашли применение зубчатые механизмы и машины, торцовые профили рабочих органов которых представляют собой замкнутые периодические кривые, угловой шаг которых обратно пропорционален числу зубьев. В общем случае для образования замкнутого профиля по методу обкатки зубчатой рейки по направляющей окружности радиуса R необходимо выполнение следующих условий (фиг. 1):
а) радиус основной (направляющей) окружности должен быть пропорционален числу зубьев z колеса:
R=rz,
где r - радиус единичной окружности, определяющий диаметральные размеры колеса (аналог модуля для эвольвентного зацепления);
р
б) длина проекции рейки на ось у совпадающей с производящей прямой, должна равняться длине окружности единичного радиуса:
или, другими словами, радиус основной окружности и торцовый шаг рейки должны отличаться в z/2π раз;
в) контур зубчатой рейки должен быть выполнен в виде плоской периодической кривой и иметь точки максимально (т.а) и минимально (т.б) удаленные от производящей прямой и распределенные определенным образом по длине.
На практике для образования торцовых профилей зубьев колес механических передач или рабочих органов гидравлических машин исторически повсеместное распространение получили зубчатые рейки двух видов, выполненные в виде укороченных циклоид (или их эквидистант) или имеющие трапецеидальную форму (с углом профиля равным 20°). Вместе с тем, представленные выше условия, необходимые для образования замкнутых периодических кривых, показывают, что для этих целей могут использоваться также и зубчатые рейки нециклоидального и неэвольвентного типа.
Наиболее простыми с точки зрения их математического описания являются идеальные гармонические кривые (синусоиды или косинусоиды). Главное отличие и преимущество гармонической кривой перед циклоидой состоит в ее плавности, что не требует выполнения процедур эквидистантирования и дает возможность использовать в качестве исходного контура рейки, обкатываемого по основной окружности, непосредственно саму гармонику. Таким образом, при образовании торцового профиля от гармонической зубчатой рейки подобно случаю эвольвентного зацепления осуществляется переход от типовой трехступенчатой схемы (рейка - эквидистанта рейки - смещенная эквидистанта) к двухступенчатой схеме (рейка - смещенная рейка), в которой начальный контур рейки I совпадает с исходным контуром II (фиг. 1).
р
р
Координаты исходного контура гармонической зубчатой рейки относительно производящей прямой (инструментальных осей ху) можно представить в виде:
o
o
где x, y - начальные координаты гармоники I, симметрично расположенной относительно производящей прямой;
Δх - смещение исходного контура рейки относительно производящей прямой.
Если в качестве гармоники использовать косинусоиду (фиг. 1), то для выполнения условия (б) следует принять
где ψ - угловой параметр, изменяющийся от 0 до 2π; r - радиус единичной окружности;
А - амплитуда гармоники, равная половине высоты зубьев рейки;
u - коэффициент типа профиля: u=1 при образовании эпигармонического профиля (от положительной косинусоиды, когда зуб рейки направлен от центра основной окружности, фиг. 1а), u=-1 при образовании гипогармонического профиля (от отрицательной косинусоиды, когда зуб рейки направлен к центру основной окружности, фиг. 1б).
р
На фиг. 2 показаны текущие положения реек при образовании эпи- (фиг. 2а) и гипо- (фиг 2б) гармонических профилей при использовании соответственно положительной и отрицательной косинусоиды. Отличие между семействами этих кривых с точки зрения исходного положения рейки заключается в расположении точки, соответствующей максимальному диаметру профиля: в случае образования гипогармонического профиля данная точка (т.а, фиг. 1б) расположена на оси х в начале углового шага рейки (ψ=0), в то время как при образовании эпигармонического профиля аналогичная точка (т.а, фиг. 1а) расположена в середине углового шага (ψ=π).
р
В текущем положении при обкатке производящей прямой по основной окружности производящая прямая и связанная с ней рейка поворачиваются на угол ϕ (фиг. 2). Поскольку обкатка производится без скольжения, семейство кривых рейки описывается следующими параметрическими уравнениями:
Гармонический зубчатый профиль (как и в случае известных циклических профилей) представляет собой внутреннюю огибающую семейства обкатываемых реек (фиг. 2).
р
Для перехода от (3) к уравнению огибающей необходимо установить зависимость между ψ и ϕ. Ее можно получить через общие геометрические построения, учитывая, что нормаль к огибающей проходит через полюс - точку касания производящей прямой и основной окружности:
р
где α - угол профиля (наклона нормали), зависящий от углового параметра ψ.
Отличительным свойством гармонического профиля является независимость его формы от схемы образования: эпи- и гипогармонические профили получаются идентичными (смещенными по фазе на угол π/z). Поэтому в отличие от циклоидального такой профиль можно назвать общим термином "гармонический", не уточняя от какой кривой (синусоиды или косинусоиды) образована рейка и не добавляя приставку эпи- или гипо.
Для цилиндрического колеса с гармоническим профилем зубьев максимальный и минимальный диаметры (соответственно по окружностям вершин выступов и впадин зубьев) составляют
Средний диаметр гармонического профиля (по делительной окружности зубьев) не зависит от амплитуды гармоники
Высота зубьев не зависит от смещения рейки
Форма гармонических торцовых профилей пары находящихся в зацеплении зубчатых колес (исходного - индекс 1 и сопряженного - индекс 2) полностью определяется сочетанием трех безразмерных геометрических параметров:
2
1
- передаточного отношения i=z:z;
А
- коэффициента формы гармоники с=А/r;
- коэффициента смещения исходного контура рейки сΔ=Дх/r.
Выбор численных значений указанных безразмерных геометрических параметров зависит от типа зацепления и требуемых характеристик зубчатой пары.
Зубчатые колеса с гармоническим профилем зубьев (фиг. 3) могут использоваться в различных механизмах внешнего и внутреннего зацепления с параллельными осями.
1
2
1
В общем случае при выбранном z-зубом исходном гармоническом профиле колеса (схема построения которого приведена на фиг. 1 и 2), сопряженный ему профиль второго колеса образуется как огибающая исходного профиля при обкатке начальных окружностей (центроид) колес, отношение радиусов которых (а, b) соответствует передаточному отношению: b/a=z/z.
1
2
1
2
На практике при построении сопряженного профиля можно использовать упрощенный метод, при котором сопряженный профиль выполняется аналогично исходному по методу обкатки от общего контура зубчатой рейки. Применительно к предлагаемому зацеплению это означает, что при образовании профилей находящихся в зацеплении колес форма гармоники остается неизменной (А=А=А), а меняется лишь величина смещения рейки (Δx и Δх).
При таком подходе при построении торцовых профилей пары цилиндрических колес необходимыми условиями сопряженности их зубьев являются:
для внешнего зацепления
для внутреннего зацепления
где  - межосевое расстояние передачи.
Из условий сопряженности зубьев цилиндрических колес (9а), (9б) с учетом выражений (5), (6) следует, что в зацеплении с гармоническим профилем, справедливы соотношения:
Верхний знак относится к внешнему зацеплению, нижний - к внутреннему.
Другими словами, в номинальном варианте гармонического зацепления профилей межосевое расстояние и радиусы центроид колес пропорциональны единичному радиусу, а смещения профилей равны по модулю, что соответствует условию построения равносмещенной или нулевой эвольвентной цилиндрической передачи по ГОСТ 13755-81.
Следовательно, при построении торцового профиля колеса с гармоническим профилем зубьев смещение исходного контура рейки назначается в зависимости от типа зацепления в соответствии с выражением (12).
А
Δ
В качестве примера на фиг. 4а и 4б изображены варианты исполнения зубчатой пары внешнего гармонического зацепления без смещения соответственно с передаточным отношением 6:9 и 15:25 (с=2; с=0) в характерной фазе зацепления, соответствующей контакту выступа зуба ведущей шестерни со впадиной зуба ведомого колеса.
1
2
2
1
В частном случае героторного механизма с внутренним зацеплением и непрерывным контактом всех зубьев, представляющим собой зубчатую пару, состоящую из z-зубого наружного колеса (статора) и z-зубого внутреннего колеса (ротора), числа зубьев которых отличаются на единицу (Z=z-1), условие сопряженности профилей (зацепления вершин выступов и впадин зубьев) приобретает вид:
Подставляя в уравнение (13), выражения (5), (6), в результате получаем
A
Т.е. в героторном механизме, в отличие от рассмотренного ранее номинального зацепления зубчатых колес, смещения исходного и сопряженного гармонических профилей одинаковы только в случае, если А=r(c=1).
Межосевое расстояние (эксцентриситет) такого гармонического зацепления, как и для героторного механизма с любым типом профиля зубьев, самым известным представителем которого является винтовой механизм с планетарным движением ротора, используемый в качестве рабочих органов роторно-вращательных объемных гидромашин, определяется следующим образом:
1
2
т.е. межосевое расстояние героторного механизма равняется амплитуде гармоники, а радиусы начальных окружностей (центроид) сопряженных колес не равны радиусам их делительных окружностей и составляют а=zA; b=zA.
На фиг. 5 представлены три варианта (с различными коэффициентами смещения рейки) исполнения сопряженных гармонических профилей, находящихся в непрерывном контакте, для героторного механизма с передаточным отношением 5:6, которые могут быть использованы в качестве рабочих органов винтовых забойных двигателей для бурения скважин.
А
Δ
При проектировании зубчатых колес с гармоническим профилем форма их зубьев и кривизна рабочего контура могут варьироваться в широких пределах в зависимости от сочетания между размерными параметрами (r; А; Δх) или безразмерными коэффициентами (с; с), что позволит обеспечить наилучшие показатели зацепления (с геометрической, кинематической и силовой точек зрения), в том числе за счет выбора оптимальной кривизны и относительного скольжения профилей для различных передаточных отношений механизма.
A
На фиг. 6 показано изменение гармонического профиля шестизубого колеса при изменении коэффициента формы гармоники от 1 до 2,5. Для наглядности на фиг. 6г представлен вариант профиля с неудачным сочетанием безразмерных коэффициентов (с повышенным значением c) при котором наблюдается заострение головки зубьев, утоньшение ножки зубьев и подрез профиля.
Таким образом, изменением соотношения между безразмерными коэффициентами профиля, имеется возможность придания зубу различной формы (от плавной до заостренной на вершине) в зависимости от назначения и схемы зацепления (механическая передача или рабочие органы гидромашины), заданной характеристики и условий эксплуатации механизма.
р
Преимуществом гармонического профиля зубьев по сравнению с циклоидальным зацеплением является возможность, как и в случае эвольвентного зацепления, использовать при проектировании и изготовлении сопряженных зубчатых колес внешнего зацепления идентичный для обоих профилей исходный контур рейки. Это обусловлено тем, что начальная гармоническая кривая I (фиг. 1) на интервале от 0 до 2π расположена симметрично относительно продольной оси у и имеет одинаковую кривизну своих вершин, поэтому зубья рейки характеризуются идентичной формой своих выступов и впадин. В случае же внешнего циклоидального зацепления сопряженные профили колес представлены гипо- и эпициклоидальными кривыми, профилирование которых производится от реек разного вида с различной кривизной.
Преимуществом гармонического профиля зубьев по сравнению с эвольвентным зацеплением вследствие плавности, отсутствия переходных кривых и меньшей склонности к подрезам и заострениям синусоидальной кривой является возможность разрабатывать профили колес с минимальным числом зубьев, вплоть до предельных модификаций однозубого и двухзубого исполнения (фиг. 3). Это открывает новые конструктивные и технологические возможности при создании зубчатых передаточных механизмов и рабочих органов гидравлических машин с внешним и внутренним зацеплением.
Техническим результатом заявленной полезной модели является расширение области применения, упрощение процесса проектирования и изготовления зубчатых колес и рабочих органов машин, использующих в своей конструкции сопряженные торцовые профили, что создает предпосылки дальнейшего повышения эффективности применения зубчатых передач и объемных роторных гидромашин в различных отраслях техники.