Механика электромагнитного поля на плоских слоениях пространства 41r. Часть II

УДК 514.7 А.Г. Рогачевский

МЕХАНИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ПЛОСКИХ СЛОЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВА R. ЧАСТЬ II

В статье продолжено рассмотрение векторных полей специального типа, начатое в части I работы (векторные ортогонально-координатные поля). В данной части II векторное ортогональнокоординатное поле (ОК-поле) считается векторным потенциалом электромагнитного поля. Уравнения Максвелла рассмотрены в рамках пространства R2. Показано, что они могут быть записаны как обыкновенные дифференциальные уравнения для интегральных линий векторного потенциала. Одна из форм этих уравнений аналогична уравнению Лоренца-Минковского для точечного заряда во внешнем поле.

Ключевые слова: векторный потенциал, интегральные линии, криволинейная ортогональная система координат, механика электромагнитного поля.

A.G. Rogachevsky

MECHANICS OF THE ELECTROMAGNETIC FIELD ON FLAT SPACES R FOLIATIONS. PART II

Consideration of the special type vector fields, begun in part I of the article (vector orthogonal-co-ordinate fields) is offered in the article. In the given part II, vector orthogonal-co-ordinate field (OC-field) is considered to be vector potential of the electromagnetic field. The Maksvell equations are considered within the limits of space R2. It is shown that they can be written down as the ordinary differential equations for the integrated lines of vector potential. One of the forms of these equations is similar to the Lorentz-Minkovsky equation for a dot charge in an external field.

Key words: vector potential, integrated lines, curvilinear orthogonal system of co-ordinates, electromagnetic field mechanics.

В данной работе продолжено изучение электромагнитного поля частного вида, начатое в [1-2]. В [1] было введено понятие ортогонально-координатного векторного поля (ОК-поля) и рассматривалось электромагнитное поле с такого рода векторным потенциалом А. По определению ОК-вектор А является базисным вектором некоторой ортогональной криволинейной системы координат в пространстве Я*. В [1] показано, что в случае ОК-потенциала А уравнения Максвелла становятся обыкновенными дифференциальными уравнениями. При этом дифференцирование идет вдоль интегральных линий .(А) потенциала.

В работе принято упрощающее задачу предположение: интегральные линии ЦА) ОК-потенциала А плоские. В части I были исследованы математические свойства векторного ОК-поля с такими линиями .(А). Полученные результаты будут использованы здесь при рассмотрении векторного ОК-потенциала А. Целью будет получение обыкновенных ДУ для линий .(А). При этом, в отличие от [1], рассмотрение основано на трактовке А как скорости. В результате упомянутые уравнения могут быть интерпретированы как уравнения механики. Приведем определения, поясняющие сущность нашего подхода.

Как и ранее, параметр на интегральных линиях ЦА) поля А обозначим ст. То есть имеем ЦА): г= г(о), А = бг1бсг. Параметризация ЦА) определяет длину вектора А: а = б со! б а, где со - натуральный параметр на ЦА)\ а2 = (А, А). Отметим, что, как векторный потенциал, вектор А времени подобен: (А, А) > 0.

Далее будет показано, что в случае плоских линий ЦА) уравнения Максвелла могут решаться в рамках пространства Ях2.

Ортогонально-координатные векторные поля

Приведем необходимые для дальнейшего формулы [1-3]. Они справедливы, как в Я*, так и в Ях2 (обозначения везде те же, что и в [1-5]).

Необходимое и достаточное условие того, что А - ОК-поле имеет вид

А = а2 V/;

где функция /(г) определяет координатные поверхности Э(а), то есть слоение {Э(а): /(г) = а}. При этом криволинейная координата а - параметр на линиях ЦЛ). Далее для потенциала А принято условие Лоренца СЫ А = 0. В результате параметр а будет иметь смысл объема вдоль трубки линий ЦА) (см. прил.).

Для ОК-поля А имеет место формулы [3]:

V а = а'ип-п'о,

V а = -а

где п = А/а.

В [2] получена следующая форма записи тензора электромагнитного поля:

Г = 2плп'0.

Как и в [2-3], далее будет использован единичный вектор т\ п'а=Ьт, Ь2 = - (п'а, п'а).

ОК-потенциал А по определению является одним из базисных векторов Ц(р), р = 0, 1, 2, 3; А(г) = Ц(0). Соответствующие криволинейные координаты обозначим ир, причем и0 = ст.

В [2] рассмотрен, в частности, случай плоских интегральных линий ОК-поля А. Показано, что тогда одним из базисных векторов является п'а. Будем считать, что это Ц(1) = Ц Далее в [2] показано, что Я* имеет

слоение, слои которого - 2-мерные плоскости 1д, состоящие из линий Ц(А) (теорема 1 в [2]). В связи с этим

везде ниже будем считать, что плоскость ортов ео и е1 системы координат в Я* расположена в одном из указанных слоев (обозначим этот слой 2*д). В таких координатах базисные векторы А и Ц - двумерные векторные поля в Я*.

Двумерное электромагнитное поле

Итак, будем считать линии Ц(А) плоскими. Покажем, что в этом случае уравнения Максвелла с математической точки зрения являются уравнениями в Я^.

В [2] доказано, что тензор электромагнитного поля принимает вид Р = 2 Ь М, где простой бивектор М= п лт постоянен на 1ц. Уточним вид тензора Я Так как орты ео и в1 системы координат в К* принадлежат слою Га, компоненты М будут не равны нулю только при I, к = 0, 1. Выберем любую точку го на 7*д . Тем

самым будут заданы п и т. Пусть орты ео и е1 равны этим п и т. Ненулевые компоненты (- М) в го совпадут с

координатами двумерного дискриминантного тензора е. Так как тензор е-инвариант , то М = - е во всех

точках 7д. Согласно определению, М тензор е переводит векторы п и т в ковекторы по следующему правилу:

£• п = - т, £• т = - п.

Итак

Г = -2 Ье.

Ниже будет уточнена зависимость Ь(г).

Далее везде будут приняты следующие условия на базисные векторы А и Ц:

сУл//_ = сУл/Д = 0,

ГА\

= а Ь. Примем 1№ = 1, что означает выполне-

где Ц = п'ст . Тогда на Тд постоянен 2-объем 1№ = сЫ ние условия

аЬ= 1.

Согласно (2), вектор 5“а, а = 0,1 принадлежит Т/\. Учитывая (8), получаем, что в тензоре Р (формула (6)) Ь = Ь(Х0, х1). Подставляя (6) в уравнения Максвелла, получаем следующее уравнение в Я±

еУЬ =

где, в частности, 4-ток _/ имеет только две ненулевые компоненты и зависит только от х°, х1. Другими словами, ] одновременно является 2-током.

Подчеркнем, что хотя задача нахождения поля стала двумерной, все физические величины могут интерпретироваться только в рамках Я^. Например, тензор энергии-импульса поля с учетом сделанных допущений имеет вид: Т'к = (М2п) Ь2дк при \, к = 0,1; 7* = 0 при \, к = 2, 3.

При этом (1/ 2л) Ь2 = Р° - 3-плотность энергии поля. Аналогично в компонентер = ср двумерного вектора у величина р - 3-плотность заряда.

Из уравнения Максвелла (9) следует, что не существует двумерного свободного электромагнитного поля, имеющего ОК-потенциал и удовлетворяющего условию (8). Действительно, при у = О, УЬ = 0 и, согласно (8), Vа = 0. Далее, из (2) и (4) имеем Р в виде Р = 2 Vалл, то есть в результате Р = 0.

Согласно (9), удобно ввести потенциал тока у/\

(;2п1с) у = е V х//.

В результате будем иметь

V Ь = Уц/,

Ь=Ц/+СОП81.

Смысл (11) очевиден. Во-первых, ц/ определяет 3-плотность энергии поля (1/ 2%) Ь2. Далее у/ определяет мнимую кривизну /(линий ЦА), так как к2 = - Ь2/а2 = - Ь4 (использовано (8)).

Логическая схема механики заряженной классической частицы

Логические этапы построения механики частицы будут использованы как эвристика при нахождении уравнений для векторного оК-потенциала. В качестве исходного пункта в механике частицы возьмем следующее полевое уравнение (динамический постулат или ДП) [1]:

СР =

где 6Р - внешняя производная от поля импульса. ДП следует дополнить определением Р: Р = (тс) бг!бщ то есть

\Р\ = т2 с2.

Записывая (I) через векторный потенциал, имеем

С Р =

В результате

Р = - Ув + {е1с) А,

где У в - канонический (обобщенный) импульс. Из (IV) следует уравнение Гамильтона-Якоби для действия 5

где А - ковектор.

Кроме того, из Дп (I) следует уравнение Лоренца-Минковского

Р>

где V = сШо, точкой обозначена свертка (то есть действие Р на V как оператора). Уравнение (VI) ла-гранжево в отличие от полевых уравнений (I—IV). Это обыкновенное ДУ для траектории частицы, записанное через скорость и импульс.

Наконец, из (V) может быть найдено -Эв/ЭЬ то есть функция Гамильтона. В результате могут быть записаны уравнения Гамильтона.

Механика 2-мерного векторного потенциала. Аналог уравнения Лоренца-Минковского

В этом и двух последующих разделах мы получим уравнения 2-мерной механики ОК-потенциала, проводя аналогию с этапами построения механики частицы (предыдущий раздел).

Аналогично выводу уравнения (VI) из ДП (I) при условии (II) получим лагранжево уравнение для линий Ц(Л). За динамический постулат примем уравнение Максвелла (9). Далее свернем (9) с Р (в предыдущем разделе (I) сворачивалось с V):

Ь УЬ =

Используя условие (8), получаем левую часть (12) в виде - а Vа. Далее, применяя (3) и (1), получаем

где Р = -2 але. Правая часть (13) совпадает с правой частью закона сохранения энергии-импульса в общей форме [5]:

д| Гк = с-1 у • Р.

Поэтому уравнение (13) можно рассматривать как аналог (VI): это обыкновенное ДУ, записанное через «скорость» А и внешнее поле у, и это уравнение является законом сохранения энергии. Однако, как аналог (VI), это уравнение имеет два недостатка: оно фактически содержит полевую плотность энергии а-2 = Ь2,

а в левой части не получена производная от импульса вдоль «траектории» Ц(Л). В связи с этим укажем, что получение аналога уравнения Лоренца-Минковского рассматривалось в [6]. При этом исходным уравнением было (14). Это уравнение преобразовывалось по аналогии с приведенным в [5] выводом уравнения Лорен-ца-Минковского из полевого закона сохранения. На последнем этапе преобразований, согласно [6], следует избавиться от плотности энергии. Выполняя это в (13), получаем в качестве аналога уравнения Лоренца-Минковского следующее уравнение:

Другой вид этого уравнения:

В этих уравнениях можно перейти к дифференцированию по е>. Например, выполняя это в (16), получим

Однако (17) по-прежнему является уравнением для линий ЦЛ): г= г(о). Напомним, что смысл параметра дифференцирования с выясняется в приложении.

Функции Лагранжа и Гамильтона в механике 2-мерного векторного потенциала

В механике релятивистской заряженной частицы уравнения Лагранжа обычно получают следующим образом [5]. Рассматриваются траектории в Я3; за параметр на траектории берут время. Далее из вариационного принципа находят уравнение Лагранжа, в котором дифференцирование координат и скорости по времени преобразуется в дифференцирование по со. Затем это уравнение дополняется уравнением с нулевой компонентой единичной скорости V = с/г/с/ таким образом, чтобы получилось релятивистское уравнение для V. Функцию Лагранжа для уравнения (VI) записать нельзя: в вариационном принципе и в уравнениях Лагранжа компоненты скорости должны быть независимы. Здесь мы применим другой подход. Идея была предложена в [7], где использовалась функция Лагранжа сразу для уравнения (VI), а скоростью считалось

V = бгШсо. Это некорректно (так как |У| =1), но дало правильные результаты - уравнение (VI) и релятивистские уравнения Гамильтона. Модифицируем этот подход, а именно, будем строить механику частицы (а затем и механику ОК-потенциапа) на уравнениях Лагранжа, в которых вместо дифференцирования по времени производится дифференцирование по неопределенному инвариантному параметру г. Компоненты скорости V = с1г!с1т независимы и можно выполнять дифференцирование аШУ, I = 0, 1, 2, 3. В результате будет получено уравнение (VI), но с Р т в левой части. Оно должно быть дополнено условием | Р | = т с, что эквивалентно | V | = 1, то есть с/ж/с/т = 1 или с/г = доз.

Аналогично при построении механики ОК-потенциала будем записывать уравнение (16) для траекторий г= г[т), где т - произвольный инвариантный параметр. В этом случае уравнение (16) можно получить из релятивистской функции Лагранжа /. (г(г) , А), где А = &/с1т. (вид /. приведен ниже). При таком подходе необходимо дополнить (16) условием аЬ = 1 и ОК-условием (1). Согласно приложению, это придаст параметру г смысл «трубочного объема:

с/о- = с1\Л/тР.

При описанном подходе все исходные уравнения и промежуточные формулы имеют релятивистский вид. Это обеспечивает релятивистский вид выводимых уравнений Лагранжа и Гамильтона. Уравнение Лагранжа, соответствующее 1-{г{т), А), будем называть г-уравнением Лагранжа, а соответствующие уравнения Гамильтона - г-уравнениями Гамильтона.

Реализуя описанный подход, возьмем функцию Лагранжа для ОК-потенциала в следующем виде:

/.

где А = &/с1т. Отметим, что подстановка /. в уравнение Лагранжа дает не (16) с параметром г, а экви-

валентное ему уравнение. Для получения (16) необходимо из получившегося уравнения найти соотношение цт = а-1 и воспользоваться им.

Применим этот же подход для получения уравнений Гамильтона. Дифференцирование функции Лагранжа

- /. = 1 + 1п \Р\ + 1п ц/. Нетрудно проверить, что г-уравнения Гамильтона дают выражение Р = А/а2 и

г-уравнение Лагранжа. Итак, полная система уравнений - это г-уравнения Гамильтона плюс условие аЬ = 1.

Уравнение динамики в координатах t, r

Геометрические характеристики «траекторий» L{A), то есть А = dr/d<j, а, Ь, могут быть получены из уравнения L{A) с натуральным параметром со. Например, учитывая (8), получаем

Ь2 = Ыа = -

Тем самым будет известен тензор F (формула (6)).

Благодаря указанному обстоятельству, имеет смысл писать уравнение динамики OK-потенциала для «траектории» г= г(со). Получим это уравнение. Используем очевидное равенство n'a=b єп, из которого следует п'С0 = Ь2 є п (использовано левое из двух равенств (19)). Полагая равной нулю постоянную интегрирования в (11), получаем с помощью (11) искомое уравнение:

п'ш=у/єп.

Аналогия с уравнением Лоренца-Минковского (VI) очевидна. В частности, генератором бесконечно малых поворотов теперь является оператор цїє.

Приложение: естественная параметризация интегральных линий векторного ОК-поля

Лемма, доказанная ниже для пространства R*, справедлива и в R2.

Сначала получим предварительные формулы, описывающие параметризацию интегральных линий векторного ОК-поля с помощью объема трубки тока (с помощью «трубочного объема»). Напомним определение векторного ортогонально-координатного поля: это голономное поле А(г), которое может служить базисным вектором некоторой ортогональной криволинейной системы координат в R4 . Координаты обозначим up (р = 0, 1, 2, 3). Соответствующие базисные векторы обозначим ЦР), причем пусть А = Ц» = dr/da, то есть и0 ее ст. Введем ковектор S = *(лЬ,а)) и рассмотрим трубку тока поля А, полученную перенесени-

а

ем векторов Ца). Перейдем к «тонкой» трубке и запишем 3-площадь ее поперечного сечения:

\dS\ =

а

П duc

Дифференциал объема этой трубки равен dW = dco |cfS| = dco |S|]^[^wa ( где]^[^а _

множи-

тель, постоянный вдоль трубки.

Очевидно, что помимо натурального параметра естественным параметром для интегральных линий векторного ОК-поля является «трубочный объем» dW = dco \S\ . При таком выборе параметра «скорость» равна:

dr/dW={a\S\y А.

Лемма

Пусть {г= г(о)} -1-слоение пространства R*. При этом пусть А = dr/da- векторное OK-поле. Условие

divA = 0

является необходимым и достаточным для того, чтобы параметром, определяющим поле А, являлся трубочный объем: da = dW.

Доказательство

Докажем достаточность (21). Применяя теорему Гаусса к произвольному отрезку «тонкой» трубки тока, получаем из (21) постоянство объемов (А, dS) и (А, S ) вдоль интегральной линии ЦА). Выберем базисные векторы /.(„), соответствующие полю А. Согласно теореме Дюпена, произвол в их выборе ограничен: они

должны быть собственными векторами оператора Вейнгартена w‘k = дп1 /дхк , где п = А/а, а поле А сейчас считается заданным. Более того, L(a) должны удовлетворять уравнению [8]:

w L

Пусть на некоторой «начальной» координатной поверхности S(cto) векторы Ца) таковы, что (A, S) = 1. Это условие не противоречит (22), записанному на S(cto). В силу сказанного выше, это условие будет выполняться во всем пространстве. Согласно (20), получаем А = dr/dW.

Докажем необходимость условия (21). Из А = dr/dW, согласно (20), имеем a|S| =1. Отсюда по теореме Гаусса получаем (21). Лемма доказана.

*

2

В имеем следующие очевидные формулы: |5| = Ь, сі\/\/=Ь сісо. Согласно лемме, при А = 0 будем иметь аЬ = 1 и с1<т = Ь с1а>.

Литература

1. Рогачевский, А.Г. О динамической трактовке деформаций пространства Я* / А.Г. Рогачевский // Изв. вузов. Физика. - 2003. - №10. - С.53-55.

2. Рогачевский, А.Г. Двумерная механика электромагнитного поля на плоских слоениях пространства Я*. Ч. I / А.Г. Рогачевский // Вестн. КрасГАУ. - Красноярск, 2008 . - Вып. 3. - С. 61-64.

3. Рогачевский, А.Г. О плоских интегральных линиях голономного векторного поля / А.Г. Рогачевский // Вестн. КрасГАУ. - Красноярск, 2007. - Вып. 4. - С.26-28.

4. Дубровин, Б.А. Современная геометрия / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. - М.: Наука, 1986. - 760 с.

5. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика: учеб. пособие. Т.ІІ. Теория поля / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. -М.: Наука, 1988. - 512 с.

6. Рогачевский, А.Г. Двумерная механика ортогонально-координатного векторного потенциала электромагнитного поля / А.Г. Рогачевский // Лесоэксплуатация: межвуз. сб. науч. тр. - Красноярск, 2005. -Вып. 6. - С. 215-220.

7. Лич, Дж.У. Классическая механика / Дж.У. Лич. - М.: Изд-во иностран. лит-ры, 1961. - 172 с.

8. Рогачевский, А.Г. Аналог теоремы Дюпена для тензора деформации плоского метрического пространства / А.Г. Рогачевский // Вестн. КрасГАУ. - Красноярск, 2007. - Вып. 3. - С. 42- 43.

УДК 621.926 В.А. Арет, Е.И. Вербельз, Б.А. Вороненко, Б.К. Гусев

ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ РЕЖУЩЕЙ КРОМКИ НОЖЕЙ ИЗМЕЛЬЧИТЕЛЬНОГО ОБОРУДОВАНИЯ

С целью снижения энергоемкости процесса резания, повышения качества выпускаемой продукции и производительности оборудования необходимо решить вопрос оптимизации формы режущей кромки лезвийного инструмента. Для этого определены значения первой и второй критической скоростей резания и на этом основании получено искомое критериальное выражение для формы режущей кромки лезвия куттера.

Ключевые слова: энергоемкость, оптимизация, режущая кромка, лезвийный инструмент, первая и вторая критическая скорость резания, куттер.

V.A. Aret, Ye.I. Verbelz, B.A. Voronenko, B.K. Gusev OPTIMISATION OF THE CUTTING EDGE FORM OF THE MINCERING EQUIPMENT BLADES

In order to reduce cutting operation power intensity, increase quality of the production and productivity of equipment it is necessary to solve the problem of form optimization of the biade tool cutting edge. For that purpose, values of the first and second cutting critical speeds are determined and on their basis criteria formula for the cutter blade cutting edge form is received.

Key words: power intensity, optimization, cutting edge, cutting point, first and second cutting critical speed, cutter.

Многообразие модификаций измельчительно-режущего оборудования и его исполнительных органов свидетельствует об отсутствии системного подхода к физическому моделированию и математическому описанию процессов резания и конструированию рабочих элементов этой техники.

Для решения задач снижения энергоемкости процесса резания, повышения качества выпускаемой продукции и производительности оборудования актуальное значение имеет вопрос оптимизации формы режущей кромки лезвийного инструмента.