Аналитико-численный метод определения напряженно-деформированного состояния арок с хордовыми затяжками

Вестник ТГАСУ № 4, 2007

97

2. Литвинов, Р.Г. Трещиностойкость железобетонных элементов при изгибе / Р.Г. Литвинов // Бетон и железобетон. - 1992. - № 11. - С. 24-25.

3. Смоляго, Г.А. К вопросу о предельной растяжимости бетона / Г.А. Смоляго // Бетон и железобетон. - 2002. - № 6. - С. 6-9.

4. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. - М. : Высш. шк., 1998. - 479 с.

5. Горелова, Г. В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel : учеб. пособие для вузов / Г.В. Горелова, И.А. Кацко. - Ростов н/Д. : - Феникс, 2002. - 400 с.

A. BEREZINA, E. SERGUNICHEVA, N. ERSHOVA

EXPERIMENTAL DETERMINATION OF TRANSFORMATION COEFFICIENT FOR THE CONCRETE DEFORMATION DIAGRAM AT THE STRETCHED ZONE IN BENDING ELEMENTS

The results of deformation diagram construction for stretching and bending on the example of concrete B20 are presented in the paper. The transformation coefficient was determined on the basis of experimental results for concrete elements under stretching and bending load.

УДК 69.059.3

Д.А. ПАЛЬМОВ, аспирант,

И. Л. КУЗНЕЦОВ, докт. техн. наук, профессор,

А.3. КАМАЛОВ, канд. физ.-мат. наук, профессор,

КГАСУ, Казань

АНАЛИТИКО-ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ АРОК С ХОРДОВЫМИ ЗАТЯЖКАМИ

В данной работе рассматривается определение компонент напряженно-деформированного состояния (НДС) арки с хордовыми затяжками аналитико-численным методом, объясняется суть метода, реализация его в программе «АКНОЯ», сравнение результатов с существующими программными комплексами и проведение численных исследований по влиянию хордовых затяжек на НДС арки.

При строительстве мансардных этажей особый интерес представляют арки с хордовыми затяжками, которые обеспечивают существенное снижение расхода металла, максимальный перекрываемый объем и уменьшение распора [1]. Указанная арка включает верхний пояс, состоящий из соединенных между собой круговых элементов, и гибкие хордовые затяжки между концами каждой пары круговых элементов (рис. 1). С расчетных позиций рассматриваемая арка представляет достаточно сложную конструкцию, определение напряженно-деформированного состояния (НДС) которой известными методами вызывает определенные сложности. В статье определение НДС арки с хордовыми

© Д.А. Пальмов, И.Л. Кузнецов, А.З. Камалов, 2007

затяжками предлагается выполнять аналитико-численным методом. Сущность данного метода состоит в том, что рассматриваемая конструкция условно расчленяется на круговые элементы, узловые и гибкие элементы.

Круговые элементы, например 2-3, радиусом R (рис. 1) имеют свои геометрические, механические характеристики и загружены распределенными нагрузками Р, P1. Узловыми элементами являются опорные узлы арки, точки крепления затяжек и точки, где терпят разрывы механические характеристики и компоненты приложенных нагрузок. Гибкие элементы - это хордовые затяжки, способные воспринимать только растягивающие усилия, при этом они могут иметь начальные усилия.

. — с

1

Рис. 1. Пример расчетной схемы двухшарнирной арки с хордовыми затяжками: а - круговые элементы; 1-7 - узловые элементы; б - гибкие элементы

Для кругового элемента, материал которого работает в линейно-упругой области, а для поперечного сечения справедлива гипотеза Кирхгофа - Лява, в работе [2] получены основные соотношения и уравнения равновесия. С учетом полученных соотношений и уравнений равновесия для каждого кругового элемента систему дифференциальных уравнений можно представить как систему из шести обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

1

Фундаментальное решение этой системы дифференциальных уравнений в пределах каждого арочного элемента можно представить в виде:

1

к

где 1 - вектор состояния арочного элемента [2], компонентами которого являются обобщенные силовые факторы, изгибающие моменты, обобщенные пере-

мещения и углы поворота; у0 (0) - частное решение системы дифференциальных уравнений равновесия арочного элемента, зависящее от вида действующей на этот элемент нагрузки; Ак - неизвестные постоянные интегрирования.

Для исследования НДС рассматриваемой арочной конструкции в целом необходимо найти 6п неизвестных постоянных интегрирования и т усилий в затяжках (п - число арочных элементов конструкции, т - число хордовых затяжек).

Удовлетворяя 6(п - 1) условиям сопряжения п арочных элементов, условиям нерастяжимости т затяжек, а также условиям закрепления в начале и в конце арочной конструкции, приходим к системе (6п + т) алгебраических уравнений для определения неизвестных постоянных интегрирования и усилий в затяжках:

[1]А = В.

Здесь А - вектор неизвестных А^г) и N - неизвестных усилий в затяжках (к = 1,6 ; 1 = 1, п ; у = 1, т ; [I] - квадратная матрица; В - вектор свободных членов.

Таким образом, решая систему (3), находим неизвестные А^) и усилия N в затяжках, следовательно, полные усилия в них будут находиться по формуле

^ у = Ну + # у,

где N у - предварительное натяжение в затяжках.

На основе формул (1), (2), (3), (4) можно исследовать НДС арочной конструкции только численным методом.

Система линейных алгебраических уравнений (3) решается методом Гаусса. В результате выполнения этой процедуры в определенном массиве размещается результат решения системы (3) и усилия в затяжках. Далее проводится проверка работы затяжек на растяжение, поскольку затяжки считаются гибкими. Если же определенная часть затяжек сжата, то эти затяжки не учитываются, соответственно порядок системы (3) понижается и счет проводится сначала. Процесс повторяется до тех пор, пока не будут исключены все сжатые затяжки. Далее определяются все компоненты вектора состояния арочного элемента по формуле (1).

Не менее важным принципом построения алгоритма расчета и создания самой программы расчета является принцип алгоритмического ввода данных. Суть этого принципа состоит в том, что наряду с числовым вводом осуществляется функциональный ввод некоторых исходных данных. Функциональное назначение этих данных состоит в определении вида граничных условий на концах арки, действующих на него внешних нагрузок, типа конструкции и т. д. Разработанный алгоритм расчета арок делает этот алгоритм более гибким, имеющим возможность постоянно развиваться. Реализация указанного алгоритма нашла отражение в программе АКНОЯ.

С целью проверки правильности изложенной методики расчета и вычислений значений компонент НДС по программе АКНОЯ было решено зна-

чительное число примеров расчета арок с хордовыми затяжками, отличающихся пролетом, очертанием и характером нагрузок. Ниже приводится пример расчета двухшарнирной арки с 11 хордовыми затяжками, расчетная схема которой приведена на рис. 2.

Расчет проводился при следующих нагрузках [3]:

- постоянная нагрузка (Рп = 100 кг/м);

- снеговая нагрузка, распределенная по параболе («^ = 100 кг/м);

- снеговая нагрузка, распределенная по линейному закону («п = 225 кг/м, «п/2 = 112 кг/м);

- ветровая нагрузка (с = 70 кг/м, с2 = -120 кг/м, с3 = -40 кг/м).

Для сравнения полученных результатов проводился расчет и по известной программе Лира-Windows составленной на основе приближенного подхода расчета таких арочных сооружений, а именно, где круговые элементы заменяются прямолинейными элементами и, соответственно, точность этого метода впрямую зависит от числа прямолинейных элементов, на которые делится сама арка.

В таблице представлены результаты расчета по программам АКНОЯ и Лира-Windows. Некоторые расхождения в результатах расчета объясняются тем, что во втором ранее известном подходе круговая арка заменяется незамкнутым многоугольником, и, следовательно, точность расчета этого подхода зависит от числа сторон выбранного многоугольника.

Т.

Рис. 2. Расчетная схема арки пролетом 10 м и радиусом Я = 5 м

Сравнение результатов расчета арки на программах АЯНОЯ

и Лира-'^п^'№8

Загружение Се- чение арки Программа по расчету арок ШШ «Лира-Wmdows»

М

Постоянная нагрузка I 12 круговых элементов, 11 хордовых затяжек 24 прямолинейных элемента, 11 хордовых затяжек

-33,19 447,2 31,84 -33,5 422,6 3,8

II 90,62 105,5 166,2 92,5 112,1 159,9

III -32,94 -537,5 264,9 -33,5 -516,3 299,8

Снеговая нагрузка 1 тип I 12 круговых элементов, 11 хордовых затяжек 24 прямолинейных элемента, 11 хордовых затяжек

975,3 5398 346,3 967,7 4849,6 53

II -1375 -1636 0 -1222,1 -4876,3 -46,5

III 975,8 2202 983,5 968 1976,4 960,1

Снеговая нагрузка 2 тип 1 12 круговых элементов, 11 хордовых затяжек 24 прямолинейных элемента, 11 хордовых затяжек

256,3 -4177 1360 167 -3985,7 1405,7

II 87,8 -65,11 -143,2 409,2 -84,97 -276,9

III -1143 2988 -1248 -1102 2512 -1121,1

Ветровая I 12 круговых элементов, 11 хордовых затяжек 24 прямолинейных элемента, 11 хордовых затяжек

-323 -1606 338,6 -302,5 -1511 312,3

II -120 378,2 -49,37 -121,8 370,8 -189

III -80,3 244,8 61,95 -99,9 268 573,3

Выводы

Таким образом, в результате проведенных исследований установлено, что значения компонентов НДС арки с хордовыми затяжками, определенные точным аналитико-численным методом, реализованным в программе АКНОЯ, показывают хорошую согласованность результатов, полученных на основе известного приближенного метода расчета таких конструкций.

Полученные аналитические решения задачи об изгибе арочной конструкции и численные результаты позволяют оценить влияние гибких затяжек на НДС арочной конструкции в целом. Как следовало ожидать, наличие затяжек приводит к уменьшению перемещений и угла поворота, тем самым жест-

102

Вестник ТГАСУ № 4, 2007

кость конструкции увеличивается. В точках закрепления затяжек происходят скачки величин тангенциальных и перерезывающих сил, поскольку в этих точках происходит перераспределение внутренних усилий, возникающих в соответствующих сечениях арочной конструкции. Как показывают результаты расчета, существенное влияние на работу затяжек оказывают такие факторы, как характер приложенных внешних сил, условия крепления арочной конструкции, наличие ключевых шарниров.

Библиографический список

1. Кузнецов, И.Л. Арка. А.С. №1244256. М. Кл Е04В1/32. от 29.11.84. Бюллетень № 26 от 15.07.86.

2. Кузнецов, И.Л. Аналитико-численный метод определения напряженно-деформированного состояния и критической нагрузки арок / И.Л. Кузнецов, А.З. Камалов // Известия вузов. Строительство. - 1991. - № 12. - С. 5-19.

3. СНиП 2.01.07-85*. Нагрузки и воздействия / Госстрой России. - М. : ГУП ЦПП, 2001. - 44 с.

D.A. PALMOV, I.L. KUZNETSOV, A.Z. KAMALOV

THE ANALYTICAL-NUMERICAL METHOD FOR THE ESTIMATION OF A STRESS-STRAIN CONDITION OF ARCHES WITH CHORD TIE BARS

An analytical-numerical method is examined for the estimation of stress-strain condition of an arch with chord tie bars. The essence of the method, its implementation in the «ARHOR» program, the comparison of the results with those of other existing programs and carrying out the computational investigations on the influence of chord tie bars on the mode of deformation of an arch are explained.

УДК 624-2007

Н.В. ЗАВЬЯЛОВА, аспирант,

СибАДИ, Омск

РАСЧЁТ ПЛАСТИН С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ ВЫРЕЗОМ

Для расчёта плитно-стержневых систем применяется известный метод перемещений А.В. Александрова с использованием одинарных тригонометрических рядов и точных решений теории упругости. Для исследования влияния сосредоточенной нагрузки, действующей в произвольной точке срединной плоскости пластины, предлагаются функции Грина, построенные для пластины с шарнирно опертыми двумя противоположными кромками и различным закреплением двух других. Рассмотрена возможность их применения при расчётах пространственных тонкостенных систем. Решается задача об определении плоского напряженно-деформированного состояния в пластинах с отверстием прямоугольной формы. Применен метод расширения заданной системы совместно с методом компенсирующих нагрузок. Эффективность применения модели Александрова совместно с функциями Грина показана на численных примерах.

© Н.В. Завьялова, 2007