Напряженное состояние трансверсально-изотропного скального грунта вблизи напорного гидротехнического туннеля коробовой формы сечения

УДК 624+539.3 DOI: 10.22227/1997-0935.2017.10.1172-1179

напряженное состояние

трансверсально-изотропного скального грунта вблизи напорного

гидротехнического туннеля коробовой

формы сечения

Д.Т. Баутдинов, У.И. Атабиев

Российский государственный аграрный университет — МСХА имени К.А.Тимирязева (РГАУ-МСХА имени К.А. Тимирязева), 127550, г. Москва, ул. Тимирязевская, д. 49

Напорные гидротехнические туннели коробовой формы сечения широко распространены в области гидротехнического строительства и являются одним из самых сложных, трудоемких и дорогих типов сооружений, входящих в состав основных сооружений гидроузлов, мелиоративных систем и систем водоснабжения. В качестве водопропускных и водопроводящих сооружений их строят под землей в тех случаях, когда открытая выемка грунтов невозможна или неэкономична, когда трасса туннеля проходит через густонаселенную или густо застроенную местность или на ней возможны оползни, осыпи, камнепады. Нарушение целостности грунтового массива, в частности туннельная выработка, меняет напряженно-деформированное состояние (НДС) массива, что приводит к появлению в некоторых местах растягивающих напряжений, а в некоторых случаях — значительных сжимающих напряжений. Если эти напряжения будут превосходить расчетные сопротивления грунта на растяжение и сжатие соответственно, то может произойти обрушение кровли выработки и выпучивание боковых стенок и днища туннеля.

Предмет исследования: напряженное состояние трансверсально-изотропного скального грунта вблизи напорного гидротехнического туннеля коробовой (подковооборазной) формы сечения от внутреннего напора воды. Цели: определение реальных значений окружных напряжений по контуру выработки.

Материалы и методы: решение задачи плоской деформации теории упругости для трансверсально-изотропной среды невозможно аналитическими методами, поэтому анализ НДС был выполнен методом конечного элемента (МКЭ) с использованием программного комплекса ANSYS.

Результаты: определены тангенциальные напряжения по контуру выработки гидротехнического туннеля при различных отношениях модулей деформаций и коэффициентов Пуассона, позволяющие оценивать прочность грунтового массива при различных глубинах заложения туннеля. Расчет гидротехнического туннеля большой протяженности, проложенного в крепком, трансверсально-изотропном скальном грунте, сведен к задаче плоской деформации теории упругости для трансверсально-изотропной среды, содержащей туннельную выработку. Предварительно были определены размеры и тип элемента, пригодного для расчета на основе решения тестовой задачи. Выводы: необходимо более детально определять физико-механические свойства скальных грунтов, особое внимание уделяя упругим характеристикам, расчеты следует производить, учитывая анизотропию упругих свойств.

КЛЮчЕВЫЕ СЛОВА: трансверсально-изотропная среда, теория упругости, плоская деформация, модуль деформаций, коэффициент Пуассона, ортогональные напряжения, коробовое сечение, внутренний напор воды, собственный вес гнута, метод конечных элементов

О

^ ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Баутдинов Д.Т., Атабиев У.И. Напряженное состояние трансверсально-изотропного скаль-

О ного грунта вблизи напорного гидротехнического туннеля коробовой формы сечения // Вестник МГСУ. 2017. Т. 12.

Вып. 10 (109). С. 1172-1179.

О >

С

DQ

N

2 о

О

X S

b

о

STRESS STATE OF TRANSVERSELY ISOTROPIC ROCKS NEAR PRESSURIZED HYDRAULIC TUNNEL OF HORSESHOE

CROSS-SECTION

D.T. Bautdinov, U.I. Atabiev

Russian State Agrarian University — Moscow Timiryazev Agricultural Academy (RSAU — MTAA or RSAU—MAA named after K.A. Timiryazev), 49 Timiryazevskaya str., Moscow, 127550, Russian Federation

I The parametric analysis of the stress state of a transversally isotropic rock mass near a pressurized hydraulic tunnel of a

box-shaped form is carried out. Pressurized hydro-technical tunnels of box-shaped cross-section are widely used in the field $ of hydraulic engineering construction and are one of the complex, labor-intensive and expensive types of structures that

10 make up the main structures of waterworks, melioration systems and water supply systems. As a culvert and water supply

1172

© Д.Т. Баутдинов, У.И. Атабиев

Напряженное состояние трансверсально-изотропного скального грунта вблизи напорного

гидротехнического туннеля коробовой формы сечения

facilities they are built underground if the open excavation is impossible or not economical, or when the tunnel runs through a densely populated or densely built-up area, or when landslides, screes, rockfalls are possible. Violation of integrity of the rock mass, in particular, caused by tunneling, modifies the stress-strain state (SSS) of the rock mass, which leads to appearance of tensile stresses in some places, and in some cases, to significant compressive stresses. If these stresses exceed the design strengths of rock to tension and compression, respectively, then the collapse of the working roof and buckling of the side walls and the bottom of the tunnel may occur.

Subject: analysis of the stress state of transversally isotropic rocks near the pressurized hydraulic tunnel of horseshoe cross-section caused by the internal head of water.

Research objectives: determination of real values of circumferential stresses along the development contour. Materials and methods: solution of the problem of plane deformation of the theory of elasticity for a transversely isotropic medium containing tunnel excavation cannot be obtained by analytical methods, and therefore the stress-strain analysis was carried out by the finite element method using the ANSYS software package, MCE.

Results: determination of stresses along the development contour, construction of diagrams and graphs showing the effects of the anisotropy conditions and Poisson's ratio.

The tangential stresses along the contour of hydraulic tunnel development for various values of deformation modulus and Poisson's ratio are determined, which makes it possible to estimate the strength of the rock mass for different tunnel depths. The analysis of a long hydro-technical tunnel, laid in a strong, transversally isotropic rock, is reduced to the problem of plane deformation of the theory of elasticity for a transversely isotropic medium containing tunnel excavation. The size and type of the finite element suitable for analysis were determined in advance based on the solution of the test problem. Conclusions: it is necessary to determine the physical and mechanical properties of rocky soils more accurately, paying special attention to elastic characteristics; calculations should be performed taking into account the anisotropy of elastic properties.

KEY WORDS: transversely isotropic medium, elasticity theory, plane deformation, deformation modulus, Poisson's ratio, orthogonal stresses, box cross-section, internal water head, self-weight of bend, finite element method

FOR CITATION: Bautdinov D.T., Atabiev U.I. Napryazhennoe sostoyanie transversal'no-izotropnogo skal'nogo grunta vblizi napornogo gidrotekhnicheskogo tunnelya korobovoy formy secheniya [Stress State of Transversely Isotropic Rocks Near Pressurized Hydraulic Tunnel of Horseshoe Cross-section]. Vestnik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering]. 2017, vol. 12, issue 10 (109), pp. 1172-1179.

ВВЕДЕНИЕ

Подземные гидротехнические сооружения широко распространены в области гидротехнического и мелиоративного строительства и одновременно являются одними из самых сложных и дорогих типов основных сооружений, входящих в состав гидроузлов, мелиоративных систем и систем водоснабжения.

Гидротехнические туннели глубокого заложения могут возводиться с обделкой и без нее, при проходке в слаботрещиноватых скальных нераз-мываемых грунтах. Применение гидротехнических туннелей без обделки позволяет снизить их стоимость на 20...30 % и сократить сроки строительства на 10.15 %.

При проектировании гидротехнических туннелей глубокого заложения, проходящих в анизотропных грунтах с отношением модулей деформаций в разных направлениях, большим 1,4, расчет следует проводить с учетом анизотропии [1].

По деформационности и прочности в различных направлениях массивы скальных грунтов следует считать изотропными при коэффициенте анизотропии не более 1,5. Под коэффициентом анизотропии понимают отношение большего значения характеристики к меньшему в двух заданных направлениях [2].

Эти требования свидетельствуют о том, что при расчете гидротехнических туннелей, проходя-

щих в грунтах с сильно выраженной анизотропией, модель изотропного тела неприменима.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Целью данной работы является проведение параметрического анализа напряженного состояния анизотропного скального грунта с различными упругими характеристиками в ортогональных направлениях от внутреннего напора воды на контуре выработки коробовой формы сечения с использованием модели трансверсально-изотропной среды. е

Расчет гидротехнического туннеля большой о протяженности, проложенного в крепком, транс- х версально-изотропном скальном грунте, можно свести к задаче плоской деформации теории упругости ^ для трансверсально-изотропной среды, содержащей ^ туннельную выработку. Решение такой задачи не- У возможно аналитическими методами, поэтому ана- ^ лиз напряженного состояния был выполнен мето- о дом конечного элемента (МКЭ) с использованием 2 программного комплекса ANSYS. ^

Расчетная схема, моделирующая гидротехниче- ^

ский туннель со значительной глубиной заложения г

без обделки с коробовой формой сечения, проходя- у щий в скальных грунтах с различными упругими

характеристиками в ортогональных направлениях 1

с учетом геометрической и физической симметрии, °

представлена на рис. 1. Размеры выбранной расчет- 1

ной области были минимизированы с учетом зада- О

ния «активной зоны» (критерий М.И. Фролова) [3]. 3

среды

№ О

О >

с во

N ^

2 о

н *

о

X 5 I н

о ф

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Для отверстий и выработок сложной формы используются как аналитические [1-9], так и численные методы. Например, метод конечных разностей [10-12], МКЭ [13-23], получивший в настоящее время наибольшее распространение, и более молодой, но не менее перспективный — метод граничных элементов (МГЭ) [24-27]. Имеются аналитические решения С.Г. Лехницкого для упругой ортотропной плоскости, ослабленной круговым и эллиптическим отверстием [28].

В практике проектирования гидротехнических сооружений широко используется МКЭ, позволяющий определить НДС трансверсально-изотропной среды.

Широкомасштабные исследования в области статического расчета и анализа напряженного состояния гидротехнических сооружений с применением МГЭ приведены научной школой под руководством Фролова М.И. [29, 30, 18].

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Для удобства вычислений, согласно принципу суперпозиции линейной теории упругости, напряженное состояние туннеля предварительно определялось от единичной нагрузки, моделирующей вну-

тренний напор воды. Затем, умножая полученные результаты на реальное значение напора, можно получить истинное напряженное состояние.

При проведении расчетов задавались различные значения коэффициента анизотропии а = Е/Е от единицы до тройки с шагом 0,5 и отношения v0/v от единицы до 3,5 с шагом 0,5 при V = 0,1, где Е и Е0, V и у0 — модули деформации и коэффициенты Пуассона в изотропном и трансверсальном направлениях соответственно. В координатных индексах эти параметры соответствуют Е = Ех = Е, Еу = = Е., V = V = V , V = V .

0^ хъ ъх 0 ху

Рассмотрим результаты расчета на единичный внутренний напор воды в гидротехническом туннеле без обделки, проходящем в трансверсально-изо-тропном скальном грунте, при внутреннем напоре

воды Р„ = 1

Для оценки влияния анизотропности свойств грунтового массива на напряженное состояние туннеля на рис. 2 приведена эпюра относительных окружных напряжений п на контуре выработки коробовой формы для изотропной среды. Также приведена эпюра относительных тангенциальных напряжений при Е/Е0 = 2, v0/v = 3,5 для трансвер-сально-изотропной среды.

Как следует из рис. 2, наиболее опасны для скального грунта относительные тангенциальные растягивающие напряжения, локализующиеся

Напряженное состояние трансверсально-изотропного скального грунта вблизи напорного

, _ , С. 1172-1179

гидротехнического туннеля коробовой формы сечения

1,297

Рис. 2. Схема туннеля

в двух основных (в силу симметрии) частях коробовой выработки, они увеличиваются по сравнению с напряжениями в изотропной среде. Также в некоторых сечениях контура коробовой выработки растягивающие напряжения уменьшаются относительно напряжений в изотропной среде.

При отношении Е/Е0 = 2, v0/v = 3,5 наибольшие растягивающие напряжения в сечении № 1 равны п = 1,297, в сечении № 2 равны п = 2,83, в сечении № 3 равны п+тах = 0, а п-тах = -0,96. При дальнейшем увеличении отношений модулей деформаций и коэффициентов Пуассона растягивающие

напряжения по контуру выработки возрастают по сравнению с напряжениями в изотропной среде.

В табл. 1 представлены наиболее опасные значения относительных тангенциальных напряжений в сечении 2 (с рис. 2) выработки коробовой формы от внутреннего напора воды в зависимости от отношений упругих характеристик.

Рассмотрим совместное действие внутреннего напора воды и собственного веса грунта на напорный туннель без обделки коробовой формы сечения.

Анализ напряженного состояния туннеля кор-бового сечения на собственный вес грунта пред-

Табл. 1. Относительные тангенциальные напряжения в сечении 2 выработки коробовой формы от внутреннего напора воды в зависимости от отношений упругих характеристик

Коэффициент анизотропии E/E0 Отношение коэффициентов Пуассона v0/v

1 1,5 2 2,5 3 3,5

1 2,856 2,873 2,889 2,906 2,923 2,939

1,5 2,855 2,868 2,882 2,895 2,908 2,922

2 2,852 2,863 2,727 2,886 2,787 2,843

2,5 2,843 2,858 2,868 2,878 2,887 2,897

3 2,844 2,583 2,862 2,870 2,879 2,888

Л

Ф

0 т

1

*

О У

Т

0

1

м

В

г

3

у

о *

о

(8

Табл. 2. Относительные тангенциальные напряжения п на контуре выработки коробовой формы от собственного веса грунта в зависимости от отношений упругих характеристик (от 1 до 1,5) в ортогональных направлениях при V = 0,1

Коэффициент Номер сечения Отношение коэффициентов Пуассона vjv

анизотропии E/E0 на рис. 2 1 1,5 2 2,5 3 3,5

1 0,662 0,483 0,302 0,12 -0,073 -0,256

1 2 -1,6 -1,719 -1,841 -1,966 -2,094 -2,224

3 0,694 0,58 0,464 0,346 0,225 0,104

1 0,837 0,648 0,457 0,264 0,071 -0,133

1,5 2 -1,727 -1,84 -1,957 -2,076 -2,199 -2,324

3 0,878 0,76 0,64 0,519 0,396 0,271

Табл. 3. Результаты расчета для сечения 2 (наиболее опасного) коробовой выработки при совместном действии, кПа

Коэффициент анизотро- Отношение коэффициентов Пуассона vjv

пии а 1 1,5 2 2,5 3 3,5

1 4562,44 4294,27 4020,11 3741,94 3456,27 3169,61

1,5 5021,45 4739,32 4453,18 4163,55 3868,92 3570,28

№ О

ставлен в работе [4]. Относительные окружные напряжения на контуре выработки при (V = 0,1) даны в табл. 2 в зависимости от сечения контура выработки (рис. 1) [4].

Умножая относительные напряжения от внутреннего напора воды на реальный напор и умножая относительные напряжения от собственного веса грунта на реальную глубину заложения туннеля, а затем в силу линейности решаемой задачи су-перпозируя результаты, можно получить истинные значения окружных напряжений на контуре выработки от совместного действия внутреннего напора воды и собственного веса грунта (табл. 3).

Для примера рассмотрим случай, когда:

• глубина заложения туннеля H = 100 м;

• реальный напор воды HW = 100 м;

• удельный вес грунта У^ = 25 кН/м3;

• удельный вес воды У = 10 кН/м3. Тогда аЕ = Я(РУв +уР).

ВЫВОДЫ

Результаты параметрического анализа напряженного состояния скального грунта в окрестности выработки гидротехнического туннеля коробовой формы сечения показывают, что на напряженное состояние оказывает влияние анизотропия упругих свойств скального массива. Следовательно, при проектировании подземных сооружений необходимо более детально определять физико-механические свойства скальных грунтов, особое внимание уделяя упругим характеристикам, расчеты следует производить, учитывая анизотропию упругих свойств.

О >

с

10

N ^

2 о

н >

о

X S I h

О ф

литература

1. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М. : Высш. шк., 1976. 271 с.

2. Зенкевич О.К., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. М. : Стройиздат, 1971. 214 с.

3. Ляв А. Математическая теория упругости / пер. с англ. Б.В. Булгакова, В.Н. Натанзона. М. : ОНТИ, 1935. 674 с.

4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М. : Наука, 1966. 707 с.

5. Новожилов В.В. Теория упругости. М. : Суд-промгиз, 1958. 370 с.

6. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев : Наукова думка, 1965.

7. Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике. М. : Недра, 1987. 221 с.

8. Brombolich J.L. Elastic-plastic analysis of the stresses near fastener holes // 11th Aerospace Sciences Meeting. Washington, 1973. Pp. 10-16.

9. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. М. : Наука, 1997. 439 с.

10. Сеймов В.М., Островерх Б.Н. Сейсмостойкость гидротехнических сооружений. Киев : Наукова Думка, 1983. 318 с.

Напряженное состояние трансверсально-изотропного скального грунта вблизи напорного

, _ , С. 1172-1179

гидротехнического туннеля коробовои формы сечения

11. Чече А.А. Метод решения задач статики упругих стержней, находящихся в упругой и упру-гопластической средах и применение его к расчету подземных трубопроводов. Минск : Изд-во Госстроя БССР, 1973. 83 с.

12. Бартон Н. Проектирование подземных сооружений в скальных породах с использованием Q-системы и программы UDEC-BB : пер. англ. М. : Энергоатомиздат, 1992. (Энергетическое строительство за рубежом. Вып. 8).

13. Гидротехнические сооружения / под. ред. Г.М. Каганова. Т. 2. М. : Энергоатомиздат, 1994. 464 с.

14. Городецкий А.С., Заворицкий В.И., Лан-тух-Лященко А.И., Рассказов А.О. Метод конечных элементов в проектировании транспортных сооружений. М. : Транспорт, 1981. 143 с.

15. Демидов С.П. Теория упругости. М. : Высш. шк., 1979. 432 с.

16. Зенкевич О.К. Метод конечных элементов в технике. М. : Мир, 1975. 541 с.

17. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М. : Наука, 1980. 534 с.

18. Фролов М.И., Васкес Рамирес А.А. Исследование работы подземных ГТС методом граничных элементов // Вопросы повышения качества образования в области природообустройства и водопользования : сб. мат. III Межвуз. науч.-техн. конф. (г.Москва, 23-25 апреля 2001 г.). М. : МГУП, 2001. С. 108-109.

19. Хучумов Р.А., Кепплер Х., Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М. : Изд-во АСВ, 1994. 350 с.

20. Крауч С., Старфилд Т. Методы граничных элементов в механике твердого тела : пер. с англ. М. : Мир, 1987. 328 с.

21. Михлин С.Г. Приложения интегральных уравнений к некоторым проблемам механики, математической физики и техники. М. ; Л. : Гостехиздат, 1947. 304 с.

22. Bennerjee P.K., ButterfieldR. Boundary element method in geomechanics. London : Wiley, 1977.

23. Bennerjee P.K., ButterfieldR. Boundary element method in engineering in science. London : McGraw-Hill, 1981.

24. Brebbia C.A., Walker C. Boundary element method in engineering. London : Butterworth, 1980.

25. Jaswon M.A., Symm G.T. Integral equation methods in potential theory and electrostatics. London : Academic Press, 1977.

26. Kay J.N., Aust M.I., Krizek R.J. Adaption of elastic theory to the design of the circular conduits // Civil Engineering Transactions. 1970. April. Pp. 152-160.

27. Rizzo F.J. An integral equation approach to boundary value of classical elastics // Quarterly of Applied Mathematics. 1967. Vol. 25. Pp. 83-95.

28. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М. : Наука, 1977. 416 с.

29. Фролов М.И. Статические и динамические воздействия на одиночные и многониточные трубы : дис. ... д-ра техн. наук. М., 1991. 316 с.

30. Фролов М.И., Васкес Рамирес А.А. Влияние формы поперечного сечения выработки гидротехнических тоннелей на напряженное состояние по их контуру // Природоохранное обустройство территорий: сб. мат. науч.-техн. конф. Москва. 2000 г. М. : МГУП, 2002. С. 115-118.

Поступила в редакцию 1 июня 2017 г. Принята в доработанном виде 3 августа 2017 г.

Одобрена для публикации 27 сентября 2017 г. И

т

Об авторах: Баутдинов Дамир Тахирович — кандидат технических наук, доцент кафедры техниче- j ской и строительной механики, Российский государственный аграрный университет — МСХА имени

к.А.Тимирязева (РГАУ-МСХА имени к.А. Тимирязева), 127550, г. Москва, ул. Тимирязевская, д. 49, damir. ^

tt1@mail.ru; г

Атабиев Умар Исхакович — аспирант кафедры гидротехнических сооружений, Российский государ- У

ственный аграрный университет — МСХА имени к.А.Тимирязева (РГАУ-МСХА имени к.А. Тимирязе- .

ва), 127550, г. Москва, ул. Тимирязевская, д. 49, a_omar@mail.ru; ORCID: 0000-0002-1825-0097. О

2

REFERENCES В

з

1. Amenzade Yu.A. Teoriya uprugosti [Theory and in the Mechanics of Continuous Media]. Moscow, О of Elasticity]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1976, Stroyizdat Publ., 1971, 214 p.

271 p. (In Russian) 3. Love A.E.H. A Treatise on the Mathematical о

2. Zenkevich O.K., Chang I. Metod konechnykh Theory of Elasticity. Cambridge University Press, 1927. 1 elementov v teorii sooruzheniy i v mekhanike sploshnykh 4. Muskhelishvili N.I. Nekotorye osnovnye za- О sred [Finite Element Method in the Theory of Structures dachi matematicheskoy teorii uprugosti [Some Basic w

fí.T. BaymduHOB, Y.M. AmaöueB

Problems of the Mathematical Theory of Elasticity]. Moscow, Nauka Publ., 1966, 707 p.

5. Novozhilov V.V. Teoriya uprugosti [Theory of Elasticity]. Moscow, Sudpromgiz Publ., 1958, 370 p.

6. Savin G.N. Raspredelenie napryazheniy okolo otverstiy [Stress Distribution near the Holes]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1965.

7. Fadeev A.B. Metod konechnykh elementov v geomekhanike [Finite Element Method in Geomechan-ics]. Moscow, Nedra Publ., 1987, 221 p.

8. Brombolich J.L. Elastic-Plastic Analysis of the Stresses Near Fastener Holes. 11th Aerospace Sciences Meeting. Washington, 1973, pp. 10-16.

9. Godunov S.K., Ryaben'kiy V.S. Raznostnye skhemy [Difference Schemes]. Moscow, Nauka Publ., 1997, 439 p.

10. Seimov V.M., Ostroverkh B.N. Seysmo-stoykost' gidrotekhnicheskikh sooruzheniy [Seismic Stability of Hydraulic Structures]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1983, 318 p.

11. Cheche A.A. Metod resheniya zadach statiki uprugikh sterzhney, nakhodyashchikhsya v uprugoy i uprugoplasticheskoy sredakh i primenenie ego k ra-schetu podzemnykh truboprovodov [Method of Solving the Problems of the Statics of Elastic Rods in Elastic and Elastoplastic Media and Its Application to the Calculation of Underground Pipelines]. Minsk, Izd-vo Goss-troya BSSR Publ., 1973, 83 p.

12. Barton N., L0set F., Smallwood A. et al. 1992. Radioactive waste repository design using Q and UDEC-BB. Proceedings of the International Symposium on Fractured and Jointed Rock Masses. Lake Tahoe, USA. Berkley, 1992, pp. 735-742.

13. G.M. Kaganov ed. Gidrotekhnicheskie sooru-zheniya [Hydraulic Engineering Structures]. Vol. 2. Moscow, Energoatomizdat Publ., 1994, 464 p.

14. Gorodetskiy A.S., Zavoritskiy V.I., Lantukh-O Lyashchenko A.I., Rasskazov A.O. Metod konechnykh  elementov v proektirovanii transportnykh sooruzheniy w [Finite Element Method in the Design of Transport Structures]. Moscow, Transport Publ., 1981, 143 p.

15. Demidov S.P. Teoriya uprugosti [Theory of £ Elasticity]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1979, E 432 p.

jg 16. Zenkevich O.K. Metod konechnykh elemen-

^ tov v tekhnike [Finite Element Method in Engineering]. Moscow, Mir Publ., 1975, 541 p.

17. Marchuk G.I. Metody vychislitel'noy matema-|2 tiki [Methods of Computational Mathematics]. Moscow,

Nauka Publ., 1980, 534 p. (In Russian) O 18. Frolov M.I. Vasquez Ramirez A.A. Issledo-5 vanie raboty podzemnykh GTS metodom granichnykh £ elementov [Study of the Operation of Underground Gas Turbines Using the Method of Boundary Elements]. Voprosy povysheniya kachestva obrazovaniya v oblasti q prirodoobustroystva i vodopol 'zovaniya : sbornik ma-GQ terialov III Mezhvuzovskoy nauchno-tekhnicheskoy

konferentsii

19. Khuchumov R.A., Keppler Kh., Prokop'ev V.I. Primenenie metoda konechnykh elementov k raschetu konstruktsiy [Application of the Finite Element Method to the Design Calculation]. Moscow, ASV Publ., 1994, 350 p.

20. Crouch S.L., Starfield A.M., Boundary Element Methods in Solid Mechanics. London, George Allen and Unwin, 1983.

21. Mikhlin S.G. Prilozheniya integral'nykh uravneniy k nekotorym problemam mekhaniki, matematicheskoy fiziki i tekhniki [Applications of Integral Equations to Certain Problems of Mechanics, Mathematical Physics and Engineering]. Mocow- Leningrad, Gostekhizdat Publ., 1947, 304 p.

22. Bennerjee P.K., Butterfield R. Boundary Element Method in Geomechanics. London, Wiley, 1977.

23. Bennerjee P.K., Butterfield R. Boundary Element Method in Engineering in Science. London, McGraw-Hill, 1981.

24. Brebbia C.A., Walker C. Boundary Element Method in Engineering. London, Butterworth, 1980.

25. Jaswon M.A., Symm G.T. Integral Equation Methods in Potential Theory and Electrostatics. London, Academic Press, 1977.

26. Kay J.N., Aust M.I., Krizek R.J. Adaption of Elastic Theory to the Design of the Circular Conduits. Civil Engineering Transactions. 1970, April, pp. 152-160.

27. Rizzo F.J. An Integral Equation Approach to Boundary Value of Classical Elastics. Quarterly of Applied Mathematics. 1967, vol. 25, pp. 83-95.

28. Lekhnitskiy S.G. Teoriya uprugosti aniz-otropnogo tela [Theory of Elasticity of An Anisotropic Body]. Moscow, Nauka Publ., 1977, 416 p.

29. Frolov M.I. Staticheskie i dinamicheskie voz-deystviya na odinochnye i mnogonitochnye truby disser-tatsiya ... doktora tekhnicheskikh nauk [Static and Dynamic Effects on Single and Multicellular Pipes: Thesis of Doctor of Technical Sciences]. Moscow, 1991, 316 p.

30. Frolov M.I., Vasquez Ramirez A.A. Vliyanie formy poperechnogo secheniya vyrabotki gidrotekh-nicheskikh tonneley na napryazhennoe sostoyanie po ikh konturu [Influence of the Shape of the Cross-Section of the Development of Hydraulic Tunnels on the Stress State Along Their Contour]. Prirodookhrannoe obustroystvo territoriy : sbornik materialov nauchno-tekhnicheskoy konferentsii [Environmental Protection of Territories: Collected Works of the Scientific and Technical Conference]. Moscow. 2000. Moscow, Moscow, Moscow State University of Environmental Engineering, 2002, pp. 115-118.

Напряженное состояние трансверсально-изотропного скального грунта вблизи напорного

гидротехнического туннеля коробовои формы сечения

Received June 1, 2017.

Accepted in revised form August 3, 2017.

Approved for publication September 27, 2017.

About the authors: Bautdinov Damir Tahirovich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Technical Mechanics and Construction, Russian State Agrarian University — Moscow Timiryazev Agricultural Academy (RSAU — MTAA or RSAU — MAA named after K.A. Timiryazev), 49 Timiryazevs-kaya st., Moscow, 127550, Russian Federation, damir.tt1@mail.ru;

Atabiev Umar Ishakovich — Postgraduate, Department of Hydro-technical Construction, Russian State Agrarian University —Moscow Timiryazev Agricultural Academy (RSAU — MTAA or RSAU — MAA named after K.A. Timiryazev), 49 Timiryazevskaya st., Moscow, 127550, Russian Federation, a_omar@mail.ru; ORCID: 0000-0002-1825-0097.

m

ф

0 т

1

s

*

о

У

Т

о 2

К)

В

г

3

у

о *

о

(8