Двухуровневые модели поликристаллов: приложение к анализу сложного нагружения

УДК 550.34

Двухуровневые модели поликристаллов: приложение к анализу сложного нагружения

П.В. Трусов, П.С. Волегов, А.Ю. Янц

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, 614990, Россия

Рассматриваются вопросы, связанные с применением многоуровневых моделей неупругого деформирования моно- и поликристаллов, построенных на базе физических теорий пластичности, для описания экспериментально известных эффектов, возникающих при сложном нагружении. В частности, на примере двухуровневой модели неупругого деформирования поликристаллических металлов рассматриваются эффекты запаздывания скалярных и векторных свойств при изломе траектории деформирования в пространстве Ильюшина, проверяется выполнение постулата изотропии и предлагается возможное объяснение с физических позиций эффекта запаздывания векторных свойств при деформировании по траекториям с изломами.

Ключевые слова: поликристалл, многоуровневые модели, упрочнение, определяющие соотношения, образ процесса, сложное нагружение, запаздывание векторных свойств

Two-scale models of polycrystals: Analysis of complex loading

P.V. Trusov, P.S. Volegov, and A.Yu. Yanz

Perm National Research Polytechnic University, Perm, 614990, Russia

The papers considers the application of multiscale inelastic deformation models of crystal plasticity theories to the description of experimental effects observed in single- and polycrystals under complex loading. In particular, as an example, a two-scale inelastic deformation model of polycrystalline metals is applied to describe the delay effects of scalar and vector properties under deformation with a broken trajectory in the Ilyushin space. The postulate of isotropy is verified and the delay effect of vector properties under deformation along broken trajectories is given a possible physical explanation.

Keywords: polycrystal, multiscale models, hardening, constitutive relations, process image, complex loading, delay of vector properties

1. Введение

В современных технологиях переработки материалов процессы интенсивного пластического деформирования играют весьма важную роль, особенно при получении текстурированных, субмикро- и нанокрис-таллических материалов, обладающих улучшенными рабочими характеристиками. Разработка технологических режимов интенсивного пластического деформирования требует постановки и решения соответствующих краевых задач механики деформируемого твердого тела. Важнейшим элементом постановки является формулировка (или выбор из имеющихся) определяющих соотношений. С позиций классической (макрофеномено-логической) механики деформируемого твердого тела используемые в процессах интенсивного пластического деформирования материалы относятся к средам с па-

мятью [1], реакция которых на воздействия определяется предысторией нагружения, его сложностью. Для количественной оценки последней в теории пластичности широко применяются введенные A.A. Ильюшиным понятия векторов напряжений и деформаций, траектории деформации и образа процесса нагружения [2]. Однако интенсивное пластическое деформирование относится к процессам с большими пластическими деформациями (точнее — с большими градиентами перемещений), что порождает существенные сложности построения образа процесса нагружения и формулировки определяющих соотношений [3].

С другой стороны, в последние десятилетия чрезвычайно интенсивно развиваются подходы к построению моделей материала, создаваемые на «стыке» нелинейной механики деформируемого твердого тела и фи-

© Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю., 2013

зики твердого тела [4]. Модели данного класса, часто называемые в отечественной литературе физическими теориями пластичности, основаны на введении внутренних переменных — параметров, описывающих эволюционирующую мезо- и микроструктуру поликристаллических материалов [5]. Как правило, модели рассматриваемого класса являются многоуровневыми; с обзором и классификацией современных многоуровневых моделей можно ознакомиться в [6, 7]; обзор физических теорий пластичности (т.е. моделей, в основу определяющих соотношений которых положены физические механизмы неупругого деформирования на мезо-и микроуровнях) приведен в [8-10]. Общая структура и классификация соотношений конститутивных моделей с внутренними переменными приведена, например, в [5, 11, 12].

Предлагаемая работа посвящена анализу результатов применения двухуровневой упруговязкопластичес-кой модели поликристалла к описанию некоторых известных макроскопических эффектов сложного нагру-жения, сопоставлению полученных результатов с экспериментальными данными и выявлению механизмов, ответственных за рассматриваемые эффекты.

Одной из сложных проблем теории пластичности является вопрос построения образа процесса нагруже-ния [2] в случае геометрической нелинейности, т.е. при больших градиентах перемещений. В таком случае необходимо введение подвижной системы координат, связанной с материальным представительным макрообъемом [13]. Движение этой подвижной системы координат определяется используемым способом разложения движения на квазитвердое и деформационное на макроуровне. Вопросы построения образа процесса с использованием различных способов разложения движения подробно рассмотрены в [13].

Математическая структура и соотношения двухуровневых моделей неупругого деформирования представительного объема поликристаллического материала и рассмотрение согласования определяющих соотношений соседних уровней в рамках физических теорий пластичности при использовании различных способов разложения движения (или гипотез о представлении движения) на макроуровне содержатся в [14]. В цитируемых статьях [13, 14] в качестве гипотез о разложении движения на макроуровне были приняты следующие: все движение считается деформационным (гипотеза 1); квазитвердое вращение описывается спином й, получаемым осреднением спинов элементов мезоуровня (гипотеза 2); квазитвердое вращение определяется тензором вихря, т.е. антисимметричной частью градиента скорости перемещений (гипотеза 3). Для краткости образы процесса, построенные в терминах различных способов, обозначаются индексами соответственно способу разложения движения (образы процесса 1, 2, 3).

Обсуждение полученных результатов направлено на выяснение физических причин, обусловливающих известные макроскопические эффекты, возникающие при изломе траектории деформирования (нырок напряжений, запаздывание скалярных и векторных свойств), а также на проверку известного постулата изотропии теории упругопластических процессов Ильюшина.

2. Исследование эффектов сложного нагружения

Ниже будут рассмотрены результаты некоторых численных экспериментов, полученных с использованием двухуровневой модели в рамках гипотезы 1 о разложении движения на макроуровне, т.е. при отсутствии квазитвердого вращения. Использование этой гипотезы связано с тем, что все существующие на данный момент экспериментальные данные построения образов процесса нагружения производятся в базисе условно неподвижной лабораторной системы координат, при этом они получены для малых градиентов перемещений. Ранее авторами теоретически доказана [13] неприемлемость данной гипотезы в силу невыполнения для образа процесса нагружения принципа независимости от выбора системы отсчета [1], здесь данный вывод иллюстрируется результатами численных экспериментов.

Выше говорилось, что для описания процессов деформирования металлов можно использовать макрофе-номенологические и физические теории пластичности. Большинство макрофеноменологических теорий либо создаются для конкретных процессов деформирования (например, теории для описания деформирования по траекториям малой или средней кривизны, траекторий с изломами), либо параметры существующих теорий идентифицируются вновь для каждого процесса. Это делает такие теории неуниверсальными, требующими трудоемких экспериментальных исследований для описания различных процессов деформирования одного и того же материала, что является следствием абстрагирования от физики механизмов деформирования на более низких масштабных уровнях. Физические теории пластичности, основываясь на физических механизмах деформирования, учитывающие эволюцию различных структур на мезоуровне, обладают гораздо большей универсальностью. Указанные механизмы являются одинаковыми для классов материалов, закладываются в определяющие соотношения, эволюционные уравнения для внутренних переменных и физические параметры модели. В то же время следует отметить, что использование физической теории пластичности для описания поведения рассматриваемых материалов при произвольных процессах деформирования требует предварительной идентификации ряда параметров, имеющих, как правило, достаточно ясный физический смысл.

Одним из важнейших механизмов деформирования, определяющим поведение материала на макроуровне,

является движение и взаимодействие дефектов, формирование в процессе деформирования развитой дефектной (дислокационной) структуры. В конститутивных моделях, основанных на физической теории пластичности, эволюция дефектной структуры находит отражение, в первую очередь, в так называемых законах упрочнения. Напомним, что под законами упрочнения будут пониматься соотношения, связывающие критическое сдвиговое напряжение систем скольжения с некоторым набором параметров (сдвигами, температурой, энергией дефекта упаковки и т.д.). Эти законы по своей сути отражают эволюцию мезо- и микроструктуры материала, а точнее, эволюцию дефектной структуры при упругопластическом деформировании, изменения в дислокационной структуре деформируемого материала. Изменение вида законов упрочнения (и значений входящих в него материальных констант) существенным образом влияет на результаты моделирования, поэтому в этих соотношениях важно учитывать по возможности большее число механизмов неупругого деформирования (существенных для исследуемого процесса) на микроуровне. В соответствии с [15-19] скорости изменения критических напряжений на каждой из систем скольжения полагаются равными сумме скоростей изменения сопротивления сдвигу по различным механизмам. В качестве основного закона упрочнения в указанных

выше работах использовалось соотношение вида:

( \

& £) (у ((), у(()) = G

Е а( к>(у(г))¥у (8

1=1

24

Еу' (=1

к = 1,24, ^ > 0, у(() > 0, а(() =5о,

а^^, ( * к, тСк)(0) = тСко), где а( к) — матрица безразмерных коэффициентов, причем ее диагональные члены описывают деформационное (активное) упрочнение, а недиагональные — латентное; — параметр, равный отношению модуля деформационного упрочнения к модулю сдвига; параметр в равен отношению параметров упрочнения при латентном и деформационном упрочнении; G — модуль сдвига. Соотношение (1) описывает изменение критических напряжений в системе скольжения независимо от направления деформирования (за счет образования пересечений дислокаций, жгутов, кос) при движении дислокаций в данной системе скольжения (деформационное) и за счет накопления дислокаций в рассматриваемой системе скольжения, являющихся дислокациями леса для других систем скольжения (латентное упрочнение). Показатель степени ^ позволяет учесть нелинейность процесса упрочнения. В отличие от известных законов упрочнения, в соотношение (1) в знаменатель внесен суммарный сдвиг по всем системам скольжения крис-

таллита, что позволяет учесть уменьшение плотности мобильных дислокаций с ростом суммарной плотности дислокаций во всех системах скольжения и описать известный экспериментальный факт насыщения напряжения течения при циклических нагружениях; при этом степенной показатель 8 позволяет учесть меру влияния предшествующей истории деформирования на текущие изменения дефектной структуры материала. Все приведенные выше параметры необходимо идентифицировать в экспериментах для каждого материала, что, в свою очередь, выгодно отличает модели физических теорий пластичности от макрофеноменологических, в которых параметры идентифицируются для конкретного вида нагружения и конкретного материала. В предлагаемой работе параметры модели были идентифицированы для материала сталь 40 по имеющимся данным экспериментальных исследований [20].

Очевидно, что приведенный закон упрочнения охватывает лишь малую долю механизмов упрочнения, например, не учитывает упрочнение за счет образования различных барьеров при взаимодействии дислокаций, упрочнение на границах зерен, которые являются мощным препятствием на пути движения дислокации, а также упрочнение за счет возникновения двойниковых прослоек внутри зерен, являющихся, по сути, новыми границами зерен. Однако, учитывая специфику данной работы, которая нацелена на анализ качественных эффектов, возникающих при сложном нагружении, без введения многочисленных параметров, возникающих при использовании дополнительных механизмов упрочнения, а также ввиду ограниченности объема публикации, в законе упрочнения не учитывается ряд описанных выше механизмов. С законами упрочнения, учитывающими упомянутые механизмы, читатель может познакомиться в работах [15-19].

3. Результаты

Ниже приведены результаты, полученные при использовании закона упрочнения (1). Параметры материала (сталь 40) имеют следующие значения: упругие модули п1111 = 220 ГПа, п1122 = 166 ГПа, п1212 = = 87 ГПа, G = п1212; начальные критические напряжения в системах скольжения т^{110} =0.1 ГПа, т^{120} = = 0.4 ГПа, Т0{123} = 2.4 ГПа (индексами в фигурных скобках обозначены семейства плоскостей), ^ = 0.1, 8 = = 0.8, = 4.7 • 10-3, в = 0.8. Параметры определены из решенной задачи идентификации по экспериментальным данным для поликристаллических образцов из стали 40 [20]. Параметры сначала были идентифицированы для одного вида нагружения (деформирование по Э1), далее проводилась верификация для процесса сдвига (деформирование по Э3).

Одним из основных постулатов теории упругоплас-тических процессов Ильюшина является сформулиро-

ванный им постулат изотропии в частной форме [2, 21]: для начально изотропного материала образ процесса нагружения в совмещенном пятимерном пространстве К(5) инвариантен по отношению к ортогональным преобразованиям. Данный постулат подтвержден большим количеством макроэкспериментов на сложное нагру-жение, на его основе построен ряд частных теорий пластичности. В используемой в настоящей работе двухуровневой модели не закладываются никакие априорные данные о характере нагружения (ни в структуру соотношений, ни в параметры модели). В связи с этим представляет интерес проверка выполнения данного постулата для случая сложного нагружения представительного макрообъема (макрообразца), состоящего из нескольких сотен кристаллитов, ориентация которых подчиняется равномерному закону распределения (т.е. макроскопически изотропного в отсчетной конфигурации материала). В качестве двух траекторий, отличающихся лишь ориентацией в пространстве деформаций, но с одинаковой внутренней геометрией, были взяты следующие:

растяжение вдоль оси Э1 ^

деформирование вдоль оси Э 3,

деформирование вдоль оси Э3 ^

растяжение вдоль оси Э1.

Процесс (2) соответствует деформированию по двух-звенной ломаной: вначале растяжение по Э1, затем кручение (деформирование по Э3) при постоянном Э1; аналогично, но в обратном порядке реализуется процесс деформирования (3). Отметим, что образы процес-

сов в численных экспериментах, сопоставляемых с экспериментальными данными, по умолчанию построены способом образа процесса 1, т.к. при малых степенях деформаций (<10 %) повороты кристаллитов малы, ввиду чего траектории деформации и компоненты векторов напряжений мало отличаются при разных способах построения. Однако, как будет показано ниже, при больших градиентах перемещений в зависимости от способа разложения движения на макроуровне возникают существенные различия в образе процесса.

На рис. 1 представлены образы процессов нагружения (способ образа процесса 1) для различных траекторий деформирования с изломом (2) и (3), числами у концов векторов обозначены интенсивности напряжений. В натурном эксперименте была использована сталь 40, в численном эксперименте использовались параметры материала, идентифицированные для стали 40 (на первом этапе нагружения). Для рассматриваемых траекторий были получены проекции образов процессов на плоскость Э1 - Э3, по которым можно судить о выполнении постулата изотропии, а именно: до излома траектории угол между напряжением и скоростью деформаций одинаков и близок к 0°, при этом расчетные и экспериментально измеренные модули вектора напряжений отличаются не более чем на 1 %. После излома углы между касательной к траектории деформирования и векторами напряжений и модули вектора напряжений отличаются от соответствующих экспериментально измеренных величин не более чем на 2 %. Из сопоставления длин векторов напряжений нетрудно видеть снижение (примерно на 7-8 %) интенсивности

Э3 = (2Э12/{3)102

1 2 Компонента Э1? %

399 » /387 / 370 383 400 б Сталь 40 417

" 7 / /71Г а /421

/// ш /40Э

I/// в Н /386

/у У 376 'ъ/ X 395 --- 405

А Э^Эц-10

Рис. 1. Образы процессов

напряжения течения (эффект «нырка» напряжений). Из вышесказанного можно заключить о хорошем как качественном, так и количественном соответствии векторных и скалярных свойств, установленных экспериментально и полученных в численном эксперименте.

На рис. 2, 3 приведены результаты численного и натурного экспериментов, наглядно иллюстрирующие принцип запаздывания векторных свойств. На графиках представлены зависимости угла между вектором напряжений и вектором скорости деформаций от интенсивности накопленной полной деформации. Из сравнительного анализа зависимостей можно сделать вывод о хорошем как качественном, так и количественном соответствии результатов, однако скорость стремления угла к 0° в численных экспериментах несколько отличается от регистрируемой в натурных экспериментах. Стоит отметить, что как в численных, так и в натурных экспериментах скорость стремления угла 0 к нулю практически не зависит от угла излома траектории: по истечении 1-2 % деформаций после излома графики зависимости угла от длины дуги деформации очень близки. Также видно, что скорость уменьшения угла после излома траектории зависит от угла излома: чем больше угол, тем выше скорость убывания угла между векторами напряжений и скорости деформации.

Физические причины запаздывания векторных свойств можно связать со скоростями релаксации искажений решетки, накопленных на предыдущих этапах деформирования, т.е. упругих деформаций. Очевидно, что скольжение дислокаций по системам полностью определяет неупругую составляющую деформаций представительного объема. При используемом жестком (кинематическом) нагружении неупругая составляющая вектора скорости деформаций однозначно определяет упругую составляющую. В соответствии с законом Гу-ка, вектор скорости напряжений пропорционален раз-

ности скорости полных и неупругих скоростей деформаций. На первом прямолинейном участке векторы упругой и неупругой составляющих скоростей деформаций и напряжений соосны. Если в точке излома угол поворота траектории деформации составляет 180°, то искажения решетки по моде первого участка траектории практически мгновенно (на длине дуги, равной интенсивности упругих деформаций) снимаются и решетка приобретает искажения по «противоположной» моде (например, растяжение сменяется сжатием). Если в точке излома угол отличен от 0° и 180 ° (для определенности примем его равным 90°), полная деформация по моде первого участка остается неизменной, то искажения решетки по первой моде также сохраняются, соответственно, и проекция вектора напряжений на направление первого участка отлична от нулевой. В начале второго прямолинейного участка на искажения по моде первого этапа накладываются искажения решетки по моде второго участка. В случае ортогональных мод искажения накопленные деформации решетки первого этапа нагружения (следовательно, и напряжения первого участка) могут быть устранены только за счет пластических сдвигов по системе скольжения, активируемых суммарными напряжениями первого и продолжающегося второго участка. При этом только часть пластических сдвигов, величина которых зависит от угла излома, осуществляет вклад в релаксацию искажений по моде первого участка, чем и обусловлено относительно длительное уменьшение проекции вектора напряжений на направление деформирования первого участка. На рис. 4 представлена проекция образа процесса (2) для траектории с изломом на 90°, на котором показана эволюция вектора напряжений и скорости вектора напряжений, направление которого совпадает с направлением вектора упругой составляющей скорости деформаций.

После достижения критических напряжений на системе скольжения на втором участке нагружения начинается скольжение дислокаций, в общем случае по сис-

Рис. 2. Зависимость угла между вектором напряжений и вектором скорости деформаций при различных углах излома траектории деформирования

Рис. 3. Зависимость угла между вектором напряжений и вектором скорости деформаций при различных углах излома траектории деформирования

О 1

Компонента Э1? %

Рис. 4. Проекция образа процесса нагружения (2) (способ образа процесса 1), на котором представлена траектория деформирования, вектор напряжений и вектор скорости напряжений

темам, отличным от активных систем скольжения первого участка. В случае если деформационное упрочнение превышает латентное, критические напряжения по новым активируемым системам скольжения будут ниже, чем по активным на первом участке нагружения. Это приводит к уменьшению величины касательных напряжений, соответствующих началу скольжения по системе скольжения на втором участке, — к «нырку» напряжений. В дальнейшем происходит упрочнение по активным системам скольжения на втором участке, в результате чего величина вектора напряжения также начинает расти.

На рис. 5 представлены образы процессов нагруже-ния при наложении постоянного и знакопеременного вращения на процесс деформирования (рис. 5, б, в) со «скоростью» 30° на 1 % накопленной деформации, на котором видно, что образ процесса, построенный в лабораторной системе координат, является зависимым от наложенного жесткого движения, что подтверждает полученный ранее результат теоретических исследова-

ний [13]. Следует отметить, что наложенное жесткое движение может быть произвольным, в силу чего траектория деформации может быть сколь угодно сложной. В реальных технологических процессах градиенты перемещений, как правило, могут быть весьма существенными, в силу чего квазитвердые повороты также весьма значительны и реализуются по априори неизвестным законам. Следовательно, для процессов интенсивных неупругих деформаций необходимо введение некоторой системы координат, связанной с материальными осями деформируемого объема, в которой образ процесса будет независим от наложенного движения.

К сожалению, экспериментальных данных по сложному нагружению хотя бы для умеренных деформаций (порядка 10-15 %), при которых появляются заметные ротации решеток кристаллитов, авторами не обнаружено. Как правило, трубчатые образцы теряют устойчивость при закручивании при достижении 5-6 % сдвиговой деформации. В связи с этим анализ различных вариантов разложения движения на квазитвердое и деформационное (следовательно, и способов построения образов процесса) осуществлен в численных экспериментах. Ниже на рис. 6-8 представлены результаты расчетов для различных способов построения образа процесса нагружения по программе деформирования (2) с деформированием до 25 % на каждом этапе. На рис. 6 приведен образ процесса нагружения, построенный по компонентам векторов деформаций и напряжений в базисе условно неподвижной лабораторной системы координат. Образ процесса, представленный на рис. 7, построенный в подвижной системе координат, движение которой определяется спином существенно отличается от образа процесса, построенного с помощью наиболее распространенных геометрически нелинейных соотношений, в которых используется производная Яуманна, т.е. квазитвердое вращение ассоциировано со спином W (рис. 8). Нетрудно видеть, что образ

Компонента Э1? % Компонента Э1? % Компонента Э1? %

Рис. 5. Образы процесса нагружения по программе

СП

С)

св

я 20-

а> X О

с о

« ю-

^ -1-1-1-1-1-и-

18 22 26 30 Компонента Э1? %

Рис. 6. Проекция на плоскость (13) образа процесса нагру-жения (способ образа процесса 1) по программе (2) в пространстве деформаций

процесса, построенный по способу образа процесса 2, отличается от образа, построенного по способу образа процесса 1, занимая в определенном смысле промежуточное положение между образами процессов 1 и 3.

Различия образов процесса нагружения, построенных различными способами, неизбежны при появлении поворотов. Действительно, в этом случае проявляется отличие неголономных мер деформации. В каждый момент деформирования положение базисных векторов будет различным в каждом из способов, тогда будут отличаться компоненты девиаторов деформаций, скоростей деформаций, напряжений, а следовательно, векторов деформаций и напряжений. За неимением экспериментально построенных образов процесса нагружения при больших градиентах перемещений нельзя однозначно утверждать, что предложенный авторами способ является наиболее корректным для построения образов процесса при больших деформациях. Однако,

40

0 8 16 24 32

Компонента Э1? %

Рис. 7. Проекция на плоскость Э1 - Э3 образа процесса нагружения (способ образа процесса 2) по программе (2) в пространстве деформаций

0 8 16 24 32

Компонента Э1? %

Рис. 8. Проекция на плоскость (13) образа процесса нагружения (способ образа процесса 3) по программе (2) в пространстве деформаций

как показано в работе [13], образ процесса, построенный способом 1, является зависимым от наложенного жесткого движения на представительный объем, что является нефизичным. С другой стороны, образы по способам 2 и 3 являются не зависимыми от наложенного движения, что является следствием разложения движения на квазитвердое и деформационное, при котором наложенное жесткое движение «поглощается» квазитвердым и не сказывается на напряженно-деформированном состоянии. Однако при построении способом образа процесса 3 принимается гипотеза об описании квазитвердого движения на макроуровне тензором вихря W, что, как показано в [14], накладывает жесткие ограничения на спин мезоуровня, т.е. на выбор модели ротации кристаллитов. В конечном счете, способ построения образа процесса 2 является, с одной стороны, наиболее физически обоснованным, с другой — не зависимым от наложенного жесткого движения на представительный объем, позволяя при этом выбирать на мезо-уровне любую физически обоснованную модель ротации кристаллитов.

4. Выводы

В предлагаемой работе рассматриваются результаты применения двухуровневых моделей неупругого деформирования поликристаллов к описанию известных мак-рофеноменологических эффектов сложного нагружения. Представлены результаты построения образа процесса в различных системах координат: в неподвижной лабораторной системе координат, во введенной подвижной системе координат, вращающейся со спином Я, и в подвижной системе координат, совершающей вращение со спином W. Для первого способа построения при малых градиентах перемещений показано выполнение постулата изотропии Ильюшина, для остальных способов показано существенное отличие образа процесса в

зависимости от выбранного способа построения при деформировании по траекториям с изломом. С целью изучения известных макроскопических эффектов, возникающих при изломе траектории деформирования («нырок» напряжений, запаздывание векторных свойств), проведена серия численных экспериментов и осуществлено сопоставление результатов с известными экспериментальными данными. Для случая малых градиентов перемещений показано хорошее согласование результатов моделирования зависимости угла между вектором напряжений и вектором скорости деформаций при различных углах излома траектории деформирования с имеющимися данными по деформированию трубчатых образцов, исследованы особенности запаздывания векторных свойств, подтвержден «нырок» напряжений, предложено физическое объяснение указанных эффектов.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты №№ 12-08-01052-а, 12-08-33082-мол_а_вед, 12-01-31094-мол_а, 13-01-96006-урал_а), гранта Президента РФ № МК-390.2013.1, ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (соглашение 14.B37.21.0382), Минобрнауки России в рамках Постановления №2 220 от 9.04.2010 г. (договор № 14.B25.31.0006).

Литература

1. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. - М.: Мир, 1975. - 592 с.

2. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической тео-

рии. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 272 с.

3. Поздеев А.А., ТрусовП.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластичес-

кие деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука, 1986. - 232 с.

4. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1, 298 с.; Т. 2, 320 с.

5. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель упругопластического деформирования поликристаллических материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2009. - Т. 15. - № 3. - С. 327-344.

6. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физ. мезо-мех. - 2011. - Т. 14. - № 4. - С. 17-28.

7. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели // Физ. мезомех. - 2011. -Т. 14. - № 5. - С. 5-30.

8. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 1: Жесткопластические и упругопластические модели // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2011. - № 1. - С. 5-45.

9. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 2: Вязкопластические и упруговязкопластические модели // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2011. - № 2. - С. 101-131.

10. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 3: Теории упрочнения, градиентные теории // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2011. - № 3. - С. 146-197.

11. Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория пластичности: учебн. пособие. - Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2011. - 419 с.

12. Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Несимметричная физическая теория пластичности для описания эволюции микроструктуры поликристаллов // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - № 1. - С. 1931.

13. Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Двухуровневые модели поликристаллов: о независимости образа процесса нагружения представительного макрообъема // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. -№ 6. - С. 33-41.

14. ТрусовП.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Двухуровневые модели поликристаллов: о разложении движения на макроуровне // Физ. мезо-мех. - 2013. - Т. 16. - № 5. - С. 17-23.

15. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: приложение к описанию упрочнения в поликристаллах // Вестник Тамбовского университета. Естественные и технические науки. -2010. - Т. 15. - Вып. 3. - Ч. 1. - С. 983-984.

16. Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Описание внутризеренного и зернограничного упрочнения моно- и поликристаллов // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки. -2010. - № 2. - С. 110-119.

17. Трусов П.В., Волегов П.С. Определяющие соотношения с внутренними перемещениями и их применение для описания упрочнения в монокристаллах // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12.- № 5.-С. 65-72.

18. Кондратьев Н.С., Трусов П.В. Математическая модель для описания деформирования ОЦК-монокристаллов, учитывающая двой-никование // Вычислительная механика сплошных сред. - 2011. -Т. 4. - № 4. - С. 20-33.

19. Кондратьев Н.С., Трусов П.В. О мере разориентации систем скольжения соседних кристаллитов в поликристаллическом агрегате // Вестник ПНИПУ Механика. - 2012. - № 1. - С. 112-127.

20. ГультяевВ.И. Экспериментальное исследование процессов сложного деформирования материалов на многозвенных траекториях // Межвуз. сборник «Проблемы прочности и пластичности». Вып. 67. - Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2007. - С. 95-98.

21. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1990. - 368 с.

Поступила в редакцию 25.03.2013 г.

Сведения об авторах

Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ПНИПУ, tpv@matmod.pstu.ac.ru Волегов Павел Сергеевич, к.ф.-м.н., доц. ПНИПУ, crocinc@mail.ru Янц Антон Юрьевич, асп. ПНИПУ, maximus5.59@gmail.com