ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАЗВИТИЯ ПАНДЕМИИ

DOI: https://doi.org/10.52623/2227-4383-3-45-2 УДК 004.414.23

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАЗВИТИЯ ПАНДЕМИИ

В.И. Баран, Е.П. Баран

Исследование посвящено разработке математических моделей прогнозирования заболеваемости COVID-19 с помощью средств имитационного моделирования. Методы моделирования процессов распространения инфекционных заболеваний изучаются с начала ХХ в. В классической модели SIR все население было разделено на три части: «восприимчивые - инфицированные - выздоровевшие». В 1980-х гг. в классической модели было добавлено промежуточное состояние - «зараженные, но еще не заразные». Такая модель получила название SEIR. Распространение эпидемии в обеих моделях описывается системой дифференциальных уравнений, которая решается с помощью численных методов.

В условиях коронавируса требуются существенно новые подходы для построения имитационных моделей процессов развития пандемии. В работе на основе модели SEIR («восприимчивые - зараженные, но еще не заразные - инфицированные - выздоровевшие») предложены следующие методы для разработки моделей: с длительным плато, с двумя или несколькими волнами. В качестве инструментальных средств используются средства современной среды имитационного моделирования Anylogic 8.

Ключевые слова: математическое моделирование; имитационное моделирование; SEIR; распространение инфекции; пандемия.

V.I. Baran, E.P. Baran. SIMULATION OF PANDEMIC DEVELOPMENT PROCESSES

The study is devoted to the development of mathematical models for predicting the incidence of COVID-19 using simulation tools. Methods of modeling the spread of infectious diseases have been studied since the beginning of the twentieth century. In the classical SIR model, the entire population was divided into three parts: «susceptible - infected - recovered». In the 1980s, the intermediate state - «infected, but not yet infectious» was added to the classical model. This model is called SEIR. The spread of the epidemic in both models is described by a system of differential equations, which is solved using numerical methods.

Significantly new simulation modelling approaches are necessary to forecast evolution of the coro-navirus pandemic. This study based on the classical SEIR model («susceptible - infected but not yet infectious - infected - recovered») suggests several methods for developing models: with a long plateau, with two or more waves. The modern tool used for the simulation is Anylogic 8.

Keywords: mathematical modeling; simulation; SEIR; spread of infection; pandemic.

Распространение коронавируса SARS-CoV-2 продолжается во всем мире. Математические модели распространения инфекционных заболеваний исследуются с начала ХХ в. [1]. Значительно позже, в 1980-90-х гг., появились модели SIR - «восприимчивые-инфицированные-вы-здоровевшие» и SEIR, в которую добавлен блок Exposed - «зараженные, но еще не заразные». При этом кривая, описывающая изменение во времени количества инфицированных людей, имеет один максимум и близка к кривой Гаусса [2; 4; 6]. В современных условиях процесс заболеваемости COVID-19 проходит несколькими волнами и в разных странах по-разному. Это требует разработки новых подходов к моделированию динамики заболеваемости COVID-19.

Классическая модель распространения инфекции

В классической модели для исследования динамики развития эпидемии выделяют четыре категории людей, имеющие значимость для изучаемого нами процесса:

1. Susceptible - восприимчивые к заражению люди, которые еще не были заражены вирусом.

2. Exposed - люди, находящиеся в латентной стадия заражения (они уже заражены, но еще не могут заражать других).

3. Infectious - люди в активной стадии заражения (они могут заражать других людей).

4. Recovered - выздоровевшие люди (они приобрели иммунитет к данному заболеванию) [4].

По первым буквам основных стадий развития эпидемии такую модель назвали SEIR.

Для исследования процесса рассмотрим функции, зависящие от времени t:

S(t) - количество здоровых агентов, которые могут заразиться;

E(t) - количество агентов зараженных, но еще не заразных (латентных);

I(t) - количество зараженных (в активной стадии);

R(t) - количество выздоровевших агентов.

Во введенных обозначениях динамическая модель описывается следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

dS--E dt Er

dE - E -1

dt Er lr dI - I R

IE - Ir - Rr

dR - R

ж -R

В классической модели величины Е, 1г и Rr характеризуют: скорость передачи инфекции,

скорость заболевания и скорость выздоравливания агентов.

В качестве числовых параметров обозначим:

N - общее количество агентов;

р - вероятность заражения при контакте;

о - уровень контактов агентов;

X - продолжительность инкубационного периода;

а - средняя продолжительность болезни.

Тогда справедливы соотношения:

Er -

opS (t) .

Ir -

т. 1 '

Rr -

I

Пусть болезнь начинается с нулевого пациента и передается только от человека к человеку, т.е. в нулевой момент времени имеется один агент с латентной стадией заражения, а все остальные здоровы и потенциально могут заразиться. Тогда начальные условия имеют вид:

Основные объекты классической модели распространения инфекции

a

Объект Обозначение Начальное значение Формула

Susceptible S(t) 999 999 d(Susceptible)/dt = -ExposedRate

Exposed E(t) 0 d(Exposed)/dt = ExposedRate - InfectiousRate

Infectious I(t) 0 d(Infectious)/dt = InfectiousRate - RecoveredRate

Recovered R(t) 0 d(Recovered)/dt = RecoveredRate

ExposedRate Er Infectious x ContactRate x Susceptible / TotalPopulation x Infectivity

InfectiousRate Ir Exposed/AverageIncubationTime

RecoveryRate Rr Infectious / AverageIllnessDuration

TotalPopulation N 1000 000

Infectivity P 0,6

ContactRate a 1,25

AverageIncubationTime k 10

AveragelllnessDuration a 15

Total Population

Exposed ¿nfectiousRate \lnfectious_ Recovery Rate Цн-ягегн!

/

!

ф Average Illness Du ration Average IncubationTime

Infectivity

Contact Rate

Рис. 1. Классическая модель распространения инфекции в Anylogic 8

Infectious V Susceptible 9 Exposed Recovered

Рис. 2. Графики изменения переменных S(t), E(t), I(t), R(t) в классической модели

S (0) = N -1, E(0) = 1, I (0) = R(0) = 0.

С помощью инструментальных средств Anylogic 8 построим имитационную модель, основные элементы которой представлены в таблице.

Схема взаимосвязей между объектами представлена на рис. 1.

Построенная модель позволяет графически отображать зависимости переменных S(t), E(t), I(t) и R(t) от времени t (рис. 2).

Модификации классической модели

1. Модель с длительным плато

Предположим, что на некотором промежутке времени [t t2] количество инфицированных оказывается постоянным. Тогда

dL = J0, t е [ti, t2];

dt Уг - R, t е [ti, t2].

Для того чтобы внести эти изменения в классическую модель, необходимо формулу, определяющую скорость поступления инфицированных агентов, записать в следующем виде:

time()>tj & time()<t ? 0 : InfectiousRate -- RecoveryRate, где t1 и t2 - параметры, задающие указанный промежуток времени.

2. Модель с двумя максимумами В классической модели предполагается, что величина S(t), т.е. число агентов, способных заразиться, все время убывает. В условиях коронавируса в связи с появлением нового штамма в некоторый момент времени t0 происходит резкое увеличение этой величины до своего первоначального значения. Чтобы отразить это в имитационной модели, будем считать, что скорость изменения величины S(t) изменяется по закону:

dS lb,

dt

t e[to, to + А]; -Er, të[to,to + А].

Это означает, что на промежутке времени [/0, ^ +А] происходит резкое увеличение скорости изменения величины S(t) за счет параметра Ь. Вне этого промежутка, как и в классической модели, эта величина изменяется по-прежнему.

150

100

100 120 140 1SO

130 2DO

Щ 1пТес1ю115

Рис. 3. Временной график количества инфицированных агентов в модели с длительным плато

Рис. 4. График изменения количества инфицированных агентов в модели с двумя максимумами

Заменим в исходной модели формулу, определяющую скорость изменения величины S(t) на формулу:

time()<t0?-InfectionRate:time()<t0+dt?b:

time()<150?0:-InfectionRate Кроме того, на второй волне коронавируса сгладим кривую в начале и в конце плато с помощью формулы:

(Пте()>140) & йте()<160 ? с0 : (Итв()>Ш)&ИтеО<250 ? 0 : (Ите()>250) & Ите()<270 ?-с :InfectionRate - RecoveryRate Это достигается за счет того, что скорость увеличения количества инфицированных агентов на небольшом промежутке времени перед выходом на плато предполагается постоянной равной с0, а на конце плато - -с0.

Результаты моделирования представлены на рис. 4.

3. Многоволновые модели пандемии Как видно из опыта наблюдений, волны коронавируса во многих странах повторяются, причем часто с возрастающими амплитудами. Для имитации таких процессов понадобятся многоволновые модели.

Платформа Апу^к 8 предоставляет широкий набор инструментов для имитационного моделирования [3; 7]. Для построения моделей с несколькими волнами можно предложить разные методы:

Л dS dR

1. При задании формул для —. —. — использовать периодические функции, зависящие от времени t, например:

dI

—т = а собю^ dt

где а, ш - параметры, задающие соответственно амплитуду и частоту волны.

2. Ввести в имитационную модель динами-

ческую переменную dV и связать ее следующими накопителями: Susceptible, Exposed, Recovered. Изменение переменно dV задать в виде:

= il, t G[tk, tk + А]; V [0, t ë [tk, tk + А],

где [tk, tk + А] - отрезки, на которых происходит существенное изменение одной или нескольких переменных S(t), E(t), I(t), R(t).

В имитационной модели в таком случае переменную dV можно задать формулой вида: round(time()/30)%2==0?0:1.

3. Ввести табличную функцию ç(t), задающую скорость распространения инфекции. С помощью такой функции можно задавать динамические переменные или непосредственно

dI dS dR скорости —-, ——— .

dt' dt ' dt

Рассмотренные варианты позволяют на первом этапе выбрать сценарий и построить имитационную модель развития пандемии. При этом коэффициенты модели устанавливаются на основе экспертных оценок. Затем, отслеживая статистические данные о распространении болезни, можно воспользоваться методом уточнения коэффициентов [3; 5; 7].

Таким образом, в исследовании предложены методы модификации классической модели распространения инфекции, которые позволяют строить модели с длительным плато, модели с двумя максимумами и многоволновые модели. Для построения каждой из таких моделей необходимо задать параметры, которые могут быть определены на основе статистических данных.

Список литературы

1. Григорьев И. AnyLogic за три дня: практи-

ческое пособие по имитационному моделированию. Интернет-издание. 2016. 202 с.

2. Куркин А.А., Куркина О.Е., Пелиновский Е.Н. Логистические модели распространения эпидемий // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. 2020. № 2 (129). С. 9-18.

3. Лиманова Н.И., Елуферьева Ю.С. Представление модели «хищник-жертва» с помощью средств имитационного моделирования, таких, как агентное моделирование и системная динамика // Евразийское Научное Объединение. 2019. № 9-1 (55). С. 66-69.

4. Распространение мифов в обществе: аналогии с математическим описанием распространения эпидемий / М.Н. Калимолдаев [и др.] // Проблемы информатики. 2015. № 4 (29). С.35-44.

5. Сачек Е.А. Имитационная модель СМО в среде Anylogic для прогнозирования коэффициента сосредоточенности Скрам команды // Производственный менеджмент: теория, методология, практика. 2015. № 3. С. 23-33.

6. Шогенова Е.М. Стохастическая математическая модель вирусной эпидемии // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2015. № 6-2 (68). С. 213-219.

7. Petrov S.M., Borshchev A.V. Synergetic interaction of components of rarefied comb filtration of the speech signal // International Conference Physics and Control. Proceedings. 2003. Р. 707-709.

8. Ross R. Report on the prevention of malaria in Mauritius. N. Y.: E.P. Dutton & Company, 1909. 244 р.

References

1. Grigoryev I. AnyLogic za tri dnya [AnyLogic in three days]: prakticheskoe posobie po imitatsion-nomu modelirovaniyu. Internet-izdanie. 2016. 202 s.

2. Kurkin A.A., Kurkina O.E., Pelinovskij E.N.

Logisticheskie modeli rasprostraneniya epidemij [Logistic models of the spread of epidemics] // Trudy NGTU im. R.E. Alekseeva. 2020. № 2 (129). S. 9-18.

3. Limanova N.I., Eluferyeva Yu.S. Predstavlenie modeli «khishchnik-zhertva» s pomoshchyu sredstv imitatsionnogo modelirovaniya, takikh, kak agent-noe modelirovanie i sistemnaya dinamika [Representation of the «predator-prey» model using simulation tools such as agent-based modeling and system dynamics] // Evrazijskoe Nauchnoe Ob'edinenie. 2019. № 9-1 (55). S. 66-69.

4. Rasprostranenie mifov v obshchestve: analo-gii s matematicheskim opisaniem rasprostraneniya epidemij [The spread of myths in society: analogies with the mathematical description of the spread of epidemics Problems of informatics] / M.N. Kalimol-daev [i dr.] // Problemy informatiki. 2015. № 4 (29). S. 35-44.

5. Sachek E.A. Imitatsionnaya model' SMO v srede Anylogic dlya prognozirovaniya koeffitsienta sosredotochennosti Skram komandy [The simulation model of the CMO in the Anylogic environment for predicting the concentration coefficient of the Scrum team] // Proizvodstvennyj menedzhment: teoriya, metodologiya, praktika. 2015. № 3. S. 23-33.

6. Shogenova E.M. Stokhasticheskaya matema-ticheskaya model' virusnoj epidemii [Stochastic mathematical model of a viral epidemic] // Izvestiya Kabardino-Balkarskogo nauchnogo tsentra RAN. 2015. № 6-2 (68). S. 213-219.

7. Petrov S.M., Borshchev A.V. Synergetic interaction of components of rarefied comb filtration of the speech signal // International Conference Physics and Control. Proceedings. 2003. P. 707-709.

8. Ross R. Report on the prevention of malaria in Mauritius. N. Y.: E.P. Dutton & Company, 1909. 244 p.

БАРАН Виктор Иванович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математических и инструментальных методов экономики. Чебоксарский кооперативный институт (филиал) Российского университета кооперации. Россия. Чебоксары. E-mail: vbaran@mail.ru.

БАРАН Елена Прокопьевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математических и инструментальных методов экономики. Чебоксарский кооперативный институт (филиал) Российского университета кооперации. Россия. Чебоксары. E-mail: e.p.baran@ruc.su.

BARAN, Victor Ivanovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematical and Tool Methods of Economy. Cheboksary Cooperative Institute (branch) of the Russian University of Cooperation. Russia. Cheboksary. E-mail: vbaran@mail.ru.

BARAN, Elena Prokopyevna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematical and Tool Methods of Economy. Cheboksary Cooperative Institute (branch) of the Russian University of Cooperation. Russia. Cheboksary. E-mail: e.p.baran@ ruc.su.