Проектирование робастной системы управления с неопределенной задержкой в сетевом интерфейсе

УДК 681.5.01

ПРОЕКТИРОВАНИЕ РОБАСТНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ ЗАДЕРЖКОЙ В СЕТЕВОМ ИНТЕРФЕЙСЕ

С.В. Феофилов, А.В. Козырь

Предлагается подход к синтезу робастной сетевой системы управления со случайной задержкой в контуре управления. Данный подход основан на H¥ - теории и методе ¡1 -синтеза. Задержка в контуре управления моделируется как дискретная система с неопределенным шагом дискретизации. Предложенный подход позволяет синтезировать робастные системы управления как при параметрических возмущениях объекта управления (ОУ), так и при неопределенной задержке в контуре системы. Приводится пример анализа робастной устойчивости системы управления с неопределенной задержкой.

Ключевые слова: сетевые системы управления, неопределенная задержка, ро-бастное управление.

Введение. Сетевая система управления (ССУ) представляет собой пространственно распределённую систему, где взаимодействие между датчиками, контроллером и объектом управления происходит по совместно используемой, ограниченной по диапазонуцифровой сети. В последние десятилетия такие системы управления находят применение в различных отраслях промышлености. Сетевые системы широко используются для построения управления сложными мобильными роботами, также такие системы находят применениев организации управления беспилотными летательными и подводными аппаратами, имеющими множество различных микро-приводов и датчиков, управляемыми по радиоканалу. Использование общей многоцелевой сети для коммутации распределённых элементов системы управления позволяет реализовывать гибкие архитектуры построения контура управления, снижает затраты на техническую реализацию и обслуживание таких систем. В общем виде структурная схема сетевой системы управления представлена на рис. 1. Такая система состоит из ОУ (plant), исполнительного привода (actuators), передающего воздействие на ОУ, набора датчиков (sensors), энкодера (encoder) и декодера (decoder) -оцифровывают и кодируют непрерывный сигнал с датчиков и передают через сеть информацию к контроллеру. В системе возможны задержки (delay) доступа к сети.

Методы проектирования ССУ основываются на пересечении двух теорий - теории управления и теории связи. Традиционно классическая теория управления изучает динамические системы с идеальными каналами связи, в то время как теория связи изучает передачу информации понеиде-альным каналам связи. Комбинация этих двух теорий необходима для исследования сетевых систем управления. Совместное использование сети создает целый ряд проблем перед проектировщиком системы управления.

576

Рис. 1. Структурная схема сетевой системы управления

Перечислим основные проблемы проектирования ССУ.

Канал с ограниченной пропускной способностью. Любая сеть связи может пропускать только определенное количество информации за единицу времени. Во многих приложениях это ограничение приводит к существенным проблемам в работе сетевой системы управления. Примером такой системы может служить управление БПЛА, где необходимо обеспечить скрытность радиоканала. Проектирование таких систем рассмотрено в работах [7,8].

Пропадание пакетов данных - еще одно существенное отличие ССУ от стандартных цифровых систем управления - возможность потери данных при прохождении через сеть.

Дискретизация и задержка. Для передачи непрерывного сигнала по сети сигнал должен пройти дискретизациюи быть закодирован в цифровой формат, передан по сети, и наконец, данные должны быть декодированы со стороны приемника. Общая задержка между выборкой, декодированием в приемнике и дискретизацией непрерывного сигнала может быть переменной, так как зависит от загруженности сети и внешних факторов.

Для проектирования надежной ССУ необходимо учитывать влияние сети передачи данных. В настоящее время анализу и синтезу сетевых систем управления посвящено большое количество работ. Обзор последних результатов можно найти в работе [1]. К исследованию систем управления со стохастической задержкой применяются два подхода -методы основанные на функции Ляпунова [2 - 4] и применение методов теории Н¥ [5 - 6]. Данная работа посвящена проектированию робастной ССУ с неопределенной задержкой в контуре управления на основе подхода ¡л -синтеза.

1. Проектирование системы управления

Проектирование робастной системы управления при выполнении требований на разброс параметров номинальной модели объекта управления может быть реализовано в рамках теории Н¥ и /- синтеза, где ро-

бастность системы обеспечивается по отношению к неопределенностям параметров ОУ, внешним возмущениям и шуму датчиков.

В настоящей работе будет рассматриваться устойчивость линейных стационарных динамических систем с неопределенной задержкой. Математическое описание таких систем может быть представлено в матричной форме:

dx

dt

i=1

где ti e [0,hi],i = 1,2,...,l - неопределенные константы, для которых выполняется условие hi > 0 и h > hj, для i > j, для начальных условий x(t0 + в) = ф(в),"ве [-r,0], r = maxi(ri).

Далее в качестве оператора задержки будем использовать Dr, где Drf(t) = f(t -t) для любой скалярной функции.Мы также будем считать,

d a?nxr- г< c&r xn что существует Bi em 1 и Ci em 1 такие, что выполняется условие

Ai = BiCi , Bi и Ci могут быть выбраны так, чтобы полный ранг ri = rank

Матрица

B = [Bi B2 ... Bl ], C =

Ci C2

Ci

, D = diag \hiIri, h2I

r2

hlIn }

Неопределенная система с задержкой может быть преобразована к следующей системе:

^ = Лх(1) + ^БгГг (г),

л ,=1

^ (г) = Сх(г), V- (г) = вг1г21 (г).

г 1

Такую систему можно представать в конфигурации, показанной на рис. 2. Передаточная функция номинальной системы может быть

определена из известных соотношений О^) = С- А)-1 Б

Система с неопределенной задержкой (рис.2) устойчива независимо от задержки, если и только если устойчива матрица А и

578

¿иД

и либо тД(О(0)) < 1 или/иД(О(0)) = 1, ёе^ -в(0)) Ф 0,где

О^) = С- А)-1 В и Д = diag \Ьх1п, Н21Г2, ... Н11Г1 }[2]. Синтез робаст-

ного регулятора для системы с задержкой сводится к стандартной процедуре т -синтеза. Структурная схема замкнутой системы с контроллером приведена на рис. 3.

Рис. 2. Система с неопределенной задержкой

Рис. 3. Стандартная конфигурация для синтеза робастного регулятора

На рис. 3 М = О11Т + О12ТК(I - О22Т К)-1О21Т,

О

11

Т

0 0 0

Ж3О 0 0 - ЖхО - Ж\ Ж\

Г Ж2

; О12Т = Ж3О

V-^1О ,

О21 =(-О -1 1) О21Т =-О.

Определение весовых функция Щ,Ж2,Щ рассмотрено в работе [3]. Проектирование регулятора основывается на выполнении условия (2).

579

2. Основной результат

В настоящей работе предлагается распространение методологии синтеза робастной системы на класс линейных стационарных систем с параметрической неопределенностью в объекте управления и работающих в замкнутом контуре со стохастической задержкой. Предполагается, что известны диапазон и закон распределения задержки.

Математическую модель линейной системы с неопределенной задержкой и параметрическими возмущениями в параметрах ОУ можно записать в следующем виде:

) = (Лх(1) + ДА) х(1) + X (Е. + Щ) х(г -т.),

dt

•=1

где ДА и ДEi - параметрические возмущения параметров ОУ. Пусть Е + Щ факторизованы как В1 (Д. )С (Д.) где Вг е%пщ и С хп. Систему можно записать в следующем виде:

^ = (Лх() + ДЛ + £ (Ег + ДEi)) х^) + ХВУ1 (}), dt

•=1

•=1

Zi ^) = Сгх^), V ^) = (вп -1)I*. ъ ($).

Систему с неопределенной задержкой и параметрическими возмущениями в ОУ можно представить в стандартной форме (рис. 4).

Рис.4. Система с задержкой и параметрическим возмущением

На рис. 4

Г сЛ

^ - Лс)-1(В0 М1) +

^0 М2^

V N2

0

обозначим Б^) = diag((е ^ -1)I* , • • • ,(е г'л -1)I* ). Задача робастной устойчивости параметрически возмущенной системы с задержкой может

быть п

г

Ф

Р.

Для робастной устойчивости такой системы должно

эеобразована в эквивалентную задачу устойчивости системы

Б^) 0ПЛ

0 Д выполняться условие (2).

Структурная схема замкнутой системы представлена на рис. 5. Используя данную структуру можно синтезировать контроллер Ккоторый

будет стабилизировать неопределенную систему с задержкой в контуре управления.

Рис. 5. Структурная схема замкнутой системы управления

На рис. 5 О(£) - номинальный линейный ОУ, Кпроектируемый контроллер, блок А^ - моделирует неопределенную задержку в контуре управления, А и - параметрическое возмущение ОУ. ОУ можно представить в пространстве состояний

О( =

А

Сх

С2

Сз

С4

Вх Во в в,

'2

з

4

Ах А2 Аз

В21 В22 В23

В31 В32 В33

В41 В42 В43

Вх4

В24

В34 В44

А а = diag В 1Г[, БГ1 ¡Г1,..., БГ11Г1}, Аи = А 2,..., Аk }.

Таким образом, задача сводится к стандартной структуре ¡т-синтеза. Используя полученные условия робастной устойчивости систем с неопределенной задержкой и программный продукт МаИаЬ, можно спроектировать стабилизирующий контролер К.

Пример. Рассмотрим анализ устойчивости для системы второго порядка с неопределенной задержкой времени и параметрическим возмущением в модели ОУ:

ск

2 + 1.65х 0

0

1 + 0.0552

х(г) +

X + 0.153 - X

0

X + 0.354

х(г - g).

Здесь 81, i = 1,...4 - неизвестные постоянные, причем выполняются условия

|£х| £ 1, i = 1,...4. Необходимо определить максимальное значение задержки

И , при котором система остается устойчивой. Исследуемую систему можно переписать в следующем виде:

Ж

- 3 +1.65! + 0.153 0

-1 - 2 + 0.0552 + 0.354

1 0

х(7) +

-1 + 0.153 0 -1 -1 + 0.354

и (7),

У(7) =

01

).

Структурную схему исследуемой системы преобразуем к виду рис. 6.

Найдем Р =

Р =

-3 +1.65 + 0.15 -1 1 0

Рис. 6. Структура системы

+ Д[#1 N2 ], -1 + 0.15

" А в' " М1"

+

С Do _ _ М2 _

ч

с

0

-2 + 0.055 + 0.354

0 1

'М1 М„

-1 0 0

0

1 + 0.354 0 0

В0 А

+

+Д[ N1 N2 ],

"- 3 0 -1 0" "1.6 0 0.1 0 " "51 0 0 0" "1 0 0 0"

-1 - 2 -1 -1 0 0.05 0 0.3 0 5 0 0 0 1 0 0

Р = + а

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 1 0 1 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 54 _ 0 1 0 1

Структурная схема такой системы представлена на рис. 4 с неопределенностью Г = diag((е--1)12, 5^, 52,53,54), причем £ 1. Пусть

Ь(ф) =

diag(2Бт—12,/4), 0 <ф£Р 2 2 4 Н

diag (212, /4),ф>

Р

Н

обозначим М(/щ) = ЬР(^. По условию (2) необходимо определить структурированное сингулярное число системы тА (ЬР(^)). Связанная неопределенность Г состоит из вещественных и повторяющихся комплексных чисел. Для такого так называемого «смешанного» значения т мы можем получить верхнюю границу

тА (М) £ М шт{£: М* ЯМ + / (ОМ - М*О) - В1 Я £ 0},

ЯеБ В

где

В = \diag(В,ах,а2,а3,а^): Ве С2х2, *

В = В > 0, е Я, г = 1,...,4}

Результат показан на рис. 7. Таким образом, система будет устойчива при задержке И < 1.715.

1.0 0.9 0,8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 ,

10 10° 10'

Рис. 7. Верхняя граница ц.^{ЬР{<я))

Заключение. В работе был рассмотрен метод синтеза регулятора для сетевых систем управления. Предложенный подход основан на Н ¥ -теории и методе т -синтеза. Такой метод позволяет проектировать регуляторы, стабилизирующие системы с неопределенной временной задержкой, принадлежащей определенному множеству значений. Данный результат легко обобщить на класс систем, содержащих также параметрическую неопределенность в объекте управления. В дальнейшем данный подход можно также распространить на проблему случайного выпадения пакета данных, проходящих через сеть.

Данная статья выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России в рамках проекта 2.3121/ГЗ "Параллельные полумарковские процессы в системах управления мобильным роботом".

583

Л = 1.715

Список литературы

1. Luckand R., Ray A. An observer-based compensator for distributed delays // Automatica. 1990. 26(5). P. 903-908.

2. Astrom K., Bernhardsson B. Comparison of Riemann and Lebesgue sampling for first order stochastic systems // Proc. of the 41th Conf. on Decision and Contr. 2002. Vol. 2. P. 2011-2016.

3. Fridman E., Shaked U. A descriptor system approach to Ида control of linear time-delay systems // IEEE Trans. on Automat. Contr., 2002. 47(2). P. 253 - 270.

4. Kozin F. A survey of stability of stochastic systems // Automatica. 1969. 5. P. 95-112.

5. Nilsson J., Bernhardsson B., Wittenmark B. Stochastic analysis and control of real-time systems with random time delays // Automatica. 1998. 34(1). P. 57-64.

6. Zhang W., Branicky M.S. Stability of networked control systems with time-varying transmission period // Allerton Conf. of Communication, contr. and computing, Urbana, IL, 2001.

7. Walsh G.C., Ye H., Bushnell L. Stability analysis of networked control systems // IEEE Trans. on Contr. Syst. Tech., 2001. 10(3) P. 438-446.

8. Zhang W., Branicky M.S., Phillips S.M. Stability of networked control systems // IEEE Contr. Syst. Mag., 2001. 21(1). P. 84-99.

Феофилов Сергей Владимирович, д-р техн. наук, профессор, svfeofilovamail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Козырь Андрей Владимирович, аспирант, Kozyr_A_Vamai.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

DESIGNING THE ROBUST CONTROL SYSTEM WITH UNCERTAIN DELAY IN THE

NETWORK INTERFACE

S. V. Feofilov, A. V. Kozyr

An approach to the synthesis of a robust network control system with a random delay in the control loop is proposed. This approach is based on H ¥ - theory and J- synthesis method. The delay in the control loop is modeled as a discrete system with an undefined sampling step. The proposed approach makes it possible to synthesize robust control systems in both parametric disturbances of the control object and with an indefinite delay in the circuit of the system. An example of an analysis of the robust stability of a control system with an indefinite delay is given.

Key words: network control systems, indefinite delay, robust control.

Feofilov Sergey Vladimirovich, doctor of technical sciences, professor, svfeofilova mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Kozyr Andrey Vladimirovich, postgraduate, Kozyr_A_ Vamail. ru, Russia, Tula, Tula State University