О бесконечно малых Р-деформациях поверхности

ИЗВЕСТИЯ

IZVESTIA

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO

PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA

IMENI V.G. BELINSKOGO

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

ПГПУ

PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

№26 2011

УДК: 514.764.258

Федченко Ю. С. — О бесконечно малых Р-деформациях поверхности // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 282—287. — Работа посвящена исследованию бесконечно малых (ин-финитезимальных) геодезических деформаций поверхностей. Для таких деформаций поверхностей найдена новая форма основных уравнений, которая представлена через тензорные поля производной вектора смещений. Изучены бесконечно малые геодезические деформации минимальных поверхностей. Ключевые слова: поверхность, бесконечно малая деформация, бесконечно малая геодезическая деформация

Fedchenko J. S. — About infinitesimal Р-deformations of surfaces // Izv. Penz. gos. pedagog.

univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 282—287. — The infinitesimal geodesic deformations of surfaces are investigated in the article. For such type of deformations of surfaces the new form of the basic equations which obtained from the tensors’ fields of the derivation of the displacements vector are found. The infinitesimal geodesic deformations of minimal surfaces are studied.

Keywords: surface, infinitesimal deformation, infinitesimal geodesic deformation of a surface

Рассмотрим поверхность S класса C3 в евклидовом пространстве E3 с векторно-параметрическим

- вектор смещения, £ - малый параметр, а щ, и - соответственно касательные и нормальная компоненты вектора смещения.

Бесконечно малая геодезическая (проективная) деформация (б.м. Р- деформация) по определению сохраняет на деформированной поверхности "в главноммгеодезические кривые, т.е. для каждой геодезической кривой поверхности Б ее образ на Бе является кривой, которая с точностью до членов второго порядка относительно малого параметра £ удовлетворяет дифференциальные уравнения геодезических кривых [2, 3].

1. Введение.

уравнением r = r(x1,x2) и ее деформацию SE:

rE = r(x1, x2) + eU(x1, x2),

где

В работе [2] найдены основные уравнения таких деформаций, показано, что в Е3 б.м. Р-деформации допускают поверхности Лиувилля и только они.

В данной статье для б.м. Р-деформации поверхностей найдена новая форма основных уравнений. Показано, что минимальные поверхности допускают б.м. Р-деформацию. Для таких поверхностей выписаны компоненты производной вектора смещения в явном виде.

2. Новая форма уравнений б.м. Р- деформаций поверхностей

Для б.м. Р-деформации [2] имеют место основные уравнения

Р- = М- + Ь

где символ Кронеккера, Р, = ¿Г,- вариация символов Кристоффеля, Ь = д^ф- некоторый градиентный ковектор, ф - некоторая (опорная) функция ковектора. Все индексы здесь и далее независимо принимают значения 1, 2.

Б.м. Р-деформации, для которых ф* = 0, называются аффинными; будем их считать тривиальными Р-деформациями.

Учитывая деривационные уравнения поверхности

V, й = Ъ, п, П = -Ъага

получаем, что производная вектора смещения имеет вид

й = Т^т а + Тп,

Тк = ViUk - Ъки,

Т = д^и + Ъik ик.

Здесь Ъ, - коэффициенты второй квадратичной формы, Ъ^ = Ърада7, д1к - тензор, взаимный с метрическим, поверхности Б, V-ковариантная производная относительно метрической связности поверхности. Условия интегрируемости уравнений (3) дают следующие соотношения:

V,Тк -ViTk = Ък% - ЪкТ,

ТкЪк, - ТкЪы = ViTj - V,%.

Вариации метрики и аффинной связности при б.м. деформации имеют следующий вид [1]:

¿gij 2£к Vjи^ + ^ги, 2 и Ък,

Srij — gah

Лемма. При любой б.м. деформации вариацию символов Кристофелля можно представить через тензорные поля Tk, Ti:

srhj — ViTjh - Tjbh + Tabijgah.

Доказательство. Через компоненты вектора Ui вариации коэффициентов первой фундаментальной квадратичной формы выражаются в виде

2eij — Ta gaj + Tj gai.

Продифференцируем (11) ковариантно по хк получим, что

2V к £гі = V к Та даі + V кТа даі.

Меняя индекы, имеем

2Vі Єіа = 'V і тв два + V і Тв д^і,

І^іЕіа = V' іТвдва + іТвдві ,

2 V' а^іі = аТі дві + аТв дві.

Найденные выражения подставим в (9). Получаем, что

26Г% = дак(VіТвдва + V іТвадві + V^два + V {Твадві - VаТгвдві - VаТ3вдві).

На основании

Vі Тк = VТ + Ьк Ті - Ьк Ті,

Vі Тв = V аТв + ЬвТа - ЬОТі,

VіТв = VаТі + ьвТа - ЬІТі.

Тогда вариация символов Кристоффеля примет вид (10). Лемма доказана.

Теорема 1. Для того, чтобы б.м. деформация поверхности Б класса С3 была геодезической, необходимо и достаточно, чтобы тензорные поля Тк, Ті, представляющие производную вектора смещения, (3), и опорная функция ф удовлетворяли систему таких уравнений:

\7-Тк— V Тк = ЬкТ- —ЬкТ-

у зТі у іТі ~ Ьі Ті Ьі

ТікЬкі - ТкЬкі = ^ іТі - Ч іТі;

V іі - Ті % + ТаЬцдак = фіб^ + фібк;

фі = діф.

Доказательство. Необходимость. Пусть деформация-геодезическая. Тогда из условия геодезичности (2) и выражения для вариации символов Кристоффеля (10) получим, что V іТк-ТіЬк+ТаЬіідак = ф5+фі5к. Последнее уравнение вместе с условиями (6), (7) и образуют систему (12).

Достаточность. Пусть тензорные поля Тік, Ті, представляющие производную вектора смещения (3), и опорная функция ф удовлетворяют систему уравнений (12). Учитывая представление вариации символов Кристоффеля (10), из уравнения (12)з следует (2), то есть деформация-геодезическая. Выполнение условий (12)і, (12)2 гарантирует нахождение вектора смещения.

Теорема доказана.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Для того, чтобы б.м. деформация поверхности Б класса С3 была геодезической, необходи-

0 ав

мо и достаточно, чтобы тензорные поля Т , Та и опорная функция ф, представляющее производную

— (0ав _

вектора смещения и і = сіа Т - § фсав + сі_с“в г в+сіаТ ап, удовлетворяли систему следующих урав-

0 ав

Ьав Т + VaTa = 0;

V Т -ТаЬіадкк = іфіскк + фасак5к;

фі = діф.

Доказательство. Необходимость. Пусть деформация-геодезическая. Введем к рассмотрению дважды контравариантный тензор Тіі и контравариантный вектор Ті с помощью формул

Tгз — с<*ігрз tі = сагТ

Тогда

Tß — с Тaß Т — с Та

Т i — сгаТ 7 -‘-г — сгаТ ч

Cij-дискриминантный тензор, сij — giagjßс^ и система (12) приобретет вид

V аТak — ЬкаТa = 0; baß тав + VaTa = 0;

CjßViTßh + Тв (—bh Cjß + Caß gahbij) = фгб'У + Фз 5h;

Фг = дiф.

Свернем третье уравнение системы с cjk и учтем, что ciacje = 5j5в — 5е5a. Получим, что

ViTkh — Tj bij gkh = Ф^к + Фз cjk5h и тогда система уравнений (16) примет следующий вид:

V a Tak — bkaTa = 0;

baß Tae + V aTa = 0;

ViTkh — Tabiagkh = фichk + ф^ 5h;

Фг — дгф.

В (17)з положим h — i и получим, что

Пусть

V aTka - Тabka — 3фас .

0 kh

тkh —т +^kh,

где Т =Т , М - некоторая функция. Тогда систему (17) запишем в таком виде:

ak

ka

Va Т -bkaT

0 aß

1/ сак '

/ас ,

kh

baß Т +V aTa — 0;

Vi т -тabiagkh + /гсkh —

фі<^к + фа.су'к Sh;

Фг — дгф.

Используя (19), уравнение (18) можно представить в виде

ka

V a Т +/ас- - b%Ta —Зфас^ .

Сравним (21) с (20) і и получим, что ^ь = — 2Фь или, после интегрирования,

3

ц = — — ф + сі, сі — const.

Таким образом, при б.м. Р-деформации тензорное поле Тав всегда можно представить в таком виде:

тaß — Тaß + (сі - 2 ф) с^.

Учитывая (22), система уравнений (20) примет следующий вид:

о ak

Va T -bkaTa

0 ав

< Ьав T + VаТа

0 kh

Vi T -Tabiagkh

Фг

В (23)з положим k = i. Получим, что (23)i является следствием (23)з, а система основных уравнений геодезических деформаций имеет вид (13). При этом производная вектора смещения имеет вид

оав в \ _

T ) Гв + Cia Tan =

= Cia ^T - 3Фсав + CiCa^j Гв + CiaTan.

0 ae

Достаточность. Пусть на поверхности S существуют тензорные поля T , Ta и опорная функция ф, которые удовлетворяют систему уравнений (13). Пусть

оij .. ( 3 \ ..

T = Tij + (-ф - сЛ cij.

0 ak

В уравнении системы (13)2 положим k = i и получим следствие: V a T -baTa = |фacak. Подстав-

0 ij

ляя в последнее уравнение и уравнения системы (13) найденные выражения для T получаем систему (17). Согласно [1] уравнения (17)i, (17)2 эквивалентны уравнениям (12)i, (12)2. Используя (14), из уравнения (17)з получим (12)з. Итак, по теореме 1, деформация является геодезической. Теорема доказана.

3. Пример.

Рассмотрим минимальные поверхности (H = 0). Для таких поверхностей при соответствующей параметризации в линиях кривизны

gii = g22,gi2 = bi2 = °

bii = -b22 = const = a, b1 = —b2-> b2 = b2 = 0. gii = gii(x1).

U i

T afî-

re + Ci,

T an

C

C

3 J cak

2 Vу a*- i

2 JiCkh + JaCak8hi\

diJ.

Г11 — Г 1 2 — —Г22 — ô dx1 ln1;

Г 1 2 — ГІ2 — -ГІ 1 — 0,

g21 — g22 — —,

gn

c11 — c22 — 0,c12 — — — —.

y/g gu

Проверкой можно убедиться, что для таких поверхностей частным решением системы (13) есть

о11 о22 о1- С2

T —T —0,т —2,

22

12

Т1 =0,Т2 = 22 ВХ1 дії,

2a

Ф = С2діі — 2сз, с2, сз — const.

Таким образом, минимальные поверхности допускают нетривиальные б.м. Р-деформации. Тривиальный случай получим при с2 = 0. В частности, для катеноида (минимальная поверхность вращения) с векторно-параметрическим уравнением

r =

тензорные поля и опорная функция б.м. Р-деформации будут иметь следующий вид:

0іі 022 0і2 c2 T =T =0,т = 2,

Ті =0,Т2 = — с2 sh2u, ф = c2ch2u — 2сз, с2, сз — const.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Безкоровайна Л.Л. Ареальні нескінченно малі деформації і врівноважені стани пружної оболонки. Одеса: Астропринт, 1999. 168 с.

2. Гаврильченко М.Л., Киосак В. А., Микеш Й. Геодезические деформации гиперповерхностей рима-новых пространств//Известия высших учебных заведений, 2004, № 11(510). С. 23-29.

3. Радулович Ж., Микеш Й., Гаврильченко М. Л. Геодезические отображения и деформации римановых пространств. Одесса, Оломоуц, 1997. 127 с.