Математическая модель рабочих процессов прямозубого роторного насоса

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012

УДК 621.512:65:656.1 В. Е. ЩЕРБА

В. В. ШАЛАЙ Р. Т. ФАЙЗУЛИН В. Р. ВЕДРУЧЕНКО А. В. ГРИГОРЬЕВ

Омский государственный технический университет

Омский государственный университет путей сообщения

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАБОЧИХ ПРОЦЕССОВ ПРЯМОЗУБОГО РОТОРНОГО НАСОСА

В работе рассмотрены вопросы математического моделирования рабочих процессов прямозубого роторного насоса. В основу математической модели процессов положены уравнение Бернулли, закон Г ука, законы сохранения массы, энергии и динамики движения. Описываются методы расчета утечек и перетечек жидкости в рабочих полостях роторного прямозубого насоса. Приведены результаты сравнения индикаторных диаграмм, полученные расчетным и экспериментальным путем.

Ключевые слова: рабочие процессы, математическое моделирование, прямозубый насос, роторный, индикаторная диаграмма.

Наличие большого разнообразия машин объемного действия, в первую очередь, связано с огромным количеством использующих их отраслей промышленности. Значительную нишу среди агрегатов данного типа занимают гидромашины объемного действия.

Объемные гидромашины представляются большим количеством конструктивных исполнений. Самыми известными гидромашинами объемного действия являются поршневые насосы.

Несмотря на давность начала применения, поршневые насосы и в наши дни являются широко распространенными машинами, использующимися для перемещения жидкости. Они характеризуются возможностью создания высоких давлений, тихоход-ностью при высоком значении коэффициента подачи, сравнительно низкими массогабаритными характеристиками и плохой равномерностью подачи. Также насосам данного типа присуща большая высота самовсасывания; высокая эффективность работы (обусловлена высоким значением механического КПД) и возможность перекачивания агрессивных и загрязненных жидкостей.

Альтернативой поршневым насосам являются роторные гидравлические машины. Конструктивное исполнение большинства роторных насосов проще, чем поршневых, вследствие чего они имеют сравнительно небольшую стоимость. Благодаря тому, что в роторных машинах происходят одновременно процессы нагнетания и всасывания, т.е. после вытеснения одной порции жидкости сразу же начинается процесс вытеснения в напорную линию следующей порции жидкости, подача машин данного типа сравнительно равномерна. Также роторные насосы отличаются быстроходностью, их частота вращения обычно находится в пределах 2 000 — 5 000 мин-1, причем нижний предел соответствует более крупным насосам, а верхний — насосам малой производитель-

ности. Благодаря своей быстроходности, роторные насосы имеют малую удельную массу и объем, приходящиеся на единицу мощности.

Отсутствие клапанов (особенно — на линии всасывания) позволяет роторному насосу перекачивать жидкости в широком диапазоне вязкости.

Несмотря на развитие конструкций роторных насосов, одними из наиболее распространенных и простых по устройству, остаются всем известные шестеренные насосы внешнего зацепления. Данный тип насосов получил большое распространение, благодаря наиболее простому исполнению из всех конструктивных решений, имеющихся на сегодняшний день. Кроме того, шестеренные насосы имеют бесспорные достоинства по сравнению с остальными типами насосов по удельным габаритным и весовым характеристикам, надежности, дешевизне изготовления и простоте обслуживания. Однако насосы данного типа имеют и серьезные недостатки. По сравнению с большинством других гидравлических машин этот насос обладает малым кавитационным запасом, то есть имеет малую высоту самовсасыва-ния. Проблема точного изготовления зубчатого зацепления ограничивает ширину роторов и, как следствие, — производительность насоса. К тому же работа шестеренного насоса характеризуется пульсирующими подачей и давлением.

Недостатки обоих типов насосов, как шестеренного, так и поршневого, существенно ограничивают сферу их использования. Таким образом, появляется задача разработки конструктивного решения, способного не только устранить недостатки простейшего шестеренного насоса внешнего зацепления, но и объединить преимущества конструкций шестеренного и поршневого насоса. Т. е. новое техническое решение должно обладать достоинствами шестеренных и поршневых насосов и лишено большинства имеющихся у них недостатков.

N ^ N «ч. / го с* 1 1 ' йш 10 , ^ _ ✓

- і ^

Рис. 1. Расчетная схема к математической модели прямозубого роторного насоса: А — полость всасывания; В — полость нагнетания

Ввиду вышесказанного, вопрос поиска и подготовки к реализации новых технических решений, ликвидирующих недостатки известных машин, является актуальной задачей.

В результате информационного поиска была обнаружена конструкция роторной машины, описание которой позволяет предположить в ней одновременно преимущества роторного и поршневого насосов [1]. Авторами конструктивной схемы такой насос назван прямозубым. Однако в технической литературе не оказалось описания каких-либо исследований такого насоса и отсутствовали методики расчета его характеристик, без чего невозможно произвести даже начальную стадию проектирования на уровне хотя бы технического задания.

Экспериментальные исследования, как возможность изучения рабочих процессов новых машин путем макетирования, ввиду больших затрат зачастую затруднены, и вопрос исследования решается в пользу математического моделирования. Следовательно, моделирование является одной из основных процедур научного метода приобретения знаний и опыта.

Для эффективного решения задачи по созданию и исследованию прямозубого роторного насоса, на основании существующих методик по математическому моделированию рабочих процессов поршневого насоса [2] была разработана и реализована математическая модель рабочих процессов прямозубого роторного насоса.

Перед созданием математической модели прямозубого роторного насоса были приняты следующие основные допущения: распределение давлений в рабочих полостях однородно, давление во всасывающей и нагнетательной магистралях постоянно, течение жидкости в конструктивных зазорах ламинарное, детали и соединения насоса обладают достаточной жесткостью, рабочее тело представляет собой сжимаемую капельную жидкость, подчиняющу-

юся закону трения Ньютона и закону Гука, давление в рабочей камере равно давлению во всасывающей магистрали в момент размещения зуба ротора в отверстии уплотнительного диска.

Расчетная схема прямозубого роторного насоса показана на рис. 1.

Давление в рабочей полости насоса в процессе сжатия определяется по закону Гука, выражение которого в интегральной форме:

Р, = Ро + Еж 1п У .

где Еж — объемный модуль упругости жидкости; р0, У0 — начальные значения давления и объема рабочей полости цилиндра; р,, Уі — текущие значения давления и объема рабочей полости цилиндра.

Изменение объема рабочей камеры прямозубого роторного насоса в процессе сжатия обусловлено тремя основными причинами: кинематикой механизма машины ((іУкшнІ), утечками рабочего тела

N1 N 2

(І йУа1) и его притечками (І йУт). Изменение

,=і ,=і

объема жидкости, находящегося в каждый 1-тый момент времени в рабочей камере насоса, определяется уравнением:

йУ, = йУ кшн, -І йУ о, -£ йУ т,.,

І = 1 І = 1

где йУкшн = (Я - г)  В  уц м  йх, Я — радиус цилиндра; г — радиус ротора; В — ширина ротора; Уцм=Я ю — скорость центра масс зуба ротора; йх= й ф/ю — элементарный промежуток времени; N1, N2 — соответственно число стоков и источников рабочего тела.

Изменения объема жидкости в процессе сжатия, для прямозубого насоса учитывая (2), определяется по выражению:

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012

йУ; = йУ„„„; -

dm1 + dm5 + dm7 + dm9 + dm11 + dm13 йт4

Р

Р

где р — плотность жидкости.

Элементарные массы жидкости dm12 и dm34, прошедшие через распределительные органы, а также йт78, перетекаемая из полости нагнетания в полость всасывания и обратно в общем случае определятся, как:

dm1X3Л78S = т№\12Лр~р^,

d Л с- с-

dm --------------= г + г + г + г ,

^-“прив dt2 V 1 '-'д'

тпрПг=т3о+1/3-тпр

^5,6 = Р

+Р

,12цж 1*

(* - Г )8Г АРн- - ±

12Ц ж Т

2

(* - г)8

х +

2

х+

+Р

83 АРн - - NЬ

12т ж

•X

г =1 1

dm = р Вщ8° 9Д1Д3 р 12тщ

АРн

- • dх,

где В„

г-тая ширина щели между корпусом и

где т — соответствующий коэффициент расхода всасывающего окна, нагнетательного клапана, щели между уплотнительным диском и цилиндрической поверхностью ротора; Др — соответствующий перепад давления между рабочей полостью насоса и линией всасывания, на клапане, между полостями нагнетания и всасывания; ю — площадь поперечного сечения окна всасывания, прохода в щели клапана, проходного сечения щели по линии касания уплотнительного диска и ротора.

Площадь прохода в щели клапана юкл=^клИкл величина переменная, зависящая при постоянном значении диаметра тарелки клапана dкл от текущей высоты подъема запорного органа клапана, которая определяется из уравнения динамики запорного органа:

уплотнительным диском; Дрнуд — перепад давления между полостью нагнетания и полостью крышки уплотнительного диска; 1ср1 — г'-тая средняя длина соответствующей щели зазора; 8В — зазор между рабочей полостью насоса и уплотнительным диском.

Средняя длина щели 1ср1 определяется из равенства S1=S2 по схеме (рис. 2) и для ее нахождения необходимо определение расстояния с.

В результате всех преобразований выражение для определения 1ср1 средней длины приобретает вид:

У*У-д - В

2В,„

— - аггат..Ь-------

-1,

уд-

->2

радиус уплотнительного диска, Вщ1 =

где *

= л/*2 - г* — ширина рассматриваемой щели, 1

расстояние от оси диска до конца цилиндра, 1ср1 — средняя длина щели.

Средние длины зазоров, через которые жидкость утекает из рабочих полостей, находятся из нижеприведенных выражений:

! =

приведенная масса запорного органа; тзо — масса запорного органа; тпр — масса пружины запорного органа; г , г , г , г — сила

-ГУ ± ± пр с' д

давления жидкости, усилия пружины, сопротивления среды и тяжести приведенной массы соответственно.

Расчет утечек элементарных масс жидкости dm5 6 производится путем разделения на утечки: через радиальный зазор между зубом и цилиндром, через торцовый зазор отдельно между цилиндром и зубом и между ротором и цилиндром, и в конечном итоге определятся по выражению:

2В„.

л/*2.д - (1 - Вщ2)2 -V*У.д. - 1

С81ПЛ——--------------агс81п-——----

*у.д. *у.д.

+ 5-

2Вщ2

1 =^

= У*у.д. - Вщз

ср3

—

2Вщ

---агс81п. 1 -

2

щ3

-В

щ2 ‘

Расчет процесса нагнетания осуществлялся по уравнению Бернулли для двух сечений 1-1 и 11-11 рис. 3. С учетом того, что р1 = р{, Р2 = Рнаг, а также принимая нестационарный характер и турбулентный режим течения рабочего тела (а 1 = а 2 »1), давление в процессе нагнетания определится по выражению:

Рi = Рнаг + Рд(г2 - г1) + Р

2 2

+ рд

где тж — коэффициент динамической вязкости жидкости; Дрн - — перепад давления между полостями нагнетания и всасывания; 1* = 2*огс8т(Т/2*) — длина радиального зазора; Т — толщина зуба; V* =*ю — окружная скорость вращения зуба ротора; 8*, 8Т — радиальный и торцовый зазор соответственно; Ь, 11 — ширина и длина г'-того участка торцового зазора, который разбивается на N частей.

Утечки через зазор, образованный рабочей полостью насоса и уплотнительным диском, представляют собой сумму утечек dm9l dm11 и dm13.

Значение утечек dm9, dm11 и dm13 можно вычислить по выражению:

где р1, г1, v1 — давление, геометрическая высота центров тяжести и скорость жидкости в сечении 1-1; р2, х2, v2 — давление, геометрическая высота центров тяжести и скорость жидкости в сечении 11-11; а1, а2 — соответствующие коэффициенты Кориолиса; ДЛ1, ДЛ^, ДЛин — потери напора по длине; потери напора, обусловленные местными сопротивлениями; инерционные потери напора соответственно.

Геометрическая высота центров тяжести г2 является постоянной величиной и определится по геометрическим параметрам насоса. Высота и1 определится по выражению:

I

1

2

2

*

у д

2

2

2

*

уд

+

2

*

уд

ц.м

Г 2

2 Л

V

2

+

Рис. 3. Схема расчета процесса нагнетания насоса:

1 — корпус насоса; 2 — ротор; 3 — торцевая крышка; 4 — нагнетательный клапан; 5 — уплотнительный диск

Zi = 2 [

Значение потерь напора по длине ДЛ; определялось на основании уравнения Дарси-Вейсбаха следующим образом:

л, л I v

Ah. = л----------------,

' d3m 2g

Ah

= X — =

2g

wi <o3 e

2

2g

закон сохранения массы и получено следующее выражение:

о2

(dm5 + dm7 + dm9 + dmii + dmi3) ra2pdt

где 1 — коэффициент потерь на трение по длине, в общем случае являющийся функцией числа Рейнольдса и относительной шероховатости; 1 = *ср (2— -- а - ф) — длина рабочей камеры, завися-щая от угла

. 2 (* - г)В

поворота ротора; аэк- = 2----------- — эквивалент-

эк- (* - г) + В

ный диаметр рабочей камеры; v= v1 — скорость потока жидкости.

Потери напора при внезапном сужении могут быть определены по формуле Борда:

где v1 = ю*ср — скорость центра масс сечения 1-1 зуба ротора; ю — угловая скорость ротора.

В роторных насосах инерционные потери напора, в отличие от поршневых, в общем случае складываются из потерь напора поступательного ДЛа и вращательного движений ДЛщ. Так как ю = соп81, инерционные потери напора равны:

2g

где е=юсж/ю3 — коэффициент сжатия струи; ю1, ю2, ю3=юл — площади сечений; юсж — площадь сжатого сечения струи; v2 — скорость движения жидкости в сечении 11-11.

Скорость движения жидкости в сечении 11-11 величина неизвестная и для ее определения использовался

где УЯ = юЯ — окружная скорость зуба ротора; Уг= =юг — окружная скорость ротора.

Расчет процесса всасывания осуществляется по уравнению Бернулли. Сечение 1-І совмещается с зубом, а ІІ-ІІ проводится через всасывающий трубопровод и в конечном итоге записывается:

Pi = Pвс + pg(z2 - zi) + p|y - у 1+

+ pg

Значения величин Zll Z21 ДЛ^ ДЛ^ и ДЛ^ определяется по ранее изложенной методике. Потери напора

о

vn = v

2

2

v

R

Ah-шн = Ah„ =

r

2

о

2

о

2

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012

Рн, бар

8,0

6,0

4,0

1,0

90

180

270

360

Рис. 4. Индикаторная диаграмма насоса при Рв=1 бар, Рн=8 бар, пОБ=750 мин1. Сплошная линия — эксперимент, пунктирная — расчет

при внезапном расширении рассчитываются по уравнению Борда:

Юк _,

ю,

2д

Скорость жидкости в сечении 11-11 рассчитывается по закону сохранения массы:

(йт5 + йт7 + йтю + йтп + йти) ю2 рйт

подтверждена адекватность математической модели с возможностью ее использования для анализа влияния на работу насоса конструктивных и режимных параметров.

Библиографический список

1. Пат. 43925 Российская Федерация. Б04С18/08 Машина объемного действия / Щерба В. Е., Болштянский А. П., Суховей М. В. ; заявитель и патентообладатель Омский государственный технический университет. — № 2003105772/22 ; заявлено 28.02.2003 ; опубл. 10.02.2005. - Бюл. № 04.

2. Математическое моделирование рабочих процессов насосов объёмного действия / В. Е. Щерба [и др.] // Омский научный вестник. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2010. — № 3 (93). — С. 77 — 81.

Расчет притечек жидкости в полость всасывания dm10l йт12, dm14 осуществляется по выражению 7, в которых изменяется значение перепада давления на ДРу.д -в (разница давления между полостью всасывания и полостью крышки уплотнительного диска).

На рис. 4 показаны полученные экспериментально и расчетным путем индикаторные диаграммы прямозубого насоса.

В целом результаты экспериментов показали хорошее совпадение с расчетами, в связи с чем была

ЩЕРБА Виктор Евгеньевич, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой «Гидромеханика и транспортные машины» Омского государственного технического университета.

ШАЛАИ Виктор Владимирович, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой «Транспорт и хранение нефти и газа, стандартизация и сертификация», ректор Омского государственного технического университета.

ФАЙЗУЛИН Рашит Тагирович, доктор технических наук, профессор (Россия), проректор по информатизации Омского государственного технического университета.

ВЕДРУЧЕНКО Виктор Родионович, доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры «Теплоэнергетика» Омского государственного университета путей сообщения.

ГРИГОРЬЕВ Александр Валерьевич, старший преподаватель кафедры «Гидромеханика и транспортные машины» Омского государственного технического университета.

Адрес для переписки: 8cherba_v_e@ll8t.ru

Статья поступила в редакцию 07.12.2011 г.

© В. Е. Щерба, В. В. Шалай, Р. Т. Файзулин, В. Р. Ведрученко, А. В. Григорьев

О

0

2

ю

2

ю

2

Книжная полка

Мухин, В. Ф. Автоматизация сварочных процессов : учеб. пособие для вузов по направлению 150700 «Машиностроение» / В. Ф. Мухин, Е. Н. Ерёмин ; ОмГТУ. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011. -114 с. - ISBN 978-5-8149-1100-1.

Изложены основные направления автоматизации дуговой, контактной и электрошлаковой сварки. Рассмотрены примеры различных систем управления и регулирования при сварке, способов управления сварочным оборудованием и источниками питания. Приведены сведения о робототехнологических комплексах и их работе со сварочным оборудованием при производстве сварных конструкций. Предназначено для студентов всех форм обучения по специальностям 150202, 150202.68 и по программе 150700.62, а также может быть полезно инженерам и специалистам, занятым в области сварочного производства.

Кабаков, А. Н. История развития компрессорных технологий в нефтегазовых отраслях России и зарубежных стран : курс лекций / А. Н. Кабаков ; ОмГТУ. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011. - 63 с.

Приведены исторические сведения о нефти, нефтепродуктах и газе, их добыче и использовании; данные о строительстве нефтяных и газовых трубопроводов и бурении скважин. Рассмотрено становление и развитие нефтегазовых отраслей России и зарубежных странах. Изложены сведения о применяемых типах компрессоров и установок как на начальном, так и на современном этапе развития нефтегазовых отраслей; проведен анализ современного состояния и перспективного направления развития и применения техники и технологий компримирования газа в нефтегазовых отраслях.