О возможности идентификации коэффициентов трения в шарнире управляемого физического маятника по амплитудам установившихся колебаний

8. Хохлов A.B. Нелинейная модель вязкоупругопластичности типа Максвелла: моделирование влияния температуры на кривые деформирования, релаксации и ползучести // Вести. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2017. 21, № 1. 160-179.

9. Хохлов A.B. Нелинейная модель вязкоупругопластичности типа Максвелла: скорость накопления пластической деформации при циклических нагружениях // Деформация и разрушение материалов. 2017. № 7. 7-19.

10. Хохлов A.B. Идентификация нелинейной модели упруговязкопластичности типа Максвелла по кривым ползучести с начальной стадией нагружения. Ч. 2. Методики // Деформация и разрушение материалов. 2017. № 10. 2-9.

11. Kang G., Ding J., Liu Y. Summary on Uniaxial Ratchetting of 6061-T6 Aluminium Alloy // Aluminium Alloys, Theory and Applications / Ed. by T. Kvackaj. InTech, 2011. 199-216. DOI: 10.5772/14147.

12. Арутюнян P.A., Камепцева З.П. Упрочнение стареющих сплавов // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1976. № 4. 128-137.

13. Арутюнян P.A., Вакуленко A.A., Уманский С.Э. О циклическом нагружении пластической среды со старением // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1979. № 2. 79-83.

Поступила в редакцию 29.01.2017

УДК 531.36

О ВОЗМОЖНОСТИ ИДЕНТИФИКАЦИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТРЕНИЯ В ШАРНИРЕ УПРАВЛЯЕМОГО ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ПО АМПЛИТУДАМ УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЙ

О. Э. Васюкова1

Рассматривается динамическая модель управляемого физического маятника. Показано, что с помощью метода Понтрягина поиска периодических решений систем, близких к гамильтоновым, можно построить такой программный закон колебаний управляемого маятника, что тестовые режимы колебаний будут установившимися и орбитально-устойчивыми. Предложен подход к идентификации параметров модели трения в шарнире в режиме активного мотора на основе информации об интегральных характеристиках движения. Проведено численное моделирование движения рассматриваемой системы.

Ключевые слова: идентификация трения, установившиеся движения, управление.

A dynamic model of a controlled physical pendulum is considered. The control strategy is proposed to provide the orbital stability of steady oscillations with a program amplitude. The corresponding control torque is determined using the Pontryagin method of searching for the periodic solutions of near-Hamiltonian systems. An approach to identify the parameters of a model of friction in the hinge is proposed for the case of an active motor mode. This approach is based on the information on the integral characteristics of motion. The motion of the system under consideration is numerically simulated.

Key words: identification of friction, steady motions, control.

Введение. В работе предлагается стратегия идентификации трения в шарнире маятника, основанная на наблюдениях установившихся колебаний. Управление, реализующее колебания с постоянной амплитудой, строится с помощью метода Понтрягина поиска периодических движений систем, близких к гамильтоновым [1]. В нашем случае задача решается в предположении об определенном характере трения в шарнире маятника. Широкий обзор моделей трения и методов компенсации трения в различных механизмах представлен в работе [2]. В настоящей работе трение в шарнире манипулятора имеет сухую и вязкую составляющие.

Существуют различные методы идентификации параметров трения в шарнире робота-манипулятора. Один из наиболее распространенных методов следующий: момент трения получают из

1 Васюкова Ольга Эдуардовна — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vasy ukovaolaQy andex. ru.

уравнений движения системы в предположении, что есть исчерпывающая информация об экспериментальной траектории движения звена (угол, угловая скорость и угловое ускорение как функции времени), известны инерционно-массовые характеристики системы и управляющий момент, поданный на двигатель. В работе [3] продемонстрировано применение такого подхода, а также проанализированы экстремальные точки графика зависимости трения от угловой скорости. В [4] представлен подход к идентификации трения в различных типах шарниров, в том числе в сферическом, основанный на законах изменения энергии. В методе работы [4] не предполагается использование точной информации о массе звеньев и моментах инерции звеньев манипулятора. Недостаток данного метода, как и метода работы [3], в том, что необходимо иметь сведения об угловой скорости и угловом ускорении звена в каждый момент времени. В [5] рассматривается еще один подход, цель которо-г0 — получить набор пар скорость-момент трения. Авторы при этом не используют информацию о моменте инерции звена манипулятора, поскольку они измеряют скорость звена робота предположительно в тот момент, когда ускорение равно нулю. Поэтому естественными недостатками данного подхода являются обеспечение крайне высокой точности измерений и необходимость наличия данных об ускорении.

Предлагаемый метод идентификации трения обладает рядом преимуществ перед перечисленными выше методами. Зависимость трения от угловой скорости считается непрерывной. Для идентификации трения используются данные только о величинах, которые легко измерять (не требуется знать зависимость угла, угловой скорости, углового ускорения от времени, необходимы только средние значения). В качестве тестовых режимов движения выступают установившиеся орбитально-устойчивые режимы, что обеспечивает повторяемость экспериментов. На тестовых движениях мотор все время находится в активном режиме, что существенно, так как диссипативные силы в шарнире могут различаться в зависимости от того, включен мотор или нет. Предлагаемый подход позволяет идентифицировать параметры в режиме активного мотора.

Постановка задачи. Рассмотрим плоский физический маятник с центром масс в точке Р, вращающийся вокруг точки подвеса О, в которой он закреплен цилиндрическим шарниром. Система имеет одну степень свободы. В качестве обобщенной координаты выберем угол íp между вертикалью и прямой ОР. Предполагается, что в шарнире приложен кусочно-постоянный управляющий момент U(íp'). На маятник также действует момент трения в шарнире F(íp').

Уравнение движения данной системы имеет вид

где m — масса маятника, г — расстояние от точки подвеса до центра масс маятника, J — момент инерции маятника относительно главной центральной оси инерции.

Введем безразмерное время т = \fgjrt. Производные переменной <р по т обозначим ф, ф. Будем считать, что управляющий момент и момент трения в системе можно представить в следующем виде:

U(ip') = и^ф) = сокл/gjr signс^, F(<p') = Fх{ф) = -с0Ъл/д]г signф - с0сфл/д/г,

где Ъ, с и к — некоторые неотрицательные константы, безразмерные величины, константа Со = 1 и имеет размерность кг-м2/с.

Введем безразмерный параметр ц, который далее будем предполагать малым (р < 1):

сол/г/д

v = ~г,;—2-

J + mrz

Отметим, что при фиксированном значении параметра г, увеличив массу т (например, за счет дополнительного груза), мы можем добиться сколь угодно малых значений ц. Также введем безразмерный параметр а:

тг2

а = —-к, 0 < а < 1.

J + mrz

Запишем уравнение (1) в безразмерной форме:

Ф = и,

ш = —as\iiLp + n{{k — b) sign uj — сш).

Применение теоремы Понтрягина. Для системы (2) воспользуемся методом Понтрягина поиска периодических решений кусочно-сшитых систем, близких к гамильтоновым [1]. При /л = 0 система (2) примет вид

I ю = ш.

Гамильтониан системы (3) равен H(ip,uj) = w2/2 — acost/? = h. Траектория системы (3), соответствующая уровню энергии h, запишется следующим образом:

ш = ±л/21г + 2а eos ip.

Порождающая функция Пуанкаре-Понтрягина имеет вид

ipo(h) ipo

1(h) = J (к — Ъ — c\/2h + 2а cos íp) dip = 2(к — b)ipo — 2c J \/2h + 2a cos ip dip,

-Vo{h) 0

где ipo(h) = До — амплитуда колебаний математического маятника, соответствующих решению системы (3) при значении h интеграла энергии. Здесь и далее будем рассматривать значения h € (—a;0), которые отвечают колебаниям с амплитудой До € (0;7г/2), где До = arceos (—-).

Согласно теореме Понтрягина [1], существование орбитально-устойчивого предельного цикла для системы (2) в окрестности траектории (4) при достаточно малых значениях ц обеспечивается условиями

ЦК) = 0,

(П_

dh

< 0.

h=h,

Покажем, что при произвольно заданном h € (—а; 0) путем выбора коэффициента к в законе управления можно реализовать в системе (2) орбитально-устойчивую периодическую траекторию ip(ip), близкую к траектории вида (4) системы (3) (при достаточно малых значениях ¡л). При этом используем подход, аналогичный предложенному в работе [6].

Обозначим через к = К (К) функцию, определяющую значение коэффициента управления, при котором для данного h выполнено условие (5). Она может быть представлена в следующем виде:

rarccos (—z) pz——- ,

K

arceos

Проверим условие (6). Учитывая (5) и (7), несложно показать, что

> 0.

dl_

dh

df

< 0 ^ я

h=h, dZ

h=ht

Путем численного построения функции /(г) можно установить, что данная функция возрастает при г € (—1;0), значит, условие (6) всегда выполнено. Мы получили следующее утверждение.

Утверждение 1. Для произвольного Ь € (—а, 0) при к = К(Ъ) в системе (2) при достаточно малых значениях ц, существует предельный цикл, близкий к траектории вида (4); соответствующей данном,у Ъ. При этом данный цикл, является орбитально-устойчивым и амплитуда А этого цикла, при /х —>• 0 стремится к До-

Стратегия идентификации трения. Будем предполагать, что значение параметра а, определяемое инерционными характеристиками маятника, известно.

Для системы (2) на практике мы можем варьировать коэффициент управления к. Согласно утверждению 1 при малых ц существует диапазон значений к, при которых качания маятника выйдут на предельный цикл. Для реального маятника будем искать этот диапазон экспериментально. При его обнаружении запишем значения Д* амплитуды установившихся колебаний, отвечающие

некоторому набору значений к* из указанного диапазона. На плоскости {к, А} отметим полученные точки (к*, А*).

На плоскости {к, А} мы можем построить параметрически заданную кривую {к = K(h),A = Ao(h)}, h € {—а, 0), при фиксированных параметрах модели трения Ь, с. Обозначим эту кривую А(к). В соответствии с утверждением 1 данная кривая описывает для системы (2) зависимость амплитуды притягивающих) цикла от параметра к при ¡л —> 0.

Для идентификации коэффициентов трения бис требуется оценить, при каких значениях этих параметров кривая А(к) наилучшим образом приближает экспериментальную зависимость А*(к*). Проведем данную оценку. Запишем переопределенную систему линейных алгебраических уравне-

у = Wx,

где х = (с, Ъ)т искомый двумерный вектор, у известный п-мерный вектор, yi = к*, 1 ^ г ^ п, W матрица размерности п х 2 с элементами

гА*

Wn =

\J—2 cos А* + 2 cos Lp dip

I*

, Wi2 = 1, 1 < г < п.

Для поиска значения х воспользуемся методом наименьших квадратов [7], согласно которому

х = (ШтШ)~1Шту.

Таким образом, мы провели идентификацию параметров бис исходной системы, которые являются компонентами найденного вектора х.

Численное моделирование. Итак, воспользовавшись методом Пуанкаре Понтрягина, мы получили зависимость А(к) на периодических траекториях при ¡л —> 0. Теперь путем численного интегрирования уравнений движения (2) с известными параметрами а = 0,5, Ь = 0,2, с = 0,1 для некоторого набора {А^} определим соответствующие значения амплитуд {Аг(к^} автоколебаний при

следующих конечных значениях ¡л: ¡л = 0,01; 1.

На рисунке приведены точки полу-

ченные при конечных значениях ¡л (значению ¡л = 0,01 соответствует квадратик, ¡л = 1 кружок), на одной плоскости с теоретической кривой А(к), отвечающей случаю /л —> 0.

Было установлено, что относительное отклонение полученных точек от кривой А (к) не превышает 1%. Этот эмпирический факт косвенно подтверждает возможность использования построенных теоретических кривых А (к) для оценки амплитуды автоколебаний при ¡л € (0,1]. Отметим, Амплитуда А(к) и точки ('/>/ /) при что значения параметра [/ порядка единицы пред-

различных значениях ц ставляют интерес, поскольку для реальных систем

такие значения ожидаемы. Например, при размерных параметрах системы г = 0,4 м, пг = 1 кг, д = 9,8 м/с2, .] = 0,05 кг-м2 будем иметь ¡л = 0,96.

Заключение. В работе представлена математическая модель управляемого физического маятника при наличии трения в закрепляющем его шарнире. Показано, что с помощью метода Понтрягина поиска периодических решений систем, близких к тамильтоновым, можно построить такой программный закон колебаний управляемого маятника, что тестовые режимы движения будут установившимися и орбитально-устойчивыми. Предложен подход к идентификации параметров модели трения по амплитудам установившихся движений в режиме активного мотора без использования информации о траектории движения в каждый момент времени. Проведено численное моделирование движения рассматриваемой системы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баутин H.H., Леоптович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука. 1990.

2. Armstrong-Helouvry В., Dupont P., De Wit С.С. A survey of models, analysis tools and compensation methods for the control of machines with friction // Automatica. 1994. 30, N 7. 1083-1138.

3. Kermani M.R., Patel R. V., Moallem M. Friction identification and compensation in robotic manipulators // IEEE Trans. Instrum. and Meas. 2007. 56, N 6. 2346-2353.

4. Vakil M., Fotouhi R., Nikiforuk P.N. Energy-based approach for friction identification of robotic joints // Mechatronics. 2011. 21, N 3. 614-624.

5. Iwatani M., Kikuuwe R. An identification procedure for rate-dependency of friction in robotic joints with limited motion ranges // Mechatronics. 2016. 36. 36-44.

6. Климина JI.А., Локшин Б.Я. Об одном конструктивном методе поиска ротационных и автоколебательных режимов в автономных динамических системах // Нелинейная динамика. 2017. 13, № 1. 25-40.

7. Александров В.В., Лемак С.С., Парусников П.А. Лекции по механике управляемых систем. М.: Макс Пресс, 2012.

Поступила в редакцию 12.04.2017

УДК 531/534+539.3

ОБЩИЕ ПРИВЕДЕННЫЕ ФОРМЫ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Г. Л. Бровко1

Построена теория определяющих соотношений свойств сопротивления тел деформированию, учитывающая наличие одновременно внутренних массовых сил и внутренних кинематических связей. Предложены аксиомы теории и построена общая приведенная форма системы определяющих соотношений классических сред. Для простых тел (классических сред) установлена эквивалентность определяющих соотношений Ильюшина и Нолла.

Ключевые слова: классическая механика сплошной среды, сопротивление деформированию, определяющие соотношения, внутренние массовые силы, кинематические связи, простые тела, эквивалентность определяющих соотношений Ильюшина и Нолла.

The theory of constitutive relations of deformation resistance of bodies is constructed provided simultaneously by possible presence of inner kinematic constraints in a body and by-account of internal body forces. The axioms of the theory are proposed and the general reduced form of the system of constitutive relations is derived. For simple bodies (classical media), the equivalence of Ilyushin's and Noll's forms of constitutive relations is established.

Key words: classical continuum mechanics, deformation resistance, constitutive relations, internal body forces, kinematic constraints, simple bodies, equivalence of constitutive relations by Ilyushin and by Noll.

1. Сопротивление деформированию: основные понятия и принципы общей теории.

1.1. Традиционные подходы: анализ и пути обобщения. Современные основы классической механики сплошной среды представлены как в фундаментальных трудах [1, 2], так и в получивших широкое признание аксиоматизированных (соответственно шестой проблеме Гильберта [3]) построениях [4-7].

В классической механике сплошной среды при постановках краевых задач для тел различной формы и различных механических свойств предполагается выполнение в инерциальной системе отсчета общего уравнения движения Коши в области Q актуальной конфигурации тела

div S + рЪ = pw,

где р — плотность массы, w — ускорение точки тела, S — тензор напряжений Коши, b — массовая плотность массовых сил, действующих в точке тела.

1 Бровко Георгий Леонидович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: glbQmech.math.msu.su.