Гидродинамика и теплообмен во вращающихся каналах различной формы при ламинарном режиме течения (обзор)

УДК 532. 5: 621. 694

ГИДРОДИНАМИКА И ТЕПЛООБМЕН ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ КАНАЛАХ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ ПРИ ЛАМИНАРНОМ РЕЖИМЕ

ТЕЧЕНИЯ

Т. В. БЕЛАВИНА, Я. Д. ЗОЛОТОНОСОВ

Казанский государственный энергетический университет

В работе представлены результаты теоретических исследований гидродинамики и теплообмена во вращающихся каналах различной конфигурации, а также физическая и математическая модели конвективного теплообмена в радиально вращающемся конвергентном канале.

Изучение теплообмена в каналах, вращающихся аксиально и радиально, необходимо для создания надёжных и экономичных систем нагревания (или охлаждения) вращающихся частей энергоустановок и теплообменных устройств.

Аксиально вращающиеся каналы широко используются в энергетическом машиностроении, теплоэнергетике, химической технологии, авиационных двигателях, космических системах и др. Преимущественно они имеют цилиндрическую форму, также используются сужающиеся и расширяющиеся осесимметричные каналы и каналы произвольной формы [1].

Существует ряд работ [1-8], посвящённых исследованию гидродинамики и теплообмена в каналах, вращающихся вокруг своей оси. Одно из наиболее ранних исследований потока в трубе, вращающейся вокруг своей оси, выполнено Леви (1929 г.). Результаты данных исследований показывают, что вращение каналов относительно собственной оси оказывает существенное влияние на характер течения в них, а также на характер процессов теплопереноса: значения коэффициентов теплоотдачи и гидравлического сопротивления могут изменяться (увеличиваться или уменьшаться) в зависимости от типа течения в 2-3 и более раз [1].

Для характеристики влияния вращения на гидродинамику и теплообмен в большинстве работ используется число Рейнольдса вращения Иега = ига й/у и число закрутки N [1, 2]:

N = _^ = .

uzcp uzcp

Анализ [1] показывает, что ламинарное течение неустойчиво по отношению к малым невязким возмущениям, вызванным вращением вокруг собственной оси: эта неустойчивость проявляется уже при Ие =165,75 и Иега = 53,92. Кроме того, показано, что для ламинарного режима течения имеет место следующее соотношение:

]\и/]\иГл =

0, 33

Здесь ^Гл = 1, 39 (й/Ь) Ие Рг - число Нуссельта в неподвижном гладком канале. Данное выражение предсказывает весьма слабые увеличения числа Нуссельта от числа закрутки, что не соответствует данным эксперимента и прямого численного моделирования.

© Т. Б. Белавина, Я.Д. Золотоносов Проблемы энергетики, 2005, № 9-10

Было показано [2, 3], что основным критерием определения границ режима течения является изменение суммарного коэффициента гидравлического сопротивления труб:

Ар 2й

ругср

Зависимость критического числа Рейнольдса Иекр от окружного Иега при переходе к турбулентному течению по данным [2] имеет вид

Иекр = 7, 16 Ие 0; 78+ 2300,

а по данным работы [3]

Иекр = ^Ие^9 + 2300, 104< ИеШ <5104.

При этом профили осевой скорости в возмущенном ламинарном течении при возрастании ИеШ приближаются к турбулентному типу [4], а распределение тангенциальной скорости близко к профилю в вынужденном вихре (закон твердого тела)[4, 5]:

ф/= Ф*

который устанавливается, по данным теоретического расчета [2], при Ие = 2300 на длине около 250 й.

На базе теоретических исследований гидродинамики ламинарного течения вязкой жидкости во вращающемся канале, образованном конфузорно-диффузорными элементами [6], установлено, что расчётные значения поля скоростей в элементах трубы описываются кривыми распределения скорости: усечённой параболой в диффузоре и параболическим профилем в конфузоре. Кроме того, показано, что перепад давления по длине вращающегося канала определяется гидросопротивлением последовательно расположенных в нём элементов, особенностями гидродинамики в них: ростом давления в диффузоре и падением - в конфузоре.

Установлено [1, 2], что в каналах постоянного сечения вращение возмущает и турбулизирует первоначально ламинарный поток. Коэффициент теплоотдачи в таких каналах увеличивается с ростом скорости вращения. Гидравлическое сопротивление и число Нуссельта в этом случае могут возрастать в 3-5 раз [1].

Анализ экспериментальных и расчетных данных по теплообмену показывает, что в результате влияния массовых сил на поток вращение существенно уменьшает число Нуссельта, причем в условиях турбулентного режима течения это снижение весьма значительно. Так при Ие = 5000, N = 5 отношение ^^игл » 0,37 [1].

В работе [2] приведены результаты исследований теплопередачи воздуха во вращающейся трубе в зависимости от соотношений критериев Нуссельта для вращающейся и неподвижной труб от критерия Рейнольдса. Показано, что с увеличением Ие влияние вращения на теплоотдачу ослабевает и на режимах, близких к критическим, вращение трубы практически перестаёт влиять на интенсивность теплообмена.

С ростом числа Ием профили температур приближаются к турбулентному типу [5]. При наличии неизотермичности возможно возникновение вязкостногравитационного режима течения. Вращение приводит к трансформации типичной для этого случая двухвихревой структуры в поперечном сечении в одновихревую (причем возрастает вихрь, вращающийся в одном направлении со стенкой канала); при числе закрутки N = 1, 6 Ог/ Ие2 [1,5] центр вихря остается расположенным выше оси канала. Движение становится осесимметричным лишь при достижении числом закрутки определенной величины N = 20 Ог/Ие2 [1,5]. Полученные зависимости для оценки величин N и N справедливы в диапазоне Ие < 1000, N < 1, Ог/Ие2 < 0, 2.

Анализ экспериментальных исследований теплообмена ламинарного течения вязкой жидкости во вращающемся канале, образованном конфузорно-диффузорными элементами [7] показывает, что коэффициенты теплоотдачи и гидросопротивления увеличиваются с ростом угловой скорости вращения трубы. Числа ^ во вращающихся волнистых трубах (при ю = 80 с-1), по сравнению с неподвижной волнистой трубой, возрастают в 2-2,5 раза, а коэффициент гидравлического сопротивления ^ - в 2-3 раза. В исследуемом диапазоне изменения ю коэффициенты теплоотдачи для воды принимают значения а=800*1900 Вт/м2К, а для пара ап = 12100*20000 Вт/м2К. Тепловая эффективность во вращающемся канале диффузорно-конфузорного типа (ВКДКТ) может возрасти в 1,9, а теплогидродинамическая - в 1,17 раза по отношению к вращающимся гладким трубам. Экспериментальные данные для средних по длине канала коэффициентов теплоотдачи и гидравлического сопротивления аппроксимированы в виде зависимостей

]Чы = 0,37N0,48

Рг

Ч с /

0,25

53,16

Ие

0,92

Здесь индекс «0» означает неподвижный канал типа «конфузор-диффузор». Соотношения (1) справедливы в диапазонах изменения параметров: N=2*10,5; Ие = 1600*2400; Рг = 2,8*5; Рг/Ргс = 1,5*2,5.

Таким образом, с точки зрения тепловых эффектов целесообразно применение вращающихся каналов при ламинарном режиме течения в них теплоносителей [1, 2], а изменение геометрии вращающегося канала может существенно интенсифицировать теплообмен [6, 7].

В работе [8] для определения оптимальной области интенсификации конвективного теплообмена были использованы три критерия эффективности: по тепловому потоку - Ка , по мощности - NN и по площади - Кр , зависящие от критерия Рейнольдса. При этом авторами установлено, что в диапазоне чисел Рейнольдса Ие =102 *104 лежит область наибольшей эффективности.

Потоки в радиальных трубах исследованы в работах [2, 9-14]. Структура потока в радиальных вращающихся каналах изучена слабо, но некоторые особенности течения жидкости в этих условиях установлены. В радиальной вращающейся трубе на поток действуют центробежные и кориолисовы массовые силы [2]. Величина центробежных сил зависит от скорости вращения и изменяется пропорционально квадрату угловой скорости. Кориолисовы силы зависят не только от скорости вращения, но и от скорости потока, а их величина пропорциональна первой степени угловой скорости. Поэтому при небольшой

скорости вращения существенное влияние на поток будут оказывать кориолисовы массовые силы, а при большой угловой скорости - центробежные.

Радиальное вращение ведёт к выравниванию осевых скоростей, при этом профиль скоростей становится несимметричным относительно оси канала, что подтверждает существование вторичных течений и свидетельствует об их роли в формировании профиля осевых скоростей при небольших скоростях вращения.

При движении жидкости через радиальную вращающуюся трубу и при небольшой скорости вращения поток может быть ламинарным, ламинарным с макровихрями, турбулентным.

Результаты исследования гидравлического сопротивления для ламинарного режима при больших скоростях вращения В. В. Мальцев [9] описал эмпирической формулой

64

с=-

Ие0,8 * ]

й

Яср

где и - окружная скорость; * - осевая скорость; й - диаметр канала; Я ср - средний радиус вращения.

Исследование ламинарных потоков при N=500*1000 показало, что увеличение скорости вращения сопровождается уменьшением интенсивности теплообмена [9].

Результаты опытного исследования теплоотдачи в радиальных вращающихся трубах малочисленны и недостаточны для получения обобщающих выводов. Опыты проводились на угловых скоростях, при которых существенное влияние на поток оказывают центробежные массовые силы [2].

В работе [10] представлены результаты экспериментального исследования по влиянию вращения на теплообмен и гидравлическое сопротивление при центробежном и центростремительном направлениях течения охлаждающей среды в радиальных каналах круглого сечения. Данные тестовых экспериментов по теплообмену были сопоставлены с результатами, полученными по критериальной зависимости [11]:

]\и = 0,021 Ие0,8 Рг0,43 8!

0,25

' Рг

‘ж

Рг

Ч с У

Здесь 8[ - коэффициент, учитывающий влияние начального участка на увеличение интенсивности теплообмена (8| =1,13). Сравнение результатов тестовых экспериментов показало, что при течении воздуха в направлении от оси вращения к периферии (центробежном течении) расхождение с зависимостью (2) не более 8%. Однако при противоположном (центростремительном) направлении течения интенсивность теплообмена примерно в 1,9 раза выше по сравнению с данными, получаемыми по зависимости (2).

Эксперименты по теплоотдаче при центробежном течении показали, что интенсивность теплообмена в радиально вращающихся каналах существенно возрастает. Так, увеличение частоты вращения сопровождается увеличением интенсивности теплообмена в 1,5-1,7 раза, причем повышение чисел Рейнольдса при неизменной частоте вращения приводит к понижению теплоотдачи. При центростремительном течении наблюдалось понижение интенсивности теплоотдачи по сравнению с неподвижным каналом [10].

В работе [12] рассмотрено стабилизированное течение с теплообменом в радиально вращающихся каналах для умеренных вращений и малых чисел Рейнольдса. Однако, в силу свойств применяемых в работе [12] разностных схем, получение решения поставленной задачи при достаточно больших числах Рейнольдса оказалось невозможным.

Сильное влияние на теплообмен оказывают условия входа, что подтверждается многими исследованиями [10, 13]. В частности, в работе [13] показано, что если на входе в канал имеется колено с углом 90°, то среднее значение коэффициента теплоотдачи с 1/^ = 20 возрастает в 1,5-1,6 раза.

Высокоэффективно применение вращения теплообменной поверхности при конденсации [7, 11, 14]. Согласно опытным данным [11], непрерывный сброс плёнки конденсата с поверхности неподвижной трубы позволяет уменьшить термическое сопротивление внешней теплоотдачи в 3-10 раз.

При конденсации пара на вращающейся трубе возникает центробежное ускорение }, вызывающее утонение плёнки конденсата и соответствующее увеличение коэффициента теплоотдачи [14].

В случае больших скоростей вращения, когда } > g, для определения коэффициента теплоотдачи авторами получены формулы:

а) для трубы, у которой ось совпадает с радиусом вращения,

17 7 ^

а = 17,7

^1 — Л?

1 — Г Л2 1 4/3 ' 34 4

Ч Л1У

2 -I 3 2 п гк у

gvAt

б) для трубы, ось которой параллельна оси вращения, а = 21,95 4

2 л 3 2 п г к у

gvA^

Здесь Л - радиус вращения трубы. Индекс «1» относится к наиболее удаленному концу, а индекс «2» - к ближайшему концу трубы; п - число оборотов трубы, об/мин; г - удельная теплота парообразования, Дж/кг; к - коэффициент теплопроводности, Вт/(м-К); у - удельный вес, кг/м3; д - коэффициент

динамической вязкости, Па-с; g - ускорение силы тяжести, м/с2; Б - диаметр трубы, м.

При выводе этих формул не учтено касательное напряжение, возникающее на поверхности плёнки вследствие её движения относительно пара [14].

Как показали исследования конвективного теплообмена ВКДКТ [7], в условиях срыва конденсатной плёнки с поверхности вращающегося канала и перехода с плёночного режима течения конденсата в «плёночно-капельный» режим можно значительно увеличить внешний коэффициент теплоотдачи.

Анализ основных результатов исследований гидродинамики и теплообмена во вращающихся системах показывает, что в настоящее время отсутствуют работы, касающиеся исследований конвективного теплообмена в условиях ламинарного течения вязкой жидкости в радиально вращающемся конвергентном канале с внутренней оребренной поверхностью (рис. 1). Настоящее исследование ставит своей задачей восполнить имеющийся пробел.

г

Рис.1. Элемент пароструйного центробежного подогревателя: 1 - конвергентный

криволинейный канал; 2 - радиальные лопатки; 3 - канал сложной конфигурации

Известно, что для интенсификации процесса теплопередачи применяют оребрение рабочей поверхности аппарата со стороны меньшего коэффициента теплоотдачи, при этом интенсификация теплообмена обеспечивается за счет снижения термического сопротивления со стороны развитой поверхности.

Оребрение наиболее эффективно при значительной разнице коэффициентов теплоотдачи теплоносителей по разные стороны разделительной стенки (в 10 и более раз).

Развитие поверхности за счет оребрения особенно эффективно до тех пор, пока произведения коэффициента теплоотдачи на поверхность теплообмена с обеих сторон стенки не станут одинаковыми, дальнейшее развитие поверхности менее эффективно.

Следовательно, отношение площадей поверхности оребрения и гладкой стороны стенки должно быть равно обратному отношению коэффициентов теплоотдачи [15].

Подробная оценка целесообразности использования оребрения приведена в работе [16].

В частности, весьма эффективно использование оребрения в теплообменниках типа жидкость-газ, так как обычно коэффициент теплоотдачи со стороны газа значительно меньше по сравнению с жидкостью.

Трубы с продольными ребрами особенно широко используются в теплообменниках типа «труба в трубе», в которых оребряется внутренняя труба.

Количество ребер на единице трубы определяется возможностями производства, стремлением достижения минимальных габаритов аппарата и влиянием количества, формы и размеров ребер на гидродинамику и теплообмен потока около оребренной поверхности. Известно, что наличие ребер на поверхности может почти не влиять на величину коэффициента теплоотдачи, свойственного гладкой поверхности, а может увеличить или уменьшить интенсивность теплоотдачи ввиду изменения условий течения около оребренной стенки по сравнению с гладкой [14].

В работе [17] приводятся результаты исследования ряда оребрённых труб в системе кольцевого канала при продольном обтекании ребер. Опыты по

определению коэффициента гидравлического сопротивления проводились в изотермических условиях. Измерение коэффициентов гидравлического сопротивления показало, что начальный участок ребристой трубы характеризуется не повышенным сопротивлением, как это имеет место для гладких каналов, а наоборот, пониженным. Коэффициент сопротивления на входном участке оказался на 20-30% ниже, чем в стабилизированных условиях. Указанное обстоятельство объясняется тем, что стабилизированная вихревая система в межреберных пространствах устанавливается примерно после десятого ребра. Здесь сказывается также факт стабилизации профиля скорости. Анализ имеющихся опытных данных показывает, что коэффициент гидравлического сопротивления кольцевого канала с поперечным оребрением в 2-5 раз выше, чем у гладкого канала.

Механизм процесса конденсации пара на ребристой поверхности пока не выяснен полностью. Однако новые экспериментальные исследования и теоретический анализ убедительно свидетельствуют, что интенсификация теплообмена обеспечивается силами поверхностного натяжения, которые (совместно с силой тяжести) стягивают пленку конденсата с поверхности ребер в межреберные канавки, откуда конденсат под действием силы тяжести стекает на нижнюю часть трубы, а затем покидает трубу. Значительная часть ребристой поверхности освобождается от конденсата для активного теплообмена с паром, при этом практически исключается термическое сопротивление пленки конденсата и, следовательно, увеличивается интенсивность теплоотдачи от пара к развитой (ребристой) поверхности трубы [15].

Кроме того, интенсивность теплоотдачи зависит от геометрии ребристой поверхности и физических свойств пара. Уменьшение шага оребрения повышает теплообмен благодаря увеличению поверхности теплообмена, непосредственно контактирующей с паром. Однако при чрезмерной плотности оребрения возможно полное «затопление» конденсатом всей поверхности трубы, что приводит к резкому ухудшению теплоотдачи. Экспериментально доказано, что при оптимальной геометрии оребрения достигается существенная общая интенсификация теплоотдачи для ребристой трубы (до 500%) в сравнении с гладкой трубой [15].

При конвективном теплообмене однофазной жидкости эффективные высота и шаг ребер зависят от толщины пограничного слоя. Для интенсификации теплообмена высота ребер должна быть больше пограничного слоя.

Использование развитой (ребристой) поверхности для интенсификации теплообмена целесообразно как при внешнем обтекании пучков труб, так и при течении в каналах.

К настоящему времени накоплены обширные результаты теоретических и экспериментальных исследований, посвященные математическому моделированию процессов гидродинамики и теплообмена при течении газов и вязких жидкостей в гладких и оребренных каналах [4-8, 15-22].

Для описания процессов теплопереноса во вращающихся прямых каналах постоянного круглого сечения используется неподвижная цилиндрическая система координат. Эффекты вращения не фигурируют в уравнениях движения в явном виде и воздействуют лишь косвенно через влияние граничного условия на вращающейся стенке [4-8, 19-22].

В большинстве работ исследована стационарная задача. Расчет температурного поля в теплообменных системах обычно проводят на основе решения сопряженной задачи, то есть совместного рассмотрения задач

гидродинамики и теплообмена (полей температур в жидкости, текущей в трубе, стенке канала и температуры потока, омывающего трубу снаружи) [23-25]. Однако решение сопряженных задач связано со значительными трудностями, что приводит к некоторым допущениям. Например, одно из допущений состоит в отказе от детального рассмотрения процесса теплообмена в потоке, омывающем трубу снаружи, и задании вместо этого на наружной поверхности канала граничных условий третьего рода [23-25]. Последнее означает, что местная плотность теплового потока на стенке принимается пропорциональной разности температур окружающей среды Тп и наружной поверхности стенки Тс :

Чс = ап (Тп-Тс),

где ап - коэффициент теплоотдачи от окружающей среды к наружной поверхности канала. Величины Тп и ап считаются заданными. Обычно вычисления проводят в предположении, что ап = const [23].

При рассмотрении конкретных задач сопряженного конвективного теплообмена всегда возникает вопрос о преодолении нелинейности уравнений гидродинамики. Нелинейность этих уравнений и наличие малых параметров при старших производных создают серьезные трудности как при аналитическом исследовании (которое возможно лишь для модельных уравнений и частных задач), так и при численном интегрировании этих уравнений.

В настоящее время известны различные методы линеаризации дифференциальных уравнений гидродинамики [26-30]. В некоторых случаях используют схему линеаризации, основанную на разложении в ряд Тейлора. Исследования [26] показывают, что краевые задачи для линеаризированных уравнений всегда разрешимы, причем свойства операторов, соответствующих стационарным задачам, весьма близки к свойствам операторов Лапласа. Свойства операторов нестационарных задач сходны свойствам операторов теплопроводности. Также известен способ линеаризации [27], основанный на использовании процесса итерации, где нелинейный член заменяется значением, полученным из предыдущей итерации. В некоторых случаях линеаризация уравнений осуществляется путем замены нелинейного члена средним значением функции на интервале интегрирования.

При постановке математических моделей гидродинамики широко используют линеаризации Буссинеска, Стокса [28], Озеена [29]. Так, в приближениях Стокса полностью пренебрегают конвективной частью, а в приближении Озеена конвективная часть учитывается лишь частично. Но, по сравнению с линеаризацией Стокса, она все же имеет несомненное преимущество, так как учитывает влияние конвективных сил инерции [29]. В приближении Буссинеска используют прием осреднения, т. е. беспорядочное истинное движение частиц заменяют прямолинейным фиктивным движением, что упрощает конвективную часть, делая ее линейной.

Постановка задачи с последующей ее линеаризацией влечет за собой вопрос

о корректности исходной задачи, то есть о существовании, единственности и устойчивости решения. Теоретическому обоснованию существования и единственности решения краевых задач посвящено много работ. Этим вопросом занимались такие математики, как Ладыженская О. А. [31-33], Темам Р. [34], Хейвуд И. Ж. [35].

В общем случае проблемы существования, единственности и устойчивости решения для уравнений гидродинамики и теплообмена очень трудны и не являются вполне разрешимыми.

Запишем физическую модель задачи конвективного теплообмена во вращающемся канале сложной конфигурации. Для этого рассмотрим случай, когда перерабатываемая жидкость поступает в конвергентный канал, вращающийся вокруг оси, перпендикулярной направлению движения жидкости, с постоянной угловой скоростью ш. Течение жидкости стационарное, ламинарное, неизотермическое.

Можно положить, что на входе в канал профили радиальной скорости и температуры жидкости прямолинейные и Vr = «0, Т = Т0 . Скорости в осевом и тангенциальном направлениях в этом сечении равны нулю.

Стенка конвергентного канала толщиной ст с постоянным коэффициентом теплопроводности X с является однородной, непроницаемой.

Положим, что в начальном сечении профили скоростей, температур жидкости и стенки однородны (равномерный профиль), следовательно, их градиенты по радиальной координате равны нулю.

За начальным сечением жидкость, вследствие прилипания к стенке канала, начинает тормозиться в радиальном направлении и увлекаться вращением в тангенциальном направлении. Вследствие торможения слоёв жидкости, примыкающих к стенке канала, и неизменности объемного расхода среды происходит ускорение слоев жидкости у оси канала. Таким образом, в радиальном направлении происходит трансформация профиля из прямолинейного в параболический.

Из-за вращения возникает тангенциальная составляющая скорости, которая возрастает с ростом угловой скорости вращения канала. Так как стенка канала непроницаема, то на ее поверхности радиальная и осевая составляющие скорости равны нулю.

Вращение канала приводит к возникновению центробежного давления. Поскольку тангенциальный пограничный слой развивается вдоль оси, поле давлений также трансформируется как по оси, так и по радиусу канала. Давление в начальном сечении канала считается заданным (p = Р0).

На оси вращения радиальная и окружная компоненты скорости, а также производные осевой скорости и температуры жидкости по радиальной координате равны нулю.

Течение в межлопастных каналах складывается из поступательного радиального течения, которое направлено от центра к периферии; циркуляционного, обусловленного вращением канала; и циркуляционного, вызываемого разностью давления создаваемого силами Кориолиса. Из-за неравномерного распределения скоростей в таком канале происходит уменьшение тангенциальной скорости на выходе из канала и, соответственно, уменьшение теоретического напора.

На боковой границе оребрения выполняются условия равенства температур и тепловых потоков по обе стороны от разделительной стенки (радиальной лопатки).

Теплообмен с торцов стенок ребра отсутствует, а в общем случае внешняя поверхность стенки канала участвует в конвективном теплообмене с паром температуры Тп и средним коэффициентом теплоотдачи ап . Величины Тп и ап считаются заданными.

Такова физическая модель сопряженного конвективного теплообмена в радиально вращающемся конвергентном канале.

Запишем математическую модель задачи конвективного теплообмена во вращающемся канале сложной конфигурации.

Для описания процесса теплообмена введем цилиндрическую систему координат (г,ф,г), жестко связанную с каналом и ориентированную таким

образом, чтобы ось вращения была направлена вдоль оси г, а ось г направлена вдоль оси канала в сторону течения жидкости (рис. 1).

Запишем уравнения движения, неразрывности, теплопроводности и энергии для случая ламинарного течения вязкой жидкости во вращающемся конвергентном канале [1, 36-37]:

дУ

_____г

дг

- +

Уф дУг „ дУг

дф

д.

+ 2а У. соз ф + ю г,

Ф 1 др

— =-----— + V

р дг

V2у - ІдУфф-

г 2

Ч

г

дф

+

у,У

У дУ дУ

ф_ф + у _і дг г дф * д.

+ -

1 др рг дф

+ V

V 2У +— дУ-

Ф ,2

г

ф

- 2ю У. зіп ф,

г

г

г

г

г

г

УгдУгт + —+ У.^Ф = -Рддрр + ^У-2ю

дг г дф дг р д.

дУг дУ* Уг 1 дУф _

—- + —- + —- +----------- = 0,

дг д. гг дф

51+УФ дТ+удт 2,

дг г дф 1 д.

Уг — + -ф— + У^- = flV 2Т,

V 2Тс = 0,

т,2 д2 1 д 1 д2 д2

где V = —- +------------+ —---- + —- - оператор Лапласа.

дг 2 г дг г 2 дф2 д.2

Систему уравнений (3) - (8) будем решать при следующих граничных условиях:

г = го: Уг = «о; V = ю го; V = 0; Т = То; р = Ро;

еу^= №ф= У = о; дТ = о;

дг дг дг дг

. = о: Уг = «о; Уф = юг; У. = о; Т = То;

дz дz ’ дz ’ дz

где Vt., Vф, Vz - радиальная, тангенциальная и осевая составляющие скорости; T, Тс - температуры жидкости и стенки соответственно, К; p0 - давление на

индекс «1» относится к левой стороне, а индекс «2» - к правой стороне радиальной лопатки; Xс - коэффициент теплопроводности стенки; Тп - температура пара, К;

Кроме того, введем уравнения баланса сил трения и давления при установившемся движении вязкой жидкости [36]:

Sсеч^P _ *^ок (рп + p<pz ) + Fk •

Здесь Sсеч - площадь радиального сечения канала; £бок - площадь бокового сечения канала; Fk = 2ш^М - сила Кориолиса, где М = pV - масса жидкости, V -объём; ргг, Рф - компоненты тензора напряжений, вычисляемые по формулам [36]

свободной стенке, Па; ю - угловая скорость вращения, с-1; а - коэффициент температуропроводности, м2/с; Xж - коэффициент теплопроводности жидкости,

ап - средний коэффициент теплоотдачи пара, Вт/(м рёбер.

, п - число

Решение уравнений (3) - (8) будем искать в виде

К = «о / ( ф); кф =гС & ф); К=ион & ф); р - Ро =р «2 р ( ф);

Т($,ф) = То г ($,Ф); Тс ($,ф) = Т>0($,ф); Тп ($,ф)= То 0П ($,ф);

7

где | = — - безразмерная переменная; / О, Н, F - безразмерные компоненты

г

радиальной, тангенциальной, осевой скоростей и параметра давления.

Подставляя (17) в уравнения (3) - (8), получим

д2

(-5. ff NG f=5*5+_L Jf + 52))- + 5 f df - 2^ dG- 1 +

v s ,,S5 dp Re\V '052 dp2 дф /

+ N

( e G d G 1 0F 1 f( e2)2G 0G d2G Л 0f 1

(я-5-f )------+----- ------+—-11l + 5 2 - - 5--+—-+2N— ^-

v * J,d 5 д ф N dp Re[v s/052 05 dp2 Spj

- 2

(я-5.) + ng дф = - + _L {f+52 ^+5 dH+dM_

v s-,,S5 дф S5 Re [v s/a52 д5 дф2 J

- 2 N

5 f-dH-NdG-f=0,

д5д5 9ф

PeJ

lv •/W55 a?/ ^ П52 s 35 дф2

v 55 дф2

«0 r Uo r ш r

Здесь Re =--- - число Рейнольдса; Pe =- - число Пекле; N =- - число

V а Но

закрутки.

Запишем граничные условия для уравнений (16)-(21):

7

$=—: / = 1; О = 1; Н = 0; г=1; F = 0;

го

/=дО=дН=о; * = о;

0$ д$ д$ д$

$ = о: /=1; О=1; Н=о; г=1;

0Н=о; 0£=о; ^=о;

0$ 0$ 0$

и

$ = -: / = Н = о; О = 1; г = 0;

г

£=x с И;

5 5

5 = —: Xc d5 = Bi

r 05

a r

где Bi = — число Био.

X с

ф = ^: f = н = 0; G = 1; 2 = 0;

2

X ж, — = X с — = X ж2;

35 с 35 ж2

ф = - ^: / = н = о; О = 1; г = 0;

2

X Ж1 — = X с — = X Ж2.

0$ с 0$ Ж2

Запишем выражение для определения параметра давления из условия баланса сил трения и давления при установившемся течении [37]

F (5, ф) =

S6qk . 1

^сеч Re

f df e3H дг3G dH}

——5------------+ N-+-

5 5 5 ф

2ш NGK

+

u0 ^сеч

Решение уравнений (16)-(21) с граничными условиями (22)-(27) позволит определить значения скоростей и давления в канале в зависимости от чисел закрутки и Рейнольдса, а также значения температур в проточной части канала. Кроме того, полученные значения скоростей позволят построить профиль конвергентного канала центробежного пароструйного подогревателя в виде криволинейной поверхности, описываемой дифференциальными уравнениями линий тока [38].

Summary

There are presented results of 2he basic researches of hydrodynamics and of heat transfer in revolving channel 2o different deskside, as well as physical and mathematical model of convective heat transfer in radial rotating convergence channel in work.

Литература

1. Шевчук И. В., Халатов А. А. Теплообмен и гидродинамика в каналах, вращающихся относительно своей оси (обзор)// ИФЖ. - 1997.- Т. 70, №3.- С. 514 - 528.

2. Щукин В. К. Теплообмен и гидродинамика внутренних потоков в полях массовых сил. - М: Машиностроение, 1970.- 240 с.

3. Мураками М., Кукуяма К. Турбулентное течение в трубах, вращающихся относительно своей оси// Теоретические основы. Тр. ASME - 1980.-Т. 102, №1.- С. 218 - 224.

4. Kikuyama K., Murakami M., Nishibori K.M., Maeda K. Flow in an axially rotating pipe (a calculation of flow in the saturated region)// Bull. JSME. - 1983. - 26, №214.- P. 506 - 513.

5. Reich G., Weigand B., Beer H. Fluid flow and heat transfer in an axially rotating pipe - II. Effect of rotation on laminar pipe flow// Int. J. Heat and Mass Transfer. - 1989 - Vol.32, №3.- P. 563 - 574.

6. Горская Т.Ю. Гидродинамика ламинарного течения вязкой жидкости в теплообменных устройствах с вращающейся поверхностью типа «конфузор-диффузор»: Дисс. ... канд. тех. наук - Казань, 2004.- 110 с.

7. Пантелеева Л.Р., Золотоносов Я.Д. Экспериментальное исследование теплообмена во вращающемся канале типа «конфузор-диффузор» теплообменного аппарата// Изв. вузов. Проблемы энергетики. - 2005. - №1-2.- С. 37 - 45.

8. Кирпиков В.А., Мусави Найниям С.М. Количественная оценка эффективности различных методов интенсификации конвективного теплообмена// Химическое и нефтяное машиностроение. - 1994.- №10.- С. 11 - 14.

9. Мальцев В.В. Исследование движения газа и теплоотдачи во вращающихся роторах// Вестник электропромышленности. - 1960. - №8.- С. 15 - 22.

10. Цаплин М.И., Шульга В.П., Табанков В.Г. Теплообмен и гидравлическое сопротивление в радиальных вращающихся каналах//ИФЖ.-1989. - Т. 57, №4.- С. 567 - 573.

11. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. - М.: МЭИ, 1977392 с.

12. Никольская С.Б. Ламинарное движение жидкости во вращающихся каналах//Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1977. - №6.- С. 175 - 179.

13. Кэйс В.М. Конвективный тепло - и массообмен - М.: Энергия, 1972.327 с.

14. Кутателадзе С.С. Теплопередача при конденсации и кипении - М-Л.: Машгиз, 1952.- 230 с.

15. Давлетшин Ф.М., Овчинников А.А., Николаев Н.А. Интенсификация теплообмена при дисперсно-кольцевом течении газожидкостного потока в каналах.-Казань: КГУ, 2001.- 87 с.

16. Антуфьев В.М. Эффективность различных форм конвективных поверхностей нагрева. - Л.: Энергия, 1966.- 183 с.

17. Мигай В.К. Моделирование теплообменного энергетического оборудования.- Л.: Энергоатомиздат, 1987.- 262 с.

18. Гортышов Ю.Ф., Олимпиев В.В. Теплообменные аппараты с интенсифицированным теплообменом. - Казань: КГТУ, 1999.- 175 с.

19. Фагри, Асако. Численные расчеты теплообмена и потери давления при течении в каналах с сужением и расширением проходного сечения //Теплопередача.- 1988. - №2.- С. 44 - 50.

20. Сайфутдинова А.Р., Золотоносов Я.Д., Шафигуллин Т.Р. Математическая модель течения инжектирующей жидкости во вращающемся осесимметричном конвергентном канале центробежного струйного подогревателя// Изв. вузов. Проблемы энергетики. - 2001.-№5-6. - С. 36 - 41.

21. Золотоносов Я.Д. Математическое описание процессов течения псевдопластичной среды в проточной части центробежных аппаратов// Изв. вузов. Химия и химическая технология. - 2002. - Т. 45, вып. 5. - С. 3 - 15.

22. Маджумдар А.К., Пратап В.С., Сполдинг Р.Б. Численный расчет течения во вращающихся каналах// Труды Американского общества инженеров-механиков. - 1977. - №1. - С. 249 - 255.

23. Петухов Б.С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах - М.: Энергия, 1967. - 356 с.

24. Кутателадзе С.С. Теплопередача и гидродинамическое сопротивление. -М.: Энергоатомиздат, 1990. - 367 с.

25. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача: Учеб. для вузов. - М.: Энергоиздат, 1981. - 416 с.

26. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена - М.: Мир, 1988. - 544 с.

27. Никитенко Н.И., Кольчик Ю.Н., Сороковая Н.Н. Метод конечных

элементов для моделирования течения и теплообмена несжимаемой жидкости в

областях произвольной формы// Промышленная теплотехника.- 2002.- Т. 24, №1.-С. 16 - 23.

28. Седов Л.И. Механика сплошной среды: в 2-х тт.- М.: Наука, 1973.- 584 с.

29. Белоносов С.М., Черноус К.А. Краевые задачи для уравнений Навье -Стокса.- М.: Наука, 1985.- 312 с.

30. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: в 2-х тт.- М.: Мир, 1990.- 728 с.

31. Ладыженская О.А. Исследование уравнений Навье - Стокса в случае стационарного движения несжимаемой жидкости.//УМН.- 1958.- 13.- С. 219 - 220; 1959.- 14.- С. 75 - 97.

32. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой жидкости. -М.: Наука, 1970.- 288 с.

33. Ладыженская О.А., Солонников В.А. Существование решения стационарной краевой задачи для систем уравнений Стокса и Навье - Стокса, имеющих неограниченный интеграл Дирихле. - Ленинград: Препринт ЛОМИ.-1979.- 54 с.

34. Темам Р. Уравнения Навье - Стокса. Теория и численный анализ. - М.: Мир, 1981.- 408 с.

35. Heywood I.G. On uniqueness in the theory of viscous flow.- Asta math. (Uppsala). 1976. - V. 136, №1-2.- P. 61 - 102.

36. Лойцанский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Гл. редакция физ.-мат. литературы изд-ва «Наука», 1978.- 736 с.

37. Багоутдинова А.Г., Золотоносов Я.Д. Математическая модель течения вязкой жидкости в радиально вращающемся криволинейном конвергентном канале//Изв. вузов. Проблемы энергетики. - 2005.- №7-8.- С. 96 - 99.

38. Белавина Т. В., Золотоносов Я. Д. Метод построения оптимального профиля конвергентного канала центробежного пароструйного подогревателя// Изв. вузов. Проблемы энергетики. - 2005 - №3-4.- С. 88 - 90.

Поступила 11.11.2005