Исследование группы автоморфизмов кода, ассоциированного с оптимальной кривой рода три

УДК 519.17 Б01 10.17223/2226308Х/11/36

ИССЛЕДОВАНИЕ ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ КОДА, АССОЦИИРОВАННОГО С ОПТИМАЛЬНОЙ КРИВОЙ РОДА ТРИ

Е. С. Малыгина

Установлены условия, при которых группа автоморфизмов оптимальной кривой рода три над конечным полем с дискриминантом из множества {-19, -43, -67, -163} изоморфна группе автоморфизмов АГ-кода, асоциированного с такой кривой.

Ключевые слова: оптимальная кривая, дискриминант конечного поля, АГ-код, группа автоморфизмов кода, группа афтоморфизмов кривой.

В последнее время в современной криптографии актуальным направлением развития считается исследование и использование криптосистем на основе кодов. Их преимущество заключается в высокой скорости криптографического преобразования информации, однако существуют трудности в их практическом применении из-за большого объёма ключа. Поскольку известные схемы, построенные на кодах Рида — Соломона, могут быть взломаны с полиномиальной сложностью, перспективным представляется использование алгебро-геометрических кодов (АГ-кодов).

АГ-коды предложены В. Д. Гоппой в 1977 г. В современной теории кодирования они называются геометрическими кодами Гоппы, с их помощью можно доказать существование длинных линейных кодов, являющихся лучшими, нежели коды, достигающие границы Варшамова — Гилберта. Благодаря геометрическим кодам Гоппы получено много новых интересных кодов на специальных кривых с большим числом рациональных точек. В теории кодирования весьма часто представляют интерес коды, имеющие большую группу автоморфизмов. В свое время Х. Штихтенот, внеся коррективы в работы Гоппы, заключил, что автоморфизмы кривой рода 0 индуцируют автоморфизмы ассоциированного с этой кривой кода [1]. Те же рассуждения удалось применить К. Ксингу к некоторым эллиптическим и эрмитовым кривым [2, 3]. Возникает вопрос, чем же так примечательна группа автоморфизмов АГ-кода? Оказывается, знание группы автоморфизмов кода или даже части этой группы даёт информацию о структуре кода и зачастую может быть использовано в алгоритме декодирования.

Пусть С — гладкая неприводимая проективная кривая рода д, определённая над конечным полем Ед.

Определение 1. Если число рациональных точек кривой С/¥д удовлетворяет границе Хассе — Вейля — Серра

#С(¥д) = д +1 ± д[2^,

то кривая называется оптимальной.

Введём понятие дискриминанта конечного поля, поскольку далее будем рассматривать оптимальные кривые над конечными полями с заданными дискриминантами.

Определение 2. Число d(Fg) = d = |_2\/(д)_|2 - 4д называется дискриминантом конечного поля Ед.

Учитывая эквивалентность по Ж.-П. Серру [4] между категорией обычных абе-левых многообразий и категорией Ок-модулей, где к = о(^), применяя далее

116

Прикладная дискретная математика. Приложение

теорему Торелли [5] и рассматривая конечные поля с дискриминантами ) Е Е {-19, -43, -67, -163}, можем использовать таблицу классификации эрмитовых модулей с заданными дискриминантами, откуда следует, что порядок группы автоморфизмов оптимальной кривой рода три над конечным полем с указанными дискриминантами равен 6. Следующая теорема описывает структуру группы Аи^ (С).

Теорема 1 [6]. Пусть С - оптимальная кривая рода три над конечным полем с дискриминантом ) Е {-19, -43, -67, -167}. Тогда

Аи^ (С) = В3,

где В3 —диэдральная группа порядка 6.

Существование оптимальных кривых рода три над рассматриваемыми конечными полями доказано в [7]. Следующая теорема даёт явное описание оптимальных кривых.

Теорема 2 [7]. Оптимальная кривая С рода три над конечным полем с дискриминантом d Е {-19, -43, -67, -163} задаётся следующими уравнениями:

г2 = а0 + а^ж + а2ж2 + в0у, у2 = х3 + аж + Ь,

или

г2 = а0 + а1ж + а2ж2 + (в0 + в1х)у,

у2 = ж3 + аж + Ь,

или

г2 = а0 + а1ж + а2ж2 + а3ж3 + (в0 + в1х)у, у2 = ж3 + аж + Ь,

где а0, а1, а2, в0, в1, а, Ь Е Fq.

Отметим, что в условиях предыдущей теоремы кривая С является двойным накрытием оптимальной эллиптической кривой, заданной уравнением у2 = ж3 + аж + Ь.

Переходя к исследованию группы автоморфизмов кода, ассоциированного с оптимальной кривой, полученной выше, введём ряд обозначений:

— J С РС1) \ Р», где Е Е, а Е Р1 при отображениях / : С ^ Е и Е ^ Р1; отметим, что / — двойное накрытие оптимальной эллиптической кривой Е;

— П = И;

— В = Е Р = Р + Р2 + ... + Рп;

р eJ

— Сс(В, гР») —АГ-код, ассоциированный с дивизорами В и гР» (очевидно, что яирр(В) П 8ирр(гР») = 0);

— Аи1(Сс(В, гР»)) — группа автоморфизмов кода Сс(В, гР»).

Переобозначим группу автоморфизмов кривой в терминах группы автоморфизмов функционального поля этой кривой, ассоциированной с дивизорами В и гР», как Аи^>грте (С^ ).

Согласно [8], любой элемент группы Аи1д,гРто ) индуцирует автоморфизм соответствующего кода Сс(В, гР»). Таким образом, Аи^;ГРто (С/Рд) С Аи1(Сс(В, гР»)). Однако благодаря следующей теореме получаем изоморфизм между соответствующими группами автоморфизмов.

Теорема 3. Пусть — оптимальная кривая рода три, определённая над ко-

нечным полем с дискриминантом из {-19, -43, -67,-163}; элементы ж, у, г Е С)

такие, что (x)^ = kP^, (y)^ = mP^ и (z = IP^, где m> I > k. Пусть D = Y1 P,

p ej

где J С PC1) \ P^. Если n > max{3r, 2(1 + (k — 1)/ц) , 2 (m + (k — 1)/п)}, причём ^ = min{k — 1, Z  zz E C(rP^)}, п = min{k — 1, £ : y? E C(rP^)}, то

Aut(Cc(D,rP^)) - AutD>rpTO(C/Fq).

ЛИТЕРАТУРА

1. Stichtenoth H. On automorphisms of geometric Goppa codes //J. Algebra. 1990. V. 130. Iss. 1. P. 113-121.

2. Xing C. Automorphism group of elliptic codes // Communication in Algebra. 1995. No. 23(11). P. 4061-4072.

3. Xing C. On automorphism groups of the Hermitian codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1995. No. 41(6). P. 1629-1635.

4. Lauter K. Geometric methods for improving the upper bounds on the number of rational points on algebraic curves over finite fields. With an appendix by J.-P. Serre // Algebraic Geometry. 2001. No. 10(1). P. 19-36.

5. Milne J. S. Abelian Varieties. 2008. www.jmilne.org/math/

6. Alekseenko E. and Zaytsew A. Explicit equations of optimal curves of genus 3 over certain fields with three parametrs // Contemporary Math. 2015. No. 637. P. 245-256.

7. Alekseenko E., Aleshnikov S., Markin N., and Zaytsew A. Optimal curves over finite fields with discriminant —19 // Finite Fields and Their Applications. 2011. No. 17(4). P. 350-358.

8. Stichtenoth H. Algebraic Function Fields and Codes. Springer, 2009.

УДК 519.7 DOI 10.17223/2226308X/11/37

ПРИМЕНЕНИЕ КОНЕЧНЫХ АВТОМАТОВ ДЛЯ НЕЧЁТКОГО БИНАРНОГО ПОИСКА

И. В. Панкратов

Рассматривается задача нечёткого поиска булевых векторов в потоке данных. Под нечётким вхождением искомого вектора понимается вхождение вектора, близкого к искомому в смысле расстояния Хемминга. Предлагается метод построения конечного автомата для решения данной задачи по заданному набору искомых шаблонов в виде булевых векторов (возможно, частично определённых) и допустимого отклонения для каждого шаблона. Возможно построение автомата, принимающего на вход отдельные биты данных, и автомата, принимающего сразу группы битов. Приводятся оценки размеров таблиц переходов и выходов автомата. Представлены экспериментальные данные производительности поисковых автоматов, принимающих на вход отдельные биты данных, четвёрки битов и восьмёрки битов, а также производительность классического подхода к задаче нечёткого поиска, основанного на регистре сдвига.

Ключевые слова: поисковые автоматы, нечёткий поиск, бинарный поиск, син-хропосылка, поиск подстроки, КМП-поиск, алгоритм Ахо — Корасик.

1. Задача бинарного поиска в потоке данных и классический подход к ней

Рассматриваемую задачу можно сформулировать так. Имеется двоичная последовательность (поток данных) и набор из n булевых векторов (слов) различной длины, далее называемых шаблонами. Необходимо найти в последовательности вхождения