Нелинейная задача Фламана для несжимаемого материала

УДК 539.3

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 4

В. М. Мальков, Ю. В. Малькова

НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ФЛАМАНА ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА*

Получено точное аналитическое решение обобщеной плоской задачи нелинейной теории упругости для полуплоскости, нагруженной на границе внешней сосредоточенной силой. Рассматривался несжимаемый материал, свойства которого описывались неогу-ковским упругим потенциалом. При решении задачи не накладывались ограничения на величину деформаций. Сравнение решений нелинейной и линейной задач Флама-на показало, что напряженные состояния отличаются принципиально, причем, как в асимптотике напряжений и деформаций в окрестности точки приложения силы, так и по другим свойствам. Например, в линейной задаче Фламана напряжения не зависят от свойств материала, а в нелинейной полностью зависят от принятой модели материала. В линейной задаче окружные напряжения равны нулю, в нелинейной задаче присутствуют и радиальные и окружные напряжения. В окрестности полюса истинные напряжения одного порядка. Радиальные напряжения Пиолы — Кирхгофа имеют особенность второго порядка, а окружные не имеют особенности.

Введение. Рассматривается обобщеная плоская задача теории упругости для полуплоскости г € [0, \у\ < п/2, (рис. 1), которая нагружена сосредоточенной внешней силой в начале полярных координат (г, у). Решение линейной плоской задачи для полуплоскости было получено в 1892 г. Фламаном (для силы, нормальной к границе) и Буссинеском (для наклонной силы). Линейная плоская задача для клина была решена Мичеллом в 1900 г. Экспериментальное исследование этих задач провел Вильсон (1891 г.).

Б

Рис. 1.

В линейной задаче Фламана тензор напряжений имеет вид

2

£ = — (Е • г) егег, пг2

где Е — внешняя сила, г = г ег —вектор точки тела.

* Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект №03-01-00214.

© В. М. Мальков, Ю. В. Малькова, 2004

Из этой формулы видно, что только радиальное напряжение отлично от нуля. Это напряжение имеет особенность типа 1/r при r ^ 0. Важно также отметить, что напряженное состояние не зависит от механических свойств материала. Более подробные сведения об этих задачах можно найти в [1]. Линейная задача Фламана продолжает вызывать интерес и сейчас [2]. В [3] рассмотрены некоторые нелинейные плоские задачи при сосредоточенных нагрузках. Использован упругий потенциал частного вида, из которого не выводится линейный закон Гука в случае малых деформаций. Для этого потенциала краевая задача получилась линейной и сводится к решению уравнения Лапласа относительно вектора перемещений (в линейной теории упругости имеем бигармоническое уравнение). Нелинейная контактная задача о вдавливании эластомер-ного клина в жесткий штамп с клиновидным вырезом рассмотрена в работе Гао и Зу [4]. Задача решалась приближенными аналитическими и численными методами (МКЭ) и результаты сопоставлены.

В данной работе рассматривается нелинейная обобщенная плоская задача для полуплоскости, нагруженной ортогонально к границе сосредоточенной силой. Свойства несжимаемого материала описываются неогуковским упругим потенциалом. Эта модель материала широко используется при решении нелинейных задач теории упругости эластомерных материалов. Ее применение оправдано в краевых задачах, где деформация не стеснена граничными условиями (в нашем случае граница свободна от напряжений).

Одной из современных важных проблем теории упругости является исследование правомерности применения уравнений линейной теории упругости для решения сингулярных краевых задач для областей с разрезами, трещинами, сосредоточенными нагрузками и т. д. В задачах этого класса деформации не только не малы, как это предполагает линейная теория, но и обращаются в бесконечность в окрестности особой точки. Результаты работы вносят определенный вклад в изучение этой проблемы, так как позволяют выполнить сравнение аналитических решений линейной и нелинейной задач Фламана и выясненить влияние нелинейности на напряженное состояние и на характер особенности решений в полюсе.

1. Постановка краевой задачи. Введем цилиндрические координаты отсчетной конфигурации (r, z). Предположим, что векторный базис ej (i = 1, 2, 3) этих координат совпадает с главными осями тензоров деформации Коши или Грина. В результате деформации векторы ej переходят в векторы ej, которые также образуют ортонор-мированный базис. В упомянутых выше линейных задачах Фламана и Мичелла это предположение выполняется, что и служит нам некоторым основанием для его выбора. Позже будет показано, что данная гипотеза оказывается справедливой и при больших деформациях.

Градиент деформации G = (VR)T, где R — вектор точки текущей конфигурации и тензор условных напряжений S = G-1 • JT представим в смешанном векторном базисе [5]

G = Xae'aea, S = saeae'a,

здесь Xj — главные кратности удлинений, причем A3 = const — кратность удлинения в осевом направлении, J = det G — кратность изменения объема, T — тензор истинных напряжений Коши. Векторы условных напряжений на площадках с нормалями ej таковы: sj = ej • S = sj ej. В формулах (1.1) и далее по повторяющимся греческим индексам проводится суммирование от 1 до 3, по латинским индексам суммирования нет.

Для плоской задачи параметр A3 = 1, для обобщенной плоской задачи A3 = 1 либо заданное число, либо величина, определяемая по заданной осевой силе [5].

При отсутствии внешних объемных сил уравнения равновесия отсчетной конфигурации имеют вид

div S = 0.

Граничные условия задачи сформулируем для области, не содержащей полюса, r G [ro, ж), < п/2:

si ^ 0, s2 ^ 0 при r ^ж,

S2 = 0 при = ±п/2.

При r = ro задан вектор напряжений si, приводящий к силе F, при ro ^ 0 напряжения si растут таким образом, что сила F остается постоянной. Результирующая напряжений si на дуге окружности радиуса r = const должна уравновешивать внешнюю силу F:

Г+п/2

/ s1 rdp = -F.

J-n/2

В рассматриваемой задаче уравнения (1.2) приводятся к виду

Из (1.4) и граничных условий следует, что при любом r

Г+п/2 1-п/2

Запишем уравнения равновесия (1.4) в проекциях на оси ei:

Ai

Здесь были использованы формулы дифференцирования векторов деформированного базиса

dei 1 dAi , dei 1 drA2 ,

Г+n/2

/ (rsi)r dV = 0.

J-n/2

дг гХ2 д(р 2' д(р А\ дг 2'

де' 1 д\\ ! де'2 1 дтА2 , дг гХ2 д(р д(р Ах дг 1

Модель материала неогуковского типа задается определяющим уравнением [5]

8 = ц С7 + qJG-1,

где ц — модуль сдвига; для несжимаемого материала параметр q является неизвестной функцией

si = /лА{ + qJА-1

Кратность изменения объема такова: J = А1А2А3. Из условия для напряжений ^ 0, (г = 1, 2), при т ^ж и формул (1.8) вытекает

q X,2 ^ JА-1,г = 1 2, т ^ж.

Подставим выражение

8 = / Ст + Уд  7С"1 = 0.

Так как тензор С неособый, уравнение (1.9) преобразуем так

/ [&у С - 0, 5 УЬт С] + 7 Уд = 0,

где С = Ст  С — тензор деформации Коши.

2. Решение краевой задачи. Из соотношений (1.5), (1.8) получим уравнения

0, 5/г (Л2 - \22)'г + / (Л? - \22)+г7д'г = 0,

0, 5 / (Л1 - Л?); - =0.

Уравнения (2.1) легко вывести из уравнений (1.10), если подставить в них тензор Коши С = Л2а еаеа, записанный в его главных осях.

Для модели несжимаемого материала 7 =1 уравнения (2.1) являются линейными относительно двух искомых функций: (Л1 - Л?) и д. Общее решение этих уравнений

0, 5 / (Л1 - Л?) = д'г (г) + д,

гд = Н (у) - 0, 5 [гдГ (г) + д (г)],

д (г) и Н (у) — неизвестные функции, подлежащие определению с помощью краевых условий.

Используя условие несжимаемости и формулы (2.2), найдем кратности удлинений

= (д'г +д) + ^(д'г + д)2+^2Х з2,

11\\ = -(д'г + д) + ^(д'г + д)2+^\з2-

Из граничных условий в2 =0 при у = ±п/2 получим два уравнения для функции д(г):

д'г = ^ + </)2+м2а3-2,

которые будут совместны, если Н (-п/2) = Н (+п/2) = Но.

Из (2.4) видно, что функция д'г (г) > /Л"1, причем д'г (г) ^ /Л""1 при г ^ ж. Обе части уравнения (2.4) возведем в квадрат и заменим неизвестную функцию д (г), положив

д (г) = 2Но + /Л"1 гу (г).

Результатом будет уравнение

3

-г2у/2 + 2гуу/г+у2 = 1.

Заменив переменную по формуле £ = 1п г, получим уравнение с постоянными коэффициентами

\у? + 2уу'г + у2 = \.

Общее решение этого уравнения находится достаточно просто. Сначала разрешим его относительно первой производной:

4 2 -

у[ = ~ з У ± | V У2 + 3-

Второе уравнение не совместимо с условием д' (г) > ^Х-1, из которого следует у[ + У > 1, поэтому остается одно уравнение

4 2 Г~п—7 = - 3 У + 3 у/У2 + 3.

Так как правая часть уравнения непрерывно дифференцируема по у, через каждую точку плоскости (Ь, у) проходит одна интегральная кривая. Уравнение (2.6) имеет очевидное решение у =1, его можно было написать сразу для уравнения (2.5), однако нужно исследовать все решения этого уравнения.

Пусть правая часть уравнения (2.6) не обращается в нуль, т.е. у = 1, справедливы следующие оценки:

у< 1 : у[ > 0,

у> 1 : у[ < 0, (у I 1,у' — -0), (у — +ю, у[ — -сю) Общее решение уравнения (2.6) имеет вид

3 \/Vу2 + 3 -у 2 ¡у^Тг-Оу]

= Се

С > 0 = ео^

На рис. 2 показана одна из интегральных кривых у = у (Ь), проходящая через точку Ь = 0, у = 0, другие интегральные кривые получаются при перемещении этой кривой вдоль оси Ь. Из рисунка видно, что решения (2.7) не являются однозначными как функции переменной Ь или г, что противоречит физическому смыслу задачи.

-2

Т-1-1-

2 4 б г

Рис. 2.

Таким образом, единственным допустимым решением будет у =1, ему соответствует функция

д (г) = 2Но + ¡лт Х-1. Подставим это выражение в формулы (2.2):

0, 5 ц (Х1 — Х22) = г-1(Н — Но),

ц = г 1 (Н — Но) — цХд1. Кратности удлинений будут такими

г/лХ1 = Н - Н0 + \Jih- Но)2 + г2/и2Хз 2,

гц Х22 = -Н + Н0 + ^(Н- Н0)2 +г2ц2Х^2.

3. Вычисление напряжений. Истинные напряжения Коши Т = 1ае'ае'а, условные напряжения 8 = ваеае'а и напряжения Пиолы — Кирхгофа X = оаеаеа связаны зависимостью

Л, = Х, в, = Х20г, I = 1, 2, 3

Зная кратности удлинений (2.9) и функцию ц, можно найти любые из указанных напряжений (3.1). Истинные напряжения Коши и напряжения Пиолы — Кирхгофа для закона (1.7) вычисляются по формулам

Л, = цХ.2 + .1д, ог = ц + .¡цХдг2,^ = 1, 2, 3.

Для несжимаемого материала . =1 имеем

Нг = 2 (Н - Н0) + \Jih- Н0)2+г2л2 Ад2 - гцХ^1,

Н2 = — Но)2 + г2 л2Х^2 — г/лХ^1,

Н — Но — гцХ-1

<71 = ¡л + л --=,

н — Но + у (Н — Но)2 + г2ц2Хд2

Н — Но — гцХд1

а2 = М - М-, = •

Н — Но — ^ (Н — Но)2 + г2ц2Хд2

Осевые напряжения вдоль оси г вычисяются по формулам

^з = (Н — Но)г-1 + ц (Х3 — х-1), вз = 1зХдд1, 03 = ^Хд2.

Таким образом, краевая задача решена с точностью до неизвестной функции Н (у), которую нужно найти из условия равновесия части области, ограниченной радиусом г = шиз!, и граничного условия при г = го. Поскольку функция Н = Н (у) не зависит от переменной г, она не влияет на асимптотику решения при г ^ 0 и г ^ж, уже сейчас можно сделать асимптотические оценки кратностей удлинений и напряжений. Ввиду формул (3.1) очевидно, что эти напряжения имеют разную асимптотику при г ^ 0 и г ^ ж.

В частности при г ^ 0 получим разложения

2 Н - Но \Н - Но\ Лх ---1--

¡г

¡г

22 ¡2 г2

2 Н - Но \Н - Но\ Л2 —---1--

«1 =

«2 =

' 2|/г — Нр\ ¡г

¡г ¡г

Лз(Н - Но) г-1 - л +

1 + +

22

1+2

2

1 ¡ 2г

¡г

\Н - Но\г-1 - ¡Л-1 +

2\Н - Но\

¿1 = [2(Н - Но) + \Н - Но\] г-1 - ¡Л-1 + ¿2 = \Н - Но\г-1 - ¡лЛ-1 +

2\Н - Но\Л3

2 ¡2 г

2\Н -Н0\Х2

2

2\Н - Но\Л3

+ О (г2) + О (г3),

+ О (г3),

2(Н - Но)2Л23 2(Н - Но)Л3 о"1 =--о--Ь

2\Н - Но\Л3

+ 0, 5л + О (г),

¡г2 г

Ст2 =0, 5л + О (г). Рассмотрим асимптотические разложения при г

2 _1 Н - Но 1 (Н - Но)2Лз

Л1 — лз +

+

Лг ' 2 ¡2г2

+ О (г-4),

Ц = Аз 1 1 + 0 (г_4);

Лг ' 2 ¡2г2 Н- Н0 ( _ 1 (Н - Н0)Л3 г у 4 лг

(Н - Но)2Лз Л , 1(Н - Но)Лз

= 2^

«2 = \Аз

2лг2

1 +

2 ¡г

+ О (г-3),

+ О (г-3),

= 2(Н - Н0)г-1 + + О (г-%

2 ¡г2

¿2 =

(Н - Но)2Хз 2 ¡г2

+ О (г-4),

а1 = 2

(Н - Но)Хз _ 3 (Н-Н0)2Х2 г 2 ¡г2

3 +0(г-3),

=

{Н-Нр)2Х2 2лг2

0) Лз+0(г-3).

На границах области р = ±п/2 имеем Н = Но, и некоторые из асимптотических формул не работают. Здесь нужно использовать полные формулы. В окрестности границ необходимо специальное исследование асимптотики решения. На самих границах напряжения в^, Ь^, а^, I =1, 2 обращаются в нуль, Л2 = Л2 = Л-1, в3 = ц (Л3 - Л-2).

2

2

4. Определение функции h (у). Условие совместности для уравнений (2.4) приводит к тому, что мы можем рассматривать задачи только для полуплоскости, нагруженной внешней силой, которая ортогональна границе. Это ограничение на нагрузку связано с принятым предположением, что система цилиндрических координат (r, у, z) является главной. В линейных задачах Фламана и Буссинеска такого ограничения нет, так как там в граничные условия при у = ± п/2 не входят функция h (у) и ее значение на границе полуплоскости ho.

Заметим, что положение векторов деформированного базиса ei нам неизвестно (кроме положения вектора e3). Чтобы их найти, нужно знать ортогональный тензор Q, переводящий базис e¿ в базис ei = Q • e¿. Тензор Q участвует в полярном разложении градиента деформации G = Q • Л, где тензор кратностей удлиннений Л = Xaeaea уже найден. Отсюда следует, что известны коэффициенты в формулах (1.6) дифференцирования векторов базиса ei. Общий вид ортогонального тензора плоской задачи в базисе отсчетной конфигурации [5] таков:

Q = cosш

Используя это выражение и формулы дифференцирования векторов базиса (1.6), где ei = Q • e¿, получим два уравнения для функции ш:

1 | дш _ 1 дг\2 div ___

dip Ai dr ' dr r\2 dip

Условие совместности этих уравнений (уравнение Ляме для текущей конфигурации) имеет вид:

д 1 дг\2 д 1 <9Ai _ dr Ai dr ду rÁ2 ду Решение уравнений (4.2) можно записать двумя способами:

Í 1 drA2 1 Г 1 dAi , , ч

Константы A и B определяются из условия ш ^ 0 при r ^ж.

Таким образом, полярное разложение градиента деформации G = Q • Л построено. Вектор текущего положения точки R находится из уравнения GT = VR при заданном градиенте деформации. Необходимое и достаточное условие разрешимости этого уравнения относительно вектора R такое: rot GT = 0. Легко проверить, что это условие выполняется при подстановке в него тензора G = Aaeaea. Вектор R определяется через криволинейный интеграл, который не зависит от пути интегрирования [6].

Неизвестную функцию h (у) можно найти, задав распределение напряжения si на дуге r = ro. Однако при произвольном задании напряжения можно «испортить» систему цилиндрических координат (r, у, z) в том смысле, что она перестанет быть главной. Поэтому будем искать эту функцию другим путем. Используя формулы (1.6) и правило интегрирования по частям, преобразуем интеграл при r = const:

/+;o f'+ ;o

si ei тду = - [p

-<Po J — Vo

где p = Ai/

si + [p м;; = o.

Общее решение уравнения (4.5):

psi = C\ (r)cos j p-1dp + C2 (r)sin j p-1dp.

Величины Ci и C2 параметрически зависят от радиуса r. С учетом первого из равенств (4.3) получим

ps1 = C1

Векторы ei связаны с векторным базисом декартовых координат e0 формулами

ei = cos(w + p) ei + sin(w + p) e0,

e'2 = — sin(w + p) ei + cos(w + p) e0.

Используя эти формулы и равенство (4.6), убедимся, что внеинтегральный член в равенстве (4.4) (двойная подстановка) обращается в нуль.

Функция p, которая входит в формулу (4.5), определяется равенством

_ 2Аз(/г — hp + r/i,X2) 2г/л - (h - Н0)ЦХ1'

Отсюда следуют асимптотические разложения

h_h

Р= 1 + Аз——-+0(г~2), г-> оо,

pSl = 2y%^—^+0

r

Сравнивая главные части формул (4.6) и (4.7), получим

h — h0 = D1 cos p + D2 sin p,

где константы Di и D2 находятся из условия равновесия области, ограниченной радиусом r = const. Так как задача симметрична относительно луча p = 0, константа D2 =0.

Заметим, что формулу (4.8) можно сразу получить из уравнения (4.5), записав его для главных членов разложения (4.7).

Используя условие равновесия (1.3) в предельной форме при r ^ ж, найдем константу Di, тогда формула (4.8) примет вид

h — ho = —F —= cos íp, ^V A3

где F — величина внешней силы (на единицу толщины области). Не ограничивая общности, в полученной формуле можно считать ho = 0.

В заключение докажем наше предположение, что векторный базис цилиндрических координат (r, p, z) совпадает с главными осями деформации. При построении градиента деформации мы не использовали уравнения совместности деформаций, поэтому необходима проверка их выполнения. Ниже показано (см. Замечание), что равенство rot GT = 0, которое справедливо для градиента деформации G = Aa e'aea, равносильно условиям совместности деформаций [5], которые налагаются на компоненты тензора

деформации Коши. Тем самым оправдано наше начальное предположение, что система цилиндрических координат является главной.

Замечание. Справедливо утверждение: для того, чтобы уравнение

C =

было разрешимо относительно векторного поля R при заданном поле тензоров деформации Коши C, необходимо и достаточно, чтобы для поля градиентов деформации выполнялось соотношение

rot GT = 0.

Действительно, если уравнение (1) разрешимо относительно векторного поля R, тогда для тензора GT = V R равенство (2) очевидно выполняется. Обратно, пусть выполнено равенство (2), тогда уравнение G = (V R)T разрешимо относительно векторного поля R [6]. Для компонент тензора Коши (1), вычисленных по этому векторному полю, условия совместности деформаций тождественно выполняются.

Таким образом, доказано, что условия совместности деформаций, налагаемые на компоненты тензора деформации Коши, равносильны выполнению равенства (2) для градиента деформации G. Следствием доказанного утверждения является такое заключение: равенство (2) является необходимым и достаточным условием разрешимости уравнения C = GT G относительно поля градиентов деформации G при известном поле тензоров Коши.

Summary

V. M. Mal'kov, Yu. V. Mal'kova. A nonlinear Flamant problem for non-compressible material.

The exact analytical solution of a nonlinear Flamant problem for a semi-plane loaded with a concentrated force on the bound, is obtained for non-compressible Neo — Hookean elastomeric material. In constructing this solution no limits are imposed on the magnitude of the strains. The asymptotic behaviour of stresses and strains is investigated in the vicinity of an applied force point.

Литература

1. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 576 с.

2. Unger D. J. Similarity solution of the Flamant problem by means of a one — parameter group transformation // J. of Elasticity. Vol.66. N1. 2002. P. 93 — 97.

3. Черных К. Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Ч. 2. СПб., 2000. 195 с.

4. Gao Y. C., Zhou Z. Large strain contact of a rubber wedge with a rigid notch //J. Solids and Structures. Vol. 38. 2001. P. 8921-8928.

5. Мальков В. М. Основы математической нелинейной теории упругости. СПб., 2002. 216 с.

6. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука. 1970. 940 с.

Статья поступила в редакцию 30 марта 2004 г.