Диэлектрические свойства полидисперсных волокнистых пьезоэлектромагнетиков с максвелл-вагнеровской релаксацией

УДК 539.3:537.633.9

Диэлектрические свойства полидисперсных волокнистых пьезоэлектромагнетиков с максвелл-вагнеровской релаксацией

А.А. Паньков

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, 614600, Россия

Исследована диэлектрическая дисперсия волокнистого пьезоэлектромагнетика в переменных электрических полях, обусловленная учетом проводимостей фаз и накоплением свободного объемного заряда на межфазных поверхностях и известная как «максвелл-вагнеровская поляризация». Поляризация приводит к энергетическим потерям и ее ослабление на высоких частотах обуславливает максвелл-вагнеровскую релаксацию эффективных констант композита. Проведены численный расчет и анализ влияния на действительные и мнимые части эффективных диэлектрических проницаемостей полидисперсных пьезоэлектромагнетиков с максвелл-вагнеровской релаксацией величины наполнения, инверсии свойств фаз и частоты электрического поля. Показано качественное различие частотных зависимостей эффективных диэлектрических проницаемостей волокнистых пьезоэлектромагнетиков при инверсии свойств фаз.

Ключевые слова: пьезокомпозит, электромагнитоупругость, максвелл-вагнеровская релаксация, эффективные свойства, по-лидисперсная структура

Dielectric properties of polydisperse fibrous piezoelectromagnetic composites

with Maxwell-Wagner relaxation

A.A. Pan’kov

Perm State National Research Polytechnic University, Perm, 614600, Russia

The paper studies dielectric dispersion of a fibrous piezoelectromagnetic composite in variable electric fields, which is governed by phase conductivity and free space charge accumulation at interfaces and is known as Maxwell-Wagner polarization. The polarization causes energy loss and its weakening at high frequencies leads to Maxwell-Wagner relaxation of effective constants of the composite. Numerical calculation and analysis was performed to study the effect of volume fraction, phase inversion, and electric field frequency on the real and imaginary parts of effective dielectric permeability of polydisperse piezoelectromagnetic composite with Maxwell-Wagner relaxation. A qualitative difference is demonstrated between the frequency dependences of effective dielectric permeability of fibrous piezoelectromagnetic composites in phase inversion.

Keywords: piezocomposite, electromagnetic elasticity, Maxwell-Wagner relaxation, effective properties, polydisperse structure

1. Введение

Магнитоэлектрические материалы являются одними из наиболее перспективных функциональных материалов современной электроники [1-4]. В них сочетаются диэлектрические, пьезоэлектрические, упругие, пьезомагнитные и магнитные свойства, которыми можно эффективно управлять с помощью внешних воздействий. Магнитоэлектрические константы гомогенных магни-тоэлектриков очень малы, что обуславливает создание гетерогенных композиционных магнитоэлектриков, магнитоэлектрические константы которых могут на несколько порядков превосходить соответствующие конс-

танты гомогенных материалов [2]. В магнитоэлектрических феррит-пьезоэлектрических композитах магнитоэлектрический эффект отсутствует как в пьезоэлектрической, так и в ферритовой фазах. Его возникновение в композитах связано с пьезоэлектромагнитным взаимодействием пьезоэлектрической и ферритовой подсистем через упругие деформационные поля. Учет проводимостей у у фаз / = 1, F и частоты ю приложенного электрического поля через комплексную форму записи [2, 3]

х у = х' -1Ъ-

] ] ю

© Паньков А.А., 2013

тензоров диэлектрических проницаемостей Xу фаз с действительными частями Xу приводит к комплексным значениям тензоров эффективных пьезоэлектромагнитных свойств композита, например тензор эффективной диэлектрической проницаемости

Л * _ Л /* . /

А — А I ,

и, как следствие, к возникновению на макроуровне композита дисперсии и энергетических потерь в переменных электрических полях, известных под названием «максвелл-вагнеровская релаксация»; F — число различных фаз в композите. В [3] исследована максвелл-вагнеровская релаксация феррит-пьезоэлектрических слоистых композитов и приведен анализ концентрационных и частотных зависимостей действительных и мнимых частей эффективных электромагнитных констант.

Цель работы — исследование влияния структурных параметров: величины наполнения, инверсии свойств фаз на дисперсию и максвелл-вагнеровскую релаксацию эффективных диэлектрических проницаемостей волокнистого пьезоэлектромагнетика в переменных электрических полях на основе полученного ранее решения [5] для частного случая — полидисперсных волокнистых структур.

2. Полидисперсные структуры

На рис. 1 приведены фрагменты в поперечной плоскости г1г2 для различных случаев однонаправленных вдоль г3 волокнистых полидисперсных двухфазных структур, черным цветом обозначена первая фаза, белым — вторая фаза. Распределение «частиц» поперечных сечений однофазных (рис. 1, б) и составных двухфазных (рис. 1, а, в) цилиндров по размерам достаточно широко, включая и бесконечно малые, что обуславливает возможность заполнения такими полидисперс-ными частицами всей представительной области V композита. Модель структуры на рис. 1, а образована из составных частиц — это волокно из первой фазы, окруженное слоем второй фазы композита. Такая структура сохраняет свойство матричности второй фазы при всех возможных степенях наполнения области V первой фазой е (0; 1), ю1 = (а/Ь)2, где а, Ь — внутренний и наружный радиусы произвольной составной частицы. Структура на рис. 1, в образована инверсией свойств структуры на рис. 1, а; здесь уже матричность первой фазы сохраняется при всех степенях наполнения ю1 = 1 - (а/Ь)2. Структура на рис. 1, б при «малых» степенях наполнения у1 близка к матричной по второй

фазе структуре на рис. 1, а и при «больших» у1 — к матричной по первой фазе структуре на рис. 1, в. Отметим, что структура на рис. 1, б инвариантна к инверсии свойств первой и второй фаз при фиксированной объемной доле фаз.

Для каждой фазы у = 1,2 запишем определяющие соотношения [6-9]:

С( у)Итп^тп е( у)^

И ^(Лушп^шп п]Ёп П(Лщ

'( f) ішпршп (Л пЁп ?

ііНп ,

ВІ 1( f )шпр шп + М (f) тН}

п

связывающие напряжения а, индукции электрического Б и магнитного В полей с деформациями £, напряженностями электрического Е и магнитного Н полей через считающиеся известными для каждой фазы f тензоры упругих свойств С у, пьезоэлектрических еу и пьезомагнитных hу свойств, диэлектрических Xу и магнитных Цу проницаемостей.

Тензоры эффективных пьезоэлектромагнитных свойств С*, е*, Ь*, X*, ц* и дополнительно новые тензоры х*, к * электромагнитной связи входят в определяющие соотношения на макроуровне композита:

п* — С* Р — р .. ё — ї .. Н

І] ^ушп шп ^пі^п г‘'щ±±п>

О. — р. р

I шп шп

Ві — Іішп ршп

+ Х*пЁ*п + хіпН *, +м*„нп+к*п,ё;,

где О * — (о >, £* — <£>, б* —(б), В* — (Б) и Ё* — <Ё>, Н * —<Н > — макроскопические значения напряжений, деформаций, индукций и напряженностей; (...) — оператор осреднения по области V.

Ненулевые компоненты рассматриваемых трансвер-сально-изотропных тензоров е, А, ^ Ц, С на структурном (3) и на макроуровне (4) композита можно наглядно представить в матричной форме записи:

\\Ргч\\ —

ы

Рис. 1. Фрагменты полидисперсных структур

0 0 0 0 р1 13 0

0 0 0 р1 13 0 0 ,

р311 р311 0 3 3 3 0 0

0 0 0 1123 1113 0

0 0 0 1113 -1123 0 ,

1311 1311 1333 0 0 0

А,п 0 0 М11 0 0

0 А,п 0 , 1Ы1 — 0 М11 0 ,

0 0 3 3 0 0 М33

С1111 С1122 С1133 0 0 0

С1122 С1111 С1133 0 0 0

С1133 С1133 С3333 0 0 0

0 0 0 С1313 0 0

0 0 0 0 С 1313 0

0 0 0 0 0 С1212

где С1212 = (С1111 - С1122)/2, тензорные и матричные индексы связаны между собой соотношениями 11 ^ 1, 22 ^ 2, 33 ^ 3, 23 и 32 ^ 4, 13 и 31 ^ 5, 12 и 21 ^ 6.

3. Пьезопассивные композиты

Без учета пьезоактивности фаз известны различные решения [10, 11] для эффективных диэлектрических проницаемостей композита, наиболее известные из которых — это решения Фойгта-Рейсса, Хашина-Штрикмана и Максвелла-Гарнета.

Решения Фойгта

х;=<х>

и Рейсса

Х^1 =<Х-1>

образуют вариационную «вилку», внутри которой лежат действительные X * значения диэлектрических проницаемостей композита

(6) X(

[10, 11] лежат внутри границ Фойгта-Рейсса

^ — X(1) — X — X( 2) — ^

Для однонаправленного двухфазного волокнистого композита тензоры X!!), X (2) могут быть получены [10] из решения задачи о нагружении продольным или поперечным электрическим полем составного цилиндра по-лидисперсной модели на рис. 1, а и в соответственно; для гранулированного композита — из решения задачи о нагружении составной сферы. Например, для поперечных диэлектрических проницаемостей Х(1)11, Х(2)11 однонаправленного двухфазного волокнистого композита [10] имеют место соотношения V-, V, 1

X ^ — X — X ;•

Решения или «вилка» Хашина-Штрикмана X!1), Л

Х (1)11 Х(1)11 2Х(1)11 Х11

Х (2)11 Х(2)11 2Х(2)11 Х11 где Х11 =Х(1)11 -Х(2)11, у2 = 1 - v1; для продольной диэлектрической проницаемости

Х

Для полидисперсной структуры на рис. 1, б решение для эффективной диэлектрической проницаемости

Х*1 = 2

может быть получено из расчетной схемы (одиночное волокно в эффективной среде, нагруженной поперечным электрическим полем) как решение квадратного уравнения

(Хп)2 + ЬХ11 + с = 0,

где О = Ь2 - 4с, Ь = Х11(1 - 2ю1), с = Х(1)11Х(2)11. Решение для эффективной продольной диэлектрической проницаемости Х33 совпадает с решением Фойгта (5), (8).

Формула Максвелла-Г арнета [11, 12] для эффективной диэлектрической проницаемости Х 33 двухфазного композита с эллипсоидальными включениями, главные полуоси которых а = Ь Ф с, имеет вид:

( \

Х 33 = Х(2)33

1 +

Х>2 А3 + Х(2)33 /Х

33

V ' /

полуось с ориентирована вдоль оси г3; фактор деполяризации эллипсоида [11] 0 < А3(^) < 1 для случая ^ = с/а >1:

А3 =

1 - е

—1п

2

1 + е 1-е

- е

где

е =. 1 -

для случая £< 1:

А3 =

^ - arctg t ],

где

t= »ТТ - 1

В частных случаях для «игольчатых» включений при ^>>1 А3 = 1п^Д2 и при А3 ^0, для шара при

£ = 1 А3 = 1/3, для «сплюснутых» включений при ^>> 1 А3 = 1 - л£/2 и при 0 А3 ^ 1. Отметим, что для однонаправленного волокнистого композита из формулы Максвелла-Гарнета (10) следует решение Фойгта (5).

4. Пьезоактивные композиты

С учетом электромагнитной пьезоактивности фаз решение для эффективных диэлектрических проницаемостей двухфазного композита с ориентированными эллипсоидальными включениями получено [5] в обобщенном сингулярном приближении с использованием новых функций Грина для пьезоэлектромагнитной трансверсально-изотропной среды. Для частных случаев, когда свойства «среды сравнения» [5, 10] приравниваются последовательно к свойствам первой и второй фаз композита, имеем решения для пьезоактивных по-лидисперсных структур из составных эллипсоидальных частиц, аналогичных цилиндрическим на рис. 1, а, в, обобщающие решения Хашина-Штрикмана (7) на класс пьезоактивных композитов с эллипсоидальным зерном неоднородности. Например, для однонаправленной волокнистой полидисперсной структуры (рис. 1, а) с учетом пьезоактивности фаз решение для поперечной диэлектрической проницаемости композита имеет вид:

Х11 =Х

где

У.

Ьц — ^2 , Ь31 — а1Ь11 а,

У0

Рис. 2. Зависимости действительной

е(1)1

13 V2 + е

а

Х

2Х (2)11

'2 — ,

Х

1 + ^1 п

V 0 = У 3 +---------1У 4 + а1У1 + РхУ 2.

Х(1)11 7

VI = е(1)113 Х е(1)113, У2 = Ь(1)113 '

Х (2)11

ц(1)11

Ц(2)11

Ь(2)113,

У 3 = С(

е(1)113 е(2)113 + Ь(1)113 Ь(2)113

(1)1313

Х (2)11

Ц(2)11

У 4 = С(

(2)1313

е2 Ь2

+ е(2)113 + Ь(2)113

Х (2)11 Ц (2)11

е113 = е(1)113 е(2)113, Х11 = Х (1)11 Х (2)11 •

Продольная диэлектрическая проницаемость полидис-персной структуры

Х33 = <Х33 >+ . Т2<?'1)2+г • <12>

^1к(2)12 + '°2к(1)12 + О(2)12

где е311 = е(')311 - е(2)311, к(у)12 — объемные модули плоской деформации; О(у )12 — модули сдвига фаз в плоскости г,г2. Комплексные (1) диэлектрические проницаемости фаз в (11), (12) имеют вид:

Х = Х Д (у)''

Х (у )11 = Х( у) 11 1~—

где Х^ у )1— — действительные части; у (у )п — удельные проводимости фаз; м — круговая частота приложенного к композиту поперечного электрического поля.

5. Численный расчет

Проведем численный анализ влияния на действительную Х1' и мнимую Х, 1 части (2) эффективной поЛ *

перечной диэлектрической проницаемости Х1— (11) по-лидисперсного волокнистого композита (рис. 1) из пьезоэлектрической (PVF) и пьезомагнитной (феррит) фаз величины наполнения V,, инверсии свойств и частоты м приложенного электрического поля. Независимые упругие, диэлектрические и пьезомеханические постоянные трансверсально-изотропных электроупругих свойств волокон полимерного пьезоэлектрика PVF с осью симметрии г3 приведены в [8, 13]. Необходимые для расчета Х—, по формуле (11) константы пьезоэлектрической фазы PVF: продольный модуль сдвига С(,)1313 = 0.10 • 1010 Па, действительная часть диэлектрической проницаемости Х^,, = 14.7Х0, пьезоэлектрическая постоянная е(')113 = 2.3 Кл/м2, диэлектрическая проницаемость вакуума Х0 ~ 8.85 -10-12 Ф/м, А(')113 = 0; для пьезомагнитной ферритовой фазы [8]: С(2)1313 = = 5.5 -1010 Па, Ь(2)113 = 200 Тл, ц(2)1, = 3.14 -10-5 Тл - м/А, е(2)113 = 0. Дополнительно проводимость У(')П полимерного пьезоэлектрика PVF приравняем к проводимости полиэтилена 10-10 (Ом - м)-1 [14], проводимость феррита у(2)П — к значению 10-5 (Ом - м)-1 [3] и Х(2)п = 10Х 0 [1] для никелевой феррошпинели; проницаемость ц ('),, — к магнитной постоянной вакуума ц0 -1.256 -10-6 Тл - м/А.

На рис. 2 представлены результаты расчета действительной Х1' и мнимой Х—1 частей эффективной поперечной диэлектрической проницаемости Х1— полидис-персного волокнистого композита «феррит - PVF»:

Рис. 3. Зависимости действительной (сплошная линия) и мнимой (штриховая линия) частей диэлектрической проницаемости

*

Х—1 композита «PVF - феррит» от объемной доли V, пьезоэлектрика PVF при круговой частоте электрического поля м = 500

(ферритовая матрица с пьезоэлектрическими PVF волокнами); на рис. 3 — результаты при инверсии свойств фаз для композита «PVF - феррит» (пьезоэлектрическая PVF матрица с ферритовыми волокнами). Отметим, что на рис. 2 и 3 через V, обозначена объемная доля пьезоэлектрика PVF. Инверсия свойств сильно влияет на характер частотных зависимостей как действительной

Л /* ^ Л ^ ^

Х1 — , так и мнимой Х1— частей диэлектрической проницаемости (рис. 2, 3). Время релаксации тк и релаксационная частота мк = 1/тк, соответствующая макси-

^ Л //*

муму мнимой части Х,,, изменяются в широких пределах варьированием объемными долями и свойствами фаз [3]. Отметим, что полученные результаты хорошо согласуются с выводами как аналитических с учетом [14, 15] и без учета [12, 16, 17] пьезоактивности фаз, так и экспериментальных [18, 19] исследований.

6. Заключение

Проведены численный расчет и анализ влияния на действительные Х', и мнимые Х—( части эффективной диэлектрической проницаемости Х1— полидисперсных

магнитоэлектрических пьезокомпозитов с максвелл-вагнеровской релаксацией величины наполнения V,, инверсии свойств фаз и частоты м электрического поля. Мнимая часть Х—* диэлектрической проницаемости обусловлена учетом проводимостей у(у)1— пьезоактивных фаз композита и в пределе Х—1 ^ 0, когда У (у )11 ^ °.

Для концентрационных (рис. 2, а, 3, а) зависимостей действительных Х—'( V,) и мнимых Х—'( V,) частей характерны экстремумы, особенно ярко выраженные для композита «PVF - феррит» (рис. 3, а), например, при малой объемной доле V, - 0.1 при м = 500 с-1.

Для частотных зависимостей Хп(м) композитов «феррит - PVF» (рис. 2, б) и «PVF - феррит» (рис. 3, б, г) характерна глубокая нормальная релаксация, обусловленная тем, что на высоких частотах не успевает накапливаться объемный заряд вблизи межфазных границ [1]. При нормальной релаксации абсолютное значение

^ ^ Л /*

действительной части Х1— монотонно уменьшается с ростом частоты, тогда как для мнимой части характерен четко выраженный релаксационный экстремум

(рис. 2, б, 3, б, г). При этом релаксационная частота мк растет с увеличением объемной доли пьезоэлектрика РУБ (матрица) в композите «РУБ - феррит». Отметим существенные различия относительных значений действительных частей Х1 ,/Х0 эффективной диэлектрической проницаемости при низкочастотном м ^ 0 электрическом поле для композитов «феррит -PУБ» и «PVБ - феррит».

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ-Урал № 10-01-96047-р_урал_а.

Литература

1. Турик А.В., Чернобабов А.И., Родинин М.Ю., Толокольников Е.А. Магнитоэлектричество в двумерных статистических смесях // ФТТ. - 2009. - Т. 51. - № 7. - С. 1395-1397.

2. Турик А.В., Чернобабов А.И., Родинин М.Ю. Гетерогенные мульти-ферроики: магнитоэлектричество и пьезоэффект // ФТТ. - 2009. -Т. 51. - № 8. - С. 1580-1583.

3. Петров В.М., Бичурин М.И., Srinivasan G. Максвелл-вагнеровская релаксация в магнитоэлектрических композиционных материалах // Письма в ЖТФ. - 2004. - Т. 30. - № 8. - С. 81-87.

4. Филиппов Д.А. Теория магнитоэлектрического эффекта в гибридных феррит-пьезоэлектрических композиционных материалах // Письма в ЖТФ. - 2004. - Т. 30. - № 9. - С. 6-11.

5. Паньков А.А. Коэффициенты электромагнитной связи композита с пьезоактивными фазами // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - № 2. -С. 93-99.

6. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применения в ультраакустике. - М.: Иностр. лит., 1952. - 448 с.

7. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлект-

рических и электропроводных тел. - М.: Наука, 1988. - 471 с.

8. Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Лещенко П.В. Прогнозирование эффективных свойств пьезоактивнык композитных материалов. -Киев: Наукова думка, 1989. - 208 с.

9. Паньков А.А. Статистическая механика пьезокомпозитов. - Пермь:

Изд-во ПГТУ, 2009. - 480 с.

10. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднороднык сред. -М.: Наука, 1976. - 399 с.

11. Виноградов А.П. Электродинамика композитнык материалов. -М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 208 с.

12. Турик А.В., Радченко Г.С., Чернобабов А.И., Турик С.А. Диэлектрическая проницаемость полимернык матриц, содержащих изолированные включения: гигантское диэлектрическое усиление вместо коллективного резонанса // Письма в ЖЭТФ. - 2004. - Т. 79. -№ 9. - С. 512-514.

13. Sessler G.M. Piezoelectricity in polyvinylidenefluoride // J. Acoust. Soc. Amer. - 1981. - V. 70. - No. 6. - P. 1596-1608.

14. ТурикА.В., РадченкоГ.С. Гигантский пьезоэлектрический эффект в слоистык композитах сегнетоэлектрик-полимер // ФТТ. - 2003. -Т. 45. - № 9. - С. 1676-1679.

15. Чернобабов А.И., Турик А.В., Толокольников Е.А., Родинин М.Ю., Темирчев Г.И. Хаотическая динамика в пьезоактивных статистических смесях // ФТТ. - 2009. - Т. 51. - № 7. - С. 1419-1421.

16. Турик А.В., Гармашов С.И. Диэлектрические потери в статистических смесях // ФТТ. - 2011. - Т. 53. - № 6. - С. 1129-1132.

17. БалагуровБ.Я., Кашин В.А. Исследование аналитических свойств эффективной диэлектрической проницаемости двумерной модели Рэлея // ЖЭТФ. - 2005. - Т. 127. - № 4. - С. 827-837.

18. Соцков В.А. Экспериментальная оценка концентрационной зависимости действительной части диэлектрической проницаемости в неупорядоченной макросистеме парафин-графит // Письма в ЖТФ. - 2004. - Т. 30. - № 12. - С. 1-5.

19. Ульзутуев А.Н., Ушаков НМ. Диэлектрическая проницаемость нанонаполненного полиметилметакрилата и ее изменение с ростом температуры // Письма в ЖТФ. - 2012. - Т. 38. - № 5. - С. 9196.

Поступила в редакцию 19.10.2012 г., после переработки 23.11.2012 г.

Сведения об авторе

Паньков Андрей Анатольевич, д.ф.-м.н., доц., проф. ПНИПУ, шkшk@pstu.ru