Анализ зависимости дифференциальной емкости области пространственного заряда бесщелевого полупроводника от поверхностного потенциала при комнатных температурах

3

ФИЗИКА

АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ ЕМКОСТИ ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА БЕСЩЕЛЕВОГО ПОЛУПРОВОДНИКА ОТ ПОВЕРХНОСТНОГО ПОТЕНЦИАЛА ПРИ КОМНАТНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ

О.Ю. Шевченко, В.Б. Божевольнов, А.Д. Перепелкин, А.М. Яфясов

Предложена методика оценки электронных параметров (величины матричного элемента оператора квазиимпульса, эффективной массы электронов, положения уровня Ферми) бесщелевых полупроводников в рамках классического описания области пространственного заряда при комнатной температуре. Получен критерий ее применимости. Проведена оценка электронных параметров и определен критерий точности методики для бесщелевого соединения Н^е.

Введение

Исследование бесщелевых и узкощелевых полупроводников на сегодняшний день является одним из основных направлений микроэлектроники. Это обусловлено возможностью использования этих материалов в качестве основы для создания быстродействующих полупроводниковых приборов, гетероструктур, квантовых интерференционных структур [1]. Однако в настоящее время электронные свойства бесщелевых полупроводников изучены недостаточно. Особенно мало информации об электронных параметрах поверхности и приповерхностного слоя этих соединений при высоких температурах.

Для экспериментального исследования электронных свойств поверхности и приповерхностной области бесщелевых полупроводников Н§Бе при комнатной температуре использован метод эффекта поля в системе полупроводник - электролит ЭППЭ [2]. Определена величина матричного элемента оператора квазиимпульса, эффективная масса электронов для этого соединения.

Методика расчета

Закон дисперсии для узкощелевых полупроводников в кейновском представлении обычно записывается в виде [3]

1 + Е + ^

Е

32

Д

Для бесщелевых полупроводников в приближении Д ^ ю и = 0 выражение

Е*

Е*

Е = Р8--2- = --2-,

2 2 ¡2

где б = 1/"^. Плотность состояний в интервале изменения квазиимпульса р, р +йр может быть рассчитана из соотношения

Е + 1 g

2

3

ЩЕ) = П I — =

(2п)3 ^ VрЕ {2) ж2Р3

Поскольку у бесщелевых полупроводников уровень Ферми находится выше дна зоны проводимости, то практически во всем обогащенном электронами слое на поверхности соблюдены условия сильного вырождения электронного газа, т.е. справедливо выражение м(£) >> к0Т ,где м(£) = цУ(£) + Мъ (мь = Ер в объеме проводника, т.е при

Выражение для локальной концентрации электронов (п(2)=п(м)) в ОПЗ с учетом (3) можно получить в виде

(

М ( 3 N\У2

п(м) = | Е)ёЕ = 13 У

М +

Ег

V

2р3 П Г

Используя (4), плотность заряда в ОПЗ может быть рассчитана по формуле

^с = е о^

у ¿2

Ц

Производную в формуле (5) можно вычислить аналитически:

ф,

ц = ц 3

2д2

е 0 е

0Ь ,че

I и(м)ф

мь

1/2

Используя (6), а также определение дифференциальной емкости ОПЗ полупроводника, получим

(

Ск

^ с

ду + Мъ +

Ег

V

Мъ +

Ег

л4 (

Мъ +

Ег

где в =

ц 2е 0е sc

. Разлагая (7) в ряд по малому параметру

м ь +

(3 ) п 2 р 3

ходим к выражению

С..

+ Мь

ч3Л

Мь

дУ,

при-

Поскольку поправка, связанная с отклонением от ультрарелятивистского предела

(

Е = 0, мь = 0, возникает только в третьем порядке по

Мъ +

Ег

Л

2

/дУ, , вклад второго

члена в скобках несуществен уже при небольших изгибах зон и быстро падает с ростом У,. Тогда выражение (8) может быть записано в виде

сж «Р(дУ, + Мъ +ир ,

и

2

2

в

4

2

2

ёС 2

-= Ч

ёУ. 4

8 П8

0Ь .С

(23)/2 П2 Р 3

Производная , измеренная в области линейного участка электронной ветви

ВФХ, определяется только двумя материальными параметрами - матричным элементом оператора квазиимпульса Р и диэлектрической проницаемостью. Таким образом, формула (8) позволяет точно определить один из двух параметров, если другой измерен независимым образом или известен из литературы.

Зададимся вопросом, насколько выведенное выражение (8) является универсальным и корректным для вырожденной системы электронов на поверхности бесщелевого полупроводника. Для упрощения вычислений предположим Её = 0. В этом случае закон дисперсии записывается выражением

Е = рв = вНк.

Оценим отношение характерного размера ширины потенциальной ямы, которая задается величиной поверхностного потенциала У. > 0 к длине волны электрона. При этом

будем полагать, что чУв >> Мь. Для такой оценки воспользуемся соотношением для ло-

кальной концентрации электронов

^ чУ( г)2*4п к 2 ёк (3/) п( Е) = ]

0 (2п)3 П2Р3 31

Ход электростатического потенциала У(г) в формуле (12) можно непосредственно определить из решения уравнения Пуассона

Ч

1 чУ (г )|3.

ё 2У

-Ч г)

ёг 808вс

с граничными условиями У|г=0 = У. и У|г=ю = 0. Уравнение (13) с учетом (12) можно переписать в виде

ё 2У ёг 2

Ч

)

\ч\3У 3( г ) = АУ3

808 .с П2 Р3

ч4 ( )2

где А =--. Для решения уравнения (14) домножим левую и правую части

3пР 808

0Ь вс

2 ёУ

уравнения на 2-и проинтегрируем его:

ёг

у

12 ёУ

0 ёг

Г ё 2У ^

ёг2

ёУ

ёг

у = Ат/ 4

0 = — у 02

у

Из формулы (15) следует, что

ёУ ШУ2.

ёг V 2

Интегрирование (16) позволяет получить ход потенциала в ОПЗ полупроводника:

У =

У.

1+Ч г

2

0

Используя формулу (17), можно оценить соотношение размеров и длины деброй-левской волны электрона: Г

У =

2Т ^

У

П* .

В этом выражении п* - концентрация электронов на поверхности полупроводника. Очевидно, что соотношение (18) можно использовать только в том случае, если у>>1. В противном случае описание зависимости дифференциальной емкости от поверхностного потенциала вырожденной системы электронов на поверхности бесщелевого полупроводника должно учитывать процессы размерного квантования.

Оценка (18) с учетом констант и диэлектрической проницаемости может быть представлена в следующем виде:

у ~ 1.15 • 10-12— А- .

^*с V*2

Выражение (20) при определенном соотношении величины поверхностного изгиба зон и локальной концентрации электронов в ОПЗ для конкретного полупроводника может быть много больше единицы, тогда соотношение (10) корректно для расчета величины матричного элемента оператора квазиимпульса.

Знание величины матричного элемента оператора квазиимпульса позволяет сделать оценку некоторых других параметров. Для псевдоультрарелятивистского закона дисперсии (2) конечное значение Её позволяет сделать оценки эффективной массы

электронов на дне зоне проводимости (или ширины запрещенной зоны Епри известном значении т* ), воспользовавшись выражением

2

Е = 4 то Р

= 7~7"0-" .

к2

т* -1

Vт у

В заключение следует отметить, что если для оценок использовать соотношение (10), то его экстраполяция к С ,,с = 0 позволяет получить оценку энергии уровня Ферми Ер в объеме полупроводника из соотношения

Ее =0 - V.

Для бесщелевого полупроводника Н^Бе проводилась проверка корректности использования формул (8) и (10) для определения матричного элемента оператора квази-

12 — 2

импульса. Искомая оценка (20) при потенциале 0.3 В и п* « 8 -10^ "" (расчет по

рис. 1) составляет примерно 20. Более того, во всем диапазоне изменения электродных потенциалов в катодную область от 0 В до -0.5 В такая оценка как минимум на порядок больше 1, что свидетельствует о корректности проводимых расчетов в условиях эксперимента. Полученная величина матричного элемента оператора квазиимпульса Р для Н§Бе в пределах разброса экспериментальных ВФХ (см. рис. 1) составляет =(7.2-8.2) -10 эВ-см, что хорошо согласуется с литературными данными [4]. Используя полученные значения и величину запрещенной зоны при комнатной температуре [5], по формуле (21) была определена эффективная масса электронов для Н§Бе. Оценка в пределах экспериментального разброса составила те =(0.0050-0.0065)т0 (т0 - масса свободного электрона), что ниже известных из литературы значений те =(0.015-0.095)т0. Это позволяет утверждать, что эффекты размерного квантования электронов в ОПЗ бесщелевых полупроводников проявляются уже при комнатных тем-

пературах, и оценка величины эффективной массы электронов в этих соединениях

Рис. 1. Экспериментальная С5С(У5)-зависимость для бесщелевого полупроводника HgSe, измеренная методом ЭППЭ в водном растворе KCl

Заключение

Проведенные исследования позволяют утверждать, что размерное квантование электронов в ОПЗ в бесщелевых полупроводниках HgSe проявляется уже при комнатных температурах. Получена формула для электронных параметров бесщелевых полупроводников в рамках классического описания области пространственного заряда при комнатной температуре. Определен критерий ее применимости. Проведена оценка величины матричного элемента оператора квазиимпульса и величины эффективной массы электронов, определен критерий точности полученной методики для бесщелевого соединения HgSe.

Литература

1. Dornhaus R., Nimtz G. Narrow-Gap semiconductors. // Springer - Tracts in Mod. Phys. 1983.V.98. №1. Р.309.

2. Мямлин В.А., Плесков Ю.В. Электрохимия полупроводников. М: Наука, 1965. 338 с.

3. Цидильковский И.М. Зонная структура полупроводников. М.: Наука, 1978. 328 с.

4. Шевченко О.Ю., Раданцев В.Ф., Яфясов А.М., Божевольнов В.Б., Иванкив И.М., Перепелкин А.Д. Определение матричного элемента оператора квазиимпульса в бесщелевом полупроводнике HgSe методом эффекта поля в электролите. // ФТП. 2002. Т.36. В.4. С. 412-415.

5. Lehovski S.L., Broerman J.G., Nelson D.A., Whitesett Ch.R. Temperature-dependent electrical properties of HgSe. // Phys.Rev.B. 1974. V.9. №4. Р.1598-1619.