Основная оптимизационная задача геометрического проектирования в интервальном виде

дований. Если считать, что усвоение знаний и получение информации не зависимы друг от друга, то можно воспользоваться выражением (25), а каждый из процессов описывать цепями Маркова.

РЕЗУЛЬТАТЫ

Рассмотрены законы распределения времени получения информации участниками учебного процесса. Показано, что получение информации достаточно хорошо описывается экспоненциальным законом для малых объемов информации и гамма-распределением для больших объемов. На примерах продемонстрировано подтверждение теоретических предположений экспериментальными данными. Намечены пути объединения модели учебного процесса с процессом его информационного обеспечения.

Как мы видим из сравнения таблиц 1 и 3, наличие хорошо систематизированных материалов в собственной информационной системе университета обеспечит уменьшение материальных и временных затрат на поиск и получние необходимых информационных ресурсов всеми участниками учебного процесса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Ориентация библиотеки на обеспечение образовательной деятельности университета и современные условия подготовки специалистов предъявляют высокие требования к актуальности информации, своевременности ее получения [7].

Предлагаемая модель информационного обеспечения как основа образовательного пространства создает предпосылки для получения эффективного сотрудничества между различными участниками образовательного процесса, целью которого является создание единой информационно-образовательной среды университета.

Достигнутые результаты планируется использовать в построении более высоких уровней иерархии информационной модели вуза, а именно: при построении иерархической структуры информационного обеспечения процесса обучения; при исследовании качества взаимодействия системы обучения с системой ее информационного обеспечения; при построении алгоритма анализа качества

информационного обеспечения процесса обучения; при создании модели управления информационными потоками для процессов образования в университете; при построении системы информационного обеспечения на всех уровнях обучения.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. A Survey of Distance Education Challenges and Technologies. International Journal of Distance Education Technologies, Jan-Mar 2003, Vol. 1. Issue 1, p1, 21p; (AN 10166088).

2. Юдин В.В. Библиотечный комплекс вуза для дистанционного образования // Библиотеки и ассоциации в меняющемся мире: новые технологии и новые формы сотрудничества: Тема 2003 года: Библиотека и доступность информации в современном мире: электронные ресурсы науке, культуре и образованию: Тр.конф./ 10-я юбил.междунар.конф."Крым-2003", - М.: ГПНТБ России,

2003. - Т. 3. - С. 906-908.

3. Немцев О.В. Информационная среда вуза // Проектирование образовательных информационных ресурсов, систем и технологий. Сб. докладов и сообщений. - М.: ИЦПКПС, 1998. - С. 55-60.

4. Вершина А.И., Солдатов Б.Т. Моделирование процесса обучения // "Радюелектронта. ¡нформатика. Управлшня". -Запор1жжя: ЗНТУ, 2003. - №1. - С. 65-72.

5. Вершина А.И., Солдатов Б.Т. Ермоленко А.А. Учебный процесс как иерархическая система // "Радюелектро-жка. ¡нформатика. Управлшня". - Запор1жжя: ЗНТу,

2004. - №1. - С. 54-62.

6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1975. - 336 с.

7. Киричек Г.Г. Использование электронных ресурсов библиотеки университета в учебном процессе // Електронш ресурси в б1блютеках - 2004: Матер1али конференцп / Науково-практична конференшя, 17-21 травня 2004 р., м. МиколаТв. - К.: ТОВ "¡ММ "Фракам", 2004. - 92 с.

Надшшла 19.04.2004 Шсля доробки 29.10.2004

Побудова Modeni навчального процесу ynieepcumemy mic-но зв'язана з iнфoрмацiйнuм забезпеченням. У cmammi роз-глядаються мoжлuвicmь i ocoблuвocmi рШення зaдaчi побу-дови Modeni iнфoрмaцiйнo-ocвimньo'i cucmeMu yнiвeрcumemy, зacнoвaнo'i на nрunyщeннi, що iмoвiрнicmь одержання деяко-го oбcягy iнфoрмaцi'i в нecкiнчeннo мaлoмy nрoмiжкy 4acy з рiзнux мicць збереження пропорцшна рoзмiрy цього nрoмiж-Ky. Тактй niдxiд добре yзгoджyemьcя з моделлю навчального nрoцecy,якa зacнoвaнa на щх же nрuнцunax.

Modelling a university educational process is closely related to information supply. The article deals with the way to model the university information and educational system, based on the assumption that the probability of retrieving a certain amount of information from different storage locations within an infinitesimal time interval is proportional to the length of this interval. Such approach is well in line with the educational process model, based on the same principles.

УДК 519.6:514.1

И.В. Гребенник, Т.Е. Романова, Л. Г. Евсеева

ОСНОВНАЯ ОПТИМИЗАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ В ИНТЕРВАЛЬНОМ ВИДЕ

Cmрoumcя мameмamuчecкaя модель onmuмuзaцuoннoй за-дач-iu гeoмemрuчecкoгo nрoeкmuрoвaнuя в uнmeрвaльнoм про-cmрaнcmвe. Bыдeляюmcя мнoжecmвa базовых двyмeрныx u mрex-мерных uнmeрвaльныx гeoмemрuчecкux oбъeкmoв. Bвoдumcя

noняmue гeoмemрuчecкoй uнфoрмaцuu о бaзoвыx u cocmaвныx uнmeрвaльныx гeoмemрuчecкux oбъeкmax. Фoрмuрyemcя об-лacmь дonycmuмыx решент onmuмuзaцuoннoй uнmeрвaльнoй зaдaчu рaзмeщeнuя c ucnoльзoвaнueм мemoдa Ф -фyнкцuй.

АКТУАЛЬНОСТЬ

Многие прикладные и практические задачи размещения, упаковки, раскроя и покрытия, модели которых используются в различных предметных областях, относятся к классу задач геометрического проектирования [1]. Традиционно математические модели и методы решения задач геометрического проектирования строились и применялись без учета погрешностей исходных данных, то есть в идеализированной форме. Развитие геометрического проектирования как научного направления вызвало необходимость учета погрешностей метрических характеристик и параметров размещения геометрических объектов в математических моделях задач и методах их решения.

Важный класс задач геометрического проектирования составляют оптимизационные задачи, решение которых связано с поиском экстремального значения некоторой целевой функции. Математические модели оптимизационных задач размещения (упаковки, раскроя), покрытия, в том числе некоторые комбинаторные задачи, учитывающие погрешности исходных данных, а также подходы к их решению представлены, например, в [2-5].

Основным способом учета погрешностей исходных данных и метрических характеристик в этих работах является применение элементов теории интервального анализа [6] в геометрическом проектировании [7, 8].

Однако, к настоящему времени не построена математическая модель основной задачи геометрического проектирования [1], реализации которой покрывали бы множество математических моделей задач рассматриваемого класса в интервальном виде.

Целью настоящей работы является построение математической модели основной оптимизационной интервальной задачи геометрического проектирования, которая, с одной стороны, рациональным образом учитывала бы погрешности исходных данных, а с другой стороны была представлена в таком виде, который бы позволял реализовать ее современными эффективными методами оптимизации.

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

В качестве математических моделей реальных объектов в пределах данного исследования рассматриваются точечные множества двумерных и трехмерных интервальных пространств ^Я, т = 2, 3 [7-9].

Как известно [1, 10], основой построения математических моделей задач геометрического проектирования является моделирование отношений между геометрическими объектами.

Под отношениями интервальных геометрических объектов будем понимать отношения пересечения, касания, непересечения в обычном теоретико-множественном смысле.

Поскольку мощность множества пространственных форм объектов интервальных пространств, также как и евклидовых, - континуум, то, очевидно, что описание в аналитическом виде отношений между всеми парами интервальных объектов является задачей неразрешимой.

Вследствие этого, по аналогии с идеализированным случаем [11, 12], возникла идея выделения класса так называемых базовых интервальных объектов.

В данном исследовании в качестве базовых двумерных интервальных объектов Т выбираются: интервальные круги С, интервальные прямоугольники Я, правильные интервальные многоугольники Н, выпуклые интервальные многоугольники К и замыкания их дополнений до всего двумерного интервального пространства, т. е. Т* = 1тТ и( 1_2Я\с1Т), где &Т, с1Т - интервальная граница и топологическое замыкание множества Т [9]. В качестве базовых трехмерных интервальных объектов рассматриваются: интервальные шары 5, интервальные параллелепипеды Р, интервальные цилиндры С^, интервальные конусы С0, выпуклые интервальные многогранники Кр, а также замыкания их дополнений до всего трехмерного интервального пространства, т. е. Т* = = и(¡3я\с1Т).

Обозначим множество базовых интервальных объектов ЭД = 3 и 3*, где в двумерном случае 3 = = {С, Я, Н, К}, 3* = {С*, Я*, Н*, К*}, в трехмерном -3 = {8, Р, Су, С0, Кр}, 3* = {8*, Р*, Су*, С0*, Кр*].

Используя различные комбинации операций пересечения и объединения базовых интервальных объектов, можно генерировать интервальные объекты более сложной пространственной формы. Аналогично идеализированному случаю будем называть такие интервальные объекты составными [13].

Определим кортежи геометрической информации, следуя [1], индуцирующие в интервальном пространстве базовые интервальные объекты.

Пусть g = (Т, М, и) - кортеж геометрической информации, индуцирующий однозначно произвольный интервальный объект Т е ЭД в пространстве 1тЯ, т = 2, 3, где Т, М, и - пространственная форма, метрические характеристики и параметры размещения объекта Т е ЭД в соответствующем пространстве ^Я, т = 2, 3.

Геометрическая информация об интервальных базовых 2П объектах задается следующим образом: gc = (С, <К), и), gC* = (С*, <К), и), где <К) = <г,\г) -метрическая характеристика, характеризующая радиус интервального круга С, здесь и далее и = = (<х, \х), <у, Уу)) - параметры размещения объекта Те^Я; gR = (Я,(<А), <В)), и), gR* = (Я*, (<А), <В)), и), где <А) = <а, \а), <В) = <Ь, \ь) - параметры, характеризующие соответственно длину и ширину интервального прямоугольника Я; gн = (Н, (п, <К), <0)), и), gн* = = (Н*, (п, <К), <0)), и), где п - число сторон многоугольника Н, <К) = <г, \г) - метрическая характеристика, характеризующая радиус описанной около Н интервальной окружности, и <0) = <8, у0) - интервальный угол поворота многоугольника Н в собственной системе координат Н, при условии 0 < 8 < 2я/п; gK = (К, (У1, У2, ..., Уп), и), gк* = (К* (уь у2, УпX и) где У = (<х, Ух), <у, Му)) <х, \х ), <у, \у) - координаты г-й вершины многоугольника К, г = 1, ..., п, заданные против часовой стрелки в его собственной системе интервальных координат.

Геометрическая информация о базовых интервальных 30 объектах задается следующим образом: В8 = (8, <Я), и), в8* = (8*, <Я), и), где (Я) - метрическая характеристика, характеризующая интервальный радиус интервального шара 5, здесь и далее и = (<х,\х), <у,\у), <) - параметры размещения объекта Те^Я; gp = (Р, (<А), <В), <Н)), и), вр* = = (Р*,(<А), <В), <Н)), и), где <А) = <а,\а), <В) = <Ь,чь), <Н) = <И, - метрические характеристики, характеризующие соответственно длину, ширину и высоту интервального параллелепипеда Р; gc =

= (Су, (<Н), <Я)), и), gc. = (с;*, (<Н), <Я)), и), где <Н),

<Я) - метрические характеристики, характеризующие соответственно интервальную высоту и радиус основания цилиндра С„; gc = (С0, (<Н), <Я)), и), в . =

0 Со

= (С*, (<Н), <Я)), и), где <Н), <Я) - метрические характеристики, характеризующие соответственно

высоту и радиус основания конуса С0; вк =

кр

= (Кр,( v2,..., гпX ^ вк. = (v2,..., гп) u), где

= (<Х.), < У.), <I)), <X), < У), <I) - координаты г-й вершины многогранника Кр, г = 1, ..., п, в его собственной системе интервальных координат.

Полагаем, что полюс базового интервального объекта Те 12Я, т = 2, 3, совпадает с началом его собственной системы координат.

Определим кортеж геометрической информации о составном интервальном объекте.

Пусть Т = Т1° 1 Т2°2.**Тг°гТг + 1.°*- где °г е {и п}; Т, - базовый интервальный объект.

Тогда геометрическую информацию о составном интервальном объекте можно представить кортежем вида

ВТ = (В1 °1В2°+ 1.°*-и),

где и - параметры размещения объекта Т, °г е {и, п} -символ композиции в таком смысле: В1 п В2 значит, что рассматривается пересечение объектов Т1 п Т2, а В1 п ... п и + 1 п ... п в* - объединение объектов Т п ... п Tj и Tj + 1 п ... п Т*, - геометрическая информация о базовом интервальном объекте Т,, г =1, 2, ..., п.

Заметим, что в пределах данного исследования допускаются только собственные конгруэнтные преобразования интервальных объектов типа трансляции. Объект Т, транслированный на интервальный вектор и в пространстве ^Я, т = 2,3, обозначим как Т(и) = = {Xе X = и + У, У е Т}.

Для моделирования отношений между интервальными геометрическими объектами, следуя идеализированному случаю [13], будем использовать интервальные Ф -функции [14]. Ф -функция зависит от взаимного положения пары интервальных объектов. При этом, значения этой функции дают интервальную оценку (в зависимости от выбранной в интервальном пространстве метрики) следующих ситуаций: два интервальных объекта пересекаются (имеют общие внутренние точки); касаются

(имеют общие только граничные точки) или не имеют общих точек вообще. Более того, значения Ф-функции являются некоторой оценкой пересечения пары объектов в первом случае и, по крайней мере, могут быть оценкой интервального расстояния между парой интервальных объектов в остальных случаях.

Основываясь на методе, приведенном в [15], можно построить Ф-функции всех пар базовых интервальных двумерных и трехмерных объектов.

Интервальные поверхности 0- и р-уровней интервальных Ф-функций и нормализованных интервальных Ф-функций базовых двумерных и трехмерных интервальных объектов зададим так:

Y(U) = { Uе IJ R: (intT1(U1)n intT2(U2) = 0) л л(frT1(0) n frT2(U2)ф0)},

Y(U) = {(Ui, U2) е I2™R^(Ui, U2) = <0)},

Yp(Ui, U2) = {(Ui, U2) е I^R:Ф(Ux, = p}p е IsR.

Для построения интервальных Ф-функций пары составных интервальных объектов могут быть естественным образом использованы Ф-функции базовых интервальных объектов.

Пусть информация g = (Y, M, U) индуцирует точечное множество T в пространстве IjR, а информация g = (Y, MM, U) - точечное множество T в пространстве IjR. Отображение P вида g = Pg называется интервальной задачей геометрического проектирования.

Нефиксированные элементы компонент информации g называются переменными этой информации.

Например, задача поиска покрытия интервальной области To( Uo ) интервальными объектами Ti( U ), T2( U2), ... , Tn(Un) состоит в задании такого отображения P, при

n

котором g индуцирует множество To( Uo) n j T( u.), и

i = i

n

выполняется условие To(Uo)n j Ti(Ui) = To(Uo), а за-

i = i

дача размещения интервальных объектов Ti( Ui ), T2( U2), ... , Tn( Un) в интервальной области To( Uo) состоит в поиске отображения P, при котором g инду-

n

цирует множество To( Uo) n j t.( Ui) и выполняется ус-

i = i

ловие

( ^

To

i = i i = i

л (intT;(Ui) n intT.(U;) = 0, iФj = i, 2, ..., n).

i i j j

Здесь переменными информации g являются параметры размещения Ui, U2, ... , Un интервальных объектов Ti(Ui) , T2( U2) , . , Tn(Un) .

Интервальные задачи геометрического проектирования, в которых переменные U = Ui, U2, ... , Un информации g определяются в результате решения оптимизационной задачи, называются оптимизационными интервальными задачами геометрического проектирования.

В таких задачах осуществляется отображение Р исходной информации g, при котором элементы компонент этой информации преобразуются таким образом, чтобы заданная на некотором множестве W с к = тп, интервальная функция к(и) достигала своего наибольшего или наименьшего значения. Здесь = = х1>х...х1>_ [16].

Условие взаимного непересечения объектов T( Ui) и

к

U е W U е W

Tj( Uj)' ' ф j:

Фц(U, Uj) > <0).

Введенные понятия позволяют сформулировать основную оптимизационную интервальную задачу геометрического проектирования.

Требуется определить такое значение и на области допустимых решений W с 1"тК и соответствующий образ Ти, индуцируемый в пространстве информацией g = Pg, чтобы интервальная функция цели к(и) на области допустимых решений W достигала наименьшего или наибольшего значения:

Ограничения на минимально и максимально допустимые расстояния между объектами Т;

j j

pij jUi, U-^pj,

где р.. и р+ - интервальное расстояние между интерваль-

V  ъ

ными объектами Т .(и,) и Т.(и.), ФФ; .(и,, и.) - нормализо-

] ] У  ]

ванная Ф-функция объектов Т,( и.) и Т.( и.).

7 7

Тогда интервальная математическая модель задачи размещения примет вид:

inf k Х( U),

Uе D с I,R

Если в основной оптимизационной интервальной задаче (1) W является некоторым интервальным комбинаторным множеством IE [17], то такая задача называется основной комбинаторной интервальной задачей геометрического проектирования.

Рассмотрим пример реализации математической модели (1) основной интервальной задачи геометрического проектирования.

Задача. Пусть имеется конечный набор геометрических объектов Т;( U) )с I™R, ie {1, 2,..., n} = Jn, и область размещения То(Uo) с I™R, m е {2, 3}, метрические характеристики M,, i е Jn, и параметры размещения Uj, i е Jn, которых заданы с некоторыми погрешностями. Заданы минимально p0i, p- и максимально p^, p+j допустимые интервальные расстояния между объектами

Т0( Uo), Ti (Ui) и Ti( Ui), Tj( Uj).

Необходимо, учитывая заданные погрешности, разместить данный набор геометрических объектов в области таким образом, чтобы некоторый критерий качества размещения достигал своего экстремума.

Интервальное расстояние p(Т1, Т2) между интервальными объектами T1 и T2, при условии T1 n T2 = 0, определяется так [9]:

p(Т1, Т2) = min p(Z1, Z2).

U = (<U1), <U2), ..., <Un)) е I^R, k = mn, m е {2, 3},

D - область допустимых решений, которая описывается системой интервальных неравенств

ф^( U, Uj) - p- > <0),

-ф;.(и* и.) + Р + > < 0>, Ф0;( ио> и) - Р- > <0>, -ф0г ( ио> и) + Р+. > <0> ,

К7 = 1, 2, ..., П,  ф..

Таким образом, математическая модель (2) является реализацией математической модели (1). При этом, интервальная область допустимых решений Э описывается системой неравенств с использованием интервальных нормализованных Ф-функций. Легко видеть, что в случае, когда ро,, р., Ро;, Р+ равны нулю, достаточно использовать не нормализованные интервальные Ф-фун-кции соответствующих пар объектов. Тогда система ограничений (3) примет следующий вид:

Фу( U, Uj)> < 0),

фо; (U0> Ui)> < 0), j = 1, 2, ..., n, i ф j.

Условие размещения объекта Т;( и{ )с I™ Я в области То( ио )с ^Я:

фо,.( ио, и;)> <0>.

Ограничения на минимально и максимально допустимые расстояния между объектами Т0( ио) = = (1>/С1 То(ио))и ^ио) и Т;(и,):

Ро; о;(ио> и;^Ор

где ро; и Р+ - интервальное расстояние между объектами Т;(и;) и Т0(ио), Фо;(ио, и;) - нормализованная Ф-функция объектов Т;( и1) и То( ио) .

Если положить все погрешности исходных данных равными нулю, то модели (2), (3) и (2), (4) описывают идеализированные задачи размещения геометрических объектов евклидовых пространств.

ВЫВОДЫ

Построенная в работе математическая модель (1) основной оптимизационной задачи геометрического проектирования в интервальном пространстве позволит строить адекватные математические модели задач геометрического проектирования (упаковки, раскроя, покрытия) с учетом погрешностей исходных данных. Она может быть использована при моделировании задач, связанных

n

с преобразованием геометрической информации, для решения которых применяются методы евклидовой комбинаторной оптимизации [18].

Однако, открытой проблемой является расширение классов двумерных и трехмерных базовых интервальных объектов, а также построение полного класса Ф-функций интервальных базовых неориентированных геометрических объектов.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Стоян Ю.Г. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования / Стоян Ю. Г., Яковлев С. В. - Киев: Наук. думка, 1986. - 268 с.

2. Стоян Ю.Г. Комбинаторная оптимизационная задача размещения прямоугольников с учетом погрешностей исходных даннях / Стоян Ю.Г., Романова Т.Е., Евсеева Л.Г. // Докл. НАН Украины. Сер. A. - 1997. - № 7 - С.56-60.

3. Емец О.А. Интервальная математическая модель комбинаторной задачи цветной упаковки прямоугольников / Емец О.А., Евсеева Л.Г., Романова Н.Г. // Кибернетика и системный анализ. - 2001. - № 3 - С. 131-138.

4. Стоян Ю.Г. Оптимизационная задача размещения правильных интервальных многоугольников / Стоян Ю.Г., Романова Т.Е., Сысоева Ю.А. // Докл. НАН Украины. Сер. A. - 1998. - № 9 - С. 114-120.

5. Гребенник И.В. Учет погрешностей при построении математических моделей оптимизационных комбинаторных задач / Гребенник И.В., Романова Т.Е. // АСУ и приборы автоматики. - 2002. Вып. 119. - С. 64-69.

6. Kaucher E. Interval Analysis in the Extended Interval Space IR // Comp. Suppl. - 1980. - № 2. - P. 33-49.

7. Stoyan Yu. G. The extended interval space and elementary mappings // Proc. of the IMACS-GAMM Intern. Symp. on Numerical Methods and Error Bounds. (Oldenburg, Germany). - Oldenburg, 1995. - P. 270-279.

8. Стоян Ю.Г. Метрическое пространство центрированных интервалов // Докл. НАН Украины. Сер. A. - 1996. -№ 7. - С. 23-25.

9. Стоян Ю.Г. Выпуклые интервальные многоугольники // Доп. НАН УкраТни. - 2000. - № 5. - С. 33-39.

10. Stoyan Yu. G. Analytical description of interactions of point sets // Journal of mechanical engineeering - 2001. -№ 1-2, v. 4 - С. 77-88.

11. Stoyan Y. Ф -function for 2D primary objects // Stoyan Y., Terno J., Scheithauer G., Gil N., Romanova T. // Studia Informatica, Paris, University. - 2002. - Vol. 2, № 1. - P. 1- 32.

12. Stoyan Yu. Ф-function for primary 3D objects/ Stoyan Yu., Scheithauer G., Pridatko D., Romanova T.: Prepr./ Technische Univarsitat Dresden; MATH-NM-15-2002. - Dresden. 2002. - 27 p.

13. Stoyan Y. Ф-function for complex 2D objects/ Stoyan Y., Scheithauer G., Gil M., Romanova T. // 4OR Quarterly Journal of the Belgian, French and Italian Operations Research Societies. Volume 2, Number 1, 2004 - P. 69-84.

14. Stoyan Yu. G. Ф-function and its basic properties // Докл. HAH Украины. Сер. A. - 2001. - № 8. - С. 112-117.

15. Stoyan Y. Construction of a Ф-function for two convex poly-topes / Stoyan Y., Terno J., Gil M., Romanova T., Scheithauer G. // Applicationes Mathematicae. - 2002. - Vol. 2, № 29. - P. 199-218. n

16. Романова Т.Е. Интервальное пространство IsR // Докл. HAH Украины. Сер. A. - 2000. - № 9. - С. 36-41.

17. Гребенник И.В. Интервальные модели комбинаторной оптимизации квазилинейных функций в пространстве ^R //

Докл. HAH Украины. Сер. A. - 2004. - № 9 - С. 60-64.

18. Стоян Ю.Г. Теор1я i методи евкл^овоТ комбшаторноТ оптим1зацп / Стоян Ю.Г., бмець 0.0. - КиТв: ¡нститут сис-темних досл^жень осв™, 1993. - 188 с.

Надшшла 18.05.2004 Шсля доробки 27.11.2004

Будуеться математична модель оптимгзацшно1 задачг геометричного проектування в ттервальному npocmopi. Видгляються множини базових двoвимipниx та триви-мipниx iнmеpвальних геометричних oб'eкmiв. Введено по-няття геометричноЧ тформацп щодо базових та складе-них ттервальних oб'eкmiв. Формуеться область припус-тимих pi-шень onmимiзацiйнo'i iнmеpвальнo'i задачi poзмi-щення з використанням методу Ф-функцш.

Mathematical model of a basic optimization problem of geometric design is constructed in the interval space. A set of primary two and three dimensional interval geometric objects are given. A concept of geometric information on primary and complex interval objects is introduced. A feasible region of the basic optimization interval placement problem is formed by means of Ф-functions.

УДК 681.3.06

В. И. Долгов, A.B. Hелаcая

МЕТОДЫ УВЕЛИЧЕНИЯ СКОРОСТИ КРИПТОГРАФИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ НА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ

В статье проводится обзор методов оптимизации скорости вычислений при криптографических преобразованиях в группе точек эллиптической кривой. Предложено использовать методы параллельного программирования для повышения скорости прямых преобразований.

ВВЕДЕНИЕ

Бурное развитие информационных технологий, в том числе систем электронного документооборота, 1п1егпе1-технологий наряду с огромными преимуществами порождает и определенные проблемы. Информация должна быть доступна только тем пользователям, для кото-

рых она предназначена. Разрушение информационного ресурса, его временная недоступность или несанкционированное использование могут нанести компании значительный материальный ущерб. Внедрение банками систем электронных платежей также предъявляет повышенные требования к целостности и подлинности электронных сообщений.

Одним из направлений защиты информации являются методы аутентификации сообщений. Информация считается аутентичной, когда потребитель имеет гарантии ее целостности и авторства. В процессе аутентификации объекта проверяется подлинность идентификатора, пред-