Пространственные колебания трубопровода под действием переменного внутреннего давления

МАШИНОСТРОЕНИЕ • ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ МАШИНЫ, ГИДРОПНЕВМОАГРЕГАТЫ

УДК 621.6

А. Г. ХАКИМОВ, М. М. ШАКИРЬЯНОВ

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТРУБОПРОВОДА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПЕРЕМЕННОГО ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ

Исследуются пространственные колебания изогнутого собственным весом трубопровода, находящегося под действием переменного внутреннего давления. Пространственные колебания; собственный вес; трубопровод; переменное внутреннее давление

Подача топлива из топливных баков летательного аппарата в камеру сгорания двигателя осуществляется через разветвленную сеть трубопроводов, которые на отдельных участках изначально изогнуты и под действием переменного внутреннего давления могут совершать пространственные колебания. Такие же колебания трубопровода могут иметь место при заправке летательного аппарата на земле и в воздухе. При определенных соотношениях между параметрами колебания трубопровода могут усиливаться или затухать, поэтому задача изучения пространственных колебаний трубопровода является актуальной проблемой и имеет практический интерес.

1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА

Общая постановка задачи о пространственных колебаниях трубопровода приведена в монографии [1]. В статической постановке влияние внутреннего давления в трубопроводе на его изгибные деформации изучено в работе [2]. Поперечные колебания трубы под действием бегущих волн в жидкости рассмотрены в статье [3]. Исследованию нелинейных свободных пространственных колебаний статически изогнутого трубопровода с рабочей средой посвящена статья [4]. В настоящей работе рассматриваются пространственные изгибно-вращательные колебания трубопровода с учетом влияния переменного внутреннего давления в трубопроводе на его изгибные деформации.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматриваются пространственные колебания трубопровода и заключенной в нем несжимаемой жидкости относительно горизонтальной оси Ох (рис. 1), проходящей через опо-

ры. В статическом состоянии трубопровод изогнут собственным весом и находится под действием внутреннего давления. Предполагается, что трубопровод выводится из этого состояния путем его отклонения на угол 0 от вертикальной плоскости. Коэффициент упругости опор и деформации трубопровода, связанные с его выходом из плоскости изгиба, считаются малыми, поэтому изогнутая ось трубопровода является плоской кривой. Длина трубопровода равна Ь, толщина его стенки - И, а суммарная масса однородного трубопровода и жидкости -т. В данной постановке задачи будем пренебрегать продольными силами инерции по сравнению с поперечными.

На рис. 1 слева изображен элемент трубопровода длиной ёх и массой ёт = (т / Ь) ёх, а справа на этом же рисунке показаны ускорения и силы, действующие на выделенный элемент трубопровода.

Поперечная распределенная нагрузка д„ на трубопровод выражается формулой:

т

Чп = у (8 С0ЇЗ 0 +

Р = Р0 + Ра ЙІП (Ы + ф) ,

Эх2’ Р‘

где м> - прогиб элемента трубопровода, ^, ф, Р0 и Ра - значения круговой частоты, начальной фазы, статической и амплитуды динамической составляющих переменного внутреннего давления Р! в трубопроводе, р - внутренний радиус и площадь проходного сечения трубопровода, t - время.

Касательное ат к траектории, нормальное ап и кориолисово ак ускорения выделенного элемента трубопровода равны

а

пй0 Эм

2----------.

йі Эі

2

Контактная информация: (347) 273-07-27

Таким образом, силы инерции ёФт, ёФп и ёФк выделенного элемента трубопровода запишутся

ё 20

d= dm • w „ ,

* dt2

Ф л (dB Y ,Ф dB Эw

аФ = am • w I — I , аФ, = 2am---------.

n І dt I k dt Э'

3. МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

Уравнение условного равновесия трубопровода в виде суммы моментов всех приложенных сил и сил инерции относительно оси Dx имеет вид

- j gw sin 0dm - j wd0t - j wdOk -Mc = 0,

где g - гравитационное ускорение. Суммарный момент сил сопротивления Mc трубопровода прямо пропорционален первой степени угловой скорости:

dB

Mc = Л •

где ц. - коэффициент сопротивления вращению всего трубопровода.

Рис. 1. Расчетная схема трубопровода

Уравнение (3) с учетом равенств (2) и (4) примет вид

m

- Lg sin

in ВI wdx - Г w2dx-

2

2L

L dt 2

2m dе г Э^ , dе

------I w—dx - ц. — = О.

L dt і Э' dt

Сила Т продольного натяжения трубопровода определяется интегралом

г=1гМ*’

где Е и ^ = 2лЯгй - модуль Юнга материала и площадь поперечного сечения трубопровода.

Дифференциальное уравнение изгибных колебаний трубопровода в своей плоскости следующее

42... Т7ТТ -И,.. Т>Т7\ Т -12,

Э2w = EJL Э4w і (T -PtFt) L Э2w і

Э' 2

m Эx

m Эx

, -B Л ц 2 L Эw

+g cos В і wl — I -- 2

dt I m Э' ’

где ц2 - коэффициент сопротивления движению элемента трубопровода в плоскости изгиба, 3 @ жЯ3И - осевой момент инерции площади поперечного сечения трубопровода.

Функцию прогиба трубопровода, удовлетворяющую граничным условиям

-(0, t) = М!(Ь, t) = (0, t) = ё- (Ь, t) = 0,

примем в виде w

Ь

где Ж0 и —0 (/) - амплитуды статической и динамической составляющих прогиба.

Подставляя функцию (8) в уравнения (5) и (7) и применяя к последнему процедуру Бубнова - Галеркина [5], после несложных преобразований получим

1 ё 20 г /.чп2 М-1 ё0

2^[^0 + -0 (')] +^^+

m dt

і [w і w (')](sin е і I=О,

d2 w„ ц, L dw0 п4EJ Vttt ,

-w +m-w+~nL Wі -О (')]=

= ^cosе і W і »о (')](f) -

п2 EF 4L2

[W і Wo (t)]2 - F (Po і Pa sin W')l x

L

О

О

Полагая в последнем уравнении 0(0 = 0, w0(t) = 0, Ра = 0, получим следующее алгебраическое уравнение для определения статической составляющей Ж0 прогиба трубопровода

-4^ А_2^г Л

п4 Е^ПГ3 2

-----г- К + п2

4Ь2 0

- ГР

1 г о

Система уравнений (9) решается при следующих начальных условиях

ґ=0, 0 = 0о, — = ю0,

^о = 0,

dwn

= о.

Здесь 0О, ю0 - начальные угол поворота и угловая скорость отклонения трубопровода от вертикальной плоскости.

4. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Численное решение задачи Коши (9), (10) определялось методом Рунге-Кутта. Результаты вычислений, полученные для следующих числовых значений основных параметров: т = = 0,811 кг, Ь = 2,5 м, g = 9,8 м/с2, ^ =0,005 м, И = 0,001 м, 00 = 0,3 рад, Е = 2,0-Ю11 Па, Ра = = 2 бара, ю0 = 0 рад/с, ф = 0, представлены в виде графиков. На рис. 2-17 приведены графики зависимости угла 0 в радианах и динамического прогиба ^0 в метрах от времени 1, соответственно. Результаты численного интегрирования с учетом сил сопротивления изображены сплошными линиями, а штриховыми - без учета этих сил. Графики построены для двух комплектов значений коэффициентов ц и ц2 сопротивлений: ц = 2-10"7 Нмс/рад, ц2 = 2-10"3 Нс/м2 и ц = 2-10"5 Нмс/рад, ц2 = 2-10"1 Нс/м2, двух величин статической составляющей давления Р0: Р0 =10 бар и Р0 = 20 бар и трех значений круговой частоты О: О = 28,5 рад/с, О = = 64,7 рад/с и О = 70,0 рад/с.

Из рис. 2-5 видно, что в обоих случаях: Р0 = 10 бар (рис. 2 и 3) и Р0 = 20 бар (рис. 4 и 5) при относительно небольших значениях коэффициентов Ц] и ц2 (Ц1 = 2-10"7 Нмс/рад, Ц2 = = 2-10"3 Нс/м2) сопротивлений, значении круговой частоты О = 28,5 рад/с сплошная и штриховая кривые практически сливаются. Кроме того, при принятых значениях параметров наблюдается явление биений как по вращательным, так и по изгибным колебаниям. Также можно видеть (рис. 4), что с увеличением статической составляющей давления биения по вращательным колебаниям сглаживаются, а по изгибным колебаниям они остаются четко выраженными (рис. 5) и происходят с большей частотой.

1 С

Рис. 2. Зависимость угла 0 поворота трубопровода от времени 1 при ц1 = 2-10-7 Нмс/рад, ц2 = 2-10-3 Нс/м2, О = 28,5 рад/с и Р0 = 10 бар

0.004 0.002

о

Рис. 3. Зависимость прогиба ^0 средней точки пролета трубопровода от времени 1 при ц1 = 2-10-7 Нмс/рад, ц2 = 2-10-3 Нс/м2,

О = 28,5 рад/с и Р0 = 10 бар

Рис. 4. Зависимость угла 0 поворота трубопровода от времени 1 при ц1 = 2-10-7 Нмс/рад, ц2 = 2-10-3 Нс/м2, О = 28,5 рад/с и Р0 = 20 бар

Как и следовало ожидать, с увеличением сил сопротивления (ц1 = 2-10"5 Нмс/рад, ц2 = = 2-10"1 Нс/м2) разница между соответствующими максимальными значениями углов 0 и прогибов становится значительной (рис. 611).

Представляется также важным вопрос о влиянии круговой частоты О динамической составляющей переменного внутреннего давления на колебания трубопровода. Это обстоятельство представлено графиками на рис. 6-11.

п

-о.оо2

-о.оо4

о

2

3

4

5

1 с

1, с

0.004

0.002

-0.002

-0.004

0 1 2 3 4 5

1, с

Рис. 5. Зависимость прогиба ^0 средней точки пролета трубопровода от времени 1 при ц1 = 2-10-7 Нмс/рад, ц2 = 2-10-3 Нс/м2,

О = 28,5 рад/с и Р0 = 20 бар

1, С

Рис. 6. Зависимость угла 0 поворота трубопровода от времени 1 при ц1 = 2-10-5 Нмс/рад, ц2 = 2-10-1 Нс/м2, О = 28,5 рад/с и Р0 = 20 бар

0 1 2 3 4 5

Рис. 7. Зависимость прогиба ^0 средней точки пролета трубопровода от времени 1 при ц1 = 2-10-5 Нмс/рад, ц2 = 2-10-1 Нс/м2,

О = 28,5 рад/с и Р0 = 20 бар

1, С

Рис. 8. Зависимость угла 0 поворота трубопровода от времени 1 при ц1 = 2-10-5 Нмс/рад, ц2 = 2-10-1 Нс/м2, О = 64,7 рад/с и Р0 = 20 бар

1, С

Рис. 9. Зависимость прогиба ^0 средней точки пролета трубопровода от времени 1 при ц1 = 2-10-5 Нмс/рад, ц2 = 2-10-1 Нс/м2,

О = 64,7 рад/с и Р0 = 20 бар

1, с

Рис. 10. Зависимость угла 0 поворота трубопровода от времени 1 при ц1 = 2-10-5 Нмс/рад, ц2 = 2-10-1 Нс/м2, О = 70,0 рад/с и Р0 = 20 бар

0.004

-0.004

0 1 2 3 4 5

1, с

Рис. 11. Зависимость прогиба ^0 средней точки пролета трубопровода от времени 1 при ц1 = 2-10-5 Нмс/рад, ц2 = 2-10-1 Нс/м2,

О = 70,0 рад/с и Р0 = 20 бар

1, С

Рис. 12. Зависимость угла 0 поворота трубопровода от времени 1 при ц1 = 2-10-5 Нмс/рад, ц2 = 2-10-1 Нс/м2, О = 64,7 рад/с, Р0 = 20 бар,

Ра = 2 бара и ф = 0

1, С

Рис. 13. Зависимость прогиба ^0 средней точки пролета трубопровода от времени 1 при ц1 = 2-10-5 Нмс/рад, ц2 = 2-10-1 Нс/м2, О = 64,7 рад/с, Р0 = 20 бар, Ра = 2 бара и ф = 0

0 0.1 0.2 0.3 0.4

1, С

Рис. 14. Зависимость угла 0 поворота трубопровода от времени 1 при ц1 = 2-10-5 Нмс/рад, ц2 = 2-10-1 Нс/м2, О = 64,7 рад/с, Р0 = 20 бар,

Ра = 2 бара и ф = п/2

0 0.1 0.2 0.3 0.4

1 С

Рис. 15. Зависимость прогиба ^0 средней точки пролета трубопровода от времени 1 при ц1 = 2-10-5 Нмс/рад, ц2 = 2-10-1 Нс/м2,

О = 64,7 рад/с, Р0 = 20 бар, Ра = 2 бара и ф = п/2

1, С

Рис. 16. Зависимость угла 0 поворота трубопровода от времени 1 при ц1 = 2-10-5 Нмс/рад,

ц2 = 2-10-1 Нс/м2, О = 64,7 рад/с, Р0 = 20 бар,

Ра = 2 бара и ф = п

Из этих рисунков видно, что при околоре-зонансном режиме работы трубопровода (О = = 64,7 рад/с - рис. 8 и 9) амплитуды вращательных и изгибных колебаний могут быть значительными по сравнению с тем, что имеет место при дорезонансном (О = 28,5 рад/с - рис. 6 и 7) и зарезонансном (О = 70,0 рад/с - рис. 10 и 11) режимах работы.

Рис. 17. Зависимость прогиба ^0 средней точки пролета трубопровода от времени 1 при ц1 = 2-10-5 Нмс/рад, ц2 = 2-10-1 Нс/м2,

О = 64,7 рад/с, Р0 = 20 бар, Ра = 2 бара и ф = п

Влияние начальной фазы ф динамической части внутреннего давления Р, на колебательные движения трубопровода представлено графиками на рис. 12-17, построенными для трех случаев: ф =0 - рис. 12, 13, ф = п/2 - рис. 14, 15, ф = п - рис. 16, 17. На каждом из этих рисунков для наглядности точками нанесена кривая изменения динамической части внутреннего давления с амплитудой Ра = 2 бара и круговой частотой О = 64,7 рад/с. Из сравнения соответствующих графиков можно видеть, что при принятых выше параметрах с увеличением значений начальной фазы ф с течением времени происходит уменьшение амплитуд угла 0 поворота (рис. 12, 14, 16) и одновременное увеличение амплитуд изгибных перемещений ^0 (рис. 13, 15, 17) трубопровода.

Авторы выражают благодарность М. А. Ильгамову за постановку задачи и помощь в выполнении работы.

4. В околорезонансном режиме работы трубопровода его амплитуды вращательных и изгибных колебаний значительно больше по сравнению с теми, что имеют место в дорезонансном и зарезонансном режимах.

5. С увеличением значений начальной фазы ф с течением времени происходит уменьшение амплитуд угла 0 поворота и одновременное увеличение амплитуд изгибных перемещений w0трубопровода.

6. Построенная математическая модель колебательных движений предварительно изогнутого собственным весом трубопровода при действии переменного внутреннего давления и полученные на основе этой модели уравнения и результаты вычислений позволяют провести оценку напряженно-деформированного состояния трубопровода.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Светлицкий В. А. Механика трубопроводов и шлангов. М.: Машиностроение, 1982. 280 с.

2. Ильгамов М. А. Статические задачи гидроупругости. Казань. ИММ РАН, 1994. 208 с.

3. Ильгамов М. А., Мишин В. Н. Поперечные колебания трубы под действием бегущих волн в жидкости // Изв. Академии наук. Механика твердого тела. 1997. № 1. С. 181-192.

4. Шакирьянов М. М. Пространственные колебания статически изогнутого трубопровода // Труды института механики УНЦ РАН. Вып. 5. Уфа: Гилем, 2007. С. 335-339.

5. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 954 с.

ОБ АВТОРАХ

5. ПРИЛОЖЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Результаты настоящего исследования могут найти применение при проектировании трубопроводных систем в авиационной и ракетнокосмической технике.

ВЫВОДЫ

1. При принятых значениях основных параметров наблюдаются биения как по вращательным, так и по изгибным колебаниям.

2. С ростом статической составляющей давления Р0 биения по вращательным колебаниям сглаживаются, а по изгибным колебаниям они остаются четко выраженными и происходят с большей частотой.

3. С увеличением сил сопротивления разница между соответствующими максимальными значениями углов поворота 0 и прогибов ^0 становится значительной.

Хакимов Аким Гайфулли-нович, ст. науч. сотр. лаб. механики твердого тела Ин-та механики УНЦ РАН. Дипл. инж.-механик (УАИ, 1970). Канд. физ.-мат. наук по механике жидк., газа и плазмы (Казанск. гос. ун-т, 1977). Иссл. в обл. динамики взаимодействия упругих и упру-гопластическ. тел со средой.

Шакирьянов Марат Мас-гутьянович, доц. каф. теор. механики. Дипл. инж.-мех. (УАИ, 1969). Канд. физ.-мат. наук по механике твердого деформируемого тела (Ка-занск. гос. ун-т, 1978). Иссл. в обл. динамики взаимодействия упругих тел со средой.

t, С