Качественные критерии для кривых и поверхностей 3-мерных одулярных галилеевых пространств. 2. Критерии для поверхностей

МАТЕМАТИКА

УДК 514.7

А. И. Долгарев, И. А. Долгарев

КАЧЕСТВЕННЫЕ КРИТЕРИИ ДЛЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ 3-МЕРНЫХ ОДУЛЯРНЫХ ГАЛИЛЕЕВЫХ ПРОСТРАНСТВ.

2. КРИТЕРИИ ДЛЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Одулярные галилеевы геометрии строятся в схеме Г. Вейля. Среди них имеются коммутативные и некоммутативные геометрии. Основы дифференциальной галилеевой геометрии с 3-мерными разрешимыми одулями Ли, возникшей более 20 лет назад, позволили получить качественные критерии принадлежности кривых и поверхностей тому или иному одулярному пространству. Критерии для кривых приведены в первой части настоящей работы, опубликованной в предыдущем номере журнала. Ниже даны критерии для поверхностей. Один из критериев: полная кривизна поверхности относится к ее внутренней геометрии, если и только если поверхность лежит в классическом пространстве Галилея или в одулярном пространстве с растраном.

Первая часть настоящей работы [1] содержит качественные критерии принадлежности кривых одулярным галилеевым пространствам. Каждое из галилеевых пространств строится в аксиоматике Г. Вейля на одном из одулей Ли, это ВО-пространства - вейлевские одулярные пространства. Частным случаем ВО-пространства является аффинное пространство. Имеются следующие 3-мерные разрешимые действительные одули Ли: линейное пространство, растран, сибсон, диссон, осцилляторный одуль Ли [2]. Действительные одули Ли определены на группах Ли посредством введения внешней операции умножения элементов группы Ли на действительные числа. На одулях Ли рассматривается галилеева норма. Каждый из одулей Ли своеобразен по своим свойствам, что влечет своеобразие свойств пространств с оду-лями Ли. Определены 3-мерные разрешимые одули Ли на действительном

многообразии И в [2]; введено дифференцирование одулярных функций, что позволило построить дифференциальную галилееву геометрию ВО-пространств. Функции со значениями в осцилляторном одуле Ли оказались недифференцируемы [2], поэтому ВО-пространство с осцилляторным одулем Ли не обладает дифференциальной геометрией.

В [2] изложена дифференциальная галилеева геометрия каждого из ВО-пространств с 3-мерным дифференцируемым разрешимым одулем Ли. Каждая из геометрий обладает своей спецификой. Первая работа по одулярной галилеевой геометрии появилась более 20 лет назад [3].

Ниже мы приводим необходимые факты геометрии ВО-пространств из [2] и на их основе получаем некоторые качественные критерии принадлежности поверхностей различным одулярным пространствам. Настоящая работа подводит промежуточный итог изучения одулярных галилеевых геометрий, дает общий взгляд на все 3-мерные галилеевы пространства с разрешимыми одулями Ли.

Настоящая работа продолжает [1], в связи с чем мы продолжаем и нумерацию разделов из [1], воспроизводим некоторые сведения из [1, 2].

3. Поверхности ВО-пространств

3.1 Разрешимые 3-мерные одули Ли

Одуляры - элементы действительных одулей Ли, записываем в виде

12 3

(х, х , х ). 3-мерные одули Ли определяются операциями на И . Перечислим рассматриваемые одули Ли.

3 12 12

1. Линейное пространство Ь : (х, х , х ) + (у, у , у ) =

1122 12 12

(х + у, х + у , х + у ); г (х, х , х ) = (гх, 1х , 1х ), г е И .

2. Растран однородный Р3 :

(х, х1, х2) + (у, у1, у2) = (х + у, х1^ + у1, х2ву + у2);

г (х, х1, х2) =

„хг 1 хг 1Л

1 е — 1 2 е — 1 _

хг, х ---------------, х ------------- , х Ф 0;

ех — 1 ех — 1 ,

г (0, х1, х2) = (0, х1г, х2г), г е И.

3. Растран общего вида Р—! ±:

(х, х1, х2) + (у, у1, у2) = (х + у, х1е—у + у1, х2еу + у2);

г(х, х1, х2) =

—хг 1 хг 1Л

1 е —1 2 е —1

хг, х -------------, х ----------------- , х Ф 0 ;

—х х

е — 1 е — 1

г(0, х1, х2) = (0, х:г, х2г), г е И.

4. V -растран Р2+1:

(х, х1, х2) + (у, у1, у2) = (х + у, х^еу + у1, х2 + у2);

г (х, х1, х2) =

хг 1 ^

1 е —12 хг, х -----, х г , х Ф 0;

х

е — 1

г(0, х1, х2) = (0, х\, х2г), г е И.

3 2 1

Растран Р2+1 является прямой суммой Р + V 2-мерного растрана и

1-мерного евклидова векторного пространства.

5. Сибсон 2'

3

1 2 1 2 1 1 2 2 1

(х, х , х ) + (у, у , у ) = (х + у, х + у , х + у + х у);

г (х, х1, х2) =

1. л. , г(г — 1) 1

хг, хг, х г +

хх I, г е И

3

6. Диссон А :

(х, х1, х2) + (у, у1, у2) = (х + у, х1еу + у1 + х2уеу, х2ву + у2);

( хґ - [ хґ хґ - \ хґ -

г (х, х1, х2) =

хґ

1 Є — 1 2

хг, х--------------------+ хх

х

е — 1

гехг ехг — 1 х

-ех

ех —1 (ех —1)2

хґ

2 е —1

, х ---------------

у е — 1 у

, х Ф 0 ;

г(0, х1, х2)= (0, х1г, х2г), ге И.

Осцилляторный одуль Ли не выписываем, т.к. не существует дифференциальной галилеевой геометрии с этим одулем Ли. Произвольный одуль Ли обозначается О, одуляры обозначаются а, Р,..., ю,... Имеются названия и для одуляров частных видов: векторы, расты и т.д.

3.2 Галилеева норма на одулях Ли

12

Галилеевой нормой ю одуляра ю = (х, х , х ) называется

II II II II II I 1 2 2 2

ю = х , если х Ф 0; ю ^(х ) + (х ) , если х = 0.

Свойства галилеевой нормы отличны от свойств евклидовой нормы. В частности для одуляров с галилеевой нормой не выполняется неравенство треугольника. Галилеева норма относится к квазиметрикам первого порядка [4, с. 41, 369].

1 2 1 2 Одуляры

называются евклидовыми. Считается, что всякий галилеев одуляр перпендикулярен всякому евклидову одуляру. Линейное пространство Ь с галилеевой нормой называется галилеевым векторным пространством и обозначается V р.

3.3 Пододули разрешимых 3-мерных одулей Ли

Обозначим:

(1,0,0) = а, (0,1,0) = Р, (0,0,1) = у.

12

Всякий одуляр ю = (х, х , х ) каждого из рассматриваемых одулей Ли однозначно записывается в виде разложения

1 2 1 2

ю = (х, х , х ) = ха + х Р + х у.

Имеем базис Б = (а, Р, у) каждого из одулей Ли. Базисный одуляр а галилеев, одуляры р, у евклидовы. Одуляры (х, 0, 0) составляют пододуль V1 одуля

Ли О - 1-мерное векторное пространство, этот пододуль порождается как под-

1 12 группа в О одуляром а, V = (а) . Одуляры (0, х , х ) составляют пододуль

2 2

V - 2-мерное евклидово векторное пространство V = (Р, у) . Галилеево вектор-

Л73

ное пространство V р является прямой суммой евклидовых пространств

V р = V 2+ V \

все остальные 3-мерные разрешимые одули Ли являются полупрямой суммой евклидовых векторных пространств:

О = V 2 -| V \

коммутаторы [Р, а] и [у, а] базисных одуляров лежат в векторном пространстве V 2.

3

Векторное пространство V р и растраны каждый порождаются тремя одулярами. Сибсон, диссон и осцилляторный одуль Ли каждый порождается двумя одулярами О = ^а, р. То есть галилеево векторное пространство и

растраны являются 3-порожденными одулями Ли, остальные - 2-порожден-ные одули Ли.

3.4 Дифференцирование одулярных функций

Наличие внешней операции на одуле Ли и норма одуляров позволяют определить дифференцирование одулярных функций как дифференцирование векторных функций. Одулярную функцию действительного параметра г , определенную на интервале I из И, записываем в виде

12

ю(г) = (х(г), х (г), х (г)),

12

ее компоненты х(г), х (г), х (г) являются действительными функциями класса С . Получены формулы дифференцирования одулярных функций [2]. Кривые и поверхности одулярных пространств описываются соответственно функциями

ю(г) = (г, х(г), у(г)), г е I с И; ю(и, V) = (V, х(и, V), у (и, V)), (и, V) еБ с И .

Такая параметризация называется естественной. Вместо ю(г), ю(и, V) пишем ю , для каждого одуля Ли используются свои обозначения функции. Выпишем производные одулярных функций одного параметра: у = (1, х, у) - производная векторной галилеевой функции; р = (1, (е —1)(х — х),(е —1)(у — у)) - производная функций на однородном растране;

( е +1 ^

х = 1, (е —1)(х — х),-(у + у) I - производная функций на растране

^ е )

общего вида;

"и = (1, (е —1)(х — х), у) - производная функций на V -растране;

а =

5 =

1, х, у + — х — х | - производная сибсонной функции;

V 2 )

гг 1 л л

1,

е — 1

- производная диссон-

V V

ной функции.

Напомним, что осцилляторные функции недифференцируемы.

Каждая из производных имеет единичную норму, п. 3.2. Одулярная функция, первая компонента которой постоянна, т.е. функция вида ю(г) =

= (C, х1(г), х 2(t)), C = const, дифференцируется как векторная: oh'(t) =

= (0, xr1(t), x 2(t)). Производные второго порядка всех этих одулярных функций уже являются векторными функциями. Если ю = (1, u, v), то ю = = (0, м, V). В случае евклидовых одуляров ю = (0, х, у) используем запись

(0, х, у) = (х, у).

Обычные свойства дифференцирования векторных функций для одулярных функций не выполняются, например, (ю + Q'^ю' + ^'.

Частные производные юм, юv одулярной функции ю(м, t) находятся по тем же формулам, что и производные соответственных функций одного параметра. Смешанные производные второго порядка одулярных функций зависят от порядка дифференцирования:

Э2ю Э 2ю

-----Ф-----.

ЭuЭv ЭvЭu

Одулярную функцию ю(м, v) представляем в виде разложения

ю(м, v) = va + r(u, v), r(u, v) = (x(u, v), y(u, v)).

Одуляр a = (1, 0, 0) есть первый одуляр базиса Б = (a, Р, у) одуля Ли. Составляющая va, согласно определению галилеевой нормы на одуле Ли, является времениподобной, составляющая r (u, v) является пространственноподобной. Векторная функция r (u, v) называется проекцией одулярной

функции ю(^ v) в евклидово векторное пространство V . Здесь одуль Ли

Q = V 2-| V1, см. п. 3.3.

3.5 ВО-пространства

Линейное пространство в аксиоматике Г. Вейля аффинного пространства заменяется одулем Ли Q,, получается ВО-пространство - вейлевское одулярное пространство. Обозначается ВО-пространство: W его точки обозначаются A, B,..., M,.... Одуль Ли называется одулем ВО-пространства W. Размерность одуля Ли Q, ВО-пространства W называется размерностью W.

Если Q = L , то W = А есть аффинное пространство. Мы рассматриваем одуль Ли Q с галилеевой нормой и, следовательно, одулярные галилеевы

33

пространства W . Если Q = Vr, то W = Г является пространством Галилея. ВО-пространство с нормированным растраном называется ЕМ-

3

пространством. Если Q = P - однородный растран, то ЕМ-пространство 3

обозначается М . Пространство с растраном общего вида обозначается

33 М i _i, пространство с v -растраном обозначается М 2+1. Пространство с нор-

3

мированным сибсоном называется ЕС-пространством и обозначается S , пространство с нормированным диссоном называется ЕД-пространством и

обозначается D 3.

2 I 1

Так как О = V V , то через всякую точку P ВО-пространства W проходит единственная евклидова плоскость, она порождается точкой P и по-

додулем V 2. Не всякие два одуляра из О порождают 2-мерный пододуль. Если (т) , одуляры р, т независимы. Пододуль (р, х) является 2-мерным, если [р, т] содержится в (р) или в (т) или [р, т] = # - нулевой одуляр. 2-мерный пододуль есть либо растран, либо линейное пространство. В 2-порожденном одуле Ли возможно (р, т) = О. Это означает, что точка P ВО-пространства и независимые одуляры р, т порождают не 2-мерное подпространство в ВО-пространстве W, а порождают все пространство W, т.е. (P, р, т) не является плоскостью в W. В пространстве с 3-порожденным одулем Ли точка P и независимые одуляры р, т порождают плоскость (P, р, т) . Пусть р = PM , т = PT . Точка Г не лежит на прямой (P, р) . Через неколлинеарные точки P, M, Г проходит плоскость (Р, р, т) , плоскость единственная. В ВО-пространстве W с 2-порожденным одулем Ли множество точек (Р, р, т) может совпадать со всем пространством W. Другими словами, не через всякие три неколлинеарные точки ВО-пространства W проходит плоскость. 3-порожденными одуля-ми Ли являются линейное пространство и растраны, а сибсон, диссон и осцил-ляторный одуль Ли являются 2-порожденными одулями Ли. В пространстве Галилея и ЕМ-пространствах существуют все три координатные плоскости (О, а, Р) , (О, а, у) , {О, Р, у) . В ЕС-, ЕД-пространствах существуют плоскости (О, а, Р) , (О, а, у) , но не существует плоскости, порожденной началом координат О и базисными одулярами а, Р.

3.6 Поверхность в естественной параметризации.

Квадратичные формы поверхности

К изучению поверхностей всех одулярных разрешимых 3-мерных галилеевых пространств применяется общий метод исследования [2]. Регулярные поверхности класса С3 задаются одулярными функциями двух параметров в естественной параметризации:

2

ю(и, V) = (V, х(и, V), у(и, V)), (и, V) е Б с Е .

Это поверхности всех 3-мерных одулярных разрешимых ВО-пространств с галилеевой метрикой, которые обладают галилеевыми касательными одулями Ли. Имеем индивидуальные обозначения одулярных функций, задающих поверхность в каждом из ВО-пространств как и в случае кривых. и -линии поверхностей являются кривыми евклидовой плоскости, остальные линии на поверхностях называются ю -линиями, они записываются в естественной параметризации функцией

ю(и(у), V) = (V, х(и(у), V), у(и(у), V)) ,

имеют единичный галилеев касательный одуляр; V - естественный параметр кривой. Поверхность задается одулярной функцией, представленной в виде суммы двух составляющих:

ю(и, V) = vа + г (и, V), г (и, V) = (х(и, V), у(и, V));

составляющая va времениподобна, составляющая r(u, v) пространственноподобна, она является проекцией поверхности rn(u, v) на евклидову плос-

2 2 кость E ВО-пространства, это векторная функция плоскости E , определяет

2

векторное поле плоскости E .

Касательными плоскостями обладают поверхности только в пространстве Галилея и в ЕМ-пространстве с однородным растраном. Поверхности остальных ВО-пространств не имеют касательных плоскостей.

Первая квадратичная форма поверхности rn(u, v) есть

ds2 = dv2, или ds2 = Edu2, E = ru2.

Первая квадратичная форма поверхности задает метрику на поверхности. Эта метрика галилеева. Если dv Ф 0 , то расстояния на поверхности измеряются вдоль ю -линий, т.е. вдоль v -линий. Если dv = 0 , то расстояния между точками поверхности измеряются вдоль u -линий. Вторая квадратичная форма поверхности:

II = Adu2 + 2Bdudv + Cdv2 ; первые два коэффициента во всех ВО-пространствах:

A = ruun , B = un ;

единичный вектор n нормали поверхности во всех ВО-пространствах равен

n = ^= (0’ “ yu , xu ^ nru = °.

Как евклидов одуляр, вектор n перпендикулярен всякой линии на поверхности, проходящей через рассматриваемую точку поверхности, см. п. 1.2.

Для вычисления третьего коэффициента C необходимо найти производные юv и ю^. Имеем:

Yv = (1, xv, yv) = a + rv - в пространстве Галилея;

r r 3

pv = a + (e — 1)(rv - r) - в ЕМ-пространстве M с однородным растраном;

_ e — 1 e +1 ^ .

0,------yv +-----y I - в ЕМ-прост-

e e ¡

Tv = a + (e — 1)(rv — r + dv), dv = 3

ранстве M1 —1 с растраном общего вида;

"uv = a + (e — 1)(rv — r + dv), dv = 0,--------yv + y I - в ЕМ-прост-

e—1

V

3

ранстве M2+1 с v -растраном;

- - ( 1

av = a + rv + dv , dv =

v

r r f §v = a + (e — 1)(?v — r + dv), dv =

0, ——xv + x | - в ЕС-пространстве;

1 (yv — ey), 0 | - в ЕД-прост-

e—1

ранстве.

Производные второго порядка по параметру V во всех ВО-прост-ранствах имеют вид

^ = гт + , или = (е - 1)(Г* “ % + ёт);

в пространстве Галилея и в ЕМ-пространстве с однородным растраном: = 0, в каждом из остальных ВО-пространств дополнительный вектор второй производной по времениподобному параметру V имеет строго определенный индивидуальный вид:

$уу

0, -

е -1

е + 1

" Ууу + ^у

ее

уу I - в ЕМ-пространстве с растраном обще-

го вида;

&уу

&уу

&уу

е - 2 е -1

0, -

V

1

0, -- Хуу + Ху

V Ґ

ууу + уу I - в ЕМ-пространстве с у -растраном;

2

в ЕС-пространстве;

1

е-1

(ууу - еуу), 0 I - в ЕД-пространстве.

Коэффициент С квадратичной формы II равен

С = г^п + п , или С = ( - г )) + п .

По первой из этих формул коэффициент С вычисляется в пространстве Галилея и ЕС-пространстве, по второй формуле - в ЕМ- и ЕД-пространствах. Обозначим дополнительное слагаемое, входящее в коэффициент С через

Н = п .

Имеем значение коэффициента С для поверхностей ВО-пространств:

С = г^п + Н , или С = ( - гV ) + Н .

Дополнительные слагаемые имеют значения:

Н = 0 - в пространстве Галилея и в ЕМ-пространстве с однородным растраном;

Н =

0, -

е-1

е +1

-ууу +-ее

0, -

е-1

е + 1

ууу +-уу | - в пр°-

ее

странстве с растраном общего вида;

Н =

0, -

е - 2 е -1

ууу + уу I п = Х

0, -

е - 2 е -1

ууу + уу

в пространстве с

у -растраном;

Н =

0, — хуу + ху I п = х

Н =

0, - — хуу + ху | - в ЕС-пространстве;

1 (ууу - еуу ),01 п = уи Г—Ц-(ууу - еуу ),0 I - в ЕД-

е-1

V е -1 пространстве.

Нормальная кривизна поверхности всякого ВО-пространства равна

кп = Ац + 2 йц + С,

йы

д = — - направление на поверхности, оно определяется направлением на йу

евклидовой плоскости в векторном поле г (ы, у) этой плоскости, на которое проектируется поверхность ю(ы, у) .

Полная кривизна поверхности во всяком ВО-пространстве равна

К = АС - В2.

3.7 Деривационные формулы поверхностей одулярных пространств

Одуляры юыы , юыу , юуы , юуу производных второго порядка функции ю(ы, у) = (у, х(ы, у), у(ы, у)) = уа+ г (ы, у), задающей регулярную поверхность ВО-пространства, разлагаются по одулярам скользящего репера (Р, юу, юы, п) поверхности в каждой ее обыкновенной точке Р, эти разложения называются деривационными формулами поверхности. К составляющим деривационных формул относятся символы Кристоффеля Гк . Деривационные формулы имеют вид

Юу = Г/ гы + Г2 (Оу + Аг]П .

Справедливо следующее утверждение.

3.7.1 Теорема. Для всех ВО-пространств

Г2 = 0 Ау и-

Каждый символ Кристоффеля Г2 распадается на два слагаемых - основное и дополнительное, второе из них, дополнительное, имеет вид

р = йшгы ,

векторы йу для всех ВО-пространств выписаны выше, в п. 3.6. Значения дополнительного слагаемого таковы:

F = 0 - в пространстве Галилея и ЕМ-пространстве с однородным рас-траном;

/

е —1 е + 1

О,-Ууы +-Уи | Ги = Уи

ее

F =

странстве с растраном общего вида;

/

е — 1 е + 1

Ууи +----------Уи I - в пРо

F =

V

V растраном;

г

F =

V f

F =

V

г\ е — 2 | ^

0---------- Уvu + Уи | ги = Уи

е—1

е—2

V е — 1

Уш + Уи I - в пространстве с

1

2

/

1

О, ~ Xvu + Хи I Ги = Уи — - Xvu + Хи I - в ЕС-пространстве;

2

1 ^ г 1

—г(Ууы - еУы),0 I гы = хы-7(Ууы - еУы) - в ЕД-пространстве.

е -1 ) е -1

3.7.2 Теорема. Символы Кристоффеля Г1 поверхностей в ВО-

пространствах равны

Г1 = , -12

2Е 12 2Е

г1 — Еи г1 — Ev г1 — О Г11 —ТГТ, Г12 — —, Г22 — 0

е

е

во всех ВО-пространствах. Остальные символы Кристоффеля таковы:

1 Е

Г21 = —— + Г — в пространстве Галилея и ЕС-пространстве, причем в 2Е

пространстве Галилея Г = 0;

1 ((Е Л Л

Г21 = (е -1) Iе- -1|+г

- в ЕМ- и ЕД-пространствах, причем в

ЕМ-пространстве с однородным растраном F — 0. В каждом ВО-прост-ранстве дополнительное слагаемое F имеет строго определенное индивидуальное значение.

Сформулированная теорема означает, что выполняется следующее утверждение.

3.7.3 Теорема. Символы Кристоффеля пространства Галилея и ЕМ-пространства с однородным растраном выражаются через коэффициент Е первой квадратичной формы поверхности и его производные Еи, Ev. Символы Кристоффеля Гц, Г^, Г22, Ггу поверхностей всех ВО-пространств выражаются только через Е, Еи, Ev; символы Г21 ЕМ-пространств с растраном общего вида и с v -растраном, ЕС- и ЕД-пространств выражаются еще через дополнительные величины. Только в пространстве Галилея

Г21 — Г12, в остальных ВО-пространствах это неверно, т.е. Г21 Ф Г^.

Как уже отмечено, первая квадратичная форма поверхности задает галилееву метрику на поверхности. Свойства поверхности, зависящие только от метрики, т.е. только от ее первой квадратичной формы, составляют внутреннюю (метрическую) геометрию поверхности.

Сформулированная теорема означает, что выполняется и утверждение.

3.7.4 Теорема. Символы Кристоффеля пространства Галилея и ЕМ-пространства с однородным растраном относятся к внутренней геометрии поверхностей этих пространств. К внутренней геометрии поверхностей ЕМ-пространств с растраном общего вида и с v -растраном, ЕС- и ЕД-пространств символы Кристоффеля не относятся.

В деривационных формулах поверхностей ВО-пространств коэффициенты Ац при векторе нормали п распадаются на два слагаемых - основное и

дополнительное. Дополнительное слагаемое имеет вид

О — ёшп.

3.7.5 Теорема. Деривационные формулы поверхностей всех 3-мерных разрешимых галилеевых ВО-пространств имеют вид

г Еи г „Г

юии _ Гии = пг,Ги ^ Ап ;

2 Е

- г Ev Г г .

юuv = Гт = пг,Ги ^ Вп ;

2Е

ют = Г21Ги + А21п ;

ю^ = НСп , Н — 1 или Н — е — 1;

г А г

пи = ——Ги;

Е

г В г

щ = ги;

Е

различаются эти формулы для различных ВО-пространств только формулой для производной юуи. Имеем:

юуи = Ууи = У иу - в пространстве Галилея;

Рто = (е - 1) растраном;

-1 |ги + ВЯ

^ 2- ) и

- в ЕМ-пространстве с однородным

Г Е

+ F | ги + (В + С) Й - в ЕС-пространстве;

уи

ги + (В + С) Я - в ЕМ- и ЕД-прост-

ранствах; причем в ЕМ-пространстве с однородным растраном F = С = 0, в остальных ВО-пространствах дополнительные слагаемые F и С имеют строго индивидуальное значение.

Во всех ВО-пространствах выполняется теорема Родрига: производные Йи , Йу коллинеарны вектору ги .

3.8 Основные уравнения теории поверхностей ВО-пространств

К основным уравнениям теории поверхностей относятся уравнения, получаемые на основе деривационных формул в результате их дифференцирования. Это так называемые формула Гаусса и две формулы Петерсона-Кодацци. Формулы Петерсона-Кодацци можно получить, сравнивая коэффициенты разложений по базису (ги, гу, Й) равных между собой смешанных

производных Йиу = Йуи и Гииу = Гиуи .

3.8.1 Теорема. Для регулярных поверхностей в естественной параметризации всех ВО-пространств справедлива общая формула Петерсона-Кодацци

2Е(Ви - К) = ВЕи - АЕу .

# Эта формула получается из сравнения производных Йиу = Йуи и юииу = юиуи . Так как во всех ВО-пространствах деривационные формулы для Йи , Йу и юии = гии , юиу = гиу одни и те же, то и формула получается общая. #

Для получения формулы Гаусса сравниваются производные юуиу и юууи . Из сравнения тех же производных получаются и формулы Петерсона-Кодацци. Выполняются следующие две теоремы.

3.8.2 Теорема. Формула Гаусса имеет следующий вид:

Еу - 2ЕЕуу

К =-----—-------в пространстве Галилея;

К = Е—2^4Е^у—Еу^ - в ЕМ-пространстве с однородным растраном; две формулы

K — Ev 2EEvv ^

4E

eV - 2EEvv

K —

v + bvJE - с„4Е

u

4 E

2 VE

f BE I__ __^

+ B^\E - Cu'$E — - “xvvu - xvu I----------------------в ЕС-

24 E ) yu \2 ) yu

x„

пространстве;

V Ev - 2E{Evv - Ev) , ТУГ- Г Г ГГ ГЛ-Г

K — —------4^г ----+ B^ - EvF - EFv - в ЕМ-пространствах с рас-

траном общего вида и с v -растраном и в ЕД-пространстве. Последняя формула превращается в формулу Гаусса в ЕМ-пространстве с однородным растраном.

3.8.3 Теорема. Вторая формула Петерсона—Кодацци есть

BEv — 2E{Cu-Bv)- в пространстве Галилея;

BEv — 2E(Cu - Bv )-(xvvu - 2xvu )Exu - в ЕС-пространстве;

DEv — 2E(Cu - Bv + B) - в ЕМ-пространстве с однородным растраном;

DEv — 2E(Cu - Bv + B) - 2E(BF + Gv) - в ЕМ-пространствах с растраном общего вида и с v -растраном и в ЕД-пространстве.

На основании приведенных результатов имеем следующие свойства поверхностей разрешимых галилеевых ВО-пространств.

3.8.4 Теорема. Полная кривизна поверхности относится к внутренней геометрии поверхности в пространстве Галилея и в ЕМ-пространстве с однородным растраном. В ЕМ-пространствах с растраном общего вида и с v -растраном, в ЕС- и ЕД-пространствах полная кривизна поверхности к ее внутренней геометрии не относится. Формула Гаусса поверхности ЕС-пространства отличается от формулы Гаусса поверхности пространства Галилея дополнительным слагаемым, формула Гаусса поверхности ЕМ-пространства с растраном общего вида и v -растраном, ЕД-пространство отличается от формулы Гаусса ЕМ-пространства дополнительным слагаемым. Эти дополнительные слагаемые не выражаются через коэффициент первой квадратичной формулы поверхности. #

4. Некоторые качественные критерии для поверхностей.

Критерии принадлежности поверхности ВО-пространству по коэффициентам второй квадратичной формы

В п. 3.6 приведены значения коэффициента C второй квадратичной формы

II — Adu2 + 2Bdudv + Cdv2 поверхности ю(и,v) в различных разрешимых 3-мерных галилеевых ВО-пространствах. Коэффициенты A и B этой формы во всех ВО-пространствах одинаковы. Поэтому значение коэффициента C служит критерием принадлежности поверхности определенному ВО-пространству. Существует единственное 3-мерное разрешимое ВО-пространство с коммутативным линейным одулем Ли - пространство Галилея.

4.1.1 Критерий коммутативности ВО-пространства. Поверхность ю(и, v) = av + r(u, v) ВО-пространства лежит в пространстве Галилея, если

и только если C = rvvn , где n единичный вектор нормали поверхности, или если и только если rovv = rvv .

Вместе с тем имеем и критерий некоммутативности одуля Ли ВО-пространства.

4.1.2 Критерий некоммутативности ВО-пространства. Поверхность ю(м, v) = av + r(u,v) содержится в ВО-пространстве с некоммутативным одулем Ли, если и только если C Ф rvvn , т.е. ю Ф rvv , в этом случае производная rovv зависит не только от rvv, но и от других величин.

Значение коэффициента C второй квадратичной формы поверхности однозначно определяет принадлежность поверхности тому или иному ВО-пространству.

4.1.3 Критерий принадлежности поверхности ВО-пространству с 3-порожденным одулем Ли. Поверхность ю(м, v) = av + r(u, v) принадлежит ВО-пространству с 3-порожденным одулуем Ли, если и только если коэффициент C второй квадратичной формы поверхности выражается только через производные векторной функции r(u,v), или еще может дополнительное слагаемое H, выражающееся через производные обоих компонент функции r(u, v). Поверхность ю(м, v) принадлежит пространству Галилея в случае C = rvvn , принадлежит ЕМ-пространству в случае C = (rvv—rv )n . Поверхность ю(м, v) принадлежит пространству с рас-траном общего вида или пространству с v -растраном в случае, если

( e — 1 e +1 ^

C = \rvv —rv ) + H , где H = xu 0,---yvv H-yv I в пространстве с

\ e e )

r e — 2

растраном общего вида, H = xu 0,---------yvv + yv I в пространстве с

e — 1

V

V -растраном.

4.1.4 Критерий принадлежности поверхности ВО-пространству с

2-порожденным одулем Ли. Поверхность ю(м, V) = ^ + г(м, V) принадлежит ВО-пространству с 2-порожденным одулуем Ли, если и только если коэффициент С второй квадратичной формы поверхности выражается через производные векторной функции г(м,V)и некоторые компоненты производных от г(м, V). Поверхность ю(м, V) принадлежит ЕС-пространству в случае С = г^п + Н и принадлежит ЕД-пространству в случае

( 1 ^

С = (( )п +Н , где Н = хм 0, х^ + xv I в ЕС-пространстве, т.е. за-

V 2 )

( 1

висит только от производных функции х(м, V), и Н = у ------(у^ -еуу>),0

^ е-1

в ЕД-пространстве, т.е. зависит только от производных функции у(м, V).

4.2 Критерий принадлежности поверхности ВО-пространству по символам Кристоффеля

Символы Кристоффеля всех 3-мерных разрешимых одулярных Галилеевых пространств выписаны в п. 3.7. Символы Гк во всех ВО-пространствах,

кроме пространства Галилея, одни и те же и различаются только символы .

Каждому из ВО-пространств соответствует свое значение Г^.

4.2.1 Критерий пространства Галилея. ВО-пространство коммута-

р1 т"'2

тивно, если и только если 121 = Г12 .

4.2.2 Критерий ЕМ-пространства с однородным растраном. ВО-

пространство имеет своим одулем Ли однородный растран, если и только

если г21 *Г2, и Г211 выражается только через коэффициент Е первой квадратичной формы поверхности и его производную Еу .

3 3

4.2.3 Критерий ЕМ-пространств Ml _1 и M2+1. ВО-пространство имеет своим одулем Ли растран общего вида или V -растран, если и только если Г21 *1?2 , и Г^1 выражается не только через коэффициент Е первой квадратичной формы поверхности и его производную Ev, но содержит соответст-

г е_1 е+1

-Угы +---------------------Уи I в пРо

е — 2

Ууи + Уи I в Простран-

вующее дополнительное слагаемое F , где F = уи

V е

г

странстве с растраном общего вида и F = уи

У е — 1

стве с v -растраном; дополнительное слагаемое зависит только от производных функции у (и,v).

4.2.3 Критерий ЕС- и ЕД-пространств. ВО-пространство имеет своим одулем Ли сибсон или диссон, если и только если Г21 выражается не только через коэффициент E первой квадратичной формы поверхности и его производные, но содержит соответствующее дополнительное слагаемое

Г 1 Л ^1

F, где F = Уи — ~xvu + хи I в ЕС-пространстве и F = Хи -- (Уvu —еУи ) в

^ 2 ) е — 1

ЕД-пространстве; дополнительное слагаемое зависит от производных обоих

функций х(и,v) и У(и,v).

4.3 Критерий принадлежности поверхности ВО-пространству по формуле Гаусса и формуле Петерсона-Кодацци

В каждом из 3-мерных разрешимых галилеевых ВО-пространств формула Гаусса имеет свой индивидуальный вид, и этот вид является критерием принадлежности поверхности своему ВО-пространству. Формулы Гаусса поверхностей всех ВО-пространств приведены в п. 3.8.

4.3.1 Критерий ВО-пространства с поверхностью, полная кривизна которой является объектом внутренней геометрии. Поверхность ю(и, v) с

первой квадратичной формой ds2 = dv2 и ds2 = Edu2 принадлежит пространству Галилея или ЕМ-пространству с однородным растраном, если и только если полная кривизна K поверхности выражается через коэффициент E и его производные (полная кривизна относится к ее внутренней геометрии). В случае K = E—2ЕЕУУ поверхность лежит в пространстве Га-

Е2_2ЕЕ +2ЕЕ

J^,V ^ VV V Т~' \ /Г

лилея, в случае К =--------—--------- поверхность лежит в ЕМ-прост-

ранстве с однородным растраном.

4.3.2 Критерий ВО-пространства с поверхностью, полная кривизна которой не является объектом внутренней геометрии. Поверхность

ю(и, V) с первой квадратичной формой ds2 = dv2 и ds2 = Edu2 принадлежит ВО-пространству с растраном общего вида, V -растраном, сибсоном или дисоном, если и только если полная кривизна К поверхности выражается не только через коэффициент Е первой квадратичной формы и его производные, но и содержит дополнительные слагаемые (п. 3.8).

4.3.3 Критерий ВО-пространства с поверхностью, полная кривизна которой является объектом внутренней геометрии. Поверхность ю(и,V) принадлежит пространству Галилея или ЕМ-пространству с однородным растраном, если и только если формула Петерсона—Кодацци этой поверхности такова: BEV = 2Е(Си _ Bv), или, соответственно, DEV = 2Е(С _ Bv + В); формула связывает только коэффициенты квадратичных форм поверхности и их производные и не содержит дополнительных слагаемых.

4.3.4 Критерий ВО-пространства с поверхностью, полная кривизна

которой не является объектом внутренней геометрии. Поверхность ю(и, V) принадлежит ВО-пространству с растраном общего вида, V -раст-раном, сибсоном или дисоном, если и только если формула Петерсона—Кодацци этой поверхности связывает не только коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности и их производные, но и содержит дополнительные слагаемые; а именно эта формула такова: BEV = 2Е(Cu_BV) -

- Сш _2Х\,и )Ехи в ЕС-пространстве; и DEV = 2Е(CV_BV + B) —

_2Е(F + Gv) в ЕМ-пространствах с растраном общего вида, с V -раст-раном и в ЕД-пространстве.

Все приведенные критерии верны на основании полученных ранее формул для коэффициента С второй квадратичной формы поверхности всех рассматриваемых ВО-пространств, символов Кристоффеля поверхностей этих пространств и формул Гаусса как основного уравнения в теории поверхностей одулярных галилеевых пространств.

Список литературы

1. Долгарев, А. И. Качественные критерии для кривых и поверхностей 3-мерных одулярных галилеевых пространств. 1. Критерии для кривых / А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 2006. - № 5 (26). -С. 27. - (Естественные науки).

2. Долгарев, А. И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств : монография / А. И. Долгарев. - Пенза : Информационноиздательский центр ПГУ, 2005. - 306 с.

3. Долгарев, А. И. ЛМ-пространство / А. И. Долгарев // Римановы пространства и методы эллиптических дифференциальных уравнений : межвузовский сборник научных трудов. - Л. : ЛГПИ, 1986. - С. 8-25.

4. Розенфельд, Б. А. Геометрия групп Ли. Симметрические, параболические и периодические пространства / Б. А. Розенфельд, М. П. Замаховский. - М. : МЦНМО, 2003. - 560 с.