О задаче оптимального проектирования конструкции крыла из условий прочности и аэроупругости

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

То м III 197 2

№ 2

УДК 629.735.33.018.4

О ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ КОНСТРУКЦИИ КРЫЛА ИЗ УСЛОВИЙ ПРОЧНОСТИ И АЭРОУПРУГОСТИ

В. И. Бирюк

Рассматривается задача оптимального распределения силового материала по крылу в системе свободного самолета в идеализированной балочной постановке. В качестве критерия оптимальности используется функция веса, а требования прочности и аэроупругости выступают в качестве ограничений.

При расчете оптимальных конструкций необходимо удовлетворить многочисленным, часто противоречивым требованиям, предъявляемым к летательным аппаратам.

В работе |1] и ряде последующих работ был развит критерий постоянства удельной потенциальной энергии, который объединяет в себе требования максимальной жесткости конструкции, равно-прочности ее и минимума объема материала. Одна из возможных реализаций этого критерия для крыла предложена в работе [2]. Однако при получении решения автор исходит из заданных систем сил, действующих на конструкцию и не зависящих от искомых жесткостей, кроме того, найденное решение может не удовлетворять требованиям аэроупругости (реверса, флаттера, динамического нагружения). В работе [3], где ставится подобная задача для стабилизатора, требования аэроупругости учитываются приблизительно, в величинах максимальных допустимых прогибов конструкции.

Данная статья посвящена вопросу оптимизации конструкции крыла летательного аппарата с учетом требований аэроупругости и прочности, при этом характеристики воздействия на летательный аппарат явлений аэроупругости получаются из решений соответствующих уравнений.

Рассматривается задача поиска минимума веса продольного силового набора стреловидного крыла в системе свободного самолета, для которого заданы некоторые режимы полета (скорость,

высота, перегрузка). Конструкция крыла с оптимально распределенным материалом должна обладать запасом прочности при действии статического нагружения в случае маневра с максимальной перегрузкой и в случае динамического воздействия нормированных порывов ветра, а также удовлетворять требованиям безопасности от флаттера и реверса. Во многих случаях эти требования достаточно полно определяют конструкцию крыла большого удлинения тяжелого самолета.

В качестве расчетной схемы используется обычная балочная модель летательного аппарата, в которой крыло и горизонтальное оперение моделируются балками, жестко заделанными в фюзеляж, также представленный балкой.

В качестве варьируемых параметров используются толщины обшивки 80//., связанные с приведенной толщиной 8прг;. соотношением

где т — число разбиений по хорде, п — число разбиений по размаху.

Для такой идеализированной схемы крыла в системе свободного самолета формулируется задача нелинейного программирования: определить минимум целевой функции '

где 8{80//.} — матрица толщин, ч— удельный вес материала, Дг — шаг разбиений по оси жесткости, Дл:— шаг разбиений по хорде.

Целевая функция веса (1) представляет собой линеййую форму неизвестных 8о;у, удовлетворяющих соотношению

Здесь Аг/- — высоты соответствующих точек профиля;

/Ишах —максимальный изгибающий момент в сечении для нескольких случаев нагружения;

Здопу —допускаемые напряжения, заданные по размаху крыла

Как видно из соотношения (2), принято, что прочность определяет нормальные напряжения. Исследования ряда авторов показывают, что в крыле доля нормальных напряжений в продольных силовых элементах составляет 70—80% от общей энергии деформации.

Величина УИтах(8) определяется из соответствующих уравнений для случая статического и динамического нагружения крыла, имеющих общий вид;

8о;у — а; 8пр/у (I — 1, 2, , ш\ /— 1, 2, ... , я),

п т

/ *

Xа)8 у Ах

т

^доп у

т; /= 1, 2, . . . , я).

г

(г = 1, 2,..., т\

с учетом зависимости

мальных напряжений, I — расстояние между нервюрами.

Мтах

г г

Здесь у — вертикальное перемещение, 0 —угол поворота сечения,

т — распределенная по оси жесткости масса, /из — статический момент масс.

Величина аэродинамической силы, действующей в сечении крыла. £аэр(2> у, 6, ¿), определяется с учетом влияния деформаций на распределение нагрузки по линейной аэродинамической теории. Второй член учитывает инерционные нагрузки. В случае статического нагружения в уравнении (3) исчезают члены с производными по времени и Раэр не зависит от времени. Величины у и 6 определяются при динамическом воздействии из решения системы дифференциальных уравнений, которые для удобства можно записать, в матричном виде:

А¥ + ВУ + СУ + ОУ=(}, (4>

где А — матрица жесткости системы, С — инерционная, В и И — аэродинамические матрицы, — столбец внешних сил, вызванных динамическим воздействием.

Искомые потребные жесткости (распределение приведенных толщин) продольного силового набора должны обеспечить выполнение условий

X (8) < - е,

(8)>£.

Здесь -/ — вещественная часть комплексных собственных чисел уравнения (4) при отсутствии правой части; е— малое положитель-

//^^ упр

ное число; \х =-----------коэффициент относительной эффектив-

тх жест

ности, равный отношению коэффициентов момента крена на упругом и жестком крыле,

(с*, +с; А») &(*)«/*

х- ^ с*уЪЬ(г)гйг

где с* и Су — производные коэффициентов подъемной силы по углу атаки а и отклонению элерона 8 соответственно, Да (г) — приращение угла атаки, вызванное упругостью конструкции крыла, Ь{г) — хорда крыла.

Согласно условиям (5), безопасность от флаттера определяется ограничением х, а безопасность от реверса—величиной минимальнодопустимого коэффициента относительной эффективности 5° .

Задача поиска оптимального распределения силового материала решается методом скорейшего спуска при использовании штрафных функций, введенных впервые Курантом [4]. При этом рассматривается следующий функционал:

ф = О (8) + X, (х - е.у + Х2 ах - Й)2 + (о - здоп)2,

Хх = 0 при х-<е; Х1>0 при —

Ха = 0 при *2>0 при

Х8 = 0 при о<одоп; Х3>0 при а>адоп.

Идея применения штрафной функции состоит в рассмотрении функционала, объединяющего критериальную функцию и ограни-

(5>

чения со штрафным параметром X. Когда варьируемые параметры находятся внутри допустимой области, то <¡> = 6(8) (фиг. 1).

При переходе от итерации к итерации варьируемые параметры определяются следующим образом:

дф

8Р+1 = 8р

дЬР '

Величина а выбирается из условия минимума <]>(<*), которая при этом аппроксимируется параболой:

*(*)-к«=<» + £ ^

+

« = 0

а2 д2$ 2! да?

+ 0(«3).

о=0

Предложенным методом было получено решение для крыла гипотетического самолета. Если искать решение, удовлетворяя только требованиям прочности, то получаем вес силового набора и распределение жесткости по крылу, показанное на фиг. 2 (кривая /7). Однако это распределение не удовлетворяет еще двум другим требованиям безопасности от флаттера и реверса. При удов-

Фиг. 3

Фиг. 4

летворении первого из них потребный вес 1,07 (?0 (кривая П+Ф), при удовлетворении второго требования б = 1,22 б0 (кривая П + Р), но при этом не удовлетворяется условие по флаттеру. Если взять огибающую жесткостей, то при 0=1,31 нарушаются ограничения по флаттеру. Кривая П-\-Ф-\-Р иллюстрирует распределение жесткостей при одновременном удовлетворении всем ограничениям, при этом С = 1,24О0. Соответствующие полученным жесткостям толщины представлены на фиг. 3. Найденное решение при проверке прямыми методами расчета на прочность, флаттер, реверс и динамическое нагружение удовлетворяет всем заданным ограничениям, как показано на фиг. 4, и доставляет минимум целевой функции веса (1). Огибающая решений, полученных из условия удовлетворения каждому критерию в отдельности, в данном случае не приводит к решению поставленной задачи.

1. Wasiutynski Z. The present stale of knowledge in the field of optimum design of structures. Appl. Mech. Reviews, vol. 16, No 5, 1963.

2. Тепеницын М. П. Об одном алгоритме получения силовой

конструкции, обладающей минимумом энергии деформации. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 1, 1970. .

3. Т г i р 1 е 11 W. Е. and 1 s i n g K- D. Computer aided slabilator design including aeroelastic constraints „Structures. AIAA/ASME 11th Structures, Structural Dynamics and Materials Conference*. N.—Y., 1970.

4. С our ant R. Calculus of variations and supplementary notes exercises. N. — Y. Univers., Institute of Mathematical Sci., 1945—1946, revised and amended by J. Moser, 1956—1957.

Рукопись поступила 1¡VII 1971