Осредненные течения в эластичной полости, зажатой между поверхностями, совершающими тангенциальные колебания

ОСРЕДНЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ В ЭЛАСТИЧНОЙ ПОЛОСТИ, ЗАЖАТОЙ МЕЖДУ ПОВЕРХНОСТЯМИ, СОВЕРШАЮЩИМИ ТАНГЕНЦИАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

В .Г. Козлов1, С.В. Субботин1, Р.Р. Сабиров2

1Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 614000, Пермь, Сибирская, 24

2Пермский национальный исследовательский политехнический университет, 614000, Пермь, Комсомольский проспект, 29

Работа посвящена экспериментальному исследованию осредненных потоков, возникающих в эластичной сфероидальной полости, зажатой между двумя поверхностями. Границы полости совершают тангенциальные колебания, а ее форма, в лабораторной системе отсчета, остается неизменной. Подобная конструкция моделирует жидкую каплю с покрытой адсорбционной пленкой поверхностью, находящуюся в осциллирующем сдвиговом потоке. Обнаружено, что вибрационное воздействие приводит к возникновению осредненного течения в виде двух пар вихрей, вытянутых вдоль оси поворота полости. При повышении амплитуды структура осредненного течения изменяется и принимает вид системы вихрей, ориентированных поперек оси поворота полости.

Ключевые слова: полость с эластичной стенкой, вращательные колебания, осредненное течение.

ВВЕДЕНИЕ

Двухжидкостные системы в виде эмульсий применяются во многих химических отраслях [1]. В технологических процессах форма взвешенных капель жидкости не остается постоянной, капли могут осциллировать, а также сливаться и делиться на более мелкие. Физические и реологические свойства таких систем сильно зависят от

© Козлов В .Г., Субботин С.В., Сабиров Р.Р., 2017

морфологии, т.е. от размера и формы дисперсных фазовых включений. Первые исследования динамики капли в стационарном сдвиговом потоке были начаты еще Тейлором [2, 3], который показал, что форма капли определяется отношением вязкостей двух жидкостей и капиллярным числом Са (отношение сдвиговых напряжений к поверхностному натяжению межфазной границы). Если отношение вязкостей близко к единице и Са < 0.5, капля ньютоновской жидкости принимает форму вытянутого эллипсоида, ориентированного под некоторым углом к направлению сдвигового потока [4]. При малых деформациях форма капли описывается параметром О, который определяется следующим образом [3, 5]:

_ а - Ь ^ 19п +16

О °-= Са—--.

а + Ь 16^ +16

Здесь а и Ь - длина большой и малой полуосей деформированной капли, п - отношение вязкости капли к вязкости окружающей жидкости.

В осциллирующем сдвиговом потоке капля жидкости периодически вытягивается и сжимается [6-8], при этом в зависимости от частоты колебаний возможны два режима деформации [9, 10]. В области низких частот величина деформации близка к постоянному значению, в то время как в области высоких частот степень деформации обратно пропорциональна частоте.

Периодические изменения формы капли приводят к возникновению осредненных потоков внутри нее. Так, в случае собственных колебаний с резонансной частотой возбуждаются интенсивные вихревые течения [11-15]. Если поверхность капли покрыта адсорбционной пленкой, межфазная граница оказывается тангенциально несжимаемой [16]. Это означает, что в осциллирующем сдвиговом потоке такая капля одновременно с периодической деформацией будет совершать вращательные колебания. При этом источником осредненного течения будут выступать пограничные слои Стокса [17].

Предлагаемая работа посвящена экспериментальному изучению осредненных потоков, которые возбуждаются в капле с насыщенной сурфактантом границей и находящейся в осциллирующем сдвиговом потоке. Внимание уделяется области высоких безразмерных частот, когда толщина слоев Стокса мала по сравнению с размером полости.

1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА И МЕТОДИКА

Для изготовления кюветы используется прозрачная жидкая силиконовая резина марки Lasil T4, которая полимеризуется при добавлении отвердителя. В жидком состоянии силиконовый компаунд заливается в форму, образованную цилиндрической плексигласовой трубой внутренним диаметром 70 мм, в центре которой располагается полая пластмассовая сфера внешним диаметром 59 мм. С обоих концов конструкции расположены плексигласовые фланцы, высота цилиндра составляет 70 мм. После полимеризации силикона внешняя цилиндрическая труба вместе с фланцами снимаются, а внутренняя пластмассовая оболочка растворяется при помощи этилацетата, который заливается через специальное техническое отверстие. Эфир полностью растворяет пластмассу, но не влияет на силикон. В окончательном виде модель представляет собой прозрачный эластичный цилиндр длиной и диаметром 70 мм со сферической полостью диаметром й = 59 мм в центре и двумя техническими отверстиями в торцах. Параметры модели представлены в таблице.

Таблица

Параметр Определение Значение

й Диаметр сферической полости в недефор-мированном состоянии 59.0 мм

Ь Продольный размер полости в деформированном состоянии 59.0 мм

Э Линейный размер полости в деформированном состоянии 51.5 мм

д у Угловой размер плоской границы деформированной полости 0.96 рад

V Кинематическая вязкость жидкости 7.0 сСт

/ = П /2п Частота вибраций 0-10 Гц

дф Угловая амплитуда вибраций 0 - п рад

дф/ду Относительная амплитуда вибраций 0 - 3.27

Торцы силиконового цилиндра приклеиваются к плексигласовым фланцам. Оба фланца жестко соединены друг с другом металлическим стержнем толщиной 6 мм. Стержень проходит через ось симметрии кюветы и препятствует возникновению нежелательной деформации скручивания силиконовой формы во время опытов.

Один фланец кюветы закрепляется в планшайбе, жестко соединенной с металлическим стержнем, а боковая поверхность кюветы зажимается между двумя цилиндрическими активаторами радиусом 40 мм и шириной 30 мм (рис. 1). Активаторы способны свободно вращаться относительно собственных осей и расположены так, что расстояние между ними меньше, чем внешний диаметр эластичной силиконовой формы. Второй фланец кюветы устанавливается в подшипнике, радиус которого превосходит размер полости, что позволяет вести наблюдения вдоль оси симметрии. Так как расстояние между торцами фиксируется, при деформации полости ее продольный размер не меняется. Для характеристики степени деформации кюветы используется параметр Лу, определяющий

угловой размер плоских границ полости в экваториальной плоскости (рис. 2). В рассматриваемых экспериментах угловая величина деформации не изменяется и составляет Лу = 0.96 рад.

Рис. 1. Схема экспериментальной установки

Вращательные колебания кюветы по закону ф = Лф8т(Qt) задаются при помощи шагового двигателя типа РЬ868ТЫ118-6004Л. Управление вращением вала двигателя осуществляется контроллером 08М-88И через ШБ-порт компьютера. Вал двигателя соединяется с осью столика при помощи разрезной муфты, которая передает вращательные колебания кювете.

На рис. 3 показано изменение угла поворота полости со временем. Видно, что амплитуда и частота колебаний поддерживаются с высокой точностью: зависимость угла поворота от времени описы-

вается гармонической функцией. Результаты прямых измерений угловой координаты р показывают, что измеренные значения угловой амплитуды Ар и частоты / согласуются с задаваемыми с точностью до 4 %

а б

Рис. 2. Фото кюветы в сечении светового ножа: а - вид вдоль оси вибраций, б - вид сбоку. Сплошные линии - видимые границы рабочей полости, штрихпунктирная - реальная граница

Рис. 3. Изменение угловой координаты полости р со временем при Ар = 0.524 рад и / = 1 Гц

Образованная сферическая полость заполняется маловязкой жидкостью (водоглицериновый раствор). Заполнение осуществля-

ется через техническое отверстие, которое после удаления газовых включений заливается силиконовым компаундом; после полимеризации последнего упругая оболочка становится герметичной.

Для исследования структуры течения, возбуждаемой угловыми колебаниями сжатой полости, в жидкость добавляются пластиковые светорассеивающие частицы размером < 0.2 мм и плотностью р ~ 1.16 г/см3, близкой к плотности жидкости. Для освещения используется световой нож (источник - лазер непрерывного действия типа 7-Ьазег Z500Q). Движение светорассеивающих частиц записывается на неподвижную в лабораторной системе отсчета скоростную видеокамеру СашЯесой СЬ600х2 с разрешением кадров 800 х 800 пикселей. Частота съемки подбирается кратной частоте вращательных колебаний полости. Структура течения изучается как в плоскости, перпендикулярной оси вибраций, так и в осевом сечении (см. рис. 2). Анализ поля скоростей осуществляется с помощью программы Р1УЬаЬ [18]. Кроме того, скоростная видеосъемка используется для дополнительного контроля амплитуды и частоты вибраций модели.

2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

При малых амплитудах вращательных вибраций (Ар < А у) периодическая деформация полости приводит к возникновению осредненного течения в форме четырех вытянутых вдоль оси вращения вихрей (рис. 4). Исследование профиля скорости Р1У-методом показывают, что в экваториальной плоскости жидкость движется по направлению от стенок полости к ее центру и далее - к активаторам (рис. 4 а), в осевой плоскости жидкость также движется по направлению к активаторам (рис. 4 б).

В качестве характеристики интенсивности течения принимается осредненная максимальная скорость жидкости в экваториальной плоскости. Например, на рис. 4 а осреднение проводится по четырем максимумам, в которых жидкость движется от стенок к центру полости. В осевой плоскости результаты измерений, отягощенные погрешностями, связанными с оптическими искажениями на цилиндрической поверхности кюветы, во внимание не принимаются.

В области малых амплитуд вибраций при фиксированной частоте f скорость движения жидкости и пропорциональна квадрату

амплитуды Ар2 (рис. 5). Повышение частоты вибраций приводит к линейному увеличению скорости (рис. 6) и не влияет на вид структуры течения, которая подобна той, что представлена на рис. 4.

Рис. 4. Структура вторичного течения в экваториальной плоскости (а, в) ив осевом сечении (б, г) при амплитуде Лф = 0.262 рад и частоте / = 4.0 Гц (а, в) и 3.5 Гц (б, г); а и б - амплитуда скорости жидкости, в и г - 2- и х-компонента завихренности

При Лф>Лу монотонный рост скорости и с повышением Лф

прекращается (см. рис. 5), что связано с качественным изменением структуры течения (рис. 7). В отличие от области малых амплитуд, когда в экваториальной плоскости движение жидкости направлено от оси к активаторам (см. рис. 4 а, в), при больших амплитудах направление движения жидкости меняется на противоположное (рис. 7 а, в). Сравнение профилей скорости в меридиональной плоскости показывает, что направление вращения жидкости вблизи активаторов тоже меняется (ср. рис. 4 б, г и рис. 7 б, г). Это указывает на изменение структуры течения: на смену вихревым образо-

ваниям с осями, параллельными оси поворота полости, приходят вихревые структуры, ориентированные поперек оси.

и, мм/с

101

100

10-1

Рис. 5. Максимальная скорость движения жидкости в экваториальной плоскости в зависимости от амплитуды вибраций Ар

50

и, мм/с

30

20

10" 0

0 2 4 6 Гц 10

Рис. 6. Максимальная скорость движения жидкости в экваториальной плоскости в зависимости от частоты вибраций f

Рис. 7. Структура осредненного течения в экваториальной плоскости (а, в) и в осевом сечении (б, г) при Ар = 1.221 рад и f = 0.5 Гц (а, в) и 1.0 Гц (б, г). На шкалах плотности под рисунками на верхних фрагментах изображена величина скорости жидкости, на нижних - 2- и х-компонента завихренности скорости

Изменение структуры течения в области больших амплитуд вибраций связано с возникновением интенсивного азимутального течения, направление которого меняется в зависимости от фазы колебаний. Осредненные за половину периода колебаний поля скорости и завихренности показывают, что направление азимутального течения на каждой половине периода противоположно направлению движения стенки кюветы (рис. 8).

3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

В случае малых амплитуд и высоких частот вибраций осредненные потоки генерируются в вязких пограничных слоях Стокса и проникают в объем жидкости. Рассматриваемые эксперименты вы-

полнены в области высоких безразмерных частот, с = ОЯ2 / V »1, когда толщина слоев Стокса мала по сравнению с размером полости. Как следует из экспериментов [19], где были изучены потоки в полости квадратного сечения при вращательных вибрациях, в высокочастотной области безразмерная скорость осредненного движения V /V линейно возрастает с числом Рейнольдса Яер °Лф2 Я2 П /V . В нашем случае при с> 2 102 безразмерная скорость при умеренных амплитудах колебаний изменяется с числом Рейнольдса по закону V = 0.1Яер (рис. 9), что качественно согласуется с результатами [19].

Рис. 8. Структура течения в экваториальной плоскости, осредненного по половине периода колебаний кюветы (между амплитудными смещениями полости), при Лф = 1.221 и / = 0.5 Гц. Стрелками показаны направления вращения кюветы в течение времени, за которое проводится осреднение

102 V

101 -

100 -

10-1

100

101

102

103 Яе„

Рис. 9. Зависимость безразмерной скорости жидкости V от пульсационного числа Рейнольдса Ие

Аналогичный результат ранее был получен при исследовании осредненных потоков в цилиндрической [20] и сферической [21] осциллирующих эластичных полостях. Рассмотрим подробнее результаты этих экспериментов. Были использованы модели, которые представляли собой: цилиндр с эластичной стенкой и эластичную сферическую оболочку, зажатые между двумя параллельными пластинами. В отличие от нашего случая тангенциальных колебаний, в [20, 21] границы совершали нормальные друг к другу поступательные колебания, что приводило к периодическому сжатию и расширению эластичных полостей. В результате периодической деформации в осциллирующих полостях возникали осредненные потоки в виде вытянутых вдоль оси цилиндра валов (в сферической полости - торов). В области высоких частот, при (о> 103, скорость осредненного движения жидкости в осциллирующих полостях линейно возрастала с числом Рейнольдса. Это указывает на то, что интенсивность осредненного течения характеризуется величиной комплекса V / Ие , который определяет отношение скорости

осредненного потока к скорости осциллирующего течения [20].

В наших экспериментах при умеренных значениях числа Рей-нольдса все экспериментальные точки отвечают соотношению

V/Re = 0.1. Отклонение от данной зависимости при больших значениях Re связано с изменением структуры течения, вызванного увеличением амплитуды вибрационного воздействия.

Заключение. В эксперименте изучено осредненное движение жидкости в эластичной сфероидальной полости, зажатой между двумя поверхностями, совершающими тангенциальные колебания. Внимание уделено случаю высоких безразмерных частот. PIV-методом изучена структура осредненных течений. Поля скорости и завихренности исследованы в широком диапазоне амплитуд и частот вибраций. Обнаружено, что в области малых амплитуд вибраций течение имеет форму двух пар вихревых структур, вытянутых вдоль оси вибраций. По достижении критического значения амплитуды структура течения меняется под влиянием интенсивного азимутального потока, направление которого меняется в течение каждого периода колебаний в зависимости от направления движения границы полости. Показано, что максимальная скорость жидкости в экваториальной плоскости определяется пульсационным числом Рейнольдса.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 16-31-60099 мол_а_дк).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ

1. Han C.D. Multiphase Flow in Polymer Processing. Academic Press. New York, 1981. 480 p.

2. Taylor G.I. The viscosity of a fluid containing small drops of another fluid // Proc. R. Soc. London, Ser. A 1932. Vol. 138. P. 41-48.

3. Taylor G.I. The formation of emulsions in definable fields of flow // Proc. R. Soc. London, Ser. A 1934. Vol. 146. P. 501-523.

4. Guido S., Villone M.J. Three-dimensional shape of a drop under simple shear flow // J. Rheol. 1998. Vol. 42. P. 395-415.

5. Bentley B.J., Leal L.G. An experimental investigation of drop deformation and breakup in steady, two-dimensional linear flows // J. Fluid Mech. 1986. Vol. 167. P. 241-283.

6. Janpaen V., Niamlang S., Lerdwijitjarud W., Sirivat A. Oscillatory shear induced droplet deformation and breakup in immiscible polymer blends // Phys. Fluids. 2009. Vol. 21 (6). P. 063102.

7. Cavallo R., Guido S., Simeone M. Drop deformation under small-amplitude oscillatory shear flow // Rheol. Acta. 2003. Vol. 42. P. 19.

8. Guido S., Grosso M., Maffettone P.L. Newtonian drop in a Newtonian matrix subjected to large amplitude oscillatory shear flows // Rheol. Acta. 2004. Vol. 43. P. 575-583.

9. Li X., Sarkar K. Drop dynamics in an oscillating extensional flow at finite Reynolds numbers // Phys. Fluids. 2005. Vol. 17 (2). P. 027103.

10. Li X., Sarkar K. Numerical investigation of the rheology of a dilute emulsion of drops in an oscillating extensional flow // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2005. Vol. 128 (2-3). P. 71-82.

11. Trinh E., Zwern A., Wang T.G. An experimental study of small-amplitude drop oscillations in immiscible liquid systems // J. Fluid Mech. 1982. Vol. 115. P. 463-474.

12. Trinh E., Wang T.G. Large-amplitude free and driven drop-shape oscillations: experimental observations // J. Fluid Mech. 1982. Vol. 122. P. 315-338.

13. Yarin A.L. Stationary d.c. streaming due to shape oscillations of a droplet and its effect on mass transfer in liquid-liquid systems // J. Fluid Mech. 2001. Vol. 444. P. 321-342.

14. Shen C.L., Xie W.J., Yan Z.L., Wei B. Internal flow of acoustically levitated drops undergoing sectorial oscillations // Phys. Lett. A. 2010. Vol. 374. P. 4045-4048.

15. Yan Z.L., Xie W.J., Wei B. Vortex flow in acoustically levitated drops // Phys. Lett. A. 2011. Vol. 375. P. 3306-3309.

16. Wegener M., Paul N., Kraume M. Fluid dynamics and mass transfer at single droplets in liquid/liquid systems // Int. J. Heat Mass Transfer. 2014. Vol. 71. P. 475-495.

17. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М: Наука, 1974. 712 с.

18. Thielicke W., Stamhuis E.J. PIVlab - towards user-friendly, affordable and accurate digital particle image velocimetry in MATLAB // J. Open Res. Softw. 2014. Vol. 2. e30.

19. Иванова А.А., Козлов В.Г. Вибрационная конвекция при непоступательных колебаниях полости (изотермический случай) // Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 2. C. 25-32.

20. Kozlov V.G., Kozlov N.V., Schipitsyn V.D. Steady flows in an oscillating deformable container. Effect of the dimensionless frequency // Phys. Rev. Fluids. 2017. Vol. 2. P. 094501.

21. Козлов В.Г., Сабиров Р.Р., Субботин С.В. Осредненные течения в осциллирующей сфероидальной полости с эластичной стенкой // Изв. РАН. МЖГ. 2018. № 2. С. 16-26.

STEADY FLOW IN AN ELASTIC CAVITY SANDWICHED BETWEEN SURFACES SUBJECTED TO TANGENTIAL OSCILLATIONS

V.G. Kozlov, S.V. Subbotin, R.R. Sabirov

Abstract. The paper is devoted to the experimental investigation of steady flows arising in an elastic spheroidal cavity sandwiched between two surfaces. The boundaries of the cavity make the tangential oscillations and its shape remains unchanged in the laboratory reference frame. This construction simulates a liquid drop covered with absorbed film surface in an oscillating shear flow. It is found that the vibrational action leads to the appearance of steady flow in the form of two pairs of vortexes elongated along the axis of the rotation of the cavity. With increasing the amplitude, the steady flow structure changes and takes the form of vortexes oriented transversely to the axis of rotation.

Key words: cavity with an elastic wall, rotational oscillations, and steady flows.