Многообразия коммутативных полугрупп, обладающие полным радикалом

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 4. С. 14-18.

УДК 512.532.3

Л.М. Мартынов

МНОГООБРАЗИЯ КОММУТАТИВНЫХ ПОЛУГРУПП, ОБЛАДАЮЩИЕ ПОЛНЫМ РАДИКАЛОМ*

Полугруппа обладает полным радикалом, если у нее есть конгруэнция, фактор-полугруппа по которой редуцирована, а все ее классы, являющиеся подполугруппами, суть полные полугруппы. В работе охарактеризованы многообразия коммутативных полугрупп, все полугруппы которых обладают полным радикалом.

Ключевые слова: коммутативная полугруппа, многообразие коммутативных полугрупп, полный радикал.

Теория абелевых групп дает яркий пример развитой структурной теории. При этом важную роль там играют понятия полноты (делимости) и редуцированности. Оказалось, что к определениям этих понятий возможен другой подход, использующий теорию многообразий групп. Это дало нам возможность определить в [1] их аналоги для произвольных алгебр, а именно: очевидно, что абелева группа является полной тогда и только тогда, когда она не имеет гомоморфизмов на неединичные группы из атомов решетки многообразий абелевых групп (напомним, что последние исчерпываются многообразиями Ap абелевых групп экспоненты p по всем простым p). Поскольку решетка L(V) подмногообразий любого многообразия V алгебр является атомной, естественно назвать произвольную алгебру С из V полной, если у нее нет гомоморфизмов на неодноэлементные алгебры из атомов решетки L(V). Если алгебра не имеет неодноэлементных полных подалгебр, то она называется редуцированной. Понятно, что одноэлементная алгебра является одновременно полной и редуцированной.

Понятия полноты и редуцированности позволяют указать следующий методологический подход к развитию структурной теории алгебр, хорошо зарекомендовавший себя в теории абелевых групп. Отправляясь от атомов решетки подмногообразий данного многообразия V алгебр, которые зачастую определяются хорошими тождествами и алгебры которых устроены довольно просто, конструируем с помощью расширений редуцированные алгебры c «блоками-факторами» из атомов. С другой стороны, полные алгебры - это антиподы редуцированным, их нельзя «собрать» из атомов, но иногда можно охарактеризовать исчерпывающим образом (как, например, в случае абелевых групп).

Поскольку во многих случаях алгебры из V являются расширениями полных алгебр с помощью редуцированных (это имеет место, например, в случае групп, модулей, ассоциативных колец и алгебр и др.) [2], изучение произвольных алгебр из V можно свести к изучению полных и редуцированных алгебр из V и их расширений. Таким образом, в этом случае в многообразии V определен строгий (в смысле А.Г. Куроша [3]) радикал (R, S) (он называется полным радикалом), для которого радикальный класс R состоит из всех полных алгебр из V, а полупростой класс S - из всех редуцированных алгебр из V.

В любой полугруппе S существует наибольшая полная россыпь C(S) [2], которая в общем случае не является конгруэнц-допустимой в S. Если же C(S) конгруэнц-допустима в S и фактор-полугруппа по соответствующей конгруэнции редуцирована, то будем говорить, что полугруппа S об* Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, задание № 2014/336.

© Л.М. Мартынов, 2014

Многообразия коммутативных полугрупп, обладающие полным радикалом

15

ладает полным радикалом. В этом случае будем говорить также, что полугруппа является расширением ее полной россыпи с помощью редуцированной полугруппы. Полным радикалом полугруппы S при этом будем называть ее наибольшую полную кон-груэнц-допустимую россыпь C(S). Если любая полугруппа S многообразия V полугрупп обладает полным радикалом, то будем говорить, что в многообразии V определен полный радикал или что многообразие V обладает полным радикалом. В настоящей статье описываются многообразия коммутативных полугрупп, обладающие полным радикалом.

Определения используемых в работе общеизвестных теоретико-полугрупповых

понятий можно найти, например, в [4] или

[5]. Приведем лишь некоторых менее употребительные и важные для нас обозначения и определения.

Напомним, что элемент полугруппы S называется групповым, если его некоторая натуральная степень попадает в некоторую подгруппу полугруппы. Эпигруппой называется полугруппа S, в которой каждый элемент является групповым. Понятно, что эпигруппой является любая периодическая (в частности конечная) полугруппа.

Полугруппа S называется клиффордовой (или вполне регулярной), если все ее элементы групповые. Полугруппа S называется унипотентной, если она содержит единственный идемпотент. Полугруппу будем называть глобально идемпотентной, если она совпадает со своим квадратом, т. е. S2 = S.

Ядром конгруэнции р полугруппы S называется россыпь ker(р) полугруппы S, компонентами которой являются в точности все р-классы, которые суть подполугруппы в S. Ядро отношения равенства на S является тривиальной россыпью.

Когда S - унипотентная полугруппа, ее наибольшая полная россыпь C(S) состоит из одной подполугруппы из S, и в этом случае она отождествляется с этой подполугруппой. Понятно, что любая редуцированная полугруппа S обладает полным радикалом, совпадающим с тривиальной россыпью (пустая россыпь при этом считается полной), а полный радикал C(S) полной полугруппы S совпадает с самой полугруппой S.

Будем говорить, что полугруппа S является идеальным расширением полугруппы A с помощью полугруппы B, если в S существует (двусторонний) идеал T, изоморфный A, фактор-полугруппа Риса S/T по которому изоморфна B. Если полугруппа B при этом является нильпотентной или нильполугруп-пой, то полугруппу S называют, соответственно, идеальным нильпотентным или нильрасширением идеала T.

Условимся через var £ обозначать многообразие полугрупп, заданное системой £ полугрупповых тождеств. Кроме того, всюду предполагается, что буквы k и n обозначают положительные целые числа. Ниже будут использоваться следующие обозначения:

S - многообразие всех полугрупп;

C = var {xy = yx} - многообразие всех

коммутативных полугрупп;

L(V - решетка всех подмногообразий многообразия V;

An = var{x”y = y, xy = yx} - многообразие абелевых групп экспоненты n;

CN - класс всех коммутативных нильпо-лугрупп;

CNk = var {xk y = xk, xy = yx} - многообразие коммутативных нильполугрупп нильин-декса < k;

CZk - многообразие всех коммутативных нильпотентных полугрупп ступени < k;

Lo = var {xy = x} - многообразие полу-

групп левых нулей;

Ro = var {xy = y} - многообразие полу-

групп правых нулей;

SL = var{x2 = x, xy = yx} - многообразие полурешеток.

Хорошо известно, что атомы решетки L(S) исчерпываются многообразиями Ap по всем простым числам p и многообразиями CZ2, SL, Lo, Ro. Отбросив из этого списка два последних многообразия, получим атомы решетки L(C). Очевидно, что понятия полноты и редуцированности для коммутативных полугрупп в многообразиях C и S совпадают.

Многообразие V полугрупп называется многообразием конечного индекса, если ступени нильпотентности нильпотентных полугрупп из V ограничены в совокупности. В противном случае говорят, что многообразие V имеет бесконечный индекс нильпотентности.

Следующая лемма доказана в [6, лемма 1] для конечных полугрупп, но ее доказательство проходит для любых полугрупп, и мы его опускаем.

Лемма 1. Любая полугруппа, являющаяся полурешеткой групп, обладает полным радикалом.

Следствие 1. Любая коммутативная клиффордова полугруппа обладает полным радикалом.

В самом деле, хорошо известно, что любая клиффордова полугруппа является полурешеткой вполне простых полугрупп (см., например, [5, с. 106]). Отсюда легко следует, что любая коммутативная клиффордова полугруппа является полурешеткой групп. Остается теперь сослаться на лемму 1.

Отметим следующее простое вспомогательное утверждение.

Лемма 2. Нильполугруппа N является полной полугруппой тогда и только тогда, когда N - глобально идемпотентная полугруппа.

16

Л.М. Мартынов

В самом деле, пусть нильполугруппа N является полной. Предположим, что N Ф N. Тогда фактор-полугруппа Риса N/ N является полугруппой с нулевым умножением, и поэтому N имеет гомоморфизм на ненулевые полугруппы из атома CZ2 решетки L(S). Но это противоречит полноте нильполугруппы

N. Таким образом, N = N.

Обратно, пусть N = N. Поскольку гомоморфный образ нильполугруппы является нильполугруппой, легко понять, что полугруппа N не имеет гомоморфизмов на неодноэлементные полугруппы из атомов решетки HS). Таким образом, N - полная полугруппа.

Следствие 2. Любая нильпотентная полугруппа является редуцированной.

Лемма 3. Если многообразие V полугрупп содержит многообразия CN2 и SL, то V не обладает полным радикалом.

В самом деле, хорошо известно, что многообразие CN2 коммутативных полугрупп нильиндекса 2 имеет бесконечный индекс нильпотентности (см., например, [7, теорема 2]) и что в нем существуют ненулевые глобально идемпотентные полугруппы (это вытекает, в частности, из результатов работы [8]). Например, таковой будет полугруппа, заданная в классе полугрупп ко-представлением

(хг, хпI xf Xj = xf, XlXj = XjXj,

X2iX2i+1 = Xi, 1 j = 1,2, . . > .

Пусть N2 - одна из таких полугрупп. По лемме 2 N2 - полная полугруппа. Пусть SLa = {0, 1} - двухэлементная полурешетка. В полугруппе N2 х SLa из многообразия V рассмотрим подполугруппу S = (N2 Х{1}) ^

и(а#2 Х{0}) , где a - элемент из N2, не принадлежащий аннулятору полугруппы N2. В частности, в N2 существует такой элемент b, что ab Ф 0. Далее, учитывая коммутативность полугруппы S и равенство a2 = 0, получаем, что (aN2 х{0})2 = {(0,0)} . Это означает, что полугруппа aN1 х {0} нильпотент-на, а поэтому по следствию 2 является редуцированной. Следовательно, наибольшая полная россыпь C(S ) имеет две компоненты: N2 х {1} и {(0,0)}. Покажем, что эта россыпь не является конгруэнц-допустимой. В самом деле, если бы существовала конгруэнция р, для которой ker(p) = C(S ), то из того, что (а, 1)р (b, 1), должно следовать, что (a, 0)(a, 1)р (a, 0)(b, 1), т. e. (0, 0) р (ab, 0), где ab Ф 0, а это вызывает противоречие: р-класс, содержащий элемент (0,0), должен совпадать с множеством {(0,0)}. Таким образом, построенная полугруппа S не обладает полным радикалом. Так как S е V, многообразие V в этом случае не обладает полным радикалом.

Непосредственно из леммы 3 вытекает следующее утверждение.

Следствие 3. Многообразие С всех коммутативных полугрупп не обладает полным радикалом.

Действительно, оба многообразия: CN2 и SL - являются многообразиями коммутативных полугрупп, и поэтому оба они содержатся в С. По лемме 3 многообразие С не обладает полным радикалом.

Следствие 4. Любое многообразие V полугрупп, обладающее полным радикалом, является периодическим.

Действительно, в силу следствия 3 V не может содержать многообразие С всех коммутативных полугрупп. Хорошо известно, что любое такое многообразие состоит из периодических полугрупп (см., например, [5, с. 155]).

Следствие 5. Любое многообразие V полугрупп, обладающее полным радикалом, либо имеет конечный индекс нильпотентности, либо является периодическим многообразием бесконечного индекса нильпотентности и не содержит многообразия LS полурешеток.

Действительно, в силу следствия 4 многообразие V является периодическим. Предположим, что многообразие V имеет бесконечный индекс нильпотентности и содержит многообразие полурешеток. Тогда по теореме 2 из [7] V содержит многообразие С№. Отсюда и из леммы 3 вытекает, что многообразие V не обладает полным радикалом.

Лемма 4. Любая нильполугруппа S обладает полным радикалом C(S), который является глобально идемпотентным идеалом полугруппы S, содержащим любую глобально идемпотентную подполугруппу полугруппы S.

Рассмотрим трансфинитную убывающую цепь идеалов полугруппы S:

S S0 'Л Si Л S2 'Л ...Л Sa 'Л Sa+1 Л ...,

в кот°р°й Sa+i = Sa и Sa= П p<a Sp , если a > 0 - предельный ординал. Для некоторого ординала a имеем Sa+1 = Sa = Sa . Имея в виду лемму 2, легко понять, что наибольшая полная россыпь C(S) нильполугруппы S имеет единственную компоненту, которая совпадает с идеалом Sa указанной цепи. Из определения идеала C(S) видно, что он является глобально идемпотентным и содержит любую глобально идемпотентную подполугруппу нильполугруппы S. С другой стороны, будучи идеалом, полугруппа C(S) допускает конгруэнцию Риса, а фактор-полугруппа Риса S/C(S), как нетрудно понять, является редуцированной нильполугруппой. Таким образом, C(S) - полный радикал полугруппы S.

Лемма 5. Любая унипотентная коммутативная эпигруппа S обладает полным радикалом.

Многообразия коммутативных полугрупп, обладающие полным радикалом

17

В самом деле, в нашем случае S является идеальным нильрасширением группы G (см., например, [5, с. 104]). Если S = G, то из основного результата работы [2] вытекает, что группа G обладает полным радикалом C(G). Пусть S ? G. По лемме 4 нильполу-группа S/G обладает полным радикалом -наибольшим глобально идемпотентным идеалом C(S/G) полугруппы S/G. Пусть C - полный прообраз идеала C(S/G) при естественном гомоморфизме S на S/G. Понятно, что C

- идеал полугруппы S, содержащий группу G, т. е. G с C. Если G - полная группа (в частности единичная), то, согласно утверждению 2 из [1], C - полная полугруппа как идеальное расширение полной группы G при помощи полной полугруппы C/G = C(S/G). Поскольку полугруппа S/С изоморфна редуцированной полугруппе (S/G)/C(S/G), а потому и сама редуцированная полугруппа, делаем вывод о том, что в этом случае С = C(S) - полный радикал полугруппы S.

Пусть теперь G - неединичная не полная группа. Тогда, как уже отмечалось, группа G обладает полным радикалом H = C(G). Рассмотрим отображение р полугруппы S на редуцированную группу G/H такое, что р(х) = (xe)H для любого элемента x из S, где e - единица группы G. Покажем, что р - гомоморфизм. В самом деле, для любых элементов х, y е S имеем pxy) = (xye)H = = (xeye)H = (xe)H • (ye)H = р(х) • p(y) . Пусть N

- полный прообраз единицы e'= H группы

G/H, т. е. N = {x е S | p(x) = e' } = {x е S |

p(x) = (xe)H = H} = {x е S | xeeH}. Понятно, что N з H, H идеал в N и N / H - нильполугруппа. Поскольку H - полная группа, по доказанному выше, полугруппа N обладает полным радикалом C(N), который является идеалом полугруппы N и содержит группу H. Понятно, что C(N) - наибольшая полная подполугруппа полугруппы S. Докажем, что C(N) -конгруэнц-допустимая подполугруппа в S. Ввиду коммутативности полугруппы S для этого достаточно показать, что для любых элементов a, b из C(N) и для любого элемента x из S из ax е C(N) следует bx е C(N) (см., например, [5, с. 39]).

Пусть a, b е C(N), x е S и ax е C(N). Тогда p(a) = p(b) = p(ax) = e' и p(bx) = p(b)p(x) =

= p(a)p(x) = p(ax) = e'. Таким образом, bx е N. Покажем, что bx е C(N). Ввиду равенства C(N)2 = C(N) элемент b из C(N) имеет представление вида b = blb2, где bx,b2 е C(N). Поскольку a,b2 е C(N), по тем же соображениям, что и выше, заключаем, что b2 x е C(N) . Так как полугруппа C(N) является идеалом в N, элемент bx = bl(b2 x) принадлежит C(N). Таким образом, наибольшая полная подполугруппа C(N) полугруппы S конгруэнц-допустима.

Понятно, что фактор-полугруппа S/p по наименьшей конгруэнции p на S, для которой kerp = C(N), является редуцированной. Итак, любая унипотентная коммутативная эпигруппа S обладает полным радикалом.

Лемма 5 доказана.

Основным результатом статьи является следующее утверждение.

Теорема. Многообразие V коммутативных полугрупп обладает полным радикалом тогда и только тогда, когда либо V - любое многообразие коммутативных полугрупп конечного индекса нильпотентности (равносильно: полугруппы из V являются полурешётками идеальных расширений групп из многообразия An с помощью полугрупп из многообразия CZk для некоторых k и n), либо V - периодическое многообразие бесконечного индекса нильпотентности, состоящее из коммутативных периодических унипотентных полугрупп (равносильно: полу-

группы из V являются идеальными расширениями групп из многообразия An с помощью полугрупп из многообразия CNk для некоторых k и n).

Доказательство. Пусть многообразие V коммутативных полугрупп обладает полным радикалом. Если многообразие V имеет конечный индекс нильпотентности, то из теоремы 2 работы [7] легко вытекает, что полугруппы из V являются полурешетками ниль-потентных расширений групп. Из теоремы 4 работы [9] теперь легко следует существование таких натуральных чисел k и п, что нильпотентные полугруппы из V принадлежат многообразию CZk, а группы из V - многообразию An. Обратно, согласно следствию 1 из теоремы 4 работы [9], любое многообразие V коммутативных полугрупп конечного индекса нильпотентности состоит из редуцированных полугрупп и поэтому обладает полным радикалом.

Пусть теперь многообразие V коммутативных полугрупп обладает полным радикалом и имеет бесконечный индекс нильпотентности. Тогда по следствию 5 V не содержит многообразие полурешеток LS, а поскольку в силу следствия 4 V является периодическим, оно состоит из коммутативных периодических унипотентных полугрупп. Такие полугруппы, как уже отмечалось при доказательстве леммы 5, являются идеальными нильрасширениями групп. Из периодичности многообразия V легко следует существование таких k и п, что нильполу-группы из V принадлежат многообразию CNk , а группы из V принадлежат многообразию An. Обратно, поскольку коммутативные периодические унипотентные полугруппы является эпигруппами, по лемме 5 любое многообразие V таких полугрупп обладает полным радикалам.

Теорема доказана.

18

Л.М. Мартынов

Следствие 6. Многообразие, порожденное любой конечной коммутативной полугруппой, обладает полным радикалом.

В самом деле, такое многообразие имеет конечный индекс нильпотентности и поэтому по теореме обладает полным радикалом.

Следствие 7. Любая неодноэлементная полная коммутативная полугруппа бесконечна.

Действительно, из следствия 6 и следствия 1 из [9] вытекает, что любая конечная коммутативная полугруппа является редуцированной полугруппой. Поэтому неодноэлементная полная коммутативная полугруппа обязана быть бесконечной.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Мартынов Л. М. О понятиях примарности, полноты, редуцированности и чистоты для произвольных алгебр // Универсальная алгебра и ее приложения : труды Междунар. семинара. Волгоград : Перемена, 2000. С. 179-190.

[2] Мартынов Л. М. Об одном радикале алгебр со свойством трансвербальности по минимальным многообразиям // Вестн. Ом. ун-та. 2004. № 2. С. 19-21.

[3] Курош А. Г. Радикалы в теории групп // Сиб. матем. журн. 1967. Т. 8. С. 346-365.

[4] Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп: в 2 т. М.: Мир, 1972. Т. 1.

[5] Шеврин Л. Н. Полугруппы // Общая алгебра / под ред. Л. А. Скорнякова. M. : Наука, 1991. Т. 2. С. 11-191.

[6] Финк Т. Ю. Псевдомногообразия конечных полугрупп, обладающие полным радикалом // Сиб. электр. матем. изв. 2008. Т. 5. С. 673-684.

[7] Сапир М. В., Суханов Е. В. О многообразиях периодических полугрупп // Изв. вузов. Математика. 1981. № 4. C. 48-55.

[8] Мартынов Л. М. Об относительно полных алгебрах // Вестн. Ом. ун-та. 2000. № 3. С. 9-11.

[9] Мартынов Л. М. Редуцированные многообразия полугрупп // Изв. вузов. Математика. 2004. № 2. С. 76-79.