Дифракция света на фракталах: сопоставление данных экспериментов с получаемыми численными методами Фурье-образами изображений объектов

ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ

ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ФРАКТАЛАХ: СОПОСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ С ПОЛУЧАЕМЫМИ ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ ФУРЬЕ-ОБРАЗАМИ ИЗОБРАЖЕНИЙ ОБЪЕКТОВ

Арзамасцева Г. В., Евтихов М. Г., Лисовский Ф. В., Мансветова Е. Г.

Фрязинский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, http://fire.relarn.ru г. Фрязино, Московская область 141190, Российская Федерация

Поступила в редакцию 25.09.2017

Представлена чл.-корр. РАЕН В.И. Грачевым.

Выполнено экспериментальное исследование дифракции коллимированного пучка света (с длиной волны 0.63 мкм) в зоне Фраунгофера на полученных с помощью компьютера изображениях фракталов, переносимых на прозрачную пленку с помощью фотонаборного автомата с разрешением 1333 точек на сантиметр (3386 dpi) и размером точки 7.5 мкм. Дифракционные картины визуально наблюдались на экране и регистрировались с использованием цифрового фотоаппарата и далее передавались на компьютер для обработки. Объектами исследования являлись различные предфракталы 4-9 поколений: «классические» (ковер Серпинского, фрактал Вичека, снежинка Коха) и менее известные (например, из L-систем). Наблюдаемые в оптических экспериментах дифракционные картины сопоставлялись с «цифровыми» дифрактограммами, т.е. с Фурье-образами изображений предфракталов, аппроксимируемых сеточной функцией на равномерной квадратной сетке при различных значениях используемого в расчетах параметра p, определяющего соотношение между периодом сетки и размером наименьшего элемента предфрактала. Установлена связь между значением параметра p и степенью соответствия цифровых дифрактограмм экспериментально наблюдаемым.

Ключевые слова: дифракция света, сеточная функция, фрактал, Фурье-образ, численный метод, эксперимент

УДК 51.74; 535.42_

Содержание:

1. Введение

2. условия проведения экспериментов

3. определение Фурье-образов изображений предфракталов

4. результаты исследований и обсуждение

5. заключение

1. ВВЕДЕНИЕ

Интерес к теоретическому и экспериментальному изучению дифракции электромагнитных волн на плоских фракталах, возникший в конце прошлого века, был обусловлен не столько гносеологическими причинами, сколько возможностями практического применения. В частности, было показано, что анализ

распределения дифрагированного излучения в зоне Фраунгофера дает возможность довольно просто определять важнейшую характеристику фрактальных объектов — хаусдорфову размерность [1]. Вскоре выяснилось, что для этого совсем не обязательно реально выполнять довольно трудоемкие эксперименты по наблюдению дифракции и обработке полученных результатов, а достаточно получить графическое изображение исследуемого фрактала (точнее, предфрактала достаточно высокого поколения), оцифровать его и далее использовать методы Фурье-анализа.

В большинстве случаев для определения фрактальной размерности именно так и поступают, поэтому количество работ, посвященных изучению дифракции как таковой, относительно невелико [2-7]. При

ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ

этом практически неизученным остается вопрос о соотношении между реальными и «цифровыми» (то есть, полученными численными методами) дифрактограммами и о том, каким условиям для достижения их идентичности должна удовлетворять процедура оцифровки и обработки изображений фракталов. Целью работы является устранение данного пробела.

2. УСЛОВИЯ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Первым и необходимым шагом для реализации экспериментов по наблюдению дифракции является создание черно-белых растровых изображений выбранных предфракталов на компьютере с помощью специально разработанных программ. Затем полученные изображения фотонаборным автоматом распечатывались на прозрачной пленке с разрешением 1333 точек на сантиметр (3386 dpi) и размером точки 7.5 мкм. Наименьший фрактальный элемент формировался из 4-10 точек, то есть, его линейный размер лежал в пределах от 30 до 75 мкм. Получаемые описанным методом изображения обладали чрезвычайно высоким контрастом, практически недостижимым для традиционной фотографии.

Для наблюдения формирующейся после прохождения пучка света через прозрачную пленку с нанесенным на ней изображением предфрактала дифракционной картины в зоне Фраунгофера использовалась установка, блок-схема которой показана на рис. 1. Узкий пучок света с длиной волны 0.63 мкм от гелий-неонового лазера 1 расширяется и коллимируется с помощью системы из конфокальных линз 2 и 3 до диаметра от 5 до 8 см, после чего направляется на пленку

4 с изображением фрактального объекта, габаритные размеры которого не превышают диаметра коллимированного пучка света. Линза

5 формирует изображение дифракционной картины в плоскости дифракции, где располагается экран 6. Вместо экрана можно использовать сопряженный с компьютером цифровой фотоаппарат и подвергать

Рис. 1. Блок-схема оптической установки для наблюдения дифракционной картины в зоне Фраунгофера.

наблюдаемые дифракционные необходимой обработке.

картины

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУРЬЕ-ОБРАЗОВ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРЕДФРАКТАЛОВ

Полученные с помощью компьютера черно-белые растровые изображения предфракталов аппроксимировались сеточной функцией на равномерной квадратной сетке с числом узлов п х п , где значения п и п2 выбирались достаточно большими (до 4096) для адекватной аппроксимации деталей наименьшего размера предфрактала (в компьютерном представлении) и обеспечения возможности исследования предфракталов с высокими номерами поколений. Для оцифрованного таким образом изображения с помощью быстрого преобразования Фурье определялись значения квадрата модулей Фурье-компонент, то есть спектральное распределение интенсивности дифрагированного излучения I в зоне Фраунгофера. Для отображения интенсивности дифракционных максимумов на плоскости использовались круги с пропорциональным интенсивности (или логарифму интенсивности) радиусом, где коэффициент пропорциональности выбирался из соображений получения оптимальной наглядности изображений; в этих же целях дополнительно применялось гауссово размытие кругов.

Такая процедура определения Фурье-образов изображений фрактальных

объектов (цифровых дифрактограмм), впервые описанная и примененная нами для изучения фракталоподобных доменных структур в магнитных пленках [8], затем была

5

ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ

опробована на реальных тестовых объектах (монопериодические и бипериодические доменные структуры), когда можно было в видимом диапазоне длин волн непосредственно наблюдать и фотографировать дифракционные картины в режиме "на просвет" [9]. Позже аналогичные численные методы были использованы и для многих других фрактальных объектов [10-15].

Для всех изученных геометрических фракталов на экспериментально полученных оптическим методом дифракционных картинах и цифровых дифрактограммах наблюдается различие между центральной и периферийной частями. Локализованная вблизи центра часть имеет радиально-кольцевую структуру расположения

дифракционных максимумов и обладает самоподобием, присущим фрактальным обьектам, в то время как периферийная часть, не обладающая самоподобием, характеризуется эквидистантным расположением дифракционных максимумов вдоль определенного числа радиальных направлений (лучей). Впервые на этот факт обратили внимание авторы работы [2], посвященной изучению оптической дифракции Фраунгофера на классической снежинке Коха, где они для обозначения центральной и периферийной частей использовали термины "фрактальная часть" и "решеточная часть" и связали появление последней с тем, что в двумерном множестве элементов, образующих фрактал, можно выделить одномерные дифракционные решетки, состоящие из одинаково ориентированных элементов (например, отрезков). Позже такой механизм подробно обсуждался на примере семейства обобщенных триадных фракталов Коха [14, 15].

Хотя результаты всех выполненных ранее исследований свидетельствуют

о хорошем соответствии между

экспериментально наблюдаемыми и

цифровыми дифрактограммами, практически не изученными оставались вопросы о том, имеются ли между ними различия, и каким условиям для минимизации таких различий должна удовлетворять процедура оцифровки и обработки изображений фракталов. Целью

настоящей работы и является получение ответа на эти вопросы.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ И ОБСУЖДЕНИЕ

Основное внимание уделялось исследованию влиянию параметра p, равного отношению габаритного размера наименьшего элемента предфрактала к периоду сетки, на степень соответствия цифровых дифрактограмм экспериментально наблюдаемым дифракционным картинам при различных значениях p, которые в расчетах варьировались изменением периода сетки для одного и того же сформированного компьютером растрового изображения выбранного предфрактала. Если величина p близка к единице, на цифровой дифрактограмме отображается только фрактальная часть реальной дифракционной картины; при увеличении p появляется решеточная часть, вид которой с ростом p монотонно приближается к существующему в реальной дифракционной картине. Изучались фракталы двух типов, в которых наименьшим элементом («затравкой») является соответственно либо квадрат, либо отрезок прямой.

Начнем изложение с двух подробно описанных в нашей работе [11] фракталов L-системы с «затравкой» в виде квадрата [1618]; далее — фракталы LS1 и LS2. Алгоритмы конструирования этих фракталов могут быть представлены с помощью приводимых ниже рекуррентных соотношений, отображающих последовательные преобразования единичного затравочногоквадратанакомплексной плоскости [11]. Заметим, что при этом используются преобразования, использующие только целочисленные трансляции объектов вдоль действительной и (или) мнимой осей, а также повороты только на углы, кратные я/2.

Если выбрать ориентацию системы координат на комплексной плоскости таким образом, чтобы мнимая ось была направлена по горизонтали направо, а действительная ось — по вертикали вниз, и расположить единичный затравочный квадрат

ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ

и (1,0)), то префракталы LLS1 любого порядка (поколения) Z(n) получаются операцией объединения множеств U с помощью рекуррентных соотношений [11]:

Z(n+1) = Z(n) U (Z(n) + (1 +i)2n) U -Z(n) +(1 +i)2n). (1) Для фрактала LLS2 цепочка последовательных преобразований множества в виде единичного затравочного квадрата задается выражениями [11]

Z(n+1) = Z(n) U (-Z(n) + (2+i)2n) U f-Z(n)+(1 +2î)2a). (2) На рис. 2а приведено изображение предфрактала LLS1 четвертого поколения; цифровые дифрактограммы для предфрактала седьмого поколения при значениях параметра p, равных 0.5, 1.0, 2.0, 4.0 и 8.0, показаны на рис. 2b-2f соответственно. Видно, что структура цифровых дифрактограмм очень сильно зависит от параметра p, особенно при малых его значениях (см. рис. 2b), когда наблюдается сильное отличие от экспериментально полученной для предфрактала того же поколения дифракционной картины, приведенной на рис. 3. Тем не менее, даже при p = 1 (размер ячейки сеточной функции равен размеру наименьшего элемента предфрактала), на цифровой дифрактограмме (рис. 2c) достаточно хорошо отображается фрактальная часть, хотя решеточная часть полностью отсутствует (см. рис. 3). Этот результат не зависит от номера поколения предфрактала; но для высоких поколений на цифровых дифрактограммах более четко проявляются детали фрактальной части.

abc

! Ж

* . А. Л-Г .Л ,.:*

•Â .$•>

. VVS

>: :< i'i.t

>: :c

i'T

Рис. 3. Изображение экспериментальной дифракционной

картины от предфрактала LS1 седьмого поколения.

При р > 2 на цифровых дифрактограммах появляется решеточная часть, которая увеличивается при дальнейшем уменьшении размера ячейки сеточной функции относительно размера наименьшего элемента предфрактала (рис. 2d-2f). Сравнение цифровых дифрактограмм при р = 8 (рис. 2£) с экспериментальными (рис. 3) показывает, что они совпадают с высокой степенью точности. Об этом дополнительно свидетельствуют и фотографии крупным

Рис. 2. Изображение предфрактала LS1 четвертого поколения (а) и цифровые дифрактораммы для предфрактала седьмого поколения при значенияхр, равных 0.5 (Ь), 1.0 (с), 2.0, (й), 4.0 (е) и 8.0 ф.

Рис. 4. Фотографии крупного плана (в двух разных масштабах) центральной части цифровой (а,с) и эксприментальной (Ь,й) дифрактограмм для предфрактала LS1 седьмого поколения.

ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ

планом центральной части цифровой и экспериментальной дифрактограмм, приведенные рядом (в двух разных масштабах) на рис. 4a,c и рис. 4Ь^.

Аналогичные результаты были

получены и для фрактала ^52, изображение предфрактала четвертого поколения которого показано на рис. 5а, а цифровые дифрактограммы для предфрактала девятого поколения при р = 1 — на рис. 5Ь и при р = 4 — на рис. 5с. Экспериментальная дифракционная картина для предфрактала 9-го поколения, представленная в двух разных масштабах на рис. 5d (общий вид) и рис. 5е (крупный план), хорошо соответствует вычисленной при р = 4.

Сравнение экспериментальных

и цифровых дифрактограмм было проведено и для других фракталов: фрактала Вичека, ковра Серпинского и снежинки Коха.

На рис. 6а дано изображение предфрактала Вичека 3-го поколения, а на рис. 6Ь и рис. 6с — цифровые дифрактограммы данного предфрактала 5-го поколения для р = 1 и для р = 8. Экспериментальная дифрактограмма для предфрактала 5-го поколения, представленная в двух разных масштабах на рис. 6d (общий вид) и рис. 6е (крупный план), хорошо согласуются с вычисленной при р = 8. Ковер

Рис. 5. Изображение предфрактала LS2 четвертого поколения (a), цифровые дифрактограммы для предфрактала девятого поколения при p = 1 (b) и p = 4 (c), и фотография экспериментальной дифрактограммы для предфрактала

Рис. 6. Изображение предфрактала Вичека 3-го поколения (a), цифровые дифрактограммы предфрактала 5-го поколения для p = 1 (b) и для p = 8 (c), и фотография экспериментальных

девятого поколения (à - общий вид, е - крупный план дифрактограммы для предфрактала ттого ттлтт (d -

центральной части).

общий вид, е — крупный план центральной части).

ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ

Рис. 7. Изображение ковра Серпинского 3-го поколения (a), цифровые дифрактограммы предфрактала 4-го поколения дляp = 1 (b) и дляp = 9 (c), и фотография экспериментальных дифрактограммы для предфрактала четвертого поколения (d — общий вид, e — крупный план центральной части).

Серпинского 3-го поколения показан на рис. 7a , а на рис. 7b и рис. 7c приведены вычисленные дифракционные картины для этого предфрактала 4-го поколения при p = 1 и p = 9 соответственно. Экспериментальная дифрактограмма для предфрактала того же поколения изображена на рис. 7d (общий вид) и рис. 7e (увеличенная центральная часть). Экспериментальные и цифровые дифрактограммы для предфрактала Вичека 5-го поколения при p = 8 и для ковра Серпинского 4-го поколения при p = 9 полностью соответствуют друг другу Снежинка Коха отличается от рассмотренных выше фракталов тем, что элементом минимального размера

в нем является не квадрат, а отрезок

линии, который нельзя отобразить

одной ячейкой сеточной функции и

для адекватного представления его при

а

'V . / ^ * *

у*/

* \ffiff • Hvfl>

Рис.

(a) и

Изображение снежинки Коха четвертого поколения овая (Ь) (для р = 20) и экспериментальная (с) дифрактограммы.

ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ

вычислениях необходимо несколько ячеек. Поэтому при рассмотрении дифракции на снежинке Коха с помощью быстрого преобразования Фурье должно автоматически выполняться условие р > 2, при котором цифровая дифракционная картина хорошо соответствует

экспериментальной и на ней присутствует решеточная часть. Хорошо совпадающие друг с другом цифровая (при р = 20) и экспериментальная дифрактограммы для снежинки Коха четвертого поколения, показанной на рис. 8а, приведены на рис. 8Ь и рис. 8с, соответственно.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализ всех полученных экспериментальных и цифровых дифрактограмм показал, что при увеличении номера поколения предфрактала на единицу размер фрактальной части возрастает в т раз, где т — коэффициент масштабирования. Дополнительное

подтверждение этот вывод получил в работе [14], где были получены цифровые дифрактограммы для обобщенных кривых Коха с произвольным углом а при вершине, коэффициент масштабирования которых изменялся от двух (при а —> 0°) до четырех (при а — 180°). Для фракталов и Ь52 коэффициент масштабирования равен двум, а для фрактала Вичека, ковра Серпинского и классической снежинки Коха — трем. Результат для снежинки Коха совпадает с приведенным в работе [2], авторы которой использовали не только результаты экспериментов, но и строгие аналитические расчеты. В пределе, при стремлении номера поколения предфрактала к бесконечности, фрактальная часть должна полностью вытеснить решеточную.

Результаты выполненных исследований дифракции на различных фрактальных объектах показывают, что при выполнении условия р > 2, когда размер наименьшего элемента предфрактала более чем в два раза превышает период сеточной функции, полученные методом быстрого

преобразования дифракционные соответствуют На полученных

Фурье цифровые картины хорошо

экспериментальным. любым способом

дифрактограммах существует не только фрактальная, но и решеточная часть, которая возникает из-за того, что номер поколения предфрактала всегда ограничен сверху. При p < 1 вид цифровой дифрактограммы далек от экспериментально наблюдаемого, а в интервале значений 1 < p < 2 цифровые методы правильно отражают только фрактальную часть.

ЛИТЕРАТУРА

1. Alain C, Cloitre M. Optical diffraction on fractals. Phys. Rev. B, 1986, 33(5):3566-3569.

2. Uozumi J, Kimura H, Asakura T. Fraunhofer diffraction by Koch fractals. J. Mod. Optics, 1990, 37(6):1011-1031.

3. Sakurada Y, Uozumi J, Asakura T. Diffraction Fields of Fractally Bounded Apertures. Opt. rev, 1994, 1(1):3-7.

4. Uozumi J, Kimura H, Asakura T. Fraunhofer diffraction by Koch fractals: the dimensionality. J. Mod. Optics, 1991, 38(7):1335-1347.

5. Sakurada Y, Uozumi J, Asakura T. Fresnel diffraction by 1D regular fractals. J. Optics. A: Pure Appl.Optics, 1992, 1:29-40.

6. Chabassier G, Angeli B, Heliodore F, Le Mehaute A. Optical wave diffraction on fractal objects. J. Optics. A: Pure Appl. Optics, 1992, 1:41-54.

7. Bo Hou, Gu Xu, Wen W, Wong GK L. Diffraction by an optical fractal grating. Appl. Phys. Lett., 2004, 85(25):6125-6127.

8. Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Лукашенко ЛИ. Компьютерное моделирование дифракции света на фрактальных доменных структурах. Тр. XIX Междунар. школы-семинара 'Новые магнитные материалы микроэлектроники", М., МГУ, 2004: с. 632-634.

9. Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ, Темирязева МП. Аморфизация бипериодических доменных структур в квазиодноосных магнитных

ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ

пленках критической толщины. ЖЭТФ, 2008, 134(2):282-290.

10. Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ. Фурье-образы фрактальных объектов. Изв. РАН, сер. физ, 2010, 74(10):1430-1432.

11. Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ. Свойства плоских геометрических бифракталов. Радиоэлектроника. Наносистемы. Информационные технологии (РЭНСИТ), 2012, 4(2):93-107.

12. Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ. Компьютерное моделирование мультиплицирования фурье-спектров предфракталов L-системы. Электромагнитные волны и электронные системы, 2012, 17(7):29-32.

13. Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ. Компьютерное моделирование дифракции Фраунгофера на H-фракталах и кривых Пеано. Электромагнитные волны и электронные системы, 2012, 17(7):48-58.

14. Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ. Семейство обобщенных триадных фракталов Коха: размерности и Фурье-образы. РЭНСИТ, 2016, 8(1):81-90.

15. Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ. Квазисимметрия Фурье-образов обобщенных триадных предфракталов Коха. РЭНСИТ, 2016, 8(2):207-214.

16. Lindermayer A. Mathematical model for cellular interaction in development. I. Filaments with one-sided inputs. J. Theor. Biol., 1968, 18(3):280-299.

17. Lindermayer A. Mathematical model for cellular interaction in development. II. Simple and branching filaments with two-sided inputs. J. Theor. Biol., 1968, 18(3):300-315.

18. http://lcni.uoregon.edu/~dow/Geek_art/ Binary_fractals/Binary_fractal_images.html.

Арзамасцева Галина Васильевна

к.ф.-м.н, с.н.с.

ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН

1, пл. Введенского, 141190 Фрязино Моск. обл.

arzamastseva@mail.ru

Евтихов Михаил Григорьевич

к.ф.-м.н, с.н.с.

ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН

1, пл. Введенского, 141190 Фрязино Моск. обл.

emg20022002@mail.ru

Лисовский Федор Викторович

д.ф.-м.н, проф., гл.н.с.

ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН

1, пл. Введенского, 141190 Фрязино Моск. обл.

lisf@df.ru

Мансветова Екатерина Георгиевна

к.ф.-м.н, с.н.с.

ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН

1, пл. Введенского, 141190 Фрязино Моск. обл.

mansvetova_eg@mail.ru

ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ

LIGHT DIFFRACTION BY FRACTALS: COMPARISON OF EXPERIMENTAL DATA WITH THE OBTAINED BY NUMERICAL METHODS FOURIER IMAGES OF THE OBJECT PICTURES

Galina V. Arzamastseva, Mikhail G. Evtikhov, Feodor V. Lisovsky, Ekaterina G. Mansvetova

KotePnikov Institute of Radioengineering and Electronics, Fryazino Branch, Russian Academy of Sciences, http://fire.relarn.ru

1, Vvedensky sq., Fryazino, Moscow region 141120, Russian Federation arzamastseva@mail.ru, emg20022002@mail.ru, lisf@df.ru, mansvetova_eg@mail.ru

Abstract. An experimental investigation of diffraction of the collimated light beam (with a wavelength of 0.63 ^m) in the zone of Fraunhofer by obtained with computer images of fractals, which are transferred onto a transparent film using an imagesetter with a resolution of 1333 points/cm (3386 dpi) and the spot size of 7.5 ^m. Diffraction pattern were visually observed on the screen and recorded using a digital camera and then transferred to the computer for processing. The objects of study were various prefractals of 4th-9th generations: the "classic" (the Sierpinski carpet, a fractal of Vicsek, the Koch snowflake and less known (eg. of L-systems). Observed in experiments diffraction patterns were compared with digitally obtained ones that is, with the Fourier-images of the prefractal pictures, approximated by a mesh function on a uniform square grid at different values of the used in cflculation parameter p, determining the ratio between the ratio of the grid period and the smallest prefractal element size. The relation between the values of the parameters p and the degree of compliance of a digital diffraction patterns to the observed experimentally was determined.

Keywords: light difraction, mesh function, fractal, Fourier image, digital method, experiment UDC 51.74; 535.42

Bibliography — 18 references RENSIT, 2017, 9(2):221-229

Received 25.09.2017 DOI: 10.17725/rensit.2017.09.221