Математическое моделирование динамических процессов в гидродинамической опоре с трехслойным статором

В.С. Попов, А.В. Христофорова МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

В ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ОПОРЕ С ТРЕХСЛОЙНЫМ СТАТОРОМ

Рассмотрена задача математического моделирования динамических процессов в гидродинамической виброопоре с трехслойным статором со сжимаемым заполнителем. Найдены амплитудная частотная и фазовая частотная характеристики рассматриваемой виброопоры, вычислены ее резонансные частоты.

V.S. Popov, A.V. Hristoforova DYNAMIC PROCESSES MATHEMATICAL MODELING IN HYDRODYNAMIC SUPPORT WITH THREE-LAYER STATOR

The article solves the problem of dynamic processes mathematical modeling of the hydrodynamic vibration support with three-layer stator having compressible filler. The amplitude frequency characteristics and phase frequency characteristics of the given vibration support are found; also its resonance frequencies are calculated.

В современных инженерных конструкциях часто используются трехслойные упругие элементы, которые состоят из двух несущих слоев и заполнителя, обеспечивающего их совместную работу. Применение данных трехслойных элементов позволяет обеспечивать минимальные весовые показатели при сохранении достаточной жесткости и прочности. Вопросам механики трехслойных конструкций посвящено достаточно много работ, например, сошлемся здесь на обзор, представленный в [1]. В то же время работ, посвященных исследованию гидроупругости трехслойных конструкций, практически нет. В предлагаемой работе исследуются динамика трехслойной тонкостенной конструкций в составе гидродинамической опоры в рабочей жидкости, которой поддерживается противодавление.

Рассмотрим виброопору, условно представленную на рисунке. Абсолютно твердая стенка I (вибратор) совершает гармонические колебания (с частотой ш) в вертикальном направлении относительно стенки II (статора), представляющей собой трехслойную упругую пластинку с толщинами h1 и h2 упругих слоев (слой 1 и 2 соответственно) и 2c сжимаемого заполнителя (слой 3), со свободным опиранием. Длина вибратора I и статора II равна 2£, значительно меньше их ширины b >> 21 В направлении оси y эти плоскости можно считать неограниченными и все производные по y - значительно меньшими производных по х. Система координат x, y, z связывается со срединной плоскостью заполнителя. Ширина зазора h между статором и вибратором значительно меньше их длины 21 >> h. Между статором II и вибратором I находится вязкая несжимаемая жидкость (истечение которой в направлении оси y отсутствует), в которой поддерживается давление р0 + р^ш^, имеющее постоянную и гармоническую по времени составляющие (противодавление). Закон движения вибратора

z = h

где И0 - среднее значение И; гт - амплитуда колебаний вибратора; ш - частота колебаний стенки I; I - время.

Динамика рабочей жидкости в двумерном случае описывается системой уравнений Навье-Стокса и неразрывности [2] в безразмерных переменных:

Яе

диъ ( диъ

—^+х\ иЕ—Е+и

дт { Е дЕ

'д и г ( дис ди'

^+х\и,—^-+иг с

дт

дС

диЕ'11 дР

дС Ц "дЕ

дР 2 + у2 дС " 2 V -

г2 д2 иЕ+д2иЕ

дЕ2 дС

2

д 2и? +д 2ис

дЕ2 дС

2

Е

+ -

дЕ дС

=о,

К ! Л ^ К Ш

у=—<< 1, Х=—т, Яе =- 0

<?

Ко

V

С’

скоростями этих стенок [3, 4]

х г - с - К I

, Т = Ш^ Е= -, С=---—^, ^х = ^ Ш — иЕ , иг = ши

1 Ко Ко

/ ч PVгт Ш „

Р = Ро + Рі(т) + , т2 Р ,

к у

где х, г - декартовы координаты; их, иг -проекции вектора скорости жидкости на оси координат; р - давление; ро -постоянный уровень давления; р^т) = р1п1%т(х + фр) - гармоническая

составляющая уровня давления (противодавление); р, V - плотность и коэффициент кинематической вязкости жидкости; у, X, Яе - параметры, характеризующие задачу.

Для краевых условий системы (2) учитывается, что скорость жидкости на вибраторе и статоре совпадает со

иЕ= о, и?= при С=1+Х/(т);

ТТ ит1 ди1 wm1 дЩ чт1

иЕ = у— ----------1, и^= ^ 1 при ^ = Х —— Щ

2т ^ 2т ^ 2т

где перемещения срединной плоскости верхнего слоя 1 статора в направлении оси Ох и Ог представлены в форме и1 = ит1 и1 (Е, т), ^1 = wm Ж1 (Е, т).

Условие свободного истечения жидкости в направлении оси х и в противоположном направлении принимают вид для давления

дР

Р = о їбе Е = 1; — = о їбе Е = о.

Второе условие является условием симметрии задачи и заменяет условие Р = 0 при

{ = -1.

Для изотропных несущих слоев статора приняты гипотезы Кирхгофа, в жестком заполнителе принята линейная аппроксимация перемещений его точек от поперечной координаты г. На границах контакта используются условия непрерывности перемещений. Материалы несущих слоев несжимаемы в поперечном направлении, в заполнителе учитывается его обжатие, деформации малые [1].

Уравнения динамики статора имеют вид для балки-полоски (трехслойного стержня со сжимаемым заполнителем) [1]

р1 + &1 и — ах и 2 — а4

д2и1 ^ д2и

дх

2 — а5

дх

2 + а2

дч1

дх

+ а,

дw2

дх

— 2 а.

д 3ч1

дх3

+а..

дх3

=Р,

дх2

—а.

9 я. 2 — аз дх2

дw1 дж2 д3w1 д3ж2

—а2—а6-т-г+2а1^~г=0;

дх

дх

йх3

ах3

К — а

3 17

ди1

дх

-+а,

10

ди2

дх

+ 2а,

д3и д3и

6 дх3

-+а,

6 + ап

6 дх3 11

д2 ж

+ а8 ж1 — а8 ж2 = Ргг +-И

дх 1 , дР2

2 - а12

дЧ

дх2

+ а

д V,

д4 ж,,

1— а ------------— +

15 дх4 16 '

дх

2 дх

К4 — а18

ди1 ди2 д3и1 д3и2

1 1 ~ 2 — а—1 — 2 а 2

- + а,

дх 19 дх

7 дх 3

—а

д2ж1 д2ж2 д4ж1 д4ж.

+а

—а

+а

7 дх3 12 дх2 14 дх2 16 дх4 13 дх4

— а8 ж1 + а8 ж2 = 0;

Р = — ^0 — ^1(т) —

pv 2т ш(„ о ...2 диС^л Г-1 ^

И0 V2

Р — 2 V2

дС

1бе С-1—^ -—ж1.

Р =Р^тШ Ги 2 ди¥ДА Г = , Жт1 ^ 1

гх И0 V I д^ д

1'бе С - т1 ^1 - — ж1.

Здесь обозначены: рк - плотность материала; вк, Кк - модули сдвиговой и объемной

4 — 4

деформации; к = 1, 2, 3 - номер слоя; К+к - Кк + 3вк, Кк - Кк — 3вк. При этом введены обозначения:

2 в

а1 -

а2 - 2 в3

Г

2

1 + — I-----—; а3 - 2в3

2 с I 2 3 3

Г1 + Л + К3-;

2 с I 2

а4 - К1+ И +

2 К+с

3

-; а5 -

К3+ с -К3+ с\ _ К3+ сИ2

£

3

, а6--

, а7 -•

а8 -

К+ 2 К+с

; а9 - К 2 И2

3 • а - К + И +——; - 3

2с

3 ’ 10 2

а11 -

К3 И в3 с Г1 + И

,2

2 2

2 с

в3 с ^3

—-—• а -

^ 5 12

6

К3 (И1 + И2) , в3 с Г1 + И Г1 , И

- +

2с

1 +-

в3 с.

2 с I 6

К3 И2 в3 с Г

2

12

V

1 И2 1 в3 с К1+ И К 3+сИ

1 + -^ I-----Н а15 -—^-1.+ ^ !Ц

2 с I 6 15 12 6

К3+ с И2 И, - в3 I И, Л К

12

2

1+а‘*- 3

в3 Г л И21 К3

— 1 + — !+^;< 2 I 2 с I 2

в3 Г1 + ИЛ — К3_

2 с I 2

Инерционные члены определяются соотношениями [1]:

„ д2 Г _ дж1 дж2

К1 -—-I т1 и1 + т8и2 + 2 т5—1—т7—2

1 Ы21 1 1 8 2 5 дх 7 дх

„ д2 Г дж-

; - —-I т8 и1 + т2и2 + т5 —:

2 дГ2 1 8 1 2 2 5 дх

дж2

К

К -

д2

/

дг2

д

ди, ди2 д 2ж,

1 - 2 + т1 + т8 ж2— т3 “дхг + т6

2

V

2

— 2 т5 —1 — т.

5 дх

дх

дг

ди1 ди2

т7 —1 + 2т7 —2

дх2

2

дх

дх

+ т8 ж1 + т2 ж2 + т6

д2ж. д 2ж,

-----1— т ---------

дх2 4 дх2

где

,2 ,2 р1 И р3 сИ1

т1 -р1 И1 ^р3с; т2 -р2 И2 ^р3с; т3 + 3 ;

3 3 12 6

р3с^ - р3 сЬ1Ъ2 - р3 сИ2

т4 -

р2И3 . р3сИ22

12 6 ;

'3с ' И р3 р3 р3 с

т5 - 1; т6 - ——; т7 - ——2; т8 -

6

12

6

г

г

т

т

с

4

2

2

а16

ди. д2w, - , . Г1 л

wk ^ 2k = 0 ібе х = ± l, (k = 1,2).

дх дх2

Одно из условий, например при х = - £, можно заменить условием симметрии:

дж д3ж,,

uk =-

=0 ібе х=0 .

дх дх3

Для тонкого слоя жидкости V«!. В нулевом приближении по V уравнения динамики жидкости (2) и соответствующие граничные условия (3) упрощаются, т.к. в них можно положить V=0.

Далее предполагаем, что перемещения вибратора значительно меньше ширины зазора между статором I и вибратором II, но одного порядка с прогибом ж\. Следовательно, 1=о(1), 2т/жт1 -0(1). Тогда в нулевом приближении по 1, полагая:

Р-Р0 +1Р+..., - - и^0 +1^ + ..,и^-и^0 +1и?1 +..., получим задачу механики

жидкости в виде уравнений

Re-

dU,

>0

дРо d2U

дт

-+

>0

=0

дР0

= о,

ди ди

Чо

+

Z0

д£, дС2 ’ дС ’ дС

=0

и граничных условии:

гю

и„ = 0, и4„=fібе z = i; u,0 =0,u4„^^ібе c = 0;

dT Zm дт

дР0

Р0 - 01бе Е-1; -01бе Е-0.

дЕ

При этом напряжения со стороны слоя жидкости на статоре принимают вид:

Р=

pvzm ю ди>0

h0 V дС

Pzz =-Р0 - ^1(Т) -

Z=0

PV Zm Ю h0 V 2

Р

Z=0

и очевидно, что Р2г>>Ргх и касательным напряжением Р2Х можно пренебречь, полагая его равным нулю в уравнениях (5) с принятой точностью по V. Решение задачи динамики жидкости (8), (9) при гармоническом законе движения вибратора имеет вид:

Р) = 2 (2 -1) f 2 є2 а LL+12 у dry—jj( 2 є2 +12 Y5^) d> d> ,

2 V dr dr) zm >0V дт2 дт )

здесь введены обозначения [3]: а(ю) = rj (r12 +r22), Y(ю) = -є2(ю)г2/ (ó(r12 + r22)),

є(ю) = V Re/2, r1 =1 + (r3 - r4 )/є (ю), r2 =(r3 + r4 )/є(ю), r3 =-sh є(ю)/(Л є (ю) + cos є (ю)), r4 = sin є(ю)/(Л є(ю)+cosє(ю)).

Очевидно, что а^-1,2, а y^1 при є^0, для сильно вязкоИ жидкости и малых частотах ю, и а^-1, а y^ (1/6)єе при є^-го, для маловязкоИ жидкости и больших частотах ю.

Учитывая краевые условия (7), решение уравнении динамики статора (5) представим в виде:

т, ч • 2m + 1 х “ „m , . 2т + 1 х ТТГ

Uk = 1 Tk

т=0 2 I m=0 2 I

2m +1

Разложим все функции от >, входящие в формулу Pzz в ряды по cos--2--и

получим:

4(-1)**'

(2т + 1) п

руш

к0 у2

2

_ (2т + 1)п_

^2в2 а й2к +12у йк ш2 йі2 ш йі

руш

ко у

2

_ (2т + 1) п_

2в2 а й2 р1т + 12у

ш

йі

2т + 1 х

-------------I (сое--------------п-

ш йі П 2 1

Подставляя (12), (13) в уравнения (5), в которых положено Ргх = 0, и приравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях, получим систему четырех обыкновенных дифференциальных уравнений, которая с учетом гармонического закона вибрации и, следовательно, с учетом зависимостей:

й2тт й2 Т?т

=-ш2 Т,т, =-ш2 Ят,

йі

йі

принимает вид:

ъп тт + ¿12 тт+¿13 Я1т + ¿14 ят=о,

"т , а тт + Ъ Ят

12 2 13 1 14

Ъ21 Т1т + Ъ22 Т2т + Ъ23 Я1т + Ъ24 Я2” = 0,

й Ят 4(-1)т+1

Ъ, Тт + Ъ32 Тт + Ъ33 Ят + Ъ34Я7т + 2Кт —^ =—^-------------------

32 2 33 1 34 2 т йі (2т + 1)п

. . - . й2к „ йк

^0 + МТ) - М^~Г2 - 2 Кт ~~Т~ а і2 а і

Ъ41 Т\" + Ъ42 Т2т + Ъ43 Я1т + Ъ44 Я2” = 0,

где принято: Мт -

руш

к0У2

2

_ (2т + 1)п_

2в2а _ __ 12уш . .

—_• 2Кт =—і—Мт;

ш

2 в2 а

Ъп = а1 + а4

2т +1

21

п I -т1 ш2; Ъ12 = -а1 + а

2т +1

21

2

п I - т8ш

2

7 2т +1

Ъ13 =--------------------п

13 21

2

_ , 2т +1 .

- а2 - 2а61—21— п| + 2т5 ш

7 2т +1

; Ъ“ =—п

- а3 + а7

2т +1

21

-п I -т7 ш

Ъ21 = -а1 + а5

2т +1 21

п I -т8ш2, Ъ22 = а1 + а9

2т +1

21

-п I -т2ш

2т +1

Ъ23 = п

21

а3 — а 6

2т +1

21

-п I + т5ш

2т +1

; Ъ24 = п

21

_ ^ 2т +1 | 2

а2 + 2а71—21— п I -2т7ш2

7 2т +1

Ъ31 =----------------п

31 21

а17 - 2 а6

2т +1 21

п I + 2т5 ш2

2т +1

; Ъ32 =-----------------п

32 21

а10 - а61 10 61 21

+ т5 ш

, / 2т +1 .2 ^ 2т +1 V

Ъ33 = а8 - ап I-п! + а151———п! -

Ъ34 а8 + а12

21 2т +1

21

п I - а,

21 2т +1

2т +1 .

т + ті-------------п I + Мт

21

п I -

13

т8 - т6

21 2т +1

ш

2

21

п

ш

2

7 2т +1

Ъ41 =-----------------п

41 21

— а18 + а7

2т +1 21

2т +1

; Ъ42 = ~2Тп

, 2т +1 | 2

а1П + 2а I—21— ^ -2тш2

Ъ43 =-а8 + а121 """ ' ' п I - а161 2т +1 п! -

8 12[ 21 1 16

21

т8 - т3

2т +1

21

п

ш

2

Ъ44 а8 а14

2т +1

21

п I + а

2т +1

21

п I -

т2 + т4

2т +1

21

п

ш2.

Из первого, второго и четвертого уравнений системы (14) находим:

т=0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

т7

2

2

4

2

71m D1 nm ^pm D2 T>m Jim D4 Tim

, —---------R , T —-------------------R , R —-------------------R ,

1 D 2 D D 1

Ьц Ь12 b14 b13 b12 b14 b11 b13 b14 b„ b12 b13

D — Ь12 Ь22 b24 ; D1 — b23 b22 b24 ; D2 — b21 b23 b24 , D4 — b21 b22 b23

Ь41 Ь42 4 3 <Ь 2 b44 b41 3 <Ь b44 b41 2 <b b43

Подставляя формулы (15) в третье уравнение системы (14), будем иметь одно уравнение:

dRm 4(-1)m+1

2 +c—R— — 4

dt

(2m + 1)л

. . - . d2h „ dh

P0 + P1 (x) — M— —-— 2 K— —

Jr 0 .ТЧ \ / m i,2 m i,

dt2 dt

ст = ь - ь — - ь — - ь —

^3 ^33 ^31 — 32 — 34 —

Находим частное решение соответствующее гармоническому закону вибрации

4(-1)т+1

Rrn —

(2m + 1)л

m

L^ 3U

+ Д

Сп с3' г|ю=0, амплитудно-частотная характеристика А(ш) и фазовые частотные

здесь <-з0

характеристики уь у2 определены формулами:

1

4(ш) —

, А(ш) —

М— ш4 + 4K2 ш2

(Сзт )2 + 4 Km ш2

2 К—ш 2 К—ш 12 у

у — — arctg-—,у2 — — arctg д ^ m 2 — —arctg-

m

3

Mm ш2 2s2 а

m

При этом: A(0) = 0, lim А(ш) = 1, Д(0) = 1, lim А1(ш) = 0, следовательно:

4(—1)”

m—u(2m + 1)л 1І

+

1

#30 V(C3" )2 + 4 к” ш2

P1m SІn(шt + Ф p +^1) +

+

М^ш4 + 4K” ш2 . ш Л

-------;------”——zт Sin(шt + щ1 +шЛ

(C3” )2 + 4 K—ш2 m

2— +1

cos--------------лх.

21

С учетом найденного прогиба (19) выражение для давления в сдавливаемом слое жидкости записывается в следующем виде

P — Pu + Р1(т)i 1 (( — 1)i 2 ^ а dh+12 Y £ 1 +

hU У l 2

dx

dx

+ £

m—0

2

l (2m + 1)л_ dh

2(—1)m+1 cos———— лх^ 2 s2a 2l

dP1

— Д(ш)| p1cos ф1 + 'd^s^n Ф1 | —

d2h

— А

dx

dx2

+12Y

А1(ш)І ~dpLcosф1 — P1 sinф1 | +

+ Л

^ ат2 ат

Учитывая выражение (20), находим силу, действующую на вибратор со стороны сдавливаемого слоя жидкости

d2h

N — bl JpdE, — —| Мш2—- + 2Кш— 1 + 2bl| р0 +(1 + Ф)р1(т) + ^ш

dx

dP1

dx

здесь обозначено

и

Ку 2

2р 2а

——— + 2 У

3 т=0

2 Кш = 2Ы

руш

КоУ 2

ф =

4у + 2 У

т=0

2руш у КоУ 2

_ (2т + 1)п_

4

2

т=0

_ (2т + 1)п_

" 2 " _ (2т + 1)п_

А

Д(ш)(2е 2а соб у1 + 12у бій у1),

^ш = у

К0У2 т=0

2

_ (2т + 1)п_

4(ш)(2е 2а бій у1 - 12у соБ у1).

Найденное решение позволяет определять резонансные частоты колебаний опор и предложить подходы для улучшения их характеристик.

Проведем расчет резонансных колебаний основной моды (т=0) при параметрах [1,3,4]: Ко/2/ = 0,09; ИХШ = 0,02; с/2/ = 0,09; К/2/ = 0,04; / = 1 м; р = 1,84-10? кг/м2; р1 = р2 = = 2,7-103 кг/м3; рз = 2,15-103 кг/м3; V = 2,5-10'4 м2/с; 01 = =02 = 2,67-1010 Па; Оз = 9-107 Па; К1 = К2 = 8-1010 Па; К3 = 4,7-109 Па. По формулам (18) определяются три резонансные частоты: ш1=4633,21 рад/с, при этом А(ш1)=546,94, ^'1(ш1)=1,97; ш2=6601,98 рад/с, при этом А(ш2)=653,07, А^(ш2)=1,16; ш3=8310,01 рад/с, при этом А(ш3)=732,82, А'1(ш3)=0,82. В представленных результатах приведена безразмерная характеристика А'1(ш), которая представляет собой отношение характеристики А1(ш) к ее значению при нулевой частоте А1(0) = 0,31-Ю-8 м/Па (т.е. отношение амплитуд вынужденных колебаний статора к его прогибу при ш = 0).

Переходя к однослойному статору из такого же материала, что и несущие слои, такой же толщины, что и трехслойный, получим одну резонансную частоту ш = 905,28 рад/с, при этом А(ш) = 241,20 и А'1(ш) = 304,87 (в расчетах учтено, что А1(0) = 0,23-10 9 м/Па).

Проведенное моделирование показывает, что опора с упругим трехслойным статором с сжимаемым заполнителем имеет три резонансные частоты, однослойная -только одну, и коэффициенты динамичности большие, чем для однослойных. Для жидкости с меньшей плотностью и вязкостью резонансные частоты незначительно возрастают, а коэффициенты динамичности растут очень сильно.

Выполнено при поддержке гранта Президента РФ МД-234.2000.7.8.

4

4

ЛИТЕРАТУРА

1. Горшков А.Г. Механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций / А.Г. Горшков, Э.И. Старовойтов, А.В. Яровая. М.: Физматлит, 2005. 576 с.

2. Кочин Н.Е. Теоретическая гидромеханика / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. М.: Физматгиз, 1963. Т. 1. 727 с.

3. Могилевич Л.И. Прикладная гидроупругость в машино- и приборостроении / Л.И. Могилевич, В.С. Попов. Саратов: Изд-во СГАУ, 2003. 156 с.

4. Аэрогидроупругость конструкций / А.Г. Горшков, В.И. Морозов, А.Т. Пономарев, Ф.Н. Шклярчук. М.: Физматлит, 2000. 591 с.

Попов Виктор Сергеевич -

доктор технических наук,

профессор кафедры «Гидравлика, гидравлические машины и водоснабжение» Саратовского государственного технического университета

Христофорова Алевтина Владимировна -

аспирант кафедры «Гидравлика, гидравлические машины и водоснабжение»

Саратовского государственного технического университета

Статья поступила в редакцию 22.11.06, принята к опубликованию 26.12.06