Вопросы теории детерминированного хаоса в работах А. Ф. Голубенцева

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА В РАБОТАХ А. Ф. ГОЛУБЕНЦЕВА

В. М. Аникин, Д. И. Трубецков

Дается краткий обзор направлений научных работ профессора Саратовского университета Александра Федоровича Голубенцева по теории хаотических отображений.

Ключевые слова: Хаотические отображения, несамосопряженный оператор Перрона-Фро-бениуса, спектральные задачи.

В июле 2013 года исполнилось 80 лет со дня рождения доктора физико-математических наук профессора физического факультета Саратовского государственного университета Александра Федоровича Голубенцева (1933-2003). Он был, несомненно, человеком удивительным, человеком разностороннего таланта, человеком, которому всегда хотелось «дойти до самой сути», человеком широко и глубоко образованным. Он блестяще владел разнообразным математическим аппаратом.

Первое знакомство с ним в 1960-е годы у специалистов СВЧ-электроники было связано с удивлением: Александр Федорович изящно решил задачу о пусковом токе генератора обратной волны с помощью вариационного исчисления. Решил легко и удивительно красиво. Он всегда стремился к математической строгости, часто увлекаясь стремлением к безупречности доказательств. Так было с обоснованием метода рядов Квайта-Маллена, так было с «шумовой эпопеей» в лампах с бегущей волной.

Он был прекрасным полемистом, умело и остроумно отстаивающим свои идеи. Разнообразие тем его публикаций удивляет: здесь и физика, и собственно математика, и задачи об окружающей среде. Александр Федорович боготворил книги. Читал он много, часто цитировал яркие места из прочитанного в своих выступлениях. Он был физически сильным человеком и, как многие люди такого склада, добрым и надежным товарищем. Он работал с разными людьми. «Спектр» его учеников поражает набором индивидуальностей. Дань уважения к Александру Федоровичу после его смерти нашла выражение в некрологе [1], который подписали несколько десятков человек. Он был красивым человеком во всех жизненных проявлениях, а, согласно теореме Гельфанда, «красота не может пропасть».

Изящными аналитическими результатами отмечен и последний период творчества А.Ф. Голубенцева, который был посвящен теории детерминированного хаоса - дискретным динамическим системам, демонстрирующим хаотическое поведение. Наиболее важной для математики и радиофизики проблемой, которой уделял внимание Александр Федорович в области детерминированного хаоса, было решение спектральных задач для ассоциированного с одномерными хаотическими отображениями линейного несамосопряженного оператора Перрона-Фробениуса. Оператор Перрона-Фробениуса в силу несамосопряженности является сложным математическим объектом, что признается специалистами самого высокого класса [2]. Эта сложность проявляется при нахождении собственных функций и собственных чисел оператора посредством как аналитических, так и компьютерных расчетов. Попытки решения спектральной задачи для этого оператора, «старт» которым дал великий К.Ф. Гаусс (для отображения, которое сейчас носит его имя [3,4]), возобновлялись не раз в течение двадцатого столетия (в России - стараниями член-корреспондентов АН СССР Р.О. Кузьмина (1891-1949) и К.И. Бабенко (1919-1987)). Непосредственным же толчком для изысканий Александра Федоровича послужили публикации в данном направлении представителя бельгийско-американской научной школы Нобелевского лауреата И.Р. Пригожина (1917-2003).

В последнее время в радиофизическом аспекте, предполагающем, в частности, исследования расцепления корреляций в дискретных динамических системах и прикладные использования дискретных отображений в криптографических схемах, спектральная проблема для оператора Перрона-Фробениуса в России поддерживается практически только в Саратовском государственном университете. В этой связи, логично, что большинство полученных результатов было опубликовано в журнале «Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика», издаваемого под эгидой СГУ.

Главный идейный результат А.Ф. Голубенцева - сведение решения спектральной задачи к нахождению производящих функций для собственных функций оператора и к построению инвариантных функциональных подпространств для данного оператора [5-7]. Впоследствии для нахождения полиномиальных собственных функций оператора Перрона-Фробениуса для кусочно-линейных отображений более общего вида был развит метод неопределенных коэффициентов, а получаемые решения, в память об Александре Федоровиче, вполне заслуживают наименования «полиномов Голубенцева» [8-13].

«Попутно» с решением спектральных задач А.Ф. Голубенцев нашел немало красивых математических «изюминок» и технических приемов для описания траек-торных, вероятностных и спектральных характеристик хаотических отображений, в частности, с использованием полиномов Эйлера и Бернулли, дзета-функций, эллиптических функций Якоби и т.д. [15-24]. Особая привлекательность работ А.Ф. Голубенцева состоит в том, что они содержат аналитические решения рассмотренных им задач.

Библиографический список

1. Аникин В.М., Гуляев Ю.В., Трубецков Д.И. и др. Памяти Александра Федоровича Голубенцева / // Радиотехника и электроника. 2004. Т. 49, № 3. С. 355.

2. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. Гл. 9.

3. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Евклид, Гаусс и детерминированный хаос // Известия Саратовского университета. Новая серия. 2003. Т. 3, вып. 2. С. 166.

4. Аникин В.М. Отображение Гаусса: Эволюционные и вероятностные свойства. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 80 с.

5. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. О некоторых свойствах оператора Фробениуса-Перрона для сдвигов Бернулли // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8, № 2. С. 67.

6. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Инвариантные функциональные подпространства линейных эволюционных операторов хаотических отображений // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2005. Т. 13, № 1-2. С. 1.

7. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф. Аналитические модели детерминированного хаоса / Пред. Д.И. Трубецкова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 328 с.

8. Аникин В.М., Аркадакский С.С., Ремизов А.С. Аналитическое решение спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса кусочно-линейных хаотических отображений // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика.

2006. Т. 14, № 2. С. 16.

9. Аникин В.М., Аркадакский С.С., Ремизов А.С. Особенности решения спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса, обусловленные критическим сочетанием параметров хаотического отображения // Теоретическая физика.

2007. Т. 8. С. 176.

10. Аникин В.М., Аркадакский С.С., Ремизов А.С. и др. Определение инвариантной плотности отображения Реньи на основе Гауссова подхода // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. Т. 16, № 6. С. 46.

11. Аникин В.М., Аркадакский С.С., Ремизов А.С. и др. О показателе Ляпунова для хаотических одномерных отображений с равномерным инвариантным распределением // Известия РАН. Сер. Физическая. 2008. Т. 72, № 12. С. 1800.

12. Аникин В.М., Аркадакский С.С., Ремизов А.С. и др. Классификация хаотических моделей малоразмерной нелинейной динамики // Известия РАН. Сер. Физическая. 2009. Т. 73, № 12. С. 1790.

13. Аникин В.М. Спектральные задачи для оператора Перрона-Фробениуса // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2009. Т. 17, №4. С. 61.

14. Аникин В.М., Аркадакский С.С., Ремизов А.С. и др. Релаксационные свойства хаотических динамических систем // Известия РАН. Сер. Физическая. 2009. Т. 73, № 12. С. 1739.

15. Goloubentsev A.F., Anikin V.M. The explicit solutions of Frobenius-Perron équation for the chaotic infinite maps // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1998. Vol. 8, № 5. P. 1049.

16. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Богомолов А.В. Хаотические генераторы биологических ритмов // Медицинская радиоэлектроника. 2000. № 2. С. 38.

17. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Специальные функции в теории детерминированного хаоса // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8, № 3. С. 50.

18. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Arkadaksky S.S. Ergodic maps with Lyapunov exponent equal to zero // 2nd International Conference «Control of Oscillation and Chaos», July 5-7, 2000, St. Petersburg, Russia: Proceedings / Edited by F.L. Chernousko and A.L. Fradkov. St. Petersburg, 2000. Vol. 1. P. 44.

19. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Arkadaksky S.S. On the convergence of nonsta-tionary solutions of the Frobenius-Perron equations to the invariant density // Ibid. P. 142.

20. Goloubentsev A.F., Anikin V.M. Barulina Y.A. Difference scheme with instant transition from order to chaos // Int. Conf. «Physics and Control-2003». St. Petersburg, Russia, August 20-22, 2003: Proceedings. St. Petersburg, 2003. P. 446.

21. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Barulina Y.A. Chaotic maps generating white noise // Ibid. P. 452.

22. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Noyanova S.A., Barulina Y.A. Baker transformation as autoregression system // Ibid. P. 654.

23. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Ноянова С.А. Модификации отображения пекаря: Особенности асимптотического поведения // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2004. Т. 12, № 3. С. 45.

24. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. О хаотической модели ранней эволюции Вселенной // Радиотехника. 2005. № 4 (Ученые России: Александр Федорович Голубенцев). С. 50.

Саратовский государственный Поступила в редакцию 15.09.2013

университет

PROBLEMS OF DETERMINISTIC CHAOS THEORY IN A. F. GOLOUBENTSEV'S WORKS

V.M. Anikin, D. I. Trubetskov

A short review of contribution to the deterministic chaos theory, that had been made by professor Alexander F. Goloubentsev (Saratov University), is given.

Keywords: Chaotic maps, non-self-adjoint Perron-Frobenius operator, spectral problem.

Аникин Валерий Михайлович - родился в Аткарске Саратовской области (1947). Окончил физический факультет СГУ (1970). Доктор физико-математический наук, профессор, заведующий кафедрой компьютерной физики, декан физического факультета СГУ, ученый секретарь диссертационного совета. Область научных интересов - математическое моделирование хаотических и стохастических процессов. В числе работ - монография «Аналитические модели детерминированного хаоса (совместно с А.Ф. Голубенцевым, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007)», методическое пособие «Диссертация в зеркале автореферата» (совместно с Д.А. Усановым, Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. Рекомендовано Управлением аттестации научных и научно-педагогических работников Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки).

410012 Саратов, ул. Астраханская, 83

Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского E-mail: AnikinVM@info.sgu.ru

Трубецков Дмитрий Иванович - родился в Саратове (1938). Окончил физический факультет СГУ (1960). Защитил диссертации на соискание ученой степени кандидата (1965) и доктора физико-математических наук в СГУ (1978) в области радиофизики. Заведующий кафедрой электроники, колебаний и волн факультета нелинейных процессов СГУ, профессор кафедры прикладной математики НИЯУ МИФИ, член-корреспондент Российской академии наук, заслуженный деятель науки РФ, лауреат премии Президента РФ в области образования. Область научных интересов: вакуумная электроника и микроэлектроника сверхвысоких частот, теория колебаний и волн, нелинейная динамика, история науки. Автор более двадцати учебных пособий и монографий, а также более двухсот статей в периодической печати. 410012 Саратов, ул. Астраханская, 83

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского 115409 Москва, Каширское шоссе, 31

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» E-mail: dtrubetskov@yahoo.com