Временные характеристики элементарного кристаллографического скольжения

Временные характеристики элементарного кристаллографического скольжения

С.И. Пуспешева, С.Н. Колупаева, Л.Е. Попов

Томский государственный архитектурно-строительный университет, Томск, 634003, Россия

Рассмотрена дислокационная динамика кристаллографического скольжения в г.ц.к. материалах. Вычислены времена распространения элементарного скольжения при различных значениях внешнего напряжения и разных температурах. Приведены оценки доли подвижных дислокаций в кристалле во время деформации.

Пластическая деформация твердых тел есть сложный иерархический процесс самоорганизации кристаллического материала в условиях деформирующего воздействия [1-5]. Наблюдаемое макроскопическое пластическое формоизменение кристаллов достигается в результате сопряженных между собой трансляций и поворотов на различных структурных и масштабных уровнях [1, 2, 4, 5]. В основе иерархической самоорганизации кристалла в процессе его пластической деформации лежат явления бездиффузионного массопереноса: скольжение, двойникование, фазовые превращения, а также диффузионный массоперенос.

Явление скольжения в кристаллических веществах [6-11] играет важную роль в пластическом отклике кристалла на механическое воздействие, осуществляя трансляции частей кристалла друг относительно друга. В то же время, через сопутствующие распространению скольжения производство точечных дефектов и диффузионный массоперенос скольжение вносит определенный вклад в некристаллографическую деформацию (повороты, локальную аккомодацию) [12, 13].

Общепринятой моделью фронта скольжения является дислокация [14, 15]. Воспользовавшись этой, несомненно, упрощенной моделью, можно сказать, что фронт скольжения, распространяющегося в объеме кристалла под действием напряжений, создаваемых деформирующим воздействием, образует замкнутая планарная дислокация (“дислокационная петля”). В данной работе на основе дислокационной модели фронта скольжения рассматривается динамика распространяющегося

единичного элементарного скольжения. Целью работы является определение временных характеристик элементарного кристаллографического скольжения.

Единичное (элементарное) скольжение, по крайней мере, в двух измерениях, не является микроскопическим объектом. Диаметр элементарного скольжения обычно порядка десятков или сотен микрометров. Его формирование — очень сложный перколяционный процесс, во время которого расширяющаяся дислокация пересекает десятки и сотни тысяч дислокаций некомпланарных систем скольжения. Таким образом, элементарное скольжение есть по своей природе элемент мезоскопического структурного и масштабного уровней [1, 2, 4, 5]. Для того чтобы получить близкую к реальной картину эволюции распространяющегося элементарного скольжения, необходимо рассматривать движение замкнутой дислокационной конфигурации в поле дискретных стопоров, приближая его характеристики к наблюдаемым экспериментально, как поступают при имитационном моделировании [16-19]. Однако сложный характер продвижения дислокации в поле случайно расположенных дискретных препятствий и не менее сложный характер возникающих при этом дислокационных конфигураций затрудняют описание глобального поведения расширяющейся дислокационной петли. Поэтому для описания динамических характеристик кристаллографического скольжения используются упрощенные модели, в которых поле дискретных препятствий дислокационной и иной природы заменяется однородной и изотропной средой, оказывающей движу-

© Пуспешева С.И., Колупаева С.Н., Попов Л.Е., 2000

щейся дислокации такое же сопротивление, что и исходное поле препятствий [20-26]. Тогда в приближении постоянного линейного натяжения замкнутая дислокация, первоначально имевшая форму окружности, при расширении будет сохранять свою форму.

Уравнение динамики первой дислокации, испущенной источником, получим из закона сохранения энергии, записанного для замкнутой планарной расширяющейся петли. Работа А, совершаемая действующими на дислокацию в условиях внешнего механического воздействия силами Пича-Келера, равна А = Ди + Q, где Ли — изменение внутренней энергии кристалла в процессе расширения дислокационной петли; Q — количество выделившейся теплоты. Изменение внутренней энергии Ди равно сумме изменений кинетической и потенциальной энергий: Ди = Ек - Е^ + Ер - Е](о), здесь Е^ и Ек — кинетическая энергия дислокации в исходной и текущей (мгновенной) конфигурациях дислокации, еР° и Ер — соответствующие значения потенциальной энергии. Учитывая, что работа, совершаемая силами Пича-Келера /, обусловленными внешним напряжением т, при увеличении охватываемой замкнутой дислокацией площади на величину сЪ, равна dA = fds =тbds, получим

йЕк = тbds - йЕр - dQ.

Рассмотрим правую часть уравнения (1), предполагая, что замкнутая расширяющаяся дислокация имеет форму окружности. Изменение потенциальной энергии дислокации, порожденной источником, есть изменение ее конфигурационной энергии СЕр = С(2пгц0), где Ц0 — линейное натяжение покоящейся дислокации; г — радиус расширяющейся дислокации; то есть СЕр = 2пц0 Сг. С другой стороны, потенциальную энергию расширяющейся дислокации можно представить в виде dEp = fЦ ds , где ^ — сила (на единицу длины дислокации) сопротивления движению расширяющейся дислокации, обусловленного ее кривизной. При текущем радиусе г дислокационная петля охватывает площадь s = пг 2; при увеличении радиуса дислокации на dr эта площадь возрастает на величину ds = 2пМг. Следовательно,

dEp

Ц о

Г = ___р = Г~0

1ц~ ds ~ г'

Величина диссипированной энергии при увеличении площади, заметаемой дислокационной петлей на ds, равна dQ = (%Ь + Bv) Здесь т* = тг + тй, где тг — напряжение решеточного и примесного трения; тй = аGbpl2 — дислокационное сопротивление распространению кристаллографического скольжения; а — параметр, характеризующий интенсивность меж-дислокационных взаимодействий; р — плотность дислокаций; В — коэффициент вязкого торможения под-

вижной дислокации, обусловленного ее взаимодействием с фононной и электронной подсистемами кристалла; V — скорость дислокации; G — модуль сдвига; Ь — модуль вектора Бюргерса.

С учетом вышесказанного уравнение (1) принимает вид

СЕк = тЬds - ds - ( Ь + Во ^,

отсюда

се.

= тЬ - — -(тяЬ + Во). г

Кинетическую энергию дислокации можно представить в виде Ек = 2пге к, где е к — кинетическая энергия единицы длины дислокации. Тогда

СЕк = 2п(гСе к + е к Сг ), следовательно,

dEk = ^к +£к .

ds dr г Окончательно, имеем Се

= тЬ-^о+^к -(т кь + во).

Сг г

Слагаемые в правой части уравнения (2) представляют соответственно силу Пича-Келера, обусловленную внешним напряжением, силу линейного натяжения движущейся дислокации, силу сопротивления, связанную с преодолением решеточного, примесного и дислокационного трения и силу вязкого торможения. Слагаемые в скобках соответствуют диссипативным силам.

После испускания первой замкнутой дислокационной петли активность дислокационного источника не прекращается, поскольку восстановленный после замыкания первой дислокации источник обладает некоторой кинетической энергией и проходит критическую конфигурацию в динамическом режиме [25, 26]. Поэтому дислокационный сегмент-источник после активации испускает серию замкнутых дислокаций, и все дислокации, начиная со второй, движутся в поле обратных напряжений, возрастающих с увеличением числа произведенных и накопленных дислокаций.

Уравнение движения г-ой дислокационной петли, испущенной источником Франка-Рида, можно представить в виде [25, 26]:

dеk) , , Ц0 + ек

—— = тЬ -т*Ь--^-°-------к -

dr * г

Gb2 ( -1) 2 -V 1

2п 2(Т-

- Во.

Здесь е к!) — кинетическая энергия единицы длины г-ой расширяющейся дислокации; V — коэффициент Пуассона. Четвертое слагаемое соответствует напряжению, обусловленному действием на скользящую дислокацию

обратных полей напряжений со стороны скопления ранее испущенных дислокаций [15]. Дислокационная петля, испущенная источником, может на малом расстоянии ускоряться до высоких скоростей, иногда соизмеримых со скоростью распространения звука в кристалле с = Щй (С — плотность материала). Поэтому при описании дислокационной динамики элементарного кристаллографического скольжения необходимо учитывать псевдорелятивистские эффекты [24, 27]. Для энергии движущейся дислокации воспользуемся соотношением е = е0/-/1 - о2 /с2 , где е0 — энергия единицы длины покоящейся дислокации. Кинетическая энергия единицы длины дислокации, скользящей со

скоростью о, равна е к = е 0 |у -^1 - о 2/с2 -1 Выражая

скорость движения дислокации через кинетическую энергию о = Сд| 1 - (ек/е0 + 1)-2, имеем

Секг) , Ц0 + ек

—— = тЬ-т„Ь - —--------------

Сг г

GЬ2(г -1) 2-V __________1

- Вс.

(

1-

-2

^ +1

чео ,

В уравнениях (2), (3) не учитываются силы торможения скользящих дислокаций, связанные с производством при кристаллографическом скольжении точечных дефектов — межузельных атомов и вакансий. При распространении кристаллографического скольжения в деформируемом кристалле скользящие дислокации взаимодействуют с дислокациями некомпланарных систем скольжения. Такие взаимодействия приводят к образованию на дислокациях порогов и перегибов. Пороги, находящиеся на винтовых компонентах дислокационной петли, при своем движении генерируют точечные деформационные дефекты — межузельные атомы и вакансии. При расширении замкнутая планарная дислокация преодолевает некоторое сопротивление т7-, связанное с производством точечных дефектов винтовыми компонентами дислокации. Для реальной дислокационной петли трудно оценить долю винтовых и краевых ее компонент, поэтому в данной работе рассмотрены два предельных случая: 1) в процессе элементарного скольжения генерация точечных дефектов отсутствует,

2) скольжение порождает максимальное возможное количество точечных дефектов, соответствующее генерации точечных дефектов всеми порогами на винтовых составляющих дислокационной петли. При этом сопротивление, связанное с производством точечных дефектов, равномерно распределено по всей длине дислокационной петли, образующей фронт скольжения. Такое предположение является достаточно грубым, но позволяет получить минимальную оценку характеристик элементарного скольжения, в то время как модель дислока-

ции, не генерирующей точечных дефектов, дает максимальную оценку.

Оценим работу, связанную с производством точечных дефектов при кристаллографическом скольжении. Будем считать, что касательное движение порогов вдоль дислокации и связанная с ним аннигиляция порогов [28] отсутствуют и все пороги, возникающие при пересечениях расширяющейся замкнутой дислокационной петли с дислокациями некомпланарных систем скольжения, если они находятся на участке дислокации, имеющей ориентацию, достаточно близкую к винтовой, скользят вместе с движущейся дислокацией неконсервативно, генерируя точечные дефекты.

Пусть замкнутая дислокация, связанная с распространяющимся кристаллографическим скольжением, расширяется, сохраняя форму окружности. В момент, когда радиус дислокационной петли равен г, она будет содержать (по предположению) все пороги, возникшие при пересечении с порогообразующими дислокациями некомпланарных систем скольжения; то есть общее число порогов, производящих точечные дефекты на дислокации радиуса г, равно N = р7-р8^рпг , где £ — множитель Смоллмена (£ = рр, р^ — число дислокаций некомпланарных систем, пересекающих единицу площади плоскости скольжения); р8 — доля порогов, принадлежащих околовинтовым дислокациям; р — доля порогообразующих дислокаций некомпланарных систем.

При увеличении радиуса замкнутой дислокации на величину Сг в результате производства точечных дефектов каждым отдельным порогом внешние силы совершают работу

^ = (Гк) ь,

где (Жк^ — средняя энергия образования точечного деформационного дефекта. Работа, связанная с генерацией точечных деформационных дефектов за всеми Nj порогами при увеличении радиуса петли на Сг, равна

= р,-р8£рпг

-dr.

Сила торможения скользящей дислокации, обусловленная тем, что содержащиеся на ней пороги производят точечные дефекты, в расчете на единицу длины скользящей дислокации в форме окружности, равна

dAi

ds

Из (4) и (5), учитывая, что для рассматриваемой конфигурации распространяющегося кристаллографического скольжения ds = 2пrdr, находим

Л! =

= РуР8£р( №к) Г

2Ь

Принимая = 0.25Gb3 [12, 13], получим

fj = 7 PjPs Рг и т] =—-— вЬрг.

8 о

С учетом сил торможения, связанных с генерацией точечных дефектов, уравнение динамики т-ой замкнутой дислокации, испущенной источником, принимает вид

dє

• = тЬ - % Ь -

ц о+4т)

dr

Gb2(т-1) 2-V

Р)Р&п .2

-------Gb рг -

2п

- Вс,

2(1 ^)£/2 - г \

1-

и ^"2

^ +1

е,

о

Будем считать, что диаметр зоны сдвига определяется диаметром первой дислокационной петли, испущенной источником, после ее остановки. В модели дислокации, не производящей точечные дефекты, пробег первой дислокации из серии дислокационных петель, произведенных источником Франка-Рида, ничем не ограничен [23]. Предполагаем, что первая дислокация останавливается, когда ее радиус становится равным В/2, где В = Вгт/(ОЬр) — диаметр зоны сдвига; Вг — некоторый вычисляемый параметр [29].

Чтобы получить временные характеристики дислокационной петли, с помощью соотношения dr = vdt уравнение динамики дислокации можно представить как эквивалентную систему уравнений:

<&. к

dt

= | тЬ - % Ь -

ц о + е к

Gb2(-1) 2-V 1

2П 2(1 ^)о/2 - г

- Вс,

/ \ -2 / \

1- е к , —+1 С1 1- е к 1 —+1

е0 е 0 0

V 0 /

\-2

dr

dt

1-

Го >

е к л — + 1

-2

При расчетах предполагаем, что в момент времени t = 0 радиус дислокации равен 10гс [16, 21], а кинетическая энергия дислокации равна нулю. Результаты численных расчетов в моделях (2), (3) и (6) для никеля и меди приведены на рисунках 1-7. Для расчетов были использованы следующие значения параметров: £ = 0.5, G(никель) = 8 • 1010 н/м2, G(медь) = 5 • 1010 н/м2, а = = 0.5, В = 10-6 Па • с, Ь = 2.5 • 10-10 м, т/ = 1 МПа, V = 13, р] = 0.5, р8 = 13, Вг = 1 000 [12, 13]. Следует отметить различие в поведении первой дислокации в моделях, учитывающих и не учитывающих генерацию точечных дефектов (рис. 1). В случае дислокации, не производящей точечных дефектов, диаметр зоны сдвига равен 159 мкм, а дислокационная петля, производящая точечные дефекты, пробегает 14 мкм, то есть диаметр зоны сдвига в моделях, учитывающих и не учитыва-

ло

300

200

100

3 / 0/”

. 2 , / \1 \ 1

- 1 ' 0 . 1° \ \

9 V 12 ^ юо^Ч

-

с . I . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 ' т

20

40

60

80

100

120 140 160

Рис. 1. Зависимость кинетической энергии единицы длины дислокации от радиуса дислокации, производящей (а) и не производящей (б) точечных дефектов. Цифрами обозначены порядковые номера дислокаций. Никель, плотность дислокаций 1013 м-2

ющих генерацию точечных дефектов, отличается на порядок.

Прежде, чем перейти к рассмотрению временных характеристик, связанных с элементарным скольжением, следует оговорить, что понимается под временем движения дислокации. Время движения дислокационной петли отсчитываем от момента ее замыкания (при радиусе, равном 10гс [16, 21], где гс — радиус сегмента дислокации в критической конфигурации) до момента достижения дислокацией диаметра зоны сдвига (для первой дислокации из серии произведенных источником дислокаций в модели, не учитывающей генерацию точечных дефектов) или до момента остановки дислокации в остальных случаях.

На рис. 2 приведена зависимость времени движения первой дислокационной петли от внешнего напряжения

Рис. 2. Зависимость времени распространения элементарного скольжения от напряжения в предположении, что дислокационная петля не производит точечных дефектов (а) и в модели, учитывающей производство точечных дефектов (б). Медь, плотность дислокаций 1012 м-2

при разных температурах в меди при плотности дисло-12 —2

каций р = 10 м . В модели имеются два температурно-зависимых параметра—модуль сдвига О и коэффициент вязкого трения В. Использованные значения коэффициента вязкого трения и значения модуля сдвига при разных температурах приведены ниже.

Температура, К Коэффициент вязкого трения В [30], 10-5 Па • с Модуль сдвига О [31], 1010 Па

80 1.7 5.986

300 4.4 5.56

430 7.3 5.332

При увеличении температуры время движения первой дислокации, испущенной источником, увеличивается. При всех исследованных температурах дислокация, не производящая точечных дефектов, движется уже при напряжении 10 МПа, время ее движения при

этом напряжении равно 17 мкс при температуре 80 К, 37 мкс при 300 К, 63 мкс при 430 К. Дислокация, производящая при движении максимально возможное количество точечных дефектов, при внешнем напряжении 10 МПа еще не движется, т. е. время ее движения 0 мкс, она начинает двигаться при напряжении 14 МПа. При любой из выбранных температур время движения первой дислокации в модели дислокации, не производящей точечных дефектов, уменьшается при увеличении внешнего напряжения. В модели дислокации, производящей точечные дефекты, время движения первой дислокации увеличивается с увеличением внешнего напряжения.

Зависимость кинетической энергии единицы длины движущейся дислокации, ее скорости и радиуса, отношения кинетической энергии единицы длины движущейся дислокации к энергии единицы длины покоящейся дислокации от времени и зависимость кинетической энергии движущейся дислокации и ее скорости от радиуса этой дислокации при разных значениях внешнего напряжения приведены на рис. 3, 4. При увеличении

т = тс=14МПа т= 100 МПа т= 447 МПа

8к, -Ь-104, эВ ек, -Ь, эВ 8к,  Ь, эВ

О 5 10 15 20 О 5 10 О 5 10 15

1, мкс 1, мкс 1, мкс

Рис. 3. Зависимость кинетической энергии единицы длины движущейся дислокации (а, д, и), ее радиуса (б, е, к), скорости (в, ж, л) и отношения кинетической энергии единицы длины движущейся дислокации к энергии единицы длины покоящейся дислокации (г, з, м) от времени при разных значениях внешнего напряжения для первой дислокации из серии дислокационных петель, произведенных источником Франка-Рида. 1 — без учета генерации точечных дефектов, 2 — дислокация генерирует точечные дефекты. Медь, температура 300 К, плотность дислокаций 1012 м -2

т = тс=14МПа т= 100 МПа т= 447 МПа

8к,  Ь  104: эВ ек, -Ь, эВ 8к,  Ь, эВ

0 200 400 600 0 1 2 3 4 0 5 10 15 20

г, мкм г, мкм г, мкм

Рис. 4. Зависимость кинетической энергии единицы длины движущейся дислокации (а, г, ж), ее скорости (б, д, з) и отношения кинетической энергии единицы длины движущейся дислокации к энергии единицы длины покоящейся дислокации (в, е, и) от радиуса при разных значениях внешнего напряжения для первой дислокации из серии дислокационных петель, произведенных источником Франка-Рида. 1 — без учета генерации точечных дефектов, 2 — дислокация генерирует точечные дефекты. Медь, температура 300 К, плотность дислокаций 1012 м-2

внешнего напряжения увеличиваются пробег, кинетическая энергия и скорость дислокации. При низких значениях внешнего напряжения (при внешнем напряжении, равном критическому напряжению работы дислокационного источника) кинетическая энергия единицы длины скользящей дислокации невелика — она превосходит энергию единицы длины покоящейся дислокации не более чем в 6 • 10-5 раз в модели, соответствующей краевой дислокации, и в 1.5 • 10-5 раз в модели, предполагающей генерацию точечных дефектов. Скорость дислокации при этом также невелика — она не превосходит 30 м/с в первой модели и 15 м/с во второй модели. Радиус первой дислокации, произведенной источником Франка-Рида, после ее остановки определятся десятками и сотнями микрометров. При внешнем

напряжении 100 МПа кинетическая энергия увеличивается примерно на 2 порядка, также увеличивается скорость дислокации до 530 м/с и ее пробег. При увеличении температуры кинетическая энергия дислокации, и, следовательно, ее скорость, уменьшаются при любом значении радиуса дислокации. Подобная зависимость перечисленных характеристик расширяющейся дислокации наблюдается и от величины коэффициента вязкого трения.

Оценим долю подвижных дислокаций в кристалле во время деформации. Для этого найдем количество элементарных скольжений в каждый момент деформации в единичном объеме кристалла. Предположим, что в каждый момент деформации в единичном объеме кристалла распространяется Na скольжений. Площадь од-

Рис. 5. Зависимость числа активных скольжений (а) и плотности подвижных дислокаций (б) в единице объема кристалла от напряжения при разных значениях скорости деформации а: 10-5 (1), 10-2 (2), 10 с-1 (3). Медь, температура 80 К, плотность дислокаций 1012 м-2

101

109

106

о О

[ ^ 107

s г

о E -

Q. , 104

i .1 . . 1 , , 1 . . 1 . . 1 . . 1 , , \.

10-6 10-4 1(Г2 10° 102

da/dt, с-1

1СГ6 1СН 10-2 10° 102

da/dt, сг1

Рис. 6. Зависимость числа активных скольжений (а) и плотности подвижных дислокаций (б) в единице объема кристалла от скорости деформации при разных значениях внешнего напряжения т: 15 (1), 100 (2), 185 МПа (5). Медь, температура 80 К, плотность дислокаций 1012 м-2

ного элементарного скольжения в рамках рассматриваемой модели S = пR2, где R = R(т) — радиус остановившейся дислокации, окаймляющей скольжение. Скорость деформации сдвига равна, следовательно,

a() = N

S t1() ’

где t1 (т) — время распространения скольжения. Таким образом,

nR 2

a() = Na

ti

При деформировании кристалла с постоянной скоростью деформации (a = const) число активных скольжений в единице объема кристалла при заданном внешнем напряжении можно определить, исходя из соотношения (13), как

Na ()=a#

aW S

Для оценки плотности подвижных дислокаций используем модель дислокации, в которой все пороги, находящиеся на ее околовинтовых составляющих и скользящие вместе с ней, производят точечные дефекты. При

Рис. 7. Зависимость плотности подвижных дислокаций в единице объема кристалла от напряжения при разных значениях температуры Т: 80 (1), 300 (2), 430 К (5). Медь, плотность дислокаций 1012 м-2

известном количестве элементарных скольжений в единице объема кристалла плотность подвижных дислокаций pmov определяется соотношением pmov = Nal, где l — периметр единичного скольжения. В рамках рассматриваемой модели l = 2nR, и плотность подвижных дислокаций в единице объема кристалла равна

Pmov ()= 2nR()Na

На рис. 5 приведены зависимости количества активных скольжений и плотности подвижных дислокаций в единице объема кристалла от напряжения. При расчете использовался набор параметров, соответствующий меди при температуре 80 К, плотность дисло-12 —2

каций р = 10 м . При увеличении напряжения число активных скольжений и плотность подвижных дислокаций уменьшаются при заданной скорости деформации. При увеличении скорости деформации и при повышении температуры количество активных скольжений и плотность подвижных дислокаций в единице объема кристалла увеличиваются (рис. 6, 7). Проведенные оценки показали, что доля подвижных дислокаций в единице объема кристалла невелика — при выбранном наборе параметров (медь, T = 80 K) в интервале скоростей деформации от 10-5 с-1 до 10 с-1 она не превосходит 1 % от общей плотности дислокаций в кристалле.

Литература

1. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физ. мезомех. -

1998. - Т. 1. - № 1. - С. 5-22.

2. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина: В 2-х т. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.

3. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно-аналитическая теория прочности. - СПб.: Наука, 1993. - 471 с.

4. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1985. - 229 с.

5. Панин В.Е., ГриняевЮ.В., ДаниловВ.И. и др. Структурные уровни

пластической деформации и разрушения. - Новосибирск: Наука, 1990. - 255 с.

6. Thompson W, TaitP. A treatise on natural philosophy. - Vol. I. - Cambridge, 1897.- P. 121-123.

7. Вернадский В.И. Явления скольжения кристаллического вещества.

Ученые записки императорского Московского университета, ест.-ист. отдел, физико-кристаллографические исследования. - М.: Университетская типография, 1897. - 182 с.

8. Muller H., Leibfrid G. Die Oberflachenrscheinungen auf gedehnten Aluminium - Eincristallen in ihrer Abhangigkeit von der Dehngesch-windigkeit // Zeitschrift fur Physik. - 1955. - Bd. 142. - S. 87-115.

9. Mader S., Seeger A. Untersuchung des Gleitlinienbilds kubischflachen

zentrierten Einkristall // Acta Met. - 1960. - Vol. 8. - No. 4. - P. 513522.

10. Neuhauser H. Slip-line formation and collective dislocation motion // Dislocat. Solids. - 1983. - No. 6. - P. 319^40.

11. Luft A. Microstructural processes of plastic instabilities in strengthened metals // Progress in Materials Science. - 1991. - V. 35. - P. 97204.

12. Попов Л.Е., Пудан Л.Я., Колупаева С.Н., Кобытев В.С., Старен-ченко В.А. Математическое моделирование пластической деформации. - Томск: Изд-во Томск. гос. ун-та, 1990. - 185 с.

13. Колупаева С.Н., Старенченко В.А., Попов Л.Е. Неустойчивости пластической деформации кристаллов. - Томск: Изд-во Томск. гос. ун-та, 1994. - 301 с.

14. Фридель Ж. Дислокации. - М.: Мир, 1967. - 643 с.

15. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. - М.: Атомиздат, 1972. -600 с.

16. Слободской М.И., Голосова Т.Н., Матющенко А.В. Эволюция дислокационной петли от источника в поле случайно распределенных однородных препятствий // Изв. вузов. Физика. - 1997. -№ 6. - С. 61-64.

17. Слободской М.И., Матющенко А.В. Эволюция дислокационной петли от источника в поле случайно расположенных препятствий с дискретным спектром прочностей // Изв. вузов. Физика. - 1997. -№ 7. - С. 113-118.

18. Слободской М.И., Попов Л.Е. Генерация и эволюция вогнутых дислокационных петель в процессе распространения элемен-

тарного кристаллографического скольжения // Мат. моделир. систем и процессов. - 1999. - № 7. - С. 75-85.

19. Слободской М.И., Попов Л.Е. Особенности работы источника Франка-Рида в поле случайно расположенных препятствий // Изв. РАН. Серия физическая. - 1998. - Т. 62. - № 7. - С. 1338-1343.

20. Hazzledine P.M., Hirsh P.B. A coplanar Orowan loops model for dispersion hardening // Phil. Mag. - 1974. - Vol. 30. - P. 1331-1351.

21. Тяпунина Н.А., Благовещенский В.В., Зиненкова Г.М., Ивашкин Ю.А. Особенности пластической деформации под действием ультразвука // Изв. вузов. Физика. - 1982. - № 6. - С. 118-128.

22. Попов Л.Е., Колупаева С.Н., Вихорь Н.А., Коротаева Н.В. Динамика дислокаций в зонах сдвига // Структура дислокаций и механические свойства металлов и сплавов. Тезисы докладов. - Екатеринбург, 1993. - С. 84.

23. Колупаева С.Н., Вихорь Н.А., Коротаева Н.В., Попов Л.Е. Движение дислокаций при формировании полосы кристаллографического скольжения // ФММ. - 1995. - Т. 80. - Вып. 4. - С. 51-57.

24. ПоповЛ.Е., Колупаева С.Н., Вихорь Н.А., Графкова А.В. Динамика аннигиляции дислокационной петли // ФММ. - 1999. - Т. 87. -№1. - С. 5-7.

25. Попов Л.Е., Колупаева С.Н., Вихорь Н.А., Пуспешева С.И. Дислокационная динамика кристаллографического скольжения // Мат. моделир. систем и процессов. - 1999. - № 7. - С. 67-74.

26. Попов Л.Е., Колупаева С.Н., Вихорь Н.А., Пуспешева С.И. Дислокационная динамика кристаллографического скольжения // Изв. вузов. Физика. - 2000. - № 1. - С. 37-42.

27. Косевич А.М. Дислокации в теории упругости. - Киев: Наукова думка, 1978. - 219 с.

28. Mott N.F. // Trans. AIME. - 1960. - V. 218. - P. 262-264.

29. Попов Л.Е., Кобыгтев В.С., Ганзя Л.В. Теория деформационного упрочнения сплавов. - Томск: Изд-во Томск. гос. ун-та, 1981. - 176 с.

30. Судзуки Т., Есинга Х., Такеути С. Динамика дислокаций и пластичность: Пер. с япон. - М.: Мир, 1989. - 296 с.

31. Yoo M.H. Growth kinetics of dislocation loops and voids the role of bivacancies // Phil. Mag. (a). - 1979. - Vol. 40. - No. 2. - P. 193-211.