Термодинамические и структурные характеристики двумерных систем с экранированным кулоновским потенциалом взаимодействия

УДК 536.421

К. Г. Косс, О. С. Ваулина ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ И СТРУКТУРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМ С ЭКРАНИРОВАННЫМ КУЛОНОВСКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Ключевые слова: двумерные системы, фазовые переходы, двухступенчатое плавление.

Представлены результаты численного исследования термодинамических характеристик сильно неидеальных двумерных систем частиц, взаимодействующих с экранированным кулоновским потенциалом типа Юкавы, таких, как внутренняя энергия, теплоемкость и энтропия. Впервые обнаружено, что исследуемые характеристики имеют две особые точки, которые отвечают за фазовый переход первого рода в случае превращения кристалла в гексатическую фазу и за переход второго рода на линии формирования изотропной жидкости. Дано сравнение полученных результатов с существующими численными и аналитическими данными.

Keywords: two-dimensional systems, phase transitions, two-step melting.

We present the results of the numerical study of thermodynamic characteristics of strongly coupled two-dimensional systems of particles interacting via the screened Coulomb potential of Yukawa type. The internal energy of the system, its heat capacity and entropy were calculated. For the first time it was discovered that the studied characteristics have two singular points corresponding to the first-order phase transition from the crystal to the hexatic phase and to the continuous phase transition corresponding to the formation of isotropic liquid. The obtained results are compared with the existing numerical and analytical data.

Знание термодинамических свойств систем взаимодействующих частиц необходимо во многих областях науки и техники - физике плазмы, медицине, физике полимеров и других [1-4]. Особое внимание уделяется двумерным системам. Помимо фундаментальных аспектов, исследования физических свойств таких систем представляют прикладной интерес в области нано- и микротехнологий, а также при разработке покрытий и материалов с заданными свойствами [2].

Наибольший интерес вызывает плавление двумерных систем. На настоящий момент существуют две основные модели этого процесса, обе из которых базируются на анализе формирования различных топологических дефектов. Первая - KTHNY (Kosterlitz-Thouless-Halperin-Nelson-Young) теория, которая прогнозирует двухстадийный процесс перехода от кристаллической фазы к жидкостному состоянию системы через формирование промежуточной, так называемой гексатической фазы [5-7]. Вторая - это GBI (Grain-Boundary-Induced melting) теория, которая описывает плавление двумерных систем, в общем случае, как фазовый переход первого рода от кристалла к жидкости без формирования промежуточной фазы [8, 9].

Доказательства справедливости KTHNY-теории для двумерных систем с различными потенциалами межчастичного взаимодействия были представлены в ряде экспериментальных и численных работ [10-14]. Так, например, детальное численное исследование динамики частиц, взаимодействующих с экранированным

кулоновским потенциалом (типа Юкавы):

ф (r) = (eZ)2exp(-r/l)/r,

где Я - длина экранирования, а вЖ - заряд частиц, представлено в работах [13-14]. Такая модель представляет особый интерес с точки зрения

теоретических исследований свойств пылевой плазмы [2], а также широко используется для численного моделирования отталкивания в кинетике взаимодействующих частиц [1, 2].

Численное моделирование [13-14] показывает, что физические свойства таких систем имеют две особые точки. Первая из них относится к фазовому переходу «жидкость - гексатическая фаза» и наблюдается, когда эффективный параметр неидеальности системы Г = Г ^ = 98 ± 3; вторая особая точка (при Г = Гс = 154 ± 4) соответствует переходу от гексатической фазы к "идеальному" кристаллу, где коэффициент диффузии частиц й ^ 0. (Здесь Г* = 1.5 (в7)2(1+к+к2/2)вхр(-к)/(Ггр),

где к = rJA

T - температура частиц в rp - среднее

энергетических единицах, а гр межчастичное расстояние.) Следует отметить, что, в отличие от экспериментов с коллоидными системами (показывающими хорошее согласие с выводами КТИ^У-теории [10-12]), сравнение теоретических предсказаний с результатами лабораторного исследования монослойных пылевых структур в плазме емкостного высокочастотного (вч-) разряда не выявило убедительного соответствия со сценариями плавления, описанными как в КТИ^У-теории, так и в вЫ-теории [15, 16].

Обычно предполагается, что в случае осуществления КТИ^У-сценария оба фазовых перехода в системе являются переходами второго рода [9, 17]. Однако результаты ряда численных и теоретических исследований показывают, что в зависимости от типа потенциала парного взаимодействия частиц в двумерных системах оба перехода могут быть первого рода, а также один из них может быть переходом первого рода, а другой -второго рода [18-20].

В настоящей работе представлены результаты численного исследования

термодинамических свойств сильно неидеальных

(жидкостных и кристаллических) двумерных систем частиц, взаимодействующих с экранированным кулоновским потенциалом типа Юкавы, в широком диапазоне их параметров неидеальности с шагом изменения величины Г, достаточным для устранения неоднозначности в определении поведения систем вблизи точек фазовых переходов.

Численное моделирование проводилось методом молекулярной динамики Ланжевена,

основанным на решении системы

из

Np

обыкновенных дифференциальных уравнений движения, (где Np - число частиц в расчетной ячейке) с учетом силы Ланжевена Frar, отвечающей за стохастический характер движения частиц с заданной кинетической температурой Т. Техника моделирования подробно описана в работе [2]. Расчеты были выполнены для однородных двумерных систем Юкавы с параметрами экранирования к = rpM = 1, 1.5, 2, 3, 4 (где rp = (NpIS)112, а S - площадь моделируемой ячейки). Для моделирования протяженного однородного слоя задавались периодические граничные условия в двух выбранных направлениях (x и у). Число независимых частиц в центральной счетной ячейке Np варьировалось от 256 до 4096. В зависимости от числа частиц длина обрезания потенциала rcut менялась от 5rp до 25rp. Основные данные были получены для Np = 1024 независимых частиц при длине обрезания потенциала rcut = 12rp.

Для анализа термодинамических свойств моделируемых систем уравнения движения решались для различных эффективных параметров: параметра неидеальности, Г и параметра масштабирования, £ = ю Ivfr , где ю = {2(eZ)2(1+K+K2I2)exp(-K)/(rp\M)}112, M - масса частицы. Величина эффективного параметра неидеальности Г менялась в пределах от ~ 5 до 275, а величина параметра масштабирования варьировалась от 0.25 до 4 0.25; 0.5; 1; 2; 4) , в диапазоне, типичном для условий экспериментов в плазме газовых разрядов [2].

Для всех рассмотренных случаев форма полученной парной корреляционной функции, g(r) определялась величиной параметра Г для Г > 1015. Расхождение между данными для всех случаев укладывалось в пределы численной ошибки и не превышало + (1-3)%. Схожие результаты для трехмерных систем с изотропными парными потенциалами и в квазидвумерных структурах были для широкого диапазона параметров получены в [2, 21, 22]. Результаты расчета максимума gmax парной корреляционной функции в зависимости от Г представлены на рис. 1. Отклонения

представленных

расчетов gm

от данных

полученных ранее для квази- двумерных систем, скорее всего, определяются более мелким пространственным разбиением анализируемой области структуры в настоящей работе.

Иллюстрация нормированных функций и(Г) представлена на рис. 2. Легко увидеть, что полученные нормированные значения би = (и-ио-тТ/2)/Т полностью определяются величиной

параметра Г , в соответствии с полуэмпирической аппроксимацией, предложенной в работе [22] для неидеальных жидкостных систем с параметром Г в диапазоне Г с > Г >10. Легко увидеть, что, несмотря на хорошее согласие полученных данных с аппроксимацией [22], численные кривые имеют особенности вблизи параметра неидеальности Г* = 98 (точку перегиба) и вблизи Г = 154 (скачок), которые не отражаются в поведении аналитической кривой (рис. 2).

0

50

100

__. ч«

150 200 Г 250

Рис. 1 - Максимумы парной корреляционной функции gmax в зависимости от эффективного параметра неидеальности Г* для: (линия) -двумерных систем (результаты, полученные в настоящей работе); (О) - квазидвумерных систем [21]. Интервалы погрешностей соответствуют 4%

1,15

1,05

0,95

0,85

0,75

0,65

Рис. 2 - Значения би в зависимости от Г* для двумерных систем с экранированным кулоновским потенциалом взаимодействия с различными параметрами экранирования к:

4

3

2

1

Напомним, что в системах с постоянным объемом критерием фазового перехода первого рода является скачок удельной энтропии системы, а при фазовых переходах второго рода - ее производных по температуре и/или давлению. Величину энтропии в этом случае можно представить в виде: S = JdT CV/T + const = U/T - JU /(7Г*) dr* + const, а ее абсолютное изменение AS = S(r) - S(0) записать в виде:

V dr* AS =SU -JSU

При этом

dS

dT

d(AS) dT

C

- CV- . (3) T

Таким образом, наличие скачка на кривой Ъи(Г) будет приводить к скачку энтропии, что является показателем перехода первого рода. (При этом в идеале теплоемкость Су системы должна стремиться к бесконечности.) При наличии точки перегиба на кривой Ъи(Г), зависимость энтропии 5 от Г также будет иметь точку перегиба, что, в свою очередь, приводит к скачку производных указанных функций по температуре (т.е., к скачку теплоемкости Су), и является показателем фазового перехода второго рода.

Следует подчеркнуть, что наблюдение конечного пика теплоемкости Су вблизи фазового перехода "гексатическая фаза - кристалл" и отличие наблюдаемого скачка величины теплоемкости Су вблизи фазового перехода "жидкость -гексатическая фаза" от классической функции Хевисайда, а также сглаженные особенности кривых Д5(Г) очевидно связаны с математическими особенностями интегрирования/ дифференцирования дискретных данных. Поскольку, чем грубее разбиение таких данных, тем, естественно, шире наблюдаемый пик и меньше его амплитуда при их дифференцировании в районе скачка, и тем более невыразительными становятся точки, найденные путем их интегрирования.

Значения теплоемкости, Су =(3и/37)у, полученные путем дифференцирования

усредненных данных Ъи (Г ), показаны на рис. 3. Легко заметить две особенности кривой Су(Г) вблизи Г* = 98 (скачок) и Г* = 154 (резкий рост), соответственно. Результаты расчета приращения энтропии Д5 представлены на рис. 4. Кривые Д5(Г ) были получены с использованием формулы (2) и экстраполяции численных данных на участке Г < 5.

В данной работе получены новые результаты численного исследования

термодинамических функций и характеристик, таких, как внутренняя энергия, энтропия и коэффициент теплоемкости, для сильно неидеальных (жидкостных и кристаллических) систем частиц, взаимодействующих с экранированным кулоновским потенциалом типа Юкавы. Моделирование проводилось для двумерных структур в широком диапазоне

параметров, соответствующих условиям

экспериментов в лабораторной пылевой плазме, для систем с эффективным параметром неидеальности Г* > 5.

5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5

5

205  255

Рис. 3 - Зависимость

60

100

140

-3,0

Г

180

-4,5

Рис. 4 - Приращение энтропии ДБ в зависимости от Г* для двумерных систем с экранированным кулоновским потенциалом взаимодействия, полученное из усредненных значений Ъи

Обнаружено, что вышеуказанные термодинамические характеристики имеют две особые точки вблизи значений параметров неидеальности Г* = 98 и Г = 154. Поведение термодинамических характеристик вблизи этих точек показывает, что наблюдаемые вблизи них фазовые переходы являются переходами второго и первого рода, соответственно. Полученные результаты могут рассматриваться в качестве дополнительного подтверждения сценария двухстадийного плавления двумерных систем

Юкавы. Полученные результаты сравниваются с существующими экспериментальными, численными и аналитическими данными.

Результаты настоящей работы могут быть легко обобщены для систем с широким кругом изотропных парных потенциалов, которые представляют интерес в физике плазмы, медицине, биологии, а также в физике полимеров и других коллоидных систем.

Данная работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 14-1201440).

Литература

1. H.Z. Cummins and E.R. Pike (Eds). Photon Correlation and Light Beating Spectroscopy, Plenum, New York, 1974, 504 c.

2. V. E. Fortov and G. E. Morfill (Eds). Complex and Dusty Plasmas, London, CRC Press, 2010, 440 c.

3. Г.С. Дьяконов, А. В. Клинов, А. В. Малыгин, А. А. Нургалиева. Вестник Казанского технологического университета, 2, 90-97 (2005).

4. В.Г. Байдаков, С.П. Проценко. Вестник Казанского технологического университета, 1, 137-141 (2010).

5. D. R. Nelson and B. I. Halperin. Phys. Rev. B, 19, 2457 (1979).

6. J. M. Kosterlitz and D. J. Thouless. J. Phys. C, 6, 1181 (1973).

7. A. P. Young. Phys. Rev. B, 19, 1855 (1979).

8. S. T. Chui. Phys. Rev. B, 28, 178 (1983).

9. K. Strandburg. Rev. Mod. Phys., 60, 161 (1988).

10. C. A. Murray and R.A. Wenk. Phys. Rev. Lett, 58, 1200 (1987).

11. A.H. Marcus, S.A. Rice. Phys. Rev. Lett, 77, 2577 (1996).

12. R. E. Kusner, J. A. Mann, J. Kerins, and A. J. Dahm. Phys. Rev. Lett., 73, 3113 (1994).

13. O. S. Vaulina, I. E. Drangevski, X. G. Adamovich, O. F. Petrov, and V. E. Fortov. Phys. Rev. Lett, 97, 195001 (2006).

14. O. S. Vaulina, E. V. Vasilieva, Phys. Lett. A, 378 (2014) 719-722

15. A. Melzer, A. Homann, and A. Piel. Phys. Rev. E, 53, 2757 (1996).

16. V. Nosenko, S. K. Zhdanov, A. V. Ivlev, C. A. Knapek, and G. E. Morfill. Phys. Rev. Lett, 103, 015001 (2009).

17. M. Mazars, arXiv:1301.1571 [cond-mat.stat-mech], 2013

18. Bladon and Frenkel, Phys. Rev. Lett, 74, 2519

19. T. Chou and D. R. Nelson, Phys. Rev. E, 53, 2560

20. B.K. Clark, M. Casula and D.M. Ceperley, Phys. Rev. Lett, 103, 055701

21. O. S. Vaulina and I. E. Drangevski, Phys. Scripta, 73, 577 (2006).

22. O. S. Vaulina, X G Koss, Yu. V. Khrustalyov, O. F. Petrov, V. E. Fortov, Phys. Rev. E, 82, 056411, 2010.

© К. Г. Косс, кандидат физ.-мат. наук, научный сотрудник лаб. 1.2.1.2 Объединенного института высоких температур РАН, Xeniya.Koss@gmail.com; О. С. Ваулина, доктор физ.-мат. наук, главный научный сотрудник лаб. 1.2.1.2 Объединенного института высоких температур РАН, Olga.Vaulina@bk.ru.

© X. G. Koss, Ph.D., researcher at Lab. 1.2.1.2 of Joint Institute for High Temperatures RAS, Xeniya.Koss@gmail.com; O. S. Vaulina, D.Sc., chief researcher at Lab. 1.2.1.2 of Joint Institute for High Temperatures RAS, Olga.Vaulina@bk.ru.