Оптимальное проектирование трехслойной балки при заданных частотах поперечных колебаний

УДК 629.7.023

А. В. Лопатин, И. В. Макаров, Л. В. Шумкова

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТРЕХСЛОЙНОЙ БАЛКИ ПРИ ЗАДАННЫХ ЧАСТОТАХ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Рассмотрена задача определения оптимальных параметров трехслойной балки при наличии ограничений, накладываемых на частоты поперечных колебаний. Приведены уравнения движения балки, которые учитывают деформацию поперечного сдвига в заполнителе и инерцию поворота поперечного сечения. Получены выражения для частот колебаний трехслойной балки. Определена целевая функция задачи проектирования. Приведен пример выбора оптимальных параметров трехслойной балки.

Трехслойные конструкции, состоящие из тонких несущих слоев и заполнителя, широко используются в авиации, космической технике, судостроении и строительстве. Это обусловлено высокой степенью весового совершенства трехслойных балок, пластин и оболочек. К настоящему времени существует несколько сложившихся и широко используемых в расчетной практике моделей трехслойных конструкций [1-10]. Тем не менее, несмотря на выполненные исследования, интерес к моделированию трехслойных конструкций не ослабевает. Особенно это относится к задачам оптимального проектирования трехслойных конструкций, используемых в современной технике.

Рассмотрим задачу выбора оптимальных параметров трехслойной балки при наличии ограничений, накладываемых на собственные частоты поперечных колебаний. Отметим также, что одномерную модель балки из-за ее относительной простоты часто используют для предварительного анализа более сложных моделей трехслойных пластин и оболочек.

Рассмотрим трехслойную балку с прямоугольным поперечным сечением и свяжем ее с системой координат X, Y, Z (рис. 1). Пусть продольная ось X проходит через центры поперечных сечений балки. Оси Y и Z расположим перпендикулярно оси X. Длину балки обозначим I, ширину поперечного сечения - Ь, толщину заполнителя - ё, а толщину одинаковых несущих слоев - I В дальнейшем будет рассматривать движение балки только в плоскости ХУ.

t

X

S

t

1

У

z

, b ,

Рис. 1. Трехслойная балка с прямоугольным поперечным сечением

Система уравнений, описывающая поперечные колебания трехслойной балки в рамках сдвиговой модели [11], включает уравнения движения

дх

физические соотношения

М = ВЪ е = Ку;

Bp dt2 0’ дх

= 0;

геометрические соотношения

д0 dw

Х = —, v = 0 + —

А дх дх

В уравнениях (1).. .(3) t - время, Q - перерезывающая сила, М - изгибающий момент, щ - прогиб балки, 0 - угол поворота поперечного сечения, % - кривизна балки, у - сдвиговая деформация, D, К - изгибная и сдвиговая жесткости балки, Вр - инерционный параметр балки, Dp - инерционный параметр, связанный с поворотом поперечного сечения балки.

Определим жесткостные D, К и инерциальные Вр, Dр параметры балки, используя подход, получивший наибольшее распространение при расчете трехслойных конструкций [10]. В соответствии с этим подходом несущие слои будем считать настолько тонкими, что их изгибная жесткость может быть принята равной нулю. Возникающие в несущих слоях мембранные усилия обеспечивают восприятие изгибающего момента, а заполнитель обеспечивает совместную работу несущих слоев и восприятие перерезывающей силы. Для такой модели трехслойной балки жесткостные и инерционные параметры могут быть записаны в следующем виде:

52

D

ОБ b,

Е / — Ь, К 2

62 63

Вр = ЙУ + Р56)Ь , °р= (Р^ у + Р5 12)Ь ,

где Е - модуль упругости материала несущих слоев; О - модуль сдвига заполнителя; рг - плотность материала несущих слоев; р6 - плотность заполнителя.

Получим уравнения движения балки, содержащие в качестве неизвестных прогиб ^ и угол поворота 0. Подставляя (2) и (3) в (1), будем иметь

К^- + К дх дх

- К ^ + D ^

дх дх

К 0

Dp д0=0. р дt2

Следуя методу разделения переменных, представим решение уравнений (5) в виде

w

где ro - круговая частота колебаний. Подставляя (6) в (5), получим следующую систему однородных обыкновенных дифференциальных уравнений:

д2 w д0 2

-K- - K----------Bpro w

dx2 dx p

0,

0.

К ды _ б дв + к 0_ 0:

дх дх

Для удобства анализа преобразуем уравнения (7) к безразмерному виду. Введем новую продольную координату а, связанную с х равенством

а =

l

Переменная а изменяется в пределах от 0 до 1. Подставляя (8) в (7), после некоторых преобразований получим следующие уравнения:

где u = 01;

. d2 w . du

-А------2 -A-------П w = 0,

d a d а

dw d2u

A--------------2 + Au -ПФ u = 0,

d a d a

A = Kl2; ф = ^-D l2 Bp

n =

Bpro2l4

D

det

= 0.

P =

I 2A ;

V 2A

Таким образом, решение уравнений (9) имеет вид

м> = Де™ + Л2 в-га + Л3е'ра + Л4 е-ра,

и = В1ега + В2 е^га + В3ера + В4 е-ра.

Установим взаимосвязь между постоянными В и А (п =1, ..., 4). По первому уравнению системы (13) для каждого sn (п = 1, ..., 4) будем иметь

В = -оЛ1, В2 = оЛ2, В3 = / _1тД, В4 = -Г'тД,

где

Аг2 +п. = А2 р2-п Аг ’ Ар

Подставляя (20) в (19) и учитывая равенство г -получим

о =

u = -оД era + oA2e ra - /' тА3eipa + iiA4e pa. Используя формулу Эйлера

+pa _

= cos pa ± i sin pa,

Исходя из уравнений (9), задача расчета частоты колебаний сводится к определению частотного параметра £, величина которого в свою очередь зависит от параметров А и ф, содержащих всю информацию о размерах, упругих и инерционных свойствах трехслойной балки.

Представим решение уравнений (9) в следующем виде

* = Лепа, и = Вепа,

где А, В и ^ - неизвестные числа.

Подставляя (12) в (9), получим однородную систему линейных алгебраических уравнений -(Ап2 +п) Л -А яВ = 0,

А пЛ - (п2-А + пф) В = 0.

Уравнения (13) совместны относительно А и В, если определитель системы равен нулю:

[-(Ап2 + п) -Ап

Раскрывая определитель, получим следующее характеристическое уравнение:

Ап4 +п

Четыре корня этого уравнения представим в виде

51 = г, ^ = -г, п = Р ^ = -Р,

где г - мнимая единица;

преобразуем выражения (18) и (22) к следующему виду:

w = C,chr a + Cr.shr a + C, cos pa + C. sin pa,

1 2 3 4

u = -C1oshr a-C2ochr a + C3 cos pa-C4xcos pa.

Здесь Cn (n = 1, ...,4) новые постоянные интегрирования, связанные с величинами Ап (п = 1, ..., 4) формулами

C + C C - C

A = , А2 = ,

1 2 2 '

C3 = А3 + А4, C4 = i(A3 - А4) .

Выражения (23) представляют собой общее решение однородной системы дифференциальных уравнений (9).

Для определения постоянных интегрирования C (п = 1, ..., 4) необходимо воспользоваться граничными условиями. Рассмотрим балку, жестко закрепленную на краях. Граничные условия с учетом равенства (8) примут вид

a = 0, w = 0, u = 0,

a = 1, w = 0, u = 0.

Подставляя (23) в (24), будем иметь

C1 + С3 = 0, C2a+C4 т = 0,

C1chr + C2shr + C3cos p + C4sin p = 0,

-C1o shr - C2o chr+C3t sin p - C4т cos p = 0.

Исключая из (25) постоянные C3 и C4, получим

C1T

-C1 (o shr+т sin p) + C2o(-chr+cos p) = 0.

Однородные уравнения будут иметь нетривиальное решение, если определитель системы будет равен нулю: det j ^chr-cosp) т shr-osinp 1 = ^ ^

[-

Раскрывая определитель (27), получим

o2 - т2

1 - chr cos p +-----------shrsin p = 0.

2от

Неизвестным в этом трансцендентном уравнении является частотный параметр £. Уравнение (28) имеет бесчисленное множество корней £к (к = 1, 2, ..., <»). Каждому корню ?к соответствует, согласно формуле (11), своя частота колебаний ю,.

к

Таким образом, задача определения частоты колебаний трехслойной балки для рассматриваемых граничных условий сводится к решению уравнения (28).

Выполним далее анализ влияния параметров А и ф на частотный параметр £. Используя равенства (4), преобразуем выражение (10) к виду

1 +1P-5

6 P, t

E 52 t

4-(1+1P^-) 5 2 p,t

По формулам (29) следует, что параметры А и ф зависят от нескольких соотношений О / Е, I / 5, 5 / г и р5 / рг. Для реальных трехслойных конструкций с тонкими несущими слоями диапазон изменения этих соотношений вполне определен [1; 4]. Это позволяет задать диапазон изменения параметра А от 50 до 1 000, а диапазон изменения параметра ф - от 0,000 1 до 0,001.

x

r =

Задаваясь различными сочетаниями параметров А и ф и решая уравнение (28), определим зависимость ?к(А, ф). Значения Р* = ^ (к = 1, 3, 5) представлены в табл. 1.3, а зависимости Рк (к = 1, 3, 5) для рассматриваемых диапазонов изменения параметров А и ф приведены на рис. 2.4. Верхний график на рисунках соответствует ф = 0,000 1, а нижний - ф = 0,001.

Таблица 1

Значение параметра Р]

X Ф

0,000 1 0,000 25 0,000 5 0,000 75 0,001

50 4,463 4,462 4,461 4,460 4,459

100 4,590 4,589 4,587 4,585 4,583

200 4,658 4,656 4,653 4,651 4,648

300 4,681 4,679 4,676 4,673 4,670

400 4,693 4,691 4,688 4,685 4,681

500 4,700 4,698 4,695 4,691 4,688

600 4,705 4,703 4,699 4,696 4,693

700 4,708 4,706 4,703 4,699 4,696

800 4,711 4,709 4,705 4,702 4,698

900 4,713 4,711 4,707 4,704 4,700

1000 4,714 4,712 4,709 4,705 4,702

Таблица 2

Значение параметра Р3

X Ф

0,000 1 0,000 25 0,000 5 0,000 75 0,001

50 8,347 8,347 8,347 8,347 8,347

100 9,245 9,240 9,233 9,225 9,218

200 9,932 9,919 9,898 9,877 9,856

300 10,225 10,207 10,177 10,147 10,117

400 10,389 10,367 10,331 10,295 10,259

500 10,493 10,469 10,428 10,388 10,349

600 10,566 10,539 10,496 10,453 10,410

700 10,619 10,591 10,545 10,500 10,455

800 10,660 10,631 10,583 10,535 10,489

900 10,692 10,662 10,612 10,563 10,516

1000 10,718 10,687 10,636 10,586 10,537

Таблица 3 Значение параметра Р5

X Ф

0,000 1 0,000 25 0,000 5 0,000 75 0,001

50 10,905 10,907 10,911 10,914 10,918

100 12,504 12,503 12,500 12,497 12,494

200 13,987 13,971 13,943 13,915 13,886

300 14,733 14,702 14,648 14,594 14,539

400 15,191 15,146 15,070 14,994 14,917

500 15,502 15,446 15,351 15,257 15,162

600 15,728 15,662 15,552 15,443 15,335

700 15,900 15,825 15,703 15,581 15,462

800 16,035 15,953 15,820 15,688 15,559

900 16,143 16,056 15,913 15,773 15,636

1000 16,233 16,141 15,990 15,843 15,699

Отметим, что использование в численных примерах частотного параметра Рк вместо параметра ?к обуслов-

лено тем, что первый из них традиционно применяется в моделях, не учитывающих деформацию поперечного сдвига и инерцию поворота поперечного сечения. Поэтому параметр Рк удобен при сравнении результатов, полученных по различным моделям. Для классической теории балок, в которой К ^ ^ и Dp = 0, параметр Рк имеет следующие значения [12]:

р, = 4,730; р2=7,853, Р3 = 10,996, р4 = 14,137, р5 = 17,279.

Рис. 2. Изменение параметра Р]

Рис. 3. Изменение параметра Р3

Рис. 4. Изменение параметра Р5

Перейдем к анализу результатов, приведенных в табл. 1.3 и на рис. 2 . 4. Влияние параметра А, а значит, и деформации поперечного сдвига на частотный параметр особенно заметно в диапазоне от 50 до 400 и увеличивается от Р1 к Р5. Параметр ф, характеризующий инерцию поворота поперечного сечения, оказывает незначи-

тельное влияние на первый частотный параметр (см. рис. 2). Инерция поворота влияет на динамическое поведение балок тем больше, чем выше тон колебаний, определяемый числом к (см. рис. 3, 4).

О необходимости учета влияния деформации сдвига и инерции поворота на частотные параметры можно судить, сравнивая значения (30) с данными этой статьи. Величины отклонений найденных частотных параметров от классических результатов (30) для А = 50, 1 000 и ф = 0,000 1, 0,001 приведены в табл. 4.

Таблица 4

Величины отклонений частотных параметров, %

X Ф к = 1 к = 2 к = 3

50 0,000 1 5,99 31,74 58,45

0,001 0,06 31,73 58,25

1000 0,0001 0,34 2,59 6,44

0,001 0,60 4,35 10,06

1=1

где

Значения коэффициентов Кк и Т]к приведены в табл. 5 и 6.

Рассмотрим далее задачу оптимального проектирования трехслойной балки при наличии ограничений, накладываемых на частоты колебаний. Традиционной постановкой задачи оптимизации является отыскание экстремума некоторой целевой функции в заданном пространстве проектирования, при наложенных ограничениях. Наиболее часто в качестве целевой функции выбирается масса конструкции, а в качестве критерия оптимальности - ее минимум.

Масса трехслойной балки

т = /Ь

Длина I и ширина Ь, как правило, известны. Поэтому необходимо отыскать такие проектные параметры Е, О,

5, г, 05 и 0(, при которых масса балки (33) имеет минимальное значение. Пространство проектирования удобнее всего задать в виде следующих неравенств:

Е. < Е < Е , О. < О < О , 5. <5<5 ,

пни т ах ’ пип т ах ’ пип т ах

^тт < ^ < ^тах, р5тт < р5 < р5max, р,тт < р, < р,т

Результаты вычисления частотных параметров вк (к = 1, ..., 5) могут быть представлены в виде аналитических зависимостей. Используя метод наименьших квадратов, получим

вк = X Лк А-

Задача минимизации массы решается в общем случае методами математического программирования с использованием итерационной процедуры последовательного улучшения конструкции. Отметим, что при реальном проектировании эта задача часто сводится к определению толщин 5 и г, обеспечивающих минимум массы для выбранных модулей упругости и плотностей. В процессе оптимизации для вычисления параметра п = р4 можно использовать формулы (31) или данные из табл. 1.3, определяя, если надо, промежуточные значения с помощью интерполяции.

Рассмотрим в первую очередь постановку задачи проектирования с единственным ограничением - заданной частотой колебаний юк . По формулам (11) и (4) будем иметь

5

Е

Ю = 2^12 1 Р 5

2 1 ^ р.(1 +1

2 Р, I

Тогда ограничение можно записать в виде равенства

ю.

1

Е

= 0.

р,а+2 }

2 р,,

Равенство (36) выполняется при определенных значениях толщин 5 и г. Оптимальными будут те из них, при которых масса балки (33) достигает минимума.

Рассмотрим постановку задачи о выборе проектных параметров трехслойной балки для случая, когда ограничения накладываются на несколько частот колебаний юк

Таблица 5

Значения коэффициентов Я

к 1 2 3 4 5

1 4,730 • 10 0 -1,455 • 10 1 6,497 • 10 1 -3,074 • 10 2 4,179 • 10 3

2 7,853 • 10 0 -9,.008 • 10 1 2,303 • 10 3 -5,736 • 10 4 7,999 • 10 5

3 1,099 • 10 1 -2,657 • 10 2 1,364 • 10 4 -5,496 • 10 5 1,008 • 10 7

4 1,411 • 10 1 -5,649 • 10 2 4,239 • 10 4 -2,133 • 10 6 4,389 • 10 7

5 1,718 • 10 1 -9,834 • 10 2 9,262 • 10 4 5,253 • 10 6 1,148 • 10 8

Таблица 6

Значения коэффициентов Т4

к }

1 2 3 4 5

1 -1,443  101 7,850  102 -1,770  104 3,581  105 -6,318  106

2 -8,763  101 1,132  104 -7,632  105 3,083  107 -5,446  108

3 -2,519  102 5,675  104 -6,180  106 3,457  108 -7,355  109

4 -5,209  102 1,645  105 -2,282  107 1 ,.473  109 -3,386  1010

5 -8,805  102 3,442  105 -5,470  107 3,812  109 -9,127  1010

(к = 1, 2, г). Целевой функцией здесь по-прежнему является масса балки, а критерием оптимальности - ее минимум. В этой задаче ограничение можно представить в следующем виде:

<8, (k = 1, 2, r),

где 8к - некоторые числа меньше единицы. Чем меньше

величина 8,, тем больший вес имеет к-я частота. Числа 8,

кк

должны удовлетворять условию

£ -8*) = 1.

к=1

Пространство проектирования задается неравенствами (34).

Кроме критерия оптимальности в виде минимума массы, в этой задаче можно использовать критерий оптимальности, предполагающий минимум суммы квадратов отклонений заданных частот юк (к = 1, 2,., г) от вычисляемых юк (к = 1, 2, г):

min X [ук (юк -юк )]2

где gk (к = 1, 2, г) - весовые множители, которые под-

чиняются условию

X Yk = 1.

Область изменения проектных параметров, как и прежде, определяется неравенством (34).

В качестве примера определим толщины 8 и г для трехслойной балки с I = 1 м, В = 0,1 м, Е = 70 ГПа, О = 300 МПа, рг = 2 750 кг / м3, р8 = 50 кг / м3 и заданной частотой колебаний ю1 = 1 800 с-1. Пространство проектирования задано следующими неравенствами:

0,02 м <8< 0,1 м,

0,0001 м < t < 0,001 м.

8

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Изолинии поверхности ю1(5, t) (рис. 5), определяемой равенством (35), показывают, что заданная частота колебаний ю1 = 1 800 с-1 реализуется при определенных соотношениях толщин 8 и t. Подстановка этих значений 8 и t в формулу (33) дает 8opt = 0,056 м, t = 0,000 25 м и mopt = 0,42 кг.

Таким образом, авторами поставлена и решена задача оптимального проектирования трехслойной балки при наличии ограничений, накладываемых на частоты поперечных колебаний. Выполнен анализ влияния деформации поперечного сдвига в заполнителе и инерции поворота поперечного сечения на частотный параметр. Результаты расчетов представлены в виде таблиц и аналитических формул, удобных для использования в проектировании. Определены целевая функция и функциональные ограничения для различных способов задания частот колебаний. Приведен пример выбора оптимальных параметров трехслойной балки.

Библиографический список

1. Панин, В. Д. Конструкции с заполнителем : справ. /

В. Д. Панин, Ю. А. Гладков. М. : Машиностроение, 1991.

2. Расчет трехслойных конструкций / А. Я. Александров, Л. Э. Брюккер, Л. М. Куршин и др. М. : Оборонгиз, 1960.

3. Григолюк, Э. И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек / Э. И. Григолюк, П. П. Чулков. М. : Машиностроение, 1973.

4. Ендогур, А. И. Сотовые конструкции. Выбор параметров и проектирование / А. И. Ендогур, М. В. Вайн-берг, К. М. Иерусалимский. М. : Машиностроение,1986.

5. Кобелев, Л. М. Расчет трехслойных конструкций : справ. / В. Н. Кобелев, Л. М. Коварский, С. И. Тимофеев. М. : Машиностроение, 1984.

6. Plantema, F. J. Sandwich construction / F. J. Plantema. New York : Wiley, 1966.

7. Allen, H. G. Analysis and design of structural sandwich panels / H. G. Allen. Oxford : Pergamon Press, 1969.

8. Zenker, D. An introduction to sandwich construction / D. Zenkert. London : Chameleon Press Ltd., 1995.

9. Vinson, J. R. The behavior of sandwich structures of isotropic and composite materials / J. R. Vinson. Lancaster : Technomic, 1999.

10. Строительная механика летательных аппаратов : учеб. для авиац. спец. вузов / И. Ф. Образцов, Л. А. Булычев, В. В. Васильев и др. ; под ред. И. Ф. Образцова. М. : Машиностроение, 1986.

11. Vasiliev, V. V. Mechanics of Composite Structures / V. V. Vasiliev. New Jork : Taylor & Francis, 1993.

5

Рис. 5. График изолиний поверхности га^б, t)

A. V. Lopatin, I. V. Makarov, L. V. Shumkova

OPTIMAL DESIGN OF A SANDWITH BEAM WITH GIVEN A VIBRATION FREGUENCIES

The equations describing motion of a sandwich beam are received in the present paper. The analysis of influence on the vibration frequency of the sandwich beam of various design parameters is executed. The design algorithms ofsandwich beam for some variants of restrictions are offered.

k=1

k=1