Сходимость разностных аппроксимаций по функционалу в одной задаче оптимального управления для уравнения Шредингера

УДК 517.97

СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ ПО ФУНКЦИОНАЛУ В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

© 2012 г. Н.М. Махмудов

Изучается сходимость разностных аппроксимаций по функционалу для задачи оптимального управления для нелинейного уравнения Шредингера с вещественнозначным коэффициентом в нелинейной части этого уравнения с критерием качества Лион-са, когда множество допустимых управлений входит в класс квадратично-суммируемых функций. Введена дискретизация рассматриваемой задачи оптимального управления. Доказана теорема об оценке разности исходного функционала и дискретной функции. Установлена оценка, с помощью которой доказана сходимость разностных аппроксимаций по функционалу.

Ключевые слова: уравнение Шредингера, оптимальное управление, критерий Лионса, разностные схемы.

In the given work the convergence question of difference approximations on a functional for a problem of optimum control for the nonlinear equation of Shredinger with real-valued in factor in a nonlinear part of this equation with criterion of quality of Lions when the set of admissible managements is included into a class of square-summarised functions is studied. Digitization of a considered problem of optimum control is entered and at first the theorem of an estimation of a difference initial functional and discrete function is proved. Further two auxiliary lemmas are resulted and the estimation with which help convergence of difference approximations on a functional is proved is established.

Нахичеванский государственный университет, ул. А. Алиева, 1, Университетский городок, г. Нахичевань, Азербайджан, AZ7012

Nakhichevan State University, A. Aliev St., 1, Campus, Nakhichevan, Azerbaijan, AZ7012

Keywords: equation of Shredinger, optimum control, criterion of Lions, difference schemes.

t)

2

w 2(o,o

dt

< K2, Vt e[0, T],

При численном решении задач оптимального управления для нелинейного уравнения Шредингера |\2(', 0| разностным методом важное место занимает сходимость разностных аппроксимаций по функционалу, где Ку > 0, у = 1,2 - некоторые постоянные. Можно

т.е. сходимость последовательности точных нижних также утверждать [9], что задача оптимального

¿2

граней целевой функции соответствующей разностной задачи к точной нижней грани целевой функции рассматриваемой задачи оптимального управления. В данной работе подобный вопрос изучается для задачи оптимального управления системами, описываемыми нелинейным уравнением Шредингера с вещественно-значным коэффициентом в нелинейной части этого уравнения. При этом критерий качества является функционалом Лионса, и множество допустимых управлений входит в класс квадратично-суммируемых функций. Сходимость разностного метода в задачах оптимального управления для линейного и нелинейного уравнений Шредингера в другой постановке ранее изучена в работах [1-7] и др.

Постановка задачи

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления о минимизации функционала:

JМ = Ь

на множестве

при условиях

V = V = v(x): V е L2 (o, l),

d\p

- + a

d \Р

0 d—2

-a(—\p -v(—\p -ai\Wp

IIl2

\p =

удовлетворяющие условиям ^eW22(0, l), ^eW2!(0, l) . = 0, fk eW201(Q) , k = 1,2.

d<2(0) d?2(l) „ ^ ,W0.i,

Сх Сх

Задачу об определении \к = \к (х/) = \к (х/; у), к = 1,2 из условий (2) при V е V назовем редуцированной. Можно утверждать, что (2) при каждом V е V

имеет единственное решение

i п 2

\ е B = C

V

\2 е B2 = C0

и справедливы оценки [8]: ö\i

[0, T], W 2 (0, l) IП C1 ([0, T], L2 (0, l)),

l\i(-> t)|l,

02 + W 2

dt

< K , Vt е[0, t] ,

управления (1), (2) имеет хотя бы одно решение, т.е. V = IV* е V: 3(у* ) = Л = 3(у)}* 0.

Дискретизация задачи

Для дискретизации задачи (1), (2) сначала область О = [0,1]х [о, Т] заменим следующей последовательностью сеток: §xJ, (к и = 1,2,..., х^. = ук - к/ 2,

7 = 1,Ми-1, Хо = Х1 - к/ 2 = 0, хм = хм-1 + к/ 2 = I,

I

t. = kr, k = 0, V, А = А = -

r = r = T/V„ .

;b}

мп-1

Примем следующие обозначения:

3 Фук = (Фук - Фук-1 VГ, 3 Ф7к = (ф7к - Ф;-1к )/к,

3Фук = (Ф7+1к -Фук)/к, Ф7к = (Ф7+1к -2Ф7к +Ф7-1к)\к ,

3хФ1к = ¿хФ0к = 2(Ф1к - Ф0к)/к, 3Фмк = 8ХФм-1к =

= 2(Фмк -Фм-1к )/к; м=Ми, ж = ж.

Рассмотрим при каждом натуральном п > 1 задачу о минимизации функции

dt

= f

Wp (x,0)=Vp (4 P = 1,2 x e(0, /),

W (0, t) = Wi (/, t) = 0, = MM = 0, t e(0,T),

dx dx

где i2 = -1, I > 0, T > 0, b > 0, a0 > 0, a ^ 0 - заданные числа; Q = (0,1)x(0, T); a(x) - ограниченная, измеримая функция, удовлетворяющая условию

0 < / < a(x) < /, V x е (0,1), , /и^ = const > 0 ; Фк = Фк (x), /к = fk (x, t), к = 1, 2 - заданные функции,

in \ ™ М-1| 1

v]„ )=гА bik -Ф

к=1 j=1 1

на множестве

V, -][v]„ : [v]„ =(vi, V2,

при условиях:

, vm-1 ^ IА 2- Vj

M-b l2

2-

j=1

< b\

iS-t ФPk + a0^- Ф pk - a' Ф Ppk - Vj Ф]k -

- a1 ФФ^Рк = fpk , j = 1,M-1, к = 1, ^,

Фpo =vp, j = 0,M, p = 1,2,

bOk =bMk = 0, Ф2к =s-фM = 0, к = üv,

где сеточные функции aJ, <pjp, fjpk определяются фор-

2 — j + hj 2

мулами: aJ =— J a(—)d— , pp J< (—)d—,

— j+А/ 2

h

p<! = <M = 0.

1 tk —j+h 2

—j -h!2

2 2 <0 =<1 ,

А —j 2

2 2 _ep

Pm = Pm-1, f jJk =

= — J J f (—, t)d—dt, j = 1, M-1, к = 1, V , p = 1,2.

^ tk-1 —j -а 2

Рассмотрим следующие усреднения решения редуцированной задачи (2) при V е V : \р (х, /; у)] = \рк },

1 /к ху+к!2

где \pk =— J J\ (—,t)d—dt, j = 1, M-1, к = 1, V ; rh

tk-1 —j -hl2

j = 0, M, p = 1,2,

\jp0 =Pjp =

\lk = \12k , \Mk = \M-1k. k = 1, V .

\\k =\Mk =0 >

¿2

2

2

1/2

Кроме того, определим оператор Qn на множестве V формулой:

Qn (v) = [w]n = (w1 , W2 -1 X

^ Xj +h/2

w. = — J v(x)dx, j = 1, M -1.

j h xj -h2

Обозначим [гр ] = {г];}= фк}- \} р = 1, 2. Ясно, что {гР^} будут удовлетворять системе

+ а08хгрк - аУ2Рк - = ^к +

+а 2 ФУк-У* К)' У = ' = 0 ,

У = 0М, р = 1, 2, г1к = 2]; = 0 , 3-хг2 = 0,

к = 1, Ж, где определяются формулами:

1 tk xj+V2

п = ik J

тк

tk-1 xj-h 2

. SVp SVp

' —+ ao—~r - a(x)Vp -Sx

St

- v(x)Vp - a1Vp Vp

dxdt -iô-,Ypk -ao^xxYjk +

ется неравенство r<<j8a^max i Vjk | + |pk|

1< j <M -1<k < N

N M-1, ,2 N-1M-1, |2 I

+ тк 2 I Щ + ^ 2 2 f I, P = 1,2,

k=1 j=1 k=1 j=1 '

Уш е {1, 2,..., Ж}; К4>0 - постоянная, не зависящая от г и к.

Применяя неравенство Коши-Буняковского и используя (3), (4), для разности найдём

J (v) - In (И, )<

< K

f NM-1 tk xj +h/2 2 ^

22 J J |v1(x, t) -jk dxdt

k=1 j=1 tk-1 xj -hj 2

f -----tk xj +h/2

Y

NM -1 J ' j |2

2 2J k V2(x, t) dxdt

k=1 j=1 tk-1 xj-h 2

= K 5 [j + J 2 ] ,

+ а>£ + Уу^ + а\%\\рк, У = 1,М-1, к = 1,Ж, р = 1,2.

Сходимость разностных аппроксимаций по функционалу

Оценим разность исходного функционала (1) и дискретной функции (5).

Теорема 1. Пусть г> 0 и при а > 0 выполня-

где К5>0 - постоянная, не зависящая от г и к . Для слагаемого / имеем

. Ж М-1 /к -У +к/2. .2

(•Л )2 =221 I 1^1 (-,/) - + - Ф1к| —I ^

к =1 У=1 /к-1 -у -к 2

ЖМ-1 >к -У +к1 2, , ,2

^ 222 I I \¥ук -, /) +

к =1 у =1 /к-1 -у-V 2

Ж М-1 /к -У +к 2, ,2

+ 2гк 22 22 | | ФУк -\1Ук = + -/12.

к =1 У=1 /к-1 -у-V 2

Оценим / (. При р = 1

N M-1 ^ xj ' I 1 12

J11 = 222 k k кд-V1(x0 dxdt<

+h 2

k=1 j=1 tk-1 x,- -V 2

< 4r'

SV1

St

+ 4h '

¿2

SV1

Sx

¿2

p = 1,2, и условие согласования c0 <Th < q, где c0 > 0, q > 0 - постоянные, не зависящие от т и h . Тогда Vv е V и v[v]n е Vn

е Уп имеет место оценка -InОДK3(Jph + \\Qn(v)-[v]„||), где р^ >0, /3л ^ 0 при t —^ 0 h ^ 0 ; K3>0 - постоянная, не

зависящая от t и h .

Доказательство. Рассмотрим разность

J (v)- In ([v]n ). Используя (1) и (5), получим

j (v) - in к )=

N M-1 tk xj +v2/ д

= j j t)-^2(x,t)+|ik-2k|)x

k=1 y=1 tk-i xj -h 2

X (^1 (x, t) - ^2 (x, t) - |ф jk - Ф22k|)dxdt .

Для решения разностной схемы (6), (7) при [v]n е Vn верны следующие оценки [10]:

M-11 |2 M-p+1. .2 M-Ь |4

h У фp +h У ^Фp +a,h У фp <

£—t yml £—t x yml 1 £—t ym\

j=1 j=p j=1

( M-1, |2 M - p+1, .2 M-Ь |4

< K4lh У И +h У + ah У kp +

V j=^ j=p j=1

При условиях теоремы 1 нетрудно получить оценку [11] h2bm|2 < K6

где m е {1,2,...,N} ; K6>0 - постоянная, не зависящая от т и h ; ph > 0, ph — 0 при t — 0, h — 0 . В силу (12) при p = 1 имеем

J12 < 2Кб(р +|Qn(v) -[v]n||2).

Используя (12), (13), из (11) получим (J )2 < К7 (р +| Qn (v)-[v]n||2 ), где K7>0 - постоянная, не зависящая от т и h . Аналогично

где K8>0 - постоянная, не зависящая от т и h. Используя (14) и (15), из (10) получим утверждение теоремы. Теорема 1 доказана.

Для установления сходимости разностных аппроксимаций по функционалу приведем 2 вспомогательные леммы.

Лемма 1. Пусть выполнены условия теоремы 1, оператор Qn определяется формулой (8). Тогда Q (v) е V, и имеет место оценка

| J (v) - In (Qn (v)) < Кдур , где K9>0 - постоянная, не

зависящая от т и h .

Доказательство. Пусть v е V - произвольное допустимое управление. Покажем, что Q (v) принадле-

+

+

2

2

2

жит множеству Vn, т.е. : V ^ V. Действительно, с помощью (8) имеем (у) = Щ]„ = (щ, щ ,...,5),

1 ху _

щ = — } у(х)Сх, ]' = 1, м -1. После очевидных преоб-

7 к х. , х,-1

разовании получим

1 1 xj+V2 — J v(x)dx

M-К ,2 M-1

h 2 N = h 2

j=1 j=i

h x/-h2

M-1

<h 2

/=1

f ^ x/+h 2 А2

V h xj-h 2

M-1 < h 2

j=1

J_

4h

' xj +h 2

V xj -h 2

M-1 ^^ +h 2 2

j=1 x/-h 2

2

¿2(0,/)'

M-1 - .2 V2

h 2 И I < b .

v j=1

Рассмотрим норму ~ (x) в L2 (0, /). Легко

12 fm-1%j+h2

видеть, что

l~lll2(0,/) =|Jl~(x)l dx I = 2 i. I~(x) dx

лЯ

V j=1 xj -h 2

f M-1xj +h 2 |2

2 J Vj dx

v j=1 xj -h 2

, M-1 ,2

V,

IIa te И ))-Щ=| hg|~j -

^ Л1

^ xj +h2

~ J V(x)|dx - v

M-1 h 2

j=1

h x/-щ 2'

M-1 h2

j=1

h

J Vjdx - Vj

-h 2

Л1

s 1/2

i m-u .2 , <!hg|Vj - Vj | I = 0.

Отсюда и из структуры множества Vn следует, что Qп (у) е Vп. Тогда, если взять в качестве дискретного управления [у]п еVп, Qп (у) е Vп, получаем утверждения леммы. Лемма 1 доказана.

Пусть оператор Рп определяется формулой

Рп

В силу этого равенства из (18) следует справедливость утверждения леммы. Лемма 2 доказана.

Используя леммы 1, 2, докажем теорему о сходимости разностных аппроксимации по функционалу.

Теорема 2. Пусть выполнены условия лемм 1, 2, кроме того, v* е V и [v]n е Vn - решения задач (1), (2) и (5), (6). Тогда последовательность разностных задач (5)-(7) аппроксимирует задачу (1), (2), т.е. lim 1п„ = J,,

и справедлива оценка

где

1п.- J.|< , п = 1,2,...,

J = JИ = mf J(v); ^ = К{^Цinf КR);

^ - к/2 < х < х + к/2, , = 1, м-1,

где у., у = 1, м -1 компоненты вектора [у\ е V .

Лемма 2. Если выполнены условия теоремы 1 и оператор Рп определяется формулой (16), то Рп (у]и) е V

и отраведлита одшка 3 (р ^)) - 1п М) < кю , где -^1о>0 - постоянная, не зависящая от т и к .

Доказательство. Пусть \у]п е V - произвольное дискретное управление. Покажем, что Р есть отображение V в V. Действительно, из структуры множества ясно, что для [у]п е Vп

К12>0 - постоянная, не зависящая от т и к .

Доказательство. Используем методику из [7, 12]. Пусть у* е V - решение задачи оптимального управления (1), (2). Согласно лемме 1, Qп (у*)е V, и имеет место оценка ^(Эп(у*))-3(у*)| <К9Л[дк, п = 1,2....

С учетом этого неравенства 1п» < 1п (Qn (у*)) < 3 (у*)+К^ = Л + К9,[ТЛ , п=1, 2, .... Отсюда получим

<

1п,-J.<K9Jßh, п = 1,2....

Теперь предположим, что \у\ е V есть решение задачи (5) - (7). Согласно лемме 2, Рп ([у]„ )е Vп и имеет место оценка ¡3^|у];))- 1п(К) < , п=1, 2, ... .

Отсюда 3» < 3(ри([у];))< 1п([у];)+ К^^ = = 1п.+ Кг0,[К , п=1, 2, ... .

Из последнего неравенства получим

1п.-J.^-K.oißh, п = 1,2....

Тогда в силу неравенства

11~11 ¿2(0,1) =1 \Рп ([у]п )|¿2(0,1) < Ь .

Отсюда и из структуры множества получаем, что ~ е V, т.е. Рп ([у]п) е V. Поэтому ~(х) = Рп (у]п). По теореме 1 справедливо неравенство

3

< К11

В силу (19), (20) справедлива оценка 1п. -3»\< , п=1, 2, ..., где К12 = тах|К9,Ки}.

Теорема 2 доказана.

Выводы

В работе изучена сходимость разностных аппроксимаций по функционалу в задаче оптимального управления для уравнения Шредингера с веществен-нозначным коэффициентом в нелинейной части этого уравнения. При этом множество допустимых управлений состоит из квадратично-суммируемых функций. Полученные здесь результаты отличаются от имевшихся ранее, где или уравнение Шредингера является линейным, или множество допустимых управлений состоит из измеримых ограниченных функций, и уравнение Шредингера является нелинейным.

1/2

2

1

<

2

1/2

п п

0

Литература

1. Потапов М.М. О сильной сходимости разностных аппроксимаций задач граничного управления и наблюдения для волнового уравнения // ЖВМ и МФ. 1998. Т. 38, № 3. С. 387 - 397.

2. Разгулин А.В. Применение проекционно-разностного метода в задачах наблюдения и управления для уравнения типа Шредингера // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Выч. мат. и кибернетика. 1986. № 1. С. 42 - 52.

3. Ягубов Г.Я. Оптимальное управление коэффициентом квазилинейного уравнения Шредингера : дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Киев, 1994. 318 с.

4. Ягубов Г.Я. Разностный метод решения задачи оптимального управления коэффициентом квазилинейного уравнения Шредингера с интегральным критерием качества по границе области // Проблемы мат. моделирования и опт. управления. Баку, 2001. С. 37 - 48.

5. Ягубов Г.Я. Сходимость разностного метода решения задачи оптимального управления для нелинейного уравнения Шредингера с интегральным критерием качества // Вестн. Сумгаитского гос. ун-та. 2001. № 1. С. 37 - 42.

6. Махмудов Н.М. Разностный метод решения задачи оптимального управления кванто-механической системой с

Поступила в редакцию_

функционалом Лионса // Тр. ИММ АН Азербайджана. 1997. Т. VII (XV). С. 79 - 82.

7. Махмудов Н.М. Оценка сходимости разностных аппроксимаций по функционалу в задаче оптимального управления для линейного уравнения Шредингера // Вестн. Южно-Уральского гос. ун-та. Мат. моделирование и программирование. 2010. № 35(211). С. 54 - 66.

8. Махмудов Н.М. Разрешимость краевых задач для уравнения Шредингера // Тр. 6-й Всерос. науч. конф. с меж-дунар. участием. Самара, 2009. С. 158 - 160.

9. Махмудов Н.М. An optimal control problem for Schro-dinger's equation with real-valued coefficient in the non-linear part of the equation // Proc. of IMM of NAS of Azerb. 2008. Vol. XXIX(XXXVII). Р. 239 - 246.

10. Махмудов Н.М. Разностная аппроксимация задачи оптимального управления для уравнения Шредигера с вещест-веннозначным коэффициентом // Изв. Ленкоранского гос. унта. Серия естеств. и мат. наук. 2009. С. 67 - 83.

11. Махмудов Н.М. Оценка погрешности разностной схемы в задаче оптимального управления Шредингера с вещест-веннозначным коэффициентом // Там же. 2010. С. 55 - 66.

12. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М., 1981. 400 с.

30 декабря 2011 г.