Расчетное моделирование течения в полости дискового насоса

УДК 532.5.032

П. Н. Смирнов, А. А. Кишкин, Д. А. Жуйков РАСЧЕТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ В ПОЛОСТИ ДИСКОВОГО НАСОСА*

Рассматривается подход к построению математической модели дискового насоса трения путем разложения его гидравлического тракта на отдельные структурно-функциональные участки. На основе выражений для напряжений трения, полученных из уравнений импульсов турбулентного пространственнопограничного слоя, приведены решения уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости в каждом из участков.

Ключевые слова: дисковый насос, напряжения трения, уравнения движения, математическое моделирование.

Дисковые насосы представляют собой простейшие турбомашины, в которых рабочему телу сообщается энергия за счет работы кориолисовых сил в форме сил терния. Основным элементом дискового насоса является расположенное в корпусе колесо, состоящее из нескольких дисков, скрепленных между собой. Дисковые насосы имеют ряд преимуществ по сравнению с лопастными машинами, а в некоторых областях они являются единственными работоспособными [1]. Учитывая, что дисковые насосы обладают исключительными антикавитационными свойствами, что позволяет более эффективно перекачивать двух- и трехфазные среды, имеют низкий уровень шума, они получили широкое применение в нефте- и горнодобывающей, химической, пищевой промышленностях, медицине. Кроме того, дисковые насосы эффективно работают в области малых коэффициентов быстроходности (при малых объемных расходах и высоких напорах), что в сочетании с антикавитационными качествами определяет их применение в энергосистемах малой мощности (< 100 кВт), использующих фазовый переход рабочего тела: паротурбинные генераторы на низкокипящем рабочем теле, системы терморегулирования различного назначения и т. п.

Для моделирования течения в рабочей полости дискового насоса целесообразно выделить структурно-функциональные участки гидравлического тракта, на которых реализованы различные типы течения.

Причем течение на каждом участке условно делится на течение в ядре и пространственном пограничном слое (ППС) [2]. Решение задачи о течении в ППС сводится к определению напряжений трения на непроницаемых границах. Результатом решения задачи о течении в ядре потока являются поля угловой скорости вращения ядра потока и статического давления. Согласно принципиальной схеме дискового насоса (рис. 1), нами были рассмотрены два следующих участка: с течением между вращающимся диском и неподвижной стенкой (рис. 1, полость В) и с течением межу двумя вращающимися дисками (рис. 1, полость А). Рассмотрим каждый из этих участков по отдельности.

Рассмотрим элементарный объем жидкости в зазоре между двумя вращающимися дисками (рис. 2). На рисунке - окружные напряжения трения на

первом и втором диске соответственно; а -

радиальные напряжения трения от окружной составляющей скорости на первом и втором диске соответственно; , тдКр - радиальные напряжения трения

от расходной составляющей скорости на первом и втором диске соответственно. Элементарный объем представляет собой кольцо на текущем радиусе высотой ёК ^ 0 и толщиной - нормальный зазор полости.

Рис. 1. Принципиальная схема дискового насоса:

1 - рабочее колесо; 2 - приводной вал; 3 - корпус; 4 - радиальное отводящее устройство; А - рабочая полость между двумя вращающимися дисками; В - полость между вращающимся диском и неподвижной стенкой

*Работа выполнена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (ГК № П657 от 15.09.09 г.).

диск 1

Бесконечно малый элементарный объем делится на три участка: течение в ППС около двух вращающихся дисков и течение ядра потока. Течение на первом диске происходит в толщине пограничного слоя 8д1, где окружная скорость жидкости изменяется от

ид1 - скорость вращения первого диска, до Пя - скорость вращения ядра потока. Течение на втором диске происходит в толщине пограничного слоя 5д2, где

окружная скорость жидкости изменяется от Пя до

ид2 - скорость вращения второго диска.

Интегрированием системы уравнений импульсов турбулентного ППС в работе [3] получены составляющие напряжений трения на дисках в окружном и радиальном направлениях от окружной составляющей скорости:

- окружные напряжения трения на диске:

<х = 0,01256р(юдг -юя )2

-0,25

где , 8ад2, I = 1,2 - угловые скорости вращения и толщины вытеснения пограничного слоя для первого и второго дисков соответственно; ©я - угловая скорость вращения ядра потока.

Поскольку радиальная составляющая напряжения трения формируется как окружным, так и расходным (радиальным) течением, выражение для радиального напряжения на диске имеет вид:

тд* _ -дг , -дг

10Я ~ 10ЯрТ 0Яа •

где тдК , I = 1,2 - радиальная составляющая напряжения трения на первом и втором диске соответственно;

- радиальные напряжения трения от окружной составляющей скорости на диске:

0Яа

дг

-дг Т0а ,

где єдг, і = 1,2 - тангенс угла скоса донной линии

тока на первом и втором дисках соответственно;

- радиальные напряжения трения от расходной составляющей скорости (определяются классическими выражениями [4]) на диске:

хдЯ, = 0,01256рКд2

Полученные напряжения трения позволяют интегрировать уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрических координатах [5] в граничных условиях полости между двумя вращающимися дисками:

дКв и я дКв

дЯ Я да

дія - и2=-1Р+1 дТЯ.

дг Я р дЯ р дг ’

П+=-± дь+1 .

дг Я рЯ да р дг ’

„. г ~ я ~. г дУ 1 др 1 дтг

¥Я—-+ ——- + У2—- =-— +-- ;

дП„ П ди„

дЯ Я да

дК и„ дК

дЯ Я да

дКЯ 1 дП

дг

дК

р дг р дг

дЯ

+ —- + — = 0,

Я да дг Я

где и я ,УК , Кг

а, тК, тх - проекции скорости и напряжения трения на оси цилиндрической системы координат а, К , х соответственно.

Преобразуем систему (5) с учетом следующих допущений:

- течение в осевой щели осесимметрично, члены

д

с — равны нулю;

да

- в осевом направлении (в направлении х) течение

дУ7 др

отсутствует, следовательно —- = 0 , — = 0 , Ух = 0;

дх дх

третье уравнение системы (5) обнуляется;

- свойства жидкости постоянны;

- жидкость течет по гидравлически гладким поверхностям;

- течение происходит при турбулентном режиме. Получаем следующие выражения:

Vr

-Vr

dR

.Ul

R

+Vruя

dR

R

1 dp 1 drR p dR p 3z

1 •

p dz ’

—- +— = 0.

ёК К

Третье уравнение системы (6) - уравнение неразрывности - интегрируется как уравнение с разделяющимися переменными:

J dVr

г dR

J R '

Vr

R

Заменим постоянный параметр СК на более употребительный параметр V, учитывая (7):

Vr R - CR ; Vr =—V— Ro R R 2nlz

-^1

Тогда

Cr =

Выразим производную по ©я из первого уравнения системы (9) с учетом (10). Согласно расчетной схеме при течении от центра к периферии получим:

d “я

dR

2П (1 +тд2 ) _2Ю°

2П /

= —-1т

pFv

R

Аналогично изложенному выше, выразим из второго уравнения системы (9) производную по р:

dp 2n pV2

---= pCDjj R +---2—2—3"

dR 4n2 n2 R

+ —

Д2 -тДІ -тд2

0 R

)

В результате получаем:

VrR - const = VRoR0 = CR ,

где КЯ - радиальная составляющая скорости в ядре потока; СЯ - определяется граничными условиями на входе.

Сделанные допущения формулируют задачу в следующей постановке: поток разделяется на невязкое ядро, в котором члены не зависят от координаты г и тонкий пограничный слой, в котором

= т = т5 - т0 = -т0. Проинтегрируем пер-

1т0

вые два уравнения системы (6) по г в пределах от 0 до гі (причем в первом приближении не учитываем толщину вытеснения пограничных слоев). Подставив в полученную систему выражение (7), получаем:

z

uC^du^+CrUя

R dR

R2

Cl+U

-3 R

R

z; dp т, p dR

0a

p

0R

p

CR d (“я1 ) + CR“:

R dR R

\

Z --1 (д; -тд2 )• Z1 _ ^ 0a 0a) ’

C

—І+“ R

R3

z, dp z, -—— +

p dR

p

Д1

'0 R

тД2

0 R

ГД1

T0R

тД2 т0 R

)

Полученные выражения позволяют провести численное интегрирование и получить поле угловой скорости в ядре потока и поле статического давления, которые в достаточной мере позволяют оценить характер движения рабочего тела в полости между двумя вращающимися дисками.

Приращение по радиусу выбираем в зависимости от количества шагов расчетного алгоритма (требуемой точности):

ДК = —,

N

где К - радиус диска; N - число шагов алгоритма.

Тогда радиус на 1-м шаге: К2 = К_ + ДК , I = 1...N. Далее для определения напряжений трения необходимо вычислить толщины потери импульса на дисках.

Толщина потери импульса на первом диске:

(д; ) -(::, ) —

к

иД1

Перепишем систему (8) с учетом касательных напряжений трения, при этом учтем и =©яК, где

©я - угловая скорость вращения ядра потока:

(Л

-КU l +(Cr/R)2 (cr/R )2

°ДІ -

где

(C ) - k

(*) - 0,036

-(“я)-j''

r C А-0,2

CR

Rv

Д1

V * J

-0,2

->0,6

R , k = 0,362 при

“д1 < (“я)i-j , k = 0,3018 При “ді > (“я)!-j

+

z

0,8

Толщина потери импульса на втором диске:

(2 ) =(8 +(*;) ГI

(С ) = к

ид2 ).

д2

_(Шя )_11 К

^д2 _(©я )г_1| - + (Ск/К )2

(СкК )2

, д2 _

1Л_0 9

Зд2 _(шя )г_1

окружные и радиальные напряжения трения от окружной и расходной составляющих скорости на диске и на стенке:

- окружные напряжения трения на стенке [6]:

Г

т0та = 0,01256р©2 К2

К8а

V

, к = 0,362 при

Шд2 < (шя)г_1 , к = 0,3018 при Шд2 > (шяХ_1 .

Окружные напряжения трения и суммарные радиальные напряжения трения на дисках определяем по выражениям (1)-(4).

Новые значения на шаге интегрирования для угловой скорости ядра потока и статического давления в узлах К получим из выражений (11) и (12) соответственно при помощи модифицированного метода Эйлера с пересчетом.

Следующий структурно-функциональный участок, который необходимо рассмотреть - торцевой зазор между вращающимся диском и неподвижной стенкой (рис. 1, полость В). Фактически, характер течения в этой полости определяет утечки из основного гидравлического тракта дискового насоса терния. Рассмотрим элементарный объем жидкости в торцевом зазоре между неподвижной стенкой и вращающимся диском (рис. 3). На рисунке , т0а - окружные на-

пряжения трения на стенке и на диске соответственно; т0Ка, тдКа - радиальные напряжения трения от окружной составляющей скорости на стенке и на диске соответственно; т0Кр,тдКр - радиальные напряжения трения от расходной составляющей скорости на стенке и на диске соответственно. Элементарный объем представляет собой кольцо на текущем радиусе высотой ёК ^ 0 и толщиной х1 - нормальный зазор

полости. Бесконечно малый элементарный объем делится на три участка: течение в ППС около неподвижной стенки, течение в ППС у вращающегося диска и течение в ядре потока. Течение на неподвижной стенке происходит в толщине пограничного слоя 5ст, где окружная скорость жидкости изменяется от 0 до и я . Течение на вращающемся диске происходит в толщине пограничного слоя 5д , где окружная скорость жидкости изменяется от и я до ид - скорость

вращения диска.

Для решения системы уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости необходимо определить напряжения от расходного и вращательного течения жидкости [6].

Для полости между вращающимся диском и неподвижной стенкой проведем аналогичную процедуру, как и для полости между двумя вращающимися дисками. Путем интегрирования системы уравнений импульсов турбулентного (ППС), определяем

- окружные напряжения трения на диске [3]:

т0а = 0,01256р(©д _Шя )2 Х

х К

_0,25

Поскольку радиальная составляющая напряжения трения формируется как окружным, так и расходным (радиальным) течением, то выражение для радиального напряжения на стенке имеет вид:

Т0К = Т0Кр + Т0Ка ;

радиальное напряжение трения на диске:

тд •

тд — тд + Тд

10К _ 10Яр ^ 0Ка -

- радиальные напряжения трения от окружной составляющей скорости на стенке:

0Ка

Зст 0а

- радиальные напряжения трения от окружной составляющей скорости на диске:

0Ка

- т-Д

0а -

- радиальные напряжения трения от расходной составляющей скорости (определяются классическими соотношениями [4]) на стенке:

,** \_0,25

т0Кр — 0,01256р V-

V у

- радиальные напряжения трения от расходной составляющей скорости на диске:

ГК8аст

V

т0Кр — 0,01256рГ—

(Т/ я** А 0,25

8ад

Полученные напряжения трения позволяют интегрировать уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в заданных граничных условиях. При помощи этой системы дифференциальных уравнений, состоящей из уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в проекциях на цилиндрические оси координат и уравнения неразрывности, можно решить задачу о течении в ядре потока. Для этого введем допущения, аналогичные принятым при решении системы (5):

ёК

.и!

К

1 ёр + 1 дтК р ёК р дх

V-

ёия ёК

Г-ия К

1 да

р дх

—- + ^ — 0.

ёК К

+

Рис. 3. Расчетная схема для полости между неподвижной стенкой и вращающимся диском

Проинтегрировав уравнения движения методами, аналогичными использованным при решении задачи течения между двумя вращающимися дисками, рассмотренными выше, и проведя соответствующие преобразования, получим (согласно расчетной схеме при течении от периферии к центру) дифференциальные уравнения для угловой скорости в ядре потока:

ё ©я

ёК

:-2П(д _тСт ).

ру\ 0а 0а/

2©я

К

Статического давления:

рГ 2

ёр 2

_т~ = р©як+ " 2 2 3 ёК я 4л2и2к3

—(_тд пл 0

0К

+ т„

+ тп

)).

Полученные выражения позволяют вести численное интегрирование и получить поле угловой скорости в ядре потока и поле статического давления, необходимые для оценки характера движения рабочего тела в полости между неподвижной стенкой и вращающимся диском.

Далее для определения напряжений трения необходимо вычислить толщины потери импульса на диске и неподвижной стенке. Толщина потери импульса на диске определяется аналогично выражению (13). Определим толщину потери импульса на стенке:

2

(8**) — (** ) ______________(©я )|_1 —

г ~ Гист А 7 \2 п2 ,

+

(Л

где

— 0,3018

(©я )“_ - + (-/-• )2

(С-1- )2

(©я £, К2 +(-/- )2, (©я )г_1

(

_0,2

К

0,6

Компонента толщины потери импульса от расходной составляющей течения определяется по выражению (14).

Новые значения на шаге интегрирования для угловой скорости ядра потока и статического давления в узлах К{ получим из выражений (25) и (26) соответственно при помощи модифицированного метода Эйлера с пересчетом.

Таким образом, на основе выражений для напряжений трения выполнено интегрирование уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости в граничных условиях торцевой щели и полости между двумя вращающимися дисками, которые являются основными участками гидравлического тракта дискового насоса трения, что позволяет при необходимой экспериментальной верификации разработать расчетную математическую модель дискового насоса.

Библиографические ссылки

1. Мисюра В. И., Овсянников Б. В., Присняков В. Ф. Дисковые насосы. М. : Машиностроение, 1986.

2. Кишкин А. А., Черненко Д. В., Черненко Е. В. Уравнения импульсов трехмерного пограничного слоя // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2007. № 4. С. 35-41.

3. Краев М. В., Кишкин А. А., Майдуков А. В. Вращение диска в потоке, закрученном по закону твердого тела // Известия вузов. Авиационная техника. 1996. № 4. С. 42-47.

4. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М. : Наука, 1969.

5. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. М. : Физматлит, 1963. Т. 2.

6. Вращение жидкости над неподвижным основанием по закону твердого тела / А. А. Кишкин, А. А. Зуев, Е. В. Черненко, П. Н. Смирнов // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2011. № 1. С. 126-131.

P. N. Smimov, A. A. Kishkin, D. A. Zhuykov

MATHEMATICAL MODELING OF FLOW IN THE WORKING CAVITY OF THE DISC PUMP

An approach to constructing a mathematical model of the friction disk pump by means of expansion of its hydraulic path into individual structural-functional areas is considered. On the basis of the friction pressure obtained from the momentum equations of turbulent three-dimensional boundary layer, the solutions of the motion equations of viscous incompressible fluid in each of the sites are made and presented in the article.

Keywords: disc pump, pressure of friction, motion equations, mathematical model.

© Смирнов П. Н., Кишкин А. А., Жуйков Д. А., 2011

УДК 66.095.262-911.48; 539.25

О. В. Шабанова, А. В. Шабанов, И. В. Немцев

ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ ПОЛУЧЕНИЯ НАНОРАЗМЕРНЫХ МОНОДИСПЕРСНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ ПОЛИМЕТИЛМЕТАКРИЛАТА

Исследуются условия синтеза водных дисперсий сферических частиц полиметилметакрилата с узким распределением по размерам. Морфология частиц анализируется методом растровой электронной микроскопии.

Ключевые слова: полимеризация метилметакрилата, сферические частицы полиметилметакрилата, монодисперсность, инициатор полимеризации, растровая электронная микроскопия.

Анализ научных публикаций показывает все возрастающий интерес к созданию технологий, основанных на способности монодисперсных сферических частиц к самосборке с формированием новых материалов с иерархической структурой, в частности, искусственных опалоподобных структур [1; 2]. Теоретические и экспериментальные работы позволяют утверждать, что трехмерные периодические опалоподобные структуры, проявляющие свойства фотонных кристаллов, составят основу микрофотоники и оптоэлектроники. Соответственно технологии получения монодисперсных сферических частиц, а также заполнения межсферических пустот различными материалами будут одним из важнейших направлений в нанотехнологии [3]. Перспективным достижением в этой области является получение молекулярных кристаллов на основе полимерных монодисперсных сфер, синтезированных путем полимеризации стиролов, акрилатов и метакрилатов и др.

Целью данной работы было исследование методом растровой электронной микроскопии зависимости размеров и монодисперсности органических частиц полиметилметакрилата (ПММА) от условий их получения путем полимеризации метилметакрилата (ММА), эмульгированного в водной среде в присутствии инициатора (2,2’-азобис-2-метилпропиона-мидин).

Необходимое условие формирования макромолекул с узким молекулярно-массовым распределением

(в том числе и блок-сополимеров) - это короткая фаза интенсивного множественного зародышеобразования, сменяющаяся медленным контролируемым ростом частиц с сохранением их числа [4].

Процесс цепной радикальной полимеризации ме-тилметакрилата можно условно разделить на три этапа: активация инициатора, реакция мономера с радикалом инициатора и рост молекулы, обрыв цепи полимера [5]. При нагревании инициатор разлагается с образованием активных радикалов, являющихся инициаторами реакции полимеризации ММА:

HN CH Щ NH

\\ I I /

C — C — N= N— C — C — /   \

HzN

I

CH3

I

CH3

NH2

HN CH3

\ I

2 C - C.

/ I

H2N CH3

+ N2

Радикал присоединяется к молекуле ММА и активирует ее, образуя начальное звено цепи полимера:

HN

\

(

/

H>N

CH3

CH

C— c. + hc=c

CH

C =O

о—ch

HN

/

HN

CH CH

I I

c— c— ch —|.

I I

CH C=O

O CH3