Определение сжатия планет: теория от Ньютона до наших дней

Вестник ДВО РАН. 2015. № 6

УДК 550.3

А.В. ДОМАНСКИЙ

Определение сжатия планет: теория от Ньютона до наших дней

Проведен анализ теорий расчета сжатия планеты начиная от первой теоретической формулы Ньютона. Выведена новая формула для сжатия планеты, в которой, в отличие от известной формулы, отсутствуют экваториальный и полярный моменты инерции планеты. На этой основе показана однотипность формул сжатия планеты как для модели баротропной жидкости с твердотельным вращением, так и для модели упруго-деформируемой планеты. Анализ сжатий планет Солнечной системы показал удовлетворительность полученной формулы.

Ключевые слова: сжатие планеты, момент инерции, сфероид, упругая деформация, вращающаяся само-гравитирующая жидкая планета.

Definition of ellipticity of planets: theory from Newton up to our days. A.V. DOMANSKI (Institute of Marine Geology and Geophysics, FEB RAS, Yuzhno-Sakhalinsk).

The analysis of theories ofplanet ellipticity calculation is carried out, beginning from the first theoretical formula of Newton. We derive a new formula for the planet flattening, where, in contrast to the well-known formula, the equatorial and polar moments of inertia of a planet are absent. On this basis uniformity of formulas of ellipticity of a planet both for model of barotropic liquid with solid-state rotation and for model of an elastic and deformable planet is shown. The analysis ofplanets ellipticity of Solar system showed sufficiency of the received formula.

Key words: ellipticity of a planet, moment of inertia, spheroid, elastic deformation, the rotating self-gravitating liquid planet.

В 1686 г. сэр Исаак Ньютон издал свой выдающийся классический труд «Математические начала натуральной философии», заложивший основы механики, физики и астрономии. В этой работе он впервые получил формулу для сжатия Земли, которая на протяжении длительного времени считалась наиболее точной. Ньютон отталкивался от предположения, что Земля есть вращающийся самогравитирующий однородный шар, немного сплюснутый на полюсах. Исходя из условия гидростатического равновесия столбов жидкости, «пробуренных» от полюса и экватора до центра Земли (см. рисунок), он получил сжатие, равное 1/230. Общая формула для сжатия е, данная Ньютоном, имеет вид [5]:

e=

где ю - угловая скорость вращения планеты, G - гравитационная постоянная, M - масса планеты, R - экваториальный радиус планеты.

В отличие от предположения Ньютона о равновесии центральных столбов жидкости, Х. Гюйгенс [7] использовал принцип перпендикулярности силы тяжести к поверхности и получил формулу для сжатия планеты в виде

е = q/2.

ДОМАНСКИЙ Андрей Владимирович - доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник (Институт морской геологии и геофизики ДВО РАН, Южно-Сахалинск). E-mail: a.domanskiy@imgg.ru

Чтобы вращение было устойчивым, необходимо одновременное

выполнение предположений Ньютона и Гюйгенса [7].

Пуанкаре [6], анализируя уравнение Клеро [1] для поверхности уровня неоднородной гидростатически

равновесной планеты, получил оценку ее сжатия в виде двойного неравенства:

q/2 < е < 5q/4.

Иллюстрация к определению сжатия [5]

Следовательно, сжатия по Ньютону и Гюйгенсу служат соответственно верхней и нижней оценками сжатия неоднородной планеты. Гюйгенс считал, что масса планеты сосредоточена в ее центре, а Ньютон рассматривал однородную планету. Таким образом, сжатие неоднородной гидростатически равновесной планеты находится между этими крайними случаями.

Отметим, что экваториальный радиус Я зависит от сжатия, поэтому оценки по формуле (3) являются неравенствами для сжатия. Устранить эту неточность можно, перейдя в формуле (3) к радиусу Я0 эквивалентного по объему шара. Поскольку рассматривается несжимаемая жидкость, то

Rn = R(1-ef'.

Учитывая малую величину сжатия, оценки по формуле (3) практически не изменятся, но теперь вместо q в формуле (3) можно подставить величину q0 = ю2Я03^М.

Если слабосжатая планета является упруго-деформируемой, то для сжатия имеет место формула Кельвина [2]:

е = (5X + 4д^02рю2/(2ц(т + 14ц)),

где р - средняя плотность планеты, X, ц - коэффициенты упругости Ламе.

Таким образом, для случаев, принятых Ньютоном, Гюйгенсом и Кельвином, сжатие будет пропорциональным квадрату угловой скорости вращения планеты. Как будет обстоять дело, когда сжатие гидростатически равновесной планеты подчиняется лишь неравенствам (3)?

Ограничимся простым случаем геопотенциала U [9]:

-U = GM/r - GMJ2P2

где r - радиус-вектор с центром в начале координат, ф - геоцентрическая широта, P2(sinф) -зональная гармоника второго порядка, J2 - неизвестный коэффициент. Поверхность уровня планеты задается равенством U = U. Задача заключается в нахождении величин геопотециала U0, сжатия е и коэффициента J2. Если записать геопотенциал на полюсе ф = 90°, экваторе ф = 0, получим систему двух уравнений с тремя неизвестными. Приравнивание геопотенциалов на экваторе и полюсе при малых сжатиях дает следующую формулу [9]:

е = 3J/2 + q/2.

Величина коэффициента J2 находится через экваториальный C и полярный A моменты инерции [9]:

J2 =

Понятие геопотенциала определено для гидростатически равновесной планеты, а реальное применение формулы (8) возможно с использованием экспериментально полученных моментов инерции твердой Земли. Однако они, вообще говоря, не обязательно совпадают с моментами инерции равновесной планеты. Кроме того, главные оси инерции Земли даны приближенно.

Формула (7) представляет собой уравнение для сжатия, а не равенство, поскольку J2 в формуле (8) зависит от сжатия. Например, в случае однородного сфероида формулы (7) и (8) приводят к уравнению:

е = 3

Отсюда при малых сжатиях получаем е = 5q/4, т.е. сжатие по Ньютону.

Для единственности решения задачи найдем третье уравнение. Радиус-вектор r сфероида при малых сжатиях с учетом формулы (4) равен [9]:

r = R0

Из этой формулы видно, что r = R0 и в первом приближении не зависит от сжатия планеты на широтах, определяемых равенствами

sin\ = 1/3, Ф1 = ±35°15'52".

Впервые на особенности широт ф1 обратил внимание французский математик А. Веронне [10]. Полагая в формуле (6) ф = ф1, имеем недостающее третье уравнение, из которого сразу находится геопотенциал:

-U0 = GM/R0 + ra2R02/3.

Тогда для определения е и J2 есть два уравнения - записанный на полюсе и экваторе геопотенциал U0. Их решение при малых сжатиях имеет вид

е = q, J = q/3.

Итак, найдено решение (11) и (12) искомой задачи, в котором не фигурируют моменты инерции и, следовательно, нет необходимости знать распределение масс внутри планеты. При этом формула (7) станет практически тождественной найденным решениям. Полученное значение для сжатия удовлетворяет неравенствам (3) и имеет коэффициент 1 при q в отличие от сжатия по Ньютону с коэффициентом 5/4. Величину q0 естественно назвать гидростатическим сжатием.

Исходя из формулы (12) геопотенциал (11) можно записать в следующем виде:

-U0 = (1 + e/3)GM/R0,

т.е. потенциал от точечного источника на расстоянии R0 умножается на коэффициент, зависящий от трети величины сжатия. Это определяет вклад вращения планеты в геопотенциал. Для Земли он будет порядка 1/900.

Таким образом, как для гидростатически равновесной, так и для упруго-деформируемой планеты сжатие пропорционально квадрату угловой скорости ее вращения. Отсюда следует формула:

de/e = ldm/ю.

Она связывает геометрию - относительное изменение сжатия планеты - с динамикой вращения - относительным изменением угловой скорости. Это значит, что вариации угловой скорости вращения должны отражаться на сжатии планеты и, возможно, на ее сейсмической активности.

Из формулы (10) видно, что на широтах ф величина йг/йе = 0. Это единственные широты, на радиус-векторах которых не сказываются вариации сжатия. Поскольку согласно формуле (10) dr/de = R0(1/3-sin2ф), то между широтами -35°15'52" и +35°15'52" величина dr/de > 0. Тем самым при увеличении сжатия (йе > 0) растет и радиус-вектор г. Вне указанных широт радиус-вектор, наоборот, уменьшается. Если сжатие снижается, то имеет место обратная картина. Таким образом, при вариациях угловой скорости вращения планеты и соответственно ее сжатия происходят своеобразные пульсационные движения поверхности планеты.

Для данных Земли ю = 7,292П5а0"5рад/с, GM = 3,986004418-1014 м2/с2, Я0 = 6,37М06 м [8] получим гидростатическое сжатие q0 = 0,00345, а упругое (реальное) значение сжатия будет равно 0,00335. Как и следовало ожидать, гидростатическое сжатие больше упругого сжатия Земли, так как в жидкости отсутствуют касательные напряжения и сопротивление изменениям объема гораздо меньше. В работе [3] показано, что сжатия жидкого и упругого сфероидов в случае Земли относятся как

0,00345/0,00335 = 1 + 19K/(2gpR),

где К - средний модуль сдвига пород планеты, g - ускорение свободного падения, р - средняя плотность планеты. Для Земли Я = 6,378137^10 м, р = 5,515^103 кг/м3, g = 9,81 м/с2. Из последней формулы следует, что средний модуль сдвига для Земли К = 1,0843 ГПа. Он сравним, например, с модулем сдвига для карболита. Поэтому учет упругих свойств объясняет имеющуюся разницу в гидростатически равновесном и упругом сжатиях планеты.

Рассмотрим сжатия планет Солнечной системы (см. таблицу). Видно, что реальные сжатия меньше гидростатических, за исключением планеты Марс. Возможно, Марс как последняя каменная планета Солнечной системы остывал быстрее по сравнению с другими планетами. Поэтому в силу такого быстрого охлаждения он раньше перестал подчиняться законам гидростатики, а его сжатие при этом было еще достаточно велико. Наоборот, близкие к Солнцу планеты Меркурий и Венера имеют почти нулевые гидростатические и упругие сжатия. Это может означать, что в процессе охлаждения они подчинялись законам гидростатики. Земля в этом смысле представляет промежуточный вариант между Марсом и Венерой с Меркурием: сжатие у нее почти гидростатическое.

Сжатия планет Солнечной системы

Планета Гидростатическое сжатие (д0) Упругое сжатие

Меркурий 1,0137  10-6 0

Венера 0,6111  10-7 0

Земля 0,0034494 0,00335

Марс 0,0045566 0,00589

Юпитер 0,0834185 0,06487

Сатурн 0,1396847 0,09796

Уран 0,0288714 0,02293

Нептун 0,0256353 0,01708

Плутон 2,6505  10-4 0

Отметим также, что известный русский математик А.М. Ляпунов в своих исследованиях по теории фигуры вращающихся небесных тел [4] для обоснования существования и устойчивости вращающихся фигур равновесия использовал разложения в ряды по малому параметру q т.е., как следует из вышесказанного, по гидростатическому сжатию. Итак, сделанный анализ теорий сжатия вращающихся планет показал следующее: существует универсальная связь между сжатиями упруго-деформируемой и гидростатически равновесной планет и квадратом их угловой скорости;

для нахождения сжатия гидростатически равновесной планеты не надо знать распределение масс внутри нее;

как видно из формулы (12), гидростатическое сжатие есть отношение центробежной силы на широтах ф1 к силе тяжести на этих же широтах; реальное сжатие планет меньше гидростатического;

формула (7) с учетом формулы (8) представляет собой уравнение, а не равенство и поэтому не может использоваться для расчета гидростатического сжатия.

ЛИТЕРАТУРА

1. Клеро А. Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростатики. М.: Изд-во АН СССР, 1947. 366 с.

2. Лейбензон Л.С. Собрание трудов. Т. 4. М.: Изд-во АН СССР, 1955. 399 с.

3. Ляв А. Математическая теория упругости. М.; Л.: ОНТИ, 1935. 676 с.

4. Ляпунов А.М. Собрание сочинений. Т. 3. М.: Изд-во АН СССР, 1959. 376 с.

5. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. М.: Наука, 1989. 690 с.

6. Пуанкаре А. Фигуры равновесия жидкой массы. Ижевск: РХД, 2000. 208 с.

7. Тодхантер И. История математических теорий притяжения и фигуры Земли. М.: УРСС, 2002. 670 с.

8. McCarthy D., Petit G. IERS Conventions (2003). Frankfurt am Main: Verlag des Bundesamts für Kartographie und Geodäsie, 2004. 127 p. - www.iers.org/iers/publications/tn/tn32/

9. Stacey F., Davis P. Physics of the Earth. Cambridge: Univ. Press, 2008. 528 p.

10. Véronnet A. Rotation de l'ellipsoïde hétérogène et figure exacte de la Terre // J. Math. Pures et Appliquées. 1912. Ser. 6, t. 8. P. 331-463.