Локальное напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки на основе трёхмерных уравнений теории упругости

Теория толстых оболочек

ЛОКАЛЬНОЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ НА ОСНОВЕ ТРЁХМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

ВАЛ. В. ФИРСАНОВ, д-р техн. наук, профессор

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» «МАИ», 125993 Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4 k906@,mai. ги

Построены математические модели и алгоритмы расчета, позволяющие уточнить напряженно-деформированное состояние оболочек в зоне его искажения, т.е. в местах крепления, наличия соединений и стыков, действия локальных нагрузок. Решена краевая задача и проведены расчеты напряжений вблизи жесткозакрепленного края оболочки при осесимметричном нагружении.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: функционал Лагранжа, метод тригонометрических рядов, операторный метод, преобразование Лапласа, локальное напряженное состояние типа «погранслой».

Применение в различных отраслях техники композиционных материалов слоистой и волокнистой структуры, а также разработка новых методов расчета оболочечных конструкций из неоднородных материалов показали неправомерность, в той или иной степени, использования классической теории для этих материалов. Поэтому основные усилия исследователей были направлены на усовершенствование теорий типа Кирхгофа-Лява и Тимошенко-Рейсснера]. Например, задача о дополнительном (по отношению к классической теории) НДС вблизи защемленного края была решена [1, 2] в вариационной постановке методом Власова-Канторовича с помощью специально построенной полиномиальной аппроксимирующей функции. Показано, что дополнительное НДС типа «погранслой» прямоугольной пластинки и цилиндрической оболочки вблизи защемленного края вносит существенный вклад в общее напряженное состояние. Поэтому исследование НДС оболочек с целью оценки погрешности классической теории продолжает сохранять свою актуальность для повышения достоверности расчетов на прочность таких авиационных конструкций, как силовые корпуса летательных аппаратов, различные переходные зоны и соединения, а также элементов конструкций в различных отраслях машиностроения и в строительном деле. В работах В.В. Васильева и С.А. Лурье [3] во главу угла ставится точное выполнение уравнений равновесия теории упругости и граничных условий, полученных с помощью вариационных принципов. При этом искомые перемещения раскладываются в ряды по нормальной координате и формулируются условия согласованности перемещений, которые связывают между собой количество слагаемых в разложениях перемещений по тангенциальным и поперечному направлениям.

1.1.2. Постановка задачи

Рассматривается цилиндрическая оболочка, отнесенная к ортогональной системе криволинейных координат £, в, z (рис. 1.), где здесь £ представляет

собой относительное (измеренное в долях R ) расстояние по образующей, в -центральный угол, а ось г направлена по внешней нормали к поверхности £ . Толщина оболочки 2h - постоянная и 7 = R соответствует срединной поверхности £.

Рис.1. Цилиндрическая оболочка Круговая цилиндрическая оболочка имеет замкнутый профиль поперечного сечения. Для описания ее НДС используются уравнения трехмерной теории упругости - уравнения равновесия, физические и геометрические, уравнения, имеющие вид, приведенный в работе [6].

Считаем, что на лицевых и торцевых поверхностях оболочки заданы следующие граничные условия:

ст13 (+И), I = 1, 2, 3, аа = qai, i = 1, 2, 3, а = 1,2 . Будем предполагать в дальнейшем, что искомые упругие перемещения и 1, и 2, и 3 по аналогии с [3] допускают асимптотические представления вида

и^, в, 7) = И0(£, в) + И1(£, в)7 + «2(1, в)— + М3(|, в) —

3!

,3

и2(|, в, 7) = у,(|, в) + в)7 + V2(£, в)— + У3(|, в) —

2!

3!

23 77

^(1, в, 7) = Wо(|, в) + в)7 + в)— + V3(I, в)худающие погрешности в определении перемещений порядка И4 . НДС оболочки, соответствующее разложениям (1), удовлетворяет условиям согласованности, сформулированным в [3].

Подставляя геометрические уравнения и разложения (1) в условие минимума функционала Лагранжа, получим уравнения равновесия в перемещениях и необходимое количество граничных условий следующего вида:

К1«0 + КС —- + КС —- I и0 + КП v0

у 0 11 дI 22 дв ) 0 12 дфв 0

д

д2

д2

Уо + и?'— Wо +1 КС + К"; —г+п«г — I и +

+КГ

д2 д

-V + КГ1 — V +1 КГ«2 + КГ

д

( д2 д2 1 +1 КГ3 + КГ,— + К122 —7 I и 3 + КС , 3 [ 0 11 д|2 22 дв21 3 12 д|дв 3

+ К1 "2

2 22

дв

2 | "2 + КУ

дв2 д

-V + КГ2 — w2 +

V = К1Г q1з - К1Г

2

3

2

2

2

2

д

д

-и0 +1 К/10 + К} —- + КГ° —- I У„ + К/"0 — "0 +1 КГ,} + К. —- + К} —- IV, +

12 3£3в 0 ^ 0 11 3£2 22 Зв ) 0 2 дв 0 ^ 0 11 3£2 22 Зв ) 1

32 д д2 Г д2 д2 1 д

+кс-и. + щ — + ки-и2 +1 кс + к:.2 —+К'22 — I }2 + к/"2 — "2 +

12 д£дв 1 2 дв 1 12 д£дв 2 { 0 11 д£2 22 дв2) 2 2 дв 2

З2

3£3в

З2

З2

+шиз— из +1 КГ} + Ю*— + КГ}2—— I }з = К/'3 - К/? д-2з,

3£2

Зв2

к:0 - и, + / — V, / + / ^+/ " + /-и + / —+

+К/-221 "1 + К/2 -3-V + К/Т2 ^и2 + К/}2 4}2 +| / + к/"2 —г+т — I"2 +

Зв2 _З 3£

дв

3£

дв

3£2

дв

Зв

+К/Г из + К/23 }з = / 9+з - / 9-3, / = 1,2,3,4; / = 5,6,7,8; / = 9,10,11;

для торцов оболочки £ = £

0 ' Ь0 2^2

15

(1 - ц)3| + ^^Зв + 5 (1 - Ц ^0 +

+^Ц

-£ "

=мГ(0),

15

£(1 - ц)3£+^Зв+3(1 - ц)£ +

+10ц"2 + 10г (1 - ц)3^- + 10гц31 + 20гц" +10 (1 - ц) г2 -Зи° д£ дв д£

=мГ(1),

и2 = и2 V

ЕНЪ

210

5(1 - Ц)А2£ЗТ + 5ЦН£ Зв +

Зи 3}

+ 21(1 - ц)к£0 з3£ + ЗЦ££ (7 - 5£2)-в + 3Ц£0 (21 - 5£02)"2 +

+ 42 (1 - ц)£02 ЗТ + 30Ц£4+ ЮЦ( 7 + 3£4 ) " + 70 (1 - Ц) г +

+ 10гц

"п

=мГ(2),

к5Е

630

Зи,

3},

д£

5к£0 (1 - Ц)3и3 + 5к£0ц33 +15(1 - ц)£ +

Зи 3} Зи

+ 42ц"2 + 42Г (1 - ц)^1 + 42г^—1 + 84Гц", + 42 (1 - ц) г

3£ Зв 3£

3£

=м[(3),

2

2

2

2

2

Г

и0 = и0 V

Г

и,= и, V

Г

и3 = из V

V0 = V V

S0 E

30

h\ ^ + h3£0 дУз + f? (5 _ 3£o2 W + 5h2 ^ + 0 дв д| v ' дв

ду

-2\ dU2 , dV2

+ 6hs03 ^ + 10hs0 ^ + 6 (5 _ s04 + 30^0 0 дв 0 д^ v 4 дв д|

,4\ ди0

Г sn h 2E v1 = V1 V 0

30

h2

Г s0h E

V2 = V2 V 0

5h3sr

+ 3hs0 ^ +10 0 д£

f ди дуЛ —3 + —3

дв д£ J

f ди ду 1 + —3

ду

- + 30

дв

f ди ду дуЛ —1 + —1 + r—0 дв д£ д£

=m 21(0),

+

=мГ(1),

ду

3h2 ( 7 _ 5s02 + 21h2—- + V 0 7 дв д£

30

+ 30hs0 + 42hs0 ^ +10 ( 7 _ 3s0 + 70 ду0 0 дв 0 д^ v 4 дв

s0h4 E

5h21 диз + дуз 1 + 15hs ^ + 42f ^ + ду1 + r ду0

д^

дв д£ д^

= mí(2),

=Mí(3),

hE

6 (1 + /

h3E

30

h3 E

1260

I h2U3 + 2hs0U2 + hs0 ^ + 6u1 + 2s02 ^ + 6r ^ I = 01Г(0),

= Gí(1),

_ 2 д^2 f дw, 2 д№0

3hs0u3 + 3s0—2 +101 u + ru, + r—1 + r —0

03 0 д^ | 2 1 д£ д^

3h I hu3 + 2s0u2 + s0 ^^1 +101 u + r 1 + 6s02 ^^

3 020 д£ J I 1 д^ J 0 д^

= Gí(2),

2 2 60 (1 + /) где выражения для коэффициентов К1 с цифровыми и числовыми индексами зависят от геометрических и упругих свойств оболочки, г = 1/ R , е0 = И / Я - относительная полутолщина оболочки, /и - коэффициент Пуассона и Е - модуль Юнга материала оболочки. Следует отметить, что в правых частях граничных условий (3) стоят усилия, выражения которых зависят от торцевых внешних нагрузок

Уравнения (2) для определения упругих перемещений ик, Ук, wk приведем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, используя тригонометрические ряды по окружной переменной в. Представим q%(|,в),i = 1,2,3, как

9Í3 (I, в) = G(0)13 (I) + ¿ fe (I)cos тв + (I) sinтв]

m=1

9Í3 (I, в) = GÍ0)23 (I) + ¿ fe (I)sinтв + G((m)Í3 (I)cosтв]

т=1

4 (I, в) = Gí0)33 (I) + ¿ [G((mÍ33 (I) cos тв + G^ (I) sin тв]

т=1

Будем искать упругие перемещения uk, v¿, w в виде

г

V3 = V3 V

г

W0 = W0 V

1

w1 = w1 V

г

uk (£, 0) = Uk0 (£) + ¿ [и«(£)cos m0 + и™ (£)sinm0] k = 0,1, 2, 3,

m=1

Vk

m=1

Wk (£, 0) = W o (£) + ¿ [w (£)cos me + Wm (£)sin me] l = 0,1.

m=1

Подставляя разложения (4) и (5) в дифференциальные уравнения (2) и краевые условия (3), находим дифференциальные уравнения для определения функций Uk0, Vk0, Wb0, k = 0,1, 2, 3, b = 0,1, 2 .Эти разрешающие уравнения и соответствующие им граничные условия в виду их громоздкости здесь не приводятся.

Построив решение неоднородных дифференциальных уравнений, после определения произвольных постоянных из соответствующих краевых условий найдем функции Uk0, U« , Vk0, V$, WU), Wm , n = 1,2, k = 0,1,2,3, b = 0,1, 2 , m = 1,2,..., после чего отыскание упругих перемещений uk(£,0), vk(£,0), wk (£,0), k = 0,1, 2, 3, l = 0,1, 2 , сведется к суммированию рядов (5).

Далее рассматривается замкнутая цилиндрическая оболочка, находящаяся под действием осесимметричной нагрузки. Параметры осесимметричной нагрузки, внутренних сил и перемещений при осесимметричной деформации находятся из первых рядов (4), (5) при m = 0 .

Так как коэффициенты разрешающих обыкновенных дифференциальных уравнений постоянны, то согласно операторному методу [6] соответствующие однородные уравнения записываются как

D[U0, U1, U2, U3, W0, W1, W2]r = 0

Здесь D - квадратная матрица размером 7*7 коэффициентов уравнений (6), 0 - нулевой вектор.

Пусть F1(£) есть решение уравнения

det

где det(D) - определитель матрицы D . Тогда Ut, Wj , i = 0, 3 , j = 0, 2, определяемые формулами

U0 = Idet(D)li^1, U1 = Idet(D)2i^1, U2 =Idet(D)зi^1, U3 = Ide(

i=1 i=1 i=1 i=1

W0 = ¿det(D)5i^1, W1 = ¿det(DW2 = ¿det(D

i=1 i=1 i=1

дают решение однородного уравнения (6). Здесь det(D)j - минор определителя det(D), соответствующий элементу (i, j) матрицы D .

Дифференциальное уравнение (6) имеет характеристическое уравнение, которое можно представить как

p2 ¿ H0 p2n = p 2Д1 = 0,

n=0

где H°, n = 1..6представляют собой постоянные коэффициенты, зависящие от геометрических и упругих свойств оболочки.

Кроме нулевых корней, уравнение (9) имеет следующие корни:

+Pl + /qi, + Р2 + iq2, ± Рз, ± P 4. Тогда Д1 в (9) можно представить в виде

Ai = H°6 [(p - Pi )2 + qi ] [(P + Pi )2 + qi ] [(P - Р2)2 + q2 х

х (р + Р2)2 + q2](р2 -Рз2)(р2 -Р42).

Частное решение уравнения (7), соответствующее ненулевым корням (9), находится как

Fi (Z) = (Ci sinqi^ + C2 cosqiZ)e~PiZ + (C3 sinqiZ + C4 cosqiZ)ePiZ + + (C5sin q2Z + C6cos q2Z) e~ P2Z +(C7sin q2Z + C8cos q2Z) eP2Í + +C9e~ рз« + Cioep3« + Cue~ M + Ci2eftZ.

Заметим, что уравнение (6) имеет два очевидных решения, выпавших из рассмотрения в результате применения формул (8), вида

[U0 = Ci3, Ц = 0, U2 = 0, U3 = 0,W0 = 0, Wi = o, W2 = 0],

Uo = CMZ, Ui = 0, U2 = 0,Ц = 0, W0 = -C>, Wi = -Ci4 ^,W2 = 0

R

Таким образом, общее решение уравнения (6) получается в виде U = Ci3 + + ¿det(D)iiFi, Ui = ¿det(D)2íF¡, Ц = ¿det(D^F,

U3 = ¿det(D)^, W, = -C^ + ¿det(D)^,

W = Ci4£ + 1det(D)^ W2 = 1det(D)7iFi.

^ ¿=1 ¿=1 Найдем частное решение разрешающих уравнений для оболочки, находящейся под действием локальной внешней радиальной кольцевой нагрузки

0, при 0 < | < 033

0, при < I < I Здесь и в дальнейшем |0 обозначает относительную длину оболочки, определяем выражением |0 = L /R , где L - длина оболочки.

Очевидно, что при осесимметричной радиальной нагрузке (10) перемещения У10 = 0, 1 = 0,1, 2, 3 .

Для нахождения частного решения разрешающих уравнений используется преобразование Лапласа. В результате получим

& 0 (z)=1

2E

j=i

)Ц '

" Piq (р,2 + qf)'

-[< (Zi, (zz)-1)+

4/4*0

+ЗЦг21 (Z,ZJ) + Щ Z3, (Z,ZJ) + ^ (z,ZJ)] +1 —^sinh

i

+

Л Pi

2к;

+-

P,

sinh P,

i=i

i=i

2

1

^ I

2Е

.=11= 1 +

("1) )]!

,=1 Р,Д (Р, + 2)[ +Г^2, (44.) + (44) + у«2м (4,4.)] +

[ул

+

+!

к = 1,2,3,

1-/ 2

^ (4)=I

]=1

I

РА, (Р, + 2 )2

[31( ^ (44.)-1) +

+3^,

4< . ^ р< (4- 4) 2^

-L81ПП -----:

Р>

2

Р>

-вшЬР1

+

I = 0,1,2,

где 77(4-4) - функция Хевисайда и 2ц , ..., Т41.- гиперболотригонометрические функции.

Коэффициенты 3 и у с буквенными и цифровыми индексами, входящие в выражения (11) зависят от корней характеристического уравнения (9).

Коэффициенты к, также отмеченные буквенными и числовыми индексами в соотношениях (11), (12), находятся путём сравнения коэффициентов при комплексной переменной в соответствующих выражениях для изображений каждого перемещения.

Для сравнения результатов расчета НДС оболочки по разным теориям в таблице приведены значения корней характеристического уравнения при различных значениях относительной полутолщины е0. В таблице аббревиатура «Кл. теория» соответствует результатам, полученным по классической теории [4], К = 2 - результатам, полученным в работах [5-8], К = 3 - результатам, полученным в данной работе.

Анализ результатов показывает, что при расчете цилиндрических оболочек корни характеристического уравнения (9) разделяются на две группы: асимптотически малые + р1 +,д и большие + р2 +,д2, ± Р3, ± Р4 корни. Асимптотически малым корням соответствуют основные НДС, определяемые по классической теории оболочек и асимптотически большим корням + р2 +, д2 , + р3, + р4 соответствуют напряженные состояния оболочки, которые называются дополнительными краевыми эффектами типа «погранслой».

Таблица. Результаты расчета корней характеристического уравнения

по разным теориям

/и = 0,3

Р1 £0 1/40 1/60 1/80 1/100 1/200

91 К = 3 5,797 7,080 8,163 9,119 12,875

Р2 К = 2 5,499 6,720 7,752 8,661 12,233

92 Кл. теория 5,749 7,040 8,130 9,089 12,854

К = 3 5,702 7,002 8,096 9,059 12,833

1

;=1

+

K = 2 5,431 6,665 7,704 8,618 12,203

Кл. теория 5,749 7,040 8,130 9,089 12,854

K = 3 90,979 136,469 181,959 227,449 454,898

K = 2 90,988 136,475 181,963 227,453 454,900

K = 3 37,692 56,532 75,373 94,215 188,426

K = 2 37,686 56,528 75,371 94,213 188,425

K=3 159,481 239,219 318,957 398,696 797,390

K = 3 207,701 311,549 415,397 519,245 1038,488

Можно отметить, что значения p3, p4 приблизительно в два раза больше чем значения p2. На рис. 2 - 3 показаны результаты расчета НДС оболочки, имеющей следующие параметры: относительная длина = L /R = 4, радиус R = 0,1м, относительная полутолщина s0 = h / R = 0,005, коэффициент Пуассона /л = 0,3 . Оболочка жестко защемлена на двух концах. Локальная нагрузка приложена в середине оболочки и имеет следующие параметры: ^ = 1, = 3. На данных рисунках аббревиатура «Gol» обозначает результаты расчета по классической теории. Анализируя графики на рис. 2-3, можно установить

- максимальные нормальные напряжения сти, определяемые по уточненной теории « K = 3 », превышают величину этих же напряжений, соответствующих классической теории, на 35%, что подтверждается результатами работ [1,2], полученными другим методом;

- максимальные поперечные нормальные напряжения сг33, достигающие значений порядка 40% от сти, отличаются друг от друга по обеим уточненным теориям примерно на 13%;

-К=Ъ---К=1--Оо11 I-К=Ъ---К=1--Оо1\

а) б)

Рис. 2. Изменение продольных нормальных напряжений оц по толщине: а) на краю оболочки; б) на расстоянии £ = е0/2 от края оболочки

У / /о -V ч ч \

/ / / \ \ \ \

! / \ \ \ \ % \

/ ) / / ч \ \ \ \

/ / / /

-А

К=ъ---К= 2

Рис. 3,а

Рис.3,б

Рис.3. Изменение поперечных нормальных напряжений с33 по толщине:

а) на краю оболочки; б) на расстоянии ^ = £0 / 2 от края оболочки

По результатам расчетов можно сделать следующие выводы:

- На основании анализа характеристических уравнений доказано, что по отношению к классической теории оболочек уточненная теория дает возможность получить большие и сверхбольшие корни, которые соответствуют двум типам быстро затухающих от линии искажения НДС типа «погранслой».

- Установлено, что в зоне искажения напряженного состояния, соизмеримой с толщиной оболочки, поперечные напряжения имеют один и тот же порядок с основными напряжениями, определяемыми по классической теории, которые также существенно уточняются.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 13-08-01243.

Л и т е р а т у р а

1. Фирсанов В.В. Об уточнении классической теории прямоугольных пластинок из композиционных материалов // Механика композиционных материалов и конструкций / Изд. ИПРИМ РАН. 2002. Т. 8. №1. С. 28-64.

2. Фирсанов В.В. Погранслой и его влияние на прочность цилиндрической оболочки переменной толщины // Вестник Московского авиационного института. Т. 17. № 5. С. 212-218.

3. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме построения неклассической теории пластин // Изв. АН. МТТ. 1990. № 2. С. 158-167.

4. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.

5. Фирсанов В.В., Чан Нгок Доан. Энергетически согласованный подход к исследованию упругих оболочек произвольной геометрии // Вестник МАИ. 2011. Т. 18. № 1. С. 194 - 207.

6. Фирсанов В.В., Чан Нгок Доан. Замкнутая цилиндрическая оболочка под действием локальной нагрузки // Механика композиционных материалов и конструкций. 2011. Т. 17. № 1. С. 91 - 106.

7. Фирсанов В.В., Чан Нгок Доан, Ле Чунг Хиеу. Исследование напряженно - деформированного состояния цилиндрических оболочек на основе трехмерных уравнений теории упругости // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2012. № 2. С. 98 -105.

8. Фирсанов В.В., Чан Нгок Доан, Ле Чунг Хиеу. Исследование напряженно - деформированного состояния цилиндрической оболочки по уточненной теории // Вестник МАИ. 2012. Т. 19. № 5. .

References

1. Firsanov V.V. (2002). Ob utochnenii klassicheskoj teorii pryamougol'nyh plastinok iz kompozicionnyh materialov, Mehanika kompozicionnyh materialov i konstrukcij, Izd. IPRIM RAN, T. 8, №1, 28-64.

2. Firsanov V.V. (2010). Pogransloj i ego vliyanie na prochnost' cilindricheskoj obolochki pere-mennoj tolshhiny, VestnikMoskovskogo aviazionnogo instituta, Vol. 17, № 5, 212-218.

3. Vasil'ev V.V., Lur'e S.A. (1990). K probleme postroenija neklassicheskoj teorii plastin, Izv. AN. MTT, № 2, 158-167.

4. Gol'denvejzer A.L. (1976). Teoriya uprugih tonkih obolochek, M.: Nauka, 512 p.

5. Firsanov V.V., Chan NgokDoan (2011) Energeticheski soglasovannyj podhod k issledovaniyu uprugih obolochek proizvol'noj geometrii, Vestnik MAI, Vol. 18, № 1, 194 - 207.

6. Firsanov V. V., Chan Ngok Doan (2011). Zamknutaya cilindricheskaya obolochka pod dejstviem lokal'noj nagruzki,Mehanika kompozicionnyh materialov i konstrukcij, Vol. 17, № 1, 91 - 106.

7. Firsanov V.V., Chan Ngok Doan, Le Chung Hieu (2012). Issledovanie napryazhenno - defor-mirovannogo sostojaniya cilindricheskih obolochek na osnove trehmernyh uravnenij teorii uprugosti, Problemy mashinostroenija i avtomatizacii, № 2, 98 - 105.

8. Firsanov V.V., Chan Ngok Doan, Le Chung Hieu (2012). Issledovanie naprjazhenno - defor-mirovannogo sostojanija cilindricheskoj obolochki po utochnennoj teorii, Vestnik MAI, Vol. 19. № 5.

THE LOCAL STRESS-STRAIN STATE OF A CYLINDRICAL SHELL ON THE BASIS OF THE THREE-DIMENSIONAL EQUATIONS OF THE THEORY OF ELASTICITY

V. Firsanov

Moskovskiy aviazionniy institute, Moscow

Mathematical models and calculation's algorithms of the stress-strain state of a cylindrical shell in a zone of its distortion are developed. In places of fixing, presence of connections and joints, actions of local loadings arise additional in relation to the classical theory quickly damped stresses. The boundary value problem is solved and calculations of stresses near rigidly mounted shell edge at axisymmetrical loading are carried out.

KEYWORDS: Lagrange functional, a method of trigonometrical series, a symbolical method, Laplace transformation, a local stress state of type "boundary layer".