Оценки для суботношения Штейнера и отношения Штейнера-Громова

9. Potapov M.K., Simonov B.V., Tikhonov S.Yu. Mixed moduli of smoothness in Lp, 1 < p < ж: A survey // Surv. Approxim. Theory. 2013. 8. 1-57.

Поступила в редакцию 05.03.2012

УДК 519.176

ОЦЕНКИ ДЛЯ СУБОТНОШЕНИЯ ШТЕЙНЕРА И ОТНОШЕНИЯ ШТЕЙНЕРА-ГРОМОВА

А. С. Пахомова1

В статье доказана точная нижняя оценка для n-точечного суботношения Штейнера и отношения Штейнера-Громова произвольного метрического пространства. В качестве следствия получены значения этих величин для некоторых конкретных пространств, в частности филогенетических, а также доказано, что произвольное число от 0,5 до 1 может являться суботношением Штейнера или отношением Штейнера-Громова некоторого метрического пространства.

Ключевые слова: суботношение Штейнера, отношение Штейнера-Громова, проблема Штейнера, минимальное заполнение, кратчайшие сети, минимальные остовные деревья, филогенетические пространства.

A lower bound for n-pointed Steiner subratio and Steiner-Gromov ratio was obtained. As a corollary of the main theorem, the value of these ratios was calculated for several metric spaces, for example, for philogenetic ones. It was also proved, that any number from 0,5 to 1 could be a Steiner subratio or a Steiner-Gromov ratio of a certain metric space.

Key words: Steiner subratio, Steiner-Gromov ratio, Steiner problem, minimal filling, shortest trees, minimal spanning trees, philogenetic spaces.

1. Введение и основные понятия. В XVII в. П. Ферма сформулировал задачу: для заданной тройки точек на плоскости найти такую точку, суммарное расстояние от которой до данных трех было бы наименьшим. Естественным обобщением этой задачи для случая произвольного количества точек занимался в 1750 г. Т. Симпсон, а позже Я. Штейнер в 1837 г. и Г. Вебер в 1909 г. Более общая задача поиска кратчайшего дерева для данного граничного множества была предложена К. Гауссом в 1830 г. [1]. Позднее этой проблемой занимались В. Ярник и М. Кесслер [2]. Эта задача известна сегодня как проблема Штейнера.

Задача о минимальных заполнениях конечных метрических пространств возникла в теории геометрических вариационных задач. Минимальные заполнения гладких многообразий изучались М. Громовым [3] и многими другими авторами в контексте геометрических неравенств. В классической постановке М.Громова требуется для данного замкнутого многообразия с метрикой найти затягивающее его многообразие-пленку наименьшего возможного объема в предположении, что добавление пленки не уменьшает расстояние на исходном многообразии. Эта пленка и называется минимальным заполнением в смысле Громова. А. О. Иванов и А. А. Тужилин [4] предложили в случае конечных метрических пространств рассматривать в качестве пленок-заполнений взвешенные графы с внутренней метрикой, порожденной неотрицательной весовой функцией. В результате получилась нетривиальная и содержательная задача, а новый объект — минимальные заполнения конечных метрических пространств — оказался тесно связанным с геометрией кратчайших деревьев и отношением Штейнера. Приведем теперь формальные определения.

Пусть V — произвольное конечное множество. Графом G на множестве V называется пара (V,E), где E — некоторое конечное семейство пар элементов множества V. Элементы множества V называются вершинами графа G, а элементы множества E — ребрами графа G. Если задан граф G, то множество его вершин будем обозначать через V(G), а множество его ребер — через E(G). Если e = {a, b}, где e G E(G),

1 Пахомова Анастасия Сергеевна — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, ст. лаб. междунар. НИЛ "Дискретная и вычислительная математика" им. Б. Н. Делоне, e-mail: anpahkom@gmail.com.

а € V(С), Ь € V(С), то вершины а и Ь называются концами ребра е. Ребро е и вершина V называются инцидентными, если V является концом ребра е. Количество ребер, инцидентных данной вершине, будем называть степенью вершины.

Будем говорить, что существует маршрут, соединяющий вершины а € V(С) (начало маршрута) и Ь € V(С) (конец маршрута), если существуют такое число п и такая последовательность ребер, что {ег}П=1 = {иг, Vi+l}, где а = VI и Ь = vn+l. Если начало и конец маршрута совпадают, то он называется циклическим. Циклический маршрут, все ребра которого различны, будем называть циклом. Граф называется связным, если для любой пары различных вершин из V(С) существует маршрут, их соединяющий. Связный граф без циклов называется деревом.

Граф С называют взвешенным, если на его ребрах задана неотрицательная функция и: Е(С) ^ М, называемая весовой функцией. Число и(е), где е € Е(С), называется весом ребра е. Сумма весов всех ребер взвешенного графа С называется весом графа С и обозначается через и (С). Далее мы будем предполагать, что множество вершин графа принадлежит некоторому объемлющему метрическому пространству X с метрикой р. Тогда эта метрика порождает на ребрах графа весовую функцию естественным образом: вес ребра — это расстояние по метрике р между вершинами, которые соединяет данное ребро. В дальнейшем будем обозначать эту весовую функцию, как и метрику, буквой р.

Для конечного подмножества М метрического пространства X определим

шз^М) = ш1п{р(С) | С — дерево, М = V(С)},

С

зш^М) = {р(С) I С — дерево, М С V(С) С X}.

С

Дерево С на М называется минимальным остовным деревом, если р(С) = шз^М).

Дерево С на конечном подмножестве V (С) С X, содержащем М, называется минимальным деревом Штейнера, соединяющим М, если р(С) = згсЛ(М). Вершины этого дерева, принадлежащие множеству М, мы будем называть граничными, а само множество М — границей дерева С (или граничным множеством). Остальные вершины дерева С будем называть внутренними (или добавленными). Заметим, что, в отличие от минимального остовного дерева, минимальное дерево Штейнера существует не для всякой границы. Одной из возможных причин этого может служить неполнота объемлющего метрического пространства. Полнота пространства X, однако, не является достаточным условием существования минимального дерева Штейнера для его произвольного конечного подмножества М С X. Первый пример полного метрического (и даже банахова) пространства, в котором для некоторого набора точек не существует кратчайшего дерева Штейнера, был построен в 1974 г. в работе [5]. Подобные примеры строились позднее и в других работах, например в [6-9].

Будем говорить, что связный граф С соединяет множество М, если М С V(С). Пусть теперь М = (М, й) — конечное метрическое пространство. И пусть С — взвешенный граф, соединяющий М, с весовой функцией и. Функция и задает на М псевдометрику с!ш следующим образом: расстоянием между вершинами графа С назовем наименьший из весов путей, их соединяющих. Если для любых точек р и ц из М выполняется й('р,д) ^ (р,ц), то взвешенный граф С называется заполнением пространства М. Заполнение, для которого и (С) = ш!(М) = т! и (С), где точная нижняя грань берется по всем заполнениям пространства М, назовем минимальным заполнением. Число ш!(М) назовем весом минимального заполнения. В [4] доказывается, что минимальное заполнение существует для любого граничного множества.

Введем следующие величины, характеризующие метрическое пространство.

Отношением Штейнера метрического пространства (X, р) назовем

8г(Х, р) = Ы I 1 < #М < оо

1 '' {м\м схЦ шз^М) 1

где #М обозначает количество элементов в множестве М.

Аналогичным образом определим отношение Штейнера-Громова

8ёг(Х, р) = М ( I 1 < #М < ОО

6 1 '' {м\мсхЦ шз^М) 1

Суботношением Штейнера будем называть величину

88г(Х,р) = М { | 1 < #М < ОО

1 {м\м схЦ зш^М) 1

Кроме того, определим n-точечное суботношение Штейнера

ssrra(X, р) = inf | 1 < #М < п

n ' ' {м\мсх}\ smt(M) 1 ^

и n-точечное отношение Штейнера-Громова

sgr га(Х,р) = inf

{м\м сх} mst

В настоящей статье доказано, что n-точечное суботношение Штейнера и n-точечное отношение Штейнера-Громова произвольного метрического пространства ограничены снизу числом n/(2(n-1)). Показано, что данная оценка является точной. Кроме того, приведено конструктивное доказательство существования метрического пространства, для которого суботношение Штейнера и отношение Штейнера-Громова равняются наперед заданному числу s из отрезка от 0,5 до 1. Вычислены значения данных величин для некоторых конкретных метрических пространств, в частности филогенетических.

2. Необходимые утверждения. В дальнейшем нам понадобится достаточное условие минимальности заполнения. Его доказательство приведено в работе [4].

Предложение 1. Пусть G = (С,и) — заполнение метрического пространства M = (M,d), являющееся деревом. Предположим, что для любых p и q из M выполняется равенство d(p,q) = (1Ш (p,q). Тогда G — минимальное заполнение для M.

Кроме того, нам потребуются некоторые дополнительные определения. Пусть G = (V, E) — произвольное дерево с границей M. Выбросим из G некоторое ребро e, и пусть Gi и G2 — связные компоненты полученного графа. Положим Mi = M П Gi. Полученное разбиение {Mi,M2} множества M обозначим через Pg (e).

Пусть S — конечное множество. Назовем циклическим порядком на множестве S произвольную циклическую перестановку п: S ^ S. Два элемента из множества S назовем соседними относительно порядка п, если один из них является п-образом другого. Циклический порядок назовем обходом, порожденным деревом G, соединяющим M, если для каждого e £ E и Mi £ PG(e) существует единственная точка p £ Mi, для которой п(р) £ Mi.

Следующее утверждение показывает связь между обходами и заполнениями (см. [4]).

Предложение 2. Пусть G = (G,u) — произвольное заполнение псевдометрического пространства M = (M, р) и п — обход G. Тогда

и(G) Р(Р,п(р))/2.

рем

Заметим, что в некоторых случаях полезным может оказаться рассмотрение мультиобходов и муль-тициклических порядков.

Мультициклическим порядком кратности k на множестве S из n элементов назовем отображение п: Znk ^ S, такое, что

1) п(,j) = п(з + 1) для любого j £ Znk;

2) для любого элемента s £ S его прообраз при отображении п состоит ровно из k элементов.

Как и в случае обходов, для граничного множества M и затягивающего его графа G рассмотрим разбиение Pg (e). Мультициклический порядок на M назовем планарным по отношению к G или муль-тиобходом G, если существует такое число l, что для каждого e £ E и Mi £ PG(e) существует ровно l элементов p £ Znk, для которых п(р) £ Mi, но п(р + 1) £ Mi. Такое число l назовем кратностью муль-тиобхода. Множества всех мультиобходов G будем обозначать T(G). Мультипериметром пространства M по отношению к порядку п будем называть величину

1 nk-1 j=0

В своей работе [10] А.Ю.Еремин доказал следующую формулу для вычисления веса минимального заполнения метрического пространства.

Предложение 3. Пусть M = (M, р) — метрическое пространство. Тогда

mf

где минимум берется по всем графам G, затягивающим M, а максимум — по всем мультиобходам G.

3. Основные результаты. Отношение Штейнера и его свойства достаточно детально изучены (см., например, [11, 12]). Многие факты, верные для отношения Штейнера, остаются верными и для отношения Штейнера-Громова, и для суботношения Штейнера.

Утверждение 1. Для произвольного метрического пространства X справедлива оценка

/„-ч п

2(п - 1)'

Более того, эта оценка является точной.

Доказательство. Для множеств М, состоящих только из двух точек х и у, имеем

ш((М) = эш^М) = шэ^М) = р(х,у).

Поэтому для любого двухточечного множества

ш1

mst

= 1.

Таким образом, при n = 2 доказываемое утверждение верно.

Будем считать, что оценка верна для sgrfc(X), где k = 2,...,n — 1. Докажем, что оценка верна для sgrn(X). Рассмотрим произвольное множество M, состоящее из n > 2 точек. Рассмотрим G, являющееся минимальным заполнением этого множества. Пусть п — некоторый обход на M, порожденный G. Тогда в силу предложения 2 справедлива оценка

2 mf(M) Р(Р,п(р)).

рем

Пусть вершины {ai} (где i = 1,...,n) являются последовательными относительно п. Выберем такую вершину p е M, что вес р(р, п(р)) наибольший. Без ограничения общности p = an, т.е. p(an, a\) ^ p(ai, ai+\) для любого i = 1,...,n — 1. Отсюда следует, что

n — 1

Тогда верна следующая цепочка неравенств:

mf

шэ^М) 2 шэ^М)

Заметим, что дерево на М с ребрами {аг, а^х}, где г = 1,...,п- 1, является остовным, а значит, для него верно неравенство

п— 1

22р(аг,аг+1) ^ шэ^М).

г=1

Тогда имеем

111 {(М) 1 Е?=1 Р((Ц, Ог+1) + Е?=1 Р((Ц, Ог+1) _ П

шв1(МК 2 ЕП=—1 р(аг, а+1) 2(п - 1) •

Данная оценка справедлива для любого п-точечного множества М. Кроме того, по предположению индукции для всех множеств М' с меньшим числом точек выполняется оценка

П11(М') > п - 1 > п

шв^М') 2(п - 2) 2(п - 1)' Значит, для всех множеств М", содержащих не более чем п вершин, выполняется оценка

П1 {{М") п

mst(M") 2(n — 1):

следовательно,

= 1п1 | 1 < #М" < „Ь

6 пУ ' {м"\м"сх^ \ тв^И'')' \ 2

Осталось доказать, что полученная оценка является точной. Для этого в качестве объемлющего пространства будем рассматривать п-точечное пространство X', все попарные расстояния между точками которого равны 1. Покажем, что

п

= 2—У

Рассмотрим множество И', состоящее из всех точек пространства X', в качестве граничного множества. Для него тв^И') = п — 1. Рассмотрим теперь заполнение данной границы, которое содержит одну дополнительную вершину, расстояние от которой до любой граничной точки равно Для данного заполнения выполняется достаточное условие минимальности заполнения (предложение 1), а значит, т 1{М') = Таким образом,

8СТ гхч < т!(м° -

Поскольку для любого метрического пространства, в частности для X', выполняется оценка

п

8«Г"(Х'> * 2^1)'

то имеет место равенство. Утверждение доказано.

Утверждение 2. Для произвольного метрического пространства X справедлива следующая оценка:

п

88Гга(Х) ^

2(п — 1)'

Более того, эта оценка является точной.

Доказательство. Данное утверждение является следствием предыдущего. Действительно, для любого множества М имеем тэ^М) ^ эт^М), поэтому 88Гга(Х) ^ sgrra(X) ^ 2{п-1) •

В качестве примера пространства, на котором оценка достигается, можно рассмотреть пространство X', состоящее из п точек, попарные расстояния между которыми равны 1. Рассмотрим множество И', состоящее из всех точек данного пространства. Повторяя рассуждения, используемые при доказательстве

утверждения 1, и замечая, что вт^И') = п — 1, получаем

п

55Г"<Х> = Щ£ГТУ

Утверждение доказано.

Для отношения Штейнера известен следующий результат, доказанный в [11].

Предложение 4. Любое число в € 1] является отношением Штейнера некоторого метрического пространства.

Аналогичные результаты можно получить для отношения Штейнера-Громова и суботношения Штей-нера.

Утверждение 3. Любое число в € 1] является отношением Штейнера-Громова и суботношением Штейнера некоторого метрического пространства.

Доказательство. Если в = 1, то в качестве X можно взять произвольное метрическое пространство, состоящее из двух точек.

Если | ^ в < 1, то рассмотрим пространство, состоящее из трех точек х, у, г. Положим

р(х, у) = р(х, г) = 1; р(у, г) = К, где К е [1, 2).

Для множества И, состоящего из этих трех точек, тв^И) = 2. Более того, вт^И) = 2, поскольку пространство X не содержит помимо вершин из И других точек, которые можно было бы добавить для построения минимального дерева Штейнера. Вес минимального заполнения для М равен (см- в [4]

формулу для вычисления веса минимального заполнения трехточечных множеств). Таким образом,

= —— =

Изменяя параметр К от 1 до 2, получим произвольное число в из промежутка 1).

Пусть теперь задано некоторое число в € Найдем такое число п > 3, что

п - 1 п

> й ^

2(п - 2) 2(п - 1)'

1

28- 1

где квадратные скобки обозначают целую

Решая неравенство, получим, что следует взять п = 2 + часть.

Рассмотрим множество X, состоящее из п точек. Выделим некоторую точку х и определим расстояния между точками следующим образом:

{0, если р = д;

К, если р = х или д = х, р = д; 1, если р = х, д = х, р = д.

Здесь К ^ 1 выступает в качестве параметра.

Найдем отношение Штейнера-Громова для данного метрического пространства и убедимся, что существует такое значение К, что sgr(X) = в.

Рассмотрим множество М, состоящее из всех точек пространства X. Так как К ^ 1, то для этого множества

шэ^М) = эш^М) = К + п - 2.

В качестве заполнения множества М рассмотрим граф, содержащий помимо вершин из М одну вершину у, которая соединена ребрами со всеми граничными точками. Выберем веса ребер так, чтобы вес ребра, соединяющего у и ж, равнялся К — а вес любого другого ребра, выходящего из у, равнялся Для данного заполнения выполняется достаточное условие минимальности, а значит, т1(М) = К + ^ — 1. Рассмотрим сначала отношение Штейнера-Громова данного метрического пространства. Имеем

П1 {(М) _ Д + § - 1 п-2 - 1 —

шз^М) К + п - 2 2(К + п - 2) '

При К = 2—2(1-8) значение дроби в правой части равно в, а значит, выполняется оценка sgr(X) ^ в. Стоит отметить, что данное число К действительно не меньше 1, как мы и требовали.

Заметим, что в силу конечности пространства X точную нижнюю грань в определении отношения Штейнера-Громова можно заменить на минимум. Кроме того, из утверждений 1 и 2 следует, что для любого множества М', состоящего менее чем из п точек, справедливы неравенства

П1 {(М') п - 1 П1 {(М') п - 1

" 2(п - 2) > згаЬ(М') " 2(п - 2) >

Поскольку уже доказано, что sgr(X) ^ в, минимум в определении отношения Штейнера-Громова не может достигаться на множествах, состоящих менее чем из п точек. Следовательно, он достигается на единственном п-точечном множестве М. Таким образом, если К = 2 — п + 2(1-8) > то

ш^М)

sgr(X) = 1 ; - -

шэ^М)

Аналогичным образом при помощи утверждения 2 доказывается, что минимум в определении суботношения Штейнера достигается на множестве М и ээг^) = в при том же значении параметра К. Таким образом, полностью рассмотрен случай з € 1].

Пусть теперь з = Из утверждений 1 и 2 следует, что не существует пространства, которое состоит из конечного числа точек и для которого sgr(X) = | или 88г(Х) = Рассмотрим пространство X, состоящее из счетного числа точек, такое, что расстояние между любыми попарно различными точками этого пространства равно 1. Тогда для любого п-точечного множества М С X

ш^М) ш^М) п

шз^М) зш^М) 2

Устремляя п к бесконечности, получим sgr(X) = 88г(Х) = Утверждение доказано.

Из доказательства утверждения 3 следует, что для п-точечных отношений справедлив аналогичный факт.

Утверждение 4. Любое число € [2^-1) > является п-точечным отношением Штейнера-Громова и п-точечным суботношением Штейнера некоторого метрического пространства.

4. Примеры и следствия. Доказанные утверждения позволяют получить несколько следствий, которые можно использовать для вычисления суботношения Штейнера и отношения Штейнера-Громова метрических пространств.

4.1. Пространства, содержащие симплекс. Будем называть п-мерным правильным симплексом множество из п + 1 точки метрического пространства, попарные расстояния между которыми равны. Из доказательства утверждения 1 следует

Утверждение 5. Если метрическое пространство X содержит правильный п — 1-мерный симплекс, то sgrra(X) =

4.2. Пространство £р. Рассмотрим пространство £р (1 ^ р < ж) всех последовательностей {аг}г=о,1,..., для которых

/ оо \ р

Цх|к =ПС \аТ\ < ж.

В качестве правильного п-мерного симплекса можно взять следующий набор {ги} из п + 1 точки: у гг координата аг = 1, а все прочие координаты равны нулю. Тогда расстояние \гг — г3 \ц между любыми

двумя различными точками из этого набора будет равно 2?.

Поскольку правильный п-мерный симплекс существует для произвольного п, для всех п верно равенство sgrra(^p) = 2{п-\)' и> следовательно, sgr(£p) =

Аналогично можно рассуждать и в случае пространства последовательностей {аг}г=о,\...., для которых ЦжЦ^ = эир^ \аг\ < оо. Тогда sgrra(40) = щ^гту, sgr(^00) =

4.3. Филогенетические пространства. Рассмотрим конечное множество А = {а1,а2,...,ан}. Элементы аг этого множества будем называть буквами, а само множество А — алфавитом. Рассмотрим все конечные последовательности, составленные из букв аг, включая пустую последовательность. Всякую такую последовательность будем называть словом. Слово, не содержащее букв, назовем пустым и будем обозначать Л. Для каждого слова определим его длину как количество букв в его записи. При этом будем полагать, что длина пустого слова равна нулю.

Определим следующие операции на множестве всех слов:

1) удаление некоторой буквы из слова;

2) вставка или добавление некоторой буквы алфавита на некоторую позицию в записи слова;

3) замена одной буквы слова на некоторую другую букву алфавита.

Нетрудно заметить, что за конечное число подобных операций из любого слова можно получить любое другое. Наименьшее число операций, необходимых для получения слова а из слова в, назовем расстоянием между этими словами. Заметим, что введенное расстояние удовлетворяет свойствам метрики. Таким образом, множество всех слов, полученных из букв данного алфавита, можно рассматривать как метрическое пространство. Это пространство будем называть филогенетическим пространством, а введенную на нем функцию расстояния — расстоянием Левенштейна.

Утверждение 6. Отношение Штейнера-Громова филогенетического пространства X, для которого N ^ 2, равно

Доказательство. Выделим две буквы из алфавита. Без ограничения общности назовем их а и Ь. Рассмотрим слово, состоящее из п букв а, т.е.

ао = а^^а. п раз

Образуем из слова ао новые п слов следующим образом: слово аг получается из ао путем замены г-го символа в записи ао на букву Ь. Тогда для любых г = ], таких, что г > 0, ] > 0, расстояние между аг и аз равно 2. Рассмотрим множество И всех аг, где г = 1,...,п. Множество И является (п — 1)-мерным

правильным симплексом, значит, в силу утверждения 5 справедливо равенство

п

Учитывая, что п можно выбрать сколь угодно большим, получим sgr(X) = Утверждение доказано.

Стоит заметить, что существование (п - 1)-мерного правильного симплекса в метрическом пространстве X, вообще говоря, не гарантирует, что и 88Гга(Х) = 2(п-1) • Однако в некоторых случаях это условие может оказаться достаточным.

Утверждение 7. Если в филогенетическом пространстве X существует множество М, состоящее из п точек, такое, что попарные расстояния между любыми его различными точками равны 1, то

п

ВВГ»(Х) = 2(^Т)-

Доказательство. Покажем, что для такого множества М минимальное остовное дерево совпадает с минимальным деревом Штейнера. Действительно, если бы дерево Штейнера содержало еще какие-то дополнительные вершины, то вес построенного дерева был бы не меньше п, так как в филогенетическом пространстве расстояние между любыми различными словами не меньше 1. Значит, шэ^М) = эш^М) = п - 1, и, следовательно,

п т{(М) п

2(п - 1) ^ 88Гга( } ^ = 2(п — 1)'

откуда получаем требуемое утверждение.

Если в качестве граничного множества М рассмотреть все однобуквенные слова данного алфавита, объединенные с пустым словом, то, воспользовавшись предыдущим утверждением, будем иметь

Утверждение 8. Пусть X — филогенетическое пространство с алфавитом из п -1 или более букв. Тогда 88Гп(Х) =

В свою очередь из данного утверждения непосредственно следует

Утверждение 9. Рассмотрим совокупность всех филогенетических пространств. Тогда

=

где точная нижняя грань берется по всем филогенетическим пространствам.

Утверждение 7 можно обобщить до случая произвольного метрического пространства. Утверждение 10. Пусть X — пространство с метрикой р(х,у). Пусть р(х,у) ^ С > 0 для любых

х,у Е X и существует такой набор {хг}1=1...,п точек из X, что р(х1,х^) = С для любых г = ]. Тогда

п

Автор выражает благодарность д.ф.-м.н. А. О. Иванову и д.ф-м.н. А. А. Тужилину за постановку задач и помощь в работе.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 10-01-00748-а), программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-1410.2012.1), гранта Правительства РФ по постановлению № 220, договор № 11.G34.31.0053.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Gauss C.F. Briefwechsel Gauss-Schuhmacher // Werke. Bd. X, N 1. Gottingem, 1917. 459-468.

2. Jarnik V., Kossler V. O minimalnich grafeth obeahujicich n danich bodu // Cas. Pet. Mat. a Fys. 1934. 63. 223-235.

3. Gromov M. Filling Riemannian manifolds //J. Diff. Geom. 1983. 18. 1-147.

4. Иванов А.О., Тужилин А.А. Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении // Матем. сб. 2012. 203, № 5. 65-118.

5. Гаркави А.Л., Шматков В.А. О точке Ламе и ее обобщениях в нормированном пространстве // Матем. сб. 1974. 95(137), № 2(10). 272-293.

6. Vesely L. A characterization of reflexivity in the terms of the existence of generalized centers // Extracta Mathematicae. 1993. 8, N 2-3. 125-131.

7. Baronti M, Casini E., Papini P.L. Equilateral sets and their central points // Rend. Mat. Appl. 1993. 13, N 1. 133-148.

8. Papini P.L. Two new examples of sets without medians and centers // Sociedad de Estadistica e Investigacion Operativa Top. 2005. 13, N 2. 315-320.

9. Бородин П.А. Пример несуществования точки Штейнера в банаховом пространстве // Матем. заметки. 2010. 87, № 4. 514-518.

10. Еремин А.Ю. Формула веса минимального заполнения конечного метрического пространства // Матем. сб. 2013. 204, № 9. 51-72.

11. Иванов А.О., Тужилин А.А. Теория экстремальных сетей. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

12. Cieslik D. The Steiner Ratio. Boston; London; Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2001.

Поступила в редакцию 02.04.2012

УДК 511.2

РЕШЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПОЛЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ

М. Е. Зеленова1

В статье описывается метод решения полиномиальных уравнений в кольце D[x], где D — произвольный порядок поля Q(w), а ш — целое алгебраическое число.

Ключевые слова: полиномиальные уравнения, алгебраические числа.

A method of solving polynomial equations in a ring D[x] is described, where D is an arbitrary order of field Q(w) and ш is an algebraic integer. Key words: polynomial equations, algebraic numbers.

1. Введение. Пусть ш — целое алгебраическое число степени d и g(x) = ^d=0 CiX% G Z[x], где Cd = 1, — его минимальный многочлен. Обозначим через D произвольный порядок поля K = Q(w). Предлагаемый алгоритм позволяет по заданному многочлену f (x) G D[x] найти все его корни, принадлежащие D. Также алгоритм выявляет случаи, когда исходное уравнение не имеет корней.

Полученный результат является обобщением метода, описанного в [1, гл. 9].

2. Алгоритм. Предположим, что

m

f (x) = Y1 Yixi, Yi GD, Ym = 0, i=0

— многочлен без кратных корней.

Положим R = YmD(f ), где D(f ) — дискриминант многочлена f (x), R G D; N (R) G Z — норма R. Обозначим через g(x) G Fp[x] многочлен, получающийся из g(x) заменой коэффициентов Ci их вычетами по модулю p, где p — простое число, которое определяется в описании алгоритма. Каждый элемент в G D представим в виде

в = Ь\ш\ + ... + bdШd,

где bi G Z. Здесь Q = [u\,...,ud] — базис D. Будем использовать обозначение \\в|| = max\bi\. Также обозначим через дискриминант числа ш.

Для произвольного алгебраического числа 7 положим [7] = тах^д.^ где 7^) — числа, сопря-

женные с Y.

Алгоритм.

Дано: ш — целое алгебраическое число степени d; D — порядок в поле Q(^>);

g(x) = Y1 d=o Cixi G Z[x], где Cd = 1, — минимальный многочлен ш; f (x) = S m=o Yixi, Yi G D, — многочлен без кратных корней.

Найти множество решений S ' уравнения f (x) =0 в D или дать ответ, что решений нет. 1. Положить S' = 0.

1 Зеленова Мария Евгеньевна — асп. каф. теории чисел мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mezelenova@gmail.com. 13 ВМУ, математика, механика, № 1