О max-plus-выпуклых подфункторах функтора i идемпотентныхвероятностных мер

6. Даниленко Е.Л. Эффективное применение математико-статистических методов / Е.Л. Даниленко // Информатика и математические методы в моделировании. / Одесский национальный политехнический университет. - 2013. - Том 3. - No 2. -С. 132-145.

7. Ширяев, А.Н. Статистический последовательный анализ / А.Н. Ширяев. - М.: Наука, 1976. -232 с.

8. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. -М: Наука, 1976. 544 с.

9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц/ Ф.Р. Гантма-хер. - М.: Наука, 1967. - 576 с.

10. Авен О.И. Управление вычислительным процесом в ЭВМ/ О.И. Авен, Я.А. Коган. - М.: Энергия, 1978. - 240 с.

11. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания/ Л. Клейнрок. - М.: Машиностроение, 1979. -432 с.

12. Кингман Дж. Пуассоновские процессы/ Дж. Кингман. М.: МцНМО, 2007. - 136 с.

О MAX-PLUS-ВЫПУКЛЫХ ПОДФУНКТОРАХ ФУНКТОРА 1р ИДЕМПОТЕНТНЫХ

ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР

Ишметов А.Я.

Ташкентский архитектурно строительный институт,

Ташкент

ON MAX-PLUS-CONVEX SUBFUNCTORS OF THE FUNCTOR Ip OF IDEMPOTENT

PROBABILITY MEASURES

Ishmetov A. Ya.

Tashkent institute of architecture and civil engineering,

Tashkent

АННОТАЦИЯ

Для метризуемого пространства X построена метрика на пространстве j(X) идемпотентных вероятностных мер, порождающей топологию поточечной сходимости на / (X), и являющейся продолжением метрики на X . Установлено, что для max-plus-выпуклого подфунктора F функтора I^ пространство F(X) является абсолютным ретрактом в классе метризуемых пространств тогда и только тогда, когда пространство X метризуемо. ABSTRACT

For a metrzable compact space X we will construct a metric on the space j (X) of idempotent probability measures, which generates pointwise convergence topology on jд (X), and is an extension of the metric on

X . We established that for a max-plus-convex subfunctor F of a space F(X) is absolute retract in a class

of metrizable space iff the space X is metrizable.

Ключевые слова: идемпотентная мера, абсолютный ретракт, A(N)R -пространство.

Keywords: idempotent measures, absolute retract, A( N) R -space.

матема-

2010 Mathematics Subject Classification. 52A30; 54C10; 28A33.

0. ВВЕДЕНИЕ

Теория идемпотентных мер принадлежит к идемпотентной математике, т. е. области математики, основанной на замене обычных арифметических операций идемпотентными (как, например,

X © y = max{x, y]. Идемпотентная

тика в настоящее время интенсивно развивается (см., например, [1], обзорную статью [2] и библиографию в ней). Ее связь с традиционной математикой описана неформальным принципом [2], согласно которому существует эвристическое соответствие между важными, интересными и полезными конструкциями последней и аналогичными результатами идемпотентной математики. В настоящей статье мы исследуем max-plus-

выпуклые подфункторы функтора идемпотент-ных вероятностных мер в категории тихоновских

пространств. Понятие идемпотентной меры (меры Маслова) находит многочисленные применения в различных областях математики, математической физики и экономики. В частности, такие меры возникают в задачах динамической оптимизации [3]; аналогия между интегрированием Маслова и оптимизацией отмечена также в [4]. В [5] утверждается, что использование мер Маслова для моделирования неопределенности в математической экономике может быть настолько же релевантным, насколько и использование классической теории вероятностей.

Пусть X - компакт, С(X) - алгебра всех непрерывных функций, определенных на X, с обычными поточечными алгебраическими операциями и БИр -нормой. Следуя [6] вводим следующие операции:

Пусть X - компакт, C(X) - алгебра всех непрерывных функций, определенных на X, с обычными поточечными алгебраическими операциями и sup-нормой. Следуя [6] вводим следующие операции:

1) О: Rх С(Х) —> С(Х) по правилу О (Л,(р) = Л О ср = (р + Лх, где (р е С(Х) и Лх - постоянная на X функция, принимающая везде значение AeR;

2) ©: С(Х) х С(Х) —> С(Х) по правилу ©(ср, у/) - ср Ф у/ = max {(р, у/}, где (р, у/ еС(Х).

Определение 1[6]. Функционал //: С(Х) —> R называется идемпотентной вероятностной мерой, если он обладает следующими свойствами:

(i) /¿(ЛХ) = Л для любого AeR;

(ii) /и(Л О(р) = Л О ju{<p) для любых Л еR и (ре С(Х);

(iii) /и{(р у/) = /и{(р) © /и(у/) для любых (р,у/ е С(Х).

Число ju((p) называется интегралом Маслова, соответствующим к /л. Множество всех идемпотентных вероятностных мер на X обозначается через 1{Х). Ясно, что 1(Х) с: R'<х> . Обеспечим 1(Х) с индуцированной из R'(А> топологией. Множества вида (//;q\,...,(p„\s) = {// е 1{Х) :| //(#>.)-//(//,.)l< = 1,...,«}

где (рх,...,(рп е С(Х) и г>0, образуют базу открытых окрестностей заданной идемпотентной меры jj е 1(Х) относительно этой топологии.

В силу предложения 2.3[6] каждого компакта X пространство 1{Х) также является компактом. Пусть /: X —» Y - непрерывное отображение компактов. Тогда естественным образом определяется отображение 1(f): 1(Х) —» I(Y):

l(f)(p)((p) = M((P0 Л-

Это отображение непрерывно. Таким образом, определен функтор /: Comp —» Comp, действующий в категории компактов. В [6] показано, что функтор / нормален.

Для идемпотентной вероятностной меры // е 1(Х) определен её носитель:

Sju := supp// = : F замкнуто в X и /л е 1(F)].

Пусть X - тихоновское пространство, ßX - его Стоун-Чеховское расширение. Положим

Iß(X) = {MeI(ßXy.supp/zcX}.

Если X и Y - тихоновское пространство, и f-.X^Y- непрерывное отображение, то легко проверить, что /(/^)(//ДА'))с=//ДК), где ßf .ßX^ßY - продолжение отображения / .Положим

lß{f) = I(ßf)\Ift(x)-

Таким образом, операция //( есть функтор, действующей в категории Tych тихоновских пространств и их непрерывных отображений [11].

Дальнейшее развитие исследований функтора идемпотентных вероятностных мер на категории компактов и его продолжение на категорию тихоновских пространств опубликованы в работах [6] - [ 16].

1. О МЕТРИЗУЕМОСТИ ПРОСТРАНСТВА ИДЕМПОТЕНТНЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР

В данном разделе для заданного метризуемого пространства X построим метрику на пространстве 1р(Х), порождающей топологию поточечной сходимости на I¡¡(X), и являющейся продолжением метрики на X. Леммы 1.1 - 1.3, теоремы 1.1 - 1.2 и предложение 1.1 были анонсированы в [15].

Пусть X - метризуемое тихоновское пространство. рх - метрика, порождающая топологию на X .Определим метрику р(х,у) = ; где х,у е X. Тогда сИатХ < 1.

\+р,{х,у)

Пусть //,, //2 - идемпотентные вероятностные меры с конечными носителями. Тогда они допускают [7] единственные (до перестановки местами) разложения

А = Л-10 £>*„      Л О ' П О

где Аг = 1,...,«г.Д1еЛ2е...ФА(.„( = 1 и 5ирр//,={хя,х(2,...,*,„}, / = 1,2.

Положим

Л12 = Л(М,//2) = е/ДХ2):/(^Х^) = д, / = 1,2},

где, я*; .ХхХ—>Х - проектирование на /'-ый сомножитель, г = 1,2. Аналогично [7] можно показать, что Л12 Ф 0.

Так как множество

{1^-4,1 Ор(х1гх2к) = 1,.= 1,...,и2}

конечно, то существует число

{х],хк)<££,

Положим

Н(/лх,р2) = тт{ 0 \11к-\\Ор(ххпхи)}.

Лемма 1.1. Для произвольной пары //,,р2 е Iр,„{Х) идемпотентных вероятностных мер с разложениями (1.1) существует идемпотентная вероятностная мера £ е Д12 такая, что

н{р„/л2)= 0 \11к-\\оР{х1],х2к).

Доказательство вытекает из конечности множества (1.2).

Легко заметить, что верна следующая

Лемма 1.2. Для произвольной пары е //1м(Х) идемпотентных вероятностных мер и всякой идемпотентной вероятностной меры е Л12 имеют место равенства

тгЩХ2)=Щ, /=12.

Доказательство очевидно.

Важным утверждением является следующая лемма, доказательство которой требует довольно технические вычисления. С другой стороны, оно проводится аналогично как в случае [7]. Поэтому ее доказательство опускаем.

Лемма 1.3. Пусть ju^ju,,/^ e Ißm(X) - произвольная тройка идемпотентных вероятностных мер с разложениями вида (1.1). Пусть, кроме того, ¿f12 е Д12 и £23 еЛ23 - удовлетворяющие заключение леммы 1.1 идемпотентные вероятностные меры. Тогда существует идемпотентная вероятностная мера £13 е Л13 такая, что

= :существует т е {\,...,п2}такое,что (xlk,x2m) еSgl2 и (x2m,xv) еS&3}.

Теорема 1.1. Функция Н: I/in)(X)xI/im(X) —> R является метрикой. Доказательство. Очевидно, что /У(//,,//2)>0 для всех //h//2 е I/jrt{X). Пусть //,=//,=//. Предположим, что // допускает разложение

Тогда идемпотентная вероятностная мера

является элементом множества А(//,//),, и для нее имеем

Н{И,М)< © |ЯУ-Я.|0р(^,х,) = 0.

Xj,XJ£S4

Следовательно, Н(/и,/и) = 0.

Обратно, пусть H(ju1,/j2) = 0, где juvju, - произвольные идемпотентные вероятностные меры с конечными носителями, допускающие разложения (1.1). Тогда из построения Н вытекает существование идемпотентной вероятностной меры е Д12 такой, что czЫ.Х) = {(х,А") :хе X}. А это возможно лишь тогда, когда S/j} = S/j2. С другой стороны, опять из построения Н вытекает, что \X2j_А,| = 0 для всех /'. Следовательно,

M=/V

Таким образом, для идемпотентных вероятностных мер с конечными носителями H(jul,ju2) = 0 тогда и только тогда, когда //, = //2. Ясно, что Н симметрична.

Остаётся показать, что функция Н удовлетворяет аксиоме треугольника. Пусть /^,//2,//3 - произвольные идемпотентные вероятностные меры с конечными носителями, допускающие разложения

д. ©-©4„, , ¿ = 1,2,3.

Пусть £12>£13 - существующие согласно лемме 1.1 идемпотентные вероятностные меры. Тогда согласно лемме 1.3 существует £23 такая, что для любой точки (х1;.,х3/) е

существует точка х2к е Sp2 такая, что (xlJ,x2k)eS^i2 и (x2k,xv)eS^23. Так как О

/?(х1у ,х„) < - Д^. | О p(xXj,х2к) + - | Ор(х2к,х3/) для всех j,k,l, то

H(juvju^)< Н(рх,/и2) + Н(р2,/и3) для произвольной тройки p],p2,ju?< идемпотентных вероятностных мер. Теорема 1.1 доказана.

Для идемпотентных вероятностных мер //,, ju2 с конечными носителями положим

PßStA ,/'2) = min {diamX, Н (д, р2)} Следствие 1.1. Функция pfh>: Ip т(Х) х Jßт{Х) —> R является метрикой, причем diamlр т{Х) — diamX.

Следующее утверждение доказывается аналогично компактному случаю [7].

Предложение 1.1. Метрика pßm порождает на Ißco{X) топологию поточечной сходимости.

Пусть теперь ju,v&Iß(X) - произвольные идемпотентные вероятностные меры, {р<к>} а Ißw(Sju), {v(k)} а Iß(o{Sv) - последовательности, сходящиеся, соответственно, к p,v, в топологии поточечной сходимости. Положим

plß

Теорема 1.2. Функция p,ß : Iß(X)xIß(X) -» R является метрикой на /ß(X), порождающей топологию поточечной сходимости.

Доказательство. В силу следствия 1.1 и предложения 1.1 метрическое пространство {Jß(X),pl/j) является пополнением метрического пространства (1 ßto{X),pßo)). Поэтому

остается заметить, что сходимости по метрике pß ш и по топологии поточечной сходимости последовательностей из Ißra(X) к элементам из Iß(X) совпадают. Теорема 1.2 доказана.

Следствие 1.2. Для любого подфунктора F фактора Iß метризуемости пространства X вытекает метризуемость пространства Fß(X).

2. О МAX-PLUS-ВЫПУКЛЫХ ПОДМНОЖЕСТВАХ ПРОСТРАНСТВА ИДЕМПОТЕНТНЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР

Напомним следующее определение, данное А.В.Архангельским [21]. Тихоновское пространство X называется перистым или /»-пространством, если оно обладает оперением в некотором (эквивалентно в любом) своем компактном расширении ЬХ. При этом оперением пространства X в расширении ЬХ называется такая последовательность \уп \п е А'} семейство открытых в пространстве ЬХ множеств, что

1) каждое у„ покрывает пространство X;

2) njs/,, х:п е N^a X для любой точки хеХ.

Теорема 2.1. Если X - паракомпактное /»-пространство, то lß(X) также является паракомпактным р -пространством.

Доказательство. По критерию А.В.Архангельского [21] паракомпактные /»-пространства - это в точности совершенные прообразы метрических пространств. Следовательно, для пространства X существует метрическое пространство Y и совершенное отображение f\Y—>X на пространство Y. Тогда из результатов работ [11], [12, Предложению 12] отображение Iß (/): Iß (X) —> Iß (7) будет совершенным отображением на пространство Iß{Y), которое метризуемо по теореме 1.2. Следовательно, IР{Х) является паракомпактным р -пространством как совершенный прообраз метризуемого пространства fß(Y). Теорема 2.1 доказана.

Следствие 2.1. Если X - паракомпактное р -пространство, то для любого замкнутого подфунктора F функтора Iß пространство 1:{ Х) также является паракомпактным р -пространством. В частности, функторы /и сохраняют свойство пространств быть паракомпактным р-пространством.

Определение 2.1. Действующий в категории Tych подфунктор F функтора Iр назовем max-plus-выпуклым подфунктором функтора 1р, если для любого компакта X пространство 1(Х) является max-plus-выпуклым подмножеством компакта Ip(X) = I ( X).

Эквивалентное определение выглядит следующим образом. Подфунктор F функтора 1р является max-plus-выпуклым его подфунктором тогда и только тогда, когда для любого

компакта X, для любых //,,//2 е 11\Х) и для любых а,/?е[-оо,0], аФ/?= 0 имеем

aOjulj3Qju2eF

Следующее утверждение дает большой запас max-plus-выпуклых подфункторов функтора Iр.

Теорема 2.2. Пусть г - бесконечное кардинальное число. Обозначим через /г операцию, которая ставит в соответствие всякому тихоновскому пространству X можество 1Т(Х) всех мер // е Iр(Х), мощность носителя которых меньше г, а всякому непрерывному отображению /: X —> Y - отображение /г (/), являющееся ограничением отображения Ip{f) на пространство I Г(Х). Тогда IT- max-plus-выпуклый подфунктор функтора

v

Доказательство. Для кардинального числа г и тихоновского пространства X положим

Л W={/'е ifi(x) :IsuPPA| <г} •

Сначала проверим, что 1Т - функтор. Если / . X —>Y - непрерывное отображение в //<е 1Г(Х), то согласно supp//;(^)(//) = g(supp//) имеем

supp/r

Следовательно,

Таким образом, Ir(f) является отображением из 1Т(Х) в пространство IT(Y). Сохранение операций 1Г композиций отображений и тождественного отображения очевидно. Следовательно, /г является подфунктором функтора 1р.

Проверим его выпуклость. Пусть X - компакт, //,,//2 elp(X), а,/?е[-оо,0], а © /? = 0 и /л = аО//, © /? О /и2. Если ¡3 или а равно -оо, то // совпадает с мерой //, или jU2, соответственно. Если же а > -со (при этом (3 = 0 ), или /3 > -оо (при этом а = 0), то

supp// = supp//, ^jsupp//2.

В любом случае

supp// cz supp//, yj supp//2.

Следовательно,

Отсюда с учетом бесконечности числа т получаем |supp//| < г т. е. // е /г(X). Теорема 2.2 доказана.

Теорема 2.3. Для любого max-plus-выпуклого подфунктора F функтора 1р и любого тихоновского пространства X пространство l' (X) max-plus-выпукло.

Доказательство. Пусть ЬХ - какое-нибудь бикомпактное расширение пространства X. Поскольку пересечение max-plus-выпуклых множеств max-plus-выпукло, то наше утверждение будет вытекать из равенства F(X) = 1 р(Х)глР(ЬХ), которое мы сейчас проверим. Начнем с включения с. Множество F(X) содержится в 1р(Х) по определению подфунктора. Что касается включения F{X) a F(bX), то оно вытекает из того, что под-функтор инъективного функтора инъективен. В самом деле, пусть F-, - подфунктор инъ-ективного функтора Fx и /': YœX - вложение. По определению подфунктора существует естественное преобразование T:F2 Fx все компоненты которого являются вложениями. Рассмотрим коммутативную диаграмму

F2

Tyi 1тх

FW-SUL+FAX)

Отбражение TY инъективно, поскольку F2 - подфунктор функтора Fx, отображение h\(/) инъективно, поскольку функтор Fx инъективен. Из инъективности отображения Ту и Fx(i) вытекает инъективность правого делителя F2(i) их композиции Fx(i)°TY. Таким образом, подфунктор инъективного функтора инъективен. И этим включение

F

проверено. Проверим обратное включение. Пусть ¡u&lp(X)r\F(bX). Носитель меры /и обозначим через Z. По определению носителя имеем // е F(Z). А из инъективности функтора F и включения Z с X вытекает включение F(Z) a F(X). Теорема 2.3 доказана.

Теорема 2.4. Для непустого тихоновского пространства X и max-plus-выпуклого подфунктора F функтора //( следующее условия равносильны:

1 ) пространство X метризуемо;

2) пространство IР(Х) является абсолютным ретрактом в классе метризуемых пространств;

3) пространство 1' {Х) является абсолютным ретрактом в классе метризуемых пространств.

Доказательство. Импликация 1 ) => 2). Пусть пространство X метризуемо. Тогда по теореме 1.2 пространство 1р(Х) также метризуемо. С другой стороны, Iр(X) является

max-plus-выпуклым подмножеством локально max-plus-выпуклого пространства /(¿»X). Следовательно, IР(Х) является абсолютным ретрактом в классе метризуемых пространств [14]. Импликация 2)=>3) вытекает из теоремы 2.3. Импликация 3) => 1) тривиальна. Теорема 2.4 доказана.

Из теорем 2.4 и 2.2 вытекает

Следствие 2.1. Для любого непустого метрического пространства X и любого бесконечного кардинального числа г пространство /г (X) является абсолютным ретрактом в классе метризуемых пространств.

Из теоремы о мощности компактов (всякий несчетный компакт имеет мощность континуума) вытекает, что в теореме 2.2 содержательным является рассмотрение лишь двух мощностей: г = щ ; г = 2Щ'. Для больших г и метрического пространства X имеем 1т{Х) = 1р{Х).

Из теорем 1.3 и 2.4 вытекает

Следствие 2.2. Для любого непустого метри-зуемого пространства X max-plus -выпуклые подмножества пространства / (X), состоящие из

всех мер, мощность носителей которых:

1) конечна,

2) счетна,

3) конечна или счетна,

4) континуальна,

5) конечна или континуальна,

6) счетна или континуальна

являются абсолютными ретрактами в классе метризуемых пространств.

Литература

1. G.L.Litvinov, V.P.Maslov(eds.), Idempotent mathematics and mathematical physics (Vienna, 2003), Contemp.Math., 377, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005.

2. G.L.Litvinov, "The Maslov dequantization, idempotent and tropical mathematics: a very brief introduction" Idempotent mathematics and mathematical physics (Vienna, 2003), Contemp. Math., 377, Amer. Math.Soc., Providence, RI, 2005, 1-17; arXiv :ab s/math/0501038.

3. P.Bernhard, "Max-plus algebra and mathematical fear in dynamic optimization", set-Valued Anal., 8:1-2 (2000), 71-84.

4. J.P.Aubin, O.Dordan, "Fuzzy systems, viability theory and toll sets", Fuzzy systems, Handb.Fuzzy Sets Ser., 2, Kluwer Acad.Publ., Boston, MA, 1998, 461488.

5. J.-P. Aubin, Dynamic economic theory. A viability approach, Stdu. Econom. Theory, 5, SpringerVerlag, Berlin, 1997.

6. M.Zarichnyi. Idempotent probability measures, I.arXiv:math.GN/0608754 v 130 Aug 2006.

7. A.A.Zaitov, I.I.Tojiev. On metric of the space of idempotent probability measures //arxiv:1006.3902 v 2 [math.GN] 15 March 2012.

8. А.А.Заитов, И.И.Тожиев. Функциональные представления замкнутых подмножеств компакта. //Узбекский математический журнал. 2010. № 1. Стр. 53-63.

9. А.А.Заитов, И.И.Тожиев. Функтор идемпо-тентных вероятностных мер и равномерная метризуемость функторов. //Узбекский математический журнал. 2011. № 2. Стр. 66-74. DOI: On uniform me-trizability of the functor of idempotent probability

measures. //arxiv: 1204.0074v1 [math.GN] 31 March 2012.

10. A.A.Zaitov, Kh.F.Kholturayev. On perfect metrizability of the functor of idempotent probability measures. //arxiv: 1205.0864v1 [math.GN] 4 May 2012.

11. А.А.Заитов, А.Я.Ишметов. О монаде, порожденной функтором Iр. //Вестник НУУз. 2013.

№ 2. Стр. 61-64.

12. A.A.Zaitov, A.Ya.Ishmetov. Geometrical properties of the space I_f(X) of idempotent probability measures. //arxiv:1808.10749v2 [math.GN] 4 Sep 2018.

13. А.А.Заитов, Х.Холтураев. О взаимосвязи функторов P вероятностных мер и I идемпотентных вероятностных мер. //Узбекский математический журнал. 2014. № 4. Стр. 36-45.

14. A.A.Zaitov, Kh.F.Kholturaev. Geometrical properties of the space of idempotent probability measures. //arXiv:1811.08325v1 [math.GN] 19 Nov 2018

15. А.А.Заитов, А.Ишметов. О метризуемости пространства идемпотентных вероятностных мер. //Республиканская научно-практическая конференция «Новые теоремы молодых математиков -2013». Том 1. Наманган. 12-14 сентября 2012. НамГУ. Стр. 119-122.

16. А.Ишметов. О функторе идемпотентных вероятностных мер с компактными носителями. //Ташкент 2010 «Узбекский математический журнал», №1. стр. 72-80.

17. Аль-Кассас Юсеф. Метризуемость и паракомпактность пространств вероятностных мер. Кандидатская диссертация. М.: МГУ, 1991 г

18. Е.В.Щепин. Функторы и несчетные степени компактов. УМН. 1981, т36, вып3,с.3-62.

19. K.Morita. A condition for the metrizability of topological spaces and for ndimensionality. Sci.Rep.Tokiyo Kyoiku Daiyaku, Sec.A-1955-5-p.33-36.

20. J.Nagatha. Note on dimension theory for metric spaces. Fund.Math.-1958.-45, №2-p. 143-181.

21. А.В.Архангельский. Об одном классе пространств, содержащем вес метрические и все локальные бикомпактные пространства. Матем. сборник. -1965. -67, №1.-Стр. 55-85.

22. К.Борсук. Теория ретрактов. - М.: «Мир», 1971.