Многометодная оптимизация управления в экономической модели выбора налоговой ставки

УДК 519.6

© А.И. Колмакова

МНОГОМЕТОДНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВЫБОРА НАЛОГОВОЙ СТАВКИ

На основе задачи максимизации непроизводственного потребления в рамках нелинейной однопродуктовой модели с производственной функцией Кобба - Дугласа и однопродуктовой макроэкономической модели производственного предприятия с внесенными поправками, связанными с непосредственным учетом налоговых отчислений, формулируется математическая постановка задачи в виде системы дифференциальных уравнений, описывающих налогообложение прибыли предприятий и рассматривается задача поиска оптимального программного управления.

Ключевые слова: Оптимальное управление, динамическое программирование, налог на прибыль, модель деятельности предприятия.

A.I. Kolmakova

MULTIMETHOD OPTIMIZING OF CONTROL IN THE ECONOMIC MODEL OF THE CHOICE OF TAX RATE

On the basis of the maximization problem of non-production consumption in the nonlinear single-product model with the production function Cobb - Douglas and the macroeconomic model of a single-production facility with corrections which are related to direct accounting of tax charges, it is formulated a mathematical problem as a system of differential equations that describes the taxing of enterprise profits and is considered the problem of optimal software control seeking.

Keywords: Optimal control, dynamic programming, profits tax, enterprise activities model.

Введение

Появление налогов было обусловлено необходимостью удовлетворять растущие потребности финансового хозяйства государства. Процесс взимания налогов осуществляется государством и является его функцией. Способ, характер и масштабы мобилизации денежных ресурсов в бюджете государства зависят от стадии экономического развития общества. При этом минимальный размер формируемых денежных фондов, состоящих в большей степени из налоговых платежей, определяется суммой расходов государства на исполнение его функций: социальной, экономической, оборонной и др.

Система налогообложения является одним из важнейших факторов, влияющих на решение об инвестировании, особенно если речь идет о прямых иностранных инвестициях. В целом на принятие решений об инвестировании оказывают влияние как налоговые, так и неналоговые факторы, при помощи которых осуществляется сравнение потенциальной прибыли от инвестиций и риска. Обычно компании, при выборе того или иного проекта, принимают во внимание различие в законных ставках налога, направляя доходы в страны с низким налогообложением [1].

Оптимальность налогообложения принято оценивать с точки зрения общего эффекта для благосостояния общества и с точки зрения выгод для определенного налогоплательщика (экономического агента). Именно от характера и сущности проводимой государством и его органами общей налогово-бюджетной политики зависит, определять ли налоги как «бремя, «зло» или как способ (эффективный в большей или меньшей степени) перераспределения материальных благ и финансирования общих объективных потребностей общества.

1. Многометодные алгоритмы расчета оптимального управления

Предлагается вычислительная технология расчёта оптимального управления, основанная на применении нескольких процессоров для поиска численного решения задачи несколькими методами оптимизации одновременно. В соответствии с этой технологией после нахождения очередного приближения все методы оцениваются по полученному приращению функционала, и из них выбирается наиболее эффективный метод для продолжения оптимизации, а полученное этим методом приближение передается остальным методам в качестве начального для выполнения следующей итерации.

1.1. Градиентные методы для решения задач без ограничений на управление

В методах градиентного типа трудоемкую операцию расчета градиента, требующую интегрирования сопряженной системы, следует выполнить только один раз, а затем использовать найденный градиент в итерационных формулах всех методов. Вычислительные затраты на выполнение одного шага многометодного алгоритма в этом случае значительно сократятся. Кроме того, реализация шага каждым из методов будет выполнена с использованием одних и тех же приближенно найденных величин.

Приведем общую постановку задачи оптимального управления. Пусть управляемый процесс описывается системой

х = /

с терминальными условиями

/Дм) = /

и фазовыми ограничениями

Ji

Управление стеснено следующими ограничениями:

и

где и - ограниченное замкнутое множество из Кг. Вектор-функция ^х,и,0 непрерывно дифференцируема по х и и и непрерывна по % (р1 (х), / = \.т. - непрерывно дифференцируемые функ-

ции.

Пусть на правых концах траекторий системы (1) определена непрерывно дифференцируемая выпуклая скалярная функция

10

которую требуется минимизировать.

Градиенты функционалов/Дм), ] = 0,т, с помощью /Р(^,х,и,0 = /(0/0>м>0 и сопряженной системы

у^ = -/* <Х и, О У,

вычисляются по формулам

VI ^

Для каждого 1еТ можно аналогично вычислить градиенты ./у и.1 . / = 1,.у:

VJj

где Ни{Ф 7-,х,и,?,г) = Ф.(?,г)/(х,м,г), Ф.(/,г), 7=1,5, - решения сопряженных сис-

ЗФ;

^—=- : Ф/а.г), тег, Ф-оо=- ' :

0Г ОТ ОТ

1.2. Численные методы для решения задач с ограничениями на управление

Перейдем теперь к рассмотрению алгоритмов для решения задач с ограничениями на управление (4), но без ограничений (2)-(3). Предположим, что при некотором ык (!) е /7. / е /. найдено решение системы (1) х* (7). / е /'.

Полагая j=0, проинтегрируем сопряженную систему от / = /, до / = /0 при и = ик (7). х = х* (7). На ее решении у/к — ///'(О вычислим управление из принципа максимума:

мА(0 = а^тахЯ(у/‘,х4,м,Г), ¿еТ7,

и&11

и найдем значения скалярной функции (77(0,0 = Н(у/к ,х' ,»,/) -Н(у/к,хк,ик,0, / е I .

Если для заданного и4 и найденных х'. ///'. н' принцип максимума нарушается: и1, (77* ( г,), г,) > 0, то можно реализовать одну итерацию метода [3] для улучшения и4.

Множество точек, в которых нарушается принцип максимума, обозначим через

Те = ^єТ:м>к(ик(і),і)>ємк(ик(тк),тк)2 г є [ОД],

где тк - точка максимума этой функции на Те. Варьируя £ , можно найти его оптимальное значение ек, при котором управление

доставит наименьшее значение целевому функционалу. При поиске ек можно использовать несколько потоков для одновременного интегрирования системы (1) с управлениями (9), соответствующими разным значениям ек.

В силу структуры управлений, генерируемых итерационной формулой (9), релаксации алгоритма могут прекратиться еще до получения управления, удовлетворяющего принципу максимума. Тогда для продолжения процесса оптимизации необходимо применить другой алгоритм, на итерациях которого конструируются управления не только с граничными, но и с внутренними относительно множества допустимых управлений значениями. Так, например, восстановить сходимость обычно удается с помощью построения выпуклой комбинации двух управлений:

Вычисления по формулам (9) и (10) можно вести параллельно, выбирая из полученных приближений такое ик+1, которому соответствует меньшее значение функционала. Если значения функционала будут сравниваться через несколько итераций, то в качестве критерия для сравнения эффективности методов (9) и (10) следует использовать значения приращений функционала, полученные на соседних итерациях каждого из методов. На практике установлено, что применение вариаций двух типов: "горизонтальной" (9) и "вертикальной" (10) позволяет избежать проявления эффекта "прилипания управления к границам", свойственного алгоритмам, основанным на принципе максимума.

Если в итерационной формуле (10) управление м*(0 будет вычисляться из линеаризованного принципа максимума:

то получим итерации метода условного градиента. Очевидно, для систем, линейных по управлению, это управление будет совпадать с управлением, найденным из принципа максимума.

Идея излагаемого ниже алгоритма [5] состоит в том, что на каждой его итерации решается вспомогательная задача минимизации модифицированной функции Лагранжа при линеаризованных ограничениях (2), (3). Якобиан линеаризованных ограничений строится из градиентов (7), (8), для расчета которых можно так же использовать параллельные вычисления. Значения двойственных переменных, полученные в результате решения вспомогательной задачи на каждой итерации, являются новым приближением для этих переменных на следующей итерации.

Пусть ик(1;) - текущее приближение управления, а хк(1;) - фазовая траектория, соответствующая ик(0,1еТ. Используя градиенты (7), (8), линеаризуем условия (2), (3) в окрестности икО):

ик+1(і) = ик(і) + а\ик(і) -ик(і)\, а є [ОД].

ик (і) = га§тгкНи(і//к ,хк і є Т,

1.3. Численное решение задач с фазовыми ограничениями

П ____

1^ (ик, и) = /г- (ик ) + | V/,- (ик, ґ) \и(ґ) -ик (0>й = 0 і =\,т, Т0

Т

./у (ик ,и,т) = ./7 (ик, т) + |У/у (ик, і) '(и(0 - ик (і ))сіі - 0,

Ь

-JL(uk,u, t))dt + + £(I(u) -IL(uk,и))'(I(u) -IL(uk,и)) + tx

+ — |(J(m,í) - JL (uk ,u,t))'(J(u,t) - JL (uk ,u,t))dt,

h

где I, IL - m -векторы, J, JL - s-векторы, /.k. ц k — m и s -мерные множители Лагранжа; p > 0 -коэффициент штрафа.

На k+1-й итерации рассматриваемого метода решается задача минимизации функционала (13) на решениях системы (1) при линейных ограничениях (11), (12), (4). При этом для численного решения формируется задача математического программирования с линейными ограничениями специальной структуры.

2. Математическая модель деятельности предприятия

Сформулируем постановку задачи об оптимизации ставки налога на прибыль.

В нашем случае переменными состояния будут затраты на производство х, в момент t, налоговые отчисления х2 в момент t, количество основных производственных фондов х3 в момент t, количество трудовых ресурсов х4 в момент t. В качестве управления возьмем налоговую ставку v(t).

Система уравнений, описывающая экономическую систему будет иметь вид [7]:

= ¿и • (1 - v) • F'-Xj;

dt

dX2 1 /77, \

— =----------г • \F -x, )v

dt (1 + гГ'°+1

cbc

-~r = ¿ 1 (1 - v)(l - a)(l - u)  F'-%x3

dt

- N'-x

dt 4

Значения параметров данной задачи выбираются из интервалов, определяемых экономическим смыслом:

0 < /л < 1 - доля выручки, которая составит затраты на производство в следующем периоде;

0 < г < 1 - рентабельность чистой прибыли;

b > 0 - коэффициент эффективности использования основных фондов;

0 < а < 1 - коэффициент производственных затрат (норма материалоемкости);

0 < и < 1 - доля, которую составляет реальный темп непроизводственного потребления pit)

, ч p{t)

относительно его максимально возможной величины: ии) =------------------;

X > 0 - коэффициент амортизации;

N' - функция, показывающая изменение численности персонала;

F' - производственная функция.

Численность персонала определяется отношением затрат на оплату труда (затраты входят в затраты на производство) к средней заработной плате. Будем считать, что временной ряд для заработной платы имеет четко выраженную тенденцию, без циклической и сезонной составляющей, в нем не наблюдаются резкие темпы роста (снижения). Наиболее часто в таком случае при прогнозировании социально-экономических явлений, имеющих тенденцию, применяют полиномиальные функции. Примем так же, что процесс изменений заработной платы имеет равноускоренное изменение уровней ряда. Тогда функция изменения заработной платы будет иметь вид:

3, - пг -t2 +п2 -t + п3,

где параметр я характеризует скорость изменения среднего прироста, параметр п2 - средний прирост, параметр я, - уровень ряда при I — 0 . Следовательно, функция, характеризующая изме-

нения численности персонала принимает вид Ы'= п/+*\+п , где / - часть затрат на производство,

которая составляет фонд оплаты труда.

В зависимости от характера производственного процесса, целей и средств моделирования в качестве производственных функций могут использоваться неотрицательные функции весьма разнообразного вида. Благодаря своей простоте и рациональности, широко применяется до сих пор и получила дальнейшие обобщения в различных направлениях производственная функция Кобба -

Дугласа Р'= А  х“'х3аг х/3, где а - показатели эластичности. Коэффициент А, стоящий перед знаком умножения, учитывает размерность, он зависит от выбранной единицы измерений затрат и выпуска. Обычно х1 и х3 измеряются в стоимостных единицах, х4 - в человеко-часах или численности работников. Такая производственная функция используется для описания объектов от промышленного объединения до отрасли, характеризующихся устойчивым, стабильным функционированием. Сумма коэффициентов эластичности представляет собой показатель эффекта расширения масштаба.

Как было сказано выше, производственная сфера функционирует при заданной налоговой ставке \’(1) и своими внутренними управлениями она распоряжается так, чтобы минимизировать х2, а внешняя среда заинтересована в том, чтоб налоговые отчисления были «побольше». В нашем слу-

Формализованная постановка задачи об оптимизации ставки налога на прибыль будет иметь вид:

Переменные состояния: х1, х2, х3, х4 Переменные управления: \’

Уравнения процесса:

= ц  (1 - V) • (А  х? х3“2 х4“3) - ^;

т

(Их 1

— =-------'----г • <А  *Г х4“3 - х, )у ;

Ш (1 + гГ'°+1 1 3 4 1

йх

—- = Ъ1 (1 -г)(1 -а)(1 -и)-А-х“'Xз“2х/3 -^Х3; т

dx4 *,./

----= —Г11-----х,.

п^[ +п21+п3 4

Начальные значения:

х1(°) = хю> х2(°) = х205 х3(0) = х30, х4(0) = х40, Г6[0,Т]

Ограничения на фазовые переменные: х1 > 0, х2 > 0, х3 > 0, х4 > О Ограничение на управление:

V < у({) < V

пип V У шах

Целевая функция: х2 —>тах Параметры:

/I, г, Ъ, а, и, х, а0, ах, а2, а3, /, с11, й?2 , с!3 Значения параметров являются постоянными:

ц = ц*, г = г*, Ь=Ь*, а = а*, и = и*, и = и*, Х = Х*-> а0 = а0*,а1 = а1*,а2 = а2*, а3 = а3*,

/ =/ *, <5^ = <5^*, (12 =С12 *, = *.

3. Численные эксперименты

Проведем численное исследование модели на основе данных годовой отчетности 2002-2010 гг.

ОАО «Иркутскэнерго» [8].

Доля выручки, которая составит затраты на производство в следующем году ¡л определяется

отношением затрат на производство к выручке (нетто) от продажи товаров за прошлый период:

36588536,00^ 2069

38838475.00 т.р.

Рентабельность по чистой прибыли за 2010 год составила 18,1 %.

В качестве коэффициента эффективности использования основных фондов Ь используется фондоотдача, которая определяется как отношение прибыли до налогообложения к среднегодовой стоимость основных производственных фондов:

_ 12063845,00 т.р. _ ^

~~ 35011802,50 т.р. ~ ’

Коэффициент производственных затрат (норма материалоемкости) а равен отношению затрат на производство к среднегодовой стоимости материальных ресурсов:

2768012,50^. а =-----------------= 0,075652.

36588536.00 т.р.

Разница между фактическим и чистым денежными потоками представляет собой непроизводственное потребление. Фактический денежный поток отражается в годовой отчетности по строке оборотные активы, а чистый денежный поток - это среднее арифметическое денежных средств на конец и начало года. Тогда

8986155,00 т. к>.-(234000,00 т. д-271000,00 т.р) и=---------------—----------------------------— = 0,186459.

(1-0,075652) • 52352844,00 т.р.

Коэффициент амортизации % равен отношению отчислений на амортизации к среднегодовой стоимости основных производственных фондов

2460000.00 т р

35011802,501И./7.

Ежегодно начиная с 2002 года затраты на заработную плату составляли в среднем 10% от затрат на производство. В это же время среднемесячная заработная плата увеличивалась. Точнее всего с коэффициентом детерминации Я2 — 99,5% данные изменения характеризует полиномиальная функция с коэффициентами и. > 0. Тогда

^=^/ёк’где «1=224,75, п2 =1514,8, щ = 7111,3 ,/= 10% .

Для производственной функции оценки параметров были получены методом наименьших квадратов А = 13,257. а, =1,36, аг = 0.13.а =0,18. Сумма показателей эффективности больше

единицы, то есть наблюдается возрастающая эффективность использования факторов производства (при одновременном возрастании на 1% всех факторов результат производства возрастет более чем на 1%).

Начальные значения для расчетов взяты из годовой отчетности: хДО) = 36588536 т.р.,

х2(0) = 2631461 т.р., х3(0) = 35011803 т.р., х4(0) = 8072 чел.

Для текущей ставки налога на прибыль сумма налоговых отчислений к концу исследуемого периода составит 14 166 908 тыс. руб.

Теперь найдем оптимальную ставку налога на прибыль для 10%<у(?) <¡24% и 7 е [0,5] с помощью комплекса программ ОРТСОЫ [9]. Для каждого из приведенных в первом разделе класса задач в пакете ОРТСОЫ программно реализовано несколько методов оптимизации. При расчете оптимального управления в каждой конкретной задаче автоматически используется своя многоме-тодная схема оптимизации. Рассмотрим динамику показателей деятельности ОАО «Иркутскэнерго» для полученной оптимальной ставки налога на прибыль (рис. 1):

80000000 -60000000 -40000000 20000000

о

год

т-

4

затраты на произв одслво (тыс.руб.) налогоЕые отчисления (тыс.руб.) количество ОПФ

Рис. 1. Поведение модели при оптимальной ставке налога на прибыль

В ходе оптимизации ставки налогообложения прибыли предприятия было установлено, что на протяжении 5 лет наблюдается рост затрат на производство, налоговых отчислений, количества ОПФ и количества трудовых ресурсов. К окончанию рассматриваемого периода ставка налога на прибыль доходит до 24% (рис. 2), а налоговые отчисления достигают уровня 17,24 млрд р., вместо первоначальных 2,63 млрд р.

ставка налога на прибыль С/о)

Рис. 2. Оптимальная ставка налога на прибыль предприятия

В обоих случаях наблюдается положительная динамика показателей деятельности предприятия. Но во втором случае сумма налоговых отчислений к концу периода на 12,1% больше по сравнению с налоговыми отчислениями при ставке налога на прибыль 20%. Но частая смена ставки может привести к непредсказуемым последствиям. Поэтому целесообразно установление ставки налога на прибыль в размере 15% для всего исследуемого периода. Тогда показатели деятельности для ОАО «Иркутскэнерго» будут следующими (рис. 3):

80000000 60000000 Н 40000000 20000000 0

✓

Л-* —

о

-т-

4

затраты на

производств

о

налоговые

отчисления

количество

ОПФ

численность

работников

Рис. 3. Поведение модели при ставке налога на прибыль 15%

А сумма налоговых отчислений к концу периода (2015 г.) составит 12 931 644 тыс. р.

Заключение

В ходе исследования и оптимизации ставки налогообложения прибыли предприятия были найдены значения параметров математической системы, моделирующей деятельность ОАО «Иркутскэнерго», ставки налога на прибыль и таких показателей, как затраты на производство, налоговые отчисления, количество основных производственных фондов, количество трудовых ресурсов. Оптимальная ставка налога на прибыль на основе проведенных расчетов составит 15%.

Если сравнивать ситуацию при начальных значениях и ситуацию, смоделированную при ставке налога на прибыль в 15%, то налоговые отчисления уменьшаются, т.е. выпадающие доходы по итогам пятилетнего периода составят 1 235 264 тыс. р. Но возместить их помогут инвестиционные проекты (доходы в виде инвестиций для последнего года исследуемого периода составят 8 819 010 тыс. р.). Такая ставка налога на прибыль позволит увеличить количество оборотных и инвестиционных средств в 1,5 раза к 2015 г.

Таким образом, можно сделать вывод, что для каждой задачи существует своя последовательность шагов, состоящая из итераций разных методов оптимального управления [3-6], которая адекватно учитывает особенности решаемой задачи и тем самым обеспечивает наиболее эффективный поиск оптимального управления. В многометодных алгоритмах построение такой последовательности выполняется автоматически по некоторому заданному критерию, оценивающему эффективность процесса оптимизации на всех этапах решения задачи.

На практике многометодная технология существенно повышает надежность получения правильных результатов при расчете оптимального управления реальными объектами, что в значительной мере обеспечивает эффективность и безопасность их движения по оптимальной траектории.

Литература

1. Влияние налогообложения на инвестиции [Электронный ресурс]. URL: www.investmarket.ru/Reports/show.asp?id=87.

2. Налоговый кодекс РФ.

3. Васильев О.В., Тятюшкин А.И. Об одном методе решения задач оптимального управления, основанном на принципе максимума // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. Т.21, №.6, 1981. С. 1376-1384.

4. Тятюшкин А.И. Параллельные вычисления в задачах оптимального управления // Сиб. журн. выч. матем. /РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск. 2000. Т. 3, №2. С. 181-190.

5. Тятюшкин А.И. Численные методы решения задач оптимального управления с ограничениями на фазовые координаты // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. № 2. С. 127-133.

6. Тятюшкин А.И. Многометодная технология оптимизации управляемых систем. Новосибирск: Наука, 2006. 343 с.

7. Москаленко А. И. Оптимальное управление моделями экономической динамики. Новосибирск: Наука, 1999.

8. Годовые отчеты ОАО «Иркутскэнерго» [Электронный ресурс]. URL: http://\\\\\\. i rkutskcncrgo.ru/qa/768.2.html.

9. Горнов А.Ю. Комплекс программ OPTCON для решения прикладных задач оптимального управления // Информационные и вычислительные технологии и системы: материалы всерос. конф. Улан-Удэ, 2003.

4.1. С. 112-115.

Колмакова Анастасия Ивановна, аспирант Байкальского государственного университета экономики и права, kolmakova.a.i@mail.ra.

Kolmakova Anastasia Ivanovna, postgraduate student from Baikal national university of economics and low.