Влияние площади контакта и величины линейно распределенной и сосредоточенной массы с круговой цилиндрической оболочкой на частоты и формы свободных колебаний

УДК 624.074.433:534.1

С.В. Серёгин

ФГБОУ ВПО «КнАГТУ»

ВЛИЯНИЕ ПЛОЩАДИ КОНТАКТА И ВЕЛИЧИНЫ ЛИНЕЙНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ И СОСРЕДОТОЧЕННОЙ МАССЫ С КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКОЙ НА ЧАСТОТЫ И ФОРМЫ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Методом конечных элементов показано влияние площади присоединения и относительной величины линейно распределенной массы вдоль образующей по круговой координате и сосредоточенной массы на собственные частоты и формы из-гибных колебаний замкнутой круговой цилиндрической оболочки. Определены диапазоны, когда присоединенную к оболочке массу можно считать сосредоточенной и линейно распределенной. Установлено, что изменение размера площадки контакта «сосредоточенной» массы значительно влияет на низшую частоту системы оболочка — масса, при этом уменьшение размеров площадки ведет к заметному снижению меньшей из расщепленных собственных частот. Большая из расщепленных частот снижается с увеличением площади контакта, при этом снижение может быть весьма значительным. Обнаружены более сложные (неоднозначные) формы колебаний системы оболочка — масса. Выявлена существенная зависимость геометрических характеристик оболочки, несущей сосредоточенную массу на меньшую из расщепленных собственных частот низшего тона. Изменение площади контакта линейно присоединенной массы вдоль образующей и по круговой координате оказывает слабое влияние на частоты колебаний.

Ключевые слова: собственные частоты, формы колебаний, свободные колебания, оболочка, масса, площадь контакта.

S.V. Seregin

INFLUENCE OF THE CONTACT AREA AND VALUE OF THE LINEARLY DISTRIBUTED AND CONCENTRATED MASS WITH A CIRCULAR CYLINDRICAL SHELL ON THE FREQUENCY AND MODES OF NATURAL OSCILLATIONS

Finite element method shows the influence of the joining area and the relative value of linearly distributed mass along the angular coordinate and concentrated mass on natural oscillations and forms of a closed, circular cylindrical shell. We defined the ranges of concentrated and linearly distributed mass, added to a shell. The variation of the concentrated mass contact area markedly affects the lower frequency of the "shell-mass" system, in this connection, reducing the area of the shell leads to a marked decrease of the lowest split natural frequencies. The greatest of split natural frequencies decreases markedly with the increasing of contact area. More complex (mixed) oscillation modes of the "shell-mass" are detected. Dependence of the geometric characteristics of the shell with a concentrated mass of the lower split natural frequencies lower tone of oscillations, thus, revealing the dependence of frequencies on the length of the sheath. Linear contact area variation of the added mass and the circular coordinate has little effect on the oscillation frequency of the "shell-mass" system.

Key words: natural frequencies, oscillation modes, natural oscillations, shell, mass, contact area.

64

© Серёгин С.В., 2014

Тонкие круговые цилиндрические оболочки находят широкое применение в промышленном и гражданском строительстве. В конструкциях резервуаров для изотермического хранения сжиженных газов, нефте-и газодобывающих сооружениях, конструкциях подводных тоннелей и сооружений гражданского назначения. Например, таких как Ithaa Hilton Maldives Resort & Spa — подводный ресторан на Мальдивах, Water Discus Underwater Hotel — футуристический подводный отель в Дубае и др.

Неизбежны случаи, когда вдоль всей длины или на некотором участке к оболочке присоединены дополнительные конструкции или специальные накладки, обусловленные конструктивной, эксплуатационной или прочностной необходимостью. Такие конструктивные системы в условиях эксплуатации подвергаются интенсивным динамическим воздействиям, вследствие которых могут происходить специфические явления, нежелательные с точки зрения динамической прочности и надежности конструкции.

В теоретических исследованиях присоединенное к оболочке твердое тело (конструкция) интерпретируется либо как линейно распределенная, либо как сосредоточенная масса [1—5]. Результаты экспериментальных данных представлены в

[4—7].

В [8] изучено влияние инерционных свойств присоединенного твердого тела в виде присоединенного стержня, имеющего некоторую длину и относительную массу, на собственные частоты и формы колебаний цилиндрической оболочки.

В настоящей работе исследуются случаи, когда дополнительно присоединенную к оболочке на некоторой площади конструкцию можно рассматривать как сосредоточенную или линейно распределенную массу, и случаи, когда в теоретических расчетах не учет площади контакта присоединенной массы с оболочкой может привести к зна-

Thin circular cylindrical shells are widely applied in industrial and civil construction, in the construction of isothermal tanks for liquefied gases storage, oil and gas production facilities, construction of underwater tunnels and civil works. For example, such as Ithaa Hilton Maldives Resort & Spa — underwater restaurant in the Maldives, Water Discus Underwater Hotel — a futuristic underwater hotel in Dubai and others.

There are inevitable cases when some additional structures or special plates are attached throughout the whole length of the shell or to a certain field, due to structural, operational strength or solid-state necessity. During operational cycle such structural designs are affected by intensive dynamic effects, which results in specific phenomena, undesirable from the point of view of dynamic and structural reliability.

In research works a solid body (structure) added to a shell is interpreted as either linearly distributed or concentrated mass [1—5]. The experimental data results are presented in the works [4—7].

The work [8] studies the influence of inertial properties of the attached solid body in the form of a rod that has a certain length and relative mass, on natural frequencies and oscillation modes of a cylindrical shell.

The present work investigates the cases when the constructions additionally added to the shell on a certain area design can be considered as concentrated or linearly distributed mass, and cases when theoretical calculations do not consider contact area of the mass added to the shell can lead to significant er-

чительным погрешностям в определении собственных частот системы оболочка — масса.

Результаты исследований влияния присоединенного твердого тела на частоты и формы свободных колебаний представлены в [9—16].

Численное моделирование методом конечных элементов. Методом конечных элементов (МКЭ) в среде MSC/NASTRAN смоделированы свободно-опертые круговые цилиндрические оболочки со следующими геометрическими и физическими характеристиками: R =1 м — радиус оболочки; R/h = 200 (h — толщина стенки); L = 6 м и L = 1 м — длина оболочки; Е = 2х10п Н/м2 — модуль Юнга; р = 7800 кг/м3 — массовая плотность; ц = 0,3 — коэффициент Пуассона.

При моделировании конструкции и разбиении ее на конечные элементы (КЭ) использовались двумерные плоские КЭ квадратной формы — Plate, учитывающие все внутренние силовые факторы в оболочке и ее геометрию. Элементы воспринимают мембранные, сдвиговые, поперечные и изгибные нагрузки. Число КЭ при каждом значении длины оболочки подбиралось таким образом, что с последующим уменьшением размера КЭ (шаг уменьшения сетки КЭ a = 0,05 м) уточнение значения собственной частоты оболочки по отношению к предыдущей не превышало более 0,5 %.

Влияние размера площадки контакта и величины «сосредоточенной» массы на динамические характеристики оболочки. В настоящем исследовании присоединенную к оболочке массу трудно назвать сосредоточенной, потому что известно, при относительно малой площади сплошного присоединения массы, данной составляющей можно пренебречь. Тем не менее мы такую массу условно будем называть сосредоточенной.

Рассмотрим случай, когда на некоторой площади ^пр и при х0 = L/2 (где х0 —

rors in determining the natural frequencies of "shell — mass" system.

[9—16] present the research results of the influence of attached solid body on frequencies and natural oscillation modes.

Numerical simulation by the method of finite elements. The finite element method (FEM) in the environment MSC/NASTRAN modeled natural-ended circular cylindrical shells with the following geometric and physical parameters: R = 1 m — shell radius; R/h = 200 (h — wall thickness); L = 6 m and L = 1 m — shell length; Е = 2*10" H/m2 — Young's modulus; p = 7800 kg/m3 — mass density; ^ = 0.3 — Poisson ratio.

In modeling the structure and breaking it down into finite elements (FE) we used two-dimensional flat FE of "Plate" shape, considering all internal power factors in the shell and its geometry. Elements take up membrane, shear, cross-section and flexural loads. The number of FE at each value of shell length were selected so that subsequent reduction of finite element size (step reduction of the grid FE а = 0.05 m) verifying the given value of natural shell frequency in regard to the previous one did not exceed 0.5 %.

The influence of contact area and "concentrated" mass on dynamic shell properties. In the present work, the mass added to the shell could hardly be referred to as concentrated because, as it is known, in relatively small contact areas, this component can be neglected. Nevertheless, we shall conventionally call it concentrated.

Let's consider the case, when additional structure with mass M = 0.1M0

координата вдоль образующей оболочки), крепилась дополнительная конструкция, имеющая массу М = 0,1М0 (М0 — масса оболочки). Относительная площадь сплошного контакта конструкции с оболочкой С = £ /£, х100 % рассматрива-

-"пр сопр об А А

лась в диапазоне 0,001 % < ^пр < 3 % (где £ — площадь соприкосновения конструкции с оболочкой; £об — площадь оболочки).

На рис. 1, 2 представлены безразмерные частоты 0.п 0. = 0./ гап, (. = 1,2) изгиб-ных колебаний системы оболочка — масса (где юп0. — частота колебаний оболочки с массой; ю — частота колебаний оболоч-

п

ки без массы). Сплошной кривой линией 1 обозначена безразмерная частота оболочки, несущей сосредоточенную массу; пунктирной кривой 2 обозначен случай, когда масса имеет площадь присоединения с оболочкой ^пр = 0,2 %; штриховой кривой

3 — ^пр = 0,2 %; штрихпунктирной линией

4 обозначен случай, когда площадь контакта присоединенной массы ^пр = 3 %.

На рис. 1 при М = 0,1М0 представлена зависимость меньшей из расщепленных собственных частот от ^пр, п (п — число волн в окружном направлении).

was added to a certain area C and at x0 = L/2 (where x0 is the coordinate along the shell). The relative flush contact area with shell C = S S,

^np conp/ oo

x100 % was regarded in the range 0,001 % < C < 3 % (where S is

^np v conp

the structure contact area construction with a shell; S, — the shell

' oo

area).

Fig. 1, 2 present dimensionless

frequencies QKo,- =„oJ. (i = 12) of flexural oscillations of "shell—

mass" system (where œn0i — oscillation frequency of a shell with mass; <£>n — oscillation frequency of a shell without mass). Block curve 1 determines dimensionless shell frequency with a concentrated mass; dashed curve 2 shows the case when contact area of mass and shell is C = 0.2 %; dashed curve 3 — C = 0.2 %; dashed line 4 marks the case when additional mass contact area is

ZL = 3 %.

np

Fig. 1 at M = 0.1M0 shows the dependence of the lowest split natural frequency Qn01 from Çnp, n (n is a wave number in the circumferential direction).

Рис. 1. Влияние площади контакта «сосредоточенной» массы с оболочкой на меньшую из расщепленных собственных частот

Fig. 1. The influence of contact area of "concentrated" mass with a shell on the lowest split natural frequency

Видно из рис. 1, что с увеличением ^ влияние присоединенной массы на Оя01 ослабевает, т.е. наибольшее снижение частоты наблюдается в случае, когда площадь контакта массы с оболочкой минимальна.

Рис. 2 демонстрирует изменение большей из расщепленных собственных частот О в зависимости от С . В этом

п02 -пр

случае наблюдается противоположный эффект — Оп02 снижается с увеличением площади контакта присоединенной массы ^пр. Причем, снижение частоты может быть весьма существенным.

Fig. 1 shows, that increasing Znp decreases the influence of additional mass on Q m, in other words, we observe the highest reduction of the frequency in case of minimum contact area of mass and shell.

Fig. 2 presents the change of the highest split natural frequency Qn02 referred to Znp. In this case we observe the adverse effect. The extension of contact area of additional mass Znp reduces Qn02. Besides, the frequency may considerably reduce.

П

7*2 0,9

Рис. 2. Влияние площади контакта «сосредоточенной» массы с оболочкой на большую из расщепленных собственных частот

Fig. 2. The influence of contact area of "concentrated" mass with a shell on the highest split natural frequency

Увеличение и уменьшение частот О Оя02 в зависимости от ^пр происходит, по-видимому, не только из-за изменения величины присоединяемой к оболочке массы, но и вследствие увеличения жесткости некоторого сегмента оболочки, обусловленного сплошным присоединением дополнительной конструкции (массы), имеющей свою жесткость.

Рис. 3 демонстрирует влияние ^пр, оболочки с массой М = 0,05М0, М = 0,1М0 на Оя01. Рассмотрены случаи, когда оболочка имеет следующие геометрические характеристики: Ь/Я = 1, Ь/Я = 6.

Increase and decrease in frequencies Qn01, Qn02 in relation to Znp, depend, apparently, not only on variation of mass added to the shell, but also on the increase of stiffness of a certain shell field due to flush contact of additional structure (mass), with its own rigidity.

Fig. 3 shows the influence Znp, of the shell with a mass M = 0.05M0, M = 0. M, on Q ^. We considered the

0 n01

cases when the shell has the following geometric properties: L/R = 1, L/R = 6.

М= 0,05 л/,,

0,4

0.001 0,5

1,5

2,5

Рис. 3. Влияние длины оболочки, площади контакта и величины присоединенной массы на Q „,

Fig. 3. The influence of shell length, contact area and added mass value on Q

Можно сказать, что частота существенно зависит от геометрических параметров оболочки (Ь/Е), несущей присоединенную массу, и от ^ Причем, в диапазоне 0,001 % < ^ < 0,5 % изменение более существенное (см. рис. 3), а при > 0,5 % изменение ^я01 менее существенное.

Формы колебаний. Отмечается существенное различие между поведением системы оболочка — масса, совершающей колебания на низшей частоте и на высших частотах. На низшей частоте даже относительно небольшая присоединенная масса приводит к существенному снижению меньшей из расщепленных частот. Форма колебаний, соответствующая ^и01, характеризуется значительным преобладанием перемещений в окрестности крепления массы над перемещением других точек оболочки. Большая из расщепленных частот снижается незначительно, если присоединенная масса сосредоточена —*0). Ее форма сдвинута относительно меньшей частоты на угол п/2п.

На высших частотах расщепление незначительное. Формы колебаний с ча-

We can say that frequency Qn01 depends markedly on geometric shell (L/R) properties with an added mass, and ^ . Moreover, in the range 0.001 % < tf < 0.5 %, the variation of Qn01 is more significant (see fig. 3) and at L > 0.5 %, the variation is less

np

important.

Oscillation modes. There is a significant difference between the behavior modes of shell — mass system oscillating at low and high frequencies. The lowest frequency of even relatively small added mass leads to a considerable reduction in the lowest split frequency. Oscillation mode, corresponding to Qn01, is characterized by more displacements in the area of mass addition compared with the displacements of other shell points. The highest split frequency decreases insignificantly, if an added mass is concentrated (Znp^0). Its form is shifted to the corner with respect to the lowest frequency.

At higher frequencies, the splitting is insignificant. Oscillation modes with the frequency Qn01 and Qb02 look

стотой и напоминают сопряженные изгибные синусоидальную и коси-нусоидальную формы, сдвинутые также на угол л/2л. Однако на высших частотах выявлены и более сложные (неоднозначные) формы колебаний оболочки (рис. 4).

like coupled flexural sinusoidal and co sinusoidal forms, also displaced to the corner n/2n. But at higher frequencies more complex (ambiguous) forms of shell oscillation modes were found (fig. 4).

Рис. 4. Формы колебаний оболочки L/R = 1, несущей сосредоточенную массу M = 0,1M0;

Fig. 4. Shell oscillation modes L/R = 1 with a concentrated mass M = 0.1M0;

Влияние размера площадки контакта линейно присоединенной массы на динамические характеристики оболочки. На рис. 5 представлено влияние ^ на частоты колебаний оболочки Ь/Я = 1, несущей линейно присоединенную массу М = 0,1М0 вдоль образующей и вдоль круговой координаты.

The influence of linearly added mass contact area on dynamic properties of the shell. Fig. 5 presents the influence of C on oscillation

^np

frequency of the shell bearing linearly added mass to the generatrix and along the circular coordinates.

а б

Рис. 5. Собственные частоты колебаний оболочки, несущей линейно присоединенную массу: а — вдоль образующей; б — вдоль круговой координаты

Fig. 5. Natural frequencies of the shell, bearing linearly added mass: a — the generatrix; б — along circular coordinates

В отличие от сосредоточенной Unlike concentrated mass, linearly

массы, линейно распределенная масса distributed mass depends little on the

мало зависит от площади ее распреде- area of its distribution along the shell

ления по поверхности оболочки. surface.

В случае колебаний оболочки, несущей линейно присоединенную массу по круговой координате при любых значениях ^пр расщепления частотного спектра не происходит.

Выводы. Размер площади контакта «сосредоточенной» массы значительно влияет на динамическое поведение круговых цилиндрических оболочек. Наибольшее влияние присоединенная масса оказывает на низшие частоты свободных изгибных колебаний системы оболочка — масса. При этом уменьшение размеров площади контакта массы с оболочкой ведет к заметному снижению меньшей из расщепленных собственных частот. Кроме того, выявлено изменение большей из расщепленных частот, которая может существенно снизиться при увеличении площади контакта массы с оболочкой. Высшие частоты спектра меняются незначительно.

Наибольшее изменение меньшей из расщепленных собственных частот ^я01 низшего тона колебаний происходит в диапазоне площади сплошного контакта конструкции с оболочкой 0,001 % < Спр < 0,5 %. В диапазоне ^пр > 0,5 % изменение ^я01 менее существенное.

Увеличение и уменьшение частот ^я01, 0.п02 в зависимости от ^пр происходит, по-видимому, не только из-за изменения величины присоединяемой к оболочке массы, но и вследствие увеличения жесткости некоторого сегмента оболочки, обусловленного сплошным присоединением дополнительной конструкции (массы), имеющей свою жесткость.

Выявлена зависимость геометрических характеристик оболочки, несущей сосредоточенную и линейно распределенную массу вдоль образующей на собственные частоты из-

In the case of shell oscillations with linearly added mass in a circular coordinate for any values of Znp frequency spectrum doesn't split.

The conclusion. The size of "concentrated" mass contact area markedly affects the dynamic behavior of circular cylindrical shells. The added mass has the biggest influence on the lower frequencies of natural flexural oscillations of "shell — mass" system. Thus, reducing contact area of mass and shell leads to a marked reduction in the lowest split natural frequency. Besides, we found out, that the highest split frequency may be reduced significantly if the contact area of mass and shell increases. The highest spectrum frequencies change slightly.

The biggest variation of the least split natural frequency Qn01 in lower modes, is in the range of flush contact of the structure and shell 0.001 % < C <

np

0.5 %. In the range Znp > 0.5 % variation is less significant.

There is the dependence of geometric shell parameters, bearing concentrated mass, linearly distributed along the generatrix on the natural frequencies of flexural oscillations. Reducing shell length leads to a significant reduction of the lowest split natural frequencies in lower modes of shell — mass system.

We found more complex (ambiguous) oscillation modes.

Variation of contact area of linearly added masses along the surface and in a circular coordinate has little impact on oscillation frequencies.

References

1. Zarutskiy V A., Telalov A. I. Kolebaniya tonkostennykh obolochek s konstruktivnymi osobennostyami. Obzor eksperimental'nykh issledovaniy [Oscillations of Thin Shells with Design Features. Experimental Researches]. Prikladnaya mekhanika [Applied Mechanics]. 1991, vol. 278, no. 4, pp. 3—9.

гибных колебаний. Уменьшение длины оболочки ведет к существенному снижению меньшей из расщепленных собственных частот низшего тона колебаний системы оболочка — масса.

Обнаружены более сложные (неоднозначные) формы колебаний.

Изменение площади контакта линейно присоединенной массы вдоль образующей и по круговой координате оказывает слабое влияние на частоты колебаний.

В отличие от сосредоточенной массы, линейно распределенная масса мало зависит от площади ее распределения по поверхности оболочки. В случае колебаний оболочки, несущей линейно присоединенную массу по круговой координате при любых значениях расщепления частотного спектра не происходит.

Библиографический список

1. Заруцкий В.А., Телалов А.И. Колебания тонкостенных оболочек с конструктивными особенностями. Обзор экспериментальных исследований // Прикладная механика. 1991. Т. 278. № 4. С. 3—9.

2. Avramov K.V, Pellicano F. Dynamical instability of cylindrical shell with big mass at the end // Reports of the National Academy of Science of Ukraine. 2006. No. 5. Pp. 41—46.

3. Серёгин С.В. Исследование динамических характеристик оболочек с отверстиями и присоединенной массой // Вестник МГСУ 2014. № 4. С. 52—58.

4. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Краснопольская Т.С. Нелинейное взаимодействие форм изгибных колебаний цилиндрических оболочек. Киев : Наукова думка, 1984. 220 с.

5. Андреев Л.В., Дышко А.Л., Павленко И.Д. Динамика пластин и оболочек с сосредоточенными массами. М. : Машиностроение, 1988. 200 с.

6. Kubenko V.D., Koval'chuk P.S. Experimental studies of the Oscillations and

2. Avramov K.V., Pellicano F. Dynamical Instability of Cylindrical Shell with Big Mass at the End. Reports of the National Academy of Science of Ukraine. 2006, no. 5, pp. 41—46.

3. Seregin S.V. Issledovanie dinami-cheskikh kharakteristik obolochek s otver-stiyami i prisoedinennoy massoy [Research of Dynamic Shell Properties with Holes and Added Mass]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 4, pp. 52—58.

4. Kubenko V.D., Koval'chuk P.S., Krasnopol'skaya T.S. Nelineynoe vzaimo-deystvie form izgibnykh kolebaniy tsilin-dricheskikh obolochek [Nonlinear Interaction of Flexural Cylindrical Shell Oscillations]. Kiev, 1984, 220 p.

5. Andreev L.V., Dyshko A.L., Pav-lenko I.D. Dinamika plastin i obolochek s sosredotochennymi massami [Dynamics of Plates and Shells with Concentrated Masses]. Moscow, 1988, 200 p.

6. Kubenko V.D., Koval'chuk P.S. Experimental Studies of the Oscillations and Dynamic Stability of Laminated Composite Shells. International Applied Mechanics. 2009, vol. 45, no. 5, pp. 514—533. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/s10778-009-0209-4.

7. Sivak V.F., Sivak V.V. Experimental Investigation into the Oscillations of Shells of Revolution with Added Masses. International Applied Mechanics. 2002, vol. 38, no. 5, pp. 623—627.

8. Seregin S.V Vliyanie prisoedinenno-go tela na chastoty i formy svobodnykh kole-baniy tsilindricheskikh obolochek [Influence of Attached Body on Natural Oscillation Frequency Modes]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Building Mechanics and Calculation Installations]. 2014, no. 3, pp. 35— 39.

9. Trotsenko Yu.V Frequencies and Modes of Cylindrical Shell Oscillation with Attached Stiff Body. Journal of Sound and Oscillation. 2006, vol. 292, no. 3—5, pp. 535—551.

10. Amabili M., Garziera R., Carra S. The Effect Rotary Inertia of Added Masses on Oscillations of Empty and Fluid-filled

dynamic stability of laminated composite shells // International Applied Mechanics. 2009. Vol. 45. No. 5. Pp. 514—533.

7. Sivak V.F., Sivak V.V. Experimental investigation into the Oscillations of shells of revolution with added masses // International Applied Mechanics. 2002. Vol. 38. No. 5. Pp. 623—627.

8. Серёгин С.В. Влияние присоединенного тела на частоты и формы свободных колебаний цилиндрических оболочек // Строительная механика и расчет сооружений. 2014. № 3. С. 35—39.

9. Trotsenko Yu.V. Frequencies and modes of cylindrical shell oscillation with attached stiff body // Journal of Sound and Oscillation. 2006. Vol. 292. No. 3—5. Pp. 535—551.

10. Amabili M., Garziera R., Carra S. The effect of rotary inertia of added masses on oscillation of empty and fluid-filled circular cylindrical shells // Journal of Fluids and Structures. 2005. Vol. 21. No. 5—7. Pp. 449—458.

11. Mallon N.J. Dynamic stability of a thin cylindrical shell with top mass subjected to harmonic base-acceleration // International Journal of Solids and Structures. 2008. Vol. 45. No. 6. Pp. 1587—1613.

12. Amabili M., Garziera R., Carra S. The effect of rotary inertia of added masses on oscillations of empty and fluid-filled circular cylindrical shells // Journal of Fluids and Structures. 2005. Vol. 21. No. 5—7. Pp. 449—458.

13. Amabili M., Garziera R. Oscillations of circular cylindrical shells with nonuniform constraints, elastic bed and added mass; Part III : steady viscous effects on shells conveying fluid // Journal of Fluids and Structures. 2002. Vol. 16. No. 6. Pр. 795—809.

14. Лейзерович Г.С., Приходько Н.Б., Серёгин С.В. О влиянии малой присоединенной массы на колебания разнотолщин-ного кругового кольца // Строительство и реконструкция. 2013. № 4. С. 38—41.

15. Лейзерович Г.С., Приходько Н.Б., Серёгин С.В. О влиянии малой присоединенной массы на расщепление частотного спектра кругового кольца с начальными

Circular Cylindrical Shells. Journal of Fluids and Structures. 2005, vol. 21, no. 5—7, pp. 449—458.

11. Mallon N.J. Dynamic Stability of a Thin Cylindrical Shell with Top Mass Subjected to Harmonic Base-Acceleration. International Journal of Solids and Structures. 2008, vol. 45 (6), pp. 1587—1613.

12. Amabili M., Garziera R., Carra S. The Effect of Rotary Inertia of Added Masses on Oscillations of Empty and Fluid-filled Circular Cylindrical Shells. Journal of Fluids and Structures. 2005, vol. 21, no. 5—7, pp. 449—458.

13. Amabili M., Garziera R. Oscillations of Circular Cylindrical Shells with Nonuniform Constraints, Elastic Bed and Added Mass. Part III: Steady Viscous Effects on Shells Conveying Fluid. Journal of Fluids and Structures. 2002, vol. 16, no. 6, pp. 795—809.

14. Leyzerovich G.S., Prikhod'ko N.B., Seregin S.V O vliyanii maloy prisoedinen-noy massy na kolebaniya raznotolshchinnogo krugovogo kol'tsa [Influence of Low Added Mass on Oscillations of Circular Spline with Varied Thickness]. Stroitel'stvo i rekon-struktsiya [Building and Reconstruction]. 2013, no. 4, pp. 38—41.

15. Leyzerovich G.S., Prikhod'ko N.B. Seregin S.V O vliyanii maloy prisoedinen-noy massy na rasshcheplenie chastotnogo spektra krugovogo kol'tsa s nachal'nymi nepravil'nostyami [Influence of Low Added Mass on Frequency Spectrum of Circular Spline with Initial Imperfections]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooru-zheniy [Structural Mechanics and Structural Analysis]. 2013, no. 6, pp. 49—51.

16. Khalili S.M.R., Tafazoli S. Malekzadeh K. Fard. Natural Oscillations of Laminated Composite Shells with Uniformly Distributed Added Mass Using Higher Order Shell Theory Including Stiffness Effect. Journal of Sound and Oscillation. 2011, vol. 330, no. 26, pp. 6355—6371.

About the author: Seregin Sergey Valer'evich — Postgraduate Student, Department of Construction and Architecture, Komsomolsk-na-Amure State Technical

неправильностями // Строительная механика и расчет сооружений. 2013. № 6. С. 49—51.

16. Khalili S.M.R., Tafazoli S., Malekzadeh Fard K. Free oscillation of laminated composite shells with uniformly distributed added mass using higher order shell theory including stiffness effect // Journal of Sound and Oscillation. 2011. Vol. 330. Vol. 26. Рр. 6355—6371.

Поступила в редакцию в июне 2014 г.

Об авторе: Серёгин Сергей Валерьевич — аспирант кафедры строительства и архитектуры, Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет (ФГБОУ ВПО «КнАГТУ»), 681013, г. Комсомольск-на-Амуре, ул. Ленина, д. 27, 8 (4217) 24-1141, Seregin-komsHome@yandex.ru.

University, 27 Lenin str., Komsomolsk-na-Amure, 681013, Russian Federation; sere-gin-komsHome@yandex.ru.

For citation: Seregin S.V, Vliyanie ploshchadi kontakta i velichiny lineyno raspredelennoy i sosredotochennoy massy s krugovoy tsilindricheskoy obolochkoy na chastoty i formy svobodnykh kolebaniy [Influence of the Contact Area of Linearly Distributed and Concentrated Mass with a Circular Cylindrical Shell on the Frequency and Modes of Natural Oscillations]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 7, pp. 64—74.

Для цитирования: Серёгин С.В. Влияние площади контакта и величины линейно распределенной и сосредоточенной масс с круговой цилиндрической оболочкой на частоты и формы свободных колебаний // Вестник МГСУ 2014. № 7. С. 64—74.