О методологии реализации дискретной линии в содержании профильного обучения математике в школе

УДК 37.016:519.1 ББК Ч426.24

Перминов Евгений Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент

кафедра высшей математики Российский государственный профессионально-педагогический университет

г. Екатеринбург Perminov Evgeny Aleksandrovich Candidate of Physics and Mathematics,

Assistant Professor Chair of Higher Mathematics The Russian State Professional Pedagogical University

Yekaterinburg

О методологии реализации дискретной линии в содержании профильного

обучения математике в школе On Methodology of Discrete Line Implementing in the Contents of Mathematics

Oriented Education at School

В статье обосновывается актуальность реализации дискретной линии в содержании профильного обучения математике в школе. Характеризуются культурологический аспект и аспекты междисциплинарной интеграции и изучения структур и схем дискретной математики, играющие фундаментальную роль в отборе «дискретного» компонента содержания профильного обучения учащихся математике.

The article substantiates the importance of discrete line implementing in the contents of mathematics oriented education at school; characterizes the culturological aspect and aspects of interdisciplinary integration and study of discrete mathematics structures and schemes, which play a fundamental role in the selection of a discrete component of the contents of mathematics oriented education for school pupils.

Ключевые слова: школа, профильное обучение математике, дискретная математика.

Key words: school, mathematics oriented education, discrete mathematics.

В последние десятилетия в математике значительно возросла роль работ по дискретизации непрерывных объектов, наблюдается бурный рост самой дискретной математики и ее приложений. Как отмечал выдающийся математик

А.Н.Колмогоров, «по существу все связи между математикой и ее реальными применениями полностью умещаются в области конечного... Мы предпочитаем непрерывную модель лишь потому, что она проще» [3, 15 ]. Именно поэтому математические модели были в основном непрерывными. Эту же мысль хорошо сформулировал известный американский специалист по дискретной математике Д.

Зайлбергер: «Непрерывный анализ и геометрия являются только вырожденными аппроксимациями дискретного мира... Хотя дискретный анализ концептуально проще непрерывного, технически он, как правило, значительно сложнее. Поэтому в отсутствие компьютеров непрерывная геометрия и анализ были необходимыми упрощениями, позволявшими исследователям добиваться успехов в естественных науках и математике» [9, 109].

Стираются прежние границы между классической («непрерывной») и дискретной математикой, поскольку во многих науках все чаще встречаются задачи, при решении которых одновременно используются как непрерывные, так и дискретные модели. Это привело к возникновению новой точки зрения на природу математики, ее характер, на соотношение в ней непрерывного и дискретного. В результате предмет «Дискретная математика» («Основы дискретной математики») c 1995 г. постепенно был включен в государственные стандарты высшего и профессионального образования по многим специальностям из подавляющего большинства направлений подготовки. Поэтому дискретная математика имеет фундаментальное значение в подготовке учащихся к успешному обучению в вузах, для чего необходима реализация дискретной линии в профильном обучении математике в школе.

Возникает закономерный вопрос о том, каковы же методологические аспекты реализации дискретной линии в содержании профильного обучения математике в школе, выявляемые при анализе историко-философских проблем развития математики? Отметим сразу, что сложные организационно -управленческие аспекты реализации этой линии лежат вне рамок статьи.

1. Культурологический аспект. Как известно «математика - это всечеловеческая наука...Математический язык (в отличие от национального языка) всечеловечен, и математическая истина не имеет национальных границ» [10, 3]. Поэтому анализ сути принципа культуросообразности применительно к школьному образованию показывает, что та ступень современной «всечеловеческой» математической культуры, на которой мы находимся в данное время, предъявляет к нам требование, чтобы мы действовали сообразно

70

с ней, если только хотим добиться положительных результатов профильного обучения математике.

Историко-философский анализ проблем развития математики показывает, что в методологии отбора содержания профильного обучения математике в школе определяющую роль играют наиболее яркие проявления новой ступени «всечеловеческой» математической культуры, каковыми являются математическое моделирование, дискретная математика и вычислительные процессы [1,8]. Их роль особенно велика в наведении мостов между всеми уровнями образования. При этом наблюдающийся в последние десятилетия «расцвет» дискретной математики, т.е. математики дискретных структур -структур финитного (конечного) характера, стал одной из главных причин распространения математического моделирования и вычислительных процессов в самых различных областях науки и производства.

Действительно, в свое время один из основоположников информатики

В.М. Глушков указывал, что математика в начале XXI в. «будет в большей мере математика дискретных, а не непрерывных величин», а «расширение области математизации знания ... потребует и будет опираться на развитие новых разделов математики, прежде всего - новых разделов дискретной математики» [1, 122]. Поэтому не случайно в последние десятилетия получает все большее распространение математическое моделирование с использованием дискретных моделей благодаря развитию таких разделов ДМ как формальные языки и грамматики, алгоритмические системы, языки программирования, структуры и алгоритмы обработки данных, теория вычислительной сложности, в совокупности составляющих математические основы информатики и программирования (см. об этом в тематике журнала «Прикладная дискретная математика»). В свою очередь фундаментальная роль вычислительных процессов в различных областях науки и производства объясняется следующими обстоятельствами.

Функционирование сложных систем управления технологическими процессами, энергетическими и другими важными системами обеспечивается

71

вычислительным процессом, реализуемым специализированным или универсальным компьютером, который все чаще становится наиболее важным узлом данных систем. Проблема обеспечения эффективного вычислительного процесса обеспечивается не только аппаратными возможностями компьютера или локальной сети компьютеров. Существенное значение имеют такие показатели эффективности как точность вычислений, эффективность используемых алгоритмов, помехозащищенность и т. д. Таким образом, корректное осуществление вычислительного процесса требует от исследователя весьма универсальных познаний не только в какой-то специальной области, где осуществляется вычислительный процесс, но и знания теорий алгоритмов, автоматов, кодирования, асимптотических оценок и приближений и др. (являющихся областями современной дискретной математики).

Анализ государственных стандартов высшего профессионального образования показывает [6], что в результате широкого распространения идей и методов дискретной математики в содержании математической подготовки студентов возникли направления обучения ДМ, которые можно условно разделить на четыре группы:

1) обучение математиков, программистов и специалистов в области прикладной математики;

2) обучение на инженерно-технических специальностях (электротехнических, машиностроительных и т.д.);

3) обучение на экономических и управленческих специальностях.

4) обучение на гуманитарных (психология, филология и др.) специальностях с фрагментарным изучением тех или иных элементов ДМ.

В процессе формирования современной дискретной математики возник целый ряд уже упоминавшихся ранее разделов ДМ, в совокупности составляющих математические основы информатики и программирования и так или иначе изучаемых на специальностях первых трех направлений. Кроме того, важную роль в содержании математической подготовки студентов стали

72

играть теория автоматов, функциональных систем, синтез и сложность управляющих систем, имеющие фундаментальное значение в разработке и совершенствовании современных компьютерных технологий (см. тематику журнала «Дискретный анализ и исследование операций»).

Таким образом, важное методологическое значение в реализации дискретной линии в профильном обучении математике в школе играет закономерно вытекающий из культурологического анализа основной вывод о том, что владение идеями и методами дискретной математики стало неотъемлемой частью содержания подготовки специалиста, умело использующего в своей профессиональной деятельности достижения современной математической и информационной культуры.

Этот вывод позволяет формулировать конкретные рекомендации для работы специалистов в образовательной сфере школы. В методологии отбора содержания профильного обучения математике в школе необходимо исходить из того, что методологически не продуманное изучение тех или иных элементов ДМ (из комбинаторики, теорий графов, булевых функций и др.), довольно часто наблюдающееся в школе, не вполне отвечает требованиям современного культурологического подхода в математическом образовании [7]. Формирование «дискретного» компонента содержания профильного обучения математике в школе должно быть основано на особенностях современной математической культуры, концептуальных особенностях [6] перечисленных направлений обучения ДМ. Здесь важно также учитывать сложившуюся в школе систему учебной работы, реализующую обе генеральные функции математического образования, общеобразовательную и специализирующую, определяющие различные векторы обучения (в том числе и типы, и перечень элективных курсов).

2. Аспекты междисциплинарной интеграции. Ярким отражением современной математической культуры стала междисциплинарная интеграция математики, естественных, технических и гуманитарных наук. В результате постепенно возникли математические физика, химия, биология, экономика,

73

психология, география, экология, психология, история. Кроме того, методы математики и особенно математического моделирования и теории вычислительных процессов стали интенсивно применяться в зоологии, ботанике, физиологии, юриспруденции, лингвистике, физической культуре и даже в искусстве. Фактически здесь перечислены дисциплины, названия которых отражены в перечне соответствующих учебных предметов Проекта ФГОС среднего (полного) общего образования. Становится очевидным, что современный учитель, а не только учитель математики, должен знать не только математический аппарат своего предмета, но и уметь использовать его в процессе обучения. Поэтому необходима интеграция математической и специальной подготовки в области теории и методики математики для подавляющего большинства профилей подготовки студентов педвузов.

Анализ математического аппарата исследований с использованием компьютера в каждой из перечисленных дисциплин показывает, что в формировании основ этого аппарата наряду с классической («непрерывной») фундаментальную роль играет дискретная математика. Метод конечных разностей решения дифференциальных уравнений в математической физике; молекулярные графы в математической химии; клеточные автоматы, отношения различной арности и элементы алгебры высказываний в биологии развития; алгебраические операции и логика предикатов в математической экономике и т.д. - вот лишь неполный перечень разделов ДМ, так или иначе играющих фундаментальную роль в математизации выше перечисленных наук.

Интересно отметить, что, казалось бы, в далекой от математики науке, какой является лингвистика, возникли такие ее области как математическая лингвистика, комбинаторные и вероятностные методы лингвистики, в которых фундаментальную роль играют понятия и факты комбинаторики, математической логики, теории автоматов, формальных грамматик и другие разделы современной ДМ. Как показывает анализ культурологических трудов, язык и методы дискретной математики имели фундаментальное значение в исследованиях лингвистических систем и процессов, начавшихся на рубеже 60-

74

х гг. и подготовивших смену парадигмы языкознания. Таким образом, язык дискретной математики играет важную роль в формировании профессиональных знаний и умений филологов, под которыми следует подразумевать «специальные лингвистические знания и умения, необходимые для успешной работы в различных сферах в качестве специалиста со знанием иностранного языка» [4, 137].

В очень многих науках часто возникают задачи, приводящие к большим вычислениям на компьютере (эффект «комбинаторного взрыва»). Увеличение быстродействия компьютера не упрощает ситуацию с большими вычислениями. Поэтому имеют большое значение комбинаторные методы дискретной математики и методы классической математики (в частности, математического анализа), позволяющие преодолеть такие ситуации в решении задач математического моделирования с использованием компьютера.

Единение методов дискретной и классической («непрерывной») математики привело к появлению дискретного и комбинаторного анализов и в результате - таких важных понятий как асимптотические оценка и приближение, играющие определяющую роль в оценке сложности вычислений алгоритмов, порядка роста (убывания) функций и решении многих других вопросов в самых различных приложениях математики, физики и многих других наук. Вообще, в истории развития математики наблюдается постоянное взаимодействие, взаимопроникновение идей и методов дискретной и «непрерывной» математики. Поэтому при отборе содержания профильного обучения математике необходимо исходить из единства дискретной и непрерывной математики, что подразумевает формирование у учащихся начальных умений гармоничного сочетания в решении задач дискретных и непрерывных моделей.

Как показывает анализ предмета и функций ДМ [6], наряду с этим положением при формировании «дискретного» компонента содержания профильного обучения математике нужно руководствоваться следующими положениями:

- формирование общекультурных представлений учащихся о математических моделях и их видах, используемых в изучаемом предмете;

- обучение начальным элементам математического моделирования и вычислений с использованием компьютера, присущим изучаемому профильному предмету;

- систематизация и классификация объектов и явлений изучаемого профильного предмета;

- овладение способами корректного представления, переработки, осмысления и использования информации, характерными для профильного учебного предмета.

Важную роль в реализации этих положений играет интеграция профильного обучения математике и информатике, в частности, согласованное использование учителями математики и информатики информационных технологий, причем «полное, то есть от проектирования образовательной деятельности до контроля результатов обучения» [2].

3. Аспекты изучения структур и схем дискретной математики. Важное методологическое значение доминирующих в ДМ алгебраических, порядковых структур и логических, комбинаторных и алгоритмических схем (как средств, методов математического познания) в профильном обучении математике в школе проявляется в следующем.

Во-первых, язык этих структур и схем играет фундаментальную роль в качественном анализе сложных проблем математического моделирования, в систематизации информации по интересующей проблеме, ее структуризации, представлении этой информации в виде, удобном для последующего анализа как «вручную», так и с использованием компьютера. Поэтому адекватное отражение в содержании профильного обучения математике наиболее важных понятий языка структур и схем ДМ (алгебраическая и логическая операции, бинарное отношение, граф, комбинаторная конфигурация и др.) обеспечивает своеобразный стандарт обучения учащихся математическому моделированию, свидетельствующий о его фундаментальности. Во-вторых, изучение этих

76

понятий играет важную роль в формировании представлений о математике как единой науке и о внутренней логике математики. В-третьих, первоначальное знакомство с языком этих структур и схем способствует раннему формированию в мышлении учащихся когнитивных (познавательных) структур и схем, являющихся их отражением. Изучение понятий языка структур и схем ДМ, воздействуя указанным образом на развитие мышления учащихся, способствует выработке у них умения структурировать и тем самым систематизировать информацию, играющего важную роль в моделировании и алгоритмизации, в частности, в создании базы данных в компьютере. Формирование когнитивных структур и схем необходимо начинать уже с 11-12 летнего возраста [11].

Анализ самой структуры интеллектуальных операций [12] показывает, что в ее формировании в мышлении учащихся фундаментальную роль играет ряд базовых понятий ДМ. Действительно, не случайно даже в названии таких областей и разделов современной дискретной математики и ее приложений как дискретный анализ, дискретные структуры (модели), анализ и синтез (электросхем, узлов ЭВМ), отношения и соответствия и др. отразились названия известных интеллектуальных операций «анализ, синтез, структурирование, раскрытие отношений» и др. операций [12, 221].

В заключение отметим, что охарактеризованные методологические аспекты отбора «дискретного» компонента содержания профильного обучения математике в классах физико-математического профиля частично реализованы в концепции и содержании учебного пособия [5]. Там же отражен «дискретный» подход в изучения понятий алгоритма и алгоритмически разрешимой или неразрешимой задачи, для которой существует или соответственно не существует алгоритм ее решения на используемом математическом языке. В частности, приводятся различные алгоритмы: решения персонажами Смекалкиным, Ленивкиным и Кнопкиным одних и тех же практических задач; вычислений и решений аналогов «школьных» уравнений в кольце остатков от деления на 4, «новой арифметике»

77

(пятиэлементом поле), алгебре высказываний. В представленной в пособии программе обучения ДМ для учащихся 10-11 классов предусмотрено изучение алгоритмов решения задач в перечисленных алгебрах, реализуемых на условных микрокалькулляторах, различающихся перечнем выполняемых операций и размером табло.

Библиографический список

1. Глушков, В.М. Кибернетика. Вопросы теории и практики [Текст] / В.М. Глушков. - М.: Наука, 1986. - 888 а

2. Кипнис, М.М. Концепция подготовки учителей информатики в педагогическом вузе [Текст] / М.М.Кипнис, Г.Б.Поднебеснова // Вестник ЧГПУ. - 2011. - № 12.2. - а 126 - 132.

3. Колмогоров, А.Н. Научные основы школьного курса математики. Первая лекция [Текст] / А.Н.Колмогоров // Математика в шк. - 1969. - № 3. - С. 12 - 18.

4. Никитина, Е.Ю. Теоретические аспекты проблемы развития языковой компетентности студентов вузов [текст] / Е.Ю.Никитина, И.М.Залялетдинова // Вестник ЧГПУ. - 2009. - № 7. - С. 135 - 141.

5. Перминов, Е.А. Дискретная математика [Текст]: учеб. пособие для 8-9-х кл. сред. общеобразоват. шк. / Е.А.Перминов. - Екатеринбург: ИРРО, 2004. - 206 с.

6. Перминов, Е.А.Методические основы обучения дискретной математике в системе «школа - вуз» [Текст] / Е.А.Перминов. - Екатеринбург: изд-во РГППУ, 2006. - 237 с.

7. Перминов, Е.А. О методологических аспектах реализации культурологического подхода в математическом образовании // Педагогика. - 2011. -№ 9. - С.49 - 55.

8. 8. Садовничий, В.А. Математическое образование: настоящее и будущее. [Текст] / В.А.Садовничий // Доклад на Всероссийской конференции «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков». Дубна, сентябрь. 2000. - М.:МЦНМО, 2000. - 664 с.

9. Тестов, В.А.О проблеме обновления содержания обучения математике в школе [Текст] / В.А. Тестов // Преподавание математики в школах и вузах: проблемы содержания, технологии и методики: материалы Всерос. научно-практ. конф. Глазов: Глазовский гос. пед. ин-т. - 2009. - С. 106 -111.

10. Тихомиров, В.М.О некоторых проблемах математического образования [Текст] / В.М.Тихомиров // Математическое образование. Настоящее и будущее. Всероссийская конференция «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков». - Дубна, сентябрь 2000. -М.: МЦНМО, 2000. С. 3 - 15.

11. Чуприкова, Н.И. Умственное развитие и обучение. / Н.И.Чуприкова. - М. 1995. (Психол. основы развивающего обучения). - 189 с.

12. Шадриков В.Д. Ментальное развитие человека. / В.Д.Шадриков. - М.: Аспект Пресс, 2007.

Bibliography

1. Chuprikova, N.I. Intellectual Development and Training / N.I.Chuprikova. -Moscow, 1995. (Psychological Bases of Developmental Training). - 189 p.

2. Glushkov, V.M. Cybernetics. Theory and Practice Questions [Text]: Monograph / V.M. Glushkov. - М.: Science, 1986. - 888 p.

3. Kipnis, M.M. Computer Science Teachers' Training Concept at Pedagogical University / M.M.Kipnis, G.B. Podnebesova // Herald of Chelyabinsk Pedagogical University. - 2011. - № 12.2. - P. 126 - 132.

4. Kolmogorov, A.N. Scientific Bases of School Course of Mathematics. The First Lecture // Mathematics in School. - 1969. - № 3. - P. 12 - 18.

5. Nikitina, E.Yu. Theoretical Aspects of Higher Education Institution Students' Language Competence Development / E.Yu. Nikitina, I.M. Zalvaletdinova // Herald of Chelyabinsk Pedagogical University. - 2011. - № 12.2. - P. 126 -132.

6. Perminov, E.A. Discrete Mathematics [Text]: Textbook for 8-9 Grades in Secondary School / E.A.Perminov. - Yekaterinburg: IRDO, 2004. - 206 p.

7. Perminov, E.A. Methodological Bases of Discrete Mathematics Teaching in "School - Higher School" System [Text]: Monograph / E.A. Perminov. -Ekaterinburg: Publishing House of RSPPU, 2006. - 237 p.

8. Perminov, E.A. About the Methodological Aspects of the Culturological Approach Realizing in Mathematical Education // Pedagogics. - 2011.-№ 9. -P. 49 - 55.

9. Sadovnichy, V.A. Mathematical Education: Present and Future [Text] / V.A. Sadovnichy // Report at the All-Russian Conference «Mathematics and Society. Mathematical Education at the Turn of the Century». - Dubna, September. 2000. - Moscow, 2000. - 664 p.

10. Shadrikov, V.D. Mental Development in Man / V.D.Shadrikov. - Moscow: Aspect Press, 2007.

11. Testov, V.A. On the Problem of Updating the Content of Mathematics Teaching in Schools // Teaching Mathematics in Schools and Higher Schools: Issues of Content, Technology and Techniques: Proceedings of the All-Russian Scientific-and-Practical Conference. - Glazov: Glazov State Pedagogical Institute, 2009. - P. 106 - 111.

12. Tikhomirov, У.М. About Some Problems of Mathematical Education [Text] / V.M.Tikhomirov // Mathematical Education: Present and Future. All-Russian Conference «Mathematics and Society. Mathematical education at the Turn of the Century». - Dubna, September 2000. - Moscow, 2000. - P. 3-15.