Алгебраические системы конечных автоматов

Алешин С.В.

Алгебраические системы конечных автоматов

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА

Конечный автомат, отображение, алгебраическая система. АННОТАЦИЯ

Рассматриваются алгебраические системы, элементами которых являются отображения, реализуемые конечными автоматами. С помощью автоматов строятся полугруппы, группы, кольца с различными свойствами, которые позволяют использовать их в разнообразных приложениях.

Считается, что начало широкому потоку исследований конечных автоматов и их обобщений положила работа Э. Мура [1]. Конечный автомат является частью машины Тьюринга, и в этом качестве ядром каждого алгоритма является соответствующий автомат.

Автомат ^ — это пятерка ^ = (А^,В, ф, ф), где А,В^ — конечные множества, называемые, соответственно, входным, выходным алфавитом и алфавитом состояний, а ф: AxQ — функция переходов, ф: AxQ * В — функция выходов.

Из определения сразу следует возможность смотреть на автомат как на многоосновную алгебру с бинарными операциями ф и ф, которые связывают своим действием три конечных множества А,В^. Однако, более важным оказалось рассмотрение, наряду с этой алгеброй отображения множеств слов во входном алфавите А* (входной полугруппы) во множество слов в выходном алфавите В, которое реализуется автоматом.

Такой подход утвердился после работ [2,3,6], и взгляд на автомат одновременно как на алгебру и как на функцию оказался плодотворным при рассмотрении самых разных объектов, связанных с автоматами.

Как уже было замечено, «главной» частью всякого алгоритма является соответствующий конечный автомат. Поэтому при реализации алгоритма возникает задача синтеза этого автомата с помощью тех или иных средств. В силу сложности современных алгоритмов приходится решать задачу их декомпозиции, разложения на более простые, доступные для обозрения, тестирования части, что в свою очередь приводит к задаче декомпозиции автоматов и реализуемых ими отображений.

С автоматом ^ с начальным состоянием д0 свяжем отображение

ШЧ о: А*  В * , так что ШЧ. (х )=^(я° ,х) ,х е А*.

Здесь действие функции выходов у и функции переходов ф распространено на множество А* всех слов в алфавите А по правилу

д°,ха)=Щ(д°,х), ф(ф(д0, х), а), ф(д°,ха)=ф(ф(д°,х),а) .

Определим отношение эквивалентности = на множестве слов А*

а1 = а»Vа, в у(аах в) = у(аа2в) .

Это отношение является конгруэнцией на А* и определяет конечную полугруппу £ как образ свободной полугруппы А* при естественном гомоморфизме. Полученную полугруппу называют полугруппой автоматного отображения шЧ».

Ясно, что строение полугруппы 51 зависит от выбора функции выходов у и если менять у , сохраняя остальные параметры автомата, полугруппа £ также, вообще говоря, будет меняться.

Можно определить еще одну полугруппу, рассматривая только «переходную систему» автомата Ш, то есть тройку (А,@,ф). Для каждого слова аеА* определим отображение

Фа:0 0,Фа(ч)=ф(Ч, а) .

Таким образом на А* определено отношение эквивалентности, которое является конгруэнтностью. Каждая буква входного алфавита а е А задает отображение Фа:0 0 и может рассматриваться как образующая в конечной полугруппе отображений на 0, которую будем называть внутренней полугруппой Рш автомата Ш . Можно показать, что если все состояния автомата достижимы из начального и попарно отличимы, то абстрактная полугруппа изоморфная внутренней полугруппе Рш , является гомоморфным образом полугруппы отображения шч».

Одной из первых задач теории автоматов стала задача декомпозиции, то есть построение автомата из компонент, которые в каком-то смысле были бы проще исходного автомата [6]. Обычно различают компоненты двух видов — автоматы без памяти, операторы, у каждого такого автомата только одно состояние, и автоматы, с числом отличимых состояний больше единицы.

Внутренняя полугруппа оператора тривиальна — это единичная группа. Полугруппа отображения оператора более сложная — из определения видно, что ею будет полугруппа нулей, множество элементов полугруппы совпадает с множеством букв входного алфавита. Удобно рассматривать не только абстрактные алфавиты, но и их представления в виде декартовых произведений. В этом случае буквы алфавита представляются набором, например, из 0 и 1, что позволяет использовать операторы и автоматы с многими входами и выходами.

Связывая с автоматами соответствующие полугруппы, можно воспользоваться традиционной техникой разложения полугрупп (групп) и строить на этой основе теорию декомпозиции автоматов .

Подробный разбор приемов декомпозиции автоматов, которые прямо заимствованы из соответствующих конструкций для групп и полугрупп, проведен в [6]. Все они, наряду с сильными, демонстрируют и определенные слабые стороны, поскольку не учитывают ряд важных требований, предъявляемых к реальным автоматам.

В частности, всякая реализация автомата приводит к некоторому кодированию алфавитов состояний входов и выходов. Разные кодирования определяют разные сложности, при этом важное значение имеет число входных и выходных каналов, число каналов связи между компонентами, соотношение сложности компонент и связей между ними и т.д.

Одна и та же абстрактная группа может быть представлена с помощью автоматов различной сложности. Так например, симметрическая группа Sn может быть представлена автоматом с п! состояниями и входным алфавитом той же мощности, а может быть представлена автоматом с п состояниями и одним бинарным входом.

В практике декомпозиции обычно используются избыточные средства. Однако можно заметить, что некоторая информация оказывается необходимой и присутствует в любой декомпозиции.

В алгебраической теории разложений (расширений) групп и полугрупп роль неразложимых элементов играют простые группы. Как было показано в [6], в декомпозициях автоматов простые группы сохраняют особую роль «неисчезающих» элементов, если не используется операция обратной связи.

Абстрактная полугруппа Н называется делителем автомата ^ , если Н является гомоморфным образом внутренней полугруппы ^ .

Оказывается, если Н — простая группа, являющаяся делителем ^, то в любой декомпозиции ^ без обратных связей найдется компонента ^ ' такая, что Н является делителем ^ '.

Этот факт был установлен благодаря обнаруженной в [6] связи между суперпозициями автоматов и операцией сплетения полугрупп. Операция сплетения полугрупп подстановок имеет отчетливо выраженный «автоматный» характер, и элемент сплетения можно описать как подстановку, реализуемую некоторой «двухтактной машиной» [ 29] .

Таким образом, автомат можно рассматривать как носитель «внутренней» полугруппы подстановок на множестве состояний. В то же время автомат — это отображение множества входных слов А* (последовательностей) в множество выходных слов.

Если зафиксировать алфавит А и рассматривать множество (инициальных) автоматов вида (А,0,А,ф,у,д0), у которых А является и входным и выходным алфавитом, то на этом множестве естественно определяется ассоциативная операция умножения — последовательное соединение автоматов. Полученная полугруппа АР„ автоматных отображений изучалась в [10] и обладает рядом интересных свойств. В АР„ любая порождающая система бесконечна и приводима, то есть содержит собственную подсистему, порождающую АРп. Среди отображений, реализуемых автоматами из АРп можно выделить взаимнооднозначные, которые образуют подгруппу полугруппы АРп. Эту группу называют группой автоматных подстановок А8п ( п — мощность А ). В группе можно найти большой набор подгрупп с интересными свойствами. Уже первые работы [7 ] показали, что группа А£п обладает уникальными свойствами и богатыми возможностями для представления как конечных, так и бесконечных групп. С помощью автоматных подстановок можно моделировать различные групповые конструкции.

Работа [ 8] показала, что сплетения групп вкладываются в А£п, а это в свою очередь, открывало возможности для моделирования. Начиная с работ [11,15] внимание многих исследователей было привлечено к двум «полярным» классам автоматных групп — класс периодических и класс свободных групп.

Оказалось, в А8п содержатся конечнопорожденные бесконечные периодические подгруппы, что дает серию примеров, решающих известную проблему Бернсайда. В многочисленных последующих работах [13,14,23] группы, описанные в [11] подробно исследовались, результат [11] передоказывался (подробный разбор этого проведен в [12] ).

Интересно, что на возможную связь автоматов с проблемой Бернсайда указывал еще В.М. Глушков в работе [2]. Правда, В.М.Глушков связывал надежды с внутренней полугруппой автомата или с изучением конгруэнтностей на свободной (входной) полугруппе с нерегулярными (в смысле Клини) классами эквивалентности, а решение нашлось в алгебре, элементами которой являются автоматы.

Как уже сказано, первый пример группы автоматных подстановок, который решает «общую проблему Бернсайда [12]», был построен автором в 1972 году [11]. В дальнейшем появилось несколько работ, где использовались близкие конструкции. Авторы этих работ не скрывали (что естественно с точки зрения научной этики) связи своих работ с первой работой, показавшей возможность «автоматного» решения проблемы Бернсайда.

Другой вариант проблемы Бернсайда — «ослабленная проблема:

конечно ли число конечных групп данного периода с заданным числом образующих элементов» — также нашла отражение в работах по теории конечных автоматов. Прежде всего, это работы В.И.Малыгина, в которых периодические группы выступают как внутренние группы автоматов [18]. Идея Малыгина заключалась в том, что при последовательном соединении автоматов, у которых внутренние полугруппы являются группами, внутренняя группа суперпозиции вкладывается в сплетение «соединяемых» групп. При рассмотрении последовательных соединений абелевых автоматов, то есть автоматов с коммутативными внутренними группами, возникали линейные пространства, элементами пространств [18] выступали наборы выходных функций автоматов, и изучение размерностей дало возможность получить оценки порядка бернсайдовских конечных групп.

Группа автоматных подстановок содержит большое количество подгрупп с разными свойствами. Задача полной классификации таких подгрупп далека от завершения. В работе [22] приводятся примеры бесконечных автоматных групп, дающие решение ряда известных проблем теории групп. В ней содержится полное доказательство теоремы Алешина, а также показано, что группа Алешина из [4] имеет подэкспоненциальную функцию роста. В статье [22] также строится пример автомата с тремя состояниями, который порождает группу без кручения, содержащую свободную полугруппу.

В основательной большой работе [26] были описаны группы, каждая из которых порождается подавтоматами какого-нибудь автомата с не более чем тремя состояниями. Даже при таком малом числе состояний порождающих автоматов оказалось 122 неизоморфных группы. Интересно, что среди них только автомат из [21] порождает свободную группу. Заметим, что требование, чтобы все образующие группы были подавтоматами одного автомата, является сильным ограничением, и группы, порожденные автоматами с тремя состояниями, описаны не все. Это показывает пример свободной группы, порожденной двумя автоматами с тремя состояниями, которые не являются подавтоматами одного автомата с тремя состояниями [20]. Ряд работ, начиная с работы [21], посвящены свободным группам автоматов. Полное доказательство того, что группа из [21] является свободной, получено в 2006 году в работе [28 ]. Интересно, что автоматы — образующие этой группы являются «дважды групповыми», то есть внутренние полугруппы у них и у обратных к ним автоматов являются группами.

Такие автоматы составляют малую долю всех автоматов, а множество всех таких автоматов образуют подгруппу группы автоматных подстановок. Эта подгруппа не только содержит свободную группу, но и, как

оказалось, периодическая часть этой подгруппы содержит элементы всех порядков (конечно, степеней двоек) [30].

Проблема порядков элементов группы автоматных подстановок в общем случае не решена. В группе А8п каждый элемент может быть представлен как произведение автоматов, у которых только в одном состоянии реализуется нетривиальная подстановка на входном алфавите {0,1}. В этой порождающей системе содержатся элементы второго и бесконечного порядков, в [31] построен пример автомата четвертого порядка, а недавно было показано [32], что в ней содержатся элементы всех конечных порядков. Наиболее интересным является вопрос о существовании алгоритма определения порядка автомата по его диаграмме.

Для некоторых подгрупп группы автоматных подстановок удается получить структурные теоремы. Например, группа линейных автоматов разрешима, она получается расширением бесконечной абелевой группы, каждый элемент в которой имеет порядок 2, с помощью бесконечной абелевой группы без кручения [4].

Группы автоматных отображений финитно аппроксимируемы.

В частности, автоматной является группа кос [25].

А.В.Рожков в большом цикле работ изучал класс групп, который является естественным обобщением автоматных групп [23, 24], и показал, что в этом классе существенно расширяются возможности для моделирования различных групповых свойств.

Автоматное отображение входной свободной полугруппы в свободную полугруппу выходных слов при подходящем кодировании алфавитов превращается в детерминированную функцию многих переменных. Алгебры автоматных функций с различными наборами операций изучались, как правило, с позиций проблемы выразимости, когда для двух множеств функций М и N и заданного набора операций 9 требовалось определить, верно ли, что все элементы М порождаются из элементов N с помощью операций из 9 .

Связь с задачей декомпозиции здесь очевидна, так как каждый элемент М «раскладывается» на элементы из N .Поэтому алгебраические конструкции активно использовались и для решения задач выразимости, хотя свойства соответствующих алгебраических объектов не всегда обозначались в явном виде. Для примера, в [9] была построена бесконечная полная относительно суперпозиции система функций Ш .

Эта система оказалась наследственно приводимой, то есть любая ее полная подсистема вновь была приводима. В то же время с помощью системы Ш удалось построить неприводимую полную систему (базис), что

показало большое отличие алгебры автоматов от известных алгебр функций.

Можно заметить, что элементы системы Ш таковы, что их внутренние полугруппы — это полные полугруппы подстановок на соответствующем множестве состояний. При этом представление полугруппы (диаграмма переходов) выбрано таким, что для любой подстановки из полугруппы найдется буква входного алфавита, которая индуцирует эту подстановку.

Это свойство внутренних полугрупп элементов Ш оказалось весьма удобным для конструкции, с помощью которой Д.Н.Бабиным был получен результат о полноте относительно суперпозиции функций двух переменных [16 ].

Важность результата [16] состоит еще и в том, что при использовании традиционных приемов построения расширений групп, как правило, не обращали внимания на конкретные представления используемых групп и полугрупп. В то же время, в задаче выразимости автоматных функций важно не просто смоделировать умножение в данной абстрактной полугруппе, а сделать это с учетом ограничений на кодирование алфавитов.

И результаты [6] о полноте специальных систем функций не проясняли ситуацию, поскольку рассматривали автоматы с неограниченным в совокупности числом входов. После работы [16] стало ясно, что можно существенно сузить класс представлений групп, используемых для построения полных систем.

В самом деле, в [19] было показано, что при наличии булевских операторов и константных автоматов простой делитель D выделяется из любого группового автомата, внутренняя группа которого делится на D. Так что не важно, какое представление группы имеется в нашем распоряжении. Отсюда, в частности, следует и результат [16] о полноте поскольку любая конечная простая группа является делителем группы Sn при подходящем п , а группа Sn может быть порождена двумя элементами и следовательно представлена автоматом с одним бинарным входом.

Еще один классический объект алгебры — полином возникает при рассмотрении так называемого линейного автомата. Если на множестве состояний Q автомата ^ задана структура линейного пространства (в случае конечного автомата это, очевидно, пространство над конечным полем), функция переходов — билинейное отображение пространства в себя и функция выходов также билинейна, то ^ называется линейным автоматом. С множеством линейных автоматов связано некоторое кольцо, используя структуру которого в [17] был получен для этого большого и содержательно важного класса автоматов алгоритм распознавания полноты конечных систем линейных автоматов. Как известно, линейные

автоматы используются в различных системах шифрования и кодирования.

Огромное разнообразие алгебраических систем, связанных с автоматами, уже дает и в ближайшем будущем даст фундаментальную основу для построения устройств обработки информации.

Литература

1. Автоматы. Сборник статей под ред.К.Э.Шеннона, M.1956n

2. ВЖСлушков Абстрактная теория автоматов УMH 1961г.

3. В.Б.Кудрявцев Лекции по теории автоматов M. Изд-во MГУ,1976 г.

4. В.Б.Кудрявцев, С.В.Алешин, А.С.Подколзин Элементы теории автоматов, M., Изд-во M^ 1978 г.

5. В.Б.Кудрявцев,С.В.Алешин,А.С.Подколзин Введение в теорию автоматов, M. 1985г.

6. Алгебраическая теория автоматов,языков и полугрупп. Сборник под ред. M.A.Aрбиба, M.1975T.

7. Б.Чакань, Ф.Гечег О группе автоматных подстановок. Кибернетика, №5, 1965.

8. Заровный В.П. Автоматные подстановки и сплетения групп. ДАН СССР. 1965, 160,№3.

9. С.В.Алешин О суперпозициях автоматных отображений Кибернетика, 1,1975г.

10. С.В.Алешин Об отсутствии базисов в некоторых классах инициальных автоматов. Проблемы кибернетики,вып.22,1970 г.

11. С.В.Алешин Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах^ат. заметки,вып3,1972.

12. M.И.Kаргаполов, Ю.И^ерзляков Основы теории групп, издание третье, M.1982n, глава 8

13. В.И.Сущанский ДАН СССР, 1979,247,№3, с. 557-561.

14. Р.Григорчук К проблеме Бернсайда о периодических группах. Функциональный анализ,1980,т.14,вып.1 .

15. Р.Григорчук Степени роста конечно-порожденных групп, Известия АНСССР, Сер.мат.,1984,№5 .

16. Д.Н.Бабин О полноте двуместных о.-д. Функций относительно су-

17. А.А.Часовских Об алгоритмической разрешимости проблемы полноты для линейных автоматов.Вестник M^ 1985г.

18. В.И^алыгин О некоторых пространствах,связанных с композициями автоматов.Вестник M^ 1988 вып.4.

19. С.В.Алешин Об одном следствии теоремы Крона-Роудза. Дискретная математика 1999г.том 11 вып 4.

20. С.В.Алешин Автоматное представление свободной группы Дискретная математика,том 23, выпуск 3, 2011.

21. С.В.Алешин Свободная группа конечных автоматов Вестник Mосковского унив.,серия 1, 1983, №4.

22. Zuk A. Groupes engenders par les automates. Seminar N.Bourbaki, volum 2006-2007, №971.

23. А.В.Рожков. К теории групп алешинского типа, Mатематические заметки, т.40,№5 ,1986 г.

24. А.В.Рожков. Условия конечности в группах автоморфизмов деревьев, Алгебра и логика,37,№5,1998.

25. Y.Lavrenyuk, VMazorchuk, A.Oliynyk, V.Sushansky On braid groups acting on rooted trees, Uppsala University Report 2005:7.

26. Bondarenko I.,Grigorchuk R.,Kravchenko R.,.. On classification of groups generated by 3-state automata over a 2-letter alphabet. Algebra Discrete. Math. (2008), №1, 1-163.

27. Mерзляков Ю.И. О бесконечных конечнопорожденных периодических группах ДАНСССР, 1983, т.208№4.

28. Vorobets M.,Vorobets Y. On a free group of transformation defined by an automaton. Geom.Dedicata (2007), 124.

29. Алешин С.В. Автоматы в алгебре и алгебра в теории авто-матов. Современные проблемы математики и механики. Т.1, 2009 .

30. Н.Г.Бокк О порядке элемента в группе автоматных подстановок. Интеллектуальные системы, том 16, выпуск 1-4, 2012 г.

31. Mакаров В.В. О группах автоматных подстановок. Фундаментальная и прикладная

математика, 1996, 2, №1. 32. И.Виноградов Порядки элементов в порождающей системе группы автоматов. Интеллектуальные системы,том 17, 2013 г.