Значимость и определение интервала эквивалентности дискретных моделей динамического процесса

УДК 519.711.3

ЗНАЧИМОСТЬ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

Л. В. Карташова, В. Я. Карташов

THE SIGNIFICANCE AND DETERMINATION OF EQUIVALENCE OF DISCRETE INTERVAL MODEL OF THE DYNAMIC PROCESS

L. V. Kartashova, V. Ya. Kartashov

В работе предложен подход построения системы эквивалентных дискретных моделей для линейных динамических объектов на основе алгоритмов непрерывных дробей. Основой таких моделей является интервал значений периодов дискретизации. В работе приводится алгоритм определения такого интервала.

An approach of building a system of equivalent discrete models for linear dynamic objects based on the algorithm of continued fractions is suggested. The basis of these models is the range of values of sampling periods. The paper presents an algorithm for determining this interval.

Ключевые слова: согласованное z-преобразование, линейный динамический объект, период дискретизации, передаточная функция, непрерывные дроби.

Keywords: agreed z-transform, linear dynamic object, sampling period, transfer function, continued fractions.

При решении задач идентификации динамических объектов и процессов используются значения измерений на некотором конечном множестве равноотстоящих моментов времени. Наибольшей актуальностью обладают способы построения математических моделей процессов на основе структурно-параметрической идентификации. Особенностью процесса идентификации для классических и наиболее распространенных подходов состоит в том, что динамические свойства линейных и линеаризуемых объектов определяются конечным множеством нулей и полюсов. Достаточно распространенной формой математической модели объекта является его передаточная функция (при нулевых начальных условиях). Рассматривая временной интервал [0, Т], на котором регистрировался процесс измерения во времени некоторой переменной величины у^) в зависимости от изменения входного (причинного) воздействия х^), формально существует непрерывная передаточная функция (НПФ) объекта:

wH (s) =

р 00

j0 у(t)e-*dt = у(£1 J"х(t)е-s'dt " Х(s):

WH (s) = Х Н

Н

Р.

m

b sm

-b1s"

Qn (s) ... + b

Из соотношения

определяется нулями

и полюсами

к ¡k=1,

где У^), Х^) - преобразование Лапласа выходной и входной переменной для Б1БО объекта [3; 5].

Используя свойства преобразования Лапласа для линейных объектов, НПФ примет вид:

где Рт(8), Оп^) - полиномы соответственно степенной тип (причем т < п для описания причинно-следственных зависимостей) от переменной преобразования Лапласа 8 = а + называемой обобщенной частотой. Причем а определяет степень затухания, ю -

круговую частоту, а у = V—1 - мнимая единица [1; 2].

которые являются корнями уравнений Рт(8) = 0 и Оп(8) = 0. Другими словами т+п чисел, их взаимовлияние содержит всю информацию о динамическом процессе, однако значения этих чисел неизвестны и их надо каким-то образом определить.

В то же время регистрация динамического процесса включает измерения вход-выходных переменных в равноотстоящие временные моменты гдД, где г изменяется от 0 до N а ^ - задаваемый период дискретизации. Таким образом на множестве {гА^}1

имеются измерения {х (гМ), у (гДВД. Сразу следует заметить, что первоначально никаких условий на выбор величины Дt нет, их необходимо каким-то образом также установить.

Наряду с комплексной плоскостью переменной 8 будем рассматривать также комплексную переменную ъ, которая каким-то образом связана с дискретными измерениями процесса, т. е. положим ъ = и+|у.

Первым желаемым условием перехода от переменной 8 к ъ состоит в том, чтобы в дискретном случае сохранить структуры математической модели типа дискретной передаточной функции (ДПФ) Ж^Д порядок ее, а также количество точек, которые содержат информацию о процессе.

В тоже время связь между множеством таких точек желательно должна быть взаимно однозначной как в функциональном плане, так и в информационном аспекте.

Казалось таким требованиям и условиям найти какое-либо преобразование невозможно, либо чрезвычайно сложно. Однако при разработке цифровых систем большое значение получило согласованное

преобразование 2 = е!1А', где Дt - период дискрети-

а0 s

зации. Согласно [6] основными требованиями при этом являются:

1) для сохранения селективных свойств непрерывной системы необходимо, чтобы ось _|ю из б—плоскости отображалась в единичную окружность на ъ - плоскости;

2) для того, чтобы устойчивая непрерывная система переходила в устойчивую дискретную систему, необходимо, чтобы точки из левой полуплоскости б -плоскости (а<0) отображались внутрь единичной окружности в ъ - плоскости (|ъ | < 1).

В тоже время использовать отображение 2 = е ^ для перехода от НПФ к ДПФ при выполнении желаемых вышеизложенных условий вызывает большие сложности. Полное исследование отображения

2 = е ^ приведено в [7]. Отображение определено на бесконечном множестве полос которые выступают в качестве однолистных областей:

6 + 2кл т 6+2(к+1)л

-— * = ^< А + ,

Аг А1

где в - некоторая действительная постоянная, а к = 0, ± 1, ±2, ....

Бесконечное множество таких областей представляет собой полосы, расположенные параллельно дей-

2л

ствительной оси Оа и имеющие ширину -, сущест-

Аг

венно зависящую от периода дискретизации. Принятое значение шага дискретизации определяет ширину полосы, обладающей свойством однолистностного преобразования 2 = е Если положить в = - п, к = 0, то

л л

получается основная полоса (--, —), между точ-

Аг А1

ками которой и точками ъ - плоскости устанавливается взаимно-однозначное соответствие (рис.).

yi

0

JLj м , 1 - полоса At /

0 *

Основная полоса

ЛГ "At"1 - полоса

z=e3it

Ei'

IV

-1 D

Рис. Отображение s- и z-плоскостей

<D

\

\

J

A u 1 '

При отображении основной полосы Б-плоскости в ъ- плоскости отметим следующее:

интервал ( —-

л

л

-) в s-плоскости отображается в

Аг А1

единичную окружность ББЛБС, имеющую удален-

л

ную точку ъ= -1; прямые у=± — отображаются на

Аг

разрез (-, 0] вещественной оси ъ-плоскости; точки б с положительной вещественной частью, принадлежащие основному интервалу, - во внешность единичного круга ъ-плоскости, а точки б с отрицательной вещественной частью, принадлежащие основному интервалу, - во внутренность единичного круга в ъ-плоскости (это обусловливает устойчивость линейных динамических объектов).

Взаимно-однозначное отображение осуществляется:

1. Из Б-плоскости в ъ-плоскость: 2 = е *Аг;

2. Из ъ-плоскости в Б-плоскость:

s = —ln

At

1

— arg z.

At

Каждая полоса в s-плоскости порождает дополнительный лист z-плоскости, которые соединяясь по линиям разреза образуют риманову поверхность (более подробное изложение приведено в [7]).

Очевидно подстановка в НПФ преобразование

1 1 I I 1

s =— ln | z | н--arg z не позволяет восстановить

At At

ДПФ в форме, подобной (2). В связи с этим в последнее время часто используются различные аппроксимации первого порядка: прямые и обратные разности Эйлера, преобразование Тастина и другие. Однако в данном подходе эти приближения не рассматриваются по той причине, что они изменяют свойства требований [6].

Результаты проведенных теоретических исследований позволяют сделать следующий вывод: если при изменении шага дискретизации At нули и полюса ДПФ, число которых конечно, отображаются в неподвижные точки на s-плоскости, то эти точки являются, соответственно, нулями и полюсами НПФ; если же ДПФ имеет отрицательные вещественные нули и полюса, которых также конечное число, то при изменении At они

отображаются не перемещающиеся границы основных полос, а следовательно, они в НПФ отсутствуют.

В общем случае для сохранения неподвижных точек в Б-плоскости НПФ должен существовать некоторый интервал значений периодов дискретизации

Аt е (Аtmin, ) при которых осуществляется

структурно-параметрическая идентификация.

Остался один из основных вопросов определения ДПФ для данного динамического процесса.

Предположим, что Аt е (А^п, А^х) при котором получено конечное множество измерений вход

Вреия Значения входа Значения выход?,

- выходных переменных |x(kAt), y(kAt)}k=0, по определению ДПФ имеем:

гД (z At)_Y(z, At) X No У (iAt)е -SiAt At

WM (z, At)_

X (z, At) X N0 x(iAt)е-SiAtAt

_ X No У (i At) z-

X N_0 x(i At)z-

где 2 = еsАt, а У(ъ, Дt), Х(ъ, Дt) - ъ-преобразования выходного и входного воздействий.

Для определения ДПФ ЖМД (г, А^ определим идентифицирующую матрицу:

i;

?С 2, if^ if^

Уг Уг Уж

Ун Уи >'ia

£

"А

в которой кроме измеренных значений х1 = х(1Д^ и у1 = у(Ш) другие элементы матрицы определяются по соотношению:

ут_2

Уп (kAt) _-

Уп-i

Ут—2

где т = 1, 2, ...; к = 0, 1, 2, ...

Если динамический процесс имеет конечный порядок, то соответствующая строка матрицы (5) имеет элементы практически близкие к нулю.

Элементы первого столбца до нулевого элемента образуют ДПФ в форме конечной непрерывной дроби:

WM (z, A)_ М

л/ Xo

У10z~

У п

-1 -2 ^z + а z

+... + а. z

1

1

-b1 z

В приведенном алгоритме все определено, однако не описан способ определения «интервала эквивалентности дискретных моделей» (А^т, Atmax).

На первом этапе желательно определить начальное приближение { Atmax 1 аС<Аmax¡и

периоды дискретизации можно попробовать определить случайным образом, но желательно уменьшить число попыток, что достигается путем экспертного опроса специалистов для оценки периодов дискретизации, времени управления и порядка модели. В том случае, когда это сделать не удается, назначается технически реализуемое наименьшее значение периода дискретизации At. Из полученного множества измеренных значений с помощью операции децимации

определяются At°. и А^зх для которых определя-

ются ДПФ WM (z, AO WM (z, AO затем с помощью, например, МАТЛАБа определяются нули и полюса этих функций, и после этого определяются нули и полюса непрерывных передаточных функций с помощью преобразования 1 1 I I 1

s, _ — ln | z. | +--arg zi.

г At At

Критерием окончания первого этапа является приближенное равенство полюсов и нулей НПФ.

После первоначального приближения числовая ось подразделяется на следующие множества: (0, At0. 1, (At0. , At0 ), [At0 , ю).

V ' min J' V mi^ ma^ L max' '

Следующий, второй этап заключается в поиске

Atmin на множестве (0, At^]. Эта процедура может

осуществляться с помощью последовательного поиска с возможностью уменьшения значений Atmin до тех

At0m ln -A*tm+1

пор, пока

<s, где e > 0 сколь угодно

малое число. При этом А^т - период дискретизации

А ;к +1

удовлетворяющий условию задачи, а А * tmm - период дискретизации, приводящий к условию неподвижности нулей и полюсов в Б-плоскости. Следует заметить, что на этом этапе могут быть использованы одномерные поисковые оптимизационные методы типа метод золотого сечения, метод дихотомии, метод чисел Фибоначчи и их модификации.

На третьем этапе осуществляется поиск значения

на множестве [А^ах, ю). Процесс поиска осуществляется тем, же способом, что и на втором этапе.

Для завершения описания алгоритма заметим, что дискретные измерения для любого рассматриваемого в алгоритме периода дискретизации Дt на этапах 2 и

3 генерируются следующим образом. Используем на этапе первым At*0- и At" , по ним восстанавливаем

А min max у

нпф w0m ( s ) с определенной структурой полюсов и

нулей, а также и для других параметров; затем определяем переходную характеристику динамического

процесса по соотношению у(t) = L—1 (S) —),

s

используя обратное преобразование Лапласа [1, 2], а затем при заданном At получаем измеренные значения. Таким образом с практически достаточной точностью определяем интервал эквивалентности

(At0. , At ).

V min' max/

Наличие интервала эквивалентности дискретных моделей позволяет повысить эффективность и много-фукциональность цифровых систем. Прежде всего цифровые системы могут включать многочастотное

квантование, которое получает теоретическое обоснование каналов получения информации в реальном масштабе времени. Значительно легче происходит согласование параллельных и перекрестных информационных каналов в цифровых системах MIMO. Такое важное согласование позволяет по новому проектировать и функционировать системам мониторинга и управления. Более того, обеспечить гибкость и значимость обработки информационных потоков в социально-экономических системах [4], в технических и технологических системах [2 - 3; 5], в цифровых системах обработки информации [6]. Предложенный подход представления и получения динамических свойств объектов в разных временных масштабах позволяет существенно повысить работоспособность и эффективность адаптивных систем управления на основе современных средств цифровой техники.

Литература

1. Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления: учебное пособие. М.: Наука, 1986. 616 с.

2. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория автоматического управления. СПБ.: Профессия, 2003. 752 с.

3. Гудвин Г. К., Гребе С. Ф., Сальдаго М. Э. Проектирование систем управления [пер. с англ.]. М.: БИНОМ: Лаборатория знаний, 2013. 911 с.

4. Котлер Ф. Основы маркетинга. Новосибирск: Наука, 1992. 736 с.

5. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления [пер. с анг.]. М.: Лаборатория Базовых знаний, 2002. 832 с.

6. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. 848 с.

7. Карташов В. Я., Новосельцева М. А. Динамическая оценка риска в сложных системах. Кемерово, 2014. 212 с.

8. Карташов В. Я. Анализ и исследование аппроксимационных свойств непрерывных дробей при решении задач структурно-параметрической идентификации динамических объектов. Препринт № 22. Барнаул: Изд-во АГУ, 1996. 40 с.

9. Карташова Л. В., Карташов В. Я. Построение причинно-следственных моделей социально-экономических процессов: монография. Томск: Изд-во Томского государственного педагогического университета, 2008. 156 с.

Информация об авторах:

Карташова Лидия Владимировна - кандидат технических наук, доцент кафедры менеджмента КемГУ, kartashova_lv@mail.ru.

Lidia V. Kartashova - Candidate of Technical Science, Assistant Professor at the Department of Management, Kemerovo State University.

Карташов Владимир Яковлевич - доктор технических наук, профессор кафедры прикладной математики КемГУ, v.kartashov.aitk@gmail.com.

Vladimir Ya. Kartashov - Doctor of Technical Science, Professor at the Department of Applied Mathematics, Kemerovo State University.

Статья поступила в редколлегию 30.04.2015 г.