О распознавании языков полугруппами и автоматами

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромова Г. В., Молоденкова И. Д. Методы приближенного решения задачи восстановления функций: Учеб. пособие. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Ч. 1.

2. Молоденкова И. Д. Построение операторов, восстанавливающих производные // Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 95-98.

3. Хромова Г.В., Молоденкова ИД. Методы приближенного решения задачи восстановления функций: Учеб. пособие. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Ч. 2.

4. Молоденкова И. Д. Некоторые оценки точности приближений функций с помощью осредняющих операторов, сохраняющих сплайны // Математика. Механика: Сб, науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 88 - 90.

5. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977.

УДК 519.4

В. А. Молчанов

О РАСПОЗНАВАНИИ ЯЗЫКОВ ПОЛУГРУППАМИ И АВТОМАТАМИ

В связи с широким применением в компьютерных науках языков, содержащих как конечные, так и бесконечные в любую сторону слова, естественно возникает задача обобщения на такие языки классической теории формальных языков [1]. Полученные в этом направлении результаты (см., например, [2]) показывают, что при переносе основных понятий теории языков конечных слов на бесконечные слова возникают такие понятия, которые весьма неоднозначно интерпретируются и, как правило, приводят к разнообразным теоретическим проблемам. С другой стороны, в работе [3] предложен унифицированный подход к теории языков конечных автоматов на основе методов нестандартного анализа [4]: здесь естественно введено понятие распознаваемого автоматом Буши языка произвольных слов и описан класс таких языков. В последующей статье [5] с помощью методов нестандартного анализа естественно введено понятие языка произвольных слов, распознаваемого конечной полугруппой. В настоящей статье исследуется взаимосвязь между понятиями распознаваемых автоматами и полугруппами языков произвольных слов.

Рассмотрим конечный алфавит А. Пусть (А) - множество всех конечных слов, (А) - множество всех бесконечных вправо слов, УУ*~(А) — множество всех бесконечных влево слов, ПГ'(А) - множество всех бесконечных в обе стороны слов и IV (А) = (А)и (А)^>1¥*~(А) -множество всех слов над алфавитом А. Подмножества IV (А) называются языками над алфавитом А.

Ясно, что № (А) можно рассматривать как четырехсортную алгебру \¥ (А)= (А), \¥^(А), Ц^'(А)) с канонически определенными в

ней четырьмя операциями конкатенации подходящих слов и двумя унарными операциями над конечными словами ие Щ„ (А), которые определяются по формулам: и1= ии..., иш= ...ии. При этом для любых х,у,г е е Щ„ (А), и е (А), V е Щ (А) и натурального числа п выполняются свойства: (ху)г=х(уг), и(ху)=(их)у, (ху)у~х(уп>), (их)\=и(х»), х(ух)гш=(ху)"", (хпу"'=х (ух)'"'у=(ху) "', (х")'ш=х'ш. Удовлетворяющие таким свойствам четырехсортные алгебры называются алгебрами Уилки.

В работе [5] построен функтор, который каждой конечной полугруппе 5 ставит в соответствие конечную алгебру Уилки 5 = так что для любого отображения ф алфавита А в полугруппу 5 существует однозначно определенный гомоморфизм ф алгебры слов ЩА) в алгебру Б, ограничение которого на множестве А совпадает с отображением ф.

Этот результат дает возможность следующим образом ввести понятие языка, распознаваемого конечной полугруппой. Пусть £ с: ЩА) — язык произвольных слов над конечным алфавитом А, 5 - конечная полугруппа и ф - отображение множества А в Будем говорить, что отображение ф распознает язык Ь, если существует такое четырехсортное подмножество Р с 5 , что для канонического гомоморфизма ф : IV(А) —> 5 выполняется равенство: Ь = { х е IV(А) : ф(х) е Р }. Язык ¿а\У(А) называется распознаваемым полугруппой, если для некоторой конечной полугруппы 5 найдется такое отображение ф : А —» 51, которое распознает язык Ь.

Основной результат работы [3] показывает, что язык Ь а ЩА) в том и только том случае распознаваем автоматом Буши, если он получается из конечных языков конечных слов с помощью операций объединения, тернарного произведения и итерации. Такие подмножества множества ЩА) называются обобщенно рациональными языками.

С помощью методов нестандартного анализа и результатов работы [6] доказан следующий принципиально важный факт.

ТЕОРЕМА 1. Каждый распознаваемый автоматом Буши язык Ьс. ЩА) распознаваем полугруппой.

СЛЕДСТВИЕ. Язык Ь с ЩА) в том и только том случае распознаваем полугруппой, если он является конечным объединением языков вида Л-, Х ШУ ХУ+Ш, Х^П™, где Х,У,2 - рациональные языки [1] и Х+ш = {м,м2...: и[,и2,-.- е X}, Х'ш = {...и_2и_\: ...,и_2,м_, е X}.

Заметим, что в отличие от равносильности понятий распознаваемых языков конечных слов автоматами и полугруппами [1 ] класс распознаваемых полугруппами языков произвольных слов значительно шире класса распознаваемых автоматами Буши обобщенно рациональных языков. Однако можно так модифицировать понятие автомата Мюллера [1], что в теории языков произвольных слов такие автоматы будут алгебраическими эквивалентами конечных полугрупп.

Назовем обобщенным автоматом Мюллера алгебраическую систему

A HQAE,c,FJ,F,r),

где:

1) (Q,A,E) - автомат [1] с множеством состояний Q, входным алфавитом А и множеством переходов Е a QxAxQ;

2) с - элемент множества Q, называемый центральным состоянием;

3) F — подмножество множества Q, называемое множеством заключительных состояний;

4) I и / - подмножества множества Q, называемые соответственно левой и правой таблицами состояний;

5) Т- множество упорядоченных пар подмножеств множества Q, называемое таблицей состояний.

Путь р в автомате А определяется как конечная последовательность его последовательных переходов {ц^,ах^2),{я2>а2'Яъ)>---Мп>ап1Чп+\)- При этом состояние q\ (соответственно цп~\) называется началом (соответственно концом) пути р и слово ata2 ...а„— меткой пути р. Эти понятия естественно обобщаются на бесконечные в любую сторону последовательности последовательных переходов автомата А, которые называются его бесконечными путями. Если р — бесконечный путь в автомате А, проходящий через центральное состояние с, то Q^x(p) (соответственно Q+X¡(p)) обозначает множество состояний, которые путь р посещает бесконечно много раз до (соответственно после) посещения состояния с.

Путь р в автомате А называется успешным, если он проходит через центральное состояние с и удовлетворяет одному из следующих условий:

1 )р есть конечный путь с началом с и концом в F,

2) р есть такой бесконечный влево (соответственно вправо) путь, что множество Q_K(p) (соответственно Q+X¡{p)) принадлежит таблице I (соответственно таблице F),

3) р есть такой бесконечный в обе стороны путь, что множество (Q-ÁP)'Q, JP) ) принадлежит таблице Т.

Множество меток всех успешных путей в автомате А обозначается символом L{A ).

Язык L с W(A) называется распознаваемым автоматом Мюллера, если L = L(A) для некоторого обобщенного автомата Мюллера А .

ТЕОРЕМА 2. Язык L a W(A) в том и только том случае распознается полугруппой, если он распознается автоматом Мюллера.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Pin J. Е. Finite semigroups and recognizable languages: an introduction // Semigroups, Formal Languages and Groups. NATO ASI. Series C: Mathematical and Physical Sciences. 1993. № 466. P. 1 -32.

2. Perrin D., Pin J. E. Semigroups and automata on infinite words // Ibid. P. 49 - 72.

3. Molchanov V. A. Nonstandard approach to general rational languages I I Contributions to General Algebra 13, Proceedings of the Dresden Conference 2000 (AAA60) and the Summer School 1999, Verlag Johannes Heyn, Klagenfart, 2001. P. 233 - 244.

4. Альбеверио С., Фенстад К, Хеэг-Крон Р., Лчндстрем Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике. М.: Мир. 1990. 616 с.

5. Молчанов В А. О естественном продолжении теории рациональных языков на языки произвольных слов // Математика. Механика; Сб. науч. тр. Саратов; Изд-во Са-рат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 90 - 93.

6. Молчанов В. А. О матричных полугруппах над полукольцами и их приложениях к теории формальных языков // Там же, 2001. Вып. 3. С. 98 - 101.

УДК 517.51

Н. С. Морева

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЯДОВ УОЛША ПО ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМ

Пусть С - двоичная группа, м>п (?) - функции Уолша на С, Уп - база окрестностей на й [1]. В [2] были указаны условия, при которых конечное или счетное множество Е на в. -мерной двоичной группе (¿/>1) являлось множеством единственности для (I-кратного ряда Уолша при сходимости по двоичным кубам.

Мы в одномерном случае рассмотрим вопрос о том, когда конечное или счетное множество Е а й является множеством единственности для ряда

2>Р(0, О

Р=о

где g0=c0, g¡ е=0, я2(0 = с,м^Г), g3 = 0, g2n(t)=

к=2"4

2"-1

«2/1+1(0= Хс*п(0, « = 2,3,...

Ответ на этот вопрос дают приводимые ниже теоремы 1 и 2. Прежде всего, отметим, что g2n и £2л+1 постоянны на окрестностях Кя,иесли (§2„+1('о) ^ то во всех точках í окрестности Уп_2,

такой что ?о€|к«-2> «2Я(0*°(«2П+1(0*0).

Определение 1. Индексным множеством для конечного или счетного множества Ее: С будем называть множество

1Е={к: ЗУк, \/Ук+1^Ук,Ук+1пЕ*0}. Вторым индексным множеством для того же множества Е с: С, будем называть множество

ГЕ = {к :аУк_и \/Ук+1 с Ук_„Ук+1 пЕФ0}.

86