Граничные уравнения взаимодействия сооружения с упругим полупространством

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №5-6_

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

УДК 624.04

Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Д.Н.Низомов, О.А.Ходжибоев, А.А.Ходжибоев* ГРАНИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СООРУЖЕНИЯ С УПРУГИМ ПОЛУПРОСТРАНСТВОМ

Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН Республики Таджикистан, Таджикский технический университет им. М.С.Осими

В статье рассматривается математическое моделирование задач взаимодействия сооружения с упругим полупространством на основе метода граничных интегральных уравнений. В результате аппроксимации граничных параметров получены системы разрешающих уравнений, соответствующие различным задачам в системе «сооружение-основание». Из решения этих систем уравнений определяется напряженно-деформированное состояние системы при различных воздействиях.

Ключевые слова: граничные уравнения, полупространство, сооружение, основание, фундаментальное решение, контактная поверхность.

Задача взаимодействия сооружения с упругим полупространством представляет практический интерес по ряду причин. Во-первых, сооружение и грунт, на котором оно покоится, образуют связанную динамическую систему, и существенной может быть обратная связь от сооружения к пластам грунта. В этом случае, например, сейсмическое воздействие не может определяться независимо от характеристик сооружения. Во-вторых, не всегда удается выбрать или смоделировать записи колебаний грунта, которые являются представительными для определенных грунтовых условий строительной площадки. В этом случае желательно при расчетах учитывать характеристики массива фундамента. В-третьих, грунт также может взаимодействовать с сооружением, вызывая изменения в его напряженном состоянии.

Для анализа проблемы взаимодействия сооружения с основанием характеристики массива грунта и опирающегося на его сооружения можно смоделировать как трехмерную или двумерную задачу теории упругости.

В качестве первой модели рассмотрим массивное сооружение V, опирающееся на упругое однородное полупространство, в котором имеется полость с граничной поверхностью 02 (рис. 1).

Адрес для корреспонденции: Низомов Джахонгир Низомович, Ходжибоев Орифджон Абдуазизович. Республика Таджикистан, 734029, г.Душанбе, ул. Айни, 267. Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН РТ. E-mail: tiees@mail.ru; nizomov-jn@mail.ru; orif@mail.ru

Ходжибоев Абдуазиз Абдусатторович. Республика Таджикистан, 734042, г. Душанбе, пр. академиков Раджа-бовых, 10, Таджикский технический университет. E-mail: hojiboev@mail.ru

Рис. 1. Модель взаимодействия сооружения с упругим полупространством.

Пусть тело сооружения, которое занимает область V + О, где О = О0 + ^, имеет контактную поверхность О с полупространством. Предполагается, что породный массив полупространства является изотропным и линейно-упругим с модулем сдвига О0 и коэффициентом Пуассона У0, и находится в начальном напряженном состоянии (0 . Также предполагается, что в теле массива имеется полость с граничной поверхностью 02. Тогда из рассмотрения сооружения и исходя из теоремы взаимности работ [1] можно записать интегральное уравнение [2]

(£) + | р, (£ Х>1 (х¥О(х) -1 (£ х)р, (х¥О(х) =

ООо+ОО О0

О V

где р0(х) — заданная нагрузка на поверхности О ; Qj (У) — объемная сила, неизвестными являются компоненты перемещения на поверхности О = О + О и компоненты напряжений на поверхности Оо.

Второе граничное уравнение мы получаем из рассмотрения полубесконечного пространства с полостью и с учетом действия контактных напряжений на поверхности полупространства

с^, (£) + | р, х)^,(хУО(х) — | х)р,(О(х) =

^^2 ^^0

= \

где р0(х) — заданная нагрузка на поверхности О2. Неизвестными в (2) являются перемещения на поверхности О2 и напряжения на контактной поверхности О •

Третье уравнение мы можем получить из (2), если принимать, что £ е О0 и с = 5и, тогда

будем иметь:

ч (£) +\ Р.

(£, (х)ёП(х) - | мг. (£, х)р. (х)ё(х) = | мМ* (£, х) р. (х)ё П(х) , , х еП0 +П2,

где неизвестными являются компоненты перемещения на контактной границе О0 и на поверхности 2, а также компоненты напряжений на поверхности О0.

Таким образом, системы из трех граничных уравнений (1)-(3) позволяют сформировать систему разрешающих уравнений задачи взаимодействия сооружения с полубесконечным пространством, в котором имеется полость с поверхностью 02. Например, если О0, и 02 разбиваются соответственно на П0, щ и щ постоянных элементов, а область V на М постоянных ячеек, то систему разрешающих алгебраических уравнений, полученную в результате такой аппроксимации, можно представить в матричной форме

А АО -во о о о -во А2 о ЕО -во А

и

1 \ в; А1 о Р0

и в2

о Ро > = о о < е

о о Вз2 _ Р2 .

и2 \

и; = Ж21 Ж31 }Т , I = 1,2,. . . , П; , Ро = {РЪ Р2, Р3, }Т , I = П; + 1,. . . , Щ + «о , здесь ЕО - единичная матрица порядка п0; Щ., /', (/ = 1,2,3; 7 = 1,2,...) - векторы, элементы которых соответствуют перемещениям и напряжениям по направлению оси х . Три строки в матричном

уравнении (4) соответствуют трем интегральным уравнениям (1) - (3); верхний индекс указывает на номер поверхности, где производится интегрирование, а нижний индекс соответствует номеру уравнений в том порядке, как они записаны. Например, А\ — блочная матрица, элементы у которой соответствуют уравнению (3), при интегрировании по поверхности 02. Каждая из матриц в (4) является блочной матрицей типа

Ак. =

акк аь а12 . <2Ь ' . а1Ы в II " ькк ь11 ьк. ь12 . ькк . ь1Ы

акк аЫ1 аЫ 2 . аЬ . аж ькк ьЫ1 ьк. ьЫ 2 . ькк . ьш

(к, * = 1,2,3),

элементы в которых вычисляются по следующим формулам:

< = | р*. с,. , ьк = | м (г, ,

^ = | ^(г, j)dVJ , (к,= 1,2,3), I = 1,2,...,N, , = 1,2,...,М .

Векторы заданных напряжений на граничных поверхностях и объемных сил в ячейках тела сооружения записываются так:

:>0 (по Г)0 г>0^ т

Р° = {Р Р Pз0}т, /• = 1,2,...,Ч,

P2 = {РгРР } Т ,  = П + 1,..., П + П2 •

Q = {61,62,63,}т, = 1,2,...,т •

Следует отметить, что при вычислении элементов первой строки матриц в (4) используются фундаментальные решения Кельвина [1], а для двух остальных строк - фундаментальные решения Миндлина [3].

Итак, систему разрешающих уравнений задачи взаимодействия сооружения с полупространством (4) можно записать в стандартном виде

[А]{Х} = {В},

{X} = и и Р0 и,}},

где матрица [А] являет квадратной матрицей ((2п0 + щ + Щ) порядка, где (= 3 и 2 соответственно для трех- и двумерных задач. Векторы {X} и {В} в соответствии состоят из ((2п0 + щ + п2) элементов, например при разбивке: п0 = 5, щ = 8, п2 = 9 и при ( = 2 матрица [ А] будет иметь 54 порядок.

Действия компонентов тензора начальных напряжений учитываются вектором Р2 в (5), элементы которого в дополнительном состоянии записываются в виде

р, =—((кп,,,г,к =1,2,3; . =(п + 1), . ,(п+п2), суммирование производится по , (г(к — заданные компоненты напряжений. Следует заметить, что контактная поверхность О может иметь криволинейный характер изменения вдоль оси х3, например в случае плотины. Если на определенном участке поверхности полупространства О — О действует внешняя нагрузка, то в правой части уравнения (2) и (3) добавляется интеграл

| (£,х)pj(х^О(х), , О, х еО4,

О4

где О — область загружения на поверхности полупространства О — О, р; — компоненты заданной нагрузки, •

После решения системы уравнений (6) и определения искомых перемещений и напряжений на граничных поверхностях можно приступить к вычислению тензора деформаций и напряжений и определению напряженно-деформированного состояния системы.

Далее будем рассматривать задачу, связанную с взаимодействием неоднородных тел, которая имеет важное практическое значение. Рассмотрим конечную область V, которая состоит из суммы двух подобластей V и V2 с различными геометрическими и физическими характеристиками. Каждая

из подобластей, обозначенных на рис. 2 через V и V, считается однородной изотропной и линейно-

упругой с упругими постоянными У1, Ох и V , .

Рис. 2. Неоднородная система.

Двухсвязная область с общей поверхностью на контактной границе может испытать действия статической нагрузки Р0 на поверхности Ои . Полубесконечное пространство V находится в начальном напряженном состоянии и имеет включение Уъ с поверхностью 03. Включение считается однородным и с упругими характеристиками У3,. Упругое полупространство V — V также считается однородным с соответствующими постоянными V , . Для подобласти У2 с поверхностью 012 + О02 система уравнений с учетом объемных сил представляется в виде

4Х = В,

А = [[ А2 —б? —в? ],

X = {ип и02 Р12 Р02}т, в = [А]Ш,

где верхние индексы в блочных матрицах левой части соответствуют нижним индексам в векторах неизвестных и указывают на принадлежность граничным поверхностям. Нижний индекс указывает на принадлежность этих матриц к области У2 . Следующую систему граничных уравнений мы получим из рассмотрения подобласти V , где на контуре Ои действует нагрузка Р0

А Х2 = Б2 >

А = [[ А2 —В0 —во1 —Б12 ] = {ип и 12 и о, Ро,},

в2 = ВоРо, Во = [ВД], Ро = {ро й}т .

Следующую систему граничных уравнений мы получим из рассмотрения интегрального уравнения (2), которое соответствует полупространству V *

А?Х? = В,

Аз = [Аз3 -Взо1 -Вз°2], Хз ={из Р)1 Р)2}Т, Вз = [Вз3]{Рз}. Составим еще одно матричное уравнение, которое получается на основе

А.Х. = В.,

А4 = [Езо1Езо2 -Взо1 -Взо2Азо], Х4 ={ио! ио2 Ро! Ро2}Т, В4 = .

Объединив (7)-(10), получим единичную систему алгебраических уравнений

С11 с с12 0 о " ~ А 0 0 о" 'Яг 1

с с21 с с22 с с2з с с24  Р о В111 А1 о  Р1

0 с сз2 0 с сз4 о 0 0 Взз Я

с с41 с с42 с с4з с с44 _ х о 0 0 Взо ] рз 1

Здесь:

сп =[А22 ао2 ], с12 =[-В12 -В2о2 ], с, = [А- о], С22 =[В- о],

С2з =[А11 А1о1 ], С24 =[-В1о1 0], Сз2 = [о -Взо2 ], Сз4 =[-Взо1 Азз ], С41 = [о Езо2 ] , С42 = [о -Взо2 ] , С4з = [о Езо1 ], С44 =[-Взо1 Азо ] ,

Щ ={и12 ио2} , Щ ={ип ио1} , Р ={Р12 Ро2} , Х ={Ро1 из}.

Размеры этих матриц зависят от количества элементов, на которых разбиваются граничные поверхности, а также от числа ячеек в областях. Если Оп разбивается на Пи элементов, 012 на п12,

1 - «01, ог - Пщ,  - Щ, то порядок матрицы коэффициентов разрешающих системы уравнений

будет равняться ^(2п01 + 2п02 + 2п12 + 2пп + щ) . Например, в случае разбивки двумерной задачи,

показанной на рис. 2, порядок матрицы коэффициентов в (11) равняется 122.

Таким образом, разработана математическая модель задачи взаимодействия сооружения с упругим полупространством. Предлагаемый алгоритм расчета является универсальным и позволяет проводить исследования напряженно-деформированного состояния системы как трехмерных, так и двумерных, как статических, так и динамических задач теории упругости. Так как основными неизвестными в разрешающей системе уравнений в случае смешанной задачи являются перемещения и напряжения на граничных поверхностях, то количество неизвестных здесь существенно меньше, чем в МКР и МКЭ.

На основе предлагаемой модели можно исследовать влияние неоднородности, полости, включения, трещины и другие особенности основания на НДС системы «сооружение-грунт».

Поступило 20.03.2015 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975, 872 с.

2. Низомов Д.Н. Метод граничных уравнений в решении статических и динамических задач строительной механики. - М.: Изд-во АСВ, 2000, 282 с.

3. Лурье А.И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970, 939 с.

Ч,.Н.Низомов, О.АДочибоев, А.АДочибоев* МУОДИЛАХРИ КАНОРИИ МАСЪАЛА^ОИ БА ^АМТАЪСИРИИ ИНШООТ БО НИМФАЗОИ ЧАНДИР

Институти геология, сохтмони ба заминцунбй тобовар ва сейсмологияи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон, Донишго^и техникии Тоцикистон ба номи академик М.Осимй

Дар макола модели математикии далли масъалаи ба дамтаъсирии иншоот бо нимфазои чандирй дар асоси методи муодиладои канорй, мавриди мудокима карор дода шудааст. Дар натичаи гузаронидани аппроксиматсияи параметрдои канорй системаи муодиладои асосй пайдо карда шуданд. Х,алли чунин системаи муодиладо имкон медидад, ки долати шиддатнокй ва де-форматсияшавии система муайян карда шавад.

Калима^ои калидй: муодилауоии канорй, нимфазо, иншоот, асос, уалли фундаменталй, сатуи васлй.

J.N.Nizomov, O.A.Hojiboev, A.A.Hojiboev* BOUNDARY EQUATIONS STRUCTURE INTERACTION WITH THE ELASTIC

HALF-SPACE

Institute of Geology, Earthquake Engineering and Seismology, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, M.Osimi Tajik Technical University

The article deals with mathematical modeling of problems of interaction structures with elastic halfspace based on the method of boundary integral equations. As a result of approximation of the boundary parameters obtained by the system of governing equations corresponding to different tasks in the "construction-basis". From the solution of these systems of equations defined stress-strain state of the system under different treatments.

Key words: boundary equations, half space, construction, foundation, fundamental solution, the contact surface.