Отрыв пограничного слоя от подвижной поверхности тела в сверхзвуковом потоке газа

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ НАГИ

Том XIII 1982

№ 3

УДК 532.556.533

ОТРЫВ ПОГРАНИЧНОГО слоя от подвижной ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ГАЗА

П. Л. Крапивский, В. Я• Иейлапд

Методом сращиваемых асимптотических разложений на основе анализа решений уравнений Навье —Стокса построена асимптотическая теория отрыва ламинарного пограничного слоя на теле, поверхность которого движется в направлении внешнего сверхзвукового потока.

Показано, что при скоростях движения поверхности тела, превышающих по порядку Ие-1(8 (Ие — число Рейнольдса), перепад давления, приводящий к отрыву, полностью определяется невязкими эффектами и приблизительно равен скоростному напору газа, движущегося со скоростью стенки. Исследована структура течения и найдены параметры подобия

1. Рациональная асимптотическая теория отрыва пограничного слоя от поверхности тела в стационарном сверхзвуковом потоке газа, предложенная впервые в работах [ 1 — 3], пригодна только для двумерных стационарных течений. Аналогичные результаты удалось получить и для отрыва в несжимаемой жидкости [4]. Отрыв в нестационарном потоке должен обладать определенной спецификой. В ряде работ, например [5 — 7], указывалось, что изучение стационарного отрывного течения около движущейся поверхности тела может в определенной степени рассматриваться как модель нестационарного отрывного течения. Поэтому в [7] была рассмотрена задача о стационарном отрыве в несжимаемой жидкости около стенки, движущейся вниз по течению. В настоящей работе изложены результаты решения той же Задачи при сверхзвуковом потоке. В этом случае результаты оказываются особенно простыми и допускают наглядную физическую интерпретацию.

2. Постановка задачи и оценки порядка величин. Рассматривается течение в окрестности точки отрыва или во всей полубес-конечной срывной зоне, картина которого изображена на рис. 1. Картина течения и постановка краевой задачи отличаются от рассмотренных в работе [8] только тем, что поверхность тела дви-

жется со скоростью ит > 0 в своей плоскости. В статье приняты следующие обозначения: іш», ррго, рр^и^, цц*, хі, у/, $. / — соответственно продольный и поперечный компоненты скорости, плотность, давление, динамический коэффициент вязкости, продольная и поперечная декартовы координаты и толщина /-го рассматриваемого слоя течения; и», р^, — размерные скорость и

плотность набегающего потока, а также динамический коэффициент

вязкости при температуре поверхности тела; е^Ке“1'2, Ие = “ Р» Исо ~ число Рейнольдса; / — расстояние от начала тела до точки отрыва.

Наиболее простую форму имеет решение задачи, если ограничить рассмотрение значениями г14 <С 1. Напомним, что величина и~е1!4: соответствует согласно теории ¡1—3] порядкам величин скорости в наиболее важной части течения, прилегающей к поверхности тела, в которой возмущения давления вызывают нелинейные возмущения скорости течения, а течение остается вязким.

Прежде чем переходить к построению асимптотического решения задачи на основе уравнений Навье — Стокса методом сращиваемых асимптотических разложений, оценим, следуя (1, 9], порядки величин, входящих в решение аргументов и функций на основании физических соображений. В основе рассматриваемой теории отрыва лежит представление о существовании механизма свободного взаимодействия в окрестности точки отрыва, описанного качественно в классической работе [10]. Основной результат качественного описания этого типа течения формулируется так: повышение давления ведет к росту толщины вытеснения пограничного слоя, а это в свою очередь приводит к росту давления и т. д. Заметим, что такая картина течения наблюдается лишь для наиболее изученного докритического типа отрыва, исследованного во многих работах. Несколько иначе развивается отрыв при закритическом типе течения, на возможность существования которого впервые указано в работе [11]. Закритический тип течения соответствует ряду важных режимов течения: отрыву ламинарного пограничного слоя в гиперзвуковом потоке при достаточно холодной стенке или отрыву турбулентного слоя уже при умеренных сверхзвуковых числах М. Выраженное в [12] сомнение в существовании этого типа течений устранено в [13], где построена асимптотическая теория этого типа отрывного течения.

3—Ученые записки ЦАГИ“ № 3.

33

Рассмотрим теперь характер течения около точки отрыва на подвижной стенке. На рис. 1 показаны схематически три профиля скорости, соответствующие началу области взаимодействия точке отрыва и течению за точкой отрыва. Для того чтобы произошел отрыв и появились возвратные течения, необходимо иметь перепад давления

&Р~а1 <1,

причем эти перепады давления в основной части пограничного слоя, где невозмущениая скорость и~ 1, в силу уравнений состояния, неразрывности и импульса вызывают малые возмущения функций:

Дя — Др — Д;?, Д8<2)/8<°) — Д/?.

Здесь и ниже верхними индексами 0, 1, 2, 3 отмечены значения функций для области невозмущенного течения, а также в

слоях 1, 2, 3, показанных на рис. 1. Как будет видио ниже, области /и 2 характеризуются линейными возмущениями и охватывают прилегающую к пограничному слою часть сверхзвукового потока и почти все струйки тока исходного пограничного слоя. Область 3 представляет собой узкую пристеночную часть пограничного слоя, в которой малые возмущения давления Др 1 из-за

малости скорости приводят к нелинейным возмущениям:

*Р~<-

В исходном невозмущениом пограничном слое профиль скорости вблизи тела имеет вид:

+ + • {2Л)

Поэтому толщипа области 3 с нелинейными возмущениями оценивается величиной

3

где £ —порядок толщины невозмущенного пограничного слоя.

Из сравнения (2.5) и (2.2) видно, что тип взаимодействия является докритическим, так как большая часть изменения толщины вытеснения пограничного слоя создается областью нелинейного медленного течения 3.

В свою очередь величина возмущения давления в силу линейной теории сверхзвуковых течений связана с изменением &3 соотношением, следующим из формулы Аккерета,

Др~Д8<*)/Д*,

где — продольный масштаб области возмущенного течения.

Таким образом,

Д* ~ 5<°>/ ит ~ в/«„.

Полезно заметить, что при ит~е1'4 получается обычный масштаб трехслойиой асимптотической теории свободного взаимодействия.

Теперь получим оценку для толщины Ъь области 4 (см. рис. 1), в которой при больших продольных градиентах давления

. • А/>/дл: — «¿/6 1

главные вязкие члены уравнений Навье-—Стокса имеют порядок градиента давления и инерционных членов и, следовательно, течение остается вязким уже в первом приближении при совершении основного предельного перехода

£ 0» 11ф -* 0, в1/4 1.

В этой области скорость в силу граничных условий сохраняет порядок Тогда

Ьр1Ьх~иЦг~* и^т\ 8<4> ~£3-2/^,

Видно, что при ида~е1/4 из (2.10) и (2.7) следуют обычные масштабы теории свободного взаимодействия [1 —3]. При этом — 8<4), т. е. области с нелинейными и вязкими возмущениями совпадают. Задача в такой постановке исследована в [14]. Но при (2.9) в области с нелинейными возмущениями снлы вязкости в первом приближении малы, и это позволяет получить решение в очень простой форме.

3. Вывод уравнений для различных областей течения. Следуя обычной процедуре метода сращиваемых асимптотических разложений, получим в первом приближении системы уравнений, описывающие течения в областях /, 2, 3 и 4 при совершении предельного перехода (2.9) в уравнениях Навье — Стокса, записанных в переменных Мизеса:

где функция тока, А — энтальпия, р — координата, нормальная к поверхности тела, о — число Прандтля.

В (3.1) точки соответствуют членам, которые в нервом приближении во всех областях течения остаются внепорядковыми. Полный вид уравнений приведен, например, в [9].

На основании сделанных выше оценок и линейной теории сверхзвуковых течений для области / вводим координаты и функции, сохраняющие 0

хх — xuwfe; = 4*ида/е; р~ 1/тМ;+ k1pj + . -.; р— 1 + и£р1 + • • -;

}

v~ -f • • . ; П (Biuw) 4»! -f zuw пх -j- . . .;

и~1 -{-«£#! + . . л~ 1/(т — 1)Ч-иу?!,

где y — отношение удельных теплоемкостей газа, а Ме —значение числа М на внешней границе невозмущенного пограничного слоя.

Подставляя (3.2) в (3.1) и выполняя предельный переход (2.9), получим уравнения линейной теории сверхзвуковых течений. Решение их известно, а необходимый для дальнейшего результат дается формулой Аккерета, которая в принятых переменных имеет вид:

V'MZ—l Р\Лхп °) = ^ю

Для области 2 аргументы и функции, имеющие после предельного перехода (2.9) порядки 0(1), согласно сделанным оценкам можно записать в виде:

= *1*, Ь = Ф/£; |

а ~ «20 Oh) + ф2)“г . . .; v2 + . . . ,

л~елю

При подстановке (3.4) в уравнения Навье — Стокса (2.1) и совершении предельного перехода (2.9) получаются уравнения вида

е*о“*о-^ + Л = 0, ^ = 0, ^ = 0, ^ =

Функции й2о(ф?)» n2o('ho) представляют собой профили невозмущенного пограничного слоя перед началом области взаимодействия. Это следует из совпадения поперечных масштабов области 2 и в исходном пограничном слое и применении принципа сращивания (см., например, [15]) к соответствующим функциям.

Третье соотношение (3.5) подтверждает полученную ранее оценку, согласно которой быстрое изменение толщины вытеснения всего пограничного слоя не зависит в главном члене от изменения толщины струек тока области 2.

Для области 3 вводим переменные

*3 = *2 = *i;

Р& ~ Pit ?==: Рте • • • ; ^ \

u = uw и3 + . . .; V — {¿I v3 + . . . ; п = tuw ns +

Подставляя (3.6) в уравнения Навье —Стокса (3.1) и выполняя предельный переход (2.9), получим в первом приближении систему уравнений

л „ ди* I &Рг _ п 1^1. — О ЛИ* „ . дпг _ I (о 7ч

^ 8 дх3 дхг ~~ ’ ’ дхА ц3 * дф, р*«в * ' ‘ *

Заметим, что перед началом области взаимодействия, т. е.

при хг -*— оо, искомые функции для области 3 в используемых переменных равны

^30 = Рзо = 0» «30 -=

Первое уравнение (3.7) допускает интеграл

~ р ю и* + Рг = -1-

Изменение толщины вытеснения области 3 согласно последней формуле (3.7) можно выписать в виде

= -

.3 V Ра, Щ 0 Р ^30 !

Это соотношение позволяет найти величину ъ2(х2, Ф3 -* оо), используя (3.5) и учитывая, что и2(хъ схэ) =г 1,

*2

Тогда в соответствии с (3.3) можно получить уравнение, описывающее распределение давления во всей возмущенной зоне

/МПЛ Рг = ^ {4

4. Решение для окрестности точки отрыва. Решая уравнение (3.12), получим распределение давления в окрестности точки отрыва

1/2 си* (*/2), *<0,

1/2, *>0, (4Л) где

Р=Л/р„, -V = Рю и У Мг — 1'

В формуле (4,1) использованы переменные подобия Р, ЛГ, которые аналогичны в определенном смысле переменным подобия, введенным в работах [1 •—3] для теории свободного взаимодействия.

В формуле (4.1) точка отрыва помещена в начало координат выбором константы интегрирования. Справа от нее давление постоянно в главном члене. Градиент давления при ^ = 0 исчезает и справа (^>0) лежит область плато давления. Таким образом, из (4.1) следует важный вывод: давление в области плато срыв-ной зоны на подвижной поверхности при условии Яе-1 в первом приближении такое, которое необходимо, чтобы полностью затормозить струйку тока, имеющую скоростной напор рд^/2.

5. Решение для области вязкого течения. Течение в области 5 описывается в первом приближении уравнениями движения невязкой жидкости и, следовательно, не удовлетворяет условиям прилипания к поверхности тела. Поэтому для получения равномерно пригодного первого приближения необходимо ввести в рассмотрение область 4, для которой при совершении основного предельного перехода (2.9) главные вязкие и инерционные члены уравнения продольного импульса в системе Навье — Стокса будут сохранять одинаковый порядок по величине.

Для этого введем следующие выражения для аргументов и асимптотические представления для функций:

Подставляя (5.1) в уравнения Навье — Стокса (в декартовых неременных) и выполняя предельный переход (2.9), получим для области уравнения пограничного слоя

и dUi I V ди4 —______________________1 дР* 1

А дхл ' 4 ду4 рда  дуА

_ п duj_ дщ_ __ п

dy* ’ дуі

Граничные условия имеют вид

при .У4 = 0: «4=1; ^4 = 0;

Г а± -

при Уі -+ + оо, д:4 < 0:

— th (xj 2),

при у4 -> + ос, *4 >0:

/?4-(pJ2)/ch2(*4/2); 0,

А =(рда/2).

Сделаем следующую замену переменных, чтобы исключить лишние константы

х± — Х, у4 = ^К, и4 = £Д ^=1/, Р4 = р^Р.

Тогда задача (5.2), (5.3) преобразуется к виду

и ди ± V ди — др д> и дР __ п ау . ак г

и дх ^ ау + ’ <?к ~ и> дХ ^ дУ ~1

при У — 0: ¿7=1, 1/ — 0;

при Г~>+ сю, ЛГ < 0: и -у — Ш (Л7'2), Я= 1/2 сИ2 (А' 2);

при У + + оо, *>0: ¿/->0, Я->1/2.

Асимптотическое решение вверх по течению (X — ся соотношениями:

у = dW/d У; V — —

^«/ + 2(1— [Г+ехр(- >0]}ехрА’ + О[ехр(2Л’)];

х = [(¿*Ф)}дУ2]г=о^ - 2 exp X + О [ехр(2А')].

оо) дает-1

I

При X -* -)- оо решение стремится к автомодельному (так как в этой области давление постоянно) и может быть сведено , к решению задачи Блазиуса:

Ф“(2х),;ах(і)): ч = УЦ2л:)12;

7.'" + XX" = 0; г (0) = 0; у/ (0) = 1; у/ (оо) -* 0.

Распределение трения определяется формулой:

* - (д2*/<ЭГ2)г=0 - - 0,63/(2*)Ч-

6. Оценки для течения за точкой отрыва. Выше получено решение задачи до точки, которую можно считать точкой отрыва. Действительно, начиная с этой точки, струйки тока исходного

пограничного слоя уходят от стенки под углом 0(и^)^>£ (см.. рис. 2), согласно (4.1) начинается область плато давления, а ниже-будет показано, что появляются возвратные токи.

Приведем сначала некоторые физические соображения. Согласно (4.1) и формуле Аккерета (линейной теории сверхзвуковых течений) общий поперечный размер области течения, лежащей между оторвавшейся линией тока ф2 = 0 и поверхностью тела, растет как В области 5, содержащей основную часть струек тока

оторвавшегося пограничного слоя, треиие около линии тока 6 = 0

сохраняет порядок О(в). Поэтому в окрестности трение не может стать меньше чем O(s). Тогда толщина области 6, лежащей около линии тока ф = 0, которая отделяет оторвавшийся пограничный слой от срывной зоны, может быть оценена из условия равенства порядков величин главных вязких и инерционных членов уравнений Навье — Стокса (как это сделано в [8] для отрыва на покоящемся теле). Эту оценку удобно провести в криволинейной системе координат s, h (см. рис. 2), у которой продольная ось s направлена вдоль оторвавшейся линии тока ^ = 0. На внешней границе зоны смешения профиль скорости после поворота можно определить по (3.9), учитывая, что согласно (3.13) Рг~= 1/2 рш:

«з =

где a — безразмерное трение в (2.4).

Таким образом, зона смешения о отделяет область покоя, соответствующую !|>з < 0 (область 8 на рис. 2), от области с линейно возрастающим по поперечной координате профилем скорости (6.1). При 'Ь < 0 скорости для области 6 индуцируются, как будет показано ниже, за счет подсоса в зону смешения 6' и вязкий пограничный слой 7, который прилегает к стенке и является просто продолжением слоя 4 (см. рис. 1, 2).

Проведем оценку геометрических размеров областей течения 6, 7, 8, которые лежат за точкой отрыва и величин функций

течения для этих областей. Как уже отмечалось выше, толщина

центральной области возвратных течений 8 (см. рис. 2) растет как

bw~ulx.

В области 6, которая является зоной смешения струек тока оторвавшегося пограничного слоя 5 с областью медленного возвратного течения величина трения имеет тот же,порядок, что и в невозмущенном пограничном слое, а главные вязкие и инерционные члены также имеют одинаковые порядки:

ди \ л, ди д2а /с. 0ч

Из (б.З) следуют оценки вида

8№) _ £$1''3, а

На расстояниях л:, значительно больших, чем длина области взаимодействия перед точкой отрыва, где можно пренебречь начальной толщиной области 7, т. е. толщиной области 4, в вязкой зоне течения около стенки имеют место оценки

ди д2и гч

и~и„, Ц~д~ — '-¿-г-

Из них следуют оценки для толщины слоя 7 и расхода газа,

подсасываемого в него из области 8:

и<7>~и„,

здесь х отсчитывается вдоль стенки от точки отрыва.

Таким образом, центральная часть течения —область 8— имеет форму клина, толщина которого определяется соотношением (6.2). Согласно полученным оценкам на обеих его границах происходит подсос газа в области 6 и 7 по законам

где vвt V*—-нормальные к верхней и нижней границам компоненты скорости.

Газ в область 8 поступает из области покоя, а течение в области 8, являющееся в первом приближении „невязким“, как это следует из приведенных выше оценок, и несжимаемым (так как изменение давления является внепорядковым), оказывается потенциальным.

Решение задачи для этой области с учетом граничных условий (6.7) выписывается в виде

Ф = Лег12 [соэ

где А-1,58У«;, 5 = _(-£-)1;31,25.

Угол 6 определяется величиной давления в области плато давления согласно формуле Аккерета

Л-/мГЛ р.|£_*ве.

Возвратное течение разделено линией тока на две части:

верхняя часть возвратного течения подсасывается в зону смешения, а нижняя — в пристеночный пограничный слой на подвижной стенке.

Если бы срывная зона была замкнутой, а течение имело область присоединения, то такая структура указывала бы на существование по крайней мере двух вихревых зон. Однако исследуемое возвратное течение потенциально, и поэтому говорить о двух отдельных вихрях нельзя.

Приведенный выше подход можно также использовать для описания глобальной картины течения около бегущей вверх по потоку ударной волны с любым перепадом давления в диапазоне, соответствующем ограничению (2.9).

7. Решение для течения за точкой отрыва. Вернемся к полученному выше решению (3.13). Выполним замену переменных:

Ф = Ф». х = артУ/ \ х3, У = ап8,

Р=Рг!К> ¿/==«3,

?тУ м“-1

При этом соотношения (3.9), (ЗЛО) приобретают следующий универсальный (не зависящий от физических параметров рда, а, Ме) вид:

1 , . 1

Р

и* + я =

2

/00

а \((~-

с1х ии *•0

}

)

Решение (3.13) этих уравнений при А' <0 записывается в форме

Ф = ~ — ПЬ (Х/2); Р= 1/2сЬ2 (X2); и=У-№(Х'2); У = Г

2 сЬ3 {XI2)

При X > 0, У > Х/2 линии тока прямолинейны:

* = ^(Г-А-/2)2; />=1/2; и = V — А72; 1/ == К/2' - Л74.

Течение при А" > 0, У < Х[2 рассматривалось в предыдущем пункте.

Решение (7.3), (7.4) описывает течение в окрестности скачка уплотнения интенсивности ДЯ=1/2. При этом координата X отсчитывается от точки падения скачка на тело. Это решение универсально в том смысле, что всякое течение сжатия содержит некоторые части решения (7.3). Рассмотрим, например, течение в окрестности скачка уплотнения интенсивности А Р=Н<-^~. Здесь

также координата X отсчитывается от точки падения скачка. При ^<0 из (7.£) получим следующее решение:

где 5 = 2arch(l/]/2//) при > О аналогично. Получаем:

б = У2/2-Ь У VI ~2Я; Р — И\ \

U-*y+V\— 2Я; У = 0. )

Таким образом, все изменение давления в первом приближении реализуется при X < 0, а при X > 0 давление постоянно. При ' полученном распределении давления можно также выписать решения задач для возникающих вязких областей течений в подслое и при X > 0.

Таким образом, на подвижной стенке, движущейся в направлении основного потока, отрывный перепад давления возрастает пропорционально скоростному напору, соответствующему скорости движения стенки.

!. Нейланд В. Я. Сверхзувковое течение вязкого газа вблизи точки отрыва. Доклад на III Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике. М., „Наука*, 1968.

2. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР» МЖГ“, 1969, № 4.

3. S t е w а г t s о n К-, Williams P. G. Self-induced separation. Proc. Roy- Soc., A 312 (196Э).

4. С ы ч e в В. В. О ламинарном отрыве. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1972, № 3.

5. Moore F. К. On the separation of the unsteady laminar boundary layer. In. 50-Jahre Grenzschichtfor-schung (Herausgeb. von H. Gortier, W. Tollmien) — Berlin; Springer Verlag, 1958.

6. Sears W. R. Some recept developments in airfoil theory ,J. Aerosp.“ Sci., 23, 1956.

7. С ы ч e в Вик. В. Асимптотическая теория нестационарного отрыва. „Изв. АН СССР, МЖГ*, 1979, № 6.

8. Н е й л а н д В. Я. Течение за точкой отрыва пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ*, 1971, Ms 3.

9. Нейланд В. Я- Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений. Труды ЦАГИ, вып. 1529, 1974.

10. Chapman D. R., KuchnD. М., Larson Н. К- Investigation of separated flows in supersonic and subsonic streams with emphasis of the effect of transition. NACA R, N 1356, 1958.

11. С г о с с о L. Consideration of the shock-boundarv layer interaction. Proc. Couf. on High-Speed Aeronautics, 1955.

12. Brown S. N., Stewart son K- Laminar separation. „Annual Review of Fluid Mechanics“, vol. 1, 1969.

13. Нейланд В. Я. Особенности отрыва пограничного слоя на охлаждаемом теле и его взаимодействие с гиперзвуковым потоком. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1973, № 6.

14. Жук В. И., Рыжов О. С. О пограничном слое с самоиндуци-рованным давлением на движущейся поверхности. ДАН СССР, т. 248, № 2, 1979.

15. Ван-Дайк Н. Методы возмущений в механике жидкости. М., „Мир“, 1967.

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 311П 1981 г.