Расчет обделок тоннелей на действие веса размещенного в них оборудования

УДК 622.016

РАСЧЕТ ОБДЕЛОК ТОННЕЛЕЙ НА ДЕЙСТВИЕ ВЕСА РАЗМЕЩЕННОГО В НИХ ОБОРУДОВАНИЯ

C.B. Анциферов, В.Г. Дворянкин, H.H. Фотиева

Целью работы является разработка метода расчета обделок тоннелей круговой формы поперечного сечения, сооруженных закрытым способом в непосредственной близости от земной поверхности, на действие внутренней нагрузки, обусловленной весом размещенного в нем оборудования. В основу метода положено математическое моделирование взаимодействия обделки тоннеля с массивом пород как элементов единой деформируемой системы, позволяющее учесть основные факторы, влияющие на напряженное состояние обделки и массива пород. Приводится постановка плоской задачи теории упругости и аналитическое решение соответствующей краевой задачи теории аналитических функций комплексного переменного, позволяющее разработать программное обеспечение для расчета обделок.

Ключевые слова: математическое моделирование, обделка, тоннель, плоская задача, теория упругости, теория функций комплексного переменного, метод расчета

При проектировании тоннелей различного назначения требуется выполнение расчетов конструкций обделок не только на действие постоянных длительных нагрузок, но и на действие кратковременных внутренних нагрузок высокой интенсивности.

В Тульском государственном университете на единой научной и методологической основе разработаны аналитические методы, позволяющие выполнять расчет обделок тоннелей кругового [1] и некругового [2] поперечного сечения неглубокого заложения на действие собственного веса грунта, давления грунтовых вод, веса объектов на поверхности, а также обделок тоннелей некругового поперечного сечения глубокого заложения на действие внутренней локально распределенной нагрузки [3].

Выполненный авторами обзор научной литературы показал, что аналогичного метода расчета обделок тоннелей, сооруженных закрытым способом вблизи земной поверхности, на действие внутренних нагрузок от веса размещенного в тоннеле проходческого или подъемно-транспортного оборудования, конвейеров, транспортируемого груза, технологических емкостей и материалов, не имеется. Возможно использование методов расчета на активные нагрузки, в основу которых положены идеи строительной механики, к существенным недостаткам которых можно отнести невозможность учета влияния на напряженное состояние подземных конструкций близко расположенной земной поверхности, а также учета в полной мере несущей способности массива грунта.

Актуальность выполняемого исследования подтверждается тем, что временные нагрузки высокой интенсивности, земная поверхность в ряде случаев оказывают существенное влияние на напряженное состояние об-

делок, приводя к перераспределению напряжений, возникающих в них от постоянных нагрузок, что, в свою очередь, в ряде случаев может привести к потере прочности применяемых конструкций.

В основу разрабатываемого метода расчета положено математическое моделирование напряженного состояния обделки тоннеля, сооруженного закрытым способом в непосредственной близости от земной поверхности, при наличии внутри тоннеля произвольно расположенной вертикальной нагрузки.

Модель базируется на современных представлениях геомеханики и механики подземных сооружений о взаимодействии подземной конструкции и окружающего массива грунта как элементов единой деформируемой системы, что позволяет использовать допущения и гипотезы, а также постановку задач и строгие аналитические методы их решения, принятые в механике сплошной среды, в частности - теории упругости [4].

Рассмотрение достаточно протяженных участков тоннелей, сооруженных вблизи земной поверхности, позволяет использовать расчетную схему плоской задачи теории упругости для линейно-деформируемой невесомой однородной изотропной полубесконечной среды, моделирующей массив грунта, ослабленной круговым отверстием, подкрепленным кольцом, моделирующим обделку тоннеля. Расчетная схема задачи представлена на рисунке.

Расчетная схема задачи

При постановке задачи учтены факторы, оказывающие существенное влияние на напряженное состояние обделок. К ним можно отнести наличие близко расположенной земной поверхности; глубину заложения тоннеля и размеры его поперечного сечения; толщину обделки и деформационные характеристики ее материала; деформационные характеристики массива грунта.

Локальное давление на внутренней поверхности обделки моделируется вертикальной равномерно распределенной нагрузкой, действующей на части внутреннего контура обделки.

Массив грунта моделируется невесомой полубесконечной однородной изотропной линейно-деформируемой средой с прямолинейной границей Ь.

Материал среды ^ характеризуется модулем деформации Е0 и коэффициентом Пуассона у0 .

В среде на расстоянии Н от линии Ь расположено круговое отверстие с контуром Ь0 радиуса Я0 .

Отверстие подкреплено кольцом с внутренним контуром Ьх радиуса ^ , моделирующим обделку тоннеля ^ . Материал кольца имеет деформационные характеристики Ех , у1 - соответственно модуль деформации и коэффициент Пуассона.

К участку внутреннего контура кольца^ приложена

вертикальная равномерно распределенная нагрузка интенсивности р, моделирующая вес расположенного внутри тоннеля оборудования.

Граничные условия плоской задачи теории упругости имеют вид: на границе Ь

а

у ' ху ух ' V/

на контуре Ь0

о'г,, = ^>,т2 = т2>. »?' = <'. «?' = »?";

на контуре

а

г

р sin 0 на участке [/* ; / **]. 0 вне участка [í* ;?**];

т

Lre

ч I

0 вне участка ;?**],

где о'''' , т:'*.' , т"!.' - вертикальные нормальные и касательные напряжения в среде на линии Ь; а(г0) , т^/ - радиальные и касательные напряжения в среде на контуре отверстия Ь0 в полярной системе координат; ст^1' , х^ - радиальные и касательные напряжения в кольце Л', ; и[п , и^ Ц = 0,1) - горизонтальные и вертикальные перемещения точек контура Ь0

соответственно в среде $0 и кольце Л', .

В приведенной постановке плоской задачи теории упругости размер распределенной нагрузки вдоль продольной оси тоннеля принят бесконечным; учет влияния конечного размера этой нагрузки на напряженное состояние обделки возможен введением корректирующего множителя [1].

Для решения задачи использован метод комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили [5], который предусматривает переход от плоской задачи теории упругости к соответствующей краевой задаче теории аналитических функций комплексного переменного (ТФКП).

С этой целью в каждой из рассматриваемых областей ^ и Л', в

рассмотрение вводятся по две функции комплексного переменного ,

О = ОД), связанные с напряжениями и смещениями в рассматриваемых областях известными формулами [5]

аО) + аш=4Кеф'(2);

лл _

У ~}

и = ОД)

и[]) + 1и

]=

где

ае,=3-4у, , ц,

2

Граничные условия краевой задачи ТФКП имеют вид:

на линии Ь

на контуре Ь0

Фо(0 + *Фо(0 + М>о(0 = 0

ФхС^о) + Ч ФхС^о) + = Фо(^о) + Ч Фо(^о) + М>оС^оХ

1Ф1 С^о) - Ф1

^о 1

на контуре

ФДО + ШО + Ч'^ЬДО ,

где , ^ - аффиксы точек соответствующих контуров, определяемых следующими соотношениями

г = х + т на Ь, = Я/9 = Я, а на Ь}и = 0,1), а = ег& .

Условия (1) и (6) отвечают за отсутствие нагрузки на прямолинейной границе Ь среды , условия (2) и (7) отражают выполнение условий непрерывности векторов напряжений и смещений на линии £0 контакта

^ ; ^ контура

Ьх вертикальной нагрузки р.

Раскладывая в ряд Фурье функцию содержащуюся в правой

части условия (8), получим

+ ^ -г{Лк,1а0 + д2,как-\-д2,к+1ак+1Р ,

к=\к

где коэффициенты а0 ак , Ьк (к = 1,2,...,ад) вычисляются по формулам

Ч, = .

а также для сокращения записи введены следующие переменные

[1, если т = п; [1, если т<п;

[О, если тФп, [0, если т>п.

Главный вектор внешних усилий, действующих на внутреннем контуре кольца Л', , на основании (10 - 12) определяется соотношением

Л 2

X + И = §(Хп + = -2;иК , ^ = - Д (^ -

1л

Тогда комплексные потенциалы ф0(^) , \4>0 , регулярные в полуплоскости вне контура Ь0 , отыскиваются в виде

ф0

1+ае0 гК

М^о(^) = +:-Г Ьг+Цг - 2/Я)1 ,

1+ае -1

где ф'Дг) , ^(г) - функции, регулярные в области So вне отверстия и обращающиеся в ноль на бесконечности.

Комплексные потенциалы ф/г) , (и) , регулярные в области Л', , с учетом отличных от нуля главных векторов усилий, действующих на контуре , представляются в виде

~ /К IК

= Фх

1+ ае1 1+ ае1

где ф^г) , ^(г) - функции, регулярные в кольце ^ , и, следовательно,

раскладываемые в ряды Лорана

/ V* 2

к=1

+2>

к=0

,

2

Аг

2

к=0

й,

¿=1

/

,

2

А

.

/

После выполнения операции аналитического продолжения функций (j)0(z) , \J/0(z) через прямолинейную границу L полуплоскости в полную

плоскость, ослабленную отверстием, с использованием свойств интегралов типа Коши, теоремы Сохоцкого-Племеля [5, 1] удается получить их представление в виде рядов по степеням z / R^:

/ \к

m / 1

к=1

К

гК

4/0

V T) /

í \k

-In-, 1+ ж0 R,

k=1

Ro

iK&n

ln-

V T) y

1 +ж0 R,

где функции ф0 (z) , v|/0 (z) , регулярные в полной плоскости вне отверстия, раскладываются в виде рядов по отрицательным степеням переменной z/R,:

ФоОО=2>

к

к=i

Г \

\Ro;

-к

к

к=0

Г \ Z

V^oy

-i

Для определения неизвестных коэффициентов раз-

ложений в ряды (18) используются следующие соотношения

1 +

£(3X0) _ с(3)(0) + ~(3)(0) ~(3)(0) _ _

k k k ' k

1+ asn

.

Y Inj c(m)-J c(2)(0)V

n=1

K (2hJkl + iJk),

£(4X0) =c(4)(0) +^(4)(0) £4X0) __

k k k ' k

1+

С

h = —, J

Ro

±[n

(m + n-1)!

n=l

' n,m

{-\y

f j n^m+n \ 2¡h j

1Г i v

и

2//г

(/77 -1)Ы

Установлены соотношения между коэффициентами разложений комплексных потенциалов ф^) , цг^г) , регулярных в области ^ , и коэффициентами разложений потенциалов ф0 (г) , \|/0 (г) , регулярных в полной плоскости вне отверстия

(/) _ ге(1,к) Ск ~ и0Д

2 оо

р=1 V=1

в которых

1 1^1 1 + — ае

1-

- к при / = 3,4; 1 + ае1 ' 1 + ае1

р( 1Д) = ^ г р( 2,1) = £,(1,1) = 0(2,1) 0 ^(1) М(1) .

п(1,2) _ 7 Р(2'2) = X I о(12) = 0 0(2'2) =-Х X ¿1

й = —^ : 8 = =

= (1 - А,лд)(* - 2 )М«2 - А,^ ;

Р

= = о, й!;4) = [8 + + 2)^], ЙГ = V./.

Н1)

1+ ае1

г

г

м{2) = — к к

, тли; /-( М(3) = Ц-+ ^-аМ(4) =

1+ ае1

1+ ае1

1+ ае1

41)

1

г

н

Г

:Ч1С(3)(0)+С(ЗХ0)+ЧД

1

1

1+ ае1 1+ ае,

О у

= —( )(0) - КА3т) + Кл1 У 7

\К

Щ 1

1

|ы01+с£0 1+а^

Приведенные выше соотношения и граничное условие (8) позволяют получить две бесконечные системы линейных алгебраических уравнений относительно соответственно действительных и мнимых частей коэффи-

циентов (я = 1,2; /л = 1,...,°о) разложения функций ф0(г) , 1|/0(г) в

ряды:

2 оо

12Х

(х (х ± к

д = 1,2 ;

2 оо

', 9=и;

"(х - к '

где матрицы коэффициентов определяются по формулам

4 оо

Р=1 У=1

4 оо

Р=1 У=1

4 оо

р=1 У=1

4 оо

Т Ф,2)" _ V V Яе(^'у)г(р'4) ( Р^'Р) - \

р=1 У=1

= ~К,к-2У' ткТ = К,и> Тк3у1) = К А1 + КлХ ткТ =

г(1,3) _ л г(2,3) _ П г(3,3) _ л г(4,3) _ л .

тЧ1'4) - 1 Т(2'4) - 0 Т(3'4) - л; Т(4'4) - -I •

1к,х ~ 1к,\ ~К}'>1к,\ ~ уД+2 ' к,\ ~

а свободные члены - по формулам

4 оо

Р=1 У=1

4 оо

Р=1 У=1

4 оо

р=1 У=1

4 оо

=1ах,- -ХХЗГЧГ^'"

р=1 у=1

2к

г(ЗХ1) _ 11 * " 2

л 8 2,£+1 л ¿К

^к,\ао + ^ + '21+

В соотношениях (31), (32), (36), (37) знаками «*» и «**» обозначены соответственно действительные и мнимые части комплексных величин.

Таким образом, решение исходной задачи для полуплоскости, ослабленной круговым отверстием, подкрепленным кольцом, внутренний контур которого нагружен локальной вертикальной равномерно распределенной нагрузкой, сведено к строгому аналитическому решению задачи о бесконечной плоскости, ослабленной подкрепленным круговым отверстием.

Для решения задачи использован оригинальный итерационный процесс, показавший хорошую сходимость, краткое описание которого приводится ниже.

На каждом шаге процесса методом Гаусса находится решение полученных выше двух бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (31), (32), соответственным образом укороченных: с удержанием

числа неизвестных коэффициентов <^1)(0) , равного п, и числа коэффициентов 42)(0) , равного п + 2. От выбранного количества п числа удерживаемых членов существенно зависит точность получаемого решения, для практических целей рекомендуется устанавливать п > 20 .

В нулевом приближении соответствующие коэффициенты с^1)(0) и

42)(0) полагаются равными нулю, т.е.

41ХО) = 0

и с использованием соотношений (35) - (38) вычисляются коэффициенты столбцов свободных членов обеих систем.

Из решения систем уравнений (31), (32) на каждом шаге итерационного процесса определяются текущие значения действительных и мнимых частей коэффициентов 41)(0) (//=1,...,«) и 42)(0) (// = 1,...,и + 2). Сих

использованием по формулам (20), (21) вычисляются необходимые коэффициенты и, в конечном итоге, новые свободные члены обеих систем уравнений, после чего находятся решения указанных систем уравнений.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения коэффициентов с«(0) (//=1,...,«) и 42)(0) (// = 1,...,и + 2) в двух последовательных итерациях будут различаться на величину, меньшую наперед заданной достаточно малой величины, например 10~6 . Как показывают проведенные вычислительные эксперименты, итерационный процесс решения задачи обладает удовлетворительной сходимостью.

Напряжения в точках областей и ^ , моделирующих соответственно массив грунта и обделку тоннеля, определяются на основе формул Колосова-Мусхелишвили (4), записанных в полярной системе координат [5]. Переход от коэффициентов с^1)(0) (//=1,...,«) и с^2)(0) {¡и = 1,...,« + 2) разложений комплексных потенциалов в среде ^ к коэффициентам разложений комплексных потенциалов в кольце ^ осуществляется с использованием формул (23) и соотношений (24) - (28).

Полученное решение положено в основу метода расчета обделок тоннелей неглубокого заложения на действие внутренней локально распределенной нагрузки, который позволит с привлечением разработанных ранее методов расчета обделок тоннелей на действие статических нагрузок - собственного веса пород, давления грунтовых вод, а также объектов на поверхности [1], в полной мере учитывать несущую способность грунта, и в ряде случае применять более экономичные, научно обоснованные проектные решения.

Список литературы

1. Анциферов С.В. Метод расчета многослойных обделок параллельных тоннелей кругового поперечного сечения мелкого заложения: монография. Тула: ТулГУ, 2014. 298 с.

2. Деев П.В. Математическое моделирование взаимодействия обделок параллельных тоннелей произвольного поперечного сечения с массивом грунта // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 1. С. 291-300.

3. Саммаль А.С., Тормышева О.А. Методика оценки напряженного состояния обделок транспортных тоннелей при действии внутренних локальных нагрузок. Транспортное строительство. №7. 2013. С.16-18.

4. Саммаль А.С., Анциферов С.В., Деев П.В. Аналитические методы расчета подземных сооружений: монография. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. 111 с.

5. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

Анциферов Сергей Владимирович, д-р техн. наук, доц., зав. кафедрой, antsseramail. ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Дворянкин Владимир Геннадиевич, асп., antsser a mail.ги, Россия, Тула, Тульский государственн ый университет,

Фотиева Нина Наумовна, д-р техн. наук, проф., antsser(a>,mail.ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет

CALCULATION OF TUNNEL LINES FOR WEIGHT ACTION EQUIPMENT PLACED

IN THEM

A.S. Antsiferov, V.G. Dvoryankin, N.N. Fotieva

The aim of the work is the development of an analytical method for calculating the lining of a sufficiently extensive tunnel of a shallow laying of a circular cross-sectional shape under the action of an internal local vertical load due to the weight of the equipment placed in it, the efforts of jacks, lifting devices and other. Taken into account in mathematical modeling of the interaction of the lining of the tunnel with the rock massif the main factors affecting the stressed state of the lining and the rock massif. The formulation of the plane problem of the theory of elasticity is carried out and the transition to the corresponding boundary value problem of the theory of analytic functions of a complex variable is carried out, the analytical solution of which is obtained using the Kolosov-Muskhelishvili potential apparatus, analytic continuation, Conchy type integrals, Fourier and Laurent series. At the decision of a problem the original iterative process which has shown high convergence is used.

Key words: mathematical modeling, lining, tunnel, plane problem, theory of elasticity, the theory of functions of a complex variable, method of design.

Antsiferov Sergey Vladimirovich, Doctor of Technical Sciences, Head of the Department of Mechanics of Materials, antsser(a>,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Dvoryankin Vladimir Gennadievich, postgraduate, antsser(a>,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Fotieva Nina Naumovna, Doctor of Technical Sciences, professor, antsser(a>,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University

Reference

1. Anciferov, S.V. Metod rascheta mnogoslojnyh obdelok paral-lel'nyh tonnelej kru-govogo poperechnogo sechenija melkogo zalozhenija: monografija. Tula: TulGU, 2014. 298

2. Deev P.V. Matematicheskoe modelirovanie vzaimodejstvija obdelok parallel'nyh tonnelej proizvol'nogo poperechnogo sechenija s massivom grunta // Izvestija Tul'skogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvennye nauki. 2011. Vyp. 1. S. 291-300.

3. Sammal' A.S., Tormysheva O.A. Metodika ocenki naprjazhennogo sostojanija obdelok transportnyh tonnelej pri dejstvii vnutrennih lokal'nyh nagruzok. Transportnoe stroitel'stvo. №7. 2013. S. 16-18.

4. Sammal' A.S., Anciferov S.V., Deev P.V. Analiticheskie me-tody rascheta pod-zemnyh sooruzhenij: monografija. Tula: Izd-vo TulGU. 2013. Ills.

5. Mushelishvili N.I. Nekotorye osnovnye zadachi matematiche-skoj teorii uprugosti. M.: Nauka, 1966. 707 s.

УДК 539.52:669.11.018

К ТЕОРЕТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ПРОЦЕССА КОМИАКТИРОВАНИЯ ПОРОШКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ

ПРЕССОВАНИЕМ

А.Е. Гвоздев, Г.М. Журавлев, C.B. Сапожников

Предложен метод расчета основных параметров процесса пластического деформирования порошковых материалов, составлено основное уравнение теории ком-пактирования порошковых материалов прессованием и дано построение его приближенного решения, необходимое для вычислений распределения давлений и плотностей в брикетах порошковых материалов в различных системах координат.

Ключевые слова: порошковый материал, теория прессования, пластическая деформация, основные уравнения, давление, плотность.

В различных отраслях промышленности широко распространены процессы, в которых сыпучий материал движется под действием сил тяжести в направлении относительно узкого выпускного отверстия.