Модели упорядочения вершин графа в задачах структурного анализа и принятия решений

Обучение нейронных сетей в основном использует базу знаний, в которой хранится набор примеров с известными правильными ответами. Каждый пример это пара вход известный выход. В этой связи получаемые выходные сигналы сравниваются с эталонными и строится оценка работы НС. Основная проблема это процесс пошаговой минимизации (максимизации) функции оценки НС. Эти задачи решаются в основном методом градиентного спуска [4, 6]. Отметим, что операторы ГА представляют собой переборные процессы, связанные с перераспределением генетического материала. Это даёт возможность быстрее получить минимум или максимум функции, чем в методах пошаговой оптимизации. Применение описанного ГА позволяет анализировать большое число решений практически паралельно и за счёт моделирования процесса, “выживают сильнейшие” получают оптимальное или близкое к нему решение.

В заключение отметим, что комбинированное использование нейронных сетей и генетических алгоритмов позволяет создавать новое программное обеспечение для параллельного решения широкого класса задач, что повышает эффективность, качество и сокращает время решения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Уоссермен Ф: - Нейрокомпьютерная техника - М., Мир, 1992 г.

2. Neural Computing: Neural Works Proffessional. II / Plus and NeuralWorks Explorer, Neural Ware, Inc., 1991. 355 p.

3. Muller B., Reinhardt J. Neural networks. Springer - Verlag 1990. 267 p.

4. Горбань A. H.: - Функции многих переменных и нейронные сети. СОЖ, № 12, 1998, с. -105-118.

5. Курейчик В. М. Генетические алгоритмы. Таганрог, изд-во ТРТУ, 998,240 с.

6. Горбань А. Н.: - Обучение нейронных сетей - М.,: СП Параграф. 1991 г.

УДК 519.15

В.П. Карелин, В.И. Кодачигов МОДЕЛИ УПОРЯДОЧЕНИЯ ВЕРШИН ГРАФА В ЗАДАЧАХ СТРУКТУРНОГО АНАЛИЗА И ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ.

При исследовании сложных систем, исходная информация о которых имеет как количественный, так и качественный характер, наряду с количественными методами анализа большую роль играют также и качественные методы. Под качественным описанием систем понимается представление системы в виде совокупности подсистем, классификации элементов систем, упорядочение ее элементов, формирование структуры системы, выявление основных существенных связей между элементами системы и т.п. Подобные задачи качественного описания систем известны как задачи структурного анализа и синтеза систем, декомпозиции системы на подсистемы, укрупненного представления систем, обобщения ситуаций и формирования понятий, классификации и распознавания образов, согласованности предпочтений и т.д. [1]. Качественное описание проводится с целью исследования систем на ранних этапах их проектирования, при исследовании и обработке экспертной информации и эмпирических данных структурными методами, при исследовании процессов принятия решений человеком с целью формирования обобщенных понятий, классов ситуаций, соответствующих принимаемым решениям [2, 3].

При качественном анализе больших систем исходная информация имеет качественный вид, если она носит семантический характер, задана в виде классов взаимосвязанных элементов системы, представляется в виде отношения или взвешенного графа связей между элементами системы. Однако информация о системе может быть задана и в количественном виде, когда элементы системы описываются набором количественных признаков, связи между элементами носят функциональный характер или измеряются в количественных шкалах. В

для всех I, ] ^ п, ( ! Ф ] ), где с1 ; = I - в+ 1. Здесь 1, б — индексы первого единичного элемента I - ой строки.

Если внутри ленты имеются нулевые элементы, то это неполная ленточная матрица, если же есть единичные элементы вне ленты, то это частично-ленточная матрица. Из определения ленточной матрицы следует, что в ней единичные элементы расположены вблизи и вдоль главной диагонали матрицы. Для неориентированного графа, упорядоченность вершин которого определяет МС, являющуюся полной ленточной матрицей, справедливо следующее утверждение:

Утверждение 1. Любая вершина графа, смежная с данной 1-ой вершиной, стоит в упорядоченности ближе к ьой, чем любая несмежная.

Очевидно, что МС, приведенная к ленточной или неполной ленточной форме с минимальной шириной ленты, соответствует такому линейному размещению вершин соответствующего графа, при котором этот граф имеет минимальную суммарную длину ребер.

Диагонально-блочная форма представляет собой матрицу смежности, у которой единичные элементы максимально локализованы в квадратных блоках-подматрицах, расположенных по главной диагонали матрицы. Преобразование МС к диагонально-блочной форме соответствует декомпозиции графа на максимально связанные подграфы. Критерием при этом является минимизация числа связей между подграфами. Диагонализацию МС можно организовать как процедуру кластеризации вершин графа по матрице смежности, а можно организовать как чисто матричное преобразование, приводящее матрицу к желаемому виду. Алгоритмы диагонализации МС графа подробно рассмотрены в работах [2, 10].

Канонической формой матрицы смежности графа С называется такая, которая соответствует максимальному двоичному коду М(в) графа. Напомним, что двоичным кодом неориентированного графа й с п вершинами является число:

а|2 2(Ы1)+ а13 .2<п/2)“2 +••••+ а^, п-| -22 +ап.2, „ -21 +а„.|, „ •2°, где а*, j - элементы матрицы, стоящие над главной диагональю. Важной особенностью максимального двоичного кода графа является то, что это полный инвариант графа, из равенства таких кодов для двух графов следует изоморфизм этих графов.

Из единственности максимального двоичного кода для изоморфных графов следует справедливость следующего утверждения.

Утверждение 2. Если графы С=(Х, И) и Н=(У, Р) изоморфны, то процедура построения таких размещений вершин X и У, которые приводят к получению максимального двоичного кода М(С)=М(Н) этих графов одновременно определяет и изоморфное соответствие I: Х<-»У, задающее подстановку изоморфизма.

Чтобы для заданного графа с п вершинами получить МС с канонической формой, необходимо в общем случае выполнить п! перестановок строк и соответствующих столбцов (что соответствует п! различным перестановкам вершин графа). Поэтому поиск упорядоченности вершин графа, приводящей к канонической форме МС задача по вычислительной сложности эквивалентная задаче определения изоморфизма.

Однако использование утверждения 2 позволяет применять эвристические правила, сокращающие перебор при построении упорядоченности вершин графа, максимизирующей двоичный код, одновременно и для построения подстановки (соответствия 0 изоморфизма. При этом на каждом шаге построения такой подстановки соответствующие вершины из множеств X и У сравниваемых графов, выбираются по правилам максимизации двоичных кодов обоих графов. Одновременно, на каждом шаге, после доопределения частичного соответствия ^ проверяется критерий изоморфизма, требующий сохранения отношения смежности вершин из У, соответствующих смежным вершинам из X. Использование совместно локальных инвариантов графов для формирования соотнесенных классов эквивалентности на множествах X и У и эвристических правил, максимизирующих двоичный код графов позволяет, несколько усложнив выбор вершин из X и У на каждом шаге, значительно сократить перебор при построении подстановки изоморфизма. К числу эристических правил, максимизирующих двоичный код матрицы при фиксированных начальных вершинах, относятся следующие:

Правило 1. Для неоднородных графов первой в упорядоченности необходимо разместить вершину с наибольшей локальной степенью. Для однородных - любую.

Правило 2. Все вершины графа смежные с уже упорядоченной \-ой вершиной, должны размещаться как можно ближе к этой вершине. Причем, если вершина 1 предшествует в упорядоченности вершине то и все вершины, входящие в окружение иой вершины должны в упорядоченности предшествовать вершинам, входящим в окружение ]-ой вершины.

Правило 3. Очередной вершиной в упорядоченности ставим ту вершину из упорядочиваемого класса разбиения, которая максимально связана с уже упорядоченными. При равной связности — ту, которая имеет наибольшую локальную степень в подграфе, состоящем из вершин упорядочиваемого класса разбиения, а при равных локальных степенях — ту которая имеет большую локальную степень в исходном графе, если последний неоднородный, в противном случае — ту, окружение которой имеет наибольшее суммарное пересечение с окружением вершин из упорядочиваемого класса.

Нетрудно видеть, что максимизация двоичного кода является значительно более сильным условием, чем построение упорядоченности с минимальной суммарной длиной связей. Для максимизации кода единичные элементы должны локализоваться не только ближе К главной диагонали, но и, что более важно, в верхних строках матрицы смежности. Правило 3 как раз и направлено на обеспечение этого условия.

Применение различных локальных инвариантов для построения разбиения множеств вершин графов подробно рассмотрено в работе [5].

ЛИТЕРАТУРА.

1. Вагин В.Н. Дедукция и обобщение в системах принятия решений. М.: Наука. 1988,-384с.

2. Браверман Э.М., Мучник И.Б. Структурные методы обработки эмпирических данных. М.: Наука. 1983-464с.

3. Поспелов Д.А. Ситуационное управление теория и практика. М.:Гл.рсд.физ.-мат. лит.,1986,-288 с.

4. Корячко В.П., Курейчик В.П., Норенков И.П. Теоретические основы САПР. М.: Энергоатомиздат. 1987-400 с.

5. Карелин В.П. Теория и средства поддержки комбинаторных моделей принятия решений в организационно-технологических системах.Дисс...докт. гехн. наук. Таганрог,

1995г.- 334с.

6. Трахтенгерц Э.А. Взаимодействие агентов в многоагентных системах. / Автоматика и телемеханика. 1998. №8.

7. Мелихов А.Н..Карелин В.П. Методы распознавания изоморфизма и изоморфного вложения чётких и нечётких графов: Учебное пособие.- Таганрог: Изд.ТРТУ, 1995.- 112 с.

8. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука. 1981.- 208 с.

9. Цой С., Цхай С.М. Прикладная теория графов. Алма-Ата.: Наука. 1971.

10. Курейчик В.М. и др. Методы разбиения схем РЭА на конструктивно законченные части,- М.: Сов. радио, 1978,-136 с.