Уравнение свёртки на вещественной прямой в пространстве функций, суммируемых с экспоненциальными весами. Часть 2

УДК 517.9

Уравнение свёртки на вещественной прямой в пространстве функций, суммируемых с экспоненциальными весами.

Часть 2

В. Б. Дыбин

Кафедра алгебры и дискретной математики Южный федеральный университет Б. Садовая, д. 105, Ростов-на-Дону, 344006, Россия

В этой работе (части 1 и 2) рассмотрена теория односторонней обратимости оператора свёртки на К в пространстве функций, суммируемых с экспоненциальными весами. В части 2 содержится конструкция И.А. Фельдмана, позволяющая получить критерий фредгольмовости изучаемого оператора. После этого приводятся результаты об обратимости (двусторонней, слева и справа) оператора свёртки в изучаемом пространстве, даётся описание его дефектных подпространств и конструкций соответствующих обратных операторов.

Ключевые слова: оператор свёртки, символ, весовое пространство, фредгольмо-вость, обратимость.

1. Введение

Эта работа является продолжением статьи [1]. Последняя содержит определения и описания изучаемых объектов. В дальнейшем её результаты мы будем использовать без специальных ссылок. Ниже даются: критерии фредгольмовости и обратимости (двусторонней и односторонней) оператора

С

в пространстве {а, Ъ}е, описание его дефектных подпространств и конструкций соответствующих обратных операторов.

Для удобства читателя данная часть работы содержит самостоятельный список цитируемой литературы.

2. Конструкция И.А. Фельдмана

И.А. Фельдман ввёл в обиход конструкцию, которая эффективно работает при построении Ф-теории скалярных и матричных уравнений типа свёртки (см. [2, Дополнение]). Здесь даётся некоторое её усовершенствование, которое уже опробовано в случае скалярных дискретных уравнений типа свёртки [3-5].

Ниже мы рассматриваем специальный матричный оператор Т, действующий в пространстве Р+{а, Ь}е х Р—{а, Ь}е и обобщающий операторы свёртки и Винера-Хопфа, введённые выше. Основное внимание уделяется критерию фредгольмовости оператора Т.

Через X обозначим комплексное линейное пространство двумерных векторов

/ = (£) , где /± е Р±{{а,Ъ}Е),

с поэлементными операциями сложения и умножения на скаляр. Предполагая всюду в этом разделе, что ||  || = ||  ||{а,ь}Е, вводим в пространстве X норму ||/||х =

Статья поступила в редакцию 19 ноября 2010 г.

II/+II + II/-II, превращая тем самым X в банахово пространство. Пространство X изоморфно пространству {а,Ъ}в.

Пусть kij(х) G {a,b}i, Kij(z) = Fzkij, l,j G 1, 2, a = min(a,6), b = max(a,b),

K11 (z) = X1 + K11(z), K22(z) = X2 + K22 (z). Оператор T : X ^ X определим равенством

Tf =

\U2 {K21) W-(K2 2)j

где

W+(Kii) = P+C(Kii)P+, W-(K22) = P-C(K22)P-, Ui(Ki2) = p+c(Ki2)P-,

U2(K2i) = P-C (K2i)P+, с (Кц) G End {a,b}E. Частными случаями оператора T являются операторы:

С (К) (kij (х) = k(x), l,j G 1,2, Xi = Х2 = X),

W+(K) (kii(x) = k(x), ki2(x) = k2i(x) = k22(x) = 0, Xi = X, X2 = 0),

W-(K) (k22(x) = k(x), ki2(x) = k2i(x) = kn(x) = 0, X2 = X, Xi = 0).

Следующий критерий фредгольмовости оператора Т принадлежит И.А. Фельдману [2, Дополнение].

Теорема 1. Пусть оператор Т имеет вид (2). Для того чтобы Т G Ф(Х), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

inf IKii

а ь

Если условия (3) выполнены, то

indТ = ind K22

b a

Доказательство. Доказательство теоремы содержится в [2, стр. 310-312] и основано на следующем представлении оператора (2): Т = D + К, где

D = (w+(K 11) 0 ) К = f 0 Ui(Ki2T

0 W-(K22) Г \U2(K2i) 0

/ 0 Ui(Ki2)\ \U2(K2i) 0 ) .

В этом представлении оператор К является компактным ввиду компактности операторов и\(К\2), и2(К2\).

В качестве следствия теоремы 1 получаем следующий критерий фредгольмовости оператора свёртки С (К).

Теорема 2. Пусть к(х) € {а, Ь Для того, чтобы оператор С (К) вида (1), где К (г) € W(П~) и имеет вид (17) из [1], был Ф-оператором в пространстве

{а,Ъ}в, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

М 1К

а

Если последнее условие выполнено, то

тё С

ь а

а

Замечание 1. Здесь предполагается, что граница дП ~ полосы П ~ ориентирована таким образом, что область П £ находится от неё слева.

3. Алгебра С{а,Ь}в. Обратимость и односторонняя

обратимость

Через С {а,Ъ}в будем обозначать алгебру операторов свёртки С (К) вида (1), действующих в пространстве {а,Ь}Е, где Л е С, к(х) е {а, Ь}х, а = шш(а,6), Ь = шах(а,Ь). Функцию К(х) вида (17) из [1] будем называть символом оператора С (К). Вначале рассмотрим проблему двусторонней обратимости оператора С (К).

Теорема 3. Для того чтобы оператор С (К) вида (1) был обратимым в пространстве {а,Ъ}в, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

М К

гбП £

Если условие

- п-1 - —1

— 1

имеет вид

где

С

Ь

Доказательство. Необходимость. Так как обратимый оператор является Ф-оператором, необходимость условия (5) является следствием теоремы 2. Необходимость условия К(х) =0, х е П£ является следствием теорем 4 и 5, из которых

вытекает, что при нарушении этого условия у оператора С (К) появляется нетривиальное ядро или коядро.

Достаточность. Пусть а <Ь, р = 2. Оператор С (К) в пространстве {а,Ь}2

подобен оператору М (К) = К (х)1 в пространстве Н2(ПЪа), М (К) = Рг С (К )Р-1.

Поскольку К (х) е № (П^) и выполнено условие (7), то по теореме 3 из [1] Ь(х) =

1/К (х) е № (П^) и, следовательно, оператор М (К) обратим. В силу следствия 3

из [1] его обратный оператор имеет вид

-1

, -1

M (К ) = M (К ) = M (L) = M (Х-1 + L(z)),

где

L(z) = (K(z))-1 - Х-1

Но тогда оператор С (К) обратим в пространстве {а, Ь}2, а его обратный оператор имеет вид (8), (9).

Если же 1 ^ р < то, то в силу следствий 1 и 2 из [1] С (К) £ End {а, Ь} Кроме того, на пространстве {а.Ь}2 справедливы равенства

1

С (L)  С (К) = С (К)  С (L) = I.

Поскольку в {а, Ь}2 можно выделить счётное множество M, общее для всех пространств {a,b}p, 1 < р < œ, и такое, что clos M = {a,b}p [6, стр. 146], то по непрерывности равенства (10) распространяются на пространство {а,Ь}р, 1 ^ р < œ.

Пусть b < а. Оператор С (К ) G С {а, Ь}р, 1 < р < œ, обратим тогда и только тогда, когда обратим оператор [6, стр. 460]:

С (К ) G С {-a, -b}q, q = , 1 < q< œ

р — 1 '

При этом оператор

(И^)]*)1 = (Iе (^)]-1) *.

Нетрудно проверить, что

С (К ) = С (К ),

где

К (z) = X + К *(z) = X + Fz k(-x) = К (z) G W (П -).

— b

Так как условие inf IK (z)l > 0 равносильно условию inf IK (z) > 0, то

zen-ba

оператор С (К ) по доказанному выше обратим в пространстве {-а, -Ь}я, 1 ^ д < то, а его обратный оператор имеет вид

С

-1

= С

(К )-1 = С(L ).

Следовательно, оператор С (К) обратим в алгебре С {а,Ь}р, 1 < р < то, а его обратный оператор имеет вид

~ п -1 ~

С (К) = С (Ь).

р

*

*

*

*

*

*

Так как равенство (10) выполняется на пространстве {а,Ъ}р, 1 < р ^ то, а М С {а,Ь}1, то оно выполняется и на пространстве {а,Ь}1. Кроме того, поскольку равенство (10) выполняется на пространстве {а,Ь}^, оно верно и на его подпространствах {а, Ь}С0 и {а, Ь}с. Таким образом, в случае Ь < а теорема доказана.

Вернёмся к случаю а < Ь, р = то. Поскольку условие (7) выполнено и —а > —Ь,

^ *

оператор С (К ) обратим в пространстве {—а, —Ь}1. Но пространство {—а, —Ь}1 является предсопряжённым к пространству {а, Ь}^. Поэтому [6, стр.460] оператор

~ г ~ * -|* г ~ -| — 1

С (К) = С (К ) обратим в пространстве {а,Ь}ж, а оператор С (К) имеет вид (8), (9).

В дальнейшем линейный оператор будем называть обратимым строго слева (справа), если он обратим слева (справа), но необратим.

Теорема 4. Для того чтобы оператор С (К) вида (1) был обратимым строго слева Ф-оператором в пространстве {а, Ь}е, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия а <Ь и

1К(г)1 > 0.

Если эти условия выполнены и

К (г) = 0, г € П оператор С (К) обратим. В противном случае

К (г) = П(г)К 1(г),

где К ^г) € (Па), ^(г) имеет вид (12) из [1]. При этом оператор С (К) обратим строго слева, а его левый обратный оператор имеет вид

где

Кроме того,

—1 ~—1 ~ С (К) = С (К )М,

N =П ^ =П(1 + (Ъ — Ъ) ^к)Пк, к=1 к=1

= р+(ге—гик * Р+/) — Р— (1е—пг* * Р-/).

— г г гк

ёт Сокег С (К) = п = ^ пк,

к=1

а для того чтобы / € 1т С (К), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

! 1Реи*к/(г)ёг, 3 € 0,Пк — 1, к € 1,т,

Доказательство. Необходимость. Пусть оператор С (К) является обратимым строго слева Ф-оператором. Тогда по теореме 2 выполняется условие (5).

Следовательно, а < Ь , так как если а = Ъ, то М К (х) > 0 и поэтому оператор

С (К) обратим в пространстве {а, а} е . Если же а > Ь, то при выполнении условия

К (х) = 0, х е Пьа оператор С (К) по теореме 3 обратим в пространстве {а,Ь} е , а при нарушении последнего условия — обратим строго справа в этом пространстве (теорема 5).

Достаточность. Пусть а < Ь и выполнено условие (11). Тогда по теореме 3

оператор С (К) обратим в пространстве {а, Ь} е . Если условие (11) нарушено, тогда

по теореме 4 из [1] символ К (х) допускает представление (12), а оператор С (К) распадается в композицию

С (К) = С (П)С (К1),

где оператор С (К 1) обратим, а П(г) имеет вид (12) из [1].

Повторяя рассуждения, проведённые при доказательстве утверждения 1 из [1], покажем, что оператор Мк вида (14) ограничен в пространстве {а, Ь} е. Для этого подберём такое е > 0, что 1т хк ± € е (а, Ь). Тогда

гк1 = Р+1е-Хк1 = е(Ук+е)г • ъе-Хк1 • е-£ 1 е {ук + е, ж}ъ

Но Р-/ е {-ж,Ь}Е. Поэтому по теореме 1 из [1]

ъе-гХк1 * Р-/ е {Ук + е, Ь}е ^ Р-(ге-гХк1 * Р-/) е {-ж, Ь} е ^

^ Р-!||{ы Е < \\ie-^\\{ук+}1 • \\P-f ||тЕ.

Аналогично, используя теорему 1 из [1], получаем, что

ъе-гк1 = Р-ге-Хк1 = е(Ук-£ • ъе-Хк1 • е- е {-ж, Ук - е}ь Р+/ е {а, ж} е ^ ^ 1е-гХк1 * Р+/ е {а, Ук - с}е ^ Р+(ге~__гХк1 * Р+/) е {а, ж}е ^ ^ ||^кР+!||{ь}Е < ¥е-ггк1 \\{ук-}1 • \\Р+1 ||{ь}Е.

Поэтому

№ /1| {а, Ь} Е < \\ге-"к1 \\{ук+еуук-е}1 • М ||{а,Ь} Е .

Откуда следует, что оператор N вида (14) также ограничен в пространстве {а, Ь} е.

1. Из равенства (15) из [1]

(г - ¿о)^д - (гк - ¿о)^д

Пусть д = С (Пк)/, Пк (г) =-, f е {а, Ь}1. Из равенства (15) из [1] следует,

% — %о

что

^

г - гк

Так как ^д = Пк(х) • Рг/, Ргкд = 0, то ^(Ык С(Пк) /) = ^ f & КкС(Пк) = I на

{а,Ь}1. Но тогда на пространстве {а,Ь}1 справедливо равенство N • С(П) = I. В частности, это равенство справедливо на множестве М. Поэтому по непрерывности оно продолжается на пространство {а, Ь}р, 1 ^ р < ж. Отсюда следует, что

оператор вида (13) является левым обратным для оператора С (К) в пространстве {а, Ь}р, 1 < р < ж.

Отложив на время случай р = ж, заметим, что в пространстве {а,Ь}1 условие f е 1т С (К) в силу теоремы 4 из [1] равносильно выполнению условий (17),

а число dim Coker С (К) = dim Ker С * (К) = —ind С (К) определяется формулой (16). Так как по теореме 2 ind С (К) во всех пространствах {a, b} е одинаков, а функционалы

iPе-Щк = iPе~гtXk (e~at  e{a~yk)ь + е~ы  е-~yk)t) е {а, Ь}*р,

1 < р < то, j е 0,Пк — 1, к е 1,т, то условия (17) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы f е Im С (К) в пространстве {а,Ь}р, 1 < р < то.

Теорема 5. Для того чтобы оператор С (К) вида (1) был обратимым строго справа Ф-оператором в пространстве {а,Ь} е, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия а > Ь и (5).

Если эти условия выполнены и К (г) = 0, г € П^, то оператор С (К) обратим.

В противном случае справедливо представление (12), где К1(г) € (П^), а

и(г) имеет вид (12) из [1], где хк € П^. При этом оператор С (К) обратим строго справа, а его правый обратный оператор имеет вид (13), где

~ ~ / ч. Пк

N =П Nk =П У1 -

k=1 k=1

Nkf =

Кроме того,

dim Ker С

k=i

а базис в Ker С (К) образует система функций

fjk

Доказательство. Необходимость. Пусть оператор С (К) является обратимым строго справа Ф-оператором. Тогда по теореме 2 выполняется условие (5).

Следовательно, а > Ь, так как если а = Ь, то inf К(z) > 0 и поэтому оператор

С (К) обратим в пространстве {а,а}Е . Если же а < Ь, то верна теорема 4. Достаточность. Пусть а > b и выполнено условие

inf_JK

^ *

В пространстве {-a, -b}q, 1 < q < то, рассмотрим оператор С (К ), где

* __7

К (z) = К(z) e W(й-а).

Заметим, что —а < —Ь, условие (22) равносильно условию

Ы \К (£)\ > 0,

гедП Ь

а условие К (г) = 0, г £ Щ равносильно условию

п *

К (г) = 0, г £ П-

-ъ

а'

Поэтому по теореме 4 оператор С (К ) обратим в пространстве {—а, —Ь]д, 1 <

* 1 — 1 / * \ "П Г "П * ~1 ^

д < то, а оператор С

п -,-1 П-1

обратим в пространстве {а,Ь]р = {—а, —Ь]**, 1 < р < то, а С (К) = С (К ). Поскольку равенства

П П-1 П-1 П С (К)  С (К ) = С (К )С (К) = I

верны на пространстве {а, Ь]р, 1 < р < то, то они выполняются на множестве М, всюду плотном в пространстве {а,Ь] 1, и по непрерывности продолжаются на

все пространство {а,Ь]1. Таким образом, оператор С (К) обратим в пространстве {а, Ь]р, 1 < р < то.

Пусть теперь условие (22) нарушено в точках множества {х*]7к=1 С Щ. Тогда

по теореме 4 из [1] символ К (х) допускает представление (12), (13) из [1]. Поэто-

П *

му условие (23) нарушается в точках {Щк]'т=1 С П-а, а символ К (г) допускает представление К (г) = П (г)  К*(г), где К*(г) £ О^(П^), а

П* т * 1Пк т / - *Пк

П(г) = иПк(г) = П (-"-Ч , 1т < —а. к=1 к=1

*

В пространстве {—а, —Ь]я, 1 < д < то рассмотрим оператор С(Пк) где П к(г) =

— П *

-=. По теореме 4 оператор С(Пк) обратим слева, а его левый обратный опера— —о

тор имеет вид

П* -I - 1 П * ___

С( Пк)\ = Хк = I + (гк — г0)М*к, М*/ = Р+ (ге-^ * Р+/) — Р-(ге+г^ * Р-/).

Но тогда оператор С(Пк), где Пк(¿) = -——, обратим справа в пространстве

— — -о

{а,Ь]р, 1 < р ^ то, а его правый обратный оператор М* имеет вид К* = I — (%к — %о)Мк, где оператор Мк определён равенством (19). Отсюда следует обратимость справа оператора С (П) и равенство С (П)  N = I на пространстве {а,Ь]р, 1 < р ^ то. Поскольку это равенство выполняется на множестве М, оно

верно на пространстве {а,Ь]1. Следовательно, оператор С (К) обратим справа в пространстве {а, Ь]р, 1 ^ р ^ то, а его правый обратный оператор имеет вид (13).

*

^ *

По теореме 4 в пространстве {-а, -Ь}2 условие / е 1т С (К ) равносильно выполнению условий

J & е1 гТк/(г) (И = 0, э е 0,пк - 1, к е Т^т,

а число dim Coker С (К ) = dim Ker С (К) = ind С (К) определяется формулой (20). Так как по теореме 2 ind С (К) во всех пространствах {a,b} е одинаковый, а функции

tje-itZk = tje-i*Xk (eat  e+k-a)t + ebt  e-k-b) 1) e {a, b} е, j e 0,nk — 1, к e

то система функций (21) образует базис в подпространстве Ker С (К).

Замечание 2. Из теоремы 5 следует, что все утверждения теоремы 4 справедливы при р = то. В этом случае предсопряжённый к оператору С (К) оператор ^ *

С (К ) e End {—а, —b}i удовлетворяет условиям теоремы 5, обратим справа и т.д.

4. Заключение

В этой работе (части 1 и 2) представлены результаты, которые предваряют изучение составных операторов

П = С

в пространствах {а,Ь} е. В отличие от случая пространств Е (см. [2, гл. 5]) последняя задача становится нетривиальной. Пояснения приведём для оператора Пт при а < Ь.

Символ ^Кi(z), К2(zоператора Пт в этом случае состоит из функций, аналитических в полосе Пъа и непрерывных в её замыкании Па. Оператор Пт является частным случаем оператора Т(Кц = К12 = К1, К21 = К22 = К2) и по теореме 1 является Ф-оператором тогда и только тогда, когда компонента К1 его символа не вырождается на нижней границе Ra, а компонента К2 — на верхней

границе Rb полосы па. Но тогда компоненты К\(z), К2(z) символа Ф-оператора Пт могут не только вырождаться на «свободных» для них границах, но и иметь весьма богатые множества нулей внутри полосы, сгущающиеся к точкам «свободных» границ. Отсюда следует, что стандартная процедура обращения оператора Пт [2, гл. 5] здесь неприменима. Кроме того, в классе Ф-операторов появляются операторы Пт, которые имеют одновременно нетривиальные дефектные подпространства и поэтому обратимы лишь обобщённо. В связи с этим к задаче изучения операторов Пт и П в пространствах {а,Ь} е мы вынуждены вернуться в другом месте. Дискретный вариант этой задачи рассмотрен в работах [4,5].

Литература

1. Дыбин В. Б. Уравнение свертки на вещественной прямой в пространстве функций, суммируемых с экспоненциальными весами. Часть 1 // Вестник РУДН.

Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2011. — № 2. — С. 16-27. [Dybin V. B. Uravnenie svertki na vethestvennoyj pryamoyj v prostranstve funkciyj, summiruemihkh s ehksponencialjnihmi vesami. Chastj 1 // Vestnik RUDN. Seriya «Matematika. Informatika. Fizika». — 2011. — No 2. — S. 16-27. ]

2. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. — М.: Наука, 1971. — 352 с. [Gokhberg I. C., Feljdman I. A. Uravneniya v svertkakh i proekcionnihe metodih ikh resheniya. — M.: Nauka, 1971. — 352 s. ]

3. Дыбин В. Б., Джиргалова С. Б. Оператор дискретной свертки в пространстве {a,fi}р, 1 < р < то // Известия вузов, Северо - Кавказский регион, Ест. науки, Приложение. — 2003. — № 9. — С. 3-16. [Dybin V. B., Dzhirgalova S. B. Operator diskretnoyj svertki v prostranstve {a,fi}р, 1 < p < то // Izvestiya vuzov, Severo -Kavkazskiyj region, Est. nauki, Prilozhenie. — 2003. — No 9. — S. 3-16. ]

4. Дыбин В. Б., Джиргалова С. Б. Скалярные составные дискретные свертки в пространстве {а,Р}р, 1 ^ р ^ то. Односторонняя обратимость // Известия вузов, Северо - Кавказский регион, Ест. науки, Спецвыпуск, Псевдодифференциальные уравнения и некоторые проблемы математической физики. — 2005. — С. 56-63. [Dybin V. B., Dzhirgalova S. B. Skalyarnihe sostavnihe diskretnihe svertki v prostranstve {а,@}р, 1 < p < то. Odnostoronnyaya obratimostj // Izvestiya vuzov, Severo - Kavkazskiyj region, Est. nauki, Specvihpusk, Psevdodifferencialjnihe uravneniya i nekotorihe problemih matematicheskoyj fiziki. — 2005. — S. 56-63. ]

5. Дыбин В. Б., Джиргалова С. Б. Составные дискретные свертки в пространстве {а,Р}р, 1 < р < то, Часть 2 // РГУ- Ростов-на-Дону, Деп. в ВИНИТИ 12.11.03. — 2003. — № 1946. [Dybin V. B., Dzhirgalova S. B. Sostavnihe diskretnihe svertki v prostranstve {а, @}р, 1 < p < то, Chastj 2 // RGU- Rostov-na-Donu, Dep. v VINITI 12.11.03. — 2003. — No 1946. ]

6. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — 2 издание. — М.: Наука, 1977. — 741 с. [Kantorovich L. V., Akilov G. P. Funkcionaljnihyj analiz. — 2 издание. — M.: Nauka, 1977. — 741 s. ]

UDC 517.9

The Convolution Type Equation on R in Space of Functions those are Summed with Exponential Weights. Part 2

V. B. Dybin

Chair Algebra and Disscrete Mathematics Southern Federal University 105/42, Bolshaya Sadovaya Str., Rostov-on-Don, 344006, Russia

In this paper (parts 1 and 2) the theory of one-sided invertibility of the convolution operator on R in space of functions those are summed with exponential weights is considered. In part 2 a I.A. Feldman construction providing the solution of a Fredholm problem for the considered convolution operator is contained. After the results of the invertibility (two-, left-and right-sided) of this operator are represented. The description of its defect subspaces and the constructions of its inverse operators is given.

Key words and phrases: convolution operator, symbol, weight space, invertibility, defect subspaces.