Обучение математике как социокультурный компонент новой образовательной парадигмы

ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ КАК СОЦИОКУЛЬТУРНЫЙ КОМПОНЕНТ НОВОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПАРАДИГМЫ

2012 Ярахмедов Г.А.

Дагестанский государственный педагогический университет

Путем анализа различных моделей и концепций образования делается вывод о необходимости на основе выявления гармонии в двухкомпонентных целостных структурах ориентировать обучение математике на развитие естественнонаучных, мировоззренческих, эстетических и гуманистических компетенций субъекта деятельности.

By analyzing the different educational models and concepts the author concludes the need to focus teaching the mathematics on the development of the activity subject’s natural scientific, philosophical, aesthetic and humanistic competences of the subject on the base of revealing the harmony in two-component integrated structures.

Ключевые слова: образование, обучение, интеграция,

комплексификация, золотое деление, таксон, мерономия, архетип, триада, закон обратного квадрата.

Keywords: education, training, integration, complexification, golden division, taxon, meronomy, archetype, triad, law of inverse square.

Изменения, происходящие в современном мире во всех сферах человеческой деятельности и связанные прежде всего с развитием информационных технологий, требуют перехода на качественно иной уровень исследования различных систем, в том числе и образовательных. Так, смена доминирующих в исследованиях методов непрерывной математики на методы дискретной математики и синергетики обусловливает перестройку форм и методов в математической образовательной деятельности, где актуальными становятся идеи интеграции знаний в целостную систему, проблемного видения познания мира, ориентированные на создание и применение инновационных технологий в профессионально-педагогическом образовательном пространстве. Такой подход способствует формированию у студентов принципа категориального анализа, рассматриваемого как один из наиболее значимых в процессе овладения содержанием образования, позволяющего развитию социокультурных и гуманитарных компетенций.

В образовательном процессе как целостном процессе умственного и духовного развития личности, как процессе приобщения человека к культуре общества обычно выделяются две его составляющие - личность и культурная среда. Взаимодействие личности с культурой сообщества

является основным объектом исследования в образовательной системе и реализуется прежде всего на определенном языке и в определенном многообразии текстов, представляющих в сущности культурную среду.

Духовно-ценностное начало образования, в том числе и математического, должно быть приоритетным, содержание образования, в свою очередь, должно быть представлено элементами культуры в модели культурологического пространства, а элементы этой модели должны быть определены как междисциплинарные и даже трансдисциплинарные комплексы, для которых основополагающей характеристикой выступает «человекоразмерность», представляющая особый тип гуманитарного мышления, соответствующий постнеклассическому типу научной рациональности.

Поэтому в настоящее время актуальным становится интегративный подход к исследованию образовательных систем, а вместе с ним и комплексный подход, двойственным образом с ним сопряженный, позволяющий рассматривать образование и как процесс, и как систему [7, 8]. Такой подход способствует наиболее полному осмыслению динамики происходящих изменений в различных сферах деятельности и динамики соотношения категорий «образование» и «обучение» в направлении диверсификации системы высшего образования, поскольку именно такие системы наиболее восприимчивы к расширяющемуся многообразию потребностей общества в высокопрофессиональных и мобильных специалистах, способных самостоятельно и быстро адаптироваться в непрерывно меняющейся информационной и технологической среде. В таком контексте дуальная пара «интеграция - комплексификация» выступает как методологический инструментарий для анализа педагогического процесса образования и синтеза новых методических объектов - комплексов. Тем более что интегративные тенденции, характерные постнеклассической парадигме, способствуют на основе общих закономерностей развития различных дисциплин выделению структурных инвариантов, позволяющих оценивать качество универсальных способов деятельности, ключевых компетенций, определять духовно-нравственные ориентиры гармонического развития личности как субъекта образовательного процесса, в котором доминируют идеи культурогенеза.

Концептуальной основой интегративного обучения являются учения, где в качестве общеметодологической основы выступают диалектика и принцип всеобщей связи и единства (целостности) мира, а также идеи уникальности и равноценности культур и цивилизаций - идеи диалога культур. Под культурой здесь понимается модель некоторого мировоззренческого концепта, которая объективируется с помощью определенного образа, составленного набором символов, имеющих заданные значения и объединенных вполне осознанной идейной установкой. Такая модель часто интерпретируется как математическая модель и предполагает восприятие мира через внутренние составляющие процесса познания.

Напоминаем, что комплексный подход к обучению в нашем представлении позволяет исследовать образовательный процесс в единстве внешнего, определяемого интеграцией контентов различных предметных областей, и внутреннего, определяемого комплексификацией посредством построения и анализа математических моделей [9]. Обобщенные представления математических моделей, выявление их основных свойств, с помощью которых строится и анализируется структура модели, позволяют выделить культурогенетическое составляющее в мировоззренчески направленном

обучении математике. Иначе говоря, математическое моделирование выступает в роли связующего звена между двойной действительностью мира (внешней и внутренней) и мира мысли, что еще раз подтверждает необходимость онто-гносеологического синтеза философии, математики и физики. Тогда актуальным становится описание психолого-педагогических предпочтений той или иной когнитивной деятельности в интегративных процессах различных образовательных систем.

Интегративный тип познания формируется в учебном процессе высшей школы. Он сочетает в себе непосредственный опыт, системное мышление, нетривиальный подход к проблеме, интуицию, аналогию, ассоциативное мышление, поскольку при интеграции знаний различия и характерные черты объектов и явлений объединяются, сохраняя свои существенные особенности [6]. Возникшая в настоящее время потребность в интеграции учебных дисциплин вызвана преимущественно закономерностями развития современной науки и общества, поэтому в современной философии образования интеграцию справедливо называют основным механизмом гуманитаризации образования.

Психологической основой такой интеграции считается учение об ассоциативном мышлении, где природу умственной деятельности классифицируют по ее уровням, определяемым характером составляющих их ассоциаций. Образование самых элементарный ассоциаций - это момент рождения мысли, начало знаний. В процессе формирования знаний объединяются и психические, и физиологические начала субъекта деятельности.

В педагогической науке исследователями выделен ряд концепций, которые носят интегративный характер. Они отражены в работах по методологии и методике исследования синтезирующих процессов (межпредметных связей, преемственности, интеграции) в педагогике (В. С. Безрукова, В. И. Загвязинский, И. Д. Зверев, Т. А. Ильина, В. Н. Максимова, М. И. Махмутов, Ю. Н. Ракчеева и др.), раскрывающих интегративные идеи всестороннего и гармоничного развития личности, интегративного образования (А. П. Беляева, В. Н. Воронин, Ю. И. Дик, В. В. Сериков, Э.Г.Юдин и др.) и интеграции школы с производством и обществом в целом (А. Я. Данилюк, Дж. Дьюи, И. М. Зырянова, В. В. Левченко, В. Д. Лобашев, В.

Н. Софьина и др.), целостного процесса общесоциального и профессионального становления личности (И. Л. Беленок, И. Ф. Исаев, В. П. Кузовлев, Г. Л. Луканкин, В. В. Мадер и др.).

В основе концепции синтеза дидактических систем лежит идея интеграции ведущих психолого-дидактических концепций как одного из способов разрешения важнейших противоречий в педагогике, в том числе противоречий между необходимостью формирования у обучающихся системы знаний и целостного мировоззрения и отсутствием системности и целостности в самом предметном преподавании, разобщенностью различных дисциплин между собой.

Следует отметить, что целостность процесса обучения обеспечивается единством противоречий дифференциального и интегрального, причем результатом такого процесса является некоторая система, и она устойчива, если составляющие этого процесса гармонически связаны между собой. Нахождение этой гармонии с помощью основных методологических принципов математического моделирования и выступает основной задачей дидактики математики. Тем более что в общем случае интегративные процессы в педагогике и образовании, как и в других социальных науках,

связаны с расширением ее социальных, гуманистических и мировоззренческих функций.

Необходимость в интеграции возникает в том случае, если, во-первых, имеются ранее в чем-то разобщенные элементы, во-вторых, есть объективные предпосылки для их объединения, в-третьих, объединение элементов происходит не суммированно и рядорасположенно, а посредством синтеза, в-четвертых, результатом такого объединения будет система, обладающая свойствами целостности.

Итак, результатом интеграции является целостность, то есть новая реальность, каждый компонент которой сохраняет свои сущностные качества, но целостность при этом приобретает новое качество, отличное от качеств составляющих компонентов, то есть нарушается аддитивность по качеству.

В методологическом плане также надо учитывать различие между понятиями «межпредметные связи» и «интеграция». Как отмечает И. Д. Зверев, «следует различать собственно интеграцию, т. е. объединение нескольких учебных предметов в один, в котором научные понятия связаны общим смыслом и методами преподавания, и координацию (межпредметные связи в узком смысле), т. е. тщательно разработанную взаимосвязь учебных предметов (межпредметные связи)» [2].

В другой трактовке интеграция представляется как одна из форм межпредметных связей, а именно: «традиционные межпредметные связи устанавливаются между отдельными элементами учебных предметов в целях координации их содержания и сроков изучения. В отличие от них комплексные межпредметные связи отражают направления интеграции содержания и проявляются в системе его комплексных единиц. Координация и интеграция представляют собой две взаимосвязанные тенденции междисциплинарности, характерные для современного научного знания и обучения» [3].

Межпредметные связи, как указывает Н. К. Чапаев, привязаны непосредственно к практике, к образовательной среде. Интеграция же способна выполнять роль теоретико-методологического инструментария. Межпредметные связи этим качеством не обладают в силу их достаточно большой отдаленности от своих философских и науковедческих оснований. Интеграция же не имеет границ [5].

В процессе интеграции обычно актуализируется выявление гармонического сочетания взаимодействующих между собой базисных структур деятельности. Феноменологической особенностью почти любого процесса служит проявление единства во взаимодействии двухкомпонентных его составляющих в виде целостности (например, единство противоположностей, процесс дихотомии, биполярность,

взаимодополняемость как дизъюнктное объединение двух частей в единое целое, антиномия и т. д.). Такая целостность, определяемая гармоническим сочетанием двух частей, образует триединство структуры. Целостность из этих частей ассоциируется с синтезом, единством (первоединством), интеграцией. В конечном итоге, процесс познания - это взаимодействие чувственно-образного и понятийно-логического восприятия и рассудка (И. Кант), а также взаимодействие эмпирического и теоретического знаний. В свою очередь, и в разуме выделяют два начала - субъективное и объективное. А интеграция этих идей осуществляется в философии Гегеля.

Для двухкомпонентных целостностей проведем аналогию выбора гармонического сочетания двух противоположностей в целом с «золотым

делением» отрезка, определяемого как деление отрезка на две части так, что большая из них есть средняя пропорциональная между меньшей частью и всем отрезком.

Обозначим через а весь отрезок, а через х - большую из двух его частей. Тогда, составляя соответствующую пропорцию и решая полученное уравнение, имеем х~ 0,62а, а отношение частей, составляющих отрезок,

х 0,62а — Х

^ 1,62 —

равно х~а °>38а Пропорцию «золотого деления» а а-х или

1 _ 1

х2=а(а-х), представим в виде равенства х а(а-х) которому можно

придать определенный физический смысл как закону обратного квадрата

(обратный квадрат большей части х отрезка а равен обратному

произведению отрезка а и меньшей его части (а-х)). Обобщенный смысл

именно этого равенства заложен в основу фундаментальных законов

взаимодействия материальных точек физических, био-химических,

информационных полей. То же самое значение отношения получим и для

«золотого» прямоугольника. Как известно из геометрии, прямоугольник

называют «золотым», если при отсечении от него квадрата остается

прямоугольник, подобный первоначальному. Если через а и Ь обозначить

длины сторон треугольника то он будет «золотым», когда выполняется

а Ъ а „

— =----- —«1,62

равенство Ь а~Ь Отсюда ^ , и это означает, что никакие целые

числа а и Ь не дают «золотого» прямоугольника.

С другой стороны, имея простейшую цепную дробь, составленную только из единиц,

1

1+-

1+^-1+...

обозначая величину этой дроби через х, представляя ее в виде х и

решая это уравнение, получим также, что х~ 1,62. Итак, значение этой дроби, как и для золотого деления отрезка, а также и золотого прямоугольника, равно ~1,62. Важно, что это значение оказалось одинаковым как для соотношения частей геометрических объектов - актуально бесконечных сущностей некоторой системы, так и для значения арифметической дроби, представляющей потенциально бесконечный процесс, откуда следует, что оно является и системным, и процессуальным инвариантом. Это число тесно связано также с числовой последовательностью Фибоначчи. В самом деле, обрывая цепную дробь на первом, втором, третьем и т.д. знаке «плюс», получим дроби 1 2 3 5 8 13 Г Г 2’ 3’ 5’ 8

которые дают все более точные приближения золотого деления 1,62..., причем знаменатели этих дробей 1,1,2,3,5,8,13,... образуют последовательность Фибоначчи, для которой каждое ее число, начиная с числа 2, получается сложением двух предыдущих.

Следует отметить, что свойствами золотого прямоугольника обычно

пользуются в архитектуре, последовательностями же Фибоначчи описываются проявления свойств, строений биологических и химических структур, а также анализируется их поведение в развитии. Так, например, если ствол дерева пускает новую ветвь, то на следующий год он «отдыхает» и только через год пускает новую ветвь. Поэтому сначала имеется только главный ствол, на следующий год - две ветви, еще год спустя - 3, потом 5, 8, 13... - как в последовательности Фибоначчи.

Свойства этих чисел находят многочисленные применения в различных областях науки и техники, в том числе для анализа и синтеза графовых моделей диалоговых процедур информационных систем, для классификации структур таксонов, архетипов и т. д.

В классификационных системах класс сходных сущностей называют классификационным таксоном, а способ членения этих сущностей на отдельные части, позволяющий установить их сходство, - мерономией. Упорядоченную совокупность признаков, характеризующих данный таксон с точки зрения внутренней структуры входящих в него сущностей, называют архетипом [4]. Таким образом, таксон - это объем (экстенсионал) некоторого класса, мерономия - содержание (интенсионал) понятия, связанного с классом, а архетип - это некоторая внутренняя структура, которую можно обнаружить во всех сущностях соответствующего таксона. Архетип -структура отдельных частей классов, составляющих классификационную схему. Эти части в классификации называют меронами. Фактически это означает, что мероны совпадают с классификационными признаками понятий.

Итак, если таксономия определяет знание о внешней структуре связей между классами сущностей по определенным признакам, то мерономия задает внутреннее устройство классов, и причем, как мы полагаем, близость отношения объема таксономии к объему мерономии к значению 1,62 оптимальным образом определяет структуру любого понятия. Более того, структуры, в которых выделяются два базисных компонента, сохраняют устойчивость к развитию в основном, когда отношение экстенсионалов этих компонентов близко к «золотому делению».

Отметим также, что гармонию пропорций числовых последовательностей и отношений между таксономии и мерономии как внешних и внутренних структур сущностей, наблюдаем и в метрической теории музыки. Музыка, определяемая как «наука о соизмерении» или «наука о модулировании», как часть математической науки долгое время занимала почетное место в «квадривии» вместе с арифметикой, геометрией и астрономией, причем ее воспринимали как науку, «происходящую частью от чувства, частью от ума» [1. С. 660].

На самом деле основы математической теории музыки были заложены еще древнегреческими учеными начиная с Пифагора. А Блаженный Августин, один из выдающихся теоретиков раннего христианства, в трактате «О музыке» придал новую философско-религиозную ориентацию проблеме ритмометрической гармонии, усматривающей числовые закономерности в музыке и искусстве, уделяя большое внимание проблеме чувственного и эстетического восприятия. В основу всего мироздания эстетические он кладет принципы единства, равенства, порядка, числа - интеллигибельной красоты чистых форм. Принцип числа является для него наиболее универсальным, лежащим в основе всех остальных. На самом деле в таком контексте числу придается статус свободной и универсальной сущности. Интересно, что эти же принципы в несколько иной форме, а именно в виде

категорий братства, равенства и свободы, позже становятся лозунгами французской революции, а далее - принципами гуманистической философии. Но Августину всеобщая теория чисел позволила: 1) связать и отчасти уравнять все виды искусства, прежде всего «ремесленные», «механические» (живопись, скульптуру, архитектуру) и «свободные» (музыку, поэзию), на единой основе - числовых, ритмических, закономерностей, порождающих красоту и этим доставляющих незаинтересованное удовольствие; 2) осмыслить сферу творчества, произведение искусства и процесс восприятия как единую систему, основанную на общих закономерностях, определяемых в основном сферой восприятия. Но «восприятие должно идти вровень с запоминанием», оно должно распознать мелодию, ритм и текст и в каждом из этих элементов должно находить «ошибки и красоты».

Следует отметить, что в представлении Бл. Августина музыка выполняла не только социально-этическую функцию, но и функцию «правильной организации движений». Именно «музыка сфер» (Пифагор) и «правильная организация движений» (Августин) явились впоследствии «музыкальным толчком» для открытия законов Кеплера («Гармония Мира»), благодаря которым и стало возможным открытие закона всемирного тяготения (Ньютон).

Таким образом, анализируя философские, психолого-педагогические, социально-нравственные, естественнонаучные и математические знания, убеждаемся в существовании внутренней гармонии мира, о которой говорили еще древнегреческие ученые и с которой придется считаться в современном образовательном процессе в целом и в математическом образовании в частности. Выделенное нами выше понятие «золотого деления» является математическим выражением более общего, так называемого закона «обратного квадрата», проявляющегося в системах различной физической природы, выступающего в роли одного из онто-гносеологических инвариантов реального мира. Так, например, законы движения небесных тел И. Кеплера, подчиняющиеся законам музыкальной гармонии, закон всемирного тяготения И. Ньютона, полностью согласованный со всеми тремя законами Кеплера, закон Ш. Кулона для двух заряженных тел, закон Био-Савара-Лапласа, как магнитный аналог закона Кулона, подчиняются закону обратного квадрата, то есть по сути последний является обобщенным вариантом всех названых законов. В настоящее время этот закон распространен А. А. Денисовым и на информационное поле, что позволило внести существенный вклад в сближение и более продуктивное взаимодействие чистой и прикладной математики. Это подтверждает идею о том, что красота закона «обратного квадрата» не может быть случайной, что он отражает какие-то существенные внешние закономерности. В последнее время подтверждается и факт существования такого закона в химии, космологии, медицине и т. д.

Обнаружено присутствие закона «обратного квадрата» даже в человеке. Оказывается, дельта-ритм мозга как реакция на раздражитель есть затухающие колебания, соседние периоды которых соотносятся по закону «золотого деления». Это означает возможность моделирования многих психофизиологических процессов в организме человека с учетом их взаимосвязей, обусловленных законом «обратного квадрата».

Итак, идеи «золотого деления» и его обобщенного варианта - закона «обратного квадрата» - оказались включенными в поток знаний различных областей человеческой деятельности, начиная с абстрактных

математических теории и кончая моделями естественнонаучных теории и моделями гуманистической направленности в социокультурном пространстве.

В самом деле, и «золотое деление», и различные законы взаимодействия двух материальных точек (законы Кеплера, Ньютона, Кулона, Био-Савара-Лапласа, Денисова и т. д.), и идеальные пропорции в архитектуре, живописи, поэзии, и проявление ритмометрической гармонии в теории музыки являются геометрическими и физическими интерпретациями закона «обратного квадрата».

На основании вышеизложенного можно сделать основополагающий методологический вывод: закон «обратного квадрата» должен быть одним из фундаментальных онтологических законов эпистемологии в образовательном пространстве. Возможность осуществления такой педагогической установки в образовательном процессе на всех уровнях обучения математике следует, во-первых, из достаточно простого геометрического представления и числового восприятия самого «золотого деления», во-вторых, из существования различных его интерпретаций в виде физических и биологических законов, изучаемых на школьном уровне, в-третьих, из частого практического применения этой пропорции в различных сферах искусства и строительства. И «золотое деление», и связанный с ним закон «обратного квадрата» дают, таким образом, наиболее полное понимание и философски осмысленное восприятие окружающего мира как гармонического целого, что, несомненно, повышает научный потенциал студента как субъекта когнитивной деятельности в направлении актуализации аксиологических принципов мировоззренчески направленного обучения математике.

Примечания

1. Августин: pro et contra. СПб. : РХГЦ, 2002. 976 с. 2. Зверев И. Д. Межпредметные связи в современной школе. М. Педагогика, 1981. 3. Максимова В. Н. Межпредметные связи и совершенствование процесса обучения. М. : Просвещение, 1984. 124 с. 4. Финн В. К. Философские проблемы логики интеллектуальных систем // Новости искусственного интеллекта. 1999. № 1. С. 36. 5. Чапаев Н. К. Структура и содержание теоретико-методологического обеспечения педагогической интеграции: Автореф. дисс. ... д-ра пед. наук. Екатеринбург : Уральский УГППУ, 1998. 6. Чепиков М. Г. Интеграция науки: философский очерк. М. : Мысль, 1981. 276 с. 7. Ярахмедов Г. А. Комплексный подход в онтодидактике математики // Современные проблемы науки и образования. Махачкала, 2011. С. 123-125. 8. Ярахмедов Г. А. Комплексный подход в обучении математике в высшей школе // Известия Дагестанского государственного педагогического университета. Психолого-педагогические науки. 2011. № 3(16). С. 112-115. 9. Ярахмедов Г. А. Новая образовательная парадигма подготовки будущего учителя математики // Известия Дагестанского государственного педагогического университета. Психолого-педагогические науки. 2011. №4(17). С. 80-82.

Статья поступила в редакцию 12.09.2012 г.