Свободные топологические группы и пространства непрерывных функций на ординалах

С.П. Гулько

СВОБОДНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ НА ОРДИНАЛАХ

В работе дана полная классификация пространств непрерывных функций в топологии поточечной сходимости и свободных топологических групп на компактных отрезках ординалов.

Обозначения и соглашения. Все топологические пространства предполагаются вполне регулярными, а отображения - непрерывными. Кардиналы отождествляются с начальными ординалами данной мощности, однако операции произведения на ю и степени вида аю всегда будут пониматься как результат порядковых операций, а не кардинальнозначных (об арифметике ординалов см. [6]). Множества ординалов мы будем всегда считать наделенными обычной порядковой топологией, базу которой образуют обычные интервалы. Как обычно, ю - первый бесконечный и ю1 - первый несчетный ординалы.

Введем следующие эквивалентности между топологическими пространствами:

• X=У, если пространстваX и У гомеоморфны.

м

• X ~ У, если свободные топологические группы F(X и F(Y) (в смысле Маркова) являются топологически изоморфными; в этом случае пространства X и У называются М-эквивалентными.

/

• X~ У, если пространства всех непрерывных функций Ср(Х) и Ср(У), наделенные топологией поточечной сходимости, линейно гомеоморфны; пространства X и У называются /-эквивалентными.

П

• X~ У, если банаховы пространства С(Х) и С(У) линейно гомеоморфны (мы подразумеваем, что X и У являются компактами); в этом случае пространства X и У называются п-эквивалентными.

Компакт Х называется разреженным, если любое его подпространство имеет изолированные точки. Для топологического пространства X определим по индукции обычные производные множества: X - множество всех неизолированных точек в Х, X'0-' = Х, если X'“-' уже определено, то полагаем X'a+1) =( X(a))', если а - предельный ординал, то полагаем Xa) = пр<а Xй. В статье Граева [3] был рассмотрен порядковый тип т(X) счетного компакта Х, он фактически может быть вычислен по формуле т(X) = Бир{а; X(а) *0}. Любой счетный компакт является разреженным, поэтому его порядковый тип определен. Более того, по теореме Мазуркевича - Серпинского [10], любой счетный компакт гомеоморфен некоторому начальному отрезку ординалов [1,а].

Символ  будет обозначать конец доказательства.

Предварительные результаты. Архангельский

м

[1] заметил, что из М-эквивалентности X ~ У следует /-эквивалентность. Павловский [8] доказал, что для полных по Дьедонне пространств X и У из /-эквивалентности следует линейный гомеоморфизм пространств С(Х) и С(У), где оба последних пространства наделены компактно-открытой топологией. В случае, когда пространства X и У являются компактными, это

заключение моментально следует из теоремы о замкнутом графике, следовательно, из /-эквивалентности следует П-эквивалентность.

Теорема 1 (Граев [3]). Если Х и У - счетные бес-

м

конечные компакты, то X ~ У тогда и только тогда, когда т(X) ^(У)^^^.

Бессага и Пелчинский дали полную классификацию банаховых пространств непрерывных функций на счетных отрезках ординалов.

Теорема 2 (Бессага, Пелчинский [9]). Пусть [1,а] и [1,Р] - счетные бесконечные отрезки ординалов и а<р. Тогда [1,а] ~ [1,Р] в том и только в том случае, когда а<р <аю.

Сравнительно нетрудно проверить, что условия Граева и Бессаги - Пелчинского в этих двух теоремах на самом деле совпадают (ср. [12, теорема 8.6.6]). Следовательно, для счетных ординалов а и р М-экви-валентность равносильна п-эквивалентности. Так как /-эквивалентность занимает промежуточное положение между этими двумя эквивалентностями, то мы получаем следствие.

Следствие 3. Пусть Х=[1,а] и У=[1,И - счетные компакты. Тогда следующие условия эквивалентны: м

1. X ~ У.

/

2. X- У.

П

3.X~ У.

4. а<р <аю.

Первый шаг по классификации банаховых пространств С(Х) на несчетных отрезках ординалов Х сделал Семадени.

Теорема 4 (Семадени [11]). Все конечные степени банахова пространства С[1,ю1] попарно линейно не гомеоморфны между собой.

Нетрудно видеть, что (С[1,ю1])п может быть отождествлено с пространством С[1,ю1^п], и если ю1<а<ю1-ю, то [1,а] гомеморфно [1,ю1^п] для некоторого натурального числа п. Таким образом теоремы Бессаги - Пелчинского и Семадени дали классификацию ординалов относительно п-эквивалентности для всех ординалов, не превосходящих ю^ю. В статье [4] и, независимо, в [5] была дана полная классификация относительно этой эквивалентности.

Теорема 5 (Гулько, Оськин [4], Кисляков [5]). Пусть [1,а] и [1,Р] - бесконечные отрезки ординалов, причем а < р. Тогда [1,а] ~ [1,Р] в том и только в том случае, когда выполняется одно из трех взаимоисключающих условий:

а) существует не совпадающий ни с каким начальным регулярным кардиналом ординал у>0, такой, что

ющТ < а < р < ююТ+1,

b) X-ст < а < ß < X-ct+, где X - регулярный кардинал и ст < X - произвольный кардинал (включая случай конечных кардиналов) и ст+ - наименьший из кардиналов, больших ст,

c) X2 < а < ß < X“, где X - регулярный кардинал.

Дадим некоторые комментарии к последней теореме. Числа вида имеют большое значение в арифметике порядковых чисел, и они называются главными числами умножения [6. С. 263]. Отметим также, что всякий кардинал X является эпсилоновым числом [6], т.е. для него “X = X. Данные замечания позволяют сравнить между собой условия а), b) и с) в последней теореме.

Саму теорему удобно понимать следующим образом: существует класс ординалов Д («верстовых столбов»), которые разбивают весь класс порядковых чисел на полуинтервалы [8,5+), концы которых принад-

n

лежат Д и 5+ = min {аеД; а>5}, так что [1,а] ~ [1,ß] тогда и только тогда, когда оба ординала а и ß попадают в один такой полуинтервал. При такой трактовке

класс Д состоит из всех ординалов вида при у > 0 и всех ординалов вида X-ст, где X - регулярный кардинал и ст - некоторый (включая все конечные) кардинал, удовлетворяющий неравенству 1 < ст < X. Заметим, что только вблизи регулярных кардиналов появляются дополнительные «верстовые столбы». Случай счетных ординалов (теорема Бессаги - Пелчинского) полностью укладывается в случай а) теоремы 5, а случай из теоремы 4 (Семадени) - в случай b).

Замечание. Все результаты этой статьи были получены автором в 1990 году и содержались в [13]. В виде статьи они публикуются впервые.

Основные результаты. Целью этой статьи является доказательство следующей теоремы.

Теорема 6. Пусть [1,а] и [1,ß] - компактные бесконечные отрезки ординалов. Тогда следующие условия эквивалентны:

M

a) [1,а] ~ [1,ß] ,

b) [1,а] ~ [1,ß],

c) [1,а] ~ [1,ß],

d) ординалы удовлетворяют одному из трех взаимоисключающих условий а), b) и с) теоремы 5.

Доказательство. Эквивалентность условий с) и d) доказана в теореме 5. Выше уже отмечалось, что введенные эквивалентности связаны между собой, и, в силу компактности рассматриваемых пространств, мы получаем импликации а) ^ b) ^ с). Таким образом, остается только показать справедливость импликации d) ^ а). Но это следует из теоремы 7 ниже, которая имеет самостоятельное значение.

Символом X = © ieI Xi мы будем обозначать дискретную сумму семейства топологических пространств, причем в случае X = Y мы будем просто писать ©X Y где X - мощность индексного множества I. Для локально компактного некомпактного пространства X через a(X) = Xu{} мы будем обозначать его одноточечную компактификацию.

Теорема 7. Пусть р - бесконечное порядковое число. Тогда имеет место одно из трех взаимоисключающих утверждений:

a) если а=ющТ <р<ющТ для некоторого ординала у > 0, отличного от всякого регулярного кардинала,

M

то [1,Р] ~ а(©и [1,а));

b) если Х-ст < р < Х-ст+, где X - регулярный кардинал и ст < X - произвольный кардинал, то

M

[1,Р]~ а(©ст [1,Х));

c) если X2 < р < Xм, где X - регулярный кардинал,

M

то [1,Р] ~ а(©x [1,X)).

Аналог последней теоремы можно сформулировать также для Ср-случая, но мы предоставляем это сделать читателю.

Итак, из последних теорем ясно, что нам нужно только разобраться с изоморфизмами свободных топологических групп. Для сокращения записи условимся отсюда и всюду ниже писать значок = вме-м

сто знака ~.

Напомним некоторые сведения о свободных топологических группах [1,3]. Известны две разновидности таких групп: FG(X) - в смысле Граева и FM(X) - в смысле Маркова, причем группа FM(X) топологически изоморфна группе FО(X©{*}), где * - некоторая точка, X. Так как у нас X есть бесконечный отрезок

ординалов, то Х©{*} гомеоморфно самому X Следовательно, в этом случае FG(X) = FM(X), и мы можем говорить просто о свободной топологической группе F(X). Ниже для определенности мы принимаем терминологию Граева, тем более что она несколько удобнее в наших рассуждениях.

Определение. Пусть X- вполне регулярное топологическое пространство и х0 - фиксированная точка в нем. Свободной топологической группой (в смысле Граева) пространства X с выделенной точкой х0 называется топологическая группа F(X,x0) со свойствами:

X есть замкнутое подпространство в F(X,x0);

X алгебраически порождает F(X,x0) и x0 является единицей этой группы.

Любое непрерывное отображение /из Xв некоторую топологическую группу О, переводящее точку х0 в единицу группы О, продолжается до непрерывного гомоморфизма F/): F(X,x0) ^ О.

Граев показал [3], что группа F(X,x0) существует, единственна и не зависит от выбора точки х0 с точно -стью до топологического изоморфизма. Поэтому мы часто будем писать просто F(X) вместо F(X,x0). Из условия 2 следует, что произвольный элемент группы

F(X) может быть записан в виде слова Xе1 •••• -хП , где х, е X\{x0} и е1 = ±1 при I = 1,..., п. Число п называется длиной этого слова относительно базиса X. Через Fn(X) обозначим совокупность всех слов длиной < п. Если и - изоморфизм группы F(X,x0) на группу F(Y,yo), то мы будем писать ||и|| < п, если u(X) с

с Fn(Y,y0) и и(У) с Fn(X,x0). Разумность такого определения оправдывает следующая очевидная лемма.

Лемма 8. Если и и v - изоморфизмы свободных топологических групп, то ||и о VI < |U|| -1V|| .

Пусть К - замкнутое подпространство в X Обозначим через X/Кпространство, полученное из X стягиванием множества К в точку и наделенное сильнейшей вполне регулярной топологией, относительно которой естественная проекция p: X ^ X/К непрерывны. Если пространство X нормально, то X/К является обычным факторпространством пространства X. Легко видеть, что из непрерывности композиции f ° p, где f: X/К ^ Y- некоторое отображение в тихоновское пространство Y следует непрерывность f. Очевидна следующая

Лемма 9. Пусть X - компакт и K - его замкнутое подмножество. Тогда X/К гомеоморфно одноточечной компактификации а(^\. K).

Далее мы будем использовать теорему Окунева о построении М-эквивалентностей [7]. Аналог этой теоремы для случая /-эквивалентности см. в [2]. Для полноты изложения мы приводим здесь доказательство теоремы Окунева.

Теорема 10 (Окунев). Пусть K - ретракт X и пусть y0 =p(K), где p: X ^ X/К- естественная проекция. Пусть, далее, X+ =X © {*}, где *gX Тогда существует топологический изоморфизм

и: F(X+,x0) ^ F((X/K)© K,y0) с нормой ||и|| < 2.

Доказательство. Пусть r - ретракция Xна K. Определим отображение g: X+ ^ F((XK)© K,y0) формулой

g(x) 4

[p(x) - r(x) , x е X.

Так как p(x)e X/К и r(x)eK, то отображение задано корректно. Оно непрерывно, ибо непрерывны операции умножения и отображения p и r. Определим также отображение

У , У е K , x - (r(x))- , У е X /K, y = p(x).

Отображение h определено корректно, так как при y?y0 существует единственное хеХ, такое, что y=p(x), а если y=y0 и y=p(x), то xeK, значит r(x) = x и h(y0) = *. Непрерывность h в точках множества K очевидна. Для оставшегося случая рассмотрим отображение f: X ^ F(X+,*), такое, что fix) = *-x-(r(x))-1. Очевидно, что отображение f непрерывно и f = h о p . Так как F(X, *) есть вполне регулярное пространство, то получаем, что h непрерывно в точках X/К. Продолжим g и h до непрерывных гомоморфизмов F(g) и F(h). Несложные вычисления показывают, что эти гомоморфизмы являются взаимообратными. Остается только положить и= F(g).

Следствие 11. Пусть пространство Х гомеоморфно своей копии, к которой добавлена одна изолированная точка. Пусть далее х1 и х2 - некоторые точки в Х Тогда (X^) = (X^), причем норма изоморфизма не превосходит 4.

Доказательство. Пусть K={x} - одноточечное подмножество в Х и y - та же точка x, но рассматри-

ваемая как элемент пространства X/К. Тогда пара ((XK)© К,у) гомеоморфна паре (Х,х). Возьмем теперь К1={х1} и К2={х2}. По теореме 10 (Х х1) = Х©{*},*) и (Х х2) = (Х©{*},*), причем нормы изоморфизмов не превосходят 2. Осталось применить лемму 8.

Замечание. Теорема 10 и следствие 11 являются аналогами хорошо известного в функциональном анализе метода разложения линейных топологических пространств в декартовы произведения (восходящего к Банаху и Борсуку - см., например, [14]), только перенесенного на свободные топологические группы. Роль его фактически та же самая, и наше доказательство фактически является перефразировкой доказательства из [4,5] на язык групп.

Следующее утверждение легко доказывается и хорошо известно (см., например, [15]).

Лемма 12. Каждое замкнутое подмножество произвольного отрезка ординалов является его ретрактом.

Лемма 13. Пусть {Х1 ;/е/} и {У1 ;/е/} - два семейства попарно дизъюнктных локально компактных пространств. Тогда если (а(Х), да) = (а(У,), да) с нормой <п для каждого / е/}, то (а(©1е1Х,), да) = (а((©1е1У,), да) с нормой <п.

Доказательство этой леммы заключается в естественном построении искомого изоморфизма и несложной проверке всех необходимых условий. Поэтому мы его опускаем.

Замечание. Нетрудно понять, что без ограничения на норму изоморфизмов лемма 13 может быть и неверной. Это есть основная причина, по которой мы вынуждены в каждом последующем утверждении отслеживать оценку норм изоморфизмов.

Лемма 14. Если кардинал X бесконечен и (а(Х), да) = (а(©я.У), да) с нормой < п, то (а(Х), да) = = (а(©стY) с нормой <п2 для каждого кардинала ст < X.

Доказательство. Представим ©>7 в виде ©/еЬУ/, где У/=У для каждого 1еЬ, причем Ь^. Представим индексное множество Ь в виде произведения Ьх/, где |L|=X и |/|=ст. По условию для каждого /е/

(а(©1еьУ(1:г)), да) = (а(Х), да) с нормой <п. Отсюда и из леммы 13 получаем (a(©xY), да) = (а(©ге/©1еьУ(1:г)), да) = (а(©стУ), да), причем норма этого изоморфизма также ограничена числом п. Осталось применить лемму 8.

Пусть Х есть или отрезок ординалов [1,а], или его факторпространство [1,а]/К, полученное стягиванием некоторого замкнутого подмножества К в точку (го-меоморфное по лемме 9 пространству а([1,а] \ К)). Любое такое Х в случае его бесконечности гомео-морфно Х ©{*}. Значит, в силу следствия 11, у нас нет нужды фиксировать какую-либо особую точку в Х, и мы будем выбирать ее произвольным образом. Из утверждений 8 - 12 мы заключаем

Лемма 15. Пусть К - замкнутое подмножество в бесконечном компактном отрезке ординалов [1,а]. Тогда [1,а] = а([1,а] \ К)© К, причем норма этого изоморфизма < 32.

Также из утверждений 13, 11, 8 и 14 вытекают следующие две леммы.

Лемма 16. Пусть {Х1 ;/е/} и {У1 ;/е/} - семейства попарно дизъюнктных локально компактных пространств, каждое из которых гомеоморфно подпространству в некотором отрезке ординалов. Тогда если а(Х1) = а(У1) с нормой < п для каждого /е/п, то а(©е/Х,) = а(©/е/ У) с нормой < 16п.

Лемма 17. Если а - бесконечный ординал и [1,а] = а(©У с нормой < п , то [1,а] = а(©ст[1,а)) с нормой < 256п2.

Лемма 18. Пусть а = , §<а, п<ю и п<ап. Тогда

справедлива формула п+ап- §= ап- |, и имеют место гомеоморфизмы: [1,ап-|] = (п,ап-|], [1,ап-|) = (п,ап-|), [1,ап-|+п] = [1,ап^]©[1,п] = [1,ап-|], [1,апф©[1,п] = = [1,ап- |).

Доказательство. Записанная в условии леммы формула есть хорошо известные утверждения арифметики ординалов [6]. Из нее легко следуют все остальные утверждения леммы.

Лемма 19. Пусть а =юМ и р = ап-|, где 1<п<ю, 1<|<а. Тогда [1,Р] = а(©^|[1,ап)) с нормой < 32.

Доказательство. Рассмотрим замкнутое подмножество К= {ап-С; 1<С<|} в [1,Р]. Имеем [1,Р]\К = = [1,ап)ии{(ап-^ , ап-(^ + 1)); 1< С <1 }. Легко видеть, что К гомеоморфно [1,|] и (ап-^ , ап-(^ + 1)) гомео-морфно [1, ап). Из леммы 15 получаем [1,Р] = = а([1,а]\К) © К с нормой < 32. Но последнее пространство гомеоморфно а(©^| [1,ап))© [1,|]. По лемме 18 [1,ап)© [1,|] гомеоморфно [1,ап), и поэтому отрезок [1,|] можно присоединить к какому-либо экземпляру отрезка [1,ап) в предыдущем слагаемом.

Лемма 20. Пусть

[1,Р] = а

с нормой <32. Очевидно, что а([1,ап)) = [1,ап)©{да} = = [1,ап]. Отсюда и из лемм 16 и 20 следует

а

Так как ||| < |а|, то из формул (3), (4) и из леммы 8 получаем изоморфизм [1,Р] = а(©|а| [1,ап-1)) с нормой < 219. Опять, применяя леммы 16 и 20 и 8, заключаем [1,Р] = а(©^| [1,ап-2)) с нормой < 233. Повторяя описанную процедуру еще п - 3 раза, мы приходим к нужной эквивалентности.

Лемма 22. Пусть а =ющТ и у отлично от всякого регулярного кардинала. Тогда [1,а] = а(©|а| [1,а)).

Доказательство. Случай 1. Пусть у есть непре-

у-1

дельный ординал. Тогда а = рш, где р = ю . Обо-

значим К = {а}и{рп ; 2<п<да}. Множество К замкнуто в [1,а] и [1,а]\К = [1,р2)ии{(рп , рп+1); 2<п<да}. По лемме 18 интервал (рп,рп1) гомеоморфен полуинтервалу [1,рп+1). Согласно лемме 15, мы теперь имеем

[1,а] = а|  [1,р”) |[1,ю]

”=2

с нормой <32. Так как р > ю, то по лемме 18 сумма [1, р2) © [1, ю] гомеоморфна [1, р2). Следовательно,

[1, а] = а I © [1, рп )| с нормой < 32. По лемме 20

Тогда [1,an] =

= а(©|а| [1,ап-1)) с нормой <322 при 2<п<да.

Доказательство. Возьмем замкнутое подмножество К ={ап-1С; 1<^<а} в [1,а] и так же, как в предыдущей лемме, получим [1,ап) = а(©|а| [1,ап-1)) © [1,а].

Если п>2, то с помощью леммы 18 мы опять можем присоединить отрезок [1,а] к одному из отрезков в дискретной сумме, и все доказано.

Пусть п=2. Тогда мы имеем

[1,а2] = а

и норма изоморфизма не больше 32. Обозначим правую часть последней формулы через Х, и пусть Ь={да,а} - двухточечное множество в Х, состоящее из бесконечно удаленной точки в первом слагаемом и из концевой точки - во втором. Из теоремы 10 и следствия 11 получаем Х/Ь © Ь = X© {*}. Легко видеть, что имеют место гомеоморфизмы: X/Ь = а(©|а| [1,а)), X © {*} = X, а(©|а| [1,а)) © Ь = а(©|а| [1,а)). Следовательно,

а

причем норма изоморфизма не больше 32. Из формул (1), (2) и леммы 8 теперь получаем [1, а2] =

= а(©|а| [1,а)) с нормой < 322.

Лемма 21. Пусть а = ющТ и ап < р < ап+1. Тогда [1,Р] = а(©|а| [1,а)) с нормой < 164п-2.

Доказательство. Мы можем записать р =ап-| + п, где |<п и п<ап. В силу лемм 18 и 19 получаем

[1, Р”) = а (|р| [1, Р”"1)) с нормой < 322 при 2 < n < ю. Отсюда и из формулы (5) получаем [1,а] =

= а^ 2|р| [1,в”-1)] = а[|Р| [1,в”)], где ГОо"

морфизм имеет норму <219. По лемме 17 мы заключаем (заметим, что |Р|=|а|), что [1,а] = а(|а| [1,а)) с нормой <246.

Случай 2. Пусть у - предельный ординал, не являющийся кардиналом.

В этом случае X = |у| < у. Возьмем такое подмножество F с [X+1, у], что sup F = у. Можно считать, что порядковый тип F не превосходит X. Тогда

K =

есть замкнутое множество ордина-

лов, и легко видеть, что оно лежит в [1,а] и его верхней гранью является а. Согласно лемме 15, имеем [1,а] = а([1,а] \ К)© К с нормой изоморфизма <32. Далее заметим, что разность [1,а] \ К представима в виде дизъюнктного объединения интервалов вида

(р, ), причем, в силу леммы 18, последний го-

меоморфен

II

, ю

.¿+1

). Так как порядковый тип К не

выше X, то можно с точностью до гомеоморфизма присоединить К к любому из этих промежутков. В итоге имеем

[1,а] = а (©¡^

с нормой <32. В случае 1 мы уже установили, что

1, ) = а

1, юю

))

с нормой <2 . Из формул (6) и (7) выводим

[1,а] s а

Согласно лемме 15

записать [1,а]\К = ,

1, юй

вый тип К меньше у и supF = у, то существует §еF, такой, что пространства К© 1, ю'

*'+') и [i,ю*'*‘ )

меоморфны. Суммируя сказанное, заключаем, что

[1,а] = а( ^

1 *

1, ю

,^+!

) ».

В случае 1 мы уже установили изоморфность

1, ю'

,^+!

s а

К [• »*'*')

1, ю'

,^+!

*

получаем [1,а] s а(п©

1, Юю^+1 ) ) с нормой < 2109.

Применяя теперь лемму 17, получаем

[1,а] s а

с нормой <255. Теперь из леммы 17 следует требуемое: [1,а] = а(©x[1,а)).

Случай 3. Пусть у - сингулярный кардинал.

Возьмем бесконечный кардинал ст<у и зафиксируем его. Тогда существует замкнутое множество Fс[1,y], такое, что supF =у и |Е|>ст для каждого ^еF.

Пусть, далее, К= {юМ ;Е е F}.

[1,а] = а([1,а] \ К)© К, причем норма этого изоморфизма < 32. Как и в предыдущем случае 2, мы можем

). Так как порядко-

го-

с нормой < 2 для каждого Е е^ Так как |Е | > ст для каждого ЕеF, то по лемме 17 из формулы (9) следует

с нормой < 2 . Из формул (8) и (10) и из леммы 16

с нормой < 2 . Таким образом, мы установили, что

для каждого кардинала ст, меньшего, чем у, имеет место формула (11).

Так как у - сингулярный кардинал, то у = Е,-е/ ст,-, где ст,- - кардиналы, строго меньшие у и |1| < у. Согласно формуле (11), имеем [1,а] = а([1,а)) = = а( ©ст, [1,а)) с нормой < 2226, откуда, в силу леммы 16, получаем

а(©|1|[1,а)) = а(©,-е/ ©ст, [1,а)) = а(©у[1,а)),

причем норма изоморфизма ограничена числом 2230. Поскольку |1| < у, то по формуле (11) получаем [1,а] = = (а(©щ[1,а)) = а(©у[1,а)).

Доказательство теоремы 7. Случай а). Пусть

а = ющТ, где у не есть регулярный кардинал. Если а2<р <аю, то [1,Р] = а(©|а| [1,а)) по лемме 21, и в этом случае все доказано. Пусть теперь а<р<а2. Тогда Р =а • Е+П, где Е и п строго меньше а. По лемме 19 [1, Р] = а(©|Е | [1,а)). С другой стороны, в силу леммы 22 [1,а] = а(©|а| [1,а)). Так как |Е |<|а|, то с помощью леммы 17 выводим, что [1,а] = [1,Р], что и требовалось.

Случай Ь). Пусть X - регулярный кардинал и X•ст < < р < X•ст+ для некоторого кардинала ст < X. Тогда Р = X-!; + п, где ст < Е < ст+ и п < X. Так как любой кардинал является «эпсилоновым» числом, о чем мы уже говорили выше, то в силу лемм 18 и 19 выполнено [1,Р] = a(©|Е|[1,X)) = a(©ст[1,X)).

Случай с) сразу следует из леммы 21.

ЛИТЕРАТУРА

1. Архангельский А.В. О соотношениях между инвариантами топологических групп // Успехи матем. наук. 1980. Т. 35. № 3. С. 3-22.

2. Архангельский А.В., ТкачукВ.В. Пространства функций и топологические инварианты. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985.

3. ГраевМ.И. Свободные топологические группы // Изв. АН СССР, сер. математ. 1948. Т. 12. № 3. С. 279-324.

4. Гулько С.П., Оськин А.В. Изоморфная классификация пространств непрерывных функций на вполне упорядоченных бикомпактах // Функц. анализ и прил. 1975. Т. 9. № 1. С. 61-62.

5. Кисляков С.В. Изоморфная классификация пространств непрерывных функций на ординалах // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16. С. 293-300.

6. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970.

7. Окунев О.Г. Метод построения М-эквивалентных пространств // 5-й Тираспольский симпозиум по общей топологии и ее прил. 1985. С. 186.

8. Павловский Д.С. О пространствах, имеющих линейные гомеоморфные пространства непрерывных функций в топологии поточечной сходимости // Успехи матем. наук. 1982. Т. 37. № 2. С. 185-186.

9. Bessaga C., Pelczynski A. Spaces of continuous functions (IV). On isomorphic classification of spaces of continuous functions // Studia Math. 1960. V. 19. P. 53-62.

10. Mazurkiewicz S., Sierpinski W. Contributions a la topologie des ensembles denombrales // Fund. Math. 1920. V.1. P. 17-27.

11. Semadeni Z. Banach spaces non-isomorphic to their Cartesian squares // Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Math., Astron. et Phys. 1960. V. 8. P.81-84.

12. Semadeni Z. Banach spaces of continuous functions. Warszawa: Monogr. Mat., 1971.

13. Гулько С.П. L-произведения и проблемы классификации в топологической теории пространств функций // Дисс. ... докт. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1991.

14. Borsuk K. Über Isomorphie der Funktionalräume // Bull. Int. Acad. Pol. Sci. 1933. P. 1-10.

15. Van DouwenE.K. Simultaneous extension of continuous functions. Amsterdam, 1975.

Статья представлена кафедрой теории функций механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 9 июня 2003 г.