Бифуркационная устойчивость инженерного сооружения с высоко расположенным центром тяжести

Расчет строительных конструкций

БИФУРКАЦИОННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ИНЖЕНЕРНОГО СООРУЖЕНИЯ С ВЫСОКО РАСПОЛОЖЕННЫМ ЦЕНТРОМ ТЯЖЕСТИ

В.К. ИНОЗЕМЦЕВ, д-р техн. наук, профессор О.В. ИНОЗЕМЦЕВА, канд. техн. наук, ассистент Саратовский государственный технический университет

Рассматривается задача устойчивости инженерного сооружения на деформируемой фундаментной плите, взаимодействующей с упругопластическим основанием. Показано, как применить теорию бифуркаций процессов к оценке устойчивости сооружения с высокорасположенным центром тяжести на деформируемой фундаментной плите, взаимодействующей с упругопластическим слоем основания.

Проблема устойчивости в механике конструкций относится к достаточно ранним задачам, начало изучения которых положено Леонардом Эйлером в 1744 году в форме задачи об «эйлеровой силе при продольном изгибе» для гибкого стержня, работающего на сжатие. Оказалось что проблема устойчивости в области механики и проблема собственных значений краевых задач для дифференциальных уравнений неразрывно связаны. В дальнейшем, при построении классической математической физики, возникли многочисленные задачи на собственные значения для колебаний. В последние десятилетия теория бифуркаций, представленная Рене Тома как «теория катастроф», нашла приложение не только в механике и классической физике, но и оптике, химии, биологии, психологии и социологии.

Обобщенная задача на собственные значения представляется в форме

М{х)=Ш{х)

Здесь неизвестная собственная функция, Я - собственное значение, M и N - линейные операторы. Применительно к задачам устойчивости в механике M, N линейные дифференциальные операторы. Область приложений задач о собственных значениях в механике, в основном, ограничена упругими задачами. Вместе с тем, проблема устойчивости упругопластических систем также связана с проблемой собственных значений. Одной из первых работ, указавших наличие такой связи, стала известная работа Шенли [1], в которой введено понятие бифуркации исходного процесса деформирования конструкции, склонной к потере устойчивости. В дальнейшем в работах В.Д.Клюшникова [2] было введено понятие «упругого эквивалента» конструкции, позволяющего использовать бифуркационный критерий устойчивости при пошаговом нагружении в упругопластической области деформирования. Физические соотношения записываются при этом в скоростях или в инкрементальной форме. Продолжая рассматривать проблему устойчивости с позиций теории бифуркаций процессов, покажем, как этот подход применим к оценке устойчивости сооружения с высокорасположенным центром тяжести на деформируемой фундаментной плите, взаимодействующей с упругопластическим слоем основания.

Рассмотрим систему «сооружение - основание» (рис. 1), объединяющую абсолютно жесткое сооружение с высоко расположенным центром тяжести и физически нелинейный слой основания, описываемый моделью Власова-Леонтьева [3]. На рис. 1 показаны: W- осадка слоя основания, к - коэффициент

жесткости основания, характеризующего работу неупругого основания на обжатие к-Ес /(Щ\ - V2)), И - толщина слоя основания, V - коэффициент Пуассона, Ес - секущий модуль обобщенной диаграммы деформирования, принимаемой в виде экспоненциальной зависимости

а^а{\-ехр

где <7/, е, - интенсивности напряжений и деформаций. Реактивные сосредоточенные силы ()л, Qп выражают собой концентрацию реактивного давления грунта в угловых зонах.

Рис. 1. Схема «сооружение - основание»

Учет реактивных сосредоточенных сил Ол, Qп возможен с привлечением дополнительных упрощающих предположений, позволяющих получить двустороннюю оценку решения сверху и снизу.

Оценка решения снизу может быть получена при предположении о том, что коэффициент г = ЕсИ/(6(\ + у)), характеризующий работу неупругого основания на сдвиг за пределами штампа, определяется величиной секущего модуля диаграммы деформирования Ес, соответствующей его значению под подошвой

- 4

штампа. Тогда зависимость между безразмерным параметром Р =-Р

аЬ43

и безразмерной осадкой ¡V = Ш / к имеет вид:

Р =

1+

Ъ1

1 -ехр

-Ж

VI

«о =т]б(\-у).

Оценка решения сверху может быть получена при предположении о том, что этот коэффициент определяется величиной модуля деформаций в упругой области Е. Это соответствует гипотезе об упругой работе слоя основания за

пределами штампа. Тогда зависимость между безразмерными параметрами Р и

/

№

имеет вид:

1 -ехр

V

+ 2Л«0

и л/з

а

чл/з/?уу

В качестве критерия устойчивости принят бифуркационный критерий устойчивости процесса деформирования упругопластических систем.

Составляя условие равновесия системы в возмущенном состоянии, для оценки устойчивости снизу, получим:

Г т \

РЭкр

1

н вр4ъ

к

+ а

о

ехр

Для оценки устойчивости сверху, полагая, что справедлива гипотеза об упругой работе слоя основания за пределами сооружения, получим

РЭкр

1

НИ 6у0л/з

ехр

2!Г

+

£ ап £

/?л/з ) 6Н Л а '

Здесь, с позиций концепции устойчивости упругопластических

сис-

рэ,

тем, г кр- выражение для критической нагрузки некоторого упругого эквивалента данной системы [1]. Бифуркационная критическая нагрузка будет найдена из условия равенства

ркрт=рт,

которое выполняется для критического уровня нагружения.

В качестве численного примера используем следующие значения параметров: 1/А = 3 ; ЫН = 5 ; v = 0,5; Е/а = 20; р = 0,05. Результаты расчета приведены на рис. 2, где можно видеть значение критической нагрузки при ее оценке сверху и снизу. Графики 1, 2 построены по (3), (4), графики 3,4 - по (5), (6).

Рассмотрим абсолютно жесткое сооружение с высокорасположенным центром тяжести на слое нелинейно-деформируемого основания. Будем полагать, что передача давления от сооружения на слой основания осуществляется через фундаментную плиту конечной жесткости. Задача об устойчивости модельной схемы такого сооружения на однослойном нелинейном основании может быть сформулирована в рамках задачи о плоской деформации или о плоском напря-женном состоянии (рис. 3). Тогда инкрементальные уравнения для системы

О О.О.Ч О 1 0.15

Рис. 2. Результаты расчета критической нагрузки

Рис. 3. Модельная схема сооружения «плита-слой основания» на базе модели основания В.З.Власова [1]:

2 ск4 с!х 2/ * Ох ск 3 дх1 1 '

Здесь у - номер области интегрирования основания: при х < 0 и д: > Ь номер 7=1, при 0 <х<Ь номер у = 2, К/- изгибная жесткость плиты, - приращение вертикального перемещения поверхности основания на к-том шаге нагружения,

- жесткостные коэффициенты слоя основания:

н _

т с№ zz — 4>bdz

о

Н(

dz

J

3 е,-

d4> dz

bdz

= í

cr,

2 Л

3 e,

4* bdz , E' =

d<7¡

de¡

<*i

1

z

~H

\

Неоднородность в уравнении (параметр нагрузки от высотного сооружения) содержится в граничных условиях задачи. Так естественным условием для свободных краев плиты является равенство нулю момента М = 0. Учет неразрывности функции АИ/к(х) на свободных краях плиты позволяет записать еще

два условия:

д^/шаяы _ дрроснования

д у плиты — AS основами _ д рО,/, к к к

при

0; L

где

д плиты д q основания _ с г

L-UJk ' LMJk ~ приращения оиоощенных поперечных сил [3]:

Д5Г" =-EJ- к

дх3

+ S-.

ад w?

дх

¿¿основания = ¡ÁT^bdz = основания + ^

9 А Ж."

Эх

где A/¿'l- приращение левой (Ди правой (ДР/") опорных реакций со-

оружения на Л-том шаге нагружения:

/ -"¿-i/

АЛ

o,¿

2Я

У. ДЖ,

ДР„

1-- ^ __ ч. ^ и=0

Система инкрементальных уравнений (6) с граничными условиями (8), описывающая пошаговый процесс нагружения упругопластического основания деформируемой фундаментной плиты сооружения с высокорасположенным центром тяжести, позволяет свести проблему устойчивости сооружения к задаче о собственных значениях в форме (1). Для этого на текущем к - том шаге нагружения следует, по терминологии, принятой в литературе [1], «заморозить» параметр шага нагружения, то есть считать приращение ДРк равным нулю. Поиск критической нагрузки как собственного значения задачи в форме (1) можно осуществлять и методом «прослеживания равновесных состояний» системы с малыми начальными возмущениями [4]. В качестве малого начального возмущения здесь выступает начальный эксцентриситет высотного сооружения. При приближении нагрузки, действующей на систему, к критическому значению, крен сооружения быстро возрастает и в части объема упругопластического слоя основания возникают зоны разгрузки, развитие которых определяет картину закритического деформирования сооружения. Получаемые при этом критические нагрузки соответствуют критической нагрузке на систему по критерию бифуркационной устойчивости (концепция Шенли) и критической предельной нагрузке (концепция Энгессера-Кармана).

В качестве примера рассмотрим систему «сооружение-основание» со следующими параметрами (рис. 3): Ь/И = 3; ЫН- 1/5; экспериментальные коэффициенты в (2): а = 900 кН/м2, /? = 0,05; изгибная жесткость фундаментной конструкции £/ = 1,75 10б кНм2, начальный эксцентриситет сооружения #/(1,5-104), шаг по задаваемой величине перемещения под правой опорой примем А/1000.

На рис.2 приведены зависимости приращения перемещений под левой опорой сооружения = /И) от безразмерного параметра нагрузки Р, где

Р = 4(1-у2 )Р/(аЬ^), при заданном постоянном шаге по приращению переме-

—1 ь

щения под правой опорой (ДРГ = ДIV / К).

Очевидно, что после смены знака график приращения перемещений под левой опорой меняет характер изменения в связи с началом разгрузки основания в окрестности левой опоры. Проследить явление разгрузки основания в окрестности левой опоры можно по графику зависимости интенсивности напряжений от интенсивности деформаций на поверхности основания под левой опорой (рис. 4).

Встшь нагружааст правой опоры

\ Тона бифуркаюи \ роаадм

В«1Ш|нтруя« над лов» опорой

ei

0.15

0.2

Рис. 4. График приращения осадок основания под опорами сооружения

Рис. 5. Траектория нагружения под опорами в окрестности критической нагрузки

При заданном уровне перемещения основания под правой опорой, под левой опорой возможна полная разгрузка основания, после которой начинается отрыв фундаментной конструкции от поверхности основания в окрестности левой опоры.

Рассмотрим начальное закритическое поведение функций осадок основания под левой и правой опорами сооружения. На рис. 6 приведены зависимости осадок основания под опорами сооружения от нагрузки. Ввиду малости начального несовершенства системы (начального эксцентриситета) решения до критической бифуркационной нагрузки практически совпадают. После бифуркационного критического значения нагрузки РкрФ в области начального закритиче-ского деформирования решения расходятся, и имеет место предельная нагрузка Р "р , соответствующая «приведенно-модульной» концепции исследования устойчивости согласно теории Энгессера-Кармана. Бифуркационная критическая нагрузка является по терминологии [2,6] «наиранней» в истории процесса деформирования системы особой точкой процесса, в которой теряется единственность скоростей процесса деформирования, или «единственность продолжения». После этой особой точки в истории процесса деформирования исходный невозмущенный процесс быть устойчивым. Устойчивым становится возмущенный процесс деформирования, характеризующийся наличием ненулевого крена

— яр

сооружения. При превышении предельной нагрузки г кр , соответствующей «приведенно-модульной» концепции, равновесные положения в окрестности возмущенного процесса деформирования исчезают. Для идеализированной схемы сооружения с высокорасположенным центром тяжести на деформируе-

мой фундаментной плите (или при малых начальных несовершенствах В геометрии такого сооружения) в качестве условия устойчивости можно принимать значение нагрузки соответствующее смене знака у приращения перемещения в основании под опорной частью сооружения. Данная нагрузка будет являться критической в смысле нарушения процесса монотонного сжатия основания под фундаментом сооружения в процессе монотонного нагружения системы. Эта нагрузка будет соответствовать и предельной нагрузке графика «интенсивность напряжений - параметр нагрузки» (рис.7).

Рис. 6. Осадки основания под опорами напряжений - параметр нагрузки»

Оценка устойчивости при этом получает критериальную форму, связанную с формализмами теории устойчивости процессов, теории бифуркаций, а именно, - с проблемой собственных значений для дифференциальных операторов.

Литература

1. Шеши Ф. Теория колонны за пределом упругости// В кн.: Механика, Сб. перев., 1951, №2 (6), с. 88-98.

2. Клюшников В.Д. Устойчивость упруго-пластических систем. - М.: Наука, 1980.

3. Власов В.З. Избранные труды: В 3 т. - М: Наука. 1964. - Т. 3. - 407с.

4. Иноземцев В.К., Синева Н. Ф. Бифуркационный критерий устойчивости сооружений на деформируемом грунтовом основании//Известия ВУЗов. Строительство, 2002, № 8, с. 18-25

5. Иноземцев В.К., Синева Н.Ф. Устойчивость стержня Шенли в условиях наведенной неоднородности свойств материала во времени// Известия ВУЗов. Строительство, 2002, №10, с. 34-40

6. Иноземцев В.К., Редкое В.И. Математическая модель деформирования геомассивов применительно к деформационным процессам в основаниях сооружений / В.К. Иноземцев, В.И. Редков. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2005. - 412 с.

BIFURCATIONAL STABILITY OF A TALL STRUCTURE

Inozemtsev V.K., DSc,Professor, Inozemtseva О. V., PhD, assistant, Saratov state technical university

Industrial structure, tall enough to experience instability and located on a deforming foundation plate, interacting with a non-elastic base, is under consideration. Theory of bifurcations of processes is applied to the problem of its stability.