Электродинамические свойства структуры, образованной регулярной решёткой проводящих цилиндров

Вестник Челябинского государственного университета. 2013. № 9 (300). Физика. Вып. 16. С. 11-17.

РЕЗОНАНСНЫЕ И КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Л. Н. Бутько, А. П. Анзулевич, Д. С. Лихарев, С. Г. Моисеев

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СТРУКТУРЫ, ОБРАЗОВАННОЙ РЕГУЛЯРНОЙ РЕШЁТКОЙ ПРОВОДЯЩИХ ЦИЛИНДРОВ*

Аналитически и численно исследованы коэффициенты отражения и прохождения электромагнитных волн от структуры, состоящей из тонких параллельных проводящих цилиндров, помещённых в диэлектрическую матрицу. Получены частотные зависимости коэффициентов отражения и прохождения электромагнитных волн. Показано, что в данной модели возникает чередование «окон прозрачности» (коэффициент прохождения волны близок к единице) и «запрещённых зон» (коэффициент отражения близок к единице), в которых эффективная диэлектрическая проницаемость отрицательна. Предложена модель эффективного широкополосного поглотителя электромагнитной волны, в котором размером и расположением зоны поглощения можно управлять параметрами электромагнитного кристалла.

Ключевые слова: фотонный кристалл, микроволновое излучение, эффективная среда, отражение, прохождение, поглощение, эффективная проницаемость.

1. Введение. Построение электродинамических моделей сложных структур является одним из основных подходов к исследованию электрофизических явлений в веществах как естественного, так и искусственного происхождения, а также характеристик и свойств конструкций на основе таких материалов. Особое место в этом ряду занимают фундаментальные исследования, направленные на создание и изучение веществ и материалов с уникальными свойствами, которые не встречаются в природных веществах, например, композитов с одновременно отрицательными диэлектрической и магнитной проницаемостями, или искусственных магнетиков, состоящих из немагнитных компонентов. Именно с использованием таких моделей удаётся теоретическим и расчётным путём определить условия проявления аномальных электродинамических эффектов и установить требования к подготовке эксперимента.

Интерес к фотонным кристаллам и их приложениям появился около пятнадцати лет назад. Изучение электромагнитных свойств фотонных кристаллов и структур (PBG — Photonic Band Gap structures) является чрезвычайно актуаль-

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 12-02-31769 мол_а, 12-02-97041-р_поволжье_а) и федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» Министерства образования и науки РФ (соглашения № 14.B37.21.0249, 14.B37.21.1081, государственный контракт № 16.740.11.0657).

ным как для микроволнового, так и для оптического диапазонов. Такое внимание к этим структурам обусловлено их дисперсионными свойствами, а именно наличием спектральной полосы полного отражения (запрещённой зоны) — частотного диапазона, в пределах которого распространение электромагнитной волны практически подавлено. Данные структуры находят применение в частотно-селектирую-щих и волноводно-резонаторных устройствах. Другими словами, эти искусственные кристаллы привлекают к себе внимание исследователей также благодаря крайне интересным открывающимся с их помощью возможностям управления светом. Начало исследованиям фотонных кристаллов было положено пионерскими работами Э. Яблоновича и С. Джона в 1987 г. в оптическом диапазоне [1; 2]. В последнее время появилось много публикаций по тематике фотонных кристаллов, см., например, [3-6]. Начиная с 2000 г. область исследования фотонных кристаллов расширилась, распространившись также на другие частотные диапазоны. Стали рассматриваться кристаллы, состоящие не только из диэлектрических и металлических включений простой формы, но и из включений, обладающих магнитными свойствами (благодаря сложной геометрии включений или собственным магнитным свойствам материалов). Такие структуры получили название электромагнитных кристаллов [7].

В связи с крайней сложностью электромагнитных процессов в фотонных кристаллах

анализ их дисперсионных и отражательных свойств обычно производится численными методами. Основными среди них признаны метод Пендри, использующий условия квазипериодичности поля в фотонном кристалле так, что для получения коэффициентов в дисперсионном уравнении достаточно решить уравнения Максвелла численно (методом конечных разностей) в масштабе одной ячейки, и метод Блоха — Флоке, приводящий к бесконечной системе дисперсионных уравнений путём разложения поля по пространственным гармоникам (см., например, работы группы Дж. Пендри [3; 8]).

2. Электромагнитный кристалл с отрицательной диэлектрической проницаемостью. Одним из интересных эффектов в электромагнитных кристаллах [ЭК] является то, что в них диэлектрическая и магнитная проницаемости могут быть отрицательными. Данный эффект широко используется при создании «левых» сред. Проще всего создать систему с отрицательной диэлектрической проницаемостью. Пример такой структуры приведён на рис. 1. Данная структура и будет исследоваться в дальнейшем. Из-за анизотропии кристалла, структуру, изображённую на рис. 1, можно рассматривать в качестве среды с отрицательной проницаемостью только для ТЕ-волны, которая имеет компоненту электрического поля Ег. Причём волны могут распространяться только в плоскости ХОУ.

Если период решётки и диаметр проводящих цилиндров малы, то токами и проводимостью среды в плоскости ХОУ можно пренебречь. Также будем считать, что проводящие цилиндры не обладают магнитными свойствами, магнитное поле «не замечает» решётки и распространяются как в свободном пространстве.

В [9; 10] было показано, что для длин волн, много больших радиуса стержней, поле в композитной периодической структуре может быть описано с использованием нелокальной эффективной диэлектрической проницаемости для ТЕ-волны:

8 „ (со) = 8 -

ЄІЇ \ / т

о

о

где оо р =

2пс

пе

аЬ Ш(^) пг

ной частоты, у =

оо

4пс

квадрат плазмен-

; ет — диэлек-

трическая проницаемость диэлектрика, в который помещены проводящие тонкие цилиндры; а и Ь — периоды расположения цилиндров; г — радиус цилиндров; о — электрическая проводимость цилиндров. В СВЧ-диапазоне для исследуемой структуры ю>> у, поэтому мнимой компонентой эффективной проницаемости (1) можно пренебречь.

я

а

/Л

У

Рис. 1. Двумерная проволочная структура

г

о

Как видно из графика (рис. 2) и выражения

(I), эффективная диэлектрическая проницаемость системы будет отрицательной при частотах меньше некоторой критической частоты — плазменной частоты.

Отрицательная диэлектрическая проницаемость делает волновой вектор в среде мнимым. Поле такой волны будет переотражаться и не проходить в систему.

3. Численное моделирование распределения электромагнитного поля внутри электромагнитного кристалла. В данной работе использовался программный пакет, позволяющий создавать графические модели электромагнитных кристаллов, а также рассчитывать и визуализировать локальное распределение электромагнитного поля внутри такой структуры. Другими словами, использованный пакет позволяет провести численный компьютерный эксперимент по исследованию распространения электромагнитной волны (ЭМВ) в разных моделях электромагнитных кристаллов, приближённых к реальным кристаллам.

Суть метода расчёта в программном пакете

[II] заключается в разбиении области, в которой ищется решение, на конечные подобласти (сетку). Для каждой подобласти задаётся аппроксимирующая функция (например, полином 1- й степени), такая, что на границе двух элементов значения аппроксимирующих функций равны. Затем коэффициенты аппроксимирующих функций выражаются через значения этих функций на границе элементов и составляется система уравнений. Дальнейшее решение осуществляется с помощью метода, основанного на методе Ньютона. Основное уравнение, используемое в расчётах, получено из системы уравнений Максвелла и имеет следующий вид:

8 -

Ю8

Е = 0,

0 у

где ц — магнитная проницаемость; е — диэлектрическая проницаемость; ко — волновой вектор свободного пространства; J — значение плотности тока; а — проводимость; ю — круговая частота; 8о — диэлектрическая постоянная; Е — напряжённость электрического поля. Граничные условия представляют собой равенство нормальных компонент векторов напряжённостей и тангенциальных компонент векторов индукции электрического и магнитного полей на границах сетки.

В нашем случае численный эксперимент проводился для структуры, приведённой на рис. 1, с изменением её параметров: периодов расположения проводящих тонких цилиндров — а, Ь; радиусов цилиндров — г0; проницаемости цилиндров и матрицы, в которую они помещены. ЭМВ задавалась в виде плоской волны, распространяющейся вдоль оси ОУ: Е2 = Е0е-коУ.

После проведения ряда численных экспериментов были получены изображения локального распределения ЭМВ внутри исследуемой структуры. Было замечено, что картина распределения ЭМВ в плоскости ХОУ практически не изменяется, если вместо трёхмерной модели (рис. 1) использовать двумерную модель (рис. 3) с шириной ячейки, равной периоду структуры и с граничными условиями, которые задают бесконечную трансляцию этой ячейки электромагнитного кристалла по оси X. Использование двумерной модели позволяет значительно сократить время расчёта и необходимые вычислительные ресурсы. Результаты компьютерного моделирования представлены на рис. 3.

/, ГГц

Рис. 2. Эффективная диэлектрическая проницаемость проволочной среды. а = Ь = 3 мм

Из распределения электрического поля по области моделирования можно определить отношение квадрата амплитуд отражённой и прошедшей волны к амплитуде падающей волны и тем самым найти коэффициенты отражения и прохождения ЭМВ. Поглощение ЭМВ в структуре близко к нулю. Результаты расчёта коэффициента отражения при различных параметрах структуры представлены на рис. 4.

Из рис. 4 видно чередование «окон прозрачности» (коэффициент отражения меньше еди-

ницы) и «запрещённых зон» (коэффициент отражения близок к единице). Данные результаты хорошо согласуются с аналитическими зависимостями, полученными для полубеско-нечного электромагнитного кристалла такой же структуры [12] и с результатами эксперимента [13]. В области прозрачности наблюдаются размерные резонансы, проявляющиеся в осцилляционной зависимости Я от ка/2п. Наличие этих резонансов обусловлено тем, что моделируемый кристалл имеет конечную

у, м

0.05

-0.02

0

X, м

0.02

о Ег, В/м

Т -2.49

Рис. 3. Распределение электрического поля внутри двумерной модели кристаллической структуры при 15 ГГц. Кристалл расположен в полуплоскости отрицательных значений координаты у.

Падающая ЭМВ распространяется противоположно направлению координатной оси ОУ. Цилиндры бесконечной длины направлены по оси 02

Рис. 4. Зависимость коэффициента отражения от ка/(2п). Здесь к = етю/с, а = Ь = 10 мм, г0 = 0,1 мм: 1 — ет = 1; 2 — ет = 4.

Число рядов проводящих цилиндров 20

толщину, длина ЭМВ меньше этой толщины и происходит интерференция прямой и обратной волн, причём с увеличением толщины кристалла количество резонансов растёт. Для анализа зонной структуры удобно рассмотреть частотную зависимость входного импеданса структуры (рис. 5):

2 (у) = -

Ш

Нх

=

И ехр (іку )- И ехр (-іку ) И ехр (іку ) + И ехр (-іку)'

где 20 = ^Ц/ / 8/ . Амплитуда волны, распространяющейся вдоль нормали к поверхности по направлению оси у, обозначена как к, а волны, распространяющейся в противоположном направлении, через к'.

Из рис. 5 видно, что в запрещённых зонах, где

нет размерных резонансов (— <0,25 и 0,5 < —

2П 2п

< 0,6) реальная часть импеданса равна нулю,

в то время как мнимая часть принимает большие значения. Это возможно когда в структуре нет обратной волны и формула (3) переходит в 2 (0) ~-\11/ 8 е// , означющее, что при таких частотах эффективная диэлектрическая проницаемость реальна и отрицательна. Наличие первой зоны с отрицательной эффективной диэлектрической проницаемостью (— <0,25) предсказы-

2п

вается с помощью выражения (1), её расположение задаётся параметрами структуры через юр. Других зон в нелокальном приближении не ожидалось. Однако численный эксперимент показал для данной структуры наличие других зон с ге// < 0. Чтобы объяснить все запрещённые зоны, необходимо учитывать локальное распределение поля внутри структуры, что сложно сделать аналитически. Из рис. 6 видно, что начало второй запрещённой зоны при 0,5< ка

— не зависит от периода структуры поперёк 2п

распространения волны — Ь и задаётся только параметром периода структуры вдоль распространения волны — а. Значение частоты, при которой заканчивается эта зона, зависит от Ь аналогично как для первой запрещённой зоны. Следовательно, чем больше юр, тем шире вторая зона.

Из полученных данных можно сделать вывод о том, что, изменяя параметры электромагнитного кристалла. можно управлять размерами и расположением частотного диапазона окон прозрачности, запрещённых зон и зон отрицательной диэлектрической проницаемости.

4. Модель поглотителя ЭМВ. На основе рассмотренного электромагнитного кристалла можно предложить модель поглотителя электромагнитной волны (рис. 7), представляющую собой двухслойную структуру из тонкого

Рис. 5. Зависимость входного импеданса структуры 2(0) от ка/(2п). Тёмная линия (1) — реальная часть, светлая (2) — мнимая. Значения параметров а = Ъ = 10 мм, г0 = 0,1 мм, ет = 1.

Число рядов регулярных проводящих цилиндров 10

1,0-,

0,5-

0,0

0,0

0,5

ка/

1,0

Рис. 6. Зависимость коэффициента отражения от ка/(2п) при разных Ъ: (1) 10 мм; (2) 8 мм; (3) 6 мм. а = 10 мм, ет= 1, г0 = 0,1 мм. Число рядов регулярных проводящих цилиндров 10

Рис. 7. Модель поглотителя электромагнитного излучения

проводящего слоя, нанесённого на электромагнитный кристалл.

Исходя из аналитических расчётов работы [14] можно сделать предположение о том, что в такой структуре для определённых соотношений проводимости и толщины проводящего слоя (4) коэффициент поглощения электро-

магнитной волны в проводящем слое близок к единице в диапазоне частот, где импеданс на границе «проводящий слой — подложка» принимает мнимое значение, т. е. где эффективная проницаемость электромагнитного кристалла отрицательна. На рис. 8 и 9 показаны результаты расчёта коэффициента поглощения, полу-

Рис. 8. Зависимость коэффициента поглощения от ка/(2п) при разных г0: (1) 2,5 мм; (2) 3,5 мм. а = Ъ = 10 мм, ет= 1.

Число рядов регулярных проводящих цилиндров 5

Рис. 9. Зависимость коэффициента поглощения от ка/(2п) при: г0= 0,1 мм; Ъ = 2 мм, а = 10 мм, ет= 1. Число рядов регулярных проводящих цилиндров 5

ченные из распределения поля для изображённой на рис. 7 структуры при разных параметрах электромагнитного кристалла. Параметры подбирались таким образом, чтобы зона с отрицательной эффективной проницаемостью и, следовательно, зона поглощения были наиболее широкими:

----------* 1.

4ndMe°Me

5. Заключение. С помощью численного моделирования были построены картины локального распределения электромагнитного поля внутри электромагнитного кристалла, состоящего из диэлектрической основы с проводящими упорядоченными включениями в виде проволок. Получены зависимости коэффициентов отражения, прохождения и импеданса электромагнитной волны от частоты. Данные зависимости хорошо согласуются с результатами аналитических расчётов и экспериментов. Показано наличие дополнительных запрещённых зон, в которых эффективная диэлектрическая проницаемость отрицательна. Получено, что, изменяя параметры электромагнитного кристалла, можно управлять размерами и расположением этих зон. На основе зон электромагнитного кристалла предложена модель широкополосного поглотителя электромагнитных волн, в которой расположением и шириной частотного диапазона сильного поглощения можно управлять, изменяя параметры электромагнитного кристалла.

Список литературы

1. Yablonovich, Е. Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics // Phys. Rev. Lett. 1987. Vol. 58, № 20. P. 2059-2062.

2. John, S. Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics // Phys. Rev. Lett. 1987. Vol. 58, № 23. P. 2486-2489.

3. Joannopoulos, J. Photonic crystals / J. Joan-nopoulos, R. Meade, J. Winn. Princeton : NJ, 1995. 184 p.

4. Yablonovitch, E. Photonic band-gap structures // J. Opt. Soc. Am. B. 1993. Vol. 10, iss. 2. P. 283-295.

5. Scherer, A. Mini-special issue on electromagnetic crystal structures, design, synthesis, and applications // IEEE Trans. Microwave Theory Techniques. 1999. Vol. 47, № 11.

6. Krauss, T F. Inroduction in the feature section on photonic crystal structures and applications / T. F. Krauss, T. Baba // IEEE J. Quantum Electron. 2002. Vol. 38, № 7. P. 724.

7. Krauss, T. F. Proc. of workshop on Electromagnetic crystal structures. Scotland : University of St. Andrews, 2001.

8. Pendry, J. Calculating photonic bandgap structure / J. Pendry, J. Phys // Condensed Matter. 1996. Vol. 8, № 9. P. 1085-1108.

9. Pendry, J. Extremely Low Frequency Plasmons in Metallic Mesostructures // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 76. P. 4773 -4776.

10. Нестеренко, Д. В. Рассеяние света на диэлектрическом цилиндре, включающем двумерную решётку металлических наностержней / Д. В. Нестеренко, В. В. Котляр // Компьютер. оптика. 2008. Т. 32, № 1. C. 23-28.

11. Розин, Л. А. Метод конечных элементов // Соровский образоват. журн. 2000. Т. 6, № 4. С. 120-124.

12. Belov, P. A. Dispersion and reflection properties of artificial media formed by regular lattices of ideally conducting wires / P. A. Belov, S. A. Tretyakov, A. J. Viitanen // J. Waves and Appl. 2002. Vol. 16, № 8. Р. 1153-1170.

13. Зотов, И. С. Исследование амплитудночастотной характеристики коэффициента пропускания двумерного электромагнитного кристалла, образованного медными цилиндрами / И. С. Зотов, И. В. Бычков, А. А. Федий // Письма в Журн. техн. физики. 2011. Т. 37, вып. 23. С. 39-44.

14. But’ko, L. N. Аbsorption of Electromagnetic Waves in a Nonmagnetic Conductor-Ferromag-net Structure / L. N. But’ko, V. D. Buchelnikov, I. V. Bychkov // Physics of the Solid State. 2010. Vol. 52, № 10. P. 2154-2163.