Об одной модификации понятия u-эквивалентности топологических пространств

А. В. Арбит

ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ ПОНЯТИЯ и-ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

Вводится понятие /и-эквивалентности топологических пространств, являющееся частным случаем понятия «-эквивалентности. Доказано, что любые два счётные отрезка ординалов /«-эквивалентны.

Известно, что гомеоморфизм пространств Cp(X) и Cp(Y) порождает многозначное отображение пространства X в Y. Такое отображение, называемое носителем, часто используется при доказательстве теорем об инвариантности различных топологических свойств. Так, в [1] использовались носители линейных гомеоморфизмов пространств функций. О. Окунев в [2] ввёл понятие е-носителя для произвольных гомеоморфизмов пространств функций. Особый интерес в данном контексте представляют носители равномерных гомеоморфизмов этих пространств. Использование многозначных отображений в некоторых случаях является основным приёмом в доказательстве. Примером является аналог носителя, введённый С.П. Гулько в [3]. Носитель равномерных гомеоморфизмов, рассматриваемый в этой статье, аналогичен носителю, построенному в [2], однако в отличие от него обладает рядом новых свойств, например полунепрерывностью. Значениями носителя в общем случае являются счётные множества. Добавив дополнительное условие конечнозначности носителя, получаем модификацию понятия и-эквивалентности топологических пространств -Ум-эквивалентность, которая является промежуточным понятием между l- и и-эквивалентностью. Основным результатом статьи является теорема 8, дающая пример /и-эквивалентных пространств, не являющихся l-эквивалентными, что позволяет различать эти понятия.

ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ

Все рассматриваемые ниже топологические пространства предполагаются вполне регулярными, а отображения - непрерывными. Пространства X и Y называем и-эквивалентными (l-эквивалентными), если Cp(X) и Cp(Y) равномерно гомеоморфны (линейно гомео-морфны). Если X и Y - нормированные топологические пространства, для которых существует линейный гомеоморфизм h: X^Y, сохраняющий норму, то будем отождествлять их и писать X~Y.

Символы X© Y, 0Xs означают прямую сумму то-

seS

пологических пространств, с0 - пространство всех сходящихся к нулю последовательностей, наделённое нормой ЦкMl = max{| xn l: n e N}, где{xn}neN e Co. Если

(E„;||-||) - нормированные пространства, ne N, то ^-произведением E = 1 П En I мы будем называть множе-

VneN )с0

ство всех последовательностей x=(x1, x2,...), xn e En, limllx II = 0. Само с0-произведение наделяется нормой

n^1»* n

x|| = supxn||n. Cp(X\F) - пространство всех непрерыв-

neN

ных функций на X, равных нулю на множестве F, наделённое топологией поточечной сходимости, где F -некоторое подмножество пространства X. Буквой ю обозначаем первый бесконечный ординал, буквой ю1 -первый несчётный ординал. Если / - отображение с областью определения X и F с X, то через /\F обозначается сужение / на F.

ПОНЯТИЕ НОСИТЕЛЯ И ЕГО СВОЙСТВА

Определение 1. Пусть X - топологическое пространство. Линейное подпространство A с R будем называть достаточным, если для любой точки у е X, любой её открытой окрестности Oy и любых двух функций /1,/еА существует функция/еA, такая, что/3(х)=/1(х) для всех хеX\Oy и/3(y)=/2(y).

Примерами достаточных линейных подпространств являются Cp(X) с RX, Cp(X\F) с RX, где F - некоторое подмножество пространства X.

Определение 2. Пусть X, Y - топологические пространства; A, B - достаточные линейные подпространства пространств R и RY соответственно; h: B^A -равномерный гомеоморфизм, переводящий нулевую функцию Оу е B в нулевую функцию Ох е A. Зафиксируем точку х е X и е > 0. Точку у е Y будем называть е-су-щественной для х (относительно гомеоморфизма h), если для любой окрестности Oy точки y существуют функции gj, g2 е B , совпадающие на множестве Y\Oy, для

которых выполняется неравенство |h(gj)(х) - h(g2)(х)| > s.

Точку у, не являющуюся е-существенной для х, будем называть е-несущественной для х. Множество всех е-существенных точек для точки х будем называть е-но-сителем точки х (относительно гомеоморфизма h) и будем обозначать его supp 1^х. Объединение всех е-носи-телей точки х (относительно гомеоморфизма h) по всем е > 0 будем называть носителем точки х (относительно

гомеоморфизма h) и будем обозначать его supp^. Если известно, о каком гомеоморфизме h идёт речь, будем писать просто suppsх или supp х.

Очевидно, что если е < 5, то supp5х с suppsх, поэтому supp х = U supp^ .

neN

В предыдущей работе [4] было доказано, что носитель обладает следующими свойствами:

(i) - для любого х е X, для любого s > 0 suppsх -конечное подмножество из Y;

(ii) - supp : X ^ Y есть многозначное полунепрерывное снизу отображение;

(iii) - если A=Cp(X), B=Cp(Y), то для любого х е X, для любого s > 0 supps х - непустое множество.

В общем случае мощность носителя не более чем счётна. Особый интерес представляет случай, когда носитель конечен, поэтому имеет смысл выделить в классе и-эквивалентных пространств подкласс, любые два пространства X и Y из которого допускают равномерный гомеоморфизм h : Cp (X) ^ Cp (Y) с конечным носителем.

Определение 3. Пусть X, Y - топологические пространства; A, B - достаточные линейные подпространства пространств Cp(X) и Cp(Y) соответственно, и пусть

h: B ^ A - равномерный гомеоморфизм. Будем называть отображение h fM-гомеоморфизмом, если supphx -

конечное множество для любого x е X и supph у -конечное множество для любого у е Y . В этом случае пространства A и B будем называть fu-гомеоморфными

fu

и писать A = B .

Определение 4. Пусть X Y - топологические прост-

fu

ранства. Будем называть их /М-эквивалентными (X ~ Y ), если существует /м-гомеоморфизм h: Cp (X) ^ Cp (Y).

Для того чтобы введённое понятие fu--эквивалентности на самом деле являлось отношением эквивалентности, оно должно быть рефлексивным, симметричным и транзитивным. Первые два свойства очевидны, для доказательства транзитивности потребуются некоторые факты, доказанные в [4].

Пусть X, Y - м-эквивалентные топологические пространства; A, B - достаточные линейные подпространства пространств Cp(X) и Cp(Y) соответственно, и пусть h: B^A - равномерный гомеоморфизм, переводящий нулевую функцию 0Y е B в нулевую функцию 0X е A . Зафиксируем точку x е X , 5 > 0 и некоторое конечное подмножество K с Y и определим a(x, K, 5) = sup|h(g1 )(x) - h(g2 )(x)| , где супремум берётся по всем g1, g2 е B , таким, что g1( у) - g 2 (у^ <5 для всех у е K. Это определение было введено С.П. Гулько в [3]. Также определим a(x, K,0) = = sup| h( g1)(x) - h( g2)(x)| , где супремум берётся по всем g1, g 2 е B , совпадающим на множестве K (если K - пустое множество, то супремум берётся по всем g1, g2 е B). Очевидно, что если 0 < 51 < 52, то a(x, K, 51) < a(x, K, 52), и если K1 с K2 с Y , то a(x, K2,5) < a(x, K1,5) для любого 5 > 0.

Теорема 1 [4]. Если a(x, K,0) < да, то для любого е > 0 существует 5 > 0 , такое, что a(x, K, 5) < a(x, K,0) + е.

Теорема 2 [4]. Для любого x е X, для любых е > 0, 5 > 0 a(x, suppex, 5) < да .

Далее, зафиксируем точку x е X , е > 0 и определим множество KE(x) следующим образом. Так как h - равномерный гомеоморфизм, то существует 5 > 0 и конечное подмножество K с Y, такие, что a(x, K, 5) < е, а следовательно, и a(x, K,0) < е . Выберем подмножество M с K, такое, что a(x, M,0) < е , а для любого собственного подмножества M'сM,M'фM выполняется неравенство a(x, M ,0) > е . Такое множество может оказаться не единственным, тогда возьмём любое из них и обозначим его KE(x). Итак, для KE(x) справедливы неравенства: a(x, Ks (x),0) < е , a(x, K',0) > е для каждого K' с Kе (x), K' ф Ke (x).

Теорема 3 [4]. Для любого x е X и любого е> 0 supp8 x с K е (x).

Теорема 4 [4]. Для любого x е X и любого е > 0 существует 5 > 0, такое, что Ks (x) с supp5x.

Следствие 5 [4]. Для любого х е X, для любого е > 0 существует 5 > 0, такое, что а(x,supp5х,0) < е.

Теперь сформулируем и докажем теорему, из которой следует транзитивность отношения ^-эквивалентности.

Теорема 6. Пусть X, Y, Z - топологические пространства; A, B, С - достаточные линейные подпространства пространств Cp(X), Cp(Y) и Cp(Z) соответственно; фьВ^А и ф2:С^В - равномерные гомеоморфизмы, и пусть ф0=ф1оф2:С^А - их композиция. Тогда supp'1’0х с

с U{supp'2 y : у е supp'1 х} для любого хеХ.

Доказательство. Возьмём точку z г U{suppф2у: у е е suppф1 х}с Z и покажем, что z г suppф0х. Для произвольного е > 0 зафиксируем 2 (х) с X (относительно гомеоморфизма ф1 : В ^ А). По теореме 4 найдётся 5 > 0, такое, что Ке/2(х) с suppф1 х, поэтому а(х,suppф1 х,0) < е/2 . По теореме 1 найдётся е1 > 0, такое, что а(х, suppф1 х, е1 )<

< е/2 + е/2 = е . Если supp ф1 х с suppф1 х и z г U{suppф2у :

: у е supp4,1 х} , то z г suppфl2у для каждого у е suppф1 х,

т.е. для каждого у е suppф1 х найдётся окрестность O),(z) точки z (зависящая от у), такая, что для любых h1, h2 е С , совпадающих на множестве Z\O}l(z), выполняется неравенство | ф2(h1)(у) - ф2(^)(у) |< е1. Возьмём открытую окрестность O(z) = 1{Оу (z): у е suppф1 х} (так как множество suppф1 х - конечно). Тогда для любых h1, h2 е С, совпадающих на множестве Z\O(z), неравенство | ф2(^)(у) -ф2(^)(у) |< е1 выполняется для всех у е suppф1 х, но, так как а(х,suppф1 х, е1) < е, то | ф1 о Ф2(hl)(х) - ф1 о ф2 (h2 )(х) |< е , следовательно, z г suppф0х для любого е > 0, поэтому z г suppф0 х. Теорема доказана.

Следствие 7. Пусть X, Y, Z - топологические пространства, А, В, С - достаточные линейные подпространства пространств Cp(X), Ср^ и С^) соответст-

fu fu fu

венно, такие, что А = В, В = С . Тогда А = С .

Доказательство. Пусть ф1: В ^ А и ф2: С ^ В - равномерные гомеоморфизмы с конечными носителями и пусть ф0 = ф1 о ф2 : С ^ А - их композиция, тогда по предыдущей теореме supp<P0 х с U{supp<P2 у: у е supp411 х} для любого х е X, т.е. содержится в конечном множестве. Следовательно, он сам конечен. Аналогично доказывается, что носитель supp<Po z для каждого z е Z коне-fu

чен. Следовательно, А = С . Следствие доказано.

Из доказанного следует транзитивность отношения ft-эквивалентности:

fu fu fu fu

X ~ Y, Y ~ Z ^ Ср (X) = Ср (Y), Ср (Y) = Ср (Z) ^

^ Cp(X)^=Ср(Z) ^ X~Z

/и-ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Понятие fM-эквиваленгности является промежуточным понятием между l- и м-эквивалентностями (носители линейных гомеоморфизмов Ср-пространств конечної, см. [1]). Естественно возникает вопрос о различении этих отношений эквивалентности. В этом параграфе приведён пример fM-эквиваленгных пространств, не являющихся l-эквивалентными. Центральной теоремой параграфа является

Теорема 8. Пусть а, ß - счётные ординалы. Тогда

Ср ([1, а]) = Ср ([1, ß])).

Теорема основывается на леммах, доказанных С.П. Гулько. Для её доказательства потребуются результаты из [5].

Лемма 9[5]. Пусть R2 - евклидова плоскость с нормой |(xj,x2)|| = max{| xi |,| x2 |} и пусть є>0. Тогда существуют функции фє : R2 ^ R и ує : R2 ^ R, такие, что:

(а) - функции фє и ує являются липшицевыми с константами ^(є) и Б(є) соответственно, т.е. | фє (x) - фє (y) |<

x, y є R2;

(б) - отображение (x1, x2) ^ (x1, фє (x1, x2)) есть равномерный гомеоморфизм евклидовой плоскости R2 на себя, и обратное к нему отображение имеет вид (xi,x2) ^ (xi,(xi,x2));

(в) - фє (x1, x2) = 0 при x1=x2;

Лемма 10 [5]. Для любого псевдокомпактного пространства X, для любого x0 є X и любого є > 0 отображение S : Ср (X) ^ R х Ср (X | {x0}), определённое формулой Ss (f) = (f (xo), фє (f (xo), f (•))) есть равномерный гомеоморфизм, такой, что

xeX

Следствие 11. Отождествим пространство R х Cp (X | {x0}) из предыдущей леммы с пространством Ср (X © ©{а} | {x0}), где a - точка, не принадлежащая X. Тогда отображение S,, из леммы 10 Se : Ср (X) ^ ^ Ср (X © {а} | {x0}) естьfw-гомеоморфизм.

Доказательство. Имеем SE (g)(x) = g(x0), если x = a и Ss (g)(x) = фє (g(x0), g(x)), если x ф а, где g є Ср (X),

Sє-1(f)(x) = f(а), если x = x0 и Sє-1(f)(x) =^є(f(a), f (x)), если x ф x0, где f є Ср (X © {a} | {x0}).

Обозначим отображение S„ за h1, отображение S- за h2 и покажем, что supphi x с {x0, x} для любого x є X © {a} и supph2 x с {a, x} для любого x є X.

Рассмотрим отображение h1. Заметим, что supph x0 -пустое множество, так как для любых g1, g 2 є Ср (X ) выполнено

|h1(Я1)(х0) - h1(g2 )(х0^ =

= |фе (g1 (х0 X g1 (х0 )) - фе (g2 (х0 ), g2 (х0 )) = 0.

Скажем, что К5 (a) с {х0} для любого 5 > 0. Действительно, если ^(х0) = g2(х0), где g1,g2 е Cp(X), то

Ih1(g1)(a) - h1(g2)(a)| = ^1(х0) - g2 (хО! = 0 <5 для любого 5>0, а так как suppg a с K5(a) (теорема 3), то supph a с {х0}. Возьмём теперь х е X \{х0} и покажем что К5 (х) с {х, х0} для любого 5 > 0 . Действительно, если g1(х0) = g2(х„) и g1(х) = g2(х), где g1,g2 е Cp(X), то

|^( g1)( х) - h(g 2 )(х) =

= |фе (g1 (х0 X g1 (х)) - фе (g2 (х0 X g2 (х)) <

< А(е) max{| g1 (х0) - g2(х0) |,| g1(х) - g2(х) |} = 0 <5

для любого 5> 0, следовательно, К5 (х) с {х0, х} для любого 5> 0, поэтому suppд х с {х0, х} для любого 5>0, и, окончательно, supph х с {х0, х}.

Рассмотрим отображение h2. Покажем, что К5Хх0 )с с {a} для любого 5 > 0 . Действительно, еслиf(a)=f(a), где f2 е Cp XX © {a} | {х0 }), TO |h2 (f1 )Хх0 ) - h2 Xf2 )Хх0 ) = = |f1 (a) - f2 (a)| = 0 <5 для любого 5 > 0, следовательно, supph2 х0 с {a}.

Возьмём х Ф х0 и покажем, что К5 (х) с {a, х} для любого 5 > 0 . Действительно, если f (a) = f2 (a) и f1 (х) = = /2(х), где f1, /2 е Cp (X © {a} | {х0}), то

|*2(/1)(х) - h2(f )(х) =

= К (f (a), f (х)) - Vs (f2 (a), f, (х))| <

< В(е) max{| f (a) - f2(a) |,| f1(х) - f2(х) |} = 0 <5 для любого 5 > 0, следовательно, К5 (х) с {a, х} для любого 5 > 0 , поэтому supp^ х с {a, х} для любого 5>0, и, окончательно, supph2 х с {a, х} . Итак, отображение Se есть fu-гомеоморфизм. Следствие доказано.

Лемма 12. Пусть имеется два семейства {Xs }seS и

{Ys}seS топологических пространств и для каждого

s е S существуют достаточные линейные подпространства Ац с Cp(Xs) и Bs с Cp(Ys) и равномерный гомеоморфизм hs:Bs^As. Обозначим X = © Xs, Y = © Ys и

seS seS

определим множества А = f е Cp XX): f |xs е As }с Cp XX) и В = {g е CpXy): g |Ys е Вх}с CpXy). Отображение h:B—А, определённое формулой h(g) |Xs = hs (g |Ys), где g е В , является равномерным гомеоморфизмом, причём supp кх = = suppк*х для любой точки х е X , где s - индекс пространства Xs, содержащего точку х.

Доказательство. Очевидно, что h является равномерным гомеоморфизмом пространства В на А . Покажем, что supp^ з suppк''х. Возьмём е > 0, точку у е supp^х с Ys и произвольную окрестность Оу точки у. Тогда существуют g’s, g”s е В5 такие, что g’s = g" на

множестве Ys\0>, и \hs (g")(x) - hs (g''s)(x)| >е . Определим : g - (у) = fg"(У), у е Ys

функции g',g" е Cp (Y): g'(у) =

0, у е Y \ Ys

= Of. Оче-

Cp 10 X„ I =j f е Cp 10 X„ I: lim||f|X„

VnsN J 0 [ VnsN

видно, что Cp I 0 Xn I - достаточное линейное под-

vtjeN J 0

Определим множества A = ^ f е Cpl 0 Xn I: f L е A,

и B = ]g е Cp I 0 Yn I : g |Yn е Bn

V nsN

pn VnsN J 0

h : BI Cp | 0 Yn j ^ A , заданное формулой h(g) |Xn =

( r \\

g;

для любого у е Y \ Оу,

|h(g')(х) - h(g")(х)| = |hs (gs)(х) - hs (g';)(х)| < е,

h h h h следовательно, у е suppе х с supp х и supp •'х с supp х.

Докажем обратное включение: suppАх с suppк*х. Возьмём е > 0 и точку у г supp^х. Возможны два случая:

(а) - у е Yt, t Ф s . В качестве окрестности Оу точки у можно взять Yt, тогда для любых g",g" е Cp (Y), совпадающих на множестве Y\Oy,, выполняется равенство \h(g')(х) - h(g")(х)| = |hs (g ' |ys )(х) - hs(g " Y )(х)| = 0, сле-

= hn (g |YnX где g е B . Тогда hB 1 Cp |0 Yn

V VnsN

= A1 Cp I 0 Xn I (ii) и отображение h является fu-го-

pn V nsN Jq

меоморфизмом из B1 Cp I 0 Yn I на A1 Cp | 0 X.

pn V nsN J 0

VnsN Jq

Доказательство. Очевидно, что A ПCp|0Xn I и

pn V nsN J о

B1 Cp | 0 Yn I являются достаточными линейными под-

ynsN J о

довательно, у g suppe x .

(б) - у е Ys. Существует окрестность Оу точки у в пространстве Y такая, что для любых g", g" е Bs, совпадающих на множестве Y^O^ выполняется неравенство \hs(g")(x) - hs(g")(x)| < е . Тогда для любых g',g" е Cp(Y), совпадающих на множестве У\Оу, выполняется неравенство |h( g')(x) - h( g" )(x)| = h" (g' |Ys)(x) - h" (g" |Ys)(x)| <е ,

следовательно, у g supp^x. Получаем, что supp^x с с suppk"x для любого е > 0, следовательно, supphx с с supph". Лемма доказана.

Следствие 13. Если в условии леммы каждый равномерный гомеоморфизм hs:Bs^As является fu-гомеоморфизмом, то h'B^A также является fu-гомеоморфизмом.

Определение 5. Пусть Xn - псевдокомпактное пространство, n е N. Определим норму на Cp(Xn): ||f||X = sup|f (x)|, где f е Cp (X). Будем обозначать

пространство пространства Cp I 0 X

Следствие 14. Пусть имеется две последовательности {Хп}ие^ и {Уп}ие^ псевдокомпактных топологических пространств и для каждого п е N существуют достаточные линейные подпространства Ап с Ср(Хп) и Вп с Ср(7п), ^-гомеоморфизм кп:Бп^Ап и положительные числа а, Ь, такие, что а^п\^ < |\кп^п)|Хп < Щ$п\^

для каждого gn е Вп, п е N.

и отображение

пространствами пространств Cp I 0 Xn I и Cp I 0 Yn

VneN J VneN

соответственно. Равенство (ii) следует из условия (i), остальная часть доказательства дословно повторяет доказательство леммы 12.

Доказательство теоремы 8. Для счётного ординала а рассмотрим следующее индуктивное предположение (аа): для любого е > 0 существует fu-гомеоморфизм T8 : Cp([1,а]) ^ Cp([1,ю] | {ю}), такой, что

(1 + 8)-1||f\\ < IT (f )|| <|If |, f eCp([1, а]).

Для а = ю по следствию 11 существует fU-гомеоморфизм Se : Cp ([1, ю]) ^ R х Cp ([1, ю] |{ю}) * Cp ([0, ю] | {ю}).

Очевидно, что Cp ([0, ю] | {ю}) можно линейно топологически отождествить с пространством Cp ([1, ю] | {ю}) без изменения норм элементов Cp ([0, ю] | {ю})Cp ([1, ю] | {ю},

а поскольку линейный гомеоморфизм является fU-гомеоморфизмом, то по следствию 7 композиция fU-гомеоморфизмов T8 : Cp ([1,ю]) ^ Cp ([1,ю] | {ю}) также будетfU-го-

меоморфизмом, что доказывает утверждение (ат).

Если а = р + 1, то Cp ([1, а]) * Cp ([1, р]), поэтому

(аа) следует из (ар).

Пусть а - предельный ординал и пусть а = sup аn,

neN

где 0 = а0 < а! < а2 <... - возрастающая последовательность счётных ординалов. Возьмём 5 > 0 так, чтобы

(1+ S)2 < 1 + 8 . По следствию 11 существует fU-гомеомор-

fu

физм S5 : Cp ([1, а]) ^ Cp ([1, а] | {а}) (так как Cp ([1, а]) =

fu

= R х Cp ([1, а] | {а}) * Cp ([1, а] | {а}), такой, что

Легко видеть, что Cp ([1, а] | {а}) * Cp I 0 (аn-1, аn ]J , а

V ne N J 0

кажд^1й полуинтервал (аи-1, аи] гомеоморфен некоторому сегменту [1, р„], причём Р„ < а. Обозначим Xn = [1, ю],

Yn = [1, Pn],n e N, тогда Cp([1,а] | {а}) * Cp("0 Yn 1 . Так

V ne N J 0

как вп < а, то по индуктивному предположению для каждого n e N существует fu-гомеоморфизм hn : Cp (Yn) ^

n

n

^ Ср ([1, ю] | {ю}) такой, что для каждого gn е Ср (7И) вы- ние, можно считать, что построенное выше отображе-

3. Гулько С.П. О равномерных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций // Труды матем. ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР. 1992. Т. 193. С. 82-88.

4. Арбит А.В. О многозначных отображениях, порождаемых равномерными гомеоморфизмами пространств непрерывных функций.// Международная конференция по математике и механике: Избранные доклады / Под общ. ред. Н.Р.Щербакова. Томск: Томский государственный университет, 2003. С. 45-49.

5. Gul'ko S.P. The space Cp(X) for countable infinite compactXis uniformly homeomorphic to Co // Bull. Acad. Polon. Sci. ser. Math. 1990.

6. Bessaga C., Pelczynski A. Spaces of continuous functions (IV). On isomorphic classification of spaces of continuous functions // Studia math. 1960. V. 19. P. 53-62.

Статья представлена кафедрой теории функций механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 11 июня 2004 г.

полнено неравенство

Ср ([1, ю]|{ю}). Композиция Т = И о ^ по следствию 7 является /и-гомеоморфизмом пространства Ср ([1, а]) на Ср ([1, ю] | {ю}). Из формул (1) и (3) следует, что выполнено неравенство (1 + 5)_2|/|| < ||Т (/)|| <||/||, / еСр ([1, а]).

Полагая ТЕ=Т, мы получаем утверждение (аа). Индукция полная. Итак,

/и

и отображение

и

ределённое формулой И(g) |Х^ = Ип (g |7п), где g е В . Таким образом, мы находимся в условиях следствия 14, откуда получаем, что И является /и-гомеоморфизмом из

fu

Cp

для любых двух счётных ординалов а и в, следовательно,

fu

Ч. Бессага и А. Пелчинский [6] установили, что для счётных ординалов а и р, а<р пространства СД1, а]) и Ср([1, й) линейно гомеоморфны тогда и только тогда, когда а<р<аш

Следовательно, отрезки ординалов [1, юю ] при 0 < у < Ю1 будут попарно не /-эквивалентны между собой.

Cp (Р, а]) = Cp ([1, в]). Теорема доказана.

ет также неравенство

Следствие 15. Существуют счётные fU-эквивалентные компакты X и Y, не являющиеся /-эквивалентными.

Вопрос о различении и- и /и-эквивалентных пространств пока остаётся открытым.

(c0 х с0 х ...) и с0 и Cp([1,ю] | {ю>). Учитывая это замеча-

ЛИТЕРАТУРА

1. Velichko N.V. The Lindelof property is /-invariant // Topol. and its Appl. 1998. Vol. 89. P. 277-283.

2. Okunev O. Homeomorphisms of function spaces and hereditary cardinal invariants // Topol. and its Appl. 1997. Vol. 80. P. 177-188.