Моделирование сбоев и их устранение на финансовых рынках с потоком событий, порожденным бинарным деревом

Моделирование сбоев и их устранение на финансовых рынках с потоком событий, порожденным бинарным деревом

И.В. Павлов, О.В. Назарько

Рассмотрим стохастический базис (р, (р п )П=0, Р), где О — конечное множество исходов на некотором финансовом рынке; р п — а -алгебра событий на этом рынке, доступных для наблюдения до момента времени N включительно; Р — вероятностная мера, нагружающая все атомы финальной а -алгебры р N.

Определение. Под сбоем понимается такая ситуация на рынке акций, когда при временной эволюции рынка новые события возникают, однако дисконтированная цена акции (какого-то фиксированного типа) не изменяется.

Например, пусть (п, Р п ))= 0 — адаптированный случайный процесс,

представляющий собой эволюцию дисконтированной цены акции определенного типа, и атом С а -алгебры Рп таков, что С = А + В, где А и В есть атомы а -алгебры Р п+1. Если выполняется равенство 2п+1(А) = 2п+1(В) = 2п (С), то это и означает, что в момент времени п на атоме С произошел сбой.

В работах [1,2] было доказано, что отсутствие сбоя равносильно интерполяционному свойству финансового рынка, названному свойством хааровской единственности (СХЕ). Из этого результата вытекает, что при наличии хотя бы одного сбоя неполный и безарбитражный финансовый рынок не может быть преобразован посредством хааровской интерполяции в полный и безарбитражный рынок.

Настоящая статья посвящена моделированию сбоев на финансовых рынках с потоком событий, порожденным бинарным деревом (важность такой модели демонстрирует монография [3] и работы [4-6]). В ней

описывается работа одного из модулей созданного авторами программного комплекса. Основная цель работы — показать, что переходом от исходной (физической) вероятностной меры P к эквивалентной ей слабой деформации Q можно «исправить» рынок со сбоем таким образом, что он будет обладать единственной строго эквивалентной деформации Q мартингальной деформацией (терминология разъясняется в [7]). Сбои можно моделировать и на других рынках (см. [8-9]). Относительно применений см. также [10].

В программном комплексе реализовано автоматическое моделирование сбоев. Допущения: 1) количество сбоев в любой момент времени ограничено сверху числом d (d задается в зависимости от конкретной задачи); 2) могут существовать моменты времени, в которых d = 0 (нет сбоев) 3) на атомах A и B, возникших после сбоя, плотность h деформации задается равенствами

h(A) = c и h(B) = —. Если c мыслится как случайная величина с областью

c

значений в интервале (0,1), то ее значение при каждом сбое моделируется заново. В частном случае, если c = const, эта константа едина для всех сбоев.

Имитационное моделирование сбоев осуществляется в соответствии со следующим алгоритмом.

1. В рамках рассматриваемой модели сбой может произойти в каждый момент времени с заданной заранее фиксированной вероятностью q'.

2. Если в какой-то момент времени сбой происходит, то моделирование его величины производится на случайным образом выбранном атоме. Если при этом d > 1, то случайным образом отбираются еще d -1 атомов и каждый из этих атомов экзаменуется на наличие сбоя (вероятность наличия сбоя на каждом из этих атомов обозначается q").

3. После сбоя цена акции опять ведет себя в соответствии с исходными параметрами ее эволюции.

Описанная выше процедура реализована в виде плагина, который в случае надобности подключается к основной программе. В следующем

примере сбои моделируются в рамках классической СЯК-модели (модели Кокса-Росса-Рубинштейна).

Пример. Создадим СЯК-модель с параметрами, приведенными на рисунке 1 (буквы а и Ь стандартным образом отражают случайную процентную ставку по акции, а буква г — процентную ставку банковского счета). Так как г = 0, то выбран дисконтированный рынок.

Рис. 1. Параметры СЯК-модели Созданное программой дерево модели показано на рисунке 2.

Рис. 2. Дерево модели Если в какой-то момент времени в модели возникает сбой, то в результате полная и безарбитражная модель финансового рынка

превращается в неполную. Сбой моделируется с параметрами, указанными на рис. 3, где р(сбоя) = q', а р(сбоя(А)) = q" (см. пункт 2 алгоритма).

"Моделирование сбоев"-

С =

Ш с - случайная величина число сбоев (макс.) = 11 ~|

рС'сбоя") = 11.Р |

рСсбоя'ЧА)) = [о.5 |

Автоматически На выбранном

кусте

Сброс

Сброс изменений модели

Рис. 3. Параметры моделирования сбоев В результате получаем процесс эволюции цены акции со сбоями (нижний индекс — временной, а верхний указывает номер атома):

2 (А) = 1.3,2 (А/) = 1.3,2 (А12) = 1.3,2 (А^) = 1.69,2 (А22) = 1.2805,2 (А2) = 1.3,

2(А24) = 1.3,2(А]) = 2.197,2(А32) = 1.66465 2(А33) = 1.66465, 2(А34) = 1.26129

2 (А35) = 1.69,2(А36) = 1.2805, 2(А37) = 1.3,2 (А38) = 1.3. Получили неполный рынок.

Для выбора типа платежного обязательства предназначена специальная панель. С ее помощью задаем /3 как опцион продажи при цене поставки

цену К = 3. А именно, /3 = 0.803, /32 = 1.33535, /33 = 1.33535, /34 = 1.73871,

/35 = 1.31, /36 = 1.7195, /37 = 1.7 , /8 = 1.7 . Применяя технику мартингальных

деформаций, можно вычислить полный капитал самофинансируемого портфеля. Вычисления показывают, что аналог справедливой цены выбранного платежного обязательства /3 равен 1,7.

Метод хааровских интерполяций, разработанный в [1,2], к сожалению, не позволяет интерполировать построенный рынок до полного и рассчитать соответствующий совершенный хедж.

Данная работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 13-01-

00637а

Литература:

1. Богачева М.Н., Павлов И.В. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков до безарбитражных и полных [Текст] // УМН, 2002. -Т. 57. - Вып. 3. - С. 143-144.

2. Богачева М.Н., Павлов И.В. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков до безарбитражных и полных [Текст] // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2002. - №3. С. 1624.

3. Shreve S.E. Stochastic Calculus for Finance I. The Binomial Asset Pricing Model [Текст] // Springer Verlag N.Y., 2004. - 187 p.

4. Schumacher N. Binomial option pricing with nonidentically distributed returns and its implications [Текст] // Mathematical and Computer Modeling, 1999. -№29. - P. 121-143.

5. Detemple J., Sundaresan S. Nontraded asset valuation with portfolio constraints: a binomial approach [Текст] // The Review of Financial Stadies, 1999. - Vol. 12. - №4. - P. 835-872.

6. Favero G. Shortfall risk minimization under model uncertainty in the binomial case: adaptive and robust approaches [Текст] // Math. Meth. Oper. Res., 2001. -№53. - P. 493-503.

7. Назарько О.В. Слабые деформации на бинарных финансовых рынках [Текст] // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2010. - Вып. 1. - С. 12-18.

8. Назарько О.В., Павлов И.В. Рекуррентный метод построения слабых деформаций по процессу плотностей в рамках модели стохастического базиса, снабженного специальной хааровской фильтрацией [Текст] // Вестник РГУПС, 2012. - №1. - С. 200-208.

9. Красий Н.П. О вычислении спрэда для обобщённой модели (В^)-рынка в случае скупки акций [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, №4 (часть 2). - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n4p2v2012/1378 (доступ свободный). - Загл. с экрана. - Яз. рус.

10. Назарько О.В., Павлов И.В., Чернов А.В. Моделирование оптимальной полосы пропускания телекоммуникационных каналов при условии гарантированной и негарантированной доставки пакетов [Электронный ресурс] // «Инженерный Вестник Дона», 2012, №1. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n1v2012/652 (доступ свободный). -Загл. с экрана. - Яз. рус.