Новые гиперболические модели в механике многофазных сред

Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2519-2520

2519

УДК 532.529

НОВЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В МЕХАНИКЕ МНОГОФАЗНЫХ СРЕД

© 2011 г. В. С. Суров, Е.Н. Степаненко

Южно-Уральский госуниверситет, Челябинск svs@csu.ru

Поступила в редакцию 24.08.2011

Обсуждается ряд новых гиперболических моделей односкоростных многофазных сред, учитывающих наличие теплопроводности и вязкости. Также рассмотрена гиперболическая модель течения грунтовых вод в пористой среде. Для каждой из рассмотренных моделей предложены методы расчета, с использованием которых решены различные модельные задачи.

Ключевые слова: односкоростная вязкая многокомпонентная среда, гиперболические системы, численное моделирование.

Разработка математически корректных и физически непротиворечивых моделей многофазных сред является актуальной задачей, поскольку не все существующие к настоящему времени общие модели гетерогенных сред являются таковыми. В частности, при рассмотрении явления распространения тепла в односкоростных гетерогенных средах [1] с привлечением закона Фурье оказывается, что тепловые волны обладают бесконечными скоростями распространения. Если же вместо закона Фурье использовать закон Максвелла—Кат-танио, учитывающий релаксацию теплового потока, то тепловые волны в среде распространяются с конечными скоростями и указанное выше противоречие нефизического характера исчезает, что, в свою очередь, связано со сменой типа уравнений — от параболического к гиперболическому [2].

Односкоростная вязкая многокомпонентная среда

Включение сил вязкого трения в уравнения модели односкоростной многокомпонентной среды из [1] на уровне смеси в целом также приводит к появлению решений с бесконечно большими скоростями распространения возмущений. Представлена новая гиперболическая модель од -носкоростной вязкой многокомпонентной среды, в которой по аналогии с подходом Максвелла— Каттанио в теплопередаче учтена релаксация вязких напряжений. Для упрощения в общей системе опустим члены, ответственные за фазовые, химические и другие превращения. Система уравнений вязкой «-компонентной смеси с первыми т сжимаемыми фракциями, в которых учтены

силы межфракционного взаимодействия, после ряда преобразований, аналогичных проделанным в [1], принимает вид:

Бр + р^и = 0, -Би+-^гад(Р —а) = 0,

Бг Бг р

Бр 2 Бр

—*- — с 2—= 0, та

Бг Бг с

Ба и Бр

---------^ + а = 0;

Бг р Бг

— 10р+1£Р_ + ±Ощ =0,

р Бг р0 Бг а, Бг

1 Бе+р0д^БР , р° Эе, бр° = 0

Бау а у Бр

где

с=

Бг р Бг

Б Э

---=------+ I

Бг Эг

Р — а Эе т—1

--------Рд-- Ё

Р ЭР ,=1

р Эр° Бг

ч — 1;

у = т +1, к, п

и V),

( \

Р Эе Эе,

00 Р, ЭР, Э "О О

+

+ а,

Эе

да,-

Эе

у = т +1 7 Э«у

1 — Р

(р°)2 Iе

ЭР

ч-1

0

1/2

Эе т—1 Эе, — + Ё —-

ЭР , =1 ЭР

Эе,

Эр0

\-1

х

х

Г а, Эе Эе Л

Р° Эа, Эр°

—1/2

1

Р

Обозначения в

(5 — и)п+т £ — (и — с*)][5 + (и — с*)] = 0

имеет только действительные корни. Здесь 5 = = ёх/Ж. Кроме того, собственные векторы, соответствующие корням характеристического уравнения, линейно независимы, поэтому система квазилинейных уравнений (1) при т Ф 0 — гиперболическая.

Для частного случая одномерных течений среды, состоящей из двух сжимаемых фракций, выражение для скорости звука в смеси имеет вид

c* —

c2 +

_н_

Рта

т

дu дu

+u дt дx

p = pgh + const.

= NдP £

= —^-------S

дx

Систему (2) перепишем в векторно-матричной форме

дU . дU _

^-+a—=s,

дt дx

где

U=

h

u

V У

A=

S =

—nu

Матрица А имеет действительные собственные значения и + у[ак, и — у[ак . Здесь а = ц^Н/т. Кроме того, справедливо равенство А = П—*АП, где

П—1 =

Видно, что при Та ^ 0 скорости перемещения возмущений в рассматриваемой среде стремятся к бесконечности.

Для интегрирования уравнений модели течения вязкой среды использованы численные методы, с помощью которых решен ряд модельных задач: сеточный метод характеристик, ранее использованный для интегрирования теплопроводной смеси [3]; метод Куранта—Изаксона—Риса.

Течение грунтовых вод в пористой среде

Гиперболическая модель течения грунтовых вод в пористой среде описывается следующей системой уравнений:

ЭН , Эи ЭН

— + Н— + и— = 0,

Эг Эх Эх

1 JV а

1

П = -

1

1

Л=

и — л[аН 0

0 и + л[ак

V /

что свидетельствует о гиперболичности системы (3). Если же использовать оригинальный закон Дарси с т = 0, то, как следует из приведенных ранее формул, скорости перемещения возмущений становятся бесконечно большими.

Список литературы

1. Суров В. С. Односкоростная модель гетерогенной среды с гиперболичным адиабатическим ядром // ЖВМ и МФ. 2008. Т. 48, №6. С. 1111—1125.

2. Суров В.С. Гиперболическая модель односкоростной многокомпонентной теплопроводной среды // ТВТ. 2009. Т. 47, №6. С. 905—913.

3. Суров В.С., Степаненко Е.Н. Сеточный метод характеристик для расчета течений односкоростной многокомпонентной теплопроводной среды // Вестник Челябинского госуниверситета. Сер. Физика. 2010. Вып. 8, №24 (205). С. 15—22.

0

1

2

NEW HYPERBOLIC MODELS IN THE MECHANICS OF MULTIPHASE MEDIA

V.S. Surov, E.N. Stepanenko

A series of new hyperbolic models of one-high-velocity multiphase mediums is considered, taking into account the presence of thermal conduction and viscosity. Hyperbolic model of a ground water flow in a porous medium is also considered. For each of the considered models the methods of account are offered, which are used to analyze various model tasks.

Keywords: one-velocity viscous multi-component medium, hyperbolic systems, numerical modeling.