Модель вращательного удара твёрдого тела по стержню

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вольсков Д. Г. Сертификация компонентов воздушных судов в методологии САЬ8-технологий // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. - 2014. -Т. 16, №6-2. - С. 406-411.

2. Маркова Е. В. Инновационный потенциал наукоёмкого предприятия авиационного космического комплекса // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. - 2014. - Т. 16, №6-2. - С. 501-504.

3. Вольсков Д. Г. Автоматизация технологичности в САЬ8-методологии при изготовлении деталей самолёта механической обработкой // Вестник Ульяновского государственного технического университета. - 2016. - №3 (75). -С. 53-57.

4. Вольсков Д. Г. Интегральные конструкции из полимерных композиционных материалов газотурбинных двигателей // Вестник Ульяновского государственного технического университета. - 2015. - №2 (70). - С. 50-55.

5. Вольсков Д. Г. Проектирование современного летательного аппарата на основе информационных технологий и кооперации // Вестник Ульяновского государственного технического университета. - 2015. - №3 (71). - С. 29-33.

6. Вольсков Д. Г. Эскизное проектирование летательного аппарата с авиационным комплексом в САБ-системе // Вестник Ульяновского го-

сударственного технического университета. -2015. - №4 (72). - С. 53-56.

7. Вольсков Д. Г. Исследование обратимости акустической эмиссии // Космос - дом человека будущего // Молодёжные научно-технические чтения, посвящённые 40-летию первого полёта человека в космос : Сборник материалов областной научно-практической конференции (8 апреля 2001 года). - Ульяновск : УлГТУ, 2001. - 80 с.

8. Вольсков Д. Г. Современные подходы к проектированию технологических процессов : Практикум. - Ульяновск : УлГТУ, 2016. - 69 с.

9. Вольсков Д. Г. Проектирование летательных аппаратов. Современные подходы : Практикум. - Ульяновск : УлГТУ, 2016. - 78 с.

10. Кобелев С. А., Вольсков Д. Г., Щеклеина О. В. Исследование акустической эмиссии стальных заготовок // Тезисы докладов XXXV научно-технической конференции. Часть 1. -Ульяновск, 2001. - 69 с.

Вольсков Дмитрий Геннадьевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Самолётостроение» ИАТУ УлГТУ. Имеет монографию, научные статьи в журналах ВАК, учебные пособия.

Поступила 22.03.2017 г.

УДК 531.1; 531.8 В. К. МАНЖОСОВ

МОДЕЛЬ ВРАЩАТЕЛЬНОГО УДАРА ТВЁРДОГО ТЕЛА ПО СТЕРЖНЮ

Рассмотрена волновая модель вращательного удара твёрдого тела по стержню, закрепленному в жёсткое основание. Для решения волнового уравнения используется метод бегущих волн. Угловая скорость, угловое ускорение и относительный угол закручивания поперечных сечений стержня определяются с использованием функций прямых и обратных волн.

Ключевые слова: удар, вращательный удар, стержень, волновое уравнение, метод бегущих волн, волна деформации, скорость поперечных сечений стержня, деформация в поперечных сечениях стержня.

Продольный удар жёсткого твёрдого тела по стержню с использованием волновой модели рассматривается в работах [1-6]. Однако исследования вращательного удара твёрдого тела по стержню с применением волновой модели не столь распространены, хотя есть много общего с волновой моделью продольного удара [7, 8, 9].

В данной работе рассмотрена волновая модель вращательного удара твёрдого тела по стержню, закреплённому в жёсткое основание. Твёрдое недеформируемое тело 1 (рис. 1) с осевым моментом инерции вращающееся со скоростью а>0, наносит крутильный удар в сечении х = 0 по защемлённому в сечении х = I однородному стержню 2.

© Манжосов В. К., 2017

2

у_

Рис. 1. Схема ударной системы

До нанесения удара стержень 2 находился в покое, деформации в стержне отсутствовали. Процесс удара продолжается до тех пор, пока в ударном сечении х = 0 относительный угол закручивания др(0, ?)/ д х не станет равным нулю. Движение поперечных сечений стержня при ударе описывается волновым уравнением вида

_ 1 д р ^) = 0, 0 < х < I,

дх ад?

где р( х, ?) - угол поворота поперечного стержня, положение которого определяется координатой х; ? - время; а - скорость распространения волны деформации в материале стержня.

Начальные условия: при ? = 0

р(x,0) = 0, =К x = 0 = 0, 0 < x<l.

д t у 0, 0 < x < l, д х Здесь др(x,0) / дt - угловая скорость поперечных сечений стержня при t = 0. Граничные условия: если для x = 0 значение др(0, t) / дx Ф 0, то

д t д x д t

при x = l р

если др

где G - модуль упругости 2-го рода материала стержня; Jp - полярный момент инерции поперечного сечения; рм - угол поворота твердого тела 1; с - скорость вращения твёрдого тела 1; t„ - время, когда произойдёт отрыв твёрдого тела от ударного сечения; со, - скорость вращения твёрдого тела в момент отрыва.

Заметим, что граничные условия учитывают наличие неудерживающей связи между ударником и сечением x = 0 стержня.

Решение волнового уравнения (1) по методу бегущих волн представляется как

p

где f (at — x) - функция, описывающая параметры прямой волны, распространяющейся в стержне в направлении оси x; x(at + x) - функция, описывающая параметры обратной волны, распространяющейся в стержне в противоположном направлении.

Из решения (6) волнового уравнения следует, что угловая скорость др(x, t) / дt, угловое ускорение д2p(x, t)/ дt2 и относительный угол закручивания др(х,t) / дx поперечных сечений стержня определяются как

= af'

ч2р

д t " v 7 v ^ 512 др

дх =-/_ х) + %'

С учётом этого начальные условия (2) примут вид

/(0 _ х) + ^(0 + х) = 0, 0 < х < I,

_/'(0 _ х) + /(0 + х) = 0, /'(0 _ х) + /(0 + х) = 0, 0 < х < I, откуда следует, что

/'

Граничные условия (3) - (5) примут вид:

если др( 0, t) / д x ф О, то

Jxa2 [ f''

если др( 0, t) / д x = 0, то

-/'

при x = l /

Формируемая в ударном сечении x = 0 прямая волна, описываемая функцией f (at - 0) , для произвольного сечения x преобразуется как

f (at - 0 + x - x) = f

x - 0 ,

a

т. е. имеет тот же вид, что и для сечения х = 0, но только с запаздыванием по времени на величину (х - 0) / а , равной времени распространения прямой волны от ударного сечения до сечения х.

Падающая на границу х = I прямая волна / (аХ -1) в соответствии с граничным условием (14) в сечении х = I формирует обратную волну, описываемую функцией

Х

Для произвольного сечения х обратная волна %(аХ +1) преобразуется как

x(at +1 + x - x ) = z

и будет иметь тот же вид, что и в сечении х = I, но запаздыванием по времени на величину (I - х) / а , равной времени распространения обратной волны от сечения х = I до сечения х.

С учётом равенства (14) обратная волна в сечении х = 0 соответствует параметрам прямой волны, сформированной в сечении х = 0 ранее по времени на 21/а:

Х{ ах + 0 ) = - / [(аХ - 21)- 0] , х\аХ + 0) = - /' [(аХ - 21)- 0], Х"( аХ + 0 ) = -/ "[(аХ -21 )-0]. (16) Из граничных условий (10) и (11):

/ха2 [/"(аХ - 0) + Х"(аХ + 0)] = О/р [-/ '(аХ - 0) + Х'(аХ + 0)], если д м(0,Х) / дх Ф 0, -/' (аХ - 0) + Х' (аХ + 0) = 0, если др(0, Х) / д х = 0, функция, определяющая параметры формируемой в ударном сечении прямой волны, определяется либо из решения дифференциального уравнения:

/"

/'а 3 х.а д х

либо из равенства

/'

Уравнения, определяющие параметры формируемой в ударном сечении прямой волны, с учётом (16) примут вид:

/''

/ х.а / х~а д х

/'

Учитывая, что О = а2р (где р - плотность материала стержня), полярный момент инерции поперечного сечения / = /32, имеем:

ж!.! ж!2 !2 !2 1 !2

пр _ прпр л пр 1. пр

/ 3 =рг=2 =з =а

/ха2 / / / / / / '

где а = А/ / /х - отношение момента инерции единицы длины стержня А/ относительно продольной оси х к приведённому моменту инерции /х ударяющего тела; Атпр = рАпр/ /1 - масса единицы длины стержня; рАпр/ - масса стержня длиной I; А^ = /4 - приведённая площадь поперечного сечения стержня; !пр - приведённый диаметр стержня. Обозначим переменную аХ = £ . Тогда уравнение (19) примет вид:

f"

где i - номер интервала времени продолжительностью 2l; i* - номер интервала времени, на котором произойдёт разрыв контакта.

Решение дифференциального уравнения

где Сi - постоянная интегрирования на i-м интервале движения.

Значение Сi на первом интервале движения определяем из начальных условий (2):

I х=0 = af '

д t

Так как на первом интервале f "

аC1 = с0, C1 = с0 / а .

На последующих интервалах движения значение С определяется из условия непрерывности скорости ударного сечения, пока имеет место контакт стержня и ударяющего тела.

Функции f (£) и определим, вычисляя интеграл (23) и используя равенство (1б):

f (#) = J f '(#) + D, *(#) = —f (# — 2l).

Здесь D - постоянная интегрирования при вычислении интеграла.

Построенная модель вращательного удара твёрдого тела по стержню, закрепленному в жёсткое основание, по структуре соответствует моделям продольного удара, описанным в работах [2, 4, б]. Это позволяет использовать имеющиеся подходы при анализе такого класса задач.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алимов О. Д., Манжосов В.К., Еpемьянц В.Э. Распространение волн деформаций в ударных системах. - Фрунзе : Илим, 1978.- 19б с.

2. Алимов О.Д., Манжосов В.К., Еpемьянц В.Э. Удаp. Распpостpанение волн дефоpмаций в удаpных системах. - М. : Наука, 1985. - 354 с.

3. Еремьянц В.Э. Динамика ударных систем. LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH&Co. Saarbrucken, Germany, 2012. - 58б с.

4. Кильчевский Н.А. Динамическое контактное сжатие твёрдых тел. Удар. — Киев : Наукова думка, 197б. — 320 с.

5. Zhukov I.A., Dvornikov L.T. New constructive solutions of anvil-blocks of percussion mining machines. North Charleston : Create Space, 2015. 130 p.

6. Манжосов В.К. Продольный удар. - Ульяновск : УлГТУ, 2007. - 358 с.

7. Шевченко Ф. Л., Улитин Г. М. О разновидностях крутильных ударов, возникающих при работе буровых установок, и способах их устранения // Совершенствование техники и технологии бурения скважин на твёрдые полезные ископаемые. - Екатеринбург : УГГА, 2001. - Вып. 24. - С. 132 - 138.

8. Улитин Г. М., Петтик Ю. В. Крутильный удар бурильной колонны при заклинивании режущего инструмента // Науковi пращ ДонНТУ. Серiя «Прничо-геолопчна». - 2008. - №7 (135). - С. 104 - 107.

9. Li Jiyang, Tan Zhuoying, Li Wen. Diamond Drill Crushed Rock Under Impact-Rotational Loading // EJGE, Vol. 20 (2015), Bund. 20. - pp. 11719 - 11732.

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, окончил машиностроительный факультет Фрунзенского политехнического института, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика и строительные конструкции» Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи, монографии, изобретения в области динамики машин, моделирования процессов удара. [e-mail: v.maniosov@ulstu.ru].

Поступила 22.06.2017 г.