Исследование трехфазной системы массового обслуживания методом просеянного потока

УДК 519.872

ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЕХФАЗНОЙ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ МЕТОДОМ ПРОСЕЯННОГО ПОТОКА

И. Р. Гарайшина, М. С. Лобова, А. А. Назаров

INVESTIGATION OF THREE-PHASE QUEUING SYSTEMS WITH THE METHOD OF SIFTED FLOW

I. R. Garayshina, M. S. Lobova, A. A. Nazarov

Работа поддержана РФФИ, проект №11-01-90712-моб_ст.

Для исследования трёхфазной системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов и с входящим МАР-потоком предлагается использовать метод просеянного потока и метод асимптотического анализа в условиях растущего времени обслуживания. Найдены асимптотики первого и второго порядка.

To investigate the three-phase queuing system with an unlimited number of devices and the input MAP-flow, the authors of the paper suggest using the method of sifted flow and the method asymptotic analysis in the face of increasing service time. Asymptotics of the first and second order were discovered.

Ключевые слова: страховая компания, пенсионное страхование, метод просеянного потока, метод асимптотического анализа.

Keywords: insurance company, pension insurance, method of sifted flow, the method of asymptotic analysis.

Системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов являются моделями реальных систем в различных сферах повседневной жизни: банковское дело, страхование, транспорт, торговля и т. д.

Пусть страховая компания (например, негосударственный пенсионный фонд) заключает договоры пенсионного страхования, страховым случаем по которым является достижение определенного (пенсионного) возраста. Рассмотрим процесс изменения численности клиентов компании по данному виду страхования. Выделим три группы:

1) потенциальные клиенты, в число которых включаем всех лиц от рождения до момента заключения договора;

2) клиенты, выплачивающие страховые взносы;

3) клиенты, получающие пенсионные выплаты. Процесс изменения числа застрахованных лиц можно представить в виде математической модели системы массового обслуживания.

1. Математическая модель

Рассмотрим трёхфазную систему массового обслуживания. Полагаем, что на вход системы поступает МАР-поток заявок. Случайный поток однородных событий будем называть МАР-потоком, управляемым эргодической цепью Маркова к(/) с конечным числом состояний к = 1, 2, ..., К, если выполняются равенства

инфинитезимальной матрицы Q, имеющие смысл интенсивностей вероятностей перехода потока из состояния V в состояние к; йк - вероятность того, что в момент перехода цепи Маркова из состояния V в состояние к наступает ещё одно событие. [1, с. 159]

Будем считать, что продолжительности обслуживания заявки на первой, второй и третьей фазах являются независимыми случайными величинами ть т2, т3, имеющими заданные функции распределения, одинаковые для всех приборов одной фазы, которые обозначим Б\(х), В2(х) и В3(х) соответственно.

Завершив обслуживание на первой фазе, заявка с вероятностью г1 переходит на вторую фазу, то есть с указанной вероятностью с потенциальным клиентом компании будет заключён договор страхования или с вероятностью 1 - г1 заявка покидает систему. Закончив обслуживание на второй фазе, заявка с вероятностью г2 переходит на третью фазу, что соответствует ситуации, когда клиент компании, выплачивающий страховые взносы, начинает получать пенсионные выплаты или с вероятностью 1 - г2 заявка покидает систему, то есть клиент не доживает до пенсионного возраста. Закончив обслуживание на третьей фазе, заявка покидает систему (рис.). Под окончанием обслуживания мы понимаем смерть застрахованного или окончание срока действия договора.

Р{т(/ + Л/) = т + 1| т(/ ) = т,

Щ ) = V} = Х„Л/ + о(Л/) ,

Р{т(/ + Л/) > т + 1| т(/ ) = т, к(/ ) = V} = о(Л/) , Р{т(/ + Л/) = т + 1, к(/ + Л/) = V | т(/ ) = т,

к(/ ) = V} = к Л/ + о(Л/) ,

Р{т(/ + Л/) = т, к(/ + Л/) = V | т(/ ) = т, к(/ ) = к} = (1 - ^к^к Л/ + о(Л/) ,

здесь т( ) - число событий рассматриваемого потока, наступивших за время ; 0 - условные интенсив-

ности наступления событий в потоке в течение пребывания цепи Маркова в состоянии к; qvk - элементы

М

АР

Рис. Трехфазная система обслуживания с неограниченным числом приборов

Обозначим 4 - число заявок, находящихся на обслуживании на к-ой фазе, и рассмотрим трёхмерный случайный процесс изменения во времени величин /к, то есть процесс {(О, ¿г(0, г'з(0}. Для исследования данного процесса применим метод просеянного потока. В настоящее время метод просеянного потока применяется преимущественно для исследования потоков случайных событий [2, 3] и однофазных систем массового обслуживания [3, 4]. Использование метода просеянного потока для исследования многофазных систем массового обслуживания с простейшим входящим потоком приведены в [5; 6; 7].

2. Метод просеянного потока

Для выделения интересующих нас «просеянных» заявок поступим следующим образом. Зафиксируем некоторый момент времени ^ и, для определённости, будем считать, что ^ = 0. Полагаем, что заявка входящего потока, поступившая в систему в момент времени ? < ?1 = 0, с вероятностью 51 (?) = 1 - Б1 (-?) формирует событие первого просеянного потока и в момент времени ?1 будет находиться в системе на первой фазе обслуживания, а с вероятностями г152(?) и г1г253(?), значения которых определим ниже, формирует события второго или третьего просеянных потоков и в момент времени ?1 будет находиться в системе на второй или третьей фазе обслуживания соответственно. Заявки, не попавшие в просеянные потоки, завершат обслуживание и покинут систему до момента ?1.

Обозначим пк(?) - число событий к-го просеянного потока. Если в некоторый начальный момент времени ?0 < ?1 система была пуста, то в момент времени ?1 выполняются равенства:

11 (?1) = п1 (?1), I = 1, 2, 3.

Определим, с какой вероятностью заявка, поступающая в момент времени ? < ?^ формирует событие второго просеянного потока. Очевидно, что в этом случае значение случайной величины т1 +т2 - суммарного времени пребывания заявки в системе должно быть больше -?. Учитывая, что за время -? должно быть завершено обслуживание на первой фазе, получаем:

^2 (?) = Р(Ъ < -?, Т1 +Тг > -?) =

-?

= | Р (у <7 < у + Зу, у + г2 >Ч)ёу =

0

- ?

= | Р(у <7 < у + Зу)Р(г2 > -(? + у))Зу =

0 - ?

= | [1 - б2{-(?+у))] Б у).

0

Далее найдем величину 53(?), определяющую вместе с г1 и г2 вероятность того, что поступившая заявка формирует событие третьего просеянного потока. Рассуждая аналогично предыдущему случаю, получаем:

53 (?) = Р(т1 + г2 < -?,7 + г2 + 73 > -?) =

-?

= | Р(у <7 +7 < у + Зу, у + Т3 > -?)Зу =

0

- ?

= | Р(у <7 + 7 < у + 40Р(т-3 > -(? + у))Зу =

0

-?

| [1 - Б3(-(? + у))] ЗБТ1+Г2( х),

0

где БТ] +7(х) - функция распределения случайной величины + 72, Б^ (х) = |Б1(х-у)ЗБ2(у).

0

Для распределения вероятностей

Р(к, п1, п2, п3) = Р{к (?) = к, п1 (?) = п1, п2(?) = п2, п3(?) = п3} система дифференциальных уравнений Колмогорова имеет вид:

дР(к, щ, п2, щ, ?) = д? =Л-51(?) (Р(к, п-1, п, «3, ?) - Р(к, п, п2, «3, ?)) +

+Хкг152 (?)(Р(к, п1, п2 -1, п3, ?) - Р(к, п1, п2, п3, ?))+

+г53 (?) (Р(к, ^, пг, п3 -1, ?)- Р(к, п, п^ п,, ?)) +

+9kkP(k, nl, n2, ^ 0 +

+Б?*к {Р(у, п1, п2, п» ?) + <4 [ 51(?)(Р(у, п1 -1, п2, п>, ?) -

у£к

-Р(у, п, п, п3, ?)) + +^1^2 (?) (Р(у, п1, п2 -1, п3, ?) - Р(у, п1, п2, п3, ?)) + + ГГ 53 (?) (Р(у, п1, п2, п3 -1, ?) - Р(у, п, п2, п3, ?))]}.

Полагая, что ёкк = 0, эту систему можно записать следующим образом:

% ^^ = ^ ^ Р - Р«2, «3,*) -Р(к, «1, «2,«3,0) +

+ ^ кГ^2 ( ){Р(к, «1, «2 - 1, «3, *) - Р(к, «1, «2, «3, *)) + + ^кг1г2^3 (0р(к, «1, «2, «3 -1, 0 - Р(к, «1, «2, «3, о) + +Х 4* {Р(у, «1, «2, «3, *) + ¿Л [ ^ (*)(Р(у, «1 - 1, «2, «3, *) - Р(^, «1, «2, «3, *)) +

V

+ Г1^2

Обозначив

Н (к, Щ, и2, и3, г) = ^ в}пи + ]пи + ^ Р(к, п1, п2, п3, г),

Щ =0, П2 =0,

Пз = 0

из (1) получим задачу Коши:

дН(к,^Uз,г) = *Н(к,и1,и2,из,о^гх^1 -1) + ^(г)^2 -1) + дг

+ Г1Г2(г)(г]щ -1) + ^[1 + [ & (г)[ -1) + Г1^2 (г)(е-и -1) + Г1Г2(гх^3 - 1)]

V

Н(к,и1,и2,и3, г0) = ^(к) .

Запишем эту задачу в матричном виде:

Uз, г) = H(u1, u2, из, г)[0 + (^!(г )(е',и1 - 1) + Г\Б 2 (г )(е]иг - 1;) + ГХГ2 Бз(г )(еУЩ - 1^

дг

Н

где Н(и1,и2,и3,г) = {Н(1,и1,и2,и3,г),Н(2,и1,и2,и3,г),...}; Я = {^(1),^(2),...} - вектор-строка стационарного распределения управляющей цепи Маркова; В - матрица с элементами Хк на главной диагонали и элементами ^^к вне главной диагонали.

Задачу (2), определяющую характеристики рассматриваемой системы обслуживания, будем решать в асимптотическом условии растущего времени обслуживания, полагая, что Ь (I = 1, 2, 3), здесь Ь - среднее зна-

чение времени обслуживания на 1-ой фазе. При этом Ь1/Ь1 = ql, где - некоторые положительные конечные величины.

3. Асимптотика первого порядка

Обозначив 1/Ь1 = е, 1/Ьг = еql, выполним следующие замены: гг = т, г0е = т0, Б1 (г) = (т) (I = 1, 2, 3), и1 = ех,

и2 = еу, и3 = ех, Н(и1, и2, и3, г) = Р(х, у, х, т, е), в результате чего получим для Р(х, у, х, т, е) следующую систему уравнений:

е ЩX, ддтX, T, 8) = Р

Докажем следующее утверждение.

Теорема 1.

Если существует предел Нш Г(х, у, х, т, е) = Г(х, у, х, т), то

jXKj J SJ (v)dv + jyKJ JrJS'* (v)dv + jzKj Jrjr2S3* (v)dv

F(x, y, z, t) = R exp где величина к1 определена равенством

к1 =RBE, 5)

в котором Е - единичный вектор-столбец.

Доказательство:

Выполнив в системе (3) предельный переход при £ ^ 0, получим, что F(x, y, z, т) является решением однородной системы линейных алгебраических уравнений F(x, y, z, t)Q = 0, поэтому ее решение имеет вид:

F

в котором скалярную функцию Ф(x, y, z, т) определим следующим образом. Суммируя все уравнения системы (3), запишем:

е E = F( x, y, z, ^ g) js* (T)(eJSX _j) + ris2 (T)(ejSy _j) + rjr2 S3* (T)(ejSz _ j)JBE.

ST

Поделим левую и правую части равенства на £ и, полагая £ ^ 0, получим, что для F(x, y, z, т) выполняется равенство

SF( x,Sy’z, T) e = F( x, y, z, T)jJxSj* (t)+jyrJS2* (t) + Jzrir2 s3* (T)]BE,

ST

подставляя в которое выражение (4) и принимая во внимание равенство (5) и то, что RE = 1, получим для функции Ф^, y, z, т) систему:

дФ( х,у, г, т) = ф( х у' ^ т)[7хКі5'* (т) + ¿уг^Б * (т) + ]ггхгг ^ (т)], от

решение которой при начальном условии Ф(х, у, х, т0) = 1 имеет вид:

Ф( х, у, г, т) = ехр

¿хк115* (у)сЬ + 7ук1г11 £* (у)^ + ¿гк1г1г21 $3 (у)^

Подставляя это выражение в (6), получим равенство (4).

Теорема доказана.

В силу произведенной замены переменных из равенства (4) можно записать асимптотическое равенство при

е ——0

Н(и1,и2,и3,г) = Е(х,у,х,т,е) « Е(х,у,х,т) =

= Я ехр

= Я ехр

.МК | 5 (у)ау + ¿«2 К1Г11 52( уМу + и К1ГГ215з (у^у

При г = г1 = 0 для характеристической функции процесса {/Ч (г), /2(г), /з(г)} в стационарном режиме функционирования системы получим:

0 0 0 _ /и1к1 1^(у^у+7и2к1г 1^(у^у + ^|^3(у)^у .

Ме

,(і)и1 + .¿2(Ои2+]із()из _

= Н(и1, и2, и3,0)Е = ехр

Полученное равенство будем называть асимптотикой первого порядка для рассматриваемой системы обслуживания.

4. Асимптотика второго порядка

Решение Н(и1, и2, и3, г) задачи (2) запишем в виде произведения

Н(и1, и2, «3, і) = Н 2(и1, и2, и3, і )ехр

¿и1к11S1(у)dv + ¿и2 к1г11 Б2(у)ёу + ¿и3 к1г1г2153(у)dу

подставляя которое в (2), получим систему уравнений для Н 2 (и1, «2, и3, і) в виде

Н 2

дг

= Н2К,и2,и3,г)Н + {)(е/и1 -1) + гН«)(еп -1) + гг283(1 )(в]и3 - 1)]в}.

Следовательно, Н 2 (и1, и2, и3, г) является решением системы

дН2(U1,U2,Uз,г) = Н2(и1,и2,и3,г){0 + - 1)В - 7'и1к11]+ ^(ОК/ - 1)В - /и2к11] +

+ Г1Г283(0[(/ - 1)В - /и3К11]},

где I - единичная диагональная матрица.

Обозначив 1/Ь1 = е2, 1/Ь/ = е2q¡, в системе (8) выполним следующие замены:

ге2 = т, г0е2 = т0, 81 (г) = 8* (т), г182 (г) = 82 (т), г1г2 83 (г) = 83 (т), и1 = ех, и2 = еу, и3 = ех,

Н2(и1, и2, и3, г) = Р2(х, у, х, т, е).

В результате этих преобразований получаем систему уравнений для Р2(х, у, х, т, е):

^2 дF2(х, у, х, т, е) _

Є

Эт

Ж2(х, у, 2, т, є){0+5* (і)[(е/є: -1)Б - ¿єхКіі]+^(О^ -1)В - ¿укД+5*(і)[(е,^єг -1)Б - ¿гкд}.

?+<

Докажем следующие утверждение.

Теорема 2.

Если существует предел

lim F2 (х, y, z, т, e) = F2 (x, y, z, t) .

e^ü

то

F2( x, y, z, t) = Rexp

Kj I S*(v)dv + 2k2 I [s*(v)] dv + (jy) Kj | S2*(v)dv + 2k2 |[s2(v)] dv

T Tri

kj | S3* (v)dv + 2k21 [S3* (v)] dv

+ 2 j 2 K2

l l l xy | S* (v)S2* (v)dv + xz | S* (v)S3* (v)dv + yz | S* (v)S3* (v)dv

где величина к2 определяется равенством

к2 = f2(B - kjI)E ,

’2 V ‘'У “г ^3 V '-J\ ‘2 V-“ _

Выполняя предельный переход при е ^ 0, получаем, что вектор ¡2 является решением неоднородной системы линейных алгебраических уравнений (13).

Для нахождения скалярной функции Ф 2 (х, у, х, т) просуммируем все уравнения системы (10):

е2 д^(^у^x,е) Е = F2(х,у,х,т,е){[н;(х)(е/ех -1) + Б’(т)(/ -1) + -1)]В -

а вектор ¡2 является решением неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

¡20 + ЩВ - к11) = 0 .

Доказательство:

Решение F2 (х, у, х, т) системы (10) запишем в виде разложения

F2(x, у, х, т, е) = Ф2 (х, у, х, т){я+/е[хН*(т) + у8*(т) + хБ* (т)]^2}+°(е2) ,

подставив которое в (10), получим

о(е2) = Ф 2 (х, у, х, т){/е[х81* (т) + уБ’ (т) + х83* (т)]я(В - к11) +

+ /е[х81*(т) + уБ 2*(т) + хБ 3 (т)]] + (/е)2[х51’(т) + уХ;(,) + х,5’(,)]= Г2(В - к,1)}

5т

- jKie[xS*(т) + yS2*(т) + zS3*(т)]1^ •

Используя разложение ejea -1 = jea +

+ o(e) , можно записать

^2 5F2

5t

E = F2 (x, y, z, t, e ){jsxS* (t) + jeyS* (t) + jezS3* (t)](B - Kjl) +

+

ВЖ + o(e ) •

2 2 2 Подставляя разложение (14) функции F2(x, у, х, т, е) в последнее равенство, получим:

е2 дФ2(х^ X, ^ е) Е = Ф2 (х, у, х, т){/ех8’ (т) + /еуБ’(т) + /ехН’(т)]я(В - кД)Е +

rbe +

222

+ (/е)2(т) + уБ’(т) + хБЗ’(т))2f2(В - К11)Е}+ о(е2).

Так как в силу (13) ЩВ - к11)Е = 0, то, выполняя предельный переход при е ^ 0, получаем, что с учетом обозначений (5) и (12) функция Ф2(х,у,х,т) является решением системы:

дФ2( g|т’,^т) = Ф2(х,у,х,т){^(К1Б’(т) + 2к2Б’2(т))+У2-(к^Б’(т) + 2к2Б2’2(т))+

+ (кЛ*(т) + 2к2Б3’2 (т))+ 2/2к2 (хуБ’(т)Б’(т) + ххБ’(т)Б’(т) + ухБ’(т)Б’(т))},

откуда следует, что

+

2

V “0

+

2

2

Ф 2 (х, у, х, т) = ехр

к11 Б’^сУ + 2к21 [’(„)] ¿V + (/У) к1/ Б’(„)С„ + 2к2 ^ [5’2 (V)] ¿V

+

2

т ^ \ / т т т

к11Б’(„)С„ + 2к2/[’(у)]2¿V + 2/2к2 ху|Б’С^Б’^сУ + хх/Б’^Б’^Су + ух/Б2’(„)Б3’(„)С„

\ 10 10 / \ 10 10 10

Подставляя найденное выражение для Ф2(х,у, х,т) в (14), при е ^ 0 получим равенство (11).

Теорема доказана.

В силу замен (9) и выражения (11) для Н2(и1, и2, и3, г) можно записать асимптотическое (приближенное) равенство

Н 2(и1,и2, и3, г) =

= Яехр

(

к11Б1 (v)Су + 2к 21 [ („)]2 С„

Л

+

(

к1г11Б2 (у)С„ + 2к2г121 [2 (у)]2 Су

Л

+

г1г2 к11Б3 („)С„ + 2к2 (г1г2 )2 | [Б3(у)]2

V г0

I I I

и1и2г11Б1 (у)Б2 (у)С„ + и1и3г1г21Б1 („)Б3 („)сУ + и2и3г12г2/Б2 („)Б3 („)С„

Тогда в силу равенства (7) имеем

= Я ехр

Н(и1, и2, и3, г) =

г г г -Л ( г г

/и1к11 Б1(„)С„ + /и2 к1г | Б2(„)С„ + /и3 к1г1г2/ Б3(„)С„ +------------1— к1/ Б1(у)^у + 2к2 |[Б1(у)]2 Су

к1г11 Б2(„)С„ + 2к2 г12 /[Б2(„)]2 ¿V

Л ( . )2 (

+

2

г1г2 к11Б3 (у)Су + 2к 2 (г1г2 )21 [[ (V)]2 Су

2^ 3

V г0

+ 2] к;

( / * и1и2г11Б1 (у)Б2 (у)Су + и1и3г1г2/Б1 („)Б3 (у)СУ + и2и3г12г2/Б2 („)Б3 („)С„

При г = г1 = 0 для характеристической функции процесса {/^(г), /2(г), /3(г)} в стационарном режиме функционирования системы получим:

Мел(> )и1+)и2+Л(/)и3 = Н (и15 и 2, и3,0)Е =

= ехр

/и1к11Б1 (у)Су + /и2к1г |Б2 (у)СУ + /и3к1г1г2/Б3 („)С„

(/и1):

( 0

к11 Б1(у)Су + 2к 2 № 1(у)СУ]2

Л

( /и2)'

0

к1г11Б 2 („)С„ + 2к2г12 /[Б 2 (V)]2 Су

(/и3)2

+ 2 /' к 2

и1и2уг1 / Б1 („)Б2 (у)С„ + и1и3г1г2 / Б1 („)Б3 („)С„ + и2и3г12г2 / Б2 („)Б3 („)сУ

Полученное равенство будем называть асимптотикой второго порядка для рассматриваемой системы обслуживания.

Следовательно, для маргинальных характеристических функций процессов /1(г), /2(г) и /3(г) в стационарном режиме можно записать:

Н1 (и1) = ыещ'-{‘) = ехр] /и1к1 / Б1 („)С„

(Л)2

к2(и2) = Ме/и2/2(г) = ехр< /и 2 к1г1 / Б2(„)сУ +

(/и2)2

й3

= ехр] /и3к1г1г2 / 83(„)С„ +

К1 /81 („)С„ + 2к2 / [ (у)]2 Су

-X -х

0 0

к1г1 / Б2(у)Су + 2к 2 г1 (у)]2 Су

0 0 "

к/г / 83(„)С„ + 2к2Г12Г2 2/[Б 3 (у)]2 ¿у

+

2

0

0

2

2

0

0

+

+

2

+

0

+

+

2

0

+

+

2

2

+

2

2

Заключение

В данной работе рассмотрена трёхфазная система массового обслуживания с неограниченным числом приборов и входящим МАР-потоком. С помощью метода просеянного потока удалось записать систему дифференциальных уравнений Колмогорова. Система уравнений решена с использованием метода асимпто-

тического анализа в условии растущего времени обслуживания. Найдена асимптотика первого и второго порядков для характеристической функции числа занятых приборов.

Литература

1. Назаров, А. А. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания / А. А. Назаров, С. П. Моисеева. - Томск: Изд-во НТЛ, 2006. - 112 с.

2. Назаров, А. А. Асимптотический анализ выходящего потока системы MAP|GI| / А. А. Назаров, И. Л. Ла-патин // Известия Томского политехнического университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2009. - Т. 315. - № 5. - С. 191 - 195.

3. Назаров, А. А. Исследование выходящего потока системы GI | GI | методом просеянного потока / А. А. Назаров, И. Л. Лапатин // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2009. - № 4 (9). - С. 59 - 66.

4. Назаров, А. А. Исследование системы MMP/GI методом просеянного потока / А. А. Назаров, И. А. Семенова // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 201J. - № 4(17). - С. 74 - 84.

5. Моисеева, С. П. Исследование системы МАР(2)^12| методом просеянного потока / С. П. Моисеева, И. А. Синякова // Вестник Кемеровского государственного университета. - № 1 (49). - 2012. - С. 47 - 52.

6. Гарайшина, И. Р. Применение немарковской трехфазной СМО для моделирования процессов пенсионного страхования / И. Р. Гарайшина, М. С. Лобова, А. А. Назаров // Научное творчество молодежи: материалы XVI Всероссийской научно-практической конференции (17 - 18 мая 2012 г.). - Электрон. дан. (5,3 Мб). - Анжеро-Судженск, 2012. - Ч. 1. - 1 электрон. опт. диск (CD-R). - С. 11 - 15.

7. Гарайшина, И. Р. Исследование многофазных систем массового обслуживания с простейшим входящим потоком / И. Р. Гарайшина, А. А. Назаров // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур: материалы IX Российской конференции с международным участием. - Томск: Изд-во НТЛ, 20j2. -С. 81 - 82.

Информация об авторах:

Гарайшина Ирина Рашитовна - кандидат физико-математических наук, доцент; заместитель директора по научной работе инновациям и информатизации АСФ КемГУ, garayshina@ngs.ru.

Irina R. Garayshina - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Deputy Director for Science , Innovation and Informatization, Anzhero-Sudzhensk branch of Kemerovo State University.

Лобова Мария Сергеевна - аспирант КемГУ, ассистент кафедры математики АСФ КемГУ, 8-905-070-6460; lobova ms@mail.ru

Maria S. Lobova - post-graduate at Kemerovo State University; Lecturer at the Department of Mathematics, Anzhero-Sudzhensk branch of Kemerovo State University.

Назаров Анатолий Андреевич - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой теории вероятностей и математической статистики ТГУ, anazarov@ipmk.tsu.ru.

Anatoly A. Nazarov - Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department of Probability Theory and Mathematical Statistics, Tomsk State University.