Сравнение использования поколенческой стратегии в моделях Голдберга и Холланда при решении однородной минимаксной задачи

УДК 681.3.681.5 й01 10.12737/5708

Сравнение использования поколенческой стратегии в моделях Голдберга и Холланда

V V *

при решении однородной минимаксной задачи Н. И. Троцюк, В. Г. Кобак

Представлен сравнительный анализ эффективности классических моделей Голдберга и Холланда и их модификаций, использующих различные варианты поколенческой стратегии. В классических генетических алгоритмах используется концепция, предполагающая, что количество особей в поколении не изменяется. Рассмотрен подход, позволяющий повысить эффективность работы стандартных моделей Голдберга и Холланда за счёт варьирования количества особей в поколении. Различные варианты поколенческой стратегии применены для решения однородной минимаксной задачи теории расписаний, относящейся к классу МР-полных задач. Проведённый вычислительный эксперимент для различного количества процессоров и работ показал, что данный подход позволяет значительно повысить эффективность работы генетических алгоритмов путём малых изменений стандартных моделей, позволяя получать решение, более близкое к точному. Ключевые слова: генетические алгоритмы, модель Голдберга, модель Холланда, МР-полные задачи, поко-ленческая стратегия, теория расписаний.

Введение. Теория расписаний — раздел дискретной математики, занимающийся проблемами упорядочения. Существуют различные варианты задач теории расписаний. Часть из них является NP-полными. NP-полные задачи образуют подмножество типовых задач в классе NP, к которым можно свести любую другую задачу из этого класса полиномиально быстрым алгоритмом решения [1, 8, 9]. В различных областях дискретной математики, комбинаторики и логики известно множество задач, принадлежащих к классу NP-полных задач. Для этих задач не найдены полиномиальные алгоритмы. Однако и не доказано, что таких алгоритмов не существует. Нахождение точного решения для задачи из класса NP-полных является практически невыполнимым. Поэтому для таких задач разрабатываются различные методы, позволяющие получить приближённое решение.

Постановка задачи. В данной работе рассмотрена однородная минимаксная задача, которая относится к классу NP-полных задач. Математическая постановка задачи описана в работах [1, 2, 10]. Для её решения существуют различные методы: списочные; точные, основанные на идее метода ветвей и границ; генетические, которые занимают промежуточное место между списочными и точными методами. Получение точного решения возможно только для малого количества заданий и приборов, а при большом количестве использование данного метода крайне затруднительно. Поэтому большое значение приобретает нахождение субоптимальных решений, которые получаются с помощью различных генетических моделей.

Генетические алгоритмы. Для решения поставленной задачи в данной работе подробно рассматриваются модификации моделей Холланда и Голдберга.

Модель Холланда можно отразить в виде последовательности следующих шагов:

Шаг 1. Формируется начальное поколение, состоящее из заданного числа особей.

Шаг 2. Пропорциональный отбор особей и применение генетических алгоритмов (ГА) операторов кроссовера и мутации с заданной вероятностью для создания нового поколения.

Шаг 3. Проверка условия конца работы алгоритма, которая обычно заключается в неизменности лучшего решения в течение заданного числа поколений. Если проверка прошла неуспешно, то происходит переход на шаг 2.

Шаг 4. Лучшая особь выбирается как найденное решение.

*

Работа выполнена в рамках инициативной НИР.

Модель Голдберга можно отразить в виде последовательности следующих шагов:

Шаг 1. Формируется начальное поколение, состоящее из заданного числа особей.

Шаг 2. Турнирный отбор особей и применение ГА операторов кроссовера и мутации с заданной вероятностью для создания нового поколения.

Шаг 3. Проверка условия конца работы алгоритма, которая обычно заключается в неизменности лучшего решения в течение заданного числа поколений. Если проверка прошла неуспешно, то переход на шаг 2.

Шаг 4. Лучшая особь выбирается как найденное решение [3, 5, 6].

к

Рис. 1. Схема поколенческой стратегии 1-2 к

к

к

Рис. 2. Схема поколенческой стратегии 1-2-3

139

Поколенческая стратегия. Из [4, 7] известно, что иногда полезно варьировать размер популяции, то есть количество особей может быть не только постоянным, но и переменным. Применительно к рассматриваемой задаче в модификациях алгоритмов Холланда и Голдберга были использованы базовые изменения количества особей в поколении по следующим схемам:

Схема поколенческой стратегии формирования нового поколения 1-2:

1) В первом поколении задавалось количество особей к.

2) Во втором поколении генерировалось в два раза больше особей, чем в первом поколении.

3) В третьем поколении происходил возврат к исходному количеству особей к.

Процесс продолжался до тех пор, пока значение критерия не повторилось заданное количество раз.

Таблица 1

Результаты эксперимента

N M Алгоритм 1 Алгоритм 2 Алгоритм 3 Алгоритм 4 Алгоритм 5

Tmax среднее t

2 23 285,86 0,476 285,43 0,683 285,58 0,898 285,05 1,412 284,95 2,39

71 873,06 0,567 872,52 0,842 871,97 1,18 871,94 2,013 872,24 3,706

131 1606,36 0,711 1605,64 1,133 1605,73 1,54 1605,3 2,635 1605,04 5,451

231 2830,66 1,777 2830,02 3,023 2830,19 4,154 2829,94 7,431 2829,76 16,069

3 23 193,03 0,497 192,89 0,724 192,3 0,967 192,09 1,509 191,92 2,57

71 586,68 1,473 585,52 2,278 585,23 2,94 584,55 4,528 584,22 8,568

131 1077,23 1,001 1075,86 1,504 1076,22 2,065 1075,34 3,407 1075,37 6,851

231 1892,38 1,331 1891,16 2,123 1890,57 3,048 1890,24 5,01 1889,69 10,564

4 23 149,9 0,709 148,02 1,01 147,86 1,245 147,67 2,08 147,99 3,216

71 446,7 0,928 444,22 1,381 444,2 1,783 443,18 2,872 443,27 5,332

131 813,72 1,269 813,18 1,914 811,82 2,612 811,9 4,361 811,33 8,362

231 1426,2 1,775 1425,03 2,618 1424,02 3,649 1423,25 6,481 1422,51 14,043

7 23 95,19 0,904 94,41 1,355 94,02 1,686 93,59 2,606 93,45 4,395

71 266,98 1,375 262,11 2,305 262,5 2,888 260,78 4,823 260,06 8,848

131 480,13 1,932 475,02 3,107 474,22 4,33 472,83 6,737 470,38 14,266

231 832,57 2,73 829,73 4,626 825,88 6,227 822,91 11,291 823,92 23,345

11 23 70,88 1,022 69,53 1,58 68,74 2,04 68,1 3,092 66,67 5,836

71 181,53 1,57 178,74 2,62 177,39 3,237 174,71 5,403 174,51 10,687

131 322,57 2,223 318,04 3,739 315,67 5,028 313,43 8,591 310,15 18,915

231 552,27 3,503 545,12 6,524 547,44 7,481 541,91 14,52 536,35 32,471

Схема отражена на рис. 1.

Схема поколенческой стратегии формирования нового поколения 1-2-3: 1) В первом поколении задавалось количество особей к.

2) Во втором поколении генерировалось в два раза больше особей, чем в первом поколении.

3) В третьем поколении генерировалось в три раза больше особей, чем в первом поколении.

4) В четвёртом поколении происходил возврат к исходному количеству особей к.

Процесс продолжался до тех пор, пока значение критерия не повторилось заданное количество раз.

Схема отражена на рис. 2.

Кроме того, для модификаций алгоритмов были использованы схемы поколенческой стратегии 1-2-3-4-5 и 1-2-3-4-5-6-7-8-9, которые отличаются от рассмотренных тем, что возврат к исходному количеству особей происходил соответственно после пятикратного и девятикратного увеличения.

Таблица 2

Результаты эксперимента

N М Алгоритм 6 Алгоритм 7 Алгоритм 8 Алгоритм 9 Алгоритм 10

Tmax среднее t

2 23 286,12 0,223 285,69 0,27 285,02 0,333 284,5 0,492 283,75 0,809

71 874,49 0,298 873,02 0,393 872,51 0,473 871,89 0,689 871,32 1,086

131 1609,01 0,387 1606,78 0,515 1606,11 0,652 1605,08 0,907 1604,49 1,5

231 2834,85 1,198 2831,66 1,48 2831,48 1,727 2829,9 2,527 2828,96 4,034

3 23 195,52 0,234 194,65 0,265 193,46 0,351 192,57 0,523 191,79 0,847

71 594,81 0,641 591,16 0,903 589,17 1,059 587,64 1,569 585,6 2,513

131 1077,23 1,001 1075,86 1,504 1076,22 2,065 1075,34 3,407 1075,37 6,851

231 1910,66 0,747 1907,48 0,957 1904,36 1,213 1898,41 1,635 1894,7 2,674

4 23 155,15 0,269 153,36 0,364 150,66 0,462 150,24 0,657 148,23 1,049

71 460,63 0,425 457,64 0,509 455,3 0,658 451,46 0,917 447,71 1,495

131 837,04 0,531 832,02 0,746 829,94 0,825 824,12 1,303 819,47 2,08

231 1460,77 0,877 1454,65 0,994 1449,31 1,107 1443,37 1,693 1437,93 2,785

7 23 104,29 0,308 102,19 0,384 100,49 0,486 98,88 0,685 98,02 1,097

71 289,77 0,462 287,26 0,62 284,51 0,777 281,57 1,16 277,26 1,781

131 515,07 0,699 510,98 0,846 507,48 1,075 502,25 1,5 495,49 2,426

231 883,9 0,83 876,5 1,186 874,28 1,376 868,29 2,098 859,79 3,289

11 23 77,8 0,316 76,86 0,414 75,83 0,511 75,1 0,733 73,6 1,193

71 206,65 0,493 203,11 0,603 200,5 0,794 198,63 1,186 195,18 1,94

131 357,08 0,688 355,52 0,982 350,04 1,197 344,9 1,635 342,03 2,861

231 601,85 1,039 596,8 1,535 594,45 1,739 587,97 2,565 580,22 3,983

В связи с тем, что аналитически доказать, какой из алгоритмов в среднем лучше невозможно, для оценки алгоритмов был проведён вычислительный эксперимент для различного количества приборов. Количество разных матриц для получения средних значений было выбрано рав-

ным 100. Диапазон параметров (20-30), который может принимать работа при выполнении на процессоре, является одним из самых используемых. Массив работ генерируется случайно из заданного диапазона. Вероятность кроссовера и вероятность мутации — 1 (то есть происходит всегда). Количество поколений до конца работы алгоритма — 10. Начальный размер популяции — 10. Результаты вычислительного эксперимента приведены в табл. 1, 2, где N — количество процессоров, М— количество работ, 7"тах среднее — среднее значение критерия, t(с) — время работы алгоритма в секундах.

Сравниваемые алгоритмы:

Алгоритм 1 — стандартная модель Голдберга.

Алгоритм 2 — модификация модели Голдберга, использующая схему поколенческой стратегии 1-2.

Алгоритм 3 — модификация модели Голдберга, использующая схему поколенческой стратегии 1-2-3.

Алгоритм 4 — модификация модели Голдберга, использующая схему поколенческой стратегии 1-2-3-4-5.

Алгоритм 5 — модификация модели Голдберга, использующая схему поколенческой стратегии 1-2-3-4-5-6-7-8-9.

Алгоритм 6 — стандартная модель Холланда.

Алгоритм 7 — модификация модели Холланда, использующая схему поколенческой стратегии 1-2.

Алгоритм 8 — модификация модели Холланда, использующая схему поколенческой стратегии 1-2-3.

Алгоритм 9 — модификация модели Холланда, использующая схему поколенческой стратегии 1-2-3-4-5.

Алгоритм 10 — модификация модели Холланда, использующая схему поколенческой стратегии 1-2-3-4-5-6-7-8-9.

Выводы. При увеличении количества процессоров и работ повышение количества особей в поколении в модификациях моделей Голдберга и Холланда приводит к улучшению результата.

При сравнительном анализе моделей Холланда и Голдберга (табл. 1, 2) видно, что модификации модели Голдберга дают на 3,5 % результаты лучше, чем модификации модели Холланда, но работают на 76 % дольше.

По сравнению со стандартной моделью, поколенческая стратегия для модели Холланда даёт лучшие результаты, чем для модели Голдберга. Улучшение результатов при использовании поколенческой стратегии для модели Холланда составляет 2,7 %, а для модели Голдберга — 1,5 %. Длительность работы при этом увеличивается на 73 % и на 80,5 % соответственно.

Библиографический список

1. Кобак, В. Г. Сравнительные характеристики модификации модели Холланда при поколенческой стратегии / В. Г. Кобак, Н. И. Троцюк, Б. А. Рожковский // Тр. Сев.-Кавк. фил. Моск. техн. ун-та связи и информатики. — Ростов-на-Дону : ПЦ «Университет» Сев.-Кавк. фил. Моск. техн. ун-та связи и информатики, 2014. — Ч. 1. — С. 319-322.

2. Кобак, В. Г. Сравнительный анализ алгоритмов : генетического с элитой и Крона с генетическим начальным распределением / В. Г. Кобак, Н. И. Троцюк // Мат. методы в технике и технологиях : сб. тр. XXVI междунар. науч. конф. — Саратов, 2013. — Т. 12, ч. 2. — С. 62-64.

3. Кобак, В. Г. Использование поколенческой стратегии модели Голдберга при решении однородной минимаксной задачи / В. Г. Кобак, Н. И. Троцюк // Аспирант. — 2014. — № 2. — С. 62-64.

4. Базы данных. Интеллектуальная обработка информации / В. В. Корнеев [и др.]. — Москва : Нолидж, 2000. — 352 с.

5. Нейдорф, Р. А. Сравнительный анализ эффективности вариантов турнирного отбора генетического алгоритма решения однородных распределительных задач / Р. А. Нейдорф, В. Г. Ко-бак, Д. В. Титов // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2009. — Т. 9, № 3. — С. 410-418.

6. Курейчик, В. М. Генетические алгоритмы и их применение / В. М. Курейчик. — Изд. 2-е, доп. — Таганрог : Изд-во Таганрог. радиотехн. ун-та, 2002. — 242 с.

7. Курейчик, В. М. Генетические алгоритмы / В. М. Курейчик, Л. А. Гладков, В. В. Курейчик. — Москва : Физматлит, 2006. — 319 с.

8. Коффман, Э. Г. Теория расписаний и вычислительные машины / Э. Г. Коффман. — Москва : Наука, 1984. — 336 с.

9. Пашкеев, С. Д. Машинные методы оптимизации в технике связи / С. Д. Пашкеев, И. Р. Менязов, В. Д. Могилевский. — Москва : Связь, 1976. — 250 с.

10. Батищев, Д. И. Генетические алгоритмы решения экстремальных задач / Д. И. Бати-щев. — Воронеж : Воронеж. гос. техн. ун-т, 1995. — 69 с.

Материал поступил в редакцию 03.06.2014.

References

1. Kobak, V. G., Trotsyuk, N. I., Rozhkovskiy, B. A. Sravnitelnyye kharakteristiki modifikatsii modeli Khollanda pri pokolencheskoy strategii. Trudy Severo-Kavkazskogo filiala Moskovskogo tekhnicheskogo universiteta svyazi i informatiki. [Comparative characteristics of Holland model modification under generational strategy. Proc. North Caucasian Branch of Moscow Technical University of Communications and Informatics.] Rostov-on-Don : Publ. Center «Universitet» SKF MTUSI, 2014, part 1, pp. 319-322 (in Russian).

2. Kobak, V. G., Trotsyuk, N. I. Sravnitelnyy analiz algoritmov: geneticheskogo s elitoy i Krona s geneticheskim nachalnym raspredeleniyem. Matematicheskiye metody v tekhnike i tekhnologiyakh : sb. trudov XXVI mezhdunar. nauch. konf. [Comparative analysis of algorithms: genetic one with elite and Crohn's genetic initial distribution. Mathematical Methods in Engineering and Technology : Proc. XXVI Int. Sci. Conf.] Saratov, 2013, vol. 12, part 2, pp. 62-64 (in Russian).

3. Kobak, V. G., Trotsyuk, N. I. Ispolzovaniye pokolencheskoy strategii modeli Goldberga pri reshenii odnorodnoy minimaksnoy zadachi. [Application of Goldberg model generational strategy for homogeneous minimax problem solution.] Aspirant, 2014, no. 2, pp. 62-64 (in Russian).

4. Korneyev, V. V., et al. Bazy dannykh. Intellektualnaya obrabotka informatsii. [Database. Intelligent information processing.] Moscow : Nolidzh, 2000, 352 p. (in Russian).

5. Neydorf, R. A., Kobak, V. G., Titiov, D. V. Sravnitelnyy analiz effektivnosti variantov turnirnogo otbora geneticheskogo algoritma resheniya odnorodnykh raspredelitelnykh zadach. [Comparative analysis of alternative effectiveness of genetic algorithm tournament selection for solving homogeneous allocation problems.] Vestnik of DSTU, 2009, vol. 9, no. 3, pp. 410-418 (in Russian).

6. Kureychik, V. М. Geneticheskiye algoritmy i ikh primeneniye. [Genetic algorithms and their application.] Taganrog : TRTU Publ. House, 2nd red., 2002, 242 p. (in Russian).

7. Kureychik, V. М., Gladkov, L. A., Kureychik, V. V. Geneticheskiye algoritmy. [Genetic algorithms.] Moscow : Fizmatlit, 2006, 319 p. (in Russian).

8. Koffman, E. G. Teoriya raspisaniy i vychislitelnyye mashiny. [Scheduling theory and computers.] Moscow : Nauka, 1984, 336 p. (in Russian).

9. Pashkeyev, S. D., Menyazov, I. R., Mogilevskiy, V. D. Mashinnyye metody optimizatsii v tekhnike svyazi. [Machine optimization techniques in communication technology.] Moscow : Svyaz, 1976, 250 p. (in Russian).

10. Batishchev, D. I. Geneticheskiye algoritmy resheniya ekstremalnykh zadach. [Genetic algorithms for solving extremum problems.] Voronezh : VGTU, 1995, 69 p. (in Russian).

COMPARE OF GENERATIONAL STRATEGY APPLICATION IN GOLDBERG AND HOLLAND MODELS FOR THE HOMOGENEOUS MINIMAX PROBLEM SOLUTION*

N. I. Trotsyuk, V. G. Kobak

The comparative analysis of the effectiveness of Goldberg and Holland's classical models and their modifications using various options of the generational strategy is presented. The concept assuming that the number of individuals in a generation does not change is used in the classical genetic algorithms. An approach advancing the eff--ciency of standard Goldberg and Holland's models through varying the number of individuals in a generation is considered. Various embodiments of the generational strategy are used to solve the homogeneous minimax scheduling problem related to the class of NP-complete problems. The computational experiment conducted for a various number of processors and works has shown that this approach can significantly improve the genetic algorithm efficiency by small changes in the standard models allowing obtain the solution that is closer to the accurate solution. Keywords: genetic algorithms, Goldberg mode, Holland mode, NP-complete problems, generational strategy, scheduling theory.

*

The research is done within the frame of the independent R&D.