Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов с быстроосциллирующими ядрами

МАТЕМАТИКА

УДК 519.64

DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-1

И. В. Бойков, В. А. Есафьева

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ И ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ С БЫСТРООСЦИЛЛИРУЮЩИМИ ЯДРАМИ1

Аннотация.

Актуальность и цели. Существует большое число проблем как в физике и технике, так и непосредственно в различных разделах математики, при исследовании которых возникает необходимость в вычислении интегралов (в том числе сингулярных и гиперсингулярных) от быстроосциллирующих функций. Так как непосредственное вычисление таких интегралов возможно лишь в исключительных случаях, возникает необходимость в разработке приближенных методов. Статья посвящена построению приближенных методов вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов, в ядра которых входят быстро-осциллирующие функции. Особое внимание уделяется построению оптимальных по точности (по порядку) квадратурных формул.

Материалы и методы. В работе представлено два метода вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов с быстроосциллирующими ядрами. Один метод основан на преобразовании упомянутых интегралов к обыкновенным дифференциальным уравнениям и численному решению последних. Второй метод заключается в построении квадратурных формул интерполяционного типа. Для получения оценок снизу погрешности квадратурных формул на классах функций используется метод осреднения по равноотстоящим узлам.

Результаты. Построены оптимальные по точности (по порядку) квадратурные формулы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов

с быстроосциллирующими ядрами на классах функций Гельдера и Wr (M), где r = 1,2,...,M - положительная константа. Представлен алгоритм трансформации сингулярных и гиперсингулярных интегралов в обыкновенные дифференциальные уравнения.

Выводы. Предложены методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов с быстроосциллирующими ядрами, которые могут быть использованы при решении задач физики, техники и вычислительной математики.

Ключевые слова: быстроосциллирующая функция, сингулярные и гиперсингулярные интегралы, оптимальные по точности (по порядку) квадратурные формулы.

I. V. Boykov, V. A. Esafeva

APPROXIMATED METHODS FOR COMPUTATION OF SINGULAR AND HYPERSINGULAR INTEGRALS WITH RAPIDLY OSCILLATING KERNELS

1 Работа поддержана РФФИ, грант 16-01-00594.

Abstract.

Background. There are a lot of problems both in physics and technology, and directly in various sections of mathematics, in the study of which there arises the need for calculating integrals (including singular and hyper-singular) from rapidly oscillating functions. Since direct computation of such integrals is possible only in exceptional cases, it becomes necessary to develop approximate methods. The article is devoted to the construction of approximate methods for calculating singular and hyper-singular integrals, whose kernels include rapidly oscillating functions. Particular attention is paid to constructing quadrature formulas that are optimal in precision (in order).

Materials and methods. The paper presents two methods for calculating singular and hypersingular integrals with rapidly oscillating kernels. One method is based on the transformation of the above-mentioned integrals to ordinary differential equations and the numerical solution of the latter. The second method consists in constructing quadrature formulas of the interpolation type. To obtain lower bounds of the error of quadrature formulas on function classes, we use the method of averaging over equidistant nodes.

Results. There have been built quadrature formulas that are optimal in precision (order) for computing singular and hyper-singular integrals with rapidly oscillating

kernels in Holder function classes and Wr(M), where r = 1,2,...,M - a positive constant. The article introduces the algorithm of transformation of sungular and hyper-singular integrals into regular differential equations.

Conclusions. The paper proposes methods for computing singular and hypersingular integrals with rapidly oscillating kernels that may be applied for problem solving in physics, technology and calculus mathematics.

Key words: rapidly oscillating function, singular and hypersingular integrals, quadrature formulas optimal in precision (order).

Введение

Существует большое число приложений при исследовании которых возникает необходимость в вычислении интегралов (в том числе сингулярные и гиперсингулярные) от быстроосциллирующих функций. Так как непосредственное вычисление таких интегралов возможно лишь в исключительных случаях, возникает необходимость в разработке приближенных методов. Одной из первых книг, непосредственно посвященных приближенному вычислению интегралов от быстроосциллирующих функций (в частности, вычислению коэффициентов Фурье по системе тригонометрических функций), была монография В. К. Задираки [1]. Численным методам вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций более общей природы посвящены статьи [2-4]. В последнее время появились работы, в которых к вычислению регулярных интегралов от быстроосциллирующих функций применяются методы обыкновенных дифференциальных уравнений. Обзор ряда таких методов представлен в статье [5].

Отметим, что один из описанных в [5] методов, а именно метод Левина, применим и к вычислению гиперсингулярных интегралов с быстроосцилли-рующими ядрами.

Предварительно напомним определения сингулярных и гиперсингулярных интегралов.

Рассмотрим интеграл

Уф = Г^^ йт, а < г < Ъ. 3 т-г

a

Известно, что этот интеграл не существует ни в смысле Римана, ни в смысле Лебега. Для того чтобы придать данному интегралу смысл, Коши ввел новый тип интегралов (так называемые интегралы в смысле главного значения по Коши). Исторически введение интегралов в смысле главного значения по Коши является одним из первых методов регуляризации расходящихся интегралов.

Определение 1. Главным значением по Коши особого интеграла

V

Г —Т-йт, а < с < Ъ, называется предел т-с

а

Нш

с-Г // ч b f ™ d X + f Ш d X

J x-c J x-c

В работе [6] Ж. Адамар ввел новый тип особых интегралов. Определение 2. Интеграл вида

Ъ А(х)йх

,(b - x) p+a

при целом р и 0< а <1 определяет величину («конечную часть») рассматриваемого интеграла как предел при х ^ Ъ суммы

X А

-1

а (Ъ - г)р+а (Ъ - X)р+а

если предположить, что А(х) имеет р производных в окрестности точки Ъ . Здесь В( х) - любая функция, на которую налагаются два условия:

а) рассматриваемый предел существует;

б) В(х) имеет по крайней мере р производных в окрестности точки

х=Ъ.

Произвольный выбор В(х) никак не влияет на значение получаемого предела: условие (а) определяет значения (р -1) первых производных от В(х) в точке Ъ, так что произвольный добавочный член в числителе есть

бесконечно малая величина, по меньшей мере порядка (Ъ - х)р .

Замечание. В книге [7] Ж. Адамар увлекательно рассказывает о различных сторонах творческого процесса при решении математических проблем и, в частности, останавливается [7, с. 104] на открытии им гиперсингулярных интегралов.

В статье [8] Л. А. Чикин ввел понятие интеграла в смысле главного значения по Коши - Адамару.

Определение 3. Интегралом

b 9(x)dт

,(x-c)p

a < c < b,

в смысле главного значения Коши - Адамара называется следующий предел:

' ф(т)dт _ -p _ lim

(т - c)p v^0

г ф

J (т-c)p J (т-c)p vp-1

" v ' c+vv '

где ^(у) - некоторая функция, выбранная так, чтобы указанный предел существовал.

Рассмотрим интеграл

1 /

р -1< X <1, р = 1,2,...

Д (х-х)р

Интегралу (1) поставим в соответствие дифференциальное уравнение

^

d т

х(т)е

(т-t)p

в котором X является параметром.

После дифференцирования левой части имеем

'(x)eirog(т) + irog'(т)х(т)ег'^(т) _ ^^

irog

(т-t У

причем достаточно рассмотреть уравнение

х'(т) + irog '(т) x( т) _

f

(х-Х) р

В случае, если удастся найти аналитическое решение уравнения (2), то

f (т)е

irog

^ (т-t У

dт _ jd[x

-1

Отметим, что при решении дифференциального уравнения (2) можно избежать особенности при х = X.

В самом деле, по определению гиперсингулярного интеграла имеем

1 f (т)е^(т) d т

I ^-_ lim

-1 (т - t)p

f (т)е'

irog

j

f (т)е'

irog

-d т +

t+Л

(т-t У

-d т +

Л

p-1

Функция ф(т) имеет непрерывные производные до (p -1) -го порядка

в окрестности нуля и выбирается таким образом, чтобы предел существовал.

Рассматривая в отдельности интегралы, стоящие в правой части формулы (4) и применяя к каждому из них формулу (3), имеем

Г f (T)g'mg(Т)dТ = lim Гx(1)e^(1) - x(t - лУ'Ю*(f+

j /л- _ +\p ^ чП L

-1

(т -1) p

+ x(t + л)е^(г+л) - x(-1)eifflg(-1) + ^

„p-1

Л p-

Функции x(t (Г±л) можно представить в виде суммы:

x(t ± лУ^ (Г±л) = xr(t ± Л)ei(0g (Г±л) + x2(t ± лУю§ (Г±л),

где первое слагаемое стремится к бесконечности при л^ 0, а второе -к конечному пределу. Следовательно,

f f (T)e'mg(T)d 1 = lim Гx(1)e'fflg(Г) -x2(t-л)е^(Г-Л) +

J iT _ +\p ^ v^L

(т-t) p

+ x2(t + r\)ei(üg(t+л) - x(-1)eifflg(-1)"

Так как в предположении, что /(г) еЖр, g (г) еЖр, функция

, Ч Г /(т)е^(т)йт л л гт ^(г)= I- непрерывна при -1 < г < 1 [9], то из (5) следует

-1 (т-г)р

окончательная формула:

Г /(т)е**(Т)йт = х(1)е**(1) -х(-1)^(-1). -1 (т-г)р

Из проведенных выше рассуждений следует, что для вычисления гиперсингулярных интегралов с быстроосциллирующими ядрами можно применять численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Приведем используемые ниже определения и обозначения.

Постановка задачи построения наилучшей квадратурной формулы (к.ф.) принадлежит А. Н. Колмогорову и заключается в следующем. Пусть V - некоторый класс интегрируемых на сегменте [0,1] функций. Рассмотрим к.ф.:

1 п

]/

0 г=1

1

где коэффициенты p* и узлы 0 < xj <... < xn < 1 произвольны. Погрешность к.ф. (1.6) на классе функций Y равна

Rn(Y Pi, xi) = sup I Rn(f, Pi, xi )|. feY

Введем величину £n [Y] = inf Rn (Y,pi,xi). Если существуют коэффи-

Pi ,xi

»¡с »¡с »¡с »¡с

циенты Pi и узлы xi (i = 1,2,.,n), при которых £n(Y) = Rn(Y,Pi,x*), то

* *

к.ф. (6) с весами Pi и узлами xi называется наилучшей (или оптимальной) на классе Y.

Н. С. Бахваловым введены [10] понятия асимптотически оптимальных и оптимальных по порядку пассивных алгоритмов решения задач численного анализа. Другие подходы к определению оптимальных пассивных алгоритмов предложены в книгах [11-13].

**

Следуя [10], к.ф. (6) с весами Pi и узлами xi назовем асимптотически оптимальной или оптимальной по порядку на классе Y, если

Rn (Y, p* , x*) ~ £n (Y) или Rn (Y, p* , x*) n (Y). Напомним, что an ~ ßn

означает, что lim (an / ßn) = 1, а an ^ ßn означает, что A < (an / ßn) < B, где

n—

A, B = const, 0 < A, B <

Перейдем к определению оптимальных алгоритмов вычисления сингулярных интегралов с переменной сингулярностью.

Ограничимся рассмотрением интеграла с ядром Гильберта

1 2л — ^

F Ф = — J Ф(—)^ —-sd —,

0

в котором параметр s принимает любые значения, принадлежащие сегменту [0,2л].

Этот интеграл будем вычислять по к.ф.

n

F Ф = 2 Pk

k=1

с произвольными весами Pk (s) и узлами tk (0 < tk < 2л).

Под погрешностью к.ф. (7) будем понимать величину

Rn(Pk, tk, Ф) = max1 Rn(s, Pk(s), tk, Ф)|.

s

Отметим, что если из контекста ясно, о каком векторе узлов и весов идет речь, то вместо обозначений Rn (s, Pk, tk, Ф) и Rn (Pk, tk, Ф) будем писать соответственно Rn (s, ф) и Rn (ф).

Если Y - некоторый класс заданных на сегменте [0,2л] функций, то

п°л°ЖИм Rn(Pk, tk, Y) = sup Rn(Pk, tk, Ф).

фeY

Обозначим через £п [V] величину £п [V] = inf Яп (Рк, ^к, V), в которой

Рк ¿к

нижняя грань берется по всевозможным п узлам Xк (0 — ^к — 2л) и весам Рк С*), к = 1,2,., п.

* *

Построенную на узлах Хк и весах Рк (э) к.ф. (7) будем, следуя [10], называть оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной по порядку, если Яп(Р*,X*,У) = £п[V], ^(р*,V) ~ £п[V], Яп(Р*,X*, V) П

п £n[V] соответственно.

Аналогичным образом вводится понятие оптимальных, асимптотически оптимальных и оптимальных по порядку квадратурных формул для вычисления гиперсингулярных интегралов.

1. Квадратурные формулы вычисления сингулярных интегралов от быстроосциллирующих функций

В данном разделе исследуются методы вычисления сингулярных интегралов от быстроосциллирующих функций следующих видов:

| —-, X еу,

у

2л

о

где т - натуральное число.

Отметим, что преобразованием Гильберта интеграл (8) сводится к интегралу (9). Поэтому в этом разделе можно ограничиться рассмотрением интеграла (9).

Интеграл (9) будем вычислять по квадратурным формулам вида

N

]=1

Оценим снизу величину погрешности квадратурных формул вида (10) при условии, что фе Н^1).

Для этого обобщим метод построения оптимальных квадратурных формул вычисления сингулярных интегралов, предложенный в [14, 15]. Здесь нужно рассматривать два случая:

1) N — т;

2) N > т.

Вначале остановимся на случае, когда N — т.

Введем узлы tk = 2кл/N, к = 0,1,= 1л/ т, I = 0,1,...,2т. Отметим, что tо = tN ,80 = $2т .

Через V] обозначим узлы, являющиеся объединением узлов tk, к = 0,1,...^-1, м;, 7 =1,2,...,^ , I = 0,1,..,2т -1. Не ограничивая

общности можно считать, что множества узлов t¿, k = 0,1,...,N, w¡, i = 1,2,...,N, s¡ = 0,1,...,2m, не пересекаются. Как будет следовать из приведенных ниже доказательств, при совпадении некоторых из этих узлов оценка снизу величины погрешности квадратурной формулы не уменьшается. Таким образом, можно считать, что число узлов Vj, j = 0,1,.,n -1, равно

n = 2m + 2N.

Обозначим через Ak сегменты Ak =[vk,Vk+1], k = 0,1,...,n -1. Здесь

vn = v0.

Каждому узлу tk, k = 0,1,..., N -1, поставим в соответствие функцию

(sgn(sinms))min(| s -v |,| V+ - s |),se [v¿,vf+1],[vf,v+J с [tj,tj+J, j = k ,k + 1,...,[ N/2] -1; 9k (s) = 1 -(sgn(sin ms))min(| s - v |,| V+ - s |),s e [vf, vf+1],[vf,v+1] с [tj, tj+1], j = k + [N /2] + 1,k + [N /2] + 2,.,N -1; 0,s e [t[N/2]-1, t[N/2}+1]. Тогда

2л — t

(H 9k )(tk) = j 9k (—) sin ma ctg —rf a >

[ N/2]-2tl+k+1 — _ t

> 2 J ф^ (—)sin m— ctg-— d— +

M tl+k 2

N -1 tl+k+1 _ t

+ 2 J ф^ (°)sin m— ctg —>

l=[ N/-]+1 ti+k

[N/2]-2 ,, , ,Jl+k+1 ^ L n(l +1) r . ... .

> 2 ctg—— J | фk(—)ll sin m— | d—-

l=1 N ti+k

N-1 , ^+k+1

ni

+ '

2 ctg N J l Фk (—) ll sin m— | d—.

l=[N/2]+l N ti+k

Осредним предыдущее неравенство по k, k = 0,1,..., N-1. В результате имеем

1 N-1

max (Hф1 )(ti) > — 2 (HФk )(tk) >

0<i<N-1 N ,

k=0

, N-1[N/2]-2 ,, , +k+1 1 хн хл л(1 +1) Г / ч,, •

- N E E Ctg-^ J 1 фк (a)||sln m° 1 da +

Nk=0 1=1 N h+k

1 N-1 N -1 +k+1

+ N E E ctg"77 J 1 Фк(a)||slnma 1 da =

k=0[N/2]+1 ti+k

, [N/2]-2 ,, , 1Ч2л

1 L ^ k(1 + 1W », .. . = N E ctg N J Ф (a)|sinma|da +

i=1 о

N-1 , 2л

1

+

1 E ctg N J Ф* (a) I sin ma | da

N ^ N -l=[ N/2]+1 о

о 2л [N/2]-2 , 1Ч

/!ЧЧ 2 f *....., -Т""! л(1 + 1) = (1 + о(1)) N J 9(a)|sin ma | da £ ctg K '.

о i=1

Здесь 9*(a) = mln(|a-v |,| v,-+1 -a|), ae[v¿,vl44], i = 0,1,..,n.

2л

*

Оценим снизу величину интеграла I ф (a) | sin ma | da при условиях:

о

1) функция ф*^) е Я1(1);

*

2) функция ф (a) неотрицательная;

*

3) функция ф (a) обращается в нуль в точках vk, k = 0,1,...,n -1. Напомним, что множество узлов {vk } объединяет три множества узлов

{tt}, i = 0,1,..,N-1, {wi}, i = 1,2,..,N, и {sj}, j = 0,1,..,2m-1.

Пусть N < m /2. Тогда имеется по крайней мере (2m - 2N) сегментов [si,si+1], в которых отсутствуют узлы из множеств {wi}, i = 1,2,..,N, {ti}, i = 0,1,..,N -1. Назовем такие сегменты отмеченными.

Нетрудно видеть, что в отмеченных сегментах

*

si+1 * si с

J J m2

si si

где s* =(sl + sl+1)/2.

Здесь и всюду ниже через C обозначаются константы, не зависящие от N и m.

Таким образом, при N < m /2 имеем очевидную оценку 2л

C C

í* * C C

I ф (a)|sinma| da- (2m-2N)—2 = —•

m2 m

В случае, когда m / 2 < N < m, необходима более точная оценка. При сделанном выше предположении m / 2 < N < m возможна ситуация, когда в каждом сегменте [5/,ty+i] имеется точка из множества {w¿}, i = 1,2,...,N, или (и) множества {tk}, k = 0,1,..., N. Для определенности будем считать, что это точка из множества {tk }, k = 0,1,..., N.

Рассмотрим вначале случай, когда в некотором сегменте [5/, s¡+i] имеется единственная точка tj из множества {tk}, k = 0,1,...,N, причем

s/ < tj < s/+1.

Нетрудно видеть, что интеграл

5i fi

*

достигает наименьшего значения, когда tj = s/.

Аналогично, если в интервале (s/, s¡+1) имеется p точек

s/ < < < Cp < s1+1 из множества {vj }, j = 0,1,., n -1, то наименьшее

si+1 г *

значение интеграл I ф (a)|sin ma | da достигает при условии равномерного

si

распределения этих точек: s/+1 -Cp = ... = Ck+1 -Cif = ... = C -s¡.

2л

*

Отсюда следует, что минимальное значение интеграл I ф (a)da

0

достигает при равномерном распределении узлов из множества {vj }, j = 0,1,., n -1, в сегментах [s/, s/+1 ], i = 0,1,..., N -1.

Из полученных оценок следует, что при условии m /2 < N < m, в каждом сегменте [s/,s/+1], / = 0,1,...,2m -1, содержится не более одного узла из множеств {tk}, k = 0,1,...,N, и {w;-}, i = 1,2,.,N, не совпадающего с концами сегмента [s/, s/+1].

Следовательно, при условии m / 2 < N < m имеет место оценка

2л с

J ф(a) | sin ma | da > —.

m

0

Таким образом, при N < m имеем оценку

1 1 N-1 k

Rn

mN rr N k=1

Осталось рассмотреть случай, когда N > m.

Каждому узлу Sl, I = 0,1,..,2т, поставим в соответствие функцию ^I определяемую формулой

¥/ (s) =

sgn(sin ms)min min(| s - Vj |,| Vj+1 - s |),s e [sl,si+m_iJ;

j

_sgn(sin ms)min min(| s - Vj |,| j - s |),s e [si+m+1, si+2m+il;

j

0, S e [s/+m-1, si+m+l]-

Оценим интеграл

2л т-1 , +1 si+j+1 | (a)sin та ctg-— d a> ^ctg-— J y(a)|sin та | d a-

2m -1

j=1

sl+j+1

»l+j

V ctg  f y(a) | sin ma | da, m J

m

J=m+1 s.

l+J

здесь

s) = min min((s - v{), (уг+ - s)),s e [0,2л].

0<i<2m

Осредняя предыдущее неравенство по параметру l, l = 0,1,...,2т -1,

имеем

2л

Г / ч • a-s,-

max I (a)sin ma ctg——L d a>

0<i<2m

1

2m-1

2m ^^

l=0

m-1 . + 1 Sl+J+1

Yctg^— f y(a)|sin ma | da +

m

j=1

si+j

2m-2

+

__________sl+j+1

V ctg-. f y(a) | sin ma | da

m

j=m+1 m-1

V'

j=1

2m-2

sl+j

2msl+J+1

1 m—i . + 1 ¿.ni " ' j ' 1

— Yctg^— V f у(a) | sin ma | da-

2m m J

si+J

1 ^m-^ . 2msl+J+1

— V ctg. V f y(a)|sin ma | da =

7 m m J

2m . m , „ j=m+1 l=0 ^+.

1 m-1  + 12л

(1 + o(1))— Vctg^— f y(a)|sinma |d a.

m л m J j =1 0

0

2л

Для оценки интеграла ^ ^(а)|8т та | йа достаточно повторить рас-

суждения, проведенные выше. В результате имеем

2л

C

J ^(а) | sin ma | da > N

Таким образом, при N > т имеем оценку

RN (Н1(1)) > 1>8 -

N т ,Л т к=1

Из оценок (11), (12) следует Теорема 1. Пусть ф(Х) е Н1(1), тогда

Rn ( H-(l)) >

(C 1[Л^]-1 ыы- C 1 m- кп -

mN Jctgn,N - m; Nm Jctgm,m -N

к=1 к =1

Несколько усложняя доказательство, приходим к следующему утверждению.

Теорема 2. Пусть ф(Х) е На (1), 0 < а — 1, тогда

Rn (H а (1)) >

с i m-1 кп

C 1 [ ] кп с i к п

—N J ct§N,N - Jctg _'m - N

ma N к= N Nа m к=1 m

\

.

Оценим снизу величину погрешности квадратурных формул вида (10) на классе функций Жг (1), г = 1,2,. Для краткости приведем доказательство только для случая, когда N — т.

Воспользуемся введенными выше системами узлов {Xк}, к = 0,1,...,#-1; М],] = 1,2,.,N; {^}, к = 0,1,...,2т-1; {V]}, ] = 1,2,...,п, п = 2N + 2т.

Каждому узлу tk, к = 0,1,..., N -1, поставим в соответствие функцию

Фк (s) =

А (s Vi) (Vjs) sgnsinms,sg ,^,vc ,tj

hl

l = к, к +1,..., к + [ N / 2] -1;

-A(s Vl) (vi+1 s) sgnsinms,se [vi,vi+-],[j,vw] с[ty,j], hl

l = к + [и /2] + 1, к + [ N /2] + 2,., к + N-1; 0,se ^к+[N/2]-1],[Ч+[N/2]+!^

hl =\ vl+i-vl Ll = 0,1,.,n

Оценив интеграл

2п

| Ф— (a)sin ma ctg ——— d a

и затем осреднив полученные неравенства по параметру к, к = 0,1,.., N -1, получаем искомую оценку.

Теорема 3. Пусть фе Жг (1). Для всевозможных квадратурных формул вида (10), использующих N узлов, справедлива оценка

Rn [Wr (1)] >

Г с 1[^ —л с 1 [Л^]-1 —Л ш Л

--> ctg—, m < N;--> ctg—, N < m

ъТГ m ¿—i ° ,„,, ' ' Г N ^ nT

N m —=1 m - - —=1

N

Построим квадратурные формулуы для вычисления интегралов вида (9). Аппроксимируем функцию ф(5) полигоном фN (?), построенным по узлам Хк = 2кп / N, к = 0,1,., N.

Интеграл (9) будем вычислять по квадратурной формуле 2л

Погрешность квадратурной формулы (15) оценивается неравенством

I Rn (-,s—, Ф) 1<

N "1tl+1 — - s

Е J (Ф(—)" ФN (—)) sin ma ctg —— da

l=0 t

Рассмотрим два случая:

1) 2т < N;

2) N <2т .

Вначале остановимся на первом случае. Пусть 5 еАу, Дк =[Гк, кц], к = 0,1,., N-1. Оценим интеграл

J =

tl+1

J ^N (—))sin m—ctg ——- da

в предположении, что ] ФI — 1,1,1 +1.

Здесь у N (5) = ф( 5) — ф N (5). Очевидно, у N ({! ) = У N ({!+1) = 0. Нетрудно видеть, что

(1+1

J уN (—))sin m— ctg ——— da

l

l

ч+1

J I ¥ N (a))!lctg

а-s 2л -1 d а<—— max

2Х N

ctg

(l - j-1)л

N

ctg

(j-l-1)л

N

.

Пусть s еА j, j = l. Оценим интеграл

Ч+2

г а — s

j =l i ¥n (a))sin та ctg-d а |.

2

ч -1

Пусть d = min(| fy+2 -s |,| s -fy-i |). Положим d =| s -fy-i |. Предыдущий интеграл представим в виде

4+2 s+d

J ¥ N (a))sin та ctg-d a= J ¥ n (a))sin та ctg-d а-

ч-1

ч -1

+ J ¥n (a))sin та ctg ~~d a = I1 +12.

s+d

Оценим каждый из интегралов I1,12 в отдельности. Нетрудно видеть, что

ti+2

s+d

ctg-

а-s

4л2 л

N2 N

Оценим теперь интеграл I\. Очевидно,

s+d

ht

J ¥ N fa)sin та ctg а—-dа

п-1

<

s+d

J (¥N (а) -¥N (s))sin та ctg

а-s

d а

ч -1

s+d

J ¥n(s)(sinmo-sinms)ctg-da

si -1

Оценим слагаемые 1ц, 112. Нетрудно видеть, что

s+d

1ll ^ J I ¥ N (a)-¥ N (s)|ctg-

h -1

= I11 +112.

а-s

d а<

6л2

N

t

s+d

sl -1

81И то -81И тих

ctg-

а-s

d а<

вп2т

N

2 '

Из неравенств (12)-(23) следует, что

/2 < 8л2/ N.

Из неравенств (18), (24) следует, что при 2т < N справедливо неравенство

С 1п N

Rn (Hi(1)) <-

N

Аналогичным образом доказывается неравенство

С 1п N

Rn (H а (1)) <

N а

Рассмотрим второй случай, когда N < 2т . Пусть 5 еДу, Ак =[Гк, Гк+1], к = 0,1,., N-1.

При оценке интеграла (17) рассмотрим два случая у ФI -1,I,1 + 1 и у = I. Вначале рассмотрим первый случай.

Проведя громоздкие вычисления, можно показать, что наибольшая погрешность достигается на функциях вида

¥ N (и) = (т1п(5 -5, 5г+1 -5 )^п8тш8, 5 е [5-, 5+1], = л/ / т, / = 0,1,...,2т .

Здесь для определенности полагается, что узлы ¿к,к = 0,1,...,N-1, входят в число узлов ^, V = 0,1,..., 2т -1. Тогда

Ji =

l+1 а - s

J у N (a))sin та ctg-d а

<

2п2 (

<-max

mN

С

(l-j + 1)п

N

(j-l + 1)п

N

Рассмотрим случай, когда у = 1,5 е [¿у, ¿у+1]. Пусть одновременно 5 е 5, .^+1 ]. Представим интеграл /1 в виде

Ji <

а s

J у N (а)) sin та ctg-d а

1 -1

sv+2

J у N (а)^т та ctg ——- d а

j+1

J у n (а)^т та ctg-dа

v+2

= J11 + J12 + J13-

Очевидно, С 4—1 lл С,

С 44 lл С,

Jn <—22 ctg— -— ln m, где L = [2m / N] +1; J13 <—— 2 ctg— <— ln m, m2 1=1 mm m2 J=1 mm

Jl2 =

V+2

J (¥n(a) sinrno-fn(s)sinms)ctg

a-s

d a

< С.

m

Проведя выкладки, аналогичные описанным выше, приходим к оценке

< С| —1пN,2т <N;—1пт,N< 2т |.

^ N т )

Из теоремы 1 и неравенств (27), (28) вытекает следующее утверждение. Теорема 4. Для квадратурных формул вида (10), использующих при своем построении N узлов, справедлива оценка

ГС 1[N£]—1 к л N < С 1 m-1 к л < N ^

—— > ctg—,N < m; —— Xctg—, m < N

mN r^ N N m,i m к =1 k=1

<

< RN (Я1(1)) < СI —ln N, 2m < N;—ln m, N < 2m I. N m

Аналогичным образом доказывается

Теорема 5. Для квадратурных формул вида (10), использующих при своем построении N узлов, справедлива оценка

Г С 1[ N£]—1 кл ы<

2 ctg—,N < m;

С 1 m-1 кл

v ma N к=1 N

< Rn (Ha (1)) < С

f

^ m к=1

1

Yctg—,m < N m

<

j \

-ln N ,2m < N;-ln m, N < 2m

Na ma

2. Приближенное вычисление гиперсингулярных интегралов от быстроосциллирующих функций

Гиперсингулярный интеграл

2л

Fq = 1q(a)sin ma ctgp-d a

будем вычислять по квадратурной формуле

N

F Ф = 2 Рк

к=1

на классе функций Wr (1), r > p.

s

V—1

При оценке снизу погрешности квадратурной формулы нужно рассмотреть две возможности:

1) р — четное натуральное число;

2) р- нечетное натуральное число.

Рассмотрим вначале интеграл с четной сингулярностью.

Пусть =2к п /Ы, к = 0,1, . .,Ы —1. Обозначим через [у^ },

j = 0,1,..,« — 1, п = 2Ы + 2т, множество узлов, которое получено

объединением узлов }, к = 0,1, ...,Ы — 1, узлов {^к}, к = 1,..,Ы, и узлов

Sj = п / т, j = 0,1,..,2т — 1.

Введем функцию

*/ ч • л^—Ч У (Уг+1 —5)Г г 1,1 I

Ф = шт А-г-Г+-, 5е [V,-,V,-+х],И- =| — V,- |.

0<г<2 N+2т И-

Константа А выбирается из требования выполнения условия Ф* еЖг (1).

Каждому узлу Xк, к = 0,1,.., N — 1, поставим в соответствие функцию

*

Фк (5) = Ф (т5,

тогда

2л

)(sk ) = J Фк (a)sin ma ctgj

n ^kLd a =

0

N-1l+1 а _ [N/2]-1к+l+1 а _ s V JФк(a)sinmactgp-—da> V J Фк(a)sinmactgp-—da +

l=0 l 2 l=0 tk+i

N-2 %+i+i a _ s

+ Е J Фк (a)sin mactgp-—da>

l=[N/2]+1 tk+i 2

[ N/2]_1 (l + 1)л ¿к+l+1

n (l + 1)Л Г * , ч , .

> V ctg^--— I ф (a)|sin ma | da +

f-o m J

l=0 tk+l

+

N-2 i^ ^+l+1

V ctgp— J ф*^)^ ma | da.

m

I=[ Ы/2]+1 т ^

Осредняя предыдущее неравенство по параметру к, к = 0,1,..,Ы — 1, имеем

N—1

max (Fфj )(sj) > N V (FФк )(sk) >

0<j<N -1 " " Nk=0

1 N -l[ N/2]-1 i + tk+l+1 * -"N2 2 dgP -^ j 9*(a)|sinта|da +

N k=0 l=0 m k l

lk+l

1 N -1 N-2 tk+l+l *

+— 2 2 ctgpim j ф*(а) | sin та | da =

N k=0l=[N/2]+1 m tk+l

1/-1 , л\\[N/2]-1 ,, , 1Ч 2л

2(1 + o(1))L p (l + 1)л r *, 4. .

= —-— 2 ctg p--— I Ф (a)|sin та | da.

N j-i m J

l=0 0

2л

*

Приступим к оценке интеграла I ф (a) | sin та | dа при следующих

0

предположениях:

1) ф*(а) eWr (1);

2) (ф*)(О0ъ) = 0,i = 0,1,...,r -1, k = 0,1,...,«;

*

3) ф (s) неотрицательна на сегменте [0,2л].

Вначале рассмотрим случай, когда N < 2т. Повторяя с рядом существенных усложнений рассуждения, проведенные выше при исследовании сингулярных интегралов, имеем

2л

—

r

I Ф*(a)|sin та | d а-

При 2т < N имеем

о m

2л

*С I ф (a)|sinта| dа--.

J Nr

0

Таким образом, при четном p имеем оценку

( С , [N/2]-1 , С , [N/2]-1 , ^

ÄN(Wr(1)) - —— 2 ctgp —, N< 2т; — — 2 ctgp —, 2т <N

N v тг N k=0 N Nr N k=0 N

Усложняя при р нечетном построения, проделанные выше для р четного, убеждаемся в справедливости оценки

Л

Rn (Wr (1)) >

( с 1 [ Ni2H к л С 1 [ Ni2]"1 к л

1 у ctgр —, N < 2m; -С- — V ctgр —, 2m < N

mr Nk=0 N NrN ¿O N

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 6. Пусть фе Жг (1). Тогда для всевозможных квадратурных формул вида (31), построенных на N +1 узле, справедлива оценка

Библиографический список

1. Задирака, В. К. Теория вычисления преобразования Фурье / В. К. Задирака. -Киев : Наукова думка, 1983. - 216 с.

2. Жилейкин, Я. Б. О погрешности приближенного вычислении интегралов от быстроосциллирующих функций / Я. Б. Жилейкин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1971. - Т. 11, № 1. - С. 263-266.

3. Жилейкин, Я. Б. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосциллирующих функций / Я. Б. Жилейкин, А. Б. Кукаркин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1978. - Т. 18, № 2. - С. 294-301.

4. Литвин, О. Н. О погрешности численного интегрирования быстроосциллирующих функций трех переменных / О. Н. Литвин, О. П. Нечуйвитер // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. - 2013. - Т. 32, № 19 (162). - С. 101-107.

5. Ловецкий, К. П. Сравнение методов вычисления интегралов от быстро осциллирующих функций / К. П. Ловецкий, И. А. Мигаль // Науковедение. - 2015. -Т. 7, № 2. - URL: http//naukovedenie.ru/ PDF / 70TVN315, pdf (доступ свободный). Загл. с экрана. яз. рус. англ. DOI: 10. 15862/ 70TVN 315.

6. Hadamard, J. Leçons sur la Propagation des Ondes et les Equations de l'Hydrodynamique. Herman / J. Hadamard. - Paris, 1903. - 320 p. - (Reprinted by Chelsea. -New York, 1949).

7. Адамар, Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики / Ж. Адамар. - М. : Сов. радио, 1970. - 152 с.

8. Чикин, Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений / Л. А. Чикин // Ученые записки Казанского государственного университета. -1953. - Т. 113, № 10. - С. 57-105.

9. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Ч. II. Гиперсингулярные интегралы / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2009. - 252 с.

10. Бахвалов, Н. С. О свойствах оптимальных методов решения задач математической физики / Н. С. Бахвалов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1970. - Т. 10, № 3. - С. 555-568.

11. Сухарев, А. Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа / А. Г. Сухарев. - М. : Наука, 1989. - 304 с.

12. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики / под ред. К. И. Бабенко. - М. : Наука, 1979. - 196 с.

13. Трауб, Дж. Общая теория оптимальных алгоритмов / Дж. Трауб, Х. Вожьня-ковский. - М. : Мир, 1983. - 382 с.

14. Бойков, И. В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов / И. В. Бойков. - Саратов : Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1983. - 210 с.

15. Бойков, И . В . Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Ч. I. Сингулярные интегралы / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2005. - 360 с.

1. Zadiraka V. K. Teoriya vychisleniya preobrazovaniya Fur'e [The Fourier transform computing theory]. Kiev: Naukova dumka, 1983, 216 p.

References

2. Zhileykin Ya. B. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 1971, vol. 11, no. 1, pp. 263-266.

3. Zhileykin Ya. B., Kukarkin A. B. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 1978, vol. 18, no. 2, pp. 294-301.

4. Litvin O. N., Nechuyviter O. P. Nauchnye vedomosti BelGU. Ser. Matematika. Fizika [Proceedings of BelSU. Series: Mathematics. Physics]. 2013, no. 19 (162), iss. 32, pp. 101-107.

5. Lovetskiy K. P., Migal' I. A. Naukovedenie [Sociology of science]. 2015, vol. 7, no. 2. Available at: http//naukovedenie.ru/ PDF / 70TVN315, pdf (dostup svobodnyy). Zagl. s ekrana. yaz. rus. angl. DOI: 10. 15862/ 70TVN 315.

6. Hadamard J. Lecons sur la Propagation des Ondes et les Equations de l'Hydrodynamique. Herman [Lessons on Wave Propagation and Hydrodynamic Equations. Herman]. Paris, 1903, 320 p. (Reprinted by Chelsea. - New York, 1949).

7. Adamar Zh. Issledovanie psikhologii protsessa izobreteniya v oblasti matematiki [A research of the invention process in the field of mathematics]. Moscow: Sov. radio, 1970, 152 p.

8. Chikin L. A. Uchenye zapiski Kazanskogo gosudarstvennogo universiteta [Proceedings of Kazan State University]. 1953, vol. 113, no. 10, pp. 57-105.

9. Boykov I. V. Priblizhennye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingulyarnykh in-tegralov. Ch. II. Gipersingulyarnye integraly [Approximate methods of computing singular and hyper-singular integrals. Part II. Hyper-singular equations]. Penza: Izd-vo PGU, 2009, 252 p.

10. Bakhvalov N. S. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 1970, vol. 10, no. 3, pp. 555-568.

11. Sukharev A. G. Minimaksnye algoritmy v zadachakh chislennogo analiza [Minimax algorithms in numerical analysis problems]. Moscow: Nauka, 1989, 304 p.

12. Teoreticheskie osnovy i konstruirovanie chislennykh algoritmov zadach matematicheskoy fiziki [Theoretical bases and building of numerical algorithms in problems of mathematical physics]. Ed. by K. I. Babenko. Moscow: Nauka, 1979, 196 p.

13. Traub Dzh., Vozh'nyakovskiy Kh. Obshchaya teoriya optimal'nykh algoritmov [The general theory of optimal algorithms]. Moscow: Mir, 1983, 382 p.

14. Boykov I. V. Optimal'nye po tochnosti algoritmy priblizhennogo vychisleniya singulyarnykh integralov [Pecision-optimal algorithms of approximate numerical computing of singular integrals]. Saratov: Izd-vo Sarat. gos. un-ta, 1983, 210 p.

15. Boykov I. V. Priblizhennye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingulyarnykh integralov. Ch. I. Singulyarnye integraly [Approximate methods of computing singular and hyper-singular integrals. Part I. Singular equations]. Penza: Izd-vo PGU, 2005, 360 p.

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет

E-mail: boikov@pnzgu.ru

Boykov Il'ya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University

Есафьева Виктория Александровна аспирант, Пензенский государственный университет

Esafeva Viktoriya Aleksandrovna Postgraduate student, Penza State University

E-mail: viktoriya.esafieva@gmail.com

УДК 519.64 Бойков, И. В.

Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов с быстроосциллирующими ядрами / И. В. Бойков, В. А. Есафьева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 1 (45). - С. 3-23. - Б01 10.21685/2072-3040-2018-1-1.