О применении разрывного метода Галёркина для решения двумерного уравнения переноса на ортогональной структурированной сетке

ГАЛКИН Д. В., ГОРБЕНКО О. Ю., ЛЕЩАНКИНА Т. М., ПОЗДЯЕВА Н. С., СИДОРЕНКОВА Т.О., ХАЛИКОВА К. К.

О ПРИМЕНЕНИИ РАЗРЫВНОГО МЕТОДА ГАЛЁРКИНА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА НА ОРТОГОНАЛЬНОЙ СТРУКТУРИРОВАННОЙ СЕТКЕ Аннотация. В работе рассмотрена методика решения двумерного уравнения переноса на структурированной ортогональной сетке методом Галёркина с разрывными базисными функциями. Показано, что разработанная методика обладает порядком сходимости выше первого.

Ключевые слова: разрывный метод Галёркина, структурированная сетка, РМГ, RKDG.

GALKIN D. V., GORBENKO O. YU., LESCHANKINA T. M., POZDYAEVA N. S., SIDORENKOVA T. O., KHALIKOVA K. K. APPLYING DISCONTINUOUS GALERKIN METHOD FOR SOLVING TWO-DIMENSIONAL ADVECTION EQUATION ON ORTHOGONAL STRUCTURED GRIDS Abstract. The paper considers RKDG method for solving the advection equation in two-dimensional space using the structured orthogonal grids. The authors demonstrate that the developed method has the convergence order higher than the first.

Keywords: discontinuous Galerkin method, structured grid, DG, RKDG.

Традиционно конечно элементные методы на основе метода Галёркина для решения гиперболических и параболических уравнений строятся на неструктурированных сетках [1; 2]. Но немаловажный интерес представляет использование структурированной ортогональной сетки, в частности, при решении задач на локально-адаптируемых сетках. Рассмотрим двумерное уравнение переноса:

в области П = [О; 1] X [О; 1] с соответствующими начальными и периодическими граничными условиями.

Введем в области П структурированную прямоугольную сетку Гл, и в каждой ячейке Г; зададим базис из пространства полиномов степени не выше К. Приближенное

решение системы (1) в ячейке будем искать в виде [1]:

Коэффициенты в (2) найдем из условия ортогональности всем базисным функциям

невязки, получаемой после подстановки (2) в (1):

Далее получим

к = 0

Обозначив за М матрицу масс, составленную из значений скалярных произведений базисных функций, за £(1/А) - правую часть, получим систему:

Выпишем расчетные формулы для ячейки . Пусть К = 1, рассмотрим следующий базис:

= 1 ,<Р1 =

где (яс,ус) - координаты центра ячейки. Тогда приближенное решение принимает вид:

Подставляя (6) в формулы (3) - (4), получим следующие системы уравнений:

ди*

Дтт

Ит. 77  О - 4у + Яг.  О - Хс) Зхс1у = о

Яг. 17  (У -У.УХЯУ + Д,  (у - ус) сЬс1у = О

Далее получим

Тогда система (4) принимает вид:

Дискретизация по времени осуществляется методом Эйлера, что приводит к явной схеме:

Была выполнена серия расчетов для определения порядка сходимости. Решалось уравнение (1) с начальными условиями следующего вида:

Решив систему (8) получим значение приближенного решения У^.Зная точное решение и уравнения (1) найдем следующие нормы погрешности г = и}1 — и:

\r\dxdy

Порядки сходимости исследуемого метода будем определять по правилу Рунге:

(11) Таблица 1

Порядок сходимости

N \\г\\± 1И12 к, 1fc 2

25 0,010233 0,029926 - -

50 0,002775 0,009574 1,8826694842 1,6442057456

100 0,000762 0,003231 1,8646248686 1,5671410555

200 0,000223 0,001125 1,7727472876 1,5220557492

Представленные результаты показывают, что рассмотренная методика позволяет получать решения с порядком сходимости выше первого на структурированных прямоугольных сетках. Что позволяет сделать вывод о применимости разрывного метода Галеркина для решения задач на блочных структурированных локально-адаптируемых сетках.

ЛИТЕРАТУРА

1. Cockburn B. An Introduction to the Discontinuous Galerkin Method for Convection // Dominated Problems, Advanced Numerical Approximation of Nonlinear Hyperbolic Equations (Lecture Notes in Mathematics). - 1998. - Vol. 1697. - pр. 151-268.

2. Масягин В. Ф., Жалнин Р. В., Тишкин В. Ф. О применении разрывного конечно-элементного метода Галёркина для решения двумерных уравнений диффузионного типа на неструктурированных сетках // Журнал Средневолжского математического общества. - 2013. - Т. 15, № 2. - С. 59-65.