Робастная синхронизация сети взаимосвязанных нелинейных систем с компенсацией возмущений

А

нализ и синтез систем управления

УДК 519.7

РОБАСТНАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ СЕТИ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С КОМПЕНСАЦИЕЙ ВОЗМУЩЕНИЙ1

И.Б. Фуртат

Предложен алгоритм робастной синхронизации сети по выходу взаимосвязанных динамических подсистем с ведущей подсистемой (лидером). Рассмотрена динамическая сеть с переменной структурой, в которой математическая модель каждой подсистемы (за исключением ведущей) описывается структурно неопределенным дифференциальным уравнением с одним нелинейным липшицевым членом. Подсистемы сети подвержены действию внутренних и внешних неконтролируемых возмущений. Получен алгоритм децентрализованного управления, обеспечивающий синхронизацию сети и компенсирующий неизвестные возмущения с требуемой точностью.

Ключевые слова: робастное управление, синхронизация сети, компенсация возмущений, наблюдатель производных.

ВВЕДЕНИЕ

В последнее время наблюдается повышенный интерес к кооперативному управлению различного рода объектами во многих областях науки и техники: биологии, физике, робототехнике, телекоммуникационных сетях и др. Один из способов управления сложными взаимосвязанными системами, среди которых есть ведущая подсистема (лидер), заключается в синхронизации, принцип которой состоит в поиске регуляторов, обеспечивающих сближение решения каждой подсистемы с решением ведущей подсистемы.

Несмотря на большой интерес к управлению сетью пока решен только ограниченный класс задач. В работе [1] рассмотрена задача группового координатного управления динамической сетью с учетом топологии сети, исследованы свойства ро-бастности сети, предложено обобщение критерия Найквиста с использованием собственных чисел лапласиана графа сети. В работе [2] проблема синхронизация сети, ассоциированной с графом, со-

1 Работа выполнена в Институте проблем машиноведения РАН (г. Санкт-Петербург) при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 09-08-00237, 10-08-90707).

держащим остовное дерево, решена для объектов с измеряемыми векторными входом и выходом. Получены необходимые и достаточные условия синхронизации сети, зависящие от параметров объектов, регулятора и собственных значений лапласиана графа. В работе [3] рассмотрено управление сетью интеграторов и линейных объектов, ассоциированной с орграфом, содержащим ориентированное остовное дерево. Под ориентированным остовным деревом понимается ориентированное дерево, составленное из ребер орграфа, и такое, что в нем существует путь из корня в любую другую вершину [3, 4]. Хотя многие результаты, приведенные для орграфа в работе [3], были получены ранее в работе [4]. В статье [5] предлагается адаптивная синхронизация сети по выходу, подсистемы которой представлены нелинейными дифференциальными уравнениями в форме Лурье. В статье [6] рассматривается синхронизация сети взаимосвязанных нелинейных объектов на базе нейросе-ти при предположении, что орграф, ассоциированный с сетью, сильно связен.

Отметим, что до сих пор не рассматривались вопросы управления динамической сетью с переменной структурой, подсистемы которой описываются структурно неопределенными дифференциальными уравнениями (под структурной не-

определенностью дифференциального уравнения понимается неопределенность его порядка), подверженными действию неконтролируемых внутренних и внешних возмущений. Решение такой задачи рассматривается в настоящей работе.

В статье решается задача робастного децентрализованного управления по выходу динамической сетью с переменной структурой, где каждый ее узел описан линейным структурно неопределенным дифференциальным уравнением с одним нелинейным липшицевым членом. Кроме того, подсистемы сети подвержены действию неконтролируемых внутренних и внешних возмущений. Выделяется ведущая подсистема, которая определяет желаемое поведение остальных локальных объектов сети. Задается орграф, где каждая его вершина ассоциирована с соответствующей подсистемой сети. Неконтролируемые возмущения компенсируются с помощью подхода [7], обобщенного на класс структурно неопределенных объектов [8]. Предложенный алгоритм обеспечивает синхронизацию сети с требуемой точностью. Аналитические результаты проиллюстрированы на численном примере сети, состоящей из четырех узлов и лидера.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим орграф Г = (V, £), ассоциированный с сетью где каждой вершине орграфа Г соответствуют подсистемы / = 1, ..., к, и подсистема лидера V = {ур ..., ук, уг} — множество вершин, £ с V х V — множество ребер. Пусть С(?) = (с.(?)), £(?) = (%(?)) — взвешенные матрицы смежности орграфа Г такие, что с..(?) > 0 и 5гХ(?) > 0, если у е Л^, иначе с.(?) = 0 и 5гХ(?) = 0, = {у е V (у, у.), (у,, уг) е Е} — множество смежных вершин для узла у.. Запись (у, у), (у., уг) е £ означает, что информация поступает от подсистемы S¡ к подсистеме S. и от подсистемы лидера Sг к S.. Понятно, что матрицы смежности С(?) и £(?) характеризуют топологию и «силы» связей между узлами орграфа сети Г, что необходимо учитывать при синтезе системы управления. Считается, что в процессе функционирования системы структура связей орграфа может изменяться. Обозначим Г = (Г/: I = 1, ..., т} — множество возможных значений топологий орграфа.

Рассмотрим подсистему 5,, соответствующую /-й вершине орграфа Г сети динамические про-

цессы в которой описываются следующим уравнением

= + едвдл, + + еддо,

где у(?) е Я — измеряемая регулируемая переменная, иг(?) е Я — сигнал управления, Д?) — гладкое внешнее неконтролируемое ограниченное возмущение; (2г(р), Яг(р), К(Р) и А(р) — линейные дифференциальные операторы, ёе§ (2г(р) = и ,, ёеБЯг(р) = т ., и . - т . 1 1, ёе§£г(р) = и ёе§К.(р) =

Т п1 П

= ^ т и, — 1, (у) е Я — нелинейность, йг е Я — вектор неизвестных параметров, к. > 0.

Ведущая подсистема ^ соответствующая Х-й вершине орграфа Г сети описывается уравнением

ежоудо = кг г (?).

Здесь уг(?) е Я — измеряемый выход, г (?) е Я — ограниченное задающее воздействие, (3£(р) и кг >0 — известный оператор и высокочастотный коэффициент усиления, ёе§ (3£(р) = у.

Цель управления состоит в обеспечении Е-син-хронизации [9] сети ^ с заданной точностью:

1у(?) - Уг(?)1 < Е при ? > Т,

где Т — время, по истечении которого с начала работы системы должно выполняться неравенство (3), е — заданное число. Решим сформулированную задачу при следующих ограничениях.

Предположения

1. Орграфы Гр I = 1, ..., т, содержат ориентированные остовные деревья, в корне которых находится ведущая подсистема (2).

2. Неизвестные коэффициенты операторов (2г(р), Яг(р), К(р) и ^г(р), элементы матриц С(?) и

коэффициенты вектора й . и число к,. > 0 принадлежат известному ограниченному множеству возможных значений Н. Порядки операторов 0г(р), Яг(р), К(р) и ^.(р) неизвестны. Известно, что

у 1 тах {и . — т.}.

,= 1,..., к г

3. Гладкие нелинейности ¥ г(уг) удовлетворяют глобальному условию Липшица.

4. Объект управления (1) — минимально фазовый.

Отметим, что решение задачи синхронизации сети взаимосвязанных нелинейных объектов носит важный прикладной характер. Например, в

работе [3] упоминается о задаче управления группой роботов, математические модели которых заданы линейными дифференциальными уравнениями. В работе [10] рассматривается управление сетью роботов-манипуляторов, модели которых представлены нелинейными дифференциальными уравнениями третьего порядка. В работе [11] ставится задача управления энергосетью, в узлах которой расположены электрические генераторы. Узлы такой сети связаны между собой через линии передачи, параметры которых неизвестны и изменяются, в зависимости от нагрузок на линиях. В работе [12] впервые ставится проблема управления электроэнергетической системой, исходя из топологии сети. В общем случае будем рассматривать сеть, в узлах которой расположены объекты, имеющие разные математические модели и качество связи между которыми зависит от их взаимного расположения.

2. МЕТОД РЕШЕНИЯ

Представим линейные операторы е

(1) в виде сумм [8]:

едо = е» + дедо,

ед = *» + дед,

где е» и Ят(к) — гурвицевы многочлены и такие, что ет(^)/Ят(^) = е£(Х), А, — комплексная переменная, ёе§ет(р) = п 1 п., ёе§Ят(р) = п — у, ДВД и ДЩ(р) — линейные дифференциальные операторы. Порядок линейного оператора дег(р) не превосходит п. Относительно второй формулы в выражении (4) можно сказать, что всегда существует такой вектор сше Ясоставленный из коэффициентов оператора Я(р) — Ят(р), что выпол-

т

нено второе разложение (4), где ДЯ(р) = [1, р,

..., рп 1]т. Так, если т{ < п — у, то ёе§ДЯг(р) = п — у; если тг = п — у, то ёе§ДЛг(р) < п — у; если т. > п — у, то ёе§ДЯг(р) = тГ

Подставим разложение (4) в уравнение (1) и составим уравнение ошибки ег(?) = X с()(у(?) —

Уе /

— у/?)) + 5гХ(?)(уг.(?) — ух(?)) в виде:

е£(р)е,(<) = X сг>(?)(Фг-(?) — ф/?)) +

У е Л/

+ *гХ

Здесь Ят(р) Фг(?) = кЛ.(?) + кДЯ(р)и(?) — де(р)у(?) + + К'(р)^ ¿Су^ + 0.(р)/.(?) — функция, содержащая в себе неопределенности объекта (1).

Для выделения возмущений, действующих на объект (1), введем вспомогательный контур [7, 8]:

еТ(р)еа(1) = аи(?),

а > 0. Принимая во внимание выражения (5) и (6), составим функцию рассогласования £г-(?) =

= — «ао:

ет(жг(?) = Фг(?).

Здесь фг(?) = X Су(?)(фг(?) — ф/?)) + 5гХ(фг.(?) —

У е /

— кТг(?)) — аи;(?) — новая функция возмущения, содержащая в себе неопределенности г-й локальной подсистемы и смежных ей подсистем, а также неопределенности связей между ними. Выразив в последнем выражении X с..(?)(ф,.(?) — Ф,(?)) +

¿ш^ У * )

У е NX

+ ^(<р,(0 — кьт (?)) = а и *(?) + еьШ *(?) и подставив его в формулу (5), получим ет(р)е(?) = = аи(?) + ет(р)С ¿(?). Задав закон управления

и;(?) = — а-1ет(р)Сг-(?), получили бы точную компенсацию возмущений: ет(р)ег(?) = 0. Однако из постановки задачи производные сигнала £ ¿(?) не доступны измерению. Тогда сформируем закон управления в виде

и(?) = —а 1еь(р) 1г (?).

Здесь (?) — оценка функции £ ¿(?). С учетом закона управления (7), перепишем формулу (5) как

емем = А(?),

Г>У+ 1

где g е Я — вектор, компонентами которого являются коэффициенты полинома ет(А), записан-

ные в обратном порядке, 8г-

1 V / 4 "Ч

С(У)(?)]т — [(?), С ;(?), ..., СЧ?)Г — ошибка оценки производных.

Для реализации закона управления (7) используем наблюдатель:

4г (?) = г(?) + ^о( д (?) — с г(?)),

д

£,.(?) е Яу, параметры которого выбираются соглас-

но работе [13]: 60

0 I -1 0 0

, I _ 1 — единичная мат-

рица порядка у — 1, Б0 = —[^ц-1, а?2ц-2, ..., ]Т, коэффициенты йх, а?2, ..., выбираются так, чтобы матрица 6 = 60 — БХ была гурвицевой, Б =

= ¿2, ..., ¿1Т, Х = [1, 0, ..., 0]Т, ц > 0 — доста-

*2> ~'> "у

точно малая величина.

-1

Рассмотрим вектор п, (?) = Б 8,.(?), где Б = = {ц - 1, ц - 2, ..., ц, 1}. Найдем полную производную по времени от п, (?) с учетом выражения (9):

п, (?) = ц-16п, (?) + Ь сТ (?), а, (?) = Ц - 1Хп, (?),

где Ь = [0, ..., 0, 1]Т. Преобразуем предпоследнее уравнение в эквивалентное относительно выхода

А, (?):

-

= Ц - п

11, (?) = ц 1^п/(?) + Ь С, (?), А, (?) = Ц - 1Хп,(?).

Здесь п,(?) е Яу, п / (?) = п/ (?) — первые компоненты векторов п,(?) и п, (?), Ь = [1, 0, ..., 0]Т.

Принимая во внимание уравнение (10), преобразуем выражение (8) к форме:

где х,(?) е Яу — вектор состояния (11), А — матрица в форме Фробениуса с характеристическим мно-

гочленом е^), А,(?) = [п1 (?),п1 (?), ...,(п 1 (?)ГТ .

Утверждение. Пусть выполнены предположения 1—4. Тогда для чисел а > 0, ц0 > 0 и

ч(У)п Т

Цо

т

т1п {ц е^ | |#ьц-2, у- ^ 0,51 е ц! |рь/|| - 2} ,

где Р и Н — решения матричных уравнений

АТР + РА = —е1, 6ТН + Н6

е1 = еГ > 0, е2 = е2Т > 0,

система управления (6), (7), (9) при ц т ц0 обеспечивает выполнение условия синхронизации (3). ♦

Доказательство утверждения см. в Приложении.

3. ПРИМЕР

Рассмотрим орграфы Г, I = 1, 6 (рис. 1), описывающие информационные связи сети состоящей из четырех подсистем 5., I = 1, 4, и лидера

Пусть 5 подсистема (1) описывается следующим уравнением:

3 2

(4з /Р + 42 Р + 41,Р + 4оМ'(?) = к^р + г0.)«,(?) +

+ (к,р + к о, +

Класс неопределенности Е задан неравенствами: 0 < 4з, < 1, 0 < 42, < 1, 4/1 < 5, ] = 0, 1, 0 < 1-1, < 1,

х, (?) = Ах,(?) + Ц %%(?), ег(?) = Хх,.(?), (11) 0 < го < 5, |к„| < 2, к, = [к\ к\ \к\ | < 2, \Н2\ < 2,

Рис. 1. Орграфы Г( сети £

Рис. 2. Переходные процессы:

а — по ошибке у^ (0; б — по ошибке у2 (0; в — по ошибке у3 г — по ошибке у4

< 10, |/.(?)| < 10, 0,5 < ф т 5, 0,5 < 8,х(?) т 5. Нелинейность = [1п2(1 + |у(?)|) 1п2(1 + |у(?)| + 0,581пу,.(?))].

Из уравнения (14) видно, что относительная степень каждой локальной подсистемы не превосходит 3. Положим у = 3.

3 2

Сформируем уравнение лидера (2) в виде: (р + 3р + + 3р + 1)ух(?) = 1 + 8Ш?.

Цель управления состоит в обеспечении условия в-синхронизации (3).

Вспомогательный контур (6) сформируем как: (р3 + + 3р2 + 3р + 1)еш-(?) = аи,.(?).

Пусть в уравнении (9) = [3 3 1]т. Тогда уравнения наблюдателей производных сигнала <^(?) примут вид:

41 (?) = 42 (?) - 3ц-1( 41 (?) - дя),

42 (?) = 43 (?) - 3ц-1( %1 (?) - С/?)),

%3

= -а-1( 43 + 43 + 2 4  + 41).

Задав в уравнениях (13) = (?2 = 0,1/2 и воспользовавшись условием (12), получим интервал для ц0: ц0 < 0,05. Выберем ц = 0,01, а = 1 и подставим их в уравнения вспомогательного контура, наблюдателя и закона управления.

Проверим работоспособность системы управления при следующих параметрах в каждой локальной подсистеме: 51: #31 = 1, ^21 = 1, #и = -5, #01 = -5, г11 = 0, г01 = 1,

¿1 = 5, /1(?) = 2 + 81п?, у1(0) = 1, у! (0) = 1, у! (0) = 1; ¿2:

^32 = 0, ^22 = 1, ^12 = 3, ^02 = 3, Г12 = 0, Г02 = 1, ¿2 = 1,

/2(?) = 1 + 8з1п 0,5?, у2(0) = 1, у 2 (0) = -2; ¿3: ^ = 1, #23 = 1, #13 = -2, 403 = -3, г13 = 1, г03 = 1, ¿3 = 3, /3(?) = 1 - 2яп1,5?, у3(0) = -3, ^3 (0) = 1, у! (0) = -2; ¿4: #34 = 0, #24 = 1, #14 = 5, #04 = -5, г14 = 1, г04 = 2, ¿4 = 1, /4(?) = 2 + 4з1п2?, у4(0) = 3, у4 (0) = 1.

Положим, что структура сети 5 (см. рис. 1) изменялась последовательно каждые 0,01 с. Ради простоты элементы весовых матриц смежности С(?) и ¿(?) зададим в виде: с~(?) = 1 + 0,5зт( у'?) и 5/Х(?) = 2 + 0,5ео8(/?). На рис. 2 приведены результаты переходных процессов

по ошибкам у 1 (?) = у1(?) - ух(?), у2 (?) = у2(?) - ух(?),

У3 (?) = у3(?) - у^(?) и у4 (?) = у4(?) - ух(?) соответственно.

Результаты моделирования показали, что предложенная система управления обеспечивает условие в-синхро-низации (3) с заданной точностью. Причем, при уменьшении числа а во вспомогательном контуре (6), законе управления (7) и ц в наблюдателе (9), уменьшается значение в в целевом условии (3), что подтверждает результаты аналитических расчетов.

50

СОМТЯОЬ БЫЕМСЕБ № 4 • 2011

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Решена задача децентрализованного робастно-го управления по выходу динамической сетью с переменной структурой, где каждая ее подсистема, за исключением лидера, задана структурно неопределенным нелинейным дифференциальным уравнением, подверженным действию неконтролируемых возмущений. При решении рассматривался орграф, вершины которого ассоциированы с соответствующими подсистемами сети. Синтезирован алгоритм, позволяющий обеспечить Е-синхронизацию в сети с заданной точностью и компенсировать неизвестные возмущения, действующие на локальные объекты.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство утверждения. Рассмотрим вспомогательную лемму.

Лемма. Пусть задан орграф , у которого есть ориентированное остовное дерево. Рассмотрим квадратичную форму

к Г

5(0 = £ Г £ - у/0) +

•  I- i г- АТ Г

<• = у * N ь

+ ^МОДО - у£(0)]2

Тогда (П.1) можно оценить снизу как

5(/) 1 0,5ср/у(/) - Уо(/))Т(У(/) - Уо(0), (П.2) где р1 — наименьшее ненулевое собственное число симмет-ризованного лапласиана Ь(Г) = В В, В — лапласиан орграфа Г [14].

Доказательство леммы. Оценим снизу квадратичную форму (П.1):

* Г 12

5(/) = £ Г £ С..(0(у,.(0 - у//)) + ^ООДО - УЬЩ 1

. . I- ; ^ АТ -I

<•= ]* N к

1 с £ Г £ су (у(/) - У/0) + Ьь (0(у,(0 - Уь(())] ,

1 = 11у* N л

где с = штЦ//), siL(t)}, с у = 1, если с/0 > 0, су = 0,

если с//) = 0, Ъьь = 1, если siL(t) > 0, ^ = 0, если s¡L(t) = 0. Преобразуем последнее выражение к виду

к г

с £ £ Су (У,(0 - у//)) + ^ (У,(0 - УL(0)]2 =

г = у * N

= 0,5с(у(/) - Уо(/))Т + ДГ,)(у(0 - Уо(/)).

Здесь у(/) = [у 1 (/), ..., ук(/)]Т, уо(/) = [1, ..., 1]Т О УL(t), О -кронекерово произведение (прямое произведение) [15].

Известно [3, 4], что если орграф содержит ориентированное остовное дерево, то это равносильно его связности. Следовательно, симметризованный лапласиан Ь(Т) — неотрицательная матрица с неотрицательными действительными собственными числами [15]. Но тогда, квадратичную форму (П.1) можно оценить в виде (П.2). ♦

Вернемся к доказательству утверждения. Рассмотрим систему, составленную из уравнений (10), (11) и записанную в виде:

хI (/) = Ах(/) + ц2-1 ¿А(0,

ц п 1

Воспользуемся первой леммой [14]. Согласно работе [16], положим в системе уравнений (П.3) ц2 = 0. Очевидно, что в этом случае система (П.3) асимптотически устойчива, так как Ам и С — гурвицевы. Следовательно, векторы х,.(0 и "л/О ограничены вместе со своими первыми производными. Тогда в системе уравнений (П.3) ограничены сигналы Д,.(0 и (О [16]. Из ограниченности Д,.(0 следует, что в уравнении (9) |Е,,.(/)| < да, а значит, из закона управления (7) |и,.(0| < да. Однако необходимо определить цо, при котором исходная система будет дис-сипативной. Пусть ц = ц2 = цо. Выберем функцию Ляпунова:

кк Щ = £ хГ

; = 1

; = 1

Принимая во внимание уравнения (13), возьмем от функции Ляпунова (П.4) производную по времени вдоль траекторий (П.3):

V (/) = £ [- хГ (/)0Л(/) + 2 ц0-1 хГ (/)РЪ/А,.(0] + ; = 1

к

+ £ [-Цо1 лГ

1 = 1

Оценим второе и четвертое слагаемые:

2-1 £ хГ (t)PЪgT^i(í) <

1 = 1

< 2-1 £ [х/ (ЪРЪ&У Рх(/) + |А,.(/)Ь;

Т 7Г

1 = 1

кк

£ лГ(/)НЪ41 (/) < £ [Цо1 лГ(0#ЪЪТ#Л,(0 + ц^ 1 (/)|2].

г = 1 г = 1

к

Примем у = Бир{2ц0 2Л;(?)|2 + 1<•;(?)|2}. Тогда произ-

г

водную (П.5) можно переписать как

к

V(?) < - X хГ (?)(Й1 - 2ц0-1 PЪgтgЪтР)х;(?) -

г = 1

к

- цо1 X пГ(О(0г - Ц0ЯЪЪГ#Н(0 + Лцу.

г = 1

Если выполнены условия (12), то V (?) < - в И?) + кц0у,

в > 0. Пусть 01 - 2ц0-1 PbgГgbГР = > 0 и т

02 - ц0НЪЪ Н = > 0. Перепишем последнее неравенство как

V(?) т - x х/ (?)яЛ(?) -

г = 1

к

- цо1 x ПГ

г = 1

Выберем число в из условия в = шт{ АШах (Р)^т1п(^1),

Цо1 А-шах (Н )Ат1п(^2)}. Тогда, с учетом (П.4), перепишем (П.6) как

V (?) < -в по + Лцу.

Решив последнее неравенство, получим V» < Н(0)е-1" + (1 - е-р')кц0¥.

Принимая во внимание систему уравнений (П.3), оценим снизу функцию Ляпунова (П.4):

к к V;?) > x хГ (?)Рх,<?) > Атщ(Р) x хГ(?)х,(?) >

ЛИТЕРАТУРА

i = 1

i = i

k k 1 Amin(p) x e2 (?) = Xmin(p) x Г x jM?) - + i = 1 i = 1 i ^ Nj

l2

+ s,(?)(y,.(?) - yx(?))J 1

1 0,5c2Vm(P)(y(?) - Уо(?))Т(У(?) - Уо(?)), где p = min {p^}. Тогда для фиксированного значения

l = 1,..., m

времени ? = T следует оценка величины s в целевом условии (3):

8 т 72(срА-шт(Р))-1П Т) т

т срАт1п

Оценки (12) и (П.7) достаточно грубые. Но из них видно, что уменьшением числа ц0 можно получить требуемую точность в в условии (3).

1. Fax J.A., Murray R.M. Information flow and cooperative control of vehicle formations // IEEE Trans. on Automatic Control. - 2004. - Vol. 49, N 9. - P. 1465-1476.

2. Li Z, Duan Z, Huang L. Leader-follower consensus of multi-agent systems // American control conference. — St. Louis, 2009. - P. 3256-3261.

3. Ren W., Beard R.W. Consensus seeking in multiagent systems under dynamically changing interaction topologies // IEEE Trans. on Automatic Control. - 2005. - Vol. 50, N 5. -P. 655-661.

4. Агаев Р.П, Чеботарев П.Ю. Матрица максимальных исходящих лесов орграфа и ее применения // Автоматика и телемеханика. - 2000. - № 9. - С. 15-43.

5. Джунусов И.А., Фрадков А.Л. Адаптивная синхронизация сети взаимосвязанных нелинейных систем Лурье // Автоматика и телемеханика. - 2009. - № 7. - С. 111-126.

6. Das A., Lewis F.L. Distributed adaptive control for synchronization of unknown nonlinear networked systems // Automatica. - 2010. - Vol. 46, N 12. - P. 2014-2021.

7. Цыкунов А.М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 7. - С. 103-115.

8. Фуртат И.Б., Цыкунов А.М. Робастное управление нестационарными нелинейными структурно неопределенными объектами // Проблемы управления. - 2008. - № 5. -С. 2-7.

9. Фрадков А.Л. Кибернетическая физика: принципы и примеры. - СПб.: Наука, 2003. - 208 с.

10. Cheng L., Hou Z.-G., Tan M., Liu D., Zou A.-M. Multi-agent based adaptive consensus control for multiple manipulators with kinematic uncertainties // IEEE Int. Symposium on Intelligent Control. - San Antonio, 2008. - P. 189-194.

11. Dib W., Barabanov A., Ortega R., Lamnabhi-Lagarrigue F. On transient stability of multy-machine power systems: a «globally» convergent controller for structure-preserving models // Proc. of the 17-th World Congress IFAC. - Seoul, 2008. -P. 9398-9403.

12. Hill D.J., Chen G. Power systems as dynamic network // Circuits and Systems. - 2006. - ISCAS 2006. - P. 722-725.

13. Atassi A.N., Khalil H.K. A separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Trans. on Automatic Control. - 1999. - Vol. 44, N 9. - P. 1672-1687.

14. Godsil C, Royle G. Algebraic graph theory. - New York: Springer-Verlag, 2001. - 232 p.

15. Ланкастер П. Теория матриц. - М.: Наука, 1973. - 280 с.

16. Брусин В.А. Об одном классе сингулярно возмущенных адаптивных систем. 1 // Автоматика и телемеханика. -1995. - № 4. - С. 119-127.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

В.Ю. Рутковским.

Фуртат Игорь Борисович - канд. техн. наук, доцент,

Астраханский государственный технический университет,

(8512) 61-42-48, И cainenash@mail.ru.

k