Моделирование колебательных процессов пьезоэлектрического преобразователя

2015

Математика и механика

№ 2

УДК 534.21

DOI 10.17223/19988621/34/8

С.В. Рикконен, С.В. Пономарев, А.В. Азин

МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ1

1

Предложен подход к математическому моделированию пакетного пьезоак-тюатора с учетом массы и механических потерь движения пьезопластин на основе аналоговых электрических схем замещения. Данный подход допустим для решения одномерных задач и может быть полезен для предварительных расчетов колебательных систем микролинейных пакетных пьезо-преобразователей.

Ключевые слова: пьезопривод, пьезоэлемент, система, частотные характеристики, аналоговая электрическая схема замещения.

В настоящее время становится актуальной задача минимизации массогабарит-ных показателей всех элементов космической техники, это относится и ко всем электроприводам функционирования оборудования космических аппаратов (КА). Существенной альтернативой электромеханических устройств являются микролинейные пьезоприводы (МЛП). Замена всех приводов в КА на МЛП является не только технической задачей, но и существенным импортозамещением в важной отрасли страны.

Пьезопреобразователь состоит из пьезокерамического материала, на который нанесены два металлических электрода (рис. 1). Электрическое поле сигнала, приложенное к электродам, вызывает колебания пьезоэлектрика с амплитудой, составляющей малую долю длины волны.

Анализ работы такого преобразователя может быть проведен двумя способами. Первый состоит в непосредственном расчете мощности упругих волн с использованием уравнений распространения волн в каждой среде с учетом соответствующих граничных условий. Второй способ основан на представлении колебательной системы электрической схемой замещения, а затем к ней применяются законы Кирхгофа.

Пьезоэлемент

Сигнал и

Пучок упругих волн

Электроды Звукопровод

Рис. 1. Структура пьезопреобразователя упругих волн

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России, уникальный идентификатор RFMEFI57814X0060.

Целью работы является математическое моделирование работы колебательной системы пакетного пьезоактюатора способом аналоговых электрических схем замещения.

Систему, изображенную на рис. 1, можно представить с помощью эквивалентной электрической схемы [1]. Такая схема составляется из отдельных цепей, соответствующих каждому элементу системы, причем механические силы и виброскорости заменяются электрическими напряжениями и токами (рис. 2).

Воздух

Электрод к

| Пьезоэлектрик I _ kd„

У V

Электрод kd1

I Нагрузка

и = и 0е

Рис. 2. Эквивалентная схема пьезоэлектрического преобразователя, работающего на частотах больших 100 МГц

Акустический импеданс пьезокерамики.

2р = ср А / V = ср К А / ю, кг/с,

где ср - модуль Юнга; А - площадь пьезоэлемента; V - скорость распространения волны; К = 2п// V, 1/м; С0 - ёмкость пьезоэлемента:

С0 = еЛ А /d , Ф,

где d - толщина пьезоэлемента, м; е - диэлектрическая проницаемость, Ф/м.

Частотный диапазон МЛП такой, что длина волны значительно больше толщины электродов, и поэтому влияние электродов на распространение упругих волн можно не учитывать, [1, с. 259]. Толщина электрода равна

dэл = 2-3 мкм. /р =1 ГГц, V = 6330 м/с, т = V / (2 • /р) = 6330 / (2 • 109) = 3,2 мкм.

На частотах / = 100 кГц

X = 63 мм >> dэл.

Поэтому в электрической схеме замещения элементы, отвечающие за движение электродов, не учитываем, а 2е и 2м приравниваем к нулю.

Для микролинейных пьезоприводов применяются пакетные пьезоактюаторы и электрическая схема замещения (рис. 2) должна быть повторена п раз, последовательно по количеству пластин (рис. 3).

2

X = 1

X = 8 X = 0

х(0 ±

7 _ Я

6 + 1 1 1 1

5 и(0

4

3

2  до

1 —

«0(0

+

Рис. 3. Эквивалентная схема пьезоэлектрического преобразователя пакетного типа, пакет состоит из 7 пластин

З

Построим математическую модель составного (пакетного) пьезоактюатора при продольном пьезоэффекте с управлением по напряжению (рис. 4).

Сила возмущения одной пластины пьезоэлемента [2].

^ =

где ё33 = 410 • 10 12 - пьезоэлектрический модуль, Кл/Н, м/В; Е33 = и/ё = 0,55 10+5 - напряженность электрического поля, В/м; А = 100 • 10-6 - площадь, м2; £33Е = = 17,5 • 10-12 - упругая податливость, м2/Н.

Допущения, принятые при составлении схемы замещения [1, с. 276]:

- в схемах замещения пакета пластин масса пластин пьезоэлементов отсутствует;

- в пакете образуются только упругие волны;

- длина волны существенно больше толщины электродов - электроды в движении не участвуют;

- частотные характеристики исследуются в режиме «короткого замыкания» (выходной конец пьезоактиватора механически свободен от нагрузки и имеет максимальные амплитуды колебаний);

- механические потери на движение пластин внутри пьезоактюатора не учитываются.

Преобразование следует проводить по соотношениям, связывающим механические проводимости g = 1/2 с силами К Применяются правила преобразования параллельных электрических цепей [3, с.48].

Хп=т ...

п= gn;

^^ п=т „

= .

^ п=т

^ п=1 gn

Преобразуем электрическую схему к двухполюснику с эквивалентным сопротивлением и эквивалентной силой. Для построения частотных характеристик системы и определения резонансных частот применим режим короткого замыкания (рис. 5).

1 2 3 4 5 6 7

Пьезоэлектрик Пьезоэлектрик | Пьезоэлектрик | Пьезоэлектрик | Пьезоэлектрик | Пьезоэлектрик | Пьезоэлектрик

Рис. 4. Схема замещения пакетного пьезоэлектрика, состоящего из 7-и пьезопластин при продольных колебаниях, без учета массы пьезопластин и механических потерь. Режим XX - выходные концы системы разомкнуты, виброскорость нагрузки равна нулю

Эквивалент пакетного пьезоактюатора

X Е

X

7

К

ф

Режим КЗ пьезоактюатора

-0

Рис. 5. Эквивалентная схема замещения пакетного пьезоэлектрика, состоящего из 7 пьезопластин, без учета массы пьезопластин и механических потерь. Режим КЗ

Режим короткого замыкания в аналоговых электрических цепях характеризуется максимальными виброскоростями и вибросмещениями. Нагрузка на пьезоактюатор отсутствует, в схеме замещения выходные клеммы замкнуты накоротко. Согласно методике [4], рассчитаем и построим частотные характеристики эквивалентного сопротивления, эквивалентной силы пьезоактюатора, силы на отдельных пластинах пьезоактюатора и амплитуды вибросмещения выходной поверхности излучения. Расчеты проводим согласно схемы, представленной на рис. 5.

Для конкретного примера используем параметры пьезоактюватора АПМ-2-7, ОАО «Элпа»: количество пластин -7 шт., вес - 6,5 г (вес пакета пластин 6,9 г), длина - 20 мм, С0 = = 3 мкФ, и = 100 В, вибросмещение - 14±15 % мкм, Кв = 1200 Н, /0 = 10 кГц. Результаты расчета представлены на рис. 6. Вибросмещение торца пьезоактюатора в режиме КЗ:

Х

Параметры схемы замещения (рис. 4) носят ёмкостной характер, так как в механической схеме присутствуют только упругие элементы. Однако из-за сложности схемы эквивалентные сопротивления показывают наличие резонансных частот. А частотные характеристики эквивалентных сил внутри пьезопакета показывают наличие резонансов от пластины к пластине. Силы внутри пьезоактюатора значительно превышают эквивалентную силу на выходном торце пакета. Количество резонансов соответствуют количеству пластин в пьезоактюаторе. Резонансная рабочая частота выбирается по частотной характеристике вибросмещения по минимальным значениям (учитывая ограничения по быстродействию пьезокера-мики). Резонансная рабочая частота равна 77 кГц.

Для получения более достоверной картины вибрационных колебаний необходимо в электрической схеме замещения учесть инерционную массу пластин пье-зоэлемента и механические потери при движении пластин в пространстве.

Схема замещения пакетного пьезоэлектрика, состоящего из 7 пьезопластин, с учетом массы пьезопластин и механических потерь

Допущения, принятые при составлении полной схемы замещения (рис. 7):

- в пакете образуются только одномерные упругие и инерционные волны;

- сила возбуждения единична Кв = 1;

- частотные характеристики исследуем в режиме короткого замыкания;

- длина волны существенно больше толщины электродов - электроды в движении не участвуют;

Хм = I юМпл / 2, 7! = - йрЛяп Ы2), 72 = 7 1Я

Коэффициент активных механических потерь движения пьезопластин К1Ш учитывался при определении механических сопротивлений каждой пластины (на схеме замещения не показан, чтобы не усложнять рисунок).

4 3,2 2,4 1,6 0,8

а

не

F, Н 560 420 280 140

4 3,2 2 2,4

г-

0

* 1,6 0,8

0

70 140 210 280 350 420 77 ' кГц /, кГц

490

560 630

0 70 140 210 280 350 420 490 560 630 700

/, кГц

б

F5 F3 F2 F4 F1 F экв

[

) — ь- 1 Л 1. J ч

0 70 140 210 280 350 420 490 560 630 700

/, кГц

в

Х

1

1 1 1

700

Рис. 6. Частотные характеристики пакетного пьезоэлектрика без учета массы пьезопластин и механических потерь, п = 7, F = 1 Н, режим КЗ; а - частотная характеристика эквивалентного сопротивления, 2экв; б - частотная характеристика внутренних сил пьезоактюато-ра (Л - F5), частотная характеристика эквивалентной силы пьезоактюатора ^экв); в - частотная характеристика вибросмещения, Х

1,2,3,4,5,6 ,7

Пьезоэлектрик , Пьезоэлектрик , Пьезоэлектрик , Пьезоэлектрик , Пьезоэлектрик , Пьезоэлектрик , Пьезоэлектрик

I

1 ¿2

I

1 ¿2

I

1 ¿2

I

1 ¿2

I

1 ¿2

I

1 ¿2

Т Т К

= иое

и = 110е

и = 110е

и = иое"

и = иое"

и = иое"

и = иое"

Рис. 7. Полная схема замещения пакетаого пьезоэлектрика, с учетом массы пьезопластин и механических потерь, п = 7, режим КЗ

Массу одной пластины пакетного пьезоактюатора принимаем

Мпл = 6,9 • 10-3/7 = 0,87 • 10-3, кг. Коэффициент механических потерь - Я^ = 10,2, кг/с. Результаты расчета представлены на рис. 8.

10 8

0

1 6 0

•я 4

и ^

№

2

а

-/ Л

0

К, Н 320 240 160 80

2 1,6 5 1,2

г-

0

£ 0,8 0,4

0

70 140 210 280 350 420 490

/, кГц

560 630

700

б

К 1 экв

К5 К3

А / ч

0 70 140 210 280 350 420 490 560 630 700

/, кГц

в

_—1 1— —1 _

70

140 90 кГц

210

280

350 420

/, кГц

490

560 630

700

Рис. 8. Частотные характеристики пакетного пьезоактюатора с учетом массы пластин и механических потерь. п = 7, К = 1 Н, режим КЗ; а - частотная характеристика эквивалентного сопротивления, 7экв; б - частотная характеристика внутренних сил пьезоактюатора (К1 -К5), частотная характеристика эквивалентной силы пьезоактюатора (Кэкв); в - частотная характеристика вибросмещения, Х

Виброскорость торца пьезоактюатора в режиме КЗ

^наг(ю) = ^экв(ю) / Z экв (ш).

Сила на зажимах пьезоактюатора

Fh(O)) = Fэкв(ю) - Z^fa) • ^наг(ш).

Учет масс пластин и коэффициентов механических потерь несколько изменил частотные характеристики, снизилось количество резонансов внутри пакетного пьезоактюатора, резонансная частота увеличилась до 90 кГц.

1. Предложен подход к математическому моделированию пакетного пьезоактюатора с учетом массы и механических потерь движения пьезопластин.

2. Для одномерных задач, целесообразно применять математическое моделирование колебательных систем пакетного пьезоактюатора, основанное на аналоговых электрических схемах замещения с учетом массы и механических потерь движения пьезопластин.

3. Частотные характеристики схем замещения с учетом масс и потерь существенно отличаются от частотных характеристик схем замещения колебательной системы без учета масс и потерь.

4. Для более точного анализа колебательной системы необходимо использовать полную аналоговую электрическую схему замещения.

5. Частотные характеристики сил показывают наличие резонансов внутри пакета. Все пьезопластины резонируют на своей частоте, а амплитуда сил на отдельных пьезоэлементах может превышать результирующую силу всего пакета.

1. Дьелесан Э.,Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. М.: Наука, 1982. 424 с.

2. Афонин С.М. Многомерная структурно-параметрическая модель составного пьезодвига-теля наноперемещений // Вестник машиностроения. 2007. № 1. С. 3-13.

3. КругК.А. Основы электротехники. М.: Гос. энерг. изд-во, 1952. 431 с.

4. Пономарев С.В., Рикконен С.В., Азин А.В. Анализ работы пьезопривода по частотнымха-рактеристикам механоакустической колебательной системы // Изв. вузов. Физика. 2014.

Rikkonen S., Ponomarev S, Azin A. SIMULATION OF OSCILLATORY PROCESSES IN A PIEZOELECTRIC TRANSDUCER

DOI 10.17223/19988621/34/8

It is now an urgent task to minimize the weight and size of all the elements of space technology; this applies to all electric drives functioning in the spacecraft equipment. A significant alternative to electromechanical devices are microlinear piezoactuators. Replacing all the drives in the spacecraft by microlinear piezoactuators is not only a technical objective but also a significant import substitution in an important industry sector of the country.

The analysis of such a transducer can be performed in two ways. The first method is to calculate the power of elastic waves using the equations of wave propagation in each medium with appropriate boundary conditions. The second method is based on the representation of the oscillating system in the form of electrical circuits, and application of Kirchhoff s laws. In this paper, an approach to the mathematical modeling of a batch piezoactuator with allowance for the mass and mechanical losses of piezoplate motion based on analog electrical equivalent circuit are pro-

Выводы

ЛИТЕРАТУРА

№ 8/2. Т. 57. С. 196-202.

Статья поступила 11.02.2015 г.

posed. This approach is valid for the solution of one-dimensional problems and can be useful for preliminary calculations of oscillating systems of microlinear batch piezoelectric transducers. According to the study it was determined that:

- frequency characteristics of the analog electrical equivalent circuit with allowance for masses and losses significantly differ from those of the analog electrical equivalent circuit of the oscillating system without regard to masses and losses;

- for a more accurate analysis of the vibration system, it is necessary to use a complete analog electrical equivalent circuit;

- frequency characteristics of forces show the presence of resonances inside of the batch piezoelectric transducer. All piezoplates resonate at different frequencies and the amplitude of forces on the individual piezoelectric elements can exceed the resultant force of the entire batch piezoelectric transducer.

Keywords: piezodrive, piezoelectric element, system, the frequency response, analog electrical equivalent circuit, import replacement

RIKKONEN Sergey Vladimirovich (Candidate of Technical Sciences, Assoc. Prof., Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation) E-mail: rikk2@yandex.ru

PONOMAREV Sergey Vasilevich (Doctor of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation) E-mail: psv@niipmm.tsu.ru

AZIN Anton Vladimirovich (Candidate of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation) E-mail: antonazin@niipmm.tsu.ru

REFERENCES

1. D'elesan E., Ruaye D. Uprugie volny v tverdykh telakh. Moskow, Nauka Publ., 1982. 424 p.

2. Afonin S.M. Mnogomernaya strukturno-parametricheskaya model' sostavnogo p'ezodvigatelya nanoperemeshcheniy. Vestnikmashinostroeniya, 2007, no. 1, pp. 3-13.

3. Krug K.A. Osnovy elektrotekhniki. Moskow, Gos. energ. izd-vo, 1952. 431 p.

4. Ponomarev S.V., Rikkonen S.V., Azin A.V. Analiz raboty p'ezoprivoda po chastotnym kharakteristikam mekhanoakusticheskoy kolebatel'noy sistemy. Izv. vuzov. Fizika, 2014, vol. 57, no. 8/2, pp. 196-202.