Оптимальные параметры и эффективность одномассового динамического гасителя колебаний с вязким трением при периодической возмущающей нагрузке типа «Прямоугольный синус»

ОПТИМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И ЭФФЕКТИВНОСТЬ ОДНОМАССОВОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ГАСИТЕЛЯ КОЛЕБАНИЙ С ВЯЗКИМ ТРЕНИЕМ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ НАГРУЗКЕ ТИПА «ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ СИНУС»

А.В. Дукарт

МГСУ

На примере защищаемого объекта в виде системы с одной степенью свободы исследуется эффективность линейного одномассового динамического гасителя колебаний с вязким трением при периодическом воздействии в виде "прямоугольного синуса". Для определения стационарных колебаний системы с гасителем используется полученное автором замкнутое решение, описывающее установившееся движение двухмассовой системы с демпфированием. Предполагается, что частота (период) внешнего воздействия является нестабильной и может принимать произвольные значения. Анализируются амплитудно-частотные характеристики колебаний масс системы и найдены оптимальные значения настройки и коэффициента демпфирования гасителя.

On the example of the protected object as a system with one degree offreedom with exciting force of "rectangular sine" type, efficiency of a linear onemass dynamic absorber with a viscous friction is investigated. For finding stationary vibrations of the system, the periodic solution for twomass damped system, obtained by the author in the closed form, is utillized. It is assumed that the frequency (period) of the external excitation is unstable and may take arbitrary values. The amplitude-frequency characteristics of the system masses are studied and the optimum values for friction in the absorber are found.

В теории динамических гасителей колебаний (ДГК) с демпфированием большое внимание уделяется решению задач определения оптимальных параметров и оценки эффективности виброзащиты при стационарных и нестационарных, детерминированных и случайных возмущающих нагрузках. К настоящему времени детально рассмотрены многие задачи динамического гашения колебаний как с использованием простейших одномассовых линейных моделей защищаемого объекта и гасителя, так и с привлечением усложненных моделей линейных и нелинейных ДГК для виброзащиты реальных конструкций и сооружений, машин и приборов при различных внешних воздействиях. При этом за основу приняты классические результаты оптимизации параметров одномассового гасителя с вязким трением, полученные из условия минимума наибольших ординат амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) колебаний защищаемого объекта при гармонической возмущающей нагрузке с нестабильной частотой [4,10]. Для некоторых видов внешних воздействий и переходных режимов колебаний на примере защищаемого объекта в виде системы с одной степенью свободы решение минимаксных задач оптимизации параметров одномассовых ДГК с вязким и частотно-независимым трением найдено аналитически [1,8] и доведено до удобных расчетных формул при использовании различных критериев качества виброзащиты.

4/2009

ВЕСТНИК _МГСУ

В технических приложениях актуальны задачи о колебаниях механических систем, вызываемых действием сил, изменяющихся по некоторым произвольным, но периодическим законам: P(t + T) = P(t), где T -период изменения силы. Такие динамические нагрузки создаются машинами с кривошипно-шатунными механизмами, машинами ударного действия и другими [3,5,9]. Наиболее важным практическим примером служит нагрузка, передаваемая на фундамент двигателем внутреннего сгорания [2,4,10]. Вместе с тем, несмотря на широкое распространение подобных нагрузок, в теории динамического гашения колебаний они изучены недостаточно полно.

В настоящей статье рассматриваются некоторые вопросы оптимизации параметров и оценки эффективности одномассового линейного ДГК с вязким трением при возмущающей нагрузке типа "прямоугольный синус", заданной в промежутке времени [ 0,T ], как и для любого другого цикла, выражением

Г P0 при 0+< t < 0,5T", P

[- P0 при 0,5T+ < t < T,

где знаки "-" и "+" соответствуют моментам времени непосредственно до и после скачкообразного изменения силы при t = ±0,5kT ; к -целые положительные числа в интервале (-да,да ). При этом предполагается, что расчетная схема защищаемого объекта представляет собой линейную систему с одной степенью свободы с вязким трением.

Обозначим (рис.1): m1, c1, k1, x1- соответственно масса, квазиупругий коэффициент, коэффициент вязкого трения и абсолютная координата защищаемого объекта; m2, c2, k2, x2 - то же, для гасителя; со0 = yjс1 / m1 - частота собственных колебаний

защищаемого объекта; юг = ^с2 / m2 - парциальная частота колебаний гасителя. С учетом введенных предположений минимаксная задача оптимизации параметров рассматриваемого ДГК при возмущающей нагрузке (1) сводится к исследованию механической системы с двумя степенями свободы. Стационарные колебания такой системы при негармонических периодических воздействиях, возмущающие функции которых удовлетворяют условиям Дирихле, могут быть найдены, используя решения, полученные автором в работах [6,7]. Здесь решение приводится в окончательном виде без выводов.

Рис.1. Расчётная схема защищаемого объекта, оборудованного ДГК с вязким трением

x

2

x

Заданная нагрузка (1) изменяет знак через полупериод, поэтому достаточно ограничиться изучением поведения системы в интервале времени [0;0,5Г ]. Периодическое решение, определяющее искомые установившиеся колебания защищаемого объекта и гасителя, имеет вид [7]

С) = I

m1As 0,25hv + a)v

1 'Y*

ch 0,25hT + cos0,5 coT причем j = 1 соответствует звену защищаемого объекта, a j = 2 - звену гасителя; y/jv(t) = 2[(0,5hvvjv + a>vuJv)(sh0,25hvTsincovt - sin0,5vTcosvt) + + (a>vv.v -0,5hvu )(sh0,25hTcosa>vt + sin0,5vTsinvt)];

<p]v(t) = 2[(0,5hvujv - a>vvjv)(e"'5h~' -cos©vt) + (0,5hvvjv + ©vujv)sin©vt];

As = 4{©i©2[(Д -Д)2 + Д2 + Д]-ДД[0,25(hi -h2)2 +©i2 +©22]}. Частоты a>v и коэффициенты демпфирования hv рассматриваемой системы являются корнями Á2v_12v = -0,5hv ± ia>v характеристического уравнения [6]

+ 2[m1h0 + (m1 + m2)hr + [да1(©2 + 4h0 hr) + (m1 + m.,)©2 + + 2m1 (hr02 + h02 )Xt + m^2 = 0, где h0 = kj(2m1); hr = k2l(lm2); l = 1,4; v = 1,2 ; i = 4-1.

Коэффициенты распределения амплитуд ¡32v_X2v вычисляются по формулам: Д^ = [(0,25h2 -hrhv +ю2г -2)(г "hrhv) + 2hra)2v{2hr -hv)]/o;;

Д„ = [2hr©„ (0,25hv2 - hrhv + ©2 -v2) - ©„ (2 - hrhv )(2hr - h„ )]/o"„; ctv = (0,25h2 -hrhv+a2r -a>1v)1 + (2hr -hv)2a>1v.

Входящие в функции y/]v(t) и <pjv(t) величины u.v и vjv определяются выражениями:

u11 ="uu = 2kAA "^AA, + m1m21(^22 ^4^1 )] ^2^4 (h2 " h1);

v„ - ^(^Д-Д2 -Д2) ]-£A(h 2 -h1> + mm"1^ (h—h2) Ф^Д-Д )];

v„ = 22^4^(^ 3 ^^ -h1) + Ш1Ш2"[Д (Д-h1) -

- 2©1 (Д-Д)]; u2v = u1v Av-1 - v1vAv ; v2v = u1v^2v + v1v Av-1 .

Приведенное решение позволяет описать движение рассматриваемой системы и, таким образом, решать задачу выбора параметров гасителя. При этом будем считать, что частота возмущающей нагрузки в = 2п / T является нестабильной и может принимать произвольные, в том числе наиболее неблагоприятные значения в заданном диапазоне [6^,6^]. В частности, предполагается, что она может совпадать с частотами

e

4./2009 ВЕСТНИК _4/2009_МГСУ

свободных колебаний защищаемого объекта с гасителем или без него. Такая постановка задачи характерна для оптимизации параметров гасителей с демпфированием [1,4,6,8,10].

Для численной реализации поставленной задачи введем следующие безразмерные параметры:

ц = т2 / т1; я = а>г / 0; 80 = к0 / 0; дг = кг / 0; Л = в / 0; ру= а>у / 0;

= /0; ^ = ; уУ= 0)/^0,

где х0 = Р0 / с1 - статическое перемещение защищаемого объекта.

Как известно, рассматриваемый гаситель характеризуется относительной массой ц, настройкой я и коэффициентом вязкого трения Зг и его эффективность существенно зависит от параметров защищаемого объекта, в частности от его диссипативных свойств и частоты свободных колебаний. При периодических возмущающих нагрузках оптимальные значения настройки и демпфирования гасителя при заданном значении его относительной массы определяются [1,4,8,10] из условия минимума максимальных ординат амплитудных (резонансных) кривых колебаний защищаемого объекта. В качестве минимизируемой функции примем функцию отклонений массы т1 от безразмерной частоты внешнего возбуждения (1): У1(Л) = тах|у^. Эффективность виброзащиты оценивается коэффициентом гашения Кг [6,8], который определяется как отношение максимального отклонения защищаемого объекта без гасителя к соответствующей величине при наличии оптимального настроенного гасителя, причем коэффициент Кг имеет смысл только при учете демпфирующих свойств защищаемого объекта, так как отклонения последнего как системы с одной степенью свободы без учета затухания в резонансной ситуации (в = 0) становятся бесконечно большими.

Как следует из (2), установившееся движение рассматриваемой системы складывается из колебаний с различными частотами и амплитудами, что не позволяет получить АЧХ колебаний защищаемого объекта и гасителя в явном виде, поэтому задача оптимизации параметров гасителя при периодических возмущающих нагрузках более общего характера, например (1), становится более сложной и трудоемкой и ее решение производится путем численного анализа аналитических законов движения системы.

Переходя к выполнению численных расчетов, остановимся прежде всего на выборе оптимальных параметров гасителя, пренебрегая неупругим сопротивлением защищаемого объекта. На рис.2 приведены АЧХ колебаний массы т1, соответствующие ДГК с постоянной настройкой я = 1,0 ; значения остальных параметров системы (ц, с>0 и Зг ) приняты такими же, как в монографиях [4,10] для внешнего воздействия в виде гармонической силы. Они показывают, что если парциальная частота гасителя а>г настроена на собственную частоту защищаемого объекта а>0, то, как и при гармонической нагрузке, при внешнем воздействии типа "прямоугольный синус" амплитудные кривые У1(Л) колебаний массы т1 в зависимости от величины коэффициента трения (при фиксированных значениях остальных параметров системы) имеют один (кривые 1 и 4 на рис.2) или два (кривые 2 и 3 на рис.2) резонансных максимума, причем максимальная амплитуда колебаний защищаемого объекта при меньших значениях безразмерной частоты воздействия больше, чем при больших значениях Л .

Рис.2. АЧХ колебаний защищаемого объекта при различных значениях коэффициента вязкого трения гасителя: 1- 5Г = <» ; 2- 5Г = 0 ; 3- 5Г = 0,1 ; 4- 5Г = 0,32

Методики оптимизации параметров ДГК с демпфированием при гармонических нагрузках подробно изложены в монографиях [1,4,8,10 и др.] и основаны на использовании замечательного свойства, которым обладают АЧХ колебаний системы и состоящем в наличии на них так называемых инвариантных точек. Как для системы с двумя степенями свободы амплитудные кривые колебаний защищаемого объекта имеют две инвариантные точки, через которые проходят все кривые У1 (Л), независимо от величины коэффициента вязкого трения гасителя, в том числе при Зг = 0 и дг =<х, причем в последнем случае относительные колебания гасителя невозможны и система превращается в одномассовую с резонансом на частоте 0* = /(т1 + т2) = со0 /д/1 + ц . При оптимальных значениях настройки (яОПТ ) и демпфирования (Зг опт) гасителя инвариантные точки находятся на одной высоте и в одной из них амплитудная кривая У1(Л) принимает максимальное значение.

В отличие от гармонических воздействий, при негармонических возмущающих нагрузках, в частности в виде "прямоугольного синуса" (1), инвариантные точки на АЧХ колебаний защищаемого объекта отсутствуют, что существенно усложняет задачу оптимизации параметров гасителя. Такая же ситуация имеет место и для гармонических воздействий при учете сил неупругого сопротивления защищаемого объекта [1,8]. Вместе с тем, в этих случаях точки пересечения амплитудных кривых У1(Л), расположенные слева и справа от резонансной частоты в = 0 (или Л = 1), при различных величинах вязкого трения гасителя и одинаковых значениях других параметров системы (д0 =0, ^ и я) близки друг к другу (рис.2). Для двух АЧХ колебаний массы т1, отвечающих разным значениям коэффициента 8Г (кривые 2 и 3 на рис.3), при настройке гасителя, являющейся оптимальной для одной из них (кривая 2 на рис.

4/2009 ВЕСТНИК

3), указанные точки находятся примерно на одной высоте; отметим, что в качестве второго значения коэффициента демпфирования может быть принято Зг = <» (кривая 1 на рис. 3). Кроме того, как и для гармонического воздействия, при оптимальном значении коэффициента вязкого трения гасителя (дг = дг опт) в одной из точек пересечения амплитудных кривых достигается максимум функции У1(Л), при этом второй максимум АЧХ находится вблизи другой точки пересечения и отличается от первого незначительно. Данное свойство амплитудных кривых колебаний защищаемого объекта позволяет для нахождения оптимальных параметров ДГК с демпфированием при заданной нагрузке (1) ограничиться требованием равенства максимумов АЧХ, минимизация которых происходит при значениях настройки и коэффициента вязкого трения гасителя, соответствующих оптимальным величинам.

Некоторые результаты вычислений оптимальных параметров гасителя без учета сил неупругого сопротивления в звене защищаемого объекта (30 = 0) при различных значениях относительной массы гасителя представлены в таблице, а отвечающие им амплитудные кривые У1(Л) показаны на рис. 3 (кривые 2 и 4). Опуская здесь вопросы численной реализации описанной методики оптимизации параметров ДГК на ПК, отметим принятую точность по безразмерной частоте равной АЛ = 10 3, по настройке гасителя - Ал = 105 и по коэффициенту демпфирования гасителя - Адг = 10~4 при Адг < 0,1 и Адг = 5 • 10-4 при Адг > 0,1. Из вычислений следует, что, как и при других внешних воздействиях [8], максимальные амплитуды колебаний защищаемого объекта и, следовательно, эффективность гасителя значительно острее реагируют на отклонения настройки от своего оптимального значения. Отклонения коэффициента демпфирования от оптимального значения влияют на уровень амплитуд колебаний массы т1 существенно меньше. При этом, для некоторого интервала значений коэффициента демпфирования в окрестности оптимального, амплитуда колебаний защищаемого объекта сохраняет практически одинаковую величину. Так, например, при относительной массе гасителя ^=0,025 для значений 8Г = 0,0926 ...0,0940 максимумы ординат АЧХ колебаний массы т1 составляют Г1шах= 11,463 .11,464.

Приведенная методика без изменений может быть использована и при учете сил неупругого сопротивления защищаемого объекта. Оптимальные значения параметров гасителя для различных величин коэффициента демпфирования <£0 также представлены в таблице, а соответствующие им АЧХ колебаний массы т1 - на рис.4. Из анализа значений коэффициента гашения следует, что демпфирование в звене защищаемого объекта оказывает более значительное влияние на эффективность гашения колебаний и менее заметное - на оптимальные значения параметров гасителя.

Сопоставление данных таблицы, отвечающих возмущающей нагрузке (1), с аналогичными результатами при гармонической силе [8] показывает, что значения оптимальных параметров гасителя и коэффициента гашения колебаний для указанных воздействий отличаются незначительно. Это связано с тем, что рассматриваемые здесь резонансные колебания системы близки к монохроматическому движению, вызываемому первой гармоникой разложения нагрузки (1) в ряд Фурье [4,10]. Поэтому параметры гасителя, являющиеся оптимальными при гармоническом воздействии, могут рассматриваться в качестве первого приближения для заданной возмущающей нагрузки (1). Такая же ситуация возникает в режиме основного резонанса при действии на

защищаемый объект периодической последовательности мгновенных или кратковременных импульсов [8]. Следует подчеркнуть, что максимальные амплитуды колебаний защищаемого объекта (как с гасителем, так и без него) при возмущающей нагрузке в виде "прямоугольного синуса" значительно (более чем на четверть) превышают наибольшие отклонения массы ш1 при гармоническом воздействии.

Таблица

Оптимальные параметры ДГК при различных значениях коэффициента вязкого трения в защищаемом объекте и относительной массы гасителя

8, И я у 1,тах Кг у тах

0,0 0,025 0,97612 0,0934 11,463 - 54,023

0,05 0,95334 0,1275 8,159 - 27,687

0,075 0,93158 0,1515 6,704 - 18,897

0,1 0,91074 0,169 5,833 - 14,491

0,0125 0,25 0,97354 0,0951 9,603 5,304 44,542

0,05 0,94984 0,129 7,186 7,088 24,127

0,075 0,92741 0,153 6,043 8,428 16,864

0,1 0,90614 0,170 5,341 9,536 13,182

0,025 0,025 0,970754 0,0968 8,246 3,089 37,769

0,05 0,94615 0,1305 6,414 3,971 21,345

0,075 0,92313 0,1535 5,497 4,633 15,268

0,1 0,90136 0,171 4,917 5,180 12,057

0,05 0,025 0,96457 0,0995 6,409 1,988 28,861

0,05 0,93818 0,133 5,271 2,418 17,312

0,075 0,91397 0,155 4,651 2,740 12,808

0,1 0,89123 0,1725 4,240 3,005 10,316

1

8

4 0

0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 X

Рис.3. АЧХ колебаний защищаемого объекта при оптимальных значениях настройки и демпфирования гасителя: 1-ц = 0,05; яопт = 0,95334; 8Г = 0 ; 2-ц = 0,05; яопт = 0,95334; бг опт = 0,1275 ; 3-ц = 0,05; я = 0,95334; 8Г = 0,0934 ; 4- ц = 0,025; яопт = 0,97612;

ёгопт = 0,0934

4/2009 ВЕСТНИК

Рис.4. АЧХ колебаний массы т1, соответствующие оптимальным параметрам гасителя, при различном демпфировании в защищаемом объекте: 1-лопт = 0,94984 ; 80 = 0,0125 ; 8гопт = 0,129; 2- лопт = 0,94615 ; 80 = 0,025 ; 8гопт = 0,1305 ; 3- лопт = 0,93818 ; §а = 0,05 ; 8гопт = 0,133

Рис.5. АЧХ относительных колебаний гасителя: 1-¡л = 0,05; л = 1,0; 80 = 0; 8Г = 0,1 ; 2-ц = 0,05; л = 1,0; 8й = 0; 8Г = 0,32; 3-ц = 0,05; л = 0,95334; 8й = 0; 8Г = 0,1275; 4- ц = 0,025; л = 0,970754; 8й = 0,025; 8Г = 0,0968

Оценка прочности упругой связи гасителя производится, исходя из максимальных амплитуд У = тах| у2 - у^ относительных колебаний массы т2 (так называемого хода

гасителя), которые в несколько раз превышают амплитуды движения защищаемого объекта (см. таблицу). Характерные амплитудные кривые У (Л) относительных колебаний гасителя приведены на рис.5. Отметим, что в ряде случаев [8] величина максимального хода гасителя оказывает существенное влияние как на выбор конструкции,

так и на саму возможность применения ДГК, особенно при ограниченном габарите для размещения гасителя, например, внутри корпуса защищаемого объекта.

Полученные в данной статье результаты позволяют сделать вывод о том, что при возмущающей нагрузке типа "прямоугольный синус" может быть обеспечен такой же уровень колебаний защищаемого объекта как при гармоническом воздействии только с использованием более тяжелых гасителей.

Литература

1. Алексеев A.M., Сборовский А.К. Судовые виброгасители. Л., Судпромгиз, 1962

2. Бишоп Р. Колебания. М., Наука, 1979

3. Вибрации в технике: Справочник. Т.4. Вибрационные процессы и машины I Под ред. Э.Э. Лавендела. М., Машиностроение, 1981

4. Ден-Гатор Дж. П. Механические колебания. М., Физматгиз, 1960

5. Динамический расчет зданий и сооружений: Справочник проектировщика I Под ред. Б.Г.Коренева, И.М. Рабиновича. М., Стройиздат, 1984

6. Дукарт A.B. Задачи теории ударных гасителей колебаний. M., АСВ, 2006

7. Дукарт A.B. Об установившихся колебаниях двухмассовой системы с демпфированием при произвольной возмущающей нагрузке II Известия вузов. Строительство. 2009. №3-4, с.3-13

8. Коренев Б.Г., Резников Л.М. Динамические гасители колебаний: Теория и технические приложения. М., Наука, 1988

9. Теория механизмов и механика машин I Под ред. К.В.Фролова. М., Высшая школа, 2003 Ю.Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М., КомКнига, 2007

Ключевые слова: Динамический гаситель колебаний, защищаемый объект, вязкое трение, возмущающая нагрузка, прямоугольный синус, амплитудно-частотная характеристика, эффективность виброзащиты, настройка гасителя, демпфирование гасителя

Keywords: Dynamic absorber, protected object, viscous friction, exciting force, rectangular sine, amplitude-frequency characteristics, tuning of absorber friction, efficiency of absorber

Статья представлена Редакционным советом «Вестника МГСУ»

loo