Роль идеальных образов в обосновании аподиктического знания

УДК 1:001; 001.8

Е.Д. Смирнова

РОЛЬ ИДЕАЛЬНЫХ ОБРАЗОВ В ОБОСНОВАНИИ АПОДИКТИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ*

В статье рассматриваются проблемы, касающиеся определения роли идеальных образов («объектов») в обосновании аподиктического, математического знания, а также поднимается вопрос о характере и истоках этих идеальных образов. Обосновывается предположение, что именно идеальные высказывания, а не действительные играют определяющую роль в теоретическом конструировании моделей мира. С этой точки зрения для решения вопроса об обосновании теоретического знания предлагается обратиться к программе, выдвинутой Д. Гильбертом.

В работе А.К. Сухотина «Философия математики» поднимаются интересные вопросы, связанные с трактовкой природы и задач философии, ее роли в обосновании математического знания. Как отмечает А.К. Сухотин, «философия - это особый тип миропостижения, отличающийся порывом выйти за грань наличного бытия, за пределы знаемого, совершить переход в иное. Здесь обнаруживается близкая связь философии с математикой... Не случайно, что И. Кант назвал математику “наукой-разведчиком”, брошенной человечеством на исследование мира в его возможных вариантах» [8. С. 11].

Центральное место в работе занимает анализ различных подходов к обоснованию математики - в том числе программы Д. Г ильберта. Отметим некоторые выделяемые «итоги исканий». А.К. Сухотин‘замечает, что, хотя ни одно из рассмотренных направлений философского обоснования математики «не принесло удовлетворяющего решения, вместе с тем каждое, внося что-то свое, верно раскрыло определенные стороны математики. » [8. С. 124].

А.К. Сухотин верно указывает, что, несмотря на то, что в «программе Гильберта исходной реальностью выступают знаки, несправедливо было бы усматривать в этом выражение философской установки, как это иногда пытаются делать. Речь у Гильберта идет о внутриматематическом языке, об отношении знака к знаку, а не о том, какова связь математических объектов с внешней реальностью.» [8. С. 113]. Отмечается также определенная связь подхода Гильберта с интуиционизмом и конструктивизмом, определенные их «контакты».

Интересна также оценка роли результата Гёделя, а также других теорем об ограниченностях формализмов: «.следует признать, что выводы Гёделя (как и ряд аналогичных теорем - А. Тарского, А. Чёрча и др.) не означают ущербности формальных систем. И хотя они указывают границы применимости формализмов, только на этом их значение не замыкается. На основе указанных решений удалось раскрыть существенные аспекты многих содержательных понятий.» [8. С. 121].

* Работа выполнена при поддержке РГНФ, проект № 06-03-00-276а.

Мы остановимся на роли идеальных образов («объектов») в обосновании аподиктического, математического знания, на характере и истоках этих идеальных образов.

Краеугольным камнем любых теоретико-познавательных рассмотрений является трактовка необходимого, теоретического знания. Именно подход к этому вопросу лежит в основе разграничения линий рационализма и эмпиризма. Как возможно и возможно ли познание, выводящее нас за «узкие границы возможного опыта»? Что вносит в наше познание, с одной стороны, разум, а с другой - опыт?

Образцом аподиктического знания традиционно выступает логикоматематическое знание, и вопросы его обоснования являются, по существу, вопросами обоснования аподиктического знания.

Особый интерес в обосновании теоретического знания, с нашей точки зрения, представляет программа, выдвинутая Д. Гильбертом. Суть этого подхода мы видим в обосновании вводимых идеализаций, «идеальных элементов» теории, а не в ее формализации и доказательстве непротиворечивости, как это обычно подчеркивается. По меткому замечанию Брауэра, как преступное деяние, не раскрытое правосудием, не становится от этого иным, так и доказательство непротиворечивости математической теории не служит ее обоснованием. Брауэр был бы прав, но суть программы Г ильберта в методе идеальных элементов.

Кантианские мотивы в интуиционизме хорошо изучены и освещены в литературе. Однако философские основания гильбертовской программы заслуживают особого внимания. Одна из задач данной статьи - показать роль философских идей И. Канта в гильбертовской программе. Другая - исследовать роль идеальных образов в обосновании аподиктического знания и в построении теоретических моделей мира.

На наш взгляд, ключом к пониманию финитной установки Гильберта служит Кантово разграничение двух видов применения разума - познание «согласно понятиям» и познание «посредством конструирования понятий».

Стремясь обосновать аподиктическое, математическое знание «независимо от всякого наглядного представления и опыта», логицизм ставил задачу построения математики на основе логики. Однако отказ от обращения к опыту и наглядному созерцанию (в любом смысле) ведет при этом подходе к умножению сущностей, ничем не ограничиваемому введению идеальных объектов. В основе классической математики лежат такие понятия, как множество натуральных чисел, бесконечно удаленная точка, трансфинитные числа, множество всех множеств и т.д., - таким образом, мы используем понятия, образованные разумом, но выходящие за пределы всякого опыта.

Согласно Гильберту, понятия, не имеющие созерцательного значения, типа понятия «бесконечное», недопустимы без дальнейшего ограничения в качестве основы разумного мышления. Важно подчеркнуть, что именно И. Кант указывал на «склонность разума к расширению за узкие границы возможного опыта», где «ни эмпирическое, ни чистое созерцание не держат разум в видимых рамках», и в этом случае необходимы строгие «заградительные меры», которые удержали бы его от «крайностей и заблуждений, так что вся философия чистого разума имеет дело только с этой негативной пользой» [4. С. 598, 599].

Д. Гильберт стремится сохранить всю классическую математику (весь «кан-торовский рай») в полном объеме. Но все высказывания математики он подразделяет на реальные (действительные) и идеальные. Первые являются содержательными сообщениями о подлинных объектах математики и, соответственно, могут оцениваться как истинные или ложные. Вторые таковыми не являются, не имеют самостоятельного значения и не могут оцениваться как истинные или ложные. Что же представляют собой подлинные объекты математики?

В противоположность логицизму Д. Г ильберт считает, что математика не сводима к логике (она обладает своим не зависящим от логики устойчивым содержанием), наоборот, предварительным и необходимым условием применения логических выводов и операций является наличие в нашем представлении внелогических конкретных объектов, которые «имеются в созерцании до всякого мышления». Именно такой характер объектов теории является гарантом надежности логики. Последнее положение приобретает характер общей теоретической, философской установки: «...для того, чтобы логические выводы были надежны, эти объекты должны быть обозримы полностью во всех их частях; их свойства, их отличие, их следование... даются непосредственно наглядно... Это - та основная философская установка, которую я считаю обязательной как для математики, так и для всякого научного мышления, понимания и общения и без которой совершенно невозможна умственная деятельность» [3. С. 351].

Но не превращаются ли в таком случае действительные предложения математики (например, арифметические законы) просто в эмпирические утверждения, пусть о конструктивных, но объектах наглядного созерцания? Но тогда, соответственно, мы возвращаемся к проблеме обоснования аподиктического характера математического знания.

Гильберт сам дает основание для такого истолкования действительных предложений - как содержательных сообщений об объектах наглядного созерцания, рассматривая их как утверждения о знаках и знаковых комбинациях. Так, в элементарной теории чисел мы имеем объект I (единицу) и из него по определенной схеме, согласно точно установленному пра -в илу, мы конструируем - в пространстве и времени - объекты: I, II, III, ... Каждый такой числовой знак можно распознать, в отличие от любого иного знака, благодаря тому, что в нем всегда за I следует I и ничто иное в него не входит. Эти числовые символы и являются объектами рассмотрения в элементарной теории чисел. Сами по себе эти символы не имеют никакого самостоятельного значения, они ничего не обозначают. Они - объекты содержательно-наглядных конструкций и только. Мы можем, например, ввести знаки «2» и «3» как сокращения для записи числовых знаков «II» и «III» соответственно. Тогда «3 > 2» - пример действительного предложения, содержательного утверждения о том, что числовой знак (объект) III следует за числовым знаком (объектом) II в нашем построении. Не трактуется ли в таком случае элементарная теория чисел как эмпирическая наука «об определенного рода вещах» - знаках и их соотношениях?

Мы постараемся обосновать, что действительные предложения вовсе не являются эмпирическими. Отмечая наглядный характер свойств объектов элементарной теории чисел, Д. Г ильберт в то же время, как бы противореча

самому себе, называет их мыслимыми вещами. Мы полагаем, что ключ к объяснению этой гильбертовской загадки в трактовке подлинных объектов математики следует искать именно в кантовской идее схематизма чистого созерцания.

Мы полагаем, что в гильбертовской концепции, по крайней мере в трактовке действительных предложений, реализуется кантовская идея обоснования математического знания, его аподиктического характера - познание в математике не есть познание разумом «посредством понятий», но есть познание «посредством конструирования понятий», что позволяет разуму благополучно расширяться за «узкие границы данного в опыте». Ибо конструировать понятие, согласно Канту, - значит показать априори соответствующее ему созерцание. «Следовательно, - пишет Кант, - для конструирования понятия требуется не эмпирическое созерцание, которое, стало быть, как созерцание есть единый объект, но тем не менее, будучи конструированием понятия (общего представления), должно выразить в представлении общезначимость для всех возможных созерцаний, подходящих под одно и то же понятие» [4. С. 600]. Точно так же гильбертовские числовые знаки I, II и т.д. как эмпирические созерцания представляют собой единичные объекты, но связанные с конструированием понятия конечного числа, они должны репрезентировать общее («общезначимость») для всех возможных вещей (созерцаний), подпадающих под это понятие, - они репрезентируют мысленные объекты и определенные конструирующие операции с ними.

Единичные эмпирические вещи потому могут репрезентировать общее («общезначимое»), что фактически они выполняют роль «кода» и кодируют общие правила, «действия по конструированию понятия». Именно в этом смысле числовые знаки у Гильберта выступают объектами рассмотрения в математике, они лишь способ представления в единичном, конкретном, эмпирическом созерцании процессов, связанных с конструированием понятий (например, процесса последовательного повторения однородного действия во времени).

Согласно Канту, в основе наших чистых чувственных понятий рассудка «лежат не образы предметов, а схемы». В том случае, когда мы имеем дело с такими понятиями рассудка, как число вообще или тысяча, например, мы не можем представить в воображении, создать образы объектов, соответствующих этим понятиям, - «мы не можем представить в одном образе множество, например тысячу». В таком случае наше мышление не есть мышление о предметах или образах предметов, оно является представлением о схеме, т. е. правиле, общем методе, посредством которого конструируется соответствующий понятию объект.

Именно обращение к методу конструирования соответствующих понятиям объектов меняет по существу саму схему представления познавательной деятельности и обоснования аподиктического знания. Мы не начинаем с конкретных предметов исследования, обобщая их в понятии, подводя эти предметы под данное понятие на основании присущих им общих признаков, наоборот, мы априори имеем схему «механизм», посредством которого конструируем предмет понятия. Тем самым достигается универсальность («общезначимость») получаемых математических истин, с одной стороны,

и обеспечивается их аподиктическая достоверность при условии расширения математического знания - с другой. Таким путем удается избежать того нежелательного обращения к эмпирии, к практическому подтверждению при обосновании математических истин, которые Г. Фреге, Ю. Дедекинд, Б. Рассел пытались устранить обращением к логике, определению математических терминов в терминах логики.

Конструируя понятие, например, треугольника, мы, согласно И. Канту, выходим за рамки тех свойств, которые заложены в дефиниции, присоединяя в чистом созерцании — подобно тому, как мы это делаем в эмпирическом созерцании, - только те свойства и соотношения, которые определяются схемой, правилами конструирования соответствующего созерцания. Этим обеспечивается аподиктический характер получаемых истин. Таким образом, в основе объяснения аподиктического и в то же время конструктивного характера действительного математического знания - и здесь одно как раз связано с другим - лежит именно идея схематизма нашего рассудка в отношении явлений. Следует подчеркнуть, что априорность здесь понимается в особом смысле - как общие условия, алгоритм конструирования объектов в соответствии с правилами и сообразно понятию. Мы еще коснемся этого вопроса ниже.

Отметим здесь два момента: гильбертовские действительные объекты теории чисел, во-первых, конструктивные объекты, во-вторых, представлены как объекты наглядного созерцания [7].

Не из анализа понятия (треугольника, например) извлекаем мы соответствующие объекты математики, а из схемы, правил конструирования соответствующего образа (даже если бы в мире не существовало ни одного конкретного треугольника). Математическое знание не есть тем самым область эмпирически данного. Это, скорее всего, знание не о том, что дано, а о возможном, конструируемом согласно определенным «схемам». Другое дело -вопрос о рамках такого конструирования.

Но если мы не можем создать образы предметов, соответствующих понятиям рассудка (величина, тысяча и т.д.), а схему ни в коем случае нельзя трактовать как образ, отображение (пусть в общих чертах) предмета исследования, как же тогда понимается конструирование соответствующего понятию созерцания? Как представить общее (в упомянутом выше смысле) гп сопсШо?

Интересно, что обычно, рассматривая идеи И. Канта, его трактовку математического знания в частности, не учитывают ту совершенно особую роль, которую Кант отводит использованию символизма в познании посредством конструирования понятий.

Согласно Канту, математика конструирует величины не только «как это делается в геометрии, но и величину как таковую (диаПйа8), как это делается в алгебре», но при таком конструировании мы совершенно отвлекаемся от свойств предмета, который должно мыслить согласно такому понятию величины». И здесь, чтобы представить в созерцании «все операции, производящие и изменяющие величину», необходим специальный символизм. Надо

выбрать определенные обозначения «для всех конструирований величин вообще (чисел)» - таковыми выступают операции сложения, вычитания, извлечения корня и т.д. - и все эти операции с величинами изобразить в созерцании, соответственно определенным общим правилам, действиями с соответствующими им знаками. «Таким образом, с помощью символической конструкции, так же, как геометрия с помощью остенсивной, или геометрической, конструкции (самих предметов)», алгебра достигает того, чего «дискурсивное познание посредством одних понятий никогда достигнуть не может» [4. С. 603]. Именно эта идея И. Канта - идея использования знаков и знаковых конструкций для изображения в созерцании содержательных, мысленных конструирований - получила свое развитие в формализме Д. Гильберта. В трактовке действительных предложений математики существенную роль играет использование символических конструкций, чтобы наглядно, т сопато, в единичном созерцании представить общее. Фактически именно обращение к идее схематизма чистого созерцания позволяет Г ильберту по-новому, в отличие от традиционной дилеммы эмпиризма и рационализма, обосновать аподиктический характер математического знания.

Однако даже элементарная математика, как отмечал Гильберт, «уже не остается на точке зрения наглядной теории чисел» и наряду с действительными включает идеальные высказывания, предполагающие введение объектов, которые в принципе не могут быть даны ни в эмпирическом, ни в чистом созерцании. В этом плане метод идеальных элементов как бы предполагает выход математики за рамки познания посредством конструирования понятий.

Это было бы так, однако, как нам представляется, все дело в статусе и условиях введения этих идеальных образов. С философской точки зрения «идеальным образам» (идеальным элементам - в терминологии Гильберта) отводится роль кантовских трансцендентальных идей, если под идеей «подразумевать понятие, образованное разумом, которое выходит за пределы всякого опыта и посредством которого конкретное дополняется в смысле целостности» [3. С. 364]. Именно этим определяется, на наш взгляд, обязательное условие, ограничение, с которым связывается введение идеальных элементов, - доказательство их устранимости из контекста всей теории. Доказательство формальной непротиворечивости связано у Д. Гильберта именно с элиминируемостью идеальных элементов (см. [5, 6]).

Суть дела не в том, что разум, расширяясь за границы возможного опыта, порождает и д е а л и з и р о в а н н ы е о б ъ е к т ы , а в том, что трансцендентальные понятия разума (такие как «мир в целом», «бесконечное», «бесконечно удаленная точка» и т.д.) не определяют объекты, за ними вообще не стоят объекты, - они являются «пустыми» в этом смысле. Именно этим обусловлена, на наш взгляд, установка на их элиминируемость. Придание этой «системе иллюзий и фикций» статуса подлинных объектов теории ведет к парадоксам.

В то же время такого рода понятия порождаются разумом в его стремлении достигнуть целостности и системности познания, они определяются этой целью. Именно такую роль в теории выполняют идеальные элементы Гильберта. Метод идеальных элементов позволяет сохранить всю систему

классической математики и логику в полном объеме, однако статус идеальных и действительных предложений - разные.

Именно идеальные высказывания, а не действительные играют определяющую роль в теоретическом конструировании моделей мира. Идеальные объекты выполняют функцию «строительных лесов» в таком конструировании. Чистые понятия разума (идеальные элементы, в терминологии Г ильбер-та), определяемые принципами систематизации знания, не извлекаются из опыта и не направлены на объекты. Этот важнейший аспект использования идеальных элементов определяет возможность конструирования теоретических картин мира, определяет принципиально иной подход к трактовке теоретического знания. Теоретическое познание не сводится к обработке, суммированию данных опыта. Это создает относительную независимость теоретических конструктов, возможность их «отрыва» от эмпирии. Речь идет не просто об «отображении» того, что имеет место, а о возможности построения теоретических картин мира. Таким образом, важнейший момент теоретической познавательной деятельности связан с активностью мышления, активностью мыслящего субъекта. Однако вопросы активности мышления получают совершенно иное, особое освещение. Во-первых, конструирование согласно «схеме» (познание посредством конструирования понятий) позволяет порождать объекты (созерцания), соответствующие понятиям. И тем самым обосновывать аподиктическую достоверность получаемого знания. С другой стороны, конструирование картины мира с помощью идеальных образов (идеальных элементов) выводит за рамки данного в опыте, позволяет существенно шире трактовать теоретическое знание.

Литература

1. Гёделъ К. Об одном ещё не использованном расширении финитной точки зрения // Математическая теория логического вывода. М., 1967.

2. Гильберт Д. Естествознание и логика // Кантовский сборник. Вып. 15. Калининград.

3. Гильберт Д. О бесконечном // Основания геометрии. М.; Л., 1948.

4. Кант И. Сочинения: В 6 т. М., 1964. Т. 3.

5. Смирнова Е.Д. Непротиворечивость и элиминируемость в теории доказательств // Философия в современном мире. Философия и логика. М., 1974.

6. Смирнова Е.Д. Логика и философия. М.: Роспэн, 1996.

7. Смирнова Е.Д. Кант и финитная установка Д. Гильберта // Логические исследования. М., 2003. Вып. 4.

8. Сухотин А.К. Философия математики. Томск, 2004.