Двусторонние оценки существенной высоты в теореме Ширшова о высоте

2. Makarychev K, Makarychev Yu., Romashchenko A., Vereshchagin N. A new class of non-Shannon-type inequalities for entropies // Communs Inform. Systems. 2002. 2, N 2. 147-166.

3. Zhang Z., Yeung R.W. A non-Shannon-type conditional information inequality // IEEE Trans. Inform. Theory. 1997. 43.1982-1986.

4. Успенский В.А., Семенов А.Л. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения. М.: Наука, 1987.

5. Верещагин Н.К., Шень А. Вычислимые функции. 2-е изд. М.: МЦНМО, 2008.

Работа посвящена получению двусторонних оценок существенной высоты в условиях теоремы Ширшова о высоте. Вводятся понятия выборочной высоты и сильной n-разбиваемости, непосредственно связанные с высотой и n-разбиваемостью, и доказываются нижние и верхние оценки выборочной высоты над не сильно n-разбиваемыми словами длины 2, причем эти оценки различаются лишь в 2 раза при любом n и достаточно большом l. Также разбирается случай слов длины 3. Разбор случая слов длины 2 можно обобщить до доказательства экспоненциальной верхней оценки в теореме Ширшова. Доказательство использует идею В. Н. Латышева, связанную с применением теоремы Дилуорса к исследованию не n-разбиваемых слов.

Ключевые слова: существенная высота, теорема Ширшова о высоте, комбинаторика слов, n-разбиваемость, теорема Дилуорса.

The paper is focused on two-sided estimates of the essential height in Shirshov's Height theorem. The notions of the selective height and strong n-divisibility directly related to the height and n-divisibility are introduced in the paper. We find lower and upper bounds for the selective height of non-strongly n-divided words over the words of length 2. These bounds differ by not more than twice for any n and sufficiently large l. The case of words of length 3 is also studied. The case of words of length 2 can be generalized to the proof of a subexponential estimate in Shirshov's Height theorem. The proof uses the idea of Latyshev related to the use of Dilworth's theorem to the of non-n-divided words.

Key words: essential height, Shirshov's height theorem, combinatorics of words, n-divisibility, Dilworth's theorem.

Введение и основные понятия. В 1958 г. А. И. Ширшов [1, 2] доказал свою знаменитую теорему о высоте.

Определение 1. Назовем И-алгебру А алгеброй ограниченной высоты И1у (А) над множеством слов У = {^1 ,П2,.. }, если И1у(А) — такое минимальное число, что любое слово х из А можно представить в виде

причем {ri} ограничены числом Hty(А) в совокупности. Множество Y называется базисом Ширшова для А.

Определение 2. Слово W называется n-разбиваемым, если его можно представить в виде W = WqW\  ...  Wn, где подслова Wi,..., Wn идут в порядке лексикографического убывания.

Теорема Ш^иршова о высоте [1, 2]. Множество всех не n-разбиваемых слов в конечно-порожденной алгебре с допустимым полиномиальным тождеством имеет ограниченную высоту H над множеством, слов степени не выше n — 1.

1 Харитонов Михаил Игоревич — студ. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: krab8nog@yandex.ru.

Поступила в редакцию 27.09.2010

УДК 512.552.4+512.57+519.1

ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ СУЩЕСТВЕННОЙ ВЫСОТЫ В ТЕОРЕМЕ ШИРШОВА О ВЫСОТЕ

М. И. Харитонов

1

Теореме о высоте и смежным вопросам посвящены работы [3-6]. В [5] доказано, что высота в условиях теоремы Ширшова меньше

Ф(П,1) = 287П+481.

В данной работе исследуются возможности получения точной оценки. С этой целью ведется работа в двух направлениях:

1) поиск наименьшей верхней оценки,

2) поиск не п-разбиваемого слова как можно большей высоты.

Для улучшения оценок в теореме Ширшова о высоте, полученных в [5], необходимо оценить выборочную высоту над множествами нециклических слов определенной длины. Мы рассматриваем случай, когда означенная длина равна 2. Этот случай имеет и самостоятельную ценность, так как к нему можно свести доказательство теоремы Ширшова с помощью кодировки.

Основным результатом работы являются следующие утверждения.

Теорема 1. Малая выборочная высота множества не сильно п-разбиваемых слов над ¡-буквенным алфавитом относительно множества нециклических слов длины 2 не больше Ф(п,1), где

ф(,,О = (2'-1)("-1)("-2).

Теорема 2. Малая выборочная высота множества не сильно п-разбиваемых слов над ¡-буквенным алфавитом относительно множества нециклических слов длины 3 не больше Ф'(п,Г), где

Ф'(п, ¡) = (21 - 1)(п - 1)(п - 2).

Теорема 3. Малая выборочная высота множества не сильно п-разбиваемых слов над ¡-буквенным алфавитом относительно множества нециклических слов длины 2 при фиксированном п больше Ф(п, ¡), где

п21

Ф(п,0 = ^(1-о(0)-

Следствие. Большая выборочная высота ¡-порожденной Р!-алгебры с допустимым полиномиальным тождеством степени п над множеством нециклических слов длины 2 меньше 2(п — 1)Ф(п,1), а над множеством нециклических слов длины 3 меньше 2(п — 1)Ф'(п, ¡).

Нижние оценки. Сопоставим полученные результаты с нижней оценкой для высоты. Высота алгебры А не меньше ее размерности Гельфанда-Кириллова СК(А). Для алгебры ¡-порожденных общих матриц порядка п данная размерность равна ^ — 1)п2 + 1 (см. [7]). В то же время минимальная степень тождества этой алгебры равна 2п в силу теоремы Амицура-Левицкого. Имеет место следующее

Предложение. Высота ¡-порожденной Р!-алгебры степени т, а также множества не т-разбива-емых слов над ¡-буквенным алфавитом не менее чем ^ — 1)т2/4 + 1.

Эта оценка линейна по числу образующих ¡.

Нижние оценки индекса нильпотентности были установлены Е. Н. Кузьминым в работе [8], где приведен пример 2-порожденной алгебры с тождеством хп = 0, индекс нильпотентности которой строго больше (п2 + п — 22)/2. В то же время для случая нулевой характеристики и счетного числа образующих Ю.П. Размыслов (см., например, [9]) получил верхнюю оценку индекса нильпотентности, равную п2.

Определение 3. Слово и назовем нециклическим, если и нельзя представить в виде ук, где к > 1. Слова и и V несравнимы, если одно из них является началом другого. Слова и и V назовем сильно несравнимыми, если любые их циклические сдвиги несравнимы.

Обозначение. Пусть й1 ,а2,...,а1 — буквы алфавита. Значение буквы аг считаем равным г. Буква а лексикографически больше а^, если г > ].

Заметим, что понятие сильной несравнимости разбивает слова на классы эквивалентности.

Определение 4. Циклическое слово — некоторое слово со всеми его сдвигами по циклу.

Определение 5. Алгебра А имеет существенную высоту Н = Иезз(А) над конечным множеством У, называемым в-базисом алгебры А, если можно выбрать такое конечное множество В С А, что А линейно представима элементами вида 11  ...  где ¡ ^ 2Н +1, и € В V Ьг = у^; у г € У), причем множество таких г, что Ьг € В, содержит не более Н элементов. Аналогично определяется существенная высота множества слов.

Определение 6. (а) Число Н называется малой выборочной высотой с границей к слова Ш над множеством слов 2, если Н — такое максимальное число, что у слова Ш найдется Н попарно непересекающихся, циклически несравнимых подслов вида гт, где г € 2,т> к.

(б) Число h называется большой выборочной высотой с границей k слова W над множеством слов Z, если h — такое максимальное число, что у слова W найдется h попарно непересекающихся подслов вида zm, где z Е Z,m> k, причем соседние подслова из этой выборки несравнимы.

Здесь и далее k = 2n.

(в) Слово W называется сильно n-разбиваемым, если его можно представить в виде W = WoWr .. . Wn, где подслова Wi,..., Wn идут в порядке лексикографического убывания и каждое из слов Wi, i = 1, 2,...,n, начинается с некоторого слова zk Е Z, все Zi различны.

(г) Множество слов V имеет малую (большую) выборочную высоту h над некоторым множеством слов Z, если h является точной верхней гранью малых (больших) выборочных высот его элементов над Z.

Говоря неформально, любое длинное слово есть произведение периодических частей и "прокладок" ограниченной длины. Существенная высота есть число таких периодических кусков, а выборочная высота учитывает только куски определенного вида.

s-Базис является базисом Ширшова тогда и только тогда, когда он порождает А как алгебру. Связь существенной высоты и размерности Гельфанда-Кириллова рассмотрена в работе [4].

n-Разбиваемость и теорема Дилуорса. Значение понятия n-разбиваемости выходит за рамки проблематики, относящейся к проблемам бернсайдовского типа. Оно играет роль и при изучении полилинейных слов, в оценке их количества, где полилинейным называется слово, в которое каждая буква входит не более одного раза. В. Н. Латышев применил теорему Дилуорса для получения оценки числа не являющихся m-разбиваемыми полилинейных слов степени n над алфавитом {ai,..., an}. Эта оценка есть (m — 1)2n, и она близка к реальности. Напомним эту теорему.

Теорема Дилуорса. Пусть n — наибольшее количество элементов антицепи данного конечного частично упорядоченного множества M. Тогда M можно разбить на n попарно непересекающихся цепей.

Впервые предложил применить эту идею к неполилинейному случаю Г. Р. Челноков в 1996 г.

Доказательство оценок. Доказательство теоремы 1. Пусть слово W не сильно n-разбиваемо. Рассмотрим некоторое множество попарно непересекающихся циклических несравнимых подслов W вида zm, где m > 2n, z — нециклическое двухбуквенное слово. Будем называть элементы этого множества представителями, имея в виду, что эти элементы являются представителями различных классов эквивалентности по сильной несравнимости. Пусть набралось q таких представителей. Пронумеруем их всех в порядке положения в слове W (первое — самое левое) числами от 1 до q. В каждом выбранном представителе в качестве подслов содержатся ровно два различных двухбуквенных слова.

Введем порядок на этих словах следующим образом: u — v, если u лексикографически меньше v и представитель, содержащий u, левее представителя, содержащего v. Из не сильной n-разбиваемости получаем, что максимально возможное число попарно несравнимых элементов равно (n — 1). По теореме Дилуорса существует разбиение рассматриваемых двухбуквенных слов на (n — 1) цепь. Раскрасим слова в n — 1 цвет в соответствии с их принадлежностью к цепям.

Введем биективное соответствие между следующими четырьмя объектами: натуральными числами от 1 до q, классами эквивалентности по сильной несравнимости, циклическими словами длины 2, в них содержащимися, и парами цветов, в которые раскрашены буквы этого циклического слова, где буква красится в тот же цвет, что и слово, которое с нее начинается.

Рассмотрим граф G с вершинами вида (k,i), где 0 < k < n, 0 <i ^ l. Две вершины (ki,ii), (k2 ,i2) соединяются ребром с весом j, если в j-м представителе содержится циклическое слово из букв ii,i2, которые раскрашены в цвета ki ,k2 соответственно. В нашем графе будет не менее (n — 1) компоненты связности, так как слова состоят из букв разного цвета.

Подсчитаем число ребер между вершинами вида (ki, ii) и вершинами вида (k2, i2), где ki,k2 фиксированы, ii ,i2 произвольны. Возьмем два ребра из рассматриваемого множества с весами ji < j2 и с концами в некоторых вершинах (ki,ii1), (k2,i2i) и (ki,ii2), (k2,i22) соответственно. Тогда по построению iii ^ ii2, i21 ^ i22, причем так как рассматриваются представители классов эквивалентности по сильной несравнимости, то одно из неравенств строгое. Поскольку вторые координаты вершин ограничены числом l, то вычисляемое число ребер будет не более 2l — 1.

Ввиду того что первая координата вершин меньше n, всего ребер в графе будет не более (2l — 1)(n — 1)(n — 2)/2. Таким образом, теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2. Доказательство будет схоже с доказательством теоремы 1. Пусть слово W не сильно n-разбиваемо. Рассмотрим некоторое множество попарно непересекающихся циклических несравнимых подслов W вида zm, где m > 2n, z — циклическое трехбуквенное слово. Будем называть элементы этого множества представителями, имея в виду, что эти элементы являются представителями различных классов эквивалентности по сильной несравнимости. Пусть набралось q таких представителей.

Пронумеруем их всех в порядке положения в слове Ш (первое — самое левое) числами от 1 до д. В каждом выбранном представителе в качестве подслов содержатся ровно два различных трехбуквенных слова.

Введем порядок на этих словах следующим образом: и — V, если и лексикографически меньше V и представитель, содержащий и, левее представителя, содержащего V. Из не сильной п-разбиваемости получаем, что максимально возможное число попарно несравнимых элементов равно п — 1. По теореме Дилуорса существует разбиение рассматриваемых трехбуквенных слов на (п — 1) цепь. Раскрасим слова в п — 1 цвет в соответствии с их принадлежностью к цепям.

Рассмотрим ориентированный граф С с вершинами вида (к, г), где 0 < к < п, 0 < г ^ ¡. Ребро с некоторым весом ] выходит из (к1 ,¿1) и входит в (к2,¿2), если для некоторого ¿з в ]-м представителе содержится циклическое слово г^2¿з; буквы г1,12 раскрашены в цвета к1,к2 соответственно.

Таким образом, граф С состоит из ориентированных треугольников с ребрами одинакового веса. Однако в отличие от графа С' могут появляться кратные ребра. Для дальнейшего доказательства нам потребуется следующая

Лемма. Пусть А, В и С — вершины графа С, А ^ В ^ С ^ А — ориентированный треугольник с ребрами веса ], кроме того, существуют другие ребра А ^ В, В ^ С, С ^ А с весами а,Ь,е соответственно. Тогда среди а,Ь,с есть число, которое больше ].

Доказательство. От противного. Можно считать, что а — наибольшее из чисел а, Ь. Если два числа из набора а, Ь, с равны друг другу, то тогда а = Ь = с = ], а это неверно по условию леммы. Значит, число а определено однозначно. Существует А' — такая вершина С, что треугольник АВСА' состоит из ребер веса а. Если вторая координата А равна второй координате А, то треугольники ААВС и АА'ВС сильно несравнимы и встречаются в двух различных представителях, а это невозможно, так как различные представители не сильно несравнимы. По предположению а < ], значит, вторая координата А меньше второй координаты А. Из этого следует, что Ь > а. Противоречие.

Рассмотрим теперь граф С1, полученный из графа С заменой между каждыми двумя вершинами кратных ребер на ребро с наименьшим весом. Тогда в графе С1 встретятся ребра всех весов от 1 до д.

Подсчитаем число ребер, выходящих из вершин вида (к1 ,г1) и входящих в вершины вида (к2,г2), где к1,к2 фиксированы, 11,12 произвольны. Возьмем из рассматриваемого множества два ребра с весами Л < 32, концы которых лежат в некоторых вершинах (к^г^), (к2 ,г21) и (к1, г12), (к2 , г22) соответственно. Тогда по построению г^ ^ г12 ,%21 ^ г22, причем поскольку рассматриваются представители классов эквивалентности по сильной несравнимости, то одно из неравенств строгое. Ввиду того что вторые координаты вершин ограничены числом ¡, вычисляемое число ребер будет не более 2¡ — 1.

Так как первая координата вершин меньше п, то всего ребер в графе будет не более (2—1)(п—1)(п—2). Таким образом, теорема 2 доказана.

Доказательство теоремы 3. Для доказательства приведем пример. Из формулировки теоремы следует, что можно положить ¡ сколь угодно большим. Будем считать, что ¡ > 2п-1. Для обоснования нашего примера воспользуемся конструкциями, принятыми в доказательстве теоремы 1. Таким образом, процесс построения примера сводится к построению ребер в графе на ¡ вершинах. Разобьем этот процесс на несколько больших шагов. Пусть на г-м большом шаге в приведенном ниже порядке соединяются ребрами следующие пары вершин: (г, 2п-2+г), (г, 2п-2+2п-3+г), (2п-2+г, 2п-2+2п-3+г), (г, 2п-2+2п-3+2п-4+г), (2п-2 + г, 2п-2 + 2п-3 + 2п-4 + г), (2п-2 + 2п-3 + г, 2п-2 + 2п-3 + 2п-4 + г), ..., (г, 2п-2 + ... +2 + 1+ г), ..., (2п-2 + ... + 2 + г, 2п-2 + ... + 2 + 1 + г), где г = 2, 3,...^ — 2п-1 + 1.

1. Никакое ребро не будет посчитано 2 раза, так как вершина соединена ребрами только с вершинами, значения в которых отличаются от значения в выбранной вершине на неповторяющуюся сумму степеней двойки.

2. Пусть вершина типа (к, г) — это вершина, которая на г-м шаге соединяется с к вершинами, значения в которых меньше значения ее самой. Для всех г существуют вершины типа (0, г), (1, г),... ,(п — 2,г).

Раскрасим в к-й цвет слова, которые для некоторого г начинаются с буквы типа (к, г) и заканчиваются буквами, с которыми вершина типа (к, г) соединяется ребрами на г-м большом шаге. Получена корректная раскраска в (п — 1) цвет, а значит, слово сильно п-разбиваемо.

3. На г-м большом шаге осуществляется (га 2Кга 3) шаг0в. Значит, д = (I — 2П~1)(п — 2)(п — 3)/2.

Тем самым теорема 3 доказана.

Доказательство следствия. Пусть при выборке подслов слова Ш, сделанной при определении его большой выборочной высоты, в одном из классов эквивалентности по сильной несравнимости среди периодических подслов оказалось (2п —1) элементов. Тогда найдется такое слово V = ип-1 степени (2п —2), которое содержится в каждом из этих элементов. Следовательно, в слове Ш найдется (2п — 1) слово вида ип-Чг, где иг не сравнимо с и. Допустим, что нашлось п слов Vij, которые лексикографически больше слова и. Тогда найдется следующая убывающая слева направо последовательность подслов слова Ш:

пУгг ,и2Уг2,... ,ипУгп. Аналогично рассматривается случай, когда нашлось п слов у^^, лексикографически меньших и. Значит, среди периодических подслов в выборке, полученной в ходе определения большой выборочной высоты разбиения слова Ш, в каждом классе эквивалентности по сильной несравнимости не больше (2п — 2) элементов. Применяя теперь теоремы 1 и 2, получаем доказываемое утверждение.

Автор приносит благодарности А. Я. Белову за помощь в написании статьи, а также А. В. Михалеву и В. Н. Латышеву за внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ширшов А.И. О некоторых неассоциативных ниль-кольцах и алгебраических алгебрах // Матем. сб. 1957. 41, № 3. 381-394.

2. Ширшов А.И. О кольцах с тождественными соотношениями // Матем. сб. 1957. 43, № 2. 277-283.

3. Белов А.Я. Проблемы бернсайдовского типа, теоремы о высоте и о независимости // Фунд. и прикл. матем. 2007. 13, № 5. 19-79.

4. Белов А.Я., Борисенко В.В., Латышев В.Н. Мономиальные алгебры // Итоги науки и техники. Сер. Современная математика и ее приложения. Алгебра-4. Темат. обз. № 26. М.: ВИНИТИ, 2002. 35-214.

5. Белов А.Я., Харитонов М.И. Субэкспоненциальные оценки в теореме Ширшова о высоте // Матем. сб. 2012 (см. также http://arxiv.org/abs/1101.4909).

6. Kemer A.R. Comments on the Shirshov's Height Theorem // Selected papers of A.I. Shirshov. Basel: Birkhauser Verlag AG, 2009. 41-48.

7. Procesi C. Rings with Polynomial Identities. N.Y.: Marcel Dekker, Inc., 1973.

8. Кузьмин Е.Н. О теореме Нагаты-Хигмана // Сб. трудов, посвященный 60-летию акад. Илиева. София, 1975. 101-107.

9. Размыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представлений. М.: Наука, 1989.

Поступила в редакцию 27.06.2011

УДК 519.718

МЕТОД СИНТЕЗА ЛЕГКОТЕСТИРУЕМЫХ СХЕМ В ОДНОМ БАЗИСЕ,

ДОПУСКАЮЩИХ ЕДИНИЧНЫЕ ПРОВЕРЯЮЩИЕ ТЕСТЫ КОНСТАНТНОЙ ДЛИНЫ

Д. С. Романов1

В работе предлагается метод синтеза неизбыточных схем из функциональных элементов в базисе {x&y,x ф y, 1,x(y V z) V x(y ~ z)}, реализующих произвольные булевы функции и допускающих единичные проверяющие тесты длины не более 4 при инверсных и произвольных константных неисправностях на выходах элементов.

Ключевые слова: схема из функциональных элементов, проверяющий тест, константная неисправность на выходе элемента, инверсная неисправность на выходе элемента, функция Шеннона, легкотестируемая схема.

It is constructively proved that any Boolean function of n variables may be implemented in the basis of gates {x&y,x ф y, 1,x(y V z) V x(y ~ z)} by a testable combinational circuit admitting a fault detection test set whose power does not exceed 4 under arbitrary single inverse or constant (stuck-at) faults at outputs of gates.

Key words: combinational circuit, fault detection test set, constant (stuck-at) fault at output of gate, inverse fault at output of gate, Shannon function, easy-testable circuit.

Пусть /(Хп) — произвольная булева функция, формально зависящая от переменных Х1,Х2,...,хп, а 5 — схема из функциональных элементов в некотором базисе В, реализующая функцию / (все определения, не введенные в данной статье, можно найти в монографии [1]). Пусть на схему 5 действует

1 Романов Дмитрий Сергеевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математической кибернетики ф-та ВМК МГУ, e-mail: romanov@cs.msu.ru.