Оценка диапазона возможных значений вероятности пребывания в заданном состоянии марковской модели производственно-экономической системы

- минимизация отклонений от оптимального уровня незавершенного производства;

- максимальная загрузка основного технологического оборудования;

- максимальное использование имеющегося фонда рабочей силы.

Распределение заданий на рабочие места и автоматизированный контроль за выполнением технологических операций осуществляются в системе на основании оформления традиционных рабочих нарядов.

Рабочие наряды формируются в соответствии с текущим производственным расписанием.

Расчетные данные показывают, что АС ОКП снижает время выполнения производственной программы на 10 %.

Комплексная АС конструкторско-технологи-ческого анализа, в состав которой входит система ОКП, позволяет значительно повысить эффективность опытного производства. Возможность моделирования по разным критериям с учетом сущест-

вующих ограничений дает возможность выбрать несколько реализаций данного проекта и использовать наиболее оптимальный из них.

Литература

1. Попов П.М. Оптимизация технических решений проектирования и управления на основе экономико-математических методов анализа: монография. Ульяновск: УлГТУ, 2000. 154 с.

2. Основы автоматизации машиностроительного производства: учеб. для машиностроит. спец. вузов / Е.Р. Ковальчук, М.Г. Косов, В.Г. Митрофанов [и др.]; под ред. Ю.М. Соломен-цева. М.: Высш. шк., 1999. 312 с.

3. Ларин С.Н. Основные задачи обеспечения технологичности конструкции изделия в автоматизированных системах // Автоматизация управления. 2004. № 4. С. 62-67.

4. Информационная поддержка жизненного цикла изделий машиностроения: принципы, системы и технологии CALS/ИПИ / А.Н. Ковшов, Ю.Ф. Назаров, И.М. Ибрагимов, А.Д. Никифоров. М.: Издат. центр «Академия», 2007. 304 с.

5. CALS (Continuous Acquisition and Life Cycle Support -непрерывная информационная поддержка жизненного цикла продукции) в авиастроении / Б.М. Абрамов, В.Н. Агарков, М.М. Артемьев, А.С. Башилов; науч. ред. А.Г. Братухин. М.: Изд-во МАИ, 2002. 260 с.

ОЦЕНКА ДИАПАЗОНА ВОЗМОЖНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТИ ПРЕБЫВАНИЯ В ЗАДАННОМ СОСТОЯНИИ МАРКОВСКОЙ МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВЕННО-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ1

Ю.Г. Бояринов, к.т.н.; М.И. Дли, д.т.н.; В.В. Круглов, д.т.н.

(Филиал Московского энергетического института (технического университета) в г. Смоленске,

byg@yand.ex. ги)

Рассмотрена задача нахождения оценки диапазона возможных значений вероятности пребывания в заданном состоянии в марковской модели производственно-экономической системы при интервальной неопределенности об ин-тенсивностях потоков событий. Решение получено с использованием уравнений Колмогорова и аппарата матричной алгебры. Приведен иллюстрирующий пример.

Ключевые слова: производственно-экономическая система, марковская модель, интервальная неопределенность параметров модели, предельные вероятности переходов из состояния в состояние, диапазон возможных значений вероятности пребывания в заданном состоянии.

Известно, что марковские (полумарковские) модели [1] являются удобным инструментальным средством для исследования сложных, в том числе производственно-экономических, систем [2, 3]. Указанные модели подобных систем обычно представляются в виде ориентированного графа, вершины которого соответствуют возможным состояниям системы, а веса соединяющих их дуг -таким числовым параметрам, как интенсивности переходов из одного состояния в другое (интен-сивностям потоков событий). При моделировании в качестве показателя эффективности обычно применяется значение вероятности нахождения системы в некотором состоянии, при этом основным затруднением в использовании данных моделей является неполнота статистической информации о значениях интенсивностей [3]. В статье рассмотрена задача нахождения оценки диапазона

возможных значений вероятности пребывания системы в заданном состоянии при интервальной неопределенности об интенсивностях потоков событий.

Постановка задачи. Предполагается, что в рамках марковской модели задан граф состояний системы со стационарными пуассоновскими потоками событий, переводящими систему из состояния Sj в состояние Sj. Число вершин графа ограничено, п<10. Точные значения интенсивностей переходов Wjj неизвестны (очевидно, все Wjj>0), для ненулевых wy заданы лишь интервалы их возможных значений w^ min<Wjj<Wjj max, при этом предполагается, что длина каждого интервала намного меньше, чем положение его центра, то есть

Wij max Wij min«(wij max+wij min)/2,

Wij max>0; i=1,2,—, n; j=1,2,..., n.

Заметим, что общее количество N ненулевых параметров Wij в случае, если каждая из п вершин графа соединена дугами с остальными (п-1) вершинами, равно N=(1(11-1): на практике обычно имеют место 1-3 связи каждой вершины с другими, так что можно полагать N«2-11.

В условиях такой неполноты информации о модели требуется найти оценку интервала возможных значений вероятности пребывания системы в заданном состоянии, соответствующем, например, нормальному функционированию системы в предположении стационарного режима работы.

Метод решения задачи. При известных значениях интенсивностей wij, то есть в условиях полной информации о параметрах модели, вероятности переходов из одного состояния системы в другое в установившемся режиме (предельные вероятности) находятся из уравнений Колмогорова [4]:

1рГ«,-Р1-|>ц=0

¡=1 ¡=1

Первая сумма в левой части формулы (2) распространяется на те значения j, для которых возможен непосредственный переход из состояния Sj в состояние (то есть для которых « ¡¡^0). а вторая - на те значения ¡. для которых возможен непосредственный переход из в Sj (то есть

Приведенные уравнения дополняются нормировочным условием

IPi=l

Совокупность уравнений (2) и (3) позволяет определить значения вероятностей р15 р2, ..., рп, при этом для получения однозначного решения нормировочное условие (3) можно использовать вместо любого из уравнений (2), например, вместо последнего п-го уравнения. Совокупность используемых уравнений можно при этом записать в век-торно-матричной форме:

Ар=б,

где р = [р15 р2, ..., рп]т - вектор-столбец, элементами которого являются искомые вероятности (здесь Т - символ транспонирования); Апхп - матрица, элементы первых (п-1) строк которой определяются в соответствии с выражениями (2) и зависят, следовательно, от значений интенсивностей а элементы п-й строки - единицы;

Ь = [0, 0, ..., 0, 1]т - вектор-столбец, все элементы которого, кроме последнего, нулевые, а последний, п-й - единица.

Отсюда получаем:

р=А-1 б.

Если нас интересует вероятность pi только какого-то одного Ьго состояния, то на основании (5) можно записать:

Р^с-А'-б,

где с=[0,0,...Д,0,.„, 0] - вектор-строка, у которого все элементы, кроме Ьго, нулевые, а ^=1.

На практике решение указанной задачи затруднено вследствие недостатка статистических данных, на основе которых можно было бы определить вероятностные характеристики марковской модели. В условиях рассматриваемой задачи имеющаяся неопределенность о параметрах модели отражена совокупностью неравенств (1), задающих интервалы возможных значений этих параметров.

Точное решение поставленной задачи достигается решением двух оптимизационных задач (нелинейного программирования):

Рм>т»^-[А({№ц})] '-б PtainmajcIAttWy})]1^

¡WijHlw

где - совокупность параметров модели (интенсивностей); О,, - область допустимых значений этих параметров (гиперпараллелепипед, заданный совокупностью неравенств ,„!Г1<лл ¡¡< ^ тах), а обозначение А(^^}) указывает на зависимость матрицы А от искомых параметров.

Нетрудно показать, что аналитическое решение (7), (8) удается получить лишь в простейших случаях для небольших размерностей модели, п<3. Однако и численное решение, например, с помощью современных систем компьютерной математики типа М&Нсай, МЛТЬЛБ, возможно лишь при числе аргументов (ненулевых параметров wij) не более 12-15.

При большей размерности задачи, по-видимому, единственное, что можно сделать, - это получить лишь некоторую оценку интервала возможных значений рь

Для получения такой оценки введем обозначения:

- для средней точки ^-го ненулевого параметра модели

W.. +W.. .

ij max ij min

2

- для максимального отклонения значения указанного параметра от средней точки интервала его возможных значений

Aw.. =w-- —w..=w..—w.. . .

Отметим, что, исходя из соотношений (2) и (3) для элементов матрицы А, имеем: А({ wH +AwH })=А({ wn })+А({ AwH })= Ä +АА,

где А=А('\у..!), ДА=А('Д\\ ..!).

Обозначим через X решение системы А({^ц})х = Ах = б, а через х+Ах - решение системы A({wij+Awij}И5+Ax)=

п

=

Из последнего равенства будем иметь А  х +АА- х + А -Ах+АА-Ах= б .

Вычитая из этого соотношения

отсюда

Ах= -А"1 •

Теперь, используя норму 1 матриц и векторов и на основании свойств нормы [5], запишем:

№ М1К И-Н+И-Н)-

Норма 1 вектора х есть сумма абсолютных величин его элементов. Поскольку эти элементы -неотрицательные величины, являющиеся вероятностями полной группы событий, то ||х||=1 (см. соотношение (3)). Ввиду этого далее следует

и-(1-й-N1) * и-И

и, если дополнительно предположить, что

И

МНИ

1-М11-М.

Умножим обе части полученного неравенства на норму вектора-строки с (см. выше):

ним'И мм

Поскольку

и на основании определения вектора с , ||с|| = 1, окончательно имеем

1ни

1-М1НИ

(знак модуля в правой части неравенства опущен, поскольку левая часть всегда неотрицательная).

Использование (17) позволяет записать границы интервала возможных значений для интересующей нас вероятности:

Р1„ш,=р,-Лрь

Р1тах=Р1+АрЬ

где р, = с • х, а х находится в результате решения уравнения (12).

Иллюстрирующий пример. Пусть задана структура вида, представленного на рисунке, необходимо найти предельную вероятность р2 пребывания системы в состоянии «2.

Пусть заданы следующие интервалы для параметров системы: 1.975 <\¥12< 2.025, 0.975 <\¥14< 1.025, 0.975 <\¥24< 1.025, 2.950 <\¥31< 3.050, 1.975 <\¥41< 2.025, 1.975 <\¥4з< 2.025.

Тогда в соответствии с изложенным имеем:

-(№12+\у14) О \у

А

' 12 \У12

0

1

О

о

0

1

-«3 1

^43 1

Ь=[0 0 0 I]1, С =[0 1 0 0], \У12 =2, у/и=1,

™24 =1» *31 =3' ^41 =2» ™43 =2;

А =

31 41

-3 0 3 2-10 0 0-3 111

А=

-0.050 0.025 0 0

0

-0.025 0 0

0.050 0

-0.050 0

0.025 0

0.025 0

Использование уравнения (12) и соотношения р2=сх дает р2=0.471, а из неравенства (17) следует Ар2<0.118 (расчеты проводились в среде МАТЬАВ версии К2008а) и далее - по (18), (19) -получаем окончательно р2 „,¡„>0.353, р2 тах<0.589.

Проверка полученных результатов проводилась путем нахождения решений оптимизационных задач (7), (8) с помощью функции МАТЬАВ ]т1псоп (функции минимизации скалярной функции многих аргументов [6]). В этом случае интервал возможных значений вероятности р2 таков: 0.459<р2<0.482,

Как видно, результаты вычислений не противоречат друг другу, более того, понятно, что приближенное решение на основе предложенного метода дает более широкий интервал. По-видимому, совпадение будет тем лучше, чем меньше интервалы неопределенности для параметров марковской модели.

В заключение отметим, что рассмотрена марковская модель производственно-экономической системы, отличающаяся интервальной неопределенностью об интенсивностях потоков событий. Целью исследования являлось нахождение диапазона возможных значений вероятности пребыва-

ния системы в заданном состоянии. Показано, что такая задача сводится к задаче нелинейной оптимизации скалярной функции многих переменных. Указано на трудность получения как аналитического решения данной задачи, так и прямого использования численных методов ввиду возможной большой размерности задачи. Предложен метод приближенного нахождения границ интервала неопределенности для требуемой вероятности, использующий аппарат матричной алгебры, который с вычислительной точки зрения представляется более простым, чем прямое решение оптимизационной задачи. Действительно, операции даже с матрицами размера 10x10 проще, чем поиск экстремума функции 20 и более переменных при наличии ограничений типа неравенств.

Литература

1. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987.

2. Куликов Г.Г., Флеминг П.Дж., Брейкин Т.В., Арьков В.Ю. Марковские модели сложных динамических систем: идентификация, моделирование и контроль состояния (на примере цифровой САУ ГТД). Уфа: УГАТУ, 1998.

3. Бояринов Ю.Г., Мищенко В.И. Основные направления повышения эффективности полумарковских моделей производственно-экономических систем // Программные продукты и системы. 2009. № 2. С. 144-148.

4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Наука, 1991.

5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974.

6. Дьяконов В.П., Круглов В.В. MATLAB 6.5 SP1/7/7 SP1/7 SP2 + Simulink 5/6. Инструменты искусственного интеллекта и биоинформатики. М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2006.

АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ПРОЦЕДУР ВКЛЮЧЕНИЯ СВЯЗАННЫХ ЛЕКСЕМ В СТРУКТУРУ ИНФОРМАЦИОННО-ТЕРМИНОЛОГИЧЕСКОГО БАЗИСА

И.В. Ковалев, д.т.н.; М.В. Карасева, к.т.н.; В.О. Лесков

(Сибирский государственный аэрокосмический университет им.. академика М.Ф. Решетнева,

г. Красноярск, kovalev.fsu@mail.ru)

В статье рассмотрены вопросы модификации адаптивного алгоритма структурирования базисного информационного компонента мультилингвистической адаптивно-обучающей технологии для применения методики обучения иностранной лексике посредством построения внутриязыковых ассоциативных полей.

Ключевые слова: мультилингвистическая адаптивно-обучающая технология, информационно-терминологический базис, частотность, лексически связанные компоненты.

Методика обучения иностранной лексике на основе лексически связанных (ЛС) компонентов (ЛСК-методика) [1] строится на специально подготовленной информационно-терминологической базе. Особенность данной методики состоит в том, что она позволяет искусственно формировать строго организованные системы внутриязыковых ассоциативных связей непосредственно в процессе обучения иностранной лексике. Являясь при этом частью мультилингвистической адаптивно-обучающей технологии [2], ЛСК-методика также учитывает языковые аналоги изучаемых лексем на всем множестве языков, с которыми работает [3].

Построение информационно-терминологического базиса (ИТБ) [4] как совокупности лексически связанных компонентов (ЛС-компонентов) -задача сама по себе неоднозначная. Многое зависит от требований, которые предъявляются к базису лингвистами и специалистами предметных областей, привлеченными к разработке. Такими требованиями могут быть фиксированное количество основных лексем или связанных лексем в компоненте, время разработки базиса, его качество, оцениваемое по некоторым критериям, и т.д.

Перед тем как перейти непосредственно к алгоритмам формирования ИТБ ЛСК-методики,

следует кратко описать структуру ЛС-компонен-тов.

ЛС-компонент

Структура ЛС-компонента схематично представлена на рисунке.

Лексему, связанную со всеми без исключения лексемами ЛС-компонента ИТБ, принято называть

I Ц12

( 1: vi

Ц15

5: v5y

ЛС-компонент ИТБ Лексемы: 1 - основная лексема; 2, 3, 4, 5 - связанные лексемы; лексические связи: 1-2, 1-3, 1—4, 1-5; количественные характеристики: V! - абсолютная частота 1-й лексемы, ц1к -абсолютная частота сочетания 1-й и ^й лексем.