О влиянии турбулентного нагрева ионов на филаментацию высокочастотного излучения

УДК 533.951

О ВЛИЯНИИ ТУРБУЛЕНТНОГО НАГРЕВА ИОНОВ НА ФИЛАМЕНТАЦИЮ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО

ИЗЛУЧЕНИЯ

К. Ю. Вагин, В. П. Силин, С. А. Урюпин

Дано гидродинамическое описание влияния турбулентного нагрева ионов на филаментацию высокочастотного излучения в неизотермической плазме. Установлен характерный размер филамента и показано, что турбулентный нагрев ионов приводит к существенному увеличению коэффициента усиления филамента.

Эффективная частота столкновений электронов в плазме с ионно-звуковой турбулентностью (ИЗТ) существенно больше, чем в ламинарной плазме, что, в частности, является причиной ограничения электронного переноса тепла. Вследствие этого имеет место относительное увеличение возмущений плотности электронов из-за обратно го тормозного поглощения излучения и их охлаждения электронным потоком тепла. Тем самым, в турбулентной плазме проще реализуются условия, в которых такие параметрические неустойчивости, как филаментация [1,2] и вынужденное рассеяние Мандельштама-Бриллюэна [1, 3], обусловлены тепловой нелинейностью плазмы. При этом филаментация лазерного излучения в турбулентной плазме [1, 2] возникает при плотностях потока меньших, чем в ламинарной плазме (см., например, [4 - 7]). Другой важной особенностью плазмы с ИЗТ является аномальный турбулентный нагрев ионов, который порождает весьма большие относительные возмущения температуры ионов, сравнимые с относительными возмущениями плотности и температуры электронов. В этой связи возникает необходимость в последовательном учете нагрева ионов при рассмотрении параметрических неустойчивостей [3]. Цель настоящего сообщения - дать описание влияния турбулентного нагрева ионов на явление филаментации.

Основу дальнейшего рассмотрения составляет система гидродинамических уравне ний для плотности и температуры электронов, и температуры ионов, описывающих

квазистационарное состояние плазмы с ИЗТ. Базируясь на этих уравнениях, найдено возмущение плотности электронов, порождаемое возмущением поля электромагнитной волны. Используя такое возмущение плотности и укороченные уравнения для филамен-тационных возмущений поля, получено выражение для коэффициента пространствен ного усиления филамента. Найдены зависимости характерного размера наиболее эффек тивно усиливающегося филамента и максимального коэффициента пространственного усиления филамента от угла между волновым вектором филаментационных возмущений и направлением анизотропии ИЗТ. Показано, что турбулентный нагрев ионов облегчает развитие филаментационной параметрической неустойчивости.

В основу дальнейшего рассмотрения положим систему гидродинамических уравне ний, описывающих квазистационарное состояние неподвижной плазмы с ИЗТ в высо кочастотном электромагнитном поле

VP = --^-V|E|2,

107ГПС

divq = ve~— |Е|2 - |i/rn/cT,

07rnc 2

3

divq; = -vttihT.

Здесь р = пк(Т + Ti/Z) - давление, к - постоянная Больцмана, Z - кратность ионизации ионов, п - плотность электронов, Т и Тг - температуры электронов и ионов. пс = mijûQ/47ге2 - критическая плотность электронов для излучения с частотой u;o, е и m - заряд и масса электрона, Е - напряженность высокочастотного поля,

_ 4 уДKZAe4n Uei ~ 3 vW«?1)3/2

- частота электрон-ионных столкновений, А - электронный кулоновский логарифм, vj

- турбулентная частота релаксации температуры, q и qt - тепловые потоки электронов и ионов. Уравнения (1) - (3) записаны в условиях, когда в плазме отсутствует электри ческий ток. Ограничимся рассмотрением уравнений (1) - (3) в условиях, когда тепловой поток электронов и порождаемый им уровень турбулентных шумов велики настолько, что

3 1 ZT

R = -UK\VT\ > RNL = —mnVsULi-—,

Z 07Г 1 i

где vs - скорость звука, ш/,,- - ленгмюровская частота ионов. При этом для турбулентно!! частоты Рт и электронного потока тепла q имеют место соотношения

иТ = 1.3^,

LT

128 Я т R f-T\

q=-n -q, q = —f3nnTvs]l,

где n = VT/|VT|, Lt = |VlnT|_1 - характерный масштаб неоднородности температуры, /? = 0.25. Наконец, будем считать, что рассеяние ионов в основном определяется их столкновениями между собой. Тогда, для теплового потока ионов справедливо соотно шение Фика

q, = -XiVTi,

и обычное выражение для коэффициента теплопроводности

ПК2 Т.;

Л, = 3.91—-Ц 9

Z rrii va

где rrii - масса ионов, г/,-,- - частота ион-ионных столкновений

_ 4

"" 3 у/пГ^кТ,)3/2'

Л; - кулоновский логарифм для ионов.

Воспользуемся уравнениями (1) - (3) для отыскания возмущения плотности электронов, порождаемых возмущением квадрата модуля амплитуды поля

¿Я2 ехр

Примем, что все гидродинамические величины имеют такую же зависимость от волнового вектора возмущений к и изменяются на масштабах много меньших характерного масштаба неоднородности плазмы L. При kL 1 из (1) - (10) приближенно получаем систему уравнений для возмущений 8п, 8Т и 8Т{

8п ггг1 6Т{ 8Е2 , ч

-Т— = 8Т+-^ + --, 12

п L \Ьтткпс

' k4rqf

к2кТ 1

--6Т{ = -ikvsZ8T cos0,

rriiVii 2

где в - угол между векторами к и п. Из (12) - (14) сразу находим возмущение плотности электронов, порождаемое возмущением поля 6Е2

8п е26Е2

п Атш^кТ

1 +

У^ 1 1+ги^ТГС05в 24

кЬ т

В (15) использованы обозначения для длин свободного пробега тепловых электронов в ламинарной /е,- = и турбулентной плазме 1т = г-'т/Щ, где

= \ --—•

V о пть3

Первое слагаемое - единица в фигурных скобках (15) - связано с пондеромоторным воздействием высокочастотного поля. Второе слагаемое, содержащее длины свободного пробега электрона, описывает возмущение плотности, возникающее при нагреве элек тронов из-за столкновительного поглощения поля и их охлаждения потоком тепла в турбулентной плазме. Напомним, что использование представлений о локальном пе реносе тепла оправдано при Zk2ltlei <С 1. Наличие такого неравенства позволяет в дальнейшем говорить о тепловом механизме филаментации и пренебречь единицей в фигурных скобках формулы (15).

Зная возмущение плотности электронов, перейдем к рассмотрению явления фила ментации. С этой целью представим поле электромагнитной волны в виде

Е

где е - единичный вектор поляризации волны накачки, к0 - волновой вектор волны. к0е = 0. Для простоты примем к0к = 0, ке = 0. При этом 8Е2 имеет вид

8Е2 = Е"08Е+Х + Е08Е*_Х.

Как обычно, для филаментационных возмущений электромагнитного поля имеем систе му укороченных уравнений вида

Принимая, что характерная длина изменения филамента в направлении распространения волны много меньше решение уравнений (19) - (20) ищем в виде 6Е+х(г) ~ 8Е^х{г) ~ ехр[(г'Д + С)к0г/&0]- Тогда для коэффициента усиления филамента и поправки А к волновому числу к0 находим

1с2

Д = —1тМ,

(л

С2 = к2 Здесь функция N имеет вид

+ к2

ReN -

к2 Щ

+ [/тА]2.

_ у/2ж 1 /УЕШи у ~ 384/3 к2и1е{\уТ кос)

х

X

1 +

/гт\г/2

2к1ц V Т{ )

сое в

1 /гт\3/2 I-1 1 + 81П2 0 + . ( £±_ ) со82 в

2к2Ьт1ц \ Т, /

ье = \еЕо\/тшо - асмплитуда скорости осцилляций электрона в высокочастотном поле, = ^кТ/т - тепловая скорость электронов, шье ~ ленгмюровская частота электронов, /,,' = Ул/иц - длина свободного пробега ионов с тепловой скоростью

Прежде всего, отметим, что при значениях углов удовлетворяющих неравенству

соэ в\ < 2кцт1/гту'2,

в (22) можно полностью пренебречь мнимой частью N. При этом в наиболее интересном и легко реализующемся случае, когда Ьт /;,'(2Т/Т:)1/'2 ~ /е1(Тг/£Т)3/'2, коэффициент усиления (22), (23) переходит в полученный ранее в рамках подхода, не учитывающего турбулентный нагрев ионов [2].

Далее остановимся на обсуждении противоположного предельного случая

когда в (22) можно опустить Ие N. Тогда коэффициент пространственного усиления филамента (22) принимает вид

с2 =

к4

где использованы обозначения

^ Л^и^л2 1Т Т< (27]

48/3 \vTkocJ ' 1

В = 2к20ьт1а -

Для обсуждаемых филаментационных возмущений поля, когда ке = 0 и кк0 = 0, угол О между векторами кип определяется однозначно, если определена ориентация векторов к0 и е относительно п. Имея в виду это замечание, рассмотрим коэффициент усиления С (25) как функцию волнового числа к. С этой целью введем безразмерное волновое число

V = у/Вк/ко и коэффициент пространственного усиления Р = \Z8BG/к0. Тогда выражение (25) принимает вид

Р2 = -у4 + {у8 + В2у2 соз2 0[соз2 в + у2{2 - сов2 А)]"2}1'2

и содержит зависимость лишь от одного параметра

3/2 гр ч 13/4

/ ( 1 \ '( Т \]

Л - АВ>» = V-sL^rf

где / = с\Ео\2/8тг - плотность потока излучения. Величина 10 определяет пороговое значение плотности потока излучения Ith = /о(2 — cos2 в) в турбулентной плазме без учета турбулентного нагрева ионов в том случае, когда порог неустойчивости характеризу ется масштабом неоднородности порядка Ьт, и имеет вид [2]

24/? Ithi ( к0с\ 2 n\mv2T

Iq = --JY — с-•

27Г Ly \ ш0 ) п

Для определения тех Ym = Ym(0,B), при которых коэффициент усиления Fm(0,D) = F{Ym{6, В), в, В) максимален, воспользуемся условием dF/dY\Y=Ym = 0. Тогда из (28) находим

{1 + B2y-J cos2 0[cos2 9 + y2m{2 - cos2 в)}'2}"2 =

= 1 + ^64COs2Vs2 в - у2т{2 - cos2 0)][cos2 в + yl

Результаты численного решения уравнения (31) и графики функции Fm(0:B) представлены на рис. 1 и рис. 2 для нескольких значений параметра В. Представленные на этих рисунках зависимости допускают аналитическое описание в двух предельных случаях. Сначала рассмотрим такие условия, когда

.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

cos©

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

COS©

Рис. 1. График зависимости безразмерного волнового числа ут(0) наиболее эффективно усиливающегося филамента как функции угла в между волновым вектором филамента и осью анизотропии турбулентных шумов. Кривые отвечают следующим значениям параметра Б: 1 - 10; 2 - 1; 3 - 0.1; 4 - 0.01; 5 - 0.001.

Рис. 2. График зависимости безразмерного максимального коэффициента пространственного усиления филамента Гт(в)/\/Т). Значения параметра Б те же, что и на рис. 1.

cos 6j < Dl'\

В этом случае А = (7, а сам коэффициент С описывается выражением (25), в котором до статочно удержать лишь слагаемое, содержащее А. Удерживая в (31) лишь содержащее £>2 наибольшее слагаемое, находим волновое число

кт(в) =

к0 cos в\ (ZT\3/4 1 | cos6>|

у/ВлД — COS в \TiJ y/TLrUi у/2 — cos2 0 и отвечающий ему коэффициент усиления

Gm{6) = £

А2

5

1/4

= 2

1/4

где £то(0) _ известный максимальный коэффициент усиления в теории, не учитывющей турбулентный нагрев ионов [2]

~

С учетом зависимости (33) неравенство (24), определяющее область применимости со отношений (33), (34), эквивалентно условию

Отсюда и из (34) следует, что Gm(0) Go(6). Это означает, что турбулентный на грев ионов существенно повышает максимальный коэффициент усиления филамента и облегчает возможность развития филаментационной параметрической неустойчивости. Приведенные выше зависимости (33), (34) описывают те участки кривых на рис. 1 и рис. 2, где выполнено неравенство (32). Отметим, что при D 1 выражения (33), (34) пригодны во всем диапазоне углов 0, так как неравенство (32) в этом случае выполнено для всех | cos 01.

Поскольку выражение для D

В этом случае в (31) можно опустить малые члены вида y^(2 —cos2 в). При этом находим

кт{в) = ^А^ |со8Г1/3

960 \ZT)

4 "le LT

1/3

С2 ltle

cos в I

-1/3

и следующее выражение для коэффициента усиления

Gm

ко

Т

cos в\

2/3

cos 0\~2/3у/2 — cos2 0Go(0) (Lf ко

1/3

Поскольку обычно koLт(Ti/ZT)2 1, то из (39) видно, что и в пределе (37) коэффициент усиления Ст(0) больше £?о(0), возникающего в теории, не учитывающей турбулентный нагрев ионов. Отметим, что зависимости (38), (39) описывают те участки кривых на рис.1 и рис. 2, для которых выполнено неравенство (37).

Подводя итог нашему рассмотрению отметим, что приведенные выше закономерности филаментации имеют два существенных отличия от установленных ранее в [2] без учета турбулентного нагрева ионов. Во-первых, увеличение возмущения плотности электронов из-за нагрева ионов приводит к увеличению коэффициента пространственного усиления. Во-вторых, в отличие от [2], где не оказалось возможным определение кт, при последовательном описании нагрева ионов в нашем сообщении установлена возможность определения характерного размера наиболее эффективно усиливающегося филамента. Отметим также, что увеличение коэффициента пространственного усиления филамента ведет к еще большему понижению порога филаментации по сравнению с реализующимся в ламинарной плазме.

Работа выполнена в рамках проекта РФИИ N 97-02-16779 и при Государственной поддержке ведущих научных школ.

ЛИТЕРАТУРА

[1] О в ч и н н и к о в К. Н., С и л и н В. П., У р ю п и н С. А. ЖЭТФ, 113, 629

(1998).

[2] В а г и н К. Ю., Силин В. П., У р ю п и н С. А. Физика плазмы, 25, 688

(1999).

[3] В а г и н К. Ю., С и л и н В. П., У р ю п и н С. А. ЖЭТФ, 117, 75 (2000).

[4] К г u е г W. L. Comm. Plasma Phys. Contr. Fusion, 9, 33 (1985).

[5] E p p e r 1 e i n E. M. Phys. Rev. Lett., 65, 2145 (1990).

[6] Максимов А. В., С и л и н В. П. ЖЭТФ, 103, 73 (1993).

[7] М а к с и м о в А. В., С и л и н В. П., Чеготов М. В. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9, 35 (1989).

Поступила в редакцию 30 декабря 1999 г.