Передача двухкомпонентных кодов по бинарному симметричному каналу без памяти

УДК 519.725

В. В. Кием

Московский физико-технический институт

Передача двухкомпонентных кодов по бинарному симметричному каналу без памяти

Рассмотрена система передачи двухкомпонентных подпространственных кодов по бинарному симметричному каналу без памяти. Проведено моделирование по программе МаЙаЬ. Выполнено декодирование по принципу минимума Хэммингова расстояния. Получены характеристики: относительные частоты событий - ошибочных решений, правильных решений и отказов. Проведены теоретические расчёты вероятностей этих событий. Осуществлено сравнение теоретических и экспериментальных данных моделирования.

Ключевые слова: бинарный симметричный канал, подпространственный код, ранговый код, двухкомпонентных кодов, декодирование.

V. V. Kien

Moscow Institute of Physics and Technology

Transmission of two component codes over the binary memoryless symmetric channel

The system transmission of two component subspace codes over the binary memoryless symmetric channel is considered. The simulation program Matlabis is conducted. Decoding is performed according to the Hamming distance minimum principle. The obtained characteristics are the relative frequency of events, viz. erroneous solutions, correct decisions and rejections. Theoretical calculations of probabilities of these events are carried out. Comparison of theoretical and experimental modeling data is made.

Key words: binary symmetric channel, subspace code, rank code, two-component codes, decoding.

1. Введение

Кодирование для канала является важной задачей информационной системы. Оно способствует уменьшению вероятности ошибок на выходе. Одной из проблем при разработке системы передачи является выбор метода кодирования-декодирования, обеспечивающего помехоустойчивость.

На рис.1 показана структурная схема передачи сообщений.

Сообщения и\^2-.) порождаемые источником информации, должны быть переданы получателю по каналу связи. Кодер источника преобразует эти сообщения в последовательность двоичных символов У\У2...- Кодер для канала образует кодовые последовательности Х1Х2..., способные исправлять ошибки, возникающие при передаче.

Сообщения с выхода кодера Х1Х2... поступают на вход канала и передаются на вход декодера для канала в виде У1У2....

Предполагается, что за один сеанс связи в источник поступает т пакетов Х1Х2...ХП длины п. Источник объединяет их в последовательность длины т х п, состоящую из элементов конечного поля Ря. Пункт приёма сообщений (получатель) получает т пакетов

Киен В. В., 2019

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2019

У{У2...Уп длины п, образует последовательность У длины тхп над полем Передаваемая последовательность X и принятая последовательность У связаны соотношением, характеризующим канал связи в виде

У = X + Е,

где последовательность Е длины т, х п характеризует ошибки в канале.

Источник и,и. Колер Кодер Х,Х!

информации - Источника - для канала

1 Г

Дпскр етнып

канал

Получатель и,и; Декодер Декодер

сообщений источника д.ля канала

Рис. 1. Структурная схема передачи сообщений

Задача декодера состоит в выдаче получателю сообщений. Декодер выполняет исправление ошибок. В некоторых случаях декодер может выполнять и другие функции. Например, можно построить декодер так, чтобы в надежных случаях он выдавал получателю предполагаемое сообщение, а в сомнительных специальный сигнал отказа от декодирования.

Таким образом, получатель сообщений зависит от алгоритма кодирования и характеристик канала. В этой работе используем двухкомпонентный код и бинарный симметричный канал без памяти для передачи сообщений.

Бинарный симметричный канал без памяти (БСК без памяти) характеризуется тем, что вероятность появления символа на его выходе определяется только набором символов на его входе (рис. 2).

1 -р

Рис. 2. Бинарный симметричный канал без памяти

Пусть д - вероятность правильного значения символа:

д = 1 - р.

где р - переходная вероятность (или вероятность ошибки на символе). В случае р = 0 канал без шумов.

2. Двухкомпонентные подпространственные коды

Двухкомпонентные подпространственные коды являются частным случаем многокомпонентных кодов с нулевым префиксом (МНП-код). Они предложены Габидулиным и

Боссертом в работах [1, 2]. МНИ коды основаны на кодах Сильвы, Кёттера, Кшишанга [3, 4], которые в свою очередь основаны на ранговых кодах Габидулина [5]. Подпространственным кодам уделяется много внимания в научных публикациях (см., например [6], [7]).

Рассмотрим двухкомпонентные подпространственные коды с параметрами (п, т) = (8, 6, 3).

Код состоит из 2 компонент:

* Первая компонента имеет вид: спервый = [^э М].

а

первый

1 0 0 МЦ М12 Mis М14 Mi5 0 10 M21 M22 M23 M24 M25 0 0 1 M31 M32 M33 M34 M35

где M - матрица рангового кода размера 3 х 5 с роговым расстоянием drank = dsud/2 = 3. Мощность этого подкода равна 25.  Вторая компонента имеет вид: СВТ0р0й = [О5 /3].

С,

второй

00000100 00000010 00000001

Мощность этого подкода равна 1.

Матрица рангового кода М размер а 3 х 5 состоит из линейного подпространства векторов размерности 5 над расширенным полем СР(25).

Предполагается, что поле СР (25) по модулю много члена <^(ж) = х5 + х2 + 1. Пуст ь а -корень многочлена <р(х), то есть а5 + а2 + 1 = 0. Таблица поля имеет вид

Базисный вид Степенной вид Базисный вид Степенной вид Базисный вид Степенной вид

0 0 1 + а4 а10 а3 + а4 а21

1 1 1 + а + а2 а11 1 + (х2 + а4 а22

а а а + а2 + а3 а12 1 + (х + а2 + а3 а23

а2 а2 (х2 + а3 + а4 а13 (х+а2+а3+а4 а24

а3 а3 1 + (х2 + а3 + а4 а14 1 + а3 + а4 а25

а4 а4 1+а+а2+а3+а4 а15 1 + (х + (х2 + а4 а26

а2 + 1 а5 1 + (х + а3 + а4 а16 1 + а + а3 а27

а + а3 а6 1 + а + а4 а17 24 а + а2 + а4 а28

(х2 + а4 а7 1 + (X а18 1 + а3 а29

1 + (х2 + а3 а8 а + а2 а19 а + а4 а30

а + а3 + а4 9 а9 а2 + а3 а20

Мощность этого подкода равна 25 = 32, поэтому существует 32 вектора рангового кода в виде

т1 = (0 0 0) ,т2 = (0 1 а) ,тэ = (1 а а2) ,т4 = (а а2 аэ) , т5 = (а2 аэ а4) ,

т6 = (аэ а4 а5) , т7 = (а4 а5 а6) , т8 = (а5 а6 а7) , т9 = (а6 а7 а8) , шю = (а7 а8 а9) ,т11 = (а8 а9 а10) , т12 = (а9 а10 а11) , т1э = (а10 а11 а12) , Ш14 = (а11 а12 а1э) ,т15 = (а12 а1э а14) ,т16 = (а1э а14 а15) , т17 = (а14 а15 а16) ,т18 = (а15 а16 а17) ,т19 = (а16 а17 а18) , ^20 = (а17 а18 а19) ,ш21 = (а18 а19 а20) ,т22 = (а19 а20 а21) , т2э = (а20 а21 а22) , Ш24 = (а21 а22 а2э) , Ш25 = (а22 а2э а24) ,

т26 = (а23 а24 а25) , т27 = (а24 а25 а26) , т28 = (а25 а26 а „28 \

24 25 .,28 ^,29)

т29 =

26 25 26

, Ш28 =

,28 ^29

27

Их матричное представление является матрицей рангового кода М:

Мх =

0 0 0 0 0' 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

М2 =

00000 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0

М32 =

01001 10010 00001

с

Таким образом, двухкомпонентные подпространственные коды с параметрами (п, й, т) = (8,6,3) состоят из 33 матриц размера 3 х 8, представленных ниже. Для краткости каждая 8-битная строка записывается как двоичное разложение десятичного числа. Например, число 129 соответствует строке [1 0 0 0 0 0 0 1] Сх = (128, 64, 32), С2 = (129, 66, 36), С3 = (130, 68, 40), С4 = (132, 72, 48),

С6 Сю

С\4

С\8 С22 С26

(144,68,42), (141, 88, 49), (142, 92, 61), (155, 83, 35), (140, 88, 53), (158, 89, 55),

С7 Сц С15 С19 С 23 С 27

С8 С12 С\б С 20

С 24

С 28

(138, 84, 45), (145,71,46), (157, 95, 59), (131, 70, 44), (149, 79, 62), (151,75,54),

С5 =

С9 =

С13 =

С17 =

С21 =

С25 =

С29 =

С30 = (150, 73, 50), С31 = (137, 82, 33), С32 = (146, 65, 34), С33 = (4, 2,1).

Далее приведём описание алгоритма декодирования двухкомпонентных подпростран-ственных кодов по минимуму Хэммингова расстояния и выполняем моделирование передачи двухкомпонентных кодов с параметрами (п, й, т) = (8, 6, 3) по БСК без памяти.

3. Декодирование двухкомпонентных подпространственных кодов с параметрами

Предположим, что передаваемое сообщение X на вход канале в виде последовательности. На приёмной стороне получаем последовательностью У на выходе канале в виде

У = СX  Е,

где С - матрица двухкомпонентного подпространственного кода в виде последовательности (С € Сг); Е — последовательность характеризует ошибки. Если передана последовательность

X = (1000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001),

тогда принятая последовательность зависит от С и £ в частности:

У = С  Е.

В этом случае можно рассматривать последовательностью С как передаваемое сообщение. Декодирования в данном случае является определено последовательности С (или М если исключим префикс). Можно написать:

г' = М  е' ,

где М € Мг = (М^цМ^ ••• М^М^х ••• М^М^х ••• М^М^х ••• М^М^х ••• М^);

Е - последовательность, характеризующая ошибки.

Использован принцип декодирования по минимуму хэммингового кодового расстояния между переданным и принятым сообщениями. Декодирование двухкомпонентных кодов выполняется следующим образом: по модулю 2 сообщение У суммируем по модулю 2 с каждой кодовой последовательностью Мг, г = (1,.., 32).

Полученное последовательности после суммирования имеют вид

Е1' — г' Ф Мг — М Ф Е Ф Мг —

Для каждой из последовательностей М^ получаем последовател ьности Е^. Подсчитываем число единиц в каждой сумме обозначаем 81. Минимальное число единиц 8тт называет соответствующую кодовую последовательность передаваемой. Есть три возможности:

Правильные решения, если соответствует передаваемой последовательности.

Ошибка, еели соответствует другой последовательности.

ным значением зтт.

Вероятность соответствующих случаев называют вероятностью правильного декодирования РПрав) вероятностью неправильного декодирования, РНеправ и вероятностью отказа от, декодирования, Р0тказ

^прав + Днепра в + ^отка з — 1.

Подсчитаем число единиц в каждой из 32 последовательностей — (1,.., 32) - ] т количество последовательностей с одинаковым числом единиц Результаты приведены в табл. 1:

Таблица 1

3 0 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 3 2 3 2 4 5 3 4 2 2 1

В канале посылаем последовательность М, содержащую ./единиц {] — 0,3,...., 13). Последовательность, характеризующая ошибки в канале, является последовательность Е1 с г единицами с вероятностью С\5ргд15-г

Предположим, что передаваемое последовательности М содержит ] — 0 единиц М — М\ — (000000000000000). Такова всего одна кодовая последовательность. Отметим, что при г — 0 ми г — 1 решения всегда правильные. Пусть г — 2, имеем

3 0 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

§тт 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Рассматриваем кодовые слова с ] — 3. Когда ответ неправильный?. Если сумма содержит одну единицу (в — зтт — 1). Это значит, что две единицы последовательности из канала компенсировали две единицы в кодовой последовательности. Всего 3 последовательности. Вероятность неправильного ответа для этого случая равна

^неправ

Для ] — 4 две единицы из канала компенсировали две кодовые единицы. В сумме тоже две единицы. Событие - отказ. Вероятность отказа от декодирования для этого случая равна

РОТказ

Другие кодовые последовательности с ] > 4 неправильных решений и отказов не дают при г — 2.

Проводя аналогичные расчёты для случаев г — 5, 6,..., 15, мы получаем теоретическую оценку вероятности в виде

^неправ—теор — ЗС3р д + (ЗСз +ЗС3 +2С4 +

+

П™—теор — 2С4У д13 + (2С42 + 2С63>У2 + (2С42 + 2С3 + 5С84)р4^11 +

+

^прав—теор = 1 -^неправ—теор -^отказ—теор.

Пусть вероятность ошибки в канале р от 0.1 до 0.5. Соотношение между вероятностью ошибки в канале р и теоретическими оценками РНеправ—теор 5 ^прав—теор 5 ^отказ—теор показано в таблице 2 и на рис. 3.

Таблица 2

Теоретическая оценка вероятности на основе вероятностей ошибки в канале

для сообщений М — М1

р 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

^пра в—теор 1 0.8864 0.5416 0.1213 0.0423 0.0552

р 1 непр ав—теор 0 0.0495 0.2625 0.5240 0.5856 0.6326

р 1 отказ—теор 0 0.0641 0.1959 0.3547 0.3721 0.3122

Рис. 3. Зависимость вероятностей Р„еправ-теор> Рправ^еор, Ротказ^еор ОТ ^И М — М1

Анализируя получение данные, отмечаем следующее: при вероятности ошибки в канале рот 0 до 0.3 вероятность правильного решения РПрав-теор уменьшается, а вероятность ошибки Рнеправ-теор и вероятность отказа от декодирования Р0тказ-теор увеличиваются быстро. При р от 0.3 до 0.5, вероятность Рправ-теор продолжает уменьшаться, РНепРав-теор увеличивается, но меньше, чем раньше; вероятность Р0тказ-теор в этом случае меняется мало.

Если изменим передаваемое сообщение М — М^ (г — 2, 32) и выполним пересчёт вероятности Рнеправ-теор) ^прав^еор 5 ^^тааз-теор) то получим следующие результаты (рис. 4).

р

Рис. 4. Вероятности Р„еправ-теор, Рправ—теор, Ротказ-теор при М — М2, М32

Видим, что характер вероятности Рнеправ^еор) ^прав-теор5 Ротказ-теор не меняется при любом передаваемом сообщении М — М\,Мз2- Их среднее значение показано в таблице 3 и на рис.5.

Таблица 3

С^рС!ДН€!€! ЗНЭ-ЧвНИС! ^^нвправ—теор—теор—тздр ДЛЯ рЛЗЛИЧНЫХ р

р 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Рпра в-теор 1 0.87468 0.49604 0.17224 0.043194 0.016424

р 1 непр ав-теор 0 0.05706 0.28106 0.50403 0.601691 0.658485

р 1 отказ-теор 0 0.06826 0.22290 0.32373 0.355115 0.325091

Рис. 5. Зависимость средних значений РНеправ—теор>-Рправ—теор)Ротказ—теор от вероятности р

Данные в табл. 3 и на рне. 5 можно считаем основными характеристиками для методов кодирования бинарного симметричного канала без памяти с помощью двухкомпонентных подпроетранетвенных кодов.

4. Сравнение теоретических оценок вероятностей с результатами моделирования

Для моделирования использована программа МаЙаЬ. Структурная схема моделирования показана на рис. 6.

ПередаЕаемое XX: ГПЧ У У; Декодер и и, получатель

сообщение <Д) сооощенин

Рис. 6. Структурная схема моделирования передачи двухкомпонентных кодов по БСК без памяти

При моделировании роль БСК без памяти играет генератор случайных двоичных последовательностей с заданной вероятностью символа 1 равной р (обозначение ГПЧ на рис. 6).

Определяем вероятность ошибки декодирования Рнеправ—модел? вероятность правильного декодирования Рправ—модел, вероятность отказ от декодирования Р0тказ-модел-Рассчитываем отношение неправильных, правильных, отказных решений к количеству декодирования:

'11

Р

—

Р

—

V к, г

= к,

^отка з—моде л — 1 Рправ—модел Рнепр ав—моде л>

где V - число правильных решений, £ - число ошибки решений, к - количество декодирования.

В этом разделе выполнено моделирование к — 10 000 раз для каждой входной последовательности Мг, (г — 1, 32). Результаты моделирования и сравнение с теоретическими расчетами представлены в табл. 4 и на рис. 7

Таблица 4

Результаты моделирования и сравнение с теоретическими

Р 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

^пра в—теор 1 0.8653 0.47680 0.17580 0.03744 0.016424

р 1 пра в—модел 1 0.87468 0.49604 0.17224 0.043194 0.016424

р 1 непр ав—теор 0 0.05256 0.28876 0.48053 0.58425 0.629950

р 1 непр ав—модел 0 0.05706 0.28106 0.50403 0.601691 0.658485

р 1 отказ—теор 0 0.08214 0.23444 0.34367 0.36831 0.353626

^отка з—модел 0 0.06826 0.22290 0.32373 0.355115 0.325091

На рис. 7 пунктирная линия представляет вероятность моделирования, сплошная линия представляет теоретическую вероятность расчета.

Из табл. 5 и рис. 7, отмечаем следующее: Результаты моделирования близки к теоретическим рас четам.

5. Заключение

Здесь представлены основные характеристики декодирования, вероятность правильного сообщения, вероятность ошибки, вероятность отказа от декодирования в зависимости от вероятности ошибки на символ в бинарном симметричном канале без памяти.

Рис. 7. Сравнение теоретических расчётов вероятностей событий и вероятностью моделирования

Проведенное исследование показывает, что двухкомпонентные подпроетранетвенные коды вполне соответствуют обычному представлению о зависимости ошибок декодирования от канала. В данном случае, чем меньше вероятность ошибки на символе в канале, тем меньше вероятность ошибок декодирования и отказов. Соответственно выше вероятность правильного декодирования.

Осуществлено сравнение теоретических расчетов вероятностей событий с результатами моделирования. Показано, что характеристики мало отличаются, а для некоторых значений практически совпадают.

Приложение

Программа моделирования вычисляет вероятность с параметром р = key/15 при

= nhepra\ Ротказ—модел = Otk.

М = Мо, где р = 0, 0.5: вероятность ошибки в канале.

Результаты Р,

—

рта, Рнеправ—модел

function[pra, nhepra, otk] = rankcode

clc;

pra = 0; nhepra = 0; otk = 0;

64 = [a3; а4; а5] 66 = [а5; аб; а 7] 68 = [а7; а8; а9]

65 = [а4; а5; аб]; 67 = [аб; а7; а8]; 69 = [а8; а9; а10];

zero = [0 0 0 0 0]; 610 = [a9; a!0; a!1]; 611 = = [а!0; а11; а12];

а0 = [0 0 0 0 1]; а1 = [0 0 0 1 0]; 612 = [a11 а12 а13] 613 = [а12 а13 а14]

а2 = [0010 0]; а3 = [0 1 0 0 0]; 614 = [a13 а14 а15] 615 = [а14 а15 а16]

а4 = [l 0 0 0 0]; а5 = xor(a2, a0); 616 = [a15 а16 а17] 617 = [а16 а17 а18]

аб = хог(а3,а1); а7 = хог(а4,а2); 618 = [a17 а18 а19] 619 = [а18 а19 а20]

а8 = хог(а5, а3); а9 = хог(аб,а4); 620 = [a19 а20 а21] 621 = [а20 а21 а22]

а10 = = xor(a7, а5); all = хог(а8,аб); 622 = [a21 а22 а23] 623 = [а22 а23 а24]

а12 = = хог(а9,а7); а13 = xor(а10,а8); 624 = [a23 а24 а25] 625 = [а24 а25 а26]

а14 = = хог(а11, а9); a15 = xor(a12, a10); 626 = [a25 а26 а27] 627 = [а26 а27 а28]

а16 = = xor(a13, all) a17 = xor(a14, a12) 628 = [a27 а28 а29] 629 = [а28 а29 а30]

а18 = = xor(a15, a13) a19 = xor(a16, a14) 630 = [a29 а30 а0]; 631 = = [а30; а0; а 1];

а20 = = xor

а22 = = xor(a19, a17) a23 = xor(a20, a18) % передаваемое сообщение X

а24 = = жог(а21, a19) a25 = xor(a22,a20) X = 60;

а26 = = xor

а28 = = xor(a25, a23) a229 = xor(a26, a24) % сделано 10000 раз

а30 = = xor(a27, a25) fori = = 1 : 1 : 10000

% 32 матрицы кодер Mi Ы (г 0,... ,31) 60 = zeros(3, 5); 61 = [а0; а1; а2]; 62 = [а1; а2; а3]; 63 = [а2; а3; а4];

% ГПТ1 с вероятностью р к/15 S = randn(3, 5) >= 0;

F = sum((sum(S))r);

k = det(F);

whilek = key

S = randn(3, 5) >= 0;

к = det(sum((sum(S))'));

end

% сообшений получатель Y = xor(X, S);

% декодировано M0 = xor(Y, 60); M1 = xor(Y, 61); M2 = ЖОГ(У, 62) M3 = ЖОГ(У, бз); М4 = жог(у, 64); М5 = xor(Y, 65) М6 = xor(Y, 6б); М7 = жог(у, 67) М8 = ЖОГ(У, 68) М9 = ЖОГ(У, 69) М10 = жог(У, 610); М11 = xor(Y, 611); М12 = жог(у, 612); М13 = xor(Y, 61з); М14 = xor(Y, 614); М15 = xor(Y, 615) М16 = ЖОГ(У, 61б); М17 = ЖОГ(У, 617); М18 = жог(г, 618); М19 = жог(г, 619); М20 = жог(г, 620); М21 = жог(г, 621); М22 = жог(г, 622); М23 = жог(г, 62з); М24 = жог(г, 624); М25 = жог(г, 62Ь); М26 = жог(г, 62б); М27 = жог(г, 627); М28 = жог(г, 628); М29 = жог(г, 629); М30 = жог(г, 630); М31 = xor(Y, 6З1);

% Подсчитано число единиц в каждой сумме

F 0 = sum((sum(M0))'); F1 = sum((sum(M 1))'); F 2 = sum((sum(M2))r); F3 = sum((sum(M3))'); F 4 = sum((sum(M4))'); F 5 = sum((sum(M 5))'); F6 = sum((sum(M6))r); F 7 = sum((sum(M 7))'); F8 = sum((sum(M8))');; F 9 = sum((sum(M9))');; F10 = sum((sum(M 10))'); F11 = sum((sum(M 11))'); F12 = sum((sum(M 12))');

F13 = sum (sum(M 13))'

F14 = sum (sum(M 14))'

F15 = sum (sum(M 15))'

F16 = sum (sum(M 16))'

F17 = sum (sum(M 17))'

F18 = sum (sum(M 18))'

F19 = sum (sum(M 19))'

F 20 = sum (sum(M 20))'

F 21 = sum (sum(M 21))'

F 22 = sum (sum(M 22))'

F 23 = sum (sum(M 23))'

F 24 = sum (sum(M 24))'

F 25 = sum (sum(M 25))'

F 26 = sum (sum(M 26))'

F 27 = sum (sum(M 27))'

F 28 = sum (sum(M 28))'

F 29 = sum (sum(M 29))'

F 30 = sum (sum(M 30))'

F 31 = sum (sum(M 31))'

% Результаты F = [F0; F1; F2; F3; F4; F5; F6; F7; F8; F9; F10; F11; F12; F13; F14; F15; F16; F17; F18; F19; F20; F21; F22; F23; F24; F25; F26; F27; F28; F29; F30; F31]; Z1 = min(F); i = 0;

/огг = 1 : 1 : 32 if F(г) == Z1 i = i + 1;

end

end

if t == 1

if Z1 == F

pra = pra + 1;

else nhepra = nhepra + 1;

end

else otk = otk + 1; end

end

Литература

1. Koetter R., Kschischang F.R. Coding for Errors and Erasures in Random Network Coding 11 IEEE Trans. Inform. Theory. 2008. V. 54, N 8. P. 3579-3591.

2. Silva D., Koetter R., Kschischang F. A Rank-Metric Approach to Error Control in RandomNetwork Coding 11 IEEE Trans. Inform. Theory. 2008. V. 54, N 9. P. 3951-3967.

3. Gabidulin E. M., Bossert M. Codes for Network Coding // Proc. 2008 IEEE Int. Svmpos. Onlnformation Theory (ISIT'2008). Toronto, Canada. July 6-11, 2008. P. 867-870.

4. Габидулин Э.М., Боссерт М. Алгебраические коды для сетевого кодирования // Проблемы передачи информации. 2009. Т. 45, вып. 4. С. 54-68.

5. Габидулин Э.М. Теория кодов с максимальным ранговым расстоянием // Проблемы передачи информации. 1985. Т. 21, вып. 1. С. 3-16.

6. Габидулин Э.М., Григорьев А.А., Пилипчук Н.И., Сысоев И.Ю., Уривский А.В., Шишкин А.Л. Подпространственные коды, основанные на ранговой метрике - новое направление в теории кодирования // Труды МФТИ. 2015. Т. 7, № 1. С. 85-103.

7. Габидулин Э.М., Пилипчук П.П., Боссерт М. Декодирование случайных сетевых кодов // Проблемы передачи информации. 2010. Т. 46, вып. 4. С. 33-55.

References

1. Koetter П., Kschischang F.R. Coding for Errors and Erasures in Random Network Coding. IEEE Trans. Inform. Theory. 2008. V. 54, N 8. P. 3579-3591.

2. Silva D., Koetter R., Kschischang F. A Rank-Metric Approach to Error Control in RandomNetwork Coding. IEEE Trans. Inform. Theory. 2008. V. 54, N 9. P. 3951-3967.

3. Gabidulin E.M., Bossert M. Codes for Network Coding. Proc. 2008 IEEE Int. Svmpos. Onlnformation Theory (ISIT'2008). Toronto, Canada. July 6-11, 2008. P. 867-870.'

4. Gabidulin E., Bossert M. Algebraic codes for network coding. Probl. Inform. Transm. 2009. V. 45, N 4. P. 54-68. (In Russian).

5. Gabidulin E.M. Theory of codes with maximal rank distance. Probl. Inform. Transm. 1985. V. 21, N 1. P. 3-16.

6. Gabidulin E.M., Grigoriev A.A., Pilipchuk N.I., Sysoev I.Yu,., Urivskiy A.V., Shishkin A.L. Subspace codes based on rank metric - the new direction in the coding theory. Proceed, of MIPT. 2015. V. 7, N 1. P. 85-103. (In Russian).

7. Gabidulin E.M., Pilipchuk N.I., Bossert M. Decoding of random network codes. Probl. Inform. Transm. 2010. V. 46, N 4. P. 33-55. (In Russian).

Поступим в редакцию 27.05.2019