Обучение учащихся доказательству теорем в контексте деятельностной концепции уде

сел образуют группу относительно операции умножения. В дальнейшем они могут быть изучены на профильном уровне. Эта работа ликвидирует пробелы изложения материала параграфа «Рациональные числа». Работа является посильной для учащихся и может быть выполнена на различных уровнях (одни учащиеся доказывают, другие -иллюстрируют на примерах).

Исследовательская работа № 2

1. Верно ли утверждение: если в несократимой дроби т/п знаменатель п = 2г • 51, где г и 5 - натуральные числа, то т/п обращается в конечную десятичную дробь.

2. Можно ли обобщить это утверждение на случай, когда г и 5 - целые неотрицательные числа?

3. Если верно, то докажите эти утверждения (или проиллюстрируйте на примерах).

Отметим, что если критически проанализировать материал указанного выше пункта параграфа «Рациональные числа», то можно выявить следующий недостаток: не указаны специфические особенности рациональных чисел, которые могут быть представлены в виде конечной десятичной дроби.

Исследовательская работа № 3

1. Критически проанализируйте изложение в учебнике вопроса о решении квадратных уравнений, обратив особое внимание на равносильность уравнений.

2. Какие можно внести предложения об улучшении изложения вопроса о равносильности квадратных уравнений?

3. Реализуйте эти предложения.

Исследовательская работа № 4

1. Как можно задать рациональные числа в калькуляторе, компьютере?

2. Каков алгоритм выполнения действий с рациональными числами (сложение, вычитание, умножение, деления) на калькуляторе, компьютере?

3. Составьте систему задач на тему «Рациональные числа» для решения на калькуляторе, в компьютере.

Отметим, что современные учащиеся проявляют большой интерес к информационным технологиям, автоматизации расчетов на компьютерах, поэтому данная исследовательская работа направлена на раз-

витие внутренней мотивации учащихся в процессе обучения алгебре.

Предложенная модернизация методов обучения в открытой школе позволит учащимся более эффективно и глубоко, на современном уровне, усваивать содержание алгебраического образования в фазе адаптации. При этом создаются благоприятные условия для взаимно обогащающего личностного развития всех участников образовательного процесса благодаря совместной учебно-исследовательской деятельности, способствующей раскрытию сущности математики, алгебры, содержательно-методических линий.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Солонина А. Г. Концепция персонализированного обучения. - М.: Прометей, 1997.

2. Педагогический энциклопедический словарь / Гл. ред. Б. М. Бим-Бад. - М.: Большая Российская Энциклопедия, 2003.

3. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. - М.: Советская Энциклопедия, 1984. - Т. 4.

4. Макарычев Ю. Н, Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеоб-разоват. учреждений. - М.: Просвещение, 1997.

5. Когнитивная психология: Учеб. для вузов / Под ред. В. Н. Дружинина, Д. В. Ушакова — М.: ПЕР СЭ, 2002.

6. D. E. Rumelhart. Schemata: the Building Blocks of Cognition. In: Rand J. Spiro, B. C. Bruce, W. F. Brewer (Eds.), Theoretical Issues in Reading Comprehension. Perspectives from Cognitive Psychology, Linguistics, Artificial Intelligence, and Education. Hillsdale, N. J.: Lawrence Erlbaum Associates Publishers, 1980.

7. Социологический словарь. - [Электрон. ресурс]. - Режим доступа: http:mirslovarei.com/content_ soc/K0GNITIVNAJA-SXEMA-10289.html.

8. Гурова Л. Л. Процессы понимания в развитии мышления // Вопросы философии, 1986. - № 2.

ОБУЧЕНИЕ УЧАЩИХСЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ В КОНТЕКСТЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТНОЙ КОНЦЕПЦИИ УДЕ

TEACHING STUDENTS TO PROVE THEOREMS IN THE CONTEXT OF THE ACTIVITY THEORY OF DUE

И. В. Ульянова

В статье раскрываются особенности методики обучения учащихся доказательству планиметрических теорем с использованием блоков укрупнен-

I. V. Ulyanova

The article describes the peculiarities of the methods of teaching students to prove plane geometry theorems using blocks of enlarged problems. It is argued that

85

ных задач. Эти блоки являются основным средством обучения учащихся геометрии в контексте деятельностной концепции укрупнения дидактических единиц (УДЕ), которая способствует созданию единой методологической основы для формирования понятий, обучения решению задач и доказательству теорем и др.

Ключевые слова: теория и методика обучения математике, теорема, доказательство теоремы, задача, укрупнение дидактических единиц (УДЕ), деятельностная концепция УДЕ, блоки укрупненных задач.

these blocks are the primary means of teaching students geometry in the context of the activity theory of the didactic unit enlargement (DUE). The given theory promotes the development of the integrated methodological base to formulate notions, to teach to solve problems, to prove theorems, etc.

Keywords: theory and methods of teaching mathematics, theorem, to prove theorems, problem, didactic unit enlargement (DUE), activity theory of DUE, blocks of enlarged problems.

Современная востребованность информационных технологий во всех сферах общества влечет за собой соответствующую модернизацию системы образования, выражающуюся, в частности, в поиске средств, методов, технологий повышения уровня интеллектуального развития школьников. Последнее обосновывает актуальность многих проблем математического образования, в том числе и проблемы обучения учащихся доказательству.

В школьном курсе математики доказательства всегда являлись источником и условием формирования мыслительных операций учащихся, их логического, абстрактного, дедуктивного и эвристического мышления, развития у них воображения, навыков исследовательской деятельности, самостоятельной активности, познавательного интереса и т. д. Доказательства также выступают хорошим способом систематизации учебного материала, средством мотивации и получения учащимися новых знаний, установления связей между изучаемым материалом и уже изученным ранее. Велико и общекультурное значение доказательств. Однако для максимального проявления указанных свойств необходима специально организованная деятельность по обучению школьников доказательству, включающая в себя ряд этапов, соответствующих разным возрастным категориям обучаемых. А именно:

• этап формирования у учащихся потребности в логических доказательствах и навыков дедуктивных умозаключений, а также понимания ими того факта, что из одних утверждений логическим путем можно выводить новые утверждения (5-6-е классы);

• этап формирования умений выполнять цепочки дедуктивных умозаключений, применять некоторые эвристики, преобразовывать требование теоремы в равносильное ему или в такое, из которого данное вытекает как следствие, выводить вспомогательные задачи и т. д. (6-7-е классы);

• этап обучения анализу доказательства (выделение отдельных логических шагов, поиск и устранение логических пробелов, развертывание дедуктивных умозаключений в логическую схему, выделение идеи доказательства и его воспроизведению, применение эвристических приемов) (7-й класс);

86

• этап обучения самостоятельному поиску доказательства, выделению его идеи и ее последующей реализации (7-8-е классы);

• этап обучения умению опровергать предложенные доказательства (9-10-е классы) [1].

Неотъемлемым компонентом обучения учащихся доказательству выступает обучение их доказательству теорем.

Впервые термины «теорема» и «доказательство теоремы» вводятся на третьем из указанных выше этапов, что соответствует началу систематического изучения геометрии в 7-м классе. В целом процесс изучения теоремы разбивается на следующие этапы:

• мотивация изучения теоремы;

• ознакомление с фактом, отраженным в теореме;

• формулировка теоремы;

• усвоение содержания теоремы;

• ознакомление со способом доказательства теоремы;

• доказательство теоремы;

• применение теоремы;

• установление связи теоремы с другими теоремами [1].

При этом, как показывает опыт ведущих учителей, установление связей между отдельными шагами доказательства теоремы, нередко представляющего собой достаточно длинную цепь последовательно связанных дедуктивных умозаключений, как и их выделение и обоснование, представляет для многих семиклассников (да и для более старших учащихся) значительную трудность. К тому же не следует спешить с привлечением школьников к самостоятельному доказательству. Учащиеся должны сначала разобраться в структуре готовых доказательств и научиться работать с ними. Поэтому традиционно педагоги на этапе ознакомления учащихся со способом доказательства теоремы представляют им именно готовые доказательства с последующим их анализом и воспроизведением. Повышению эффективности такой работы значительно способствует использование на этом этапе (как и на других этапах работы с теоремой) различных приемов технологии укрупнения дидактических единиц (УДЕ).

Технология УДЕ - это модель совместной педагогической деятельности, реализующая содержательное обобщение, состоящее из интегративных единиц усвоения,

Рис. 1. Граф-схема доказательства

которые включают взаимосвязанные, а иногда взаимоисключающие части и образуют целостность. В современных условиях возрастания требований к качеству приобретаемых учащимися знаний, умений и навыков при сохраняющейся тенденции к сокращению количества часов, отводимых на изучение дисциплин естественно-математического цикла, увеличивающей ценность каждого учебного часа, данная технология является достаточно актуальной. Она позволяет повышать качество образования при меньшем потреблении временных ресурсов. Действительно, к примеру, использование при обучении учащихся доказательству теорем такого ее приема, как прием освоения и составления граф-схем, позволяет охватить единым взором все доказательство и увидеть те его детали, которые остаются в тени при словесном способе, нередко представляемом ученику запутанным и сложным. Это позволяет обучаемым быстрее понять применяемый способ доказательства, а также увеличивает степень осознанности ими других возможных вариантов доказательства или образования новых теорем на базе исходной. К тому же, по составленной схеме ученикам легче обнаружить и исправить допущенную ошибку, развивая таким образом у себя элементы самоконтроля. Подобное наглядно демонстрирует граф-схема (рис. 1) доказательства прямой и обратной теорем о свойствах и признаках параллельных прямых, записанных соответственно над чертой и под ней в следующем предложении:

«Если при пересечении двух параллельных прямых секущей образуются соответственные углы равны, то

такие

углы равны

прямые параллельны

При обучении учащихся доказательству теорем огромным потенциалом обладают блоки укрупненных задач -конструкции из нескольких задач, объединенных в единое целое на основе принципа общности деятельности по их решению. Данный принцип подразумевает укрупнение решения какой-либо последующей задачи в блоке посредством выполнения действий, дополняющих решение одной из предшествующих ей задач. Таким образом реализуется одно из направлений методической идеи укрупнения действий, в целом способствующей созданию единой методологической основы формирования понятий, обучения решению задач, доказательству теорем и др.

В процессе решения блоков укрупненных задач на уроках геометрии происходит сбли-

жение в сознании ученика аналогичных, противоположных, взаимно обратных действий, операций, понятий, теорем и т. п., что способствует наряду с вышесказанным достижению целостности математических знаний как главного условия развития и саморазвития интеллекта учащихся, их углубления и расширения. Например, через такие блоки можно изучать теоремы, дополняющие материал учебника. Продемонстрируем сказанное, обратившись к следующему блоку задач:

1.1. Четырехугольник А1В1С1й1 вписан в квадрат АВСй так, что АА1 = ВВ1 = СС1 = йй1. Докажите, что АВСй - квадрат.

1.2. На сторонах квадрата АВСй со стороной а отмечены точки А1, В1, С1, й так, что АА1 = ВВ1 = СС1 = йй1 = Ь. Вычислите площадь четырехугольника А1В1С1й1.

1.3. На сторонах квадрата АВСй отмечены точки А1, В1, С1, й так, что АА1 = ВВ1 = СС1 = йй1 = а, А1В = В1С = С1й =

г

DA

МД.

1 1 1

b. Вычислите квадрат гипотенузы треугольника

1.4. Докажите, что в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С выполняется равенство АВ2 = АС2

+ ВС2.

1.5. Докажите, что в непрямоугольном треугольнике со сторонами а, b, с выполняется неравенство

а2 + Ь 2 * с2.

1.6. Сформулируйте и решите задачу, обратную к задаче 1.4.

Взаимосвязи между решениями задач данного блока отражены на схеме, представленной на рис. 2.

Указанный блок задач 1.1-1.6 эффективно способствует одновременному обучению учащихся доказательству прямой и обратной теорем Пифагора.

Действительно, при последовательном решении задач 1.1-1.3 учащиеся фактически знакомятся со способом доказательства прямой теоремы Пифагора, предлагаемым авторами учебника [2].

Акцентуация внимания учащихся на прямоугольных треугольниках в чертежах к задачам 1.1-1.3 (рис. 3) и их сравнительный анализ с чертежом к задаче 1.4 способствует восприятию последнего (рис. 4) как отдельного фрагмента ранее выполненных чертежей, вызывая подсознательное желание достроить его до такого же полного квадрата. Стремление к осуществлению этого желания вызывает идею доказательства прямой теоремы Пифагора, которая как раз и представлена в виде задачи 1.4, и ее последующей реализации.

Идея доказательства обратной теоремы Пифагора

1.1 ^

1.2 Р

1.3 1.4 О 1.5 1.6

Рис. 2. Схема взаимосвязей между решениями задач

87

методом от противного легко возникает и реализуется на основе решения задачи 1.5 данного блока, которая представляет собой противоположную теорему Пифагора, являющуюся равносильной обратной теореме. Известно, что если проблематично доказать прямую теорему, то возможно попытаться доказать равносильную ей обратную противоположной теорему. Тогда как в случае проблемности доказательства обратной теоремы имеет смысл доказать равносильную ей противоположную теорему.

С другой стороны, данную задачу 1.5 можно рассматривать как полигон для применения только что изученной прямой теоремы, что и предполагает решение задачи 1.6.

Соответствующую работу учащихся с данным блоком задач можно дополнить самостоятельным изучением ими другого способа доказательства обратной теоремы Пифагора, отличного от представленного авторами учебника [2] в готовом виде.

Di D

Рис. 3. Чертеж к задачам 1.1-1.3

Рис. 4. Чертеж к задаче 1.4

Таким образом, при обучении учащихся доказательству теорем используемый при этом блок укрупненных задач условно можно разделить на 3 основные части по целевому назначению входящих в них задач:

1) задачи, решения которых способствуют осознанию учащимися способа доказательства теоремы;

2) задачи, решения которых способствуют реализации выявленного способа доказательства;

3) задачи, решения которых способствуют применению данной теоремы и установлению ее связей с ранее изученными теоремами.

Такие части не противоречат указанной выше методике изучения учащимися теорем в целом.

Через такие блоки, как уже было сказано, можно знакомить учащихся не только со способом доказательства теоремы, предлагаемым авторами учебников, но и с другими возможными способами. Подобное демонстрирует рассмотренный нами блок задач 1.1-1.6, а также блок 2.1-2.3. В последнем решения первых двух задач

подсказывают идею доказательства теоремы-признака о равенстве прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету иным способом, чем тот, что подразумевает использование распространенного приема наложения одного треугольника на другой [2]. Этот новый способ предполагает определенное приложение исходных треугольников друг к другу и последующее использование свойств равнобедренного треугольника.

2.1. В равнобедренном треугольнике АВС к основанию АС проведена высота ВН. Докажите, что треугольники АВН и СВН равны.

2.2. (Аналог задачи 2.1). В равнобедренном треугольнике АВС к основанию АС проведена медиана ВМ. Докажите, что ДАВМ = ДСВМ. Определите вид треугольников АВМ и СВМ.

2.3. (Теорема-признак). В прямоугольных треугольниках АВС и А1В1С1 Z С = Z С1 = 90°, АВ = А1В1, ВС = В1С1. Докажите, что ДАВС = ДА1В1С1.

В контексте полноценной работы с теоремами в предлагаемый учащимся блок укрупненных задач возможно включать и другие задачи, например, мотивирующие изучения теоремы.

Итак, в заключение отметим, что блоки укрупненных задач с одинаковым успехом возможно использовать при изучении как планиметрических, так и стереометрических теорем В в отдельности (соответственно 7-9-е и 1011-е классы), а также для их одновременного и последовательного изучения, соединяя тем самым в сознании учащихся плоскостную и пространственную геометрии в единое целое. Последнее дает возможность обучаемым проводить более глубокие сравнения, широкое обобщение, выдвигать гипотезы и предположения, переносить знания, умения и навыки в новую ситуацию, переосмысливать с новых, более общих позиций уже изученный ранее материал и т. д. Большую роль при этом будут играть аналогии, интуитивные рассуждения, позволяющие приобщить учащихся к исследовательской деятельности. Все это в значительной мере способствует повышению интеллектуального уровня учащихся.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Саранцев Г. И. Обучение математическим доказательствам в школе: Кн. для учит. - М.: Просвещение, 2000.

2. Атанасян Л. С. и др. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1991.

88