Расклинивание упругой среды с образованием отрывных зон

возмущению величины тепловыделения проанализирована численно. Показано, что волна устойчива и процесс стабилизируется, если она находится в расширяющейся по потоку части канала.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 08-08-00297, 08-01-00032), Федерального агентства по науке и инновациям (НШ 319.2008.1), Программ фундаментальных исследований президиума РАН и ОЭММПУ РАН.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зельдович Я.Б. К вопросу об энергетическом использовании детонационного горения // Журн. техн. физ. 1940. 10. 175-186.

2. Levin V.A., Nechaev J.N., Tarasov A.I. A new approach to organazing operation cycles in pulsed detonation engines // High-speed deflagration and detonation: Fundamentals and control. Moscow: Elex-KM Publ., 2001. 223-238.

3. Митрофанов В.В., Ждан С.А. Тяговые характеристики идеального пульсирующего детонационного двигателя // Физ. горения и взрыва. 2004. 40, № 4. 380-385.

4. Canteins G., Franzetti F., Zitoun R., Desbordes D., Daniau E. PDE — possible ways for specific impulse improvement // Confined detonation and pulse detonation engines. Moscow: Torus Press, 2003. 177-190.

5. Александров В.Г., Крайко А.Н., Реент К.С. Математическая модель сверхзвукового пульсирующего детонационного прямоточного двигателя // Хим. физ. 2001. 20, № 6. 84-89.

6. Wilson D.R., Lu F.K., Kim H, Munipalli R. Analysis of a pulsed normal detonation wave engine concept // AIAA. 2001. 1784-2001.

7. Kailasanath K. On the performance of pulse detonation engines // Confined detonation and pulse detonation engines. Moscow: Torus Press, 2003. 191-202.

8. Chapman D.L. On the rate of explosions in gases // Phil. Mag. 1899. 47. 90-104.

9. Черный Г.Г. Неустановившиеся движения газа в каналах. Устойчивость замыкающего скачка // Тр. ЦИАМ им. П.И. Баранова. 1953. № 244.

10. Гринь В.Т., Крайко А.Н., Тилляева Н.И. Устойчивость течения идеального газа в квазицилиндрическом канале // Прикл. матем. и механ. 1975. 39, вып. 3. 473-484.

11. Гринь В.Т., Крайко А.Н., Тилляева Н.И. Устойчивость течения в канале при отражении от сечения выхода акустических и энтропийных волн // Прикл. матем. и механ. 1976. 40, вып. 3. 469-478.

12. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.

13. Левин В.А., Марков В.В. О возникновении детонации при концентрированном подводе энергии // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1974. № 5. 89-93.

14. Левин В.А., Марков В.В., Осинкин С.Ф., Журавская Т.А. Определение критических условий инициирования детонации в ограниченном объеме сходящейся к центру ударной волной // Физ. горения и взрыва. 2002. 38, № 6. 96-102.

15. Левин В.А., Марков В.В., Журавская Т.А., Осинкин С.Ф. Нелинейные волновые процессы при инициировании и распространении газовой детонации // Тр. Матем. ин-та РАН. 2005. 251. 200-214.

Поступила в редакцию 12.03.2010

УДК 539.3

РАСКЛИНИВАНИЕ УПРУГОЙ СРЕДЫ С ОБРАЗОВАНИЕМ

ОТРЫВНЫХ ЗОН

А. В. Звягин1, Г. А. Ромашов2

В работе получено аналитическое решение и проведено исследование задачи движения твердого тела в упругой среде при наличии возможной зоны отрыва среды в носовой части из-за наличия асимметрии. Во всем диапазоне рассматриваемых скоростей определена схема обтекания тел клиновидной и оживальной формы. Показано, что при движении

1 Звягин Александр Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: zvsasha@rambler.ru.

2 Ромашов Григорий Александрович — асп. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: romashovg@mail.ru.

17 ВМУ, математика, механика, №4

тела со скоростью, большей скорости поперечных волн, существует предельная величина скорости, при которой исчезает зона отрыва в носовой части тела. При этой скорости силы, действующие на тело, одинаковы для клина и оживала.

Ключевые слова: контактное разрушение, теория упругости, динамика.

The problem of motion of a rigid body in an elastic medium is solved analitically for the case when a separation region caused by asymmetry is formed in front of the body. A scheme of flow around wedge-shaped and ogive-shaped bodies is given for the entire range of the velocities under consideration. It is shown that there exists a limit velocity such that the separation region disappears when the body moves at a velocity greater than the velocity of transverse waves. The forces exerted on a wedge-shaped body and on an ogive-shaped body are the same in the case of the limit velocity.

Key words: contact fracture, theory of elasticity, dynamics.

Введение. Задача разрушения деформируемой твердой среды жестким ударником остается одной из актуальных задач динамики [1—3]. При контактном разрушении существенным моментом является определение возможных зон отрыва среды от поверхности тела, поскольку их наличие резко меняет баллистические характеристики внешних сил и моментов, действующих на тело со стороны среды [4]. Такие проблемы типичны для задач проникания тел в случае асимметрии движения. Для симметричного движения тела конечных размеров аналогичные задачи для упругой среды рассматривались в работах [5-7]. В данной работе получено аналитическое решение и проведено исследование стационарного расклинивания среды телом при наличии асимметрии. Рассмотрен диапазон движения тела со скоростью, превышающей скорость волн Рэлея. Для малых скоростей стационарного движения в принятой постановке не существует, поскольку в этом случае трещина, растущая перед телом [7], искривляется. Характерной особенностью движения с углом атаки является образование области отрыва среды от поверхности тела на его щеке.

Постановка задачи. Рассмотрим задачу о движении тонкого жесткого тела в упругой изотропной среде с плотностью р и упругими модулями Л, ¡. Будем считать, что тело движется с постоянной скоростью V0 относительно неподвижной системы координат OiXiyi, а движение среды плоскопараллельное. Отрыв среды от тела происходит в точке A для верхней части контура и точке B для нижней. Также будем считать, что углы j + , Y- малы и j- < Y+ (рис. 1). В случае асимметрии движения возможен отрыв среды от поверхности тела на стороне меньшего угла j- в окрестности носовой части тела. На рис. 1 OC — область возможного отрыва, ее длина L неизвестна и должна быть определена в ходе решения.

Граничные условия. В рассматриваемой задаче в области контакта тела со средой должны быть выполнены условие безотрывности обтекания, закон трения Кулона-Мора и условие неотрицательности давления, которые после линеаризации запишутся в виде

Рис. 1. Схема движения тонкого твердого тела в упругой среде

Vy = V0j(x), aXy = -kayy, Oyy ^ 0. На свободной поверхности должны быть удовлетворены условия

ayy — °j аxy —

Также должны быть выполнены условия излучения (отсутствие волн, идущих из бесконечности), обеспечивающие единственность решения:

Vi = 0[ X

а,

1

= 0 ^ , ^ = о ^

сЩ дг

1

да.

г]

дг

1

при г = \Jх2 + у2 —> oo.

O

Основные уравнения. Если ввести потенциалы вектора перемещений

дф дф

их = — +

и

дх ду

то задача сведется к решению двух волновых уравнений

дф дф у ду дх'

а

1 эу

д2ф д2ф дх2 ду

'Л + 2ц 1 д2ф

2

Р

д2ф д2ф

Ь2 дЬ2 дх2 ду

2

Р

для продольных и поперечных волн, скорости которых равны а и Ь соответственно.

Наряду с неподвижной системой координат введем подвижную систему координат оху, связанную с движущимся телом (рис. 1) следующим образом: х = х1 + УоЬ, у = у1, где Ь — время. В подвижной системе координат движение является установившимся, и уравнения (3) перепишутся в форме

а2 ) дх2 ду2 '

Компоненты скорости и тензора напряжений:

1

У02\ д2ф д2ф

Ь2 ) дх2 ^ ду2

0.

= V.

д2ф д2ф \

дх2

+

д2Ф \ у=у(&4> дхду/' у \дхду дх2 )'

. д2ф , д2ф д2ф

дх2

ду2

г

уу

= Л ^Л + (Л + /л) ^ - 2ц

дхду' д2 ф

(

ху

д2ф д2 ф д2 ф

дхду ду2 дх2

дх2 ду2 дхду'

Учитывая формулы (1), (2), получим следующие граничные условия:

гху — к(уу! гху — к(уу1

Уу = V.7 при у =0, Ь < х < 11;

гху - 0

Уу = Уо7+ при у+ = 0, 0 <х < ¡2;

у- =0, 0 < х < Ь и х > ¡1; у+ = 0, х > ¡2.

гуу = 0 при

Таким образом, необходимо решить уравнения (4) с граничными условиями (6), учитывая выражения (5) для скорости и напряжений.

Построение решения для дозвуковой скорости движения. Рассмотрим движение со скоростью, меньшей скорости распространения поперечных волн. В таком случае уравнения (4) запишутся в виде

дх2 ду

дх2 ду

2

где а =1 —

У0 о2 Л У0

в2 = 1 —

Ь2

Указанным уравнениям удовлетворяют функции ф = Ие$(¿1), ф = ИеФ(г2), где $(¿1), Ф(г2) — аналитические функции своих комплексных аргументов г1 = х + гау, г2 = х + гву. Компоненты скоростей и тензора напряжений выражаются через введенные функции.

Далее конформным отображением и> = у/г из плоскости (х, у) в плоскость (и, и) получаем краевую задачу для полуплоскости 1т и> ^ 0:

при V = 0, — л/1\ < и < —\[~Ь

( —2а 1т Ф"(и) — (1 + в2) Ие Ф"(и) = к (—(1 + в2) Ие Ф"(и) + 2в 1т Ф"(и)), | —а 1тФ"(и) — Ие Ф"(и) = 7-(и);

при V = 0, 0 < и < лДъ

( —2а 1т Ф"(и) — (1 + в2) Ие Ф"(и) = —к (—(1 + в2) Ие Ф"(и) + 2в 1т Ф"(и)), | —а 1т Ф" (и) — Ие Ф"(и) = 7+(и);

18 ВМУ, математика, механика, №4

2

при v = 0, и < — лДь —л/ь < и < 0, и > л/Ь

( -2а 1т Ф"(п) - (1 + в2) Ие Ф"(и) = 0, | -(1 + в2) Ие Ф» + 2в 1т Ф"(и) = 0.

Введем новые функции Р(ад), ^(ад) так, чтобы выполнялись условия ИеР = иуу, Ие^ = аху. Тогда

Ф» = -Ц^ РН + ^ дм, Ф» = РЫ - дм,

где О = (1 + в2)2 — 4ав. Для функций Р(ад), ^(ад) получим краевую задачу Римана-Гильберта [8]

p(u) Re P(u) + q(u) Im P(u) = c(u).

Здесь

1, i 0, Г 0, и < Vh, -VL < и < 0, u> Vh.'-,

p(u) = { k(l + f32 -2ap), q(u) = \ -a(l -/З2), c(u) = \ ~Vh < и <-vT;

,fc(l + /32-2a/3); [a(l-/32); I-7+(u)fi, 0 < u <

Решение задачи, убывающее на бесконечности, представляется интегралом Шварца

-Vl Vh

, 1 i f Y-(t) dt f Y+(t) dt

p(w) = AX(w) —1 1 w ' w

^^^ |X(t)|(t - ад) J \X(t)\(t - w)j' -Vh о

где

A=

Q

+ I32 - 2ap)2 + a2(l - /32)2

X (w) =

ww

+ VL)

m,Q

1 a

mo = "arCtgfc(l + /32-2«/3)-

Найдем решение в области контакта по формулам Сохоцкого-Племеля [8]: при v = 0, 0 < и < Vh

a+y(u) = Re

-Vl Vh

m A[U) J \X

-Vh 0

при v

= o, -Vh <u< -VL

ayy(u) = Re

Aeinm0 y-

-Vl

1 Г Y-(t) dt

7П J \X(t)\(t-u) -Vh

Aeinmo

Vh

пг

X

7 +

где верхний индекс "+" соответствует верхней части контура тела, индекс " —" — нижней. Полученные интегралы понимаются в смысле главного значения по Коши.

Рассмотрим движение тела со скоростью, большей скорости волн Рэлея. Проверим выполнение условия ауу ^ 0 на обеих сторонах тела в предположении о безотрывности обтекания (т.е. при Ь = 0). Невыполнение этого условия в данной точке означает наличие свободной поверхности. В случае асимметричного тела условие ауу ^ 0 для давления нарушается на носу тела, на его нижней части. С увеличением скорости длина зоны отрыва уменьшается, оставаясь конечной вплоть до значения скорости поперечных волн.

Построение решения в случае трансзвукового движения. При Ь < V. < а уравнения (4) запишутся следующим образом:

2 д\ д2ф

^ м О "Г о О

дх2 ду2

2 д^ф _ д^ф 1 дх2 ду2

0,

^ V 2

где а2 = 1-^,/32 = -§--1. а2 Ь2

Будем искать решение в виде ф = ИеФ(г1), где $(¿1) — аналитическая функция аргумента г1 = х + гау, для верхней и нижней полуплоскости ф = Н(г±)Ф(г±), г± = х ^ в1 у, Н(Ь) — функция Хевисайда. Для определения функций Ф(г), Ф(г) имеем следующую краевую задачу:

в области контакта для верхней и нижней полуплоскости

( —2а 1тФ"(х) — (1 — в2)Ф"(х) = тк(—(1 — в2) НеФ"(х) — 2в1Ф"(х)), | —а 1тФ"(х) — Ф"(х) = 7 ±(х);

на свободной поверхности для верхней и нижней полуплоскости

( —2а 1т Ф"(х) — (1 — в2)Ф"(х) = 0, { —(1 — в?) Ие Ф"(х) ± 2в1 Ф"(х) = 0.

Выполняя конформное отображение и) = у/г в случае /З2 < 1 для функции Ф"(го), приходим к задаче Римана-Гильберта

р(и) Ие Ф"(и) + д(и) 1т Ф"(и) = с(и),

где

Р(и) =

22

Г(1 — в2) к(1 — в2),

'—4ав1,

—а(2в1 к + 1+в2),

0,

(1 — в2)2, Я(и) = < —4ав1

и < —-\ДГ;

7~(и)(2р1к + р1-1), -у/Ц < и <-у/Ь;

к(1 — в2)2, 1(1 — в2)2;

с(и) = < 0

а(2в1 к + 1 + в2), к4ав1;

-у/1 < и < 0;

-7+(и)(2/31А: + /32-1), 0 <и<у/Г2-0, и > л/Ь.

Получим решение в виде интегралов типа Коши для функции Ф"(эд):

Ф"^) =

п

ад/ Т

V у \xmt-w)

-у/к

у/к

-л

7 +(Ь) йЬ

X

где

л=

2кв1 + в2! — 1

\/к2(1 - 02)2 + а2(2к0 + 02 + I)2'

X (V) =

о 1 , 4а/?1

т2 =--arctg

п

(V) + л/П)"1!-"1!^ + ч/1)т2-т1и)т2+т1 (и) - у/Ц)т2~т1

а

к

Найдем значение функции Ф"(и) в области контакта: при у+ = 0, 0 < и < у/12

Ф+(и) = Лв-гжт2

о IX(и)| / 7-(Ь) йЬ

т } \Х

-у/к

— Ле-гпт2 7+(и) +

у/к

IX(и)| / 7+(Ь) йЬ

пг 7 IX (Ь)|(Ь — и) У'

0

о

— гпт

1

е

при = 0, — \Д1 < и < —л

Ф__ (п) = Ае"

7 (п) +

X (п)\

-л/1

пг

-л^Г

7ей

и)

- Ае"

\Х (п)\

л^

пг

7

!*(*)!(*-и)'

Компоненты тензора напряжений в областях контакта имеют вид

о,

= -(1 - 02) Ие Ф__(п) ± 2ав 1т Ф_(п) Т 7±(п)201,

V

о.

V

= -

Длина свободной поверхности Ь определяется численно из условия непрерывности скорости в точке отрыва и условия Оуу < 0. На рис. 2 приведены графики зависимости длины области отрыва Ь от числа Маха М для поперечных волн в случае тел клиновидной и оживальной формы при следующих значениях параметров: = п/60, 7 + = п/40, к = 0,1, ¿1 = ¿2 в диапазоне скоростей Уо € (Уд,\/2Ь), где Уд — скорость волны Рэлея. Зависимость подъемной силы Е^ и силы сопротивления Е^ от числа Маха М для поперечных волн в случае тел клиновидной и оживальной формы приведена на рис. 3, а и б соответственно. В таблице представлены предельные значения меньшего угла и числа Маха М для поперечных волн, при котором зона отрыва ОС отсутствует, в случае фиксированного угла раствора тела 7 = 7+ + 7" = п/30 и отсутствия трения: вторая строка таблицы соответствует телу клиновидной формы, третья — оживаль-ной.

Рис. 2. Зависимость длины зоны отрыва Ь от числа Маха М для поперечных волн в случае тел клиновидной (кривая 1) и оживальной (кривая 2) формы

0

2

2

7 7г/60 7Г/65 тг/100 тг/2000 тг/10 000 тг/100 000 тг/1000 000

М 1,2052 1,3359 1,3877 1,41046 1,41256 1,41369 1,41405

1,0722 1,2993 1,3764 1,40888 1,41186 1,41348 1,41398

Отдельный интерес представляет картина обтекания тела оживальной формы в рассматриваемом диапазоне скоростей. В отличие от клина требуется определить не только свободную поверхность ОС, но и точки А, В отрыва среды от тела. При переходе через скорость распространения поперечных возмущений отрыв среды из точек А, В "ложится" на тело, образуя в диапазоне скоростей Уо Е (6; 1,01 Ь) отдельные, быстро исчезающие при увеличении скорости зоны отрыва АА1, ВВ\, и дальнейший отрыв среды происходит от вершин О и Е (рис. 2).

Подводя общие итоги, можно сделать следующие выводы.

1. Получено аналитическое решение как в дозвуковом, так и в трансзвуковом диапазоне скорости движения тела (клиновидной и оживальной формы).

2. В случае движения тела оживальной формы при переходе через скорость распространения поперечных возмущений образуются отдельные, быстро исчезающие при увеличении скорости зоны отрыва.

3. При увеличении скорости движения тела длина области отрыва на носу тела уменьшается (рис. 2).

4. Длина зоны отрыва на носу тела при переходе через скорость распространения поперечных возмущений не терпит разрыва. Далее с увеличением скорости движения свободная поверхность резко сокращается, что вызвано прекращением влияния на среду перед телом поперечных возмущений, и затем ее размер медленно уменьшается до нуля (рис. 2).

Рис. 3. Зависимость подъемной силы Еь и силы сопротивления Е^ от числа Маха М для тел клиновидной формы

5. Существует предельная величина скорости V* = л/2Ъ, при которой исчезает зона отрыва на носу тела (таблица). При этой скорости силы, действующие на тело, одинаковы для клина и оживала (рис. 3). Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 09-08-00396-a.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сагомонян А.Я. Проникание твердых тел в сжимаемые сплошные среды. М.: Изд-во МГУ, 1974.

2. Сагомонян А.Я. Динамика пробивания преград. М.: Изд-во МГУ, 1988.

3. Бивин Ю.К., Колесников В.А., Флитман Л.М. Определение механических свойств среды методом динамического внедрения // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2001. № 2. 87-96.

4. Симонов И.В. Об устойчивости движения удлиненного тела вращения в упругопластической среде при отрыве потока // Прикл. матем. и механ. 2000. 64, вып. 2. 313-322.

5. Симонов И.В. Трансзвуковое обтекание тонкого твердого тела упругой средой // Прикл. матем. и механ. 1984. 48, вып. 1. 114-122.

6. Звягин А.В. Движение тонкого жесткого тела в упругой среде // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 5. 59-66.

7. Черепанов Г.П. Механика разрушения горных пород в процессе бурения. М.: Недра, 1987.

8. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

Поступила в редакцию 24.05.2010

УДК 531.391

АВТОКОЛЕБАНИЯ ДВУХ ТЕЛ С НЕЛИНЕЙНЫМ ТРЕНИЕМ В. Г. Вильке1, И. Л. Шаповалов2

Исследовано движение двух тел, одно их которых связано пружиной с неподвижным основанием, а другое — с телом, движущимся с постоянной скоростью. Взаимодействие тел описывается нелинейным законом трения с падающим участком характеристики. Получены усредненные уравнения движения в канонических переменных действие-угол, найдены стационарные точки, соответствующие автоколебательным режимам, и исследована их устойчивость.

Ключевые слова: автоколебательная система, нелинейный закон трения.

The motion of two bodies is studied. One of them is connected to a motionless basis by a spring, whereas the other one is connected with a body moving at a constant speed. The

1 Вильке Владимир Георгиевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: polenova_t.m@mail.ru.

2 Шаповалов Иван Леонидович — студ. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: nazarovich 90.m@mail.ru.