Модель одной системы массового обслуживания типа M/G/1 с гистерезисным управлением входящим потоком

Модель одной системы массового обслуживания типа М/Э/1 с гистерезисным управлением

*

входящим потоком

Ключевые слова: гистерезисное управление, Б1Р-сервер, перегрузка, система массового обслуживания, М/в/1, вероятность потери заявки.

Гистерезисное управление нагрузкой является одним из основных инструментов в предотвращении различного рода перегрузок в телекоммуникационных сетях, в том числе в сетях, функционирующих на базе протокола SIP (Session Initiation Protocol), что регламентируется рекомендациями IETF (Internet Engineering Task Force). В работе построена модель процесса управления поступающей на SIP-сервер нагрузкой в виде системы массового обслуживания M/G/1 с гистерезисным управлением входящим потоком. Управление производится на основании данных о длине очереди, в которой предусмотрено два порога для обнаружения и снижения перегрузки. При помощи аппа-рата марковских процессов восстановления выписаны соотношения для стационарного распределения вероят-ностей длины очереди, а также получены формулы вычисления вероятностных характеристик управления входящим потоком.

Гайдамака Ю.В.,

доиент кафедры систем телекоммуникаций РУДН; ygaidamaka@sci.pfu.edu.iv

Самуйлов К.Е.,

заведующий кафедрой систем телекоммуникаций РУДН; ksam@sci.pfu.edu.ru

Сопин Э.С.,

аспирант кафедры систем телекоммуникаций РУДН; sopin-eduard@yandex.ru

Введение

В связи с бурным ростом трафика в различных телекоммуникационных сетях задачи управления нагрузками в них становятся все более актуальными. Одним из механизмов контроля перегрузок является гистерезисное управление, использующее три вида порогов: пороги обнаружения и снижения перегрузки, а также порог сброса нагрузки. Согласно рекомендациям и стандартам комитета IETF (Internet Engineering Task Force) вариации подобных механизмов используются и для управления нагрузкой в сетях сигнализации, функционирующих на базе протокола инициации сеансов связи (SIP, Session Initiation Protocol) [1].

Для управления системой, которое заключается в переключении между режимами нормальной нагрузки и перегрузки, вводится контроль числа сообщений в буфере передачи. Обнаружение перегрузки осуществляется введением в буфере передачи порога обнаружения перегрузки, при достижении которого снижается поступающая нагрузка. Во избежание осцилляций между режимами нормальной нагрузки и перегрузки при снижении заполненности буфера ниже значения порога обнаружения перегрузки возврат к нормальной нагрузке происходит не сразу, а спустя некоторое время, когда длина очереди снизится до порога снижения перегрузки. Кроме того, определен порог сброса, при достижении которого нагрузка сбрасывается полностью.

В данной работе исследование характеристик описанного механизма проводится с помощью математической модели в виде СМО (система массового обслуживания) типа М/О/1 с гистерезисным управлением входящим потоком. Анализ подобной СМО для случая бесконечной очереди и отсутствия порога сброса нагрузки проведен в статьях [2, 3] с использованием аппарата мартингалов. В статье [4] проведен анализ системы типа М/О/1 в случае, когда при достижении длиной очереди порога обнаружения перегрузки нагрузка сбрасывается полностью, т.е. пороги обнаружения перегрузки и сброса нагрузки совпадают. В данной работе, аналогично статье [5], анализ СМО проводится с использованием аппарата марковских процессов восстановления, получены соотношения для стационарного распределения вероятностей. Затем получены формулы для параметров качества функционирования системы.

Анализ модели М/С/1 с гистерезисным управлением

Рассматривается однолинейная СМО, состоящая из одного обслуживающего прибора и накопителя емкости /?. Входящий поток заявок является пуассоновским с интенсивностью Л. При достижении длиной очереди порога обнаружения нагрузки Н (// = Я - 1) интенсивность входящего потока падает до 0 и восстанавливается в тот момент, когда длина очереди становится меньше порога снижения перегрузки Ь \Ь< Н). Длительность обслуживания является случайной величиной (СВ) с функцией распределения (ФР) В(х) и

средним < « .

Введем случайные процессы Х(/) - число заявок в СМО в момент времени - статус перегрузки

системы (0, если система функционирует в режиме нормальной нагрузки, и 1, если система находится в режиме перегрузки и заявки на нее не поступают) и

У(0 45(0, *(/)}•

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 10-07-00487-а, 12-07-00108).

Учтем, что

Рис. 1. Диаграмма вероятностей переходов между состояниями вложенной ЦМ Y{tп - 0).

Пусть /„,«> 0 - моменты окончания обслуживания

заявок. Для упрощения анализа будем предполагать, что смена статуса перегрузки системы S(l) может происходить только в моменты (/ - О), тогда состояния случайного процесса Y(ln - 0) образуют вложенную ЦМ (цепь Маркова). Обозначим ^ = lim/*|S(/.H 0)=*,*(/„- 0)=у'},

J п-*°°

p. = \imP]S(t)=s,X(t)=j}, j> 0. Кроме того.

обозначим

A=J«

1

к\

-dB

к -й

экспоненциаль-

ный момент ФР В(х), который можно интерпретировать

как вероятность поступления в СМО к заявок за случайное время наблюдения, распределенное в соответствие с ФР В(х).

На рисунке 1 представлена диаграмма вероятностей переходов между состояниями ЦМ. 11струдно убедиться, что вероятности С[$ . удовлетворяют следующей системе уравнений:

пнп

Яь.!-чo.Ji+ z,qo.kPhk+\+si.L-\4v., У=о,я-1;

оо И-1 -

Я].н ~ Чи.а^Р, + Xi <7о, ^.Рк '

/=1 к=Н-1+1

?и=?М+1=9|.//. ] = ЦН-\.

Далее найдем связь между распределениями | и

<р } в виде следующих соотношений:

Рол ~ С i Чо.о'

Po.i ~ С

<7о.о J [l - +

тт(л//-|) / Л\ J-l

+ X 4oj J [(- S(.v)]íf"i -Jj dx

101[1-адИ1^+ *=// *'

о

//-I

*=//-/+1 л!

7 = 1, Н

;

P,J=C-'b'\J,

гдеС = ^ + 6

Г[1-ад^Х^Л=т1'-1Д

0 *=// Л \

тогда система (2) примет вид т

Ро.,=С-и

Чп.О ^llPk 1+

•. 7 = 1, Я’

Г'Л.-Ы

/=1 Л\ Д=0 /

i jíi-í4;

*=//л ^ /=о ) м *«//-1+1Л ^ 1=0 yj

Системы уравнений (1) и (2) не имеют аналитического решения, поэтому для нахождения вероятностного распределения 1 р$;} необходимо решить их численно.

Вероятностно-временные характеристики

Используя соотношения для стационарного распределения вероятностей, мы можем получить формулы для некоторых важных параметров функционировании системы. Вероятность потери заявки Л складывается из вероятности переполнения СМО и вероятности нахождения системы в режиме перегрузки

* = А).н+1 + X Ри = Ро.н*1 + V/,

Кроме того, важным параметром управления является среднее время перехода из режима перегрузки в режим обычного функционирования системы Г :

г = А<"Ёа,-<5)

/=£

Таким образом, регулируя порог снижения перегрузки /,, мы можем управлять частотой осцилляций переключения между режимами.

Заключение

В работе исследована СМО типа МЛЗ/1 с гистерезисиым управлением входящим потоком в случае полного сброса поступающей нагрузки при достижении порога обнаружения перегрузки, т.е. для случая, когда порог обнаружения перегрузки равен порогу сброса нагрузки. Для указанной системы получены соотношения для нахождения стационарного распределения вероятностей, а также найдены формулы для важных параметров функционирования: вероятности потери и среднего времени переключения между режимами. В дальнейшем авторы планируют рассмотреть более общую модель, учитывающую все три порога гистерезис-ного управления - пороги обнаружения и снижения перегрузки, а также порог сброса нагрузки.

Литература

1. Абаев П.О., Гайдамака Ю.В., Самуй.юв К.Е. Гистере-зисное управление сигнальной нагрузкой в сети SIP-серверов // Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. -2011.-№I -С.54-71.

2. Koughan М. An analysis of modified M/G/l queue using a martingale technique. Journal of Applied Probability. - 1996. -Vol.33. C.224-238.

3. Koughan М., Pearce C.E.M. A martingale analysis of hysteretic overload control. Advances in Performance Analysis. -2000. - Vol.3. №1. C.I-30.

4. Takagi H. Analysis of a finite-capacity M/G/l queue with a resume level. Performance Evaluation. - 1985. -№5. - C. 197-203.

5. Самуй.юв K.E., Сонин Э.С. К анализу системы M[X]|G|l|rc прогулками прибора// Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. - 2011. - Xsl. - С.91-97.

ANALYSIS OF M/G/1 QUEUING

WITH HYSTERETIC FLOW CONTROL

Gaidamaka Yuliya, associate professor of telecommunication systems department of PFUR, ygaidamaka@sci.pfu.edu.ru Samouylov Konstantin, head of telecommunication systems department of PFUR, ksam@sci.pfu.edu.ru Sopin Eduard, graduate student of telecommunication systems department of PFUR, sopin-eduard@yandex.ru

Abstract: Hysteretic overload control is one of the main mechanisms for preventing overloads in various telecommunication networks including signaling networks based on SIP (Session Initiation Protocol). This is regulated by IETF (Internet Engineering Task Force) drafts and recommendations. We propose a model for SlP-serv-er overload control process in terms of M/G/1 queuing system with hysteretic flow control. Flow control is based on queue length data and two thresholds - congestion onset threshold and congestion abatement threshold. Using Markovian renewal processes theory we derive set of equations for calculating stationary queue length distribution as well as formulas for flow control characteristics.

Keywords: hysteretic control, SIP-server, overload, queuing system, M/G/1, loss probability.