Автоматизация анализа равновесия и устойчивости чистого изгиба нелинейно-упругой панели

Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2617-2618

2617

УДК 539.3

АВТОМАТИЗАЦИЯ АНАЛИЗА РАВНОВЕСИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ЧИСТОГО ИЗГИБА НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОЙ ПАНЕЛИ

© 2011 г. Н.Ю. Шубчинская, Д.Ю. Сухов

Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону

sovuniya@gmail.com

Поступила в редакцию 24.08.2011

Представлена реализация основных этапов процесса анализа устойчивости в системе компьютерной алгебры Maple на примере решения задачи об изгибе панели в сектор цилиндра. Для двух моделей материалов с нелинейно-упругим поведением установлено, что диаграмма изгиба имеет точку максимума, за которой следует падающий участок. Для изучения устойчивости на основе бифуркационного подхода разработан самостоятельный блок Maple-кода, реализующий аналитически линеаризацию уравнений равновесия. Приведены основные результаты о расположении точек бифуркации на диаграмме изгиба в зависимости от материальных параметров моделей.

Ключевые слова: изгиб, бифуркационный подход, потеря устойчивости, нелинейно-упругий материал.

Цель работы — демонстрация возможностей автоматизированной системы анализа равновесия и устойчивости нелинейно-упругих тел в системе компьютерной алгебры Maple на примере задачи чистого изгиба панели. Исследование задач устойчивости трехмерных тел, базирующееся на нелинейной теории упругости, является достаточно непростым процессом даже для тел с простой геометрией. Однако сам процесс анализа устойчивости достаточно алгоритмичен, поэтому допускает автоматизацию его основных этапов с помощью современных средств компьютерной алгебры [1].

В рамках плоской деформации рассматривается задача об изгибе панели прямоугольного поперечного сечения шириной h и толщиной а торцевыми моментами. В предположении, что сечением деформированной панели будет сектор кругового кольца, в качестве координат отсчетной конфигурации следует выбрать декартовы координаты (x, y, z), а текущей — цилиндрические (R, Ф, Z). Из вариантов доступных видов дефор-

мации выбирается изгиб, полуобратное представление для которого имеет вид

R = P

где P(x) описывает изменение толщины сечения панели после деформации, а параметр B = yhla характеризует соотношение ширины панели и угла раствора сектора, в который деформируется панель (рис. 1).

Для описания механических свойств материала панели были использованы две модели — полулинейный материал Джона и материал Блейт-ца и Ко [2]. С использованием полуобратного представления (1) краевая задача для изгиба панели в системе Maple генерируется автоматически. На рисунках приведены результаты численного счета в виде зависимостей изгибающего момента от параметра B для обеих моделей материала: на рис. 2 представлена зависимость для полулинейного материала Джона, на рис. 3 — для материала Блейтца и Ко.

На обоих графиках отчетливо видна точка максимума, за которой следует падающий учас-

Рис. 1

ток, что свидетельствует о возможной потере устойчивости.

Рис. 2

Рис. 3

Для изучения устойчивости на основе бифуркационного подхода разработан самостоятельный блок Мар1е-кода, реализующий аналитически ли-

неаризацию уравнений равновесия [3]. Все математические операции, используемые в процессе вывода уравнений нейтрального равновесия ( дифференцирование, подстановка, упрощения и т.п.), являются строго алгоритмизируемыми. Поиск значений параметра, при котором существуют нетривиальные решения этой системы, отождествляемых с точками потери устойчивости, также реализован в среде Maple.

Результаты автоматического расчета показывают, что значения критического параметра изгиба B появляются значительного раньше точки максимума на диаграмме нагружения.

Работа выполнена в рамках целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг (контракт П361).

Список литературы

1. Gavrilyachenko T.M., Karyakin M.I., Sukhov D.Y Designing of the interface for nonlinear boundary value problem solver using Maple // Proceedings of the International Conference on Computational Sciences and its Applications. 2008. P. 284-291.

2. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

3. Гавриляченко ТВ., Карякин М.И. Об автоматизации анализа устойчивости равновесия скручиваемого вала // Труды 5-й Междунар. конф. Ростов-на-Дону: Изд-во Северо-Кавказ. научн. центра высш. школы, 2000. С. 79-83.

AUTOMATION OF THE ANALYSIS OF EQUILIBRIUM AND STABILITY OF PURE BENDING

OF A NONLINEARLY ELASTIC PANEL

N. Yu. Shubchinskaya, D. Yu. Sukhov

The realization of the main steps of the stability analysis process of bending a panel into a cylindrical sector using the Maple computer algebra system is presented. For two material models with nonlinearly elastic properties, it was found that the bending diagram has an extremum point followed by a falling region. To study the stability based on the bifurcation approach, the Maple-independent block of the code was developed which analytically implements the linearization of the equilibrium equations. Some issues are discussed which are related to the location of bifurcation points on the diagram of loading as well as to the influence of the material parameters on the possibility of buckling when loaded in bending.

Keywords: bending, bifurcation approach, buckling, nonlinearly elastic material.