Математическая одаренность и ее развитие

В. A. Тестов

М-атематическая одаренность и ее развитие

В данной работе проблема развития математической одаренности рассматривается с точки зрения нахождения связующих, системообразующих стержней решения этой проблемы. Такими стержнями являются такие когнитивные репрезентативные структуры, которые представляют собой определенные качества математического мышления, которые являются, прежде всего, средствами, методами познания. Такие структуры в работе называются схемами математического мышления. М-атематические способности личности зависят от уровня сформированности у человека схем математического мышления. Такая зависимость позволяет в практическом плане развивать математическую одаренность через использование специальным образом подобранных нестандартных задач. В работе выделены четыре вида схем математического мышления: логические, алгоритмические, комбинаторные и образно-геометрические. Все эти структуры обладают универсальностью (независимостью их использования от конкретного математического материала) и имеют большое значение не только для обучения, но и для математического творчества. Экспериментальные данные подтверждают верность выводов об определяющей роли выделенных видов математических структур для развития математического мышления и эффективности предложенных способов их использования.

Ключевые слова: математические способности,схемы математического мышления, логические, алгоритмические, комбинаторные, образно-геометрические

V. A. Testov

M-athematical giftedness and its development

In this paper,the problem of mathematical giftedness is considered from the point of view of finding a connection, system-rods to solve this problem. These rods are those cognitive representational structures that represent a certain quality of mathematical thinking, which are, above all, means, methods of cognition. Such structures are called schemas of mathematical thinking. M-athematical abilities of the person depend on the level of formation of human schemas of mathematical thinking. Such dependence can, in practical terms, to develop and diagnose mathematical talent mathematical talent through the use of specially selected non-standard tasks. The paper identified four types of schemes of mathematical thinking: logical, algorithmic, combinatorial and figurative-geometric. All these structures have universal (independent of the use of specific mathematical material) and are of great importance not only for training but also for mathematical creativity. Experimental data confirm the findings of fidelity of the decisive role allocated kinds of mathematical structures for the development of mathematical thinking and the effectiveness of the proposed methods of their use.

Keywords: mathematical ability, the scheme of mathematical thinking logical, algorithmic, combinatorial, figurative-geometric

СТ^уУ1^ роблема развития математической ной точки зрения на эту проблему не выработа-' ' одаренности в последнее время стала но до сих пор, даже на уровне определений. Мы

П

весьма актуальной. Она выдвинута придерживаемся определения Дж. Рензулли,

как одна из наиболее важных в концепции раз- согласно которому одаренность — результат сд||

вития математического образования, утвержден- четания трех характеристик: интеллектуальных

Щой Правительством РФ в декабре 2013 г. Хотя способностей, превышающих средний уровень,

шта проблема уже давно привлекает внимание творческого подхода и настойчивости. Такищ!

ученых и ею в различных аспектах занимаются и образом, ядро математической одаренности со-

математики и педагоги и психологи, однако еди- ставляют математические способности, однако

що ©Шт'пбр ' нетуД0ВлетвЬрйТелЬнОГ0''!опреДеяе ртя, что такое математические способности. Необходимо по новому подойти к этой проблеме, райти связующие, системообразующие стержни ¡решения этой проблемы. Выявив эти системообразующие стержни, можно в практическом рлане развивать математическую одаренность через использование специальным образом подобранных нестандартных задач.

Проблема выявления и отслеживания параметров математического развития неизбежно встает при рассмотрении вопроса о развитии личности учащегося, его интеллектуальных качеств. Носителем такого развития, как считают психологи, являются внутренние когнитивные репрезентативные структуры. В.В. Давыдов, анализируя результаты исследований Ж. Пиаже, указывал на тесную связь вопроса о развитии математического мышления и формирования внутренних математических структур: "Математическое мышление возможно лишь на основе уже сложившихся операторных структур. Предварительное образование этих структур (как "координации действий") является началом математического мышления, "выделения" математических структур» [4, с. 68].

Уровень сформированности у человека математических структур мышления, уровень их развития проявляется в математических способностях личности. Способности не только проявляются, но и развиваются через актуализацию когнитивных процессов. Таким образом, можно сделать вывод о том, что умственное развитие личности, степень сформированности у нее внутренних когнитивных структур находится в тесной взаимосвязи с ее способностями.

В понимании того, что же такое способности человека, выработалась точка зрения, сторонники которой признают важную роль наследственности в развитии способностей, но видят в них не источник их развития, а всего лишь условие этого развития. Врожденными являются предпосылки способностей или задатки. В качестве же источника развития человеческих способностей выступает социальный опыт, который и должен быть передан новому поколению в процессе обучения [8], [17].

Обычно различают общие и специальные способности. Общая интеллектуальная одаренность обычно отождествляется с умственными способностями. С общей одаренностью органически связаны специальные одаренности. Под специальными одаренностями понимается такая система свойств личности, которая помогает ей достигнуть высоких результатов в познании и творчестве в специальной области деятельно-кти, например, музыкальной, математической, Конструкторской и т.п. Чем выше развиты общие способности, тем больше создается внутренних условий для развития специальных спо-

ЁобйШЖйй Однако, . . "че.шбо;львуюроль в той

или иной специальной способности играют специальные задатки и специальная техника, тем меньше может оказаться соответствие или даже диспропорция между специальными способностями и общей одаренностью" [14].

В свою очередь развитие специальных способностей, при известных условиях, положительно влияет на развитие других видов способностей и интеллекта личности. В частности, в некоторых исследованиях показывается, что в общем интеллектуальном развитии и в развитии математических способностей определенная роль принадлежит игре на музыкальных инструментах [3].

В основе как общих, так и специальных способностей, лежат задатки (природные способности). По нашему мнению, следует различать задатки для общих способностей и для специальных. То, что такое разделение имеет место, вытекает из того, что в ходе обучения и развития способностей заметна разница между детьми и что у одних детей легче формируются, например, математические, у других литературные способности.

Таким образом, следует признать важную роль наследственности в развитии математической одаренности, но видеть в ней не источник их развития, а условие этого развития. В качестве же источника развития человеческих способностей выступает социальный опыт, в первую очередь обучение и воспитание.

Система факторов развития личности действует по-разному. В одних случаях доминирует врожденная программа развития: она настолько сильна, что нейтрализует влияние неблагоприятной среды (нерадивых родителей, плохо поставленной школы, бедности и пр.) и создает предпосылки для большого вклада личности в самосовершенствовании. В других случаях решающую роль в развитии человека играет среда — один или оба родителей, школа или даже один из учителей и т.п., которые все вместе и в разных сочетаниях создают возможность раскрываться врожденным задаткам или — наоборот, помогают компенсации врожденных особенностей, препятствующих достижению целей, которые поставила перед собой данная личность. И наконец, немало примеров того, когда личность создала себя сама, вложив огромную работу в устранение врожденных и созданных средой препятствий [3].

Математическая одаренность являются одним из видов специальной интеллектуальной одаренности. С.Л. Рубинштейн выделил общую компоненту различных умственных способностей качество процессов анализа и синтеза. Но, очевидно, имеются и специфические способы математической деятельности. Такими способами, средствами познания являются те математр-ческие структуры (схемы) мышления, которые обеспечивают линию качественных изменений в

функционировании ин^ИЯ^кта и в наибольшей степени способствуют развитию математического мышле-ния. Выделение таких структур является одной из важных задач при исследовании математических способностей.

В разработку понятия "математические способности" внесли свой вклад, как психологи, так и крупные математики. В отечественной литературе, пожалуй, первым, кто затронул проблему математических способностей, был русский математик Д.Д. Мордухай-Болтовский, который отметил различие двух типов воображения: абстрактного у "алгебраистов" и более конкретного у "геометров".

Наиболее фундаментально эта проблема ис-Цледовалась В.А. Крутецким и его сотрудниками, которые заложили общие основы теории и диагностики математических способностей. Несмотря на то, что ряд положений, выдвинутых В.А. Крутецким, был подвергнут критике, результаты его исследований имеют большое значение и в настоящее время.

Общим для большинства исследователей является признание необходимости различать способности к изучению математики как учебного предмета и способности к научной математической деятельности. При этом одни из них различают два уровня математических способностей: уровень учебных способностей, т.е. способности к изучению математики, и творческий уровень, т.е. способности к научной математической деятельности. Другая группа ученых считает предпочтительней точку зрения, что следует различать не уровни математических способностей, а группы разных способностей.

Математические способности * сложное психическое образование, своеобразный синтез свойств, интегральное качество ума, охватывающее разные его стороны (внимание, восприятие, мышление, память) и развившееся в процессе математической деятельности. Эти свойства ума тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупности единую систему, отдельные проявления которой условно называются компонентами математических способностей. Таких компонент разными авторами выделены десятки и даже сотни (логичность, лаконизм, гибкость, точность, критичность мышления, четкая расчлененность хода рассуждения, способность к обобщениям, способность к переключению с прямого на обратный ход мысли, доказательность и т.д.). Отличительных качеств математического мышления выделено столь много, что, всякая специфика этого вида мышления теряется.

На наш взгляд, наиболее приемлемой является структура математических способностей, ¡¡предложенная В.А. Крутецким [7]. Общая схема этой структуры исходит из трех основных этапов решения задачи, которые соответствуют этапам восприятия информации, переработки

информации (мышлению) и запоминания информации.

На первом этапе — этапе восприятия задачи — проявляется способность к формализованы мэ восприятию, схватыванию формальной структИИ ры задачи.

На втором этапе — этапе непосредственного решения задачи проявляется несколько интеллектуальных качеств.

1) Способность к быстрому и широкому обобщению. Способные школьники, например, без затруднений переходят к решению задач в буквенной форме. Развитие способности к обобщению идет по линии сокращения количества специальных однотипных упражнений, являющихся предпосылкой такого обобщения.

2) Способность к свертыванию процесса математического рассуждения. При этом часто опускаются отдельные звенья рассуждений, но которые могут быть легко восстановлены, например, по требованию учителя. Наиболее ярко это качество проявляется у старшеклассников и студентов.

3) Гибкость мыслительных процессов. Начиная с 10-11 лет способные учащиеся уже демонстрируют известную гибкость в ходе поисков других решений. Развитие гибкости мышления идет по пути все более полного освобождения от сковывающего влияния предшествующего хода мысли.

4) Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решения. Наиболее способные учащиеся решают задачу сразу более простым и экономным способом, ясно видя при этом и другие способы.

5) Способность к быстрой и свободной перестройке направления мыслительного процесса, переключение с прямого на обратный ход мысли. Способные ученики, устанавливая связи в одном направлении, довольно легко переходят к осознанию связей в обратном направлении. Это, в частности, проявляется в том, что после решения основной (прямой) задачи решение обратной задачи у способных школьников трудностей не вызывает. В то время как у менее способных наблюдается тормозящее влияние первой задачи на решение второй.

Последний этап решения задачи — это этап запоминания. На этом этапе проявляются свойства памяти. Математическая память весьма специфична. Так академик А.Н.Колмогоров указывал, что многие выдающиеся математики не обладали сколько-нибудь выдающейся памятью на цифры, числа и формулы. Математическая память — это обобщенная память на ма -тематические отношения, схемы рассуждений, методы решения задач и т.д.

В.А. Крутецкий выделяет еще один общий синтетический компонент математических способностей — математическую направленность ума. Эта способность выражается в стремлении к математизации явлений окружающего мира,

пбСтЙЯНйои '^усПиЬвке обраЩаТЬ внимание на математическую сторону явлении, подмечать пространственные и количественные отношения, функциональные зависимости.

Весьма характерной особенностью способных к математике учащихся является также их щалая утомляемость в процессе занятий мате -матикой по сравнению с утомляемостью при занятиях другими видами деятельности.

Ядром математических способностей является математическое мышление. Специфика математического мышления проявляется в том, что для него характерно известное многообразие врдов, типов мышления. Как указывал академик А.Н.Колмогоров "различные стороны математических способностей встречаются в разных комбинациях". Существование различных типов мышления есть следствие не только индивидуальных и типовых психологических различии между людьми, но и следствие существенных различии между областями математики. В одной области наиболее плодотворными оказываются алгоритмические способности, в другой * комбинаторные, в третьей * геометрические [5].

Многие исследователи (В.А. Крутецкий, Н.А. Менчинская и др.) выделяют абстрактно-аналитический, образно-геометрический и гармонический типы математического мышления. Эти типы характеризуются разным сочетанием словесно-логического и наглядно-образного компонентов. По всей видимости, прав А. Пуанкаре, отмечая природную предопределенность такого сочетания: "не воспитание развило в них одну из этих двух склонностей и заглушило другую. Математиками родятся, а не делаются, и, по-видимому, также родятся геометрами или родятся аналитиками" [13, с. 150].

У представителей абстрактно-аналитического типа преобладает словесно-логическое мышление, они легко оперируют отвлеченными схемами, очень успешно решают задачи, выраженные в абстрактной форме. Образно-геометрический тип отличается наличием яркого геометрического воображения или "геометрической интуиции", т.е. способности извлекать необходимую информацию из заданной конфигурации путем ее анализа, включая поиск идеи решения задачи с помощью рисунков, моделей фигур или мысленного представления; способностью к переводу на язык геометрии той или иной задачи и обращение к наглядным образам в процессе решения негеометрических задач. Гармонический тип характеризуется наличием и того и другого компонентов.

Внутри абстрактно-аналитического компонента математических способностей можно выделить несколько составляющих. Так Э.Ж. Гингулис [2] вслед за А.Н. Колмогоровым помимо образно-геометрического компонента рассматривает алгоритмический и логический компшеиты. В ряде, рабщм рассматривают-

ся, кроме тощ, функциотаяЪное, визунлЕное и пространственное мышление. Функционально^ мышление характеризуется осознанием динамики, изменчивости, взаимосвязи и взаимозависимости математических объектов и соотношений. Пространственное мышление характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические модели изучаемых объектов и выполнять над ними операции, соответствующие тем, которые должны быть выполнены над самими объектами. Визуальное мышление определяется как мышление зрительными образами.

Целый ряд исследователей выделяют как отдельный вид комбинаторные способности (комбинаторное мышление, комбинаторный стиль мышления). На особое значение комбинаторных операций, как операций второй ступени, возникающих вместе с рефлексивным мышлением, указывал Ж. Пиаже. Возросшее внимание к комбинаторному мышлению носит закономерный характер. В разные периоды развития математики разные типы мышления играли различную роль. В современный период, когда развились новые разделы математики, в частности компьютерная математика, возросла роль алгоритмического и комбинаторного типов мышления.

Развитие математического мышления — это, прежде всего развитие различных типов мышления. Как установлено рядом авторов и как подтверждает наш опыт, в младшем и в подростковом возрасте наиболее эффективным способом развития математического мышления является решение школьниками системы некоторых, специальным образом подобранных задач, в первую очередь, нестандартных (поисковых). Математические задачи в большой мере пригодны для развития каждого из двух полушарий головного мозга. Они позволяют быстро и эффективно влиять как на образную, интуитивную составляющую мышления, так и на логическую и алгоритмическую его компоненту, совершенствовать мыслительные операции [6], [9], [20].

Решение задач является основным видом математической деятельности и поэтому в этой деятельности проявляются специфические математические схемы (методы, приемы) мышления, о которых мы поговорим ниже. Нестандартные математические задачи в наименьшей степени связаны с конкретным математическим материалом и требуют не столько знания каких-то отдельных математических фактов и частных методов, сколько универсальных приемов математического мышления. Поэтому при решении именно таких задач происходит не только развитие математического мышления, но наиболее ярко проявляется и его сформированность.

Разными авторами предлагаются различные классификации нестандартных развивающих за-лач. Наиболее известнммВ"''ШпйЩ ШкиШй&дач

являются логические, геометрические, комбинаторные, на переливание и взвешивание, арифметические и т.д. В частности, М. Гарднер в своей книге [1] все задачи разделяет на 6 типов: комбинаторные, геометрические, логические, процедурные (алгоритмические), арифметические и словесные (лингвистические). При этом, что отмечает и сам М. Гарднер, данные категории задач не взаимоисключающие, они неизбежно перекрываются. Задачи последних двух типов имеют специфическое содержание и могут быть отнесены к комбинаторным и логическим задачам. Как наиболее универсальные, будем различать типы логических, алгоритмических, комбинаторных и геометрических задач. Развивающий характер таких задач установлен многими педа-гЬгами-практиками экспериментальным путем. Но на этом большинство математиков-исследователей останавливаются и дальше занимаются лишь подбором таких задач.

Однако к такому же выводу можно прийти и теоретическим путем, основываясь на деятель-ностном подходе. Согласно этому подходу достижение необходимого развивающего эффекта обучения предполагает усвоение учащимися содержания обучения в процессе собственной активной деятельности, направленной на приобретение теоретических знаний о предмете обучения и общих приемов решения, связанных с ним задач. В силу этого при обучении любому предмету, в том числе и математике, должна быть не только программа предметных знаний, но и программа тех действий (умений), которые учащиеся используют в качестве средств усвоения этих знаний, т.е. обучение должно одновременно обеспечить усвоение и этих действий, и этих знаний. Для реализации функции развития учащихся, необходимо сформировать общие и специфические для математики умственные действия и приемы, для чего нужна целенаправленная систематическая работа по формированию у учащихся операционных структур мышления.

Поэтому при рассмотрении вопроса о математических способностях весьма важным является рассмотрение тех видов математических структур, которые в первую очередь являются средством развития и диагностики математических способностей. Для математических способностей определяющее значение имеют когнитивные структуры, которые направляют движения в исследовательскую активность, способствуют образованию новых понятийных структур, обеспечивают линию качественных изменений в функционировании интеллекта.

Такие структуры представляют собой определенные качества математического мышления, которые являются, прежде всего, средствами, методами познания. Для таких структур больше подходит термин "схемы", предложенный |У. Найссером. Поэтому такие структуры будем называть схемами математического мышления.

ТаКого CbртS!lтрУКSурS!Ж,. Пиаже назЫваРипея рациями второго порядка или операциями над! операциями, а И.С. Якиманская знаниями второго рода.

Рассмотрим основные виды таких схем мщ! тематического мышления. Схемы (структуры) математического мышления отличаются от других математических когнитивных структур (алгебраических, порядковых, топологических) тем, что представляют собой, прежде всего, не системы хранения знаний, а средства познания. Значение каждого из отмеченных видов структур для развития математического мышления, математических способностей уже давно было замечено из практики преподавания педагогами-математиками.

Под логическими схемами мышления (или логическим мышлением) будем понимать такие когнитивные структуры, такие средства познания, которые позволяют делать из верных посылок (суждений, утверждений) правильные выводы, находить правильные следствия из имеющихся фактов. Логические схемы проявляются в четкой расчлененности и последовательности рассуждений, в использовании в рассуждениях законов формальной логики, различных логических таблиц, конструировании целого из заданных частей с заданными свойствами, использовании приема доказательства "от противного", обращении к контрпримеру и другим приемам доказательства.

Многочисленные исследования показали, что кратковременное обучение логическим понятиям не дает заметного эффекта. Такой эффект можно достичь, если обучение логическим понятиям проводить в течение продолжительного времени, когда эти понятия органически вплетены в курс математики.

Под алгоритмическими схемами мышления (алгоритмическим мышлением) мы будем понимать такие когнитивные структуры, которые позволяют не только применять известные алгоритмы и методы, но и спланировать некоторые действия, приводящие к желаемому результату, т.е. построить некий алгоритм, и довести до конца намеченный план решения задачи, выполняя конечную цепочку элементарных преобразований.

Как отмечал А.А. Столяр [16], формулировка и применение алгоритмов связаны с умением четко формулировать правила и строго придерживаться их. Это умение * одно из качеств математического мышления * важно для каждого человека. Мы вслед за А.А. Столяром к алгоритмическому мышлению относим, прежде всего, умение формулировать и строить алгоритмы. Как следует из результатов ряда исследований, алгоритмические схемы мышления не устойчивы во времени, требуют тренировки, поэтому единовременное их формирование не эффективно.

П&нШш.ШМШНаторНШХЩ£еМ (структур) не

имеет четко очерченных границ. Впервые термин "комбинаторный" в том смысле, в котором мы его употребляем сегодня, по-видимому, ис-рользовал Г. Лейбниц в своей "Диссертации о комбинаторном искусстве". Комбинаторная математика в современном понимании рассматривает задачи на существование, эффективное построение, перечисление и оптимизацию объектов, зависящих от сравнительно большого числа дискретных переменных. В последнее время возможности перебора объектов резко повысились в связи с развитием компьютерной техники, что обусловило рост комбинаторных исследований в различных областях математики.

Комбинаторное мышление характеризуется антиустановочностью; гибкостью (сменой внутреннего плана действий как в процессе поиска решения задачи, так и в процессе ее решения); организацией целенаправленного перебора определенным образом ограниченного круга возможностей. Весь опыт преподавания в школе элементов комбинаторики свидетельствует о необходимости их постепенного и систематического привнесения, прежде всего через задачи. Комбинаторные схемы мышления используются при решении не только задач по комбинаторике, но и многих других математических задач. К комбинаторным схемам может быть отнесен и такой, часто используемый в математике прием, как принцип Дирихле (хотя он может быть отнесен и к логическим схемам, поскольку в нем используется прием доказательства от противного).

Между тремя рассмотренными видами математического мышления соотношение примерно такое же, как и между тремя видами теоретического мышления, выделенными В.В. Давыдовым (анализом, внутренним планом действий и рефлексией). Уровень осуществления анализа представляет собой первый уровень теоретического мышления; второй уровень — это уровень осуществления планирования, он предполагает наличие анализа; третий уровень — это уровень осуществления рефлексии, он предполагает наличие также анализа и планирования.

Нечто подобное наблюдается и в соотношении между логическими, алгоритмическими и комбинаторными схемами. Так для построения алгоритма необходимо, прежде всего, вычленить все частные случаи из некоторого общего положения, а такую способность мы относим к логическим схемам мышления, т.е. для формирования алгоритмических схем необходимо уже владеть некоторыми логическими схемами. А для организации перебора (одной из главных комбинаторных задач) необходимо построить некоторый алгоритм, т.е. для формирования комбинаторных схем необходимо наличие неко-Ьорый11о-ЧчШк %|жоритмщеских схем.

Некоторым особняком от трех рассмотренных видов схем стоят образно-геометрическиЩ, схемы мышления. Образно-геометрические, в частности пространственные, структуры играют незаменимую роль в геометрическом воображении, геометрической интуиции. Эти схемы позволяют наглядно интерпретировать абстрактные математические объекты, выражения и отношения, оперировать наглядными схемами, образами и представлениями. Большинство математиков мыслит не формулами, а образами. Картинки несут гораздо больше информации, чем слова. В течение многих лет школьников отучали пользоваться картинками, потому что они "не строгие". Это печальное недоразумение. Да они не строгие, но они помогают думать, а такого рода помощью никогда не следует пренебрегать. Геометрия является носителем собственного метода познания мира. Геометрическое мышление в своей основе является разновидностью образного, чувственного мышления, что функционально присуще правому полушарию головного мозга; по мере развития геометрического мышления происходит возрастание логической составляющей и соответственно роли левого полушария.

Высшей ступенью развития геометрического воображения является пространственное мышление, его следует рассматривать как разновидность образного мышления.

Процесс формирования схем математического мышления не единовременен, он состоит из отдельных этапов. Организация формирования схем математического мышления должна учитывать возрастные особенности учащихся, закономерности развития у них мыслительных процессов. Необходимо создание своеобразных концентров изучения таких схем. В каждом концентре должны быть реализованы определенные этапы формирования конкретной схемы.

Таким образом, из деятельностной теории вытекает, что для развития математического мышления приоритет должна получить не передача готовых знаний, а формирование именно схем (средств, методов) математического мышления, математической деятельности. Из всех математических структур для развития математических способностей особое значение имеют логические, алгоритмические, комбинаторные, образно-геометрические структуры, представляющие собой определенные качества математического мышления, являющиеся схемами (методами) мышления, математической деятельности.

Именно поэтому задачи соответствующих типов (логические, алгоритмические, комбинаторные, образно-геометрические), имеют развивающий характер, что проверено на практике многими исследователями и учителями. Однако в традиционных школьных программах и учеб-ликах недооценивалась роль тщиййадайвкУб^р

в них делался на типовые задачи, поэтому учащиеся не получали достаточного материала для развития своих способностей. Не использовались также в должной мере сензитивные периоды для формирования и развития когнитивных математических структур (схем).

Для исправления такого положения коллективом ученых Вологодского университета были разработаны и внедрены программы по математике для развития математического мышления учащихся начальной школы и 5-7-х классов [12], [15]. Основная задача программ — формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету и развитие у них логических, комбинаторных, алгоритмических и образно-геометрических схем мышления.

Задачный материал в этой программе в значительно большей степени, чем в стандартной, был ориентирован на развитие математического мышления учащихся. В силу необходимости развития именно в этот период наглядно-образного мышления, большое внимание в программе было уделено геометрическим вопросам. В основу изложения теоретического материала были положены наглядность, произведение опытов, наблюдение, разрезание, различные построения.

Кроме того, в программе большое внимание было уделено:

1) Развитию логического мышления и повышению логической культуры учащихся. Это достигалось не через изучение формальной или математической логики, а посредством решения достаточного числа логических задач с привлечением минимального дополнительного материала (кругов Эйлера, графов и т.п.).

2) Развитию комбинаторного мышления, комбинаторных схем мышления. Эта задача достигалась также посредством решения задач определенного "комбинаторного" типа с привлечением минимального теоретического материала (принцип Дирихле, выборки и т.п.).

3) Развитию алгоритмических схем мышления. Это направление развивалось путем решения задач "на планирование действий", различных игровых задач.

4) Усилению арифметической составляющей, поскольку решения арифметических задач используют все перечисленные схемы мышления.

Это направление развивалось через знакомство с некоторыми дополнительными признаками делимости, числами Фибоначчи, но в первую очередь через решение арифметических задач повышенной трудности, задач на делимость и т.п.

Было рекомендовано все эти разделы программы рассредоточить по каждому учебному году. По дополнительным вопросам программы для учителей школы были подготовлены дидактические материалы, которые позднее были изданы. Этот дополнительный материал теоретического и практического характера был рассчитан как для всех, так и для более способных учащихся.

При подведении итогов экспериментальной работы учитывались результаты контрольных работ, тестирований и экзаменов. Эти результаты достаточно убедительно свидетельствовали об эффективности предложенной программы обучения для формирования математических схем мышления. В обобщенном виде результаты исследований были представлены в работах [18]

и [19].

В последующий период было создано несколько модификаций программы для различных типов учебных заведений. И в других учебных заведениях экспериментальные классы существенно опередили контрольные по такой категории деятельности, как в умении рассуждать и анализировать, формулировать проблему, применять правильную стратегию решения.

Все эти данные еще раз подтвердили верность выводов об определяющей роли выделенных видов математических структур для развития математического мышления и эффективности предложенных способов их использования. Все эти структуры обладают универсальностью (независимостью их использования от конкретного математического материала) и имеют большое значение не только для обучения, но и для математического творчества. Эти структуры тесно взаимодействуют как друг с другом, так и с другими математическими структурами, поэтому невозможно провести четкую грань между ними, да и список таких структур не может претендовать на полноту (например, повидимому, можно дополнительно выделить стохастические структуры).

ЛИТЕРАТУРА

1. Гарднер Мартин. Есть идея! М.: Мир, 1982. 305 с.

2. Гингулис Э.Ж. Развитие математических способностей учащихся // Математика в школе. 1990. № 1. С. 14-17.

3. Гингулис Э.Ж. Системный подход в исследовании математических способностей учащихся // Математическое образование: концепции, методики, технологии: сборник трудов IV Международной научн. конф. «Математика. Образование. Культура». Ч. 2. Тольятти: ТГУ, 2009. С. 88-92.

4. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М., 1996.

5. Колмогоров А.Н. О профессии математика. М.: Советская наука, 1952. 23 с.

6. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч.1. Математические задачи как средство обучения и развития учащихс^. М.: Просвещение, 1977.

7. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение, 1968. 431 с.

8. Лейтес Н.С. Психология одаренности детей и подростков. М.: Academia, 1996.

|9. МедведеваОШ. Решениезадач комбинаторного характера как средство развития мышления учащихся 5-6 класссй. Дисш

... ка:нд^1ед?Щ1укГМ.:Т990.

10. МЙрдухай-Болтовский Д.Д. Психология математического мышления // Вопросы психологии и философии, 1908.

11. Пиаже Ж. Избранные психологические труды. М.: Международная педагогическая академия, 1994. 680 с.

Й2. Программа по математике для 5-7-х классов с углубленным изучением предмета. Под ред. В.А. Тестова. Вологда, ИПЦ ИПК и ППК, 1993.

13. Пуанкаре Анри. О науке. М.: Наука, 1990. 560 с.

14. Рубинштейн С.Л. Проблемы общей психологии. М.: Педагогика, 1976. 416 с.

15. Сборник развивающих задач по математике для младших школьников. Под ред. В.А. Тестова. Вологда: Изд-во ИПК и ППК, 1998. 76 с.

16. Столяр А.А. Педагогика математики. Минск: Вышейшая школа, 1974.

17. Теплов Б.М. Избранные труды. М.: Педагогика. Т. 1. 1985. 328 с.

18. Тестов В.А. Математические структуры как научно-методическая основа постро-ения математических курсов в системе непрерывного обучения (школа-вуз): дисс.....докт. пед. наук. Вологда, 1998.

19. Тестов В.А. Стратегия обучения математике. М. 1999. 304 с.

20. Тестов В.А. Математические задачи как средство развития интеллекта. Интеллектуальная и творческая одаренность. Сборник трудов II открытого международ. науч.-метод. семинара «Апрельский форум». Под ред. В.В. Альминдерова, А.А. Никитина. Новосибирск.: ИПИО РАО, 2008. С. 178-180.

21. Тестов В.А. Развитие одаренности как главная задача образования. Интеллектуальная и творческая одаренность. Сборник трудов III открытого международ. науч.-метод. семинара «Апрельский форум». Под ред. В.В. Альминдерова, А.А. Никитина. Новосибирск.: ИПИО РАО, 2010. С. 196-202.

1. Martin Gardner. Have an idea! Moscow, New York, 1982. 305 p. (in Russian).

2. Gingulis E.J. The development of mathematical abilities of students . Mathematics at the school, 1990, no. 1. pp.14-17.(in Russian).

3. Gingulis E.J. The systems approach to the study of mathematical ability of students / Mathematics education: concepts, methodologies, technologies: Proceedings of the International Science IV. Conf. "Mathematics. Education. Culture". Part 2. Toliatti State University, 2009. pp. 88-92. (in Russian).

4. Davydov V.V. The theory of developmental education. Moscow, 1996. (in Russian).

5. Kolmogorov A.N. On the mathematics profession. Moscow, Soviet Science Publ., 1952. 23 p. (in Russian).

6. Kolyagin Y.M. Problem in the teaching of mathematics. Part 1. Mathematical problems as a means of training and development of students. Moscow, Education Publ., 1977. (in Russian).

7. Krutetskiy V.A. Psychology of mathematical abilities schoolchildren. Moscow, Education Publ., 1968. 431 p. (in Russian).

8. Leites NS Psychology of gifted children and adolescents. Moscow, Academia Publ., 1996. (in Russian).

9. Medvedeva O.S. The solution of problems of combinatorial nature as a means of development of students' thinking 5-6 classes. Diss. ... PhD in Pedagogics. Moscow, 1990. (in Russian).

10. Mordukhai-Boltovski D.D. Psychology of Mathematical Thinking // Problems of Philosophy and Psychology, 1908 (in Russian).

11. Piaget, J. Selected psychological works. Moscow, International Pedagogical Academy, 1994. 680 p. (in Russian).

12. Program in Mathematics for 5-7-graders with advanced study of the subject. Ed. VA Testov. Vologda, CPI IPK and PPK Publ., 1993. (in Russian).

13. Henri Poincare. On science. Moscow, Science Publ., 1990. (in Russian).

14. Rubinstein S.L. Problems of general psychology. Moscow, Pedagogy Publ., 1976. 416 p. (in Russian).

15. Collection of developmental problems in mathematics for elementary school students. Ed. VA Testov. Vologda. IPC and PPC Publ., 1998. 76 p. (in Russian).

16. Stolar A. Pedagogy of mathematics. Minsk, Vysheyshaya School Publ., 1974 (in Russian).

17. Teplov B.M. Selected works. Moscow, Pedagogy Publ., V. 1. 1985. 328 p. (in Russian).

18. Testov V.A. Mathematical structure as a scientific and methodological basis for constructing mathematical courses in continuing education (school-high school). Diss.....Doct. of Pedagogical Sciences. Vologda, 1998. (in Russian).

19. Testov V.A. The strategy of learning mathematics. Moscow, 1999. 304 p. (in Russian).

20. Testov V.A. Mathematical problems as a means of intellectual development. Intellectual and creative talent. Proceedings of the II International Open. scientific-method. Workshop "April forum." Ed. V.V. Alminderov, A.A. Nickitin. Novosibirsk, IPIO RW Publ., 2008, pp. 178-180 (in Russian).

21. Testov V.A. Development oftalent as the main task of education. Intellectual and creative talent. Proceedings ofthe III International Open. scientific-method. Workshop "April forum." Ed. V.V. Alminderov, A.A. Nikitin. Novosibirsk, IPIO RW Publ., 2010, pp. 196202 (in Russian).

REFERENCES

Информация об авторе

Тестов Владимир Афанасьевич

(Россия, Вологда) Профессор, доктор педагогических наук Профессор кафедры математики и методика

преподавания математики Вологодский государственный университет E-mail: vladafan@inbox.ru

Information about the author

Testov Vladimir Afanas'evich

(Russia, Vologda) Professor, Doctor of Pedagogical Sciences, Professor of the Department of Mathematics and Methods of Teaching Vologda State University E-mail: vladafan@inbox.ru