Расчет межслойных напряжений в композиционных оболочках с двоякой положительной кривизной

УДК 621

Е. Д. Карташова, А. Ю. Муйземнек

РАСЧЕТ МЕЖСЛОЙНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В КОМПОЗИЦИОННЫХ ОБОЛОЧКАХ С ДВОЯКОЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНОЙ

Аннотация. В толстостенных криволинейных конструкциях из полимерных слоистых композиционных материалов существенную роль играют межслойные напряжения. Целью работы является расчет межслойных нормальных и касательных напряжений в композиционных оболочках с двоякой положительной кривизной. Приведенные зависимости могут быть использованы для расчета межслойных напряжений в композиционных оболочках с двоякой положительной кривизной на этапе проектирования изделий из них.

Ключевые слова: полимерные слоистые композиционные материалы, межслойные напряжения, деформации, уравнение равновесия, оболочка, кривизна.

Введение

Одним из направлений обеспечения высоких требований к эксплуатационным характеристикам современной аэрокосмической, автомобильной и военной техники является использование в их конструкциях полимерных слоистых композиционных материалов. Важнейшим этапом создания изделий из многослойных композитов является проектирование их структуры, которая и определяет весь комплекс упругих, прочностных, теплофизических и других свойств. При анализе напряженно-деформированного состояния конструкций из слоистых композиционных материалов для снижения вычислительных затрат широко используются оболочечные элементы. С помощью них, созданных на основе теории деформации сдвига первого порядка, с высокой точностью можно определить нормальные напряжения в плоскости элемента и поперечные напряжения сдвига. В толстостенных криволинейных конструкциях существенную роль играют межслойные нормальные напряжения. Они могут привести к изменению механизма разрушения - в частности, к разрушению расслоением. Однако при использовании оболочечных элементов первого порядка межслойные нормальные напряжения не вычисляются, что приводит к необходимости твердотельного моделирования, сопряженного с большими вычислительными затратами.

Подход Росса [1] к вычислению межслойных нормальных напряжений дважды изогнутых слоистых композиционных конструкций представляет собой альтернативу для твердотельного моделирования. Основой для расчета межслойных нормальных напряжений являются перемещения, которые вычисляются на основе общей теории оболочек. В этом случае поперечные напряжения сдвига могут быть вычислены с использованием подхода, предложенного Ровером [2] и Рольфесом [3]. В слоистых композитах этот подход позволяет определить межслойные касательные напряжения.

1. Межслойные нормальные напряжения

Для описания произвольной дважды изогнутой оболочки используется система координат (г, ф, Э) [4]. Дважды изогнутая оболочка разделяется на четыре сегмента с углами в вершинах ёф и ^Э и имеет постоянные радиусы кривизны средней линии и Я2 (рис. 1).

Рис. 1. Схема оболочки с двоякой положительной кривизной Радиальное уравнение равновесия показанного сегмента оболочки имеет вид:

1

1

С - с

С г,г + Г V,ф

Г + Г,

,

Г + Г,

,

где г = ^ + г, г, = я2 - г =

t t "2'2

Каждый сегмент образован четырьмя поперечными сечениями. Предполагается, что сечения остаются плоскими и перпендикулярными к средней плоскости. Исследования изогнутых пластин [5, 6] показывают, что деформацией сдвига можно пренебречь. Тогда уравнение (1) сводится к виду:

С - с„

С -Со

= 0.

В уравнение (2) входят только нормальные напряжения, поэтому определяющее уравнение может быть сведено к виду:

Нормальные напряжения и компоненты матрицы жесткости соответствуют отсчетной системе координат, оси которой параллельны главным направлениям. Переменной в; обозначена объемная деформация слоя, обусловленная изменениями температуры ДТ и влажности АН материала:

СФ _11 _12 _13 вФ -< 1

С» = _21 _22 _23 > < в» -В»

сг, _31 _32 _33 ВГ -в;

в; =аМ + РДЯ.

Нормальные деформации в уравнении (3) могут быть выражены через перемещения и, V и w. Кинематические соотношения в отсчетной системе координат имеют вид:

8ф =

1 ( + ",ф), в» = ( + v,»),

Г Г + Гй

Приращение перемещений в (и,и)-плоскости выражается через деформации срединной поверхности вф и в» и кривизны кф и к» . Координата по толщине оболочки г выражается через радиальную координату г и радиусы кривизны срединной плоскости:

ёи = ^ й ф(вф +(г - А1 )кф);

^ = Я2 й»

Нормальные деформации выражаются как:

7 (^+А (вф + (г - А )кф));

—

вф="

Во =-

Г + Г

Подстановка кинематических отношений (5) в определяющие уравнения (3) позволяет выразить нормальные напряжения через деформации:

СТо =

II + А

=

II + А

+ ^23^,Г - С2, В Г ;

+ с33^г - с3,в .

Подстановка уравнений (8) в уравнение равновесия (2) позволяет получить дифференциальное уравнение равновесия многослойной оболочки в радиальном направлении в перемещениях:

о = ^ ГГ + w,Г

(1 1 >

ч Г Г + Гй )

- w

с13 + с23 2с12 с11

С

22

'

Р*

где Сц = 5-;

с33

Р = и

,ф

^ С - С С ^

^13 12 ^ 11 Г (Г + Гй ) Г2

С

-и,фг — + V» Г

с23 с12

С

22

г

с23 г

-^»г / ч +Вг

^ С- - С С - С- ^

1/ 3/ . 2/ 3/

Г + Г

й

Отсчетная система координат, которая необходима для вычисления матрицы жесткости материала и деформаций, определяется в зависимости от свойств

Б = w_r.

многослойной оболочки и ее кривизны. Если многослойная оболочка не изотропна, оси отсчетной системы координат параллельны главным направлениям (первая главная жесткость максимальна). В случае квазиизотропии многослойной оболочки оси отсчетной системы координат параллельны главным направлениям кривизны.

Дифференциальное уравнение равновесия (9) с соответствующими граничными условиями представляет собой линейную краевую задачу второго порядка:

™гг + Р ( Г ) + Ч ( Г ) ™ ( Г ) = Ч ( Г ) ,

решение которой может быть получено методом конечных разностей. В этом случае производные могут быть заменены соотношениями

п+1

- w

п—1

2й

w

п+1 — + 1

й2

где wn - смещения в точках интегрирования; d - расстояние между двумя последовательными точками интегрирования.

Схема расположения точек интегрирования для однослойной оболочки показана на рис. 2,а. Граничные условия заданы в напряжениях, которые могут быть равны нулю на верхней и нижней поверхностях оболочки. Приложение граничных условий приводит к невырожденной неоднородной системе линейных уравнений.

Рис. 2. Схема интегрирования

На рис. 2,а показано расположение точек интегрирования в однослойной оболочке, на рис. 2,б - в многослойной, где индексы 1, 2 и 3 соответствуют номеру слоя.

Распределение нормальных межслойных напряжений по толщине получается путем подстановки кинематических зависимостей (5) в определяющие уравнения (3):

С,

13

С

( + ы.ф) + —^ ( + у.а) + с33^ . г + гй

Это уравнение может быть преобразовано к виду:

w,г ( г ) + aw ( г ) = р

и сведено к системе линейных уравнений, в которой параметры а и в входят в первую и последнюю строки левой и правой части системы.

Каждый дополнительный слой приводит к появлению двух условий непрерывности интерфейса, которые должны быть выполнены:

w =

.г

w,

'к+1 (гк ) = wk (гк ) , с к+1 (гк ) = ск (гк ) .

Первая производная от радиального перемещения w по толщине может быть найдена с помощью уравнения (11). Дополнительные точки интегрирования, которые расположены за границами слоя, необходимы для вычисления межслойных нормальных напряжений на границе. Схема интегрирования для трехслойной оболочки показана на рис. 2,б. Расположение точек интегрирования п = [7.8.15.18] гарантирует непрерывность перемещений и напряжение по толщине материала.

2. Поперечные касательные напряжения

Метод, используемый для вычисления поперечных касательных напряжений в многослойной оболочке и основанный на теории деформации сдвига первого порядка, предложен в работах Ровера [2] и Рольфеса [3]. Поперечные напряжения сдвига вычисляются из уравнений равновесия теории упругости:

дс дт

ху

ду дх

дт у, = 0 дс

дТху дт,

дх ду

дг

= 0.

Для вычисления напряжения сдвига из уравнений равновесия (14) необходимо выразить производные от искомых напряжений по координате z, а затем проинтегрировать их по толщине оболочки:

уг

У. У

ху. х

хУ. У,

Напряжения в плоскости являются кусочно-непрерывными функциями, поэтому интегрирование должно быть сделано по частям. Подставляя в уравнение (15) определяющие соотношения для напряжений в плоскости, преобразуем уравнение (15) к виду

где б

£ |=— + (к^ - матрица жесткости к-го слоя; В1 =

Дк)

к. х )+в2д(к )( +,(к )к. у)} й,,

"0 0 1" "0 1 0"

1 0 0 , в2 = 0 0 1

о (о в =|в х

ху I

вектор деформаций срединной поверхности оболочки, к = ¡кх ку кху} - вектор кривизны.

Для получения выражений в терминах производных от силовых факторов производные от деформаций в уравнении (16) могут быть преобразованы путем подстановки в них производных от деформаций, выраженных из определяющих соотношений. Для вычисления напряжений непосредственно из усилий сдвига должны быть сделаны некоторые дополнительные предположения:

- влиянием производных от сил в плоскости можно пренебречь, т.е.

д д дх М, |!»}=!0};

- производные от деформаций могут быть записаны в виде:

д:{*° И* £ М}, | ¡в0 М*]| М},

дх

ду

I <кН" ¡м¡, | ¡к№ ]| ¡м¡,

где [6] и [ё ] - матрицы податливости оболочки.

Вычисление перемещений дополнительно упрощается, если предположить, что имеют место два независимых изгиба цилиндрической оболочки. В этом случае производные моментов равны соответствующим поперечным силам:

Мх вх я Мх 0

Му = 0 8 ' 8у Му = ву

Мху 0 Мху 0

_8_

8x

Применяя уравнения (17)-(19) к уравнению (16), получаем:

У2

= [В ][ ^ (2 )!

а 0 0

В ][^ (2)]

0

ву

0

Это уравнение может быть записано в более простом виде:

у2

^22 ^31 ^32 ^11

ву 1вх,

где - компоненты матрицы 3x3.

Компоненты матрицы ^ (2) являются кусочно-непрерывными функциями второго порядка, определяемыми следующим образом:

[ ^ (2 )](к ]=-Ш (2 )[б]-П (2 )[</ ],

где т (2) = \[вТ<Ъ = М (к) + [в ]к2, «(2) = ^]^ = N (к)+ 2 [в]к 22.

Функции М (к) и N (к) обеспечивают непрерывность напряжений на границах раздела слоев:

к /л п \ 1 к

М (к ) = ![в Г( - 2м )-

Л1

г=1

2к, N

г=1

Можно видеть, что функции т (z) и п (z) из уравнения (22) дают матрицы жесткости [А] и [Б] на нижней поверхности оболочки и равные нулю на ее верхней поверхности:

т1- 21=пI- 21=0, т 121=М ,

п\-| = [в].

Таким образом, поперечные напряжения сдвига, вычисляемые по уравнениям (21), обращаются в нуль для верхней и нижней поверхностей, что обеспечивает выполнение граничных условий - равенство нулю поперечных напряжений сдвига на внешних поверхностях материала.

Заключение

Расчет межслойных нормальных напряжений сводится к решению линейной краевой задачи второго порядка (10) с граничными условиями (13) для каждой

внутренней границы многослойной оболочки. Решение задачи может быть получено методом конечных разностей. Представленная схема интегрирования обеспечивает непрерывность перемещений и межслойных нормальных напряжений на межслойных границах.

Расчет поперечных касательных напряжений может быть выполнен по зависимости (21). Непрерывность напряжений на межслойных границах обеспечивает кусочно-непрерывная матричная функция второго порядка F(z).

Приведенные зависимости могут быть использованы для расчета межслойных напряжений в композиционных оболочках с двоякой положительной кривизной на этапе проектирования изделий из них.

Библиографический список

1. Roos, R. A post-processing method for interlaminar normal stresses in doubly curved laminates / R. Ross, G. Kress, P. Ermanni // Journal of Composite Structures. - 2007. - Vol. 81. - P. 463-470.

2. Rohwer, K. Improved Transverse Shear Stiffnesses for Layered Finite Elements / K. Rohwer. -DFVLR-FB, 1988.

3. Rolfes, R. Improved Transverse Shear Stresses in Composite Finite Elements Based on First Order Shear Deformation Theory / R. Rolfes, K. Rohwer // Int. J. for Num. Meth. in Eng. - 1997. -Vol. 40. - P. 51-60.

4. Huang, N. N. Thermal stresses in doubly curved cross-ply laminate / N. N. Huang, T. R. Tauchert // Int. J. Solids Structures. - 1991. - Vol. 29. - № 8. - P. 991-1000.

5. Model for interlaminar normal stress in singly curved laminates / G. Kress, R. Roos, M. Barbezat, C. Dransfeld, P. Ermanni // Composite Structures. - 2005. - Vol. 69. - № 4. - P. 458-469.

6. Roos, R. Enhanced model for interlaminar normal stress in singly curved laminates / R. Roos, G. Kress, M. Barbezat, P. Ermanni // Journal of Composite Structures. - 2007. - Vol. 80. - № 3. -P. 327-333.

Карташова Екатерина Дмитриевна

аспирант,

Пензенский государственный университет E-mail: katrina89@yandex.ru

Муйземнек Александр Юрьевич

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика и графика», Пензенский государственный университет E-mail: muyzemnek@yandex.ru

УДК 621 Карташова, Е. Д.

Расчет межслойных напряжений в композиционных оболочках с двоякой положительной кривизной / Е. Д. Карташова, А. Ю. Муйземнек // Вестник Пензенского государственного университета. -2017. - № 2 (17). - С. 105-111.