Вариационный подход к оценке диэлектрической проницаемости однонаправленного волокнистого композита

Математика

УДК 517.1; 530.1

ВАРИАЦИОННЫЙ ПОДХОД К ОЦЕНКЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ОДНОНАПРАВЛЕННОГО ВОЛОКНИСТОГО КОМПОЗИТА

B.C. Зарубин1 , Г. Н. Кувыркин2 , И.Ю. Савельева3

На основе двойственной вариационной формулировки задачи электростатики в неоднородном анизотропном диэлектрике построены двусторонние границы возможных значений компонент тензора второго ранга диэлектрической проницаемости однонаправленного волокнистого композита с учетом взаимного расположения поперечных сечений анизотропных армирующих волокон в плоскости, перпендикулярной их осям. Рассмотрены варианты расположения поперечных сечений волокон, при которых композит по отношению к свойству диэлектрической проницаемости является трансверсально-изотропным или ортотропным. Получены оценки наибольшей погрешности, возникающей при выборе в качестве истинных значений каждой компоненты тензора диэлектрической проницаемости композита полусуммы ее граничных значений. Проведено последовательное уточнение и сближение двусторонних границ областей, в которых должны находиться значения компонент этого тензора. Представлен количественный анализ расчетных зависимостей.

Ключевые слова: однонаправленный волокнистый композит, двойственная вариационная формулировка задачи электростатики, тензор диэлектрической проницаемости.

Based on the dual variation formulation of an electrostatic problem in a non-uniform anisotropic dielectric, we construct two-side bounds for possible values of the second rank tensor components for the dielectric permeability of a unidirectional fibrous composite taking into account the mutual positions of anysotropic reinforcing fibers in the plane perpendicular to their axes. We consider variants of arrangement of cross sections of fibers such that the composite is transversal-isotropic or orthotropic relative to the property of dielectric permeability. Some estimates of the greatest error appearing in the choice of true values of each component of the dielectric permeability tensor of the composite in the form of a half-sum of its boundary-values are obtained. A successive improvement of two-side boundaries for domains where the component of this tensor should lie is carried out. A quantitative analysis of calculation dependencies is presented.

Key words: unidirectional fibrous composite, dual variation formulation of the electrostatic problem, dielectric permeability tensor.

Введение. Композиты, армированные волокнами, благодаря высоким эксплуатационным характеристикам находят широкое применение в технике не только как конструкционные и теплозащитные материалы [1-3], но и как функциональные, используемые в различных электротехнических и электрофизических приборах и устройствах [4-6]. Одной из основных характеристик композитов является относительная диэлектрическая проницаемость (далее слово "относительная" для краткости опущено) [7-10]. Подбор свойств волокон позволяет увеличить диапазон возможного изменения диэлектрической проницаемости волокнистых композитов и тем самым расширить область их применения.

Среди волокнистых композитов с различными вариантами расположения армирующих волокон в матрице композита можно выделить так называемые однонаправленные композиты, армированные волокнами, одинаково ориентированными в пространстве. Однонаправленный волокнистый композит по отношению к механическим, теплофизическим и электрофизическим свойствам является анизотропным материалом, что влечет необходимость описывать эти свойства тензорными

1 Зарубин Владимир Степанович — доктор техн. наук, проф. каф. прикладной математики МГТУ им. Н. Э. Баумана, e-mail: ZarubinQbmstu.ru.

2Кувыркин Георгий Николаевич — доктор техн. наук, зав. каф. прикладной математики МГТУ им. Н. Э. Баумана, e-mail: Fn2Qbmstu.ru.

3Савельева Инга Юрьевна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной математики МГТУ им. Н. Э. Баумана, e-mail: Inga.SavelyevaQgmail.com.

величинами. Компоненты тензора второго ранга диэлектрической проницаемости такого композита зависят от ряда параметров, которые входят в математическую модель электрического взаимодействия волокон и матрицы. Существуют различные подходы к построению такой модели [7,9,11]. Вариационный подход [12-14], использующий двойственную вариационную формулировку задачи электростатики в неоднородном анизотропном диэлектрике, позволяет не только оценить компоненты тензора диэлектрической проницаемости композита, но и установить двусторонние границы, в пределах которых должны находиться истинные значения этих компонент.

В настоящей работе вариационный подход применен для последовательного уточнения и сближения двусторонних границ областей, в которых должны находиться значения компонент тензора диэлектрической проницаемости однонаправленного волокнистого композита. С этой целью представительный элемент структуры композита рассматривается как электрический конденсатор с неоднородным диэлектриком в межэлектродном пространстве, что дает возможность непосредственно учесть взаимное расположение армирующих волокон. Отметим, что вариационный подход можно использовать не только в задачах электростатики, но и, например, в задачах теплопроводности, диффузии, фильтрации.

Представительный элемент структуры композита. Выделим в однонаправленном волокнистом композите прямоугольный параллелепипед с ребрами длиной V = 1, 2, 3. В одной из вершин этого параллелепипеда поместим начало прямоугольной декартовой системы координат Ох 1X2X3, координатные оси которой направлены вдоль ребер, исходящих из этой вершины. Все волокна ориентированы параллельно координатной оси Ох3.

Матрицу композита примем изотропной с диэлектрической проницаемостью е°, а волокна, главные значения тензора диэлектрической проницаемости которых е\ = €2 = £± и €3 = ец определены в выбранной системе координат, считаем трансверсально-изотропными. В этом случае главные оси тензора б* диэлектрической проницаемости композита совпадают с координатными осями ОхВыделенный прямоугольный параллелепипед является представительным элементом структуры однонаправленного волокнистого композита и обладает идентичными с ним свойствами диэлектрической проницаемости. При одинаковом для всех волокон радиусе г предельное значение Су их объемной концентрации Су будет равно 7Г/4 ~ 0, 7854.

Если на двух противоположных гранях параллелепипеда задать не равные между собой значения электрических потенциалов, то представительный элемент структуры композита можно рассматривать как электрический конденсатор с неоднородным изотропным диэлектриком между двумя электродами, расположенными на этих гранях. Для такого конденсатора возможна модификация двойственной вариационной формулировки задачи электростатики, на основе которой можно получить двусторонние оценки компонент тензора диэлектрической проницаемости композита.

Двойственная вариационная формулировка задачи электростатики. Для определенности на гранях хз = 0 и хз = В3 представительного элемента структуры композита зададим значения электрического потенциала II = 0 и II = 11з > 0 соответственно. Остальные грани примем идеально электроизолированными. Тогда истинное распределение II* (М) электрического потенциала, зависящее от положения точки М € V в области V объемом Уо = 1> 11>2 II/,. занятой этим элементом, будет минимизировать функционал

где V — векторный дифференицальный оператор Гамильтона; е*(М) — локальные значения тензора диэлектрической проницаемости в области V (точка между сомножителями означает операцию свертки по одинаковым индексам этих сомножителей при их координатном представлении). Этот функционал допустимо рассматривать на множестве непрерывных и кусочно-дифференцируемых в области V функций II(М), М € V, принимающих заданные значения на гранях хз = 0 и хз = В3.

Функционал (1) является строго выпуклым вниз [15,16] и в своей единственной стационарной точке II* (М) (М € V) достигает наименьшего значения

у

у

Подынтегральная функция в формуле (2) пропорциональна объемной плотности энергии электростатического поля в области V, а значение интеграла пропорционально суммарной энергии \¥ услов-

иого электрического конденсатора с неоднородным анизотропным диэлектриком в объеме области V, заключенным между двумя электродами на гранях хз = 0 и Х3 = Вз представительного элемента структуры композита. Введя емкость Сз такого конденсатора, можно записать

W = ^ = e04^f = e0J[U%

где ео = 8,8542 • Ю-12 А-с/(В-м) — электрическая постоянная, a eg — оцениваемое главное значение тензора б* диэлектрической проницаемости рассматриваемого композита.

Наряду с минимизируемым функционалом (1) двойственная вариационная формулировка задачи электростатики в данном случае будет включать альтернативный максимизируемый функционал

/[D] = -\j D

v s3

где D — вектор электрического смещения (электрической индукции); — тензор второго ранга, обратный к тензору б*; S3 = В1В2 — площадь грани Х3 = В3, a D3(Р) — проекция вектора D на координатную ось Ох3 в точках Р € S3. Главные значения тензора я для изотропной матрицы одинаковы и равны 1/е°, а для волокна главным значениям ец и е± тензора е отвечают соответственно главные значения <q| = 1/ец и = 1/е±.

Функционал (4) допустимо рассматривать на множестве непрерывно дифференцируемых в области V векторных функций D(M), М € V, удовлетворяющих в этой области уравнению V D(М) = 0 и имеющих на всех идеально электроизолированных гранях нулевую проекцию на направления нормали к таким граням. Этот функционал является строго выпуклым вверх [15-17] и в своей единственной стационарной точке D*(М) (М € V) достигает наибольшего значения /[D*], совпадающего со значением J[U*].

Таким образом, особенность двойственной вариационной формулировки задачи электростатики применительно к представительному элементу структуры однонаправленного волокнистого композита состоит в том, что она включает два альтернативных функционала, имеющих на истинном решении задачи одинаковые экстремальные значения, а именно

J[U] ^ J[U*} = I[D*} ^ I[D}.

Использование этой формулировки позволяет установить двусторонние границы, между которыми должны быть расположены истинные значения диэлектрических характеристик однонаправленного волокнистого композита, а также оценить наибольшую возможную погрешность, которая возникает в случае приравнивания этих характеристик к полусумме установленнных граничных значений.

Диэлектрическая проницаемость вдоль волокон. Применим сначала представленную выше двойственную вариационную формулировку задачи электростатики к оценке диэлектрической проницаемости рассматриваемого композита в направлении, параллельном волокнам. Примем в качестве допустимого для функционала (1) линейное распределение электрического потенциала и(хз) = U3X3/B3 в области V, соответствующей представительному элементу структуры композита. Тогда вектор Е = — VU напряженности электростатического поля будет иметь единственную составляющую Е3 = —U3/B3 = const, параллельную координатной оси Ох3, а функционал примет вид

* = £/ es(M)dV(M),

3 V

где 63 = е°, если точка М € V принадлежит подобласти, занятой матрицей композита, и €3 = ец, — если волокну. В итоге получим

^ о 1 — Су + ёиСу , N

J3 = е U3B1B2-" ,

где ец = ец/е

Принятому линейному распределению U отвечает вектор D электрического смещения, имеющий единственные составляющие = —e°Us/Bs = const в матрице и = —e^Us/Bs = const в волокнах, вследствие чего значение максимизируемого функционала (4) примет вид

щвхв2 h-—mT

(та'Ц^+^з2^) -UaB^D^l-CvJ+DsCv) =

¿В 3

что совпадает со значением минимизируемого функционала, определяемого формулой (6).

Отметим, что совпадение значений альтернативных функционалов обусловлено принятым распределением электрического потенциала, которое ориентировано параллельно волокнам во всем объеме представительного элемента структуры композита. В действительности следует ожидать, что непосредственно около его граней, на которых заданы значения электрических потенциалов, в силу конкретных особенностей контакта электродов с материалом матрицы композита и волокнами возможны некоторые отклонения от линейного распределения. Но когда значение В% существенно больше В\ и 1?2, влияние этих отклонений на значения функционалов будет малым. Поэтому в соответствии с соотношением (5) можно принять ,/[{/*] ~ ,1з и с учетом формул (3) и (6) использовать значение 7з для оценки главного значения е\ тензора б* диэлектрической проницаемости композита. В итоге будем иметь

ез~е°

Эта оценка совпадает с известной формулой, получаемой с помощью правила смеси [7, 9]. В данном случае формула (7) непосредственно следует из двойственной вариационной формулировки задачи электростатики в неоднородном анизотропном диэлектрике.

Диэлектрическая проницаемость поперек волокон. Если на противоположных гранях Х\ = 0 и х\ = В\ (или Х2 = 0 и Х2 = В2) параллелепипеда, принятого в качестве представительного элемента структуры однонаправленного волокнистого композита, задать значения электрического потенциала и = 0 и и = 11\ соответственно (или V = 0 и С/ = 112), а остальные грани считать электроизолированными, то каждое из сечений этого параллелепипеда, перпендикулярное координатной оси Охз, допустимо рассматривать независимо, т.е. задачу электростатики свести к двумерной в прямоугольнике со сторонами В\ и В2, параллельными координатным осям Ох\ и Ох2 соответственно. Начало системы координат Ох 1X2 поместим в вершину такого прямоугольника. В двумерном случае минимизируемый функционал (1) примет вид

/[[/] = ^

где Р = В1В2 — площадь прямоугольника, а максимизируемый функционал (4) — вид

/'[Б] = °

р Г'

Здесь (Р) — проекция вектора О на координатную ось Ох\ в точке Р € Г' стороны Г' прямоугольника длиной В2, на которой задано значение 11\ электрического потенциала. Вместо соотношения (3) теперь следует записать

Т17 ОД2 *£>2-Е>3 и1 т/ГГ7*1 /1ГЛ

^ = = е°е1~в1 2 = 6 (

где С\ — емкость конденсатора с электродами на гранях х\ = 0 и х\ = В\ параллелепипеда и слоем неоднородного диэлектрика толщиной В\, е\ — оцениваемое главное значение тензора б* диэлектрической проницаемости композита, ,1'[и*] — минимальное значение функционала (8) на истинном распределении 11*{М) (М € Р) в рассматриваемом прямоугольнике. При этом сохраняет силу соотношение (5) в виде

,У[и] > ,У[1Р] = /'[Б*] ^ /'[Б].

Волокна в плоскости прямоугольника будут представлены круговыми поперечными сечениями, радиус г которых равен радиусу волокон. При хаотическом расположении поперечных сечений волокон все направления в плоскости прямоугольника равноправны. Поэтому диэлектрическая проницаемость композита не зависит от выбора конкретного направления, т.е. композит в этой плоскости является изотропным с искомыми главными значениями е\ = е2 тензора диэлектрической проницаемости, а с учетом главного значения бд будет трансверсально-изотропным относительно координатной оси Охз, параллельной волокнам. Тогда допустимое для функционала (8) одномерное распределение и{х\) = \J\X\jB\ электрического потенциала в прямоугольнике будет иметь вид

2 1 - Су + еСу 'Ь = е и1В 2-—-,

где е = е_|_|/е°-

Для функционала (9) в качестве допустимого распределения вектора О примем постоянное значение единственной составляющей этого вектора, соответствующей его проекции на координатную ось Ох 1, и запишем

В\ВхВ2(л „ , Су

/1 = —\1~су + 1г)-

откуда в силу необходимого условия (Их/сЮх = 0 максимума функционала (9) будем иметь ¡)\ = —е°{и\/В\)/(1 — Су + Су/е). В итоге получим

г е°и1В2/{2В1)

1з ~~

1 - Су + Су/е'

Используя найденные значения .7\, 1\ и соотношения (10) и (11), приходим к двусторонним оценкам

П = $ = 1-Су + сгг>ь = § >= гг =

Аналогичным путем можно независимо получить идентичные оценки для главного значения = е|, если задать значения и = 0 и и = и2 соответственно на сторонах х2 = 0 и х2 = В2 прямоугольника, полагая стороны х\ = 0 и х\ = В\ электроизолированными.

Определяемые соотношением (12) двусторонние оценки совпадают при Су = 0 и теоретически возможном значении Су = 1, если принять, что радиус волокон является переменным и убывает от некоторого конечного значения г до бесконечно малого, что позволяет заполнить волокнами весь объем композита. При промежуточных значениях Су € (0; 1) разность е^ — е~[ растет по мере отклонения параметра е от единицы. Если в качестве главного значения е\ = е2 тензора диэлектрической проницаемости композита выбрать полусумму полученных оценок, то отношение г? = + е1) можно рассматривать как наибольшую возможную относительную погрешность, которая может возникнуть при таком выборе. Наибольших значений г]т = 1 — 1/(1 + (е + 1/е — 2)/8) относительная погрешность достигает при Су = 1/2.

Двусторонние оценки можно сблизить, если использовать подход, предложенный в работе [18]:

_ (е°-е±)2Су(1-СУ) > ^ >

1 (1 -Су)е± + Суе° + тах{е°, е±} ^ 1 ^

> ~ е±)*Су{1 ~ Су)

(1 — Су)е± + Сув° + тт{е°, е_|_} 1 ;

Такие же оценки можно получить, если использовать сингулярное приближение теории случайных функций [19].

На рис. 1 приведены зависимости г] и г?* = (е^ — £]~)/(е^ + е]") от Су при различных значениях б > 1. Графики зависимости г? от Су одинаковы для значений ей 1/е, а кривая для г?* при фиксированном значении е совпадает с кривой для значения 1/е при условии замены абсциссы Су на 1 — Су. Сравнение показывает, что использование оценок, определяемых соотношением (13), существенно уменьшает наибольшую возможную относительную погрешность при 0,1 < е < 10, если в качестве

значения е\ выбрать полусумму этих оценок. Однако при е > 10 и е < 0,1 происходит сближение значений г/* и г], а при е = 1000 различием кривых для г] и г/* можно пренебречь.

Таким образом, и оценки, определяемые соотношением (13), не обеспечивают заметного снижения возможной погрешности при большом отклонении значения е от единицы. Полученные двусторонние оценки не учитывают конкретного расположения волокон в композите. Вариационный

подход, основанный на двойственной вариационной формулировке задачи электростатики, позволяет при построении оценок использовать информацию о взаимном расположении волокон.

Учет взаимного расположения волокон. Однонаправленный волокнистый композит является траневереально-изотропным но отношению к свойству диэлектрической проницаемости не только при хаотическом расположении поперечных сечений волокон в плоскости рассмотренного выше прямоугольника. Это свойство сохраняется, когда центры круговых поперечных сечений волокон одинакового радиуса г совпадают с узлами плоской сетки, имеющей одинаковые ячейки в виде правильных треугольников, квадратов и правильных шестиугольников, поскольку ось, проходящая через центр таких многоугольников перпендикулярно их плоскости, имеет порядок выше второго [20]. Если сетка состоит из одинаковых прямоугольных ячеек, то е*2 ^ и композит будет ортотропным но отношению к свойству диэлектри ческой проницаемости.

Рассмотрим расположение волокон, соответствующее прямоугольной сетке со сторонами ячейки 2Ъ\ и 2Ъ-2- Примем для определенности Ъ\ ^ Ъ-2• Расположим центр поперечного сечения волокна в одной из вершин прямоугольника, совместив ее с началом локальной прямоугольной декартовой системы координат Выделим в прямоугольнике четвертую часть, содержащую четверть поперечного сечения волокна радиуса г (на рис. 2 представлена серым цветом). Остальная площадь прямоугольника соответствует матрице композита. При касании соседних волокон г = &2 и максимально достижимое значение объемной концентрации волокон равно ("7Г/4)62/^1 • В частном случае квадратных ячеек Су = Су = 7г/4 0, 7854.

При задании на сторонах £ = 0 и £1 = Ъ\ соответ-| ственно значений II = 0 и II = II\ электрического по-

тенциала и при условии электроизолированности сторон Х2 = 0 и Х2 = &2 представленный на рис. 2 прямоугольник допустимо считать поперечным сечением электрического конденсатора с неоднородным слоем диэлектрика между электродами на сторонах £1 = 0 и ^ =Ь\. Одну из оценок главного значения е\ тензора диэлектрической проницаемости композита можно получить, если принять все эквипотенциальные линии в прямоугольнике параллельными координатной оси О ¿¡2- Такое распределение электрического потенциала является допустимым для минимизируемого функционала вида (8), соответствующего двумерной

0,2 0,4 0,6 0,8

Рис. 1. Зависимости наибольшей возможной относительной погрешности вычисления диэлектрической проницаемости керамики от ее пористости при следующих значениях параметра е: 1 е = 1000: 2 200: 3 100: 4 50: 5 20: 6 10: 7 5: 8 2: штрихпунктирные кривые, сплошные

кривые

СЬ

о

Рис. 2. Расчетная схема прямоугольной ячейки

задаче электростатики. Поэтому оценка, построенная с использованием этого функционала, будет верхней по отношению к значению е\.

Для оценки емкости С^ указанного кондесатора можно использовать эквивалентную схему из двух последовательно соединенных конденсаторов с емкостями С' и С". Диэлектрик конденсатора емкостью С" соответствует однородному слою материала матрицы композита с диэлектрической проницаемостью е°, имеющему толщину Ъ\ — г. Поэтому С" = (-о(°Ъ2В3/(Ъ\ — т).

Слой диэлектрика конденсатора емкостью С имеет толщину г и наряду с материалом матрицы включает материал волокна с диэлектрической проницаемостью е±. Оценим сверху значение С, приняв линейное распределение электрического потенциала по толщине этого слоя, допустимое для функционала (8), в виде С ^ С' = еое°(Ь2/г)Вз(1 + (е — 1)7гг/(462)). При последовательном соединении конденсаторов их суммарная емкость равна С^ = 1/(1 /С + 1 /С"). В данном случае верхней оценкой для С\ будет значение

р* = 1 =_е0е°Ь2В3_

1 1/С' + 1/С" Ьг -г + г/(1 + (ё-1)тгг/(462))' 1 }

Нижнюю оценку для С^ можно получить, если использовать эквивалентную схему из двух параллельно соединенных конденсаторов с емкостями С* и С**. Диэлектрик конденсатора емкостью С** соответствует однородному слою материала матрицы композита, имеющему толщину Ъ\ и ширину электродов Ъ2 — т. Поэтому С** = еое°(Ь2 — г)В3/Ъ\. Диэлектрик конденсатора емкостью С* с шириной электродов г является неоднородным. Оценку снизу для С* можно получить, используя максимизируемый функционал вида (9) при условии, что вектор О' электрического смещения в этом диэлектрике имеет единственную постоянную составляющую вдоль координатной оси Тогда получим С* ^ С_* = еое°{г/Ъ\)/(1 + (1/ё — 1)7г/(4&1)). При параллельном соединении конденсаторов их суммарная емкость равна С\ = С* + С**. Поэтому нижней оценкой для С^ будет значение

С\=С* + С** =-^

-1 - 1 + (1/ё-1)тгг/(461) Ьг 1 ;

Емкость условного конденсатора, диэлектрик которого имеет искомое значение е\ диэлектрической проницаемости, равна (-о(\Ъ2В3/Ъ\. Тогда с учетом формул (14) и (15) получим двусторонние оценки

_Ь_1_ е* г/Ъ2 Ь2-г

Ьг -г + г/(1 + (б-1)тгг/(4Ь2)) " е° " 1 + (1/ё - 1)тгг/(4Ь1) Ь2 ' { }

Аналогичным путем можно найти двусторонние оценки для главного значения е2 тензора диэлектрической проницаемости ортотропного композита. При этом в соотношении (16) следует поменять местами параметры Ъ\ и Ъ2. При Ъ2 = Ъ\ это соотношение определяет двусторонние оценки для трансверсально-изотропного композита (е^ = е^) в случае расположения центров поперечных сечений волокон в узлах квадратной сетки.

Использованные в формулах (14) и (15) оценки емкостей С' и С* конденсаторов можно уточнить. Для этого представим слой неоднородного диэлектрика толщиной г и шириной Ъ2 совокупностью N 1 параллельных координатной оси 2 слоев малой толщины Д^ц = г/И. Каждый из таких тонких слоев с координатой € (0, г) (п = 1, N) можно считать диэлектриком конденсатора с емкостью А С = = еое°(£>з/Д<Ы (^2 + (е — 1 )\Д2 ~ (С!™'')2^ • Последовательное соединение

N конденсаторов с толщиной Д^ц слоев диэлектрика образует конденсатор с оцениваемой емкостью С'. Поэтому

1 ~ 1

С' е0е°В3^ , Г2 ( (п),

п=1 Ъ2 +

Переходя к пределу при N —> оо, получаем

1 1 7

2

С' е0е°В3.) ь2 + (ё- 1)7^1

2

0 ' • -1

Уточним оценку емкости С*, разбив слой неоднородного диэлектрика толщиной Ъ\ и шириной г на N 1 параллельных координатной оси О^ц слоев малой толщины = г/И. В каждом из таких

тонких слоев с координатой ¿¡^ £ (0) г) принимаем постоянное значение составляющей вектора электрического смещения, параллельной оси О^ь Тогда конденсатор с таким слоем диэлектрика

,.2

можно заменить двумя последовательно соединенными конденсаторами с толщиной слоев ^г

г, ( 2

(ч2 ) ) 11 — [т — (^2 ) ) , диэлектрические проницаемости которых равны соответственно

е_1_ и е°, а емкости соответственно еое±ВзАх2/ (V2 — (С^)2) ^ и Е>зАх2/(Ь\ — (V2 — (¿¡2^)2) Суммарная емкость этих конденсаторов будет равна

( I г 2 _

«Г')2)1/2 | ».-(^-«^'Н

-1

е0е±ВзА(2

е0еоБ3А6

/

Параллельное соединение -/V конденсаторов с шириной слоев диэлектрика Д^2 образует конденсатор с оцениваемой емкостью С*, т.е.

N

С* рз еое°Вз ^

А6

1=1 Ъ\ + (1/е — 1) у г'2 — (¿¡2^)2 После перехода к пределу при N^00 получим

г

С* = е0е°В з

Результаты расчетов. В целях сокращения объема исходных данных количественный анализ полученных расчетных зависимостей проведем при условии Ъ\ = Ь2, что соответствует свойству траневереальной изотропии композита относительно координатной оси Охз с главным значением £3 тензора диэлектрической проницаемости и равенству е^ = е*2 двух остальных главных значений этого тензора. Для более рационального использования масштаба рисунков все результаты расчетов нормируем но верхней оценке е^ главного значения определяемой соотношением (12).

На рис. 3 представлены зависимости следующих величин от безразмерного радиуса г = г/Ъ2 волокна: 6^/е^ = е~; ¿^/е^ = и /= <Г~, расчитанных с помощью соотношения (13); расчетных зависимостей £ /е\ и е^/е^, вычисленных но формулам (16);

уточненных оценок еА и ev, полученных с использованием формул (17) и (18). Линии со светлыми маркерами соответствуют значению е = 4, с темными е = 20.

Заключение. Использование двойственной вариационной формулировки задачи электростатики в неоднородном анизотропном диэлектрике позволило провести последовательное уточнение и сближение двусторонних границ областей, в которых расположены главные значения тензора диэлектрической проницаемости однонаправленного волокнистого композита. При этом учтено взаимное расположение волокон. Путем количественного анализа полученных расчетных зависимостей установлены области определяющих параметров, в которых эти зависимости дают приемлемые результаты при значительном различии диэлектрических проницаемостей матрицы композита и волокон.

Работа выполнена по гранту МК-6573.2015.8, а также в рамках проекта 1712 в сфере научной деятельности в части государственного задания 2014/104 Минобрнауки РФ и государственного задания но проекту 1.2640.2014.

Рис. 3. Результаты количественного анализа

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Композиционные материалы. Справочник / Под ред. Д.М. Карпиноса. Киев: Наукова думка, 1985.

2. Справочник по композиционным материалам / Под ред. Дж. Любина. Пер. с англ: В 2 т. М.: Машиностроение, 1988.

3. Композиционные материалы. Справочник / Под общ. ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского. М.: Машиностроение, 1990.

4. Суздальцев Е.И. Радиопрозрачные высокотермостойкие материалы XXI века // Огнеупоры и техническая керамика. 2002. № 3. 42-50.

5. Калинин Д.Ю., Резник C.B., Суздальцев Е.И., Шуляковский A.B. Стекло и керамика. Материалы и покрытия в экстремальных условиях. Взгляд в будущее: В 3 т. Т. 2. Передовые технологии производства / Под ред. C.B. Резника. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.

6. Ромашин А.Г., Гайдачук В.Е., Карпов Я.С., Русин М.Ю. Радиопрозрачные обтекатели летательных аппаратов. Харьков: Нац. аэрокосм, ун-т "Харьков, авиац. ин-т", 2003.

7. Тареев Б.М. Физика диэлектрических материалов. М.: Энергоиздат, 1982.

8. Виноградов А.П. Электродинамика композитных материалов. М.: Эдиториал УРСС, 2001.

9. Физика композиционных материалов / Под общ. ред. Н.Н.Трофимова: В 2 т. Т. 2. М.: Мир, 2005.

10. Сарычев А.К., Шалаев В.М. Электродинамика метаматериалов / Пер. с англ. М.: Научный мир, 2011.

11. Челидзе Т.Л., Деревянко А.И., Куриленко О.Д. Электрическая спектроскопия гетерогенных систем. Киев: Наукова думка, 1977.

12. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Пугачев О.В. Вариационный подход к оценке диэлектрической проницаемости композита с дисперсными включениями // Математика и математическое моделирование: электронное научно-техническое издание. 2015. 2. DOI: 10.7463/mathm.0215.0769483.

13. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценки диэлектрической проницаемости композита с дисперсными включениями // Вестн. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2015. № 3. 50-64.

14. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Пугачев О.В. Оценки электрофизических характеристик композита с диэлектрической матрицей и дисперсными проводящими включениями / / Радиооптика: электронное научно-техническое издание. 2015. 03. DOI: 10.7463/rdopt.0315.0800066.

15. Победря В.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.

16. Ванько В.П., Ермошина О.В., Кувыркин Г.П. Вариационное исчисление и оптимальное управление / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.

17. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.

18. Hashin Z., Strikman S. A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials // J. Appl. Phys. 1962. 33. 3125-3132. DOI: 10.1063/1.1728579.

19. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. M.: Наука, 1977.

20. Вустер У. Применение тензоров и теории групп для описания физических свойств кристаллов / Пер. с англ. М.: Мир, 1977.

Поступила в редакцию 11.11.2015

УДК 519.218.7

О ВЕРОЯТНОСТЯХ ВЫСОКИХ ВЫБРОСОВ ГАУССОВСКОГО СТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ

А. О. Клебан1, М. В. Корулин2

Пусть £ (t) — стационарный гауссовский процесс с нулевым средним и ковариационной функцией г (t), удовлетворяющей условию Пикандса r(t) = 1 — |t|a + o(|t|a), t 0, 0 < а ^ 2, и г/ (t) X (t) — периодические случайные процессы. Найдена точная асимптотика вероятностей P(maxie[0jT] ??(i)£(i) > и), Р( maxie[0jT] (£ (t) +r](t)) > и) и P(maxie[0jT] (i?(t)£(t)+ ((t)) > и) при и —} оо для произвольного Т > 0 и независимых £ (t) ,r] (t), С (t).

1 Клебан Александр Олегович — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alexander.kleban Qgmail.com.

2Корулин Михаил Вячеславович — e-mail: michael.korulinQgmail.com.