К вопросу о термофорезе нагретых крупных аэрозольных частиц сферической формы

УДК 533.72

К ВОПРОСУ О ТЕРМОФОРЕЗЕ НАГРЕТЫХ КРУПНЫХ АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

© Н.В. Малай, Е.В. Калюжная, Д.А. Морель, Е.Р. Щукин

Ключевые слова: термофорез нагретых сферических частиц; движение нагретых сферических частиц в поле градиента температуры.

Проводится расчет силы и скорости термофореза нагретых крупных аэрозольных частиц сферической формы гидродинамическим методом. При решении уравнений газовой динамики учитывался степенной вид зависимости коэффициентов молекулярного переноса (вязкости, теплопроводности) и плотности газообразной среды от температуры. Численные оценки показали нелинейный характер зависимости силы и скорости термофореза от средней температуры ее поверхности.

ВВЕДЕНИЕ

Гидродинамическая теория термофореза крупных твердых сферических частиц рассматривалась, например, в работах П. Эпштейна, Ю. Яламова, С. Баканова и др. [1-5]. Это теория строилась при малых относительных перепадах температуры в окрестности частицы. Под относительным перепадом температуры понимают отношение разности между средней температурой поверхности частицы Т3 и температурой газообразной среды вдали от нее Теда к последней. Относительный перепад температуры считается малым, если выполняется неравенство (Т3 — Тв^)1 Теда << 1 и значительным, если (Ту — Тот)/Тех ~0(1) . В последнем случае частицу называют нагретой. Нагрев поверхности частицы может быть обусловлен, например, протеканием объемной химической реакции, процессом радиоактивного распада вещества частицы, поглощением частицы электромагнитного излучения и т. д. Индексы е и I здесь и далее относятся к газу и частице, соответственно; индексом 5" обозначены значения физических величин, взятых при средней температуре поверхности частицы, и индексом да - физические величины, характеризующие газообразную среду в невозмущенном потоке.

Если Т — Тех)/Теда ~0(1), то при решении уравнений газовой динамики необходимо учитывать зависимость коэффициентов молекулярного переноса (вязкости, теплопроводности) и плотности газообразной среды от температуры. В этом случае газообразная среда считается неизотермической, и система газодинамических уравнений, описывающая такую среду, ставится существенно нелинейной. Движение нагретых твердых частиц сферической формы (при значительных перепадах температуры) в неизотермических газообразных средах рассматривалось в ряде работ [6-8], в которых показано, что нагрев поверхности оказывает существенное влияние на силу сопротивления и скорость движения частиц.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим твердую нагретую аэрозольную частицу сферической формы радиуса R, взвешенную в газе с плотностью ре, теплопроводностью Ке и вязкостью

. С помощью внешних источников в газе поддерживается постоянный малый градиент температуры VT . В работе при описании свойств газообразной среды и частицы рассматривается следующий их вид зависимости от температуры: = це<ю tp, Хе = %,

К = K,0tl , где ^е» = Ve (Те») , Ке» = К (Те») ,

К0 =К,(Те»), tk = Тк/Те» (к = е,1); 0,5 < а, р< 1, —1 < j < 1. Например, для воздуха а = 0,81; р = 0,72; для азота а = 0,77 ; р = 0,69 и относительная погрешность при этом не превышает 4 % [9].

При теоретическом описании термофореза будем предполагать, что в силу малости времени тепловой релаксации процесс теплопереноса в системе частица -газообразная среда протекает квазистационарно. Движение частицы происходит при малых числах Пекле и Рейнольдса, частица считается однородной по своему составу и крупной [2]. Задача решается гидродинамическим методом, т. е. решаются уравнения гидродинамики с соответствующими граничными условиями.

Термофорез удобно описывать в сферической системе координат r, 9, ф, связанной с центром масс аэрозольной частицы; вектор VT направлен вдоль полярной оси z = r cos 9 . Поскольку система отсчета связана с центром движущейся аэрозольной частицы, то задача сводится к анализу обтекания частицы бесконечным плоскопараллельным потоком газа, скорость

которого подлежит определению ( | \OZ ).

Распределения скоростей, давлений и температур обладают аксиальной симметрией относительно оси OZ . При указанном выборе начала системы координат нагретую частицу можно считать неподвижной, а внеш-

нюю среду (газ) - движущейся в сторону противоположную направлению фактического движения нагре-

U„, = - U

U

той частицы со скоростью и ш - и л ,

скорость термофореза.

В рамках сформулированных допущений уравнения гидродинамики и теплопроводности имеют вид [10]:

д xu

-P =

д^ dU, 7 ,dU

д x

д xu

--Ц-

3 д x„

dt U)

= 0,

div(Xe VT ) = 0, div(k, VT ) = -q,

Здесь хк — декартовые координаты, ре = пете , ре, те, пе — плотность, масса и концентрация молекул газообразной среды, к — постоянная Больцмана, дг — плотность тепловых источников, неоднородно распределенные в объеме частицы, за счет которых и происходит ее нагрев.

Система газодинамических уравнений (1) (2) решалась со следующими граничными условиями в сферической системе координат:

y ^ да, Ur = ux cos е, Ue = u sin e,

VT r cos e,

P = P T = T +

e ' e

y ^ 0, T¡ ф да,

(3), а конечность физических величин, характеризующих частицу при г ^ 0 учтено в (4).

Определяющими параметрами в задаче являются материальные постоянные цеоо, реоо, Хеда и сохраняющиеся в процессе движения частицы R , ,

Теда и и„. Из этих параметров, кроме числа Рейнольд-са, можно составить и безразмерную комбинацию е= Л /Тео0, характеризующую перепад температуры на размере частицы. При описании термофореза е= Л |УГ| / Теоо играет роль малого параметра [2-3].

При е << 1 решение уравнений гидродинамики будем искать в виде:

V =v(0, + в V(1) +..., P = Pj0) + 8PW +...

Здесь Ve = Ue / Um .

Вид граничных условий указывает на то, что выражения для компонент массовой скорости ищутся в виде разложений по полиномам Лежандра и Гегенбауэра [13]. Известно [13], что для определения общей силы, действующей на частицу, достаточно определить первые члены этих разложений. С учетом этого выражения для компонент массовой скорости первого приближения (6) будем искать в виде:

V

Здесь G(y) и g (y) - произвольные функции, зависящие от координаты y .

y = 1 , X, д-Г = *, дТ + CT0CT^R(T,4 - Te4.),

д y ду

Ur = 0,

Te = Ti , Ue = KTS

Ve д Te

ЛТе 59

где иг и ие - нормальная и касательная компоненты массовой скорости газа Vе ; у = г / Л - обезразмерен-ная радиальная координата; ида = .

В граничных условиях (5) на поверхности аэрозольной частицы учтено [2-3; 11]: равенство температур, непрерывность потоков тепла, условие непроницаемости для нормальной и тепловое скольжение для касательной, компоненты массовой скорости. Здесь

Кга - коэффициент теплового скольжения, выражение

для которого находится методами кинетической теории газов. При коэффициентах аккомодации тангенциального импульса ат и энергии аЕ равных единице,

газокинетический коэффициент Ктз = 1,152 [11]; ст0 — постоянная Стефана-Больцмана, ^ — интегральная степень черноты [12]. На большом расстоянии от частицы (г ^ да) справедливы граничные условия

ПОЛЯ ТЕМПЕРАТУР ВНЕ И ВНУТРИ ЧАСТИЦЫ

При нахождении термофоретической силы и скорости ограничимся поправками первого порядка малости. Чтобы их найти, нужно знать поля температур вне и внутри частицы. Для этого необходимо решить уравнения теплопроводности (2). Решая эти уравнения методом разделения переменных, получаем следующие

выражения для /е и ^ (/к = Т/Теда , к = е, I):

te (y, е) = le0 (y)+8tei(y, е), tг Ы е) = t,0 (У)+8t1l(У, е) ,

где

te0 (у ) =

( Г ^1+а 1 + 10

V У /

ti0 (У ) =

R +Н 0 1

B0 +---

У У

1 1 jv0dy + J— dy

У

y /

1+у

te1 (У

cos е

y+-

г

д

д

+

Ц

e

д

x

1

2

^(у) = cos 0

H .1 y

Dy + -1 + -

2 3

j2.

h0 = £±I^j0, Hi =-—

О ^ л лут О ' 1 О Л rT1

3Ài0Teœ 3Ài0Teœ

У ^ У

y f^Tdy--2 К^У

y2 y2

Ji, Jо = 77 f qdV

Me = Meœ

1 f 4 о

J1 = - q.zdV = 0, V = -nR3, 1 Vf i 3

+1

f q (r, 0)dx, x = cos 0 ,

-1 +1

y2 f qt(r,б)xdx, z = r cos 0,

R2 (1+r) 2

Vo =- ^ 'y | q,(r

2 Ài0Teœ

=

2 Ài0Teœ

^ qizdV = 0 - дипольный момент плотности тепловых

V

источников [14].

Постоянные интегрирования, входящие в выражения для полей температур, определяются из граничных условий на поверхности частицы. В частности, для коэффициентов Г и Го имеем:

Полученное выражение для динамической вязкости (11) в дальнейшем используется при нахождении полей скорости и давления в окрестности нагретой аэрозольной частицы сферической формы.

РЕШЕНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ.

НАХОЖДЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ ДЛЯ ПОЛЕЙ СКОРОСТИ И ДАВЛЕНИЯ

Исследование линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса в сферической системе координат показало, что если предположить коэффициент теплопроводности частицы по величине много больше коэффициента теплопроводности газа (слабая угловая асимметрия распределения температуры), то это уравнение может быть в конечном итоге сведено к неоднородному дифференциальному уравнению 3-го порядка с изолированной особой точкой, и решение этого уравнения можно искать в виде обобщенных степенных рядов, подробный вывод приведен в [6]. Таким образом, общие выражения для компонент массовой скорости, удовлетворяющие условию ограниченности решения при у ^ да , имеют вид:

г _ RteS Т , 1 I ÀeS „ I г - ¿+a 1

1 = , ^ J1 + --га4 КГ0 = teS - 1 .

À, О О kiV

Здесь О = 2 —— + га

À

Г, -1.1 CT0CT1R т3.3 га4 = 1 + 0-T eœteS ,

iS

ÀeS = ÀeœteS

tiS = ti0 (y = 1) ,

ÀiS = Ài0tiS ,

teS = te0 (y = 1) .

Среднее значение температуры поверхности частицы Ts определяется из решения следующей системы

уравнений, в которой T,s = tis Tew , Tes = teS Teœ ,

éS ) = Го/(1+ГО ),

¿

R2

1 + a

3ÀeSTeœ

TeS =TiS

J 0-CT0CT1

RT3

Гт \4

T

V eœ У

-1

При выполнении неравенства Ае << А- (имеет место для большинства газов) коэффициент теплопроводности частицы по величине много больше коэффициента теплопроводности газа, тогда в коэффициенте динамической вязкости можно пренебречь зависимостью по углу 0 в системе «частица - газ» (предполагается слабая угловая асимметрия распределения температуры). С учетом этого можно считать, что вязкость связана только с темперагур°Й /е0 (г) , т. е. ^е (?е (Г0)) ~ ^е (?е0 (г))  Это допущение позволяет рассматривать гидродинамическую часть отдельно от тепловой части, а связь между ними осуществляется через граничные условия.

С учетом (8) в выражении для динамической вязкости имеем:

ue = Uœ cos 0 G(y), G(y) = A1G1 + A2G2 + G3, ue = -Uœ sin 0 g(y), g(y) = A1G4 + A2G5 + G6 ,

p = p , MeœUœ tpi/ + y

P = Peœ+ R te01 2 dy3 + y

3 + P-1 y/ 2

2 - y/-P y 2/2 +

d 2g

d y 2

+ (P-2) y/ ] d— + 2|y / + y/1 (4+yp/)-2 / dy 3

G

Здесь / = -

y

Gk =1 1 + -\ Gk-3 + T yGk-3

Gk-3 +1 yGk-3 (k = 4,5,6),

/I, /п, Gj1, G\ , G3 - первые, вторые производные

2(1 + a)J k-3 2

3]1, G\, G3 - пер по y от соответствующих функций,

œ

G1(y) = "ГZ^" ,

y n=0

G3 (y) = 2 C3jn +ra3 ln(y )G1(y ), Yl = -

n=0 1

1 -P

+ a

1 œ 1

G2(y) = "2C2,n^n + га2 ln(y) G1 (y), y2 = 2-y „ 1

1+p

У3=

УПТо

2+2a-p

+ a

(1 + a)2

x

4

e

iS

à

eS

œ

Значения коэффициентов С1п (n > i), С2п (n > 3) и C3n (n > 4) определяются с помощью сле-

-3,n

дующих рекуррентных соотношений:

[(n - i)(n - 2)(3n+5) + 2yi (n2 - 4)+ y2 (n - 2) + y3 (n + 3) (n - 2)[(n - i)(n - 3)+yi(n - 3)+У3 ] C^}

(n - i|3n2 + n - б)+ + yin(n + i)+ ny 2

C2,n-i-[У3 (n + i) +

Ся 1

,n n

-'i.n-i "

Ci, n-2 +

+ (n - i)(n - 2)(3n -1) + 2yin(n - 2) + y2 (n - 2)]x xC2,n-2 +(n - 2)[(n - i)n - 3)+y3 +

n-2

+ yi(n - 3)] Cn.3 + ^ g (n - k - i)A t - б (-y4 )(i-y 4 ^ -1-y 4 )}

Г02 ы n! J

C3,n -

i I (n - i)3n2 - 5n - 4 + yjn + y2

n(n + 2)(n - 3) I xC^, - [(n - i)(n - 2)(3n - 4) +

+ 2У1

x[(n - i)(n - 3) + yi(n - 3)+y3] C3,n-3 + n-3 }

^ £ (n - k - 2)(n - k - i)A k}

2ГI

+

0 k-0 2

Ak Ф2 +i6k+15^-((k-i)(6k+i3)+yi(2k+5)+y 2 )C1H (3(k _i)(k - 2)+2yi(k - 2)+y3 )Ci,k -2.

При вычислении коэффициентов Cin, C2n и C3n по рекуррентным формулам необходимо учитывать,

что Ci, 0 -i , C2,0 - i, С2,2 - i ,

C2,i -- 1 (2yi +y2 + 6y 4 ),

- (i0 + 3yi +y2), у4 - ß/(i + a), C3,i - 0 ,

2Г03 60

1

Г02 15

С3,2 = 1 Уз , С3,3 = 1 , С3,0 = 1 , С1,п, С2,п и С3,п при

п < 0 равны нулю.

Постоянные интегрирования А1 и А2 определяются из граничных условий на поверхности аэрозольной частицы.

цы, а также распределения скорости и давления в ее окрестности. Результирующая сила, действующая на частицу, определяется интегрированием тензора напряжений по поверхности аэрозольной частицы и имеет вид [10]:

F -

(-Pe cos 9 + orr cos 9-are sin 9)>

(if r2 sin 9 d 9 d ф

Здесь стгг, стг9 , ие и ие - компоненты тензора напряжений, радиальная и касательная компоненты массо-

Or9

скорости,

fdUl 1 dUl П?Л

Orr = Ц

9ü! 2 , 2—r-—divUe dy 3 l

- + -

'r ü 9

ду у 59 у ^

Подставляя в (4.1) полученные выше выражения, после интегрирования получаем, что общая сила будет складываться из силы вязкого сопротивления среды

Р и термофоретической силы ¥л

F = Fth,

где Р = 6 %Л^еда,ит/^ Пг , ^ = — 6 п Л Цеда /й И , и - единичный вектор в направлении оси 02 .

Значения коэффициентов / и /¡^ могут быть оценены с помощью

/ц

2f -ЛГ ve» V» ¿ß-y Gi 3 Nj , /th -4*TSR5 Xi0 teS N

Здесь N^i)- G1(i)G2/ (i)-G2(/g/ (i),

N2 (i) - Gj (i)G3 (i) - G3 (1)0/ (i),

N3

/s H

2 + -

1 + a

xG

N4 (i)-G3 (i) G/ (i)-Gi (i) Gf (i) +

x(G3 ( i)G/ ( i)-Gj ( i)G33 ( i)).

As) ^

2 + -

i + a

Приравнивая полную силу F к нулю, получаем следующее выражение для скорости термофореза

Uth ( Uth = - Uœ ) твердой крупной нагретой частицы

сферической формы:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕРМОФОРЕТИЧЕСКОИ СИЛЫ И СКОРОСТИ. АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

В первом приближении по е получены выражения для полей температур вне и внутри аэрозольной части-

Uth hth

где hth - fth / /

r - R

C

x

+

+

x

га2 i

Полученные выше формулы для силы и скорости термофореза можно использовать и при малых относительных перепадах температуры в окрестности частицы. В случае, когда величина нагрева поверхности частицы мала, т. е. средняя температура поверхности по величине незначительно отличается от температуры окружающей среды вдали от частицы (Г0 ^ 0), зависимостью коэффициентов молекулярного переноса (вязкости и теплопроводности) и плотности от температуры можно пренебречь, и тогда (у = 1) имеем:

G1 = 1, G( =—3 , Gf = 12, Gf =—60 , G2 = 1, G2 =—1, G2 = 2, Gf =—6 , G3 = 1, G| = 0 , Gf = 0 , G1" = 0, N = 2 и N2 = 3 . В этом случае формулы для силы и скорости термофореза совпадают с известными в литературе результатами [2].

Проведенные с помощью найденных формул численные оценки показали нелинейный характер зависимости силы и скорости термофореза от средней температуры поверхности частицы.

ВЫВОДЫ

Формулы (14), (16) позволяют оценивать силу и скорость термофореза крупных нагретых аэрозольных частиц сферической формы при произвольных относительных перепадах температуры между поверхностью частицы и областью вдали от нее с учетом степенного вида зависимости коэффициентов молекулярного переноса (вязкости, теплопроводности) и плотности газообразной среды от температуры. Полученные формулы носят наиболее общий характер.

ЛИТЕРАТУРА

1. Epstein P.S. Zur Theorie des Radiometers // Zs. F. Physik. 1929. Bd. 54. № 4. S. 537-563.

2. Яламов Ю.И., Галоян В.С. Динамика капель в неоднородных вязких средах. Ереван: Луйс, 1985. 208 с.

3. Баканов С.П. Термофорез в газах при малых числах Кнудсена // УФН. 1992. Т. 162. № 9. С. 133-152.

4. Jayaraj S., Dinesh K.K., Pillai K.L. Thermophoresis in natural convection with variable properties // Heat Mass Transf. 1999. V. 34. P. 469-475.

5. Reineck P., Wienken C.J., Braun D. Thermophoresis of single stranded DNA // Electrophoresis. 2010. V. 31 (2). P. 279-286.

6. Малай Н.В., Щукин Е.Р., Стукалов А.А., Рязанов К.С. Гравитационное движение равномерно нагретой твердой частицы в газообразной среде // ПМТФ. 2008. № 1. С. 74-80.

7. Малай Н.В., Рязанов К.С., Щукин Е.Р., Стукалов А.А. О силе, действующей на нагретую сферическую каплю, движущуюся в газообразной среде // ПМТФ. 2011. Т. 52. № 4. С. 63-71.

8. Малай Н.В., Лиманская А.В., Щукин Е.Р., Стукалов А.А. Фотофо-рез нагретых крупных аэрозольных частиц сферической формы // ЖТФ. 2012. Т. 82. Вып. 10. С. 42-50.

9. Бретшнайдер С. Свойства газов и жидкостей. Инженерные методы расчета. М.: Химия, 1966. 535 с.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: ТТЛ, 1954. 795 с.

11. Поддоскин А.Б., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Теория термофореза умеренно крупных аэрозольных частиц // ЖТФ. 1982. Т. 52. № 11. С. 2253-2262.

12. Шейндлин А.Е. Излучательные свойства твердых материалов: справочник. М.: Энергия, 1974. 471 с.

13. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рей-нольдса. М.: Мир, 1976. 630 с.

14. Береснев С.А., Кочнева Л.Б. // Физика атмосферы и океана. 2003. Т. 16. № 2. С. 134-141.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы научно-образовательного центра «Управляемые электромагнитные процессы в конденсированных средах» НИУ «БелГУ».

Поступила в редакцию 10 декабря 2014 г.

Malay N.V., Kaluizhnaya E.V., Morel D.A., Shchukin E.R. TO A QUESTION ABOUT THERMOPHORESIS HEATED LARGE AEROSOL PARTICLES OF THE SPHERICAL FORM The force and speed of thermophoresis heated large Aero-ash spherical particles are calculated by a hydrodynamic method. At the decision of the equations of gas dynamics a power-law dependence of the coefficients of molecular transfer (viscosity, thermal conductivity) and density of the gaseous environment from temperature were considered. Numerical estimations have shown nonlinear character of thermophoresis' force and speed dependence from average temperature of its surface.

Key words: heated spherical particle thermophoresis; heated spherical particle movement in the field of a temperature gradient.

Малай Николай Владимирович, Белгородский государственный национальный исследовательский университет, г. Белгород, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры теоретической и математической физики, e-mail: malay@bsu.edu.ru

Malay Nikolay Vladimirovich, Belgorod State National Research University, Belgorod, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Professor of Theoretical and Mathematical Physics Department, e-mail: ma-lay@bsu.edu.ru

Калюжная Елена Вячеславовна, Белгородский государственный национальный исследовательский университет, г. Белгород, Российская Федерация, кандидат педагогических наук, доцент кафедры иностранных языков и профессиональной коммуникации, e-mail: kaludgnaya@bsu.edu.ru

Kaluizhnaya Elena Vyacheslavovna, Belgorod National State Research University, Belgorod, Russian Federation, Candidate of Pedagogy, Associate Professor of Foreign Languages and Professional Communication Department, e-mail: kaludg-naya@bsu.edu.ru

Морель Дмитрий Александрович, Белгородский государственный национальный исследовательский университет, г. Белгород, Российская Федерация, кандидат филологических наук, доцент кафедры иностранных языков и профессиональной коммуникации, e-mail: morel@bsu.edu.ru

Morel Dmitry Aleksandrovich, Belgorod National State Research University, Belgorod, Russian Federation, Candidate of Philology, Associate Professor of Foreign Languages and Professional Communication Department, e-mail: mo-rel@bsu.edu.ru

Щукин Евгений Романович, Объединенный институт высоких температур Российской академии наук, г. Москва, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор лаборатории электрофизики и плазменных процессов, e-mail: evgrom@yandex.ru

Shchukin Evgeny Romanovich, Joint Institute for High Temperatures (JIHT) of Russian Academy of Sciences, Moscow, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Electrophysics and Plasma Processes Laboratory, e-mail: evgrom@yandex.ru