Строение полутел

Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып. 10. 2009

УДК 512.55

СТРОЕНИЕ ПОЛУТЕЛ1 Е. М. Вечтомов

Работа представляет собой обзор по алгебраической теории полуте л.

Введение

Теория полутел - перспективное направление современной алгебры, которое можно рассматривать и как составную часть теории полуколец, и как теорию групп с дополнительной бинарной операцией.

Полутелом называется алгебраическая структура, являющаяся одновременно мультипликативной группой и аддитивной коммутативной полугруппой, причем умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон. Мультипликативно коммутативные полутела называются полуполями. Полутела с добавленным нулем - это в точности полукольца с делением, не являющиеся кольцами. Исходные понятия теории полутел рассматриваются в пункте 1 нашего обзора.

Примеры полуколец были явно указаны еще Дедекиндом [69] и Гиль-бертом [76] в конце Х1Х-го столетия. Исторически первым примером является, конечно, натуральный ряд N с добавленным нулем относительно обычных операций сложения и умножения. Понятие полукольца было определено Вандивером в 1934 году [87]. Развитие теории полуколец началось в 50-е годы XX века. Благодаря запросам компьютеризации полукольца активно исследуются последние 20-25 лет. Современная теория полуколец находит применения в компьютерной алгебре и дискретной математике [73,75], в идемпотентном анализе и теории оптимального управления [33,79]. Полукольцам посвящены труды [12,56,59,71-75]. Большая библиография по теории полуколец приведена в книгах Гла-зека [71] и Голана [72,73].

1 Аналитический научный обзор, поддержанный Российским Фондом Фундаментальных Исследований, грант № 08-01-11 ООО-ано.

© Вечтомов Е.М., 2009.

В 60-е годы XX века стали изучаться полутела. Им посвящены первые работы Вейнерта [89-92], доказавшего в 1962 году, что класс пдемпотентных полутел совпадает с классом решеточно упорядоченных групп. Заметной вехой в становлении теории полутел стала работа С. В. Полина 1974 года [37]. В ней введен естественный (разностный) порядок на полутелах, описаны простые полуполя, доказана коммутативность аддитивно сократимых простых полутел. В статье [78] 1990 года Хатчинс и Вейнерт изучили общие свойства ядер полутел. Важные свойства решеток конгруэнций (ядер) полутел установил А. Н. Семенов [43]. Отметим также следующие работы [2,3,11,13,18,21-25,32, 38-42,44,51-54,56,77,83].

В связи с развитием идемпотентного анализа В. П. Масловым и его учениками исследовались вопросы линейной алгебры и теории уравнений над идемпотентными полуполями [28,31,47,63,79, др.].

Полутела изучались в кандидатских диссертациях последних лет [4, 40, 50]. А. В. Ряттель [40] исследовала алгебраические расширения идемпотентных полуполей и линейно упорядоченные полутела. И. И. Богданов [4] занимался условиями коммутативности и аддитивной структурой полутел. О. В. Старостина [50] уточнила взаимосвязи абелево-регулярных положительных полуколец (агр-полукольца) и полутел их обратимых элементов. Структурным свойствам полутел посвящены пункты 2 и 3.

С функциональной алгеброй связаны диссертации [7,36,45,59,62]. Полукольца непрерывных функций со значениями в некоторых топологических полутелах изучала В. И. Варанкина [7], а полуполя непрерывных положительных функций на топологических пространствах рассматривали И. А. Семенова [45], М. Н. Подлевских [36], Д. В. Широков [62]. В. В. Чермных [59] изучал полукольца сечений пучков полуколец. Начало систематическому изучению полуколец и полуполей непрерывных функций положила статья [8] 1998 года. Новые результаты, полученные в этом направлении, мы укажем в пункте 4.

Аддитивно идемпотентные полутела представляют собой решеточно упорядоченные группы. Каждое полутело имеет кольцо разностей, возможно, тривиальное. Аддитивно сократимые полутела вкладываются в свои кольца разностей. Поэтому изучение полутел допускает методы теории колец. Значение полуполей и полутел в теории полуколец подобно значению полей и тел в теории колец.

Наряду с кольцами и дистрибутивными решетками полутела с нулем образуют важнейший класс полуколец, играющий существенную роль в структурной теории полуколец. Изучались различные сочетания этих

2.2. Ядра

Приведем одну внутреннюю характеризацию ядер полутела.

2.2.1. Подмножество А полутела U будет ядром в U тогда и только тогда, когда А - нормальная подгруппа мультипликативной группы U со свойством: если и, v G U, и + v = 1, a, b G A, то ах + by G A.

Эту и другие характеризации ядер полутел можно найти в [72,78].

Предложение. Ядро А полутела является подполутелом <=> 2 =

1 + 1 G А.

2.2.2. Главные ядра. Ядро полутела U, порожденное элементом и, назовем главным ядром и обозначим (и). Это наименьшее ядро в U, содержащее и, оно соответствует главной конгруэнции р(и, 1). Главное ядро (2) полутела U служит наименьшим ядерным подполутелом в U.

Теорема. [53] Пусть а - такой элемент полутела U, что элемент а + 1 коммутирует со всеми элементами полутела. Тогда

(а + 1) = {и G U : Зп G N (а + 1)~п < и < (а + 1)п}, где < - естественный порядок на полутеле U (см. пункт 3.5.1).

Следствие. Для любого полутела U имеет место равенство (2) = {и G U : Зп G N 2~п < и < 2п}.

2.2.3. Полутела с образующей [22]. Множество всех ядер (конгруэнций) полутела U обозначим СопС/. Ядро А полутела U назовем конеч-нопорожденным, если А = (ui) •... • (ип) для конечного числа элементов щ, ...,ип G U. Полутело вида U = (и) назовем полутелом с образующей и. Понятие образующей полутела обобщает понятие сильной единицы в теории решеточно упорядоченных групп.

Теорема. Всякое полутело, конечнопорожденное как ядро, является полутелом с образующей.

Если U = (щ) •... • (ип), то U = (и) при и = щ + и]"1 + ... + ип + и“1. Для доказательства применяется следующая лемма:

Лемма. В любом полутеле верно квазитождество а + 6 + с = а^> а b — а.

2.2.4. Значение полутел с образующей обосновывается следующим результатом.

Теорема. [22] Любое полутело вкладывается - в качестве наибольшего собственного ядра - в зероидное полутело с образующей.

2.2.5. Полутело U с образующей 2 называется ограниченным.

Теорема. [52] Полутело ограниченно тогда и только тогда, когда все его факторполутела сократимы.

Следствие. Ограниченные полутела сократимы.

В качестве следствия отметим также, что сужение любой конгруэнции р полутела U на ядерное подполутело [1\р • (2) будет сократимой конгруэнцией.

Класс ограниченных полутел замкнут относительно гомоморфных образов и конечных прямых произведений.

2.2.6. Подполутело (2) любого полутела является ограниченным полутелом.

2.2.7. Имеет место:

Теорема. [53] Ядра подполуполя (2) любого полуполя U являются ядрами и самого полуполя U.

2.2.8. Напомним, что решетка А называется ретрактом решетки £?, если существуют такие их гомоморфизмы i \ А ^ В ж тг \ В ^ А, что

ног — 1А.

Следствие. Решетка Соп(2) ядер подполуполя (2) любого полуполя U служит ретрактом решетки ConU.

2.3. Решетка ядер полутела

Относительно включения С множество всех конгруэнций на произвольном полутеле U и множество CoiiU его ядер являются изоморфными решетками. Сопоставляя каждой конгруэнции р на U ядро [1]р, получаем канонический изоморфизм между этими решетками. Поскольку конгруэнции на полутеле перестановочны, то точной верхней гранью V двух конгруэнций служит их композиция. Для любых двух ядер А и В полутела U в решетке Con U имеем АлВ = АГ\Ви А У В = АВ = В А. Для произвольного непустого множества ядер {Ai : г е 1} в Соп{7 получаем: inf(A^) = Пsup(A^) есть объединение произведений П{^г : « G J} по всевозможным конечным множествам индексов J С /.

2.3.1. Собственное ядро Р полутела U называется неприводимым, если А П В С Р влечет А С Р или В С Р для любых А, В е ConU.

Теорема. Каждое собственное ядро любого полутела содержится в некотором его неприводимом ядре.

Следствие. [22] Максимальные ядра любого полутела неприводимы.

Обозначим через Sp(U) (МахС/) множество всех неприводимых (максимальных) ядер полутела U. Мы видим, что МаxU С Sp(£7) ф 0 для любого нетривиального полутела U. Возможно, что Maxi/ = 0.

2.3.2. Ядро А полутела U называется дополняемым, если существует такое ядро В в U, что AB = [/ иЛПВ = {1}.

Теорема. [50, 22] Решетка ConU ядер любого полутела U является модулярной алгебраической решеткой, в которой множество B(U) всех дополняемых ядер образует булеву подрешетку.

Следствие. [43] Любое ядро полутела имеет не более одного дополнения.

2.3.3. Полутело U называется дистрибутивным (простым, неразложимым), если решетка ConU дистрибутивна (соответственно: является цепью, двухэлементна, имеет ровно два дополняемых элемента). Полу-тело U называется редуцированным, если в нем выполняется квазитождество а2 + b2 = ab + ba =4> а = Ь. Псевдодополнением ядра А £ Соп£/ называется наибольшее ядро А* в полутеле U, дающее {1} в пересечении с А. Для произвольного неприводимого ядра Р полутела U положим Ор = {и е U : 3v е U\P (и) П (и) = {1}}.

Теорема. [22] Если полутело U дистрибутивно или является редуцированным и ограниченным, то Соп£/ - решетка с псевдодополнениями, а множества Op, Р € Sp(U), суть ядра в U.

2.3.4. Несколько неожиданным является результат А. Н. Семенова:

Теорема. [43] Конечность решетки ConU влечет дистрибутивность полутела U.

Доказательство этой теоремы вытекает из следующего утверждения:

Предложение. [43] Если решетка Соп£/ ядер полутела U содержит диамант М3, то она содержит и "счетный" диамант М^.

3. Структурные свойства полутел

Рассмотрим важнейшие свойства полутел.

3.1. О мультипликативной группе по л у те л а

3.1.1. Вызывает интерес мультипликативное строение полутел.

Предложение. [12] Если р - конгруэнция на полутеле и, а, Ь е и, аЬ — Ьа и апрЪп для некоторого натурального числа п, то арЬ.

Отсюда вытекают простые, но важные факты:

3.1.2. Отличные от 1 элементы любого полутела имеют бесконечный мультипликативный порядок.

Поэтому всякое конечное полутело и тривиально: II = {1}.

3.1.3. В полуполях корни п-й степени, п е М, извлекаются однозначно.

Заметим, что не коммутирующие между собой элементы полутела могут иметь равные п-е степени для некоторых натуральных показателей п. Так, в факторполутеле II/А свободного полутела II со свободными образующими х и у по главному ядру А = (х~2у2) элементы хА ф у А имеют равные квадраты х2А = у2А.

3.1.4. Приведем одно достаточное условие коммутативности произвольного полутела.

Теорема. [4] Если для любого элемента а полутела II найдется свой натуральный показатель п, что элемент ап централен, то II коммутативно.

3.2. Об аддитивной структуре полутел

3.2.1. Следующий результат служит основой элементарного анализа абстрактных полутел.

Теорема. [72] Всякое полутело либо идемпотентно, либо содержит копию полуполя (¡2+ в качестве подполутела.

3.2.2. Назовем полутело II расширением полутела А с помощью полутела 5, если А изоморфно некоторому ядерному подполутелу К полутела С/, факторполутело II/К по которому изоморфно В. Из 2.2.6 вытекают:

Теорема. Любое полутело II служит расширением ограниченного полутела с помощью идемпотентного полутела.

3.2.3. Всякое простое полутело либо ограниченно, либо идемпотентно.

3.3. Кольцо разностей

Кольцом разностей полутела II называется универсальный объект категории всевозможных пар (И, /), где И - кольцо и /: II Л - такой гомоморфизм, что Я = /(II) — /(II).

3.3.1. Следующее утверждение хорошо известно для полуколец [72].

Теорема. Каждое полутело имеет кольцо разностей - единственное с точностью до изоморфизма.

Кольцо разностей (Щи), к) строится обычным образом. На множестве пар и у. и вводится отношение эквивалентности (а, Ь) ~ (с, д) а + д + и = Ь + с + и для подходящего элемента и Е II (а,Ь,с,с1 Е II). В фактормножестве Щ11) = (II х 11)/^ над классами эквивалентности производятся операции сложения [а, Ъ] + [с, д] = [а + с,Ь+с1] и умножения [а, Ь] • [с, д] = [ас + М, ас1 + Ьс]. (Класс [а, Ь] моделирует разность а — Ь.) Получаем кольцо II(II) и канонический гомоморфизм к : II —> К(11), 1г(а) = [а + Ь, Ь] = [а + 1,1] для любого а е II.

3.3.2. Кольцо разностей служит важным методом изучения полу-тел.

Предложение. [55] Для полутела II справедливы следующие утверждения:

1) II изоморфно вкладывается в свое кольцо разностей Щ1!) -ФФ- /г -вложение II изоморфно вкладывается в некоторое кольцо II сократимо;

2) Щ11) = {0} -ФФ- /г - наложение -ФФ- II зероидно.

Заключаем, что неизоморфные полутела могут иметь одно и то же кольцо разностей. Рассмотрим простейший такой пример с сократимыми полуполями. В поле И = <0?[\/2] возьмем подполуполя Р\ = {а + Ь\/2 :

а,Ь £ <0>, а — Ъл/2 > 0} и Р? = Я+ П Р± = {а + Ьл/2 : а, Ь £ <0>, а + Ъл/2 >

0, а — Ь\/2 > 0}. Поле И, служит кольцом разностей каждого из ограниченных полуполей Л+, Р\ и Р2. Полуполя Д+ и Р\ изоморфны, а полуполе Я+ не изоморфно своему подполуполю Р2-

3.4. Соответствия между ядрами полутела II и идеалами его кольца разностей Я = К

Обозначим через 1сШ решетку всех идеалов кольца Д. Для произвольного полутела II рассмотрим отображения:

7 : 1сШ —> Сопи, 7(/) = Н~1(1 + 1) для идеалов / кольцаД;

8 : СопII —> ЫЯ, ¿(А) = (Ь,(А) — 1)11 для ядер А полутела II.

3.4.1. Соответствия 7 и 6 позволяют в ряде случаев сводить изучение свойств полутел к кольцам.

Предложение. [8] Отображение 5 - решеточный эпиморфизм, а отображение 7 сохраняет П, причем 5 07 = 1ЫК - тождественное отображение.

3.4.2. Следующий важный результат принадлежит А. В. Чераневой.

Теорема. Полутело II ограниченное <=$ 7 (равносильно, 5) - изоморфизм все конгруэнции на и идеальны.

Данная теорема вытекает из предложения пункта 2.1.5 и теоремы пункта 2.2.5.

3.5. Порядки на полутелах

Полутело II с заданным на нем отношением порядка < называется упорядоченным полутелом, если этот порядок согласован с операциями на II: а < Ь влечет а + с < Ь + с, ас < Ьс и са < сЪ для всех а, 6, с Е и.

3.5.1. Естественный порядок. На произвольном полутеле II вводится празностное”отношение <: а < Ь означает, что а — Ъ или а + с — Ь для некоторого элемента с Е II. Бинарное отношение < является отношением порядка, называемым естественным порядком на полутеле II (следует из леммы 2.2.3). На идемпотентных полутелах а < Ъ означает а -\- Ь — Ь.

Теорема. [37, 73] Если II - полутело, то ([/, +, *, <) - упорядоченное полутело.

3.5.2. Сформулируем критерий упорядочиваемости полуполя.

Теорема. [44] Полуполе и линейно упорядочиваемо тогда и только тогда, когда естественный порядок на факторполуполе 11/3(11) линеен.

Рассмотрим теперь некоторые результаты о линейно упорядоченных полутелах, полученные А. В. Ряттель [38,40].

3.5.3. Линейно упорядоченное полутело называется: аддитивно архимедовым (мультипликативно архимедовым), если для любых его элементов а (А > 1) и Ь существует такое натуральное число гг, что па > Ъ (апЪ); непрерывным, если любое его ограниченное сверху непустое подмножество обладает точной верхней гранью.

Теорема. Всякое мультипликативно архимедово линейно упорядоченное полутело изоморфно некоторому подполуполю полуполя М+ или полуполя .

Следствие. Любое нетривиальное непрерывное линейно упорядоченное полутело изоморфно либо М+; либо либо (й,тах,+).

3.5.4. Полутело 11 назовем вычитаемым, если для любых его элементов а и Ь найдется элемент с Е [/, для которого а+с = Ь или а+Ь = с.

Предложение. Любое вычитаемое мультипликативно архимедово линейно упорядоченное полутело - простое.

Заметим, что вычитаемость идемпотентного полутела II равносильна линейности естественного порядка не нем: а + Ь — Ь или а + Ь = а для всех а, Ь Е II.

3.5.5. Пример. Сократимое полу поле М+ х М+ с лексикографическим порядком является аддитивно архимедовым, но не мультипликативно архимедовым линейно упорядоченным полуполем.

3.5.6. Пример. Полуполе (¡2+ х (й,тах, +) с лексикографическим порядком является аддитивно архимедовым неплотным линейно упорядоченным полуполем. В нем между элементами (1,0) и (1,1) нет других элементов.

3.5.7. Пример. Пусть на множестве II = (й,тах, +) х (¡2+ задано покоординатное умножение, а сложение определено формулой:

(*, р) + (т, я) = { <’"•«) + (М = К 9) при к < т,

\ (&,£> + #) при к — т.

Получаем неидемпотентное зероидное полуполе II. Относительно лексикографического порядка II будет линейно упорядоченным полуполем, не являющимся аддитивно архимедовым.

3.6. Простые полутела

В [37] С. В. Полин описал простые полуполя, доказал коммутативность сократимых простых полутел и указал пример некоммутативного идемпотентного простого полутела. Простые полутела ограниченны (стало быть, сократимы) или идемпотентны (3.2.3).

3.6.1. Следующая теорема С. В. Полина является одним из первых структурных результатов теории полутел.

Теорема. Простые сократимые полутела изоморфны подполупо-лям поля М+. При этом подполуполе Р поля М+ просто Р — Р есть подполе поля М и

(Ур е Р)(3д1,д2 е<0>+)(д1 < р < & р-д!,д2-р е Р).

В частности, любое вычитаемое подполуполе в М+ простое.

Следствие. Если ограниченное полутело U полупросто, то есть Ма xU = {1}; то U - полу поле.

3.6.2. Дополнением теоремы 3.6.1 является:

Теорема. Простые идемпотентные полуполя - это с точностью до изоморфизма подполуполя полуполя Rv.

3.6.3. Еще одним дополнением теоремы 3.6.1 служит

Теорема. [44] Линейная упорядочиваемость простого полутела влечет его коммутативность.

3.6.4. Переформулируем известное утверждение о решеточно упорядоченных группах.

Теорема. [30] Любое идемпотентное полутело изоморфно вкладывается в простое идемпотентное полутело.

3.7. Идемпотентные полуполя

Они совпадают с решеточно упорядоченными абелевыми группами (пример 1.3.2). Поскольку абелевы группы без кручения линейно упорядочиваемы [30], то любая абелева группа без кручения является мультипликативной группой вычитаемого идемпотентного полуполя. В [18,40] разработан фрагмент теории алгебраических расширений идемпотент-ных полуполей.

3.7.1. Важнейшие свойства идемпотентных полуполей U:

1) (ai + ... + dk)n = а\ + ... + äl для всех &, п е N и аь ..., е U [28].

2) В U неравенство Коши приобретает вид а\ •... • ап < а™ + ... + а™ [28].

3) Для любых ai,..., а/ь е U и щ, е N отображение х а\Хп1 +

... + а^хПк является автоморфизмом полуполя U [18].

4) U является подпрямым произведением вычитаемых идемпотентных полуполей [1, в терминах решеточно упорядоченных групп].

3.7.2. Полуполе U назовем: делимым, если его мультипликативная группа делима; алгебраически замкнутым, если любое уравнение / = 1, / G U[x] - многочлен без свободного члена, имеет решение в U.

Теорема. [63] Любое делимое идемпотентное полуполе алгебраически замкнуто.

3.7.3. Расширение полуполей Р Э II называется алгебраическим, когда каждый элемент из Р служит корнем некоторого уравнения вида / = 1 над II. Алгебраическое замыкание полуполя II - это алгебраически замкнутое полуполе, являющееся алгебраическим расширением

и.

Теорема. [18] Всякое идемпотпентпное полуполе II обладает единственным - с точностью изоморфизма над II - алгебраическим замыканием.

Заметим, что существование (но не единственность) алгебраического замыкания произвольного полуполя доказана И. И. Богдановым [2,4].

3.7.4. Следующий результат открывает тему исследования многообразий полутел:

Теорема. [30] Многообразие всех идемпотентных полуполей является наименьшим собственным многообразием идемпотентных полутел.

Теорема остается верной и для решетки всех многообразий полутел.

3.8. Однопорожденные полуполя

Они изоморфны факторполуполям полуполя рациональных дробей (}+(ж).

3.8.1. Простейшими из них являются циклические полуполя - полуполя с циклической мультипликативной группой.

Теорема. [12] Любое нетривиальное циклическое полутело изоморфно идемпотентному полуполю ({2к : к Е й},тах, •) = (й, тах, +).

3.8.2. В [39,40] описаны однопорожденные полуполя со свойствами идемпотентности и сократимости.

3.9. Дистрибутивные полутела

Класс дистрибутивных полутел достаточно широк. Ему принадлежат все идемпотентные полутела, полутела с конечным множеством конгруэнций (теорема 2.3.4), цепные полутела. Цепным полуполем будет, например, полуполе (*М)+ положительных элементов нестандартного расширения поля М; в этом полуполе нет максимальных ядер. Заметим, что в цепных полутелах все собственные ядра неприводимы. Собственные ядра дистрибутивных полутел являются пересечениями неприводимых ядер.

3.9.1. Полутело, все главные ядра (все ядра) которого дополняемы, назовем бирегулярным (булевым).

Теорема. [22] Любое бирегулярное полутело дистрибутивно, каждое его неприводимое ядро Р максимально и совпадает с Ор.

Нетрудно показать, что конечнопорожденные ядра бирегулярных полутел являются главными ядрами.

3.9.2. Дистрибутивное полутело II назовем: слабо риккартовым, если из (а) П(Ь) = {1} следует (а)*(Ь)* = II для любых а,Ь е II; риккартовым, если для любого а £ II ядро (а)* дополняемо в СопII; бэровским, если псевдодополнение любого ядра в II дополняемо. Некоторые общие свойства дистрибутивных, слабо риккартовых и риккартовых полутел получены в [22], например:

Предложение. Дистрибутивное полутело II слабо риккартово тогда и только тогда, когда для любого неприводимого ядра Р в II ядро Ор псевдонеприводимо: если А Г) В = {1} при А, В е Соп и, то А С Р или ВСР.

Заметим, что бирегулярные полутела являются риккартовыми, а они, в свою очередь, слабо риккартовы.

3.9.3. Класс дистрибутивных полутел замкнут относительно взятия гомоморфных образов и конечных прямых произведений. Последнее вытекает из следующего результата А. Н. Семенова [43]:

Теорема. Решетка ядер прямого произведения конечного числа полутел изоморфна прямому произведению решеток ядер сомножителей.

3.9.4. Из утвержденией 2.2.7, 2.2.8, 3.4.1 и 3.4.2 вытекают:

Теорема. [54] Если полутело II имеет дистрибутивное ядерное подполутело, то само II дистрибутивно.

Следствие. [54] Дистрибутивность любого полуполя равносильна дистрибутивности его подполуполя (2).

3.10. Редуцированные ограниченные полутела5

Пусть и - произвольное редуцированное ограниченное полутело. Можно считать, что II вложено в свое кольцо разностей Я = II(II) :

II — II = -К, являющееся редуцированным кольцом, то есть кольцом без ненулевых нильпотентных элементов. Как указано в теореме 3.4.2,

отображения 7 : IdR —У ConU и 8 : ConU —У Id-К устанавливают изоморфизм решеток IdR и Conf/, где 7(/) = (I + 1) П U для всех / £ IdR и 8(A) = (А — 1)17 для всех А £ Conf/.

3.10.1. Для любого неприводимого идеала Р редуцированного кольца Т с единицей равносильны следующие условия:

1) Р - минимальный неприводимый идеал;

2) Р - минимальный первичный идеал;

3) Р = Ор.

3.10.2. Изоморфизмы 8 и 7 сохраняют неприводимость и конечную порожденность ядер и идеалов - элементов решеток ConU и IdR соответственно. Заметим, что конечнопорожденные ядра (идеалы) полутела U (кольца R) суть в точности компактные элементы алгебраической решетки ConU (Id/?) [1].

Предложение. Неприводимые спектры полутела U и его кольца разностей R канонически гомеоморфны: Sp(£7) ~ Sp(R).

3.10.3. Многие свойства редуцированных ограниченных полутел выражаются на языке их колец разностей.

Предложение. Для любых А, В е ConU, I,Je ИД, u,v е U выполняются следующие соотношения:

А п В = {1} ^ 8

I* = Ann/ = {г 6 R : г/ = {0}} и ¿

Апп

¿

8

П{Ор : Р е Sp

Из предыдущих предложений выводятся следующие утверждения:

3.10.4. Если каждое конечнопорожденное ядро полутела U является главным ядром, то и все конечнопорожденные идеалы его кольца разностей - главные.

3.10.5. Минимальность неприводимого ядра Р полутела U эквивалентна равенству Р = Ор.

3.10.6. Для любого неприводимого ядра Р полутела U факторколь-цо R/Os(p) служит кольцом разностей факторполутела U/Ор, полу-тело U/Ор редуцировано, ограниченно и Ор/оР = {1} -

3.10.7. Полутело и является подпрямым произведением семейства редуцированных ограниченных полутел 11/Ор (Р £ 8р(17)).

4. По л у по ля непрерывных положительных функций

Подробнее рассмотрим сравнительно новый объект функциональной алгебры - полуполя II(X) и 11^(Х) непрерывных положительных функций, заданных на произвольном топологическом пространстве X. Классическим объектом функциональной алгебры является кольцо С(Х) всех непрерывных вещественных функций на X [9,70]. Кольцо С(Х) служит кольцом разностей полуполя и(Х). Систематическому изучению полуколец (7+(Х) и С^(Х) непрерывных неотрицательных функций на X посвящены диссертации [7,36,45,62]. Исследование полуполей и(Х) и иу(X) начато в [11], продолжено в [8,35,41,46,61,66]. Отметим некоторые новые результаты (частично содержащиеся в [26,60]), полученные после выхода в свет обзора [14].6

4.1. Продолжение конгруэнций7

Дадим решение задачи о продолжаемости конгруэнций полуполя 17 (X) (полуполя 17У(Х)) на полукольцо С+(Х) (полукольцо С^(Х)).

4.1.1. Соп£/у(Х) С СопЩХ).

4.1.2. Отображение ограничения конгруэнций полукольца С+(Х) (С'У(Х)) на полуполе и(Х) (11У(Х)) является гомоморфизмом решеток.

4.1.3. Для произвольного ядра К полуполя 17У(Х) введем на полукольце Су (X) бинарное отношение р(К): /р(К)д означает, что дк < / < дт для подходящих к,т е К(/, д € СУ(Х)).

Теорема. Для любого ядра К полуполя 17У(Х) отношение р(К) является наименьшей среди конгруэнций р на полукольце Су (X) со свойством К С [1 ]р, более того, [1 ]Р(к) - К.

4.1.4. По каждому ядру К полуполя 17 (X) зададим на полукольце С+(Х) бинарное отношение а (К) следующим образом: а(К)д

/гщ + ••• + /п^п = дгщ + ••• + дтУт, / = Л + ••• + /п и д = д\ + + 9т

для некоторых Щ,...,ип,У 1,...,ут е к и /ь ...,и,ди—,дт е С+(Х).

Теорема. Для любого ядра К полуполя и(Х) отношение а (К) является наименьшей конгруэнцией на полукольце С+(Х), склеивающей ядро К, причем [1]<т(^) = К.

6Полные версии в [101, 103, 107].

7См. [103].

4.1.5. Из утверждений 4.1.2 и 4.1.3 получаем:

Теорема. Решетка Сопиу (X) является ретрактом решетки СопСх/(Х); а решетка Соп17(Х) есть гомоморфный образ решетки Соп(7+(Х).

4.1.6. Как и для полуполей и(Х) [46] справедлива

Теорема. Максимальные ядра полуполя 17У(Х) совпадают с ядрами 7(М) = (М + 1) П и(Х) для идеалов М кольца С(Х), таких, что С{Х)/М^Ж.

4.2. Ядра полуполей 11(Х) и 11''/(Х)8

В этом пункте дается характеризация ряда свойств произвольного топологического пространства X в терминах ядер полуполей непрерывных положительных функций над X.

Напомним необходимые топологические понятия [64,70]. Нуль-мно-жеством на пространстве X называется прообраз 0 некоторой функции из С(Х). Топологическое пространство X называется: псевдо-компактным, если все функции из С(Х) ограниченные; ¥-пространством, если конечнопорожденные идеалы кольца С(Х) главные; Р-пространством, если кольцо С(Х) регулярно по Нейману; базис-но несвязным (экстремально несвязным), если внутренности нульмножеств (замкнутых множеств) пространства X замкнуты; тихоновским, когда оно вполне регулярно и хаусдорфово.

4.2.1. Характеризации псевдокомпактных пространств.

Теорема. Эквивалентны следующие условия:

1) и(Х) (равносильно, 17У(Х)) - полуполе с образующей;

2) и(Х) - ограниченное полуполе;

3) все конгруэнции на и(Х) идеальные;

4) любое собственное ядро полуполя и(Х) (равносильно, полуполя 17У(Х)) содержится в некотором его максимальном ядре;

5) пространство X псевдокомпактно.

Отметим, что эквивалентность 2)<ФФЗ) есть частный случай теоремы

3.4.2.

4.2.2. Характеризации Р-пространств.

Теорема. Равносильны следующие утверждения:

1) Сопи(Х) = Сопиу{Х);

2) полуполе и(Х) дистрибутивно;

3) СопС+(Х) С Соп(7у(Х);

4) полуполе 11(Х) (равносильно, 11У(Х)) слабо риккартово;

5) конечнопорожденные ядра полуполя и(Х) - главные;

6) пересечение любых двух главных ядер в и(Х) - главное ядро;

7) (и V и-1) = (и) для всех и е II;

8) X - Г-пространство.

Заметим, что для идемпотентных полуполей, в частности для 11У(Х), утверждения 2), 5) и 6) являются теоремами.

4.2.3. Характеризации Р-пространств.

Теорема. Равносильны следующие условия:

1) Соп(7+(Х) = СопСУ{Х);

2) Соп(7у(Х) С СопС+(Х);

3) X - Р-пространство.

4.2.4. Критерий базисной несвязности топологического пространства.

Теорема. Полуполе 11{Х) (равносильно, 11У{Х)) риккартово тогда и только тогда, когда пространство X базисно несвязно.

4.2.5. Критерий экстремальной несвязности топологического пространства.

Теорема. Полуполе II(X) (равносильно, 1!У(Х)) является бэров-ским тогда и только тогда, когда пространство X экстремально несвязно.

4.2.6. Характеризации конечных пространств.

Теорема. Для любого тихоновского пространства X эквивалентны следующие утверждения:

1) полуполе 17(Х) (равносильно, 11У(Х)) булево;

2) полуполе 11(Х) (равносильно, 11У(Х)) бирегулярно;

3) для каждого и £ II справедливо равенство ((и + и~1)/2) = (и);

4) X конечно.

5. Пучки полу те л9

Приведем начальные понятия и факты о пучках полутел [21-24].

5.1. Определение пучка

Пучком полутел называется тройка (X, П,р), удовлетворяющая следующим условиям:

1) X и П - топологические пространства, называемые соответственно базисным и накрывающим пространствами пучка;

2) р : П —) X - локальный гомеоморфизм;

3) для каждой точки х Е X множество 11х = р~1(х) является полуте-лом, называемым слоем пучка в точке х\

4) операции полутел а непрерывны в П;

5) отображение, переводящее каждую точку х Е X в единицу 1Х Е С/ж, непрерывно.

Тогда

п = и^,

и мы говорим, что П - пучок полутел их над пространством X. Сечением пучка П над У С X называется любое непрерывное отображение в : У —) П, удовлетворяющее условию ров = 1 у. Сечения над X будем называть просто сечениями пучка П.

Множество Г = Г(Х, П) всех сечений пучка П с поточечно определенными операциями сложения и умножения сечений будет полутелом. Пучок П полутел их называется факторным, если для любых точки

х Е X и элемента и Е IIх существует сечение 8 Е Г, проходящее через

и : з(х) = и.

Для произвольной точки х X определим отображение пвычисления”

7ГЖ : Г —У их1 7гж(<§) = з(х) при всех 8 Е Г.

Очевидно, тгх есть гомоморфизм полутела сечений Г в полутело их и прообраз Т1~1(АХ) любого ядра Ах слоя \]х является ядром в Г.

Для точки х Е X и множества У С X через Гх и Гу обозначим следующие ядра полутела сечений Г:

Vх = {з Е Г : з(х) = 1 = 1Х Е 11х} и Гу = {5 Е Г : 8 = 1 на ¥} = П{ГЖ : х Е ¥}.

5.2. Пучки полутел над нульмерными пространствами

Рассмотрим свойства произвольного пучка П полутел 11х над нульмерным пространством X. То-пространство называется нульмерным, если открыто-замкнутые множества образуют в нем базу топологии.

5.2.1. Пучок П - факторный.

5.2.2. Для различных точек х, у Є X имеет место равенство Г0 • Iу = Г.

5.2.3. Если а - элемент ядра А полутела сечений Г(Х, П) пучка П и \¥ - открыто-замкнутое подмножество в X, то сечение

также принадлежит ядру А.

При доказательстве этого важного в техническом плане утверждения существенно используется техника агр-полуколец [23].

5.2.4. Если А е СопГ, то пх(А) е Соп 11х.

5.2.5. 7ГХ(АВ) = 1ГХ(А) • 7ГХ{В), 7ГЖ(А П В) = жх(А) П жХ(В) для всех А, В є Соп Г.

5.2.6. Можно дать пучковую характеризацию целого ряда свойств полутел.

Предложение. [23] Полутело Г(Х, П) сечений пучка П полутел их над нульмерным пространством X коммутативно (идемпотент-но, сократимо, редуцированно) все слои 17х коммутативны (идем-потентны, сократимы, редуцированны).

5.2.7. Следующий важный результат показывает, что в случае нульмерного компакта X любое ядро А полутела Г (X, П) однозначно определяется своими проекциями 7ТХ(А).

Теорема. [23] Пусть А,В- произвольные ядра полутела сечений Г(Х, П) пучка полутел над нульмерным компактом X. Тогда А = В в том и только в том случае, когда жХ{А) = жХ(В) для всех х € X.

В случае конечного дискретного пространства X = {1,...,п} имеем Г(Х, П) = Пх х ... х ип. Поэтому следствием теоремы 5.2.7 служит теорема 3.9.3:

Соп(С/х х ... х ип) = Соп 11\ х ... х Соп£7п.

а на \¥,

1 на Х\Н"

5.3. Неприводимый и максимальный спектры полу-тела

Пространство Sp(U) всех неприводимых ядер иолутела U, рассматриваемое со стоуновской топологией, назовем неприводимым спектром полутела U. Его подпространство МаxU, состоящее из всех максимальных ядер, называется максимальным спектром полутела U. В теории пучковых представлений неприводимый спектр полутела заменяет понятие первичного спектра кольца.

Множества D(Ä) = {Р £ Sp(£7) : А <£. Р}, А £ Соп[/, объявляются открытыми в стоуновской топологии. Для элемента и £ U полагаем D(u) = D((u)). Ясно, что £>(1) = 0, D(U) = Sp(U) и Dfl] Л) = U£>(Л) для любого семейства ядер Ai полутела U. Для А, В 6 ConU выполняется равенство D(A П В) = D(A) П D(B). Тем самым, множества D(A) действительно дают топологию на множестве Sp(U). Множества D(u), и £ U, образуют базу стоуновской топологии на Sp(U). Аналогично вводится топология на множестве Maxi/. Получаем To-пространство Sp(£/) и Ti-пространство Ма xU.

С учетом теоремы 2.3.1 на основании [22] получаем:

Теорема. Для любого нетривиального полутела U эквивалентны следующие утверждения:

1) U - полутело с образующей;

2) неприводимый спектр Sp(£7) компактен;

3) максимальный спектр Ма xU компактен и каждое собственное ядро полутела U содержится в некотором его максимальном ядре.

Сформулированные утверждения показывают, что полутела с образующей служат определенным аналогом колец с единицей.

5.4. Компактные пучки

Пучок П полутел Ux над топологическим пространством X называется компактным, если: X - компакт; П - факторный пучок; Гж • = Г

для любых точек х ф у из X, где Г = Г(Х, П).

5.4.1. Свойства компактных пучков П полутел:

1. Для любых замкнутого множества Y в X, точки х £ Х\У и неприводимого ядра Р полутела Ux существует такое сечение s £ Г¥, что s(x) ф Р.

2. Всякий пучок полутел над нульмерным компактом компактен.

3. Если в полутеле сечений Г все собственные ядра лежат в максимальных ядрах, то Г¥ • Г2 = Г для любых непересекающихся замкнутых множеств Y и Z пространства X (Г-нормальность пучка П).

5.4.2. Доказательство указанного свойства 3 опирается на следующий принципиальный результат, являющийся аналогом классической теоремы Гельфанда-Колмогорова о строении максимальных идеалов колец С(Х):

Теорема. [23] Максимальные ядра полутела сечений Г(П,Х) всякого компактного пучка П полутел 11х суть в точности ядра вида

1,-НР) = {веГ:з(х)еР]

по всем точкам х е X и всем максимальным ядрам Р полутел их, причем различным парам (х,Р) отвечают различные ядра 7Г“1(Р). Если к тому же пространство X нульмерно, то это верно и для неприводимых ядер.

5.4.3. Полутело называется гельфандовым, если для любых его максимальных ядер М ф N найдутся такие и е М\N и » € N\М, что (и) П 0) = {1}.

Предложение. Максимальные спектры гельфандовых полутел хаусдорфовы, а каждое их неприводимое ядро может содержаться только в одном максимальном ядре.

5.4.4. Дистрибутивное полутело II с образующей назовем: сильно гельфандовым, если для любых различных М, N £ МахИ найдется дополняемое ядро в II, содержащееся в М, но не в ./V; локальным, если II обладает единственным максимальным ядром. Полуполе II(X) на любом нульмерном компакте X сильно гельфандово.

Теорема. [23] Для полутела сечений Г = Г(Х, П) любого компактного пучка П локальных полутел 11х справедливы следующие утверждения:

1) Г гельфандово;

2) сильная гельфандовость Г влечет нульмерность X;

3) если Г - полутело с образующей, то МахГ и X;

4) если Г обладает образующей, то из нульмерности X вытекает сильная гельфандовость Г.

5.4.5. Дополним предложение 5.2.6.

Теорема. [23] Полутело Г(Х, П) сечений пучка П полутел 11х над нульмерным компактом X дистрибутивно (ограниченно, зероидно) -ФФ-все слои 11х дистрибутивны (ограниченны, зероидны).

5.5. Аналог пучка Ламбека для полутел

Этот пучок строится для полутела и по открытому семейству его ядер Ор, Р Е Эр(?7). Семейство ядер Кх полутела [/, занумерованных точками х топологического пространства X, называется открытым, если для любого а Е II множество {х Е X : а Е открыто в X. Поэтому в рассматриваемых здесь полутелах множества Ор должны быть ядрами. Заметим, что по теореме 2.3.3 требуемым свойством обладают дистрибутивные полутела и редуцированные ограниченные полутела.

Предложение. Если множества Ор, Р Е Эр([/), являются ядрами полутела II, то существует факторный пучок Ь({7) полутел 1]¡Ор над неприводимым спектром Эр(£/).

Структурный пучок Ь(С/) - аналог пучка Ламбека для колец [82].

5.6. Аналог пучка Пирса для полутел

Для любого полутела II возьмем булеву алгебру В(II) всех дополняемых ядер в и и рассмотрим пространство М(II) всех ее максимальных идеалов со стоуновской топологией, то есть максимальный спектр Мах В(II). Если М - максимальный идеал булевой алгебры В([/), то УМ — йирМ в Сои II - это ядро полутела С/, являющееся объединением ядер из М. Ядро вида УМ является р-ядром, то есть оно не лежит ни в каком неравном ему собственном дополняемом ядре полутела.

5.6.1. При доказательстве следующей теоремы существенно используются структурная теорема и функциональное представление агр-полуколец с булевой решеткой идемпотентов [17].

Теорема. [24] Дизъюнктное объединение факторполутел II/ У М по р-ядрам УМ для всех М Е М(II) образует компактный пучок Р(II) над нульмерным компактом М({7).

Пучок Р(II) служит некоторым аналогом пучка Пирса для колец [85].

Следствие. Для любого полутела II семейство ядер УМ по всем М е М([/) открыто.

5.6.2. Возможно равенство УМ = и, тогда слой II/УМ тривиален. В следующем случае соответствующий слой будет нетривиальным. Пусть А - максимальное ядро полутела II, тогда М = {В £ В(?7) : В С А} £ М(и) и МА = УМ С А.

Предложение. Если Мах£7 Ф 0, то отображение (р : Мах£7 —> М([/)7 сопоставляющее каждому максимальному ядру А в II ядро Ма, непрерывно.

6. Функциональные представления полутел10

Изложим основные результаты о пучковых представлениях полутел. Функциональным (пучковым) представлением полутела U называется любой гомоморфизм а : U —у Г(Х, И) полутела U в полутело сечений некоторого пучка И полутел. Представление а называется точным, полным, изоморфным, если отображение а соответственно пнъектпвно, сюръективно, биективно.

Для открытого семейства К ядер Кх полутела U возьмем соответствующий пучок К(U) факторполутел U/Kx над пространством X и естественное отображение ^ : U —>> Г(Х, К({7), определяемое формулой:

а = аКж для всех а G !7и х £ X.

Получаем структурное пучковое представление ^ полутела U.

6.1. Представление Ламбека [21,23]

Представлением Ламбека полутела U назовем структурное функциональное представление полутела U в пучке L(U); при этом К = (Ор), Р <Е Sp(f/).

6.1.1. Полутело имеет точное представление Ламбека, если все его множества вида Ор суть ядра и каждое ядро обладает псевдодополнением. Это утверждение применимо к дистрибутивным полутелам и к редуцированным ограниченным полутелам.

6.1.2. Пучковая характеризация сильно гельфандовых полутел.

Теорема. Полутело U с образующей сильно гелъфандово -Ф^> U = Г(Х, П) для подходящего пучка П локальных полутел над нульмерным компактом X.

Для сильно гельфандова полутела U годится пучок L(f/) над Maxf/.

6.1.3. Если U - редуцированное ограниченное полутело, являющееся максимальным подполутелом своего кольца разностей, то U = r(Sp([/),L(C/)).

6.2. Представление Пирса [24]

Это структурное представление полутела U в пучке Р([/), здесь К =

(VM), М е щи).

6.2.1. Па основе теоремы 5.6.1 получаем:

Теорема. Представление Пирса всякого полутела изоморфно.

Следствие. Если множество дополняемых ядер полутела U конечно, то U изоморфно прямому произведению конечного числа неразложимых полутел.

6.2.2. Условие совпадения представлений Пирса и Ламбека.

Предложение. Если полутело U сильно гельфандово, то М(U) = МаxU, Р(U) = L(U) и представления Пирса и Ламбека для U совпадают.

Возникает вопрос: имеет ли место для сильно гельфандовых полутел вариант двойственности Малви [84] для гельфандовых колец?

6.3. Бирегулярные полутела

Они похожи по своим свойствам на бирегулярные кольца (отсюда и название). Любое бирегулярное полутело U дистрибутивно, пространство МаxU совпадает с Sp(£/) и является булевым, собственные ядра в U суть пересечения максимальных ядер, Op — Р и U/Op - простое полутело для каждого Р Е Sp(£/). Напомним, что нульмерные локально компактные пространства называются булевыми.

Применим к бирегулярным полутелам U пучковые представления Пирса и Ламбека. Начнем с представления Пирса. При любом М Е М(U) либо УМ — С/, либо ядро УМ максимальное. Отображение из предложения 5.6.2 является гомеоморфным вложением Ма xU в М (U). Отождествим Ма xU с плотным подпространством (^(Мах[/) пространства М (U).

6.3.1. М (U) есть компактификация булева пространства Ма xU для любого бирегулярного полутела U.

6.3.2. Пучковое описание бирегулярных полутел.

Теорема. [24] Произвольное полутело бирегулярно оно изоморфно полутелу Г(Х, 77) всех сечений некоторого пучка П простых и тривиальных полутел над нульмерным компактом X.

Для бирегулярного полутела U можно взять X = М(U) и П = Р(U).

6.3.3. Для бирегулярного полутела U с образующей пучок Р(U) ха-усдорфов, то есть его накрывающее пространство хаусдорфово.

Теорема. [21] Полутело с образующей бирегулярно оно изоморфно полутелу всех сечений некоторого (равносильно, некоторого хаусдорфова) пучка простых полутел над нульмерным компактом.

6.3.4. Разложимость бирегулярных полутел.

Теорема. [21] Любое бирегулярное полутело разлагается в прямое произведение однозначно определенных бирегулярного идемпотентного полутела и бирегулярного ограниченного полуполя.

На основе теорем 6.3.2 и 6.3.3 получаются следующие результаты:

6.3.5. Критерий булевости полутела.11

Теорема. Булевостъ произвольного бирегулярного полутела U эквивалентна дискретности его максимального спектра MaxU. При этом М(£7) служит стоун-чеховской компактификацией дискретного пространства МаxU : М(?7) ~ ßMaxU.

Следствие. Бирегулярное полутело с образующей булево -ФФ* оно изоморфно прямому произведению конечного числа простых полутел.

6.3.6. Характеризация бэровости.

Теорема. Для того чтобы бирегулярное полутело с образующей было бэровским, необходимо и достаточно, чтобы его максимальный спектр был экстремально несвязным пространством.

6.3.7. Рассмотрим теперь пучок Ламбека L(?7) бирегулярного полутела U. Базисные множества D(a) = {Р £ Sp(£7) : а ^ Р}, а £ U, спектра Sp(C7) = Max.ll компактны и открыто-замкнуты. Напомним, что носителем сечения s £ Г(Х, И) называется замкнутое подмножество supps = {ж £ X : s(x) Ф 1} в X. Обозначим через Г00(Х, П) множество всевозможных сечений s пучка П с компактным носителем supps. Множество Гоо(Мах£/, L(?7)) является ядерным подполутелом полутела Г(Мах[/, L(f/)) всех сечений хаусдорфова пучка L(U) простых полутел U/Р над булевым пространством Ма xU. Имеем suppä = D(a) для всех а £ U. Равенство Г0о(МахС/, L(C/)) = Г(Мах[/, L(C/)) эквивалентно наличию образующей у полутела U. Если U не имеет образующей, то MaxU не компактно, значит, не компактно и множество M&xU\D(2) = {Р £ MaxU : U/P — идемпотентное полутело}. В этом случае почти все слои пучка Ламбека идемпотентны и факторполутело Г(МахС/, Ь([/))/Гоо(Мах[/, L(C/)) нетривиально и идемпотентно.

Имеет место аналог теоремы Даунса-Гофмана [67]:

Теорема. Полутело U бирегулярно ^ U = Г00(Х,П) для некоторого (хаусдорфова) пучка П простых полутел над булевым пространством X.

В доказательстве =>* применяется представление Ламбека.

ЗАМЕЧАНИЕ. Категория всех бирегулярных полутел и их гомоморфизмов двойственна категории всевозможных хаусдорфовых пучков простых полутел над булевыми пространствами с гомоморфизмами пучков в качестве морфизмов. В терминах этих категорий можно характеризовать те или иные свойства бирегулярных полутел и булевых пространств.

Заключение: проблемы и перспективы

Мы видим, что теория полутел прошла начальный этап своего развития - становление. Появились свои специфические, оригинальные идеи и методы исследования полутел: метод соответствий между ядрами полутел а и идеалами его кольца разностей, метод главных ядер, техника агр-полуколец, расширения полутел, понятия строгого уравнения и его дифференциала, рассмотрение 0-компонент неприводимых ядер, пучковые представления и др. Анализируя накопленный материал о полу-телах, можно выделить некоторые, как нам представляется, перспективные направления дальнейших исследований.

Во-первых, систематическое изучение полуполей, включающее в себя следующие темы. Описание конечнопорожденных полуполей. Это нетривиальная, но реальная задача, решение которой поможет лучше разобраться в устройстве полуполей.

Классификация числовых полуполей - подполуполей поля комплексных чисел. Она тесно связанная с теорией многочленов и расширений сократимых полуполей, начало которой положено в [78] и диссертации И. И. Богданова [4]. Естественно поставить вопросы: когда числовое кольцо служит кольцом разностей полуполя? Что представляет собой множество таких полуполей?

Во-вторых, построение общей теории полутел. Выяснение строения свободных полутел. Понимание строения свободных полутел с двумя и более свободными образующим позволит строить полутела с различными наперед заданными свойствами.

Проблема абстрактной характеризации решеток Соп[/ ядер полутел. В частности, всякая ли конечная дистрибутивная решетка изоморфна решетке вида Сопи (II - полутело)? Заметим, что эта проблема решается положительно и для решеток II [27], и для групп II [86], но далеко не любая конечная дистрибутивная решетка служит решеткой ядер идемпотентного полуполя [1]. Булеаны и алгебраические цепи также изоморфны решеткам ядер полутел.

Полумодули над полутелами: линейная алгебра, гомологические вопросы. Свойства полумодулей над полутелом мало похожи на свойства векторных пространств. Вызывает интерес круг вопросов об описании свойств полутел в терминах категории полумодулей над ними. Заметим, что теорией матриц над полукольцами занимается А. Э. Гутер-ман (МГУ). Гомологические свойства полуколец изучаются более десяти лет. Назовем новые работы С. Н. Ильина (Казанский университет) [29] и Е. Кацова (США) [80]. Полумодули над идемпотентными полупо-лями изучаются в школе академика В. П. Маслова (скажем, в [28, 47]). В [15] показано, что всякий полумодуль над полутелом с нулем является расширением сократимого полумодуля с помощью идемпотентного полу модуля.

Изучение многообразий и квазимногообразий полутел. Как устроена решетка многообразий (квазимногообразий) всевозможных полутел? полуполей? Мы отмечали, что многообразие идемпотентных полуполей служит наименьшим ненулевым элементом (единственным атомом) решетки всех многообразий полутел.

В-третьих, функциональное представление полутел. Построение новых структурных пучков полутел. Получение характеризаций различных свойств полутел в терминах их структурных пучков. Установление связей пучков полутел с вопросами логики и теории моделей; их применение в теории полутел. Функциональный подход инициирует и стимулирует структурный анализ отдельных классов полутел: дистрибутивных, гельфандовых, бирегулярных, риккартовых, ограниченных, идемпотентных и др. На этом пути можно ждать новых результатов и в теории решеточно упорядоченных групп.

Наконец, представляется интересным и важным исследование конечных алгебраических объектов, близких к полу те лам (конечные полутела тривиальны). Например, описание конечных пполутелп с некоммутативным сложением. Решение такой задачи найдет применение в теории кодирования, криптографии.

Дальнейшие исследования по структурной теории полутел, безусловно, будут способствовать развитию общей теории полуколец, обогащению абстрактной алгебры и расширению ее приложений.

Литература

1. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984.

2. Богданов И. И. Алгебраические расширения полуполей // Успехи математических наук. 2004 Т- 59. Вып. 1. С. 181-182.

3. Богданов И. И. Об аддитивной структуре полутел // Вестник Моск. ун-та. Сер.1, Математика. Механика. 2004 № 1- С. 48-50.

4. Богданов И. И. Полиномиальные соотношения в полукольцах. Дис. ... канд. физ.-матем. наук. Москва: МГУ, 2004.

5. Бредон Г. Теория пучков. М.: Наука, 1988.

6. Варанкина В. И. Максимальные идеалы в полукольцах непрерывных функций // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1. № 4. С. 923-937.

7. Варанкина В. И. Максимальные идеалы и делимость в полукольцах непрерывных функций. Дис. ... канд. физ.-матем. наук. Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1996.

8. Варанкина В. И., Вечтомов Е. М., Семенова И. А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы, конгруэнции // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. № 2. С. 493-510.

9. Вечтомов E. М. Кольца непрерывных функций на топологических пространствах. Избранные темы. М.: Моск. пед. гос. ун-т, 1992.

10. Вечтомов E. М. Функциональные представления колец. М.: Моск. пед. гос. ун-т, 1993.

11. Вечтомов E. М. О конгруэнциях на полутелах //Материалы международной конференции "Проблемы алгебры и кибернетики", посвященной памяти академика С. А. Чунихина. Гомель, 1995. С. 38-39.

12. Вечтомов E. М. Введение в полукольца. Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 2000.

13. Вечтомов E. М. О свойствах полутел // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. 2001. Вып. 3. С. 11-20.

14. Вечтомов E. М. Полукольца непрерывных отображений // Вестник ВятГГУ. 2004 №10. С. 57-64 (при поддержке гранта РФФИ 03-01-07005).

15. Вечтомов Е. М. О трех радикалах для полумодулей // Вестник ВятГГУ. 2005. № 13. С. Ц8-151.

16. Вечтомов Е. М. Функциональные представления полутел // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша. Тезисы докладов. М: МГУ,

2008. С. 58-60.

17. Вечтомов Е. М., Михалев А. В., Чермных В. В.

Абелево-регулярные положительные полукольца // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1997. Т. 20. С. 282-309.

18. Вечтомов Е. М., Ряттель А. В. Аддитивно идемпотентные по-луполя // Вестник ВятГГУ. 2002. № 7. С. 96-102.

19. Вечтомов Е. М., Старостина О. В. Структура абелеворегулярных положительных полуколец // Успехи математических наук. 2007. Т. 62. Вып. 1. С. 199-200.

20. Вечтомов Е. М., Старостина О. В. Обобщенные абелеворегулярные положительные полукольца // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. 2007. Вып. 7. С. 3-16.

21. Вечтомов Е. М., Черанева А. В. К теории полутел // Успехи математических наук. 2008. Т. 63. Вып. 2. С. 161-162.

22. Вечтомов Е. М., Черанева А. В. Неприводимые ядра полутел // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2008. Вып. 10. С. 25-31.

23. Вечтомов Е. М., Черанева А. В. Пучки полутел над нульмерным компактом // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2008. Вып. 10. С. 32-44

24. Вечтомов Е. М., Черанева А. В. Аналог пучкового представления Пирса для полутел // Современная математика и математическое образование, проблемы истории и философии математики. Международная научная конференция. Тамбов, 2008. С. 24~27.

25. Вечтомов Е. М., Черанева А. В. О свойствах полутел // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша. Тезисы докладов. М: МГУ, 2008. С. 56-57.

26. Вечтомов Е. М., Чупраков Д. В. Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций и F-пространства // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. 2008. Вып. 8. С. 15-26.

27. Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982.

28. Дудников П. И., Самборский С. Н. Эндоморфизмы полумо-дулей над полукольцами с идемпотентной операцией // Известия РАН. Серия математическая. 1991. Т. 55. № 1. С. 93-109.

29. Ильин С. Н. О применимости к полукольцам двух теорем теории колец и модулей // Математические заметки. 2008. Т. 83. Вып.

4. С. 536-544.

30. Копытов В. М. Решеточно упорядоченные группы. М.: Наука, 1984.

31. Литвинов Г. Л., Маслов В. П., Шпиз Г. Б. Линейные функционалы на идемпотентных пространствах. Алгебраический подход // Доклады РАН. 1998. Т. 363. № 3. С. 298-300.

32. Лукин. М. А. Дизъюнктное полукольцевое объединение кольца и полутела // Чебышевский сборник. 2005. Т. 6. Вып. 4(16). С. 126-135.

33. Маслов В. П., Колокольцов В. Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Наука, 1994.

34. Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. В 2-х т. М.: Наука, Т. 1, 1990; Т. 2, 1991.

35. Подлевских М. Н. Замкнутые конгруэнции на полукольцах непрерывных функций // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. № 3. С. 947-952.

36. Подлевских М. Н. Полукольца непрерывных функций с топологией поточечной сходимости. Дис. ... канд. физ.-матем. наук. Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1999.

37. Полин С. В. Простые полутела и полуполя // Сибирский математический журнал. 1974- Т. 15. № 1. С. 90-101.

38. Ряттель А. В. О линейно упорядоченных полутелах // Вестник Вятского гос. пед. ун-та. 2000. № 3-4 С. 178-182.

39. Ряттель А. В. Однопорожденные полукольца с делением // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. 2002. № 4-С. 39-45.

40. Ряттель А. В. Положительно упорядоченные полутел а. Дне. ... канд. физ.-матем. наук. Киров: ВятГГУ, 2002.

41. Семенов А. Н. О подалгебрах полуколец непрерывных функций // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. 1998. Вып. 1. С. 83-90.

42. Семенов А. Н. О строении полутел // Вестник ВятГГУ. 2003. № 8. С. 105-107.

43. Семенов А. Н. О решетке конгруэнции полутел // Вестник ВятГГУ. 2003. № 9. С. 92-95.

44. Семенов А. Н. Порядки на полуполях // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2004 Вып.

6. С. 77-92.

45. Семенова И. А. Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций. Дис. ... канд. физ.-матем. наук. Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1998.

46. Семенова И. А. Максимальные конгруэнции на полуполе непрерывных положительных функций // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6. Ms 1. С. 305-310.

47. Сергеев С. Н. Идемпотентные аналоги теорем отделимости и образующие идемпотентных полумодулей. Автореферат дис. ... канд. физ.-матем. наук. - М.: МГУ, 2008.

48. Старостина О. В. Строение абелево-регулярных положительных полуколец // Чебышевский сборник. 2005. Т. 6. Вып. 4 (16). С. Ц2-151.

49. Старостина О. В. Функциональное представление абелеворегулярных положительных полуколец // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2007. Вып.

9. С. 70-75.

50. Старостина О. В. Абелево-регулярные положительные полукольца. Дис. ... канд. физ.-матем. наук. - Киров: ВятГГУ, 2007.

51. Черанева А. В. О сократимых конгруэнциях на полутелах // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2005. Вып.

3. С. 160-163.

52. Черанева А. В. О конгруэнциях на полутелах // Чебышевский сборник. 2005. Т. 6. Вып. 4(16). С. 164~171.

53. Черанева А. В. О главном ядре, порожденном 2 // Математический вестник педвузов и ниверситетов Волго-Вятского региона. 2006. Вып. 8. С. 120-125.

54. Черанева А. В. О дистрибутивности полутел // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. Т. 1.0рел, 2006. С. 198-200.

55. Черанева А. В. Кольцо разностей полутела // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2007. Вып. 4 С. 205-207.

56. Чермных В. В. Полукольца. Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1997.

57. Чермных В. В. О полноте пучковых представлений полуколец // Фундаментальная и прикладная математика 1996. Т. 2, № 1. С. 267-277.

58. Чермных В. В. Полукольца сечений пучков // Вестник ВятГГУ. 2005. Же 13. С. 151-158 (при поддержке гранта РФФИ 03-01-07005).

59. Чермных В. В. Функциональные представления полуколец и по-лумодулей. Дис. ... докт. физ.-матем. наук. Киров: ВятГГУ, 2007.

60. Чупраков Д. В. О главных ядрах полуполей непрерывных функций // Современная математика и математическое образование, проблемы истории и философии математики. Международная научная конференция. Тамбов, 2008. С. 33-36.

61. Широков Д. В. Условия дистрибутивности решетки конгруэнции полуполя непрерывных положительных функций // Вестник ВятГГУ. 2003. № 8. С. 137-140.

62. Широков Д. В. Идеалы в полукольцах непрерывных функций. Дис. ... канд. физ.-матем. наук. Киров: ВятГГУ, 2005.

63. Шпиз Г. Б. Решение алгебраических уравнений в идемпотентных полуполях // Успехи математических наук. 2000. Т. 55. Вып. 5. С. 185-186.

64. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

65. Applications of sheaves. Lect. Notes Math. № 753. Springer-Verlag, 1979.

66. Artamonova I. I., Chermnykh V. V., Mikhalev A. V., Varankina V. I., Vechtomov E. M. Semirings: sheaves and continuous functions // Semigroups with applications, including semigroup rings. Sankt-Peterburg. 1999. P. 23-58.

67. Dauns J., Hofmann K. H. The representation of biregular rings by sheaves // Math. Z. 1966. V. 91. № 2. P. 103-123.

68. Davey B. A. Sheaf spaces and sheaves of universal algebras // Math. Z. 1973. V. 134. № 4. P. 275-290.

69. Dedekind R. Uber die Theorie ganzen algebraischen Zahlen. Supplement XI to P. G. Lejeune Dirichlet: Vorlesungen Uber Zahlentheorie, 4 AnfL, Druck und Verlag. Braunschwieg, 1894.

70. Gillman L., Jerison M. Rings of continuous functions. N.Y.: Springer-Verlag, 1976.

71. Glazek K. A Guide to the Literature on Semirings and Their Applications in Mathematics and Information Sciences: With Complete Bibliography. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht-Boston-London, 2002.

72. Golan J. S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics. V. 54. 1991.

73. Golan J. S. Semirings and Their Applications. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht-Boston-London, 1999.

74. Hebisch U., Weinert H. J. Semirings and semifields // in M. Hazewinkel (ed.): Handbook of Algebra, vol. I. North-Holland, Amsterdam. 1996. P. 4^5-462.

40

BenTOMOB E.M.

75. Hebisch U., Weinert H. J. Semirings. Algebraic theory and applications in computer science. World Scientific Publishing. Singapore, 1998.

76. Hilbert D. Uber den Zahlbergriff // Jahresber. Deutsch. Math. Verein, 1899. V. 8. P. 180-184.

77. Hutchins H. Division semirings with 1+1=1 // Semigroup forum. 1981. V. 22(2). P. 181-188.

78. Hutchins H. C., Weinert H. J. Homomorphisms and kernel of semifields // Periodica Mathematica. 1990. V. 21(2). P. 113-152.

79. Idempotent Analysis. Adv. Sov. Math. V. 13. Eds. V.P. Maslov, S.N. Samborskii. Providence, R.I.: AMS, 1992.

80. Katsov Y. Toward homological characterization of semirings: Serre‘s conjecture and Bass‘s perfectness in a semiring context // Algebra Universais. 2004 V. 52. P. 197-214-

81. Keimel K. The representation of lattice ordered groups and rings by sections in sheaves. Lect. Notes Math. № 248. Springer-Verlag, 1971.

82. Lambek J. On representation of modules by sheaves of factor modules // Can. Math. Bull. 1971. V. 14. № 3. P. 359-368.

83. Mitchell S., Sinutoke P. The theory of semifields // Kyungpook Math. J. 1982. V. 22. P. 325-347.

84. Mulvey C. J. A generalization of Gelfand duality // J. Algebra. 1979. V. 56. № 2. 499-505.

85. Pierce R. S. Modules over commutative regular rings // Mem. Amer. Math. Soc. 1967. P. 1-112.

86. Silcock H. L. Generalized products and the lattice of normal subgroups

of a group // Algebra Universalis. 1977. V. 7. P. 361-372.

87. Vandiver H. S. Note on a simple type of algebra in which cancellation

law of addition does not hold // Bull. Amer. Math. Soc. 1934 V. 40. P. 914-920.

88. Vechtomov E. M. Rings and sheaves // J. Math. Sciences (USA).

1995. V. 74. № 1. P. 749-798.

89. Weinert H. J. Über Halbring und Halbkörper. I // Acta Math. Acad. Sei. Hung. 1962. V. 13. № 3~4. S. 365-378.

90. Weinert H. J. Uber Halbring und Halbkörper. II // Acta Math. Acad. Sei. Hung. 1963. V. Ц. № 1-2. S. 209-227.

91. Weinert H. J. Uber Halbring und Halbkörper. III // Acta Math. Acad. Scient. Hung. 1964- V. 15. № 1-2. S. 177-194.

92. Weinert H. J. Ein Struktursatz für idempotente Halbkörper // Acta Math. Acad. Sei. Hung. 1964- V. 15. № 3~4. S. 289-295.

93. Weinert H. J., Wiegandt R. R. A Kurosh-Amitsur radical theory for proper semifields // Comm. Algebra. 1992. V. 20. № 8. P. 2419-2458.

Дополнительная литература

94. Вечтомов E. M. О пучковом представлении редуцированных ограниченных полутел // Информатика. Математика. Язык. Вып. 5. Киров, 2008. С. 158-161.

95. Вечтомов E. М. Бирегулярные полутела // Тезисы докладов Международной научно-образовательной конференции. М.: РУДН, 2009. С. 257-260.

96. Вечтомов E. М. Булевы полутела // Материалы Всероссийской конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Николая Адриановича Фролова. - Сыктывкар: СыктГУ, 2009. С. 88-91.

97. Вечтомов E. М. Теорема Даунса-Гофмана для бирегулярных полутел // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2009. Вып. 11. С. 49-64-

98. Вечтомов Е. М., Лукин М. А. Полукольца, являющиеся объединением кольца и полутела // Успехи математических наук. 2008. Т. 63. Вып. 6. С. 159-160.

99. Вечтомов Е. М., Черанева А. В. Полутела и их свойства // Фундаментальная и прикладная математика. 2008. Т. Ц. № 5. С. 3-54.

100. Вечтомов Е. М., Черанева А. В. Полутела с образующей // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2009. Вып. 3. С. 25-33.

101. Вечтомов Е.М., Чупраков Д.В. Главные ядра полуполей непрерывных положительных функций // Фундаментальная и прикладная математика. 2008. Т. 14- № 4• С. 87-107.

102. Вечтомов Е. М., Чупраков Д. В. Псевдодополнения в решетке конгруэнций полуколец непрерывных функций // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. 2009. Вып. 9. С. 3-17.

103. Вечтомов Е. М., Чупраков Д. В. О продолжении конгруэнций на полукольцах непрерывных функций // Математические заметки. 2009. Т. 85. Вып. 6. С. 803-816.

104. Лукин М. А. О полукольцевых объединениях кольца и полутела // Известия вузов. Математика. 2008. № 12. С. 76-80.

105. Лукин М. А. Полукольцевые объединения кольца и полутела. Дне. ... канд. физ.-матем. наук. - Киров: ВятГГУ, 2009.

106. Черанева А. В. Ядра и пучки полутел. Дис. ... канд. физ.-матем. наук. - Киров: ВятГГУ, 2008.

107. Чупраков Д. В. Условия дистрибутивности решеток конгруэнций полуколец непрерывных функций // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки.

2009. Вып. 3. С. 128-134.

108. Чупраков Д. В. Конгруэнции на полукольцах и полуполях непрерывных числовых функций. Дис. ... канд. физ.-матем. наук. - Киров: ВятГГУ, 2009.

109. Vechtomov Е. М. Semifields with distributive lattice of congruencies // 7-th International Algebraic Conference in Ukraine: abstracts of talks (18-23 August, 2009, Kharkov)/ ed. G.N. Zholtkevich. - Kiev, 2009. P. 146-147.

Summary

Vechtomov E. M. Structure of semifields

This work is an analytic scientific review over the theory of semifields, sponsored by grant RFBR № 08-01-11000-ано.

Вятский государственный

гуманитарный университет Поступила 15.10.2009