Исследование потерь мощности на моделях детерминированного хаоса в нелинейном элементе

Библиографический список

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П. ЛИон-кин.А.В.Нетушил, С.В.Страхов. -5-е изд., перераб. -М.:Энер-гоатомиздат, 1989. - С. 528.

2. Бессонов Л А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. — 7-е изд., перераб. и доп. —М.: Высш.шк., 1978. -С.528.

3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трехт. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. ЖуховицкийБ.Я., Не-гневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Не-линейныецепи. -М.:Энергия- 1972. -С.200.

4. ЧуаЛ.О., Лин Пен-Мин.Машинный анализ электронных схем: алгоритмы и вычислительные методы: Пер. с англ. — М.: Энергия, 1980. - С. 640.

РЫСЕВ Павел Валерьевич, ассистент кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий». ЯКУБОВИЧ Антон Андреевич, студент 5 курса ЭнИ, КОТЕЛЬНИКОВА Елена Владимировна, студентка 5 курса ЭнИ.

УДК 621317 Е. Ю. СВЕШНИКОВА

A.C. НИКИШКИН

Омский государственный технический университет

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОТЕРЬ МОЩНОСТИ НА МОДЕЛЯХ

ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА В НЕЛИНЕЙНОМ ЭЛЕМЕНТЕ_

В данной работе проводились исследования потерь мощности в нелинейном элементе термисторе в зависимости от вида режима. Были решены уравнения, описывающие динамику генератора Анищенко-Астахова. Вследствие особенностей режима хаотических колебаний (отсутствие периода) был применен для расчета потерь мощности метод трапеций. Осуществлены теоретические переходы из режима хаоса к режимам квазипериодических колебаний и выяснен ряд особенностей схемы, приводящей к снижению потерь мощности в режиме квазипериодических колебаний. Для расчетов был использован компьютерный математический пакет Math Cad 2001, а для их проверки программа схемотехнического моделирования Micro-Cap 7.0.

Введение

Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени, и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы и его называют законом эволюции. Динамические системы — это механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами. Описание динамических систем в смысле знания закона эволюции также допускает.большое разнообразие: оно осуществляется с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, с помощью теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы.

Математическая модель динамической системы считается заданной, если введены параметры (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции состояния во времени.

В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели. Исследование реальных систем идет по пути изучения соответствующих математических моделей, совершенствование и развитие которых определяется анализом экспериментальных и теоретических результатов при их сопоставлении. Исследуя одну и ту же динамическую систему, в зависимости от степени учета различных факторов мы получим различные математические модели.

Генератор Анищенко - Астахова

В качестве модели детерминированного хаоса исследовался генератор Анищенко-Астахова. Автоколебания в системе обеспечиваются введением в контур термистора Я(Т), свойства которого нелинейным

и инерционным образом зависят от протекающего через него тока. Схема генератора Анищенко- Астахова изображена на рис. 1. Уравнения для тока Щ) в контуре имеют вид:

Л dF

+

R(T) MS0

LC

(1С) - +L

, ÔR(T) dT ÔT dt

di dt +

г = 0,

где Б0 — крутизна характеристики усилителя, который предполагается линейным, М — взаимная индуктивность цепи обратной связи, ЩТ) — сопротивление термистора, зависящее от температуры Г, I и С — индуктивность и емкость в колебательном контуре.

Полагая зависимость ЩТ) линейной:

Л(7') = Л,, + LbT,

и считая, что процесс теплообмена подчиняется закону Ньютона:

pq~ + кБТ = R(T)i\

где q — удельная теплоемкость нити термистора, а р — ее масса, получаем замкнутую систему вида:

d i г. L-r^di .-dT

_ + «0< = о, - ЬТ)- - ы-,

dT ^ т ,TV2

— + уТ = а{ТУ, dt

где использованы обозначения:

LI

R

a^T7 Уснпггсль

M

Рис. 1. Электрическая схема генератора Анищенко-Астахова.

термин «терморезистор» применяется по отношению к чувствительным к температуре полупроводниковым устройствам. Терморезисторы с отрицательным ТКС изготавливаются из полупроводникового материала — спеченной керамики, изготовленной из смеси оксидов металлов.

Расчеты в Math Cad 2001 и Micro Cap 7.0

Данная схема была исследована в двух программах - Math CAD 2001 и Micro Cap 7.0. В MathCAD 2001 схема задана в виде системы уравнений (7), а в Micro Сар 7.0 собрана схема с реальными параметрами R(T), L,, L2, С,, R, и R2.

Расчет в Math Cad 2001

В MathCAD 2001 мощность, рассеиваемая в тер-мисторе, была выражена из системы уравнений:

D(t,x) =

«о + х, - Х0Х1

- х,

Ьх2 + х2(хи)2 где а = m, Ъ = g, х0 = л:, x, = у, хг = z.

(-J02

ц = a„S„M - RJL, со] = \!LC, у = klpq, a{T) = a0 + bLTI pq, a0 = R0/pq.

В безразмерных переменных:

x = ai, y = -x, z = bT/a0,

т = сой1, а = -\labpq / й)0к.

уравнения (4) принимают вид:

х = тх + у - хг, ш = = ©050Л/ - Л,,/«,,/,,

У = -х, г = у/й}0,

I = + 1Хг, х - сЬс^т.

В трехмерной двухпараметрической системе (7) параметр ш пропорционален разности вносимой и рассеиваемой в контуре энергий, д — параметр, характеризующий относительное время релаксации термистора.

Терморезистор - это устройство, сопротивление которого меняется с температурой. Правда, надо заметить, что не все устройства, изменяющие сопротивление с температурой, называются терморезисторами. Например, резистивные термометры, которые изготавливаются из маленьких катушек витой проволоки или из напыленных металлических плёнок, хотя их параметры и зависят от температуры, однако, I работают не так, как терморезисторы. Обычно

Р = z, + b

а{-у,) - х,

-У,

где = х2(х0)2 — мощность, рассеиваемая в тер-мисторе в ¡-й интервал, 1 = 30000.

На рис. 1 построен график р( = Ц^). Площадь под кривой будет равна суммарной мощности рассеиваемой в термисторе. Так как динамическим системам, демонстрирующим хаотические колебания присуще:

1. Наличие нелинейности;

2. Неустойчивость режима;

3. Сплошной спектр частот;

4. Отсутствие периода;

то воспользуемся методом трапеций для нахождения потерь:

z

0,016667,

где 0,016667 = 500/30000 - шаг.

Изменяя параметр а, мы изменяем вид колебаний в контуре: либо это хаотические колебания, либо квазипериодические. В зависимости от этого изменяется мощность, рассеиваемая в термисторе. Зависимость величины рассеиваемой мощности от параметра а показана на рис. 2.

Научасткахпри0<а<0,46и0,93<а<1 - наблюдается переходный режим; при 0,46<а<0,52,0,61 <п<0,93

Pi 0

1500

-jL

о too aoo 3oo

.0. t;

Рис. 2. Зависимость p,=f(t,).

400

500 500.

1 1 i i

-ui -hH-н-»- rU^L^ -1-1-r-  i JUvArvU^ i

0 0,44 0,61 0.93 l,0i 1,5 0,52 1

2,51

a

<1,5 S

Рис. 3. Зависимость потерь мощности от параметра а.

х, 0

Рис. 4. Квазипериодические колебания в генераторе .Анищенко-Астахова.

Рис. 6. Хаотические колебания в генераторе Анищенко-Астахова.

Рис. 5. Фазовый портрет системы.

Рис.7. Фазовый портрет системы.

R2 vW-

R1 —ЛЛЛ-

C1

X2

R("0

L1*'

K1

/ L2

Рис. 8. Модель генератора Анищенко-Астахова в Micro Cap 7.0.

Рис. 10. Потери мощности в термисторе в режиме хаотических колебаний.

и 1,08<а<2,51 — наблюдаются квазипериодические колебания; при0,52<а<0,61,1<а<1,08иа>2,51 — хаос.

На рис. 4 приведены графики зависимости тока и температуры в термисторе от времени при а = 2,1 и Ь = 0,6, что соответствует квазипериодическим колебаниям, а на рис. 5 фазовый портрет системы при тех же значениях а и Ь.

Приданных значениях а и Ь в генераторе Анищенко-Астахова колебания квазипериодические, так как изображающая точка образовала замкнутый многомерный тор.

На рис. 6 приведены графики зависимости тока и температуры в термисторе от времени при а = 3 и Ь = = 0,6, что соответствует хаотическим колебаниям, а на рис. 7 фазовый портрет системы при тех же значениях а и Ь.

Расчет в Micro Сар 7.0

В Micro Сар 7.0, рис. 8, изучалась зависимость вида колебаний от параметров схемы R(T), L,, L2, С,, R, и Rr

Параметры схемы находились экспериментально. При данных значениях наблюдаются хаотические колебания. Если величину емкости уменьшить получаем квазипериодические колебания. Изменение ёмкости соответствует изменение параметра а в программе Math Cad 2001.

Заключение

В результате исследований была найдена зависимость рассеиваемой мощности в активном нелиней-

ном элементе (термисторе) в электрической схеме — генераторе Анищенко-Астахова, от видов колебания в контуре. В зависимости от параметров схемы — R(T), L, С, а также m и g, которые мы можем изменять, в схеме меняется вид колебаний тока и напряжений. В данной схеме наблюдались либо хаотические, либо квазипериодические колебания тока и напряжений.

Расчеты в программе Math Cad 2001 показали, что с увеличением параметра а (параметр а пропорционален вносимой и рассеиваемой в контуре энергии) величина рассеиваемой в термисторе энергии возрастает. Поэтому необходимо подбирать параметры схемы так, чтобы избежать хаотических колебаний и таким образом снизить потери энергии на нелинейном элементе.

Расчет потерь активной мощности на термисторе в генераторе Анищенко-Астахова в Micro Сар 7.0 основан на экспериментально подобранных значениях параметров R(T), Lt, Lr С,, и Rv R2 — плечи линейного усилителя. В силу ограниченности программы Micro Сар 7.0 параметры схемы удалось подобрать только на интервале значений 0,52 < а < 0,93 (рис. 3).

Генератор Анищенко-Астахова является моделью детерминированного хаоса, полученные результаты имеют практическое значение, так как Терморезисторы широко применяются везде, и мы встречаемся с ними каждый день: на них основаны системы противопожарной безопасности, системы измерения и регулирования температуры, теплового контроля, схемы температурной компенсации, измерения мощности ВЧ. Также применение терморезисторы находят в промышленной электронике и бытовой

аппаратуре, в медицине, метеорологии, в химической и других отраслях промышленности.

Библиографический список

1. Анищенко B.C. Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора. Учеб.пособие. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 144с.

2. Берже К. Порядок в хаосе. — М.:Наука, 1991

3. Джонс М.Х. Электроника — практический курс. — М.: Постмаркет, 1999

4. Дьяконов В. MathCAD 2001: учебный курс. — СПб.:Питер, 2001. -624 с.

5. Разевиг В.Д. Система схемотехнического моделирования М1сго-Сар6. - М.: Горячая линия - Телеком, 2001. - 344 с.

6. Федоров В. К. Введение в теорию хаотических режимов нелиней ных электрических цепей и систем: Учеб. пособие /ОмПИ. Омск, 1992. - 44 с.

СВЕШНИКОВА Елена Юрьевна, преподаватель-стажер кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий».

НИКИШКИН Алексей Сергеевич, студент энергетического института, гр. Э-510.

УДК 621.317 Е. Ю. СВЕШНИКОВА

Д. М. ПОЛИТИКО

Омский государственный технический университет

ВЛИЯНИЕ РЕЗОНАНСА НА ПОТЕРИ МОЩНОСТИ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Статья посвящена исследованию особенностей диссипации энергии в различных режимах работы системы двух связанных идентичных осцилляторов. На примере двух связанных через резистор и емкость генераторов Чжу а проведен анализ устойчивости нелинейных электрических цепей и рассчитаны потери мощности, возникающие в линейных элементах в различных режимах работы системы. Осуществлены теоретические и экспериментальные переходы из режима хаоса к режимам периодических колебаний и выяснен ряд особенностей схемы, приводящей к снижению потерь мощности в режиме хаотических колебаний.

Введение

Начиная с времен Галилея и Ньютона современная физика проделала огромный путь по накоплению, систематизации, описанию и осмыслению фактов об окружающем мире. Описание обычно делалось на языке математики, и сама структура этого языка зачастую позволяла совершать новые открытия в реальном мире (что само по себе достаточно удивительно). За несколько столетий предсказательная роль физики стала настолько большой, что в настоящее время нерешаемых «счетных» задач практически не осталось — но крайней мере, с точки зрения принципиального понимания происходящих явлений — ни в механике, ни в классической электродинамике, ни в квантовой теории. Физика продолжает развиваться, и за последние десятилетия возрос интерес к таким ее новым областям, как синергетика, динамический хаос и самоорганизация. В этих ветвях физики зачастую используется оригинальный математический аппарат, а в сочетании с возрастающей мощностью компьютеров и возможностей «численного эксперимента» предсказательная сила их оказывается вполне «на уровне», наряду с традиционными физическими теориями.

Анализ процессов в динамических системах природного и искусственного происхождения позволил

обнаружить режимы их непредсказуемого (спонтанного) поведения, получивших название детерминированного хаоса. Структурная сложность, существенная нелинейность компонентов и связей и высокая энергоемкость современных технических систем обуславливают не только фундаментальный, но и прикладной интерес к подобного рода явлениям. Хаотические режимы могут быть как нежелательными, так и требуемыми технологическими процессами. Примерами желаемого хаотического поведения являются процессы в генераторах хаотических автоколебаний, технологии псевдосжижения, широко применяемые при сжигании топлива на электростанциях, сушке различных материалов, интенсификация химических реакций, защита и передача информации и др. Нежелательное хаотическое поведение объектов часто возникает в критических режимах, например, в летательных аппаратах, электронных устройствах, энергосистемах и т.д. В этой связи несомненную актуальность приобретает проблема управления хаосом в нелинейных динамических системах с целью упорядочения или, наоборот, хаоти-зации протекающих процессов.

Как показывает повседневный опыт, для многих физических систем малые изменения начальных условий приводят к малым изменениям результата. Так, например, путь автомобиля мало изменится, если руль лишь слегка поворачивать.