Точечная вихревая особенность в n-мерном пространстве

ТОЧЕЧНАЯ ВИХРЕВАЯ ОСОБЕННОСТЬ В N-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

© Брутян М.А,

*

Центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н.Е. Жуковского,

г. Жуковский

Представлен критический анализ работ, в которых делались попытки конструирования трехмерных вихревых особенностей в идеальной несжимаемой жидкости. Дано обобщение точечной вихревой особенности на N-мерное пространство и показано, что прямое обобщение двумерного точечного вихря Кирхгоффа возможно лишь в пространстве четного числа измерений.

Ключевые слова идеальная жидкость, вихревые течения, точечные особенности.

Изучение вихревых движений играет важную роль в понимании фундаментальных проблем гидродинамики, особенно наиболее загадочной из них -проблемы турбулентности. По образному выражению Кюхемана, вихри -это «мышцы и жилы гидродинамики». Достаточно упомянуть, что большинство реальных течений, связанных с явлением отрыва пограничного слоя и / или перехода к турбулентному движению, сопровождаются образованием завихренности [1-3].

В двумерном случае завихренность каждой жидкой частицы сохраняется и можно рассматривать модель, в которой лишь конечное число частиц являются завихренными. В этой модели завихренность а дается суммой двумерных точечных вихрей Кирхгоффа (дискретных вихрей), а именно

Здесь а - номер вихря с координатами xJt) и yJit), зависящими от времени t, а уа - независящая от времени интенсивность вихря с номером а. Уравнения движения Эйлера в этом случае, как известно, могут быть редуцированы к гамильтоновой системе

а=Е^

а

Фа С)Н

dt дха

с гамильтонианом H, равным

*

Ведущий научный сотрудник, доктор физико-математических наук, профессор.

Физико-математические науки

193

Данный факт, помимо прочего, позволил установить внутреннюю связь вихревой гидродинамики с другими разделами физики и прикладной математики, такими как теория динамических систем, двумерные кулоновские системы, сверхтекучие жидкости и т.д. Обзор на эту тему можно найти в работах [4, 5].

Естественно попытаться искать трехмерную вихревую особенность в виде, аналогичном плоскому случаю. Подобная попытка прямого обобщения двумерного точечного вихря на трехмерный случай была предпринята в работе [6]. Завихренность Q и поле скоростей V от изолированной особенности, названной в [6] вортоном, в безграничном пространстве даются выражениями:

Гу V

П = Г£(х), V =-—X

где Г - интенсивность вортона, помещенного в начало координат х = 0.

Однако, как известно, решение (2) имеет очевидный дефект, а именно divD. Ф 0.

Другая попытка сконструировать элементарную вихревую особенность была предпринята в работе [7]. Завихренность и скорость в ней определяются по формулам:

Q = Г£( x) +

3х (Г • x)- х2Г 4жх5

V =

Гх x 4жх3

Этот вортон выглядит более приемлемым, так как в смысле обобщенных функций он удовлетворяет уравнениям divQ. = 0 и Q = rotV. Однако, оба эти вортона имеют один общий недостаток, связанный с тем, что поле скоростей V в (2) и (3) не удовлетворяет уравнениям движения Эйлера. Действительно произвольное стационарное течение с осевой симметрией описывается уравнениями

Р2 =ф, dP = 0

r dr’ dz

Здесь (r, р, z) - цилиндрические координаты; (0, v, 0) - скорость; р -плотность; p - давление. Из (4) немедленно заключаем, что v = v(r) и p = p(r). Следовательно, поле скоростей v = v(r, z) от вортона

v = v

Г r

^Y++^f

не является решением уравнений движения (4). Интересно заметить, что в случае вязких течений, вортон является решением определяющих уравне-

194

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

ний Навье-Стокса. Физически это решение описывает поле скоростей около вращающейся сферы. Интенсивность вортона Г при этом равна 4жг3ю, где a - радиус сферы, со - угловая скорость вращения.

В ряде исследований [8-10] предлагается иной тип элементарной вихревой особенности, а именно - вихревой диполь. Завихренность и поле скоростей от изолированного вихревого диполя даются выражениями:

Q = d xVS,

V =

3( d  x)-x2d 4ax5

где d - интенсивность диполя.

Ясно, что поле скоростей (5) удовлетворяет уравнениям Эйлера, поскольку оно соответствует решению для дальнего поля целого ряда гидродинамических задач, например, задачи обтекания сферы или любого другого осесимметричного тела. Однако, самоиндуцированная скорость от диполя радиуса R пропорциональна d / R3 и стремится к бесконечности при стремлении R к нулю, так что приходиться констатировать, что концепция вихревого диполя также имеет внутренний дефект и приводит к нефизическому поведению.

Эти неудачные попытки наводят на мысль, что трехмерная элементарная вихревая особенность должна основываться на концепции десингулярных вихрей конечного размера. Одна из первых попыток в этом плане была предпринята в работе [11]. В этой работе авторы пытались смоделировать трехмерную изотропную турбулентность с помощью вихрей Хилла. Другие попытки, основанные на теории вихревых колец, содержатся, например, в работах [12-14]. Тем не менее, следует заметить, что полный анализ десингулярных моделей оказывается чрезвычайно сложным, так как он должен включать в себя описание эволюции внутренней структуры вихря. Эта задача представляется не менее сложной, чем прямое исследование исходных уравнений Эйлера. Некоторые десингулярные модели вихрей были успешно развиты лишь в двумерном случае (см. [15] и ссылки в ней).

В данной работе мы будем искать прямое обобщение точечного вихря Кирхгоффа и покажем, что оно возможно только в пространствах четного числа измерений. Для этой цели в пространстве произвольной размерности N рассмотрим N-мерный аналог точечного вихря Кирхгоффа. Поле скоростей в этом случае дается следующим выражением

V =-Ы")-‘ Егл

j

Здесь Г j - антисимметричная матрица интенсивности вихря; aN - площадь поверхности единичной сферы S4 в N-мерном пространстве, aN =

Физико-математические науки

195

= 2лл/2 / Г(Л / 2), где Г - гамма функция. В двумерном случае, N = 2, вихрь (6) переходит в классический вихрь Кирхгоффа (1). Численный множитель в правой части (6) выбран таким образом, чтобы матрица завихренности = 8 Vj — 8j V имела канонический вид

Цу = У( х).

Уравнение неразрывности, как нетрудно заметить, удовлетворяется ввиду антисимметричности матрицы Гу Выполнение уравнений Эйлера проще всего изучать в системе координат, в которой матрица Гу имеет следующий канонический вид:

Гу = diag

Гу = diag

f 0 Г|1 ' 0 [-4

1 1 j-i о J-.- 1—Гу 0 J

i i j-i 0 J ’-.

у—Г

,0

при N = 2q

при N = 2q +1

Несложный анализ показывает, что кососимметричный вид матрицы Гу с неизбежностью ведет к тому, что точечный вихрь (6) удовлетворяет уравнениям Эйлера лишь при N = 2q, т.е. в четномерном пространстве при дополнительном условии

Г = Г = = Г = Г

Г 1 Г 2 ... 1 N/2 1 .

Таким образом, поле скоростей V и давление p от обобщенного вихря Кирхгоффа даются выражениями

Г

(V2„_1,V2„ )=--N (—Х2И, Х2И_1) n = 1,...N/2

°NR

Р = Рос

Г2

2 N — 2

(у,л‘—')—2.

Можно выразить импульс Pt и момент Му системы из а обобщенных вихрей Кирхгоффа через их координаты xOt) и интенсивности Гуа(/). Для этого воспользуемся общими формулами для импульса

dNx

и момента

Pi = j VdNx = (N—1)—1

My = j (xiVj — xVi) Л = N—1 jf X хО-уЛ — xPikxk IdNN.

196

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

В результате получаем

P=( n-I)'1 ZZr:

а а VJ ’

Mv = n ZZ

а j

а к

В заключение заметим, что результаты данной работы и предшествующих работ других авторов позволяют с достаточной степенью определенности утверждать, что приемлемой трехмерной вихревой точечной особенности в идеальной несжимаемой жидкости не существует.

Список литературы:

1. Брутян М.А. Влияние вязкости на аэродинамические характеристики профиля при докритических скоростях // Труды ЦАГИ. - 1976. - Вып. 1752. -С. 1-17.

2. Брутян М.А. Влияние вязкости на аэродинамические характеристики профиля, обтекаемого несжимаемой жидкостью при больших числах Рейнольдса // Труды ЦАГИ. - 1974. - Вып. 1555. - С. 1-17.

3. Брутян М.А., Савицкий В.И. Влияние вязкости на безотрывное околозвуковое обтекание профиля // Ученые записки ЦАГИ. - 1977. - Т. VIII, № 5. - С. 24-29.

4. Aref H. Integrable, chaotic, and turbulent vortex motion in two-dimensional flows // Ann. Rev. Fluid Meach. - 1983. - V 15. - Р. 345-389.

5. Hasimoto H. Elementary aspects of vortex motion // Fluid Dyn. Res. -1988. -V 3. - Р. 1-8.

6. Saffman P.G. In: Transition and Turbulence. - Academic Press, 1981. -P. 149.

7. Новиков Е.А. Обобщённая динамика трёхмерных вихревых особенностей // ЖЭТФ. - 1983. - Т. 57. - С. 556-562.

8. Roberts P.H. A Hamiltonian theory for weakly interacting vortices // Mathematica. - 1972. - V 19. - Р 168-179.

9. Saffman P.G;, Meiron D.I. Difficulties with three-dimensional weak solutions for inviscid incompressible flow // Phys. Fluids. - 1986. - V. 29, № 8. -Р 2373-2375.

10. Чефранов С.Г. Динамика точечных вихревых диполей и спонтанные сингулярности в трехмерных турбулентных потоках // ЖЭТФ. - 1987. -Т. 93. - С. 151-159.

11. Singe J.L., Lin C.C. On a statistical model of isotropic turbulence // Transactions Royal Society of Canada, Sec. III. - 1943. - Р. 45-79.

12. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Движение системы вихревых колец в несжимаемой жидкости // ПММ. - 1984. - Т. 48. - С. 503-506.

Физико-математические науки

197

13. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Гамильтонова формулировка задачи о движении системы вихревых колец в присутствии границ потока // Ученые записки ЦАГИ. - 1992. - Т XXIII, № 2. - С. 74-77.

14. Брутян М.А. Диффузия вихревых колец в вязкой жидкости // Ученые записки ЦАГИ. - 2007. - Т XXXVIII, № 3-4. - С. 82-85.

15. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Гамильтонова формулировка и основные законы сохранения для модели малых эллиптических вихрей // ПММ. - 1988. - Т 52. - С. 164-167.

ИССЛЕДОВАНИЕ ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ В НЕЛИНЕЙНОМ ОСЦИЛЛЯТОРЕ

© Позднякова Н.В.*

Средняя общеобразовательная школа № 24, г. Елец

В статье приводятся результаты исследования хаотической природы одной из сложных динамических систем - нелинейного диссипативного осциллятора. Рассматриваются различные ситуации, иллюстрирующие типовые колебательные режимы осциллятора.

Ключевые слова динамическая система, хаотическая динамика, нелинейный диссипативный осциллятор.

Под динамической системой будем понимать математический объект, моделирующий реальную систему (физическую, химическую, биологическую и др.), эволюция которой однозначно определяется начальным состоянием. Динамическая система определяется системой уравнений (дифференциальных, разностных, интегральных и т.д.), допускающих существование на бесконечном интервале времени единственность решения для каждого начального условия. Состояние динамической системы описывают набором переменных, выбираемых из соображений естественности их интерпретации, простоты в описании, симметрии. Множество состояний динамической системы образует фазовое пространство, каждому состоянию отвечает точка в нем, а эволюция состояний изображается фазовыми траекториями. Совокупность состояний в фиксированный момент времени характеризуется фазовым объемом.

Математическим аппаратом, описывающим поведение нелинейных динамических систем при определённых условиях, является теория хаоса. Хотя общепринятого универсального математического определения хаоса нет, обычно используемое определение говорит, что динамическая система, которая классифицируется как хаотическая, должна иметь следующие свой-

Заместитель директора по учебно-воспитательной работе.