Аналитическая оценка точности автономной навигации космического аппарата по результатам адаптивных измерений высоты полёта

УДК 629.78

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ АВТОНОМНОЙ НАВИГАЦИИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПО РЕЗУЛЬТАТАМ АДАПТИВНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ВЫСОТЫ ПОЛЁТА

© 2015 А. Д. Голяков, И. В. Фоминов

Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского, г. Санкт-Петербург

В статье представлены результаты аналитических исследований точности автономной навигации космического аппарата (КА), орбитальный полёт которого происходит в условиях воздействия возмущающих факторов космического пространства. В качестве измеряемого параметра рассмотрена высота полёта. Средством выбран адаптивный высотомер, способный выполнять реконфигурацию своей структуры при возникновении возмущающего фактора. Аналитическим путём получены ковариационные матрицы погрешностей определения параметров движения центра масс КА. В основе аналитической оценки точности адаптивного высотомера лежит теория аналитического оценивания навигационных систем, использующих астро-радиотехнические измерители. Выражения для расчёта оценок элементов ковариационной матрицы погрешностей навигации КА по измерениям высоты, полученные в процессе известных исследований при условии отсутствия возмущающих факторов, являются частным случаем результатов, приведённых в настоящей статье. С помощью полученных аналитических оценок, которые являются функциями дисперсий установленных на борту КА измерителей высоты, могут быть решены задачи, возникающие на этапе обоснования облика системы навигации, например, задача определения требований к погрешностям бортовых высотомеров.

Автономная навигация, космический аппарат, воздействующие факторы, адаптивный высотомер, аналитические оценки точности навигации.

ао1: 10.18287/1998-6629-2015-14-1-18-24

Введение

Измерения высоты полёта космического аппарата, выполняемые с помощью бортовых средств, являются одним из известных способов повышения автономности его функционирования при решении навигационной задачи. Исследования, по-свящённые анализу возможностей уточнения параметров, которые характеризуют движение центра масс КА по бортовым измерениям высоты его полёта с учётом случайных погрешностей, выполнены в работе [1]. В этой работе решена задача наблюдаемости навигационных параметров КА по измерениям высоты и получены в аналитическом виде ковариационные матрицы погрешностей навигации. При этом полагалось, что в течение мерного интервала навигационного режима отсутствует воздействие на средства измерений КА возмущающих факторов космического пространства, обусловленных естествен-

ными и специально организованными помехами.

Одним из перспективных направлений парирования действия возмущающих факторов в процессе полёта КА является применение адаптивных высотомеров, способных выполнять реконфигурацию своей структуры в зависимости от вида и уровня возмущения. Анализ публикаций показывает, что до настоящего времени не проведены аналитические исследования точности автономной навигации КА, основанной на результатах измерений адаптивного высотомера, функционирование которого происходит в условиях дестабилизирующих факторов. Поэтому целью настоящей статьи является получение аналитических выражений, позволяющих оценить точность навигации КА по результатам адаптивных измерений высоты его полёта при наличии возмущающих факторов космического пространства.

Метод проведения исследований и принятые допущения

Для достижения поставленной цели воспользуемся стохастическим методом начального оценивания [1]. С помощью этого метода аналитическим путём определяется ковариационная матрица погрешностей навигации КА, соответствующая некоторому начальному моменту времени t0. При этом будем полагать, что при появлении возмущающего фактора и последующей реконфигурацией структуры адаптивного высотомера элементы весовой матрицы изменяются в соответствии со значениями дисперсий используемых измерителей.

Предположим, что продолжительность мерного интервала навигационного режима равна одному витку КА вокруг Земли (Та). Возмущающий фактор возникает в момент tф = t0 + 0,5То и воздействует на КА до момента завершения навигационного режима, т.е. продолжительность его действия тф = 0,5 Та.

Будем также полагать, что бортовой адаптивный высотомер содержит два измерителя высоты (ИВ), построенных на разных физических принципах, и блок адаптации. Первый ИВ обладает высокой точностью измерений, однако не способен выполнять заданные функции при воздействии на КА возмущающего фактора. Второй ИВ способен противостоять этому фактору, но проводит измерения с низкой точностью. Примерами таких средств измерений являются высокоточные радиотехнические и помехоустойчивые инфракрасные измерители высоты, устанавливаемые на борту КА [1].

При обнаружении возмущающего фактора блок адаптации проводит необходимые структурные изменения, в частности, в момент tф по его команде отключается первый ИВ и включается второй ИВ. Это приводит к тому, что значение дисперсии погрешностей измерений высоты полёта КА скачком изменяется от

2 2 значения а до значения о2 :

у2 = I а при t < tф

а2 при t > ^

В качестве параметра, характеризующего степень снижения точности измерения высоты при адаптации к воздействующему фактору, введём коэффициент дисперсий измерений, равный отношению дисперсии первого ИВ к дисперсии погрешностей второго ИВ:

к =(

„2 — 2 •

а (У и2

Очевидно, что значение коэффициента дисперсий измерений ку2 находится

внутри полуоткрытого интервала [1, 0) . При равноточных измерениях высоты, т.е. при равенстве дисперсий а,2 и о\, коэффициент дисперсий измерений ку2 = 1.

При выполнении этого условия аналитические оценки точности навигации, полученные с помощью предложенного метода, должны совпадать с результатами исследований, которые приведены в работе [1].

Если дисперсия второго ИВ значительно превышает дисперсию первого ИВ,

22

т.е. при выполнении условия а2 >> у (например, при метрологическом отказе второго ИВ, или если используется неадаптивный высотомер, который прекращает выполнение своих функций при наличии возмущающих факторов), то коэффициент дисперсий измерений ку2 = 0.

С целью проведения сравнительного анализа результатов исследований с результатами, полученными в работе [1], будем полагать, что опорная орбита КА является круговой. Анализ точности навигации КА будем выполнять в геоцентрической системе отсчёта ХУ2, оси X и У которой находятся в плоскости орбиты КА, а ось 2 совмещена с нормалью плоскости орбиты. Параметры движения цен-

тра масс КА в прямоугольной геоцентри- рый начальный момент времени /0 на ческой системе отсчёта Х^Х в некото- опорной орбите определяются вектором

ё (О = [х (О Г (О хо (О Г„ (О хо (О го (О]Т = [г0 0 0 АЛ 0 0]т,

где го - радиус опорной орбиты КА; Аа -угловая орбитальная скорость движения КА.

Ковариационные матрицы погрешностей навигации

Как известно [1], элементы градиентной матрицы, содержащие частные производные от высоты полёта по параметрам, которые характеризуют движения

КА относительно нормали к плоскости орбиты, равны нулю. Поэтому найдём ковариационную матрицу погрешностей навигации вектора параметров движения в плоскости орбиты КА, т.е. вектора

01 (О = [X (О г(/0) х (О Г(ОГ.

В результате матричного интегрирования по методике, приведённой в работе [1], получаем матрицу размера 4 х 4:

С(й(0, Г = То, /ф = /0 + 0,5ТО, Гф = 0,5То) =

N

2па2

9п 4Ь 4Ь 5п а

—а 2 А А

4Ь т па 4Ь

2 2АО АА

4Ь па па 4Ь

А, 2Ао 2А0 А

5па 4Ь 4Ь 6па

. А А АО А2

где а и Ь - коэффициенты, зависящие от дисперсий высотомеров и соответственно равные: а = 1 + к^2, Ь = к^2 -1.

Анализ матрицы (3) показывает, что второй и третий её столбцы (а также вторая и третья строка) связаны между собой линейной зависимостью. Поэтому эта матрица является особенной матрицей, а её определитель равен нулю. Нетрудно убедиться в том, что по измерениям высоты полёта векторы, содержащие трансвер-сальную координату и радиальную составляющую вектора скорости (например,

векторы 01'(/0) = [X(/0) Г(/0) X(/0 )]т и 02'(О = [ Г(/0) X(/0) Г(ОГ ), не поддаются оцениванию. При этом принципиальная возможность уточнения существует,

в частности, у двух векторов:

Щ) = [X(/0) г(/0) Г(ОГ и ёж) = [X(/0) X(/0) Г(ОГ.

Заметим, что подобным свойством обладает ковариационная матрица, которая получена в работе [1] при условии применения неадаптивного высотомера и отсутствии в течение мерного интервала навигационного режима дестабилизирующих факторов.

С помощью предложенного метода найдём ковариационную матрицу погрешностей оценок вектора

ё3'(0 = [X(/0) Г(/0) Г(ОГ . Используя матрицу (3) и опуская параметры, характеризующие момент появления дестабилизирующего фактора и продолжительность его воздействия, получаем

N

с ШО,г = То) = 2 2па1

9па 4Ь 5па

2 X

4Ь па 4Ь

2 X

5па 4Ь 6п а

% Ко %

После обращения матрицы (4) находим ковариационную матрицу погрешностей оценок вектора = [X^0) УУ(^)]Т :

к т0\т=То,)=-

N

' 4(3аV - 16Ь2) - 16паЬ - 2(5а2п2 -32Ь2%

- 16паЬ 8а 2п2 8паЬК0

- 2(5аУ - 32Ь2)Л0 8жаЬА0 (9аУ - 64Ь2)%

Сравнительный анализ ковариационной матрицы (5) с соответствующей матрицей, полученной в работе [1] при условии применения неадаптивного средства измерения высоты полёта, показывает, что при отсутствии необходимости переключения средств измерений высоты полёта в течение мерного интервала навигационного режима, т.е. при выполнении условия ку2 = 1, эти матрицы совпадают

друг с другом. Следовательно, матрица, которая приведена в работе [1], представляет собой частный случай ковариационной матрицы (5).

С помощью выражения (5) найдём дисперсии оценок элементов вектора ШО = [ X (О У (О У (0]Т . После преобразований формулы для расчёта соответствующих дисперсий принимают вид:

(2 (ку2) = К

а(2 (ку2) = Ку (ку2

^ а2

N

а( (ку2) = Ку (()( %

где Кх (ку2 ) , Ку (ка2) и К (ка2) - коэффициенты ошибок определения элементов вектора 0/(О = [X(to) У(О У(0]Т .

Коэффициенты ошибок Кх(к 2),

К (ку2) и К у (ку2) рассчитываются с помощью выражений:

4[3(1 + кг)2п2 -15(( -1)2]

Кх (ку2) =

(1 + ку2)2п2 - 8(к. -1)2

22

К (к(2) =

К (к(2) =

8(1 + к 2)2п

(1 + ку2)2п2 - 8(ку2 -1)2

9(1 + ку2)2п2 - 64(ку2 -1)2

(1 + ку2)2п2 - 8(к. -1)2

.

Графики функций коэффициентов

о о

ошибок навигации Кх (ку2), Ку (ку2) и

о

Ку (ку2) от коэффициентов дисперсий погрешностей измерений высоты полёта ку2

приведены на рис. 1.

Применяя аналогичные преобразования, найдём ковариационную матрицу погрешностей оценок вектора

ёДО = [X(О X(О У(0]Т :

о

2

К Шаг = То ) =

N

4(3а2п2 - 16Ь2) - 16паЬА -2(5а2п2 -32Ь2)А20

- 16паЬА0 8а 2п2АА0 8паЬА0

- 2(5а2п2 - 32Ь2)А2 8паЬА20 (9а2п2 - 64Ь2)А20

Дисперсии оценок элементов вектора ёЖ) = [X(/0) X(/0) Г(ОГ принимают вид:

сг2(к 2) = Кх(к 2)^-

XV и2 ' XV а 2 ' N

а2(ка 2) = К к А2

к 2) = КУ к 2) N А2

Коэффициенты ошибок Кх (ка 2),

О О

Кх (к 2) и К у (ка 2) рассчитываются по формулам:

о 4[3(1 + кп0)0п2 - 15(к„0 -1)0]

(9) Кх к 0) =

Кх к0) =

где Кх к2 ) , К х (ка2 ) и Ку (ка2 ) - коэф- Ку (к 0) =

У а н

фициенты ошибок определения элементов вектора ёДО = [X(/0) X(/0) Г(ОГ .

(1 + кст0)0п2 -8(кст0 -1)0 8(1 + ка0 )0п2 (1 + ка0 )2п2 - 8(кст0 -1)0 9(1 + ка0 )0п2 - 64(ка0 -1)0

(1 + к 0 )°п2 - 8(к 0 -1)0

Рис. 1. Графики зависимостей коэффициентов ошибок навигации КА от коэффициента дисперсий погрешностей измерений высоты полёта

2

2

О

Выводы

Представлены результаты аналитических исследований точности автономной навигации КА, функционирование которого происходит в условиях воздействия возмущающих факторов космического пространства. В качестве измеряемого навигационного параметра рассмотрена высота полёта КА. Средством компенсации возмущающего воздействия выбран адаптивный высотомер, способный выполнять реконфигурацию своей структуры при возникновении возмущающего фактора. Выражения для расчёта оценок элементов ковариационной матрицы по-

грешностей навигации КА по измерениям высоты, полученные в процессе известных исследований при условии отсутствия возмущающих факторов [1], являются частным случаем полученных результатов. С помощью полученных аналитических оценок точности, которые являются функциями дисперсий установленных на борту КА измерителей высоты, могут быть решены задачи, возникающие на этапе обоснования облика системы навигации, например, задача определения требований к погрешностям бортовых высотомеров.

Библиографический список

1. Аншаков Г.П., Голяков А.Д., Пет- навигация космических аппаратов. Сама-рищев В.Ф., Фурсов В.А. Автономная ра: ЦСКБ-Прогресс, 2011. 486 с.

Голяков Алексей Дмитриевич,

доктор технических наук, профессор кафедры автономных систем управления, Военно-космическая академия имени А.Ф.Можайского. E-mail:

algol1949@mail.ru. Область научных интересов: системы управления и навигации космических аппаратов.

об авторах

Фоминов Иван Вячеславович, кандидат технических наук, докторант кафедры автономных систем управления, Военно-космическая академия имени А.Ф. Можайского. E-mail: i.v.fominov@gmail.com. Область научных интересов: системы навигации и управления движением космических аппаратов.

ANALYTICAL EVALUATION OF THE ACCURACY OF SPACECRAFT AUTONOMOUS NAVIGATION ACCORDING TO THE RESULTS OF FLIGHT ALTITUDE ADAPTIVE MEASUREMENT

© 2015 A. D. Golyakov, I V. Fominov

Military Space Academy named after A.F. Mozhaiskiy, St. Petersburg, Russian Federation

The article presents the results of analyzing the accuracy of spacecraft autonomous navigation the orbital mission of which takes place in conditions of perturbations of space. Flight altitude is taken as a parameter to be measured. An adaptive altimeter, capable of performing the reconfiguration of its structure in the event of disturbing factors is chosen as a means of dealing with the disturbing influence. Covariance matrices of errors in determining the parameters of the spacecraft center of mass are obtained analytically. Analytical evaluation of the accuracy of the adaptive altimeter is based on the theory of analytical evaluation of navigation systems using celestial radio engineering measuring devices. Expressions used for calculating the estimates of spacecraft navi-

gation error covariance matrix elements by measuring the altitude obtained in the process of certain investigations in the absence of perturbations are a special case of the results presented in the paper. Tasks that emerge at the stage of justification of the navigation system design, for example, the task of specifying requirements for errors of airborne altimeters, can be solved with the help of the analytical estimates obtained. Such estimates are functions of dispersions of altimeters mounted on board the spacecraft.

Autonomous navigation, spacecraft, influencing factors, adaptive altimeter, analytical estimates of the accuracy of navigation.

References

1. Anshakov G.P., Golyakov A.D., Petrishchev V.F., Fursov V.A. Avtonomnaya navigatsiya kosmicheskikh apparatov

[Spacecraft autonomous navigation]. Samara Space Rocket Center "Progress" Publ., 2011. 486 p.

About the authors

Golyakov Aleksei Dmitrievich., Doctor of Science (Engineering), Professor, Department of Autonomous Control Systems, Military Space Academy named after A.F. Mozhayskly, St. Petersburg, Russian Federation. E-mail: algol1949@mail.ru. Area of Research: spacecraft control and navigation systems.

Fominov Ivan Vyacheslavovich, Candidate of Science (Engineering), doctoral student, Department of Autonomous Control Systems, Military Space Academy named after A.F. Mozhaisky, St. Petersburg, Russian Federation. E-mail: i.v.fominov@gmail.com. Area of Research: navigation and control of spacecrafts motion.