Математическое моделирование нелинейного отклика короткого цилиндра из жесткого сверхпроводника

УДК 519.6/538.945

Н. Д. Кузьмичев, А. А. Федченко

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ОТКЛИКА КОРОТКОГО ЦИЛИНДРА ИЗ ЖЕСТКОГО СВЕРХПРОВОДНИКА

Аннотация. Выполнено математическое моделирование отклика жесткого сверхпроводника второго рода на приложенное внешнее гармонически модулированное магнитное поле. Сверхпроводник имел форму короткого цилиндра (таблетки). В рамках модели Кима и в приближении экранировки поля в центре образца рассчитаны гистерезисные кривые и гармоники намагниченности. Результаты расчета сравниваются с результатами ранее выполненного эксперимента на поликристаллах высокотемпературного сверхпроводника.

Ключевые слова: высокотемпературный сверхпроводник, критическое состояние, вихри Абрикосова, модель Кима, гармоники намагниченности.

Abstract. The article describes a mathematical model of the response of a diskshaped hard superconductor to an applied external harmonically modulated magnetic field. According to Kim model and in approximation of magnetic field screening in the sample center the authors have calculated hysteretic magnetization curves, the first and higher harmonics of magnetization. The results of calculations are compared with data of previously performed experiments on polycrystals of high-temperature superconductor.

Key words: high-temperature superconductor, critical state, Abrikosov vortices, Kim model, magnetization harmonics.

Введение

Интерес к магнитным свойствам различной структуры высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) не угасает из-за их практической важности и сложности строения. В плане применений в электро- и радиоизмерительной технике необходимо знать отклик различной геометрической формы ВТСП на переменное и постоянное магнитные поля. Данной проблеме посвящено много работ как в отечественной, так и зарубежной литературе [1-12] и других источниках. Известно, что при воздействии внешнего магнитного поля на ВТСП образец откликается сигналом сложной формы и намагниченность сверхпроводника зависит от предыстории его состояния, т.е. обнаруживает гистерезис.

1. Постановка задачи и модель расчета

В работе рассматривается процесс проникновения магнитного поля в жесткий сверхпроводник второго рода в форме короткого цилиндра, находящегося в критическом состоянии в рамках приближения Кима [2]. Магнитное поле в такие сверхпроводники проникает в виде потока, образованного нитями Абрикосова и распространяется фронтом внутрь сверхпроводника, преодолевая силу пиннинга. Изменение магнитного потока внутри указанного сверхпроводника вызывает в области проникновения вихрей Абрикосова электрическое поле, которое в свою очередь мгновенно создает экранирующий сверхпроводящий ток (сверхток) с критической плотностью Jc. Величина Jc в моделях Кима - Андерсона и Кима [2, 4] зависит обратно пропорционально от локальной плотности магнитного потока (концентрации вихрей -

средней индукции поля В), т.е. Зс = ^с(В). Расчет распределения сверхтока и магнитного поля в образце, а также намагниченности и восприимчивости сверхпроводника представляет собой непростую задачу [5-10]. Это связано с несколькими причинами. Во-первых, необходимо для каждой геометрии учитывать размагничивающее поле; во-вторых, процесс намагничивания сверхпроводника будет гистерезисным из-за разбиения сверхпроводника на области с противоположно текущими экранирующими сверхтоками; в-третьих, внутри сверхпроводника требуется учитывать текущую плотность потока поля на границах областей разбиения.

В настоящей работе численно смоделирован процесс проникновения магнитного поля в короткий цилиндр жесткого сверхпроводника второго рода. Использовалось приближение полной экранировки магнитного поля в центре цилиндра и модель Кима [2, 4]: Jc(B) = а / (|В| + В0). Данное приближение игнорирует радиальную составляющую магнитного поля и соответственно кривизну нитей Абрикосова. В этом случае уравнение критического состояния для цилиндра радиуса Я и длины й в аксиальном внешнем поле имеет вид

^ = ±___________а

йг I Т2~^ ’

(И+H 0 Ы1+Ь

где r - текущий радиус цилиндра; H(r) представляет собой осевую составляющую напряженности магнитного поля; а - объемная плотность силы пин-нинга (а = const); H0 (или B0) - некоторое характерное поле.

Уравнение (1) решается с граничным условием H(R) = Hex, где Hex -напряженность внешнего магнитного поля. Знак «+» соответствует растущему магнитному полю, а знак «-» - убывающему полю. Следовательно, в переменном магнитном поле (Hex(t) = Hd + h  cos(rot)) сверхпроводник разбивается на области с противоположно текущими экранирующими сверхтоками (рис. 1). Это приводит к гистерезису в намагничивании жесткого сверхпроводника.

Рис. 1. Разбиение сверхпроводника в постоянном и переменном магнитных полях на области с противоположно текущими сверхтоками и различными зависимостями аксиального поля Н(г). Возрастающее поле проникло на глубину Я-р, убывающее - на глубину Я-Х и снова возрастающее на Я-£

Численный расчет распределения магнитного поля и сверхтока внутри сверхпроводника необходимо производить отдельно для каждой области, используя уравнение (1), с учетом текущих граничных условий. Полученные распределения сверхтока используются в дальнейшем для вычисления петли намагниченности жесткого сверхпроводника в рамках вышеотмеченных приближений.

Уравнение (1) решается аналитически, но дальнейшее использование полученных формул для вычисления петли гистерезиса намагниченности и гармоник намагниченности приводит к чрезвычайной громоздкости функций выраженных через интегралы неудобных для дальнейшего анализа и сравнения с экспериментом.

Намагниченность М цилиндрического сверхпроводника вычислялась согласно формуле, используемой для определения магнитного момента системы токов [13, 14], с учетом того, что экранирующий ток в силу цилиндрической симметрии является азимутальным:

1 К

М = МсК .

Р

здесь V - объем сверхпроводника; р - радиус внутренней части цилиндра, куда поле не проникло.

Интеграл (2) разбивается на сумму нескольких интегралов с противоположно текущими сверхтоками Зс. Число областей с противоположными сверхтоками в случае одновременного присутствия переменного и постоянного полей достигает четырех.

В эксперименте при изучении магнитных свойств измеряется напряжение сигнала отклика сверхпроводника на переменное магнитное поле в присутствии постоянного поля [6, 7, 11, 12, 15, 16]. Указанное напряжение возникает на концах приемной катушки, внутри которой помещен сверхпроводник. Напряжение сигнала отклика будет периодической негармонической функцией времени, имеющей в своем составе большое количество синфазных и квадратурных составляющих гармоник. Гармоники напряжения пропорциональны соответствующим гармоникам намагниченности или восприимчиво-

М1 I и

сти: £П ~ М’п .

I II

Здесь синфазные (действительные) Мп и квадратурные (мнимые) Мп составляющие гармоник порядка п намагниченности вычислялись согласно следующим формулам [7]:

1 2л

М'п = - ! М

Л 0

1 2л

М'п ! М

Л 0

Величина М(^) = М(Н + Лсо8(ю0) - модуль намагниченности сверхпроводящего цилиндра, определяемый выражением (2).

С целью более детального изучения поведения ВСТП была разработана специальная программа, в основе которой лежат алгоритмы расчета гармоник намагниченности и ключевых параметров сверхпроводника на основе численных методов.

2. Структура и алгоритм работы программы

Программа позволяет провести исследование поведения ВСТП в переменных и постоянных магнитных полях, изучить интересующие зависимости и анализировать имеющуюся модель в сравнении с экспериментальными данными. Алгоритм позволяет вычислять гистерезисные и нелинейные процессы путем изучения синфазных и квадратурных частей амплитуд гармоник напряженности отклика сверхпроводника. Программа вычисляет зависимости намагниченности образца ВСТП от внешнего магнитного поля, комбинирующего воздействие двух составляющих: постоянного НС1 и переменного магнитного поля, амплитудой И, не ограничивая их величин.

При решении задачи моделирования поведения сверхпроводника важная роль отводилась так называемому принципу объектно ориентированного программирования.

Алгоритм действия программы включает в себя несколько шагов. На этапе препроцессинга формируются объекты классов «сверхпроводник» и «магнитное поле».

Дифференциальное уравнение, задающее распределение величины магнитного поля в сверхпроводнике, решается численно методом Рунге -Кутта четвертого порядка точности. В качестве такого уравнения выступает уравнение критического состояния для короткого цилиндра в модели Кима (1).

Расчет намагниченности образца начинается с вычисления величины радиуса р, на глубину которого проникло внешнее магнитное поле, и радиусов X и £, в которых направление течения тока критической плотности меняет свой знак. Вычисление производится для каждого момента времени в течение всего периода изменения магнитного поля с учетом предыдущего воздействия на образец. Проблема нахождения значений радиусов р, X и £ (см. рис. 1), которая программно может быть сведена к задаче нахождения нуля функции, решена при помощи алгоритма, реализованного на базе метода Брэндта [17]. Он оказался наиболее эффективным по соотношению быстрота-точность-надежность в сравнении с остальными методами (Ньютона, Миллера, Аткена и др. [18, 19]). Намагниченность всего образца рассчитывается путем интегрирования уравнений, полученных для нескольких частей с учетом направления течения тока.

На этом этапе конечным результатом является массив, содержащий текущее значение времени и соответствующие ему величины напряженности поля, 3-х радиусов и критической плотности тока.

Проведение гармонического анализа для такого большого объема данных оказалось достаточно трудоемкой и затратной по времени задачей. С помощью алгоритма быстрых преобразований Фурье удалось с достаточно высокой точностью вычислить значения действительных и мнимых составляющих гармоник с первой до одиннадцатой. Расчет происходит по следующему принципу: один из параметров магнитного поля (амплитуда переменной составляющей) принимается неизменным, другой параметр изменяется от неко-

торого стартового значения до конечного. С некоторым шагом для каждого сочетания компонентов поля рассчитываются составляющие гармоник. Свернутая классовая диаграмма программы показана на рис. 2.

Object o'!

Class

"3

(S Methods

Calculation

Class

Рис. 2. Классовая диаграмма проекта в свернутом виде

Программа написана на языке программирования С# (C Sharp) с использованием средств разработки Microsoft Visual Studio 2005 [20, 21].

3. Результаты расчета

Такие параметры, как критическая плотность тока jc и объемная плотность силы пиннинга а, являются важными характеристиками сверхпроводника и факторами, влияющими на форму кривых гармоник.

Были вычислены оптимальные величины вышеперечисленных и других параметров, при которых модель, определяемая уравнением (1), наилучшим образом сходилась бы с результатами эксперимента, представленного в работе [16]. Расчет производился для используемых в эксперименте поликристал-лических образцов ВТСП YBa2Cu3Ü7-x в виде коротких цилиндров («таблетка») с соотношением L/D = 0,12 (для образца № 1) и L/D = 0,18 (для образца № 2), где D = 20 mm - диаметр образца, L - его высота. Получены следующие параметры:

- для образца № 1:

а = 19  109 A2/m3, Н0 = 6000 А/m и jc(0) = 3,167  106 А/m2;

- для образца № 2:

а = 22  109 А2/т3, Н = 8000 А/m и jc(0) = 2,75  106 А/m2.

Для образца № 2 с такими характеристиками была рассчитана гистере-зисная петля намагниченности при амплитуде модуляции переменного магнитного поля 300 Ое (рис. 3).

И, Ое

Рис. 3. Петли намагниченности, рассчитанные программой

На рис. 4 показаны кривые, построенные по экспериментальным [16] и расчетным данным для амплитуд модуляций 100, 300 и 470 Ое для второй гармоники (образец № 2). Изображенная кривая вычисляется следующим образом:

Мп =у1

гп = К  Мп;

К = ц0 Ы 5 ю  п ,

где ц0 - магнитная постоянная; N - число витков; S - площадь поперечного сечения сверхпроводящего образца; ю - частота колебаний переменной составляющей магнитного поля; п - номер гармоники. Значение К/п для экспериментальной работы [16] есть: К/п ~ 6,42 • 10-4 Л/У-ш.

Для сравнения символами выделены кривые, построенные программой при таких же условиях.

Экспериментальные и расчетные данные для третьей (образец № 1) и четвертой (образец № 2) гармоник представлены на рис. 5 и 6.

Однако четвертая и последующие гармоники демонстрируют некоторые расхождения, хотя результаты эксперимента и результаты работы программы имеют сходство в точках экстремума и формах кривых. По всей видимости, это может быть обусловлено пренебрежением искривления линий магнитного потока, проникающего в образец ВТСП.

Нас = 100 Ое Нас = 300 Ое

н-----1-----.----1-----.-----1----.-----1-----.----1-----.-----1----1

0 100 200 300 400 500

Ое

Рис. 4. Сравнение экспериментальных [16] и расчетных данных второй гармоники для больших амплитуд модуляции. Сплошные линии - данные, полученные в ходе эксперимента; линии, выделенные символами, - данные, рассчитанные программой

Нпс, Ое

Рис. 5. Сравнение экспериментальных [16] и расчетных данных третьей гармоники

Заключение

В статье на основе разработанной программы рассматривается нелинейный отклик жесткого сверхпроводника 2-го рода в виде короткого цилиндра на основе модели Кима в рамках приближения полной экранировки маг-

нитного поля в центре цилиндра. Получены кривые намагниченности и гармоники.

Hue, Ое

Рис. 6. Сравнение экспериментальных [16] и расчетных данных четвертой гармоники

При сравнении результатов работы и экспериментальных данных, полученных ранее в работе [16], рассчитаны следующие параметры образцов: jc(0) = 3,167  106 А/m2, а = 19  109 А2/т3 (образец № 1) и jc(0) = 2,75  106 А/m2, а = 22  109 А2/т3 (образец № 2). Такие низкие данные получены ввиду того, что используемые в эксперименте образцы содержат большое количество слабых связей. Если считать, что образцы состоят из отдельных изолированных сверхпроводящих гранул в виде столбиков диаметром d ~ 1 ц, то параметры будут иметь значение jc(0) ~ 1010 А/m2 (106 А/cm2). Это говорит о том, что среднее значение jc гранул поликристалла близко к соответствующему параметру монокристалла YBa2Cu3O7-x (~107 А/cm2).

Список литературы

1. Bean, C. P. Magnetization of hard superconductors / C. P. Bean // Phys. Rev. Lett. -1962. - V. 8. - P. 250 - 251.

2. Kim, Y. B. Critical persistent currents in hard superconductors / Y. B. Kim,

C. F. Heampstead, A. R. Strnad // Phys. Rev. Lett. - 1962. - V. 9. - P. 306 - 309.

3. Frankel, D. Critical-state model for the determination of critical currents in disk-shaped superconductors / D. Frankel // J. Appl. Phys. - 1979. - V. 50. - P. 5402 - 4849.

4. Anderson, P. W. Hard superconductivity: Theory of the motion of Abricosov flux line / P. W. Anderson, Y. B. Kim // Rev. Mod. Phys. - 1964. - V. 36. - P. 39 - 46.

5. Daumling, M. Critical state in disk-shaped superconductors / M. Daumling,

D. C. Larbalestier // Phys. Rev. B. - 1989. - V. 40. - P. 9350 - 9353.

6. Mikheenko, P. N. Inductance measurements of HTSC films with high critical currents / P. N. Mikheenko, Yu. E. Kuzovlev // Physica C. - 1993. - P. 229 - 236.

7. Кузьмичев, Н. Д. Гистерезисная намагниченность и генерация гармоник магнитными материалами: анализ спектра гармоник намагниченности на примере

высокотемпературных сверхпроводников / Н. Д. Кузьмичев // ЖТФ. - 1994. -Т. 64, № 12. - С. 63 - 74.

8. Clem, J. R. Hysteretic ac losses and susceptibility of thin superconducting disks / J. R. Clem, Alvaro Sanchez // Phys. Rev. B. - 1994. - V. 50. - P. 9355 - 9362.

9. Brandt, E. H. Superconductor disks and cylinders in an axial magnetic field. I. Flux penetration and magnetization curves / E. H. Brandt // Phys. Rev. B. - 1998. - V. 58. -P. 6506 - 6522.

10. Brandt, E. H. Superconductor disks and cylinders in an axial magnetic field. II. Nonlinear and linear ac susceptibilities / E. H. Brandt. Phys. Rev. B. - 1998. - V. 58.

- P. 6523 - 6533.

11. Кузьмичев, Н. Д. Гармоники намагниченности текстурированных поликристаллов YBa2Cu3O7-x выше температуры перехода в сверхпроводящее состояние / Н. Д. Кузьмичев, В. В. Славкин // ФТТ. - 2007. - Т. 49. - С. 1549 - 1553.

12. Головашкин, А. И. Формирование гармоник с помощью высокотемпературных сверхпроводящих поликристаллов иттриевого купрата / А. И. Головашкин, Н. Д. Кузьмичев, В. В. Славкин // ЖТФ. - 2008. - Т. 78. - С. 59 - 62.

13. Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лиф-шиц. - М. : Наука, 1982. - 620 с.

14. Кугушев, А. М. Основы радиоэлектроники / А. М. Кугушев, Н. С. Голубева. -М. : Энергия, 1969. - 880 с.

15. Кузьмичев, Н. Д. Нелинейные магнитные свойства и вольтамперные характеристики высокотемпературного сверхпроводника YBa2Cu3O7_x / Н. Д. Кузьмичев. - М., 2002. - 288 с.

16. Кузьмичев, Н. Д. Генерация гармоник поликристаллическими YBa2Cu3O7-x в сильных переменных магнитных полях / Н. Д. Кузьмичев, В. В. Славкин // Письма в ЖТФ. - 1992. - Т. 18, № 8. - С. 11-15.

17. Forsythe, G. E. Computer Methods for Mathematical Computations. / G. E. Forsythe, M. A. Malcolm, C. B. Moler. - Englewood Cliffs, NJ : Prentice-Hall, 1977.

18. Турчак, Л. И. Основы численных методов / Л. И. Турчак, П. В. Плотников. -2-е изд., перераб. и доп. - М. : Физматлит, 2005. - 304 с.

19. Крылов, В. И. Вычислительные методы / В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырный. - М. : Наука, 1976. - 304 с.

20. Троелсен, Э. С# и платформа .NET / Э. Троелсен. - СПб. : Питер, 2006. -796 с. - (Библиотека программиста).

21. Шилдт, Г. Полный справочник по C# : пер. с англ. / Г. Шилдт. - М. : Вильямс,

2004. - 752 с.

Кузьмичев Николай Дмитриевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой общенаучных дисциплин, Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева

Kuzmichyov Nikolay Dmitrievich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of general scientific disciplines,

Mordovia State University

E-mail: kuzmichev@yandex.ru

Федченко Александр Андреевич аспирант, Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева

E-mail: starlightalex@gmail.com

Fedchenko Alexander Andreevich Postgraduate student,

Mordovia State University

УДК 519.6/538.945 Кузьмичев, Н. Д.

Математическое моделирование нелинейного отклика короткого цилиндра из жесткого сверхпроводника / Н. Д. Кузьмичев, А. А. Федченко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 3 (19). - С. 110-119.