Многометодная оптимизация управления в экономической модели выбора налоговой ставки для предприятий энергетической отрасли

1. Управляемые системы и методы оптимизации

УДК 519.6

© А.И. Колмакова

МНОГОМЕТОДНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВЫБОРА НАЛОГОВОЙ СТАВКИ ДЛЯ ПРЕДПРИЯТИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ОТРАСЛИ

В рамках нелинейной однопродуктовой модели с производственной функцией постоянной эластичности замещения факторов и логистическим уравнением Ферхюльста для описания динамики численности персонала, с внесенными поправками, связанными с непосредственным учетом налоговых отчислений, формулируется математическая постановка задачи в виде системы дифференциальных уравнений, описывающих налогообложение прибыли предприятий. Рассматривается задача поиска оптимального программного управления.

Ключевые слова: оптимальное управление, динамическое программирование, налог на прибыль, модель деятельности предприятия.

© A.I. Kolmakova

MULTIMETHOD OPTIMIZATION OF CONTROL IN ECONOMIC MODEL OF TAX RATE CHOICE FOR COMPANIES OF ENERGY SECTOR

Within the nonlinear single product model with constant elasticity of substitution production function and Verhulst logistic equation for description of dynamics of personnel number with corrections related to direct accounting of tax charges, a mathematical problem is formulated in the form of a system of differential equations describing taxation of enterprise profits and a problem of optimal software control search is considered.

Keywords: optimal control, dynamic programming, profits tax, enterprise activities model.

Введение

Появление налогов было обусловлено необходимостью удовлетворять растущие потребности финансового хозяйства государства. Процесс взимания налогов осуществляется государством и является его функцией. Способ, характер и масштабы мобилизации денежных ресурсов в бюджете государства зависят от стадии экономического развития общества. При этом минимальный размер формируемых денежных фондов, состоящих в большей степени из налоговых платежей, определяется суммой расходов государства на исполнение его функций: социальной, экономической, оборонной и др.

Система налогообложения является одним из важнейших факторов, влияющих на решение об инвестировании, особенно если речь идет о прямых иностранных инвестициях. В целом на принятие решений об инвестировании оказывают влияние как налоговые, так и неналоговые факторы, при помощи которых осуществляется сравнение потенциальной прибыли от инвестиций и риска. Обычно компании при выборе того или иного проекта принимают во внимание различие в законных ставках налога, направляя доходы в страны с низким налогообложением [1].

Оптимальность налогообложения принято оценивать с точки зрения общего эффекта для благосостояния общества и с точки зрения выгод для определенного налогоплательщика (экономического агента). Именно от характера и сущности проводимой государством и его органами общей налоговобюджетной политики зависит, определять ли налоги как «бремя», «зло» или как способ (эффективный в большей или меньшей степени) перераспределения материальных благ и финансирования общих объективных потребностей общества.

1. Многометодные алгоритмы расчета оптимального управления

Предлагается вычислительная технология расчета оптимального управления, основанная на применении нескольких процессоров для поиска численного решения задачи несколькими методами оптимизации одновременно. В соответствии с этой технологией, после нахождения очередного приближения все методы оцениваются по полученному приращению функционала, и из них выбирается

наиболее эффективный метод для продолжения оптимизации, а полученное этим методом приближение передается остальным методам в качестве начального для выполнения следующей итерации.

1.1. Расчет градиентов в задаче оптимального управления с фазовыми ограничениями

В методах градиентного типа трудоемкую операцию расчета градиента, требующую интегрирования сопряженной системы, следует выполнить только один раз, а затем использовать найденный градиент в итерационных формулах всех методов. Вычислительные затраты на выполнение одного шага многометодного алгоритма в этом случае значительно сократятся. Кроме того, реализация шага каждым из методов будет выполнена с использованием одних и тех же приближенно найденных величин.

Приведем общую постановку задачи оптимального управления. Пусть управляемый процесс описывается системой

/ = 10%

терминальными условиями

I;

и фазовыми ограничениями

Ji

Управление стеснено следующими ограничениями:

и

где и - ограниченное замкнутое множество из Яг. Вектор-функция А(х, и, 1) непрерывно дифференци-

руема по х и и и непрерывна по ^ р1 (х), 1 = 1, т - непрерывно дифференцируемые функции.

Пусть на правых концах траекторий системы (1) определена непрерывно дифференцируемая выпуклая скалярная функция

1 о

которую требуется минимизировать.

Градиенты функционаловI (и), 1 = 0,т с помощью Н1 (у^.,х,и,t) = у/'.(1)/(х,и,t) и сопряженной системы

У1 = -!х

вычисляются по формулам

V1!

Для каждого tеT можно аналогично вычислить градиенты J  (и, 1), 1 = 1, s :

VJj

где Ни (Ф1,х,и, 1,т) = Ф] (1,т) А(х,и,т), Ф1 (1,т), 1 = 1,5 - решения сопряженных систем

дФ}- М дf (х, и,т) _ / \ „ , / \ дgJ (х(і)) . -—

1 = - ^ ’ Ф} (Т тє Т, Ф} (t, t)=- * " ”, ] = 1,5.

дт дх дх

1.2. Численные методы для решения задач с ограничениями на управление

Перейдем теперь к рассмотрению алгоритмов для решения задач с ограничениями на управление (4), но без ограничений (2)-(3). Предположим, что при некотором ик (і) є и, t є Т найдено решение

системы (1) хк (і), t є Т .

Полагая 1=0, проинтегрируем сопряженную систему от t = t1 до t = 10 при и = ик (t), х = хк (і) .

На ее решении /к = /° (і) вычислим управление из принципа максимума:

и (1) = а^ тах Н (у , х , и, 1), 1 е Т,

иеи

и найдем значения скалярной функции

(и(1), 1) = Н(ук, хк,и, 1) - Н(ук, хк,ик, 1), 1 е Т.

т"' к *-» к к —к

Если для заданного и и найденных х ,/ ,и принцип максимума нарушается: wk (и к (тк ), тк ) > 0, то можно реализовать одну итерацию метода [3] для улучшения ик .

Множество точек, в которых нарушается принцип максимума, обозначим через

те = {1 е Т: wk(ик (1X 1) ^ £к(ик (ткX ткЙ £ е [0,1],

где тк - точка максимума этой функции на Т£. Варьируя £ , можно найти его оптимальное значение £к , при котором управление

к+1,ч I и к (1), 1 е Т£,

и£+1

I и (1), 1 е Т \ Т£

доставит наименьшее значение целевому функционалу. При поиске £ можно использовать несколько потоков для одновременного интегрирования системы (1) с управлениями (9), соответствующими разным значениям £ .

В силу структуры управлений, генерируемых итерационной формулой (9), релаксации алгоритма могут прекратиться еще до получения управления, удовлетворяющего принципу максимума. Тогда для продолжения процесса оптимизации необходимо применить другой алгоритм, на итерациях которого конструируются управления не только с граничными, но и с внутренними относительно множества допустимых управлений значениями. Так, например, восстановить сходимость обычно удается с помощью построения выпуклой комбинации двух управлений:

ик+1

Вычисления по формулам (9) и (10) можно вести параллельно, выбирая из полученных приближений такое ик+1, которому соответствует меньшее значение функционала. Если значения функционала будут сравниваться через несколько итераций, то в качестве критерия для сравнения эффективности методов (9) и (10) следует использовать значения приращений функционала, полученных на соседних итерациях каждого из методов. На практике установлено, что применение вариаций двух типов -«горизонтальной» (9) и «вертикальной» (10) позволяет избежать проявления эффекта «прилипания управления к границам», свойственного алгоритмам, основанным на принципе максимума.

Если в итерационной формуле (10) управление ик (1) будет вычисляться из линеаризованного принципа максимума

ик(1) = а^тахНи (ук,хк,и, 1 )'и(1), 1 е Т,

иеи

то получим итерации метода условного градиента. Очевидно для линейных по управлению систем это управление будет совпадать с управлением, найденным из принципа максимума.

1.3. Численное решение задач с фазовыми ограничениями

Идея излагаемого ниже алгоритма [5] состоит в том, что на каждой его итерации решается вспомогательная задача минимизации модифицированной функции Лагранжа при линеаризованных ограничениях (2), (3). Якобиан линеаризованных ограничений строится из градиентов (7), (8), для расчета которых можно так же использовать параллельные вычисления. Значения двойственных переменных, полученные в результате решения вспомогательной задачи на каждой итерации, являются новым приближением для этих переменных на следующей итерации.

Пусть ик(^) - текущее приближение управления, а хк(^) - фазовая траектория, соответствующая ик(^), tеT. Используя градиенты (7), (8), линеаризуем условия (2), (3) в окрестности ик(^):

Т _____

гЬ

1Г (ик,и) = I, (ик )+ VI, (ик, 1)'(и(1) -ик(1))-1 = 0,i = 1,т.

Т0

JLj (ик,и,т)= J1 (ик,т)+(ик, 1)(и(1)-ик(1))— = 0,

10

1 = 1, 5, те Т

Построим модифицированную функцию Лагранжа для задачи (1)-(5)в следующем виде

11

L

10

- JL

11

+ — | (J (и, 1) - JL (ик, и, 1))' (J (и, 1) - JL (ик, и, 1 )^1,

10

где I, IL - т-векторы, J, JL - s-векторы, Як, цк - т и s-мерные множители Лагранжа; р > 0 - коэффициент штрафа.

На (к+1)-й итерации рассматриваемого метода решается задача минимизации функционала (13) на решениях системы (1) при линейных ограничениях (11), (12), (4). При этом для численного решения формируется задача математического программирования с линейными ограничениями специальной структуры.

2. Математическая модель деятельности предприятия

Сформулируем постановку задачи об оптимизации ставки налога на прибыль для предприятий энергетической отрасли.

В нашем случае переменными состояния будут затраты на производство х1 в момент 1, налоговые отчисления х2 в момент 1, количество основных производственных фондов (ОПФ) х3 в момент 1, количество трудовых ресурсов х4 в момент 1. В качестве управления возьмем налоговую ставку

Ч1).

Уравнение динамики затрат на производство получено из экономического смысла состава затрат на производство и прибыли, облагаемой налогом. Уравнение динамики для налоговых отчислений получено дисконтированием величины налога. Уравнение динамики основных производственных фондов получено из взаимосвязи валового продукта, производственного потребления и конечного продукта.

Простейшей моделью, характеризующей демографические процессы, является экспоненциальный рост. Но недостаток такой модели в том, что рост или уменьшение численности персонала происходит неограниченно. В энергетике же численность персонала, независимо от загрузки действующего оборудования, остается постоянной и изменяется только при вводе новых и демонтаже устаревших агрегатов. Данной ситуации позволяют избежать модели из ряда плотностно-зависимого роста. Простейшей моделью данного типа является логистическое уравнение Ферхюльста. Предполагается, что удельная скорость изменения численности работников линейно уменьшается с ростом (убыванием) численности, и имеется некая предельная численность персонала (емкость среды) [7].

Система уравнений, описывающая экономическую систему будет иметь вид [8]:

dX

—1 = }Л(Р(х3 , х4) - Ч1 )((Р(х3 , х4) - х1) - х1 ;

d1

Их

(F(хъ, х,) - хХО;

—х 1

—3 = -(1 -а)(1 -у(1)^(х3,х,) -^3 -сх1 -х3;

—1 q

—х4 = 1х

~&4° -

Значения параметров данной задачи выбираются из интервалов, определяемых экономическим смыслом:

0 < л < 1 - доля выручки, которая составит затраты на производство в следующем периоде;

0 < 8 < 1 - коэффициент дисконтирования;

q > 0 - коэффициент эффективности использования основных фондов;

0 < а < 1 - коэффициент производственных затрат;

X > 0 - коэффициент амортизации;

с > 0 - непроизводственное потребление;

г > 0 - мальтузианский параметр;

L > 0 - емкость среды;

F(х3, х4 ) - производственная функция.

Наибольшее применение в теоретическом и прикладном макроэкономическом анализе имеют два вида ПФ: мультипликативная (чаще именуемая функцией Кобба-Дугласа) и функция с постоянной эластичностью заменяемости ресурсов (ПЭЗ). Эти функции обладают преимуществами с нескольких точек зрения: 1) они хорошо экономически интерпретируются; 2) имеют небольшое число параметров, что облегчает их статистическую оценку; 3) соответствующие этим ПФ показатели экономического роста, эффективности, интенсификции имеют удобную аналитическую форму [9].

При использовании ПЭЗ функции удается избежать тех недостатков, которые присущи ПФ Кобба-Дугласа, в частности, нет неправдоподобного замещения одного фактора другим, а производительность труда не растет неограничено. Единственным препятствием для использования наиболее «хорошей» с аналитической точки зрения реальности ПЭЗ-функции является ее достаточная сложность при исследовании и оценке параметров. Функция ПЭЗ имеет вид:

р

F(1) = А(1 )[кК(1)-р + (1 - к)L(1)-р

р

где А(1) - научно-технический прогресс, 0 < к < 1 - параметр степени фондоемкости, в > 0 - параметр

1

отдачи на масштаб производства или степени однородности функции, а = 1 + р - эластичность

замещения ресурсов, а > 0, а ^ 1 [10].

При моделировании научно-технического прогресса (НТП) будем исходить из представления об экзогенном (или автономном) техническом прогрессе, который существует также в том случае, когда основные производственные факторы не изменяются. Частным случаем такого НТП является нейтральный прогресс по Хиксу, который обычно учитывается с помощью экспоненциального множителя. Тогда с учетом НТП ПЭЗ примет вид:

F (1) = ае11 [кК(1) -р + (1 - кЖ1) -р ]р, где а0 - параметр масштабирования, X - темп прироста за счет нейтрального НТП.

Обычно х1 и х3 измеряются в стоимостных единицах, х4 - в человеко-часах или численности работников. Такая производственная функция используется для описания объектов от промышленного объединения до отрасли, характеризующейся устойчивым, стабильным функционированием. Сумма коэффициентов эластичности представляет собой показатель эффекта расширения масштаба.

Как было сказано выше, производственная сфера функционирует при заданной налоговой ставке v(t) и своими внутренними управлениями она распоряжается так, чтобы минимизировать х2, а

внешняя среда заинтересована в том, чтоб налоговые отчисления были «побольше». В нашем случае задача оптимизации налоговой ставки состоит в максимизации налоговых отчислений х2, то есть х2 ^ тах.

Формализованная постановка задачи об оптимизации ставки налога на прибыль будет иметь вид: Переменные состояния: х1 , х2 , х3 , х4 .

Переменные управления: v(1) .

Уравнения процесса:

—х Г Т- Р

(ЛЛЛ „ а/1, ч_-п — , ч хч _ -п I—

/и(аеЯ‘ [kK (t)-p + (1- k )L(t)-p ] dt

v(t)((aeЯt [kK(t)-p + (1 - к)L(t)-p ]lp - x1) - x1;

^ = e~5t (aeM [kK(t)-p + (1 - к)L(t)-p ]-lp - x1 )v(t);

^ ^(1 -а)(1 - v(t ))ae^ [kK (t)-p + (1- к) L(t)-p ]" p

dt q

-2X3 -CX1 -X3;

dX4 = X

^4 - lX4°“ :f:>

Начальные значения:

X1(0) = xl0, X2(0) = X20 , X3(0) = ^ X4(0) = X40 , t Є [0, T].

Ограничения на фазовые переменные:

x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, x4 > 0 .

Ограничение на управление:

v < v(t) < v .

mm V У max

Целевая функция: x2 ^ max .

Параметры:

U , a, Я, к, p , P, 5 , Я, q, а, 2, c, l, L .

Значения параметров являются постоянными:

U = U*, a = a *, Я = Я*, к = к *, p = p*, P = P*, 5 = 5*, Я = Я*, q = q *, а = а*, 2 = 2*, c = c *, l = l *, L = L *.

3. Численные эксперименты

Проведем численное исследование модели на основе данных годовой отчетности, бухгалтерской отчетности по российским стандартам и ежеквартальных отчетов эмитента за период 2002-2010 гг. ОАО «Иркутскэнерго» [10].

Доля выручки, которая составит затраты на производство в следующем году и , определяется средним значением отношения выручки, уменьшенной на сумму налоговых отчислений, к затратам на производство за рассматриваемый период. По результатам расчетов и = 0,ТТ .

Коэффициент дисконтирования получен на основе рентабельности по прибыли. Для энергетической промышленности рентабельность должна составлять не менее 10% (для «Иркутскэнерго» среднее значение за период 10,5%). Тогда коэффициент дисконтирования 5 = 0,91.

Фондоотдача, рассчитанная на основе среднегодовой стоимости ОПФ, равна q = 0,36 . В динамике данный показатель растет, и, следовательно, повышается эффективность использования ОПФ.

Коэффициент производственных затрат, который определяется как отношение суммы материальных затрат к выпуску, в среднем за изучаемый период составил а = 0,40 .

Для различных ОПФ энергетического предприятия установлена разная норма амортизации: от

8

0,4% на высотные здания до 20% на вентиляционные системы. Для «Иркутскэнерго» средняя норма амортизации % = 2,5% .

Коэффициент непроизводственного потребления составил с = 1295,01.

Мальтузианский параметр, т.е. скорость роста (убывания) численности персонала получен с помощью линейного оценивания параметров. Он равен I = 1,159, что означает стремление численности к устойчивому равновесию.

Емкость среды выражается в единицах численности и носит системный характер. После анализа данных об изменении числа сотрудников ОАО «Иркутскэнерго» получено значение L = 8000 .

Параметры производственной функции получены с использованием метода Левенберга-Марквардта и метода сопряженных градиентов: а = 0,03, Л = 0,99 , к = 0,79, р = 0,19, [ = 0,276 .

Начальные значения для расчетов взяты из годовой отчетности: х1(0) = 32 956 118 тыс.р., х2(0) = 2 645 999 тыс. р., х3(0) = 93 291 660 тыс. р., х4(0) = 8072 чел.

Теперь найдем оптимальную ставку налога на прибыль для 10% < v(t) < 35% и 1 £ [0,6] с помощью комплекса программ OPTCON [11]. Для каждого из приведенных в первом разделе класса задач в пакете OPTCON программно реализовано несколько методов оптимизации. При расчете оптимального управления в каждой конкретной задаче автоматически используется своя многометодная схема оптимизации. Рассмотрим динамику показателей деятельности ОАО «Иркутскэнерго» для полученной оптимальной ставки налога на прибыль (рис. 1):

600000000

500000000 ---------------------------------------

400000000 -------------------------------------

300000000

200000000 100000000 ...........

о ---------------------------------------------

2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

год

Рис. 1. Поведение модели при оптимальной ставке налога на прибыль

В ходе оптимизации ставки налогообложения прибыли предприятия было установлено, что на протяжении 6 лет наблюдается рост затрат на производство, налоговых отчислений, количества ОПФ и количества трудовых ресурсов. К окончанию рассматриваемого периода ставка налога на прибыль снижается с 35 до 20% (рис. 2), а налоговые отчисления становятся равными 7 979 170 тыс. р., вместо первоначальных 7 965 270 тыс. р.

• Затраты на производство, тыс руб Налоговые отчисления, тыс руб

* Основные

фонды, тыс .руб. -Численность персонала, чел

40

35

30

25

Ставка налога на прибыль, %

10

о

2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

год

Рис. 2. Оптимальная ставка налога на прибыль предприятия

После введения оптимальной ставки налога на прибыль к концу исследуемого периода (т.е. к концу 2017 г.) затраты на производство уменьшились на 0,38%, налоговые отчисления увеличились на 0,07%, основные производственные фонды уменьшились на 5,8%, а численность персонала осталась без изменений. Такие незначительные изменения для налоговых отчислений заставляют задуматься: а есть ли смысл изменять ставку налога на прибыль предприятий, чтобы увеличить поступления в бюджет на 5310 тыс. р.? Скорее всего, нет.

Заключение

В ходе исследования и оптимизации ставки налогообложения прибыли предприятия были найдены значения параметров математической системы, моделирующей деятельность ОАО «Иркутскэнерго», ставки налога на прибыль и таких показателей, как затраты на производство, налоговые отчисления, количество основных производственных фондов, количество трудовых ресурсов.

Не стоит забывать, что трудно рассчитывать на то, что можно теоретически обосновать идеальную шкалу налогообложения. Немаловажное значение в оценке ее справедливости имеют национальные, психологические и культурные факторы. В данном случае, когда в результатах расчетов выяснено, что ставку нужно сначала поднять до максимального уровня в 35%, а затем опять вернуться к 20%, получив при этом относительно небольшие отчисления в государственный бюджет, следует оставить текущее значение ставки налога на прибыль в 20%.

Таким образом, можно сделать вывод, что для каждой задачи существует своя последовательность шагов, состоящая из итераций разных методов оптимального управления [3-6], которая адекватно учитывает особенности решаемой задачи и тем самым обеспечивает наиболее эффективный поиск оптимального управления. В многометодных алгоритмах построение такой последовательности выполняется автоматически по некоторому заданному критерию, оценивающему эффективность процесса оптимизации на всех этапах решения задачи.

На практике многометодная технология существенно повышает надежность получения правильных результатов при расчете оптимального управления реальными объектами, что в значительной мере обеспечивает эффективность и безопасность их движения по оптимальной траектории.

Литература

1. Влияние налогообложения на инвестиции [Электронный ресурс]: иЯЪ: www.investmarket.ru/ Reports/show.asp?id=87.

2. НК РФ.

3. Васильев О.В., Тятюшкин А.И. Об одном методе решения задач оптимального управления, основанном на принципе максимума // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. - Т.21, №.6. - 1981. - С. 1376-1384.

4. Тятюшкин А.И. Параллельные вычисления в задачах оптимального управления // Сиб. журн. выч. матем. / РАН. Сиб. отд-ние. - Новосибирск, 2000. - Т. 3, №. 2. - С. 181-190.

5. Тятюшкин А.И. Численные методы решения задач оптимального управления с ограничениями

на фазовые координаты // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1998. - №. 2. - С. 127-133.

6. Тятюшкин А.И. Многометодная технология оптимизации управляемых систем. Новосибирск: Наука, 2006. - 343 с.

7. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. - М.: Изд-во МГУ, 1993. - 301 с.

8. Москаленко А.И. Оптимальное управление моделями экономической динамики. - Новосибирск: Наука, Сибирское предприятие РАН, 1999.

9. Гуяев М.В. Эконометрика. Конспект лекций. Керченский государственный морской технологический университет. - Керчь, 2012. - 68 с.

10. Раскрытие информации ОАО «Иркутскэнерго» [Электронный ресурс]: URL:

http://www.irkutskenergo.ru/qa/reports.html

11. Горнов А.Ю. Комплекс программ OPTCON для решения прикладных задач оптимального управления: Информационные и вычислительные технологии и системы / материалы Всеросс. конф.

- Улан-Удэ, 2003. - Ч.1. - С.112-115.

Колмакова Анастасия Ивановна, аспирант Байкальского государственного университета экономики и права, e-mail: kolmakova.a.i@mail.ru.

Kolmakova Anastasiya Ivanovna, postgraduate student, Baikal State University of Economics and Law, e-mail: kolmakova.a.i@mail.ru.