Сравнительный анализ напряженно-деформированного состояния на мезоуровне в двумерных и трехмерных поликристаллических образцах

УДК 539.3

Сравнительный анализ напряженно-деформированного состояния на мезоуровне в двумерных и трехмерных поликристаллических образцах

В.А. Романова, P.P. Балохонов

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

В работе проведен сравнительный анализ распределений напряжений и деформаций на мезоуровне в поликристаллических структурах, находящихся в условиях плоской деформации и плоского напряженного состояния, и в сечениях трехмерного образца. Показано, что при одинаковых макроскопических кривых нагружения картины локализации пластической деформации на мезоуровне в двумерных и трехмерной моделях существенно отличаются качественно и количественно. Один и тот же эффективный отклик материала может быть обеспечен различными распределениями напряжений и деформаций на мезоуровне, в зависимости от способа приложения нагрузки и геометрических особенностей образца (тонкие пластины, массивные образцы и т.д.).

Ключевые слова: поликристаллическая структура, пластическая деформация, численное моделирование, двумерные и трехмерные модели

Comparative analysis of mesoscale stress-strain patterns in two- and three-dimensional polycrystalline specimens

V.A. Romanova and R.R. Balokhonov

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

In the work, comparative analysis was performed for the mesoscale stress and strain distributions in two-dimensional polycrystalline structures under plane strain and plane stress conditions and in sections of three-dimensional polycrystalline specimens. It is shown that with identical macroscopic loading diagrams, the patterns of mesoscale plastic strain localization in the two- and three-dimensional models display great qualitative and quantitative differences. The same effective response of the materials can be attained with certain mesoscale stress and strain distributions depending on the type of load application and on the specimen geometry (thin plates, bulk specimens, etc.).

Keywords: polycrystalline structure, plastic strain, numerical simulation, two- and three-dimensional models

1. Введение

Одним из возможных подходов к многоуровневому моделированию механического поведения материалов является учет внутренней структуры в явном виде, через зависимость физико-механических свойств (плотности, предела текучести, модулей упругости и др.) от координат [1-3]. В качестве структурных элементов могут выступать зерна поликристаллов и межзеренные границы, армирующие включения и матрица в композитах, поры, покрытия и т.д.

Задачи моделирования с явным учетом мезострук-туры предъявляют высокие требования к размеру и

разрешению расчетной сетки. С одной стороны, приграничные области структурных элементов должны быть аппроксимированы с достаточной степенью подробности, с другой стороны, расчетный объем должен быть представительным, чтобы описать эффективный отклик материала.

Известно, что требования к вычислительным ресурсам и степень усложнения численной реализации нелинейно растут с увеличением размерности задачи. Трехмерные задачи механики требуют существенно больших вычислительных затрат по сравнению с двумерными аналогами. Анализ напряженно-деформирован-

© Романова В.А., Балохонов P.P., 2009

ного состояния в трехмерном образце также существенно усложняется, т.к. каждое сечение образца демонстрирует индивидуальное распределение напряжений и деформаций на мезоуровне. В связи с этим привлекательной является идея о замене трехмерного анализа решением двумерных задач.

Хотя реальные материалы трехмерны по своей физической природе, во многих случаях удается свести задачу к двумерной путем введения предположений, что некоторые компоненты тензоров напряжений и/или деформаций остаются при нагружении постоянными или равными нулю. Вопрос о соответствии моделей различной размерности достаточно ясен для бесструктурной среды с усредненными параметрами. Однако для неоднородных материалов вопрос о соответствии двумерных и трехмерных моделей на мезоуровне до сих пор остается открытым.

В работах [4, 5] авторы исследовали проблему соответствия двумерных и трехмерных моделей на примере металлокерамических композитов. Было показано, что напряженно-деформированное состояние в сечениях трехмерных образцов отличается качественно и количественно от реализующегося в аналогичных плоских структурах, рассчитанных в приближениях плоской деформации и плоского напряженного состояния. Макроскопические кривые нагружения, полученные в трехмерных и двумерных расчетах, также отличались, что было связано с различными объемными долями включений в двумерных сечениях и трехмерном образце.

В настоящей работе сравнительный анализ двумерных и трехмерных моделей проводится для поликрис-таллического материала, чьи зерна демонстрируют незначительные отличия упругих и пластических характеристик по сравнению с композитами.

2. Математическое описание напряженно-деформированного состояния в двумерных и трехмерных задачах

При построении математической модели поведения сред с учетом структуры будем исходить из предположения о сохранении сплошности среды на мезоуровне в условиях упругопластической деформации. Тогда для описания упругопластических течений на мезоуров-не может быть применен математический аппарат механики сплошных сред. Общая система уравнений для описания динамического поведения сплошной среды, включающая законы сохранения массы, импульса и энергии, приведена во многих работах (например в [6, 7]). Остановимся более подробно на формулировке определяющих соотношений в трехмерных и двумерных задачах, определяющих связь между компонентами тензоров напряжений о у и деформаций Еу.

Компоненты тензора напряжений о у удобно определять в виде суммы шаровой и девиаторной части:

Оу = -Р8у + Бу,

где Р — давление; Бу — компоненты девиатора напряжений; 8у — символы Кронекера; точка над символом означает производную по времени.

Для описания шаровой части тензора напряжений при квазистатическом нагружении целесообразно использовать линейное уравнение состояния:

Р = -К %,

где К—модуль объемного сжатия. Компоненты тензоров девиатора напряжений и девиатора скоростей деформаций в случае упругопластической среды связаны соотношением

Бу + ХБу = 2ц

где ц — модуль сдвига. Тензор скоростей деформации определяется соотношением

Еу = 1/2

где и, = х, — компоненты вектора скорости; х, — пространственные координаты; е и е? — компоненты тензоров упругой и пластической деформации соответственно; запятая после нижнего индекса означает производную по соответствующей координате.

Скалярный множитель X, входящий в (3), тождественно равен нулю в упругой области и пропорционален мощности энергии формоизменения в области пластического течения. Упругопластический переход в рассмотренных далее примерах описывался критерием текучести Мизеса, согласно которому компоненты де-виатора напряжений приводятся на поверхность текучести умножением Бу на величину ст0Д>/3БуБу) при условии, что

БуБу > | °2,

где о0 — предел текучести.

Наиболее распространенными постановками двумерной задачи являются случаи плоской деформации и плосконапряженного состояния. В качестве примера на рис. 1 приведены схемы нагружения поликристалли-ческого материала в трехмерном и двумерных приближениях.

В случае плоской деформации смещения и, соответственно, деформации вдоль одного из направлений считаются равными нулю. Такие условия реализуются, например, в поперечных сечениях однонаправленных композитов, армированных волокнами. В этом случае деформированное состояние определяется тремя ненулевыми компонентами тензора деформаций е11, е22 и е12. Отметим, что упругая и пластическая деформации в направлении оси Х3 либо также равны нулю, либо равны между собой по модулю и противоположны по знаку:

езз = езз + езз = 0, езз = -езз.

Lm

Рис. 1. Схематическое представление структур в трехмерном случае

Соответствующий тензор напряжений имеет четыре отличные от нуля компоненты о11, о22, о33 и о12. Однако напряжение о33 не является независимым и, как правило, исключается из анализа напряженного состояния.

Плоское напряженное состояние реализуется в тонких пластинах или пленках, толщина которых намного меньше длины и ширины, и компоненты тензора напряжений в направлении третьей координаты принимаются равными нулю:

О33 = - Р + Б33 = 0 или 533 = Р.

Тензор напряжений в этом случае определяется тремя ненулевыми компонентами оп, о22 и о12. Соответствующий тензор деформаций будет иметь четыре ненулевые компоненты еп, е22, е12 и е33. Для е33 справедливо выражение

V

Е33 _ у (Є11 +е22)-

В предложенных далее примерах задачи в двумерных и трехмерной постановке решались численно, конечно-разностным методом, предложенным в [6] для описания течений в средах с внутренними границами раздела. Подробно методы построения явных конечноразностных схем для многомерных течений рассмотрены в [6, 7].

Учет в явном виде внутренней структуры осуществляется через зависимость соответствующих констант материала (плотности, пределов текучести, модулей упругости и т.п.) от координат х, ^ = 1, 2, 3). На уровне численной реализации в точках дискретизированной расчетной области, принадлежащих различным структурным элементам, задаются соответствующие физикомеханические свойства. Дискретизация расчетной сеткой осуществляется таким образом, чтобы поверхности раздела совпадали с узлами расчетной сетки, тогда уравнения континуальной механики могут применяться таким же образом, как и для однородной среды, но опреде-

ляющие соотношения и/или механические свойства по разные стороны от границы раздела будут различными.

3. Структура, механические свойства и условия нагружения образцов

Для генерации трехмерной поликристаллической структуры был применен метод пошагового заполнения дискретизированного объема структурными элементами в соответствии с определенными геометрическими законами. Подробно алгоритм генерации поликристал-лических структур приведен в [8, 9]. Прямоугольный объем дискретизируется регулярной расчетной сеткой с кубическими ячейками. В качестве начальных условий в объеме случайным образом распределяются центры зарождения кристаллитов. Последующий рост всех зерен подчинялся сферическому закону и происходил с одинаковой скоростью. Поликристаллическая структура из 280 зерен, сгенерированная на сетке 96 х 75 х 92, приведена на рис. 1, а.

Для исследования был выбран модельный материал, характеризующийся наличием выраженной упругой стадии нагружения и умеренным деформационным упрочнением на стадии пластического течения. Величина пределов текучести различных зерен определялась с учетом деформационного и зернограничного упрочнения. Подробно такая модель описана в [9].

Зернограничное упрочнение учитывалось через известную зависимость Холла-Петча:

Сто =ст8 + ,

где ст8 — предел текучести монокристалла алюминия; ку — коэффициент зернограничного упрочнения и D — диаметр зерна. В рамках численной реализации диаметр зерна рассчитывался как диаметр сферы такого же объема.

Деформационное упрочнение учитывалось через зависимость напряжения течения от накопленной пластической деформации, полученную аппроксимацией

Рис. 2. Частотные распределения компонент тензора напряжений в трехмерном образце

ся постоянными, но меняются при переходе через меж-зеренную границу. В соответствии с цветовой шкалой, использованной для изображения поликристалличес-кого конгломерата на рис. 1, а, чем темнее зерно, тем выше его упругие модули. В расчетах задавались следующие константы (в угловых скобках приведены средние значения): р0 = 2.7 г/см3, (ц) = 27.7 ГПа, (К) = 72.8 ГПа, о8 = 5.0 МПа, ку = 875 МПа • мкм1/2.

Схема нагружения трехмерного образца приведена на рис. 1, а. Граничные условия в скоростях, заданные на боковых поверхностях, имитировали растяжение вдоль оси Х1 с постоянной скоростью, перемещения в плоскости (Х2, Х3) не ограничивались. Остальные четыре поверхности образца считались свободными от внешних нагрузок.

экспериментальной кривой нагружения для сплава А16061(Т3) [10]. Для г-го зерна эта зависимость имеет вид:

о0 = о0 + 65

где о0 — предел текучести; еeq — интенсивность накопленной пластической деформации; О0 — напряжение начала пластического течения, полученное из соотношения (9).

Различие упругих характеристик кристаллитов в зависимости от их ориентации учитывалось путем случайного разброса модулей упругости между зернами в пределах 5 % относительно среднего значения. Таким образом, внутри зерна упругие характеристики остают-

4. Анализ и обсуждение результатов

Проведем сравнительный анализ распределений напряжений и деформаций на мезоуровне в сечениях трехмерного образца и соответствующих двумерных структурах, находящихся в условиях плоской деформации и плоского напряженного состояния (рис. 1). Будем также сравнивать эффективный (макроскопический) отклик, полученный путем осреднения характеристик напряженно-деформированного состояния по соответствующим образцам.

Трехмерный образец с макроскопической точки зрения находится в условиях одноосного растяжения. Этому соответствуют частотные распределения различных

Рис. 3. Изолинии интенсивности напряжений (а-в) и рельеф интенсивности пластических деформаций (г-е) в среднем сечении трехмерного поликристалла (а, г) и соответствующей двумерной структуре, находящейся в условиях плоской деформации (б, д) и плоского напряженного состояния (в, е). е = 0.25 %

Рис. 4. Эффективные кривые нагружения (а) и частотные распределения пластических деформаций (б), полученные в двумерных и трехмерных расчетах

компонент тензоров напряжений и деформаций (рис. 2). Несмотря на то что в локальных областях все компоненты тензоров напряжений и деформаций отличны от нуля, их средние значения равны нулю (частотные распределения симметричны относительно нуля). Ненулевой вклад в эффективный макроскопический отклик вносят только компоненты о11 и еЦ направленные вдоль оси растяжения.

Как было отмечено выше, плоское напряженное состояние реализуется в тонких пластинах или пленках, толщина которых намного меньше длины и ширины, и компоненты тензора напряжений в направлении третьей координаты принимаются равными нулю. В случае плоской деформации смещения и деформации вдоль одного из направлений считаются равными нулю. Такое состояние может реализоваться при растяжении тонкой поликристаллической пластины, закрепленной между жесткими стенками в перпендикулярном направлении. В соответствии с этими модельными представлениями двумерные расчеты были проведены для сечений трехмерного образца, расположенных на разном расстоянии от поверхности. На рис. 3 приведены распределения интенсивностей напряжений и пластических деформаций в сечении трехмерного образца и соответствующих двумерных структурах в условиях плоского напряженного состояния и плоской деформации. Кривые нагружения, отражающие эффективный отклик поликристаллов, представлены на рис. 4, а. Здесь (о) — средняя по объему интенсивность напряжений, е — относительная деформация образца. Эффективные кривые нагружения, полученные в двумерных и трехмерных расчетах, демонстрируют хорошее совпадение. Расхождение кривых в пределах нескольких процентов на начальной стадии пластической деформации исчезает при дальнейшем растяжении. Это говорит о том, что выбранные структуры являются представительными, т.е. на каждую приходится достаточное количество зерен, чтобы корректно описать макроскопическое поведение материала.

Несмотря на одинаковый эффективный отклик картины пластических деформаций на мезоуровне демонстрируют очевидное отличие. В плоских структурах деформация локализуется в полосах, охватывающих несколько зерен. По этим признакам сформировавшиеся области локализации можно отнести к мезоуровню. В трехмерном образце пластическая деформация локализуется по границам зерен в результате сдвига и поворота кристаллитов друг относительно друга. Мезополо-сы локализованной деформации в трехмерном поликристалле при рассмотренной степени деформации не образуются. Причина этого заключается в наличии свободных поверхностей, обеспечивающих достаточную свободу аккомодации зерен в объеме, что способствует развитию полос локализации на гораздо более поздних стадиях нагружения.

Распределения пластических деформаций, полученные в постановках плоской деформации и плоского напряженного состояния, также отличаются между собой. Хотя ширина областей локализации и степени пластической деформации в них близки по значениям, местоположение полос локализации и угол их наклона по отношению к оси растяжения различны. При плоской деформации полосы локализации формируются под углом 45° к оси растяжения, а при плоском напряженном состоянии — 50°.

Степень локализации пластической деформации в двумерных расчетах существенно выше, чем в любом из сечений трехмерного образца (рис. 5). В последнем случае наличие свободной поверхности, являющейся мощным концентратором напряжений, является причиной более высокой интенсивности напряжений и пластических деформаций в поверхностном слое, чем в объеме (этот вопрос обсуждался в работе [9]). В сечениях, расположенных в объеме, локализация пластической деформации выражена более слабо по сравнению с поверхностью. Но даже на поверхности трехмерного поликристалла степень локальной деформации ниже, чем в двумерных расчетах.

Рис. 5. Интенсивность пластической деформации на поверхности и в объеме трехмерного поликристалла и в соответствующих двумерных структурах

О количественных и качественных расхождениях свидетельствует и частотный анализ пластических деформаций, проведенный по всем сечениям трехмерного образца и соответствующим плоским структурам (рис. 4, б). Частотные кривые для случаев плоской деформации и плоского напряженного состояния более пологи, чем для трехмерного случая. При удлинении образца до 0.25 % около 5 % материала в первом случае и 12 % во втором демонстрируют нулевые значения пластической деформации. Максимальные значения деформаций при этом превышают 0.6 %. В трехмерном образце при данной степени удлинения области нулевой деформации практически отсутствуют и максимальные значения не превышают 0.4 %. Основной объем материала испытывает деформации в диапазоне 0.1-0.2 %. Сравнение частотных характеристик при удлинении 0.25 и 0.5 % показывает, что расхождение между дву-

мерными и трехмерными расчетами увеличивается в процессе нагружения.

5. Заключение

Проведенный анализ показал, что двумерные и трехмерная модели поликристаллов позволяют корректно описать эффективный отклик материала. Вместе с тем, сравнительный анализ напряженно-деформированного состояния на мезоуровне показал, что двумерный анализ накладывает определенные ограничения на применение и трактовку полученных результатов. В частности, один и тот же эффективный отклик материала может быть обеспечен различными локальными распределениями напряжений и деформаций на мезоуровне в зависимости от способа приложения нагрузки (например, наличие или отсутствие закрепленных или свободных поверхностей) и геометрических особенностей

образца (тонкие пластины, бруски, объемные образцы).

Работа выполнена в рамках государственной программы РАН и программы фундаментальных исследований № 11 Президиума РАН.

Литература

1. Макаров П.В. Об иерархической природе деформации и разруше-

ния твердых тел и сред // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - № 4. -С. 25-34.

2. Люкшин Б.А., Панин С.В., Бочкарева С.А., Люкшин П.А., Мато-лыгина Н.Ю., Осипов Ю.В. Компьютерное конструирование наполненных полимерных композиций. - Томск: ТУСУР, 2007. -216 с.

3. Балохонов P.P. Иерархическое моделирование неоднородной деформации и разрушения материалов композиционной структуры // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. - № 3. - С. 107-128.

4. Romanova V., Balokhonov R., Soppa E., Schmauder S. Comparative analysis of two- and three-dimensional simulations of AI/AI2O3 be-

havior on the meso-scale level // Comput. Mater. Sci. - 2007. - V. 39. -No. 2. - P. 274-281.

5. Романова B.A., Балохонов P.P. Исследование нaпpяжeннo-дeфopми-

рованного состояния в мезообъеме AI/AI2O3 с учетом трехмерной внутренней структуры // Мех. комп. мат. констр. - 2005. - № 11. -C. 61-77.

6. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевык задач. - М.: Мир, 1972. - 418 с.

7. Wilkins М. Computer simulation of dynamic phenomena. - New York: Springer, 1999. - 246 p.

8. Romanova V, Balokhonov R., Makarov P, Schmauder S., Soppa E. Simulation of elasto-plastic behaviour of an artificial 3D-structure under dynamic loading // Comput. Mater. Sci. - 2003. - V. 28. -No. 3^. - P. 518-528.

9. Романова B.A., Балохонов P.P. Численное исследование деформационных процессов на поверхности и в объеме трехмернык поликристаллов // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 2. - С. 5-16.

10. Soppa E., Schmauder S., Fischer G., Thesing J., Ritter R. Influence of the microstructure on the deformation behaviour of metal-matrix composites // Comput. Mater. Sci. - 1999. - V. 16. - No. 1-4. - P. 323332.

Поступила в редакцию 28.07.2008 г., после переработки 18.06.2009 г.

Сведения об авторах

Романова Варвара Александровна, д.ф.-м.н., снс ИФПМ СО РАН, varvara@ispms.tsc.ru Балохонов Руслан Ревович, д.ф.-м.н., снс ИФПМ СО РАН, rusy@ispms.tsc.ru