Использование системы заданий как средства формирования предметных компетенций учащихся при обучении математике

УДК 378.1:378.124.4:372.851 doi 10.24411/2221-0458-2019-10007

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ ЗАДАНИЙ КАК СРЕДСТВА ФОРМИРОВАНИЯ ПРЕДМЕТНЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ УЧАЩИХСЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

Кара-Сал Н.М., Танова О.М., Шактар О.О. Тувинский государственный университет, г. Кызыл

THE USE OF THE SYSTEM TASKS AS MEANS OF FORMATION OF SUBJECT COMPETENCES OF STUDENTS IN LEARNING MATHEMATICS

Kara-Sal N.M., Tanova O.M., Shaktar O.O. Tuvan State University, Kyzyl

Статья посвящена формированию предметных компетенций у учащихся при изучении темы "Изображение множества точек на плоскости" на занятиях элективного курса. Рассматриваются особенности системы заданий для формирования предметных компетенций учащихся. Особое внимание обращается на связь аналитического и графического языка при изображении на плоскости множеств, заданных уравнениями, неравенствами и их системами. Использование разработанной системы заданий по теме "Изображение множества точек плоскости, заданных уравнениями, неравенствами и их системами" при проведении элективного курса способствует формированию предметных компетенций у школьников. Они развивают такие способности у учащихся, как осознанное понимание основных понятий, тем самым обеспечивая фундаментальное усвоение знаний темы и формируя как предметные компетенции, так и ключевые.

Ключевые слова: формирование предметных компетенций, компетентностный подход, наглядность, элективный курс, уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, изображение множества точек, графики функций, уравнения и неравенства с модулем, система заданий.

The article is devoted to the formation of subject competencies of students in studying the topic "Depicting a set of points on a plane" during the elective course. The features of the system of tasks for the formation of the subject competencies of students are considered. Particular attention is paid to the relation of the analytical and graphical language when depicting point sets on the plane defined by equations, inequalities and their systems. The use of the developed system of tasks during the elective course topic "Depicting sets of points on the plane defined by equations, inequalities and their systems" contributes to the formation of subject competencies of students. These competencies develop such skills in students as a conscious understanding of the basic concepts, thereby providing fundamental assimilation of topic knowledge and forming both subject competencies, and key competencies as well.

Keywords: formation of subject competencies, competency-based approach, visibility,

elective course, equations, inequalities, equations and inequalities' systems, depiction of a set of points, functions' graphs, equations and inequalities with a module, system of tasks.

Компетентностый подход согласно ется ведущей при определении качества

ФГОС является одним из основных на- учебной деятельности школьников, то важ-

правлений современного образования [9]. ной задачей учителя является формирова-Компетентностый подход подразумевает ние предметных компетенций.

освоение учащимися таких умений, ко- Известно, что предметные компетенции

торые позволяют им действовать в новых можно сформировать на уроках математи-

неопределенных условиях, для чего уча- ки, на факультативных занятиях и электив-

щимся необходимо находить и получать ных курсах. На занятиях элективных кур-

требуемые результаты. При этом главной сов возможно более углубленное изучение

задачей учителя становится мотивирова- отдельных тем школьного курса математи-

ние учащихся, где они могли бы проявить ки на основе разработки и подбора заданий

самостоятельность и инициативу. для формирования специальных предмет-

Кроме ключевых компетенций, необ- ных компетенций у учащихся.

ходимых для любой предметной области, В статье остановимся на системе задач,

важными являются предметные компетен- разработанных по теме "Изображение мно-

ции. В стандартах среднего (полного) об- жества точек плоскости, заданных урав-

щего образования под предметными ком- нениями, неравенствами и их системами",

петенциями понимают "специфические способствующих формированию предмет-

способности, необходимые для эффектив- ных компетенций учащихся при изучении

ного выполнения конкретного действия в этой темы. Эти задания нами использова-

конкретной предметной области и вклю- лись на занятиях элективного курса по ма-

чающие узкоспециальные знания, особого тематике для учащихся девятого класса. рода предметные умения, навыки, способы Анализ тем школьного курса математи-

мышления" [8]. При обучении математике ки показывает, что наиболее сложными для

под предметной компетентностью подразу- формирования осознанных знаний у уча-

мевают математическую компетентность, щихся являются те, которые связаны с ре-

которая способствует применению знаний шением математических задач с графиче-

учащимися для решения математических скими иллюстрациями множеств точек на задач. "Математическая компетенция - координатной плоскости [1,6,7]. Например,

это способность структурировать данные, изображение линий, заданных соответству-

вычленять математические отношения, ющими уравнениями, неравенствами и их

создавать математическую модель, ситуа- системами, нахождение площадей фигур,

ции, анализировать и преобразовывать ее, ограниченных некоторыми линиями без

интерпретировать полученные результаты" применения интеграла и т.д.

[8]. В процессе преподавания математики в

Так как предметная компетенция явля- школе учителю приходится опираться на

наглядные средства обучения, которые позволяют облегчить решение многих математических задач. При использовании чертежей для решения задач часто возникают новые идеи, способы решения, появляется возможность по-другому взглянуть на постановку задачи и высказать гипотезу.

При изучении темы "Изображение множества точек плоскости, заданных уравнениями, неравенствами и их системами" на первоначальном этапе учителю необходимо осуществлять систематизацию свойств и графиков элементарных функций, изучаемых в школьном курсе алгебры основной школы: линейной; дробно-рациональной; квадратичной и т.д. Заметим, что особого внимания требует повторение свойств и графиков функций, содержащих модуль, так как именно такие графики чаще встречаются при изображении линий на плоскости и нахождении площадей соответствующих фигур, образованных этими линиями.

Учащимся следует напомнить, что уравнение F (х; у) = 0 и все точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, задают на плоскости некоторую линию.

Можно предложить учащимся следующую систему заданий, постепенное выполнение которых дает возможность для решения более сложных задач. Поэтому первая группа заданий направлена на формирование ключевых компетенций школьников при изучении этой темы.

Остановимся на примерах.

Задание 1. Какое множество точек плоскости задается уравнением:

а2х + 3у -5 - 0;Ь- + У -1 2 3

15х-^ +1 - 0; 3у -5х - 2?

Из школьного курса геометрии учащимся известно, что уравнение ах + Ьу + с = 0 на плоскости задает прямую линию. Для построения прямой достаточно взять две точки, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению. В нашем случае возьмем, например, х = 1, тогда у = 1, поэтому координаты точки М(1;1) удовлетворяют уравнению прямой. Взяв х — _2, получим у = 3 , откуда имеем точку N(-2^). По этим точкам легко построить искомую прямую (рис.1).

vA

Рис. 1

Аналогично решаются задачи б, в, г.

Заметим, что зависимость разных величин друг от друга описывают по-разному - с помощью аналитического задания формулой, с помощью уравнений, неравенств и их систем. Чаще всего бывает удобно показать зависимость таким образом, чтобы были видны ее свойства. Тогда возникает необходимость построения графиков функций и уравнений. Поэтому учителю необходимо подчеркнуть школьникам эту особенность, так как их часто отпугивает формулировка, где требуется описать множество точек плоскости, заданное тем или иным уравнением, неравенством и их системой. Им проще решить задачу - построить график той или иной функции, т.е. когда зависимость задается формулой У = f (x),z = f (xУ) и т.д.

Характерной ошибкой школьников при изображении множества точек на плоскости является то, что они не отличают изображение точки (а;0) и прямой х = а или точки (0; Ь) и прямой у Ь . Поэтому в первую группу заданий целесообразно включить следующие задания.

Задание 2. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию:

-3 -3

0х - 2; 1х - —; 2х - 28х — —;

22

3у — -2;4у - 3;5у = -28у - 3.

Здесь учителю следует пояснить, что уравнение х = 2 изображает не одну точку (2; 0), а бесконечное множество точек этой прямой. А условию х = 2 и х — — удовлетворяют параллельные оси ординат прямые. Аналогично, уравнению У = 3 , например, удовлетворяют бесконечное множество точек прямой у = 3 , в том числе точка (0;3) , а условию у = -2 и у = 3 удовлетворяют параллельные оси абсцисс прямые.

Задание 3. Какое множество точек плоскости задается следующими уравнениями:

а) х2 + у2 -1 - 0

б) х2 + / +1 - 0

в) (х - 2)2 +(у +1)2 - 4

г) (х -1)2 +(у - 2 )2 = 0

д) 4х2 - 25^2 - 0

е) у2 + 4у = х2 - 4х ?

При выполнении этого задания следует обратить внимание на различные ситуации изображения множества точек на плоскости, заданных уравнениями второй степени: 1) окружность,2) точка, 3) объединение прямых; 4) пустое множество и др. Это связано с тем, что у учащихся уравнение а (х - х0) + Ь (у - у0) = R2 ассоциируется только с окружностью.

Так, если в случае (а) уравнение задает

окружность (х - 0) + (у - 0) = 22 с центром в точке (0;0) и радиуса 2, то во втором случае ) уравнению х2 + У2 не удовлетворяет ни одна точка на плоскости, так как выражение х2 + у2 > 0 .

В случае (г) условие а2 + Ь2 = 0 выполняется тогда и только тогда, когда а = Ь = 0 . В нашем случае имеем уравнение (х-1)2-(у-2)2 -0, откуда х = 1, С= 2, т.е. получим одну точку (1;2), удовлетворяющую уравнению.

В случае (д), например, имеем ситуацию 4х2 = 25у2, откуда 2* = 5у или 2х - _5у , т.е. имеем объединение прямых у = — х и

-2 5

у - — х ' 5

Изображения некоторых линий на плоскости представлены на рис.6,7

Следующую группу составляют задания на нахождение множеств точек плоскости, которые содержат модуль.

Задание 4. Определить множество точек плоскости, заданное уравнением [3,4]: а|у| = х2 - 4х + 8 1 |х| +1 у\ = 2

ЗУ =

4\у\-

+ 3

При выполнении этого задания необходимо повторить понятие модуля числа и графики элементарных функций, содержащих модуль.

В случае (а) имеем |у| = у, если у > 0, и |у| - —у, если у < 0. Поэтому строим графики функций: у = -х2 + 6х - 8 при у > 0 и у = -х2 + 6х - 8 при у < 0, которые представляют собой части парабол.

3) х > 0 , у < 0

4) х < 0 , у < 0

Построение графика данного уравнения сопряжено тем, что уравнение содержит выражения |у| и |х|. Это потребует рассмотрения четырех случаев [2]:

1) х > 0 , у > 0, тогда имеем функцию у = х2 - 4х + 3, график которой представляет собой параболу

2) х < 0 , у > 0 ^ - х2 + 4х + 3

- у — х2 - 4 х + 3 у — -х2 + 4 х - 3

- у = х2 + 4 х + 3 у — -х2 - 4 х - 3

График уравнения |х| +|у| =2 потребует раскрытия выражений |х| и |у|, которое сводится к рассмотрению четырёх случаев:

1) х>0, у>0, тогда получим уравнение х+у=2, график которого представляет собой отрезок прямой у=х+2

Аналогично в случаях 2-4 получим отрезки соответствующих прямых.

2) х<0, у>0, отрезок прямой у=х+2

3) х<0, у<0, отрезок прямой у=-х-2

4) х>0, у<0, отрезок прямой у=х-2

Таким образом, уравнение |х| + |у| =2

представляет собой квадрат, изображенной на рис.

Третья группа заданий представляет собой задания на нахождение множества точек координатной плоскости, уравнения которых задаются неравенствами. Для таких заданий требуются навыки выполнения простейших примеров, на которых базируются более сложные задания.

Рассмотрим примеры:

Задание. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию [5]:

а) х < 2; з

б) х > - 2;

в) у > -2;

г) У 1 3;

д) - 2 < х < 2;

е) -2 < у < 3;

ж) 2 < х-2 < 5;

з) 1 < 3-у < 4 .

Для решения таких заданий необходимо, чтобы учащиеся понимали геометрический смысл простейших неравенств хДа, где знак Д означает один из знаков >, >, <, < (аналогично уДЬ).

Если на координатной прямой неравенству х<а удовлетворяет множество точек, расположенных левее от а, то на координатной плоскости это неравенство определяет полуплоскость, расположенную левее прямой х=а. По аналогии определяются множества точек, удовлетворяющих неравенствам: х < а, х > а, х > а.

В случае у>Ь, например, имеем полуплоскость, которая расположена правее прямой у=Ь.

Ниже показаны изображения некоторых из приведенных выше примеров (а, Ь , е).

Задание 5. Какое множество точек пло- равенствам вида F(x, у)Д0 (знак Д означает

скости задает неравенство:

а) 3х+2у-5<0

б) (х - 2 )2+ (у +1)2 < 4

в) х2 + 2х + у2- 4 - 4 > 0

е) у <

2-у/х + 2

ж) \х\ + |у\ < 2

з) х 2+ у2- 2\х\ +4у+1 < 0 ?

>, >, <, < ) плоскость разбивается на полуплоскости, и решение задачи состоит из двух частей: изображения границы области и выбора полуплоскости, удовлетворяющей условию задачи.

Обратимся к примерам заданий

В случае (а) находим границу области, „ 5 - 3х

задаваемой неравенством у-. Это пря-

5 - 3 х 2 мая у=-, которая разбивает плоскость

При выполнении этих заданий следует на две полуплоскости. Чтобы определить, обратить внимание учащихся на то, что не- какую полуплоскость выбрать, удобно

взять контрольную точку и проверить. Покажем на примере.

Л / / /// ~Л

Л \ / / - / > \ / /

5 - 3х

Неравенство 3у —^— задает на плоскости множество точек, расположенных ниже 5 - 3х

прямой у=—^—. Возьмем контрольную точку (0; 0), тогда 0 ^ . Это означает, что полуплоскость выбрана верно.

Если в случае (б) получим внутреннюю часть окружности с центром в точке (2; -1) радиуса R=2, то в случае (в) сначала необходимо выяснить, какую линию представляет собой данное неравенство. С этой целью необходимо преобразовать левую часть неравенства, используя выделение полного квадрата, а именно х2 +2х+ у2 -4у-4=( х2 -4у+4)-1-4-4=( х +12 +( у - 22 - 9

Тогда искомое неравенство приводится к виду ( х +12 +(у - 22 > 9. Границей области является окружность с центром в точке (1; 2) радиуса 3. Множество точек, задаваемое этим неравенством, представляет собой внутренность круга, включая границу.

В пункте (д) неравенство х |у\ > 2 задает

множество точек плоскости, изображенной

на чертеже снизу (рис.14). Границей обла-

22

сти являются гиперболы у = —, у = - — .

хх

Задание в пункте (з) аналогично заданию (в), отличие заключается в том, что надо раскрыть выражение |х|. В результате получим объединение двух кругов:

(х -1)2 +(у + 22 < 4 и (х +1)2 +(у + 22 < 4

Четвертую группу заданий составляют задания, обратные выше рассмотренным, где по заданным рисункам требуется задать аналитическим способом множества точек плоскости. Покажем некоторые из них.

а)

х - у < 2 ; X + у > 1 - х + 2 у < 3

б) в)

| х2 + 2 х + 6 > 0 [ х - 4 > 0 '

х - 5 < 0 х2 - 6х + 9 < 0 '

В пятую группу включаются задания на изображение множества точек плоскости, заданные системой линейных неравенств.

Задание 6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющий условию:

Г х +1 < 0 г) |х2 -7х +18 > 0

Таким образом, использование разработанной нами системы заданий по теме "Изображение множества точек плоскости, заданных уравнениями, неравенствами и их системами" при проведении элективного курса способствует формированию предметных компетенций у школьников. Они развивают такие способности у учащихся, как осознанное понимание основных понятий, тем самым обеспечивая фундаментальное усвоение знаний темы и формируя как предметные компетенции, так и ключевые.

Библиографический список

1. Атанасян Л.С. Геометрия: учеб. Для 7-9 кл.средней школы. М.: Просвещение, 5. 2012. 255 с.

2. Кара-Сал Н.М. Методика обучения учащихся решению задач, связанных с описанием множества точек на плоскости. // Научные труды Тывинского государственного университета. Кызыл: ОИО ТывГУ 2006. С.62-65.

3. Кара-Сал Н.М. Методические рекомен- 6. дации при изучении темы «Модуль числа» в 6 классе. Башкы. 1996. №3. С.28-

32. 7.

4. Кара-Сал Н.М. Решение некоторых

уравнений на уроках алгебры в 7-9 кл. Башкы. 1997. №5. С.11-15. Кара-Сал Н.М., Танова О.М. Пропедевтика изучения элементов геометрии в тувинской национальной школе. // Сознание человека: традиционно устойчивые модели жизни этноса и эволюция: материалы международного конгресса по этнической психологии, 3-7 июля 2012 г. Кызыл. 2013. С.21-27. Мордкович А. Г. Алгебра, 8 кл. Ч. 1-2: учебник/ А. Г. Мордкович. М.: Мнемози-на, 2013.

Мордкович А. Т. Алгебра, 9 кл. Ч. 1-2: учебник /А. Г. Мордкович, П. В. Семё-

нов. М.: Мнемозина, 2013.

8. Семенов А.Л. О концепции развития российского математического образования // Наука об образовании. 2013. №3. С.46-62.

9. Федеральные государственные образовательные стандарты. Режим доступа: https://fgos.ru/

10. Ященко И В. и др. ЕГЭ 2019, Математика. 36 вариантов. Профильный уровень. М.: Изд-во Национальное образование, 2019. 240 с.

References

1. Atanasyan L.S. Geometriya: ucheb.dlya 7-9 kl.srednei shkoly [Geometry. A textbook for the 7-9th forms of the secondary school]. Moscow, Prosvesheniye Publ., 2012. 255 p.

2. Kara-Sal N.M. Metodika obucheniya uchashikhsya resheniyu zadach, svyazannykh s opisniyem mnozhestva tochek na ploskosti [Methods of teaching students to solving tasks related to description of a set of points on a plane]. Nauchnye trudy Tyvinskogo gosudarstvennogo universiteta [Scientific works of Tuvan State University]. Kyzyl, TuvSU Publ., 2006. Pp.62-65.

3. Kara-Sal N.M. Metodicheskiye rekomendatsii pri izuchenii temy «ModuF chisla» v 6 klasse [Methodical recommendations in the process of studying the topic «Number Module» at the 6th form]. Bashky Journal. 1996. No.3. Pp.2832.

4. Kara-Sal N.M. Resheniye nekotorykh uravneniy na urokakh algebry v 7-9 kl.[Certain equations solving on Algebra classes at the 7-9th forms]. Bashky Journal.

1997. No.5. Pp.11-15.

5. Kara-Sal N.M., Tanova O.M. Propedevtika izucheniya elementov geometrii v tuvinskoi natsionalnoi shkole. Soznaniye cheloveka: traditsionnoustoichivyemodelizhiznietnosa i evolyutsiya: materialy mezhdunarodnogo kongressa po etnicheskoi psikhologii, 3-7 iyulya 2012 g. [Propedeutics of studying geometry elements at a Tuvan national school. Human Conscious. Traditional models of ethnos living and evolution. Materials of the international congress on Ethnic Psychology, 3-7th July, 2012]. Kyzyl, 2013. Pp.21-27.

6. Mordkovich A G. Algebra, 8 kl. Ch.1-2: uchebnik [Algebra, 8th form. Parts 1-2]. Moscow, Mnemozina Publ., 2013.

7. Mordkovich A G. Algebra, 9 kl. Ch.1-2: uchebnik [Algebra, 9th form. Parts 1-2]. Moscow, Mnemozina Publ., 2013.

8. Semyonov A.L. O kontseptsii razvitiya rossiyskogo matematicheskogo obrazovaniya [On the concept of Russian mathematical education development]. Nauka ob Obrazovanii [Science of Education Journal]. 2013. No.3. Pp.46-62.

9. Federal'nye gosudarstvennye obrazovatel'nye standarty [Federal State Standards of Education]. Available at: https://fgos.ru/

10. Yashchenko I.V. et al. EGE 2019, Matematika. 36 variantov. Profilny uroven' [EGE Unified State Exam 36 variants. Mathematics Advanced Level]. Moscow, Natsional'noye Obrazovaniye Publ., 2019. 240 p.

Кара-Сал Надежда Маасовна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и МПМ Тувинского государственного университета, г. Кызыл, E-mail: kara-sal.53@ mail.ru

Танова Оксана Монгушовна, старший преподаватель кафедры математики и МПМ Тувинского государственного университета, г. Кызыл, E-mail: tanova-oksana@mail.ru Шактар Ойнарина Очуровна, преподаватель кафедры математики и МПМ Тувинского государственного университета, г. Кызыл, E-mail: oynarina@mail.ru

Nadezhda Kara-Sal, Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor at the Department of Mathematics and Mathematics Teaching Methods, Tuvan State University, Kysyl, E-mail: kara-sal.53@mail.ru

Oksana Tanova, Senior Lecturer at the Department of Mathematics and Mathematics Teaching Methods, Tuvan State Unversity, Kysyl, E-mail: tanova-oksana@mail.ru Oynarina Shaktar, Lecturer at the Department of Mathematics and Mathematics Teaching Methods, Tuvan State University, Kyzyl, e-mail: oynarina@mail.ru

Дата поступления статьи в редакцию 21.06.19