Квантовая теория сверхизлучения. I

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2006. №4(44)• 85

ФИЗИКА

УДК 130.145

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХИЗЛУЧЕНИЯ. I1

© 2006 Е.К. Башкиров2

Развита квантовая теории сверхизлучения в двух- и трехуровневых макроскопических системах, взаимодействующих с электромагнитными полями, на основе метода исключения бозонных переменных.

Введение

Сверхизлучение (СИ) или коллективное спонтанное излучение представляет собой кооперативное когерентное излучение, возникающее вследствие спонтанного самопроизвольного зарождения и усиления корреляций первоначально независимых атомов [1—16]. Установление корреляции между атомами или фазирование их дипольных моментов происходит за счет обмена фотонами через общее поле излучения в процессе эволюции. Этим СИ принципиально отличается от других когерентных оптических явлений, таких как затухание свободной поляризации, оптической нутации и фотонного эха, в которых когерентность излучения не возникает самопроизвольно в процессе излучения, а обусловлена внешней когерентной накачкой.

Исследование СИ в макроскопических системах началось с 1954 года, когда была опубликована основополагающая работа Р. Дикке [1]. В этой работе Дикке впервые показал, что макроскопическая система из N инвертированных атомов с размерами, меньшими длины волны излучения (’’сосредоточенная” или ’’точечная” система излучателей), может спонтанно перейти в основное состояние за время в N раз меньшее времени спонтанного излучения То атомов: = То/N. При этом

интенсивность излучения оказывается пропорциональной квадрату числа излучателей I ~ №, в отличие от обычного спонтанного излучения независимых атомов, для которого интенсивность излучения пропорциональна числу излучателей I ~ N. Для оптического и инфракрасного, т.е. наиболее интересных с точки зрения применений диапазонов излучения, сосредоточенная модель СИ не применима. Однако в ряде работ (см. ссылки в обзоре [13]) была теоретически предсказана возможность реализации СИ в протяженных телах. Экспериментально СИ наблюдалось впервые на вращательных переходах в газообразном HF [17]. Позднее СИ наблюдалось в протяженных средах: газах и парах металлов в оптическом, инфракрасном, дальнем инфракрасном и миллиметровом диапазонах (см. ссылки в

1 Представлена доктором физико-математических наук профессором В.А. Салеевым.

2Башкиров Евгений Константинович (bash@ssu.samara.ru), кафедра общей и теоретической физики Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

монографиях [14, 15]. Большое количество работ посвящено экспериментальному изучению оптического СИ на примесях в твердых телах [18-24]. В последнее время СИ удалось наблюдать в полупроводниковых гетероструктурах [25-27], органических красителях [28] и других средах. Сосредоточенную модель Дикке также удалось позднее реализовать экспериментально как в радиочастотной области на протонных спинах (см. ссылки в [16]), так и в оптическом диапазоне на тонких оптических пленках [24].

Наиболее важными характеристиками импульса СИ являются время наведения корреляций между излучателями или время СИ Тд (определяет ширину импульса СИ на половине высоты) и время задержки сверхизлучательного импульса го. Для возникновения СИ в инвертированной системе первоначально некоррелированных излучателей необходимо выполнение следующих условий:

Здесь х = Ь/е — время пролета фотона через образец, где Ь — длина активной части излучающего образца, Т\ —однородное времена продольной релаксации (для рассматриваемой задачи эта величина представляет собой время спонтанного излучения изолированного атома То), Т2 — однородное время поперечной релаксации или время релаксации дипольного момента (вследствие нерадиационных релаксационных взаимодействий, таких как столкновения в газах, рассеяние фотонов в твердом теле и других, которые возмущают дипольные осцилляции резонансного атома без изменения его энергии, инверсия может затухать со скоростью, отличной от скорости затухания дипольного момента [3]), Т2 —неоднородное время релаксации или время фазовой памяти, в течение которого сохраняются межатомные фазовые корреляции (в газах неоднородное уширение обусловлено эффектом Доплера), хр —длительность импульса накачки.

Левое неравенство в формуле (1) означает, что фотоны покидают объем за период, меньший времени наведения межатомных корреляций, так что стимулированными процессами во время развития СИ можно пренебречь. Правое неравенство в той же формуле означает, что процессы наведения коллективных корреляций протекают быстрее, чем любые другие релаксационные процессы в индивидуальных атомах. Неравенство (2) означает, что процесс создания инверсной населенности атомной подсистемы должен закончиться раньше, чем сформируется коллективный импульс. В противном случае вклад в создание когерентного импульса даст только часть излучателей среды. Часто условие (2) записывают в виде более жесткого неравенства хр ^ Тд, которое, однако, не выполняется для многих известных экспериментов по СИ. Как отмечалось в работе [14], выполнение условия Тд ^ Т2 необходимо только в случае полного ”накрывания” неоднородно-уширенной линии спектром возбуждающего импульса накачки. В случае селективного ”накрывания” этой линии узким спектром возбуждающего импульса накачки время Т2 в неравенство (2) входить не должно.

Некоторые количественные ограничения, накладываемые неравенством (2) и связанные с эффектами распространения СИ, были получены Фридбергом и Хартманом и Арекки и Куртенсом [3]. Согласно Фридбергу и Хартману, в случае полного накрывания неоднородно-уширенной линии спектром возбуждающего импульса накачки и при условии Р ^ 1 = Ц- —число Френеля, Ь— длина образца

и 5 —площадь сечения образца), если не выполнено условие Ьа > 2Т'^/хд , где а — обратная длина поглощения, то СИ практически отсутствует, так как коллективный распад происходит гораздо медленнее, чем дефазировка. В условиях

селективного возбуждения неоднородно-уширенной линии узким спектром возбуждающего импульса накачки формула Фридберга-Хартмана приобретает вид [14]: Ьа = 2—.

Для получения когерентного излучения в результате СИ необходимо упорядочение поля, т.е. уменьшение степеней свободы, по которым распределена его энергия. Для дискриминации мод поля по направлению вылета фотонов в экспериментах по СИ используют образцы особой иглообразной формы, для которых 5 ^ Ь2, где 5 —площадь поперечного сечения образца. В этом случае моды поля, распространяющиеся вдоль оси образца, усиливаются значительно сильнее, чем моды, испускаемые в других направлениях [11]. Для получения образца такой формы обычно используют ”продольную” или ”поперечную” накачку. В первом случае использую лазерный пучок накачки с площадью сечения 5 ^ X2, который пересекает образец, или пучок атомов с размерами Ь2 ^ 5. Во втором случае лазерный пучок диаметра Ь направляется перпендикулярно атомному пучку с площадью сечения 5.

При выполнении указанных выше условий система инвертированных излучателей через время задержки го испускает когерентный одиночный мощный импульс, интенсивность которого пропорциональна квадрату числа излучателей в образце, 1с ~ ^. Причем большая часть энергии излучается в малые телесные углы в направлениях наибольшей вытянутости образца. В случае х > Тд (или Ь > Ьг, где Ьг = ехд и е — скорость света) разные участки иглообразного образца начинают излучать независимо от других, поскольку из-за конечности е корреляции между соседними участками отсутствуют [13]. Излучение от одного участка начинает передвигаться к соседним участкам, при этом часть излученной энергии снова передается в атомную подсистему, и излучение формируется в виде последовательных импульсов с уменьшающимися амплитудами. В этом случае в теле иглообразной формы возникает осцилляторный режим СИ.

Ограничимся в дальнейшем рассмотрением одноимпульсного режима СИ, т.е. будем считать, что условие Ь/е < Тд выполнено. Для иглообразных образцов СИ реализуется для приосевых мод, направления волновых векторов которых лежат в малом телесном угле АО = 2п©о, где ©о = д/Ь — геометрический угол и 2д — диаметр поперечного сечения образца

Особенности излучения в приосевые моды определяются значением числа Френеля для иглообразного образца [6]: ^ Если F > 1, то дифракция для

каждой приосевой моды имеет место лишь в малом дифракционном угле ©о (©о > ©о), однако вклад в излучение дают все моды с направлением волнового вектора в геометрическом угле ©о. В этом случае приосевые моды можно считать независимыми, но необходимо учитывать поперечные изменения поля в пределах геометрического угла. С другой стороны, в случае Г < 1 усиление излучения происходит в единственную моду, однако поле в этой моде сильно изменяется в поперечном направлении вследствие дифракции. Таким образом, для обоих указанных случаев СИ представляет собой трехмерную проблему, поскольку поле излучения меняется как вдоль оси цилиндра, так и в поперечном направлении. Компромиссным является случай, когда

Г * 1.

В рассматриваемой ситуации поперечными вариациями поля можно пренебречь и рассматривать изменения поля только вдоль оси иглообразного образца. Это позволяет развивать одномерную теорию СИ, часто называют ”чистым” сверхизлучением для которого выполнены условия (1)-(3). Соотношение Тд < Т^, необходимое

для генерации СИ, позволяет нам также оценить пороговое условие для концентрации инвертированных излучателей для ’’чистого” СИ. Ниже будет показано, что время СИ для системы с Г да 1 определяется выражением = 8пТі/(3пЬХ2),

где п — концентрация инвертированных излучателей в образце. Тогда СИ возможно при условии

8пТі ҐЛ,

п >--------.

3 ЦП,2

Условие (4) экспериментально может быть достигнуто путем увеличения интенсивности импульса накачки и, соответственно, числа инвертированных излучателей (и понижением температуры образца, т.е. увеличением времени неоднородного уширения Т2).

Наиболее строго условия ”чистого” СИ реализованы в известном эксперименте X. Гиббса с соавторами, проведенном для парообразного Сз [29]. Для теоретического исследования ’чистого” СИ исторически использовались два подхода: квантовый и полуклассический [9]. В рамках квантового подхода имеется возможность полностью описать эволюцию системы, начиная с начальной стадии — спонтанного излучения независимых атомов. Однако до настоящего времени при квантовом описании СИ не удалось описать адекватным образом эффекты распространения излучения в протяженных образцах. Поэтому квантовые теории обычно рассматривают СИ в приближении среднего поля, в рамках которого пренебрегают пространственными изменениями населенностей, дипольных моментов и других наблюдаемых. Наоборот, полуклассические теории СИ позволяют адекватно учесть эффекты распространения волн в образце, но не могут описать начальную спонтанную неколлективную эволюцию системы. При полуклассическом описании приходится использовать полуфеноменологические параметры, в частности, задавать среднюю начальную поляризацию квазиспинов (начальное значение угла Блоха). Для описания ”чистого” СИ в двухуровневых системах, взаимодействующих с электромагнитным полем, использовались различные квантовые теории, базирующиеся на различных методах квантовой неравновесной статистической физики: [9, 14, 30, 32].

В работе Дикке не исследовалась временная эволюция системы двухуровневых атомов в процессе СИ и, соответственно, не обсуждался механизм наведения корреляций между дипольными моментами атомов в процессе излучения. Исследование симметричных свойств гамильтониана и волновой функции сосредоточенной модели системы идентичных двухуровневых атомов позволило угадать начальную волновую функцию атомной системы, для которой интенсивность излучения атомов будет пропорциональна квадрату числа излучателей.

Для построения квантовой теории ”чистого” СИ вне рамок теории возмущения, позволяющей описать временную эволюцию процесса, необходимо использовать, как было уже сказано выше, методы неравновесной статистической физики. В ряде наших работ [31-40] для описания квантовой эволюции ’чистого” СИ использовался метод исключения бозонных переменных Н.Н. Боголюбова-Н.Н. Боголюбова (мл.), развитый ими ранее применительно к проблеме полярона [41]. Оказалось, что метод исключения бозонных переменных является наиболее адекватным математическим аппаратом при решении целого ряда задач квантовой теории СИ. На основе указанного подхода нам удалось получить модифицированные кинетические уравнения в квантовой теории СИ двухуровневых систем, базирующихся на новом способе расцепления многочастичных атомных корреляционных функций. Нами впервые была построена полностью квантовая теория среднего поля

7Б

Накачка

7Р

бБ

Рис. 1. Схема энергетических уровней и использованных переходов при наблюдении СИ в парообразном Cs

для СИ в трехуровневых системах Л- и 2-типа. На основе метода исключения бозонных переменных нами также была рассмотрена квантовая теория СИ на примесных центрах в кристаллах. Позднее указанную теорию удалось применить для описания сверхизлучательного режима генерации лазерного антистоксового охлаждения твердых тел. Наконец, нами была построена квантовая теория СИ с учетом процессов накачки. Поэтому целью настоящего обзора является систематическое изложение квантовой теории СИ в двух- и трехуровневых макроскопических системах, взаимодействующих с электромагнитными полями, построенной на основе метода исключения бозонных переменных, и интерпретация современных экспериментов по СИ в газах и примесных твердых телах. В первой части обзора нами в рамках квантовой теории ”чистого” СИ рассмотрена проблема расцепления многочастичных атомных корреляционных функций для двух- и трехуровневых макроскопических систем Л- и 2-типа.

1. Метод исключения бозонных в квантовой теории

1.1. Модифицированные квантовые кинетические уравнения СИ для двухуровневой системы

Как сказано было выше, для строгого рассмотрения начальной стадии свер-хизлучательного процесса необходимо использовать квантовое описание взаимодействия излучателей с электромагнитным полем. При описании ”чистого” СИ в рамках приближения среднего поля имеет место качественное согласие предсказаний теории и эксперимента. Однако количественное согласие между теоретическими и экспериментальными данными для параметров импульса СИ не вполне удовлетворительное.

В эксперименте X. Гиббса с соавторами [29] по наблюдению одноимпульсно-го СИ в парах цезия удалось добиться наиболее жесткого выполнения условий генерации ”чистого” СИ, рассмотренных выше. Схема энергетических уровней и переходов в атоме цезия, использованных в указанном эксперименте, показана на рис. 1. Атомы цезия инвертировались на уровень 7Рз/2 с основного уровня 681/2 с помощью импульсов накачки с длиной волны 455 нм и длительностью 2 нс. СИ наблюдалось на переходе 7Рз/2-7Р1/2 с длиной волны 2,9 мкм. Число Френеля для

СИ

указанного перехода равнялось единице. Для значений времени задержки более 7 нс всегда наблюдался одноимпульсный режим СИ. В работе для одной из концентраций возбужденных атомов приведены экспериментальные значения параметров одноимпульсного СИ : хр = 2 нс, х = 0,067 нс, Тд = 0, 5 нс, Т1 = 70 нс, Т2 = 80 нс, Т2 = 32 нс, п = 5,5  1010 см 3, N = 3  109. При этом ширина экспериментального импульса СИ составляла 10хд, в то время как квантовые теории среднего поля дают для ширины импульса в условиях эксперимента Гиббса и соавторов значение, примерно равное 3,5хд [30].

Заниженные значения для ширины импульса квантовые теории СИ дают и для других экспериментов [6]. Так, например, в экспериментах В. Самарцева с соавторами по наблюдению СИ в молекулярных кристаллах дифенила, легированных пиреном [42], минимальная экспериментальная ширина импульса СИ составляла 6,3 Тд (тд = (2-8) -(10-10-10-11) с, ширина импульса 5-6 нс), что почти в два раза больше значения, предсказываемого теорией среднего поля. Примерно такое же соотношение между экспериментальной и теоретической шириной импульса СИ имело место в первом эксперименте по наблюдению СИ в парах HF [17].

В работах А.В. Андреева с соавторами [9] было высказано предположение, что указанное несоответствие в рамках квантовой теории среднего поля может быть устранено путем улучшения расцепления атомных корреляционных функций в кинетических уравнениях для СИ. Особенно наглядно проблема расцепления атомных корреляционных функций может быть проанализирована в рамках метода исключения бозонных переменных. В указанном подходе описание эволюции свер-хизлучательной системы сводится к исследованию бесконечной иерархии кинетических уравнений для временных корреляционных функций атомных операторов. Одна из принципиальных трудностей, возникающих при анализе иерархии, заключается в выборе способа обрыва бесконечной цепочки уравнений путем расцепления многочастичных корреляторов. Способ расцепления в задачах о кинетике систем многих частиц может быть иногда подсказан конкретным видом гамильтониана в случае, когда взаимодействие между частицами содержит малый параметр. Однако при описании коллективного спонтанного излучения во всем временном интервале, в частности в области сверхизлучательного пика, рассуждения о точном обрыве теряют силу из-за отсутствия в данной задаче малого параметра. В настоящее время неизвестны какие-либо внутренние критерии ”качества” расцепления в задачах такого рода, однако ясно, что при любых расцеплениях, по возможности, не должны нарушаться кинематические соотношения для квазиспиновых атомных операторов. Вопрос о сравнительной ценности тех или иных способов расцепления может быть решен в результате анализа временного поведения средних значений динамических переменных и сравнения теоретических предсказаний с экспериментом.

Обычно при описании СИ в рамках метода исключения бозонных переменных используют стандартное расцепление трехчастичных атомных корреляторов, которое аналогично расцеплению Тябликова для двухвременных корреляционных функций в теории ферромагнетизма [43]. Недостаток стандартного расцепления заключается в том, что оно не учитывает флуктуации инверсии населенностей, что заведомо плохо в области пика сверхизлучения. А.В. Андреев с соавторами

[9] предложил расцепление трехчастичного коррелятора по аналогии с теоремой Вика для фермионных и бозонных операторов (в квантовой теории ферромагнетизма подобное расцепление для спиновых корреляторов обычно называют расцеплением типа Хартри-Фока). Предложенный способ расцепления позволяет со-

хранить некоторые свойства симметрии кинетических уравнений и приводит к более широкой кривой для интенсивности сверхизлучения, нежели стандартное приближение, что улучшает согласие между теорией и экспериментом. Однако указанное расцепление приводит к нефизическому поведению среднего значения инверсии населенностей на больших временах (заметим, что в квантовой теории ферромагнетизма использование расцепления Хартри-Фока для спиновых корреляторов также приводит к нефизическому поведению наблюдаемых, в частности, к бесконечному значению критической температуры Кюри).

В настоящей работе предложено новое расцепление для трехчастичных атомных корреляторов, которое учитывает кинематические свойства квазиспиновых атомных операторов, также ведет к более широкому и антисимметричному свер-хизлучательному импульсу (в сравнении со стандартным приближением), но при этом не приводит к неадекватному поведению инверсии населенностей.

Рассмотрим систему N двухуровневых излучателей, взаимодействующих с квантовым электромагнитным полем. Ограничимся рассмотрением ”чистого” сверхизлучения в иглообразном образце. Тогда гамильтониан рассматриваемой системы без учета движения центров масс атомов может быть записан в виде:

Н = НА + ИР + НАР,

где

І =1

— гамильтониан свободных двухуровневых атомов;

Н, = 2 Н^Юка^ ак

к

— гамильтониан свободного квантового электромагнитного поля и

N / - - \

Наґ ^ ^ Нк \е1!к-1 акД+ + е~1к-1а+кЯ—

к =1

— гамильтониан взаимодействия между атомами и полем в дипольного приближения и приближении вращающейся волны. Здесь а+(ак) — оператор рождения (уничтожения ) фотона с частотой Юк, волновым вектором к и поляризацией <?0, Юо — частота перехода в двухуровневом атоме, -І —радиус-вектор 1-го атома и

8к~ШоЛІ

— константа диполь-фотонного взаимодействия, где V — объем системы, совпадающий с объемом квантования электромагнитного поля, и —— вектор дипольного момента двухуровневого атома.

Обозначим через рг статистический оператор А-, системы (здесь А — подсистема, состоящая из N излучателей, а , — подсистема, представляющая собой квантовое многомодовое электромагнитное поле), удовлетворяющий уравнению Лиувил-ля

іП^- = [Н„р,\

с начальным условием

рго = РА Рґ, Рґ = ехр[-|3^ НЮка+ ак]/Бр ехр[-|3^ НЮка+ ак].

Здесь — начальный момент времени, рА — начальный равновесный статистический оператор для А — подсистемы, и Р, — начальное равновесное распределение для квантового электромагнитного поля. При таком выборе начального условия взаимодействие между первоначально равновесными подсистемами включается в момент времени t = ^). В настоящей работе мы ограничимся рассмотрением проблемы спонтанного излучения и, следовательно, выберем в качестве начального полевого статистического оператора р^ = |0 >< 0|.

Пусть O — произвольный оператор подсистемы А в представлении Шрединге-ра. Используя метод исключения бозонных переменных (см. приложение), для среднего значения оператора О(і) в представлении Гейзенберга можно получить обобщенное кинетическое уравнение вида:

О,0(0] > =

ot Н

N N

// іу іу \

^ 2 є--1 -*Ґ><[*+

где (...) = Sp{...pt0}.

Уравнение (6) имеет немарковский характер. Для упрощения обобщенного кинетического уравнения учтем, что взаимодействие между квантовым полем и излучателями мало, поэтому в подынтегральное выражение в правой части (6) можно подставить решения уравнений движения для операторов атомных переходов в "нулевом” по взаимодействию приближении

R±(/) = R±(t) ехр[± iО (t - г')].

Переходя также к пределу го ^ -о, мы можем вычислить интеграл по времени в правой части (6) и получить марковское кинетическое уравнение вида

^^-1-{[НА{ о, 0(0] > =

N N

2п ^6

„2

ко

І І

где как обычно сумма 2("') = т^з 2 /('' )к2йкйО.(к) включает суммирование по

к 0=1,2

поляризациям и направлениям волнового вектора и | -о 1= Юо/с.

Выберем теперь в качестве оператора О коллективный оператор населенности

№ = 2 . В этом случае из (7) легко получить следующее уравнение:

ІІ

N N

То

где

{т> = 4

о І Г*І

Єц, = 2я^ g2ko5(Юк - Юо)віШі 1}

к

и 1/То = 2п ^ ^2 ^(Юк - Юо) (То = Ті) — обратное время спонтанного излучения изо-

к о

лированного атома. Ограничивая себя рассмотрением квантовой теории среднего поля для СИ, будем полагать, что все средние

Г (г) = (К+ (г)Щ—, (г)) (/ Ф /') не зависят от индексов / и /'. В этом случае уравнение

(8) можно записать как:

{щф = --

То \2 I Тщ

где Ш(г) = {Rf(t))/N = (г)) — средняя инверсия населенности излучателя, 1/тд =

= ц^/то — время наведения корреляций в системе или время сверхизлучения. Здесь

Ц = _

О

N N

ЕЕ

- / /' )

— геометрический фактор, отражающий эффекты интерференции мод поля, связанные с конечными размерами и формой области, в которой расположены излучатели. Геометрический фактор ц был вычислен для образцов различной формы: круглого цилиндра, сферы и прямоугольного параллепипеда [3]. Для круглого цилиндра в случае больших и малых чисел Френеля хорошей аппроксимацией служат выражения:

5»Ш2>

Ц =

Кинетическое уравнение для Г (г) удобно получить из уравнения для двухчастичного коллективного коррелятора К(г) = £ R—) = NГ(г) (учитывая, что в теории

/*/' / /

СИ N » 1, мы можем всегда заменять множитель N— 1 на ^. Для указанного коррелятора из уравнения (7) имеем

N N N

К

к / / Ф/ /

Выделяя в (10) слагаемые с совпадающими индексами (/" = / и /" = /), получим

N N N N N

К(г) = 2^Х X /'<*/4Щ—'') + 2ЕХ с//,)+

/ /' Ф //'' Ф //' / /'Ф /

NN 1

+ЕЕс//'<4>-гш-

/ /' ф/ 0

Ограничимся в настоящей работе рассмотрением динамики одно- и двухчастичных атомных корреляционных функций. Поэтому процедуру расцепления проведем для трехчастичных корреляторов.

Традиционное расцепление для трехчастичных корреляторов, входящих в правую часть уравнения (11), используемое в квантовых теориях сверхизлучения, имеет вид [9, 32]

Физический смысл расцепления (12) состоит в пренебрежении флуктуациями инверсии населенностей энергетических уровней в излучателе (т.е. в замене оператора инверсии населенности его средним значением), что заведомо плохо в

области сверхизлучательного пика. Действительно, если ввести величину, характеризующую флуктуации инверсии населенности 5 = ((Я/)2) — Я/)2, то в рамках рассматриваемого приближения ее значение равно нулю. Однако ее точное значение с учетом соотношения (^)2 = 1/4 можно записать в виде 5 = | - (7^.(7))2 • В области сверхизлучательного пика, когда (Я/(г)) ^ 0, указанное расцепление становится слишком грубым.

Для того чтобы улучшить расцепление (12), необходимо использовать более ”симметризованное” расцепление, в котором уменьшена выделенность / — компоненты квазиспина. Представим оператор квазиспина Я1/ через операторы переходов между атомными уровнями Я± в максимально возможном симметричном виде. Для этого, следуя Кэллену [43], воспользуемся известными кинематическими свойствами атомных квазиспиновых операторов

щ =

к>=5 <и>

Умножим тождество (13) на произвольный с — численный параметр а, а тождество (14)—на (1 — а) и, складывая, получим максимально симметричное выражение для Я/.

а 1 1

Щ = ^ + 2

Подставим теперь выражение (15) для в коррелятор (Я/Я+'Я—,,). В результате мы получим набор трехчастичных корреляционных функций вида

Корреляционные функции (16) могут быть расцеплены симметричным образом в духе теоремы Вика:

(Я+Я—Я+Я—,,) = (Я+Я—)(Я+' Я—„) + (Я— Я+')(Я+Я—,,),

(Я—Я+Я+'Я—,') = (Я—Я+)(Я+' Я—„) + (Я—Я+')(Я+Я—„).

В результате для рассматриваемых трехчастичных корреляторов имеем

Заметим, что случай а = о соответствует стандартному расцеплению трехчастичных атомных корреляторов типа расцепления Тябликова, а случай а = 1 — расцеплению типа Хартри-Фока, использованному в работе [9]. Важным свойством расцепления Хартри-Фока, как отмечено в [9], является сохранение симметрий-ных свойств операторов Паули при переходе от трехчастичных корреляторов к двухчастичным. Действительно, при /" = / трехчастичный коррелятор

Точно такое же значение для указанного трехчастичного коррелятора получается при использовании расцепления Хартри-Фока. К сожалению, для произвольных значений а расцепление (17) не сохраняет свойств симметрии операторов Паули. При записи уравнений (8) и (11) мы заранее выделили в правой части слагаемые, соответствующие совпадающим узлам (/ = /' в уравнении (8) и /" = /, /" = = /' в уравнении (11)). Если не производить указанную операцию в кинетических уравнениях и рассматривать расцепление трехчастичных корреляторов при

любых значениях индексов /, /', /", можно легко сохранить свойства симметрии операторов при совпадающих индексах, добавляя в правую часть расцепления (17) компенсационные члены, содержащие символы Кронекера и ’’выбирающие” тип расцепления. Так, для сохранения свойства симметрии (18) можно записать расцепление (17) в виде:

(Я/Я+' Я/'') = (Я/ )(Я+' Я—'') — а(Я—Я+')(Я+Я—'')+ +5//„ (1 — а)(1/2 — <Я/ ))(Я+Я—').

Заметим, что введение в расцепления для трехчастичных корреляторов компенсационных членов впервые было предложено в квантовой теории ферромагнетизма Дембинским (см. в [43]).

Используя расцепление (17), очевидное расцепление для двухчастичного коррелятора

(Я/Я/') = (Я/ )(Я/ ')>

а также независимость двухчастичных корреляторов от расположения излучателей, можно получить следующую цепочку замкнутых кинетических уравнений, описывающих кинетику исследуемой системы:

дг То \2 / Тя

дГ (г) 2 / 1 \ 1 2 2 9

-11 = —\У

дг \ 2/ то тк тк

Решая систему уравнений (19), мы можем определить не только эволюцию инверсии населенностей атомных уровней и макроскопической поляризации К, но и интенсивности сверхизлучательного импульса

д

КО = — Н тк а+как,

к

связанной со средним значением оператора коллективной инверсии населенности атомных уровней очевидным соотношением:

Т,Л , д(К( 0> ДГ, дТУ(0

1

дг дг

Решение системы уравнений (19) может быть найдено только путем численного интегрирования. Заметим, что использование расцепления типа Хартри-Фока в уравнениях (19) приводит не только к нефизическому поведению коллективной по-луразности населенностей уровней, но и к нарушению закона сохранения энергии. Полная относительная энергия электромагнитного поля, испускаемого системой в результате излучения,

I

Ї(Ґ) Л/(Йш0#) = 1.

При использовании расцепления типа расцепления Хартри-Фока указанное соотношение для относительной интенсивности поля не выполняется, в отличие от стандартного расцепления.

В настоящей работе параметр а выбирался нами в виде различных функций времени

а = тШ

и др. Численные расчеты на основе уравнений (19), (20) показали, что наиболее адекватным для решения поставленной задачи — улучшения согласия между теоретическим и экспериментальным значением ширины импульса СИ в рамках квантовой теории среднего поля — является выбор параметра а в виде:

В остальных случаях мы получаем при решении уравнений (19), (20) либо нефизическое поведение средней полуразности населенностей атомных уровней и нарушение закона сохранения энергии для рассматриваемой системы, либо поведение наблюдаемых, мало отличающееся от соответствующего поведения стандартной модели. На рис. 2 и 3 нами представлены результаты численных расчетов для временного поведения средней инверсии населенностей атомных уровней в излучателе Ш(г) и приведенной интенсивности сверхизлучательного импульса J(г)) = = I(г)/(Н Юо №2) для трех различных расцеплений трехчастичного атомного коррелятора (соответственно для трех различных значений параметра а в (17)) для протяженной модели Дикке с параметрами, взятыми из эксперимента X. Гиббса с соавторами [29]: N = 3 1о9, = то/тя = 1,1  1о3. Кривые получены путем решения

уравнений (19), (20) с использованием соответственно стандартного расцепления (а = о), расцепления типа Хартри-Фока (а = 1) и модифицированного расцепления (17) (а = тШ(г) при т = 6) для трехчастичных атомных корреляторов. Поскольку длительность импульса накачки тр = 2нс в эксперименте Х. Гиббса с соавторами превосходит время СИ тя = о.5 нс, в конце процесса накачки возникает отличная от нуля макроскопическая поляризация на переходе, ответственном за СИ. Учесть влияния процессов накачки на СИ мы можем, выбрав в уравнениях

(19) начальное условие для величины Г (о) в виде [39]:

где Юя — частота Раби для накачки. Подробный вывод формулы (21) будет приведен во второй части обзора. Для п импульса накачки в условиях эксперимента Х. Гиббса с соавторами получаем: Г(о) да 1о—9.

Как видно из рис. 2 и 3 новое расцепление не приводит к нефизическому поведению среднего значения инверсии населенностей излучателя в отличие от приближения Хартри-Фока. С другой стороны, позволяет получить более широкий импульс сверхизлучения, нежели стандартное приближение, что улучшает согласие теории с экспериментом. В результате параметры теоретической кривой для интенсивности СИ, полученной с использованием модифицированного расцепления и учетом процессов накачки (отличная от нуля начальная макроскопическая поляризация), находятся в очень хорошем согласии с параметрами экспериментальной кривой. Для значения параметра т = 8 ширина импульса сверхизлучения составляет приблизительно Ютд, а время задержки сверхизлучательного импульса: (г^)гнеог да 2отя, т.е. значения обоих параметров импульса практически совпадают с их экспериментальными значениями, полученными Х. Гиббсом с соавторами.

Таким образом, новое расцепление трехчастичных атомных корреляторов, более полно учитывает свойства симметрии операторов квазиспина и приводит к более адекватному описанию динамики рассматриваемой модели. В следующем разделе мы обобщим введенное расцепление для трехчастичных атомных корреляторов на случай трехуровневых систем.

а = тШ(г) (т = 1,2,...).

W

Рис. 2. Временные зависимости инверсии населенностей для различных значений параметра расцепления: а = 0

и

Рис. 3. Временные зависимости относительных интенсивностей СИ для различных значений параметра расцепления: а = 0

1.2. Кинетические уравнения СИ в трехуровневых системах

Рассмотрим протяженную систему N трехуровневых излучателей, взаимодействующих с квантовым электромагнитным полем. Для получения кинетических уравнений для систем с любыми возможными дипольно разрешенными переходами в трехуровневом излучателе: Л-, 2- и У-типа (см. рис. 4), будем полагать в общем случае, что разрешены все переходы. Как и в предыдущем разделе будем рассматривать протяженную систему иглообразной формы с числами Френеля для всех возможных переходов большими или равными единице.

Тогда гамильтониан рассматриваемой системы в дипольном приближении и в

а)

Б)

в)

Рис. 4. Возможные конфигурации разрешенных переходов в трехуровневых атомах: А Л- , Б — Е- и В — V-типа

приближении вращающейся волны можно представить в следующем виде:

Н = Нм + НР + Нмр,

где

N 3

Нм = £2ваК™

1=1 «=1

— гамильтониан N свободных трехуровневых атомов

н = Ъ

к

— гамильтониан свободного электромагнитного поля и

НмЕ = &

N

Е ««в

к /=1 1^а<Р^3

еЩакІЇ

ва

Лк1 уав

— гамильтониан взаимодеиствия между атомами и полем.

Здесь индекс £, как и в предыдущем разделе, нумерует трехуровневые излучатели в образце, еа(а = 1,2, 3) — энергия уровня а в /-ом трехуровневом атоме, Юав — частоты разрешенных переходов в излучателе, Л02 — оператор населенности уровня а в атоме / и В/ — операторы, описывающие переходы о уровня в на уровень а в излучателе / и удовлетворяющие коммутационным соотношениям вида

<. с ]=в/Ла'й//' - <%'§//'.

а+(ак) —оператор рождения (уничтожения ) фотона с частотой Юк, волновым вектором к и поляризацией ^0, = шсф г^ку^а^а — константа диполь-фотонного

взаимодействия и йав —дипольный момент соответствующего перехода.

Для исследования кинетики рассматриваемой системы будем использовать, как и ранее, метод исключения бозонных переменных. Ограничимся рассмотрением проблемы спонтанного излучения, т.е. предположим, что в начальный момент времени электромагнитное поле находится в вакуумном состоянии. В результате для системы с гамильтонианом (22), используя подход, развитый в предыдущем разделе, можно получить следующее обобщенное кинетическое уравнение:

- 1тшм, от =

__ N N р. ___ __

=х NN [ ^-^х

к /=1 /' = 1-1 а<в а'<в'

х{[/), от/

Считая взаимодействие между излучателями и полем слабым, мы можем использовать для операторов атомной подсистемы в правой части уравнения

"нулевое" приближение вида

/') = (г_г') (а > в),

С(° = Се"Шав^ (а < в)-

С учетом сделанного предположения из точного уравнения (23) мы можем получить марковское обобщенное уравнение вида:

- кШмО), 0(0]> = о1 а

N N

=X X £ £ са/'<0’ о(?)]^а/Р)(^)>+

а<в к /=1 /' = 1 N N

+хх £ £ кф«)]>’

а<в к /=1 /' = 1

где

N N

с/> = 2л ^ ^^СОк - “ав)ег('?/},

к /=1 /' = 1

“ар —частота перехода в — а в трехуровневом излучателе. При записи уравнения

(24) мы учли малость корреляторов типа {К^ОО^), К/в'(?)]>- Выберем последовательно в качестве о коллективные операторы населенностей атомных уровней

Каа = 2/К-ж (а = 1,2, 3), удовлетворяющие закону сохранения числа излучателей в системе: Лц(0 + -^22(0 + Кзз(0 = N. Для средних значений коллективных операторов населенностей из уравнения (24) получаем

<*> = ^<Кзз>+,^<Ки>+Е 4!Х3’+ Е

13 12 /*Г /*/'

Фп) = ^<*в> - ^№:> + Е С“’5“’ - Е <25>

23 12 /*Г /*/'

(Ы = --!-<*„> - -!-<*„> - 2 - 2 4/^/“'

Т13 Т23 /./' //

где 1/тав = 2л £(^1'/и)2^(юк — “ав) —обратное время спонтанного излучения на пек ав

реходе в — а и ^(/в) = {К/К/^>. Для двухчастичных коллективных корреляторов £(ав) = 2/фг р/ из обобщенного уравнения (24) получаем

/ Г*/ /"*//

N N

+ У, У с

/ /'*/ ав

Ограничимся, как и в двухуровневом случае, рассмотрением кинетических уравнений для одно- и двухчастичных корреляторов и поэтому проведем процедуру расцепления для трехчастичных корреляторов. Стандартное расцепление трехчастичных корреляторов имеет вид [33]:

<Е

{“а'а'“ва ав > { а'а'>{“ва ав >'

Физический смысл этого приближения, как и в двухуровневом случае, состоит в пренебрежении флуктуациями средних населенностей атомных уровней при замене самих операторов их средними значениями. Как уже было показано выше, в области сверхизлучательного пика такое приближение является слишком грубым.

Используя кинематические свойства квазиспиновых операторов, мы ранее получили симметричное расцепление для трехчастичных корреляторов в случае двухуровневой системы в виде (17). Указанное расцепление может быть легко обобщено на случай трехуровневой системы. Используя тождества вида еО! = ( /) ( /) аа

= КфКва (в Ф а) для трехчастичных корреляторов в правой части уравнений

(26), можно получить

{//)е/ )> = {К/ >{е

21 12

КМ)> = <к22) >{к

21 12

{к2^) к32' )$" )> = {КО >{К£) К(П

32 23

32 23

{Л33) К32)КСГ')> = {К33) >{К

{е^^; ^ )> = < >{К31) ^ {к33) к31' )е;/3" )> = {е33) >{е

— а1{Е(2{)Е(/2)>{Е2{)Е(/;)> " а;{Е(2{)Е(1/2)>{Е2{)Е(1/2")>

— а2{Е3/;)Е2{)>{Е3М/3" >>

— а2{Е

.

>

— а3{Е31)Е;13)>{Е3^)Е;13 )>

— а3{Е3()Е(1/3)>{Е3{)Е(1/3' )>-

32 23

>{Е

133“31 “13 > _ { 33 131 “13

Для случая а; = в/ = У; = 0 (/ = 1,2) формулы (27) переходят в стандартное

расцепление. Полагая аг = вг = У; = 1, мы приходим к расцеплению типа расцепления Хартри - Фока, использованного для двухуровневого случая в работах А.В. Андреева с соавторами [9].

Учитывая расцепления (27) и предполагая, как и в двухуровневом случае независимость двухчастичных корреляторов р(а') = Р(ав) от взаимного расположения излучателей, из уравнений (25)-(26) можно получить цепочку замкнутых кинетических уравнений вида:

—^12),

Х\ — —(1 — Х\ — Х2) н------Х2 н-----+

Т13 Т;2 ТЕ13 Те12

х2 = —(1 - X! - Х2) - —Х2 + —Р<23) - —Р<12),

Т23 Т;2 ТЕ23 Те12

X = —X; — X2,

+ N^(1 — X; — Х2))—

Р

ТЕ13

_±^13) _ _^_(о/ _ а3)(^13))2,

Т13 ТЕ13

р(23) = _!_(1 _ 2Хг _ Х1))(Т^(23) + А^_1(1 - X! - Х2))~ ТЕ23

_±р(2з) _ _^_(а> _ а2)(^23))2,

Т23 ТЕ23

Р' 12) = — (Х2 - Х!)^(12) + N-^2)-

TR12

1 1

-(а3

Т13 ^13 3

_ _^(с/ _ а3)(^13>)2.

Здесь Ха = {Еаа> — средняя населенность уровня а в излучателе,

1/тКав = Цав N/Tав

— время наведения корреляций или время СИ на переходе в — а,

«= Е/ 2/

5ав

; ( N N \

Г

— геометрический фактор для перехода в — а.

Для численных расчетов ниже использовались параметры а1 , а1 , а2, а2 вида

(а; — а;) = п(Х2 — X;), (а2 — а2) = т(Х3 — Х2),

(а3 — а3) = к(Х3 — X;), п, т, к = 1,2, 3,4...

Теперь перейдем к рассмотрению трехуровневых систем с определенными типами разрешенных переходов в излучателе.

2. Квантовая теория СИ в трехуровневых системах Л-типа

В ряде экспериментов в многоуровневых газовых средах и примесных кристаллах удалось наблюдать не один, а два и более сверхизлучательных импульса различных длин волн. В настоящем разделе мы рассмотрим кратко эксперименты и построим квантовую теорию двухимпульсного СИ в трехуровневых системах Л-типа. Эксперименты по наблюдению двухцветного СИ в таких системах были выполнены Р. Флорианом с соавторами [18, 19], М.Ашидой с соавторами [21] и

В.В. Самарцевым с соавторами [22].

В первых экспериментах по наблюдению двухцветного СИ, выполненных Р. Флорианом с соавторами, использовались иглообразные кристаллы КС1, легированные ионами 0—. Концентрация ионов 0— в исследуемых образцах была порядка 1017 см 3, соответственно, максимальное число инвертированных атомов N в эксперименте было порядка 1013. Для накачки использовались лазерные импульсы с длиной волны 266 нм и длительностью приблизительно 30 пс. Импульсы накачки фокусировались в пятно с поперечными размерами 0.1 мм. Длина образца составляла 10 мм. Двухцветное СИ наблюдалось на переходах с длинами волн 592,8 нм (желтый импульс) и 629,1 нм (красный импульс) (см. рис. 5 ) при температуре 4,2 К. Значение числа Френеля для излучения на обоих переходах было близко к единице. Накачка образца производилась на один из колебательных уровней верхнего электронного состояния. Инвертированные импульсом накачки в неравновесное состояние ионы 0— релаксировали в основное колебательное состояние посредством безизлучательных переходов за счет взаимодействия с фононами. Переход ионов 0— в нижнее электронное состояние возможен путем излучения фотонов с длинами волн 592,8 нм и 629,1 нм. При этом излучательные переходы происходят

11

10

0

Рис. 5. Схема энергетических уровней и использованных переходов при наблюдении СИ на примесях O-2 в KCl

на возбужденные колебательные уровни нижнего электронного состояния. Релаксации ионов О- с этих уровней в основное состояние может заметным образом повлиять на характер излучения [44], в частности, привести к замене СИ на режим усиления спонтанного излучения [45]. В результате конкуренции различных каналов релаксации в рассматриваемых экспериментах оба импульса СИ одновременно наблюдались только для промежуточных значений интенсивности накачки (мощность импульса накачки в промежутке от 25 ГВ/см2 до 40 ГВ/см2). При более низких интенсивностях накачки (превосходящих, естественно порог генерации СИ для импульса накачки в 10 ГВ/см2 ) практически отсутствовал желтый импульс, а при высоких интенсивностях — красный импульс. В режиме двухцветного СИ оба импульса возникали практически одновременно, при этом импульсы имели примерно одинаковую длительность, которая составляла примерно 1 нс, и время задержки. Однако сами ширины импульсов, времена задержки и относительные интенсивности импульсов СИ заметно флуктуировали от эксперимента к эксперименту, т.е. наблюдалась сильная конкуренция импульсов СИ разных цветов.

Время спонтанного излучения для перехода с длиной волны 629,1 нм составляло примерно 91 нс при 4,2 К. Это позволяет нам оценить время СИ для указанного перехода. Оно оказывается порядка 10-5 с. Таким образом, экспериментальная ширина импульса СИ примерно в 105 превосходит время СИ (напомним, что, например, в эксперименте Х. Гиббса с соавторами [29] ширина импульса равна примерно десяти временам СИ). Это означает, что за счет наличия различных каналов релаксации системы с временами жизни, сравнимыми с временами наведения корреляций между диполями в процессе коллективного излучения, в эксперименте не выполнены условия ’’чистого” СИ, поэтому сравнение теоретических расчетов, полученных на основе квантовой теории в модели ’чистого” СИ

накачка генерация СИ

Рис. 6. Схема энергетических уровней и разрешенных переходов в эксперименте по наблюдению СИ на ионах Гг3+ в LaFз

с экспериментальными данными Р. Флориана и других ученых возможно только на качественном уровне.

В эксперименте В.В. Самарцева с соавторами [22] использовались иглообразные кристаллы LaFз, легированные ионами Рг3+, при температуре 2,2 К. Диаграмма энергетических уровней ионов Рг3+, использованных в эксперименте, показана на рис. 6. Ионы Рг3+ возбуждались импульсом лазерной накачки с длиной волны 477,7 нм и длительностью 10 нс. Для импульсов накачки с мощностью, большей определенного порога (~ 10^^)), в системе возникали сигналы СИ (голубого цвета) на переходе 3Ро-3Н4(0) с длиной волны 477,7 нм, длительностью 10-12 нс и временем задержки 12-15 нс. Для исследуемого случая параметры системы были следующие: Т1 = 4,7  10-5 с, Т2 = 4, 3  10-7 с, Ь = 0, 8 см, 5 = 3  10-4 см. Для мощности 10kW число возбужденных атомов N было порядка 1010 (общее число примесных ионов в образце составляло примерно 1014 частиц). Используя формулу Тд = 8лТ1^/(3^2), получаем для Тд значение порядка 5 нс. При возрастании мощности импульса накачки до 30-40 kW, наблюдался второй импульс СИ (оранжевого цвета) на переходе 3Р0-3Нб(0) с длиной волны 606 нм и временем задержки 30 нс по отношению к импульсу накачки. В работах [22] не приведено значение числа возбужденных примесных ионов в режиме двухцветного СИ. Оценим его по имеющимся данным для мощности импульса накачки в 30 kW как N = 3  1010. Тогда время СИ для перехода с длиной волны 477,7 нм оцениваем в 1,7 нс, а для перехода с длиной волны 606 нм — в 1 нс. Ширина первого импульса около 10 нс, второго — около 8 нс, Таким образом для первого импульса ширина составляет примерно 6 х^13, а для второго импульса — 8 х^23, т.е в обоих случаях экспериментальная ширина превосходит теоретическую ширину импульса, получаемую в рамках стандартного расцепления [9]. Время задержки второго импульса на переходе 606 нм сравнимо с теоретическим значением, предсказываемым теорией ’чистого” СИ. Уменьшение времени задержки первого импульса на переходе 477,7 нм может быть связано с наличием неоднородного уширения на этом переходе, сравнимого с временем СИ, а также с наведением накачкой атомной когерентности на переходе 3Р0-3Щ(0). Наличие атомной когерентности можем приводить к заметному сокращению времени задержки СИ [46].

Таким образом, из-за невыполнения на первом переходе условий ’чистого” СИ

мы ограничимся при интерпретации указанного эксперимента сравнением теоретического и экспериментального значения ширины импульсов СИ.

Эксперименты М. Ашиды с соавторами по наблюдению двухцветного СИ на примесных центрах О- в кристаллах КВг и схожи с экспериментами Р. Флориана и других исследователей, поэтому подробно на их рассмотрении мы останавливаться не будем.

Анализ экспериментальных данных показывает, что квантовая теория излучения примесных ионов О- в кристаллах КС1 и примесных ионов Рг3+ в кристаллах LaFз режиме двухцветного СИ может быть построена на основе трехуровневой модели излучателя с разрешенными переходами Л-типа. При этом, как и в двухуровневом случае, для улучшения согласия между теоретическими и экспериментальными значениями ширин импульсов СИ представляется целесообразным использовать новое расцепление для трехчастичных атомных корреляторов (27).

Для трехуровневой системы с разрешенными переходами Л-типа система кинетических уравнений (28) принимает вид

= —(1 -Х1-Х2) + —Р(13\

Т13 ТК13

Х2 = — (1-Х1-Х2) + — ^23),

Т23 Тд23

*3 = -*1 - X2,

/’(13) = —(1 - 2Х\ - Х2)(^13) + А?-1(1 - X! - Х2))~

Тд13

_±р( 13) _ _!_(с/ _ а3)(^13))2,

Т13 Тд13 3

р(23) = _ 2Хг _ Х1))(Т^(23) + А?-1(1 - X! - Х2))~

ТД23

_±р(23) _ _ а2)(^23))2.

Т23 Тд23

Решение уравнений (30) позволяет также найти временную зависимость интенсивностей сверхизлучения на переходах 3-1 и 3-2. Действительно, из закона сохранения энергии для интенсивностей имеем:

ыо = п Ю31 11

*32

На рис. 7 показаны зависимости относительных интенсивностей сверхизлучения ш = 131(0/(Пю13^) и /2(0 = /32(0/(Пю23^), полученные на основе численного решения уравнений (30)-(31) для трехуровневой модели Л-типа с параметрами,

взятыми из эксперимента В.В. Самарцева с соавторами: N = 1010, Тд13/Т13 = 3,610-5

(время на рисунке измеряется в относительных единицах Г/т^) [22]. Для качественного анализа поведения модели мы выбрали для отношения у = Тк23/тк13 = = 1,05. Экспериментальное значение величины у равно примерно 1,7. Однако для трехуровневой модели Л-типа в квантовой теории ”чистого” СИ наблюдается сильная конкуренция излучающих переходов. Для величины у > 1.1 коллективное излучение на первом переходе полностью подавляется. Этот результат согласуется с возникновением сильной корреляции между параметрами импульсов СИ, обнаруженной в экспериментах Р. Флориана с соавторами [18, 19]. Выше было высказано предположение, что в условиях реального эксперимента распад по первому каналу может ускоряться за счет наличия неоднородного уширения.

Рис. 7. Временная зависимость интенсивности СИ для трехуровневой модели Л - типа. Сплошные кривые соответствуют стандартной, а штриховые - модифицированной модели с п = т = 4

Сплошные кривые на рис. 7 соответствуют решению уравнений (30)-(32) для стандартного расцепления, штриховые кривые — для модифицированного расцепления (27) при п = т = 4. Для каждого случая верхняя кривая соответствует переходу 2-3, нижняя кривая — переходу 1-3. Используя временные зависимости интенсивностей СИ для модифицированной квантовой модели с п = т = 4, представленные на Рис. 7, можно легко оценить теоретические значения длительностей импульсов СИ на обоих переходах. В абсолютных временных единицах длительность импульсов составляет 8-9 нс, что находится в хорошем согласии с экспериментальными данными, представленными в работе [22]. Количественное сравнение времен задержки и отношения максимальных интенсивностей для импульсов невозможно, так как использованная теоретическая модель не учитывает неоднородного уширения для перехода с длиной волны 477,7 нм, которое, как представляется, сравнимо с временем СИ на указанном переходе.

3. Квантовая теория каскадного СИ в трехуровневых системах лестничного типа

Первые эксперименты в области каскадооптического СИ были поставлен Д. Окадой с соавторами [46] в парах атомарного лития и Б. Гроссом с соавторами

[47] в парах атомарного натрия. В экспериментах Окады и других ученых для накачки использовался двухфотонный переход между уровнями 2251/2 и 3251/2 (см. рис. 8). Длина волны импульса накачки рубинового лазера длительностью примерно 30 пс составляла 734,9 нс. В дальнейшем наблюдалось СИ на переходах: 3Э-2Р с длиной волны 812,6 нс и 2Р-38 с длиной волны 670,8 нс как в прямом (по отношению к направлению распространения импульса накачки), так и в обратном направлениях. В проведенных экспериментах примерно половина активных атомов инвертировалась накачкой на возбужденный уровень 3Б. При этом отмечалось, что СИ в прямом направлении подавляется двухфотонной когерентностью.

Рис. 8. Схема энергетических уровней и разрешенных переходов в эксперименте по наблюдению СИ в парах Ы

При малых инверсиях, когда реализуется возбужденное суперпозиционное полностью когерентное атомное состояние, каскадная эмиссия в прямом направлении не возникает, так как поляризации верхнего и нижнего перехода связаны деструктивно. Она начинает расти, после того как суперпозиционное состояние дефази-руется благодаря неоднородному уширению. В эксперименте отсутствовало время задержки между импульсами СИ и импульсом накачки. Авторы объяснили этот факт тем, что излучение исследуемой системы происходит в пограничном режиме между СИ и усилением спонтанного излучения (реализуется при условии > Тд).

Чисто каскадный режим СИ впервые удалось наблюдать в экспериментах Б. Гросса с соавторами [47] в газообразном ^. На рис. 9 показана схема энергетических уровней, использованных для наблюдения каскадного СИ. Накачка системы на уровень 5Б1/2 осуществлялась двумя импульсами с длинами волн 0,589 мкм и 0,616 мкм и длительностью примерно 2 нс. Активная область с парообразным ^ имела вид цилиндрической ячейки длиной 14 см и диаметром менее 1 мм. Импульсы накачки переводили примерно четвертую часть атомов в активном объеме в возбужденное состояние 58. Путем изменения интенсивности импульсов накачки в эксперименте можно было обеспечить выполнение условия (4) для генерации СИ на переходах: 58-4Р, 4Р-48, 4Р-3Б, 48-3Р и 3Б-3Р. На рис. 10 показаны временные зависимости относительных интенсивностей каскадного СИ на переходах: 58-4Р (длина волны излучения 3,41 мкм) и 4Р-48 (длина волны излучения 2,21 мкм), когда условие СИ (4) для пороговой плотности числа излучателей выполняется для этих двух переходов (п да 6X109 см-3). При этом число инвертированных атомов составляет порядка 108. Первый импульс СИ с длиной волны 3.41 мкм имел время задержки в несколько нс (наибольшее наблюдаемое значение — 7 нс) по сравнению со вторым импульсом накачки, а второй импульс СИ — время задержки около 10 нс по отношению к первому импульсу СИ. Времена спонтанного излучения для переходов 58-4Р и 4Р-48 составляли примерно 400 и 170 нс, соответственно. Время неоднородного уширения для верхнего перехода равно 1,7 нс, для нижнего перехода—1,1 нс. Ширина первого импульса (для верхнего перехода) порядка 2.5 нс, а второго импульса — более 4 нс. Времена СИ для указанных переходов составляли примерно 1 нс (около 0.7 нс — для перехода 58-4Р3/2, 1.3 нс — для перехода 58-4Р1/2 и 0.8нс — для перехода 4Р-48). Поскольку на нижнем пе-

\

—)-----------------ЗР

/

/

/

f 0,589 мкм

/

Рис. 9. Схема энергетических уровней и разрешенных переходов в эксперименте по наблюдению СИ в парах Na

реходе реализуется одноимпульсный режим СИ, удобно проводить сравнение теоретических и экспериментальных данных именно для указанного перехода. Экспериментальная ширина второго импульса составляет более 5tr, в то время как теоретическая ширина того же импульса, предсказываемая стандартной квантовой теорией среднего поля, составляет менее 4tr [34]. Для улучшения согласия между предсказаниями квантовой теории среднего поля и экспериментом для ширины второго импульса СИ, как и в предыдущих случаях, мы будем использовать модифицированное расцепление трехчастичных атомных корреляторов.

Чисто каскадный режим СИ удалось также реализовать в экспериментах Р. Кулины с соавторами на ридберговских атомах Ba в резонаторе [48].

В дальнейшем экспериментальные исследования каскадного СИ в парах Cs и Rb были продолжены в ряде работ С. Хартмана с соавторами [49, 50]. Упрощенная схема использованных в эксперименте энергетических уровней для Cs показана на рис. 11. В эксперименте короткий лазерный импульс длительностью примерно 10 пс с длиной волны 885 нс обеспечивал двухфотонный переход из состояния 6S1/2 в состояние 6D3/2. Импульсы накачки фокусировались до диаметра 80 мкм на ячейке с Cs длиной 1 см, что обеспечивало значение числа Френеля для длины волны, соответствующей верхнему переходу, примерно равное единице. Атомные плотности в эксперименте менялись от 1.7 1013 см-3 до 5.4 1013 см-3. Время спонтанного излучения и неоднородное уширение для верхнего перехода составляли 79 нс и 1 нс соответственно. Цель эксперимента состояла в том, чтобы создать суперпозиционное состояние на переходе 6S1/2-6D3/2:

0 0

| Т) = le'^sin- | 6D) + cos- | 65),

где ф — оптическая фаза и 0 — площадь импульса накачки, и полностью инвертированный переход 6D3/2-6P1/2. Заметим, что понятие площади импульса накачки может быть строго введено и для двухфотонного процесса при наличии квазире-зонансного энергетического уровня между основным и возбужденным уровнями

б)

В)

0

5

10

15

Время

Рис. 10. Временные зависимости относительных интенсивностей в экспериментах с парообразным Na для: а) импульса накачки, б) импульса СИ на верхнем переходе и в) импульса СИ на нижнем переходе

Рис. 11. Схема энергетических уровней и разрешенных переходов в эксперименте по наблюдению каскадного СИ в Се

(в нашем случае — это уровень 6P) [51]. Было проведено два эксперимента для чисел фотонов в импульсе накачки 5  1010 и 1  1011. Для первого эксперимента импульсы СИ в прямом направлении наблюдались как для верхнего, так и для нижнего перехода, в обратном направлении наблюдался только импульс СИ на верхнем переходе. Импульс СИ для верхнего перехода в прямом направлении имел задержку порядка 0.5 нс по сравнению с импульсом в обратном направлении и был примерно в 10 раз слабее по интенсивности. Для прямого направления импульсы на верхнем и нижнем переходах появлялись почти одновременно. Авторы дают следующее объяснение такого поведения импульсов СИ. Излучение с верхнего уровня создает макроскопический дипольный момент на верхнем переходе, который, за счет наличия связи с двухфотонной атомной когерентностью, одно-

1/2

временно индуцирует дипольный момент на нижнем переходе. Последний момент излучает когерентно в прямом направлении, эффективно опустошая населенность промежуточного уровня, что в свою очередь замедляет увеличение дипольного момента на верхнем переходе. Для обратного направления двухфотонная когерентность не влияет на процесс развития СИ на нижнем переходе, так как индуцированный дипольный момент на нижнем переходе обладает большой фазовой расстройкой относительно когерентности, возникающей на этом переходе. В этом случае излучение на нижнем переходе интерферирует деструктивно в образце, и опустошение промежуточного уровня мало. Таким образом, СИ в обратном направлении на верхнем переходе ведет себя так же, как для чисто двухуровневой системы. Поясним сказанное, используя простые формулы [51]. Пусть импульс накачки создал когерентную суперпозицию основного и верхнего уровней:

где к^ — волновой вектор когерентной суперпозиции. СИ на верхнем переходе когерентно населяет промежуточный уровень 6P, индуцируя автоматически макроскопический дипольный момент между уровнями 68 и 6P. Состояние излучателя при этом:

| Т) = А | 6Р) + С'екок | 6Б) + Б'е1^| 6Р).

Если импульс СИ испускается в прямом направлении, т.е. коллинеарен лазерному пучку ( крл ||к^), тогда когерентная суперпозиция между 6Р и 6Б фазосогласована:

где юїр — оптическая частота между уровнями 68 и 6Р. Макроскопический ди-польный момент, связанный с этой суперпозицией, будет когерентно испускать электромагнитное поле в направлении импульса накачки. Для СИ в обратном направлении когерентная суперпозиция между 6Р и 6Б фазонесогласована:

и СИ на нижнем переходе отсутствует. Эффект двухфотонной когерентности приводит для верхнего перехода к задержке импульса СИ в прямом направлении по сравнению с обратным и генерации СИ на нижнем переходе практически одновременно с верхним переходом. СИ на нижнем переходе в обратном направлении может возникнуть только при заметном опустошении основного уровня, по крайней мере, на 50 %. В этом случае возможно чисто каскадное СИ для излучения в обратном направлении, при этом излучение на нижнем переходе возникает с задержкой по отношению к СИ на верхнем переходе. Каскадное СИ для излучения на обратном переходе наблюдалось в эксперименте при использовании накачки, содержащей 1 -1011 фотонов. В этом случае увеличивалась инверсия между верхним и основным уровнем и, соответственно, уменьшалась двухфотонная атомная когерентность между этими уровнями. В этом случае на временах порядка времени неоднородного уширения 0.5 нс происходила дефазировка начальной когерентности. В результате исчезало различие между начальным когерентным и некогерентным приготовлением состояния излучателя для СИ в обратном направлении, что и приводило к реализации чистого каскадного СИ для этого направления. Число возбужденных атомов для второго случая было порядка 1011. В рамках квантовой теории среднего поля мы не можем описать эффекты распространения импульса СИ, поэтому рассмотрим значения параметров импульсов только в режиме чистого каскадного СИ в направлении обратном направлению

распространения импульса накачки. Экспериментальные ширины импульсов СИ для верхнего и нижнего перехода составляют примерно 1 нс, время задержки второго импульса относительно первого — несколько нс (максимально до 5 нс). Время спонтанного излучения для верхнего перехода составляет примерно 80 нс. Тогда, используя указанные выше значения параметров установки, находим, что время СИ для верхнего перехода приблизительно равно 4 10-5 нс. Таким образом, экспериментальная ширина импульса СИ примерно в 104 превосходит время СИ (ширина импульса для ’’чистого” СИ равна нескольким временам СИ). Это означает, что в рассматриваемом случае, как и в эксперименте Р. Флориана с соавторами [18], не выполнены условия ’чистого” СИ. Поэтому сравнение теоретических расчетов, полученных на основе развиваемой нами квантовой теории, с данными экспериментов по каскадному СИ в Сз возможно только на качественном уровне.

Перейдем к теоретическому описанию чистого каскадного СИ в трехуровневых системах 2-типа. Для рассматриваемой трехуровневой системы кинетические уравнения (28) примут вид:

X! = —(1-Х1-Х3) + —Г<13>,

Т12 Т«12

Хз = -—(2X3 + Х1-\)~ —^23),

Т23 Тд23

*2 = -*1 - *3,

/’(12) = —(1 - 2Х\ - Х3)(^13) + ЛГ1(1 - X! - Х3))-т«12

_±р(^) _ _!_(с/ _ азХ^!3))2,

Т13 Т«13 3

Р'23) = —(2Х3 + X! - 1))(^23) + И~1ХЪ)-

ТЕ23

__!_^23) _ _ а2)(^23))2,

Т23 Хи23

(а2 - а2) = ш(2Х3 + *1 - 1), (а3 - а3) = № - *1).

Решение уравнений (33) позволяет также найти временную зависимость интенсивностей сверхизлучения на переходах 3-2 и 2—1. Действительно, из закона сохранения энергии для интенсивностей имеем

^23

-^12

Численное решение уравнений (33)—(35) проводилось для значений параметров, взятых из работы [47]: N = 108, т^12/т23 = 0.02, т^12/т23 = 0.05, %н12/хн23 = 1.25.

Поскольку длительность импульса накачки тр = 2 нс сравнима с временем СИ на верхнем переходе т%23 ~ 1 нс, в конце процесса накачки, как и в двухуровневом случае, на верхнем переходе возникает отличная от нуля макроскопическая поляризация. Учесть влияния процессов накачки на СИ мы можем, выбрав в начальное условие для величины Г(23) в виде [39]:

Г(23) — м-1 ехр|

8ІП(ШдТр/2)ї . ЮдТр вш

4Тй23 2Тй23Юк I 2

где Юд —частота Раби для второго импульса накачки. Для п импульса накачки получаем: Г(23) — 3, 5 X 10-9.

Тр

Л

Рис. 12. Временная зависимость относительных интенсивностей для каскадного СИ. Сплошная линия соответствует стандартной модели, точечная — модифицированной с т = к = 3

На рис. 12 показаны временные зависимости относительных интенсивностей СИ на верхнем и нижнем переходах при использовании стандартного расцепления (сплошные линии) и модифицированного расцепления для параметров т = = к = 3. Полученные графики находятся в хорошем качественном соответствии с экспериментальными кривыми для чистого каскадного СИ, полученными в работе [47], а также в работах [49, 50]. Мы можем также провести количественное сравнение теоретического значения ширины импульса СИ на втором переходе с ее экспериментальным значением для эксперимента М. Гросса с соавторами [47], так как именно для нижнего перехода в этом эксперименте наблюдалось одноим-пульсное СИ. Оценивая указанную величину с помощью рис. 12 мы получаем, что ее значение составляет примерно 5тд12, что совпадает с экспериментальным значением. Теоретическое значение ширины импульса на верхнем переходе также мало отличается от экспериментального. Наименьшее количественное согласие между теорией и экспериментом имеет место для времен задержек импульсов СИ. В эксперименте максимальное время задержки первого импульса по отношению ко второму импульсу накачки составляло 9тд12, а между импульсами—13тд12 (в экспериментах Хартмана и с соавторами время задержки для первого импульса чистого каскадного СИ в направлении, обратном направлению распространения импульса вообще отсутствовало). Теоретические значения времен задержки для рассматриваемой квантовой модели каскадного СИ примерно в два раза больше экспериментальных значений, полученных в опытах М. Гросса с соавторами. Указанное несоответствие можно объяснить тем, что для указанного эксперимента не выполнялось одно из важных условий ’чистого” СИ: Т2 < Тд. В этом случае излучение происходит в пограничном режиме между СИ и усилением спонтанного излучения, что может привести к заметному сокращению времени задержки для импульсов СИ на верхнем и нижнем переходах [45].

Таким образом, в настоящей работе на основе метода исключения бозонных переменных построена квантовая теория СИ среднего поля в двух- и трехуровневых макроскопических системах, взаимодействующих с квантовыми электромагнитными полями. Использование нового подхода в квантовой теории СИ позволило значительно улучшить согласие теоретических предсказаний для ширины сверхизлучательного импульса с экспериментальными данными.

Заключение

Автор благодарит С.Н. Андрианова, Н.Н. Боголюбова(мл.), А.В. Горохова, В.Л.Дербова, С.В. Петрушкина, В.В. Самарцева, Ле Киена Фам, А.С. Шумовского, В.И.Юкалова за многочисленные обсуждения различных аспектов квантовой теории СИ.

Литература

[1] Dicke, R.H. Coherence in spontaneous radiation processes / R.H. Dicke // Phys. Rev. 1954. V. 93. №1 С. 99-110.

[2] Электромагнитное сверхизлучение / под ред. В.А. Голенищева-Кутузова,

B.В. Самарцева. Казань: Татполиграф. 1975. 427 с.

[3] Аллен, Л. Оптический резонанс и двухуровневые атомы / Л. Аллен, Дж. Эберли. М.: Мир. 1978. 224 с.

[4] Андреев, А.В. Коллективное спонтанное излучение (сверхизлучение Дике) /

A.В. Андреев, В.И. Емельянов, Ю.А. Ильинский // УФН. 1980. Т. 131. Вып. 4

C. 653-694.

[5] Теория кооперативных когерентных эффектов в излучении / под ред.

Е.Д. Трифонова, А.С. Трошина, Г.М. Недялковой. Л.: Ленингр. пед. институт, 1980. 98 с.

[6] Gross, M. Superradiance: An essay on the theory of collective spontaneous emission / M. Gross, S.Haroche // Phys. Repts. 1982. V. 93. №5 P. 301-396.

[7] Когерентная спектроскопия молекулярных кристаллов / Ю.В.Набойкин [и др.]. Киев: Наукова Думка, 1986. 204 с.

[8] Боголюбов, Н.Н.(мл.) Сверхизлучение / Н.Н. Боголюбов(мл.), А.С.Шумовс-кий. Дубна: ОИЯИ Р17-87-176, 1987. 85 с.

[9] Андреев, А.В. Кооперативные явления в оптике / А.В. Андреев, В.И. Емельянов, Ю.А. Ильинский. М.: Наука, 1988. 288 с.

[10] Желязняков, В.В. Волны поляризации и сверхизлучение в активных средах /

B.В. Желязняков, В.В. Кочаровский, Вл.В. Кочаровский // УФН. 1989. Т. 159. Вып. 2, С. 193-260.

[11] Андреев, А.В. Оптическое сверхизлучение: Новые идеи и новые эксперименты / А.В. Андреев // УФН. 1990. Т. 160. Вып. 12 С. 1-60.

[12] Benedict, M.G. Superradiance: Multiatomic coherent emission / M.G. Benedict [et al.]. IOP Publishing, Bristol and Philadelphia, 1996.

[13] Меньшиков, Л.И. Сверхизлучение и некоторые родственные явления / Л.И. Меньшиков // УФН. 1999. Т. 169. Вып. 4 С. 113-154.

[14] Андрианов, С.Н.. Оптическое сверхизлучение и лазерное охлаждение в твердых телах / С.Н. Андрианов, В.В. Самарцев. Казань.: Изд-во Казанского гос ун-та, 1988. 131 с.

[15] Калачев, А.А. Когерентные явления в оптике / А.А. Калачев, В.В. Самарцев. Казань.: Изд-во Казанского ГУ, 2003. 281 с.

[16] Yukalov, V.I. Coherent nuclear radiation / Y.I.Yukalov, E.P. Yukalova // ЭЧАЯ. 2004. Т. 35. Вып. 3. С. 640-708.

[17] Observation of Dicke superradiance in optically pumped HF gas / N. Scribanivitz [et al.] // Phys. Rev. Lett. 1973. V. 30. No. 8. P. 309-312.

[18] Florian, R. Superradiance and high-gain mirror-less laser activity of O2 centers in KCl / R. Florian, L.O.Schwan, D. Schmid // Solid State Commun. 1982. V. 42. P. 55-57.

[19] Florian, R. Time-resolving experiments on Dicke superfluorescence of O- centers in KCl. two-color superfluorescence / R. Florian, L.O.Schwan, D. Schmid // Phys. Rev. 1984. V. A29. No. 5. P. 2709-2715.

[20] Сверхизлучение в кристалле дифенила с пиреном / П.В. Зиновьев [и др.] // ЖЭТФ. 1983. V. 85. P. 1945-1952.

[21] Superfluorescence from O- molecules in alkali halide crystals / M. Ashida [et al.] // J. Luminiscence. 1996. V. 66-67. P. 259-263.

[22] Оптическое сверхизлучение в кристалле LaF3:Pr3+ / В.А. Зуйков [и др.] // Квантовая электроника. 2000. Т. 30. № 7. С. 629-631; Laser Phys. 1999. V. 9. No. 4. P. 1-4.

[23] The spectral characteristics of superfluorescence in rare-earth-doped silica fibres /

F. Gan [et al.] // Pure Appl. Opt. 1993. V. 2. P. 359-365.

[24] Greiner, G. Superradiant emission dynamics of the optically thin material sample in a short-decay-time optical cavity / G. Greiner, B. Boggs, T.W. Mossberg // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. №.18. P. 3793-3796.

[25] Evidence for superradiant decay of excitons in InAS quantum sheets/ O. Brandt [et al.] // Phys. Rev. 1992. V. A45. No. 7. P. 3803-3806.

[26] Сверхизлучение в полупроводниках / С.В. Зайцев [и др.] // Физика и техника полупр. 1999. Т. 33. Вып. 12. С. 1456-1461.

[27] Сверхизлучение в квантовых гетероструктурах / А.И. Климовская [и др.] // Физика и техника полупр. 2003. Т. 33. Вып. 12. С. 1456-1461.

[28] Properties of two-photon fluorescence and superradiance of new organic dye С46H5iN2B / G. Zhou [et al.] // Eur. Phys. Lett. 2000. V. D19. P. 389-393.

[29] Gibbs, H.M. Single-pulse superfluorescence in cesium / H.M. Gibbs, Q.H.F. Vrehen, H.M.J. Hikspoors // Phys. Rev. Lett. 1977. V. 39. No. 9. P. 547-550.

[30] Bonifacio, R. Quantum statistical theory of superradiance. I,II / R. Bonifacio, P. Schwendimann, F.Haake // Phys. Rev. 1971. V. A4. No. 1. P. 302-313; No. 3. P. 854-864.

[31] Башкиров, Е.К. Расцепление многочастичных корреляторов в квантовой теории сверхизлучения / Е.К. Башкиров // Известия РАН. Серия Физическая. 1998. Т. 62. №2. C. 327-322.

[32] Башкиров, Е.К. Метод исключения бозонных переменных в теории сверхизлучения / Е.К. Башкиров. Самара: Изд-во СамГУ, 1992. 24 с.

[33] Сверхизлучательные процессы в трехуровневой системе / Н.Н. Боголюбов (мл.) [и др.] // Сообщение ОИЯИ. Р17-84-665. Дубна, 1984. 7 с.

[34] Генерация сверхизлучения в системе с тремя разрешенными переходами / Н.Н. Боголюбов (мл.) [и др.] // Письма в ЭЧАЯ. 1984. №3. C. 26-32.

[35] Сверхизлучение в системе с тремя разрешенными переходами /

Н.Н. Боголюбов (мл.) [и др.] // Сообщение ОИЯИ. Р17-87-837. Дубна.

1984. 7 с.

[36] Башкиров, Е.К. Динамика сверхизлучательной генерации в сегнетоэлектри-ках / Е.К. Башкиров, А.С. Шумовский, В.И. Юкалов // ДАН СССР. Т. 282. №2. C. 300-303.

[37] Динамика сверхизлучательных процессов в даухуровневых макроскопических системах в кристалле / Н.Н. Боголюбов (мл.) [и др.] // Теоретическая и математическая физика. 1987. Т. 70. №3. C. 454-461.

[38] Bashkirov, E.K. Dynamics of phonon mode in superradiance regime of laser cooling of crystals j E.K. Bashkirov jj Phys. Lett. 2005. V. A341. P. 345-351.

[39] Superradiance allowing for the pumping processes j N.N. Bogolubov (Jr.) [et al.] jj Physica. 1985. V. 133A. P. 413-424.

[40] Башкиров, Е.К. Сверхизлучение в трехуровневых системах с учетом когерентной накачки j Е.К. Башкиров j j Известия РАН. Серия Физическая. 2000. Т. 64. №10. C. 1920-1923.

[41] Боголюбов, Н.Н., Боголюбов Н.Н. (мл.) Кинетическое уравнение для динамической системы, взаимодействующей с бозонным полем j Н.Н. Боголюбов, Н.Н. Боголюбов (мл.) jj ЭЧАЯ. 1980. Т. 11. Вып. 2. С. 245-300.

[42] Samartsev, V.V. Dicke superradiance in a biphenyl crystal doped with pyrene molecules and the possibikity of this phenomenon in a gamma range j V.V. Samartsev jj Hyperfine Interact. 1997. V. 107. P 359-367.

[43] Рудой, Ю.Г. Современное состояние метода двухвременных функций грина в квантовой теории магнетизма j Ю.Г. Рудой. Статистическая физика и квантовая теория поля . М.: Наука, 1973. С.97-164.

[44] Schwendimann, P. Damping effects in two-colour superfluorescence j P. Schwendimann jj Optica Acta. 1984. V. 31. No. 1. P. 107-114.

[45] Transition from superfluorescence to amplified spontaneous emission j M.S. Malcuit [et al.] jj Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. No. 11. P. 1189-1192.

[46] Cooperative cascade emission j J. Okada [et al.] jj Opt. Commun. 1978. V. 28. No. 2. P. 189-192.

[47] Observation of near-infrared Dicke superradiance on cascading transitions in atomic sodium j M. Gross [et al.] jj Phys. Rev. Lett. 1976. V. 36. No. 17. P. 1035-1038.

[48] Kulina, R. Collective emission of Ba atoms in a resonant cavity j R. Kulina,

C. Leonard, R.-H.Rinkleff jj Phys. Rev. 1986. V. 34. No. 1. P. 227-230.

[49] Brownell, J.H. Yoked superfluorescence j J.H. Beownell, X. Lu, S.R. Hartman jj Phys. Rev. Lett. 1995. V. 75. No. 18. P. 3265-3268.

[50] Lu, X. Cooperative superfluorescence and time delayed 2nd harmonic generation j X. Lu, J.H. Beownell, S.R. Hartman jj Prog. Crystal Growth and Charact. 1996. V. 33. P. 311-318.

[51] Lvovsky, A.I. Omnidirectional superfluorescence transitions: Thesis Ph.D. j A.I. Lvovsky. Columbia University, 1998.

Поступила в редакцию 13jlj2006; в окончательном варианте — 13jlj2006.

QUANTUM THEORY OF SUPERRADIANCE. PART I3

© 2006 E.K. Bashkirov4

The quantum theory of superradiance in the two- and three-level macroscopic system interacting with electromagnetic fields based on the method of boson variables elimination is developed.

Paper received 13/I/2006. Paper accepted 13/I/2006.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. V.A. Saleev.

4Bashkirov Eugene Konstantinovich (bash@ssu.samara.ru), Dept. of General and Theoretical Physics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Метод исключения бозонных переменных Боголюбова-Боголюбова

Рассмотрим произвольную динамическую систему A, взаимодействующую с бозонным полем F. Пусть полный гамильтониан системы (А + F) имеет вид:

H = НА + ^ + HAF,

где На — собственный гамильтониан системы А,

н = 2

к

— гамильтониан свободного бозонного поля F и

HAF = £ [Ск(А)ак + С+ (А)а+}

к

— гамильтониан взаимодействия системы А с бозонным полем. Мы ограничимся рассмотрением гамильтониана взаимодействия, линейного по бозонным переменным. Здесь а+(ак) —оператор рождения (уничтожения) бозона в состоянии к = (к, \), где к — волновой вектор бозона и X — его поляризация, и Ск(А) — операторы, зависящие только от переменных А-подсистемы.

Статистический оператор рг полной системы (А + F) удовлетворяет квантовому уравнению Лиувилля

г^ = [рг,Я].

Предположим, что взаимодействие подсистемы А с бозонным полем F включается в момент времени го. Тогда начальное условие для уравнения эволюции (П2) можно записать в виде:

рг0 = Ра  pF,

где рА и pF — статистические операторы невзаимодействующих подсистем А и F. Начальное состояние бозонного поля выберем в виде равновесного теплового распределения с эффективной температурой в = 1/квТ:

рF = Q-le-вHF, 2 = 8ре~в^.

Введем представление Гейзенберга для произвольной динамической величины изучаемой системы

Оар- (г) = е1Н/ыОме~1Н/ы.

Уравнение движения для динамической величины GAF(г):

1Пд°АЯ0 =

дг

В частности, выбирая в качестве G операторы рождения и уничтожения моды бозонного поля к, получаем

дак(г) I ,

—^ = -ткак(0 - -С+(0, дг п

да+(г) I

—*— = ткак

дг п

Принимая во внимание начальные условия ак(го) = ак, ак+(го) = ак+, мы можем записать формальное решение уравнений (П3) в виде

ак(г) = аке-!“к(г-го) - 1Вк(г),

а+

где

'к'

?0

Обозначим через О произвольный оператор, действующий только на переменные ”атомной” подсистемы. Уравнение движения для оператора О в представлении Гейзенберга имеет вид:

1П^ = №),Н].

Совершим в обеих частях уравнения (П5) усреднение по начальному равновесному состоянию системы (...) = 5р(... р1о). Учитывая явный вид гамильтониана системы (П1) и формальные решения для операторов рождения и уничтожения бозонного поля (П4), получаем уравнение эволюции для среднего значения наблюдаемой О в виде:

Лд_Ш.1-(\оиНАт = д

= X {(Як(0 [О(0, Сктв-тк(г-го) + (а+ [ОСО, С+(0])е-КОк(г-го)} -к

-^ {

Исключим теперь из правой части уравнения (П6) бозонные операторы. С этой целью воспользуемся следующей леммой.

Лемма Боголюбова-Боголюбова (мл.). Пусть и — произвольный оператор, действующий на переменные (А, F) системы, тогда

(акЩг)} = (1 + N )<[аь и(г)]),

<а+и

где

Ъ = 1

_ і

равновесное число бозонов в к-ой моде.

Доказательство.

Используя свойства начального состояния (А, р) системы, имеем

(аки(і)) = Яр (а, р) аки(і)рг0 = 5Р №) ак Ьр (а, 0 к) и(0рА  Рр* ( РЪ ’

і к*к к'фк I

рРк = Q-le-вЛa+^a^ , Є-1 = |і - е-^}-1 .

Так как

(Пк | рр4 | Пк>) = ЬПкЩ, Q-1e~вRnk,

где Пк, Пк —числа заполнения бозонных мод к и к', то мы имеем

<ак и (г)) = ^ <Пк | ак\пк + 1)<Пк + 1 | ^к (г) | щ )<Пк | р^ | щ) =

Пк

= 2 V"* +1 огк1е~^пчпк +11 ^(о | и,>,

Пк

где

^к(г) = 5^, ^ % и(г)РА  П Р^'

к’фк к Фк

Аналогично можно получить, что

(Щ1)ак) = ^ л]пк + 1 (2^1е-Р^+1)<га* + 1 | ^(0 | и,)-

Пк

Следовательно

<акЩг)) = евй“к <и(г)ак).

Сопряженное равенство дает

<а+и(г)) = евй“к <и(г)а+).

Откуда следуют соотношения (П7). В результате лемма доказана.

Для преобразования уравнения эволюции (П6) для среднего значения динамической переменной О воспользуемся доказанной леммой. Для этого выберем в качестве и(г) операторы [О(г), Ск(г)] и [О(г), Ск(г)] и воспользуемся соотношениями (П4) и (П7). После несложных преобразований получаем:

Щ^-'-люмт-

дг а

= ¥^10 л'е~Шг~г'){мк(^0')Ю0),ск(0]+

+

Уравнение (П8) представляет собой точное квантовое кинетическое уравнение

для системы, взаимодействующей с бозонным полем. В частности, для двухуров-

невой модели Дикке операторы Ск есть:

N

Ск = £ hgkelhf.

I=1

Обобщенное кинетическое уравнение (П8) с операторами Ск вида (П9) использовано нами для построения квантовых кинетических уравнений теории сверхизлу-