Обратные и некорректно поставленные задачи

Ломоносовской премии МГУ за научные исследования были удостоены: О. Б. Арушанян (1974),

H.С. Бахвалов (1998), H.A. Бобылев (2002), В. В. Воеводин (1974), С. С. Гайсарян (1974), A.B. Гончарский (1988), В. И. Дмитриев (1983), Ю. Н. Днестровский (1976), С. В. Емельянов (2002), Ю. И. Журавлев (2003), Е.В. Захаров (1983), В. А. Ильин (1980), Г. Д. Ким (1974), С. К. Коровин (2002), Д. П. Костомаров (1976), О. Б. Лупанов (1993), Е. И. Моисеев (1994), В. М. Пасконов (1985), А. М. Попов (1976), К. В. Рудаков (2003), В. А. Садовничий (1973), A.A. Самарский (1997), А. Н. Тихонов (1963), И. А. Шишмарев (2000), Б.М. Щедрин (1986).

Лауреатами Ломоносовской премии МГУ за педагогическую деятельность являются: В. Б. Алексеев (2004), A.M. Денисов (2001), В. А. Ильин (1992), Л.Н. Королев (1995), Д. П. Костомаров (1996), В. Н. Пильщиков (1997), Л. Б. Саратовская (1998), В. Г. Сушко (1994). Премию Президента РФ в области образования получили Е.В. Шикин (1999), В. А. Ильин и Г. Д. Ким (2005).

В 1984 г. золотой медали АН СССР за лучшую работу молодых ученых удостоен цикл работ, связанных с созданием системы КРАБ (A.B. Гуляев, Н. В. Макаров-Землянский, И. В. Машечкин). Золотой медалью РАН для студентов вузов отмечен цикл работ выпускников факультета 2001 г. П. Рево, Г. Чабакаури, А. Дьяконова. Медалью РАН для молодых ученых в 2004 г. был награжден М.И. Петровский.

Факультет ВМиК вступил в год 250-летия Московского университета, подтверждая делами свою репутацию ведущего учебно-научного центра России в области прикладной математики и информатики. На пороге своего 35-летия факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ имеет весьма солидный профессорско-преподавательский и научный состав, хорошее обеспечение вычислительной техникой, развитую инфраструктуру, широкие связи с ведущими научными институтами, университетами и ведущими компаниями как в России, так и за рубежом, устойчиво высокий конкурс среди абитуриентов и спрос на выпускников. Все это является основой для активного развития факультета в будущем.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

I. Бе резин И. С. О кафедре вычислительной математики и вычислительном центре Московского университета // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 1967. № 6. С. 52-60.

2. Брусенцов Н.П., Жоголев Е.А., Маслов С.П., Рамиль Альварес X. Опыт создания троичных цифровых машин // Компьютеры в Европе. Прошлое, настоящее и будущее. Киев: Феникс, 1998. С. 67-71.

3. Смелянский Р. Л. История создания УНВК на факультете ВМиК / / Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ (к 25-летию со дня основания). М.: Диалог МГХ 1995. С. 64-65.

4. Факультет вычислительной математики и кибернетики: Биографический справочник / Автор-сост. Е. А. Григорьев // М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2005. 432 с.

Поступила в редакцию 20.01.05

А. М. Денисов, В. И. Дмитриев

ОБРАТНЫЕ И НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ

Возникновение и развитие научного направления "Обратные и некорректно поставленные задачи" в Московском государственном университете в нашей стране и за рубежом неразрывно связано с именем академика Андрея Николаевича Тихонова. Его первый результат по теории обратных задач изложен в широко известной статье "Теоремы единственности для уравнения теплопроводности" [1], одна из частей которой посвящена задаче теплопроводности с обратным направлением времени.

Фундаментальное значение для теории обратных задач и методов их решения имела работа А.Н. Тихонова "Об устойчивости обратных задач" [2]. Статьи [3, 4], посвященные исследованию обратных задач геофизики, содержат также существенные математические результаты. В начале 60-х гг. XX в. А.Н. Тихоновым был опубликован цикл работ (см. [5, 6], а также литературу в [7]), в которых был предложен и развит метод регуляризации решения некорректно поставленных задач, получивший в дальнейшем имя метода регуляризации Тихонова. Этот метод используется в настоящее время в самых различных областях прикладной математики для построения эффективных методов решения некорректно поставленных задач.

Обратные задачи для уравнений математической физики возникают при исследовании различных процессов и объектов, недоступных для непосредственного наблюдения. В экспериментах при этом измеряются некоторые их косвенные проявления, на основе которых требуется сделать заключение о свойствах исходного процесса или объекта. С математической точки зрения такие задачи, как правило, представляют собой задачи определения коэффициентов дифференциального уравнения или функций, входящих в краевые или начальные условия, по дополнительной информации о решении некоторой начально-краевой задачи для этого дифференциального уравнения.

В данной статье мы остановимся на полученных за последние годы на кафедре математической физики результатах научного направления "Обратные и некорректно поставленные задачи".

Одно из основных направлений исследования обратных задач для дифференциальных уравнений на кафедре математической физики связано с изучением математических моделей процессов динамики сорбции. Достаточно общая схема подобного процесса такова. Через колонну, заполненную поглощающим веществом (сорбентом), пропускается газ или жидкость, которые поглощаются при движении вдоль колонны. Известна концентрация газа на входе в колонну и на выходе из нее. На основе этих данных требуется сделать заключение о свойствах поглощающего вещества.

Рассмотрим следующую математическую модель процесса динамики сорбции:

иж + а

а

и

а

Здесь и(х,Ь) — концентрация газа вне сорбента; а(ж,£) — концентрация газа в сорбенте; у (в) — изотерма сорбции, определяющая поглощающие свойства вещества; у(з) — кинетический коэффициент, описывающий скорость обмена между газом вне сорбента и в сорбенте; — входная концентрация газа. В рамках математической модели (1)-(4) может быть поставлена следующая обратная задача. Пусть функции 7(5), заданы, а <¿>(5) неизвестна. Требуется определить ^(в), если задана следующая дополнительная информация (концентрация на выходе из колонны) о решении задачи (1)-(4):

и

Одна из основных трудностей, связанных с изучением этой обратной задачи, состоит в том, что неизвестный коэффициент уравнения у (в) зависит от одной из компонент решения функции и(х, которая в свою очередь зависит от этого коэффициента. Это обстоятельство определяет существенный характер нелинейности обратной задачи (1)-(5). Исследованию этой обратной задачи посвящена работа [8], в которой доказаны теоремы единственности и существования ее решения. В работе [9] изучена обратная задача, состоящая в определении неизвестного кинетического коэффициента у (в) по дополнительной информации (5) о решении задачи (1)-(4), в предположении, что функции у (в) и //(£) заданы. Для этой обратной задачи доказаны теоремы существования и единственности ее решения, а также предложен и обоснован итерационный метод для нахождения приближенного решения.

Многообразие обратных задач для математических моделей динамики сорбции определяется как различными математическими моделями, описывающими эти процессы, так и различными вариантами неизвестных параметров процесса. Исследованию этих задач и разработке методов их решения посвящены работы [10-12].

Обратная задача (1)-(5) представляет собой обратную задачу для полулинейной гиперболической системы. Обратные коэффициентные задачи для линейных гиперболических систем возникают в геофизических исследованиях. Одной из областей приложения теории обратных задач в геофизике является вертикальное сейсмическое профилирование. Суть этого метода состоит в регистрации

сейсмического поля на скважине, направленной вниз, с целью определения параметров поверхностных земных толщ (до 5-7 км) и построения геологического разреза. В настоящее время вертикальное сейсмическое профилирование является одним из наиболее эффективных методов разведки месторождений углеводородов.

В рамках горизонтально-однородной модели среды обратная задача состоит в определении непрерывного коэффициента отражения г(х), х 6 [О, Г], в гиперболической системе

+ 'их + и = 0, щ — их — г

с условиями

г;

Если исходные данные, функции </?(£), /(£), известны с погрешностью, то обратная задача является некорректной из С[0, Т] в С[0, 2Т]. Для ее решения предложен регуляризующий по Тихонову алгоритм, основанный на решении интегрофункционального уравнения вольтерровского типа.

Обратную задачу (6), (7) можно поставить в разностном виде. В этом случае для определения сеточного коэффициента для разностной задачи

- + Ь г, и) = 0, и]+_\ - и)- к = О,

= и° = 0, ^ = <р{, иг0 = /г г ^ О,

рассмотрен алгоритм регуляризованного обращения разностной схемы.

Наряду с обратной задачей рассеяния (6), (7) можно рассмотреть диссипативную обратную задачу рассеяния

+ 'их + о-(ж; ц)и = 0, щ — их — <т(ж; = 0, ж, £ > О,

у(х, 0) = и(х, 0) = 0, и(0,*) = 5(г), и(0, £) = /(£),

где 8(1;) — дельта-функция, <т(ж; ц) = ц(х) ехр / ц(у) ¿у а ц(х) — искомый коэффициент поглощения. В работе [13] получено необходимое и достаточное условие разрешимости этой обратной задачи.

Наряду с обратными задачами рассеяния в вертикально-сейсмическом профилировании весьма актуальны задачи просвечивания, когда дополнительные условия имеют вид

= /Зи(0, *) + ¥>(*), у(Т,1) = д(1), и(Т,1) = /(1), ¿>0.

В работе [14] показано, что в этом случае одновременно удается однозначно восстановить коэффициенты отражения г(х) и поглощения среды ц(х) при х 6 [0,Т], параметр /3 и неизвестный источник

Рассмотрим обратную задачу для полулинейного гиперболического уравнения. Пусть функция

u(x,t) является решением начально-краевой задачи

ии = а2ихх - сщ + /

ux

u

В работе [15] исследована следующая обратная задача. Пусть функции //

и(0, ¿) = 0 ^ 1 ^ Т.

Для этой обратной задачи доказаны теоремы существования и единственности ее решения и предложен итерационный метод для нахождения приближенного решения.

Одно из направлений научных исследований связано с изучением обратных задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим обратную задачу для нелинейного одномерного стационарного уравнения теплопроводности с краевыми условиями, зависящими от параметра.

Требуется определить функции к(Ь) и у(ж,в) такие, что

(к(у(х18))у'(х18)У = ¡(у(х18))1 0 ^ Ж ^ 1, 0 ^ 5 ^ «О, у'{0,з) = 0, у{1,з) = 3, 0^3^3О, к{у{0,з))у'{0,з) = Ь{з), 0^3^3О,

где /(¿) и — заданные функции. Эта обратная задача сводится к нелинейному интегральному уравнению второго рода для неизвестного коэффициента теплопроводности к(Ь) [16]. На основе этого уравнения доказана однозначная разрешимость обратной задачи и обоснован итерационный метод ее решения. Так как при редукции обратной задачи к нелинейному уравнению второго рода используется дифференцирование, то для построения устойчивых методов ее решения необходимо применять регуляризованные методы вычисления производных от функций, заданных с погрешностью.

Интенсивно развивающейся областью применения математических методов являются проблемы биологии, и в частности теория популяции. Рассмотрим модель популяции биологических объектов

щ + их = —д(ж)и, 0 ^ ж ^ 1, 0 ^ £ ^ Г, 1

и(0, = J q(s)u(s,t)ds, 0 о

и(0, = (р(х), 0 ^ ж ^ 1,

где и{х,£) — плотность популяции, ц{х) — скорость смертности, д(ж) — относительный коэффициент скорости рождения, <~р{х) — начальная плотность популяции. В работе [17] исследована обратная задача, состоящая в определении неизвестных функций ц{х) и <~р{х) в предположении, что функция д(ж) задана, и, кроме того, известна дополнительная информация о плотности популяции

и(0, = а(£), ¿) = б(^), 0 ^ г ^ 1.

Предложены итерационные методы решения этой обратной задачи, основанные на ее редукции к интегральным уравнениям.

Исследование ряда обратных задач для нелинейных дифференциальных уравнений приводит к анализу специального интегрального уравнения первого рода

I

J K

о

где функции К( ж,£), и( ж,£), /(£) заданы, а у (в) неизвестна. Функция и{х,£) такова, что и( ж,0) = О, щ(х^) > 0, их{х,£) ^ 0. Отличительной особенностью уравнения (11) является то, что его характер различен при разных значениях переменной t. В окрестности нуля уравнение близко по свойствам к уравнению Фредгольма первого рода, а для остальных значений £ оно ведет себя, как уравнение Воль-терра первого рода. В тех случаях, когда в обратной задаче для нелинейных уравнений в частных производных неизвестны два коэффициента, возникает проблема анализа системы интегральных уравнений типа (11). Доказательству существования и единственности решения подобных систем уравнений посвящена работа [18].

Обширной сферой применения методов решения некорректно поставленных задач является обработка данных дифракционных экспериментов для жидких и аморфных металлов. Типичная задача, возникающая в этой области исследований, состоит в обращении интегральных преобразований с ядрами типа Фурье в случае, когда исходная информация задана приближенно на конечном интервале. Для решения подобных задач разработан проекционный метод, основанный на разложении в ряд по собственным функциям [19]. Так, при рассеянии на частицах внутри расплавленного металла, рассматривается уравнение

оо

J вт(ж у) г (у) йу = и§( ж), 0 ^ ж ^ Я. о

В этом случае приближенное решение строится в виде разложения по функциям Эрмита, число которых согласовано с длиной отрезка R, на котором задается экспериментальная информация, и величиной погрешности S. Данный подход позволяет эффективно решать задачи обработки данных дифракционных экспериментов для жидких и аморфных металлов. В частности, на его основе было подтверждено наличие фазового перехода второго рода в жидком цезии [20]. Следует отметить, что предложенные методы успешно применяются также для решения задач обработки мультимедийных данных.

Одним из важных направлений научных исследований является развитие методов решения обратных задач электродинамики. Сюда входят обратные задачи электромагнитных зондирований неоднородных сред, проблема синтеза излучающих систем с заданными характеристиками излучения и задачи интерпретации данных электроразведки полезных ископаемых и обратные задачи определения глубинного строения Земли по измерениям естественного электромагнитного поля Земли.

В последние годы наиболее важные результаты были получены по развитию методов решения обратных задач магнитотеллурического зондирования глубинного строения Земли и радиолокационного зондирования поверхности Земли.

Постановка обратной магнитотеллурической задачи состоит в определении распределения электропроводности a(x,y,z) в Земле (z > 0) по измеренному на земной поверхности тензору имепеданса Z(x,y,u), связывающего магнитные и электрические поля на земной поверхности и зависящего от частоты поля и — частоты колебаний электромагнитного поля. Для любой модели распределения a(x,y,z) тензор импеданса может быть вычислен из уравнений Максвелла [21]. Этот модельный импеданс обозначим

ZM{x,y,u) = А[сг],

где А — нелинейный оператор.

Таким образом, необходимо определить a(x,y,z) из условия

Z

где S — погрешность определения импеданса.

Условие (12) избыточно, так как мы стремимся приблизить все четыре компоненты тензора импеданса. Обычно приближают эффективный импеданс Z3фф = ^JZyxZxy — ZxxZyy, который является инвариантом тензора импеданса.

В последнее время разработан новый подход, в котором по известному тензору импеданса на земной поверхности и заданному возбуждению поля рассчитывается магнитное поле на земной поверхности, а затем обратная задача решается в рамках заданного магнитного поля [23, 24]. Обычно используется горизонтальная составляющая магнитного поля Hy(x,y,uj), если неоднородность вытянута в направлении оси ОХ. Задача теперь сводится к определению a(x,y,z) из условия

IIНу

где Ну(х,у,ш) — синтезированное по импедансу и заданному возбуждению магнитное поле, а Н[а] — рассчитанное из уравнений Максвелла магнитное поле для модельного a(x,y,z).

Задача (13) неустойчива, поэтому ее необходимо регуляризировать. Вначале решается задача при условии плавного изменения a(x,y,z):

ш 1 XI у 1

mm|y diü J dx J

Уо V

где V — область неоднородности а(х,у,г), а а — параметр регуляризации, выбираемый по 6 из принципа невязки. В результате решения задачи (14) получаем сглаженные распределения а(х,у,г). После этого наступает второй этап интерпретации.

По а(х,у,г) в предположении, что границы раздела между областями с различными а должны быть резкими, строится модель а(х,у,г) с кусочно-постоянным распределением, параметры которого уточняются из условия (13). Полученная модель распределения ам(х,у, г) считается приближенным решением поставленной обратной задачи [22]. Последняя задача является задачей повышения контрастности решения. Она может решаться в автоматическом режиме, используя дополнительные условия минимума области, которую занимает неоднородность [25].

Другой разрабатываемой проблемой является определение характеристик отражающей поверхности с учетом ее рельефа по данным электромагнитного зондирования. Задача формулируется следующим образом. Пусть на поверхность с рельефом г = Z(x,y) падает электромагнитная волна. Необходимо по измеренной интенсивности отраженного поля на различных частотах Я(ш) определить рельеф поверхности. Исследовались в основном двумерные задачи, когда г = Zo(x). В этом случае задача ставится следующим образом.

Пусть поверхность раздела двух различных диэлектрических сред с постоянными характеристиками бо и 61 представляет собой цилиндрическую поверхность, заданную в декартовой системе координат г = г0(х). На поверхность раздела в заданном направлении то падает плоская монохроматическая волна {Ео, Но} частоты / = Пусть далее ф) — интенсивность отраженного поля в плоскости падения плоской волны. Обозначим через А нелинейный оператор, связывающий параметры отражающей поверхности с диаграммой рассеянного поля в дальней зоне и, 61, ф):

7Г 7Г

А[и,е 1,г0{х)} = ¡(г0(х)1ш1 еХ1 ф), -- ^ ф ^ -.

В диапазоне углов наблюдения ^ ^ | с погрешностью 6 измеряется интенсивность рассеянного поля И(ш, ф). Необходимо определить вектор х = ..., ^дг, 61} из условия

'т1Р (1Ж6ь • • - /П , Я{и,ф) ^ 5,

х£ Л V /

где р — мера уклонения интенсивности поля в дальней зоне и измеряемой интенсивности.

Для построения алгоритмов решения прямой задачи используются как приближенные методы малых возмущений, так и строгие методы, основанные на сведении к системе интегральных уравнений. Подробный обзор прямых методов решения задач дифракции на волнистой поверхности содержится в работе [26].

Большой цикл исследований проведен по решению обратных задач дифракционного изучения строения материалов. Дифракционный эксперимент дает набор значений интенсивности, по которым могут быть получены квадраты модулей структурных амплитуд

N N

\Fhki |2 = /2 (5)^^- со8 2тг(Я, йц),

¿ = 1 3 = 1

где N — число атомов, — порядковые номера соответствующих элементов, Н — индексы

Миллера, 5 = &тв/\ (рассчитывается по Н и параметрам элементарной ячейки), /(5) характеризует рассеяние, а — вектор межатомного расстояния. Доказано, что полный набор межплоскостных расстояний может быть получен [27]. В той же работе доказано существование и единственность решения задачи восстановления плотности сферически-симметричных частиц по данным малоуглового рассеяния, т.е. отыскания р(г) по /(5):

оо со

О О

где 7(и) — аналог усредненной одномерной функции межатомных векторов, /(5) — интенсивность, Я — радиус частиц в растворе. Доказано, что

и7(и) = 2тг У &>(£)( У

тах(9,и-г) \и —

и, таким образом, решена соответствующая система нелинейных уравнений.

Подробно исследовалась задача качественного фазового анализа поликристаллических смесей. Определение фаз, из которых состоит исследуемый образец, является очень актуальным для многих областей науки и производства, связанных с материаловедением. Спектр многофазного образца —

линейная комбинация спектров фаз смеси:

N

т-^слу*),

где N — число фаз, в — угол дифракции, 1(0) — интенсивность образца, — интенсивность

-го эталона, \в — в*\ ^ Ав — точность совпадения линий спектров, а с^ — концентрация фазы в смеси. Задача определения состава смеси не может быть решена без построения соответствующего регуляризирующего алгоритма из-за многих причин (близкие спектры, число эталонных спектров в картотеке во много раз больше числа линий в образце и т.д.) [28].

Оптимальная модель спектра, имеющего М линий, сведена к задаче квадратичного программирования

М г N -л 2 N N , N

Ф(С) =

¿ = 1

3 = 1

^ bi ^ ^ VP'

j=i j=i vp= l

где а — параметр регуляризации, /3 — штраф из-за несовпадения части линий {с^ ^ 0}.

В настоящей статье кратко рассмотрены постановки обратных задач, которые исследовались на кафедре математической физики. Конечно, в ней не нашли своего отражения все результаты по теории обратных задач, полученные за последние годы. Эти работы имеют важное теоретическое и практическое значение. Созданные алгоритмы решения обратных задач широко используются в различных научных исследованиях.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тихонов А. Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности // ДАН СССР. 1935. 1. № 5. С. 294-300.

2. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. 1943. 39. № 5. С. 195-198.

3. Тихонов А. Н. О единственности решения задачи электроразведки // ДАН СССР. 1949. 69. № 6. С. 797-800.

4. Тихонов А. Н. К математическому обоснованию теории электромагнитных зондирований // ЖВМиМФ. 1965. 5. № 3. С. 545-547.

5. Тихонов А.Н. О решении некорректных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. 151. № 3. С. 501-504.

6. Тихонов А.Н. О нелинейных уравнениях первого рода // ДАН СССР. 1965. 162. № 5. С. 10231026.

7. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

8. Денисов A.M. Задача определения нелинейного коэффициента системы уравнений в частных производных // Диф. ур-ния. 1999. 35. № 7. С. 926-934.

9. Денисов A.M. Существование решения обратной задачи для квазилинейного гиперболического уравнения // Диф. ур-ния. 2002. 38. № 9. С. 1155-1164.

10. Evseev A.B.,Lukshin А. V. Unique solvability of the inverse problem with a time-dependent boundary conditions for a sorption model // Computational Mathematics and Modeling. 2002. 13. N 4. P. 413-422.

11. Щеглов А.Ю. Метод решения обратной граничной задачи динамики сорбции с учетом диффузии внутри зерна // ЖВМиМФ. 2002. 42. № 4. С. 580-590.

12. Туйкина С. Р., Соловьева С. И. О численном определении двух характеристик ионита в случае его сжимаемости // Прикладная математика и информатика. 2003. № 14. С. 55-66.

13. Baev А. V. On local solvability of inverse dissipative scattering problems //J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 2001. 9. N 4. P. 1-21.

14. Baev A. V., Melnikov G. Yu. Inverse dissipative problems in vertical seismic profiling //J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 1999. 7. N 3. P. 201-220.

15. Щеглов А.Ю. Метод приближенного решения обратной задачи для полулинейного гиперболического уравнения // ЖВМиМФ. 2003. 43. № 1. С. 111-126.

16. Денисов A.M. Обратные задачи для нелинейного одномерного стационарного уравнения теплопроводности // ЖВМиМФ. 2000. 40. № 11. С. 1725-1738.

17. Денисов A.M., Макеев А. С. Итерационные методы решения обратной задачи для одной модели популяции // ЖВМиМФ. 2004. 44. № 8. С. 1492-1501.

18. Денисов A.M. Существование и единственность решения системы интегральных уравнений первого рода // Диф. ур-ния. 2003. 39. № 9. С. 1201-1208.

19. Krylov A.S., Liakishev А. V. Numerical projection method for inverse Fourier type transforms and its application // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2000. 21. N 1. P. 205-216.

20. Blagonravov L.A., Skovorod'ko S.N., Krylov A.S., Orlov L.A., Alekseev V.A., Spil-rain E. E. Phase transition in liquid cesium near 590 К // J. of Non-Crystalline Solids. 2000. 277. N 2/3. P. 182-187.

21. Zhdanov M.S.,Dmitriev V. I., Fang Sheng, Hursan G. Quasi-analytical approximations and series in electromagnetic modeling // Geophysics. 2000. 65. N 6. P. 1746-1757.

22. Дмитриев В. И. О методах решения обратных задач // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2001. № 4. С. 3-7.

23. Дмитриев В. И., Мерщикова Н.А. Синтез магнитотеллурического поля // Физика Земли. 2002. № 11. С. 69-75.

24. БердичевскийМ. Н., Дмитриев В. И., Мерщикова Н.А. Об обратной задаче зондирования с использованием магнитотеллурических и магнитовариационных данных. М: МАКС Пресс, 2000.

25. Zhdanov M.S. Geophysical inverse theory and regularization problems. Elsevier, 2002.

26. Ильинский А. С., Галишникова Т.Н. Математическое моделирование процесса отражения плоской электромагнитной волны от волнистой поверхности // Радио и электроника. 1999. 44. № 7. С. 773-786.

27. Щедрин Б.М. О существовании решения обратных задач восстановления строения вещества по дифракционным данным // Прикладная математика и информатика. № 6. М: Издательский отдел ф-та ВМиК МГУ, 2000. С. 63-71.

28. Burova Е., Shchedrin В. A windows application: program for qualitative phase analysis of poly-crystalline mixtures // Cryst. Reports. 2000. 5. N 2. P. 340-342.

Поступила в редакцию 01.09.04

Е. В. Захаров, А. С. Ильинский

КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА МОДЕЛЕЙ ПРИКЛАДНОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ

На кафедре математической физики факультета ВМиК МГУ в течение нескольких десятилетий разрабатываются методы, алгоритмы и программное обеспечение для анализа различных моделей распространения электромагнитных волн в неоднородных средах и оптических систем. В настоящей статье будут рассмотрены основные направления моделирования.

1. Дифракция электромагнитных волн на идеально проводящих бесконечно тонких незамкнутых поверхностях (экранах). Математическая постановка задачи состоит в следующем: определить в R3 электромагнитное поле {Е, Н}, гармонически зависящее от времени (exp( — iujt)), удовлетворяющее системе уравнений Максвелла

rot Н = —iuieE, rot Е = iufiH и краевому условию на идеально проводящей бесконечно тонкой поверхности S с краем (ребром) L:

Ё X п = —Ё° X п

s