Подмодели движения газа с линейным полем скоростей и с нулевой вспомогательной матрицей

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 1. № 3 (2009). С. 125-131.

УДК 533:517.958

ПОДМОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА С ЛИНЕЙНЫМ ПОЛЕМ СКОРОСТЕЙ И С НУЛЕВОЙ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ

МАТРИЦЕЙ

Ю.В. ТАРАСОВА

Аннотация. Разыскиваются решения в виде линейного поля скоростей для уравнений газовой динамики с произвольным уравнением состояния. Найдены все подмодели движения газа с линейным полем скоростей, когда вспомогательная матрица нулевая.

Ключевые слова: уравнения газовой динамики, линейное поле скоростей, вспомогательная матрица, интегралы движения.

1. Введение

Работа посвящена нахождению решений уравнений газовой динамики в виде линейного поля скоростей. Похожие движения сплошной среды изучались G.L. Dirichlet [1] и Б. Риманом [2]. Ими рассматривались движения с однородной деформацией несжимаемой жидкости. При этом предполагалось, что жидкость движется в силовом поле, обусловленном взаимным притяжением частиц по закону всемирного тяготения Ньютона. Следующим крупным достижением было сведение Л.В. Овсянниковым [3] системы уравнений газодинамики для политропного газа к системе девяти обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Найдено несколько первых интегралов такой системы. J.F. Dyson [4] нашел другие первые интегралы системы и выяснил, за какие физические законы сохранения они отвечают.

В дальнейшем многие ученые на основании работ [3], [4] изучали движения газа с линейным полем скоростей. В работе В.К. Андреева [5] рассматриваются уравнения газовой динамики в лагранжевых переменных и найдена функция давления при условии, что плотность зависит только от времени. О.И. Богоявленским [6] доказаны некоторые общие свойства динамики газового эллипсоида. С.И. Анисимовым и Ю.И. Лысиковым в [7] была изучена задача о разлете в вакуум газового облака. Для случая идеального газа без внутренних степеней свободы найден дополнительный интеграл, который следует из работы [3]. При помощи этого интеграла построено точное численное решение задачи о разлете сферойда в отсутствии вращения и точное решение задачи о разлете вращающегося эллиптического цилиндра. В работе С.И. Анисимова и Н.А. Иногамова [8] исследовано нелинейное развитие возмущений при изэнтропическом сжатии сферической капли под действием приложенного к ее поверхности внешнего давления.

В данной статье, в отличие от перечисленных, разыскивались решения с линейным полем скоростей уравнений газовой динамики в эйлеровых переменных с произвольным уравнением состояния. И хотя задачи о нахождении решения в эйлеровом и лагранжевом

Y.V. Tarasova, Submodels of gas movements with liner field of velocity and with

INTERMEDIATE MATRIX OF RANK 0.

© Тарасова Ю.В. 2009.

Работа поддержана ГНТП РБ госконтракт 13/3 — ФМ.

Поступила 17 августа 2009 г.

представлениях эквивалентны, но при решении задачи в эйлеровых переменных намечается полная классификация подмоделей по рангу вспомогательной матрицы и по видам уравнений состояния. Ранее было рассмотрен случай невырожденной вспомогательной матрицы [10]. Теперь рассмотрим случай нулевой вспомогательной матрицы.

2. Постановка задачи

Рассмотрим уравнения газовой динамики

Ии + р-1Чр = 0, Ир + рЧ  и = 0, Ир + ра2(р, р)Ч  и = 0

с произвольным уравнением состояния р = / (р,в), где р = р (г,х) — давление, р = р (Ь,х) — плотность, и = и (Ь,х) — вектор скорости, а2 = /р — квадрат скорости звука, И = ді + и  V — оператор полного дифференцирования. Решение УГД разыскиваем в виде линейного поля скоростей

и = А

где А(Ь) и й0(Ь) — матрица и вектор. Из УГД находим все производные от давления

Чр = —р

где вектор V = и'0 + Ащ, матрица В = \\bij|| = А1 + А2, ітА — след матрицы А. Сравнение смешенных вторых производных функции р в силу (2) дает переопределенную систему для плотности [9]

р4 +

Чр  с + рВт = рВ + с Чр,

[В А + Ат В + В1 — В ітА) х + Vі + Ат V — іт Аь + Ви0 =

ітА

г2)р Ч 1п р — р (а2)р<

где с = Вх + V,  — тензорное произведение.

Матричное равенство (4) симметричное и диагональные скалярные равенства есть тождества. Остальные три равенства имеют вид

V 1пр х с = — 2ш,

где —2й = (Ъ23 — Ь32,Ъ31 — 613,612 — 621). Скалярное умножение уравнения (6) на с и Vp

дает

с  и = 0, и  Vр = 0.

Первое равенство в (7) линейно по х с коэффициентами, зависящими от ¿. Приравнивание к нулю коэффициентов при х (расщепление), дает равенства

Бш = 0, V  й = 0,

где использовано разложение матрицы В на симметричную и антисимметричную части:

В = в + П, в = 5т — вспомогательная матрица, П = — Пт

0 —^3 и2

0 —и1

—^ и1 0

Е {и),

й = (ш1,^2,^3). В работе [10] рассмотрен случай невырожденной матрицы 5 и й = 0. В статье [11] перечислены все подмодели для произвольных матриц в и П при условии ЬтА = 0. В данной статье рассмотрим случай Б = 0, и = 0 и ЬтА = 0, т.е. В = П.

3. Подмодели

Уравнения (6), (7), (8) равносильны следующей переопределенной системе

V  ш = 0, и Vр = 0, и

Пусть й = 0, например и1 = 0. Общее решение 2-го уравнения в (9) имеет вид

щ2 (х!'3

р = р (Ь,а,Р) , а = х2------ х1, Р = х3------- х1.

ш1 ш1

Тогда векторное уравнение в (9) сводится к одному скалярному уравнению

ра (аш1 + V3) + рр фш1 — V2) = —2ш1р.

Для нахождения решения этого уравнения использум замену переменных

V3 V2

а = а.1 + ao, @ = @1 + Po, где ао =-------- , Ро = —-,

ш1 ш1

после которой уравнение примет вид

Ра10-1 + Рр1 @1 = —2р.

Общее решение запишем в виде

р = а-2Я

где I = 01/а1, Я(Ь,1) — произвольная функция.

С учетом того, что В = П и Пз = ш х в, где в — любой вектор, уравнение (5) запишется в виде

и х Ах + Ат (и х х) + и' х х — и х х^А + $ + АтV —

11)

—ьітА + и х и0 = ітА После скалярного умножения (11) на вектор ш получим

х  (и х (й' — Ай)) + (у1 + Атг^  и = 0.

Расщепление последнего равенства по х дает дифференциальное уравнение для ш

и' = Ай + о

где а(ї) — произвольная функция и соотношение (у1 + АтЩ  й = 0, которое в силу (8), (12) тождественно выполняется.

Тогда, учитывая (10), (12), уравнение (11) с независимыми переменными Ь, 1,р,р примет вид:

л/Ярт + Ка (ез — ІЄ2) = ітА^^1) 1р(ра2)р (ЯіК 1 (ез — ІЄ2) — 2е2) —

—В

где т = (т1, т2,т3) = Vі + Ату — (а + ітА) V + й х и0, е2 = —и2і + ш1 ^, е3 = —ш3і + ш1к; і, ¿, к — декартовый базис.

В уравнение (13) входят независимые переменные Ь,р, р, I. При дифференцировании по р получим уравнение

(и1)-1 р(ра2)рр (Пі В-1 (Є3 — ІЄ2) — 2е2) = В(ра2)рр(е3 — ІЄ2).

Если в последнем уравнении (ро2)рр = 0, то получим, разделяя переменные,

Я!Я-1 (Є3 — ІЄ2) — 2Є2 = Ш1'уЯ (Є3 — ІЄ2) ,

где 7 — произвольная постоянная. Вектора ш,е2,е3 образуют базис. Приравнивание коэффициентов при базисных векторах дает противоречивые соотношения. Значит,

(ра2)рр = (Ра2)рр = 0 и уравнение состояния определяется из соотношения ра2 = 'ур + к(р),

где к(р) — произвольная функция.

С учетом найденного уравнения состояния уравнение (13) примет вид

л/Ярт +

В него входят независимые переменные Ь, I, р. Дифференцирование по р приводит к разделению переменных. Отсюда следует: к = + 721пр + /у3, где ^\,^2,^3 — произвольные

постоянные. Подстановка в (14) и расщепления по ^/р дают

ш1^Ят = 2~1^1 ЬтА [Н~1К1 (е3 — 1е2) — 2е2) ,

и1 Я (а + ^ЬтА) (е3 — 1&2) = Ъ^гА (Я~1Я1 (е3 — 1^) — 2е-2) .

Проектируя эти равенства на вектора е2 и е3, получим соотношения:

72 = 0, а + 'уЬтА = 0,

2ш1^Ят  е2 = 71 (Я1 Я-1ш2ш3 — А) (Ш1 Я-1 + 2) Ьт А,

2ш1^~Ят  е3 = 71

где А = (ш1)2 + (ш2)2 При решении системы (15) получим два случая.

Случай 1: у1 = 0 ^

В-'/2 = — т^-.

Случай 2: 71 = 0 ^ т = 0, Я - произвольная функция. В обоих случаях уравнение (3) в переменных 1,1 принимает вид

В случае 2 уравнение (17) определяет функцию Я. Получили вполне определенную подмодель:

г? + АтV + и х щ +

N + А2 = П, и' = Ай — 'уЬтАй, V  и = 0

с уравнением состояния р = В (Б)р~( — 7-1/у3, где В (Б) — произвольная функция энтропии в, а плотность определяется по формуле (10). Дополнительное соотношение V  ш = 0 выполняется для любого ¿, если оно выполнено в начальный момент времени.

В случае 1 из (16) и (17) получим вместо (18) равенства

, ( (ЬгА)' ЬгА\ . ( (ЬгА)' ЬгА\

т2 +а‘2 т = Т2{ -ЪГа+ -г)' т3 + а3 т = Т3{ -ьГаТ + т)'

уравнения (19) остаются в этой подмодели, но с уравнением состояния

Р = + В(3 )р< — 1-1Т3'

а плотность определяется по формуле (16). Дополнительное соотношение V  ш = 0 здесь вполне определяет подмодель. Давление в обоих случаях определяется из совместной системы (2). Энтропия определяется из уравнения состояния. Давление для случая 1 имеет вид

р = и1г)1ЬгА^Ят3-1 + Ро(ь),

где функция р0(Ь) удовлетворяет дифференциальному уравнению

р’о + ъЬгАт-2а3  &2 + (тРо + Ъ) ЬгА = 0.

4. Интегралы

Дифференциальные уравнения (19) для матрицы А и вектора ш одинаковые в обеих подмоделях. Разыскиваем интегралы эти уравнений. Обеими частями матричного уравнения подействуем на вектор ш. В это новое векторное выражение входит вектор Аш, который выражаем из дифференциального уравнения для вектора ш в (19). Получаем дифференциальное уравнение на вектор Аш

(Au)' = — ^trA (Au),

решение которого запишем в виде

Аш = o1e-lß,

где о1 — постоянный единичный вектор, ß' = trA Из (19) получим линейное дифференциальное уравнение для ш

ш' + 7 (trA) ш = o1e-lß,

решение которого имеет вид

ш =

где о2 — постоянный единичный вектор, о = const. Из

A

Преобразованием t ^ t +t0, где t0 — произвольная постоянная, допускаемым системой (19), можно добиться, чтобы вектора ai, о2 и о3 = о1 х о2 образовали ортонормированный базис. Разложим вектора Ао1, Ао2, Ао3 по этому базису:

Aoi = HiiOi + Ü2102 + О31О3,

Ао 2 = О12О1 + 0,2202 + О32О3,

А03 = (І13О1 + Q123O2 + О33О3.

Поочередно действуя на матричное уравнение (19) векторами а1, о2, о3 и приравнивая коэффициенты при базисных векторах о1, о2, о3, получим 9 дифференциальных уравнений на элементы матрицы А. Из выражения (22) с учетом разложения векторов по новому базису получим соотношения:

ta11 + оа12 = 1,

ta,2i + 00,22 = о,

to, 31 + О032 = 0.

Интегралы (23) сводят матричное уравнение (19) к системе 7-го порядка

a'i2 + &12 ( 1 atai2 + 0-22) + О32О13 = 0, а'22 + (а22 — J0,12) а22 + 0,23032 = °

о'32 + 032

а'13 + а12 (023 — f О13) + Oi3 (t 1 + 033) = Oe ,

о'23 + 022 (023 — f 013) + 033023 = —te~, а33 + а32 (023 — JЯ13) + 0^3 = 0,

ß1 = (1 — OOi2)t 1 + 022 + О33.

Запишем матричное уравнение (19) в лагранжевом представлении, используя замену А = М'М-1 и равенство ЬтА = \М\ \М|-1

-і

0 0 а

0 0 —

—а і 0

М, М (0) = I,

где I - единичная матрица, \М\ — определитель матрицы М. Уравнение (25) имеет более простой вид, чем уравнение в работе Л.В. Овсянникова [3].

Интеграл (22) в лагранжевом представлении имеет вид

а1ї + аа2 = Мт0,

где т0 — произвольный постоянный вектор. Из интеграла (26) определяются координаты вектора т0 в базисе векторов а1 ,Э2,а3. Так как матрица М единичная в начальный момент

времени, то аа2 = т0. Раскладывая вектор т0 по базису т0 = т01В1 + т02а2 + т03В3 и

приравнивая коэффициенты при базисных векторах, получим т0 = (0,а, 0). Зная теперь координаты вектора т0, интеграл (26) перепишем в виде + аа2 = аМа2. Раскладывая вектор Ма2 по базису Ма2 = т12а1 + т22а2 + т32Э3 и приравнивая коэффициенты при базисных векторах, получим точные значения элементов второго столбца матрицы М: Ш12 = Їа-1,т22 = 1,т32 = 0.

Еще два интеграла содержатся в равнестве (МТМ' — (Мт)'М) = И,п11 = п33 = 0, П21 = П22 = п23 = 0. Они имеют вид

312а = іт'11 — т11 + ат'21, .]23 а = іт'13 — т13 + ат'23,

где J12, .]23 — произвольные постоянные. Действительно, дифференцируя (27) по і получим равенства, которые тождественно выполняются в силу уравнений системы (25).

Найденный второй столбец матрицы М и интегралы (27) сводят систему (25) к системе 10-го порядка:

т'21 = — \М \-1 іт31,

т'23 = — \М\-7 іт33,

т'31 = \М\-7 (Ьт21 — ат11),

т33 = \м\- (іт23 — Рты).

Для удобства сделаем замену

ти = <р', т,13 = ф',

где ір и ф — произвольные функции, определенные с точностью до константы.

Тогда из интегралов (27) следует

т-21 = —

Подставляя равенства (30) в дифференциальные уравнения для т21 и т23 системы (28), получим

ат31 = \М\1 <р"', ат33 = \М\~

Выражение для определителя матрицы М имеет вид:

\М \ = га-1 (т,23 Ш31 — т21Ш33) + ти т:і3 — т^т^ц.

Подстановка (28), (30), (31) дает

\М \1-7 а3 = <р"'Ф — ф'''Ф,

где Ф = о.]23Ъ2 + 2іф — (і2 + а2)ф', Ф = o^J21t2 + 2Ьр — (і2 + о2)^.

Все неизвестные элементы матрицы М и определитель выражены через функции р и ф. Подставляя их в последие два уравнения системы (28), получим систему из двух дифференциальных уравнений 5-го порядка на функции р и гф

\М{' (\МI1 ф'")" = Ъ,

\МI1 (\Му р''')'' = Ф.

Таким образом, в работе найдено две подмодели движения газа с линейным полем скоростей. Матричное уравнение подмоделей записано в эйлеровом и лагранжевом представлениях. Причем в лагранжевом представлении получено уравнение более простого вида, чем уравнения, полученные в ранее опубликованных работах. Найдены интегралы таких систем, при помощи которых система в эйлеровом представлении сведена к системе 7-го пордяка, а в лагранжевом представлении — к системе 10-го порядка.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. G.L. Dirichlet Untersuchunger uber eih Problem der Gydrodynamik // J. Reine Angev. Math. Vol. 58. 1860. 181 p.

2. Риман Б. Сочинения М.-Л.: ГИТТЛ. 1948. C 339-366.

3. Овсянников Л.В. Новое решение уравнений гидродинамики // Докл. АН СССР. Т. 111, № 1. 1956. С. 47-49.

4. J.F.Dyson Dynamics of a spinning gas cloud // J. Math. Mech. Vol. 18, № 1. 1968. P. 91-101.

5. Андреев В.К. К задаче о неустановившемся движении сжимаемой жидкости со свободной границей // ДАН СССР. Т. 244, № 5. 1979. С. 1107-1110.

6. Богоявленский И.О. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука. 1980. 314 с.

7. Анисимов С.И., Лысиков Ю.И. О расширении газового облака в вакуум // ПММ. Т. 34, № 5. 1970. С. 926-929.

8. Анисисмов С.И., Иногамов Н.А. Развитие неустойчивости и потеря симметрии при изэн-тропическом сжатии сферической капли // Письма в ЖЭТФ. Т. 20, № 3. 1974. С. 174-176.

9. Тарасова Ю.В. Движение газа с линейным полем скоростей и плотностью, зависящей от времени // сб. "Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 37-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2006. С. 258-262.

10. Тарасова Ю.В. Подмодели газовой динамики с линейным полем скоростей с нулевой вспомогательной матрицей // сб. "Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 40-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2009. С. 186-190.

11. Хабиров С.В. Движение газа без расхождения с линейным полем скоростей // Труды института математики с ВЦ УНЦ РАН, вып. 1. Уфа: 2008. С. 208-215.

Юлия Валерьевна Тарасова,

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. К. Маркса, 12,

450025, г. Уфа, Россия E-mail: tarasova_yulya@mail.ru