АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМОЙ С ТЕРМИНАЛЬНЫМ ВЫПУКЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ КАЧЕСТВА, ЗАВИСЯЩИМ ОТ МЕДЛЕННЫХ И БЫСТРЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета

2023. Том 61. С. 42-56

УДК 517.977

© А. Р. Данилин, О. О. Коврижных

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМОЙ С ТЕРМИНАЛЬНЫМ ВЫПУКЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ КАЧЕСТВА, ЗАВИСЯЩИМ ОТ МЕДЛЕННЫХ И БЫСТРЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Рассматривается задача оптимального управления линейной автономной системой с медленными и быстрыми переменными на фиксированном промежутке времени в классе кусочно-непрерывных управлений с гладкими геометрическими ограничениями в виде шара. Показатель качества — терминальный выпуклый, зависящий от медленных и быстрых переменных. Обосновано предельное соотношение для вектора, определяющего управляющую функцию, при стремлении малого параметра к нулю. Предельное соотношение уточняется для случая задачи непрямого управления с терминальным показателем качества, представляющим собой сумму значений двух строго выпуклых непрерывно дифференцируемых функций, первая из которых зависит только от медленных переменных, а вторая — только от быстрых и с минимумом в нуле. При этом показано, что первая компонента определяющего вектора сходится к определяющему вектору предельной задачи, а вторая компонента стремится к нулю. Получена полная асимптотика определяющего вектора по степеням малого параметра в задаче непрямого управления системой материальных точек в среде с сопротивлением.

Ключевые слова: оптимальное управление, сингулярно возмущенная задача, асимптотическое разложение, малый параметр.

Б01: 10.35634/2226-3594-2023-61-03 Введение

Настоящая работа посвящена исследованию задачи оптимального управления [1-3] линейной автономной системой с медленными и быстрыми переменными (см., например, обзор [4]) в классе кусочно-непрерывных управлений с гладкими геометрическими ограничениями [5,6] и выпуклым терминальным критерием качества [7].

В работах [8-10] изучались линейно-квадратичные задачи оптимального управления для сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и неограниченным многомерным управлением.

Во всех работах, в которых получены полные асимптотики решений задач управления для линейных систем с быстрыми и медленными переменными, ограничивающим множеством в виде шара в евклидовом пространстве и терминальным показателем качества, последний зависел только от медленных переменных. При этом, если оптимальное управление в предельной задаче непрерывно, то асимптотика решения получалась регулярной (в виде ряда Пуанкаре, см., например, [11,12]). Если же в предельной задаче оптимальное управление разрывно, то асимптотическое разложение решения имело сложный характер [13].

Отметим также работы [14,15], посвященные задачам с ограничением на управление и интегральным выпуклым критерием качества.

Основное отличие рассматриваемой в настоящей работе задачи состоит в том, что функционал качества — выпуклый терминальный, зависящий от медленных и быстрых переменных. В § 1 даются общая постановка задачи, основные определения, предположения и устанавливается предельное соотношение для определяющего вектора при стремлении к нулю малого параметра. В § 2 предельное соотношение уточняется для случая задачи

непрямого управления. Далее, в §§3,4 получена полная асимптотика определяющего вектора по степеням малого параметра в задаче управления системой материальных точек в среде с сопротивлением при непрерывном оптимальном управлении в предельной задаче, как и в [11].

§ 1. Постановка задачи, определяющий вектор и предельные теоремы

Пусть управляемая система содержит медленные и быстрые переменные:

i£ = Anx + A12y£ + Biu, t e [0,T], ||u£|| ^ 1, = A21 x£ + A22y£ + B2U, xe(0) = x0, ye(0) = y0, а показатель качества имеет вид

J£(u£) := a(x£(T),y£(T)) ^ min,

где X е у£ е , М£ е ; Лц, Вi, матрицы соответствующей размерности, а

а: Ега+т ^ К — строго выпуклая и непрерывно дифференцируемая на Кга+т функция.

1, 2 — постоянные вещественнозначные

Евклидовы нормы во всех рассматриваемых пространствах будем обозначать через || • ||, а скалярные произведения — через (•, •). В качестве символа транспонирования матриц используется, как и в [1, с. 132], знак *, например, Л^ или В2. Задачу (1.1), (1.2) перепишем в следующем виде

i£ = AeZe + BeU£, t G [0,T],

с показателем качества

Ze (0) = Z0,

Je (Ue) = U (Ze (T)) ^ min

С 1,

где

u

A

A

11

A

12

,£-1A2l £—1A22

(t)' У (t),

Be

Ze (0) = Z0 : =

B1

Решение системы (1.4) с заданным u будем обозначать u).

Пусть S£(z°,T) — множество достижимости системы (1.4) к моменту времени T. Поскольку S£(z°, T) — выпуклый компакт (см., например, [3, п. 2.2, теорема 1]), а а в силу (1.3) непрерывна и строго выпукла, то существует единственная точка z£,min G S£(z°,T) такая, что

a(z£,min) = min a(z), Z£,min := arg min a(z),

zes£

тем самым, задача (1.4), (1.5) разрешима.

Принцип максимума Понтрягина в рассматриваемом случае имеет вид (см., например, [7, п. 6.1.3]): если u^pi — оптимальное управление в задаче (1.4), (1.5), то найдется такой вектор Л£, что z£(; u^pi) — решение задачи

Ae Ze + Be uf*

Ze

£ 0

£

удовлетворяет равенству

-Ае = Va

и выполняется соотношение

<B£e

\\us(t)\\^l

Пусть система (1.4) вполне управляема и

Ае = 0,

тогда B£*e(T-t)A А£ имеет на отрезке [0; T] лишь конечное число нулей и оптимальное управление из (1.8) выражается через А£ следующим образом:

uf\T-t) = -Щщу C:

Отметим, что z(T,u'Opt) = z£,min, поэтому условие (1.9) в силу (1.7) эквивалентно тому, что Va(z£,min) = 0 и, тем самым, в задаче (1.4), (1.5) ограничения на управление по существу.

Пусть zmin — точка глобального минимума функции а на Mn+m. Тогда условие (1.9) эквивалентно условию

zmin £ S£

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1. При выполнении условия (1.11) принцип максимума Понтрягина является необходимым и достаточным условием оптимальности для задачи (1.4), (1.5), и в силу (1.7) вектор А£ и оптимальное управление u'pt единственны.

Используя формулу Коши для решения линейной системы дифференциальных уравнений (1.6) (с заменой в интеграле T — t на t), для вектора А£ получим следующее уравнение

,TAs ^ , [Т ЛAs п

-Х£ = Va

Итак, в силу утверждения 1, при выполнении условия (1.11) уравнение (1.12) имеет единственное решение, и вектор Л£ определяет единственное оптимальное управление в задаче (1.4), (1.5) по формуле (1.10). Поэтому в этом случае естественно назвать вектор Л£ определяющим вектором.

Определение 1. Будем говорить, что пара матриц (A£, B£) вполне управляема, если вполне управляема система X = A£x + B£u.

Предположение 1. При всех достаточно малых е > 0 пара матриц (A£, B£) вполне управляема, то есть rank (B£, A£B£,..., An+m-1B£) = n + m.

Будем предполагать, что выполнено следующее условие устойчивости точки покоя присоединенной системы.

Предположение2. Все собственные значения матрицы A22 имеют отрицательные вещественные части, то есть Re Лj (A22) ^ — а < 0, j = 1, 2,... ,m.

Определение 2. Следуя [16, формулы (52)-(54), с. 77], предельной задачей для (1.4), (1.5) назовем задачу

Xо = Aoxo + Воu, t G [0,T], Ao := An - A^A-1^, x0

J0(u) := a0(x0(T; u)) ^ min, где

a0

reR yeR

г

R := / esA22 B2Vds, R

0

а V := B[0,1] — шар в Rr единичного радиуса с центром в нуле [16, § 3.4.1, с. 77].

Отметим, что в силу вида множества V из (1.15) следует, что

0 G R — выпуклый компакт,

[16, §3.4.1, с. 77] и, тем самым, в (1.14) inf можно заменить на min. Опорная функция множества R при таком V вычисляется по формуле

г

(см., например, [17, формулы (3.1) и (5.2)]).

Предположение 3. Пары матриц (A0, В0) и (A22, B2) вполне управляемы.

Пусть K£ :=S£(z0, T) — множество достижимости при t = T управляемой системы из (1.4), а

K := {z G Rn+m: x G ^

где S0(x0,T) — множество достижимости при t = T управляемой системы из (1.13). Известно, что K£, S0(x°,T) и K0 компактные множества и

lim dH

£—^0

где dH(, ) — расстояние по Хаусдорфу [16, с. 70, теорема 3.1]. Кроме этого,

min a

zeKo xeSo

см., например, [16, п. 3.4, формулы (51)-(54), теорема 3.3].

Из соотношения (1.18) следует справедливость следующего утверждения.

Утверждение2. Если выполнено условие

Zmin G K0,

то для всех достаточно малых е > 0 выполнено условие (1.11).

Предположение 4. В дальнейшем будем предполагать, что выполнено условие (1.20).

УтверждениеЗ. Справедливо следующее предельное соотношение: z£,min = arg min a(z) — zo,min := arg min a(z) при £ — +0.

Доказательство. Пусть z — произвольный частичный предел {z£,min}, то есть zk := z£k min — z для некоторой последовательности {£k}, £k — +0. Поскольку

0 ^ p(zfc, Ko) := min ||zfc - z|| ^ (Kk, Ko),

zeKo

то, переходя к пределу при k — то, в силу (1.18) получим, что p(z, K0) = 0, т. е. z G K0. В силу непрерывности а и соотношения (1.19), получим, что a(z) = min a(z). Но точка

zeKo

минимума а на K0 единственна, поэтому z = z0 min.

Из утверждения 3 вытекает предельное соотношение для определяющего вектора Л£.

Утверждение 4. Справедливо следующее предельное соотношение:

-Л£ = Va(z£,min) — Va(zo,min) при £ — +0.

§ 2. Система непрямого управления

Здесь мы уточним предельные соотношения для определяющего вектора для задачи терминального управления следующего вида (см. [11]):

X = Aiix + Ai2y£, t G [0, T], ||u£|| ^ 1,

£y£ = -y£ + U£, x (0) = x0, У£ (0) = yo, с показателем качества

J£

где

а1: Rn — R, а2: Rm — R

— строго выпуклые и непрерывно дифференцируемые на своих областях определения функции, причем их сопряженные в смысле выпуклого анализа функции а 2 и а2 тоже определены и непрерывно дифференцируемы во всех точках Rn и Rm соответственно, а а2 удовлетворяет условиям

а2(0) = 0, Va2(0) = 0.

В этом случае функция а2 неотрицательна и в силу (1.13), (1.14) и (1.17) справедливы равенства

ао = ai, Ao = Ali, Bo = A12 и zo,min = (zo,min, 0), Xo,min = arg min ai(xo).

xo€So

Например, этим условиям удовлетворяют функции а\{х) = и <т2(у) =

Утверждение 4 в этом случае принимает следующий вид.

Утверждение 5. Уравнения для определяющего вектора Л £ = ^ ^ ^ имеют вид -h = Vai(x (T,uf)), -r£ = Va2(y£ (T,uf))-

При этом

l£ — lo := -Vao (xo,min), r£ — 0.

Отметим, что /0 есть определяющий вектор в предельной задаче для (2.1), (2.2). Как показано в [11], для управляемой системы (2.1) справедливы формулы

е- = К'' =

0 е-"' )• л \е~1е~Ч'

в которых

W

I — единичная матрица.

С учетом (2.3) уравнения из утверждения 5 принимают следующий вид:

Л X0 + еW (Т,е)у0 +

^2*(—т^ V е-Т/£ у0 ) +

+ Гт {Щг,е)\ е)1£ + е~1е~г/£ге ^

о 1е 1!е) \\\¥*(г,£)1£ + £-1е~*/£г£

Теорема 1. Пусть 1£ и т£ —решение системы (2.5). Тогда вектор р£ := е т£ — ограничен при е — +0 и р£ — — Л\210.

Доказательство. 1. Выпишем второе уравнение из (2.5), сделав замену переменной в интеграле по формуле т = г/е:

Уст2(—ер£) = О + / е ^^-ат

Л IIW *(ет,е)/' + е-т р£ ||

рТ/'

= О + • йт + • йт = О + • йт + р(е,5), ио ио

где

*>М):= Г/е«-Г,,~!еГ'е?!е + е"Гре,,^ ММЖ^.

Здесь и далее через О будем обозначать векторные (или скалярные) величины, являющиеся асимптотическим нулем относительно степенной асимптотической последовательности |екст}, то есть У7 > 0 О = о(е7), е — +0.

Из (2.6) с учетом оценки для <^(е, 5) (2.7) получим неравенства

0 €

€ Ке-.

При этом для любого 5 > 0 в силу (2.4) справедливо соотношение

W*

2. Отметим, что в силу утверждения 5 справедливо 1£ — 10, ер£ = т£ — 0 при е — +0. Покажем, что вектор-функция р£ ограничена при е — +0. Предположим противное, что для некоторой последовательности {ек}, ек — +0 выполняется рк := р£к — то. Не ограничивая общности, считаем, что рк/||рк|| — р0, ||р0|| = 1. Сократив дробь в подынтегральной функции в (2.8) на ||рк|| и перейдя к пределу в неравенствах (2.8) сначала при к — а потом при 5 — с учетом (2.9) получим

г

0=1 е-т йт • р0 = р0 = 0.

0

Пришли к противоречию, следовательно, наше предположение неверно и р£ ограничена при

е ^ +0.

3. Пусть р0 — предельная точка р£ при е ^ +0, то есть р£к ^ р0, для некоторой последовательности {ек}, ек ^ +0. Тогда при переходе к пределу в неравенствах (2.8) сначала при к ^ а потом при 5 ^ с учетом (2.9) получим

Л |(1-е-')ЛУо + е-т'- 11

Если 10 = 0, то предположение р0 = 0 противоречиво по аналогии с п. 2, следовательно, в этом случае р0 = А^2/0 = 0 и утверждение теоремы выполняется тривиально.

Пусть теперь А^2/0 = 0. Из соотношения (2.10) следует, что р0 = с0А^2/0 для некоторой постоянной г0. Тогда уравнение (2.10) принимает вид

Уо 1(1 - е—) + С0е—I

Пусть т0 € (0, такое, что 1 + (г0 — 1)е-Т0 = 0, то есть

1

е~т° = -- € (0,1),

1 — С0

следовательно, г0 < 0. Далее, имеем

Г1 + (г — 1 )е-т (' то г

0= / е~т °--;(1т=- е~тс1т+ / е"т <1т = е"то - 1 + е"го = 2е"го - 1.

Л |1 + (с0 — 1)е-т | Л Ло

Отсюда следует, что еТ0 = 2, т0 = 1п2, г0 = —1 и р0 = — А^2/0. Поскольку все предельные точки р£ равны —/0, то р£ ^ — А^2/0 при е ^ +0.

§ 3. Управление системой материальных точек в среде с сопротивлением

Рассмотрим задачу (1.4), (1.5) при следующих условиях: п = т = г,

Эта задача является частным случаем задачи (2.1), (2.2). В силу (3.1) получаем

„ , /I е(1 — е-4/£)Л Л + /(1 — е-4/£)1'

= , , С (*):= = Г /

Поскольку А0 = 0, В0 = I, то С0(£) = I, и управляемая система в предельной задаче (1.13) в этом случае имеет вид

хг0 = и,

откуда

х0

0

Далее, в силу формул (1.14) и (1.16) получим, что а0(ж) = ||ж||2/2. Поскольку абсолютный минимум функции а0 достигается в нуле, то предположение 4 имеет вид условия 0 ^ В [ж0; Т], которое выполняется тогда и только тогда, когда

При выполнении этого условия определяющий вектор /0 удовлетворяет уравнению (3.3):

"/о = + -г^ггТ.

УоУ

/о = ^ ф 0.

В силу утверждения 5 и теоремы 1

1£ — /0, р£ := е-1т£ — —/0 при е — +0.

С учетом соотношений (3.2) запишем систему (1.12) в виде:

1£ \ [х° + еу° - ее~т/£у°\ ^ [т ({I - е~г/£)1\ (1 - + е~^р£

+ / -Нет 777^-71777^1—7Т7~Т\аг-

ере) V е~Т/еУ° ) Л \ е~1е~*/Ч ) \\(1-е-^)1£ + е-^р£]]

После замены переменной интегрирования по формуле т = г/е запишем систему (3.7) в «координатной форме»

,Т/£

-1е ~ е*р£ = х°+еу° + е1 „[) ^ 1*-/'и ^

-т/е о ^ [Т/£ -г (1 -е-")/в + е~>в —ер£ = е 1/£гг+ / е -—-- ат.

Л II (1 — е~т)/£ + е~тр£\\

Систему уравнений (3.8) назовем основной.

§ 4. Построение асимптотики решения задачи

Введем новые неизвестные величины: скалярную а£ и векторную Р£ так, что

Р£ = — «£^ + Г£} ?£± /£.

Из (3.6) следует, что

Отметим, что вследствие (4.1) равенство ||Р£|| = 0 означает коллинеарность векторов р£ и /£, что, в свою очередь, последовательно в силу второго и первого уравнений системы (3.8) влечет коллинеарность им начальных векторов у0 и ж0, то есть ж0||у0, а это условие в многомерном случае — не общего положения. Поэтому далее будем считать выполненным условие

ж0 ^ у0,

тем самым, ||р£|| = 0. Отметим, что из (3.5) следует, что ||/0|| = ||ж01| — Т, а в силу (3.6), (4.2) для величин /£, а£ справедливы соотношения

1£ = 10 + Д/£, а£ = 1 + Да£, Д/£, Да£ = о

Обозначим

в := 1 + а = 2 + Да£.

Тогда основная система (3.8) примет вид

Г>Т/е

(1 — ве-т )/е + е-т Г

— 1е + £2ае1£ — £2г£ = Х° + £у° + £ I тту^--^ ¿Т,

,0 ||(1 — вее-т )/е + е-т Г

, ~ -Т/е 0 ^ Г7" -г (1 -Рее~Т)1е + е-Ге

£ае1е-£ге = е 1/£у"+ / е —--_

Утверждение 6. При е — +0 выполняется

Г£ = О.

Доказательство. Умножив скалярно второе уравнение системы (4.5) на Г, получим

-е\\г II2 = е~Т/£(у° г ) + / _-_—_¿т

11 е" {У,£) + 1 11(1 -Рее-т)1£ + е-т?£\\

Предположим противное, то есть что для некоторых К > 0, д > 0 и последовательности {ек}, ек — +0, выполняется неравенство ||гек || ^ Ке| (в дальнейшей части доказательства индекс к писать не будем).

Разделив обе части уравнения на ||Ге||2, получим

_£ = е_т/,

Перейдя в (4.6) к пределу при е — +0, в силу предположения получим:

Ге-2т ^т 0 = / --:-АТ > 0.

Полученное противоречие означает справедливость соотношения Г = О.

Рассмотрим интегралы в правых частях уравнений системы

[Т/£ (1 -/Зее~т)1е + е-тге л [т/£ _т (1 — ¡3£е~т)1£ + е~тг£ л

А '= £ / 777-7;-77-7^77 С1Т, ¿2 '= & 777---г"-7^77 йТ

Уо ||(1 _ ¡3£е~т)1£ + е~тг£\\ Уо ||(1 -/3£е-)/£ + е-г£||

и сделаем в них замену переменной £ := е т, при этом = —е т^т = — , ^т = — . Тогда

Л = £ 7-7777——, ^ , ,,, а£ = £\—р£1£ + г£) / ———— +

,е-Т/£ £ ||£( —ве/е + Ге)+ /е || * ^ ^ ^Уе-Т/, ||£( — ве/е + Г) + /£

Л еТ/£ г 1

4- р/ / ^ 7 = Г а~Ме + Г£)+1£

ек ц-^+^ + ^г 2 це(-/з£/£ + г£) + /£ц

Отметим что для ненулевых векторов г и / в силу известных формул интегрирования справедливы следующие соотношения

ш -л-п- + С =

1 1п(г,ег + о + |им1ег + /ц +с=:^гМ) + с

(поскольку в силу неравенства Коши-Буняковского выражение под модулем в числителе неотрицательно, то модуль можно снять) и

Л = е(—в¿£ + г£)^(—вА + Г, 1е; 1) — а(—вА + Г, ^ е-Т/£)) + + еЦа(/£, —в£¡£ + Г; еТ/£) — а&, — вА + Г; 1)),

ъ = 112 (1К1 - +^и - ие_т/£^ - +^и) +

2

+ (¡е + (~Ре1е + %)'ЩгФпР^) (Л~Ре1г + I*, 1) " + 1е, е~Т/е)).

Заметим, что в силу утверждения 6 выполняется

, ^ /УМ2 _1е\\геГ + гЛ\\Ц [ Ре£ е)ты?+ ¥е\?~ /з2Ц/£||2 + ||г£||2

Утверждение 7. При е — +0 справедливо

е7 е7 \ е7 / е7 \ е7 ) е7 е7 е7+1

стремится к 0 при е — +0, поскольку вследствие утверждения 6 выполняется ||Г£||/е7 — 0

Рассмотрим сначала разность

а(—вА + Г, и; 1) — а(—вЛ + Г, и; е-Т/£) =

1п-

1 1

= —/3£||/£||2 + е~Т/^1\\Ц\2 + е"Т/1г£||2 + те\\2 (1 + (1 - ^е~т'в) +

I гу I I 2

2в

Тем самым, в силу формулы Тейлора для 1п(1 + £) при малых £ справедливо

Л-М + геЛ;1)-л-р£1е + г£,1£]е-т^) = -щ ^1п(2/3£(/3£- 1)||/£||2) +0.

Аналогично рассматриваются величины

а(/е, —ве/е + Г; еТ/е) — J(/е, —ве/е + г£; 1) =

12 ^

-1е + в2ае1е = х° + еу° + в ^ + Ге (ь(2/3£(/3£ - 1) ||/£||2) - 1п +

+ €Уи + в у,;, ,, ( 1п(2/3£(/3£ - 1) ||/£|П - 1п

Дае/е

еа£/£ = - .. .. + О.

ве 11' е У

С учетом утверждения 7 и соотношений (4.3), (4.4), при приведении подобных она преобразуется к виду

-10 - Д/£ + е2(1 + Аа£)(10 + Д/£) = ж0 + еу° - 1п(2 + Дае) +

У/0 + Д/е У

Отметим, что все явно выписанные величины, входящие в систему (4.9), при малых е, Д/е и Дае раскладываются в степенные ряды по е, Да е и компонентам вектора Д/е. В частности, из первого уравнения системы (4.9) в главном получаем равенство (3.4). Выпишем систему первого приближения для (4.9):

л; о о 1 о /о , (¿о, Аг^р Ао^р

-д|, = - 1Ко][+ М - "Тм1- = ~~2|ыГ

Из второго уравнения системы (4.10) непосредственно следует, что

Далее, умножив скалярно первое уравнение из (4.10) на вектор /0, получим

Подставив выражение (4.12) для (Д/1 ,/0) в первое уравнение системы (4.10), найдем

Т \ 1 Л.о 01^0 го 0 1^0 го т . (з/Уо)*о,

г 1п2М"21п2ШТ + «¿г т 1 •

Таким образом, система первого приближения однозначно разрешима, поэтому к системе (4.9) применима [18, теорема 1].

Тем самым, справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Определяющий вектор в задаче (1.4), (1.5), (3.1) имеет степенное асимптотическое разложение. При этом

/е = /о + А/х + O (е2) , r£ = -do - e(Aai/o + A/i) + O (e3),

где А/х, Аах определяются по формулам (4.13), (4.11) соответственно, а остальные коэффициенты разложения находятся из системы уравнений (4.9) методом неопределенных коэффициентов.

Заключение

В задаче управления системой материальных точек в среде с сопротивлением, рассмотренной в §§3,4 настоящей работы, получена асимптотика определяющего вектора по степеням малого параметра. Таким образом, в данном частном случае исследуемой системы асимптотика имеет степенной характер, так же как и в задаче, изученной в [11], с терминальным критерием качества, зависящим только от медленных переменных, для системы общего вида (2.1). Но показатель качества (2.2) усложняет задачу за счет появления еще одного неизвестного малого вектора. Поэтому ответ на вопрос, будет ли асимптотика решения регулярной и в задаче оптимального управления системой общего вида (2.1) с терминальным показателем качества, зависящим от медленных и быстрых переменных, требует дальнейшего технически сложного исследования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961.

2. Красовский Н. Н. Теория управления движением. Линейные системы. М.: Наука, 1968.

3. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

4. Дмитриев М. Г., Курина Г. А. Сингулярные возмущения в задачах управления // Автоматика и телемеханика. 2006. № 1. С. 3-51. http://mi.mathnet.ru/at1125

5. Данилин А. Р., Ильин А. М. Асимптотическое поведение решения задачи быстродействия для линейной системы при возмущении начальных данных // Докл. РАН. 1996. Т. 350. № 2. С. 155-157. http://mi.mathnet.ru/dan4007

6. Данилин А. Р., Ильин А. М. О структуре решения одной возмущенной задачи быстродействия // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. № 3. С. 905-926. http://mi.mathnet.ru/fpm332

7. Галеев Э. М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М.: Изд-во Московского ун-та, 1989.

8. Курина Г. А., Нгуен Т. Х. Асимптотическое решение сингулярно возмущенных линейно-квадратичных задач оптимального управления с разрывными коэффициентами // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52. № 4. С. 628-652. http://mi.mathnet.ru/zvmmf9683

9. Kurina G. А., Hoai N. T. Projector approach for constructing the zero order asymptotic solution for the singularly perturbed linear-quadratic control problem in a critical case // AIP Conference Proceedings. 2018. Vol. 1997. Issue 1. 020073. https://doi.org/10.1063/1.5049067

10. Nguyen T. H. Asymptotic solution of a singularly perturbed optimal problem with integral constraint // Journal of Optimization Theory and Applications. 2021. Vol. 190. Issue 3. P. 931-950. https://doi.org/10.1007/s10957-021-01916-w

11. Данилин А. Р. Асимптотика оптимального значения функционала качества при быстростабили-зирующемся непрямом управлении в регулярном случае // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. № 11. С. 1473-1480. http://mi.mathnet.ru/de11588

12. Данилин А. Р., Парышева Ю. В. Об асимптотике оптимального значения функционала качества в линейной задаче оптимального управления // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 4. С. 563-573. https://elibrary.ru/item.asp?id=16352815

13. Данилин А. Р. Асимптотика оптимального значения функционала качества при быстростабили-зирующемся непрямом управлении в сингулярном случае // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. Т. 46. № 12. С. 2166-2177. http://mi.mathnet.ru/zvmmf364

14. Шабуров А. А. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества, терминальная часть которого зависит только от медленных переменных // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24. № 2. С. 280-289. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-2-280-289

15. Данилин А. Р., Шабуров А. А. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества, терминальная часть которого зависит от медленных и быстрых переменных // Уфимский математический журнал. 2019. Т. 11. Вып. 2. С. 83-98. http://mi.mathnet.ru/ufa473

16. Дончев А. Системы оптимального управления. Возмущения, приближения и анализ чувствительности. М.: Мир, 1987.

17. Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление. М.: Высшая школа, 2001.

18. Данилин А. Р., Коврижных О. О. Асимптотика решения одной задачи быстродействия с неограниченным целевым множеством для линейной системы в критическом случае // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28. № 1. С. 58-73. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2022-28-1-58-73

Поступила в редакцию 30.10.2022

Принята к публикации 10.01.2023

Данилин Алексей Руфимович, д. ф.-м. н., профессор, заведующий отделом уравнений математической физики, Институт математики и механики УрО РАН, 620219, Россия, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8711-2026 E-mail: dar@imm.uran.ru

Коврижных Ольга Олеговна, к. ф.-м. н., старший научный сотрудник, отдел прикладных задач, Институт математики и механики УрО РАН, 620219, Россия, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16; доцент, Уральский федеральный университет им. Б. Н. Ельцина, 620002, Россия, г. Екатеринбург, ул. Тургенева, 4.

ORCID: https://orcid.org/0000-0001-8480-6658 E-mail: koo@imm.uran.ru

Цитирование: А. Р. Данилин, О. О. Коврижных. Асимптотическое разложение решения задачи оптимального управления линейной автономной системой с терминальным выпуклым показателем качества, зависящим от медленных и быстрых переменных // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2023. Т. 61. С. 42-56.

A. R. Danilin, O. O. Kovrizhnykh

Asymptotic expansion of the solution to an optimal control problem for a linear autonomous system with a terminal convex quality index depending on slow and fast variables

Keywords: optimal control, singularly perturbed problem, asymptotic expansion, small parameter. MSC2020: 93C15, 93C70, 49N05 DOI: 10.35634/2226-3594-2023-61-03

In this paper, we investigate a problem of optimal control over a finite time interval for a linear autonomous system with slow and fast variables in the class of piecewise continuous controls with smooth geometric constraints in the form of a ball. We consider a terminal convex quality index that depends on slow and fast variables. We substantiate a limit relation for the vector determining the optimal control as the small parameter tends to zero. We refine the limit relation for the case of an indirect control problem with a terminal quality index, which is the sum of values of two strictly convex continuously differentiable functions, the first of which depends only on slow variables, and the second one depends only on fast variables and has a minimum at zero. In doing so, we show that the first component of the determining vector converges to the determining vector of the limit problem while the second component tends to zero. In the problem of indirect control of a system of material points in a medium with resistance, we obtain the complete asymptotics of the determining vector in powers of a small parameter.

REFERENCES

1. Pontryagin L. S., Boltyanskii V. G., Gamkrelidze R. V., Mishchenko E. F. The mathematical theory of optimal processes, New York: John Wiley and Sons, 1962.

2. Krasovskii N.N. Teoriya upravleniya dvizheniem. Lineinye sistemy (Theory of motion control. Linear systems), Moscow: Nauka, 1968.

3. Lee E.B., Markus L. Foundations of optimal control theory, New York: Wiley, 1967.

4. Dmitriev M. G., Kurina G. A. Singular perturbations in control problems, Automation and Remote Control, 2006, vol. 67, no. 1, pp. 1-43. https://doi.org/10.1134/S0005117906010012

5. Danilin A.R., Il'in A.M. Asymptotic behavior of the solution of the time-optimality problem for a linear system under perturbation of initial data, Dokl. Akad. Nauk, 1996, vol. 350, no. 2, pp. 155-157 (in Russian). http://mi.mathnet.ru/eng/dan4007

6. Danilin A. R., Il'in A. M. On the structure of the solution of a perturbed optimal-time control problem, Fundam. Prikl. Mat., 1998, vol. 4, issue 3, pp. 905-926 (in Russian). http://mi.mathnet.ru/eng/fpm332

7. Galeev E. M., Tikhomirov V. M. Kratkii kurs teorii ekstremal'nykh zadach (A short course in the theory of extremal problems), Moscow: Moscow State Universitety, 1989.

8. Kurina G. A., Nguyen T. H. Asymptotic solution of singularly perturbed linear-quadratic optimal control problems with discontinuous coefficients, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2012, vol. 52, no. 4, pp. 524-547. https://doi.org/10.1134/S0965542512040100

9. Kurina G. A., Hoai N. T. Projector approach for constructing the zero order asymptotic solution for the singularly perturbed linear-quadratic control problem in a critical case, AIP Conference Proceedings, 2018, vol. 1997, issue 1, 020073. https://doi.org/10.1063/L5049067

10. Nguyen T. H. Asymptotic solution of a singularly perturbed optimal problem with integral constraint, Journal of Optimization Theory and Applications, 2021, vol. 190, issue 3, pp. 931-950. https://doi. org/10.1007/s10957-021-01916-w

11. Danilin A. R. Asymptotics of the optimal value of the performance functional for a rapidly stabilizing indirect control in the regular case, Differential Equations, 2006, vol. 42, no. 11, pp. 1545-1552. https://doi. org/10.1134/S0012266106110048

12. Danilin A. R., Parysheva Yu. V. On the asymptotics of the optimal value of the performance functional in a linear optimal control problem, Differential Equations, 2011, vol. 47, no. 4, pp. 560-570. https://doi.org/10.1134/S0012266111040100

13. Danilin A. R. Asymptotic behavior of the optimal cost functional for a rapidly stabilizing indirect control in the singular case, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2006, vol. 46, no. 12, pp. 2068-2079. https://doi.org/10.1134/S0965542506120062

14. Shaburov A. A. Asymptotic expansion of a solution to a singularly perturbed optimal control problem with a convex integral performance index whose terminal part depends on slow variables only, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2018, vol. 24, no. 2, pp. 280-289 (in Russian). https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-2-280-289

15. Danilin A. R., Shaburov A. A. Asymptotic expansion of solution to singularly perturbed optimal control problem with convex integral quality functional with terminal part depending on slow and fast variables, Ufa Mathematical Journal, 2019, vol. 11, no. 2, pp. 82-96.

https://doi. org/10.13108/2019-11-2-82

16. Dontchev A. L. Perturbations, approximations and sensitivity analysis of optimal control systems, Berlin: Springer, 1983. https://doi.org/10.1007/BFb0043612

17. Blagodatskikh V.I. Vvedenie v optimal'noe upravlenie (Introduction to optimal control), Moscow: Vysshaya Shkola, 2001.

18. Danilin A. R., Kovrizhnykh O. O. Asymptotics of a solution to a time-optimal control problem with an unbounded target set in the critical case, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 1, pp. 58-73 (in Russian). https://doi.org/10.21538/0134-4889-2022-28-1-58-73

Received 30.10.2022 Accepted 10.01.2023

Aleksei Rufimovich Danilin, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of the Department of Equations of Mathematical Physics, Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, ul. S. Kovalevskoi, 16, Yekaterinburg, 620219, Russia. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8711-2026 E-mail: dar@imm.uran.ru

Ol'ga Olegovna Kovrizhnykh, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher, Department of Applied Problems, Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, ul. S. Kovalevskoi, 16, Yekaterinburg, 620219, Russia;

Associate Professor, Ural Federal University, ul. Turgeneva, 4, Yekaterinburg, 620002, Russia. ORCID: https://orcid.org/0000-0001-8480-6658 E-mail: koo@imm.uran.ru

Citation: A. R. Danilin, O. O. Kovrizhnykh. Asymptotic expansion of the solution to an optimal control problem for a linear autonomous system with a terminal convex quality index depending on slow and fast variables, Izvestiya Instituta Matematiki i Informatiki Udmurtskogo Gosudarstvennogo Universiteta, 2023, vol. 61, pp. 42-56.