Ньютоновский потенциал в общей теории относительности в конечном пространстве

УДК 519.633.2, 517.958: 530.145.6

Ньютоновский потенциал в Общей теории относительности в конечном пространстве

И. В. Амирханов, Б. М. Барбашов, А. А. Гусев, В. Н. Первушин, С. А. Шувалов, С. И. Виницкий, А. Ф. Захаров, В. А. Зинчук

Объединенный институт ядерных исследований Россия, 141980, Дубна, Московской обл., ул. Жолио-Кюри, 6

Ньютоновский потенциал вычисляется в гамильтоновом подходе к Общей теории относительности (ОТО) в конечном пространстве, где координатное время калибровочно-инвариантно и не может рассматриваться как измеряемая величина теории. Наблюдаемый (калибровочно-инвариантный) параметр эволюции отождествляется с однородным космологическим масштабным фактором a(x ), определенным с помощью усреднения логарифма детерминанта пространственной метрики по масштабно инвариантному пространству Лихнеровича, а соответствующая калибровочно-инвариантная энергия в ОТО определяется как решение уравнения энергетической связи относительно канонического импульса масштабного фактора. В этом случае дается космологическое обобщение ньютоновского потенциала, заданного в неоднородном классе функций.

Введение

Потенциалами в релятивистской теории поля называют полевые переменные, которые удовлетворяют уравнениям типа Лапласа ДАо = Jо .В отличие от динамических переменных, которые удовлетворяют уравнениям типа Даламбера Ао = Jо и которые будем далее называть степенями свободы, так как они имеют свободные начальные данные.

Определение потенциала в релятивистской теории поля связано с так называемой сопутствующей системой отсчета, выделяемой единичным временеподобным вектором ¿о = (1, 0, 0, 0). Этот вектор помогает разделить все координаты и компоненты полей на пространственные и временеподобные части, в соответствии с теорией неприводимых унитарных представлений группы Пуанкаре.

Начальные данные в теории калибровочных полей, включая общую теорию относительности (ОТО) [1,2], должны быть определены как инварианты относительно группы калибровочных и общековариантных преобразований, которые радикально отличаются от преобразований систем отсчета. Это различие было показано двумя теоремами Нетер [3]. Параметры преобразований систем отсчета непосредственно измеряемы как начальные данные, в то время как параметры калибровочных преобразований не наблюдаемы; калибровочная инвариантность ведет лишь к связям начальных данных, выявленных симметриями теории относительно преобразований систем отсчета.

Для того, чтобы отделить группу калибровочных преобразований от преобразований систем отсчета в общей теории относительности (ОТО), Фок ввел описание ОТО в терминах лоренц-ковариантного и калибровочно-инвариантного ортогонального репера [4].

Главной трудностью в ОТО при вычислении потенциала является инвариантность этой теории относительно параметризации координатного времени ж0 ^ X0 = ж0 (ж0).

Работа частично выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ грант №03-02-16263).

В случае, когда мы имеем дело с конечным пространством-временем, которое активно рассматривается в современной космологии, роль репараметризационно-инвариантного параметра эволюции играет космологический масштабный фактор [5-8]. Этот фактор отделяется масштабным преобразованием от метрики. Отделение космологического масштабного фактора от метрики в ОТО известно как космологическая теория возмущений, предложенная Лившицем [9] и применяемая для анализа современных наблюдательных данных в астрофизике и космологии [10]. Обычно предполагают, что этот фактор является дополнительной переменной, заданной в классе однородных функций. Это предположение ведет к удвоению числа однородных переменных, что не позволяет использовать гамильтонов подход к ОТО [11,12].

В данной статье мы вычисляем ньютоновский потенциал в последовательном гамильтоновом подходе к ОТО [11,12], где этот потенциал задан в классе неоднородных локальных функций.

1. Инвариантный параметр эволюции в ОТО

1.1. Действие, интервал и симметрии ОТО

ОТО [1, 2] дается двумя фундаментальными величинами: «динамическим» действием

2

6

где </?д = -§^Мр1апск —постоянная Ньютона, а £(м) —лагранжиан поля материи, и «геометрическим интервалом»

guv= = w(q)w(q) - W(1) W(1) - W(2)W(2) - ^(3)^(3),

где —линейные дифференциалы, определяемые как компоненты ортогонального репера [4]. ОТО в терминах компонент фоковского репера содержит два принципа относительности: «геометрический»—общее преобразование координат

x' —

X = XM

и «динамический» принцип, сформулированный как преобразования Лоренца систем отсчета заданных ортогональным репером

w(a) ^ w(a) = L(a)(p)U(p).

1.2. Система отсчета гамильтонова похода к ОТО

Гамильтонов подход к ОТО сформулирован в работе [5,6] в определенной системе координат в терминах переменных

W

где [13]—преобразование Лихнеровича к скалярно-инвариантным величи-

нам, а триады e(a)¡ формируют пространственную метрику с det |e| = 1, Nd —

функция смещения Дирака, Ni — вектора сдвига начала координат, а ф — детерминант пространственной метрики.

Зельманов установил [7,8], что система координат, определенная в виде (5), является инвариантной относительно преобразований

X ^ X — X (x ), Xi ^ Xi — Xi(x , X1, X2, X3),

pj ^ da;0 ^ dxk da;0 dxk дхг

dX0' dxi dX0 dxi dX0

Группа преобразований сохраняет семейство гиперповерхностей ж0 = const, которое называют «кинеметрической» подгруппой группы общих преобразований координат. «Кинеметрическая» подгруппа содержит репараметризацию координатного параметра эволюции (ж0). Это означает, что координатный параметр эволюции (ж0) не измеряем, роль наблюдаемого параметра эволюции в этом случае играет одна из переменных теории. В космологических приложениях ОТО в качестве такой репараметризационно-инвариантной времени-подобной переменной выбирают однородный масштабный фактор [14,15].

1.3. Однородный масштабный фактор, как нулевая

Фурье-гармоника

Космология Фридмана и космологическая теория возмущения [9,10], применяемые для анализа современных наблюдательных данных в астрофизике и космологии, отождествляют инвариантный «параметр эволюции» с космологический масштабным фактором а(жо). Последний введится масштабным преобразованием метрики = a2(x0)g/MV и любого поля F (") с конформным весом (n): В частности кривизна

^R

может быть выражена в терминах новой функции смещения NVd и пространственного детерминанта ф в уравнении

NA = [VHf°]-l = a2NAl ф = {^)~1ф.

Чтобы сохранить число переменных, мы определяем log у/а следующим образом

log у/а =

V0 J

где V0 = / d3x < ж — конечный объем. В этом случае новый детерминант переменной ф удовлетворяет тождеству

J d3 ж log ф = yd3x[log ф-

Можно назвать эти функции «отклонениями» от среднего значения. Можно заметить, что операции «усреднения» nav  fi = (fi) и «отклонения» П^е  fi = fi = fi — (fi) имеют свойства операторов проектирования: Пае  fi + Пае  fi = Ifi, П2е = Пае и П2 = П

nav = nav.

После масштабного преобразования (8), (9) действие (1) принимает вид

%>о] = <%>]"/dж0

здесь S^j —действие (1) в терминах метрики gj. Энергетическая связь = 0 принимает вид [14]

.. =

где Тд —локальная плотность энергии. Это уравнение имеет точное решение

d^ LdcJ

=</2 = ыт°\, mr1)^ = ^J-,

2

2

где

Ч> о

с

-1\-1

= ±

ёр

Т0

— инвариантное время. Данная эволюция в ОТО является аналогией закона Хаб-бла в космологии. Эти уравнения появляются, если ТО0 не зависит от однородной скорости р'.

2. Модель массивной электродинамики 2.1. Действие

В качестве модели материи рассмотрим массивную электродинамику в ОТО

5 = Зек. + 5т = I ¿4х^[£ск + Ал] ,

где — лагранжиан ОТО

2

Аж = "тгад 6

и Сш — лагранжиан массивных векторных и спинорных полей

£т = - М^А^д^ - Ф^Д, - геДТ)Ф - т0ФФ.

Здесь

^^ = д^А^ — д^А^ — тензор напряженности,

Д = 9$ — ¿^[7(а)7(/з)]сгг(а)(,з) — ковариантная производная Фока [4], 7(£) = 7— 7-матрицы Дирака, свернутые с тетрадами , и аа(а)(в) = е(в)) —коэффициенты спиновой связности [4].

2.2. Лагранжиан ОТО

Для вычисления канонических импульсов можно записать гильбертово действие

¿Си. [9 = а29] = ^ ¿4ж(К

-р

где

К[р|е] = ТУар2

—4У2 +

Л^ф7 6

Р[р|е]

й(е)ф + 8Дф

являются соответственно кинетическими и потенциальными условиями

и =

6

и

6

1

V(a)i

1

Ж

(до - Л^)е(а)г + ie{a)ldtNl - e(a)ldtNl

скорости метрических компонент, Дф = d¿(e(a)eja)djф) —ковариантный опера-

тор Лапласа, (3) R(e) — трехмерная кривизна, в терминах триад

;(a)i

(3)R(e) = -2di [e(b)c(c)|(b)(c)] - c(c)|(b)(c)c(a)|(b)(a) + C(c)|(d)(f

'(c)|(d)(f )c(f )|(d)(c)'

Здесь

С (

(a)|(6)(c) = e|c)Víe(a)fce(6) = -e(a)i

:[d(fe)ejc) - d(c)e(fe)]

— коэффициенты спиновой-связности, Vie(a)j = d¿e(a)j — Г-e(a)k —ковариантные производные, а Г^ = (5¿e(6);/ + <9ie(b)i).

2.3. Лагранжиан массивных полей

Лагранжиан массивных полей (18) можно переписать в терминах переменных Лихнеровича [13]

= Лц, Фь = а3/2 ф3Ф, что приводит к полям с массами, зависящими от масштабного фактора аф2

ш(ь) = ш0 аф2 = шф2, М(ц = М0аф2 = Мф2,

находящимся в пространстве, заданном компонентами репера

w¡L)) = ф4 NVddx0,

= e

с единичным детерминантом метрики |e| = 1.

В результате лагранжиан массивных полей (18) принимает вид

л/^дСт(А, Ф, Ф) = V (do - Nkdk + \diNl - геА0)ч>ь -

— ^Нф + NVd

— J5(c)v[ab]£(c)(a)(b) +

ф4

- N ф6шФЬФЬ - П0 [^Л* - Л0],

где для линеаризации массового члена использовано преобразование Лежандра Л2/(2ТУа) = П0Л0 — А^п2/2 с вспомогательным полем П0;

2 п

Нф = — ф4 [¿Ф Ь7(Ь)^(Ь)ФЬ + J5V — dfc Jk]

гамильтонова плотность фермионов,

W[a6] = 7т

2ye

д

Ф^

1

k

ф-

1

^г(Л) =

[доАг — дгАо + ^ К?}

скорости полевых переменных, а величины

Мс) = ^ = Л =

2

2

являются потоками, а = &(а)(ь)1(с)£(а)(ь)(с), где £(а)(ь)(с) обозначает тензор Леви-Чивита.

2.4. Гамильтонов подход

Перейдем от скоростей к канонически сопряженным импульсам:

Р, = = - -2У0Р',

Ко ¿С

дК[р|е] 0 2~ РФ = Г ^ = и,

д

г _а[кме] + ^Ст] г

Р(-Ь) Щм -

Ъ

р

= = о

(ф) ъ '

Тогда действие (16) можно записать в гамильтоновой форме

5 = | С1° [-Рудо'-р + N0^- + I (13Ж (]Г РрдоР + С — ВД

где Рр —набор полевых импульсов (38)-(41), а

Т0 = ф7Дф + Е Ф1 Г1

1=0,4,6,8

— сумма гамильтоновых плотностей, включая плотность гравитации

У7--У7 4р2 У

ф Аф = ф -—д(ь)д(ь)ф,

Т/=0 =

3

6 Р(аЪ)Р(аЪ) 16^ ,

р2

ф2Рф+ 2а2 М2'

¿Ф Ь7(ь)^(ь) + а — дк 3к г/=6 = тФ ЬФЬ

Т/=4

Рг(Л)Ргл) + ^ ^

6

2

где Р(а6) = 2 (ег(а)Р(6)г + ег(6)Р(а)г), Р(6)г = Р(6)г + ег(а)£(с) (а) (6) 7(с),

С = А0 [дгР'

2

(/0 = Ф—нулевая компонента тока; Л0, N¿, А0, А(а) являются множителями Лагранжа) обозначает сумму связей, включающую условие Дирака минимальной трехмерной гиперповерхности [5,6]

Pj=v = 0^(до- Nldt) logtp =

означающей положительную определенность плотности гамильтониана (45). Если обозначить компоненты полного тензора энергии-импульса Т(0а) = Т0е(а), то

Т(а) = -Рфд{а)ф + + 2р(Ъ)(с)1(Ъ)\(а)(с) ~ д(Ъ)Р(Ъ)(а) ~

- - ^д^^-Р^е^-поА^.

2.5. Гамильтонова редукция

Энергетическая связь ^[^^/¿^ = 0 в виде уравнения ^Р2/(%)2 = ТТд имеет точное решение

Р2 = Е2 ^Я -L ф ф1 —

где

NVd {JT[

Еф = 2V0W TVq ),

подстановка этого решения Р^(±) = в действие

S = dx0

P 2

-p^ov? + iVoTTf + I d3x(ypFd0F + c - ад

4V0

F

дает редуцированное действие

energy constraint

фо

d^

d3x(]TPFдфF + в) ± E

в полевом пространстве событий Здесь С = С/д0^, есть начальные дан-

ные рождения (или уничтожения) Вселенной.

Окончательно для десяти компонент дираковской тетрады [4] имеем следующие уравнения

SS

= _ Ti(T) =

5e

(T) (b)i

0,

5S

¿N j

= _ Tj(T) =

dj e(T)) = 0, dj NjT = 0.

Для N¿^4 и д^0 имеем соответственно N^4 = ((^)-1)^ =

<л/^0)

d^

LdCJ

и

0

0

2

2

130 Амирханов И. В. и др. Ньютоновский потенциал в Общей теории . . .

р~=у = 0^(до-м1дг) 1оёф =

а для ф — уравнение

¿5 ¿5 / ¿5

51п ф ¿ 1п ф \5 1п ф которое будет рассмотрено в следующем разделе.

3. Ньтоновский потенциал в конечном пространстве

3.1. Эффективное действие для скалярных потенциалов в

конечном пространстве

В диффеоинвариантной формулировке в ОТО скалярные потенциальные возмущения в определенной системе отсчета могут быть определены как ^¡п1 = 1 + V и ф = е^, где Д, V даются в классе функций, определенных оператором проектирования (11) Р = Р — (Р), причем (Р) = 0.

Явную зависимость метрики и тензора энергии Т0 от ф можно получить в терминах масштабно-инвариантных переменных Лихнеровича [13]

йо _ „т,7 Л „7, I

Т^ф'Аф + ^Ф'а^Т!, п^Ы+г/,

- ~ 4р2 ~

где Аф = —— 5(5) 5(5)ф—оператор Лапласа, а г/ — плотности энергии, определенные уравнениями (44)—(48). Отрицательный вклад —(16/пространственного детерминанта импульса т/=о убирается из нулевой скорости пространственного элемента объема условием положительности локальной плотности энергии, введенном Дираком в [5,6]

2 дс ф6 — д [ф}6Я1] , ,

щ = -8р2 С Р ^-1 = 0. 58

Для упрощения уравнений скалярных потенциалов , ф, можно ввести новые обозначения

М3 = ф7М-ши Т

I

В терминах этих обозначений действие (55) можно представить, используя инвариантное время £, в виде

%о] = ] ¿С ] ^х^Ррд^ + Сс-М^Аф + Пф)) -

F

где Сс = С(ёж0/ёС).

3.2. Потенциальные уравнения

Вариация этого действия относительно N , ф ведет к уравнениям

л

Л^ + Т = -дГ2 '

Ф7Р

фАМ3 + ЛГ8^Т + 7. к

Р(1),

соответственно, где

Р(0) = <^[Д ф + Т 0, р(1) = (фАК3 + +

в пределе бесконечного объема р(п) = (т/) = 0 уравнения (61) и (62) сводятся к уравнениям Аф = 0, ДЖ. = 0 с решениями Шварцшильда ф = 1 + N3 = 1 —

3.3. Космологические возмущения

Для N = 1 — VI, ф = 1 + и малых отклонений ^1, VI ^ 1 уравнения (61) и (62) принимают вид

[-Д + 14р

[7  14р

где р(п) = (т(„)) = /па5_2(т/). Этот выбор переменных позволяет определить ф =1+ и N5 = 1 - Vl в виде суммы

1

где в имеет вид

/?= ^1+[(г(2))-14(Г(1))]/(98(Г(0))),

Т

локальные токи, Е(±)(ж,у) — функции Грина, удовлетворяющие уравнениям

[±ш2±) - Д]Я(±)(,у) = ¿3(х - у).

Здесь ш2±) = 14(в ± 1) (т(0)) Т (т(1)).

В случае распределения массы в конечном объеме У0 с нулевыми давлением и плотностью Т(0)(ж) = Т(1)(ж)/6 = М[£3(ж - у) - 1/У0], решения (67), (68) принимают вид

ф = 1 +/л = 1 + 71е-т(+)(г)г + (1 - 71) со8гп(-)(г)г

4^

К = 1 - V! = 1 - / 4г

(1 - 72)е-т(+)(г)г + 72 сое ш(-)(г)г

где Yi

_ 1+7/3

_ 14/3-1

_ Зт

2 ' 72— ^28/3^' Г9 — Г — 1Ж У1> Ш(±) — 4(^2

Минимальная поверхность (55) дг[ф6.М"г] — (ф6)' = 0 дает вектор сдвига начала координат в процессе эволюции

ЛТ =

(<к¥_

V

r

Решения (72), (73) имеют пространственные осцилляции и ненулевой вектор сдвига начала координат (74). В бесконечном объеме (т(п)) = 0, а =1 решения (72) и

(73) совпадают с изотропными решениями Шварцшильда ф = 1 + Л^ = 1 — Nк = 0.

3.4. Пример

Рассмотрим случай распределения массы в конечном объеме Vo = 4пД3/3 с плотностью энергии (57), содержащей только вклад частице-подобных сингуляр-ностей и массивной пыли I = 6, так что ti=6 = ПмРсг + М£3(ж), где рсг = p2H2. В этом случае плотность энергии (59) может быть записана в виде

Т =

4р2 т-

3

ф-1Т, Т =

H 2Пы + nrg ¿3

здесь Н — параметр Хаббла, и т9 = М3/(4пр2) — радиус гравитации.

Уравнения (61) и (62) сведем к двум интегро-дифференциальным уравнениям соответственно

~ ~ Г ЩАф + ф^Т] =^-Р

фА^ - Nstb-1T = p(i) - 7

'ф7 ' Ж"1

Р(0),

л г ё2/ 2ё/

где А/ = —- Н---в интервале гь ^ г ^ До, & гь—естественная разница

аг2 г аг

«частице-подобных» объектов (предполагаем что гъ ~ г^ ^ До ~ Н-1) и

Ro

P

P

Д3-

drr Ns

o - '6

Аф + ф-1Т

гь Ro

Д3-

drr2

o - 6

фАДз - ^ф-1Т

с нормировкой в интервале гь ^ г = у^ж2 + ж^ + ж2 ^ До

д3 _ r3 Д0 r 6

ф7

drr2-— = 1,

iVs

гь Ro

Д3-

drr2 log tb = 0,

o - r6

3

3

3

3

3

3

3

e— e

—e e

и граничные условия ^(г = й0) = 1, ф(г = й0) = 1. Для N5 =1 - V!, ф = 1 + и малых отклонений ^ 1 решение этих уравнений имеет вид (72) и (73),

Л

4 г г

^ = 1-^ = 1-/

4г

ф = 1 +/Л = 1 + 71е""г(+)(г)г + (1 - 71) со8ГП(.)ЙГ (1 - 72)е-т(+)(г)г + 72 сое ш(-)(г)г'

где /3 = у/1 + [36- 14 -6]/(98) = ^/1 -48/98 ~ 1/1.4, ш(_) = ш(+) =

3ш(-), 71 = 3, 72 = 9/20.

Можно видеть, что это изменение координаты г —> ж = гНу/(3/4Пм), а Т в уравнении (75) содержит Т ^ 1.

Уравнения (61) и (62) сводим к двум интегро-дифференциальным уравнениям соответственно в интервале жь < х < 1, рм -С жь ~ хд <С 1, До ~ Ну/(3/4Пм) = 1

~ ф7

фД^ - ^ф-1 = р(1) - 7

ф7 ж

1

Р(0),

А , ё2/ 2 /

где А/ = —- Н---и интегральные термины имеют вид

ах2 х ах

Р(0) = 3 dxx2Ns

Дф + ф

1

, хь < 1,

жь 1

Р(1) = 3 ёхх2 фДЖ, - Жзф-1 , хь < 1,

жь

с пределами интегрирования

3 [ с1жж2-^- = 1,

У лг8

жь 1

3 / ёхх2 log ф = 0.

жь

В предельном случае х ^ 1 ^ х^ имеем

фо(ж) = 1 - £1 + [Пе-3^* + 9С08 л/бж

4х 20

х

Следовательно, в этом случае мы можем наложить граничные условия

Щх = 1) ~ 1, ф(х = 1) ~ 1.

Проблема состоит в нахождении значений функций ф(х), N3 (х) в области х ~ х^ и сравнении этих функций с (90) и (91).

1

Прежде всего можно видеть, что уравнение (76) — алгебраическое относительно N3 и имеет решение

Ns-1 = ф-7

ф7Аф + Г

1/2

1/2 p

> 1,

из которого видно, что N никогда в ноль не обращается. Следовательно черная дыра в космологии не существует.

Заключение

Мы вычислили потенциал Ньютона в ОТО в конечном пространстве-времени, отделяя преобразования систем отсчета от общих преобразований координат и различая координатное время ж0 (как объект репараметризации ж0 ^ ж0 = ж°(ж°)) и репараметризационно-инвариантное конформное время п (как результат решения уравнений движения и энергетической связи). В космологической теории возмущения [9,10] в качестве инвариантного параметра эволюции выбирают космологический масштабный фактор. Гамильтонов подход [11,12] обнаружил двойной учет космологического масштабного фактора в стандартной теории возмущения Лившица [9]. Это означает, что стандартная теория возмущения не совпадает с теорией Эйнштейна [1,2]. Чтобы избежать двойного учета и вернуться к ОТО, мы отделили масштабный фактор с помощью усреднения детерминанта пространственной метрики. В этом случае показано, что сохранение числа переменных в ОТО позволяет исключить кинетические возмущения и получить новый тип потенциальных возмущений, как космологическое обобщение решения Шварцшильда и потенциала Ньютона.

Литература

1. Einstein A. Die Gruündlange der allgemeinen Relativitüatstheorie // Ann. d. Phys. — Vol. 49. — 191б. — Pp. 7б9-82б.

2. Hilbert D. Die Grundlangen der Physik // Nachrichten von der Kon. Ges. der Wissenschaften zu Güttingen, Math.-Phys. Kl. — Vol. 3. — 1915. — Pp. 395-407.

3. Noether E. Invariante Variationsprobleme // Güttinger Nachrichten, Math.-Phys. Kl. — Vol. 2. — 1918. — Pp. 235-251.

4. Fock V. A. Geometrisierung der Diracschen Theorie des Electrons // Zs. Phys. — Vol. 57. — 1929. — Pp. 2б1-277.

5. Dirac P. A. M. Generalized Hamiltonian Dynamics // Proc. Roy. Soc. — Vol. A 24б. — London: 1958. — Pp. 32б-332.

6. Arnowitt R., Deser S., Misner C. W. Canonical Variables for General Relativity // Phys. Rev. — Vol. 117. — 19б0. — Pp. 1595-1б02.

7. Zelmanov A. L. Kinemetric Invariants and Their Relation to Chronometric Ones in Einstein's Gravitation Theory // Dokl. AN USSR. — Vol. 209. — 1973. — Pp. 822-825.

8. Vladimirov Y. S. Frame of References in Theory of Gravitation. — Moscow: En-ergoizdat, 1982. — Vol. 209, Pp. 822-825. — In Russian.

9. Lifshits E. M. On the Gravitational Stability of the Expanding Universe // ZhETF. — Vol. 1б. — 194б. — Pp. 587-б02.

10. Mukhanov V. F., Feldman H. A., Brandenberger R. H. Theory of Cosmological Perturbations // Phys. Rep. — Vol. 215. — 1992. — Pp. 203-333.

11. Barbashov B. M. et al. Hamiltonian Cosmological Perturbation Theory // Phys. Lett. — Vol. B б33. — 200б. — in press.

12. Zakharov A. F., Zinchuk V. A., Pervushin V. N. Tetrad Formalism and Frames of References in General Relativity // Physics of Particles and Nuclei. — Vol. 37. — 200б. — to be published.

e— e

—e e

е

е

13. York J. W. Gravitational Degrees of Freedom and the Initial-Value Problem // Phys. Rev. Lett. - Vol. 26. - 1971. - Pp. 1656-1658.

14. Pawlowski M., Pervushin V. N. Reparametrization-Invariant Path Integral in GR and "Big Bang" of Quantum Universe // Int. J. Mod. Phys. — Vol. A 16. — 2001. — Pp. 1715-1742.

15. Pervushin V., Smirichinski V. Bogoliubov Quasiparticles in Constrained Systems // J. Phys. A: Math. Gen. — Vol. 32. — 1999. — Pp. 6191-6201.

UDC 519.633.2, 517.958: 530.145.6

Newton Potential in General Relativity in a Finite Volume

I. V. Amirkhanov, B.M. Barbashov, A. A. Gusev, V.N. Pervushin, S. A. Shuvalov, S.I. Vinitsky, A. F. Zakharov, V. A. Zinchuk

The Newton potential is calculated in the Hamiltonian approach to general relativity (GR) in finite volume, where coordinate "time" is gauge-invariant and therefore can't be considered as a measurable variable of the theory. The evolution (gauge-invariant) parameter under study is identified with a homogenous cosmological scale factor a(x0), determined by means of averaging logarithm of spatial metric determinant over the scale-invariant Licnerowicz space, whereas respective gauge-invariant energy in GR is determined as a solution of the energy constraint equation in relation to the canonical momentum of the scale factor. In this case, cosmological generalization of the Newton potential, given in a non-homogenous class of functions, is specified.

Joint Institute for Nuclear Research 6, Joliot-Curie str., Dubna, Moscow Region, 141980, Russia