К задаче о возмущении периодических решений дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при производной

КЯШКИН А. А., ЛОГИНОВ Б. В., ШАМАНАЕВ П. А.

К ЗАДАЧЕ О ВОЗМУЩЕНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ

Аннотация. Методами теории ветвления исследована задача о возмущении и-кратной пары чисто мнимых собственных значений при наличии обобщенных жордановых цепочек. Получена разрешающая система в виде однородной системы линейных алгебраических уравнений. Проведена редукция исследуемой задачи к возмущенной операторной матричной задаче на собственные значения.

Ключевые слова: ветвление периодических решений, обобщенные жордановы цепочки, возмущение критической пары собственных значений.

KYASHKIN A. A., LOGINOV B. V., SHAMANAEV P. A.

ON THE PROBLEM OF PERTURBATION OF PERIODICAL SOLUTIONS TO DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH DEGENERATE OPERATOR

BEFORE THE DERIVATIVE

Abstract. By the methods of bifurcation theory, the authors investigate the perturbation problem for и-multiple pair of pure imaginary eigenvalues at the presence of generalized Jordan chains. The resolving system in the form of a homogeneous system of linear algebraic equations is obtained. A reduction of the problem to the perturbed operator matrix problem is carried out.

Keywords: bifurcation of periodical solutions, generalized Jordan chains, perturbation of critical eigenvalues pair.

1. Введение

В банаховых пространствах £i, Е2 в обозначениях и терминологии [1;2] задача о ветвлении периодических решений при бифуркации Андронова-Хопфа с необратимым оператором при производной описывается дифференциальным уравнением

где А и Bq - плотно заданные линейные фредгольмовы операторы, N(A) = spon {Oj} N*(A) = span{ipjN(Bq) = span{(j>k}i, N*(B0) = арап{фк}\ ~ их подпространства нулей и дефектных функционалов, {с;}™, ч) = {(г}Г\ {(1,Фэ) = {¿"Ль {Фк,°з) = hs, {СЛь (Cs 1 Фк) = dsk - соответствующие биортогональные системы, Ao+e)|| = о(||х||).

Предполагается, что операторы А и Bq не имеют общих нуль-элементов, а также условия: 1°

I) в с Б а и А подчинен В0, т. е. ||Аг|| < ||-Во^|| + 1М1 на или О а и В0 подчинен А,

т. е. ||-Во2'|| ^ Ах | + || х || на Па, что позволяет свести обсуждение к ограниченным операторам.

В статье [3] дано применение уравнения разветвления в корневых подпространствах к рассматриваемым в [1] стационарным задачам о возмущении линейного уравнения малым линейным слагаемым и спектральных характеристиках линейного оператора, и соответственно в статье [4] - к рассмотренной в [2] задаче о ветвлении периодических решений.

Здесь исследуется ветвление чисто мнимых А-собственных значений оператора Во и отвечающих им периодических собственных элементов (периодических решений) линеаризованного уравнения при возмущении В(е) оператора Во

в следующих предположениях [1], [5-7]:

1°. Число а является Д-собственным значением матричного оператора а), т. е.

Ща)ик =

Д,

В0) \и2к подпространством нуль-элементов

Ы\ (] ^{а)Ук (Щ | | щк ) = а к = _ с 2п.мернь1м

Вп

У2к

ЛГ{Я*{а)) = 8рап =

= \1к, VI к } ' \1>2к' '

.

При этом числа ±ка, /,' — 0.1,2.... не являются Д-собственными значениями матричного оператора ¿${а) ф 0.

2°. А-жордановы цепочки элементов Ф.^, Ф,

-л \ л ( Во *Л\ (0 -А

г к

1,2, к—1,п, оператор-функций

и

а +у) = =

Г>*

О

аА*

(а)Ф^? = ДФ^, '\  (а)Ф^/ А' Ф имеют конечные длины рк, т.е. образуют

полный канонический обобщенный жорданов (А-жорданов) набор (ОЖН) [1]. Без ограничения общности в силу разрешимости определяющих ОЖН уравнений это означает, что

,т,(1)\ _ А..Х. .А /1*1Тг(й)\

,(*) -

-аА

щ

-А»

0

-л*

о

, определенные равенствами

п.

или, эквивалентно, в координатной форме

= з = (и[11А^1]) + (и^,А*у^) = 5к16т, к,1 = 1,

В силу леммы о биортогональности обобщенных жордановых цепочек (ОЖЦ) [5-15] и линейности оператор-функций ¿${ос) — цА и ¿%*(а)—}1А* этот набор всегда может быть выбран триканоническим, т. е.

7Ы _

гк ~

АФ\Ркк+1 а), j — 1,2, з(а) = 1 ,рк(р1), к,1 = 1,п.

или в координатной форме

Следуя [3], в этой работе далее исследуется уравнение (1.2) на основе кратко представленного аппарата обобщенных жордановых цепочек.

2. Ветвление пары чисто мнимых Л-собственных значений оператора В0

Выполним комплексификацию уравнения (1.2), рассматривая его в пространствах

^к — + к = 1,2, и учитывая, что оператор В (г) в силу его линейности также допускает достаточно гладкое расширение на эти пространства. Тогда элементы "к = ч 1к + > Щк, и к и >'!,- — Щ к + ' Щ к, ^к являются ,4-собственными элементами оператора в0, т. е. собственными элементами следующих задач на собственные значения

Им отвечают А- и Л '-жордановы наборы (А- и Л '-ЖН = ОЖН), {"):"}, { //);"} и ;}, { г!;'; }, в которых обобщенные жордановы цепочки определяются уравнениями (Во — гаА)и^ — Аи,:!

и)

,0-1)

\r.ti)

,0-1)

/.• — I.// , и соответственно (1.7) и (1.8) могут быть выбраны удовлетворяющими условиям биортогональности

Выполнением подстановки А. Пуанкаре I =

X

(О = у(т), где ц = у.{ё) -

подлежащая определению малая добавка к частоте колебаний, задача (1.2) сводится к определению 27Г-периодических решений уравнения

Здесь предполагаемый фредгольмовым оператор (Воу)(т) и остальные операторы

отображают пространство У 27г-периодических непрерывно-дифференцируемых функций Т со значениями в £\ = Е\ + г в пространство 2 27г-периодических функций т со значениями в £о — Е-2 + г Е^. Дуальность между У и У* и 2*) определяется специального вида функционалами

1

Г-2ТГ

{(у,/» ^Уо ш,/(г))с1,т, уеу, /еУ (у е2,/еп Подпространства Л/"(Во), N(13$) нулей операторов Во и Ь", 2г/-мерны

биортогональные им элементы выбираются как А*- и Д-образы последних элементов ОЖЦ А*ф[Рк) = А*у(кРк)е^ = 7<1) и = - Г'/'" !г '7 = Отвечающие базисным элементам

подпространств Л/"(В0) и ЛДВ^) ОЖЦ имеют вид ^ = = ^ ¿'т

с соответствующими условиями биортогональности

Лемма 2.1. [6; 8-10] Соотношения биортогональности (2.4) определяют проекторы

п Рк

р = ЕЕ«-.Л*° = «->7»^ Р - «-.7))^ Р = Р+Р : £1 е\К - К(В, А) - эрап^М,

1 >=1

П Р(;

<г = ЕЕ<<->Л4Л = о =

= д+д: £2 -)• £2.2л- =

где V? = (^1 7 • • •! 1 .... : , ), векторы 7, '0 " 2' определяются аналогично, порождающие разложения пространств £\ и £2 в прямые суммы £\ — £\к + £

оо—2К 1 >

£-2 — £2,2к + £2,00-2к, К = V р8 корневое число.

При этом справедливы соотношения сплетения

В0Р = С*В0, В0Р = ОВо на ЩЩ АР = САР = 0,4 ш И(А\

где Ав и А а - клеточно-диагоналъные матрицы Ав =

с Рк хрк-клетками

Операторы А и Во , действуют в инвариантных парах подпространств £\К, £2:2к

сс С1

сю-2 К

-2,оо-

-2к; В0: Е>Во П £'{

оо — 2 К

£2.00—2К, А:£±к —>• £2,2Кявляются изоморфизмами.

и

Вводя регуляризатор Шмидта В0 = В0 + Е

, запишем

й=1 к=1

уравнение (2.3) в виде системы

Полагая у = ш + V, -у = £ • ¡р + £ • ф <Е находим

й=1 ^'=1

с=1 ¿ = 1

Обращая оператор Во, В0 =Г0 [1], получим

п Рк ... _ ... п Рк , _ ..

- /'1п/.г - 1 пА/1: :-г --ЕЕ *>Г + а, Л'1) + /<Гп/ V Е (а^г +

/£ = 1^=2

П Рк , .4

Отсюда следует

I - /Д\,<Г - Г0В

ги =

П Рк , ., _ , ,, П Рк ,,, _ ,,,

- Е I б.)Гг> I /Лп^ Е +^¿<4 )+

\-1п П^М-1/

(/ - ^Го^-'ГоБ^)!/ - Г0В(£)(1 - ^То^)-'ТоВ(£)}

1-1

и

тг Рк

к=1}=2

/е=1./=1

Следовательно,

п Рк , ., _ , л

/г = 17=2

Г п рк , _ ...

«;=[/-(/- /хГо^-^оВ^)]-1^ - ^Го^)-1 -ЕЕ (6у¥>Г + +

7=2

п Рк

/.'= I 7-1

0')\ _

А;=1 7=2

А-=1

Ат=а

Л1)

Формулы

(Го чу*? = ?ч>к

определяют выражение

/

при 5 > рк, = Г07д, фк = Г07д,

цТо^(1 - уГ^Г1 Е -г + ЫФк') к= 1

(!)> -

Теперь подстановка у = ги + £ • </? + £  </? во вторые равенства системы (2.5) в силу соотношений (2.4) при условии принадлежности присоединенных (корневых) элементов

(ТОО — 2 71 г С 2т>. л,

прямому дополнению ¿1 к подпространству собственных элементов ¿^ и учете формул

(2.7), (2.8) дает линейную однородную разрешающую систему (аналог уравнения разветвления в корневом подпространстве), состоящую из уравнений

и соответствующих им комплексно-сопряженных, равенство нулю определителя которой является уравнением разветвления в корневых подпространствах для определения периода

колебаний Ц ~ //(б), возмущенной задачи (1.2).

Замечание 2.1. В линейной однородной разрешающей системе слагаемые в уравнениях и им сопряженных, содержащие двойственность, можно записать в виде

и учитывая, что С* = --¿¿А*, выразить компоненты

через линейную комбинацию ОЖЦ ф^', ф[2- ф^Рз I соответственно Ф^1 ^  ф^,  • •, ф^Рз \

3. Редукция к возмущенной матричной задаче

Более компактным вариантом исследования задачи является ее редукция к возмущенной матричной задаче на собственные значения

В0 + В(е) (а + /х)Л\ ~(а + ц)А В0 + В(г) Г ~

В0 + В

-¡л

О -А А О

/'-/'

Следует выяснить как изменится А = ^ д ^ '^-собственное значение а оператора ^аА °в) ПРИ возмущении В(е) оператора Во. Таким образом, рассматривается

задача на собственные значения

т. е.

"1

Ща)17 =[-В

Согласно [5-7] обобщенный жорданов набор линейной по малому параметру /' оператор-функции В — //„4 всегда может быть выбран триканоническим, т. е. для него справедливы формулы (1.7) или в координатной форме (1.8). Вводя регуляризатор Шмидта

В = В + Е £(•, Пр/)''. Г = В1, и, полагая

(векторы ГФ,, / = 1. 25 определяются аналогично), запишем (3.2) в виде системы

ви^+ЕЕ + - -МЕЕ +

^=17=1

+В(е) п" I Е Е+ = V +

\ &=1;/=1 / Л;=1

Обращая в первом уравнении оператор В, получаем

( п Рк . .. п Рк ,  , Л

и- = [/-/.'1,1 + гв,:1 1| - Е Е(&ФЙ! + + Е Е+ &ФЙ)-

*с=1 7=2

Так как [/ - ^ГЛ + ГВ(е)]

-1

= \1

к=\]=1

-гв(в)Е +

Ь=13=1

и

( п Рк , , п Рк. , ., , Л 1 п. Рк . ...

и - /Л\Д) V + + Е + ' = Е Е

к=13=2

к=1] = 1

к=1з=2

I /'ГЛ(7 „ГЛГ1 Е(0/,Фц} I следовательно

к= 1

и- = - Е Е + + ^ГЛ(/ - /.ГЛ)-1 Е +

П ¿1 Л^Ь

*:=!7=2

Яе=1

(/ - /-¿ГЛ)_1ГВ(е)[/ -(/- /.¿ГЛ)~1ГВ(е)]~1 (/ - ^ГЛ)"1 £ (&Ф& + ^Ф^).

к—1

Подстановка определенного по формуле (3.4) IV во вторые уравнения системы (3.3) при учете формул

ГАФ$ = гвфЭ = ф£\

ГАФ$> = ГВФ^1 = ф£>,

1к '

(ГЛГФй^Ф^при^Рь

з>рк, ¿ = 1,2,

как и ранее, дает однородную систему 2/\-порядка линейных алгебраических уравнений, равенство нулю определителя которой является уравнением разветвления в корневом подпространстве относительно Ц* — М-)-

ЛИТЕРАТУРА

1. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. - М.: Наука, 1964. - 524 с.

2. Треногин В. А. Периодические решения и решения типа перехода абстрактных уравнений реакции-диффузии // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. -Новосибирск: Наука. СО АН СССР, 1988. - С. 133-140.

3. Кяшкин А. А., Логинов Б. В., Шаманаев П. А. Комментарии к задачам о возмущении линейного уравнения малым линейным слагаемым и спектральных характеристик фредгольмова оператора // Журнал Средневолжского математического общества. - 2013. -Т. 15, № 3. - С. 100-107.

4. Кяшкин А. А., Логинов Б. В., Шаманаев П. А. Комментарии к задаче о ветвлении периодических решений при бифуркации Андронова-Хопфа в дифференциальных уравнениях с вырожденным оператором при производной // Журнал Средневолжского математического общества. - 2014. - Т. 16, № 4. - С. 33-40.

5. Логинов Б. В., Русак Ю. Б. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления // Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными: сб. науч. работ / ред. М. С. Салахитдинов. - Ташкент: Изд-во «Фан» АН Узб.ССР, 1978. - С. 133148.

6. Русак Ю. Б. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления: дис. ... канд. мат. наук. - Ташкент, 1979. - 126 с.

7. Русак Ю. Б. Обобщенная жорданова структура аналитической оператор-функции и

сопряженной к ней // Известия Акад. Наук Узб.ССР. Физ-мат. - 1978. - № 2. -С. 15-19.

8. Loginov B. V., Rousak Yu. B. Generalized Jordan structure in the problem of the stability of bifurcating solutions // Nonlinear Analysis: TMA. - 1991. - V. 17, N. 3. - pp. 219-232.

9. Loginov B. V. Determination of the branching equation by its group symmetry - Andronov-Hopf bifurcation // Nonlinear Analysis: TMA. - 1997. - V. 28, N. 12. - pp. 2033-2047.

10. Loginov B. V. Branching equation in the root subspace // Nonlinear Analysis: TMA. - 1998. -V. 32, N. 3. - pp. 439-448.

11. Loginov B. V., Kim-Tyan L. R., Rousak Yu. B. On the stability of periodic solutions for differential equations with a Fredholm operator at the highest derivative // Nonlinear Analysis. -2007. - V. 67, N. 5. - pp. 1570-1585.

12. Коноплева И. В., Логинов Б. В., Русак Ю. Б. Симметрия и потенциальность уравнений разветвления в корневых подпространствах в неявно заданных стационарных и динамических бифуркационных задачах // Известия высших учебных заведений. СевероКавказский регион. Серия: Естественные науки. - 2009. - С. 115-124.

13. Loginov B. V. On the determination of branching equation by its group symmetry // Doklady Mathematics. - 1993. - V. 331, N. 6. - P. 667.

14. Loginov B. V., Trenogin V. A. Branching equation of Andronov-Hopf bifurcation under group symmetry conditions // CHAOS, Amer. Inst. Phys. - 1997. - V. 7, N. 2. - pp. 229-238.

15. Логинов Б. В., Коноплева И. В., Русак Ю. Б. Теоремы о неявных операторах в условиях групповой симметрии // Доклады РАН. Математика. - 2011. - Т. 440, № 1. - С. 15-20.