Коллективные свойства ансамблей дефектов и некоторые нелинейные проблемы пластичности и разрушения

Коллективные свойства ансамблей дефектов и некоторые нелинейные проблемы пластичности и разрушения

О.Б. Наймарк

Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, 614013, Россия

Развитый статистический подход позволил определить типы коллективных мод в ансамблях мезоскопических дефектов, установить их роль в механизмах пластичности и разрушения, предложить объяснение стохастической динамики трещин, механизмов скейлинга при разрушении, резонансного возбуждения разрушения (волн разрушения), структуры пластических волн и аномалий вязкости при ударно-волновом нагружении конденсированных сред.

1. Введение

Взаимосвязь структурных изменений со свойствами материалов является ключевой проблемой в механике и физике твердого тела. Интенсивное изучение структурных переходов стимулирует установление общих закономерностей и сближает области исследований, являвшихся пограничными между физикой и механикой твердого тела. Эта тенденция обеспечивает более глубокое понимание общих законов пластичности и разрушения, которые также могут рассматриваться как структурные переходы, индуцированные дефектами.

Реальные твердые тела имеют сложную иерархическую структуру, которая изменяется в процессе деформирования. Эти изменения могут быть классифицированы как пластическая деформация и накопление повреждений, реализуемые как процессы зарождения, развития и взаимодействия дефектов на определенных структурных уровнях, а также взаимодействия между этими уровнями.

Экспериментальные исследования реакций материалов на нагружение в широком интервале интенсивностей и скоростей деформации обнаруживают ряд закономерностей в процессах пластичности и разрушения и показывают связь этих эффектов с коллективными свойствами типичных мезоскопических дефектов (дис-

локационных субструктур, микросдвигов, микротрещин). Яркие черты данных закономерностей проявляются при динамическом и ударно-волновом нагружениях, когда внутренние времена эволюции структуры приближаются к характерным временам нагружения. Как следствие, широко используемое предположение в механике пластичности и разрушения о подчиненной роли структурных переменных кинетике деформации (или напряжений) не может быть применимо в общем случае. В этих ситуациях и возникает фундаментальная проблема описания поведения ансамбля дефектов с учетом многополевой природы взаимодействия последних. Специфика данной проблемы заключается в том, что зарождение и эволюция дефектов сопровождаются изменением симметрийных свойств системы в локальном и глобальном смыслах. В локальном — как следствие изменения симметрии поля смещений (тензора дистор-сии), в глобальном — в результате изменения симметрии системы при зарождении коллективных мод дефектов, и, как следствие, подчинения поведения системы этим коллективным модам. Локальное изменение симметрии является физическим следствием дислокационной природы дефектов, что должно быть отражено в соответствующей структуре внутренних переменных (параметров порядка) и может быть описано, например,

© Наймарк О.Б., 2003

методами калибровочной теории дефектов. Второе изменение симметрии является следствием специфических нелинейностей (групповых свойств) эволюционных уравнений для параметров порядка, описывающих кинетику зарождения и развития коллективных мод в ансамблях дефектов и связанных с ними специфических механизмов переноса импульса (пластичностью) и диссипации (переходом от дисперсного накопления дефектов к зарождению макроскопических трещин).

План построения настоящей статьи следующий.

В разделе 2 обсуждаются свойства типичных мезоскопических дефектов — дислокационных субструктур, микротрещин, микросдвигов, особенности их коллективного поведения, типы структурных переходов, статистические закономерности поведения ансамблей, проведена оценка энергий дислокационных субструктур.

Раздел 3 посвящен определению вида микро- и макроскопических параметров порядка, характеризующих типичные мезодефекты, обсуждению связи тензорной структуры параметров порядка с симметрийными свойствами сред в контексте основных результатов теории калибровочных полей, определению вида гамильтониана сред с дефектами.

В разделе 4 изложены основные результаты статистического подхода, в котором с использованием приближения эффективного поля построены уравнения состояния среды с мезодефектами, установлены типы возможных нелинейностей, которым сопоставлены характерные деформационные реакции на рост дефектов — структурные состояния материалов — квазихрупкое, вязкое (пластическое) и нанокристаллическое. Определен вид структурного параметра скейлинга и его значения для этих состояний.

В разделе 5 представлена феноменологическая теория, основанная на результатах статистического подхода и представляющая собой обобщение подхода Гинзбурга-Ландау для рассматриваемого класса явлений. Получены уравнения движения для макроскопического параметра — тензора плотности дефектов и проведено исследование типов решений для характерных нелинейностей. Показано существование трех типов автомодельных решений — коллективных мод в ансамблях дефектов, с эволюцией которых связываются механизмы пластичности и локализации разрушения.

Раздел 6 посвящен теоретическому и экспериментальному исследованию нелинейной динамики трещин и объяснению механизмов перехода от устойчивого распространения трещин к режиму стохастического ветвления, вычислению критической скорости перехода к ветвлению, анализу структурного и динамического скейлинга, определению типов аттракторов, контролирующих динамику трещин. Показано, что данные переходы связаны с взаимодействием основной трещины с

коллективными модами ансамблей дефектов, ответственными за локализацию разрушения и зарождение «дочерних» трещин.

В разделе 7 исследуются «резонансные» режимы возбуждения коллективных мод разрушения и предложено объяснение эффекта «волн разрушения» при ударно-волновом нагружении стекол и керамик. Показана связь этого эффекта с высокоскоростной асимптотикой зависимости скорости динамической трещины от напряжения. Обсуждаются энергетические и статистические аспекты фрагментации.

В разделе 8 изучается роль структурных переходов в ансамблях дефектов как механизмов пластичности. Показано, что пластичность может рассматриваться как последовательный структурный ориентационный переход в ансамблях мезодефектов, сопровождающийся изменением характеристик скейлинга непрерывно изменяющихся мезоскопических структур. Установлена связь типа коллективных мод (автосолитонных мод ориентационного перехода) с механизмом пластического течения, эффектами локализации деформации, скоростного упрочнения. Проведено сопоставление развиваемой феноменологии и инкрементальной теории пластичности.

Раздел 9 посвящен исследованию роли неравновесных переходов в ансамблях мезодефектов в формировании структуры ударных волн в конденсированных средах. Обсуждается связь возбуждения коллективных мод с универсальной структурой пластических фронтов, аномалией ударной вязкости. Предложено объяснение ударной асимптотики вязкости для твердых тел и простых жидкостей.

2. Свойства мезодефектов

2.1. Дислокационные субструктуры

Экспериментально установлено, что увеличение плотности дислокаций при деформации сопровождается формированием дислокационных субструктур, последовательность которых имеет достаточно регулярный характер. Подобный сценарий наблюдается при активной деформации, усталостном, динамическом и ударно-волновом нагружениях. Более того, как показано в [1], переходы в дислокационных структурах носят аналогичный характер для моно- и поликристаллов и определяются взаимодействиями между дислокациями и температурой. Иногда переходы между типами дислокационных субструктур сопровождаются резкими изменениями в механических свойствах металлов и сплавов. Так, основные механизмы дислокационного трения (эффекты вязкопластичности) и деформационного упрочнения могут быть связаны с переходами в дислокационных субструктурах. Характерно, что каждый тип дислокационных субструктур существует в определенном диапазоне дислокационной плотности, который яв-

ляется относительно стабильным для широкого класса материалов. Причина такой универсальности, по-видимому, имеет отношение к свойствам дислокационных ансамблей как неравновесной системы, которая обладает автомодельными признаками поведения специфической нелинейной системы. Эта универсальность в поведении дислокационных систем проявляется в экспериментах в виде низкой чувствительности эволюции дислокационных структур к внешним напряжениям, но высокой чувствительности к структурным напряжениям, индуцированным взаимодействием дислокаций.

Увеличение дислокационной плотности сопровождается уменьшением расстояния между дислокациями и напряжений дислокационного взаимодействия при формировании соответствующих дислокационных субструктур. Коллективные свойства дислокационных ансамблей начинают играть лидирующую роль в дислокационных переходах и формировании дислокационных субструктур. Движущей силой таких переходов является тенденция достижения относительного минимума полной энергии при формировании дислокационных субструктур [2]. Энергия дислокационных субструктур состоит из двух частей: собственная энергия дислокаций и энергия взаимодействия последних. Переходы в дислокационных субструктурах сопровождаются изменениями обеих частей. Как следствие, энергия вновь образуемых дислокационных субструктур оказывается меньше энергии предшествующей субструктуры.

Основная часть энергии дислокационных субструктур принадлежит собственной энергии дислокаций [2]:

2п г0 ’

где р — плотность дислокаций в дислокационной субструктуре; Ь — вектор Бюргерса; G — сдвиговой модуль упругости; г0 — радиус дислокационного ядра; L — характерный масштаб упругого поля дислокаций. Последний масштаб играет важную роль в эволюции дислокационных субструктур: увеличение дислокационной плотности ведет к уменьшению масштаба L в последовательности субструктур. Примерами типичных экспериментально наблюдаемых дислокационных субструктур являются хаотические, клубкообразные структуры, стенки дислокационных ячеек, субграницы, полосовые субструктуры. Значения L близки к размерам зерен, хаотических субструктур, имеют порядок ширины стенок ячеек или областей высокой плотности дислокаций в полосовых структурах.

При переходе к разориентированным субструктурам возникают дислокационные заряды, что приводит к уменьшению энергии этих субструктур вследствие изменения знаков зарядов при их пространственном распределении, что, в свою очередь, влечет за собой уменьшение характерных параметров субструктур. Такой ха-

Таблица 1

Типы переходов в дислокационных субструктурах [1]

Типы переходов (рс)-10-10, см-2

Хаотические Клубковые 0.2

Клубковые Ориентированные ячейки 0.2-0.5

Ориентирован- Разориентирован- 0.4-0.6

ные ячейки ные ячейки

Скопления Однородные сеточные субструктуры 0.2-0.3

Разориентирован-ные ячейки Полосовые сеточные структуры 0.5-2

Разориентирован-ные ячейки Полосовые структуры 3.0

Полосовые структуры Субструктуры с непрерывной разориентацией 3-4

рактер формирования дислокационных субструктур отражает признаки самоорганизации дислокационных ансамблей. Существование критических дислокационных плотностей, соответствующих образованию различных типов дислокационных субструктур, обсуждается в [1], где представлены типичные значения критических значений плотности дислокаций. Следуя данной работе, в таблице 1 приведены эти значения для сплава меди.

Как правило, переходам от одного типа дислокационных субструктур к другим предшествует появление флуктуаций дислокационной плотности. Рост этих флуктуаций приводит к изменению функции распределения плотности дислокаций, обусловленных возникновением второй фазы. Эти закономерности в эволюции дефектных субструктур дают основание для рассмотрения последних как независимых подсистем, возникающих в материале в процессе деформации. В этом случае в число независимых переменных состояния, наряду с температурой и напряжением, должны войти параметры порядка, характеризующие дислокационные субструктуры.

Представленные в [1] результаты также подтверждают роль коллективных эффектов в эволюции дислокационных ансамблей и выраженную «чувствительность» структурных превращений к изменению плотности дислокаций, но не к величине приложенных внешних напряжений. Это также находится в соответствие с предположением о существенном влиянии параметра плотности дислокаций, как независимой переменной состояния, на качественные изменения в структуре материала и механические свойства. Различные реакции материалов на нагружение, соответствующие различным участкам деформационной кривой, включая меха-

Таблица 2

1, мкм п, см-3

Материал Рентген Микро- скопия Рентген Микро- скопия

Алюминий 0.14 0.2 1011 -

Никель 0.08 0.1 1012 2-1012

Серебро, золото - 0.2 - 2-1011

Медь, цинк - 0.25 - 5-1011

Бериллий 0.12 - 5-1012 -

Сталь 30СгМСША - 0.1 - -

№С1 2 1-3 108-109 109

Полиэтилен - 0.015 - 6-1015

Полипропилен Полиметил- - 0.02 - 7-1014

метакрилат - 0.02 - 4-1012

лило оценить собственную энергию микротрещины [3,5]:

низмы упрочнения, по-видимому, имеют прямое отношение к превращениям в дислокационных субструктурах.

2.2. Ансамбль микротрещин

Из множества субдислокационных дефектов различных уровней, микросдвиги и микротрещины могут рассматриваться как наиболее представительные ансамбли на развитой стадии пластической деформации и разрушения. Дефекты других уровней (точечные дефекты, дислокации, дислокационные скопления) имеют меньшие значения энергий или внутренние упругие поля по сравнению с микротрещинами и микросдвигами. Однако зарождение и рост этих дефектов (которые наиболее близки к макроскопическому уровню) естественно связан с дефектами других уровней, играющих роль зародышей микротрещин (микросдвигов). Плотность этих дефектов достигает значений 1012-1014 см-3, но каждый из них представляет собой дислокационный ансамбль и обладает свойствами этого ансамбля. Сценарии эволюции ансамблей мезодефектов обнаруживают черты неравновесных кинетических переходов и экспериментальные данные, полученные в широком интервале интенсивностей и скоростей нагружения, подтверждают универсальность структурной эволюции и ее связь с релаксационными свойствами и разрушением.

В таблице 2 [3] приведены типичные размеры и концентрации микротрещин для различных материалов.

Важные особенности поведения ансамбля микротрещин были установлены для понимания закономерностей квазихрупкого разрушения, включая стадии дисперсного накопления повреждений, их локализации, зарождения трещин и их распространения. В частности, установлено, что микротрещины имеют дислокационную природу и представляют собой полое ядро дислокационного скопления. Модельное представление микротрещины как дислокационного скопления [4] позво-

^ R — 1п—

К г

Здесь ^ = ДОр — объем дискообразной микротрещины; В = пЬ — суммарный вектор Бюргерса; 5 р — площадь основания микротрещины; К0 = 4/3 г0 — объем зародыша микротрещины, г 0 — характерный размер дислокационного ядра; R — масштаб возмущения упругого поля микротрещиной. Оценки, представленные в [3, 4], показывают, что типичные величины дислокационных скоплений достигают значений п ~ 20.

Два аспекта важны при дислокационном рассмотрении микротрещин. Первый из них связан с определением энергии микротрещины как энергии дислокационного скопления. Второй — с определением вида микроскопического параметра, характеризующего микротрещину и отражающего локальное изменение симметрии поля смещений при зарождении и росте микротрещины.

Исследование распределения микротрещин и микросдвигов по размерам в деформированных материалах обнаружило черты статистической автомодельности в пространственных распределениях этих дефектов на различных масштабных уровнях, так называемую статистическую автомодельность (рис. 1) [6]. Статистическая автомодельность отражает специальный вид функции распределения данных дефектов на различных структурных уровнях, имеющей универсальный вид в некоторых безразмерных (автомодельных) координатах. Это свойство ансамбля позволяет упростить сложную многочастичную статистическую проблему поведения ансамбля дефектов и установить природу скейлинга, обеспечивающего статистическую автомодельность.

3. Параметры порядка континуума с дефектами

3.1. Некоторые результаты калибровочной теории

Подходы калибровочной теории широко используются в настоящее время для описания структуры и свойств материалов с дефектами, и связано это с тем, что зарождение и рост дефектов изменяют диффео-морфную структуру поля смещений. Используя формализм теории калибровочных полей (подход Янга и Миллса [7]), переменные, связанные с дефектами, могут быть введены как локализация соответствующей группы симметрии тензора дисторсии и рассматриваться как дополнительные кинематически допустимые для данной среды переменные. Структура так называемых калибровочных полей должна соответствовать определенным типам дефектов. Основой для применения калибровочной теории дефектов к рассматриваемым проблемам является установление внутренней группы симметрии для среды с дефектами. Большинство механических мо-

0.02 0.04 0.06 0.08 /, мкм 0.1 1 ///8С

Рис. 1. Распределения микротрещин и микросдвигов в размерных и безразмерных координатах: п — концентрация микротрещин; I — характерный размер; п5С, Ї5С — параметры скейлинга [6]

делей деформируемых сред обладает свойством инвариантности по отношению к однородной группе преобразований, связанных с трансляцией Т(3) и ротацией $0(3). Это означает, что лагранжиан системы инвариантен по отношению к преобразованиям

X ^ х’ = g(£, t) + т(£, t),

где х и £ — текущие и начальные координаты, g(£, t) и т(£, t) — операторы вращения и трансляции соответственно. Оператор дифференцирования должен быть также инвариантен по отношению к преобразованиям Т(3) и $0(3), что учитывается оператором ковариантной производной

^х = Эцх + Гцх + РИ ’

где Г^ и — дифференциальные операторы вращения и трансляции [7].

Для среды с дефектами однородность преобразований $0(3) и Т(3) нарушается, но в этом случае операторы Г^ и соответствуют локальным ротациям и трансляциям, связанным с дефектами. Внутренняя группа симметрии такой среды соответствует так называемому полупрямому произведению $0(3) > Т(3). Элементы Г^ и этой группы, являющиеся в данном случае функциями координат и времени, называются калибровочными полями.

Другой важный результат применения теории калибровочных полей к средам с дефектами связан с возможностью конструирования лагранжиана. Используя минимальное расширение, можно записать лагранжиан с двумя дополнительными независимыми переменными Г и [7]:

1

где

-^ги+г;г; -^ги,

- дvPv + - Ц>Рц + х

есть так называемые интенсивности калибровочного поля, относящиеся к локальным ротациям и трансляциям вследствие дефектов; gik — компоненты метрического тензора. Феноменологические параметры С1 и С2 в лагранжиане Ь — константы дислокационного взаимодействия.

Изменение диффеоморфной структуры поля смещений при появлении дефектов имеет важные следствия с точки зрения изменения симметрии системы. Этот симметрийный аспект может быть использован для мо-

делирования дефектов как в кристаллических, так и аморфных материалах без предположения о дислокационной природе дефектов, что традиционно связывается со структурой кристаллических материалов. Аналогичное (3) выражение для лагранжиана будет использовано в дальнейшем при статистическом анализе свойств ансамбля дефектов.

3.2. Микроскопические и макроскопические переменные для ансамбля микротрещин и микросдвигов

Структурные переменные, ассоциированные с микротрещинами и микросдвигами, были введены в [3] как аналоги тензоров дислокационной плотности. Эти дефекты описываются симметричными тензорами вида

% = (4) для случая дискообразных микротрещин и

sik = У2 )

для микросдвигов. Здесь V — единичный вектор нормали к основанию микротрещины или площадки сдвига; 1 — единичный вектор в направлении сдвига; я — объем микротрещины или интенсивность сдвига.

Усреднение микроскопического тензора дает макроскопический тензор плотности микротрещин и микросдвигов:

Pik = п

который совпадает по смыслу с деформацией, обусловленной дефектами, п — концентрация дефектов.

4. Статистическая модель среды с дефектами

4.1. Метод эффективного поля

Метод эффективного поля часто используется в теоретических моделях для введения некоторого вспомо-

гательного поля (реального или мнимого) с целью учета

эффектов взаимодействия, когда последние не могут быть оценены точно или даже неизвестны в деталях. В нашем рассмотрении определение «метод эффективного поля» означает, что мы используем некоторое вспомогательное многокомпонентное поле, сконструированное таким образом в дополнение к соответствующим членам в лагранжиане, что обеспечивается равновесное состояние системы в любой момент времени. Эта идея обеспечила приемлемую аппроксимацию при рассмотрении ряда проблем.

Метод эффективного поля был использован в [8] применительно к проблемам статистической физики как развитие идеи Леонтовича об определении термодинамического состояния системы вдали от равновесия [9]. В соответствии с этой идеей произвольное неравновесное состояние системы, которая характеризуется некоторым набором внутренних переменных, может рас-

сматриваться как равновесное состояние с тем же набором переменных внутреннего состояния при действии на систему некоторого дополнительного поля. Энтропия неравновесного состояния также соответствует энтропии равновесного состояния, характеризуемого теми же значениями переменных состояния системы, но в присутствии дополнительного силового поля.

Рассмотрим микроскопическую кинетику параметра 5^, определяемую уравнением Ланжевена

sik = Кк

где Кк = ЭЕ/дsik; Е — энергия дефекта; — случай-

ный вклад в силовое поле, действующее на выделенный дефект и удовлетворяющее условиям (0^ = 0

и ((0^*^)) = Q&(t - О. Параметр Q характеризует среднее значение исходного энергетического рельефа системы (энергию зародышей дефектов), определяемого исходной дефектной структурой материала.

Статистическая модель поведения ансамбля дефектов была развита в [2, 3] на основе решения уравнения Фоккера-Планка для функции распределения Ж (я, V, 1) в фазовом пространстве возможных размеров я и ориентаций дефектов (V, 1):

Л Л 1^2

— Ж =-------КкЖ + - Q-----------Ж.

д ^к 2

В соответствии с подходом Леонтовича неравновесное состояние системы может рассматриваться как равновесное в присутствии некоторого эффективного поля а решение уравнения Фоккера-Планка может быть представлено в виде, аналогичном распределению Гиббса Ж = 2_1 ехр(- Е/0, где Е — энергия системы в присутствии эффективного поля; 2 = = | ехр( Е/0ё.у ё3у ё31 — нормализующий множитель.

Как это следует из (8), статистические свойства ансамбля дефектов могут быть описаны после определения энергии дефекта (в присутствии эффективного поля) и дисперсионных свойств системы, определяемых значением Q. В терминах микроскопических и макроскопических переменных, характеризующих дефекты как дислокационные субструктуры, энергия дефектов может быть записана в форме, являющейся частным видом лагранжиана (3):

Е = Е0 - Н1А + а4 >

где квадратичный член представляет собственную энергию дефекта (2) и слагаемое Н^Л описывает вклад в энергию, соответствующий взаимодействию дефекта с действующим на него эффективным полем НЛ. С целью упрощения рассмотрения поведения системы будем следовать предположению о виде эффективного поля как «среднего» поля, т.е. пропорционального внешнему полю напряжений и напряжению «среднего» поля:

О а1 ас а

Рис. 2. Характерные реакции материалов на рост дефектов

н1к = СТк + хР<к = стik + Хп

где а, X — параметры материала. Процедура усреднения приводит к уравнению самосогласования, определяющему зависимость макроскопического тензора плотности дефектов (деформации, обусловленной дефектами) от величины внешних напряжений, исходной структуры и взаимодействия дефектов:

Р1к = п/

Для безразмерных переменных р к = 1/ пд/ООРк,

% = лЮ~О81к, ст к =ст ^/д/Оа уравнение самосогла-сования принимает вид

который включает единственный безразмерный материальный параметр 8 = а/Лп. Размерностный анализ позволяет получить следующую оценку параметров материала, входящих в лагранжиан:

а ~ —, X ~ в, п ~ Я_3.

Vo

Здесь в — сдвиговой модуль упругости; У0 ~ г03 — характерный объем зародышей дефектов; Я — расстояние между дефектами. В результате для 8 получается оценка 8 ~ (Я/го)3, что находится в соответствии с выдвинутой в [6] гипотезой статистической автомодельности распределения дефектов на различных структурных уровнях в процессе деформации.

Решение уравнения самосогласования (12) получено в [2] для случая одноосного растяжения и чистого сдвига образца (рис. 2) и показано существование характерного нелинейного поведения ансамбля дефектов в определенных интервалах 8 (8 > 8* ~ 1.3, 8с < 8 < 8*, 8 < 8с ~ 1), где 8с и 8* — точки бифуркаций решений.

Было установлено также, что указанные интервалы 8 соответствуют квазихрупкой (8 < 8с ~ 1), пластической (8с < 8 < 8*) и нанокристаллической (8 > 8* ~ 1.3) реакциям материалов. Как следует из этих решений, поведение ансамблей дефектов в различных интервалах 8 качественно различное. Переход от устойчивой реакции материала для мелкозернистых материалов (8 > 8* ~ 1.3) к пластической для промежуточных размеров зерен (8с <8 <8*) происходит при значении 8 = 8* ~ 1.3, когда взаимодействие между ориентационными модами дефектов становится существенным и возникают условия для формирования коллективной ориентационной моды в условиях так называемого ориентационного перехода. Эти переходы сопровождаются появлением пространственно-выделенных структур — областей локализованного сдвига, содержащих сильно упорядоченные ансамбли дефектов. Появление пространственно-локализованных структур может рассматриваться как формирование новой гетерогенной структуры материала, что должно, в свою очередь, приводить к изменению исходных структурных масштабов: г0 ^ Ln, Я ^ Lc, где Ln — масштаб областей локализованного сдвига, Lc — расстояние между этими областями. Текущая восприимчивость материала к росту дефектов, определяемая величиной 8, должна в этом случае определяться текущими значениями структурных масштабов, т.е. 8 = ^с/ Ln)3. Показано также, что указанные масштабы определяются нелинейной кинетикой тензора рк и, таким образом, распределение плотности дефектов определяет структурную восприимчивость к их дальнейшему росту. Так как формирование масштабов Ln и Lc означает «огрубление» исходной структуры, то общая тенденция сводится к уменьшению величины 8, что позволяет высказать предположение о механизме пластичности как о последовательном ориентационном переходе в ансамблях формирующихся субструктур дефектов. Характерным признаком такого перехода является выраженная пространственная локализация субструктур дефектов в объеме образца,

і 1 1— 1 \ ^ 1 1 Жа1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 !

Р1 см О. о О. а° и Р

Рис. 3. Зависимость свободной энергии от напряжения и плотности дефектов для 8 < 8 с ~ 1

Рис. 4. Типы гетероклиник и соответствующие собственные формы

сопровождающаяся, как это будет в дальнейшем показано, появлением новых пространственно-временных масштабов.

Наличие второй точки бифуркации 8 с = 1 (рис. 3) соответствует переходу к качественно новой нелинейной реакции материала на рост дефектов, характеризуемой локализованным неограниченным ростом дефектов, который связывается с зарождением очагов макроскопического разрушения.

5. Коллективные свойства ансамблей дефектов

5.1. Феноменология твердых тел с дефектами. Свободная энергия

Статистическое описание позволило предложить феноменологию твердого тела с дефектами, основанную на соответствующем представлении свободной энергии F. Принимая во внимание уравнение (11), эквивалентное уравнению дF / др = 0, простое феноменологическое представление части свободной энергии, обусловленной дефектами (для случая одноосной деформации р = р22, а = а ^, 8 = 8 ^), дается шестым порядком разложения, подобным хорошо известному разложению Г инзбурга-Ландау [11]:

Е = 1/2 А(1 -8/8,)р2 -1/4 Вр4 +

+1/6 С(1 -8/8с)Р6 - Вар + Х(Ур)2.

Точки бифуркации 8,, 8с играют роль, аналогичную характеристическим температурам в теории фазовых переходов Ландау. Градиентный член в (13) описывает эффекты нелокальности в ансамбле дефектов в так называемом длинно-волновом приближении; А, В, С, О и х — феноменологические параметры. Кинетическое уравнение, описывающее эволюцию дефектов, является следствием эволюционного неравенства [5]

= 8Е ф < 0

8t 8р & ,

выполнение которого приводит к уравнению движения для тензора плотности дефектов.

ф=-г &

( г я

1 -А 8,

V V *у

р - Вр3 + С

я л

1 -А

8с

с

р 5 -

- Оа-—

дх]

Г др

дх]

V ] ))

где Г — кинетический коэффициент.

Кинетическое уравнение (15) и уравнение для полной деформации

8 = Са + р

(С — тензор упругих податливостей) представляют систему определяющих уравнений упругого тела с дефектами рассматриваемого типа.

5.2. Коллективные свойства ансамблей дефектов

Как следует из решений уравнений (11), представленных на рис. 2, переходы через точки бифуркации 8 с и 8, приводят к резкому изменению симметрии функции распределения и, как следствие, появлению определенных ориентационно-выраженных макроскопических мод тензора рк. Влияние указанных переходов на эволюцию ансамбля дефектов определяется типом бифуркации — групповыми свойствами уравнений движения для тензора рк для различных областей изменения 8 (8 > 8,, 8с < 8 < 8,, 8 < 8с). Качественный анализ поведения системы может быть проведен на основе исследования гетероклиник (рис. 4), являющихся решениями уравнения

1

8

1

8

- Оа- —

дх]

х

др

дх]

= 0.

В области 8 > 8, это уравнение имеет эллиптический тип с периодическими решениями на пространст-

8

8

венном масштабе Л и анизотропией, определяемой в основном приложенными напряжениями. Решения имеют вид слабых осцилляций поля деформаций. При 8^8, решение уравнения (17) «переходит» в сепарат-риссу S2 и периодическое решение трансформируется в решение автосолитонного типа р(£) = р(х - Vt). Этот переход сопровождается расходимостью внутреннего масштаба Л : Л ~ - 1п(8 - 8,). Амплитуда волны, ее ширина и скорость волнового фронта определяются параметрами неравновесного ориентационного перехода

1

p = 2 pa [І - tahn(Zl І)],

l = ± ( 2 -X

pa і A

І/2

V = ХА(Ра - Рш)/2С2,

где (ра - рт) — скачок величиныр в ходе ориентационного перехода. Переход через точку бифуркации 8С (сепаратрисса ) сопровождается появлением пространственно-временных структур качественно-нового типа, описывающих «взрывное» накопление дефектов (так называемые режимы с обострением [12, 13]) при t ^ tc на спектре пространственных масштабов.

Предполагая степенной закон для «источника» и коэффициента нелокальности при р > рс, кинетическое уравнение (15) может быть записано в форме

І7 ' S (p‘> p"+i (хо( pc) ptt1,

где ю = 5/3. Для данного типа уравнений, как показано в [12, 13], развитая стадия кинетикир при t ^ tc описывается автомодельным решением

ґ

ф(t) = Ф О

І--

где т > 0, Ф0 > 0 — параметры, определяемые показателями нелинейности в (19); Lc и tc — параметры скей-линга. Функция f (£) может быть определена в ходе решения нелинейной задачи на собственные значения. Например, для случая ю = в +1 автомодельное решение уравнения (19) имеет вид

p(x, t) = [S(t-tc)]-VPx

ґ

2(P +1) P(P + 2)'

sin

nx „

---+П0

W/p

где 0 является случайным значением в интервале (0, 1). Масштаб Lc, так называемая фундаментальная длина [13], имеет смысл пространственного периода решения (20):

L = у ((Р+ 1)XoS Ч)1/2.

Автомодельное решение (20) описывает кинетику накопления повреждений в режиме взрывной неустойчивости при t ^ tc на спектре пространственных масштабов LH = kLc, k = 1, 2, ...,K. «Подчинение» кинетики дисперсного разрушения режиму с обострением позволяет связать механизм зарождения очагов макроскопического разрушения с установленными автомодельными диссипативными структурами.

6. Коллективное поведение дефектов и трещин

6.1. Предварительные замечания

Взаимодействие макроскопической трещины с ансамблем дефектов является предметом интенсивных экспериментальных и теоретических исследований, которые установили ряд закономерностей квазихрупкого разрушения, находящихся в противоречии с традиционными предсказаниями механики трещин. Открытой до настоящего времени проблемой является оценка предельной скорости распространения трещин. В отличие от предсказаний линейной механики трещин, в соответствии с которыми предельная скорость трещин ограничена скоростью волны Рэлея VR, эксперименты на хрупких материалах [14] показывают, что предельные скорости трещин не достигают значений и в половину теоретически предсказываемых. Влияние диссипативных процессов на кинетику трещин было исследовано в [5, 15], где основная роль в объяснении качественно новых эффектов принадлежала коллективным модам в ансамбле дефектов и взаимодействию этих мод с движущейся трещиной. В настоящем разделе обсуждаются вопросы нелинейной динамики трещин, демонстрирующие качественно новые черты поведения трещин, обусловленные взаимодействием трещин с ансамблем дефектов в так называемой зоне процесса разрушения (process zone) — области, прилегающей к вершине трещины. Современные экспериментальные данные указывают на существование предельной скорости прямолинейного распространения трещин, соответствующей переходу к динамической неустойчивости и микроветвлению [16, 17], формированию шероховатой поверхности разрушения [18], что сопровождается резким изменением энергии разрушения (диссипативными потерями) с ростом скорости трещины [19]. Эти расхождения и являются причиной устойчивого интереса к проблеме взаимодействия дефектов в окрестности вершины с движущейся трещиной. До настоящего времени открытой является проблема остановки трещин и, в

x

К = а4т.

Рис. 5. Представление энергии упругого материала с трещиной по Гриффитсу

частности, вопрос о характере изменения скорости трещины («жесткий» или «мягкий» режим) [20]. Открытым также является вопрос о том, каким образом трещина достигает устойчивого режима распространения.

6.2. Некоторые результаты механики трещин

Проблема быстрых трещин в хрупких материалах заставила исследователей обратиться к основам теории, заложенным классическими работами Мотта и Гриффитса [22, 23] и последующими исследованиями [24, 25, 26], посвященными феномену разрушения, где изучается распространение трещин, инициируемое приложенными силами.

С целью изучения проблемы устойчивости трещин и взаимодействия магистральной трещины с ансамблем дефектов в «зоне процесса» рассмотрим кратко классические результаты механики трещин, полученные в предположении, что среда является линейно-упругой. Важный шаг в понимании проблемы хрупкого разрушения был сделан Гриффитсом [22], когда дополнительные характеристики сопротивления распространению трещины были введены в виде энергии образования новых поверхностей в вершине трещины. В теории Гриффитса вводится энергия упругого материала с трещиной в следующем виде (рис. 5, кривая 1):

и = -

а

20

па

+ 2 уа,

где у — поверхностная энергия; а — приложенное к плоскому образцу растягивающее напряжение; а — длина трещины; О — упругий модуль.

Ирвин [24] развил концепцию Гриффитса и предложил силовую версию проблемы устойчивости трещин, введя понятие коэффициента интенсивности напряжений

Баренблатт [25] предложил вариант силовой концепции, который включал рассмотрение когезионных сил 0В(^), действующих в некоторой области 0 < s < d вершины, где берега трещины плавно смыкаются. Эти силы имеют микроскопическую природу и их присутствие снимает сингулярность поля напряжений. Две гипотезы были введены Баренблаттом:

1. Малость размера когезионной области по сравнению с длиной трещины (^а << 1).

2. Автономное поведение вершины трещины, основанное на автомодельном законе эволюции вершины трещины при устойчивом движении.

Автомодельные признаки поведения вершины трещины являются следствием малой величины отношения приложенного напряжения а и когезионных сил 0В: а/0В << 1. Этот факт отражает промежуточно-асимптотический характер теории квазихрупкого разрушения и, как следствие этого, был введен независимый материальный параметр — модуль сцепления КВ = 0В4й. Несмотря на подобную форму когезионного модуля КВ и коэффициента интенсивности напряжений К1, существует разница между критерием Ирвина и когезионным модулем, предложенным Баренблаттом. С когезионным модулем связана возможность устойчивого распространения трещин, в отличие от катастрофического, соответствующего модели Гриффитса-Ирвина. Качественная разница между обсуждаемыми подходами может быть показана, принимая во внимание замечание Френкеля [27] при его критическом анализе подхода Гриффитса. Френкель отмечал, что физически реалистичная форма энергии материала с трещиной и должна содержать локальный минимум ие(ае) (рис. 5, кривая 2). Разность Ли = ис - ие определяет работу поля напряжений в «зоне процесса» при переходе от устойчивого к неустойчивому режиму распространения трещины. Величина работы обеспечивает преодоление этого барьера. Естественно предположить, что когезионный модуль является силовой версией этого барьера. В дальнейшем будет показано, что метастабильная форма выражения для энергии, предложенная Френкелем, имеет отношение к коллективному поведению ансамбля дефектов в зоне процесса и взаимодействию этих дефектов с трещиной.

6.3. О механизме неустойчивости трещин

Классическая теория разрушения рассматривает трещины как математический разрез, который начинает двигаться, когда бесконечно малое продвижение трещины приводит к большему освобождению энергии, чем это необходимо для образования свободной поверхности. Это предположение справедливо для некоторых практических случаев, но концептуально является не-

полным и эксперимент не подтверждает в большинстве случаев эту идеализированную картину. Поверхности, образуемые трещиной, как правило, не являются гладкими и плоскими. Ряд экспериментов по хрупкому разрушению обнаруживает одновременное распространение ансамбля микротрещин вместо распространения единичной трещины [15]. Процесс разрушения рассматривался в [17-20] как коалесценция дефектов, расположенных в окрестности траектории распространения трещины, при этом отмечалось резкое падение ускорения трещины, появление осцилляций скорости и формирование структур на поверхности разрушения. При росте областей коалесценции формируются дочерние трещины, обеспечивающие процесс ветвления основной трещины.

Теоретическое объяснение существования предела устойчивого распространения трещины предложено в [28-30] при исследовании нелинейных особенностей поведения ансамбля микротрещин в зоне процесса. Было показано, что решение эволюционного уравнения для тензора плотности микротрещин включает образование пространственно-временных структур — диссипативных структур с «обостряющейся» кинетикой роста поврежденности, которые являются предвестником зарождения дочерних трещин. Кинетика зарождения последних определяется автомодельным решением

р(х, 0 = фО)/(О,

С = х/4,

ф^) = Ф 0(1 - УО-т, включающим два параметра пространственного Lc и временного tc масштаба, которые могут быть определены решением соответствующей задачи на собственные значения [12, 13, 29]. По физическому смыслу эти параметры определяют масштаб локализации разрушения Ьс и так называемое время обострения tc, которое является временем существования режима «с обострением». Критическая скорость Ус перехода от устойчивого к нерегулярному режиму распространения трещин дается отношением Ус ~ Ьс/tc. В разделе 5 было показано, что спектр пространственных масштабов Ьн (размеров дочерних трещин) пропорционален Ьс и соответствует набору независимых координат (коллективных мод ансамблей дефектов), определяющих поведение нелинейной системы при а > ас. Эти координаты характеризуют свойства второго аттрактора, который «подчиняет» при определенных условиях поведение нелинейной системы. Первый аттрактор соответствует хорошо известному решению (23), определяющему автомодельное (промежуточно-асимптотическое) распределение напряжений в окрестности вершины трещины. Это решение является основой введения понятия коэффициента интенсивности напряжений. Это решение

справедливо в присутствии метастабильности (локального минимума) для p в области ст < ctc. Устойчивый режим распространения трещин реализуется в случае, когда распределение напряжений обеспечивает время разрушения tf > tc = LC /VC . Время разрушения tf следует из уравнения (15) и представляет сумму времени индукции t; (времени приближения распределения дефектов к автомодельному распределению на масштабах LH = kLc) и времени обострения tc: tf = t; + tc. Для скорости V < VC время индукции t; >> tc и дочерняя трещина возникает в направлении исходной ориентации трещины, соответствующей максимуму распределения напряжений. Для скоростей V ~ VC возникает критический режим (t; ~ tc), при котором возникают множественные очаги зарождения дочерних трещин в окрестности направлении распространения основной трещины. Рост скорости трещины в диапазоне V > VC (при увеличении уровня приложенных напряжений) приводит к резкому уменьшению времени индукции ti ^ 0, tf ^ tc, что сопровождается увеличением зоны процесса в обоих направлениях (продольном и тангенциальном) и ветвлением трещины. Последняя ситуация качественно подобна резонансному возбуждению множественных очагов разрушения (зеркальных зон) при откольном разрушении, но в условиях неоднородного поля напряжений в окрестности вершины трещины для угловых значений с напряжениями ст > ctc.

6.4. Экспериментальное изучение нелинейной динамики трещин

Прямое экспериментальное исследование динамики трещин проводилось в предварительно нагруженном плоском образце полиметилметакрилата (ПММА) с использованием высокоскоростной камеры Remix REM 100-8 (время задержки 10 мкс) и поляризационно-оптического метода (рис. 6) [29-31].

Картины распределения напряжений в окрестности вершины трещины представлены на рис. 7 для «медленных» (V < VC) и «быстрых» (V>VC) трещин. Эксперименты показали, что переход через критическое значение скорости VC сопровождается появлением волновых картин напряжений, индуцированных растущими дочерними трещинами в зоне процесса. Независимая оценка критической скорости трещины, проведенная в ходе прямых измерений координаты ее вершины, и величины допплеровского смещения волновых картин напряжений, показала, что значение критической скорости близко к значению VC ~ 0.4VR, установленному в [16].

6.4.1. Характерные скорости трещины

Влияние начального напряжения на скорость трещины представлено на рис. 8.

Три участка с различным наклонами могут быть выделены на рис. 8, которым соответствуют три различ-

Рис. 6. Схема эксперимента

ные характеристические скорости: скорость перехода от устойчивого к немонотонному прямолинейному режиму VS ~ 220 м/с, скорость перехода к режиму ветвления Ус ~ 330 м/с и скорость перехода к автономному режиму распространения ветвей ¥В ~ 600 м/с. Характерная скорость Ус ~ 330 м/с позволяет нам оценить время «обострения», измеряя размер зеркальных зон Ьс ~ 0.3 мм: tc = Ьс/¥с ~ 1-10-6 с. Этот результат позволяет также объяснить линейную зависимость длины ветвей Ья = Ьсk от скорости трещины [20]. Действительно, поскольку время разрушения для V > Ус практически постоянно (tf ~ tc ~ 1 мкс), существует единственный вариант для системы увеличить скорость распространения трещины — увеличение размера зоны процесса разрушения Ьрх ~ Ья. Скорость трещины У связана с размером зоны процесса разрушения соотношением V = £Р2 /1с. Вследствие того, что длина ветвей ограничена размером зоны процесса разрушения, мы получаем линейную зависимость длины ветвей от скорости трещин. Этот результат объясняет резкую зависимость (квадратичный закон) диссипации энергии от скорости трещины, установленный в [20]. По результатам

эксперимента была установлена также зависимость концентрации зон локализованного разрушения от величины напряжения (рис. 9).

6.4.2. Автомодельные свойства процесса разрушения

Автомодельные свойства процесса разрушения вызывают большой интерес в связи с общими проблемами в физике неупорядоченных систем, когда была установлена самоафинность поверхности разрушения в терминах универсальности, так называемой экспоненты шероховатости. Самоафинность поверхности разрушения впервые была показана Мандельбротом [32] как существование степенного закона зависимости шероховатости ^г) от расстояния г, измеренного вдоль горизонтальной плоскости от некоторой точки до вершины профиля шероховатости: ^г) ^ г^. Показатель степенного закона — параметр скейлинга (или автомодельности) получил название индекса шероховатости или показателя Херста [33]. Экспериментальные данные последних десятилетий по измерению показателя шероховатости подтвердили самоафинность поверхности разрушения, которая может рассматриваться как масштабно-инвариантный объект. Для многих материалов установлен диапазон масштабов г > г0, для которых показатель шероховатости является постоянным и близким к значению С ~ 0.8. Для масштабов г < г0 показатель может существенно изменяться. Свойства масштабной инвариантности для г > г0 отражают переход от статистики, обусловленной исходной структурной гетерогенностью (размерами блоков, зерен) к статистике, обусловленной коллективными свойствами дефектов при переходе от дисперсного накопления повреждений к разрушению.

В проведенных экспериментах профиль шероховатости определялся для поверхности разрушения образца полиметилметакрилата с использованием лазерной сканирующей системы (рис. 10). Анализ поверхности разрушения установил соответствие резких изменений в динамике трещины для скоростей Ус и УВ и данных фрактографии. Фрактографические особенности поверхности разрушения были изучены в диапазоне ско-

V < Vc

V > V с

Рис. 7. Различные режимы динамики трещин

Рис. 8. Зависимость скорости трещины от напряжения

Рис. 9. Зависимость концентрации зеркальных зон от напряжения

ростей V~ 300-800 м/с, когда наблюдались различные режимы распространения трещин.

Первый режим V ~ 220-300 м/с характеризуется «зеркальной» поверхностью разрушения (рис. 11). Увеличение скорости трещин в этом диапазоне приводит к характерным структурам на зеркальной поверхности разрушения, так называемым коническим следам [34]. Конические следы представляют собой следы сопряжения зон локализованного разрушения, зарождающихся в зоне процесса разрушения в окрестности вершины трещины.

Второй режим возникает в диапазоне скоростей 300-600 м/с и поверхность разрушения включает множественные зеркальные зоны. Анализ данных шероховатости в терминах показателя шероховатости показывает зависимость масштабной инвариантности от режима распространения трещин. Была установлена также группа образцов с показателем С ~ 0.8. Этот факт позволяет предположить существование режима распространения трещины с универсальным показателем скей-линга, близким к 0.8. Существование различных показателей скейлинга для других режимов распространения трещин отражает разнообразие поведения исследуемой нелинейной системы.

Как было показано выше, динамика трещин в квази-хрупких материалах определяется влиянием двух аттракторов. Первый аттрактор определяется промежуточно-асимптотическим решением, описывающим распределение напряжений в упругом материале в окрестности вершины трещины. Автомодельное решение (24), описывающее кинетику дисперсного разрушения в режиме «с обострением» на спектре пространственных масштабов, определяет свойства второго аттрактора. Этот аттрактор контролирует поведение системы для

V > ^В в диапазоне углов, где а > ас. В переходной области скоростей ^В > V > Vс проявляется влияние

обоих аттракторов. Последнее может рассматриваться как причина дисперсии при вычислении показателя шероховатости для масштабов г > г0.

Автомодельные свойства процесса разрушения изучались также в ходе высокоскоростной записи динамики напряжений с использованием поляризации лазерного луча (рис. 12).

Нелинейная динамика системы исследовалась в ходе записи уровня напряжений в точке, расположенной на расстоянии 4 мм от основного направления распространения трещины при приближении последней к данной точке. Это позволило изучить корреляционные свойства системы при построении фазового портрета (сечения Пуанкаре) в координатах а ~ а для медленных и быстрых трещин (рис. 13). Эти портреты обнаружили «периодическую» динамику напряжений (рис. 13, а), соответствующую первому типу аттрактора для V < Vс, и стохастическую динамику для V > Vс (рис. 13, б), относящуюся ко второму аттрактору. В переходной области

Длина, мм

Рис. 10. Профиль шероховатости поверхности разрушения в ПММА

Рис. 11. Поверхность разрушения для медленных (V < Ус) (а) и быстрых (Ув > V > Vc) (б) трещин

V ~ V- имеет место сосуществование двух аттракторов, что может рассматриваться как причина эффекта перемежаемости и дисперсии показателя шероховатости.

Запись временной динамики напряжений в интервале скоростей V > VC обнаружила возникновение конечно-амплитудных флуктуаций напряжений, что отражает качественные изменения, происходящие в зоне процесса разрушения перед вершиной для «быстрых» трещин (рис. 14).

Автомодельные (скейлинговые) свойства, характеризующие указанные аттракторы, изучались на основе вычисления корреляционного интеграла по координатам фазового портрета с использованием соотношения [35]:

1 т / \

с(г) = Нт—- ^н(г — х -Xj |) = г*

тт {, j=1 1 1

где х(, Xj — координаты точек в а ~ а-пространстве; Н(...) — функция Хевисайда. Существование масштабов г > г0 со стабильными корреляционными индексами V было установлено для V < VC и Ув > V > V с (рис. 15). Значение корреляционных индексов в этих режимах показало существование двух режимов скей-линга с детерминированной (V = 200 м/с, V ~ 0.8) и стохастической (V = 426.613 м/с, V ~ 0.4) динамикой. Протяженность участков с постоянными корреляционными индексами имеет качественное отношение к характер-

Рис. 12. Экспериментальная схема записи фазового портрета напряжений

ному размеру зоны процесса разрушения ЬРТ. Масштаб зоны процесса увеличивается с ростом скорости трещины в диапазоне ¥в > V > Vс. Численное моделирование кинетики разрушения в зоне процесса позволяет сделать вывод, что изменение закономерностей скей-линга является следствием подчинения кинетики разрушения коллективным модам разрушения, представляющим собой набор диссипативных структур, описывающих динамику дисперсного разрушения на спектре пространственных масштабов в зоне процесса разрушения [29-31].

а, МПа/мкс1 2 0 -2 1 а •• • • • • • • • • иг ; 9 • •. •• ••99 ©  • © 1 1 1 ^

10 20 а, МПа

а, МПа/мкс ‘ б

5 - © © 9 В ©5»*  © ^

0 _  а 44 # 1 *{’• 4 • 9 9

-5 Ф * 1 1  1 ^

20 40 а, МПа

Рис. 13. Сечение Пуанкаре для фазовых переменных а ~ а: V = = 200

Рис. 14. Динамика напряжений

6.5. Остановка трещин

В данном разделе делается попытка анализа условий динамического торможения трещин при приближении скорости к нулевому значению. Эта проблема обсуждается в [21] в рамках упрощенной постановки (образец в виде полосы со свободными границами), когда было получено решение, описывающее снижение скорости трещины по корневому закону от величины приращения напряжения, превышающего критическое напряжение Гриффитса. Это означает, что устойчивое увеличение скорости трещины происходит с бесконечной крутизной при сколь угодно малом превышении напряжения Гриффитса и сменяется плавным нарастанием при последующем нагружении. Было также показано, что если трещина не обладает инерцией в силу свойств окружающего ее поля, превышение порога приводит к движению трещины. Однако, если трещина обладает инерцией, скорость трещины в переходном режиме обнаруживает осцилляции. Аналогичное заключение было сделано при оценке скорости трещины по соотношению

Г = ^(Ее - 2у)/(С(*,)),

где w — размер когезионной зоны по Баренблатту [21]; Ее - 2у — так называемый статический фактор по Гриффитсу; С^) — материальный параметр. Принимая во внимание, что w аналогичен Ьр:1 ~ Ья, можно сделать вывод, что значение, определяемое квадратным корнем, является обратной величиной характерного времени ґ с — параметра рассмотренного выше автомодельного решения. Этот результат позволяет определить диапазон скоростей, для которого справедливы обобщенные соотношения Гриффитса, описывающие плавную остановку трещин: V < Гс. Для V > Гс, когда «волновая» часть энергии возрастает с ростом скорости трещины, остановка трещин происходит неплавно.

7. Резонансное возбуждение разрушения

7.1. Волны разрушения

Волны разрушения в хрупких материалах являются объектом интенсивных исследований на протяжении последних двух десятилетий. Термин «волна разрушения» был введен в [37] как предельный случай накопления поврежденности, когда в ансамбле микросдвигов возникает когерентное поведение в виде структуры с фронтом, распространяющимся с некоторой групповой скоростью. Этот фронт разделяет структурированный материал и полностью дисперсно-разрушенный материал. Важной чертой волн разрушения является экспериментально установленный признак, что скорость распространения волн разрушения не согласуется со скоростью распространения единичной трещины, имеющей теоретический предел, равный скорости волн Рэлея.

Запасенная упругая энергия материала является основным фактором, который определяет способность хрупкого тела к генерации волн разрушения. Высокий уровень запасенной упругой энергии может быть создан в ходе объемного сжатия или в условиях, близких к объемному сжатию, например при ударном нагружении.

Возможность запаса высокой плотности упругой энергии может обеспечиваться при удалении приповерхностных дефектов, а также при структурной гомогенизации. Такие хрупкие материалы, как стекла и керамики, обнаруживают очень высокую динамическую прочность на сжатие, предел упругости Гюгонио [38]. Известны случаи, когда в стеклах с высокой прочностью волны разрушения наблюдались не только для сжатия, но также для изгиба и растяжения.

Разоренов с соавторами [39] впервые наблюдали явление замедленного разрушения при прохождении упругой волны в стеклах. Аналогичные волны рассматривались также в [40], где понятие волн разрушения обсуждались для объяснения природы предела упругости Гюгонио. Существование волн разрушения было

Рис. 15. Корреляционный интеграл

установлено на стекле К19 с использованием системы VISAR по малому уменьшению давления вследствие разгрузки, происходящей при отражении ударной волны от тыльной поверхности стеклянного образца и последующего отражения от движущейся границы раздела (фронта волны разрушения), отделяющей структурированный материал от среды с низким акустическим импедансом. Последующие эксперименты установили, что волны разрушения распространяются в стеклах за упругой волной сжатия со скоростью фронта, близкой 1.5— 2.5 км/с, и представляют собой специальную моду разрушения, в которой материал теряет свою прочность позади распространяющегося фронта. Измерения показывают, что прочность на растяжение (откольная прочность) сохраняется после фронта упругой волны сжатия (но до фронта волны разрушения) и уменьшается практически до нуля за фронтом волны разрушения. Сдвиговая прочность при этом резко изменяется от высокого значения перед фронтом до низкого позади него. Высокоскоростная видеозапись [42] показывает также резкое увеличение рассеяния света за фронтом волны разрушения. Регистрация этих характеристик материала позволила провести измерение скорости волны разрушения [43]. Сопоставление этих данных с прямой скоростной видеозаписью явилось основой вывода [38, 44] о постоянстве скорости распространения фронта волны разрушения. Качественные изменения в силикатных стеклах за фронтом волны разрушения, регистрируемые по рассеянию света, позволили провести аналогию структурных изменений в волне разрушения со структурными фазовыми переходами [45]. Эти результаты явились в [46] основой для разработки феноменологической модели, которая описывала распространение фронта разрушения как движущуюся фазовую границу. В соответствии с этой моделью зарождение и распространение волны разрушения происходит в ударной волне вследствие образования сдвиговых дефектов в окрестности неоднородностей.

В целом, интерес к объяснению природы волн разрушения обусловлен проблемами физической интерпретации традиционно используемых динамических характеристик материала, таких как предел упругости Гю-гонио, динамическая прочность, релаксация упругого предвестника.

Связь феномена волн разрушения с генерацией специфических (обостряющихся) коллективных мод (автомодельных решений) в ансамбле мезодефектов обсуждается в [47-49]. Показано, что кинетика зарождения и роста микросдвигов носит характер неравновесного перехода в ансамбле мезодефектов и существование автомодельных решений для развитой стадии неравновесного перехода позволяет интерпретировать возбуждение волн разрушения как специфическую форму нелинейного резонанса, когда прохождение ударной вол-

ны приводит к формированию автомодельного (обостряющегося) профиля в ансамбле микросдвигов.

7.2. Автомодельное решение

Уравнение (15) описывает характерные стадии эволюции поврежденности. Для напряжений а < ас и плотности дефектов р < рс кинетика поврежденности подчиняется «термодинамической ветви» 0а, соответствующей локальным минимумам свободной энергии (рис. 2, 3). При приближении напряжений к критическому значению ас (р ^ рс) свойства кинетического уравнения (15) изменяются качественно (от эллиптического типа к параболическому) и кинетика накопления повреждений на развитой стадии подчиняется специфическим пространственно-временным структурам, которые зарождаются в ансамбле дефектов в результате взаимодействия между дефектами [12]. Динамика этих структур описывает локализацию поврежденности и зарождение очагов разрушения.

Пространственно-временные структуры соответствуют автомодельному решению

1 Р - (ю +1) =

в-1

_ё_ d I

г ю df 7 d £

Условия для f на фронте £у диссипативной структуры и условие симметрии в центре структуры имеют вид:

£ = ^: 7 = 0, Г Цг = 0, £ = 0: 7ю = 0.

Мы предполагаем, что плотность дефектов в диссипативной структуре превышает существенно плотность дефектов вне очага разрушения. Несовпадение числа условий (27) и дифференциального порядка уравнения (25) отражает типичную для автомодельных решений ситуацию: решение существует только для характерных значений £ у = £ у, то есть возникает задача на собственные значения для £ у. Метод решения данной проблемы был предложен в [13], что позволяет оценить £ у

и, таким образом, решить задачу о распространении фронта разрушения:

в-ю+1

хг =^хГ* 2(в-1) ґ2(в-1).

Уравнение (28) описывает три автомодельных режима в зависимости от соотношения параметров, определяющих нелинейные свойства среды. Если свойства ма-

ю

Рис. 16. Время разрушения ^ ударно-нагруженного полиметилметакрилата (1) и ультрафарфора (2) для различных амплитуд напряжений а а

териала и уровень напряжений обеспечивают кинетику роста поврежденности с параметрами в > м +1, фронт волны разрушения распространяется с групповой скоростью, определяемой решением (28).

7.3. Некоторые экспериментальные результаты

Установленная связь кинетики локализации разрушения с автомодельными решениями в режиме с обострением позволяет предложить интерпретацию морфологии структуры поверхности разрушения. В [50, 51] показано соответствие очагов разрушения, имеющих вид зеркальных зон и масштабов локализации автомодельных (обостряющихся) структур. Множественные зеркальные зоны с близким размером были инициированы в различных поперечных (откольных) сечениях цилиндрического стержня из полиметилметакрилата, когда амплитуды напряжений превосходили некоторое критическое значение, соответствующее переходу к так называемой «динамической ветви» при отколе (рис. 16). Постоянство минимальных размеров зеркальных зон (областей локализации разрушения) соответствует кинетике накопления повреждений, определяемой следующим соотношением между параметрами: в ~ м +1.

«Динамическая ветвь» соответствует напряжениям а > ас, где сценарий разрушения определяется генерацией коллективных мод в ансамбле дефектов в форме диссипативных «обостряющихся» структур. Черты са-моподдерживающего разрушения, характерные для волн разрушения, наблюдались также в условиях динамического распространения трещин. Скоростная запись динамики трещины в нагруженном плоском образце полиметилметакрилата показала существование критической скорости ¥в ~ 600 м/с, когда образующиеся вторичные трещины ведут себя автономно (рис. 8). Незначительное увеличение скорости трещины для а > > 60 МПа отражает независимый от напряжений харак-

тер разрушения, аналогичный «динамической ветви» в условиях откола. Картины распределения напряжений в окрестности вершины трещины показаны на рис. 7 для медленных (V < Ус), быстрых (V> Vс) и ветвящихся (V > VB) трещин.

7.4. Моделирование волн разрушения

Изучение механизма инициирования и распространения волн разрушения проводилось на основе уравнения (28) совместно с уравнением переноса импульса. Тензор плотности дефектов при распространении волны сжатия описывает плотность микросдвигов.

Моделирование подтвердило эффект «задержки»: распространение фронта разрушения на некотором расстоянии от заднего фронта волны сжимающих напряжений (рис. 17). Наблюдалось также резкое уменьшение сопротивления сдвигу в волне разрушения и сближение уровней продольных и поперечных напряжений (рис. 18).

7.5. Статистика фрагментации

Качественно новые черты динамики трещин (переход от устойчивого режима распространения к ветвлению и последующей фрагментации), эффект задержки разрушения (волны разрушения) обнаружили специфические черты процесса динамического разрушения, которые могут быть связаны с эффектами нелинейной динамики, обусловленными коллективными модами в ансамбле дефектов. Это позволяет развить точку зрения на проблему статистики динамического разрушения, связав ее с нелинейными и динамическими аспектами накопления поврежденности, изменением симметрии нелинейной системы при зарождении коллективных мод в ансамбле дефектов.

В течение последних десяти лет наблюдается существенное продвижение в разработке теоретических

Рис. 17. Распространение волны напряжений

основ динамической фрагментации для условий высокоскоростного удара или взрыва. Эти теории ориентированы на предсказание среднего размера фрагментов с учетом энергетических и динамических параметров воздействия [52-55], а также данных статистики распределения фрагментов по размерам [56, 57]. Однако до настоящего времени существует ряд важных проблем, не получивших решения в рамках так называемой статистической энергетической теории фрагментации.

Динамические аспекты фрагментации изучались в

[58] с использованием локального энергетического критерия (энергетического неравенства) и гипотезы о минимуме времени разрушения. Этот подход был модифицирован в [55] с учетом кинетической энергии в процессе фрагментации. Однако эти теории не описывают кинетику развития поврежденности, приводящую собственно к разрушению и фрагментации.

Принимая во внимание качественные изменения скейлинговых свойств нелинейной системы «твердое тело с дефектами» при подчинении поведения системы коллективным модам в ансамбле дефектов, может быть рассмотрен следующий сценарий развития динамической фрагментации. Существование характерных стадий динамического разрушения при распространении трещин (рис. 8) позволяет установить корреляцию между статистикой фрагментации и плотностью энергии, сообщенной материалу. Плотность энергии Е < Ес (Ес со-

ответствует критической скорости Ус перехода от устойчивого режима к режиму ветвления) обеспечивает режим динамики трещины, контролируемый коэффициентом интенсивности напряжений. Промежуточные плотности энергии Ев > Е >Ес (Ус < У < Ув) приводят к режиму и статистике разрушения, на которые влияют оба типа автомодельных решений: промежуточноасимптотическое автомодельное распределение напряжений в вершине трещины и автомодельные диссипативные «обостряющиеся» структуры локализации повреждений. Эффект перемежаемости, когда система обнаруживает комплексную статистику в присутствии двух аттракторов, имеет, по-видимому, феноменологическую интерпретацию в виде статистики Вейбулла. Принимая во внимание теоретически предсказанный минимальный масштаб области локализации поврежденности L с, можно высказать предположение о существовании критической плотности энергии, которая обеспечивает минимальный размер фрагментированной структуры, близкой к Lс. Эти плотности энергии могут быть сообщены материалу при прохождении ударной волны и достигнута однородная фрагментация, наблюдаемая за фронтом волны разрушения. В экспериментах

[59] на больших образцах оптического стекла, нагруженных стальным цилиндром, наблюдались множественные очаги разрушения в форме волн разрушения.

8. Пластичность как метастабильный ориентационный переход в ансамбле микросдвигов

8.1. Механизмы переноса импульса, индуцированные дефектами

Физическая особенность механизма переноса импульса при пластической деформации заключается в том, что дислокационные носители пластической деформации (в нашем случае микросдвиги) движутся в поле консервативных (упругих) сил. Этот факт составляет принципиальное отличие необратимой деформа-

-

ахх/

-

- СТуу

- \

// 1 1

0 0.002 0.004 0.006 0.008 1, с

Рис. 18. Изменение продольных ахх и поперечных а^ напряжений при прохождении волны разрушения

ции, обусловленной перестройкой дислокационной структуры, от традиционно рассматриваемого механизма необратимой деформации при вязком течении в жидкостях, который реализуется как механизм диффузии импульса.

Существенный прогресс был достигнут в последние десятилетия в понимании механизмов пластического течения и в развитии феноменологии пластичности в широком диапазоне напряжений и скоростей деформирования. Однако, попытки использовать структурные аспекты при формулировке определяющих уравнений пластичности не позволили до настоящего времени объяснить ряд принципиальных эффектов, относящихся к специфике механизмов пластичности, обусловленных динамикой дефектов. Открытыми до настоящего времени проблемами являются объяснение механизмов локализации пластической деформации (неустойчивость локализованного сдвига), связь эволюции структуры с деформационным упрочнением, объяснение универсальности (автомодельности) пластического волнового фронта.

Экспериментальные данные о переходах в дислокационных субструктурах при пластической деформации и результаты статистического описания коллективного поведения ансамблей микросдвигов позволяют связать описания пластичности с эволюцией структуры.

В разделе 3 было показано, что промежуточный диапазон размеров структурной гетерогенности (например, размер зерен), соответствующий величинам структурного параметра скейлинга 5с < 8 < 8*, обеспечивает деформационную реакцию твердого тела, обусловленную зарождением коллективных мод в ансамбле микросдвигов с выраженной ориентацией. Формирование этих мод является следствием ориентационного перехода в ансамбле микросдвигов, происходящем в соответствующем диапазоне приложенных внешних напряжений ау < ау < адля заданной величины структурного параметра 5 (рис. 19). Пороговые напряжения из этого диапазона представляют собой сумму «атермического структурного порога» а у (нижняя граница области метастабильности) и дополнительного слагаемого а^ - ау, обеспечивающего «флуктуационный» переход А ^ D ансамбля дефектов в ориентированное состояние D при данных условиях нагружения (температуре и скорости деформации).

Резкое изменение величины параметра плотности микросдвигов АрАО приводит в соответствии с уравнением (16) к резкому падению упругого модуля, предшествующему развитию пластического течения. Сценарий эволюции ансамбля микросдвигов в точке D показан на рис. 19 и включает два возможных случая. Первый, вдоль траектории ВЬ^, предполагает высокое деформационное упрочнение. Второй сценарий (вдоль

траекторий DHE или DF) описывает увеличение деформации, обусловленной эволюцией дефектов в условиях непрерывного ориентационного перехода при изменении величины структурного параметра скейлинга 5. Два варианта реализации этого сценария (DHE и DF) соответствуют типичным случаям пластической деформации, известным как режим идеальной пластичности (ОНЕ) и пластичность с упрочнением (ОЕ).

Этот тип пластического течения описывается в рамках инкрементальной теории пластичности, когда приращение пластической деформации d8р (= dрк) определяется так называемым нормальным законом

d 8 Рк = d ,

Эа (к

где Ф — пластический потенциал; Х — множитель пропорциональности. Инкрементальный закон пластического течения определяет приращение пластической деформации как результат «расширения» поверхности текучести, определяемой пластическим потенциалом Ф. Описание пластического течения как неравновесного ориентационного перехода позволило предложить структурную интерпретацию инкрементальной теории пластичности. В соответствии с этими результатами величина пластической деформации определяется из условия минимума потенциала — свободной энергии Е(а, р, 5) для текущих значений переменных (аО, рО, 5 О ) в условиях непрерывного ориентационного перехода в ансамбле дефектов (О ^ А ^ ...), сопровождающегося формированием различных дислокационных субструктур. Описание этих переходов может быть получено как обобщение эволюционного неравенства (14) для случая, когда 5 рассматривается как независимая переменная:

Рис. 19. Метастабильные ориентационные переходы в ансамбле микросдвигов

Рис. 20. Изменение свободной энергии

5F =—dp +—d 5< 0 др 95

или

5F = 9F dp + 9F d5 < 0

5t 9р dt 95 dt

Предполагая линейной связь между приращениями (ср, С8) и термодинамическими силами (ЭЕ/Эр, ЭЕ/Э8), уравнения для приращений принимают вид

dp:

9F

~Yp ^т~, d5 =-75—. 9р

9F

95

Очевидно, что величина d5 играет роль приращения dX и определяет изменение пластического потенциала в ходе структурных (масштабных) изменений. В случае квазистатических нагружений соотношение (31) позволяет выразить величину приращения d5 через текущие значения напряжений и пластическую деформацию p.

Разгрузка, например, от точки F происходит вдоль траектории FES в «частично разгруженное состояние». Аналогом напряжения о У при разгрузке является пороговое напряжение Еay в области метастабильности LC. Принимая во внимание, что пластическое течение реализуется как непрерывный ориентационный переход в дислокационных субструктурах с параметрами скей-линга 5, характеризующими размер дислокационной субструктуры ln и расстояние между ними lc, реальный сценарий пластического деформирования зависит от условий нагружения, например скорости деформации или скорости нагружения. Зависимость пластического течения от скорости деформации наблюдается обычно со значений последней порядка 103 с-1 и в этом случае возникает необходимость учета независимой кинетики структурных изменений, влияющих на пластическое течение:

dp = l ^F

d7““ p9

d 5= 9F

d t ~ 95 ,

где Ьр и ^ — кинетические коэффициенты. Соотношение между кинетикой приложения внешней нагрузки, кинетикой ориентационного перехода р в области метастабильности и кинетикой структурного параметра скейлинга 8 определяет разнообразие реакций материалов при высоких скоростях деформации и ударно-волновом нагружении. Кинетика параметра 8 определяет закон упрочнения при формировании новых дислокационных субструктур, ответственных за механизм переноса импульса на более крупных пространственных масштабах /п ^Ьп(р), 1С ^Ьс(р). Экспериментальные

данные по измерению напряжений течения показывают резкое увеличение напряжений течения при 8 > 103104 с-1. Описание пластического течения как структурного ориентационного перехода позволяет предложить объяснение аномального упрочнения. Представляя уравнение (33) в виде

d5

dt

_19F

ТТ95,

где Е = Е/А, т8 = (Ь8А)— — характерное время перестройки дислокационных субструктур, аномальное упрочнение для скоростей деформации 8 > 103-104 с-1 может рассматриваться как следствие предельной скоростной чувствительности дислокационных субструктур к ориентационной перестройке. По данным ряда экспериментов это характерное время имеет порядок т8 ~ 10-5 с. Для скоростей деформаций, превосходящих 8 > 104 с-1, пластичность, как ориентационный переход в дислокационных субструктурах, не может быть реализована за времена, меньшие чем Т8 ~ 10-5 с, и изменение параметра плотности дефектов происходит вдоль ветви CDDd с постоянным значением 8 и максимальным упрочнением.

9. Кинетика неравновесных переходов в субдислокационных ансамблях и механические реакции конденсированных сред на ударноволновое нагружение

9.1. Особенности релаксационных явлений при ударно-волновом нагружении

Гидродинамическое приближение при описании распространения ударных волн, не учитывающее прочностные и вязкостные эффекты, справедливо в диапазоне давлений, превышающих 100-200 ГПа. Для давлений 1-10 ГПа указанные эффекты становятся опре-

деляющими при формировании профиля ударной волны. С развитием разрешающей способности измерительной техники было проведено детальное исследование структуры ударных волн и установлена высокая чувствительность формы профиля от амплитуды и длины пробега волны. Установлены также уникальные свойства ударной волны, когда последняя распространяется без изменения профиля. Понимание того, что устойчивый волновой профиль в твердых телах отражает специфику механизма формирования волн напряжений, связано с работами [60-62], в которых рассматривались релаксационная модель Фойгта с квадратичной связью напряжений-деформаций. На основе этой модели исследовалась эволюция исходного ударного импульса в волновой импульс.

Первые экспериментальные наблюдения существования вязкостных эффектов в ударно-нагруженных твердых телах были получены в [63]. С развитием лазерной интерферометрии устойчивость волновых профилей была подтверждена с более высоким временным разрешением [64]. Экспериментальные данные стимулировали теоретические исследования, в ходе которых была показана неэквивалентность концепций ударной вязкости для твердых тел и жидкостей.

Параллельно физическим исследованиям природы вязкости в ударно-нагруженных твердых телах предпринимались попытки численного моделирования распространения волн напряжений. Трудности в моделировании перехода от начального (ступенчатого) профиля импульса давления к волновому профилю были преодолены с использованием метода искусственной вязкости, предложенного Нейманом и Рихтмайером [65]. Этот подход, получивший широкое применение при моделировании волновых явлений с использованием метода конечных разностей, позволял перевести исходный ступенчатый профиль в волновой на фронте нескольких сеточных масштабов. Искусственной вязкости при этом придавался смысл реальной вязкости, наблюдаемой в твердых телах. Однако отмечалось, что реальная вязкость может не иметь отношения к масштабу сетки. Известен также ряд ситуаций, когда введение искусственной вязкости может приводить к существенным погрешностям в решениях, например, для пористых сред или для материалов, претерпевающих фазовый переход за время нарастания ударной волны, когда вязкостная компонента напряжений сильно возрастает. Аналогичные проблемы возникают при расчете взаимодействия и ослабления волн напряжений, их амплитудных значений, когда скорость ослабления зависит от времени нарастания волны. При использовании искусственной вязкости время нарастания зависит от размера зоны и искусственной вязкости и, таким образом, результат счета становится очень чувствительным к этим факторам. Другим важным классом проблем, где

использование искусственной вязкости проблематично, являются эффекты локализации пластического течения и разрушения (например в условиях откола), когда масштабы локализации должны определяться как внутренние физические масштабы задачи. Таким образом, определение реальной вязкости или механизмов, влияющих на нее, необходимо как для понимания, так и моделирования волновых явлений в твердых телах.

Усложнение реакции материалов при увеличении скорости деформации проявляется в нелинейном характере деформации, в изменении пороговых напряжений течения и прочности. В [47, 50, 51] были сделаны попытки установить связь эволюции микродефектов (микротрещин, микросдвигов) с релаксационными свойствами и кинетикой разрушения в ударно-нагруженных материалах. Статистический подход позволил установить характерные черты эволюции микродефектов, обусловленные начальным состоянием материала (структурной гетерогенностью в терминах 8) и взаимодействием между дефектами. Сценарий эволюции дефектов имеет черты неравновесных кинетических переходов и обнаруживает выраженные признаки автомодельности. Автомодельность проявляет себя наиболее ярко при неустойчивости (локализации) пластической деформации и локализации разрушения в условиях динамического нагружения. Установленные закономерности нелинейного поведения ансамблей дефектов позволили предложить объяснение некоторых особенностей механизмов релаксации на фронте ударной волны.

9.2. Структура волнового фронта

9.2.1. Предел упругости Гюгонио

При нагружениях в умеренном диапазоне давлений обычно наблюдается двухволновая структура, в которой первая волна, так называемый упругий предвестник, распространяется со звуковой скоростью, в то время как вторая (пластическая) волна распространяется с меньшей скоростью, которая возрастает при увеличении амплитуды давления. Двухволновая структура не является устойчивой, однако каждая из волн может рассматриваться как устойчивая (в смысле сохранения формы при постоянстве скорости распространения рассматриваемой части фронта) на некотором расстоянии от поверхности нагружения.

До настоящего времени дискуссионными являются вопросы о природе волнового предела упругости (предела упругости Гюгонио) и диапазоне его изменения с ростом амплитуд давлений (скорости деформации) [66]. Ориентационный переход в ансамбле дефектов (микросдвигов), характеризующийся конечным скачком тензорного параметра порядка Ар (деформации, индуцированной дефектами) и конечной шириной области метастабильности (интервала напряжений перехода Аст), сопровождается резким увеличением податливости (па-

дением эффективного модуля). В приближении «равновесности» ориентационного перехода скачок Арс _с (с-с — линия равновесного перехода) приводит к следующему изменению «эффективной» податливости

_1_____1_ Арс _с

^ СТс_с ’

где 0'в, ЪВ — эффективные модули упругости, соответствующие значениям р до и после перехода, стс _с — напряжение, соответствующее линии перехода.

Резкое (на масштабе времен нарастания волнового фронта) падение эффективного модуля приводит к «расщеплению» волнового фронта. Такое поведение структурного параметра — тензора плотности дефектов — аналогично изменению параметров порядка при фазовых переходах первого рода (например мартенситного типа), на что впервые, по-видимому, обратил внимание Дювалль [67]. Существование интервала напряжений перехода в области ориентационной метастабильности Аст устанавливает связь наблюдаемого в эксперименте напряжения перехода (предела упругости Гюгонио ст НЕЬ) с кинетикой ориентационного перехода.

Оценка характерного времени ориентационного перехода в области метастабильности дается известной формулой

Тт ~ Т0 ехР(АЕ!кТX

где АЕ — величина барьера — разность значений свободных энергий между «термодинамическими ветвями» в области метастабильности; т0 — константа перехода. Как следует из этой формулы время перехода определяется барьером АЕ, величина которого зависит от уровня напряжений перехода в области метастабильности. Величина напряжений, в свою очередь, определяется амплитудой давлений и связанных с ней скоростью нарастания напряжений или скоростью деформации среды на волновом фронте 8^ Величина, обратная скорости деформации Т ~ 8-1, является характерным временем нагружения и сопоставление его со временем ориентационного перехода тт определяет уровень АЕ, а следовательно, и напряжение перехода стЭкспери-менты показывают, что максимальные значения предела упругости Гюгонио достигаются, начиная со значений 8^ ~ 108-109 с-1, которые соответствуют предельной «глубине» области метастабильности по шкале напряжений и которым соответствует нулевая величина барьера АЕ. Таким образом, для величины предэкспоненты получаем значение т0 ~ 10-9 с. Учитывая, что кинетика перехода обеспечивается движением автосолитонного волнового фронта, определяемого решением (18), очевидно, что т0 = /с/V, где /с и V — ширина и скорость движения автосолитонного фронта, соответствующие максимальному значению предела упругости Гюгонио.

9.2.2. Релаксация упругого предвестника

Природа механизма релаксации упругого предвестника и устойчивости пластического фронта являются предметом дискуссий при изучении динамической прочности материалов и эволюции распространяющегося волнового фронта, начиная с работ Дювалля [67], Гилмана и Джонстона [68] , Баркера и Холленбаха [69], посвященных анализу эффектов вязкопластичности при ударном сжатии. Отметим, что для понимания этих взаимосвязанных явлений, приводящих к «расщеплению» волнового фронта, необходимо рассмотрение структурных механизмов, обеспечивающих особенности пороговой релаксации на стадии выделения упругого предвестника (предела упругости Гюгонио), «мягкой» релаксации при его распространении и роли структуры в обеспечении устойчивости движущегося пластического фронта.

Выше был рассмотрен механизм пороговой релаксации — ориентационный переход в ансамбле микросдвигов, сопровождающийся скачком величины деформации, индуцированной дефектами. Имея физическую природу структурной релаксации, аналогичную мартен-ситным фазовым переходам, этот механизм характеризуется минимальными релаксационными временами тт ~ 10-9 с. Следующий за ним механизм структурной релаксации связан с вовлечением в ориентационный структурный переход все более «грубых» дислокационных субструктур. Этот механизм структурной релаксации сопровождается масштабными переходами, которые могут быть описаны в терминах кинетики структурного параметра скейлинга 8 на основе уравнения (33). Как отмечалось в разделе 8 этот структурный переход характеризуется наибольшими релаксационными временами Т8 ~ 10-5 с. Кинетика 8, приводящая к уменьшению структурного параметра скейлинга с ростом р, обеспечивает непрерывный ориентационный переход дислокационных субструктур с их последовательным «огрублением». Например, точки траектории нагружения БЕ (рис. 19) принадлежат последовательным мета-стабильным зависимостям, имеющим для текущих 8 «свои» максимальные значения стНЕЬ, к которым стремится начальное значение предела упругости Гюгонио в ходе релаксации. Таким образом, механизм релаксации упругого предвестника может быть связан с масштабными (скейлинговыми) переходами, следствием которых является смещение области метастабильности (и ее порогового максимального значения) в область меньших напряжений.

9.3. Устойчивость пластического волнового фронта

Прямое экспериментальное исследование релаксационной природы пластического фронта было проведено в [63] при измерении ударной вязкости. Устойчи-

вость установившегося пластического фронта является важной чертой структуры волновых фронтов напряжений [62, 70, 71]. Первые прямые измерения высокого разрешения волнового профиля были проведены в [64] для алюминия с применением лазерной допплеровской интерферометрии, когда наблюдалось резкое увеличение скорости деформации с увеличением амплитуды напряжений. Это увеличение оказалось существенно более высоким, чем предсказываемое соотношениями Ньютона прямой пропорциональности между «вязкими» напряжениями и скоростью деформации. Отметим, что устойчивость волновых решений для уравнений Навье-Стокса впервые анализировались Рэлеем и Тейлором и в последующем этой проблеме было посвящено множество работ.

Уникальной чертой волновых профилей большой амплитуды является универсальность установившегося волнового пластического фронта. Установившийся профиль распространяется без изменения формы, что является, как отмечается в [71], следствием устойчивого баланса между конкурирующими процессами: нелинейной связи между напряжением и деформацией и диссипативными (вязкостными) свойствами среды.

В соответствии с результатами, представленными в разделе 5, универсальные установившиеся профили для различных амплитуд ударного импульса возникают как автомодельные автосолитонные коллективные моды в ансамбле микросдвигов. Эффективное изменение характеристик скейлинга в терминах уменьшения 8 при увеличении плотности микросдвигов (ДЙР’-траектория, рис. 19) обеспечивает устойчивую автосолитонную реакцию при увеличении амплитуды напряжений.

Скорость перехода р с нижней на верхнюю ветвь достигает максимума при достижении границы области метастабильности (точка Ь, рис. 19). Это, по-видимому, является основной причиной универсальности зависимости скорости деформации от амплитуды напряжений Ргг ~ Аст^, установленной в [72] для широкого класса материалов в области Є > 105 с-1.

Это соотношение следует из автомодельного решения (18), когда «движущая сила» перехода при изменении 8 может быть представлена через напряжения как разность в величине свободной энергии для текущих состояний вдоль траектории dG (рис. 19) и уровня энергии порогов метастабильности (аналог точки Ь, рис. 19) для кривых, соответствующих текущим значениям 8.

Этот результат отражает важность коллективных эффектов (ориентационных переходов в ансамбле дефектов), обеспечивающих удивительную универсальность реакций материалов в устойчивой ударной волне и специфический характер вязкости твердого тела. Одновременно, универсальность в форме зависимости четвертого порядка для широкого класса материалов поз-

воляет высказать предположение, что достаточно сложные процессы пластической деформации, обусловленные эволюцией структуры, становятся проще при ударно-волновом нагружении. Изучение этих общих механизмов представляется важным для понимания роли коллективных эффектов в ансамбле дефектов, ответственных за пластическую деформацию твердых тел.

Таким образом, высокая устойчивость распространяющегося пластического фронта может быть объяснена «медленной» динамикой ориентационных переходов, контролируемых кинетикой 8 и имеющих автосо-литонную динамическую природу, описываемую решением (18) уравнения (15). Универсальная зависимость скорости пластической деформации от амплитуды напряжений 8р = Аста является следствием типа нелинейности свободной энергии среды с дефектами и существования автомодельного решения — автосолитонной волны ориентационного перехода, распространение которой обеспечивает устойчивую динамику пластического фронта.

9.4. Моделирование динамики волновых фронтов и кинетики разрушения

Следуя [73], пластическую деформацию материала можно рассматривать как следствие ориентационной аккомодации фрагментированных объемов материала, появляющихся при формировании дислокационных субструктур за счет подвижности и трансформации самих дислокационных субструктур. Таким образом, пластическая деформация (в отличие от упругой) не является переменной состояния, а является переменной процесса деформирования и определяется диссипативными механизмами в ходе течения и структурных изменений в материале. С учетом этого следует разделять вклад в энтропию, обусловленный, с одной стороны, диссипативными процессами (диссипативный вклад) при течении материала, с другой — структурными изменениями в материале в ходе трансформационных переходов в субдислокационных ансамблях (конфигурационный вклад).

Представляя кинематические и силовые переменные в виде сумм изотропных и бесследовых компонент

Pik = р'гк + P8ik, CTik = ст* + ст8*

и предполагая пластическую деформацию несжимаемой 5рер^ = 0, производство энтропии можно записать в виде:

ТР8 =а;*4 -

ЭЕ Ар'к ЭЕ

где А(...)/Аt — производная по Яуманну (диссипативные эффекты, связанные с неоднородностью температурного поля здесь опущены).

Из условия знакоопределенности диссипативной функции и симметрии процессов следует связь между потоками и движущими силами [74]:

СТі

т

.т

р = -сп0,

где Пк = Э^/дрл = П 8гк + П'к — термодинамическая сила, действующая на систему, когда значение р1к отличается от равновесного. Уравнения (36)-(38) квазилинейны: кинетические коэффициенты 1$к]т, С зависят в общем случае от инвариантов рл. Приведенные соотношения описывают «перекрестные» эффекты: влияние субдислокационной подсистемы на релаксационные процессы и пластичности на эволюцию дефектов.

С целью верификации модели исследовалось распространение плоской одномерной волны = ер = = еXX = еуу = 0, Рхх = Руу = 0; кинетические коэффициенты предполагаются постоянными Ькт ~ I(у) (первые члены разложения по р1к). С учетом введенных предположений и кинематического соотношения для скоростей деформаций ек = ерк + еек система уравнений (36)-(38) совместно с законами сохранения массы и импульса для безразмерных переменных имеет вид:

др. = -п»

Эт

др' 2 Г Э¥ 1 ЭХ^

—— = — т Эт 3

V '"У

ЭZ х Эт

-п,

ЭХ Э¥ т. Эр'

"д_ = ^^7 тх^т,

Эт ЭZ тт Эт

Л Л

.Г (Р ¥) = -— (Р ¥2-Х),

Эт ЭZ

= -—(Р ¥).

Эт ЭZ )

Здесь Х = ст22/реї, с1 = ^ (К + 4/3 ц)/Ро , т = Vті, ті = = И/сі (к — толщина пластины); ¥ = ч2/с1, Р = р/р0 , Z = ^к — безразмерные скорость, плотность и координата; П' = П'22к/(і(3)с), П0 = Пк/(Сс1), тт = і(1)/ц — время релаксации напряжений; х = (4/3)ц2 х X[(ЗК + 2ц)Рос12]-1, т = і(2)/і(1), К, ц— объемный и сдвиговой модули упругости.

Функции П0 и Ппредставленные через статистические интегралы, аппроксимировались конечными выражениями:

п = -АХ ехр(-ра/р') + в(р - рёX

П0 = -СX2 ехр(р) при X > 0,

П0 = 0 при X < 0,

где А, В, С, ра, рь — параметры аппроксимации.

При выборе аппроксимации функции П0 = др

имелась в виду абсолютно неустойчивая ветвь зависимости р22(ст22) для 8<8С (рис. 2). Такой выбор справедлив в случае больших уровней напряжений и высоких скоростей нагружений. Учет в аппроксимации П всего спектра зависимостей р22 (ст22) позволяет оценить влияние дефектов (микротрещин, микросдвигов) на эффекты объемной сжимаемости, важные при рассмотрении ударно-волновых явлений в пористых средах. Асимптотический подход использовался также при выборе аппроксимации П = д^др' При этом учитывался тот факт, что наиболее сильно ориентационные эффекты в системе дефектов проявляются в области метастабильности, где создаются условия для резкого изменения ориентационной коллективной моды дефектов.

Введение параметра, имеющего смысл переменной состояния и характеризующего изменение структуры материала (дефектность) предполагает проверку возможности описания экспериментальных данных в достаточно широкой области изменений условий эксперимента.

Исследование релаксационных процессов в волнах напряжений проводилось в [75] для случая нагружения алюминиевой пластины кварцевым диском со скоростью 400 м/с. Постановка задачи включает следующие начальные и граничные условия:

ст22 (0, %) = ст»(%), ст22 (к, %) = 0,

^2 (2> 0) = СТ(2, 0) = р2 (2, 0) = 0

Р(2, 0) = Р0,

где к — толщина пластины; ст0(%) — закон изменения напряжений на лицевой поверхности пластины, определенный на основе решения задачи соударения. Материальные параметры оценивались по данным квазиста-тических экспериментов и принимались равными р = = 2.71-103 кг/м3, G = 109.7 ГПа, Тр = Ьр/в = 2.1-10-6 с, т, = к С = 1.96-10-6 с (С; = (£/ р)1/2).

На рис. 21 представлены результаты численного моделирования распространения волн напряжений и временная зависимость напряжений и параметра плотности микротрещин в сечении откола. Для значений напряжений, соответствующих приближенно динамическому пределу упругости, реализуется ориентационный переход, сопровождающийся резким изменением параметра плотности дефектов р22, что приводит, в свою очередь, к резкому увеличению темпа релаксации, изме-

Рис. 21. Динамика волн напряжений и кинетика поврежденности в сечении откола алюминиевой пластины

нению волнового профиля напряжений — выделению упругого предвестника и пластического фронта. Ориентационный переход характеризуется параметрами пространственного и временного скейлинга, определяемыми в соответствии с решением (18).

9.5. Релаксационные свойства и неустойчивости, обусловленные дефектами в ударно-нагруженных жидкостях

Вопрос о структуре жидкостей не может считаться до настоящего времени окончательно решенным. Зависимость механических свойств от соотношения между релаксационными временами среды и характерными временами нагружения является не только свойством твердого тела, но справедлива также для жидкостей. Вследствие этого получили развитие теории вязкой жидкости, исходящие из предположения о структуре жидкости. В связи с этим представляет значительный интерес исследование релаксационных свойств жидкостей, подвергнутых высокоскоростному деформированию при ударно-волновом нагружении, когда вязкость играет принципиальную роль при формировании волнового профиля сжатия. Важность физически обоснованного определения вязкости различных сред приобретает особое значение при попытках описания непрерывного изменения термодинамических величин на фронте ударной волны.

Как уже отмечалось выше, первое исследование вязкости материалов при изучении фронта ударной волны было проведено в работах А.Д. Сахарова с сотрудниками [63] на основе измерения времен релаксации малых возмущений на фронте ударной волны и затем в исследованиях Баркера [64] с использованием лазерной допплеровской интерферометрии (система VISAR). Однако до настоящего времени не объяснен удивительный экс-

периментальный факт, установленный в [63] при ударно-волновом нагружении «простых» жидкостей и твердых тел (исследовались вода, ртуть, алюминий и свинец), когда для скоростей деформации е = 105 с1 значение вязкости приближалось к асимптотическому значению п = 104 Pz. Необходимо при этом подчеркнуть, что исследованные среды, столь различные при нормальных условиях, обнаруживают одинаковую динамическую вязкость — жидкости при давлениях Р - 810 МПа, твердые материалы в диапазоне давлений Р -

- 40-50 МПа, которые не обеспечивают переход в расплавленное состояние алюминия и свинца. Эти данные позволяют сделать вывод, что исследованные жидкости в диапазоне давлений Р - 8-10 МПа имеют релаксационные времена т > е-1 ~ 10-5 с, отличающиеся на 6 порядков от молекулярных (диффузионных) времен релаксации, оценка которых может быть получена на основе формулы Эйнштейна тД = Д2/6~ 10-11 с, где А — расстояние между частицами; — коэффициент са-модиффузии. Это означает, что жидкости в исследуемых условиях вели себя подобно твердым телам.

Физические механизмы, приводящие к развитию неустойчивостей в конденсированных средах, указывают на возможность описания неустойчивостей в жидкостях на основе анализа кинетики флуктуаций, если последние рассматриваются как дефекты структуры жидкостей [12, 76]. Мезоскопические дефекты, которые по своей природе являются флуктуациями поля смещений в твердых телах, могут также рассматриваться как реальные структурные дефекты в жидкостях при возникновении коллективных движений групп молекул друг относительно друга. Этот механизм движения не соответствует традиционно рассматриваемому для жидкостей (по аналогии с газами) диффузионному механизму переноса импульса.

Попытка непротиворечивого объяснения природы вязкости твердых тел и жидкостей была предпринята в [63] с использованием идеи Френкеля о роли дефектов («дырок»), генерируемых распространяющимся фронтом ударной волны. Справедливость этого предположения была качественно подтверждена измерением электросопротивления воды непосредственно за фронтом ударной волны, когда наблюдалось резкое изменение сопротивления.

По-видимому, Френкель первым обратил внимание на аналогию в механизмах течения жидкостей и твердых тел, отмечая [77], что «... рентгенограммы жидкостей сходны с рентгенограммами микрокристаллических тел, и их можно было бы интерпретировать в общих чертах, исходя из представления, что жидкость состоит из большого числа беспорядочно ориентированных кристалликов субмикроскопических размеров» и «... широко распространенное представление о том, что текучесть жидкостей обусловлена отсутствием упругос-

ти на сдвиг, т.е. равенством нулю модуля сдвига ... ошибочно (за исключением, может быть, случая жидкого гелия II)». Эти положения подтверждаются измерениями сдвиговых модулей и релаксационных спектров при наложении осцилляций на сдвиговое течение простых жидкостей [78], когда эффекты сдвиговой упругости наблюдались при частотах 105 Гц. Присутствие длинновременной части спектра т ~ 10-5 с связывается в [78] с согласованным перемещением и переориентацией групп молекул, что сопряжено с существенно большими характерными временами.

Согласованное перемещение групп молекул (подобное относительному проскальзыванию блоков или зерен в твердых телах) может быть реализовано вследствие зарождения мезоскопических дефектов, возникающих между этими группами молекул.

Диссипативная функция среды, релаксирующей течением и вследствие развития дефектов, имеет вид [12]

1 8—

тр = - - 7^ кТ +стле1 -т—ргк ^ 0,

т 8ргк

где Т — температура; 7к — поток тепла; 8— 8рк — термодинамическая сила, действующая на систему, когда р1к отличается от равновесного значения; е]к = = е1к - рк — «вязкая» компонента тензора скоростей деформации. Условие знакоопределенности диссипативной функции позволяет записать уравнения для тензорных переменных:

ст* =п4+№ *,

8— V

- -8--= -Хегк + Чр 1к,

ргк

где п, X и С — кинетические коэффициенты. Для случая простого сдвига из уравнения (40) следует представление для эффективной вязкости:

Пт = — = П -

еХ2 еХ2

В интервале 8С < 8 < 8* флуктуации скоростей деформации «подчиняются» спектру уединенных волн, что означает е л - р л, и уравнение (42) дает следующую асимптотику вязкости П = X. Независимость вязкости конденсированных сред п — 104 Р7 при скоростях деформации е - 104-106 с-1 является следствием «подчинения» динамики скоростей деформации, обусловленных конечно-амплитудными автосолитонными возмущениями, индуцированными дефектами.

В соответствии с рассмотренными выше особенностями нелинейного поведения ансамблей дефектов возможен следующий сценарий развития неустойчивостей в жидкостях. Слабые периодические пульсации скорости, индуцированные дефектами, возникают

в области 8 >8*. Интенсификация течения может привести к переходу через точку бифуркации 8* (область 8с <8<8*)и зарождению каскада автосолитонных волн. Инерционный каскад уединенных волн генерируется при увеличении плотности дефектов и соответственно изменении скейлинговых характеристик среды, выражающихся в уменьшении 8 и появлении новых масштабов. Формирование автосолитонных волн приводит к появлению новых масштабов (ширина автосо-литонного фронта), что, в свою очередь, влияет на дальнейшее уменьшение 8 и вызывает переход через вторую точку бифуркации 8с в область 8<8с, где возникают коллективные моды нового типа — диссипативные структуры обострения. Выше было показано, что эти диссипативные структуры локализованы на спектре пространственных масштабов, кратных минимальному Ьс, на котором и реализуется диссипация энергии. Таким образом, при интенсификации течения и появлении механизмов переноса импульса, связанных с нелинейной динамикой дефектов, наблюдаются масштабные (скейлинговые) переходы, соответствующие последовательности зарождающихся коллективных мод. С последними, в свою очередь, связаны качественно новые (по сравнению с вязкой жидкостью) механизмы переноса импульса (движение спектра автосолитонных волн) и диссипации энергии (диссипативными обостряющимися структурами).

Интересно сопоставить реальные картины турбулентного течения с выше описанным сценарием, обусловленным нелинейной динамикой рл. Развитие турбулентного течения исследовалось в [79] при визуализации динамики турбулентного пятна, инициированного в потоке Пуазейля с числом Рейнольдса Яе ~ 840-1 500. Отмечено, что турбулентное пятно имеет форму треугольного крыла и турбулентное движение возникает внутри данной области при развитии возмущений авто-солитонного типа. Эти возмущения, зарождающиеся на границе пятна, распространяются в ламинарную зону и трансформируются в квазипериодические затухающие пульсации скорости. Движение автосолитонных волн в направлении пятна сопровождается вторичной неустойчивостью и ростом пятна. Этот экспериментально наблюдаемый сценарий согласуется с нелинейной динамикой флуктуаций скорости деформации, индуцированных дефектами.

Установленные закономерности развития неустойчивостей в конденсированных средах позволяют предположить существование бифуркационной последовательности, приводящей к турбулентности [80] и которая может быть описана на основе кинетического подхода [81].

Автор благодарит В.А. Баранникова, М.М. Давыдову, В.А. Леонтьева, О.А. Плехова, М.А. Соковикова и С.В. Уварова, принимавших участие в настоящей работе

и обсуждении результатов. Исследования и подготовка обзора были выполнены при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и проектов МНТЦ.

Литература

1. Koneva N.A., Lychagin S.P., Trishkona L. T., Kozlov E. V // Strength of metals and alloys. Proc. of the 7-th Int. Conf., Montreal, Canada. -1985. - V. 1. - P. 21.

2. Hansen N., Kuhlmann-Wilsdorf D. // Materials Science and Engineering. - 1986. - V. 81. - P. 141.

3. Betechtin VI., Naimark O.B., Silbershmidt VV // Proc. of Int. Conf. of Fracture (ICF 7). - 1989. - V. 6. - P. 38.

4. Бетехтин В.И., Владимиров В.И. Кинетика микроразрушения кристаллических тел // Проблемы прочности и пластичности твердых тел / Под ред. С.Н. Журкова. - Л.: Наука, 1979. - C. 142-154.

5. Naimark O.B. Kinetic transition in ensembles of microcracks and some nonlinear aspects of fracture // Proc. ofthe IUTAM Symp. on Nonlinear Analysis of Fracture / Ed. by J.R. Willis. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997. - P. 285-298.

6. Баренблатт Г.И., Ботвина Л.Р. Автомодельность усталостного разрушения. Накопление повреждаемости // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1983. - Т. 4. - С. 161-165.

7. KadicA., Edelen G.B. Theory of dislocations and disclinations / Lecture

Notes in Physics, No. 174. - Berlin: Springer, 1983.

8. Raikher Yu.L., Shliomis M.I. // Relaxation Phenomena in Condensed Matter / Ed. by W. Coffey. - Advances in Chemical Physics Series. -John Willey & Sons, 1994. - V. LXXXVI. - P. 595.

9. Леонтович M.A. Введение в термодинамику. Статитическая физи-

ка. - М.: Наука, 1983.

10. Naimark O.B., Silbershmidt VV On the fracture of solids with microcracks // Eur. J. Mech. A.Solids. - 1991. - V. 10. - No. 6. - P. 607619.

11. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Статистическая физика. - М.: Наука, 1978. - 556 с.

12. Наймарк О.Б. // Письма в ЖЭТФ. - 1998. - Т. 67. - № 9. - С. 751.

13. Kurdjumov S.P Plasma theory, non-linear and turbulent processes in physics // Dissipative Structures and Chaos in Non-Linear Space. -Singapure, Utopia, 1988. - V. 1. - P. 431-459.

14. Fineberg J., Gross S.P., Sharon E. // Proc. of the IUTAM Symp. on Nonlinear Analysis of Fracture / Ed. by J.R. Willis. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997. - P. 177.

15. Ravi-Chandar K., Knauss W.G. An experimental investigation into dynamic fracture. II Microstructural aspects // Int. J. Fracture. - 1982. -V. 26. - P. 65.

16. Freund L.B. Dynamic fracture mechanics. - Cambridge: Cambridge University Press, 1990. - 484 p.

17. Fineberg J., Gross S., Marder M., Swinney H. // Phys. Rev. Lett. -1991. - V. 67. - P. 457.

18. Sharon E., Gross S.P., Fineberg J. Local CTack branching as a mechanism for instability in dynamic fracture // Phys. Rev. Lett. - 1995. -V. 74. - P. 5096-5099.

19. Boudet J.F., Ciliberto S., Steinberg V. Dynamics of crack propagation in brittle materials // J. de Physique II. - 1996. - V. 6. - P. 1493-1516.

20. Sharon E., Gross S.P., FinebergF. // Phys. Rev. Lett. - 1996. - V 76. -P. 2117.

21. Holian B.L., Thomson R. // Phys. Rev. E. - 1997. - V. 56. - No. 1. -P. 1071.

22. Griffith A.A. The phenomena of rupture and flow in solids // Phil. Trans. of the Royal Society, London. - 1921. - V. A221. - P. 163198.

23. Mott N.F. // Engineering. - 1948. - V. 165. - P. 16.

24. Irwin G.R. Analysis of stress and strains near the end of a crack traversing a plate // J. Appl. Mech. - 1957. - V. 24. - No. 3. - P. 361-364.

25. Barenblatt G.I. Mathematical theory of equilibrium cracks in brittle fracture // Advances in Applied Mechanics. - Academic Press. -1962.- V. 7. - P. 55-79.

26. Rice J.R. A part-independent integral and approximate analysis of strain concentration by notes of crack // Trans. ASME, J. Appl. Mech. -1968. - V. 35. - P. 379-386.

27. Френкель Я.И. // Журнал технической физики. - 1952. - Т. 22. -№ 11. - С. 1857.

28. Naimark O.B., Davydova M.M., Plekhov O.A. Failure scaling as multiscale instability in defect ensemble // Proc. of NATO Workshop «Pro-bamat - 21 Century» / Ed. by G. Frantziskonis. - Kluwer, 1998. -P. 127-142.

29. Наймарк О.Б., Давыдова M.M., Плехов O.A., Уваров С.В. Экспериментальное и теоретическое исследование динамической сто-хастичности и скейлинга при распространении трещины // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 3. - С. 47-58.

30. Naimark O.B., Davydova M.M., Plekhov O.A. Nonlinear and structural aspects of transitions from damage to fracture in composites and structures // Computers and Structures. - 2000. - V. 76. - P. 67-75.

31. Naimark O.B. // Proc. of EUROMAT’2000. Advances in Mechanical Behavior. Plasticity and Damage (plenary lecture) / Eds. by D. Mian-nay, P. Costa, D. Francois, A. Pineau. - Elsevier, 2000. - V. 1. - P. 1528.

32. Mandelbrot B.B., Passoja D.E., Paullay A.J. Fractal character of fracture surface of metals // Nature. - 1984. - V. 308. - P. 721-722.

33. BouchaudE. // Proc. of IUTAM Symp. «Size-Scale Effects in Failure Mechanisms of Materials and Structures» / Ed. by A. Carpinteri. -Kluwer, 1996. - C. 121.

34. Mecholsky JJ. // Strength of Inorganic Materials / Ed. by C.R. Kur-kjian. - New York: Plenum Press, 1995. - P. 569.

35. Feder J. Fractals. - New York-London: Plenum Press, 1988.

36. Naimark O.B., Davydova M.M. Crack initiation and crack growth as the problem of localized instability in microcrack ensemble // J. de Physique III. - 1996. - V. 6. - P. 259-267.

37. Галин Л.А., Черепанов Г.П. О самоподдерживающемся разрушении напряженного хрупкого тела // ДАН СССР. - 1966. - Т. 167. -№ 3. - С. 543-546.

38. Bourne N., Millett J., Rosenberg Z., Murray N. // J. Mech. Phys. Solids. - 1998. - V. 46. - P. 1887.

39. Razorenov S.V, Kanel G.I., Fortov V.E., Abasenov M.M. The fracture of glass under high-pressure impulsive loading // High Press. Res. -1991. - V. 6. - P. 225-232.

40. Nikolaevskii VN. // Int. J. Engng. Sci. - 1981. - V. 19. - P. 41.

41. Brar N.K., Bless S.J. Failure waves in glass under dynamic compression // High Press. Res. - 1992. - V. 10. - P. 773-784.

42. BourneN., RosenbergZ., Field J.E. // J. Appl. Phys. - 1995. - V. 78. -P. 3736.

43. Dandekar D.P, Beaulieu P.A. Failure wave under shock wave compression in soda lime glass // Metallurgical and Materials Applications of Shock-Wave and High-Strain-Rate Phenomena / Eds. by L.E. Murr, K.P. Staudhammer, M.A. Meyers. - Elsevier Science B.V., 1995. -P. 211-218.

44. Bourne N.K., Rosenberg Z., Field J.E., Crouch I.G. // J. Physique IV, Colloq. C 8. - 1994. - P. 635.

45. Gibbons R.V, Ahrens T.J. // J. Geophys. Res. - 1971. - V. 76. - P. 5489.

46. Glifton R.J. // Appl. Mech. Rev. - 1993. - V. 46. - P. 540.

47. Naimark O.B. // Proc. of IX Int. Conf. of Fracture, Sydney (key-note lecture) / Ed. by B. Karihaloo. - 1997. - V. 6. - P. 2795.

48. Naimark O.B., CollombetF., Lataillade J.-L. // J. Physique IV Colloq. C. - 1998. - V. 7. - P. 773.

49. Plekhov O.A., Eremeev D.N., Naimark O.B. // J. Physique IV Colloq. C. - 2000. - V. 10. - P. 811.

50. БеляевВ.В., Наймарк О.Б. // Доклады АН СССР. - 1990. - V. 312.-No. 2. - P. 289.

51. Беллендир Е.В., Беляев В.В., Наймарк О.Б. // Письма в ЖТФ. -1989. - Т. 15. - № 3. - С. 90.

52. Grady D.E. Local inertial effects in dynamic fragmentation // J. Appl. Phys. - 1982. - V. 53. - P. 322.

53. Kipp M.E., Grady D.E. // J. Mech. Phys. Solids. - 1986. - V. 33. -P. 399.

54. Glenn L.A., ChudnovskyA. Strain-energy effect on dynamic fragmentation // J. Appl. Phys. - 1986. - V. 59. - No. 4. - P. 1379.

55. Grady D.E. // J. Mech. Phys. Solids. - 1988. - V. 36. - P. 353.

56. Grady D.E., Kipp M.E. // J. Appl. Phys. - 1985. - V. 58. - No. 3. -P. 1210.

57. Grady D.E. // J. Appl. Phys. - 1990. - V. 68. - P. 6099.

58. Grady D.E. Fragmentation by blasting / Eds. by Fourney and Costin // Experimental Mechanics, Brookfield Center, 1985. - P. 63.

59. Senf H., Strauburger E., Rothenhausler H. Visualization of fracture nucleation during impact in glass // Metallurgical and Material Applications of Shock Wave and High Strain-Rate Phenomena / Eds. by L.E. Murr, K.P. Staudhammer, M.A. Meyers. - Elsevier Science B.V., 1995. - P. 163-170.

60. Минеев В.Н., Савинов Е.Н. // ЖЭТФ. - 1967. - Т. 25. - С. 411.

61. Минеев В.Н., Зайдель Р.М. // ЖЭТФ. - 1968. - Т. 27. -С. 874.

62. Band W., Duval G.E. // Amer. J. Phys. - 1961. - V. 29. - P. 780.

63. Сахаров А.Д., Зайдель P.M., МинеевВ.Н., Олейник А.Г. // Доклады АН СССР. - 1965. - Т. 9. - С. 1091.

64. Barker L.M. Behavior of dense media under high pressures. - New York: Gordon and Breach, 1968. - 483 p.

65. Von Neumann J., Richtmyer R.D. // J. Appl. Phys. - 1950. - V. 21. -P. 21.

66. Billingsley J.P. // Int. J. Impact Engng. - 1998. - V. 12. - P. 267.

67. Duvall G.E. // Response of metals to high velocity deformation / Eds. by P.G. Shewmon, V.F. Zackay. - New York: Interscience Publishers, 1961. - 165.

68. Gilman J.J., Johnston W.G. // Solid state physics / Eds. by Seitz and Turnbull. - New York: Academic Press, 1962. - V. 13. - P. 147.

69. Barker L.M., Hollenbach R.E. // J. Appl. Phys. - 1970. - V. 41. -No. 10. - P. 4208.

70. Asay J.R., Fowles G., Gupta Y // J. Appl. Phys. - 1972. - V. 43. -P. 744.

71. ChhabildasL.C., Asay J.R. // J. Appl. Phys. - 1979. - V. 50. - P. 2749.

72. Swegle J. W., Grady D.E. // J. Appl. Phys. - 1985. - V. 58. - No. 2.

73. Gilman J.J. Mechanical states of solids, shock compression of condensed matter - 2001 / Eds. by M.D. Furnish, N.N. Thadhani, Y. Horie. -2002. - V. 36.

74. Наймарк О.Б. // Журнал прикладной механики и технической физики. - 1987. - V. 1. - P. 183.

75. Наймарк О.Б., Беляев В.В. // Физика горения и взрыва. - 1989. -Т. 25. - С. 115.

76. Наймарк О.Б. // Письма в ЖТФ. - 1997. - Т. 23. - № 7. - С. 529.

77. Френкель Я.И. Кинетическая теория жидкости. - Л.: Физматгиз, 1959. - 370 с.

78. Базарон У.Б., Будаев О.Р., Дерягин Б.В., Ламажапова Х.Д. // Доклады АН СССР. - 1990. - Т. 315. - № 3. - С. 595.

79. Carlson D.R., Widnall S.E., Peeters M.F. // J. Fluid Mech. - 1982. -V. 121. - P. 487.

80. Заславский r.M., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. -М.: Наука, 1988.

81. Klimontovich Yu.L. // Physica. - 1996. - B 229. - P. 51.

Collective properties of defect ensembles and some nonlinear problems of plasticity and fracture

O.B. Naimark

Institute of Continuous Media Mechanics, UB RAS, Perm, 614013, Russia

The statistical approach developed made it possible to determine the types of collective modes in ensembles of mesoscopic defects and to establish their role in the mechanisms of plasticity and fracture. The approach allowed explanation for stochastic dynamics of cracks, scaling mechanisms in fracture, resonance excitation of fracture (fracture waves), plastic wave structure and viscosity singularities under shock-wave loading of condensed media.