Применение энергетического метода к определению эффективных по времени модулей линейной вязкоупругости

УДК 539.376

Применение энергетического метода к определению эффективных по времени модулей линейной вязкоупругости

А.А. Светашков, Н.А. Куприянов

Томский политехнический университет, Томск, 634050, Россия

Рассмотрена задача определения эффективных по времени модулей линейно-вязкоупругого тела. В ходе решения данной задачи раскрыта общность подходов определения эффективные характеристик упругого неоднородного (по пространственным координатам) тела и вязкоупругого однородного тела с ярко выраженными неоднородными свойствами во времени.

Ключевые слова: эффективные модули, вилка Фойгта-Рейсса, энергетическая эквивалентность, напряжение, деформация, положительная определенность, двухсторонние неравенства

Energy method in determination of time-effective moduli of linear viscoelasticity

A.A. Svetashkov and N.A. Kupriyanov

Tomsk Polytechnic University, Tomsk, 634050, Russia

The paper considers the problem on determination of time-effective moduli of a linearly viscoelastic solid. A similarity was revealed between the approaches to determination of effective characteristics of a spatially inhomogeneous elastic solid and of a homogeneous elastoplastic solid with clearly pronounced temporal inhomogeneity.

Keywords: effective moduli, Voigt-Reuss average, energy equivalence, stress, strain, positive definiteness, two-sided inequalities

1. Введение

В механике композиционных материалов широко применяются теории эффективных модулей [1-4]. В частности, известны упругие эффективные модули типа Фойгта-Рейсса, а также метод двухсторонних энергетических оценок — вилка Фойгта-Рейсса.

Выражения упругих эффективных модулей Фойгта можно получить из следующих рассуждений.

Пусть имеем две среды: первая — неоднородная, изотропная и упругая, механические характеристики которой есть некоторые функции координат. Вторая среда (среда сравнения) является однородной, изотропной, а ее механическое поведение характеризуется парой эффективных упругих модулей Х0, g0, являющихся константами. Возникает вопрос: как определить X0, go?

Энергетический метод разбивает данную задачу на два этапа: 1) вывод соотношений энергетической эквивалентности двух сред; 2) привлечение гипотез о характере зависимостей напряжений и деформаций от координат в каждой из компонент неоднородного тела.

В случае если предполагается кусочное постоянство деформаций, мы получаем эффективные модули типа Фойгта, при использовании гипотезы о постоянстве напряжений — эффективные модули типа Рейсса. При этом двухсторонние оценки — вилка Фойгта-Рейсса — позволяют оценивать точное решение задачи по двум приближенным решениям.

Обратимся теперь к другому типу задач механики: рассмотрим вязкоупругие материалы. Под вязкоупругими будем понимать такие материалы, у которых деформация (или напряжение) в произвольный момент време-

© Светашков A.A., Куприянов H.A., 2010

ни t определяется всей историей изменения напряжений (или деформаций) от начального момента t = 0 до t включительно. Примером вязкоупругих сред могут служить линейно-вязкоупругие среды, для которых соотношения между тензором напряжений Ф- и тензором скоростей деформаций ё- имеют вид:

— ) = Л*08- + 2G \, I, j = 1, 2, 3,

А*0 = } - т)d0(т),

о

О *ё - =JЯ(t -т)ё£- (т),

о

Я1(0) = Л о, Я(0) = 2Оо.

Здесь 0 = d0/dt; 0 — объемная деформация; ё- — тензор скоростей деформации; 8- (i,j = 1, 2, 3) — символ Кронекера; R(t), Я1 ^) — ядра вязкоупругой наследственности (функции релаксации), определяемые из опытов на релаксацию; Л0, О0 — упругие константы, справедливые для формулировки физического закона

(1) при t = 0. Согласно гипотезе затухающей памяти, функции R(t), Я1 ^) являются монотонно убывающими. Это свидетельствует о том, что с течением времени влияние воздействий, которые претерпевает материал в момент т < t, увеличивается при т ^ t

Таким образом, вязкоупругий материал — это материал, у которого физико-механические свойства имеют ярко выраженную неоднородность во времени (будучи постоянными по пространственным координатам).

Задача теперь может быть сформулирована следующим образом: используя методы и результаты классической механики композиционных материалов, достигнутые в усреднении физико-механических свойств по пространственным координатам, провести усреднение вязкоупругих свойств по времени. При этом под усредненными по времени свойствами будем понимать свойства упругого, изотропного тела, у которого модули являются некоторыми функциями времени. Вместо (1) введем упрощенные физические соотношения для среды сравнения:

а° ^) = х^ )08- + 2 g ^ )ё-, и j = 1, 2, 3,

где А(0, g(t) — искомые эффективные по времени модули.

Таким образом, задача определения эффективных по времени модулей вязкоупругого тела заключается в отыскании таких функций, которые обеспечивали бы энергетическую эквивалентность сред с определяющими уравнениями (1) и (2).

Последовательная реализация энергетического метода применительно к механике линейно-вязкоупругого тела требует, как уже было сказано, вывода соотношений энергетической эквивалентности сред с определяющими уравнениями (1) и (2) и привлечения гипотез о

постоянстве напряжений и деформаций по времени в вязкоупругом теле.

2. Формулировка и решение задачи об энергетической эквивалентности сред с определяющими уравнениями

Используем энергетический метод построения теории эффективных модулей [5, 6]. Рассмотрим выражения удельных потенциальных энергий деформаций для сред с определяющими уравнениями (1), (2):

Ж = К dёij, Ж =}ф0. & у а, j = 1, 2, 3).

00 Здесь Ж, Ж0 — удельные потенциальные энергии деформаций вязкоупругого и упругого тел соответственно; Т — граница временного интервала, на котором рассматривается решение поставленной задачи. По индексам i, j, заключенным в круглые скобки, здесь и далее предполагается суммирование.

В силу положительной определенности Ж, Ж0, найдутся такие константы 0 < т < М, что будут справедливы неравенства

тЖ0 < Ж < МЖ0.

Константы т, М можно найти из решения задач на

условный экстремум:

т = ттЖ, М = тахЖ,

= 1, Ж = 1.

Две задачи отыскания условного экстремума (5) эквивалентны одной задаче на безусловный экстремум для функционала Лагранжа вида:

Ж = Ж -цЖ0.

Условия его стационарности дает операция варьирования по ё;;:

8 Ж =дЖ 8ё- = 0

дё-

По индексам i, j, заключенным в угловые скобки, суммирование не производится: мы имеем шесть независимых уравнений, соответствующих всем возможным комбинациям индексов i, j (с учетом симметрии тензора скоростей деформации ё- =ё-).

Согласно [5] из шести функций ё- независимыми будут две:

ёй^) = ё(t), i = 1, 2, 3,

ёу ^) = Ф X i * }

Соотношения (6) можно переписать с учетом (1),

(2):

Л*0 + 2О *е - ц(А^ )0+ 2 g (t )ё) = 0,

О*-^

Здесь 0 = 3ё — объемная деформация. Условие Ж0 = 1 преобразуется к виду:

1 Т

Ж = 21

20

к(t) = МК) + 2/3 g (К).

Еще одно уравнение, зависимое от (7), (8), дает условие стационарности Ж1, откуда

1 т

Ж = 21

2 0

Из (4) следует, что функционалы Ж, Ж0 будут максимально энергетически близки, если т = М, ц = 1. Тогда из (8), (9) при ц = 1 имеем:

Т

| (К *0d 0 + 12G*ede) =

0

Т

= }

0

к(t) = Я (К) + 2/3 g (К), К * (t) = Л* +2/3 О*.

Рассмотрим физический смысл соотношений (10). В левой части стоит сумма потенциальных энергий изменения объема и формы для линейно-вязкоупругого тела, поскольку 0(^ есть функция объемной деформации, при которой функционал Ж1 = Ж -цЖ0 принимает экстремальное значение, а г(() — аналогичная 0(^ функция сдвиговой деформации.

Правая часть (10) представляет собой сумму потенциальных энергий, расходуемых на сдвиг с деформацией г(() и изменение объема с объемной деформацией 0(0 для тела, у которого определяющие уравнения имеют вид закона Гука с эффективными по времени модулями к(^, g(t) Условие равенства выражений соответствующих потенциальных энергий на интервале t е е [0, Т ] позволяет определить эффективные по времени модули с помощью привлечения некоторых гипотез о характере изменения деформаций 0^) и г(() во времени.

Потребуем, чтобы для всех t е [0, Т ] деформации были постоянны:

0(К) = 00к^), e(t) = eоh(t), где Ъ(1) — функция Хевисайда; e0, 00 — некоторые функции координат. Подстановка последних соотношений в (10) дает:

к

Решения (11) уравнений (7)-(9) можно назвать эффективными по времени модулями типа Фойгта.

Сделаем замечания по приведенной процедуре вывода выражений эффективных модулей:

а) математические выкладки, приводящие к обоснованию (10), могут быть опущены, а сами соотношения типа (10) представлены на основе формальных рассуждений;

б) решение (10) в виде (11) не является единственным вариантом определения эффективных по времени модулей.

Аналогичным способом можно получить эффективные по времени модули типа Рейсса.

Введем в рассмотрение удельные потенциальные энергии напряжений для сред (1), (2):

V = I ёdФj, ¥0 = I ё°dCTj

00 Здесь ё-, ё0 задаются как разрешенные относительно деформаций физические уравнения (1), (2):

ё - (К) = Л*Ф 8 - + 2О*Ф -,

-)=^ )ф8 -+2 gl(t)ф -, где Л*, О1* — упруго-наследственные операторы ползучести:

t К

Л*Ф ^ / П ( - т^ф(т), О*Ф- = } П^ - т^Ф - (т),

00

П1(0) =Л_, п(0) = -^, Ф = Ф-8 (i,j = 1, 2, 3), Л0 2О0

П1(t), П^) — ядра ползучести, определяемые из испытаний на ползучесть. Функции А1 (К), g1 (К), входящие в определяющие уравнения упругого типа с модулями, зависящими от времени, — суть искомые эффективные модули типа Рейсса.

Запишем неравенства для V, V0, вытекающие из положительной определенности потенциальных энергий напряжений:

щу0 <¥<М^0.

Для отыскания т1, М1 вводим

¥1 =¥-Х¥0.

Условиями стационарности у1 по функциям Ф- (К) будут

8¥1 = 8Ф- = 0

дфц

Из шести функций Ф- = Ф-, доставляющих экстремальное значение функционалу ¥1, независимыми будут две:

Фй =Ф, Ф- = ^ 0 * j)

Отсюда находим:

Л*Ф + 2О*5 - Х(^1 (К)Ф + 2gl (К)S) = 0,

(О*-Хй(К)) S = 0.

Полагая х = 1 (условие максимальной энергетической близости V и ¥0) и принимая постоянство напряжений во времени:

Ф(К) = Ф0Кк ), 5 (К) = Б0^К), где ф0, 50 — функции координат; Ъ(() — функция Хевисайда, получим из (16):

gl

Данные выражения функций g1 ^), Х1 ^) можно назвать эффективными по времени модулями типа Рейсса.

3. Двухсторонние оценки функционалов точного решения

Как и в задачах механики композиционных материалов, введение эффективных по времени характеристик является лишь некоторым приближением реальных механических свойств исходной вязкоупругой среды. Поэтому важны оценки погрешности, вносимые использованием приближенных решений.

Учитывая свойства функций релаксации R1(t), R(t) (монотонно убывающие с ростом і) и функций ползучести П1 ^), П^) (монотонно возрастающие), можно доказать справедливость следующих неравенств:

Ж = I ау^у > Ж =1 4^у ( і, у = 1 2, 3),

0 0

Ж > Ж>,

т т

V = IЕу^ V0 =14Аау (і> у = 1 2 3)>

0 0

Поскольку

т

Ж + ¥ = I (фуйЄу- + Еу-ёсту) = Сту.Еу- (і, j = 1, 2, 3),

0

получаем двухстороннее неравенство

Ж + ¥0 >фуЕу >Ж0 +¥

Таким образом, удельная потенциальная энергия деформаций линейно-вязкоупругого тела всегда больше удельной потенциальной энергии деформаций упругого тела с эффективными по времени модулями типа Фойгта. Удельная потенциальная энергия напряжений линейновязкоупругого тела в любой момент времени будет меньше соответствующей потенциальной энергии упругого тела с эффективными модулями типа Рейсса.

4. Обсуждение результатов

Необходимость учета всей истории изменения напряжений и деформаций по времени, возникающая при расчете напряженно-деформированного состояния вязкоупругих тел, в значительной степени усложняет численную реализацию. Попытки обойти данную проблему делались различными авторами с помощью разнообразных подходов.

Так, Р. Шепери [7] был предложен метод квазиупру-гой аппроксимации для нестационарных характеристик.

В.И. Малый и Н.А. Труфанов [8] разработали метод квазиконстантных операторов. В книге А.Н. Филатова [9] представлен метод замораживания. В работах Л.Е. Мальцева и др. [10] развит несколько другой метод, приводящий, по сути, к тем же результатам.

Предлагаемый в настоящей статье метод разработан на основе анализа соотношений энергетической эквивалентности сред с различными определяющими уравнениями. Впервые данный подход был предложен А.П. Деругой [11] для исследования вариационных формулировок итерационных методов в теории упругости.

Сопоставление найденных энергетических оценок для вывода соотношений эффективных модулей показывает методологическую общность подходов механики композиционных материалов и механики вязкоупругих тел.

Преимущества применения энергетического метода при построении теории эффективных по времени модулей заключаются еще и в том, что:

а) возможны обобщения на случаи анизотропии и нелинейности вязкоупругого поведения, которые могут быть получены как формальным путем, так и с применением математического аппарата энергетического метода;

б) полученная математическая формулировка допускает возможность построения других типов эффективных по времени характеристик, отличных от модулей типа Фойгта-Рейсса;

в) двухсторонние неравенства для функционалов потенциальных энергий линейно-вязкоупругого тела и тела с эффективными по времени модулями являются оригинальными и могут рассматриваться в качестве аналога вилки Фойгта-Рейсса для вязкоупругих тел.

5. Выводы

На примере задачи определения эффективных по времени модулей показана общность методов механики композиционных материалов и механики вязкоупругих тел.

Эффективные по времени модули определены на основе анализа соотношений энергетической эквивалентности функционалов потенциальных энергий. Найденные выражения эффективных модулей согласуются с результатами ряда авторов, которые использовали другие подходы.

Двухсторонние оценки функционалов потенциальных энергий линейно-вязкоупругих сред найдены впервые. Их можно рассматривать в качестве аналога вилки Фойгта-Рейсса, полученной для упругих композиционных материалов.

Литература

1. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. - М.: Мир, 1982. -

384 с.

2. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетерс Г.А. Сопротивление жестких полимерных материалов. - Рига: Зинатне, 1972. - 498 с.

3. Ван Фо Фы Г.А. Теория армированных материалов. - Киев: Наукова

думка, 1971. - 232 с.

4. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. - М.: Изд-во МГУ, 1984. - 336 с.

5. СветашковА.А. Определение эффективных характеристик неоднородных вязкоупругих тел // Вычислительные технологии. - 2001. -Т. 6. - № 1. - С. 52-64.

6. Светашков А.А. Эффективные по времени модули линейно-вязкоупругого тела // Механика композиционных материалов. -2000. - Т. 36. - № 1. - С. 59-70.

7. Шепери Р.А. Вязкоупругое поведение композиционных материалов

// Механика композиционных материалов. - М.: Мир, 1978. -С.102-195.

8. Малый В.И., Труфанов Н.А. Метод квазиконстантных операторов в теории вязкоупругости анизотропных нестареющих материалов

// Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1987. - № 6. - С. 148154.

9. Филатов А.Н. Методы усреднения в дифференциальных и инте-гро-дифференциальных уравнениях. - Ташкент: ФАН, 1967. -132 с.

10. Ильин В.П., Мальцев Л.Е., Соколов В.Г. Расчет строительных конструкций из вязкоупругих материалов. - Л.: Стройиздат, 1991.190 с.

11. Деруга А.П. Вариационные формулировки некоторых итерацио-нальных методов // Пространственные конструкции в Красноярском крае. - Красноярск: КПИ, 1979. - С. 34-46.

Поступила в редакцию 19.12.2009 г., после переработки 11.05.2010 г.

Сведения об авторах

Светашков Александр Андреевич, д.ф.-м.н., снс, проф. ТПУ, svetashkov@tpu.ru Куприянов Николай Амвросьевич, к.т.н., доцент, доцент ТПУ, kupr88@gmail.com