Об одном методе построения оптимальной траектории

УДК 624.074.4:539.4 В. М. Котляр

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ТРАЕКТОРИИ

Ключевые слова: вариационный метод, конструкция, композитный материал, синтез, граничные условия, оптимальная

конструкция.

В работе рассматривается вариационный метод решения задачи синтеза оптимальной траектории на ограниченном множестве. Такие задачи часто возникают при решении прикладных задач проектирования различных элементов конструкций, изготовленных из композитных материалов, с ограничениями в виде равенств и неравенств. Конечный результат решения, в этом случае, существенно зависит от количества граничных условий. Если их число превышает порядок системы разрешающих уравнений, то оптимальное решение может содержать различные экстремали, а переход от одной экстремали к другой может происходить скачком, то есть решение может быть найдено как в классе гладких, так и негладких или кусочно-непрерывных функций.

Key words: variational method, design, composite material, synthesis, boundary conditions, optimal design.

The paper discusses a variational method of solving problem of synthesis of optimal trajectories on a limited set. Such problems often arise in the solution of applied problems of design of various structural elements made of composite materials, with constraints in form of equalities and inequalities. The end result of the decision, in this case, essentially depends on the number of boundary conditions. If the number exceeds the order of the system of resolving equations, the optimal solution may contain various extremal, and the transition from one extremal to the other can occur abruptly, that is the solution can be found in the class of smooth and nonsmooth or piecewise continuous functions. The solution of a problem of synthesis is reduced to finding of an extremum of the function depending on the coordinates of points of switching.

где

1. Постановка задачи. В наиболее общем виде задача оптимального проектирования конструкции может быть сформулирована следующим образом [1], [2]: необходимо найти решение, доставляющее экстремум функционалу х1

^ = I и х, у, у )бх

хо

у = кУ2yц}, у Чу^У2,,УЛ,

У, = ^,' = 1,2,-", Л, бх

при наличии уравнений связи

Гг(х,у,у)= 0 , г = 1,2,-,I <Л (1.2) и дополнительных ограничений в виде неравенств

^1ш(х)<Фш(х,у,у)<У2ш(х),ю = 1,2, — ,т <л ,

где

^1ю

В качестве уравнений связей и ограничений в задачах оптимизации конструкций из композиционных материалов могут быть уравнения равновесия [3], ограничения по прочности, деформациям, упругим характеристикам, а также различного рода конструкционные и технологические ограничения [6]. Наличие системы неравенств (1.3) указывает на то, что экстремум функционала (1.1) отыскивается на ограниченном множестве. А так как в вариационном исчислении отсутствуют аналитические признаки отбора точек экстремали принадлежащих границе области, то необходимо преобразовать неравенства (1.3) в равенства, например, путём введения дополнительных неизвестных функций [1], [2]

еи=еи(х), ю = 1,2,-, т.

Тогда систему (1.3) можно записать следующим образом

Фш

1 + еЮ

Теперь вместо исходной задачи (1.1) - (1.3) будем рассматривать задачу (1.1), (1.2) , (1.4) которая является задачей Лагранжа на условный экстремум.

Известно [1],[2], что задача (1.1),(1.2),(1.4) эквивалентна задаче об отыскании экстремума функционала:

_ х1 и = |1дх ,

х0

где к - лагранжиан вида:

I т

к = /о(х. у. у )+ Е г(х Н(х. у. у )+ Е )х

г=1 ш=1

Ф.(х, у,у )-у 1.(х

1 + е ю

Необходимые условия экстремума последней задачи можно записать с помощью уравнений Эйлера - Лагранжа:

дк-±[дк| = о, = о

ду бх ^ду) 5еи

Рассмотрим второе уравнение системы (1.5):

2ци(х ).^2-(х )-(ч/)ю2()-ею(х ) = о. [1+е^(х )]2

Так как у 2ю(х ^^ю^К следующие решения:

1. еи(х ) = о, 2. еи(х ) = «, з. Цш(х) = о

где ю = 1,2,, т^

то возможны

Последнее соответствует вариационной задаче без ограничений (1.3).Первые два решения указывают на то, что функции Фш(х, у, у) принимают своё значение на границе области задания, то есть помимо решений даваемых первым уравнением системы (1.5) существует ещё два решения экстремальной задачи 6Ш (х) = 0 и

Мх ) = ».

Таким образом, исследование необходимых условий экстремума приводит к существованию нескольких классов решений системы (1.5).

Проверка достаточных условий экстремума является значительно более сложной математической задачей и поэтому в технических приложениях целесообразнее определять экстремальное решение путём непосредственной подстановки полученных решений в оптимизируемый функционал.

2. Построение оптимальной траектории при произвольном числе граничных условий. Необходимые условия экстремума функционала (1.1) представляют собой систему дифференциальных уравнений второго порядка. Для её решения необходимо иметь граничных

условий. Однако в практических приложениях часто возникает необходимость увеличить число граничных условий вследствие особенностей изготовления или эксплуатации конструкции. Ввиду этого задача оказывается перегруженной граничными условиями, а конечное решение состоит из кусков экстремалей различных классов. Кроме этого может не существовать решения в классе гладких функций и тогда приходится отыскивать его в более широком классе негладких или кусочно-непрерывных функций, то есть переход от одной экстремали к другой может происходить скачком. Сложность решения подобных задач (задач синтеза экстремальных линий) состоит в том, что неизвестно количество и расположение точек переключения, в которых происходит смена решений. Известные методы синтеза экстремалей, такие как принцип максимума Л. С. Понтрягина [4] и метод динамического программирования Беллмана [5], эффективны только для линейных задач.

В данной работе предложен метод решения задачи синтеза, основанный на сведении её к задаче на условный экстремум функции, зависящей от искомых координат точек переключения. Предполагается, что количество точек переключения ограничено из технологических соображений.

Будем предполагать, что имеется п различных классов экстремалей, из которых надо образовать решение, удовлетворяющее всем граничным условиям задачи и доставляющее экстремум функционалу (1.1).

Предположим, что число участков, на которых имеются сменяющие друг друга решения равно к . Отметим, что если имеется п решений, а оптимальная траектория имеет 5 точек

переключения, можно образовать п • (п -1)5

различных вариантов траекторий. Для того чтобы из данного набора решений можно было бы всегда образовать нужный вариант оптимальной траектории, необходимо, чтобы этот набор был полным. Полным набором решений в траектории будем называть последовательные повторения п решений не менее чем (5 +1) раз. Таким образом, в траектории с полным набором решений всего имеется не менее п(5 +1) участков. В дальнейшем будем предполагать, что имеется полный набор решений, и число участков более чем в п раз превышает предполагаемое число точек переключения, т.е. к > п(5 +1).

Пусть У1,У2,-,Ук - решения из числа различных дуг экстремалей, а число граничных условий и условий трансверсальности равно в, причём 5 > к . Начнём построение оптимальной траектории с левого конца. Обозначим границы участков через а0, а1,..., ак. Тогда функционал (1.1) запишется в виде

а 1

Л = I ^ (х, у 1, у 1 )х +

а о

а 2 а к + | Ъ (Х , У 2, У 2 )сХ + ... + ... | X , У к , У к ) ¿X .

а 1 а к -1

Рассматривая решение У1 можно утверждать, что оно зависит от параметра а0 , решение у 2 зависит от двух параметров ао и а1 и т.д. решение Ук от параметров а0,а1,...,ак-1. Ввиду этого, минимизируемый функционал, а также граничные условия и условия трансверсальности будут зависеть помимо прочего от параметров а(, где t = 0,1,...,к , то есть

Л = Л

Д1 = Д^а0, а1,..., ак) А2 =Д 2

Д 5 = Д 5

В виде (2.2) записаны граничные условия и условия трансверсальности. Таким образом, нам необходимо найти экстремум функции (к +1) переменных (2.1) при дополнительных условиях (2.2). Следуя обычной процедуре неопределённых множителей Лагранжа, составим функцию ф(а0, а1,..., ак) = Л (а0, а^...,ак) + £

+ &у 'Д1

где ^ у - неопределённые множители Лагранжа.

Предполагая функцию (2.3) непрерывно дифференцируемой по совокупности переменных воспользуемся для её минимизации теоремой Ферма. Согласно этой теореме необходимыми условиями экстремума (2.3) является система уравнений:

5Ф

— = 0,t = 0,1,..., k.

5a t

Запишем (2.4) в развёрнутом виде: 5Ф 5 [ k aL (  Ь 1 к 5А j

ю;"[Z j fo(*, yp, y pЬ [+Z^ j

t ^ [P=1ak_i

j=i 5a t

для t = 0,1,..., к.

Так как решение с индексом р имеет вид: Ур = Ур(х,а0,а1,...,ар-1),

то

5

5a 0

k a p

Z jfo(x,Ур,Ур)dx

p=1 a p_i

= -fo[ao,yi(ao),ji(ao)]+Z j fdx ,

P=2a P-1 5ao

5 5a t

k a p

Z jfo(x,yp,/p)dx

p=1 a p-1

= "o [at, Jt (at), jJt (at)]-

5f

-"o[at,Jt+i(at),Уt+i(at)]+ Z j dx

для t = i,2,...,k -1, и

5

5a k

k a p

Z j"o^Jp,yp)dx

p=1 a p-1

p=t+1 a p- 5at

= fo [ak, yk (ak X y k (ak )].

После некоторых преобразований получим:

5Ф = -fo[ao,yi(ao),y^i(ao)]- Z

5a

p=2

5fo 5yp

5y p 5a t

5fo d

( m V 5fo

5yp dx

K5yp У

5yp I s 5А, 5a t I j=1 5ao

= fo [at, yt (at), 7 t (at)]-"o [at, yt+i(at), j+i(at)] +

5a t

k

+ Z

p=t+1

5fo 5yp

5jp 5a t

xp-i

5fo d

Г 5fo V

5yp dx

5y p

5yp I s 5А:

5rdx[ + Z4 j ^ = o,

5a t I j=1 5a f

для t = 1,2,..., k -1, и

5Ф г п ^ 5A /

= fo |a k, 3k (a k), У k (a k )J+Z Л у = 0 •

5a k j=1 5ak

Если доопределить f0 следующим образом:

fo [ao, Уо(ао), 3o(ao)]-fo [ao, 3i(ao), /i(ao)] = 0, и f0[ak,yk+1(ak),уk+1(ak)] = 0 , то можно записать одну общую формулу для любого t = 0,1,...,k :

5Ф

5a t

= fo [at, yt (at), y t (at)]-fo [at, yt+1K), j+i(at)] +

k

+ Z

p=t+1

5fo 5yp

5y p 5a t

Vi

j

5fo

5Jp

_d_ dx

5fo

5y p

5yp

5a

dx ^ + j t J j=i

5А у (ao, ai,..., ak) = o

5a t

Присоединяя к системе (2.5) 5 уравнений (2.2) получаем систему к + 5 +1 уравнений, содержащих к + 5 +1 неизвестных координат точек переключения а0, а1,..., а к, и множителей Лагранжа п,г2,...,г5 .

Литература

1. Петров, Ю.П. Вариационные принципы теории оптимального управления / Ю.П.Петров// Ленинград. «Энергия».1977. -280с.

2. Гельфанд, И.М. Вариационное исчисление / И.М.Гельфанд, С.В.Фомин / Москва - Ленинград. «Физматгиз».1961. - 228с.

3. Абдулхаков, К А. Исследование влияния ширины ленты на прочность композитных оболочек вращения в зависимости от ориентации ленты при намотке / К.А.Абдулхаков, В.М.Котляр / Вестник Казанского технологического университета, 2011. - т.14 № 8.С.144

- 150с.

4. Понтрягин, Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С.Понтрягин, В.Г.Болтянский, Р.В.Гамкрелидзе, Е.Ф.Мищенко // Москва. «Наука». 1976. - 360с.

5. Беллман, Р. Прикладные задачи динамического программирования / Р.Беллман, С.Дрейфук // Москва. «Мир». 1965. - 400с.

6. Котляр, ВМ. Накопитель механической энергии оболочечного типа из композиционного материала, образованный намоткой ленты / В.М.Котляр, К.А.Абдулхаков, / Вестник Казанского технологического университета, 2012. - т.15 № 11.С.156

- 157с.

© В. М. Котляр, канд. техн. наук, доц. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КНИТУ, tmsm@kstu.ru.

© V. M. Kotlyar,candidate of technical sciences, associate professor, Kazan National Research Technological University, department of theoretical mechanics and strength of materials, tmsm@kstu.ru.

a

p

a

+

X

X

a

p

+

o

a

a

p

j

+

a

p-1

a

p

+

a

ex

p

j

+