Нелинейные упругие свойства анизотропных кристаллов и аксиальных квазикристаллов

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 111-122 Механика

УДК 539.3

Нелинейные упругие свойства анизотропных кристаллов и аксиальных квазикристаллов *

Д. В. Христич

Аннотация. Рассматриваются нелинейные термоупругие свойства кристаллов гексагональной сингонии, трансверсально-изотропных материалов и аксиальных квазикристаллов с поворотной осью различных порядков, не присущей кристаллическим телам. На основе группового анализа построены канонические представления тензоров второго, четвертого и шестого рангов, характеризующих линейные и нелинейные термоупругие свойства анизотропных кристаллов и квазикристаллов. Проанализированы сходства и различия в структуре найденных тензоров для указанных материалов.

Ключевые слова: термоупругость, нелинейная упругость, анизотропные материалы, квазикристаллы.

В последнее время экспериментально получено множество новых материалов, структуру которых в отличие от кристаллов невозможно построить с помощью бесконечного количества трансляций одной элементарной ячейки [1]. Такие материалы называются квазикристаллами. Квазикристаллы не имеют периодической кристаллической структуры, но обладают дальним порядком апериодического типа. Они не обладают трансляционной симметрией, поэтому могут иметь поворотные оси симметрии 5-го, 8-го и более высоких порядков [2-6], недопустимые для периодически упорядоченных кристаллов, в которых возможно наличие поворотных осей только 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков [1].

Аксиальные квазикристаллы имеют одну поворотную ось симметрии. Такие квазикристаллы имеют квазипериодическое расположение атомов в плоскостях, перпендикулярных оси симметрии. Квазипериодические плоскости упакованы периодическим образом вдоль оси симметрии.

В статье [7] были аналитически исследованы линейные термоупругие свойства аксиальных и икосаэдрических квазикристаллов.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 12-01-31176-мол_а).

Целью настоящей работы является изучение нелинейных упругих свойств аксиальных квазикристаллов и некоторых кристаллических анизотропных материалов и представление тензоров, описывающих эти свойства в каноническом виде.

Рассмотрим анизотропное упругое тело, для которого свободная энергия представляется разложением в ряд Тейлора:

ф(е, Т) = ф(0, Та) + 9Ф(0£Т0) • •е + (Г - Т°) +

1 + 2

^ • • • • (ее) + 2^ . е(Т-Т) + ^(Т-ТЬ)2

+

1

+ 6

Г*™ (еее) + з ЫЬМ... мт - Ть)+

де3 де2дТ

+3е(Т - ТЬ))2 + ^М(Т - Ть)=

+ ...

где е — тензор деформаций Коши-Грина, Т — температура, ТЬ — начальная температура. Каждая точка означает скалярное произведение базисных векторов, входящих в диадные (полиадные) представления перемножаемых тензоров.

Входящие в это разложение тензор второго ранга А = т и тензор

четвертого ранга N = в линейной теории упругости называют тензором температурных напряжений и тензором упругости соответственно. Если в разложении свободной энергии сохранить члены третьего порядка, то свойства материала будут характеризоваться также и тензором шестого ранга

в = д3г В = де3 .

В случае произвольной анизотропии тензоры А, N и В имеют наиболее общий вид. В силу симметрии используемых в классической теории упругости тензоров напряжений и деформаций число независимых компонент тензора А равно 6, тензора N — 21, тензора В — 56. Если термоупругие свойства материала обладают некоторой симметрией, то количество независимых констант уменьшается, а тензоры приобретают более простую структуру.

В кристаллографии и теории анизотропной упругости известны различные подходы к представлению тензоров А, N и В в каноническом (простейшем) виде [1, 8]. Одним из возможных подходов является построение тензорных базисов, инвариантных относительно групп ортогональных преобразований, характеризующих симметрию физических свойств. В работах [9, 10] предложены инвариантные комбинации базисных тензоров, которые образуют каноническую структуру тензоров свойств материалов, относящихся к одной из семи кристаллографических систем. Метод построения таких комбинаций может быть применен для определения структуры тензоров

А и N характеризующих свойства квазикристаллов, и структуры тензора В, описывающего нелинейные упругие свойства различных анизотропных материалов.

К наиболее общим случаям симметрии свойств относят наличие одной плоскости симметрии (моноклинный материал), трёх плоскостей симметрии (ортотропный материал), наличие поворотной оси бесконечного порядка и перпендикулярной ей плоскости симметрии (трансверсально-изотропный материал). Кристаллы характеризуются также наличием поворотных осей 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков.

Введём декартов базис так, что вектор е3 направлен вдоль главной поворотной оси симметрии (перпендикулярно плоскости симметрии), вектор е2 вдоль возможной боковой поворотной оси, а вектор е1 выберем таким образом, чтобы тройка векторов е1, е2, е3 была правой и выполнялись условия ег • е? = 5г?, 1,] = 1, 2, 3. Выбранные таким образом векторы е1, е2, е3 определяют направление главных осей анизотропии материалов, имеющих хотя бы одну поворотную ось симметрии [8].

Построим тензорный базис:

который в дальнейшем будем называть каноническим. Подобным образом тензорные базисы вводились также в работах [5, 8-10].

На его основе строится базис полусимметричных тензоров четвертого ранга

который является ортонормированным, а также базис тензоров шестого ранга

симметричных по первой, второй, третьей парам индексов и их перестановкам.

Базисные тензоры шестого ранга можно представить в виде

Тензорный базис (1) удовлетворяет условию I" • • Iе = 5ав, а, в = 0,1,5.

+ Iеі«7 + 17^ или і«в7 _ 1 р + Iа + і«7Iе^ _

3 3

При ортогональном преобразовании Р = д?еге? базиса декартовой системы координат (<*)' = дг?е? тензорные базисы (1), (2) изменяются по законам

(Iа) = тав Iе, (!ав У = таб I6y meY,

СIаві)' = з ^абIsmexI^m^^ + mesIsma\IX^m1^ + mjsIsma\IX^mв^

или

' = 3 (ma\I5 + me\Ix^m1^ma&I5 + maXIx^m1^mesГ5) , (7) где компоненты mae связаны с компонентами qij соотношениями [11, 12]

mae = вв вы qikqij.

Однако для нахождения тензоров (Гав^1 при некотором ортогональном преобразовании Q = qijeiej оказывается удобно использовать выражения преобразованных базисных тензоров шестого ранга через преобразованные базисные тензоры второго и четвёртого рангов:

или

(Г13^/ = 3 ( (Ге)/ (IY)/ + (IeY)/ (Iа)/ + (IaY)/ (Iе)^ .

Матрица в для базисов (1), (2) и (3) имеет вид [9]

(в) =

( і Д/3 -1/V6 i/V2 о о

і Д/3 -і/у/6 -і/у/2 о о

іД/3 2 ^л/6 ООО

ООО іД/2 о

О О О О 1 / —2

О

О

О

о

о

V О

о

о

о

о і Д/2 /

Любой симметричный (Ліі _ А^і) тензор второго ранга однозначно представляется разложением по базису (1) в виде

A

AaIa,

где A = Aij е е и Aa = ва Aij,

полусимметричный (Nijkl = Njikl = Nijlk = NkUj) тензор четвертого ранга по базису (2) в виде

N

где N = Nijkl ё e> ek Є и Naв = ва Nijkl в,

kl

а симметричный по первой второй третьей парам индексов и их перестановкам (Бг?к1тп Б?гк\тп Бг?\ктп Бг?кЬпт Бг?тпк1 БкН?тп) тензор

шестого ранга — по базису (3) в виде

где

В _ Бав1 ,

В _ Бі3к1тп е е ( ет еп

Бав~! _ вк Бі]кІтпвтп или Бав^ _ ва БізкІтпввівтп-

Если при некотором преобразовании Р системы координат для каких-либо базисных тензоров выполняются условия

і« ^і^в^1 і<ав

^1«в^1 _ 1«в7

то они называются инвариантными относительно преобразования р.

В случае , когда Р входит в группу симметрии некоторого физического свойства , характеризующие это свойство тензоры содержат в своих разложениях (11) или (12) только инвариантные базисные тензоры.

В работах [9 , 10] на основе известных порождающих элементов для различных групп ортогональных преобразований характеризующих симметрию свойств материалов относящихся к различным кристаллографическим системам , получены наборы базисных тензоров 1а , 1ав , инвариантных относительно этих преобразований и входящих в канонические представления тензоров А и N для кристаллических материалов. Такие наборы инвариантных базисных тензоров для материалов с различными типами симметрии имеют вид:

I1, I2, I3, I4,

I0, I1, I2, I3

Триклинная среда Моноклинная среда

I0

I5

Ромбическая среда Тетрагональная среда Тригональная среда Гексагональная среда

Кубическая среда Изотропная среда

I0, I1, I2

I0, I1

I0, I1

I0, I1

I0

I0

I00 , I11 + I

22

!ав

^0 ^1 ^2 !11 112 113

^2 ^3 ^3 ^4 ^5 !55

!00 !01 ^2 ^1 112 !22 I33 I44 I55

I00 !01 !11 I22

I33 I44 + I55 I00 !01 !11 ^2 +133

I44 + I55 I24 + I35

I00 !01 !11

I22 + I33 I44 + I55

I33 + ^4 + I55

I00 , I11 + I22 + I33 + I44 + I

22

33

44

55

и

Для аксиальных квазикристаллов с различным порядком поворотной оси симметрии также требуется получить наборы инвариантных базисных тензоров и выписать канонические представления тензоров А и N.

Рассмотрим аксиальный квазикристалл , имеющий поворотную ось симметрии 5-го порядка и плоскость симметрии , перпендикулярную этой оси. Порождающими элементами группы симметрии такого квазикристалла яв-

«.» —* 2п

ляются ортогональный тензор поворота вокруг оси ез на угол -5-

= 008 — ( е1 е1 + е2 е2) + 81п — (е1 е2 — е2 е1) + е3 е3

5 4 7 5

и ортогональный тензор отражения относительно плоскости перпендикулярной оси е3

(5) -4 ^1 , 42 42 -3 -3

у = е1 е1 + е е — е3 е3.

В соответствии с соотношениями (8) для поворота (16) получаем матрицу Шав в виде

(т35)) =

/1 0 0 0 0 0 \

0 1 0 0 0 0

0 0 4п 008 — 4п — 81П — 0 0

0 0 5 4п 81П — 5 0 5 4п 008 — 5 0 0 0

0 0 2п 008 ~Г 2п 81П —

V0 0 0 0 . 2п — 81П 5 27Г 008 5 /

а для отражения (17) — матрицу тав

( 1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 —1 0

0 0 0 0 0 —1 )

Непосредственная проверка выполнения условий (14) показывает, что инвариантными относительно рассматриваемых преобразований являются базисные тензоры второго ранга I0 , I1 и тензоры четвертого ранга I00 , I01, I11. Можно показать , что при повороте (16) и отражении (17) инвариантными являются и линейные комбинации базисных тензоров I22 + I33 , I44 + I55. Тогда канонические представления тензоров А и N для квазикристалла , имеющего поворотную ось пятого порядка и перпендикулярную ей плоскость симметрии могут быть записаны в виде

А = А0^ + А111,

N = Жоо!00 + ВД01 + ЖцТ11 + N22

Это указывает на то, что в рамках линейных термоупругих свойств рассматриваемый материал ведет себя, как кристаллы, относящиеся к гексагональной сингонии, или трансверсально-изотропный материал, имеющий аналогичные наборы инвариантных базисных тензоров [9, 10].

Обобщим полученный результат на случай квазикристаллов, имеющих ось симметрии порядка п > 6 и перпендикулярную ей плоскость симметрии. Порождающими элементами группы симметрии такого материала являются

«.» —* 2п

ортогональный тензор поворота вокруг оси ез на угол —

дЫ) 2п (-,1-,1 -й-о,\ . • 2п /-4-а -е->1\ , -3-3

3 = еов --- ( ее +ее) + 81П — ( ее -ее) + ее

п п

и ортогональный тензор отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси ё3,

Я—

я±

1 1 2 2 3 3

е е + е е — е3 е3.

Этим порождающим элементам группы симметрии соответствуют матрицы преобразования базисных тензоров тав в виде

\

(1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 4п . 4п 0 0

Є08 — 81П —

0 0 . Пп п 4п 0 0

81П Є08

п п 2п 2п

0 0

0 0 Є08 81П

V0 0 0 0 Пп 2пп

— 81П Є08

п п

Как и для преобразований (18), (19), непосредственной проверкой доказывается, что инвариантными относительно преобразований (21), (22) являются те же базисные тензоры и их линейные комбинации, что и для квазикристалла с поворотной осью симметрии 5-го порядка: I0, I1 и I00, I01, I11, I22 + I33, I44 + I55. Поэтому для квазикристаллов, имеющих поворотную ось симметрии порядка п > 6 и перпендикулярную ей плоскость симметрии, канонические представления тензоров А и N также имеют вид (20).

Полученный результат полностью подтверждается экспериментальными данными по определению упругих свойств декагональных квазикристаллов, приведенными в работе [3].

Таким образом, для квазикристаллов, имеющих поворотную ось симметрии порядка п > 4, тензоры четвертого ранга имеют одинаковый вид, сов-

падающий с представлением тензора четвертого ранга для трансверсально-изотропного материала. Этот результат совпадает с утверждением, содержащимся в теореме Германа [1]: если тензор ранга г имеет ось симметрии порядка п и г < п, то этот тензор имеет и ось симметрии бесконечного порядка.

Механические эксперименты по исследованию начальных упругих свойств и определению структуры тензора упругости N не позволяют отделить аксиальные квазикристаллы от кристаллов гексагональной сингонии и трансверсально-изотропного материала. Однако различия между аксиальными квазикристаллами и гексагональным и трансверсально-изотропным материалами могут содержаться в структуре тензора шестого ранга В, определяющего нелинейную зависимость напряжений от деформаций.

Непосредственная проверка выполнения условий (15) показывает, что инвариантными относительно преобразования поворота (18) являются базисные тензоры шестого ранга I000, I001, I011, I111 и их линейные комбинации I022 + I033, I044 + I055, I122 + I133, I144 + I155, I224 + 2!235 - I334, I225 - 2!234 - I335, I244 - I255 - 2!345, 2^45 + I344 - I355. При этом инвариантными относительно преобразования симметрии (19) являются не все приведённые тензоры шестого ранга и их линейные комбинации, а только следующие: I000, I001, I011, I111, I022 + I033, I044 + I055, I122 + I133, I144 + I155,

^44 __ ^55 __ 2^45 2^45 + ^44 __ ^55

Тогда каноническое представление тензора шестого ранга В, описывающего нелинейные упругие свойства, для квазикристалла, имеющего поворотную ось пятого порядка и перпендикулярную ей плоскость симметрии, имеет вид

В = BoooI000 + Дю^001 + B011І011 + Вц^111 + В022 (I022 + I033) +

+В044

+В244 (!244 - I255 - 2!345) + В344 (2^44 + I344 - !355) ,

то есть тензор В для такого материала имеет десять независимых компонент.

Как и для преобразований (18), (19), непосредственная проверка показывает, что для аксиальных квазикристаллов с поворотными осями восьмого, десятого и двенадцатого порядков инвариантными относительно преобразований (21), (22) являются те же базисные тензоры и их линейные комбинации, что и для квазикристалла с поворотной осью симметрии пятого порядка. Поэтому для квазикристаллов, имеющих поворотную ось симметрии порядка п = 8, 10, 12 и перпендикулярную ей плоскость симметрии, каноническое представление тензора В также имеет вид (23).

Порождающими элементами группы симметрии гексагонального материала являются ортогональный тензор поворота вокруг оси ё3 на угол 3

»

= 2 (е1 е1 + е2 е2) + (е1 е2 - е2 Є) + е3 е

у/3 ^1

и ортогональный тензор отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси ёэ,

д

(6) -4 ^1 , 42 42 _в _в

У = е1 е1 + е ё — ё3 ё3.

Этим порождающим элементам группы симметрии соответствуют матрицы преобразования базисных тензоров тав в виде

(™в6)) =

00 0

10 0

0 —2 ^3

2

0 £ 1

— 2

О 0 0

о 0 0

= ( (5) [ту

0 0

0

0 1

0 0

0 0

^3

2 1

2 )

Инвариантными относительно обоих преобразований (24), (25) для гексагонального материала являются базисные тензоры шестого ранга I000, I001, I011, I111 и их линейные комбинации I022 + І0вв, I044 + I055, I122 + 11вв, І144 + 1155 ^22 — 3I2вв з^2в — Iввв I244 — ^55 — 2Iв45 2I245 + ^44 — Iв55

Каноническое представление тензора шестого ранга В, описывающего нелинейные упругие свойства гексагонального материала, имеет вид

В = BoooI000 + BoolI001 + Ал^011 + Вц^111 + В022

+В044 а044 + !°55) + В122 а122 + !1вв) + В144 а144 + !155) + А222 (^22 — 3I2вв) +

+В22в (3!22в — Iввв) + В244 (^44 — I255 — 2Iв45) + Вв44 (2I244 + I344 — ,

то есть тензор В для такого материала имеет двенадцать независимых компонент.

Порождающими элементами группы симметрии трансверсально-изотропного материала являются ортогональный тензор поворота вокруг оси ев на произвольный угол ф

= 008 ф ( е1 е1 + е2 е2) + 8ІП ф ( е1 е2 — е2 е1) +

евев

и ортогональный тензор отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси ёэ,

я

ъ!?

-4 -1 I -2 -2 -в -в

= е1 е1 + е2 е2 — е (Т.

Этим порождающим элементам группы симметрии соответствуют матрицы преобразования базисных тензоров тав в виде

/ 1 0 0 0 0 0 \

0 1 0 0 0 0

0 0 008 2ф — 8Іп2ф 0 0

0 0 8ІП 2ф 008 2ф 0 0

0 0 0 0 008 ф 8Іп ф

V 0 0 0 0 - 8Іп ф 008 ф /

(ш|ф)) = К5)) •

Инвариантными относительно обоих преобразований (27), (28) для трансверсально-изотропного материала являются базисные тензоры шестого ранга I000, I001, I011, I111 и их линейные комбинации I022 + I033, I044 + I055, I122 + I133, I144 + I155, I244 - I255 - 2Г345, 2^45 + I344 - I355. Каноническое представление тензора шестого ранга В, описывающего нелинейные упругие свойства трансверсально-изотропного материала, имеет вид

В = BoooI000 + В001!001 + В011!011 + Вц^111 + В022

+В044 а044 + !055) + В122 а122 + I133) + В144 а144 + !155) +

+В244 (^44 — I255 — 2!345) + В344 (2I244 + I344 — !355) ,

то есть тензор В для трансверсарльно-изотропного материала имеет десять независимых компонент.

Полученные канонические представления тензора В (26) и (29) качественно подтверждаются данными о числе независимых компонент тензоров четного типа для гексагонального и трансверсально-изотропного материалов, приведенными в книге [1].

Таким образом, тензоры второго и четвертого рангов, описывающие линейные термоупругие свойства, имеют одинаковую структуру для гексагональных кристаллов, трансверсально-изотропных материалов и аксиальных квазикристаллов с осью симметрии порядка п ^ 5. Однако различия в упругих свойствах этих анизотропных материалов могут проявляться в структуре тензоров, описывающих нелинейную зависимость тензора напряжений от тензора деформаций. В частности, каноническое представление тензора В, описывающего квадратичную зависимость напряжений от деформаций,

для гексагональных материалов содержит двенадцать независимых компонент, а для трансверсально-изотропных материалов и аксиальных квазикристаллов с поворотной осью симметрии 5-го, 8-го, 10-го или 12-го порядка — десять независимых компонент, причём представления тензора В для этих материалов одинаковы. Отметим, что упругие свойства гексагонального и трансверсально-изотропного материалов, описываемые тензором шестого ранга, не совпадают, как в случае линейной связи тензоров напряжений и деформаций.

Предложенный подход к определению структуры тензоров свойств кристаллов можно успешно применять для исследования строения тензоров, описывающих нелинейные термоупругие свойства других анизотропных материалов, в частности, квазикристаллов различных типов.

Список литературы

1. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики: учеб. пособие. М.: Наука, 1979. 640 с.

2. Белянин В. Квазикристаллы и золотая пропорция // Наука и жизнь. 2005. № 10. С. 68-76.

3. Векилов Ю.Х. Что такое квазикристаллы // Соросовский образовательный журнал. 1997. № 1. С. 87-91.

4. Гратиа Д. Квазикристаллы // Успехи физических наук. 1988. Т. 156. № 2. С. 348-364.

5. Черников М.А. Упругие свойства икосаэдрических и декагональных кристаллов // Успехи физических наук. 2005. Т. 175. № 4. С. 437-443.

6. Векилов Ю.Х, Черников М.А. Квазикристаллы // Успехи физических наук. 2010. Т. 180. № 6. С. 561-586.

7. Христич Д.В. Аналитическое определение симметрии свойств квазикристаллов // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 81-88.

8. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1998. 192 с.

9. Соколова М.Ю. Структурные тензоры анизотропии в пространстве А.А.Ильюшина // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2001. Т. 7. Вып. 2. С. 141-148.

10. Соколова М.Ю. Вариант термомеханических соотношений конечного деформирования анизотропных материалов // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2002. Т. 8. Вып. 2. С. 139-145.

11. Маркин А.А, Соколова М.Ю. Нелинейные соотношения анизотропной упругости и частный постулат изотропии // Прикладная математика и механика. 2007. Т. 71. Вып. 4. С. 587-594.

12. Маркин А.А., Соколова М.Ю, Христич Д.В. Постулат А.А.Ильюшина для анизотропных материалов и вариант определяющих соотношений // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2011. № 1. С. 38-45.

Христич Дмитрий Викторович (dmitro@tula.net), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Nonlinear elastic properties of anisotropic crystals and axial

quasicrystals

D. V. Khristich

Abstract. In the article nonlinear thermoelastic properties of hexagonal crystals, transversally isotropic materials and axial quasicrystals with different orders rotational axis which is not inherent in crystal solids are considered. On the basis of group analysis canonical representations of second-, forth- and sixth-order tensors describing linear and nonlinear thermoelastic properties of anisotropic crystals and quasicrystals are built. Similarities and differences in the found tensors structure for specified materials are analyzed.

Keywords: thermoelasticity, nonlinear elasticity, anisotropic materials, quasicrystals.

Khristich Dmitry (dmitro@tula.net), candidate of physical and mathematical sciences, associated professor, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 27.01.2013