Развитие самостоятельного аналитического и творческого мышления студентов при помощи решения игровых задач

Маматов М.Ш.1, Махмудова Д.М.2 ©

Доктор физико-математических наук, профессор; 2старший научный сотрудник-исследователь.

Национальный университет Узбекистана, Ташкент

РАЗВИТИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО И ТВОРЧЕСКОГО

МЫШЛЕНИЯ СТУДЕНТОВ ПРИ ПОМОЩИ РЕШЕНИЯ ИГРОВЫХ ЗАДАЧ

Аннотация

Изучены выявления аналитического творческого мышления студентов при помощи решения проблемных игровых задач с применением информационно - коммуникационных технологий.

Ключевые слова: мышления, выявления, знания, задача, дифференциальная игра.

Keywords: thinking, identification, knowledge, task, differential game.

Вполне понятно, что на сегодняшний день кроме технологической подготовки специалиста, существенным фактором развития образования является формирование таких качеств личности, как самостоятельность, способность принимать ответственные решения, творческий подход к любому делу, умение постоянно учиться, коммуникабельность, способность к сотрудничеству, социальная и профессиональная ответственность и так далее. Формирование этих качеств возможно при широком внедрении в практику во всех ступенях образовании личностно - ориентированного образования, которое наибольшей степени удовлетворяет гуманистические цели становления будущего специалиста. Становление личностно - ориентированного образования позволит также обеспечить профессиональную самореализацию человека и поддержку его дальнейшего творческого роста[1,117].

Хорошо известно, что для плодотворной научной работы требуется не только знание и понимание, но, главное, еще самостоятельное аналитическое и творческое мышление, как одно из эффективных средств воспитания, выявления и оценки этих качеств, это решение задач при обучении молодежи. Большое значение имеет решение задач при изучении точных наук, таких, как математика, механика, физика и другие. Решение задач дает возможность не только самому студенту применять свои знания к решению практических проблем, но и для преподавателя задачи являются одним из наиболее эффективных способов проверить, насколько глубоко понимает студент предмет. Кроме того, как уже сказано при обучении молодежи с помощью решения задач можно еще, воспитывать и выявлять самостоятельное творческое научное мышление. Математика является весьма подходящим предметом для начального воспитания в юношестве творческого мышления в области естествознания[2,226;3,335]. Очевидно, что не все задачи дают возможность открыть у студента такие способности. Поэтому, надо отдельно остановиться о характере таких задач. Опыт показывает, что задачи, которые дают обычно в сборниках, ни всегда имеют тот характер, который воспитывает самостоятельность мышления. Обычно эти задачи сводятся к тому, что надо подставить заданные данные в нужные формулы, и тогда получишь определенный ответ. Здесь самостоятельность ученика проявляется только в том, чтобы правильно выбрать формулы, в которые нужно подставить данные. Такими качествами, которые мы упомянули, обладают проблемные игровые задачи. Приведем примеры:

Пример 1. В работе [2,226] рассматривается следующая задача: В пространстве Rn

рассматривается дифференциальная игра Г двух лиц, преследователя Р и убегающего E.

Закон движения R имеет вид

© Маматов М.Ш., Махмудова Д.М., 2016 г.

x = u, lUI < a, x

движение E описывается уравнением вида

У = u, \\v\\<P, y

1. Пусть игрок E перемешается с постоянным управлением t и, игрок Р знает и. Найти такой закон движения игрока Р, при котором момент встречи минимален( момент встречи - момент T такой, что x(T) = у (T)). 2. Пусть игрок E выбрал программное

управление u(t) в момент t = 0 и сообщил о своем выборе игроку Р. Найти закон движения игрока Р , при котором момент встречи минимален.

3. Пусть игрок E выбрал программное управление u(t) вида

v0(t) =

V , t е [0, t],

Vv , t е

и в момент t = 0 сообщил игроку Р о выбранных значениях и и t, а в момент t (если не произошло встречи) - о v. Найти закон движения игрока Р, при котором момент встречи минимален.

4. Пусть игрок E выбрал программное управление u(t) вида

V , te[0,ti],

V , tе (t,t2],

V)(t) = 1

vk-1,t е (tk-1, tk],

vk, t е

и в момент t = 0 сообщил игроку Р о выбранных значениях Vt, в момент t - о

выборе ut и так далее, в момент tk - о выборе Vk (если к соответствующему моменту tj

встреча еще не произошла). Найти закон движения игрока Р , при котором момент встречи минимален.

Решение. При фиксированных u, и из уравнений (1), (2) имеем

x(t) - У(t)) = x0 - У0 +t(u- v0).

Из условия x(T) = у(T)) получаем Z0 - Tu + Tu = 0, или Z0 - Tu = -Tu, где Z0 = Х0 - У0. Для разрешимости последнего уравнения необходимо и достаточно, чтобы ||z0 - Tul < Ta. Возведя последнее неравенство в квадрат, получаем [4,325;5,234;6,2596]

T>T( Z0,v0) =

I 2 \ Г2 2 ~\2~

22 a - v0

а тогда u(t) = v0 -

Z0

T

Для того чтобы привести следующие примеры нам нужно будет понятие параллельного движения.

Определение. Стратегия игрока Р называется стратегией параллельного движения, если для всех t > 0 прямая lt, проходящая через точки x(t), y(t), параллельна прямой /0,

проходящей через точки Х0, У0, и ||x(t) - y(t)| не возрастает.

Пример 2. Пусть в игре Г законы движения игроков Р и E имеют вид (1),(2). Определить закон движения Р, если он использует стратегию параллельного сближения (предполагается, что Р использует u(t) такое, что ||u(t)|| = a для всех t > 0), при этом

а) E находится в точке, Уо то есть u(t) = 0 для всех t > 0,

б) E выбирает u(t) = b^T0—У°7 для всех t > 0,

Ро - У0Ц

в) E выбирает u(t) = bir0—-°т для всех t > 0,

г) E выбирает u(t) = u0, |t>0|| = b для всех t > 0.

Решение. Пусть Z0 = Х0 - У0, тогда рассуждая точно также, как в примере 1 получаем:

а) u(t) = -атг°г,; б) u(t) = -а-^°-; в) u(t) = -а-^°- •

г) u(t) = u0

zn

Пример 3. Пусть игра Г рассматривается в R2, законы движения игроков, Р и E имеют вид (1),(2). Определить закон движения Р, если он использует стратегию параллельного сближения, двигаясь с максимальной по норме скоростью, в случае, если

а) х0 = (0,0), y0 = (a,0), a > 0, E выбрал управление u(t) = (b,0) для всех t > 0,

б) х0 = (0,0), y0 = (a, 0), a > 0, u(t) = (0, b) для всех t > 0,

в) х0 = (0,0), y0 = (a, 0), a > 0, u(t) = (b cos p, psin p), для всех t > 0,

г) x0 = (0,0), y0 = (5,0), a = 2, u(t) = (0,b),b = 1 для всех t > 0.

Решение. Управление преследователя Р, порожденное стратегией параллельного преследования, имеет вид

,, ,,

u(t) = u(t)------------^---:---,, '----------"---—  Z0

где z0 = х0 - У0 . Отсюда получаем ответ.

Определение. Говорят, что преследователь использует стратегию погонного преследования u , если u - позиционная стратегия, порождающая u (t) е U вида

z

z

z

0

0

0

2

z

0

z

0

u* (t) = a(y(t) - x(t)), a > 0,

причем a выбирается так, что для всех b> a, b(y(t) - x(t)) € U для всех t > 0.

2

Пример 4. В R рассматривается дифференциальная игра простого преследования с законами движений (1),(2).

1. Пусть E использует постоянное управление и, ||Ц) || = b, Р использует стратегию

погонного преследования. Найти траекторию движения Р и момент встречи.

2. Пусть

a = 2,b = 1, У0 = (10,0), Х0 = (0,0),

Г(0,1), t е [0,1), 1(1,0), t > 1.

v(t) = •

P использует стратегию погонного преследования. Найти траекторию движения Р и момент встречи.

3. Пусть

а = 2,0 = 1, уо = (10,0), хо = (0,0),

[(0,1), t е [0,1),

[(>/2/2,>/2/2), t > 1.

P использует стратегию погонного преследования. Найти траекторию движения P и момент встречи.

4. Пусть

а = 2,0 = 1, у0 = (10,0), Х0 = (0,0),

(0,1), t е [0,1),

v(t) = [ (02/2,02/2), tе [1,2),

(0,-1), t > 2.

P использует стратегию погонного преследования. Найти траекторию движения P и момент встречи.

Решение. Будем считать, что система координат выбрана так, что u = (0,0). Так как y(t) = (у°, у20 + 0t), то закон движения преследователя Р в координатной форме имеет вид

х1 = a

У0 - х1

х&2 = a

^[

У2 +0t - х2

'^J

Разделив второе уравнение на первое, получаем

dx2 = У2 +0t - х2

dx,

У0 - X

0 ч dx^ 0 п

или (У1 - х1)—2 - у2 + х2 = 0t. йхл

Обозначим длину дуги P0P через s. Так как движение по погонной линии равномерное

со скоростью a, то s = at, откуда t = —. Тогда из последнего уравнения получаем

a

. 0 . dx2 0 0

(У1 - X1H---У2 + X2 = gs, где у = — < 1.

dxi

a

Продифференцировав обе части последнего уравнения по X1, получаем

dx2 . 0 4 dx2 dx2 ds

----2 + (У0 -х^ — + -^ = g .

dx1 dx1 dx1 dx1

I 2 2

Так как ds = ^dx1 + dx2 , то получаем уравнение

( у0 - х,)dX2

dXi

= -g

1 +

^ dx2 ^

^ dx1 j

знак минус справа по причине того, что с увеличением Х1 длина уменьшается. Последнее уравнение можно записать в виде

d 2 x

dx]

2 • dxi

g

1 +

( dx: ^

l dxi j

dxi.

xi - У1

Интегрируя данное уравнение, получим

gln

х - y? + C = ln dx2 — + , 1 + dx2 ^ 2

dxi \ l dxi j

В момент t = 0, xi = x°, = 0. Отсюда, считая, что xi ф y° получим C = -gln

dx,

0 0 xi - yi

Далее получаем уравнение вида

Кроме того,

(

0 У

0 V j xi - yi _ dx2

~0 0

l xi - yi j

+ ,

dxi \

i +

( dx2 ^

l dxi j

( 0 yg

xi - yi .

0 0 ' l xi - yi j

Из последних уравнений получаем

(_. _ 0 У (

dx

+

dxi \

i +

( dx2 ^

l dxi j

xi - yi xi - yi

О О О О

l xi - yi j l xi - yi j

0 Vg

= 2-

, dx2 dx,

Интегрируя последнее уравнение, получим

2x2 + C =

xi- yi0 0 0 l xi - yi j

y+i

g+1

(

xi - yi0 0 0 l xi - yi j

4-g+i

(xi0 - yi0) i-g

Константу C найдем из условия xi = x°, x2 = x°. Получаем уравнение погонной линии

00(

2x2 - 2x2

0 2g(xQ -yQ) =

i-g2

xi - yi0 0 0 l xi - yi j

y+i

g+1

f

xi- yi 0 0 l xi - yi j

0 ^ У о ,o

1 -g '

Пример 5. В пространстве Rn рассматривается дифференциальная игра Г m +1 лиц: m преследователей Pi,Р2,...,Pm и убегающего E. Закон движения преследователя Рг- имеет вид[7,64;8,2;9,1541]

xi = ui, М <ai, xi(0) = x0,

движение E описывается уравнением вида

1. Пусть

y = u, Ы<b, У(0) = Уо, y0 ф xi.

max a < b, y0 ф Intco{x°, x°,..., x<m }.

Доказать, что существует кусочно-программная стратегия убегающего E такая, что для всех t > 0, i и любых траекторий xi(t),x2(t),...,xm(t) справедливо неравенство y(t) ф xi(t).

2. Пусть

m < n,

max ai < b.

i

Доказать, что существует кусочно-программная стратегия убегающего E такая, что для всех t > 0, i и любых траекторий xx(t),X2(t),...,xm(t) справедливо неравенство y(t) ф xi(t).

3. Пусть

max{a^.am—J<A am <b, Уо £ xm-l}.

Доказать, что существует кусочно-программная стратегия убегающего E такая, что для всех t > 0, i и любых траекторий x0(t),x2(t),...,xm(t) справедливо неравенство y(t) ф xi(t).

Решение. 1. Пусть Ц,|Цо || = b такой, что (U),x°- Уо) < 0 для всех i. Такой вектор Ц

существует в силу условия задачи. Полагаем v(t) = Ц,||ц| = b для всех t > 0. Пусть

1г

ui (t) — произвольное управление преследователя Рг-, обозначим ui (t) = - I ui (s)ds. Тогда

Ф J

xi(t) = x° +1 ui(s)ds = xi + tui(t).

Рассмотрим

Ilxi

xi — tui(t) — У0 — tu0

>

xi — У0 — tV0

a t =

xi0 — У0

— 2t (Ц, x0 — У0) +12 b2 —ait >

>

x° — У0

+12 b2 —ait > tb — at > 0.

0

2

2

Получили, что p- (t) — y(t) > 0 для всех i и t > 0 и поэтому y(t) ф xi (t).

2.Из условия m < n следует, что y0 £lntco{xi0,x°,...,x<m} и справедливость

утверждения следует из пункта 1.

Пример 6. В пространстве R2 рассматривается дифференциальная игра Г 3 лиц: 3 преследователей Ро, Р2, Р3 и убегающего E. Закон движения преследователя Рг- имеет вид

xi = uj, lu ll < 1, xi(0) = x0 = (0, —1),

x2(0) = x2 = (-1,1), x3(0) = x3 = (1,1X движение убегающего E описывается уравнением вида

y = u H< 1, у(0) = y0 = (0,1).

Доказать, что существует кусочно-программная стратегия убегающего E такая, что для всех t > 0, i и любых траекторий x^t),x2(t),x3(t) справедливо неравенство y(t) ф xi(t).

Решение. Введем обозначение zt (t) = y(t) — xi (t) и пусть ui = ui (t), t > 0 произвольные управления преследующих игроков. В качестве управление убегающего игрока положим V = v(t) = (0,1). Тогда имеем

t t

zl(t) = y(t) -xl(t) = y 0-x° + Ju(t)dt- Jul(f)dT,

0 0

tt

z2 (t) = y(t) - x2 (t) = y 0 -x2 + J v(t)dt - J u2 (t)dt,

00

tt

z3(t) = y(t) -x3(t) = y 0-x30 + Ju(t)dt- Ju3(t)dt.

00

Теперь подставляя все данные, имеем

( 0 1 ( 0

0 1

zi(t) = y(t) -xi(t) = |х J- -х J + J | х dt- Jui(t)dt =

(0

0 W

2 +1

t

t

t

J ux(t)dt,

0

( 0 1 (-х1 t ( 0

V1J

(0 1

(1N

z2(t) = y(t) - x2(t) = х - х J + JLJdt-Ju2(t)dt= tJ- Ju2(t)dt,

(1

z3(t) = y(t)-x3(t) = VхJ-ViJ + JVхJdt-Ju3(t)dt = V t J-Ju3(t)dt.

V J 0

-хЛ t

t

t

t

t

t

Вводя обозначение

- х г - х г - х г

Ul = - I udt)dt, u2 = - I u2(t)dt, щ = - I u3(t)dt , получим t t t

0

0

(0

t

( 0 1

Zl(t) = I - J u!(t)dt= - tUl(t) +

V2+t J 0 V2 J

(01

v х J

t

(х

(х 1

z2(t) = I - J u2(t)dt= - tu2(t) +

(01

VtJ 0

V0J

v х J

z3(t) = I t J-Ju3(t)dt = I 0 J-tu3(t) +

(01 v х J

t.

t

t

llz!(t )11

>

( 01 01

I I + 11

V2J ,х J

-t llu(t)|| > л]4 + 4t +1 -1 — 2 +1-1 — 2 > 0,

>

llz3(t )ll

>

(х 1 (01

+ t

V0 j Vх J

(-х1 (01

+ t

V 0 J Vх J

х+12 -1 > 0

-1 ||u3 (t)|| >-\J! +12 -1 > 0.

Таким образом, ни один из векторов z^t) = y(t) - x^t), z2(t) = y(t) - x2(t),

z3(t) = y(t) - x3(t) не обращается в нуль на отрезке 0 < t < ¥ . Что и требовалось доказать.

Характерной чертой таких задач является то, что они не имеют определенного законченного ответа, поскольку студент может по меру своих склонностей и способностей неограниченно углубится в изучение поставленного вопроса. Самостоятельное решение такого рода задач дает студенту тренировку в научном мышлении и вырабатывает в нем любовь к научным проблемам.

Литература

1. Брушлинский А.В. Избранные психологические труды. Москва: Институт психологии РАН, 2006.

2. Благодатских А.И., Петров Н.Н. Сборник задач и упражнений по теории игр. Санкт-Петербург: Лань, 2014.

3. Капица П.Л. Эксперимент, теория, практика. Серия: "Наука, мировоззрение, жизнь". Москва, Наука, 1987.

4. Makhmudova D.M. On the role of problem tasks in the development of independent analytical and creative thinking of students. American Journal of Scientific and Educational Research. 2014.-№1(4).-P.325-330.

5. Маматов М.Ш., Темуров С.Й., Махмудова Д.М., Куницын А.З.О применении информационнокоммуникационных технологий при развитии самостоятельного творческого мышления молодежи. Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. Москва. - 2012. - №3. - С. 234 - 241.

6. Маматов М.Ш., Махмудова Д.М., Темуров С.Ю. Выявление аналитического творческого мышления студентов при помощи решения проблемных геометрических задач. Вестник Тамбовского Университета. - Тамбов. 2013. - Том 18, вып. 5. -С. 2596 - 2597.

7. Сатимов Н.Ю., Маматов М.Ш. Об одном классе линейных дифференциальных игр преследования и убегания. Труды Таш ГУ. -Ташкент. 1981.- №670.-С. 64-75.

8. Сатимов Н.Ю., Маматов М.Ш. О задачах преследования и уклонения от встречи в дифференциальных играх между группами преследователей и убегающих. ДАН УзССР.-Ташкент. 1983.- №4. -С.2-5.

9. Сатимов Н.Ю., Маматов М.Ш. Об одном классе линейных дифференциальных и дискретных игр между группами преследователей и убегающих.. Дифференц.уравнения. -Минск.1990.- Т.26.- №9.-С. 1541-1551.