Use of a one-parameter family of Gordon--Schowalter objective derivatives to describe finite deformations of viscoelastic bodies

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Leslie F.M. Theory of flow phenomena in liquid crystals // Advances in liquid crystals. Vol. 4 / Ed. by G.H. Brown. N.Y.: Academic Press, 1979. 1-82.

2. Сонин A.C. Введение в физику жидких кристаллов. М.: Наука, 1983.

3. Лохин В.В., Седов Л.И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов // Прикл. матем. и механ. 1963. 27, № 3. 393-417.

4. Papini A., Papoular М. Distorsión d'une lamelle nematique sous champ magnertique conditions d'ancrage aux parois //J. Phys. (Paris) Colloq. 1969. 30 (C4). 54-58.

5. Калугин А.Г., Голубятников A.H. О равновесной форме капли нематического жидкого кристалла // Тр. Матем. ип-та РАН. 1998. 223. 171-177.

6. Kini U.D. Magnetic and electric field induced periodic deformations in planar oriented nematics // Liquid Crystals. 1998. 24. 177-199.

7. Pergamenshchik V.M. Spontaneous deformations of the uniform director ground state induced by the surfacelike elastic terms in a thin planar nematic layer // Phys. Rev. E. 2000. 61. 3936-3941.

8. Rey A.D. Young-Laplace equation for liquid crystal interfaces //J. Chem. Phys. 2000. 113. 10820-10823.

9. Alexe-Ioneseu A.L., Barbero G., Lelidis I. Periodic deformations in nematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 2002. 66. 061705-1-10.

10. Barbero G., Evangelista L.R., Lelidis I. Spontaneous periodic distortions in nematic liquid crystals: Dependence on the tilt angle // Phys. Rev. E. 2003. 67. 051708-1-4.

11. Голубятников A.H., Калугин А.Г. О коротких поверхностных волнах в анизотропных жидкостях // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2001. № 1. 42-43.

12. Kralj S., Rosso R., Virga E.G. Periodic saddle-splay Freedericksz transition in nematic liquid crystals // Eur. Phys. J. E. 2005. 17. 37-44.

13. Калугин А.Г. О равновесии слоя нематического жидкого кристалла с неоднородной границей // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2015. № 2. 3-7.

14. Sparavigna A., Lavrentovieh O.D., Strigazzi A. Magnetic field effect on periodic stripe domains in nematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 1995. 51, N 1. 792-796.

15. Pikin S., Rysehenkow G., Urbaeh W. On new type of electrohydrodynamics instability in tilted nematic layers // J. Phys. France. 1976. 37. 241-244.

16. Ignes-Mullol J., Baudry J., Lejeek L., Oswald P. Formation of disclination lines near a free nematic interface // Phys. Rev. E. 1999. 59. 568-577.

17. Manyuhina O.V. Shaping thin nematic films with competing boundary conditions // Eur. Phys. J. E. 2014. 37 (6). 1-5.

Поступила в редакцию 23.11.2016

УДК 539.3

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА ОБЪЕКТИВНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГОРДОНА-ШОУОЛТЕРА ДЛЯ ОПИСАНИЯ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ВЯЗКОУПРУГИХ ТЕЛ

Е. Д. Мартынова1, Н. С. Стеценко2

В работе рассмотрено определяющее соотношение для вязкоупругих материалов при конечных деформациях, построенное с использованием однопараметрического семейства объективных производных Гордона-Шоуолтера и обобщающее элементарную модель Максвелла. Показано, что данное определяющее соотношение при любых параметрах модели

1 Мартынова Елена Дмитриевна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: elemartaQmail.ru.

2 Стеценко Нина Сергеевна — аси. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: stetsenkoninaQmail.ru.

позволяет получить эффект Пойнтппга в задаче о простом сдвиге несжимаемого вязко-упругого материала.

Ключевые слова: конечные деформации вязкоупругого материала, простой сдвиг, од-нопараметрическое семейство объективных производных Гордона-Шоуолтера, эффект Пойнтинга.

A constitutive relation is considered for viscoelastic materials under finite deformations. This relation is obtained using a one-parameter family of Gordon-Schowalter objective derivatives and generalizes the elementary Maxwell model. It is shown that, in the problem of simple shear of an incompressible viscoelastic material, this constitutive relation allows one to obtain the Poynting effect for any parameters of the model.

Key words: finite deformations of viscoelastic materials, simple shear, one-parameter family of Gordon-Schowalter derivatives, Poynting effect.

Введение. Одним из способов построения определяющих соотношений (ОС) вязкоупругих материалов при конечных деформациях является обобщение одномерной элементарной модели Максвелла, согласно которой напряжение а и деформация е связаны соотношением [1]

а = Её - аТ~\

где Е и Т — параметры модели. В соответствии с этим подходом а заменяется, например, тензором истинных напряжений Коши S, е — тензором скорости деформации V, производная по времени от напряжения заменяется какой-либо объективной производной [2, 3]. В частности, с помощью производных Олдройда, Коттер-Ривлина или Яуманна получим модели, имеющие в англоязычной литературе названия UCM (upper-convected Maxwell) [4], LCM (lower-convected Maxwell), COM (corotational Maxwell) соответственно. В настоящей работе используется построенное на основании указанного подхода ОС вида

Da[S] =EV-T~1S,

где V и S — упомянутые выше тензоры, а в качестве объективной производной взято однопарамет-рическое семейство производных Гордона-Шоуолтера (Gordon-Schowalter) [5]:

Da[S] = S-ClS + sCl-a

Здесь a € [—1,1] — скалярный параметр, V = + DT) — тензор скорости деформации, Q =

— DT) — тензор вихря, D = AA~l — тензор градиента скорости, A — аффинор деформации. Легко видеть, что при а = 1,-1,0 из соотношения (2) получаются объективные производные Олдройда, Коттер-Ривлина и Яуманна соответственно. Выражение (2) является частным случаем трехпараметрического представления производных конвективно-коротационного типа, предложенного в работе [6]. Соотношения (1), (2) содержат дополнительный параметр по сравнению с упомянутыми моделями типа UCM, что расширяет возможность описания свойств вязкоупругих материалов.

1. Определяющее соотношение для несжимаемого вязкоупругого материала. Преобразуем выражение (2) к удобному для использования виду

Da[S] =S +

где J = Cl — aV.

Подставляя (3) в соотношение (1), получим

S = -JTS - SJ + EV -T~lS.

В дальнейшем будем предполагать, что вязкоупругий материал является несжимаемым. В этом случае тензор напряжения Коши находится с точностью до неопределенного шарового тензора —pi и может быть представлен в виде

a = S -pi,

где S находится из уравнения (4).

2. Кинематические соотношения и соответствующее им напряженное состояние в задаче о простом сдвиге. Закон движения сплошной среды при простом сдвиге вдоль оси х2 в плоскости 0х2х3 имеет вид

( о

гр л - /у»*-'

JÜ J^ - JÜ ^ 2

< Х2 = + k(t)xз, Х3 = Жд.

Здесь и Xj — декартовы координаты материальной точки в начальный и текущий моменты времени. Аффинор деформации и введенные выше матрицы в этом случае запишутся следующим образом:

/10 0 \ 1 /0 0 0\ /0 0 о \

Ä= foifc(i) , v = -k(t) 001 , J = --fc(i)[o 0 а — 1 J .

\0 0 1 / \0 1 0/ \0 а + 1 0 /

Подставляя полученную матрицу J в выражение (4), придем к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно компонент тензора 5. Полагая далее k(t) = ut, и = const, будем иметь

Vn = -Su/T, S23 = -S23/T + u((a + 1)S33 - (1 - a)S22)/2 + Eu/2, < s22 = —S22/T + u(a + 1)5*23, s33 = —S33/T - u( 1 - a)S23, S\2 = -S12/T + u( 1 + 0)5*13/2, S13 = ~Si3/T - u( 1 - 0)6*12/2.

Решение этой системы при начальном условии 5(0) = 0 примет вид

5ц = 5i2 = 5i3 = 0, 522

533 = 0,5(1 - а)ЕТи{[ъ\п(Х1)е-1/т/VT^ä?] - Ти[ 1 - cos(Xt)]}/[l +Т2Х2},

где X = ил/1 — а2.

В частных случаях а = ±1, 0 из формул (6) получим (при а = ±1 первое слагаемое в фигурных скобках в выражении для S33 вычисляется как предел при а —> ±1 и равно tue~f^T):

а = 1 : 523 = ЕТи{ 1 - е~1'т)/2, S22 = ЕТи2(Т - Те~1'т - ¿е"*/т), 533 = 0, а = -1 : 523 = ЕТи(1 - е"*/т)/2 , 522 = 0, 533 = -ЕТи2(Т - Те~1'т - ¿е"*/т),

а = 0 : 523 = 0,БЕТи(Ти8т(ги)е~г/т - сх^{1у)е~1'т + 1)/{1 + Т2и2), S22 = -S33, 533 = 0,5ЕТи(8т(1и)е-*/т + Тисоъ{Ы)е~г/т - Ти)/( 1 + Т2и2).

Неизвестный аддитивный шаровой тензор —p(t)I в рассматриваемой задаче находится из условия сгц (i) = 0. Следовательно, p(t) = 0 и

a

3. Анализ полученных результатов. 1. Согласно формулам (6)-(8), использование ОС (4), (5) в задаче о простом сдвиге при а ф ±1 дает отличные от нуля нормальные напряжения а22 и <733 (или одно из них при а = ±1), что аналогично эффекту Пойнтинга для упругих материалов [7]. При этом первый инвариант тензора напряжения Коши отличен от нуля при всех а, кроме а = 0. Из формул (6) также следует, что при а € (—1,1) компоненты тензора напряжения а22 > 0, <733 < 0. При t —> 00 <723, С22 и <7зз имеют горизонтальные асимптоты:

(723 -> 0,5ЕТи/(Т2и2(1 - а2) + 1), а22 -> 0,5(1 + а)ЕТ2и2/(Т2и2(1 - а2) + 1), (733 -> -0,5(1 - а)ЕТ2и2/{Т2и2{ 1 - a2) + 1).

Случай а ^ [—1,1] ис входит в семейство производных Гордона Шоуолтера, однако, если формально воспользоваться выражениями (6), получим при I —> оо неограниченно возрастающие но модулю напряжения 023, 022 и <733, причем нормальные напряжения будут одного знака.

2. Из соотношений (7) видно, что при использовании производных Олдройда и Коттер Ривлина {а = ±1) отличные от нуля компоненты тензора напряжений монотонны по I. При произвольных а ф ±1, дифференцируя приведенные в формулах (6) выражения, получим

¿2з(*) = Еие~*/Т сов(ги\/1 - а2)/2,

<тзз(*) = -(1 - а)/(1 + а)&22$) = -Еил/Т^а,е~1/Т ёт(гиф1 - а2)/(2уТ±~а).

Отсюда следует, что, как и при использовании производной Яуманна в случае простого сдвига упругого слоя, компоненты тензора напряжения 02з(^), 022^) и 0зз(^) являются немонотонными функциями I. Условие монотонности но времени всех компонент тензора напряжения имеет вид 0 — а,2 ^ 7г/2. При заданном а отсюда можно получить ограничение на величину сдвига

а при известном диапазоне изменения к(1) условие для параметра а, при котором рассматриваемые величины изменяются монотонно. В частности, если тг/2к(1) > 1, то условие монотонности выполняется при любом а. Заметим, что 0гз(^) четным образом зависит от а. Приведенные на рис. 1, 2 графики (т23(£) и 022(£) для различных значений параметра а показывают, что при фиксированном I компоненты 023 и 022 монотонно возрастают при изменении а от 0 до 1 и от —1 до 1 соответственно.

Рис. 1. Зависимость от времени компоненты тон- Рис. 2. Компонента тензора напряжения сгоо/Е зора напряжений аоз/Е при различных значони- при различных значениях параметра а: 1 а =

ях параметра а: 1 а = 0; 2 (±0,5); 3 (±1); -1,5-2 (-1): 3 (-0,5); ¿ 0; 5 0,5:6 1; 4 (±1,5) 1 1,5

4. Заключение. Проведенный анализ показал, что ОС (4), (5), обобщающее соотношения элементарной модели Максвелла на случай конечных деформаций вязкоупругих тел и построенное с использованием объективной производной из однопараметричеекого семейства Гордона Шоуолтера, позволяет в задаче о простом сдвиге получить эффект Пойнтинга при любом значении а. Наличие этого параметра в ОС дает дополнительные возможности для описания свойств вязкоупругих материалов при конечных деформациях.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 16 01 00669 А.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильюшин А. А., ПобеОря Б.Е. Основы математической теории тормовязкоупругости. М.: Наука, 1970.

2. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.

3. Бровко Г.Л. Некоторые подходы к построению определяющих соотношений пластичности при больших деформациях // Упругость и неупругость / Под ред. M.III. Исраилова, А.П. Шмакова, B.C. Ленского. М.: Изд-во МГУ, 1987. 68-81.

4. Oldroyd J. G. On the formulation of rheological equations of states // Proc. Roy. Soc. London. 1950. A 200. 523-541.

5. Gordon J.R., Schowalter W.R. Anisotropic fluid theory: a different approach to the dumbbell theory of dilute polymer solutions // Trans. Soc. Rheol. 1972. 16. 79-97.

6. Бровко Г.Л. Свойства и интегрирование некоторых производных по времени от тензорных процессов в механике сплошной среды // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1990. № 1. 54-60.

7. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975.

Поступила в редакцию 07.12.2016