Операторы тока спинполяризованных электронов и их применение к квантовым точкам

ФИЗИКА

УДК 538.94

А. И. Иванов, А. А. Лебедкина

ОПЕРАТОРЫ ТОКА СПИНПОЛЯРИЗОВАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К КВАНТОВЫМ ТОЧКАМ

Исследовано влияние детектирования тока спинполяризованных электронов, туннелирующих через квантовую точку, находящуюся в статическом и циркулярнополяризованном магнитных полях, на ее динамику. Введены операторы туннельных токов и предложена процедура последовательных итераций с целью уточнения вида этих операторов.

A detection of spin polarized tunneling current through the quantum dot in a circularly polarized magnetic field is investigated. Current operators and proposed of successive iterative procedure for elaboration those operators are introduced.

Ключевые слова: квантовые точки, операторы тока, уравнение Линдблада.

Key words: quantum dots, current operators, Lindblad equation.

Введение

Одноэлектронные квантовые точки, а также квантовые точки с небольшим числом электронов стали предметом значительного интереса, отчасти мотивированного возможностью применения этих объектов в приложениях квантовых методов обработки информации. В силу того, что спинполяризованный электрон в квантовой точке может иметь относительно большое время декогеренции, квантовые точки выступают перспективными кандидатами на роль кубита — основной единицы квантового компьютера.

1. Уравнение эволюции

Рассмотрим квантовую точку, находящуюся между двумя проводниками с химическими потенциалами ц^, ц2. Квантовая точка помещена в статическое магнитное поле Bz, ориентированное вдоль направления z и осциллирующее магнитное поле Bx (t) = B0 cos(wt), направленное вдоль оси х. Электрон внутри точки может находиться в одном из трех состояний |1), |^), |S) = (|14^-|^t^)/-\/2 , обозначим их 11), 12), 13}. Осциллирующее магнитное поле

индуцирует переходы между состояниями Ц,|2^. Синглетное состояние |3^ образуется в результате туннелирования дополнительного электрона из левого проводника внутрь точки. Такая возможность обеспечена подбором величины напряженности статического магнитного поля. Предполагается, что триплетное состояние обладает более высокой энергией. Электроны со спинами вверх и вниз могут туннелировать из точки в правый проводник.

Электроны в квантовой точке взаимодействуют с окружением, в частности с проводниками. Уравнение для редуцированной матрицы плотности, описывающей состояния электронов в точке, получается усреднением уравнения Неймана для полной матрицы плотности объединенной системы по степеням свободы окружения.

Следуя [1], запишем в выбранном базисе эволюционные уравнения для матрицы плотности во вращающейся системе координат:

Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2010. Вып. 10. С. 116—120.

р 11 (У21 + W31)р11 + W12Р 22 + W13Р33 4г' Р 21 + 4^ Р 12'

р22

Р33 = -( W13 + W23)Р33 + W32Р22 + W31Р11' р31 = НА31 - У31]р31'

Р21 = [г (Ю -А2)- У 21] р21 - г А4ІР22 + г^Ри Р23 = [ — А32 - У32]23'

где ртп = (п| р| т) — матричные элементах матрицы плотности; Wmn — скорость перехода из состояния |п) в состояние \т; Утп = Упт — скорости декогеренции; А± = 2^цвВі' А2 бБ2 —

зеемановское расщепление, где g — ^-фактор электрона; цБ — магнетон Бора; Д31 = Е3 - Еу Д32 = Е3 - Е2 — расстояния между энергетическими уровнями.

2. Операторы тока

В нашем базисе введем операторы числа электронов: пі1 = Ц(1|, П2 = |2)(2|, П3 = |3)(3|. Определим операторы тока электронов [2]:

-е^П3 = 1^31 +1^32-1^13-|^23 -е^П2 = I21+^23_^-1^32, _е^П1 =-^21+^13+112-^31.

йї йї йї

Выберем систему физических единиц с е = 1, Й = 1. Стрелки Г (^) указывают на спиновую

поляризацию электрона, а индексы т и п — номера электронных уровней. Так, 1Гтп — оператор тока электронов с ориентацией спина вверх соответствует переходу уровня п на т. Учтя схему переходов, установим соотношения, связывающие операторы: і = \*32, і = /131, /п = і 23, = і113,

где индексы л (п) — переход электрона из левого проводника в точку (из точки в правый проводник).

На основе эволюционных уравнений (1) и определения (2) запишем операторы полного тока системы, ток (без учета вклада в туннельный ток переходов между уровнями 1 и 2) и ток 11 (с учетом вклада):

( Л

А±/4 -2У32- У12 0

0 0 -2

Л = 1 І0 2

0 -У32 0

0 0 -

В простейшем случае У31 = У13 = У23 = У32 = У из (1) найдем стационарную матрицу плотности: р12 = -р21 = 41 (у 21 - У12)/ (3д±), р11 = р22 = р33 = 1/3, р31 = р13 = р23 = р32 = 0. Теперь по

формуле = Бр (р/) можно вычислить средние значения стационарных токов:

(/„) = 4Н /3, (^) = (6У- У21 + 3У12) / 3.

Так как У12, У21 < У, учет вклада в туннельный ток переходов между уровнями 1 и 2 приводит к увеличению тока.

3. Учет влияния измерения туннельного тока на динамику квантовой точки

Известно, что измерение, проводимое над квантовой системой, влияет на ее динамику. Существуют различные способы учета этого влияния. Один из наиболее простых — это добавление к уравнениям эволюции дополнительного слагаемого в форме Линдблада [3].

При измерении туннельного тока, протекающего через точку, линдбладовское слагаемое У[1,[ 1, р]] где у — параметр, характеризующий частоту и силу воздействия на систему при детектировании. Имея начальное выражение для оператора измеряемого тока, можем записать

слагаемое линдбладовского типа и добавить его к исходной системе уравнений (1) с целью последующего уточнения вида операторов тока.

Как и в предыдущем случае, имеется несколько допустимых вариантов выбора ]21 и }12. Выберем для дальнейшего рассмотрения два варианта разделения этих операторов:

"-У 21 + у'А ± /8 А 0Л (0 -Бі 0 л

І21( і) - А 0 0 , ^12( і) Бі - 1У 2 + > 2 8 0

0 V 0 0 / V0 0 0,

1І

А1 = В1 = Д± (1 + у' [2У31 + У 21- 2У32 - У12])/ 8, ) = 1,2, у' = у / 64,

В2 = -Д±у'[2У32 + У12] /41, А2 = Д±( 1 + у'[2У31 + У21])/ 4*.

В соответствии с этим выбором операторы полных токов ^-2У31-У21+у'д±/8 у 0 Л

-0] -2У32-У12+/Д±/8 0

0 0 -2У3-2У23J

Запишем теперь стационарную матрицу плотности с учетом линдбладовского слагаемого:

ри = У / K, р 22 = 2/3-У/K, р 33 = 1/3, р21 = 0 р 31 = C1,

, 01 = 0,02 = 2А1.

Р23 = У

А±

4У - У12 - У 21

4І

г'А 23 - У 32 + А ±у'/16 + у'

с 1.

, К = У 21 + 2 У-у'А±/8.

Средние значения измеряемого тока, вычисленные с этой матрицей, не зависят от выбора вида операторов тока 121 и 112:

Ц ) = Ц1) = Ц2) = 2К/3 - 4У/3+(к-У +У12 )-1 (К/3 - У)((21 - У12 - 2К).

График зависимости среднего значения измеряемого туннельного тока (Іу, протекающего через точку, от параметра у', характеризующего частоту и силу воздействия на систему при детектировании тока, представлен на рисунке. Значения параметров выбраны в соответствии с оценками, приведенными в работе [1]:

з г

Рис. Зависимость среднего значения туннельного тока )от параметра у '

У 21 = 104 с Л У12 = 106 с Л У = 107 с Л А± = 3 X108 с_1.

Из графика видно, что на выбранном интервале значений у' ток уменьшается в 10 раз. Полученные результаты иллюстрируют квантовый эффект Зенона — уменьшение величины туннельного тока при увеличении частоты и интенсивности его измерения.

Заключение

В работе для расчета туннельного тока, протекающего через квантовую точку, помещенную в статическое и переменное магнитные поля, использован метод операторов тока. Метод реализован на основе уравнений эволюции, записанных в матричной форме, что позволило в свою очередь получить в матричной форме явные выражения операторов туннельных токов. С целью уточнения вида операторов тока предложена процедура последовательных итераций. Выполнены расчеты среднего значения туннельного тока в стационарном состоянии. На основе результатов расчета проиллюстрирован квантовый эффект Зенона — уменьшение величины туннельного тока при увеличении частоты и интенсивности его измерения.

Список литературы

1. Engel H. A., Loss D. Single spin dynamics and decoherence in a quantum dot via charge transport / / arXiv:cond-mat/109470v1. 2001.

2. Prachar J., Novotny T. Diploma thesis. Charles University in Prague, Faculty of Mathematics and Physics. 2008.

3. Lindblad G. On the generators of quantum dynamical semigroups // Commun. math. Phys. 1976. 48.

Об авторах

Алексей Иванович Иванов — д-р физ.-мат. наук, профессор, РГУ им. И. Канта, e-mail: AIvanov@kantiana.ru.

Анастасия Алекссевна Лебедкина — студ., РГУ им. И. Канта, e-mail: malinrose@mail.ru.

Authors

Professor Aleksey Ivanov — hrsd of department, IKSUR, e-mail: AIvanov@ kantiana.ru.

Anastasiya Lebedkina — student, IKSUR, e-mail: malinrose@mail.ru.