Нестационарное движение неуравновешенного ротора с жидкостным автобалансирующим устройством при скачкообразном изменении угловой скорости

Исследование жидкостных автобалансирующих устройств (АБУ) сводится к задаче о движении вращающихся тел с полостями, заполненными жидкостью. Эта задача сопряжена с математическими трудностями, т.к. требует рассмотрения совместного движения твердого тела и жидкости. Известно ограниченное количество работ, в которых решается указанная задача применительно к АБУ. Так в [1, 2] рассмотрена устойчивость стационарного вращения ротора, частично заполненного жидкостью со свободной поверхностью. Изгибные колебания вала с неуравновешенным диском на нем изучены в [3, 4]. В [5, 6] показано действие жидкостного АБУ на установившееся вращение ротора без сил внешнего трения. Для оценки наибольших напряжений, появляющихся при вращении ротора на переменных режимах необходимо исследование переходного процесса, возникающего при изменении угловой скорости вала. В предлагаемой работе рассматривается плоское нестационарное движение ротора с АБУ, состоящего из цилиндрической камеры; легкого, закрытого с обоих концов цилиндра - поплавка, перемещающегося относительно ее без сопротивления; и жидкости, заполняющей пространство между стенками камеры и поплавка.

1. Пусть ротор 1 (рис. 1), содержащий камеру 3 с поплавком 2, заполненную однородной несжимаемой жидкостью, симметрично закреплен на гибком вертикальном валу, проходящем через его геометрический центр О1. Центр масс ротора (точка Р) смещен от О1 на расстояние О1Р=е. При вращении ротора вал прогибается на величину О2О1=5, поплавок, для которого геометрическая и материальная оси симметрии совпадают, так же как и в поплавковых гироскопах [7] центрируется в жидкости на оси вращения АВ, и жидкость перетекает в сторону прогиба вала. Предполагаем, что при нестационарном движении ротора отрыв жидкости от стенок отсутствует, и центрирование поплавка сохраняется. В этом случае центр масс слоя жидкости лежит на линии центров О2О1, в точке О. Сформулированные допущения позволяют исключить из рассмотрения гидродинамическую задачу.

По аналогии с [3] введем в плоскости движения точек О1, О, Р две системы координат (рис. 2) с общим началом в точке О2 на линии АВ: неподвижную систему О£ц и подвижную - О2ху, ось которой параллельна отрезку О1Р. Законы вращательного движения ротора и системы О2ху определяются одним и тем же углом поворота ДО (/ - время), следовательно, ротор в подвижной системе координат может перемещаться только поступательно. За обобщенные координаты возьмем координаты точки О1 в подвижной системе О2ху - х,у.

На ротор со стороны вала действуют сила упругости Рс=-сО2Оь и сила внешнего трения, пропорциональная абсолютной скорости точки О1 - У01, Ес=—х У01, где с и % - коэффициенты упругости и внешнего трения. Условие равновесия главных векторов внешних сил и сил инерции запишется в виде

-с020, - XVт - ш,ар - та = 0.

Здесь т1 и т2 - массы ротора и жидкости; -Р и — - ускорения центров масс ротора и жидкости соответственно. Координаты точек Р и О определяются выражениями

Xp = x + e, Уp = у, XG = гх, УG = гу ,

где г=г12/(г12-г22), г1 и г2 — радиусы камеры и поплавка.

Проецируя (1) на оси х,у, используя (2) для вычисления относительных ускорений и известные формулы для переносных и кориолисовых ускорений, получаем дифференциальные уравнения относительного движения ротора

ш( х - 2 в у - ¡3 у - в2 х) + сх + х(Х - ¡5 у) = тге в2;

ш

Здесь т=т1+гт2, точка сверху означает производную по времени.

Из уравнения равновесия моментов всех сил относительно оси АВ можно определить вращающий момент, приложенный к валу со стороны двигателя. Считаем, что двигатель развивает усилие, обеспечивающее заданно.е вращение ротора.

2. Полагая в (3) (=а0=сош1:, получаем стационарное движение ротора, т.е. его положение равновесия в подвижной системе 02ху, определяемое координатами хС, уС:

хс = ех0 = еу

(к (£>о )ар

(к -а^)2 + п2а\

Ус = еУо =-еУ

па0

(к -а20)2 + п2а20

менения угловой скорости вала от а0 до а=сош1, который моделирует внезапное торможение или разгон ротора. Эта задача сводится к интегрированию уравнений (3) при ( =0, в=а=соп!й с начальными условиями:

х

которые следуют из совпадения в начальный момент времени систем координат, вращающихся с угловыми скоростями а0 и а.

Применяя к (3, 6) преобразование Лапласа [8]

да да

х = | х(( )е ; у = | у (I )е~Б,Ж,

получаем решение в изображениях

х Х

х = е „У, У ; у = е-

ББ(Бу ' ~ ББ(Б)'

Здесь введены обозначения X(Б) = Ех(Б) • Е3(Б) + а • Б• Е2(Б) • Е4(Б);

У(з) = БЕ,(Б) • Е4(Б) - а • Е2(Б) • Е3(Б);

Е^) = Б2-а2 + к + пБ; Е2(Б) = 2Б + п;

Е3(Б) = уа2 + (Б + п)Бх0 -2аБу0;

Е4(Б) = (Б + п) у0 + 2а х0;

Б(Б) = Е?(Б) + а2 Е22(Б).

Переходя от изображений (7) к оригиналам по теореме разложения [8], имеем закон движения ротора в подвижных осях

х = еА^); у = еВ(^);

Ау) = у(к -о>2)а2 +^_ Х(Бк.

Б

Б

В (Г) = -

цга^п

4 У (Бк )еБк‘

-х

Б

где ш = т = —,----—-, к = сш/т,, п = х//т,.

т (1 + гт2/ т) 1

Для исследования устойчивости решения (4) введем отклонения 8х=х-хС, 8у=у—ус и запишем уравнения возмущенного движения, получаемые подстановкой их в (3):

т8 х - 2шю08 у - та 18 х + с8х + х

Уравнения (5) рассматривались в [4], где показано, что характеристическое уравнение этой системы при х>0 имеет корни с отрицательной вещественной частью. Отсюда, согласно [4], стационарное движение при наличии сил внешнего трения асимптотически устойчиво при любых значениях угловой скорости вращения ротора. Этот факт для неуравновешенного ротора без жидкости установлен в [3, 4].

3. Рассмотрим нестационарный процесс, возникающий при переходе от стационарного движения (4) к новому в результате скачкообразного из-

Здесь штрих означает производную по Б, В'(БК)=2Е2(БК).[Е1(БК)+2а2], Бк - простые корни уравнения ДБ)=0, которые в зависимости от п и к вычисляются по формулам: при п2>4к,

Б,2 = -п п2 - 4к ±аг, Б34 = - пп2 - 4к± <

1,2 2 2 3-4 2 2

при п2<4к,

Б,а =-2 ±1(44к-п2 +2а)-I,

БХ4 =-2 ±2^4к -п2-2а) •I,

где г=^-1 - мнимая единица, случай п2=4к соответствует кратным корням и из рассмотрения исключается.

Из (8, 9) видно, что при п^0 ^да, х^-еу(к-а2)а2/Д0), у^—ещаг/Б(0), т.е. к значениям соответствующим стационарному движению при угловой скорости а=сош1;. Переходный процесс является колебательным с затухающей амплитудой. Если внешние силы трения отсутствуют

(п=0), то возникшее движение чисто колебательное. При полном торможении (а=0) процесс носит затухающий характер в случае п2>4к и колебательно-затухающий в противном случае.

Прогиб вала и дисбаланс системы (т1+т2)гС (гС - отклонение центра масс системы от оси вращения), отнесенный к начальному дисбалансу ротора т1е, запишутся в виде

8= е^А2^) + В );

й =

ш,е

а

6

Рис. 3. Зависимость дисбаланса системы в от времени t при пуске (а) и остановке ротора (б): 1) у=1 (без АБУ); 2) ц/=0,75; 3) у=0,5; 4) у=0,25

Зависимости дисбаланса й от времени и параметра у/для л£/т=105 с-1, х/т[=100 с-1 приведены на рис. 3, а при пуске ротора (а изменяется от 0 до 150 с-1) и на рис. 3, б, при остановке (а изменяется от 150 до 0 с-1). Кривые показывают различие в переходных процессах при пуске и остановке ротора. Так, в первом случае максимальное значение дис-

баланса системы и время установления процесса при всех а значительно больше, чем во втором. Дополнительные расчеты, проведенные по формулам (10, 11) показывают, что при остановке прогиб вала монотонно стремится к нулю, а при пуске - колеблется с амплитудой меньшей, чем для ротора без АБУ. Уменьшение внешнего трения приводит к увеличению времени переходного процесса, амплитуды колебаний прогиба вала и дисбаланса системы при всех значениях у.

а

----------------------- б-----------------------

Рис. 4. Зависимость дисбаланса системы в от времени t при разгоне (а) и торможении (б) в закритической области изменения угловой скорости ротора: 1) у=1 (без АБУ); 2) у =0,75; 3) у=0,5; 4) у=0,25

На рис. 4 изображены зависимости дисбаланса й от времени для тех же значений исходных параметров Ас/т,, х/т; при изменении угловой скорости в закритической области вращении ротора (а>Ас/т) Угловая скорость изменялась при разгоне от 110 до 150 с-1, (рис. 4, а), а при торможении -от 150 до 110 с-1 (рис. 4, б). В этом случае амплитуда колебаний дисбаланса системы меньше, чем для ротора без АБУ (у=1), и с уменьшением у она уменьшается.

Выводы

1. Установлено, что прогиб вала и дисбаланс системы ротор - АБУ зависят от отношения массы жидкости к суммарной массе ротора, характеризующего жидкостное автобалансирующее устройство.

2. При внезапном переходе угловой скорости через критическую рассмотренное АБУ увеличивает

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Епишев Л.В. О динамической неустойчивости вращающегося ротора при неполном наливе жидкости // Научные доклады высшей школы. Машиностроение и приборостроение. - 1959.

- № 2. - С. 66-74.

2. Дерендяев Н.В., Сандалов В.М. Об устойчивости стационарного вращения цилиндра, частично заполненного вязкой несжимаемой жидкостью // Прикладная механика и математика.

- 1982. - Т. 46, вып. 4. - С. 578-586.

3. Диментберг Ф.М. Изгибные колебания вращающихся валов. -М.: Изд-во АН СССР, 1959. - 246 с.

вибрацию ротора, а при изменении частоты вращения в закритической области - уменьшает, что подтверждается опытом эксплуатации АБУ.

3. Приведенные формулы позволяют вычислить предельное значение дисбаланса системы и минимизировать его при конструировании АБУ для роторов.

4. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. - М.: Наука, 1988. - 304 с.

5. Нестеренко В.П. Автоматическая балансировка роторов приборов и машин со многими степенями свободы. - Томск: Изд-во Томского ун-та, 1985. - 85 с.

6. Гусаров А.А. Автобалансирующие устройства прямого действия. - М.: Наука, 2002. - 119 с.

7. Андрейченко К.П. Динамика поплавковых гироскопов и акселерометров. - М.: Машиностроение, 1987. - 128 с.

8. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967. - 599 с.

УДК 621.833

СОЗДАНИЕ РУЧНОЙ МАШИНЫ С ВОЛНОВОЙ ПЕРЕДАЧЕЙ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЕЕ РАБОТОСПОСОБНОСТИ

В.С. Коротков

Томский политехнический университет E-mail: kvs@tpu.ru

Дано описание двух вариантов конструкции и техническая характеристика ручного электробура, в приводе которого использован коллекторный электродвигатель с волновой передачей. Представлен метод автоматизированного выбора мощности двигателя. Приводятся результаты испытаний.

На современном этапе рыночная реформа требует обеспечить широкую гамму высокопроизводительного механизированного инструмента с высокими потребительскими свойствами. Интенсификация рабочих процессов сопровождается повышенными требованиями, предъявляемыми к новой технике. В данных условиях развития экономики отечественные разработки должны быть конкурентоспособными на мировом рынке и не уступать по своим техническим характеристикам зарубежным аналогам. В ручных машинах различных типов необходимо получить экономию энергии, снизить материалоемкость, повысить качество выполняемых работ и улучшить условия труда оператора. Исследования, направленные на создание ручной машины статического действия с высоким крутящим моментом на рабочем органе и на улучшение эксплуатационных характеристик ручных машин такого класса, являются актуальными для строительства и сельского хозяйства.

В настоящее время в классификации ручных машин по назначению и области применения, соответствующей действующему стандарту, нет ручной машины предназначенной для бурения грунтов (рис. 1) [1].

В строительстве и сельском хозяйстве существуют такие виды работ, которые требуют достаточно высокого крутящего момента на рабочем органе. Например, бурение ям под столбы ограждения, фундамент для мелких построек и эстакад, бурение шпуров для взрывных работ и проведения инженерных изысканий и т.п.

Поэтому с целью расширения номенклатуры выпускаемых ручных машин (РМ) разработана конструкция ручной машины электробур с волновой зубчатой передачей (ВЗП), предназначенной для бурения грунтов Г-ГУ категории по классификации Госстроя (рис. 2) [2]. Совокупность существенных признаков устройства не известна из уровня техники [3].

Преимущественное распространение в приводах РМ (до 70 %) получили однофазные коллекторные двигатели с двойной изоляцией мощностью 60...2000 Вт, с частотой вращения якоря 200...300 с-1. Эти двигатели характеризуются высокой удельной мощностью на единицу массы, способностью выдерживать кратковременные перегрузки, нечувствительностью к колебаниям напряжения в питающей электросети, невысоким уровнем пускового тока (не бо-