О задаче сопряжения для уравнений составного и гиперболического типов четвертого порядка на плоскости

УДК 517.956.6

З.М. Бекмаматов

старший преподаватель, кафедра естественных наук и математики, Баткенский государственный университет,

г. Баткен, Киргизия

О ЗАДАЧЕ СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СОСТАВНОГО И ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПОВ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

НА ПЛОСКОСТИ

Аннотация. В работе исследована задача сопряжения для одного класса уравнений с частными производными составного и гиперболического типов четвертого порядка на плоскости. Такие уравнения обладают парой комплексных и парой вещественных характеристик. Задача сопряжения сводится к интегральным уравнениям типа Фредгольма и типа Вольтерра. Доказана однозначная разрешимость задачи сопряжения с линией сопряжения y = 0. Дано представление решения в прямоугольной области.

Ключевые слова: задачи сопряжения, краевые условия, функция Грина, задача Гурса, уравнения Фредгольма и Вольтерра.

Z.M. Bekmamatov, State University of Batken, Batken, Kyrgyzstan

ON THE CONJUGATION PROBLEM FOR EQUATIONS OF COMPOSITE AND HYPERBOLIC TYPES OF

FOURTH ORDER IN PLANE

Abstract. In this paper we are investigated of conjugation problem for one class partial differential equations of composite and hyperbolic types of fourth order in plane. Such equations possess a pair of complex characteristics and two real characteristics. The conjugation problem are reduced to the integrals equations of Fredholm and Volterra types. It has been proved uniquely solvable of conjugation problem with conjugation line у = 0. Representations of the solutions are found for the rectangular domain.

Keywords: boundary value problem, conjugation problem, function of Green, Goursat problem, equations of Fredholm and Volterra.

1. Постановка задачи. В области D = {0 < х < /; -h1 < у < h, h1,h > 0} плоскости переменных (х, у) рассматриваются следующие уравнения:

LLu = 0 е D1 = D n{y > 0},

Э4и

дхду

+ cu = 0 е D2 = Dп{у < 0},

где

Ц = -Э— + а—+ Ь, - = -д— + -д—, а = а(х,у), Ь = Ь(х,у) - заданные непрерывные Эх Эх дх ду

функции, а с - постоянное число.

Уравнение (1) принадлежит к составному типу, а уравнение (2) к гиперболическому. Настоящая работа является естественным развитием исследования, проведенного в [1], для уравнений в частных производных четвертого порядка составного и гиперболического типов. Имеется ряд работ [2-5], в которых изучаются различные задачи для уравнений составного и смешанного типов четвертого порядка.

В работе устанавливается однозначная разрешимость задачи сопряжения для одного класса уравнения составного и гиперболического типов четвертого порядка на плоскости. Дано явное представление решения рассматриваемой задачи. Задача А.

Найти функцию и(х,у)е С(О) п03(0) п[С2+2(01) и С4+°(01) и01+3(02)], удовлетворяющую в области 01 уравнению (1) и краевым условиям

уЧ ' у.....

и

ихх

и(х, Л) = у(х), 0 < У < Л, 0 < х < /, (5) а также удовлетворяющую в области 02 уравнению (2) и краевым условиям

и

и(х,-Л) = у(х), иУ(х,-Л1) = у2(х), 0< х < /, (7) где р(у), р (у), у(х), у(х), (/ = 1,4, 7 = 1,2) - заданные функции, удовлетворяющие следующим условиям гладкости и условиям согласования:

р

3 2 (8) у(х), у (х)е С [0,/], у2(х)е С2[0,/],

р

У1

Из постановки задачи А , как следствие, вытекают следующие условия сопряжения: и( х, +0) = и( х, -0) = т( х), иу (х, +0) = иу (х, -0) = V (х), иуу (х, +0) = иуу (х, -0) = т(х), 0 < х < /, где г(х), V(х), т(х) - пока неизвестные функции.

Для решения задачи А исходим из уравнения (1). Перепишем уравнение (1) в виде

^хх + + Ьг = 0,

где г = г(х,у) - новая искомая функция и

ихх + иуу = г

общее решение которого дается формулой

г

где г1(х,у), и г2(х,у) - два линейно независимые частные решения уравнения (11); С1(у) и С2(у)-произвольные достаточно гладкие функции.

Из краевых условий (4) и (5), а также из (12) получаем следующее

г

Для определения неизвестных функций С1(у) и С2(у), подставив (13) в левую часть (14), получим систему уравнений

21 (0, у )С (у) + 22(0, у )С2 (у) = (3 (у) + р2(у ),

22 (/, У )С1 (е) + г2(/, У )С2 (у) = р, (у) + р2(у), Решив систему (15), находим

1

С1

1

С2 (У) =1 [21 (0, У )(р4 (у) + р2(у )) - 21 (/, У )(р3 (У) + р1( У))],

где А = 21 (0, У) • 22 (/, У) - 21(/, У) • 22 (0, У).

Подставив эти значения в (13), найдем

2(х, У) = А [( 21(х, У) • 22 ( /, У) - 22 (х, у^ (/, у)) (р (у) - р'(у)) +

+(22 (х, У) • 21 (0, у) - 21 (х, У) • 22 (0, у))(р, (у) + р2(у)) ] ° 20 (х, У),

где г°(х, у) - известная функция.

2. Соотношение, полученное из области 0

Уравнение (12) запишем в виде

ихх + иуу ° г°(х,у),

Переходя к пределу при у  0 в

ихх + иуу = г°(х, у), будем иметь соотношение, принесенное из области 0

т"( х ) + т( х) = 2°( х,°),

Для определения функции т(х) из уравнения (2°), при краевых условиях т(°) = р(°), т(!) = <р2(°), будем иметь

(х, у) е 01 (х, у) е 0 ° < х < !.

где

т( х) = а( х) +1 в( х,/ )с/,

°

х !

а( х) = р (°) + - [р2(°) - р (°)] +1 С(х, / )2° (/, °)с/, ! °

° < х < /,

е( х,/) =

х

!

/

1 !

- функция Грина.

/ < х <!,

3. Представление решения задачи Гурса

Для получения решения уравнения (2), удовлетворяющее условиям (6) и условиям и(х,-°) = т(х), иу(х,-°) = п(х), иуу (х,-°) = т(х), ° < х <!, будем иметь интегральное уравнение типа Вольтера второго рода

2

и(х, у) = и° (х,у) + -1(у - л)2и(Х,л)Сл,

где

1 2

и°(х, у) = т(х) + уп(х) + - у т(х) + р°(у),

2"

2 = -с,

1

р° (у) = р(у) - р(°) - р(°)у - 2 у 2р(°).

Методом последовательных приближений найдём явное решение интегрального уравнения Вольтерра (23) в виде

х у

и

где

+¥ (-1)п сп Л

д(х,у;Х,л) = £п! П + 2),(х-Х)п(у-л)3п+2 - резольвента ядра ^(у-л)2.

Функция д(х,у;Х,л) удовлетворяет следующим условиям:

д(х, у;Х,л) = °, (х, у; х,л) = °, дуу (х, у; х,л) = 1, 12

д(х,у;х,л) = ^(у-л), ду(х,у;х,л) = у-л, дуу(х,у;х,л) = 1. Подставив значение и°(х, у) в (24), будем иметь

°°

°°

и(х, У) = Ф(х, У) + т(х) + уп(х) +

+— 2

л х х х

1 у 2М х) +1НД х, у; ХЖХ)с(Х +1Н2 (х, у; ХМХ)сХ +1 х, у; Х)МХ)сХ

где

х у у

Ф(х,У) = р0(у)-с[х,у;Х,р(^, Н(х,у;Х) = -с|^(х,у;Х,^к-1с^;

Н3(х,у;Х) = -2¡Лх,у;Х,^)Л; к = 1,2.

4. Соотношение, полученное из области й2

Для определения неизвестных функций г(х), V(х), т(х), подставив и(х,у), иу(х,у) из (26) в условие (7), получаем соотношения, принесенные из области й2:

1 х

т( х) - лп( х) + 1 Л2т( х) = у (х) -1 [Н (х, -л, ХЖХ) +

2 0

+н2 (х,-Л, ХМХ) + Н3 (х,-л,Х)т(Х) К, 0 < х < /, п( х) - Лт( х) = у(х) -

х

-¡[Ну(х,-Л,ХЖХ) + н2у(х,-л,Х)п(Х) + н3У(х,-Л,Х)т(Х) ]Х < х < /,

где

у (х) = у (х) - Ф(х, - Л,), у(х) = У2(х) - Фу (х,-Л). Обращая Вольтерровскую часть уравнения (28) относительно V(х), получим соотно-

шение

где

х

V(х) = Лт(х) + ¡Нх,ХЖХ) + НН2 (х,Х)т(Х) ] ¿Х+х), 0 < х < /,

НН1 (х,Х) = -Н1У (х, -Л1,Х) - ¡ ^(х,/)^ (/, -Л1,&№,

Х

х

Н 2 (х, Х) = -Н3У (х, -Л, Х) - ¡ «1 (х, / )Н3у (/, -Л1, Х),

Х

¥( х) = у( х) + ¡ «1( х,/ )у(/ )Л.

0

Исключив V (х) из (27) и (29), будем иметь 2 *

т(х) = -2т(х) + ¡[N1 (х,ХЖХ) + N2(х,Х)т(Х) ]сХ+А>(х), 0 < х < /,

10

где

N1( х,Х) =

N2

-л1н1 (х, Х) + Н1 (х, -л1 , Х) + ¡ Н2 (х, -л1 , / )/Н1 (/,

Х

х

-Л1Н1 (х, Х) + Н1 (х, -Л1, Х) + ¡ Н2 (х, -Л1, / )Н2 (/, £)с№

0

0

0

00

0

0

0

0

Х

д>( *)=А

x

Ф(х, -hi) - y (x) - hiY( x) + J H2 (x, -hi, t)Y(X)dX

2'

0

Теперь, исключив t(x) из (2i) и (30), будем иметь

х l

т

0 0

где «(х) - вполне определенная функция.

Обращая Вольтерровскую часть уравнения (31) относительно т(х), будем иметь интегральное уравнение Фредгольма второго рода

1

т

0

где

М(х, X) = N3 (х, X) +1 К. (х, (Щ (/, £)с№,

mo(х) = a(х) + JRi(x,x)ai(x)dx, Ri(x,t) - резольвента ядраN2(x,X).

X

+ Г

0

x

+

0

Пусть выполняется условие

l • maxiN

0<x<l1 1

Тогда уравнение (32) имеет единственное решение. Далее, определив m(x) из (32) и затем подставляя её значение в (2i), находим t(x), а после этого из (29) определим значение v(x).

5. Решение задачи А в области Di

Из вышеприведенного следует, что уравнение (i) после двукратного интегрирования, с учётом условий (4), сводится к уравнению (i8). Следовательно, решение задачи А в области Di эквивалентно сводится к решению задачи Дирихле для уравнения (i8) с краевыми условиями (3), (5) и и(х,0) = г(х), 0 < х < l, решение которой дается формулой [7]

l l h u( x, y) = J G, (x, y; x, 0)t(X)dX - J G, (x, y; X, h)y(X)dX + J (x, y; 0, r)j (h)d, -

0 0 0

h l h 4 '

- J Gx (x, y; l, r)j (h)d (r) - J dXJ G( x, y; X, hK (X, h)dh,

0 00

где

_, e . 4lh .+¥.+¥ i . fpn ^ . fpm \ . fpn Л . fpm \ .

G(x,y;Xr = ^hn^m?™[~TxJ•sin{imyJ•sinb"x}sinЫг) - функция

Грина.

Таким образом, имеет место Теорема.

Пусть выполнены (8), (9) и (33). Тогда решение задачи А существует и единственно, причём определяется в областях Di и D2 по формулам (34) и (26), соответственно.

6. Пример

В области D = {0 < x < l, -hi < y < h, h,hi > 0 } найти решение задачи А при а = b = 0, c = 0 с условиями в области Di = D п {y > 0}, u(0,y) = j(y) = 0, u(l,y) = j(y) = y;

uxx (0, y) = j3(y) = 0, uxx (l, y) = j4(y) = 0; u(x,h) = y(x) = yx; а также в области D2 = D n{y < 0} по 28 № 12-1 (64) - 2016

условиям

u(0,у) = р(у) = у2, u(x-h) = у(х) = x + h12, uy(x,-h1) = у(х) = x-2h1.

Нетрудно проверить, что для заданных функций задачи выполняются условия сопряжения. Следуя схеме решения задачи А, для определения неизвестных функций т(х), т( х), и п(х) не трудно получить следующие соотношения:

Т( х) + т(х) = 0, т(0) = 0, т(/) = 0 1

т( х) - Л, п( х) + 2 ^2т( х) = х + h12,

у( х) + Л1т( х) = х - 2Л1 . Отсюда, для нахождения функции т(х), получим уравнение

22

^ х) - Щ Т( х) = Щ ^ - (1 + ^ ]

с условиями т(0) = 0, т(/) = 0.

Решение этой задачи даётся формулой

т(х) = Ь (в-Ах -1) + (1 + Л )х + [(1 - в-Ле )Ь - (1 + Л1)е]

эЬЯх вЬЯв'

где

1 = 12 1 .

Исходя из этого, для т(х) и п(х) будем иметь

т(х) = -т*(х) = -h1l2в-1x + [(1 - в"1 )h1 - (1 + h1)/]

п(х) = х - 2^ + h12l2в_1x - [(1 - в~1в )h12 - (1 + Л1)/Л1]

Я2shЯx; sh1в ' Л2shЛx

shЯe

Таким образом, решение задачи А в области О1 дается формулой

41Ь ^ 1

и(x,У) = —^^

жп 1 . ( жт

2 , , 2 2 2 2 эт I -х IБ1ПI -у

ж Ьп2 + 12т I I ) У Ь

жт

Ь • 1т

/

-1/ + ¡жп

Л -,

((1 - в)Ь + (1 + Ь)/ )•

sh1/

-Ре

жп

+ 1

б1П I ^ - ¡11 /

/ -1

(-1)"

т+п+2 г->и2

• пЬ2

/ • т

/

1

а в области О2 - формулой и(х, у) = т(х) + уу(х) + —у 2т(х) + р0(у),

где р0(у) = 0; т(х), у(х) и т(х) определяются (35), (36) и (37), соответственно.

Список литературы:

1. Бабаев С., Бекмаматов З.М. Задачи сопряжения для уравнений составного и гиперболических типов четвертого порядка: материалы международной научной конференции посвященного 80-летию академика Джураева Т.Д., Душанбе, 7-8 декабря 2012 г. -Душанбе, 2012. - 12 с.

2. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. - М.: Гостехиздат, 1948. - 296 с.

3. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. - М.: Изд-во АН СССР, 1959. - 164 с.

+

1

п

4. Смирнов М.М. Модельные уравнения смешанного типа четвертого порядка. - Ленинград: ЛГУ, 1972. - 123 с.

5. Джураев А. Системы уравнений составного типа. - М.: Наука, 1972. - 228 с.

6. Джураев Т.Д., Сопуев А. К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка. - Ташкент: Фан, 2000. - 144 с.

7. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. - М.: Физматлит, 2001. - 576 с.