Об определении системы сил реакций в шарнирных узлах крепления летательных аппаратов при их разделении

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XII 19 8 1 №4

ДК 629.7.015.075.6

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ СИСТЕМЫ СИЛ РЕАКЦИЙ В ШАРНИРНЫХ УЗЛАХ КРЕПЛЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ ПРИ ИХ РАЗДЕЛЕНИИ

А. П. Леутин.

Предложена методика расчета системы сил реакций в шарнирных узлах крепления летательных аппаратов (ЛА) — носителя и груза— при их связанном движении в процессе разделения. Сущность методики состоит в замене системы действующих в шарнирах сил реакций, которые в статически неопределимых случаях не могут быть определены однозначно без учета свойств реальной конструкции ЛА и узлов крепления, эквивалентной ей системой, составляющие сил которой определяются однозначно из кинематических условий связи ЛА. Установлена аналогия рассматриваемой задачи с методами расчета шарнирно-стержневых систем строительной механики. Проведен расчет применяемой на практике трехшарнирной схемы крепления груза к носителю на участке совместного полета системы носитель + груз и на участках относительного разворота груза на двух и одном шарнирах.

1. Постановка задачи определения сил реакций. При исследовании процессов разделения двух летательных аппаратов (ЛА) — носителя и груза — задача определения сил реакций в узлах крепления возникает при: 1) расчете абсолютного и относительного движения ЛА; 2) моделировании работы системы управления процессом разделения, использующей величины усилий в узлах крепления [1]; 3) расчете узлов крепления на прочность.

Для крепления грузов к носителям, наряду с другими типами узлов крепленря, получило распространение крепление посредством шарниров [2]. Примером такой схемы является система крепления орбитального самолета к самолету-носителю, состоящая из трех шарниров: один — спереди, два — сзади [1, 3].

При использовании в качестве модели ЛА двух абсолютно твердых тел, соединенных идеальными (т. е. без трения и люфтов) точечными шарнирами, главный вектор и главный момент сил реакций и, следовательно, линейные и угловые ускорения обоих ЛА определяются однозначно из кинематических условий их связи [4, 5].

Определение составляющих сил реакций в отдельных шарнирах при наличии нескольких шарниров связано в общем случае с преодолением трудностей, обусловленных статической неопределимостью системы сил реакций. Решение этой задачи осложняется тем, что степень статической неопределимости и направления составляющих сил реакций в шарнирах не могут быть указаны заранее, так как они зависят от реализующихся контактов в шарнирных соединениях, которые, в свою очередь, определяются деформацией конструкций ЛА и узлов крепления.

В связи с указанными трудностями представляет интерес вопрос о нахождении таких „суммарных* силовых характеристик системы сил реакций, которые, в отличие от реакций в отдельных шарнирах, не требуют для своего определения учета реальных свойств конструкции и определяются однозначно с использованием кинематических условий связи тел. Иными словами, речь идет

о замене исходной системы сил реакций такой системой сил, которая сообщает обоим телам то же самое ускорение и, следовательно, имеет те же самые' главный вектор и главный момент, т. е.‘ эквивалентна исходной системе сил реакций (см., например, [6]). Число и расположение шарниров в обоих системах сил, очевидно, одинаковы.

Таким образом, решение полной задачи об определении сил реакций в отдельных шарнирах с учетом свойств реальной конструкции ЛА может быть разделено на два этапа: 1) определение составляющих указанной выше системы сил (в работе эта система сил будет для краткости называться эквивалентной системой сил реакций); 2) определение с учетом свойств реальной конструкции (упругость, зазоры и подвижность шарниров) сил реакций в отдельных узлах крепления. Настоящая работа посвящена решению первой из указанных задач.

2. Построение системы сил, эквивалентной исходной системе сил реакций. Составляющие сил реакций (или их часть) надо сгруппировать в комбинации, построенные так, чтобы в выражения для главного вектора и главного момента (относительно произвольного полюса) сил реакций входили только эти комбинации, причем для однозначного определения необходимо, чтобы число комбинаций было равно числу связей между телами.

Поскольку главный вектор сил реакций есть их векторная сумма, то искомыми комбинациями являются векторные суммы составляющих в различных шарнирах вдоль некоторых направлений: из геометрических соображений ясно, что только в этом случае векторная сумма нескольких составляющих дает одну составляющую эквивалентной системы вдоль их общего направления.

При определении направлений указанных векторных сумм удобно прибегнуть к следующей наглядной физической модели. Представим, что шарниры соединены невесомыми прямолинейными стержнями и образована, таким образом, шарнирно-стержневая система, применяющаяся в строительной механике для расчета ферменных конструкций. В таких системах стержни работают только на сжатие или растяжение (см., например, [4]). Как известно, в случаях двух, трех и четырех шарниров, соответствующих одномерной, плоской и пространственной задачам, усилия в стержнях определяются однозначно из условий равновесия системы как абсолютно твердого тела (см., например, [7]). Указанная аналогия

дает основания предположить, что суммарные составляющие сил реакций в шарнирах в случаях двух, трех и четырех шарниров могут быть определены однозначно из условий связи абсолютно твердых тел.

Дальнейшее содержание п. 2 составляет обоснование построения эквивалентной системы при различном числе шарниров.

Из геометрических соображений следует, что в случае двух слагаемых сил момент, создаваемый относительно произвольного полюса суммарной силой, равен векторной сумме моментов слагаемых тогда и только тогда, когда линия действия сил проходит через шарниры, т. е. обе силы и их сумма имеют общее плечо относительно полюса, не зависящее от слагаемых сил. В этом случае суммарная сила может быть включена в состав эквивалентной системы сил реакций. Аналогично можно показать, что в случае, когда число слагаемых больше двух и шарниры не лежат на одной прямой, их сумма не может быть включена в эквивалентную систему. Отметим, что приведенное утверждение можно также доказать чисто алгебраически с применением известных свойств скользящих векторов [6].

Помимо указанных парных векторных сумм в эквивалентную систему сил входят также отдельные составляющие сил реакций в шарнирах. Их направления в отличие от направлений парных сумм однозначно не определяются и для удобства выбираются ортогональными к другим составляющим, проходящим через рассматриваемый шарнир.

Рассмотрим различные случаи построения эквивалентной системы сил реакций.

Случай разворота груза на одном шарнире тривиален: эквивалентная система совпадает с исходной системой трех линейно

—»•

независимых составляющих силы реакции в этом шарнире.

В случае разворота груза на двух шарнирах (точки 2, 3 на

— —*•

рис. 1) исходная система сил реакций {/?2, $8} имеет шесть неизвестных составляющих. Складывая две составляющие вдоль

,оси вращения г’ (/г' = е23-^- орт оси г’) в сумму

^23 — ^22' + Язг’

и направляя остальные четыре одиночные составляющие по осям х' и у', образующим вместе с осью г' правую ортогональную систему координат х'у'г', получаем эквивалентную систему сил, состоящую из пяти составляющих

^484 Въе>‘, /?2у‘, Яз*' , •

В случае жесткого скрепления тел в трех шарнирах (точки /, 2, 3 на рис. 2), не лежащих на одной прямой, исходная система

сил реакций {./?!, /?2, /?3} имеет девять неизвестных составляющих. Образуя из составляющих, направленных вдоль сторон треуголь-

— —^ —>

ника с вершинами в точках (/, 2, 3) (орты сторон — е12, е23, ег1) суммы

— /?12 ~Ь /?21> ^23 — $23 Н" $32> ^*31 ==: $31 + $13

?

и направляя остальные три одиночные составляющие /?2±> $3-1-

по орту нормали «° к плоскости тс треугольника (/, 2, 3), получаем эквивалентную систему из шести составляющих

И

12»

/?2±, $31

В случае, когда оба тела жестко скреплены в четырех шарнирах, не лежащих на одной прямой или в одной плоскости, эквивалентная система сил состоит из шести сумм Ри, направленных вдоль шести ребер треугольной пирамиды (/, 2, 3, 4).

Анализ показывает, что возможные случаи построения эквивалентной системы сил исчерпываются рассмотренными выше четырьмя случаями. Отметим, что в случае плоского движения способ построения эквивалентной системы остается тем же, что и в пространственном случае; эквивалентная система в плоском случае существует для одного, двух и трех (не лежащих на одной прямой) шарниров.

Отмеченная выше аналогия задачи определения составляющих сил реакций в шарнирных узлах крепления ЛА при их совместном движении и задачи определения усилий в шарнирностержневой системе, придавая первой из них наглядность и физич-ность, не является полной. Аналогия дает возможность определить направления только суммарных составляющих сил реакций. Отдельные составляющие реакций не имеют аналогов в шарнир-но-стержневой системе, поскольку они перпендикулярны суммарным составляющим, направленным вдоль „стержней11. В шарнирностержневых системах вследствие предположения о невесомости стержней силы реакций в шарнирах, действующие на каждый стержень, и вся система внешних сил статически уравновешены,

—>

т. е. имеют место условия: = = 0 для любых I, у; глав-

ный вектор и главный момент сил реакций равны нулю. В задачах разделения ЛА такие условия не представляют интереса, т. е. при равенстве нулю главного вектора и главного момента сил реакций относительное движение тел после разрыва связей, как можно показать из анализа мгновенных относительных ускорений тел сразу после разрыва (см. [1]), не может начаться.

Рис. 1

Рис. 2

Ниже для случая трехшарнирной схемы крепления проведен расчет эквивалентной системы сил реакций на участках совместного полета системы носитель 4- груз и относительного вращения груза на двух шарнирах.

3. Расчет эквивалентной системы сил реакций на участке совместного полета в случае трех узлов крепления.

3.1. Системы' координат. Уравнения движения тел.

Рассматриваются следующие правые декартовы прямоугольные системы координат

1. Местная земная система координат .г^, неподвижная

относительно инерциального пространства.

2. Связанные с грузом и носителем системы координат Охуг и Опхпунгп. Точки О и О, совпадают с центрами масс груза и носителя; плоскости Оху и Онхн ун совмещены с плоскостями симметрии тел.

3. Система осей координат Оъ Хъ у^ , связанная с системой носитель -(- груз на участке их совместного полета, когда оба тела движутся как единое тело. Точка 02 совпадает с центром

V

I

масс системы носитель + груз. Оси Оъх^, О, у5 и О^, %г параллельны осям Онхн, Оа ун и Онгн соответственно.*

4. Система осей координат х' у' г', связанная с узлами крепления (2, 3) и плоскостью и. Начало системы выбрано в шарнире 2;

оси х', у' и г' имеют соответственно орты V, ]' и к', определяемые по

соотношениям: V = [п°, е23], — к'=е23. На участке совместно-

го полета оси х' у' гг и плоскость я являются общими для обоих тел; на участке разворота груза (см. п.4) принято,что плоскость гс и оси х'у'г' связаны с грузом и поворачиваются вместе с ним относительно носителя.

Считаем, что все геометрические, кинематические и динамические векторные величины, а также матрицы моментов инерции груза, носителя и системы носитель + груз заданы в системе связанных осей координат соответствующего тела.

Уравнение абсолютного движения центра масс тела имеет вид [4, 5]

V = gnЛK[ + § + ,

где V — вектор ускорения центра масс тела относительно инер-

циального пространства; т — масса тела; пйКТ==Гакг/т. — перегрузка тела под действием активных сил (исключая силу тяжести);

/? — главный вектор сил реакций; § — вектор гравитационного ускорения.

Уравнение абсолютного вращения тела, в котором за полюс моментов принята некоторая произвольная точка тела О*, имеет вид [5] /

/*№-)- [со, I* ш] = лС + М* + т [г*, V*],

где /*-г- матрица моментов инерции тела относительно полюса О* в связанных с. телом осях; ш — соответственно вектор абсолютной угловой скорости и углового ускорения тела; М*кт, М* — соответственно вектор главного момента активных сил (включая силу

тяжести) и сил реакций относительно полюса О*; г* — радиус-

вектор полюса О* относительно центра масс тела; V*—абсолютное ускорение полюса О*.

Когда полюс моментов О* Совпадает с центром масс тела,

момент сил инерции т[г*, ю*\ обращается в нуль, и из (3.2) получаем известную форму уравнения моментов

/ш [ш, / со] = Макт + М,

где МлкЪ М и / определены относительно центра масс тела.

* В работе величины, относящиеся к носителю и системе носитель + груз, отмечены индексами „н“ и ,2“ соответственно; величины, относящиеся к грузу, записаны без индекса.

3.2. Уравнения движения системы носитель + г р у з.

При движении на участке совместного полета оба летательных аппарата движутся как одно тело, имеющее суммарную массу

— т + тп

и „суммарную11 матрицу моментов инерции (выражена в осях

0^х1,уу,г1, относительно центра масс системы 0„)

I.

/а = СЮ 1а~\~ т (ГОн^он^ — ^он/Он),

где /, /„ — соответственно матрица моментов инерции груза и носителя относительно своего центра масс; Е — единичная 3X3-матрица;’С—матрица пов9рота от осей Онхиуигн к осям Охуг\

Гон—вектор-столбец, соответствующий радиус-вектору г0н

I п ~ ттн

точки О относительно точки Оа*; т — —-----------приведенная масса

• у 171 М1ц

двух тел [4].

Уравнения сил (3.1) и моментов (3.3) для системы носитель + груз имеют вид

Уъ = g tlzJгg,

У . . •' - " ‘ .

/в + [‘“т, /е ] = /Иа ,

' ** - 1% ; где -----------вектор перегрузки системы под деист,вием внеш-

• .

них сил; — главный момент активных сил относительно центра масс 02.

3.3. Определение главного вектора и главного

момента сил реакций.

Условия связи тел, из которых определяются главный вектор и главный момент сил реакций, могут быть записаны, очевидно, в различной форме. Наиболее удобно записывать их в виде условий покоя одного из тел по отношению к системе носитель 4- груз: главный вектор и главный момент определяются порознь соот-

ветственно из условия отсутствия относительных перемещений центра масс тела и отсутствия относительного вращения тела, движущегося под действием активных сил и сил реакций связей [5]. Выберем в качестве такого тела груз и условно примем действие сил реакций на него положительным.

Условие отсутствия перемещения центра масс груза относительно системц носитель + груз имеет вид

У = Уъ + Г2]+ [(Ву, [ш£, г*,]] >

* Здесь и далее при матричной записи векторы записаны как столбцы

и обозначены той же буквой без стрелки; знаком „Т“ обозначена операция транспонирования.

где г2 = Ое О = г0 н (см. рис. 3). Отсюда, используя уравнения

2

"‘Е

Щ

{3.1), (3.4), (3.5) и переходя к матричным обозначениям, получаем в осях груза вектор - столбец главного вектора сил реакций:

Н = — тя

где (. . .)-1 — знак обращения матриц.

Здесь и далее через а обозначена кососимметричная ЗХЗ-мат-

рица, образованная из компонент некоторого вектора а и используемая для матричной записи векторных произведений с участием

вектора а [8]: если в некоторой правой декартовой прямоуголь-

ной системе координат а = {аи °2> °з}> то

* ( ° — а3 а.

а = \ «3 0 - - а

'  6 ’ \ -«2 «1 0

Условие отсутствия относительного вращения груза

«> = «а

удобно записать относительно одного из шарниров, поскольку тогда в уравнение моментов для груза не входит неизвестная сила реакции в этом узле. Используя уравнения (3.2), (3.4), (3.5) и переходя к матричным обозначениям, из условия (3.7) получаем вектор - столбец главного момента сил реакций относительно г-го шарнира (в осях груза):

/Иг = —Ж акт + mgri(nm-C^nv) + (I — m{{r}Cтr0u)E —

— Стг0 н Г;)] Ст /а 1 (Ма — <•>;, Д, а>г) — ГП (ша Г0 н Сг,) Ст(ое-{г

+ Стша

где Жакт— вектор4-столбец момента активных сил, действующих на груз, относительно его центра масс О.

3.4. Расчет эквивалентной системы сил.

В случае скрепления двух ЛА в трех шарнирах эквивалентная система сил состоит [см.

Рц = Рц'е1/ = Яц + Кл =

и трех составляющих, направленных по нормали п° к плоскости тс

где /^—составляющая силы реакции в г'-м шарнире, направленная вдоль стороны (г, у) треугольника; Р1}-— соответственно про-—>- —> —>

екции и на орт вц стороны (г, /); — проекция /на орт

нормали п°. ,

В формулах настоящего раздела индексы г, /, к принимают значения (/, 2, 3), (2, 3, /), (3, 1, 2) (циклическая перестановка).

Для определения шести неизвестных проекций Рп, Доз, F31. ; /?гл., /?з± имеем два независимых векторных уравнения:

+ $йх) «° + ^к1ек1 + ^)ке]к = ^>

[Гу - г„ га0] + [г* — г„ /г°] + [Гу — г

—> —

где И и определяются согласно (3.6) и (3.8).

Проектируя (3.11) и (3.12) на любые три линейно независимых вектора, получим систему шести линейно независимых уравнений,, имеющую единственное решение. Наибольшие упрощения левых частей уравнений достигаются: 1) для уравнения сил (3.11) —если

выбраны орт оси, перпендикулярной плоскости тс, и орты двух

—> —У

осей, перпендикулярных сторонам (г, /) и (£, I), т. е. орты га0, —

= [егу., га0] и *ь(=[еы, га0]; 2) для уравнения моментов (3.12)—-если для проектирования выбраны орты осей, проходящих через г'-й

шарнир, т. е. орты га0, е,у- и еш. Умножая скалярно уравнения сил и моментов на указанные орты и используя соотношения (3.9),

(3.10), получаем систему уравнений

х + $/± + $6.1. = га0),

(е 'к1> ху) Рк1 + (е]ь тг/) Р}к = (#, ^)»

(^г'у> ^*1’) (^/£> ==($>

Р)к = А л°). = (Я. ец)> #ух = (Я, «*/),

которая имеет единственное решение 1 ,Гж - 1

(Мц я°). (Л*і> егу)> #/± = е«),

$/гх,

[(#> Чці—Рік (^А>т/Д

/%1=.

[($. Чі) — ^ік (Єік, *«)]

Здесь йг>0 —плечо силы, равное длине перпендикуляра из г-й вершины треугольника (/, 2, 3) на прямую, проходящую через противоположную сторону (у, А); (Л7г, е) — момент сил реакций относительно оси, проходящей через г'-ю вершину параллельно орту

—> —^ е(е = п°, еф ен).

Приведенный выше способ определения составляющих эквивалентной системы не является единственно возможным [4}. Можно определить составляющие эквивалентной системы без определения главного вектора /?, используя шесть уравнений моментов — относительно трех осей, проходящих через три стороны треугольника и относительно трех осей, проходящих через вершины треугольника перпендикулярно плоскости тт. В этом случае получаем аналогично

Я/х = ~~ц (Щ е]к), = -±- {Мк, и0).

4. РАСЧЕТ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СИСТЕМЫ СИЛ РЕАКЦИЙ НА УЧАСТКЕ РАЗВОРОТА ГРУЗА НА ДВУХ ШАРНИРАХ

4.1. О п р е д е л е н и е главного вектора и главного момента сил реакций.

При анализе вращения тел относительно общей оси, проходящей через п шарниров (п > 2), главный момент сил реакций. так же как и на участке совместного полета, удобно выразить относительно одного из этих шарниров. Тогда главный момент сил реакций относительно произвольного полюса О*

Ж* = Д + [й, Я],

где — главный момент сил реакций относительно г'-го шарнира

(и— 1, . . . , п); р* — радиус-вектор г‘-го шарнира относительно полюса О*.

Вследствие предположения об идеальности шарниров момент сил реакций относительно оси вращения г'/ М\х- — (Мь /г;) = О,

так что М—М1Х' г' + УИ,- у> /'(г', /, £'— орту системы осей х'у'г' (см. раздел 3.1)). Получаем, таким образом, три неизвестные составляющие главного вектора и две неизвестные составляющие глав-->

ного момента М1 в осях х',у', г': Я*- , , М1Х’, М1у’.

Условия связи двух тел при развороте на оси удобно записывать в виде равенства абсолютных ускорений г-го шарнира в его

движении вместе с носителем и грузом

=

и условия параллельности вектора относительного углового уско-

^ —>

рения груза Дш орту оси вращения

Деи = 9 к',

где

Дш = ев — <вн + [Дш, шн],

—>- —>- ^ - у- ^ у

Дш = ю — шн = <? &' — вектор угловой скорости груза относительно носителя; 9 — угол разворота груза относительно носителя.

Проектируя условия связи (4.2) и (4.3) на оси х'у'г', получаем пять независимых скалярных условий связи (шестое равенство

(Да), ^')— <р представляет собой уравнение относительного вращения груза).

Из условий связи, используя известные кинематические соотношения для абсолютного движения твердых тел, уравнения движения (3.1), (3,3) и равенства (4.1) и (4.4), с использованием матричных обозначений получаем невырожденную симметричную систему пяти уравнений для определения пяти составляющих главного вектора и главного момента реакций

£1 *= ф1\Ь2\Ьз) —матрица поворота от осей Охуг к осям х' у' г'\ матрица Г) составлена из первых двух столбцов матрицы В: И —

Структура матриц г и такова, что они симметричны

и положительно определены. Используя это свойство, с применением формул обращения блочных матриц (см., например, стр. 109 в [9]) получаем решение системы (4.5) в симметричной форме

Отметим, что использование при определении Я и М1 других форм записи условий связи менее удобно, чем применение условий связи в форме (4.2), (4.3), так как приводит к несимметричной системе уравнений.

откуда Яі --= Мі 1 Вт — вектор-столбец силы реакции /?г в г-м шарнире.

где

Ми = /Гг 1Е — Вт(?і І 1гі + Стгі11171гІНС)В,

Ц = - дт (гг /-1 + ст 7, н С) о,

ТУ^Д^/т» + СЧ~1 с)д,

.  - • ;

і — С акт + Фн ШВ Г і н Ґі н /н (Л^н акт А І (,,и) ) " '

— (ё^акт + ю шГг — 7І І~1(Ма!СІ - ш/со>),

К = — /-1 (Макт — “/«>) + С1 Л71 (Мя акт — Юн /„ (Он) — (В С1 0)н,

Я = (К і -V- II Г1 (£*/•'; - МТ1 Д1 /С), Ж, = (ТУ2І - ^ АТ) Рт К - Я М!1 5Т^.).

В случае разворота груза на г-м сферическом шарнире Л/г = 0. Тогда из условия связи (4.2) аналогично (4.5) получаем

Ми1^~ВЧ-\,

4.2. Расчет эквивалентной системы сил реакций. В случае разворота груза на двух шарнирах, расположенных в точках 2 и 3, эквивалентная система сил реакций состоит [см.

^*23 = ^23 ^23 = R' г' Н- Нз г' = {R.I г' 4" Ri z') &23

и четырех составляющих вдоль осей л' и у'

Rix' = Rix' i', Rzx'— Rzx’i', Riy' — Riy' i', Rz\>' — Rs у j'-

Для определения пяти неизвестных проекций имеем два независимых векторных уравнения

#2 + #3 = R> [rS — Г2, #з] = Дм

проектируя которые на оси х’у' z', с учетом (4.6) и (4.7) получаем пять независимых скалярных уравнений (шестое условие УИ22'=0 выполняется тождественно):

Rix' + къх’ — Rx', R'iy' “! Rzy' — Яу', F2S = Rz',

Rzyd — M2x', Rax'd — — M2yr,

где d — | r3 — r21 > 0 — расстояние между шарнирами. Решение системы (4.8) имеет вид

F2з == Rz> , Язх' — — d~l Мчу , Rzy’ — d~l M ix',

R%x' — Rx' Riy' Ry' Rsy1

Составляющие эквивалентной системы сил можно определить также, используя главный момент сил реакций относительно шар-

нира 3 Ms = [r2 — г3, л?2]. Тогда аналогично полученному выше имеем

/*28 “ , R'2x> = , /?2у' = — УИзлг' ,

Rzx’ — — ^_I Af2y' , /?3у’ = 1 Mix'-

Автор выражает признательность В. А. Ильину за обсуждение результатов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Де мешки на В. В., И л ь и н В. А., Леутин А. П. Некоторые особенности процесса разделения летательных аппаратов вблизи момента разрыва связей, ч. 1 и II, .Ученые записки ЦАГИ“, т. XI, № 4 и 5, 1980.

2. Колесников К. С., Козлов В. И., Кокушкин В. В. Динамика разделения ступеней летательных аппаратов. М., „Машиностроение", 1977.

3. Andrews W. И. Space Shuttle Orbiter Approach and Landing Programra Status. AIAA Paper, N 77—1204, 1977.

4. Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики, т. I и II. М., ГИТТЛ, 1955.

5. Лурье А. И. Аналитическая механика. М., Физматгиз, 1961.

( 6. М е р к и н Д. Р. Алгебра свободных и скользящих векторов.

М., Физматгиз, 1962.

7. Филин А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела, т. II. М., „Наука', 1978.

8. Фрезер Р., Дункан В., Коллар А. Теория матриц и ее приложение к дифференциальным уравнениям . и динамике. М.,

Изд. иностр. лит. 1950.

9. Аоки М. Оптимизация стохастических систем. М., „Наука",

1971.

Рукопись поступила 291X11 1979 г.