2006. 01. 011. Логика и компьютер. - М. : Наука, 2004. - вып. 5: пусть докажет компьютер. - 207 с

конченным списком порогов или даже наиболее важными в контексте разработки. Может быть еще много градаций при более тщательном исследовании научной аргументации. Во вторых, есть очень важное различие между понятием «очевидности-что» для более низких порогов и «очевидности-для». Как только порог преодолен, факты, которые «прогрессируют на плато», все еще рассматриваются как «очевидность-что» по отношению к прохождению того порога, в то время как «очевидность-для» гипотезы обязательно будет «очевидностью-что», когда она преодолела некоторый отдельный порог; обратное не верно.

Мы можем разумно говорить о растущей поддержке гипотезы несмотря ни на дискретное представление доверия Ачин-стейном, которое подразумевается, ни на тот факт, что мы можем не иметь «хорошего основания для веры» в гипотезу. Приписывать очевидность объективному, эмпирическому и релевантному с научной точки зрения соотношению между такими гипотезами и фактами разумно, да и не противоречит ачинстейновским ограничениями на успех философского объяснения научной очевидности.

К. А.Модестов, А.И.Панченко, В.А.Яковлев

2006.01.011. ЛОГИКА И КОМПЬЮТЕР. - М.: Наука, 2004. -Вып.5: Пусть докажет компьютер. - 207 с.

Коллективная монография посвящена рассмотрению проблемы автоматического поиска теорем для классической и интуиционистской логик. В ней предлагаются построенные авторами алгоритмы поиска доказательства для натуральных исчислений классической и интуиционистской логик высказываний, а также для натурального первопорядкового исчисления предикатов. Относительно этих алгоритмов доказываются мета-теоремы об их непротиворечивости и полноте.

Монография начинается с исторического введения, в котором дается краткий обзор предпосылок развития систем автоматического поиска доказательства, описание современного состояния дел в этой области, а также обосновывается актуальность и

перспективность построения алгоритмов, основанных на системе натурального вывода. Последующие главы содержат описание алгоритмов поиска доказательства для конкретных логических систем, а также исследование их метатеоретических свойств с доказательствами соответствующих теорем.

В качестве отправной точки истории современной математической логики указываются идеи Г.В.Лейбница о создании формального универсального языка, в котором можно было бы сформулировать любое утверждение и построить соответствующее исчисление, с помощью которого оказалось бы возможным механизированно (технически) решить вопрос об истинности некоторого утверждения. Отмечается, что важнейший вклад в развитие логики и логических систем был сделан Г. Фреге, который в отличие от Дж. Буля попытался представить не некую абстрактную логику в виде алгебраических формул, а выразить точным образом посредством специальной символики то самое содержание, которое выражается словами в естественном языке. Работа Фреге в области формализации арифметики и теории действительных чисел была продолжена и завершена А.Н. Уайтхедом и Б. Расселом в «Principia mathematica» (1910-1913), содержащей систематическое изложение современной логики и ее применение для обоснования всей математики. Таким образом, «программа Лейбница - свести логическое мышление человека к чисто синтаксическим процедурам - была реализована в важнейшей своей части» (с.5).

Среди наиболее значимых с точки зрения формализации и алгоритмизации процедур доказательства отмечаются работы Д. Гильберта и В. Аккермана, К. Гёделя, А.М. Тьюринга, А. Чёрча. В связи с неразрешимостью первопорядкового исчисления предикатов ключевая роль отдается работам Т.А. Сколема и Ж. Эрбрана. На основе полученных ими результатов может быть сформулировано «оправдание» всех систем вывода: «если утверждение истинно, то это можно доказать в конечное число шагов, если нет, то существуют две возможности - или удается показать ложность утверждения, или программа работает бесконечно долго»

В качестве важного для рассматриваемой темы этапа развития логической техники отмечается появление в 30-е годы ХХ в. неаксиоматических форм исчислений. Это секвенциальное представление логики и так называемые натуральные исчисления (Г. Генцен, Яськовский). Системы натурального вывода создавались с целью имитировать рассуждения, характерные для человеческого мышления.

Подчеркивается различие систем натурального вывода двух видов: в исчислениях генценовского типа вывод строится как дерево формул; в субординатных исчислениях вывод строится как линейная последовательность формул. В качестве другого важного различия указывается наличие или отсутствие в системе непрямых правил вывода (т.е. правил, позволяющих переходы не от формулы к формуле, а от одной выводимости к другой). Поскольку применение непрямых правил вывода создает определенные неудобства, приводится ряд подходов к их формулировке в прямом виде (У. Куайн, В.А. Смирнов, Е.К. Войшвилло, В.А. Бочаров и В.И. Маркин).

С появлением компьютеров обозначились два основных подхода к проблеме автоматического поиска доказательства математических утверждений. Один из них представлял собой попытки реализации процедур вывода, формулируемых математической логикой, другой - пытался симулировать человеческие эвристики.

Характеризуя современное состояние дел в рассматриваемой области, авторы выделяют две группы систем доказательства теорем. Первую группу составляют системы интерактивного поиска (редакторы доказательств), которые под своим контролем дают возможность пользователю строить доказательство. Они, как правило, основаны на теории типов и на системах правил заключения, при этом правила вывода обычно охватывают систему натурального вывода Генцена. Ко второй группе относятся автоматические генераторы доказательств. Роль пользователя в них сводится к постановке задания системе - доказать теорему, а система работает до тех пор, пока не будет найдено доказа-

тельство или не выполнится какой-нибудь обрывающий программу критерий.

Особо подчеркивается тот факт, что процедуры автоматического поиска доказательства (как для классической, так и для интуиционистской логики) обычно строятся на базе секвенциальных исчислений и теории резолюций или на аппарате, который близок к этим представлениям логики. Хотя такой подход имеет свои преимущества, он не лишен недостатков, которые иногда могут оказаться весьма существенными. В частности, отмечается, что в приведенных в монографии примерах процедур автоматического поиска доказательств, основанных на указанных принципах, традиционная процедура вывода либо не представлена вообще, либо представлена в таком виде, который весьма далек от того, что обычно понималось под выводом в истории логики. Это объясняется тем, что секвенциальные исчисления, исчисления на основе метода резолюций и т.п. являются аналитическими, т.е. в них, отталкиваясь от доказываемой формулы, приходят по правилам вывода к аксиомам. Такой метод дает аналитическим исчислениям большие преимущества, так как они жестко ограничены выводимой формулой, однако он не может быть применен в тех случаях, когда отвлечение от способов получения нужного результата недопустимо. В таких случаях, как представляется авторам, наиболее естественно использование систем натурального вывода, которые наряду с системами гильбертовского типа (аксиоматики) являются синтетическими (генерирующими) исчислениями, т.е. в них, исходя из аксиом и посылок, на основе правил вывода строится доказательство некоторой формулы.

В качестве одного из главных критериев эффективности дедуктивного аппарата (с практической точки зрения) называется быстродействие программы, основанной на этом аппарате. При этом отмечается, что все допустимые дедуктивные средства обладают различной скоростью работы на разных формулах, но нет такой системы, которая превосходила бы все другие. Хотя на сегодняшний день наиболее эффективными признаются системы автоматического поиска доказательства, основанные на методе резолюций, в некоторых случаях, например когда некоторое

множество формул непредставимо в виде конъюнкции дизъюнктов Хорна, никакую стратегию, кроме стандартного перебора всех возможных вариантов правила резолюций, применить не удается. При использовании в этом случае натурального вывода процесс остается строго детерминированным. Приводится также другой тип примеров, сложных для теории резолюций, - формулы, нормальные формы которых «взрываются» в аспекте длины. Для натурального вывода доказательство подобных формул не является проблемой, поскольку в этом случае сложность алгоритма зависит не от длины формулы, а от ее структурной сложности.

Скептицизм, высказываемый некоторыми исследователями (М. Фитинг, В. Бибель), в отношении использования натурального вывода в автоматической дедукции, который вызван спецификой натурального вывода как синтетической процедуры, признается авторами монографии не вполне оправданным, поскольку они нашли возможность алгоритмизировать определенные эвристики, показав этим, что натуральный вывод может находиться в поле автоматической дедукции.

При анализе нескольких существующих в настоящее время алгоритмов поиска натурального вывода в классической перво-порядковой логике отмечается, что в ряде случаев проблема ме-татеоретических свойств вообще не ставится, а такой подход не может быть признан вполне корректным. В тех случаях, где доказана семантическая полнота алгоритма, используется метод, предложенный У. Сигом: по дереву вывода, которое не является доказательством, можно построить контрамодель для данной формулы или данной выводимости. Именно на этом подходе основано предлагаемое в монографии исследование. Однако указываются некоторые существенные различия между подходом, предлагаемым авторами, и подходом Сига. Во-первых, Сиг работает с системой натурального вывода с непрямым правилом удаления квантора существования, тогда как в монографии рассматривается система натурального вывода с прямым правилом. Во-вторых, в отличие от алгоритма, предложенного Сигом, в предлагаемом авторами алгоритме не используются промежуточные исчисления.

Место натурального вывода в автоматизации доказательства определяется в рамках направления, свойственного современным исследованиям в области автоматической дедукции, которое предполагает симбиоз различных методов, включая теорию резолюций, секвенции, элементы натурального вывода и другие. В связи с этим предпринятое в монографии исследование в области эвристик для натурального вывода представляется авторам «весьма перспективным и способным внести свою лепту в решение проблемы эффективной интеграции различных методов автоматической дедукции» (с.23).

Автоматический поиск доказательства в некоторой формальной системе имеет практическое применение в области исследований, получившей название «искусственный интеллект». Под термином «искусственный интеллект» понимается теория создания компьютерных систем, способных вести деятельность, обычно ассоциируемую с человеческим интеллектом. «Интеллект» трактуется в широком смысле, как «обобщающий различные типы человеческой активности, на различных уровнях отражения действительности - от чисто реактивной деятельности до уровня абстрактного мышления» (с.24).

При описании абстрактной архитектуры интеллектуальных систем цикл такой системы разбивается на три этапа, которые связаны с проблемой совокупной сложности интеллектуальной системы. Во-первых, это кодирование сигнала, поступающего из окружающей среды. Во-вторых, преобразование модели, находящейся в памяти системы. В-третьих, вычисление соответствующего действия. Второй и третий этапы преобразования информации указываются в качестве областей, где уже применяется или может быть применена автоматическая дедукция.

Основное содержание монографии составляет описание предлагаемых авторами алгоритмов поиска доказательства для натуральных исчислений классической логики и интуиционистской логики высказываний, с исследованием метатеоретических свойств этих алгоритмов и доказательствами соответствующих метатеорем.

Автоматизация вывода для натурального исчисления классической логики основывается на дедуктивном аппарате, предложенном в работе В.А. Бочарова и В.И. Маркина «Основы логики» (1994). Для описания алгоритма поиска доказательства вводится более богатый язык, содержащий понятия псевдотерма и псевдоформулы, которые не относятся к языку исчисления предикатов.

Общая стратегия алгоритмического поиска вывода состоит в том, что по некоторому заданному метаутверждению о выводимости создаются две последовательности: 1) последовательность формул, которая и представляет собой формируемый вывод; 2) последовательность целей, в качестве которых могут выступать некоторые конкретные псевдоформулы, либо метка, означающая, что целью вывода является противоречие. При этом на каждом шаге вывода однозначно задается цель, которая на данный момент является последней и должна быть достигнута. Все правила вывода подразделяются на аналитические (автоматически выполняются при наличии в выводе соответствующих псевдоформул) и синтетические (их применение регулируется достижением некоторой цели).

Приводится описание процедур, выполняемых в ходе поиска вывода, описание алгоритма и его компьютерной реализации. Формулируется и доказывается теорема о корректности (т.е. ме-таутверждение о конечности работы алгоритма) на уровне логики высказываний.

В качестве особенностей предложенного алгоритма указывается, что сформулированный алгоритм решает проблему нормализации вывода (и, следовательно, проблему подформульности), а также максимально решает проблему «недетерминированности» поиска вывода.

На уровне классической логики предикатов рассмотрение метатеоретических свойств осуществляется для алгоритма автоматического поиска доказательств основанного на другой формулировке той же системы натурального вывода (BMV) (имеются в виду В.А. Бочаров, В.И. Маркин и Е.К. Войшвилло. - Ред.). Поскольку эта натуральная система содержит прямое правило уда-

ления квантора существования, ее спецификой является использование абсолютно и относительно ограниченных переменных.

Представлены доказательства семантической полноты и непротиворечивости системы БМУ, описание алгоритма поиска вывода в БМУ. Рассмотрены метатеоретические свойства алгоритма, доказаны его семантическая непротиворечивость и полнота.

В качестве систем генерирования доказательств в интуиционистской логике высказываний представлены секвенциальные и префиксные исчисления. Отмечается, что рассмотренные методы оптимизации поиска доказательств достаточно ограниченно уменьшают сложность поиска, и возникающие исчисления обладают рядом недостатков. «Более значительное уменьшение сложности вычислений возможно при синтезе этих методов... в рамках создания процедуры поиска натурального вывода для интуиционистской логики высказываний» (с .142).

Далее рассматривается возможность использования синтаксических средств префиксных и секвенциальных исчислений при поиске натурального вывода в интуиционистской логике высказываний. Основное внимание сконцентрировано на односук-цедентном префиксном интуиционистском исчислении высказываний и натуральном префиксном исчислении. Показана взаимосвязь этих исчислений, которая позволяет сформулировать алгоритм поиска вывода в натуральной системе интуиционистской логики высказываний. На основе рассмотренного в предыдущих главах алгоритма поиска вывода в классической логике высказываний оказывается возможным построить односукце-дентное классическое секвенциальное исчисление, это позволяет осуществить обратную процедуру - по односукцедентному секвенциальному исчислению разработать алгоритм поиска вывода для натурального исчисления интуиционистской логики. Приводится общая структура и описание алгоритма, разбираются примеры его работы.

Л.Н. Романова