Оценка емкости буферной памяти в промежуточных узлах телекоммуникационной сети

УДК 004.71

ОЦЕНКА ЕМКОСТИ БУФЕРНОЙ ПАМЯТИ В ПРОМЕЖУТОЧНЫХ УЗЛАХ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННОЙ СЕТИ В.В. Соснин, Т.И. Алиев

Показана невозможность применения аналитических методов для оценки емкости буферной памяти в промежуточных узлах компьютерных сетей. Предлагается целый ряд полученных на имитационных моделях результатов, дающих на порядки более точные оценки. Эмпирически получено неравенство, применимое для оценки емкости буферной памяти в области высоких и средних загрузок. Ключевые слова: телекоммуникационный узел, буферная память, верхняя оценка, имитационное моделирование.

Введение

При передаче протокольных блоков данных (ПБД) по телекоммуникационным сетям существует необходимость хранить эти блоки в промежуточных узлах сети в течение времени, необходимого для принятия определенного решения (например, для осуществления маршрутизации, если промежуточным узлом является маршрутизатор). Промежуточным узлом телекоммуникационной сети (ПУТС) может также быть коммутатор или компьютер, выполняющий роль моста/маршрутизатора. В моменты высоких загрузок в ПУТС будет скапливаться большое число ждущих обработки ПБД. Если их суммарный размер превысит емкость буферной памяти (БП), установленной в ПУТС, то некоторые из ПБД будут потеряны. Для снижения процента потерь можно либо увеличить скорость обработки ПБД в ПУТС, либо поставить больше БП, чтобы в моменты пиковых загрузок приходящие ПБД не терялись, а ожидали своей очереди. Эти два параметра (скорость обработки и емкость БП) в совокупности определяют мощность ПУТС.

При проектировании ПУТС существует задача определения оптимальной мощности ПУТС путем выбора соотношения емкости БП и скорости обработки. При этом увеличение объема БП является более дешевой альтернативой. Для скорости обработки есть верхнее ограничение, определяемое суммарной скоростью передачи данных по всем каналам связи, объединенным в рассматриваемом ПУТС. Однако указать верхнюю оценку для емкости БП можно лишь вероятностно, так как в моменты пульсаций скорости трафика в БП будет оказываться непредсказуемое число ПБД. В предлагаемой работе исследовалась возможность оценки емкости БП, которой было бы достаточно для обеспечения некоторого заданного процента потерь. Существующие аналитические методы, которые позволяют это сделать, дают слишком грубые оценки, поэтому исследование проводилось на имитационных моделях.

Постановка задачи

Попробуем аналитическими методами оценить такую емкость БП перед обслуживающим прибором, при которой процент потерь заявок вследствие переполнения будет меньше, чем Р* = 10-8 (выбор именно этого значения обусловлен тем, что при соответствующих имитационных исследованиях получение оценок с Р* более низких степеней слишком вычислительно трудоемко, как указано ниже по тексту). На практике допустимый процент потерь ПБД на порядки больше указанного, но будем использовать именно это значение Р*, чтобы получить верхние оценки, которые останутся верными (хотя и завышенными) и в более благоприятных условиях.

При моделировании проектируемых телекоммуникационных сетей зарекомендовал себя способ, при котором каждый из ПУТС рассматривается как система массового обслуживания (СМО). Под заявкой в такой СМО будем понимать ПБД, под обслуживающим прибором - управляющий блок ПУТС, осуществляющий все необходимые

действия перед отправкой ПБД к следующему ПУТС. Очевидно, что время между поступлением заявок в такую СМО является случайной величиной. Время обслуживания в приборе также является случайной величиной, так как оно может определяться либо размером ПБД (если в процедуру обработки включать и время отправки ПБД по каналу связи), либо различием для разных ПБД уровня качества обслуживания, определенного политикой QoS в данном ПУТС.

В качестве примера рассмотрим простейший случай СМО М/М/1 (символика Кендалла [1, с. 107]): закон распределения времени между поступающими ПДБ является экспоненциальным, и время обработки ПБД в приборе также распределено по экспоненциальному закону. Пусть обслуживающий прибор загружен на 90%. Для оценки требуемой емкости БП попробуем рассчитать такое количество заявок в СМО, вероятность превышения которого меньше либо равна P*. Отметим, что рационально давать оценку именно числу заявок в СМО, а не числу заявок, ожидающих в очереди, так как на практике обрабатываемый в данный момент в ПУТС ПБД не извлекается из БП. Применяя формулы [2, с. 208], найдем математическое ожидание числа заявок Q, находящихся в системе: M [Q] = р = 9, где р - загрузка. Закон распределения числа зая-

1 -Р

вок в СМО М/М/1 является геометрическим. Геометрический закон распределения случайной величины X задается формулой Pr(X = к) = у(1 - у)к, где у - параметр закона, принадлежащий интервалу (0;1), Pr(X = к) - вероятность того, что величина Х примет

значение к. Зная M[Q], рассчитаем параметр у =-1-= 0,1. Теперь из неравенства

1+M [Q]

ад

^ У(1 - У)к < P * найдем а, которое и будет являться оценкой минимального числа зая-

к =a

вок, вероятность превышения которого меньше P*. Сумма представляет собой геомет-

у(1 -у)a

рическую прогрессию, поэтому -< P* ^ (1 - у)a < P *, следовательно

1 -

ln P * ln10-8

a > log, Y P* ^ a >-=-«175. Получилось, что емкость БП должна пример-

1-Y ln(1 -у) ln0,9 ^ f f

но в 20 превышать среднюю наполненность БП, т.е. a « 20 • M[Q].

Как видим, при наличии исчерпывающей информации о параметрах СМО можно дать точную оценку емкости БП. Но попробуем теперь осуществить расчеты, рассматривая СМО М/М/1 как СМО M/G/1 c коэффициентом вариации времени обработки, равным 1. Аналитическими методами для этой СМО M/G/1 можно получить, что сред-неквадратическое отклонение величины Q равно a[Q] = M[Q] = 9. Не зная закона распределения Q, можно в соответствии с неравенством Чебышева оценить значение а, которое случайная величина Q не превысит с вероятностью P*:

P(|Q - M[Q]| > a) < ^Р = P* = 10-8, откуда a = = 104 • a[Q] = 104 • M[Q].

Таким образом, запас емкости БП в СМО M/G/1 должен на четыре порядка превышать среднюю наполненность БП, что на три порядка превышает запас емкости, рассчитанный для СМО M/M/1. Конечно, это лишь верхняя оценка, но руководствоваться на практике такой оценкой невозможно, так как стоимостные затраты при этом будут слишком велики. Заметим, что при рассмотрении СМО G/G/1 дли получения оценок нельзя применить даже и неравенство Чебышева, так как в этом случае нельзя аналитическими методами оценить коэффициент вариации величины Q.

На практике далеко не всегда можно с достаточной точностью аппроксимировать закон распределения величины Q. Поэтому в общем случае для получения достоверных

оценок емкости БП применение аналитических методов невозможно. В работе ставилась задача на основе большого числа имитационных экспериментов предложить эмпирическую оценку числа а всего по двум первым моментам законов распределения времени обработки и времени между поступлением заявок (такой подход обоснован, так как определяющее влияние на характеристики системы оказывают именно два первых момента законов распределения ее параметров).

Методы исследований

В качестве среды имитационного моделирования в работе использовалась GPSS World. Исследовался класс СМО G/G/1. Значение P* было выбрано равным 10-8. Задачей было выявить зависимость максимальной длины очереди от первых двух моментов законов распределения параметров этой СМО, а для этого при исследовании производилось варьирование:

1) загрузки (менялось соотношение математического ожидания интенсивности прихода заявок и скорости их обработки);

2) коэффициента вариации времени между поступлением заявок (КВТП), см. таблицу;

3) коэффициента вариации времени обработки заявок (КВТО), см. таблицу.

Номер эксперимента КВТП КВто

1 0,5 0,5

2 0,5 1,0

3 0,5 1,5

4 1,0 0,5

5 1,0 1,0

6 1,0 1,5

7 1,5 0,5

8 1,5 1,0

9 1,5 1,5

Таблица. Описание проведенных экспериментов

Каждый эксперимент проводился независимо для семи разных наборов датчиков случайных чисел (ДСЧ), используемых при моделировании законов распределений. Варьирование КВТП и КВто проводилось с применением разных законов распределений. Проведенное сравнение показало, что при равенстве первых двух моментов получаемые результаты отличаются не более чем на 5-10% вне зависимости от выбора закона распределения (т.е. влияние на результаты высоких моментов распределения очень невелико). Поэтому было решено основную часть экспериментов проводить, используя гамма-распределение как самое удобное в применении в среде GPSS World.

Заметим, что для получения достоверных оценок максимального числа заявок в очереди оказалось необходимым пропускать через созданную модель более чем 108 транзактов, что требует на компьютере с процессором тактовой частоты 1666 Mhz и объемом ОЗУ 1024 МБ более 30 минут. При этом результатом одного такого прогона модели является получение одной точки на приводимых ниже графиках (см. рис. 2). С учетом того, что использовались семь наборов ДСЧ и того, что каждый график построен по не менее чем 15-ти точкам, общее чистое время моделирования на указанном компьютере составляет более 470 часов.

Результаты работы

На рис. 2 приведены результаты моделирования СМО G/G/1 при КВтп — 1 и КВТО — 1,5. Использовано обозначение Max(Q) - максимальное полученное в экспери-

менте значение числа заявок в системе. Значение М[0] в данном случае получено точно с использованием формулы Поллячека-Хинчина для системы М/О/1. На рисунке также показано отношение максимального числа заявок к среднему. Именно это отношение представляет интерес. Было замечено, что отношение максимального числа заявок к среднему имеет асимптотический характер: по мере увеличения загрузки это отношение убывает и не превышает в пределе значения 20. Этот вывод справедлив для любых законов распределения.

300 250 200 150 100 50

0 .

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Рис. 2. Зависимость размера очереди в СМО от загрузки

Иллюстрирует сделанное утверждение рис. 3. На нем показана зависимость отношения максимального размера очереди к ее среднему размеру от загрузки и от выбранных значений КВТП и КВТО. При этом по мере движения от точки А к точке Б в моделируемых СМО, соответствующих пересекаемым графикам, изменялись законы распределения времени между приходом заявок и времени обработки заявок так, что сумма коэффициентов вариации обоих законов уменьшалась.

\

% \ Мах(0 ), заявки

4 Ма ч х(0/М[£ ]

\ N. 1

М[( ?], заявки *

* т — - — *

Др) = Мах(0(р))/М[0(р)]

100000

10000

1000

100

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Рис. 3. Эмпирическая оценка максимального размера очереди

р

Например, график, которому принадлежит точка А, получен при коэффициентах вариации, равных 1,5, а график, которому принадлежит точка Б, получен при коэффициентах вариации, равных 0,5. Как видно, по мере увеличения коэффициентов вариации каждый из последующих графиков функции Е(р) лежит ниже предыдущего. Следовательно, можно дать верхнюю оценку отношению Мах(0)/М[0]. На рис. 3 пунктирной линией отмечен график функции Е*(р) = 7 +12-, который дает такую оценку.

Р

График функции Е*(р) во всех точках находится выше полученных экспериментально данных и дает оценку приемлемой точности при соблюдении следующих условий:

1) КВТП и КВТО в сумме превышают 1,5;

2) загрузка превышает 0,5.

При этих условиях функция Е *(р) позволяет оценить Мах(0) по известному М[0] с точностью на 3 порядка выше, чем позволяло неравенство Чебышева. Эту эмпирическую формулу можно считать приемлемой оценкой для всего класса систем, ограниченного перечисленными условиями.

Выводы

Результаты многочисленных имитационных экспериментов позволяют сформулировать следующие выводы.

1. Аналитические методы неприменимы для получения оценки максимального размера БП в ПУТС, так как дают слишком завышенную оценку.

2. Имитационное моделирование позволяет получить оценки на несколько порядков более точные, чем при использовании аналитических методов.

3. Полученная эмпирически аналитическая зависимость позволяет оценить емкость БП, зная средний уровень ее заполненности, при определенных условиях с точностью, на три порядка превышающей точность такой же оценки, полученной с использованием неравенства Чебышева.

Литература

1. Шнепс М. А. Системы распределения информации. Методы расчета. - М.: Связь, 1979. - 344 с.

2. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. - М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.

Соснин Владимир Валерьевич

Алиев Тауфик Измайлович

— Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, vsosnin@mail.ru

— Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, aliev@d1.ifmo.ru