Моделирование цилиндрического и сферического диодов с учетом объемного заряда

УДК 517+533

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2013, вып. 2

М. А. Макарова

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО И СФЕРИЧЕСКОГО ДИОДОВ С УЧЕТОМ ОБЪЕМНОГО ЗАРЯДА

Введение. В настоящее время проявляется большой интерес к исследованиям и практическим приложениям полевых электронных эмиттеров, эмиссия в которых происходит с нанометровых включений проводящего вещества, острий, выступов [1—3]. Такие эмиттеры позволили получить токи высокой плотности, при которых влияние объемного заряда эмиттированных электронов считается решающим фактором, определяющим эмиссионные свойства катодов [4]. Потому представляется актуальным изучить вопрос влияния объемного заряда на полевую эмиссию.

Диоды в основном применяются в лабораториях для изучения эмиссионных свойств новых материалов [5]. Распределение потенциала, плотность объемного заряда между катодом и анодом зависят от геометрической формы электродов и их взаимного расположения [6-8]. Простыми случаями конфигурации электродов являются плоский, цилиндрический и сферический диоды. Наиболее строгая постановка задачи нахождения распределения потенциала с учетом объемного заряда включает максвеллов-ское распределение электронов по скоростям. Однако для такого случая удается получить лишь численное решение. В работе [7] решена задача о распределении потенциала в плоском диоде для произвольных значений плотности объемного заряда и начальной скорости электронов. В работах [9-11] рассматриваются вопросы влияния объемного заряда на сформированные пучки электронов, дефокусирующее действие объемного заряда и методы его компенсации.

В данной статье определяется, как влияет объемный заряд на распределение электростатического потенциала в цилиндрическом и сферическом диодах.

Цилиндрический диод. Исследуем цилиндрическую вакуумную диодную систему, имеющую бесконечную протяженность по оси г; радиус малого цилиндра (катода) равен г\, радиус большого цилиндра (анода) - г2. Прохождение электрического тока вызывает скопление зарядов в межэлектродном пространстве системы. Пусть эти заряды распределены с некоторой неизвестной плотностью р\. Задача состоит в нахождении распределения электростатического потенциала с учетом влияния объемного заряда.

Распределение потенциала описывается уравнением Пуассона

в котором П1 - распределение потенциала; е0 - электрическая постоянная; р1_(г) = р\ (т)/ео. На границах системы поставим условия

Макарова Маргарита Александровна — аспирант, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: margo.aleksandrovna@yandex.ru. © М. А. Макарова, 2013

AU1(r) = -pi(r),

Ui(ri)=0, Ui(r2 ) = У.

Аппроксимируем функцию р\(г) кусочно-постоянной функцией следующим образом:

' Р1, Г £ [Й1,Й2),

Р2, г е [Й2,Дз),

Р1(г) = <

рн, г е [Ян,Ян+1].

Здесь N - количество частей, на которые разбивается область между Г1 и Г2. Решение уравнения (1) с граничными условиями (2) можно найти методом вариации произвольных постоянных. Оно имеет вид

к-1 N

и1(г) = ^РэМ$,г)+ РэМ$,г)+ркАз(к,г) + Ь^г),

8=1 я=к+1

где введены обозначения

М°,г) = (Д?+11п(Дг+1/г1) - Я}ЩЯг/Г1) + Щ ~

2 1п

2

м°>г) = 111 №+1/Г2)" щ 111 (Дг/Г2) + Щ

Вк

1 1

2 1п

Я2 _ Г2

1п(г2/г) ( —--Я 1\п(Як/п))-

' Я2 _Г2 -1п(п/г) ' ^

2

- Я2+11п

ЫГ) = V

1п (г1/г) 1п (Г1 /Г2 ) '

При этом ръ остаются неизвестными.

Запишем в общем виде уравнение сохранения заряда и уравнение сохранения энергии. Переходя к одномерному случаю, дадим также определение плотности тока

&у](х) = 0, -шу2(х) = — е£/(х), ](г) = у(г)р(г).

Из соотношений (3)-(5) получим выражение, связывающее неизвестные функции ^(г) и р\{г)\

гр1

Причем считаем начальную скорость электронов равной 0 и не учитываем распределение электронов по скоростям.

С помощью соотношения (6), выбрав из каждого из N промежутков по одному значению г*, составим систему уравнений для нахождения неизвестных рг

Е = 0,

где

Е

Система (7) - система нелинейных алгебраических уравнений.

Обратимся к случаю, когда диодная система имеет конечную протяженность по г. Для упрощения примем, что длина диодной системы значительно превосходит расстояние между цилиндрами. Тогда функцию р2 можно считать зависящей только от г. Будем решать уравнение Пуассона

АГЫг, г) = Р2

с граничными условиями

тт

и2{г,0) = V——-—и2{г, х\) = V

1п

и2(г1,г) = 0, и2(г2,г) = У.

Функцию р2 (г) аппроксимируем кусочно-постоянной функцией, как и в предыдущем случае. Обозначим значение этой функции на интервале [Кг, Кг + 1) как рг. Решение задачи (8), (9) было получено в следующем виде:

к-1 N

и2(г,г) = ^2 рзВ1(з,г,г)+ р6Б2(я,г, г) + ркБ3(к,г, г) + Ь^г).

8=1 я=к+1

Здесь

22

Пг1 , ЛпК8 ) - К8+1^о

ТУ0(А „г2,Л„г) х _ _:-- 81п(Лп2;),

Ш о

X

22

пг2, ЛпКв ) - К8+1^о

\¥0

х Ш~7\-Г^ 81П(Л»2;)'

Ш о

X

Бз(к, г, г) 122

Е-

п=1

22

КкШо

Шо

г? ш <\ \ г? ^0

ТУ0(А„г2, Л„Г1) А„_

Были введены обозначения

Жо(7, м) = ШЫР) ~ 1о(»)К0(<у), л 7гп

г1 '

где /о,/1, К0, К1 - модифицированные функции Бесселя [12].

Неизвестными остаются Д. Для их нахождения зафиксируем некоторое значение г* и воспользуемся формулой (6) для построения системы нелинейных алгебраических уравнений методом, аналогичным примененному для одномерного случая.

Сферический диод. Рассмотрим сферический диод. Электроды представляют собой две сферы с радиусами г1 и т2 с центром в начале координат. Задача нахождения распределения потенциала с учетом объемного заряда сводится к решению уравнения Пуассона

с граничными условиями

Аи3

из(г1)=0, и3(т2 ) = У.

Введем обозначение рз(т) = р*(т)/ео, в котором р*(т) - плотность распределения объемного заряда. Функция рз (т) неизвестна. Аппроксимируем ее, как и в предыдущих случаях, кусочно-постоянной функцией. Решение задачи (10), (11) имеет вид

к-1 N

из (т)=РгС\^,т)+ рС2(г,т)+рк Сз (к,т) + Ьз (т),

i=1 г=к+1

С1

т1 (

(т2 - т) (яз+1 - Я - Я

С2(г,т) = -

т(т2 - т1) У 3т 1 2

Г2(Г-П) (Е!+1-н! д2+1 - щ

2

Сз

Г\Г2

т2 - т1

т(т2 - т1) \ 3т2

6 V п т2

1 ПЛ %

т т2 ! \'2 3т1

+ Д1+1 (---]( ^ -

1 Д&+1

2 ~ Зг2

и (т) = V

т2

т

Воспользовавшись законом сохранения заряда и законом сохранения энергии, получим соотношение, связывающее неизвестные функции рз(т) и Из(т):

г2рз(г)\/из(г) = г1рмл/У.

1

Используя его, можно составить систему уравнений для расчета неизвестных рг. Для этого выберем из каждого промежутка (Кг,Кг+1) по одному гг* и запишем для него выражение (12). Будем иметь систему нелинейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных рг.

Результаты расчетов. Используем параметры системы: для цилиндрического диода г1 = 1, г2 = 1.5, I = 100, V = 1, N = 20, где I - длина диодной системы; для сферического диода г1 = 1, г2 = 1.5, V = 1, N = 20. Все параметры системы являются безразмерными величинами.

-5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 -55 -60 -65 -70

Р/г)

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

Ръ{г)

-10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -100 -110

-ЛГ=Ю -N = 20 Ы = 30

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

Рис. 1. Плотность объемного заряда при различных N а — цилиндрический диод; б — сферический диод.

а б

U,

Рис. 2. Распределение потенциала без учета влияния объемного заряда (!) и с учетом (2) а — цилиндрический диод; б — сферический диод.

На рис. 1, a представлена функция pi(r) при различных значениях N для цилиндрического диода. Аппроксимации сходятся к некоторой функции, описывающей плотность распределения объемного заряда. Вычисления показывают, что функции pi(r) и р2 (r) отличаются в четвертом знаке. Из рис. 2, a видно, что объемный заряд оказывает сильное влияние на распределение потенциала в диодной системе.

В случае сферического диода кусочно-постоянные аппроксимации также сходятся к некоторой функции (рис. 1, б). При этом объемный заряд в данной системе тоже является причиной падения потенциала в области вблизи катода (рис. 2, б).

Заключение. В настоящей статье были рассмотрены два простых случая конфигурации электродов диодной эмиссионной системы - цилиндрический и сферический. Решалась задача нахождения распределения электростатического потенциала в этих диодных системах с учетом объемного заряда. В обоих случаях решение было получено в аналитическом виде. При этом неизвестная функция, описывающая плотность распределения объемного заряда, была аппроксимирована кусочно-постоянной функцией. Расчеты показали, что такая аппроксимация сходится к некоторой функции, абсолютное значение которой на катоде стремится к бесконечности.

При проведении расчетов было выявлено, что в обоих случаях объемный заряд вызывает уменьшение потенциала. Наиболее сильное падение наблюдается вблизи катода, где плотность объемного заряда наибольшая. В этой области потенциал принимает отрицательные значения.

Литература

1. Овсянников Д. А., Егоров Н. В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. 276 с.

2. Егоров Н.В., Шешин Е. П. Автоэлектронная эмиссия. Принципы и приборы. Долгопрудный: Изд. дом «Интеллект», 2011. 704 с.

3. Виноградова Е. М., Егоров Н. В. Математическое моделирование диодной системы на основе полевого эмиттера // Журн. техн. физики. 2011. Т. 81, вып. 9. С. 1—5.

4. Павлов В. Г. Влияние объемного заряда эмиттированных электронов на полевую электронную эмиссию // Журн. техн. физики. 2004. Т. 74, вып. 12. C. 72-79.

5. Chen P. Y., Cheng T. C., Tsai J. H., Shao Y. L. Space charge effects in field emission nanodevi-ces // Nanotechnology. 2009. Vol. 20. P. 1-9.

6. Добрецов Л. Н., Гомоюнова М. В. Эмиссионная электроника. М.: Наука, 1966. 564 с.

7. Келлин Н. С., Толмачев А. И. Влияние пространственного заряда и начальной скорости электронов на распределение потенциала в плоском диоде // Журн. техн. физики. 2012. Т. 82, вып. 4. С. 86-89.

8. Rokhlenko A., Lebowitz J.L. Stability and properties of stationary state of one dimensional space charge limited current // J. of Appl. Physics. 2012. Vol. 111. P. 013301-1-7.

9. .Завьялов М.А., Переводчиков В. И., Сыровой В. А. Проблемы электронно-оптических систем для перспективных пучково-плазменных приборов СВЧ // Прикл. физика. 2000. № 2. C. 122-132.

10. Сыровой В. А. Торцевые формирующие электроды для плотных электронных пучков и осесим-метричные бриллюэновские образования // Радиотехника и электроника. 2008. Т. 53, № 4. C. 494-512.

11. Акимов П. И. Использование ионов для усиления тока электронных пушек // Прикл. физика. 2002. № 4. C. 90-101.

12. Abramowitz Milton, Stegun Irene A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Washington: National Bureau of Standards Applied Mathematics, 1972. 1046 p.

Статья рекомендована к печати проф. Н. В. Егоровым. Статья поступила в редакцию 20 декабря 2012 г.