Круговой цилиндр в трансзвуковом потоке вязкого совершенного газа

Том ХЬН

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2011

№ 1

УДК 533.6.011.3

КРУГОВОЙ ЦИЛИНДР В ТРАНСЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ВЯЗКОГО СОВЕРШЕННОГО ГАЗА

В. А. БАШКИН, И. В. ЕЖОВ

Обсуждаются результаты численного интегрирования нестационарных двумерных уравнений Навье — Стокса применительно к обтеканию кругового цилиндра установившимся трансзвуковым потоком вязкого совершенного газа. Расчеты для числа Рейнольдса Яе = 105 выполнены в диапазоне изменения числа Мда от 0.8 до 1.3 для цилиндров с теплоизолированной и изотермической (с температурным фактором Тм,0 = 0.5) поверхностями.

Показано, что при числах Мю < М* с обтекаемой поверхности происходит периодический сход вихрей и течение около цилиндра носит нестационарный характер. При числах Мго > М, периодический сход вихрей с обтекаемой поверхности исчезает и общая структура поля течения близка к симметричной; при этом в ближнем следе имеется узкая область течения в окрестности плоскости симметрии, в которой движение газа нестационарно. Согласно расчетам 0.9 <М*< 0.95 для теплоизолированного и 0.8<М*<0.9 для изотермического цилиндра. Проведено сравнение расчетных и экспериментальных данных по распределению местных коэффициентов давления и сопротивления трения по поверхности цилиндра при различных числах Маха.

Ключевые слова: динамика вязкой жидкости, численный расчет, трансзвуковое течение, круговой цилиндр.

В [1] на основе нестационарных двумерных уравнений Навье — Стокса смоделирована задача о поперечном обтекании кругового цилиндра установившимся трансзвуковым потоком вязкого совершенного газа без предположения о симметрии течения. Там же проанализированы результаты расчетов для цилиндра с теплоизолированной поверхностью при числах М у = 0.8 и Яе = 105, когда обтекание тела носит нестационарный характер. В частности изучена эволюция структуры ближнего следа и местных аэродинамических характеристик цилиндра. Проведено также сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными [2, 3], которое показало в целом хорошее согласование их между собой.

Исследованный случай является исходной, базовой точкой в данных расчетных исследованиях по обтеканию цилиндра трансзвуковым потоком газа. В настоящей работе продолжен начатый в [1] анализ расчетного материала по влиянию числа Мда и других определяющих параметров подобия на структуру поля течения и характер обтекания кругового цилиндра. Работа имеет следующую структуру. В первом разделе кратко обсуждаются постановка задачи и условия расчетов, а во втором разделе — общая структура поля течения

Яв, .«V

БАШКИН Вячеслав Антонович

доктор физикоматематических наук, главный научный сотрудник ЦАГИ

ЕЖОВ Иван Валерьевич

кандидат физикоматематических наук научный сотрудник ЦАГ

около цилиндра с теплоизолированной поверхностью и влияние на нее числа Мх. Анализ эволюции газодинамических переменных в трех контрольных точках ближнего следа проводится в третьем разделе, а анализ эволюции коэффициента давления в четырех контрольных точках на поверхности цилиндра — в четвертом разделе. В пятом разделе рассматривается влияние температурного фактора на структуру поля течения около цилиндра и характер его обтекания, а в шестом разделе проводится сопоставление результатов расчета с экспериментальными данными. В заключении подводятся итоги выполненного исследования.

1. Задача поперечного обтекания кругового цилиндра установившимся трансзвуковым потоком совершенного газа рассматривается в декартовой системе координат х*, у*, начало которой помещено в центр цилиндра, а ось абсцисс направлена вниз по потоку и совпадает с направлением вектора скорости набегающего потока.

Для численного решения система нестационарных двумерных уравнений Навье—Стокса приводится к безразмерному виду путем деления декартовых координат на характерный линейный размер Я (радиус цилиндра), компонентов вектора скорости м*,у* — на скорость не возмущенного потока V-,, давления р* — на удвоенный скоростной напор 2д.г =р00У^, время Г — на характерное время пребывания жидкой частицы около тела 4 = Я!Ут ; остальные газодинамические переменные относятся к их значениям в набегающем потоке.

Постановка задачи и особенности численного моделирования обтекания кругового цилиндра установившимся трансзвуковым потоком совершенного газа без предположения о симметрии поля течения подробно описаны в [1].

При численном моделировании использовалась ортогональная неравномерная сетка с числом узлов 201 х 401 в продольном и нормальном направлениях, а расчетная область простиралась в горизонтальном направлении вверх и вниз по потоку на 50 калибров и в вертикальном направлении вверх и вниз от цилиндра на 100 калибров.

Расчеты выполнены при числе Яс = р,УгН/(хж = 105 в диапазоне изменения числа М.т от 0.8 до 1.3 для цилиндра с теплоизолированной (\дТ/дп |и. = 0) и изотермической (7и0 = 7И. / 70 = 0.5) поверхностью. Здесь Тк, Т0 — температуры стенки и торможения невозмущенного потока соответственно. Нестационарные уравнения Навье — Стокса численно интегрировались по времени в интервале 0 < ? = ГУ, /Я < 200 с постоянным шагом Д/ = 0.01, при этом запоминание полей газодинамических переменных проводилось через интервал 8^ = 0.1. Согласно численным экспериментам при получении стационарного решения для установления общей структуры поля течения требуется время / < 100, а для установления «тонкой» структуры — время t < 150. Таким образом, выбранный временной интервал вполне достаточен для выхода решения задачи на квази-периодический режим течения.

2. О влиянии числа Мда на общую структуру поля течения около кругового цилиндра с теплоизолированной поверхностью и на характер его обтекания можно судить по мгновенным полям газодинамических переменных. В качестве примера на рис. 1 приведены мгновенные картины полей числа Маха и на рис. 2 картины линий тока для момента времени ^ = 200 и различных чисел Мж. На рис. 2 лучи, выходящие из центра цилиндра, определяют положение на его поверхности особых точек — точек ветвления нулевой линии тока: А и К — передняя и задняя критические точки, S и Я — точки отрыва и присоединения потока соответственно. Для последних двух точек используются нижние индексы 1, 2 и 3 для обозначения точек первичного, вторичного и третичного отрыва и присоединения потока соответственно.

Согласно приведенным данным имеют место два различных режима обтекания кругового цилиндра, смена которых происходит почти скачкообразно при числе М,/а<, значение которого зависит от определяющих параметров задачи.

Первый режим, который реализуется при числах Мда< 0.9 ~ Мх*, соответствует нестационарному обтеканию цилиндра (рис. 1, а, б), когда с его поверхности периодически сходят вихри, которые под действием сил внутреннего трения диссипируют (разрушаются) в дальнем следе. При этом в поле течения за миделевым сечением образуются малые локальные сверхзвуковые

а)

б)

в)

г)

1 82Е+00

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 28 28 30 32 34 38 38 40 42 44 46

0.00Е+00

2.17Е+00

0.00Е+00

2.26Е+ПП

0Л0Е+00

2.34Е+00

ОЛОЕ+ОО

Рис. 1. Картины полей числа Маха около теплоизолированного цилиндра в момент времени ґ = 200 при числе Яе = 10

а— =0.8; б— М„, =0.9; в — = 0.95; г — = 1.3

зоны, которые не препятствуют распространению нестационарности течения на лобовую часть цилиндра. На этом режиме в каждый момент времени около цилиндра реализуется сложная асимметричная структура поля течения с односторонним образованием локальных зон отрывного течения (рис. 2, а, б). Эволюция во времени картины линий тока около цилиндра рассмотрена в [1].

Второй режим наблюдается при числах Мх > 0.95 > Мда*, когда около цилиндра реализуется однотипная, близкая к симметричной общая структура поля течения с развитыми сверхзвуковыми зонами за миделевым сечением (рис. 1, в, г). Вместе с тем, в ближнем следе в окрестности плоскости симметрии имеется узкая область течения конечной протяженности (примерно 3<х<15), в которой движение газа нестационарно; при этом течение в дальнем следе (при х > 15) является стационарным. Структура поля течения около цилиндра характеризуется наличием глобальной отрывной зоны с проявлением нестационарности течения в области смыкания оторвавшихся с обтекаемой поверхности потоков (рис. 2, в, г).

На картинах полей газодинамических переменных хорошо видны главные особенности течения в ближнем и дальнем следе, но по ним трудно судить о характере течения газа перед цилиндром. Об этом дают представление распределения газодинамических переменных перед телом вдоль оси абсцисс.

Согласно расчетным данным на первом режиме обтекания цилиндра решение задачи по продольному компоненту скорости, давлению и температуре быстро выходит на стационарное распределение. Но в то же время нет полной симметрии поля течения, поскольку нормальный

Рис. 2. Картины линий тока около теплоизолированного цилиндра в момент времени ґ = 200 при числе Яе = 10 . Параметры те же, что на рис. 1

компонент скорости на оси абсцисс не равен тождественно нулю, а его распределение вдоль оси носит колебательный затухающий характер (рис. 3). При этом осцилляции с максимальной амплитудой менее 1% при числе Мю= 0.8 и менее 0.03% при числе Мк= 0.9 от скорости набегающего потока наблюдаются в окрестности передней критической точки цилиндра. Осцилляции газодинамических переменных распространяются вверх по потоку на расстояние порядка 25 калибров. (Осциллируют все газодинамические переменные, но амплитуда колебаний их очень мала по сравнению с модулем рассматриваемой величины.) Следовательно, в некоторой окрестности передней критической точки течение носит слабо выраженный нестационарный характер. Далее отметим, что в пределах расчетного поля газодинамические переменные за исключением нормального компонента скорости не выходят на свои асимптотические значения.

0.005

V

О

-0.005

а)

0.0004

V

0.0002

-0.0002

б)

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

Рис. 3. Распределение нормального компонента скорости V вдоль оси абсцисс перед теплоизолированным цилиндром

при числе Яе = 105:

а— =0.8; 5— М*, =0.9;

— ґ = 100,

— ґ = 200

Рис. 4. Распределение числа Маха вдоль оси абсцисс перед цилиндрами с теплоизолированной (а) и изотермической (б) поверхностями для рассмотренных чисел Мх при числе Рейнольдса Яе^ = 105

На втором режиме обтекания цилиндра поле течения перед ним является симметричным и стационарным. При этом для чисел М1ЭЭ < 1 в пределах расчетного поля газодинамические переменные за исключением нормального компонента скорости не выходят на свои асимптотические значения. При сверхзвуковых скоростях набегающего потока (Мда> 1) перед телом на конечном расстоянии от него формируется сначала волна сжатия, а затем — слабая ударная волна.

О влиянии числа Маха набегающего потока на распределение газодинамических переменных вдоль оси абсцисс перед цилиндром и характер их выхода на асимптотическое значение можно судить по рис. 4, на котором показано поведение местного числа Маха в пределах расчетной области для всех рассмотренных случаев. Приведенные результаты подтверждают сказанное выше. При сверхзвуковых скоростях (Мо0> 1) число Маха в пределах расчетного поля выходит через волну сжатия или слабую ударную волну на свое асимптотическое значение. При дозвуковых скоростях ( Мх < 1) число Маха в пределах расчетного поля не выходит на соответствующее асимптотическое значение, но характер поведения зависимостей указывает на их достижение в пределе х —> -оо. Все это говорит о корректности численного моделирования.

Распределения газодинамических переменных вдоль оси абсцисс за цилиндром подтверждают информацию, вытекающую из мгновенных картин полей числа М. В качестве примера на рис. 5 и 6 показаны распределения продольного и нормального компонентов вектора скорости; распределения коэффициента давления за телом имеют такой же характер поведения, как соответствующие распределения для продольного компонента скорости.

На первом режиме обтекания цилиндра течение в ближнем и дальнем следе в пределах расчетной области является нестационарным и осциллирующим. На втором режиме обтекания цилиндра течение в дальнем следе (при х > 15) становится стационарным, а нестационарность течения проявляется примерно на участке 3 < х < 15. При этом наибольшие амплитуды осцилляций

а)

ю

15

20

25

30

35

40

45

50

в)

г)

Рис.

5. Распределение продольного компонента скорости и вдоль оси абсцисс за теплоизолированным цилиндром

в момент времени Г = 200 при числе Яе = 105:

а — М„

- 0.8; б — Моо = 0.9; в — М„ = 0.95; г — Мт =1.3

х

х

х

^ 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 х 50

Рис. 6. Распределение нормального компонента скорости V вдоль оси абсцисс за теплоизолированным цилиндром в момент времени Г = 200 при числе Яе = 105. Параметры те же, что на рис. 5

имеют место для нормального компонента скорости, а наименьшие — для коэффициента давления. Кроме того, максимальная амплитуда осцилляций с ростом числа М Л изменяется немонотонным образом: сначала она возрастает, достигает максимального значения при числах М Л ~ 1 — 1.05, а затем уменьшается. Из этого можно предположить, что при Мю> 1.3 по мере увеличения числа Маха решение задачи полностью выходит на симметричный стационарный режим обтекания. Для проверки этого утверждения необходимы дополнительные расчетные исследования.

3. Дополнительную количественную информацию о характере течения в ближнем следе дает анализ эволюции во времени газодинамических переменных в некоторых контрольных его точках. В качестве последних были выбраны следующие точки: Е(1.456,0), С(8.355, 0) и N(1,1). Первые две точки расположены на оси абсцисс в ближнем следе, а третья — в верхней части поля течения в той ее области, где формируются сходящие вихри на первом режиме обтекания и образуется сверхзвуковая зона на втором режиме.

Характерной общей особенностью поведения газодинамических переменных в указанных точках является то, что на первом режиме обтекания наблюдаются осцилляции с низкой частотой и большой амплитудой, а на втором режиме — осцилляции с большей частотой и меньшей амплитудой.

Эволюционные зависимости газодинамических переменных в указанных выше точках ближнего следа были подвергнуты частотному анализу. Поскольку эволюционные зависимости включают в себя процесс установления по времени, то для его проведения использовались только последние 256 точек временного интервала. Результаты анализа представляются в виде частотной характеристики — зависимости безразмерной амплитуды колебаний Ат от безразмерной частоты Ь' — /ШУ.Г =5Ь/2. Здесь /— частота колебаний, /) = 2И — диаметр цилиндра, = //)/Уг — число Струхаля. Получаемые частотные характеристики в качественном отношении однотипны для всех газодинамических переменных и определяются режимом обтекания цилиндра. Поэтому ниже рассматривается, в основном, поведение компонентов вектора скорости.

Точка E(1.456,0) расположена на оси абсцисс в окрестности обтекаемой поверхности цилиндра.

На первом режиме обтекания средние значения продольного компонента скорости в рассматриваемой точке малы (ит ~ 0), а пульсации происходят с большой амплитудой (max | А и |< 1.2). Согласно Фурье-анализу они образуют узкополосный сплошной спектр в области низких частот, при этом максимальная амплитуда Ат <0.18 имеет место при числах Sh < 0.55. Средние значения нормального компонента скорости близки к нулю, а он сам совершает низкочастотные пульсации с большой амплитудой (max| Av|< 1.2). Они образуют узкополосный сплошной спектр в области низких частот, соответствующих числам Sh < 1 и относительным амплитудам колебаний Ат < 0.6. В рассматриваемой точке поля течения наблюдается высокий уровень разрежения — коэффициент давления принимает большие отрицательные значения и осциллирует с достаточно большой амплитудой (max | Аср |< 0.3).

На втором режиме обтекания продольный компонент скорости и коэффициент давления в точке Е в зависимости от числа Мда либо строго выходят на стационарные значения, либо осциллируют с амплитудой, значение которой мало и находится за пределами точности расчета. При этом нормальный компонент скорости пульсирует с такой малой амплитудой, что ее значение находится на грани точности расчета. Поэтому практически можно говорить о квазистацио-нарном состоянии потока в этой точке.

Точка G(8.355, 0) расположена на оси абсцисс в области ближнего следа, где на втором режиме обтекания наблюдаются осцилляции газодинамических переменных с наибольшей амплитудой. Эволюции во времени компонентов вектора скорости показаны на рис. 7 и 8, а соответствующие частотные характеристики — на рис. 9 и 10.

100 120 140 160 180 t 200

Рис. 7. Эволюция продольного компонента скорости и в контрольной точке О ближнего следа за теплоизолированным цилиндром при числе Яе = 105. Параметры те же, что на рис. 5

Рис. 8. Эволюция нормального компонента скорости V в контрольной точке О ближнего следа за теплоизолированным

цилиндром при числе Яе = 105. Параметры те же, что на рис. 5

На первом режиме обтекания (Мж< 0.9) продольный компонент скорости в рассматриваемой точке пульсирует с большой амплитудой (max | Аи |<0.4) около малого среднего значения (рис. 7, а, б). Этим пульсациям соответствует узкополосный непрерывный спектр в области низких частот (рис. 9, а, б). Для нормального компонента скорости также характерны осцилляции с большой амплитудой (max| Av |<0.8) около малого среднего отрицательного значения (рис. 8, а, б) и наличие узкополосного непрерывного спектра, в котором наибольшей амплитуде Am < 0.3 соответствует число Sh = 0.078.

На втором режиме (Мда > 0.95) продольный компонент скорости пульсирует с малой амплитудой (max | А и < 0.1) около большого среднего значения (рис. 7, в, г). Этим пульсациям соответствует дискретный спектр, в котором преобладают две гармоники с числами Sh « 2 и 1 и амплитудами Ат < 0.04 (рис. 9, в, г). Нормальный компонент скорости осциллирует с умеренной амплитудой (max | Av |< 0.15) около малого среднего отрицательного значения (рис. 8, в, г) и

обладает дискретным спектром, в котором доминирующей частоте соответствует число Sh ~ 1 с относительными амплитудами Am < 0.09 (рис. 10, в, г). Значение амплитуды уменьшается с ростом числа Маха.

В рассматриваемой точке поля течения коэффициент давления на всех режимах обтекания цилиндра проявляет пульсационный характер поведения во времени. При этом наблюдаются низкочастотные пульсации с большой амплитудой (тах| Аср |< 0.9) на первом режиме и высокочастотные пульсации с малой амплитудой (max | Аср \< 0.03) на втором режиме обтекания.

2.5 р З

0.04

и

0.02

0

-0.02

ЇЖІ

в)

2.5 р 3

0.03

и

0.02

0.01

0

-0.01

г)

р 3

Рис. 9. Частотные характеристики продольного компонента скорости и в контрольной точке О ближнего следа за теплоизолированным цилиндром при числе Яе = 105. Параметры те же, что на рис. 5

о.з

V

0.1

а)

0.5

1.5

2.5

Р 3

0.1

V

0.05

-0.05

0.06

V

0.03

в)

-0.03

р 3 „Ч О

г)

2.5 р 3

Рис. 10. Частотные характеристики нормального компонента скорости V в контрольной точке О ближнего следа за теплоизолированным цилиндром при числе Яе = 105. Параметры те же, что на рис. 5

Точка N(1, 1) расположена в верхней части поля течения в той области, где формируются сходящие вихри на первом режиме обтекания и образуется сверхзвуковая зона на втором режиме. Как и в рассмотренных выше точках, для нее характерно различное поведение эволюционных кривых в зависимости от режима обтекания цилиндра.

На первом режиме газодинамические переменные в рассматриваемой точке поля течения пульсируют около среднего значения с достаточно большой амплитудой, которая для рассматриваемых газодинамических переменных характеризуется следующими неравенствами: Аи <1.4, А\; < 0.73 и Аср <0.63 . При этом для этих пульсаций характерно наличие узкополосного непрерывного спектра в области низких частот (малых значений числа Струхаля). На втором режиме обтекания цилиндра газодинамические переменные в результате эволюции выходят на соответствующие стационарные значения.

4. Полезную информацию о характере течения в окрестности обтекаемой поверхности цилиндра дает рассмотрение эволюции коэффициента давления в характерных точках А(-1, 0), 5(0, 1), С(1, 0), 0(0, -1), расположенных на поверхности цилиндра в горизонтальной и вертикальной плоскостях симметрии. Эти эволюционные зависимости были подвергнуты частотному анализу, основные результаты которого приведены в табл. 1. Согласно этим данным во всех характерных точках цилиндра имеют место низкочастотные осцилляции коэффициента давления.

Параметры осциллирующего коэффициента давления в контрольных точках кругового цилиндра с теплоизолированной поверхностью при числе Ке = 105

Мя

Точка А

Точка 5

Точка В

Точка С

Средние значения коэффициента давления

0.80 1.21483 -1.25001 -1.14263 -1.56116

0.90 1.25123 -1.0954 -1.16674 -1.40393

0.95 1.27813 -1.20718 -1.20715 - 0.851414

1.00 1.29611 -1.07194 -1.07194 - 0.750031

1.05 1.31758 - 0.954578 - 0.954578 - 0.6525

1.10 1.34601 - 0.850507 - 0.850507 - 0.557058

1.30 1.45965 - 0.554402 - 0.554402 - 0.329535

Основная безразмерная частота Р (первая строка) и амплитуда Ат (вторая строка) осцилляций коэффициента давления

0.80 0.0390625 0.078125 0.078125 0.15625

0.0025224 0.295189 0.261496 0.11796

0.90 0.0390625 0.117188 0.117188 0.234375

8.2613 • 10~5 0.207243 0.123469 0.060495

0.95 0.0390625 0.0390625 0.0390625 0.0390625

8.8036 • 10~5 1.8271 • 10~5 1.8617- 10~5 0.0018939

1.00 0.0390625 0.0390625 0.0390625 0.507812

8.3099 • 10~5 3.3889 • 10~6 3.2387 • 10~5 5.6451 • 10~5

Точка -4(-1, 0) (передняя критическая точка). В этой точке осредненные значения коэффициента давления монотонно возрастают с увеличением числа и согласуются с расчетами в рамках теории идеального газа.

На первом режиме обтекания цилиндра при числе Мда= 0.8 значение коэффициента давления слабо осциллирует с максимальным отклонением от среднего значения менее 1%. Амплитуды этих осцилляций хотя и малы, но находятся в пределах точности расчетов и, следовательно, течение в окрестности нее является нестационарным. С увеличением числа Мда амплитуда осцилляций уменьшается и выходит за пределы точности расчетов, поэтому течение газа при числе Мж= 0.9 можно считать практически стационарным.

На втором режиме течение газа в окрестности передней критической точки является стационарным и эволюция коэффициента давления определяет характер выхода на стационарное решение задачи.

Точки B(0, 1) и ^(0, -1) (миделевое сечение цилиндра). На первом режиме обтекания осред-ненные значения коэффициента давления в указанных точках отличаются, хотя и незначительно друг от друга (различие в третьей-четвертой значащей цифре) и указывают на некоторую асимметричность осредненного течения. Коэффициенты давления являются осциллирующими в про-тивофазе функциями с большой амплитудой — наибольшее отклонение от среднего значения порядка 70%.

На втором режиме осредненные значения коэффициента давления совпадают друг с другом и говорят о симметричности обтекания лобовой поверхности цилиндра, а эволюции коэффициентов давления в этих точках определяют характер выхода на стационарное решение.

Точка С( 1, 0). В этой точке при числе Мх = 0.8 наблюдается сильное разрежение, уровень которого понижается с ростом числа Маха. При всех рассмотренных условиях обтекания коэффициент давления является осциллирующей функцией, что указывает на нестационарность течения в ее окрестности. При этом на первом режиме обтекания в ней наблюдаются сильное разрежение и пульсации с большой амплитудой (максимальное отклонение от среднего значения порядка 50%), на втором режиме обтекания уровень давления повышается и имеют место малоамплитудные пульсации (максимальное отклонение от среднего значения менее 2%).

5. Выше была изучена структура поля течения около кругового цилиндра с теплоизолированной поверхностью. Интересно рассмотреть влияние на нее теплообмена на обтекаемой поверхности. Для этой цели были выполнены расчеты обтекания цилиндра с изотермической поверхностью (Т^о =0.5, умеренный теплообмен). Результаты расчетов показали, что в качественном отношении эти два случая имеют много общего, поэтому кратко остановимся на тех отличиях в структуре поля течения, которые обусловлены наличием теплообмена на обтекаемой поверхности.

Картины полей числа Маха и температуры (рис. 11) показывают, что наличие теплообмена на обтекаемой поверхности, с одной стороны, стабилизирует течение около цилиндра и приводит к прекращению схода вихрей при числе М у = 0.9, в то время как для теплоизолированного цилиндра оно имеет место при числе Мот= 0.95. С другой стороны, оно усиливает нестационар-ность течения в окрестности плоскости симметрии ближнего следа на втором режиме обтекания, которая явно видна на приведенных картинах полей газодинамических переменных.

Таким образом, для изотермического цилиндра при числе Мм= 0.8 реализуется первый режим обтекания, а при числах Мж > 0.9 — второй режим обтекания. Поэтому ниже сопоставляются особенности поведения газодинамических переменных при числах Мда = 0.8 и 0.9.

а)

11.17Е+00

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 28 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

15.09Е-01

11.17Е+00

Рис. 11. Картины полей температуры около изотермического ( Тч,0 = 0.5) цилиндра в момент времени Г = 200

при числе Яе = 105: а — Мда = 0.8; б — Мот = 0.9; в — Мот = 1; г — Мот = 1.1

0.6

и

0 пя Г V ^ \ / '

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 х 50

Рис. 12. Распределение газодинамических переменных вдоль оси абсцисс за изотермическим ( Т„0 = 0.5) цилиндром

в момент времени Г = 200 при числах Мт = 0.8 и Яе = 105

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 х 50

Рис. 13. То же, что на рис. 12, при = 0.9

Параметры осциллирующего коэффициента давления в контрольных точках кругового цилиндра с изотермической поверхностью

Параметры газодинамических переменных в контрольных точках ближнего следа за круговым цилиндром с изотермической поверхностью

0) (-1 а чка о Т Точка B(0, 1) Точка D(0, -1) Точка С(1, 0) Точка и v ср T

Средние значения коэффициента давления III F 1.21487 -1.14454 -1.18775 -1.5555 F G - 1.51б3 0.8б233 Средние зна 5.399 • 10~4 -0.001952 чения -1.5711 - 0.б333 0.7300 1.00195

Основная безразмерная частота Р и амплитуда Ат (в процентах от среднего значения) осцилляций коэффициента давления

E 0.546875 0.546875 0

0.078125 0.117188 0.117188 0.117188 1.725-10~5 2.9076 • 10“4 0

0.001З5б 0.319577 0.210б55 0.119833 G 1.0938 0.546875 1.0938

(0.2бб%) (57.7%) (54.4%) (22.2%) 0.027б9 0.08б08 0.005б75

Основная безразмерная частота Р и амплитуда Ат осцилляций

' 0.54688 1.391 • 10“5 1.09375 0.01197

Распределения газодинамических переменных вдоль оси абсцисс за цилиндром (рис. 12 и 13) подтверждают информацию, вытекающую из мгновенных картин полей числа Маха и температуры.

При числе Мж= 0.8 движение газа как в ближнем, так и в дальнем следе является нестационарным; при этом в ближнем следе реализуются осцилляции с наибольшей амплитудой и частотой. При переходе к течению в дальнем следе амплитуда и частота осцилляций уменьшаются.

Нестационарный характер обтекания цилиндра подтверждается также поведением коэффициента давления в контрольных точках на его поверхности (табл. 2). Согласно этим данным средний коэффициент давления принимает наибольшее значение в передней критической точке (точке А) и уменьшается по мере отхода от нее вниз потоку; при этом в миделевом сечении цилиндра значения коэффициента давления в точках В и В не совпадают между собой, а в точке С имеет место сильное разрежение. Основная частота осцилляций коэффициента давления Р = ,/Н/ V., = 0.1172 одна и та же для всех характерных точек цилиндра за исключением точки А и соответствует частоте схода вихрей с обтекаемой поверхности; при этом амплитуда осцилляций на данной частоте наименьшая в точке А и наибольшая в точке С. Осцилляции последующих частот являются высшими гармониками основной частоты и происходят с амплитудой, значение которой в несколько раз меньше значения амплитуды основного тона. Отметим, что основной тон осцилляций газодинамических переменных в характерных точках Е и О на оси абсцисс ближнего следа также соответствует указанной выше частоте.

При числе М Л = 0.9 общая структура поля течения близка к симметричной. При этом движение газа нестационарно в ближнем следе и стационарно в дальнем следе (х > 15). Общий характер распределения продольного компонента скорости является сильно немонотонным с тремя экстремумами, наличие которых указывает на формирование глобальной зоны отрывного течения. При этом первый экстремум соответствует максимальной скорости возвратного течения в отрывной зоне, значение которой в полтора раза превышает скорость невозмущенного потока. Второй экстремум характеризует положение максимума скорости в ближнем следе, который по значению близок к скорости невозмущенного потока. Третий экстремум определяет положение локального минимума скорости в ближнем следе, за которым реализуется стационарное течение в дальнем следе (монотонное возрастание скорости вниз по потоку). Именно в поле течения между этими экстремумами наблюдаются наиболее сильные осцилляции газодинамических переменных.

Это подтверждается эволюцией во времени газодинамических переменных в двух точках Е и О ближнего следа (см. табл. 3, в которой приведены результаты частотного анализа). Можно отметить, что в точке Е амплитуды осцилляций газодинамических переменных настолько малы, что позволяет говорить практически о стационарности течения в окрестности точки С. Осред-ненные значения газодинамических переменных указывают на очень большое значение продольного компонента скорости, которое по модулю в полтора раза превышает скорость невозмущенного потока. Это обстоятельство при низком уровне температуры обусловливает существование сверхзвукового течения и размытой ударной волны в зоне отрывного течения.

При данном числе Маха в поле течения около цилиндра формируются обширные локальные сверхзвуковые области, которые препятствуют распространению возмущений вверх по потоку и обусловливают стационарный характер обтекания лобовой части цилиндра. Анализ поведения газодинамических переменных в поле течения показал, что течение газа в окрестности кормовой части цилиндра также стационарно и что нестационарные явления происходят только в ближнем следе за телом.

6. Экспериментальному и теоретическому исследованию поперечного обтекания кругового цилиндра до- и трансзвуковым потоком совершенного газа посвящено много работ. В частности, интересующую нас информацию о характеристиках цилиндра при больших числах Рейнольдса в трансзвуковом диапазоне скоростей можно найти в [2 — 6].

В [2, 3] приведены результаты экспериментального исследования поперечного обтекания кругового цилиндра до- и трансзвуковым потоком воздуха. В частности для чисел = 0.8 4- 1.2 приведены результаты измерений распределения по поверхности цилиндра коэффициента давления и коэффициента сопротивления трения для двух чисел Рейнольдса Яс = 0.83 • 105, 2.5-105 ( Яс/; =1.66-105, 5 105). При этом при первом числе Рейнольдса реализуется ламинарное, а при втором числе Рейнольдса — ламинарно-турбулентное обтекание цилиндра. Экспериментальные данные по обтеканию кругового цилиндра при числах Мо0= 0.2 — 1.4 и Яс/; = 0.5 • 106 — 8.7 • 106 приведены в [4], а при числах М00= 0.4, 0.55, 0.75, 0.85 и ~ 105 — в [5].

Работа [6] посвящена численному исследованию течения сжимаемой жидкости около кругового цилиндра при числах Мда= 0.3, 0.8, 0.95, 0.98 и Яс/; = 103 и 5 • 106 на основе полных нестационарных двумерных уравнений Навье — Стокса, которые интегрировались модифицированным методом Бима — Уорминга — Стегера на неравномерных сетках 121 х 60 при = 0.3, 0.8 и 181 х 69 при Мо0= 0.95, 0.98. При расчете турбулентного течения использовалась алгебраическая модель турбулентности Болдуина — Ломакса.

Приведенные в [2 — 6] результаты позволяют провести верификацию выполненного нами численного моделирования.

Рассмотрим поведение коэффициента давления в передней критической точке в зависимости от числа Маха. Сопоставление расчетных и экспериментальных данных проведено на рис. 14. За основу примем зависимость, полученную расчетом по газодинамическим соотношениям и со-

Рис. 14. Изменение коэффициента давления ср в передней критической точке цилиндра в зависимости от числа Маха М„. Эксперимент:

1 — МасЬа [4]; 2 — [3], Яед = 0.166- 10б; 5 — [3], 11ед = 0.5- 10б; 4 — [5]; 5 — асимптотическое решение; 6, 7 — численный расчет с изотермической и теплоизолированной поверхностями цилиндра соответственно, Яел = 105; 8, 9 — численный расчет с изотермической и теплоизолированной поверхностями цилиндра соответственно, Яед = 106

ответствующую течению невязкого газа с показателем адиабаты у = 1.4 (асимптотическая зависимость при числе Яе —> оо). Можно видеть, что в исследованном интервале чисел Маха как расчетные, так и экспериментальные значения коэффициента давления располагаются как выше, так и ниже асимптотической зависимости. Отклонение от нее обозначим через 5 = (ср—срЕ)/срЕ,

где срЕ — асимптотическое значение коэффициента давления. Согласно приведенным данным

имеем: 4% > 8расч > -3% и 2% > 8Эксп > -4.5%. При этом большинство экспериментальных точек располагается ниже асимптотической зависимости. Результаты расчетов получены на фиксированной сетке для заданного числа Рейнольдса и образуют зависимость, монотонно изменяющуюся по числу Маха — максимальное отклонение наблюдается при числе Мда = 0.8, с последующим увеличением числа Маха оно монотонно уменьшается. Здесь приведены также результаты наших расчетов для числа Re = 106, которые практически совпадают с расчетными данными при числе Re = 105.

Сопоставление расчетных и экспериментальных [2, 3] данных по распределению местных аэродинамических характеристик кругового цилиндра при числе М у = 0.8 (первый режим обтекания цилиндра) проведено в [1], которое показало в целом хорошее согласование их между собой. При числе Мда = 0.9, при котором также реализуется первый режим обтекания цилиндра, ограничимся сравнением данных по коэффициенту давления, поскольку экспериментальные данные по коэффициенту сопротивления трения в указанных работах получены только для небольшой окрестности передней критической точки.

Отметим, что приведенные экспериментальные данные по давлению представляют собой некоторые средние значения, усредненные на различных временных интервалах. На основе расчетных данных были вычислены средние распределения коэффициента давления по верхней и нижней поверхности цилиндра путем усреднения соответствующих данных на временных интервалах А^ = 200 —4 =10, 25.6, 50, где — время, с которого начинается процесс усреднения. Сопоставление этих распределений с соответствующими экспериментальными данными показано на рис. 15.

Первый интервал включает в себя только один полный цикл, поэтому результаты усреднения на этом интервале учитывают специфику рассматриваемого цикла и отличаются от данных усреднения на двух последующих интервалах. В то же время интервалы = 25.6 и 50 содержат достаточно большое число циклов, и результаты усреднения на них практически совпадают между собой, т. е. при Д/ > 25.6 наблюдается независимость результатов усреднения от величины временного интервала, на котором оно проводится.

Рис. 15. Сравнение расчетных и экспериментальных данных по местному коэффициенту давления ср

5 р

на верхней (а) и нижней (б) поверхности цилиндра. Расчет при числах М„ = 0.9 и Яе = 10 :

7—А? = 10, 2 —А? = 25.6, 5 —А? = 50; эксперимент [3]: 4 — М» = 0.9, Яе = 0.83  105, 5 — М«, = 0.9,11е = 2.5  105

Все расчетные распределения усредненного коэффициента давления имеют в качественном отношении одинаковый характер поведения, который соответствует экспериментальным данным (рис. 15). При этом наблюдается полное согласование между расчетными и экспериментальными данными на лобовой поверхности цилиндра при | 01< 80° и рассогласование их на остальной части поверхности. Распределение ср , соответствующее интервалу Д/ = 10. в силу специфики рассматриваемого цикла наиболее сильно отклоняется от эксперимента на верхней поверхности цилиндра. Зависимости, соответствующие интервалам Д/ = 25.6 и 50, на обеих сторонах цилиндра указывают на более сильное разрежение по сравнению с экспериментом; при этом результаты расчетов на нижней стороне цилиндра располагаются ближе к экспериментальной зависимости.

На втором режиме течение в окрестности обтекаемой поверхности стационарно. На этом режиме сопоставление расчетных и экспериментальных данных по распределениям коэффициентов давления (рис. 16) и сопротивления трения (рис. 17) по обтекаемой поверхности проведено при числах Мж= 1 и 1.1.

Кроме того, были проведены дополнительные сравнения расчетного распределения коэффициента давления по поверхности цилиндра с экспериментальными данными [4, 5], которые только подтвердили общую картину поведения коэффициента давления на обтекаемой поверхности, вытекающую из сравнения с экспериментальными данными [2, 3], поэтому здесь результаты этого сравнения не приводятся.

Были также вычислены интегральные характеристики кругового цилиндра. Поскольку детальный анализ эволюции их во времени и получение их частотных характеристик выходит за рамки статьи, то ограничимся рассмотрением поведения коэффициента сопротивления в зависимости от числа Маха и сопоставлением расчетных и экспериментальных данных между собой, результаты которого приведены на рис. 18. Можно видеть, что экспериментальные данные разных авторов сильно расходятся по величине, а наша расчетная зависимость по отношению к ним представляет как бы огибающую сверху. Кроме того, экспериментальные данные указывают на скачкообразное увеличение коэффициента сопротивления при числе Мж = 1, в то время как в расчете реализуется плавный переход через скорость звука с максимумом коэффициента сопротивления при числе Мх < 1. На эту особенность поведения коэффициента сопротивления цилиндра было указано в [7]. Отметим, что результаты расчетов [6] при числе Яс/; = 5 • 106 неплохо со-

Рис. 16. Сравнение расчетных и экспериментальных данных по местному коэффициенту давления с„ на поверхности цилиндра при числах Мм = 1 (а) и 1.1 (б). Расчет при числе Яе = 10:

1 — А? = 10, 2 — А? = 25.6, _? — А? = 50; эксперимент [3]: 4 — Яе = 0.83 • 105, 5 — Яе = 2.5 • 105

Рис. 17. Сравнение расчетных и экспериментальных данных по местному коэффициенту сопротивления трения С° = су >/Яе на поверхности цилиндра при числах М*, = 1 (а) и 1.1 (б). Расчет при числе Яе = 105: 1 — А? = 10, 2 — А? = 25.6, 3 — А? = 50; эксперимент [3]: 4 — Яе = 0.83  105, 5 — Яе = 2.5  105

.... .... ! .... У1 Г- .... , . . . . .... + X ж  1 2 ' 3 4 .

+ Ф * X. N — (+ —о 1..^ - 5 - 6

Ж X с + < + + ¥ ч X X +

< .... .... .... .... 1 . . . . .... ....

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 М„1.з

Рис. 18. Поведение коэффициента аэродинамического сопротивления сх в зависимости от числа Мм. Эксперимент:

1 — [4]; 2 — [3]; 3 — [5]; расчет: 4 — [6]; 5 — изотермическая поверхность;

6 — теплоизолированная поверхность

гласуются с нашими расчетными данными и также указывают на плавное поведение коэффициента сопротивления при подходе к числу Мю = 1.

Как отмечалось выше, частота схода вихрей с обтекаемой поверхности цилиндра характеризуется параметром подобия — числом Струхаля, значение которого в экспериментальных исследованиях определяется различными способами. Согласно сводному графику, приведенному в [2, 3], число Струхаля 8Ь слабо зависит от числа Маха и в околозвуковом диапазоне примерно равно постоянной величине 8Ь « 0.18, при этом по мере подхода к граничному числу М* число Струхаля возрастает и достигает значения 811 «0.23. Наши расчеты при числе Моо=0.8 дают значение 8Ь « 0.16 и при числе М00= 0.9 — значение 8Ь « 0.234, которые хорошо согласуются с экспериментом.

В [6] обтекание цилиндра при числе М у = 0.8 смоделировано для чисел Яе/; = 103 и 5 • 106, для которых указаны числа 811 = 0.1 и 0.202 соответственно. Результаты наших расчетов при числе = 2-105 (Яе = 105) качественно согласуются с этими данными.

Заключение. Численное моделирование поперечного обтекания кругового цилиндра трансзвуковым потоком совершенного вязкого газа на основе уравнений Навье — Стокса показало, что при больших числах Рейнольдса в зависимости от числа Маха возможны два режима обтекания.

Первый режим реализуется при числах Му < М* и характеризуется периодическим сходом вихрей с обтекаемой поверхности, что обуславливает нестационарность течения около цилиндра.

Второй режим наблюдается при числах > М*; для него характерно отсутствие схода вихрей с обтекаемой поверхности и формирование около цилиндра общей структуры поля течения, близкой к симметричной. При этом в ближнем следе в окрестности плоскости симметрии имеется узкая область нестационарного осциллирующего течения, которая соответствует формированию и развитию зоны глобального отрывного течения. Следовательно, при обтекании цилиндра трансзвуковым потоком формирование в ближнем следе стационарной зоны глобального отрывного течения невозможно. В дальнем следе (х > 15) течение стационарно.

Граничное число Маха М*, которое разделяет разные режимы обтекания, является слабой функцией от определяющих параметров задачи. Согласно расчетам 0.9 <М* <0.95 для теплоизолированного и 0.8<М* <0.9 для изотермического цилиндра.

Поскольку в окрестности обтекаемой поверхности тела на втором режиме картина течения стационарна, то с точки зрения определения силовых и тепловых характеристик численное моделирование трансзвукового обтекания цилиндра можно проводить в предположении о симметрии картины течения.

Проведенная верификация метода численного моделирования обтекания кругового цилиндра трансзвуковым потоком показала, что результаты наших расчетов согласуются как в качественном, так и в количественном отношении с известными экспериментальными и расчетными данными. Это указывает на корректность численного моделирования и на достоверность получаемой расчетной информации.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (номер гранта 05-01-00562).

ЛИТЕРАТУРА

1. Башкин В. А., Егоров И. В., Ежов И. В., Иванов Д. В. Круговой цилиндр в околозвуковом потоке вязкого совершенного газа // Ученые записки ЦАГИ. 2007. Т. XXXVIII,

№ 3 — 4, с. 1 — 13.

2. Мэрти В. С., Роуз В. К. Детальные измерения аэродинамических характеристик кругового цилиндра при поперечном обтекании // Ракетная техника и космонавтика. 1978.

Т. 16, № 6, с. 8 — 11.

3. Murthy V. S., Rose W. C. Form Drag, Skin Friction and Vortex Shedding Frequencies for Subsonic and Transonic Gross Flows on Circular Cylinder // AIAA Paper-77-687, 1977.

4. Macha J. M. Drag of circular cylinders at transonic Mach numbers // J. Aircraft. 1977.

V. 14, N 6, р. 605 — 607.

5. Rodriguez O. The circular cylinder in subsonic and transonic flow // AIAA 1984. V. 22,

N 12, р. 1713 — 1718.

6. Ishii K., Kuwahara K. Computation of compressible flow around a circular cylinder // AIAA-84-1631. 1984, р. 11.

7. Б а ш к и н В. А., В а г а н о в А. В., Е г о р о в И. В., И в а н о в Д. В., И г н а т о в а Г. А.

Сравнение расчетных и экспериментальных данных по обтеканию кругового цилиндра сверхзвуковым потоком // Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 3, с. 134 — 145.

Рукопись поступила 13/III2006 г. Переработанный вариант поступил 22/VI2010 г.