Суммы характеров с простыми числами

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 15 Выпуск 2

УДК 511.524

СУММЫ ХАРАКТЕРОВ С ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ

З. Х. Рахмонов

Аннотация

Получена новая оценка суммы значений примитивного характера Дирихле по модулю q на последовательности сдвинутых простых чисел p — l,

(l,q) = 1, p ^ x, нетривиальная при x ^ q6 +£. Это уточняет оценку Дж. Б. Фридландера, K. Гонга, И. Е. Шпарлинского, нетривиальную лишь при x ^ q9+£.

Ключевые слова: характер Дирихле, сдвинутые простые числа, короткая сумма характеров, тригонометрические суммы с простыми числами.

Библиография: 20 названий.

SUMS OF CHARACTERS OVER PRIME NUMBERS

Z. Kh. Rakhmonov

Abstract

The new estimate for the sum of the values of a primitive Dirichlet character modulo an integer q has been obtained over the sequence of shifted primes p — l, (l, q) = 1, p ^ x. This estimate is nontrivial for x ^ q6 +£ and refines the estimate obtained by J. B. Friedlander, K. Gong, I. E. Shparlinskii. Their estimate holds provided that x ^ q9+£.

Keywords: Dirichlet character, shifted primes, short sums of characters, exponential sums over primes.

Bibliography: 20 titles.

1. Введение

Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова позволил ему решить ряд арифметических проблем с простыми числами. Одна из них касается распределения значений неглавного характера на последовательностях сдвинутых простых чисел. В 1938 г. он [1, 2] доказал: если q — простое нечётное, (l,q) = 1, х(а) - неглавный характер по модулю q, тогда ______

= ^ Х

p4,x \\q J

При х ^ д1+£ эта оценка нетривиальна и из нее следует асимптотическая формула для числа квадратичных вычетов (невычетов) шо^ вида р — I, р ^ х.

Затем И. М. Виноградов [3, 4, 5] получил нетривиальную оценку Т(х) при х ^ q0>75+£, q — простое. Этот результат был неожиданным. Дело в том, что Т(х) можно записать в виде суммы, по нулям соответствующей Ь — функции Дирихле; тогда в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для Т(х) получится нетривиальная оценка, но только при х ^ q1+£.

В 1968 г. А. А. Карацуба [6, 7] нашел метод, который позволил ему получить нетривиальную оценку коротких сумм характеров в конечных полях фиксированной степени. В работе [8] он с помощью развития этого метода в соединении с методом И. М. Виноградова доказал: если q — простое, х(а) - неглавный характер по модулю q, х ^ q2+£, тогда

1 2

Т(х) ^ хц~1024£ .

Автор ранее [9, 10, 11] обобщил оценку (1) на случай составного модуля и доказал: пусть Б - достаточно большое натуральное число, х — неглавный характер по модулю Б, хч - примитивный характер, порожденный характером х, тогда

'5х (У? + <хТ2Ы + х 1 т(^)), ql = Пр

Т

р\в

Если характер х совпадает со своим порождающим примитивным характером хд, то оценка (2) принимает вид

Т(х„) ^ х 1п5 х(+ х- ^

и она нетривиальна при х > q(1nq)13.

В 2010 г. Дж. Б. Фридландер, К. Гонг, И. Е. Шпарлинский [14] для составного q показали, что нетривиальная оценка суммы Т(хд) существует, когда х — длина суммы — по порядку меньше q. Они доказали: для примитивного

характера хч и всякого £ > 0 существует 5 > 0, что для всех х ^ q9 +£ имеет место оценка

Т(хя) < xq-s.

Основным результатом этой работы является следующая теорема о нетривиальной оценке для более коротких сумм Т (хд) при составном q, которая ранее была анонсирована в [12] и [13].

Теорема 1. Пусть q - достаточно большое натуральное число, хч - примитивный характер по модулю q, (I^) = 1, £ — положительное сколь угодно малое постоянное число, ^ = 1п q, х ^ q 6 +£. Тогда имеем

ТЫя) = ^1 хд(Р — 1) < х ехР (^vL) •

Доказательство теоремы 1 проводится методом оценок суммы с простыми числами И. М. Виноградова в сочетании с методами работы А. А. Карацубы [8] об оценке “короткой” суммы Т(хд) для простого q, работами автора [10, 11, 15], в которых изучаются “длинные” суммы Т(х) (х — неглавный характер по модулю Б , Б — составное ) и средние значения функций Чебышёва ф(х,х) по всем характерам Дирихле. В доказательстве мы также используем основные результаты работ А. И. Виноградова [17] и Д. А. Берджесса [18]. Основные утверждения, позволившие получить новую оценку Т(хд), содержатся в леммах 9, 10, 11,

12, 13, 14, 15.

Обозначения: д, I - натуральные числа, тк(п) - число решений уравнения х1х2 • • .хк = п в натуральных числах, ф^) — функция Эйлера, ц(д) — функция Мебиуса, ш^) — число различных простых делителей числа q, 5 — положительное сколь угодно малое постоянное число.

2. Известные леммы

Лемма 1. Пусть г ^ 1, М ^ 1 — целые числа, аи, Ьи ^ 0 при V = 1, 2,..., М. Тогда имеют место следующие соотношения:

а)

Г— 1

(м V № X м

\и=1 / \и=1 / и=1

^ аи Ьи ) ^ , аи ) / , аи Ьіу

\и=1

б)

(м \2 м м

^2аик) аі^2аиьі.

и=! ) и=! и=!

Лемма 2. [15]. Пусть f (п) — произвольная комплекснозначная функция, и1 ^ х, г ^ 1,

С = щг - м; > Кп)= 52

4\п,

Тогда имеет место тождество:

г

(п) = ^(—1)к-1С; х

и^х к=1

х ^ »(т1)!]^(тк)Т,•••'52 1п П1 f (тп    ШкШк) +

Ш1^^1 тк и1 ик

т1”тки1”^ик <х

+ —1)Г А(п1)    ^(пг )52 Л(m)f (п1    пг т).

пі Пг ^иі т

пг-п^х

Лемма 3. [17]. Пусть Б(х,г^) — количество чисел ^ х, взаимно простых с q, q ^ х и имеющих только простые делители меньше г, 1п х ^ г ^ хе, а = 1п г) 1п х; тогда

Б(х, *,д) С х П ^ - Р) «р (- а (іп а + 1Шп + і + ^ )  щ < 1.

р\я

\ 1 2в \

а) + а + а 1п - )

Лемма 4. [19]. Пусть хя — примитивный характер по модулю д. Тогда

шп\

где

Т(Хя)Хя(п) = 52 ХяМеМ ,

т=1 \ '

Т(Хя) = ^ Хя(ш)е(Ш) > 1т(Хя)1 = /д-

т=1 \ '

Лемма 5. [18]. Пусть г — произвольное фиксированное натуральное число, Z — натуральное число, д — число, свободное от квадратов или г = 2. Тогда справедливо соотношение

2г

я-1

Е

А=0

52 хя

г=1

< Zr д + Z2г д 2+,

где постоянная под знаком ^ зависит только от г и 5.

Лемма 6. [18]. Для произвольного натурального X ^ q6 справедливо соотношение

Е

Хі,...,Х6 = 1

я-1 {

Ем

А=0

)

Лемма 7. [14]. Для любых натуральных q и и имеет место асимптотическая формула

и

Е і

(и,д) = і

ф

и

< 2ш(п).

Лемма 8. [20]. При х ^ 2 имеем

ТК- 1

п<х

д

3. Оценка коротких сумм значений характеров

Лемма 9. Пусть а — фиксированное число, 0,1 ^ а < 0,9, тогда

<І\В d>exp(ln П2)а

Доказательство. Разобьем интервал суммирования на интервалы вида М < д < 2М. Получим не более 1п Б сумм Б(М) вида

5(М) = ^ < М-1 ^ 1.

Л\В Л\В

M<d^2M d^2M

Пусть Б = р—1 р—2 ... р— - каноническое разложение числа Б на простые сомножители и ді і — тое простое число. Очевидно, существует к такое, что

Б1 = д1 д2 ...дк < Б < дд ... дк дк+1, к ^ Ь.

Согласно закону распределения простых чисел

ІП Б1 = ^ІП ді = ^ІП р> у,

і<к р<Як

так что

дк < 2\пБ1 < 2\пБ.

Пусть Б2 = д—1 д—2 .. .д—, очевидно Б2 < Б и ді < дк, тогда

5(М) < М-1^ 1 < М-1^ 1.

Л\В d\D2

d^2M d^2M

Числа д, д\Б2 состоят из простых делителей д^ < дг. Так как д1 < 21п Б, то

последняя сумма не превосходит количества чисел < 2М и имеющие только

простые делители меньше 2\п Б, то есть

5(М) < М-1 ^ 1 < М-1Б(2М, 21пБ, 1).

d\D2

d42M

Воспользовавшись леммой 3 при

, ^ 1п * 1п1п Б2

х = 2М, д = 1, * = 2\п Б, а = -------= -----——,

’ 4 ’ 1п х 1п2М

имеем

^ ч ( ln2M / , , , 2 , , ln2M \ ln2M

S(М) «exp(-l-j-D [ШпїМ - ЫпЬ D + lnln ї-j-D) + lmnD

2в ln2M \ і ln2M )

:)=exp{- ы-d (]nla2M - B>) ’

Ы“ D2 jn ^

^,111 2 і і ln2M n(\n2M\ 1

B = in in in D - in in——— + 1 + 2в in———

ln ln D2 ln ln D2

Из условия 2M > exp(lnD2)" следует, что inD2 К (ln2M)* . Поэтому

/ ln2M V

\ ln(ln2M) * J

= in in in 2M - in а - in (in in 2M + in а - in in in 2M) + 1+

пі і iii \-1 і і in а-1 +lnlnln2M)

+ 2 (in in 2M + in а - in in in 2M) = - in I 1--—------- ) +

v ; V lnln2M )

2 і in а-1 +lnlnln2M)-1

+ а +1 + ы-Ш і1 ШШ ) =

-1

- in 2M ( in 2M '

B ^ lnln(ln2M) * - lnln---------------г + 1 + 2 inin (in 2M) * \ in (in 2M) ‘

-1 ^ /in а 1 + lnlnln2M\ п 1 і і

1 + in а 1 + O I - — ---—----- І К 2 + in 1О ^ 5 К - in in 2M.

ln ln 2M З

Следовательно,

rr/^ч і ln2M ) і 2ln2M lnln2M)

S

. Из условия 2M > exp(ln D2)" следует, что

ln2M > hf D2, lnln2M > а lnln D2.

Поэтому

S(M) < exp(--2а in" D2^ < in-1 D • exp (-2"-1а hf D) .

Лемма 10. Пусть K — число решений сравнения:

(nd - n)y = (n1d - n)y1 (mod q),

M К n,nl ^ M + N, 1 ^ y,yl ^ Y, (y, q) = 1, (yl,q) = 1,

где (n,q) = 1, d — делитель числа q, 2NY К q, d <Y, p(qd-1,Y) — число делителей в числа qd-1, удовлетворяющего условиям qY-1 ^ в К qd-1 и (e,d) = 1. Тогда справедливо соотношение:

2Y2 2Y2 2( NY )1+<5

K < NY + - + —«*r1'Y ) +

где 6 — сколь угодно малое положительное число.

Доказательство. При у = у1, разделив обе части сравнения на у, (у, q) = 1, находим

nd — п = n1d — п (mod q), M < n,n1 ^ M + N, 1 ^ у ^ Y, (y,q) = 1,

или

nd = n1d (mod q), M < n,n1 ^ M + N, 1 ^ у ^ Y, (y,q) = 1.

Разделив обе части сравнения и модуль на число d, найдем

n — n1 = 0 (mod qd-1), M < n,n1 ^ M + N, 1 ^ у ^ Y, (y,q) = 1.

Из условий \n — n^ < N и 2N ^ qY-1 < qd-1 следует, что последнее сравнение превращается в уравнение

n — n1 = 0, M < n,n1 ^ M + N, 1 ^ у ^ Y, (y,q) = 1,

то есть если у = у1, то n = n1. Отсюда получаем

K = NYq + 2к,

где к — число решений сравнения

(nd — п)у = (n1d — п)у1 (mod q),

M < n,n1 ^ M + N, 1 ^ у <y1 ^ Y, (y,q) = 1, (y1,q) = 1

или сравнения

M<n,n1 ^ M + N, 1 ^ y<y1 ^ Y, (y, q) = 1, (y1,q) = 1.

Левая часть и модуль сравнения

или у1 = у + td. Таким образом, сравнение (4) принимает вид

(n1(y + td) — ny)d = ntd (mod q),

M < n,n1 ^ M + N, 1 ^ у < у + td ^ Y, (y,q) = 1, (y + td,q) = 1.

Разделяя обе части этого сравнения и его модуль на число d, получим

(n — n-\)y = (n1d — n)t (mod qd-1),

M < n,n1 ^ M + N, 1 ^ у < у + td ^ Y, (y,q) = 1, (y + td,q) = 1.

Разбивая множество решений сравнения (5), имеем

к = К1 + К2 + Кз,

где к1, к2 и к3 - число решений сравнения (5), обладающих соответственно свойствами:

1. n1d — п = 0 (mod qd-1);

2. (n1d — п)t = 0 (mod qd-1) и n1d — п = 0 (mod qd-1);

3. (n1d — rq)t = 0 (mod qd-1).

Оценка к1. Сравнение n1d — п = 0 (mod qd-1) не имеет решения при

(d,qd-1) > 1, а при (d,qd-1) = 1 имеет не более одного решения n1 = n\,

(n*1,qd-1) = 1, так как 2N < qd-1, то есть N — длина интервала изменения n1 меньше модуля сравнения. Сравнение (5) при n1 = n*1 принимает вид

(n — n\)y = 0 (mod qd-1),

M < n ^ M + N, 1 ^ у < у + td ^ Y, (y,q) = 1, (y + td,q) = 1

и при фиксированных у и t имеет одно решение n = n*v Следовательно

2Y2

К1 ^ Yq ( Т + 1 ) ^

dd

Оценка к2. Воспользовавшись условиями случая, сравнение (5) представим в виде системы сравнений

с условиями

n1d — п = 0 (mod qd-1),

M < n,n1 ^ M + N, 1 ^ у < у + td ^ Y, (y,q) = (y + td,q) = 1.

Из условий (y,q) = 1, \n — n1\ < N и 2N ^ qd-1 следует, что первое сравнение системы (7) равносильно уравнению n1 = n, поэтому количество решений системы (7) равно количеству решений сравнению

M < n ^ M + N, 1 ^ у < у + td ^ Y, (y,q) = 1, (y + td,q) = 1.

Произведение чисел nd — п и t делится на qd-1, но само число nd — п не делится на qd-1, поэтому для каждого решения сравнения (8) существует делитель в числа qd-1, что в < qd-1 и

nd — п = 0 (mod в), t = 0 (mod q(de)-1).

Из условия (d, п) = 1 вытекает, что сравнение nd — п = 0 (mod в) имеет решение только при (fi,d) = 1. При (fi,d) = 1 символом к2(в) обозначим число решений системы сравнений

n = пd-1 (mod в), M < n ^ M + N, dd-1 = 1 (mod в) t = 0 (mod q(dв )-1), 1 ^ y<y + td ^ Y, (y,q) = 1, (y + td,q) = 1,

или число решений сравнения n = пd-1

1 ^ y<y + ^в-1 ^ Y, (y,q) = 1, (y + tqв-1,q) = 1.

Границы изменения переменных у и t в этом сравнении представим в виде

Y~ — у

1 ^ у <Y, 1 ^ t ^ ,

При у > У— яв 1 верхняя граница изменения і меньше нижней, поэтому область

(9) можно представить в виде

Уу

1 ^ у ^ У — яв-1, 1 ^ і (у,я) = 1, (у + іяв-1,я) = і-

яр -1

В свою очередь, если в ^ яУ-1, то У — яв-1 — верхняя граница изменения у меньше нижней границы. Следовательно к2(в) = 0 при в ^ яУ-1, а при яУ-1 < в < я3-1 для к2(в) получим оценку

/т (N ) V- [ У — у ] (N У У в) V-

ът в + 1) £ _ -- « — + -/) £

4 7 К~у<У7

+ / 1.

q q 1

7 1^y<Y qe 1

(y,q)=1 (y,q)=1

1

Далее, воспользовавшись соотношениями 2NY < q, в < qd и d <Y, найдем

К2(в) < (1 + V 1 ^ ^ V 1 < 2Y2

d ) ^ , d ^ , d

4 7 1^y<Y — qft 1 1^y<Y — qft 1

(y,q)=1 (y,q)=1

Суммируя это неравенство по всем делителям в числа qd-1, удовлетворяющим условиям qY-1 ^ в < qd-1 и (в,^) = 1 и обозначая количество таких делителей символом p(qd-1,Y), получим

2Y 2

к2 ^52 к2(в) p(qd-1,Y).

(e,d) = 1, e\qd 1 qY — 14]3<qd—1

Оценка к3. Напомним, что к3 — число решений сравнения

с условиями

(n1d — ^t = 0 (mod qd-1), M<n,n1 ^ M + N,

1 ^ y<y +td ^ Y (y,q) = 1, (y + td,q) = 1.

Для фиксированной пары (и*1}1*) символом к3(Л) обозначим число решений сравнения

(и — и.)у = Л (mod дй-1), М < и ^ М + М, 1 ^ у < у + ^ У, (у, д) — 1,

где Л — 0 — абсолютно наименьший вычет числа (и\й — п)^ по модулю дй-1. Воспользовавшись границами изменения переменных и, и1 и у, и условием

2МУ < д, найдем

0 < \(и — и\)у\ <МУ < д.

Из этого неравенства следует, что сравнение

где для параметра Л выполняется соотношение

1 ^ \Л\ < МУ.

Таким образом, для фиксированной пары (и.,^), к3(Л) — количество решений сравнения (10) равно числу решений уравнения (11), для которого справедливо неравенство

кз(Л) ^ т(\Л\) ^ 0,5 (МУ) .

Количество всех возможных пар (и.,1*) не превосходит М (Уй-1 + 1). Следовательно,

КЗ « М(й + 1) . 0, 5(МУ У «

Подставляя найденные оценки для к1, к2 и к3 в (6), а затем в (3), найдем

2У2 2У2 , ,, ч 2(МУ)1+6

+ ~гр{яЛ 'г)+ й

К —МУд + 2(к1 + К2 + Кз) ^ МУд \----- —\-----— р(дй ,У) +

Лемма доказана.

Лемма 11. Пусть (п,д) — 1, у < х, тогда

8 = ^ Хд(и — п) < 2ш(д)^д 1пд.

х-у<и^х (п,д) = 1

Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что у > > 2ш(д^ у/д 1п д. Имеем равенство:

8=1V. <т)х£.х'(—") £

(п,д) = 1

Пользуясь формулой, которая устанавливает связь между значениями примитивных характеров и значениями сумм Гаусса(лемма 4), имеем

s

T

T

q

t=1

q

x-y<n,x (n,q) = l

e*.««©e^ e e(-ny

t=1 ^ ' d\q x-y<nd£x ^ '

Последняя сумма по и при й > у и [х/й] — [(х — у)/й] пустая, а при й > у и [х/й] — [(х — у)/й] + 1 состоит из одного слагаемого. Поэтому при й £ у, воспользовавшись для целых и1 и и2 равенством

tdn) sin f td

q

sin

ntd

f td(nl + щ)\

I 2q )

U1^n^U2 4 ± / q

и переходя к оценкам и имея виду, что \т(х)| = y/q, найдем

І

(

\s\£-< Е Е

q t=1 d:q

(t,q) = l\ d,y

+ £ 1

sin

nt

q/d

1

\

+1

І

d-1 q/d

<52^2(d)52 52

q d:q

sin

d,y

tl=0 t2 = 1

(tlq/d+t2 ,q) = l

nt2

q/d

1

q/d-l

t=l

sin

nt

q/d

1

d,y

Если qd 1 — нечетное число, то воспользовавшись последовательно неравенствами sin па ^ 2а при 0 ^ а ^ 1/2 и 1 ^ In , найдем

qd-1 -1 2

S (d)=2

t=1

nt

sin

qd

-1

qd-l-l

2 V

qd-l-l — 1 2-і q ^ 1

dt t=l

qd l-l 2

(ln(2t +1) — ln(2t — 1)) = d In qd 1 £ d ^ q

t=l

Если qd-1 — четное число, то

qd____________1

2 1

s (d) = 2 Y.

t=1

-1

nt

sin

qd

1

1

qd_________1

2 1

+ 1 £ 2

_____ qd____1

2t V1 1 q 1 1

S \<d-V + =d S «+

£

(ln(2t + 1) — ln(2t — 1)) + 1 = d \n(qd 1 — 1) + 1 £ d In q

t=l

d

q

Следовательно,

1^1 £ ЕЛ»2(*) • 7,1пя + Щ « у'ч 1п^І2(7) = 2“і">^ 1”я.

л\я

Л<:У

Vя

й\"

Лемма доказана.

Лемма 12. Пусть а — вещественное число, М, М, й и п — целые чис-

7 1

ла, удовлетворяющие условиям (п,д) — 1, М < д12й-2, 0,1 £ а < 0, 9, й £ ехр(1п д2)а, тогда

Б = ^ X" (п7 — п) £ N3 я9+2 73.

М<п£М+м

:і2)

Доказательство. Оценку (12) для сумму 8 докажем методом математической индукции по М. При М £ д з для правой части оценки (12) справедливо неравенство

2 1 і О 2 2 1 і О 2 1 2 / о\ —

N3 я9+273 ^ N3я9+2 > N3я9 ^ N3 9 = N

то есть в этом случае оценка (12) является тривиальной и её возьмем в качестве базы индукции.

Далее будем считать, что М > д з. Производя в сумме 8 сдвиг интервала суммирования на к, 1 £ к £ Н < М, получим

8 — X! Хд((и + к)й — п)+ ^ Хд(ий — п) — ^ Хд(ий — п).

М<п£М+М М<п£М+Н М+М<п£М+М+Н

Оценивая две последние суммы, воспользовавшись предположением индукции, имеем

Б £

^ X"

М<п£М+М

Полагая в этом неравенстве к — у г и суммируя его по у и г в пределах

1 £ у £ У, (у,я) = 1, 1 £ % £ (г,я) = 1, У = 0,5Nя 6 7

о, 5я6 а

приходим к неравенству:

БI £ (У"2,)-1

Е Е Е X"

1^у^У 1^г^ М<п£М+Ы

(у,д) = 1 (г,д) = 1

21О2

+ 2(У2)3 я9 +2 73

где Yq и Zq - соответственно количества чисел у £ [1,Y] и z £ [1,Z], взаимно простых с числом q. Определяя число у-1 из сравнения уу-1 = 1 (mod q), имеем

\S\ £ — Zq)-1

Е Е Xq

M<n£M+N 1£y£Y

l£z£Z

(z,q)=1

+ 2(—Z)3 q9 +2 d3

£

—Zr1 E E

M<n£M+N l,y,Y (y,q)=l

Xq

l,z,Z

(z,q)=1

_l 2 1 I s 2

+ 2 3 N3 q9 + 2 d3.

Обозначая в этом неравенстве символом I(X) — число решений сравнения (nd — п)у-1 = X (mod q), M < n £ M + N, 1 £ у £ Y, (y,q) = 1, получим

q-1

\S \ £

л=о

Xq

l,z,Z

(z,q)=1

13)

Возведём обе части этого равенства в куб и воспользуемся неравенством Гёль-дера (лемма 1) полагая в нём

v = Л, av = I (Л), bv

Xq

l£z£Z

(z,q)=1

и тем, что

будем иметь:

Ei Л £ n—, ,

л=1

q-1

W'3id) £

л=0

^ Xq

l,z,Z

(z,q)=1

Возведём обе части последнего неравенства в квадрат и воспользуемся неравенством Коши (лемма 1). Будем иметь

q-1 q-1

2

л=0

л=0

^ Xq

l£z£Z

(z,q)=1

3

Пользуясь леммой 6, получим

д-1 2

V — Е Е

Л = 0 21,---,2б = 1

Р(21,Я) = --- = (26>Я) = 1

Х

(

£

Х1,...,Х6 = 1

ха

£

Х1,...,Х6 = 1

д-1 (

Х

п V

Л=0

д-1

)

£

)

£

Х

Л=0

)

£ г3(Рд1+*.

Следовательно,

W6(й) £ (МУд)4 Z3й3д1+6 • К.

Сумма К равна числу решений сравнения

(ий — п)у-1 = (и1й — п)у-1 (mod д),

М<и,и1 £ М + М, 1 £ у,у1 £ У, (у,д) — 1, (у1,д) — 1,

или сравнения

(ий — п)у = (и1 й — п)у1 (mod д),

М<и,и1 £ М + М, 1 £ у,у1 £ У, (у,д) — 1, (у1,д) — 1.

Для этого сравнения все условия леммы 10 выполняются:

2МУ — 2М

У

0, 5Мд 6 й

й

>

й

£ М2 д 6 й < [д12 й 2 ) д 6 й — д, 0, 5д6й

Согласно этой лемме имеем

2У2 2У2 2(МУ ^

К £ МУ + — + —р(дй-1,У) + 2(—1— й й й

2

1+6

й

(

1 +

й

+

У

2(МУ)6 М (МУ)6

(р(д<Г\У) + 1)) .

14)

Отсюда с учётом соотношений й £ ехр(1п д2)а £ д4, р(дй 1,У) + 1 £ т(д) £ д6, (МУ)6 ^ (0,1 М2д-1 й)6 > 0,1 д2, находим

й

1

К £ 2(МУ)1+6 (1 + 5д^ + 10 д

5

д 2

1 + 5 д 6 + 2

)

£

3

Т

1+6

Подставляя эту оценку в (14), а затем правую часть полученной формулы в (13), последовательно получим

W6(й) £ (МУд)4 Z3й3д1+6 • К £ 3дМ5УУд^3й2 (дМУ)6 ,

БI £ (У"2")-1Ш(7) + 2--3 N-3я9+27-6 £

5

31 д6 М5У 6 Z1 йз (дМУ)6 1 2 1 + 5 ,2

£—------------,----^+ 2- 3 М 3 д9 + 2 й3 .

Уд" Zд

Далее воспользовавшись леммой 7 и известными неравенствами

:і5)

ш(я) £

сш 1п я 1п 1п я ’

Ф

' я 1п 1п я

£

где сш и сф — абсолютные постоянные, найдем

У" — ФМ у я

2" — 2

, сц 1п 4 1п 2 ф

£ 2Ш("' £ 2 1п1п Ч = я 1п1п Ч < я 7 <

'я

2я

я

,.

£ 2ш("' £ 2 1п1п Ч = я 1п1п Ч < ' ' -7 ^ г УЧ./

2я

-я7 <

2я

то есть

У > ФІя)У ^ сФУ , " 2я 1п 1п я

о, N

0, 5я

СФ2

Ф

2я

У,

Ф

2я

2,

2" > 2 ^

2я 1п 1п я

Пользуясь этими неравенствами в (15), параметры Уд и Zд выразим соответственно через У и Z. Имеем

36 я6 N6 73 (яNУ)6 1п3 1п я 1 „т2 1 + о ,2

ІБI £— •--------тт^тт--------- + 2-3N3я9+273.

Далее имея ввиду, что У

0, 5Nя 6 7

2

0, 5я6 7

1

и N < я 12, найдем

6

1 лт5 ,1 + 1-1 ( 1_ 1 д т2 ;\ 6 , 4

2.3 6 я 6 N 6 7 3 + 2 6 I я1 6 N 2й) 1п31п я ІБI £ —------------------—1— -----------------+ 2-3N3я9+27

4

сф

N 6 я 12 36

12 1 + О 2

3 N 3 я 9 + 2 7 3

1 2 1 і О ,2

/9

£

2 3 6 ^

—4— • я9N272 (я66 1п4 1пя + 2~3N3я73 £

Сф

2 • 3 6

~4

.3

1^2 1 і О ,2

• N3 я9 73 я31п31п я + 2 3 N3 я9 +2 73 =

2 • 36 сф 3 я 6 1п31п я + 2 3) N3 я9 +2 73 £ N3 я9 +2 73

„ 2 1 + О ,2

+ г

„ 2 1 + О ,2

з + с

Лемма доказана.

с

4

Лемма 13. Пусть (n,q) = 1, y ^ q3+б6, 0,1 £ а < 0,9, тогда

S = Xq(n - n) < У exp (-2<7-1аЬа q\

x-y<n,x

(n,q)=1

Доказательство. Рассмотрим случай д 12 < у £ 0, 5д. Воспользовавшись леммой 11 и известным неравенством

u(q) £

Cu ln q

ln ln q

где Cu — абсолютная постоянная, имеем равенство: S £ 2u(q)—<lnq £

—q • exp

£

y exp [—2а 1a ln" q) £

£

—q • exp

y

y exp [—2а 1а ln" q)

Отсюда, имея в виду, что y > q 12 > —q • exp ^, находим

S ^ у exp (—2а-1а ln" q\

Пусть теперь q1+86 £ y £ q 12. Имеем равенство:

S = V X.

x-y<n£x d\(n,q) d\q x-y<nd£x

Разбивая сумму S на две части, имеем

S = Sx + S2, Sl = v(d)S(d), S2 = v(d)S (d).

d:q

d,exp(ln q2)7

d\q

exp(ln q2)7 <d,x

Для оценки суммы 82 воспользуемся тривиальной оценкой суммы 8(й) и леммой

9. Имеем

ц2

d\q

exp(ln q2)7 <d,x

dd

d\q

exp(ln q2)7 <d,x

->a-1~ 1 „а

^ у exp {—2a V lna q) + qs ^ у exp (—2a V lna q} .

Оценим теперь S1. Для этого оценим S(d), воспользовавшись леммой 12 при

M

"x - у' , N = x 'x - у"

_ d -d. . d

y

y

имеем

й

Следовательно,

ГУ/ 74 /у\ 3 1 + О ,2 2 1 + О

Б (7) < я 9 + 2 7 3 = у 3 я 9 + 2.

Б1 ^52 І2(7)ІБ(7)1 ^ у3я9+2 52 12(7) ^ у3я9 +22ш(" £

Л\ч Л\ч

с^ехр(1п ч2)а с^ехр(1п ч2)сг

2 1+О ( сш 1п 2 1п я\ ,

£ у3 я9 +2 ехр —-— ------------------ £

1п 1п я

'я3+30 • ехр(Су !п? 1п" + 3а2а-11пст я) '

£ у ехр (—2°~ V Ы" я) • | ----------------------------------------- | <

(я 1 + 5 Л 3

<у ехр {—2а-1а 1па я) • (-------- 1 £ у ехр (—2а-1а 1па я)-

Лемма доказана и из этой леммы при а — 0, 6 следует:

Следствие 1. Пусть (п,д) — 1, у < х и у ^ д3+56, тогда

52 Хд(и — П) < у ехР (—1, 5л/1пду

х-у<и£х

(п,ч) = 1

4. Оценка двойных сумм значений характеров

Лемма 14. Пусть М, М', М, М' и п — целые числа, удовлетворяющие условиям (п,д) — 1, М' £ 2М, М' £ 2М £ д 6, ат и Ьп - функции натурального аргумента такие, что

^2 \ат\а < М^Са, а —1, 2; \Ьп\ < В.

М<т£М'

Тогда справедлива оценка

ж 5 1 1 I 1 г 4с1 +С2 + 1

W — ^2 ат ^2 ЬпХ(ти — I) < ВМ6М2дъ+66^^^~.

М <т£М ’ <п£т{п

(ти,д) = 1

Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что выполняется условие ММ < х. Определяя т-1 из сравнения тт-1 = 1 (mod д) и затем переходя к оценкам, находим

^\ £52 \ат\\8(т)\, 8(т) — ^ ЬпХ(и — 1т-1).

М<т£М' М'<п ^шт

(т,д) = 1 (и,д) = 1

Сумму 5'(т) преобразуем в другую так, чтобы интервал суммирования внутренней суммы не зависел от т. Имеем равенство

1

д-1

( к(п — г)\

V а )

Б (т) = 52 Ьп Хд(п — 1т-1) 52 . а

к=0 М'<п£2М М/ <г£шт

(п,д) = 1

Далее обозначая N" = тт([хт ^ 2М), выделяя слагаемое с к = 0 и суммируя затем по г, получаем:

(1

52 ЬпХд(п — 1т-1)+

N '<п^2Ы (п,д) = 1

іап пк

+ а 2=1 дЬ еК ^ 2д / м/<п42м

(п,д) = 1

1 X! ЬпХд(п — 1т-1)е[—]

/ N <п<ґ 2 N V

кп

я )

Переходя к неравенствам, имеем:

52 ЬпХд

N/<n£2N (п,д) = 1

д-і і

д-1

+ Е

к=1

И ЬпХд

<п^2М \ Ч /

N/<n£:2N (п,д) = 1

«Е

к=0

к+1

И ЬпХд(п — 1тд1)е( — '}

<п^2М \ а /

N/<n£:2N (п,д) = 1

Таким образом,

д-1

№'I «Е ь+г и'(к), V(к)= £ М

к=0

М<т£М/ (т,д) = 1

И ЬпХд

<п<-2М У4/

N '<n42N (п,д) = 1

Оценим Ш(к). Возводя обе части этого равенства в куб, воспользовавшись неравенством Гёльдера (лемма 1) и определением числа 0\, получим

V3 (к) £

\ 2

. М<т£М/ \ (т,д) = 1 М<т£М/

(т,д) = 1

И ЬпХд(п — Іт-

<п<-2М У4/

N'<n42N (п,д) = 1

<

<

(Ы^С1 )2 ^ 1ат1

М <т£М/ (т,д) =1

И ЬпХд

<п<-2М У4/

N'<n42N (п,д) = 1

1

к

3

Возводя обе части последнего неравенства в квадрат и воспользовавшись неравенством Коши (лемма 1) и определением числа с2, имеем

ш6(к) £ (м&С1)4 ^ Ы2

М<т£М/ М<т£М/

(т,д) = 1 (т,д) = 1

М1 <п£:2М (п,д) = 1

М <т£М/

(т,д) = 1

^ ЪиХя(п — Іт-

<п<- 2М \ Я /

N :<п£2М

(п,д) = 1

£

д-1

£ М5&4С1+С2 ^

Л=0

X

N / <П1 ,...иб£.2М

(п1...п6,д) = 1

(

№ х(

Л=0

N :<п£:2М (п,д) = 1

а(п1 + * * * — п6

М&4С1 +С2 х

)

Далее воспользовавшись неравенством \Ьп\ ^ В, затем леммой 6, найдем

Ш6(к) £ М5&4С1+С2В6 ^

1£п1,...Пб£2М

д-1 /

Х

Л=0

)

< М5&4С1+С2 В6  N3д1+6 = В6М5М3д1+6&4С1+С2 *

Лемма доказана.

Следствие 2. Пусть М, М', N, N и п — целые числа, удовлетворяющие условиям (п,я) = 1, М' £ 2М, N £ 2N, дв < N £ д6, ат и Ьп - функции натурального аргумента такие, что \ат\ £ т5(т), \Ьп\ £ 1. Тогда при х ^ д\-2в+1,\ё справедлива оценка

Ш = ^^ ат 2_^ ЬщХ(тп —

М <т£М/ N/<п^шіп

(тп,д) = 1

Доказательство. Согласно леммы 8, имея в виду, что 1п М ^ ^, найдём

У~* т5(т) М&4, ^2 Т5>(т) ^ М&24 *

М<т£М/

М<т£М/

Из леммы 14 при с\ = 4, с2 = 24, воспользовавшись условием MN £ х, N ^ дв

6

6

6

Я

найдем

W < (ИМ) 6 N- 3 д6+66&% £ X6 N- 3 д6+66&% = X ( М 2дШ^41 ^

£

X

а +6&41] 6 (д1 29+1,16 ехр (-9^/Ыд)\ 6 ^ г—^

£ XI ---------- І < X І - І £ X ехр

Лемма 15. Пусть М, М', N, N и п — целые числа удовлетворяющим условиям (п,д) = 1, М' £ 2М, N £ 2N, ат и Ьп функции натурального аргумента такие, что

^2 \ат\а < М&Са, а =1, 2; \Ьп\ < В.

М<т£М'

Тогда справедлива оценка

гХ(ти — I) < В

.3 , 1 1

W = 2_^ ат 2= Ьпх(тп — I) ^ В [И4 N2 д4 + И4 Мд в) & 4 д 4

М<т£М/ N/ <п£тїп

(ти,д) = 1

іМд

2С1+С2 + 1 1

6

Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что выполняется условие MN < х. Поступая аналогично предыдущей лемме, находим

ч-1

\п'І«Е ЇГГW(к), W(к) = £ |ат|

к=0

М <т£М /

(т,д) = !

52 Ьп

N,<n42N (п,д) = 1

ЬиХя

Оценим Ш(к). Возведём обе части этого равенства в квадрат и воспользуемся неравенством Гёльдера (лемма 1):

W2(k) £

\

. М<т£М/ \ (т,д) = 1 / М <т£М/

(т,д) = 1

^ ЬиХя(п — 1т-

д

N/ <n£:2N (п,д) = 1

£

М <т£М/

(т,д) = 1

^ ЬиХя(п — 1т-

<п<2.Ы \ д /

N/<n£:2N (п,д) = 1

6

2

2

Возведём обе части последнего неравенства в квадрат и воспользуемся нера-

венством Коши (лемма 1):

W4 (к) £ И2&2С1 £ М'2 £

М<т£М / (т,д) = 1

М<т£М/

(т,я)=1

£ ЬиХя

<п<-2М \ д /

N/<n42N (™,Ч) = 1

С

М <т£М/

(т,д) = 1

£ ЬиХя(п — 1т-1)е(—\

<п<-2М \ д /

N/<n42N (™,Ч) = 1

£

я-1

£ И3&2С1+С2 ^

А=0

52 ЬиХя(п + Л)е[

<п<’2М '

N/<n42N (™,Ч) = 1

кп\ К'^)

£ Ьм -А,е(к(,н + д" — п4>) £х(

-l,...n4£2N \ д / л=0 V

N /<П1 ,...n4£2N

(П1...П4,д) = 1

)

Далее воспользовавшись неравенством \Ьп\ ^ В, затем леммой 5, найдем

я-1

£

А=0

)

Ш4 (к) < М3&2С1+С2В4 £ |> л

1£П1,...П4£2М

< М3&2С1+С2В4 ^2я + 2< В4 (М3^д + М3^д^ д^2с1+с2.

Лемма доказана.

Следствие 3. Пусть М, М', N, N и п — целые числа, удовлетворяющие условиям (п,я) = 1, М' £ 2М, N £ 2N, д4~в £ N £ д4+в, ат и Ьп - функции, натурального аргумента такие, что \ат\ £ т5(т), \Ьп\ £ 1. Тогда при х ^

г+9+1,16

справедлива оценка

W

£

М<т£М/ N/ <п£тіп

(ти,д) = 1

^2 ЬиХ(тп — І) С X ехр (—1,

Доказательство. Согласно леммы 8, имея в виду, что 1п М ^ &, найдем

т5(т) М&4, ^2 Ъ2(т) М&24.

М<т£М' М<т£М'

Из леммы 15 при с1 = 4, с2 = 24, воспользовавшись условиями М £ xN 1, д1 -в £ N £ д4+в и х ^ д3+б+1>1<5 •'

,3 „,1 1

найдем

зз А 6

W С И3N1 д4 + И3Мд1 ^ &33д46 £ X4 (м 4д4 + N4д1 ^ &33д46 С

(дМ-1 Мд2\4 33 1 6 (2д3 +^ ^^33 16 ( Г—\

С XI---------1-----I & 4 д4 £ XI --------- I & 4 д4 С X ехр 1, Бу'Ы ду

4

4

4

д

а

т

5. Доказательство теоремы 1

Рассмотрим сумму

Т(Хд) = 52Л(п)Хд(п - 1)-

п£х

В сумме Т(Хд) вклад слагаемых с условием (п,д) > 1 является величиной, модуль которой не превосходит « &2. Поэтому

Т(Хд) = ^ Л(п)Хд(п - 1) + О 2) .

п^ж (п,д) = 1

В лемме 2 возьмём г = 3, и1 = хз и

!

Г(п)=1 Хд(п - 1), при (п,я) =1;

'0, в противном случае.

Имеем

т

к=1

Тк (Хд ) = £ ц(тх)  ^ ц(тк) £-£ 1п П1Хд(тп   ткПк - I),

т1£и1 т^ £и1 щ пк

т1-ткп1-пк£х, (т1^-ткп1-^пк,д) = 1

Разобьём в Тк(Хд) области изменения каждого т1,    , тк, щ,    ,Пк на не более

& интервалов вида Mj < т^ £ 2М^, Nj < п^ £ 2Nj, ] = 1, 2,    ,к. Получим

& 2^

Тк

Тк (Хд, М, N) =

У ц(т1) ^ 1л(тк )^  ^ Хд (тп  тк Пк - 1)1п пл =

М1<т1£2М1 М^<т^ £2Мк М1<п1£2М1 <пк £2М^

т1-тьп1^-пь£х, (т1^-ткп1-^пь,д) = 1 П1

У, ц(тх) ^ ц(тк )^  $^ Хд (тп  тк Пк - I) — =

М1<т1£2М1 М^ <т^£2Мк М1<п1£2М1 <п^£2М^ 1

т1 •••т^п1•••п^£х, (т1-ткп1"^пк,д)=1 2М

= ^ ^(т1)!] ^(тк) X]  5] Хд (тп    тк пк - 1)й 1п и.

1 М1<т1£2М1 М^ <т^£2Мк ша,'х(иМ1)<п1£2М1 <п^ £2М^

т1-ткп1-пк£х, (т1-ткп1-пк,д)=1

Через и1 = тах(и, N1) обозначим такое число и, при котором модуль подынтегральной функции принимает максимальное значение, тогда

\Тк

где

Tk (Xq, M, N) ^ ^ v(mi) • • • ^ ^ v(mk) E ••• E Xq(mini • •• mknk - l),

Mi<mi£2Mi Mk<mk£2Mk Ui<ni£2Ni Uk<nk£2Nk

ni—nk^x, (mi-mkni-^nk,q) = i

Nj £ Uj < 2Nj, j = 1, 2,... ,k.

Подставляя (18) в (17), а затем и(16), получим

з

T

k=l

Вводим следующие обозначения:

кк

Д Му N = У, Д Му и = X, У < X £ х, Му £ х1 j=l У=1

и будем предполагать далее, что

Y ^ x exp (—О, 7^/ln qj

так как в противном случае, оценивая Tk(xq, M, N) тривиально, будем иметь Tk(Xq, м, N) « £ T2k(n) << 2kYL2k-i <<

X<n£2k Y

^ x 2kL2k-i exp ^-0, 7\/\n qj ^ x exp ^-0, Q\/\n qj .

Оценим Tk (xq ,M,N) отдельно для каждого k = 1, 2, 3 и не ограничивая общности, будем считать, что выполняются условия:

Mi ^ М2 ^ ••• ^ Mk, Ni ^ N2 ^ ••• ^ Nk.

Оценка T, (xq ,M,N). Рассмотрим следующие возможные случаи значений параметра Ni :

1. Ni ^ q1+5й; 2. q6 £ Ni < q3+8й; 3. q 12 £ Ni < q6; 4. Ni < q;

Для рассмотрений случаев 1, 2 и 3 сумму T,(xq,M,N) несколько преобразуем. Для этого введём обозначения:

T' (h) = ^ V(mi) ^ V(m2) ^ V(m3) ^ ^ 1 \T' (h)\ £ T5(h).

Mi<mi£2Mi M2<m2£2M2 Ms<ms£2Ms U2<n2£2N2 Us<ns£2Ns

mim2msn2n3=h

Тогда сумма T,(xq, M, N) запишется так:

T,(Xq,M,N)= £ t'(h) £ xq(hn - l), XU-1 > YN-1.

XUr l<h£25YNr1 Ui<n^2Ni

1 1 nn£x, (hn,q) = 1

В сумме Т3(Хд,МN) интервал суммирования Хи- < к £ 25У^ разобьём на интервалы вида Н < к £ Н1, где Н1 £ 2Н. Получим на не более пяти сумм вида

Т3

Н<Н£Н 1 Щ <п£т{п

(Нп,д) = 1

Случай 1. N1 ^ я3+56. Определяя к-1 из сравнения кк-1 = 1 (mod д), найдём

T3(xq,M,N,H ) = ^2 T'(h)xq(h) Y xq(n - lhqi).

H<l

Переходя к оценке, находим

^ ‘5\'4Aq\"' * ..... 1)

H<h£Hl U1 <n ^min

(n,q) = l

\T,

H<h£Hi

(h,q) = 1

^2 xq

Ui <n£min(xh 1,2Ni) (n,q) = l

Применяя к сумме по n следствие 1 при п = Ih-1, x = min(xh 1, 2Ni), y min(xh-i, 2Ni) - Ui £ 2Ni, имеем

T,(xq,M,N) < ^2 T5(h)Ni exp (-2 2л/Ыд) <

H<h£Hl

(h,q)=i

94

4L l\i<

< HiL^Ni exp (-2 <

^ Ni exp (-2~ YN-1L4 ^ x exp ^-0, 7лУЫ qj .

Случай 2. q6 £ Ni < q3+86. Воспользуемся следствием 3 леммы 15 при

1 — M = H, M = Hi, N' = Ui, N = Ni, e = - + - 5.

12 5

Тогда при x ^ q4 +0+1>16 = qI+276 имеем

T,(xq, M, N,H) < x exp ^-0, 7л/\а^ .

Случай 3. я 12 £ N1 < я6. Для суммы Т3(Хд,М^,Н) вида (22), при М = Н, М' = Н1, N = и1, N = ^, 9 = —

1 1 1 12 выполняются условия следствия 2.

Согласно этому следствию, при x ^ q1 2в+1,16 = q6+1,16, получим T,(xq, M, N,H) < x exp ^-0, 7л/\а^ .

Случай 4. Ni < q12. Сумму T,(xq, M, N) преобразуем, для этого вводя обозначения:

T'(h) = ^ V(m2) ^ V(m3) ^ ^ ^ 1 \<(h)\ £ т5(h),

M2<m2£2M2 Ms<ms£2Ms Ui<ni£2Ni U2<n2£2N2 U3<n3£2N3

m2m3ni n2n3=h

запишем её в виде:

T3(xq,M,N) = 52 T'(h) 52 V(mi)xq(hm - l).

XM7i<h£2IYM7i Mi<m<2Mi

1 1 hm£x, (hm,q) = l

Разобьём интервал суммирования XM-1 < h £ 25YM-1 на интервалы вида H < h £ Hi, где Hi £ 2H. Получим не более пяти сумм вида

T,(xq,M,N,H)= 52 T'(h) 52 v(m)xq(hm - l).

H<h£Hi Mi<n£min

(hm,q) = l

Воспользовавшись соотношениями (21), (20) и условиями рассматриваемого случая, имеем

, 1 ( Y )3 Yз (x exp (-0,6^Щ))3

Mi ^ (MiM2M,)3 = --------- ^ ^ А—————— >

i у i 2 3 \NiN2N,) N^ Ni

q^+106 exp (-0, 2Л/]Щ x i i

^ ------------j---------- > q36, Mi £ x3 < q3.

q i2

Отсюда следует, что при M = H, M' = Hi, N' = Mi, N = Mi, e = -i для суммы T,(xq,M,N,H) выполняются условия следствия 3. Согласно этому следствию, при x ^ q3+e+i>i6 = q5+i>i6 получим

T,(xq, M, N,H) < x exp ^-0, 7л/\а^ .

Оценка T2(xq, M, N). Вводя обозначение:

T,(h)= ^ V(mi) ^ V(m2) ^ 1 \T,(h)\ £ т3(h),

Mi<mi£2Mi M2<m2£2M2 U2<n2£2N2

mim2n2=h

сумму T2(xq, M, N) запишем в виде T2(xq, M, N )= 52 T,(h) 52 xq (hn - l), XUqi > YNqi.

XUr i <h£25YNr i Ui<n^2Ni

i i hn£x, (hn,q) = i

Разобьём в сумме Т2(Хд,МN) интервал суммирования Хи-1 < к £ 25УN-1 на интервалы вида Н < к £ Н1, где Н1 £ 2Н. Получим на не более пяти сумм вида

Т2(Хд,М^,Н) = ^2 т3(к) 52 Хд(кп - 1)-

И<Н£И1 Щ <п£т{п

(Нп,д) = 1

Случай 1. N ^ я1+86. Определяя к-1 из сравнения кк-1 = 1 (mod я), найдем

Т2

И<Н£И1 и1<п£т{п

(п,ч) = 1

Переходя к оценке и применяя к сумме по п следствие 1 при х = Ш1п(хк-1, 2N1), у = т\п(хк-1, 2N1) - и1 £ 2^, п = 1к-1, имеем

T2(Xq, M, N, H) «£ тз(h)Nl exp (—2-2 /Щ «

H<h£Hi

(h,q)=2

« HlL3Nl exp (—2 1y/\nq^ «

« YN-1L3N1 exp

Случай 2. я6 £ N1 < яз + б6. Воспользуемся следствием 3 при М = Н, М' = Н1, N = и1, N = ^, 9 = -2 + §8, тогда при х ^ я4+12+5^М6 = яI+6 имеем

T2(Xq, M, N,H) « x exp (— О, 7\/\n^ .

Случай 3. N1 < яI. Воспользовавшись соотношениями (21), (20) и условиями рассматриваемого случая, имеем

Y \ 2 Y1 (x exp (—0,6^\nq))2

x3

= x6 exp ^-0, Зл/ln q j ^ q36+206 exp ^-0, Зл/ln qj > q36 > q^.

Для суммы T2(xq,M,N,H) при M = H, M' = Hi, N' = Ui, N = Ni, e = i, выполняются условия следствия 2 . Согласно этому следствию при x ^

3 +——+i i6 1+i i6

q4 +12+i’iU = q6 +i,i°, получим

T2(xq, M, N,H) « x exp (—0, 7^/\nq^ .

Оценка Tl(xq, M, N). Определяя ш- 1 из сравнения ШШ- 1 = 1 (mod q), найдем

Tl(Xq,M,N) = ^(шl)Xq (ші) 52 Xq(n — іш-1).

M<m1£2M1 U2<n£ min

(n,q) = 1

Из соотношений (21), (20) и условий рассматриваемого случая имеем

У X ехр (—0, %у/\п д) 5 + 96 ( г—\ 6

М1 ^ ТТ ^ -----------------—і--------- ^ д9 +5 6 ехр (—0, §\/\п д) > д3 +5 6.

И1 X3 ' '

1 I 8;

Воспользовавшись этим неравенством, применим к внутренней сумме по п след-

V

ствие 1 при X = тт^т 1, 2М]), у = тт^т1, 2М1) — и1 £ 2М1, п = ІШ-1.

Имеем

Т1(хя, И, N) С И1М1 ехр (—2 2л/Ыд^ С Xехр ^—0, 7л/\п^ .

Из полученных оценок Тк(хя, И, N), к = 1, 2, 3, ввиду (19), получим утверждение теоремы.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И. М. Распределение квадратичных вычетов и невычетов вида р + к по простому модулю // Математический сборник. 1938. Т. 3, №45. С. 311 - 320.

2. Виноградов И. М. Уточнение метода оценки сумм с простыми числами // Известия АН СССР. Сер. Мат. 1943. Т. 7. С. 17 - 34.

3. Виноградов И. М. Новый подход к оценке суммы значений х(р + к) // Известия АН СССР. Сер. Мат. 1952. Т. 16. С. 197 - 210.

4. Виноградов И. М. Улучшение оценки для суммы значений х(р + к) // Известия АН СССР. Сер. Мат. 1953. Т. 17. С. 285 - 290.

5. Виноградов И. М. Оценка одной суммы, распространенной на простые числа арифметической прогрессии // Известия АН СССР. Сер. Мат. 1966. Т. 30. С. 481 - 496.

6. Карацуба А. А. Суммы характеров и первообразные корни в конечных полях // Доклады АН СССР. 1968. Т. 180. №6. С. 1287 - 1289.

7. Карацуба А. А. Об оценках сумм характеров // Известия АН СССР. Сер.

Мат. 1970. Т. 34. С. 20 - 30.

8. Карацуба А. А. Суммы характеров с простыми числами // Известия АН

СССР. Сер. Мат. 1970. Т. 34. С. 299 - 321.

9. Рахмонов З. Х. О распределении значений характеров Дирихле // УМН. 1986. Т. 41, №1. С. 201 - 202.

10. Рахмонов З. Х. Об опенке суммы характеров с простыми числами // ДАН Таджикский ССР. 1986. Т. 29, №1. С. 16 - 20.

11. Рахмонов З. Х. О распределении значений характеров Дирихле и их приложения // Труды Математического института РАН. 1994. Т. 20T. С. 2S6 - 296.

12. Рахмонов З. Х. О распределении значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых простых чисел // Доклады АН Республики Таджикистан. 2013. Т. 56, №1. C. 5 - 9.

13. Рахмонов З. Х. Распределение значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых простых чисел // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика 2013. Т. 13, вып. 4(2). С. 113 — 11T.

14. Дж. Б. Фридландер, K. Гонг, И. Е. Шпарлинский Суммы значений характеров на сдвинутых простых числах // Мат. заметки. 2010. Т. SS, вып. 4. С. 605 - 619.

15. Рахмонов З. Х. Теорема о среднем значении ф(x, x) и ее приложения // Известия РАН. Сер. Мат. 1993. Т. 5T, №4. С. 55 - T1.

16. Рахмонов З. Х. Теорема о среднем значении функций Чебышева // Известия РАН. Сер. Мат. 1994. Т. 5S, №3. С. 12T - 139.

1T. Виноградов А. И. О числах с малыми простыми делителями // ДАН СССР. 1956. Т. 109, №4. С. 6S3 - 6S6.

1S. Burgess D. A., The character sum estimate with r = З // J. London Math. Soc. 33 (19S6). 219 - 226.

19. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 19S3.

20. Марджанишвили К. К. Оценка одной арифметической суммы // ДАН СССР. 1939. Т. 22, №7. 391 - 393.

Институт математики Академии наук Республики Таджикистан.

Получено 24.04.2014