Математическое моделирование поведения снежной массы на горном склоне

УДК 551.578.46

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ СНЕЖНОЙ МАССЫ

НА ГОРНОМ СКЛОНЕ

А.С. Соловьев, О.М. Лебедев, А.В. Калач

В статье рассмотрены вопросы компьютерного моделирования накопления снежной массы на горном склоне. Предложена модель для прогнозирования возможности схода снежных лавин в зависимости от геометрии склона и параметров снега

Ключевые слова: модель, снег, лавина, риск

В настоящее время одним из основных сезонных рисков природной опасности является самопроизвольный сход снежных лавин. Лавинная опасность характерна для 6 субъектов Российской Федерации, расположенных в пределах горных территорий северного склона Большого Кавказа. На его южном склоне лавины представляют опасность в районе Большого Сочи Краснодарского края. В зоне транзита лавин находятся населенные пункты, транспортные коммуникации, линии связи и электропередачи, нефте- и газопроводы, туристические гостиницы и др. Чаще других от лавин страдают автомобильные и железные дороги, разрушение и завалы которых приводят к длительным перерывам в движении. Обеспечение безопасного освоения горной территории невозможно без тщательного изучения возможности схода селей и снежных лавин. В данной работе предложена компьютерная модель, позволяющая прогнозировать поведение снежной массы в зависимости от геометрических параметров горного склона.

Осаждающаяся на склон масса снега в модели представляется совокупностью большого числа отдельных круглых элементов [1]. Моделирование производится в двумерном пространстве Х-У, при этом ось X - расположена вдоль спуска склона, а ось У - в вертикальном направлении. Состояние каждого элемента снега / определяется четырьмя переменными: декартовыми координатами его

центра (х1, у1) и двумя составляющими скорости (уХ1, уу1). Взаимодействие элементов между собой принято вязкоупругим, что позволяет адекватно учитывать способность массы снега к разделению на фрагменты и является важным преимуществом предлагаемой модели по сравнению с моделированием в приближении сплошной среды

Соловьев Александр Семенович - Воронежский институт ГПС МЧС России, канд. физ.-мат. наук, доцент, тел. 8-910-342-16-65

Лебедев Олег Михайлович - Воронежский институт ГПС МЧС России, начальник факультета инженеров пожарной безопасности, тел. 8-473-236-33-05 Калач Андрей Владимирович, - Воронежский институт ГПС МЧС России, канд. хим. наук, доцент, тел. 8-904211-73-74

[2]. Разработанная математическая модель представляет собой систему дифференциальных и алгебраических уравнений. Дифференциальные уравнения решаются численно - методом Эйлера-Коши [3], который является универсальным, надежным, а также быстро и безошибочно программируемым. Для удобства исследования системы уравнений составлена компьютерная программа моделирования схода снежной лавины на языке Object Pascal в интегрированной среде программирования Borland Delphi 7.0. Программа предназначена для многократного проведения компьютерных экспериментов с моделью и изучения на этой основе влияния основных физикомеханических параметров снежной массы на интенсивность ее движения по склону. Основные функциональные возможности программы:

- проведение компьютерного эксперимента по выпадению осадков в виде снега или дождя и осаждению их на поверхность с заданным рельефом;

- задание основных параметров, характеризующих интенсивность и тип осадков, внутреннее механическое взаимодействие элементов снега, наклон и рельеф склона;

- вывод на экран в процессе компьютерного эксперимента схематичного изображения склона со снежной массой, значений и графиков основных выходных характеристик (средняя и максимальная скорость движения снежной массы вдоль склона, средняя толщина снежной массы на склоне, средняя плотность снежной массы).

Одной из основных величин, влияющих на сход лавины, является угол склона. Поэтому была проведена серия компьютерных экспериментов, в которых изменяли угол склона а в широких пределах: от 0° до 60° с шагом 5°. На рис. 1 приведена зависимость средней толщины снежного покрова от угла склона. Зависимость средней толщины снежного покрова SC и плотности снежной массы р от угла склона имеют одинаковый характер, на основании которого можно выделить три области.

Первая область соответствует углам склона от 0 до 15 градусов. Здесь составляющей силы тяжести, действующей в направлении поверхности склона, недостаточно, чтобы преодолеть

вязкоупругое взаимодействие (сцепление) с поверхностью склона, снег практически неподвижен и средняя скорость сползания V близка к нулю. Толщина снежного покрова 8С остается на уровне 0,57-0,58 м, плотность снежного покрова р максимальна и составляет около 400 кг/м3. То есть, основная масса снега на склоне неподвижна и за счет действия силы тяжести формирует более плотную среду с меньшим количество пустот между элементами снега. Тот

а

б

Рис. 1. Зависимость средней толщины £с и плотности р снежного покрова от угла склона а.

факт, что максимальная скорость сползания отлична от нуля и возрастает от 0,01 до 0,02 м/с, означает, что самые верхние элементы снега, испытывающие наименьшее взаимодействие с нижележащими слоями и не испытывающие давления снега сверху, сползают по склону.

Во второй области, при углах склона от 20 до 40 градусов, проекция силы тяжести на направление склона становится достаточной для преодоления сил сцепления и большая часть снега начинает сползать со склона. Толщина снежного покрова 8С уменьшается в этой области наиболее резко (с 0,57 до 0,32 м), а средняя скорость сползания увеличивается от 0,01 до 0,025 м/с. Максимальная же скорость сползания (на начальном этапе формирования лавины) возрастает от 0,02 до 0,08 м/с, то есть, кроме увеличения количества сползающего снега возрастает и скорость движения. Средняя плотность снежной

массы р в этой области углов склона уменьшается наиболее резко (от 400 до 220 кг/м3) за счет того, что движущаяся снежная масса при взаимодействии со склоном постоянно деформируется, разрывается, возникает большое количество пустот. Вышеприведенные данные свидетельствую о том, что при углах склона более 20 градусов вероятность формирования снежной лавины наиболее велика, поскольку при одинаковой интенсивности выпадения снега резко уменьшается средняя толщина снежного покрова и средняя плотность снежной массы.

При дальнейшем увеличении угла склона (от 40 до 60 градусов) происходит медленное уменьшение толщины снежного покрова 8С от 0,32 до 0,28 м, рост средней скорости сползания от 0,025 до 0,03 м/с и увеличение максимальной скорости от 0,08 до 0,15 м/с. Одновременно происходит медленное уменьшение средней плотности снежной массы р от 220 до 160 кг/м3. При таких углах склона снег почти не задерживается на склоне и непрерывно движется вниз. Поэтому вероятность неожиданного схода значительной массы снега (схода лавины) мала, также как и в первой области (а = 0 ... 20 градусов).

Необходимо отметить, что предсказываемый моделью опасный диапазон а = 20 ... 40 градусов хорошо соотносится с реальными наблюдениями за сходом лавин.

Процесс сползания снежной массы во многом определяется наличием и размерами неровностей склона, т. к. неровности могут препятствовать сползанию снега, влиять на перераспределение толщины и плотности снежного покрова. Поэтому были проведены две серии компьютерных экспериментов, в которых исследовалась зависимость выходных параметров от высоты неровностей склона к, принимающих значения 0,00, 0,01, 0,02, 0,03, 0,05, 0,07 и 0,09 м (рис. 2). и от ширины неровностей склона Ь, принимающих значения 0,00, 0,10, 0,20, 0,30, 0,40, 0,50, 0,65, 0,80 и 1,00 м.

Исходя из характера зависимостей Sc(к), ^^(к) и ^р(к), можно выделить два диапазона к, отличающихся поведением снежной массы. Первый диапазон - для высот неровностей от 0,00 до 0,06 м. Для него характерно, что средняя толщина снежного покрова SC приблизительно равна 0,3 м, средняя плотность р снежного покрова составляет около 210 кг/м3, а максимальная скорость сползания снега составляет приблизительно 0,08 м/с и практически не зависят от высоты неровностей к. То есть, при высотах неровностей к меньше 0,05 м снежная масса довольно быстро двигается по склону как за счет текучести снега, так и за счет формирования микролавин. При этом низкое значение плотности р свидетельствует о сложном разрывном состоянии снежной массы Стоит также отметить, что средняя скорость движения снега практически не зависит от высоты неровностей.

Во втором диапазоне к, от 0,06 до 0,09 м, с увеличением к средняя толщина снежного покрова SC возрастает приблизительно от 0,28 до 0,36 м,

средняя

плотность

снега

увеличивается

приблизительно от 210 до 260 кг/м3, максимальная скорость уменьшается от 0,08 до 0,05 м/с и средняя скорость снега уменьшается от 0,03 до 0,02 м/с.

начиная с некоторой высоты h (ориентировочно 0,2 м) максимальная скорость практически равна нулю, то есть наступает практически полная фиксация снежного покрова на склоне. В таком состоянии снег может только медленно сползать вниз из-за эффекта текучести, но не лавинообразно.

В заключении статьи сформулируем основные результаты и выводы проведенного исследования.

1. Разработана физико-математическая модель процесса осаждения осадков на склон горы и движения снежной массы вдоль склона. Модель воспроизводит широкий круг механических явлений, происходящих со снежной массой. Модель позволяет изучить влияние интенсивности и типа осадков, параметров склона, параметров внутреннего взаимодействия в снежной массе на интенсивность ее движения вниз по склону и состояние снежной массы на склоне.

2. Опасный в плане схода лавины угол склона горы лежит в диапазоне 20 ... 40 градусов. При меньших углах снег накапливается на склоне, практически не сползая, при больших углах снег непрерывно сходит вниз, не накапливаясь и не образуя на склоне горы опасной массы.

3. Увеличение высоты неровностей склона способствует фиксации снежной массы на склоне и уменьшает риск схода снежных лавин. Эффект задержки снежной массы проявляется начиная с высоты неровностей 0,07 м (величина среднеквадратичного отклонения случайной функции рельефа поверхности). Полная фиксация снежного покрова возможна при характерной высоте неровностей более 0,2 м.

Литература

1. Ramos O., Altshuler E., Maloy K.J. Avalanch Prediction in a Self-Organized Pile of Beads //Phys. Rev. Let. - 2009. - Vol. 102. - 078701.

2. Соловьев А.С., Калач А.В. Некоторые аспекты

прогнозирования снежных лавин. - Интернет-журнал «Технологии техносферной безопасности»

(http://ipb.mos.ru/ttb). Вып. №1(35). 2011.

3. Hafner J. Atomic-Scale Computation Materials Science // Acta Mater. - 2000. - Vol. 48. - P. 71-92.

Рис. 2. Зависимость параметров от высоты неровностей склона: а - средней толщины снежного покрова; б - максимальной скорости при сползании снега

Уменьшение скорости сползания и увеличение толщины и плотности снежного покрова, по-видимому, обусловлены тем, что более высокие неровности эффективнее задерживают снежную массу на склоне.

Убывающий характер прямой

(аппроксимирующей данные в диапазоне h от 0,06 до 0,09 м) на рис. 2, б позволяет предположить, что

Воронежский институт государственной противопожарной службы МЧС России

MATHEMATICAL MODELLING OF BEHAVIOUR OF SNOW WEIGHT ON THE HILLSIDE

A.S. Soloviev, O.M. Lebedev, A.V. Kalach

In article questions of computer modeling of accumulation of snow weight on a hillside are considered. The model for forecasting of possibility of a descent of avalanches depending on geometry o f a slope and snow parameters is offered

Key words: model, snow, an avalanche, risk