Оптимизация толстостенной железобетонной оболочки на основе решения обратной задачи механики неоднородных тел

Оптимизация толстостенной железобетонной оболочки на основе решения обратной задачи механики неоднородных тел

Б.М. Языев, А.С. Чепурненко, А.В. Муханов

В настоящее время толстостенные оболочки находят широкое применение в конструкциях радиационно-тепловых экранов ядерных реакторов, тепловых и биологических защит и т.д. Вопросам оптимизации таких оболочек, а также других конструкций, посвящены работы[1-10]. Все указанные работы базируются на идеях академика РААСН В.И. Андреева[1].

Известно, что если в некоторой области конструкции уменьшить модуль упругости, то и напряжения в этой области уменьшатся [1,2]. Таким образом, варьируя модуль упругости, можно добиться, чтобы напряжения во всех точках конструкции были постоянны.

Рассмотрим способ оптимизации на примере толстостенной предварительно напряженной железобетонной цилиндрической оболочки, нагруженной внутренним давлением ра. Предварительные напряжения в таких конструкциях, как правило, создаются намоткой с натягом тросов по внешней поверхности. Решим сначала прямую задачу: определим, какие напряжения будут возникать в толще конструкции, если модуль упругости бетона постоянен. Расчетная схема оболочки представлена на рис. 1. Действие арматуры заменяем внешним контактным давлением рь.

Рис.1. Расчетная схема оболочки.

Рис. 2. К определению давления рь.

Будем считать, что цилиндр достаточно длинный, т.е. он находится в условиях плоской деформации (вz = 0).Величину можно определить из

условия равновесия его половины (рис.2).

п/2 11

2gsAs = h J pbb cos фdф = 2pbbh = ——

-п/2 AS

Напряжения в кольцевой арматуре определяются выражением:

aS = ES в9\r=b + asp,

где asp - начальные напряжения в кольцевой арматуре (до момента передачи

усилий на бетон).

Из решения задачи Ляме для случая плоской деформации известна формула для перемещений u (г):

u =

E Eb v

где Eb1 = , v1 =

1 -V2 1 -V

Тогда выражение для окружной деформации можно записать в виде:

I = ulr =b =

01 r=b = b ~

Подставив выражения (4) и (1) в (2), после некоторых преобразований получим формулу для контактного давления:

2раа2 , ар

p

pb=~h----------1---------“b!—: 7-.

+

AsE,

+ —

Бы

Далее, чтобы определить напряжения ад и аг в бетоне, нужно подставить значение рь в известные формулы для задачи Ляме.

На рис. 3 показан график распределения напряжений ад при ра=10МПа,

а = 1м, Ь = 1.5м, V = 0.2,Еь = 3.1 -104 МПа, Е5 = 2 -105МПа, ар =500 МПа.

Чтобы не возникало растягивающих напряжений, для рассматриваемого примера потребовалось 1622 кг арматуры на 1 метр длины трубы. Как видно из графика, ад = 0 только при г = а, т.е. предельное состояние в этом случае наступает только у внутренней поверхности.

Рис. 4. Равновесие отсеченной

Рис. 3. График распределения половины оболочки

напряжений а0 для однородного

цилиндра

Найдем такое распределение модуля упругости, при котором а0 = 0 во

всей толще цилиндра. Рассмотрим равновесие его половины (рис. 4).

п/2

2gsAs = h J pa • a • cos фdф = 2pa • a • h

-п/2

Но из (1): 2gsAs = 2pb • b • h. Тогда pb = pa • a / b. Зависимость модуля упругости, при которой a0 = const во всей толще цилиндра, нагруженного внутренним давлением pa и внешним давлением pb, имеет вид[1]:

E (r) = Eo

r r А(1 - m) - maa0 ^"1-m

а А(1 - т) - тга0 у где Е0 = Е(а), А = (рЬ - ра )аЬ / (Ь - а), т = (1 - 2v) / (1 - V).

Подставив рЬ = ра • а / Ь в

Остается определить требуемую площадь арматуры, при которой ад = 0.

1

)1-m

раак = ъ8А8 =

Окружную деформацию бетона на внешней поверхности можно найти следующим образом:

8еи = Т^(сте - у(сг + а-)) = Т-^(се - ''К + ^Сг + сеШ.

" Еь|„Ь Чг-Ь

С учетом того, что ае = 0, а аг|г = -рЬ, получим:

8е I=Ь = ут~

ПЬ\Г=Ь и'ПЬ\г=Ь

Подставив (8) в (7), получим требуемую площадь арматуры:

РааЬ

а

5 _

с *+ЕЕ~ ^Ьт

Р ь\г=Ь Ь

Ра^2)'

На рис. 5. представлена кривая Е(г)для оптимального цилиндра. Исходные данные были взяты те же, что и для однородной оболочки.

Рис. 5. График зависимости Е (г) для оптимального цилиндра Для неоднородного цилиндра потребовалось 1473 кг арматуры на 1 м длины трубы. Экономия арматуры при создании искусственной неоднородности составила 10.1%.

Литература:

1. Андреев В.И. Потехин И.А. Оптимизация по прочности толстостенных оболочек: монография. М.:МГСУ, 2011. - 86с.

2. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел: монография. - М.: Издательство АСВ, 2002. - 288 с.

3. Потехин И. А. Способ оптимизации конструкций на основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел. Дисс. канд. техн. наук. М., 2009. - 144 с.

4. Andreev V.I. About one way of optimization of the thick-walled shells. Applied Mechanics and Materials, Vols.166-169 (2012) pp. 354-358

5. Андреев В.И., Булушев С.В. Оптимизация неоднородной толстостенной сферической оболочки, находящейся в температурном поле. Вестник МГСУ, 2012, №12, стр. 40-46.

6. Andreev V.I. Optimization of thick-walled shells based on solutions of inverse problems of the elastic theory for inhomogeneous bodies. Computer Aided Optimum Design in Engineering XII (OPTI XII). WIT Press. 2012, p.189-201

7. Чепурненко А.С., Андреев В.И., Языев Б.М. Построение модели

равнопрочной многопролетной балки [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2013, №1. - Режим доступа:

http://ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/1571 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

8. Чепурненко А.С., Языев Б.М. Оптимизация формы поперечного сечения сжатых стержней из условия устойчивости//Научное обозрение. 2012. № 6. — С. 202-204.

9. Чепурненко А.С., Андреев В.И., Языев Б.М. Построение модели равнонапряженного цилиндра на основе теории прочности Мора //Вестник МГСУ. №5 2013, с.56-61.

10. Козельская М.Ю., Чепурненко А.С., Литвинов С.В. Применение

метода Галёркина при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2013, №2. - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1714 (доступ

свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.