Деформации трубы при изгибе моментом

скоростей в классе функций, отвечающих условию несжимаемости с учетом параметра Xz, позволяет в процессе деформации сохранить постоянство объема всего призматического конечного элемента.

Список литературы

1. Кухарь В. Д., Селедкин Е.М. Киреева А.Е. Расчет напряженного состояния при конечно-элементном анализе процессов пластического формоизменения // Изв. ТулГУ. Сер. Технические науки. 2010. Вып. 4.

2. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.

3. Яковлев С.П., Кухарь В.Д., Селедкин Е.М. Исследование плоско-

го пластического течения ортотропного материала методом конечных элементов / ТулГУ. Тула, 1987. 38 с. Деп. в ВИНИТИ 26.02.87,

№ 1442-В87.

V. Kuhar, E. Seledkin

Finite-element model of plastic deformation of thin layer blank in compression between rough plates

Certainly-element model of plastic compression of a thin metal layer between plane-parallel rough plates. For the analysis of the intense-deformed condition of technological process static jumping thin preparations taking into account a friction on contact surfaces the corresponding system of the algebraic equations is resulted.

Key words: processing of metals by the pressure, intense-deformed condition, method of final elements, pressure.

Получено 28.12.10 г.

УДК 539.374:621.774.63 С.И.Вдовин, д-р техн. наук, проф.,

В.Н.Михайлов, канд. техн. наук, доц.,

Т.В.Федоров, канд. техн. наук, доц.,

ДЕФОРМАЦИИ ТРУБЫ ПРИ ИЗГИБЕ МОМЕНТОМ

С помощью вариационного метода получена оценка овальности сечения трубы в виде аналитической зависимости от радиуса изогнутой оси и относительной толщины стенки, близкая к данным конечно-элементного моделирования.

Ключевые слова: овальность сечения, вариационный метод, работа внутренних и внешних сил.

Постановка задачи. Материал трубы жесткопластический неуп-рочняемый. Справедлива гипотеза плоских сечений, деформации одинаковы по угловой координате ф, включая торцы трубы, средний радиус сечения г получает знакопеременное приращение щ (рис. 1).

Рис. 1. Схема изгиба моментом

Относительные удлинения по координатам р, а, ф связаны с перемещениями формулами

^ = dup = dua Up =р sin a upsin a ua cos a

p dp , a pda p ’ j Rq Rq Rq

При изгибе трубы с недеформируемым сечением на большой радиус R0 >> d формулу єф упрощают, пренебрегая слагаемыми, содержащими перемещения ир и ua. Также пренебрегают различием поперечных деформаций, принимая

р sin a

Єр — £a — .

р a 2 R0

В результате получают выражения перемещений sin a

4R^'°  “ 4Ro

которые обращают в ноль деформацию сдвига

Up=^~VO -p /’ Ua=^~lr0 +p h

Ypa=p"

d

ua

dup

dp ^ p ) pda

Вариационная оценка деформированного состояния основывается на поиске минимума полной потенциальной энергии П, включающей энергию деформации U и работу внешних сил W, что отражает уравнение

8П = 8U- SW = 0.

Энергию деформации выражает интеграл по объему V деформирования

и | хе х у еу г е г ху у ху уі у уі гху гх ]^У,

V

для жесткопластического материала он преобразуется к виду:

где г3 - касательное напряжение текучести; Г - интенсивность деформаций сдвига [1].

Дальнейшее преобразование данного интеграла основано на неравенстве Буняковского, согласно которому

Заменяя знак неравенства знаком равенства, записывают вариацию работы деформирования как

Вариация работы изгибающего момента дЖ = дМф. На единицу длины оси трубы приходится ее часть, равная дМ/Я0. Вариацию энергии деформирования также относим к длине изогнутой оси и выражаем интегралом по площади сечения трубы К

Вводим “подходящие” (координатные по Ритцу) функции перемещений, содержащие варьируемые параметры V;, и получаем систему уравнений (число которых равно числу V;), адекватных (3):

В практических расчетах пренебрегают правой частью этих уравнений, что сообщает им линейный характер относительно неизвестных V;.

Решение задачи. Функцию (2) перемещения иа по периметру сечения дополняем варьируемым компонентом, учитывающим влияние искажения сечения:

Также вводим подходящую функцию радиального перемещения точек средней линии сечения трубы

г 2 (  2 2

ur — — ^2 sin a + V3 cos a

R0

).

Варьируемые параметры v1, V2 и v3, содержащиеся в этих функциях, определяются решением системы трех уравнений вида (4). Для их записи приравниваем нулю сумму относительных удлинений, тогда

dup Up dp р

-£

du

j

a

pda

Включаем функции перемещений (5) и (6) в формулу деформации

еф (1), ее развернутый вид

р sin a r2 /

+—2 \v2sm" a + cos~ a sin aj+--— + р~ ^-^cos“ a sin a

• 3

2

R0 R0

cos2 a 2 2 v1r2 2

')+^2“(r0 +P )+^2

4 Rq Ro

Функция иг представляет в данной формуле перемещение ир не совсем полно, что оправдано небольшим различием перемещения ир в пределах толщины стенки трубы. Решение уравнения (7) с использованием функции иг (6) в качестве граничного условия:

3

и

r (v -2

р- V2sin a + v3Cos a)' ,D vo

pRo 4 Ro

2 \ sina{ 2 2)

a)+^(ro -р )+

2

cos a

16 R

4 ,ry

r + 2r0 r „2 3

--------0— 2r 2р-р3

р

+

3

v1 r . р / . 2 2 \ 1

+ —------ln—sin a-cos a +--------------

Ro р ^ ’ 2R;

ґ 4 r2

--r р

р

V

32 v2 sin a + V3 sin a cos aj+

y

2

ґ

v1 sin a cos a

R

2

4

р

Имея формулы перемещений ua и up, выражаем деформации sp, ypa и

/ 22 2 интенсивность деформаций сдвига .Г = 2 J£р + £р£ф + £ф + 0,25gpa .

Приближенная формула изгибающего момента выражается интегралом по четверти сечения трубы:

p/2 2

М — 4s st J (r + ur) sin ada.

0

После интегрирования с использованием функции ur (6) получаем производные для уравнений (4):

ЭМ ЭМ 2tr2 / ч ЭМ 2tr2 / ч

— 0, —— —-------s s (7 V2 + V3 + 8), -—-s s (v2 + 2,4 V3 + 4).

dv

1

dv

2

3

dv

3

3

3

r

Систему уравнений (4) решали с помощью компьютерной программы, при этом оценивалась значимость вариации работы изгибающего момента согласно данным табл. 1.

Таблица 1

я0/а 2 4 8

1/ё 0,05 0,1 0,05 0,1 0,05 0,1

VI -0,794 -0,783 -0,657 -0,644 -0,465 -0,451 -0,373 -0,360 -0,243 -0,234 -0,194 -0,186

у2 -0,723 -0,708 -0,618 -0,602 -0,423 -0,408 -0,351 -0,337 -0,221 -0,212 -0,183 -0,174

v3 0,515 0,511 0,424 0,418 0,306 0,298 0,244 0,236 0,161 0,155 0,127 0,122

Примечание. Нижние ряды чисел получены без учета вариации работы изгибающего момента

В соответствии с формулой (6) радиальное перемещение точек средней линии сечения на рис. 1 при а = 0° и а = 90° подсчитываем как /Я0 и у2^/^0. Показатель некруглости проходного сечения, предлагаемый в работе [2], можно выразить величиной Ь - И = 2(у3 - у2)г (рис. 2).

0,09 0,06 0,03

о

3 4 5 6

Рис. 2. Рассчитанные зависимости показателя овальности сечения трубы с различной толщиной стенки *

Пренебрегая вариацией работы внешнего момента, получаем систему линейных разрешающих уравнений. Получаемые из этих уравнений формулы варьируемых параметров чрезвычайно громоздки. Поскольку функции (5) и (6), задающие перемещения, являются заведомо приближенными, представляется логичным упрощение уравнений. В них присутствует кривизна оси 1/Л*0 в степени от 2 до 4, при этом значимость компонен-

97

тов, содержащих Л*0 , сравнительно мала. Исключая их, получаем значения параметров, завышенные по абсолютной величине примерно на 10 %, при этом расчет можно выполнять с помощью формул

v1

6/ - б/з - 8/4 г

Здесь

/1

/4 - 3/1

64

1 +

3

V2 = 4 V1

/з _Г_ /1 R

v3

3

о

2 Га

/5 = 1i

f 2 2го2

2

16

ln

2

1 - ь

г

V У

ln

d

г

d

2го

3

+

4

13

v1

2г0 32 8

/3

64

/б _г_

/1 Ro

/2

f = 1 6 16

1 +

2г0

16

2г0

г

ln

d

2

г

У

2г0 32 8

го

о

А 2г Л

vd 2/

/2 -

' d

V 2г у

, /2 -

2г

3

го

V г у

Для оценки полученного решения применили метод конечноэлементного (МКЭ) моделирования изгиба трубы моментом с помощью программы DEFORM. Программа не позволяет точно задать радиус изгиба R0, по приблизительной оценке он составил три диаметра трубы. В табл. 2 приведены найденные показатели h и b, обозначенные ранее на рис. 2, при различной относительной толщине стенки трубы.

Таблица 2

Значения параметров овальности сечения согласно МКЭ,

t/d 0,05 0,1 0,15

h/d 0,9 0,925 0,938

0,898 0,925 0.941

0,901 0,908 0,917

b/d 1,04 1,05 1,04

1,065 1,052 1,037

1,074 1,069 1,050

2

г

1

3

2

г

Результаты решения уравнений (4) практически совпали с данными конечно-элементного моделирования. Их различие перекрывается неточностью измерения размеров изображения изогнутой трубы, которое осуществляли в программе КОМПАС по рисунку, принятому из программы DEFORM. Расчеты по формулам (8) дают завышенные значения показате-

ля некруглости сечения, чьи графики приведены на рис. 2. Завышение согласно данным табл. 2 составляет от 20 до 30 %.

Обсуждение результатов. Изложенное решение задачи является улучшенным по сравнению с опубликованным ранее [3] за счет добавления в формулу перемещения иа варьируемого компонента согласно (5). Результат иллюстрирует рис. 3, содержащий относительные значения иа/г при радиусе гибки = 4с/.

Рис. 3 Эпюры первого

Практическое применение вариационных оценок деформаций изгиба трубы представляется предпочтительным по сравнению с дорогостоящим конечно-элементным моделированием, громоздкий характер вариационных уравнений и выведенных формул не является проблемой при наличии универсальных счетных программ типа MathCAD.

Список литературы

1. Теория обработки металлов давлением (Вариационные методы расчета усилий и деформаций) / И.Я. Тарновский [и др.]; под ред. И.Я. Тарновского. М.: Металлургиздат, 1963. 672 с.

2. Franz, W.-D. Maschinelles Rohrbiegen. Verfahren und Maschinen. Düsseldorf: VDI-Verlag. 1988. 237 s.

3. Вдовин С.И. Теория и расчеты гибки труб. М.: Машиностроение. 2009. 95 с.

S. Vdovin, V. Mihailov, T. Fedorov

Deformation analysis of the tube under pure bending

The estimation of the tube cross-section ovality is derived by means of the variational method. The estimation has a form of analytical dependence on the radius of the deflection curve and on the relative thickness of the wall. The derived estimation is close to the FEA results.

Key words: ovality of cross-section, variational method, works of internal and external forces.

Получено 28.12.10 г.