Сравнение стратегий управления портфелем ценных бумаг

УДК 336.01

В.В. Домбровский, Ф.Н. Егорычев СРАВНЕНИЕ СТРАТЕГИЙ УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ ЦЕННЫХ БУМАГ

Рассматривается проблема управления (выбора структуры) портфелем ценных бумаг. Проводится проверка работоспособности и сравнительный анализ различных стратегий управления портфелем с использованием исторических данных о динамике курсов акций восьми российских эмитентов.

Проблема выбора структуры портфеля ценных бумаг состоит в следующем [1,2]. Инвестор в настоящий момент времени имеет некоторую сумму денег, которую он желал бы инвестировать на определенный период времени. Он может вложить все в ценные бумаги, доход по которым заранее известен. Это так называемые безрисковые вложения, то есть инвестор заранее знает, сколько он получит в будущем от своего вклада. Но на финансовых рынках существуют другие финансовые инструменты (например, обыкновенные акции), доход по которым значительно превосходит тот, который инвестор мог бы получить от безрискового вложения. Однако вложения в эти ценные бумаги связаны с неопределенностью (риском). Поэтому инвестор хотел бы определить для себя наилучшее соотношение между приростом доходности и возрастанием риска Рассмотрим стратегии формирования портфеля ценных бумаг, основанные на использовании различных мер риска

1. Классическая стратегия Марковича

Математическая формализация задачи формирования портфеля ценных бумаг впервые была предложена Г. Марковицем [1, 2]. По Марковичу структура портфеля должна обеспечивать инвестору некоторое фиксированное значение доходности при наименьшем риске. В качестве меры риска принимается дисперсия или стандартное отклонение портфеля.

Пусть Яи - доходность /-Й ценной бумаги в момент времени /=1...../=1,..., Т, где Я-число рассматриваемых видов ценных бумаг, Т- объем выборки. Тогда доходность портфеля в момент времени / равна

. . . ..........................

Яр = х,Ян, где х( - доля инвестиций в но ценную /-1

N

бумагу, входящую в портфель, причем £ х, = 1.

Математическое ожидание доходности портфеля является взвешенной средней ожидаемых доходно-

стей отдельных ценных бумаг Яр = ) =

N ___ ] Т

= X х, /?,, где Я( = — £ Лй. Риск портфеля ценных ы Т 1=1

бумаг оценивается стандартным отклонением ар, вычисляемым на основе дисперсии его доходности

/ _Ь N N

=Е\ЛР/ = о,,,где аи - ковари-

ация доходностей /-й иу'-й ценных бумаг.

Задача оптимизации портфеля ставится следующим образом: необходимо минимизировать крите-

( N N Л>2

рийа^, = ПРИ ограничениях

Ы /-1 )

¿*Л-Л\2>,- 1,х,*0, / = 1.....N.

где Я' - доходность портфеля, которую желает получить инвестор.

2. Альтернативные стратегии

Классический подход (известный еще как модель «среднее - дисперсия») не является единственным. Существуют и другие методы решения данной про-

блемы, которые могут показать себя лучше с практической точки зрения.

В [3] предлагается использовать отличные от стандартного отклонения меры риска. Одна из предлагаемых мер - средний квадрат приращений. Этот показатель построен на основе отклонений ря-да в момент времени t от уровня, достигнутого им в предыдущий момент времени (/-1).

Если доходность портфеля в момент времени /

N

равна Яр = Х*,Лй,то средний квадрат приростов доходности портфеля выражается формулой

.....^-АЛ^ЦХК'^-г^" ' ' ' '

I 1=1

-7*

* /=I

( \

N N

«1 ;=1

где АЯ„ = Я„ - Л,, АЯ}, = - /?, , черта сверху означает усреднение по времени.

Минимальный риск портфеля будут обеспечивать те ценные бумаги, совокупность которых характеризуется наименьшими колебаниями. Требуется найти такую структуру инвестиций, которая обеспечит наиболее благоприятное соотношение между приростом средней доходности и возросшим риском. Имеет место следующая оптимизационная задача:

N N

Уг

гшп,

Н ЕЕ^дл.дд,

»=1

N __N

= /?*,!>, =1,

1=1 1=1

х1 £0, / = 1

Еще одна мера риска, предложенная в [3], обосновывается следующим образом. В основе классического подхода Марковица лежит гипотеза о том, что колебания доходности портфеля в обе стороны одинаково нежелательны. Однако, вообще говоря, нежелательны лишь отрицательные флуктуации доходности портфеля. Очевидно, опасность таких флуктуаций исходит от тех ценных бумаг, у которых в момент времени / наблюдается падение доходности. Риск для портфеля от /-Й ценной бумаги, характеризующейся снижением доходности ДЯ„, опреде-

ляется выражением х,|ДДй|. Средний риск для портфеля за весь интервал выборки составит 1 *

г = — где IV,- множество тех /, для

Т Ы]

которых ДЯ„ < 0.

В конечном итоге получается следующая оптимизационная задача: 1 ы

г = -£]Гх,|ДЛй|=>1шп, I /=1 <е»Г, '

N __N

=л ,=1, ф

х, £ 0, / = 1.....N.

В основе классической модели Марковица лежит гипотеза о том, что доходности по финансовым активам подчиняются нормальному закону распределения. На реальных рынках ценных бумаг это не всегда выполняется. В связи с этим в [4] авторы предлагают использовать устойчивые законы [5], которые, возможно, лучше соответствуют реальным данным. При таком подходе мерой риска служит не дисперсия* а параметр масштабу или любая строго возрастающая функция от этого параметра [4]. При формировании портфеля из N активов можно использовать следующую функцию риска: г = 1 т "

нения от среднего для дохода по /-му активу.

Сформулируем задачу оптимизации портфеля:

, где А« есть 1-е наблюдение откло-

ЫI

тш

1 г

» /=1 N __N

= ^ 'Xх/ =^

Приведенные выше подходы к оптимизации портфеля основаны на использовании различных мер риска и требуют решения задач нелинейного программирования. Эти подходы требуют оценки большого числа параметров. Чтобы упростить практическое использование модели, в [б] задача оптимизации портфеля формулируется в виде следующей задачи линейного программирования:

шахшт У\х,Яи

N N

- тт £ 0, / = 1.....Т,

1=1

3. Численная реализация и сравнительный анализ стратегий формирования оптимального портфеля

В нашей работе были проведены численные расчеты и сравнительный анализ стратегий формирования оптимального портфеля ценных бумаг с использованием модели Марковица, моделей, использующих альтернативные меры риска («средний квадрат приращений» и «средние потери»), устойчивой модели и модели линей-

ной аппроксимации. Численная реализация проводилась на основе исторических данных, включающих динамику курсов акций восьми российских эмитентов: РАО «ЕЭС России», ОАО «НК ЛУКОЙЛ», ОАО «Сургутнефтегаз», ОАО «Мосэнерго», РАО «Ростелеком», РАО «Норильский Никель», ОАО «Иркутскэнерго», ОАО «Мегион-нефтегаз» по итогам торгов в Российской Торговой Системе (РТС) за период с 1 января 1996 по 1 апреля 1998 г. Цены акций брались в долларах США.

При использовании реальных котировок стоимости акций рассчитывались недельные доходности для каждой ценной бумаги. Расчет производился

следующим образом: Яи = ————, где Си -

Си

цена закрытия торгов /-й ценной бумаги на момент времени /; С, <+| - цена закрытия торгов 1-й ценной

бумаги на момент времени (/+1).

На основе прошлых доходностей производилось оценивание параметров моделей оптимизации портфеля. Количество значений доходностей для оценивания параметров моделей было принято равным 26 (брались данные за недель). Йосле оценивания параметров моделей вычислялись весовые коэффициенты оптимальных портфелей. В качестве желаемой доходности портфелей Л* бралась средняя доходность индекса РТС за тот же период. В соответствии с полученными весами формировались портфели на последующий период владения. Период владения был принят равным одной неделе. По истечении недели подсчтывапась реальная доходность от сформированных портфелей. Данная процедура расчета проводилась для каждой недели, начиная с 12 июля 1996 и заканчивая 27 марта 1998 г. В табл. 1 представлены полученные результаты.

Колонка «Дата» содержит моменты времени, в которые формировались портфели. Колонки 1-8 представляют веса акций в портфеле. Акции расположены в приведенной выше последовательности. Колонка 9 содержит значения целевых функций соответствующих моделей. В колонке 10 представлены значения реальных доходностей сформированных портфелей за период владения (неделю). Нужно заметить, что сформированные в соответствии с описанными стратегиями портфели могут приносить как прибыль, так и убытки.

Как упоминалось выше, расчеты значений доходностей были проведены с 12.07.1996 по 27.03. 1998 г. На этом временном промежутке было получено 87 значений. На основании этих результатов был проведен сравнительный анализ средних доходностей каждой модели. Помимо средних доходностей были вычислены стандартные ошибки и доверительные интервалы для среднего (уровень значимости а брался равным 0,05). Результаты представлены в табл. 2.

Из табл. 2 видно, что наибольшее значение средней доходности получилось у модели «средние потери», наименьшее - у модели линейной аппроксимации, модель «среднее - дисперсия» дает промежуточные значения средней доходности по сравнению со всеми рассмотренными альтернативными подходами.

Таблица!

Таблица2

Дата 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,... 0,... о,... о,--- %

Модель Марковица

11.04.97 319 332 000 000 083 097 007 163 052 -1,70

18.04.97 285 405 000 000 073 090 000 148 052 -4,80

25.04.97 274 536 000 000 041 014 000 135 053 2,70

Средний квадрат приращений

11.04.97 254 000 000 000 185 145 032 384 061 -2,80

18.04.97 199 049 000 000 181 139 020 411 059 -4,20

25.04.97 151 187 032 000 189 000 027 414 058 5,00

Средние потери

11.04.97 000 000 000 000 000 005 000 995 034 -4,30

18.04.97 000 000 000 000 000 033 000 967 037 -3,10

25.04.97 045 000 000 000 000 000 000 955 036 7,80

Устойчивая модель

11.04.97 336 000 000 000 091 262 128 182 039 -1,90

18.04.97 227 000 000 001 113 302 129 177 039 -3,40

25.04.97 225 084 000 108 131 166 167 119 040 4,30

Линейная аппроксимация

11.04.97 123 366 209 054 116 000 000 132 -029 -1,40

18.04.97 122 385 198 036 119 001 068 071 -030 -3,30

25.04.97 082 232 202 006 237 000 117 124 -034 5,00

Среднее -дисперсия Средний квадрат приращений Средние потери Устойчивая модель Линейная аппроксимация

Среднее 0,0135 0,0128 0,0165 0,0155 0,0115

Стандартное , .отклонение , 0,0602 0,0652 0,0686 0,0616 0,0633

Доверительный интервал для среднего

Максимум 0,1621 0,1679 0,1711 0,1499 0,1465

Минимум -0,1205 -0,1347 -0,1782 -0,1207 -0,1663

Полученные результаты позволяют сделать следующие заключения. Модель «средние потери» имеет наибольшую среднюю доходность, но дает наибольшее стандартное отклонение, т.е. разброс получившихся до-ходностей у этой модели наибольший. Еще один недостаток этого подхода - отсутствие диверсификации портфеля, что говорит о большом риске в рамках пассивной стратегии. Портфель формировался в основном из одной-двух акций. Устойчивая модель в данной работе показала наилучшие результаты по сравнению с классическим подходом, из рассмотренных альтернатив - разброс доходностей меньше (см. в табл. 2 значения максимума и минимума) и большая диверсификация портфеля, четыре-шесть акций. Это говорит о том, что устойчивые распределения адекватнее описывают использованные исторические данные, чем нормальное. Модель «средний квадрат приращений» не проявила положительных качеств, которые на нее возлагались (возможно, для тех данных, которые использовались). Средняя доходность меньше, чем у модели Марковица, высокий разброс значений. Модель линейной аппроксимации наименее эффективна, однако ее практическая реализация намного проще остальных моде-

лей, так как не требует оценки множества параметров. Портфели последних трех моделей формировались в основном из трех-пяти акций.

Заключение

В данной работе рассмотрена проблема формирования структуры портфеля ценных бумаг. Были произведены численные расчеты на основе реальных данных и сравнительный анализ стратегии Марковица и четырех альтернативных стратегий формирования портфелей. Результаты сравнительного анализа показали, что модель, использующая устойчивый закон распределения, позволяет сформировать портфель, имеющий большую эффективность по сравнению с классической моделью Марковица. Модель «средние потери», продемонстрировала наибольшую среднюю доходность, но при большом риске. Возможно, что данный подход может использоваться для активных, спекулятивных стратегий, чем для пассивной. Модель «средний квадрат приращений» и модель линейной аппроксимации, показали эффективность не выше классической модели Марковица.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шарп У., Александер Г., БейлиДж. Инвестиции. М.: ИНФРА-М, 1997.

2. Первозванский A.A., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: ИНФРА-М, 1994.

3. Лукашин Ю.П. Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг // Экономика и математические методы. 1995. Т. 31. Вып. 1. С. 138—150.

4. Гамровски Б., Рачев С. Финансовые модели, использующие устойчивые законы // Обозрение прикладной и промышленной матема-

тики. 1995. Т. 2. Вып. 4. С. 556-604.

5. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложений. Т.2. М.: Мир, 1984.

6. Martin R Young. A Minimax portfolio selection rule with linear programming solution // Management science. 1998. Vol. 44. № 5. P. 673-683.

Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 1 февраля 2000 г.

УДК 519.95

В. В. Домбровский, Е.В. Чаусова

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СЕЗОННОМ СПРОСЕ И НЕНАДЕЖНЫХ ПОСТАВЩИКАХ

На примере торговой деятельности посреднической фирмы строится модель управления запасами и осуществляется поиск оптимальной стратегии поведения, гарантирующей фирме получение наибольшей прибыли при заданном уровне обслуживания, учитывая все особенности ее потребителей, поставщиков и рынка, на котором она работает. Рассматриваемая система управления запасами является стохастической системой с периодическим контролем уровня запасов, случайным нестационарным спросом и поставками, распределение которых зависит от величины поданного заказа • соответствующий источник пополнения запаса. В работе представлены результаты численного исследования предложенной авторами модели. Показано, что найденная на базе построенной модели оптимальная стратегия управления запасами является более эффективной по сравнению с существующей на фирме.

Введение

Проблема управления запасами является одной из наиболее важных в организационном управлении. Но, как правило, не существует типовых решений - условия на каждом предприятии или фирме уникальны и включают множество ограничений и различных особенностей. С этим связаны и проблемы, возникающие при разработке математической модели и определении оптимальной стратегии управления запасами. В данной работе на примере фирмы, которая занимается завозами каменного угля в районы Томской области, строится модель управления запасами угля и осуществляется поиск оптимальной стратегии поведения, гарантирующей фирме получение наибольшей прибыли, учитывая все особенности ее потребителей, поставщиков и рынка, на котором она работает.

В разд. 1 исследуется структура формирования запасов рассматриваемой фирмы, что позволяет установить характер данной системы управления запасами.

В разд. 2 приводится общая схема построения оптимизационной модели для нахождения оптимальной стратегии управления запасами с точки зрения получения минимума общих ожидаемых затрат за весь период планирования запасов и достижения желаемого уровня обслуживания потребителей. При этом учитывается существующий ряд ограничений на объемы оформляемых заказов, которые связаны с возможностями и надежностью поставщиков, спецификой транспортировки груза, пропускной способностью речного порта и объемом площадки, арендуемой у речного порта, для хранения угля.

В разд. 3 проводится анализ решения, полученного посредством модели, описанной в разд. 2. Исследуя построенные оптимальные стратегии управления запасами для различных уровней запаса на начало периода планирования, удается выявить ряд закономерностей относительно полученного в результате текущего уровня запасов на складе и сопряженного с ним уровня обслуживания потребителей.

1. Структура формирования запасов на фирме

Фирма должна разработать календарную программу формирования запасов угля на предстоящий период планирования. В качестве критерия оптимальности управления, т.е. выбора размера заказа, используются полные ожидаемые издержки в течение всего периода планиро-

вания. Перечислим особенности структуры управления запасами на фирме.

1. Фирма осуществляет периодический контроль за уровнем запасов и ежемесячно пополняет свои запасы, оформляя заявку на поставку угля, размер которой зависит от уровня запасов на начало текущего месяца, предполагаемой величины суммарного спроса до конца периода планирования и ожидаемой величины поставки.

2. Величина реального спроса становится известной только после оформления заказа на поставку угля. Этот спрос по возможности удовлетворяется за счет созданных запасов, при дефиците неудовлетворенный спрос откладывается и удовлетворяется за счет последующих поставок.

3. Фирма имеет несколько постоянных источников пополнения запасов. При планировании заказов по предприятиям-поставщикам необходимо учитывать реальные возможности и надежность каждого поставщика. Руководствуясь накопленным опытом, желательно делать заказ больше, чем предположительно требуется угля на самом деле, так как велика вероятность того, что кто-нибудь из поставщиков сорвет сделку. К тому же всегда может появиться «неожиданный клиент», который не сделал запасов угля на зиму.

4. Поставки по каждому заказу, независимо от предприятия-поставщика, осуществляются в течение месяца по предварительной договоренности о сроках поставки с каждым поставщиком.

5. Стоимость одной тонны угля не зависит от предприятия-поставщика и включает в себя транспортные расходы, связанные с перевозкой груза по железной дороге. Стоимость одного вагона угля рассчитывается из предположения его полной загрузки, т.е. фирме невыгодно оформлять заказ на неполный вагон, так как это автоматически увеличивает стоимость единицы угля.

6. Делая заказ на поставку угля, фирма должна учитывать пропускную способность железной доро-