О модели рассеяния звука цилиндрическим телом с полостями на основе метода конечных элементов

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 69-83 Механика

УДК 539.3

О модели рассеяния звука цилиндрическим телом с полостями на основе метода конечных элементов *

В. И. Иванов, С. А. Скобельцын

Аннотация. Предлагается решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны некруговым упругим цилиндром с полостями на основе метода конечных элементов (МКЭ). В области жидкости, прилегающей к цилиндру, выделяется часть с внешней поверхностью, имеющей форму кругового цилиндра. В этой части жидкости, а также внутри упругого цилиндра решение ищется численно с помощью МКЭ. Во внешней области жидкости решение представляется в аналитической форме в виде рядов по цилиндрическим волновым функциям. Представлены результаты численных исследований модели в некоторых частных случаях.

Ключевые слова: рассеяние звука, гармоническая плоская волна, упругое препятствие, некруговой цилиндр с полостями, метод конечных элементов.

Аналитическое решение задачи о рассеянии звука упругим цилиндрическим препятствием получено только для цилиндров с круговым или эллиптическим сечением [1-6]. То же касается и решений для цилиндрических тел с полостями (оболочек). При этом полости, как правило, предполагаются коаксиальными и имеющими ту же форму, что и сам цилиндр [7-9]. В некоторых частных случаях возможны аналитические решения задачи о рассеянии звука и для цилиндров, имеющих сечение отличное от кругового или эллиптического. При этом используются специальные методы. Например, в [10] с помощью метода малого параметра решается задача о рассеянии звука упругим эллиптическим цилиндром с использованием волновых функций кругового цилиндра. А в работе [11] для решения задачи дифракции звука цилиндром с некруговым сечением используется метод конформного отображения.

Однако, в общем случае задача о рассеянии звука упругим цилиндром с неэллиптическим сечением и произвольно расположенными и имеющими

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-97509-р-центр-

а).

различную форму полостями может быть решена только численно. Например, в работах [12, 13] используется так называемый метод Т-матриц, а в работе [14] — метод граничных интегральных уравнений.

Значительные перспективы в решении такого рода задач открывает метод конечных элементов, который уже много лет с успехом используется в решении различных практических задач гидродинамики и теории упругости [15, 16]. В работах [17, 18] предложен подход к решению задач о рассеянии упругих волн с использованием МКЭ. В работе [19] представлено решение задачи о рассеянии звуковых волн упругим некруговым цилиндром (в общем случае с неоднородным и анизотропным материалом) с использованием этого подхода. Здесь рассматривается применение указанного подхода к решению задачи о рассеянии звука некруговым упругим цилиндром с полостями.

Физическая постановка рассматриваемой задачи состоит в следующем: на однородный изотропный упругий цилиндр, содержащий несколько полостей и помещенный в идеальную жидкость, по нормали к образующей цилиндра падает плоская гармоническая звуковая волна (см. рис. 1); в результате взаимодействия с препятствием волна искажается; требуется определить акустическое поле в содержащей жидкости вдали от препятствия. В качестве дополнительных задач могут рассматриваться задачи определения характеристик волновых полей в жидкости у поверхности цилиндра и в самом цилиндре.

Окружающая среда Препятствие

^0 5 Ро /

Полости

Рис. 1. Геометрия задачи

Заметим, что на рисунке упругий цилиндр (препятствие) представлен нормальным сечением. Символами ро и со обозначены плотность и скорость звука в содержащей жидкости, а р, А и 1 — плотность и модули упругости

Ламе материала препятствия соответственно. Формы поверхностей препятствия и полости достаточно произвольны. Для определенности будем полагать их гладкими.

Задачу будем решать в рамках гидродинамики идеальной жидкости и линейной теории упругости.

Будем считать, что потенциал смещений частиц жидкости в падающей волне имеет вид

Фр = exp [i

где амплитуда потенциала без ограничений общности полагается равной единице, r — радиус-вектор; u — круговая частота; t — время; k0 — волновой вектор, определяющий направление распространения падающей волны такой, что |ko| = k0 = u/c0 — волновое число в содержащей жидкости.

С учетом выбранного направления распространения волны и свойств материала цилиндра движение частиц жидкости и препятствия будет являться плоским (не будет перемещений в направлении образующей цилиндра). Поэтому для решения задачи может быть введена плоская прямоугольная декартова система координат (x, у) так, чтобы ее оси находились в плоскости нормального сечения цилиндра. Будем полагать, что начало координат O находится в области сечения препятствия. Выберем направление оси Ox так, чтобы оно совпадало с направлением волнового вектора падающей волны. Тогда (1) примет вид

Фр = exp [i

Таким образом, смещение частиц в падающей волне будет представляться выражением

Up = gradФp = ik0 exp [i

где ix — координатный вектор координаты x.

Поскольку падающая волна является гармонической, то в установившейся фазе колебаний такие характеристики движения как потенциалы, смещения, скорости, давления, компоненты тензоров напряжений и деформаций будут иметь зависимость от времени вида exp(—iut) — как и в падающей волне. Поэтому далее в большинстве случаев для функций, зависящих и от координат и от времени, зависимость от времени exp (—iut) будем опускать.

Обозначим через Q0 бесконечную область содержащей среды, через Q — область упругого материала в сечении цилиндра, а через Qi, , ..., —

области отдельных полостей в сечении цилиндра. Внешнюю границу сечения (области Q) обозначим Г, а границы полостей — Гі, Г2, ..., Гт.

В соответствии с теорией распространения малых звуковых колебанй в жидкости [20] потенциал смещений в акустическом поле Ф0 должен удовлетворять в области Q0 уравнению Гельмгольца

ДФ0 + ^Ф0 = 0,

где Фо = Фр + Фз — потенциал смещений в суммарном акустическом поле, Фз — потенциал смещений в рассеянной волне.

При этом смещение частиц акустической среды в суммарном звуковом поле будет определяться выражением

и = gradФ0 = grad (Фр + Фз).

Упругие колебания внутри цилиндра (в области О) можно описывать потенциалами Ф, Ф продольных и поперечных упругих волн соответственно,

которые должны удовлетворять волновым уравнениям [21]:

ДФ + к2Ф = 0,

ДФ + к2Ф = 0,

где к = и

Р

-, к = и

волновые числа продольных и поперечных

\ + 2ц,'

волн. При этом смещение частиц в упругом материале и определяется

выражением _ _

и = gradФ + го1Ф.

На поверхности Г должны выполняться условия равенства нормальных смещений и напряжений в акустической среде Оо и упругом материале О :

ип \ г — ип, апп | г — p, апт | г — 0

где величины слева записаны для упругой среды, а справа — для жидкости;

Здесь ип , ип — нормальные составляющие векторов смещения в упругой среде и в содержащей жидкости; р — акустическое давление в жидкости; апп, апт — нормальное и касательные составляющие вектора напряжений в упругом материале цилиндра на поверхности Г (апп = (п  а)  п; апт = = (п  а)  т; п, т — единичные векторы, направленные по внешней нормали и касательной к границе Г, соответственно).

На поверхностях полостей О^ должны выполняться условия равенства нулю напряжений:

&пп\г. = 0, апт\г. =0 (2 = 1, 2,..., т).

Кроме того, для потенциала смещений в рассеянной волне должны выполняться условия излучения на бесконечности [20]

Нш Фз = О ( —^

/Г

Нш

дФз , т

г ( —---------гкоФ.

дг

= О

где г — длина радиус-вектора Г.

Заметим, что, используя представления (5), (8), связь акустического давления р и потенциала смещения

р = рои2 (Фр + Ф3) ,

/'—»•ОО

а также справедливость закона Гука для изотропной упругой среды в О

а^к = Л divU д^к + 2^в^к,

где а^к — компоненты тензора напряжений; д^к — компоненты метрического тензора; е^к - компоненты тензора малых деформаций, которые выражаются через компоненты вектора смещения и соотношением

езк ^

(здесь запятая обозначает ковариантную производную), все величины, входящие в граничные условия (9), (10), можно выразить через потенциалы Фр, Фз, Ф и Ф.

Таким образом, в математической постановке задача состоит в нахождении решений уравнений (4), (6), (7), удовлетворяющих условиям

(9), (10), (11).

Поскольку формы поверхности упругого цилиндра и полостей предполагаются произвольными, то решение уравнений движения внутри упругого препятствия предлагается проводить численно — с помощью МКЭ [15, 16] — так, что вектор смещения в области О представляется в виде

к

и = Е йк ¡к

к=1

где ¡к (г) — координатные функции конечно-элементной модели; а и к — узловые значения вектора смещений (8); К — число узлов сетки конечных элементов.

Согласно общей технологии МКЭ узловые значения и к должны определяться из системы линейных алгебраических уравнений, полученных по совокупности уравнений движения и граничных условий (9), (10) для области О. Но ситуация осложняется тем, что в граничные условия (9) входит неизвестная функция Фз, которая должна определяться в неограниченной области содержащей среды Оо. И поэтому система линейных алгебраических уравнений для определения и к оказывается незамкнутой.

Для преодоления этой проблемы воспользуемся подходом, предложенным в работах [17, 18]. В соответствии с ним в прилегающей к поверхности упругого тела-препятствия области жидкости выделим слой Оо так, чтобы его внешняя поверхность Го была цилиндрической (см. рис. 2) с радиусом К.

т

Тогда совокупность областей Оо, О и полостей У О3- можно

3=1

рассматривать как некоторое неоднородное цилиндрическое препятствие для падающей волны (2). На этом рисунке и далее символом Оо обозначается область содержащей жидкости, внешняя по отношению к поверхности Го.

Область окружающей среды, прилегающая к препятствию

Рис. 2. Модифицированная геометрия задачи

Решение уравнений движения во всей области неоднородного препятствия будем выполнять с помощью МКЭ так, что потенциал смещений совокупного звукового поля в слое О'о удовлетворяющий уравнению

ДФ1 + $ Ф1 = 0,

будем искать в виде, аналогичном

к

(Г) = (Г)’

к=1

где Фк — узловые значения потенциала смещений в приповерхностном слое жидкости, а /к (г) — как ив (12), координатные функции конечно-элементной модели, но теперь уже в области ^0. Заметим, на рис. 2 заштрихована вся область геометрии задачи — ^0 и ^, в которой предполагается использовать конечно-элементную модель.

На границе неоднородного цилиндрического препятствия Го, как на границе двух идеальных жидкостей, должны выполняться условия совпадения давлений и нормальных смещений (скоростей), которые с учетом выражения через потенциалы могут быть записаны в виде:

Ф

1 ІГо

д Фі дп

Го

= Фр + Ф,,

_ д

дп

где п — направление внешней нормали к границе Го.

Заметим, что при конечно-элементной формулировке задачи для упругой среды в области О в качестве уравнений движения обычно рассматривают уравнения движения в напряжениях, которые при гармонических

колебаниях частиц среды в декартовой системе координат в двумерном

случае при отсутствии массовых сил принимают вид:

^ ^ = -ри2их, ^ ^ = -ри2иу.

дх ду дх ду

Таким образом, в измененном виде математическую постановку задачи можно сформулировать следующим образом:

Найти решения уравнений (4), (13), (17), удовлетворяющие условиям (15), (16), (9), (10), (11). При этом в условиях (9) вместо суммы потенциалов Фр + + Ф* следует использовать потенциал Фь

Заметим, что такая формулировка задачи еще не делает автоматически конечно-элементную модель в области оо и О замкнутой. По-прежнему в граничных условиях фигурирует потенциал Ф*, который требуется определять в неограниченной области Оо.

Для исключения потенциала Ф* из граничных условий для уравнений движения в области Оо и О используем (15) — первое из граничных условий на Го.

Введем цилиндрическую систему координат (г, ф, г), ось Ог которой совпадает с осью цилиндрической поверхности Го.

Тогда, решая методом разделения переменных [22] уравнение (4) в этой системе координат с учетом выполнения условий (11), потенциал смещений в рассеянной волне можем представить в виде

ш=—оо

где Ит(х) — функция Ханкеля первого рода порядка т; Лт — неизвестные коэффициенты, подлежащие определению из граничных условий.

Разложим также по волновым функциям потенциал смещений в падающей плоской волне

ГО

Фр = ^2 Чт^

т=—го

где Тт = Vй.

Подставляя выражения (18), (19), (14) в уравнение (15), получим К'

'кjк\' ) — / у \!т^т\

Г=Й т=—го

Х]Фк 1'к

к=1

]Т ЫЫкоЕ) + ЛтИт

где К1 — число узлов сетки конечных элементов на Го.

Заметим, соотношение (20) должно выполняться при всех ф (0 ^ ф < 2п). Используя ортогональность функций егтр, из (20) для каждого значения т получим

где /к, егтр) — скалярное произведение координатной функции ¡к(г) и функции егтр на поверхности Го.

Упрощенно соотношение (21) можно записать в виде

К'

где ат , Ьт — известные величины, которые легко определить по виду (21).

Подставляя коэффициенты Лт из (22) в ряд (18), а ряд (18), в свою очередь, в (16) — второе граничное условие на Го, получим краевую задачу, содержащую только неизвестные из области Оо и О.

Действительно, теперь в области Оо и О необходимо решать систему дифференциальных уравнений в частных производных (13), (17) при граничных условиях (9), (10), (16), с учетом представлений (12), (14).

В соответствии с технологией МКЭ в качестве неизвестных выступают узловые значения искомых величин: Фк — потенциала смещений звукового поля в слое Оо и и к — вектора смещений упругой среды в области О.

Решая полученную краевую задачу методом конечных элементов, найдем Фк и и к . Подставляя значения Фк в узлах поверхности Го в соотношения (22), найдем коэффициенты Лт в разложении (18) потенциала рассеянной волны Ф* вдали от рассеивателя. Используя (18), можно исследовать дальнюю зону рассеянного звукового поля.

Разработанная модель решения задачи о рассеянии звука в общем случае некругового упругого цилиндра с несколькими полостями была использована для численных исследований рассеяния плоской звуковой волны упругим цилиндром с сечением, представленном на рис. 3.

Как видно, сечение имеет форму квадрата с сильно сглаженными углами. Предполагается, что в цилиндре находятся две одинаковых по форме полости с эллиптическим сечением, в котором отношение меньшей полуоси к большей равно 1/3.

В качестве инструментального средства реализации МКЭ использовался математический пакет РЕМЬЛБ 2.3 [24].

Рассматривалось рассеяние звука в воде (ро = 1000 кг/м3, со = 1485 м/с) упругим цилиндром, материал которого имеет плотность р = 2700 кг/м3 и модули упругости Ламе: Л = 5.3 • 101С1 Н/м2, ц = 2.6 • 101С1 Н/м2.

Анализ рассеянного звукового поля в дальней зоне проводится по нормированному значению потенциала смещения Ф* отраженных волн в

Л

Лт

к=1

соответствии с выражением

лДо

ГО

Е

ш=—оо

(-г)тАтвітр

Зависимость ^(ф) при изменении ф от 0 до 2п показывает распределение амплитуды отраженной волны в зависимости от угла наблюдения ф.

2

Рис. 4. Схема построения сетки конечных элементов

На рис. 4 показана примерная схема построения сетки двумерных конечных элементов для решения задачи с исследуемой формой сечения цилиндра. Там же проиллюстрирован порядок введения системы координат и смысл параметра р0 — угла, определяющего направление распространения падающей волны. Угол ро — угол между направлением распространения исходной плоской волны (волновым вектором к) и осью Ох, которая направлена по оси симметрии сечения упругого цилиндра вдоль больших полуосей полостей.

На рис. 5-9 представлены диаграммы направленности рассеянного поля для частоты падающей волны, соответствующей значению коа = 3, где параметр а представляет собой радиус круга, имеющего такую площадь, что и нормальное сечение исследуемого упругого цилиндра.

На графиках сплошной линией изображена диаграмма для случая цилиндра с полостями, а штрихпунктирной линией для сравнения показана диаграмма для цилиндра с такой же формой сечения, что показана на рис. 3, но — без полостей. Графики строятся на основе предположения, что волна распространяется по горизонтали, а сечение цилиндров поворачивается. Ориентация сечения цилиндра и полостей в нем по отношению к направлению распространения волны иллюстрируется условным изображением сечения цилиндра, представленным тонкой линией в центре рисунка.

На рис. 5 показаны диаграммы для случая, когда падающая волна распространяется вдоль оси симметрии сечения цилиндра и больших полуосей полостей. Уже здесь очевидно существенное различие диаграмм для цилиндров с полостями и без. Для цилиндра с полостями наблюдается значительное увеличение лепестков диаграммы как в прямом (р = 0°), так и в обратном (р = 180°) направлениях. Кроме того, для такого цилиндра наблюдаются существенные боковые лепестки для р = 90°, 270°.

Графики на рис. 6, 7 показывают нарушение симметрии диаграммы при наклонном падении волны. Заметим, что для цилиндра без полостей при ро = 45° симметрия диаграммы восстанавливается потому, что в этом случае наблюдается геометрическая симметрия в соотношении направления распространения падающей волны и расположения сечения цилиндра.

¥ I1 р 1 ^ V /" ^ V. / Ф =п/2 ^ ф =0 \ |

Уу ^// ч. , _ . У Рис. 9. Диаграмма на

Оба графика на рис. 8 — при ро = 90° — восстанавливают симметрию, так как взаимная конфигурация направления распространения падающей волны и сечения обоих цилиндров снова принимает геометрически симметричную форму. Однако, как видно, если для цилиндра без полостей диаграмма имеет такой же вид, что и при ро = 0°, то для цилиндра с полостями форма диаграммы радикально отличается от формы при ро = 0°

Графики на рис. 9, построенные для случая, когда линейные размеры полостей в первом цилиндре уменьшены в 3 раза, показывают сближение диаграмм для двух типов цилиндров.

Таким образом, расчеты показывают, что наличие полостей в упругом цилиндре существенно изменяет характер рассеяния звука. Также исследования показали, что предложенный подход к решению задач дифракции звука может быть успешно применен для изучения влияния сложной геометрии сечения цилиндра-препятствия на свойства рассеянного акустического поля.

Список литературы

1. Dickey J.W., Uberall H. Surface wave resonances in sound scattering from elastic cylinders // J. Acoust. Soc. Am. 1978. V.63, №2. P.319-320.

2. Flax L, Varadan V.K., Varadan V.V. Scattering of an obliquely incident acoustic wave by an infinite cylinder // J. Acoust. Soc. Am. 1980. V.68, №4. P.1832-1835.

3. Tsui C.Y., Reid G.N., Gaunaurd G.C. Resonance scattering by elastic cylinders and their experimental verification // J. Acoust. Soc. Am. 1986. V.80, №2. P.382-390.

4. Родионова Г.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн упругим эллиптическим цилиндром, помещенным в вязкую жидкость. Деп. в ВИНИТИ, 1988. № 8296-В88. 15 с.

5. Li T, Ueda M. Sound scattering of a plane wave obliquely incident on a cylinder // J. Acoust. Soc. Am. 1989. V.86, №6. P.2363-2368.

6. Honarvar F, Sinclair A.N. Acoustic wave scattering from transversely isotropic cylinders // J. Acoust. Soc. Am. 1996. V.100, №1. P.57-63.

7. Doolittle R.D., UJberatt H. Sound scattering by elastic cylindrical shells // J. Acoust. Soc. Am. 1966. V.39, №2. P.272-275.

8. Simon M.M., Radlinski R.P. Elastic wave scattering from elliptical shells // J. Acoust. Soc. Am. 1982. V.71, №2. P.273-281.

9. Veksler N.D. Sound wave scattering by circular cylindrical shells // Wave Motion. 1986. V.8, №6. P.525-536.

10. Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом эллиптическом цилиндре в вязкой среде // Прикладные задачи механики и газодинамики. Тула: ТулГУ, 1997. С.167-172.

11. DiPerna D.T., Stanton T.K. Sound scattering by cylinders of noncircular cross section: A conformal mapping approach // J. Acoust. Soc. Am. 1994. V.96, №5. P.3064-3079.

12. Pillai T.A.K., Varadan V.V., Varadan V.K. Sound scattering by rigid and elastic infinite elliptical cylinders in water // J. Acoust. Soc. Amer. 1982. V.72, №3. P.1032-1037.

13. Flax L, Green L.H., Werby M, Varadan V.K., Varadan V.V. T-matrix analysis of sound scattering from finite elastic cylindrical shells // J. Acoust. Soc. Am. 1982. V.71, №S1. P.S67.

14. Авдееев И.С. Применение метода граничных элементов в решении задач о рассеянии звуковых волн упругим цилиндром неканонической формы // Акустический журнал. 2010. Т.56, №3. С.341-348.

15. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. 428 с.

16. Полежаев В.И., Простомолотов А.И., Федосеев А.И. Метод конечных элементов в механике вязкой жидкости // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Сер. Механика жидкости и газа. 1987. Т.21. С.3-92.

17. Скобельцын С.А. Подход к решению задач о рассеянии упругих волн с использованием МКЭ // Современные проблемы математики механики, информатики: тез. докл. Междун. научн. конф. Тула: ТулГУ, 2004. С.135-136.

18. Скобельцын С.А., Королев А.Н. Особенности конечно-элементной формулировки задач о рассеянии звука // Современные проблемы математики механики, информатики: матер. Междун. научн. конф. Тула: ТулГУ, 2007. С.205-207.

19. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Моделирование решений задач акустики с использованием МКЭ // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2008. Вып.2. С.132-145.

20. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.

21. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

22. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 712 с.

23. Скучик Е. Основы акустики. Т.2. М.: Мир, 1976. 542 с.

24. FEMLAB Reference Manual (Ver. 2.3). Stockholm: COMSOL AB, 2002. 876 с.

Иванов Валерий Иванович (ivaleryi@mail.ru), д.ф.м.-н., профессор, зав. кафедрой, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Скобельцын Сергей Алексеевич (skbl@rambler.ru), к.ф.м.-н., доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

On a model of sound scattering cylindrical body with cavities based on the finite element method

V. I. Ivanov, S. A. Skobeltsyn

Abstract. Offer a solution to the problem of scattering of a plane sound wave noncircular elastic cylinder with cavities based on the finite element method. In the field of fluid adjacent to the cylinder, select the portion of the outer surface having the shape of a circular cylinder. In this part of the fluid, as well as within the elastic cylinder solution is found numerically using the finite element method. In the outer region of fluid solution is represented in an analytical form as a series of cylindrical wave functions. The results of numerical studies of the model in some special cases.

Keywords: scattering of sound, harmonic plane wave, elastic obstacle, noncircular cylinder with cavities, finite element method.

Ivanov Valeriy (ivaleryi@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Skobeltsyn Sergey (skbl@rambler.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 09.10.2012