Математическое моделирование травмы позвоночника

УДК 519.6: 616.832-02

С. В. Орлов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАВМЫ ПОЗВОНОЧНИКА

Изучению повреждений позвоночника посвящено большое количество научных трудов фундаментальной и прикладной науки. Особую роль в исследовании этой патологии играют методы математического моделирования, так как позволяют прогнозировать развитие неблагоприятных деформаций позвоночника и оптимизировать методы устранения этих повреждений. С использованием математической модели трехпозвонкового комплекса разработан алгоритм хирургического лечения некоторых типичных повреждений позвоночника.

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2011. Вып. 10. С. 47-55.

48

A plenty of proceedings of various disciplines fundamental and applied science is devoted to studying of vertebral damage. The special role in studying this pathology is played with methods of mathematical modelling since allow to predict development of adverse deformations of a backbone and to optimize methods of elimination of these damages. Using mathematical model three-vertebra a complex the algorithm of surgical treatment of typical spinal damages is developed.

Ключевые слова: математическое моделирование, переломы позвоночника, численные методы, биомеханика.

Key words: mathematical modelling, fractures of spinal column, numerical methods, biomechanics.

В основу разработанной математической модели стабильности трехпозвонкового комплекса положено математическое описание динамических процессов дифференциальными уравнениями Лагранжа 2-го рода. Это описание составлено на основе расчетной схемы комплекса из трех позвонков, представленных как дискретные сосредоточенные массы, связанные вязкоупругими элементами и обладающие определенными: геометрическими параметрами. При этом механическая система является устойчивой и сбалансированной.

За основу был принят принцип стабильности позвоночного столба, изложенный Л. Рене (L. Rene) [2], где стабильность позвоночника представлена в вертикальной и горизонтальной плоскостях, что обеспечивается телами позвонков с дугоотростчатыми суставами, которые связаны между собой вязкоупругими демпфирующими элементами (межпозвоночные диски, мышечно-связочный аппарат). При этом механическая система является диссипативной, распределение нагрузок соответствует трехстолбовой концепции Ф. Денис (F. Denis) [3]; предел прочности тел позвонков и упругодемпфирующих элементов, а также их упругая деформация и плотность считались условно установленными по данным работы [4], а изменение геометрических характеристик тел позвонков соответствовало основным типам переломов позвонков [5; 6].

Расчетная схема фрагмента позвоночника человека, состоящая из трех позвонков с клиновидным средним позвонком и стабилизирующими конструкциями, представлена на рисунке 1.

На расчетной схеме (рис. 1) третий позвонок связывается посредством упругих элементов Сор-i и Сор2 с опорой по оси Х, а первый — по оси Y через Су. Для фиксации вариантов нестабильности позвоночника предусмотрено применение условных протезирующих конструкций с коэффициентами жесткости Сст1 и Сст2, что позволяет моделировать варианты фиксаторов позвонков.

Математическая модель позволяет на основе вычисления внутренних нагрузок опорных комплексов каждого позвонка трехпозвонкового комплекса рассчитывать варианты распределения нагрузок при типичных основных переломах позвонков по классификации по [6]. Кроме этого, возможен расчет смещения позвонков по оси Y под воздействием силы Q2y, что чаще всего является причиной стеноза позвоночного канала и может приводить к сдавливанию дуального мешка. Выбранная динамическая модель трехпозвонкового комплекса человека

(рис. 1) является механической системой, для которой уравнение Лагранжа 2-го рода имеет вид:

д , дТ. дП дФ . . .

-

т дхк дхк д хк

где Т, П — кинетическая и потенциальная энергия системы; Ф — диссипативная функция, определяемая спинными мышцами и связками; Ък — внешние воздействия.

Рис. 1. Механическая схема трехпозвонкового комплекса с патологией среднего позвонка и ее двухсторонней стабилизацией

Координаты Х. и Уц центра тяжести и момента инерции ] плоского позвонка определяются формулами:

£ X  Уг £X • * X у

х. = *4-; У. = *4-----------; ] = 2 *[ [

49

£ У

£ х,

где индекс , определяет число элементарных фигур, составляющих плоский позвоночник; у — удельная поверхностная масса позвонка, кг/мм2.

В качестве обобщенных координат принимаются следующие.

1. Смещения по оси Ох:

хг — смещение части переднего опорного комплекса первого позвонка; Х2 — смещение части заднего опорного комплекса первого позвонка; хз — смещение части переднего опорного комплекса второго позвонка; х4 — смещение части заднего опорного комплекса второго позвонка;

г = 1

г=1

50

х5 — смещение части переднего опорного комплекса третьего позвонка; х6 — смещение части заднего опорного комплекса третьего позвонка. 2. Смещения по оси Оу:

у1 — смещение части переднего опорного комплекса первого позвонка; у2 — смещение части заднего опорного комплекса первого позвонка; у3 — смещение части переднего опорного комплекса второго позвонка; у4 — смещение части заднего опорного комплекса второго позвонка; у5 — смещение части переднего опорного комплекса третьего позвонка; у6 — смещение части заднего опорного комплекса третьего позвонка. Для упрощения модели смежные смещения по оси Оу приняли: у1 = у2 — смещение первого позвонка; у3 = у4 — смещение второго позвонка; у5 = уб — смещение третьего позвонка.

Кроме того, смещения по оси Оу первого и третьего позвонков пренебрежительно малы ввиду приложения упругих опор: у1 = 0, у3 = 0.

При малых смещениях (бесконечно малых х) в силу эквивалентности 8т(х) и х получаем выражения для углов наклона тел системы:

х2 - х

-• *2

а =-

Б

а, =-

аз =-

В работе представлена уравнений 2-го порядка:

Б Б

система линейных дифференциальных

где

М =

Б =

С =

В1е1 0

0 В2

-В1е1 0

0 -В,

0 0

0 0

БВ1 0

С1е1 + Сет1

й2 X йХ _

М • , + Б • —+ С • X = О,

йї йї

ще1 щ10 0 0 0 0 0

щ10еі 1 щ2 0 0 0 0 0

0 0 щзез щ20 0 0 0

0 0 щ20е3 ш4 0 0 0

0 0 0 0 ш5 щз0 0

0 0 0 0 щ30 щ6 0

0 0 0 0 0 0 М1 со + +

- В1сз 0 Вст1 0

0 -В, 0 0

(В1 + В3)с2 + Вещ 0 - £ В - Сз 0

0

-Вещ - В3 0

0

—Сіеі 0

—Сет1

0

-5і

БВз

0

С2 + Сст2 0

С 0

—Сет 0

В2 + Вещ + В4 0

-Вещ - В4 0

0 0 0

0 -(Вещ, + В4) 0

Вор1 + Вещ 0 0

-С1с3

0

(С1 + Сз)сз 0

-Сз

0

5з

о=[0і о, 0 0 0 0 Оу ]т

0

-С,

0

С2 + С4 0 С4 0

, X = [Х

Сст1

0

-Сз

0

Сор1 + сеї1 + сз 0 0

0

Вор2 + Вещ 0

0

-Сст,

0

-с4

0

С4 + Сор2 +Сеї, 0

0

0

В

0

0

0

0

0

0

С,

1 Х,

Хз Х4 Х5 Х6

у Г

Умножая обе части векторного уравнения (3) на обратную матрицу М-1, получим следующее приведенное уравнение:

й-ХХ + М-1 • Б •—+М-1 • С • X = М-1 • О,

йї йї

или

+ W • —+ А •X = Б,

йї2 йї

где А = М-1С, Ш = М-1Б, Б = М-1О.

Для получения эпюр нагрузок Р1, Р, и Р3, Р4, а также упругих деформаций х1, х, и х3, х4 вдоль оси У для 1-го и ,-го позвонков использовалась линейная интерполяция и экстраполяция в соответствии со следующими формулами (для 1-го позвонка при его длине 80 мм):

Р1

где к Р - Р1 ; Ь = Р1 • У, - Р • ,1; К = ^ - * ; у = *1 • у, - • У1

1 У,- у/ 1 У,- У1 ' 1 У,- у/ 1 У,- У1 '

Эпюры нагрузок Рз, Р4 и упругих деформаций хз, х4 для ,-го позвонка рассчитываются по формулам, аналогичным формулам (6).

1. Приведем результаты численных расчетов грудного и поясничного отделов позвоночника без его повреждения (норма) (й, = 0).

Задавались следующие исходные данные (рис. 1): С1 = з,,6-10з н/мм, С, = 0,9,-10з н/мм, Сз = 0,46-10з н/мм, С4 = з,,6^10з н/мм, С5 = 0,9,40з н/мм, Сб = 0,46-10з н/мм, Су = 5-10з н/мм, Сор1 = Сор, = з,,640з н/мм, О = 400 кг (внешняя сила приложена к центру тяжести позвонка при у = ,1 мм), Р1 = 00, вз = 00 (деформация позвонка отсутствует), Сст1 = Сст, = 0 (стабилизирующие пластины слева и справа от позвонков отсутствуют — рис. 1), число временных слоев ] = 1000, а шаг интегрирования по времени х = 10^ с.

Для уточнения распределения нагрузок Р, действующих на центральный и правый столбы позвонков, рассмотрим рассчитанные временные зависимости нагрузок (без перенесения второго элемента жесткости С, в центр тяжести позвонка, при й, = ,6,5 мм), приведенные на рисунке ,.

Вычисляя отношения Р,, Р4, Р6 к Р1, Рз, Р5 соответственно, определяем, что нагрузки Р, действующие на первый и третий столбы позвонков в норме, соотносятся как 0,7 к 0,з, что соответствует реальной картины распределения нагрузок Р вдоль позвонков человека в грудном отделе.

,. Проведем моделирование повреждений типа А по классификации АО (разрушение первого столба) позвонка и варианты стабилизации. Для моделирования этого повреждения перенесем второй элемент жесткости С, в центр тяжести позвонка (й, = 0), а также условно разрушим первый столб второго позвонка (С1 = Сз = 0). Результаты расчетов нагрузок Р для 1-го, ,-го и з-го позвонков представлены на рисунке з.

51

Рис. ,. Рассчитанные временные зависимости нагрузок Р1г Рз, Р5, действующих на центральные столбы 1-го, ,-го и з-го позвонков, и Р,, Р4 и Р6 — на правые столбы, в кг/ см^ время в с

Как следует из рисунка з, нагрузку первые столбы 1-го и ,-го позвонков вообще не воспринимают, а загружаются правый и средней столбы позвоночника. Оптимальный вариантом лечения данного состояния является протезирование передней колонны металлической пластиной (Ссї1 = 104 н/мм, см. рис. 1), соединяющей 1-й и з-й позвонки (рис. 4).

Протезирование передней колонны дополним фиксацией задней. Распределение нагрузки на позвонки Р изображено на рисунке 5.

53

Рис. 3. Распределения нагрузок Р вдоль оси у, приложенных к 1-му, 2-му и 3-му позвонкам при = 400 кг и у = 21 мм, в кг/ см2

Рис. 4. Распределения нагрузок Р вдоль оси у, приложенных к 1-му, 2-му и 3-му позвонкам при Q = 400 кг и у = 21 мм, в кг/ см2, и стабилизирующей пластины при Сс^ = 104 н/мм

Рис. 5. Распределения нагрузок Р вдоль оси у, приложенных к 1-му, 2-му и 3-му позвонкам при Q = 400 кг и у = 21 мм, в кг/ см2, и стабилизирующих пластин при Сс^ = 104 н/ мм и СсЬ2 = 104 н/ мм

54

При уменьшении жесткости пластин начинает нагружаться первый столб позвонка при некоторой разгрузке левого столба позвонка. Таким образом, для сохранения распределения нагрузок, близких к физиологическим, на позвоночные столбы необходимо — при данных типах повреждения — оптимально подбирать физические параметры материала фиксаторов (жесткость, упругость и т. д.).

3. Моделирование повреждений типа В (разгибательные переломы) по классификации АО позвонка и варианты коррекции.

Моделирование данной ситуации достигалось условным разрушением 3-го столба, тогда С3 = 0 и С6 = 0 (рис. 6). Для устранения повреждений разгибательного типа применяют заднюю стабилизацию типа транспедикулярной фиксации (ТПФ). На рисунке 7 приведено распределение нагрузок Р при повреждении типа В после ТПФ.

Рис. 6. Распределения нагрузок Р, приложенных к 1-му, 2-му и 3-му позвонкам при Q = 400 кг и у = 21 мм при переломе типа В

Рис. 7. Распределение нагрузок Р при повреждении типа В после стабилизации перелома транспедикулярной системой

Отметим, что приведенные выше варианты коррекции биомеханических нарушений при переломах позвоночника сгибательного и разгибательного механизмов при применении известных методов стабилизации (передней, задней, циркулярной) значительно улучшают прочностные характеристики системы, но существенно отличаются от распределения нагрузок в физиологически нормальном позвоночнике.

Итак, математическое моделирование типичных повреждений позвоночника на примере трехпозвонкового комплекса человека позволяет переосмыслить методы их хирургического лечения и требует продолжения научного поиска оптимальных стабилизирующих систем.

Список литературы

1. Громов А. П. Биомеханика травмы. М., 1979. С. 179 —210.

2. Reno Louis. Surgery of the Spine. Berlin; Heidelberg, 1983. P. 55 — 58.

3. Denis F. Spinal instability as defined by the three column spine concept in acute spinal trauma // Clin. Orthop. 1984. N 189. P. 65.

4. Liebschner M. Finite element modeling of the human thoracolumbar spine // J. spine. 2003. Vol. 28, № 6. P. 559—565.

5. Fergusson R., Tencer A., Woodard P., Allen A. Biomechanical comparison of spinal fracture models and the stabilizing effects of posterior instrumentations // Spine. 1988. № 13. P. 453.

6. Magerl F. A new classification of spinal fractures// Orthop trans. 1989. V. 15. P. 728.

7. Haher T. R., Felmly W. T., O'Brien M. Thoracic and lumbar fractures: diagnosis and management // Spinal Surgery. 1991. Vol. 2. P. 857 — 910.

Об авторе

Сергей Владимирович Орлов — Институт биомеханики позвоночника, Калининград, e-mail: ser-orlov@yandex.ru.

Author

55

Sergey Orlov — Institute of Spinal Biomechanics, Kaliningrad, e-mail: ser-orlov@yandex.ru.