Аналитика инвестиционного оценивания с учетом дискретности денежных потоков

АНАЛИТИКА ИНВЕСТИЦИОННОГО ОЦЕНИВАНИЯ С УЧЕТОМ ДИСКРЕТНОСТИ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ

М.В. СЕЧЕНОВА,

аспирантка Московский государственный университет экономики, статистики и информатики

Статья посвящена развитию формализованного инструментария оценки инвестиционных проектов в целях выявления характера влияния различных факторов на его эффективность и осуществления мониторинга проекта. Введение аналитических функций денежных потоков позволило учесть дискретность денежных потоков в непрерывном моделировании и использовать модифицированные показатели эффективности инвестиционных вложений для описания динамики инвестиционного процесса. Проведен анализ временных зависимостей модифицированных показателей эффективности для проектов с ординарными денежными потоками.

Ключевые слова: инвестиции, оценка, моделирование, дискретность, деньги, поток, показатель, эффективность.

Для оценки эффективности инвестиционных проектов применяется как дискретное, так и непрерывное формализованное описание анализируемого процесса. Непрерывные модели используются обычно в аналитических целях, на практике при-меняютсядискретные модели [1 — 5].

Развитие аналитического моделирования функций денежных потоков дает возможность объединить варианты дискретного и непрерывного описания при оценке эффективности инвестиционной деятельности [2].

Целью данной работы является совершенствование методов оценки инвестиционных проектов в непрерывном моделировании с учетом дискретности денежных потоков.

Для прогноза финансового положения фирмы по мере реализации того или иного проекта, а также осуществления его мониторинга могут быть использованы модифицированные показатели эффективности инвестиционныхвложений [3].

Отличие модифицированных показателей эффективности инвестиционного процесса от их общепринятых аналогов заключается в том, что модифицированные показатели характеризуют инвестиционный процесс в ходе его протекания от начала до горизонта планирования, что позволяет проследить развитие инвестиционного процесса во времени.

Модификация показателя «чистая приведенная стоимость» характеризует достигнутый финансовый результат на текущий момент времени в отличие от ее общепринятого аналога, дающего оценку стоимости проекта за весь период прогнозирования.

На основе аналитического описания функций денежных потоков для модифицированного показателя чистой приведенной стоимости ЫР V) может быть выписано следующее соотношение:

мР V а) = у А/ (?р+ ш) у к (?р+ ш) (1) (1 + ^)' £0 (1 + ^)' ' где ^ — момент начала реализации данного инвестиционного предложения;

М — базовый интервал (месяц, квартал, год и т.д.), на который делится при расчете период прогнозирования Т\

п — число базовых интервалов периода прогно-Т

зирования п = —;

п — число базовых интервалов до момента времени ^ такого что I = (0 + пЫ, где п = 1,2,.......п ;

I — порядковый номер базового интервала пе-риодапрогнозирования, / = 0, 1, 2,..., п;

ставка дисконтирования с учетом инфляционной составляющей, приведенная к базовому интервалу.

А/(?0 + /А?) — поток чистых денежных поступлений, т. е. поступлений за вычетом текущих затрат и затрат на налогообложение в момент времени + Ш, соответствующий концу /-го базового интервала.

К+ iAt) — капитальные вложения в момент времени + Ш.

Следует заметить, что суммирование потоков чистых денежных поступлений в выражении (1) происходит до текущего момента времени которому соответствует базовый интервал п( В то же время в данной модификации ЫРУ(?) капиталовложения учитываются за весь период прогнозирования Т,

МРУ(?), руб. 300 000^ 200 000100 0000

-100 000-200 000-300 000 -400 000-500 000

NPV

-К,

<

+ А?

t0+4 А?

1в+РВ

1п+Т

♦

♦

♦

♦

♦

О NPV(t0+¡ Л Ц

где

^К (?о + /А?) -

^ п ^ ^ = — (К — сумма

Рис. 1. Зависимость МРУ(/) попроектусординарнымиденежными потоками и единовременной начальной инвестицией

/=о (1 + ¿г )'

дисконтированных на начальный момент времени капиталовложений).

Функция потоков чистых денежных поступлений А/ф с учетом специфики идентифицирования и измерения экономической информации описывается следующим образом:

\Afi при ? = ?0 + 1 = 0,1, 2,... п;

[0 при ? Ф t0 + /А?, ?0 < ? < ?0 + Т.

В моменты времени, соответствующие концам базовых интервалов периода прогнозирования, функция А/ равна сумме чистых денежных поступлений за /-Й интервал А/{ (так называемые потоки постнумерандо) и нулю в остальные моменты времени. Потоки постнумерандо лежат в основе методик анализа и оценки инвестиционных проектов и соответствуют общим принципам учета, согласно которым финансовый результат оценивается по окончании очередного отчетного периода [4].

Заметим, что областью задания отдельных денежных поступлений и затрат, рассматриваемых как функции времени на отрезке [¿0, ¿0+7], является конечное множество отдельных чисел, соответствующих тем моментам времени, когда эти поступления или затраты имели место. Суммируя отдельные денежные поступления и затраты за каждый /-Й интервал времени и относя их к моменту времени конца интервала (7= ¿0 а также полагая равным нулю значение Апри ^(7-1) А/< ¿< ^НА^ мы расширяем область определения функций денежных потоков Б (А/), так что она охватывает весь отрезок времени При этом является

неэлементарной кусочно-непрерывной функцией, заданной навременном отрезке [¿0,

Поток капитальных вложений описывается аналогичной функцией, равной М) — сум-

ме капиталовложений за /-Й базовый интервал, и нулю в остальные моменты времени с той только разницей, что начальная инвестиция К0 относится ко времени начала проекта

Данное аналитическое описание расширяет область определения функций денежных потоков, делая ее связной, т.е. Б (А/) = [¿0, что позволяет исследовать инвестиционный процесс в непрерывном времени. Необходимо подчеркнуть, что непрерывность относится ко времени протекания проекта, в то время как функции денежных потоков и соответствующих им показателей эффективности кусочно-непрерывные, асами потоки дискретные.

Введение в стандартный формализованный аппарат базового интервала и аналитического описания функции денежных потоков позволяет в явном виде связать элементы денежных потоков с длиной базового интервала и таким образом учесть дискретность денежных потоков в непрерывном моделировании.

Результаты исследований посредством непрерывной модели инвестиционного проектирования могут быть наглядно представлены на графиках зависимости от времени показателей эффективности инвестиционного проекта, полученных на основе табличных расчетов экономики проекта.

В качестве примера на рис. 1 представлена зависимость ЫР V(?), которая характеризует достиг-

нутый к моменту времени ? финансовый результат по проекту с ординарными денежными потоками и с единовременной начальной инвестицией К0. За основу взят конкретный инвестиционный проект, для которого (А?=0,5г., Г=4г., РВ=3,5т., й = 20%).

Величина ЫРУ (?) меняется от отрицательного значения, равного сумме дисконтированных на момент времени ^ капиталовложений, до нуля в момент времени tQ+PB, соответствующему сроку окупаемости инвестиции РВ, и далее до положительного значения на горизонте прогнозирования ¿0+Т, равного классическому показателю ИРУ — чистой приведенной стоимости.

Приведенный график наглядно демонстрирует соответствующую временную зависимость, выявляет графически период окупаемости, позволяет проследить процесс изменения во времени показателя «модифицированная чистая приведенная стоимость».

В том случае если суммирование капиталовложений в выражении (1) происходитдо базового интервала п1 соответствующего текущему моменту времени мы получаем показатель текущей чистой приведенной стоимости, характеризующий эффективность отдачи вложенных средств. График зависимости от времени показателя текущей чистой приведенной стоимости представляет собой более сложную зависимость, учитывающую распределение во времени как чистых денежных поступлений, так и капиталовложений.

Показатель № V(?), учитывающий не только прошедшие, но и будущие капиталовложения, является более информативным; он может быть полезен для оценки рисков и выбора времени жизни проекта.

Следует заметить, что графическое представление показателей эффективности дает более полную и развернутую информацию об инвестиционном процессе, чем общепринятые диаграммы.

Модифицированный индекс рентабельности инвестиций Р1(?), характеризующий эффективность вложения единицы используемого капитала, рассматриваемый как функция времени, описывается формулой:

,А/

Р/(?) = -

№ V

Р1Ц) =

у1 Ч/ У'0_

£0 (1 + )' , К(?0 + /А?) '

Т-£0 (1 + df)'

Функциональная зависимость между № V(?) и Р/(?) имеетвид:

, К

+1.

£0 (1 + df у

Из формулы следует, что график функции Р1(?) можно получить из графика функции NPV(?), выполнив соответствующие преобразования. Следовательно, для ординарных денежных потоков функция Р1(?) будет монотонно возрастающей, и в момент времени, соответствующий периоду окупаемости, Р1(?) равен единице.

Наглядно демонстрируемая временная зависимость Р1(?) выявляет дисконтированный срок окупаемости данного инвестиционного предложения, а также дает возможность сопоставления разновременных инвестиционных предложений и выбора наиболее эффективных из них с точки зрения преследуемой цели финансово-экономического анализа.

Для оценки темпов доходности вложенного капитала используются показатели 1ЯЯ и его модификация МШЯ, модифицированные (временные) варианты которых 1ЯЯ(?) и М1ЯЯ(?) определяются формулами (5) и (6) соответственно:

А д/(?о + /А?) К(?о + /А?) ;

£0 (1+(?))1 ¿0 (1 + ш (?))1'

¿КЗ,«*) IА/)

£0 (1 + )1 (1+МШ(?))'

Формулы (1) — (6) для модифицированных показателей эффективности могут быть использованы для непрерывного моделирования динамики инвестиционного процесса с учетом дискретности денежных потоков.

Из формулы (6) выявляется функциональная зависимость М1ЯЯ(?) от индекса рентабельности

Р1(?):

МШ

Для исследования зависимости М1ЯЯ от времени введем нормированное на базовый интервал

время, отсчитываемое от начала проекта х = -

? - ?п

А?

так что на концах базовых интервалов х совпадает с номером соответствующего базового интервала. Функция Р1(?), зависящая от функции денежных потоков А/ ф, согласно формуле (2) является неэлементарной кусочно-непрерывной функцией, отличной от нуля на концах базовых интервалов. Заменим функцию Р1(?) на полуинтервале ?0+Т\

непрерывной, гладкой, а значит, дифференцируемой функцией Р1(х), соединив ее значения на концах всех базовых интервалов.

При этом условие максимума М1ЯЯ(х) имеет

вид:

йР1{х)

dx

-x = PI{ x)ln PI (x).

PI( x) = [1-(1 + d)-x ], Kd

XPB - —

7Kd

Значения периода окупаемости и максимума функции М1ЕК(х) для различных проектов

Из соотношения (7) следует, что для инвестиционных проектов с ординарными денежными потоками, когда классический показатель Р1> 1 (а именно такие проекты нас интересуют), М1ЯЯ(?) увеличивается от отрицательного значения, достигает приведенной ставки дисконтирования в момент времени, соответствующий сроку окупаемости данного проекта. При дальнейшем увеличении индекса рентабельности Р1(х) модифицированная внутренняя норма доходности М1ЯЯ(х) достигает максимума и начинает уменьшаться.

Существование максимума модифицированного показателя М1ЯЯ(?) может быть использовано для оценки эффективности долгосрочных проектов, таких как проекты разработки месторождений полезных ископаемых, а также проекты, предполагающие создание либо приобретение и использование оборудования, транспортных средств и т.д. [5]. При определении оптимального момента прекращения такого рода проектов полезно исследовать поведение во времени модифицированного показателя М1КЯ(().

В качестве примера исследуем поведение во времени показателя М1ЯЯ(х) для проекта с пер-петуитетными денежными поступлениями (бессрочный аннуитет):

А

d,% A Kd ХРВ V max

1,2 23,28 41,15

8 1,5 14,27 28,01

1,8 10,54 21,92

1,2 15,81 27,95

12 1,5 9,69 19,02

1,8 7,16 14,89

1,2 10,83 19,14

18 1,5 6,64 13,02

1,8 4,9 10,19

1,2 8,33 14,72

24 1,5 5,11 10,02

1,8 3,77 7,84

(1 + d) x=" -1

1 --

(1 + d)x

= ln(1 + d).

где А — величина чистых денежных поступлений в каждом базовом интервале.

Р1(х) монотонно возрастает от нуля при х=0,

приближаясь к асимптоте АКа ' Равн°й индексу рентабельности бессрочного аннуитета. Период окупаемости равен:

1п(1

1п

Формула (9) подтверждает тот факт, что период окупаемости существует только для проектов, у которых ^^ > 1 •

Максимум М1Ш(х) дпяаннуитетанаступаетв момент времени ^тах, определяемый из уравнения:

Значения периода окупаемости Хрв и времени наступления максимума MIRR(x) Хтя11ддя проектов с различными значениями индекса рентабельности и ставки дисконтирования представлены в таблице.

Видно, что чем больше ставка дисконтирования и чем больше индекс рентабельности бессрочного аннуитета, тем раньше наступает максимум MlRR(x) •

Используя зависимость PI(x) для перпетуи-тета (8), получаем из формулы (7) график функции MlRR(x), представленный на рис. 2.

Максимум функция имеет в первом случае при Хтах = 23,9, во втором случае при Хтах =17,4, в третьем случае при =16,1. При x ^ да MIRR (x) стремится к ставке дисконтирования.

Учитывая тот факт, что при NP V(t) = 0 PI(t) = 1, можно из формулы (8) получить в неявной форме функцию IRR(x) (для проекта с единовременной исходной инвестицией К0).

-A-[1- (1 + IRR (x))~x ] = 1.

K0 IRR

График функции IRR (x) для трех проектов с раз-личнымизначениями ^K представленнарис.З.

Функция IRR(x) представляет собой монотонно возрастающую функцию, приближающуюся

к асимптоте, равной отношению "ук данного проекта. 0

Для сравнения на рис. 4 представлены фун-

кции IRR (x) для проекта с ук ~ °'19

и MIRR

x

max

Рис. 2. Зависимость MIRR(x) для бессрочного аннуитета: 1 - PI= 1,3, r= 12 %;2- PI= 1,6, r= 12%; 3 — PI = 1,6, r= 13%

Г! Ii Д) Л ?ft

Рис. 3. Зависимость IRR(x) для l бессрочного аннуитета:

' = 0,16 ,2- V = 0,19

3-

/*0

У -

/Kn

Kn

0,21

Рис. 4. Зависимости iRr(x) и MIRR(x) для бессрочного аннуитета:

1 - MIRR(x) при ¿=12 %;

2- MIRR(x) при ¿=15%;

3- IRR(x) при У " 0,19

для двух проектов с этим же » но разными ставками дисконтирования. 0

Кривые М1ЯЯ(х) обоих проектов пересекают кривую 1ЯЯ (х) в точках, абсциссы которых равны временам самоокупаемости, а ординаты — ставкам дисконтирования рассматриваемых проектов. Модифицированный индекс рентабельности Р7(х) в этих точках равен единице.

График, представленный на рис. 4, наглядно отражает взаимосвязь показателей эффективности.

Для достаточно длительных инвестиционных проектов может возникнуть необходимость учитывать изменения во времени ставки дисконтирования. Для кусочно-непрерывной функции Р7(?) ставку дисконтирования можно считать ступенчатой функцией времени, постоянной на каждом базовом интервале: В этом случае

М1Ш(г)=пРцг )П (1+а) -1,

где Р1(() =

£ А/

'=° п

]=0_.

^ К((° + ¡М) '

п

]=0

й{) = 0, аГ — значение приведенной ставки для /-го интервала, 7 = 0, 1,2,..., я.

Предложенное формализованное описание оценки эффективности инвестиционного процесса в непрерывном моделировании с учетом дискретности денежных потоков дает возможность аналитически описать показатели эффективности, используемые в различных методиках оценки инвестиционных проектов.

Модифицированные показатели эффективности, отражающие поведение во времени различных характеристик инвестиционного процесса, могут быть исследованы в рамках данного инструментария для получения обобщающих выводов относительно протекания инвестиционного процесса.

Графическое представление модифицированных показателей эффективности инвестиционного процесса дает возможность сопоставления, сравнения и охвата в целом прогнозируемого инвестиционного проекта, а также выявления характера влияния различных факторов на его эффективность.

Анализ рассматриваемых в данной работе модифицированных показателей может быть использован для выбора времени жизни проекта, оценки рисков, установления оптимального момента прекращения проекта. Также он полезен для осуществления мониторинга проекта в целом.

1=0

Список литературы

1. ЗуевГ.М., СалмановаА. А. Прикладные задачи инвестирования. М.: МЭСИ, 2007.

2. Зуев Г.М., Сеченова М.В. Оценка инвестиционного проекта с учетом специфики представления бухгалтерской информации и режима налогообложения. Материалы IX Всероссийского симпозиума «Стратегическое планирование и развитие предприятий». М.: ЦЭМИ, 2008.

3. Зуев Г. М., Сеченова М.В. Некоторые направления развития классических методов инвестиционного оценивания // Аудити финансовый анализ. 2008. № 6. С. 294—303.

4. Ковалев В. В. Методы оценки инвестиционных проектов. М.: Финансы и статистика, 2003.

5. Смоляк С. А. Дисконтирование денежных потоков в задачах оценки эффективности инвестиционных проектов и стоимости имущества. М.: Наука, 2006.