Об исчислении Ламбека с одним делением и одним примитивным типом, допускающем пустые антецеденты

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ламбек И. Математическое исследование структуры предложения // Математическая лингвистика: Сб. пер. / Под ред. Ю.А. Шрейдера, И.И. Ревзина, Д.Г. Лахути, В.К. Финна. М.: Мир, 1964. 47-68.

2. Buszkowski W. The equivalence of unidirectional Lambek categorial grammars and context-free grammars // Z. math. Log. und Grundl. Math. 1985. 31, N 4. 369-384.

3. Pentus M. Lambek calculus is NP-complete // Theor. Comput. Sci. 2006. 357, N 1-3. 186-201.

Поступила в редакцию 21.04.2008

УДК 510.649

ОБ ИСЧИСЛЕНИИ ЛАМБЕКА С ОДНИМ ДЕЛЕНИЕМ И ОДНИМ ПРИМИТИВНЫМ ТИПОМ, ДОПУСКАЮЩЕМ ПУСТЫЕ АНТЕЦЕДЕНТЫ

С. Л. Кузнецов1

Доказывается следующее утверждение: правило вывода, заданное схемой, допустимо в исчислении Ламбека с одним делением L*(\), допускающем пустые антецеденты, тогда и только тогда, когда оно допустимо во фрагменте Ь*(\) с одним примитивным типом L*(\;pi). Для этого применяется подстановка типов, сводящая выводимость в Ь*(\) к выводимости в L*(\;pi).

Ключевые слова: исчисление Ламбека, допустимые правила, сети доказательства.

The following assertion is proved: a deduction rule given by a scheme is admissible in the Lambek calculus with one division L*(\) permitting empty antecedents if and only if it is admissible in the fragment of L*(\) with one primitive type L*(\;pi). To do that, a type substitution is used which reduces the derivability in L*(\) to the derivability in L*(\;pi).

Key words: Lambek calculus, admissible rules, proof nets.

Рассмотрим вариант исчисления L (см. [1]) — исчисление L*(\) (исчисление Ламбека с одним делением, допускающее пустые антецеденты). Множество Pr = {pi,p2,p3,...} называется множеством примитивных типов. Типы L*(\) строятся из примитивных с помощью связки \ (левое деление). Множество всех типов обозначается через Tp(\); множество типов, в которые входят только pi,...,pN, — через Tp(\;pi,...,pn). Типы будем обозначать прописными латинскими буквами из начала алфавита, а их конечные (возможно, пустые) последовательности — заглавными греческими буквами. Секвенции L*(\) суть выражения вида Г ^ C.

Аксиомами L*(\) являются все секвенции вида A ^ A. Правила вывода:

AU-^B 11->А ТВ А С

П -» А\В ^ ТЩА\В)А^С

Если в исчислении L*(\) ограничиться типами из Tp(\;pi), получится его консервативный фрагмент — исчисление L*(\;pi).

Введем еще одно исчисление — MCLL (мультипликативную циклическую линейную логику). Элементы счетного множества Var = {pi,p2,...} называются переменными. Определим множество атомов как At ^ Var U{g | q E Var} (символ "здесь и далее означает "равно по определению"). Формулы MCLL строятся из атомов с помощью двухместных связок ^ и Множество формул, в которых встречаются только переменные pi,... ,pn, обозначаем через Fm(pi,... ,pn); множество всех формул — через

1 Кузнецов Степан Львович — студ. каф. математической логики и теории алгоритмов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: skuzn@inbox.ru.

Еш. Прописные латинские буквы обозначают формулы, прописные греческие — их последовательности. Секвенции МСЬЬ имеют вид — Г. Отрицание (отображение : Еш — Еш) определяется так: р£ — р^, — р^ (А Ъ В)± — В±  А£, (А  В)± — В± Ъ А£. Аксиомами МСЬЬ служат все секвенции вида — рр; правила вывода:

ГАВ А

Г(А Ъ В )А

(—Ъ),

ГА

ВА

Г(А  В)А

(

ГА

АГ

(гей).

'В. В смысле этого перевода ^^ МСЬЬ Ь— ... А^В

Определим перевод типов Ь*(\) в формулы МСЬЬ: р — р^, А\В — А£ Ъ Ь*(\) является консервативным фрагментом МСЬЬ: Ь* (\) Ь А1... Ап — В (см. [2]).

Фрагмент МСЬЬ(р1) определяется аналогично Ь*(\; р1). В [3] доказано следующее утверждение, сводящее (неравномерно) выводимость в МСЬЬ к выводимости в МСЬЬ(р1).

Утверждение 1. Существует такой набор формул Е1, ..., Ем £ Еш(р1), что для любой секвенции — Г, где Г = В1... Вт и В1,..., Вт £ Еш(р1,... ,рм), имеет место равносильность

МСЬЬ Г

МСЬЬ(р1) Ь— Г[р1 ^ Е1,..., рм ^ Ем].

—>

—>

—>

—>

—>

Здесь запись Гр1 ^ Е1 , ...,рм Ем] означает результат подстановки в Г формул Е1,..., Ем вместо переменных р1,... ,рм соответственно (вместо р1,... ,рм подставляются, естественно, ,..., Е^). Мы докажем более сильное предложение.

Теорема 1. Существует такой набор А1, ..., Ам £ Тр(\;р1), что для любой секвенции — Г, где Г = В1... Вт и В1,..., Вт £ Еш(р1,... ,рм), верна равносильность

МСЬЬ Ь— Г ^ МСЬЬ(р1) Ь— Г[р1 ^ А1,...,рм ^ Ам].

Заметим, что отсюда следуют как утверждение 1, так и аналогичное свойство Ь*(\), а именно справедлива

Теорема 2. Существует такой набор А1, ..., Ам £ Тр(\;р1), что для любой секвенции П — С, где П = В1 ... Вт и В1,..., Вт, С £ Tp(\;р1,... ,рм), верна равносильность

Ь*(\) Ь П — С ^ Ь*(\;р1) Ь (П — С)[р1 ^ А1 ,...,рм ^ Ам].

В качестве следствия теоремы 2 получаем следующее утверждение.

Теорема 3. Правило вывода, заданное схемой, допустимо в Ь*(\) тогда и только тогда, когда оно допустимо в Ь*(\; р1).

Докажем теорему 1. Обозначим р — р1 и положим (^1 •.. .Вт)\С — От\(От-1 \ ... \(^2\(^1 \С))...).

Зафиксируем N и предъявим типы А1,..., Ам: Ак — {рк+1  (((р  р)\р)\р)  рм-к+1Л) \р (как обычно, р1 — р, рт+1 — рт  р).

Импликация слева направо очевидна. Будем доказывать обратную импликацию. Обозначим Як — Ак. Имеем (для упрощения записи используем соглашение: скобки при связках Ъ ставятся справа налево, при связках  — слева направо) Як = рЪ ...ЪрЪ (р  (р)ЪрЪр*)) Ъ рЪ . ..Ър, Ър+; Я£ = р+

м-к+1 к+1

р  ...  р  ((р*  р  р) Ъ р)  р  ...  р. Здесь индексы "*" и " +" у атомов выделяют их вхождения для

к+1 м-к+1

дальнейших ссылок. Назовем Як положительной, а отрицательной формулой.

Сети доказательства [4]. По секвенции — Г, где Г = А1... Ат, построим реляционную структуру Пг = (Пг, <г, —г). Поставим перед А1 и между А^ и А^+1 (г = 1,...,ш — 1) значки о (о — новый символ): о А1 о А2 о ... о Ат. В полученной записи занумеруем слева направо все символы, кроме скобок (атом считается одним символом); множество пар (символ, номер) обозначим Пг. Элементы Пг будем называть вхождениями соответствующих символов в Г и обозначать маленькими греческими буквами. Под вхождением подформулы будем понимать соответствующее подмножество Пг. Для а = (§1 ,^1), в = (§2,^,2) £ Пг положим а <г в ^^ к1 < А2 Для каждого А^ рассмотрим синтаксическое дерево (с вершинами — элементами Пг). Транзитивное замыкание объединения этих синтаксических деревьев обозначим -г.

Множество вхождений знака ^ обозначим через П^, знака о — через П^, знака  — через Пр, атомов вида Рг — через П^+, атомов вида рг — через ПА ; Пр° ^ Пр и П^- Для X С Пг положим #(Х) ^ |Х П П^+1 - \Х п п£*~1-

Положим 1п(а, в) ^ \ а <г 7 <г в или в <г 7 <г а}, Ои1(а, в) ^ Пг — (1п(а, в) и {а, в}) (здесь " —" означает разность множеств)-

Ориентированный граф (Пг,С), где С С Пг х Пг, называется <г-планарным, если для каждой пары дуг (а, в) £ С и (^, 5) £ С, такой, что [а, в} П {, 5} = 0, имеет место равносильность 7 £ 1п(а, в) ^ 5 £ 1п(а, в)- Геометрически это означает, что дуги графа можно изобразить в верхней полуплоскости без пересечений, если его вершины расположены на границе полуплоскости в порядке <г-

Структура N = (Пг, А, Е) называется сетью доказательства, если |Пр°| — |Пр| = 2; Ас Пг х Пг — график некоторой функции из Пр в Е с Пг х Пг — график некоторой биективной функции из

в ПА , причем если а — вхождение рг, то Е(а) — вхождение р^; граф (Пг, А и Е) <г-планарен; граф (Пг, Аи -<г) является ациклическим.

Сети доказательства дают критерий выводимости (см. [4]).

Утверждение 2. МСЬЬ Ь— Г тогда и только тогда, когда существует сеть доказательства для — Г.

Далее будем рассматривать Е как неориентированный граф на Пг; ребра Е условимся называть скобками- Для скобки С с концами а и в определим 1п(С) как 1п(а,в) и Ои1(С) как Ои1(а,в)- В силу <г-планарности графа Е имеем #(1п(С)) = #(Ои1(С)) = 0- Скобки разбивают верхнюю полуплоскость на области- Для каждой скобки имеются внешняя и внутренняя области- Ясно, что в каждой области есть хотя бы одно вхождение ^ или О- Подсчет числа скобок и

показывает, что на самом деле в

каждой области находится ровно одно вхождение ^ или О-

Для Х,У С Пг полагаем X <г У, если а <г в для любых а £ X и в £ У - Пусть Х,У с Пг — два вхождения подформул, причем X П У = 0- Определим фрагмент от X до У как [а £ Пг | X <г {а} <г У}, если X <г У, и как [а £ Пг | {а} <г У или X <г {а}}, если У <г X (другие случаи невозможны)-

Если С — скобка и К — подмножество Пг, положим О(С, К) ^ 1п(С), если К С 1п(С), и О(С, К) ^ Ои^С) в противном случае (если К — фрагмент от одного вхождения подформулы до другого, не содержащий концов С, то в этом случае К С Ои1;(С) = О (С, К))- Заметим, что #(О (С, К)) = 0-Продолжим доказательство теоремы 1- Будем иногда опускать слово "вхождение" там, где это не приводит к путанице- Итак, дано, что МСЬЬ(р) Ь— Г[р1 ^ К\,... ,рм ^ Ям]- Следовательно, эта секвенция выводима в МСЬЬ и для нее существует сеть доказательства N Сформулируем несколько свойств N Лемма 1. Количества вхождений положительных и отрицательных формул совпадают. Лемма 2. Вхождение р* из Яи соединяется скобкой с р* из некоторого Я^,.

Доказательство. Рассуждаем от противного- Пусть скобка С, выходящая из некоего р*, идет не в р*-

1-й случай: р* соединено с р из того же Яи- Это соседнее р, потому что #(1п(С)) = 0- Но тогда во внешней для С области расположены два Противоречие-

2-й случай: р* соединено с р из другого Я^'- По обе стороны от р* стоит и ^ стоит хотя бы по одну сторону от любого р из Яи', поэтому во внутренней или во внешней по отношению к С области находятся два Противоречие-

3-й случай: р* соединено с р+ (из некоторого Я)- Пусть К — фрагмент от Яи до Я^, - Фрагмент К состоит из вхождений положительных и отрицательных формул (и связок между ними), поэтому #(К) делится на N + 3- Но тогда, поскольку 0 = #(О(С, К)) = к + #(К), N + 3 делит к, что невозможно, ибо 1 ^ к ^ N -

Лемма 3. Вхождение р* из Я^ соединяется с р* из некоторого Яи'. Лемма 4. Если вхождения р* из Яи и р* из Я^ соединены, то к = к'.

Доказательство. Пусть рассматриваемые р* и р* соединены скобкой С и пусть К — фрагмент от Яи до Я^ - Вхождения положительных формул в К находятся с вхождениями отрицательных формул в К во взаимно однозначном соответствии, задаваемом скобками, соединяющими р* и р*- Значит, #(К) = 0-Но тогда 0 = #(О(С, К)) = к' — к, т- е- к = к'-

Лемма 5. Вхождение р+ из Яи соединяется с р+ из некоторого Я^,. Доказательство. От противного-

1-й случай: данное р+ соединяется с некоторым р из того же Яи скобкой С- Поскольку #(1п(С)) = 0, это соседнее вхождение р- Но тогда справа от Яи находится вхождение т знака причем соединенное А-дугой с вхождением п знака ^ слева от С (иначе были бы два ^ в одной области)- С другой стороны, п —г т (это легко проверяется)- Противоречие с ацикличностью графа Аи —г-

2-й случай: p+ соединяется скобкой C с некоторым вхождением p в (другую) положительную формулу Rk', но не третьим слева от p*. Тогда либо во внутренней, либо во внешней по отношению к C области расположены два Противоречие.

3-й случай: p+ соединяется с третьим слева от p* вхождением p в Rk' скобкой C. Опять введем фрагмент Ж. Как и в доказательстве леммы 4, #(K) = 0. Но тогда #(D(C, K)) = — (N-k' + 1)+#(K)=0. Противоречие.

4-й случай: p+ соединяется с p* из некоего Rj'. Противоречие с леммой 3.  Лемма 6. Вхождение p+ из Rj соединяется с p+ из некоторого Rk'.

Вхождение символа старое, если оно не входит во вхождение положительной или отрицательной формулы (т.е. ему соответствует вхождение в Г).

Лемма T. Если вхождение т символа  старое, то А(т) тоже старое.

Доказательство. От противного. Пусть А(т) — не старое вхождение. Будем считать, что т находится правее А(т) (в противном случае все рассуждения проводятся симметрично относительно дуги (т, А(т))).

1-й случай: А(т) расположено в Rj. Положим D = 1п((т, А(т))) и определим K как часть Г между Rj и т. Имеем #(K) =0 и #(D) = 0. Противоречие.

2-й случай: А

3-й случай: А(т) есть второе справа вхождение ^ в Rk. Определим D и K так же, как и в первом случае. Количества p* и p* в K совпадают. Значит, совпадают и количества p+ и p+ в K. То же самое верно и для D. Противоречие: в D столько же вхождений p+, сколько и в K, а вхождений p+ на одно больше.

Положим N' — (Пг, A', E'), где A' состоит из всех дуг A, идущих из старых а ребра E' соединяют такие вхождения pk и pk, что у соответствующих Rk и Rj соединены вхождения p* и p)*. В силу лемм 1—7 N' есть сеть доказательства для — Г, поэтому MCLL h— Г. Теорема i доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ламбек И. Математическое исследование структуры предложений // Математическая лингвистика: Сб. пер. / Под ред. Ю.А. Шрейдера, И.И. Ревзина, Д.Г. Лахути, В.К. Финна. М.: Мир, 1964. 47-68.

2. Pentus M. Equivalent types in Lambek calculus and linear logic. Preprint N 2 of the Department of Math. Logic, Steklov Math. Institute. Ser. Logic and Comput. Sci. Moscow, 1992.

3. Métayer F. Polynomial equivalence between LLNC, LLNCa, and LLNC0 // Theor. Comput. Sci. 1999. 227, N 1. 221-229.

4. Pentus M. Free monoid completeness of the Lambek calculus allowing empty premises // Proc. Logic Colloquium '96 / Ed. by J. M. Larrazabal, D. Lascar, G. Mints. Berlin etc.: Springer, 1998. 171-209 (Lect. Notes Logic. Vol. 12).

Поступила в редакцию 28.04.2008

УДК 517.53

СОВМЕСТНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ КОРНЯ, ЛОГАРИФМА И АРКСИНУСА

В. Н. Сорокин1

Построены аппроксимации Эрмита-Паде к трем функциям — квадратному корню, логарифму и арксинусу. Предъявлена формула Родрига. Получена оценка меры линейной независимости значений этих функций в натуральных точках.

Ключевые слова: формула Родрига, диофантовы приближения.

Hermite-Pade approximations are constructed for three functions: the square root, logarithm,

1 Сорокин Владимир Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vnsormm@mech.math.msu.su.