О некоторых свойствах секвенциально непрерывных отображениях

и

где тк - безразмерный элемент. Так как задача сферически симметрична по отношению к центральному флуоресцентному атому, то решать задачу восстановления атомной структуры вблизи флуоресцентного атома удобней в сферической системе координат. В этом случае волновой вектор может быть представлен в виде

к =

Радиус-вектор r выразим через координаты г = (X'j'Z) . Интенсивности восстановленных атомных изображений определяются соотношением

U

Процесс формирования рентгеновских голограмм достаточно ясен. Однако нельзя считать, что трехмерная атомная структура восстанавливается абсолютно точно на основе измеренных данных. Использование интегрального преобразования Гельмгольца-Кирхгофа позволяет получить трехмерную атомную структуру без дополнительных условий. Однако данный способ оценки атомной структуры не учитывает многие искажения, такие как влияние рассеяния флуоресцентного излучения атомами, удаленными от центрального атома, слабое рассеяние атомами малой массы и др. Поэтому положения атомов и их яркость, которая пропорциональна количеству электронов, может определяться с достаточной долей ошибки. И, тем не менее, этот метод может быть основой итерационного подхода для более точного определения атомной структуры исследуемого образца.

Литература

1. Szoke A. Short wavelength coherent radiation // AIP conference proceedings. New York, 1986. No. 147. P. 361.

2. Tegze M., Faigel G. Imaging light atoms by X-ray holography // Nature (London). 1996. No. 380. P. 49.

3. БорнМ., Вольф Э. Основы оптики. М: Наука, 1973. 349 с.

4. Исманов Ю. X. Фазовые искажения решетки средой с линейной зависимостью показателя преломления // Проблемы современной науки и образования. 2016. № 3 (45). С. 19-23.

5. Исманов Ю. X. Формирование расфокусированных изображений при некогерентном освещении // Проблемы современной науки и образования . 2016. № 3 (45). С. 23-26.

6. Исманов Ю. X. Фазовые искажения последовательности саморепродукций плоскопараллельной пластиной // Вестник науки и образования. 2016. № 3 (15). С. 4-6.

О некоторых свойствах Р - секвенциально непрерывных

отображениях Болжиев Б. А.

Болжиев Бурас Асанбекович /Boljiev Buras Asanbekovich - кандидат физико-математических

наук, старший научный сотрудник, Национальная академия наук Кыргызской Республики (НАН КР) Институт теоретической и прикладной математики, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в статье обобщается понятие секвенциально непрерывного отображения, и изучаются свойства введенного понятия.

Ключевые слова: ультрафильтр, р — секвенциально компактное пространство, р — компактные подмножества.

Пусть р является свободным ультрафильтром на с. В топологическом пространстве X последовательность (хи : п е с) обладает р — предельной точкой х, обозначаемое как х = р — Иш хи, если для любой окрестности Ох точки х {п : хп е Ох }е р . Пространство X называется р — компактным, если произвольная последовательность обладает р — предельной точкой. Если точка х является р — предельной точкой последовательности (х : п е с) , то можно будет говорить, что последовательность (х : п е с) р — сходится к точке х, или х является р — пределом этой последовательности.

Эти понятия были предложены Бернштейном [1]; они играют важную роль в теории, касающейся произведений счетно компактных пространств([5], [8]).

Комбарова [3] ввёл понятия Р — компактности и Р — секвенциальности, где Р с /с \ с — является непустым множеством свободных ультрафильтров на с .

В работе [4] он определил условия, при которых условия Р — компактности и Р — секвенциальности сохраняются при операции произведения.

В.Сакс [6] (см. также [7]) обобщает понятие р -предела на направленности, заиндексированные произвольными бесконечными кардиналами следующим образом: пусть р является свободным ультрафильтром нат и (х : а е т) является т —

последовательностью в пространстве X, тогда точка х является р — предельной точкой (р — пределом) т — последовательности (ха : а е т) , х = р— Ишхи, если для произвольной окрестности и точки х, {а ет : ха е и} е р .

Мы будем также говорить, что (х : а е т) р — сходится к х, если х = р— 11шхс(. В.Сакс также доказывает, что любое топологическое пространство характеризуется своими р — пределами в том смысле, что для любого А ^ X, А = А ^{х е X : х является р — пределом некоторой Я-последовательности (ха : а е Я) для некоторого Я<т = X и некоторого ультрафильтра р е /ЗЯ \ Я}.

В свете этого факта мы ограничим наше внимание к случаю Р с /т \т для некоторого т , причём Р обладает следующим свойством: пусть х = р— 11тха, для любого р е Р, тогда и любая последовательность т — подпоследовательность (х : а е т) также р — сходится к точке х при любом р е Р. Очевидно,

что такие Р существуют, например, в случае т = с и Р = /сс \ с получим требуемое Р .

Следуя терминологии Л. Кочинаса [10], будем в этом случае говорить, что т — последовательность (х : а е т) сильно Р — сходится к точке х и писать х = sP — Ншх^ .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Отображение / : X ^ У назовём Р — секвенциально непрерывным, если оно переводит сильно Р — сходящиеся последовательности в

сильно P — сходящиеся, т.е. из того, что x = sP — limx^ следует, что f (x) = sP — limf(xa ).

Если топологическое пространство X таково, что всякая сильно P — сходящаяся последовательность сильно P — сходится только к одной точке, то такое пространство, мы будем говорить, обладает единственными P — пределами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Отображение f : X ^ Y назовём P — секвенциально замкнутым, если оно переводит P — секвенциально замкнутые множества в P — секвенциально замкнутые множества. Подмножество M назовём P — секвенциально замкнутым, если всякая сильно P — сходящаяся последовательность из M сильно P — сходится к точке из M .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Топологическое пространство X обладает единственными P — пределами тогда и только тогда, когда диагональ пространства X является P — секвенциально замкнутым в X х X .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть пространство X обладает единственыыми P — пределами и диагональ Д = {(x,x):x е X} не является P — секвенциально замкнутым в X х X. Тогда найдётся т — последовательность {za = (xa ,\):ает} и точка z е X х X такая, что z = (x, y), x Ф y и т — последовательность (z : а е т) сильно P — сходится к точке z, т.е. z = p — lim za для любого p е P. Так как отображения проектирования жх на первый и второй сомножители пространства X х X непрерывны, то x = p— limx^ для любого p е P и y = p— limx^ для любого p е P, но X Ф y. Таким образом, мы пришли к противоречию.

Обратно, пусть теперь т — последовательность (x : а е т) сильно P — сходится к двум различным точкам x и y. Тогда, как нетрудно, видеть т — последовательность (z : а е т) сильно P — сходится к точке z = (x, y) , x Ф y.

Следовательно, диагональ ДсXхX не является P — секвенциально замкнутой.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Если отображение f : X ^ Y является P — секвенциально

непрерывным, тогда f 1 (A) является P — секвенциально замкнутым для любого P — секвенциально замкнутого подмножества A пространства Y .

Пусть отображение f является P — секвенциально непрерывным и A P — секвенциально замкнуто в Y. Если f 1 (A) не является P — секвенциально замкнутым множеством в, тогда найдётся т — последовательность (xa : а е т) с f 1 (A) , сильно P — сходящаяся к точке x е X \ f— (A) и в силу P — секвенциальной непрерывности отображения f т — последовательность (уи = f : а е т) сильно P — сходится к точке y = f (x) £ A, что противоречит P секвенциальной замкнутости множества A .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Пусть т— последовательность (xa:ает) T — пространства X такова, что никакая её т подпоследовательность не является сильно P — сходящейся. Тогда множество A = {(x ,а):ает)} является P —

секвенциально замкнутым подмножеством пространства X х т(P) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Топологическое пространство X назовём Р —секвенциально Р компактным, если любое бесконечное множество содержит сильно Р сходящуюся т последовательность.

Как нетрудно видеть, понятия Р секвенциальной компактности и Р компактности не совпадают даже в самом простом случае, т.е. когда Р состоит из одной точки (одного ультрафильтра). Примером может служить пространство

З(с)\{р}. Оно не является р — компактным, но оно является р — секвенциально компактным. Но в свою очередь, любое р компактное пространство является р

г> *

секвенциально компактным. В случае Р = с , мы получаем обычное понятие секвенциальной компактности, где с = /(с) \ с.

Непосредственно из последнего определения получаем следующие утверждения: Р секвенциально непрерывный образ Р секвенциально компактного пространства является Р секвенцильно компактным пространством.

Р — секвенциально компактное подмножество пространства, обладающего единственными Р пределами, является Р секвенциально замкнутым.

Р секвенциально замкнутое подмножество Р секвенциально компактного пространства является Р секвенциально компактным подмножеством.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Р — секвенциально непрерывное отображение / : X ^ У называется Р секвенциально совершенным отображением, если / х12 : X х X ^ У х X является Р — секвенциально замкнутым для любого

пространства X , где является тождественным отображением пространства X .

п *

Нетрудно заметить, что в случае, Р = с наше определение превращается в секвенциально совершенное отображение [2].

Следующая теорема является аналогом теоремы о произведениисовершенных отображений [9].

ТЕОРЕМА 1. Пусть отображения / : X1 ^ У / : X2 ^ У2 являются Р — секвенциально совершенными отображениями. Тогда отображение / = / х / также является Р — секвенциально совершенным. Обратно, если отображение / является Р — секвенциально совершенным, то и отображения ^ и /2 являются Р —

секвенциально совершенными.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В доказательстве используется метод, предложенный Бурбаки [9]. Пусть отображения / и /2 являются Р — секвенциально

совершенными. Нетрудно догадаться, что композиция Р секвенциально замкнутых отображений является Р секвенциально замкнутым отображением. Возьмём произвольное топологическое пространство X . Отображение / х /2 х 12,

очевидным образом, является композицией отображений 1 х / х12 и / х х 12, которые в силу предположения Р секвенциально замкнуты. Действительно, отображения 17 х 12 и 1Х х 12 являются тождественными отображениями пространств У х X и X2 х X , а отображения / и / являются Р — секвенциально совершенными отображениями. Таким образом, отображение / х / является Р — секвенциально совершенным.

Обратно, пусть отображение / является Р — секвенциально совершенным, X -произвольное топологическое пространство. Пусть К - Р —секвенциально замкнутое подмножество пространства X2 х X и Т его образ в у х X при

оотображении / х12 . Очевидно, что множество (/ х 12)(Х1 х Б) в У х У2 х X совпадает с / (X1) х Т . В силу Р — секвенциальной совершенности отображения / и Р — секвенциальной замкнутости множества К, множество / (X1) х Т Р — секвенциально замкнуто в У х У х X . Но тогда множество Т Р — секвенциально замкнуто в у х X, так как произведение двух множеств Р — секвенциально замкнуто тогда и только тогда, когда Р секвенциально замкнуты сомножители. Таким образом, отображение / является Р секвенциально совершенным.

ТЕОРЕМА 2. Пусть отображения / : X ^ У и g : У ^ X являются Р — секвенциально непрерывными.

a) если / я g Р — секвенциально совершенны, то ж g0/ Р — секвенциально совершенно.

b) если / является Р — секвенциально совершенным отображением и / отображение «на», то и £ Р — секвенциально совершенное отображение.

c) если является Р — секвенциально совершенным отображением и g взаимно однозначно, то / Р — секвенциально совершенное отображение.

с1) если / является Р — секвенциально совершенным отображением и 7

обладает единственными пределами, тогда / Р секвенциально совершенное отображение.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. а) Пусть / и g Р —секвенциально совершеннем отображениея и ¥ Р — секвенциально замкнутое подмножество пространства X X (), где О -произвольно выбранное топологическое пространство. Очевидно, что

((ё°= (ё01д)°(([Ч1д)Р) откуда, в силу предположения, множество ./)х ) Г7 является /' —секвенциально замкнутым. Итак, отображение £ ° / является Р — секвенциально совершенным.

b) Пусть £/ секвенциально совершенное отображение и / отображение «на».

Рассмотрим множество где А Р — секвенциально замкнутое

подмножество в У х Q. Учитывая, тот факт, что / является отображением «на» и отображение / х является Р — секенциально непрерывным, мы получаем Р — секвенциальную замкнутость множества (/х^) 1А и следующее соотношение: ((.? ° У) х ^д) ° ((У х ^д)1 А) = х ) А. Из этого соотношения следует, что д)А является Р — секвенциально замкнутым отображением. Таким образом, отображение g Р — секвенциально совершенно.

c) Пусть отображение/ является Р — секвенциально совершенным и g -

взаимно однозначно. Возьмём произвольное Р — секвенциально замкнутое

26

подмножество Р пространства X / О. Очевидно, что

((Я°/)х1е)^ = (Ях1е)°((/х1е)^) и множество является

Р — секвенциально замкнутым, откуда в силу взаимной однозначности отображения g и Р — секвенциальной непрерывности отображения g х1д следует, что множество

( g х1е)—Ч( g X /) х^) Р Р — секвенциально замкнуто и

((Я° ./ )х 'у = (/х1у )/•'. т.е. отображение / Р — секвенциально совершенно.

ф Пусть g X / является Р — секвенциально совершенным отображением и У обладает единственными Р — пределами. Положим р(х) = (X, / (х)) и щ( у) = (g( у), у), т.е. определены отображения р: X ^ У и Щ: У ^ Z X У . Очевидно, отображение р Р — секвенциальным гомеоморфизмом пространства X на график отображения / и отображение Щ является Р — секвенциальным гомеоморфизмом пространства У на пространство, симметричное графику отображения g. Учитывая предположение, мы получаем, что график р(Х) отображения / Р — секвенциально замкнут в X х У, откуда нетрудно вывести, что отображение р является Р — секвенциально совершенным. Из теоремы 1 следует, что отображение ((£ - / ) / 1г) Р — секвенциально совершенно, а тогда в силу а) и того, что о у) / \у) с (р = <// о f ив силу взаимной однозначности отображения (// из с) следует, что / Р — секвенциально совершенно.

Нижеследующая теорема является Р — секвенциальным аналогом теоремы о секвенциально непрерывных отображениях [2].

ТЕОРЕМА 3. Пусть отображение / : X X У является Р — секвенциально

непрерывным и пространство У обладает единственными Р — пределами. Рассмотрим следующие условия:

a) / Р — секвенциально совершенное отображение

b) / X 1д : X X тР ^ У X тР является Р — секвенциально замкнутым отображением

c) если т — последовательность

не содержит никакой сильно Р — сходящейся т — подпоследовательности в У.

ф если В Р — секвенциально компактное подмножество пространства У, тогда /В) является Р — секвенциально компактным подмножеством пространства X .

В этом случае с) ^ ф, а) ^ Ь), если же пространство X является Т — пространством, тогда Ь) ^ с).

Множество 5" - это множество : с ет} со всеми Р — пределами.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО с) ^ ф. Пусть (яа :ает) т — последовательность в / 1 (В) . Если т — последовательность (яа :а ет) не содержит ни одной сильно Р — сходящейся т — подпоследовательности в X, тогда (/ (^ ) : с ет) не

содержит никакой сильно P — сходящейся т — подпоследовательности по свойству c). Но так как (f (s ) : а е т) с B, то это противоречит P — секвенциальной компактности множества B. Поэтому т — последовательность (s :ает) содержит сильно P — сходящуюся т — подпоследовательность (s : k ет) к некоторой точке x и тогда (f (s ) : k е т)) сильно P — сходится к точке f (x) . В

силу P — секвенциальной компактности множества B и в силу того, что Y обладает единственными P — пределами, B является P — секвенциально замкнутым. Следовательно, f (x) е B и (sa : k е т) сильно P — сходится к точке x е f —1 (B) .

a) ^ b) - это следует сразу из определения.

b) ^ c) Пусть пространство X является T — пространством, тогда наша импликация следует из предложения 3.

Литература

1. Bernstein A. R. A new kind of compactness for topological spaces // Fund. Math. - 1970. V.66, P.185-193.

2. Brown R. On sequentially proper maps and a sequential compactification // Journ. London Math. Soc.-1974.-V.7, № 3. -P.515-522.

3. Комбаров А. П. Об одной теореме А. Х.Стоуна // Докл. АН СССР.-1983.-Т.270, № 1.-С.37-40.

4. Комбаров А. П. О компактности и секвенциальности по множеству ультрафильтров. // Вестник МГУ. - Серия матем., мех.-1985.-Т.5.-С.15-18.

5. Ginsburg J., Saks V. Some applications of ultrafilters in topology // Pacific Journ. Math.-1978.-V.57, № 2.-P.403-408/V. Saks. Ultrafilters invariants in topological spaces // General Topol. And Appl.-1974.-V.4, № 1.-P.1-28.

6. Stephenson R. M. Initially k-compact and related spaces, In: K. Kunen and J. E. Vaughan, eds., Handbook of Set-theoretic Topology, North-Holland, Amsterdam, 1984, 569-602.

7. Vaughan J. E. Countably compact and sequentially compact spaces. Ibid., 603-632.

8. Бурбаки. Общая топология. Основные структуры. - М.:Наука, 1968.-272с.

9. Kocinac L. A generalization of chain-net spaces. Publications De L'institut Mathematique. Nouvelle serie tome 44 (58), 1988. pp.1089-114.