Динамика одномерных широтно-импульсных систем управления

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1.Вып.3.1999

УДК 681.511.4

Динамика одномерных широтно-импульсных систем

управления

Н.А.Антонова

Получены необходимые и достаточные условия для существования и нестабильности периодических колебаний с заданным числом импульсов на периоде в системах управления с широтно-импульсным модулятором первого и второго рода.

В данной работе исследуется задача существования и устойчивости периодических колебаний в широтно - импульсных системах управления первого и второго рода (ШИС-1, ШИС-П) с постоянным внешним возмущением. Эта задача решалась в [1], где были получены достаточные условия существования и устойчивости вынужденных периодических колебаний с произвольным числом импульсов на периоде. Но эти условия мало зависят от свойств широтно - импульсных модуляторов, практически неэффективны для систем первого порядка, и, следовательно, далеки от необходимых. Кроме того, в [1] утверждается, что широтно - импульсные системы при малых периодах модуляции ведут себя как непрерывные системы.

В [2] сообщается о детерминированном хаосе в ШИС-1 первого порядка, т.е. о существовании неустойчивых периодических колебаний с заданным числом импульсов на периоде. Автор [2] посредством численных экспериментов строит карты устойчивых периодических режимов с насыщением и зон хаоса. В [3] речь ведется о фрактальных множествах, связанных с ШИС-1, и приводится описание структуры МРП режимов в пространстве параметров системы на языке символической динамики.

В данной работе для одномерных систем управления приводится аналитическое описание областей в пространстве параметров системы, где существуют как устойчивые, так и неустойчивые периодические колебания с любым наперед заданным числом импульсов на периоде.

© Антонова н.А., 1999.

1. Описание системы

Одномерная широтно-импульсная система управления описывается уравнением вида

Тг^ + и^^ а — ф — и.

Здесь Т\ - положительная постоянная времени управляемого объекта, 11 - состояние системы управления, <р - сигнал на выходе импульсного элемента, сг - ошибка управления объектом, ф - постоянное внешнее воздействие на систему. Рассматриваются следующие виды широтно-импульсного управления:

а)широтно-импульсная модуляция первого рода (ШИМ-1), для которой выход <р модулятора определяется как кусочно-постоянная функция вида

/,\ _ \ <т(пТ), пТ <1<пТ + тп ( •

пГ + тп<*<

Здесь

тя = Г-тш{КпГ)|/<г,;1},

сг* - порог насыщения импульсного элемента, Т - период модуляции импульсного элемента;

б)широтно-импульсная модуляция второго рода (ШИМ-Н), для которой имеет вид (2), а тп—первый неотрицательный корень уравнения

ктп = Т-!а

если таковой имеется на [О,Г], и тп = Т в противном случае. Здесь к—положительное число.

гр

Введем в рассмотрение величину а = ¿г - параметр, связывающий характеристики непрерывной линейной части системы и импульсного элемента.

2. Формулировка результатов

Пусть га— заданное натуральное число. Будем исследовать тТ— периодические решения уравнения (1), для которых

+ тТ) = <р

Среди периодических решений выделим многотактные релейные периодические (МРП) режимы с насыщенными импульсами, для которых

ф 0, для всех ^ € [0, тТ],

и простейшие нетривиальные колебания, для которых

¥>

при этом все значения сх(кТ), к = 3,4, ...,т одного знака.

Здесь г £ (0, Т) - длительность первого ненасыщенного импульса, а остальные импульсы на периоде являются насыщенными.

Последовательность знаков импульсов на исследуемом тТ—периодическом колебании считается заданной. Нас интересуют условия на параметры системы а,ф,сг*,к, при которых искомое колебание реализуется. Свойство устойчивости периодического колебания будем относить к порядку. Известно, что все МРП режимы в системах с ШИМ-1 устойчивые, т. е. это пример порядка. Под хаосом будем понимать существование неустойчивых периодических колебаний с произвольным числом импульсов на периоде. Теорема 1(ШИС - /, ш - 1).

1. Устойчивый однотактный релейный периодический режим существует тогда и только тогда, когда

Н><7, + 1.

2. Простейшее нетривиальное Т—периодическое колебание существует тогда и только тогда, когда

0 < \ф\ < а* + 1.

Это колебание будет устойчивым, если

\Ф\ < - +1)) + +1) -1),

а а еа — 1 а

и неустойчивым, если

\Ф\ > ~ ьАе* + 1)) + + 1) - 1).

а а е — 1 а

Теорема 2(ШИС - т = 2, т = 3, т = 4).

Устойчивый т—тактный релейный периодический режим существует тогда и только тогда, когда

е° — 1 1 + --

— ^та _ 1

Теорема 3(ШИС -1,т> 5). Если выполняется условие

м - 1 + ¿ГГ^1 + ¿¿~[(2е{т~1)а --

(еа - I)2 < --- <г.,

ета _ I

где к— делитель числа (т — 1), причем к > 2, то в системе существует устойчивый т—тактный релейный периодический режим. Теорема 4(ШИС - /, т > 2).

Простейшее нетривиальное тТ—периодическое колебание существует тогда и только тогда, когда точка (ф; а*) является внутренней точкой одной из областей: а) ограниченной линиями

№| = <т, + 1, \ф\ = \ — о* —

причем

кривой, заданной в параметрическом виде,

а - 1п(1 + (ета - 1)|*|)'

С7* ~

а + 1п

=

где

еа — 1 еа — 1

--—1-<t<~—V;

gта _ 2 (>та _ |

б)либо ограниченной линиями

= +

и кривой, заданной в параметрическом виде,

а

\ф\ = 1-Ъ- + + ¿е«"1-1)",

где

/е(ш-1)а _ 2е» + 1) (еа - 1) еа - 1

^___I_¿.Л_< £ <__

(е(т-1)а _ 1) _ 1) ета - Г

Это колебание будет устойчивым, если

еа - 1

1 +

ета _ 1

и неустойчивым, если

< ^Ь

а а ета — 1 о;

еа - 1

- 1 + -

- 1

> + + +

а а ета — I а

Теорема 5(ПШС - II, т> 2).

Простейшее нетривиальное тТ—периодическое колебание существует тогда и только тогда, когда точка (ф\ к) является внутренней точкой области, ограниченной линиями

\ф\ = к + 1, « = 0,

и кривой, заданной в параметрическом виде,

к = ~сЛ

1п (1 - (ета - 1)е~Н) (еа - 1(ета - 1)) ' 1 '

\ф\ — I + к —

где

еа — 1

О < £ <-

рта _ ^' V '

Это колебание будет устойчивым, если

М < ТТ^ + + ^ + ^ - ^

1 + е тос а а ета + 1 сх.

и неустойчивым, если

\ф\ > ----+ «

1 + е~та v а' а к у Аета + 1 а" у 1

Первое утверждение теоремы 1 общеизвестно. Теоремы 2 и 3 дают аналитическое описание областей существования устойчивых т—тактных релейных периодических режимов, экспериментально построенных в [2,3]. В теореме 3 сформулировано только достаточное условие, но в некоторых случаях оно может быть и необходимым. Действительно, обозначим через р число делителей натурального числа (ш — 1),

за исключением делителя, равного 1, а через q обозначим значение теоретико-числовой функции Эйлера от аргумента т. В [3] сообщается, что общее количество МРП режимов в исследуемой системе равно q. Поэтому, в случае q = 2р, условие (13) теоремы 3 позволяет описать все области существования устойчивых т—тактных релейных, периодических режимов и является необходимым условием их существования. В теоремах 4 и 5 описаны области существования простейших нетривиальных тТ— периодических колебаний в системах с ШИМ-1 или ШИМ-Н, а также выделены зоны существования как устойчивых, так и неустойчивых периодических колебаний.

3. Доказательства

3.1. Вывод основных формул

Введем обозначения

un = и(пТ), сгп = а{пТ) = ф — ип.

Для систем с ШИМ-1 решение уравнения (1) с функцией <p(t), определяемой (2), примет вид

„(„Т 4- t\ - / ^ ~ е'а*/Т1Ф - + {eat'T - l)sign<rn], если t € [0, т„], + j " 1 ф - е~а^т[ф -ап + (еат"/т - l)sign<7„], если t G [т„, Т].

Отсюда выводим формулу одномерного отображения [4]

О-гг+1 = Л>п),

где

f(a) = сге~а + ф( 1 - е-а) - е~а{еат1т - l)sign<7. Величина т, в соответствии с (3), определяется формулой

т — Tmin{jíjj/(T», 1}.

Циклы периода га отображения (33) дают тТ - периодические колебания в исследуемой системе. В случае многотактного релейного периодического режима с га импульсами на периоде зависимость между сигналами в тактовые моменты имеет вид

Г crs+1 = crse~a + (ф- Аа)(1 - е~а), As = signo-;, (5 = 1,2,..., m), \ ^m+l = О"!

Введем обозначения

хт — 1

х-еа,А = --

х — 1

Тогда решение последней системы уравнений относительно аа можно записать следующим образом

1 / а—1 т \

^ = ф ~ д ( Е Л'-с7П+'~а + А* + £ А,-**"' 1,5 = 1,2,.... т.

\ 2 — 1 ¿=5+1 /

На исследуемом МРП режиме в соответствии с формулами (7), (2), (3) имеем

А«^ > 5 — 1,2,..., т.

Поэтому существование МРП режима возможно в том и только том случае, когда совместна следующая система из т неравенств

' 5—1 771

о-* < As

\ г=1 z=s+l

Д| = g""''3 =

В случае простейшего нетривиального периодического колебания с m импульсами на периоде длительностями тх — г, т3 = T,s = 2,3,..., m и знаками signer! = Ai, sign<72 = A2,sign<7s = А, .s = 3,4,...,m зависимость между сигналами в тактовые моменты имеет вид

сг2 = cr1e_a + ф(1 - e"a) - A1e-a(eOT/T - 1), (7:î = a2e- + (^-A2)(l-e-t'), Cs+i = crse~a + (ф - A)(l - e_a), s = 3.4. ...,то, Cm+l ~ Cl

Введем обозначения

OiT gf — 1

У = = ^ггу'0 <f<Q-

Тогда, учитывая (34), решение последней системы уравнений относительно ст., можно записать следующим образом

f СП = Ф - i (АхДР(у) + А2Х + А(Д - 1 - х)),

= ф - £ (А1ЛР(г/)жто_'1 + А2 + А(Д - г"'"1 - 1)), | <7, = ^ - ^ (XiAP(y)xm~s+i + X2xm~s+2 -f А(Д - xm~s+1 - xm~s+2)), \ s = 3,4,..., m.

На простейшем нетривиальном периодическом колебании в соответствии с описанием системы с 1ПИМ-1 и обозначением (36) выполняются соотношения

А].01 = ——,А2сг2 > с*,Ха3 > = 3,4, ...т. а

Поэтому в системе с ШИМ-1 существование исследуемого колебания возможно в том и только том случае, когда совместна следующая система из одного уравнения и т — 1 неравенства

^ + Р(у) = \Х1(Хф-1) + ^ (аг(1 - АА2) + 1), у Е (0; а), <7* + АХА2Р(у)хт~1 < АА2(Аф - 1) - £ + АА2^±1,

<

Так как

з = 3,4,..., га.

> 0,1 - АА3 > 0,ж > 1,

то последние га — 2 неравенства, т.е. для з = 3,4, ...,га, выполняются тогда и только тогда, когда имеет место неравенство при в = т. Следовательно, приходим к условиям

^ + Р(у) = ААХ(А^ - 1) + ^ (я(1 - АА2) + 1), ^ + А 1Х2Р(у)хт-1 < АА2(Аф - 1) - £ + АА2?^, (38) а, + А 1ХР(у)х +

3.2. Доказательство теоремы 1 Здесь эта теорема приведена для полноты изложения результатов. Ее полное доказательство опубликовано в [5].

3.3. Доказательство теоремы 2 На МРП режиме с двумя импульсами (га — 2) противоположных знаков ( — А, А) на периоде неравенства (35) примут вид

Здесь А = I либо А — —1. После преобразований приходим к соотношению

х — 1 х — I

-(—^--< Хф < —---а.,

которое,с учетом (34), эквивалентно (13).

Если же число импульсов на МРП режиме три или четыре на периоде, то их знаки (—А, А, А) для га = 3 либо ( — А, А, А, А) для га — 4.

Тогда неравенства (35) удовлетворяются в том и только том случае, когда имеют место оценки

а» < -\ф + 1 сг* < Хф - 1 + 4-х.

А '

Из (34) следует, что —х — 1 < 0. Поэтому последнее неравенство предполагает, что Хф > 0, значит \ф = \ф\. Несложные преобразования приводят нас к неравенству

\ф\- 1 +

х + 1

Д

<

1

А

После подстановки (34) получаем (13). Теорема 2 доказана.

3.4. Доказательство теоремы 3 Пусть к > 2 - делитель числа (т — 1). Тогда т = кр + 1,т > 5,р > 1. Нас интересует проблема существования МРП режима с т импульсами на периоде, знаки которых имеют вид

Хэк+1 — ~~Х, А

ак+1

Л, 5 — 0,1,...,р — 1,1 — 2,3,..., к, Хт — А,

т.е. на периоде МРП режима выделяется р групп по к импульсов в каждой с фиксированными знаками. Неравенства (35) преобразуются к виду

а* <

-(Хф-

Е*-1

V* < Хф - 1 + -д- ^--

в = 0,1, ...,р — 1, / = 2,3,..., к, а*<Хф~ 1 + 2**-1-!

+

р—*=_1

+

хк-1 х(Р-)к

X*

А Хк-\ '

Первое из последней системы неравенств выполняется при всех допустимых значениях з = 0,1, если оно справедливо для наибольшего значения з = р — 1 т.е., если

<7, < ~

2_

Д+1

хк — 1

+

1

XЛ

1

Второе из последней системы неравенств выполняется при всех допустимых значениях 5 = 0,1, ...,р — 1 и I = 2,3,..., к, если оно справедливо для наименьшего значения 5 = 0 и наибольшего значения I — к т.е.,

если

СГ* < Хф — 1

2х Ахк

„т+к

„т —1

+

X

X"

хк — 1

Поскольку

X171-1 - 1 < \

для всех х > 1,к > 2, то самое последнее неравенство из последней системы неравенств гарантирует предшествующую оценку для <т*.

Таким образом, приходим к системе из двух неравенств, обеспечивающих существование МРП режима с т импульсами на периоде,в виде

< А* - 1 +

После замены (34) и некоторых преобразований они переписываются в форме (14). Теорема 3 доказана.

3.5. Доказательство теоремы 4 Для доказательства существования простейшего нетривиального тТ—периодического колебания нам следует выяснить условия разрешимости системы (38). Уравнение в (38) имеет в левой части монотонно возрастающую функцию аргумента у е (0; а) с наименьшим значением 0 и наибольшим сг, + Поэтому это уравнение имеет единственное решение на интервале (0; а) в том и только том случае, когда его правая часть удовлетворяет неравенствам

0 < ЛЛх

Осталось выяснить вопрос о совместности неравенств, входящих в (38), на решении уравнения из (38). Сделаем ряд преобразований. Из уравнения (38) выразим

Р

Вначале допустим, что совпадают знаки А — Л2. Тогда из (38) и (40) находим

(х(^-ХХ,Р(у)) > <г* — Хф + 1.

Поскольку х > 1 и — ААхР(г/) >0, то приходим к эквивалентной

^у + Р(у) = ХХ^Хф -АА +

А

системе

у + Р{у) = ХХ^Хф - 1 +

В случае АА1 = 1, учитывая обозначение (36), неравенство из системы (42) записывается в виде

Поэтому система (42), состоящая из уравнения и неравенства, имеет решение относительно переменной у € (0; а) тогда и только тогда, когда справедливы неравенства

0 < Хф - 1 + \ < <г„ + Хф-1 + ±<^\п (1 + (хт _ 1)(Х +

А 4. А^-1-о»

)) + * +

I \ф-1-о.

В случае ААХ = — 1 неравенство из системы (42) сводится к оценке

Следовательно, система (42) имеет решение тогда и только тогда, когда справедливы соотношения

о < -(Хф - 1 + < а, +

-(Аф - 1 + > ^ 1п (1 - (*» - 1)(£ + - X -

На плоскости параметров (ф,сг*) границы областей (43) и (44) описываются уравнениями (15) и (16), а также кривой в параметрическом виде (17),(18), если в качестве параметра выбрать

1 Хф - 1 - <7* . 1 1 Д X х АД'

Теперь предположим, что знаки А = — А2. Тогда из (38) придем к системе .

—ЛЛ1Жтп_1Р(г/) + ег. < -(А^ - 1) - £ -

что, в свою очередь, равносильно системе

^ Р(у) =+ ХХ^Хф - 1 + ХХ1хт~1Р(у) > ст* + Хф - 1 + | + АА 1ХР(у) <-а* + Хф-1 +

Если Л = Аьто придем к системе

{ Р

>

I Р(у) <

Х-ф-1 -а, 2x^-1

Д'

Эта система имеет решение в том и только том случае, когда выполняются следующие оценки

С 0 < Хф - 1 + ^ < <Х* + \ф- 1 + + [1 + -1) + Хф - 1 + < + 2^1 + [1 + (а-т _ 1} + 2^1)]

На плоскости параметров (ф,сг*) границы этой области описываются уравнением (20) и кривой в параметрическом виде (21),(22), (23), если в качестве параметра выбрать

г

1 <т* + \ф- 1 +

+

X

т—1

2ж + 1 1

А' хт~1 '" " 4 А(хт~1 - 1) ' А

Если же в (45) положить А — — А1,то придем к системе

Р(У) = -Ъу ~ ^ ~ 1 + Д )' Р(у)< Р(у) > -

Хф—1—<т«

х

Д ' 2д+1 Д '

Эта система имеет решение в том и только том случае, когда выполняются следующие оценки

0 < -(А0 - 1 + < С7* +

г-т-1

д + ~ Ь Д а

\ + {хт -1)

+ (х™ -1)+а**;

1)

На плоскости параметров {ф,<г*) это пустая область.

Для доказательства устойчивости простейшего нетривиального периодического колебания нам следует проверить, что

¿а йа

¿(7

<1,

где о-!, сг2,..., ат элементы исследуемого цикла. Поскольку первый импульс ненасыщенный, а остальные импульсы насыщенные, то из (ЗЗ)на-ходим

Щ = е-(1 _ Щ = е-«>5 =

аа ст» аа

Перемножаем и приходим к неравенству

е-™*|1 _ —< 1, сг*

которое эквивалентно следующей оценке для у

у <\п{аЦхт + 1)).

а

Напомним, что у - это решение уравнения (40). Если положить Л = Л2, то решение уравнения (40) с оценкой (46) существует тогда и только тогда, когда выполняются неравенства

Последнее легко преобразуется в условие (24).

В случае А = — А2, неравенства в (45) и оценка (46) оказываются несовместными, поэтому область устойчивости отсутствует.

Для доказательства неустойчивости простейшего нетривиального периодического колебания нам следует показать, что

¿¡(ах) (1/{а2) ¿¡(ап) ^ ¿сг йа ¿а

которое эквивалентно следующей оценке

у > + 1)).

а

Несложные рассуждения позволяют прийти к условию неустойчивости (25). Теорема 4 доказана.

3.6. Доказательство теоремы 5 Из (32) находим

а(пТ + г) = (ф - sigmrn)(l ~ е"°т/Т) + .

В ШИС-Н в соответствии с (4) функция а(пТ + т) не меняет знак для т € (О;Т). Поэтому signa(пТ + тп) = signcrn для всех п. Если все импульсы будут насыщенные, т.е. тп = Т при всех п, то все они будут иметь один и тот же знак. Следовательно, МРП режимы в ШИС-П отсутствуют. Простейшие нетривиальные гаТ—периодические колебания возможны, но с импульсами одинаковых знаков, т.е.

signai = sign¿r2 = ...signcrn = Л.

Значения сигналов в тактовые моменты <7Ь сг2,..., <тт на периоде нетрудно вычислить из

¡а1=ф-Х(Р(у) + 1-^),

\as = ф — X(P(y)xm~^ + 1 - s=¡fíi), í = 2,3,..., m.

или

Ы-Хф + 1 = ±-Р(у),

\а,\ -Хф + 1 = - P(y))xm-+1,s = 2,3, ...,m. 3

На исследуемом режиме первый импульс ненасыщенный, его длина т связана с переменной у формулой у — В соответствии с (4) у определяется как первый корень уравнения

^ =

a

Если |<7i| заменить выражением из первого уравнения системы (47), сделать необходимые преобразования, то получим

*И-Хф + 1-е-У

a /д

где Р(у) определяется в (36).

Все импульсы, кроме первого, на искомом режиме являются насыщенными. Поэтому для всех г Ç (0; Т) уравнение (4) не имеет корня, т.е. выполняется неравенство

У <(Хф- 1)(1 + К|е—s = 2,3,...,m,г G (0;Г).

Теперь переобозначим z — заменим |ersj выражением из второго уравнения системы (47), получим неравенства

— < Хф - 1 + xm~s+1(±- - Р(у))е-% s = 2,3,..., a А

m

для всех 2 € (О;«). Поскольку

1_Р(|/)>0,у€(0;а),

то все из т — 1 неравенств для .я - 2,3,..., т последнего набора удовлетворяются, как только выполняется неравенство с наибольшим значением в — т .

1 + *(1 - Р(у))е-*,г е (0; а).

а ¿л

В силу монотонности по переменной 2 левой и правой частей этого неравенства необходимым и достаточным условием для его выполнения является обепечение этого неравенства при г = а, т.е. соотношение

к<Хф- 1 + ^ - Р(у),

которое эквивалентно оценке

у <1п

Таким образом, в ШИС-П существование нетривиального тТ—периодического колебания с одинаковыми знаками импульсов на периоде возможно в том и только том случае, когда существует на интервале (0; а) решение уравнения (49), удовлетворяющее оценке (50). Необходимыми и достаточными условиями разрешимости уравнения (49) с оценкой (50) являются соотношения

( —\ф + 1 — ^ < 0,

I к - Хф + 1 > 0,

] х - (хт - 1)(/с + 1 - Аф) > 1,

[ 11п (X - - 1)(к + 1 - Аф)) - А0 + 1 - + >

Введение параметра I — к — Хф позволяет перейти к системе неравенств

(*<« + £, М>о,

На плоскости параметров (ф, к) это область, ограниченная прямыми (26), а также кривой, заданной в параметрическом виде (27), (28).

Теперь найдем достаточные условия устойчивости и неустойчивости простейшего нетривиального тТ—периодического колебания. Из (33) вычисляем

Дифференцируем уравнение (49), получаем

« ¿т ,, , -уОсйт , -уасс1т

~а~Иа ~ ~ + Ые тТа

Принимая во внимание первое уравнение из (47), находим

а ¿т

Хе~у

Следовательно,

= е~а 1

а

Аа ^ к + ку — а(\ф — 1)/

Неравенство, обусловливающее устойчивость исследуемого колебания,

0?/

йа <1о эквивалентно следующей оценке

1 -

¿а

< 1,

а

к + ку — а

< 1.

Из (49) и (36) выводим, что

а хш — 1

что позволяет последнее неравенство записать как

хе

-у

1

>

1

или

у < а — 1п

хт - 1 хт + 1 а' 1

1 + {хт- 1)(

хт + 1 а

Решение уравнения (49) будет удовлетворять оценке (51), если потребовать выполнения неравенства

а

а — In

1 + 0гто-1)(

1

хт + 1

!>

OL

- Хф + 1 -

1 К «

- + _ > о.

хт + 1 а

Это неравенство равносильно (30).

Неравенство, обеспечивющее неустойчивость исследуемого колебания,

ФЫФЫ ¿/

da da эквивалентно следующей оценке

da

> 1,

у > а — In

1 + (хт — 1)(

1

хт + 1

а

Решение уравнения (49) будет удовлетворять последней оценке, как только

— I а — In

а

1 + (жт - 1)(

1

хт + 1 а

-Хф + 1-

1 « л

-- + - < 0,

хт + 1 а

что сводится к (31). Теорема 5 доказана. Литература

1. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб: Изд-во С.-Пб. ун-та, 1993. 268с.

2. Кипнис М.М. Хаотические явления в детерминированной широгно-импульсной системе управления// Техническая кибернетика. 1992. Jßl. С. 108-112.

3. Кипнис М.М. Символическая и хаотическая динамика широт-но-импульсной системы управления// Доклады Академии наук. 1992. Т. 324. №. С. 272-274.

4. Шарковский А.,Н., Коляда С.,Ф., Сивак А.,Г., Федоренко

В.В. Динамика одномерных отображений. Киев: Наук, думка, 1989.

5. Антонова H.A. Хаос и порядок в широтно-импульсных системах управления//Вестник Сыкт. ун-та. Сер.1. 1995. Вып.1. С.III-US.

Summary

Antonova N.A. Dynamic of one dimentional pulse-width modulated control systems

Nesessary and sufficient conditions are obtained for existence and instability of T-periodic modes in control systems employing pulse-width modulation of the first and the second kinds.

Сыктывкарский университет Поступила 15.09.98