Математические модели для операций с производными инструментами

ИНСТРУМЕНТЫ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ОПЕРАЦИЙ С ПРОИЗВОДНЫМИ ИНСТРУМЕНТАМИ

А. К. ФЕЛЬДМАН, доктор экономических наук, профессор Финансовой академии при Правительстве РФ

Анализ временных рядов, численные методы, математика непрерывных процессов1. Стандартными методами составления математических моделей для задач, решаемых в ходе рыночных операций, являются корреляционный анализ, регрессионный анализ.

Корреляционный анализ полагает, что если два ряда данных возрастают и убывают одновременно, то связь между ними (их корреляция) является положительной; при противоположном одновременном изменении корреляция является отрицательной; при одновременном независимом изменении этих рядов корреляция обращается в ноль (величины не коррелируют).

Если коэффициент корреляции равен единице, то имеется прямолинейная функциональная зависимость. Чем теснее связь, тем значение коэффициента корреляции ближе к единице. Практически коэффициент корреляции крайних своих значений (1; —1) никогда не принимает, лишь приближается к единице при высокой степени тесноты связей.

Корреляционная связь проявляется в совокупности случайных величин и только в среднем. «Так

'См.: Уотшем Т.Дж., Паррсшоу К. Количественные методы в финансах: Пер. с англ. М.: Финансы, Юнити, 1999; Колб Р., Мейерс Т. Энциклопедия технических индикаторов рынка: Пер. с англ. М.: Ипфра-М, 1998; Де Ковни Ш., Такки К. Стратегия хеджирования: Пер. с англ. М.: Инфра-М, 1996; Кочович Е. Финансовая математика. М.: Финансы и статистика, 1994; Дружинин Н.К. Математическая статистика в экономике. М.: Статистика, 1971; Езе-киэл М., Фокс К. Методы анализа корреляций и регрессий: Пер. с англ. М.: Статистика, 1966; Фишер Р.А. Статистические методы для исследователей: Пер. с англ. М.: Госстатиздат, 1958.

2 Дружинин Н.К. Математическая статистика в экономике. М.: Статистика, 1971. С. 93.

называемая «корреляционная модель» предполагает, что распределение обоих коррелируемых признаков носит случайный характер, тяготеет к нормальной кривой»2, или к нормальной корреляции.

Корреляционный анализ позволяет измерить тесноту связи (статистических) признаков, определить (переход в «регрессионный анализ») форму этой связи и провести углубленное исследование этой связи. Вопрос о вероятностной оценке полученной характеристики тесноты связи в корреляционном анализе решается с помощью приемов выборочного метода.

Достаточно полным выражением тесноты связи по двум признакам в корреляционном анализе выступает ряд формул:

Р =

ис,.а„

или р--

£соу

пага„

или р = -

1>2

(2»

х у -х у

или р = -

а у

где х — значения признака-фактора (независимой величины); у — значения коррелируемого признака (зависимой переменной) с фактором-признаком;

п — число пар сопоставимых значений признаков;

ФИНАНСЫ И КРЕДИТ

65

их — величина среднеквадратического отклонения ряда х; о — величина среднеквадратического отклонения ряда у. Покажем отдельные конкретные, частные способы расчета коэффициентов связи в рамках корреляционного анализа.

Коэффициент корреляции рангов Спирмэна. В этом расчете «ступеньки» возрастания каждого из (двух) признаков последовательно помечаются порядковыми номерами (рангами), затем вычисляется абсолютная разность между рангом первого (независимой переменной) и второго признаков (зависимой переменной), и эти разности возводятся в квадрат. Формула расчета коэффициента корреляции:

= 1-

62У

то показатель будет равен —1 (полная обратная связь).

Показатели, выявленные по методам Спирмэна и Фехнера, просты в расчетах, но свидетельствуют лишь о согласованности в изменениях признаков, без учета масштабов этих изменений.

Коэффициент корреляции, рассчитанный на основе таблицы распределения (корреляционной таблицы) для признаков, имеющих численное выражение, рассчитывается по формуле:

г =

ППхПу

п

где ё — абсолютная разность рангов (по каждой паре сопоставляемых признаков);

п — число пар значений обоих признаков.

Полагают, что для данного расчета не является необходимым условием наличие «нормальной корреляции».

Коэффициент Фехнера. Основан на учете совпадения знаков у отклонений значений сравниваемых признаков от их средних арифметических значений. Расчет этого коэффициента полагает, что если отклонения значений одного признака от среднего арифметического значения в данную сторону сопряжены достаточно часто с отклонениями значений другого признака от своего среднего арифметического значения в ту же сторону, то, по предположению, можно согласиться с наличием прямой связи; достаточно часто несовпадение знаков позволяет предположить обратную связь; колебания в отклонениях признаков — свидетельство отсутствия или слабости связи.

Коэффициент Фехнера рассчитывается по формуле:

„ С-Н

где С — число случаев совпадения знаков отклонений от средних арифметических значений каждого признака;

Н — число случаев несовпадения знаков отклонений от средних арифметических значений каждого признака.

Если знаки всех отклонений совпадут (Я = 0), то показатель будет равен 1 (полная прямая связь); если знаки всех отклонений будут разными (С = 0),

Отличительная особенность этой формулы — учет совместных частот^ ), относящихся к двум признакам. Преобразование же формулы (1) состоит в том, что определены отклонения вариант признаков не от их средних арифметических значений, а от произвольно выбранных начал Ах и А , причем они сокращены на величину интервала:

, х-Ах у-А с1, =-- и а„ =-

где /. и I

величины интервалов признаков хи у.

Условные моменты первого порядка Вх и Ву также сокращаются на величину интервала:

Я 1ХХ и » ...... IХЛ

где /х — число частот по «вариантам» каждого признака.

Коэффициент контингенции используется для выяснения связи между признаками, не имеющими количественного выражения (альтернативная вариация, или изменчивость качественных признаков).

Коэффициент контингенции, или взаимной сопряженности признаков, определяется по формуле:

г = -

аё-Ьс

у]

где а, Ь, с, ё. — значения в клетках таблицы распределения (корреляционной таблицы), имеющей следующую конфигурацию:

а Ъ

с с1

В этой таблице в клетках последовательно размещаются значения совместных (т. е. отвечающих

как одному, так и другому признаку) частот, относящихся к двум качественным признакам, полученные при двух группах наблюдений. Наличие в наблюдениях признака «х» обозначается «1», его отсутствие «О»; наличие в наблюдениях признака «у» — «0», а отсутствие — «1».

Раскроем эту таблицу:

Число частот при наличии признака-фактора « ПЕРВАЯ ГРУППА НАБЛЮДЕНИЯ Число частот при отсутствии признака-фактора (-V) ВТОРАЯ ГРУППА НАБЛЮДЕНИЯ Общее число наблюдений

1 Число случаев отсутствия признака у («а») Число случаев отсутствия признака у (« /»>) Число случаев отсутствия признака у

0 Число случаев присутствия признака у («с») Число случаев присутствия признака у («Ь») Число случаев присутствия признака г

У / / х 1 0 Общее число наблюдений

Для такой четырехклеточной таблицы используется также коэффициент ассоциации Юла, по формуле:

Коэффициент контингенции равен 1 лишь в том случае, если аи с! или бис одновременно равны нулю. Коэффициент ассоциации Юла равен 1 уже в случае, если одно из чисел в клетках таблицы оказалось равным нулю. Величина коэффициента контингенции всегда ниже величины коэффициента ассоциации.

Во всех случаях величина коэффициента корреляции вообще зависит от выбора единицы наблюдения. Если она делится, дробится, расчленяется, то повышается влияние случайностей, и теснота связи уменьшается. Когда единица наблюдения укрупняется, то влияние случайностей уменьшается, и теснота корреляционной связи увеличивается.

С помощью показанных способов расчетов выявляется мера тесноты связи признаков, мера их взаимного варьирования в выбранных статистических рядах данных без специального анализа формы связи между этими рядами. Знание прошлого и будущего, прогноз перемен в связи с изменениями в тех или иных условиях существования нуждаются в выявлении формы связи явлений и соответствующих показателей корреляции.

Перейдем в область регрессионного анализа, решающего вопросы формы связей. В математи-

1 Дружинин И.К. Цит. соч. С. 110, 112.

ческой статистике форма связи рассматривается как некая тенденция в изменениях изучаемого признака, складывающаяся в зависимости от изменения признака-фактора. При отображении на графиках изменений признака, коррелируемого с признаком-фактором, получаем линии регрессии.

«Связь корреляционная превращается здесь как бы в функциональную зависимость, которой формально соответствуют и математические уравнения регрессии... Уравнение связи не может рассматриваться с точки зрения причинно-следственных отношений... Это уравнение, как и все показатели тесноты корреляционной связи, свидетельствует лишь о связи между изучаемыми признаками, проявляющейся в их совместном варьировании»3.

Если тенденция представляет собой равномерное возрастание или убывание значений исследуемого признака, то корреляционная связь называется прямолинейной,при тенденции неравномерных изменений — криволинейной. Поиск тенденции (теоретической линии регрессии) производится с помощью различных алгебраических уравнений, при решении которых выявляются значения коэффициентов регрессии. Регрессионный анализ отражает движение, изменения, процессы, асами регрессионные модели строятся с учетом результатов собственно корреляционного анализа.

Представления о прямолинейной корреляционной связи занимают в математической статистике центральное теоретическое и методологическое положение.

Если регрессия прямолинейная, то ее можно отразить уравнением прямой линии:

у, = а + Ьх,

где у{ —значения признака по линии регрессии, т. е. теоретические значения; х — значения признака-фактора; а и Ь — параметры уравнения, при этом Ь называется «коэффициентом регрессии». При прямолинейной корреляционной зависимости коэффициент регрессии — показатель угла наклона (V- ось ординат, X— ось абсцисс) линии регрессии, т. е. графически теоретическая линия будет отвечать значению тангенса найденного угла — отношению противолежащего катета (линия значений зависимого признака) к прилежащему катету (линия значений признака-фактора).

Коэффициенты регрессии между двумя признаками (за исключением случая, когда коэффициент корреляции равен единице) не являются величинами обратными (при перемене «роли» при-

знаков — меняя независимую переменную на зависимую переменную). Значение коэффициента регрессии зависит от единиц измерения, в которых выражены коррелируемые признаки.

Считается, что коэффициент корреляции и коэффициент регрессии связаны между собой в определенном отношении по формуле:

Ьу1х=гу^

где Ь

У/*

ух

- коэффициент регрессии у по х;

— коэффициент корреляции у их;

ки-факторы) в общем влиянии всех факторов, воздействующих на коррелируемый признак.

При необходимости проводится перемена выбранной математической формы связи.

Теоретическое корреляционное отношение применяется и в форме так называемого «индекса корреляции», определяемого по формуле:

Я= I-

аЧу-у^

2

Оу

Преобразование основано на следующем равенстве:

с^.и ол — средние квадратические отклонения в рядах у их.

Если бы значение коэффициента регрессии не зависело от единиц измерения, в которых выражены коррелируемые признаки, то сам этот коэффициент мог бы служить мерой тесноты корреляционной связи. Коэффициент корреляции в свою очередь можно рассматривать как коэффициент регрессии, выраженный в нормированных отклонениях для обоих признаков (не в единицах измерения коррелируемых признаков), т. е. коэффициент корреляции представляет собой стандартизированный коэффициент регрессии.

Вместе с тем коэффициент регрессии можно определить и без знания вычисленного коэффициента корреляции.

При криволинейной зависимости решение задачи выявления меры связи между признаками затрудняется. Сложность состоит в предварительном выборе математической формы для линии регрессии, основанном на понимании характера (природы) изучаемой совокупности (парабола, гипербола и т.п.).

Общим формальным выражением для прямолинейной и криволинейной корреляционной связи является «теоретическое корреляционное отношение».

Для гипотетически принятой формы связи по формуле (8) вычисляется показатель, выражающий численное значение меры связи:

где сгУ1 — дисперсия, вычисленная для теоретических значений у1;

а} — дисперсия, вычисленная для эмпирических значений у. Корреляционное отношение показывает долю, которую имеет (имеют) признак-фактор (призна-

2 _ 2 , 2

0у-0у, -та(у-у,),

где а',, —дисперсия эмпирических значении признака у;

а\ — дисперсия теоретических значений у,;

остаточная дисперсия между эмпирическими данными и линией регрессии.

Надежность показателя меры связи (коэффициента корреляции) в решающей степени зависит от случайного характера отбора из общей совокупности единиц данного явления. Математическая статистика показывает, что в расчетах регрессии систематический отбор значений зависимой переменной определенно влияет на величину коэффициента регрессии, т. е. на достоверность оценок, но отбор, направленный на выявление значений независимой переменной, не оказывает влияния на величину этого коэффициента. Также установлено, что систематический отбор обеих переменных оказывает повышенное влияние на результаты вычислений в расчетах регрессии.

Полезны для решения задач моделирования показателей в операциях с производными инструментами, наряду с расчетами парной корреляции и регрессионного анализа, расчеты множественной корреляции и регрессии, и особо выделяются поиски соответствующих измерителей в рядах динамики.

При поиске меры и формы связи между данным признаком и несколькими признаками-фак-торами (множественная корреляция) считается необходимым (на первом шаге) предположительно определить, имеет ли место прямолинейная или криволинейная зависимость (сформулировать соответствующую гипотезу). В случае прямолинейной зависимости составляется соответствующее уравнение множественной регрессии, при решении которого способом наименьших квадратов

вычисляются коэффициенты регрессии для каждого из признаков-факторов. При прямолинейной форме связи коэффициент множественной корреляции (совокупный коэффициент корреляции по некоторому числу факторов) может быть вычислен по формуле:

или

д _ \г1+гп-2гух -гп

-¡4-'

где — коэффициент множественной

корреляции у по х, г;

гух, г , ги — полные парные коэффициенты корреляции факторов-признаков У, х, г;

а,,, а] — см. пояснения к формуле (10).

В общем случае, чем выше значение коэффициента множественной корреляции, тем лучше подобрано уравнение. Обычно при интерпретации расчетов используется величина /?-квадрат (коэффициент детерминации).

При предположении криволинейной зависимости следует выбрать (как и при парной корреляции) определенный тип кривой линии и представить ее в виде алгебраического выражения. Последующие расчеты связаны с выявлением показателей по формулам прямолинейной зависимости в множественной корреляции (регрессии). Часто в этих расчетах прибегают к помощи логарифмов.

Общепринято суждение, что введение в анализ широкого круга факторов и попытка найти такое их сочетание, которое бы почти полностью определяло поведение изучаемого признака, нецелесообразно. Существенно эффективнее произвести отбор сравнительно небольшого числа основных факторов.

Значимое место в методах расчета корреляции и регрессии занимают способы нахождения меры корреляции в рядах динамики, составляющие специальный раздел математической статистики. Прежде всего, необходимо иметь в виду общую тенденцию в изменениях показателей ряда, или тренд. Тренд, выражая общее направление изменения явления во времени, вместе с тем определяет и зависимость между членами динамического ряда, которая может, вплетаясь в корреляцию кратковременных колебаний, вносить в нее систематичес-

кий, искажающий элемент. Эта зависимость может быть представлена в виде так называемой автокорреляции, которая выражается в корреляционной связи между соседними членами ряда.

Решению задачи выявления меры с^язи в рядах динамики в общем виде способствует расчет трендов, с тем чтобы исключить линии трендов из этих рядов и провести расчет величины коэффициента корреляции по «остаткам». Возможно выявить в рядах динамики меру связи и с помощью корреляции разностей: значения членов ряда заменяются их первыми разностями (разность между каждым членом ряда и ему предшествующим), и проводятся необходимые расчеты. Признано, что коррелирование разностей второго и более высокого порядка может приводить к недостоверным результатам. Соответственно этот расчет требует повышенной осторожности при интерпретации и использовании результатов. Рекомендуется (в необходимых случаях) вводить в расчеты корреляции рядов динамики временной лаг: смещение во времени изменений явлений одного ряда по сравнению с явлениями другого ряда. На этих же положениях основывается и подход к регрессии в рядах динамики.

Самостоятельная задача — вычисление трендов в рядах динамики. Линия тренда может быть понята как линия регрессии, но характеризующая изменение явления во времени, освобожденное от кратковременных отклонений (линия регрессии характеризует изменение зависимой переменной, свободное от воздействия иных, неучтенных посторонних факторов).

Распространенным способом расчета тренда является сглаживание рядов динамики введением скользящей (или подвижной) средней. Этот способ сводится к последовательному расчету средних величин из определенного числа членов ряда с отбрасыванием при вычислении каждой новой средней одного члена ряда слева и с присоединением одного члена ряда справа. При четном числе членов может быть проведено так называемое «центрирование»: из двух рассчитанных смежных звеньев находится новое звено, которое приписывается определенному принятому исследователем моменту (периоду)времени.

Кривая (линия) тренда при скользящей средней появляется сама собой, механически. С тем чтобы ослабить кратковременные влияния, полезно использовать повторные и последующие сглаживания. Чем большее число членов ряда участвует в расчетах сглаживания, тем более плавной ока-

зывается линия тренда. Однако при многочленной скользящей средней члены ряда «на концах» могут остаться необработанными, и потребуется введение поправок.

Другой способ определения тренда — аналитическое выравнивание рядов динамики (с применением метода наименьших квадратов). Его применение включает в себя разработку гипотез о формах связи в рядах динамики, выбор алгебраических уравнений, отвечающих этой гипотезе, и проведение расчета теоретической линии-тренда.

Реальные перемены в мерах связи в отдельные периоды исследуемого отрезка времени привели исследователей к определению так называемой «переменной корреляции». Н.К. Дружинин рекомендует для решения этой задачи вычислять серии коэффициентов корреляции наподобие скользящей (подвижной) средней. При этом способе для показателей переменной корреляции в сопоставляемых рядах динамики выбирается интервал скольжения, рассчитывается коэффициент корреляции для первого шага, затем отбрасывается первый член интервала, прибавляется следующий член ряда и вычисляется новый коэффициент корреляции и т. д. Выбор интервала скольжения вытекает из анализа условий формирования изучаемых рядов, а полученный ряд коэффициентов корреляции является источником нового анализа.

Признано, что коэффициент корреляции не вызывает сомнения как статистически значимый показатель при наличии условия «стационарности» временных рядов, связи между которыми измеряются.

Временные ряды называются стационарными, если в них присутствуют постоянная средняя, постоянная дисперсия и ковариация зависит только от интервала времени между двумя отдельными наблюдениями.

Соответственно подлежат использованию способы, позволяющие привести «нестационарные» ряды к условиям стационарности. Выделяются методы «интегрирования», предполагающие возможность вычисления «разниц» для получения

4 Уотшем Т. Дж., Парримоу К. Цит. соч. С. 322.

5 Dickey D.A., Fuller W.A. Distribution of Estimators for Auto-correlated Time Series with a Unit Room // Journal of American Statistical Association. 1979. 74. P. 427 - 431.

6 Модель ARCH — Autoregressive Conditional Heterosce-dasticity — предложена в 1982 г. (автор — Engle). В 1986 г. трансформирована (автор — Bollerslev) в GARCH (обобщение ARCH). В 1991 г. новый вариант был предложен Нельсоном в виде «ех-потенциала» GARCH, и новая модель была обозначена EGARCH.

временного стационарного процесса. «Если во временном ряду должны быть рассчитаны разности первые, чтобы получить стационарный ряд, то пер-воначальный ряд называется интегрированным рядом первого порядка... Если же требуется рассчитать вторые разности для получения стационарного ряда, то это интегрированный ряд второго порядка... Если же в ряду вообще не требуется вычислять разницы, то он называется интегрированным рядом нулевого порядка»4. Возможно также использование своеобразного варианта «скользящих средних», когда искомая величина задается линейной функцией от исторических ошибок в виде разностей между прошлыми фактическими данными и прошлыми теоретическими значениями в исследуемом ряду.

В общем виде для проверки стационарности «степени интеграции временного ряда» используется критерий Дики—Фуллера5:

Y = сс.К^ + е,,

где Yi_l — последовательные значения признака в данном ряду;

£ ( — величина случайных отклонений;

а — параметр.

Проверка стационарности и интегрированно-сти осуществляется на основе анализа корней этого уравнения: если 0 < а < 1, то временной ряд стационарен (нулевого порядка); если а = 1, то уравнение получает единичный корень и имеет место интегрированный ряд первого порядка; единичный корень соответствует границе области стационарности.

Развитием данного подхода стало применение метода «конинтеграции», предполагающего, что нестационарность рядов численных значений проявляется лишь на кратком отрезке времени, а в долгосрочном плане для численных рядов сопоставляемых признаков наблюдается равновесная связь.

Нестабильность в рядах финансовых показателей, изменяющаяся во времени, привела к разработке эконометрических методов предсказания будущей нестабильности на основе выявления «авторегрессионной условной гетероскедастичности» (методы ARCH6).

Это математические модели оценки колеблемости цен (курсов), построенные как статистические модели с соблюдением так называемых («оценок по прошлому среднему») (Mean-reverting-Prinzip).

Модели являются авторегрессиоными; Heteroscedasticity означает, что колеблемость рассматривается не как параметр, а как процесс, пред-

ставленный (в пределах определенных границ) случайным распределением. Во всех этих моделях допускается, что для колеблемости цен случайное распределение (в пределах, определенных моделью) является стохастическим процессом.

В модели ЕСАЯСН показатели динамики курса возводятся в квадрат (в отличие от предыдущих моделей), и сообразно с этим по-разному рассматриваются положительные и отрицательные изменения курсов. При использовании модели EGAR.Cn выявляется, что для колеблемости цен часто более значимо снижение (падение) курсов по сравнению с повышением (ростом) их абсолютных величин.

Модели построены как итеративные вычислительные операции. В ряду вычислительных моделей (численных методов) решения стохастических задач к центральным относятся биномиальные и триномиальные модели7, метод Монте-Карло, а также дюрация.

В частности, метод Монте-Карло обычно определяется как совокупность способов, ведущих к моделированию значений в будущем переменной величины на основе имитации ее поведения.

Реализация этого метода содержит следующие последовательно выполняемые действия (шаги, этапы компьютерных программ):

1) выявление стохастического характера входной переменной и определение распределения вероятности для входной (входных) переменных;

2) имитация изменений входной переменной;

3) выполнение моделирования;

4) многократное повторение моделирования для выявления средней получаемых величин;

5) дисконтирование будущей стоимости моделируемой переменной;

6) повышение точности результатов моделирования за счет применения дополнительных приемов уменьшения дисперсии.

На первом шаге для выявления распределения вероятностей входной (входных) переменных принимается условие совпадения с эмпирическими показателями распределения относительных частот (частотностей) случайной переменной; строится график кумулятивного распределения частот (функция вероятности дискретной случайной переменной или функция плотности вероятности для непрерывных случайных величин).

7 Биномиальные и триномиальные модели исследуют стохастические процессы в дискретном времени для дискретных переменных в рамках «марковских процессов».

Второй шаг состоит в моделировании поведения входных случайных переменных; находится достаточно большое число равномерно распределенных случайных чисел в интервале от 0 до 1, затем каждое случайное число откладывается по вертикальной оси графика кумулятивной плотности (предыдущий шаг), соответственно значения случайной переменной находятся на горизонтальной оси (так называемые входные величины для данной модели).

Третий шаг — моделирование основной переменной, выявление средней величины искомой (основной) переменной во множестве испытаний, проведенных согласно логике наблюдаемой системы.

Следующими действиями становится многократное повторение процессов (четвертый шаг), осуществленных на предыдущем шаге. Средняя будущих значений этих испытаний становится модельным будущим значением случайной переменной. Текущее значение переменной определяется дисконтированием (пятый шаг) будущего значения по выбранной ставке.

Завершением моделирования (последним шагом) по методу Монте-Карло является попытка повысить точность оценки с помощью дополнительных приемов (возможно с применением так называемого «антитетического метода случайной величины» либо «метода контроля случайной величины»).

Дюрация представляет собой специальный способ расчета показателя для оценки сравнительной эффективности вложений в процентные инструменты, прежде всего, втвердопроцентные обязательства (облигации). В результате расчета образуется синтетический (кумулятивный) показатель, отражающий процентный риск и связанный с процентным риском. По содержанию показатель дю-рации представляет собой выражение времени (срока) между вложением денежных средств и получением поданной инвестиции дохода, взвешенного по приведенным стоимостям полученных платежей.

Дюрация позволяет произвести сравнение значений эффективности (риска) для двух и более принятых (возможных) процентных вложений. Интерпретация показателя дюрации включает в себя суждение, что его более низкие значения свойственны для инструментов с более высокой купонной доходностью, более высокой текущей доходностью и более сжатым сроком погашения денежного долга (и наоборот). Соответственно, если фактическая доходность отданного вложения во времени возрастает, то для инвестора становятся ме-

нее важными потоки денежных средств в отдаленном будущем, так как он получит большую часть долга в ближайшее время (показатель дюрации снижается), и наоборот.

Дюрация рассматривается, главным образом, как выражение ценообразующего фактора для процентных вложений (чем ниже показатель дюрации, тем слабее ценовая чувствительность инструмента к изменениям в рыночных процентных ставках, а также в фактической доходности и фактических сроках погашения).

Если в тот или иной момент времени (текущее или будущее время) при хозяйственных действиях предпринимателя показатель дюрации актива оказывается больше показателя дюрации соответствующего пассива, то риски для данного предпринимателя и для участников сделок с ним становятся существенными, и чем больше будет величина разрыва в том же направлении, тем значительнее риски (процентный, платежеспособный). По своему содержанию метод дюрации — статический метод.

В расчетах дюрации привлекает отсутствие необходимости в исторических (прошлых) данных.

Авторство основной формулы расчета показателя дюрации принадлежит Ф. Макколи(Е МасаШау):

с,

Р

где dur — средневзвешенное время до погашения (к погашению); t — срок выплаты по каждому из периодов (последовательно - один год, два года, три года и т. д.); С, — выплаты в процентах за период /; п — число периодов выплат; г — текущая доходность до погашения (к

погашению); Р — рыночная цена инструмента (втрактовке данного подхода). Следовательно, средневзвешенное время до погашения (к погашению) — это значения периодов процентных выплат (с t[ до Г), умноженные на долю стоимости инструмента, выплачиваемую в каждый из этих периодов (для выявления приведенных стоимостей использованы значения текущей доходности и специальная трактовка рыночной цены). Соответственно показатель дюрации не может быть больше принятого срока погашения (либо, если расширить применение этого показателя, срока реализации, исполнения). Например,

если по облигации с нулевым купоном (дисконтом) платеж производится в день погашения в сумме номинала, то значение дюрации равно принятому сроку погашения. Для облигаций с купоном (при периодических выплатах дохода) средневзвешенное время погашения (значение дюрации) будет меньше принятого срока займа.

В расчетах показателя дюрации принята определенная последовательность действий:

• составляется перечень периодов, на которые приходятся выплаты по условиям вложения;

• рассчитываются платежные денежные потоки;

• определяются коэффициенты дисконтирования для каждого периода, с тем чтобы найти приведенную стоимость денежных потоков;

• вычисляются веса для каждой отдельной (по периодам) приведенной стоимости (доля от суммарной приведенной стоимости);

• для определения показателя дюрации срок, когда наступает время выплаты, по каждому из периодов (последовательно, например, один год, два года, три года и т. д.; один квартал, два квартала и т. д.; и т. п.) умножается на соответствующий вес приведенной стоимости (в суммарной приведенной стоимости), исчисленный на предыдущем шаге, и полученные результаты складываются. Итог показывает ве-личинудюрации.

Сумма приведенных стоимостей последовательных платежей составляет цену инструмента, а сумма весов всегда равна 1.

Результатом анализа дюрации может стать решение о хеджировании с использованием производных инструментов.

При применении показателя дюрации следует иметь в виду (по меньшей мере) следующие пожелания:

• целесообразен постоянный контроль за структурой портфеля вложений и его эффективный ремонт, с тем чтобы не допустить чрезмерной длительности срока хеджирования (так называемая ситуация «дрейфа» дюрации);

• криволинейная зависимость между ценой инструмента и текущей доходностью при значительных колебаниях может приводить к существенным погрешностям в анализе; для оценки этих погрешностей введен так называемый «изгиб» — пространство между кривой цена — доход и касательной к этой кривой; имеется ряд правил оценки «изгиба».

Чаще в анализе и при принятии решений используется не стандартный показатель дюрации, а

так называемая модифицированная дюрация (измеряемая в процентах):

dur

Модифицируемая дюрация = -

1 +

r/f

100

где У— текущая дох од ность, %;

/ — частота процентных выплат в течение года.

Производные являются реальной средой для математически непрерывных процессов, рассматривающей непрерывные изменения переменных непрерывно во времени. Производные ценны для этих исследований своими характеристиками, относящими их к «марковским процессам»8. Предпочтительными при изучении стоимостей производных с этих позиций стал процесс Ито':

dW =

dW dW 1 d2W -,

-a +--1----о'

dx

dt

dW

-<JE

<Jdt,

целесообразного числа срочных контрактов, способных (с некоторой вероятностью) защитить данный объем хеджируемой ценности. Эти численные отношения построены на основе корреляции между изменением цены хеджируемой ценности и цены соответствующего срочного инструмента.

Распространенной формулой расчета коэффициента хеджирования с использованием фьючерсов является:

cov

2 2 ' Ос' О F

где е

соv

dt 2 dxl ) dx

где Ж — производная функция от х, отвечающего процессу Ито;

dx = adí + аг

а, о, а2 — соответственно — ожидаемый доход, колеблемость и (мгновенная) дисперсия;

/" — время;

е - параметр, вычисленный на основе случайной выборки из нормально распределенной переменной со средней, равной 0, и средним квад-ратическим отклонением, равным 1.

Основываясь на общих подходах к математическим моделям для рыночных операций, изложенных выше, последовательно рассмотрим формулы, нашедшие применение в анализе операций хеджирования с учетом производных инструментов.

Начнем с указания, что формулы корреляционного анализа весьма полезны при разработке «перекрестного хеджирования» с применением производных инструментов.

Следующая область математических формул — вычисление коэффициентов хеджирования, или

ас

2

Of

11 «Марковский процесс» предполагает, что при известном настоящем будущее не зависит от прошлого. Непрерывные марковские процессы связаны с изучением диффузионных процессов, отличительное свойство которых заключается в том, что изменение состояний такого процесса имеет место при любом малом интервале времени ЛГего протекания. Примеч. авт.

' Ito К. On Stochastic Differential Equations // Memoirs. American Mathematical Society. 195). 4. P. 1 - 51. В частности, согласно лемме Ито, любая переменная, являющаяся функцией другой переменной, которая следует процессу Ито, сама будет следовать процессу Ито.

коэффициент хеджирования (в натуральных единицах или десятичном выражении); ковариация между ценой инструмента реального рынка и ценой фьючерса;

— дисперсия цены инструмента реального рынка;

— дисперсия цены фьючерса.

Коэффициент хеджирования в данной формуле может пониматься как тригонометрическая функция — угловой коэффициент (подобно тому, как рассматривается уравнением регрессии).

В 1979 г. Л. Эдерингтоном (Ь. ЕсНгп^оп) введен так называемый «оптимальный» коэффициент хеджирования:

,, соу(С, /0

Ь =-5-• '

о г

Расчет производится по накопленным прошлым данным.

Еще одним способом расчета коэффициента хеджирования является использование значений дюрации. Сопоставляя показатели дюрации, например, облигаций и фьючерсов, основанных на облигациях, получим коэффициент хеджирования. Согласно ряду оценок, коэффициент хеджирования по долговым инструментам, рассчитанный по показателям дюрации, является более эффективным по сравнению с коэффициентом, полученным при регрессионном анализе.

Распространенным вариантом такого расчета является вычисление приведенной стоимости одного базового пункта (тика) для обеих позиций в хеджировании. Потребность в этом варианте вытекает из сложившихся масштабов изменения цен.

Рассчитав значения для хеджируемого инструмента и инструмента хеджа, получим коэффициент хеджирования (в натуральных единицах или в десятичном выражении):

Коэффициент хеджирования = PVBP (защищаемая позиция) ^¡g^

PVBP (инструмент хеджа) Д. Фицджеральд (D. Fitzgerald) в 1983 г. предложил иной расчет коэффициента хеджирования на основе дюрации по формуле:

Коэффициент хеджирования = _

(1 + 0 (Рс) (/) )' где Р — рыночная цена облигации;

О — показатель дюрации по облигации;

г — доходность к (до) погашения наличной облигации;

гс — доходность к (до) погашения стандартного фьючерса;

Рс - рыночная цена стандартного фьючерса;

й— показатель дюрации по стандартному фьючерсу.

Единицы измерения в этой формуле очевидны. Расчет был предложен автором для еврооблигации; считается, что он действителен для любого долгового инструмента.

В биномиальной модели цены опциона коэффициент хеджирования рассматривается как отношение стоимости базисного актива (товара) к стоимости опционов, используемых для формирования портфеля без риска, содержащего длинную позицию и выписанные опционы:

Б{и-с1)

г _г '

где т — коэффициент хеджирования (в натуральных единицах или десятичном выражении);

5 — текущая цена хеджируемого актива (товара);

и,й — коэффициенты движения цены (в десятичных единицах) хеджируемого актива (товара), соответственно «вверх» и «вниз»;

m -

С — цена опциона колл (внутренняя стоимость); С — цена опциона в ситуации (Sx и) и С (1— цена опциона в ситуации (Sxd). Достаточно давно предложена и реализована идея «портфельного подхода» к хеджированию в формуле:

V

где V(R) — величина дисперсии сформированного (предложенного) портфеля вложений;

х — хеджируемая позиция (некоторое число натуральных единиц); х — хедж нау рынке (некоторое число на-

турал ьн ых ед ин и ц); а. — среднеквадратическое отклонение

цены / актива (товара); а — среднеквадратическое отклонение

цены у инструмента (хеджа); р - корреляция между ценами inj рынков. Применительно к этому подходу задача хеджирования формулируется следующим образом: найти позицию на срочном рынке для организации портфеля с минимальным риском, соответственно цель стратегии — минимизировать величину V(R), выражающую меру риска общей позиции (на реальном и срочном рынках).

Идея «портфельного подхода» в классическом виде представляет собой комбинацию стратегий снижения риска и максимизации прибыли для нефинансовых рынков, при этом нет значимого различия для хеджеров и спекулянтов. Авторство связано с именами Л. Телсера (L. Telser), 1955 г., Л. Джонсона (L.Johnson), 1960 г., Дж. Стайна (D. Stein), 1961 г., использовавшими методы выбора портфеля X. Марковица (X. Markowitz), 1953 г.

Математические модели собственно для операций «арбитража» и «спекуляции» воплощены в изложенных выше формулах, отвечающих основным подходам и принципам «анализа рынков».