Подобие однородно разложимых групп

И.Э. Гриншпон ПОДОБИЕ ОДНОРОДНО РАЗЛОЖИМЫХ ГРУПП

В работе вводится понятие подобия однородно разложимых групп и исследуется, в каких случаях почти изоморфные группы являются подобными.

Приведем основные обозначения и термины, используемые в работе.

Пусть X - множество всех последовательностей вида V = (у(1),у(2),...у(п),...), где у(г) - целое неотрицательное число или символ ж (/' е N). Такие последовательности будем называть характеристиками.

В множестве X естественным образом вводится частичный порядок, а именно, V < V тогда и только

тогда, когда для каждого I е N v(г) < м!() . Относительно этого частичного порядка X является полной решеткой. Пусть П= {р1,р2,...,рп,...}- множество всех простых чисел, перенумерованных в порядке возрастания. Если А - абелева группа без кручения, а е А , то характеристика % А (а) элемента а в группе А - это такая характеристика V = ^(1)^(2),..У-п),...), в которой каждое v(г) есть рг- -высота ^ (а) элемента а в группе А (согласно определению, характеристика нулевого элемента есть последовательность (ж, ж,..., ж,...)) [1. С. 129].

Напомним, что две характеристики V и V считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда множество {п е N | ^п) Ф ^(п)} конечно, причем, если

v(n) Ф ^(п), то v(n) Ф ж и ^(п) Ф ж .

Класс эквивалентности в множестве характеристик называется типом. Если характеристика элемента а абелевой группы без кручения А принадлежит типу t, то говорят, что элемент а имеет тип , (что записывается следующим образом: t(а) = t, или

tA (а) = t). Абелева группа без кручения, в которой все ненулевые элементы имеют один и тот же тип ,, называется однородной [1. С. 130-131]. Чтобы подчеркнуть, что все ненулевые элементы однородной группы А имеют фиксированный тип ,, будем говорить, что А - однородная группа типа t, и записывать это так: t(А) = t.

Множество типов будем рассматривать как частично упорядоченное множество относительно естественного отношения порядка (то есть Ь < t2 тогда и только тогда, когда существуют характеристики

Х1 е ^ и Х2 е ^, чго Х1 < Х2).

Тип t будем называть рк -делимым (рк е П), если

для всякой характеристики V е t имеем ^к) =ж .

Для всякого типа t обозначим через P(t) следующее множество: Р(,) = {рк еП | тип t рк - делим}.

Другими словами, рк е Р(,) в том и только в том случае, когда для всякой характеристики V е t имеем v(k) =ж.

Однородно разложимыми группами называются абелевы группы без кручения, являющиеся прямыми суммами однородных групп, то есть группы вида А = © О,, где О, -однородные группы [1, С. 211].

Собирая вместе слагаемые О, одного и того же типа t

и взяв их прямую сумму, мы получим каноническое (наименьшее однородное) разложение А = © А,.

геТ

Пусть А = © а, , В = © В, - однородно разложи-

íеT ?еТ[

мые группы, где Т и Т1 - некоторые множества типов, а, и в, - однородные компоненты типа t групп А и В соответственно. Группы А и В назовем подобными, если Т = Т и для всякого типа , е Т ранг г (А,) группы А, равен рангу г (В,) группы В,. Однородно разложимая группа А = © А, называется

геТ

вполне транзитивно разложимой, если семейство групп {А, },еТ вполне транзитивно, то есть для любых двух групп А1 и А,2 (,1 может совпадать с ,2), принадлежащих этому семейству, из того, что Xа4 (а) < Ха,2 (Ь), где а е А^ , Ь е А,2, следует существование гомоморфизма пеИош(А,, А,2), такого, что

П(а) = Ь . Все вполне разложимые группы абелевы -группы без кручения и все прямые суммы однородных сепарабельных или однородных алгебраически компактных групп без кручения содержатся в классе вполне транзитивно разложимых групп. Абелева группа без кручения А называется вполне транзитивной, если семейство {А} вполне транзитивно. Пусть

А = © А,

,еТ

- однородно разложимая группа, £ - ее вполне характеристическая подгруппа. Тогда

£ = © £ ,

,еТ

где £\ = £ п А,. Заметим, что если А = © В( - другое

íеT

каноническое разложение группы А и £ = © £’/, где

íеT

£" = £ п В(, то £" = £[. Действительно, так как любые два канонических разложения группы А изоморфны, то существует автоморфизм ф группы А, такой, что

фА, = В,. Тогда ф£ с £ и ф£ с В(, откуда ф£ с £ п В( = £”. Аналогично, ф-1£/ с £ и, значит, £” с ф£ . Следовательно, ф£ = £”, то есть £ = £”. Поэтому ,(£ ) - тип группы £, если £ - однородная группа, и г(£[) - ранг £[ не зависят от канонического разложения группы А.

В [2] показано, что всякая вполне характеристическая подгруппа однородной вполне транзитивной группы является однородной группой, поэтому любая вполне характеристическая подгруппа вполне транзитивно разложимой группы является однородно разложимой.

Рассмотрим связь между типами и рангами прямых слагаемых £ разложения (2) и типами и рангами прямых слагаемых А, (, е Т) разложения (1) в случае, когда А - вполне транзитивно разложимая группа.

Будем говорить, что семейство типов {т, },еТ соответствует вполне характеристической подгруппе £ = © £ (£[ — £ п А,), где £ - однородные группы,

,еТ

если , (£) = т, для всякого ,.

Пусть , и ,2 - два типа, V — ^(1)^(2),..У'п),...),

V — (^(1), ^(2),..л/ п),...) - характеристики, принадлежащие соответственно типам , и ,2. Сумму типов ,1 + ,2 определим как тип, содержащий характеристику V + V = (V« + ^(1), ¿2) + w(2),...v(n) + ^(п),...), где ж +1 = ж для всякого I. Если ,1 > ,2, то разность типов ,1 - ,2 определим как тип, содержащий характеристику V - V = (V11 - w(1), v(2) - ^..д^ - ^(п),...), где

V е ,1, V е ,2, V > V, и полагаем ж -1 =ж для всякого I. Заметим, что в [1. С. 133] для рассмотренных операций над типами применяется мультипликативная запись, для наших целей удобнее пользоваться аддитивной записью.

Если характеристика V принадлежит типу , и v(k) = ж, то будем писать ,(к) = ж .

Условимся считать, что нулевой группе соответствует тип ,(0) (несобственный тип), который обладает следующими свойствами: 1) ,(0) <, для всяко-

го типа ,, отличного от ,(0); 2) , ±,(0) = t(0) для всякого типа ,.

Нам понадобится следующая теорема, доказанная в [2].

Теорема 1. Пусть А = © А, - вполне транзитивно

,еТ

разложимая группа.

1. Если семейство типов {т, },еТ соответствует некоторой вполне характеристической подгруппе £ = © £', (£ — £ п А,), то оно удовлетворяет сле-

íеT

дующим условиям: а) т, <, для всякого , е Т ;

б) для всякого к е N, для которого ркА, — А( имеем т(к) = ж ; в) если ,1 > ,2 (,1, ,2 е Т ), то

т,1 >4 -,2 + т,2 .

2. Если £ = © £ (£ = £ п А) - вполне характе-

íеT

ристическая подгруппа группы А и £ Ф 0, то г (£) = г (А).

Две абелевы группы называются почти изоморфными по вполне характеристическим подгруппам, ес-

ли каждая из них изоморфна вполне характеристической подгруппе другой группы.

Рассмотрим всевозможные множества типов М, содержащих несобственный тип ,(0), в которых каждому типу ,, отличному от ,(0), поставлено в соответствие некоторое кардинальное число пм (,(0)). Будем называть такие множества типов отмеченными множествами типов.

Пусть М1 и М2 - два отмеченных множества типов. Будем говорить, что сюръективное отображение ф : М1 ^ М2 является отмеченным отображением, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1) ф(,) <, для всякого , е М1;

2) ф сохраняет символы ж (то есть, если

ф(,) Ф,(0), то в характеристиках типов , и ф(1) символы ж стоят на одних и тех же местах);

3) если ф(,2) Ф,(0) и ,1 > ,2 (,1, ,2 е М1), то ф(,] ) > ф(,2 ) и ф(,) - ф(,2 ) > ^ -,2 ;

4) пм2 (,) = X пм1 (, ') для всякого , е М2 \{(0)}.

,=ф

Заметим, что для отмеченного отображения ф имеем ф(,(0)) =,(0). Это вытекает из свойства 1) отмеченного отображения и из того, что ,(0) <, для всякого типа ,, отличного от ,(0).

Пусть О - вполне транзитивно разложимая группа и О = © О, - ее каноническое разложение. Обозна-

,еТ

чим через Т * множество Т и {,(0)}. Будем рассматривать Т * как отмеченное множество типов, где пТ *(,) при , е Т - это ранг группы О,.

Теорема 2. Пусть О — © О, - вполне транзитивно

,еТ

разложимая группа и верна следующая импликация:

(*) если М - отмеченное множество типов, для которого найдется пара отмеченных отображений ф: Т* ^М и у : М ^ Т*, то М — Т* и

пМ О1) — пт * (,) для всякого , е Т .

Тогда, если группа А почти изоморфна группе О по вполне характеристическим подгруппам, то А -однородно разложимая группа, подобная группе О.

Доказательство. Не умаляя общности, можно считать, что А - вполне характеристическая подгруппа группы О. Пусть В = О, В с А с О , где В и А -вполне характеристические подгруппы соответственно групп А и О. Имеем А — © А, где А, - вполне ха-

,еТ

рактеристическая подгруппа группы А, и А{ — А п О(. Всякая группа А , как вполне характеристическая подгруппа однородной вполне транзитивной группы, является однородной группой, и поэтому группа А - однородно разложимая группа. Обозначим через М множество всех типов однородных прямых слагаемых в каноническом разложении группы А , и пусть М' — М и {,(0)}, а пМ' (,) для всякого , е М' -это ранг компоненты типа , в каноническом разложении группы А. М - отмеченное множество типов.

Построим отображение ф: Т* ^ М' следующим образом: ф(1 (0)) — /С0), ф(1 ) —,(А/) для всякого , Ф,(0). Используя теорему 1, получаем, что ф - отмеченное отображение. Аналогично, учитывая вполне характеристичность подгруппы В в группе А и изоморфизм В = О, получаем, что существует отмеченное отображение у: М' ^ Т * . Тогда в силу импликации (*) имеем М' — Т * и ПМ' (,) — г(О,) для всякого , е Т, и, следовательно, А = О.

Теорема 3. Пусть О — © О, - вполне транзитивно

,еТ

разложимая группа и для всякой возрастающей последовательности ,1 < ,2 <... < /п <... типов из Т, у которой Р(/1) — Р(/2 ) —... — Р(/п ) —..., выполняется, по крайней мере, одно из двух условий :

!) г О) < г (О, 1) для некоторого I е N ;

2) 2,к+1 < ,к + ,к+2 для некоторого к е N.

Если группа А почти изоморфна группе О по вполне характеристическим подгруппам, то А - однородно разложимая группа, подобная группе О.

Доказательство. Пусть М - отмеченное множество типов, для которого найдется пара отмеченных отображений ф: Т* ^М и у :М ^Т*. Предположим, что существует такой тип ,1 е Т , что ф(/1 ) < ,1. Тогда уф(/1 ) < ф(/1 ) < ,1. Так как у и ф - сюръектив-ные отображения, то существует ,2 е Т, такой, что Уф(/2 ) — ,1, причем Р(/2 ) — Р(/1 ) в силу свойства 2) отмеченного отображения. Имеем

,1 — уф(/2 ) < ф(/2 ) < ,2, и так как уф(/1 ) < ,1, то ,1 Ф ,2. Итак, получили ,1 < ,2 и уф(/2 ) < ,2.

Аналогичным образом по индукции можно построить возрастающую последовательность типов из Т ,1 < ,2 <... <,п <... такую, что уф(/+1) — ^ и +1) — Р(и) для всякого I е N . По свойству 3) отмеченного отображения имеем

Уф(/,+2 ) - Уф(/,+1 ) > ф(/!+2 ) - ф(/!+1 ) > и+2 - /г+1 . Тогда ^ - и > Ь+2 - t¿+1 и 2/х+1 > и + и+2 для всякого I е N .

Используя свойство 4) отмеченного отображения, получаем для любого / е N

г О ) — X пМС/’) — пМ (ф(/!+1 )) + X пМС/’) и

У(/')—,, У(/' ')—,1

, ' Ффй+1)

ПМ (ф(/!+1)) — X г (О/ ') — г О+1) + X г (О/ ").

у

, Ф+1

Отсюда следует, что г(О(.) > пМ (ф(/^+1)) > г(О/.+1 ).

Итак, получили, что если в множестве Т существует тип ,1, такой, что ф(/1 ) < ,1, то в этом множестве можно построить возрастающую последовательность типов ,1 < ,2 <... <,п <..., у которой

Р(/1) — Р(/2) —... — Р(/п) — ... , и для всякого I е N имеем г (О/; ) > г (О/(+1 ) и Ц+1 > ^ ^+2.

Поэтому, если любая возрастающая последовательность типов из Т ,1 < ,2 <... <,п <..., у которой

Р(/1) — Р(/2) —... — Р(/п ) —..., удовлетворяет, по крайней мере, одному из условий 1), 2), то ф(/) —, для любого типа , е Т . Следовательно, М — Т * и пМ С,) — пТ«С,) для всякого типа , е Т . Тогда по теореме 2, если группа А почти изоморфна группе О по вполне характеристическим подгруппам, то А - однородно разложимая группа, подобная группе О. Теорема доказана.

Пусть О — © О, - вполне транзитивно разложи-

,еТ

мая группа. Для всякого типа , е Т обозначим через М( следующее множество:

М( — {, ' е Т |,, Ре,') — Ре,), г (О) — г(О/}.

Следствие 4. Пусть О — © О, - вполне транзи-

,еТ

тивно разложимая группа и М( - конечное множество для всякого типа , е Т . Если группа А почти изоморфна группе О по вполне характеристическим подгруппам, то А - однородно разложимая группа, подобная группе О.

Доказательство. Пусть ,1 < ,2 <... < ,п <... - произвольная возрастающая последовательность типов из Т, у которой Р(/1 ) — Р(/2 ) —... — Р(/п ) —.... Предположим, что для всякого к е N выполняется г (О,к) > г (О,). Так как всякое множество кардинальных чисел является вполне упорядоченным (относительно обычного порядка), то существует такое , е N, что г (О,,) — г (О,,+1) — г (О,,+2) —.... Отсюда

получаем М( — К0, что противоречит условию данного следствия. Значит г(О() < г(О( 1) для некоторого I е N . Применение теоремы 3 завершает доказательство следствия.

Из следствия 4 непосредственно вытекает

Следствие 5. Пусть О - вполне транзитивно разложимая группа конечного ранга. Если группа А почти изоморфна группе О по вполне характеристическим подгруппам, то А - однородно разложимая группа конечного ранга, подобная группе О.

ЛИТЕРАТУРА

1. FuchsL. Infinite Abelian groups. V. II. N.Y. and London: Academic Press, 1973. 367 p.

2. Гриншпон С. Я. О строении вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. 1982. С. 56-92.

Статья представлена кафедрой алгебры Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 9 июня 2003 г.