Исследование уравнений бесконечно-малых геодезических деформаций поверхностей

§ 3. Рассмотрим ортогональную втулочную связь поверхности Б в римановом пространстве, присоединив к ней условие точечного стержневого закрепления поверхности. Это условие определяется следующим образом. Пусть - фиксированная точка поверхности, Л^д.^ - нормаль

к поверхности 5 в точке Мд. Будем требовать, чтобы при бесконечно малом изгибании поверхности 5 точка М^ смещалась в пространстве Н ^, скользя по прямой ЛГ^; то есть, чтобы изгибающее поле поверхности 5 удовлетворяло условию | = | д^ = 0. Имеет место

Теорема 4. Пусть в условиях теоремы 2 поверхность Б при бесконечно малых изгибаниях

подчинена условию упругой ортогональной втулочной связи и условию стержневого закрепления

поверхности в заданной точке поверхности, не лежащей на краю дБ. Тогда поверхность Б

допускает точно одно линейно-независимое бесконечно малое изгибание, совместимое с указанной внешней связью.

Доказательство. Индекс краевой задачи Гильберта (4), (5) в рассматриваемом случае равен единице, причем в точке соответствующей точке М^ функция Ф имеет ноль первого порядка.

В этом случае задача Гильберта при (7=0 имеет точно одно линейно независимое решение, что

и доказывает теорему 4.

Замечание 1. Утверждение теоремы 4 не изменится, если условие стержневой связи в точке

Мд, не лежащей на краю поверхности, заменить условием стержневой связи в двух точках и

. : -, лежащих на краю поверхности.

Замечание 2. Условие стержневой точечной связи, дополненное условием исключения вращения касательной плоскости в этой точке вокруг некоторой прямой, проходящей через эту точку, будем называть условием усиленной стержневой точечной связи.

Теорема 5. При внешней связи, состоящей из неупругой втулочной связи и усиленной стержневой точечной связи, поверхность допускает единственное бесконечно малое изгибание,

совместимое с этой внешней связью для любой функции (7 Щ 0, и потому такая внешняя связь является корректной; при (7=0 поверхность является оптимально жесткой.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мокрищев К.К. Введение в теорию бесконечно малых изгибаний поверхностей. Ростов н/Д.: Изд-во Ростов. гос. ун-та, 1961.

2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1959.

3. Фоменко В.Т. Непрерывные изгибания выпуклых поверхностей с краевыми условиями // Мат. сб. 1979. 110 (152). № 4 (12). С. 493-504.

В.Т. Фоменко

ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Будем рассматривать бесконечно малые деформации поверхностей в Е3 , при которых в начальный момент деформации геодезические линии поверхности остаются геодезическими. Точное определение таких деформаций поверхностей будет дано ниже. Сейчас отметим только, что указанные деформации поверхностей описываются в два этапа. На первом этапе изучаются бесконечно малые деформации метрики поверхности, сохраняющие в начальный момент геодезические этой метрики. Этот вопрос внутренней геометрии поверхности и рассматривался ранее в классическом варианте (см. напр. [1]). На втором этапе решения поставленной задачи исследуется вопрос

существования бесконечно малой деформации поверхности, при которой метрика поверхности получает заданную вариацию. Бесконечно малые деформации поверхностей с заданным изменением линейного элемента поверхности изучался ранее в работах А.В. Погорелова [2].

п. 1. Уравнения геодезических отображений поверхностей в Е3 . Теорема Дини

Рассмотрим в пространстве Е3 две поверхности Р2 и Р2, заданные уравнениями

— — 12 - — 12127-1

Г = Г и ,и и /' = /' Ы ,Ы , Ы ,Ы е 1). соответственно. Обозначим через

¿/у2 = ^Мы'сШ' и ¿/.V2 = ^сЛ/'с/г./' первые квадратичные формы этих поверхностей. Будем

считать, что отображение поверхности Р2 на поверхности Р2 осуществляется путем соответствия точек с одинаковыми координатами.

т-г2 ^ 2

Определение. Отображение поверхности Р на поверхности Р называется геодезическим, если каждой геодезической линии поверхности Р 2 соответствует геодезическая линия поверхности Р2 и наоборот.

Известно, что геодезическое отображение поверхности Р2 на поверхность Р2 накладывает определенные ограничения на метрические тензоры поверхностей Р2 и Р2. Эти ограничения записываются в виде уравнений, называемых уравнениями геодезических отображений метрик ds 2 и 2 и имеет вид:

V,?, =2^,+^.+^.,

где V,.?,

Здесь Ту - символы Кристоффеля 2-го рода, вычисленные по тензору ; - некоторый градиентный вектор, называемый вектором геодезического отображения. Существование вектора Шк гарантируется существованием геодезического отображения метрики. Будем говорить,

что геодезическое отображение метрики тривиально, если = , С = СОП^ .

Исследованию системы (1) посвящена обширная литература [3; 4; 5; 6]. Основной результат этих исследований содержится в теореме Дини:

Теорема Дини. Только поверхности Лиувилля могут допускать нетривиальное геодезическое отображение на другую поверхность [4, 190].

Напомним, что поверхностью Лиувилля Р2 в Е3 называется поверхность, допускающая квадратичный интеграл геодезических. Поверхности Лиувилля, и только они, допускают параметризацию и, V , для которой <зь = и и +¥ V (1и +сЬ , где

и = и и , V = V V - некоторые функции своих аргументов. Метрика такого вида называется метрикой Лиувилля.

17 2

В книге [4] показано, что, если поверхность Лиувилля Р допускает геодезическое отображение на поверхность Р2, то найдется ортогональная параметризация и, V поверхностей

Р2 и Р2 такая, что метрики поверхностей Р2 и Р2 будут иметь, соответственно, вид:

аь1 = и + У аи2+сЬ2 ;£/<0,К>0;£/ + К>0;

г _1_у йи1 йу1

Г . 1 . 1 л

Данный результат носит локальный характер. В точках, где такая координатная сеть имеет особенность (так называемые точки подобия), имеем и + V — 0 .

п. 2. Геодезические деформации метрик

На первый взгляд в силу теоремы Дини кажется, что для метрики (2) существует единственная метрика (3), на которую ds2g опускает геодезическое отображение и координатная сеть при этом остается ортогональной. На самом деле это не так. Мы построим непрерывное семейство метрик Лиувилля с параметром /, / €Е 0,1 , такое, что каждая метрика допускает геодезическое отображение на метрику ds2. С этой целью введем в формулу (2) числовой параметр ? е 0,1, положив

ds2 = U + t + V-t du2+dv2 .

Тогда метрика вида

ds 2

1 1

^ du2

U + t V-t

+

dv

U + t -V + t

будет иметь с метрикой ds2 общие геодезические для любого значения £. Следует отметить, что метрики ds^ для различных £ различны, и потому мы имеем здесь семейство метрик ds2, непрерывно зависящее от параметра /, причем ds2 = ds2. Для любых <Е 0,1 и /2 <Е 0,1 метрики ds2 и Л2 различны и допускают геодезическое отображение друг на друга. Это вытекает из

того факта, что каждая из этих метрик имеет общие геодезические с метрикой (4).

Таким образом, установлено существование непрерывной деформации (5) метрики ds2 с сохранением геодезических. Такую деформацию будем называть геодезической деформацией и обозначать г^Ч(2 . Далее будем говорить также о геодезической деформации поверхности в Е^, если метрики поверхностей семейства при этом допускают геодезическую деформацию друг в друга.

Замечание. Используя формулу Тейлора, представим метрику ds2 из формулы (5) в окрестности точки t = 0 в виде:

ds) = dsl +1  (ôds2d + o(t),

где dsl = ds2 =

V

J_ J_ Û+V

du2 dv2

U -V

y

-2V + U . -V + 2U . ôdsl = U + V \-——du2 + —:-—dv

з

17 V и2 -V

о( t) — обозначают члены более высокого порядка малости относительно /. Величину Sds2) бу-

дем называть вариацией метрики ds2 при ее деформации.

0

п. 3. Бесконечно малые геодезические деформации поверхностей в Е3

Пусть в области I) плоскости и , и2 задана метрика ds2 — Ли Ли '. Рассмотрим ее геоде-

зическую деформацию ds2 , определяемую параметром t, t G — S0, C{) , C{) > 0

по

формуле

ds2 = g t du1 du',

где = (1$ . Будем считать, что тензор g I в окрестности точки / = О допускает представление

gt, г =glJ+t.SglJ+o I

где назовем вариацией тензора з о I означают члены более высокого порядка малости

относительно I при I —> 0. Будем считать далее, что вектор геодезической деформации ЧЛ. I допускает при малых £ представление

£ =£-&¥к + О £ , ^0, где к - некоторый ковариантный тензор, не зависящий от I.

Подставляя указанные соотношения для ^ [ и ЧЛ. I в уравнения (1), получим следующее тождество

V, = + + 4 о,

где О \{!) —> 0 при t1 —> 0. Переходя в (8) к пределу при / —> 0, получим соотношения

V, ¿X = 2т>кёу + + .

Таким образом, нами установлено, что для заданной достаточно гладко зависящей от параметра I геодезической деформации метрики ds2 = £гс1и с1и ' существуют тензоры и

<54^, удовлетворяющие уравнениям (9). Сказанное позволяет ввести

Определение. Будем говорить, что вариации ögt- метрического тензора g определяют

бесконечно малую геодезическую деформацию метрики ds2 = g^du' du1, если существует такой тензор <54^ к, что величины Sg^ и ¿^F , удовлетворяют уравнениям (9). Эти уравнения называют уравнениями бесконечно малых геодезических деформаций римановым метрик. Будем назьшать бесконечно малую геодезическую деформацию метрики тривиальной, если

ögij = со§у,со = const.

Из определения следует, что при бесконечно малой геодезической деформации метрики ds2 геодезические линии в начальный момент деформации остаются геодезическими.

п. 4. Уравнения бесконечно малых геодезических деформаций метрик

Система (9) в развернутом виде при п = 2 для ортогональной координатной сети и

Su = Е> 8п = §22 = G имеет вид:

+—Sgn= W,; EG

Е

G G

Sgu

E

Ju

Jy EG Ev

Л

EG

Sgl2= 2Э¥Х-

\

~ — ögu= 2W2; EG

Vg Evf Sg22

JEGL4E 2E{ G

E

Л -Je .Gu( Sgu ög22

4EG ) VG IG

E

G

v

Сложив уравнения (101) и (103), а затем (102) и (104). Находим

1'

1 6

Е О

22

^ =

6

>22

Е

О

Это означает, что <54^ является градиентным вектором, т.е.

¿ЧЛ =

еж _

где <54^ = — ди1 6

Е

+

О

+ с, с = сош!.

Преобразуем систему (10), исключив из нее , :

lfSglЛ 2 (Sg22 ^ , ЕУ

V

Е О

и

о

3 Е

+

12

4т 4т

Л

Л ('и ¿§12

+

Л

4т 4т

- 0:

-0.

V /

V"

4т )и4Ё б 4т )У4о б

и

Е

+

22

О

+

Еу ( Sg22 Sgn

2 Е

О

Е

О

+

Е

+

Ои (Sgn дg22"

2 О

V

Е

О

= 0:

= 0.

п. 5. Специальные бесконечно малые геодезические деформации метрик Лиувилля Введенные ранее геодезические деформации метрики Лиувилля (5) с параметром деформации £ позволяют сделать некоторые выводы о существовании бесконечно малых геодезических деформациях метрик вида

С

с/и ¿/V

V

и

-V

Имеет место

Теорема 1. Метрика Лиувилля вида (13) допускает бесконечно малую геодезическую деформацию, определяемую тензорами

_ и + У и-2У 8п~ ц*у* '

$ §12 = 5 §21 =

и + У -217 +У 5 §22 = —

2 ди 2 2 5У

и2уъ ( и-уЛ

V иУ ,

Ги-у)

V

иу

Доказательство. Представим в силу формул (6), (7) коэффициенты метрики (5) при малых * в виде:

&11 *

Г 1 1

+

и + г у-г

^ 1 (1 п

-= — + —

1с/ V)

1 и2-иу-2у2 -+t-—-

и3У2

* -о

<§22 ^ ~

1

+

1

/

yu+t у-г)

-У+г

V

й+у

Г 1 Л

у2иу-2и2

2тгЗ

ит

+о(0 .

Отсюда следует, что 8^ определяются указанными в теореме значениями. Далее

6

V

где ёц

(- -

^§22

ки к

¿§11 | ^22 <§11 <§22 '1

-V

. Тогда имеем

1 £/2К2 ¡7-2К + 2£/-КД \U-y_\( 1 1Л

6

6

и3у3 8

2 иУ 2{У и

д

Полагая 8Ц>1 =-54"' и 3 Ц>2 = —, находим значение для <5Ч>1 и <5Ч^2 . Подста-

ди 8\>

вим формулы (14) в систему (12). Имеем

1

(

2

л

/

и'

у

1

ч^2

V

= 0 0 = 0:

_2_

V2

у

V2

\

у

= о 0 = 0:

V у

\ Л ТТ217 Л (

2

г

1

г 1

+ -

У

1 ит ]_ 2и + у'й

У2

ЛГ2 1 1 2Л

-----+ —

V

у

\У и У и)

6 и1 ЗУ

2 У2

\( \ 2

и2 и2

1 \и' + 1К = 000,0.

= 0 0 = 0:

V

) 1 ( иу2

+ —

) 2 V и+у)

1 2 2+1=

уи У и к и

6 и'

2 и1

Итак, все уравнения системы (12) удовлетворяются значениями и i по формулам

(14) и потому формулы (14) определяют бесконечно малую геодезическую деформацию метрики (12). Теорема доказана.

1

1

1

1

п. 6. О бесконечно малых геодезических деформациях метрик Лиувилля,

сохраняющих заданную ортогональную сеть Ранее было показано, что указанная ранее бесконечно малая геодезическая деформация

метрики ds^ сохраняла ортогональность координатной сети. Это не случайный факт. Ниже доказывается более общий результат.

Теорема 2. Метрики Лиувилля допускают бесконечно малые геодезические деформации, при которых любая наперед заданная ортогональная сеть переходит при деформации в ортогональную сеть.

Доказательство. Примем заданную ортогональную сеть за координатную сеть. Тогда метрика (1$2 примет вид: ds2 = Edu2 + . Будем отыскивать бесконечно малые геодезические деформации, для которых эта координатная сеть стационарна, т.е. = 0. Обратимся к системе (12). Проинтегрируем систему (12) относительно искомых функций &§22> С, считая дgl2 = 0 . Имеем

О <^2

Е О

= -з^ОО,

= сри,

Е Е

1 Еу

- -[у/ + 2ц,']-—(-(р-2ц/ + 2(р + ц/) = 0; 6 2 Ь

--\(р' + 2(р'\ - ^(-2 ср -ц/ + (р + 2ц/) = 0, 6 2Сг

где (р И и Ц/(у) - произвольные функции своих аргументов. Отсюда находим:

3Яп = Е

Е С}

+ = (р' + ц/) = 0.

ь О

Это означает, что (1пЕ)у = [1п(ц/ - <р)\„Ц/ — <р> 0;(/«G)н = \1п(ц/ — (р)\. Следовательно, имеем

Е = А\и){у/-(р\А> 0;

С = В2{у){у/- ср\В > 0,

где А и В - произвольные функции своих аргументов. Метрика ds2 принимает вид:

ds2 =

Это означает, что рассматриваемая метрика ds2 является метрикой Лиувилля; при этом она допускает нетривиальные бесконечно малые геодезические деформации, определяемые формулами (15) и (11).

Докажем теперь, что для заданной ортогональной есть всегда существует бесконечно малая геодезическая деформация метрики Лиувилля, при которой ортогональная сеть стационарна. Примем заданную ортогональную сеть в качестве координатной сети. Тогда система (12) дает решения в виде формул (15), (16). Отсюда находим

дёп = А2

= ' э

/с г. \

б диг

+ ^

кА2{и){¥-(р) В2(у)(ц/-<р),

/ = 1,2: и1-и, и2-V.

н

Таким образом, любая метрика Лиувилля допускает бесконечно малые геодезические деформации, для которых заданная ортогональная сеть является стационарной.

Отметим также, что заменой координат, не меняющей координатной сети, метрику вида (17) можно привести к виду (13). Для этого достаточно положить

1 1 „2 1 о2 1

(р = —; у/ =--; А = —; В =--.

и V и к

Тогда бесконечно малая геодезическая деформация метрики (17), определяемая формулами (18), совпадает с деформацией, указанной в теореме 1. Теорема доказана.

Имеет место

Теорема 3. Для любой бесконечно малой геодезической деформации поверхности Лиувилля существует стационарная относительно этой деформации ортогональная сеть на поверхности.

Доказательство. Пусть метрика поверхности задана в изометрических координатах

и, V в виде ds2 = ¡1 ¿и2 + с/у2 , а бесконечно малая геодезическая деформация представлена вариацией Зс1,Ч2 =8Ес1и2 + 1511с1ис1\' + 3(¡¿¡Л'1. Покажем, что существуют на поверхности направления d] = d] Ы; d] V и ; d2 V такие, что

Е с1хи • с12и + dlv • d2v = 0;

дЕс}^ -с12и + 8Е • с12и + d1v • d2v + 8Gdlv•d2v = 0 Исключая из этой системы ^и, (^2у, получаем уравнение для нахождения du, dv:

du

dxv

= 0.

8\;ЛЛи + 8Fdlv 8Fd]u + 8Gdlv

Подсчитаем детерминант А этого квадратного уравнения относительно dlU, имеем

А = 80-8Е 2+4 ¿Р 2 >0.

Так как рассматриваемая деформация поверхности не является тривиальной, то А > 0, и потому теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. М.; Л.: ОГИЗ, 1948. Ч. II.

2. Погорелов А.В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.: Наука, 1969.

3. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. М.: ГИИЛ, 1948.

4. Норден А.П. Теория поверхностей. М.: ГИТТЛ, 1956.

5. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. М.: Наука, 1979.

6. Josef Mikes, Kiosak V., Vanzurovä A. Geodesic Mappings. Olomouc, 2006.