Подходы к аппроксимации критерия в одноэтапной задаче оптимального проектирования с учетом неопределенности

УПРАВЛЕНИЕ, ИНФОРМАТИКА И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА

УДК 66.01

Т. В. Лаптева, Н. Н. Зиятдинов, Д. Д. Первухин

ПОДХОДЫ К АППРОКСИМАЦИИ КРИТЕРИЯ В ОДНОЭТАПНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ С УЧЕТОМ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Ключевые слова: оптимальное проектирование, одноэтапная задача, математическое ожидание целевой функции.

Постановки задач оптимального проектирования с учетом неопределенности информации часто содержат математическое ожидание целевой функции в критерии, что позволяет оценить значение критерия в среднем на всей области неопределенности. При этом требуется многократный расчет многомерных интегралов на каждой итерации оптимизационной процедуры. Известные процедуры численного интегрирования требуют большого числа узловых точек, из-за чего растут временные затраты на получение решения. В статье рассматриваются подходы к решению одноэтапной задачи оптимального проектирования с вероятностными ограничениями, не требующие вычисления многомерных интегралов и не снижающие точность получаемого значения. Эффективность подходов демонстрируется на примере решения задачи оптимального проектирования системы реактор-теплообменник.

Keywords: optimal design, one-stage problem, expected value of objective function.

Formulations of optimal design problems taking into account uncertainty of data issue frequently have expected value of objective function as a value to optimize, which allows to evaluate objective function in general in the whole area of uncertainty. It demands multiple calculation of multidimensional integrals on each iteration of optimization procedure. Up to date procedures for numerical integration require large amount of nodal points causing time consumption growth to obtain a solution. This paper reviews approaches for one-stage optimal design problem with soft constraints which avoid calculation of multidimensional integrals and do not reduce accuracy of values obtained. Approaches's efficiency is shown on "reactor - heat exchanger" system optimal design problem.

Введение

Задачу проектирования оптимальной химико-технологической системы (ХТС) часто приходится решать в условиях неточной исходной информации (технологической, физико-химической и экономической), а также при изменении во внешних условиях функционирования и изменения внутренних характеристик ХТС (в совокупности их принято называть неопределенностью).

Игнорирование этих неточностей и изменение условий функционирования и характеристик ХТС может привести к нарушению качества продукта на этапе функционирования или даже аварийным ситуациям [1]. Учет неопределенности при проектировании возможен в виде различных постановок задачи оптимизации. Мы рассмотрим одноэтапную постановку задачи оптимального проектирования ХТС при наличии вероятностных (мягких) ограничений. Одноэтапная постановка предполагает, что все поисковые параметры (как конструктивные, так и управляющие) будут определены в результате решения задачи проектирования, оставаясь затем неизменными на этапе функционирования. В качестве критерия, учитывающего возможные изменения

неопределенных параметров, будем использовать математическое ожидание E[f (х,в)] функции

f(х,в), характеризующей эффективность работы ХТС. Такая задача имеет вид [2]:

f* = min E[f

X

Prg

где

- х - вектор поисковых переменных,

включающий в себя конструктивные и

управляющие параметры ХТС;

- в - вектор неопределённых параметров;

- f(х,в) - критерий эффективности работы ХТС;

- gj (х,в) - ограничения задачи.

Относительно неопределенных параметров в известно, что они принадлежат некоторой области неопределённости

T = (в: 0L <в<ви).

В данной постановке

E[f (х,в)] = j f (х,в)р{в)бв

T

Pr{gj (х,в) < 0} = \р{в)бв,

Q j

где

- р(в) - плотность распределения в;

- Qj - область выполнения j -ого

ограничения:

Qj = {ве T : gj(х,в) < 0}.

Сложность прямого решения задачи (1) заключается в необходимости многократного

расчета (на каждой итерации процедуры

оптимизации) многомерных интегралов.

Существующие процедуры численного

интегрирования с помощью квадратур [3] и метода Монте-Карло [4] требуют большого числа узловых точек, количество которых растет экспоненциально с ростом размерности пространства неопределенных параметров. В результате для достижения

удовлетворительной точности могут потребоваться колоссальные временные затраты.

Было показано, что ограничение (2) может быть приведено к детерминированному виду [5, 6]. Решение полученной задачи дает верхнюю оценку решения исходной задачи (1).

Аппроксимация критерия

Остается открытой проблема эффективного вычисления математического ожидания.

Пусть все неопределенные параметры в независимы и нормально распределены; f(x,в) дифференцируема по параметрам в .

Обозначим линейную часть разложения в ряд Тэйлора функции f (x,в):

f(x,в,в) = f(xв) + Z(df(х,в)Iдві)(ві -в!), і=1

пв = dimT.

Тогда Eap [f (x,в)J ] = J )р(в^в

T

аппроксимирует величину E[f (x,в)] на области T.

Для улучшения качества аппроксимации исходная область T дробится на подобласти Tl [7]

Nap

Eap [f (x^T] = Z Eap [f (Х,в),ъ ], l = 1

где Nap - число подобластей Tt на k -ой итерации.

Мы рассмотрим два подхода к выбору подобласти для дробления [В]:

1. на каждой итерации будем дробить все

подобласти Tl ; таким образом на k -ой итерации у

нас будет Nap = 2k-1 областей;

2. на каждой итерации будем дробить подобласть Ts , в которой качество аппроксимации jUq функции

f

наихудшее, тогда Nap = k; здесь s = max /uq,

q

/uq = max(f(x,в) - f(xfifiq))2, q = 1,...,Nap .

вєТq

Можно использовать разные варианты аппроксимации критерия в подобластях Tl ,

например:

1. кусочно-линейными функциями в подобластях

Eap [f (xfiyj, ] = a,f (х,в') +

+ Z^f(х,в')Iдв;ШвіT] - a,0l), і=1

2. кусочно-постоянными функциями в подобластях

Eap [f(x^yji ] = a f (х,в'),

где а, = \р(в)йв, БЩ\Т,] = р{в)бв .

Т т,

3. аппроксимация по точкам, заданным на основе опыта проектировщика

ыар

Еар[Пх,в),Т] = ТаДхв),

,=1

где в1 - заданная экспертом точка области

неопределенности с весом а,, Мар - число

аппроксимационных точек.

Пример

Сравнение подходов к выбору подобласти для дробления будем проводить на примере оптимизации технологической системы, состоящей из реактора и теплообменника с рециклом (Рис. 1) [9]. В реакторе (1) объема V протекает экзотермическая реакция первого порядка вида

А ———> В . Рецикл (с расходом ) используется

для управления температурой Т\, в реакторе. Противоточный теплообменник (2) служит для охлаждения рециклического потока , используя холодную воду с расходом , кг*моль/ч. Процесс

служит для получения целевого продукта В . Неопределенными параметрами задачи являются , Т0 , Тш 1, кя , и. Область неопределенности Т характеризуется отклонениями 8 от номинальных

значений неопределенных параметров вм (см. табл. 1) и имеет вид 5-мерного параллелепипеда с

где

ребрами [вL; ви ]

в- =в!N (1 -8).

ви =вы (1 + 8). В качестве критерия оптимальности использованы приведенные затраты

^ = 691,2 • V01 + 813 • А?'6 +1,76 • + 7,056 • Б1,

где А( - площадь теплообменника.

Математическая модель системы, включающая материальные и тепловые балансы реактора и теплообменника, имеет вид:

^ Ц-E ,

(- АН)Fo (СЛо - См) = F c TT т ) i Q

-------------------= Focp\'i - 'о) + QHE ,

CA0

QHE = F1Cp (Т1 - T0 ) = FWCpw (W2 - TW1) ,

Qhe = A,U(AT)m = A,U T - Tw2>2 T - Tw 1 >,

Конструктивные переменные: V, At.

Управляющие переменные: T-, Tw2 .

Таблица 1 - Отклонение неопределенных

параметров от номинального значения

Параметр F0 T0 TW1 kR U

Номинал 45,36 393 300 9,81 1635,34

£ 0,1 0,02 0,03 0,1 0,1

Величины в таблице 1 имеют следующие размерности: F0 - кг*моль/ч, T0 - К, TW1 - К, kR

- м3/кг*моль*ч, U - кДж/м2.

Ограничения в задаче имеют следующий вид:

1. V > 0,

2. A > 0,

3. 09 к (CA0 - CA1)/CA0

4. —T I 1 к 0

5. Tw1 - Tw — к 0 ,

6. Tw1 - T— +11,1 к 0 ,

7. Tw — - T1 +11,1 к 0 ,

8. Э11 к T1 к Э89,

9. Э11 к T— к Э89 ,

10. Э01 к Tw — к Э55 .

Для примера была решена задача (1) с использованием следующих вариантов оценки критерия: кусочно-постоянной аппроксимации на подобластях (всех и наихудшей) и аппроксимации по заданным экспертом точкам.

Для последнего варианта были взяты точки, предложенные авторами примера [9], где для оценки критерия предлагаются 5 фиксированных в области неопределенности точек с фиксированными весами (a-f = 0,5, a/ = 0,125,1 = 2,..,5).

Полученные результаты представлены в таблице 2. В таблице:

а - заданная вероятность выполнения ограничений, E[f (х,в)\ - значение критерия в точке

оптимальности (с последней выполненной итерации), рассчитанное методом Монте-Карло, Nap - количество точек на к -ой итерации, по

которым рассчитывалась аппроксимация критерия. Для каждой итерации приводятся:

- значение критерия (F ),

- общее время расчета

- отклонение критерия от E[f (х,в)\

(А = |(F - E[f (x,d)])lE[f (x,0)]\).

Необходимо заметить, что однократный численный расчет значения критерия E[f(х,в)] в оптимальной точке (т.е. при фиксированных значениях поисковых переменных) занимал в среднем порядка 40-50 минут. Максимальное время, которое было необходимо для решения задачи оптимального проектирования (1) при

аппроксимации критерия, составило не более 4 с в целом для всех итераций (с 1-ой по 3-ую) при

пк-1

аппроксимации критерия по 2 точкам и а= 0,75 . Таким образом, предложенный в [5, 6] подход к решению задачи (1) совместно с аппроксимацией критерия дают значительный выигрыш во времени.

Таблица 2 - Значения критерия в оптимальных точках на разных итерациях

Nap а Номер итерации E[f (x,0)]

k 1 3

F 9860 9878

0,5 t 0,63 2,88 9867

Д *102 0,0679 0,1135

F 9939 9957

—k-1 0,75 t 0,92 3,61 9944

Д *102 0,0442 0,1317

F 10060 10076

0,95 t 0,86 2,87 10065

Д *102 0,0527 0,1073

F 9860 9873

0,5 t 0,63 1,97 9866

Д *102 0,0588 0,0739

F 9939 9952

k 0,75 t 0,64 2,234 9944

Д *102 0,0493 0,0744

F 10060 10069

0,95 t 0,64 2,64 10057

Д *102 0,0288 0,1233

F 10416 10412

0,5 t 0,61 2,47 9969

Д *102 4,4887 4,4436

F 10500 10495

5 0,75 t 0,56 2,19 10049

Д *102 4,4909 4,4431

F 10626 10620

0,95 t 0,58 2,14 10168

Д *102 4,5131 4,4493

Из таблицы 2 видно, что при сравнении значения критерия, полученного с использованием кусочно-постоянной аппроксимации критерия на подобластях области неопределенности, а также значение критерия, полученного по экспертным точкам, со значением, вычисленным в оптимальной точке методом Монте-Карло, большая точность

достигается при использовании предложенной кусочно-постоянной аппроксимации на

подобластях. При этом наибольшая точность достигается при дроблении подобласти с наихудшей аппроксимацией - от 0,07% до 0,12%. При дроблении всех подобластей достигаемая точность варьируется в пределах 0,11%-0,13%. В то же время, при использовании дробления всех областей на каждой итерации решения задачи (1) приводит к значительному росту числа аппроксимационных точек и увеличению времени вычисления критерия. Это может послужить преградой к решению задач большой размерности.

Заданные в [9] экспертные точки не позволяют получить высокую точность вычисления критерия задачи (1): погрешность аппроксимации по постоянному набору точек получилась порядка 4,5%, что значительно больше других вариантов аппроксимации.

Выводы

Относительно времени получения решения разными подходами:

приведенные результаты показывают значительную экономию временных затрат на решение задачи (1) предложенным подходом, использующим

аппроксимации критерия в виде кусочно-

постоянных функций в подобластях, получаемых на каждой итерации метода путем дробления подобластей области неопределенности,

полученных на предыдущих итерациях.

Относительно качества аппроксимации:

- вариант расчета математического ожидания по фиксированному набору точек дал наихудшее качество аппроксимации критерия;

- в случае дробления всех подобластей происходит значительный рост числа аппроксимационных точек, что вызовет увеличение времени решения задачи (1) при большом числе

итераций метода, которые могут потребоваться для достижения высокой точности решения;

- наиболее качественным из рассмотренных стоит признать подход, в котором на каждой итерации дробится подобласть с худшим качеством аппроксимации.

Литература

1. Н.Н. Зиятдинов, Д.А. Рыжов, Т.В. Лаптева,

В.А. Курбатов. Поиск энергосберегающих режимов работы установки разделения изоамилен-изопреновой фракции производства изопрена. Вестник КТУ, 6, 249258 (2009).

2. Г.М. Островский, Н.Н. Зиятдинов, Т.В. Лаптева,

Д.Д. Первухин. Одноэтапная задача с мягкими ограничениями. ТОХТ, 43, 4, 441-451 (2008).

3. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков.

Численные методы. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007. 696 с.

4. U.M. Diwekar, J.R. Kalagnanam. Efficient Sampling Technique for Optimization under Uncertainty. AIChE J, 43, 440 (1997).

5. Лаптева Т.В., Зиятдинов Н.Н., Первухин Д. Д.,

Островский Г. М. Одноэтапная задача оптимального проектирования системы реакторов с вероятностными ограничениями. Вестник КТУ, 9, 281-287 (2011).

6. Островский Г.М., Зиятдинов Н.Н., Лаптева Т.В., Первухин Д. Д. Одностадийные задачи оптимизации химико-технологических процессов с мягкими ограничениями. Доклады Академии наук, 425, 1, 63-66 (2009).

7. Лаптева Т.В., Зиятдинов Н.Н., Первухин Д. Д.,

Островский Г.М. Нижняя оценка одноэтапной задачи оптимального проектирования с вероятностными ограничениями. Вестник КТУ, 7, 218-224 (2011).

8. Островский Г.М., Зиятдинов Н.Н., Лаптева Т.В., Первухин Д.Д. Оптимизация химико-технологических процессов с вероятностными ограничениями. ТОХТ, 44, 5, 507-515 (2009).

9. K.P. Halemane, I.E. Grossmann. Optimal Process Design under Uncertainty. AIChE J, 29, 425-433 (1983).

© Т. В. Лаптева - канд. техн. наук, доц. каф. системотехники КНИТУ, tanlapteva@yandex.ru; Н. Н. Зиятдинов - д-р техн. наук, проф., зав. каф. системотехники КНИТУ, nnziat@yandex.ru; Д. Д. Первухин - асп. той же кафедры, avylon@kstu.ru.