Определение дискретных аналогов гиперболических функциональных зависимостей суперпозициями одномерных точечных множеств

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ АНАЛОГОВ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ СУПЕРПОЗИЦИЯМИ ОДНОМЕРНЫХ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ

Воронцов Олег Викторович

канд. техн. наук, зав. кафедрой начертательной геометрии и графики, доцент Полтавского национального технического университета

имени Юрия Кондратюка, Украина, г. Полтава Е-mail: uaas.poltava2012@smail.com

DETERMINATION OF DISCRETE ANALOGUES OF HYPERBOLIC FUNCTIONAL RELATIONSHIPS BY SUPERPOSITIONS OF ONE-DIMENSIONAL POINT SETS

Oleg Vorontsov

Candidate of Engineering Sciences, Associate Professor, head of the Department of Descriptive Geometry and Graphics, Poltava National Technical University named after Yuri Kondratyuk,

Ukraine, Poltava

АННОТАЦИЯ

В работе проведено исследование определения дискретных аналогов трансцендентных функциональных зависимостей на примере гиперболических функций, в частности, числовой последовательности цепной линии, с использованием геометрического аппарата суперпозиций одномерных точечных множеств.

Воронцов О.В. Определение дискретных аналогов гиперболических функциональных зависимостей суперпозициями одномерных точечных множеств //

Universum: Технические науки : электрон. научн. журн. 2015. № 6 (18) .

URL: http://7universum.com/ru/tech/archive/item/2243

ABSTRACT

In the article we have studied a determination of discrete analogues of transcendental functional relationships for hyperbolic functions, particularly a numerical sequence of a catenary, using a geometric apparatus of superpositions of one- dimensional point sets.

Ключевые слова: дискретные аналоги, числовые последовательности, гиперболические функции, геометрический аппарат суперпозиций, суперпозиции точечных множеств.

Keywords: discrete analogues, numeric sequences, hyperbolic functions, geometric apparatus of superpositions, superpositions of point sets.

Постановка проблемы. В процессе создания моделей дискретных геометрических образов объектов проектирования актуальными являются задачи перехода от дискретной информации к непрерывной, которые решаются методами интерполяции, и обратные задачи — перехода от непрерывной информации о геометрическом образе к дискретной. Использование математического аппарата числовых последовательностей и геометрического аппарата суперпозиций позволяет создавать эффективные алгоритмы такого перехода.

Анализ последних исследований и публикаций. Вопросам анализа рекуррентных формул числовых последовательностей для дискретного формирования геометрических образов посвящена докторская диссертация проф. С.И. Пустюльги [6]. Результаты, полученные в этой работе, позволяют получать рекуррентные формулы, связывающие значения конечного ряда соседних членов последовательности, а также предусматривают наличие исходных данных в виде координат обязательно смежных членов соответствующих последовательностей. Для определения координат искомых узлов необходимо последовательно вычислять координаты предыдущих.

Исследование методики дискретного определения геометрических образов одномерными числовыми последовательностями класса элементарных функциональных зависимостей на основе геометрического аппарата суперпозиций проведено в работах [1—3; 5] автора данной публикации.

Геометрический аппарат суперпозиций позволяет получать формулы, связывающие значения конечного ряда произвольных членов

последовательностей с произвольными исходными данными (координатами несмежных членов данных последовательностей), и тем самым значительно экономить вычислительные ресурсы.

Научная новизна и практическая ценность данного исследования заключается в возможности использования предложенной методики

дискретной интерполяции числовыми последовательностями трансцендентных функциональных зависимостей по произвольным исходным данным.

Постановка задания. Цель данной работы заключается в проведении исследований методики дискретного интерполирования числовыми

последовательностями гиперболических функций с применением

геометрического аппарата суперпозиций одномерных точечных множеств.

Изложение основного содержания исследования. Среди

гиперболических функций для дискретного моделирования геометрических образов объектов проектирования наибольший интерес представляет функциональная зависимость гиперболического косинуса (1), которой

описывается цепная линия, чья форма соответствует однородной гибкой нерастяжимой тяжёлой нити, закреплённой в обоих концах, и что провисает под действием силы тяжести.

y = a • ch—

a

Цепные линии часто встречаются в природе и технике. В архитектуре и строительстве арки в форме перевёрнутой цепной линии имеют высокую устойчивость благодаря тому, что внутренние силы сжатия идеально компенсируются и не вызывают прогиба.

Замкнутая форма дискретного аналога гиперболической функции (1) может быть представлена числовой последовательностью:

y = a • ch—

— a

Не теряя общности, возьмём в уравнении гиперболического косинуса (1), a = 1. Тогда замкнутая форма числовой последовательности (2) данной трансцендентной функции будет иметь вид:

y=chi

—

На основе доказанного в работе [4, с. 10] свойства 1, согласно которому координаты любой точки одномерного множества точек являются суперпозицией (4) координат трёх произвольных точек данного множества,

"x =k x +k x +(1-k -k )x

x0 k1x1 k2x2 (1 к1 k2/x3 /4ч

y =к У +k У +(1-k -k )y ly0 k1y1 k2y2 k1 k2')y3

можно предположить, что координаты любой точки цепной линии,

изображённой на рис. 1, будут определены как суперпозиция координат трёх произвольных точек данной кривой.

Рассмотрим числовую последовательность (3), значения которой приведены в таблице 1, с конкретными исходными данными.

Уп

А1 1 10 Л

\ 8'

\ 7

\ 5-

К \ < \ К

\ 3

Д 2 / . з

4? ^ 4?

1 4? /

-4 -3 -2 -1 12 з 4

Рисунок 1. Дискретно представленный график последовательности

y =chi

i

Таблица 1.

Значения числовой последовательности y — chi

i

i 0 i; -1 2; -2 3; -3 4; -4 5; -5 6; -6 7; -7

У 1 1,543 3,762 10,068 27,308 74,210 201,716 548,317

Возьмём фиксированные точки данной последовательности:

Ai(-3; ch(-3)), A2(0; ch(0)), As(-3; ch(3)).

Найдём коэффициенты ki, k2 и кз суперпозиции заданных точек Ai, A2, Аз для определения координат неизвестных точек A01, A02, A03, и A04 последовательности (3) с равномерным шагом h=1 вдоль оси Ox.

Решение системы уравнений (4) даёт выражения для определения значений коэффициентов ki и к2 :

k -

к -

2

Для точки Ao1(-1; chi) величины коэффициентов ki и к2 будут следующими:

,, _ (-1-з) (1-екз)-(0-з) (еН1-еНз) _ к1

1

_ -4

U - (-з-з)(еН1-еНз)-(-1-з) (еНз-еНз) к2

2

_ -6(еН1-еНз)+4 0 _ еН1-еНз -6(1-еНз)+з0 1-еНз

Если ch1=1,543 , ch3=10,068 , то

. 4-з1,54з-10,068 4-4,629-10,068 л

к =----------------=---------------= 0,197 ;

6

-54,408

к2 =

1,54з-10,068

1-10,068

-8,525

-9,068

= 0,94 .

Значения коэффициентов к1 та к2 для определения координат точки

Ao2(1, ch1) :

,, _ (1-з) (1-еНз)-(0-з) (еН1-еНз) _ к1

1

_ -2(1-еНз)+з(еН1-еНз) _ 2-зеН1+еНз

-6

6

,, _ (-3-3)(ch1-ch3)-(-1-3)(ch3-ch3) k2

2

_ -6(ch1-ch3)+4 0 _ ch1-ch3 -6(1-ch3)+3 0 1-ch3

Если ch1=1,543 , ch3=10,068 , то

k1=

2-31,543+10,068 6

2-4,629+10,068 _ 7,439 -54,408 -54,408

-0,137 ;

. 1,543-10,068

k2 =--------------

2 1-10,068

= -8,525 =0,94 -9,068

Для точки Ao3(-2; ch2):

u - (-2-3)(1-ch3)-(0-3)(ch2-ch3) _ -5(1-ch3)+3(ch2-ch3) k1

1 (-3-3)(1-ch3)-(0-3)(ch3-ch3) -6(1-ch3)+30

-5+5ch3+3ch2-3ch3 -5+3ch2+2ch3 5-3ch2-2ch3

-6

U - (-3-3)(ch2-ch3)-(-2-3)(ch3-ch3) _ k2

2

_ -6(ch2-ch3)+5 0 _ ch2-ch3 -6(1-ch3)+3 0 1-ch3

Подставив значения числовой последовательности (3), получим:

. 5-3 3,762-2 10,068 5-11,286-20,136 л

k =------------------=-----------------= 0,486

6

-54,408

и _3„762-10,068

k2

2 1-10,068

-6,306

-9,068

= 0,695 .

Для точки Ao4(2; ch2):

k

_ 1-3ch2+2ch3 _ 1-3 3,762+210,068 _

6(1-ch3) 1-11,286+20,136

6(-9,068) = 0,486

-54,408

k2 =

ch2-ch3

1-ch3

3,762-10,068

1-10,068

= 0,695

Полученные выше результаты представлены в таблице 2.

Таблица 2.

Значения коэффициентов суперпозиции для определения координат точек

последовательности у = chi

i

Ai Ао3 Ао1 А2 Ао2 Ао4 Аз

i -3 -2 -1 0 1 2 3

yi 10,07 3,76 1,54 1 1,54 3,76 10,07

ki 1 0,486 0,197 0 -0,137 -0,181 0

к2 0 0,695 0,94 1 0,94 0,695 0

k3=1-kl-k2 0 -0,181 -0,137 0 0,197 0,486 1

Значения у найдены из формул (4), например, для точки Ао1

у i =0,197•10,07+0,94•1+(-0,137)-10,07 = 1,54

Выводы. Для дискретного моделирования геометрических образов гиперболическими функциональными зависимостями может быть применён геометрический аппарат суперпозиций одномерных точечных множеств, позволяющий определять координаты произвольных узлов дискретного образа по произвольным исходным данным.

0

Список литературы:

1. Воронцов О.В. Визначення дискретного аналогу дробово-лшшно! функцп суперпозищями одновимiрних точкових множин / О.В. Воронцов // Прикладна геометрiя та шженерна графка. — К.: КНУБА, 2013. — Вип. 91. — С. 64—68.

2. Воронцов О.В. Визначення дискретного аналогу полшома n-го степеня суперпозищями точок числово! послщовност n-го порядку /

О.В. Воронцов // Прикладна геометрiя та шженерна графка. — К.: КНУБА, 2012. — Вип. 90. — С. 63—67.

3. Воронцов О.В. Дискретна штерполящя суперпозищями точок числових послщовностей дробово-лiнiйних функцш / О.В. Воронцов, Н.О. Махшько // Прикладна геометрiя та шженерна графiка. / Працi ТДАТА. Вип. 4. — Т. 57 — Мелггополь: ТДАТА, 2013. — С. 62—67.

4. Воронцов О.В. Дискретное моделирование кривых поверхностей суперпозициями двумерных точечных множеств / О.В. Воронцов, Л.О. Тулупова // Сборник статей по материалам XL международной научно-практической конференции «Технические науки — от теории к практике». — Новосибирск. 2014. — № 11 (36). — С. 7—16.

5. Воронцов О.В. Определение дискретных аналогов классов элементарных

функций суперпозициями одномерных точечных множеств / О.В. Воронцов, Л.О. Тулупова // Universsum: Технические науки: электрон. научн. журн. 2014. № 3 (4) / [Электронный ресурс]. — Режим доступа: URL: http://7universum.Com/ru/tech/archive/item/1135 (дата обращения:

29.05.2015).

6. Пустюльга С.1. Дискретне визначення геометричних об’еклв числовими послщовностями: дис. д-ра техн. наук: 05.01.01 / КНУБА. — К.: 2006. — 316 с.