Формализм Гильберта и постмодернистская концепция языка

НАУЧНАЯ ШКОЛА: ФИЛОСОФСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ НГУ

УДК 111

Формализм Гильберта и постмодернистская концепция языка1

Статья посвящена исследованию связи философии математики Д. Гильберта — финитизма — и некоторым постмодернистским концепциям языка науки, в частности, М. Фуко. Показано, что концепция языка Фуко преследует в качестве идеала финитистскую концепцию математического знания Гильберта. Обсуждена роль языка как репрезентации знания.

Ключевые слова: формализм, Гильберт, постмодернистская философия, Фуко, язык, знак, эпистема.

В.В. Целищев

Формализм Гильберта является одним из источников аналитической философии, и, памятуя хорошо известное противостояние континентальной и аналитической философии, трудно представить, в какой степени философия математики Гильберта может быть связана с идеями континентальных философов. Сама постановка вопроса, правда, не так уж абсурдна, потому что Гильберт в существенной степени для обоснования своей позиции использовал философию Канта. Аналитическая философия возникла как реакция на философию Канта, по крайней мере философия математики Фреге и Рассела была антикантианской. Но если Гильберт апеллировал к Канту, то получающаяся в результате парадоксальная ситуация говорит о возможности некоторого рода диалектической интерпретации философии математики Гильберта в континентальном духе.

Некоторые исследователи, например В. Ташич [14], полагают, что такого рода интерпретацию можно найти у французского философа науки Жана Ка-вайеса (Cavailles) [8]. Этот философ был нетипичен для французской философии, поскольку был настроен против интуиционизма и экзистенциализма, ко-

1 Материалы исследования, нашедшие отражение в данной статье, поддержаны грантом Фундаментальные исследования НАН Украины и СОРАН (2013—2015). Грант 15 «Логико-методологический анализ языка науки и представление знания...».

© Целищев В.В., 2013

67

Формализм Гильберта и постмодернистская концепция языка

торые были доминирующими течениями. Его внимание было обращено на методологию науки. Сходство между Гильбертом и Кавайесом состоит в том, что метаматематика занимала центральное место в их философских программах. Правда, точная постановка вопроса Гильбертом о замене расплывчатого понятия истины доказательством у Кавайеса принимает вид тезиса, что истина состоит в самом метаматематическом методе.

Однако философский фон позиций Гильберта и Кавайеса различался значительно. Если первый ориентировался на Канта, то второй — на Гегеля. Для философа первой половины XX века ориентация на Гегеля выглядит несколько странно, но такая ориентация находится часто у философов и более позднего периода, скорее в латентном виде, например, у И. Лакатоса. Таким образом, для понимания соотношения философии Гильберта и Кавайеса требуется понять, каким образом соотносятся Гегель и Кант, хотя бы в самых общих чертах.

Для Гегеля наиболее значительным понятием является развитие, история мирового духа. Далее, дуализм трансцендентального и эмпирического Канта был заменен диалектическим синтезом. Если считать трансформацию философии Канта в философию Гегеля в рамках классической немецкой философии некоей операцией над категориями, то можно считать, что нечто аналогичное было сделано Кавайесом с философией математики Гильберта. В определенном смысле Кавайес стремится к холистической картине науки, в рамках которой мы воспринимаем идею математической или логической истины. Для Гильберта одним из основных понятий является доказательство посредством апелляции к пониманию математики, которое является прерогативой субъекта. Для Кавайеса понимание индивидом тех же математических истин не является результатом когнитивного акта постижения индивидом. Истинность утверждения обретается в результате «концептуального становления», которое является безличным или же деперсонифицированным, в стиле гегелевского процесса развертывания Духа. Это первая из упомянутых операций над категориями. Другая операция состоит в отказе от кумулятивной концепции развития науки и введении исторических измерений в само понятие истины как метода проб и ошибок. В этом отношении Кавайесу наиболее близок опять-таки Лакатос, показавший в «Доказательствах и опровержениях» возможность историцистской интерпретации поиска истин в математике [2].

Но если историцистская иллюстрация Лакатоса была только иллюстрацией, хотя и очень остроумной, то более последовательным в историцизме был, конечно, Мишель Фуко. Последний является ярким представителем континентальной философии, но, как показали некоторые исследователи, существует значимая историческая преемственность между Кавайесом и Фуко. В частности, Ташич упоминает, что промежуточным звеном между ними был французский историк Жорж Кегилем (Canguilhem), учитель Фуко и поклонник Кавайеса, лично знавший его и написавший о нем книгу

68

Формализм Гильберта и постмодернистская концепция языка

[14, 88]. Но поскольку Кавайес был тем самым философом, который осуществлял операции над философией Гильберта, следует предположить, что философия Фуко что-то унаследовала от философии Гильберта. Фуко является одним из главных представителей постмодернизма, и стало быть, этот вопрос переформулируется следующим образом: каково соотношение формализма и постмодернизма и могут ли они вообще сопоставляться?

Мост между ними выстраивается через понятие «идеального элемента» Гильберта [1]. Финитизм предполагает, что «реальными элементами» являются концепции, имеющие дело с элементарными когнитивными операциями, то есть с конечными операциями. К идеальным элементам относятся те концепции, которые являются артефактами системы. Идея Гильберта состояла в том, что значение и референт имеют реальные элементы, в то время как идеальные элементы являются бессмысленными вне контекста системы. Тем не менее идеальные элементы нужны для функционирования знаковой системы.

Идеальные объекты Гильберта устранимы в пользу «реальных», понимание которых тесно связано с пониманием концепции знака как квазиконкретного объекта [12]. Однако классическое разделение Гильберта на реальные и идеальные объекты можно понимать и по-другому. Такое понимание будет расходиться с намерениями самого Гильберта, но это будет как раз той самой «гегелизацией» Гильберта, о которой говорилось выше. Идеальными объектами можно считать не математические объекты, которые не отвечают интуиции на определенном этапе развития. Впоследствии они становятся реальными в том смысле, что математическое сообщество привыкает к ним, и они обретают тот же статус, что и реальные объекты. Таким образом, это превращение становится скорее вопросом социологии, нежели методологии. Типичным примером такого превращения является корень из минус единицы, этимология названия которого «мнимое» число говорит о его первоначальном идеальном статусе, в самостоятельный математический объект, который с полным правом можно назвать сейчас реальным объектом. Больше того, комплексные числа являются в этом смысле даже более реальными, чем некоторые другие математические объекты, поскольку математический аппарат квантовой механики основан именно на использовании комплексных чисел [3]. Имея в виду, что квантовая механика является самым фундаментальным описанием природы, реальность комплексных чисел приобретает даже расширительное значение.

Получается, что дихотомия «идеальное — реальное» является вопросом, решение которого зависит от дихотомии «индивидуальное — общественное», понимая под общественным математическое сообщество. Если для отдельного математика математический объект представляется идеальным, то для сообщества он представляется вполне реальным в том смысле, что такое понимание становится безличным. Часто это обстоятельство вы-

69

Формализм Гильберта и постмодернистская концепция языка

ражается термином «идеальный математик», под которым понимается ничем не ограниченная возможность математической компетенции, превышающей физические возможности реального математика. На этом этапе «гегелизации» Гильберта принимается спорная точка зрения, согласно которой его идеология сходна с позицией «идеального математика» в том отношении, что он в своем знаменитом эпистемологическом оптимизме «Мы будем знать, мы должны знать» опирается на понимание объектов математического исследования именно математическим сообществом, а не отдельным индивидом. Эта точка зрения действительно является спорной, поскольку здесь используется несколько смыслов термина «идеальный объект». Именно такое смешение дает повод отнести финитизм Гильберта скорее к гегелевской философии, нежели к кантианской.

Идеальный объект обретает статус реального в результате ассимиляции его сообществом и потому становится безличным. Его появление не есть результат озарения индивида, а есть социальный акт принятия сообществом. Именно в этом смысле он не имеет «автора». Создание математических объектов принадлежит не отдельным личностям, а самой науке в целом, ее методу, который реализуется исторически через развертывание множества практик. Математические идеализации есть необходимый продукт математического метода. В таком нестандартном понимании формализма Гильберта рождается постмодернистская апелляция к формализму.

Такой поворот в интерпретациях математики и метаматематики типичен для постмодернизма и его предшественников. Очень часто формальные результаты толкуются весьма произвольно. Типичный случай — понятие истины. Интерпретация теоремы Тарского о том, что развитая формальная система не может сформулировать понятие собственной истинности, используется для провозглашения более общего тезиса, согласно которому язык требует своего расширения для включения в него собственной недостаточности. Это обобщение неверно по нескольким основаниям. Во-первых, речь идет не о языке вообще, а об иерархии языков, частью которых является метаязык. Во-вторых, есть многие формальные системы, в которых теорема Тарского не является справедливой, например, дружественно-независимая логика Хинтикки [11]. Наконец, в постмодернистских интерпретациях не делается различия между языком формализованным и языком естественным, что весьма важно в подобных интерпретациях.

Здесь полностью смещается собственно тематика, связанная с априорным статусом математических истин, от чисто эпистемологического аспекта к историцистскому. Упор на то, что знание индивида не тождественно знанию сообщества, приобретает гегельянский оттенок развертывания духа, теперь уже в одеяниях «концептуального становления». Историцизм Гегеля становится главной составляющей в понимании процесса формирования математического познания. Развитие математики в историческом ракурсе делает вопрос о статусе математических утверждений более ши-

70

Формализм Гильберта и постмодернистская концепция языка

роким, чем постановка вопроса о том, как априорные истины математики постигаются как таковые индивидом.

Апелляция к бесконечному развертыванию математики во времени, тем не менее, не позволяет делать заключения о том, что математика, несмотря на непрерывное изменение, не имеет некой сердцевины, статус которой не зависит от временного параметра. Другими словами, вопрос о том, является ли математика априорной, не закрывается соображениями о развитии математики. Историцистская критика концепции математики как системы априорных истин опирается либо на неверную интерпретацию формальных результатов, либо на желание сменить методологию науки на гегелевскую философию развития.

Таков извилистый путь, предложенный постмодернистами, — от разделения Гильбертом идеальных и реальных элементов в математике к тезису, что обоснование математических истин не является прерогативой отдельных людей. Статус математических истин заключается в самом математическом методе в его историческом развитии и не определяется вневременными критериями. Но тогда категория «истина» оказывается относительной и выходит за пределы индивидуального понимания. Кавайес, несмотря на значительные отклонения от логического эмпиризма в отношении понятия истины и знания, тем не менее, остается в рамках того, что называется сайентизмом, ориентируясь на научные теории. Как и в других проявлениях постмодернистской философии, от этого вполне приемлемого базиса совершается «прыжок» в сторону уже не очень, если не сказать больше, обоснованных обобщений. Такой прыжок, в частности, совершил Мишель Фуко в своей «Археологии знания», в которой было провозглашено верховенство научной практики над узким пониманием того, что представляет собой научная истина [6]. Здесь им используется признаваемый всеми факт, когда результаты некоторого этапа в познании признаются истинными только постфактум, в контексте более позднего знания. Зачастую некоторые находки ученых не входят в систему как истинные утверждения и служат чисто прагматическим целям. Таких примеров множество. Например, из истории становления квантовой механики известно, что формула Бальмера для спектра водорода была просто формулой описания опытов, без всякого объяснения, и только в модели атома Бора она нашла объяснение. Даже психологически отказ признать ее релевантность к объяснительной модели атома засвидетельствован в истории [7]. В математике такие прагматические обстоятельства также играют существенную роль. Так, дельта-функция Дирака не могла рассматриваться как обоснованная в системе математического знания до «реабилитации» ее в теории обобщенных функций [9]. Таким образом, мы имеем ситуацию, когда некоторый фрагмент того, что позднее признается знанием, не обладает таким статусом в момент своего возникновения. В определенном смысле это парадокс, особенно в случае кумулятивного знания, такого как математика.

71

Формализм Гильберта и постмодернистская концепция языка

Этот парадокс разрешается М. Фуко понятием практики, или, более широко, научного дискурса. С точки зрения Фуко, наука отнюдь не сводится к собственно научным текстам, не меньшую роль играют финансовые обстоятельства, социологические оценки научных направлений как перспективных или бесперспективных, сплетни жен профессоров и т.д. [10]. Такого рода практики находятся в рамках языковой практики, которая и включает упомянутые выше «посторонние» факторы. Здесь мы сталкиваемся с очередным парадоксом. С одной стороны, имеется язык математики, а с другой — более широкое понятие математического дискурса. Возникает вопрос, чем лучше второй язык, нежели первый? Если будут найдены аргументы в пользу утвердительного ответа на этот вопрос, тогда постмодернистские концепции имеют серьезное основание.

Важным свойством практик, или дискурсов, является непрерывная их смена. В значительной степени это представление перекликается с понятием парадигм Т. Куна. Р. Рорти отмечает три концепции, которые близки друг другу, — эпистемы Фуко, словари Рорти и парадигмы Куна [4]. Какие-либо закономерности в смене эпистем обнаружить трудно, и в этом смысле такие смены могут считаться совершено случайными. Но в этом случае история науки или же отдельной дисциплины теряет и без того трудно устанавливаемый порядок. Единственный выход состоит в том, чтобы отказаться от концепции случайных изменений и обнаружить некоторый порядок. Так, его можно найти в консервативности людей, системах образования, политических обстоятельствах и проч. Но анализ таких факторов является в высшей степени затрудненным, и вряд ли можно уложить его в строгие научные рамки. Скорее, такие рассмотрения апеллируют к нестрогим методам вроде диалектических структур или предвзятых точек зрения относительно человеческой природы. Что касается Фуко, то он ищет более строгие обоснования своей позиции. Конечно же искомый порядок зиждется в самой природе эпистемы, которая является той средой, в которую погружена научная практика. Она не может быть сведена к языку, но она находит в нем свое выражение. Именно в этом заключается «логоцентризм» постмодернизма — прибегая к знаменитому клише М. Хайдеггера, можно сказать, что язык науки есть дом научного Бытия.

Именно на этом этапе возникает новое направление в понимании научных практик. Язык науки в широком смысле представляет собой дискретную формальную структуру. Если все человеческое поведение так или иначе выражается в языке, тогда вполне возможно изучение человеческого знания с самой строгой точки зрения, с математической точностью. Но дело не только в собственно научном знании, поскольку язык непрерывно создает собственные артефакты, которые претендуют на реальное существование. Анализ языка позволяет обнажить характер этих фикций, которые пронизывают все знание, и такое понимание роли языка приводит к ныне знаменитой концепции «социального конструирования». Необходи-

72

Формализм Гильберта и постмодернистская концепция языка

мый для этого формализм заимствуется, хотя и неявно, из формализма Гильберта, с его упором на роль знаков: «В начале был знак!»

Подобная автономия языка, или же практик, не позволяет проследить вклад отдельных людей в дискурс, и все истории с приписываемым авторством являются такими же фиктивными нарративами. Однако противопоставить что-либо упорядочивающей роли такого нарратива в рациональной манере невозможно, и поэтому «смерть автора» сталкивается со следующим затруднением. Если без автора вся история науки представляет собой этакий «первичный бульон», то для самой идеи такого беспорядка нужно представлять наличие всех возможных текстов, и беспорядок будет обнаружен уже в результате некоторых посторонних соображений, скажем, идеологического или социального порядка.

Беспорядок, о котором идет речь, заключается в самой природе несоизмеримых эпистем. Эти эпистемы сменяют друг друга, представляя «дискретную последовательность исторических конфигураций», последовательность, в которой не усматривается никакой непрерывности. Их можно уподобить археологическим слоям, откуда и берется название труда Фуко. Внимание к упорядоченным знаковым системам со стороны Фуко проявляется в том, что он различает «зрелые» и «незрелые» науки [5]. К первым относятся физика и все, что может быть связано с математикой как представлением соответствующего знания. Ко вторым относятся дескриптивные науки типа географии, биологии (в ее традиционном виде), и гуманитарные науки. Сама классификация говорит о предпочтениях Фуко, его стремлении к более строгом языку, в пределе — формализму как игре в символы.

Проблема состоит в том, есть ли за знаками нечто такое, что наделено смыслом, который выходит за пределы языка. Как известно, постмодернизм неоднороден, и одно из значительных расхождений между М. Фуко и М. Хайдеггером состоит в том, что Фуко отрицал это изначально интуитивно данное. Для него язык не является домом Бытия. В определенном смысле он, вслед за Витгенштейном, мог бы считать язык тюрьмой, выход из которой невозможен. Но как и для Витгенштейна, для него это ложная тюрьма, поскольку лишение знаков значения есть обретение свободы [13]. Признание фонового изначального мышления, предшествующего языку как системе символов, означает признание непрерывности в мышлении, преемственности значений и смыслов, в то время как язык как знаковая система подразумевает дискретность, интуитивное восприятие отдельных знаков. Далее такая дискретность подразумевает дихотомии логических категорий, сетку категорий, которые подавляют чистую интуицию непрерывности мышления. Отсюда недалеко до критики постмодернистами рационализма как крайней формы такого омертвления изначальной непрерывности в пользу математически оформленного видения внешнего мира, или репрезентации при противопоставлении субъекта и объекта. Поиски Мишелем Фуко формальных структур языка являются

73

Формализм Гильберта и постмодернистская концепция языка

следствием подражания формализму как философии математики, хотя и неверно понятому им. На самом деле формализм не утверждает того, что математика является игрой в бессмысленные символы. Недавние работы показывают, что формализм Гильберта преследовал цель демонстрации автономии математики, которая, не выходя за свои собственные рамки, готова показать свои наиболее характерные особенности знаковой системы [15]. Гильберту не требовалось выходить за пределы языка в поисках некоторого трансцендентального значения, за исключением лишь интуитивного понимания элементарных структур мышления и интуиции знаков. Но и здесь эти структуры и интуиции были минимальными в том смысле, что от них лишь требовалось понимание математического размышления. В этом смысле Гильберт был сторонником «минимальной философии», то есть он был против привлечения для обоснования математики метафизических вопросов о соотношении языка и мира. Так что следование гиль-бертовскому формализму должно повлечь отказ от метафизики языка и отказ от утверждения его в качестве конституирующей и нормативной деятельности. Но именно это является одной из существенных сторон логоцентризма. Это означает, что при заимствовании постмодернистами математической методологии нужно тщательнее учитывать особенности тех практик, о которых так много говорится в их работах.

Литература

1. Гильберт Д. Основания геометрии. М., 1948.

2. Лакатос И. Доказательства и опровержения. М., 1964.

3. Пенроуз Р. Новый ум короля. М., 2000.

4. Рорти Р. Философия и зеркало природы. Новосибирск, 1997.

5. Фуко М. Порядок вещей. М., ?

6. Фуко М. Археология знания. СПб., 2004.

7. Barrow J, Tipler F. Anthropic Cosmological Principle. Oxford University Press, 1988.

8. Cavailles J. Complete works of philosophy of sciences. Paris, Hermann, 1994.

9. Colyvan M. The Indispensability of Mathematics. Oxford University Press, 2001. Р. 103.

10. Hacking I. Michel Foucault’s Immature Science // Nous. Vol. 13. 1979.

11. Hintikka J. The Principles of Mathematics Revisited. Oxford University Press, 2004.

12. Parsons Ch. Mathematical Thoughts and Its Objects. Cambridge University Press, 2008.

13. Pearce D. False Prison. Cambridge University Press, 1987.

14. Tasic V. Mathematics and the Roots of Postmodern Thought. Oxford University Press, 2001.

15. Tselishchev V Mathematical Intuition and Hilbert’s “Minimal Philosophy” // Proceedings of XIII World Philosophical Congress (to appear).

74