Полифазная реализация полиномиального интерполяционного фильтра

УДК 621.396 А.Ю. Абраменко

Полифазная реализация полиномиального интерполяционного фильтра

Обсуждается применение полифазного разложения в решении задачи повышения частоты дискретизации с рациональным множителем. Приведена многофазовая реализация второго порядка полиномиального интерполяционного фильтра. Представлены результаты моделирования реализованной системы.

Ключевые слова: многоскоростная обработка сигналов, полифазное разложение, цифровая обработка сигналов, изменение частоты дискретизации, интерполяция сигнала.

Постановка задачи. В последнее время анализ и формирование широкополосных сигналов является одним из приоритетных направлений в радиотехнике. Во многом это обусловлено появлением доступных высокочастотных цифроаналоговых и аналого-цифровых преобразователей с частотами дискретизации до нескольких гигагерц. Обрабатывать возрастающий поток данных стандартными средствами не представляется возможным. Одним из решений является применение многофазовой обработки сигналов. Суть её заключается в представлении последовательности как суперпозиции М подпоследовательностей, каждая из которых состоит из всех М-х значений подходящим образом сдвинутой версии самой последовательности [1]. Подпоследовательности описываются формулой

хк [и] = х[Ми - к],

где п - порядковый номер члена числовой последовательности; М - порядок полифазного разложения; к - номер подпоследовательности.

Применение полифазного разложения к задачам фильтрации, изменения частоты дискретизации в целое число раз достаточно полно описаны в книге [1]. Но применение полифазного разложения к сложным системам может быть невозможно или с практической точки зрения нецелесообразно. В статье рассматривается применение полифазного разложения в решении задачи повышения частоты дискретизации (интерполяции) с рациональным множителем.

Методы интерполяции сигналов с рациональным множителем основаны либо на комбинации избыточной интерполяции с последующей децимацией [1], либо на использовании алгоритмов полиномиальной интерполяции [2, 3]. Последние являются наиболее гибкими с точки зрения выбора множителя интерполяции и требований к аппаратным ресурсам. Универсальная система повышения частоты дискретизации с использованием полиномиальных алгоритмов [2, 4] (рис. 1) позволяет провести интерполяцию сигнала в два раза и более.

На рис. 1 обозначено: ФНЧ - фильтр нижних частот; Д - делитель частоты; ГД - генератор частоты дискретизации; ГМ - генератор последовательности моментов времени; ИФ - интерполяционный фильтр; ФС - формирователь цифровых сигналов; Fц - частота дискретизации системы; Р -расширитель частоты дискретизации. Основную функцию выполняет ИФ (рис. 2), представляющий собой фильтр с конечной импульсной характеристикой (КИХ), импульсная характеристика (ИХ) которого зависит от входных данных.

В основе ИФ лежит представление сигнала в виде полинома [формула (2)] с последующим нахождением решения в заданные моменты времени ?[ш]. Выбор последовательности моментов времени определяет множитель интерполяции, а сама последовательность задается ГМ.

N-1 Рис. 1. Функциональная схема системы

2[ш] ап[ш]4п[ш], (2) интерполяции сигнала

и=0

где N - порядок полинома; аи[ш] - последовательность коэффициентов полинома; ?[ш] - последовательность моментов времени.

Порядок полинома и способ расчета его коэффициентов определяются используемым алгоритмом интерполяции. Существует множество алгоритмов, к примеру Лагранжа, Эрмита и т.д., в статье используется алгоритм «оптимальной» интерполяции [3].

х[п]

г[ш]

1 1 + *

ЦФ1 ЦФ2 ЦФ3 ЦФ4

4- 1

УВХ УВХ УВХ УВХ

©- А -ЧХ^ л л

Рис. 2. Структурная схема интерполяционного фильтра: ЦФ1...ЦФ6 - цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой, формирующие коэффициенты полинома ап[т] в формуле (2);

УВХ - устройство выборки хранения

В системе интерполяции сигнала (см. рис. 1) применяется избыточная дискретизация исходного сигнала в два раза, позволяющая уменьшить погрешность интерполяции (отношение уровня сигнала к уровню шума составляет более 100 дБ). Избыточность дискретизации реализуется за счет применения расширителя частоты дискретизации с последующим подавлением лишних копий сигнала ФНЧ с полосой среза п/2 (см. рис. 1). При этом частота дискретизации сигнала х[п] ограничена значением Fц/2. Повышение частоты дискретизации сигнала х[п] в два раза потребует повышения частоты дискретизации остальных блоков (ФНЧ, ИФ и ГМ) также в два раза, что приводит к необходимости увеличения скорости выполнения каждой операции (умножения, суммирования и т.д.), что не всегда возможно. Применение полифазного разложения к ФНЧ, ИФ и ГМ позволит увеличить скорость обработки данных, не увеличивая скорости выполнения отдельных операций. Рассмотрим полифазное разложение второго порядка каждой подсистемы в отдельности.

Полифазное разложение ИФ. На цифровые фильтры (ЦФ1 - ЦФ6, см. рис. 2) подаются сигналы х0[п] и Х][п], являющиеся полифазным разложением последовательности х[п] в соответствии с формулой (1):

хо[п] = х[2п],

х1[п] = х[2п -1].

Импульсные характеристики фильтров раскладываются по формулам

Ып] = Ъ[2п],

Щ = к[2п+1].

Тогда полифазное разложение ЦФ можно представить в виде системы (рис. 3). Проверим правильность реализации полифазного разложения (рис. 3) путем нахождения решения у0[п] и У1[п]:

N-1 N-1 2 N-1

У0 [п] = х0 [п] х ^0[п] + х1[п] х Ьфг] = £ к[2к] • х[2п - 2к] + £ к[2к+1] • х[2п - 2к -1] = £ Щ] • х[2п -1],

к=0 к=0 I=0

N-1 N-1 2^1

уф]=х0[п-1]х/1[п]+х1[п]хЬ0[п] = £Ь[2к+1]-х[2п-2к-2]+ £Ъ\2к\х[2п-2к-1] = £ Щ\х[2п-1-1],

к=0 к=0 I=0

где 2N - число коэффициентов ИХ ЦФ.

Из формул (7) и (8) видно, что у0[п] и У1[п] являются свёртками по всем коэффициентам ЦФ прямой и сдвинутой на один такт последовательности х[п] соответственно. После восстановления исходной последовательности (обратное полифазное разложение) получим

2 N-1

у[п] = £ к[!]• х[п-1] = Щп]*х[п].

I=0

На рис. 2 УВХ реализует прямое изменение частоты дискретизации сигнала с частоты Fд на частоты Fц (см. рис. 1). Сигналы на выходе ЦФ являются полифазным разложением у[п], поэтому при реализации в модели применяем прямое изменение частоты дискретизации с предварительным восстановлением исходного сигнала у[п] и последующим полифазным разложением результата. В

аппаратной же реализации, к примеру на программируемом логике, довольно легко реализовать УВХ без восстановления сигнала путём прямого изменения частоты дискретизации.

Последовательность х\т\ после применения полифазного разложения находится как

^-1 к ¿0[т\ = Е У0,к[тИ0 [m\, к=0

^-1 к 21\Ш\ = £ У1,к \т\-^ \m\, к=0

где ?0\т\ и ?1\т\ - последовательности моментов времени, формируемые ГМ; У0к \т\ и У1к \т\ -

полифазное разложение сигнала на выходе к-го ЦФ (см. рис. 2).

Полифазное разложение блока интерполяции сигнала в два раза. ФНЧ на рис. 1 может быть разложен так же, как и любой КИХ фильтр (рис. 3). В последовательности сигнала на выходе расширителя частоты дискретизации каждый второй отсчёт равен нулю. Поэтому возможно применение тождества повышающей дискретизации \1\ к полифазному разложению, позволяющее использовать реализацию системы, представленную на рис. 4.

ЛюИ-Х1[и\.

^И

М[и\

У0[п\

Й0[п\

МИ

——У1[п\

х[п\

МИ

ч мм

. У0[п\

. У1[п\

Рис. 3. Реализация полифазного разложения цифрового фильтра

Рис. 4. Реализация полифазного разложения интерполирующего фильтра в два раза

Моделирование работы системы и анализ результатов. На основе полифазного разложения отдельных блоков приведём реализацию полифазного разложения всей системы (рис. 5).

Рис. 5. Реализация полифазного разложения системы полиноминальной интерполяции

На рис. 5: ПФ1 и ПФ2 - полифазная реализация ФНЧ (см. рис. 1), выполненная в соответствии с рис. 4; ПЦФ1...ПЦФ6 - полифазная реализация ЦФ в ИФ, выполненная в соответствии с рис. 3;

ПР - блок полифазного разложения последовательности, заданной ГМ; ВС - блок восстановления последовательности сигнала; БА - блок анализа сигнала; Д - дискретизатор сигнала. После полифазного разложения коэффициент передачи системы интерполяции сигнала не изменился (рис. 6, а, б), погрешность осталась на низком уровне, что говорит о правильности проведенного разложения.

Рис. 6. Модуль коэффициента передачи системы интерполяции сигнала с множителем,

равным четырём

Заключение. В работе продемонстрирован пример практического применения полифазного разложения к системе повышения частоты дискретизации с рациональным множителем. Использование полифазного разложения позволило увеличить максимальную частоту дискретизации сигнала в два раза без увеличения скорости выполнения отдельных операций. Характеристики системы остались на высоком уровне (отношение уровня сигнала к уровню шума составляет более 80 дБ).

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации по договору № 02.G25.31.0091.

Литература

1. Оппенгейм А. Цифровая обработка сигналов. - 3-е изд., испр. / А. Оппенгейм, Р. Шафер. -М.: Техносфера, 2012. - 1048 с.

2. Абраменко А.Ю. Исследование алгоритма оптимальной интерполяции и его аппаратно-программная реализация на ПЛИС // Электронные средства и системы управления: матер. докл. Междунар. науч.-техн. конф. (8-10 ноября 2012 г.): в 2 ч. - Ч. 1. - Томск: В-Спектр, 2012. - С. 9-14.

3. Niemitalo O. Polynomial Interpolators for High-Quality Resampling of Oversampled Audio [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://yehar.com/blog/wp-content/uploads/2009/08/deip.pdf, свободный (дата обращения: 30.08.2013).

4. Абраменко А.Ю. Структура универсального генератора сигналов / А.Ю. Абраменко, Г.Г. Го -шин // Доклады ТУСУРа. - 2013. - № 3 (29). - С. 5-9.

Абраменко Александр Юрьевич

Аспирант каф. сверхвысокочастотной и квантовой радиотехники, мл. науч. сотрудник НИИ средств электросвязи ТУСУРа Тел.: 8-960-979-13-42 Эл. почта: abramenkoay@gmail.com

Abramenko A.Yu.

Polyphase realization of a polynomial interpolation filter

The article discusses the usage of polyphase decomposition in solution of polynomial interpolation. Polyphase realization of the second order polynomial interpolating filter is described.

Keywords: multirate signal processing, polyphase decomposition, interpolation, digital signal processing.