Численное моделирование теплового режима при замораживании насыщенной среды

УДК 536.2

B.C. Леверъев

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО РЕЖИМА ПРИ ЗАМОРАЖИВАНИИ НАСЫЩЕННОЙ СРЕДЫ

Целями данной работы являются создание и численная реализация математической модели, которая бы учитывала ряд усложняющих факторов: явление переохлаждения, зависимость температуры фазового перехода от давления и концентрации соли, влияние дополнительных источников/стоков тепла, а также конвективного теплообмена при фильтрации жидкости. В отличие от традиционной стефановской постановки задачи с образованием фронтов фазового перехода в данной модели рассматривается образование протяженной зоны фазового перехода - двухфазной зоны. Это позволяет лучше описать исследуемые процессы и эффекты. Результаты работы применимы при проектировании объектов промышленного и дорожного строительства в условиях вечной мерзлоты.

В настоящее время в зависимости от постановки задачи теплообмена, в основном, используются два типа математических моделей фазовых переходов:

• Классическая фронтовая задача Стефана с границей раздела жидкой и твердой фаз и ее модификации;

• Модели с фазовым переходом в протяженной области (двухфазной зоне).

Классическая фронтовая задача Стефана исторически была разработана раньше, чем модель с фазовым переходом в протяженной области. Основным постулатом стефановской модели является наличие фронта фазового перехода, разделяющего полностью замерзшую фазу от талой фазы. На этой границе требуется выполнение условия непрерывности температуры и равенства ее постоянной температуре фазового перехода, а также условие теплового баланса (так называемое условие Стефана). Работ подобного рода опубликовано довольно много. Хорошие обзоры можно найти в классических монографиях В.И. Васильева, А.М. Максимова, Е.Е. Петрова Г.Г. Цып-кина, [1], А.А. Самарского иП.Н. Вабищевича [2].

С появлением новых эмпирических данных в классическую стефановскую модель пришлось вносить определенные изменения. Они были связаны, например, с учетом известного факта понижения температуры фазового перехода солевого раствора и раствора, находящегося под большим давлением. Температура фазового перехода в этом случае представляет собой линейную зависимость от концентрации соли и давления жидкости:

T = T0 - з (p - P0)-гС,

где г = 0 ,07

°К  мъ

и з = 0,0765-

кг МПа

эмпирические коэффициенты. Наконец, необходимо учесть возможность моделирования области сложной конфигурации в присутствии нескольких источников тепла, корректно отработав возможность появления нескольких фронтов замерзания и т.п.

Дальнейшее накопление эмпирических данных и открытие явления «переохлаждения» привело к тому, что

стефановская модель перестала быть непротиворечивой. Вскоре различными авторами были опубликованы работы, в которых были заложены основы новой модели замерзания - модели с фазовым переходом в протяженной области [1], [3] и [4].

Основой разработки этого типа моделей является допущение о существовании двухфазной зоны - области, в которой в состоянии термодинамического равновесия сосуществуют и талая, и мерзлая фазы.

В данной статье нами создана и проведена численная реализация математической модели, которая бы учитывала следующие факторы:

• изменение температуры фазового перехода при значительном повышении давления;

• изменение температуры фазового перехода в присутствии растворенной соли;

• учет дополнительных источников/стоков тепла в исследуемой области;

•учет фильтрации жидкости.

Для наиболее полного учета всех этих условий в данной модели применяется двухфазная постановка задачи теплообмена. Помимо двухфазного подхода, в данной работе при записи уравнений применен покомпонентный подход. То есть предполагается, что в каждой точке пространства сосуществуют все три компоненты, но с разной насыщенностью. Свойства среды аддитивно определяются свойствами скелетных пород и поровых флюидов. Таким образом, можно записать одно уравнение для всей области вместо нескольких. Обозначим за т пористость скелета, а за /3- функцию водонасыщенности. Тогда, например, удельный коэффициент теплопроводности по правилу смеси будет записан так:

ср = (1 - т)с,р, + т([ - р)с1 рг + трскрк

где индексы ,, г, w означают компоненты среды: минеральный скелет, лед и воду соответственно. Аналогично записывается и коэффициент теплопроводности.

Термодинамические же характеристики, напротив, единые, т.е. модель - «однотемпературная» и «однодавлен-ческая».

Центральным уравнением в разработанной модели является уравнение сохранения энергии (в виде параболического уравнения распространения тепла):

7 хЗв

сс + т^ -Ьг) — дТ

<Г=Т

дt дx дx

- m

дв (и0 +c с Т V

\ w__________w w / х,

дх

+

X &д(х - хД

где ср-удельная теплоемкость смеси, т лета, р - водонасыщенность, И, = И? +

пористость ске-с г С Г - внутрен-

няя тепловая энергия (энтальпия), И? - теплота кристаллизации/плавления (энтальпия образования) I-той компоненты, X- теплопроводность смеси, - скорость фильт-

рации воды,

- дельта-функция Дирака, а хк - положение источника.

Помимо этого, в модель также входят уравнения сохранения массы (для воды и соли):

дМс _ ддс

дt

дх

-тВ± . *С'

дх I дх ,

дМ _ ддх

дt дх

-тсн, —

м дх ^

к д ( дР 6 дх

^\в^- I,

численнои реализации организован итерационный процесс. На каждом временном слое вычисления проводятся в следующем порядке:

1) присвоим счетчику итераций значение 8=1 и зададимся начальным приближением значений теплофизических параметров, взяв их с предыдущего временного слоя;

2) из разностного аналога уравнения (1) с помощью метода прогонки находим новое распределение температуры;

3) из разностного аналога уравнения (2) явно выражаем очередное приближение массовой функции соли М;

4) также из разностного аналога уравнения (3) получаем новое распределение массовой функции М;

5) из определения массовой функции

М = т(в + сг (1 — в )) находим новое распределение функции водонасыщенности Д'

6) из этого же соотношения определяем плотность воды

р„;

7) давление Р вычисляется из условия термодинамического равновесия (4);

8) закон Дарси описывает скорость фильтрации воды

к

,+1

м

р г+1 — р г-1

Л

2Ь

9) концентрацию соли С получим из определения массовой функции соли Мс;

10) В качестве погрешности итерационного процесса

: тах г=0,п

5-1 5

Т г - тг

. В случае д < е

где вспомогательную функцию М с = т@С назовем массовой функцией соли, а функцию М = т{си, в + с { (1 - в )) - массовой функцией воды.

Остальные обозначения вполне традиционны: С - концентрация соли, дсх - массовый поток соли, Б - коэффициент диффузии соли, qx - массовый поток воды, р< - плотность I-той компоненты, к - проницаемость среды, /л - вязкость жидкости, Р - давление жидкости.

В число основных уравнений модели также входят условие термодинамического равновесия и условие слабой сжимаемости воды:

Т = Т0 - з

будем считать, что очередное приближение решения на данном временном слое найдено, в противном случае необходимо снова перейти к шагу 2.

Результат работы одномерной реализации данной математической модели при следующих начальных и граничных условиях

где Т, Р - температура и давление тройной точки воды, 77 и у - коэффициенты понижения температуры фазового перехода от давления и концентрации соли соответственно, а - коэффициент объемной сжимаемости воды, р -эталонная плотность воды.

Для численной реализации модели были получены разностные аналоги уравнений (1)-(5), входящих в нее. Поскольку эти уравнения существенным образом зависят друг от друга и должны быть решены согласованно, при

Т=Т(х,0)=300°К Р=Р(х,0)=0,1МПа С=С(х,0)=0 кг/м3 в=в(х,0)=1

и параметрах среды с=920 Дж/

''8

с 8=2000 кг/м' л 8=2,09 Вт/м И,=0 Дж/кг .м=0,00Ша/с

к=0,462?10'3 м

3

т=т(0,г)=т(1,г)=250°к Р=Р(0,1)=Р(ЬЛ)=0,1Мпа С=С(0,()=С(Ь,() = 0 кг/м3 в=в (0^)=в (ЬЛ) = 0

с=2090 Дж/(°Ккг) с 1=910 кг/м3 л £=2,23 Вт/м Иг=0 Дж/кг з =0,0765°К/Па

15

б =10-15 1/Па

0

w

Темп-pa, °К Темп-pa, 0К Темп-ра, °К

cw=4190 Дж/(°Ккг) с w=1000 кг/мЗ л w=0,58 Вт/м hw=33330 Дж/кг г =0,7(°К'кг)/м3 m=0,25

| Темп-ра - Водон -ть|

Рис. 1. Водонасыщенность и температура системы через 24 часа

Темп-ра - Водон-ть

Рис. 2. Водонасыщенность и температура системы через 48 часов

Темп-ра - Водон-ть

Рис. Э. Водонасыщенность и температура системы через 72 часа

представлен в виде графиков водонасыщенности и температуры с интервалом в 24 часа. Хорошо видно, что незамерзшая жидкость фильтруется в центр расчетной области и благодаря значительному повышению давления противостоит окончательному замерзанию.

Темп-ра - Водоп-ть

Рис. 4. Водонасыщенность и температура системы через 96 часов

Рис. 5. Водонасыщенность и температура системы через 120 часов

Рис. б. Водонасыщенность и температура системы через 144 часа

Литература

1. Васильев В.И., Максимов А.М., Петров Е.Е., Цыпкин Г.Г. Тепломассоперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. М.: Наука, 1996. 224 с.

2. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплофизика. М.: УРСС, 2003. 784 с.

3. МаксимовА.М., Цыпкин Г.Г. Математическая модель промерзания водонасыщенной пористой среды // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1986. Т. 26. № 11. С. 1743-1747.

4. Мордовской С.Д., Изаксон В.Ю., Петров Е.Е. Математическое моделирование двухфазной зоны при промерзании-протаива-нии многолетнемерзлых пород. Новосибирск: Наука, 1997. 122 с.

VS. Leveriev

NUMERICAL MODELING OF FREEZING SATURATED MEDIA HEAT MODE

The purpose of this work is creating and numerical realization of the mathematical model that could take into account multiple additional factors: supercooling effect, the dependence of temperature on pressure and salt concentration, convectional heat exchange at fluid filtration. Unlike traditional Stefan problem definition with formation of phase change front, this model consider formation of extensive phase change zone, that known as two phase zone. It allows more precisely describe studied processes and effects. The results of this work might be applied to industrial and road building projection in permafrost environment

—4МН*--------------

УДК 37.013

Л.В. Степанова

РОЛЬ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЧАЩЕЙСЯ МОЛОДЁЖИ В ПЕРИОД СОЦИАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

В статье рассмотрено влияние нестабильности на возможности дополнительного образования учащейся молодёжи. Акцентируются последствия затянувшейся сложной социальной ситуации в стране, отражающиеся на современном этапе развития дополнительного образования и его функциях. Также анализируется состояние дополнительного образования в Республике Саха (Якутия) на сегодняшний день.

Современная социально-экономическая ситуация в стране влияет на специфику деятельности дополнительного образования учащейся молодёжи.

Сегодня забота о детях провозглашена одной из важнейших задач ООН. Ещё в конце XX века ООН признала, что одной из самых острых проблем человечества стала проблема развития, воспитания и образования подрастающего поколения. Трудности, с которыми сталкивается общество в решении этой проблемы, проистекают из-за несоответствия между устремлениями молодого поколения в быстроменяющемся мире, с одной стороны, и тем, что общество предлагает этому поколению и требует от него, - с другой. Эти противоречия преследуют детей, их родителей, воспитателей и педагогов особенно остро и проблематично в последние годы.

В настоящее время человечество вступило в новый этап развития международной политики, строящейся с учётом изменений, происходящих в странах Восточной Европы и бывшем СССР. Мировое сообщество пришло к осознанию того, что от качества социального развития и духовно-интеллектуального потенциала подрастающего поко-

ления зависит будущее цивилизации. Поэтому проблема развития личности стала одной из приоритетных проблем педагогики в нашей стране. В связи с этим наряду с такими важными проблемами, как здоровье детей, социальное сиротство, положение детей-инвалидов, детей с девиантным поведением (алкоголизм, беспризорность, наркомания, преступность несовершеннолетних), С каждым годом возрастает значение занятости детей в свободное время.

В первую очередь, эта проблема связана с созданием и эффективной организацией деятельности дополнительного образования учащейся молодёжи [1]. Учащаяся молодёжь представляет собой категорию населения, социальный статус которой определяется принадлежностью к какому-либо месту учёбы. Поэтому возрастная категория этой части молодёжи широка, согласно Педагогическому энциклопедическому словарю [2], к ним относятся молодые люди от 14 до 28 лет. Она объединяет школьников общеобразовательных учреждений, учащихся ПТУ и колледжей, а также студентов высших учебных заведений. Мы знаем, что наибольшее влияние на учащуюся молодёжь оказывают семья, средства массовой информации, ближай-