Алгоритмический метод измерения параметров пассивного комплексного двухполюсника многополюсной электрической цепи типа звезда

УДК 629.113.004.5

Г.И. Шаронов, Р.С. Шаманов

АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ПАССИВНОГО КОМПЛЕКСНОГО ДВУХПОЛЮСНИКА

МНОГОПОЛЮСНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ТИПА ЗВЕЗДА

Предложены амплитудный, фазовый и амплитудно-фазовый способы измерения параметров пассивного комплексного двухполюсника, расположенного в многополюсной электрической цепи типа звезда, без нарушения целостности исследуемой многополюсной электрической цепи, на основе алгоритмического метода измерения, путем изменения конфигурации измерительной цепи. Рассмотрен вариант схемной реализации алгоритмического метода измерения параметров пассивного комплексного двухполюсника, исключающего методическую погрешность измерения.

Пассивный комплексный двухполюсник, методическая погрешность, амплитудный способ, фазовый способ, амплитудно-фазовый способ

G.I. Sharonov, R.S. Shamanov

THE ALGORITHMIC METHOD OF MEASUREMENT OF PARAMETERS OF THE PASSIVE COMPLEX DIPOLE OF MULTI-POLE ELECTRICAL CIRCUIT TYPE-STAR

There are the amplitude, phase, amplitude-phase methods of improving of the accuracy of measurement of parameters of the passive complex dipole, located in a multi-pole electrical circuit type-star, without violating the integrity of the investigated multi-pole electrical circuit, based on the algorithmic method of measurement, by changing the configuration of the measuring circuit. The variant of the schematic realization of the algorithmic method of measurement of parameters of the passive complex dipole, forming one of the branches of the multipole electrical circuit, was reviewed.

Passive complex dipole, methodic error, amplitude method, phase method, amplitude-phase method

Все сложные многополюсные электрические цепи (МЭЦ) можно привести к трехполюсным цепям двух типов: треугольник и звезда. Представление МЭЦ в виде разомкнутой структуры с недоступной средней точкой типа звезда, содержащей пассивные комплексные двухполюсники (ПКД), применяется в радиоэлектронике, электросвязи, электрохимии, медицине биологии и при получении информации от параметрических датчиков. МЭЦ, по сравнению с двухполюсной, более точно отражает модель объекта исследования, т.к. учитывает большее число факторов, влияющих на результат измерения. Параметры МЭЦ типа звезда определяются одним из следующих способов:

а) на основе прямых измерений - путем сравнения значений параметров двухполюсников измеряемой МЭЦ с соответствующими значениями параметров образцовых двухполюсников образцовой МЭЦ, в момент равновесия;

б) на основе совокупных измерений - путем измерения входных сопротивлений МЭЦ между двумя полюсами при различных режимах остальных полюсов и последующего решения уравнений;

в) на основе косвенных измерений - путем измерения токов и напряжений на

зажимах МЭЦ и последующих расчетов.

Для определения параметров (модуля, активной и реактивной составляющих сопротивления) отдельно взятого ПКД, расположенного в МЭЦ типа звезда, традиционно применяют метод расчленения данной МЭЦ, без ее физического разрыва, путем создания определенного электрического режима в исследуемой ветви МЭЦ, при котором разность потенциалов на ее полюсах или ток в ней определяются только параметрами этой ветви [1, 2]. Далее согласно математической модели измерительной цепи (ИЦ) записывается система уравнений, каждое из которых содержит одно неизвестное. Решая ее методом исключений, получают значение параметров исследуемой ветви.

При измерении параметров ПКД, образующего одну из ветвей рассматриваемой многополюсной цепи, основная проблема заключается в устранении влияния на результат измерения ПКД расположенных в других ветвях МЭЦ, ненулевого значения входного комплексного сопротивления преобразователя тока и конечного значения внутреннего комплексного сопротивления источника напряжения.

Рассмотрим возможность измерения параметров ПКД, расположенного в МЭЦ типа звезда, на базе косвенных и совокупных измерений. В качестве примера рассмотрим измерение модуля и составляющих исследуемого комплексного сопротивления двухэлементного двухполюсника однородного и неоднородного по характеру сопротивления образцовому двухполюснику (рис. 1).

2

а

с

¿4

¿8

¿0

Рис. 1. Цепь измерения составляющих исследуемого комплексного сопротивления двухэлементного двухполюсника 23,

однородного и неоднородного по характеру сопротивления образцового двухполюсника 25, расположенного в многополюсной электрической цепи типа звезда 22, 23, 24

На рис. 1 обозначены: источник гармонического сигнала (ИГС) с внутренним комплексным сопротивлением 20, преобразователи тока ПТ1 с входным комплексным сопротивлением 21 и ПТ2 с входным комплексным сопротивлением 28, пассивный комплексный двухполюсник ПКД 22, эквивалентный комплексному сопротивлению первого плеча исследуемой МЭЦ, исследуемый ПКД 23 = 0 — ]у (0 ,у - величины составляющих исследуемого ПКД, соответственно однородная и неоднородная по характеру сопротивления образцовому двухполюснику) МЭЦ; ПКД 24, эквивалентный комплексному сопротивлению третьего плеча исследуемой МЭЦ; образцовый двухполюсник 25 = а; ПКД 26, эквивалентный комплексному сопротивлению подводящих проводов МЭЦ, ПКД 27, эквивалентный комплексному сопротивлению подводящих проводов МЭЦ.

Проведем исследование измерительной цепи на базе матричного метода, который основан на применении алгебры матриц и некоторых положений топологической теории графов [3].

Составим ненаправленный граф для ИЦ, изображенных на рис. 1, и алгебраическое дополнение пути передачи через ПТ1 (рис. 2), которые имеют вид:

Рис. 2. а) Ненаправленный граф измерительной цепи,

б) алгебраическое дополнение пути передачи через ПТ1

Известно, что система контурных уравнений в матричной форме записывается в виде:

Г %11 1 кГ %0 + %1 + 7 2 + %3 + %5 + %7 - 7 - 7 ^3 5

1 2% і N 1 1 3% 1 5% 73 + 74 + 75 + 76 + 78

[I][1 ] = [Е].

Матрица сопротивлений (согласно рис. 2а):

[I 1

Многомерные векторы контурных токов и напряжений соответственно:

й,=[!.. 121 ], [Е],=[Е„ о],

где I,, и 121 - токи соответственно через первый и второй измерительный прибор;

Ео - ЭДС источника напряжения.

• • •

Найдем вектор контурных токов [I ],, решив матричное уравнение [I № ]-1 [Е ], где обратная матрица сопротивлений имеет вид:

1 " Ап і < 1 73 + 74 + 75 + 76 + 78 73 + 7 5

А1 і > і < “А! 73 + 75 7 о + 71 + 7 2 + 7 3 + 75 + 7 7

.

Элементами обратной матрицы \Х]11 являются алгебраические дополнения А делённые на определитель А, = ёе I],.

С учётом [I ],1, составляющие вектора контурных токов:

I + I л + I + ^ I + I

111 = Ео п^ъ 4 5 6 8 , 121 = Ео п23 5

А, 2

где 1п и 121 - численные значения токов на выходах ПТ1 и ПТ2;

п1 и п2 - значения коэффициентов передачи ПТ1 и ПТ2. Результат измерения запишем в виде:

І11 _ п1

п

2 С7 3 + 7 5 )

Очевидно, рассмотренному варианту измерения присуща методическая погрешность:

3-

7 3

обусловленная ненулевым значением входного комплексного сопротивления Z8 ПТ2, сопротивлением третьего плеча Z4 исследуемой МЭЦ, неравенством коэффициентов и И2 передачи ПТ1 и ПТ2, и ненулевым сопротивлением 26, эквивалентным сопротивлению подводящих проводов.

При восстановлении измерительной цепи из ненаправленного графа алгебраического дополнения пути передачи через ПТ1 (рис. 2б) возможны два дополнительных варианта измерительных цепей, ненаправленные графы которых изображены на рис. 3а, б.

Рис. 3. Ненаправленные графы измерительных цепей, восстановленных из ненаправленного графа алгебраического дополнения

пути передачи через ПТ1

Определители полученных измерительных цепей не совпадают между собой и не совпадают с определителем исходной измерительной цепи, а алгебраическое дополнение пути передачи через ПТ1 одно и тоже.

Матрица сопротивлений вновь синтезированной измерительной цепи, согласно ненаправленному графу (рис. 3а), имеет вид:

[7 ]2 =

711 1 1 2 71

1 27 1 2 2 72

7 о + ^ + 7 2 + 7 з - ^

- 7 з

73 + 74 + 75 + 26 + 28

Обратная матрица сопротивлений, имеет вид:

[7 ]-1

Г 7ц 7 12 7 3 + 74 + 75 + 76 + 78 1 3 73

1 27 1 2 2 72 1 37 7 о + 71 + 7 2 + 73

С учётом [7 У, составляющие вектора контурных токов

7 + 7 + 7 + 7 + 7 • • 7

Т — Т7 3 ^^4 ^^5 ^^6 ^^8 Т — Т7 3

112 — Е 0 Щ -------------------------, I 22 — Е 0 Щ --- .

А 2

где 112 и 122 - численные значения токов на выходах ПТ1 и ПТ2.

Результат измерения запишем в виде:

112 — П1

122 ‘

А

Очевидно, рассмотренному варианту измерения присуща методическая погрешность

^ = 1 _ 122 П1

обусловленная ненулевым значением входного комплексного сопротивления Z8 ПТ2,

сопротивлением третьего плеча Z4 исследуемой МЭЦ, неравенством коэффициентов п} и п2

передачи ПТ1 и ПТ2 и ненулевым сопротивлением Z6, эквивалентным сопротивлению

подводящих проводов.

Матрица сопротивлений второй из вновь синтезированных измерительных цепей, согласно ненаправленному графу (рис. 3б), имеет вид:

" 1 2 21

1 22 1 2 2 22

Z 0 + ^1 + 2 5 + 2 7

.

Обратная матрица сопротивлений имеет вид:

[2 ]_1

Г 211 1 2 21 Г23 + 24 + 25 + 26 + 28 25 "

1 22 1 2 2 22 _ 25 2 о + 21 + 2 5 + 2 7

.

С учётом [2 У составляющие вектора контурных токов:

2 + 2 л + 2 с + 2 с + 2

113 = Е о п

2

А,

123 = Е0 п2 -----------

А,

где

113 и 123 - численные значения токов на выходах ПТ1 и ПТ2; Результат измерения запишем в виде:

¿13 = П1

123 п2 2 5

Очевидно, рассмотренному варианту измерения присуща методическая погрешность

^ = 1 _ П2 25 ¿13 123 П1

123 п^ з

обусловленная ненулевым значением входного комплексного сопротивления Z8 ПТ2, сопротивлением третьего плеча Z4 исследуемой МЭЦ, неравенством коэффициентов П} и п2 передачи ПТ1 и ПТ2 и ненулевым сопротивлением Z6, эквивалентным сопротивлению подводящих проводов.

Рассмотрим возможность алгоритмического метода исключения методической погрешности измерения параметров ПКД, расположенного в МЭЦ типа звезда.

Амплитудный способ измерения параметров пассивного комплексного нерезонансного двухэлементного двухполюсника, расположенного в трехполюсной электрической цепи типа звезда, реализуется алгоритмическим методом на основе трех тактов изменения конфигурации ИЦ [4].

Используя значения модулей токов 1у в выражениях (6), (11), (16) получим:

?2 + у2 а

л1

а

Возведем в квадрат левые и правые части уравнений (18) и (19):

I 213 • I 2 22 +г\

2

I 212 ' I 2 23

I 211 • I 2 22 I 212 • I 2 21

ь + 2оЬ + а + Г

а2

Вычтем из уравнения (21) уравнение (20). Получим отсчет по составляющей исследуемого ПКД 13 однородной по характеру проводимости образцовому ПКД 15:

о 12 12 12 _ 12 1212 _ 12 1212

13 12 21 12 11 23 13 11

22

а

2!2I2I2

12 11 23

На основании уравнений (20) и (22) получим отсчет по составляющей исследуемого ПКД 73, неоднородной по характеру проводимости образцовому ПКД 75:

7 _ 12131222 ^ 12 12 12 113 12 21 т 2 т 2 т 2 т 2 т 2 т 2 ^ 121123 131122

а ^ 12121223 V Ц 2 1212 12 11 23 У

Фазовый способ измерения параметров комплексного нерезонансного двухэлементного двухполюсника, расположенного в трехполюсной электрической цепи типа звезда, реализуется алгоритмическим методом так же на основе трех тактов изменения конфигурации ИЦ [4].

• •

Фазовый сдвиг напряжения 121 относительно напряжения 111 равен ^, фазовый •• сдвиг напряжения 122 относительно напряжения 112 равен ¥2, фазовый сдвиг напряжения ••

123 относительно напряжения 113 равен ¥3. Выразим эти фазовые сдвиги через параметры исследуемого двухполюсника расположенного в МЭЦ:

7.

о

_7 .

Ь + а _уа

ь(ь + а)+г1

На основании (24), (25) и (26) получим:

СС8(Г _У, ):

81П(^2 ) =

о

4 о1+7

№_*3)_

\/

(^ _^)_

)2 + г _а

у1(Ь2 +а2 )[(Ь + а)2 + 7

Уравнения фазового способа преобразования составляющих исследуемого ПКД на основании (27)-(30):

7

7

-_ С°^2 _Ш )

а Бт

— _ —У-1------^^щШ., _Ш3)

а Б1п(Ш 2 _Ш1) 2 3'

Амплитудно - фазовый способ измерения параметров комплексного нерезонансного двухэлементного двухполюсника, расположенного в трехполюсной электрической цепи типа звезда, реализуется алгоритмическим методом на основе двух тактов изменения конфигурации ИЦ.

Используя выражение (24), получим:

7 О

СОв(Ш3 _ Ш2 ) _ СОв аг^— _--

0 4р2+7

7

б1п(Ш3 _ Ш2) _ б1п аге1я

о 40

7

22 2 + 7

Уравнения преобразования для составляющих исследуемой комплексной проводимости двухполюсника на основании уравнений (18), (33) и (34) имеют вид:

I • I 0_а 1 22

I • I

-42 23

соб^ _Ш1)

7_~а-^^^- -Ш,)

“42 ^ * 23

При определении составляющих исследуемого комплексного сопротивления двухполюсника амплитудно-фазовым способом достаточно использовать две из приведенных выше измерительных цепей.

Таким образом, устраняется влияние на результат измерения исследуемого ПКД, ПКД расположенных в других ветвях исследуемой МЭЦ, ненулевого значения входного комплексного сопротивления преобразователей тока и конечного значения внутреннего комплексного сопротивления источника напряжения.

Анализ обратных матриц исследуемой и вновь синтезируемых измерительных цепей позволяет сделать вывод, что алгебраическое дополнение А11 должно быть одинаково для исходной и вновь синтезируемых ИЦ, т.е. оно должно содержать любую сумму одних и тех же двухполюсников.

Алгебраические дополнения А12 и А21 должны содержать исследуемый двухполюсник Z3, или образцовый двухполюсник Z5, или их сумму Z3 + Z5.

2 0

Рис. 4. Автоматическое микропроцессорное устройство измерения параметров пассивного комплексного двухполюсника, расположенного в многополюсной электрической цепи типа звезда

Рассмотренные выше способы измерения параметров ПКД МЭЦ реализуются устройством, представленным на рис. 4, где дополнительно введены: ключи К1, К2 для изменения конфигурации измерительной цепи, шины управления ШУ1, ШУ2 ключами К1 и К2 соответственно, функциональный преобразователь ФП, блоки индикации БИ1 и БИ2 [5].

Амплитудный, фазовый и амплитудно-фазовый способы реализуются на основе алгоритмов изменения конфигурации ИЦ, что позволяет исключить влияние на результат измерения ПКД, расположенных в других ветвях МЭЦ, ненулевого значения входного комплексного сопротивления преобразователей тока и конечного значения внутреннего комплексного сопротивления источника напряжения. А следовательно, позволяет избавиться от методической погрешности измерения параметров ПКД, расположенного в МЭЦ типа звезда, без ее разрыва.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мартяшин А.И. Основы инвариантного преобразования параметров электрических цепей. М.: Энергоатомиздат, 1990. 216 с.

2. Мартяшин А.И. Преобразователи параметров многополюсных электрических цепей. М.: Энергоиздат, 1981. 72 с.

3. Фрэнк Харари. Теория графов. Едиториал УРСС. 2003. 296 с.

4. Шаманов Р.С., Шаронов Г.И. Амплитудный и фазовый способы измерения параметров комплексного двухполюсника, расположенного в электрической цепи типа звезда // Материалы IV междунар. науч.-техн. конф. Пенза, 2006. Ч.1. С. 157-161.

5. АС №1211667 СССР: МПК О 01 Я 27/02 / Шаронов Г.И Заявка № 3502861/24-21; заявл. 14.10.82; опубл. 15.02.86, Бюл. №6.

Шаронов Геннадий Иванович -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Организация и безопасность движения»

Пензенского государственного университета архитектуры и строительства

Шаманов Роман Сергеевич -

ассистент кафедры «Организация и

безопасность движения» Пензенского

государственного университета архитектуры и строительства

Статья поступила в редакцию 17.01.2011, принята к печати 13.08.2011.

Sharonov Gennady Ivanovich -

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department “Organization and Traffic Safety”, Penza State University of Architecture and Construction

Shamanov Roman Sergeevich -

Assistant of the Department “Organization and traffic safety”, Penza State University of Architecture and Construction