О первых интегралах динамической системы с неинтегрируемой линейной связью

задачу проверяем, будет ли уклонение аппроксимирующего дискретную выборку полинома от исходного многозначного непрерывного отображения на [а; Ь] таким же, как и па множестве Т. Если так, решение текущей дискретной задачи будет решением непрерывной задачи. В противном случае добавляем в сетку Т одну из точек от резка [а; Ь] максимального уклонения текущего аппроксимирующего полинома от исходного многозначного отображения. Процесс продолжаем до того момента, как будет получено точное решение, либо останавливаемся на приближенном решении при превышении числа узлов дискретной сетки наперед заданного значения. В непрерывном случае, даже при невозможности дальнейшего

Т

сти решения задачи (3) сделать нельзя [7].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимаке, М,: Наука, 1972.

2. Выгодчикова И. Ю. О монотонном алгоритме решения задачи приближения многозначного отображения алгебраическим полиномом // Математика. Механика : еб. науч. тр. Вып. 6. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. С. 27-30.

3. Выгодчикова И. Ю. О единственности решения задачи наилучшего приближения многозначного отображения алгебраическим полиномом // Изв. Сарат. ун-та. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 6, вып. (1) 2. С. 11-19.

4. Выгодчикова И. Ю. Об алгоритме решения задачи о наилучшем приближении дискретного многозначного отображения алгебрическим полиномом // Математика. Механика : сб. науч. тр. вып. 4. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. С. 27-31.

5. Выгодчикова И. Ю. О крайних точках множества решений задачи о наилучшем приближении многозначного отображения алгебраическим полиномом // Математика. Механика : сб. науч. тр. вып. 5. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. С. 15-18.

6. Выгодчикова И. Ю. О наилучшем приближении непрерывного многозначного отображения алгебраическим полиномом // Математика. Механика: сб. науч. тр. Вып. 2. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. С. 13-15.

7. Дудов С. И., Выгодчикова И. Ю., Сорина Е. В. Внешняя оценка сегментной функции полиномиальной полосой / / Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49, № 7. С. 1175-1183.

УДК 514.764

С. В. Галаев, А. В. Гохман

О ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛАХ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ ЛИНЕЙНОЙ СВЯЗЬЮ

Дается геометрическая интерпретация динамической системы с неин-тегрируемой линейной связью. С помощью теоремы Нетер, продолженной на случай почти контактного пространства, предлагается метод построения первых интегралов неголономной гамильтоновой системы.

Введение. Динамические системы с одной неинтегрируемой линейной связью интерпретируются как неголономные гамильтоновы системы, заданные на векторном расслоении, допускающем естественное вложение в кокасательное расслоение пространства конфигураций. Как показано в настоящей работе, интересным с точки зрения приложения га-мильтоновых систем к неголономной механике является исследование почти контактных структур (X, для которых векторные рас-

слоения (О, п, X) оснащены симплектической структурой, отличной от структуры, порождаемой формой п- В своих исследованиях мы следуем по В.В. Вагнеру [1], делая упор на использовании внутренней геометрии почти контактных пространств [2]. Основным объектом исследования являются неголономные гамильтоновы системы, уравнения которых в специальных координатах имеют следующий вид [1]:

и/о(/ 1лиЛ; М/фЛ; ^ \AJiL' и/о(/ , ч

~0ь = - п~dt, ~Ж + Ьс= '

Движение системы в рассматриваемом случае интерпретируется как движение точки в пространстве конфигураций по геодезической него-лономного многообразия [1]. При интегрировании уравнений движения системы Вагнер использует геометрические свойства соответствующего неголономного многообразия, подбирая такую систему координат, в которой уравнения движения принимают наиболее простой вид. Опираясь на конструкции Вагнера и используя теорему Нетер [3], продолженную нами на неголономный случай, мы вычисляем первые интегралы, понижая, тем самым, размерность области определения гамильтоновой системы.

2. Допустимые гамильтоновы системы. Рассмотрим на гладком многообразии X почти контактную метрическую структуру (р,£,п,9) И- Пусть О - гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формой п = врап(^) - его оснащение. Будем называть распределение О распределением почти контактной метрической структуры. Рассмотрим, далее, векторное расслоение (О, п, X), тотальное пространство О которого является гладким распределением контактной метрической структуры. В работе [4] было показано, что кривые, определяемые уравнениями (1), являются проекциями интегральных кривых векторного поля, названного геодезической пульверизацией связности над распределением,. Хорошо известно, что в случае О = TX геодезическая пульверизация совпадает с гамильтоновой системой, естественным образом возникающей на касательном расслоении риманова многообразия. Существует несколько подходов к определению аналога

гамильтоновой системы - контактного гамильтонова векторного поля на многообразии с контактной метрической структурой [5]. В настоящей работе мы определяем аналог контактного гамильтонова векторного поля таким образом, чтобы введенное понятие имело смысл не только в случае контактной структуры.

Пусть К(ха) (а, = 1, 2, ....,п; а,Ь,с,е = 1, 2, ...,п — 1) - адаптированная к распределению О карта [2] и пусть Р : ТХ ^ О проектор, определяемый разложением ТХ = О 0 Векторные поля Р(да) = = еа = да — Г^дп линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение О: О = 8рап(еа). Таким образом, мы имеем на многообразии X неголономное поле базисов еа = = (еа, дп) и соответствующее ему поле кобазисов ((ха, вп = (хп + Г'п(ха).

Пусть О - допустимая [2] замкнутая внешняя 2-форма максимального ранга. В общем случае О = ш. Будем называть О допустимой сим-плектической структурой. Под контактным гамильтоновым векторным полем, ассоциированным с функцией /, в [5] понималось единственное векторное поле и, удовлетворяющее равенствам {¿ц = /, гцш = (£/)п—(/. Рассмотрим более общий случай, заменяя форму ш = (ц на произволь-

О

О

/ - гладкая функция на многообразии X. Тогда, существует единственное векторное поле и, такое, что: 1) гщц = /7 2) {¿О = (£/)п — ((/

Доказательство. Искомое векторное поле однозначно определяется равенством

и = Оас

Первое слагаемое в правой части (2) назовем допустимой гамильтоновой системой.

Пусть теперь V - внутренняя связность [2] почти контактного метрического многообразия с коэффициентами Гас. На пространстве О векторного расслоения (О,п,Х) каждой адаптированной карте К(ха) многообразия X соответствует сверхкарта К(Ха, хп+а), где хп+а - координаты допустимого вектора в базисе еа = да — Гпдп, Ха = ха ◦ п. Как показано в [2], задание внутренней связности V влечет разложение распределения О = п—1(О) в прямую сумму О = НО 0 У О где У О - вертикальное распределение, НО — горизонтальное распределение, порождаемое векторными полями еа = да — Гпдп — ГсаЪхп+ьдп+с.

Векторное поле Б € ГО на многообразии О назовем полупульверизацией., если выполняется условие ) = V, V € О. Локальное пред-

ставление поля Б в адаптированных координатах имеет вид С(ха, хп+а) = хп+ада - хп+аГпадп + Бп+адп+а.

Полупульверизацию Б будем называть пульверизацией, если удовлетворяет дополнительному условию [С, Б] = С где С = хп+адп+а - поле Лиувилля на В.

Теорема 2 [2]. Внутренняя связность определяет пульверизацию С, координатное представление которой имеет вид: Б = хп+аеа, где еа = да - ВД - ГсаЪхп+ъд:П+с.

Следующая теорема указывает на возможность использования пульверизации в геометрии неголономной механики.

Теорема 3 [4]. Проекции интегральных кривых поля Б совпадают с геодезическими внутренней связности.

3. О первых интегралах допустимой гамильтоновой системы. Пусть теперь (В, п, X) - векторное расслоен не, где В с ТХ, В = = Квт^- Как обычно, мы полагаем, что ТХ = В 0 В\ В^ - дополнительное одномерное распределение. Пусть, далее, О - допустимая сим-плектическая форма иЯ - гамильтониан допустимой гамильтоновой системы х. В частном случае, когда дпН, в соответствии с (2) получаем:

Ш = —

Заметим, что обращение в нуль дпЕ не зависит от выбора адаптированной системы координат. Допустимую гамильтонову систему (ДГС) для случая (3) будем называть проектируемой допустимой гамильтоновой системой (ПДГС). Теорема Дарбу обеспечивает существование такой адаптированной системы координат, относительно которой уравнения (3) могут быть переписаны в следующем виде:

г] ГрЪ Лгу>т+Ъ

(х (х

= д">+'н' = —дн

(хп т

: £

(г

¿=1

В равенстве (4) 2т = п — 1, г = 1,...,ш. Наряду с векторным расслоением (В, п, X) рассмотрим векторное расслоение (В*, д, X), слои В* которого в каждой точке х состоят из допустимых 1-форм в со-

К

разия X соответствует сверхкарта КС на многообразии В* такая, что

K(ax) = (xa, pa), где pa = ax(ea) xa = xa ◦ q, ax G D*. Помимо ro-лономных базисов da = dn = da = dpâ Ha D* поле пеголопом-

ных базисов Ea = da — ГПдП) En = dn, En+a = da. Векторные поля Eaj En+a определяют локальную голономную систему координат в распределении D* = q— 1(D). Определим 1-форму Л с помощью равенства Ла(и) = a(q*,u) a G D*. В адаптированных координатах форма Л получает следующее координатное представление: Л = padxa. Её дифференциал ш = d^ ^^^^т на D* допустимую симплектическую структуру (допустимую к D*), для которой всякая адаптированная сверх карта является канонической: ш = dPaЛ dxa. Пусть D — почти контактное метрическое пространство. Рассмотрим па D* гладкую функцию H = 1 gabPaPb. Ей будет соответствовать ДГС uh G TD* с компонентами uH = daH7 u'H+a = —daH + rndnH. Уравнения интегральных кривых поля Uh примут вид

xa = д aH, Pa = —EaH, xn = —Tna3aH.

По аналогии с голономным случаем векторное поле uh связано с геодезическим потоком. Справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Канонические проекции интегральных кривых геодезического потока являются допустимыми геодезическими для почти

gab

Доказательство. Для случая, когда H = 1 gabPaPb, имеем

daH = gabPa, ду H = 2 ду gabPaPb.

Из (5) и (6) получаем:

xa = gabPb.

Далее,

dP

= —EaH = —(daH — dn^) =

= — \

Собирая вместе (6), (7), (8), получаем систему

xa = gabPb, Pa = — \

Pa

казывает теорему. Пусть y G Г D - векторное поле такое, что dnya = 0. Тогда имеет место теорема.

Теорема 5. Существует и притом единственное векторное поле z G Г TD* такое, что q*ZZ = y, Lg\ = 0. Как следствие теоремы 5, получаем следующую теорему.

Теорема 6. Пусть v — допустимая гамильтонова система на D*, соответствующая замкнутой форме д. Тогда, если ^(ZZ) = 0, где z G G Г TD * такое, ч то q*z = у, LgX = 0, m о \(z) — первый интеграл v.

Доказательство. Имеем, dX(v, z) =

—n(z) = vX(z) — ZX(v) — X([v,zZ\) =

= vX(z) — (LzX)(v) = vX(z). Что и доказывает теорему.

Для случая ПДГС аналогичный результат получен в [6].

Пример. Пусть пространство R3 является конфигурационным пространством движения материальной точки, подчиненного неголономной связи с кинетической энергией, задаваемой метрикой

'1 + y2 0 y" (дав ) = | 0 10

y 0 1

Движение точки осуществляется по геодезическим допустимой связности к распределению D, порождаемому векторными полями в\ = = d\ — yd3j e2 = д2. При этом векторное поле д3 определяет ортогональное оснащение D^ распределения D. Адаптированная система координат является ортонормированной, отсюда следует, что гамильтониан динамической системы с неинтегрируемой связью определяется равенством H(x, y, z, Pa) = 2 (P2 + P22). Система (9) в нашем случае принимает вид

X = Pi, y = P2, Pa = 0, Z = —yPX.

Векторное поле y = —yd1 + xd2 в соответствии с теоремой 6 задает первый интеграл f = —yP1 + xP2 системы (10).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вагнер В. В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. 1941. JV2 5. Р. 301-327.

2. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 1. С. 16-22.

3. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М,: Наука, Главн. ред. физ.-мат. лит., 1979.

4. Галаев С. В., Гохмап А. В. Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях с почти контактной метрической структурой // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2012. Вып. 14.

5. Pitis G. Hamiltonian Fields and Energy in Contact Manifolds // Intern. J. of Geometric Methods in Modern Physics. 2008. Vol. 1. 5(1). P. 63-77.

6, Иванченко И. П. Обобщение теоремы Нетер на случай неголономного многообразия // Математика, Механика: еб, науч.тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2004, Вып. 6. С. 59-62.

УДК 512.57

И. В. Глотова, П. А. Терехин

ДОПОЛНЕНИЕ ИЗОМЕТРИИ ДО С*-АЛГЕБРЫ КУНЦА 02 И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КРАТНОМАСШТАБНОГО

АНАЛИЗА

Пусть Н - комплексное сепарабельное гильбертово пространство. Унитарный оператор W : Н ^ Н называется двусторонним сдвигом,, если существует вектор е Е Н такой, что система {Wne}nЕZ образует ор-тонормированный базис пространстваН. Если еп = Wпе^ то Wen = еп+\, п Е Ж.

Алгеброй Купца 03 (см. [1]) называется набор и зометрий Si : Н ^ Н, г = 0,...,( — 1, для которых выполняются соотношения

Б^Б, = 5ц I, г,] = 0,...,

i=0

где I - тождественный оператор в Н. Соотношения (1) показывают, что

изометрии Б-1 имеют попарно ортогональные образы 1т(Б1), прямая сум-

3—1

ма которых совпадает с Н: ф 1т(Б^ = Н.

i=0

Далее рассмотрим случай ( = 2, т.е. пару изометрий {Б0, Б:}, порож-

О2

изометрии Б0 до алгебры Купца 02, т.е. о нахождении изометрии , для которой 1т(Б0) 0 1т(Б\) = Н. Поскольку этот вопрос связан с построением всплесков на основе КМ А (кратномасштабного анализа), то соотвествующие изометрии удовлетворяют соотношению Б^ = W2БГ1, г = 0,1, где W - оператор двустороннего сдвига. В качестве приложения следующей теоремы можно получить доказательство основной теоремы КМА. Следует отметить, что связь теории всплесков с алгебрами Купца отмечалась в работе [2].

Теорема. Пусть W : Н ^ Н - оператор двустороннего сдвига и изометрия Б0 : Н ^ Н удовлетворяет соотношению S0W = W2Б0. Тогда найдется изометрия Б\ : Н ^ Н, также удовлетворяющая соотношению Б\W = W2Sl и такая, что пара {Б0,Б:} порождает алгебру О2