Возбуждение электромагнитного поля в прямоугольном резонаторе, частично заполненном диэлектрическим материалом

УДК 621.372.8

В.А. Коломейцев, П.В. Ковряков, А.Э. Семенов, О.В. Дрогайцева

ВОЗБУЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ РЕЗОНАТОРЕ, ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННОМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМ МАТЕРИАЛОМ

В данной работе предложен подход в решении внутренней краевой задачи электродинамики при многощелевом способе возбуждения электромагнитного поля в прямоугольном резонаторе, на нижней стенке которого расположена диэлектрическая пластина. Показано, что использование продольной поляризации электромагнитного поля - Еу; Н у позволяет разделить искомое решение на Е - и Н- типы колебаний без

возникновения гибридных типов колебаний. Определена система ортогональных и ор-тонормированных собственных функций, на основе которых осуществляется решение задачи возбуждения ЭМГ поля. Предложенная физическая модель позволяет определить пути оптимизации многощелевой системы возбуждения в достижении структуры электромагнитного поля, обеспечивающей более равномерное распределение удельной плотности тепловых источников в объеме обрабатываемого материала.

Многощелевой способ возбуждения, внутренняя краевая задача электродинамики, резонаторная рабочая камера, оптимизация, равномерный нагрев

V.A. Kolomeytsev, P.V. Kovryakov, A.E. Semenov, O.V. Drogaytseva

EXCITATION OF THE ELECTROMAGNETIC FIELD IN A RECTANGULAR RESONATOR PARTIALLY FILLED WITH THE DIELECTRIC MATERIAL

The paper presents an approach to the solution of an internal boundary value problem of electrodynamics in the4 case of a multi-slotted method of excitation of the electromagnetic field in the rectangular resonator with the dielectric plate located in the lower wall. It is shown that the longitudinal polarization of the electromagnetic field Ey; Hy allows for separation of

the required decision into Е and H oscillation modes without originating any hybrid oscillation modes. The system of orthogonal and orthonormalized functions was defined, which helped solving the excitation task for the electromagnetic field. The proposed physical model allows defining the ways for optimization of a multi-slotted excitation system used to determine the electromagnetic field structure, which provides a more uniform distribution of the specific density of heat sources at volumes of the processed material.

Multi-slotted method of excitation, internal boundary value problem of electrodynamics, resonator working camera, optimization, uniform heating

Для обеспечения требуемого распределения электромагнитного поля в заданной области резона-торной рабочей камеры (РК) посредством многощелевой системы возбуждения необходимо провести комплексное исследование электродинамических свойств каждой из областей, составляющих микроволновую установку для термообработки диэлектрических материалов. В данном случае необходимо выделить три области СВЧ нагревательной установки: линия передачи СВЧ-мощности от магнетронного генератора в рабочую камеру, многощелевая система возбуждения и рабочая камера, представляющая собой прямоугольный резонатор, частично заполненный диэлектрическим материалом, которые принципиально отличаются друг от друга по электродинамическим свойствам. Так, передача СВЧ-мощности от магнетрона к системе возбуждения РК осуществляется с помощью прямоугольного волновода в режиме распространения в нем основной волны Ню, что позволяет определить не только структуру сторонних токов и зарядов в многощелевой системе ЭМГ поля в РК, но и расположение прямоугольных щелей, а также расстояние между центрами щелей, при котором соблюдается принцип электромагнитной совместимости [1] при многощелевом способе возбуждения, который требует отсутствия взаимного влияния между щелями. В работе [2] показано, что для соблюдения принципа электромагнитной совместимости в многощелевых системах возбуждения расстояние между щелями должно быть - L = Л у^, где ЛВ - длина основной волны в прямоугольном волноводе, которая определяется следующим образом [2]:

Л - . 1 .

В '-

11 -

(1 ^ 1J

В соотношении (1) Л - критическая длина волны основного типа; Л0 - длина волны возбуждения. Соотношение (1) однозначно определяет возможное число щелей в системе возбуждения. Так, для наиболее используемого в системах возбуждения прямоугольного волновода сечением - 45 X 90 мм число щелей, расположенных на верхней стенке РК не должно превышать трех в микроволновой печи М8-192И (Южная Корея), а для волновода 45 X110 мм - четыре щели. Это достаточно жесткое условие, которое ограничивает процесс оптимизации многощелевых систем возбуждения в микроволновых печах.

Расположение щелей на верхней стенке РК определяется распределением поверхностных токов, протекающих на нижней стенке прямоугольного волновода, примыкающей к РК. Поверхностные токи определяются соотношением [3]:

1пов «-[и• Н;

где ] - удельная плотность поверхностных токов на нижней стенке волновода - ; п - нормаль к

нижней стенке; Н - вектор напряженности магнитного поля. Для основной волны Н10 поверхностные токи определяются следующими соотношениями [4]:

Л = Hz = Н2оСоз —  ехр

а — а

где а - размер широкой стенки волновода; Д0 = 2—Д - постоянная распространения волны Н10 .

/ Л в

Согласно теории возбуждения [4], для того чтобы щель излучала СВЧ-энергию в РК, она должна располагаться перпендикулярно линиям поверхностных токов в области их максимального значения. Для волны Н10, согласно соотношениям [3], излучающие щели должны быть перпендикулярны уз-

ким стенкам волновода, при этом первая щель должна располагаться на расстоянии - Ь =

ЛЕ

от

короткозамкнутого конца прямоугольного волновода (рис. 1).

В данной работе на основе метода частичных областей проводится решение задачи возбуждения ЭМГ поля в РК, которая представляет собой прямоугольный резонатор, на нижней стенке которого расположена диэлектрическая пластина, имитирующая обрабатываемый материал. Возбуждение ЭМГ поля осуществляется со стороны верхней стенки резонатора поверхностными источниками поля, представляющими собой токи смещения, действующие в области расположения прямоугольных щелей, при этом сторонние токи определяются поверхностными токами основной волны Н10 прямоугольного волновода:

jcт (?, о = ]см (?, о = jпов (?, о ;

Н

10

Рис. 1. Положение излучающих щелей на широкой стенке прямоугольного волновода

где Jст, Jcм - удельные плотности стороннего тока и тока смещения. Собственные электродинамические параметры и структура ЭМГ поля определяются на основе решения неоднородной внутренней краевой задачи электродинамики (ВКЗЭ):

У2Е, Ы-ет?^-р,

X? ,т);

V2Н = ^

Э

где Е - вектор напряженности электрического поля; £, / - абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости. В соотношении (5) соответственно:

Ъ СТЭ (г ,т) =

ОТ £

при , = 1;

при / = 2;

р, СТ (г ,Т) =

£ =

при при

/• = 1;

/ = 2,

го1]ст{г,Т) ; при / = 1;

индексом / = 1 обозначена воздушная среда, а индексом / = 2 - диэлектрическая пластинка. Источники ЭМГ поля действуют в воздушной среде (/ = 1), в области расположения пластины волновые уравнения Гельмгольца однородные; рст (г,т) - удельная плотность сторонних зарядов, которая связана со сторонним током уравнением непрерывности [5]:

" гл >

Рис. 2. Исследуемая электродинамическая система

а™

что позволяет свести уравнения (5) к возбуждению ЭМГ поля посредством сторонних токов.

Предложенная физическая модель (рис. 2), когда диэлектрическая пластина лежит на дне РК и совпадает по размерам с нижней стенкой резонатора, позволяет наиболее просто определить преимущество многощелевых систем возбуждения ЭМГ поля в достижении требуемой структуры электрического поля, а, следовательно, удельной плотности тепловых источников в обрабатываемом материале. Кроме того, данная модель допускает аналитическое решение неоднородной ВКЗЭ, что повышает эффективность исследования электродинамических свойств РК при различных системах возбуждения ЭМГ поля в резонаторных структурах, частично заполненных диэлектри-ческим материалом. Как показано в работе [6], решение ВКЗЭ базируется на основных принципах электродинамики - принципе поляризационной двойственности и принципах ортогональности и суперпозиции, при этом для того чтобы в резонаторе, частично заполненном ди-электри-ческой пластиной, не возникали гибридные типы колебаний, составляющие векторов напряженности электрического и магнитного полей, определяющие искомую поляризацию, должны быть перпендикулярны границе раздела сред. В нашем случае это продольная поляризация - Е (г, т), Н (г, т) , что

позволяет искомое решение представить в виде суперпозиции Е и Н - типов колебаний, определяемых ортонормированными функциями решения соответствующей однородной ВКЗЭ, которое определяется на основе уравнений (5) - (7) методом разделения переменных и удовлетворением стандартным граничным условиям на металлической поверхности резонаторной камеры и границе раздела сред [7]:

д К (г ,т)=

дп

(г,т)= Е2(Г,т) 2; НТ 1(Г, Т) = НТ2(г, Т) |52, где Е Т и Н Т - тангенциальные составляющие векторов напряженности электрического и магнитного

полей; Нп (г, Т) - нормальная составляющая вектора магнитного поля; 51 - металлическая поверхность резонатора; Б2 - поверхность раздела сред.

Е Т г

(г, Т )= о 1^1

= о 1^1

0

Собственные ортонормированные функции, полученные на основе решения однородной системы уравнений Гельмгольца и удовлетворяющих граничным условиям (8), имеют следующтий вид для Е-типов колебаний (Еу ф 0;Ну = 0):

ЕУ1(х ^ г) = ^¿¿(Еуо,) тпрЫп— •х • г • ^ (у);

т=1 и=1 р=1 а 1

ЕХ1

К

г

т=1 и=1 р=1

Е,

тпр 2 х±

К

т=1 и=1 р=1

тпр 2

-I • Соз-х • • г • ¥пЪ (у);

а ) а I

ря\ т— р—

— I • & п-х • Со$— •г • ^ (у);

I ) а I

Нх,

т=1 п=1 р=1

Н,

тпр 2 Х1

рж\ т— р—

— I • 8т-х • Соэ— •г • ^ (у);

I ) а I

т=1 п=1 р=1

тпр 2 ХI

V

т—1 т— р—

-I • Соз-х • • г • ^ (у);

а ) а I

где

^ ,(у) = \

СозКут

СозКут • Ь

при , = 1;

РП2,( у) = \

СозКуп2 • у при 1 = 2;

Б1пКут

СозКут • Ь

при = 1;

&тКуп2 • у при 1 = 2;

(Е ) =(Е ) е •

е СоэКуП2й • СозКущЬ

е СозКущф - й)

при этом собственные значения волновых чисел Куп1 и Куп 2 определяются из дисперсионного уравнения:

ШКуА (Ь - й ) = -е • ^ • 1§Куп2 й;

е1 Куп1

при этом связь между волновыми числами Куп1 и Куп2 определяется из обобщенного дисперсионно-

полняющих внутреннюю поле

=х! +К 2,1 пРи 1 =1

уп1 уп 2

го уравнения для каждой из сред, заполняющих внутреннюю полость резонатора:

22 ~ .. „,2 , т^2

Щ2 ем т = Х| + К * при 1 = 2.

Вычитая одно соотношение (13) из второго, получим выражение, связывающее Куп1 и К

К

уп 2

= 2 Лт 0 + К уп 1

уп 2

Подставляя соотношение (14) в дисперсионное уравнение (12), приведем его к одной переменной [8]:

(ЙКуЛ(Ь - й)-

е 1

ЩЛет

К

уп1

+1-

Куп1

В соотношениях (13)-(15):

Ле ем е0;

х± =

2 +( 2

а

v

I

Заметим, что второе соотношение (16) является основой разделения решения ВКЗЭ на Е - и Н - типы колебаний, поскольку является общим коэффициентом для обеих сред, заполняющих РК.

Собственные ортонормированные функции - решения однородной внутренней краевой задачи электродинамики для Н-типов колебаний (Ну ф 0; Еу=0) имеют следующий вид:

Ну1 (х, у, г) = ^Т.Нуо,)тПрСоз— • х • Бт?— г • Фм (у);

т=1 п=1 р=1 а 1

Нх, (х, у, г) = £ £ £-(Нуо1) Куп '

т=1 п=1 р=1

Н,

' тпр 2 х I

х • Бт-г •

-I • Бт-х • Соя— • г • ФпЪ (у);

а ) а I

К

уп,

т=1 п=1 р=1

ЕХ1

тпр 2 ХI

р—| ^ т— р—

±— I • Соя-х • Бт^- • г • Ф„1г (у);

I ) а I

1

тпр 2

т=1 п=1 р=1

X

ря\„ т— р— , . . — I • Сы— х • Бт— •г • фп2, (у); I ) а I

Ег1

тпр 2

где Ф пи (у) =

т=1 п=1 р=1

СозКуП1

X

т—

т—

р—

-I • Б,п-х • Соя— • г • Ф п2, (у);

а

а

СояКут • Ь

Б,пК

уп2 у

при , = 1; при 1 = 2;

Ф п2, (у) =

БтКут

СояКут • Ь

СояК

уп 2 у

I

при , = 1; при 1 = 2;

(Н ) =(Н ) Б,пКуп2й • СояКуп1Ь .

\Ну01)тт \Ну02)п

тпр

тпр

БтКуП1

при этом собственные значения волновых чисел Куп1 и Куп2 для Н-типов колебаний из дисперсион-

ного уравнения:

К

уп2

К

ЩКП1 (й - Ь) = tgKyn2й;

уп1

и, с учетом соотношений (13), а также, что й{Ь, получим следующее соотношение:

- К

I а2 Лет

кП

+1

1 •(КуЛй ) = К

I алет

КМ

+1 • tgKyA(Ь - й).

Трансцедентное дисперсионное уравнение (21) позволяет определить не только спектр собственных частот Н-типов колебаний прямоугольного резонатора, частично заполненного диэлектрическим материалом, но и определить соответствующий им спектр ортонормированных функций, на основе которых проводится решение неоднородной ВКЗЭ при различных системах возбуждения ЭМГ поля посредством метода вариации произвольной постоянной (метода Лагранжа [9]), что позволяет оценить эффективность распределенных систем возбуждения в достижении заданной структуры ЭМГ поля в объеме обрабатываемого материала, при которой обеспечивается более равномерный нагрев.

Использование принципа поляризационной двойственности позволяет свести систему векторных волновых уравнений Гельмгольца (5) к системе двух скалярных уравнений для составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей в одном из координатных направлений. В данном случае это использование продольной поляризации - Еу; Ну , при которой, как показано в работе [8], не возникают гибридные типы волн:

->—- / \ Э2Е . (х, у, г,т) ~ ,ЭЛ

V2 Еу1 (х, у, г, т) - ет--- = Ъ СТ (х, у, г, т);

Эт

1

V2НУ1 (х, у, 2,т)-£/~

д 2НУ1 (х, у, 2,Т) дт2

= РУ1 £ \ х, у, 2,Т).

Поскольку волновые уравнения (22) имеют одинаковый по замене вид, то подход к решению и метод решения данных уравнений одинаков [8]. В связи с этим рассмотрим решение ВКЗЭ для Е-типов колебаний в прямоугольном резонаторе, частично заполненном диэлектрическим материалом. Искомое решение представим в виде суперпозиции собственных ортогональных и ортонормирован-ных функций, которое для двухслойной среды, заполняющей внутреннюю полость резонатора, может быть представлено в виде:

Еу,

т=1 п=1 р=1 а 1

где Гпи (9) - ортонормированная функция, учитывающая частичное заполнение резонатора диэлектрическим материалом. Собственные функции по координатным направлениям - X и Ъ являются ортогональными. Подставим искомое решение (23) в первое уравнение системы (22). В результате проведения дифференцирования по координатным направлениям собственных функций получим:

ХХХК(Т) + (п, • ТтпрфгРх • Б1пРр • 2 • ГпУ (у) £ • ГС (х,у,2,Т);

т=1 п=1 р=1

а

I

где О - спектр собственных круговых частот Е-типов колебаний прямоугольного резонатора, ча-

стично заполненного диэлектрическим материалом:

Отпр

1

£г/

тк

. а ,

+

Г \2

СТ;

+ К

уп,

Соотношение (24) представляет собой разложение функции источника в тройной ряд по ортогональным и ортонормированным функциям решения однородной ВКЗЭ (9). Используя обратное преобразование Фурье применительно к соотношению (24), определим коэффициенты ряда Фурье, которые представляют собой временное уравнение неоднородной ВКЗЭ:

Ттпр(т) + ((пр Ттпр(Т) ^тпр(т) '

иде

#тпр (Т) =

1

Ь 1

№

2

тпр О О О

тпр тпр

тк

а

а Ь 1

№

:ГГГ Б1п2( —х) • Б1п III а

тпр

рк

г»и (у^хфа.

ООО

при этом интеграл:

Л = I Гп211

о о а

который входит в соотношение (28), определяется первым соотношением (1О), что позволяет определить норму собственных функций ВКЗЭ для прямоугольного резонатора, частично заполненного диэлектрическим материалом. Необходимо отметить, что при определении величины - $тпр (т) должно

учитываться, что источники ЭМГ поля всегда находятся не в области расположения обрабатываемого материала. Решение уравнения (26), проведенное методом вариации произвольной постоянной, позволяет однозначно определить величину Ттпр (т) , а, следовательно, решение неоднородной ВКЗЭ, которое, согласно [8], может быть представлено в виде:

Ттпр{Т) = ¡Аппр

при этом, после интегрирования в соотношении (3О) необходимо сделать подстановку % = Т. Согласно соотношению (3О), основное значение коэффициентов ряда Фурье (26) определяет функция источника ЭМГ поля, при этом необходимо учитывать конструкцию системы возбуждения ЭМГ поля, ее расположение в рабочей камере и амплитуду возбуждающего ЭМГ поля сигнала (сторонних источников). Необходимо отметить, что в данной работе исследуется многощелевой способ возбуждения. Система возбуждения расположена на верхней поверхности РК, что позволяет при ее описании использовать обобщенную 8 -функцию, которая позволяет учесть поверхностный характер источника ЭМГ поля.

2

2

2

2

1

Ь

а

Ь

Таким образом, приведенный в работе подход решения внутренней краевой задачи электродинамики позволяет определить собственные электродинамические параметры, то есть спектр собственных частот, а также суперпозицию собственных типов колебаний прямоугольного резонатора, на нижней стенке которого расположена диэлектрическая пластина, что является основой решения неоднородной внутренней краевой задачи электродинамики, то есть решение задачи возбуждения электромагнитных колебаний в данной структуре посредством многощелевой системы возбуждения ЭМГ поля, а также определить пути наиболее эффективного использования распределенных систем возбуждения в повышении уровня равномерности удельной плотности тепловых источников в объеме обрабатываемого с помощью энергии СВЧ-поля материала.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гольдштейн Л. Д. Электромагнитные поля и волны / Л. Д. Гольдштейн, Н.В. Зернов. М.: Сов. радио, 1971. 664 с.

2. Федоров Н.Н. Основы электродинамики. М.: Высшая школа. 198О. 339 с.

3. Тамм И.Е. Основы электричества. М.: Наука, 1976. 616 с.

4. Пименов Ю.В., Вольман В.И., Муравцов А.Д. Техническая электродинамика. М.: Радио и связь, 2ОО2. 537 с.

5. Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М.: Энергия, 1967. 367 с.

6. Егоров Ю.В. Частично заполненные прямоугольные волноводы / Ю.В. Егоров. М.: Сов. радио, 1967. 216 с.

7. Коломейцев В.А. Взаимодействие электромагнитных волн с поглощающими средами и специальные СВЧ системы равномерного нагрева. Диссертация на соискание ученой степени дтн. Саратов: СГТУ, 1999. 499 с.

8. Коломейцев В.А., Баринов Д.А., Посадский В.Н., Семенов А.Д. / Определение собственных электродинамических параметров прямоугольного резонатора с двухслойным диэлектрическим заполнением // «Радиотехника», № 1О. 2О14 г. С. 35-41.

9. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука, Главная редакция физ.-мат. литературы, 1965, 678 с.

Коломейцев Вячеслав Александрович -

доктор технических наук профессор кафедры «Радиоэлектроника и телекоммуникации» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А.

Ковряков Павел Валериевич -

аспирант кафедры «Радиоэлектроника и телекоммуникации» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А.

Семенов Александр Эдгарович -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Радиоэлектроника и телекоммуникации» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А.

Дрогайцева Ольга Викторовна -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Радиоэлектроника и телекоммуникации» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А.

Vyacheslav A. Kolomeytsev-

Dr.Sc., Professor Department of Radioelectronics and Telecommunications,

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Pavel V. Kovryakov-Postgraduate,

Department of Radioelectronics and Telecommunications,

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Alexander E. Semenov-

PhD, Associate Professor Department of Radioelectronics and Telecommu-nications,

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Olga V. Drogaytseva-

PhD, Associate Professor Department of Radioelectronics and Telecommunications,

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Статья поступила в редакцию 12.10.14, принята к опубликованию 22.12.14