Состояние и перспективы теоретико-экспериментальных исследований морфологии твердых тканей зубов часть III: математическое описание и результат эксперимента

УДК 611.08; 611.018+611.214 Э. П. Тихонов

Состояние и перспективы теоретико-экспериментальных исследований морфологии твердых тканей зубов

Часть III: Математическое описание

*

и результат эксперимента

Ключевые слова: электрометрический метод, шлиф зуба, структура, твердые ткани зуба, математическая модель, идентификация, эксперимент.

Keywords: electrometric method, slice tooth, structure hard tissues of the tooth, mathematical model, identification, experiment.

В соответствии с положениями предыдущих частей статьи [1, 2] и на основании электрометрического метода исследования обоснована и выведена математическая модель строения твердых тканей зубов (ТТЗ). Разработанная модель описывает структуру ТТЗ по установленным закономерностям распределения каналов в дентине зуба. Моделирование для оценки параметров модели по результатам экспериментов для конкретного зуба, согласно разработанной модели, требует отдельного рассмотрения.

Введение

Сложность ТТЗ требует детализации понятия ее структуры по четырем иерархическим уровням в зависимости от размеров структурируемых элементов: макроструктура, мезоструктура, микроструктура и наноструктура.

Макроструктура характеризуется элементами до 1 мм, легко различаемыми невооруженным глазом. Элементы мезоструктуры имеют размеры от 1 мм и до величин, находящихся на пределе возможностей их различения невооруженным глазом, до 0,2 мм. Микроструктура характеризуется элементами размером от 200 и до 1 мкМ. Наноструктура описывает детали субмикронного размера.

* Часть I см. № 1 (1) 2009; часть II см. № 3 (3) 2009.

Известно, что следствием многих патологий зубной системы, в особенности кариесных заболеваний, является нарушение макро-, мезо- и, в меньшей степени, микроструктуры ТТЗ [3], которое на основе разработанных методик может обнаружить врач-стоматолог. Поэтому ценность получения достоверной априорной информации о структуре ТТЗ зуба как биообъекта при проведении диагностики по его микроструктурным нарушениям не вызывает сомнений.

Основная часть

Структура ТТЗ зуба связана [4-6] с его физическими, механическими и химическими свойствами и в отличие от многих других однородных клеточных биообъектов обладает более сложным строением, относящимся к биокомпозитным системам. Относящийся к подобным системам дентин зуба имеет четко выраженные канальцы (трубочки), которые сформированы на основе нанокристаллов гидро-ксилапатита, отличающихся ориентацией и упаковкой. Для рассматриваемого случая важно выявить и морфологию микроструктуры ТТЗ на качественном и количественном уровнях на основе специально сформированных электрических зондирующих сигналов (ЭЗС). Благодаря электрометрическому методу при изучении морфологии ТТЗ удается получить полные сведения о структуре, характерных особенностях и плотности распределения канальцев дентина зуба, которые с успехом можно использовать

при разработке методик диагностики на основе ЭЗС с привлечением методов идентификации. Чтобы обоснованно трактовать при экспериментальных исследованиях показания электрометрического прибора или аналогоцифровой измерительной системы (АЦИС) и связать их со структурой ТТЗ, необходимо идентифицировать эти показания функционально, т. е. на основе математической модели, и выразить их в явном виде через геометрические и физические параметры исследуемого биообъекта, т. е. шлифа зуба (ШЗ). Доступными для непосредственного измерения геометрическими параметрами ШЗ в соответствии с рис. 1 являются:

• радиус шлифа гш;

• толщина или высота шлифа hш;

• расстояние г от точки измерения до центра шлифа.

Геометрическими параметрами для косвенного определения по принятой математической модели структуры ШЗ являются:

hd — длина перпендикуляра, опущенного из «условного» центра зуба, например центра сопротивления зуба, расположенного в центре пульпы, на поверхность ШЗ (величина hd лежит ориентировочно в пределах 2,75-7 мм с вероятностью, близкой к единице);

Ф — угол наклона относительно высоты hd канальцев, попадающих под площадь игольчатого электрода и идущих от центра пульпы до точки измерения (рис. 1).

К физическому параметру относится удельное сопротивление или удельная резистентность р канальцев электрическому току [2].

Построение математической модели

Для математического описания структуры ТТЗ на базе электрометрических измерений необходимо построить математическую модель (ММ) зуба. На основании анализа, проведенного в статье [2], и сведений, полученных в работе [3-14], построим круговой прямой конус, аппроксимирующий общую закономерность распространения канальцев в дентине от центра пульпы до анализируемого ШЗ (рис. 1).

Поскольку площадь поверхности пульпы меньше площади коронки зуба, а одонтобласты практически равномерно заполняют поверхность пульпы, направленной в сторону коронки зуба, то за счет расширения объема дентина, окружающего поверхность пульпы, плотность насыщения канальцами дентина падает в соответствии с определенным законом в направлении от пульпы к эмалево-ден-тинному соединению. Этот закон определяется площадью расширения слоя дентина, в который входят канальцы, распространяющиеся от поверхности пульпы под углом Ф с равномерным законом распределения вероятностей. Таким образом, аппроксимирующий распространение канальцев в дентине зуба конус имеет основание, совпадающее с поверхностью шлифа, и вершину, расположен-

Примеры положения электрода на шлифе при измерениях

Ось роста зуба

Рис. 1 Расположения ШЗ при совпадении оси роста зуба с высотой конуса, восстановленной из центра шлифа при горизонтальном сечении коронки зуба, когда плоскость поверхности шлифа расположена перпендикулярно к высоте hd

ную в «условном» центре пульпы [2]. Зависимость площади расширения слоя дентина в шлифе зуба как функции от г в соответствии с принятой моделью определяется равенством

я(г) = п г2,

где г = hdtg(ф).

Когда ось роста зуба и высота hd совпадают, то в соответствии с рис. 1 получаем гш = hdtg(фmax) и

Я(гш) = п[^^(Фтах)]2,

где Фтах — максимальный угол между образующей конуса с основанием, равным площади шлифа без учета эмали, и высотой hd.

Радиус шлифа гш подлежит прямому измерению. Для определения плотности распределения вероятностей числа канальцев в точке ШЗ с координатой г (рис. 1), изменяющейся в пределах 0 < г < гш, найдем обратную функцию для ф(г):

ф(г) = аг^ -1, — . Ь-йЧ п

= aгctg —.

Из теории вероятностей известно, что плотность распределения вероятностей монотонной функции от случайной величины находят по формуле

(у) = [у(у)]иу)|

где Wy(y) — плотность распределения вероятностей случайной величины у; у = ф(х) — монотонная функция, для которой обратная функция х = у (у) однозначна; wх [у (у)] — плотность распределения вероятностей случайной величины х; |у'(у)| — абсолютное значение производной по у функции у(у).

В соответствии с (5) найдем производную от функции ф(г) по r из равенства

dp d dr dr

arctg — hd

, 2 2 hd + r2

Примем гипотезу о равномерном распределении угла ф в интервале 2ф(гш) или 2фтах. Поэтому в соответствии с формулой (2) получаем искомую плотность распределения вероятностей для параметра г в виде

w

(r ) =

2Фтах hd + r2

i(h2 + r2) arctg

d

где г — расстояние от центра шлифа до центра игольчатого электрода.

Следовательно, вероятность попадания канальцев под площадь электрода при совмещении начала отсчетов декартовой системы координат с центром шлифа для оси симметрии, совпадающей с перпендикуляром, опущенным из «условного» центра пульпы в центр шлифа, определяется при —гш < г < гш в соответствии с равенством

P (r - гэ < r < r + r ) =

2ф

r+r

- J w(r)dr =

max r -r

2фт

^ r + r r — r ^ arctg-- - arctg э

h

h

гДе Фтах = ^g^Adfc -(гш-гэ) < r < (гш-гэ)? hd — длина перпендикуляра, опущенного из «условного» центра пульпы в центр шлифа, расположенного на поверхности; r — координата, соединяющая центр шлифа с центром электрода радиусом гэ, причем |r| < гш.

Таким образом, приведенная формула получена для случая совпадения оси роста или оси симметрии канальцев (в дальнейшем ось роста) с высотой прямого кругового конуса, основанием которого является поверхность шлифа с формой правильной окружности. Ось роста характеризуется тем, что относительно нее происходит расхождение канальцев с изменяющимся раствором [2, 5-7] и она фактически определяет направление роста зуба. Причем зуб, особенно моляр, как сложный биологический объект помимо основной или главной оси роста имеет и вспомогательные оси роста [2, 5-7], связанные с бугорками коронки зуба, влияние которых на распределение канальцев в дентине в рассматриваемой математической модели не учитывается. Прямой конус можно рассматривать как грубую аппроксимацию структуры распределения канальцев реального зуба, так как коронка зуба не имеет круговой формы и главная ось роста (в дальнейшем просто ось

роста) не совпадает с высотой конуса. Строго говоря, в этом случае симметрия распространения канальцев относительно оси роста нарушается. Однако в малой окрестности распространения канальцев относительно оси симметрия практически сохраняется. Этот факт и позволил в работах [5—7] обнаружить оптическими методами закономерность распространения канальцев в дентине. Если в качестве основания сохранить аппроксимацию окружности шлифа правильной окружностью, то в результате получается неравносторонний конус с высотой кф. В этом случае максимальные значения угла ф между высотой и образующими конуса, совпадающими с соответствующими канальцами в плоскости сечения конуса, проходящей через диаметр его основания и высоту, будут асимметричны и равны соответственно Ф1тах и ф2тах (рис. 2). Тогда искомая плотность распределения (3) преобразуется к виду

w

(r ) =

hd

(pp1max + p2max ) hd + r2

(arctg ri0 + arctg r20)(h<2 + r2) hd hd

Прежде чем рассмотреть вероятность попадания канальцев под площадь электрода при несовпадении высоты конуса с осью роста и, следовательно, при несовпадении начала отсчетов в декартовой системе координат с центром шлифа, необходимо ввести следующие дополнительные пояснения по параметрам, характеризующим геометрические и биомеханические характеристики зуба. Различают ось зуба, проходящую через центр сопротивления зуба, вектор силы реакции зуба, который направлен под углом к оси зуба [15], и рассмотренные выше оси роста, совпадающие с осями симметрии. Физический смысл данных параметров следующий.

Примеры положения электрода на шлифе при измерениях

Пример положения центральной оси зуба

Рис. 2

Расположения ШЗ при смещении оси роста зуба относительно центра шлифа при горизонтальном сечении зуба, при этом плоскость поверхности шлифа расположена перпендикулярно к высоте кф

h

d

Ось зуба характеризует положение зуба в челюсти. Сила реакции зуба является результирующей сил реакции скатов бугорков при окклюзии во время жевательного процесса [15]. Оси роста или симметрии, как отмечалось во второй части статьи, связаны с биологическими и структурными характеристиками дентина. Структурные характеристики дентина определяются закономерностями расположения канальцев и динамикой плотности их распределения в дентине. Поскольку трубочки, содержащие канальцы, выполняют также определенные биомеханические функции, то структура канальцев, безусловно, функционально связана с векторами сил реакции зуба и скатов бугорков [15]. Поэтому логически вытекает следующая связь между векторами силы реакции зуба и силами реакции бугорков: вектор силы реакции зуба совпадает с главной осью симметрии (роста), а вспомогательные оси симметрии связаны с векторами сил реакции бугорков при окклюзии. С учетом того что результирующая сила реакции зуба направлена под углом к оси зуба [15], то и ось роста строго не совпадает с осью зуба. Именно поэтому точки роста зуба не совпадают с центром шлифа, что и отображено на рис. 2. Следствием несовпадения оси роста с осью зуба является ее смещение на величину Аг относительно центра шлифа. В этом случае ось зуба будет наклонена под углом а относительно перпендикуляра, опущенного из центра сопротивления зуба на шлиф. В силу того что распределение угла Ф будет не симметрично относительно перпендикуляра hd, плотность распределения угла ф изменится. При совмещении начала отсчета (центра декартовой системы координат) с основанием перпендикуляра hd и радиуса шлифа гш получим

Р (х - гэ < X < X + гэ ) =

х-Аг+г

где

Ф1шах + Ф2шах х _дг

J w(x)dx

Ф1шах + Ф2шах

X - Аг + г

X - Аг - г

arctg-- - arctg -

hd hd

для Ar < х < гш

P (x - гэ < X < X + гэ ) =

x-Аг+г

Ф1шах + Ф2шах Х-Аг

J w(x)dx

ф1шах + ф2шах

arctg-

х + Аг + г

hd

- arctg:

х + Аг - г

hd

Ф1ш

г + Аг г - Аг Ф2шах = arctg -0-+ arctg -0-

До сих пор определялась вероятность попадания канальцев под площадь электрода, который смещался по прямой, проходящей через центр шлифа, т. е. по диаметру шлифа. Если предположить, что измерения производятся в соответствии со строчной разверткой, иллюстрируемой на рис. 3, то в расчеты следует вносить поправки, которые определяются величиной А^ В этом случае отклонение канальцев от перпендикуляра увеличится на величину hd/cos (у), где у= arctg Щ/hd). Угол ф будет изменяться от фтах1 до Фтах2, значения которых будут определяться длиной хорды шлифа, если форма шлифа соответствует окружности. Сканирование в соответствии с рис. 3, а определяется как оптимальное в отличии от неоптимального сканирования (рис. 3, б).

При отличии формы шлифа от окружности должны вноситься соответствующие поправки для вычисления угла Фтах. Например, форма шлифа может быть представлена эллипсом или другой геометрической фигурой. Как правило, форма шлифа с достаточной для расчетов точностью аппроксимируется либо окружностью, либо эллипсом.

Проведенный анализ, который приводит к схеме, характеризующей структуру канальцев в теле зуба в соответствии с рис. 1-3, наглядно иллюстрируется фотографиями шлифов, представленных на рис. 4. На фотографиях легко различить изменение размера клеточек геометрического теста в локальной области, шлифа, помеченного щербинкой, в прямом и перевернутом состояниях (фотографии выполнены с несколько различающимися наклонами оптической оси для прямого и перевернутого положений шлифа). На фотографиях видно, что четкость клеточек теста проявляется в той области шлифа, в которой длина канальцев достигает наименьшего отклонения от толщины hш шлифа, т. е. в области главной оси симметрии.

Приведенные в работе [10] фотографии шлифов, полученных в результате применения рентгенова) б)

...............Центр шлифа .........

у у .----/'•.

¿-г''". —

иаправ^гени.е^^' . •i^'J'"'- itm''1'

" 'Главная точка "

роста шлифа

Рис. 3

для -Аг < х < гш

Примеры расположения растра при измерении сопротивлений в точках шлифа, определяемых сканированием со строчной разверткой

и

зультатам измерения. Хорда гх шлифа находится в соответствии с известным равенством

Рис. 4

Программно обработанные и исходные фотографии шлифа, расположенного на геометрическом тесте в прямом и перевернутом состояниях

ского зондирующего сигнала, не выявляют тонкой структуры твердых тканей зуба. Это хорошо заметно на специально обработанном рентгеновском снимке, представленном на рис. 5, того же шлифа, снимки которого приведены на рис. 4. Как следует из рис. 4, увеличение и уменьшение клеток в исходном и перевернутом состояниях шлифов как раз наглядно иллюстрируют эффект расхождения канальцев от центра пульпы к коронке зуба [14].

Полученные формулы для определения вероятности попадания торцов канальцев под площадь электродов позволяют определить среднее число канальцев га^(ф), непосредственно соприкасающихся с площадью электрода через обратную величину найденных вероятностей [11].

Для реального шлифа его форма и геометрия канальцев отличаются от идеального случая, однако степень приближения реальной формы шлифа и геометрии канальцев к идеальному случаю будет определять соответствующую методическую погрешность измерения. Эта погрешность измерения может быть сведена к минимуму при применении методов идентификации в целях уточнения параметров математической модели по реальным ре-

Рис. 5

Обработанный рентгеновский снимок шлифа, снимки которого приведены на рис. 4. На снимке контрастно выступает по краям шлифа эмаль, плотность которой существенно превышает плотность дентина

rx =

4 -м2

< ф2тах при движении электрода по хорде в соответствии с формулой

Г

ф(гх ) = arcts^ •

2Пл

Если же растр будет повернут в соответствии с рис. 3, б, то длина канальцев при сохранении общего вида плотности распределения при соответствующем сканировании корректируется в соответствии с формулой согласно рис. 2

1ср = ftmcos 9/[cos ф cos (у)],

где 9 — угол, определяющий поворот растра при неоптимальном сканировании относительно положения растра при оптимальном сканировании ШЗ.

В результате подстановки выражения для определения средней длины канальцев в общую формулу для определения сопротивления (резистентности) получаем следующее выражение для вычисления искомой функции резистентности ^¿[р, 9, га^(ф), 5э] как ее усредненного значения по охватываемой электродом площади поверхности контакта со шлифом, равной Бэ:

R (р, 9, y,ns (ф),5э) =

phocos

Здесь Р(г — гэ < г < г^. + гэ) — вероятность того, что канальцы окажутся под контактной площадью электрода при положении электрода в точке с координатой гг, I = 1, 2, ..., М, где М — число измеряемых точек.

Вычисляемое по приведенной формуле усредненное сопротивление в основном зависит от всех вышеуказанных параметров, т. е. от геометрии шлифа и структуры, пронизывающих дентин канальцев, и, следовательно, определяет искомую ММ при одноосной симметрии. Аналогичную формулу можно получить с учетом гипотезы о непересекающихся локальных областях распределения канальцев при увеличении числа осей симметрии при многоосной симметрии. Как следует из формулы, единственным параметром, посредством которого можно влиять на измеряемую резистентность, является диаметр электрода. В связи с этим возникает вопрос о рациональном выборе диаметра электрода. С одной стороны, диаметр электрода для повышения разрешающей способности целесообразно брать как можно меньше. С другой стороны, уменьшение диаметра электрода приводит к увели-

которое и позволяет найти изменение угла ф1тах < ф <

чению методической составляющей погрешности и сопротивления из-за уменьшения параметра п(ср).

Эксперимент

На рис. 6 приведен пример графика изменения сопротивления в центральной области ШЗ. На графике по осям х л у отложены номера точек, в которых с равномерным шагом сканирования получены результаты измерения в килоомах. Волнистые линии на рис. 6, указывающие уровни одинакового значения сопротивления, подтверждают (с точностью до погрешности измерения) локальную нерегулярность распределения канальцев в дентине.

Полученные на основе концептуальных выводов формулы (1)-(7) по существу представляют собой функциональные зависимости, т. е. математические модели, для описания связи между резистентностью ТТЗ и их структурой с точностью до физических и геометрических параметров ШЗ при воздействии на них ЭЗС. Эти зависимости создают необходимую базу для решения задачи идентификации, чтобы убедиться в достоверности полученных зависимостей и уточнить значения входящих в нее параметров для конкретных шлифов зубов. В процессе проведения идентификации необходимо сопоставить результаты расчета резистентности по разработанным математическим моделям с результатами экспериментальных данных. На рис. 7 приведен пример графика, демонстрирующего отклонение расчета в соответствии с рассмотренной математической моделью от результатов эксперимента, выполненного для однократного сканирования ШЗ по диаметру, не совпадающему с точкой роста зуба.

При идентификации вследствие подачи на исследуемый объект внешнего ЭЗС после взаимодей-

из 5,253

5,311

ПЛ 5,368

5,426

ПЛ 5,484

о 5,542

ПЗ 5,6

5,658

5,715

5,773

ПЗ 5,831

Рис.в

1050 1000 950 900 850 800 750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100

-1

—( то. \ Г р

0123456789 10111213141516171819202122

Рис. 7 Кривая, демонстрирующая отклонение расчета

в соответствии с рассмотренной математической моделью от результатов эксперимента: -ф--расчет; ----эксперимент

ствия с объектом меняются его выходные переменные (характеристики) относительно их исходных значений. В этих изменениях характеристик ЭЗС и содержится информация о структуре объекта. Поэтому необходимо разработать такую методологию исследования, благодаря которой можно было бы связать тем или иным способом структуру исследуемого объекта с количественными изменениями ЭЗС после его взаимодействия с объектом. Точные измерения количественных изменений характеристик ЭЗС на выходе объекта возможны посредством измерительного прибора или системы, использующих градуировочную характеристику, выражающую исходные данные через установленную единицу измерения. При этом погрешность измерения должна быть малой, что достигается не для всех видов ЭЗС.

На рис. 8 приведена установка, на которой проводились исследования ТТЗ с использованием микропроцессорной АЦСИ «Дентометр». Электронная схема, положенная в основу АЦСИ, разработана в соответствии с патентом [16].

Для измерения сопротивления биообъекта в АЦСИ применяется мостовая схема (рис. 9) без шун-

График, характеризующий изменение сопротивления в центральной области шлифа для прямоугольного растра сканирования

Рис.8

Установка для проведения исследования структуры шлифов зубов с использованием микропроцессорной АЦСИ «Дентометр»

биотехносфера

| № 4(343/2014

0Еп

Рис. 9 Мостовая схема измерения сопротивления биообъекта без использования и с использованием шунтирующего сопротивления:

Ях — измеряемое сопротивление биообъекта; Я — опорные сопротивления; Яш — шунтирующие сопротивления (шунты); Яур — уравновешивающее сопротивление; СУ — сравнивающее устройство; Еп — постоянное напряжение питания моста

та и с использованием шунта. При этом можно применить только один шунт для измеряемого сопротивления Я^. Однако, как было установлено, целесообразно шунтировать как измеряемое сопротивление, так и уравновешивающее сопротивление Яур.

При мостовой схеме измерения активного сопротивления биообъекта с шунтированием, как показано в работе [16], для аналого-цифрового преобразования измеряемого сопротивления биообъекта применяется алгоритм поразрядного уравновешивания моста. Повышение помехоустойчивости и, следовательно, точности аналого-цифрового преобразования осуществлялось на основе принципа мажоритарного уравновешивания, который подробно описан в работе [17]. В соответствии с предварительно проведенными системными исследованиями проектирование осуществляется следующим образом. По полученной стоматологами информации (см., например, [8, 9]) установлен максимальный динамический диапазон изменения сопротивлений ТТЗ. Для ТТЗ верхняя граница диапазона изменения активного сопротивления составляет около 100 мОм, а минимальная — до десятков ом. Динамический диапазон зависит от диаметра активного электрода, благодаря которому извлекается требуемая информация из исследуемого биообъекта. Чем больше диаметр активного электрода, тем в меньшую сторону сдвигается динамический диапазон. Однако диаметр активного электрода, например для стоматологии, устанавливается из необходимости исследования в труднодоступных, фиссурных полостях зуба, что и ограничивает диаметр активного электрода десятыми долями миллиметра и приводит к сдвигу динамического диапазона измеряемых сопротивлений в большую сторону. Важным вопросом является также выбор рабочего напряжения ЭЗС. В соответствии с работами [8, 9] рекомендуется напряжение 3 В. На рис. 10 показаны усредненные результаты измерения для одной и той же точки шлифа с разными значениями напряжения ЭЗС,

^ 500, 0 480 * 460 | 440 £ 420 | 400 й 380 | 360 § 340 2 320 ^ 300

*4р6

399

352

319

307

1,5 2 2,5

3 3,5 4 4,5 Напряжение, В

5 5,5 6

Рис. 10 Усредненные результаты измерения резистентности, кОм, для одной и той же точки шлифа с разными значениями напряжения ЭЗС, для режимов измерения Р1, Р3, Р4, Р5 и Р6

указанными по оси абсцисс и соответствующими отмеченным точкам на графике, в режимах измерения Р1, Р3, Р4, Р5 и Р6. Эти режимы применяются в АЦСИ «Дентометр».

Зависимость результатов измерения сопротивления от напряжения при использовании мостовой схемы измерения связана исключительно с особенностями измерения активного сопротивления биообъекта на основе использования электролитического метода. Известно, что измерение активного сопротивления по мостовой схеме не зависит от уровня постоянного напряжения, питающего мост.

Результаты измерения чувствительны также к способу дозирования объема электролита в контактной точке шлифа с игольчатым электродом (см. рис. 8). На рис.11 представлен график изменения результата измерения при добавлении электролита в точку контакта электрода со шлифом в процессе измерения. После 11-й точки измерения при добавлении электролита в точку контакта игольчатого электрода с поверхностью ШЗ сопротивление уменьшается на 10 кОм, т. е. менее чем на 5 %. Тем не менее характер функциональной

285 280 275 270 265 260 255 250 245 240 235 230 225 220 215 210 205

4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Точки

Рис. 11

Кривая, отражающая данные измерения резистентности шлифа при движении электрода по хорде поверхности шлифа при добавлении электролита в его точке 12 контакта со шлифом

Техническое обеспечение стоматологической помощи

зависимости резистентности от изменения положения электрода на хорде шлифа сохранился.

Для устранения указанной составляющей погрешности измерения необходимо сокращать время измерения для исключения влияния испарения электролита на результаты измерений.

В соответствии с разработанной ММ для количественной характеристики ТТЗ используется такое математическое понятие, как плотность распределения вероятностей. Следовательно, для описания эволюции канальцев можно применить и понятие энтропии как меры неопределенности. При выводе ММ использовалась очевидная гипотеза о равномерном распределении одонтобластов на пульпе, которые проникают в канальцы в периферическом слое пульпы, непосредственно прилежащем к дентину. Основной функцией одонтобластов является обеспечение питанием в процессе роста ТТЗ, т. е. в условиях увеличивающегося пространства, занимаемого дентином по сравнению с пульпой. Совместно с трофикой возникает необходимость обеспечения твердости и сопротивляемости дентина динамическим нагрузкам, воздействующим на зуб при пережевывании пищи, что и достигается посредством канальцев, окруженных так называемым перитубулярным дентином, т. е. дентином с повышенной минерализацией. Из-за трансформации плотности распределения вероятностей (4), описывающей структуру канальцев в увеличивающемся по сравнению с пульпой объеме дентина, меняется и функция энтропии. При этом энтропия убывает при удалении от пульпы и при смещении оси симметрии канальцев относительно оси зуба. Этот факт иллюстрируется рис. 12 и 13.

Таким образом, экспансия пространства биологическим объектом, которым в рассматриваемом случае является зуб, и нелинейное изменение его структуры, связанное с приспособительной функцией ТТЗ в целях выполнения своего основного предназначения, при постоянстве объема трофики, сопровождаются уменьшением энтропии. Следствием уменьшения энтропии является приобретение

^

а а с

0

1 Й т

4,5 4,25 -*

4

3,75

3,5

3,25

3 а

2,75

а §

2,5 2,25 2

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

К

Рис. 12

График изменения приращения энтропии в рассматриваемой локальной области зуба относительно исходной энтропии, характеризующей распределение одонтобластов, с увеличением расстояния к^ от рассматриваемой области зуба до пульпы

Н 5,35

5,345

5,34

5,335

5,33

5,325

5,32

5,315

5,31

.........

10 х„

Рис. 13

График изменения энтропии распределения канальцев с увеличением смещения оси симметрии относительно геометрического центра зуба

информации, которая в процессе эволюции фиксируется в структуре ТТЗ, приспособленной для выполнения своей основной функции.

Заключение

Разработанная ММ отражает аналитически лишь основные закономерности строения ТТЗ. Для того чтобы установить количественные значения параметров, связанных с архитектурой ТТЗ конкретного зуба, необходимо их уточнение по результатам экспериментального исследования реального объекта, с привлечением методов и алгоритмов идентификации.

Литература

Тихонов Э. П. Состояние и перспективы теоретико-экспериментальных исследований морфологии твердых тканей зубов. Ч. I // Биотехносфера. 2009. № 1 (1). С. 30-35. Тихонов Э. П. Состояние и перспективы теоретико-экспериментальных исследований морфологии твердых тканей зубов. Ч. II // Биотехносфера. 2009, № 3 (3). С. 37-43. Борисенко А. В. Кариес зубов. 2005. 416 с. Результаты исследования морфологического строения, химического состава и параметров кристаллической решетки апатитов твердых тканей зубов / А. В. Цимбалистов, О. Л. Пи-хур, О. В. Франк-Каменецкая [и др.] // Науч.-практ. журн. Ин-та стоматологии. 2004, № 2 (23). С.60-63. Золотарев В. М., Грисимов В. Н. Архитектоника и оптические свойства дентина и эмали зуба // Оптика и спектрометрия. 2001, Т. 90, № 5. С. 836-843.

Золотарев В. М. Интерференция света в композитных системах на основе упорядоченных анизотропных волокон. Ч.1. Физические основы // Опт. журн. 2002. Т. 69, № 3. С. 10-14. Интерференция света в композитных системах на основе упорядоченных анизотропных волокон. Ч. 2: Оптическое исследование влияния структурной организации дентиновых трубочек на строение и форму коронки зуба / В. М. Золотарев, Д. В. Тулин, А. Б. Орешков [и др.] // Опт. жур. 2002. Т. 69, № 3. С. 15-20. Разработка и научное обоснование новых способов диагностики, прогнозирования и повышения резистентности эмали зубов к кариесу / Г. Г. Иванова, В. К. Леонтьев, А. Н. Пи-таева, Т. Н. Жорова // Науч.-практ. журн. Ин-та стоматологии. 1998. № 1. С. 32-37.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

2

3

4

5

6

7

8

9

1.

9. Клинические методы определения резистентности зубов к кариесу / Г. Г. Иванова, В. К. Леонтьев, Т. Н. Жорова [и др.] // Науч.-практ. журн. Ин-та стоматологии. 1999. № 1 (2). С. 42-49.

10. Иванова Г. Г., Тихонов Э. П., Чибисова М. А. Сравнительный анализ исследования дентина зуба рентгеновским и электрометрическим методами // Науч.-практ. журн. Ин-та стоматологии. 2004. № 1 (22). С. 94-99.

11. Тихонов Э. П. Физико-математическая модель зуба на базе электрического зондирующего сигнала и ее роль в решении проблем диагностики // Науч.-практ. журн. Ин-та стоматологии. 2004. № 3 (24). С. 74-76.

12. Тихонов Э. П. Микро- и макроморфология в формировании генезиса твердых тканей зубов // Науч.-практ. журн. Инст-та стоматологии. 2004. № 3 (24). С.74-76.

13. Быков В. Л. Гистология и эмбриология органов полости рта человека. СПб.: Спец. лит., 1999. 255 с.

14. Walton R. E., Outhwaite W. C., Pashley D. F. Magnification An Interesting Optical Property of Dentin // J. Dental Research. 1976. Vol. 55. N 4. P. 639-642.

15. Шварц А. Д. Биомеханика и окклюзия зубов. М.: Медицина, 1994. 185 с.

16. Пат. RU № 230608, C2, МПК А61В 5/053. Способ и устройство для диагностики состояния твердых тканей зубов биообъектов/Иванова Г. Г., Иванов В. Н., Касумова М. К., Мчедлидзе Т. Ш., Тихонов Э. П. № 2005137558/14 (041955); Заявлено 28.11.2005; Опубл. 10.08.2008; Бюл. № 22.

17. Тихонов Э. П. Вероятностно-итерационные методы, алгоритмы и структуры аналого-цифровых средств измерения. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2010. 287 с.