Прогнозирование состояния объекта с применением алгоритма вычисления корреляционной размерности

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ ОБЪЕКТА С ПРИМЕНЕНИЕМ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ РАЗМЕРНОСТИ

В. И. СУМИН, Т. Е. СМОЛЕНЦЕВА

Рассмотрены вопросы вычисления корреляционной размерности с применением временных рядов наблюдений. Выявлен алгоритм по определению состояния динамической системы в условиях начальной неопределенности. Данный алгоритм позволяет не знать явный вид оператора управления при определении состояния объекта системы. Рассмотрены вопросы существования и функционирования странного аттрактора в диссипативных системах. Проанализированы методы по определению существования детерминированного хаоса в динамических системах.

Ключевые слова: алгоритм корреляционной размерности, состояние динамической системы, функционирование странного аттрактора.

Используя алгоритм вычисления корреляционной размерности на основе временных рядов наблюдений можно ставить вопрос об определении интервала предсказуемости тех или иных параметров на аттракторе с прогнозированием попадания состояния исследуемого объекта в требуемую область.

Размерности аттракторов динамической системы будем определять по ниже приведенному подходу. Для динамической системы задается траектория ее функционирования в виде

у

у \ / V 1 V/’ 2 V/’ ’У п \ // в моменты времени

1 = т^ ,т> 0, ] = ,,•••, N на аттракторе. Предположим, что фазовое пространство разбито на фрагменты со стороной 1. Для каждого фрагмента с номером 1 существует определенная последо-

N.

вательность точек У(о) У(т\ •••> У(тМ) ( 1) -

число точек последовательности) находящихся в этом фрагменте.

В этом случае вероятность попадания точки аттрактора во фрагмент с номером 1 будет определяться:

N

Р = -±

I N

ся при

* 2

Корреляционная размерность 2 определяет-д = 2

на основе (1):

М [/)

1п Е Р

^ = 11Ш 1 = 0

2 / ^ о 1п /

2

Обычно корреляционная размерность 2 использует понятие корреляционного интеграла, который определяет корреляцию между значе-

у

ниями с временным интервалом •

Очень часто корреляционную размерность (2) определяют на основе логарифмирования асимптотического соотношения

С(/) = Г,1 ^ 0 [2;

6; 8]. Определение по формулам (1) и (2) *н’ *р соответственно для динамических систем с большим числом степеней свободы представляет сложный процесс вычислений.

Учитывая тот факт, что выражения для определения фрактальных размерностей содержат предельные переходы, то эти вычисления для определения корреляционной размерности производят для динамических систем с больших N и малых значениях 1 •

Как известно, даже при конечной последовательности измерений в динамической системе

может появиться стохастичность [3; 5]. Это утверждение основано на следующих рассуждениях. Аттрактор может и не быть многообразием (странный аттрактор). Рассмотрим непрерывную динамическую систему с дискретным временем изменения на М - компактном многообразии. Такая динамическая система на М есть диффеомор-

в которой точка

Хг, є М

в мо-

мент

І = п

(х0 )є М

через п итераций перейдет в точку

В качестве меры предсказуемости используется сумма положительных показателей Ляпунова, которая является количественной мерой скорости разбегания системы [1; 5]

На рисунке 1 приведены три наиболее характерных этапа, показывающие необходимое количество повторов управляющего воздействия на обучаемых, которое позволило достичь критерия качества.

Рис. 1. Характерные этапы обучения

Как видно из рисунка 1 количество повторов

управляющего воздействия пповт на обучаемых лежит в интервале

Проведенный эксперимент позволил сделать вывод, что существует ограниченная область нерегулярных решений, появляющаяся под воздействием формируемого управляющего воздействия, и только некоторые решения могут выходить из этой области.

Для таких решений целесообразно использовать теорию качественного анализа нелинейных систем. Задачи прогнозирования значения параметров изменяющейся во времени динамической системы обязательно анализируют неустойчивость или устойчивость этих систем.

На поведение фазовых траекторий динамических систем (детерминированным хаосом) влияют различные факторы, в том числе и неустойчивость.

Причем в фазовых пространствах необходимо исследовать предел детерминированной предсказуемости траекторий динамических систем с использованием локальных или глобальных аттракто-

ров. Рассмотрение этого вопроса целесообразнее начать с рассмотрения общего подхода к исследованию поведения траекторий динамических систем в фазовом пространстве [5]

Под динамической системой будем понимать такую систему, у которой ее состояние изменяется дискретно или непрерывно во времени [1; 7]

Выражение (3) определяет изменение состояния динамической системы:

^х

где хо = (х1 (о)>---,хт(о)) определяет начальное

состояние системы в пространстве состояний, х() состояние системы в дискретные моменты времени

1 1п ]

Обозначим начальное абсолютное непрерывное Р Т^т

распределение через о на к , с плотностью

р

в начальных данных хо. Во временном ин-

тервале 1 е 1/о, К] Р

х

(1), С с Я'

определяется распределение задающее вероятности для точек

тогда если при 1 > о распределения не изменяются, то решение считается устойчивым, иначе решение неустойчиво.

Теорема о существовании и единственности решения предполагает, что для любых начальных

данных хо е Я для всех 1 > о начальные данные известны. По определению Ляпунова условие устойчивости решения состоит в том, что если по любому положительному числу е , как бы мало оно ни

было, можно найти такое положительное число 3 ,

" "<3

хп

, то будет выполняться не-в противном

что как только

равенство 11х(11 < е для всех 1 > о случае решение неустойчиво [3; 4]

Если же считать решение задачи (1), полученное при начальных условиях х(о) = хо - невозмущенным движением системы, а движения системы, отвечающие начальным условиям - возмущенным движением, то геометрическая интерпретация данного определения состоит в следующем. Рассмотрим сферу с некоторым радиусом . Если движение устойчиво, то для этой сферы должна найтись другая сфера радиуса V3, обладающая следующим свойством.

Изображающая точка М (координаты этой точки определяют отклонения между невозмущенным и возмущенным движением), начав свое движение

из любого положения М о , лежащего внутри или на поверхности сферы 3, при своем дальнейшем движении остается всегда внутри сферы е, никогда не достигая ее поверхности. Если же невозмущенное движение неустойчиво, то хотя бы одна траектория изображающей точки М с течением времени пересечет сферу е изнутри наружу при сколь угодно

близком положении точки Мо к началу координат.

Практически устойчивость данного невозмущенного движения означает, что при достаточно

малых начальных возмущениях э возмущенное движение будет сколь угодно мало отличаться от невозмущенного движения. Если же невозмущенное движение неустойчиво, то возмущенное движение будет отходить от него, как бы малы не были начальные возмущения [1; 6]

По Ляпунову устойчивое решение задачи

назовем предсказуемым, если 3 3, где 3у - точ-

ность, с которой известны начальные данные, а е -предельно допустимая ошибка в прогнозе траектории, причем все неустойчивые решения будем считать непредсказуемыми, и допустимая погрешность

э начальных условий фактически исключает постановку задачи Коши в классических теоремах существования и единственности, доказанных в пред-

х

положении, что начальные значения о известны без всякой погрешности [Ю]

Цх„

При

<? я я

у траектории, выходящие из 3э -

окрестности начального состояния, для нас не различимы, следовательно задача Коши не имеет прежнего смысла, так как в качестве начального состояния выступает уже не точка, а некоторая область начальных точек. В работах А. Пуанкаре отмечалась, что стохастичность вызывается неустойчивостью динамики, особенно это зависит от начальных условий, «когда малая ошибка в первых влечет огромную ошибку в последних» [2; 7]

В формализованном виде данное условие определяется следующим образом. Пусть х е X, а О -открытое множество, содержащее х. Отображение ф обладает существенной зависимостью от начальных условий, если для некоторого 3 > о существует

/Л

такое целое число п > о и такая точка у е О, что

*(ф"(х), ф")(У))> 3 (рис 2^) [6; 8]

Следовательно, неустойчивость растет экспоненциально по 1 для двух близких начальных точек. В фазовом пространстве нелинейных динамических уравнений появляются странные аттракторы (притягивающие области), возникающие в сочетание глобального сжатия с локальной неустойчивостью, которые характеризуются режимом установившихся непериодических колебаний [7; 8; 1о]

Функционирование странного аттрактора существует только в диссипативных системах и будет устойчиво по Пуассону, но неустойчиво по Ляпунову.

Чтобы определить детерминированный хаос в динамических системах, используются следующие методы:

- странный аттрактор имеет положительные показатели Ляпунова;

- при хаотическом режиме в сечении Пуанкаре фазового потока возникает облако точек;

- выход системы на хаотический функционирование определяется по поведению автокорреляционной функции.

Х„

я

8

Рис. 2. Существенная зависимость от начальных условий

Пусть у( ) - наблюдаемый сигнал, тогда автокорреляционная функция имеет вид

1 т

с (?) = ^ т I у (т) у (?+т)Лт

.

;( ) ,• 1,. , |/(")(Уо)-/ (")(Уо + 8

Я(уо )= пш—иш1п-------

8

.

Обозначим через Ь сумму положительных показателей Ляпунова, т. е.

Пусть уо - начальное значение траектории Ґ (Уо ) , где / - функция, задающая отображение,

N - номер итерации, а уо + 8 - возмущенное начальное значение, 8 - начальная погрешность

или ошибка. Из точки уо + 8 выходит траектория .Ґ

. На N - ом шаге итерации различаются на величину

/1Я (у о )-/1Я (у о +8)|

Эту величину можно представить в виде начальной погрешности умноженной на некоторый коэффициент [2; 5]:

Ґ

.

Из (5) получаем выражение для определения

М у о):

Ь _ ХМ, М+ > о, к _ 1,р

к_1 .

т_-

Тогда обратная величина Ь даст среднее время, за которое объем фазового пространства

растянется в Є раз. Пусть у() - одна из наблюдаемых фазовых координат. Рассмотрим фазовое

Яг‘

пространство

векторов и вектор:

у() _ (у(), у( + т),..., у ( + (т - 1)т)), т > о

Используя асимптотическую формулу [3]:

Ст (8)*8с1кв - ттЬ, 8^ о

Ст

где т обобщенный корреляционный интеграл. Из соотношения:

С

с

т+1 0Т Ь

следует, что

1 с

Ь = -1п- т+1

с

.

Выберем в качестве последовательности экспериментальных значений (9) последовательность

&),

^>0, которую получим следующим образом. На вход объекта управления подадим управляющее воздействие порцию обучающей информации

ил

далее через некоторые интервалы време-

(ОИ)‘

ни ^} будем измерять состояние объекта управления и вычислять требуемые значения .

В общем случае интервалы времени не обязательно должны быть равномерными. Для того чтобы используемая выборка была представительной, используем значения доли незнания, полученные при похожих значениях индивидуальных характеристик обучаемых а , ^^, ^2, [2; 4].

По полученным значениям, используя алгоритм вычисления корреляционной размерности и формулы (5) - (12), будем строить требуемые последовательности векторов и определять корре-

*

ляционную размерность и значения параметра V , при которых эта размерность стабилизируется.

В формулах (5) и (7) вычисления проводятся при достаточно больших N и малых £.

Тем самым вычисляем размерность фазового пространства динамической системы, которое моделирует процессы, происходящие в первоначальной системе.

Зная размерность странного аттрактора можно, ограничиться при определении количества измерений состояния объекта количеством, равным размерности пространства, в которое вложен странный аттрактор. Полученные численные значения представлены на рисунке 3.

В результате вычислений полученная размерность оказалась заключенной в промежутке:

0,6 < й2 < 2,1 2 < V* < 5 т «

2 при . Таким образом, для

того чтобы состояние объекта попало в желаемую ограниченную область, необходимое количество измерений состояния объекта должно находится в промежутке

[2,5].

Из формулы (10) можно получить величину интервала предсказуемости:

т = -ь . (13).

Этот интервал соответствует времени необходимому, чтобы решение исходной системы нелинейных уравнений, описывающих процесс изменения состояния объекта управления через ограниченную последовательность измерений, вошло в режим странного аттрактора.

г

Рис. 3. Значения К-энтропии, корреляционной размерности и размерности фазового пространства для экспериментальных значений функции качества обучения

Преимущества приведенного алгоритма вычисления оценки количества измерений, необходимых для попадания состояния объекта управления в целевую область в том, что, во-первых, не требуется

знать явный вид оператора объекта управления. Во-вторых, вычисления по формулам (3) - (11) не представляют сложности в вычислительном плане и позволяют определить величину интервала предска-

зуемости для получения значения К-энтропии, корреляционной размерности.

Литература

1. Зельдович Я. Б., Соколов Д. Д. Фракталы, подобие, промежуточная асимптотика // УФН. 1985. № 3. С. 493-506.

2. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М., 2002.

3. Смоленцева Т. Е. Алгоритм формирования характеристик обучаемого // Наука сегодня: теоретические аспекты и практика применения: Междунар. на-уч.-практ. конф. Тамбов, 2011. С. 134-135.

4. Смоленцева Т. Е., Ласточкина О. А., Кравченко А. С. Построение структуры иерархических организаций // Вестник Воронежского института МВД России. 2008. № 3. С. 75-79.

5. Смоленцева Т. Е. Математическое моделирование задачи управления сложными объектами // Охрана, безопасность и связь: Всерос. научн.-практич. конф. Воронеж, 2009. С. 212-213.

6. Сумин В. И., Смоленцева Т. Е. Использование фрактальной размерности при прогнозировании поведения сложных нелинейных систем // Социальноэкономические явления и процессы. Тамбов, 2010. № 6. С. 166-169.

7. Тарасенко В. В. Фрактальная геометрия природы: социокультурное измерение // Синергетическая парадигма. Многообразие поисков и подходов. М., 2000. С. 191-214.

8. Трахтенгерц Э. А. Возможности и реализация компьютерных систем поддержки принятия решений // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 3. С. 86-113.

9. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: Применение теории хаоса в инвестициях и экономике. М., 2004.

10. Юргенс Х., Пайтген Х. О., Заупе Д. Язык фракталов // В мире науки. 1990. № 10. С. 36-44.

* * *

FORECASTING OF THE CONDITION

OF OBJECT WITH APPLICATION OF

ALGORITHM OF CALCULATION OF CORRELATION DIMENSION

V. I. Sumin, T. Ye. Smolentseva

Questions of calculation of correlation dimension with application of temporary series of observations are considered. The algorithm by definition of a condition of dynamic system in the conditions of initial uncertainty is revealed. This algorithm allows not to know an obvious type of the operator of management at definition of a condition of object of system. Questions of existence and functioning of a strange attractor in dissipative systems are considered. Methods by definition of existence of the determined chaos in dynamic systems are analyzed.

Key words: algorithm of correlation dimension, condition of dynamic system, functioning of strange attractor.