Математика в жизни Геннадия Ивановича Архипова и Сергея Михайловича Воронина

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 17. Выпуск 1.

УДК 511

МАТЕМАТИКА В ЖИЗНИ ГЕННАДИЯ ИВАНОВИЧА АРХИПОВА И СЕРГЕЯ МИХАЙЛОВИЧА ВОРОНИНА

В. Н. Чубариков

В 1963 г. по инициативе академиков И. К. Кикоина и А. Н. Колмогорова в Москве была открыта школа-интернат № 18 Мосгороно физико-математического профиля при МГУ. Первый набор учащихся в школу состоял из 19 человек. Среди них были Г. И. Архипов и С. М. Воронин. Начиная с этого момента их математические пути тесно переплелись и не разделялись до конца их земного пути. И хотя у них было много общего, но они были яркими индивидуальностями, талантливыми личностями, блестящими мыслителями с удивительно естественным мировоззрением на науку, что и приводило их часто к решению многих проблем науки. Для полноты изложения их земного пути мы будем цитировать наши статьи [7], написанные совместно с ними.

Родились они в первый послевоенный год: Г. И. Архипов — 12 декабря 1945 года в г. Ельце Липецкой области; С. М. Воронин — 11 марта 1946 года в г. Горно-Алтайске.

"После победы на областных олимпиадах по математике Г. И. Архипов и С. М. Воронин выступали на Всероссийской олимпиаде по математике и стали ее призерами. Одиннадцатый класс они заканчивали в школе-интернате № 18 физико-математического профиля при МГУ. В 1964 году Г. И. Архипов стал победителем Международной математической олимпиады школьников. Своими блестящими математическими способностями Г. И. Архипов и С. М. Воронин обратили на себя внимание академика А. Н. Колмогорова.

В 1964 г. Г. И. и С. М. поступили на механико-математический факультет МГУ. Они отлично учились по математике, самостоятельно изучали специальную литературу, в особенности по любимой ими теории чисел. Надо сказать, что С. М. и художественную литературу читал запоем, обладая редкой способностью скорочтения." Г. И. обладал уникальной памятью и имел энциклопедические знания по многим областям науки и техники, искусства и культуры. "Несмотря на широкий круг интересов, в центре их внимания всегда оставалась теория чисел, а точнее, теория дзета-функции Римана у С. М. и арифметические задачи у Г. И. Это и определило выбор их математической специализации на механико-математическом факультете МГУ. Их научным руководителем стал профессор А. А. Карацуба.

"С 1969 г. по 1972 г. Г. И. Архипов и С. М. Воронин обучались в аспирантуре Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР.

Там С. М. со всей страстью молодого таланта отдался доказательству знаменитой гипотезы Римана. За каждую неделю интенсивной работы С.М. прорабатывал десятки статей по теории чисел и другим разделам математики. Хотя продвинуться в доказательстве гипотезы Римана С. М.Воронину по существу не удалось, он получил в теории дзета-функции Римана другие первоклассные результаты. В его кандидатскую диссертацию на тему ^Исследование поведения дзета-функции Римана^ (научный руководитель — профессор А. А.Карацуба), защищенную в 1972 г. в МИАН СССР, вошли следующие выдающиеся научные достижения:

• опровержение гипотезы Турана о нулях отрезков рядов Дирихле;

• доказательство того, что не существует непрерывной функции от нескольких переменных такой, что при подстановке вместо аргументов дзета-функции Римана и ее производных, она

обращалась бы тождественно в нуль; эта теорема намного сильнее одного утверждения из знаменитого доклада Гильберта, в котором сформулированы его проблемы.

• доказательство того, что значения дзета-функции Римана от "сдвинутых" аргументов всюду плотны в многомерном комплексном пространстве; этот результат является глубоким многомерным обобщением известной теоремы Г. Бора.

Отметим еще один результат С. М.Воронина, полученный в это же время и не вошедший в кандидатскую диссертацию, касающийся впервые обнаруженного им эффекта "сгущения" нулей дзета-функции Римана в окрестности единичной прямой в случае наличия хотя бы одного такого нуля.

В этот период Г. И. Архипов много работает над решением проблем И. М. Виноградова, связанных с оценками кратных тригонометрических сумм. Здесь имелся хорошо разработанный метод И. М. Виноградова оценок однократных сумм, в основе которого находилась теорема И. М. Виноградова о среднем значении степени модуля тригонометрических сумм. А. А. Карацуба направил своих учеников Г. И. Архипова и С. М. Воронина на доказательство подобной теоремы о среднем для кратных сумм. В 1971 г. Г. И. Архипову удалось найти фундаментальные результаты в теории кратных тригонометрических сумм. Но только в 1975 г. он защитил в МИАН СССР кандидатскую диссертацию на тему ^Кратные тригонометрические суммы и приложения^ (научный руководитель — профессор А. А.Карацуба). В нее вошли следующие выдающиеся научные достижения:

• теорема о среднем значении модуля двойной тригонометрической суммы Г. Вейля;

• комбинаторная лемма о сведении системы нелинейных диофантовых неравенств к системе линейных неравенств;

• первые оценки сверху модуля двойных тригонометрических сумм Г. Вейля общего вида;

• распределение дробных долей многочленов от двух переменных.

Были они "прямодушны и трудолюбивы, даровиты" и талантливы. И многие "боялись их храбрости и победности." С. М. Воронин был распределен для работы в МИАН СССР, а Г. И. Архипов оказался в Научно-исследовательском институте организации и управления строительства при МИСИ. Только в 1980 году Г. И. Архипов стал работать в МГУ им. М. В. Ломоносова, а в 1982 г. по инициативе И. М. Виноградова Г. И. Архипов перешел на работу в МИАН СССР. Их интенсивная и плодотворная научная работа не прерывалась и это дало свои результаты.

"Следующим этапом исследований С. М. Воронина по теории дзета-функции Римана явилась его докторская диссертация ^Аналитические свойства производящих функций Дирихле арифметических объектовзащищенная в 1977 г. в МИАН СССР.

Основным результатом этой диссертации явилось доказательство знаменитой теоремы С. М. Воронина об "универсальности" дзета-функции Римана, согласно которой значения дзета-функции Римана внутри малого круга в критической полосе при вертикальном сдвиге аргумента (фрагмент функции) сколь угодно точно приближают любую аналитическую функцию, не обращающуюся в нуль в круге того же радиуса."

В 1981 году Г. И. Архипов решил проблему Гильберта-Камке об одновременном представлении набора натуральных чисел суммами первых, вторых и больших степеней натуральных чисел. В 1984 г. в МИАН СССР он защитил докторскую диссертацию на тему ^Исследования по проблеме Гильберта-Камке^ . В 1992 году эти исследования Г. И. Архипова были отмечены премией им. А. А. Маркова Российской Академии наук. Эти результаты привели в дальнейшем Г. И. Архипова и А. А. Карацубу к решению проблемы Артина о локальном представлении нуля формой.

Приведем теперь другие фундаментальные результаты, полученные Г. И. Архиповым и С. М. Ворониным.

В 1978 году Г. И. Архипов и А. А. Карацуба получили достаточно точные оценки моментов

тригонометрических сумм Г. Вейля (интеграла И. М. Виноградова) при малых значениях степени осреднения.

В том же году Г. И. Архипов, А. А. Карацуба и автор нашли показатель сходимости особого интеграла проблемы Терри.

Начиная с 1974 года те же авторы завершали построение теории кратных тригонометрических сумм.

В 1984 г. Г. И. Архипов и его ученик А. Н. Житков получают в проблеме Варинга с нецелыми показателями результаты той же силы, что и для целых показателей.

В 1987 г. Г. И. Архипов и К. И. Осколков доказали сходимость тригонометрических рядов И. М. Виноградова с многочленом в аргументе тригонометрической функции.

В 1997 г. Г. И. Архипов, К. Буриев и автор получили принципиально новые оценки мощности исключительного множества в аддитивных задачах типа бинарной проблемы Гольдбаха.

Начиная с 1994 г. Г. И. Архипов, мой ученик М. Суги и автор развили арифметический метод для получения асимптотик количества целых точек в областях в пространстве Н. И. Лобачевского.

В 1993 г. Г. И. Архипов и автор оценили сверху количества слагаемых в аддитивных задачах, являющихся обобщением проблем Гольдбаха-Варинга и Гильберта-Камке и обнаружили ряд неожиданных эффектов: если переменные пробегают значения

• натуральных чисел, то количество слагаемых возрастает экспоненциальным образом и слабо зависит от размерности;

• простых чисел — зависимость для количества слагаемых факториальная от степени и экспоненциальная по размерности;

• целых алгебраических чисел — скорость роста числа слагаемых существенно меньше показательной функции от степени системы уравнений.

В том же году Г. И. Архипов и его ученик К. Буриев улучшили современную оценку модуля дзета-функции Римана в критической полосе в окрестности единичной прямой.

В 2003 г. Г. И. Архипов совместно с учеником Е. Е. Баядиловым и автором нашли новые оценки абсциссы и показателя Карлсона в теории моментов дзета-функции Римана.

В 1987 и 1993 годах Г. И. Архипов и автор дали простое доказательство формул Эйлера, Абеля и Пуассона суммирования значений функций по целым точкам отрезка на вещественной прямой, уточнили теорему ван дер Корпута о тригонометрической суммы на интеграл и теорему И. М. Виноградова о замене тригонометрической суммы на более короткую с небольшой ошибкой (формула обращения для тригонометрических сумм).

В 1993 году Г. И. Архипов, В. А. Садовничий и автор выполнили цикл исследований по вопросам общей теории сходимости, важных для обоснования исходных понятий математического анализа.

Проследим дальнейший путь научной деятельности С. М. Воронина. "Уже в своей кандидатской диссертации С. М. Воронин обратил внимание на то, что "утверждения теории распределения значений ("-функции Римана и методы их доказательств близки О-теоремам теории ("-функции Римана." Основателем теории распределения значений (-функции и первых О-теорем для этой функции С. М. считал Г. Бора. Поэтому получив новые результаты в теории распределения ненулевых значений дзета-функции Римана, С. М. Воронин дал более простой метод доказательства существовавших к тому времени О-теорем.

Как известно, в теории дзета-функции Римана многие факты основаны на эйлеровским произведении по простым числам и на функциональном уравнении. В 1936 г. Г. Дэвенпорт и Х. Хейльбронн доказали, что линейная комбинация двух специальных рядов Дирихле, обладающая функциональным уравнением риманова типа, но не имеющая эйлеровского произведения, имеет комплексные нули, не лежащие на критической прямой. В 1980 г. С. М. Воронин обнаружил новый эффект функции Дэвенпорта-Хейльбронна, состоящий в том, что крити-

ческая прямая является "особым множеством" для нулей этой функции, поскольку на этой прямой лежит "аномально много нулей". С. М. показал, что этим свойством обладают и некоторые дзета-функции квадратичных полей.

В теории рядов Дирихле со времен Римана весьма существенную роль играет их аналитическое продолжение. Основываясь на свойстве периодичности цепной дроби для квадратичной иррациональности а и на свойствах модулярных функций С. М. Воронин получает мероморф-ное продолжение на всю комплексную плоскость функции Ф(з), задаваемой при Кз > 12 рядом

где т(п) — функция Рамануджана.

В работе "О методе И. М.Виноградова" С. М.Воронин дает интересное обобщение понятия "малого решета" на кольца целых чисел алгебраических расширений поля рациональных чисел. В частности, это позволяет ему решить аддитивную тернарную проблему в простых числах, представимых нормами дивизоров поля.

Несколько особняком стоят работы С. М. Воронина по построению квадратурных и интерполяционных формул с помощью дивизоров в полях алгебраических чисел."

Научно-исследовательская работа Г. И. Архипова и С. М.Воронина объединила вокруг них большую группу специалистов в области теории чисел, математического анализа, теории дзета-функции Римана, которые составили ядро их научной школы. В ней интенсивно и творчески развиваются идеи и методы их работ в настоящее время как у нас в стране, так и за рубежом. В Московском университете, как обычно по субботам, работает специальный семинар по аналитической теории чисел, активными организаторами и участниками которого они были.

Г. И. Архипов и С. М. Воронин были интересными собеседниками, а их научные доклады по разным направлениям математики и ее истории всегда располагали к творческому восприятию и обсуждению предмета. Их неординарные лекции, как профессоров механико-математического факультета МГУ и Московского государственного педагогического института им. В. И. Ленина, не оставляли равнодушными ни одного из слушателей новизной постановки задач, своей открытостью, широтой охвата материала и энциклопедичностью в различных областях науки и культуры.

Г. И. Архипов скончался в Москве 14 марта 2013 года, С. М. Воронин — в Москве 18 октября 1997 г. Каждый год, вплоть до своей кончины, Г. И. Архипов посещал могилу своего незабвенного друга в день его рождения и в день смерти.

Список опубликованных научных работ Г. И. Архипова и С. М. Воронина приведен в их "Избранных трудах", изданных в 2013 и 2006 годах соответственно. Сергей Михайлович является соавтором монографии "Дзета-функция Римана"(1994), переведенной на английский язык. В 1978 г. в серии общества "Знание" вышла его научно-популярная книга "Простые числа". Из прямых учеников С. М. четверо стали кандидатами физико-математических наук, а трое защитили докторские диссертации. Г. И. Архипов является соавтором трех монографий по кратным тригонометрическим суммам и университетского учебника по математическому анализу, переведенному на китайский язык.

Надеюсь, наш очерк о незаурядных людях и выдающихся мыслителях Геннадии Ивановиче Архипове и Сергее Михайловиче Воронине, начатый мною совместно с Г. И. в очерке о С. М. к 65-летию со дня его рождения, сохранит их светлый образ и будет способствовать дальнейшему развитию их трудов и идей.

п= 1

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Архипов Г. И. Кратные тригонометрические суммы и приложения. Дисс. ...канд. физ.-мат. наук. — М., МИАН, 1975, 65 с.

2. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы. // Тр. МИАН. 1980. Т.151. 128 с.

3. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987, 368 с.

4. Arkhipov Gennady I., Chubarikov Vladimir N., Karatsuba Anatoly A. Trigonometric sums in number theory and analysis. — Berlin-New York: Walter de Gruyter. De Gruyter expositions in mathematics; 39. 2004.- 554 pp.

5. Архипов Г. И. Исследования по проблеме Гильберта - Камке: дис. ...доктора физ.-мат. наук. — М., МИАН, 1984, 123 с.

6. Архипов Г. И. Избранные труды/под ред. В.Н.Чубарикова. — Орел:Изд-во Орловского унта ,2013.- 437 с.

7. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Сергей Михайлович Воронин (к 65-летию со дня рождения)// Чебышевский сборник, 2011.

8. Воронин С. М. Исследование поведения дзета-функции Римана: дис. ...канд. физ.-мат. наук. — М., МИАН, 1972, 105 с.

9. Воронин С. М. Аналитические свойства производящих функций Дирихле арифметических объектов: дис. ...доктора физ.-мат. наук. — М., МИАН, 1977, 65 с.

10. Воронин С. М. Простые числа. — М: Знание, 1978.- 85 с.

11. Voronin S. M., Karatsuba A. A. The Riemann Zeta-Function. — Berlin-New York: Walter de Gruyter. De Gruyter expositions in mathematics; 5., 1992.- 396 pp.

12. Воронин С. М. Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М:Физматлит, 1994.- 376 с.

13. Воронин С. М. Избранные труды. Математика / под ред. А. А. Карацубы. — М:Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006.- 480 с.

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Получено 08.12.2015 г.

Принято в печать 10.03.2016 г.