Итоги и перспективы метода граничных состояний

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 193-211

Механика

УДК 539.3

Итоги и перспективы метода граничных состояний

В. Б. Пеньков, Л. В. Саталкина

Аннотация. Выполнен обзор работ, касающихся метода граничных состояний (МГС), сферы его применения, кратко изложены суть метода, отличительные особенности, проведено сопоставление с иными энергетическими методами, формализована постановка краевых задач в терминах МГС, сформулирована теорема двойственности. Описан вычислительный комплекс, снабженный энергосберегающими алгоритмами, поддерживающими МГС, и ориентирующимися на современные вычислительные среды, опирающиеся на компьютерные алгебры.

Ключевые слова: энергетические методы, метод граничных состояний, гильбертово пространство, состояние среды, вычислительный комплекс.

МГС зародился и был апробирован в ТулГУ. Профессор Л.А. Толоконни-ков был первый, кто оценил возможности нового метода. Первое публичное изложение прозвучало на Международной конференции в Туле

1. Теоретические предпосылки

Естественным фоном для МГС служат энергетические методы. Практически все они исходят из разложения в ряд по элементам базиса пространства, в котором описывается решение. Метод Ритца минимизирует квадратичный функционал, построенный для положительно определенного операторного уравнения. Его дискретный вариант — метод конечных элементов — является в настоящее время самым мощным оружием инженера-расчетчика. В методе Бубнова-Галеркина снимается ограничение на положительную определенность оператора: разрешающая система уравнений строится непосредственно по операторному уравнению. Метод наименьших квадратов минимизирует квадратичную невязку решения с граничными условиями (ГУ). Метод Канторовича является распространением метода наискорейшего спуска на функциональные пространства. Достижение цели опирается на рекурсивные процедуры

поиска экстремума. В практике применяются различные комбинации вариационных методов (Воробьева, Куранта, ...) [21], [42]. Треффтц предложил использовать в качестве базисных элементов функции (наборы функций), удовлетворяющие разрешающим уравнениям для среды. Вычислительной особенностью всех приведенных методов является их ориентация на число.

МГС опирается на концепцию пространств состояний, рождающуюся из последовательности понятий: 1) состояние среды есть любое частное решение ее определяющих соотношений; 2) внутреннее состояние £ — любое состояние среды, удовлетворяющее определяющим соотношениям в области V, занятой телом; 3) граничное состояние 7 — след внутреннего состояния на границе дV тела; 4) пространство внутренних 2 (граничных Г) состояний — множество всех возможных внутренних (граничных) состояний.

Понятие состояния среды использовалось при решении задач математической физики, в частности, механики. В монографии [20] есть определение упруго/термоупруго-статического (динамического, колебательного) состояния изотропной (анизотропной, моментной) среды. Понятие «пространство состояний среды» авторами выработано не было, но были заложены математические основы, обеспечивающие его законное рождение. Был практически наработан базис пространств состояний, понимаемый как базис векторов функций из Ь2^), формируемых через фундаментальные решения для среды (теорема Купрадзе): счетная

совокупность векторов {Г(г)(хк — у)}, г = 1, 2, 3,... линейно независима и полна в пространстве векторов функций с суммируемым квадратом. Здесь {хк}, к = 1,2, 3,... — счетная совокупность точек воздействия на границе, распределенная всюду плотно, у — точка наблюдения, Г(х — у) — матрица Кельвина влияния силового воздействия в точке х на перемещение в точке у. Теорема применена для развития метода граничных интегральных уравнений (ГИУ).

Прикладной смысл теоремы состоит в следующем: фундаментальные решения о воздействиях в точках, достаточно хорошо распределенных по некоторой поверхности неограниченного пространства, охватывающей тело, «пунктирно» выделенного из пространства, порождают базисные наборы функций, участвующих в интегральных уравнениях. По сути, это множество определяет базисы внутренних и граничных состояний тела, но они использовались косвенно как основа для разложения искомых функций в ГИУ для отыскания приближенного решения.

Михлин С.Г. [21] выработал понятие «пространство тензоров упругих напряжений». Для этого пространства было указано скалярное произведение, основанное на внутренней энергии деформации. Это пространство использовалось для обоснования разрешимости «энергетических» методов, в частности, метода Филоненко-Бородича [19]. Пространство

тензоров упругих напряжений эквивалентно пространству внутренних состояний метода граничных состояний (МГС); кроме того, эквивалентны скалярные произведения. Но пространство граничных состояний индуцировано не было. Напрямую для решения конкретных задач механики идея С.Г. Михлина не использовалась. Как следствие, не были образованы понятия внутренних и граничных состояний, также не возник МГС, основанный на их гильбертовом изоморфизме.

Ближе всех по идеологии к МГС примыкает метод Треффтца [42], который исходит из базиса векторов функций, построенных как результаты реализацй разрешающих уравнений для среды, и далее минимизирует некоторый функционал, «завязанный» на граничные условия (ГУ). Исходное положение метода (хоть и иносказательно) совпадает с понятием пространства внутренних состояний, но изоморфное ему пространство граничных состояний не строится; использование на втором этапе функционалов, характерных для иных энергетических методов, сближает подход Треффтца именно с ними.

2. Основные положения метода граничных состояний

Будем полагать, что пространства внутренних и граничных состояний сопряжены гильбертовым изоморфизмом, то есть выполняются соотношения, касающиеся линейности пространств и эквивалентности в скалярных произведениях:

£(1) + £(2) ^ ^(1) + 7(2), а£ ^ «7, а € Д1,

(7(1),7 (2))г = (£(1),£(2))3.

Изучение внутреннего состояния сводится к изучению соответствующего граничного состояния. Базисному набору элементов пространства 2 однозначно соответствует базисный набор элементов пространства Г.

Задача метода состоит в том, чтобы по информации, зашифрованной в ГУ, восстановить значения коэффициентов Фурье в разложениях искомых состояний £, 7 в ряды Фурье

£ 2 скС

к к

по элементам ортонормированных базисов £(1), £(2)... £(п)... € 2,

7(1),7(2),...7(га)... € Г, причем Ск = (£,£(к))з = (7,7 )г.

Важное место в МГС занимает процедура наполнения базиса. Она индивидуальна для среды и может быть реализована эксплуатацией общего или фундаментального решений. Использование первого предпочтительнее, поскольку приводит к «берущимся» квадратурам, в отличие от второго, где интегрирование приходится вести численно.

Для классических сред (линейная изотроная/анизотропная эластостатика, термостатика, стационарное движение жидкости, электростатика и др.) общие решения построены. Список фундаментальных решений [20] гораздо шире списка общих решений.

Ресурсозатратность МГС обуславливает процесс ортогонализации Гильбердта-Шмидта [49, 60, 61]. Алгоритм ортогонализации существенно модернизирован в части ресурсосбережения и удобства применения результатов [60, 61].

Отличительные признаки и достоинства МГС:

- факт удовлетворения определяющим соотношениям среды предопределен, поскольку любая линейная комбинация элементов базиса пространств состояний также принадлежит пространству состояний;

- метод является общим для любых линейных сред;

- краевые задачи с ГУ любого типа формулируются в терминах составляющих компонентов среды и в общем случае легко сводятся к бесконечной системе уравнений относительно коэффициентов Фурье; в простейших случаях решение в явном виде выписывается через квадратуры, определяющие коэффициенты Фурье;

- идеология МГС ориентирована на использование компьютерной алгебры, благодаря чему промежуточные и финишные результаты счета имеют форму аналитических выражений;

- МГС является приближенным, но самодостаточным методом,

поскольку не требует сопоставления решения с таковым, построенным иными способами: дифференциальные уравнения удовлетворяются

тождественно, о точности решения можно судить по невязке ГУ с построенным решением, оцениваемой по любой назначаемой норме.

Перечисленные преимущества МГС перед иными подходами характеризуют его как важнейшее средство выполнения проектных расчетов на современных теоретической и вычислительной базе. Трудности метода связаны с формированием счетного базиса состояний, его ортогонализацией, расширением классов решаемых задач за счет учета сингулярностей физической и геометрической природы на границе тела.

3. Постановка задач в терминах МГС

Для обеспечения лаконичности изложения введем некоторые понятия, совокупность которых для краткости назовем альтернативным разложением: лапидарный набор 7 — набор характеристик среды, атрибутов состояния, напрямую участвующих в скалярном произведении пространства состояний; актуальный набор 7 — совокупность атрибутов лапидарного набора пространства граничных состояний, напрямую участвующих в граничных условиях (ГУ) задачи; альтернативный набор 7 — совокупность атрибутов пространства граничных состояний, дополняющий актуальный набор до лапидарного.

В общем случае постановка задач в терминах МГС [22] приводит к разрешающей бесконечной системе алгебраических уравнений (БСУ) относительно коэффициентов Фурье С = {С1, С2, . . . , Ск,... }

Qc = q,

где ^ — «скелет» задачи (матрица коэффициентов БСУ; в случаях первой и второй основных задач Q = Е); q — вектор правых частей БСУ. Обозначим через 7(1), 7(2) актуальный и альтернативный наборы атрибутов граничного состояния, отнесенные к двум различным состояниям 7(1) и 7(2), тогда скалярное произведение определено выражением

(7(1),7(2)) = I 7(1)Т7(2)^5 = I 7(2)Т7(1)^5. дУ дУ

Коэффициенты Фурье вычисляются через ортонормированный базис {7<01),7о2),... ,7-0к)... }:

Ск =

дУ дУ

откуда следует

2Ск = I 7Т7(к)^5 + I 7Т70к)^5.

дУ дУ

Введем обозначения: Г0 = (7(к)), Г0 = (7(к)), Г0 = (7(к)) — вектор-

строки из ортонормированных лапидарных, актуальных, альтернативных

наборов соответственно, организованных в столбцы. Будем называть их лапидарными, актуальными и альтернативными базисными наборами. Тогда

2ст = [ 7ТГ+ [ 7ТГ0^.

дУ дУ

Первый интеграл правой части вычисляется; обозначим

q = I ГТ 7^5, Q = I ГТГ^5.

дУ дУ

Неизвестный вектор 7 представим рядом Фурье по элементам ортонормированного базиса 7 = Г0с. Выражение (1) принимает вид

2 == q + ( / ГТГ),

дУ

и его в соответствии с (2) можно переписать в виде (2Е — 5)с = q. Оказывается, что

5 = 2Е — д = I ГТГо^5.

дУ

Таким образом, получаем разрешающую БСУ для актуальной задачи

5 с = q.

Аналогичные выкладки по отношению к альтернативной задаче приводят к соответствующей БСУ

5с = 7, 7 = [ 7^5.

дУ

- т

Сравнение «скелетов» (2), (3) дает 5 = 5 и приводит к формулировке теоремы (теорема двойственности): альтернативная и актуальная задачи разрешимы либо неразрешимы одновременно.

Ортонормированный базис состояний связан с исходным через матрицу Гильберта-Шмидта Н: Го = Г„НТ, Го = ГиНТ, где Г„ и Г„ — вектор-строки из исходных актуальных, альтернативных наборов пространства граничных состояний, организованных в столбцы.

С вычислительной точки зрения работа с исходным базисом существенно менее энергозатратна, чем с ортонормированным: в соответствии с теоремой Гильберта-Шмидта п-й его элемент является линейной комбинацией всех предшествующих элементов исходного базиса.

Перепишем через исходный базис соотношения (2) и (3):

q = / Го7^5 = Н / Г „ 7^5 = Н qu,

дУ дУ

5 = / ГТГо^ = Н / ГТГи^5НТ = Н<3„Нт,

дУ дУ

где

q„ = [ ГТ7^„, = / Г

дУ дУ

БСУ (4) можно также переписать через исходный базис:

5 „Нт =

Расчетная практика показывает значительный выигрыш во времени при использовании исходного базиса вместо ортонормированного.

Весьма полезным результатом является то, что для задач, в которых ГУ определены актуальными наборами, нет необходимости в отдельном построении разрешающей БСУ: минуя промежуточные выкладки

коэффициенты БСУ и ее правые части можно формально выписать расшифровкой выражений (5).

В таблице без выкладок выписаны эти выражения для некоторых классических задач. Обозначено: Т — температура; п — нормаль к границе; и, р — векторы перемещений и усилий, ип, ит, щ, рп, Рт, Рь — компоненты векторов перемещения и усилия соответственно в проекции «нормаль-касательные»; St, Sn, Su, Sp — участки границы, на которых заданы температура, нормальный градиент, перемещение, усилие соответственно.

Атрибуты разрешающей БСУ для краевых задач

Краевые задачи Наборы 5кт

У 7 У Чк

_ о £ І І 1 т эт бп і 91 , ЭТ Т- <В ду 5п

Теплопроводност: . Л И т 0Т да эт да Т Гтсч^.в і а* г ду 8*

смешанная задача Гт, в, І0П [Эт  Зп’ * ІТ.вп ,£Г^т(т)(18 + „ Зп Ьп + о Зп ап , зг(к) [ т аэ+ 8, а. + Г — в. 3,1

первая основная Чі й Рі “і }и[к)Р|т)аз дУ {и^р; ав ЗУ

Й О вторая основная Рі ці Рі }р[к)и|т)аз ду <и дУ

& § & основная смешанная Чі Рі к.Яц [Різр jPi.Su |и[к)Р;т) аБ+ 08р + /р^иНсв «и 1р;ч[к)(Й+ ж,, + \ Ч; 08Р

основная контактная ипРп их Рт ЧъРъ Чп Рт Рь Рп Чт ЧЬ 1(Р?Чт) + ЗУ +4к)Р(т)+ 1КРІк) + дЧ + РЛ + + рь4к))с18

4. Организация вычислительной базы

Поддержка вычислительной базы МГС частично реализована во вновь создаваемом программном комплексе 1ЫОК. В основу построения комплекса положен ряд принципов: символьное представление исходных данных, промежуточных и финишных результатов счета; жесткое тестирование, сопровождающее все этапы решения задачи; пополняемость банка сред; интерактивное управление вычислительными процессами.

Структуру вычислительного пакета определяет принципиальная схема «Пользователь-Комплекс-Среда», которая открывает гибкие возможности как для реализации эффективных возможностей системы, так и для модификации системы по желанию пользователя. Назначение «Комплекса» традиционно: выполнение вычислительных процессов, формирование

результатов решения, их интерпретация и иллюстрирование. Функции элемента «Среда»: предоставление информации о параметрах среды, управление вычислительными процессами, определяемыми свойствами среды. «Пользователь» редактирует параметры среды, формирует среды с иными свойствами, создает процедуры, поддерживающие свойства новой среды, формулирует условия задачи, вмешивается в процесс вычислений.

В соответствии с назначением элемент «Среда» содержит пассивные составляющие и активные модули. К пассивным составляющим относится ряд информационных модулей: структура внутренних и граничных

элементов среды; определение скалярных произведений; сведения о финишных тестах; набор физических величин, участвующих в иллюстрации в форме эпюр и купюр. К активным составляющим относится ряд вычислительных модулей, являющихся неотъемлемой частью свойств среды: генератор базиса пространства состояний; морфизм пространства Н на пространство Г; формирование внутренних и граничных состояний, соответствующих неоднородной составляющей операторного уравнения; корректировка граничных условий задачи на предмет учета неоднородной составляющей решения в граничных условиях; алгоритмы формирования элемента матрицы коэффициентов БСУ и вектора правых частей.

Функционально элемент «Комплекс» делится на три блока: постановочный, решающий, иллюстрирующий. Постановочный блок наполняет систему информацией о решаемой задаче: сведения о проекте; конкретизация значений системных констант; информация о среде; класс области (связность); информация о «геометрии» тела: структура области, параметризация подобластей; структура и параметризация границы; конкретизация локальных естественных трехгранников. Автоматически выполняется тестирование соответствия прямых и обратных параметризаций, описаний границ и области тела. Запрашивается информация о параметрах «пятен» однородности в граничных условиях. Автоматически проверяется адекватность системы пятен телу и его границе; конкретизируется неоднородная часть операторного уравнения.

Решающий блок генерирует базисы пространств (отрезок базиса тестируется на линейную независимость); проводит ортогонализацию базиса. Тестирование ортонормированности осуществляется двумя способами: 1) глобальным, затрагивающим все элементы ортонормированного отрезка, 2) локальным, поэлементно. Блок выполняет формирование разрешающей БСУ (процесс рекурсивный с пополнением под управлением среды); расчет коэффициентов Фурье. В качестве теста осуществляется визуальный контроль насыщения суммы Бесселя.

Иллюстрирующий блок позволяет осуществить: визуальный просмотр решения, представленного в виде рядов Фурье по элементам ортонормиро-ванных базисов пространств состояний; построение эпюры характеристик, предусмотренных средой, по контуру произвольного сечения тела или по участкам границы; построение купюр — распределение характеристик среды по произвольному сечению тела.

5. Итоги метода граничных состояний

Зарождение и развитие МГС можно проследить по серии работ, содержащих частичные обзоры, имеющим отношение к сущности метода [6,

22, 48, 49].

В основе метода заложена концепция пространств состояний [22, 24, 39, 52, 54] обуславливающая отличительные особенности и преимущества МГС в сравнении с иными энергетическими методами [22, 49, 54]. Вопросам сходимости решений задач, сформулированных в терминах МГС, посвящена серия работ [22, 25, 29, 31, 36-38, 84, 98].

Сделаны попытки обоснование метода с позиции теоремы вложения Соболева [44, 45, 63]. Учет специальных состояний позволил существенно улучшить сходимость метода при наличии в постановке задач сингулярностей физической природы (слабый и сильный разрывы поверхностных нагрузок, сосредоточенные усилия) [44, 45, 63, 64].

Определенное внимание уделено оценке точности решения и приемам промежуточного и финишного тестирования результатов счета [6, 49, 93].

Основная масса работ посвящена задачам изотропной упругости (статика, установившиеся колебания), явившимся «пробными камнями» в оценке эффективности МГС среди круга задач математической физики [22,

23, 26, 27, 30-33, 41, 44, 45, 49, 50, 52, 56, 61, 62, 65, 67, 68, 74, 80, 82-84, 90,

93, 94].

Установившимся колебаниям двумерных тел посвящены работы [84, 85, 90], трехмерных — [82, 83, 86-89].

Цикл работ посвящен анализу напряженно-деформированного состояния анизотропного тела [1-18].

МГС с успехом применялся для анализа иных физических полей: электростатического [23, 96, 97], термостатического [34, 49, 61],

стационарного поля идеальной жидкости [35], термоэластостатического [49, 54, 59, 69, 71-73, 75-79, 81].

Метод обнаружил свою эффективность в решении основных смешанных задач теории упругости [22, 28, 31, 51, 62, 88, 89, 91, 92], основной контактной задачи (на границе тела определены нормальные перемещения и касательные усилия) [30, 31, 65-67], а также смешанной задачи движения идеальной жидкости, когда на части границы тела удерживаются условия Дирихле, а на оставшейся — условия Неймана [35].

Эффективно преодолены трудности, связанные с учетом преднапряжения, объемных сил [32, 71, 80], с наличием неоднородностей физических свойств [49, 56-58, 74, 78].

Совмещение метода возмущений с МГС позволило эффективно решать задачи нелинейного содержания [34, 47, 49, 56, 59, 69, 73, 75-77].

Развитие метода позволило анализировать многосвязные двумерные и трехмерные тела [1, 13, 17, 50, 52, 68].

Существенным подспорьем явилось разработка эффективного алгоритмического аппарата, позволяющего преодолевать трудности метода [18, 43, 49, 53, 55, 60, 61, 70].

В процессе разработки МГС был защищен ряд кандидатских диссертаций ([7, 40, 46, 95]), в которых можно обнаружить подробные обзоры, предшествующие датам защит.

6. Ближайшие перспективы метода граничных состояний

Обозначился круг вопросов, решение которых является актуальным, а эффективность достижения результатов предсказуемой:

- обобщение теоремы вложения на классы задач, в которых сходимость практически наблюдается, но пока теоретически не доказана;

- задачи для полупространства;

- задачи для упругого слоя, в том числе с неплоской границей;

- задачи для многослойной упругой среды;

- задачи для многослойной среды с полостями, в том числе пересекающими границы слоев;

- рассмотрение иных физических сред: связанная динамическая

термоупругость, композиции сред с различными упругими свойствами, сыпучие среды, электромагнетизм, упругопластичность, движение вязкой жидкости, . . .

Специальное внимание привлекают обратные задачи механики. Серьезное прикладное значение имеют специальные задачи строительной механики (известные методы сил и перемещений оказываются частными случаями МГС).

Список литературы

1. Иванычев Д.А. Исследование всестороннего растяжения кольца в общем случае анизотропии // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сб. трудов Международной конф. / ВГУ. Воронеж, 2012. С. 150-154.

2. Иванычев Д.А. Исследование изгиба анизотропных тонких плит методом граничных состояний // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Международной науч. конф. / ТулГУ. Тула, 2011. С. 119-122.

3. Иванычев Д.А., Пеньков В.Б. Исследование равновесия анизотропного цилиндра методом граничных состояний // Вестник ТулГУ. Сер. Актуальные вопросы механики. 2009. Вып. 5. С. 118-122.

4. Иванычев Д.А. Исследования равновесия транстропного упругого цилиндра методом граничных состояний // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Международной науч. конф. / ТулГУ. Тула,

2012. С. 145-149.

5. Иванычев Д.А. Метод граничных состояний в задачах кручения анизотропных стержней сложного сечения // Вести высших учебных заведений Черноземья.

2013. № 1.

6. Иванычев Д.А. Метод граничных состояний в задачах теории анизотропной упругости. Germany: LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG Dudweiler Landstr., 2012. 99 с.

7. Иванычев Д.А. Метод граничных состояний в задачах теории упругости для анизотропных сред: дис... .канд. физ.-мат. наук. Тула: ТулГУ, 2010. 111 с.

8. Иванычев Д.А., Пеньков В.Б. Развитие метода граничных состояний на класс анизотропных тел //Сб. докладов совещания-семинара заведующих кафедрами теоретической механики Южного Федерального Округа, 22-25 апреля 2009 г. / ЮРГТУ (НПИ). Новочеркасск, 2009. С. 57-60.

9. Иванычев Д.А., Пеньков В.Б. Решение анизотропных задач теории упругости методом граничных состояний // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Ч. 2: сб. трудов Международной конф./ ВГУ. Воронеж, 2009. С. 106-108.

10. Иванычев Д.А. Решение задач изгиба анизотропных пластинок методом граничных состояний // Молодежь и наука: реальность и будущее: матер. IV Международной научно-практической конференции / НИЭУП. Невинномысск,

2011. Том IV: Естественные и прикладные науки. С. 427-429.

11. Иванычев Д.А. Решение задач кручения анизотропных стержней методом

граничных состояний // Современные проблемы механики и ее преподавания в вузах Российской федерации: докл. Международной конф. памяти

А.Н. Кабелькова, г. Новочеркасск, 20-23 сентября 2011 г. / ЮРГТУ (НПИ). Новочеркасск, 2011. С. 62-65.

12. Иванычев Д.А., Пеньков В.Б. Решение задачи Сен-Венана для анизотропного цилиндра методом граничных состояний // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Международной науч. конф. / ТулГУ. Тула, 2008. С. 250-251.

13. Иванычев Д.А. Решение методом граничных состояний основных задач для кругового изотропного кольца // Вестник ТулГУ. Сер. Актуальные вопросы механики. 2011. Вып. 7. С. 63-67.

14. Иванычев Д.А., Пеньков В.Б. Решение осесимметричных задач анизотропной упругости методом граничных состояний // Вестник ТулГУ. Сер. Актуальные вопросы механики. 2010. Вып. 6. С. 88-91.

15. Иванычев Д.А., Пеньков В.Б. Решение плоских задач анизотропной упругости методом граничных состояний // Вести высших учебных заведений Черноземья. 2010. № 2 (20). С. 31-35.

16. Иванычев Д.А., Бузина О.П. Решение плоских задач для многосвязной изотропной области методом граничных состояний // Фундаментальные и прикладные проблемы модернизации машиностроения и металлургии: сб. науч. трудов Международной научно-технической конф., посвященной 50-летию кафедры технологии машиностроения ЛГТУ / ЛГТУ, Липецк, 2012. Ч. 2. С. 236-241.

17. Иванычев Д.А., Бузина О.П. Решение задач анизотропной упругости для многосвязной плоской области методом граничных состояний // Вести высших учебных заведений. Черноземья. Научно-технический и производственный журнал. 2011. № 4 (26). С. 25-29.

18. Иванычев Д.А., Пеньков В.Б. Ресурсосберегающий метод решения задач математической физики // Энерго- и ресурсосбережение — XXI век: сб. матер. X Международной научно-практической интернет-конф., 01 марта-30 июня 2012 г. / Госуниверситет-УНПК. Орел. 2012. С. 170-173.

19. Ионов В.Н., Огибалов П.М. Прочность пространственных элементов конструкций. М.: Высшая школа, 1972. 752 с.

20. Купрадзе В.Д. и др. Трехмерные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1976. 664 с.

21. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.

22. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики // Дальневосточный математический журнал. 2001. Т. 2. № 2. С.115-137.

23. Пеньков В.Б. Гильбертов формализм в задачах математической физики // Современные проблемы механики и прикладной математики: сб. научн. трудов Международной школы-семинара / ВГУ, Воронеж, 2004. Ч. 1. Т. 2. С. 390-391.

24. Пеньков В.Б. Системы гильбертовых пространств в задачах механики линейного континуума // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1999. Т. 5. Вып. 2. С. 116-119.

25. Пеньков В.Б. Смешанные задачи механики: способ обоснования сходимости прямых методов // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2005. Т. 7. Вып. 2. С. 154-156.

26. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний в решении основных задач для упругого параллелепипеда // Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения — Х» «Современные методы в теории краевых задач» / ВГУ. 1999. С. 194.

27. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики // Матер. Международного симпозиума по теории упругости, посвященного памяти А.А. Ильюшина / МГУ. Москва, 2001. С. 363.

28. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Применение метода граничных состояний для решения основной смешанной задачи линейного континуума // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2000. Т. 6. Вып. 2. С. 124-127.

29. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Смешанные задачи механики: способ обоснования сходимости прямых методов // Изв. ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2001. Т. 7. Вып. 2. С. 157-160.

30. Пеньков В.Б., Пеньков В.В., Викторов Д.В. Учет массовых сил в методе граничных состояний // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2005. Т. 11. Вып. 2. С. 94-100.

31. Пеньков В.Б., Пеньков В.В., Рожков А.Н. Решение основных задач для упругой изотропной пирамиды // Изв. ТулГУ. Сер. Актуальные задачи механики. 2005. С. 238-249.

32. Пеньков В.Б., Рожков А.Н. Метод граничных состояний в основной контактной задаче теории упругости // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2005. Т. 11. Вып. 2. С. 101-106.

33. Пеньков В.Б., Рожков А.Н. Разработка метода граничных состояний для упругих полиэдров // Современные проблемы механики и прикладной математики: сб. научн. трудов Международной школы-семинара / ВГУ. Воронеж, 2005. Ч. 2. С. 77-78.

34. Пеньков В.Б., Харитоненко А.А. (ст.), Харитоненко А.А. (мл.), Саталкина Л.В. Анализ температурного поля в задачах нелинейной термоупругости // Вестник ТулГУ. Сер. Актуальные вопросы механики. 2009. Вып. 5. С. 122-129.

35. Пеньков В.Б., Харитоненко А.А. Анализ безвихревого движения идеальной жидкости методом граничных состояний // Изв. ТулГУ. Сер. Актуальные вопросы механики. 2006. Вып. 2. С. 172-180.

36. Пеньков В.Б., Харитоненко А.А. Моделирование состояний гармонических сред и разработка метода распознавания состояний // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Международной научн. конф. / ТулГУ. Тула, 2006. С. 169-171.

37. Пеньков В.Б., Харитоненко А.А. Организация пространств состояний для гармонических сред // Современные методы краевых задач: матер. Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения — XVII» / ВГУ. Воронеж, 2006. С. 127-128.

38. Пеньков В.Б., Харитоненко А.А. Применение метода граничных состояний для анализа гармонических полей // Изв. ТулГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2006. Т. 12. Вып. 1.

39. Пеньков В.Б., Харитоненко А.А. Пространства состояний: фундаментальный

подход к решению задач математической физики // Вестник Липецкого государственного педагогического университета. Сер. Математика,

Информационные технологии, Физика, Естественные науки. 2006. Т. 1. Вып. 2. С. 132-134.

40. Пеньков В.В. Метод граничных состояний в задачах линейной механики: дис... .канд. физ.-мат. наук. Тула: ТулГУ, 2002. 91 с.

41. Пеньков В.В. Метод граничных состояний: формирование базиса пространства внутренних состояний среды // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т. 4. Вып. 2. С. 128-134.

42. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 590 с.

43. Рожков А.Н., Пеньков В.В. Компьютерная алгебра в методе граничных состояний // Современные проблемы механики и прикладной математики: сб. трудов Международной школы-семинара / ВГУ. Воронеж, 2005. Ч. 2. С. 134-141.

44. Рязанцева Е.А., Пеньков В.Б. Проблема применения теорем вложения к областям с негладкой границей // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Международной научн. конф. / ТулГУ. Тула, 2012. С. 212-215.

45. Рязанцева Е.А., Пеньков В.Б. Теорема Соболева: краевые задачи с

сингулярностями физической природы // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сб. трудов Международной

конференции, Воронеж, 2б-28 ноября 2012 г. j ВГУ. Воронеж, 2012. Ч. 1. С. 302-30Т.

46. Саталкина Л.В. Метод граничных состояний в задачах теории упругости неоднородных тел и термоупругости: дис.. . . канд. физ.-мат. наук. Тула: ТулГУ, 2010. 108 с.

47. Саталкина Л.В. Метод граничных состояний с возмущениями для решения нелинейных задач математической физики // Вести высших учебных заведений Черноземья. 2010. С. 29-34.

48. Саталкина Л.В. Пеньков В.Б. Генезис метода граничных состояний jj Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сб. трудов Международной конф. Воронеж, 2б-28 ноября 2012 г. j ВГУ. Воронеж, 2012. Часть 1. С. 307-312.

49. Саталкина Л.В. Пеньков В.Б. Метод граничных состояний с возмущениями: неоднородные и нелинейные задачи теории упругости и термоупругости. Германия: LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH, 2012. 108 с.

50. Саталкина Л.В. Пеньков В.Б. Развитие метода граничных состояний на класс многосвязных упругих тел // Вести высших учебных заведений Черноземья. 2012. № 4. С. 42-47.

51. Саталкина Л.В. Пеньков В.Б., Безрукавникова В.Ю. Сжатие упругого цилиндра параллельными плитами со сцеплением // Вестник Липецкого государственного технического университета. 2012. № 1 (20). С. 41-4б.

52. Саталкина Л.В. Пеньков В.Б., Шульмин А.С. Базис пространства состояний многосвязного упругого тела // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Международной науч. конф. / ТулГУ. Тула, 2012. С. 209-211.

53. Саталкина Л.В., Пеньков В.Б. ILION — интерактивный комплекс символьного анализа состояния тела // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Международной науч. конф. j ТулГУ. Тула, 2011. С. 1Тб-182.

54. Саталкина Л.В., Пеньков В.Б. Концепция пространств состояний среды как современное средство инженерных расчетов // Научные труды — фундаментальные науки. 2012. № 3. Т. XI (43). С. 89-93.

55. Саталкина Л.В., Пеньков В.Б. Метод альтернирования для постановки краевых задач в контексте метода граничных состояний // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Международной научн. конф. j ТулГУ. Тула, 2010. С. 18б-18Т.

56. Саталкина Л.В., Пеньков В.Б. Метод граничных состояний в задачах теории неоднородной линейной упругости и линейной упругости с преднапряженным состоянием jj Актуальные проблемы современной науки и образования. Естественные науки: матер. Всероссийской научно-практической конф. j РИЦ БашГУ. Уфа, 2010. С. 323-328.

5Т. Саталкина Л.В., Пеньков В.Б. Метод граничных состояний в задачах теории неоднородной линейной упругости и линейной упругости с преднапряженным состоянием j ВГУ. Воронеж, 2011. С. 301-305.

58. Саталкина Л.В., Пеньков В.Б. Метод граничных состояний как эффективное средство решения неоднородных задач теории упругости jj Изв. Сарат. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11. Вып. 3. Ч. 2. С. 103-110.

59. Саталкина Л.В., Пеньков В.Б. Метод граничных состояний с возмущениями в нелинейных задачах термоупругости // Современные проблемы механики и ее преподавания в вузах: докл. IV Всероссийского совещания-семинара заведующих кафедрами и ведущих преподавателей теоретической механики вузов Российской федерации j ЮРГТУ. Новочеркасск, 2010. С. 1Т1-1Т4.

60. Саталкина Л.В., Пеньков В.Б. Оценка эффективности ресурсосбережения рекурсивного матричного алгоритм ортогонализации // Энерго- и ресурсосбережение — XXI век: сб. матер. X Международной научно-практической интернет-конференции, 01 марта-30 июня 2012 г. / Госуниверситет-УНПК. Орел, 2012. С. 282-285.

61. Саталкина Л.В., Пеньков В.Б. Эффективные алгоритмы метода граничных состояний // Вестник ТулГУ. Сер. Актуальные вопросы механики. 2010. Вып. б. С. 91-9б.

62. Саталкина Л.В., Пеньков В.Б., Безрукавникова В.Ю. Растяжение цилиндрического образца в условиях сцепления оснований // Вестник ТулГУ. Сер. Актуальные вопросы механики. 2012. Вып. 8. С. 1б1-1б8.

63. Саталкина Л.В., Пеньков В.Б., Рязанцева Е.А. Метод граничных состояний: сосредоточенные силы // Современные проблемы механики и ее преподавания в вузах Российской Федерации: докл. Межрегиональной конференции памяти А.Н. Кабелькова, г. Новочеркасск, 20-23 сентября 2011 г. j ЮРГТУ(НПИ). Новочеркасск, 2011. С. 12б-130.

64. Саталкина Л.В., Пеньков В.Б., Рязанцева Е.А. Развитие метода граничных состояния на класс задач с разрывным усилием вдоль границы // Вестник ТулГУ. Сер. Актуальные вопросы механики. 2011. Вып. Т. С. 134-138.

65. Саталкина Л.В., Пеньков В.Б., Теплова С.С. Вариации взаимодействия шара с жестким сфероидом // Вестник ТулГУ. Сер. Актуальные вопросы механики. 2012. Вып. 8. С. 15б-1б1.

бб. Саталкина Л.В., Пеньков В.Б., Теплова С.С. Контактное взаимодействие шара со сфероидом по полной границе // Вестник Липецкого государственного технического университета. 2012. № 1 (20). С. 3б-41.

бТ. Взаимодействие упругого слоя с жесткой сфероидальной поверхностью / Л.В. Саталкина [и др.]. // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Международной науч. конф. / ТулГУ. Тула, 2012. С. 225-22Т.

68. Саталкина Л.В., Шульмин А.С., Пеньков В.Б. Двухполостное упругое пространство со свободной границей // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Международной научн. конф. / ТулГУ. Тула,

2012. С. 2Т2-2Т5.

69. Саталкина Л.В., Пеньков В.Б. Несвязанная задача нелинейной термоупругости для тела с сингулярной границей // Вестник ТулГУ. Сер. Актуальные вопросы механики. 2009. Вып. 5. С. 15Т-1б0.

Т0. Саталкина Л.В., Пеньков В.Б Альтернативное разложение в методе граничных состояний // В мире научных открытий. 2010. № 3 (09). Часть 1. С. 21-25.

Т1. Саталкина Л.В., Пеньков В.Б, Викторов Д.В. Метод граничных состояний в задачах термоупругости с участием объемных сил // Вестник ТулГУ. Сер. Актуальные вопросы механики. 2008. Т. 2. Вып. 4. С. 10Т-11Т.

Т2. Саталкина Л.В., Викторов Д.В., Пеньков В.Б. Метод граничных состояний в задачах термоэластостатики со связанными граничными условиями // Теория и практика листового проката: сб. науч. трудов / ЛГТУ. Липецк, 2008. Ч. 2. С. 280-284.

Т3. Саталкина, Л.В., Пеньков В.Б. Метод граничных состояний в задаче нелинейной термоэластостатики // Сб. докл. совещания-семинара заведующих кафедрами теоретической механики южного федерального округа 22-2б апреля 2009 j ЮРГТУ (НПИ). Новочеркасск, 2009. С. б0-б3.

Т4. Саталкина Л.В. Метод граничных состояний с возмущениями в линейных задачах для неоднородных сред jj Перспективы науки. 2010. № 3 (05). С. 48-51.

Т5. Саталкина Л.В., Пеньков В.Б. Нелинейное моделирование термоэластостати-ческих состояний // Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания j ЛГПУ. Липецк, 2009. С. 125-12Т.

Тб. Саталкина Л.В. Пеньков В.Б. Нелинейные термоупругие состояния областей с коническими точками // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Международной науч. конф. / ТулГУ. Тула, 2009. С. 251-252.

ТТ. Саталкина Л.В. Пеньков В.Б. Применение метода граничных состояний в нелинейной термоупругости // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сб. трудов Международной конф. j ВГУ. Воронеж,

2009. Ч. 2. С. 108-111.

Т8. Саталкина Л.В., Пеньков В.Б. Применение метода граничных состояний для расчета преднапряженных тел // Вестник ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2008. Т. 14. Вып. 2. Механика. С. 135-143.

Т9. Саталкина Л.В., Пеньков В.Б., Викторов Д.В. Развитие метода граничных состояний на класс задач термоупругости // Современные проблемы

математики, механики, информатики: матер. Международной науч. конф. / ТулГУ. Тула, 2008. С. 274-277.

80. Саталкина Л.В., Пеньков В.Б., Викторов Д.В. Состояния равномерно вращающегося изотропно-упругого шара при различных граничных условиях // Вестник ТулГУ. Сер. Актуальные вопросы механики. 2007. Вып. 3. С. 176-183.

81. Саталкина Л.В., Пеньков В.Б., Викторов Д.В. Стационарная задача термоупругости со связанными граничными условиями // Авиакосмические технологии «АКТ-2008»: труды IX Всерос. науч.-техн. конференции и школы молодых ученых, аспирантов и студентов / ВГТУ. Воронеж, 2008. С. 173-177.

82. Стебенев И.Н., Пеньков В.Б. Генерирование базиса пространства состояний колеблющейся упругой среды // Авиакосмические технологии «АКТ-2008»: тр. IX Всерос. науч.-техн. конф. и шк. молодых учёных, аспирантов и студентов / ВГТУ. Воронеж, 2008. С. 169-173.

83. Стебенев И.Н., Пеньков В.Б. Метод состояний на основе уравнений Кильчевского для анализа трёхмерных установившихся колебаний // Вестник СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. 2011. № 1 (22). С. 269-275.

84. Стебенев И.Н., Пеньков В.Б. Общее решение уравнений Кильчевского для плоских колебаний // Совещ.-семинар зав. каф. теоретич. механики ЮФО: сб. докл., 22-25 апр. 2008 г. / ЮРГТУ (НПИ). Новочеркасск, 2008. С. 66-69.

85. Стебенев И.Н. Общее решение уравнений Кильчевского для плоских колебаний // Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания: сб. тр., 24-25 сент. 2008 г. / ЛГПУ. Липецк, 2008. С. 264-267.

86. Стебенев И.Н., Пеньков В.Б. Общее решение уравнений Кильчевского: пространственные колебания упругой среды // Теория и практика производства листового проката: сб. науч. тр., 29-30 мая 2008 г. / ЛГТУ. Липецк, 2008. Ч. 2. С. 284-287.

87. Стебенев И.Н. Применение метода граничных состояний для решения задач вынужденных колебаний упругого изотропного тела // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сб. тр. Междунар. конф., 20-22 сент. 2010 г. / ВГУ. Воронеж, 2010. С. 333-342.

88. Стебенев И.Н. Решение основной смешанной задачи вынужденных колебаний изотропного тела методом граничных состояний // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Международной науч. конф. / ТулГУ. Тула, 2011. С. 199-204.

89. Стебенев И.Н. Решение основной смешанной задачи стационарных колебаний изотропного тела методом граничных состояний // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сб. тр. Междунар. конф., 26-28 сент. 2011 г. / ВГУ. Воронеж, 2011. С. 376-382.

90. Стебенев И.Н., Пеньков В.Б. Численно-аналитические решения двумерных задач о колебаниях упругой среды // Тр. ТГУ. Сер. Физ.-мат. 2010. Т. 276. С. 170-173.

91. Трещев А.А, Пеньков В.В. Метод граничных состояний: смешанная задача // Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии: сб. матер. Международной научно-технической конф. / ТулГУ. Тула, 2001. С. 76.

92. Трещев А.А., Пеньков В.В. О методе граничных состояний для упругих тел jj Международная научно-техническая конференция Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии: сб. матер. Международной научно-технической конф. j ТулГУ. Тула, 2001. С. Т5.

93. Трещев А.А., Пеньков В.В. Оценка точности метода граничных состояний для тел сложной конфигурации jj Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2000. Т. б. Вып. 2. С. 153-159.

94. Харитоненко А.А. Анализ кручения призматического тела методом граничных состояний //Прогрєссивньіє технологии и оборудование в машиностроении и металлургии: сб. науч. трудов Международной НТК j ЛГТУ. Липецк, 200б.

Ч. II. С. 252-255.

95. Харитоненко А.А. Моделирование состояний гармонических сред и разработка метода распознавания состояний: дис....канд. физ.-мат. наук. Тула: ТулГУ,

2010. 108 с.

96. Харитоненко А.А. Новый метод анализа электростатических полей jj Энергетика и энергоэффективные технологии: сб. докл. Международной НТК, посвященной 50-летию ЛГТУ j ЛГТУ. Липецк. 200б. Ч. 1. С. 130-134.

9Т. Харитоненко А.А. Особенности применения нового «энергетического» метода для расчета электростатического поля jj Современная металлургия начала нового тысячелетия: сб. докл. Международной НТК, посвященной 50-летию ЛГТУ j ЛГТУ. Липецк, 200б. Ч. 4. С. 80-84.

98. Харитоненко А.А., Пеньков В.Б. Анализ гармонических полей методом граничных состояний jj Молодые ученые — производству: матер. Региональной научно-практической конф. j СТИ-МИСИС. Старый Оскол, 200б. Т. 2. С. 183-18б.

Пеньков Виктор Борисович (vbpenkov@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра теоретической механики, Липецкий государственный технический университет.

Саталкина Любовь Владимировна (satalkina_lyubov@mail.ru), к.ф.-м.н., кафедра прикладной математики, Липецкий государственный технический университет.

Results and perspectives of the method of boundary states

V. B. Penkov, L.V. Satalkina

Abstract. In this paper we did A review of the works on the Genesis of the method of boundary states (MBS), the scope of its application, summarized the essence of the method, distinctive features, comparison with other energy methods, problem statement is in terms of the MBS, duality theorem is formulated. The computer system, equipped by energy-saving algorithms, supported

the MBS, is described. It is oriented toward the modern computing environment, based on computer algebra.

Keywords: energy methods, the method of boundary states, Hilbert space, state of environment, computer complex.

Penkov Viktor (vbpenkov@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of theoretical mechanics, Lipetsk State Technical University.

Satalkina Lyubov (satalkina_lyubov@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics, Lipetsk State Technical University.

Поступила 17.02.2013