Теоретическое обоснование линейно-корреляционной модели водного баланса

Выпуск 3

Список литературы

1. Лаврентьев М. А. Проблемы гидродинамики и их математические модели / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. — М.: Наука: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. — 416 с.

2. Жилин П. А. Линейная теория ребристых оболочек / П. А. Жилин // Механика твердого тела. — 1970. — Вып. 4.

3. Михайлов Б. К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами / Б. К. Михайлов. — Л.: ЛГУ, 1980. — 196 с.

4. Бутин В. П. Повышение эффективности эксплуатации судоходных шлюзов на основе исследований, разработки и внедрения новых технических и технологических решений: дис. ... д-ра техн. наук / В. П. Бутин. — СПб.: Изд-во СПГУВК, 1995. — 248 с.

5. ГольдштикМ. А. Вихревые потоки / М. А. Гольдштик. — Новосибирск: Наука: Сиб. отделение, 1981.

6. Вайнштейн И. И. Решение двух дуальных задач о склейке вихревых и потенциальных течений вариационным методом М. А. Гольдштика / И. И. Вайнштейн // Журнал Сибирского федерального университета. Сер. «Математика и физика». — 2011. — № 4 (3).

7. Потапов. Д. К. Непрерывные аппроксимации задачи Гольдштика / Д. К. Потапов // Математические заметки. — 2010. — Вып. 2, Т. 87.

8. Васин А. В. Нахождение линии раздела областей с потенциальным и вихревым течением / А. В. Васин, О. А. Тимофеева // Журнал Университета водных коммуникаций. — 2012. —

9. Васин А. В. Математическое моделирование опыта Н. Б. Городенского о вихревых течениях в шлюзовых камерах / А. В. Васин // Журнал Университета водных коммуникаций. — 2012. —

10. Голоскоков Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе MAPLE / Д. П. Голоскоков. — СПб.: Питер, 2004. — 539 с.

11. Голоскоков Д. П. Математическое моделирование упругих тонкостенных систем / Д. П. Голоскоков, А. А. Грищенков. — СПб.: СПГУВК, 1999. — 149 с.

12. Голоскоков Д. П. Численно-аналитические методы расчета упругих тонкостенных конструкций нерегулярной структуры / Д. П. Голоскоков. — СПб.: Изд-во А. Кардакова, 2006. —

Вып. 2 (14).

Вып. 3 (15).

271 с.

УДК 556.512

З. К. Иофин,

канд. географ. наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Вологодский государственный технический университет»

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ЛИНЕЙНО-КОРРЕЛЯЦИОННОЙ МОДЕЛИ ВОДНОГО БАЛАНСА

THEORETICAL GROUNDS FOR LINEAR-CORRELATION MODEL

OF WATER BALANCE

В статье рассматривается метод линейно-корреляционной модели водного баланса, который позволяет с достаточной для практики точностью аналитически выполнять оценку ряда водно-балан-

совых элементов. Приводится теоретическое обоснование параметров линейно-корреляционной модели водного баланса как метода приближения к реальным значениям определяемых членов уравнения водного баланса.

The linear-correlation model of water balance is considered in the article. It helps to estimate accurately and analyze such water balance elements as infiltration, three types of absorption into the soil on different phases of the runoffformation, the layer of the surface water retention in the catchment area, soil humidity, water reserves in the soil. Such a range of the parameters of water balance makes it possible to solve a number ofpractical problems. Currently there are no other methods of analytical assessment of the stated parameters.

Ключевые слова: линейно-корреляционная модель водного баланса, впитывание в почву, поверхностное задержание на водосборе, инфильтрация, суммарное испарение, испарение с водной поверхности.

Key words: linear-correlation model of water balance, absorption into the soil, surface water retention in the catchment area, infiltration, total evaporation, water surface evaporation.

Введение

Цель представляемой работы может быть определена как теоретическая демонстрация возможностей нового метода — линейно-корреляционной модели водного баланса (ЛКМ) [1, с. 62-67].

Сущность ЛКМ заключается в определении потерь атмосферных осадков при трансформации их в речной сток и потерь самого речного стока в процессе его формирования. Коль скоро такие потери генетически заключены в процессе формирования речного стока при выпадении атмосферных осадков на водосбор, то, используя график зависимости речного стока от атмосферных осадков, определены некоторые виды потерь, обоснованные в генетической теории стока.

К указанным потерям относятся: суммарный слой впитывания за период водообразования ЯГ слой впитывания за период спада стока после конца водообразования Ях. Слой впитывания после конца стока за счет объемов воды, оставшихся в замкнутых понижениях Я0. Эти воднобалансовые параметры определяются в результате постановки эксперимента. Однако для территории, соизмеримой с площадью водосбора, получить экспериментальным путем такие данные невозможно. Существуют эмпирические, полутеоретические формулы для их определения, но они выведены для определенных условий и могут использоваться только в этих условиях. Хотя такие методы, как метод Тюрка, методы Пенмана-Монтейса, Пристли-Тейлора и других, широко используются за пределами территории их экспериментальной обработки. Таким образом, аналитическая оценка слоев впитывания по ЛКМ, основанная на генетической теории стока [2], оказывается нелишней. При формировании слоев впитывания можно выделить слой поверхностного задержания на водосборе Я0 .

Указанные выше потери на впитывание слагают слой суммарного испарения Е.

Значения слоев впитывания и соответственно испарения составляют потери атмосферных осадков.

В процессе формирования речного стока возникают потери самого стока. Согласно генетической теории стока [2] они затрачиваются на инфильтрацию [1].

Как оказалось, точность оценки параметров водного баланса по существующему трехчленному уравнению водного баланса (атмосферные осадки, речной сток, суммарное испарение) зависит от слоя инфильтрации.

Его определение связано с многолетними наблюдениями на специализированной гидрогеологической сети, что во многих случаях лишает оперативности при принятии различных решений, связанных с инфильтрацией. Кроме этого, наблюдения на специализированной гидрогеологической сети требуют определенного времени, измеряемого годами, и материальных затрат. Однако другого способа в настоящее время не существует. Но этот метод применяется для оценки слоя инфильтрации в подземные воды только в экспериментальных бассейнах. Можно было

Выпуск 3

Выпуск 3

бы воспользоваться широко используемым в гидрологии методом аналогии. Но в данном случае многофакторных процессов формирования слоя инфильтрации в подземные воды метод аналогии также неприменим.

В таком безвыходном положении оказались специалисты водного баланса, использующие одноименное уравнение. Как известно, уравнение водного баланса для многолетнего периода, предложенное М. А. Великановым [3], имеет вид:

Р = У + Е + и ± й.

В формуле приняты следующие обозначения:

Р — слой атмосферных осадков, выпадающих на водосбор, мм;

У — слой речного стока, мм;

и — слой инфильтрации в подземные воды, мм;

й — слой водообмена между соседними бассейнами подземным путем.

Коль скоро ни инфильтрация и, ни тем более водообмен й не могут быть определены и использованы в уравнении (1), на практике эти параметры не используются и уравнение (1) превращается в трехчленное (атмосферные осадки, речной сток и суммарное испарение). Правда, неизвестно, по какой причине в трехчленное уравнение вставляется так называемая невязка. Параметр не очень понятный. Можно высказать предположение о том, что это параметр компенсаторный, призванный как-то компенсировать отсутствующие в уравнении и и й. Как бы то ни было, в уравнении (1) отсутствуют несколько членов, что не может не сказаться на точности вычислений. По данным [4] ошибка, например вычисления суммарного испарения, может достигать 200 %. Такой результат не может считаться приемлемым. Тем не менее трехчленное уравнение используется на протяжении многих десятилетий, привнося в результаты вычислений огромные ошибки, которые, в свою очередь, влекут дополнительные капиталовложения при строительстве.

В этом смысле ЛКМ аналитически, без проведения дополнительных изыскательских работ позволяет выполнять оценки речного стока, инфильтрации, суммарного испарения с точностью, не превышающей точность измерения самой исследуемой величины. Это обстоятельство является привлекательным для практического использования ЛКМ.

Материалы и методы

В качестве материалов в статье используются экспериментальные данные наблюдений на водно-балансовых станциях России: Валдайского филиала ГГИ, Нижнедевицкой, Подмосковной, Приморской.

Методы, используемые в работе, представлены методом сравнения, когда вычисленные водно-балансовые величины сравниваются по абсолютной величине с экспериментальными данными. При этом для вычисления используется метод ЛКМ. Таким образом, возникает необходимость в пояснении основных принципов и используемых зависимостей, входящих в ЛКМ.

ЛКМ строится на философском подходе, при котором осуществляется переход количественных изменений в качественные. То есть атмосферные осадки, выпадающие на водосбор, при их количественном изменении переходят в новое качество — речной сток. При этом величина речного стока отличается от величины атмосферных осадков, выпадающих на водосбор, величиной потерь. На этом свойстве основывается ЛКМ. Если обратиться к графическому изображению зависимости речного стока от атмосферных осадков, можно выделить на нем генетические составляющие водного баланса. Коротко изложим суть графических элементов и их связи с генетической теорией стока.

Гл

1

А ш

А чЧЧ :м ч\\ -К " Г

ш : К ч \ \

Е чхЧ4 ЛГ=Р

4 * К

Ьд м ) №

*  ' (1 К 1 X

Ь4 ' к 4 ^ ч1

/ р -Ь,

4 Э4

Рис. 1. Графическое изображение элементов водного баланса при отрицательном Ь

Результаты и их обсуждение

Для демонстрации существования связи генетической теории стока с параметрами линейнокорреляционной модели изложим некоторые теоретические соображения, затрагивающие процесс впитывания и поверхностного задержания.

Процесс впитывания зависит от ряда факторов. Согласно А. Н. Бефани [5], рост интенсивности дождя сопровождается ростом интенсивности впитывания, имея своим нижним пределом момент, в который затапливается вся поверхность. Динамика впитывания, формирующая интегральную величину этого вида потерь, во многом определяется, кроме интенсивности дождя, еще и влажностью почвы и характером поверхностного стекания, влияющего на скорость возникновения струек. По мнению А. Н. Бефани [5], на увеличение площади стекания и соответственно уменьшение площади впитывания оказывает влияние и уклон склонов, способствующий уменьшению глубин ручейков и площади затопления. Структура поверхности стекания, вид сельскохозяйственной обработки почв оказывают влияние на процесс впитывания и поверхностного задержания. В связи с этим уместно упомянуть мнение А. Н. Бефани [5] о том, что «размер влагосо-держания определяет возникновение процессов стока и инфильтрации. От почвенной влажности зависит испарение, инфильтрация, впитывание, сток. При этом для каждого из этих элементов зависимость от влажности почвы различна, раскрываясь через ряд других факторов».

Водообразование начинается с накоплением некоторой величины впитывания. Накопленная величина впитывания до начала подъема стока сохраняется и пополняется при недостаточном

Выпуск 3

увлажнении вплоть до окончания стока. После окончания стока также продолжается процесс впитывания некоторого объема воды, который сохранился в понижениях.

Представляя процесс накопления влаги в почвогрунтах при выпадении атмосферных осадков на поверхность речного бассейна, становится интересной оценка величин, составляющих суммарное впитывание.

К потерям на впитывание относится непосредственно тот слой воды, который аккумулирует почва, и слой воды, аккумулированный на поверхности бассейна. Математически сказанное можно записать через некоторый параметр Ь4 как:

где Ь4 — свободный член уравнения прямой, связывающей слой речного стока и слой атмосферных осадков;

Ят — суммарное впитывание за период водообразования [4];

Яд — впитывание после конца стока за счет объема воды, оставшегося в замкнутых понижениях [4].

Эти потери формируются в процессе активного водообразования, а также в процессе впитывания и задержания в формах микрорельефа после окончания стока.

В работе [5] выполнен анализ нескольких видов уравнений прямой линии как разновидности уравнения водного баланса. В частности, рассмотрены

Уравнения (3) и (4) отличаются друг от друга коэффициентом регрессии к4. Обратимся к графическому представлению уравнений (3) и (4) (рис. 1).

Оба уравнения выходят из одной точки Ь4. В связи с этим необходимо отметить, что если следовать записям уравнений (3) и (4), то можно сказать, что сток начинается с некоторым запаздыванием по отношению к началу выпадения атмосферных осадков. Это запаздывание выражается отрезком Ь4, а в генетической теории стока — суммой двух параметров Ят и Я то есть

Здесь Ь4 — накопление слоя впитывания за период существования стока Ят, а также впитывание после конца стока за счет объема воды, оставшейся в замкнутых понижениях Я0.

Далее, если следовать составу уравнения (3) с коэффициентом регрессии, равным 1, за пределами отрезка Ь4 сток равен стокообразующим осадкам. И в этом смысле в природе трудно найти такое соответствие, при котором слой выпадающих осадков был бы равен слою стока.

Кроме этого, в уравнении (3) учитываются потери на впитывание в процессе стока Ят и потери после конца стока Я0, но не учитываются потери на впитывание на спаде стока после конца водообразования Ят. Недоучет в уравнении (3) потерь на спаде стока, а также инфильтрации приводит к неточностям в определении суммарного испарения.

В противоположность уравнению (3) потери на впитывание на всех стадиях формирования стока и учет инфильтрации предусмотрен в уравнении (4).

— Ят — суммарное впитывание за период водообразования;

— Я0 — впитывание после конца стока за счет объема воды, оставшегося в замкнутых понижениях;

— Ят — впитывание на спаде стока.

Рассмотрим уравнение

У = Р + Ь,

У = к4Р - Ь.

1 4 Т 07 •> * ^

Л4

* за счет воды, накопившейся на склонах. Накопившаяся влага на склонах, выраженная суммой

Так, кроме Ь4 = Ят + Я0, учитываются потери на впитывание на спаде стока 64 = -—^

<ч

У = к4Р - ь4.

Уравнение (6) может быть представлено в виде

¥4=к4(Р-^) = к4(Р-а4),

Л4

так как значение углового коэффициента уравнения (6) равно

^а = кА=^~, Ь4 = к4а4, а4

можно констатировать, что Ь является частью величины а а уравнение (6) с заменой Ь = к а

запишется

У4 = к4 (Р - (Л4 ) = к4 Р - ь4.

В приведенных уравнениях параметр а изображенный на рис. 1, представляет собой отрезок на оси абсцисс от начала координат до точки пересечения с осью абсцисс уравнения У = к4Р - Ь4.

Так как Ь4 является частью а представляет интерес определение остальных составляющих величины а..

Введем обозначения:

Считая, что а4 из (6) равно

Р - к4Р = с,

а4 - Ь 4 =

КР-У*

вычтем из уравнения (5) уравнение (6) и после несложных преобразований получим

Я4 = 64 +

Таким образом, составными частями а4 являются три параметра. Относительно Ь4 известно, что это величина потерь на впитывание, заполнение впадин микрорельефа, расходуемых впоследствии на испарение, то есть это — часть суммарного испарения. Разберем остальные параметры уравнения (10).

Если учесть, что к4 — коэффициент стока от действующего слоя осадков, а (1 - к4) — коэффициент потерь, то Р(1 - к4) — потери осадков в процессе стока. Потери в процессе отекания — Р{1 - к4).

Однако не все потери из Р(1 - к4) входят в а4: из них исключаются ность выражения, стоящего в квадратных скобках уравнения (10):

У4

¿4

. Определим раз-

Р(1

^ 1-*4 = к4Р(1-к4)-У4(1-к4) = (1-*4)(*4Р-Г4) 1-кА

Отсюда

1 -к 1-к Р(1-к4) = ¥4—± + Ь4—±

Таким образом, потери с момента начала стока Р(1 - к4) могут быть представлены двумя со-» 23

1 — к4

—. Если (1 - к4) — коэффициент потерь,

ставляющими, каждая из которых содержит величину

то

1 -к.

есть относительная доля потерь в стоке. Произведение І4

\-к4 \-к4

-----— и Ь4-------— будет харак-

теризовать абсолютное значение потерь. По нашему мнению, слагаемые уравнения (12) У4

1-к4

Выпуск 3

Выпуск 3

и ¿4 —-—— отражают потери стока и потери осадков в процессе активного водообразования соот-

¿4

ветственно. А. Н. Бефани [5], много исследовавший как водный баланс в целом, так и балансовые элементы, в том числе и впитывание, считает, «что и после начала активного водообразования и стока процесс аккумуляции продолжается на некоторых более глубоких, еще не заполнившихся впадинах и на более проницаемых участках склона». Принимая это во внимание, а также фи-

Ь Ь4

зическое толкование параметра Ь можно сказать, что ——-----— — это потери на впитывание,

к4

заполнение впадин микрорельефа, но уже в процессе стока. Так же как и Ь4, параметр

к4

у

является частью суммарного испарения. Что же касается члена —^^ уравнения (12), то можно

К

сказать, что сам сток — это уже результат взаимодействия осадков и некоторых видов их потерь. А потери стока после начала водообразования, когда прекратился интенсивный процесс впитыва-

ъ&-К) б

ния, а продолжающееся впитывание учитывается членом ——, могут быть вызваны только

инфильтрацией.

к4

1 — к

Итак, на наш взгляд, аА=Ь4+ Ъ4---- — это суммарное испарение, формирующееся за счет

к4

впитывания, аккумуляции осадков на поверхности бассейна как до начала, так и в процессе активного водообразования и после его окончания. Выражением Р(1 - к4) учитываются потери осадков в процессе стока. Они слагаются из —-—впитывания на спаде стока и бассейновой

*4 у 1-*4

аккумуляции в процессе стока, расходуемых в итоге на испарение, и из /4------, отражающего

инфильтрацию.

Таким образом, математическое выражение для величины инфильтрации имеет вид

и = ¥41^4

к4

и представляет собой потери речного стока.

В уравнении Г4 — норма речного стока, мм; к4 — угловой коэффициент уравнения прямой указанной выше корреляционной зависимости.

Индекс у параметров означает порядковый номер рассмотренных корреляционных уравнений при выводе параметров ЛКМ.

И наконец, определение параметра ё уравнения (1) водообмена рассматриваемого бассейна с соседним. В условиях выраженного водораздела поверхностного стока параметр ё отражает водообмен преимущественно подземным путем.

Определение этого параметра, так же как и остальных, входящих в ЛКМ, в существующей литературе не рассматривается и в данной статье излагается впервые.

Как отмечалось выше, от почвенной влажности зависит испарение, инфильтрация, впитывание, сток. Если из потерь атмосферных осадков на впитывание Ь выделить непосредственно слой впитывания за период водообразования Ят без слоя поверхностного задержания Я то мы получим фактор, непосредственно влияющий на величину инфильтрации.

Выделение из Ь4 слоя Ят осуществим с помощью графика связи = /(Ф) Здесь под Ф понимается геоморфологический фактор [5], равный отношению длины склона водосбора I к корню квадратному из уклона водосбора I :

Ф = -?==•

-у вод

При 1вод ^ 0, то есть при плоском рельефе, величина Ф ^ да, и это может означать, что выпавшие осадки на водосбор стекать не будут и уйдут на впитывание и испарение. При I ^ да, то есть при фактически вертикальных склонах водосбора, со склонов стечет основная масса атмосферных осадков. При этом, если зависимость — = /(ф) рассматривать при Ф ^ 0, мы получим на оси некоторый отрезок (рис. 2), который будет означать, что сохранилась только величина впитывания Ят без поверхностного задержания Я0.

Ь4/Р, мм

0,4

0,3

0,2

0,1

0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 Ф

Ъл

Рис. 2. Зависимость относительного впитывания в почву от геоморфологического фактора Ф

Тогда, зная Я выполним попытку анализа зависимости — = /

Дт

(рис. 3).

Рис. 3. Зависимость относительной доли инфильтрации от относительной доли впитывания

Выпуск 3

Если устремить Ят к нулю, то, как следует из графика, на оси ординат остается отрезок.

В приведенном графике этот отрезок равен 0,15 . Эта величина при нулевом впитывании Ят и

соответственно при нулевых атмосферных осадках (если нет впитывания, то атмосферных осадков нет и подавно) означает наличие некоторой величины инфильтрации. Такое положение, когда отсутствуют слои атмосферных осадков и впитывания и есть слой инфильтрации, возможно, как представляется, на наш взгляд, если есть водообмен между соседними бассейнами.

Водобмен между соседними бассейнами возможен тогда, когда существует ряд гидрогеологических особенностей в составе соседних водосборов. Это несоответствие поверхностного и подземного водосборов, что, в свою очередь, может быть связано с большей инертностью грунтовых вод в формировании бассейнов. Вероятно, с увеличением площадей водосборов границы между поверхностным и подземным водосборами будут нивелироваться и совпадать.

Отсюда можно сказать, что в зависимости от мощности водоносных горизонтов будут формироваться однородные районы по водообмену между соседними бассейнами. В таком случае график, приведенный на рис. 3, должен будет иметь разброс по однородным с гидрогеологической точки зрения районам.

Учитывая, что параметр ё входит составной частью в слой инфильтрации, отдельный учет этого параметра производить не будем, а уравнение водного баланса для многолетнего периода примет вид

Р = У + Е + и.

Итак, слой испарения мы выражаем зависимостью

Е = Ь4+Ь41-^,

к4

а слой инфильтрации:

и = У4]-^-.

к4

Таким образом, создана возможность определения водно-балансовых параметров по методу

ЛКМ.

Заключение

В представленном исследовании выведены математические зависимости для параметров уравнения водного баланса, основными из которых являются суммарное испарение и инфильтрация. Доказана связь параметров предлагаемого уравнения водного баланса с генетической теорией стока.

Представлена схема формирования и оценки количественного подземного водообмена между соседними речными водосборами.

<ч

ш

Список литературы

1. Иофин З. К. Новый подход к определению составляющих водного баланса / З. К. Иофин // Тр. VI Всесоюз. гидрологического съезда. — Л., 2008.

2. Бефани А. Н. Вопросы региональной гидрологии. Паводочный сток: учеб. пособие / А. Н. Бефани. — Киев, 1989. — 132 с.

3. Великанов М. А. Гидрология суши / М. А. Великанов. — Л.: Гидрометеоиздат, 1948. —

530 с.

4. Иофин З. К. Совершенствование теории формирования элементов водного баланса речных бассейнов / З. К. Иофин. — М.: «Литературное агентство “Университетская книга”», 2012. — 196 с.

5. Бефани А. Н. Основы теории ливневого стока / А. Н. Бефани // Тр. Одесского гидрометеорологического института. Л.: Гидрометеоиздат,1958. — 310 с.

6. Биндеман Н. Н. Оценка эксплуатационных запасов подземных вод / Н. Н. Биндеман,

Л. С. Язвин. — М., 1970. — 215 с.

7. Исмайылов Г Х. Исследование водного баланса речных бассейнов: основные проблемы и возможные решения / Г. Х. Исмайылов, В. М. Федоров // Тр. VI Всесоюз. гидрологического съезда. — Л.: Гидрометеоиздат, 2008. — С. 53-57.

Выпуск 3