Взаимодействие штампов на ортотропном полупространстве

МЕХАНИКА MECHANICS

УДК 539.3 DOI 10.12737/20219

Взаимодействие штампов на ортотропном полупространстве* Д. А. Пожарский1, Т. Г. Юрушкина2**

1,2 Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Российская Федерация

Interaction of punches on orthotropic half-space *** D. A. Pozharskiy1, T. G. Yurushkina2**

1,2 Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russian Federation

Получено интегральное уравнение трехмерной контактной задачи для ортотропного полупространства (9 независимых упругих параметров в законе Гука), ядро которого не содержит квадратур и зависит от решения характеристического бикубического уравнения. Рассмотрено взаимодействие двух одинаковых симметрично внедряемых жестких штампов, имеющих форму эллиптических параболоидов. При неизвестной области контакта для решения этой задачи использован метод нелинейных граничных интегральных уравнений Галанова, позволяющий одновременно определить область контакта и давления в этой области. Для отладки компьютерной программы использовано точное решение для одного эллиптического штампа. При заданной осадке, форме основания и взаимной удаленности штампов для разных ортотропных материалов рассчитаны контактные давления, области контакта и вдавливающие силы. Модель ортотропного тела применяется для описания многих востребованных в технике и промышленности материалов: сера, сегнетовая соль, вольфрамит, барит, древесина различных пород.

An integral equation of the three-dimensional contact problem for an orthotropic half-space (9 independent elastic parameters in Hooke's law) is obtained where its kernel does not include integrals, but it depends on the solution of a characteristic binary cubic. The interaction between two identical symmetrically embedded punches is considered for the case of the elliptic paraboloids. Galanov's method of nonlinear boundary integral equations is used for solving the problem with an unknown contact domain that makes it possible to determine simultaneously the contact domain and the contact pressure. The exact solution to one elliptical punch is used for debugging the computer program. Contact pressures, contact zones and pressing forces are calculated for various orthotropic materials at the specified settlement, base forms of the punches, and relative distances between the punches. The orthotropic body model is applicable for describing lots of materials which are in-demand in the machinery and industry: sulfur, Rochelle salt, wolframite, barite, and various wood species.

Ключевые слова: теория упругости, контактные задачи, ортотропное полупространство, взаимодействие штампов.

Keywords: elasticity theory, contact problems, orthotropic half-space, interacting of punches.

Введение. Уравнения упругого равновесия и закон Гука для ортотропного тела описаны в монографии [1]. Примеры ортотропных материалов даны в работах [2, 3]. Интегральное уравнение (ИУ) трехмерной контактной задачи для ортотропного полупространства, ядро которого выражено через двукратный интеграл, и его точное решение для кругового штампа впервые было получено А. О. Ватульяном [4]. В работах [5, 6] предложен метод освобождения от квадратур в ядре ИУ для трансверсально изотропного полупространства, основанный на теории обобщенных функций и применимый также для ортотропного полупространства. В результате существенно упрощается расчет и регуляризация ядра ИУ, что и позволяет применить для решения контактных задач метод Галанова [7]. Исследовались

ей

точные решения контактных задач [8, 9] и взаимодействие штампов [10] для трансверсально изотропного полупро- ^ странства. Цель настоящего исследования — изучить взаимодействие двух одинаковых штампов на ортотропном по- ^ лупространстве.

Работа выполнена по гранту РФФИ 15-01-00331.

** E-mail: pozharda@rambler.ru, zamtiana_z30@mail.ru

*** The research is done on RFFI grant no. 15-01-00331.

тз

Контактная задача. В декартовых координатах рассмотрим ортотропное упругое полупространство г>0. Оси упругой симметрии совпадают с осями координат. Закон Гука в прямой форме (выражения напряжений через деформации) включает 9 независимых упругих параметров си (/=1, 2, 3, 4, 5, 6), с12, с13, с23 [1]. Пусть при 2=0 в полупространство внедряются два одинаковых абсолютно жестких штампа (эллиптические параболоиды, вершины которых расположены на оси x), основания которых описываются функциями

/ (х, У) = ^^ + ^, Я > R2.

- 2R1 2Я2 1 2

Пусть задача симметрична относительно оси у. Штампы вдавливаются без перекоса одинаковыми силами Р, испытывая осадку 5. При заданных упругих параметрах, величинах Я1, Я2, И и осадке 5 требуется определить области контакта О+, контактное давление д(х,у)=стг(х,у,0)/с33 и силу Р.

С учетом симметрии задачи д(-х,у)=д(х,у). Тогда ИУ задачи можно свести к ИУ на одном участке. После замен

х» = х - И, д»(х», у) = д(х, у), О» -О О-,

это ИУ можно переписать в форме (звездочки далее опускаем):

Ц л)[*Сл-у, х) + К

О

2 2

/(х,у) = — + , Я1 > Я2. 2Я1 2Я2 1 2

Ядро ИУ (1) представимо в форме свободной от квадратур:

К(га г* ) = ^2^3 (М-1 + Ц2)(Ц2 + ^зХ^з + М = Р(^2, ¿-22) 1 2 г №1^3 - Р2(М-1 + Ц2 +Ц3) г '

Г = д/и\ + ы\ , = 008 ф, 52 = ф,

Р1 = «о[А1*14 + 2(2у6 + У3 - У7Ув)*12+ А2*4], Р2 = -(У 5*12 +У 4 *г)[У б(А1*14 +А2 4) + (А- 2У3У6 + 2у бУ 7 у8)52 5^].

Здесь ць ц2, Ц3 — корни уравнения

а0ц6 + а2ц4 + а4ц2 + а6 = 0, Яе цк > 0, а0 =У4У5,

«2 = -[У4 (А1 - 2У 5У7) + У5У6 ]*12 - [У5 (А2 - 2у 4У8 ) + У4У6 ^, а4 = [У6(А1 - 2У 5У7) + У1У4У 5]*14 + [У6 (А2 - 2У 4У8) + У2У 4У 5]*4 +

2 2 А

+ 2*1 *2 [у + У 9 (У 4 +У8)(У 5 +У 7 ) + У 4 У 5У 6 -У 3У 7 У 8 -УхУ 4 У 8 -У 2 У 5 У 7 -У 3 У 6], «6 =-(У 5*12 +У 4 )[У 6(У1514 +У 2*2 ) + (У1У 2 - 2У 3У6 -У^)*2 «г],

У7 = CJJC3l,  = 1,2,4,5,6, У3 = с12с-3 , У7 = clзcзз1, У8 = с23с33 , У9 =У3 +У6, А1 =У1 -У7, А2 = У2-У8, А = с33 |с„ш||> П т = 1,2Д

¡2 При вычислении ядра (2) в каждой точке приходится решать новое кубическое характеристическое уравнение

£ (по формулам Кардано), получающееся из уравнения (3).

¡3

о В табл. 1 даны значения безразмерных параметров (/=1, 2, ..., 8) (3) для ряда материалов [2, 3].

г;^ Для решения ИУ (3) при условии д(х,у)=0, (х,у)еЗО, используем метод нелинейных граничных ИУ типа

й

Гаммерштейна, позволяющий одновременно определить область контакта и контактное давление. Суть метода

и

о, С

подробно изложена в работах [7, 10].

Предположим, что область контакта О в ИУ (3) целиком содержится в прямоугольнике

Таблица 1

Значения характеристик

Материал У1 У2 Уз У4 У5 У6 У7 У8

Топаз, Л/2(Е,ОИ)5/О4 о,956 1,183 о,427 о,366 о,451 о,444 о,288 о,298

Ангидрит, Са5О4 о,838 1,652 о,147 о,29о о,237 о,о827 о,136 о,283

Сера, 5 о,497 о,424 о,275 о,о89о о,18о о,157 о,354 о,329

Барит, ВаЯО4 о,832 о,757 о,428 о,112 о,251 о,24о о,283 о,266

Целестин, 5г5О4 о,812 о,825 о,6о1 о,Ю5 о,217 о,2о7 о,47о о,481

Вольфрамит, (Мп, Ее) ШО4 о,758 о,719 о,358 о,216 о,271 о,о871 о,341 о,295

Сегнетова соль, ЫаК(С4И4О6) -4И2О о,687 1,о27 о,38о о,361 о,о865 о,264 о,313 о,394

Ясень белый о,162 о,Ю4 о,о628 о,о7о2 о,о994 о о,о878 о,о736

Береза желтая о,Ю9 о,о698 о,о484 о,о637 о,о693 о,о159 о,о686 о,о532

Дуб красный о,181 о,о958 о,о559 о,о76о о,о835 о о,о885 о,о631

Грецкий орех черный о,142 о,о749 о,о575 о,о558 о,о765 о,о189 о,Ю7 о,о759

Лиственница западная о,о915 о,о753 о,о322 о,о69о о,о6зо о,оо7о о,о414 о,о312

Сосна широкохвойная о, 117 о,о633 о,о4о2 о,о6оо о,о71о о,о12о о,о536 о,о312

Прямоугольник покроем равномерной сеткой из m узлов с шагами h-l по оси x и h2 по оси у. При расчете значений ядра в этих узлах его особенности сглаживались по формулам

к к

£ - х)2 + (л - у)2 ^ £ - х)2 + (л - у)2 +8«, 5. =

Т'2 16

Регуляризация (4) обеспечивает сходимость метода и отладку программы, давая хорошее совпадение с точным решением для одного эллиптического параболоида, которое имеет вид

, у2_,

Р = Чо I

х 2 у 2 , и: х 2

а 2 Ь2 а 2

х2 "а2 у2 Ь2 Охф 2_ = 3 '

Ь2

где

5 =

аЬдо

с(ф)^ф

•> Г 2 2 , .2  2 0 у]а соб ф + Ь бгп ф

с(ф) = Е (соб2 ф, Бт2 ф),

Я

Я,

с

2

а

2

2л

С =

с(ф) СОБ фА?ф [е2соБ2 ф + Бт2 ф]3/2

Ь

-+ —

2Я 2Я

2л

= 5,

2

с(ф)БШ фА?ф

о

2 2 2 3/2

[е 2соб2 ф + Бт2 ф]3/2

е = -

Ь

При заданных величинах 5, Я1, Я2 сперва из формулы (6) для Я2/Я1 следует найти е, а затем определить полуоси эллипса контакта а и Ь из следующей формулы (6). Величина д0 далее находится из первой формулы (6).

Отметим, что даже при вдавливании кругового штампа (Я1=Я2) область контакта в решении (5) будет в общем случае эллиптической.

Численный анализ. При расчетах брали а0=Ь0 (прямоугольник 5 — квадрат). Число узлов бралось от 81 до 289 (при этом наибольшая погрешность вычислений наблюдается вблизи границы области контакта).

Введем безразмерные обозначения

X = .£., у' = У, 5' =—, Я' = £ Я2' = ^ а' = а, ь = Ь, Р' = Р

ев И К X а X к

о

и

да

8

а

7

а

о

о

о

о

о

о

о

В табл. 2 приведены значения д0=д(0,0) и Р для случая вдавливания круговых параболоидов (Л1=^2=0,5) при 5=1. Случай И=о соответствует вдавливанию только одного штампа.

Как показывают расчеты, давление и сила возрастают с ростом осадки штампов. При сближении штампов (с уменьшением значения И) проявляется сложный характер взаимодействия штампов: функция распределения контактных давлений становится несимметричной, уменьшаются значения давления и силы.

Таблица 2

Значения давления и силы

Материал И=Х> h=5 h=1,1

qo P q0 P q0 P

Топаз 0,886 0,922 0,873 0,881 0,836 0,763

Ангидрит 0,758 0,788 0,748 0,757 0,720 0,661

Сера 0,514 0,531 0,506 0,504 0,481 0,433

Барит 0,636 0,656 0,626 0,623 0,595 0,534

Целестин 0,557 0,575 0,548 0,546 0,521 0,468

Вольфрамит 0,695 0,724 0,685 0,691 0,656 0,599

Сегнетова соль 0,652 0,663 0,645 0,640 0,622 0,572

Ясень 0,433 0,450 0,426 0,429 0,408 0,371

Береза 0,393 0,409 0,387 0,391 0,371 0,339

Дуб 0,425 0,442 0,418 0,422 0,401 0,366

Орех 0,392 0,407 0,386 0,388 0,369 0,335

Лиственница 0,388 0,404 0,383 0,387 0,367 0,337

Сосна 0,391 0,406 0,385 0,388 0,368 0,336

Материалы из табл. 1 могут быть разделены на 2 типа. К первому типу относятся материалы, для которых выполнено следующее: если к поверхности полупространства из этого материала в начале координат приложена сосредоточенная сила (q(x,y)=5(x)5(y)), то нормальное перемещение поверхности в точке x=0, y=1 будет больше, чем в точке x=1, y=0 (ангидрит, сегнетова соль и лиственница). Для остальных материалов (второго типа) больше будет перемещение в точке x=1, y=0. В случае h=o (при внедрении одного кругового параболоида) область контакта вытягивается вдоль той оси, на которой меньше нормальные перемещения точек равноудаленных от начала координат, где приложена нормальная сосредоточенная сила.

Как показывают расчеты области контакта, сделанные для сегнетовой соли и барита (R1=R2=0,5, 5=1), в сравнении со случаем одного штампа (h=o) взаимодействие близко расположенных штампов (h =1,1) приводит к уменьшению площади области контакта под каждым штампом (при заданной осадке).

Выводы. Представление ядра ИУ в форме, свободной от квадратур, позволяет эффективно исследовать взаимодействие штампов на ортотропном полупространстве. Аналогично может быть исследован случай, когда вершины штампа расположены на оси у. Развитый метод также может быть применен для случая конических, пирамидальных и других штампов. С практической точки зрения наиболее важными представляются расчеты на контактную прочность для многочисленных пород древесины, которые обладают ортотропной структурой.

Библиографический список

1. Лехницкий, С. Г. Теория упругости анизотропного тела / С. Г. Лехницкий. — Москва : Наука, 1977. — 416 с.

2. Александров, К. С. Анизотропия упругих свойств минералов и горных пород / К. С. Александров, Г. Т. Продайвода. — Москва : СО РАН, 2000. — 347 с.

3. Хантингтон, Г. Упругие постоянные кристаллов / Г. Хантингтон // Успехи физических наук. — 1961. — Т. ^ LXXIV, вып. 3. — С. 461-520.

В 4. Ватульян, А. О. О действии жесткого штампа на анизотропное полупространство / А. О. Ватульян // В сб.:

¡^ Статические и динамические смешанные задачи теории упругости. Под ред. И. И. Воровича. — Ростов-на-Дону : Изд-во РГУ, 1983. — С. 112-115.

5. Бау1уап, D. B. The action of a strip punch on a transversely isotropic half-space / D. B. Davtyan, D. A. Pozharskii // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 2012. — Vol. 76, iss. 5. — P. 558-566.

6. Pozharskii, D. A. Contact problem for a transversely isotropic half-space with an unknown contact region / D. A. Pozharskii // Doklady Physics. — 2014. — Vol. 59, № 3. — P. 144-147.

й

a £

7. Galanov, B. A. The method of boundary equations of the Hammerstein-type for contact problems of the theory of elasticity when the regions of contact are not known / B. A. Galanov // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 1985. — Vol. 49, iss. 5. — P. 634-640.

8. Davtyan, D. B. Action of an elliptic punch on a transversely isotropic half-space / D. B. Davtyan, D. A. Pozharskii // Mechanics of Solids. — 2014. — Vol. 49, № 5. — P. 576-586.

9. Пожарский, Д. А. Сравнение точных решений контактных задач для трансверсально изотропного полупространства / Д. А. Пожарский, Д. Б. Давтян // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2015. — № 1. — С. 23-28.

10. Bedoidze, M. V. The interaction of punches on a transversely isotropic half-space / M. V. Bedoidze, D. A. Pozharskii // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 2014. — Vol. 78, iss. 4. — P. 409-414.

References

1. Lekhnitskiy, S.G. Teoriya uprugosti anizotropnogo tela. [Theory of anisotropic body elasticity.] Moscow: Nauka, 1977, 416 p. (in Russian).

2. Alexandrov, K.S., Prodayvoda, G.T. Anizotropiya uprugikh svoystv mineralov i gornykh porod. [Elastic anisotro-py of minerals and formations.]. Moscow: SO RAN, 2000, 347 p. (in Russian).

3. Huntington, G. Uprugie postoyannye kristallov. [Elastic constants of crystals.] Physics - Uspekhi, 1961, vol. LXXIV, iss. 3, pp. 461-520 (in Russian).

4. Vatulyan, А.О. O deystvii zhestkogo shtampa na anizotropnoe poluprostranstvo. [On the action of rigid stamp on anisotropic half-space.] V sb.: Staticheskie i dinamicheskie smeshannye zadachi teorii uprugosti. Pod red. I. I. Vorovicha. [Vo-rovich, I.I., ed. Static and dynamic mixed problems of elasticity theory.] Rostov-on-Don: RSU Press, 1983, pp. 112-115 (in Russian).

5. Davtyan, D.B, Pozharskii, D.A. The action of a strip punch on a transversely isotropic half-space. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2012, vol. 76, iss. 5, pp. 558-566.

6. Pozharskii, D.A. Contact problem for a transversely isotropic half-space with an unknown contact region. Doklady Physics, 2014, vol. 59, no. 3, pp. 144-147.

7. Galanov, B.A. The method of boundary equations of the Hammerstein-type for contact problems of the theory of elasticity when the regions of contact are not known. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1985, vol. 49, iss. 5, pp. 634-640.

8. Davtyan, D.B., Pozharskii, D.A. Action of an elliptic punch on a transversely isotropic half-space. Mechanics of Solids, 2014, vol. 49, no. 5, pp. 576-586.

9. Pozharskiy, D.A., Davtyan, D.B. Sravnenie tochnykh resheniy kontaktnykh zadach dlya transversal'no izotropnogo poluprostranstva. [Comparison of contact problem exact solutions for transversely isotropic half-space.] Vestnik of DSTU, 2015, no. 1, pp. 23-28 (in Russian).

10. Bedoidze, M.V., Pozharskii, D.A. The interaction of punches on a transversely isotropic half-space. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2014, vol. 78, iss. 4, pp. 409-414.

Поступила в редакцию 09.03.2016 Сдана в редакцию 10.03.2016 Запланирована в номер 07.07.2016

ей И К X а X к