Течение внутри и вне многослойной капли вязких электропроводных поляризующихся намагничивающихся жидкостей под действием силы Лоренца

Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 1194-1196

УДК 532.5;537.29;537.39;537.634

ТЕЧЕНИЕ ВНУТРИ И ВНЕ МНОГОСЛОЙНОЙ КАПЛИ ВЯЗКИХ ЭЛЕКТРОПРОВОДНЫХ ПОЛЯРИЗУЮЩИХСЯ НАМАГНИЧИВАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ ЛОРЕНЦА

© 2011 г. А.Н. Тятюшкин

НИИ механики Московского госуниверситета им. М.В. Ломоносова

tan@imec.msu.ru

Поступила в редакцию 15.06.2011

Теоретически исследуются течения в вязких электропроводных поляризующихся намагничивающихся жидкостях в одновременно приложенных однородных постоянных электрическом и магнитном полях. В качестве общего случая рассматривается капля, состоящая из произвольного числа концентрических сферических слоев таких жидкостей, взвешенная в вязкой электропроводной поляризующейся намагничивающейся жидкости. Частным случаем такой системы является сферическая капля. К системе приложены однородные постоянные электрическое и магнитное поля, векторы напряженности которых произвольно ориентированы по отношению друг к другу. В такой системе под действием силы Лоренца возникает течение жидкостей. Кроме того, в ней, вообще говоря, возникает электрогидродинамическое течение.

Ключевые слова: электродинамика сплошных сред, гидродинамика, электрическое поле, электрический ток, магнитное поле, сила Лоренца, вязкость.

Введение

Исследование действия силы Лоренца на каплю (или частицу), взвешенную в жидкости, имеет приложение к электромагнитной сепарации и процессам, происходящим при электролизе расплавов солей. Кроме того, учет силы Лоренца может быть необходим при исследовании действия электрического и магнитного полей на магнитную жидкость с достаточно большой проводимостью. К таким магнитным жидкостям могут относиться не только магнитные жидкости на основе жидких металлов, но и ионно стабилизированные магнитные жидкости на водной основе.

Начало исследованиям в этой области было положено работой [1], в которой была решена задача об обтекании проводящей немагнитной жидкостью проводящей немагнитной сферической частицы в приложенных однородных постоянных электрическом и магнитном полях, векторы напряженности которых перпендикулярны друг другу. В [2] решена задача о течении внутри и вне сферической капли немагнитной проводящей жидкости, взвешенной в другой несмешивающейся с ней немагнитной проводящей жидкости в приложенных однородных постоянных электрическом и магнитном

полях, векторы напряженности которых перпендикулярны друг другу. Рассмотрен слабопрово-дящий намагничивающийся абсолютно твердый шар в слабопроводящей намагничивающейся жидкости, заполняющей все пространство [3] и сферическую полость [4], в приложенных однородных постоянных электрическом и магнитном полях, угол между векторами напряженности ко -торых произволен.

Постановка задачи

Рассмотрим сферическую каплю, окруженную N — 1 концентрическими с ней сферическими слоями несмешивающихся жидкостей в бесконечном объеме жидкости (рис. 1, где N = 3).

Рис. 1

Вся эта система покоится и находится в одновременно приложенных однородных постоянных электрическом и магнитном полях с напряженностями Еа и на соответственно. Пусть Я, ( = 1,у. N — радиусы сфер, ограничивающих слои; X, , £, , Ц и п, — электропроводность, диэлектрическая проницаемость, магнитная проницаемость и вязкость жидкости, заполняющей пространство между соседними сферами радиусами Я, и Я,+1 (считается, что Я0 = 0 и Яьг+1 = оо, так что , = 0 соответствует капле, , = N — окружающей жидкости). Принято, что поверхностные натяжения границ раздела между жидкостями достаточно велики.

Напряженности электрического и магнитного полей подчиняются уравнениям Максвелла в элек-трогидродинамическом (ЭГД) и феррогидродина-мическом приближениях. На границе раздела для электрического поля выполняются условия непрерывности тангенциальных составляющих векторов напряженностей электрического и магнитного полей и нормальных составляющих векторов магнитной индукции и плотности электрического тока. Течение жидкостей подчиняется уравнению неразрывности и уравнению Навье — Стокса для несжимаемой жидкости в приближении Стокса. На границах раздела выполняются условия непроницаемости, непроскальзывания и непрерывности тангенциальной составляющей вектора полных напряжений.

Результаты исследования

В данной постановке задача об электрическом поле решается независимо от задачи о магнитном поле и от задачи о течении. По известному электрическому полю находится распределение токов, а по известному распределению токов независимо от задачи о течении решается задача о магнитном поле. При известных полях задачи об электрогидродинамическом течении и течении, вызванном силой Лоренца, решаются независимо друг от друга.

Решения уравнений для векторов напряженности электрического и магнитного полей, скорости и давления в каждой жидкости получены в виде явных выражений, содержащих числовые коэффициенты, различные для различных жидкостей. Из граничных условий для этих коэффициентов получены рекуррентные соотношения. Для коэффициентов в выражениях для векторов напряженности электрического и магнитного поля эти рекуррентные соотношения позволяют последовательно вычислить все коэффициенты. Для коэффициентов в выражениях для скорости и давления полученные

рекуррентные соотношения представляют собой конечную систему линейных алгебраических уравнений. Полученное решение общей задачи можно использовать и для случая, когда любая жидкость заменяется на абсолютно твердое тело. При этом в найденном решении вязкость соответствующей жидкости нужно устремить к бесконечности.

Поле скорости течения может быть представлено в виде суперпозиции полей скоростей четырех течений. Одно из них является ЭГД течением, а три остальных вызваны силой Лоренца. Одно из течений, вызванных силой Лоренца, обусловлено собственным магнитным полем токов, текущих через жидкости, а два других — приложенным магнитным полем. Как магнитное поле токов, так и приложенное магнитное поле, искажены за счет того, что жидкости — намагничивающиеся. ЭГД-течение и течение, вызванное силой Лоренца собственного магнитного поля токов, — осесимметричны относительно оси, проходящей параллельно вектору напряженности приложенного электрического поля через центр сферических границ раздела жидкостей, и для них существуют стоксовы функции тока. Поле скоростей течений, вызванных силой Лоренца приложенного магнитного поля, можно представить в виде суперпозиции двух полей. Для одного из этих полей существует функция тока, т.к. оно симметрично относительно оси, проходящей параллельно векторному произведению векторов напряженности приложенных электрического и магнитного полей через центр сферических границ раздела жидкостей. Другое поле скоростей обладает тем свойством, что каждая его линия тока целиком лежит на одной из концентрических сфер, центр кото -рых совпадает с центром сферических границ раздела жидкостей. Семейство линий тока, лежащих на одной такой сфере, имеет один и тот же вид для любой сферы, а соответствующее ему поле скоростей имеет шесть точек покоя, четыре из кото -рых являются особыми точками типа центр, а две — типа седло.

В качестве частного случая общей задачи рассмотрена сферическая капля, взвешенная в жидкости, несмешивающейся с жидкостью капли. Для этого случая все коэффициенты найдены из рекуррентных соотношений в явном виде.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №10-01-00015.

Список литературы

1. Leenov D., Kolin A. // J. Chemical Physics. 1954. Vol. 22. P 683—688.

2. Попов В.И., Цинобер А.Б. // Магнитная гидро-

динамика. 1971. №2. С. 59—62. Екатеринбург: УрО РАН, 2003. С. 273—274.

3. Налетова В.А., Тятюшкин А.Н. // Зимняя школа 4. Naletova VA., Turkov V.A., Tyatyushkin A.N. // J.

по механике сплошных сред (тринадцатая): Тез. докл. Magn. Magn. Mater. 2005. V. 289. P. 370—372.

FLOW INSIDE AND OUTSIDE A MULTI-LAYER DROP OF VISCOUS ELECTRICALLY CONDUCTING POLARIZABLE MAGNETIZABLE LIQUIDS UNDER THE ACTION OF THE LORENTZ FORCE

A.N. Tyatyushkin

Flows in viscous electroconductive polarizable magnetizable liquids in simultaneously applied magnetic and electric fields are theoretically investigated. A drop consisting of an arbitrary number of concentric spherical layers of electroconductive polarizable magnetizable liquids suspended in an electroconductive polarizable magnetizable liquid is considered as a general case. A spherical drop is a particular case of such a system. Uniform constant electric and magnetic fields whose intensity vectors are arbitrarily oriented with respect to each other are applied to the system. In such a system, the Lorentz force enforces the liquids to flow Besides, electrohydrodynamic flow arises in it in a general case.

Keywords: electrodynamics of continua, hydrodynamics, electric field, electric current, magnetic field, Lorentz force, viscosity.