Преодоление стереотипов мышления при рассмотрении понятия фрактальная размерность множества

В.С. Секованов, С.Б. Козырев

ПРЕОДОЛЕНИЕ СТЕРЕОТИПОВ МЫШЛЕНИЯ

ПРИ РАССМОТРЕНИИ ПОНЯТИЯ ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ МНОЖЕСТВА

Преамбула. В данной статье анализируются понятия «обобщение», «стереотип». Рассматриваются различные типы размерностей множеств и устанавливаются связи между ними.

В школьном и вузовском курсе математики мы привыкли к понятиям «линейная размерность», «размерность Евклида», которые выражаются целыми числами. Сказать, что размерность может быть числом дробным, это значит очень сильно удивить и школьника, и студента, а порой и преподавателя. Алгебраическая размерность в математике общеизвестна. У многих математиков понятие «размерность» прочно ассоциируется с количеством координат в евклидовом пространстве, в этом смысле оно стереотипно.

Однако идеи фрактальной геометрии позволили подойти к понятию размерность «с другой стороны», что привело к понятию «дробная размерность», которая оказалась обусловленной потребностями как естественных, так и гуманитарных наук. Взять, к примеру, кривую Коха, и гладкую кривую, скажем, синусоиду. Обе эти кривые с топологической точки зрения не различимы и поэтому имеют одинаковую топологическую размерность, равную единице. Однако их метрические свойства различаются кардинально. Длина любого кусочка кривой Коха бесконечна, а длина любого кусочка синусоиды положительна. Поэтому необходим альтернативный критерий, различающий свойства этих кривых. В попытках найти такие альтернативные критерии был создан ряд более общих представлений о размерности и прежде всего понятий размерности Мин-ковского и размерности Хаусдорфа-Безиковича.

Данные размерности могут принимать как целые, так и дробные значения.

В 1975 году Бенуа Мандельброт удивил научный мир [2]. Оказалось, что такие множества, как, например, кривая Коха, множество Кантора, ковры Серпинского, пыль Серпинского и многие другие, ранее считавшиеся «монстрами», «исключительными множествами» и изучавшиеся изолированно друг от друга, имеют между собой общее свойство. И свойство это заключается в том, что их размерность Хаусдорфа-Безиковича является дробным числом. Поэтому множе-

ства, имеющие дробную размерность, были объединены Бенуа Мандельбротом в единое понятие фрактал. Характеризующую их дробную размерность он назвал фрактальной размерностью.

Во фрактальной геометрии большое значение имеют четыре типа размерности: размерность самоподобия, размерность Хаусдорфа, размерность Минковского, топологическая размерность. Размерность Хаусдорфа и размерность Минков-ского, вообще говоря, различаются, но для основных классических фракталов совпадают.

Преодоление стереотипов, связанных с понятием «размерность множества», осуществим с помощью мыслительной операции «обобщение». Остановимся на этом понятии подробнее.

Мыслительная операция обобщение имеет огромное значение как для профессионального математика, так и для студента.

Обобщение, выраженное формулой, позволяет решать серию однородных задач. Известные науке законы, принципы, правила - все это обобщения; понятия - тоже обобщения [4].

По мнению Д. Пойа: «Обобщение есть переход от рассмотрения данного множества предметов к рассмотрению большего множества, содержащего данное. Например, мы обобщаем, когда переходим от рассмотрения треугольников к рассмотрению многоугольников с произвольным числом сторон. Мы обобщаем также, когда переходим от изучения тригонометрических функций острого угла к изучению тригонометрических функций произвольного угла» [3, с. 31].

Обобщение означает переход знаний на более высокий уровень на основе установления для данных объектов общих свойств или общих отношений [6, с. 60].

Всякое действенное обобщение в сфере числовой и знаковой символики может рассматриваться по крайней мере с двух сторон - надо уметь увидеть сходную ситуацию (где применить) и надо владеть обобщенным типом решения, обобщенной схемой доказательства, рассуждения (что применить) [1, с. 260].

© В.С. Секованов, С.Б. Козырев, 2006

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 7, 2006

87

N = 2 M = 2

Рис. 1.

N = 2 M = 4

Рис. 2.

0

Рис. 3.

N = 2 M = 8

Способность ученика к обобщению математического материала рассматриваются в двух планах:

1) способность увидеть в частном, конкретном уже известное ему общее (подведение частного случая под известное общее понятие);

2) способность увидеть в единичном, частном пока еще неизвестное общее (вывести общее из частных случаев, образовать понятие). Одно дело -увидеть возможность применения к данному частному случаю уже известной ученику формулы, другое - на основании частных случаев вывести формулу, еще неизвестную ученику [1, с. 260-261].

По мнению Крутецкого [1, с. 288-289] способные к математике ученики обладают рядом отличий от других учеников:

1) они осуществляют обобщение математических объектов, отношений, действий «с места» на основании анализа лишь одного явления в ряду сходных явлений. Каждая конкретная задача осознается ими как представитель некоторого класса однотипных задач и решается в общей форме, т.е. вырабатывается общий способ (алгоритм) решения задач данного типа;

2) обобщают материал не только быстро, но и широко, легко находят существенное и общее в частном, скрытую общность в, казалось бы, различных математических выражениях и задачах;

3) способные к математике ученики обобщают и методы решения, принципы подхода к решению задач, поэтому способность к обобщению сказывается и на эффективности решения нетиповых, нестандартных математических задач.

В качестве обобщения часто используется метод индукции, являющийся важным методом доказательства различных утверждений.

Преодоление стереотипов мышления, формирование мыслительной операции «обобщение» происходит только в деятельности, к рассмотрению которой мы и переходим.

К понятию фрактал мы постепенно подойдем, проводя поэтапные обобщения.

Первый этап. Возьмем отрезок определенной длины и уменьшим его в N раз (всюду в данной

работе N подразумевается натуральным числом). Полученный отрезок будет уменьшенной копией со своего оригинала. Взяв ровно M таких копий, можно составить из них исходный отрезок, то есть покрыть его копиями полностью, допуская их пересечение лишь в граничных точках (рис. 1). Понятно, что в данном случае M = N. Множества, которые можно составить из нескольких своих копий, уменьшенных в одинаковое число раз, называются самоподобными множествами. Таким образом, отрезок является самоподобным множеством.

Рассмотрим теперь квадрат. Возьмем его копии с уменьшением линейных размеров в N раз. Из них тоже можно составить исходный квадрат, но для этого потребуется уже M = N2 копий. Снова копии покрывают весь квадрат и пересекаются лишь в своих граничных точках (рис. 2). Следовательно, квадрат тоже самоподобен.

Аналогично куб можно составить из его уменьшенных в N раз копий, взятых в количестве M = N3 (рис. 3).

Обобщим наши наблюдения. Итак, пусть у нас имеется некоторое самоподобное множество. Образуем от него копию, уменьшенную в N раз. Так как множество самоподобно, то его можно восстановить из M полученных копий. Если M равно N, N2 или N3, то логично считать множество одно-, двух- или трехмерным соответственно. То есть принять в качестве размерности множества величину log NM , равную для отрезка 1, квадрата - 2, куба - 3.

Интересно, однако, что встречаются такие самоподобные множества, для которых M не равно целой степени N. Самым известным примером такого рода является классическое множество Кантора. Действительно, при уменьшении множества Кантора в 3 раза в результате получается ровно одна его половинка. А раз множество Кантора можно составить из двух его копий, уменьшенных втрое, то, последовательно развивая данную идею, мы должны приписать ему дробную размерность, равную числу log32.

С методической точки зрения представляет интерес предложить студентам следующие задачи.

Задача 1. Самоподобен ли правильный шестиугольник?

Задача 2. Самоподобен ли параллелограмм?

Класс самоподобных множеств довольно узок. Среди фигур на плоскости, например, прямоугольники и треугольники самоподобны, а круги неса-моподобны. Однако понятие размерности самоподобия полезно для развития более общих подходов к понятию размерности. Дело в том, что самоподобные множества в теории фрактальных размерностей являются самыми простыми. Их размерность легко вычисляется, в некотором смысле самоочевидна и должна совпадать с более общими определениями размерности, основанными на сопоставлении множества и его частей.

Второй этап. Продолжим наше обобщение с помощью рассмотрения понятия «размерность Минковского». Пусть имеется некоторое метрическое ограниченное пространство X. Любой набор 5-шаров, объединение которых целиком покрывает некоторое множество G с X, назовем шаровым 5-покрытием множества G. Минимально необходимое число 5-шаров, которые смогли бы покрыть G, обозначим п

Как правило, при уменьшении 5 число п5(0) растет. Идея размерности по Минковскому состоит в сравнении скорости роста п5(0) в зависимости от убывания 5.

Определение 1. Размерностью множества G по Минковскому называется предельный порядок роста числа п(Э) относительно величины 1/5, то есть

dim M G = lim log v ns (G) = lim

lnns

ln

= lim- ln S

Некоторая аналогия с размерностью самоподобия просматривается. Число п5(0) аналогично количеству фрагментов М, из которых составляется оригинал, а 5 играет роль величины 1/М Правда, в размерности Минковского в качестве фрагментов берутся пересечения 5-шаров с G. Они неодинаковы и к тому же могут пересекаться не только в граничных точках. На скорость роста п 5G) это не оказывает влияния, зато определение применимо ко всем ограниченным метрическим пространствам. Размерность Минковско-го тоже не всегда существует, но применима к гораздо более широкому классу множеств, чем размерность самоподобия. Справедливо следующее очевидное утверждение.

Предложение 1. Единичный отрезок одномерен по Минковскому, то есть dimM[0,1] = 1.

Доказательство. На числовой прямой 5-шара-ми являются обычные отрезки длины 25. Возьмем некоторое 5 > 0. Для него положим N = [1/25], здесь квадратные скобки означают взятие целой части числа. Ясно, что для покрытия единичного отрезка всегда достаточно N + 1 5-шара, но недостаточно N - 1 5-шара. То есть N - 1 < п5([0,1]) < N + 1.

Так как 1/25 - 1 < N < 1/25 , то 1 /25 - 2 < п5([0,1]) < 1/25 + 1. Отсюда получаем:

dim M [0,1] = lim

ln ns ([0,1]) - ln 8

< lim

S^0

Kid

- ln S

,. ln(1 + 28) - ln2 - ln S ,

= lim-= 1.

- ln S

Аналогично получаем оценку снизу dimM [0,1] > 1; таким образом dimM [0,1] = 1.

Задача 3. Найти размерность Минковского для квадрата.

Предложение 2. Для канторова множества размерность Минковского и размерность самоподобия совпадают.

Доказательство. Подсчитаем размерность Минковского у канторова множества K. Хорошо известно, что канторово множество при любом целом n > 0 полностью покрывается 2n непересекающимися отрезками длины 3-n, причем концы этих отрезков принадлежат K. Следовательно, при

S =

1

2 • 3n

число n (K) = 2n. Поэтому

dim M K = lim

ln2n = ln2 ä^°ln2 • 3n = ln3 '

,2.

Размерность Минковского выгодно отличается от основного нашего обобщения - размерности Хаусдорфа (наш следующий и заключительный шаг) - тем, что она сравнительно легко вычисляется. После введения размерности Минков-ского студентам следует сразу указать на ее недостатки. Во-первых, размерность Минковского существует не для каждого множества. Во-вторых, даже когда данная размерность существует, она может дать неадекватный результат, то есть по существу быть неприменимой в некоторых случаях. Например, множество рациональных чисел на единичном отрезке (обозначим это множество О) имеет размерность Минковского, равную единице (б!тмО = 1). Следует попросить студентов доказать данное утверждение.

Рассмотрим на числовой прямой множество

D 40,1, I* 1

з/э' 3/4' '[. Множество неса-

моподобно, поэтому размерности самоподобия у него нет. Нетрудно проверить, что его топологическая размерность (йш^ D = 0. Оно компактно, потому что ограничено и замкнуто. Вычислим (йш^.

Возьмем произвольное достаточно малое 5 > 0. Обозначим через k5 наименьшее положительное натуральное число, удовлетворяющее 1 1 *

неравенству : . —т= < о . V кг -1 V

Тогда имеет место неравенство:

1 *

-/=-. < 5 .

• • (У^2 + V ^ • к -1)+щв -1)2

4 < 25 <-

—. Тогда для покрытия всех точек мно-

жества E, лежащих на отрезке

0, -V

e

достаточно

одного 5-шара. Для покрытия оставшихся точек

1 1

1

необходим ровно к—1 шар радиу-

са 5, поскольку даже между наиболее близкими

точками —ц и -¿2 расстояние больше 25:

е е

___1_ _ е-1

к-2 к-1 к-1 > к-1 > 2 . е е е е

Таким образом, п (Е)=к. Поскольку число к

удовлетворяет неравенствам ек > — > ек-1,

28

Так как 5 мало, то 8

33 к.

. Следовательно,

1 1

ks ~ V2757 ' Для покрытия к-1 точки 1,щ,^33,

3/4 ''потребуется столько же 5-шаров. Для покрытия оставшихся точек множества О, ле-

жащих на отрезке

достаточно взять при-

мерно

1

V3

5-шаров (здесь слово «при-

283^ 2а4¥

мерно» означает, что число шаров должно быть целым). Таким образом, число п5(О) находится в пределах

Из

1 1 < ns(D) < -p=L= + -

, +1

V2753 ' V2753 2V53 Верхняя и нижняя оценки числа n (D) имеют

одинаковый порядок роста, равный of —^ |, по-

ln(ns(D))_ 3

этомУ dimMD = цт _ ln s 4.

Рассмотрим теперь на числовой прямой еще одно компактное множество

L ii i 1

E = iu, -' ' ' ё7' '"I  Найдем размерность Минковского данного множества. Возьмем произвольное 5 > 0. Подберем для него натуральное число k, удовлетворяющее неравенству

к > ln — > к -1 28

то,

следовательно,

ln ^ < ns (E) < ln -1+1. Отсюда получаем:

2о 2о

ln I ln

1

28 I ln

ln' +1

ln

ln

ln

8) -8) - 8, Воспользовавшись правилом Лопиталя, полу-

чаем

1

lnl ln— +1

lim—-—т—г—1 = lim

f 1 1

ln

1 - ln(2<5) - 28

-1 8

1

lim -

2 - 2ln

= 0

lnl ln-

Аналогично убеждаемся, что lim

28,

1

ln—

5

= 0.

(Данную проверку можно не проводить. Почему?) Следовательно, существует предел

,. 1п(и,( Е)) „ _, _

Ьш-^—, также равный нулю. Таким обра-

1п —

зом, размерность (шм Е _ 0.

Проведем компьютерный эксперимент, связанный с вычислением размерности Минковского множества Е. Пусть 5=(еИа, п 5(Е)= п,

е

е

к-1

e e

e

1

1

1

1

1

1

0

8

1

ln

-—— =dimM. Тогда при различных значениях

delta простая паскаль-программа: uses crt;

var delta, dimM, k, n: real; begin clrscr;

readln(delta); k:= -ln(2*delta);

if k=int(k) then n:=k else n:=int(k}+1; dimM:=ln(n)/ln(1/delta); writeln('delta=', delta); writeln('N=', n); writeln('dimM=', dimM); readkey; еnd.

дает следующие результаты:

ло 5 > d. Тогда имеем

El J,\' = EI Л" • W * s's~d

S ns(E) dimM

0,01 4 0,301

0,001 7 0,282

г1" 23 0,136

1-20 46 0,0831

1-30 69 0,0613

Читателю полезно провести аналогичный эксперимент для множества D.

Таким образом, видим, что для счетных множеств размерность Минковского дает различные результаты, что достаточно странно.

Третий этап. Продолжим наше обобщение. Пусть опять дано ограниченное метрическое пространство X, и у него имеется не более чем счетное 5-покрытие {I }. (Покрытие {I } будем называть d-покрытием, если диаметры всех множеств I не превышают 5, то есть \1 | Для произвольных фиксированных чисел d > 0 и 5 > 0

введем обозначение т^Х = М \1„ | |, где инфи-

мум берется по всем счетным 5-покрытиям множества X. Обозначим далее т Х т$Х , этот предел существует, поскольку класс 5-покрытий сужается при уменьшении 5, а инфимумы т^Х не убывают. Назовем его d-мерной мерой Хаус-дорфа множестваX. Мера т'Х может быть бес- накроем каждую точку х множеством диаметра

Устремляя 5 к нулю, получаем из (*), что

msX = 0.

Предположим теперь, что при некотором d мера mdX > 0. Тогда для любого 5 < d будет m"X = да, иначе из предыдущего рассуждения следовало бы mdX = 0, что противоречит сделанному предположению.

Определение 2. Для любого множестваX возможна одна из трех следующих ситуаций.

1. Существует число d > 0 такое, что для всех

s > d мера m'X = 0, а для всех s < d будет msX =да. В этом случае положим по определению размерность Хаусдорфа множества X равной dimffX = d.

2. Для всех d мера mdX = да. Тогда положим по определению dim^X = да.

3. Для всех чисел d > 0 мера mdX = 0. В этом случае положим dim^X = 0.

Итак, размерность Хаусдорфа равна тому критическому значению d, при котором инфимумы d-сумм по 5-покрытиям с любым наперед заданным 5 > 0 меняют свое значение с бесконечности на нуль. Данным определением обычно трудно пользоваться напрямую. Например, для круга на плоскости весьма трудно, если вообще возможно, показать, что инфимумы d-сумм меняют свое значение при d=2. В этом нас убеждает рисунок 4. Как видим, причина заключается в практически необозримом множестве даже шаровых 5-покрытий и сложности оценки соответствующих им d-сумм.

Отчасти преодолеть трудности, связанные с вычислением размерности Хаусдорфа, помогают следующие два следствия.

Следствие. Если для некоторого числа d мера

mdX положительна и конечна, то dimH X = d. (Доказать).

Предложение 3. Если множество X не более чем счетно, то его размерность Хаусдорфа равна нулю.

Доказательство. Действительно, пусть X = {xJ. Тогда для любых фиксированных чисел d > 0, е > 0

конечной.

Предположим, что при некотором d мера т'Х = С < да. Это значит, что для любых сколь угодно малых 5, е > 0 найдется d-покрытие, для

Г * Г

не больше I — I . Очевидно, d-сумма по полученному е-покрытию не превосходит е. В силу произвольности е мера т'Х = 0. В силу произ-

которого EKI < с+е. Возьмем некоторое чис- вольности dразмерность dimHX = 0.

Рис. 4.

Таким образом, множество Q, рассмотренное выше, нульмерно по Хаусдорфу.

Предложение 4. Единичный отрезок одномерен по Хаусдорфу.

Рассмотрим разбиение единичного отрезка на

п частей. Пусть d=2. Тогда УI1п\ _ \ — | • п _ — ^ 0.

„ I п) п

Пусть теперь d = 0. Тогда УIЛ | _ [_) •

• п _ п ^ <х>

Можно предположить, что размерность Ха-усдорфа равна 1 и попробовать доказать, что мера т1 [0, 1] положительна и конечна. Мы докажем, что т'[0, 1] = 1. Легко видеть, что для любого 5 > 0 существует 5-покрытие отрезка, 1-сумма которого в точности равна 1. Осталось показать, что не существует 5-покрытий отрезка [0, 1], у которых 1-суммы меньше 1.

Будем рассуждать от противного. Предположим, что при некотором 5 существует 5-покры-

тие отрезка {I} такое, что У К | = С < 1. Без поте-

п

ри общности мы можем считать, что множества I все являются отрезками. Действительно, если это не так, то заменим каждое множество 1п отрезком [а, Ь ], где а =шИ и Ь =sup I. При этом

А п пЛ7 п п п АпА

диаметры элементов нового покрытия (а следовательно, и сумма У11п |) останутся такими же,

п

как у исходного покрытия. Возьмем теперь какое-нибудь 0 < е < 5 такое, чтобы С+е < 1. Для каждого отрезка 1п = [ап Ьп] определим накрыва-

е , е ^ Ьп +-

. По-

ющий его интервал 1п = ( п 2п+^ п 2п крытие {1п} будет открытым 25-покрытием, причем У _ У |1п| + У 2ГГ = С+е. Так как отрезок

п п п

[0, 1] замкнут, а покрытие {1} открыто, то по лемме Гейне-Бореля из него можно выделить конечное подпокрытие. Это подпокрытие покрывает весь единичный отрезок, но в то же время сум-

марная длина входящих в него интервалов не больше С+е < 1. Полученное противоречие доказывает, что не существует покрытия единичного отрезка, 1-сумма которого меньше единицы.

Существует и много других подходов к обобщению понятия размерности [7]. Для всех этих подходов отправным пунктом обобщения служит алгебраическая размерность евклидова пространства. То есть, если G - область евклидова пространства, то различные определения размерности дают для G одно и то же значение: размерность самого пространства. Это справедливо и для размерности самоподобия, если G самопо-добна. Для фракталов же различные определения размерности могут давать разные значения. Студентам очень полезно исследовать рассмотренные в данной статье размерности для хорошо известных фракталов, таких, как множество Кантора, кривая Коха, ковры Серпинского и др. Ввиду ограниченности места приводим лишь сводную таблицу размерностей для некоторых таких множеств (табл.).

Вычисление размерностей из приведенной таблицы можно найти в совместной статье авторов [5, приложение 4], а также в [7].

Здесь поучительно сравнить размерности множества Q и дополнительного к нему на единичном отрезке множества [0, 1] \ Q. Оба множества сильно разорваны, вполне несвязны, поэтому их топологическая размерность равна нулю. Оба множества всюду плотны на единичном отрезке, поэтому их размерность Минковского совпадает с размерностью (тм[0, 1], то есть единична. А вот размерность Хаусдорфа у них разная. Множество Q может быть накрыто как угодно малым покрытием, поэтому нульмерно. Дополнительное к нему множество гораздо больше. Оно имеет покрытие с 1-суммой, равной 1 (если покрыть отрезком [0, 1]), а покрытия с 1-суммой, меньшей 1, не существует. Если бы такое покрытие существовало, то мы смогли бы получить и покрытие всего отрезка [0, 1] с 1-сум-мой, меньшей 1, что невозможно, как показано в доказательстве предложения 4.

Изучая таблицу, можно заметить, что хотя разные размерности у множеств часто не совпадают, но в то же время некоторые из них часто совпадают. Не следует думать, что все четыре рассмотренные размерности не могут дать четыре разных результата для одного множества. Таким примером может служить множество

Таблица

Размерность Топологическая размерность Размерность самоподобия Размерность Минковского Размерность Хаусдорфа

[0,1] 1 1 1 1

[0,1]2 2 2 2 2

Канторово множество К 0 log32 « 0,63 log32 log32

Кривая Коха 1 log34 « 1,26 log34 log34

Первый ковер Серпинского 1 log23 « 1,58 log23 log23

Второй ковер Серпинского 1 log38 « 1,89 log38 log38

Множество

рациональных точек на отрезке [0,1], 0 0 1 1 0

Множество

иррациональных точек на отрезке, [0,1] \ 0 0 1 1 1

Множество Б 0 — 0,75 0

Множество Е 0 — 0 0

Множество А 0 — 2 1

5. Декартово произведение KxK, где K - канто-рово множество, называется канторовой пылью. Определите размерности канторовой пыли. Сопоставьте их с размерностями канторова множества.

6. Приведите пример метрического пространства X, в котором некоторый Sj-шар строго содержит в себе некоторый другой б2-шар при том, что S j < S2. Можно ли, воспользовавшись этим примером, построить случай, когда nSt (X) < nh (X) ?

Библиографический список

1. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. - М.: Просвяще-ние, 1968. - 432 с.

2. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. Институт компьютерных исследований. - М. - 656 с.

3. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. Т. 1, Т.2. - М.: Изд. иностр. литературы, 1957. - 535 с.

4. ПоспеловН.Н., Поспелов И.Н. Формирование мыслительных операций у старшеклассников. - М.: Педагогика, 1989. - с. 232.

5. Секованов В.С. Методическая система формирования креативности студента университета в процессе обучения фрактальной геометрии. -Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2006. - с. 279.

6. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. -М.: Просвещение, 1986. - 256 с.

7. Falconer K.J. Fractal Geometry. Mathematical Foundations andApplications. -NewYork; John Wiley, 1990.

А = 0 0 \ {(х " 21+Г * " 21 < 161,

то есть декартово произведение множества 0 и дополнительного к нему на единичном отрезке с выброшенным в центре кругом половинного диаметра. Благодаря выброшенному кругу А не са-моподобно. Значения других его размерностей мы предлагаем читателю установить самостоятельно.

Задачи.

1. Найдите все размерности следующих множеств:

а)

б) в)

0-L-L -L

оДДАЛ, ••• -,-

2 3 22 32 2n 3n

0АА, • ,-L,

ln 2 ln 3 ln n

Проведите для этих множеств компьютерный эксперимент, аналогичный выполненному в части II Приложения 4. Сравните полученные результаты с вычисленными.

2. Покажите, что канторово множество нигде не плотно.

3. Покажите, что множество иррациональных чисел на единичном отрезке плотно на нем.

4. Найдите все размерности единичной окружности {х2 + у2 = 1}. Является ли она самоподобным множеством?