Необратимые деформации вращающегося цилиндра

УДК 514.8

Необратимые деформации вращающегося цилиндра*

С.В. Фирсов

Институт машиноведения и металлургии ДВО РАН

Irreversible Deformations of a Rotating Cylinder

S.V. Firsov

Institute of Engineering Science and Metallurgy, Far Eastern Branch of the Russian Academy of Sciences

Рассматривается задача разгона среды, заполняющей цилиндр при учете необратимых деформаций ползучести и пластичности. Для сравнения рассмотрена задача вращения цилиндра без учета деформаций ползучести. Задача упругости решается аналитически, при начале вязкопластического течения, а также для ползучести производится численный расчет. Для моделирования процесса ползучести используется степенной закон Нортона с потенциалом по типу Мизеса. Для пластичности используется модель вязко-пластичности с потенциалом напряжений по типу Мизеса. При появлении пластического течения используется предположение о совместном протекании процессов накопления необратимых деформаций пластичности и ползучести. Делаются выводы относительно влияния деформаций ползучести на итоговое распределение напряжений в среде. Для цилиндрических сред с жестко зафиксированной левой границей наблюдается значительное снижение интенсивности напряжений. Для цилиндрической среды с полостью — менее значительное. Для свободной среды наблюдается перераспределение интенсивности напряжений внутри среды без их снижения. Ключевые слова: малые деформации, вращающийся цилиндр, вязкоупругопластическое деформирование, закон ползучести Нортона.

DOI 10.14258/izvasu(2018)4-21

The problem of acceleration of a cylindrical medium with consideration of irreversible deformation of creep and plasticity is investigated. For comparison, the problem of a rotating cylinder without creep deformation is considered. The problem of elastic deformation is solved analytically for the case of viscoplastic deformation and numerically -for the case of creep deformation. The Norton power low with continuous Mises type potential is used for modeling a process of creep deformation. The viscoplasticity model with Mises type stress potential is used for plastic deformation. When plastic flow occurs, it is assumed that the processes of accumulation of irreversible deformations of plasticity and creep take place together. The conclusions are made about the influence of creep deformation on the final distribution of stress. The significant decrease of stress intensity is observed for cylindrical mediums with rigid inclusion. However, the decrease is less significant for the hollow cylindrical medium. Also, the redistribution of stress intensity without decreasing is observed for the cylindrical medium with two free boundaries.

Key words: small deformation, rotating cylinder, viscoelas-

toplastic deforming, Norton power low.

Введение

Вращающиеся цилиндры широко применяются в различных сферах. Исследование механических процессов, происходящих внутри них, представляет значительный интерес. Наиболее простым случаем является деформирование линейно-упругой среды. Первое решение задачи упругопластической деформации цилиндра получил в 1928 г. А. Надаи [1]. Подробно эта задача рассматривалась в работах [2, 3]. В монографии Ю.Н. Работнова [4] приведено решение о вращающемся цилиндре в условиях ползучести. В работах [5-7] исследовалась ползучесть ортотропных цилиндров.

Большое внимание уделяется ползучести функционально-градиентных материалов [8, 9]. Также в настоящее время проводятся исследования по совместному учету ползучести и пластичности [10, 11].

В данной работе принято предположение о совместном протекании двух вышеуказанных процессов накопления необратимых деформаций. Целью работы является исследование влияния деформаций ползучести, накопившихся в процессе разгона цилиндрической среды на напряженно-деформированное состояние среды в момент достижения максимальной скорости вращения.

*Работа выполнена в рамках государственного задания № 007-00285-18-00.

Построение математической модели

Полагаем, что деформируемая среда заполняет бесконечный цилиндрический слой ^ < г < Л2. Область г < ^может быть жесткой (недеформируе-мой) либо полой. Граница г = Л2 может быть жестко зафиксированной либо свободной. Рассмотрим деформирование материала цилиндра за счет его вращения с угловой скоростью и>(^). Считаем, что полные

деформации й в среде складываются из обратимых альное уравнение второго порядка для и: е,,и необратимых р., деформаций. В цилиндрической системе координат т,ф,г получим

d = е + р = и ; d = е + р = —;

гг гг Г гг г,г' срр с/хр Г (/хр '

г

dш = е.. + р. = 0;

е = р = 0; е = р = 0; е = р = 0.

гр г гр ' п. г г. ' с/ г /

Используя данные соотношения, закон Гука ау = Лекк5у + 2 леу и уравнения равновесия а„ г + г—1 (агг - а/ = —рга2, получим дифференци-

+ г хи — г 2и = 2г 1—Л—(р — р ) + р +--(р + р ) —

г,г г ;_|-9#Л гг грх) г гг ,г "¡.т., \гхх,г

Л + 2л

Л + 2л

рсо

Л + 2л

В теории упругости уравнение представляет со- где с1 и с2 — константы интегрирования.

бой неоднородные уравнения Коши — Эйлера, и его общее решение имеет вид:

и, = сг+—2 —

1 ра1

г 8 Л + 2л

Решим четыре краевые задачи, в которых коэффициенты интегрирования с1 и с2 примут следующий вид: 1) с жестким включением и свободной внешней границей

и = 0;а = 0;

г1г=4 ' гг1г=Я2

= 1 Ра' Л^ +(2Л + 3л)Я С = 8 Л + 2л (Л + л) Я22 +лЯ{

1 ра (2Л + 3л)Я2 —(Л + л)Я Я2Я2 8 Л + 2л (Л + л)Я22 +лЯ2 1

2) с жестким включением и жестко зафиксированной внешней границей

и I = 0; и I = 0;

г I г=Я г I г=&2

1 ра С = --

с — Я1 + Я,2); с =---Р-Я,2 Я1.

1 8 Л + 2л 2 1 ' 2 8 Л+ 2л

3) с внутренней полостью и жестко зафиксированной внешней границей

а\ = 0; и\ = 0;

гг I г=Я1 г I г=Я2

1 ра2 лЯ24 +(2Л+ 3л)Я14 _1 ра2 (Л + л)Я22 — (2Л+ 3л)Я12

1 8 Л+ 2л (Л + л)Я2 +лЯ22 ' 2 8 Л + 2л (Л + л)Я12 + лЯ

2 т>2 2

Я1я

4) с внутренней полостью и свободной внешней границей

сгг|г=Я1 = 0; Сгг |г=Я2 = 0;

_ 1 ра2 2Л + 3л 1 _ 8 Л + 2л Л + л

(Я2 + Я12); С2 = -

1 ра2 2Л + 3л 8 Л + 2л л

Я12 Я22

Рассмотрим деформацию ползучести. Для ее определения воспользуемся степенным законом Нортона: ру =е1 =С У

где У — потенциал ползучести, В,п — параметры ма- где т.. — компоненты тензора девиатора напряжений териала, 2 — интенсивность напряжений. 1

Выполнив преобразования, получим:

ту =ау — 38цакк .

р = 2 ,

Примем, что в случае начала пластического тече- чести ее, так и пластичности ее. В качестве модели ния скорости необратимых деформаций ре будут пластического течения возьмем модель вязко-плас-складываться как из скоростей деформации ползу- тичности

где еее — компоненты тензора скоростей пластической деформации, £ — положительный множитель, / — пластический потенциал, А — интенсивность скорости пластических деформаций, г/ — коэффициент вязкости.

Преобразовав уравнения и найдя значение коэффициента, в итоге получим соотношения для нахождения скорости пластической деформации

D 1 I-2k

s =--

1 О- I

2n

T

Результаты расчетов

Решалась задача разгона цилиндрической среды

1 - cos I —

ч jj

, где t1 — время раз-

гона, ш — максимальная скорость вращения.

max 1 1

Рассматривалось решение задачи разгона за один час

при ползучести и, для сравнения с полученными результатами, упруго вязкопластическое решение задачи разгона среды. Также для достижения примерно равных значений интенсивности напряжений были взяты различные максимальные значения скорости вращения для разных граничных условий.

В результате при ползучести наблюдаем снижение напряжений. В особенности этот эффект проявляется в задачах с зафиксированной внутренней границей (рис. 1, а). В меньшей степени он наблюдается в задаче полого цилиндра с зафиксированной внешней границей. В случае свободного цилиндра наблюдается перераспределение напряжений по объему (рис. 1, б). Изменения в перемещениях, наоборот, в первом случае малы (рис. 2, а), а во втором — велики (рис. 2, б). При этом максимальные значения исходных перемещений иГ примерно равны.

Рис. 1. Распределение интенсивностей напряжений ur в средах: а — с жесткой левой границей; б — со свободной левой границей

Рис. 2. Распределение перемещений иг в средах: а — с жесткой левой границей; б — со свободной левой границей

Для оценки необратимых деформаций воспользуемся инвариантом тензора необратимых деформаций:

Р2 =7Р1г + Р2„+ Р1 - РгР„ - Р„Ръ - РггРъ  Как можно видеть из графиков, для сред с жестким включением

необратимые деформации растут на порядок медленней (рис. 3, а), чем для сред с внутренней полостью (рис. 3, б). Также они более равномерно распределены по всей среде с максимальным значением у зафиксированных границ. Для сред с внутренней полостью необратимые деформации сосредоточены у левой границы.

Рис. 3. Значение инварианта Р2 в средах: а — с жесткой левой границей; б — со свободной левой границей

Заключение

При долгом разгоне происходит снижение интенсивности напряжений в связи с накоплением необратимых деформаций. Особо сильно это заметно в цилиндрических средах с жестко закрепленной левой границей. В свободной среде вместо снижения интенсивности напряжения происходит ее перераспределение и накопление перемещений. Также необратимые деформации в средах с жестким включени-

ем растут более равномерно с трехкратной разницей между максимальными и минимальными значениями. В средах с полостью наблюдается значительный рост максимума и примерно равный — минимума, по сравнению с первыми средами. Следует отметить, что во всех задачах наблюдается снижение максимального значения интенсивности напряжений, что позволяет избежать появления области пластического течения.

Библиографический список

1. Nadai A. Theory of Flow and Fracture of Solids, Volume One. 2nd Edition. — McGraw Hill, 1950.

2. Gamer U., Mack W., Varga I. Rotating elastic-plastic solid shaft with fixed ends // International Journal of Engineering Science. — 1997. — Vol. 35. — № 3. DOI: 10.1016/S0020-7225(96)00085-7

3. Hodge P.G., Balaban M. Elastic-plastic analysis of a rotating cylinder // International Journal of Mechanical Sciences. — 1962. — Vol. 4. — № 6. DOI: 10.1016/S0020-7403(62)80008-3

4. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. — М., 1966.

5. Bhatnagar N.S., Kulkarni P.S., Arya V.K. Creep analysis of an internally pressurised orthotropic rotating cylinder // Nuclear Engineering and Design. — 1984. — Vol. 83. — № 3. DOI: 10.1016/0029-5493(84)90130-4

6. Bhatnagar N.S., Arya V.K., Debnath K.K. Creep An alysis of Orthotropic Rotating Cylinder // J. Pressure Vessel Technol. — 1980. — Vol. 102. — № 4. DOI: 10.1115/1.3263347

7. Bhatnagar N.S., Kulkarni P.S., Arya V.K. Creep analysis of orthotropic rotating cylinders considering finite strains // International Journal of Non-Linear Mechanics. — 1986. — Vol. 21. — № 1. DOI: 10.1016/0020-7462(86)90013-2

8. Bose T., Rattan M. Effect of thermal gradation on steady state creep of functionally graded rotating disc // European Journal of Mechanics - A/Solids. — 2018. — Vol. 67. — № Supplement. DOI: 10.5281/zenodo.1131585

9. Mangal S.K., Kapoor N., Singh T. Steady-State Creep Analysis of Functionally Graded Rotating Cylinder // Strain. — 2013. — Vol. 49. — № 6. DOI: 10.1111/str.12052

10. Бажин А.А., Буренин А.А., Мурашкин Е.В. К моделированию процесса накопления больших необратимых деформаций в условиях пластического течения и ползучести // Прикладная математика и механика. — 2016. — Т. 80. — № 2.

11. Бегун А.С., Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Панчен-ко Г.Л. Развитие и торможение вязкопластического течения с учетом ползучести материалов упругих зон // Вестник ДВО РАН. — 2016. — № 4.