Решение основных задач нестационарной массопроводности при термообработке гуммированных объектов

УДК 66.021.3:678.066.6

С.Ю. Осипов, Ю.Р. Осипов, О.А. Панфилова, С.В. Волкова

РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ МАССОПРОВОДНОСТИ ПРИ ТЕРМООБРАБОТКЕ ГУММИРОВАННЫХ ОБЪЕКТОВ

Разработана математическая модель массопереноса вулканизующего агента при термообработке, предварительной подготовке и в процессе изготовления многослойных композиционных гуммировочных покрытий. Методом конечных интегральных преобразований с улучшенной сходимостью рядов получено аналитическое решение нестационарной задачи массопереноса в пластине без внутренних источников массы. Проведен сравнительный анализ теоретических данных и результатов эксперимента по горячему креплению эластомерных покрытий к металлу.

Термообработка, массоперенос, теплоперенос, эластомерные покрытия, агент вулканизации, концентрация, температура, математическое моделирование, гуммирование.

The mathematical model of mass transfer of the vulcanizational agent under thermal treating, preliminary preparation and in the process of manufacturing of multilayered composite gumming coatings has been developed. With the help of the method of final integral transformations with improved convergence of series the analytical solution of the non-stationary task of mass transfer in a plate without active source of mass has been received. The comparative analysis of the theoretical data and the results of the experiment on hot fastening of elastomer coatings to metal has been carried out.

dermal treating, mass transfer, heat transfer, elastomer coatings, a vulcanizational agent, concentration, temperature, mathematical modeling, gumming.

Массообменные процессы, протекающие с участием агентов вулканизации, играют большую роль в технологии производства гуммировочных покрытий. Несмотря на большой объем проводимых исследований, которые в основном рассматривают химические реакции, происходящие при вулканизации, процесс переноса именно свободной серы изучен еще недостаточно. Это объясняется трудностями экспериментального характера, связанными, в частности, с замером локальных концентраций в покрытии, которые могут резко отличаться по своим свойствам, аналитической неразрешенностью соответствующих нелинейных дифференциальных уравнений переноса, неизотермичностью многих процессов, проблемой задания граничных условий.

Движущими силами процесса переноса вулканизующего агента по толщине гуммировочных покрытий являются градиент температуры и градиент концентраций распределенного вещества при вулканизации.

При исследованиях вулканизации каучука физико-химическими методами [1] установлено, что имеет место диффузия серы при хранении сырых резиновых смесей. Сера мигрирует из слоя в слой, что приводит к различным концентрациям вулканизующего агента и к неоднородной вулканизации. Кроме того, наблюдалась диффузия серы по толщине гум-мировочных покрытий при вулканизации. Причем миграция и повышенная концентрация серы в отдельных слоях покрытий может служить причиной скорчинга («горения») покрытий, перевулканизации, появления трещин и других дефектов в обкладках.

На основании экспериментальных и теоретических данных [1]-[5] установлено, что массоперенос агента вулканизации может оказать существенное влияние на качество гуммировочных покрытий.

В процессе сшивания не вся сера присоединяется

к каучуку, часть ее остается в несвязанном (свободном) состоянии и может извлекаться экстрагированием с последующим количественным определением. Связывание серы сопровождается выделением теплоты, количество которой на начальных этапах пропорционально содержанию связанной серы, а позднее остается постоянным в результате преобладания внутримолекулярного присоединения серы. Однако при вулканизации мягкой резины тепловой эффект мал и практического влияния на условия вулканизации не оказывает.

В процессе вулканизации гуммировочных покрытий происходит ряд последовательных и параллельных реакций, представляющих собой различные стадии вулканизации [1], [2], [4]. Общая картина происходящих химических процессов усложняется структурированием и деструкцией каучука под влиянием различных факторов.

Однако основное значение в процессе вулканизации имеет реакция присоединения серы к каучуку. Это подтверждается тем, что к моменту окончания присоединения серы наблюдается наибольшее изменение свойств каучука по сравнению с первоначальными физико-механическими свойствами (до вулканизации) [1]-[5].

При вулканизации серой наблюдается постепенное изменение различных физических и технических свойств каучука. Эти изменения происходят с разной скоростью: в начале вулканизации свойства меняются быстро, а затем медленно. Наиболее характерными являются следующие изменения свойств гумми-ровочных покрытий: резко повышаются предел прочности при растяжении и эластичность обкладок, при этом пластичность покрытия почти полностью исчезает; повышается температуро- и теплостойкость покрытий; покрытие теряет способность растворяться, оно только набухает в растворителях; понижается химическая активность обкладок.

Массоперенос серы, особенно в многослойных резиновых и эбонитовых обкладках, как самопроизвольный процесс переноса вещества в объекте, обусловливается неоднородностью распределения ее концентраций по всему объему, а также разностью температур и давлений.

Под действием температуры в резиновой смеси происходит плавление серы, а затем сшивание ее с каучуком. От продолжительности вулканизации и степени поперечного сшивания зависят свойства гуммировочных покрытий.

Динамика процесса вулканизации эластомерных покрытий может быть прослежена по распределению и содержанию вулканизующего агента, не вступившего в реакцию с каучуком.

Рассмотрим многослойное гуммировочное покрытие из эластомера одной марки при предварительной термообработке. Учитывая, что механические и теплофизические свойства слоев гуммировоч-ного покрытия не отличаются друг от друга, можно свести покрытие к однослойной системе [1], [2], [4].

В ходе математического моделирования процесса массообмена эластомерной заготовки были приняты следующие допущения: отсутствие переноса вещества в поперечном и продольном направлениях; отсутствие внутренних источников массы; о пренебрежении термическим сопротивлением клеевых прослоек.

С учетом допущений процесс массопереноса вулканизующего агента в однослойном эластомерном покрытии при термообработке описывается дифференциальным уравнением (1) с начальным (2) и граничными условиями (3)-(4) [2]-[6]:

ЭСс

= Б

Э2С

, х > 0, 0 < х < 5;

Эх Э х2

С (х, х) = сош! = Со при х = 0;

ЭСС (0,х) г . .

= Ь [Сс (0,х)-Ср ];

^ = -Ь [СС (5, х)-Ср ].

Здесь Б - коэффициент диффузии, м 2/с; С (х, х) -текущая концентрация вулканизующего агента в пластине, %; С0 - начальная концентрация вулканизующего агента в пластине, %; Ср - равновесная концентрация, соответствующая концентрации распределяемого вещества в ядре потока внешней фазы по обеим сторонам пластины, концентрация вулканизующего агента в пластине, %; Ь = Р / (АрБ); Р -коэффициент массоотдачи, м/с; Ар - коэффициент распределения.

Задача (1)-(4) описывает процесс массопереноса вещества (вулканизующего агента) в неограниченной пластине толщиной 5 без внутреннего источника массы при равномерном начальном распределении концентрации С0 и при граничных условиях третьего рода на поверхностях пластины.

Для решения задачи выпишем предварительно интегральное преобразование

с

где С (тп, х) - изображение искомой функции С (х,х); уп(тп, х) - ядро интегрального преобразования (5). Функция уп(тп, х) выбрана с учетом геометрии рассматриваемого материала и типа граничных условий; ее находят решением соответствующей однородной задачи на собственные значения и собственные функции для задачи (1)-(4).

Формула обращения для интегрального преобразования (5) имеет вид

С (х, х) = 2 ^ С (тп, х),

5 п = 1 т2 + Ь252 + 2Ь5 изображение для производной

5 Э2С(х, х) . 1 ——2— Уп (тп, х)Ах= 0 Э х

ЭС (х, х) Эх

- ЬС

т2п+ь252 . , ,

+ —-:-Sln(тп )Х

х=0

2Ь5

Х

ЭС (х, х) Э х

+ ЬС

х=5

Здесь Уп (тп, х) = тп ^ тп | )+Ь 5 «1п ^ тп |) где тп > 0 - корни уравнения т =

5) V 5, т Ь5 2^5 2т.

На основе соотношений (5), (7) находим решение задачи, затем преобразуем интеграл и улучшим решение.

Решение краевой задачи (1)-(4) получено при помощи стандартных преобразований метода конечных интегральных преобразований [4], [6], с последующей доработкой с целью улучшения сходимости рядов:

С (х, х)- С0 = 1

Ср - С0

= 1 - 2Б1т ^

1 -

=1 тп (т2+в1т+2В1т) х ехр (-т^от)+ Ср - 2Ь5х

х Ср I

п = 1

тп со | тп 51+ь 5 яп ( тп |

1 - (-1)п

тп (тп + Ь252 + 2Ь5

где тп > 0 - корни уравнения ^ т =

т2 - в£ 2т В1М

5

0

5

У

5

- критерий Био массообменный; Бот = Бт / 82 - число Фурье массообменное.

На основе решения (8) построены графики распределения концентрации вулканизующего агента в покрытиях марок 1976 (СКБ), 4476 (СКБ), ИРП-1025 (наирит), 1814 (СКБ), 1751 (СКБ), ИРП-1213 (НК), ИРП-1214 (НК) и других с помощью пакета программ МаШСАБ. В качестве примера на рис. 1 приведены концентрационные профили в эбонитовых покрытиях марки 1752 (НК+СКБ), которые сравнены с собственными экспериментальными данными [4]. Отклонение аналитических расчетов от опытных данных составило до 7 %.

cg

1,5 3,0 5Об'10 , м

Рис. 1. Кривые распределения концентрации свободной серы в однослойном покрытии марки 1752 (НК + СКБ) при 5об = 6,0 мм, тс = 418 К, Т0 = 293 К, а = 200 Вт/(м2- К), Б = 1,2710-7 м2/с; время прогрева: 1 - 30 с; 2 - 120 с; 3 - 300 с; 4 - 600 с; 5 -1200 с; 6 - 1800 с; 7 - 2400 с; 8 - 3600 с;--расчетные данные; • - экспериментальные данные; НК - натуральный каучук; СКБ - синтетический каучук бутадиеновый

Отличие результатов расчета от экспериментальных данных тем больше, чем меньше значения числа Фурье, что соответствует коротким режимам термообработки, мало используемым в промышленности. При увеличении продолжительности нагрева результаты расчетов практически не отличаются от экспериментальных данных.

В результате расчетов выявлено, что количество вулканизующего агента зависит от продолжительности вулканизации; распределение свободной серы в эластомерных покрытиях становится равномернее, постепенно уменьшаясь со временем, а количество связанной серы растет.

Таким образом, полученные соотношения (8) позволяют аналитически описать распределение вулканизующего агента в эластомерном покрытии при предварительном прогреве. Полученную математическую модель массопереноса вулканизующего агента в гуммированных покрытиях можно использовать для разработки рациональных тепловых режимов их термообработки.

Затем рассмотрим процесс массопереноса в эла-стомерных покрытиях при вулканизации резиноме-таллических объектов. Так как в резинометалличе-

ском изделии процесс массопереноса вулканизующего агента происходит только в эластомерном слое, то соответственно рассмотрим однослойную пластину при отсутствии потока вещества с левой поверхности (стенка металла).

Процесс массопереноса вулканизующего агента в эластомерной обкладке резинометаллического полотна при термообработке описывается дифференциальным уравнением (9) с начальным условием (10), как и в предыдущем случае, но с несимметричными граничными условиями (11)-(12):

С = D _эС

t > 0, 0 < x < 5;

Эх Э x2 Cg

ЭС8

Э x

= 0;

ЭCg (5, t) Э x

= -h [Cg

Решение краевой задачи (9)-(12) имеет вид

2 ~ М2 + h252 C(x, t) = - 2 Mn + h

- 2i——-:-cos| —

5 n=1 (мИ + h252) + h5 ^ 5

X

sin (Ми )• exp

( Dmi ^

v ' 52

Cp5

м И

2 (

1 - exp

( ТЛ 2 W

Dmn t

5

2

jj

(-1)n+1 Cp h 2 52 Vm n + h2 52

где mn > 0 - корни уравнения ctg м = М / (h5).

Решение приведенной краевой задачи со смешанными граничными условиями получено с помощью метода конечных интегральных преобразований с улучшенной сходимостью рядов. На основе решения (13) построены графики распределения концентрации вулканизующего агента в покрытиях марок 1976 (СКБ), 4476 (СКБ), ИРП-1025 (наирит), 1814 (СКБ), 1751 (СКБ), ИРП-1213 (НК), ИРП-1214 (НК) и других с помощью пакета программ MathCAD. В качестве примера на рис. 2 приведены концентрационные профили в резинометаллических изделиях с эласто-мерными покрытиями марки 1752 (НК+СКБ), которые сравнены с экспериментальными данными. Отклонение аналитических расчетов от опытных данных составило 3-5 %.

X

+

+

cs, %

с8, % 12

О 1,5 3,0 боб" 10 , м

Рис. 2. Кривые распределения концентрации свободной серы в эбонитовом покрытии марки 1752 (НК + СКБ) при 5об = 6,0 мм, Тс = 418 К, т0 = 293 К, а = = 200 Вт/(м2  К), Б = 1,27 • 10-7 м2/с; время прогрева: 1 - 30 с; 2 - 120 с; 3 -300 с; 4 - 600 с; 5 - 1200 с; 6 - 1800 с;

7 - 2400 с; 8 - 3600 с;--расчетные

данные; • - экспериментальные данные

Отличие результатов расчетов от экспериментальных данных наблюдалось при малых значениях чисел Фурье, которые соответствуют коротким режимам термообработки, мало используемым в промышленности.

На рис. 3 представлены результаты расчетов содержания и распределения свободной серы по толщине покрытия при вулканизации с предварительной термообработкой. Очевидно, что предварительный нагрев гуммировочных покрытий позволит не только сократить продолжительность вулканизации, но и обеспечить равномерную степень вулканизации покрытий, что улучшит качество резинометаллических изделий.

В результате расчетов выявлено, что количество вулканизующего агента зависит от продолжительности вулканизации; распределение свободной серы в эластомерных покрытиях становится равномернее, постепенно уменьшаясь со временем, а количество связанной серы растет.

Таким образом, соотношения (13) позволяют аналитически описать распределение вулканизующего агента в эластомерном покрытии. Полученную математическую модель массопереноса вулканизующего агента в резинометаллическом гуммированном объекте целесообразно использовать для разработки рациональных тепловых режимов термообработки.

0 1,5 3,0 8об-10 , м

Рис. 3. Кривые распределения концентрации свободной серы в резинометалличе-ском изделии с покрытием 1752 (НК + + СКБ) при вулканизации с предварительной термообработкой, 5об = 6,0 мм, 5ст = 2,0 мм, тс = 418 К, т0 = 293 К, а = = 200 Вт/(м2  К), Б = 1,27 • 10-7 м2/с; р = = 2,23 • 10-4 м/с; время прогрева: 1 - 30 с; 2 - 120 с; 3 -300 с; 4 - 600 с; 5 - 1200 с; 6 - 1800 с; 7 - 2400 с; 8 - 3600 с;--расчетные данные; • - результаты эксперимента

Литература

1. Лукомская, А.И. Тепловые основы вулканизации резиновых изделий / А.И. Лукомская, П.Ф. Баденков, Л.М. Кеперша. - М., 1984.

2. Осипов, Ю.Р. Термообработка и работоспособность покрытий гуммированных объектов / Ю.Р. Осипов. - М., 1995.

3. Осипов, Ю.Р. Математическое моделирование процесса массопереноса вулканизующего агента при вулканизации гуммировочного многослойного покрытия / Ю.Р. Осипов, С.Ю. Осипов, О.А. Панфилова // Конструкции из композиционных материалов. - М., 2007. - Вып. 4. - С. 3747.

4. Панфилова, О.А. Исследование тепломассопереноса при вулканизации покрытий гуммированных объектов в конвективных аппаратах: дис. ... канд. техн. наук / О.А. Панфилова / Вологодский гос. техн. ун-т. - Череповец, 2009.

5. Панфилова, О.А. Исследование массопереноса в процессе конвективной термообработки гуммировочного покрытия / О.А. Панфилова, Ю.Р. Осипов, С.Ю. Осипов // Вестник ЧГУ. - 2008. - № 4. - С. 132-138.

6. Райченко, А.И. Математическая теория диффузии в приложениях / А.И. Райченко. - Киев, 1981.

УДК 621.181

Н.Н. Синицын, Ю.А. Калягин, В.А. Кушков, А.К. Кудрявцева МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОГРЕВА ВЫСОКОВЛАЖНОЙ КОРЫ

В статье рассмотрена математическая модель прогрева коры ели с учетом выхода влаги и летучих веществ, представлены результаты проведения экспериментов и расчетов по прогреву коры ели с учетом выхода влаги и летучих веществ.

Математическая модель, экспериментальная установка, высоковлажная кора ели, прогрев, выход влаги, выход летучих веществ.