Математическое моделирование электропроводности диэлектрика с дисперсными металлическими включениями

Математика к Математическое

моделирование

Ссылка на статью:

// Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №3. С. 59-72.

Б01:10.7463/шаШш.0315.0793596

Представлена в редакцию: 10.07.2015 © МГТУ им. Н.Э. Баумана

ХДК 517.1;530.1

Математическое моделирование электропроводности диэлектрика с дисперсными металлическими включениями

Зарубин В. С.1'*, Кувыркин Г. Н.1, Пугачев О. В.1 *fn2@bmstu.ru

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

С использованием вариационного подхода получена двойственная вариационная формулировка задачи электрокинетики применительно к композиту, диэлектрическая матрица которого модифицирована дисперсными металлическими включениями, покрытыми слоем электроизоляции в целях предотвращения эффекта перколяции при увеличении объемной концентрации включений. Эта формулировка включает два альтернативных функционала (минимизируемый и максимизируемый), которые на истинном решении задачи имеют одинаковые экстремальные значения, и позволяет установить двусторонние границы возможных значений электрической проводимости рассматриваемого композита, а также оценить наибольшую возможную погрешность, которая может возникнуть при использовании в качестве искомого значения электрической проводимости полусуммы установленных границ. Количественный анализ возможных погрешностей (в том числе с использованием подхода, позволяющего сблизить двусторонние границы) показал, что для реальных характеристик матрицы и включений рассматриваемого композита необходимо построение математических моделей, учитывающих особенности его структуры и взаимодействие его структурных элементов. На основе построенного варианта подобной модели получена расчетная зависимость для вычисления электрической проводимости рассматриваемого композита и проведен количественный анализ этой зависимости.

Ключевые слова: композит; дисперсные металлические включения; электрическая проводимость; диэлектрические потери

Введение

Композиты широко используют в технике не только как конструкционные и теплозащитные материалов, но и как функциональные материалы, применяемые в большом числе разнообразных электротехнических приборов и устройств, в том числе в качестве диэлектриков. Для композита, используемого в этом качестве, основными характеристиками являются относительная диэлектрическая проницаемость и тангенс угла диэлектрических потерь [1,2,3]. Эти характеристики зависят прежде всего свойств матрицы композита и включений, а также от формы и объемной концентрации включений.

Модификация диэлектрика, выполняющего роль матрицы композита, металлическими включениями позволяет расширить диапазон электрических свойств такого композита, в частности, в сторону увеличения его диэлектрической проницаемости и тангенса угла диэлектрических потерь и тем самым расширить сферу его применения. Диэлектрические потери зависят от так называемого фактора потерь [4], равного мнимой части е" комплексной величины относительной диэлектрической проницаемости е диэлектрика. При сравнительно невысокой частоте и колебаний воздействующего на диэлектрик электромагнитного поля значение е" пропорционально электрической проводимости а диэлектрика и обратно пропорциональна и [1, 5, 6]. Для прогнозирования ожидаемых значений а диэлектрика с металлическими включениями необходимо располагать адекватной математической моделью, описывающей структуру композита и электрическое взаимодействие его матрицы и включений.

Одним из распространенных вариантов структуры композитов является дисперсная система, в которой в дисперсионной среде распределена дисперсная фаза с сильно развитой поверхностью раздела между ними [7]. Роль дисперсионный среды могут выполнять различные диэлектрические материала, в том числе полимеры [4], а дисперсионной фазой могут служить металлические включения [1, 3]. Если включения имеют сопоставимые размеры во всех направлениях, то в первом приближении их можно рассматривать как шаровые, поскольку шар является статистически усредненной формой таких включений.

Для композита с шаровыми включениями, используя различные подходы, можно построить адекватные математические модели, позволяющие достаточно достоверно прогнозировать зависимость его электрических свойств от характеристик включений и матрицы и от объемной концентрации включений. Наряду со смесевыми моделями и методами осреднения [1, 3, 4, 5, 8], обычно используемыми при анализе дисперсных систем, целесообразно использовать вариационные подходы, позволяющие получить двусторонние границы возможных значений искомых параметров композита, между которыми заключены их истинные значение. Такие границы следуют из двойственной вариационной формулировки задачи для потенциального поля в неоднородном твердом теле [9, 10] и дают возможность оценить наибольшую погрешность, которая может возникнуть при использовании для оценки значений искомых параметров той или иной математической модели. Эта формулировка содержит два альтернативных функционала (минимизируемый и максимизируемый), принимающих на истинном решении задачи одинаковые экстремальные значения.

В данной работе вариационный подход прежде всего применен для установления двусторонних оценок электрической проводимости композита с металлическими шаровыми включениями, покрытыми слоем электрической изоляции, и получена расчетная зависимость, связывающая эффективное значение электрической проводимости композита с параметрами его структурных элементов. Этот подход основан на двойственной вариационной формулировке задачи электрокинетики в неоднородном твердом теле при протекании через него постоянного электрического тока.

1. Двойственная вариационная формулировка задачи электрокинетики

Исходная формулировка задачи электрокинетики [11] в области V с неоднородной изотропной средой, имеющей электрическую проводимость а(М), зависящую от положения точки М € V, содержит дифференциальное уравнение

V х Е

где V — дифференцальный оператор Гамильтона, а Е — вектор напряженности электрического поля, закон Ома в виде соотношения

.КМ) = а

где . — вектор плотности постоянного электрического тока проводимости [9], удовлетворяющего закону сохранения электрического заряда в форме V  . = 0. Из уравнения (1) следует, что электрическое поле постоянных токов является безвихревым. Поэтому существует скалярный электрический потенциал и, вводимый соотношением Е = —VU, которое тождественно удовлетворяет это уравнение. В итоге из закона сохранения электрического заряда с учетом равенства (2) следует дифференциальное уравнение второго порядка

V-

Область V, занятую композитом с дисперсными включениями представим в виде прямого цилиндра высотой Н с площадью ^ оснований 50 и Бн [12]. Боковую поверхность цилиндра примем электроизолированной, на одном из оснований зададим электрический потенциал и = ин, а на другом — и = 0. Для однозначного решения уравнения (3) в точках N € Б поверхности Б области V объемом V0 = ^Н необходимо сформулировать граничные условия. На участках Би = 5н и Б0 С Б этой поверхности, соответствующих основаниям цилиндра, зададим значения и^) = ин ^ € Бн) и и^) = 0 ^ € Б0), а на его боковой поверхности Б* = Б \ Би — VU^)  п^) = 0 ^ € Б*), где п^) — единичный вектор внешней нормали к поверхности Б* в точке N € Б*.

Сформулированной задаче электрокинетики в дифференциальной форме соответствует вариационная формулировка, содержащая минимизируемый функционал [9]

3[и] = ^ У а

который допустимо рассматривать на распределениях и(М), М € V, удовлетворяющих на участках Би С Б заданным выше граничным условиям и непрерывных в замкнутой области V = V и Б, а в открытой области V имеющих кусочно непрерывные производные. Альтернативным по отношению к функционалу (4) является максимизируемый функционал [9]

I[.] = -1 / .М" ¿V

V ян

допускающий рассмотрение на непрерывных распределениях вектора D (M), M е V, удовлетворяющих дополнительным условиям V^j(M) = 0 (M е V)и j(N) • n(N) = 0 (N е S*).

Из экстремальных свойств функционалов (4) и (5), составляющих двойственную вариационную формулировку задачи электрокинетики, и равенства их значений на истинном решении задачи следует цепочка неравенств

J[U] ^ J[U*] ^ I[j],

где U*(M), M е V — истинное распределение электрического потенциала в замкнутой области V, на котором функционал (4) достигает своего наименьшего значения

J[U*] = Ц^ J a

Sh

2. Построение двусторонних оценок электрической проводимости

При использовании двойственной вариационной формулировки задачи электрокинетики для построения двусторонних оценок электрической проводимости композита с металлическими включениями примем достаточно простое допустимое распределение электрического потенциала U(M), M е V, линейное по высоте замкнутой цилиндрической области V. Координатную ось Ox направим перпендикулярно основаниям цилиндра, причем основанию S0 будет соответствовать координата x = 0, а основанию SH — координата x = H. Тогда при выборе U(x) = UHx/H минимизируемый функционал (4) примет вид

Ji = 1

V

Радиус шаровых металлических включений с электрической проводимостью &• примем изменяющимся от некоторого конечного, до бесконечно малого, что позволяет в пределе заполнить всю область V включениями и формально рассматривать изменение их объемной концентрации CV в промежутке от нуля до единицы. Чтобы избежать эффекта перколяции («протекания») [1, 3, 6], когда возникает непосредственный контакт между металлическими включениями и они образуют непрерывный проводящий кластер, каждое включение будем считать покрытым слоем электрической изоляции, имеющей сравнительно малую электрическую проводимость а*, близкую к электрической проводимости am матрицы. При переменном внешнем радиусе R такого включения относительную толщину h/R = h этого слоя примем постоянной. Использовав принятые обозначения, вместо формулы (8) запишем

7 ТТ2Г(1 - CV)ат + CvRЧ + CV(1 - R3)a*

Ji = UH F-^77-,

где R = 1 — h = const.

Для максимизируемого функционала (5) в качестве допустимого распределения вектора j примем постоянное значение ] единственной составляющей этого вектора, перпендикулярной основаниям цилиндра. Значение ] определим из необходимого условия максимума функционала (9), который примет вид

,2 т (1 - Су „ я3 1 - я3\ тт

/1 = -+ Су — + Су- -

2 \ от а. а* )

Тогда из условия СД /ф = 0 найдем

Ци

Н

и в итоге получим

1 - Су ат + СаК + а. Су

2 Н

1 - Су + Е3 + Су (1 - К3).

/1 = ^—„ 2Н ^ .

от а. а*

Заменим в рассматриваемой области неоднородную среду однородной с искомым эффективным значением а* электрической проводимости композита. В этом случае линейное распределение электрического потенциала по высоте цилиндра будет истинным, на котором минимизируемый функционал примет значение = а*Ц"2), удовлетворяющее цепочке неравенств (6). Тогда с учетом формул (12)и(13) получим двусторонние оценки

а+ =

а- =-4-^ ^ а*.

1 - Су + Су Е3 + Су

ат а. а*

Верхняя а+ и нижняя а- оценки совпадают при значении Су = 0 и равны ат, но с увеличением Су разность а+ - а- возрастает, причем тем быстрее, чем больше отношение а./ат = а. Отношение п = (а+ - а-)/(а+ + а-) следует рассматривать как наибольшую возможную относительную погрешность при выборе в качестве эфективного значения электрической проводимости композита полусуммы полученных оценок. На рис. 1 в полулогарифмических координатах представлены построенные с использованием формул (11) и (12) графики зависимости п от Су при значениях а = 10, 20, 50 и 100 (соответственно штрихпунктирные, пунктирные, штриховые и сплошные линии) и сочетаниях параметров а* = а*/ат и Я, равных соответственно 1 и 0,95 (линии без символов), 1 и 0,99 (линии с ромбами), 0,2 и 0,95 (линии с кружками), 0,2 и 0,99 (линии с квадратами). Из рисунка следует, что уже при а = 100 для всех рассмотренных сочетаний параметров а* и Я наибольшая возможная погрешность близка к 100 %. Для реальных композитов с полимерной матрицей ат « 10-18 ... 10-10 (Ом  м)-1 [13], а для большинства металлов а. « 105 ... 106 (Ом  м)-1,

л

0,2

О,А ^

0 0,2 0,4 0,6 0,8

Рис. 1. Зависимость п от Су при различных сочетаниях значений параметров а, <г* и К

т.е. значение а может иметь порядок 1015 ... 1024. В этом случае n ~ 1 практически во всем промежутке изменения Cv.

В работе [14] предложен вариационный подход, на основе которого можно сблизить двусторонние оценки электрической проводимости рассматриваемого композита, представив их применительно к рассматриваемому композиту в виде

+ ( 1 — Cv , CvR3 , Cv(1 — R3) У1 0

а* = -+9--1--+9--1--+9--— max,

\am + 9amax + 9amax а* + 9amax )

- ( 1 — Cv , CvR3 , Cv(1 — R3)\-1 _

а- = -+9--1--+9--1--+9--— 9amin,

\am + 9amin а• + 9amin а* + 9amin )

где amax = max {am, а^, а*} и amin = min {am, а^, а*}. На рис. 2 также в полулогарифмических координатах приведены графики зависимости n* = (а+ — а-)/(а+ + а-) от Cv для тех же значений параметров и при тех же обозначениях кривых, что и на рис. 1.

Из сопоставления рис. 1 и 2 следует, что уточненный вариант двусторонних оценок позволяет заметно снизить наибольшую возможную погрешность лишь при а ^ 90, но уже при h = 100 значения n* также приближаются к единице. Поэтому применительно к реальным значениям а целесообразно рассмотреть подходы, позволяющие на основе математических моделей, отражающих особенности структуры композита с металлическими включениями и учитывающих электрическое взаимодействие его структурных элементов, получить расчетные зависимости для прогнозирования эффективного значения электрической проводимости такого композита.

л

*

0,6

0,4

0,2

0,1

^в-в

" Л !- ..о •ON •\<3>>

в ' 1 ? У" У и*" j"1 * ч 1Л» V \

а" .•.••••••••< .-•с  - FI - 5----- \ »*. 1 \ • \

1 а / Лл и" г- К •Г 1 \ >\ '•. 'м 1 • l ( *l 1 . . t « *• 1 < • 1

У ? • . 0 0 * И Á *» ^ r * »* : V; • \'i *. ti

!. !•' ? ¡' $ -V 5 ¡." i // • // /У /У ч \ i \ \ \ 1 1 \ • \ 1 \ i •

0 0,2 0,4 0,6 0,8 Cv

Рис. 2. Зависимость r¡* от Су при различных сочетаниях значений параметров а, <г* и R

3. Структурная модель композита

Рассматриваемый композит представим в виде множества составнык шаровык частиц радиусом Rm, изменяющимся от некоторого конечного до бесконечно малого, что дает возможность полностью заполнить такими частицами область, занятую композитом. В каждой составной частице шаровое металлическое включение с переменным радиусом R0 = R — h окружено шаровым слоем толщиной h электроизоляционного материала, причем отношение R0/R = R = const, и внешним слоем толщиной Rm — R материала матрицы (при этом (R/Rm)3 = CV). Такую составную частицу будем считать представительным элементом структуры данного композита.

Поместим составную частицу с произвольным радиусом Rm в неограниченный массив однородного материала, электрическая проводимость а которого подлежит определению как эффективная характеристика композита. В центре этой частицы выберем начало сферической системы координат. Примем, что на большом расстоянии r ^ Rm от начала координат задан вектор E0 напряженности электрического поля, направленный вдоль координатной оси, от которой происходит отсчет полярного угла §. Если в плоскости, перпендикулярной к этой оси и проходящией через центр составной частицы принять нулевое значение электрического потенциала U, то при r ^ то его распределение будет описывать функция U^(r,§) = — E0r cos§, где E0 = |E0|. Эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в сферических координатах имеет вид

1 д i2dU\ 1 д / ^dU\ 1 d2U _Q r2 дтЛ dr I r2 sin § д§\ д§ I r2 sin § д^2

В данном случае при выбранном направлении вектора E0 распределение электрического

й d2U _

потенциала не зависит от угловой координаты т.е. ^ = 0.

По мере приближения к составной шаровой частице электростатическое поле в однородном материале претерпевает возмущение, описываемое также удовлетворяющим уравнению (13) слагаемым [11] AU(r, tf) = -(B/r2) cos tf, где B — подлежащий определению постоянный коэффициент. Таким образом, распределение электрического потенциала в однородном материале, удовлетворяющее заданному условию при r ^ то и уравнению (13), задает функция

U

Аналогичные зависимости

Um

описывают распределения электрического потенциала в слое материала матрицы,

B*

/ B \

U*

и в слое электроизоляционного материала, а в сплошном шаровом металлическом включении в силу симметрии составной частицы относительно плоскости, соответствующей значению tf = п/2, и задания в этой плоскости значения U = 0, распределение электрического потенциала определяет формула

U^

В равенства (14)—(17) входят 6 неизвестных коэффициентов, которые необходимо найти из граничных условий на сферических поверхностях с радиусами R0, R и Rm. При r = R0 из условий непрерывности электрического потенциала и радиальной составляющей вектора j плотности электрического тока запишем

dU

dU.

U. (Ro,tf) = U*(Ro,tf), a. *

dr

Отсюда с использованием формул (16) и (17) находим

= "тт" r=R0 dr

r=Ro

В / 2В \

А^ = А* + В, = ст*

При г = R из указанных условий непрерывности с учетом формул (15) и (16) получим

Л, + В = ,4,„ + Вт, О,

Наконец, при г = Rm, использовав формулы (14) и (15), запишем

4т + ^ = -

1 ьт ^ ьт ' ^ ""т7

Исключив А^ из равенств (18), получим

А + В - (а -

А* + В3 = Г* В3 У» <7  При ограниченных значениях С* и коэффициентов А* и В* правая часть этого равенства при реальных для металлических включений значениях с будет весьма малой величиной, которой допустимо пренебречь. Тогда из этого равенства найдем А* — —В*/В|], что равносильно допущению о равенстве нулю электрического потенциала не только в плоскости, соответствующей значению $ — п/2, а во всем объеме шарового металлического включения. Отметим, что это допущение согласуется с известным положением электростатики об однородности электростатического потенциала в проводниках [5]. Исключив с учетом принятого допущения из равенств (19) и (20) коэффициенты В*, Ат и Вт, запишем

В _ £о(а — ЬС) Вт = а + 2ЬС '

где а — 2(1 — В3)(1 — Су) + (1 + 2В3)(1 + 2Су)С*, Ь — (1 — В3)(2 + Су) + (1 + 2В3)(1 — Су)С*, С — С/Ст.

Заменим составную шаровую частицу равновеликим шаром радиусом Вт из однородного материала с искомым значением с электрической проводимости композита. Это приведет к исчезновению возмущения в распределении электрического потенциала в окружающем такой шар материале, что равносильно условию В — 0, которое приводит к формуле

- — 2

На рис. 3 в полулогарифмических координатах представлены построенные по формуле (21) графики зависимости С от Су при значениях <7* — 0,1, 1, 2, 5 (соответственно штрих-

100

50

20

10

а

0,5

¿1!

№

Ау

< сЛ ё

П*' г ,

У

к

к**

-£3- ..-•В _____ *----- о— -В— ..-В"

>---- >-----

'"-О-

0

0,2 0,4 0,6 0,8 С

v

Рис. 3. Зависимости а от Су при различных сочетаниях значений параметров а* и К

пунктирные, сплошные, пунктирные и штриховые линии) и R = 0,8, 0,9, 0,95, 0,99 (линии соответственно с ромбами, кружками, квадратами и без символов). Следует отметить, что даже в случае сравнительно тонкого электроизолирующего слоя (R = 0, 99) при а* < 1 уменьшение этого параметра заметно влияет на величину а, причем для R = 0,8 и 0,9 при а* = 0,1 даже а < 1, т.е. электрическая проводимость композита меньше, чем у материала матрицы. Вместе с тем при R = 0, 99 влиянием изменения а* в промежутке [1, 5] можно пренебречь.

Заключение

Количественный анализ построенных на основе вариационного подхода двусторонних оценкок электрической проводимости композита с диэлектрической матрицей и дисперсными металлическими включениями показал, что для реальных сочетаний материалов матрицы и включений, когда их электрические проводимости могут отличаться более чем на 10 порядков, эти оценки приводят к весьма широкому диапазону возможного изменения указанной характеристики композита. Поэтому в качестве рабочей расчетной зависимости предложено использовать соотношение, полученное путем непосредственного решения задачи электрокинетики для представительного элемента структуры композита в предположении идеальной проводимости металлического включения. Из количественного анализа этой зависимости следует, что она адекватно отражает влияние свойств структурных элементов композита на его электрическую проводимость.

Работа выполнена по гранту НШ-1432.2014.8 программы Президента РФ поддержки ведущих научных школ, проекту № 1.2640.2014 в рамках реализации государственного задания, проекту 1712 в рамках реализации государственного задания Минобрнауки РФ.

Список литературы

1. Физика композиционных материалов / Под общ. ред. Н.Н. Трофимова. В 2-х т. Т. 2. М.: Мир, 2005. 344 с.

2. Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А.М. Прохоров. М.: Сов. энциклопедия, 1983. 928 с.

3. Тареев Б.М. Физика диэлектрических материалов. М.: Энергоиздат, 1982. 320 с.

4. Электрические свойства полимеров / Под ред. Б.И. Сажина. Л.: Химия, 1986. 224 с.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 10 т. Т. 8. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992. 664 с.

6. Виноградов А.П. Электродинамика композитных материалов. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 208 с.

7. Политехнический словарь / Гл. ред. А.Ю. Ишлинский. М.: Сов. энциклопедия, 1989. 656 с.

8. Димитриенко Ю.И., Соколов А.П., Маркевич М.Н. Математическое моделирование диэлектрических свойств полимер-керамических композиционных материалов методом асимптотического осреднения // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 10. DOI: 10.7463/1013.0623343

9. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с.

10. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Пугачев O.B. Вариационный подход к оценке диэлектрической проницаемости композита с дисперсными включениями // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2015. №2. С. 37-49. DOI: 10.7463/mathm.0215.0769483

11. Толмачев В.В., Головин А.М., Потапов B.C. Термодинамика и электродинамика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. 232 с.

12. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценки диэлектрической проницаемости композита с дисперсными включениями // Bестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2015. №3. С. 50-64.

13. Физические величины: Справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.

14. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials // J. Appl. Phys. 1962. Vol.33. P. 3125-3132. DOI: 10.1063/1.1728579

Mathematics Í Mathematical Modelling

Electronic journal of the Bauman MSTU

Mathematics and Mathematical Modelling of the Bauman MSTU, 2015, no. 3, pp. 59-72.

DOI: 10.7463/mathm.0315.0793596

Received: 10.07.2015

© Bauman Moscow State Technical University

http://mathmjournal.ru

Mathematical Modeling of Electrical Conductivity of Dielectric with Dispersed Metallic Inclusions

Zarubin V. S.1'*, Kuvyrkin G. N.1, Pugachev O. V.1 *fh2@bmstu.ru

1 Bauman Moscow State Technical University, Russia

Keywords: composite, dispersed metallical inclusions, electrical conductivity, dielectric loss

Composites are increasingly used for application in engineering as structural, thermal protection and functional materials, including dielectrics, because of a wide variety of properties. The relative dielectric constant and the dielectric loss tangent are basic functional characteristics of a composite used as a dielectric. The quantitative level of these characteristics is mainly affected by the properties of the composite matrix and inclusions as well as their shape and volume concentration. Metallic inclusions in a dielectric, which serves as a function of the composite matrix, expand electrical properties of the composite in particular increase its dielectric constant and dielectric loss tangent and thereby greatly expand its application field. Dielectric losses are defined by the imaginary component of the complex value of the relative dielectric constant of the dielectric. At a relatively low vibration frequency of electromagnetic field affecting the dielectric, this value is proportional to the electrical conductivity of the dielectric and inversely proportional to the frequency. In order to predict the expected value of the electric conductivity of the dielectric with metallic inclusions, a mathematical model that properly describes the structure of the composite and the electrical interaction of the matrix and inclusions is required.

In the paper, a mathematical model of the electrical interaction of the representative element of the composite structure and a homogeneous isotropic medium with electrical conductivity, which is desired characteristics of the composite, is constructed. Globular shape of the metallic inclusions as an average statistical form of dispersed inclusions with a comparable size in all directions is adopted. The inclusion is covered with a globular layer of electrical insulation to avoid percolation with increasing volume concentration of inclusions. Outer globular layer of representative structure of composite elements consists of the dielectric material matrix.

Quantitative analysis of two-sided estimates of possible values of the electrical conductivity of the composite, which are constructed by using dual variational electrokinetics problem statement for a heterogeneous solid body, showed that for real dielectric matrix material combinations and metallic inclusions in case when their electrical conductivity can differ by more than 10

orders of magnitude, these estimates can vary widely the specified characteristics of a composite. Therefore, to obtain the estimated effective dependence, a solution to the electrokinetics problem for representative element of the composite structure based on the assumption about ideal conductivity of metallic inclusions is found. It is shown that this dependence reflects properly the influence of the properties of the structural elements of a composite on its electrical conductivity.

References

1. Trofimov N.N., ed. Fisika kompozitsionnykh materialov. V 2 t. T.2. [The phisicss of a composites. In 2 vols. Vol. 2]. Moscow, Mir Publ., 2005. 344 s. (in Russian).

2. Prokhorov A.M., ed. Fizicheskii entsiklopedicheskii slovar [Phisical encyclopedic dictionary]. Moscow, Sovetskaia entsiclopediia, 1983. 928 s. (in Russian).

3. TareevB.M. Fisika dielectricheskikh materialov [The phisics of dielectric materials]. Moscow. EnergoatomizdatPubl., 1982. 320 s. (in Russian).

4. 4. Sajhin B.I. Electricheskie svoistva polimerov [The electric properties of polymers]. Leningrad, KhimiaPubl., 1986. 224 s. (in Russian).

5. Landau L.D., Lifshits E.M. Teoreticheskay fizika. V 10 t. T.8. Electrodynamika sploshnykh sred [Teoretical physics. In 10 vols. Vol. 8. Electrodynamics of continuous media]. Moscow, Nauka, 1992. 664 s. (in Russian).

6. Vinogradov A.P. Electrodinamika kompozitnukh materialov [The electrodynamics of composites]. Moscow, Editorial URSS Publ., 2001. 208 s. (in Russian).

7. Ishlinskii A.Yu., ed. Politekhnicheskii slovar ' [Politechnical dictionary]. Moscow, Sovetskaia entsiclopediia, 1989. 656 s. (in Russian).

8. Dimitrienko Yu.I., Sokolov A.P., Markevich M.N. Modelirovanie dielectricheskikh svoistv polimer-keramicheskikh kompozitsionnykh materialov metodom asimptoticheskogo osredne-nia [Mathematical simulation of dielectric properties of polymer-ceramic composite materials, using the asymptotical averaging method]. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU,, 2013, no. 10. DOI: 10.7463/1013.0623343

9. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Matematicheskie modeli mekhaniki i elektrodinamiki sploshnoi sredy [Mathematical models of mechanics and electrodynamics of continuous media]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2008. 512 s. (in Russian).

10. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Pugachev O.V. Variatsionnyi podkhod k otsenke dielectricheskoi pronitsaemosti kompozita s dispersnymi vklyucheniami [A variational approach to the estimate of the permittivity composite with dispersible inclusions]. Matematika i matematicheskoe modelirovanie = Mathematics and mathematical modeling, 2015, no. 2, pp. 37-49. DOI: 10.7463/mathm.0215.0769483

11. Tolmachev V.V., Golovin A.M., Potapov V.S. Termodinamika i electrodinamika sploshnoi sredy [The termodynamics and electrodynamics of continuous media]. Moscow, Moscow University Publ., 1988. 232 s. (in Russian).

12. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Yu. Qtsenki dielectricheskoi pronitsaemosti kom-pozita s dispersnymi vklyucheniami [A estimates of permittivity of composite with dispersible inclusions]. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Priborostroenie = Bulletin of the Bauman MSTU. Ser. Devise Building, 2015, no. 3, pp. 50-64.

13. Grigorev I.S., MeilikhovE.Z., eds. Fisicheskie velichiny [Phisical values]. Moscow, Energoat-omizdatPubl., 1991. 1232 s. (in Russian).

14. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials. J. Appl. Phys., 1962, vol.33, pp. 3125-3132. DOI: 10.1063/1.1728579