О НЕЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ОПЕРАТОРОМ КАПУТО И НЕЛИНЕЙНОЙ НАГРУЖЕННОЙ ЧАСТЬЮ

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 13. № 3 (2021). С. 45-57.

УДК 517.95, 517.956.6

О НЕЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ОПЕРАТОРОМ КАПУТО И НЕЛИНЕЙНОЙ НАГРУЖЕННОЙ ЧАСТЬЮ

Аннотация. Данная работа посвящена доказательству однозначной разрешимости нелокальных задач с интегральным условием склеивания для одного класса уравнения третьего порядка с парабол о-гиперболическим оператором, включающим дробную производную Капуто и нелинейное слагаемое, содержащее след решения и(х, 0). Так как рассматриваемое уравнение является уравнением третьего порядка, в котором дифференциальный оператор первого порядка с коэффициентами a, b и с действует на параболо-гиперболический оператор второго порядка, на корректную постановку краевых задач существенное влияние оказывают коэффициенты a, b и с. Поэтому, перед тем как приступить к полной формулировке исследуемых задач, приведем краевые условия в их постановке для различных случаев поведения коэффициентов a, b и с.

В первой части данной работы сформулирована нелокальная задача (т.е. задача I.) с интегральным условием склеивания, в случае 0 < Ъ/а ^ 1. Исследование этой задачи эквивалентным образом сводится к нелинейному интегральному уравнению типа Вольтерра и доказывается однозначная разрешимость методом последовательных приближений. Вторая часть работы посвящена корректной постановке и изучению других нелокальных задач, корректные постановки которых тесно связаны с другими возможными случаями а и Ь. Излагается подробное исследование нелокальной задачи II. Далее, в виде замечаний описываются ход исследования других поставленных задач.

Ключевые слова: параболо-гиперболический оператор, дробная производная Капу-то, нелинейное нагруженное слагаемое, интегральное условие склеивания, нелинейное интегральное уравнение.

Mathematics Subject Classification: 35М10, 34К37, 35R11

1. Введение

Пусть Q - одноевязная область, ограниченная при у > 0 сегментами ВВ0, В0А0, А0А (соответственно на прямых х = 1, у = h, х = 0) и при у < 0 характеристиками

B.I. islomov, О.Кн. Abdullaev, On non-local problems for third order equation with Caputo operator and non-linear loaded part. (с) Иеломов Б.И., Абдуллаев О.Х. 2021. Поступила 1 июля 2020 г.

Б.И. ИСЛОМОВ, О.Х. АБДУЛЛАЕВ

АС : X + у = 0, ВС : X - у=1

уравнения

где С (2, — 2) ; a, b и с - действительные постоянные, причем а2 + Ь2 = 0,

д 2 и

i Li« =

Lu =

с

= —сDoyu + fi(x,y;u(x,о)), (x,y) e ^i,

52 u d2u

¿2« = ^ — ^ + МЗД 0)) (x,y) e ^ дифференциальный оператор Капуто порядка (0 < а < 1) [1], [2]:

1

f I

Г

о

и

= П П{у> 0} , П2 = ^ П {у < 0} .

Хорошо известно, что локальные задачи для уравнения (1.1) с непрерывными и разрывными условиями склеивания при /¿(х,у; и(х, 0)) = 0 и а = 1, были исследованы в работе [3]. А для уравнения третьего порядка с параболо-гиперболичееким оператором целого порядка, включающего линейные нагруженные части, исследованы только локальные задачи с непрерывным условием склеивания (см. [4], [5]). Хотелось бы отметить, что методы, использованные в работах Т.Д. Джураева [3] и У.И. Балтаевой [4], [5], не достаточны для уравнения (1.1) при /¿(х,у; и(х, 0)) = 0и0 < а < 1. Это больше связано с оператором дробного дифференцирования (в нашем случае с оператором Капуто), а получаемые интегральные уравнения и методы их исследования, связаны с нелинейной частью рассматриваемого уравнения.

Локальные и нелокальные задачи с непрерывными и интегральными условиями склеивания для нагруженных параболо-гиперболичееких уравнений второго порядка, содержащие различные операторы как Капуто, Римана - Лиувилля и др., были исследованы в работах [6] [8].

Отметим, что вышеизложенные уравнения описывают некоторые проблемы оптимального управления, регулирования этикет грунтовых вод и влажность почвы, подземных жидкостей и газодинамики, математической биологии, экономики, экологии и чистой математики [9] [12]. Более того, краевые задачи для дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с нелокальными краевыми условиями встречаются в различных областях механики, физики, биологии, биотехнологии и др. (см. [13] [15]).

Сначала, приведем некоторые условия, необходимые для постановки задач, связанных с возможными случаями коэффициентов а, Ь :

и

ихх

ихх

А

—и (0(х)) =а1(х)щ(х, -0) + а2(х)их(х, -0) + а3(х)и(х, 0) + а4(х), 0 ^ х < 1, (1.6) ах

ди . , . . 1 ,

^ Цс =МХ), 0 ^ ж ^ ^, С1-7)

ди . , . . 1 ,

^ |вс =МХ), 2 ^ х ^ 1,

где п - внутренняя нормаль, 9(х) = в (|, — , <Р](у), а^(х) (] = 1, 4), ^(ж) (г = 1, 2) -заданные функции.

y

2. Постановка задачи

Определение 2.1. Функция и(х,у) называется регулярным решением уравнения (1-1), если она, имеет непрерывные производные, входящие в оператор Ьи, более того Ьи е С 1(О \ АВ).

Задача I. Найти регулярное решение и(х, у) уравнения (1.1) в области О \ АВ со следующими свойствами:

1) и(х,у) е С (О) п С1 (О \ ВС), ихх е С (О! и АЛ);

2) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям (1.3), (1.4), (1.6) и (1.7);

3) имеет место интегральное условие склеивания:

Иш сЩуи

у^+0 у

+ Х4(х^ г(г)и(г,о)(И + х5(х), о

где Хг(х) (г = 1,5) - заданные функции, причем

4

Е >*(*) = о.

г=1

3. Исследование задачи i.

Обозначим,

'ul(x,y), (х,у) е О1

и

и(х,У) 1 ( \ (

U2(X,y), (Х,у) е О2. Тогда, уравнение (1.1) мы можем переписать в виде двух систем: Щхх - сОоуи1 + Ь(х,у; и1 (х, 0)) =Ь1(х,у),

Г

и

гщхх - Щуу + ¡2

,, , п

ау1х + оу1у + су1 =0,

,, , п

аУ2х + 0У2у + СЮ 2 =0,

где Уг(х,у) е С1 (О^), г = 1, 2 - достаточно гладкие функции. Пусть 0 < Ь/а ^ 1, тогда, предполагая а > 0, Ь > 0, получим

+ а к ^ 1 + а Г

0 <Ь ^ , 0 ^ Ъх - ау ^ , (х,у) е О2.

Отметим, что общее решение уравнения

аУгХ + ЬУгу + СУг = 0,

имеет вид:

г С 1

Уг

I 2ао J

где ч^г(Ьх - ау), (г = 1, 2) - произвольные непрерывно-дифференцируемые функции. На основе (3.3) вместе с (3.1) и (3.2) будем рассматривать следующие уравнения:

Щхх - сЩУЩ + Ь

X

Щхх — Щуу + ¡2

Легко заметить, что решение задачи Коши для уравнения (3,5) е начальными данными и(х, —0) = т(х), иу(х, —0) = т/-(ж) в области П2, имеет вид:

х+у

т(х + у) + т( х — у) 1

U2

2

+ 2 1

х-у

х-у х-у

1 ( м ( , {< + '4 ¡¡ — л {$ + V

х+ у

х-у х-у

7) ехр{—ь О

1 [ [ (Ь — а, Ь + а \ (—с (Ь + а, Ь — а

х+у £

Учитывая (их + иу)|^с = л/2ф1(х), воспользовавшись условиями (1.6) и (1.7), из (3.6) соответственно, находим:

х

2

1 [ (Ь — а Ь + а

+ 7Т I 'Ш2\ о £ +--—X

2

и

= (Л (^ " ^ ¡Г ) — (

а + Ь а + Ь \а + Ь С другой стороны, в силу (1.4) и учитывая

с^0ущ (0, у) = со%уМу), т(0) = М0) при х ^ +0, из (3.4) следует, что

с

т1

т.е.

(у) = ) — ^>1 ( ) + ¡1(0, — ^1(0)) ) ехр

)ехр (—й)-

3.1. Основной результат.

Теорема 3.1. Если выполнены условия:

(у) еС2(0, к) П С 1[0, к], Му),<Рэ(у) е С 1(0, к) П С[0, к]; а^ (х) еС [0,1] ПС2 (0,1) , Хз (х),Х5(х) еС [0,1] ПС1 (0,1) , ] = 1, 4;

ф1(х) еС2( 0,1) ПС1

1 2

¡г(х, у;и(х, 0)) е С (Пг) ПС 1(Пг), г = 1, 2;

1 fi(x, у; п(х)) — fi(x, у; Т2(х))1 ^ ^1 п(х) — Т2(х)1 г=1,<2,

где Ь.1 = сопзЬ > 0, г = 1, 2, то решение задачи I существует и единственно.

х

Доказательство. В силу обозначений,

и

у^+о у

при у ^ +0 из (3.4) с учетом условия склеивания (2.1), имеем

х

т"(х) — Ai(x) и-(х) — Х2(х) т'(х) — Х3(х)т(х) — Х4(х) r(t)r(t)dt

о

+ f1(х, 0; т(х)) = ,ш1(Ьх)е-2 + Х5(х). Учитывая (3.7), из (3.15) после несложных упрощений, при 2а 1(х) + 1 = 0 получим:

т"(х) + А1(х)т'(х) + В1(х)т(х)+С1(х) I f2[ , ^

+f1(х, 0;т(х)) + Х4(х) J r(t)r(t)dt = ¡(х),

о

где

А1

С\

2(1 +2а 1 (х))'

™ = — «Mähi ^ + ^ х) «*(^+-хк

о

Х1

1 + 2 а1

+ т1(Ьх)е 2а + Х5(х).

Предполагая а = b и вводя замену ^тС + ~х = t, функцию f(х) можем переписать в виде:

ч Х1(х) f , . с(а+ь) t+-^-x ,

Пх) =(« — Ь)(1 + 2а1(х)) J W(i)e2-Ь<-" +Ь- dt

Ь + ах 2 '

-х

Х(х)аАх) . . -сх 1К +wi(Ьх)е 2а + Х5(х).

1 + 2 а\

Далее, учитывая (3.8) после некоторых упрощений окончательно имеем

Ъх а+Ъ

=(« - ,-; - ^ м)*

х 2

А1 (х)а4(х) . . -сх ^ ' 4у (Ьх)е^ + Х5(х).

1 + 2 аг (х) Учитывая

т

х

и дважды интегрируя (3,16) по х от 0 до ж, получим

х х х

т(х)^[(х — г)(в1(г) — (г)) + А1(г)]т(г)сИ ^ т(г)сИ ^ г(г)(х — г)Х4(г)с1г

О 0 4

х х

х — г)¡1(1, 0;т(Ь))(И + 2 J(х — Ь)С1 (¿) & У ¡2(в,в — Цт^)^

о о г/2

ы

х а + Ь х

2(а + Ь) Г(х — г)С1(г)(И [ еС^а——Ь1 ¡2(8, — 8;т(8))ё.8= !(х — г) (т1(Ы)е-2а +Х5(1))М

а — Ь

о {/2

ы

а+Ь

— ^а — + Ь) /

о /2

х

о

Таким образом, мы получили нелинейное интегральное уравнение типа Вольтерра:

С1(г)<и

ы

х '

т(х) =2 у (х — г) о

( а + Ь I \

(а + Ь) I с(2в—г) Г

а_ь е а—Ь ¡2(8, — 8; Т(8))(18 — ¡2(8 ^ — Р;Т(8))(18

\а 2 2 )

— у К^х, Ь)т(Ь)М — у (х — г)¡1(1, 0;т(Ь))сИ + ¡*(х), оо

где

х

К1(х, г) =(х — г)(в1(г) — А[(г)) + А1(г) + г(г)^ (х — г)Х4(г)с1г,

х

/*(х) =/(х — г)^1(Ы)е-й — Х+За^ + Х5(*)) ^ + х(М0)М0) + ^(0) — 0)) о2

ы

х а + Ь

— а-+6) /(Х — 1)С1(г)^ ! е-^а-1 ф[(8)й8 + ф1(0).

о /2

В силу (3.10)—(3.12), из последнего имеем:

\\К1

где М, ¡0 = сопвЬ > 0. Учитывая неравенства

\\и(х, у;т(х))\\с ^ ¡Ог, \\С1(х)\\с ^ со

х

х

и предполагая т0(х) = ¡*(х), из

тп

2

ъг

а + Ъ

с

(х - г)С1 (г)(И е а-Ъ ¡2(э, - в; Тп-1(в))(18

- 2 (х - ^С^М / ¡2(8,8 - Ц Тп—1 (5 ))йз

- К1(х,г)тп-1(г)сИ- (х - г)¡1(1,0; тп-1(г))сИ + ¡*(х),

получим

IIп(х) - То(х)\\с ^ X • С01,

где ¡0, с0, с01 = с о п в Ь > 0, причем

1 Г (а +Ъ)Со ¡02 Со ¡02 , . , ¡01 С01 = - • шах<--—--^ ; М¡о; —

4 [ а-Ь ' 3 Далее, в силу (3,13) е учетом (3,22), из (3,21) находим:

2

i

х

IIъ(х) - п(х)\с • С11 • С12 + Ж • С13 ^ 2! • с01т; \г3(Х) - Т2(х)\\с ^ ^ • С21 + 4 • С22 + ^ ^ С23 ^ ^ ^ ^^,

где

М

С11 =С01 •

С12 = С01 •

Ь1

С13 = С01 •

СоЬ2

2' ~12 ~01 6 ' ~13 ~01 а-Ь С21 =т • Си, С22 = т • С12, С23 = т • С13,

1

т =- • шах < —; —;-;-

3 | 2 ' 6' а-Ь

Таким образом, окончательно имеем:

IТп(х) - Тп-1(х)\\с ^ С01 тп-1 • —.

п!

На основе (3.23) заключаем, что уравнение (3.19) имеет сжатый оператор, более того имеется единственная неподвижная точка этого оператора. Следовательно, нелинейное интегральное уравнение (3.19) имеет единственное решение в классе С[0,1] П С2(0,1).

Замечание 3.1. Если а = Ъ, то учитывая

№

а\1

с

сх \ \1(х)а4(х) . . -сх

т2

(ах) (е -

1 + 2а1

и

,Ш2

(*) = М - ^ (Я)f

2 а 2а

х

2а

х

2а

из (3.16) аналогично получаем нелинейное интегральное уравнение Вольтерра:

т(х) =4^ 1(х - 2Ь)С1(2Ь) (е-1 - ^ , -; т(Ь)) & - 2 I (х - ^С^М I 5, 5 - Ц т(в))(!.

г/2

X

X

X

X

X

2

- Кг(х, Ь)т(Ь)сИ- (х - г)¡г0;т(Ь))сИ + /*(х),

где

X

Ц

(х - 2г)с\(2г) (е-? - ^ (г)сИ + (0).

-

в области О2 восстанавливается как решение задачи Коши (см. (3.6)).

Замечание 3.2. В случаях 2а\(х) + 1 = 0, 2а2(х) - 1 = 0 и 2а(х) + 1 = 0, а3(х) = 0

ния Вольтерра, которое следует из (3.7).

Решение исследуемой задачи в области О2 восстанавливается аналогично (см, (3,6)), а в области Ог как решение первой краевой задачи для уравнения (3,4) [16]:

у У 1

«(х, У)= (х,y, ° (гп)Лг] - °(х,y, 11, г])^2(гп)Лг] + Go(х,C, У)т(0^

у

(с(Ь£ + аг]) \

Ш(Ъ^-а7])е 2аЬ - ¡1(С,

0 0

где ш(.) определяется из (3,9) и

Со

1

Г

V aG(х,y,C, г])(к],

G(х,y,C, Ч) =

2 те

2 X-

г,2 ( \х - ^ + 2п\

функция Грина первой краевой задачи,

1,

еМ =

(

£

п=0

(У - Л) 2

) - (-'

\х_+С+2п] (У - V)2

п!Г

функция типа Райта [16],

2 ( х) + 1 = 0, 2 2( х) - 1 = 0 2 а ( х) + 1 = 0, а3(х) = 0 сначала определяется ь>+(х) из решения первой краевой задачи (см, (3,24)), потом, воспользовавшись условием склеивания, находится и-(х) при ^(х) = 0.

а

Задача II. Найти регулярное решение и(х, у) уравнения (1.1) в области О \ АВ

со следующими свойствами:

X

X

2

1

2

п=—оо

п

1) и(х, у) Е С(П) П С1 (П), ихх Е С(Пг U ААо);

2) и(х, у) удовлетворяет всем условиям задачи I и (1.8) для 1 < b/a <

Замечание 4.1. Для, корректной постановки задачи подбираются, необходимые условия, для, определения, неизвестной функций Wi(bx — ay), i = 1, 2, которые по аргументу полностью охватывают рассматриваемую область при соответственных условиях a .

условие (1.8).

Задача III. Требуется определить регулярное решение и(х, у) Е С(П) П С), ихх Е С(Пг U ВВ0) в (1.1) в области П \ АВ, удовлетворяющее всем условиям задачи II, при этом, (1.4) меняется на (1.5), для — ж < b/a < —1.

Задача IV. Требуется определить регулярное решение

и

из уравнения (1.1) в области П \ АВ, удовлетворяющее всем условиям задачи III кроме (1.7) для —1 ^ b/a < 0.

a ,

III и IV условие для, определения, неизвестных функций Wi(bх — ay), i = 1, 2, в отличие от задач, I и II ставится на отрезке х = 1.

4.1. Исследование задачи II. Пусть 1 < Ь/a < тогда предполагая a > 0 и b > 0, имеем b > (a + b)/2, следовательно

b + a

0 ^ Ьх — ay ^—-—,

b + a

- ^ Ьх — ay ^ b,

Здесь П21 и П22 - характеристические треугольники АВЕ и ВСЕ соответственно, где Е = Е (ь+, 0) , нричем П21 U СЕ U П22 = П2.

Пусть имеет место неравенство (4.1), тогда из решения (3.6), применяя (1.6) и (1.7), соответственно находим функциональное соотношение (3.7) и ш21(х) ( см. (3.8)):

W21

В случае (4.2), пользуясь условием (1.8) и учитывая (иу — их)\вс = л/2ф2(х) из (3.6), находим w22(х) :

W22

Следует отметить, что

Ía + b

W21(х), 0 ^ х ^ —— ;

^ <•+" \

W22(х), ^ х ^ b

0 < х < .

a + b\ fa + b^

fa + b\ fa + b\

W21{—) = W22{—)

при

«(2)=^ (2 )•

В силу (4,5) и (3,7), из (3,15) имеем

х Ь

т(х) =Ф(х, т(х)) - 2 !(х - Ь)Сг(Ь)(И ^ ¡2( в - Цт( з)) <1з

о г/2

X X

- J Кг(х, ¿)т(Ь)& - !(х - г)/г(Ь, 0;т(Ь))М + д*(х), 00

где

а + Ь 2

Ф(х, т(х)) =-- т2\(г)К2(х, г)¿г

-

0

bх X

2 [ с(а+Ь)г Г сЛ

+--- 'ш22(г)е 2аЬ(Ь-а)(1г (х - г)Сг(г)е2(Ь-а)(И,

а+ъ х/2

2 '

2 г Ь+а

с(а+Ь)г [ сЛ а + Ь

е 2аь(Ь-а) (х - ь)Сг(Ь)е2(Ь-а)&, 0 ^ г ^ х;

К2 (х, г) = <

X

с(а+ь)г г сл а + Ь а + Ь

е 2а ь( ь-а) (х - ь)Сг(Ь)е 2( Ь-а)М, ——х ,

22

<И

/2

X

9*(х) = /(х - г)(ъ>г(Ы)е-% + Ш -

02

+ х(ъг(0)Аг(0) + л/2ф3(0) - Жг(0)) + фг(0). Подставляя (4.3) и (4.4) в (4.7), получим

а + Ь 2

Ф(х, т(х))=-- е^дат /Л --г— ;Т(^Л\к2(х, г)<1г

а - а + а + а + 0

bх X

2 [ -с (г - а х - а _ [% - а\\ , С . . сл

+ —ь]е-' '2 (~а - 1;Т{—а))*Ч{х - )С )е

а+Ь х/2

2 '

2

2(а + Ь) [' с(Ъ-а)г

е 2аЬ /2 (г, -г;т(г))К2(х, г(а + Ь))с1г

а -

0

Ьх-а

Ь -а X

- 2е-а ! ¡2 (г,г - У (х - Ь)Сг(Ь)еФ^М.

1 г(Ь-а) + а

2 2

Более того, учитывая

CZ

(х - t)Ci (t)e 2( ь-а) dt

z(b — a) + a

2

^ const и \\К2(х, z)\\c ^ const,

с

выводим, что

\\Ф(х, т(х))\\с ^ mi

f2 (z, -z;r(z))dz

+ m2

с

bx-a b — a

f2 (z, z - l;r(z))dz

с

где т\,т2 = const > 0.

В силу (3,13) и второго условия (3,12), также предполагая т0 = тах{т\,т2}, получим:

b — а

\\Ф(х, Tn-i(x)) - Ф(х, тп-2(х))\\с ^ mL2

bx-a b — a

\Tn-i(z) - Tn-2(z)\dz

с

^ moL2 (Ьх - а\

^ -:— --  COnSt.

\ b - а J

n\ \ b — a

Далее, учитывая х < npa b > а, аналогичными рассуждениями для уравнения (4,6), выводим:

и / \ / \ и

||тп(х) — Тп-1(х)Цс ^ 77-Г—.  const.

(b — а)пп\

Таким образом, заключаем что уравнение (4,6) однозначно разрешимо как нелинейное интегральное уравнение Вольтерра,

X

Имеет место следующая теорема.

Теорема 4.1. Если имеют место все условия Теорем,ы, 3.1 и

ф2(х) ЕС2(2, l) 1

то задача II однозначно разрешима.

Замечание 4.3. При исследовании задачи II неизвестную функцию т(х), можно определить как решение нелинейного интегрального уравнения при 2а1(х) + 1 = 0, 2а2(х) — 1 = 0, или 2а1(х) + 1 = 0, а3(х) = 0, точно также, как и в задаче I.

Замечание 4.4. Исследования, задач, III и IV редуцируются к задаче Коши для, уравнения, (3.16) с начальными условиями т(1) = р2(0), т'(1) = <р'2(0) — л/2ф2(0).

Пусть —1 ^ ^ < 0, тогда неизвестная функция т2(х) определяется из условия (1,8), и имеет вид (4,4), В другом случае, т.е. при —ж> < ^ < — 1, функция т2(х) определяется как (4,5), Следует отметить, что в этих случаях мы получим линейное интегральное уравнение типа Фредгольма при f.\(х, у; т(х)) = 0 и \4(х) = 0. Следовательно, требуется отдельно доказать единственность решения задачи, или наложить дополнительные условия на заданные функции, обеспечивающие однозначную разрешимость соответствующего линейного интегрального уравнения типа Фредгольма, Но, так как f.\(х, у;т(х)) = 0, г = 1, 2,

l

-, 1 2'

то мы получим нелинейное интегральное уравнение е Фредгольмовыми и Вольтерровеки-ми операторами,

С другой стороны, если интегральное слагаемое условия склеивания (2,1) заменить на

1

Х4(х) j r(t)r(t)dt,

х

и соответствующее нелокальное условие (см, (1.6)) ставить на характеристике ВС, то мы опять получим нелинейное интегральное уравнение типа Вольтерра.

Замечание 4.5. Похожие задачи, для (1.1) при b = 0, а,с = 0 можно исследовать аналогичным методом.

Такие задачи были изучены в работе [17] при

п

fi{x, у; u{х, °)) = Рк IoX:U{X;0), i=1, 2 к=1

а = 0, , = 0

дованы даже при f\(x, у; и(х, 0)) = 0. Отметим, что методы исследования, использованные

а = 0, , = 0, операторы дробного дифференцирования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. I. Podlubniv. Fractional differential equations. Academic Press, New York, 1999.

2. S.G. Samko, A.A. Kilbas, O.I. Marichev. Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications. Gordon and Breach, Longhorne, PA, 1993.

3. Т.Д. Джураев и др. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. Ташкент. ФАН. 1986.

4. В. Islomov, U. Baltaeva. Boudanry-value problems for a third-order loaded parabolic-hyperbolic type equation with variable coefficients // EJDE 2015:221. HO (2015).

5. U. Baltaeva, P. Agarwal. Boundary value problems for a third-order loaded equation with noncharacteristic type change boundaries // Math. Meth. Appl. Sci. 41:9. 3305-3315 (2018).

6. O.Kh. Abdullaev, K. Sadarangani. Non-local problems with integral gluing condition for loaded mixed type equations involving the Caputo fractional derivative // EJDE 2016:164. 1-10 (2016).

7. K. Sadarangani, O.Kh. Abdullaev. About a problem for loaded parabolic-hyperbolic type equation with fractional derivatives // International Journal of Differential Equations 2016:9815796. 1-6 (2016).

8. O.Kh. Abdullavev. Solvability of a non-local problem with integral gluing condition for mixed type equation with Erdelyi-Kober operators // Fractional Differ. Calc. 7:2. 371—383 (2017).

9. A.M. Нахушев. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги // ДАН СССР 242:5. 1243-1247 (1978).

10. A.M. Нахушев. Нагруженные уравнения и их приложения. М.Наука. 2012.

11. E.N. Zhuravleva, Е.А. Karabut. Loaded complex equations in the problem of impact of jets // Comput. Math, and Math. Phvs. 51:5. 876-894 (2011).

12. I.S. Lomov. A theorem on unconditional basis property of roots vectors of second order weighted differential operators // Differential Equations 27:9. 1550-1563 (1991).

13. F. Bloom. Ill-posed Problems for Integro-differential Equations in Mechanics and Electromagnetic Theory. SIAM. 1981.

14. К. Schumacher. Traveling-front solutions for integro-differential equations II // In.: Joger W., Rost H., Tautu P. (eds). Biological Growth and Spread. Lecture Notes in Biomathematics: 38. 296-309 (1980).

15. N. Apreutesei, A. Ducrot, V. Volpert. Travelling waves for integro-differential equations in population dynamics // Discrete and Continuous Dynamical Systems - В 11:3. 541-561 (2009).

16. A.V. Pskhu. Solution of boundary value problems fractional diffusion equation by the Green function method // Differential equation 39:10. 1509-1513 (2003).

17. O.Kh. Abdullaev, A.A. Matchanova. Non-local boundary value problems for a loaded parabolic-hyperbolic type equation of third order involving Caputo operator // Bulletin of the Institute of Mathematics 2018:5. 36-42 (2018).

Бозор Иеломович Иеломов,

Национальный университет Узбекистана им. М, Улугбека, ул. Университетская, 4, 100174, г. Ташкент, Узбекистан E-mail: islomovbozor@yandex.com

Обиджон Хайруллаевич Абдуллаев, Институт Математики им. В.И. Романовского, ул. Университетская, I а. 100174, г. Ташкент, Узбекистан E-mail: obidjon.mth@gmail.com