Численное решение задачи потребительского выбора с нелинейными бюджетными ограничениями

а погодные условия показывают некоторый уровень лавинной опасности, который, тем не менее, ниже отмеченного, выбирается второй вариант. Если землетрясение могло вызвать сход лавин ниже зарегистрированного уровня, а погодные условия не показывают какой-либо уровень лавинной опасности, который все же есть, то наиболее вероятным считается третий вариант. Если и подземные толчки, и метеорологические условия могли вызвать лавины, которые даже при их совместном действии слабее отмеченных, выбирается четвертый вариант.

Анализ данных примера 1 (см. табл.) показал, что лавина вызвана погодными условиями. Действительно, расчет только по ним в соответствии с [2] приводит именно к третьему уровню лавинной опасности.

В результате анализа данных из примера 2 таблицы программой был сделан вывод о сейсмо-генном характере лавины, причем произошло локальное усиление интенсивности подземных толчков на один балл, поскольку ни погодные ус-

ловия, ни даже их совместное с семибалльным землетрясением действие, судя по решению прямой задачи, не могли вызвать каких-либо склоновых процессов.

Таким образом, описанный программный продукт может быть полезен при установлении причин возникновения снежных лавин. Кроме того, он применим для сейсмического микрорайонирования горных территорий, так как позволяет определять локальное усиление интенсивности землетрясений.

Литература

1. Войтковский К.Ф. Лавиноведение. М.: Изд-во МГУ, 1989. 158 с.

2. Зимин М.И. Прогнозирование лавинной опасности (Руководящий документ. Инструкция. РД 52.37.612 - 2000). СПб: Гидрометеоиздат, 2000. 16 с.

3. Поляков С.В. Сейсмостойкие конструкции зданий. М.: Высш. школа, 1983. 304 с.

4. Барри Дж. Шаровая молния и чёточная молния. М.: Мир, 1983. 288 с.

5. Сингер С. Природа шаровой молнии. М.: Мир, 1973. 240 с.

УДК 519.6

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА С НЕЛИНЕЙНЫМИ БЮДЖЕТНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

Икума Иссомбо Ян

В данной работе рассмотрены наиболее распространенные функции полезности, в каждой из которых исследовано численное решение задачи потребительского выбора с нелинейными ограничениями при модификации бюджетных ограничений с использованием математического метода штрафных функций и с учетом разных видов этих функций.

Ключевые слова: теория потребления, функция полезности, штрафные функции, нелинейное программирование, метод штрафных функций.

Считается, что потребитель располагает доходом I, который полностью тратит на приобретение благ (продуктов). Учитывая структуру цен, доход и собственные предпочтения, потребитель приобретает определенное количество благ. Математическая модель такого поведения потребителя называется моделью потребительского выбора. На множестве потребительских наборов х=(х1, х2, ..., х„)е ЯП благ определена функция и(х):ЯП ^ Я, называемая функцией полезности потребителя, которая на потребительском наборе (хь х2, ..., хп) равна потребительской оценке индивидуума для этого набора.

Функция полезности удовлетворяет следующим свойствам:

1. Увеличение потребления одного продукта при постоянном потреблении других ведет к росту потребительской оценки:

8и(х1,..„хп^ си(х1,...,хп) ^ о

9х! ^ .

2. Предельная полезность (первая частная производная) каждого продукта уменьшается, если объем его потребления растет (это свойство предельной полезности называется законом убывания предельной полезности):

д 2u

< 0,.

д 2u(xt,...,xn) ' &2

< 0.

3. Предельная полезность каждого продукта увеличивается, если растет количество потребления других продуктов:

д 2u

dxl dx2

= 0,...,

д 2u(xt,...,xn) ^n-An

= 0.

Линия, соединяющая потребительские наборы (х19 х2, ..., хп), имеющие один и тот же уровень

удовлетворения потребностей индивидуума, называется линей безразличия, которая и есть линия уровня функции полезности.

Задача потребительского выбора заключается в выборе такого потребительского набора (х15 x2, ..., хп), который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении и является задачей выпуклого программирования.

Так как функция полезности выпуклая, на бюджетном множестве существует единственная точка максимума функции полезности.

Бюджетное ограничение означает, что расходы на продукты не могут превышать денежного дохода, то есть р^+.+р^^, где р^^ - рыночная цена одной единицы 1-го продукта, I - доход индивидуума.

Пусть задана целевая функция полезности (предпочтения) потребителя u(x1, ..., хп), где x1 -количество 1-го блага, вектор цен p=(p1, ..., рп) и доход I. Записав бюджетное ограничение и ограничения на неотрицательность, получаем задачу

п

u(x1, ..., хп)^тах при условиях £р.х. < I, х^О,

1=1

i=1, ..., п.

Для решения этой задачи на условный экстремум применим метод Лагранжа к задаче выпуклого программирования. Функция Ь(х, X) = и(х) +

I |, заданная на декартовом произведении RnxR2, называется функцией Лагранжа задачи потребительского выбора.

Выписываем необходимые условия экстремума:

а) условие стационарности:

ЭЬ ( х", X) Эи ( х*) Эх. Эх.

+ Хр = 0, i=1, ..., п,

где x - точка локального экстремума в задаче потребительского выбора;

б) условие дополняющей нежесткости:

Х^рХ -1 ) = 0;

в) условие неотрицательности (согласования знаков) Х>0;

п

г) условие допустимости £ р.х* < I.

1=1

Из условия а) следует, что Х>0, в противном случае все предельные полезности были бы равны нулю, что ведет к противоречию свойства 1. Отсюда вытекает следующая система уравнений:

Эи

"Эх

+ Хр = 0,

£Р!х* -1 = 0.

Логично, что для всех 1, j в точке x* локального рыночного равновесия выполняется

Эи

5х! Эи

Эх,

+ Хр = 0, - + Хр = 0.

ство

Исключив к из этой системы, получаем равен-Эи

Р]

Эи

Итак, в точке оптимума отношение предельных полезностей любых двух благ равно отношению их рыночных цен.

Геометрически решение х* =(х*,х*) можно

интерпретировать как точку касания линии безразличия (линии уровня) функции полезности u(x1, ..., хп) с бюджетной прямой p1x1+PjXj=I (см. рис. 1). Это определяется тем, что отношение ^ и'

-= —1- показывает тангенс угла наклона лии'

нии уровня функции полезности, а отношение -— представляет тангенс угла наклона бюджет-

Р]

ной прямой. Поскольку в точке потребительского выбора (или локального рыночного равновесия) они равны, в этой точке происходит касание данных двух линий.

Задача -u

"к + Ъх=

при условиях £ —1-— х. < I,

1=1 г+1 х1>0, i=1, ..., п

(здесь р = к + - функция, зависящая от х1 г +

(количества благ 1-го вида); к1, 119 г15 «1 - числовые параметры), является двойственной задачей по-

требительского выбора с нелинейными ограничениями.

Основная задача метода штрафных функций состоит в преобразовании задачи минимизации функции -и(х) с соответствующими ограничениями, наложенными на х, в задачу поиска минимума без ограничений функции ук(х)= -и(х)+Рк(х).

Функция Рк(х) является штрафной. Необходимо, чтобы при нарушении ограничений она штрафовала функцию ук(х), то есть увеличивала ее значение. В этом случае минимум функции ук(х) будет находиться внутри области ограничений.

Методы штрафных функций разделяются на методы внутренней и внешней точки. Метод штрафных функций называется методом внутренней (внешней) точки, если все точки последовательности х[к], к=0, 1, 2, ..., являются допустимыми (недопустимыми). Вид метода (внутренней или внешней точки) определяет вид штрафной функции и правило, по которому производится пересчет штрафного параметра после решения очередной задачи безусловной минимизации.

Рассмотрим следующие штрафные функции: внутренняя штрафная функция к

P—(x)= D—

и внешняя штрафная функция

Ix

i=i r + sx

Pk(x) = D—

f U— + lx Ц

max[ У-x - I,0r

I Rri+ sixi JJ

,p > 2,

где Бк- коэффициенты штрафа (штрафные параметры), к=1, 2, 3, ...

Тогда, учитывая штрафную функцию (5), исходная задача потребительского выбора переходит к следующей задаче безусловного экстремума:

ук(х) = -и (х1,...,хп) +

+D,

^.Lk + l.X. 1Y max[У —i-^x -I,0J ^inf,

[^Г + Si-i J J

х£0, 1=1, ..., п.

Алгоритм численной задачи условной минимизации методом штрафных функций заключается в следующем.

1. Задаются е, 51? 52, Б0, с и х[0]; определяется х[0] (внутренняя или внешняя); выбирается штрафная функция Рк; строится расширенная функция ук; полагается к=1.

2. Решается задача безусловной минимизации ук(х, Бк-1)^ш1п, х е ЯП , одним из численных методов. При этом начальная точка х(0)=х[к-1], усло-

вие окончания вычислении v. I x

—

Результатом решения задачи безусловной минимизации является точка х[к], в качестве которой используется оценка х(1) точки минимума задачи безусловной минимизации.

3. Проверяется условие при к=1. Если оно выполняется, осуществляется переход к п. 5. Если условие не выполняется - переход к п. 4.

4. Проверяются условия окончания решения исходной задачи:

|v— ( x[—1 ,D—- f)-v— ( x[—-11 ,D—-2 )|

|v— ( x[—-11 'D—-2 )|

,

x[—1- x[—-4 xj xj

r[—-4

^82'j = 1'...,n.

Если они выполняются, полагается х* = х'к, и* = и(х^) и вычисления завершаются. Если условия не выполняются - переход к п. 5.

5. Определяется Бк=Бк/с (в случае внутренней штрафной функции) и Бк=Бкхс (в случае внешней), полагается к=к+1 и осуществляется переход к п. 2.

Для приведенного численного решения задачи потребительского выбора с нелинейными бюджетными ограничениями были рассмотрены следующие функции полезности:

• функция полезности с полным взаимоза-

п

мещением благ: и(х) = £ Ьх , где Ь1 - числовая !=1

оценка полезности от потребителя единицы блага 1-го вида;

• функция полезности с полным взаимодо-

полнением

благ: u(x) = min|xL, i = 1,...,п|,

где

bj - количество блага i-го вида, приходящееся на единицу полезности;

• функция полезности Кобба-Дугласа:

п

u(x) = a^ xb', где a - фактор шкалы изменения i=1

полезности, bi+b2+.. .+bn=1;

• функция полезности замещающе-дополня-

п

ющего типа: u(x) = j vi (x), где vl9 v2, ..., vn нахо-i=1

n

дятся из системы неравенств x > j bjv ;

i =1

• квадратичная функция полезности: u(x)=

/ \ 1 Т X X

= \a,x) + — x Bx, где a+x B>0; x - транспонированный вектор x; B - положительно определенная nxn матрица;

• логарифмическая функция полезности:

n

u(x) = У a log (x - b), где ai>0, xi>bi>0; i =1

• экспоненциальная функция полезности:

u(x) = — e-w(x), где a>0, w(x)=a1x1+a2x2+^+anxn; a

p

• функция полезности Стоуна: и(х) =

п

= х — а) ' , где а1 - минимально необходимое 1=1

количество 1-го блага, которое приобретается при любом случае и не является предметом выбора, коэффициенты а1>0 характеризуют относительную ценность благ для потребления.

Ввод данных: размерность п=2, параметры штрафной функции к=(300; 300), 1=(50; 50), г=(10; 10) и 8=(1; 1), бюджет потребителя 1=1000. Критерий останова:

К ( х[к] ,Вк-1)-ук ( х[к —1] ,Вк _ 2 )|

( x[k "1] ,Dk _2 )|

^ 4.10"

x[k] _x[k"1]

Xj Xj

[k _1]

£ 10_5.

Для исследования сходимости метода штрафных функций была выбрана следующая внутренняя штрафная функция:

п К пк + 1х

^к(х) = -£ Ь^ + I I—£ -1—^ х1 , (6) 1=1 / V 1=1 1 + 81х1 >

где Ь=(10; 10) - начальное приближение, х=(10; 10) - внутренняя точка.

Результаты минимизации функции (6) методом внутренних штрафных функций отражены в таблице 1.

Таблица 1

Этап Количество Значение

штрафного итераций в методе функции vk

метода градиентного спуска

1 27 -483,748169290347

2 19 -486,601912700893

3 22 -487,504261002403

4 20 -487,789600150714

5 20 -487,879831468878

6 22 -487,90836503274

7 19 -487,917388129467

Результаты эксперимента, отраженные в таблице 1, показаны на рисунке 2.

Для исследования сходимости метода штрафных функций была выбрана следующая внешняя штрафная функция:

Vk(x) = +

i=1

{¿Ь^ x-м}}

Ь=1 ri+sxi JJ

max <

где р=2, Ь=(10; 10) - начальное приближение, х=(20; 20) - внешняя точка.

Результаты минимизации функции (7) методом внешних штрафных функций отражены в таблице 2.

Таблица 2

Этап Количество Значение

штрафного итераций в методе функции vk

метода градиентного спуска

1 46 -487,926299087495

2 23 -487,922034888234

3 24 -487,921608467512

Решение задачи потребительского выбора с нелинейными ограничениями носит особый характер в нахождении оптимального набора товаров, так как это задача нелинейного программирования. Для ее решения был использован математический метод штрафных функций.

Автором разработана компьютерная программа в среде языка программирования Delphi, позволяющая исследовать сходимость метода, используя разные функции полезности при различных штрафных функциях, с заданной точностью получать оптимальный набор товаров.

Литература

1. Андреева Е.А., Цирулева В.М. Вариационное исчисление и методы оптимизации. Тверь: Изд-во ТГТУ, 2001.

2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: учебник. М.: Изд-во «Дело и сервис», 2004.