О предельных распределениях степеней вершин конфигурационного графа

Труды Карельского научного центра РАН №10. 2015. С. 123-130 DOI: 10.17076/mat138

УДК 519.175.4

О ПРЕДЕЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ СТЕПЕНЕЙ ВЕРШИН КОНФИГУРАЦИОННОГО ГРАФА

И. А. Чеплюкова

Институт прикладных математических исследовании Карельского научного центра РАН

Для моделирования сложных сетей телекоммуникаций, в частности Интернета, часто используется конфигурационный граф, степени вершин которого являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами. В настоящей статье рассматривается случайный граф, содержащий N +1 вершину. Случайные величины ni,..., Vn являются независимыми одинаково распределенными, равными степеням вершин с номерами от 1 до N, у которых вероятность Pjní = k}, i = 1,..., N, эквивалентна h(k)/kT при k ^ œ, где h(k) интегрируемая на любом конечном интервале медленно меняющаяся функция и т > 1. Вершина с номером 0 является фиктивной, ее степень равна 1, если сумма степеней всех остальных вершин является нечетной, в противном случае степень равна 0. Рассматривается множество таких графов при условии, что сумма степеней всех основных вершин равна n. Получены предельные распределения максимальной степени и числа вершин с заданной степенью в случае, когда 1 < Ci ^ n/N ^ C2 < Eni при N, n ^ œ.

Ключевые слова: случайный граф, конфигурационный граф, степень вершины, предельное распределение.

I. A. Cheplyukova. ON LIMIT DISTRIBUTIONS OF VERTEX DEGREES IN A CONFIGURATION GRAPH

The configuration graph where vertex degrees are independent identically distributed random variables is often used for models of complex networks such as the Internet. We consider a random graph consisting of N +1 vertices. The random variables ni,..., nN are equal to the degrees of vertices with the numbers 1,..., N. The probability Pjní = k}, i = 1,..., N, is equivalent to h(k)/kT as k ^ œ where h(x) is a slowly varying function integrable in any finite interval, т > 1. The vertex 0 has degree 0 if the sum of degrees of all other vertices is even, else the degree is 1. We obtain the limit distribution of the maximum vertex degree and the number of vertices with a given degree under the condition that the sum of degrees is equal to n and N, n ^ œ, 1 < Ci < n/N < C2 < Eni.

Key words: random graph, configuration graph, vertex degree, limit distribution.

В последнее время уделяется большое вни- вания сложных сетей коммуникаций (см., на-мание изучению структуры и свойств случай- пример, [8, 11, 12]). Одна из наиболее из-ных графов, предназначенных для моделиро- вестных моделей - конфигурационная модель

с независимыми одинаково распределенными степенями вершин. Построение этой модели состоит из двух этапов. На первом этапе построения конфигурационного графа, состоящего из N основных и одной фиктивной вершины, для каждой из N основных вершин определяется ее степень в соответствии с некоторым распределением вероятностей. Для удобства изложения процесса построения такой модели часто используется понятие полуребра, введенное в [12]. Из каждой вершины графа может выходить несколько полуребер, число которых равно степени данной вершины. Предполагается, что все вершины и полуребра различны. На втором этапе построения происходит последовательное образование ребер: на каждом шаге два полуребра выбираются равновероятно и, соединившись, образуют ребро. Дополнительная вершина носит вспомогательный характер, ее степень равна 0, если сумма всех полуребер является четным числом, в противном случае степень равна 1. Очевидно, что такая конструкция допускает образование петель и кратных ребер.

Одним из основных свойств большого числа реальных сетей является то, что число вершин со степенью к пропорционально к-т при к ^ то, где т > 0 (см., например, [9]). Существует множество работ (см., например, [7, 10, 12]), направленных на исследование асимптотических свойств различных числовых характеристик таких случайных графов при N ^ то. В частности, в [12] рассматривается случайный граф, степени вершин п которого имеют распределение Р{п ^ к} = Л(к)к-Т+1, где Л(к) медленно меняющаяся функция, авторы этой работы полагают, что вид функции Л, (к) не влияет на результаты исследования и при изучении случайного графа можно заменить Л (к) на 1. В [3] доказана локальная предельная теорема для суммы степеней вершин такого графа. В [7] рассматривается множество случайных графов, степени вершин которых являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами со степенным распределением с положительным параметром т при условии, что сумма степеней вершин равна п. В этой статье показано, что для исследования асимптотического поведения таких графов можно использовать обобщенную схему размещения частиц по ячейкам [2]. В работах [3-7] получены предельные распределения максимальной степени и числа вершин заданной степени в таких графах в различных зонах изменения параметров п и N при п, N —у то.

В данной работе рассматривается конфигурационная модель, состоящая из N + 1 занумерованной вершины, в которой степени вершин с номерами от 1 до N являются независимыми одинаково распределеными случайными величинами п1,..., Пм с распределением

Л

Pk = P {n = к} =

кт Е(1,т)'

i = 1,...,N, к = 1,2,

где Л(х) интегрируемая на любом конечном интервале медленно меняющаяся функция, т>1и

k=i

;h(k) ky '

Далее мы будем рассматривать множество конфигурационных графов при условии, что сумма степеней вершин П1 + • • • + Пм = п. Нетрудно заметить, что появление в распределении (1) медленно меняющейся функции Л(х) позволяет рассматривать данную модель в качестве обобщения случайных графов, исследуемых в работах [3-7].

Введем независимые одинаково распределенные случайные величины £ь...,£м, распределение которых имеет вид

Ак Рк Е

Pr (Л) = P{& = к} =

Е

i = 1,...,N, к = 1, 2,

>

где Л, 0 < Л < 1 - параметр распределения. Из (1)-(3) несложно получить, что

m

E6

Е(Л,т - 1) Е(Л,т) :

а

Е(Л,т - 2) 2

= , ,--m .

Е

Пусть параметр распределения (3) выбран так, что выполнено равенство

Е

= n/N.

Е

Обозначим через n(N) максимальную степень вершины и ßr - число вершин степени r. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть n, N ^ то, 1 < Ci ^ n/N < C2 < Е(1,т - 1)/Е(1,т), r выбран так, что

NAr+1h(r + 1) Е(Л,т )(r + 1)т

где y некоторая положительная постоянная. Тогда для любого фиксированного к = 0, ±1,...

P{n(N) < r + к} = exp j-(1 + o(1)).

Теорема 2. Пусть n, N ^ те так, что 1 < Ci < n/N < C2 < Е(1,т - 1)/Е(1, т), r фиксированное натуральное число. Тогда равномерно относительно к таких, что ur = (к - Npr(A))/(arr^N) лежит в любом фиксированном конечном интервале

PK = к} =

1

„rrV^ - ^ (1+ 0(1)),

где

„2r = Pr(An 1 -pr(A) -

(m - r)2

„2

Pr

S

' SN

и dr),...,4r)

P{f

Пусть

Zn = Si +...+Sn, zNr) = s(r) +...+s(r),

Z(r) = S(r) + + Z(r) ZN = S1 + ... + SN ,

В [2] показано, что

P{n

Pr = P{Si > r}.

N P{ZNr) = n} P{Zn = n} ,

P{^r = к}

к)рк(A)(1 - Pr(A))N "x

P{Cjvr-fc = n - м P{Zn = n} •

(8

Теорема 3. Пусть n, N, r ^ те так, что 1 < Ci < n/N < C2 < Е(1,т - 1)/E(1, т). Тогда равномерно относительно целых к таких, что (к - Npr(A))/(^Npr(A)) лежит в любом конечном фиксированном интервале

P{^r = к} = (1 +J(1)) (NPr(A))k x

x exp {-Npr(A)} .

Ниже мы докажем несколько вспомогательных утверждений (леммы 1-4), с помощью которых будут доказаны теоремы 1-3. В основе доказательства лежит обобщенная схема размещений, введенная В. Ф. Колчи-ным (см., например, [2]). Из (1)-(3) нетрудно видеть, что для рассматриваемого множества случайных графов справедливо равенство

P{ni = кь ... ,nN = kN} = = P{Si = кь ..., Sn = kN|Si + ... + Sn = n}.

Следовательно, выполнены условия обобщенной схемы размещения.

Введем два множества вспомогательных

независимых одинаково распределенных слу-

чайных величин Si , таких, что

P{S(r) = к} = P{Si = к|Si < r},

Лемма 1. При выполнении условий теоремы 1 справедливо

= (1 - А)-1(1 + о(1)). Доказательство. Легко видеть, что = Ж^рг+й+т(А) =

М \

= М | ^ Рг+^+»+1

г=0

i^M +i

где выбор положительной постоянной М будет ясен из дальнейшего.

М

Рассмотрим сумму £ Рг+й+г+1(А). Из (1)-

г=0

(3) получаем, что

M

^pr+fc+i+i(A) = pr+i(A)x

i=0

M

Afc+ih(r + к + i) ,

xL-^-11 -

i=0

h

к + i

r + к + i + 1

.

Согласно условию леммы 1 < Ci ^ n/N ^ C2 < Е(1,т - 1)/Е(1,т), тогда из (5) следует, что

0 < C3 < A < C4 < 1.

Известно (см., например, [1]), что интегрируемые на любом конечном интервале медленно меняющиеся функции обладают следующими свойствами:

1. При больших x функция h(x) > 1/\/Х;

2. lim ^hr+f1 = 1, t > 0;

ж^оо h

125

x

т

3. lim = о, lim Л,(ж)ж£ = то, при всех значениях е > 0;

4. Допускается следующее каноническое представление

f x

e

h(x) = с(ж) exp ^ I —— dt

где при ж ^ то

с(ж) ^ c = 0, e ^ 0, а число а > 0.

Используя третье свойство медленно меняющейся функции, из условий теоремы 1 и (11), несложно показать, что r пропорционально ln N. Тогда из равенства (10) и второго свойства медленно меняющейся функции находим, что

h

X , ,--т-- ^ 0.

h

Разделим область суммирования {г : г ^ М + 1} на три части:

К = {г : М + 1 < г < С5г};

К = {г : г ^ С5Г, г = о(^)};

К3 = {г : г ^ С^е},

где е - некоторая положительная постоянная.

Из первого и третьего свойств медленно меняющейся функции Л(ж) нетрудно получить, что

к + i

У AM 1 - , . 1

V r + к + i + 1

h

h(r +

< c7^+ie A^i£ <

) К

M

M

EPr+k+i+i(A) = Pr+i(A) £ Ak+i(1 + o(1)).

i=0

i=0

Следовательно, при выборе достаточно боль-

М

шого М сумма £ Рг+к+г+1(А) сколь угодно

г=0

мало отличается от

Ar+k+1h

Осталось показать, что

E Pr+k+i+1(A) = Л E Pr+k+i+1(Л) I . (13) i^M+1 \i=0 /

Из (1)-(3) несложно получить, что

Ar+k+1

Е Pr+k+i+1( A) = E(a, т)(r + 1)T X

i^M +1

X E 1

i^M+1

к + i

r + к + i + 1

xh(r + к + i + 1).

Для справедливости равенства (13) достаточно показать, что выполнено следующее соотношение

Е

i^M +1

i 1

к + i

r + к + i + 1

< C7

ACeN e

0.

Используя канонический вид медленно меняющейся функции Л(ж), можно показать, что

i 1

Кг

к + i

r + к + i + 1

h(r + к + i + 1) ^ xi x v , ,——--- ^ C10 Ai x

Кг

h

r+k+i+1

X exp

f dt< C11 ^. d7)

r+1

следовательно, выбором достаточно большого М последняя сумма может быть сделана сколь угодно малой.

Применяя первое и третье свойства медленно меняющейся функции, несложно получить,

что

EaM 1 -

K2

к + i

r + к + i + 1

h

X T ,-г-- ^ 0.

h

Из (14)-(18) следует справедливость (13). Тогда утверждение леммы 1 вытекает из соотношений (9), (12) и (13).

х

X

т

X

X

X

Лемма 2. Пусть n, N ^ те так, что 1 < Ci < n/N < C2 < Е(1,т - 1)/Е(1, т). Тогда равномерно относительно целых к таких, что (к - n)/(„\/N) лежит в любом фиксированном конечном интервале

^г л ,, 1 + o

а

2a2N

p(i) =

E(eit:A, t) E(A, t) •

В дальнейшем нам потребуется явный вид третьей производной от 1п Из (3) несложно получить, что

E

E

(ln ^(i))'" = -

+3

+

2

E2

E3

Отсюда, из (2) и (11), легко видеть, что

ln p(i))'"| < Ci2E(A,t - 3) +

fc=i

fc>M

kT-j

M

< max c(k)V AClsfc + V ACl6k fc=1 fc>M

значит, при достаточно большом M справедлива следующая оценка:

E

Из (19) и (20) получаем, что

При достаточно малых t справедливо равенство

t2

ln p(i) = i (ln p(i))' |t=o + - (ln p(i))'' |t=o +

Доказательство. Докажем слабую сходимость к нормальному закону. Обозначим через характеристическую функцию случайной величины £1. Тогда

где

Тогда

+3Т Q(t),

t2 t3

ln p(i) = iim + — а2 + 3! Q(i).

Пусть (¿) означает характеристическую функцию случайной величины — к)/(ст^). Тогда

Учитывая, что в рассматриваемой зоне изменения параметров п и N дисперсия а2 > С19, из (21) и (22) находим, что

а

t2

1П (*) = ^ + о(1).

Согласно формуле обращения, представим вероятность Р{См = к} в виде следующего интеграла

пег-Ум

р{<>=к}=/ е-^

-пе-N

где г = (к — п)/(ст^). Учитывая, что

1

+С1зЕ(А, т — 2)Е(А, т — 1) + СМЕ3(А, т — 1).

Рассмотрим Е(А,т—3), ] = 0,1, 2, 3. Используя каноническое представление медленно меняющейся функции, из (2) находим, что

Е(А, т — ;) = = £ к^с(к) ехр (/ й 1 + £ ^ ,

л/2П

разность

-z2/2 = ^ У e-izi-i2/2dt,

Д = 2п[а^Р{(м = к} — (2п)-1/2в-^2/2]

можно представить в виде суммы четырех интегралов: Д = /1 + /2 + /3 + /4, где

А

/1 = I е-^м(*) —

-A

12 =

e-iZVw (t)dt,

1з = J (i)di,

£0"

14 = -

e

-izi-i2

/2dt,

127

3

выбор положительных постоянных А и е будет ясен из дальнейшего.

Для доказательства леммы 2 достаточно показать, что разность К стремится к нулю. Из (23) следует, что 11 ^ 0. Кроме того,

и < /

и выбором достаточно большого А интеграл /2 можно сделать сколь угодно малым.

Рассмотрим /3. Для е ^ |£| ^ п справедливо неравенство

—С21

Доказательство. Представим вероятность Р{СМ = к} в виде следующего интеграла

Р

(г) N

= к =

е-г2>г (¿Ж

где г = (к — п)/(ал/Ж), а (¿) означает характеристическую функцию случайной величины

(СМГ) — п)/(а^).

Используя равенство (24), разность

К = 2п[^Р{(№ = к} — (2п)—1/2е—*2/2]

можно представить в виде суммы четырех интегралов: К = /(г) + /2г) + /3г) + /4, где /4

определен в

Рассмотрим /1 . Легко видеть, что

(¿) = ехр —

йп

а

у/Й

(л и \ —

(1-РГ) ^

а^

и выбором достаточно большого А интеграл /4 можно сделать сколь угодно малым.

Оценим интеграл /2. Из соотношений (21) и (22), учитывая, что а2 ^ С19, получаем, что

(*)| < е-С20*2,

следовательно, для /2 справедлива следующая оценка:

1 — (1 + о(1)) £ Рк(А)ехр{ --=|

£>—/у>_|_1 Ч V у

N

х 11 — ,

к=г+1

Несложно заметить, что

Д Рк (А)ехр{ 0^}

к=г+1

= Рг + К(*),

где

ад <

а

Е Рк(А)к.

к=г+1

тогда несложно видеть, что при N ^ то интеграл /3 ^ 0, это и завершает доказательство леммы 2.

Лемма 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда 'равномерно относительно целых к таких, что (к — п)/(а^) лежит в любом фиксированном конечном интервале

Р{С? = к} = 1±Шехр( — ^

{ М } \ 2а2N

Учитывая, что при выполнении условий теоремы 1 г пропорционально 1пN из (1)-(3), первого и третьего свойств медленно меняющейся функции можно получить, что

£

а

V рк

к>г

а^

N

Тогда из (23), (27) и (28) следует, что ^у(¿) ^

е-*2/2, значит /(г) ^ 0.

Из соотношений (19), (21), (22) и (27) находим, что

|рг(*)| < (1 — Рг)—М ( ехр ^ — -^ !> +

С23Л N ]

N

Тогда при выполнении условий леммы справедливо

|/2Г)1 < С24 / е

А

Следовательно, интеграл /2 может быть сделан сколь угодно малым выбором достаточно большого А.

Используя (27) и (29), легко оценить инте-

грал /3 аналогично оценке /3 в доказательстве леммы 2, а для /4 справедлива оценка (26), что и завершает доказательство леммы 3.

х

20

е

Из (3) и (6) несложно найти, что

mr = E£(r) = (m - rpr(Л))/(1 - pr(Л)),

т2

а2 = о

а

(1 - Pr (Л))2

х

а2

P

= k =

1

а

e-z2/2(1 + o(1)).

(1 — Рг+к )М =

= ехр{—7Ак (1 — А)-1}(1 + 0(1)). (31) Из лемм 2 и 3 находим, что

Р{(№ = п}/Р{(м = п}^ 1.

Отсюда и из (7), (31) следует утверждение теоремы 1.

Получить теорему 2 нетрудно, воспользовавшись нормальным приближением биномиального рапределения при Npг(А)(1—рг(А)) ^ то, справедливом для всех к таких, что

(к — ^ (А))/^Рг (А)(1 — рг (А)) лежит в любом конечном интервале:

N-k

х exp

1 + o

: / =х

(k - Npr(Л))2 1 2NP.(Л)(1 - Pr(Л)) J

Для доказательства теоремы 3 заметим, что в силу (3) и (11) верно соотношение рг(А) ^ 0 и, согласно пуассоновскому приближению биномиального распределения, справедливому равномерно относительно целых к, для которых (к — Npг(А))/у^рг(А) лежит в любом конечном интервале,

N

N—k

Аналогично леммам 2 и 3 нетрудно доказать справедливость следующего утверждения.

Лемма 4. Пусть n, N ^ то так, что 1 < C1 < n/N < C2 < Е(1, т - 1)/Е(1, т). Тогда для S = N(1 - pr(А))(1 + o(1)) равномерно относительно целых к таких, что z = (к - Smr)/(ar\/S) лежит в любом фиксированном конечном интервале

Теперь мы можем доказать теоремы 1-3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда из леммы 1 легко получить, что при целых фиксированных к

Тогда из лемм 2 и 4, равенств (8) и (30) следует утверждение теоремы 2.

Pk

= (Np;([A))fc e-NPr (»(1 + 0(1)). (32) k!

Используя леммы 2, 4 и соотношение (30), получаем, что

РКЦk = П - kr}/P|(N = П} ^ 1,

поэтому теорема 3 следует из (8) и (32).

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 13-01-00009.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965. 524 с.

2. Колчин В. Ф. Случайные отображения. М.: Наука, 1984. 209 с.

3. Павлов Ю. Л. Предельное распределение объема гигантской компоненты в случайном графе Интернет-типа // Дискретная математика. 2007. Т. 19, вып. 3. С. 22-34. doi:10.4213/dm963

4. Павлов Ю. Л. О предельных распределениях степеней вершин в условных Интернет-графах // Дискретная математика. 2009. Т. 21, вып. 3. С. 14-23. doi:10.4213/dm1057

5. Павлов Ю. Л. Об условных Интернет-графах, степени вершин которых не имеют математического ожидания // Дискретная математика. 2010. Т. 22, вып. 3. С. 20-33. doi:10.4213/dm1104

6. Павлов Ю. Л., Дертишникова Е. Н. О предельном распределении максимальной степени вершины в случайном графе Интернет-типа // Труды КарНЦ РАН. 2010. № 3, вып. 1. С. 59-65.

7. Павлов Ю. Л., Чеплюкова И. А. Случайные графы Интернет-типа и обобщенная схема размещения // Дискретная математика. 2008. Т. 20, вып. 3. С. 3-18. doi:10.4213/dm1008

8. Faloutsos M., Faloutsos P., Faloutsos Ch. On power-law relationships of the internet topology // Computer Communications. 1999. Rev. 29. P. 251262.

9. Hofstad R. Random graphs and complex networks. 2011. 386 p.

129

x

k

10. Hofstad R., Hooghiemstra G., Znamenski D. Distances in random graphs with finite mean and infinite variance degrees. http://www.citebase.org/ abstract?id=oai:arXiv.org:math/0502581, 2006. doi: 10.1214/EJP.v12-420

11. Newman M. E. Y., Strogatz S. H, Watts D. Y. Random graphs with arbitrary degree distribution

References

1. Ibragimov I. A., Linnik Ju. V. Nezavisimye i stacionarno svjazannye velichiny [Independent and stationary sequences of random variables]. Moscow: Nauka, 1965. 524 p.

2. Kolchin V. F. Sluchajnye otobrazhenija [Random Mappings]. Moscow: Nauka, 1984. 209 p.

3. Pavlov Ju. L. Predel'noe raspredelenie objema gigantskoj komponenty v sluchajnom grafe Internet-tipa [The limit distribution of the size of a giant component in an Internet-type random graph]. Diskretnaja matematika [Discrete Mathematics and Applications]. 2007. Vol. 19, iss.3. P. 22-34. doi:10.4213/dm963

4. Pavlov Ju. L. O predel'nyh raspredelenijah stepenej vershin v uslovnyh Internet-grafah [On the limit distributions of the vertex degrees of conditional Internet graphs]. Diskretnaja matematika [Discrete Mathematics and Applications]. 2009. Vol. 21, iss. 3. P. 14-23. doi:10.4213/dm1057

5. Pavlov Ju. L. Ob uslovnyh Internet-grafah, stepeni vershin kotoryh ne imejut matematicheskogo ozhidanija [On conditional Internet graphs whose vertex degrees have no mathematical expectation]. Diskretnaja matematika [Discrete Mathematics and Applications]. 2010. Vol. 22, iss. 3. P. 20-33. doi:10.4213/dm1104

6. Pavlov Ju. L., Dertishnikova E. N. O predel'nom raspredelenii maksimal'noj stepeni vershiny v sluchajnom grafe Internet-tipa [On

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

Чеплюкова Ирина Александровна

старший научный сотрудник Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск, Республика Карелия, Россия, 185910 эл. почта: chia@krc.karelia.ru тел.: (8142) 763370

and their applications // Physical Review E. 2001. 64. 026118. doi:10.1103/PhysRevE.64.026118

12. Reittu H., Norros I. On the power-law random graph model of massive data networks // Performance Evaluation. 2004. Vol. 55. P. 3-23. doi:10.1016/S0166-53/6(3)00097-x

Поступила в редакцию 02.04.2015

limit distribution of maximum vertex degree in a random graph of Internet type]. Trudy KarNC RAN [Proceedings of KarRC RAS]. 2010. N 3, iss. 1. P. 59-65.

7. Pavlov Ju. L., Chepljukova I. A. Sluchajnye grafy Internet-tipa i obobshhennaja shema razmeshhenija [Random graphs of Internet type and the generalised allocation scheme]. Diskretnaja matematika [Discrete Mathematics and Applications]. 2008. Vol. 20, iss. 3. P. 3-18. doi:10.4213/dm1008

8. Faloutsos M., Faloutsos P., Faloutsos Ch. On power-law relationships of the internet topology. Computer Communications. 1999. Rev. 29. P. 251262.

9. Hofstad R. Random graphs and complex networks. 2011. 386 p.

10. Hofstad R., Hooghiemstra G., Znamenski D. Distances in random graphs with finite mean and infinite variance degrees. http://www.citebase.org/ abstract?id=oai:arXiv.org:math/0502581, 2006. doi:10.1214/EJP.v12-420

11. Newman M. E. Y., Strogatz S. H, Watts D. Y. Random graphs with arbitrary degree distribution and their applications. Physical Review E. 2001. 64. 026118. doi:10.1103/PhysRevE.64.026118

12. Reittu H., Norros I. On the power-law random graph model of massive data networks. Performance Evaluation. 2004. Vol. 55. P. 3-23. doi:10.1016/S0166-53/6(3)00097-x

Received April 02, 2015

CONTRIBUTOR:

Cheplyukova, Irina

Institute of Applied Mathematical Research,

Karelian Research Centre,

Russian Academy of Sciences

11 Pushkinskaya St., 185910 Petrozavodsk,

Karelia, Russia

e-mail: chia@krc.karelia.ru

tel.: (8142) 763370