МОДЕЛИРОВАНИЕ НАТЯЖЕНИЯ НИТИ, НАХОДЯЩЕЙСЯ В РАВНОВЕСИИ НА СИСТЕМЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Моделирование натяжения нити, находящейся в равновесии на системе поверхностей

С.Ю. Богачева

Российский государственный университет им. А.Н. Косыгина, Москва

Аннотация: В статье рассматривался вопрос определения равновесия однородной нерастяжимой тяжелой нити при статическом взаимодействии с поверхностями различной формы. Приведены результаты аналитического моделирования натяжения нити с использованием численных методов. Получены зависимости натяжения в любой точке нити и нормальное давление нити, находящейся в равновесии на поверхностях, моделирующих рабочие органы текстильных машин.

Ключевые слова: идеальная нить, гибкая однородная нерастяжимая нить, натяжение, уравнение равновесия нити, равновесие на гладкой поверхности, равновесие на шероховатой поверхности, стрела провисания.

Задачи о равновесии широко распространены в инженерной практике. Во многих отраслях промышленности используются объекты, моделью которых служат гибкие и упругие стержни [1] и нить. Теория нити применяется в научных исследованиях при проектировании текстильных машин, устройств и технологических процессов, а также в других отраслях промышленности, при проектировании линий электропередач, подвесных мостов, канатных дорог и тросов, где нить, преимущественно, считают нерастяжимой [2]. В текстильной технике применяются механизмы, в которых нить контактирует с поверхностями различной формы. Натяжение при производстве пряжи и дальнейшей переработке имеет большое значение для технологического процесса прядения. Основные положения механики идеальной нити изложены в монографиях А.П. Минакова [3], В.С. Щедрова [4], Н.И. Алексеева [5], Ю.В. Якубовского с соавторами [6] и др.

Для изучения свойств конструкций обычно бывает достаточно рассмотреть упрощенную схему конструкции, которую часто называют системой [1]. В работе рассматривалось равновесие гибкой нерастяжимой нити, находящейся в равновесии на системе поверхностей. Расстояния между

и

осями шкивов заданы /1, /2, d, радиусы шкивов - ти. На горизонтальном и вертикальном пролетах нить имеет малую стрелу провисания.

Задача представляла собой совокупность отдельных участков: контактирование нити с гладкой поверхностью цилиндра, контактирование с шероховатой цилиндрической и конической поверхностями и участок нити с малой стрелой провисания. Расчеты равновесных конфигураций пространственной модели нити рассматривались в работах [7, 8]. В данном случае приняли, что нить имеет форму плоской кривой.

В начале рассматривалось равновесие тяжелой нити весом д на гладкой поверхности цилиндра [9]. Дифференциальные уравнения равновесия нити примут вид:

— + я- еоБф = 0 — - ц N = 0

ёБ ; г

где Т - натяжение нити в точке, Н; ф, я - угловая и дуговая координаты точки нити, соответственно м; т - радиус, м; N - реакция поверхности, Н.

Из системы (1) получен закон натяжения нити в зависимости от угловой координаты на гладкой цилиндрической поверхности:

Т = ТА - д- тягпф

и нормальное давление в нижней точке нити:

N. = - 2д. г

Чтобы натяжение в нижней точке цилиндра было неотрицательным, условие выбора начального натяжения выглядит так:

ТА ^ ЧГ .

Дифференциальное уравнение равновесия следующей вертикальной части нити на ось х, направленную вертикально вверх:

— (——) - ц = 0 . ds ds

Закон распределения натяжения вдоль нити:

и

т = тл+q x

Определена зависимость натяжения нити в точке схода нити от начального натяжения тяжелой нити, контактирующей с гладкой поверхностью цилиндра. Дифференциальные уравнения равновесия нити на цилиндре имеют вид:

dT T • ЛГ А

--q cosq = 0; —Ъ q sin^- N = 0

ds r

Закон изменения натяжения на участке нити:

Т = + qrsinp.

На третьем участке нити с малой стрелой провисания натяжение определяется, как:

Т = q( а + f - у) Натяжение нити в точках опор определяется:

Тк = q(a+f); TE = q(a+f), следовательно, ТЕ = ТК = ТВ + qr.

На заключительном этапе рассмотрено равновесие нити на шероховатой поверхности кругового конуса [9]. Длина нити, лежащей на

конусе равна L = Яф = ^R, радиус кривизны равен радиусу R окружности

р = Я = const [10].

Дифференциальные уравнения равновесия нити на поверхности кругового конуса в проекциях на оси трехгранника Mzng (рис.1), связанного с поверхностью:

dT ^ п

--Ъ F  co s у = 0

ds

Tcos6- N = 0 R

T

— sin6 — Fsiny = О

R F < kN

М Инженерный вестник Дона, №1 (2023) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/nly2023/8160

Рис. 1. - Контактирование нити с конической поверхностью

т, п - оси естественного трехгранника к поверхности; т, у - оси естественного трехгранника к нити.

Получено:

¿т

Y > -хёФ

где х = >/k2 соъ2 в- ът26.

Коэффициент х должен быть вещественным, т.е. коэффициент трения должен быть больше тангенса угла геодезического отклонения к - tgв.

Второе необходимое условие равновесия выводим из неравенства (2):

—^1 к2 со.'2 а-Ачп2 а-

—D — - —D - е

Окончательное натяжение в точке В, рассмотренной нити АВ на всей системе поверхностей подчиняется условию при заданном начальном натяжении в точке А:

ГА+д( 12-Г)>ТВ >(—А+ц12)е"

к2соя2а-ят2а-рЕ

1В > ( — А ' Ц12 )е -цг

Получены аналитические зависимости натяжения нити по участкам в зависимости от погонного веса нити и свойств [9] контактирующей с нитью системы поверхностей, моделирующих некоторые рабочие органы текстильных машин.

Литература

1. Ахмедов А.Д. Достаточные условия устойчивости равновесия мгновенно-жестких шарнирно-стержневых систем // Инженерный вестник Дона, 2014, №4. URL : ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2014/2601.

2. Морозов Л.И. Объединенная методика расчета функциональных параметров работы аэростатно-канатных систем // Инженерный вестник Дона, 2015, №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2015/3508.

3. Минаков А.П. Основы механики нити // Научно-исследовательские труды Московского текстильного института. - 1941. - Т. IX, Вып. 1. - С. 1-88.

4. Щедров В.С. Основы механики гибкой нити. М.: Машгиз, 1961. 215 с.

5. Алексеев Н.И. Статика и установившееся движение гибкой нити. М.: Легкая индустрия, 1970. 270 с.

6. Якубовский Ю.В., Коритысский Я.И., Мигушов И.И. Основы механики нити. М.: Легкая индустрия, 1973. 276 с.

7. Charrondière R., Florence Bertails-Descoubes, Neukirch S., Romero V. Numerical modeling of inextensible elastic ribbons with curvature-based elements // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1 June 2020, Volume 364, р. 112922.

8. Sachin Goyal, Perkins N.C., Christopher L. Lee. Non-linear dynamic intertwining of rods with self-contact // International Journal of Non-Linear Mechanics. Issue 1, January 2008, Volume 43, р. 65-73.

9. Богачева С.Ю. Метод определения натяжения нити на поверхностях рабочих органов // Фундаментальные и прикладные научные исследования в области инклюзивного дизайна и технологий: опыт, практика и перспективы / Сборник научных трудов Международной научно-практической конференции. М.: РГУ им. А.Н. Косыгина, 2021. С. 29-33.

10. Меркин Д. Р. Введение в механику гибкой нити. М.: Наука, 1980. 240с.

References

1. Ahmedov A.D. Inzhenernyj vestnik Dona, 2014, №4. URL: ivdon. ru/ru/magazine/archive/n4y2014/2601.

2. Morozov L.I. Inzhenernyj vestnik Dona, 2015, №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2015/3508.

3. Minakov A.P. Nauchno-issledovatel'skie trudy Moskovskogo tekstil'nogo instituta. Moskva, 1941, T. IX, vol. 1. pp. 1-88.

4. Shchedrov V.S. Osnovy mekhaniki gibkoj niti. [Fundamentals of Flexible thread Mechanics]. Moskva: Mashgiz, 1961. 215p.

5. Alekseev N.I. Statika i ustanovivsheesya dvizhenie gibkoj niti. [Static and steady motion of the flexible thread]. Moskva: Legkaya industriya, 1970. 270p.

6. Yakubovskij YU.V., Koritysskij YA.I., Migushov I.I. Osnovy mekhaniki niti. [Fundamentals of Thread Mechanics]. Moskva: Legkaya industriya, 1973. 276p.

7. Charrondiere R., Florence Bertails-Descoubes, Neukirch S., Romero V. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1 June 2020, Volume 364, p.112922.

8. Sachin Goyal, Perkins N.C., Christopher L. Lee. International Journal of NonLinear Mechanics. Iss.1, January 2008, Volume 43, pp. 65-73.

9. Bogacheva S.Ju. Fundamental'nye i prikladnye nauchnye issledovanija v oblasti inkljuzivnogo dizajna i tehnologij: opyt, praktika i perspektivy. Sbornik nauchnyh trudov Mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii. Moskva, Kosygin Russian State University, 2021. pp. 29-33.

10. Merkin D. R. Vvedenie v mekhaniku gibkoj niti. [Introduction to the mechanics of flexible thread]. Moskva: Nauka, 1980. 240p.