Математическая модель пространственных колебаний вагонов-цистерн

УДК 629.463.3:51

Лавренко Д. Т., инженер

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ВАГОНОВ-ЦИСТЕРН

Известны математические модели для изучения динамической нагруженности рельсовых экипажей [1 - 14], в том числе для грузовых вагонов [15 - 29] и цистерн в частности [21 - 29].

При этом исследователями рассматриваются колебания грузовых вагонов, как в плоской, так и в пространственной постановке задач.

Рассмотрим наиболее полную математическую модель пространственных колебаний грузового четырехосного вагона с трехэлементными двухосными тележками, в основу которой положена математическая модель, предложенная академиком Всеволодом Арутюновичем Лазаряном [7] и затем развитая в трудах профессоров Блохина Е.П., Богомаза Г.И., Дановича В.Д., Коротенко М.Л., Пшинько А.Н., Радченко Н.А., Ушкалова В.Ф., Редько С.Ф., Савчука О.М., Мямлина С.В., Хачапуридзе Н.М., а также представителями других научных школ Челноковым И.И., Бороненко Ю.П., Соколовым М.М., Бубновым В.М., Филипповым В.Н. и др.

Для формирования математических моделей пространственных колебаний грузового вагона вначале выполним описание расчетной схемы.

Математическая модель пространственных колебаний четырехосного грузового вагона [7] предполагает рассмотрение колебаний этого вагона, возникающих вследствие его движения по изолированной неровности пути. При этом считаем, что на обеих нитях рельсовой колеи имеются одинаковые неровности, и поэтому рассматриваем колебания вагона в его продольной плоскости симметрии. Кузов вагона будем считать твердым телом. Силу трения в демпферах примем пропорциональной скорости сжатия рессорных комплектов. Вагон движется по упруго-вязкому пути так, что реакция пути пропорциональна как его деформации, так и скорости этой деформации. При сделанных допущениях рассмотрим колебания механической системы в виде четырехосной цистерны, расчетная схема которой изображена на рисунке 1.

В соответствие с [7] введем обозначения для линейных и угловых перемещений тел системы:

- х, XI и х2 поступательные перемещения центров масс кузова и необрессоренных частей тележек вдоль оси пути;

- 2, и 22 вертикальные перемещения центров масс кузова и необрессоренных частей тележек;

- ф, ф1 и ф2 углы поворота кузова и необрессоренных частей тележек относительно оси У.

Рисунок 1 - Расчетная схема цистерны

Допустим, что х = х1, и х = х2, при этом система будет иметь 9 - 2 = 7 степеней свободы и координата х окажется циклической. При этом перемещение центра масс обрессоренной части вагона вдоль оси пути равно х+х* =х+Нф, а дополнительное перемещение в вертикальном

*= ^^ Далее введем следующие обозначения:

направлении

2

в - коэффициент вязкого трения в демпферах; р1 - коэффициент вязкого трения в пути; к1 - жесткость пути; 1у1 = 1у2 - моменты инерции тележек относительно их главных центральных осей, перпендикулярных продольной плоскости симметрии.

Введем обобщенные координаты:

2 = ql, ф = q2, 21 = д3 + q4, Z2 = д3 - q4,

или

Ф1 = ^ Ф2 = <6 х = 47. Кинетическая энергия системы будет равна

Т = 2 т<&1 + 2 т{<&7 + к< 2)2 + 21у<& 2 + 2 т1 (< + <&4)2 +

1 /. .\2 1 т • 2 1 т • 2 1 -2 1 -2 1 10 -2

+ Тт1(<3 - <<4) +Т1 у1<&5 + Т7у1<&6 + Тт1<&7 + Тт1<&7 +Т- 2 "<<7 =

2 2 2 2 2 2 г2

гт! 1 -2 1 -2 1 -2 1 -2 1 -2

Т = 2 °11<<1 + 2 °22 <<2 + 2 а33<<3 + 2 а44 < 4 + 2 °55<&5 +

1 .2 1 .2

+ 2 а66 <6 + 2 а77 <<7 + а27 <&2 <<7 ,

где

Л

а11 = т, а22 = 1у + тк , а33 = а44 = 2т:;

410

а55 = а66 = I у1, а77 = т + 2т1 +—2-, а27 = тк.

Потенциальную энергию системы найдем по теореме Клапейрона,

при этом величиной Ок— пренебрежем:

г

1 2 П = 21 к А2,

где к, жесткость (¿=1 - для пути, ¿=2 - для рессорных комплектов); А, - сжатия рессорных комплектов, рассчитанные от положения равновесия системы.

Выразим сжатия пружин А, через обобщенные координаты. Пусть Д1

н

и Д1 - прогибы пути под первой и второй колесными парами первой

I н

тележки, Д2 и Д2 - прогибы пути под первой и второй колесными парами второй тележки, а Д3 и Д4 - сжатия пружинных комплектов рессорного подвешивания вагона. Допустим, что цистерна движется по единичной неровности и Пь П2, П3 и П4 - вертикальные перемещения колесных пар при

движении по этой неровности. За положительные примем перемещения вниз и повороты по часовой стрелке. Представим кинематическую схему перемещения тел системы (рисунок 2) для описания выражения потенциальной энергии, из которого следует:

а3 = 2 - 1ф - 21 = q1 - - q3 - q4; а 4 = 2 - 1ф - 22 = q1 - ^2 - q3 - q4,

а; = 21- аф1 -п1 = qз + q4- щь -п1; а;' = 21- аф1 -п2 = qз + q4- ачь а2 =2 2- аф 2- пз = qз + q4- аq6-пз; а2 =2 2- аф 2- п 4 = qз + q4- aq6

Таким образом, выражение потенциальной энергии примет следующий вид:

п = 2 к (а2з + а24 ) + ) к1 (а;2 + а12 + а22 + а22 )= = 2 2kq12 + 2 2к12 q2 + 2 2(к + 2к1 )q32 + 2 2(к + 2к1) +

+ 2 + ^22а2 +1 к1 (л? +П2 +Л? +п4 )- 2kqlqз +

+ 2кЩ2q4 - klqз(Л1 +Л2 + Лз +Л4)-klq4(П1 + П2 +Лз +Л4) + + к1Щь (л1 -л2)+ктб (лз -л4).

Скорость сжатия рессорных комплектов равна А3 и А 4 для первой и второй тележки соответственно, а скорость прогиба рельсов под колесными парами - А', Ai, А 2, А 2. Функция рассеивания примет следующий вид:

ф = 2р( + А24)+ 2Pi (А'2 + А'2 + А'2 + А?).

Из данного выражения видно, что функцию Ф можно получить из выражения потенциальной энергии П, заменив в нем жесткости к и к коэффициентами вязкости в и в', а обобщенные координаты qt - обобщенными скоростями qt. При этом выражение функции рассеивания будет:

ф = ^2Pqi2 + ±2р/2 q2 + ^2(р + 2Pi )2 + ^2(р + 2Pi )q42 +

i 2 2 i 2 2 W 2 2 2 2 \ + 2la "Ms + 2la 'Pq + 2 (ni + П2 + П + Щ)- 2Pqiq3 +

+ 2p/q2q4 - Piq3 (ni + n2 + n3 + n4 )-Pi q4 (ni - n2 - П - n4 ) + + Piaq5 (ni - n2 )+Piaq6 (n3 - n4 ).

Далее составим дифференциальные уравнения пространственных колебаний цистерны.

Запишем выражение уравнения Лагранжа второго рода [7]:

d dT дФ дП л +-+-= 0

ж д^ д^ ^

Это уравнение перепишем в виде системы дифференциальных уравнений с использованием обобщенных координат и обобщенных скоростей:

aiiqi + 2pqi - 2pq3 + 2kqi - 2kq3 = 0;

a33q3 - 2pqi + 2(p + 2P' )q3 - 2kqi + 2(( + 2ki )q3

= ki (ni +П2 + Пз +П4 )+Pi (ni + n2 +n3 +n4).

i30

2 2 а22q2 + а27q7 + 2р/ q2 + 2р/(4 + 2к1 q2 + 2к/(4

0;

а44 q 4 + 2р/(2 + 2(р + 2р1 )q4 + 2к/(2 + 2(( + 2к1 )q4 = = к1 (Л1 +Л2 -Лз -Л4 )+р1 (1 +Л2 -Л4); а27 (¡2 + а77 ¡7 = 0.

а55( 5 + 2а2Р1(5 + 2а2klq5 = -к1а(Л1 - Л2 ) - р1а(л1 - л2 );

а66¡6 + 2а^б + 2а2klq6 = -к1а(Лз - Л4 )- р1а(л1з - Л4 ).

Выполним исключение из системы дифференциальных уравнений (2) вторую производную циклической координаты ¡у по времени. Из третьего уравнения этой системы получим:

а27

¡7 =--— ¡2.

а77

Подставим выражение для ( 7 в первое уравнение системы, которая примет вид:

а^2 ( 2 + 2Д2 (2 + 2РЩА + 2к/2 (2 + 2к/(4 = 0;

а44

= к1 (Л1 + Л2 - Лз - Л 4 )+ Д (Л1 + Л2 - Лз - Л4 ),

где

а22 = а22

^ 2 N 1 а27

ч а22 а77 у

= а221 1 -&27

Таким образом, малые колебания относительно установившегося поступательного движения вагона при движении по неровности пути описываются системами дифференциальных уравнений (1), (4) и двумя уравнениями, не связанными с остальными (з).

Рассмотрим выражение для описания неровности п (1 = 1, 2, з, 4). Для этого совместим начало координат с началом неровности (рисунок з) и примем следующее выражение для ее описания [7]:

при х < 0

п = 0;

d Л 2тсхл

при 0 <х< x п = — 1 -с°8 при х > x п = 0.

x

где d - наибольшая глубина; X -длина неровности.

Рисунок 3 - Вид неровности

Пусть цистерна движется со скоростью и, тогда, если отсчитать t от момента, когда первая колесная пара проходит через начало неровности, то х=vt. Чтобы получить аналитическое выражение п приемлемое для любых х или t, рассмотрим п как функцию, тождественно равную нулю при отрицательных значениях аргумента.

В выражение п вместо х поставим Ы и обозначим 2пи через ш, тогда

x

в соответствие с [7]:

п1 = \ Ш - с°8 И-

/

1 - С°Б Ю

x t —

v

x

где — время, в течение которого колесная пара проходит длину и

неровности.

^ x 2п Так как —=—, то: и ю

^ л d

п1 = -[1 - с°э юt ]- -

1 - С°Б Ю

2п

t--

v юу

Это выражение для n допустимо при любом значении выражения t, которое отсчитывается от момента, когда первая колесная пара по ходу движения проходит начало неровности, то есть при t <0 n1=0; при

0 < t < —, n1(t) = — (l - cos rot), а второе слагаемое равно нулю, так как го 2

аргумент

2п

ю

отрицателен;

при

t >

2п

ю

П1 (() = — (l - cos rot)- |[l - cos(cot - 2n)] = 0.

Выражения для неровностей n2, Пз и n4 получаем таким же образом, принимая во внимание запаздывание колесных пар на следующие

2a ^ l - a ^ l + a

промежутки времени: т2 =

и

тз = 2"

и

т 4 = 2-

и

Поэтому выражение для неровности примет вид:

П = d [l- cos ю(()]- ]

1 - cos ю

t-Ti--

2пл ю J

причем ii = 0. Подставив эти выражения п в правые части дифференциальных уравнений (1), (3) и (4), получим дифференциальные уравнения колебаний вагона-цистерны при движении по неровности пути, описываемой выражениями (5).

Данная модель является основной для выполнения моделирования пространственных колебаний вагонов-цистерн на упруго-вязком и инерционном железнодорожном пути. При этом единичные неровности под колесами имитируют процесс сбрасывания с клиньев при определении собственных частот различных видов колебаний. Четыре одинаковые неровности под колесами с одной стороны вагона возбуждают угловые колебания относительно продольной оси, т.е. боковой качки, и четыре единичные неровности под колесами одной тележки возбуждают собственные угловые колебания кузова относительно горизонтальной поперечной оси симметрии - галопирование.

Таким образом, описана математическая модель пространственных колебаний грузового вагона, которая является основной для выполнения моделирования пространственных колебаний вагонов-цистерн на упруго-вязком и инерционном железнодорожном пути, возникающих вследствие его движения по изолированной неровности пути. Описаны дифференциальные уравнения пространственных колебаний вагона-

цистерны. Предложенная математическая модель является основой для проведения теоретических исследований по определению динамических характеристик вагонов-цистерн предлагаемой конструкции.

Список литературы

1. Блохин Е.П. К вопросу о взаимодействии экипажей при соударениях / Е.П.Блохин, Г.И.Богомаз, Ю.Г.Черномашинцева // Межвуз сб. науч. тр. -Днепропетровск: ДИИТ, 1987. - Вып. 252/34. - С. 71-82.

2. Блохин Е.П., Манашкин Л.А. Динамика поезда (нестационарные продольные колебания). - М.: Транспорт, 1982. - 222 с.

3. Блохин Е.П. К вопросу о понижении порядка систем дифференциальных уравнений движения поезда при оценке статических характеристик сил, действующих на вагон в случаях движения через переломы продольного профиля пути / Е.П.Блохин, Л.А. Манашкин, Л.Г. Маслеева // Межвуз сб. науч. тр. - Днепропетровск: ДИИТ, 1977. - Вып. 195/24. - С. 48-54.

4. Блохин Е.П., Маслеева Л.Г. О возможности понижении порядка системы дифференциальных уравнений движения поезда при возмущениях, распространяющихся вдоль его длины // Межвуз сб. науч. тр. - Днепропетровск: ДИИТ, 1978. - Вып. 199/25.- С. 47 - 54.

5. Бороненко Ю.П. Исследование субгармонических колебаний жидкого груза в цистерне // Тр. ЛИИЖТ. - 1977. - Вып. 417. - С. 21 - 27.

6. Бороненко Ю.П. Программирование нагруженности и прочности вагонов с гибкими конструктивными элементами изменяемой формы: Автореф. дис. д-ра тех. наук. - Ленинград, 1986. - 42 с.

7. Лазарян В.А. Динамика вагонов: Устойчивость движения и колебания. - М.: Транспорт, 1964. - 256 с.

8. Лазарян В.А. Продольные колебания нелинейных одномерных систем при возмущениях, распространяющихся вдоль их длины / В.А.Лазарян, Е.П.Блохин, Л.В.Белик // Прикладная механика. - 1973. - 9, № 6. - С.89-94.

9. Лазарян В.А., Длугач Л.А., Коротенко М.Л. Устойчивость движения рельсовых экипажей. - К.: Наук. думка, 1972. - 198 с.

10. Лазарян В.А., Конашенко С.И. Обобщенные функции в задачах механики. -К.: Наук. думка, 1974. - 191 с.

11. Манашкин Л.А. Динамика вагонов, сцепов и поездов при продольных ударах: Автореф. дис. ... д-ра техн. наук. - Л., 1980. - 42 с.

12. Оценка продольных усилий в наливном поезде массой 10000 тонн / Ю.М. Черкашин, Г.И. Богомаз, Г.И. Костин, Ю.П. Кривовязюк // Вестник ВНИИЖТ. -

1982. - № 4. - С. 32-36.

13. Рыжов А.В. Исследование нагруженности восьмиосных цистерн при соударениях / А.В.Рыжов, Ю.М.Черкашин, Н.Я.Гаркави // Вестник ВНИИЖТ. -

1982. - № 6. - С. 37-40.

14. Черкашин Ю.М. Динамика наливного поезда. - М.: Транспорт, 1975. - 136 с.

15. Исследование с помощью ЦВМ нагрузок, действующих на вагоны и амортизированные грузы при соударениях сцепов и пуске в ход грузовых поездов /

Л.А. Манашкин, Б.С. Ратнер, А. В. Юрченко и др. // Межвуз. сб. науч. тр. -Днепропетровск: ДИИТ, 1978. - Вып. 199/25. - С. 87 - 93.

16. Лазарян В.А., Блохин Е.П. О математическом моделировании движения поезда по переломам продольного профиля пути // Совершенствование норм проектирования. - М.: МИИТ, 1974. - Вып. 444. - С. 83-123.

17. Манашкин Л.А., Грановская Н.И. Математическая модель поезда для исследования нагруженности вагона // Межвуз. сб. науч. тр. - Днепропетровск: ДИИТ. 1984. - Вып.232/31. - С.24-28.

18. Манашкин Л.А. Математическая модель для исследования нагруженности пятникового узла грузового вагона при колебаниях в вертикально-продольной плоскости / Л.А.Манашкин, Н.И.Грановская, А.Д.Жаковский, Е.А.Калениченко // Динамическая нагруженность железнодорожного подвижного состава. -Днепропетровск: ДИИТ, 1988. - С. 59-69.

19. Математическое моделирование рельсовых транспортных средств / В.Ф. Ушкалов, Л.М. Резников, В.С. Иккол, Е.Ю. Трубицкая и др. - К.: Наук. думка, 1989. -240 с.

20. Соколов М.М., Хусидов В.Д., Минкин Ю.Г. Динамическая нагруженность вагона. -М.: Транспорт, 1981. - 206 с.

21. Богомаз Г.И. Динамика железнодорожных вагонов-цистерн. - К.: Наук. думка, 2004. - 223 с.

22. Богомаз Г.И. Оценка динамической нагруженности элементов конструкций четырехосных цистерн при различной плотности жидких грузов / Г.И.Богомаз, М.Б.Кельрих, Ю.П.Кривовязюк // Межвуз. сб. науч. тр. - Днепропетровск: ДИИТ, 1984. - Вып. 232/31. - С. 72-77.

23. Богомаз Г.И. Особенности колебаний вагона-цистерны при движении по кривым в предварительных ситуациях, вызванных действием продольных сжимающих сил / Г.И. Богомаз, Н.Е. Науменко, Е.В. Пискунова // Техническая механика. - 1999. -Вып. 2. - С. 84-90.

24. Богомаз Г.И. Математическое моделирование движения цистерны в кривых с учетом действия продольных сжимающих сил / Г.И. Богомаз, Н.Е. Науменко, Е.В. Пискунова, Ю.Г. Черномашенцева // Математичне моделювання шженерних i фiнансово-економiчних задач: Зб. наук. праць. - Дншропетровськ: Оч, 1998. - С. 123132.

25. Богомаз Г.И. Конечно-элементный подход к исследованию динамики конструкций, содержащих емкости с жидкостью / Г. И. Богомаз, Н. Е. Науменко, И. Хижа // Зб. наук. праць. - Дншропетровськ: РВВ ДНУ, 2002. - С. 14-21.

26. Оценка нагруженности железнодорожной цистерны с жидкостью при соударениях / Г.И. Богомаз, Н.Я. Гаркави, М.Б. Кельрих и др. // Динамика механических систем. - К.: Наук. думка, 1983. - С. 121-128.

27. Оценка нагруженности цистерны, частично заполненной жидкостью при ударных нагружениях / Г.И. Богомаз, Ю.П. Кривовязюк, А.А. Манашкин и др. // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью. - Томск: Томский университет, 1981. - С. 28-33.

28. Соколов М.М. Исследование колебаний жидких грузов в вагонах методом конечных элементов / М.М. Соколов, О.Н. Петров, Ю.П. Бороненко // Проблемы

механики железнодорожного транспорта: Тез. докл. Всесоюз. науч. конф. -Днепропетровск, 1984. - С. 45-46.

29. Экспериментальное и теоретическое исследования динамики четырехосной цистерны при ударных нагружениях / Г. И. Богомаз, М. Б. Кельрих, Ю. П. Кривовязюк и др. // Межвуз сб. науч. тр. - Днепропетровск: ДИИТ, 1985. - Вып. 240/32.

УДК 331.103.3

Пугачев Г. С., доцент

НОРМИРОВАНИЕ ТРУДОЕМКОСТИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ С ВЕРОЯТНОСТНЫМИ СОСТАВЛЯЮЩИМИ

Постановка проблемы. Вопрос о состоянии нормативной базы трудоемкости технологических процессов актуален для каждого предприятия, но особую значимость он приобретает для предприятий ремонтного профиля, что вызвано двумя обстоятельствами.

Первое связано с вероятностным характером состояния ремонтируемых объектов, ввиду различия их конструкций и фактического состояния.

Второе связано с изменением качественного состояния парка ремонтируемых объектов из-за пополнения парка новыми конструкциями, а так же вследствие изменения условий их работы и обслуживания.

Анализ состояния проблемы. Нормативная база на каждом предприятии с одной стороны регламентируется типовыми нормами, например [4], а с другой - нормами собственными. Расхождение между первыми и вторыми существенное. Объясняется это тем, что показатель трудоемкости типовых норм не связан с организацией работы конкретного предприятия, а вероятностный характер ремонтных работ учитывается типовыми нормами как сомножитель при трудоемкости в виде учтенного объема или коэффициента повторяемости. Обе эти величины были получены путем обработки статистик хронометража трудозатрат и учтенных объемов. Не имея оснований подвергать сомнению объем статистических наблюдений и способ его математической обработки, отметим, что эти нормативы практически не применяются и, в лучшем случае, служат лишь базой для сравнения с более высокими