Расчет пространственной динамики ЛЭП при совместном воздействии ветровой и весовой нагрузки

УДК 621.315.2

РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ДИНАМИКИ ЛЭП ПРИ СОВМЕСТНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ ВЕТРОВОЙ И ВЕСОВОЙ

НАГРУЗКИ

Р.Ш. ГИМАДИЕВ, Ф.Ф. ДИНМУХАМЕТОВ, Н.Р. ГАЛИМУЛЛИН Казанский государственный энергетический университет

Разработан программный комплекс расчета пространственной динамики ЛЭП при совместном воздействии ветровой и весовой нагрузки. Программа отрабатывалась на тестовых расчетах. Для проверки точности численного расчета равновесного состояния при действии весовой нагрузки получено точное решение деформированной линии ЛЭП с учетом удлинения при растяжении. Численные расчеты равновесного состояния при воздействии ветровой нагрузки проверяются с использованием известного приближенного аналитического решения. На базе разработанного комплекса приводятся результаты расчета выхода на равновесное состояние ЛЭП в пространственной постановке при совместном воздействии ветровой и весовой нагрузки и результаты численного моделирования движения ЛЭП после разрыва.

Ключевые слова: математическое моделирование, расчет, линия электропередач, ветер, вес, обледенение, разрыв.

1. Алгоритм решения задачи пространственного движения ЛЭП. Гибкая система ЛЭП находится под действием ветровой нагрузки и собственного веса. ЛЭП моделируется абсолютно гибкой системой, которая не воспринимает изгибных напряжений, но работает на растяжение и сжатие. Движение ЛЭП с линейной плотностью р °(я) рассматривается в декартовой системе координат Ох1 Х2 Х3. Опоры ЛЭП расположены в вертикальной плоскости Ох2 Х3. Начальная форма принимается в виде отрезка прямой длиной пролета на высоте Н параллельно оси Ох2. Считается, что в начальном состоянии ЛЭП не деформирована.

Деформация гибкой системы характеризуется степенью удлинения к = 1 + е, где е - относительное удлинение.

Уравнения движения ЛЭП в проекциях на оси декартовой системы координат Ох1 Х2 Х3 имеют вид [1]:

дг 1 д

р °~зг

3

дя

( Т дх1

к дя

дг 2 д р 0^

' Т дх- ^

у

>

2

д*1

+ Рт-+ Рп к зт ф зт а 1 ,

дя

дг 3 д

р °~эГ="эЯ

к дя , Т дх 3 к дя

дх 2

+РТ —--Гп к соз ф соз а 1,

дя

дх 3

+ Рт -г- + Рп к соз ф з1п у - р ° g. дя

© Р.Ш. Гимадиев, Ф. Ф. Динмухаметов, Н.Р. Галимуллин Проблемы энергетики, 2010, № 3-4

Уравнения движения (1) решаются в безразмерном виде, вводятся следующие безразмерные параметры:

- vk , 2Fn . 2Fт _ Lo

vk =ТТ~, п =-2—, / т =-2-, р = рТТ~,

U» рЦ»¿о pU» Lo Мо

Г=Г, Ж = —, т = /Ц», ^ =

Го V V

где vk - скорость элемента провода; ¿о - длина пролета провода; Мо = ро¿о -масса пролета провода; Е - приведенный модуль упругости провода; Го = рЦ»¿о/2 - характерное натяжение провода; / - время; g - ускорение

свободного падения; АN = р¿о/(2Мо)- параметр Ньютона.

Уравнения движения дополняются физическими соотношениями: Г = Г (е), е > о при растяжении и е < о при сжатии (в частности при линейном законе Г = Е е), кинематическим соотношением

д Хк/д т = vk

и геометрическим соотношением

Начальные и граничные условия для провода запишутся в виде:

Хк

Хк (т,о) = /°(т), Vk (т,о) = фк (т),

Хк (т, 51) = /к5 (т), гк (т, 5!) = фк (т), к = 1,2,3.

Система уравнений (1) (4) решается методом конечных разностей, в рассмотрение вводится дискретная область:

= ¡А5, тп = иДт (п = о, 1,..., т/Ат — 1, г = 1, 2,..., 5/А5).

Используя для аппроксимации производных центральные разности на сдвинутой на полшага сетке и явную конечно-разностную схему, уравнения (1) в безразмерном виде представим как

п+1/2 п—112 Ат^ V, • ' = V, • ' +-

Хп — Хп Хп —Хп

п Х1 ,г+1 х1,г _ Гп х1,г Х1 ,¡—1 I+1/2 . I —1/2

А5Х п+^2 ¡^ А51 п_^2

л • — Ул • т-

1 1 р о А

_ [

+[ (/т ( _ х 1< к) п-1/2 ( -х-г—!к.

п+1/2 п-1/2 V2 = V2 +-

2,1 2,1 р ° Ая

х П-+! - х п-

Тп 2,!+1 2,1 — тп

Т1+1/2 п Т -1/2

Аяк I+1/2

х?! - хп . л 2,1 2,1 -1

Аяки 1/2

I-1/2

+

+

[ (/п )п+1/22 (п,«+1 - х^ )+ (/п ) п-1/22 (хх3.«-1 ))зф з1п а 1 [ (Л (х2п,«+1 - х2,« )+(/т ^ (х2« - х2«-1 )] Ь

где

АтА

N

п+1/2 п-1/2 V 3 • = V 3 • +

3'« 3'« р ° Ая

Т!

«+1/2

х 3,«+1 х 3,«

Аякп « +1 2

п

- Т«-1/2

х 3,« х 3,«-1

Ахк п- 1/2

+ 7[к'п+1/2 (Гп № + к 1-1/2 (Гп ) п:^2 ]СОзфз>п У +

+ 2А7[ (Гт )п+-1/22 (хЬ+1 -х3,« К(/т ) п-1/22 (х3п « -х3п,«-1 )]-р} ,

соз а1 =

«+1/2

соза

д/соз2 а + соз2 в

зт а1 =

1/2 соз в

д/соз2 а + соз2 в

соз а = — 2

соз в = — 2

соз у = — 2

п п п п

х1,«+1- х1,« + х1,«- х1,«-1

Ахк ^1/2

Аяк п-1/2

Vп п п

х2,1+1 - х2,1 , х2,1 - х2,1 -1

зт у ^соз2 у .

+

Результаты решения задачи на шаге интегрирования п служат в качестве начальных и граничных условий для следующего шага интегрирования. При решении по явной расчетной схеме появляются высокочастотные осцилляции решения за фронтом волн. Для сглаживания решений используется корректировка решений:

= vk + вд2vk| д я2, к = 1,2,3,

где в - коэффициент корректировки скоростей, который выбирается на основе численных экспериментов.

В разностном представлении корректировка скоростей (6) имеет вид

-и V,,

?* = #^ + вк^ -2vn;V2 + vS—/2)/Ая2.

1

1

Разрыв линии ЛЭП происходит, когда натяжение в элементе г в момент времени тп превышает натяжение разрыва в материале ТП > Траз. Пусть разрыв линии произошел в элементе между узлами 'ц и гг = 'ц +1, и натяжение между этими узлами мгновенно принимает нулевое значение Т(г/)= 0. Для расчета по формуле (7) добавляем расширенную сетку для левого пролета 'ц+1 и для правого пролета гг-1, соответственно:

^/2 = И+1/2, vn+V2 = vn+V2.

к, ц+1 к, ц к ,1Г-1 к, 1Г у '

Таким образом получаем гладкие решения для вторых производных в формуле (6). При этом сквозные расчеты проводятся по формулам (5) для узлов с г = 2 по г = 'ц для левого пролета и с г = 1Г по г = ш^я / Д$) для правого пролета.

Координаты узловых точек разностной сетки, или кинематические соотношения, в разностном представлении записываются в виде

4+1 = 4, г + Ат 112 , к = 1,2,3.

Необходимым условием сходимости численного решения по явной схеме к решению дифференциального уравнения является условие Куранта-Фридрихса-Леви. Для материала с линейной характеристикой упругости Е это условие

запишется в виде Ат < ро / Е или

Ат = акА^ро/Е ,

где а к - коэффициент Куранта.

Равновесное состояние гибкой системы получается как предельное решение динамической задачи.

Выбор коэффициента корректировки скоростей и коэффициента устойчивости численного решения осуществляется путем проведения численных экспериментов на модельных задачах. Для численных расчетов динамики гибкой системы можно использовать следующие значения коэффициентов [2]:

в = (0,015 * 0,03)А$2 в формулах (7); а к = (0,5 * 1) в формуле (10).

2. Тестовая отработка программы. Точность работы алгоритма проверяется сравнением численных расчетов равновесного состояния деформированной линии с аналитическими решениями.

Рассмотрим по отдельности действие ветровой нагрузки и действие силы

веса:

а) пусть погонная ветровая нагрузка интенсивностью р действует в плоскости Ох1 Х2. Перепад давления, возникающий за счет ветра, действует по нормали к деформируемой линии и распределяется равномерно. При этом деформированное состояния линии с двумя закрепленными концами определяется следующими приближенными формулами [3]:

Ф =

' 3 ра4 /3 1+-1 Г 3 ра ^

1 Е J 60 1 Е )

г = -

2$ш ф

а

Т = рг ,

/шах = г

2

1

12г ]

где а - длина пролета; 2ф - центральный угол дуги окружности; г окружности; Т - натяжение; /шах - максимальный прогиб.

Относительная погрешность приближенного решения (11) составляет

6ф4 ( ~2^

радиус

5 <

7!

20

Формулы (11) используем для тестовой отработки влияния ветровой нагрузки в численных расчетах.

Расчеты по (11): пусть линейная плотность электрических проводов равна рпров = 0,5 кг/м, а плотность обледенения родл = Рпр0в . Общая плотность

составляет р = 1,0 кг/м, g = 9,81 м/с2; а = 160 м; йпров = 0,01553 м - диаметр

провода; Е = 80734  g Н - приведенный модуль упругости; скоростной напор,

действующий на провода при скорости ветра Ую = 20 м/с, составляет

2 2 2 Ч = РвоздУ»/2 = 0,125  g  20 /2 = 25  g кг/(м-с ); погонная ветровая нагрузка

равна р = чйпров = 0,38825  g Н/м. Расчеты по (11) дают: ф = 0,1321981; г = 606,919 м, /шах = 5,295 м, а численные расчеты максимального прогиба для равновесного состояния в момент времени т = 24,735 по разделу 1 дают

хШах = 160 0,0331 = 5,296 м, рис. 1. Относительная погрешность составляет менее 0 = 0,007 %. При этом погрешность самого приближенного решения не превышает величины 5 = 0,004  10" %. Максимальный динамический прогиб х Шах = 0,0543 реализуется в момент времени т = 0,296.

-0,05 5

Фирма в равновесном

СОСТОЯНИИ

л: ¡"ах = -0,0331

Форма при максимальной деформации

д.тах = . 0 054з

Рис. 1. Формы невесомой ЛЭП под действием ветра в горизонтальной плоскости

б) Для анализа точности численных расчетов влияния веса рассмотрим точное решение задачи деформирования ЛЭП за счет веса, который действует вдоль оси 0x3 в плоскости ОХ2Х3 . © Проблемы энергетики, 2010, № 3-4

Деформирование гибкой системы происходит из первоначально вытянутого положения с двумя закрепленными концами вдоль оси Ох (совпадает с осью Ох2 для пространственной задачи) под действием погонной распределенной нагрузки Р0g , действующей вдоль оси Оу (совпадает с осью Охз). При этом равновесное состояние определяется уравнениями:

й й«0

г Т йх ^

к у

0,

й«.

Тйу^

к й«0 у

Р0 g = 0,

где «0 - недеформированная длина дуги; Т = Ее - натяжение, Е - модуль упругости, е - относительное удлинение; к = 1 + е - степень удлинения.

Интегрирование с учетом граничных условий дает уравнение цепной линии

У =(1±£) Р0£ (х2 - „Л Ее 2 Г '

Максимальный прогиб в середине пролета составляет а 2

У г

8 Ее

Р 0 g •

В выражениях (13) и (14) входит неизвестный параметр е. Оценим величину относительного удлинения е из следующих предпосылок:

- внутренняя работа деформации составляет

2

Адеф = ТА/ = Ееае = Ее а ;

- работа, связанная перемещением с вытянутого, но недеформированного состояния по направлению оси Оу до равновесного деформированного состояния, равна

1 а

^ = - /Р0gУdx•

Приравнивая эти выражения, с учетом (13) имеем е3 = (е +1)/ или е3 - уе - у = 0,

где

= (Р0 g ) а 2 / (24Е 2 ).

В соответствии с формулой Кардано для положительного дискриминанта (у/2) — (у/2)3 > 0 запишем решение уравнения (15):

е =

1 + 2

ЛЛ

V 2 у

/„Л

V 3 У

+3

лл

V 2 у

/„Л

V 3 У

1

1

2

3

2

3

2

2

3

Таким образом, последовательное применение формул (16), (17) и (14) позволяет вычислить максимальный прогиб в середине пролета при условии, что физический закон деформации подчиняется линейному закону. А формула (13) позволяет определить деформированную равновесную форму ЛЭП.

Расчеты проведем при вышепринятых исходных данных:

по формуле (16) имеем у = 0,16365 • 10-6 и по (17) е = 0,005479834 .

Максимальный прогиб по формуле (14) составляет у тах = -7,273 м.

На рис. 2 приводятся расчеты равновесного состояния (раздел 1) при времени т = 32,597 (рис. 2), максимальный прогиб составляет

„тах х3

: —и

а • 0,0454 = -160 • 0,0454 = -7,264 м

Рис. 2. Формы ЛЭП под действием веса в вертикальной плоскости

При этом относительная погрешность ошибки в сравнении с точным решением составляет

0 = 7,273 - 7,264 • 100 % - 0,12 %.

7,273

Максимальный динамический прогиб х^^ = 0,0753 реализуется в момент времени т = 0,214.

3. Расчет равновесной пространственной формы ЛЭП под воздействием совместной ветровой и весовой нагрузки. Расчеты проведем при вышеупомянутых исходных данных по численному алгоритму раздела 1.

Начальное состояние гибкой системы в момент времени т = 0 берется в виде прямой линии. Из этого состояния система деформируется до значения

максимальных прогибов хтах =-0,0717 (рис. 3) и х^ =-0,0279 (рис. 4) при времени т = 0,204. По истечении времени т = 40,75 система выходит на равновесное состояние и максимальные прогибы составляют хтах = -0,0433 и хтах = -0,0169 (рис. 3 и 4).

О 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 х2

-0,05 -

- опора

—— земля

-Форма в равновесном состоянии = - 0,0433

—*— Форма при максимальной деформации Л* ^ а*=- 0,0717

Рис. 3. Формы ЛЭП под действием веса и ветра на вертикальную плоскость

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0.3 0.35 0,4 0,45 0,5 х2

О

-0,05

л-1

Рис. 4. Формы ЛЭП под действием ветра и веса на горизонтальную плоскость

4. Расчеты движения ЛЭП из равновесного состояния после разрыва в середине пролета. В алгоритме расчета движения ЛЭП после разрыва используются следующие предпосылки: а) при установившемся режиме воздействия ветровой и весовой нагрузки обрыв провода для примера происходит посередине пролета; б) в момент падения на землю воздействие ветровой нагрузки на провод прекращается; в) при падении на землю происходит частично упругий удар, и в расчетах принято, что кинетическая энергия отскока составляет 36 % от энергии вертикального удара. На рис. 5 и 6 показаны результаты расчета движения после разрыва провода посередине пролета. Расчеты проводятся одновременно для правого и левого пролета, задача симметричная, что позволяет контролировать точность вычислительного процесса. В расчетах параметры вычисления движения элементов ЛЭП одинаковые для левого и правого пролета.

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 д-2

(I

-0,05

дгЗ

— опора —— земля

- равновесное состояние ? - 40,85

—¿ = 41,87 / = 50,93

Рис. 5. Изменение формы ЛЭП после разрыва посередине пролета в проекции на вертикальную

плоскость

Форма в равновесном состоянии

дгта* = _ 0,0169

Форма ори максимальной деформации

.г |пах = - 0,0279

Рис. 6. Изменение формы ЛЭП после разрыва посередине пролета в проекции на

горизонтальную плоскость

Выводы

1. Разработанный программный комплекс расчета пространственной динамики ЛЭП при совместном воздействии ветровой и весовой нагрузки позволяет исследовать напряженно-деформированное состояние ЛЭП при обледенении, механический разрыв, разрыв ЛЭП в точках, где превышены допускаемые напряжения, позволяет прогнозировать области нахождения проводов после обрыва.

2. Приведенное аналитическое решение формы ЛЭП в равновесном состоянии и максимального прогиба под действием силы тяжести с учетом деформации может быть использовано для практических расчетов и тестовой отработки программ.

Summary

The program complex of calculation of spatial dynamics of overhead lines is developed at joint influence of wind and weight loading. The program was fulfilled on test calculations. For check of accuracy of numerical calculation of an equilibrium condition at action of weight loading the exact decision of deformed line of overhead lines taking into account lengthening is received at a stretching. Numerical calculations of an equilibrium condition at influence of wind loading are checked with use of the approached analytical decision. On the basis of the developed complex results of calculation of an exit on equilibrium condition of overhead lines in spatial statement at joint influence of wind both weight loading and results of numerical modelling of movement of overhead lines after rupture are resulted.

Key words: Mathematical modelling, calculation, electric main, wind, weight, icing, rupture.

Литература

1. Гимадиев Р.Ш., Динмухаметов Ф.Ф. Моделирование разрыва линий передачи энергий / Известия вузов. Проблемы энергетики. 2008. №7-8. С. 137-143 .

2. Гимадиев Р.Ш. Динамика мягких оболочек парашютного типа. Казань: Казан. гос. энерг. ун-т, 2006. 208 с.

3. Гимадиев Р.Ш., Ильгамов М.А. Статическое взаимодействие профиля мягкого крыла с потоком несжимаемой жидкости // Известия вузов. Авиационная техника. 1998. №1. С.43-48.

Поступила в редакцию 16 октября 2009 г.

Гимадиев Равиль Шамсутдинович - д-р техн. наук, профессор кафедры «Высшая математика» (ВМ) Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ). Тел.: 8-917-8598975; 8 (843) 56224-04.

Динмухаметов Фаниль Фаритович - аспирант кафедры «Высшая математика» (ВМ) Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ). Тел.: 8-987-2970981.

Галимуллин Нияз Рафилович - аспирант кафедры «Высшая математика» (ВМ) Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ). Тел.: 8-917-8712605.