Пространство левоинвариантных ортогональных почти комплексных структур на 6-мерных группах Ли

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия

УДК 514.76.2

ПРОСТРАНСТВО ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЧТИ КОМПЛЕКСНЫХ СТРУКТУР НА 6-МЕРНЫХ ГРУППАХ ЛИ

Н. А. Даурцева

THE SPACE OF LEFTINVARIANT ORTHOGONAL ALMOST COMPLEX STRUCTURES ON 6-DIMENSIONAL LIE GROUPS

N. A. Daurtseva

В статье изучается пространство Z левоинвариантных ортогональных почти комплексных структур на 6-мерной группе Ли. Для явного описания элементов этого пространства используется изоморфизм Z и CP3, а также тот факт, что CP3/T3 есть 3-мерный тетраэдр. Получены явные формулы для описания почти комплексной структуры как композиции поворотов.

The space Z of leftinvariant orthogonal almost complex structures on 6-dimensional Lie groups is researched. For the explicit view of this space elements the isomorphism of Z and CP3 is used. Representation of CP3/T3 as 3-dimensional tetrahedron is used too. The explicit formula for almost complex structure as composition of rotations is found.

Ключевые слова: почти комплексные структуры, группы Ли.

Keywords: almost complex structures, Lie groups.

1. Введение

Пусть О - 6-мерная группа Ли. Всякую левоинвариантную почти комплексную структуру можно отождествить с эндоморфизмом алгебры Ли д этой группы, квадрат которого равен минус единице. Если на группе Ли зафиксирована некоторая левоинвариантная метрика, то это позволяет выделить в множестве всех почти комплексных структур подмножество ортогональных, т. е. сохраняющих данную метрику. Пространство таких почти комплексных структур, дополнительно сохраняющих ориентацию, есть однородное пространство Z = БО(6)/и(3) изоморфное СР3. В различных задачах, возникающих для почти эрмитовых структур на многообразиях и, в частности, группах Ли, возникает необходимость в явных формулах, задающих почти комплексную структуру вместо неявного условия 12 = —1. В двумерном случае существует ровно одна почти комплексная структура, ортогональная относительно некоторой метрики. В 4-мерном случае такие структуры образуют двупараметрическое семейство, параметризуемое точками на сфере Б2 (см., например, [8]). В 6-мерном случае ортогональные структуры образуют 6-параметрическое семейство и явное описание таких структур в литературе отсутствует.

Основным результатом данной статьи является явное описание структур из Z, через однородные координаты в СР3, а также описание этих структур как композиции поворотов в некотором базисе алгебры Ли.

2. Определения и обозначения

Пусть (М2п,д) - риманово многообразие класса С то.

Определение 1. Почти комплексной струк-

турой на М называется поле эндоморфизмов 3Х : ТХМ —> ТХМ, гладко зависящее от х Є М и удовлетворяющее условию 3 = —!ЛХ, где Мх

- тождественный эндоморфизм ТХМ, Ух Є М. Если почти комплексная структура оставляет метрику д инвариантной:

д(3Х,1У)= д(Х, У), УХ,У Є Е(М),

то 3 называется ортогональной относительно метрики д, а пару (д, 3) на М2п называют почти эрмитовой структурой. Многообразие, наделенное почти эрмитовой структурой, называется почти эрмитовым.

Определение 2. Будем говорить, что почти комплексная структура 3 на М ассоциирована с кососимметрической 2-формой и, если

и(3Х,3У)= и(Х,У), УХ,У Є Е(М).

Если (д, 3) почти эрмитова структура на М, то такая 2-форма и определяется по формуле

и

и называется фундаментальной 2-формой.

Замечание 1. Мы будем отождествлять почти комплексную структуру с ее фундаментальной формой, когда это будет удобно.

Замечание 2. Каждая почти комплексная структура на многообразии определяет на нем некоторую ориентацию [3].

Пусть теперь М = О - 6-мерная группа Ли, д

- некоторая левоинвариантная метрика на О. Левоинвариантная почти комплексная структура I на О однозначно определяется своим значением на алгебре Ли д, линейным эндоморфизмом:

1  д —> а, 12 = —1

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия

С другой стороны, линейный эндоморфизм (1) определяет левоинвариантную почти комплексную структуру на группе Ли О. В случае, когда речь идет о левоинвариантных структурах на группе Ли, их ограничение на алгебру Ли мы будем обозначать также как и структуру на всей группе. Таким образом, множество всех д-ортогональных левоинвариантых почти комплексных структур на группе Ли О есть множество всех линейных эндоморфизмов:

I : 0 —^ 0, I2 = -1,

д(ІХ,ІУ) = д(Х,У), УХ, У Є 0.

Множество Е всех таких почти комплексных структур, сохраняющих ориентацию, есть однородное пространство БО(6)/и(3). Действительно

[3], зафиксируем некоторый ортонормированный базис (е) = (е2,...,е6) алгебры Ли 0. Пусть І0 - почти комплексная структура, такая что Іоеі = — Є4, І0е2 = — Є5, І0е3 = — ев, тогда любая другая левоинвариантная ортогональная почти комплексная структура І может быть получена из Іо как І = БІ0Б-1, для некоторого Б Є БО(6), т. е. группа Б О (6) действует на Е транзитивно. Подгруппа изотропии элемента Іо состоит из ортогональных, коммутирующих с Іо матриц, то есть совпадает с и(3). Следовательно, Е = БО(6)/и(3).

3. Диффеоморфизм Е в СР3

Известно [4], что БО(6)/и(3) диффеоморфно СР3. Построим этот диффеоморфизм в явном виде. Пусть (у0, v1,v2,v3) - унитарный базис V = С4. Тогда Л2С4 можно отождествить с 0*:

2у0 Л V1 = е1 + іе4, 2у2 Л V3 = е1 — іе4,

2у0 Л V2 = е2 + іе5, 2v3 Л V1 = е2 — іе5,

2v0 Л V3 = е3 + іе6, 2v1 Л V2 = е3 — іе6,

здесь ег обозначает ковектор, дуальный к е*. Почти комплексная структура І на 0 стандартным образом - (Іе1 )(Х) = ег(ІХ) определяет почти комплексную структуру на 0*, которую мы будем обозначать так же. Каждая почти комплексная структура определяет разложение комплексифи-кации 0*с в прямую сумму собственных подпространств:

0*1’0 = {а Є 0*с : Іа = іа} = [ф — іІф : ф Є 0*}, 0*0’1 = [а Є 0*с : Іа = —іа} = [ф + іІф : ф Є 0*}.

Обратно, каждая почти комплексная структура

=к 1 0

однозначно определяется через 0*1,0.

Для стандартной структуры І = І0 собственное подпространство, соответствующее і, есть 0*1,0 = врапс{е1 + іе4, е2 + іе5,е3 + іе6}, а значит, согласно формулам (2) 0*1’0, отождествляется с Уув = [V0 Л V, V Є V} С Л^.

Произвольная почти комплексная структура І ведет себя так же, как І0 в другом базисе

(е') = (е)Б, где Б Є БО(6). Так как Би(4) —> БО(6) образует двойное накрытие, то для произвольной почти комплексной структуры подпространство в соответствующее 0*1,0, имеет

аналогичный вид:

Уи = [и Л V : V Є V} С Л2К

Таким образом, каждая структура из Е может быть отождествлена с точкой из СР3 следующим образом:

І ЄЕ —^ 0*10 —^ Vu —^ [и] Є СР3.

Кроме стандартной структуры І0, определим еще три почти комплексные структуры, которые на векторах базиса действуют следующим образом:

І0е1 = —е4,І0е2 = —е5,І0е3 = —е6;

І1е1 = —е4,І1е2 = е5,І1е3 = е6;

І2е1 = е4,І2е2 = —е5,І2е3 = е6;

І3е1 = е4,І3е2 = е5,І3 е3 = —е6.

Все они задают одну и ту же ориентацию, сохраняют метрику д, лежат в Е и соответствуют точкам [1,0, 0, 0], [0,1,0, 0], [0,0,1,0], [0,0,0,1] Є СР3. Фундаментальные 2-формы, соответствующие этим структурам, имеют вид:

ш0 = е1 Л е4 + е2 Л е5 + е3 Л е6;

ш2 = е1 Л е4 — е2 Л е5 — е3 Л е6;

ш2 = —е1 Л е4 + е2 Л е5 — е3 Л е6; ш3 = —е1 Л е4 — е2 Л е5 + е3 Л е6.

Пусть г = [г0, г1, г2, г3] и и = [и0, и1, и2, и3] произвольные точки в СР3. Эти две точки могут быть

соединены ’ребром’, состоящим из точек аг + ви, где а, в Є С, |а| + \в\ = 0, будем обозначать его

£ги Не сложно показать, что ’ребро’ £ги = [[а, в] : а, в Є С, |а| + \в\ =0} = СР1 = Б2. Аналогич-

но три произвольные точки, не лежащие на одном ’ребре’, определяют грань Т = СР2.

Таким образом, проективное пространство СР3 можно визуализировать как заполненный тетраэдр с вершинами ш0 = [1,0,0,0],

ш2 = [0,1,0,0], ш2 = [0, 0,1,0], ш3 = [0, 0, 0,1],

’ребрами’ £^ = СР1 и ’гранями’ Т = СР2 (ребро £і] соединяет формы ш* и ш^, грань Т является ’противолежащей’ к вершине ш*).

Лемма 1. Фундаментальная 2-форма ш Є £01 имеет вид:

ш = е1 Л е4 + г(е2 Л е5 + е3 Л е6)+

+и

где г2 + и2 + х2 = 1.

Доказательство. Для произвольной формы ш Є Е01 найдутся такие числа в,сі,с2 Є М, в2 + с2 + с2 = 1, что соответствующая почти комплексная структура І = вІ0 + (с2 + іс2)І2.

в[1,0,0, 0] + (сі + іс2)[0,1,0,0] = [в, Сі + іс2,0,0].

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия

Пространство = — (вє2 + Сів3 + Є2в6 + і(вє5 + С2Є3 — сіє6));

2

(в^0 + (сі + *с2)^і) ЛV3 _ sv0 ЛV3 + (сі + iс2)vі ЛV3

^8,Сі+іС2,0,0] _ {«V0 + (сі + іс2)уі А и,и Є V}.

Поскольку (ву0 + (сі + іс2)уі) Л V0 = (сі + iс2)vі А

= — і1(Сі + 4С)2))(єі + іє4) _ 5(—Сіві + С2в4 + _ 2(в(є3 + ів6) + (сі + іС2)(—є2 + іе5)) _

+і(— С2ві —сіє4)), то для почти комплексной струк- 2

туры I Є<?0і: —

і 4 4 _ 2(ве3 — сіє2 — с2є5 + і(вє6 — с2ев + сіє5)) I (—сів + с2в ) = с2в + сів . 2

Аналогично, равенства

дают:

I(веі) _ —вє4

(sv0 + (сі + іс2)Vі) Л Vі _ —(веі + івє4); т/ 2 , 3 , 6\ <• 5 , 3 6\

у у ^ 2> ' 2 I(вє2 + сіє3 + с2є6) _ — (вє5 + с2є — сіє),

^ + (сі + іс2 )vі) Л v2 _ ^ Л ^ + (сі + ic2)vі Л ^ _ I (вє3 — сіє2 — с2є5) _ —(вє6 — с2є2 + сіє5).

—

2(

_ 2(в(є'2 + іє5) + (сі + іс2)(є3 — іє6)) _ Тогда ш Є Е0і, соответствующая I, имеет вид:

ш = (—сієі + с2є4) Л (—с2єі — сіє4) + вє Л вє4 + (вє + сіє3 + с2є ) Л (вє + с2є3 — сіє6)+

+(вє3 — сіє2 — с2є5) Л (вє6 — с2є2 + сіє5) _ єі Л є4 + (в2 — сі — с2)є2 Л є5 + 2вс2є2 Л є3 —

—2всіє2 Л є6 — 2всіє5 Л є3 — 2вс2є5 Л є6 + (в2 — с2 — с2)є3 Л є6.

Полагая г = в2 — с2 — с2 _ 2в2 — 1, и = 2вс2, вольная точка, не принадлежащая грани Т0. Лех = —2всі, можно привести форму ш к виду (3). воинвариантная почти комплексная структура

I Є Я, соответствующая этой точке, лежит в окрестности и(!0) _ {I Є Я : 1 — И0 — обратим} Теорема 1. Пусть [1 ,а, Ъ, с] Є СР3 - произ- структуры !0 ив базисе (є) задается матрицей:

( 0 2Э(аЬ + с) 2Э(ас — Ь) х — 2|Ь|2 — 2|с|2 2Ш.(аЬ — с) 2Ш.(ас + Ь) \

—2Э

—2Э(ас — Ь) —2Э(Ьс + а) 0 2Ж(ас — Ь) 2Ж(Ьс + а) х — 2|а|2 — 2|Ь|2

—2Ж

\ —2Ж

Пусть I - произвольная почти комплекс- Дусть к — ( А В ) где А + В — ная структура, лежащая в окрестности и(1о), V В —А ) '

(!у )*1^=11..1б - матрица этой структуры в базисе 10 —с Ь \

(е). Тогда координаты соответствующей точки — I с 0 —а I, тогда I принимает вид (4).

[1,а, Ь, с] из СР3 следующие: \ —Ь а 0 у

Обратно, пусть I — (1^) (1^ — —I) -

1

а _ і+/14+-Г25+/зб ((^ — !26) + і(!23 — I56)), произвольная почти комплексная структура из

Ъ _ і+/14+/25+/36 ((Iі6 — І34) + i(І46 — !і3)), (5) иЦ0), тогда формулы (5) могут быть выведе-

с _ і+/14+/25+/36 ((I24 — IІ5) + i(Iі2 — I45)), ны непосредственно из равенства матриц (4) и

(А; )і^=і,..,6.

где х _ 1 + |а|2 + |Ъ|2 + |с|2. Следствие 1. Пусть I _ [1, а, Ъ, с] Є СР3, то-

Доказательство. Пусть а,Ъ,с Є С и [1, а, Ъ, с] - гда оператор к = (1 — ^ выражается

некоторая точка из СР3, не принадлежащая гра- через а,Ъ,с: К = ( В В. ) , где А + іВ = ни ^0. Тогда прямые вычисления, аналогичные V В — А /

приведенным в доказательстве леммы 1, дают со- ( 0 —с Ъ

ответствующую форму ш и почти комплексную =1 с 0 —а

структуру вида (4). \ —Ъ а 0

Пусть теперь Є и(Io) = { Є Я : 1 Замечание 3. Формула (4) дает явное опи-

—110 обратим к Для такой структуры 121 опреде-

^ ^ ^ сание ортогональных матриц, удовлетворяющих

лен соответствующий кососимметрический опера- 2

17 ^ ^ условию 12 = —1.

тор К, антикоммутирующий с ]o, такой, что:

Пространство Я есть 6-мерный тетраэдр, из-

I = (1 — К)!0(1 — К)-і, вестно [1], что Я/Т3 есть 3-мерный тетраэдр. Опи-

К = (1 — Ц0)-і(1 + Но). шем классы 2-форм, лежащих в этом фактор-

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия

пространстве. Если формы р+ и принимают все

возможные значения на ребрах £03 и £12 соответственно, то ребра £р+р- заполняют весь 6-мерный тетраэдр СР3.

p+p-

Z = и

p+ Є E03 p- Є El2

Зафиксируем 2-мерные площадки Ю1=

- матрица вращения внутри данных площадок. То есть будем отождествлять почти комплексные структуры, которые отличаются друг от друга лишь на повороты внутри этих площадок. Так как (cosае + sinaf) Л (— sinае + cosaf) = е Л f, то вершины тетраэдра остаются инвариантными при таких поворотах. Воспользуемся явным описанием ребра E01 из леммы 1. Введем сферические координаты:

r = sin ф; u = cos ф cos ф; v = sin ф cos ф;

—п/2 К ф К п/2 О < ф К 2п

Тогда форма м Є E01 имеет вид:

м = е1 Л е4 + sin ф(е2 Л е5 + е3 Л е6) + cos ф cos ф(е2 Л е3 + е6 Л е5) + sin ф cos ф(е2 Л е6 + е5 Л е3) = = е1 Л е4 + sin ф(е2 Л е5 + е3 Л е6) + cos ф(cos фе2 Л е3 + cos фе6 Л е5 + sin фе2 Л е6 + sin фе5 Л е3).

Пусть теперь

/2 2 • 5 /* 5 *2 5

2 = cos фв2 + sin фв5 ; f = — sin фв2 + cos фв5 ,

тогда f2 Л в3 + в6 Л f5 = cos ф f2 Л в3 + cos фв6 Л f5 + + sin фf2 Л в6 + sin фf5 Л в3, а значит, форма ш G £01/SO(2) имеет вид в1 Л в4 + sinф(в2 Л в5 + +в3 Л e6) + cos ф(в2 Л в3 + в6 Л в5). Класс эквивалентности в этом случае составляют формы, лежащие на параллелях сферы-ребра £01.

Что происходит в общем случае для ребра £p+p_ ? В статье [4] предложено следующее описание произвольной формы ш G Z. Пусть J G Z - почти комплексная структура, соответствующая ш, и D = (в1, в2, в4, в5}. Зафиксируем в3, тогда Je3 ортогонален в3, а значит, Je3 = ав6 + bf1, где f1 G D, ||f 1у = 1 и a2+b2 = 1. Единичная 1-форма af1 —Ьв6 ортогональна и в3 и Je3, а значит, 2-форма ш G Z имеет вид:

ш(Р,а,Ь) = в3 Л(ав6 + bf 1) — f4 Л^1 — be6) + f2 Л f5,

здесь (/1,/2,/4,/5) = (е1, е2, е4, е5)Б, для некоторого Б € БО(4). Известно, что для Л2В имеет место разложение: Л2В = Л+В  Л-В, где

Л+D = {е14 + Л2 D = {е14-

е25,е12 + е54,е15 + е42}, Л2D = {е14 — е25, е12 — е54, е15 — е42}

- собственные подпространства оператора * (егз обозначает 2-форму ег А е3). Это разложение позволяет построить двойное накрытие БО(4) —> БО(3) х БО(3). Таким образом, произвольная матрица Р € Б О (4) может быть представлена матрицей ( Р+ Р^ € БО(6), где Р+,Р- € БО(3).

Для формы ш матрицы Р+ и Р- имеют определенный геометрический смысл, а именно - р+ = ш(Р, 1,0) € £03, р- = ш(Р,-1, 0) € £12. При изменении Р+ форма р+ перемещается по ребру £03, а при изменении Р- форма р- перемещается по ребру £12 . Таким образом, с точностью до поворотов внутри площадок В1, В2, В3:

E03/S1 = {sinф(е14 + е25) + cos ф(е12 + е54) + е36 : —п/2 К ф К п/2}, El2/S1 = {sinв(е14 — е25) +cos в(е12 — е54) — е36 : —п/2 К в К п/2}.

Нетрудно проверить,

(P+,P-), где P+ =

/ О в in si О

P- = I О cos в О )

\ О О І

рица

( sin ^ О О О

ф-в cos — • ф-в sin

О ф — в ф — в sin cos

V cos О О

что паре матриц: sin ф О О О cos ф О О О І

соответствует мат-

— cos ^ \ О О

Ф+в у

SO(4). Полагая а = sinф, b = cosф, ф G [0, 2п], получаем:

Теорема 2. Форма ш G Z/T3 имеет вид:

ш = в3 Л (sin фв6 + cos ф^Ш ~^+2~ в1 + cos ~^+2~ в5)) + + (sin ф(sln в1 + cos в5) — cos фв6) Л

22 Л ( — sin е2 + cos 'ф2-ве4) + (cos 'ф2-в е2 +

из

+ sin "^2 в4) Л (— cos ^7-в1 + sin в5),

где ф,ф,в G [—п/2, п/2].

Следствие 2. Компоненты произвольной почти комплексной структуры J G Z в базисе (в):

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия

312 = бій вІП

313 = СОБ ф(СОв Ф—- СОБ ф1 СОБ ф3 — вІП фу- вІП ф1 вІП ф3),

314 = БІП ф БІП Фу- СОБ Ф-- + СОБ Фу- вІП Ф^-,

315 = СОБ Фу- СОБ 'Ф—°

316 = — СОБ ф(вІП фу- БІП ф1 СОБ ф3 + СОБ Ф—- СОБ ф1 вІП ф3),

323 = СОБ ф(СОБ Фу- СОБ ф2 БІП ф3 + вІП Ф^- вІП ф2 СОБ ф3),

324 = вІП Фу- БІП Ф^-

т • фу- • ф — -, ф — -- фу-

325 = БІП ф СОБ БІП ^2----+ СОБ БІП ,

326 = СОБ ф(СОв Фу- СОБ ф2 СОБ ф3 — вІП 'Ф—° вІП ф2 вІП ф3),

334 = СОБ ф(вІП Фту- СОБ ф1 БІП ф3 + СОБ вІП ф1 СОБ ф3),

335 = СОБ ф(СОв Фу- БІП ф2 БІП ф3 — БІП Ф—-СОвф2 СОБ ф3),

336 = вІП ф,

345 = СОБ Ф^- СОБ Ф—-

346 = СОБ ф(СОв Ф—- БІП ф1 БІП ф3 — БІП фту- СОБ ф1 СОБ ф3),

356 = — СОБ ф(СОв Фу- БІП ф2 СОБ ф3 + БІП 'Ф—° СОБ ф2 вІП ф3), йсЄ ф,ф,в Є [—^/2,^/2], ф1,ф2,ф3 Є [0, 2^].

Замечание 4. Следствие 2 дает явное описание произвольной, левоинвариантной ортогональной почти комплексной структуры на 6-мерной группе Ли. Поскольку каждая ортогональная почти комплексная структура в некотором ортонор-мированном базисе ведет себя как стандартная, то для ее описания достаточно указать способ построения нового базиса, в котором она будет вести себя стандартным образом. Введем обозначения: Я^і - поворот внутри площадки В* на угол фі, Яа - поворот на угол а (а = фу-) внутри площадки (е1,е5), Яр - поворот на угол в (в = ф—-) внутри площадки (е2,е4), Я^ - поворот на угол ф внутри площадки (е1,е6). Тогда базис, в котором произвольная ортогональная почти комплексная структура будет вести себя как стандартная, может быть получен следующей последовательностью поворотов: Я^ о Яа о Яр о Я^3 о Я^2 о Я^1.

4. Пример

Рассмотрим группу С = БП(2) х БП(2). На этой группе можно выделить два особых класса почти комплексных структур. Это, во-первых, комплексные структуры Калаби-Экмана на произведении трехмерных сфер и, во-вторых, ортогональные левоинвариантные структуры, для которых норма тензора Нейенхейса достигает своего максимального значения, в некотором смысле "максимально неинтегрируемые"структуры.

Конструкция, позволяющая получить интегрируемые структуры, широко известна и принадлежит Е. Калаби и Б. Экману [5]. Для ее построения используется конструкция расслоения Хопфа Б3 —^ СР1 , на произведении сфер она дает расслоение с комплексной базой и слоем

Б3 х Б3 —>5'1х'5'1 СР1 х СР1.

Этот факт и наличие голоморфных функций перехода позволяет построить комплексную структуру на пространстве расслоения

Б3

х Б3. Из-

вестно [6,9], что комплексные структуры Калаби-Экмана исчерпывают весь класс левоинвариантных комплексных структур на группе Ли БП(2) х БП(2). Зафиксируем стандартный базис (е1, е2, е3, е4, е5, е6) алгебры Ли ви(2)хви(2) = М3хМ3, в этом базисе интегрируемая структура, определяющая ту же ориентацию, что и І0,І1,І2,І3, имеет вид 1е1 = —е4, Іе2 = —е3, Іе5 = еб. Очевидно, что все остальные ортогональные левоинвариантные комплексные структуры будут принадлежать орбите структуры І действия группы БО(3) х БО(3). Стабилизатором такого действия будет группа БО(2) х БО(2), таким образом, множеству интегрируемых почти комплексных структур в нашей модели будет соответствовать четырехмерное подмножество Б2 х Б2 = БО(3) х БО(3)/БО(2) х БО(2). Мы не будем полностью описывать множество таких структур в данной модели, это описание будет технически сложным, опишем лишь некоторые комплексные структуры. Рассмотрим следующие формы, соответствующие некоторым интегрируемым почти комплексным структурам:

е14 ± е23 т е56 Є 501, —е14 ± е23 ± е56 Є 523,

±е12 т е45 + е36 Є 503, ±е12 ± е45 — е36 Є 512,

е25 ± е46 т е13 Є 502, —е25 ± е46 ± е13 Є 513.

Каждая пара таких форм представляет собой диа-

метрально противоположные точки на экваторе соответствующего ребра тетраэдра. Других интегрируемых почти комплексных структур, которые лежали бы на ребрах тетраэдра, нет. Ребра-сферы, соединяющие ”середины” скрещивающихся ребер, полностью состоят из интегрируемых почти комплексных структур.

”Максимально неинтегрируемые” структуры на группе Ли БП(2) х БП(2) переводят касательные векторы к одной сфере в касательные к другой [7], например, структуры І0, І1, І2, І3 ”мак-симально неинтегрируемы”. На множестве таких структур транзитивно действует группа БО(3) х хБО(3) с подгруппой изотропии &іад(БО(3)), ор-

Вестник КемГУ № 3j1 2011 Риманова геометрия

битой почти комплексной структуры lo относительно действия группы SO(3) x SO(3) будет SO(3) = SO(3) x SO(3)/diag(SO(3)). Используя формулы следствия 2, можно найти условия, при которых J12 = J13 = J23 = J45 = J46 = J56 = О.

Решением этой системы уравнений будет:

cos(^>1)=0, Г sin(^1) = О,

sin(^>2) = О, или < cos(^>2) = О, sin(^3) = О, [ cos(^3) = О.

Оба решения определяют одну и ту же форму, поэтому достаточно рассмотреть одну систему условий. Введем обозначения M+ и M- для ”макси-мально неинтегрируемых” структур, лежащих на меридианах сфер-ребер £03 и E12 соответственно. M+ = {sinФ(є14 + e25) +cosФ(є15 + e42) + e36 :

— п < ф < п}, M- = {sine(e14 — e25) + cose(e15 —

—e42) + e36 : —п < Є < п}. Обозначим Mp+p-половину большого круга меридиана обобщенной сферы-ребра Ep-p+, тогда множество всех "максимально неинтегрируемых” структур образует 3мерное подмножество в CP3:

U Mp-p+

p- е M-p+ е M+

Литература

[1] Бухштабер, В. М. Торические действия в топологии и комбинаторике / В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. - М.: МЦНМО, 2004. - 272 с.

[2] Даурцева, Н. А. О пространстве почти комплексных структур на многообразии / Н. А. Даурцева, Н. К. Смоленцев // Вестник КемГУ. - 7(2001).- C. 176 - 186.

[3] Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. - М.: Наука, 1981. - Т. 2.

[4] Abbena, E. Almost Hermitian geometry on six dimensional nilmanifolds / E. Abbena, S. Garbiero, S. Salamon // Ann. Scuola Norm. Sup. - Pisa: Cl. Sci. - 30 (2001). - P. 147-- 170.

[5] Calabi, E. A class of compact complex manifolds which are not algebraic. / E. Calabi, B. Eckmann // Ann.Math. - 58(1935). - P. 494 -500.

[6] Daurtseva, N.A. Invariant complex structures on S3 x S3 / N.A. Daurtseva // Electronic Journ. “Investigated in Russia”. - 2004. - P. 888 - 893;

[7] Daurtseva, N.A. Left-invariant almost nearly Kahler structures on SU(2) x SU(2) in the tetrahedron visualization for CP3 / N. A. Daurtseva // arXiv:0608704[math.DG](2006). 12 p.

[8] Ivashkovich, S. Complex curves in almost-complex manifolds and meromorphic hulls / S. Ivashkovich, V. Shevchishin // Bochum: Ruhr-Univ. - Bochum, 1999. - VI.- 186 p.

[9] Magnin, L. Left invariant complex structures on U(2) and SU(2) x SU(2) revisited / L. Magnin // Preprint, arXiv: 0809.1182 [math.RA] (2008). 25 p.

УДК 517.54: 517.862

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СГЛАЖИВАЮЩИХ КУБИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВЫХ

КРИВЫХ В. Б. Ким

ABOUT A CLASS OF SMOOTHING SPLINE CUBIC CURVES

V.B.Kim

В работе рассмотрен новый класс сглаживающих кубических сплайновых кривых. Эти кривые не являются ни в -сплайновыми кривыми, ни кривыми Безье. Найдены параметрические уравнения этих кривых и определены их некоторые геометрические свойства,.

A new class of smoothing spline cubic curves is considered in the article.These curves are neither в-spline curves not Bezier curves.The parametric equations of the curves are obtained and some geometric properties of this curves are studied.

Ключевые слова:сплайновые кубические кривые, в -сплайновые кривые, кривые Безье.

keywords:spline curves, в-spline curves, Bezier curves

Составные сплайновые кривые традиционно второй, когда искомая кривая проходит не через строятся по заданному массиву точек (опорному сами точки, а вблизи них, удовлетворяя некоторо-массиву). При этом различают два типа задач. му вариационному условию (задача сглаживания). Первый, когда искомая кривая должна проходить Соответственно различают два типа сплайновых через заданные точки (задача аппроксимации), и кривых— аппроксимирующие и сглаживающие.