Свободные частично коммутативные нильпотентные полугруппы с планарными графами Кэли

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 4. С. 28-36.

УДК 512.572 Д.В. Соломатин

СВОБОДНЫЕ ЧАСТИЧНО КОММУТАТИВНЫЕ НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ПОЛУГРУППЫ С ПЛАНАРНЫМИ ГРАФАМИ КЭЛИ

Изучаются свободные частично коммутативные нильпотентные полугруппы, допускающие планарные графы Кэли. Найдено соответствующее характеристическое свойство.

Ключевые слова: граф Кэли полугруппы, свободные частично коммутативные нильпотентные полугруппы.

Графы Кэли, представляющие собой одномерные комплексы Кэли, играют важную роль в комбинаторной теории групп. Так, например, если представление группы имеет планарный комплекс Кэли, то проблема равенства слов этого представления разрешима [1, с. 181]. Более того, известно описание конечных групп, допускающих плоские графы Кэли [2]. Наличие подобных свойств и вызывает особый интерес к графам, отражающим структуру полугрупп, что подтверждается неослабевающим интересом исследователей к данному направлению (см., например, [3-9]). Что касается важного свойства планарности графа, то оно исследовалось в основном для групп. В ряде наших работ начато изучение свойства планарности для графов Кэли полугрупп. В частности, в статьях [10-13] получен критерий планарности графов Кэли конечных полугрупп, являющихся коммутативно-свободными или прямыми произведениями циклических полугрупп, моноидов и полугрупп с нулем.

В настоящей работе охарактеризованы свободные частично коммутативные нильпотентные полугруппы, допускающие планарные графы Кэли.

Прежде чем сформулировать основной результат, приведем необходимые определения. Общеупотребительные понятия теории полугрупп и теории графов здесь не приводятся; их определения можно найти, соответственно, в [14] и [15; 16]. Напомним, что если дан обыкновенный граф Г с множеством вершин ¥Г = {a1,...,at} , то можно определить свободную частично коммутативную полугруппу (см., например, [17]) как полугруппу S(Г) , заданную множеством {al,...,at} образующих элементов и множеством определяющих соотношений вида at • a^ = a}  at для тех и только тех at и aj, которые соединены ребром в графе Г . Для любого натурального числа п фактор-полугруппу Риса S(Г)/Sn назовем свободной частично коммутативной п-нильпотентной полугруппой, определяемой графом Г порядка t; условимся обозначать эту полугруппу через SП (Г) .

Очевидно, что полугруппа Stn (Г) является нильпотентной ступени n и конечной, как и любая конечно порожденная нильпотентная полугруппа. Заметим, что хотя ненулевой элемент этой полугруппы неоднозначно разлагается в произведение образующих, число сомножителей в любом таком разложении одно и то же. Напомним, что графом Кэли полугруппы S относительно множества образующих её элементов X называют ориентированный мультиграф Cay(S,X) с помеченными дугами, состоящий из множества вершин S и множества помеченных дуг - все-

© Д.В. Соломатин, 2014

Свободные частично коммутативные нильпотентные полугруппы...

29

возможных троек (a, x,b), где a,b 6 S , x e X и a  x = b . Вершины этого графа изображают точками плоскости, а тройки (a,x,b) - в виде дуг, начинающихся в точке a и заканчивающихся в b , помеченных элементом x .

Основой помеченного ориентированного мультиграфа мы называем обыкновенный граф, полученный из данного графа удалением меток, петель и заменой всех дуг, соединяющих вершины и и v одним ребром {и, v}. Ориентированный же мультиграф естественно назвать планарным, если его основа является планарным графом. Таким образом, планарность графа Кэли эквивалентна планарности его основы. Поэтому будем говорить, что полугруппа допускает планарный граф Кэли, если относительно некоторого множества образующих основа её графа Кэли является планарным графом. «Деревом» из простых циклов называют граф, в котором отсутствуют пары простых циклов, имеющих общее ребро или хотя бы две общие вершины [18, с. 6]. Цепь, проходящую последовательно через вершины v1, v2, ..., vk, будем обозначать как

(vi; v2;.; vk).

Основным результатом работы является следующее утверждение.

Теорема 1. Полугруппа SП (Г) допускает планарный граф Кэли, если и только если выполнено хотя бы одно из следующих условий:

1) Г - пустой граф;

2) связными компонентами графа Г являются паросочетания или изолированные вершины, а n < 5 ;

3) связными компонентами графа Г являются цепи или изолированные вершины, а n < 4 ;

4) связными компонентами графа Г являются «деревья» из простых циклов или изолированные вершины, а n < 3 ;

5) Г - любой граф, а n < 2 либо n >2 и t < 2 .

Прежде чем перейти к доказательству теоремы, отметим, что одним из основополагающих свойств дерева является наличие единственной грани, которой принадлежат все его вершины. Это свойство распространяется и на «дерево» из простых циклов, представляемое в виде недизъюнктного объединения простых циклов и мостов. А именно - справедлива лемма 1.

Лемма 1. Существует вложение «дерева» из простых циклов в плоскость, при котором все его вершины принадлежат границе внешней грани.

Доказательство леммы. Каждый блок «дерева» из простых циклов является внешнепланарным. Согласно теореме 11.8 [14, с. 131], граф внешнепланарен тогда и только тогда, когда каждый его блок внешне-

планарен. Следовательно, «дерево» из простых циклов является внешнепланарным.

Доказательство теоремы

Достаточность. Легко понять, что свойство планарности графа Кэли существенным образом зависит от множества образующих элементов, относительно которых рассматривается граф. Но мы часто будем пользоваться тем, что полугруппа

St1 (Г) порождается множеством {a1,...,at} неразложимых в ней элементов, которые обязаны содержаться в любом множестве

образующих для полугруппы Stn (Г) . Поэтому

если граф Кэли полугруппы S^ (Г) не планарен относительно множества образующих {a1,...,at}, то он и не планарен относительного любого другого множества образующих полугруппы Stn (Г) . В то же время для доказательства свойства планарности графа Кэли полугруппы Stn (Г) достаточно доказать его относительно стандартного множества образующих {a1,.,at}.

Полугруппы Stn (Г) , графы коммутативности множества образующих которых удовлетворяют условию теоремы, допускают планарный граф Кэли. Достаточность указанных ограничений для планарности доказывается приведением плоской укладки графа Кэли. Проанализируем каждое из налагаемых на ступень нильпотентности и граф коммутативности условий.

Предварительно для удобства доказательства переформулируем условия теоремы:

1) Г - любой граф, а 1 < n < 2 и t > 1 либо n > 1 и 1 < t < 2 ;

2) связными компонентами графа Г являются «деревья» из простых циклов или изолированные вершины, а n = 3 и t > 3 ;

3) связными компонентами графа являются цепи или изолированные вершины, а n = 4 и t>3 ;

4) связными компонентами графа Г являются паросочетания или изолированные вершины, а n = 5 и t > 3 ;

5) Г - пустой граф, а n > 6 и t > 3 .

Случай 1

При выполнении первого условия, если t = 1 или n = 1 , то, вне зависимости от графа коммутативности, получаемая циклическая нильполугруппа или одноэлементная полугруппа, очевидно, допускает планарный граф Кэли, равно как и веерная полугруппа, получаемая при n = 2 . В случае же когда t = 2 , для коммутативной полугруппы эскиз плоской укладки приведен на рис. 1, а для некоммутативной полугруппы граф Г будет пустым, и соответствующую укладку мы приведем на рис. 6 при рассмотрении заключительного условия.

30

Д.В. Соломатин

a.2

n-1

Рис. 1. Эскиз плоской укладки основы графа Кэли полугруппы ^(О при n > 1 для полного графа Г

Случай 2

При выполнении второго условия, когда связными компонентами графа коммутативности являются «деревья» из простых циклов или изолированные вершины, а n = 3 и t > 3 , построение плоской укладки графа Кэли не столь тривиально. Тем не менее предложим алгоритм для осуществления таковой.

Пусть Г - граф, связными компонентами которого являются «деревья» из циклов или изолированные вершины.

Отправной точкой для построения плоской укладки графа Кэли полугруппы St3

возьмем вложение её графа коммутативности Г в плоскость, при котором все его вершины лежат на границе внешней грани (рис. 2), существующее по лемме 1.

Дополним его висячими вершинами, соответствующими квадратам каждого элемента множества образующих полугруппы, расположив их во внешней грани и соединив ребрами вида (ak ;ak), для всех 1 < k < t.

На месте каждого ребра (ai ;a^) из

множества ребер исходного графа Г изобразим вершину aflj с двумя входящими в

неё дугами (ai ;aiaj) и (aj;aiaj). Ребра

(ак;ak) лишь наделим ориентацией, а полу-

чившиеся как результат умножения некоммутирующих элементов висячие вершины

нарисуем в той же грани, что и дуги (ak ;a2k).

Все вершины образовавшегося графа по-прежнему находятся на границе одной (внешней) грани. Поэтому вершины, соответствующие произведению двух образующих, можно соединить дугами с нулем полугруппы так, чтобы получить плоскую укладку графа Кэли полугруппы Skt (Г) . Последняя схематично изображена на рис. 3.

Случай 3

При выполнении третьего условия связными компонентами графа Г должны являться цепи или изолированные вершины, а n = 4 и t>3 .

Можно без пересечений уложить: цепи (aja, ;ajaiak ;0) - на внутренней грани цикла

(ajai;ajai;0;ajakk;ajai); цепи (ak;akak;0) - на

внутренней грани цикла (ak;ak;0;ajak;ak), где i, j, к такие, что {i;k} £ ЕГ, а {i; j} e ЕГ . Цепи же вида (ai ;aiak ;aiakal ;0) для 1 < l < t , изображенные штрихпунктирно на рис. 4, начиная с i = 1, последовательно располагаются в текущей внешней грани графа Кэли, сохраняя его планарность.

ai ak a3

Рис. 2. Пример необходимого вложения некоторого графа коммутативности Г в плоскость

Свободные частично коммутативные нильпотентные полугруппы...

31

Рис. 3. Эскиз плоской укладки ориентированной основы графа Кэли полугруппы Sj3

0

Рис. 4. Эскиз плоской укладки основы графа Кэли полугруппы St (Г) при t > 3 для графа Г, являющегося дизъюнктным объединением цепей и изолированных вершин

Случай 4

При выполнении четвертого условия связными компонентами графа коммутативности являются паросочетания или изолированные вершины, а n = 5 и t > 3 . На рис. 5, содержащем эскиз плоской укладки основы графа Кэли соответствующей полугруппы, многоточия означают тиражирование граничащих с ними фрагментов достаточное количество раз.

Случай 5

При выполнении пятого условия, когда Г - пустой граф, а n > 6 и t > 3 , полугруппа

St (Г) представляет собой свободную некоммутативную нильпотентную полугруппу.

Построение плоской укладки её графа Кэли можно осуществить в два этапа:

а) построить плоскую укладку дерева, являющегося подграфом основы графа Кэли свободной некоммутативной полугруппы, вершинам которого соответствуют отличные от нуля элементы свободной некоммутативной нильпотентной полугруппы;

б) соединить висячие вершины полученного дерева с новой вершиной, соответствующей нулю исследуемой полугруппы.

Более того, сказанное справедливо и для n > 1, t > 1, а на рис. 6 приведен результат реализации предложенного алгоритма.

Необходимость. Для доказательства необходимости ограничений воспользуемся законом контрапозиции. Применив его, покажем, что если условия теоремы не выполнены, то полугруппа St (Г) не допускает

планарный граф Кэли. В самом деле, отрицание условий теоремы эквивалентно выполнению одного из следующих утверждений:

1) Г содержит пару простых циклов с общим ребром, а n > 3 и t > 3 ;

2) Г содержит цикл или вершину степени три, а n > 4 и t > 3 ;

3) Г содержит пару смежных ребер, а n > 5 и t > 3 ;

4) Г содержит хотя бы одно ребро, а n > 6 и t > 3 .

Ниже для каждого из этих случаев в основе графа Кэли обнаруживается подграф, гомеоморфный К5 или K3 3 .

32

Д.В. Соломатин

Рис. 5. Эскиз плоской укладки основы графа Кэли полугруппы S5 (Г), t > 3, для графа Г - дизъюнктного объединения паросочетаний {i;j}e ЕГ и изолированных вершин ak е УГ, degak = 0

ai

at

ai

n-2

at

n-1

3

0

Рис. 6. Эскиз плоской укладки основы графа Кэли полугруппы Sf (Г) при n > 1, t > 1 для пустого графа Г

Следовательно, по критерию Понтряги-на - Куратовского соответствующий граф Кэли не является планарным. При изображении графов в общем виде для удобства восприятия на рис. 7-13 пунктирными линиями или стрелками будут обозначаться легковосстановимые цепи из одинаково помеченных ребер, соединяющие соответ-

ствующие вершины. Штрихпунктирное обозначение будет оговорено отдельно.

Случай 1

Выполнение первого утверждения приводит к появлению подграфа, гомеоморфно-го графу K33. Так, на рис. 7 изображены

схемы фрагмента графа коммутативности Г и подграфа графа Кэли соответствующей

Свободные частично коммутативные нильпотентные полугруппы...

33

полугруппы St (Г) при n > 3 , t > 4. Так как t > 4, то в графе Г существует не менее четырех вершин, обозначенных как a , b , c , d, возможную пятую произвольную вершину обозначим за x .

При этом допустимо равенство x = b , в частности при t = 4, а именно: для t = 4 имеет место равенство x = b . Тогда граф коммутативности будет состоять лишь из вершин a , b , c , d, попарно соединенных ребрами, как показано на схеме, и изображение соответствующего подграфа графа Кэли предстанет аналогичным образом, лишь с учетом равенства x = b. Штрихпунктирной линией обозначен фрагмент простой цепи, например заданной вершинами

(b'M; y; у У2; У2; У 2 Уз; - - -; У к; УкХ; x; xd ;d) для

простой цепи (b;y^;У2;Уз;—;Ук;x;d) графа коммутативности.

Случай 2

Выполнение второго утверждения, когда граф коммутативности Г содержит

цикл (рис. 8, 9) или вершину степени три (рис. 10), а n > 4 и t > 3 , уже сопровождается появлением как К3 3 , так и К5 .

На рис. 9 изображен фрагмент графа коммутативности Г и схема подграфа графа Кэли соответствующей полугруппы

St (Г) при n > 4, t > 4, где допустимо равенство x = d, в частности при t = 4, а штрихпунктирной линией обозначен участок цепи, заданной возможными вершинами (d di; У!; У! У2; У2; У2 Уз; Уз;—; Ук; УkХ; x;ax) с соответствующей ориентацией ребер для простой цепи (d;У!;У2;Уз;—;Ук;x;a) графа коммутативности.

Случай 3

Выполнение третьего утверждения при содержащем пару смежных ребер графе коммутативности, n > 5 и t > з , приводит к появлению графа Кзз (рис. 11); более того,

если n > 5 и t > 4, то обнаруживается еще и К5 (рис. 12).

a

b

<

x , /

d

a c xd

Рис. 7. Схемы подграфа графа коммутативности и подграфа графа Кэли соответствующей полугруппы St

при n > з, t > 4

a

b

c

ac

Рис. 8. Фрагмент графа коммутативности и подграф графа Кэли соответствующей полугруппы St (Г) при n > 4, t = з

34

Д.В. Соломатин

a

2„ n-3

Рис. 9. Фрагмент графа коммутативности Г, содержащий цикл, и подграф графа Кэли соответствующей полугруппы Sn (Г) при n > 4, t > 4

a

ab

bc

bd

о.n-3

Рис. 10. Фрагмент графа коммутативности Г, содержащий клешню, и подграф графа Кэли соответствующей полугруппы Stn (Г) при n > 4 , t > 4

a

b

c

a2b

a

b3

n-4

Рис. 11. Фрагмент графа коммутативности и подграф графа Кэли соответствующей полугруппы Sn (Г) при n > 5 , t > 3

Свободные частично коммутативные нильпотентные полугруппы...

35

a

c

-m

Рис.12. Фрагмент графа коммутативности и подграф графа Кэли соответствующей полугруппы Sf (Г) при n > 5 , t > 4

a

c

ab

a2b

a3b

2

b

Рис. 13. Фрагмент графа коммутативности и подграф графа Кэли соответствующей полугруппы Sf

при n > 6 и t > 3

Случай 4

Выполнение четвертого утверждения, заключающегося в наличии хотя бы одной пары коммутирующих элементов во множестве образующих полугруппы Sf (Г) для

n > 6 и t > 3 , сопряжено с появлением в основе графа Кэли подграфа, гомеоморфно-го графу K33 (рис. 13). При этом, есте-

ственно, может возникать и случай, указанный на рис. 12, а также предыдущие случаи, когда в Г есть подграф, изоморфный циклу или триоду.

Резюмируя вышесказанное, запишем ниже следующее краткое изложение доказательства теоремы с использованием удобных обозначений. Пусть Mj - множество свободных частично коммутативных нильпо-тентных полугрупп St (Г) при t, n, Г , удовлетворяющих условиям доказываемой теоремы; пусть M2 - множество свободных частично коммутативных нильпотентных

полугрупп, допускающих планарный граф Кэли; тогда ((Mj сM2) л (M1 сM2)) ^

^ M = m2 .

Таким образом, получен критерий планарности графа Кэли свободных частично коммутативных нильпотентных полугрупп.

Автор выражает глубокую признательность профессору Леониду Матвеевичу Мартынову за поставленную задачу и полезные советы по оформлению статьи.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М. : Мир, 1980.

[2] Цишанг Х., Фогт Э., Колдевай Х.-Д. Поверхности и разрывные группы. М. : Наука, 1988.

[3] Zelinka B. Graphs of semigroups // Casopis. Pest. Mat. 1981. Vol. 106. Р. 407-408.

[4] Margolis S. W., Meakin J. C. E -unitary inverse monoids and the Cayley graph of a group representation // Journal of Pure and Applied Algebra. 1989. Vol. 58. Р. 45-76.

36

Д.В. Соломатин

[5] Heydemann M.-C. Cayley graphs and interconnection networks // Hahn G., Sabidussi G. (eds) Graph Symmetry: Algebraic Methods and Applications Kluwer Dordrecht. 1997. Р. 167-224.

[6] Kelarev A. V. On undirected Cayley graphs // Australasian Journal of Combinatorics. 2002. Vol. 25.

Р. 73-78.

[7] Kelarev A. V., Quinn S. J. A Combinatorial property and Cayley graphs of semigroups // Semigroup Forum. 2003. Vol. 66. Р. 89-96.

[8] Kelarev A. V. On Cayley graphs of inverse semigroups // Semigroup Forum. 2006. Vol. 72 (3). Р. 411-418.

[9] Kelarev A. V., Praeger C. E. On transitive Cayley graphs of groups and semigroups // European Journal of Combinatorics. 2003. Vol. 24. Р. 5972.

[10] Соломатин Д. В. Конечные свободные коммутативные полугруппы с планарными графами Кэли // Математика и информатика: наука и образование : межвуз. сб. науч. тр. Вып. 3. Омск : Изд-во ОмГПУ, 2003. С. 32-38.

[11] Соломатин Д. В. Конечные свободные коммутативные моноиды, допускающие планарный

граф Кэли // Вестн. Ом. ун-та. 2005. № 4.

С. 36-38.

[12] Соломатин Д. В. Прямые произведения циклических полугрупп, допускающие планарный граф Кэли // Сиб. электр. матем. изв. 2006. Вып. 3. С. 238-252. URL: http://semr.math.nsc.ru.

[13] Соломатин Д. В. Прямые произведения циклических моноидов и полугрупп с нулем, допускающие планарный граф Кэли // Математика и информатика: наука и образование : межвуз. сб. науч. тр. Вып. 6. Омск : Изд-во ОмГПУ, 2006. С. 51-63.

[14] Шеврин Л. Н. Полугруппы // Общая алгебра / под общ. ред. Л. А. Скорнякова. М. : Наука, 1991. Т. 2. С. 11-191.

[15] Харари Ф. Теория графов. М. : Мир, 1973.

[16] Емеличев В. А, Мельников О. И., Сарва-нов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов. М. : Наука, 1990.

[17] Полякова Л. Ю. Резольвенты для свободных частично коммутативных моноидов // Сиб. ма-тем. журн. 2007. Вып. 48 (6). С. 1295-1304.

[18] Skopenkov A. On the Kuratowski graph planarity criterion // ArXiv. 2009. URL: http://arxiv.org/abs/ 0802.3820v2.