Через 3 частных решения можно найти общее, но определитель Вронского в некоторой точке нулевой, образуют ли функции ФСР?

Здравствуйте, спасибо за ответ. Я понимаю, что эти функции точно не линейно зависимы. Но передо мной сейчас открыта эта теорема и я совсем не понимаю, где я путаюсь. Давайте я приведу ее формулировку. Если функции y1,y2 являются решениями ОДУ второго порядка, и определитель Вронского в какой-либо точке обращается в ноль, то эти функции линейно зависимы. Да и вроде доказательство несложное, я приведу его в укороченной форме: мы можем решение y(x) выразить через эти данные функции, в моем случае x2-1 и x-1 и подобрать C1 C2 так, что y(1) = 0 и y'(1)=0. Действительно, y(x) = (x2-1)-2(x-1) будет удовлетворять данным условиям. Тогда в силу существования и единственности решения Задачи Коши мы имеем, что y(x)=0 тождественно. А значит функции линейно зависимы для любого x.

Добавлено через 1 час 49 минут
Я приведу точную формулировку теоремы: Если W(x) - определитель Вронского системы y1(x), y2(x), …, yn(x) решений линейного однородного дифференциального уравнения, то либо W(x)=0 на интервале (a, b) (что означает линейную зависимость этих решений на (a, b)), либо W(x) ≠ 0 в любой точке этого интервала (что означает линейную независимость этих решений на (a, b)).

В общем, я понял в чем причина. Данное доказательство теоремы апеллирует к доказательству существования и единственности теоремы Коши, которая, в свою очередь, требует непрерывности функций дифференциального уравнения. Далее, дифференциальное уравнение для функций x-1, x2-1 это y''-2y'/(x-1)+2y/((x-1)2). Функции 2/(x-1) и -2/(x-1)2, разрывны в точке 1. Таким образом, если вопрос состоит в нахождении общего решения или составления дифференциального уравнения, то теоремой, приведенной мной, пользоваться ненужно. Если же есть дополнительные условия на непрерывность, то воспользовавшись теоремой, понимаем, что ответ - нет.

0