Применение математических моделей для оценки эффективности web-сайтов

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ WEB-САЙТОВ

Предметом данной публикации является оценка эффективности сайта. В сегменте E-Commerce данная оценка производится по четырем показателям (метрикам): метрика "конверсия", метрика "время пребывания на сайте", метрика "количество отказов" и метрика "количество просмотренных страниц". Для корпоративных сайтов метрика "конверсия" не применима, однако все остальные метрики могут быть использованы в полной мере. Таким образом, метрика "время пребывания пользователя на сайте" независимо от класса web-сайта является важнейшим показателем его эффективности. Когда сайт уже создан, то оценить время пребывания пользователя на сайте можно с помощью специальных инструментов. Но не менее важной задачей является оценка временных характеристик сайта до его создания, т.е. в процессе проектирования.

Любой проектируемый сайт обычно ориентируется на высокий уровень пользовательской активности. При этом процессы, происходящие на сайте, носят случайный характер, поэтому для оценки его временных характеристик представляется возможным использование методов аналитического моделирования и теории массового обслуживания. Теория массового обслуживания позволяет строить достаточно простые модели функционирования информационных систем и исследовать поведение этих систем в широком диапазоне изменений параметров. Модель Web-сайта может быть представлена в виде открытой сети массового обслуживания, где каждый узел моделирует задержку (время пребывания пользователя на странице проектируемого сайта). Наиболее подходящим при этом представляется класс систем массового обслуживания типа G/G/l/0 многолинейные системы с потерями. Число каналов обслуживания l определяет максимальное количество одновременно находящихся на странице сайта пользователей.

Применение аналитических моделей массового обслуживания позволяет оценивать среднее и максимальное время задержки пользователей на сайте. Полученные данные впоследствии могут быть уточнены с помощью соответствующих метрик и использованы для совершенствования моделей развития сайта. Это также позволит грамотно выбрать техническое обеспечение сайта, избежать излишних затрат и эффективнее построить процедуру управления сайтом.

Ванина Маргарита Федоровна,

к.т.н., доцент, МТУСИ, Москва, Россия, margo.vanina2012@yandex.ru

Ерохин Андрей Густавович,

к.т.н., доцент, МТУСИ, Москва, Россия, andrew145@yandex.ru

Фролова Елена Александровна,

доцент, МТУСИ, Москва, Россия, efrolova@me.com

Ключевые слова: web-сайт, эффективность, управление, модель, метрика, стоимость, задержка.

Для цитирования:

Ванина М.Ф., Ерохин А.Г., Фролова Е.А Применение математических моделей для оценки эффективности web-сайтов // Т-Сотт: Телекоммуникации и транспорт. - 2016. - Том 10. - №8. - С. 25-29.

For citation:

Vanina M.F., Erokhin A.G., Frolova E.A. Application of mathematical models for the assessment of efficiency of the websites. T-Comm. 2016. Vol. 10. No.8, pp. 25-29.

Важнейшей задачей, решаемой при создании и эксплуатации любого web-сайта, является повышение его эффективности. Большинство имеющихся на данный момент сайтов можно отнести к одному из двух классов: сайты, работающие в сегменте E-Commerce и корпоративные сайты. Оценка эффективности сайта в сегменте E-Commerce производится по четырем показателям (метрикам) [1]:

• конверсия;

• время пребывания па сайте;

• количество отказов;

количество просмотренных страниц.

Для корпоративных сайтов метрика «конверсия» не применима, однако все остальные метрики могут быть использованы в полной мере. Таким образом, метрика «время пребывания пользователя на сайте» независимо от класса Web-сайта является важнейшим показателем его эффективности.

Когда сайт уже создан, то оценить время пребывания пользователя на сайте можно с помощью специальных инструментов [2, 3J. Можно также воспользоваться методикой оптимального распределения серверов в центрах обработки данных [4]. Но не менее важной задачей является оценка временных характеристик сайта до его создания, т.е. в процессе проектирования. Любой проектируемый сайт обычно рассчитывается па высокий уровень пользовательской активности. При этом процессы, происходящие на сайте, носят случайный характер [9]. В этом случае представляется возможным использование мегодов аналитического моделирования и теории массового обслуживания [5j.

Современные аналитические модели массового обслуживания позволяют вычислять не только среднее, но и (что более важно) максимальное время пребывания заявок в системе или сети [6, 7]. Под максимальным временем пребывания заявки в системе или сети массового обслуживания понимается время, превышение которого возможно только для некоторой, наперед заданной доли заявок Рт. Например, для многолинейных систем массового обслуживания [10] максимальное время пребывания в системе вычисляется с помощью решения трансцендентных уравнений:

а, -е-* Тчт

-ft->Tcftn

-O-pj=O,

если квадрат коэффициента вариации потока заявок па выходе системы {С; ) больше или равен 1;

у.-

*Е

-^Tqm

А

я,

е'^1'4'" х

Л

V'1

Л.-Л,

р.

«I = ф/м

а

//,=2-Ф JTc{,

//,=2(1 -Ф„)/Тд,

УС7!

С2 -1

тч

1-,

и,-1

4-1

Преимуществом аналитического моделирования является возможность предсказания будущего без предварительной проверки на практике. Теория массового обслуживания позволяет строить достаточно простые модели функционирования информационных систем и исследовать поведение этих систем в широком диапазоне изменений параметров.

Каждая из страниц проектируемого сайта может быть представлена в аналитической модели в виде системы массового обслуживания, моделирующей определённую задержку (время пребывания пользователя на странице), а модель весго сайта может быть представлена в виде открытой сети массового обслуживания.

Постановка задачи для предлагаемой модели имеет вид:

Дано: М— число страниц \\/еЬ-сайта.

Параметры страницы: Тя. - среднее время пребывания

если квадрат коэффициента вариации потока заявок на выходе системы меньше 1, где — параметры гиперэкспоненциального распределения, - параметры распределения эрланговского типа:

пользователя на странице /, / = 1 ...М ; Л,, — интенсивность входного потока заявок к странице (заходов на страницу извне, т.е. не с других страниц сайта) /, / = 1 ...М .

Р ||,/ = 0...М - матрица вероятностей перехода между

страницами сайта. Под узлом 0 понимается внешний источник заявок. Р - доля посетителей сайта, для которой вычисляется максимальное время задержки.

Найти: Тщ0 — среднее время задержки пользователя на

сайте; Тдт ~ максимальное время задержки пользователя на

сай ге, т.е. время, превышение которого возможно только для доли посетителей сайта Р (обычно в качестве значения Р выбирают стандартное значение — 0,9 или 0,95); Тщ}^=\„.М — среднее время задержки пользователя на

странице /; Р, / — 1 ...М - вероятность отказа в обслуживании (невозможности захода на страницу ¿),

Вход на любую из страниц сайта возможен тремя путями: либо путём набора адреса в адресной строке браузера, либо щелчком но гиперссылке на другом сайте, либо щелчком по гиперссылке на другой странице данного сайта. Интенсивность Л,, определяет число входов на страницу в единицу времени первыми двумя способами, а матрица вероятностей перехода !/*.|| определяет алгоритм перехода по

страницам сайта третьим способом.

Если сделать предположение о неэкспоненциальном распределении входных потоков и времени задержки пользователя на страницах сайта, то в качестве входных параметров добавляются соответствующие квадраты коэффициентов вариации, а в качестве результатов появляется возможность получить стандартные отклонения времени посещения сайта в целом и каждой его страницы в отдельности. Современные методы аналитического моделирования позволяют это [5,6].

Следующим этапом расчётов является выбор класса систем массового обслуживания (СМО) для представления мо-

дели Web-страницы. Наиболее подходящим для этого представляется класс СМО типа G/G/IA), т.е. многолинейные системы с потерями (рис. I). Число каналов обслуживания / определяет максимальное число одновременно находящихся lia странице сайта пользователей.

Гис. I, Система 0/С/1/0

Выбор данного класса СМО обусловлен следующими соображениями:

• любой сайт имеет ограничение по числу одновременно находящихся на нем пользователей (это число следует максимизировать, но в любом случае оно конечно и определяется возможностями используемой СУБД и характеристиками 1Л'еЬ-сервера);

• при превышении максимального числа пользователей возможен отказ в посещении \\еЬ-страницы;

• очередь к \\еЬ-страиипам отсутствует.

При проектировании сай га возможно исследование его характеристик в широком диапазоне изменений параметров, в том числе параметра I. Это впоследствии поможет оценить технические характеристики оборудования, используемого в качестве \\еЬ-сервера, что, в свою очередь, влияет на стоимостные показатели эффективности.

Применение методов аналитического моделирования невозможно без использования вычислительной техники и специализированных пакетов расчетов. Одним из таких пакетов является пакет программ «Дифар» [8], с помощью которого были проведены все приведенные ниже расчеты.

На этапе проектирования системы можно решить следующие задачи:

• нахождение максимально возможного потока посетителей сайта при заданном времени задержки на странице и максимально возможным числом одновременных посетителей сайта;

• исследование зависимости максимальной задержки пользователя на странице при заданном среднем времени задержки и интенсивности потока посетителей сайта (с учетом максимально возможного числа одновременных посетителей сайта);

• исследование зависимости максимальной задержки пользователя па странице от максимально возможного числа посетителей сайта и интенсивности входного потока (при заданном среднем времени посещения страницы).

В качестве простейшего примера рассмотрим Web-сайт, состоящий из одной страницы (/=]). В случае использования системы С/С//Л) время Тд0 = Тда и Тдт = Тцт , причем эти

времена не зависят от Л,, ,11усть Тд{ = 3[мин] и максимально

возможное число пользователей /=49. Исследуем поведение системы в диапазоне значений ^ =[1-И001зояв<ж/л<ый] с

шагом !. Расчеты с использованием пакета «Дифар» дают следующие результаты:

\ % ТЯщ Р,

1.000 3,000 6,9078 0,98253»10°°

2,000 3,000 6,9078 0,13086*10"

3,000 3,000 6,9078 0,13297* Ю'п

4.000 3,000 6,9078 0,75851'КГ14

5,000 3,000 6,9078 0,61922*10"

6,000 3,000 6,9078 0,12328* 10*

7,000 3,000 6,9078 0,83940*10"7

Я,000 3,000 6,9078 0.24604*10"

9.000 3,000 6,9078 0,36592* Ю-1

10,000 3,000 6,9078 0,3119I*10J

11,000 3,000 6,9078 0,16741*10"

12,000 3,000 6.9078 0,61112*10""

13,000 3,000 6,9078 0,16261*10-'

14,000 3,000 6,9078 0,33683* i 0_ '

15,000 3,000 6,9078 0,57721 * 10 е

16,000 3,000 6,9078 0,86152* 10"!

Как видно из расчетов, при данных характеристиках максимально возможный поток посетителей страниц - 16 чел./мин. Пусть ^ =10\чея.1мин\, Т?, = 3[мин]. Исследуем поведение

системы в диапазоне изменения значений / = [1-=-49] с шагом 1. Расчет с помощью пакета «Дифар» дает следующие результаты:

Тча Р,

3,000 6,9078 0,31101*10"

3,000 6,9400 0.19126*10'-

3,000 6,4373 0,42216*10-

3,000 5,8723 0.65208*10"

3,000 5,4189 0,85571» 10°

3,000 5,0844 0,10273*10-'

3,000 4,8378 0,11713* 10"'

3,000 4,6493 0,12917*10''

3,000 4,5068 0,13927*10''

3,000 4,3936 0,14774*10''

3,000 4,3017 0.15503*10'

3,000 4,2259 0.16122*10-'

3,000 4,1623 0,16653*10"'

3,000 4,1083 0,17113*10-'

3,000 4,0618 0,17513*10"'

3,000 4,0215 0.17862*10''

3,000 3,9861 0.18169*10-'

3,000 3,9549 0,18434*10-'

3,000 3,9271 0,18678*10"'

3,000 3,9022 0.18890*10-'

3,000 3,8797 0.19080*10-'

3,000 3,8594 0,19249*10-'

3,000 3,8410 0,19400*10-'

3,000 3,8241 0,19536*10-1

3,000 3,8087 0.19658*10-'

3,000 3,7945 0.19768*10-'

3,000 3,7813 0.19868*10-'

3,000 3,7692 0,19957*10''

3,000 3,7579 0.20039*10-'

3,000 3,7474 0,20114*10''

3,000 3,7376 0,20181*10''

3,000 3,7284 0.20243*10''

3,000 3,7198 0,20299*10''

3,000 3,7117 0.20350*10"'

3,000 3,7041 0,20396*10''

3,000 3,6970 0.20440*10"'

3,000 3,6902 0.20479*10"'

3,000 3,6838 0.20514*10"'

3,000 3,6777 0,20546*10''

3,000 3,6720 0,20577*10"'

3,000 3,6665 0.20605* 10"'

3,000 3,6613 0,20630* 10"'

3,000 3,6564 0,20653*10"'

3,000 3,6516 0,20673*10"'

3,000 3,6471 0,20693* 10"'

3,000 3,6428 0,20711*10"'

3,000 3,6387 0,20727* 10"1

3,000 3,6348 0,20742* 10"'

3,000 3,6310 0,20754* ! 0"'

Как видно из расчетов, при заданной интенсивности посещений сайта при увеличении I значение максимального времени задержки на странице падает, а вероятность потерь (отказа в доступе) растет.

Пусть максимально возможное значение д =\{{чел1мш\ и

ТЧ1 =3[лши]. Исследуем поведение системы в диапазоне изменения значений / = [1+49\посетителей\ с шагом 1, коррелируя при этом значение д . Расчет с помощью пакета

1 \ Tqü ТЯЩ Р,

1 0,20408 3,000 6,9078 0,34373

2 0.40KI6 3,000 6,907К 0,207К2

3 0,61224 3,000 6,9078 0,14717

4 0.81633 3,000 6,9078 0,11233

5 1,0204 3,000 6,9078 0,89488» 10"'

6 1,2245 3,000 6,9078 0,73019*10'1

7 1,4286 3,000 6,9078 0,60676*10"1

8 1,6827 3,000 6,9078 0,51936*10-1

9 1,8367 3,000 6,9078 0,43315*10"'

10 2,0405 3,000 6,9078 0,37018*10'

И 2,2449 3,000 6,9078 0,31810* 10'1

12 2,4490 3,000 6,9078 0,27457* 10'1

13 2,6531 3,000 6,9078 0,23789*10"'

14 2,8571 3,000 6,9078 0,20676*10-'

15 3,0612 3,000 6,9078 0,18019*10"'

16 3,2653 3,000 6,9078 0,15471*10"'

17 3,4694 3,000 6,9078 0,13779*10"'

18 6,6735 3,000 6,9078 0,12084*10-'

19 3,8776 3,000 6,9078 0,10615*10''

20 4,0816 3,000 6,9078 0,93381*10'"

21 4,2857 3,000 6,9078 0,82258* 10'"

22 4,4898 3,000 6,9078 0,72547* Ю':

23 4,6939 3,000 6,9078 0,64053*10°

24 4,8980 3,000 6,9078 0,56610* 102

25 5,1020 3,000 6,9078 0,50078*10"3

26 5,3061 3,000 6,9078 0,44337*10"

27 5,5102 3,000 6,9078 0,39285* 10'"

28 5,7143 3,000 6,9078 0,34833*10'"

29 5.9184 3,000 6,9078 0,30907*10°

30 6,1224 3,000 6,9078 0,27440* 10°

3! 6,3265 3,000 6,907К 0,24377* 10°

32 6,5308 3,000 6,9078 0,21667*10"2

33 6,7347 3,000 6,9078 0,19288*10'"

34 6,9388 3,000 6,9078 0,17143*10'"

35 7,1429 3,000 6,9078 0,15259*10"2

36 7,3469 3,000 6,9078 0,13588*10°

37 7,5510 3,000 6,9078 0,12015* 102

38 7,7551 3,000 6,9078 0,10788*10"2

39 7,9392 3,000 6,9078 0,96175*10'3

40 8,1633 3,000 6,9078 0,85769*10'-'

41 8,3673 3,000 6,9078 0,76513*10"3

42 8,5714 3,000 6,9078 0,68277*10"3

43 8,7755 3,000 6,9078 0,60946*10°

44 8,9796 3,000 6,9078 0,54416*10°

45 9,1837 3,000 6,9078 0,48599*10'3

46 9,3578 3,000 6,9078 0,43415*10'-'

47 9,5918 3,000 6,9078 0,38793*10°

48 9,7959 3,000 6,9078 0,34671*10°

49 10,000 3,000 6,9078 0,31191*10°

Как видно из расчётов, значение Тдт не зависит от числа

одновременных посетителей и входного потока. Используя полученные значения вероятности отказа в обслуживании, можно принять эффективное управленческое решение о закупке оборудования (обеспечивающего необходимое число одновременных посетителей сайта с заданным уровнем качества).

Сайты из нескольких страниц моделируются уже с помощью аппарата сетей массового обслуживания.

Таким образом, предложенные математические модели дают оценку эффективности создаваемого сайта и позволяют принимать необходимые управленческие решения. [1 дальнейшем возможно сравнение полученных результатов с реальными результатами измерений по метрикам. Это, в свою очередь, позволит уточнить параметры модели для оценки будущего развития сайта и улучшить адекватность модели.

Литература

1. Фонталин Е. Оценка эффективности корпоративного сайта, 2014//http://www.cossa.ru/155/60369/(дата обращения 22/04/2016),

2. https://metrika.yandex.ru/ (дата обращения 22/04/2016).

3. https://www.google.com/analytics/ (дата обращения 22/04/2016),

4. Ворожцов A.C., Тутова И.В., Тутов A.B. Методика оптимального распределения виртуальных серверов в центрах обработки данных. //T-Comm Телекоммуникации и транспорт, 2015, № 7. -С.3-5.

5. Ерохин А.Г. Математические модели массового обслуживания функционирования информационных систем. - М,: Медиа Паблишер, 2008. - 92 с.

6. Воронцов Ю.А.. ГинцбергГ.С. Диффузионная аппроксимация сетевых диалоговых систем // Вопросы кибернетики: Протоколы и методы коммутации в вычислительных системах. - М.: НСК АН СССР по комлексной проблеме «Кибернетика», 1986. - С. 44-65.

7. Воронцов Ю.А.. Гатилов Д.А., Ерохин А.Г. Математические модели и методы расчётов задержки, надежности и экономической эффективности корпоративных сетей // Наукоемкие технологии, 2003, № 3. - С. 64-73.

8. Воронцов ¡O.A., Ерохин А.Г. Аналитическое моделирование систем и сетей массового обслуживания методами диффузионной аппроксимации - D1FAR FOR W1NDOWS-95 // Св. об официальной регистрации программы для ЭВМ № 990448 от 29 июня 1999 г.

9. Горбунков А.Л. Марковские модели посещаемости Web-сайтов, 2007 // http://hdl.handle.net/10995/1334 (дата обращения 22/04/2016).

10. Воронцов Ю.А. Диффузионная аппроксимация многолинейной СМ О неограниченной емкости G/G/1 // Тез. докл. XI Всесоюзной Школы-семинара по вычислительным сетям, ч. 3. — М.: - Рига: Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика» АН СССР, 1986.-С. 68-73.

7Т>

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS FOR THE ASSESSMENT OF EFFICIENCY OF THE WEBSITES

Margarita F. Vanina, Cand.Tech.Sci., associate professor, MTUCI, Moscow, Russia, margo.vanina2012@yandex.ru Andrei G. Erokhin, Cand.Tech.Sci., associate professor, MTUCI, Moscow, Russia, andrew145@yandex.ru Elena A. Frolova, associate professor, MTUCI, Moscow, Russia, efrolova@me.com

Abstract

Subject of this publication is the assessment of efficiency of the website. In the E-Commerce segment this assessment is made on four indicators (metrics): a metrics "conversion", a metrics "stay time on the website", a metrics "the number of refusals" and a metrics "the number of the checked pages". For the corporate websites a metrics "conversion" isn't applicable, however all other metrics can be used fully. Thus, the metrics "time of stay of the user on the website" irrespective of a class of the Website is the most important indicator of its efficiency. When the website is already created, it is possible to estimate time of stay of the user on the website by means of special tools. But not less important task is the assessment of temporary characteristics of the website before his creation, i.e. in the course of design.

Any projected website usually is guided by the high level of the user activity. At the same time the processes happening on the website have casual character therefore for an assessment of his temporary characteristics use of methods of analytical modeling and the theory of queueing is obviously possible. The queueing theory allows to build rather simple models of functioning of information systems and to investigate behavior of these systems in the wide range of changes of parameters. The model of the Website can be presented in the form of an open queuing network where each knot models a delay (time of stay of the user on the page of the projected website). At the same time the class of queueing systems the G/G/l/0 type - multiple line systems with losses is represented to the most suitable. The number of channels of service of l defines the maximum number of the users who are at the same time on the page of the website.

Application of analytical models of mass service allows to estimate average and maximum time of a delay of users on the website. These data can be specified by means of the corresponding metrics subsequently, and are used for improvement of models of development of the website. Besides, it will allow to choose competently technical providing the website, to avoid excessive expenses and more effectively to construct procedure of management of the website.

Keywords: website, efficiency, management, model, metrics, cost, delay.

References

1. Fontalin E. (2014), "Assessment of efficiency of a corporate site", available at http://www.cossa.ru/l55/60369/ (Accessed 22/04/2016).

2. https://metrika.yandex.ru/ (Accessed 22/04/2016).

3. https://www.google.com/analytics/ (Accessed 22/04/2016).

4. Vorozhtsov A.S., Tutova N.V. and Tutov A.V.

5. Erokhin A.G.

6. Vorontsov Yu. A. and Gintsberg G.S.

7. Vorontsov Yu. A., Gatilov D.A. and Erokhin A.G.

8. Vorontsov Yu. A., Erokhin A.G., Moscow Technical University of Communications and Informatics

9. Gorbunkov A.L. (2007), "Markov models of Web-site attendance", available at http://hdl.handle.net/l0995/l334 (Accessed 22/04/2016).

10. Vorontsov Yu. A.,