Об оценке механических напряжений в материале с покрытием в условиях ионной бомбардировки

УДК 536, 539

Об оценке механических напряжений в материале с покрытием в условиях ионной бомбардировки

Н.В. Букрина, А.Г. Князева

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, 634021, Томск, Россия

В работе предложен способ оценки напряжений и деформаций в процессе бомбардировки нитридного покрытия ионами алюминия и бора. Задача сводится к описанной в литературе задаче о напряженном состоянии пластины с различными свойствами по толщине. Для оценки термических напряжений в образце в первом приближении используются известные задачи термоупругости, в том числе имеющие аналитические решения. Каждый расчет дает полную информацию о распределении концентраций элементов соединений и фаз, а так же о динамике изменения напряжений и деформаций в различных слоях образца.

Ключевые слова: термические и диффузионные напряжения, диффузионная зона

Estimation of mechanical stresses in a coated material under ion bombardment

N.V. Bukrina and A.G. Knyazeva

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

In the paper we propose an estimation method for stresses and strains during bombardment of a nitride coating by aluminum and boron ions. The task is reduced to that on the stress state of a plate with properties varying with thickness. Known problems of thermoelasticity including analytically solved ones are used to estimate thermal stresses in the specimen in the first approximation. Each calculation provides complete information on the element concentration distribution in compounds and phases as well as on stress and strain dynamics in different layers of a specimen.

Keywords: thermal and diffusion stresses, diffusion zone

1. Введение

Напряжения и деформации, сопровождающие химические превращения или фазовые переходы в твердом теле, возникают в результате неоднородности температурного поля и различия свойств веществ, т.е. могут иметь разную физическую природу.

Для расчета полей напряжений, возникающих вследствие наличия высоких температурных градиентов в зоне обработки, можно воспользоваться простыми приближениями, учитывающими характер поля температуры, различие масштабов процессов диффузии и теплопроводности и аддитивность вкладов полей температуры и концентраций в поля напряжений и деформаций.

Такой подход позволяет проследить за эволюцией поля напряжений как в процессе обработки [1, 2], так и в ходе остывания наплавленного покрытия [3, 4].

Цель настоящей работы заключается в оценке напряжений и деформаций в процессе бомбардировки покрытия комбинированным потоком ионов.

2. Математическая постановка задачи

Математическая модель процесса ионной модификации материала Fe с «толстым» покрытием ТЫ комбинированным потоком ионов А1 + В, сформулированная в [5, 6] и соответствующая рис. 1, имеет вид:

(^р^ + с2р2 ^ + сзРз^) ^ =

дt

= -аг{Г4 -Т4) + деВ/

0 ¿=1

% = - А. Jk + м,к + шк/{г)Ф

в Букрина Н.В., Князева А.Г., 2008

% = ^, к = 5, 8, ot

где первое слагаемое в правой части уравнения (1) отражает теплообмен по закону Стефана-Больцмана; второе слагаемое—разогрев материала за счет внедрения в него ионов:

л/Л

- — Ч0етЪ(Ь11 + а) = т^ъ + т4;

третье слагаемое представляет собой сумму тепловыделений за счет химических реакций (интегрирование в этом слагаемом идет по толщине покрытия, в котором рассчитываются распределения концентраций элементов и фаз); Т — температура; Те — температура окружающей среды; тк = р1¥кМ-1 — мольный поток компонента к, моль/(м2 • с); Ц — толщина покрытия; ук — мольные концентрации индивидуальных компонентов и химических соединений, моль/см3; wk — сумма источников и стоков данного элемента в объеме за счет химических реакций; Ук — максимальная «скорость» внешнего потока частиц сорта к (ионов алюминия, к = 3, и бора, к = 4), величина максимальной скорости частиц, очевидно, определяется ускоряющим напряжением [7]; Мк — их молярные массы, кг/моль; Jk = = -Dk дук/дх — массовый поток компонента вследствие концентрационной диффузии, моль/(м2 • с); Бк — эффективный коэффициент диффузии элемента в покрытии, м2/с, зависящий от температуры (по закону Аррениуса) и состава; р1 — плотность покрытия, кг/м 3.

г/м

Если в условиях эксперимента покрытие для процесса диффузии имеет «бесконечную» толщину, т.е. его толщина много превышает характерный диффузионный масштаб: Ь1 где и — характерный масштаб

времени, то задача диффузии замыкается простыми граничными условиями:

х = 0: Jk= 0, х ^^: Jk= 0.

Рис. 1. Иллюстрация к постановке задачи: 1 — толщина нитридного покрытия Ц; 2 — толщина железной основы Ь2; 3 — толщина нержавеющей стали !о

Это условие имеет место для покрытий толщиной более 500 мкм, превышающей глубину внедрения ионов.

В начальный момент времени концентрации элементов заданы:

t = 0: у = Ую, у2 = у20' Ук = 0 к = з...' 8.

ФункцияФ(х) = ехр(-((х - а)/Ь)2) формально отображает физические процессы, не учтенные в модели явно (например внутреннее трение, перенос ионов вследствие возникающих в поверхностном слое внутренних напряжений).

С учетом имеющихся результатов экспериментального исследования структуры и состава покрытий по окончании процесса обработки ([7, 8] и др.) из принципиально возможных реакций выделены следующие:

Т + А1 + В + N ^ TiAlBN

(образование твердого раствора),

Т + 2В ^ ^В2 (экзотермическая реакция), (II) Т + В ^ ТВ (экзотермическая реакция), (III) А1 + 12В ^ А1В12 (экзотермическая реакция). (IV) В результате кинетические функции записаны в виде:

.V

RT

Ф1 = к1 У1 у 2 Уз У4 ехР Ф 2 = к2 У1У4 еХР Фз = кз У1У4 ехР

RT ; Е 4 RT

Ф4

-- к4 Уз у42 ехР

RT

В соответствии с реакционной схемой (I)-(IV) находим функции тепловыделения

= -(Ф1 + Ф2 + Фз), ^2 = -Ф1, ^з = -(Ф1 + Ф4),

= -(Ф1 + 2Ф 2 + Фз + 12Ф 4), Щ =Ф1» =Ф2' ^7 = Фз' =Ф4.

При формулировке модели (1), (5) учтено, что процессы теплопроводности и диффузии обладают существенно различными пространственными и временны ми масштабами, так что уже на начальной стадии процесса обработки поле температуры в материале можно считать однородным: выравнивание температуры за счет теплопроводности происходит много быстрее, чем нагрев поверхностного слоя за счет энергии ионов, и тем более быстрее, чем диффузионное перераспределение элементов.

В связи с этим задача об оценке механических напряжений в образце в условиях ионной обработки должна учитывать физические особенности модели: мы явно должны говорить о макроскопических термических напряжениях и о напряжениях в диффузионной зоне, где на напряжения, связанные с перераспределением концентраций и появлением новых фаз, накладываются

термические напряжения. Фактически мы должны учесть два уровня описания и связь между ними.

Третий (микроскопический) уровень протекания процессов играет важную роль в оценке кинетических параметров модели.

В соответствии с представлениями [9, 10] компоненты тензора упругих напряжений ст- связаны с компонентами тензора деформаций е- соотношениями

Лст- = 2цёе- + 8--

где А, ц — коэффициенты Ламэ; К — изотермический модуль всестороннего сжатия, К = А + 2/3 ц; еш = е11 +

п

+е 22 +е зз; » = 3[«г (Т - То) + 1Х (Ук - Уко)]; ак — линейные коэффициенты концентрационного расширения [11]; аТ — линейный коэффициент теплового расширения; 8-- — символ Кронекера.

Суммированием уравнений (6) по всем i = к мы находим обычные соотношения между первыми инвариантами тензоров напряжений и деформаций

¿°кк = 3К№кк - Л»).

Тогда из (6) имеем:

А ёст(

кк

Лст-

Ле„- = —- - 8„-1 2ц  2ц 3К

-8 - (ат (Т - То) + £а к (Ук - Уко)), к=1

что можно переписать в иной форме:

Ле - = Ле- + ёеТ + ёе-,

где

ёе- = -8 А ёСТ

кк

2ц у 2ц 3К ЛеТ =8 -- (ат (Т - То));

п

= 8--(Еа к(Ук- Ук о)).

к=1

Деформации е-, связанные с упругими напряжениями, являются обратимыми; деформации еТ есть следствие изменения температуры и связаны с термическими напряжениями, эти деформации становятся необратимыми, если изменение Т приводит к необратимым изменениям — появлению новых соединений и фаз, перераспределению элементов и т.п. Деформации е- не обратимы по своей природе, так как непосредственно связаны с протекающими в материале необратимыми процессами преобразования состава.

В целом, мы должны записать:

аТ =аТ(Ук X а1=а1(Ук X где i = 1, ..., 4 — номер диффундирующего (несвязного) элемента; к = 1, ..., 8 — номер чистого вещества и химического соединения, т.е. коэффициент концентрационного расширения зависит от того, в какой фазе идет диффузия.

Компоненты тензора ст- называем упругими потому, что их приращения линейно связаны с приращениями компонент тензора деформаций, температуры и концентраций [12].

Полный тензор напряжений включает, кроме ст-, напряжения иной физической природы (вязкие), которые требуют специального определения [9, 10] на основе «полной» системы уравнений механики сплошной среды. В условиях эксперимента [13, 14] высокие температуры, при которых вязкие напряжения и деформации могли бы играть существенную роль, не достигаются, поэтому мы имеем полное право работать в рамках обобщения модели упругого тела.

Вообще говоря, функцию ю для модели (1)-(5) следовало бы записать в форме:

ю = 3[аТ (Т - Т0) +

+ £а к (Ук - Ук о) + М (у1 - у^Ь

к=1 1=5

где первая сумма «приводит» к появлению деформации вследствие диффузии элементов в разных фазах, что отражают зависимости (8), а вторая сумма есть следствие изменения свойств материала при появлении новых фаз и химических соединений. Поскольку изменение концентраций элементов и фаз ук, к = 1, ..., 8, происходит как вследствие диффузии, так и вследствие фазовых и химических превращений, мы явно не можем сказать, какие деформации имеют только диффузионную природу, а какие—только химическую. Поэтому все подобные деформации называем концентрационными. В общем случае эти уравнения мы должны дополнить уравнениями равновесия ст--, - = 0 и условиями для напряжений и деформаций на поверхностях.

3. Оценка напряжений и деформаций в диффузионной зоне

Полагая, что деформации малы, используем для оценки напряжений и деформаций известные модели термо- и массоупругости [7, 9]. В этом случае дифференциальное соотношение (6) будет эквивалентно соотношению

ст- = 2це- +8-

В общем случае задача о расчете напряжений включает в себя уравнения равновесия, уравнения совместности, следующие из уравнений Коши, и соотношения Дюамеля-Неймана [11, 15].

Рассмотрим частный случай — пластину с различными свойствами по толщине. Пластина полностью свободна от объемных поверхностных сил, температура и концентрации меняются только по толщине, т.е. Т = = Т^). В этих условиях имеем:

ст хх = ст УУ = /(

ст = стХ2 = ст ух = ст2у = 0

Следовательно, из уравнений совместности остаются два эквивалентных уравнения

Э2еу д2„

= 0 и Э £х

= 0.

дz2 " " Э22 Из (10) и (11) следует:

ахх = 2-ехх + кк - КМ

ауу = 2-еуу + Аекк - Кю, 0 = 2-е+Аекк - Кю, 0 = 2-е ху, 0 = 2-е у2, 0 = 2-е х2. С учетом симметрии задачи имеем:

акк =ахх + а уу = 2а уу = 2а-

Следовательно, пользуясь соотношением

акк = зК(екк -ю) следующим из (7), находим: 2а

е кк + зк

Подставляя (14) в (13), найдем:

е = а

е уу =а

+ 2-Л 6-К

V У

+ 2-Л 6-К

1

+ — ю,

з 1

+ — ю,

з

£ 22 (КЮ-Ае кк X 2-

Э 2е у Э2 2

д2 2

1 -V 1 -а уу +-ю

Е уу з

= 0,

£хх = £ уу = С1 + С22, е22 =

Кю- 2Ае х

^ ' _2г 2- + А Интегрируя уравнение (16), получаем соотношение для компоненты напряжений ахх = ауу в виде:

а УУ =

_Е_|-1 ю+ С1 + С2 2

1 -VI з

Для нахождения констант С1, С2 воспользуемся граничными условиями. Постоянные С1 и С2 в принципе должны быть определены из нулевых граничных условий для напряжений на краях пластины. Однако из выражения (10) вытекает [15], что напряжения не могут быть равны нулю по всей толщине, за исключением частного случая линейного изменения температуры по г. Кроме того, в этом случае все компоненты тензора напряжений (18) тождественно равны нулю. Значение постоянных С1 и С2 можно выбрать таким образом, чтобы при любых температурах Т(г) и концентрациях Ук (2) результирующая сила и результирующий момент (на единицу длины), обусловленные напряжениями ахх и ауу, были равны нулю на краях пластинки [15]:

|а yyd2 = 0 и Jаyyzdz = 0. 0 0

Подставляем (17) в (18):

¿1+¿2+¿з

I

0

¿11+¿2+¿з

I

0

1

1 -VI з

1

- —ю+ С1 + С2 2

1 - V ^ з Введем обозначения:

— ю+ С1 + С22

d2 = 0,

2d2 = 0.

1 ¿1 + ¿2 + ¿з Е

fl(t) = -- I -Юd2,

1 -V

1 ¿1 + ¿2 + ¿з Е

/2 00 = - з I --юzdz,

з 0

1 -V

¿1 + ¿2 + ¿з Е

А = I ^ =

1 -V

1 -V

-¿1 +

1 -V.

-¿2 +

1 -V,

-Ь

-з,

¿1 + ¿2 + ¿з Е

В = / 2--d2 =

1 -V

1 -V

1 ¿2 +

-^((¿1 + ¿2)2 -¿2) + 1 -V 2

+ ^—^

1 -V3

о = Х^ 0

2 Е Л

2 -dz =

1

1 -V

1 -V

П +

1 -V-

-((11 + ¿2) - ¿з) +

+ ^—^((¿1 + ¿2 + Ьз)3 - (¿1 + Ь2)3) 1 -v3

Следовательно, имеем систему линейных уравнений для нахождения констант интегрирования С1 и С2

/l(t) + С1А + С2В = 0, /2 а)+СХВ + С2 О = 0,

откуда

С = от - в/2

В2 - АО А/2

С2 =

В2 - АО

Вычислим интегралы в /1 ^), учитывая физические особенности задачи. Имеем:

1 ¿1 + ¿2 + ¿з —

1 ¿г1 Е

/1(0 = — I -юd2 =— Г-

з I 1 -V зи

юd2 -

[-V

1 ¿1 +¿2 Е 1 ¿1 +¿2 +¿з Е

— I -юd2 — I -юd2,

з 1,1 -V з ¿Д, 1"

ЖО = - + 12 + 13).

Индексы 1, 2, 3 соответствуют различным областям образца, показанным на рис. 1.

В покрытии явно изменяются и температура, и концентрации, но покрытие прогрето равномерно, поэтому

= о т

о1

-юё2 =

-V

= 3ДаТ (Т - То) + £ а к (Ук - Ук о№ =

1 -VI

о

к=1

= 3-

1-V1

аТ Д(Т - То)Ц +

В итоге для разных слоев имеем разные соотношения. Так, в покрытии напряжения можно вычислить по формуле:

ст хх,1 = ст УУ,1 =

1 -V,

- аТ ,1 (Т - То) - £ а к (Ук - Ук о) + С + С2 2 к=1

о < 2 < Ц .

Первое слагаемое в (24) зависит только от t, остальные — от t, z (это напряжения в диффузионной зоне). В двух других слоях имеем:

ст хх,2 = ст уу,2

+зг^ I[ £а к(Ук- Уко)]ё2. 1 -V 1 о к=1

I ^ 1 о к=1

В двух других слоях концентрации не изменяются, следовательно,

Е,

Ц + Ь2 £

= I 1

юё2 = 3-

= 3

-V 3 £

1

Ьх + Ь2 £

Ь

+ Ь2 + Ь

13 = + 1

Т -1.Г ^

1 -V-

"аТ 2(Т - T0)L2,

-юЛ2 =

- V

1 -V.

1 -V.

аТ,3 I (Т - То)&-

Ц +

-аТ ЛТ - То).

Аналогично поступаем с функцией /2 {t):

1 Ц Е

/2 (0 = ~ N—»2^ -

3 »1 -V

-V

1 Ц + Ь2 Е

1 - Е 1 Ц+Ь2 +Ь3 Е

— I -Ю2^ — I -»262,

3 1 -V 3 г+г 1-

ц+ ь2

I - V

/2(0 = - Jl + J 2 +

где

Ь2

Jl = 11-»2^ = 3—^аТ,1

о1 -V 1 -V1

Е Ь п + 3 ^^ I[ £ ак(Ук - Уко )]2^,

1 о к=1

J2 = ТГ^аТ,2(Т -То)(Ь + Ь2)2 -Ц2),

2 1 -V 2

J3 = аТ

1 -V

Ц + Ь2 + Ь3

,3 I(Т - То)262

ц +

3 £з

-аТ,3 (Т - То) х

2 1 - V

х((Ц + Ь2 + Ьз)2 -(Ц + Ь2)2).

1 - V

-[-аТ,(Т - То) + С + С22],

ц < 2 < ц + ь

2,

ст хх,3 = ст УУ,3 =

1 - V

-[-аТ,з(Т - То) + С + С22],

ц + Ь2 < 2 < Ц + Ь2 + Ьз. Учитывая предыдущее, запишем:

ст хх,2 = ст уу,2 =

1 -V 2

Т 1 Ц +Ь2 -аТ ,2 (Т - То) + — I (С + С2 2)^

Ь2 Ц

-аТ о(Т - То) + С +

1 -V 2

+1 ^

2 Ь2

ст хх,3 = ст УУ,3 =

1 -V.

-[-аТ,з (Т - То) + С + С22] =

1 - V

-аТ ,з (Т - То) + С +

+2 Ц2 + Ьз)2 -

Это макроскопические напряжения, учитывающие вклад из диффузионной зоны через С1 и С2.

Аналогичным образом поступаем при вычислении деформаций в слоях 1-3:

е хх, = е УУ, = С + С2 2,

= ТУУ,2 = С +1 ^

хх,2

ехх,3 = еУУ,3 =

2

= С +1 ^

2 Ьт

х

х

х

х

Таблица 1

Элемент Т1 N А1 В

М, 10-3 г/моль 47.88 14 26.98 10.8

Dkо, см2/с 6.4 • 10-8 1.2 • 10-2 0.1 105

Ек, кДж/моль 123 75 128 260

Теплофизические свойства системы

Fe

Нержавеющая сталь

р, г/см3

4.505

7.61

7.420 • 106

с, Дж/К

6 • 10-

0.825

0.666

L, см

0.02

0.1

1.0

Таблица 2

Некоторые параметры химических элементов [17, 18]

Элемент

М, 103 г/моль

Dkо, см2/с

Ек, кДж/моль

Т1

47.8

6.4 • 10-8

123

14

1.2 • 10-

75

А1

26.98

0.1

128

10.8

105

260

Таблица 3

Значения констант химических реакций, использованные в расчетах

№ реакции

к, с-1

£а, кДж/моль

Q, кДж/см3

I

12.124 • 1025

441.3

0.284*

II

11.03 • 1014

43.81

-2.843

Ш

13.13 • 1015

82.45

1.893*

IV

25.72 • 10й

250.8

1.42*

е 22 д = (К1 (За Т д (Т - То)- £ а к (Ук - Уко))-

к=1

- 2^е хх,1 )(2ц1 Т22,2 = (3К 2а т ,2 (Т - То) - 2А 2Тхх,2)(2ц 2 +А 2) ~22,3 = №ат,з(Т - То) - 2А3^,3 )(2цз +А3)_1. Для получения численных оценок напряжений в диффузионной зоне и макроскопических напряжений нам требуется знать механические свойства Е-, V -, ] = = 1, 2, 3 и коэффициенты а -, к и аТ. Конечно, Е1 и vт меняются при изменении состава, но зависимости

Е1 (ук), как правило, неизвестны. Поэтому ограничимся некоторыми эффективными значениями (что учтено и при выводе формул). Примем:

Е1 = 65 • 10з, Е2 = 195 • 10з, Ез = 205 • 10з н/см2, vт = 0.3, V 2 = 0.28, V з = 0.3.

Для оценки а -, к используем приближенный подход, описанный в [16, 17], согласно которому наиболее распространенной оценкой коэффициента концентрационного расширения является оценка вида: 1 ю

а к

3 £»'

где ю — атомный (молекулярный, молярный) объем компонента с номером к в своей фазе.

Оценка коэффициентов а -, к по формуле (30) дает: аТ - 0.083, а^ - 0.136, аА1 - 0.078, ав - 0.036.

Параметры, использованные при численном исследовании модели (1)-(5) и найденные в литературе или из эксперимента, представлены в табл. 1-3.

4. Анализ численных результатов

Алгоритм численного исследования задачи и способ оценки недостающих параметров описаны в [2, 19]. Там же представлены некоторые результаты исследования влияния технологических параметров на распределения элементов и фаз.

Анализ численных результатов показал, что с увеличением дозы облучения напряжения в покрытии возрастают. Максимум напряжений наблюдается в том месте, где количество внедряемых ионов максимально (рис. 2).

При высоких дозах облучения максимум в распределении напряжений размывается (рис. 2, в), что связано с перераспределением элементов вследствие диффузии.

При изменении начальной температуры поверхности до Т0 = 773 К и фиксированном потоке qш3, ^ш4 наблюдается качественное изменение в поведении напряжений (рис. 3), связанное с ранней активацией диффузии и химических превращений.

200

200

200

Рис. 2. Пространственное распределение напряжения в покрытии при изменении дозы облучения при начальной температуре поверхности Т0 = 300 К в моменты времени Г. 0.25

Œxx -I, Н/СМ2

0

200 х, нм 0

200 х, нм

Рис. 3. Пространственное распределение напряжений в покрытии при изменении дозы облучения при начальной температуре поверхности = 773 К в моменты времени Г. 0.25

Динамика изменения макроскопических напряжений в слоях 2 и 3 показана на рис. 4.

Несмотря на то, что чисто термические напряжения отрицательны, следствием влияния процессов, происходящих на микроуровне в диффузионной зоне (см. (27), (28)), является различный ход кривых в слоях. Кривая X есть суммарные (средние) макроскопические напряжения, вычисленные по формуле: ¿1

= I0 хх,^

аxx s = I а rr1dx + S x

Аналогичным образом ведут себя макроскопические деформации (рис. 5). Деформации ехх • малы, что и подтверждает корректность расчетов в рамках модели термо- и массоупругости.

Полный расчет, соответствующий реальному времени обработки, показывает, что напряжения в диффузионной зоне оказываются весьма высокими (рис. 6, а). Профиль распределения напряжений качественно соответствует распределению концентраций «чистых» элементов в покрытии (рис. 6, б).

Это может, с одной стороны, соответствовать реальной ситуации, а с другой, — может быть связано с неучетом изменения механических свойств при изменении

Рис. 4. Динамика изменения макроскопических напряжений в слоях

10 t, с

10 t, с

Рис. 5. Динамика изменения макроскопических деформаций в слоях 1, 2, 3 при ^ = 300 К и дтз = 2 • 10-10, дт4 = 1.5 • 10-10 моль/

СТхх -1, Н/см2

6000-

4000-

2000-

0 Cat.1,%

200 х, нм

200

2 и 3 при T0 = 300 K и qm3 = 2• 10-10, qm4 = 1.5 • 10 ш моль/

Рис. 6. Пространственное распределение напряжений в покрытии и атомной концентрации Ti в течение времени обработки: 60

состава материала. Это требует специальных исследований.

В данной работе оценки проведены в рамках несвязной теории упругости. Для получения более реалистичных оценок требуется переходить либо к связанной модели, либо использовать один из вариантов теории пластичности.

Таким образом, в работе предложен способ оценки напряжений, возникающих в диффузионной зоне в процессе обработки материалов потоками ионов. Показано, что явно можно выделить микроскопические напряжения в диффузионной зоне. Макроскопические напряжения включают в себя вклад со всех уровней и не могут быть разделены явно на термические и диффузионные.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 05-08-33412_а).

Литература

1. Князева А.Г., Поболъ И.Л., Гордиенко А.И., Демидов В.Н., Крюкова О.Н., Олещук И.Г. Моделирование теплофизических и физико-химических процессов, сопровождающих формирование покрытий в электронно-лучевых технологиях модификации поверхностей металлических материалов // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. -№ 3. - C. 105-119.

2. Букрина Н.В., Князева А.Г. Алгоритм численного решения задач неизотермической диффузии, встречающихся в процессах поверхностной обработки // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. - N° 2. - C. 5562.

3. Дураков В.Г., Князева А.Г., Прибытков Г.А. Формирование диффу-

зионной зоны в подложке в процессе электронно-лучевой наплавки покрытий // Proc. of 6th Int. Conf. on Modification of Materials with Particle Beams and Plasma Flows, Tomsk, Russia, 23-28 September, 2002. - Томск: Курсив, 2002. - C. 613-616.

4. Букрина Н.В., Князева А.Г. Моделирование формирования диффу-

зионной зоны при импульсной электронно-лучевой обработке материала с покрытием // Изв. ТПУ. - 2007. - Т. 310. - № 1. - С. 9195.

5. Букрина Н.В., Князева А.Г., Сергеев В.П. Математическая модель процесса ионной модификации покрытия // Сб. научн. трудов Российской школы-конференции молодых ученых и преподавателей «Биосовместимые наноструктурные материалы и покрытия медицинского назначения», 25 сентября - 1 октября 2006 г., Белгород. -Белгород: БелГУ, 2006. - С. 319-323.

6. Букрина Н.В., Князева А.Г. Моделирование процесса модификации

физических свойств покрытия TiN при бомбардировке потоком ионов Al и B // Материалы III Российской научно-технической конф. «Разрушение, контроль и диагностика материалов и конструкций». - Екатеринбург: ИМАШ УрО РАН, 2007 [Электронный ресурс].

7. PalDey S., Deevi S.C. Single layer and multilayer wear resistant coatings

of (Ti, Al) N: A review // Mater. Sci. Eng. A. - 2003. - V. 342. - P. 5879.

8. Veprek S., Veprek-Heijman M.G.J., Karvankova P., Prochazka J. Different approaches to superhard coatings and nanocomposite // Thin Solid Films. - 2005. - V. 476. - P. 1-29.

9. Князева А.Г. О моделировании необратимых процессов в материалах с большим числом внутренних поверхностей // Физ. мезо-мех. - 2003. - Т. 6. - № 5. - C. 11-27.

10. Князева А.Г. Диффузия и реология в локально неравновесной термодинамике // Сб. научн. трудов «Математическое моделирование систем и процессов». - Пермь: ПГТУ, 2005. - № 13. - С. 45-60.

11. Еремеев B.C. Диффузия и напряжения. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 479 с.

12. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2-х т. - М.: Наука, 1976. - 573 с.

13. Сергеев В.П., Федорищева М.В., Воронов А.В. и др. Структура и механические свойства покрытий на основе карбонитрида титана при магнетронном напылении в условиях ионно-лучевой обработки // Перспективные материалы. - 2005. - № 5. - C. 72-77.

14. Сергеев В.П., Федорищева М.В., Сергеев О.В. и др. Влияние ионной бомбардировки на структуру и трибомеханические свойства магнетронных покрытий на основе системы Ti-Al-N // Перспективные материалы. - 2006. - № 1. - С. 73-78.

15. Князева А.Г., Поболь И.Л., Романова В.А. Поле напряжений в диффузионной зоне соединения, получаемого электронно-лучевой пайкой // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 5. - С. 41-53.

16. Князева А.Г. Введение в локально-равновесную термодинамику физико-химических превращений в деформируемых средах. -Томск: ТГУ, 1996. - 146 с.

17. Лариков Л.Н., Исайчев В.И. Диффузия в металлах и сплавах: Справочник. - Киев: Наукова думка, 1987. - 509 с.

18. Физические величины: Справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

19. Букрина Н.В., Князева А.Г. Моделирование формирования диффузионной зоны при импульсной электронно-лучевой обработке материала с покрытием // Изв. ТПУ. - 2007. - Т. 310. - № 1. -С. 91-95.

Поступила в редакцию 28.12.2007 г.

Сведения об авторах

Букрина Наталья Валерьевна, младший научный сотрудник ИФПМ СО РАН, bookr@mai1.ru Князева Анна Георгиевна, д.ф.-м.н., главный научный сотрудник ИФПМ СО РАН, аппа@пв^с.ги