Математическое моделирование вихревых течений в щелевых неплотностях аспирационных укрытий

УДК 533.6:628.5

О. А. Аверкова, В. Ю. Зоря, И. Н. Логачев, К. И. Логачев, Р. Ю. Овсянников, Ю. Г. Овсянников

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВИХРЕВЫХ ТЕЧЕНИЙ В ЩЕЛЕВЫХ НЕПЛОТНОСТЯХ АСПИРАЦИОННЫХ УКРЫТИЙ1

Аннотация. На основе метода дискретных вихрей разработана математическая модель, вычислительный алгоритм и компьютерная программа для расчета вихревых течений воздуха в щелевых неплотностях аспирационного укрытия, снабженных тонкими козырьками, произвольно расположенными в пространстве. Выявлены закономерности изменения характеристик отрывного течения при установке на входе в щелевую неплотность козырька. Производится сравнение полученных расчетных величин с экспериментальными данными и расчетами, выполненными другими методами. Обсуждается вопрос снижения энергоемкости аспирационных укрытий за счет использования эффекта отрыва струи.

Ключевые слова: метод дискретных вихрей, аспирационное укрытие, неплотности.

Abstract. On the basis of the discrete vortexes method we developed mathematical model, computational algorithm and computer program for calculation of air vortex flows in leakiness of aspiration chamber equipped with thin glare shields randomly located in space. Regularities of changes of detached flow characteristics when shield is set in the entrance of the leakiness were defined. We compare got specified rates with experimental data and computations made with other methods. The question of reducing of energy-output ratio of aspiration systems by using the effect of jet separation is discussed.

Keywords: discrete vortexes method, aspiration chamber, leakiness.

Введение

Одним из факторов, повышающих энергоемкость аспирационных укрытий, является поступление воздуха через неплотности. Чем больше площадь неплотностей, тем мощнее должен быть электродвигатель вентилятора, создающего в укрытии требуемое разрежение и соответственно скорость воздуха в неплотностях, препятствующую выносу пыли в окружающее пространство. Полная герметизация укрытия не всегда возможна в силу технологических причин. Например, неплотности необходимы для пропуска конвейерной ленты. Возникает задача снижения объемов воздуха, поступающего через неплотности без уменьшения их площади. Этого можно достичь за счет повышения гидравлического сопротивления неплотностей путем снабжения их тонкими козырьками. Срыв потока с острых кромок козырьков способствует возникновению вихревых областей, где теряется энергия всасываемого потока. Кроме того, срывающаяся струя снижает площадь эффективного всасывания через неплотности. Таким образом, аэродинамическое экранирование неплотностей тонкими козырьками позволяет снизить вредные подсосы воздуха за счет использования эффекта отрыва струи. Поэтому представляет

1 Работа выполнена при грантовой поддержке РФФИ (проект № 08-08-13687-офи_ц).

научный и практический интерес исследование отрывных течений в наиболее распространенных щелевых неплотностях аспирационных укрытий, снабженных козырьками.

Расчет отрывного течения с использованием метода Н. Е. Жуковского на входе в щелевую неплотность с козырьком (рис. 1), установленным к стенке укрытия, произведен в работе [1], где определена закономерность изменения величины коэффициента сжатия струи на срезе щели при изменении отношения длины козырька к ширине щели. Предполагалось, что течение потенциальное, на свободной линии тока скорость постоянна. Граница течения имела упрощенный вид (рис. 1,а), геометрия укрытия не учитывалась. Решение задачи для нескольких козырьков вызывает значительные трудности. Произвести расчет течения между свободной линией тока и козырьком в рамках данной модели невозможно.

а) б)

Рис. 1. Расчет потенциального течения на входе в щелевую неплотность: а - границы области течения; б - профиль горизонтальной составляющей скорости и линии тока

В работе [2] на основе метода дискретных кольцевых вихрей исследовался отрыв течения с кромок круглой трубы с фланцем (рис. 2), а также исследовалось влияние козырька и приточной струи, истекающей из его торца, на коэффициент Кориолиса во входном проеме щелевой неплотности. Здесь была также значительно упрощена граница области течения и использовалась осесимметричная постановка задачи, что для реальных течений в аспираци-онных укрытиях неприменимо.

Целью данной работы является разработка математической модели, вычислительного алгоритма и компьютерной программы расчета вихревых нестационарных течений внутри аспирационного укрытия и на входе в щелевые неплотности, снабженные тонкими козырьками, произвольно расположенными в пространстве.

1. Построение математической модели и вычислительного алгоритма

Постановка задачи

Физическая постановка задачи: найти поле скоростей внутри укрытия и в щелевой неплотности (рис. 3), на входе в которую могут быть установлены тонкие козырьки.

+ 4-

и.^ :л:  ?

И=0,02м

б)

Рис. 2. Расчет вихревого течения на входе в щелевую неплотность: а - границы области течения; б - результаты расчета

Рис. 3. Схема аспирационного укрытия со щелевой неплотностью, снабженной козырьком

Таких козырьков может быть и не один, как изображено на рис. 3, а множество козырьков, образующих лабиринт для прохождения воздуха.

Поскольку длина неплотности больше ее ширины более чем в 10 раз, рассматривалась плоская задача (рис. 4).

Рис. 4. К постановке задачи

Для решения задачи использовался метод дискретных вихрей. Математическая постановка задачи состоит в решении уравнения Лапласа для потенциальной функции ф в каждый расчетный момент времени:

Дф = 0,

при заданных значениях граничной нормальной составляющей скорости

Эф Эп

= уп (х) - ип, где х - точка границы 5”. Функция ип выражает влияние

свободных вихрей, сходящих в поток с острых кромок в каждый расчетный момент времени, вдоль направления внешней нормали.

Пусть граница области состоит из г линий, которые дискретизируем набором присоединенных вихрей и контрольных (расчетных) точек. На изломах и концах линий должны быть расположены вихри. По середине, между двумя присоединенными вихрями, находятся контрольные точки. Тогда если присоединенных вихрей N то контрольных точек N - г).

Рассмотрим начальный момент времени ^ = +0 , когда включается всасывающее отверстие. В этот момент времени в области содержатся только

присоединенные вихри. Влияние всех этих вихрей на контрольную точку хр вдоль направления нормали определяется из выражения

Изменяя р от 1 до

рассматриваемую систему г уравнениями, являющимися дискретными аналогами условия Томпсона - неизменности циркуляции по жидкому контуру, охватывающему профиль и след (сумма циркуляций присоединенных вихрей, расположенных на данной линии, и свободных вихрей, сходящих с нее, равна нулю). Тогда получим замкнутую систему линейных алгебраических уравнений:

Вывод основных расчетных соотношений

N

к=1

где

£(хр {кк) = (х1 -{1)п2 -(х2 -{2)п1

2п (х1 - {1)2 + (х2 - {2)2

(Х1, Х2) - координаты точки хр ; (^, £2) - координаты присоединенного вихря с циркуляцией Г расположенного в точке £к ; {«1,«2} - координаты орта вектора нормали п к границе области; Уп (хр) - скорость в точке хр вдоль направления п , которая известна при постановке задачи.

уравнений с N неизвестными циркуляциями Г кк ), где к = 1, N . Дополним

N

^ С(хр ,{к)Г({к) = уп (хр); р = 1,N - 2,

к=1

<

к=1+ис-1

где ^ пс = N; «о = 0 ; пс - количество присоединенных вихрей на с-й линии.

с=1

После определения неизвестных циркуляций скорость в любой точке области вдоль любого заданного направления определяется из выражения (1),

где вместо xp подставляется рассматриваемая точка.

В момент времени t = 1Дt происходит отрыв L - свободных вихрей с L острых кромок границы. Строго говоря, вихри, лежащие на этих кромках, уже являлись свободными, поскольку по доказанной в [3] гипотезе Чаплыгина - Жуковского - Кутта присоединенный вихревой слой на профиле, с которого сходит пелена свободных вихрей, обращается в нуль. Сход свободных вихрей осуществляется по направлению скорости потока. Новое их положение вычисляется из старого по формулам

х' = x + vx Дt, у=У+Vy Д,

где ух , Уу - составляющие скорости, вычисляемые по формулам (1) при

п = {1,0} и п = {0,1} соответственно, а вместо (XI, Х2) подставляются координаты (X, у). Циркуляции свободных вихрей с течением времени не изменяются. С учетом сошедших свободных вихрей система уравнений для определения неизвестных циркуляций присоединенных вихрей принимает вид

N

2 0(хр, Г )Г(Г) + 2 0(хР,С ) = vn (хр); р = 1,N - ^

к=1 1=1

2 Г(^к) + 2 у(с1)=о, с=й

к=1+пс

I=1+Ьс.

где - точка расположения свободного вихря, сошедшего с 1-й острой

г

кромки; Ьс - количество точек схода вихревой пелены с линии с; 2 Lс = Ь;

с=1

Ьо = 0.

В следующий момент времени сойдут еще Ь свободных вихрей, предыдущие приобретут свое новое положение, определяемое из формулы (2), где составляющие скорости определяются с учетом наличия в потоке свободных вихрей:

V,

N Ь

.(х) = 2 С(х, ^) Г(^к) + 2 С(х, с1 МС).

к=1 /=1

В момент времени t = 2Дt система (3) преобразуется к виду

' N 2 Ь

2 С(хр, ^к)Г(^к) + 22°(хр,СМ?) = Vn (хр); Р = 1,N - 7;

к =1 т=11=1

2 тк)+2 2 *?/т)=о, с=й,

к =1+пс -1 т=11 =1+Ьс-1

где - точка расположения свободного вихря, сошедшего с 1-й острой

кромки в момент времени т ; у(С^) - его циркуляция.

В произвольный момент времени ^ = т • система уравнений для определения неизвестных циркуляций присоединенных вихрей имеет вид

N т Ь _______

£ 0(хР, 1к)Щк) + ££а(хр,д/т)у(д/т) = у, (хр); р = 1,N - г; к=1 т=11=1

пс т Ьс

£ Г(^к) + £ 2 У(?/Т) = 0, с = 1, г,

к=1+пс -1 т=11=1+Ьс-1

а скорость в любой заданной точке определяется из выражения

N т Ь

Уп(х) = £в(х,^к)Г(^к) + ££в(х,с,к)у(д/т). к=1 т=11=1

Если свободный вихрь приближался к непроницаемой границе на расстояние меньшее X (расстояние между соседними присоединенным вихрем и контрольной точкой), то он отодвигался от нее по нормали на расстояние X. Если же свободный вихрь приближался к всасывающему отверстию на то же расстояние, то вихрь удалялся из рассмотрения.

В случае приближения к вихрю на расстояние х <Х величина скорости, им вызываемой, определялась из формулы

у(х) = ху / X ,

где у - скорость, вызываемая вихрем, расположенным на расстоянии X.

2. Результаты расчета и их обсуждение

С использованием полученных расчетных соотношений разработана компьютерная программа, позволяющая определять поле скоростей, строить линии тока и отслеживать изменение вихревой структуры течения во времени.

В качестве примера произведен расчет вихревого течения внутри укрытия и на входе в неплотность при следующих параметрах (рис. 4): СВ = 0,35 м; СО = 0,93167 м; ОМ = 0,13333 м; MN = 0,29 м; Уо = 1 м/с. Данные размеры соответствуют размерам лабораторного образца аспирационного укрытия, исследовавшегося экспериментально, с тем исключением, что площадь всасывающего сечения прямоугольной формы (рис. 3) растягивалась по ширине укрытия.

Был произведен расчет вихревого течения при разных длинах козырька, установленного на входе в неплотность. При увеличении длины козырька сечение, работающее на всасывание, стабилизируется (рис. 5) уже при длине козырька, равной 0,5 калибра (й ~ 0,5к), и практически не изменяется с его ростом.

Расчет отрывного течения выполнялся при Д^ = 0,0025 с, отрыв свободных вихрей (изображаются кружочками на рис. 5,а) осуществлялся с точки Р. Шаг дискретности X = 0,005. Заметим, что при длине козырька более

двух калибров безразмерная эффективная ширина всасывания на входе в неплотность Вэ /И не изменяется и равна 0,76. Для щелевого всасывающего

отверстия, свободно расположенного в пространстве, эта величина, найденная методом Н. Е. Жуковского, равна 0,78 [4]. Реализация метода

Н. Е. Жуковского для геометрии области, изображенной на рис. 1, позволила вычислить значение Вэ / И = 0,81 при длине козырька в один калибр. При неограниченном возрастании длины козырька это значение равно 0,775.

При значительном удалении от входа в укрытие безразмерная величина толщины струи 8^ / И колеблется в пределах 0,5-0,58 и не зависит от длины козырька (рис. 6). При расчетах по методу Н. Е. Жуковского эта величина равна 0,5.

Рис. 5. Характеристики вихревого течения на входе в щелевую неплотность с козырьком: а - отрывная линия тока; б - зависимость безразмерной ширины всасывания на входе в неплотность вэ / И и на входе в укрытие 8 / И от безразмерной длины козырька

0,8 0,9 1,0 1,1

Рис. 6. Линии тока отрывного течения в разные моменты времени

Полученная расчетная картина отрывного течения на входе в неплотность и наблюдаемая в натурном эксперименте удовлетворительно согласуются (рис. 7).

Линии тока, построенные по разработанной программе внутри укрытия (рис. 8, 9) и наблюдавшиеся в натурном эксперименте (рис. 10), имеют схожую структуру. В эксперименте наблюдалось явление смещения центрально-

го вихря к правой стенке укрытия при увеличении длины козырька. Численный эксперимент такого явления «не улавливает». Однако с течением времени вихреобразования меняют свое положение (рис. 9), наблюдаются пульсации скорости.

Рис. 7. Отрывные течения на входе в щелевые неплотности с козырьком и без него

Рис. 8. Линии тока в аспирационном укрытии при различных длинах козырька

Согласно натурному эксперименту линия срыва струи разрушается примерно через 1-2 калибра при входе во внутрь укрытия (рис. 7). При увеличении длины козырька линия отрыва начинает колебаться и в численном эксперименте (рис. 11), но в натурном эксперименте линия срыва разрушается, и всасываемый поток полностью заполняет всасывающее отверстие между козырьком и полом (рис. 10).

Коэффициент кинетической энергии (Кориолиса), выражающий неравномерность поля скоростей, рассчитывался по формуле

а = -

_£_____________

{ух ср ) ^

„2 2=1

/ \3

п

V 2=1 /

где ух ср = — J - средняя горизонтальная составляющая скорости; ух -

5"

горизонтальная составляющая скорости; 5 - рассматриваемое сечение; у -горизонтальная составляющая скорости в вершине і-го отрезка; п - количество отрезков, на которые разбивается заданное сечение.

Рис. 10. Картины течения, наблюдавшиеся экспериментально

Расчет коэффициента Кориолиса производился в сечении на входе в аспирационное укрытие из щелевой неплотности. Количество отрезков разбиения п = 11, горизонтальные составляющие скорости вычислялись в точках, удаленных от пола на расстояния 0,005; 0,01; ... 0,055. Поскольку течение нестационарное, то наблюдались пульсации скорости в этих точках и соответственно пульсации коэффициента Кориолиса в данном сечении. Поэтому его значение усреднялось по времени. После насыщения свободными вих-

рями всей области аспирационного укрытия (их количество колебалось в пределах 550-700) выбирались произвольным образом пять моментов времени и определялась величина а для каждого из них, после чего находилось их среднее арифметическое.

Рис. 11. Отрывная линия тока в разные моменты времени при различных длинах козырька

При увеличении длины козырька коэффициент Кориолиса существенно возрастает (рис. 12) до одного калибра, затем изменяется несущественно. Значение коэффициента Кориолиса напрямую связано с коэффициентом местного сопротивления. Например, при внезапном расширении их величины можно считать равными. Заметим, что натурный эксперимент показал, что величина разрежения в укрытии максимальна при длине козырька равной половине калибра.

Рис. 12. Изменения коэффициента Кориолиса на входе в аспирационное укрытие при увеличении длины козырька

При снабжении неплотностей комбинацией козырьков (рис. 13) вихревая структура течения значительно усложняется. Потери энергии на преодоление полученных местных сопротивлений способствуют повышению разрежения в аспирационном укрытии, что даст возможность снизить объемы аспирации и понизить энергоемкость аспирационных систем.

1,1 1,2 1,3

Рис. 13. Вихревая картина течения на входе в щелевую неплотность аспирационного укрытия, снабженную тонкими козырьками

Заключение

На основе метода дискретных вихрей разработана математическая модель, вычислительный алгоритм и компьютерная программа расчета вихревых нестационарных течений в аспирационном укрытии с щелевыми неплотностями, снабженными тонкими козырьками. Определены зависимости характеристик отрывного течения от длины козырька, установленного под прямым углом к входу в щелевую неплотность. Показано влияние на структуру потока расположения и наличия тонких козырьков, значительно увеличивающих турбулизацию потока и гидравлическое сопротивление входа в щелевую неплотность и, как следствие, снижающих подсосы воздуха и энергозатраты на эксплуатацию аспирационных укрытий.

Список литературы

1. Логачев, И. Н. Аэродинамические основы аспирации / И. Н. Логачев, К. И. Логачев. - СПб. : Химиздат, 2005. - 659 с.

2. Логачев, И. Н. Численный расчет вихревых течений на входе в щелевые неплотности аспирационных укрытий / И. Н. Логачев, К. И. Логачев, Р. Ю. Овсянников, Ю. Г. Овсянников // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. Технические науки. - 2006. - Прил. № 5. - С. 49-54.

3. Лифанов, И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент / И. К. Лифанов. - М. : Янус, 1995. - 520 с.

4. Посохин, В. Н. Местная вентиляция / В. Н. Посохин. - Казань : Изд-во КГАСУ, 2005. - 73 с.

Аверкова Ольга Александровна кандидат технических наук, старший преподаватель, кафедра прикладной математики, Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова

Averkova Olga Alexandrovna Candidate of engineering sciences, senior lecturer, sub-department of applied mathematics, Belgorod State Technological University named after V. G. Shukhov

E-mail: kilogachev@intbel.ru

Зоря Виолетта Юрьевна аспирант, Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова

E-mail: kilogachev@intbel.ru

Логачев Иван Николаевич доктор технических наук, профессор, кафедра отопления, вентиляции и кондиционирования, Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова

E-mail: kilogachev@intbel.ru

Логачев Константин Иванович

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики, Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова

E-mail: kilogachev@intbel.ru

Овсянников Роман Юрьевич инженер, Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова

E-mail: kilogachev@intbel.ru

Овсянников Юрий Григорьевич

кандидат технических наук, доцент, кафедра отопления, вентиляции и кондиционирования, Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова

E-mail: kilogachev@intbel.ru

Zorya Violetta Yuryevna Postgraduate student,

Belgorod State Technological University named after V. G. Shukhov

Logachev Ivan Nikolaevich

Doctor of engineering sciences, professor,

sub-department of heating, ventilation

and conditioning, Belgorod State

Technological University

named after V. G. Shukhov

Logachev Konstantin Ivanovich

Doctor of engineering sciences, professor, head of sub-department of applied mathematics, Belgorod State Technological University named after V. G. Shukhov

Ovsyannikov Roman Yuryevich Engineer, Belgorod State Technological University named after V. G. Shukhov

Ovsyannikov Yuriy Grigoryevich Candidate of engineering sciences, associate professor, sub-department of heating, ventilation and conditioning,

Belgorod State Technological University named after V. G. Shukhov

УДК 533.6:628.5 Аверкова, О. А.

Математическое моделирование вихревых течений в щелевых неплотностях аспирационных укрытий / О. А. Аверкова, В. Ю. Зоря, И. Н. Логачев, К. И. Логачев, Р. Ю. Овсянников, Ю. Г. Овсянников // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. -2010. - № 3 (15). - С. 58-69.