Оптимизация проектирования -модуляторов высоких порядков по критерию устойчивости

УДК 621.3.087.92

В. Н. Ашанин, Б. В. Чувыкин, Р. Г. Тер-Аракелян

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ 2 Л-МОДУЛЯТОРОВ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ ПО КРИТЕРИЮ УСТОЙЧИВОСТИ

Аннотация. Описывается методика проектирования 2 Д-модуляторов высоких порядков, основанная на аналитическом определении области значений коэффициентов обратной связи модуляторов для обеспечения устойчивого режима работы, расчета их значений с учетом допусковых значений и критерия минимума среднеквадратического отклонения шума квантования. Приводится пример проектирования 2 Д-модулятора третьего порядка.

Ключевые слова: 2Д-АЦП, 2 Д-модулятор, непрерывно-дискретная система, аналого-цифровой преобразователь, устойчивость, шум квантования.

Abstract. The article describes a designing method of the 2 Д-modulators of high degrees, based on the analytical determination of the modulator feedback coefficients’ values for sustainable operation mode. The authors have calculated coefficients’ value, taking into account the tolerance values and the criterion of minimum standard deviation of the quantization noise. The researcher also provides an example of the 2 Д-modulator design of the third degree.

Key words: 2Д-ЛБС, 2Д-modulator, analog-digital system, analog-to-digital converter, pulse-width modulator, sustainability, quantization.

Введение

Степень снижения погрешности от краевых эффектов 2 Д-АЦП напрямую зависит от порядка (количества интеграторов) однобитного 2 Д-модулятора и от коэффициента прореживания фильтра-дециматора, т.е. от его ширины полосы пропускания [1]. Однако увеличение порядка однобитного 2 Д-модулятора, построенного на основе структур непрерывно-дискретных систем с финитной длительностью переходного процесса, приводит к снижению их устойчивости [2], а это приводит к уменьшению диапазона входного сигнала, а значит, и к снижению точности АЦП.

Устойчивое функционирование 2 Д-модулятора обеспечивается при условии ограничения амплитуды входного сигнала тем большего, чем выше порядок 2 Д-модулятора. Причем граница устойчивой работы 2 Д-АЦП зависит от отношения шага дискретизации к постоянной времени интеграторов [2]. По мере уменьшения шага дискретизации по отношению к постоянной времени граница устойчивости приближается к пределу диапазона входного сигнала. Однако при этом длительность переходного процесса в 2 Д-модуляторе увеличивается и он становится не финитным, а экспоненциально затухающим.

С целью нахождения предельных значений коэффициентов обратной связи 2 Д-модуляторов высоких порядков, обеспечивающих максимальновозможный диапазон преобразуемого сигнала, целесообразно определить область их значений, соответствующую устойчивому режиму автоколебаний при нулевом входном сигнале.

1. Методика проектирования Ъ Л-модуляторов высоких порядков по критерию устойчивости

Сложность описания динамических процессов в Ъ Д-модуляторах связана с нелинейным преобразованием информации в однобитном квантователе. На практике чаще всего данная проблема решается методом имитационного моделирования с использованием известных алгоритмов оптимизации динамических процессов в многомерном пространстве дискретного времени. Формально задача сводится к решению систем нелинейных уравнений высокого порядка. На этом этапе необходимо аналитически записать уравнения состояний инерционных звеньев-интеграторов Ъ Д-модулятора, относящихся к преобразователям информации (ПИ) замкнутой структуры. Для решения этой задачи целесообразно использовать графо-аналитический метод [3].

Рассмотрим основные элементы и процедуры моделирования, необходимые для построения графа и перехода к системе нелинейных уравнений, описывающих динамические процессы в Ъ Д-модуляторе.

Если предположить, что в каждом цикле преобразования входная величина Xo не изменяется, то в дискретной модели состояние интеграторов может

быть задано в дискретные моменты времени, совпадающие с шагом дискрети-

зации импульсного элемента (АЦП) и описывается разностным уравнением:

Uk[n] = ^[п-1] + ^[пЧ] ,

где Цад - напряжение на выходе ^го интегратора в момент времени tn = пТд

Т д

(Тд - шаг дискретизации, п - номер шага); е = —=- - относительная постоян-д т

ная времени интегратора; Х[п-1] - напряжение на входе интегратора на

предыдущем шаге дискретизации.

Переходя от итерационного уравнения к операторной форме, получим

Uk = Ukz-1 + X-1.

Это позволяет каждый интегратор заменить сумматором, который можно представить в виде графа, изображенного на рис. 1.

-1

2

О-

X о----------------------------------КЗ и

Рис. 1

В этом случае математическая модель Ъ Д-модулятора первого порядка в виде графа будет иметь вид, приведенный на рис. 2, где операция fd - дискретизация и формирование импульсов обратной связи, которая описывается выражением

У ({) =

1 Є (Тд(и—1); Тд(и)) 1[и] '

= щ иі.

Для Ъ Д-модулятора с однобитной обратной связью выражение (3) примет следующий вид:

У(і) =

І Є

(ТД(„_1);Гд(„)) = и0§18П(иі[и] )•

-1

X О

Рис. 2

Такой подход позволяет достаточно просто перейти от функциональной схемы ПИ с нелинейной обратной связью к соответствующему графу и системе разностных уравнений, описывающих динамические процессы в дискретном пространстве времени. Соответствующий переход от непрерывной модели ПИ к дискретной представлен в табл. 1.

Особенностью этих структур является то, что реакция на входной сигнал «распространяется» по всей цепочке инерционных звеньев в прямой цепи преобразования. Это относится и к сигналам в цепи обратной связи.

Поясним на конкретном примере. Цепочка из к интеграторов, имеющих одинаковые постоянные времени т, реагирует на входное ступенчатое воздействие Х0 в виде монотонно нарастающей функции, которая описывается параболой к-го порядка:

ик (І) =

гх0

к!тк

Таблица 1

Непрерывная модель

Дискретная модель

1

-і

X

о-н

I

и і

Хп

о-

2

и1

, Тдп

+ — [ X (І )Л

Т >

1 Т

Х12 1

и1п = и1п-1 +А1Xп—1, где \ = Тд / т1

Тд

X(І) СИ

и ко

I — I

и 2(0

и 2(ТдП) = и 2(Тд (п-1)) +——х Т1Т2

Тд

—1))

где ^2 = Тд / Т2

2

2

Окончание табл. 1

х (О СН

и 1(0

I — I — I

и2(0

и з(0

и3(Гдп) - и3(Тд (п-1)) +

+—1— [ [[ X (О с13/ +

Т1Т2 Тз •> •>

Тд

Тд

, (Тд^ и +:ди

+ 2т2т3 и1

^1X2^3^ /6

и3п - и3п-1 +^3и2и-1 +_2Г3и1»-1 +

+ ^2^3 Хп-1, где А3 - Тд / Т3 6 3 д 3

1

2

Следовательно, в конце цикла преобразования ? - Тд, и каждый из интеграторов находится в состоянии

иед-^.

Используя принцип суперпозиции, для следующего такта преобразования можно воспользоваться уравнением (6), если допустить, что каждый из интеграторов имеет ненулевое начальное состояние, равное конечному состоянию предыдущего такта. Рассматривая Х0 как входной сигнал, приложенный к первому интегратору или сигнал обратной связи, приложенный к соответствующему интегратору, и учитывая масштабные коэффициенты обратной связи Хь Х2, ..., Хк, можно получить систему разностных уравнений в общем виде:

и1[»] - и1[п-1] + еХ[п-1] - еХ1иОС[п-1],

е2 е2

8 8

и2[п] - и2[п-1] + 8и1[п-1] - 8Х2иОС[п-1] - ^Х1иОС[п-1] + ^Х[п-1>

^

- 82 ек-

ик[п] - ик[п-1] + 8ик-1[п-1] + -2!ик-2[п-1] + ... + (к-1)! и1[п-1] -

8к-1 ек 8к

-8^киОС[п-1] -- (к - 1)! Хк-1иОС[п-1] - ... - Х1 к!иОС[п-1] + к!Х[п-1].

Поскольку Е Д-модулятор является замкнутой нелинейной системой, функциональная связь между сигналом обратной связи и сигналом с выхода к-го интегратора определяется в зависимости от вида нелинейности, следова-

тельно, система из k-уравнений (7) должна быть дополнена следующим уравнением:

—ОС[n-1] = и0 • sign

В работе [4] показано, что при нулевом входном сигнале £ Д-модулятор k-го порядка может находиться в устойчивом автоколебательном состоянии с периодом колебаний, равном 2k тактам. Особенностью этих периодических колебаний является то, что знаки в однобитной последовательности выходного сигнала Y[n] в течение периода чередуются аналогично знакам коэффициентов полинома вида

^ *•)к _1

(1 - z) • (1 _ z2) • ... • (1 - z2 ) =

= 1 _z-z2 + z3 -z4 + z5 + z6 -z7 -z8 + ...

Закономерность (9) позволяет для нулевого входного сигнала определить область значений коэффициентов X, приведенных в табл. 2, которые соответствуют устойчивому режиму работы £ Д-модулятора.

Таблица 2

Знаки коэффициентов at полинома: Pk(z) = (1 -z)• (1 -z2)• ... • (1 -z2 )=1 - z1 - z2 +...+ az' ...

к Y' = sign

о II II <N II II ^t- II «1 II О II t- II 00 II OS II о II II <N II II ^t- II «1 II

1 + -

2 + - - +

3 + - - + - + + -

4 + - - + - + + - - + + - + - - +

При этом выходной сигнал Yk[n] однобитного £ Д-модулятора k-го порядка в режиме преобразования сигналов малого уровня описывается уравнением

Yk [n + 1] = sign (e^ [n] + e2 B2[n] + ... + ekBk [n]),

Тдп Тдп Тдп

где B1[n] = J Y(t)dt, B2[n] = % j j Y(t)d2t, ..., Bk[n]=^0 j ...{Y(t)dkt -

T 0 T 0 T 0 к реакции интеграторов по k-й цепи обратной связи; —0 - амплитуда импульсов обратной связи; т - постоянная времени интеграторов; e1,e2, ... ek - коэффициенты обратной связи.

Данный метод может быть использован и в более сложных случаях нелинейной функции обратной связи, однако нужно учитывать, что если информативный параметр сигнала обратной связи не амплитуда, а время (ШИМ-сигнал), частота, фаза, то реакция интеграторов на сигнал обратной связи будет описываться нелинейной функцией, одним из параметров кото-

рой будет информативная составляющая сигнала (время, фаза). Например, если информативным параметром сигнала обратной связи является длительность импульса при неизменной амплитуде, то реакция интеграторов на такой сигнал будет нелинейной функцией (начиная со второго интегратора). В этом случае каждый коэффициент обратной связи Х2, •••, ^ будет функ-

ционально связан с амплитудным значением выходного сигнала [5, 6]. Это количественно усложняет граф и систему уравнений, однако качественно не меняет подход, позволяя моделировать любые нелинейности, а также любые прямые и обратные связи в цепи преобразования [1].

2. Проектирование Ъ Л-модулятора третьего порядка

Рассмотрим предлагаемую методику проектирования по критерию устойчивости на примере Ъ Д-модулятора третьего порядка.

На основе графо-аналитического метода составим систему уравнений, описывающую состояния интеграторов Ъ Д-модулятора. Математическая модель Ъ Д-модулятора третьего порядка в виде графа приведена на рис. 3.

—4z 1

В соответствии с графом система уравнений для выходных напряжений интеграторов имеет вид

U1n ~ U1n_1 + —1Xn-1 ^ -4Yn-1,

и* = и2„_, + M/1n_, + ^ X„_, + (-5 + ^Vb

-2-3 -,-2-3

‘ и3п = U3n-1 + -3U2n_1 + “2Т-U1n-1 + —6— Xn-1 +

2 6

( —2—3 —1 —2—3^

+ ^ X3 ♦ ^ ♦ -Ш j Yn_1,

Yn = sign (U3n ).

Масштаб преобразования Ъ Д-модулятора определяется отношением У / X =^4 / ^ = т-1 / . Зададим значение масштаба равным единице, тогда

Т} =14. Масштаб преобразования для первой петли обратной связи равен е\ = ^2^3^4 , для второй ^2 = ^3^5 и для третьей 63 = ^6 . С учетом этого система уравнений модулятора принимает вид

= и1п -1 + е1 {Хп -1 + Уп-1 ^

и2п = и2 п-1 + и1п -1 + е2Уп -1 + ет {Хп -1 + Уп -1 ^

2 е

и3п = и3п-1 + и2п-1 + е3Уп-1 + “ (и1п-1 + е2Уп-1 ) + “Т (Хп-1 + Уп-1 ),

2 6

Уп = (и3п).

Соответствующая БгшыПпк-модель Ъ Д-модулятора представлена на рис. 4.

их и2 из

Рис. 4

Выходное напряжение Ъ Д-модулятора третьего порядка описывается выражением

и3п = Аге3 + Впе2 + Спе1 + и0 ,

а рассчитанные значения реакций интеграторов по к-й цепи обратной связи при условии т = Тд приведены в табл. 3.

Таблица 3

п = 1 п = 2 п = 3 п = 4 п = 5 п = 6 п = 7 п = 8

Ап 1 0 -1 0 1 0 -1 0

Вп 1/2 1 1/2 0 -1/2 -1 -1/2 0

Сп 1/6 1 11/6 2 11/6 1 1/6 0

Для расчета устойчивости Ъ Д-модулятора определим область значений еі, е2, е3. В соответствии с (11) составим систему неравенств состояния интегратора изп при условии, что его начальное состояние изо > 0:

изі < 0; и32 < 0, и зз > 0, и34 < 0, и35 > 0, из6 > 0, и37 < 0.

Примем, что ию = 0, и20 = 0, и30 = с, где с ^ 0, и рассчитаем значения

и31, и32,..., и3-7 согласно системе уравнений (11). Сделав подстановку

в (12), получаем систему неравенств относительно коэффициентов е1, е2, е3:

'и0 > 0,

1/ 6е1 + 1/ 2е2 + е^ + и0 < 0,

е1 + е2 + и0 < 0,

11/ 6е1 + 1 / 2е2 + е^ + и0 > 0,

I I 2 3 0

2е1 + и0 < 0,

11/ 6е1 -1/ 2е2 - е3 + и0 > 0,

е1 - е3 + и0 > 0

1/6е1 - 1/2е2 + е3 + и0 < 0.

Упрощая систему неравенств (13), получим

'11/ 6е1 + 1 / 2е2 > е^,

I 1 2

1е1 > е3.

Система неравенств (13) позволяет ограничить область поиска оптимальных значений коэффициентов е1, е2, е3 по критерию минимума среднеквадратического отклонения (СКО) шума квантования с учетом интервалов допусковых отклонений и тем самым существенно уменьшить объем численного моделирования.

Зададим диапазон изменения входного сигнала в интервале ±0,5иос и рассчитаем значения е, из области значений, ограниченных системой неравенств (14), которые соответствуют устойчивому режиму работы модулятора. На рис. 5 приведены результаты численного расчета коэффициентов е1 и е2 при условии, что е3= 1. Двумя прямыми ограничена область допустимых значений коэффициентов е согласно полученным неравенствам (12). Затемненная область соответствует неустойчивому режиму работы модулятора.

Как видно, подмножество значений коэффициентов е1, е2, е3, соответствующих устойчивой динамике переходных процессов для диапазона входного сигнала ±0,5^, совпадает с множеством значений е1, е2, е3 для нулевого входного сигнала.

Зададим интервалы отклонений значений е1, е2, е3 (±0,01) и найдем оптимальные значения коэффициентов е1, е2, е3 по критерию минимума СКО шума квантования. В качестве цифрового фильтра-дециматора будем использовать цифровой фильтр со сплайновой весовой функцией третьего порядка [7]. Результат расчета приведен на рис. 6.

Последним этапом проектирования является решение задачи оптимизации динамического диапазона выходных сигналов интеграторов путем изменения значений постоянных времени Т1, Т2, Т3, Т4, Т5, Т5 . Критерием оптимизации будет условие, что динамические диапазоны изменения выходных сигналов интеграторов равны друг другу. Эта задача решается путем анализа работы ЗШпИпк-модели для заданного диапазона входных сигналов из условия,

что максимальные напряжения на выходах интеграторов равны друг другу и не превышают напряжение питания.

Л V ] -Л 4» Ив ІІІ

^Д1 | \ ІІЩМ

АН   !№

—\ 4М |\  1 1 ІНШІ ш

\

*1 1  вшИ

ШИИннинмкапш »а

ппгмиммяпппппппп

«кпппппппппп

иппппппппппп

[ШИИШСПЕШОПП

впппшпшсхш

1ІІИПІИШПППІХПШ

ппппгяиилппппппппппппп

пн

и

Рис. 5

Для описания динамики состояний интеграторов по функциональной схеме (рис. 4) составим Бітиїіпк-модель модулятора (рис. 7).

Упрощенная принципиальная схема модулятора (рис. 8) содержит цепочку инвертирующих ЛС-интеграторов, компаратор (К), генератор импульсов (О), ^-триггер, аналоговые ключи Кл1, Кл2 и источник опорного напряжения (±и).

ЛС-параметры схемы модулятора и параметры т , X Бітиїіпк-модели связаны следующими соотношениями:

Л1С1 = т1, Л2С1 = т2 , Л3С2 = т3 , Л4С2 = т4 , Л5С3 = т5 , Л6С3 = т6 ;

Лі С

Тд

1М

Л2С

-2^2

Тд_

Л3С3

Т

• Х — д

; Хл — *

Л4С1

; Х5 —

4М

Тд

Л5С2

; Х6 — -

Тд

Л6С3

*1/ /2 3,95 6,9 9,85 12,8 15,7 18,7 21,6 24,6 27,5 30,5 33,4 36,4 39,3 42,3 45,2 48,2 51,1 54,1 57,0 60

6

6,3

6,6

6,9

7,2

7,5

7,8

8,1

8,4

г ч е1 = 0,103 ± 0,01 е2 = 0,364 ± 0,01

8,7

9 С КО = 4 • 10 >

9,3 / /

9,6 / /

9,9 /

10,2 . Я _

10,5 1

10,8

11,1

11,4

11,7

12

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Система уравнений для выходных напряжений интеграторов модулятора принимает вид

и1п — Т1п-1

ад

тд

Я4Сі

д X д V и

хп -1 тгтт їп -1и.

и2п - и2п-1 --^иХп-1 +

2 п- 2 п -1

и3п — и3п-1

(

К2С2

-Хп-1 -

тд

т (т )2

—д— и2п-1 ^---------- ------иь-1-----------4 ^'--------хп-1 -

Т) (-Л -II I ^ Т) Т) П П 41 1 £*1) 1) 1) Г' Г' Г'

К3С3 2К2кЗс2сЗ ЬК1К2К3С1С2С3

ЩС2 2^2^4С1С2

(Тд )3

Тд

Л

*6С3 2^3^5С2С3 6^2^3 ^4С1С2С3

^п-Т.

7п — (и3п ).

Заключение

Таким образом, предлагаемая методика проектирования Е Д-модуляторов высоких порядков по критерию устойчивости предполагает выполнение следующих этапов:

1. Запись системы нелинейных уравнений на основе графоаналитического метода, описывающих состояние интеграторов 2 Д-модуляторов в дискретные моменты времени.

2. Задание начальных условий интеграторов, входных тестовых сигналов, количества циклов преобразования.

3. Аналитическое решение систем неравенств для нулевого входного сигнала и определение границы области допустимых значений коэффициентов обратной связи.

4. Проведение численных расчетов коэффициентов обратной связи в области их допустимых значений для заданных тестовых входных сигналов с целью исключения значения коэффициентов, при которых на заданном множестве циклов преобразования наблюдается неустойчивая динамика модулятора.

5. Нахождение области оптимальных значений коэффициентов обратной связи по минимуму СКО шума квантования с учетом интервалов их отклонений.

6. Анализ работы Simulink-модели с целью оптимизации постоянных времени интеграторов по критерию обеспечения максимального динамического диапазона их выходных сигналов.

7. Разработка Simulink-модели и функциональной схемы 2 Д-моду-лятора.

Список литературы

1. Ашанин, В. Н. 2Д-аналого-цифровые преобразователи: основы теории и проектирование / В. Н. Ашанин, Б. В. Чувыкин, Э. К. Шахов. - Пенза : Информационно-издательский центр ПГУ, 2009. - 188 с.

2. Ашанин, В. Н. 2Д-АЦП: анализ погрешности от краевых эффектов /

B. Н. Ашанин, Б. В. Чувыкин, Э. К. Шахов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2007. - № 3. - С. 80-90.

3. Чувыкин, Б. В. Графо-аналитический метод моделирования 2 Д-преобразова-телей информации замкнутой структуры / Б. В. Чувыкин, А. В. Селезнев, Р. Г. Тер-Аракелян // Перспективные информационные технологии для авиации и космоса (ПИТ-2010) : труды Международной конференции. - Самара, 2010. -

C. 60-65.

4. Сидорова, И. А. Анализ флуктуационных шумов квантования 2 Д-АЦП / И. А. Сидорова, И. А. Долгова, Р. Г. Тер-Аракелян // Наука и современность -2011 : труды XI Международной научно-практической конференции. - Новосибирск, 2011. - С. 132-135.

5. Ашанин, В. Н. Синтез 2Д-модулятора с многоуровневым ЦАП на основе широтно-импульсной модуляции сигнала / В. Н. Ашанин, Б. В. Чувыкин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2010. -№ 4 (16). - С. 97-105.

6. Ашанин, В. Н. Синтез 2Д-АЦП с многоуровневым ЦАП на основе широтноимпульсного модулятора / В. Н. Ашанин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2011. - № 1 (15). - С. 132-137.

7. Schreier, R. An Empirical Study of High-Order Single-Bit Delta-Sigma Modulators / R. Schreier// IEEE Transaction on Circuits and Systems-II. - 1993. - V. 40, № 8. -P. 461-466.

Ашанин Василий Николаевич

кандидат технических наук, профессор, заведующий кафедрой электротехники и транспортного электрооборудования, Пензенский государственный университет

E-mail: eltech@pnzgu.ru

Чувыкин Борис Викторович

доктор технических наук, профессор, кафедра информационных вычислительных систем, Пензенский государственный университет

E-mail: Chuvykin_BV@mail.ru

Тер-Аракелян Руслан Геворкович

аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: rt-a@mail.ru

Ashanin Vasily Nikolaevich Candidate of engineering sciences, professor, head of sub-department of electrical engineering and transport electrical equipment, Penza State University

Chuvykin Boris Viktorovich Doctor of engineering sciences, professor, sub-department of information-computing systems, Penza State University

Ter-Arakelyan Ruslan Gevorkovich

Postgraduate student,

Penza State University

УДК 621.3.087.92 Ашанин, В. H.

Оптимизация проектирования Z Д-модуляторов высоких порядков по критерию устойчивости I В. H. Ашанин, Б. В. Чувыкин, Р. Г. Тер-Аракелян II Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2011. - № 4 (20). - С. 167-179.