Адаптивно-рациональное моделирование биномиального рынка

АДАПТИВНО-РАЦИОНАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БИНОМИАЛЬНОГО РЫНКА

В.И. Тинякова

Предлагается адаптивно-рациональная модель прогнозирования стоимости финансовых активов в условиях биномиального рынка. В ее прогнозных траекториях находят отражение закономерности прошлого и субъективные ожидания будущего. Качество модели оценивается коэффициентом экстраполяционной детерминации.

Ключевые слова: адаптивно-рациональное моделирование, модель биномиального рынка, коэффициент экстраполяционной детерминации.

Модель Кокса - Росса - Рубинштейна [1], предложенная в 1979 г., продолжает занимать важное место в современной теории и практике финансовых производных инструментов. С ее помощью удается получить полное описание стратегии риск-нейтраль-ного управления для опциона покупателя, рассчитать величину «безарбитражной цены», определить стоимость страхового полиса на контракт «чистого дожития», а также ряда других финансовых характеристик. Практическое использование этой модели предусматривает обязательное прогнозирование стоимости акций или других платежных обязательств, являющихся базовыми для расчета цены опционов.

Теоретически данный вопрос решен введением мартингалов. Но для этого пришлось согласиться с основными постулатами теории эффективного рынка, которые предусматривают построение чрезмерно абстрактных конструкций. В рамках таких конструкций не всегда удается построить модели, которые обеспечивают получение результатов, тесно коррелирующих с реальностью рынка.

Несмотря на широко распространенную точку зрения: «Рынок предсказать нельзя», вопрос прогнозирования при рассмотрении инвестиционных задач на финансовом рынке продолжает оставаться первостепенным [2-4]. Решение этого вопроса связывают с возможностью более эффективно управлять рисками. К сожалению, реализация данной возможности не всегда обеспечивает получение ожидаемого результата. «Нащупанные»

тренды ломаются, надежные акции приносят убытки, прибыльные стратегии становятся убыточными. Зато в тех случаях, когда прогноз правильно ориентирует наши упреждающие решения, получаемый эффект не только обеспечивает рост капитала, но и все-

ляет уверенность в том, что случаи достижения планируемых результатов будут доминировать в наших ожиданиях.

В условиях неопределенности, которая неизбежна в ситуациях, когда результаты ожидаемых решений отнесены в будущее, для поддержания инвестиционной активности разработаны технологии построения специальных стратегий хеджирования, обеспечивающих определенные гарантии инвесторам. Реальность таких стратегий рождает у непосвященных мнение о бесполезности прогнозов. Без сомнения, это ошибочное мнение.

Предлагаемая ниже адаптивно-рациональная модель биномиального рынка показывает, каким образом при сохранении основных предпосылок биномиального рынка можно во всех расчетных схемах использовать прогнозные оценки. Кроме того, появляется возможность измерения адекватности построенной модели реальному рыночному процессу. Этот вопрос не рассматривается при описании биномиальной модели Кокса -Росса - Рубинштейна, но в попытках практического ее использования интерес к нему резко возрастает. С позиций эконометрики, например, модель, не адекватно отражающая моделируемый процесс, не может быть использована в практических расчетах.

На формальном уровне биномиальная модель в некотором смысле представляет собой аналог известной в теории вероятностей схемы Бернулли. Она строится в предположении, что на рынке финансовые операции осуществляются с банковским счетом В = (Вп )я>0 и одной акцией, цену которой будем обозначать ^ = (£и)и>0 . Такой рынок принято называть биномиальным и обозначать (В,«)-рынок [5].

Эволюцию цен на (В,«)-рынке описывают с помощью уравнений:

Вп = (1 + гп )Б„_1

5п = (1 + рп )5п_1

или, что тоже самое.

АБп = ГпВп_1 ^п = Рп5п_1

с В0 > 0 и 50 > 0 .

В биномиальной модели (В,«)-рынка Кокса - Росса - Рубинштейна («СЯЯ-моде-ли») предполагается, что банковская ставка

гп не измена. т. е.

гп = г = Сотґ.

а доходность акции р = (рп )п> представляет собой бернуллиевскую последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин р1, р2,..., принимающих два значения

ГЬ.

Рп =

а < Ь.

с вероятностями р = Р(рп = Ь) и

q = Р(рп = а). соответственно.

Модель позволяет определять стоимость акций в случае дискретного ее изменения

$п = 5, П (і+р* );

к <п

и в случае непрерывного изменения

где hk = 1п(1 + Рk).

В простейшем случае однопериодного рынка для финансовых инструментов «европейского типа» на основе альтернативных значений стоимости актива удается рассчи-

тать «цену минимального хеджирования» и с ее помощью определить справедливую цену опциона.

С позиций более строгого математического изложения рассматривается вероятностное пространство (й, F,(Fn ),Р), где

й = (a,Ь) - пространство элементарных событий, F - множество всех подмножеств, которые на отрезке времени, в течении которого проводились торги, могли быть сформированы из элементов й таким образом, что на i -м месте располагается либо a, либо Ь , Fn - информационный поток F0 = {0,0} с F1 с ••• с Fn , формируемый в каждом конкретном случае и называемый обычно фильтрацией, Р - вероятностная мера, определяемая бернуллиевской вероятностью р.

Понятно, что предположение относительно вероятностной меры обеспечивает простоту преобразований и расчетных схем, проводимых в рамках биномиальной модели. Благодаря этим упрощениям получена классическая формула Кокса - Росса - Рубинштейна, обеспечивающая расчет стоимости опциона в самом общем случае

С = «B

где B

k = ]

Т _к

Р =

1 + Ь

1 + а

Р . Р =

7 _ а

Ь _ а

к0 =

1п-

К

-/1п

1 + Ь

50(1 + а) 1 + а

+1

(квадратные скобки в данном выражении обозначают целую часть); К - цена, по которой эмитент опциона обязан продать акции;

7

- безрисковая процентная ставка.

Те упрощения, которые использовались при выводе классической формулы, хотя и не вносят искажения в описание механизма торгов, но снижают возможность адекватного отражения реальности. Поэтому вопрос о том, какова вероятностная мера Р, как в каждом конкретном случае следует определять значения р = Р(рп = Ь) и д = Р(рп = а), явля-

а

ется актуальным и далеко не простым. В [5] указывается на возможность более реалистичного предположения, смысл которого в том, что на (й,Б) должна быть задана не одна вероятностная мера Р, а целое семейство вероятностных мер {Р}, для которых соответствующие значения р = Р(рп = Ь) лежат в интервале (0,1). Фактически поднимается вопрос о возможном существовании временной структуры вероятностных мер, т. е. с течением времени происходит изменение вероятностей р = Р(рп = Ь).

Затрагивая вопрос о реализации адаптивно-рационального подхода при построении биномиальной модели, хотелось бы обратить внимание на то обстоятельство, что описание эволюции цен с помощью всего двух значений а и Ь практически исключает возможность адекватного моделирования. Намного реалистичней предполагать, что рп может находиться на двух уровнях: высоком и низком. Под высоким уровнем подразумеваются такие значения рп , при которых акция приносит доход, а под низким, естественно, убытки. Но само рп не фиксировано и принимает любые значения из множества [а, Ь]. Эти предположения более естественны и будут нами использованы в дальнейшем.

Реализацию адаптивно-рационального

подхода, основные идеи которого изложены в [6-7], начнем с выяснения, какие переменные биномиального рынка имеет смысл описывать с помощью этой модели. Понятно, что банковский счет В = (Вп )п>0, имея детерминированную динамику, описываемую уравнением (1), без труда определяется в любой момент времени и поэтому не представляет интереса для моделирования.

Иная ситуация с ценой акции, которая в соответствии с (2) является случайной величиной, и поэтому для любого упреждающего момента времени корректно говорить только

о прогнозной оценке. В принципе можно предложить несколько прогнозных моделей

[8], обеспечивающих получение таких оценок с некоторым уровнем надежности. Однако перед нами стоит совсем другая задача. Требуется построить адаптивный вариант СЯЯ-модели, в котором нашла бы отражение альтернативная динамика стоимости акций, с вероятностным законом распределения аль-

тернативных вариантов. Причем рациональные суждения об ожидаемом характере динамики рынка учитываются в прогнозной оценке именно через этот вероятностный закон. Механизм этой взаимосвязи будет изложен ниже.

По замыслу, адаптивно-рациональный подход для своей реализации требует исторических данных, которые заведомо не содержат альтернативные варианты, и следовательно, вопрос о возможной их идентификации требует специального исследования. Прежде всего, следует обратить внимание на то обстоятельство, что будущее в отличие от прошлого всегда многовариантно и в силу этого несет в себе неопределенность. Однако в каждом моменте прошлого находит отражение только один из вариантов возможных альтернатив, которые имели место до наступления этого момента. Следовательно, альтернативные варианты будущего рождаются из вариантов, распределенных случайным образом по всему горизонту прошлого. Это требует применения специальных приемов при построении адаптивно-рациональной модели, отражающей альтернативность моделируемого процесса.

В биномиальной модели рассматривается всего два варианта стоимости, по которой торгуются акции. Естественная альтернативность будущего значительно богаче, однако многие расчеты, проводимые с помощью СЯЯ-модели, ориентированы именно на двухуровневое представление цены. Поэтому данный момент должен найти отражение в ниже рассматриваемой модели. Мы не будем стремиться к установлению фиксированных уровней, но в соответствии с теми колебаниями цен, которые имеют место на рынке ценных бумаг, будем предполагать, что стоимость акции в каждый момент времени находиться на высоком или низком уровне. Понимание того, какой уровень следует считать высоким, а какой низким, формируется в процессе построения модели и основано на результатах сравнения с условно средним значением.

Для реализации адаптивно-рациональной модели предлагается другой механизм описания биномиального рынка. Суть идеи заключается в том, что наблюдаемые стоимости финансового актива в каждый конкретный момент интерпретируются как отклоне-

ния от тенденции, которой следует цена данного актива. Реализация этой идеи предусматривает построение двух экстраполяционных моделей, одна из которых отражает общую тенденцию цены, а вторая - отклонения от тенденции, наблюдаемые в каждый момент времени.

У второй модели потенциал точности прогнозных расчетов выше, чем у первой. Данное положение относится к основным в реализуемом подходе. По сути, это то положение, на основе которого формируется новый взгляд на возможность описания механизма функционирования биномиального рынка. Отображение этого механизма осуществляется благодаря тому, что вторая модель имеет адаптивный механизм, с помощью которого корректируются прогнозные оценки первой модели, уточняя их для текущего момента времени.

Таким образом, в данном подходе под альтернативностью понимается отклонение цены от тренда. В тех случаях, когда удается построить модель тренда требуемой точности, такое понимание альтернативности упрощает рассмотрение многих задач, решаемых в рамках биномиального рынка. Трудно сказать, какой из подходов предпочтительней: классический или предлагаемый. Между ними есть принципиальное различие. Классический подход ориентирован на воспроизведение механизма торгов с учетом усреднения тех случайностей, которые имеют место в этом процессе. Предлагаемый подход реализует эконометрическую схему расчетов, позволяющую строить выводы на прогнозных оценках.

Естественно, совпадение результатов моделирования по классической схеме и предлагаемой может быть только случайным. Сами результаты, по нашему мнению, могут быть востребованы различными участниками рынка. Те, кто определяет расчетную стоимость опционов в качестве инструмента, скорее всего, предпочтут формулы классического подхода. К ним уже привыкли, они себя зарекомендовали как инструмент, используемый именно для этих целей. В то же время те, кто ставит перед собой цель заработать на опционах, вполне могут предпочесть результаты моделирования, полученные с помощью второго подхода. Именно в этих

результатах концентрируется упреждающая информация об ожидаемой динамике рынка.

Формальное изложение модели проведем, ориентируясь на математический стиль в обозначениях. Это позволяет достичь высокого уровня универсальности модели, легко адаптируемого к любым конкретным ситуациям, в т. ч. и к ситуации биномиального рынка.

Финишное уравнение, используемое для получения прогнозной оценки, выглядит как обычное регрессионное уравнение:

Л+1 = хмЬ»/

где у(+1 - прогнозная оценка моделируемого показателя, в качестве которого в нашей ситуации может использоваться доходность или стоимость актива; х(+1 - расширенный вектор объясняющих переменных, в качестве которых чаще всего используются запаздывающие значения зависимой переменной либо текущие значения индекса; Ь (/ (+1 - оценка вектора параметров прогнозной модели.

Построение модели фактически сводится

к оценке вектора параметров Ь (/ (+1, в котором концентрируется информация исторического характера и упреждающая информация рационального характера. Чтобы понять, каким образом получается такая оценка, подробно опишем всю последовательность процедур, используемых в расчетах.

Для каждого момента времени строится две модели: модель, описывающая основную тенденцию моделируемого показателя, и модель, с помощью которой рассчитываются отклонения от основной тенденции.

В начале оцениваются параметры модели основной тенденции. Это осуществляется с помощью метода наименьших квадратов в скользящем режиме

Ь

Скользящий режим позволяет получить дополнительную информацию, которая необходима для построения логит-модели, а также для вычисления значений специальных критериев, с помощью которых оценивается уровень надежности прогнозных расчетов.

В процессе получения текущих оценок (10) матрица системы нормальных уравнений и правая часть досчитываются для каждого ( по рекуррентной схеме

х; Х

х;у

Построенная для данного момента времени модель позволяет получать расчетные у( и прогнозные у(+1 значения

У

+1 = X+1Ь

расчет экстраполяционных индексов корреляции. Более подробное описание этих индексов будет приведено ниже.

Вектор параметров финишной модели

(9) оценивается с помощью обычной формулы метода наименьших квадратов

Ь

в которой матрица системы нормальных

уравнений и правая часть этой системы

сформированы специальным образом:

х;х

х; ~ =а*х; У

с помощью которых формируются вспомогательные величины, необходимые для построения адаптивной модели и решения вопроса, связанного с формированием экспертно-аналитической оценки.

Вычисляются отклонения

4х = у - У

ДУ

с помощью которых формируется текущее среднее значение абсолютного отклонения

Д~ = Д~-1 +1 |ду|,

используемого в адаптивной модели, и сумма квадратов прогнозных ошибок

<^2+1 =<^2 +

Кроме того, вычисляется текущее среднее

— — ( —11 /1П\

у = у«~+

и квадрат отклонения текущего среднего от упреждающего фактического значения

•+1 = +

Накапливаемые суммы квадратов (18), (20) необходимы для того, чтобы провести

г> *

Здесь а - параметр сглаживания, настраиваемый обычным образом, как это принято в адаптивных моделях [2]. С помощью этого параметра снижается значимость исторических данных в оцениваемом параметре.

Кроме того, в оцениваемый параметр включается информация о возможном состоянии рынка в ближайшем будущем. Это осуществляется благодаря рациональным ожиданиям и технически реализуется следующим образом:

~ = У

Параметр у в режиме построения модели настраивается совместно с параметром а на оптимизацию прогнозной ошибки. С по*

мощью оптимального у отслеживаются ситуации, в которых происходит разворот тренда. Значения этого параметра заключены между нулем и единицей. Если у > 0,5 , то в прогнозном периоде сохраняется предшествующая ему тенденция, если же у < 0,5 , то тенденция изменяется на противоположную. В случае у = 0,5 краткосрочный прогноз совпадает с основной тенденцией.

В режиме прогнозирования параметр у, сохраняя свое назначение, в то же время имеет другую природу и другую интерпретацию. В этом режиме он представляет собой величину вероятности, с которой может сохраниться или измениться тенденция предшествующего периода. Рассчитывается она с помощью логит-модели [9]

у = р(^, а) =

і

1 + е

+1 = Л 0 + d1•Zí+1 ,

где - экспертно-аналитическая оценка, обычно выражаемая в баллах специальной шкалы; ё0, - параметры логит-модели.

Логит-модель нужна на финишном этапе. Для ее построения необходимо сформировать выборочное множество данных, в которых содержится требуемая информация. Формирование этих данных осуществляется в процессе построения адаптивной модели в соответствии с определенными правилами. Последовательность значений зависимой переменной определяется в соответствии с правилом

11, если у, > 0,5 [0, если у* < 0,5

Таким образом, переменная и, принимает значение равное 1, если стоимость актива возрастала и принимает значение равное 0, если наблюдалось снижение стоимости.

Формирование выборочной совокупности завершается построением факторной переменной, с помощью которой можно объяснить эффекты нестабильного поведения цены. Предлагаемая процедура может показаться чрезмерно искусственной, однако с ее помощью удается создать шкалу, уровни которой могут быть приняты за ориентиры, используемые при формировании альтернативного образа ожидаемой цены финансового актива.

В основу формирования этого фактора положим предположение о монотонной взаимосвязи его значений с отклонениями Ау = (у / 0,5 - 1)А~,, которые используются при оценке параметров адаптивной модели. Следуя логике конструирования переменной с выше указанными свойствами, проведем преобразования отклонений по следующей схеме.

Сначала нормируем отклонения по формуле

Д, =

Ду ДУ тіп

Дутах ДУ т

а затем проведем преобразование

2 =

где ^ - равномерно распределенная случайная величина с небольшим диапазоном возможных значений.

С помощью случайной величины удается получить эффект частичной рандомизации, который необходим для построения логит-модели. Смысл этого эффекта в том, что присутствующая согласованность в формировании зависимой (27) и независимой переменных (28) приводит к ситуации, когда система уравнений

1

) = 0,

получаемая дифференцированием логарифмической функции правдоподобия

1пЬ = £ [и, 1пБ

оказывается вырожденной. Частичная рандомизация позволяет во многих случаях избавиться от этого нежелательного эффекта. Но, к сожалению, как показывают вычислительные эксперименты, не во всех.

Кроме того, коэффициенты логит-модели, построенной с использованием данного приема, существенно зависят от конкретной серии имитационных экспериментов. Поэтому целесообразно проводить достаточно большое число серий (режим имитационных расчетов), отбраковывая те, в которых не удалось избежать эффекта вырожденности, и окончательным вариантом считать модель с усредненными коэффициентами. Построенная подобным образом модель обладает достаточно высоким уровнем стабильности и вполне может использоваться в дальнейших расчетах, связанных с уточнением прогнозных оценок.

Постоянный множитель в формуле (29) позволяет сформированную факторную переменную измерять в стобалльной шкале, в которой по замыслу должна формироваться экспертно-аналитическая оценка. В принципе, шкала не обязательно должна быть сто-

V

и, =

балльной. Возможны и другие варианты, например, десятибалльная. В компьютерной реализации модели предусмотрен вывод значения экспертно-аналитической оценки, при котором у = 0,5 . Знание этого разделяющего значения способствует повышению объективности экспертных оценок.

Создание такой шкалы является обязательным в тех случаях, когда есть намерения использовать модель в прогнозных расчетах. С ее помощью удается адаптировать экспертные оценки к реалиям рынка. Для этого проводится анализ ситуаций альтернативного поведения цен, которые имели место в прошлом. Результаты анализа соотносятся со значениями на построенной таким образом шкале, формируя у аналитиков представление о субъективных измерениях событий в зависимости от их возможного воздействия на рынок.

В завершении расчетов по построению прогнозной модели рассчитываются коэффициенты экстраполяционной детерминации. Расчет подобных коэффициентов возможен только в случае, когда оценивание модели осуществлялось последовательно, по мере поступления свежих данных. «Поступление свежих данных» в нашем случае является искусственным приемом, позволяющим для каждого момента определить свою модель и с помощью этой модели делать упреждающий расчет, для которого вычисляется прогнозная ошибка и происходит пополнение сумм квадратов (формулы (18), (20)), характеризующих прогнозную точность адаптивной модели и основной тенденции, соответственно.

Расчет коэффициентов экстраполяционной детерминации осуществляется по формуле обычного (интерполяционного) коэффициента детерминации, в котором интерполяционные суммы квадратов заменены на экстраполяционные. Таким образом, коэффициент экстраполяционной детерминации основной тенденции рассчитывается по формуле

= 1 --^-^------,

£(у,- у )2

г=1

а коэффициент детерминации адаптивной модели - по формуле

-2

Ва = 1 ---------------------------------------т-.

£( у, - у )2

г=1

Можно дать и содержательную интерпретацию этим коэффициентам. Величина коэффициента экстраполяционной детерминации показывает ту долю вариации прогнозируемого показателя, которая в среднем воспроизводится соответствующей прогнозной моделью.

В модели биномиального финансового рынка прогнозные оценки стоимости финансовых активов используются для расчета «цены минимального хеджирования». От точности прогнозных оценок зависит эффективность стратегии управления риском. В целом, предложенный подход повышает надежность всего комплекса расчетов, проводимых с использованием СЯЯ-модели.

1. Cox J.C., Ross R.A., Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach // Journal of Financial Economics. 1979. V. 7. № 3. P. 229-263.

2. Давнис В.В., Тинякова В.И. Адаптивные модели: анализ и прогноз в экономических системах. Воронеж, 2006.

3. Конюховский П.В. Моделирование стохастической динамики финансовых ресурсов. СПб., 2002.

4. Мельников А.В., Попова Н.В., Скорнякова В.С. Математические методы финансового анализа. М., 2006.

5. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М., 1998.

6. Тинякова В.И. Адаптивно-рациональное прогнозирование: сущность, этапы, модели переходных процессов // Вест. Ставропол. гос. ун-та. Ставрополь, 2006. № 44. С. 93-103.

7. Тинякова В.И. Адаптивно-рациональное прогнозирование в экономических системах: концептуальные идеи и модели реализации // Вест. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Экономика и управление. Воронеж, 2006. № 2. С. 286-296.

8. Давнис В.В., Тинякова В.И. Прогнозные модели экспертных предпочтений. Воронеж, 2005.

9. Green W.H. Econometric Analysis. N. Y., 2000.

Поступила в редакцию 16.06.2008 г.

Tinyakova V.I. Adaptive-rational modelling of the binomial market. The adaptive-rational model of forecasting of cost of financial assets under conditions of binomial market is offered. In its prediction trajectories the regularities of the past and subjective expectations of the future

find are reflected. The model quality is estimated by factor of extrapolational determination.

Key words: adaptive-rational modelling, model of the binomial market, factor of extrapolational determination.

ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ИННОВАЦИОННОГО ПРОЦЕССА ВНЕДРЕНИЯ СИСТЕМЫ ИНТЕГРИРОВАННОГО ОПЕРАТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ

А.А. Кинжалов

Представлен методический подход к инвестиционному анализу инновационного процесса внедрения системы интегрированного оперативного управления. Разработка методики осуществлялась на базе системного изучения затрат, связанных с реализацией инноваций данного вида, а также исследовании преимуществ, которые обеспечивает внедрение подобных систем.

Ключевые слова: инвестиционный анализ, инновационный процесс, система интегрированного оперативного управления.

Систему оперативного планирования на промышленном предприятии часто называют системой объемно-календарного планирования. Исследования, проведенные на предприятиях ОАО «Борхиммаш» (г. Борисог-лебск), ФГУП «Опытный завод «Тамбовап-парат» (г. Тамбов) и др., показали, что уровень развития объемного планирования находится на достаточно высоком уровне, а календарного - на крайне низком. Так, отсутствует моделирование графиков изготовления изделий, что не только значительно увеличивает длительность их изготовления, но и снижает достоверность расчетов при объемном планировании. Исправление данной ситуации возможно только при приме -нении автоматизированных систем оперативного планирования, т. к. огромное количество операций при изготовлении изделия не позволит осуществлять планирование вручную.

Управление предприятием на современном этапе невозможно представить без использования разработанных и проверенных временем программных продуктов. Для того, чтобы выбрать оптимальный программный продукт, необходимо определиться с целью совершенствования системы управления предприятием.

Для большинства отечественных предприятий данной целью, на наш взгляд, является осуществление комплексного планирования и диспетчирования процессов подго-

товки производства, основных и вспомогательных производственных процессов, а также материально-технического снабжения (включая обеспечение комплектацией).

Общеизвестно, что использование автоматизированных систем интегрированного оперативного планирования приводит к существенному сокращению длительностей производственных циклов.

Итак, предположим, что длительность производственного процесса при помощи использования системы интегрированного оперативного планирования сократилась на Дг = ,факт - гср (при использовании более современных систем управления предприятием будет получен тот же результат, т. к. комплекс алгоритмов для оперативно-календарного планирования сохраняется), где ,факт -

фактическая длительность цикла изготовления изделия без использования средств моделирования производственных процессов, ,ср - средняя длительность цикла изготовления изделия при использовании автоматизированных систем интегрированного оперативного планирования.

Очевидно, что внедрение на предприятии автоматизированной системы интегрированного оперативного управления окажет разное влияние на длительность производственных циклов разных изделий. В связи с этим для достаточно точной и в тоже время