Метод инверсии для численного расчета распределенных систем типа "плоскость-проводник"

Математическое моделирование: методы, алгоритмы, технологии

УДК 621.316.98: 22.193

А.Н. Потапенко, Е.А. Канунникова, Т.А. Потапенко

метод инверсии для численного расчета распределенных систем типа «плоскость-проводник»

В технике высоких напряжений встречается необходимость расчета электрических полей (ЭП) для высоковольтных линий электропередач переменного и постоянного токов [1], например, для систем молниезащит [2], для электростатических систем рассеивания тумана и аналогичных задач, которые сводятся к математическому моделированию распределенных систем типа «плоскости-проводники». Применительно для расчета ЭП в задачах, связанных с исследованиями молниеприемников стержневого вида систем молниезащит, используются различные методы, например, позволяющие аппроксимировать стержень (проводник) с помощью вытянутых полуэллипсоидов относительно поверхности земли [3], методы конечных элементов (МКЭ) [4], конечных разностей (МКР) [5] и др. Численные методы позволяют определять ЭП для объектов различной конфигурации с расположенными на них или вблизи молниеприемниками и др. Следует отметить, что МКР в отличие от МКЭ позволяет увеличить точность расчетов для различных типов угловых зон исследуемых объектов [6] с учетом применения алгоритма Брезенхэма, что особенно важно при расчетах напряженности поля для различного типа краевых эффектов.

В последние годы предлагаются новые методы решения подобных задач, относящихся к внешним краевым задачам, т. к. при их численном решении имеются дополнительные сложности, связанные с необходимостью задания граничных условий на бесконечности, а не на введенной внешней границе исследуемой области. Главное требование, предъявляемое к искусственным границам расчетной области, состоит в том, чтобы решение задачи в ограниченной области аппроксимировало решение исходной задачи в неограни-

ченной области. Среди этих методов можно отметить метод инверсии для полубезграничных сред (МИПБС), используемый, например, для исследования особенностей систем молниезащит [7], также принятый за основу и в данной работе.

Постановка задачи

Рассмотрим особенности схемы моделирования, показанной на рис. 1, включающей стержень Г4 на плоскости Г! в виде поверхности земли ^(х, у) и облако У(х, у) в виде плоскости Гб, находящихся в полубезграничной области относительно поверхности ^(х, у). В силу симметрии изучаемого объекта исследуется только часть некоторой области.

ЭП определяется относительно проводящей плоскости Г со стержнем Г4 (их потенциал у принимается равным нулю) и с учетом краевого эффекта от плоскости Гб, являющейся частью круга. Считаем, что исследуется статический режим с учетом возникновения в некоторый момент

Рис. 1. Схема моделирования молниеприемника стержневого типа

Научно-технические ведомости СПбГПУ 5' 2011 ^ Информатика. Телекоммуникации. Управление

времени на Г6 потенциала равного ув. Эта постановка отличается от постановки задачи F. D'Alessandro [4], в которой задается некоторое направление нисходящего стримера в воздухе, как правило, в виде проводника с заданным потенциалом, причем в работе не приводится конкретная математическая постановка задачи, как и в [8]. Исходная постановка также отличается и от постановки задачи М.М. Резинкиной [5], в которой внешняя краевая задача сводится к внутренней путем задания граничных условий в исследуемой области в виде ду/дп = 0.

Считаем, что определяемое поле распределения у подчиняется уравнению Лапласа как, например, в [7]:

^+д2Ъ+д2Ъ = о; х**)- Ох, **).

дх ду дх

Граничные условия задачи следующие: на границах Г1 и Г4

уС^ ^ = ° ^ е Г1, Г4;

на границе Гю

у

на поверхностях симметрии области

2' 3'

ду/дп = 0,

на границе Г6

у

где О(х, у, х) - исследуемая область, ограниченная Г1 - Г4, Г6 и Гю; причем Гю - условная граница на бесконечности; Г5 - внутренняя граница в О(х, у, х) (искусственно введенная граница [7]).

С учетом использования МИПБС считаем, что некоторая выделенная область О'т(х, у, х), входящая в состав области О(х, у, х), имеет форму части полусферы с радиусом Я0 и с границами Г1 - Г6 (эта область может быть представлена в виде куба, параллелепипеда и др., определяется

видом области с исследуемым объектом [9]). Для реализации этого метода необходима дополнительная область О*т(х, у, х) для того, чтобы часть оставшейся области О(х, у, х) между границами Г5 и Гю отобразилась на эту дополнительную область. Следует отметить, что составные области О'т(х, у, х) и О*т(х, у, х) соприкасаются по внутренней поверхности Г5 в исходной области О(х, у, х).

Особенности дискретной математической модели

Для краевой задачи с учетом уравнения (1) и граничных условий (2)—(5) уравнения в операторной форме для определения поля потенциала у в узлах (г, у, к) для дискретной области О^(х, у, х) имеют следующий вид:

Ь

%к + Ьуу Ъ* + Ьгг %к

(х> у у> хк) е О (х у> х);

ЬпЪук = 0

Ъ* = ъ в, (х> у у, ч) е Г6;

Ъ* = 0' (хг' у у ' ^ ) е Г1' Г4' Г« .

Здесь Ь = сР/дх2, Ь = сР/ду2, Ь = сР/дх2,

хх уу 22

Ьп = д/дп2 - производные потенциала, которые представляются конечно-разностными аппроксимациями. Область О^(х, у, х), включающая О у, х) и О*та(х, у, х), является дискретной с регулярной прямоугольной сеткой. Для аппроксимации границ применяется алгоритм Брезенхэма. При расчетах не учитывается диаметр стержня, т. к. он пренебрежимо мал по сравнению с размерами О(х, у, х) и шагом по х, у и х (аналогично как в [5]).

Так как во внутренних узлах сетки выполняется условие сходимости итерационного метода Гаусса-Зейделя, тогда во всех внутренних узлах области О(х, у, х) потенциал у * рассчитывается с помощью численного метода, например, экстрапо-ляционного метода Либмана [10] по формулам:

= 0,

Ъ, у,к ="

Ъ

г+1,у, *

+ Ъ-и ,* + Ъ ,у+1, к + Ъ ,у-1, к + Ъ

г ,у, к+1

г, у, к-1

Ъу =Ък +а(чСк -Ъу*),

где а - ускоряющий коэффициент (1 < а < 2); у8-1 у к - значение в узле у к, вычисленное на пред-

ыдущей итерации; у

У,к

значение в узле уг

У,к'

вычисленное в текущей итерации согласно (8);

у - новое значение.

г,у,к

На границах Г Г3 потенциал у.

(8) рассчиты-

2 3 г,у,к

вается с учетом конечно-разностных аппроксимаций и вида условия симметрии (4). Модуль Е определяется с учетом Е. как корень квадратный из суммы Е 2, Е 2, Е 2.

х 7 у 7 х

6

Математическое моделирование: методы, алгоритмы, технологии^

а)

б)

Рис. 2. Распределение эквипотенциальных поверхностей ЭП с шагом Ду*

Согласно МИПБС граничные узлы у на границе Г5 превращаются во внутренние узлы составной области Б'ш(х, у, г) и Б*т(х, у, г), причем в узлах на границе области Б'т(х,у, г) расчет также ведется по формулам (7) и (8), а значения потенциалов в недостающих узлах берутся из дополнительной области Б'ы(х, у, г), и наоборот.

Результаты численных расчетов

Результаты расчетов представляются в безразмерном виде для у и расстояний I как у * = у. / ув, I * = I. / Н с учетом базовых значений потенциала ув на Г6 и высоты Н стержня Г а остальные определяются аналогично или через у * и I*. Для сравнения результатов с известными данными основные соотношения размеров приняты как в [5].

Исследуется модель по схеме на рис. 1 для двух вариантов. В первом варианте считаем, что граница Г6 имеет радиус г1 *= 3 и находится на высоте Н'= 3, а высота Г4 равна Н*= 1. Результаты

*

расчетов поля потенциала уь и напряженности

а)

чл

поля Е относительно ^(х, у) и У(х, у) показаны на рис. 2.

Из анализа результатов распределения эквипотенциальных поверхностей ЭП и поверхностей равных напряженностей поля следует, что на стержне Г4 и в окрестностях края границы Г6 наблюдается существенно неоднородное ЭП. Для оценки этих относительных величин рассмотрим результаты расчетов, показанные на рис. 3, причем кривые 1, 2 и 3 - это различные характеристики уь* = ДЮ (рис. 3 а) и ЕЕ = /(Я/) (рис. 3 б), представляющие зависимости в вертикальных плоскостях относительно поверхности ^(х, у): по оси (5 = 0) и на расстоянии 5к1* = 3, а также в проме-

^ о * 'Л*

жуточной точке от оси 5к2 = 2 .

Из анализа зависимостей Е = /(Я*) (см. рис. 3 б, кривые 1 и 2) следует, что максимальные концентрации напряженности поля как по оси заземленного стержня Г так и у края облака У(х, у) достигают величин порядка Ет* ~ 30. На расстоянии 5,2* = 2* зависимость Е = /(Яг *) имеет вид

б)

30 25 20 15 10 5

1-1-Г"

о

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

3,0

*

Н ,

Рис. 3. Характеристики у4* = /Я*) (а) и Е* = /(Я*) (б) для различных 1 - по оси схемы (5 = 0); 2 - 5* = 3; 3 - 5* = 2

Научно-технические ведомости СПбГПУ 5' 2011 Информатика. Телекоммуникации. Управление

Я, м

Рис. 4. Характеристика у = ДН) 1 - расчет МИПБС; 2 - данные [5]; 3 - распределение у при заданном £с

5-образной характеристики и указывает на рост напряженности поля к краю У(х, у). Максимальный градиент изменения Е по вертикали на расстоянии = 3 существенно меньше, чем в ближней зоне по оси стержня. Анализ характеристик 2 и 3 (см. рис. 3 б) показывает, что на уровне к*= 1 стержня в них отсутствуют изменения, связанные с краевым эффектом от его торца. Изменения проявляются, например, при к = 10 м, но на расстоянии около 1/3 к от торца стержня и составляют порядка 25 % от величины Ео однородного поля [7]. Это указывает на то, что краевой эффект от торца стержня весьма локализован. Однако краевой эффект от облака вносит существенные изменения в ЭП исследуемой системы.

Установлено, что Е по поверхности У(х, у) от оси до края облака относительно Г(х, у) увеличивается от Е* — 12 до Ет*, т. е. в 2,5 раза. При этом градиент изменения Е существенно нарастает к краю облака У(х, у). Если на расстоянии 2/3 от оси ДЕ7ДГ составляет величину порядка двух, то на оставшейся части У(х, у) эта величина увеличивается приблизительно в 7 раз. Аналогично вдоль поверхности У(х, у) также изменяется и плотность свободного электрического заряда, т. к. она пропорциональна Е и достигает максимума на краю облака. С учетом подхода [4] следует, что для соотношений размеров исследуемой системы «плоскость-проводник» возможность появления нисходящего стримера будет определяться окрестностью края облака в случае появления грозовой активности и соответственно введением в расчеты, например, Ео= 10 кВ/м.

Для второго варианта исходной задачи с помощью МИПБС выполнены расчеты с учетом известных данных [5], т. е. граница Г6 находится на высоте Н = 31 и ее радиус равен 10/, а / - это высота стержня. Результаты расчетов по этому варианту представлены на рис. 4.

Сравнение результатов расчета проводилось в вертикальной плоскости на расстоянии ^ = 3,2 м и до высоты Н = 13 м по распределению поля у [5]. На рис. 4 также представлена дополнительная характеристика 3, учитывающая однородное поле Ео = 1 В/м, позволяющая оценить отличия расчетных характеристик, возникающих при учете заземленного стержня Г4. Сравнительный анализ показал, что отличия в расчетах в целом составляют менее 0,5 %.

Установлено, что применяемый метод инверсии для полубезграничных сред позволяет численно исследовать на моделях элементы систем молниезащит с возможностью учета различных краевых эффектов, например, границ облака. Если в подходе [5] имеется существенное ограничение по приведению внешней краевой задачи к внутренней, то МИПБС позволяет непосредственно решать внешние краевые задачи. В отличие от методов расчета ЭП, основанных на применении интегральных зависимостей на базе известных аналитических решений для потенциала у проводника, например, как в [5], в этом случае МИПБС обладает существенным преимуществом, т. к. позволяет учитывать возможные изменения соотношений размеров, особенности

4

Математическое моделирование: методы, алгоритмы, технологии

расположения стержней, причем с находящимися на них устройствами как в конструкциях ESE-молниеотводов (Early Streamer Emission -ранняя стримерная эмиссия) и т. д.

Следует отметить, что для исследуемой задачи показана особенность выявления как области, из которой возможно появление нис-

ходящего стримера, так и вероятности определения возможной точки восходящего стримера на основе численных расчетов ЭП и с учетом подхода [4]. Полученные выводы определяются соотношениями размеров исследуемой системы и соответствующими допущениями при их расчетах.

список литературы

1. Yang, Y. The strip simulation method for computing electric field on conductor surfaces [Текст] / Y. Yang, D. Dallaire, J. Ma [et al.] // Proc. of the 3 IASTED International Conf. on Power and Energy Systems. -Spain, Sept. 3-5 2003. -P. 353-357.

2. Базелян, Э.М Физика молнии и молниезащиты [Текст] / Э.М. Базелян, Ю.П. Райзер. -М.: Физматлит, 2001. -320 с.

3. Aleksic, S.R. Determination of critical atmospheric electric field around Franklin's lightning protection rod that leads to break-down [Текст] / S.R. Aleksic, S.S. Ilic // Acta Electrotechnica et Informatica. -2007. -№ 2. -Vol. 7. -Р. 3-9.

4. D'Alessandro, F. Electric field modelling of structures under thunderstorm conditions [Текст] / F. D'Alessandro, J.R. Gumley // Proc. of ICLP'1998. -Birmingham, Britain, 1998. -Р. 457-462.

5. Резинкина, М.М Расчет трехмерных электрических полей в системах, содержащих тонкие проволоки [Текст] / М.М. Резинкина // Электричество. -2005. -№ 1. -С. 44-49.

6. Потапенко, А.Н. Математическое моделиро-

вание поля давлений в многоэлектродных разрядных блоках [Текст] / А.Н. Потапенко, М.И. Дыльков, А.И. Штифанов // Изв. высших учебных заведений. Проблемы энергетики. -2003. -№ 9-10. -С. 120-124.

7. Потапенко, А.Н. Численное моделирование электрических полей в системах «электрод-поверхность земли» для элементов молниезащит [Текст] / А.Н. Потапенко, Е.А. Канунникова, М.И. Дыльков // Изв. высших учебных заведений. Проблемы энергетики. -2008. -№ 11-12. -С.72-78.

8. D'Alessandro, F. A 'Collection Volume Method' for the placement of air terminals for the protection of structures against lightning [Текст] / F. D'Alessandro, J.R. Gumley // J. of Electrostatics. -2001. -№ 50. - Р. 279-302.

9. Потапенко, А.Н. Исследование распределенных элементов систем молниезащит на основе вычислительных экспериментов [Текст] / А.Н. Потапенко, А.И. Штифанов, Т.А. Потапенко // Изв. Самарского научного центра РАН. -2010. -Т12. -№ 4 (3). -С.591-595.

10. Мак-Кракен, Д. Численные методы и программирование на Фортране [Текст] / Д. Мак-Кракен, У Дорн. - М.: Мир, 1977. - 584 с.

УДК 519.876.5

Ю.В. Тименков, Д.В. Тименкова, Е.П. Антышев

модель потребления ресурсов для взаимозависимых процессов с учетом истории обращений

Согласно исследованиям Datamonitor Group [1], объем рынка предоставляемых услуг в области IT составил в 2009 г. более 2 млрд долл. USA. Действительно, многим компаниям удобнее заказывать сервисы по разработке и поддержке программ на стороне, чем держать в своем штате программистов или системных администраторов. При этом современные компьютеры настолько производительны, что большую часть времени простаивают или работают не на полную мощность. Поэтому такие технологии, как

виртуализация, позволяют поставщикам услуг оптимально использовать время, безопасно исполняя на одной машине приложения нескольких клиентов.

Фирмы, предоставляющие такие сервисы, как аутсорсинг 1Т-услуг или облачные вычисления, подвергаются большому риску: ведь если случится сбой в центре обработки данных, то пострадает не один клиент, что может грозить многомиллионными убытками. Поэтому очень важно уметь управлять подобными рисками.