Приближенные методы решения прямых и обратных задач гравиразведки и магниторазведки

Бойков И.В. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГРАВИРАЗВЕДКИ И МАГНИТОРАЗВЕДКИ

Одними из основных в грави и магниторазведке являются следующие проблемы:

построение оптимальных методов восстановления потенциальных полей;

построение численных методов продолжения потенциальных полей и локализации их источников;

приближенные методы решения обратных задач грави и магниторазведки в трехмерной постановке;

анализ и синтез потенциальных полей на основе рядов Фурье по сферическим функциям.

В данной статье дан краткий обзор работ по перечисленным выше направлениям, выполненных на кафедре «Высшая и прикладная математика» Пензенского государственного университета в рамках научной школы «Аналитические и численные методы решения задач математической физики».

1. Восстановление потенциальных полей

Задача ставится следующим образом. Дана область G, в которой определено потенциальное поле V.

Требуется по данному е (е > 0) определить минимальное число узлов mk, к = 1,2,...,N, по значениям функции V (m) в которых возможно восстановление поля V с точностью е в любой точке области G.

Решение этой задачи распадается на несколько задач, представляющих, помимо практического, большой теоретический интерес. Во-первых, необходимо определить классы функций, к которым принадлежит функция V. Нетрудно видеть, что классы функций зависят от характера гравитирующих тел, создающих потенциальные поля и гладкости их границ. В работах [1] - [5] выделены классы функций, к

которым принадлежат потенциальные поля, создаваемые телами, плотности которых описываются кусочно-постоянными функциями, функциями, удовлетворяющими условиям Гельдера; функциями, принадлежащими классу Соболева.

Было показано, что в зависимости от гладкости границы тела и плотности гравитирующего тела потенциальные поля принадлежат классам функций Q (Ü,M), Qr r(ü,M), Br r(ü,M ), Ba$ y(ü,M).

Напомним определения этих классов функций.

Определение 1. Пусть й = [—1,1]*,/ = 1,2,.... Функция p(x,X,...,х) принадлежит классу Q (Ü,M) если выполнены условия

maxid|v| p(x) / дх^ * * * dxj*\ <M

хей I I

| д|v ppx) / dxv... дер | < M / (d (x, D)|v|—r—f, x ей \ Г,

где s = s + [у] + 1, y = [у] + ¡Л, 0 </л< 1, g = 1 — Ц при у — нецелом, s = r + y при у— целом, d (х,Г) — рассто-

яние от точки х до границы Г области й , вычисляемое по формуле

d(х,Г) = min min(| —1 — х |,| 1 — х |), | v |= V +... + V •

1</</

Определение 2. Пусть й = [—1,1]*,/ = 1,2,..., у— целое число. Функция Рх.,..., X/) принадлежит классу

Qr,y(Q, м) если выполнены условия

max Id|v| p(x) / дх' * * * dxj/ I <М,

хей I I

|д|v| p(x) / dxj11 * * * dxvl/1 < М (1 + ln d (x, Г)), x ей \ Г,

|d|v| p(x) / dxj4 * * * dxj! | < M / ( d (x, Г)Г—r, x ей \ Г,

Определение.3.

Пусть й = [—1,1]*, / = 1,2,... , r = 1,2,..., 0 <у< 1. Функция f (x) , x = (x, x2,..., x) принадлежит классу функ-

ций Brr(Q,M) , если выполнены условия: II/( x )|l C( Q) < M

max

xeQ

S'u f

S'u f

Sx'...S'

Sx'...Sx'

, X є Q \ Г, r < и < œ.

Определение 4.

Пусть Q = [—1,1]1, l = 1,2,..., 0 <a< 1, 0 <y< 1 . Множество r(Q, M ) состоит из функций f (x,..., X ),

удовлетворяющих следующим условиям:

|f (x,...,X)| <M,x g Q, f (x) g Ha..a(M ),0 < a < 1,x g Q,

mI

------LJ__^ (1 + |in ( d (x, I))| ), x g Q \ r,| U = 1,2,...

S U f

Sx' ...Sx'1

(d (x, Ä ))1

Во-вторых, необходимо оценить минимальную погрешность аппроксимации при использовании N значений потенциального поля. Для этого необходимо вычислить поперечники Колмогорова и Бабенко соответствующих классов функций.

<MIU lui1 1.1 < lui < r

<

В работах [1] - [5] вычислены поперечники Колмогорова и Бабенко классов функций

Qr^M),&,г(пм), Вгг{а,ы),ВаАг(о,м) при различных предположениях об области О . Рассмотрены

случаи, когда область О— ограниченная односвязная; ограниченная двусвязная; неограниченная.

В - третьих, необходимо построить оптимальный метод аппроксимации для каждого класса функций, определяющего потенциальные поля, погрешность которого равна на данном классе функций величине поперечников Колмогорова и Бабенко.

В работах [1]-[5] для аппроксимации классов функций

построены локальные сплайны, оценки погрешности которых совпадают по порядку с величинами поперечников Колмогорова и Бабенко. Таким образом, построен оптимальный по порядку по точности метод

аппроксимации потенциальных полей, описываемых классами функций (^г ?/(О,М), (^г ?/(О,М),

Вг т(О,М),Ва0г(О,м) .

Помимо аппроксимации локальными сплайнами исследована аппроксимация потенциальных полей рядами Котельникова и интерполяционными полиномами, базисными функциями которых являются элементарные гармонические функции [4].

Эти результаты имеют непосредственное практическое применение.

Запоминая значение потенциального поля (и других физических полей) в узлах локального сплайна, мы тем самым создаем электронную карту геолого-геофизических признаков.

Оптимальная аппроксимация потенциальных и других полей позволяет с наибольшей возможной точностью выделить области их возмущения. При этом целесообразно использовать алгоритмы трансформации потенциальных полей, разработанные в [6], [7].

В этих работах интегральные трансформации потенциальных полей интерпретируются как гиперсингу-лярные интегралы в смысле Адамара. Это позволило получить устойчивые алгоритмы вычисления и оценить их погрешность. В ряде случаев построены оптимальные по порядку по точности алгоритмы.

Располагая оптимальным алгоритмом восстановления потенциальных полей, можно эффективно оценивать залежи полезных ископаемых, в частности нефти и газа, и наилучшим образом размещать разведывательные и промысловые скважины.

Наряду с построением оптимальных методов аппроксимации потенциальных полей, большее значение в гравиразведке играют прямые методы. В частности, представляет значительный интерес построение оптимальных методов представления потенциальных и других полей.

В работах [8, 9, 10] построены оптимальные кубатурные формулы вычисления интегралов типа Коши,

Стрэттона-Чу, ньютоновского потенциала, которые являются аналитическими представлениями потенциальных и электромагнитных полей.

2. Продолжение потенциальных полей

Во многих случаях отсутствует информация о геофизических полях в больших регионах или она недостоверна. Так, например, отсутствует информация о потенциальных полях в приполярных областях. В этом случае необходима разработка аналитических и численных методов продолжения потенциальных полей. Эти методы хорошо разработаны в двумерном случае. Обзор аналитических методов приведен в книгах [11], [12]. Численные методы продолжения потенциальных полей основанные на приближенных

методах решения сингулярных интегральных уравнений, предложены и обоснованы в работе [13]. Для трехмерных полей их разработка началась в последнее время. В работах [14] -[18] предложено не-

сколько численных методов продолжения потенциальных полей в трехмерной постановке.

Первый метод основан на приближенном решении серии специальным образом построенных систем интегральных уравнений с интегралами типа Коши. Этот метод позволяет продолжить потенциальное поле на области, объем которых на несколько порядков превосходит объем исходной области, и локализовать источники поля.

Второй метод основан на применении аппаратов теории приближения и разностных схем и позволяет продолжить поля, заданные в экваториальной области и средних широтах, на всю поверхность Земли.

Использование оптимальных кубатурных формул вычисления интеграла Пуассона для шара и плоскости и специальным образом построенных разностных схем решения эллиптических уравнений, позволило построить эффективные численные алгоритмы продолжения возмущенных потенциальных полей, заданных в конечной области на поверхности Земли, вглубь Земли до достаточно больших глубин.

Третий метод основан на решении задач анализа и синтеза потенциальных полей рядами Фурье по сферическим функциям. Решению задач потенциального глобального сферического анализа и синтеза посвящено большое число работ, начиная с классических работ К. Гаусса и Ф. Нейманна по земному магнетизму. Основная проблема, возникающая при практическом применении известных алгоритмов, заключается в том, что все они основаны на использовании данных о полях, полученных на равномерных сетках наблюдений. Практически реализовать такие наблюдения на всей поверхности Земли невозможно. В работе [19] предложен двухступенчатый коллокационный метод потенциального глобального сферического анализа при использовании хаотической сетки наблюдений. Решение модельных примеров показало высокую эффективность этого метода.

Аналогичные результаты были получены в задачах продолжения электромагнитных полей [15] - [17].

Основным аппаратом в задачах продолжения и разделения электромагнитных полей являются интегралы Стрэттона - Чу.

3. Обратные задачи

После того как выделены аномалии гравитационных полей возникает основная задача грави и магниторазведки - так называемая обратная задача: определение по гравитационному полю на поверхности

Земли формы и плотности гравитирующего тела. Сложность решения обратных задач грави и магниторазведки заключается в том, что они некорректные и для их решения необходима разработка методов регуляризации. Решению этой задачи, особенно в двумерной постановке, посвящено большое число работ.

3.1. Обратные задачи гравиметрии в двумерной постановке.

Пусть О+ — ограниченная односвязная область с жордановой границей 5 в области г = х + у, О — дополнение О+ до полной комплексной плоскости, |л(z, г ) — непрерывная в О+ функция, принадлежащая классу ШгИаг = 1,2,...,0 <а< 1.

Обозначим

—1 Г = и~(г,В+ ,ц), % = ^ + щ.

л + % — г

п+ т»

Функция U (z) называется внешним комплексным потенциалом областиD+ с плотностью ^ .

Следующая задача имеет многочисленные приложения в гравиметрии и магнитометрии.

Задача. В односвязной области T определена непрерывная функция ^(z, z), а в окрестности точки

z = да — аналитическая функция U(z), U(да) = 0, lim zU(z) = с0. Imc0 = 0. Требуется найти такую ограниченную

z^w

односвязную область D+ , D+ сT с жордановой границей, что U (z,D+ ,ц) = U(z),z еD .

Исследованию этой задачи посвящено большое число работ.

Обозначим через M функцию, удовлетворяющую уравнению Mz (z(t), z(t)) = ^(z, z ).

Пусть p (0,P+ (/) — функции аналитические при | z |> 1,| z |< 1.

Следуя В.К. Иванову [20], задача сводится к нелинейной краевой задаче

Kp = p+ (t) — M p“ (t), p (t)j + U p“ (t) ) = 0,

где tеу,у—единичная окружность с центром в начале координат.

В работах [21], [22] доказана, при ряде дополнительных условий, однозначная разрешимость урав-

нения Kp = 0 и предложен и обоснован проекционно-итерационный метод ее решения.

Помимо приведенной выше постановки двумерных обратных задач, существует ряд других постановок. В частности, широкий класс обратных задач грави- и магнитометрии описывается интегральными уравнениями в свертках следующего вида

J h(t — т) х(т)dz = f (t),

где И(1), /(/) — известные ядро и правая часть уравнения, х(/) — неизвестная функция.

В работах [23] - [24] для решения уравнения (3.1) предложены итерационные методы, метод ло-

кальных поправок, итерационно-проекционные методы.

3.2. Обратная задача гравиметрии в трехмерной постановке

Математическая модель обратной задачи гравиметрии в трехмерной постановке описывается нелинейным интегральным уравнением

да да H

G П H ^,Ш — z)d(Wi = д zj

J J J <Yv_Г\2 л.(,,_„Л2 ^3/2 v '

оЯ

Здесь О — гравитационная постоянная, Н — глубина залегания рудного тела, причем нижняя поверхность тела совпадает с плоскостью г = Н, а верхняя поверхность описывается функцией

г = Н — ф(х, У) с неотрицательной функцией ф( х, у), удовлетворяющей неравенствам 0 <ф(х, у) < Н при х, у е (—<о, о) , с(^,щ,%) — плотность гравитирующего тела, / (х,у, г)— функция, определяющая гравитационное поле над поверхностью Земли.

Требуется, располагая значениями функции /(х, у, г), определить глубину залегания Н, плотность

с( х, у, г) и верхнюю границу тела г = ф(х, у).

В работах [25], [26] решены следующие задачи:

а) при известной плотности с(х, у, г) предложен и программно реализован алгоритм одновременного восстановления глубины залегания Н и формы гравитирующего тела ^(х, у);

б) при известной глубине залегания Н предложен алгоритм одновременного восстановления плотности и формы гравитирующего тела.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бойков И.В., Бойкова А.И. Оптимальные методы восстановления потенциальных полей // Известия

РАН. Физика Земли. 1998, № 8, С. 70-78.

2. Бойков И.В., Бойкова А.И. Оптимальные по точности методы восстановления потенциальных полей

I // Известия РАН. Физика Земли. 2001, № 12, С. 78-89.

3. Бойков И.В., Бойкова А.И. Оптимальные по точности методы восстановления потенциальных полей

II // Известия РАН. Физика Земли. 2003, № 3, С. 87-93.

4. Бойков И.В., Бойкова А.И. Восстановление геофизических полей интерполяционными полиномами,

составленными из потенциальных функций // Известия РАН. Физика Земли. 2002, № 2, С. 20-25.

5. Бойков И.В., Кравченко М.В. Оптимальные методы восстановления потенциальных полей/ Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико - математические науки. Математика. 2009. №1. С.25-43.

6. Бойкова А.И. Об одном приближенном методе вычисления трансформаций потенциальных полей// Известия РАН. Физика Земли. 2004, № 1. С. 58-69.

7. Бойкова А.И. Оптимальные методы вычисления трансформаций потенциальных полей// Известия РАН. Физика Земли. 2008. Т. 44. № 4. С. 83-92.

8. Бойков И.В., Бойкова А.И. Оптимальные методы представления потенциальных полей// Известия

РАН. Физика Земли. 2003, № 4. С. 68-76.

9. Бойков И.В., Бойкова А.И., Крючко В.И., Филиппов А.В. Приближенное решение обратной задачи

теории потенциала// Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки. Пенза: Информационно-издательский центр Пенз. гос. ун-та, 2005, № 6. С. 3-15.

10. Бойков И.В., Бойкова А.И. Оптимальные по точности методы восстановления потенциальных по-

лей// Вопросы теории и практики комплексной геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. Материалы международной школы- семинара. Том 1. ОИФЗ. Москва. 2001. С. 6576.

11. Гравиразведка. Под редакцией Е.А.Мудрецовой. М.: Наука. 1981. 397с.

12. Лаврентьев М.М., Романов В. Г., Шишатских С. П. Некорректные задачи математической физики

и анализа - М: Наука, 1980. - 288 с.

13. Бойков И.В., Блинкова Н.Ю. Метод сингулярных интегральных уравнений в задачах аналитического продолжения// Геофизический журнал. 2000.№ 1. С. 3-20.

14. Бойков И.В. Метод локальных поправок в задачах аналитического продолжения // Геофизический журнал. 1995, т.17, Ы1.С. 42-49.

15. Бойков И.В., Бойкова А.И. Крючко В.И., Филиппов А.В. Оптимальные методы разделения потенциальных полей// Вопрсы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. Материалы 33 сессии Международного семинара им. Д.Г. Успенского. Екатеринин-бург. 2006. С. 59- 64.

16. Бойков И.В., Бойкова А.И., Крючко В.И., Филиппов А.В. Оптимальные методы восстановления геофизических полей и их приложение к разделению потенциальных полей//Труды Средневолжского математического общества. 2006. Т.8, № 1. С. 13 - 23.

17. Бойков И.В., Бойкова А.И., Крючко В.И., Филиппов А.В. Дискретные модели продолжения потенциальных полей// Геофизический журнал. 2007.Т. 29, вып. 4. Стр. 67-82.

18. Бойков И.В., Филиппов А.В. Оптимальные методы продолжения потенциальных полей и их приложение к решению обратных задач теории потенциала// Труды Средневолжского математического общества. 2007. Т.9, № 1. С. 106 - 116.

19. Бойков И.В., Крючко В.И. Двухступенчатый коллокационный метод разложения потенциальных полей по сферическим функциям// Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. Материалы 36 Международного симпозиума. Казань. Издательство Казанского государственного университета. 2009.С. 55-58.

20. Иванов В.К. Обратная задача теории потенциала для тела, близкого к данному // Изв. АН

СССР. Матем. 1956. Т.20, с.793-818.

21. Бойков И.В. , Щукина В.Е. Приближенное решение обратной задачи гравиметрии методом Ньютона-Канторовича // Известия АН СССР Физика Земли,1989, N11. С. 67-78.

22. Бойков И.В., Щукина В.Е. Об одном приближенном методе решения обратной задачи гравиметрии // Известия АН СССР Физика Земли,1992, N2. С. 67-75.

23. Бойков И.В. Об итерационных методах решения обратных задач магнито и гравиметрии представляемых интегральными уравнениями типа свертки // Геофизический журнал ,1991. Т.13, N 4 . С. 69-

75.

24. Бойков И.В. О применении метода локальных поправок к приближенному решению обратных задач гравиметрии // Физика Земли 1996, N3. С. 86-90

25. Бойков И.В., Мойко Н.В. Об одном итерационном методе решения обратной задачи гравиметрии

для контактной поверхности. // Известия РАН. Физика Земли. 1999, № 2. С. 52-56.

26. Бойков И.В., Бойкова А.И. Об одном параллельном методе решения нелинейных обратных задач

гравиметрии и магнитометрии// Известия РАН. Физика Земли. 2009. N 3. С. 73-82.