Сценарий урока по теме: «Функциональная последовательность. Равномерная сходимость функциональной последовательности»

Сценарий урока по теме:

«Функциональная последовательность. Равномерная сходимость

функциональной последовательности»

в курсе дисциплины «Математический анализ» у студентов высших учебных заведений

Автор: Лучинский Михаил Михайлович, учитель математики муниципального автономного общеобразовательного учреждения лицея № 4

г. Таганрог, Ростовская область

Цели урока:

образовательные: – отработка умений систематизировать, обобщать знания о последовательностях, закрепить и усовершенствовать накопленные знания;

воспитательные: – воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога;

развивающие: - развитие зрительной памяти, логического мышления, сознательного восприятия учебного материала.

Тип урока: ознакомление с новым материалом, постановка новой учебной задачи.

Вид урока: комбинированный.

Оборудование:

-экран, мультимедийный проектор, компьютер;

-презентация;

-задания для самостоятельной работы.

Ход урока.

1. Организационный момент, объявление целей урока ( 2 мин.)

Добрый день, ребята!

Сегодня на уроке мы познакомимся с новой темой «Функциональная последовательность. Равномерная сходимость функциональной последовательности», а так же обобщим знания о последовательностях, закрепим и усовершенствуем накопленные знания.

2. Актуализация знаний студентов, постановка учебной задачи (25 мин.)

Слайд 2.

Аналогично числовым последовательностям, функциональные последовательности задаются формулой n-го члена, аналитическое выражение которого зависит от натурального аргумента п и непрерывного аргумента x, пробегающего некоторое множество. Рассмотрим примеры функциональных последовательностей.

Слайд 3.

На данном слайде представлена функциональная последовательность, заданная формулой n-го члена и своей областью определения. На чертеже вы видите графики 1,3 и 5 членов данной последовательности.

Слайд 4.

На слайде, как и в предыдущем случае, мы видим функциональную последовательность, заданную формулой n-го члена со своей областью определения. На чертеже представлены графики 1,4 и 7 членов данной последовательности.

Теперь попытаемся ввести понятие о сходимости функциональной последовательности.

Пусть нам дана функциональная последовательность

с областью определения Е и точка

Если мы рассмотрим данную последовательность в этой точке, то получим

, а как называется полученный объект? (ответ- числовая последовательность). Ранее, когда мы говорили о числовой последовательности, какие важные понятия, связанные с ней, мы изучили? (ответ- понятие предела и понятие сходимости числовой последовательности) . Так давайте же разберемся, когда функциональная последовательность сходится? У кого какие предложения? ( предполагаемый ответ- функциональна последовательность

называется сходящейся в точке

, если соответствующая числовая последовательность значений функции

сходится в данной точке).

Давайте посмотрим, действительно ли высказанное предположение верно?

Да, это так- слайд 5…..в конце слайда- к этому мы вернемся чуть позже.

А как же теперь определить сходимость функциональной последовательности на множестве? (ответ- если сходится в каждой точке множества)- слайд 6.

Теперь…слайд 7.

Как видно из данного определения, исследование функциональной последовательности на сходимость приводит к решению двух задач:

1) Необходимо выяснить область сходимости последовательности;

2) Найти предельную функцию, для которой область сходимости функциональной последовательности является областью определения.

3. Совершенствование практических навыков (30 мин.)

А сейчас мы решим задачу на нахождение области сходимости функциональной последовательности и ее предельной функции: слайд 8.

При х>0 данная последовательность будет знакоположительной, а при х<0- знакопеременной, поэтому рассмотрим следующие случаи:

Ребята, что собой представляет функция, стоящая в числителе, при

? (ответ- бесконечно убывающая геометрическая геометрическая прогрессия), а в знаменателе?

Теперь рассмотрим примеры на нахождение предельной функции:

Слайд 9:

Дана функциональная последовательность со своей областью определения. На чертеже вы видите графики 1,2 и 10 членов данной последовательности. Найдем предел…..

Кто мне подскажет, как находится данный предел? (ответ- произведение бесконечно малой на ограниченную, в пределе 0). Вы видите, что красным цветом выделен график предельной функции.

Слайд 10: Дана функциональная последовательность со своей областью определения. На чертеже вы видите графики 1,2 и 3 членов данной последовательности. Найдем предел…..

Как вычисляется данный предел? (ответ- заменяем на эквивалентную, в пределе 0). Как и в прошлом примере, красным цветом обозначен график предельной функции.

Рассмотрим последовательности с их предельными функциями- слайд 11.

Слайд 12:

Посмотрите пожалуйста на данный слайд. На нем мы видим: красным цветом изображен график предельной функции, синим цветом- график первого члена данной последовательности, а зеленым- соответственно график n-го члена данной функциональной последовательности. Сейчас мы посмотрим движение графика к своей предельной функции при изменении n. Мы видим горб, передвигающийся с возрастанием n справа налево. Точки последовательных кривых с возрастанием n бесконечно приближаются к оси х, но в целом ни одна кривая не примыкает к этой оси.

Теперь рассмотрим вторую последовательность: слайд 13. Так же, как и на предыдущем слайде, мы видим: красным цветом изображен график предельной функции, синим цветом- график первого члена данной последовательности, а зеленым- соответственно график n-го члена данной функциональной последовательности. Сейчас мы посмотрим движение графика к своей предельной функции при изменении n. Мы видим горб, передвигающийся с возрастанием n справа налево. В данном случае кривые сразу на всем своем протяжении примыкают к оси х.

Чем отличается наблюдаемая вами картина в первом случае от второго случая? (ответ- во втором случае происходит прилипание графика к своей предельной функции, нежели в случае 1).

А сейчас давайте посмотрим, чем отличается обычная сходимость функциональной последовательности к своей предельной функции от равномерной? Есть ли у вас предложения? (ответ- номер не зависит от х).

Слайд 14.

Ребята, сейчас мы рассмотрим очень важный критерий- критерий равномерной сходимости последовательности функций, с помощью него мы будем исследовать все функциональные последовательности и выяснять, сходится ли функциональная последовательность к своей предельной функции или нет.

Слайд 15.

Как и для числовых последовательностей, для функциональных так же существует критерий Коши сходимости последовательности: слайд 16. Мы им пользоваться не будем, поэтому я вам сообщаю его только для справки.

Мы уже сегодня много говорили с вами о функциональных последовательностях, об их сходимостях. Давайте же теперь запишем алгоритм, с помощью которого вы будете исследовать функциональную последовательность на равномерную сходимость:

Слайд 17.

Вернемся теперь к ранее рассмотренным двум функциональным последовательностям и исследуем их на равномерную сходимость:

Слайд 18.

Слайд 19.

4. Закрепление изученного материала (25 мин.)

Ребята, чтобы закрепить знания, которые вы получили сегодня на уроке, предлагаю вам выполнить самостоятельную работу в парах, она заключается в следующем: сейчас вы сядете за компьютеры, у каждой пары на экране есть по 2 видеофайла. Откройте их и посмотрите на движение графика функциональной последовательности, затем выдвиньте гипотезу о виде сходимости: равномерная либо неравномерная, запишите свои гипотезы на листик и сдайте мне. А теперь возьмите еще по листику и проведите аналитические рассуждения, и выясните, подтвердилась ваша гипотеза или нет. Работа на скорость. Работу пары, которая выполнит первой, мы обсудим.

5. Подведение итогов урока (5 мин.)

Ребята, сегодня на уроке вы познакомились с новой темой: «Функциональная последовательность. Равномерная сходимость функциональной последовательности», закрепили полученные ранее знания о последовательностях. Вы научились определять сходимость функциональной последовательности как в точке, так и на всем множестве, рассмотрели критерий равномерной сходимости функциональной последовательности и выполнили с помощью него самостоятельную работу. Надеюсь, что вам понравилась сегодняшняя лекция и в дальнейшем на практике вы с легкостью примените полученные знания. Спасибо за урок, до свидания!