Анализ численно-аналитических методов решения электродинамической задачи для продольно-регулярных волноводов со сложным криволинейным поперечным контуром

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

УДК 519.633

М. Ю. Захарченко, Ю. Ф. Захарченко

АНАЛИЗ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРОДОЛЬНО-РЕГУЛЯРНЫХ ВОЛНОВОДОВ СО СЛОЖНЫМ КРИВОЛИНЕЙНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ КОНТУРОМ

Аннотация.

Актуальность и цели. В работе анализируются применяемые на практике для описания электромагнитных полей в продольно-регулярных волноводах со сложным криволинейным поперечным контуром численные сеточные методы, построенные на основе разностных схем и конечных элементов, и численно-аналитические методы, построенные на основе рядов аналитических решений уравнений Максвелла.

Материалы и методы. Показано, что численные сеточные методы характеризуются высокой трудоемкостью, так как любое изменение конфигурации поперечного контура волновода требует построения всей цепочки трудоемких вычислительных процедур. При этом имеются ограничения на допустимые для расчета соотношения геометрических размеров и конфигурацию поперечного контура волноводов. Это связано с трудоемкостью построения сеточного аналога расчетной области и выбора эффективного алгоритма решения задачи. Кроме этого, применение данных методов малоэффективно при расчете диэлектрических волноводов, так как не обеспечивается требуемая точность расчета электродинамических параметров из-за приближенного задания внешних краевых условий. Анализ известных численно-аналитических методов показал, что их применение для приближенного решения электродинамической задачи ограничивается небольшим набором волноводных моделей. Так, выражения для СВЧ-полей, вычисляемые с помощью численно-аналитического метода Галеркина - Ритца, удовлетворяют уравнениям Максвелла приближенно, а краевые условия для них выполняются строго только на тех участках поперечного контура исследуемого волновода, которые соответствуют контуру «вспомогательного» волновода прямоугольной формы. Поэтому постоянные распространения вычисляются с точностью от 5 до 25 % (точность расчета зависит от конфигурации поперечного контура волновода), а пространственное распределение составляющих СВЧ поля рассчитывается лишь качественно.

Результаты и выводы. Метод на основе частичных областей решает внутреннюю электродинамическую задачу для продольно-регулярных металлических волноводов с диэлектрическим и гиромагнитным заполнением. Метод позволяет строго учитывать краевые условия с учетом поведения СВЧ-поля вблизи ребер на поперечном контуре волновода. Но его применение ограничивается случаями, когда поперечное сечение волновода можно представить в виде сетки из прямоугольных ячеек (частичных областей). Метод на основе неортогональных разложений по собственным функциям вспомогательных источников излучения позволяет решать внутреннюю и внешнюю электродинамическую задачу. Но краевые условия учитываются не достаточно строго, поэтому погрешность расчета электродинамических параметров составляет 10-2-10-4 . Имеются также ограничения на допустимые для расчета конфигурации поперечного контура волноводов, что связано с трудностью построения вспомогательного контура из линейных источников излучения, а также с трудностью выбора их числа.

28

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

Ключевые слова: электромагнитные поля, продольно-регулярный волновод, уравнение Максвелла.

M. Yu. Zakharchenko, Yu. F. Zakharchenko

ANALYSIS OF NUMERICAL-ANALYTICAL METHODS OF SOLVING AN ELECTRODYNAMIC PROBLEM FOR LONGITUDINAL-REGULAR WAVEGUIDES WITH COMPLEX CURVED TRANSVERSE CONTOUR

Abstract.

Background. The paper analyses numerical grid methods, based on difference schemes and finite elements, and numerical-analytical methods, based on a series of analytical solutions of Maxwell's equations. These methods are used in practice to describe electromagnetic fields longitudinal-regular waveguides with complex curved transverse contours.

Materials and methods. It is shown that the numerical grid methods have high work content, because any changes in configuration of a transverse contour of a waveguide requires construction of the entire chain of labor-intensive computational procedures. However, there are restrictions on the ratio of the geometric dimensions, acceptable for calculation, and the configuration of transverse contours of waveguides. It is caused by complexity of building a grid analogue of a computational domain and selection of an efficient algorithm for solving the problem. In addition, application of these methods is inefficient in calculation of dielectric waveguides, as it does not ensure the required accuracy of calculation of electrodynamic parameters due to approximate setting of external boundary conditions. The analysis of the known numerical and analytical methods showed that their application for approximate solution of the electrodynamic problem is limited to a small set of waveguide models. Thus, expressions for microwave fields, calculated using the Galerkin-Ritz numerical-analytical method, satisfy the Maxwell equations approximately, and boundary conditions for them are strictly met only on those sections of transverse contours of research-precut waveguides, that correspond to the contour of the “auxiliary” waveguide of a rectangular shape. Therefore, constant propagations are calculated with accuracy from 5% to 25% (the accuracy of calculations depends on the configuration of transverse contours of waveguides), and the spatial distribution of microwave fields is calculated only qualitatively.

Results and conclusions. The method on the basis of fractional areas solves the internal electromagnetic problem for longitudinal-regular metal waveguides with dielectric and gyromagnetic filling. The method allows to take into strict account boundary conditions taking into consideration the conduct of UHF fields near the edges of transverse contours of waveguides. However, its use is limited by the cases where the cross-section of waveguides can be represented as a grid of rectangular cells (partial regions). The Method on the basis of non-orthogonal eigenfunction auxiliary radiation sources allows to solve internal and external electrodynamic tasks. However, boundary conditions are not strict enough, leading to errors of calculation of electrodynamic parameters being 10-2-10-4. There are also restrictions on configurations of transverse contours of waveguides, acceptable for calculation, due to complexity of constructing an auxiliary circuit from linear sources of radiation, and difficulty of choosing among them.

Key words: electromagnetic fields, longitudinal-regular waveguide, Maxwell's equation.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

29

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Введение

В настоящее время решение электродинамической задачи для продольно-регулярных волноводов с криволинейным поперечным контуром проводится с помощью численных сеточных методов на основе конечно-разностных схем и конечных элементов. В то же время многие волноводные задачи, в частности внешние, целесообразнее решать с помощью численно-аналитических методов, обеспечивающих меньшую трудоемкость при вычислении критических частот и собственных полей, а в ряде случаев - большую точность расчета.

Методы на основе конечно-разностных схем. Процедуры применения методов конечно-разностных схем [1-4] включают следующие основные моменты. Выбирается правило замены расчетной области сеточной областью. В центральной части расчетной области сетка строится прямоугольной и равномерной, а у криволинейных граничных поверхностей используется прямоугольная сетка с существенно меньшим шагом. С учетом порядка аппроксимации решаемого волнового уравнения строятся разностные схемы. Обычно ограничиваются трехслойной пятиточечной разностной схемой. При этом в окрестности сильно криволинейных участков граничной поверхности используются специальные разностные схемы повышенной точности, например семиточечные и девятиточечные. Но в этом случае они проверяются на устойчивость. Системе линейных разностных схем ставится в соответствие система линейных алгебраических уравнений. Для ее решения используются методы прогонки, циклической редукции, преобразования Фурье, итерационные методы и т.д. При использовании разностных схем повышенной точности ошибка расчета равна O(h2 + l2), где h - шаг сетки по координате х, l - по координате у. При этом требуется использовать Q ~ 10N2 ячеек памяти и совершить М ~ [Q  n(е)]4/3 арифметических действий, где n(s) - число итераций при расчете системы линейных алгебраических уравнений; N - число ячеек в сетке. Обычно [3, 4] при расчете параметров волновода со сложно криволинейным поперечным контуром для достижения точности 0,01 % требуется сетка из N ~ 103...104 ячеек, а для решения системы линейных алгебраических уравнений требуется n(s) ~ 20.50 итераций. В итоге необходимо совершить до М ~ 1011 арифметических действий. Кроме времени арифметического расчета, общее время расчета включает время на проведение операций по построению оптимальной сеточной области и выбору оптимальных линейных разностных схем и оптимального алгоритма решения системы линейных алгебраических уравнений.

Методы на основе конечных элементов. Методы конечных элементов [4-9] обладают большей геометрической гибкостью и применимы к более широкому классу уравнений в частных производных, чем методы конечноразностных схем. В силу этого данные методы на сегодня являются основным инструментом анализа в науке и технике.

Методы основаны на аппроксимации собственных функций

электромагнитных уравнений Максвелла с помощью кусочно-полиномиальных базисных функций q(х, у), заданных локально в пределах треугольных

или четырехугольных элементов. Функции tym с учетом выполнения первой или второй краевой задачи ищутся из условия минимума функционала

30

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

F =

S

j(Vm )2 dS j(Vm )2 dS ,

/:

S

где интегрирование ведется по площади S расчетной области. В каждом

3

n-м треугольном элементе используется базисная функция qn = £ qn t (x, y).

i = 1

Здесь qn равно 1 в i-й вершине треугольника и 0 - в остальных вершинах. Обычно для задания qn i используется линейная аппроксимация вида

qn,i = ai + bi  x + ci  У , где ai = xj  Ут - xm  yj, bi = yj - Ут , ci = xm - xj . Величины (x, yi), (xj, yj), (xm, ym) являются координатами вершин треугольника. Приближенное решение Vm n в пределах n-го треугольника имеет вид

где Vmni - значение функции Vm (xi, yi) в вершинах (узлах) треугольных элементов. При использовании аппроксимаций вида qn г- (x, y) приближенное

решение имеет погрешность порядка O(h), где h - характерный шаг сетки. Для повышения точности расчета в узлах треугольных элементов, расположенных в окрестности криволинейных участков граничной поверхности, для задания qn i (x, y), кроме линейной, используются квадратичная и кубическая аппроксимации по каждой переменной, а в качестве узлов могут быть использованы середины сторон. В узлах, кроме значений Vm (xi, yi), могут задаваться ее производные. Но в этом случае интерполяция на криволинейных элементах приводит к весьма сложной форме представления базисных функций, например, дробно-рациональным. Подставляя функцию qn (x, y) в функционал, получим вариационную функцию вида

где N - количество треугольников в сетке, замещающей расчетную область. Приближенное решение Vm (xi, yi) определяется из системы уравнений

квадратные симметричные матрицы порядка 3N; % - постоянная, задающая критическую длину волны для vm (xi, yi). Матричному уравнению ставится в соответствие система линейных алгебраических уравнений того же порядка. Решение системы линейных алгебраических уравнений, обычно имеющей ленточную структуру, проводится итерационными методами. Оценки трудоемкости показывает [4, 6, 8], что использование сетки из N треугольных ячеек

требует Q ~ (L +1) N ячеек памяти, где L = (0,1 0,2) N - число узлов

в ленточной структуре матричного уравнения. В результате необходимо со-

3

Vm,n (x,y) £ qn,i (x,y) Vm,n,i ,

i = 1

dF(vm,1,I,Vm,1,2, Vm,1,3, _, Vm,N,i, Vm,N,i,Vm,N,i) ^ dvm,n,i 0 .

2

В результате имеем матричное уравнение Aym = X Bym, где А и В

Physical and mathematical sciences. Mathematics

31

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

вершить М

L  N3/22 • n

арифметических действий, где n(s) - число

итераций. Причем на каждой итерации выполняется объем вспомогательных вычислений, больший, чем решение самой системы линейных уравнений. В силу этого обычно используется кусочно-линейная аппроксимация, которая характеризуется большой погрешностью расчета, равной O(h). Поэтому для достижения точности 0,1... 0,01 % требуется сетка с числом ячеек

N ~ 104...105 и более, а для решения матричного уравнения требуется совершить 10.25 итераций. В итоге требуется совершить до М ~ 5  1011 арифметических действий. В работе [9] приведен расчет параметров волновода с коконообразным поперечным контуром. Показано, что при расчете постоянной распространения в волноводе с контуром, имеющим небольшой гантелеобразный прогиб, достижение точности 0,01 % требует использования сетки с числом узлов 104. В случае контура с большим гантелеобразным прогибом требуется сетка с числом узлов до 105.

Численно-аналитические методы. Затруднения, связанные с использованием численных методов при решении сложных волноводных задач, в целом преодолеваются, если используются численно-аналитические методы, допускающие описание электромагнитных полей с помощью аналитических функций. На сегодня наиболее проработанными являются три метода: метод Галеркина - Ритца [10-13], метод «частичных областей» прямоугольной формы [14-17] и метод «вспомогательных источников излучения» [18-20].

1. Анализ метода Галеркина - Ритца

Метод Галеркина - Ритца позволяет с удовлетворительной точностью решать внутреннюю электродинамическую задачу для продольно-регулярных резонаторов и волноводов с идеально проводящей поверхностью, поперечный контур которых может быть сложно криволинейной формы. В резонаторах и волноводах могут содержаться проводящие, диэлектрические и гиромагнитные элементы, которые могут быть неоднородными как по поперечному сечению, так и вдоль продольной оси. Для описания вычисляемых СВЧ-полей используются ортогональные разложения по собственным функциям волнового уравнения «вспомогательного» резонатора или волновода прямоугольной и круглой формы. В их поперечное сечение должны вписываться сечения рассчитываемых резонаторов или волноводов. Поперечные сечения «вспомогательных» резонаторов или волноводов полагаются идеально проводящими за пределами поперечного контура рассматриваемых резонаторов или волноводов (рис. 1). Для рассчитываемых СВЧ полей краевые условия на проводящей поверхности исследуемых резонаторов и волноводов и на поверхности содержащихся в них проводящих, диэлектрических и гиромагнитных элементов учитываются в рамках вариационных принципов, примененных к уравнениям Максвелла.

Вычислительная схема метода Галеркина - Ритца рассматривается на примере решения внутренней электродинамической задачи для продольнорегулярного волновода с криволинейным поперечным контуром. СВЧ-поля

представляются в виде E = E(w)(х,y)exp(y'yz), H = H(w)(x,y)exp(jyz), где Y = 2п/Л, Л - длина СВЧ-волны в волноводе. Вводится понятие о базовом

32

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

волноводе в виде проводящего стержня прямоугольной формы сечением d х с, рис. 1. В стержне имеется отверстие с поперечным контуром исследуемого волновода. Площадь поперечного сечения исследуемого волновода обозначается через SW, а базового волновода - через SB.

Процедура построения вычислительной схемы включает следующие моменты. Для «вспомогательного» волновода задаются базовые функции [10, 21]:

E0

ноhm% x, у)=х • нотъ х)

E(h) = kx(m) у (1)( x y) E(h) = _ ^y(n) Y (2)( x v) E(h) = 0

0m,n (y) и 1 т,пУл? У ' > ^ 0m,n (x) и Jm,nVx’X^ 0m,n (z) ’

K0 K0

н

n 0...(v) ~ - - 1 m,n \ У ' ’ n 0m,n (x) P0 k Jm,n^>//>

1 кУ(n) Ym,n у (2),

0m,n (y) P0 k0 k0

-

.__1_ kx(m) Ym,n у (1).

v0 Л0

k 2 I k 2

H (h) = i1 kx(m) + kv(n) Y (3)(x v);

n 0m,n(z) 2 P0 ,2 Jm,n«>/^

0 k0

= кУ

0m,n (y) k ^ m,nY 0m,n (x) ^

Л0 ^0 ^

E

' r\.„

Ym,n( x, У ),

v0 л0

k 2 i k 2 k

E

c0m,n (z) > .2 -'m,n'x’^/’ n 0mn( v) P„ /_ Jm,n'A'’-^/’

k2

0m,n (y) p0 k0 *m,n'

н(e) =___L ky(n) у (1)(xv) H(e) = 0'

n 0m,n

Ymyn = Sln (kx(m) x) cos (ky(n) У), = cos (kx(m) x) sin (ky(n) У),

Ym

где

Physical and mathematical sciences. Mathematics

33

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Y 2 =k 2 _i 2 , 2

lm,n л0 лх (m) Ky (n)’ kx(m) = m П / d, ky (m) = n П / c ,

p0 =V Ц0 / 80 = 120 nj k0 =  V M-0 ' e0 = 2n/k

Приближенные решения рассчитываемых СВЧ-полей строятся отдельно для волн типа H и типа Е. Для волны типа H приближенное решение имеет вид

N M

e(Hm = ехр(Лz^  E0m,„ (x, y)j

n= 1 m = 1

N M

h

nN, M

exp

n=1 m = 1

Приближенное решение для СВЧ-полей волны типа E имеют вид

N M

e(n?m = exp (/y z )2 z (Xj y)j

n=1 m = 1

N M

hn,m=exp с/yz )z z dm,)n  H0mu

n=1 m = 1

Подставляя

rot н

Преобразуя выражения (8) с учетом (1)-(5), для волн типа H получим

N M

zz

n=0 m = 1

c (h) _ ( 1 + Y n,m ' ( Y_Yn,m ) ^ d„(h2

v k0 )

X

N M

zz

n=0 m = 1 l _

Y

X{ X' E0

' { X' {m (x)(Xj У) + y'H0(nh)m (y)(X У) } +

{ P' H0

Y c (h) _ d (h) ^n,m m

c

‘'n ,m un,m

Аналогично преобразуя выражения (9), для волн типа Е получим

N M Г

zz

c

^n ,m u'n,m

n= 0 m = 1 VL Yn,m

' { X' {m ( x)(X, У) + У' E0n,m (y)(X, У) }

+

34

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

+

z . E

z ^0 n,m

= 0;

N M

zz

n= 0 m = 1

r Г 1| Y n,m . ( Y-Yn ,m ) ^ . c(e) - d(e) n,m n,m

V- V k0 V

4

x. H

0 n, m

= 0.

Для ортогонализации определяемого приближенного решения используются комплексно-сопряженные векторные функции (1), (2) с индексами p = 1,..., N и k = 1,..., M вместо m и n. Данные функции умножаются скалярно на функции в (10), (11) и (12), (13). В полученных выражениях вычисляются интегралы по x и у в пределах площади SW. В результате имеем однородные системы из 2(N + M) линейных алгебраических уравнений вида

N M

z z m e,w<;;

e)

N M

+

V

z d (K'

/ * um,n

Wlhf k) = 0,

12( m,n, p,k) ’

n=0 m=1

n=0 m= 1

N M

N M

V V c(h, e)w(he) + V V d(h, e)w(he) = 0

m,n 21

n= 0 m=1

n=0 m=1

Коэффициенты We)(m n h k) (i = 1, 2) (j = 1, 2) для волн типа H зада-

ются выражениями

w1

11

ky

k 2

0

Wcs

+ kx(m) kx(p) w + k 2 w SC (m,n, h, k)’

k0

0

w1

12

^ 1+Ym,n ( Y-Ym,n ) ^

V

k2

0

w1(h) •

11( m,n, h, k)’

/

w

21

k0

, kx(m) + ky(n) kx(p) + ky(k) w •

+--------:--------------:-----wCC (m,n, h, k);

k 2

0

k 2

0

w i h)

22

Ym,n Yp,k w

k 2 11

k

k 2 + k 2 k 2 + k 2

kx(m) + ky (n) kx(p) + ky(k) w

2 wCC (m,n, h, k).

k2 k

0 k0 k0

Коэффициенты W((i/г, e)(m n h k) (i = 1, 2) (j = 1, 2) для волн типа Е задаются выражениями

w

II/... 7. 7_Ч — I УУ ,

11

k 2

0

22

+

k 2 + k 2 k 2 + k 2

kx

k 2

0

k 2

0

wss

(m,n, h, k)’

Physical and mathematical sciences. Mathematics

35

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

W

Ipa! w

12

, k-x(m)+ky(n) kx (p) + ky (k) W ;

+--------:-------------:-----WSS

k 2 л0

k 2

0

W i ?)

21

1+Ym ,n

k 2

0

Wie)

22 (m,n, h,k)’

w

22

ky(n) ky(k) k 2 0

Wsc

k k

x(m) x(p) TJX /1ГЧ

WCS

k 2

0

В выражениях (15) и (16) введены обозначения:

WCS(m,n,h,k) = jj COS (kx(m) x)sin (ky(n) y)COS (p) x)sin (ky(k) У)dxdy;

sw

WSC (m,n,h,k) = jj Sin (kx(m) x)C0S (ky (n) У)sin (kx(p) x)cOS (ky(k) У)dxdy

SW

WCC (m,n,h,k) = jj C0S (kx(m) x)c0S (ky(n) У)c0S (kx(p) x)c0S (ky (k) У)dxdY;

SW

WSS (m,n, h, k) = jj Sin (kx (m) x)Sin k (n) У) X

SW

xSin

Определитель Det(W) системы (14) должен быть равен нулю. Решая уравнение Det(W(y, k0)) = 0 относительно у, можно вычислить зависимость у(^). С учетом найденного у определяются отношения с/^, e) / с,^?),

с (h, e) = 1 cm,n 1 •

В табл. 1 для волны Hw в Н-образном волноводе приведены результаты расчета зависимости величины 2ny/k0 от геометрии волновода g/с и h/d. Использовались базовые функции: HJ0, Н20, Н30, Н70, Н90.

Таблица 1

Геометрия волновода: а = d; b = с; c/d = 0,5

g/с 0,5 0,4 0,3 0,2

h/d

0,5 5,37* 5,49** 5,34* 5,49** 5,30* 5,47** 5,23* 5,41**

0,4 5,55* 5,63** 5,52* 5,64** 5,46* 5,61** 5,38* 5,59**

0,3 5,70* 5,79** 5,67* 5,79** 5,62* 5,77** 5,50* 5,71**

0,2 5,88* 5,94** 5,87* 5,94** 5,80* 5,92** 5,68* 5,87**

Примечание. * - данные соответствуют расчету методом Галеркина - Ритца из [10]; **- данные соответствуют расчету методом «частичных областей» [14].

36

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

На рис. 2 для волны Ню в прямоугольном волноводе (c = b, d = а) приведены графики зависимости величины 2пу/k0 от se и це диэлектрикогиромагнитного элемента. Использовались базисные функции: Н10, Н20, Н30, Н40, Н50, Н60. В волноводе полагалось sw = 1; = 1, а в элементе - se = 8,

це = - 0,3,...,+0,3 при c = 0,4 X, d = 0,77 X, p = 0,2 X (рис. 2,а) и se = 2,5, це = 1 при c = 0,5 d, p = 0,2 d (рис. 2,б) (кривые: 1 - точный расчет методом «частичных областей»; 2 - расчет методом Галеркина - Ритца из [10]).

а) б)

Рис. 2

Из данных табл. 1 и рис. 2 следует, что кривые зависимости 2ny/k0 от геометрии волновода g/с и h/d, а также от параметров se и це элемента, полученные с помощью метода Галеркина - Ритца, отличаются на 2-10 % от результатов точного расчета, полученных с помощью метода «частичных областей». Ошибка в расчетах возрастает для волновода со сложно криволинейным поперечным контуром, в котором расположены элементы с большими величинами se и це [10]. Объясняется это тем, что метод Галеркина - Ритца является вариационным методом, поэтому краевые условия выполняются строго только на поперечном контуре «вспомогательного» волновода.

2. Анализ метода частичных областей прямоугольной формы

Метод частичных областей позволяет с высокой точностью решать внутреннюю электродинамическую задачу для продольно-регулярных волноводов, поперечное сечение которых условно можно представить в виде сетки из нескольких прямоугольных ячеек разных размеров, рассматриваемых как частичные области (рис. 3).

В частичных областях СВЧ-поля представляются в виде неортогональных разложений по собственным функциям волнового уравнения в прямоугольных координатах. На проводящих границах частичной области краевые условия задаются для тангенсальных составляющих электрического поля в виде Ет = 0. На общих границах частичных областей для «сшивания» СВЧ-полей используются два варианта вычислительной схемы. В первом варианте

Physical and mathematical sciences. Mathematics

37

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

для «сшивания» полей используется методика Фурье-разложения СВЧ-поля на общей границе частичных областей по многочленам Гегенбауэра или Чебышева, что позволяет учитывать особенности поведения СВЧ-поля вблизи ребер на поверхности волновода. Во втором варианте используется альтернирующий метод Шварца, основанный на построении цепочки приближенных решений СВЧ-поля на общих границах частичных областей. В работе [14] показано, что первый вариант позволяет более эффективно решать электродинамическую задачу, чем второй вариант. Поэтому ограничимся анализом первого варианта вычислительной схемы, которую рассмотрим на примере Н-образного волновода (рис. 3,а). Поперечное сечение данного волновода симметрично относительно осей x и у, поэтому процедуру построения вычислительной схемы рассмотрим применительно к частичным областям 1 и 2.

Рис. 3

В вычислительной схеме используются решения уравнения Гельмгольца для электрического П(z) = z П ez(x, у)exp (j у z) и магнитного

П(m) = zПZ”(x,у)exp (jуz) векторов Герца

d n

где ^0(кр) = ko при Y=0.

Электромагнитные СВЧ-поля представляются в виде для Н -волн: E=- jk0 р0 rot П(m); H=k^ П(m) +graddivП(т);

для Е -волн: E=k0 П

Граничные условия: n(z) = 0, dn(m)/d/n = 0, если стенка электрическая, и n(m) = 0, dn(z)/din = 0, если стенка магнитная, где производная д П/д1п вычисляется по нормали к стенке.

Решение уравнения (18) представляется в частичных областях 1 и 2 в виде рядов с неопределенными коэффициентами по собственным функциям

*£$( x) и Г<?$( у):

rr

z Ar'-y ^ ^уп^ >( у).

п = 1

38

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

П(e’m) = V R(e,m) . X(e

L1z (2) ~ Z-i °n (

n = 1

N

m)(*). Y(nb m)( y);

хП(1)(x) = cosV ^02(кр)-(nn /b)2 X; Yn(mi) (y) = cos(nn y /b);

хПm2)(x) = cos^k02(Kp) - (nn / g)2 (X - a /2)+n5/2; Yn((2)( У)=cos( n ny/ g);

xne(i)(X) = sin\j k02(KP)-(nn /b)2 x ; Yn((ei)(y) = sin (nn /b) y;

Xn e(2)( x) = sin^ k02(Kp) - (n n / g )2 ( x - a/2) + n5/2 ; Yn((2)( y) =sin( n n/ g) y.

Здесь 5 = 0, если поле Ey (x, y) при х = а /2 симметрично относительно оси у, и 5 = 1, если поле Ey (х, y) асимметрично относительно оси у.

Отметим, что система функций y) ортогональна и полна на от-

резке [0, b], а система функций ynmi^y) ортогональна и полна на отрезке [(b - g)/2, (b + g)/2]. Поэтому имеем

J уж'(y)-mm'( y) dy=

1 при n=m, 0 при n Фm;

(b+g )/2

J Y„<(e2m,(y)-Y,me(2;,(y)dy=

(b - g )/2

1 при n=m, 0 при n Фm.

Для волн типа Н коэффициенты Anm), B<nm) определяются через значения функции F(m)(y) = ЭП(m)(х, y)/ Эх, задаваемой на линии (b - g)/2 < y < (b + g)/2 при х = (a -h)/2. Подставляем F(m)(y) в (20). Интегрируя вдоль отрезка [0, b], получим выражение для A^m). Интегрируя

вдоль отрезка [(b - g) /2, (b + g)/2], получим выражение для вП"). С учетом (23) имеем

Anm) = J F(m)(y) rjff(y)dy/s(m4;

b 0

(b+g )/2

B<m> = ' J'  F(m)( y) Y'miO.) dy I S^m) •

(b - g )/2

Physical and mathematical sciences. Mathematics

39

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Из условия непрерывности Hz(x,y)при (b - g)/2 < y < (b + g)/2, x = (a - h) / 2 и с учетом (19) имеем интегральное уравнение Фредгольма

1-го рода относительно функции F(т)(у):

U(т)( у' ) =

(b+g )/2

N

I f(т)(у)2 snmwmYtmMy')-

(b - g )/2

n = 1

- smKm ^ y') ^ у >j dy=0;

Sn (1,2) =d Xn (1,2)( Xo)/d x;

KTu) = ХП’(1),2)( X0) при x0 = (a - h)/2-

Для волн типа Е коэффициенты A^e), B<ne) определяются через значения функции F( e)( y) = П (e)( x, y), задаваемой на линии

(b - g)/2 < y < (b + g)/2 при x = (a - h)/2. Подставляем F(e)(y) в (20). Интегрируя вдоль отрезка [0, b], получим выражение для A^е). Интегрируя

вдоль отрезка [(b - g) /2, (b + g)/2], получим выражение для Bn). С учетом (23) имеем

4e) = | F (e)( y ) .YM( y )dy S%y

0

(b+g )/2 N /

B<e| = J F(e)(y)  *>( y)  dy/sn%r

(b - g )/2 /

Из условия непрерывности ЭП(е)( x, y)/ dx при

(b - g)/2 < y < (b + g)/2, x = (a -h)/2 получаем интегральное уравнение

Фредгольма 1-го рода относительно функции F(е)(y):

U (e)( /)--

N

: I F(e)(y) ^

(b -g)/2 n=1

S

Sn

Y(eh(y ) Y(lt}(y) -

- S

w

n(2У n(2)'

n

dy = 0;

Sn (1,2) = Xn (1,2)( x0);

Wn

Для решения (25) или (27) используется метод Фурье - Галеркина [17]. Для этого функция F(m)(y) должна иметь логарифмическую особенность

40

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

вблизи концов отрезка, а функция F (е)( у) должна быть равной нулю на концах отрезка. В этом случае непрерывные на отрезке

(b - g)/2 < у < (b + g)/2 функции F(т)(у) и F(е)(у) представляются в виде Фурье-разложения по полной системе ортогональных многочленов Геген-бауэра Cгу (2 у / g):

N

F(тe)(у)=2 ир Ф^e)(у);

р=i

где Up - неизвестные коэффициенты; функции Фртe)(у) имеют вид

ФРт)

1/3

Ф

Фурье-разложения функций F (т)( у) и F (е)( у) в виде (28) подставляются в (25) или (27) соответственно, а затем умножаются на Ф^e)(у') . Интегрируя по у' в пределах отрезка [(b - g) /2, (b + g) /2], получаем для Up однородную систему линейных алгебраических уравнений:

N

2 UpDme) = 0.

j=i

Коэффициенты Dp1-e) задаются выражениями

D

(т).

р. j

N

S

И = 1

S

Sn

N

d^.'j>=S L S„ e1) We?, ¥{;)„

n = 1

(b+g )/2

¥рт„(1,2) = i Фрт)(у') ^ту/)•

(b - g )/2 (b+g )/2

¥(;,)„(1,2) = I 4e)(у') Y„((t2)(у')d/;

(b-g )/2

Определитель Det(D) системы уравнений (30) должен быть равен нулю. Критическую длину волны Т.(кр) можно вычислить, решая уравнение Det(D( £0(кр))) = 0 относительно £0(кр).

Результаты по апробации рассмотренной вычислительной схемы метода частичных областей прямоугольной формы приведены в табл. 2 и 3.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

41

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

В табл. 2 приведены данные из [14], демонстрирующие сходимость рассчитываемых k0(N) к предельному значению к0(кр) для крестообразного волновода в зависимости от числа N многочленов Гегенбауэра в Фурье-разложении на общей границе частичных областей, и от числа М тригонометрических функций в разложениях СВЧ-полей. Геометрия волновода: для волны Н01: b/a =1; q/a = h/a = 0,2; для Н21: b/a =1; q/a = h/a = 0,5.

Таблица 2

N M Яю Я21 N M Я10 Я21

0 10 1,6664 4,9307 2 10 1,6680 4,9321

0 30 1,6625 4,9278 2 30 1,6649 4,9279

0 50 1,6619 4,9273 2 50 1,6645 4,9274

1 10 1,6677 4,9312 3 10 1,6680 4,9322

1 30 1,6649 4,9279 3 30 1,6649 4,9280

1 50 1,6645 4,9273 3 50 1,6645 4,9274

Таблица 3

b/a = 0,465; q/a = 0,197; h/a = 0,25 b/a = 0,43; q/a = 0,084; h/a = 0,25

Н01 Н21 Е11 Е21 Н01 Н21 Е11 Е21

2,2752 6,784 10,2164 15,738 1,6746 7,3546 11,0242 16,8404

В табл. 3 для Н-образного волновода приведены нормированные предельные значения к0(кр) • a-в зависимости от геометрии волновода из [14]. 3

3. Анализ метода неортогональных разложений по собственным функциям вспомогательных источников излучения

Метод позволяет c хорошей точностью решать внутреннюю и внешнюю электродинамическую задачу для продольно-регулярных металлодиэлектрических волноводов с криволинейным поперечным контуром. В волноводах могут содержаться проводящие, диэлектрические и гиромагнитные элементы.

Контур волновода образуют N линейных проводников (рис. 4). Поэтому данная модель волновода на критических длинах волн Лт,п рассчитываемых типов колебаний является открытым проволочным резонатором. Метод основан на решении задачи дифракции электромагнитного излучения внешних источников на проволочном контуре резонатора

Рис. 4

42

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

Вычислительная схема состоит из следующих структурных моментов.

В качестве источников излучения рассматриваются плоская волна и линейные излучатели. Полагается, что излучаемое ими СВЧ-поле распространяется перпендикулярно продольной оси волновода (оси z). Излучаемое

СВЧ-поле задается функцией Герца Пг (х, у). Если контур L симметричен относительно одной из координатных осей, то можно использовать функцию Пг (х,у), описывающую плоскую волну. Если контур L симметричен относительно обеих осей, то используется функция П1 (х, у), описывающая суммарное СВЧ-поле, излучаемое M линейными источниками. Функция П1 (х, у) не должна иметь особенностей как на поперечном контуре L волновода, так и внутри него.

Функция Пг (х, у) плоской волны, распространяющейся вдоль оси у, имеет вид

n

Линейные источники расположены в точках М(х$ ,у$ ), (т = 1,...,

М) вдоль вспомогательного контура S эквидистантно и симметрично относительно координатных осей. Конфигурация контура S должна быть подобна контуру L. Для выпуклых конфигураций L в качестве контура S может быть использована окружность. Контур S расположен вне контура L.

Функция Пг (х, у) линейного источника излучения задается выражением

п

где H0(ko r) - функция Ханкеля нулевого порядка первого рода; временная зависимость функции П1 (х, у) подразумевается в виде exp(j0; в дальнейшем полагается П(0) = 1.

Рассматривается проволочный волновод-резонатор (рис. 5), образуемый системой N параллельных проводящих проводников с электрическим диаметром (k0 d0) << 1, расположенных эквидистантно вдоль контура L в точках Mn (xLn,yLn h n = 1, ..., N.

Согласно методу коллокации, когда волновод-резонатор облучается монохроматической электромагнитной волной, излучаемой, например, M линейными источниками, приближенное решение для дифракционного СВЧ-поля представляется внутри волновода-резонатора с помощью выражения

N

П( x, у) = z • £ In •Н1 (g (х-gn)2 + (у - уЪп )2) -

n = 1

- z • £ Н1 go J

т = 1

Physical and mathematical sciences. Mathematics

43

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

где коэффициенты In пропорциональны СВЧ-току в n-м линейном проводнике; g = -у2 - поперечное волновое число рассчитываемого типа коле-

баний; при у = 0 имеем g = k0 = к0(кр).

Рис. 5

Токи In в (36) определяются из краевых условий равенства нулю тан-генсальной составляющей дифракционного электрического СВЧ-поля на поверхности проводников, образующих волновод-резонатор. Ввиду малости (k0-d0) можно использовать локальные краевые условия W П(xL ,yl ) = 0,

рассматривая их на поверхности проводника в точке (xL , yl ). Вид представления оператора W зависит от типа краевого условия для рассчитываемого типа волны в волноводе. Для волн типа Н имеем W = 1, а для волн типа Е имеем W = Э... /dln, где Э... /dln - производная вдоль нормали к контуру L.

Подставляя выражение (36) в краевое условие W П(Xl ,yL ) = 0, получаем неоднородную систему из N линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных In:

N

Z In •W H1 (( (( -( )2 + (yLp -yL„ )2) =

n = 1

M

= Z WH 0

m = 1

Устойчивость и хорошая обусловленность системы уравнений (37) для произвольного числа проводников N выполняется, когда в определителе системы доминируют диагональные элементы. Это требование выполняется, если контур S «подобен» контуру L. При этом каждая точка (x$ , х$ ) на

контуре S удалена от точки на контуре L вдоль нормали, возведенной из точки на L, на расстояние 0,25 < (k0q) < 0,5. Причем при расчете собственных значений к0(кр) рассчитываемых типов колебаний в волноводе достижение от-

44

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

носительной погрешности в пределах Ю^-Ю-4 обеспечивается при выполнении условия q < Rmin, где Rmin - минимальный радиус кривизны вогнутой части контура L.

Подставляя найденные токи In в (36), получаем выражение, задающее СВЧ-поле в точке (х0, y0), расположенной внутри контура L. Изменяя параметр k0, наблюдаем в этой точке (х0, y0) за изменением модуля | П(xo, yo) I. В результате в окрестности Лт,п будет наблюдаться резонансное увеличение амплитуды СВЧ-поля внутри резонатора. Максимум амплитуды является индикатором для определения Лтп.

С увеличением числа N дифракционное поле |П(х, y)| внутри контура L стремится к собственному полю волновода. Но при этом резко уменьшается максимум амплитуды СВЧ-поля в окрестности Лтп. В силу этого краевые условия для СВЧ поля на проволочном контуре резонатора, а также на контуре проводящих, диэлектрических и гиромагнитных элементов внутри резонатора (если они рассматриваются) учитываются не достаточно строго.

На рис. 5 приведены результаты расчета [20] при возбуждении электромагнитного поля волны Н11 внутри проволочного резонатора квадратной формы (b/a = 1) с помощью четырех линейных источников излучения (обозначены точками на окружности); на рис. 5,а - линии равных амплитуд СВЧ-поля Ex; на рис. 5,б - зависимость амплитуды поля для Ex от X/a (резонанс наблюдается при X 0/а = 2,0).

На рис. 6 приведены результаты расчета [20] при возбуждении электромагнитного поля волны Н01 внутри проволочного резонатора эллиптической формы (b/a = 0,7) с помощью плоской электромагнитной волны; на рис. 6,а - линии равных амплитуд СВЧ поля Ex; на рис. 6,б - зависимость амплитуды поля для Ex от X/a (резонанс наблюдается при X 0/а = 1,282).

а) б)

Рис. 6

Заключение

В отношении численных сеточных методов можно сделать следующие выводы:

- данные методы характеризуются высокой трудоемкостью. Любое изменение конфигурации контура волновода требует построения всей цепочки трудоемких вычислительных процедур;

Physical and mathematical sciences. Mathematics

45

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

- имеются ограничения на допустимые для расчета соотношения геометрических размеров и конфигурацию поперечного контура волноводов. Это связано с трудоемкостью построения сеточного аналога расчетной области и выбора эффективного алгоритма решения задачи;

- применение данных методов малоэффективно при расчете открытых (диэлектрических) волноводов, так как не обеспечивается требуемая точность расчета критических частот и СВЧ-полей рассчитываемых типов волн из-за приближенного задания внешних краевых условий.

В отношении вариационного метода Галеркина - Ритца можно сделать выводы:

- используемые выражения для СВЧ-полей удовлетворяют уравнениям Максвелла приближенно, так как используется конечное число базовых функций, а краевые условия выполняются строго только на участках поперечного контура исследуемого волновода, соответствующих контуру «вспомогательного» волновода;

- можно весьма приближенно вычислять зависимость величины у/к0 от геометрии волновода и параметров диэлектрико-гиромагнитного элемента, расположенных внутри волновода. Пространственное распределение составляющих СВЧ-поля рассчитывается качественно;

- при расчете используется трудоемкая процедура расчета системы ли-

2 2

нейных алгебраических уравнений (требуется произвести 16(М + N ) вычислений двойных интегралов по поперечному сечению волновода);

- ошибка вычисляемых значений у/£0 по отношению к точным значениям составляет от 5 до 25 %. Точность расчета зависит от конфигурации поперечного контура.

В отношении метода «частичных областей» можно сделать следующие выводы:

- можно решать только внутреннюю электродинамическую задачу для продольно-регулярного волновода с проводящими стенками;

- допускается расчет конфигураций поперечного контура волноводов, у которых поперечное сечение можно представить в виде сетки из нескольких прямоугольных ячеек.

В отношении метода неортогональных разложений по собственным функциям вспомогательных источников излучения можно сделать выводы:

- внутренняя и внешняя электродинамическая задачи решаются только для продольно-регулярных волноводов;

- краевые условия учитываются строго только на поверхности проводников, образующих поперечный каркас волновода, поэтому погрешность расчета собственных значений £0(кр) рассчитываемых типов колебаний обеспечивается лишь в пределах 10-2-10^ ;

- пространственное распределение составляющих СВЧ-поля вблизи граничной поверхности рассчитывается приближенно;

- имеются ограничения на допустимые для расчета конфигурации поперечного контура волноводов, что связано с трудностью построения вспомогательного контура, на котором располагаются линейные источники излучения, а также с трудностью выбора их числа.

46

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

Список литературы

1. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики : учеб. пособие / Г. И. Марчук. - М. : Наука. Физматлит, 1989. - 608 с.

2. Самарский, А. А. Введение в теорию разностных схем / А. А. Самарский. -М. : Наука. Физматлит, 1971. - 460 с.

3. Крылов, В. И. Вычислительные методы / В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырский. - М. : Наука. Физматлит, 1977 - Т. 2. - 400 с.

4. Ильин, В. П. Численные методы решения задач электрофизики / В. П. Ильин. -М. : Наука. Физматлит, 1985. - 336 с.

5. Вольфман, В. И. Метод определения критических частот и собственных волн металлических волноводов со сложной формой поперечного сечения / В. И. Вольфман // Радиотехника и электроника. - 1974. - Т. 19, № 7. - С. 1368-1371.

6. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фик. - М. : Мир, 1977. - 350 с.

7. Сильвестер, П. П. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инже-неров-электриков : пер. с англ. / П. П. Сильвестер, Р. Л. Феррари. - М. : Мир, 1986. - 230 с.

8. Раевский, С. Б. Метод расчета критических частот эллиптического волновода / С. Б. Раевский // Радиотехника и электроника. - 1970. - Т. 15, № 9. - С. 19591961.

9. Альховский, Э. А. Гибкие волноводы в технике СВЧ / Э. А. Альховский, Г. С. Головченко, А. С. Ильинский и др. ; под ред. Э. А. Альховского. - М. : Радио и связь, 1986. - 128 с.

10. Никольский, В. В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики / В. В. Никольский. - М. : Наука. Физматлит, 1967. - 460 с.

11. Свешников, А. Г. К обоснованию метода расчета распространения электромагнитных колебаний в нерегулярных волноводах / А. Г. Свешников // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1963. - Т. 3, № 2.

12. Свешников, А. Г. Распространение колебаний в нерегулярных волноводах с боковой поверхностью сложной формы / А. Г. Свешников, Г. С. Ильинский, И. П. Котик // Вычислительные методы и программирование. - М. : Изд-во МГУ, 1965.

13. Орлов, В. П. О расчете постоянных распространения волноводов сложной формы при помощи преобразования координат / В. П. Орлов // Радиотехника и электроника. - 1964. - Т. 9, № 3. - С. 553.

14. Волноводы сложных сечений / Г. Ф. Заргано, В. П. Ляпин, В. С. Михалевский, Ю. М. Синельников, Г. П. Синявский, И. М. Чекрыгина. - М. : Радио и связь,

1986. - 124 с.

15. Гальченко, Н. А. Волноводы сложных сечений и полосковые линии / Н. А. Гальченко, В. С. Михалевский, Г. П. Синявский. - Ростов н/Д : Изд-во РГУ, 1978. - 176 с.

16. Заргано, Г. Ф. Применение метода Шварца к расчету электрических параметров крестообразного волновода / Г. Ф. Заргано, Н. А. Гальченко, В. С. Михалев-ский, Г. П. Синявский // Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Естественные науки. - 1974. - № 2. - С. 93-98.

17. Михлин, С. Г. Численная реализация вариационных методов / С. Г. Михлин. -М. : Наука. Физматлит, 1966. - 420 с.

18. Алексидзе, М. А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям / М. А. Алексидзе. - М. : Наука. Физматлит, 1978. - 352 с.

19. Алексидзе, М. А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач / М. А. Алексидзе. - М. : Наука. Физматлит, 1978. - 352 с.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

47

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

20. Заридзе, Р. С. Расчет продольно-регулярных волноводов методом вспомогательных источников / Р. С. Заридзе, Д. Д. Каркашадзе, Д. Ш. Хатиашвили. - Тбилиси : Изд-во ТГУ, 1985. - 150 с.

21. Брунов, Б. Я. Теория электромагнитного поля / Б. Я. Брунов, Л. М. Гольден-берг, И. Г. Кляцкин и др. ; под ред. И. Г. Кляцкина. - М. ; Л. : Госэнергоиздат, 1962. - 512 с.

References

1. Marchuk G. I. Metody vychislitel’noy matematiki: ucheb. posobie [Methods of calculus mathematics: tutorial]. Moscow: Nauka. Fizmatlit, 1989, 608 p.

2. Samarskiy A. A. Vvedenie v teoriyu raznostnykh skhem [Introduction into difference scheme theory]. Moscow: Nauka. Fizmatlit, 1971, 460 p.

3. Krylov V. I., Bobkov V. V., Monastyrskiy P. I. Vychislitel’nye metody [Computational methods]. Moscow: Nauka. Fizmatlit, 1977, vol. 2, 400 p.

4. Il'in V. P. Chislennye metody resheniya zadach elektrofiziki [Numerical methods of solution of electrophysics problems]. Moscow: Nauka. Fizmatlit, 1985, 336 p.

5. Vol'fman V. I. Radiotekhnika i elektronika [Radio engineering and electronics]. 1974, vol. 19, no. 7, pp. 1368-1371.

6. Streng G., Fik Dzh. Teoriya metoda konechnykh elementov [Theory of finite elements method]. Moscow: Mir, 1977, 350 p.

7. Sil'vester P. P., Ferrari R. L. Metod konechnykh elementov dlya radioinzhenerov i in-zhenerov-elektrikov: per. s angl. [Finite elements method for radio and electrical engineers: translation from English]. Moscow: Mir, 1986, 230 p.

8. Raevskiy S. B. Radiotekhnika i elektronika [Radio engineering and electronics]. 1970, vol. 15, no. 9, pp. 1959-1961.

9. Al'khovskiy E. A., Golovchenko G. S., Il'inskiy A. S. et al. Gibkie volnovody v tekhnike SVCh [Flexible waveguides in UHF technology]. Moscow: Radio i svyaz', 1986, 128 p.

10. Nikol'skiy V. V. Variatsionnye metody dlya vnutrennikh zadach elektrodinamiki [Variational methods for internal problems of elecrodynamics]. Moscow: Nauka. Fizmatlit, 1967, 460 p.

11. Sveshnikov A. G. Zhurnal vychislitel’noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 1963, vol. 3, no. 2.

12. Sveshnikov A. G., Il'inskiy G. S., Kotik I. P. Vychislitel’nye metody i programmiro-vanie [Computational methods and program engineering]. Moscow: Izd-vo MGU, 1965.

13. Orlov V. P. Radiotekhnika i elektronika [Radio engineering and electronics]. 1964, vol. 9, no. 3, p. 553.

14. Zargano G. F., Lyapin V. P., Mikhalevskiy V. S., Sinel'nikov Yu. M., Sinyavskiy G. P., Chekrygina I. M. Volnovody slozhnykh secheniy [Waveguides with complex sections]. Moscow: Radio i svyaz', 1986, 124 p.

15. Gal'chenko N. A., Mikhalevskiy V. S., Sinyavskiy G. P. Volnovody slozhnykh secheniy i poloskovye linii [Waveguides with complex sections and striplines]. Rostov-on-Don: Izd-vo RGU, 1978, 176 p.

16. Zargano G. F., Gal'chenko N. A., Mikhalevskiy V. S., Sinyavskiy G. P. Izvestiya Severo-Kavkazskogo nauchnogo tsentra vysshey shkoly. Estestvennye nauki [Proceedings of North-Caucasus Scientific Center of Higher School. Natural Sciences]. 1974, no. 2, pp. 93-98.

17. Mikhlin S. G. Chislennaya realizatsiya variatsionnykh metodov [Numerical realization of variational methods]. Moscow: Nauka. Fizmatlit, 1966, 420 p.

18. Aleksidze M. A. Reshenie granichnykh zadach metodom razlozheniya po neortogo-nal’nym funktsiyam [Solution of boundary problems by expansion to non-orthogonal functions]. Moscow: Nauka. Fizmatlit, 1978, 352 p.

48

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

19. Aleksidze M. A. Fundamental’nye funktsii v priblizhennykh resheniyakh granichnykh zadach [Fundamental functions in approximate solutions of boundary problems]. Moscow: Nauka. Fizmatlit, 1978, 352 p.

20. Zaridze R. S., Karkashadze D. D., Khatiashvili D. Sh. Raschet prodol’no-regulyarnykh volnovodov metodom vspomogatel’nykh istochnikov [Calculation of longitudinal-regular waveguides by the method of auxiliary sources]. Tbilisi: Izd-vo TGU, 1985, 150 p.

21. Brunov B. Ya., Gol'denberg L. M., Klyatskin I. G. et al. Teoriya elektromagnitnogo polya [Theory of electromagnetic field]. Moscow; Leningrad: Gosenergoizdat, 1962, 512 p.

Захарченко Михаил Юрьевич

кандидат технических наук, доцент, кафедра автоматизации, управления, мехатроники, Саратовский государственный технический университет имени Ю. А. Гагарина

E-mail: atp@sstu.ru

Захарченко Юрий Федорович

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Саратовское отделение Института радиотехники и электроники РАН

E-mail: atp@sstu.ru

Zakharchenko Mikhail Yur'evich

Candidate of engineering sciences, associate professor, sub-department of automation, control and mechatronics, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov (77 Politekhnicheskaya street,

Saratov, Russia)

Zakharchenko Yuriy Fedorovich Candidate of physical and mathematical sciences, senior staff scientist, Saratov branch of the Institute of Radio Engineering and Electronics of RAS

УДК 519.633 Захарченко, М. Ю.

Анализ численно-аналитических методов решения электродинамической задачи для продольно-регулярных волноводов со сложным криволинейным поперечным контуром / М. Ю. Захарченко, Ю. Ф. Захарченко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. - № 3 (35). - С. 28-49.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

49