Влияние точечных дефектов на трещиностойкость границы соединенных материалов

УДК 539.373

Влияние точечных дефектов на трещиностойкость границы

соединенных материалов

Р.В. Гольдштейн1, Т.М. Махвиладзе2, М.Е. Сарычев2

1 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия 2 Физико-технологический институт РАН, Москва, 117218, Россия

С использованием подхода, основанного на методах неравновесной термодинамики, развита модель, позволившая сформулировать критериальные условия квазистатического распространения трещин по границе соединения абсолютно упругих материалов, когда они являются либо бездефектными, либо содержат неравновесные точечные кристаллические дефекты типа вакансий или атомарных примесей внедрения или замещения. Модель включает в себя разработанные ранее представления об интерфейсе как о поверхности, адсорбирующей точечные дефекты из объемов образующих его материалов, и описание кинетики адсорбции дефектов на интерфейсе. Полученный критерий роста трещины содержит параметры, связанные с адсорбцией дефектов как на интерфейсе, так и на свободных поверхностях материалов, появляющихся при раскрытии трещины. В критерий трещиностойкости входят величина работы обратимого разделения интерфейса, зависящая от концентрации дефектов в соединенных материалах, и скорость роста трещины. Показано, что изменяя концентрации дефектов, можно реализовывать тот или иной режим кинетики развития трещины (рост или залечивание). В качестве примера подробно проанализировано влияние неравновесных вакансий на рост трещины. В предположении, что вакансии есть только в одном из соединенных материалов, выведено и проанализировано уравнение, определяющее концентрацию вакансий, при которой может происходить смена режима развития трещины. В двух случаях, отвечающих предельным концентрациям вакансий, найдены аналитические решения этого уравнения. Для типичных условий функционирования актуальных многослойных структур получены и количественно проанализированы практические ограничения, при которых могут быть реализованы указанные предельные случаи. Эти ограничения относятся к значениям температуры и растягивающих механических напряжений, а также к значениям параметров, характеризующих свойства материалов и способности интерфейса и свободных поверхностей адсорбировать вакансии. Установлено, каким образом происходит смена режима распространения трещины с ростом концентрации вакансий. Результаты работы могут быть использованы, в частности, для моделирования и оптимизации адгезионных характеристик многослойных структур, применяемых в современных микро- и наноэлектронных технологиях а также при исследовании долговечности их функционирования.

Ключевые слова: трещина, интерфейс, скорость производства энтропии, работа отрыва, вакансии DOI 10.24411/1683-805X-2018-12002

Influence of point defects on the fracture toughness of interfacing materials

R.V. Goldstein1, Т.М. Makhviladze2, and M.E. Sarychev2

1 Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow, 119526, Russia

2 Institute of Physics and Technology RAS, Moscow, 117218, Russia

A nonequilibrium thermodynamics approach has been applied to develop a model to formulate the criteria conditions for quasi-static crack propagation along the interface of perfectly elastic materials, for the cases when the materials are either defect-free or contain nonequilibrium point defects such as vacancy-type defects or substitutional or interstitial impurity atoms. The model includes the previously introduced concept of the interface as a surface that adsorbs point defects from the contacting materials, and the description of the adsorption kinetics of defects onto the interface. The obtained crack growth criterion contains parameters related to defect adsorption both on the interface and on the free surfaces of materials formed during crack opening. The fracture toughness criterion includes the work of reversible interface separation, which depends on the concentration of defects in the interfacing materials, and the crack velocity. It is shown that the crack evolution process (growth or healing) can be controlled by changing the concentration of defects. As an example, the effect of nonequilibrium vacancies on crack growth is analyzed in detail. An equation has been derived and analyzed, with the assumption that vacancies are present only in one of the adjacent materials, to determine the concentration of vacancies at which the mode of crack evolution can change. Analytical solutions of this equation are obtained for two cases that correspond to the limiting vacancy concentrations. Practical limitations for these limiting cases are determined and quantitatively analyzed for typical operating conditions of existing multilayer structures. The limitations relate to the temperature and tensile stress values, as well as to the values of the parameters that characterize the material properties and the ability of the interface and free surfaces to adsorb vacancies. It is found how the crack propagation mode changes with increasing vacancy concentration. The obtained results can be applied, for example, for modeling and optimizing the adhesion characteristics of multilayer structures used in modern micro- and nanoelectronic technology, as well as for studying the service life of the structures.

Keywords: crack, interface, entropy production rate, work of separation, vacancies

© Гольдштейн Р.В., Махвиладзе Т.М., Сарычев М.Е., 2018

1. Введение

Ввиду широкого использования в современных технологиях многослойных структур становится актуальной проблема их прочностной надежности [1-3]. Одной из важных задач в данной области является разработка последовательной модели, описывающей расслоение подобных структур вследствие роста трещин по меж-слойным границам (интерфейсам) и выясняющей роль дефектности материалов в этом процессе [4]. На первый план здесь выходит получение адекватных условий (критериев) возможности роста трещин в зависимости от концентрации дефектов в соединенных материалах [4, 5].

Ранее в работах [2, 6] была развита модель, описывающая влияние неравновесных точечных дефектов на адгезионную прочность твердотельных интерфейсов. Модель основана на представлении об интерфейсе как поверхности, способной адсорбировать дефекты из объемов материалов. Было показано, что существуют условия, когда при определенных концентрациях дефектов в соединенных материалах интерфейс становится термодинамически неустойчивым, т.е. подверженным спонтанному расслоению. Если на интерфейс действует растягивающая механическая нагрузка, то в этом случае расслоение может происходить посредством образования и роста трещины, причем условия, определяющие возможность такого процесса (соответствующие критерии трещинообразования), должны учитывать дефектность материалов.

Обычно в качестве условия роста трещин в однородном абсолютно упругом твердом теле используется так называемый критерий Гриффитса (см., например в [7]), который основан на энергетическом балансе (т.е., фактически, на первом начале термодинамики), определяя лишь пороговое значение механического напряжения, необходимое для роста трещины. С целью получения условий, несущих также информацию о направленности процесса, в работе [8] был использован подход, в котором изменение длины трещины рассматривается как квазистатическая релаксация к состоянию нового термодинамического равновесия и применяются методы неравновесной термодинамики.

В настоящей работе подход, предложенный в [8] для однородного материала, обобщен для нахождения критерия квазистатического роста трещины по интерфейсу между различными абсолютно упругими материалами. Кроме того, в рамках такого обобщенного подхода и с использованием результатов исследования адгезионных и адсорбционных свойств интерфейсов [2, 6] развита модель, позволяющая определить, как изменится критерий распространения трещины, если соединенные материалы содержат неравновесные точечные дефекты (вакансии или атомарные примеси внедрения или замещения). Для случая когда дефектами являются вакансии, проанализирована зависимость критерия от их концент-

раций. Найдены и исследованы условия, при которых за счет увеличения концентрации вакансий режим увеличения длины трещины может сменяться режимом ее уменьшения («залечивания») или наоборот. Выполнены оценки, показывающие, что такого рода эффекты могут быть реализованы.

2. Модель роста трещины вдоль интерфейса бездефектных абсолютно упругих материалов

Рассмотрим рост трещины по плоской границе (интерфейсу) между двумя абсолютно упругими материалами 1 и 2, обобщив с этой целью модельную термодинамическую систему, введенную в [8] для описания поведения трещины в объеме абсолютно упругого однородного твердого тела. Пусть теперь тело состоит из двух абсолютно упругих соединенных материалов 1 и 2, на каждый из которых перпендикулярно интерфейсу и в противоположных направлениях действует пара постоянных растягивающих внешних сил Р (в расчете на единицу толщины тела в направлении параллельном линии трещины), в результате чего происходит рост трещины. Обозначим через Д1 и Д2 — упругие смещения в материалах 1 и 2 под действием сил Р в данный момент времени t. Считается также, что твердое тело находится в контакте с тепловым резервуаром, который поддерживает неизменной температуру системы Т и обеспечивает для этого в каждый данный момент времени поступление некоторого количества теплоты Q1 и Q2 в материалы 1 и 2 (в расчете на единицу толщины тела).

Так же как и в [8], предполагаем, что скорость движения трещины достаточно мала и обе части, составляющие тело, как целое приобретают пренебрежимо малую кинетическую энергию и проходят через последовательность состояний условного равновесия (квазиравновесных состояний), соответствующих последовательности мгновенных значений длины трещины I.

Записав теперь аналогично [8] в каждый момент времени роста трещины первый закон термодинамики для данной системы и взяв от этого соотношения производную по времени, получим

где и = и1 (Д1, I, Т) + и2(Д2, I, Т) — внутренняя энергия системы (в расчете на единицу его толщины); и1 и и 2 — соответствующие внутренние энергии материалов 1 и 2. Отметим, что в (1) в соответствии с подходом [8] I рассматривается как внутренний параметр состояния системы.

Рассмотрим теперь рост трещины как релаксационный процесс к состоянию равновесия в полной системе, включающей деформированные соединенные материалы и тепловой резервуар. Тогда, согласно второму закону термодинамики, энтропия такой системы должна расти (не убывать) со временем, т.е. имеет место соотношение £ > </Т, где 5 = 5(Д1, Д2,1, Т) — энтропия

двухкомпонентного тела с трещиной, Q = Q1 + Q2 и знак равенства отвечает изменению длины трещины по обратимому процессу. Отсюда можно записать соотношение

Б = Л +

где Л — скорость производства энтропии [8]. Исключая Q из (2) с помощью (1), получим

ТЛ = Р+Л2) + ТБ - и = Р(Л 1 + Л2)-Ф > 0, (3) где Ф = и -ТБ = Ф(Л1, Л2,1, Т) — свободная энергия Гельмгольца тела на единицу его толщины.

Раскрывая производную Ф с учетом всех ее аргументов и постоянства температуры, запишем соотношение (3) в виде

ТЛ=1 Р -

ЭФ

к +1 Р -

ЭФ

ЭЛ1 I 1 I ЭЛ2 | 2 д1

ЭФ  Л2 - —/ >0.

Считая, что Ф = 0 при Р = 0 и I = 0, т.е. в ненагру-женном состоянии и в отсутствие трещины, при данной температуре Тимеем, что Ф(Л1, Л2,1, Т) равно работе, которую необходимо затратить для обратимого изотермического перехода системы (тело-териостат) в состояния с трещиной длины I.

Этот процесс может быть осуществлен в две стадии [8]. Первая состоит в обратимом разделении по границе материалов двух слоев атомов, образующих стенки трещины, действуя против сил сцепления до тех пор, пока эти слои не разойдутся на расстояние, превышающее эффективный радиус межатомного взаимодействия. По определению обратимая работа изотермического разделения таких слоев (в расчете на единицу площади слоя) равна работе адгезионного отрыва Wa = у1 + у2 -у12, где у1, у2 и у12 — коэффициенты поверхностного натяжения материалов 1, 2 и интерфейса между ними соответственно. Следовательно, вклад этой стадии в Ф равен WaI. На второй стадии необходимо упруго деформировать каждый элемент тела вне трещины так, чтобы он перешел в то самое напряженное состояние, которое возникает в нем в действительности, когда длина трещины становится равной I, а смещения материалов — Л1 и Л2. Согласно подходу Гриффитса [6], работа, необходимая для этого, равна энергии изотермической упругой деформации Е(Л1, Л2,1) тела (на единицу толщины), рассчитываемой без учета действия сил молекулярного сцепления около носика трещины, т.е. PdЛ1 + + PdЛ2 = [ёЕ ]. Учитывая, что Е(Л1, Л2,1) = Е1 (Л1,1) + + Е2(Л 2,1), где Е1 и Е2 — соответствующие энергии упругих деформаций в материалах 1 и 2, имеем

'Е) эЛ I,

= р,

дЕ2 ЭЛ

2 I

= Р.

Суммируя оба вклада в Ф, получим Ф =№,1 + Е1(Л1,1) + Е2 (Л 2,/), т.е. входящие в (4) производные могут быть записаны следующим образом:

ЭФ ЭЕ-

•й"^ = Р (- = 1,2),

ЭЛ- эл

^ = Га + - „а - С1 - С2,

ы ы ы

где Gi = -ЭЕ-/ д1 (i = 1, 2) — так называемые скорости освобождения энергии (изменения упругой энергии на единицу длины трещины) в материалах 1 и 2 соответственно.

Подставляя (6) в (4), получим критерий квазистатического роста трещины по границе в виде

Таким образом, как и в [8] для трещины в однородном материале, соотношение (7) позволяет судить не только о пороговых напряжениях, необходимых для роста трещины, но и о направлении процесса в том случае, если напряжения отличаются от пороговых. Отметим, что при всех сделанных упрощениях в него кроме индивидуальных характеристик материалов входит еще и такая характеристика, как у12, отражающая их взаимодействие в границе.

3. Обобщение модели на случай материалов, содержащих точечные дефекты. Основные соотношения

Используя аналогичный подход, рассмотрим теперь образование трещины по границе соединенных материалов, когда эти материалы содержат неравновесные точечные дефекты, такие как вакансии или атомарные примеси. Считаем при этом, что выполняются все сформулированные выше условия относительно скорости движения трещины и температуры системы, обеспечивающие квазиравновесность процесса.

Тогда вывод (2)-(4) выражения для скорости производства энтропии Л и само выражение (4) сохраняются такими же, как и ранее, однако свободная энергия системы Ф = и - ТБ = Ф (Л1, Л2, N2,1, Т) зависит теперь еще и от N (i = 1, 2) — текущего количества дефектов (в расчете на единичную толщину тела) в объеме г'-го материала.

Учтем также, что при росте трещины на ее длине I на месте границы соединения материалов образуются их свободные поверхности. При этом можно считать, что дефекты, попавшие в некоторый достаточно тонкий приповерхностный слой толщины а, становятся частью структуры поверхности и перестают быть дефектами объема. Отличая аналогичным образом дефекты, находящиеся в объеме материалов, и дефекты в границе [8, 9], можно представить величины N в следующем виде:

N = N0- - Сл - С-Ь)1 - N0- - Г-1,

г- = ОзЛ - Сиь где — количество дефектов в объеме г'-го материала в отсутствие трещины; С^ — их концентрация в припо-

верхностном слое свободной поверхности г-го материала; а1 — толщина приповерхностного слоя; Сь- — концентрация дефектов в границе; Ь — толщина границы.

Считая, что свободная энергия Гельмгольца в начальном состоянии, т.е. в отсутствие нагрузки и трещины, равна нулю, имеем, что Ф(Д1, Д2, N1, N2, I, Т) равна работе, необходимой для обратимого изотермического создания состояния с трещиной. Тогда Ф(Д1, Д2, N1, N2, I, Т) состоит из вкладов:

Ф = ^12 + Л,

где первый представляет собой энергию

Е12 = Е

упругих деформаций тела, Е1 и Е2 — вклады в эту энергию деформаций материалов 1 и 2 соответственно; Ас — работа, необходимая для образования свободных поверхностей материалов 1 и 2 на длине трещины I, т.е. Ас = Ша/, где Ша — работа адгезионного отрыва по границе соединения материалов, рассчитанная с учетом наличия в них дефектов [2, 10].

Таким образом,

Ф = Ех

Из (10) имеем

ЭЕ  дЕ2  ЭФ & 1 & ^ 2 Д2 +-1.

Ф = —^ Д +

ЭД1 1 ЭД2 Поскольку с учетом

д1

ЭФ=Ш -.дЕкг +ЭЕт+ЭЕ2

д1 а Э^ 1 дN2 2 д1 д1 '

где дифференцирование в последних двух слагаемых идет по явно входящему I в зависимостях Е1 и Е2, то, учитывая также соотношения (7) и подставляя (11) и (12) в (3), получим условие роста трещины в виде следующего неравенства:

ТЛ=| С1 + С2-Ша +Г1 ЗЕ- +Г2 ^

Э^

'ЭN ,

/>0.

Отметим, что при вычислении производных по N и Щ в (12) и получении (13) считалось, что поскольку рассматривается квазистатический рост трещины, то имеет место так называемый режим «медленного» разделения материалов [10, 11], при котором поддерживается равновесие между границей и объемами материалов так, что в них сохраняются концентрации дефектов.

В режиме «медленного» разделения работу разделения Ша можно записать в следующем виде [9, 10]:

Ша = ?1 +Т2 -712,

где Уь У2, У12 — соответственно коэффициенты поверхностного натяжения свободных поверхностей материалов 1 и 2, а также по границе их соединения, учитывающие наличие рассматриваемых дефектов. Тогда условие (13) перепишем в виде

{^1 + ^2 - [У1 -Г^/ЭNl)/ ] -- [у2 -Г2

По смыслу величин Е1 и Е2 , как работы (в расчете на единицу толщины тела), необходимой для создания соответствующих деформированных состояний в материалах 1 и 2, выражения, стоящие в круглых скобках в (15), т.е. ЭЕ¿/ЭNi =Дцг-, представляют собой вклад упругой энергии в химический потенциал дефектов г-го материала. Таким образом, в соответствии со смыслом величин Гг, определенных в (8), произведение Гг ЭЕЭNi является вкладом упругой энергии материалов в работу образования их свободных поверхностей при раскрытии трещины по границе.

Введем следующие величины:

_ „ ЭЕ1 _

а1 =у1 -Г1 ^Т = у1 -Г1Д^

Эп1

= У2-Г

ЭЕ2

Э^

_У2 -Г2Д^2,

ст12 _ Yl2, Шаа=°1 + -°12. Тогда окончательно из (15) и (16) получим, что критерий роста трещины по границе соединенных материалов, содержащих дефекты, имеет вид

Согласно (16), величины а1, ст2, ст12 представляют собой коэффициенты поверхностного натяжения свободных поверхностей материалов 1 и 2 и границы их соединения, измененные за счет возникновения приповерхностных и, соответственно, приграничных слоев материалов, в которых собираются адсорбируемые в этих областях дефекты.

Если не переходить к выражению (14), то вводя, согласно (13):

Ш* = Ша-Г1ДЦ1 -Г2 Д^2,

получим критерий трещинообразования в следующем виде

или с учетом

^ + G2 + Г1Дц1 + Г2Дц2 - Ша)/ > 0,

где согласно (8) Гг- = С^а - СЬЬ.

Отметим, что величины Гг-, входящие в Ш* , определенные соотношениями (8), могут быть как положительными, так и отрицательными в зависимости от значений концентраций Са-, Сь- и толщин слоев а1 и h.

4. Случай неравновесных вакансий. Некоторые оценки

Полученный выше критерий, например в форме (19), показывает, что, изменяя концентрации дефектов в соединенных материалах, можно управлять кинетикой роста трещины по границе. Как было получено в работах [10, 11], работа адгезионного отрыва по границе соединенных материалов Ша может обращаться в нуль и даже становиться отрицательной в зависимости от концентраций точечных дефектов с, и С2 в их объе-

мах. Таким образом, с учетом свойства Г величина Га согласно (18) может быть как положительной, так и отрицательной. В частности, в последнем случае критерий (19) выполняется только при I > 0, что указывает на рост трещины.

Рассмотрим более конкретно случай, когда дефектами являются неравновесные вакансии. В [12] было показано, что в этом случае работа обратимого разделения Га = Га(С, С2) в обезразмеренном виде йа = = ЖаЛ1 0.10.2/(ЬкТ) определяется следующим выражением:

wa(Q, C2) = wf +

2 "

+Е

i=i

Г>

Di

-ln

1 + DC 1 + DiCie

- L ln

Qi

1+QC 1 + Qi Ce

где w( , A, L, D, Qi — безразмерные параметры:

w(0) = Wa(Cte,

a bkT

= KaA Q1Q2

bQ,

Li = -

= h¡^J QjQ2 Q

, Dt = hi-1, Qi = hc -1;

С-е — равновесные значения безразмерных вакансион-ных концентраций С (долей); А = Ка-/Кш, где Ка-, к, — константы адсорбции и десорбции вакансий при их обмене между объемом г'-го материала и границей; А^ = К^0'/К,?!-1', К(с и 4е> — константы адсорбции и десорбции вакансий на свободной поверхности г'-го материала.

В тех случаях, когда зависимость йа(С1, С2) не является монотонно возрастающей, при определенных условиях на параметры с ростом С1 и С2 возможно уменьшение й1 (С1, С2) до нуля и в область отрицательных значений (подразумевается, что й(0) > 0) [10, 11]. В общем случае для зависимости (20) такой анализ математически достаточно сложен. Поэтому для простоты рассмотрим ситуацию, когда вакансии в одном из граничащих материалов, например во втором, являются равновесными, т.е. С2 = С2е. Тогда вместо (20) имеем

D

wa(q) = wf) + Ащ ( J±d£L L Liin (^

1 + AQe J Q1 I 1 + Q1C1e

.

Для оценок будем также считать, что

Qj = Q2 = Q, d1 = b, h >> 1, h1c >> 1, т.е. в (21) Ax = D = hx, L = Q1 = K'

Учтем также, что, согласно соотношению (8) и ре зультатам [9, 10] для концентраций вакансий в интер фейсе и приповерхностных слоях, имеем

Г =

hicCi

hiCi

-а---Ь —.

1 + А -1)С- - 1 + (А- -1)С ]Ц ' '

Кроме того, будем считать, что вклады Лц-- в химический потенциал вакансий, связанные с энергией упругих деформаций материалов, можно оценить следующим образом [12]:

=

Щ dNi

2Ei

-Q:

где а — приложенное к соединенным материалам, образующим интерфейс, однородное растягивающее механическое напряжение, возникающее в них в результате действия силы Р; Е- — модуль Юнга '-го материала. В этой работе мы также полагаем, что величины Gi и модули упругости материалов слабо зависят от концентрации в них дефектов, в данном случае вакансий. Тогда, учитывая сформулированные выше соотношения (21)-(24) и приравнивая к нулю скобку в критерии (19.2), получим условие, при котором режим роста трещины (I > 0) может сменяться режимом ее залечивания (& < 0):

H -

bkT Q

1 + h^q 1 + hC 1+he

g2b 2E,

ln

где

H = G1 + G2 -

1+he

h2cC2e

- ln

1 + h2cC2e

1 + h1c C1

1+ке

1 + h2C2e J

= 0,

q2b

IE7

r?

bkT Q

не зависит от текущей концентрации вакансий. Учитывая, как и в [12], что при комнатных температурах (кТ = = 0.025 эВ) С1е ~ 10-9 -10-8, будем далее считать, что в (25) А-С-е << 1 и А-сСе << 1.

Рассмотрим сначала в этих условиях следующий предельный случай:

hxCx << 1, h1cC >> 1,

т.е. когда заведомо А1с >> 1 и А1с >> А1. Тогда уравнение (25) примет вид

ЬЬТ 1п

где Н = G1 + G2 - а2ь/(2Е1) - й^ ЬкТ/й. Решение С1 = = С1 уравнения (27) можно записать как

C* = — expl -

1

= — exp

h,c

H Q ~bkT

Q(CT2b/2E1 + wf bkT IQ-G1 - G2) bkT

Для того чтобы решение (28) имело смысл безразмерной концентрации (доли), должно выполняться неравенство 0 < С* < 1. Кроме того, учитывая условия рассматриваемой асимптотики (26) и выражение (28), для него должно выполняться также условие

к1с С* = exp е >> 1, где

е =-+йа0) -

2кТЕ1 а ЬкТ К '

Вообще говоря, условие (29) выполняется с е> 2, но в то же время е не может быть слишком большим, а именно 2<е< 1пА1с, чтобы не нарушилось условие 0 < С* < 1 (см. оценки ниже).

Оценим теперь, при каких ограничениях на параметры системы и внешние условия могут реализовать-

ст

ся данная асимптотика и соответствующее ей решение (28). Для этого учтем, что скорости Gi высвобождения упругой энергии для трещины длины I обычно записываются в виде [13]

О = ла2//Ег,

где а — то же, что и в

= ^(С1е, С^О/фкГ) = (а, + - СТ^)О/(ЬкГ), например, в случае типичных металлов имеем а1 ~ ~ а2 ~ 1 Дж/м2 [14], причем для термодинамически устойчивых (в отсутствие неравновесных дефектов) интерфейсов а, + а2 > а12, т.е. по порядку величины примем, что а, + а2 - а12 ~ а,, а2 ~ 1 Дж/м2. Тогда при О ~ 10-29 м3, Ь = 0.2-0.3 нм [13] и кТ = 0.025-0.040 эВ (273 < Г < 500 К) получим, что й(0) < 10. Наконец, для третьего слагаемого в (30), считая также для металлов ЕГ ~ Е2 ~ 100 ГПа [14] и взяв те же, что и выше значения остальных параметров, получим оценку

откуда, например, при //Ь ~ 102 -103 и а< 108 Па имеем, что этот вклад е3 < 1-10. Таким образом, эти оценки показывают, что для выбранных условий е ~ й^0' - е3 < < 10, т.е. рассматриваемая асимптотика может быть реализована. Отметим, что в этих условиях первое слагаемое в (30) оказывается порядка 10-4 и не играет роли.

Согласно полученным оценкам для е из (29), имеем к1сС* ~10 >> 1. Тогда, например, для значений к1с ~ ~104 -106 при комнатной температуре кТ = 0.025 эВ и разумных величинах (~0.5 эВ) разности энергий активации десорбции и адсорбции вакансий на свободной поверхности, имеем С* ~ 102/к1с << 1, что согласуется с исходным условием кгсСге << 1. Отметим также, что получающиеся при этом значения концентрации вакансий С* ~ 10-4 -10-2 соответствуют достаточно большим (но достижимым) степеням пересыщения.

Представляет также интерес оценить, как в данном предельном случае меняется режим распространения трещины при проходе концентрации вакансий С1 через значение С*. Для этого, обозначив через й левую часть уравнения (25), исследуем знак производной ¿Д/ dC1 при С1 = С1 в зависимости от значений параметров процесса роста трещины. Нетрудно получить, что в

случае рассматриваемой асимптотики (26) ¿Д

dC1

С1=СГ

ЬкГ О

где е определяется выражениями (30). Используя проведенные выше оценки и анализ правой части уравнения (33), можно показать, что в интервале 2 <е< 1пк1с допустимых значений е (в том числе и для полученных выше е ~ й(0) < 10) имеет место (¿Д/¿С1)|С =С« > 0. Это означает, что с увеличением концентрации вакансий от С1 < С* к С1 > С* при С1 = С* имеет место переход от й < 0 к й > 0. Поскольку критерий изменения длины трещины (19.2) записывается как Д/ > 0, то такая смена знака соответствует переходу от режима залечивания к режиму роста трещины. Таким образом, в данном случае увеличение вакансионного пересыщения может приводить к росту трещины, даже если уровень механических напряжений недостаточен для этого при отсутствии неравновесных вакансий.

Отметим также, что аналогичным образом проводятся анализ и оценка свойств решения С* и для противоположного предельного случая к1С1 >> 1, а к1с С1 << 1 (т.е. к1 >> к1с, к1 >> 1). Можно получить, что также имеют место соотношения (28) и (29), но с заменой к1с на

к1, а вместо (33) имеет место выражение ¿Д

¿С1

с,=с,-

= ЬОГ {к* ехР(-е)[е ехр(-е) -1] + кк(1 - е)}.

{к*с ехр

Для значений е, ограниченных условием 2 <е< 1п кГ, которое следует из требований этой асимптотики и условия 0 < С* < 1, имеет место отрицательная производная (34). Следовательно, теперь при переходе через СГ = С*, т.е. с увеличением вакансионного пересыщения до значений выше С*, происходит смена режима роста на режим залечивания трещины, что отвечает физическому отличию данного случая от предыдущего (см. (33)).

Таким образом, проведенный анализ и оценки показывают, что в определенных случаях можно за счет пересыщения вакансиями только одного из соединенных материалов менять режим распространения трещины по интерфейсу. Например, можно запустить ее рост в условиях, когда в отсутствие фактора вакансионного пересыщения (т.е. при равновесном содержании вакансий в материале) трещина расти не может. Из общих соображений понятно, что насыщение вакансиями второго материала должно облегчать условия реализации такого рода эффектов, хотя этот вопрос нуждается в дополнительном исследовании.

5. Заключение

В работе с помощью методов неравновесной термодинамики развита модель процесса квазистатического роста трещины по интерфейсу между соединенными абсолютно упругими материалами под действием растягивающей механической нагрузки. Получены условия

(критерий) реализации этого процесса. Они выражены в виде неравенства, содержащего термодинамические величины, характеризующие интерфейс, величину механической нагрузки и скорость изменения длины трещины. Критерий такого типа позволяет рассматривать и анализировать в его рамках условия реализации как режимов роста, так и режимов залечивания трещин, задавая соответственно положительные или отрицательные значения скорости.

В рамках данного подхода развитая модель была обобщена на случай роста трещины вдоль интерфейса, когда соединенные материалы содержат неравновесные точечные дефекты типа вакансий или атомарных примесей внедрения и замещения. Для этого модель была дополнена разработанными ранее представлениями об интерфейсе как о поверхности, адсорбирующей точечные дефекты из объемов образующих его материалов [2, 6]. Используя результаты [2, 6] по моделированию кинетики адсорбции дефектов на интерфейсе, получен обобщенный критерий роста трещины. В него, помимо указанных ранее величин, вошли также параметры, связанные с адсорбцией дефектов на интерфейсе и на свободных поверхностях материалов, появляющихся при раскрытии трещины. Входящая в критерий величина работы обратимого разделения интерфейса теперь зависит от концентрации дефектов в соединенных материалах. Таким образом, меняя концентрации дефектов, можно влиять на реализующийся режим кинетики развития трещины — рост или залечивание.

В работе подробно проанализирован эффект влияния неравновесных точечных дефектов на рост трещины в случае, когда таковыми являются вакансии. В предположении, что неравновесные вакансии есть только в одном из соединенных материалов (концентрация СГ), получено и проанализировано уравнение, определяющее концентрацию вакансий, при которой может происходить смена режима развития трещины. В двух предельных по концентрации вакансий случаях найдено решение С* этого уравнения.

Получены и количественно оценены ограничения на внешние условия (температуру и растягивающее механическое напряжение), а также на параметры, характеризующие свойства материалов и способность интерфейса и свободных поверхностей материалов адсорбировать вакансии, при которых решение С* самосогласовано со всеми сделанными предположениями. Для рассмотренных предельных случаев установлено и проанализировано, как происходит смена режима распространения трещины при увеличении концентрации вакансий от СГ < С* до СГ > С*.

Отметим, что в дальнейшем представляется целесообразным провести аналогичный анализ и оценки для

случаев, когда неравновесные вакансии присутствуют в обоих материалах, а также когда дефектами являются неравновесные атомарные примеси внедрения или замещения.

Результаты работы могут быть использованы, в частности, для моделирования и оптимизации адгезионных характеристик многослойных структур, применяемых в современных технологиях изготовления микро- и на-ноэлектронных схем, а также при исследовании долговечности их функционирования.

Эту статью мы посвящаем памяти нашего коллеги и друга, выдающегося российского ученого Роберта Вениаминовича Гольдштейна, с которым мы многие годы плодотворно работали в области микро- и наномеха-ники.

Литература

1. Кинлок Э. Адгезия и адгезивы: наука и технология. - М.: Мир, 1997. - 441 с.

2. Гольдштейн Р.В., Махвиладзе Т.М., Сарычев М.Е. Влияние примесей на работу отрыва по границе соединенных материалов // Поверхность. - 2009. - № 12. - С. 73-78.

3. Гольдштейн Р.В., Махвиладзе Т.М., Сарычев М.Е. Электромиграционная неустойчивость границы соединения проводящих твердотельных материалов // Физ. мезомех. - 2016. - Т. 19. - № 6. -С. 19-26.

4. Гольдштейн Р.В., Сарычев М.Е. Влияние дислокаций на критерий роста трещин по границе соединения деформируемых материалов // Изв. Акад. наук. МТТ. - 2006. - № 1. - С. 125-135.

5. Jokl M.L., Vitek V., McMahon C.J., Jr. A microscopic theory of brittle fracture in deformable solids: a relation between ideal work to fracture and plastic work // Acta Metall. - 1980. - V. 28. - No. 11. -P. 1479-1488.

6. Гольдштейн Р.В., Махвиладзе Т.М., Сарычев М.Е. Моделирование кинетики адсорбции решеточных дефектов границей соединенных материалов // Поверхность. - 2011. - № 8. - С. 5-11.

7. Биггс В.Д. Разрушение // Физическое металловедение / Под ред. Р. Канна. - М.: Мир, 1968. - Вып. 3. - С. 443-484.

8. Rice J.R. Thermodynamics of the quasi-static growth of Griffith cracks // J. Mech. Phys. Solid. - 1978. - V. 26. - No. 1. - Р. 61-78.

9. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур. - М.: Мир, 2002. - 461 с.

10. Алексеев А.И., Махвиладзе Т.М., Минушев А.Х., Сарычев М.Е. Термодинамическая модель влияния атомарных примесей на адгезионную прочность интерфейсов // Микроэлектроника. - 2011. -Т. 40. - № 5. - С. 325-330.

11. Goldstein R., Makhviladze T., Sarychev M. The thermodynamic theory of interfacial adhesion between materials containing point defects // Proc. SPIE. - 2010. - V. 7521. - P. 7521B.

12. Гольдштейн Р.В., Сарычев М.Е. О влиянии микродефектов на работу отрыва соединенных материалов // ДАН. - 2003. - Т. 389. -№ 6. - С. 753-756.

13. Броен О. Основы механики разрушения. - М.: Высшая школа, 1980. - 368 с.

14. Бабичев А.П., Бабушкина И.А., Братковский А.М. и др. Физические величины: Справочник. - М.: Энергоиздат, 1991. - 880 с.

Поступила в редакцию 01.11.2017 г.

Сведения об авторах

Гольдштейн Роберт Вениаминович, д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН

Махвиладзе Тариэль Михайлович, д.ф.-м.н., проф., зав. лаб. ФТИ РАН, tarielmakh@mail.ru Сарычев Михаил Евгеньевич, д.ф.-м.н., гнс ФТИ РАН, sarych@yandex.ru