О строении пятимерных комплексов двумерных плоскостей в проективном пространстве $p^5$ с единственным торсом

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2017. Том 24, № 2

УДК 514.755

О СТРОЕНИИ ПЯТИМЕРНЫХ КОМПЛЕКСОВ ДВУМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Р5 С ЕДИНСТВЕННЫМ ТОРСОМ И. В. Бубякин

Аннотация. Статья посвящена проективно-дифференциальной геометрии подмногообразий многообразий 0(2,5) двумерных плоскостей проективного пространства Р 5, содержащих единственный торс. Для исследования таких подмногообразий используется грассманово отображение многообразия 0(2, 5) двумерных плоскостей проективного пространства р5 на девятимерное алгебраическое многообразие ^(2, 5) пространства РЭто отображение в сочетании с методом внешних форм Э. Картана и методом подвижного репера позволило определить строение изучаемых многообразий.

Б01 10.25587/8УРи.2017.2.9242

Ключевые слова: грассманово многообразие, комплексы многомерных плоскостей, грассманово отображение, многообразие Сегре.

Настоящая работа относится к многомерной проективно-дифференциаль-ной геометрии, той ее части, в которой изучаются семейства плоскостей различных размерностей в проективном пространстве. Многие ее вопросы представляют интерес не только для многомерной дифференциальной геометрии, но и для интегральной геометрии Радона — Хелгассона — нового направления в современной математике, которому посвящена книга [1] И. М. Гельфанда, С. Г. Гиндикина и М. И. Граева, а также для общей теории дифференциальных уравнений с частными производными, например, представленной в работе [2] И. М. Гельфанда и М. И. Граева, где рассматриваются гипергеометрические функции, связанные с грассмановым многообразием двумерных плоскостей пятимерного пространства. В интегральной геометрии при решении основной задачи рассматриваются комплексы многомерных плоскостей, размерность которых совпадает с размерностью пространства.

Одной из наиболее красивых областей дифференциальной геометрии, где во всей полноте проявляются преимущества инвариантных бескоординатных методов исследования, является теория комплексов многомерных плоскостей проективного пространства. Интерес к теории комплексов многомерных плоскостей обусловлен также задачами интегральной геометрии. Для успешного решения задачи интегральной геометрии необходимо, очевидно, соединить методы

© 2017 Бубякин И. В.

интегральной геометрии с многообразными и красивыми конструкциями, которые получаются в рамках проективной теории комплексов многомерных плоскостей. В этой связи дифференциально-геометрические исследования комплексов плоскостей, которые играют важную роль в интегральной геометрии, остаются в то же время в стороне. Поэтому актуальны исследования проективно-дифференциальной геометрии комплексов многомерных плоскостей. Некоторые пятимерные комплексы двумерных плоскостей в проективном пространстве Р5 и являются объектом изучения в данной работе. Комплексы двумерных плоскостей в пятимерном пространстве являются обобщением комплексов прямых трехмерного пространства в том смысле, что двумерные плоскости в пятимерном пространстве самодвойственны так же, как и прямые в трехмерном пространстве. Семейство двумерных плоскостей р в пятимерном проективном пространстве Р5 также будет самодвойственным, так как при коррелятивном преобразовании ему соответствует семейство того же типа.

В проективном пространстве Р5 двумерная плоскость р определяется тремя линейно независимыми точками. Из матрицы координат этих точек мож-

но составить ^ ^ =20 определителей третьего порядка, которые называются

грассмановыми координатами плоскости р. Они связаны системой алгебраических уравнений и определяют биективное отображение грассманова многообразия С(2, 5) двумерных плоскостей пространства Р5 на девятимерное алгебраическое многообразие 0(2, 5) проективного пространства Р19. Это отображение называется грассмановым отображением [3,4].

Исследуем более детально строение алгебраического многообразия 0(2, 5). Рассмотрим в пространстве

Р5

две двумерные плоскости, пересекающиеся по прямой. Они порождают линейный пучок плоскостей, т.е. семейство двумерных плоскостей, проходящих через прямую и лежащих в некоторой трехмерной плоскости. Этому линейному пучку на многообразии 0(2, 5) соответствует прямолинейная образующая. При этом прямая и проходящая через нее трехмерная плоскость вполне определяют линейный пучок, а следовательно, и прямую на многообразии 0(2, 5).

Рассмотрим все двумерные плоскости, лежащие в некоторой фиксированной трехмерной плоскости. Они образуют линейное трехпараметрическое семейство, которому на многообразии 0(2, 5) соответствует трехмерная плоская образующая, называемой а-образующей. Поскольку в пространстве

Р5

содержится восьмипараметрическое семейство трехмерных плоскостей, многообразие 0(2, 5) несет семейство а-образующих, зависящее от восьми параметров.

Пусть в пространстве Р5 фиксирована некоторая прямая. Рассмотрим все двумерные плоскости, проходящие через нее. Такие двумерные плоскости порождают трехпараметрическую связку, которой на многообразии 0(2, 5) также соответствует трехмерная плоская образующая, называемая в-образующей. Поскольку пространство Р5 содержит восьмипараметрическое семейство прямых, многообразие 0(2, 5) несет семейство в-образующих, зависящее от восьми параметров. Таким образом, многообразие 0(2, 5) несет два семейства трехмерных

плоских образующих.

Если трехмерная плоскость пространства Р5 содержит фиксированную прямую, то соответствующие а- и в-образующие многообразия 0(2, 5) пересекаются по прямой. Если трехмерная плоскость в пространстве Р5 не содержит прямой, то соответствующие им плоские образующие многообразия 0(2, 5) общих точек не имеют.

Рассмотрим в пространстве Р5 фиксированную двумерную плоскость р. Через нее проходит двупараметрическое семейство трехмерных плоскостей. Поэтому через соответствующую плоскости р точку на многообразии 0(2, 5) проходит двупараметрическое семейство а-образующих. В то же время плоскость р содержит двупараметрическое семейство прямых. Следовательно, через точку р проходит двупараметрическое семейство в-образующих многообразия 0(2, 5). При этом две образующие различных семейств многообразия 0(2, 5), проходящие через точку р, имеют общую прямую, которой в пространстве Р5 соответствует линейный пучок двумерных плоскостей, а две образующие одного семейства имеют единственную общую точку р. Отсюда следует, что все трехмерные плоские образующие, проходящие через точку р, являются плоскими образующими конуса Сегре Ср(3, 3) [5,6] с вершиной в точке р, лежащего на многообразии 0(2, 5). Этот конус представляет собой пересечение касательной плоскости Тр0(2, 5) в точке р к многообразию 0(2, 5) с самим многообразием. В пространстве Р5 конусу Сегре Ср(3, 3) соответствует совокупность двумерных плоскостей, пересекающих двумерную плоскость р по прямым.

Грассманово отображение представляет собой биективное отображение многообразия С(2, 5) двумерных плоскостей проективного пространства Р5 на девятимерное точечное алгебраическое многообразие 0(2, 5), принадлежащее проективному пространству Р19. Касательное пространство Тр0(2, 5) к многообразию 0(2, 5) в его произвольной точке р содержит пятимерный конус Сегре Ср(3, 3), проективизация которого является многообразием Сегре $р(2, 2). Многообразие Сегре $р(2, 2) остается при этом инвариантным при проективных преобразованиях пространства Р8 = РТр0(2, 5), являющегося проективизацией с центром в точке р касательного пространства Тр0(2, 5) к многообразию 0(2, 5).

В работе [4] М. А. Акивис отмечает, что многообразие Сегре £р(2, 2), непосредственно связанное с грассмановым многообразием 0(2, 5), инвариантно при проективных преобразованиях, и его можно использовать для классификации комплексов двумерных плоскостей, а также для интерпретации их свойств в терминах проективных алгебраических многообразий. Поскольку дифференциальная геометрия комплексов многомерных плоскостей далеко еще не изучена, такой подход к их исследованию представляется актуальным. Дифференциальная геометрия грассмановых подмногообразий представляет самостоятельный интерес для дифференциальной геометрии, а также одновременно является одним из важных средств построения и изучения других многообразий в проективных пространствах.

Пятимерному комплексу двумерных плоскостей С на алгебраическом мно-

гообразии 0(2, 5) соответствует пятимерное гладкое многообразие V. Многообразие V в каждой точке р имеет пятимерную касательную плоскость Т^. Проективизация плоскости Т^ с центром в точке р представляет собой четырехмерную плоскость PTpV.

Рассмотрим в проективном пространстве

Р5

пятипараметрическое семейство двумерных плоскостей — пятимерный комплекс С. Комплексу С при грас-смановом отображении соответствует пятимерное многообразие V, принадлежащее алгебраическому многообразию 0(2, 5). Многообразие V в каждой своей точке р имеет пятимерную касательную плоскость Т^. Проективизация плоскости Т^ с центром в точке р представляет собой четырехмерную плоскость PTpV. Различным видам взаимного расположения плоскости РТ^ и многообразия Сегре $р(2, 2) соответствуют различные классы комплексов С [4]. Многообразие Сегре $р(2, 2) представляет собой четырехмерную алгебраическую поверхность шестого порядка, несущую два двупараметрических семейства двумерных плоских образующих. При этом две образующие, принадлежащие различным семействам, имеют общую точку, а две образующие, принадлежащие одному семейству, не пересекаются. Поскольку многообразие Сегре $р(2, 2) является алгебраической поверхностью шестого порядка, в общем случае плоскость РТ^ пересекает это многообразие в шести точках. Они определяют на многообразии V шесть полей направлений, интегральным кривым которых на комплексе С соответствует шесть семейств торсов (развертывающихся поверхностей с двумерными плоскими образующими) , образованных двумерными соприкасающимися плоскостями к некоторой кривой. При этом через каждую образующую комплекса проходит шесть торсов, по одному из каждого семейства. Каждый торс комплекса определяет для двумерной образующей р комплекса С характеристическую прямую, а именно прямую пересечения двух бесконечно близких образующих торса и трехмерную характеристическую плоскость — касательную к торсу.

В проективном пространстве Р5 рассмотрим семейство точечных реперов {А/}, /, ^ К = 0,1,..., 5, и семейство реперов, образованных гиперплоскостями а1 = (—1)1 (Ао,..., А/_1, А/+1,..., А5). Уравнения перемещения этих реперов имеют вид

¿А/ = -ш/ AJ, ¿а1 = -ш/ а,], где ш/ — линейные дифференциальные формы, удовлетворяющие структурным уравнениям проективного пространства Р5:

¿ш/ = шК Л шК. Свяжем с двумерной плоскостью р пространства

Р5

семейство точечных реперов так, чтобы точки А^, г = 0,1,..., 5, принадлежали плоскости р. Тогда

¿Аг = -ш{ А / + -шР Ар, ¿Ар = -шр Аг + —шАд,

где г,] = 0,1, 2 и р, д = 3, 4, 5. Отсюда видно, что двумерная плоскость р в пространстве Р5 зависит от девяти параметров, линейными комбинациями дифференциалов которых являются формы шР.

Пусть шР, г = 0,1, 2, р = 3, 4, 5, — линейные дифференциальные формы, определяющие перемещение плоскости р = Ао Л А1 Л А2 в пространстве Р5. Поскольку размерность рассматриваемого комплекса С равна пяти, на нем будут выполняться четыре независимых уравнения

лач = о,

где а = 1, 2, 3, 4. Эти же уравнения определяют четырехмерную плоскость РТрУ в пространстве Р8 = РТР0(2, 5).

Однопараметрическое семейство двумерных плоскостей р представляет собой трехмерную поверхность с двумерными плоскими образующими. Эта поверхность является торсом [7], если она тангенциально вырожденная ранга один. Торсу на многообразии 0(2, 5) соответствует кривая, касательные к которой служат прямолинейными образующими этой поверхности. Данная кривая совпадает с асимптотической линией многообразия 0(2, 5). Поэтому в произвольной точке этой линии выполняется равенство

гапё

Следовательно, уравнения торсов в пространстве можно записать в параметрическом виде

= а жР

Каждый торс, проходящий через плоскость р, определяет на ней характеристическую прямую пересечения двух бесконечно близких образующих и трехмерную характеристическую плоскость, касательную к торсу.

Найдем уравнения характеристической прямой и трехмерной характеристической плоскости торса. Пусть М = жг А^ — произвольная точка плоскости р. Дифференциал этой точки в силу (3) вычисляется так:

¿М =

Отсюда следует, что характеристическая прямая в плоскости р определяется уравнением = 0, а трехмерная характеристическая плоскость определяется плоскостью р и точкой Б = жРАр. Из уравнений (1) в силу (3) получим

л;>гжр = о.

Эта система уравнений определяет трехмерную характеристическую плоскость торса, принадлежащую комплексу С, если выполняется условие

га^Л™ о,) = 2.

Из соотношения (5) определяются тангенциальные координаты характеристических прямых на плоскости р комплекса С. Если выполняется условие

гапё^а*) = 2,

то система (4) определяет характеристическую прямую торса, также принадле-

жащую комплексу С. Из последнего соотношения находятся координаты точек

5, которые вместе с плоскостью р определяют трехмерные характеристические плоскости торса.

Рассмотрим комплексы С, для которых плоскость РТ^ имеет с многообразием Сегре 5р(2, 2) одну характеристическую точку, т. е. комплексы С, через каждую образующую которых проходит единственный торс. Выясним строение таких комплексов С. С этой целью рассмотрим конгруэнцию прямых С1 с двукратным фокусом и псевдоконгруэнцию трехмерных плоскостей Сз с двукратной фокусной гиперплоскостью, причем касательная гиперплоскость к гиперповерхности, описываемая двукратным фокусом конгруэнции прямых С1, совпадает с двукратной фокусной гиперповерхностью псевдоконгруэнции трехмерных плоскостей Сз. Строение пятимерных комплексов С описывает следующая

Теорема. Комплексы С, через каждую образующую которых проходит единственный торс, представляют собой многообразие двумерных плоскостей, проходящих через прямые конгруэнции С1 и лежащих в трехмерных плоскостях псевдоконгруэнции Сз, при этом касательная гиперплоскость к гиперповерхности, описываемая двукратным фокусом конгруэнции прямых С1, совпадает с двукратной фокусной гиперповерхностью псевдоконгруэнции трехмерных плоскостей Сз.

Доказательство. Комплексы С, для которых плоскость РТрУ имеет с многообразием Сегре 5р(2, 2) одну характеристическую точку, определяются уравнениями

ш0 = 0, ш3 - ш4 = 0, ш3 - ш4 + ш0 = 0, ш24 - ш5 = 0.

Выберем в качестве базисных форм на комплексе С следующие формы: ш2, шО ш3, ш2, Покажем, что в этом случае действительно будем иметь одну характеристическую точку, а следовательно, одну характеристическую прямую в плоскости р и одну трехмерную характеристическую плоскость, содержащую образующую комплекса С.

В самом деле, рассматривая совместно уравнения (7), определяющие четырехмерную плоскость PTpV в пространстве Р8 = РТр0(2, 5), и уравнения, вытекающие из условия

гапя(шР) = 1

и определяющие конус Сегре 5Р(2,2), получим одну характеристическую точку:

шО = шО = ш3 = ш2 = 0.

Эти уравнения определяют в пространстве Р 5 на комплексе С торс, базисной формой на котором является форма ш25.

Система (4) для рассматриваемого комплекса С имеет вид

3 аож = 0,

3 Й1Ж j - аож = 0,

5 аож 3 - а2ж = 0,

5 а1ж j - а2ж = 0.

ао а1 -а2 0 \

0 -ао а1 -а? 1 = 2

0 0 -ао а1

Условие (5), определяющее характеристические прямые торса, запишется так:

rang

Видно, что этому условию удовлетворяет единственная характеристическая прямая Ао Л А1.

Условие (6), определяющее трехмерные характеристические плоскости, содержащие образующую комплекса С, имеет вид

(ж3 -ж4 -ж5 0 \ 0 ж3 ж4 ж5 I = 2. 0 0 -ж3 -ж4 /

Этому условию удовлетворяет единственная трехмерная характеристическая плоскость Ао Л А1 Л А2 Л А5, содержащая плоскость р = Ао Л А1 Л А2.

Итак, пятимерный комплекс С, для которого через каждую образующую р проходит только один торс, определяется уравнениями (7).

Найдем строение комплексов С, для которых через каждую образующую р проходит только один торс. С этой целью, дифференцируя внешним образом уравнения (7), получим независимые квадратичные уравнения:

3 4 ( 1 3) 5 2 3

Л wj - (ш? - W5) Л wf - ш? Л ш3 = 0,

4

(wJ - ш? - ш3 - wj) Л wj + (wj4 - wj - ш|) Л wf

+ (ш? + ш3 - wj) Л ш3 - (ш? + ш3) Л wj = 0,

(ш0 - wj - wj + wj) Л wj + (wJ - w0 - wj + wf) Л ш? + (wJ - w? - wj + ш|) Л wf

+ (w? + wf - wj - wj) Л wj + (w3 - w?) Л wf = 0,

(ш| + ш0) Л ш0 - (ш0 - ш5 - ) Л ш5 - (ш4 - ш5 + ) Л ш|

- (ш 1 - ш| - ш2 + ш4) л ш4 - (ш 2 + ш|) л ш5 = 0.

Из этих уравнений вытекает, что формы ш0, ш^, ш2, ш3, ш|, ш| выражаются через четыре независимые формы ш0, ш^, ш3, ш^ Стало быть, характеристическая прямая Ао Л А1 описывает конгруэнцию, а трехмерная характеристическая плоскость Ао ЛА1ЛА2 ЛА5 — псевдоконгруэнцию. При этом точка Ао описывает

гиперповерхность, а гиперплоскость Ао ЛА1ЛА2 Л А4 ЛА5 — четырехмерное многообразие. Не составляет труда проверить, что точка Ао совпадает с двукратным фокусом конгруэнции прямых АоЛА1, а гиперплоскость АоЛА1 ЛА2ЛА4ЛА5 совпадает с двукратной фокусной гиперплоскостью псевдоконгруэнции трехмерных плоскостей Ао Л А1 Л А2 Л А5, при этом касательная гиперплоскость к гиперповерхности, описываемая двукратным фокусом конгруэнции прямых Ао Л А1, совпадает с двукратной фокусной гиперповерхностью псевдоконгруэнции трехмерных плоскостей Ао Л А1 Л А2 Л А5. Следовательно, эти конгруэнция прямых Ао Л А1 и псевдоконгруэнция трехмерных плоскостей Ао Л А1 Л А2 Л А5 являются конгруэнцией прямых С1 и соответственно псевдоконгруэнцией трехмерных плоскостей Сз. Итак, образующие комплекса С проходят через прямые конгруэнции С1 и принадлежат трехмерным плоскостям псевдоконгруэнции Сз.

Докажем обратное утверждение. Пусть имеется конгруэнция прямых С1 с двукратным фокусом и псевдоконгруэнция трехмерных плоскостей Сз с двукратной фокусной гиперплоскостью, причем касательная гиперплоскость к гиперповерхности, описываемая двукратным фокусом конгруэнции прямых С1, совпадает с двукратной фокусной гиперповерхностью псевдоконгруэнции трехмерных плоскостей Сз. Свяжем с прямой конгруэнции С1 и с трехмерной плоскостью псевдоконгруэнции Сз семейство точечных реперов так, чтобы вершины Ао, А1 лежали на образующей конгруэнции С1, а вершины Ао, А1, А2, А5 принадлежали трехмерной плоскости псевдоконгруэнции Сз. Тогда уравнения конгруэнции прямых С1 можно привести к виду

ш2 = Л2ашз = 0, ш2 = 01, ш5 = 02, шз = 01, ш4 = 02 + 0з, ш5 = 04,

где ] = 0,1, а = 1, 2, 3,4, а псевдоконгруэнции Сз — к виду

шо = 0, шо = 01, шз =

где г = 3,4. Из уравнений конгруэнции прямых (8) и уравнений псевдоконгруэнции трехмерных плоскостей (9) видно, что уравнения

шоз = 0, ш2 = 01, ш5 = 02, шз = 01, ш4 = 02 + 0з, ш5 = 04, шз = 0з,ш24 = 04

определяют пятимерный комплекс С, через каждую образующую которого проходит только один торс. Действительно, исключая из последних уравнений формы получим

шо = 0, шз - ш2 = 0, шз - ш2 + шо = 0, ш2 - ш5 = 0.

Поскольку форма ш2 в эти уравнения не входит, ее можно включить в число базисных форм комплекса С. Она будет базисной на единственном торсе, проходящем через образующую комплекса С. Таким образом, образующие комплекса С, проходящие через прямые конгруэнции С1 и лежащие в трехмерных плоскостях псевдоконгруэнции Сз, образуют пятимерный комплекс С, через каждую образующую которого проходит единственный торс. Утверждение теоремы полностью доказано.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гельфанд И. М., Гиндикин С. Г., Граев М. И. Избранные задачи интегральной геометрии. М.: Добросвет, 2007.

2. Гельфанд И. МГраев М. И. Гипергеометрические функции, связанные с грассманианом G3,6 // Мат. сб. 1989. Т. 180, № 1. С. 3-38.

3. Бубякин И. В. Геометрия пятимерных комплексов двумерных плоскостей. Новосибирск: Наука, 2001.

4. Akivis M. A. On the differential geometry of a Grassmann manifold // Tensor. 1982. V. 38. Р. 273-282.

5. Akivis M. A., Goldberg V. V. On the structure of submanifolds with degenerate Gauss maps // Geom. Dedicata. 2001. V. 86, N 1-3. P. 205-226.

6. Akivis M. A., Goldberg V. V. Projective differential geometry of submanifolds. Amsterdam: North-Holland, 1993.

7. Landsberg J. M. Algebraic geometry and projective differential geometry. Seoul: Seoul National Univ., 1999. (Lect. Notes Ser. Seoul; V. 45).

Статья поступила 28 февраля 2017 г. Бубякин Игорь Витальевич

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Институт математики и информатики, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677891 bubyakiniv@mail.ru

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2017. Том 24, № 2

UDC 514.755

ABOUT THE STRUCTURE OF FIVE-DIMENSIONAL COMPLEXES OF TWO-DIMENSIONAL PLANES IN PROJECTIVE SPACE P5 WITH A SINGLE DEVELOPABLE SURFACE I. V. Bubyakin

Abstract. This article focuses on projective differential geometry of submanifolds of 2-dimensional planes manifolds G(2, 5) in projective space P5 containing single developable surface. To study such submanifolds we use the Grassmann mapping of manifold G(2, 5) of 2-dimensional planes in projective space P5 to 9- dimensional algebraic manifold ^(2, 5) of space P19. This mapping combined with the method of external Cartan's forms and moving frame method made possible to determine the structure of considered manifolds.

DOI 10.25587/SVFU.2017.2.9242

Keywords: Grassmann manifold, complexes of multidimensional planes, Grassmann mapping, Segre manifold.

REFERENCES

1. Gelfand I. M., Gindikin S. G., and Graev M. I. Selected Topics in Integral Geometry, Amer. Math. Soc., Providence, RI (2007). (Transl. Math. Monogr.; V. 220).

2. Gel'fand I. M. and Graev M. I. "Hypergeometric functions associated with Grassmanian G3,6," Mat. Sb., 180, No. 1, 3-38 (1989).

3. Bubyakin I. V. Century Geometry of Five-Dimensional Complexes of Two-Dimensional Planes, Nauka, Novosibirsk (2001).

4. Akivis M. A. "On the differential geometry of a Grassmann manifold," Tensor, 38, 273-282 (1982).

5. Akivis M. A. and Goldberg V. V. "On the structure of submanifolds with degenerate Gauss maps," Geom. Dedicata, 86, No. 1-3, 205-226 (2001).

6. Akivis M. A. and Goldberg V. V. Projective Differential Geometry of Submanifolds, North-Holland, Amsterdam (1993).

7. Landsberg J. M. Algebraic Geometry and Projective Differential Geometry, Seoul National Univ., Seoul (1999). (Lect. Notes Ser. Seoul; V. 45). 268p.

SSubmitted February 28, 2017 Igor V. Bubyakin

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University Institute of mathematics and Informatics 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677891, Russia bubyakiniv@mail.ru

© 2017 I. V. Bubyakin