Аффинная связность и ее приложение к изучению внутренней геометрии сетей на поверхности в конформном пространстве

УДК 514.756.2

О НАПРАВЛЕНИЯХ, ПАРАЛЛЕЛЬНО ПЕРЕНОСИМЫХ В НОРМАЛЬНЫХ СВЯЗНОСТЯХ НА ПОВЕРХНОСТИ В КОНФОРМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

DIRECTIONS TRANSLATED IN THE NORMAL CONNECTIONS ON THE SURFACE OF THE CONFORMAL SPACE Т. В. Зверева T. V. Zvereva

ГОУВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева», г. Чебоксары

Аннотация. В настоящей работе изучается нормальная связность, индуцируемая нормальным оснащением поверхности V m в конформном пространстве C n . В частности, рассмотрено параллельное перенесение полей пучков касающихся между собой гиперсфер, а также 2-

параметрической связки касательных гиперсфер к подмногообразию V n - 2 в полученной связности.

Abstract. In this paper we study the normal connection induced by the normal framing of a

surface V m in the conformal space C n . In particular, we study the parallel transmissien of fields of

pencils of tangent hyperspheres, 2-parameter band of hyperspheres tangent to the variety V n - 2 in the resulting connection.

Ключевые слова: поверхность, нормализация, связность, параллельный перенос.

Keywords: surface, normalization, connection, translate.

Актуальность исследуемой проблемы. Теория поверхностей конформного пространства C n к настоящему времени разработана достаточно полно. Однако нормальные связности, индуцируемые различными оснащениями многомерных поверхностей, оставались малоизученными. Вопросы разработки теоретических и практических положений по изучению нормальных связностей на оснащенной поверхности представляют большой научный интерес и являются актуальными в связи с возможными приложениями полученных результатов в математике, механике и физике.

Материал и методика исследований. Результаты работы получены с использованием инвариантных методов дифференциально-геометрических исследований, а именно методом внешних форм Э. Картана [5], методом нормализации А. П. Нордена [4] и методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [3].

Результаты исследований и их обсуждение. Полученные результаты являются новыми, актуальными и достоверными, они были доложены на международной конференции «Геометрия, топология, алгебра и теория чисел, приложения».

На протяжении всего изложения индексы принимают следующие значения:

і , 3 , К = 1, п ; X , Ц- = 0, п + 1; а , р = т + 1, п ; и , V = т + 1, п — 1; і, 7 , к = 1, т

Рассмотрим т-мерную поверхность Vт с с п , отнесенную к полуизотропному по-

луортогональному реперу R = Аі, Ап+1}. В данном репере дифференциальные уравнения поверхности имеют вид

га а = 0.

Пусть поверхность Vm с с п (т < п — 1) нормально оснащена [1] полем (п — т ) -сфер [ Рі] , рі = х,° А0 + Аі; это поле определяется полем квазитензора { х,° }:

dxo + хо га 0 — х 0 га 7 +ю 0 = х<0 га 0.

Рассмотрим систему форм {й а,  а } , где

й0 =га0 -хЧ. €° =«£ —хЧ>

й=га;—аи(«0—х0гак),

&п =о|—(а0-х0га0),

є| =гап =0, й =< =0.

Эта система форм удовлетворяет структурным уравнениям Картана - Лаптева [3], [2]. Следовательно, она устанавливает фундаментально-групповую связность V 1 в расслоении поля (п — т ) -сфер [ Рі] (нормальную связность [6] на нормально оснащенной поверхности Vm с Сп полем квазитензора х 0 ).

Поверхность Ут с ^ с рп+1 является базисной для регулярной (к 7 | * 0 ) квадратичной гиперполосы н т с Рп+1 с семейством главных касательных гиперплоскостей Т п (А0) к гиперквадрике QI в точках А 0 є Vт .

Нормальное оснащение поверхности Vm с с п при отображении Дарбу в пространстве р п +1 индуцирует взаимным и двойственным образом нормализованную регулярную т -мерную квадратичную гиперполосу Нт с Рп+1, для которой базисной поверхностью является образ Vm с ^ подмногообразия V т и полем характеристик семейства касательных к б„2 гиперплоскостей в точках А 0 є 1~т служит поле (п — т ) -мерных плоскостей Пп—т (А0) = [А0,Аа]. Рассмотрим такую гиперполосу н т с Рп+1 .

Условие параллельности поля направлений [ао,М], принадлежащего полю нормалей первого рода N п - т +1 гиперполосы Н т С Рп+1, в нормальной связности V1

при смещении вдоль любой кривой, лежащей на поверхности Vm с Q'1n с Рп+1, имеет вид:

1Л+ п+/-\

ах =хке

При хп+1 = 0 условие параллельности (1) поля характеристик [А0,Аа] квадратичной гиперполосы н т с Рп+1 в нормальной связности V1 примет вид

аха + хр

При а = V и а = п условие (2) примет вид

0.ху + хи гаи — xV (га0 — х0га0 )= xV ©, с1хп + хп (га п — га0 + хк0 га0 )= хп ©.

Из последнего уравнения находим

© = а 1п хп + га п —га0 + хкгак ,

следовательно, при этом значении © система (3) выполняется при xV = 0 . Последнее

означает, что направление прямой [а0а п ] переносится параллельно в связности V1 . При значении © (см. (4)) из (3і) имеем

йху + хи гаи = xV

Соотношение (5) есть условие параллельного перенесения направления прямой

[а0К] в связности V 1 , где К = А0 + xVА V .

При т = п — 2 уравнение (5) вполне интегрируемо; следовательно, 2-мерная характеристика п 2(А0) = К

, Ап-^ Ап] переносится параллельно в связности V 1 . Доказана

Теорема 1. При любом нормальном оснащении поверхности Vn—2 с С п поле 2-мерных характеристик [а0,ап—і,ап ] гиперполосы Нп — 2 с Рп+1 параллельно переносится в нормальной связности V 1 .

Так как характеристика [А0,Ап—і,Ап] гиперполосы нп — 2 с Рп+і при отображении Дарбу есть образ 2-параметрической связки касающихся между собой в точке

А0 є Vn — 2 гиперсфер Q = ^а Аа + ^0 А0, ортогональных гиперсферам Рі = х,° А0 + Аі,

то теорему 1 можно сформулировать на языке конформного пространства

Сп :

Теорема 1*. При любом нормальном оснащении поверхности Vn-2 с сп поле 2-параметрической связки касательных гиперсфер Q = Аа + ^0А0 подмногообразия

V п - 2 параллельно переносится в нормальной связности V 1 .

Пусть поле прямых [л0,м ] совпадает с полем инвариантных прямых

И .[Л„К

п+1];

условием последнего является равенство х “ = 0 . Условием параллельности поля прямых И в нормальной связности V 1 является обращение в нуль тензора А “+1 к .

Таким образом, справедлива

Теорема 2. Поле инвариантных прямых

И .[л„м

п+1] на гиперполосе

н т с рп+1, определяемое полем квазитензора х,° , является параллельным в нормальной связности V1 тогда и только тогда, когда тензор А“+1 к обращается в нуль.

Сформулируем теорему 2 на языке конформного пространства с п :

Теорема 2*. Поле инвариантных пучков, касающихся между собой в точках

А0 е Vm гиперсфер Р = Ъ п+1N п+1 + Ъ0 А0 , определяемое полем квазитензора х,° , является параллельным в нормальной связности V 1 тогда и только тогда, когда тензор А^+1 к обращается в нуль.

Резюме. Доказано, что при любом нормальном оснащении поверхности Vn - 2 с Сп поле 2-параметрической связки касательных гиперсфер 0 подмногообразия

V п - 2 параллельно переносится в нормальной связности V 1 ; а поле инвариантных пучков, касающихся между собой в точках А0 е Vт гиперсфер Р , является параллельным в нормальной связности V 1 тогда и только тогда, когда тензор А “+1 к обращается в нуль.

ЛИТЕРАТУРА

1. Акивис, М. А. К конформно-дифференциальной геометрии многомерных поверхностей / М. А. Аки-вис // Математический сборник. - М., 1961. - Т. 53. - № 1. - С. 53-72.

2. Евтушик, Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик, Ю. Г. Лумисте, Н. М. Остиану, А. П. Широков // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. - М. : ВИНИТИ, 1979. - Т. 9. - 246 с.

3. Лаптев, Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды Московского математического общества. - 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

4. Норден, А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М. : Наука, 1976. - 432 с.

5. Фиников, С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. -М. : ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

6. Чакмазян, А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий / А. В. Чакмазян. - Ереван : Армянск. пед. ин-т, 1990. - 116 с.