Теорема ЦИКа

Разумеется, Владимир Путин и партия власти побеждают на любых выборах исключительно потому, что их политика находится в полной гармонии с пожеланиями граждан. Тем не менее группа исследователей-политологов решила поверить гармонию алгеброй.

Доказать фальсификацию выборов трудно. Полученные на выборах результаты могут не совпадать с данными предварительных опросов общественного мнения и exit polls, но это случается и без всяких фальсификаций. Представители оппозиции могут заявлять, что выборы были нечестными. Но можно ли полагаться на их слова, ведь проигравшие всегда недовольны? Разумеется, оппозиция собирает данные о нарушениях на отдельных избирательных участках. Но насколько эти разрозненные данные отражают картину в целом? Выводы международных наблюдателей обычно сформулированы обтекаемо, да и самих наблюдателей всегда можно обвинить в попытке подыграть одной из сторон.

Политологи Михаил Мягков (Орегонский университет), Питер Ордешук (Калифорнийский технологический институт) и Дмитрий Шакин (Академия народного хозяйства, Москва) попытались разработать такую методику, которая позволяла бы выявлять фальсификации путем математического анализа официально публикуемой избирательной статистики. Речь не идет о безусловных доказательствах, предупреждают они в своей книге, выходящей в мае в издательстве Кембриджского университета*. Жизнь сложнее любого математического анализа, и явлениям, выявленным с помощью их методики, можно найти альтернативное объяснение. Однако даже в суде исход процесса редко зависит от одного безусловного доказательства, виновность можно доказать и на основании множества косвенных улик, добытых криминалистами. Мягков, Ордешук и Шакин сравнивают себя именно с такими криминалистами.

Впервые в России попытку применить методы математического анализа для выявления фальсификаций на выборах предпринял профессор Александр Собянин, проанализировавший результаты референдума 1993 года (статья А. Собянина, Е. Гельмана, О. Каюнова "Политический климат в российских регионах. Избиратели и депутаты, 1991-93"; The Soviet and Post-Soviet Review, 1994). На тот момент, однако, результаты выборов по районам и избирательным участкам были недоступны, и исследователям пришлось оперировать неполными данными, собранными из самых разных источников. Год назад российский математик Сергей Шпилькин применил методы, похожие на те, которыми пользуются Мягков, Ордешок и Шакин, для анализа президентских выборов 2008 года. Согласно его подсчетам, не поддается логическому объяснению 14,8 млн из 52,5 млн голосов, полученных на тех выборах Дмитрием Медведевым.

Математика выборов

Исследователи исходят из того, что непосредственно фальсификацией выборов занимается региональное руководство и что их возможности и желание подтасовывать результаты колеблются от региона к региону. В идеальном случае динамика изменения официальных результатов последовательно проводимых выборов на уровне субъектов федерации и отдельных районов должна обладать внутренней логикой и последовательностью. Если логики и последовательности нет, это означает, что выборы фальсифицируются, ведь в разных регионах подтасовки проводятся с разным успехом.

Методика Мягкова--Ордешука--Шакина основана на нескольких простых допущениях. С помощью специальных математических методов ученые анализируют возможные объемы перетока избирателей от одних партий (кандидатов) к другим. Если количество голосов за кандидата выросло, должна существовать общая для всей страны модель, последовательно и правдоподобно объясняющая, откуда взялись эти голоса.

Кроме того, должна обнаруживаться зависимость между уровнем явки и количеством голосов, полученных партиями или кандидатами. Например, если в выборах участвуют партии А и Б, а явка выросла по сравнению с прошлыми выборами на Х процентов, то должно вырасти и количество голосов, поданных за обе партии: не может быть, чтобы весь прирост пришелся на сторонников только одной из них.

Наконец, следует обратить внимание на то, как колеблется уровень явки по стране: если явка зависит от естественных факторов, наблюдается то, что математики называют нормальным распределением. На основной массе участков уровень явки должен приближаться к уровню по стране в целом, а доля участков с повышенной и пониженной явкой должна быть примерно равна. Кроме того, доля участков с явкой, отклоняющейся от общего уровня, должна быть тем меньше, чем выше отклонение. Если на одной оси системы координат откладывать показатели явки, а на другой — количество участков с этими показателями, образуется симметричная фигура, похожая на колокол. Появление у "колокола" второго "горба" означает, что мы имеем дело с двумя совокупностями участков — теми, где уровень явки действительно определяется естественными факторами, и теми, где явка фальсифицирована.

Особенно удобны для анализа с помощью подобной методики ситуации, когда за одними выборами сразу следуют другие, причем чем меньше временная дистанция, тем лучше: меньше шансов, что политические настроения, экономическая ситуация или демографическая структура населения значимо изменились. Оптимальный случай — это президентские выборы 1996 года, проходившие в два раунда с минимальным разрывом.

Подтасуй или проиграешь

Выборы 1996 года дают очень поучительную картину. Разумеется, в промежутке между раундами произошло некоторое перераспределение избирателей: Борис Ельцин и Геннадий Зюганов поделили голоса сторонников выбывших кандидатов. Вполне естественно, что в итоге соотношение сил изменилось: в 756 районах отстававший сначала Зюганов вышел во втором раунде вперед; но районов, где отстававший Ельцин сумел перехватить лидерство, было в два раза больше. Вопрос в масштабах этого перераспределения. Например, в одном из районов Ельцин в первом туре получил 2064 голоса, Зюганов — 7461, а во втором за Ельцина якобы проголосовали 8512 человек, а за Зюганова — 2050. Получается, что за Ельцина должны были отдать голоса не только все 1037 избирателей, поддержавших выбывших кандидатов, но и 5411 человек, поначалу голосовавших за Зюганова. 75% электората лидера коммунистов необъяснимым образом должно было переметнуться к Ельцину!

В целом, однако, исследователи склонны считать, что фальсификации на выборах 1996-го были достаточно ограниченными и, что особенно бросается в глаза, географически сконцентрированными. Почти все подозрительные районы, в которых не только выросла доля голосов за Ельцина, но и одновременно снизилась доля голосов за Зюганова, расположены в Татарии, Дагестане и Башкирии. Всего таких районов оказалось 194 (из 2327, анализируемых исследователями), из них 171 расположен в этнических республиках. В Татарии и Дагестане необъяснимое изменение избирательских предпочтений наблюдалось в 85% районов.

В целом по стране, однако, сомнительными выглядят результаты менее чем в 10% районов, причем во многих случаях речь идет о весьма незначительных колебаниях. Кроме того, в 30 районах произошло ровно обратное — доля голосовавших во втором раунде за Зюганова выросла, а за Ельцина — сократилась: судя по всему, в ряде случаев местные власти подыгрывали коммунистам.

Суверен демократии

Совершенно другую картину дает анализ выборов, проводившихся в 2000-е годы. Сопоставляя результаты Владимира Путина в 2000 и 2004 годах, исследователи обратили внимание на районы, где в 2000-м он получил менее 20% голосов. Выяснилось, что в этих районах результаты 2000 и 2004 годов вообще никак не коррелируют. Допустим, популярность Путина за четыре года выросла, но почему в разных районах по-разному?

Кроме того, Мягков, Ордешук и Шакин сравнили результаты Путина 2004 года в сверхлояльных Татарии и Башкирии с его результатами в областях, где местные боссы, по-видимому, поддерживали Кремль с меньшим энтузиазмом,— в Тверской (губернатор в это время находился под следствием) и Самарской (губернатор выступал в 2000 году соперником Путина на выборах и в целом был известен непростыми отношениями с Кремлем). Оказалось, что в 2004 году в Татарии с каждым процентом прироста явки по сравнению с 2000 годом показатель Путина увеличивался на 1,67%. Иными словами, если явка выросла на 100 человек, число поддержавших Путина — на 167. Например, в Нурлатском районе Татарии из 44 избирательных участков 33 доложили о явке в 100% — и на 25 из них 100% голосов были отданы за Владимира Путина. В Башкирии повышение явки на 1% увеличивало количество сторонников Путина на 1,41%.

Возможно, дело в стремительном росте популярности президента, привлекающего на свою сторону избирателей, раньше голосовавших за оппозицию? Наверняка и в этом тоже. Однако в Твери данная величина составила 0,84, а в Самаре — 0,75. То есть из каждых 100 новых избирателей соответственно 84 и 75 голосовали за Путина, но 16 и 25 все же за оппозицию.

Всего, по мнению исследователей, сомнительными выглядят около 10 млн из 49,5 млн голосов, полученных Владимиром Путиным на этих выборах (для сравнения: за его основного соперника, коммуниста Николая Харитонова, по официальным данным, проголосовали 9,5 млн человек).

Переходя к более общим выводам, политологи заключают, что до парламентских выборов 2003 года включительно серьезные фальсификации выборов происходили в основном в этнических республиках. С президентских выборов 2004 года фальсификации стали расползаться по всей стране. В 2003 году в этнических республиках явка превысила 90% в 14% районов, в 2004-м — уже в 33%, в 2007-м — в 39%. В остальных регионах этот показатель был во много раз ниже, но вырос на порядок: с 0,4% в 2003 году до 3% в 2004-м. Если взять в качестве порога отсечения уровень явки в 85%, то картина получается еще более наглядной. По республикам доля таких районов выросла с 23% в 2003-м до 48% в 2007-м, по областям — с 1 до 4%. А доля районов, где явку не смогли дотянуть до 65%, упала с 31 до 12% в республиках и с 64 до 39% в областях.

Заинтересованный читатель найдет в книге Мягкова, Ордешука и Шакина и много других увлекательных предвыборно-математических наблюдений. Однако не менее примечательно то, чего он там не найдет,— анализ победы Дмитрия Медведева в 2008 году. Предмет исследования, замечают авторы книги, это выборы. То, что проводилось в России в прошлом году, в это понятие никак не укладывается.

*Источник: Mikhail Myagkov, Peter C. Ordeshook, Dmitry Shakin. The Forensics of Election Fraud: Russia and Ukraine. Cambridge University Press, 2009.