Исчислительно-геометрическая интерпретация рациональных и бирациональных отображений

нефтегаз» // Надежность и сертификация оборудования для нефти и газа - 2001. - №2 - с. 4 -10.

4. ЛупповА. М., Лаврентьев Н Я., Сатонкин П. Ю„ Жильцов В. В. Межрегиональная программа «СибВПКнефтегаз-2000»: реалии и перспектива //Конверсия в машиностроении - 2000. - N92 - с. 17 -22.

5. О выполнении межрегиональной целевой программы «СибВПКнефтегаз-2000» // Статистический сборник №4 - Омскоблкомстат - Омск - 2002. - 69 с.

6. Номенклатурный каталог нефтегазового и энергетического оборудования, технологий, материалов, выпуска-

В. Ю. ЮРКОВ

Омский государственный технический университет

УДК 514.1:681.327.12

Рассматривается проблема исчислительного исследования соответствий между системами подмногообразий различной коразмерности на нелинейных многообразиях различных степеней. Показана возможность изучения свойств рациональных отображений через соответствия линейных систем циклов многообразий с точностью до автоморфизмов проективного пространства. Приведены признаки бирационального изоморфизма многообразий.

Как известно, рациональное отображение является одним из основных понятий теории многообразий, имеющих в некоторых случаях геометрическую интерпретацию, связанную с естественной операцией проектирования. Би-рациональным отображением (изоморфизмом) называется рациональное отображение, если оно обладает обратным. Полное описание таких отображений возможно для многообразий, размерности не выше 2. Для больших размерностей имеются только отдельные результаты. К числу последних относится проекция многообразия из принадлежащей ему точки на гиперплоскость [1]. Некоторые примеры бирационального изоморфизма хорошо известны. Например, отображение неприводимой квадрики из принадлежащей ей точки на гиперплоскость интерпретируется как проектирование [2]. Или отображение гиперкубики трехмерного проективного пространства, имеющей хотя бы две скрещивающиеся прямые, на плоскость, не содержащую этих прямых Легко проверить аналитически, что через любую точку гиперкубики, не принадлежащую этим прямым, проходит единственная прямая, которая пересечет плоскость в точке - образе выбранной на гиперкубике [3]. Пару скрещивающихся прямых можно назвать фундаментальной системой отображения.

Все изученные автором системы отображений 7":Х<-> У основывались на предположении, чтоХи У- линейные подпространства в л-мерном проективном пространстве Р п и общего положения на грассманиане й(к, (п - к)(к + I)) (4].

емых и осваиваемых в рамках программы «СибВПКнеф-тегаз-2000» - Второе издание - Омск - 2001. - 259 с.

ЖИЛЬЦОВ Валерий Васильевич, кандидат технических наук, старший научный сотрудник Управляющей компании программы "СибВПКнефтегаз"; член-кореспондент АТН РФ, член-корреспондент МАТК, член-корреспондент МАНЭБ, заслуженный изобретатель РФ, лауреат премии им. В. И. Муравленко.

ШЕНДАЛЕВА Елена Владимировна, ведущий специалист Управляющей компании программы "СибВПКнефтегаз".

Пусть теперь X и У-точечные нелинейные многообразия размерности к. порядков дед Хи с/ед У. Если фундаментальная система отображения 7"находится в общем положении относительно X и У, то значносш прямого Х-> У и обратного У->Х соответствий равны с1ед У • д( и бед Х- д1. Здесь д,-число проецирующих (п - /^-плоскостей многообразия 5(п-к, к), инцидентных общей точке пространства Рй.

Было доказано, что все множество отображений Т: Х<->У образуется из основного отображения, фундаментальная система которого состоит из (п - к)к подпространств размерности к -1. Образование отображений различных типов происходит двумя путями: специализацией фундаментальной системы или введением в нее нелинейных многообразий. Пусть фундаментальная система - основная. Тогда для установления (дг д^-значного соответствия между Х(11ед X) и У (бед У) необходимо, чтобы последние находились в частном положении относительно фундаментальной системы. А именно, компоненты фундаментальной системы - (к - ^-плоскости должны лежать на X с кратностями а: и на Ус кратностями Ь!, удовлетворяя равенствам

с!еёХ = Та + l,degY = ^LЬ+ I.

Разработанная теория является частным случаем общей теории, относящейся к соответствиям между подмногообразиями коразмерности от 1 до к -1 на X и У, и к соответствиям между алгебраическими семействами таких подмногообразий. В общем случае можно изучать рациональные отображения V. Х<-> У через соответствия линейных систем циклов f: X <-» Р к, (: У«-> Рк с точностью до автоморфизмов пространства Рк. Однако такая проблема является еще не решенным предметом исследования даже в алгебраической геометрии.

ИСЧИСЛИТЕЛЫЮ-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ И БИРАЦИОНАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

ПРЕДЛАГАЕТСЯ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СООТВЕТСТВИЙ МЕЖДУ СИСТЕМАМИ ЦИКЛОВ РАЗЛИЧНОЙ РАЗМЕРНОСТИ НА НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ, ОБЛАДАЮЩИХ ОПРЕДЕЛЕННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ. СФОРМУЛИРОВАНЫ ПРИЗНАКИ ТАКОГО КЛАССА МНОГООБРАЗИЙ. ПОКАЗАНЫ ВОЗМОЖНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ИСЧИСЛЕНИЯ ШУБЕРТА ПРИ ПОСТРОЕНИИ БИРАЦИОНАЛЬНОГО ИЗОМОРФИЗМА МЕЖДУ МНОГООБРАЗИЯМИ.

Важным аспектом проблемы являются бирациональные отображения. Как было доказано, в коразмерности 1 соответствия Т:Хп1+±УПш1 всегда являются бирациональ-ными, если проецирующие многообразия есть гиперсети прямых порядка 1 в Р я, а их фундаментальные системы есть конечное множество линейных подпространств. Цикл общего вида для них есть (е в „_2)"~1. Отсюда следует, что бирациональное отображение

Л' X л , <-> У л ) возможно для тех X, на которых лежат п-1 (п- 2>плоскостей с приписанными кратностями а., \ -0,.... п -1. Однако если учесть формы специализации для фундаментальных систем гиперсетей, то

Учитывая необходимое равенство размерностей левой и правой части, получим

Это равенство является необходимым и достаточным условием существования формы специализации для цикла общего вида, т. к. совместность произведения условий, стоящих в правой части, выполняется всегда. Отсюда следует вывод, что гиперповерхности X и У степеней бед Хи бед Убирационально изоморфны, если на каждой из них лежит а . линейных подпространств размерности т , с кратностями и1Г 0</< аг При этом аи т „должны удовлетворять уравнению (1), а

ае8лчаее К) = +1.

Кроме этого, их взаимные инциденции на X и Удолжны быть точно такими же, какими они являются в фундаментальной системе отображения 7" .; X о У (рис 1). .

В коразмерности > .1 основное, отображение Т: Х<-> У уже не будет бирационэльным. Поэтому после соответствующих специализаций основного цикла можно получить произведение

п-к,...игиг2,...

• ^»„..Jt+lrMlr-lMlr-J.-'

/ П-К,iru,

А

X...

М

задающее фундаментальную систему проецирующего многообразия ¿, порядка 1 и классов, значения которых являются максимальными среди остальных многообразий Б порядка 1. Отображения, индуцируемые такими многообразиями Э, можно назвать основными в группе бираци-ональных. Любая специализация фундаментальной системы такого отображения приводит опять к бирациональному отображению с меньшими значениями классов индуцирующего многообразия или к вырожденному отображению. Поэтому (2) можно считать также любой формой специ-

Рис. 1

алйзации цикла основного бирационального отображения.

Если р ¡(к + 1,-2)-плоскостям приписать кратности а О <.} <. р () 1 й i < г, то можно утверждать, что /(-мерные многообразия являются бирационально изоморфными, если на них лежат р ( (к +1 2)-плоскостей с кратностями а у/. При этом

degJC(degy) = Xai,A+l,

а их взаимные инциденции должны соответствовать инци-денциям фундаментальной системы Т: Х++ У.

Предположим, что одно из многообразий, например, X есть подпространство Рк пространства Рп. Это не снижает общности результатов. Понятно, что поставленная проблема оказывается настолько глубока, что изучить ее в пределах данной работы не представляется возможным. Поэтому, вводя те или иные ограничения, будем рассматривать ее с точки зрения основного направления исследования.

Например, сформулированный признак бирационального изоморфизма f:Pk++ У можно принять без оговорок в том случае, если п - к = 1. Тогда У - гиперповерхность, несущая на себе фундаментальную систему отображения f с приписанными ей кратностями компонентов. Если же п-к>1, то признак должен иметь другую формулировку. А именно, если среди р. (k + l 2)-плоскостей с кратностями а найдутся такие, у которых dim р s dim У (что вполне возможно при п-к> 1), то /с-мерные многообразия будут бирационально изоморфными, если они будут пересекать компоненты фундаментальной системы с dim р £ dim У по плоскости, размерность которой < dim У и которая безусловно пересекает каждую проецирующую плоскость индуцирующего многообразия S.

Например, если п = 4,к = 2, а фундаментальная система отображения f:P2<->Y представляет собой две прямые и 2-плоскость общего положения в Р4, то Удолжна быть 2-по-верхностью 4-го порядка, содержащей две прямые фундаментальной системы с кратностью, равной 1. Кроме этого, Удолжна пересекать 2-плоскость фундаментальной системы по прямой, тоже имеющей кратность 1. А поскольку каждая проецирующая 2-плоскость многообразия S(2, 2) тоже пересекает 2-плоскость фундаментальной системы по прямой, то критерий бирациональности удовлетворяется.

Пусть отображение f: Рк*-> У установлено. Тогда, выбирая в Рк подпространства * различных размерностей I, 0<1<к, получим подмногообразия s размерности п-к + 1, лежащие в S. Последние будут пересекать У по нелинейным многообразиям у размерности /. Здесь все достаточно ясно. Однако, в отличие от соответствий меиаду /(-плоскостями, подсчет порядка образа deg у будет иным. Так, deg s вычисляется по формулам, приведенным в [5]. Порядок образа будет определяться как

deg у - deg s  deg У-1 р ,а..,

где сумма по i есть вклад в определение порядка, обусловленный наличием фундаментальной системы соответствия. Последняя лежит на У или имеет с У указанные выше инциденции и поэтому является фундаментальной системой отображения f~1: У о Рк.

Предложение 1. Структура пространства Р к , рассматриваемого как грассманиан G(l), и структура особого многообразия У, рассматриваемого как алгебраическая система циклов размерности /, изоморфны, если фундаментальная система отображения f: РУ и фундаментальная система многообразия У в f находятся друг с другом в указанных выше отношениях.

Следствие 1. Если ({у} с Y) =f (flf с Р J, то инци-дентностные свойства {у} изоморфны инцидентностным свойствам {I}.

Следствие 2. Dim ((!} сР k)=dim({y}cY) = (l + 1)(к -1).

Структуру пространства Рк (и вообще проективного п-мерного пространства, рассматриваемого как систему грассманианов) определим как целое положительное число /-мерных подпространств, лежащих в Рк и пересекающих в точках фиксированные (1 + 1)(к-1) подпространств размерности/с-/- 1. Доказательство предложения 1 проведем при следующих ограничениях. Во-первых, пусть У -неособая гиперквадрика, т. е. п - к = 1. Это можно обосновать двумя объективными причинами. Первая та, что алгебраическая геометрия не располагает данными о поведении циклов различных степеней и размерностей, а также о системах таких циклов на многообразиях, размерностей и степеней больше двух. Вторая заключается в том, что при увеличении коразмерности квадрики, т. е. когда п-к>1, фундаментальная система отображения f просто дополняется соответствующим числом точек, а алгебраические свойства и характеристики / не меняются.

Во-вторых, из всего множества отображений f и их фундаментальных систем можно выбрать для доказательства предложения простейшую фундаментальную систему, т. к. свойства отображения и структуры не меняются при усложнении отображения. Меняются только алгебраические характеристики. Таким образом в Р п имеется неособая гиперквадрика У с фиксированной на ней точкой Р, гиперплоскость Рп_ 1 и стереографическая проекция /с отображением имеющие исключенную точку Р.

Из теории исчислительной геометрии, построенной для проективного пространства Р, известно, что изоморфизм структур доказывается тождественностью уравнений циклов Шуберта. Все множество таких уравнений имеет абсолютно формальные алгоритмы построения, образующиеся из основных уравнений связи условий. А в качестве последних можно взять любое основное уравнение связи для циклов плоскостей размерности /, 0< I <п. Пусть это будет уравнение

. ьк,...}с-1+\,к-1-2 \Л1

Будем считать, что/ не меняет структуру пространства, если принадлежащая У/-квадрика пересечет лежащую на У (к-1-2^-квадрику только в одной точке (крометочки Р). А также, если эта же /-квадрика пересечет лежащую на У (к - />квадрику по конике, инцидентной Р. Если исходить из того, что на любой неособой квадрике размерности к любые две неособые квадрики, сумма размерностей которых равна к, пересекаются в двух точках (мнимых или действительных), то размерность условия, которому должны удовлетворять /- или (к-1- 2,)-квадрика, пересекающиеся на У, равна двум. При этом всегда существует точка Р, свойство которой заключается в том, что она инцидентна всем системам квадрик размерности от 1 до к - 1 на У. Поэтому /- и (к - /^-квадрика пересекутся только в одной свободной точке безусловно, а /- и (/(- / - 2>квадрика только в одной свободной точке с условием размерности 2.

Далее, если безусловное пересечение /- и (к-1)-квадрики на У есть одна свободная точка, то /- и (к - / - 7^-квад-рика в общем случае не пересекаются. Чтобы /-квадрика пересекала одну некоторую (к-1- ^-квадрику, необходимо условие размерности 1. А чтобы она же пересекала каждую (к-1- ^-квадрику, лежащую на У, необходимо, чтобы у I-и (к - ^-квадрики была общая коника, инцидентная точке Р. Это условие имеет размерность 2. Следовательно, уравнение (3) формально справедливо.

Из всего сказанного следует важный вывод, открывающий путь к исследованию систем нелинейных циклов на многомерных алгебраических многообразиях, степени выше двух.

Предложение 2. Исчисление циклов Шуберта, допустимое на грассмановых многообразиях проективного л-мер-ного пространства, с точностью до бирационального изо-

морфизма эквивалентно исчислению нелинейных циклов тех же размерностей на л-мерном алгебраическом многообразии, имеющем указанные выше инциденции.

Следствие 1. Запись е1^ , означающую инцидентность определенного вида в л-мерном пространстве /- и а(1)-флагов или условие определенного вида, наложенное на /-плоскость, означает выражение инцидентности такого же вида /- и а(/)-мерных циклов, лежащих на многообразии У с указанными выше особенностями, или условие такого же вида, наложенное на /-мерные циклы.

Что касается систем циклов, то они являются результатом пересечения У с такими подмногообразиями многообразия Б, индуцирующего соответствие /, которые образуются при выборе в пространстве-прообразе какой-либо /-плоскости.

Следствие 2. Множества соответствий между /(-мерными проективными пространствами, построенные на грассмановых многообразиях, можно считать изоморфными множествам соответствий между /(-мерными особыми многообразиями.

Например, классическая задача исчислительной геометрии, заключающаяся в определении числа прямых трехмерного пространства, пересекающих четыре заданные прямые, может бьггь сформулирована как задача определения числа коник, лежащих на 3-квадрике и инцидентных одной фиксированной точке, и пересекающих четыре заданные коники, тоже лежащие на этой же квадрике и тоже проходящие через эту же фиксированную точку. Решение, как известно, равно двум. К этой же задаче относится определение числа одномерных квартик, лежащих на 3-ку-бике с двумя прямыми и пересекающих четыре заданные на ней квартики, которые тоже пересекают эти две прямые. Их число равно двум. Другими словами, квадратичная структура линейчатого 3-пространства бирационально изоморфна структуре З-кубики, рассматриваемой как многообразие особых кривых 4-й степени. 3-кубика представляет собой линейную двухпараметрическую систему таких кривых - образ связки прямых, заметающих 3-плоскость. И т.д.

Более общее заключение состоит в том, что множества соответствий между/(-мерными проективными пространствами, свойства которых исследованы в [4], есть множества соответствий между /(-мерными многообразиями различных степеней, обладающими указанными системами особых подмногообразий. Кроме этого, можно предположить, что геометрия условий, допустимая на грассмановых и шубетовых многообразиях /(-мерного пространства, представляет собой модель нелинейного /(-мерного многообразия с указанными системами особенностей.

Литература

1. Гриффите Ф, Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. - М.: Мир, 1982. - Т. 2 - 366 с.

2. Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. - М.: ИЛ, 1954.-Т. 2-431 с.

3. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. -М.: Наука, 1988.-Т. 1 -352с.

4. Юрков В. Ю. Основы исчислительно-конструктивной теории алгебраических соответствий многомерных пространств и ассоциированных с ними проекционных систем: Дисс.... док. техн. наук. - 05.01.01. - Омск, 2000. -385 с.

5. Юрков В. Ю. Исчисление Шуберта и многозначные соответствия // Омский научный вестник. - Омск, 1988. -Вып. 2.-С. 57-59.

ЮРКОВ Виктор Юрьевич, доктор технических наук, профессор кафедры начертательной геометрии.