Форма ключевой функции в задаче о моделировании ветвлений периодических экстремалей с резонансом 1:1:1

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 517.9 Б01: 10.14529/шшр140302

ФОРМА КЛЮЧЕВОЙ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧЕ О МОДЕЛИРОВАНИИ ВЕТВЛЕНИЙ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ЭКСТРЕМАЛЕЙ С РЕЗОНАНСОМ 1:1:1

Е.В. Бухонова

В статье изложена допускающая алгоритмизацию методика приближенного вычисления нормализованных ключевых функций в задаче о ветвлении периодических экстремалей гладкого функционала действия вблизи его точки минимума. Периодические экстремали такого функционала служат прототипами периодических колебаний динамических систем, сегнетоэлектрических фаз кристаллов, нелинейных периодических волн и т.д. Изучение бифуркации циклов динамических систем посредством ключевых уравнений и ключевых функций было недавно проведено в работах А.П. Карповой, Н.А. Копытина, Е.В. Деруновой и Ю.И. Сапронова в случаях двойных резонансов Р1 : Р2 : Рз, Р1 < Р2 < Рз. В настоящей статье рассмотрен мало изученный случай Р1 = Р2 = Рз = 1. Предложенная в статье исследовательская схема опирается на вариационную версию метода Ляпунова - Шмидта, в соответствии с которой численное и качественное описание бифуркаций циклов сводится к анализу ветвления критических точек так называемой ключевой функции. В качестве демонстрационной модели рассмотрен функционал действия, соответстваующий обыкновенному дифференциальному уравнению шестого порядка. Приведены примеры раскладов ветвей критических точек и описан подход к классификации таких раскладов, основанный на разбиении бифурцирующих ветвей на подмножества с одинаковыми индексами Морса и на описании взаимных примыканий бифурцирующих критических точек.

Ключевые слова: гладкий функционал; экстремаль; круговая симметрия; резонанс; моделирование ветвления; метод Ляпунова - Шмидта.

1. Введение и постановка задачи

В данной статье изложена методика приближенного вычисления нормализованных ключевых функций в задаче о моделировании ветвления периодических экстремалей гладкого функционала действия вблизи точки минимума. Периодические экстремали такого функционала служат прототипами периодических колебаний динамических систем, сегнетоэлектрических фаз кристаллов, нелинейных периодических волн и т.д. Изучение бифуркации циклов динамических систем посредством ключевых уравнений и ключевых функций было недавно проведено в работах Б.М.Даринского. Е.В. Деруновой, А.П. Карповой, Н.А. Копытина и Ю.И. Сапронова в случаях двойных резонансов Р1 : Р2 : Рз, Р1 < Р2 < Рз (см.

[1-4]).

Далее рассмотрен мало изученный случай Р1 = Р2 = Рз = 1. В качестве демонстрационной модели рассмотрена ОДУ шестого порядка

и (ш, ш2, ... , Шб) = 0(ш2+ш2 + ... +ш2). Под двойным резонансом (типа р1 : р2 : Рз) урав-

нения

трех периодических решений ехр(£), Т > 0, рк € к = 1, 2, 3, 1 < р1 < р2 < Р3, ИОДрьр2,рз) = 1. Резонанс р1 : р2 : рз называется сильным, если существует такой ненулевой набор целых чисел п1,п2,п3, что п1р1 + п2р2 + п3р3 = 0 и |п1| + |п2| + |п3| < 4. Число |щ| + |п21 + |п31 называется порядком резонансного соотношения П1Р1 + П2Р2 + П3Р3 = 0. Число, наименьшее из порядков резонансных соотношений, называется порядком данного резонанса. Резонансные соотношения порядка > 5 называются слабыми. Резонанс, для которого существует сильное резонансное соотношение, называется сильным, и слабым — в противном случае.

Ниже предполагается, что Т = 2п и р1 = Р2 = Р3 = 1 . Базовое предположение — условие потенциальности: уравнение (1) служит уравнением Эйлера-Лагранжа экстремалей функционала действия V (-ш,а) =

1 f (d3w \ 2 (d2w \ 2 . / dw \ 2 2

2W UUdtV “Ч~d2 + “Чл) -01w +U

0 \ \ / /

U = U ^w, ddW, ddtwr, ddtr), U (w,wi,w2,w3) = o(w2 + w2 +w| +w2). Функционал V рассмотрен на пространстве E, состоящем из 2п—периодических функций класса C6 со значениями в области вещественных чисел.

В [2-4] были приведены списки систем образующих алгебраических инвариантов для ортогонального действия окружности на R6 и, как следствие, нормальные формы главных частей ключевых функций в случае двойных резонансов порядков. В данной работе рассмотрен случай наиболее сильного двойного резонанса 1:1:1. Предложенная схема опирается на работы [3-5] и на вариационную версию метода Ляпунова - Шмидта, в соответствии с которой численное и качественное описание бифуркации циклов сводится к анализу ветвления критических точек ключевой функции

W

w: (w,ek)=£fc \1=1 /

от шести ключевых переменных £ь£2,---,£б (ei, e2, . . . , e6 —моды бифуркации).

Некоторые бифуркационные эффекты в случае резонанса 1 : 1 были изучены В.В. Стры-гиным и его учениками методами теории усреднений в рамках задачи синхронизации динамических систем [6].

2. Ключевые функции и их вычисление посредством нелинейной ритцевской аппроксимации

Опишем кратко практическую схему (локальной) редукции к функции (3). Будем рассматривать 2п-периодические экстремали. Пусть /(ж, а) — правая часть уравнения (1), рассмотренного в паре банаховых пространств Е, Е, Е : = П2п, Е := П2п — пространства 2п-периодических функций классов С6 и, соответственно, С0. Пусть И := ^[0, 2п] — (гильбертово) пространство функций на отрезке [0, 2п] с суммируемым квадратом (со скалярным

2п

произведением (и, у) := 2П / ). Очевидно, что Е непрерывно вложено в Е, Е непре-

0

рывно и плотно вложено в И и Е плотно в И .В приложениях достаточно вычислить лишь несколько первых членов разложения Ш в ряд Тейлора. В локальных задачах для этого используется специальным образом подобранная ритцевская аппроксимация функционала V

по модам в1, в2,..., еп — функция Шд(£) = V

Y^ii ei) , £ = (£1 ,£2, •••,Cn)T- Экстремалям =i

£ = (£i,... ,£и) функции W соответствуют точки x = ^П=1 £i ei, называемые ритцевски-ми аппроксимациями экстремалей V. Точность ритцевских аппроксимаций повышается за счет увеличения количества базисных функций. Если, обобщая, рассмотреть «нелинейные»

(и \

ритцевские аппроксимации вида W(£) = V ^ £jej + Ф(£) , где Ф — гладкое отображение

\j=1 J

из N : = span (e1, • • •, eu) в N^ (ортогональное дополнение к N в H), то можно достигнуть любой точности при априори зафиксированном наборе базисных функций и, следовательно, априори ограниченном количестве степеней свободы аппроксимирующей системы [1].

Ниже рассмотрен случай локализации параметров: “k = “k + §k, k = 1, 2, 3, где

„2\T

^1,^2,^3 — малые параметры. После пересечения точкой (а1,а2,а3) характеристической плоскости (в пространстве параметров М3) происходит смена значения индекс Морса в начале координат. Характеристические плоскости задаются посредством линеаризованного уравнения

й6Л, ^4Л, ^2Л,

~Т~6 + “3 ТГ + + “1h = 0

dx6 dx4 dx2

и состоят из тех и только тех точек а = (а1, а2, а3), для которых уравнение (4) имеет ненулевое 2п-периодическое решение. Поиск таких точек приводит к характеристическому уравнению —Л6 + а3А4 — а2Л2 + а1 =0 . Если найдены три линейно независимых 2п-периодических решения линеаризованного уравнения, то из последнего уравнения получаем

Л2 = П2, П € {Р1,Р2,Р3}, Р] € N Р1 < Р2 < Р3-

Соотношение ао = а2П2 — а1П4+п6 задает характеристическую плоскость Ьп. Огибающая поверхность Ь семейства характеристических плоскостей Ьп ограничивает область изменения параметров, для которой функционал действия имеет в нуле точку минимума. При пересечении точкой а = (а1, а2, а3) поверхности Ьп происходит бифуркация рождения (уничтожения) экстремалей в нуле. Пересечение поверхности Ь приводит либо к одномерной бифуркации из нуля с парой двойственных мод в2п-1 = \/2с08(п£), б2п = \/2 8ш(п£), либо к двумерной бифуркации с модами в2П-1, е2п, в2т-1, е2т, либо к трехмерной бифуркации с модами в2П-1, е2п, е2т-1, б2ш, в2г-1, в21. Характеристические плоскости Ьт, Ьп, Ь, отвечающие произвольной тройке попарно различных натуральных чисел т, п, I, пересекаются по единственной точке (а1, а2, а3) = (п2+т2 +12, п2т2 + т212+п212, п2т212). Для иллюстрации раси, 4?, *, й?) = 2-1, т = 1, п = 2, ( = 3.

смотрим важный для приложений случай: и

6

После подстановки функции и = ^ £кв интеграл

к=1

1

2П

- “3

d2w

dx2

dw 2 2

+ “2 ( dx ) - “1 w

w4 + — dt

получим следующее выражение для ключевой функции (3) W = W(4) +

2 (А1 (£2 + £2) + Л2 (£2 + £4) + A3 (£2 + £2)) + o(|£|4) + O(|£|4)O(£), где Л1 =

c (51 — £2 + £3), A2 = c (51 — 16£2 + 4£3), A3 = c (51 — 81£2 + 9£3), c — const.

Проверка основана на прямом вычислении главной части ключевой функции (вычисление проведено в среде Maple). Если в трех плоскостях {£1,£2}, {£3,£4}, и |£б,£б} ввести

2

2

полярные координаты: £2к-1 = Гк С08(^>к) , £2к = Гк 8ш(^>к), к = 1, 2, 3, и провести редукцию по угловым переменным <^к: Ш(г) := ех^Ш(£), то получим редуцированную ключе-

V

__ 3 / 3 \

вую функцию: Ш(г) = ^ г4 + 4 (г ^ + г ^ + г^) — | г 3г3 + 4 г 1г|г3 + 2 ^ А^- г2 +

.?=1 \^=1 /

о(|г|4) + 0(|г|4)0(£). Мономиальное слагаемое | г 3г3 в этом полиноме можно уничтожить нормализующей линейной заменой координат [7].

3. Главная часть трехмодовой ключевой функции

В общем случае ключевая функция имеет следующий вид 2 ( Е $к 1к ) +

\к= 1 /

4 ( Е Ак12 + 2 Е Бк,3 ^ + °(У£У4), где 4 = £2к- 1 + £2к - стандартные ин-

\к=1 к,]=1 У

варианты, а .] — линейная комбинация всех дополнительных (кроме стандартных 1к) образующих инвариантов степени < 4 — для рассматриваемого действия окружности на

М6 = С3:

Если обратиться к комплексной форме многочленов от переменных Хк := £2к-1 +£2к * , то инвариантами действия окружности будут многочлены 1к = |хк|2 , к = 1, 2, 3, (стандартные инварианты степени 2). Кроме того, имеются (см. [3]) следующие инварианты степеней 3 и 4 (см. табл. 1).

Таблица 1

Список инвариантов

Тип резонанса Инвариант

1:2:3 -2 - - - - 2 -3 Х2Х2, Х1Х2Х3, Х1Х3Х2, Х3Х3

1:2:4 -2 -2 -2 -Х 2Х2, Х^Х3,Х 2Х2Х3

1:2:5 22 Х 2 Х2, Х 1Х2Х3

1:2:6 23 Х 2Х2, Х 3Х3

1:3:4 3 X 3Х2,Х 1Х2Х3

1:3:5 32 Х 3 Х2, Х 2 Х2 Х3

1:3:6 32 Х3Х2, х2Х3

1:3:7 32 Х 3Х2,Х 1Х2Х3

1:3:9 33 Х 3x2, Х 33Х3

р : д : р + д, р + д > 5, р, д > 1 Х1Х2Х3

р : д : 2р + д, р + д > 5, р, д > 1 2 Х2Х2Х3

р : д : р + 2д, р + д > 5, р, д > 1 2 Х1X2X3

р : 2р : д, р + д > 8, р, д > 1 X 2 Х2

р : д : 2д, р + д > 5, р, д > 1 2 Х^Х3

р : 3р : д, р + д > 9, р, д > 1 X 3 Х2

р : д : 3д, р + д > 5, р, д > 1 Х2Х3

В случае р : д : г, р + д > 5, р + г > 5, д + г > 5 дополнительных инвариантов степеней 3 и 4 нет.

Перейдя к полярным координатам Хк = гк ег^к, получим ключевую функцию в виде № = №о + Р + о(||г||4), где №о = Е|=1 г4 + Е,<к аз,кг]гк + $1г2 + 62^ + $3г2 , (а^-к} —

структурные параметры, Р — некоторый полином четвертой степени от г с коэффициентами, зависящими от р, §3 — малый параметр. От угловых переменных можно избавиться посредством вторичной редукции к функции и (г):

и

После исключения угловых переменных рк получается функция и (г), инвариантная относительно действия в М3 группы «остаточной» симметрии С, порожденной исходным действием окружности в С3. Точнее, группа С порождена теми действиями (5), которые переводят стационарные (по р) подмногообразия (для Ж (г, р)) в точно такие же подмногообразия.

Если функция и (г) конечнократна 1 (в точке минимума), то она приводится (см. [3]) посредством С-эквивариантной параметрической замены координат и переопределения параметров к следующей нормальной до четвертого порядка форме:

3 1

^ г4 + ^ ЧкЛ + р0 + 2

3 =1 3<к

в которой слагаемое Ро представлено табл. 2 (параметры е3- являются малыми), С — группа остаточной симметрии.

Таблица 2

Список нормализованных добавочных членов

з p 2 p p Po

І : 2 : З br іГ^Тз + Є lr 1Г2Гз + Є2Г 2Г2

І : 2 : 4 br 2 Г2Г3 + Є lr 2Г2 + Є2Г2Г3

І : 2 : Б 22 Є іГ 2 Г2 + Є2Г іГ2Гз

І : 2 : б 2 єг 2г2

І : З : 4 ЄГ іГ2Гз

І : З : Б 2 єг 2 r2r3

І : З : б є r2r3

І : З : Т brlr2r3

І : З : 9 0

p : q : p + q, p + q > Б, p, q > І ЄГ 1Г2Гз

p : q : 2p + q, p + q > Б, p, q > І 2 єг 2 Г2Г3

p : q : p + 2q, p + q > Б, p, q > І 2 ЄГ іГ2Гз

p : 2p : q, p + q > В, p, q > І 2 єг 2г2

p : q : 2q, p + q > Б, p, q > І 2 є r2r3

p : Зp : q, p + q > 9, p, q > І 0

p : q : Зq, p + q > Б, p, q > І 0

Здесь учтено, что каждый моном г3г^, j = k, после проецирования в фактор R[[x i, Х2, Жз]]/ , Ш2, §!з} (локальное кольцо min-особенности [7]) попадает в линей-

ную оболочку мономов T^rj2, j = k, и rjrfcГ, j = k = l = j.

1Условие конечнократности означает, что dim ^R[[xi, ж2, x3]]^ , faw}) < TO, [1, с. 8],

[7].

4. Примеры

Примеры нормализованных ключевых функций приведены в [1, 3]. Остановимся на некоторых из них.

В случае резонанса 1:2:4 ключевая функция, редуцированная по угловым переменным, приводится форме

3

^2 г4 + ^2 азкЗк + Ь г^гз + е 1 г2г2 + £2 г2гз + +Я 1г2 + ^2г2 + Язг2 + о(|£|4) + 0(|£|4)0(Я).

3 =1 з<к

Вычисление коэффициентов проводится по стандартному алгоритму. Сначала вычисляется тейлоровское приближение Ш к ключевой функции до четвертого порядка (на пространстве ключевых переменных М6). Затем в трех плоскостях парных мод бифуркации вводятся полярные координаты, и у записанной в этих координатах тейлоровской аппроксимации Ш ключевой функции определяются критические значения угловых переменных. После фиксирования этих значений угловых переменных получаем редуцированную главную часть в виде полинома Ж четвертой степени от трех радиальных переменных. Процесс нормализации полученной функции Ж опирается на теорему Дж. Мазера [7] об эквивалентности функции своей главной часть (с учетом остаточной симметрии).

Для получения первых асимптотик

3

Е’'4 + Е а3,кгз2г2 + Ь г^гз + е 1 г2г2 + £2 Т^з + Я 1^ + Я2г2 + Я3г2.

3=1 з<к

В случае резонанса 1:2:3 ключевая функция Ж приводится к форме

з

1>к+Е аз,кг2г2 + Ь г^гз + е 1г 1г2гз + £2г 2г2 + Я 1г2 + Я2г2 + Язг2.

3=1 з<к

В случае резонанса р : 2р : д, р + д > 8, после замены г2 = у1, г2 = у2, г2 = уз получим функцию (с угловой особенностью [8]) и = у2 + Ук + у2 + а1,2У1У2 + а^зу1 уз + а2,зУ2Уз + еу1у2 + Я1у1 + Я2у| + Я3у3. Ее анализ проведен в [1].

В случае слабого резонанса р : д : г, после замены г2 = у1, ^ = у2, г^ = уз (для редуцированной и нормализованной ключевой функции), получим функцию с главной частью С(у1,у2,уз) = у2 + у| + у2 + ау1у2 + Ьу1уз + су2уз + Я1у1 + Я2у2 + Язуз в положительном октанте {у1 > 0,у2 > 0,уз > 0} (с угловой особенностью [1, 8]). Ее анализ проведен в [9].

5. Случай резонанса 1:1:1

Рассмотрев в случае резонанса 1:1:1 отрезок ряда Тейлора ключевой функции порядка

4, получим полином Ш(£), эквивариантный относительно стандартного действия окружности на М6. Если отождествить вектор £ € М6 с комплексным вектором г = (21, 22, гз)Т € С3, ^1 = £1 + г^2, 22 = £з + *£4, гз = £5 + г£б, то это действие окружности задается соответствием Т : {ехр(гр),г}|— ехр(гр) г. Инвариантность означает выполнение соотношения Ш (Т^(£)) = Ш (£) У{£, р}. Если положить и (г) := Ш (£), то будем иметь соотношение

и (ехр(г£)г) = и (г) У£, г. Отсюда получаем следующее представление для квадратичной части: и(г)(2) = ^3 к а3;кг3гк, а3;к = ак,з € С. Для квартичной части и(г)(к) имеем

Е3,к3|г312|гк|2 + Я-(г) + Я.(г), Я.(г) := с^^гз + С2г1г2гз + сзг^^, 3 € М, Ь3 € С.

Нетрудно проверить, что каждая стационарная по угловым переменным р3 точка регулярна по этим переменным. После их исключения (см. (6)) получим редуцированный вещественный полином

и

для которого верно следующее утверждение:

Теорема 1. Для главной части вторично 'редуцированной ключевой функции (3)(полином

(8)) имеет место следующее представление:

и(г) = ^2 3г3гк + ^2 3Л + ^гЬгз + 72г1г2гз + 7зг1г2г2 3, к 3,к

где а3;к, в3',к ,73 — некоторые вещественные константы.

Из нуля рождается не более 26 ветвей ненулевых критических точек полинома Ц^(г) (так как кратность нулевой критической точки «общего» квартичного полинома равна 27) и не менее 6 ветвей. Возможные расклады бифурцирующих критических точек можно классифицировать, разбивая их на подгруппы с одинаковыми индексами Морса 2 [1].

Важнейший для приложений случай связан с условием положительной определенности квадратичной части. Посредством масштабирующих преобразований переменных этот

случай сводится к ситуации, в которой ^ а3;кг3гк = А Ег2. Поиск и анализ критических

3, к 3

точек функции Ц^

на сферу 52 = {г € М3 : г2 + г| + г2 = 1}.

Из теории Морса известно (см. [10]), что каждую гладкую функцию Ш на гладком многообразии М, имеющую лишь морсовские критические точки, можно «закодировать» клеточным комплексом, каждая клетка размерности к которого взаимно однозначно соответствует критической точке индекса Морса к функции Ш. Взаимные примыкания клеток в комплексе соответствуют взаимным примыканиям критических точек (как особых точек динамической системы £ = —gradW (£)). Гомотопический тип кодирующего комплекса совпадает с гомотопическим типом многообразия М. Из этого факта вытекает, что наборы стационарных точек функций на плоскости и на двумерных поверхностях изображаются графами (одномерными остовами клеточных комплексов). Если функция Ш коэрцитивна, то кодирующий комплекс гомотопически тривиален (гомотопен точке) и, следовательно, связен.

Пусть 1о, 11 и 12 — количества минимумов, седел и максимумов. Тогда, в силу известной фомулы Эйлера (см. [10]), имеем соотношенией 1о —11 + 12 = 2. Кодирующий клеточный комплекс определяется своим одномерным остовом (изображающим графом). Вершины графа взаимно однозначно соответствуют точкам минимумов, а ребра — седлам. При этом две вершины соединяются ребром тогда и только тогда, когда существует кривая, соединяющая соответствующую им пару точек минимумов, составленная из пары линий кратчайшего спуска (интегральных кривых поля градиентов), связывающих пары «седло - минимум» (малым шевелением функции (или метрики) можно добиться того, чтобы каждая интегральная кривая, вытекающая из седла, втекала в точку локального минимума). Двумерные грани соответствуют точкам максимума. За счет изменения метрики в областях вида {С1 < Ш < С2}, не содержащих критических точек, можно переносить финальные точки сепаратрис из одних локальных минимумов на другие (то есть сепаратрисы будут втекать

2Индекс Морса равен количеству собственных значений матрицы Гессе

функции в критической точке, имеющих отрицательные вещественные части.

в иные точки локальных минимумов). За счет таких переключений можно получать разнообразные соединения ребрами вершин в пределах одного расклада стационарных точек (примеры приведены в [1]).

Ниже рассмотрены примеры комплексов для «крайних» раскладов 1 = {1о,11,12} (см. рис. 1, 2), которым соответствуют максимальные и минимальные графы (из 26 и, соответственно, 6 элементов).

Рис. 1. Примеры линий уровней полинома Ы(г) на полусфере с максимальным и минимальным раскладами критических точек

Рис. 2. Графы на сфере для максимальных (1 = {8,12, 6} и I = {6,12, 8}) и минимального (1 = {2, 2, 2}) раскладов критических точек

Так как полином и (г) четен, то для изображения его линий уровней и критических точек достаточно рассмотреть соответствующим образом подобранную полусферу (отождествленную с кругом на плоскости).

Литература

1. Даринский, Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов / Б.М. Да-ринский, Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2004. - Т. 12. - С. 3-140.

2. Ключевые уравнения в динамических системах с 2-кратными резонансами / А.П. Карпова, Н.А. Копытин, Ю.И. Сапронов // Математические модели и операторные уравнения. - 2009. - Т. 6. - С. 51-58.

3. Дерунова, Е.В. Трехмодовые бифуркации экстремалей из точки минимума фредголь-мова функционала в условиях круговой симметрии / Е.В. Дерунова, Ю.И. Сапронов // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. -2014. - № 1. - С. 64-77.

4. Даринский, Б.М. Ветвление фаз кристалла, определяемых термодинамическим потенциалом шестого порядка / Б.М. Даринский, И.В. Колесникова, Ю.И. Сапронов // Системы управления и информационные технологии. - 2009. - № 1 (35). - С. 72-76.

5. Зачепа, А.В. О бифуркации экстремалей фредгольмова функционала из вырожденной точки минимума с особенностью 3-мерной сборки / А.В. Зачепа, Ю.И. Сапронов // Труды математического факультета ВГУ. - 2005. - Вып. 9. - С. 57-71.

6. Стрыгин, В.В. Бифуркация малых синхронных автоколебаний двух динамических систем с близкими частотами / В.В. Стрыгин, Г.Ю. Северин // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Системный анализ и информационные технологии. - 2006. - № 2. - С. 36-45.

7. Арнольд, В.И. Особенности дифференцируемых отображений / В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. - М.: МЦНМО, 2004. - 672 с.

8. Siersma, D. Singularities of Functions on Boundaries, Corners, etc. / D. Siersma // Quart. J. Oxford Ser. - 1981. - V. 32, № 125. - P. 119-127.

9. Гнездилов, А.В. Бифуркации критических торов для функционалов с 3—круговой симметрией / А.В. Гнездилов // Функциональный анализ. - 2000. - Т. 34, вып. 1. - С. 83-86.

10. Введение в топологию / Ю.Г. Борисович, Н.М. Близняков, Я.А. Израилевич, Т.Н. Фоменко. - М.: Наука, 1995. - 416 с.

Екатерина Владимировна Бухонова, аспирант, кафедра «Математическое моделирование^ Воронежский государственный университет (г. Воронеж, Российская Федерация), Воронеж, Университетская пл., 1, ekaterina.vladimirova@atos.net.

Поступила в редакцию 17 мая 2014 г.

Bulletin of the South Ural State University. Series "Mathematical Modelling, Programming & Computer Software",

2014, vol. 7, no. 3, pp. 23—32.

MSC 90C30 DOI: 10.14529/mmp140302

The Form of Key Function in the Problem of Branching of Periodic Extremals with Resonance 1:1:1

E. V. Bukhonova, Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation, ekaterina.vladimirova@atos.net

This article contains a method for calculating approximately the standardized key functions in the problem of branching of periodic extremals of a continuously differentiable action functional near its minimum. The periodic extremals of such functionals are used as a prototype for periodic oscillations of dynamical systems, ferroelectric crystal phases, nonlinear periodic waves, as so on. Recently Karpova, Kopytin, Derunova, and Sapronov studied cycle bifurcations in dynamical systems using key equations and key functions in the cases of double resonances pi : p2 : P3 with pi < p2 < P3. This article deals with the poorly understood case pi = p2 = p3 = 1. As a demonstration model, we consider an order six ODE. We use the Lyapunov-Schmidt method.

Keywords: continuously differentiable functional; extremal; circular symmetry;

resonance; bifurcation; Lyapunov-Schmidt method.

References

1. Darinskii B.M., Sapronov Yu. I., Zarev S.L. Bifurcations of Extremals of Fredholm Functionals. Journal of Mathematical Sciences, 2007, vol. 145, issue 6, pp. 5311-5453. DOI: 10.1007/ s10958-007-0356-2

2. Karpova A.P., Kopytin N.A., Sapronov Yu.I. [The Key Equation in Dynamical Systems with 2-tuple Resonances]. Matematicheskie modeli i operatornye uravneniya [Symbolic Model and Operator Equations], 2009, vol. 6, pp. 51-58

3. Derunova E. V., Sapronov Yu. I. [Three-Mode Extremals’ Bifurcations from the Minimum Point of Fredholm Functional in Terms of Circular Symmetric]. Vestnik VGU. Seriya: Fizika. Matematika [Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics], 2014, no. 1, pp. 64-77.

4. Darinskiy B.M., Kolesnikova I.V., Sapronov Yu.I. Branching phases crystal determines the thermodynamic potential of the sixth order. Sistemy upravleniya i informatsionnye tekhnologii [Control Systems and Information Technology], 2009, no. 1 (35), pp. 72-76.

5. Zachepa A.V., Sapronov Yu. I. The Bifurcation of Extremals Fredholm Functional from a Degenerate Minimum Point with Feature 3-dimensional Assembly. Sbornik trudov matematicheskogo fakul’teta VGU [Proceedings of the Math. Faculty of VSU], 2005, issue 9, pp. 57-71.

6. Strygin V.V., Severin G.Yu. Bifurcation of Self-Oscillations of Small Synchronous Two

Dynamical Systems with Similar Frequencies. Vestnik VGU. Seriya: Sistemnyy Analiz i Informatsionnye Tekhnologii [Proceedings of Voronezh State University. Series: System

Analysis and Information Technologies], 2006. no. 2. pp. 36-45.

7. Arnold V.I., Varchenko A.N., Husein-Zade S.M. Features Differentiable Maps. Classification of Critical Points Caustics and Wave Fronts. Moskow, 1982.

8. Siersma D. Singularities of Functions on Boundaries, Corners, etc. Quart. J. Oxford Ser., 1981, vol. 32, no. 125, pp. 119-127. DOI: 10.1093/qmath/32.1.119

9. Gnezdilov A.V. [Bifurcation of Critical Tori for Functionals with 3—circular Symmetry]. Funktsional’nyy analiz [Function Analysis], 2000, vol. 34, no. 1, pp. 83-86.

10. Borisovich Yu.G., Bliznaykov N.M., Izrelevich Ya.A., Fomenko T.N. Vvedenie v topologiyu [Introduction to Topology]. Moskow, Nauka, 1995. 416 p.

Received May 17, 2014