Определение величины электрической прочности диэлектриков из условия минимума подвижности электронов

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Там 73. ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1952 г.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОЧНОСТИ ДИЭЛЕКТРИКОВ ИЗ УСЛОВИЯ /МИНИМУМА ПОДВИЖНОСТИ

ЭЛЕКТРОНОВ

А. А. ВОРОБЬЕВ, Е. К. ЗАВАДОВСКАЯ

Высказана гипотеза, чю подвижность электронов в диэлектрике перед пробоем уменьшается. Из условия минимума функции, описывающей зависимость подвижности от напряженности поля, получены формулы для вычисления электрической прочности кристаллов. Электрическая прочность выражена через характеристики решетки и энергию электрона. Вычисленные значения величины электрической прочности для кристаллов щелочно-галоидных солей близко подходят к измеренным.

Введение

В диэлектрике при высокой напряженности поля происходят сложные физические процессы, заканчивающиеся его пробоем. Разрушение твердой структуры диэлектрика наступает, вероятно, потому, что электроны, уча-ствующие в. переносе тока, часть своей энергии, получаемой от внешнего поля, передают решетке. Когда энергия, передаваемая от электронного потока узлам решетки, становится сравнимой с энергией решетки, то на-ступает разрушение связей между узлами—пробой диэлектрика.

Процесс пробоя характеризуется усиленной передачей энергии от электронов решетке и должен сопровождаться уменьшением их скорости. Так как уменьшение скорости движения электронов наступает при возрастающем электрическом поле, то, следовательно, уменьшается их подвижность [1].

Таким образом, перед пробоем должно иметь место уменьшение подвижности электронов в диэлектрике. Подвижность электронов в твердых диэлектриках должна зависеть от напряженности поля. Это имеет место в газах. Величина пробивной напряженности электрического поля может быть найдена из условия минимума функции, определяющей зависимость подвижности электронов от напряженности поля.

Давыдов [2] показал, что в полупроводниках подвижность электронов уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из напряженности поля. По измерениям Пружининой-Грановской [3] следует, что в слюде, в интервале напряжеиностей поля 103—10й в;см, подвижность электронов уменьшается обратно пропорционально напряженности поля.

Недавно [4] были описаны опыты, показавшие, что подвижность электронов в германии при высоких полях уменьшается обратно пропорционально напряженности поля. Приведем некоторые простые расчеты, показывающие, что подвижность заряженных частиц в решетке может зависеть от напряженности поля. Уменьшение подвижности и носителей тока по условию 1 приведет к току насыщения, так как I — иепЕ.

Такоё явление наблюдалось Хиппелем [5] при фотопроводимости в окрашенных кристаллах КС]. Как видно на фиг. 1, в этих кристаллах при на-

30 *tQ arrtn,

25

20

(5

to

пряженности поля порядка 600 нв/см и выше наблюдался ток насыщенна. Пробой этих кристаллов происходит при напряженности поля—1000 кв\см.

Средний свободный пробег 8 электрона в кристалле зависит от состава кристалла, температуры, концентрации ловушек и напряженности поля Е. Измерения величины среднего свободного пробега электрона в кристаллах щелочно-галоидных солей и алмазе производились при различных температурах и напряженностях поля порядка нескольких тысяч в/см.

В этой области измерений установлено для многих ионных кристаллов линейное увеличение среднего свободного пробега электронов с возрастанием поля: о — сЕ. По данным Хехта, определявшим величину о по методу светового зонда, для кристаллов AgCl при поле 104—312 в ¡см величина с — 2,5Л0~Л при поле о. 10:1 в! см и температуре 196°С с— 2,2 . 103.

По Лефельду для AgCI при ( = 170°С и поле, изменявшимся от 20 до 300 в/см, величина 0,04. Для Т1Вг при —70°С и поле 20—300 в(см получено с —0,022. В поле 5.10:'' в;см, температуре—196°С для Т1Вг—с = 1,24.10~3. Сопоставлять полученные величины для коэффициента пропорциональности с, полученные при разных температурах, и для кристаллов с разной концентрацией примесей затруднительно. Для кристаллов 1лР по этим измерениям средний Цробег вторичных электронов при температуре 300°К в поле, где

ксе о

о °

л

О 200 400 BOO ёОО (ООО

Напряженность электрического поля кв1см. Фототок в функции напряженности поля в кристаллах КС1 при облучении зеленой линии . ртутной лампы

Фиг. 1. Ток насыщения в окрашенных кристаллах KCÍ при фотопроводимости

Е=5. К/ в/см составит: Ь = сЕ = 09П .5. 10» = 5,5. Ю- см.

Считая, что при пробое электроны перебрасываются из Т7 полосы, отстоящей от полосы проводимости в кристаллах 1лР на 4,95 еиу получим, что в поле £^=3,1 мб¡см электроны должны сместиться на величину

= 1,65. Ю-6 см.

Такое значительное уменьшение средней длины свободного пробега электронов при напряженности поля, равной пробивной, может быть вызвано либо уменьшением подвижности электронов вследствие усиления их взаимодействия с решеткой, либо возрастанием концентрации ловушек, либо одновременным действием обеих причин.

Рассмотрим переход электрона из одного равновесного состояния в другое при температуре абсолютного нуля. Два соседних положения равновесия для электрона расположены на расстоянии 2 а друг от друга и разделены потенциальным барьером высотой щ.

Вероятность перехода из одного равновесного положения в другое при каждом колебании составляет для электрона или же^-"*»/«^ за одну

секунду, где V — частота собственных колебаний электрона и чюь — энергия электрона. Если в диэлектрике имеется электрическое поле напряженности Е\ то потенциальный барьер в направлении действия ускоряющего

поля снижается относительно положения равновесия на величину Егеа, где а является расстоянием между положением равновесия и максимумом потенциального барьера, а е — заряд электрона или дырки и

£'=£>0, а ^ =

где В — средняя расчетная величина напряженности поля и з0 — оптиче-

Фиг. 2. Изменение периодического распределения потенциальной энергии дли электрона в кристаллической решетке при воздействии постоянного электрического поля.

екая часть диэлектрического коэффициента. Вероятность перехода электрона в направлении ускоряющего поля при одном колебании составит

^ 1

е к

Частота переходов электронов в секунду составит

и0 —Е'.е.а и>

V. --/е к ,

где V — частота колебаний электрона на гребне потенциального барьера. В противоположном направлении частота переходов для электронов

составит

и'.а

= V е ^ .

Суммарное число переходов электронов в направлении ускоряющего .поля и противоположном составит

д V = V \ е

и —П'еа о

и +1:геа

— е

Плотность тока определяется выражением: .электронов в единице объема. Имеем

п.еЛ

где п

I = пеы

п-Ееа

и Л-Н'еа \ о 1 4

числе

Подвижность электронов и определим из условия I — пеоАч = пеиЕ', где £ — расстояние, на которое смещается электрон в диэлектрике, откуда

и —

ЗДч

~ЁГ

Ъ!

и —Е'еи о

и -\-Е'еа о

Исследуем изменение функции и в зависимости от Ег при некоторых частных значениях

Изменение подвижности электронов в электрическом поле

По нашей просьбе А. М. Гайдамович исследовал ; уравнение (5) для некоторых частных случаев (фиг. 3 и 4). Если w = const, то функция*.

Фиг. 3. Изменение подвижности электронов в зависимости от поля при постоянной энергии электронов.

представляемая уравнением (5), имеет минимум при Е = 0 (фиг. 3 Минимальное значение подвижности составляет

Wk

_ JJo_

.е w

Предполагая, что энергия электронов линейно возрастает с увеличением поля, то есть = получаем:

__. ае __ ас_ _ н0

я - - . * т1Н е'т"-е

Ef \ 1 Ег

где

На фиг. 4 схематически изображено изменение функции и при изменении напряженности поля Е

Кривая, расположенная в третьем квадранте, показывает уменьшен и подвижности с увеличением тормозящего действия электрического ^поляе Кривая, расположенная в первом квадранте, показывает сложный харак тер зависимости подвижности электронов от напряженности электрического поля. Вначале с увеличением напряженности электрического пол-подвижность электронов растет. Подвижность достигает наибольшего

значения при напряженности поля, определяемой условием: =—-. По-

т

б

следующее увеличение напряженности поля сопровождается уменьшением подвижности электронов.

Рассмотрим частные решения уравнения (5) при некоторых дополнительных условиях.

Фиг. 4. Изменение подвижности электронов в зависимости от поля при условии линейного возрастания энергии электронов в поле.

1. Допустим, что анергия электрона равняется тепловой и в направлении действия поля составляет = КТ — сопэ^ тогда уравнение (5) запишем в виде

и = А—,

п

где

11,) а е

А = 2 иче"" а'г" и Ь — - 0 - .

КТ

Рассмотрим изменение производной функции и. В этом случае, считая, что е~ЬЕ' — 0, получим

\ Е' Е"1 ) 2

Вторая производная

„ _ / № _ 2Ь_ 2_\АеЬ]£' П ' " ' /; " """ Е'- Е"л )~~2~

Из этих выражений следует, что функция и при значении Е' — 1Ь имеет минимальное значение. Из (7) определяем

//,- ' Л7' .

Ь еа

При пользовании этой формулой для вычисления электрической прочности необходимо учесть, что величина напряженности поля в диэлектрике, которую мы вычисляли, вследствие поляризации меньше средней расчет:

нон напряженности поля в г раз. Введя ату поправку для определения Электрической прочности диэлектрика, получим формулу

Е„Р = -^,

еа

где гп—доля диэлектрического коэффициента за счет смещения электронов. В кристаллах типа каменной соли движение электронов происходит преимущественно по направлению диагонали грани. Вдоль этого кристаллографического направления, по которому располагаются положительные или отрицательные ионы, потенциальная энергия электронов сохраняет наименьшее значение. В этом направлении расстояние между двумя соседними и одноименными ионами составит \Z2ui-С-указанными поправками для вычисления величины электрической прочности каменной соли получим формулу

- ~ -

еау 2

По этой формуле для каменной соли получаем

1,4.10 ~1С. 300.2,25.300 , _ 1ЛГ

Ъпо — —--------= \ оЛ0{) в см,

4,8.10~1(\2,81 Л0~8Л,41

т. е. величину, находящуюся в удовлетворительном совпадении с измеренной опытным путем. В сильном электрическом поле электроны могут накопить энергию ад*, значительно превышающую их среднюю тепловую 3 2 КТ. Вообще, вследствие этого функция распределения электронов будет сильно отличаться от равновесной максвеловской. Это должно быть учтено при более точном рассмотрении задачи.

2. Интересно сопоставить предлагаемую гипотезу с другими, высказанными ранее. Хиппель ¡5] рассмотрел вопрос о взаимодействии электрона с колебаниями решетки. Его интересовало накопление электроном энергии, необходимой для производства ударной ионизации в решетке. Для этого нужно было найти условия, когда становится возможным накопление энергии электроном при движении его в электрическом поле. Скорость электрона в ускоряющем поле, при которой имеет место наименьшая потеря энергии электроном, Хиппель подсчитал следующим, образом. Передача энергии колебаниям решетки наиболее вероятна тогда, когда энергия движущегося заряда близка к энергии собственных колебаний ионов решетки. Известно, что энергия собственных колебаний ионов решетки определяется по остаточному излучению и составляет

Ьост~ 1—3,10-4

При таком значении энергии электронов их взаимодействие с колебаниями решетки будет наибольшим. По гипотезе Хиппеля, пока электрон на пути а накапливает в электрическом поле энергию, меньшую теряемой им на возбуждение колебаний решетки, то есть }гчост, где vf>fOT — частота остаточного излучения, он не может быть ускорен. Если же электрон на участке пути, равном постоянной решетки, накапливает энергию больше, чем Ьост, то величина энергии, передаваемая им решетке, резко уменьшается. В этом случае уменьшается также вероятность столкновений электрона с ионами.

При таких условиях становится возможным накопление электроном энергии, необходимой для производства в дальнейшем ударной ионизации.

Энергию порядка 10 ег\ необходимую для производства ударной ионизации в кристалле каменной соли, электрон в поле Е^ 1(У; в;см накапливает на пути, равном нескольким сотням междуионных расстояний.

Предлагаемое нами объяснение пробоя существенно отличается от приведенного. Нам кажется, что наступление пробоя определяется условием максимального взаимодействия электрона с решеткой при переходе его из одного равновесного положения в другое и величиной его энергии.

Неучет второго члена в уравнении (5) увеличивает величину подвижности на е~1. Это показывает насколько приближенны наши рассуждения.

Допустим, что гик^Ь0Ст.

При этом условии уравнение (9) запишется в виде

еа

В таблице представлены результаты вычислений величины электрической прочности для кристаллов щелочно-галоидных солей. Величины электрической прочности кристаллов щелочно-галоидных солей, полученные путем вычисления по формуле (11) и измеренные, удовлетворительно совпадают.

Таблица

Электрическая прочность кристаллов щелочно-галоидных солей

№ II.п. Название . вещества t-np ' экс-пери м. 46 ¡CM ВЫ-ЧИСЛ. HO (10) Постоянная решетки а0 ИТ8 см Диэл. коэф. — п- Энергия собствен, колебаний эксдери м. 10"2 № faocm N о 10 еЕПр "о О

1 LSF 3,1 3,6 2,01 1,92 3,74 2,5 0,81

2 NaF 2,4 2,3 2,31 1,74 3,06 2,25 1,1

3 KF 1,8 1,6 2,67 1,85 2,33 2,24 1,18

4 NaCl 1,5 1,62 2,81 2,25 2,03 3,05 (»,93

5 KCl 1,0 1,18 3,14 2,13 1,74  3,7 0,85

6 RbCl 0,7 0,98 3,27 2,19 1 ,45 - »5 0,73

7 NaBr 1,0 1,55 2,98 2,62 1,74 4,6 0,65

8 KBr 0,7 U 3,29 2,33 1,52 5,0 0,65

9 RbBr 0,6 0,73 3,43 2,33 1,07 3,85 0.V5

10 NaJ 0,8 1,12 3,23 2,51 1,45 4,55 0,71

11 KJ 0,6 0,92 3,5? 2.69 1,20 5,4 0,65

12 RbJ ' 0,5 0,68 3,66 2,63 0,95 5,0 0,72

На фиг. 5, 6 и 7 представлены зависимости величины электрической прочности от энергии остаточного излучения, от постоянной решетки а и от доли диэлектрического коэффициента г0 за счет смещения электронов по экспериментальным данным. Как видно, между величиной электрической Прочности Епр, с ОДНОЙ стороны, И к^ост-у и е0, с другой, имеет место удовлетворительная линейная зависимость. Это находится в согласии с результатами наших вычислений, представленных формулой (11).

Интересно отметить, что в своей полу эмпирической теории пробоя Хиппель для вычисления величины электрической прочности пользовался формулой

гг ^ост

где С—коэффициент порядка 1,7, то есть двух. В приведенном нами расчете формула, составленная Хиппелем, получена в результате принятой

*

гипотезы пробоя. Коэффициент С, .определенный Хиппелем эмпирически, получил физический смысл диэлектрического коэффициента и логична встал на свое место.

¥ У* У I*

¥

Епр М8/см

1 . . 1 -__ 1Уравнение прямой:

Епр -- //8, <о~'-С!232)П » В/см ЛоР/

кш * *Ь8г

р

Оо (Оси

дзз Ц29 ЦЛ $4/ ДО $4,9 Ф

Зависимость электрической прочности Епр от

Электрическая прочность и квант энергии остаточного излучения

хб/см, 3600

3200

2800

2400 2000

1600 1200 800 400

2сР

V

На :е У 1

> /

оЛг Вг

3-6*10

? 4

Кван*п энергии остаточного излучения в еи

Фиг. 6. Зависимость величины электрической прочности кристаллов щелочно-галоидных солей от величины кванта энергии остаточного излучений по экспериментальным данным.

Фиг. 5. Зависимость электрической прочности кристаллов хЦелочно-галоид-иых солей от величины постоянной решетки а по экспериментальным данным.

За висимост ь между электрической прочностью и диэлектрич'еским коэффициентом для щелочно-галоидных кристаллов

3200 2800

2400 2000

1600 1200

800

400

V МЪ

ьш Ж ЧаЬг

№г

к&з

1,7 1,9 2Л 2,3 2,5 2,7

Оптическая часть диэ гектрического коэффициента

Фиг. 7. Зависимость величины электрической прочности кристаллов щелочно-галоидных солей от величины доли диэлектрического коэффициента за счет смещения электронов по экспериментальным данным.

где

3. Рассмотрим случай, когда — /(Е), например, — тЕ, , тогда

и0—ае£У ае

и ~ Ел е е~тс"1-

не

. т

п —- и Л = е

т

Исследуем функцию

иГ1*^ Е еп Е.

Очевидно, что максимум значения функции (13) будет соответствовать

минимуму функции (12).

Имеем

(и *у= (ЕепЕ)1 = епЦ 1 - £ Поэтому из условия (ц-1)' — 0 имеем £ — я,

(,Г')"=^т/'>0. (14,

Е-

Следовательно, функция и~х при Е~п имеет минимум, а интересующая нас функция и при Е-^п имеет максимум.

Этот результат совпадает с полученным выше при рассмотрении уравнения (5).

4. Учтем изменение кинетической энергии электрона, движущегося в решетке, за счет столкновения с фононами.

Для электрона, движущегося в атомной решетке [6, 7] и испытывающего столкновения с колебаниями решетки, энергия го к выражается условием: ♦

еЕа /~кт гг /-.-ч

-1/ — еЕап, (1о>

г\16 у т

где ъзв — скорость звука в диэлектрике, т — масса электрона. Вследствие пропорциональности энергии электронов напряженности > поля этот случай сводится к предыдущему. •

Приведенные расчеты величины электрической прочности диэлектриков показывают, что эта величина может зависеть от температуры. Зависимость электрической прочности от температуры определяется изменением величины энергии электронов в сильном электрическом поле, постоянной решетки а и потенциального барьера для электронов //0. Эти величины слабо зависят от температуры. Таким образом, не следует ожидать значительной температурной зависимости электрической прочности при электрическом пробое. '

; 5. Допустим, что подвижйость электронов определяется выражением

.//„—И'еа '"

О V ъГ.

* * •

В момент, предшествующий пробою, подвижность'имеет минимальное значение и изменяется по условию я ~/г"1. Поэтому можно записать, что

......

Следовательно, д0 — е а$Е' — 0,

•откуда

Е

tip

еа

Полагая для каменной соли высоту потенциального барьера, разделяющего, два соседние положения равновесия для электронов, равной 1 eví получим

Е

пр

76.Ю,; в см. в 40—50 раз превышает

Вычисленная величина Епр в 4U—ои раз превышает максимальное значение электрической прочности, определяемой из опыта.

Весьма высокое значение величины электрической прочности, полученное в этом случае, вероятно, является следствием чисто электростатического рассмотрения вопроса об освобождении и движении электрона.

6. Для энергии электронов в полупроводниках с ионной решеткой при сильных полях Давыдов и Шмушкевич [6] дают предельное выражение для средней энергии zvk ~ 1 5 w-Li где rev энергия (ионизации) освобож-

_ дения электрона. В таком случае

Электрическая прочность и энергия A WF , соответствующая максимумi F—полосы поглощения

Епр —

Wi.z.

«Ъ/см. 3-200

Ъеа \/ 2

2400

2000

00

1200

SD0

i о ZLF

mj

КГ о ,

V lace

R6C6 /ксе f Not t л г

/к(р

Нами было показано, что для кристаллов щелочно-галоидного ряда имеет место линейная зависимость между величиной электрической прочности и энергией освобождения наиболее слабо связанных электронов -Р полосы [8] (фиг. 6). Полученная формула (20) находится в качественном согласии с этими результатами. Для каменной соли <№г— ДгС/.-—2,65 ечз. По формуле (20) величина электрической прочности полу-

пр

0,29 Л О8 в см

чается равной = 2,9 Л0Т в см.

Это значение превосходит в 20 раз определенное экспериментально и вычисленное по формуле (19). Возможно это получилось потому, что в расчете взято высокое среднее значение энергии электронов, образовавшихся вследствие ионизационных процессов. Известно [9], что подсчеты электрической прочности, произведенные другими авторами на основании представлений об ионизации, также приводили к высокому значению электрической прочности.

Таким образом, рассмотрение явления пробоя приводит к интересным следствиям. Пробой развивается при значении энергии электронов порядка энергии собственных колебаний решетки. Следовательно, в пробое участвуют не быстрые электроны, имеющие энергию порядка ионизационной, а более медленные, имеющие энергию порядка энергии собственных колебаний ионов решетки.

Неучет взаимодействия электронов с решеткой и электростатическое рассмотрение вопроса об ионизации и движении электронов в решетке приводят к весьма высоким значениям электрической прочности. Учет

> 2 3 4 5 6 л вУ/молбКулц

"Фиг. <£. Зависимость величины электрической прочности кристаллов щелочно-гйлоидных солей от величины энергии связи электронов в Р полосе.

взаимодействия электронов с колебаниями решетки при пробое приводит к значению электрической прочности, удовлетворительно совпадающему с определяемым экспериментально.

7. Подсчитаем среднее увеличение энергии электрона, движущегося в зоне проводимости ионного кристалла [10]. Приращение энергии электрона за секунду составит &и> — еЕ^у где V— групповая скорость. Вероятность столкновения и отклонения электрона за единицу времени можно записать в виде 1 Функция фр), представляющая время движения

электрона до отклонения или столкновения, может быть названа временем свободного движения электрона.

Подвижность электронов, находящихся в зоне проводимости, определяется как:

в

и = — - {т). (21 у

т

Скорость V сноса электронов в поле Е запишется в виде

V — иЕ— е

т

Таким образом,

е2Ь2

км -— ег% Е —-г (го\ (23У

т

Допустим, что вся энергия, получаемая электронами от электрического поля, скорость накопления которой представлена формулой (23), затрачивается на разрушение решетки на пробой. Величина энергии, затрачиваемой на пробой диэлектрика, определится условием

гик — Аго —— т (го)М, (24}

т

где — время пробоя диэлектрика.

Величина т в области пробоя зависит от напряженности поля х — дЕ , где ц — коэффициент пропорциональности. Поэтому энергия электроне в, участвующих в передаче энергии при пробое, определится условием:

е1

г&я = — дЕМ = рЕ, т

где

£>2

т

д Д и

Таким образом, этот случай сводится к уже рассмотренному ранее.

В рассмотренном случае получим формулу для вычисления величины электрической прочности диэлектрика в виде

Еяр=^ =

р е2.дЛ1

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Подвижность электронов в твердых диэлектриках зависит от напряженности поля.

2. Из условия минимума функции, описывающей зависимость подвижности от напряженности поля, можно получить формулы для вычисления величины электрической прочности диэлектрика.

К

'3'. Величина электрической прочности диэлектрика уменыиаётся с уве-личепйем постоянной решетки и зависит от энергии электрона в решетке и диэлектрического коэффициента.

4. Неучет взаимодействия электроноз с колебаниями решетки, одно электростатическое рассмотрение вопроса об ионизации и движении электронов в решетке приводят к неправдоподобно высоким значениям величины электрической прочности.

5. Пробой развивается при значении энергии электронов порядка энергии собственных колебаний ионов решетки.

Выражаем благодарность А. М. Гайдамович за полезные советы и обсуждение отдельных вопросов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Е. К. Зав адов ск а я. ДАН, XXXII, 1952.

2. Б. И. Давыдов. ЖЭТФ, 7, 9, 1039, 1937.

3. В. И. Пружинина-Грановскан. ЖЭТФ, 10,8,878,1940.

4. Е. J. Ryder and W. Shockly Phys. Rev. 75, 310, 1949.

5. A. Hippel. Appl. Phys. 8, 815, 1937.

6. Б. И. Давыдов u И. M. Шмушкевич. УФН, XXIV, 1, 21, 1940.

7. Al. 'Ландау и А. Компане е ц. ЖЭТФ, 5, 3-4, 276, J 935.

S. А. А. В о р о б ь е в и Е. К. Завадовскан. ДАН (в печати).

9. Ф. Ф. Волькен штейн. Электропроводность полупроводников, ОГИЗ, Гос-•гехиздат.

10. А. А. Воробьев и Е. К. Завадовская. ДАН, XXXI, 3, 375, 1952.