Критерии отбора содержания математических курсов по выбору

инновационные  технологииi

в образовании!

1УДК 372.851 ББК 74.26

КРИТЕРИИ ОТБОРА СОДЕРЖАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ КУРСОВ ПО ВЫБОРУ

И. М. Смирнова

В данной статье рассматривается вопрос о постановке предметных курсов по выбору в пред-профильной подготовке учащихся и профильном обучении. Предлагаются критерии отбора содержания таких курсов по математике.

Ключевые слова: критерий, курсы по выбору.

THE CRITERIA OF SELECTION OF CONTENTS OF MATHEMATICAL OPTIONAL COURSES

I. M. Smirnova

The article deals with the arrangement of optional courses in pre-profile training of schoolchildren as well as in specialized education. The criteria of selection of contents of such courses on mathematics are offered.

Keywords: criterion, optional courses.

Предметные курсы по выбору являются одной из форм дифференцированного обучения. В их истории выделено несколько этапов, а именно: 1) 1966-1980; 2) 19801988; 3) 1988-2002; 4) 2002-2012; 5) 2012 - наст. вр. На первых трех этапах они назывались факультативными курсами и были созданы для углубления знаний по гуманитарным и естественно-математическим наукам, а также для формирования разносторонних интересов учащихся, то есть учитывали индивидуальные склонности, задатки, способности учащихся. Подробно исторические аспекты возникновения и развития факультативной формы обучения изложены нами в работе [1, с. 111].

В 2002 г. была принята новая Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования (приказ № 2783 от 18 июля 2002 г.), в которой, наряду с базовыми и профильными курсами, были выделены курсы по выбору (9-й класс) и элективные курсы (10-11-й классы). Их с полным правом можно считать преемниками факультативных курсов. Действи-

тельно, и те и другие направлены прежде всего на удовлетворение индивидуальных склонностей, задатков, потребностей учащихся, развитие их способностей.

Согласно ФГОС основного и среднего (полного) общего образования (соответственно 2011 и 2012 гг.), остался один термин - курсы по выбору (9-11-й классы). Среди них особо выделены предметные курсы, в частности по математике.

Современные цели обучения математике определяют разработку других компонентов структуры методической системы. Прежде всего для реализации поставленных целей должно быть специальным образом сконструировано содержание обучения. При этом нужны критерии, соответствующие общим целям образования и конкретизирующие механизм отбора содержания по определенному предмету. Представим разработанные критерии отбора содержания учебного материала для предметных курсов по выбору (на примере математических курсов).

I. Критерий целостности содержания. Исследование состояния предметных курсов по выбору показывает, что общий критерий целостности содержания в том виде, как он сформулирован в педагогике, не может быть непосредственно использован для отбора содержания курсов по выбору, так как они не могут охватить всех основных направлений современной науки, производства, общественной жизни, культуры. В данном случае естественным является использование термина целостности в смысле внутренней взаимосвязи содержания, концентрации его вокруг нескольких основных понятий, законов, методов. Это позволяет сосредоточить усилия учащихся в одном направлении, повышает доступность предлагаемого учебного материала. За небольшой промежуток времени, который отводится на проведение курса по выбору, можно добиться наибольшей эффективности и качества обучения. Этому критерию не удовлетворяет, например, курс по выбору, направленный на решение разнородных задач повышенной трудности. Решение таких задач хотя и формирует определенные навыки учащихся, не создает целостного объекта изучения, не охватывает всех сторон обучения, воспитания и развития школьников.

II. Критерий преемственности содержания основного курса и курса по выбору. Многочисленные анкетирования школьников показывают, что учащиеся предпочитают предметные курсы по выбору, содержание которых непосредственно связано с основным курсом, основываются на понятиях, известных учащимся из основного курса, как бы углубляют и расширяют его содержание. В этом случае курсы по выбору, как правило, имеют большую эффективность, что связано, прежде всего, с экономией учебного времени, так как ребят не нужно вводить в круг основных понятий и методов темы, знакомить с ее терминологией и обозначениями. Во-вторых, что более существенно, углубленное изучение тем основного курса дает возможность для обобщения и систематизации обязательных знаний и компетенций, показа их развития и применения к решению более сложных задач математики и других областей.

III. Критерий научной и практической значимости. Этот критерий предполагает, что

учебный курс отражает одно из важных направлений развития теории и практики. В школьном преподавании, в частности математики, этот вопрос рассматривается в недостаточной степени. Это не означает, что ученикам недоступно понимание научной и практической значимости изучаемого материала, или что в нем нет такой значимости. Нужно не только сообщать учащимся достоверные факты о свойствах, например в геометрии, реального пространства, но и объяснять их сущность, раскрывать внутренние связи между свойствами действительного и абстрактного пространств.

Конечно, категории - наука и учебный предмет - имеют тесные связи. Наука состоит из приведенных в систему законов внешнего мира и духовной деятельности людей, а также из процессов добывания, накопления и передачи практического использования знаний. Математика как учебный предмет должна представлять собой дидактически обоснованную систему отобранных из науки знаний, которые должны быть усвоены школьниками.

Тезис о влиянии практики на развитие математики ни у кого не вызывает возражений. Решение задач практики (в самом широком ее понимании) - один из путей, стимулов появления новых исследований в математике. По словам Б. В. Гнеденко [2, с. 43], общение с практикой дает математике не только широкий набор вопросов, которые внутри самой математики могли бы и не возникнуть. Еще важнее другое: тесные связи с практикой дают математике возможность сохранять свое значение в качестве орудия исследования для самых разнообразных областей практической деятельности от естествознания до сельского хозяйства и экономики.

Таким образом, для решения вопроса о научной и практической значимости в содержание курса по выбору желательно включать следующие вопросы: 1) историю возникновения и постановки той или иной проблемы; 2) поиски решения, трудности на пути решения исследуемой проблемы; 3) сведения об ученых, занимавшихся решением проблемы; 4) значимость решения проблемы для развития науки; 5) применение полученного результата к решению прикладных народнохозяйственных задач.

Одним из путей реализации критерия научной и практической значимости содержания является раскрытие межпредметных связей изучаемого материала, а также демонстрация прикладных аспектов курса математики. Рассмотрение задач межпредметного и прикладного характера в преподавании математики приводит к естественной взаимосвязи теории и практики, способствует глубокому, неформальному изучению основ наук. Кроме того, как показывают наши наблюдения и личный опыт проведения геометрических курсов по выбору, такие задачи встречаются учащимися с повышенным интересом, способствуют их активизации, повышают их творческую активность.

IV. Критерий соответствия содержания воспитательным и развивающим целям обучения. Опыт показывает, что не любое содержание способствует достижению целей воспитания и развития обучающихся. Необходимо специальным образом конструировать содержание учебного курса, включая в него элементы истории, современности, занимательности, красоты математики.

Например, включение элементов истории в преподавание математики выполняет следующие важные дидактические функции [1, с. 260]:

1. Использование исторического материала позволяет проникнуть в мировоззренческий смысл науки, в процесс формирования ее основных идей, эволюцию методов.

2. Использование исторических сведений является одним из критериев интересности содержания учебного материала, служит для развития познавательных интересов учащихся к математике.

3. Исторические сведения служат для развития творческих способностей учащихся.

4. Элементы истории служат средством нравственного воспитания учащихся: воспитания чувства патриотизма, гордости за достижения отечественных математиков.

Наряду с интересом к вопросам истории, учащиеся, особенно старших классов, живо интересуются современными проблемами в различных областях знания. Этому, в частности, во многом способствует развитие средств массовой информации, научно-популярная литература, интернет-ресурсы.

Знакомство с основными направлениями современной науки необходимо теперь каждому выпускнику школы для ориентации в современном мире, правильному представлению о процессах, происходящих в природе и обществе, осознания собственной роли в обществе, в движении вперед.

Для того чтобы познакомить учащихся с современным состоянием развития, например геометрии, вовсе необязательно вводить элементы этой геометрии в основной курс школы. Для этого мы включаем в содержание курса геометрии следующие элементы: а) знакомство с некоторыми направлениями и проблемами современной геометрии; б) знакомство с жизнью и творчеством известных современных ученых-геометров; в) работа с научно-популярной литературой; г) решение современных прикладных задач; д) использование современных компьютерных технологий.

В методической литературе обосновывается принцип занимательности содержания, в частности включение в содержание занимательного материала. Занимательность не в смысле развлечения, рассказов математических анекдотов, а занимательность в смысле показа занимательных элементов в самом содержании математики. К ним можно отнести: неожиданный факт; аналогии; примеры; исторический материал; решение поучительных задач; раскрытие красоты математики.

Такое широкое понимание термина «занимательность» идет еще от Н. И. Лобачевского, который обосновал дидактический принцип «преподавание, приноровленное к возрасту». Ученый считал, что занимательность - необходимое средство возбуждения и поддержания внимания, без которого преподавание не бывает успешным [3, с. 15].

В педагогических исследованиях занимательность указывается как стимул развития познавательных интересов учащихся, как эмоциональная основа для запоминания наиболее трудных вопросов изучаемого материала.

Элементы занимательной математики прочно завоевали сферу внеурочной работы, но, к сожалению, недостаточно используются на основных уроках математики. Главным фактором, обеспечивающим занимательность, должен служить удачно подобранный фактический

материал, органично включенный в содержание обучения.

Среди элементов занимательности учебного материала была названа красота математики, которая играет существенную роль в воспитании и развитии у школьников чувства красоты в самом широком значении этого слова. Известный французский математик Ж. Адамар вслед за А. Пуанкаре тоже считал, что отличительной чертой математического ума является не логичность, а эстетичность [4, с. 106, 112]. Он полагал, что чувство эстетического у нас врожденное, но его непрерывно нужно совершенствовать в себе. Люди, которые способны совершенствовать в себе умение ценить красоту математики, становятся теоретиками-математиками.

Для формирования эстетического чувства красоты математики мы включаем в содержание курса геометрии следующие вопросы: а) необычные, красивые факты, доказательства, решения; б) нестандартные задачи с изящным решением; в) красивые математические объекты, их модели; г) иллюстрации проявления математики в живой природе, живописи, архитектуре, декоративно-прикладном искусстве и т. п.

V. Критерий соответствия содержания возрастным особенностям учащихся. Этот критерий предполагает не только доступность изучаемого материала, соответствие уровня трудности изучаемого материала уровню развития школьников, но и включение в содержание такого материала, который, в силу возрастных особенностей развития школьников, вызывает у них интерес, стимулирует их творческую деятельность.

Например, из анализа возрастных особенностей учащихся старших классов следует, что в содержание обучения по математике нужно включать:

1. Вопросы истории математики, жизни и творчества выдающихся ученых прошлого, исторические задачи и проблемы, решение которых внесло значительный вклад в развитие математики.

2. Философские вопросы математики, связанные с познанием окружающего нас мира, роли и места в этом познании математики.

3. Прикладные аспекты математики, приложение изученных теоретических методов и результатов к решению прикладных задач.

4. Некоторые вопросы современной математики, жизни и творчества современных ученых-математиков.

VI. Критерий соответствия содержания индивидуальным особенностям школьников. Этот критерий рассмотрим на примере геометрического курса по выбору. Из всех учебных предметов, изучаемых в школе, геометрия требует наиболее активной работы по созданию пространственных образов и оперированию с ними. В психологии в исследованиях И. С. Якиманской изучены индивидуальные различия пространственного мышления школьников [5]. Это выражается, во-первых, в том, что индивидуальные различия в пространственном мышлении ярко обнаруживаются в процессе восприятия пространственных свойств и отношений. Здесь выделяется аналитический (то есть постепенный, с выделением отдельных частей) и синтетический (то есть целостный, недифференцированный) охват воспринимаемого объекта или его изображения.

Во-вторых, индивидуальные различия ярко проявляются при создании пространственных образов на наглядной основе и оперировании ими. Это сказывается в умении мысленно преобразовывать наглядный материал, а также в овладении способами его понятийной обработки, в избирательной направленности на оперирование отдельными элементами в структуре пространственного образа (его формой, величиной), пространственными отношениями, в легкости оперирования образами разной степени наглядности. Одни учащиеся при предъявлении изображения (с целью создания по нему образа) детально фиксируют все его конкретные особенности, постепенно воссоздают образ из отдельных деталей, объединяя их в единое целое. Другие охватывают в представлении сначала общий контур объекта и лишь затем мысленно наполняют его соответствующими деталями, придающими образу структурную определенность, законченность, четкую конфигурацию. Причем эти особенности проявляются у одного и того же учащегося при работе с различными видами наглядности (чертежом, моделью, рисунком и т. д.), при выполнении разных учебных заданий, что свидетельствует об их устойчивости.

В третьих, индивидуальные различия наблюдаются в способах чувственного обобще-

ния. У одних учащихся обобщение наглядного материала идет через детальный анализ разрозненных данных, у других оно осуществляется свернуто, быстро, причем обобщаются наиболее значимые соотношения наглядных признаков. Эта особенность обобщения рассматривается как важная предпосылка успешного овладения геометрией.

Согласно данным В. А. Крутецкого [6], у школьников с геометрическим складом ума преобладает наглядно-образный компонент над словесно-логическим. Они легко оперируют образным материалом, без затруднения решают задачи на наглядном материале. Хорошо развитые представления дают возможность быстро и безошибочно решать задачи в образной форме. Нередко они пытаются оперировать наглядными образами даже там, где легче опираться на словесно-логические рассуждения. Выделяются следующие типы математического склада ума: а) аналитический (аналитический или абстрактно-математический склад ума); б) геометрический (геометрический или образно-математический склад ума); в) гармонический (две модификации абстрактного и образного типа склада ума с небольшим преобладанием одного над другим).

Учитель, работая в конкретной группе учащихся и изучив индивидуальные особенности пространственного мышления своих учеников, должен будет включать в содержание, в том или ином объеме, соответствующий наглядный материал, в котором специально нужно выделить следующие элементы: чертежи; рисунки; иллюстрации; стереочертежи; модели геометрических фигур (изготовленные из различного материала и в разной технике); конструирование различных геометрических ситуаций (в том числе с помощью компьютера).

Следующими важными индивидуальными особенностями учащихся, которые обязательно нужно учитывать учителю и отражать в содержании занятий, является неоднородность интереса учащихся к самой математике. Даже у школьников, которые называют математику любимым или одним из любимых предметов, интерес к ней дифференцирован. Во-первых, одни предпочитают алгебру, другие - геометрию, что связано, как показано выше, с соответствующим типом мышления. Во-вторых, у

ребят, которым больше нравится изучать геометрию, интерес к ней тоже разный. Анализ неоднократно проведенных соответствующих анкетирований показывает, что одним учащимся больше всего интересно решать геометрические задачи, другим - доказывать теоремы, третьи предпочитают приложения геометрии, а четвертые увлекаются изготовлением моделей красивых геометрических фигур, например многогранников. Вывод: учителю, опираясь на знание индивидуальных интересов своих учеников, необходимо выбирать соответствующую дозировку различных компонентов учебного материала. С одной стороны, такая работа удовлетворит индивидуальные запросы учащихся в геометрии, а с другой -будет способствовать более успешному и эффективному ее обучению.

Теперь обратим внимание на курсы по выбору для старшеклассников, которые учатся в профильных классах. Выделим некоторые особенности таких классов в целом. Сравним два диаметрально противоположных профиля по отношению к математике: гуманитарный и математический. Математиков, как известно, отличают следующие характерные особенности, которые в полной мере проявляются и у учащихся математических классов. Во-первых, математики не любят, когда им о чем-нибудь рассказывают, они до всего хотят дойти сами.

Из личных наблюдений можно добавить, что, как правило, после занятия учащиеся не хотят уходить и «атакуют» учителя вопросами, а если на занятии не успели решить какую-нибудь задачу, то они обязательно будут пытаться найти ее решение. У этих ребят сформирован устойчивый интерес к математике, и они все время пытаются узнать новое, часто забегая вперед предложенной программы.

Во-вторых, математики получают удовольствие от полученных знаний и постоянно хотят знать, для чего они, где используются, как дальше преобразуются и развиваются. Им хочется новых открытий.

В третьих, математики умеют наблюдать, выявлять закономерности, что ведет к математическим открытиям. Причем способность к наблюдению математических закономерностей можно развивать очень рано. Определенное

содержание учебного материала может развивать в учениках навык наблюдения за математическими закономерностями. В связи с этим для учащихся математических классов и близким к ним по профилю в содержании необходимо предусмотреть, специально подобрать: нестандартные задачи; исследовательские задачи; задачи на выявление математических закономерностей.

Исходя из анализа наблюдений, достаточно большого количества соответствующих анкетирований и тестирований, а также личного опыта преподавания в гуманитарных и математических классах, мы выделили следующие психолого-педагогические особенности учащихся этих классов, а именно:

1. Преобладание у ребят гуманитарных классов наглядно-образного мышления. В математических классах - абстрактно-логического мышления.

2. Восприятие красоты математики направлено у учащихся гуманитарных классов на ее проявления в живой природе, в произведениях искусства, через красивые конкретные математические объекты. В то же время учащиеся математических классов красоту математики видят в изящных, необычных, неожиданных решениях задач, доказательствах теорем.

3. Внимание на уроке у гуманитариев может быть устойчивым в среднем не более 12 минут. У учащихся математических классов этот показатель колеблется от 20 до 25 минут.

4. Среди компонентов содержания обучения у гуманитариев наибольшим интересом пользуются вопросы истории математики, прикладные аспекты, занимательный материал. Математики предпочитают решение нестандартных задач, исследовательских проблем.

5. Из форм работы на уроке гуманитарии выделяют следующие: объяснение учителем нового материала; лабораторные работы; деловые игры; выполнение индивидуальных заданий с привлечением научно-популярной литературы. Математики - решение нестандартных, проблемных, исследовательских задач.

6. Гуманитарии предпочтение отдают активным, коллективным методам работы. Например, при решении задач в классе им нравятся дискуссии, в процессе которых происходит поиск ре-

шения задач всем классом. Математики предпочитают самостоятельное решение задач.

7. У школьников гуманитарных классов богаче, чем у учащихся математических классов, воображение, сильнее проявляются эмоции.

8. В гуманитарных классах по составу больше девочек, в математических - мальчиков, фактор, который не нашел в нашей школе пока должного внимания и учета. Все курсы рассчитаны на некое бесполое, усредненное существо.

VII. Критерий соответствия содержания учебно-методическому обеспечению. Этот критерий предполагает, что содержание курса по выбору и в основной школе, и в старших классах определенного профиля должно охватываться учебными пособиями, научно-популярной литературой, наглядными пособиями и техническими средствами обучения в объеме, достаточном для успешного решения поставленных задач обучения.

В учебно-методическое обеспечение содержания предметного курса по выбору включаем следующие важные компоненты: 1) программа; 2) тематическое планирование; 2) учебное пособие; 3) дидактические материалы: математические диктанты, самостоятельные и контрольные работы, тесты, задания для зачетов; 4) учебные материалы для индивидуальной работы с учащимися; 5) банк задач: устных, опорных (базовых, стандартных), повышенной трудности, нестандартных, исследовательских, прикладных, занимательных, исторических; 6) дополнительные учебные материалы для воспитания и развития учащихся (история, внутри- и межпредметные связи, прикладные аспекты, связь с современностью, занимательность, в том числе красота математики); 7) компьютерная поддержка; 8) рекомендуемая литература.

VIII. Критерий соответствия содержания имеющемуся времени. Этот критерий предполагает планирование содержания курса по выбору по занятиям, соответствие объема учебного материала каждого занятия времени, отведенному на него, а также соответствие всего объема содержания курса времени, отведенному на его изучение.

Сказанное реализовано нами в разработке геометрических курсов по выбору, представленных в учебных пособиях [7-10].

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Смирнова, И. М. Педагогика геометрии [Текст]: моногр. / И. М. Смирнова. - М.: Прометей, 2004. - 336 с.

2. Гнеденко, Б. В. О математике [Текст] / Б. В. Гнеденко. - М.: Эдиториал УРСС, 2000. -208 с.

3. Математика в образовании и воспитании [Текст] / сост. В. Б. Филиппов. - М.: ФАЗИС, 2000. - 256 с.

4. Адамар, Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики [Текст] / Ж. Адамар; пер. с франц. М. А. Шаталова и О. П. Шаталовой; под ред. И. Б. По-гребысского. - М.: МЦНМО, 2001. - 128 с.

5. Якиманская, И. С. Психологические основы математического образования [Текст] / И. С. Якиманская. - М.: Академия, 2004. - 320 с.

6. Крутецкий, В. А. Психология математических способностей школьников [Текст] / В. А. Крутецкий. - М.: Ин-т практ. психологии; Воронеж: НПО «МОДЭК», 1998. -416 с.

7. Смирнова, И. М. Изображение пространственных фигур. Элективный курс. 10-11 классы [Текст] / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - М.: Мнемозина, 2007. - 64 с.

8. Смирнова, И. М. Кривые. Курс по выбору. 9 класс [Текст] / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - М.: Мнемозина, 2007. - 63 с.

9. Смирнова, И. М. Многогранники. Элективный курс. 10-11 классы [Текст] / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - М.: Мнемозина, 2007. - 95 с.

10. Смирнова, И. М., Смирнов В.А. Многоугольники. Курс по выбору. 9 класс [Текст] / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - М.: Мнемозина, 2007. - 64 с.

REFERENCES

1. Smirnova I. M. Pedagogika geometrii (Pedagogics of geometry). Moscow: Prometey, 2004. 336 p.

2. Gnedenko B. V. O matematike (About mathematics). Moscow: Editorial URSS, 2000. 208 p.

3. Matematika v obrazovanii i vospitanii (Mathematics in education and upbringing). Compl. V. B. Filippov. Moscow: FAZIS, 2000. 256 p.

4. Adamar Zh. Issledovanie psikhologii protsessa izobreteniya v oblasti matematiki (Study on psychology of the process of invention in mathematics). Transl. from French. Ed. I. B. Pogrebysskiy. Moscow: MTsNMO, 2001. 128 p.

5. Yakimanskaya I. S. Psikhologicheskie osnovy matematicheskogo obrazovaniya (Psychological foundations of mathematical education). Moscow: Akademiya, 2004. 320 p.

6. Krutetskiy V. A. Psikhologiya matematicheskikh sposobnostey shkolnikov (Psychology of pupils' gift for mathematics). Moscow: In-t prakt. psikhologii; Voronezh: NPO "MODEK", 1998. 416 p.

7. Smirnova I. M., Smirnov V. A. Izobrazhenie prostranstvennykh figur. Elektivnyy kurs. 10-11 klassy (Representation of solid figures. Elective course. 10-11s forms). Moscow: Mnemozina, 2007. 64 p.

8. Smirnova I. M., Smirnov V. A. Krivye. Kurspo vyboru. 9 klass (Curves. Elective course. 9th form). Moscow: Mnemozina, 2007. 63 p.

9. Smirnova I. M., Smirnov V. A. Mnogogranniki. Elektivnyy kurs. 10-11 klassy (Polyhedra. Elective course. 10-11s forms). Moscow: Mnemozi-na, 2007. 95 p.

10. Smirnova I. M., Smirnov V. A. Mnogougolniki. Kurs po vyboru. 9 klass (Polygons. Elective course. 9th form). Moscow: Mnemozina, 2007. 64 p.

Смирнова Ирина Михайловна, доктор педагогических наук, профессор кафедры элементарной математики Московского педагогического государственного университета e-mail: i-m-smirnova@yandex.ru

Smirnova Irina M., Dr. Habil. in Education, Professor, Department of Elementary Mathematics, Moscow State

Pedagogical University

e-mail: i-m-smirnova@yandex.ru