Синтез динамической системы второго порядка с минимальными амплитудами собственных колебаний по заданному направлению

УДК 621.06

СИНТЕЗ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА С МИНИМАЛЬНЫМИ АМПЛИТУДАМИ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПО ЗАДАННОМУ НАПРАВЛЕНИЮ

© В.И. Соболев1, Нгуен Фу Туан2

Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Определены параметры собственных колебаний систем второго порядка при воздействии импульса. Приведены зависимости максимума собственных колебаний от параметров систем второго порядка. Сформированы системы, имеющие минимальное значение максимума перемещений собственных колебаний. Ил. 4. Библиогр. 6 назв.

Ключевые слова: колебания упруго-динамических систем; мгновенный импульс; матрицы собственных векторов; собственные частоты; собственные значения; амплитуды.

SYNTHESIS OF SECOND ORDER DYNAMICAL SYSTEM WITH MINIMUM AMPLITUDES OF EIGENMODES BY

SPECIFIED DIRECTION

V.I. Sobolev, Nguyen Fu Tuan

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The article determines the parameters of second order system eigenmodes under impulse. It gives the dependences of the eigenmodes maximum on the parameters of the second order systems. The systems with the minimum value of the eigenmodes travel maximum are formed. 4 figures. 6 sources.

Key words: elastodynamic system vibrations; instantaneous impulse; eigenvector matrices; eigen (natural) frequencies; eigenvalues; amplitude.

Конечномерные динамические модели, построенные на различных принципах дискретных аппроксимаций, являются в настоящее время наиболее популярными в исследованиях и конструировании систем различного назначения. Решение задач, связанных с определением и формированием параметров собственных колебаний

1 Соболев Владимир Иванович, доктор технических наук, профессор кафедры сопротивления материалов и строительной механики, тел.: 89246349860, e-mail: vladsobol@yandex.ru

Sobolev Vladimir, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Strength of Materials and Structural Mechanics, tel.: 89246349860, e-mail: vladsobol@yandex.ru

2Нгуен Фу Туан, аспирант, тел.: 89247085979, e-mail: bennaydaiduong@yahoo.com Nguyen Fu Tuan, Postgraduate, tel.: 89247085979, e-mail: bennaydaiduong@yahoo.com

ВЕСТНИК ИрГТУ №9 (80) 2013

89

таких динамических систем обусловлено решением проблемы собственных значений, позволяющей в ряде случаев осуществить разделение дифференциальных уравнений динамики исходной многосвязной модели. Представление исходной динамической системы в пространстве собственных векторов, определенных решением проблемы собственных значений позволяет использовать результаты, полученные при воздействии импульса на одномерную колебательную систему. Преобразование аналитических выражений, описывающих колебания одномерной системы при импульсивных воздействиях (обратные преобразования из пространства собственных векторов в исходное пространство), позволяет определить условия формирования систем с заданными свойствами.

Используем этот подход для формирования системы с минимальной амплитудой собственных колебаний по некоторому направлению, не совпадающему с направлением импульсивного воздействия. Рассмотрим условия

определения собственных параметров динамических систем [1]: - Д-/| = 0, где Д / = 1 ..п, I - единичная матрица, О = КМ-1, М - матрица инерционных параметров, Я - матрица жесткостей динамической модели, ^ - частоты собственных колебаний.

Для системы второго порядка эти условия имеют вид

Л2-Л

Г1 + Г

л

щ

Г, Г

Г 212

+ = о

тУ щ щ щщ2

Поскольку уравнение (1) должно иметь два положительных решения, то по теореме Виета [1] справедливо:

Г Г

д+д =—+—> о

щ т

2

Г11 Г22 Г 21^>0

ДД = -

щ щ щщ

Или

Г Г

Г1 + ^ > о

т щ Г11Г22 — Г12 > 0

где Д, Д - два решения уравнения (1) (Д < Д ) и

Д=-2

Г11 ! Г22 _ щ щ2 \

щ щ

+ 4 -

2

Г 12

2 У

щщ

Д =-2

Г11 ! Г22 + щ щ2 \

+ 4 -

2

Г 1 2

V щ щ2 У

щщ

Для системы второго порядка собственный вектор Д можно определить из решения системы уравнений [2]:

^-Д

щ

'1

Гк. щ2

Гк

щ

Т

^-Д щ

а

а

= о.

<

2

Г11 Г22

2

Г11 Г22

Принимая ап = 1 , имеем а21 = —-

Гг Л

^-Л

т

У _

Л- т - г 1

Гк т.

Для определения собственного вектора А имеем

а22 =1 то а12 =~г

'12 т,

'12

'11

-Л2

1 Л • т1 - Г11

- т1 У

Таким образом, матрица собственных векторов

ф = [А А ] =

Л • т - Г1

Л - т1 - Г11

1

Выполнив операцию обращения, получаем

Ф-1 =

Или

Ф-1 =

" ги -Лт

Г11 -Л2т1

г121- т г 1 (Л + Л)+Л Л2т12

(Л -Л2 )т1

Г12

Г12т1(Л1 -Л2 ХГ11 -^т1) .

(ГП - т1Г11(Л1+Л2 ) + Л1Л2т12 ) (г11 -Лт1) .

Если мгновенный импульс действует по направлению с номером 1, то по результатам работы [3], перемещения х. по заданным направлениям с номером у можно записать в виде

х

п 8т(<1) а ь —-——

ауи11

() = Ё аЬ

где а - элементы матрицы Ф; йг1 - элементы матрицы Ф 1.

Для системы второго порядка рассмотрим перемещения х2 по второму направлению

х2^) =

1 Л -т -Ги • Ги+1-Г"-ЩГ11(Л +Л^^

Г12 4Л Щ Л

(Л )т1

Величина х2достигает максимального значения по параметру времени при 8т(<?) = 8т(<2?) = 1 При < = < система не имеет перекрестных упругих связей [4]. Рассмотрим случай при 8т(<?) = 8т(<) = 1.

'12

Г

1

г

'12

Г

2

Или

ж

со^ = — + 2рж, р = 0,1,2.

ж

с ^ = — + 2кж к = 0,1,2. 2 2

ж 2кж ж 2рж „, „

+-=-+ , р,п = 0,1,2.

2с о2 2с

о

О _ 2

+ 2 р

с2 1 + 2к

, Р,п = 0,1,2...

2

о

Допустим, что — = 8 , тогда выражение (3) можно записать в виде

с

8-

2

+ 2 р

+ 2к

= 0, р,к = 0,1,2...

2

Решение уравнения (4) на графике (рис. 1) отображается линией пересечения поверхностей функций

1 „

1 + 2Р

А(р,к) = 8-2-= 0, и поверхности XOY, где р,к = 0,1,2...

1 + 2к

2

8 = 0,9

8 = 0, 2

1

1

1

Рис. 1. График функции (р, п) при 8 = 0, 2;0,7;0,9

Справедливо следующее утверждение: момент времени ? = Т, при котором собственные перемещения достигают максимального значения, осуществляется при ) = 8т(^2?) = 1 [5, 6].

При этом максимум функции перемещения некоторого узла модели по направлению с номером 2 при воздействии мгновенного импульса выражается в виде

max (х2 (t)) =

-1

(ii -А • mi) rii

m

ft

i

ri2i- mirii(A+^2 )+Л^2т!

(Л-^2 )mi

Поставив значения ^, ^ в max (x2(t)), получаем:

+

r

2

max (x2 (t)) =

- r.

m

ri i r22

+ -

4 • r'

i2

V mi m2 J

mm

rr

'i i ^ Г22

mm

2

'ii '22

V mi

m

+ 4 •

Г 2i2

2J

rr

'i i ^ [22

mm

2

'ii

V mi

'22 m

+ 4 •

Г 2!2

2J

JJ

На основе выражения (5) и условия (2) построим график max (x2(t)) от щ и m2 (рис. 2). При этом фиксируем значения параметров жесткостей.

Рис. 2. График зависимости max (x2 (t)) от щ и m2

Анализируя график зависимости max (x2(t)) от масс, можно сделать вывод, что при увеличении масс мак-

симум перемещений собственных колебаний увеличивается. В точках (щ = 0) функция max (x2(t)) от щ и

2

1

1

2

2

mm

mm

m2 достигает минимального значения. При увеличении массы щ, максимум перемещений собственных колебаний в точке приложения импульса увеличивается быстрее, а при увеличении массы максимум перемещений собственных колебаний медленнее уменьшается. Таким образом, эффективнее изменение величины максимума посредством изменения массы щ .

На основе выражения (5) и условия (2) построим график зависимости max (x2(t)) от щ и щ (рис. 3). При

этом фиксируем значения r12 и масс.

Рис. 3. График зависимости max (x2 (t)) от rxl и r22

График зависимости max (x2(t)) от rn и r22 показывает, что при фиксированных значениях массовых параметров величина функции max (x2(t)) по направлению 2 стремится к нулю при бесконечно больших значениях (r j, r22), а величина максимума перемещения получает максимальное значение при бесконечных малых

значениях

( \ 1 r22

(Г ! , r,2), и при =

Таким образом, для минимизации максимума значения по жесткостным параметрам г 1, г22 необходимо

'22

увеличивать значения г 1, г22, при которых значения — удалены от —

т т

Условия (2) для переменной г12 можно записать в виде

IL +122 > о

щ m.

2

лГПх'

Г22 > Г 2 >

На основе выражения (5) и условия (6) построим график зависимости max (x2(t)) от r12 (рис. 4). При этом фиксируем значения масс r i, r22.

щ m2

r

<

22

Рис. 4. График зависимости max (x2 (t)) от

Из графика видно, величина максимума перемещения по направлению 2 неограниченно возрастает при п12,

стремящемся к ф] /22 . В точке г12 = 0 величина максимума перемещения равна нулю.

Таким образом, на основании приведенных зависимостей максимального значения перемещения по заданному направлению можно сделать следующий вывод: минимизировать значения амплитуд собственных колебаний по некоторому направлению }, не совпадающему с направлением воздействия I, можно сделать с помощью следующих способов:

- уменьшать массу элемента, на которую направлены действия мгновенного импульса;

- уменьшать при / Ф ] ;

- увеличивать п. (/ = 7), при которых значения — удалены от значения —.

m,

m-,

Библиографический список

1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. 7 -е изд. М.: Айрис-пресс, 2008. 608 с.: ил.

2. Гайджуров П.П. Методы, алгоритмы и программы расчета стержневых систем на устойчивость и колебания: учеб. пособие. Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. Новочеркасск: ЮРГТУ, 2010. 230 с.

3. Соболев В.И, Нгуен Фу Туан. Конечномерные аппроксимации в моделировании собственных колебаний упругих систем при воздействии мгновенного импульса // Вестник ИрГТУ. 2012. №9(68). С. 51-54.

4. Соболев В.И, Нгуен Фу Туан. Проявление кратности частот в собственных колебаниях конечномерных систем // Вестник ИрГТУ. 2013. №3(74). 32-34 с.

5. Де Брёйн Н.Г. Асимптотические методы в анализе. М.: Иностранная литература, 1961. 248 с.

6. Зорич В.А. Математический анализ: учебник. М: Наука, 1984. Ч. 2. 640 с.

r