Задачи как средство формирования математической деятельности учащихся

УДК 53.083.37.3

Л. А. ГОРБУНОВА

Омский государственный аграрный университет

ЗАДАЧИ

КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ

На основе теории математической деятельности предлагается один из методов построения полных систем задач, дифференцированных по трудности их решения.

Для обоснования правильной организации процесса обучения решению текстовых задач на основе результатов анализа физиологической, психологической и дидактической литературы, а также в результате критического сопоставления моделей мыслительной деятельности была составлена модель формирования математической деятельности посредством задач, дифференцированных по уровням трудности их решения. Составленная модель обеспечивает возможность реализации аспектов математической деятельности учащихся в процессе решения текстовых задач и отражает процесс формирования обобщенных приемов математической деятельности учащихся при решении текстовых задач.

Исследуя процесс решения задачи, A.A. Столяр [9] выделяет два существенных элемента в процессе решения задачи: представление (описание) задачи и поиск ее решения. «Представление задачи включает ее перевод на язык математики. Такой перевод может быть различным. От способа представления задачи зависит и поиск ее решения. Более удачное представление способствует сокращению объема поиска, менее удачное может значительно увеличить объем поиска, усложнить процесс решения» [9, с. 121]. Таким образом, поиск решения задачи зависит от представления задачи: 1)в пространстве состояний; 2) сведение задачи к совокупности подзадач.

Ю.М. Колягин [7J обращает внимание на целесообразность разбивки учебного задания на последовательность подзадач. P.A. Гильманов [6] процесс решения учебного упражнения представляет «в виде последовательного выполнения подзадач». Автор отмечает, что «разложение мыслительной деятельности на составные части — «подзадачи» — должно представлять собой систему умственных действий типа умозаключений как мыслительных операций, а не технические исполнительские операции» [6, с. 83]. Такая точка зрения позволяет представить процесс решения задачи графически в виде графовой модели [3,4, 5]. В результате построения графовой модели осуществляется математизация эмпирического материала (МЭМ).

Для иллюстрации метода выделения подзадач рассмотрим алгоритм-построения блока задач на примере алгебраической текстовой задачи.

Задача. В магазине купили 8 кг яблок по цене 53 руб. и 12 кг сахара по цене 30 руб. Сколько стоит вся покупка?

Корневой вершине графовой модели структуры решения этой задачи будет соответствовать значение величины стоимости покупки (рис.1).

Чтобы получить подзадачу, удалим висячие вершины в третьем ярусе и принадлежащие им ребра и только те, которые принадлежат или к вершине с,, или к вершине с2 . Получим две новые графовые модели (рис. 1а и 16) и сформулируем получившиеся подзадачи № 1 и № 2.

Подзадача № 1. В магазине купили 8 кг яблок по цене 53 руб. и сахар стоимостью 420 руб. Сколько стоит вся покупка?

Подзадача № 2. В магазине купили яблоки стоимостью 424 руб. и 12 кг сахара по цене 30 руб. Сколько стоит вся покупка? (сложность структуры решения Б, = 16).

Чтобы получить третью подзадачу, удалим висячие вершины во втором ярусе и принадлежащие им ребра. Получим новую графовую модель (рис.1 в) и сформулируем подзадачу № 3.

Подзадача №3. В магазине купили яблоки стоимостью 424 руб. и сахар стоимостью 420 руб. Сколько стоит вся покупка?

Получившийся граф структуры решения подзадачи № 3 имеет наименьшую сложность и труд-кость, следовательно, она не имеет подзадач. Таким образом, иолучили блок задач со сложностью структуры решения 5 = 26; Б, = 16; 3.2=16; З3=6. В этом блоке каждая предыдущая задача включается в последующую задачу в качестве подзадачи. Содер-

Рис. 1. Графовая модель структуры решения задачи

Рис. 1а. Графовая модель структуры решения подзадачи № 1

Рис. 16. Графовая модель структуры решения подзадачи № 2

/ + N.

С] С2

Рис.1в. Графовая модель структуры решения подзадачи № 3

жание подзадачи, дополненное определенными требованиями, и есть последующая задача.

При выполнении учебных заданий учащийся решает систему частных задач, которые реализуются путем выполнения отдельных действий. Б.Ф. Ломов [8, с. 219] объясняет это следующим образом: «Действие, обеспечивающее выполнение одной простой текущей задачи, в психологии принято считать единицей или элементом действия. В принципе деятельность может быть описана как сис-темасменяющих друг друга действий... Необходимость совмещать действия и переключаться от одной задачи к другой создает трудности и требует большого нервно-психического напряжения». Вывод Б.Ф.Ломова еще раз убеждает нас в том, что в целях дифференциации текстовых задач необходимо вводить количественные параметры, характеризующие информационную структуру решения текстовой задачи, т.е. трудность решения задачи [3,5].

Чтобы деятельность учащихся по решению задач обеспечила заданный уровень усвоения знаний, необходимо задать систему задач, удовлетворяющую дидактическим принципам обучения. Одним из основных дидактических принципов является требование подбора задач с последовательным и систематическим нарастанием сложности и трудности структур их решения. На основе структуризации решений текстовых задач, с выделенным сюжетом «Движение», нами построена дифференцированная по уровням трудности система текстовых задач [2]. При решении задач одинаковой сложности осуществляется логическая организация математического материала (ЛЛОМ), а следствием нарастания трудности решения текстовых задач является применение математической теории (ПМТ).

Ощутимый методический эффект использования дифференцированной по уровням трудности системы задач будет получен при условии, что система задач способствует формированию и развитию умений анализировать, сравнивать, рассуждать, устанавливать отношения, вести самостоятельно поиск решения задачи. Если рассматривать процесс обучения как развитие, ведущее к более высокому уровню, то можно с помощью системы задач ускорить последовательный переход от одного уровня к другому, не пропуская промежуточный уровень, т.е. система задач предусматривает последовательное прохождение через все аспекты математической деятельности.

Решая задачи первого уровня трудности, учащиеся приобретают простейшие умения и в преде-

лах одной сложности структуры решения имеют возможность для развития своих способностей решать более трудные задачи, не потеряв интерес к предмету, что является важным в обучении. При решении задач первого уровня трудности учащиеся овладевают отдельными действиями и операциями; учатся выделять основные отношения задачи и строить простейшие модели; приобретают умения сравнивать, конкретизировать; проявляются задатки анализа (МЭМ). При решении задач более трудных по структуре решения учащиеся овладевают совокупностью операций: выделяют физические модели; проводят анализ и строят математические графовые модели, проводя аналогию между алгебраическими и физическими задачами.

Задачи второго уровня трудности стимулируют к применению знаний и способов деятельности в стандартных ситуациях; могут быть задания на перевод из одной знаковой системы в другую. Владея полным содержанием действий, учащиеся самостоятельно ведут поиск и анализ графовых моделей структур решений алгебраических и физических задач в стандартной ситуации; решая задачи в порядке возрастания их трудности, учащиеся учатся абстрагировать, обобщать, синтезировать (ЛЛОМ).

Задачи третьего уровня трудности предназначены для применения знаний и способов деятельности. в новых нестандартных ситуациях; задачи межпредметного содержания; на составление обобщающих моделей. Владея всеми действиями и операциями, учащиеся умеют выстроить логическую последовательность действий для получения результата; самостоятельно ведут поиск и анализ обобщенных графовых моделей; умеют составлять новые задачи (ПМТ).

Говоря об уровнях трудности структур решений текстовых задач, следует помнить, что «уровень трудности» структуры решения задач является субъективным фактором не только относительно возраста и способностей учащихся, но и для разных этапов обучения. Поэтому задачи, которые первоначально носили «трудный» характер, в процессе обучения могут утратить «трудность». Это закономерный процесс, так как в соответствии с концепцией Л.С. Выготского [1] обучение будет тогда развивающим, когда оно проводится на максимально высоком уровне трудности и ведет за собой развитие учащихся.

Используя дифференцированную систему текстовых задач с учетом «зоны ближайшего развития» [1], мы создаем индивидуально для каждого ученика условия выбора доступного (в данный момент времени) для него задания по трудности, и одновременно осуществляется последовательная реализация всех аспектов математической деятельности в процессе решения ранжированных задач.

Библиографический список

1. Выготский Л.С. Развитие психических функций. /Л.С. Выготский. - М., 1960.

2. Горбунова Л.А., Рыженко Н.Г. Сборник уровневых дифференцированных текстовых задач по физике: Учебное пособие // Омск: ФГОУ ВПО ОмГАУ, 2006.

3. Горбунова A.A., Рыженко Н.Г. Формирование общих физико-математических умений в процессе обучения решению задач // Актуальные проблемы науки и высшего образования // Материалы второй Международной научно-практической конференции // Научный сборник № 2, Москва: филиал МГТУ в г. Унеча, 2006. - С. 137-141.

4. Горбунова A.A., Рыженко Н.Г. Графовое моделирование структур решений текстовых задач в курсе алгебры и физики // Психодидактика высшего и среднего образования //Материалы пятой Всероссийской научно-практической конференции. Часть 2, - Барнаул, 2004, - С. 140-143.

5. Горбунова A.A. Моделирование структур решений задач для определения их трудности //Омский научный вестник. — № 2 (19). - июнь, 2002. - С. 65-67.

6. Гильманов P.A. Проблема дидактометрии трудности учебных упражнений / P.A. Гильманов. — Изд- во Казанского университета, 1989.

7. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике / Ю. М. Ко-лягин. - М,: Просвещение, 1977. Ч. 1.

8. Аомов Б.Ф. Методологические и теоретические проблемы психологии./ Б.Ф. Ломов. - М,: Наука, 1984.

9. Столяр A.A. Педагогика математики. Изд. 3-е / A.A. Столяр. — Минск: Выш. школа, 1986.

ГОРБУНОВА Людмила Анатольевна, старший преподаватель кафедры физики.

Статья поступила в редакцию 26.09.06 г. © Горбунова Л. А.

уДк 378 И. А. ДРОЗДОВА

С. А. МИНАБУДИНОВА

Омский государственный университет путей сообщения

ПРОБЛЕМА РАЗВИТИЯ НАВЫКОВ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ В ПРОЦЕССЕ АДАПТАЦИИ СТУДЕНТОВ ПЕРВОГО КУРСА ТЕХНИЧЕСКОГО ВУЗА

Рассматривается проблема адаптации первокурсников в техническом вузе в плане обеспечения достаточной базы математических знаний для изучения естественно-научных и технических дисциплин, предлагаются пути решения этой проблемы.

В течение многих лет остро стоит вопрос о соответствии программы курса высшей математики потребностям инженерно-технических специальностей вузов. Многие преподаватели испытывают при работе со студентами затруднения, обусловленные тем изложением основ высшей математики, которое принято уже много лет в технических вузах. Причины этого понятны. Во-первых, авторы учебников и преподаватели высшей математики много внимания уделяют строгости и последовательности изложения курса, изобилующего доказательствами теорем, используя при этом нетривиальный язык, труднодоступный для понимания первокурсниками. Во-вторых, инженеру гораздо важнее знание различных математических методов, применяемых для решения практических задач, поэтому д\я него всевозможные тонкости в доказательствах значат довольно мало, а решающее значение имеют приложения математики к технике [1]. И, что самое печальное, уровень подготовки абитуриентов в последние годы неуклонно падает, вследствие чего затрудняется процесс адаптации первокурсников в вузе, что не позволяет многим из них эффективно усваивать учебный материал. Решение этой проблемы нам представляется весьма актуальным.

Авторы настоящей статьи преподают физику в техническом вузе. Физика, изучающая законы природы, широко использует практически все разделы математики. Особую роль в формировании математической грамотности будущего инженера играют

дифференциальное и интегральное исчисления — это основа, на которой строится вся система общетехнических и специальных профессиональных знаний и навыков [2]. Понятия производной и интеграла стали необходимыми элементами общей культуры. Представления о скорости изменения ккой-либо величины (производная) и о суммарном эффекте действия какого-либо фактора (интеграл) полезны и в повседневной жизни: они расширяют кругозор, позволяют глубже понимать суть различных явлений и процессов и принимать обоснованные решения.

Современная школьная программа дает возможность любому школьнику познакомиться с понятиями производной и интеграла. При этом у большинства выпускников средней школы формируется весьма отвлеченный взгляд, например, на производную как на формальное правило превращения одной функции в другую. То же самое можно сказать о студенте-первокурснике, которому в рамках курса математического анализа даются все необходимые (с точки зрения математика) сведения о производных, но мало или совсем ничего не говорится о тех многочисленных явлениях и процессах, описание которых требует использования производной (механические колебания, различные процессы в электрических цепях, реактивное движение, радиоактивный распад и т.д.). Вследствие этого у студента формируется абстрактное, оторванное от реальной жизни понятие производной. Это относится и к другим понятиям высшей математики.