Возможности квадратичного программирования

УДК 630.3

С.М. Базаров, Ю.И. Беленький ВОЗМОЖНОСТИ КВАДРАТИЧНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Задачи линейного программирования поиска эктремума целевого линейного фунционала на линейных ограничениях отображаются на поиск оптимальной целевой функции как экстремума квадратичного функционала при тех же ограничениях. В последнем методе число линейных ограничений может быть минимальным. Построенный метод квадратичного программирования решается методом множителей Лагранжа.

Ключевые слова: квадратичный функционал, линейные ограничения, минимум, максимум, пересечение гиперплоскостей, множители Лагранжа.

S.M. Bazarov, Yu.I. Belenkiy QUADRATIC PROGRAMMING POSSIBILITIES

Linear programming problems of search the extremum of the objective linear functional on the linear constraints are displayed on the optimal objective function search as extremum of a quadratic functional under the same constraints. In the last method the linear constraints number can be minimum. The constructed method of quadratic programming is solved by the method of Lagrange multipliers.

Key words: quadratic functional, linear constraints, minimum, maximum, hyperplanes intersection, Lagrange multipliers.

Линейное программирование (ЛП) является одним из востребованных методов решения оптимизационных задач, как в научных исследованиях, так и в практической деятельности: распределение ресурсов между работами машин, оборудования, бригадами, предприятиями, оптимизация технологических операций, экономических задач и др. [1]. В задачах, решаемых этим методом, целевая функция и область ограничения задаются линейными функциями.

В стандартной форме задачи ЛП формулируются в виде: найти экстремум целевой функции

F = с1х1 + с2х2 + ...+спхп ^ min

при заданной системе ограничений

ацх1 + а12х2 +...+ а1п Xn = Ci , а21х1 + а22х2 +. +а2п Xn = С2 ,

...

акЛ + ак2х2 + .+ атхп = Ск .

Это задача поиска экстремума линейного функционала на линейных ограничениях.

Геометрическое представление этих задач: область ограничения С представляет собой выпуклый многоугольник, образованный пересечением плоскостей ограничений, построенных в n-мерной прямоугольной системе координат, n-мерной плоскостью также является целевая функция F.

Здесь целевая функция достигает минимум (максимум) как касание n-плоскостью границы области ограничений, и методы дифференциального исчисления для его определения становятся непригодными.

Основным методом решения задач линейного программирования является симплекс-метод, основанный на итеративной процедуре.

Представлению задач линейного программирования n-мерными плоскостями и гипервыпуклыми многоугольниками поставим в соответствие n-мерными векторами в n-мерной ортогональной системе координат: целевая функция n-мерный вектор

V = в101х1 + в2с2х2 + ...+ en^;

ограничения n-мерные вектора

eiaiixi + e2ai2X2 +...+еп ain Xn = Bi ,

eia2lXi + е2а22Х2 +...+ еп а2п Xn = В2 ,

е^к^ + е2ак2Х2 + ...+ епакпХп = Вк , здесь е, - единичные базисные вектора, для которых выполняются условия ортогональности е, в] = 0,

е2, = i , i, ] = 1, 2, ...

Векторным представлениям построим в соответствие квадратичные формы как квадраты длин векторов для целевой функции

V2 =

и ограничений в виде произведения единичного вектора и векторов ограничений

(е1 + е2 +...+ еп ) (е1а11Х1 + е2а12Х2 +...+ еп а1п Xn ) =

= ацХ i + а12Х2 +...+а1п x n = Ci ,

(е1 + е2 +... + еп) (е1а21Х1 + е2а22Х2 +... + еп а2п Xn) =

= а21Х1 + а22Х2 +.+ а2п Xn = С2 ,

...

(е1 + е2 + ...+ ел) (е1ак1Х1 + е2ак2Х2 + ...+ епакпХп) -= ак1Х1 + ак2Х2 + .+акпХп = Ск .

Таким образом, линейное программирование на линейныХ формаХ отображается на программирование квадратичныХ форм как квадратов длин векторов целевой функции при ограниченияХ на линейныХ формаХ, становится возможным сделать переХод от методов недифференциального исчисления линейного программирования к дифференциальным.

На квадратичныХ формаХ целевой функции и линейныХ форм ограничений стандартная задача оптимизации ставится следующим образом:

найти минимум целевой функции как минимальной длины вектор

Ф =V2 = с21Х21 + с22Х22 +.+ с2пХ2п ^ min ,

при ограниченияХ

ацХ1 + а12Х 2 +...+ а1п x n = С i , а21Х1 + а22Х2 +.+ а2п Xn = С2 ,

(8) ак1Х1 + ак2Х2 + .+ акпХп = Ск .

Допущение: целевая функция Ф и ограничения С обладают непрерывными частными производными по своим аргументам.

В рассматриваемые условияХ задачу оптимизации, как минимизации целевой функции, можно решать известным методом множителей Лагранжа. Метод заключается в введении множителей Ai , Ä2 , ..., Ак и построении вспомогательной функции

Т = с21Х21 + с22Х22 +...+ с2пХ2п +

+ А1(ацХ i + а12Х 2 +...+ а1п Xn - С1) + ,

+ А2(а21Х1 + а22Х2 +.+ а2п Xn - С2) +

...

+ Ак(ак1Х1 + ак2Х2 + .+ акпХп - Ск).

Минимизация целевой функции обеспечивается условием д2Ф/дХ2 > 0.

Стационарное значение целевой функции Ф наХодится путем решения системы ( n + к ) уравнений, получаемыХ из условий

дТ / дХ, - 0 , i = 1, 2, ..., n , и дТ / дА] - 0 , ] = 1, 2, ..., к , такиХ, как

2с21 Х1 + Ха]1 А] - 0 ,

2с22 X2 + Ха]2 А] - 0 ,

2с2п Xn + Х^]к Ак + 0 , ацХ1 + а12Х2 +...+ а1п Xn = С1, а21Х1 + а22Х2 +.+ а2п Xn = С2,

...

ак1Х1 + ак2Х2 + .+ акпХп = Ск ..

Размерность пространства решения задачи равна ( n + к ).

Система уравнений является линейной и замкнутой по числу неизвестных х и X, поэтому ее решение находится по формуле Крамера

X, - di / d ,

где d - определитель основной матрицы системы уравнений (10); d, - определитель матрицы, получающейся из определителя основной матрицы путем замены i-го столбца столбцом из свободныХ членов.

Таким образом, решением задачи становится пересечение гиперплоскостей, представленныХ системой уравнений (10).

Задачи на максимум выстраиваются как двойственная минимуму

Н - Ф ^ min ,

где Н - постоянная, и условием д2Ф/дХ2 < 0.

Следует отметить, что решение задачи данным методом квадратичного программирования возможно при минимальном числе условий ограничения (к = 1), что в принципе невозможно при линейном программировании.

Таким образом, множество задач линейного программирования можно решать представленым методом квадратичного программирования.

Литература

1. Гасс С. Линейное программирование: методы и приложения. - М.: Наука, 1961. - 303 с.

УДК 630.3 Н.П. Воробович

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ВРЕМЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ И ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЕЙ РАБОТ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ

В работе выполнен обзор и анализ различных методов расчета временных параметров сетевых моделей и графиков. Выполнен сравнительный анализ различных методов расчета продолжительностей работ сетевых моделей: нормативных расчетных методов, методов экспертных оценок, методов оценки по аналогам, методов моделирования Монте-Карло. Исследованы методы расчета, применяющие нормальный закон распределения вероятностей и бета-распределение.

Ключевые слова: метод, сетевая модель, продолжительность, работа, оценка, вычисление, закон распределения, алгоритм.

N.P. Vorobovich CALCULATION TECHNIQUES OF THE NETWORK MODELS TIME PARAMETERS AND DURATION OF THE NETWORK MODELS WORK

The review and analysis of various calculation techniques of the network models time parameters and graphs is conducted in the article. The comparative analysis of various calculation techniques of the network models work duration such as standard calculation techniques, subjective test techniques, estimation on the analogues techniques, Monte-Carlo modeling techniques is conducted. The calculation techniques using the normal law of probabilities and beta-distribution are researched.

Key words: technique, network model, duration, work, estimation, calculation, distribution law, algorithm.

Введение

Самое широкое распространение в управлении проектами получили традиционные сетевые модели, основой которых является теория графов. Одним из важнейших приложений теории графов является сетевое планирование и управление сложными комплексами взаимосвязанных работ. Для этой цели разработаны специальные методы, основанные на использовании сетевых графиков, являющихся графической моде-