Система сервиса с изменяющимся числом элементов обслуживания

УДК 621.396.2

Система сервиса с изменяющимся числом элементов обслуживания

I Советов В.М., д.т.н., с.н.с., профессор, e-mail: sovetovvm@mail.ru

I ФГОУ ВПО «Российский государственный университет туризма и сервиса», г. Москва

Представлены выражения для расчета эффективности системы сервиса с изменяющимся числом элементов обслуживания. This article presents formulas for calculating the efficiency of the service system with a variable number of service elements

Ключевые слова: системы массового сервиса, клиент, элемент обслуживания, интенсивность поступления клиентов, интенсивность обслуживания.

Key Words: system of mass service, customer, service element, intensity of incoming customers, service intensity.

Как правило, клиенты прибывают в систему сервиса с разной интенсивностью. Частота прибытия клиентов зависит от времени суток (например, в магазин) или сезона (например, в турфирму). Если система сервиса состоит из ограниченного числа элементов обслуживания, то в периоды повышения интенсивности поступления клиентов образуется очередь. В случае превышения длины очереди определенного значения клиенты могут покинуть данную систему сервиса и поискать другую, т. е. происходит потеря клиентов. Чтобы избежать подобных потерь, необходимо или повышать интенсивность обслуживания путем внедрения средств автоматизации, или просто увеличивать число элементов обслуживания, что влечет за собой увеличение соответствующих расходов. Для уменьшения затрат целесообразно использовать дополнительные элементы обслуживания лишь в моменты повышения интенсивности прихода клиентов.

Рассмотрим систему массового сервиса (СМС), в которой для повышения эффективности обслуживания в зависимости от длины очереди изменяется число элементов обслуживания.

Введем следующие обозначения: К — максимально допустимое число клиентов в очереди на один элемент обслуживания; 5* - число элементов обслуживания. Клиенты прибывают в СМС по пуас-соновскому закону с интенсивностью Л-, обслуживание каждым элементом обслуживания осуществляется за время, распределенное по экспоненциальному закону с параметром т. Таким образом, приведенная нагрузка на систему равна у = Я///.

В начале работы СМС обслуживание клиентов осуществляется одним элементом обслуживания. Если число клиентов в очереди превысит К, то увеличивается число элементов обслуживания

на 1. В общем случае число элементов обслуживания может расти до бесконечности. При увеличении числа элементов обслуживания возрастает интенсивность обслуживания и число клиентов в очереди уменьшается. Как только число клиентов на один элемент обслуживания становится равным К с учетом обслуживаемых клиентов, один элемент обслуживания убирается.

На рис. 1 показан граф состояний рассматриваемой СМС в стационарном режиме работы, где кружками обозначены состояния СМС, соответствующие числу клиентов (заявок) в системе, а дугами - переходы из одного состояния в другое с интенсивностью, обозначенной над дугой. Дуги, изображенные пунктиром, показывают, что от одного состояния до другого может быть несколько промежуточных состояний с такой же интенсивностью перехода.

Рис. 1. Граф состояний СМС с изменяющимся числом элементов обслуживания

Условия локального баланса выполняются [1], поэтому составим систему уравнений стационарных состояний, используя разрезы графа, и выразим все вероятности через ро:

при 5 = 1

РРо = МРх, РР1 = МРі, РР]-1 = МР] г РР] = МР]+1г

РРк-1 = МРк г при 5 = 2

рРк = 2 МРк+1

1

Рр>к+1 = 2мРК+2 ,

РРк+]-1 = 2мРК+] , РРк+] = 2МРк+]+1 ,

Рр2 к-1 2 МР 2 к ,

при 5 = 3 Рр2к = 3мР2к+1,

РР2 к+1 = 3МР

2 к+2

^Рік+]-1 3мР2к+] ,

Рр2 к + ] = 3МР2 к+] + 1 ,

РР3к-\ = 3мР3к ,

¥Ро = Р1г

¥2 Ро = Р2г ¥]Ро = Р]г

Vі+ ро = Р]+1г

¥ Ро = Рк

к +1

2

к+2

Ро = Рк+1

¥

2 Ро Рк+2 ,

¥

2

к+]

¥

2]

к+]+1

Ро = Рк+]

2]+1

" Ро Рк + ]+1 ’

2

,2 к

к Ро Р2 к ;

¥

2 к+1

2к 3

,2 к + 2

Ро Р2к+1

¥

2к32' Ро Р2к + 2 г

¥

2 к+]

¥

2к 3]

2 к+]+1

2к 37+1 Ро Р2к+]+1

¥3 =

2к3к Ро Р3к

]=о

+

2к

¥к+1 ¥к+2 ¥к+] ¥к] ¥

------+ +... + ^—+т +1 +... +

2 22 2] 2]+1 2к

¥2к+1 ¥2к+2 ¥2к+] ¥2к+]+1 ¥

+ „ „ +... + „ . + „ . , +... +

2к3 2к32

+

+

¥+1 + ¥+1 + + ¥ 2К3К4 2К3К42

2к3] 2к3]+1

3К +у

2к3к

+

¥

зк+у+1

¥

2К3К4К

+ ..Л =

2К зк 4 У+1

Ро {1 + ¥°к¥[1 + ¥ + ... + ¥- +¥' + ... + ¥к_1]

+¥ |¥ 1! I 2

1+'7 I + ... +(¥ 14+(¥ ї+... +(¥

+

к-і"

¥| ^ 2! ) I 3

1 + '¥|+... + (¥

з

1+¥|+...+¥ 1+Г¥'1]+...+¥

3! ) У 4 )[ У 4 ) У 4 ) У 4 ) У 4„

Используя известную формулу для конечной суммы, получаем:

1 = р I1+( 0!1 *

~¥К -1" +¥ Т ¥ 1 (¥/2)К -1

_ ¥ -1 . 11! 1 {2 ¥ 12 -1

С \ ¥2

2 !

V У

(у/3)К -1 ¥ I3 -1

/ 3 \К

¥

3!

V у

¥/4)К -1 ¥ 4 -1

\К ¥ 1 ’(¥/ 5 )К -1_

/ і5 J _ ¥5 -1 _

' ¥5- ^

(5 -1)!

Отсюда вероятность начального состояния вычисляется как

Ро =\ 1 + 1

( ¥5-1 ^ к Г ¥ 1 V/5)к -1

1 (5 -1)!) 15 ) _ ¥/5 -1 ]

Согласно (1) и (2) вероятности всех состояний вычисляются по формуле

¥

,к Ро

Согласно условию нормировки имеем:

то

1 = ХР] = Ро I1 + [* + *2 + ••• + *+ *+1 +... + ] +

Гу ^ уч./х] х а к ]^

где |_]/к] - наибольшее целое число, меньшее Л к ; \ак 1 - наименьшее целое число, большее

Цк.

Поскольку Ро показывает вероятность отсутствия клиентов в СМС, то 1 — Ро соответствует наличию хотя бы одного клиента. На рис. 2 приведены вероятности наличия хотя бы одного клиента в СМС в зависимости от приведенной нагрузки ^ для различных значений К.

+

+

Nсист = Е ПРп = Ро Е '

[V к ^ (К к |)к

Выражая вероятности состояний как функцию числа элементов обслуживания 5* и заданного числа клиентов в очереди К, получаем

Nс,„ = Ро ЕЕ [(5 - !>к + Л

¥

(5-1) К+Л

5=1 Л=1

5Л [(5 -1) !]к

= Ро X

(Б -1)* [ -1)!]

¥

(Б-1)К

X—+——

_= Б [(Б -1)!]

¥

(Б-1)К

X ¥

1=1

Б1

Первую конечную сумму можно представить как

X ¥_ = ¥у (¥ 1

ы Б_ Б_=0 I Б

)

= ¥

1

у

Б ¥І Б -1

Вторую конечную сумму с учетом значения

производной------уп = пуп —1 можно выразить

в виде ^¥

к ш 1 к к к л

ХТ^Т = X 1 1 = а ХТ 1-1 = а Х“Т а 1 =

V Т1 м 1=1Ла

Л=1

Л=1

Рис. 2. Вероятность наличия в СМС хотя бы одного клиента: К=1

При К = 1 (кривая 1) СМС соответствует системе с бесконечным числом элементов обслуживания (М/М/да), в которой каждому вновь прибывшему клиенту выделяется элемент обслуживания, и поэтому в системе очереди нет. Как известно [1, 2], в такой системе вероятность наличия хотя бы одного клиента в системе вычисляется как 1 — е—^ . Очевидно, что система М/М/да обеспечивает наименьшую вероятность наличия хотя бы одного клиента в системе. При увеличении К эта вероятность возрастает и в пределе становится равной аналогичной вероятности в системе с одним элементом обслуживания и бесконечной очередью (М/М/1/да), равной, как известно, у [1 2]. Как видно, адаптивная к интенсивности потока клиентов СМС обеспечивает меньшую вероятность наличия хотя бы одного клиента в системе, чем система М/М/1/да. При этом элементы обслуживания не простаивают и не перегружаются.

Найдем выражение для вычисления среднего числа клиентов в системе обслуживания как математическое ожидание:

" " шп

а ^ і а 1 - ак+1

= а— Е а = а----------------------

аа л=1 аа 1 - а

1 + Как+1 - (К + 1)ак =

= а

(1 - а)2

¥ 1 + К (ф/5 > к+1 - (К +1>(¥/5 )к

"5

Отсюда

(1 - (¥/5 ))2

Nсист = Ро Е"

¥

(5-1) К+1

(5 -1)К[(ф/5)К -1]-

- 5) [(5 -1)!]

+ 1 + к

На рис. 3 показаны результаты расчета среднего числа клиентов в СМС в зависимости от приведенной нагрузки у для различных значений К. При К=1 среднее число клиентов в системе соответствует числу клиентов в системе М/М/да, т. е. у. При возрастании К число клиентов в системе стремится к числу лимитов в системе М/М/1/да, равному уI(1 — у) при у < 1. Как видно, адап-

Рис. 3. Среднее число клиентов в СМС: К=1

тивная к интенсивности потока клиентов СМС обеспечивает меньшее среднее число клиентов в системе, чем система М/М/1/да.

Найдем теперь среднее число клиентов, находящихся в очереди, как

N = N - N.

_ оч сист обс ,

где Nобс - число клиентов, находящихся в обслуживании.

Очевидно, что число клиентов, находящихся в обслуживании, равно числу работающих элементов обслуживания. В адаптивной СМС это число зависит от нагрузки и изменяется со временем.

Вероятность работы 5 элементов обслуживания, согласно (2), будет

р = Рс

( V-1 ] К и (V/Б)К -1

1 (Б -1)!) Б ) V Б -1 _

Nо6с = Е 5^ = Ро Е 5

г

\к

=Ро^Е

г

(5 -1)!

(5 -1)! ^

V/5) -1 V/5 -1

(У/5) -1 V 5 -1

при К=3: 5=1

При К=1 система эквивалентна М/М/ю и, как следовало ожидать,

¥______ 1 у у2

Гт 5=1(5 -1)! і + її + + -

Лобс = 5-1 . / =У —2-----= У

УЕ

¥

у/ у/1 + —+ — + ...

1+ У-

7=1 S! 1! 2!

что соответствует числу элементов обслуживания и равно N

сист При К=2

Nобс =¥-

ґ V5-1 '

(5 -1)!

1 +

¥

1+Е

¥

(5 -1)!

1 +

¥

На рис. 4 показаны результаты расчета вероятности работы 5* элементов обслуживания в зависимости от нагрузки у при ограничении числа клиентов в очереди К=3. Как видно, максимум вероятности работы Б элементов обслуживания соответствует значению нагрузки у, т. е. при увеличении нагрузки пропорциональное увеличение числа элементов обслуживания наиболее вероятно.

При известной вероятности работы 5 элементов обслуживания (4) среднее число клиентов, находящихся в обслуживании, можно вычислить как математическое ожидание по формуле

-¥

3 4 5

2 V V V

1+ V +V +—+—+— +...

2 4 12

2 Vі V4 V5 V6

1 +v +v +— + — + —+— +... 2 4 12 36

При отсутствии ограничений на число элементов обслуживания 5 числитель и знаменатель дроби становятся примерно равными и Nобс = у. Можно показать, что при отсутствии ограничения 5 среднее число клиентов, находящихся в обслуживании, ^бс, равно у и не зависит от К. Как известно, для системы М/М/1/да коэффициент использования элемента обслуживания также равен у.

Отсюда среднее число клиентов в очереди

Лоч = Лесист - Лобс = Ро Е

¥

(5-1) К+1

(Б -1)К[(т/Б ) -1]-

5=1 (V - 5) [(5 -1)!]

1 + К

-X

-V.

Зная вероятности работы 5 элементов обслуживания (4), можно найти коэффициенты использования элементов обслуживания как

' ,5-1 \*

= Е р5=Ро Е

V5.

V

(5 -1)!

= 1 - Ро -Е Р5

На рис. 5 показаны результаты расчета коэффициентов использования элементов обслуживания в зависимости от нагрузки у при длине очереди 5 и 15. Как видно, при достижении коэффициен-

5=1

5=1

5=1

5=1

_021-----------------------1-------1---------------

О 0,5 1 1,5 2 2,5 3

__________________________________________________ш_

Рис. 5. Коэффициенты использования элементов обслуживания: а

том использования элемента обслуживания значений, близких к максимуму, добавляется еще один элемент. С ростом длины очереди возрастает коэффициент использования элемента обслуживания до значений, близких к максимуму.

Однако в отличие от известного результата в начале работы добавленного элемента обслуживания коэффициент использования при большей длине очереди меньше, чем при меньшей длине очереди. Это объясняется тем, что большую часть нагрузки пока берет на себя предыдущий элемент обслуживания.

Как известно, вычисление среднего времени, проводимого клиентом в системе и в очереди в системах обслуживания, не изменяющих свои параметры в процессе обслуживания, осуществляется с использованием закона Литтла по формулам

сист сист/ 5

Точ = N„1 Л»

В адаптивной системе пришедший в очередь (К+1)-й клиент меняет параметры системы, так как провоцирует добавление еще одного элемента обслуживания. В то же время то, как быстро клиент покинет систему, зависит не только от того, каким по счету он находится в очереди, но и от того, сколько элементов занято обслуживанием клиентов. Однако, как было показано, для рассматриваемой системы при 5 среднее число элементов

обслуживания пропорционально ^, как и в системе М/М/ю. Следовательно, для рассматриваемой системы справедлив закон Литтла.

Таким образом, проведенные исследования показали возможность улучшения параметров обслуживания клиентов при использовании адаптивной к потоку клиентов СМС, в которой число элементов обслуживания увеличивается в зависимости от интенсивности потока клиентов. При этом экономический эффект достигается за счет уменьшения затрат на содержание элементов обслуживания и потери клиентов из-за большой очереди.

ЛИТЕРАТУРА

1. Советов В.М., Артюшенко В.М. Основы функционирования систем сервиса. - М.: Альфа-М, 2009.

2. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. Теория и приложения: пер. с фр. - М.: Мир, 1965.

Поступила 03.12.2009 г.

Способ блокировки систем сотовой связи в общественных местах и учебных заведениях

В. А. Степанов, аспирант, e-mail: volhvx@gmail.com

ФГОУВПО «Российский государственный университет туризма и сервиса», г. Москва

Рассмотрены способы блокировки использования систем сотовой связи (сотового телефона) в школах, колледжах, вузах при проведении учебного процесса, а также в общественных местах, требующих от посетителей или выступающих повышенного внимания, например театрах или музеях.

The author examines methods to block the use of cellular communication systems (cell phones) in schools, colleges, and universities during the educational process, as well as in public places that require attention from visitors, for example in theaters and museums.

Ключевые слова: LabView, блокировка систем, сотовая связь.

Key Words: LabView, blocking, cellular communication.

В современном обществе остро стоит проблема неэтичного и несанкционированного применения сотовых телефонов, например, на лекциях и экзаменах в качестве «шпаргалки», при чтении лекций как отвлекающий фактор для выступающего, а также во время театральных постановок. Во многих учебных заведениях во время проведения занятий запрещено пользоваться сотовыми телефонами. Использование систем глушения, построенных на данном принципе, позволяет школьникам сосредоточиться во время уроков на учебном процессе, театральному актеру реализовать свой талант в ходе спектакля, а на семинарах качественно преподнести и усвоить материал.

Цель работы: компьютерное моделирование с помощью программы LabView процесса за-шумления в выбранной зоне блокировки сигнала, передающегося от базовой станции до абонента сотовых сетей стандарта GSM 900/1800.

Проанализируем способы блокировки сотового канала связи. Это можно сделать с помощью экранирования помещений или постановки помехи в радиодиапазоне [1]. Первый способ малопригоден из-за больших размеров производственных помещений и высокой стоимости радиопоглощающих материалов. Второй способ в данном случае является оптимальным.

Существует два основных вида систем подавления сотовой связи:

1) системы зашумления непрерывного действия;

2) интеллектуальные системы.

Системы зашумления непрерывного действия работают в постоянном режиме и зашумляют строго определенный диапазон частот. Основные достоинства этих систем - это дешевизна

и простота исполнения. Главным их недостатком является постоянное воздействие излучения на людей и малый ресурс работы при батарейном питании, так как устройство включено постоянно.

Интеллектуальные системы находятся в режиме ожидания и включаются при попытке соединения с базовой станцией, подавление идет по конкретному каналу. Важнейшие достоинства этих систем заключаются в том, что отсутствует постоянное воздействие излучения и возможно длительное время работы при батарейном питании, а существенным недостатком - более высокая стоимость по сравнению с простейшими системами подавления сотовой связи и сложность исполнения и настройки.

Также системы подавления сотовой связи можно разделить по способу постановки помехи: на приемный канал телефона и на передающий канал телефона (систем передачи по сотовым каналам связи). Второй вариант используется редко, это связано со сложностью реализации системы.

Алгоритм подавления сотовой связи по приемному каналу телефона сводится к тому, что устройство подавления формирует сигнал с равномерной характеристикой по частоте. В результате на вход мобильного телефона, помимо сигнала от базовой станции, поступает сигнал помехи с более высоким уровнем, вследствие чего резко ухудшается соотношение сигнал/шум, что препятствует установлению связи между мобильным телефоном и базовой станцией.

В данном случае устройство подавления сотовой связи будет построено по принципу непрерывного воздействия, также устройство должно иметь возможность автономной работы.